Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1116881 1116299 2026-10-18T15:27:00Z Bert Niehaus 20843 /* Polynomialer Nullstellensatz */ 1116881 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[Komplexe Zahl#Orbitdarstellung|Orbitdarstellung von Operationen in komplexen Zahlen]] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rmod|rlog-Funktion]] * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> f4y6fzdt917wluummsk7960qmxdfw1p 1116922 1116881 2026-10-18T16:42:40Z Bert Niehaus 20843 /* Polynomialer Nullstellensatz */ 1116922 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[Komplexe Zahl#Orbitdarstellung|Orbitdarstellung von Operationen in komplexen Zahlen]] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rmod|rlog-Funktion]] * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 2jumywqlgkyd3w391424n1plnpsjbiy 1116923 1116922 2026-10-18T16:49:47Z Bert Niehaus 20843 /* Polynomialer Nullstellensatz */ 1116923 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[Komplexe Zahl#Orbitdarstellung|Orbitdarstellung von Operationen in komplexen Zahlen]] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung|algebraische Vervollständigung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen des Logarithmus]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rmod|rlog-Funktion]] beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiver Logarithmus|rekursiver Logarithmus]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 68ndtz99gq3i6ze8f5ckpwv1pszyqhu 1116925 1116923 2026-10-18T16:51:40Z Bert Niehaus 20843 /* Polynomialer Nullstellensatz */ 1116925 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[Komplexe Zahl#Orbitdarstellung|Orbitdarstellung von Operationen in komplexen Zahlen]] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung|algebraische Vervollständigung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rmod|rlog-Funktion]] beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiver Logarithmus|rekursiver Logarithmus]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 0sfkt9ntb7n5qy94pxrzeyacmligaj5 1116926 1116925 2026-10-18T16:54:57Z Bert Niehaus 20843 /* Cauchy-Integralformel CIF */ 1116926 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[Komplexe Zahl#Orbitdarstellung|Orbitdarstellung von Operationen in komplexen Zahlen]] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung|algebraische Vervollständigung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rmod|rlog-Funktion]] beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiver Logarithmus|rekursiver Logarithmus]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 1u69umj2iazwp1043kphz211w71kw17 1116952 1116926 2026-10-19T06:23:56Z Bert Niehaus 20843 /* Polynomialer Nullstellensatz */ 1116952 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[Komplexe Zahl#Orbitdarstellung|Orbitdarstellung von Operationen in komplexen Zahlen]] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung|algebraische Vervollständigung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] <math>z^n</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/exponentielle unktionen|exponentielle Funktionen]] <math>a^z</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rmod|rlog-Funktion]] beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiver Logarithmus|rekursiver Logarithmus]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> iep1cv7p2b8d0i5gqd1g4m4dezpzsl0 106 48995 1116948 291662 2026-10-19T06:01:01Z AsepTisch 40916 typo 1116948 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Die Technologie des Internets führt zu einer vernetzten Welt. Durch das Aufeinandertreffen von Internet-Technologien und Anwendungen mit wirtschaftlichen Interessen, ist vor einigen Jahren das E-Commerce entstanden. Wichtige Vertreter des elektronischen Handels sind beispielsweise amazon.com, ebay.com oder etwa die Homepages großer Online-Versandhäuser wie otto.de. Social Commerce, ist die Verschmelzung von Social Media und E-Commerce und ein Thema, welches für Unternehmen relevant sein wird. Social Media Marketing beschäftigt sich hauptsächlich mit der Steigerung der Reputation im Social Web. Bisher befassten sich selten auch E-Commerce Unternehmen mit dieser neuartigen Kommunikationsform, da die Möglichkeiten, einen Social Media Nutzer zum direkten Kunden und somit auch Käufer zu transformieren, nur gering sind. Langsam jedoch etablieren sich Lösungen und ein gewisses Grundverständnis was genau Social Web im Einzelnen beinhaltet. Mittlerweile hat sich eine Vielzahl von Plattformen gebildet, welche den Fokus auf eine Zielgruppe legt. Facebook hat durch Ihre Fan Pages sowie den Social Plug-Ins viel dazu beigetragen, dass Social Commerce mehr und mehr einen positiven Return on Investment generiert. Für das Push-Marketing eignet sich der Like Button um Nutzern gezielt ein Produkt zu zeigen. Diese Marketingform war bis dahin dem Fernsehen, Papier oder Radio-Werbung vorbehalten. Facebook konnte dank Ihrer Social Plug-Ins noch mehr Nutzer generieren und hat heute mehr als 22 Millionen Mitglieder allein in Deutschland und hat somit erfolgreich andere Sozialen Netzwerke verdrängt. Im Rahmen eines Social-Network-Profils bestehen verschiedene Interaktionsmöglichkeiten wie z.B. Bilder/Videos hochladen und sich mit anderen Usern zu vernetzten. Diese Änderungen im Nutzerverhalten haben im Bereich des E-Commerce zu einer Verbindung von Online-Shopping und Social Networking geführt und mit Social Shopping eine neue Form des E-Commerce entstehen lassen. <ref> vgl. Heinemann G., Haug A., 2010 </ref> Diese Seminararbeit gibt einen Überblick auf verschiedene Formen des Social Shoppings sowie deren Chancen und Risiken in der Zukunft. ==Social Shopping== ===Definition Social Shopping=== „Unter Social Shopping wird eine konkrete Ausprägung des elektronischen Handels verstanden, bei der die aktive Beteiligung der Kunden und die persönliche Beziehung sowie die Kommunikation der Kunden untereinander im Vordergrund stehen. Als zentral können Beteiligungen der Kunden am Design, Verkauf und/oder Marketing, z. B. über Kaufempfehlungen oder Kommentare anderer Kunden gesehen werden. Dies geschieht z. B., indem Kunden Einkaufslisten mit Lieblingsangeboten in ihren Weblogs veröffentlichen. Der Begriff wurde Ende des Jahres 2005 von Steve Rubel (in der Jahresvorschau 2006 seines Weblogs) geprägt.“ <ref> vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Social_shopping </ref> ===Ursprünge des Social Shopping=== In der Literatur wird meist der Name Steve Rubel genannt, welcher als erster den Begriff geprägt hat. Erste Elemente von Social-Commerce-Portalen können schon seit mehreren Jahren im Bereich Online-Shopping wie bei Ebay (Bewertung der Käufer- und Verkäufer durch die jeweiligen Gegenüber) oder Amazon.com (Buch-Bewertungssystem durch Käufer) gesehen werden. Ein Begriff, der sich für diese (direkte oder indirekte) gegenseitige Hilfe bei Auswahlprozessen eingebürgert hat, ist Soziale Navigation (Social Navigation). <ref> vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Social_shopping </ref> ===Verschiedene Ausprägungen des Social Shoppings=== Social Shopping beschreibt die Nutzer in die Lage zu versetzen gemeinsam einzukaufen und Produkte zu empfehlen. <ref> vgl. Dr. Marsden P., 2010 </ref> Hier können die Nutzer durch Affiliate Programme dazu animiert werden, weitere Produkte Ihren vernetzen Freunden zu empfehlen und dabei per Provision belohnt werden. Im folgenden Teil werden einige verschiedene Modelle des Social Shoppings erläutert. *Social Media Stores Social Media Stores sind Online Shops, die in Soziale Netzwerke integriert sind. Die Nutzer können direkt Produkte in den Warenkorb legen und sobald Sie zur Kasse gehen, werden Sie zum angebundenen Online Shop weitergeleitet. Eine neue Form hierfür wäre wenn der User direkt in den Sozialen Netzwerken einkaufen könnte. Allerdings müssten die Nutzer Ihre Kreditkarte oder Bankkonten hinterlegen. Dies könnte eine abschreckende Wirkung haben, da Datenschutz trotz der auflösenden Privatisierung in der heutigen Gesellschaft eine enorme Rolle spielt. *Portable Social Graph Portable Social Graph bietet Nutzern weitere Funktionen um während es Einkaufens im Internet mit seinen Freunden in Sozialen Netzwerken zu kommunizieren. Damit nicht ständig Formularfelder im Internet zur Registrierung ausgefüllt werden müssen bieten Facebook Connect, Google’s FriendConnect und Twitter Outh Schnittstellen für Online Shops, damit Nutzer sich nur noch mit ihrem Benutzernamen und Passwort der jeweiligen Soziale Netzwerken anmelden müssen. Des Weiteren werden zusätzliche Funktionalitäten für die User bereitgestellt wie z.B. „Frag dein Netzwerk“ oder „Mit deinem Netzwerk teilen“. <ref> vgl. Dr. Marsden P., 2010 </ref> Gewisse Modelabels wie Burberry oder der Versandhandel Otto mit der Seite refashion.de nutzen die bereits auf ihren E-Commerce-Plattformen. *Gruppenkauf Der Gruppenkauf bietet den Usern die Möglichkeit sich mit anderen zu vernetzen. Ziel ist es ein gewissen Produkt in höherer Stückzahl zu bestellen, um so einem günstigeren Preis für das gewünschte Produkte zu erhalten. Der Computerhersteller Dell <ref> vgl. www.dell.com </ref> regt in Großbritanien mit seinem Dienst „Dell Swarm“ die Nutzer dazu an, sich zu einem „Schwarm“ zu vereinen um Produkte in höheren Stückzahlen und günstigeren Preis anzubieten. Groupon <ref> vgl. www.groupon.at </ref> ist z.B. ein Dienst, der es ermöglicht in Gruppen einzukaufen um dadurch einen besseren Preis für das Produkt oder die Dienstleistung zu erzielen. *Social Shopping Portale Bieten die Möglichkeit, mit Hilfe mehrerer der oben genannten Social-Shopping-Tools Einkäufe gemeinsam in mehreren E-Shops zu tätigen, häufig in Kombination mit nicht-synchronen Tools wie Bewertungen und Rezensionen, Empfehlungen und Social Bookmarking. Beispiele für diese Portale wie Shobbits.com oder smatch.com werden später erläutert. ==Vorstellung verschiedener Social Shopping Plattformen== Auch wenn Social Shopping eine relativ neue Thematik ist, arbeiten einige etablierte Anbieter erfolgreich mit verschiedenen Werkzeugen des Social Shoppings. Dazu kommen noch unzählige junge Start Up Unternehmen, deren Geschäftsidee sich dieser Materie verschrieben hat. Der Grund dafür liegt auf der Hand, laut Schätzungen der amerikanischen Unternehmensberatung Booz & Co. wird der Umsatz mit Social Commerce alleine in den USA von heute 1 Milliarde Dollar auf 14 Milliarden US. Dollar im 2015 steigen <ref>vgl. Barney Jopson und David Gelles, 2011</ref>. In den nachfolgenden Unterkapitel wird zum einen mit Amazon ein etabliertes Unternehmen vorgestellt und Shobbits und Stickbits bilden als zwei junge, erfolgreiche Firmen den Gegenpool. Außerdem soll das erfolgreiche Modell des Modelabel Converse nicht fehlen. Converse geht einen etwas anderen Weg und lagert einen Teil des Designs und des Vertriebs auf seine Kunden aus. ===Amazon=== Amazon gehört in Bereich des Social Shoppings zu den führenden Unternehmen. Früh hat man damit begonnen seine Kunden dazu zu animieren, dass sie gekaufte Produkte bewerten. So sind potentielle Käufer vor dem Kauf in der Lage sich eine Fremdmeinung einzuholen. Dies erinnert schon sehr daran, wenn man seine Freunde und Bekannte nach ihren Produkterfahrungen befragt. Als nächster Schritt ist Amazon dazu übergegangen die Buchautoren einen Blog schreiben zu lassen. Dadurch treten die Autoren in Interaktion mit ihren Lesern und erhöhen damit die Wahrscheinlichkeit dass ihr Buch gekauft wird <ref>vgl. Holger Schmidt, 2006</ref>. In der neusten Phase kooperiert Amazon mit Facebook. Nachdem beide Accounts miteinander verbunden sind erhält man z.B. bei bevorstehenden Geburtstagen von Facebook-Freunden Produktvorschläge, die zu ihren hinterlegten Interessen passen (siehe Schaubild 1.). Außerdem wird angezeigt, welche Produkte gerade im Freundeskreis sehr populär sind <ref>vgl. Jolie O‘Deli, 2010</ref>. In Großbritannien geht die Kooperation beider Unternehmen noch einen Schritt weiter. Hier wurde ein Facebook-Store der Marke Max Factor eröffnet (siehe Schaubild 2.). Die Lagerung, Bezahlungsabwicklung und auch den Versand übernimmt Amazon <ref>vgl. Social Commerce Today, 2010</ref>. Abbildung 1: [[Datei:1.jpg]] Abbildung 2: [[Datei:2face.jpg]] ===Shobbits=== Ist ein Münchner Start Up Unternehmen, welches erstmals die Möglichkeit bietet, Einkaufserlebnis in Echtzeitkommunikation zu tätigen. Die angemeldeten Freunde können in einem Chat direkt über Produkte diskutieren und weiterempfehlen. Das Ziel stellt hier also eine gemeinsame Einkaufstour im Freundeskreis dar. Auch hier bietet Facebook eine Vernetzung an. So kann sich der User auch direkt über Facebook einloggen und die ausgewählten Produkte in seinem shobbits Profil sowie auf seiner Facebook Pinnwand teilen. Der virale Empfehlungscharakter durch Vertraute, also Freunde und Freundesfreunde, gilt auch hier als Erfolgsindiz. ===Stickybits=== Das junge Unternehmen Stickybits gibt Konsumenten durch Rabatte und Gewinnspiele einen Anreiz ihre gekauften Produkte mit ihren Freunden zu teilen. Mit Hilfe einer App die für die Mobilen Betriebssysteme Apple IOS und Google Android verfügbar ist, kann man den Barcode eines Produktes scannen. Durch den Scan kann man weitere Informationen über das Produkt abrufen, kann Bewertungen von anderen Konsumenten lesen, man sieht welche Freunde das Produkt auch gekauft haben und kann auch Gewinnspielen und Rabattaktionen teilnehmen. Durch den einfachen und spielerischen Umgang mit der App und dem Anreiz von Preisnachlässen und Gewinnen werden die User dazu animiert ihren Freunden mitzuteilen welche Produkte sie gerade gekauft haben und wie sie sie bewerten. Dabei werden alle populären Plattformen wie z.B. Facebook und Twitter unterstützt. ===Converse=== '''Das amerikanische Schuhlabel Converse''' geht mit seiner aktuellen Facebookstrategie einen komplett neuen Weg. Mit Hilfe einer speziellen Software können amerikanische und britische Kunden 6 verschiedene Paar Converse Schuhe nach ihrem eigenen Geschmack designen. Durch eine personalisierte Shoppfront in Facebook kann man seine eigenen Entwürfe mit seinen Freunden teilen und an sie verkaufen. Jedes Mal wenn ein Kunde fünf paar Schuhe verkauft hat, dann bekommt er ein sechstes Paar gratis <ref>vglSebastian Joseph, 2011</ref>. Durch das eigene Design können Kunden sich besser mit der Marke und dem Produkt identifizieren. Dazu kommt noch, dass man beim Einkaufen der Empfehlung von Freunden vertraut. Durch diese „ Mund zu Mund Propaganda“ welche das Web 2.0 mit sich bringt erreicht Converse viele neue Kunden erreichen. ==Gefahren und Chancen Social Shoppings== Wenn die Unternehmen immer mehr Informationen über ihre Kunden gewinnen, dann sind sie auch in der Lage den Kunden gezielte Angebote zukommen zu lassen. Andererseits können diese gewonnen Daten auch zum Missbrauch führen. Wie bei jeder neuen Technologie ist es noch ungewiss wie sich diese und der Umgang mit ihr entwickelt. Die große Bedeutung von sozialen Medien in der heutigen Internetlandschaft lässt sich am besten durch das Netzwerk Facebook verdeutlichen: {| style="border-spacing:0;" | style="background-color:#ffffff;border-top:0.035cm solid #000000;border-bottom:0.035cm solid #000000;border-left:0.035cm solid #000000;border-right:none;padding:0.176cm;"| <center>Anzahl Mitglieder weltweit</center> | style="background-color:#ffffff;border:0.035cm solid #000000;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.191cm;padding-right:0.191cm;"| <center>über 800 Millionen</center> |- | style="background-color:#ffffff;border-top:0.035cm solid #000000;border-bottom:0.035cm solid #000000;border-left:0.035cm solid #000000;border-right:none;padding:0.176cm;"| tägliche Zugriffe per Mobiltelefon | style="background-color:#ffffff;border:0.035cm solid #000000;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.191cm;padding-right:0.191cm;"| <div align="right">über 350 Millionen</div> |- | style="background-color:#ffffff;border-top:0.035cm solid #000000;border-bottom:0.035cm solid #000000;border-left:0.035cm solid #000000;border-right:none;padding:0.176cm;"| Verfügbare Sprachen | style="background-color:#ffffff;border:0.035cm solid #000000;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.191cm;padding-right:0.191cm;"| <div align="right">70</div> |- | style="background-color:#ffffff;border-top:0.035cm solid #000000;border-bottom:0.035cm solid #000000;border-left:0.035cm solid #000000;border-right:none;padding:0.176cm;"| durchschnittliche Verweildauer | style="background-color:#ffffff;border:0.035cm solid #000000;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.191cm;padding-right:0.191cm;"| <div align="right">23 Minuten</div> |- | style="background-color:#ffffff;border-top:0.035cm solid #000000;border-bottom:0.035cm solid #000000;border-left:0.035cm solid #000000;border-right:none;padding:0.176cm;"| tägliche online Zeit auf Facebook | style="background-color:#ffffff;border:0.035cm solid #000000;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.191cm;padding-right:0.191cm;"| <div align="right">16,2 %</div> |} <ref>vgl. Facebook, 2011; Manager Magazin, 2011; Spiegel, 2010</ref> In den nachfolgenden Kapitel werden einige Chancen aber auch Risiken beschrieben, die das Social Shopping den Kunden wie auch den Unternehmen bietet. ===Gefahren Chancen für die Kunden=== Kunden haben heutzutage durch das Internet die Möglichkeit genaue Informationen über ein Produkt oder über Firmen einzuholen. Dies geschieht über z.B. Blogs, die Medien oder auch über Produktbewertungen von anderen Kunden. Durch Preisvergleichsseiten kann man innerhalb von kürzester Zeit die Preise eines bestimmten Produkten bei zig verschiedenen Händlern abfragen. Dadurch sind die Verbraucher sehr gut über Anbieter, deren Produkte und den Preisen informiert. Wenn man diese verschiedenen Möglichkeiten in einem sozialen Netzwerk wie z.B. Facebook bündelt, kann der Kunde sich in seinem gewohnten Umfeld einfach über die verschiedensten Dinge Informationen erhalten und sich mit seinen Freunden und Bekannten ohne Medienbruch darüber austauschen. Darüber hinaus vertreiben die Kunden heute zum Teil selbst die Produkte oder machen für sie Werbung. Diese Entwicklung hat dazu geführt, dass die Kunden heute deutlich mehr Macht besitzen als je zu vor. Dieser verschobenen Machtbasis müssen sich die Unternehmen und deren Werbeagenturen anpassen und die Kundeninteressen deutlicher in den Mittelpunkt der Kampagne stellen <ref>vgl. Heinemann, G., Haug, A., 2010</ref>. Was für die Verbraucher relevant ist, erfahren Unternehmen indem sie gezielt Informationen über die Konsumenten sammeln. Genau hier liegt die größte Gefahr für die Verbraucher. Es ist für den einzelnen schwer abzuschätzen welche Informationen über ihn gesammelt wurden und wie diese verwendet werden. Dazu kommt, dass immer mehr Unternehmen zusammenarbeiten und ihre Daten austauschen. Dadurch lassen sich noch bessere Userprofile erstellen. Diese Sammelwut mach eines Unternehmens ruft in vielen Konsumenten ein Unbehagen hervor und könnte zur Blockade von Sozialen Medien führen. ===Gefahren und Chancen für die Anbieter=== Beim Sozial Shopping liegen die Chancen oft sehr nahe bei den Gefahren und es liegt hauptsächlich nur an der Art des Einsatz bestimmter Mittel ob diese dem Unternehmen nutzen oder schaden. Zur besseren Unterscheidung wurden die verschiedenen Chancen und Gefahren in Unterkategorien aufgeteilt. '''Informationsgewinnung: '''Genaue Information über die User geben den Unternehmen die Möglichkeit die Kunden gezielt mit den für sie wichtigen Produkten anzusprechen. Dadurch senken sie die Kosten im Vertrieb und sind vor allem ihrer Konkurrenz einen Schritt Voraus. Durch diesen Vorsprung haben sie bessere Absatzchancen und können ihren Gewinn steigern. Diese Informationen lassen sie überaus geschickt durch soziale Medien gewinnen. Da sich viele Kunden vor der Sammelwut mancher Unternehmen fürchten, sollten die Firmen hier vorsichtig agieren. Sonst kann diese Verhalten schnell zu einem Imageverlust führen. '''Virales Marketing:''' Geschickt eingesetzt ist das virale Marketing ein mächtiges Werkzeug der Firmenkommunikation. Es lassen sich auf schnellen und günstigen Weg viele Konsumenten erreichen. Eine offene, richtig eingesetzte Kommunikation mit den Kunden kann neue Erkenntnisse über die Bedürfnisse der Konsumenten bringen, das Image eines Unternehmens deutlich verbessern und neue Kunden akquirieren. Falsch eingesetzt kann es verheerende Nebenwirkungen mit sich bringen. Firmen müssen sich diese Gefahr bewusst machen. Negative bzw. falsche Informationen verbreiten sich im Internet äußerst schnell und lassen sie so gut wie nie stoppen. Darüber hinaus besteht die Gefahr, dass gezielt falsche Informationen verbreitet werden. Daher sollten sich Unternehmen für den Fall der Fälle gut vorbereiten, um rechtzeitig und geschickt zu reagieren. Als Hersteller kann man sich entweder durch die Produktqualität oder den Preis am Markt behaupten. Qualitativ hochwertigen Produkten sind für den Konsumenten schwer zu erkennen. Hier liegt eine große Chance für den Produzenten. Durch Kaufempfehlung wo man durch Freunde, Bekannte aber auch Fremde beim Social Shopping erhält kann man die Funktionalität und Qualität eines Produktes sehr gut abschätzen. Durch diese Produktempfehlungen wird das Kaufverhalten der Konsumenten und auch der Produktabsatz deutlich beeinflusst <ref>vgl. Heinemann, G., Haug, A., 2010</ref>. '''Customer relation management:''' Für viele Menschen gehört die Benutzung von sozialen Netzwerken zu ihrem Alltag. Wenn man es schafft die Kunden und Interessenten direkt in den sozialen Netzwerken anzusprechen und auf ihre Bedürfnisse einzugehen, dann kann man eine viel persönlichere und intensivere Beziehung zu ihnen Aufbauen. Dies erhöht die Kundenzufriedenheit deutlich, wenn man ein paar bestimmte Punkte beachtet: * Es muss gewährleistet sein, dass die Kunden bei Fragen und Problemen eine qualifizierte Antwort in einen angemessen Zeitraum erhalten. * Es darf nicht das Gefühl aufkommen, dass die Kommunikation zensiert wird und nur absolut positives Feedback erlaubt wird. * Menschen die das Internet intensiv Nutzen, sind meisten sehr gut über die verschiedenen Konkurrenzprodukte und die Marktsituation informiert. Hier muss sich das Unternehmen große Mühe bei der Kommunikation geben. Einfache Marketingfloskeln bringen in Internet wenig. ==Wie verändert Social Shopping das Kaufverhalten der Menschen - ein Ausblick in die Zukunft== Das Internet hat im Konsumverhalten der Menschen schon tiefe Spuren hinterlassen. Für viele Konsumenten ist es heute schon alltäglich, dass man sich vor dem Kauf eines Produktes genau über das Produkt, seine Konkurrenz und die Preise der verschiedenen Anbieter informiert. 53% der Deutschen suchen z.B. bei Unterhaltungselektronik zuerst nach Produktinformationen im Internet bevor sie einen Kauf tätigen <ref>vgl. Absatzwirtschaft.de, 2010</ref>. Auch wenn der Anteil des Online-Handels bei nur 3,9% am gesamtdeutschen Handel im Jahr 2009 lag, so wächst er jährlich im zweistelligen Prozentbereich <ref>Schlautmann, C., 2010</ref>. Allein der Umsatz des Online-Handels in deutschen Weihnachtsgeschäfts ist in den letzten Jahren deutlich gestiegen: {| style="border-spacing:0;" | style="background-color:#ffffff;border-top:0.035cm solid #000000;border-bottom:0.035cm solid #000000;border-left:0.035cm solid #000000;border-right:none;padding:0.176cm;"| <center>'''Jahr'''</center> | style="background-color:#ffffff;border:0.035cm solid #000000;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.191cm;padding-right:0.191cm;"| <center>'''Umsatz im Weihnachtsgeschäft'''</center> |- | style="background-color:#ffffff;border-top:0.035cm solid #000000;border-bottom:0.035cm solid #000000;border-left:0.035cm solid #000000;border-right:none;padding:0.176cm;"| <center>2005</center> | style="background-color:#ffffff;border:0.035cm solid #000000;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.191cm;padding-right:0.191cm;"| <center>3,6 Milliarden Euro</center> |- | style="background-color:#ffffff;border-top:0.035cm solid #000000;border-bottom:0.035cm solid #000000;border-left:0.035cm solid #000000;border-right:none;padding:0.176cm;"| <center>2010</center> | style="background-color:#ffffff;border:0.035cm solid #000000;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.191cm;padding-right:0.191cm;"| <center>5,9 Milliarden Euro</center> |- | style="background-color:#ffffff;border-top:0.035cm solid #000000;border-bottom:0.035cm solid #000000;border-left:0.035cm solid #000000;border-right:none;padding:0.176cm;"| <center>2011</center> | style="background-color:#ffffff;border:0.035cm solid #000000;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.191cm;padding-right:0.191cm;"| <center>6,5 Milliarden Euro</center> |} <ref>vgl. Kramper, G., 2011</ref> Diese rasante Entwicklung wird in den nächsten Jahren noch weiter durch das Social Shopping beschleunigt. Auch wenn dieser Trend noch am Anfang seiner Entwicklung steht, so wird er das Konsumverhalten der Menschen deutlich beeinflussen. Da eine Vorhersage der Zukunft nicht möglich ist und auch eine genaue Betrachtung der Thematik das Volumen dieser Arbeit bei weitem sprengen würde, wollen wir uns an dieser Stelle mit einer stichpunktartigen Ausarbeitung begnügen: * '''Soziale Netzwerke '''werden in ihrer Bedeutung noch wachsen: Die sozialen Netzwerke werden für viele Menschen zur Startseite ins Internet. Auf ihnen versorgen sie sich nicht nur mit die neuesten Informationen über ihre Freunde und Bekannte. Hier erfahren sie von Aktionen und News z.B. ihres Vereins, ihrer Lieblingsmarken und Restaurants usw. Hier entscheidet sich, welche Internetseite sie als nächstes besuchen (Verlinkung). Dadurch gewinnen Seiten wie Facebook noch deutlich an Bedeutung. Wenn auf ihnen entschieden wird, welche Produkte, Dienstleistungen sich die Mitglieder anschauen und auf welche Seite sie wechseln werden, kommt kein Unternehmen mehr an ihnen vorbei. * '''Produktempfehlungen '''von Freunden und Bekannten werden ein fester Bestandteil Online-Shoppings: Ob die Produktempfehlung hauptsächlich über soziale Netzwerke wie Facebook und Twitter, über Bewertungssites wie [http://www.tripadvior.com/ www.tripadvisor.com] oder durch neue Anwendungen gegeben werden, ist im Moment noch nicht vorauszusagen und auch nebensächlich. Aber Mundpropaganda und Erfahrungsberichte werden in Zukunft die Kaufentscheidungen der Verbraucher maßgeblich beeinflussen. * '''Standortbasierte Dienste''' rücken ins Zentrum des Marketings: Die Anfänge mit Standortbasierten Diensten sind schon gemacht. Heute erfährt man per Smartphone und Facebook ob sich Freunde in der Nähe aufhalten oder eine bestimmtes Geschäft oder auch Café besuchen. In Zukunft wird man durch solche Dienstleistungen erfahren, ob im Geschäft in der Nähe gerade Sonderaktionen laufen, welches Produkt ein Bekannter dort gekauft und zufrieden bewertet hat und ob das gewünschte Produkt in der Nähe nicht günstiger zum kaufen gibt. Dazu können in Zukunft anhand von Gewohnheiten und zurückgelegten Weg die Strecken vorausgesagt werden, welche ein Mensch nimmt <ref>vgl. Sherman, E., Kalenda, F., 2011</ref>. Dadurch kann eine Software intelligent entscheiden, welche Werbung und Angebote eingeblendet werden. Dazu kommt noch, auf diese Art und Weise kann die Software einem rechtzeitig Bescheid geben, dass in der Nähe z.B. eine Freundin ihre Lieblingsbluse gekauft hat und es heute 10% Nachlass auf Damenoberbekleidung gibt. * '''Gemeinsames Einkaufserlebnis''' mit Freunden: Menschen können sich in Zukunft in Echtzeit darüber austauschen welche Produkte sie gerade kaufen wollen und sich so Hinweise von ihren Freunden holen. Ein ähnliches Konzept hat gerade das Hamburger Handelsunternehmen Otto mit seinem Onlineshop Refashion gestartet. Dieser speziell auf junge Frauen im Alter von 20 bis 29 Jahren ausgerichtete Shop gibt den Kundinnen unter anderem die Möglichkeit sich per Facebook-Chat über Kleidungsstücke auszutauschen <ref>vgl. Der Handel, 2011</ref>. Wenn man diese Idee weiterverfolgt könnte man sich vorstellen, dass man z.B. im Kleidungsgeschäft eine Art virtuelle Modepupe mit bestimmten teilen der Kollektion bestückt und Freunde ihre Meinung dazu online abgeben oder sogar Kleidungsstücke als Empfehlung austauschen. Dadurch kommen Konsumenten in die Lage sich Tips und Anregungen von ihren Freunden zu holen, als wären sie gemeinsam einkaufen. ==Fazit== Anhand dieses Artikels hat man einen groben Überblick über das Social Shopping und seine verschiedenen Einsatzmöglichkeiten erhalten. Die 4 Beispiele aus der Praxis haben gezeigt, dass heute schon Unternehmen mit diesen neuen Möglichkeiten am Markt erfolgreich sind. Dazu wurde noch auf die Chancen aber auch Gefahren hingewiesen und ein kurzer Ausblick auf die Zukunft gewährt. Dadurch kann man klar erkennen, dass das Social Shopping einen großen Einfluss auf den Handel von Morgen haben wird. Auch wenn es heutzutage erst in den Kinderschuhen steckt und es noch schwer zu sagen ist wie diese Entwicklung genau von statten geht. Das größte Hindernis welches noch den weiteren Erfolg bremsen kann, ist die Datenschutzproblematik. Hier müssen die Unternehmen vernünftige Lösungsansätzte entwickeln und offen mit den Konsumenten kommunizieren. Wenn diese Problematik gelöst ist, wird allein durch die Möglichkeiten die sich für den Handel aber auch für die Kunden eröffnen in Zukunft fast kein Unternehmen was im B2C Bereich tätig ist ohne die Werkzeuge des Social Shoppings auskommen. ==Referenzen:== <references /> ==Literaturverzeichnis:== Absatzwirtschaft.de, 2010, Kaufentscheidungen fallen nach Internet-Rechereche, gesehen 27.12.2011, [http://www.absatzwirtschaft.de/content/online-marketing/news/kaufentscheidungen-fallen-nach-internet-recherche;70779 http://www.absatzwirtschaft.de/content/online-marketing/news/kaufentscheidungen-fallen-nach-internet-recherche;70779] Der Handel, 2011, Otto startet neuen Mode-Onlineshop, gesehen 28.12.2011, [http://www.derhandel.de/news/technik/pages/E-Commerce-Otto-startet-neuen-Mode-Onlineshop-7243.html http://www.derhandel.de/news/technik/pages/E-Commerce-Otto-startet-neuen-Mode-Onlineshop-7243.html] Dr. Marsden, P.: Social Commerce: Die Monetarisierung von Social Media, 1. Auflage, Grin Verlag, Hamburg Facebook , 2011, Facebook Statistik, gesehen 26.12.2011, [https://www.facebook.com/press/info.php?statistics https://www.facebook.com/press/info.php?statistics] Heinemann, G., Haug, A., 2010, Web-Exzellenz im E-Commerce, Gabler Verlag, Wiesbaden Manager Magazin, 2011, Facebook wird am häufigsten genutzt, gesehen 26.12.2011, [http://www.manager-magazin.de/unternehmen/it/0,2828,794972,00.html http://www.manager-magazin.de/unternehmen/it/0,2828,794972,00.html] O‘Deli, J., 2010, Amazon + Facebook = A Perfect Storm of Recommendations, Mashable Business, gesehen 25.12.2011, [http://mashable.com/2010/07/27/amazon-facebook-recommendations/ http://mashable.com/2010/07/27/amazon-facebook-recommendations/] Kramper, G., 2011, Der Weihnachtsmann ist heute Paketbote, Stern, gesehen 27.12.2011, [http://www.stern.de/wirtschaft/news/boom-beim-onlinehandel-der-weihnachtsmann-ist-heute-paketbote-1766654.html http://www.stern.de/wirtschaft/news/boom-beim-onlinehandel-der-weihnachtsmann-ist-heute-paketbote-1766654.html] Schlautmann, C., 2010, Online_käufhäuser bauen Marktanteil aus, Handelsblatt, gesehen 27.12.2011, [http://www.handelsblatt.com/unternehmen/handel-dienstleister/online-kaufhaeuser-bauen-marktanteil-aus/3393242.html http://www.handelsblatt.com/unternehmen/handel-dienstleister/online-kaufhaeuser-bauen-marktanteil-aus/3393242.html] Schmidt, h., 2006, Aus E-Commerce wird Social Commerce, Frankfurter Allgemeine Zeitung, gesehen am 22.12.2011, [http://www.faz.net/aktuell/wirtschaft/netzwirtschaft/web-2-0-aus-e-commerce-wird-social-commerce-1329669.html http://www.faz.net/aktuell/wirtschaft/netzwirtschaft/web-2-0-aus-e-commerce-wird-social-commerce-1329669.html] Shermann, E., Kalenda, F., 2011, Amazon erhält Patent auf Bewegungsprofile mit Vorhersage, ZDNet, gesehen 28.12.2011, [http://www.zdnet.de/news/41558787/amazon-erhaelt-patent-auf-bewegungsprofile-mit-vorhersage.htm http://www.zdnet.de/news/41558787/amazon-erhaelt-patent-auf-bewegungsprofile-mit-vorhersage.htm] Social Commerce Today, 2010, P&G Teams Up with Amazon to Sell on Facebook, gesehen 25.12.2011, [http://socialcommercetoday.com/pg-teams-up-with-amazon-to-sell-on-facebook/ http://socialcommercetoday.com/pg-teams-up-with-amazon-to-sell-on-facebook/] Spiegel, 2010, Die bekanntesten Netzwerke, gesehen 26.12.2011, [http://www.spiegel.de/netzwelt/web/0,1518,702439,00.html http://www.spiegel.de/netzwelt/web/0,1518,702439,00.html] Jopson, B., Gelles, D., 2011, Retailers wait for Facebook to deliver, The Financial Times USA, gesehen am 25.12.2011, http://www.ft.com/intl/cms/s/0/f22db33a-2d32-11e1-b985-00144feabdc0.html?ftcamp=rss#axzz1hYK4dfsj Joseph, S., 2011, Converse asks Facebook fans to be online salesmen, Marketing Week, gesehen m 20.12.2011, [http://www.marketingweek.co.uk/sectors/retail/converse-asks-facebook-fans-to-be-online-salesmen/3032717.article http://www.marketingweek.co.uk/sectors/retail/converse-asks-facebook-fans-to-be-online-salesmen/3032717.article] ==Key Questions== *Definiere Social Shopping und nenne 2 der 4 verschiedenen Ausprägungen die es annehmen kann. *Hat der Einfluss der Verbraucher auf die Unternehmen und Händler durch das Social Shopping eher ab- oder zugenommen? *Nenne jeweils eine Chance und eine Gefahr, die durch das Social Shopping für die Unternehmen entstanden sind. ==Autoren== * Oliver Harfensteller * Christopher Böhm bsgluubrej9e2irajrigym6jpvu4gfp 10 60581 1117030 600062 2026-10-19T09:51:24Z Barkmann-hdaOek 40593 h_da Sozialwissenschaften läuft wieder 1117030 wikitext text/x-wiki Derzeit werden folgende '''Lehrveranstaltungen''' auf Wikiversity durchgeführt: *[[Projekt:OERlabs Openbook]] - Veröffentlichung der OERlabs Universität zu Köln und TU Kaiserslautern zu OER in der Lehrer*innenbildung und Verankerung von OER in der Hochschulentwicklung * Deutsche Schülerakademie: '''[[Kurs:Wie funktioniert eigentlich ein Computer]]''': Programmieren in&nbsp;[[w:C (Programmiersprache)|C]], Arbeiten mit einem [[w:Raspberry Pi|Raspberry&nbsp;Pi]]. * Hochschule für Musik und Theater Hamburg: '''[[Wikiversity:Hochschulprogramm/Archiv 2013/HfMT Hamburg SS 2013|Einführung in das wissenschaftliche Arbeiten: Musikwissenschaft in der Wikipedia]]''' * HWR Berlin: '''[[Benutzer:Birkenkrahe/HWR-WIINF-BIS-SS13|Betriebliche Informationssysteme mit Übungen für Wirtschaftsinformatiker]]''' * FH Vorarlberg: '''[[Kurs:Problemlösung und Entscheidungsfindung]]''' * Universität Wien: '''[[Kurs:E-Marketing 2]]''' · Universität Hildesheim: '''[[Kurs:Internet-Marketing]]''' * Hochschule Darmstadt: '''[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)]]''' <div style="text-align:right;">''[http://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Vorlage:Hauptseite:Aktuell2&action=edit Bearbeiten]''</div> <noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Hauptseite|Aktuell]] </noinclude> j40dp8oym08l4rlja36wtcv8qz7s7qh 0 83163 1116973 1107629 2026-10-19T06:46:44Z Bocardodarapti 2041 1116973 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wie schon bei den natürlichen Zahlen ist die Vorstellung für die Multiplikation von ganzen Zahlen schwieriger als für die Addition, da bei der Addition beide Summanden die gleiche Rolle spielen {{ Zusatz/Klammer |text=zumindest in den wichtigsten Interpretationen| |ISZ=|ESZ=, }} während dies bei der Multiplikation nicht der Fall ist. Man kann nicht drei Äpfel mal fünf Äpfel ausrechnen. Wie bei den natürlichen Zahlen beschreibt der eine Faktor die Vielfachheit, mit der ein Prozess durchgeführt wird, den der andere Faktor quantitativ misst. Man kann also dreimal jeweils fünf Äpfel von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=}} transportieren und transportiert dann insgesamt {{math|term= 15 |SZ=}} Äpfel von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=.}} Das gleiche erreicht man, wenn man fünfmal drei Äpfel von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=}} transportiert. Ebenso kann man {{math|term= a |SZ=-}}mal {{math|term= b |SZ=}} Äpfel in die andere Richtung von {{math|term= H |SZ=}} nach {{math|term= G |SZ=}} transportieren, und transportiert damit insgesamt {{math|term= ab |SZ=}} Äpfel von {{math|term= H |SZ=}} nach {{math|term= G |SZ=.}} Ganze Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=der Apfeltransport samt Richtung| |ISZ=|ESZ= }} mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren besitzt also eine passende natürliche Interpretation. Schwieriger ist es, wenn beide Zahlen negativ sind. Die Definition sagt, dass dann das Produkt der zugehörigen positiven Zahlen herauskommt. Dies kann man sich so vorstellen: Es sei {{math|term= P |SZ=}} ein reversibler Prozess, der gegenläufige Prozess sei mit {{math|term= -P |SZ=}} bezeichnet. Für {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ= }} ist {{math|term= nP |SZ=}} die {{math|term= n |SZ=-}}fache Ausführung von {{math|term= P |SZ=.}} Für negatives {{ Relationskette/display | n || -m || || || |SZ= }} interpretiert man dann {{math|term= nP |SZ=}} als die {{math|term= m |SZ=-}}fache Ausführung des gegenläufigen Prozesses. Insbesondere ist {{ Relationskette/display | (-1)P || -P || || || |SZ=. }} Multiplikation mit {{math|term= -1 |SZ=}} führt also auf den gegenläufigen Prozess, und von daher ist es einleuchtend, auch {{ Relationskette/display | (-1)(-P) || P || || || |SZ= }} zu setzen, da der gegenläufige Prozess zum gegenläufigen Prozess der Prozess selbst ist. Auch von den gewünschten algebraischen Gesetzmäßigkeiten her ist die Festlegung {{mathl|term= \text{Minus mal Minus ist Plus} |SZ=}} sinnvoll. Es soll {{ Relationskette/display | 0x || 0 || || || |SZ= }} gelten und es soll das Distributivgesetz gelten. Dann ist für {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x | \in | \Z || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | 0 || 0x ||(n+(-n))x || nx + (-n)x || || || |SZ=. }} Bei negativem {{ Relationskette | x || -a || || || |SZ= }} ergibt sich daraus {{ Relationskette/display | n (-a) + (- n) (-a) || 0 || || || |SZ=. }} Das Produkt {{mathl|term= (-n)(-a) |SZ=}} muss also bei Addition mit {{mathl|term= n(-a) |SZ=}} Null ergeben, dies ist aber gerade die charakteristische Eigenschaft von {{math|term= na |SZ=.}} Also ist {{ Relationskette/display | (-n) (-a) || na || || || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9mnceot5rvt507wafndfkvzyq3r68b0 0 83780 1117006 1084529 2026-10-19T08:23:18Z Bocardodarapti 2041 1117006 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Intelligente zählbegabte Lebewesen aus einer fernen Galaxie besuchen die Erde. Sie besitzen nur ein Auge, dass immer nach links schaut. Sie lernen somit das menschliche Zählen anhand der linken Straßenseiten {{ Zusatz/Klammer |text=bei wechselseitiger Nummerierung| |ISZ=|ESZ= }} kennen und berichten zuhause: {{Anführung|Die Menschen auf der Erde zählen {{ Math/display|term= 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23, |SZ= }} und so weiter. Es treten vorne Ziffern auf, die als Endziffer nicht erlaubt sind|SZ=.}} {{ Aufzählung5 |Kann man mit diesem Straßenseitensystem zählen? |Welche Hausnummer bekommt das {{math|term= n|SZ=-}}te Haus auf der linken {{ Zusatz/Klammer |text=ungeraden| |ISZ=|ESZ= }} Straßenseite, welche Hausnummer bekommt das {{math|term= n|SZ=-}}te Haus auf der rechten {{ Zusatz/Klammer |text=geraden| |ISZ=|ESZ= }} Straßenseite? |Welche Zahlen im Fünfersystem stimmen inhaltlich mit den Straßenseitenzahlen überein? |Was ist der Nachteil des Straßenseitensystems gegenüber dem Fünfersystem? |Wäre es für das Zählen ein Nachteil, wenn wir {{mathl|term= 1,2,3,4 {{kommadots}} 9,11,12 {{kommadots|}} 19,21 {{kommadots|}} 99,111,112 |SZ=}} zählen würden? Hat es andere Nachteile? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Zählvorganges (Nachfolgernehmen) |Kategorie2=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0p9dal7e8pa1arppm8ljv9kv8swllza 106 84332 1116979 1077056 2026-10-19T06:55:00Z Bocardodarapti 2041 1116979 wikitext text/x-wiki {{ Klausur21 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe|p||| |Konstant/Prädikatenlogisch/Aufgabe|p||| |Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe|p||| |Verknüpfung/Tabelle/4/2/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/20 mal a/Wenig Additionen/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|p||| |Gabi Hochster/Vokalaustausch/Anzahl/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis/Aufgabe|p+||| |Differenz/Doppelsumme/Größenverhältnis/Aufgabe|p||| |Teilbarkeit/Vier Zahlen/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/Betragsrest/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/3146 und 1515/Darstellung/Aufgabe|p||| |KgV/Primzahlzerlegung/Aufgabe|p||| |Tafel Schokolade/Kalorien/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Bruch/Subtraktion/Formel/Aufgabe|p||| |Bruch/Nullen/Stellensystem unbekannt/Aufgabe|p||| |Dezimalbrüche/Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Äpfelpackung/6 Äpfel/Größe/Aufgabe|p||| |Ganzzahlige Exponentialfunktion/1,03/Vergleich mit Quadrat/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} eiyd67obg50l62the4jw7hwt72ji85g 0 102965 1116862 1027114 2026-10-18T15:00:44Z Bocardodarapti 2041 1116862 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die Gleichungskette {{ Relationskette/align | 58907 || 5 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3+9 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0 || 5 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3+9 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^0 || 5 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3+9 \cdot 10^2 + 7 \cdot 1 || 0 \cdot 10^5 + 5 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3 +9 \cdot 10^2 + 7 \cdot 1 || 9 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^4 + 0 \cdot 10^5 + 7 \cdot 1+ 8 \cdot 10^3 || 95078 |SZ=. }} Welche Gleichungen sind korrekt, welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d4h3q7womtzqmw1whrm4znq7uinpke5 106 129960 1116834 1116742 2026-10-18T12:31:18Z Bert Niehaus 20843 /* (3.1) Normierte und lokalbeschränkte Algebren */ 1116834 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Algebra extension.svg|mini|Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math>, die ein inverses Element <math>b=z^{-1}\in B</math> zu einem gegeben <math>z\in A</math> enthält]] Der Kurs behandelt ein grundlegendes Konzept, mathematische Eigenschaften in Erweiterungen einer Grundmenge zu betrachten. Dabei erweitern man eine Grundmenge <math>A</math> zu einer Erweiterung <math>B</math> mit <math>A\subset B</math> und überprüft dabei eine Eigenschaft eines Elementes <math>z\in A</math> in der Erweiterung <math>z\in B</math>. In diesem Kurs behandelt wir die multiplikative Invertierbarkeit als mathematische Eigenschaft und betrachten u.a. topologische Eigenschaften, die ein Invertierbarkeit eines Elementes <math>z\in A</math> in einer Erweiterung <math>B</math> ermöglichen, d.h. :<math>\exists_{z^{-1} \in B}: \, z \cdot z^{-1} = z^{-1} \cdot z = e</math> erfüllt ist und <math>e\in A</math> das Einselement der Multiplikation ist. Im Wesentlichen geht es dabei um topologische Eigenschaften des Elementes <math>z\in A</math>, dass entweder eine Invertierbarkeit in einer bestimmten Erweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ermöglicht bzw. in beliebigen Erweiterungen <math>B</math> von <math>A</math> nie ein inverses Element besitzt, d.h. permanent singulär ist. Der [[w:de:Nullvektor|Nullvektor]] <math>0_{_A}</math> oder [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] können aus algebraischen Gründen auch in Algebraerweiterungen <math>B</math> nicht invertiert werden. Es gibt auch topologische Eigenschaften (wie z.B. [[w:de:topologischer Nullteiler|topologischer Nullteiler]]), die eine Invertierbarkeit in Algebraerweiterung <math>B</math> unmöglich machen. Die Grundmengen mit einer multiplikativen Verknüpfung sind hier [[/topologische Algebra/|topologische Algebren]], bei denen die Verknüpfungen * (TA1) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar als äußere Verknüpfung, * (TA2) Addition von Vektoren im Vektoraum als innere Verknüpfung und * (TA3) Multiplikation von zwei Vektoren als innere Verknüpfung jeweils stetig sind. Dabei wird ein Vektorraum mit den Eigenschaften (TA1) und (TA2) als ein topologischer Vektorraum bezeichnet. Gibt es zusätzlich eine Multiplikation ist zusätzlich diese multiplikative innere Verknüpfung stetig (TA3) dann nennt man den Vektorraum eine [[/topologische Algebra/|topologische Algebra]]. == Inhalte == ===Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Umgebung|Umgebung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Umgebung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umgebung&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Absolute Homogenität|Absolute Homogenität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Absolute%20Homogenit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Absolute%20Homogenit%C3%A4t&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Netze (Mathematik)|Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Netze_(Mathematik)&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Topologische Algebra/Konvergenz gegen Unendlich|Konvergenz gegen Unendlich]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Topologische%20Algebra/Konvergenz%20gegen%20Unendlich&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz%20gegen%20Unendlich&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lineare Abbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Lineare_Abbildun&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz_f%C3%BCr_lineare_Abbildungen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen#Cauchy-Folgen_in_metrischen_Räumen|Cauchy-Folgen in metrischen Räumen]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen#Cauchy-Netz_in_topologischen_Vektorräumen|Cauchy-Netze in topologischen Vektorräumen]]''' * '''[[Vollständigkeit|Vollständigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Vollst%C3%A4ndigkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Banachalgebra|Banachalgebra]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Faltung|Faltung als Multiplikation in einer Banachalgebra]] <!-- * '''[[Normenäquivalenzsatz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%C3%A4quivalenzsatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lemma von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Lemma_von_Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kompaktheitssatz von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kompaktheitssatz%20von%20Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Ideal_(Algebra)|Ideal (Algebra)]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Ideale_(Algebra)&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 1: Grundlagen === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Einführung|Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung|Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma%20f%C3%BCr%20p-Halbnormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/pseudokonvex - konvex/]] ** [[p-konvexe_Subadditivität#Lemma_-_Subadditivität_p-Konvexität|p-konvexe Subadditivität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stetigkeitskonstante der Addition#Stetigkeitskonstante_der_Addition|Stetigkeitskonstante der Addition]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitskonstante%20der%20Addition&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetigkeitskonstante%20der%20Addition&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung|Algebraerweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]] - Analogie zur Algebraerweiterung - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Erweiterung%20der%20Zahlbereiche&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomnalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen|Stetigkeitssequenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2: K-singuläre Elemente === Zunächst sollen topologische Kriterien behandelt werden, die dafür sorgen, dass ein Elemen permanent singulär in jeder Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math>. Wenn die Negation der topologischen Eigenschaft dazu führt, dass das Element ein inverses Element in einer Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> besitzt, entsteht ein topoligisches Invertierbarkeitskriterien. * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraische Eigenschaften - permament singulär|Algebraische Eigenschaften - permament singulär]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Nullteiler|Topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|TNT-Kriterium für Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium%20f%C3%BCr%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kleine Potenzen|Kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch kleine Potenzen|Topologisch kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - TKP und Gaugefunktionale|Satz - TKP und Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20TKP%20und%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - KP-TNT-Summen|Satz - KP-TNT-Summen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20KP-TNT-Summen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität|Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Stetigkeitssequenzen%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 3: K-reguläre Elemente === In diesem Kapitel werden mit den gegebenen topologischen Kriterien Algebraerweiterungen Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> konstruiert, in denen ein gegebenes <math>\mathcal{K}</math>-reguläres Element invertierbar ist. * '''[[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften K-Regularität|Eigenschaften K-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Algebraklassen/]]''' === (3.1) Normierte und lokalbeschränkte Algebren === * [[Norm (Mathematik)]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Normalisierte Norm|Normalisierte Norm]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Normalisierte%20Norm&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalisierte%20Norm&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen|Inverse und geometrische Reihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]''' - Banachalgebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Von Äquivalenzklassen zum Ideal|Von Äquivalenzklassen zum Ideal]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Stetigkeit Cauchy-Produkt|Normeigenschaften Stetigkeit - Cauchy-Produkt in Banachalgebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|P-Regularität]]''' - lokal beschränkte Algebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[lokal beschränkt]] ** [[Dreiecksungleichung p-Konvexität]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiel p-nomierbarer Raum|Beispiel p-nomierbarer Raum]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Satz - Quasinormierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Quasinormierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|Satz p-Normierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20p-Normierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz - Konkavitätsmodul]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Konkavit%C3%A4tsmodul&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|P-Regularität über p-Normen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20p-Normen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|P-Regularität über Quasinormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20Quasinormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra - Beispiel|P-Algebra - Beispiel]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra%20-%20Beispiel&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.2) Multiplikative toplogische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[lokalkonvex]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus submultiplikative Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[pseudokonvex]] ** [[pseudokonvexe Subadditivität]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.3) Lokalkonvexe und pseudokonvexe Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[lokalkonvex]] ** [[/Beispiele lokalkonvexer Raum/]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#Korrollar:_LC-Regularitätskriterium|LC-Regularitätskriterium für Halbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Pseudokonvex|pseudokonvex]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Pseudokonvex&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Pseudokonvex&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[pseudokonvexe Subadditivität]] ** [[Stetigkeitskonstante der Addition]] ** [[/Beispiele pseudokonvexer Raum/]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#PC-Regularitätskriterium|PC-Regularitätskriterium für Quasihalbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation|Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma%20der%20Cauchy-Multiplikation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus|PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Hom%C3%B6omorphie%20-%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.4) Topologische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiel - T-Algebra|Beispiel - T-Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20-%20T-Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20-%20T-Algebra&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[pseudokonvexe Subadditivität]] ** [[pseudokonvex]] ** [[Stetigkeitskonstante der Addition]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Normalisiertes Gaugefunktionalsystem|Normalisiertes Gaugefunktionalsystem]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Normalisiertes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalisiertes%20Gaugefunktionalsystem&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularität|T-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen |Lemma - Kaskadensummen ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte |Lemma - Kaskadenprodukte ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität|Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeit%20-%20Cauchymultiplikation%20-%20T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit Cauchy-Produkt|T-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularitätskriterium|T-Regularitätskriterium]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz über K-reguläre Elemente|Hauptsatz über K-reguläre Elemente]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz%20%C3%BCber%20K-regul%C3%A4re%20Elemente&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 4: Lösbarkeit von Gleichungen === In diesem Kapitel wird die Invertierbarkeit <math>z \cdot x = x \cdot z = e</math> mit <math>x=z^{-1}</math> als speziellen Fall der Lösbarkeit einer Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> mit <math>z_1,z_2 \in A</math> betrachtet. Hier wird in einer Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> nach einer Lösung <math>x\in B</math> gesucht, die die Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> löst. Im Kern geht es auch hier um die Frage, welche topologischen Eigenschaften verhindern eine Lösbarkeit und welche Eigenschaften erlauben die Lösbarkeit der Gleichung in einer Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math>, * [[/Lösbarkeit in Banachalgebren/]] == Nutzung der Materialien für Lehrveranstaltungen == Die Vorlesung wird in einem PanDoc-Folien-Format ([[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]) in Wikiversity bereitgestellt, das mit dem Werkzeug [[Wiki2Reveal]] in annotierbare Folien übertragen wird bzw. mit [http://niebert.github.io/PanDocElectron PanDocElectron] die online verfügbare Wikiversity-Quelle lädt und in offline nutzbare Präsentationfolien umwandeln kann. Mit [[Wiki2Reveal]] können Sie auch direkt aus den Wikiversity-Artikeln ein [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal RevealJS- oder DZSlides-Präsentation erstellen]. == Ursprung der Materialen == Im Sinne der OER ([[Open Educational Resources]]) sollten die Vorlesungsinhalten zur freien Verfügungen gestellt werden. Anfänglich wurden die Vorlesungsinhalte entlang eines Skriptes in Wikiversity abgebildet. Eine direkte Nutzung in Lehrveranstaltung aus Folien erfordert eine Anpassung der Inhalten und eine Segmentierung der Inhalte in Unterabschnitte, die als Folien dargestellt werden. Entsprechend von Rückfragen und Anmerkungen in Vorlesungen wurden in erstellten Foliensätze mit zusätzlichen Begründung ergänzt, damit eine bessere eigenständige Nacharbeit der Vorlesungsinhalte möglich wird. === PDF-Export und digitale handschriftliche Annotation === Ein PDF-Export ist standardmäßig als PDF in Wikiveristy möglich. Studierende können die PDF exportieren und in der OpenSource-Software [[w:de:Xournal|Xournal]] auf Linux, Windows oder Mac editieren und eigene handschriftliche Anmerkungen digital ergänzen. === PanDoc-Electron === Mit Pandoc-Electron kann man aus Wiki-Inhalten Präsentation oder LibreOffice-Dokumenten exportiert werden, die dann weiter mit individuellen Anmerkungen versehen werden können. Die Wartung und Update der Inhalte in einem Repository ist allerdings sehr aufwändig, weil an mehreren Stellen bei Verbesserungen eine Aktualisierung der Inhalte vorgenommen werden muss. Daher wurde für die Vorlesungsfolien [[Wiki2Reveal]]-Artikel entwickelt, die es ermöglichen, direkt aus den Wikiversityinhalten Vorlesungsfolien zu generieren und dies auch online im eigenen Browser zu annotieren (d.h. man kann die Folien z.B. beschriften). Die Abschnitte in den Artikeln sind in der Regel mit sehr wenig Text versehen, damit bei der dynmaischen Erzeugung der Folien der Inhalt eines einzelnen Abschnittes auf eine Folie passt. Alle Folienseiten in Wikiversity haben daher am Ende der Seiten einen Hinweis ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]'' und sind der [[Wiki2Reveal]]-Kategorie zugeordnet. Wenn Sie diese Seiten editieren, achten Sie bitte darauf, dass die Folien nicht zu voll werden. Ausführlichere Texte zu den Slides werden in der Regel in eigenen Artikeln erstellt. Falls sich die Erläuterungsseiten explizit auf eine Folien beziehen, erhält die Erläuterungsseite eine Markierung ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-TEXT]]'' und SLIDE- bzw. TEXT-Version verweisen wechselseitig aufeinander. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einführung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal für Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien] * [[Hilfe:Quiz|Hilfe: Erstellung Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki-Bücher == * [[b:en:Functional_Analysis|Wikibook: Functional Analysis]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] <noinclude>[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras]]</noinclude> akl3hjv3dolhgqjzzol3oxuqdeaywk1 106 134883 1116983 1116300 2026-10-19T07:01:48Z Bocardodarapti 2041 1116983 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/27/Aufgabe|p||| |Schulklasse/4 Pizzen/Zerschneiden/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/Inklusion in Vereinigung/Äquivalenz/Aufgabe|p||| |Endliche Produkte von Mengen/Surjektivität von Produktabbildung/Aufgabe|p||| |Abbildung/Variable/Identität/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Weihnachtsferien/Dauer/Aufgabe|p||| |Vier natürliche Zahlen/Hintereinander/Produkt/Teilbar durch 8/Aufgabe|p||| |Körper/Potenzen/Multiplikationen/Anzahl/Aufgabe|p||| |Schokolade/Teilung/Brechungstiefe/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/28 über 5/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Größter gemeinsamer Teiler/4369, 4131, 3383/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bahn/Güterverkehr/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/3/Szenario/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 6y7finbv71cwce6stb5t4bczoires83 4 141067 1116838 1115728 2026-10-18T13:23:05Z Alexis Jazz 32026 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 1116838 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Diese Daten stammen aus dem Cache. Der Zeitpunkt der letzten Aktualisierung: 2026-10-16, 05:59:15Z Uhr. Maximal {{PLURAL:5000|ein Ergebnis ist|5000 Ergebnisse sind}} im Cache verfügbar. {| class="sortable wikitable" ! Helferlein !! data-sort-type="number" | Anzahl der Benutzer !! data-sort-type="number" | Aktive Benutzer |- |EnhancedTalkBlue || 52 || 1 |- |EnhancedTalkSand || 39 || 0 |- |EnhancedTalkSun || 32 || 0 |- |HotCat || 54 || 1 |- |MicroButtons || 114 || 0 |- |PageWatcher || 65 || 0 |- |ResizeGalleries || 66 || 0 |- |SemanticTemplates || 96 || 0 |- |SemanticTemplatesNew || 35 || 1 |- |Upload || 13 || 0 |- |show-usergroup || 52 || 0 |- |show-usergroup-with-external || 36 || 0 |- |toolserver-integration || 96 || 0 |- |wikEd || 89 || 0 |} * [[Spezial:GadgetUsage]] * [[m:Meta:GUS2Wiki/Script|GUS2Wiki]] <!-- data in CSV format: EnhancedTalkBlue,52,1 EnhancedTalkSand,39,0 EnhancedTalkSun,32,0 HotCat,54,1 MicroButtons,114,0 PageWatcher,65,0 ResizeGalleries,66,0 SemanticTemplates,96,0 SemanticTemplatesNew,35,1 Upload,13,0 show-usergroup,52,0 show-usergroup-with-external,36,0 toolserver-integration,96,0 wikEd,89,0 --> minc8gky4nnpdt9zt3ylr3zn7nijuu8 108 141093 1116937 1105841 2026-10-18T18:53:53Z ChristianSW 15793 +2 1116937 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Tüftlerclub |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:ChristianSW|ChristianSW]] }} {{Fachbereich|Informatik}} == Blick in die Werkstatt == <gallery heights="200" widths="360" mode="nolines" class="center centered" > Tüftlerclub 22.10.22.jpg | <big><big><big> [[Kurs:Micro:bit und Super:bit|Super:bit]]</big></big></big> Tüftlerclub 2022-09 I.jpg | <big><big><big> [[Kurs:Micro:bit und Omni:bit|Omni:bit]]</big></big></big> Tüftlerclub 22.10.22 IV.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Trike|Trike]]</big></big></big> Tüftlerclub Infrarotfahrzeug 2022-11.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Infrarotfahrzeug|Infrarotfahrzeug]]</big></big></big> Fahrzeug mit Greifer III 2022-11.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Fahrzeug mit Greifer|Fahrzeug mit Greifer]]</big></big></big> Tüftlerclub_IR-Fahrzeug_mit_Smartphone_I.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Bagger|Infrarotfahrzeug II]]</big></big></big> Tüftlerclub Batterietester.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Arduino|Arduino]]</big></big></big> Tüftlerclub Arduino-Funk-Fahrzeug.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Funkfahrzeug|Funkfahrzeug]]</big></big></big> Tüftlerclub Greifarm-Prototyp II.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/GreifarmI|Greifarm]]</big></big></big> Tüftlerclub Funk-Fahrgestell mit Smartphone.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/FunkFahrgestell|Funk-Fahrgestell]]</big></big></big> Tüftlerclub Boot Juli 2023 I.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Boot|Boote]]</big></big></big> Tüftlerclub Spike Mech1.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Spike|Spike]]</big></big></big> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]</big></big></big> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Kranbrücke|Kranbrücke]]</big></big></big> Tüftlerclub RollBot V2.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/RollBot|RollBot]]</big></big></big> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Plattformer|Mecanum Plattformer]]</big></big></big> SG-EMIB-01A Board.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/SG-EMIB-01A|SG-EMIB-01A Board]]</big></big></big> Tüftlerclub Videodrohne.jpg | <big><big><big>[https://www.youtube.com/playlist?list=PLV2C6SQY-Gc6mRK-aZ4jHMBTOvKgoGIAy YouTube]</big></big></big> Tüftlerclub Kran Steuerung.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Werkstatt|Werkstatt]]</big></big></big> Drehkran mit Magnethalterung.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Drehkran|Drehkran]]</big></big></big> Luftdruckanzeige für Klemmbausteinmodelle.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Pneumatik|Pneumatik]]</big></big></big> Mecanum wheel control principle.svg | <big><big><big>[https://etherpad.wikimedia.org/p/Tueftlerclub Notizbuch]</big></big></big> Tüftlerclub Marssonde.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Medien|Ideen aus der Bücherei]]</big></big></big> </gallery> == Links == {{Commonscat|Tüftlerclub}} [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] 1r52rlo9vpi67oaz72wknkwkon48ol3 1116941 1116937 2026-10-18T19:01:57Z ChristianSW 15793 +1 1116941 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Tüftlerclub |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:ChristianSW|ChristianSW]] }} {{Fachbereich|Informatik}} == Blick in die Werkstatt == <gallery heights="200" widths="360" mode="nolines" class="center centered" > Tüftlerclub 22.10.22.jpg | <big><big><big> [[Kurs:Micro:bit und Super:bit|Super:bit]]</big></big></big> Tüftlerclub 2022-09 I.jpg | <big><big><big> [[Kurs:Micro:bit und Omni:bit|Omni:bit]]</big></big></big> Tüftlerclub 22.10.22 IV.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Trike|Trike]]</big></big></big> Tüftlerclub Infrarotfahrzeug 2022-11.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Infrarotfahrzeug|Infrarotfahrzeug]]</big></big></big> Fahrzeug mit Greifer III 2022-11.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Fahrzeug mit Greifer|Fahrzeug mit Greifer]]</big></big></big> Tüftlerclub_IR-Fahrzeug_mit_Smartphone_I.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Bagger|Infrarotfahrzeug II]]</big></big></big> Tüftlerclub Batterietester.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Arduino|Arduino]]</big></big></big> Tüftlerclub Arduino-Funk-Fahrzeug.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Funkfahrzeug|Funkfahrzeug]]</big></big></big> Tüftlerclub Greifarm-Prototyp II.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/GreifarmI|Greifarm]]</big></big></big> Tüftlerclub Funk-Fahrgestell mit Smartphone.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/FunkFahrgestell|Funk-Fahrgestell]]</big></big></big> Tüftlerclub Boot Juli 2023 I.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Boot|Boote]]</big></big></big> Tüftlerclub Spike Mech1.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Spike|Spike]]</big></big></big> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]</big></big></big> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Kranbrücke|Kranbrücke]]</big></big></big> Tüftlerclub RollBot V2.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/RollBot|RollBot]]</big></big></big> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Plattformer|Mecanum Plattformer]]</big></big></big> SG-EMIB-01A Board.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/SG-EMIB-01A|SG-EMIB-01A Board]]</big></big></big> Tüftlerclub Videodrohne.jpg | <big><big><big>[https://www.youtube.com/playlist?list=PLV2C6SQY-Gc6mRK-aZ4jHMBTOvKgoGIAy YouTube]</big></big></big> Tüftlerclub Kran Steuerung.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Werkstatt|Werkstatt]]</big></big></big> Drehkran mit Magnethalterung.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Drehkran|Drehkran]]</big></big></big> Magnethalterung V1 a.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Bauteile|Bauteile]]</big></big></big> Luftdruckanzeige für Klemmbausteinmodelle.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Pneumatik|Pneumatik]]</big></big></big> Mecanum wheel control principle.svg | <big><big><big>[https://etherpad.wikimedia.org/p/Tueftlerclub Notizbuch]</big></big></big> Tüftlerclub Marssonde.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Medien|Ideen aus der Bücherei]]</big></big></big> </gallery> == Links == {{Commonscat|Tüftlerclub}} [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] oimlf4zsoecbo4qsy626yq9a5nslae1 106 164665 1116880 1116414 2026-10-18T15:26:09Z Bert Niehaus 20843 /* Lerneinheiten */ 1116880 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \left(\ln\big(\sqrt{2}\big)+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) \\ & = & \ln(2)+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln(2)-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln (x) + \ln (y) = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \cdot \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln (1) = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig - negative Zahlen ==== Mit dem oben definierten [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweig des komplexen Logarithmus]] kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\log_{G_{1}}(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass in einem Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> eine Teilmenge <math>G_0</math> finden kann, die die Spur eine konkreten gegebenen [[w:de:injektive Funktion|injektiven]] Weges <math>\gamma</math> überdecken, wobei <math>G_0</math> einfach zusammenhängend ist. Mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> als gegebenes Gebiet mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein bestimmtes <math>z_0\in G</math> ist der gesamte [[Zweig des Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G</math> definiert. [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma]] definiert damit auf Teilmengen <math>G_0</math> eines '''nicht notwendigerweise''' [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> einen [[Zweig des Logarithmus]], während beim Identitätssatz das gegebene Gebiet bereits [[einfach zusammenhängend]] ist mit <math>0\notin G</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] lqs83n8l8uzfzy5jooyeitu8bg7tg9p 1116921 1116880 2026-10-18T16:42:09Z Bert Niehaus 20843 /* Lerneinheiten */ 1116921 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \left(\ln\big(\sqrt{2}\big)+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) \\ & = & \ln(2)+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln(2)-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln (x) + \ln (y) = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \cdot \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln (1) = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig - negative Zahlen ==== Mit dem oben definierten [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweig des komplexen Logarithmus]] kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\log_{G_{1}}(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass in einem Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> eine Teilmenge <math>G_0</math> finden kann, die die Spur eine konkreten gegebenen [[w:de:injektive Funktion|injektiven]] Weges <math>\gamma</math> überdecken, wobei <math>G_0</math> einfach zusammenhängend ist. Mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> als gegebenes Gebiet mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein bestimmtes <math>z_0\in G</math> ist der gesamte [[Zweig des Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G</math> definiert. [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma]] definiert damit auf Teilmengen <math>G_0</math> eines '''nicht notwendigerweise''' [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> einen [[Zweig des Logarithmus]], während beim Identitätssatz das gegebene Gebiet bereits [[einfach zusammenhängend]] ist mit <math>0\notin G</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] n4uizco9t6wajbp23wolr7vqe4smqgu 106 167027 1116955 1058464 2026-10-19T06:33:31Z Barkmann-hdaOek 40593 1116955 wikitext text/x-wiki = Ausgangslage = Sie haben gerade Ihr BA-Abschluszeugnis ausgehändigt erhalten und möchten zusammen mit einigen BA-Kolleginnen und Kollegen ein Unternehmen im Bereich der Sozialwissenschaften gründen. Das Unternehmen braucht gute Sozialwissenschaftler/innen. Aber das sind Sie ja alle. Das Unternehmen benötigt aber auch Menschen im spezieller Expertise, damit das Unternehmen an sich läuft: # Marketing & Verkauf # Finanzen & Controlling # Personal & Beschaffung # Management & IT = Aufgabe 1: Ihr Team = Suchen Sie sich je drei Leute, damit in Ihrem Unternehmen Expertinnen und Experten für alle wichtigen Bereiche vertreten sind. Falls Sie sich noch nicht kennen, stellen Sie einander kurz vor. = Aufgabe 2: Ihr Unternehmen = Ihr Unternehmen soll schwerpunktmäßig für drei möglichst unterschiedliche der nachfolgenden Tätigkeitsbereiche Ihren Kundinnen Dienstleistungen anbieten: # Mitarbeiterführung, Arbeitsbeziehungen und Human Resources, # betriebliche und öffentliche Gesundheit, # betriebliche und außerschulische Bildung, # Marketing/PR/Online-Kommunikation, # Kunden- und Stakeholdermanagement, # öffentlicher Raum und öffentliche Sicherheit, # Entwicklungszusammenarbeit und internationale Wertschöpfungsketten, # Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., # User Research, User Experiences, Usability Testing im Bereich Software & Games, # "nachhaltige"/"grün"/sozial- oder umweltfreundliche Produkte und Dienstleistungen. Typischerweise bieten Sie Beratung an, führen Workshops, Weiterbildungen und Studien durch, erstellen Konzepte und unterstützen Ihre Kunden dabei, die Konzepte umzusetzen. Teilen Sie in der Gruppe auf, wer zu welcher Tätigkeit herausfindet, was genau unter den Tätigkeiten zu verstehen ist. Entscheiden Sie dann gemeinsam, in welchem Bereich Ihr Unternehmen schwerpunktmäßig tätig sein soll. So, nun können Sie sich einen Namen für Ihr Unternehmen ausdenken. Seien Sie kreativ und vermeiden Sie bitte Namen "echter" Unternehmen. Der Name sollte einen Bezug zu mindestens einer der gewählten sozialwissenschaftlichhen Tätikeiten haben. Sobald Sie einen Namen haben, tragen Sie den Namen bitte in die Liste auf dieser Seite ein: * [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h_da)/Unternehmen WS26_27]] Vor den Namen bitte einen setzen und den Namen in eckige Doppelklammern setzen. Der Name Ihres Unternehmens (dessen ''Firma'') erscheint dann als Rotlink. Indem Sie auf den Rotlink klicken, öffnet sich eine neue Seite, die Sie als Start-"Homepage" Ihres Unternehmens nutzen können. Entwerfen Sie - ggf. durch eine KI-Anwendung unterstützt - ein Logo für Ihr Unternehmen und bringen Sie es auf Ihrer "Unternehmenshomepage" an. Stellen Sie hier und grundsätzlich sicher, dass Sie kein copyright-geschütztes (Bild-) Material benutzen. Nutzen Sie die Vorlage unter [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Skydance - Büro für Gaming Research|Skydance - Büro für Gaming Research]], um ihre Homepage zu strukturieren. Beschreiben Sie die drei Tätigkeitsbereiche Ihres Unternehmens und denken Sie sich passende Referenzprojekte aus. Stellen Sie auf einer gesonderten Seite Ihr Team vor (Fantasienamen!). = Hausaufgabe = 1. Bitte orientieren (lesen, Notizen machen) Sie sich über die '''Organisation''' eines Unternehmens (Carl et al., 2017, Kapitel 4); insbesondere: * Aufbau- und Ablauforganisation, * die vier Befugnisse, Linien- und Stabsstellen * funktionale und divisionale Organisation; Matrixorganisation 2. Bitte orientieren Sie sich (lesen, Notizen machen) über typische Rechtsformen eines Unternehmens in Deutschland (Thommen et al. 2023, Kapitel 2.5); insbesondere: * Gründe für die Wahl der Rechtsform kennen und verstehen * Einzelunternehmen, Personengesellschaften, Kapitalgesellschaften * Übersicht: Abbildung 2.6 [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] 54nmaefafr285rpbv8zhd72chetlxwz 1116959 1116955 2026-10-19T06:36:42Z Barkmann-hdaOek 40593 1116959 wikitext text/x-wiki = Ausgangslage = Sie haben gerade Ihr BA-Abschluszeugnis ausgehändigt erhalten und möchten zusammen mit einigen BA-Kolleginnen und Kollegen ein Unternehmen im Bereich der Sozialwissenschaften gründen. Das Unternehmen braucht gute Sozialwissenschaftler/innen. Aber das sind Sie ja alle. Das Unternehmen benötigt aber auch Menschen im spezieller Expertise, damit das Unternehmen an sich läuft: # Marketing & Verkauf # Finanzen & Controlling # Personal & Beschaffung # Management & IT = Aufgabe 1: Ihr Team = Suchen Sie sich je drei Leute, damit in Ihrem Unternehmen Expertinnen und Experten für alle wichtigen Bereiche vertreten sind. Falls Sie sich noch nicht kennen, stellen Sie einander kurz vor. = Aufgabe 2: Ihr Unternehmen = Ihr Unternehmen soll schwerpunktmäßig für drei möglichst unterschiedliche der nachfolgenden Tätigkeitsbereiche Ihren Kundinnen Dienstleistungen anbieten: # Mitarbeiterführung, Arbeitsbeziehungen und Human Resources, # betriebliche und öffentliche Gesundheit, # betriebliche und außerschulische Bildung, # Marketing/PR/Online-Kommunikation, # Kunden- und Stakeholdermanagement, # öffentlicher Raum und öffentliche Sicherheit, # Entwicklungszusammenarbeit und internationale Wertschöpfungsketten, # Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., # User Research, User Experiences, Usability Testing im Bereich Software & Games, # "nachhaltige"/"grün"/sozial- oder umweltfreundliche Produkte und Dienstleistungen. Typischerweise bieten Sie Beratung an, führen Workshops, Weiterbildungen und Studien durch, erstellen Konzepte und unterstützen Ihre Kunden dabei, die Konzepte umzusetzen. Teilen Sie in der Gruppe auf, wer zu welcher Tätigkeit herausfindet, was genau unter den Tätigkeiten zu verstehen ist. Entscheiden Sie dann gemeinsam, in welchem Bereich Ihr Unternehmen schwerpunktmäßig tätig sein soll. So, nun können Sie sich einen Namen für Ihr Unternehmen ausdenken. Seien Sie kreativ und vermeiden Sie bitte Namen "echter" Unternehmen. Der Name sollte einen Bezug zu mindestens einer der gewählten sozialwissenschaftlichhen Tätikeiten haben. Sobald Sie einen Namen haben, tragen Sie den Namen bitte in die Liste auf dieser Seite ein: * [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h_da)/Unternehmen WS26_27]] Vor den Namen bitte "Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27" und das ganze in eckige Doppelklammern setzen. Der Name Ihres Unternehmens (dessen ''Firma'') erscheint dann als Rotlink. Indem Sie auf den Rotlink klicken, öffnet sich eine neue Seite, die Sie als Start-"Homepage" Ihres Unternehmens nutzen können. Entwerfen Sie - ggf. durch eine KI-Anwendung unterstützt - ein Logo für Ihr Unternehmen und bringen Sie es auf Ihrer "Unternehmenshomepage" an. Stellen Sie hier und grundsätzlich sicher, dass Sie kein copyright-geschütztes (Bild-) Material benutzen. Nutzen Sie die Vorlage unter [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Skydance - Büro für Gaming Research|Skydance - Büro für Gaming Research]], um ihre Homepage zu strukturieren. Beschreiben Sie die drei Tätigkeitsbereiche Ihres Unternehmens und denken Sie sich passende Referenzprojekte aus. Stellen Sie auf einer gesonderten Seite Ihr Team vor (Fantasienamen!). = Hausaufgabe = 1. Bitte orientieren (lesen, Notizen machen) Sie sich über die '''Organisation''' eines Unternehmens (Carl et al., 2017, Kapitel 4); insbesondere: * Aufbau- und Ablauforganisation, * die vier Befugnisse, Linien- und Stabsstellen * funktionale und divisionale Organisation; Matrixorganisation 2. Bitte orientieren Sie sich (lesen, Notizen machen) über typische Rechtsformen eines Unternehmens in Deutschland (Thommen et al. 2023, Kapitel 2.5); insbesondere: * Gründe für die Wahl der Rechtsform kennen und verstehen * Einzelunternehmen, Personengesellschaften, Kapitalgesellschaften * Übersicht: Abbildung 2.6 [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] mipcdgk1pwqsij5ly0e55w51f4kd0p3 1116992 1116959 2026-10-19T07:21:14Z Barkmann-hdaOek 40593 /* Ausgangslage */ 1116992 wikitext text/x-wiki = Ausgangslage = Sie haben gerade Ihr BA-Abschluszeugnis ausgehändigt erhalten und möchten zusammen mit einigen BA-Kolleginnen und Kollegen ein Unternehmen im Bereich der Sozialwissenschaften gründen. Das Unternehmen braucht gute Sozialwissenschaftler/innen. Aber das sind Sie ja alle. Das Unternehmen benötigt aber auch Menschen mit spezieller Expertise, damit das Unternehmen an sich läuft: # Marketing & Verkauf # Finanzen & Controlling # Personal & Beschaffung # Management & IT = Aufgabe 1: Ihr Team = Suchen Sie sich je drei Leute, damit in Ihrem Unternehmen Expertinnen und Experten für alle wichtigen Bereiche vertreten sind. Falls Sie sich noch nicht kennen, stellen Sie einander kurz vor. = Aufgabe 2: Ihr Unternehmen = Ihr Unternehmen soll schwerpunktmäßig für drei möglichst unterschiedliche der nachfolgenden Tätigkeitsbereiche Ihren Kundinnen Dienstleistungen anbieten: # Mitarbeiterführung, Arbeitsbeziehungen und Human Resources, # betriebliche und öffentliche Gesundheit, # betriebliche und außerschulische Bildung, # Marketing/PR/Online-Kommunikation, # Kunden- und Stakeholdermanagement, # öffentlicher Raum und öffentliche Sicherheit, # Entwicklungszusammenarbeit und internationale Wertschöpfungsketten, # Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., # User Research, User Experiences, Usability Testing im Bereich Software & Games, # "nachhaltige"/"grün"/sozial- oder umweltfreundliche Produkte und Dienstleistungen. Typischerweise bieten Sie Beratung an, führen Workshops, Weiterbildungen und Studien durch, erstellen Konzepte und unterstützen Ihre Kunden dabei, die Konzepte umzusetzen. Teilen Sie in der Gruppe auf, wer zu welcher Tätigkeit herausfindet, was genau unter den Tätigkeiten zu verstehen ist. Entscheiden Sie dann gemeinsam, in welchem Bereich Ihr Unternehmen schwerpunktmäßig tätig sein soll. So, nun können Sie sich einen Namen für Ihr Unternehmen ausdenken. Seien Sie kreativ und vermeiden Sie bitte Namen "echter" Unternehmen. Der Name sollte einen Bezug zu mindestens einer der gewählten sozialwissenschaftlichhen Tätikeiten haben. Sobald Sie einen Namen haben, tragen Sie den Namen bitte in die Liste auf dieser Seite ein: * [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h_da)/Unternehmen WS26_27]] Vor den Namen bitte "Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27" und das ganze in eckige Doppelklammern setzen. Der Name Ihres Unternehmens (dessen ''Firma'') erscheint dann als Rotlink. Indem Sie auf den Rotlink klicken, öffnet sich eine neue Seite, die Sie als Start-"Homepage" Ihres Unternehmens nutzen können. Entwerfen Sie - ggf. durch eine KI-Anwendung unterstützt - ein Logo für Ihr Unternehmen und bringen Sie es auf Ihrer "Unternehmenshomepage" an. Stellen Sie hier und grundsätzlich sicher, dass Sie kein copyright-geschütztes (Bild-) Material benutzen. Nutzen Sie die Vorlage unter [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Skydance - Büro für Gaming Research|Skydance - Büro für Gaming Research]], um ihre Homepage zu strukturieren. Beschreiben Sie die drei Tätigkeitsbereiche Ihres Unternehmens und denken Sie sich passende Referenzprojekte aus. Stellen Sie auf einer gesonderten Seite Ihr Team vor (Fantasienamen!). = Hausaufgabe = 1. Bitte orientieren (lesen, Notizen machen) Sie sich über die '''Organisation''' eines Unternehmens (Carl et al., 2017, Kapitel 4); insbesondere: * Aufbau- und Ablauforganisation, * die vier Befugnisse, Linien- und Stabsstellen * funktionale und divisionale Organisation; Matrixorganisation 2. Bitte orientieren Sie sich (lesen, Notizen machen) über typische Rechtsformen eines Unternehmens in Deutschland (Thommen et al. 2023, Kapitel 2.5); insbesondere: * Gründe für die Wahl der Rechtsform kennen und verstehen * Einzelunternehmen, Personengesellschaften, Kapitalgesellschaften * Übersicht: Abbildung 2.6 [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] nzbikb2waefgknv3taq8olclmsgan87 1116993 1116992 2026-10-19T07:22:41Z Barkmann-hdaOek 40593 /* Aufgabe 2: Ihr Unternehmen */ 1116993 wikitext text/x-wiki = Ausgangslage = Sie haben gerade Ihr BA-Abschluszeugnis ausgehändigt erhalten und möchten zusammen mit einigen BA-Kolleginnen und Kollegen ein Unternehmen im Bereich der Sozialwissenschaften gründen. Das Unternehmen braucht gute Sozialwissenschaftler/innen. Aber das sind Sie ja alle. Das Unternehmen benötigt aber auch Menschen mit spezieller Expertise, damit das Unternehmen an sich läuft: # Marketing & Verkauf # Finanzen & Controlling # Personal & Beschaffung # Management & IT = Aufgabe 1: Ihr Team = Suchen Sie sich je drei Leute, damit in Ihrem Unternehmen Expertinnen und Experten für alle wichtigen Bereiche vertreten sind. Falls Sie sich noch nicht kennen, stellen Sie einander kurz vor. = Aufgabe 2: Ihr Unternehmen = Ihr Unternehmen soll schwerpunktmäßig für drei möglichst unterschiedliche der nachfolgenden Tätigkeitsbereiche Ihren Kund/innen Dienstleistungen anbieten: # Mitarbeiterführung, Arbeitsbeziehungen und Human Resources, # betriebliche und öffentliche Gesundheit, # betriebliche und außerschulische Bildung, # Marketing/PR/Online-Kommunikation, # Kunden- und Stakeholdermanagement, # öffentlicher Raum und öffentliche Sicherheit, # Entwicklungszusammenarbeit und internationale Wertschöpfungsketten, # Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., # User Research, User Experiences, Usability Testing im Bereich Software & Games, # "nachhaltige"/"grün"/sozial- oder umweltfreundliche Produkte und Dienstleistungen. Typischerweise bieten Sie Beratung an, führen Workshops, Weiterbildungen und Studien durch, erstellen Konzepte und unterstützen Ihre Kunden dabei, die Konzepte umzusetzen. Teilen Sie in der Gruppe auf, wer zu welcher Tätigkeit herausfindet, was genau unter den Tätigkeiten zu verstehen ist. Entscheiden Sie dann gemeinsam, in welchem Bereich Ihr Unternehmen schwerpunktmäßig tätig sein soll. So, nun können Sie sich einen Namen für Ihr Unternehmen ausdenken. Seien Sie kreativ und vermeiden Sie bitte Namen "echter" Unternehmen. Der Name sollte einen Bezug zu mindestens einer der gewählten sozialwissenschaftlichhen Tätikeiten haben. Sobald Sie einen Namen haben, tragen Sie den Namen bitte in die Liste auf dieser Seite ein: * [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h_da)/Unternehmen WS26_27]] Vor den Namen bitte "Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27" und das ganze in eckige Doppelklammern setzen. Der Name Ihres Unternehmens (dessen ''Firma'') erscheint dann als Rotlink. Indem Sie auf den Rotlink klicken, öffnet sich eine neue Seite, die Sie als Start-"Homepage" Ihres Unternehmens nutzen können. Entwerfen Sie - ggf. durch eine KI-Anwendung unterstützt - ein Logo für Ihr Unternehmen und bringen Sie es auf Ihrer "Unternehmenshomepage" an. Stellen Sie hier und grundsätzlich sicher, dass Sie kein copyright-geschütztes (Bild-) Material benutzen. Nutzen Sie die Vorlage unter [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Skydance - Büro für Gaming Research|Skydance - Büro für Gaming Research]], um ihre Homepage zu strukturieren. Beschreiben Sie die drei Tätigkeitsbereiche Ihres Unternehmens und denken Sie sich passende Referenzprojekte aus. Stellen Sie auf einer gesonderten Seite Ihr Team vor (Fantasienamen!). = Hausaufgabe = 1. Bitte orientieren (lesen, Notizen machen) Sie sich über die '''Organisation''' eines Unternehmens (Carl et al., 2017, Kapitel 4); insbesondere: * Aufbau- und Ablauforganisation, * die vier Befugnisse, Linien- und Stabsstellen * funktionale und divisionale Organisation; Matrixorganisation 2. Bitte orientieren Sie sich (lesen, Notizen machen) über typische Rechtsformen eines Unternehmens in Deutschland (Thommen et al. 2023, Kapitel 2.5); insbesondere: * Gründe für die Wahl der Rechtsform kennen und verstehen * Einzelunternehmen, Personengesellschaften, Kapitalgesellschaften * Übersicht: Abbildung 2.6 [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] alf2x2gfvnsjqzaf1en1m4yf7ygv232 106 167146 1117019 1115739 2026-10-19T09:35:37Z Leonidas Müller 41964 /* Übersicht über die Kurstage */ 1117019 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Sozialwissenschaften}} = Einführung in die Ökonomik (BWL) für Sozialwissenschaften (h_da) = == Unternehmensübersicht == [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h_da)/Unternehmen WS26_27]] [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h_da)/Unternehmen WS25_26]] == Übersicht über die Kurstage == # Einführung (Folien auf unserem Moodle) # [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL (h_da)/Teambildung|Teambildung]] & Gründungsvorbereitung # [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmensgründung|Unternehmensgründung]] & Webseite aktualisieren #[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Erster Auftrag|Erster Auftrag]], Kalkulation & Webseite aktualisieren #[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Personalkosten|Personalkosten]] kalkulieren #[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Alternative Angebote|Alternative Angebote]] für Angebotskurve und Wettbewerbsüberlegungen #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Wettbewerbsstrategien|Wettbewerbsstrategien]]: Kosten-, Innovationsführerschaft, Nischenstrategien #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Marktforschung|Marktforschung]]: Konsumentenwünsche, Zielgruppen #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Innovation|Innovation]] #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Vertrauen|Vertrauen]] und (Vertrauens-) Güter #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Bilanz|Bilanz & Gewinn]] und etwas Doppelte Buchführung #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Klausuraufgaben-Übung|Klausuraufgaben-Übung]] (siehe Moodle) #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Wertschöpfungsketten|Wertschöpfungsketten]] und Zusammenarbeit zwischen Unternehmen #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Businessplan|Businessplan]] und Unsicherheit # [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL (h_da)/Personalfive]] 96vb9s7yemhlm7ltqtljiyqhixkugst 1117020 1117019 2026-10-19T09:36:11Z Leonidas Müller 41964 /* Übersicht über die Kurstage */ 1117020 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Sozialwissenschaften}} = Einführung in die Ökonomik (BWL) für Sozialwissenschaften (h_da) = == Unternehmensübersicht == [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h_da)/Unternehmen WS26_27]] [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h_da)/Unternehmen WS25_26]] == Übersicht über die Kurstage == # Einführung (Folien auf unserem Moodle) # [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL (h_da)/Teambildung|Teambildung]] & Gründungsvorbereitung # [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmensgründung|Unternehmensgründung]] & Webseite aktualisieren #[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Erster Auftrag|Erster Auftrag]], Kalkulation & Webseite aktualisieren #[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Personalkosten|Personalkosten]] kalkulieren #[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Alternative Angebote|Alternative Angebote]] für Angebotskurve und Wettbewerbsüberlegungen #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Wettbewerbsstrategien|Wettbewerbsstrategien]]: Kosten-, Innovationsführerschaft, Nischenstrategien #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Marktforschung|Marktforschung]]: Konsumentenwünsche, Zielgruppen #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Innovation|Innovation]] #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Vertrauen|Vertrauen]] und (Vertrauens-) Güter #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Bilanz|Bilanz & Gewinn]] und etwas Doppelte Buchführung #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Klausuraufgaben-Übung|Klausuraufgaben-Übung]] (siehe Moodle) #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Wertschöpfungsketten|Wertschöpfungsketten]] und Zusammenarbeit zwischen Unternehmen #[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Businessplan|Businessplan]] und Unsicherheit squ7kpd0jfiyfjuxada4dxa7ft4q3f4 106 167799 1116902 1115034 2026-10-18T16:01:19Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116902 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Lerneinheit gliedert sich in die folgenden Teile * Definition der Wegunabhängigkeit * Konstruktion eine geschlossenes Weg: * Integral über zwei Wege mit gleichem Anfangs und Endpunkt * Wegunabhängigkeit und Integral über geschlossene Weg === Ausgangssituation === Gegeben ist eine integrable Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, für die man jeweils die Eigenschaft der Wegunabhängigkeit für ein Gebiet <math>G</math> in der komplexen Ebene und die Integrale über geschlossene Wege betrachtet. == Definition - Wegunabhängigkeit == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine integrable Funktion auf <math>G</math> und seien <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to G</math> und <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to G</math> zwei beliebige [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationswege]] in <math>G</math> mit gleichem Anfangspunkt <math>z_1 = \gamma_1(a_1) = \gamma_2(a_2)</math> und Endpunkt <math>z_2 = \gamma_1(b_1) = \gamma_2(b_2)</math>. Wenn für alle <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> die folgende Eigenschaft :<math> \int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{\gamma_2} f(z) \, dz </math> gilt, nennt man das Integral über <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wegunabhängig. === Bemerkung - Wegunabhängigkeit === Die Wegunabhängigkeit ist eine Eigenschaft der Funktion <math>f: G \to \mathbb{C}</math>, die dazu führt, dass <math>f</math> eine Stammfunktion besitzt. == Satz - Wegunabhängigkeit == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine integrable Funktion auf <math>G</math>, dann sind folgende zwei Bedingungen äquivalent: * '''(WU1)''' das Integral über <math>f</math> ist wegunabhängig, * '''(WU2)''' für das Integral über einen beliebigen geschlossenen Weg gilt ::<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = 0 </math> == Beweis - Wegunabhängigkeit == Der Beweis ist eine Äquvalenzaussage und daher gliedert dieser sich in zwei Beweisteile: * '''Beweisteil 1:''' (WU1)<math>\Longrightarrow</math>(WU2) - Dabei wird die (WU2) gezeigt, indem man einen beliebigen geschlossenen Wege zerlegt, die den gleichen Anfangs- und Endpunkt haben. * '''Beweisteil 2:''' (WU2)<math>\Longrightarrow</math>(WU1) - In diesem Beweisteil werden zwei Wege zu einem geschlossenen Weg zusammengesetzt, um (WU2) darauf anzuwenden. === Beweisteil 1 === Gegeben ist (WU1), dass das Integral über <math>f</math> wegunabhängig ist. Seien nun <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to G</math> und <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to G</math> zwei beliebige [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationswege]] in <math>G</math> mit gleichem Anfangspunkt <math>z_1 = \gamma_1(a_1) = \gamma_2(a_2)</math> und Endpunkt <math>z_2 = \gamma_1(b_1) = \gamma_2(b_2)</math>, für die gilt: :<math> \int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{\gamma_2} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 1.1 - Definitionbereich der Wege ==== Falls <math>a_1\not=0</math> bzw. <math>a_2\not=0</math> wählt man als neuen Weg <math>\widehat{\gamma_i}(t):= \gamma_i(t+a_i)</math> und erhält einen Definitionsbereich <math>[0,c_i]</math> wobei <math>c_i=b_i-a_i</math>. Also kann man ohne Einschränkung für die [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationwege]] die folgenden Definitionsbereiche voraussetzen: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [0,c_1] & \rightarrow & G \\ \gamma_2 : & [0,c_2] & \rightarrow & G \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 1.2 - Parametertransformation ==== Mit den Parametertransformationen <math>\Phi_1(t)=t+a_1 </math> bzw. <math>\Phi_2(t)=t+a_2 </math>. und <math>\Phi_1'(t)=\Phi_2'(t)=1 </math> ändert sich bei Anwendung der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] der Wert des Wegintegrals nicht, denn mit gegebenen <math> \widetilde{\gamma_1} : [a_1,b_1] \rightarrow G </math> und <math> \widetilde{\gamma_2} : [a_2,b_2] \rightarrow G </math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{\gamma_k} : & [0,c_k] & \rightarrow & G \\ & t : &\mapsto & \gamma_k(t) = \widetilde{\gamma_k}(\Phi_k(t)) = \widetilde{\gamma_k}(t+a_k) \\ \end{array} </math>. ==== Beweisschritt 1.3 - Substitutionsregel ==== Die [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] liefert dann mit <math>\Phi_k'(t)=1</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \int_{\gamma_k} f(z)\, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{c_k} f(\gamma_k(t)) \cdot \gamma_k{\,}\!\!'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{c_k} f(\widetilde{\gamma_k}(\Phi_k(t))) \cdot \widetilde{\gamma_k}'(\Phi_k(t)) \cdot \Phi_k'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{a_k}^{b_k} f(\widetilde{\gamma_k}(\widetilde{t}))) \cdot \widetilde{\gamma_k}'(\widetilde{t}) \, d\widetilde{t} = \int_{\widetilde{\gamma_k}} f(z)\, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 1.4 - Beliebiger geschlossener Weg ==== Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> eine beliebiger geschlossener Weg mit <math>c:=\frac{a+b}{2}</math> und man zerlegt den Weg <math>\gamma</math> in zwei Teilwege <math> \widetilde{\gamma_1} : [0,1] \rightarrow G </math> und <math> \widetilde{\gamma_2} : [0,1] \rightarrow G </math> mit <math>a_1=a</math>, <math>b_1=c=a_2</math> und <math>b_2=b</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{\gamma_k} : & [0,1] & \rightarrow & G \\ & t : &\mapsto & \widetilde{\gamma_k}(t) := \gamma\left((b_k-a_k) \cdot t +a_k\right) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung 1.5 - Wegzerlegung ==== Die Wegzerlegung teilt den Parameterraum <math>[a,b]</math> durch Halbierung in zwei Teilintervalle <math>[a_1,b_1]:=[a,c]</math> und <math>[a_2,b_2]:=[c,b]</math>. Die Normalisierung des Parameterraumes auf <math>[0,1]</math> erleichtert die formale Darstellung der Umkehrung der Laufrichtung. ==== Beweisschritt 1.5 - Umkehrung der Laufrichtung ==== Wenn man die Laufrichtung der Integrale umkehrt, verändert sich das Vorzeichen des Integrals. Mit <math> \gamma_1(t) = \widetilde{\gamma_1}(t) </math> und <math> \gamma_2(t) = \widetilde{\gamma_2}(1-t) </math> erhält man über <math>\gamma_2{\,}\!\!'(t) = - \widetilde{\gamma_2}{\,}'(t)</math> die Gleichung: :<math> \int_{\gamma_2} f(z)\, dz = -\int_{0}^{1} f(\gamma_2(t)) \cdot \gamma_2{\,}\!\!'(t) \cdot (-1) \, dt = - \int_{\widetilde{\gamma_2}} f(z)\, dz </math> Mit der Kettenregel gilt <math> \gamma_2{\,}'(t) = \widetilde{\gamma_2}'(1-t) \cdot (-1)</math> und die [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] liefert die obige Gleichung. ==== Beweisschritt 1.6 - Anfangs- und Endpunkt ==== Die [[Integrationsweg|Integrationwege]] <math>\gamma_1 </math> und <math>\gamma_2</math> haben den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=\gamma(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(1)=\gamma_2(1)=\gamma(c)</math>. Nun kann man die Voraussetzung der Wegunabhängigkeit auf die beiden Wege <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> anwenden und erhält: :<math> \int_{\gamma_1} f(z)\, dz = \int_{\gamma_2} f(z)\, dz </math> ==== Beweisschritt 1.7 - Wegintegral über geschlossenen Weg ==== Nun kann man das Wegintegral über geschlossenen Weg berechnen: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz - \int_{\gamma_2} f(z)\, dz = 0 </math> === Beweisteil 2 - (WU2) nach (WU1) === Als Voraussetzung (WU2) gilt nun, dass das Integral über einen beliebigen geschlossenen Weg <math>\gamma : [a,b] \to G</math> die folgende Eigenschaft erfüllt: ::<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = 0 </math> Es ist zu zeigen, dass für das gegebene <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die Wegunabhängigkeit gilt. ==== Beweisschritt 2.1 - Wahl der Wege mit gleichen Anfangs- und Endpunkt ==== Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die gegebene integrable Funktion auf <math>G</math>, die (WU2) erfüllt. Man wählt nun zwei beliebige [[Integrationsweg|Integrationswege]] <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to G</math> und <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to G</math> in <math>G</math> mit gleichem Anfangspunkt <math>z_1 = \gamma_1(a_1) = \gamma_2(a_2)</math> und gleichem Endpunkt <math>z_2 = \gamma_1(b_1) = \gamma_2(b_2)</math>. Zu zeigen ist nun die folgende Eigenschaft: :<math> \int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{\gamma_2} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 2.2 - Umparametrisierung ==== In Analogie zum Beweisteil 1 sei nun ohne Einschränkung der Definitionsbereich beider Wege <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> das Intervall <math>[0,1]</math>. Falls der Parameterraum <math>[a_k,b_k]</math> diese Eigenschaft nicht hat, verwendet man die folgenden Parametertransformation mit [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]]: :<math> \begin{array}{rrcl} \Phi_k: & [a_k,b_k] & \rightarrow & [0,1] \\ & t & \mapsto & \Phi_k(t) = \frac{ t - a_k }{b_k - a_k } \\ \Phi_k^{-1}: & [0,1] & \rightarrow & [a_k,b_k] \\ & t & \mapsto & \Phi_k^{-1}(t) = (b_k- a_k) \cdot t + a_k \end{array} </math> mit <math>\Phi_k'(t) = \frac{ 1 }{b_k - a_k } </math> und <math>\Phi_k^{-1}{\,}\!'(t) = b_k - a_k </math>. ==== Beweisschritt 2.3 - Definition eines geschlossenen Weges ==== Man definiert nun einen geschlossenen Weg <math>\gamma = \gamma_1 - \gamma_2</math> für diesen Weg gilt: :<math> \int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{\gamma_1} f(z) \, dz - \int_{\gamma_2} f(z) \, dz = 0 </math> Mit Beweisteil 1 folgt die Äquivalenz der Behauptung aus dem Satz über Wegunabhängigkeit. <math>\Box</math> === Zusammenfassung - Satz zur Wegunabhängigkeit === Insgesamt wurde gezeigt, dass die Bedingung <math> \int_{\gamma} f(z) \, dz = 0 </math> für jeden geschlossenen Weg äquivalent zur Wegunabhängigkeit ist. Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird das für spezielle geschlossene Integrationsweg über den Rand eines Dreiecks untersucht. === Anmerkung - Holomorphie und Stammfunktionen === Eine äquivalente Bedingung für die Wegunabhängigkeit ist, dass die komplexe Funktion <math>f: G \to \mathbb{C} </math> analytisch ist und sich lokal in Potenzreihen entwickeln lässt auf <math>G</math>, die wiederum die Holomorphie liefern. Dabei existiert auf konvexen (oder sternförmigen) Gebieten für ein festes <math>z_o\in G</math> auch Stammfunktion <math>F_{z_o}(z):=\int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi) \, d\xi</math> gibt, sodass <math>f(z) = F'(z)</math>. In diesem Fall ist der Weg <math>\langle z_o,z\rangle</math> eine [[Konvexkombination]]: :<math>\gamma(t) := \langle z_o,z\rangle(t) := (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> == Siehe auch == * [[Konstruktionslemma für Stammfunktionen]] * [[Konvexkombination]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dzn4pl7fvhmla6rkrbwurfi8lpzsqun 106 167801 1116901 1114880 2026-10-18T16:01:03Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116901 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird die Erzeugung von Stammfunktionen von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Wegintegrale behandelt. Dabei verwendet man einen ausgezeichnet Punkt <math>z_o \in G</math>, von dem aus ein Weg <math>\gamma := [ z_o,z ]</math> als [[Konvexkombination]] zu einem beliebigen <math>z\in G</math>definiert wird. Wegen der Konvexität von <math>G</math> liegt die Spur des Weges <math>\gamma_z</math> auch in <math>G</math>. === Verallgemeinerte Intervalle === Die Notation <math>\gamma := [ z_o,z ]</math> vereinfacht die Beschreibung von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen 1. Ordnung]] in eine Intervallnotation, die aus der reellen Analysis bekannt ist. Im Unterschied zur reellen Analysis <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist <math> \gamma := [ z_o,z ] </math> eine Abbildung :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z_1 \end{array} </math> Das Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in der reellen Analysis entspricht in der Funktionentheorie <math>Spur([a,b])\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}</math>. == Satz - Stammfunktionen als Wegintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>G</math>. Dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> F_{z_o}(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Bemerkung - Notation === Wenn <math>f(z)</math> die Funktionsauswertung von <math>f</math> an der Stelle <math>z\in G</math> beschreibt, wertet <math>F(z)</math> die Stammfunktion an der Stelle <math>z\in G</math> aus. Auch in der reellen Analysis gibt es mehrere Stammfunktionen zu einer Funktion <math>f</math>. In der komplexen Analysis hängt dies bei der Darstellung der Stammfunktion <math>F</math> von dem Startpunkt des Wegintegrals <math>z_o\in G</math>, daher wurde für die Stammfunktion die Notation <math>F_{z_o}</math>. Da das Argument <math>z\in G</math> das Argument der Funktion <math>F_{z_o}</math> ist, musste eine weitere Integrationsvariable verwendet werden (hier <math>\xi</math>). === Sternförmiges Gebiet === Die Eigenschaft, dass das Gebiet <math>G</math> [[w:de:konvexe Menge|konvex]] ist, kann zu der Eigenschaft, dass <math>G</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmiges Gebiet]] abgeschwächt werden. Für die Definition der Stammfunktion benötigt man nämlich nur einen ausgezeichneten Punkt <math>z_o\in G</math>, von dem man alle anderen Punkt <math>z\in G</math> über eine [[Konvexkombination]] in <math>G</math> direkt verbinden kann. === Aufgabe - sternförmiges Gebiet === Erweitern Sie die Aussagen der Existenz von Stammfunktionen auf sternförmige Gebieten <math>G</math> und begründen Sie Ihr Vorgehen zunächst geometrisch. == Beweis - Wegintegral als Stammfunktion == Der Beweis Wegintegral von einem festen Ausgangspunkt <math>z_o</math> definieren, von dem man dann die Eigenschaft einer Stammfunktion nachweist. Diese gliedert sich insgesamt in die folgenden Beweisschritte: * [[Satz von Morera]] als Vorbereitung * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion als Wegintegral auf konvexen Gebieten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]] * [[Holomorphie|Differenzierbarkeit]] von <math>F</math>, * [[Satz von Morera#Stammfunktion|Berechnung des Grenzwerts]] zeigt dann <math>F'=f</math>, === Zusammenfassung === Eine holomorphe Funktion <math>f: G \to \mathbb{C}</math> auf einem konvexen Gebiet <math>G</math> besitzt eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> definiert ist. Diese Stammfunktion <math>F</math> ist differenzierbar und erfüllt <math>F'(z) = f(z)</math> für alle <math>z \in G</math>. == Siehe auch == * [[Holomorphie|Differenzierbarkeit]] * [[Konstruktionslemma für Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiv|rekursiver Logarithmus]] * [[Satz von Morera]] * [[Stammfunktion und Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmige Menge]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Potenzreihe|Potenzreihe des Logarithmus als Stammfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]] 25ndyrm14biney2nlbekeldhkxuzy54 108 170333 1116940 1105840 2026-10-18T18:59:49Z ChristianSW 15793 /* Seilwinde mit Elektromagnet */ 1116940 wikitext text/x-wiki == Kranprojekt == === Aufbau mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg </gallery> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 1.jpg </gallery> === Aufbau mit Beleuchtung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Beleuchtung.jpg </gallery> == Laufkatze == === Alter Antrieb === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail3.jpg </gallery> === Neuer Antrieb mit Schneckengetrieben === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Oberseite.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Unterseite.jpg </gallery> === RFID === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Verdrahtung.jpg Tüftlerclub Laufkatze 2.jpg </gallery> === Laufkatze betriebsbereit === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Laufkatze 1.jpg Tüftlerclub Laufkatze 3.jpg </gallery> == Seilwinde == === Schneckengetriebe und Seilführung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Seilwinde.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail2.jpg </gallery> === Seilwinde mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Unterseite.jpg Tüftlerclub Laufkatze Beleuchtung.jpg </gallery> === Halterung für zwei Elektromagneten === <gallery mode=packed heights=360> Verbindung Magnet Klemmbausteine.jpg </gallery> == Steuerung == <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Tastatur DUE.jpg Tüftlerclub Kranbrücke ESP32.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Relais.jpg </gallery> pjwwq4cborlogw4vlzt2oax6cekp09o 106 170557 1116991 1116102 2026-10-19T07:14:09Z Bocardodarapti 2041 1116991 wikitext text/x-wiki *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Definitionsliste|Definitionsliste]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Definitionsabfrage|Definitionsabfrage]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Liste der Hauptsätze|Wichtigste Aussagen]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage|Aussagen (Abfrage)]] *[[Mathematik/Hilfsmittel/Griechisches Alphabet|Griechisches Alphabet]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1. Drittel/1/Klausur|Beispiel für eine erste Testklausur]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1. Drittel/2/Klausur|Beispiel für eine erste Testklausur]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1. Drittel/3/Klausur|Beispiel für eine erste Testklausur]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/Klausuren|Beispielklausuren]] *[[Benutzer:Bocardodarapti/Klausurbewertung/Linear|Klausurbewertung]] <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Hilfsstruktur]]</noinclude> t4m5ru5t9eu9zywiixfc51yvw605tuh 106 170601 1116827 1116825 2026-10-18T12:01:20Z Bocardodarapti 2041 1116827 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Geldbetrag/Euro/Zwischen 1 und 100/Maximal zwei Noten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Euro-Münzen/Summe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geldbetrag/Eurozahlen/10/Wie viele Münzen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Euro-Münzen/Eins mehr/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geldbetrag/Euro/Zwischen 1 und 100/Notenanzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geldbetrag/Euro/Zwischen 1 und 100/Minimale Notenanzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |20-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzsysteme/Eurozahlen/Gabi Hochster/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eurozahlen/Zählen und addieren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eurozahlen/Minimaler Betrag/Maximale Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/Dezimalsystem/Zusammenhang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eurozahlen/1,3,5/Beweishindernis/Summe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzsystem/1,3 oder 4,10/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Maximal zwei Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Genau k Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Untermonoid/3,7/Geldfälscher/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/Rückgeld/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geldautomat/100/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Untermonoid/4,9,11/Geldfälscher/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Externer Algorithmus/Geldscheinmaschine/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |50-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/1,4,5,6/Maximale Auffüllung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zusätzliche Münze/Eindeutigkeit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/Quadratzahlen/Eindeutig/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} mhknyeyjwrmt3o44vpum2s7dtoirgo9 1116830 1116827 2026-10-18T12:04:22Z Bocardodarapti 2041 1116830 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Geldbetrag/Euro/Zwischen 1 und 100/Maximal zwei Noten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Euro-Münzen/Summe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geldbetrag/Eurozahlen/10/Wie viele Münzen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Euro-Münzen/Eins mehr/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geldbetrag/Euro/Zwischen 1 und 100/Notenanzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geldbetrag/Euro/Zwischen 1 und 100/Minimale Notenanzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |20-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzsysteme/Eurozahlen/Gabi Hochster/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eurozahlen/Zählen und addieren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eurozahlen/Minimaler Betrag/Maximale Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/Dezimalsystem/Zusammenhang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eurozahlen/1,3,5/Beweishindernis/Summe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzsystem/1,3 oder 4,10/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Maximal zwei Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Genau k Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Untermonoid/3,7/Geldfälscher/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/Rückgeld/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geldautomat/100/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Untermonoid/4,9,11/Geldfälscher/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Externer Algorithmus/Geldscheinmaschine/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |50-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/1,4,6/Maximale Auffüllung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zusätzliche Münze/Eindeutigkeit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/Quadratzahlen/Eindeutig/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} fikdfykc9f83drzc2ra2cb5tmmoxza1 1116842 1116830 2026-10-18T14:25:22Z Bocardodarapti 2041 1116842 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Geldbetrag/Euro/Zwischen 1 und 100/Maximal zwei Noten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Euro-Münzen/Summe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geldbetrag/Eurozahlen/10/Wie viele Münzen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |20-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Euro-Münzen/Eins mehr/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geldbetrag/Euro/Zwischen 1 und 100/Notenanzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geldbetrag/Euro/Zwischen 1 und 100/Minimale Notenanzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzsysteme/Eurozahlen/Gabi Hochster/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eurozahlen/Zählen und addieren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eurozahlen/Minimaler Betrag/Maximale Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/Dezimalsystem/Zusammenhang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eurozahlen/1,3,5/Beweishindernis/Summe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/1,4,6/Maximale Auffüllung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzsystem/1,3 oder 4,10/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Maximal zwei Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Genau k Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Untermonoid/3,7/Geldfälscher/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/Rückgeld/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geldautomat/100/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Untermonoid/4,9,11/Geldfälscher/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Externer Algorithmus/Geldscheinmaschine/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |50-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zusätzliche Münze/Eindeutigkeit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/Quadratzahlen/Eindeutig/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 5souhzak8nvxckokkgta2617noqil9w 106 170625 1116870 1080244 2026-10-18T15:07:12Z Bocardodarapti 2041 1116870 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|26| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Energiebedarf/Sonneneinstrahlung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} }} sm5jfb7d461m58ijn3vylt917ftzl2i 1116871 1116870 2026-10-18T15:12:52Z Bocardodarapti 2041 1116871 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|26| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Energiebedarf/Sonneneinstrahlung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Laugenstange/Butterbelag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} }} g9nos3z3aidln5sqnltawfa075m0h7e 1116907 1116871 2026-10-18T16:17:42Z Bocardodarapti 2041 1116907 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|26| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Energiebedarf/Sonneneinstrahlung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Laugenstange/Butterbelag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fahrten/Bäcker/Neffe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} }} sdxkmc00cv3ol9yrnsiitkea3tr7nb6 1116917 1116907 2026-10-18T16:32:27Z Bocardodarapti 2041 1116917 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|26| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Heidi Gonzales/Heidelbeeren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Laugenstange/Butterbelag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Energiebedarf/Sonneneinstrahlung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fahrten/Bäcker/Neffe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} }} d89ylk1z494qsf6u9f3ufsyamw05kuj 1116933 1116917 2026-10-18T17:23:15Z Bocardodarapti 2041 1116933 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|26| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Heidi Gonzales/Heidelbeeren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Laugenstange/Butterbelag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Energiebedarf/Sonneneinstrahlung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fahrten/Bäcker/Neffe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mikroskop/Vergrößerung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} }} riq8cr7o3qchhlp0g9vhnvd8ww426y5 106 170630 1116931 1115843 2026-10-18T17:19:02Z Bocardodarapti 2041 1116931 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Quadratzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahl/Gerade/Definition|| }} <!-- {{ inputdefinitionsklappe |Implikation/Kontraposition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengenlehre/Leere Menge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Teilmenge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengenlehre/Komplement/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Disjunkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Surjektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Injektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Identität/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Konstant/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Graph (Menge)/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Assoziativ/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Kommutativ/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Neutrales Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Definition||ref1= }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Definition||ref1= }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Potenzierung/Selbstmultiplikation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Quadratzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Relation auf einer Menge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Endliche Teilmenge/Maximum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmenge/Minimum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Differenz/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengen/Potenzmenge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Ggt/Größerbeziehung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/KgV/Größerbeziehung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Primzahlzwilling/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Binomialkoeffizient/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Nachfolger/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Negation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Betrag/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition||v=\circ }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition||v=\circ }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Größergleichrelation/Natürliche Addition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Untergruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Euklidischer Algorithmus/Z/Euklidische Restfolge/Definition||ref1= }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommensurabilität/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahl/p-Exponent/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Größe/Proportionalität/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahlen/Brüche/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahl/Gekürzte Darstellung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Stammbruch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahlen/Brüche/Addition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahlen/Elementar/Anordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition||a=x|b=y|c=z }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Betrag/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Arithmetisches Mittel/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahlen/Gaußklammer/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahl/Gemischter Bruch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Wachsend/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng wachsend/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Fallend/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng fallend/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Lineare Funktion/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dezimalbruch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dezimalbruch/Dezimalsystem/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahl/Prozent/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahl/Promille/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganzzahlige Exponentialfunktion/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Folge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Definition|| }} --> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Listen]]</noinclude> ksle06grpq03knb4fcruvzesbt3lhnv 1116935 1116931 2026-10-18T17:25:05Z Bocardodarapti 2041 1116935 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Quadratzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahl/Gerade/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Implikation/Kontraposition/Definition|| }} <!-- {{ inputdefinitionsklappe |Mengenlehre/Leere Menge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Teilmenge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengenlehre/Komplement/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Disjunkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Surjektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Injektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Identität/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Konstant/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Graph (Menge)/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Assoziativ/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Kommutativ/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Neutrales Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Definition||ref1= }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Definition||ref1= }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Potenzierung/Selbstmultiplikation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Quadratzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Relation auf einer Menge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Endliche Teilmenge/Maximum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmenge/Minimum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Differenz/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengen/Potenzmenge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Ggt/Größerbeziehung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/KgV/Größerbeziehung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Primzahlzwilling/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Binomialkoeffizient/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Nachfolger/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Negation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Betrag/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition||v=\circ }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition||v=\circ }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Größergleichrelation/Natürliche Addition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Untergruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Euklidischer Algorithmus/Z/Euklidische Restfolge/Definition||ref1= }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommensurabilität/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahl/p-Exponent/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Größe/Proportionalität/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahlen/Brüche/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahl/Gekürzte Darstellung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Stammbruch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahlen/Brüche/Addition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahlen/Elementar/Anordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition||a=x|b=y|c=z }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Betrag/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Arithmetisches Mittel/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahlen/Gaußklammer/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahl/Gemischter Bruch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Wachsend/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng wachsend/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Fallend/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng fallend/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Lineare Funktion/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dezimalbruch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dezimalbruch/Dezimalsystem/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahl/Prozent/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahl/Promille/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganzzahlige Exponentialfunktion/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Folge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Definition|| }} --> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Listen]]</noinclude> lsqsrlfpii802yedhq8qs636bk013bs 106 170632 1116960 1115844 2026-10-19T06:36:56Z Bocardodarapti 2041 1116960 wikitext text/x-wiki {{ inputfaktklappe |Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt|Satz|| }} <!-- {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt||| }} {{ inputfaktklappe |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt||| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Differenz/Mengendifferenz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Differenz/Distributivgesetz/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Kommutativer Halbring/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Primzahlen/Unendlich viele/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} {{ inputfaktklappe |Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Division mit Rest/N/Induktion/Fakt|Satz||zusatz1= }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt|Satz||zusatz1={{{zusatz1|zusatz1}}}|zusatz2={{{zusatz2|zusatz2}}}| }} {{ inputfaktklappe |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrekt/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Gleichung/Umformungsprinzip/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/2/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ }} {{ inputfaktklappe |Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Division mit Rest/Z/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Proportionaler Zusammenhang/Elementare Eigenschaften/Ohne Quotient/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Angeordneter Körper/Archimedisch/Formulierung mit zwei Elementen/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Angeordneter Körper/Streng wachsend/Injektiv/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Angeordneter Körper/Lineare Funktion/Wachstum/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Angeordneter Körper/Potenzierung/Wachstumsverhalten/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Dezimalbrüche/Ring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsverhalten/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Approximation/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Bruch/Divisionsalgorithmus/Dezimalbruchfolge in Q/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Rationale Zahlen/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt|Korollar|| }} --> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Listen]]</noinclude> d72ea5i44ilz4jj06dhrdk7tfol17nt 106 171971 1117034 1108604 2026-10-19T10:00:22Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117034 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|3|16|Kurs=|}} rjongk3lgmdre5rd6ltakq1q5svqcm4 106 171992 1117032 1108625 2026-10-19T09:59:52Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117032 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|15|9|Kurs=|}} t2kjvb40ddzz3kk55wooedbx460e98y 106 172007 1117035 1108641 2026-10-19T10:00:32Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117035 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|3|3|Kurs=|}} bfpdetyxfyrvlys7pdfgaydnrldwbba 106 172038 1117033 1109053 2026-10-19T10:00:12Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117033 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|15|17|Kurs=|}} d6ye5alyogwwzchqedfzbgklq74fbb9 106 172153 1116882 1116555 2026-10-18T15:35:22Z ~2026-55076-31 41992 /* Einbindung in den Lehrplan */ 1116882 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math>. Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== * Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). * Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6k33psq20a9qkszs6ydehy530bmbkf7 1116883 1116882 2026-10-18T15:36:21Z ~2026-55076-31 41992 /* Einbindung in den Lehrplan */ 1116883 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math>. Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== * Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). * Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. * In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jxolmen87t79z2fwx1qscdmmx6588ab 1116885 1116883 2026-10-18T15:38:59Z ~2026-55076-31 41992 /* Themenwahl */ 1116885 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math>. Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== * Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). * Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. * In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== * Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). * Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs * Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. * Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] azc87veed7m08n332fds0xroqq4fpzw 1116886 1116885 2026-10-18T15:40:56Z ~2026-55076-31 41992 /* Integration Computersoftware */ 1116886 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math>. Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== * Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). * Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. * In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== * Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). * Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs * Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. * Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können/sollen passende Programme und computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] flur119vr0hm5a1p8sbvx10aaeqdz2d 1116887 1116886 2026-10-18T15:41:06Z ~2026-55076-31 41992 /* Integration Computersoftware */ 1116887 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math>. Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== * Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). * Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. * In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== * Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). * Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs * Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. * Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können/sollen passende Programme und computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2n8whnrw3s2sptro01ed6t15py8waw9 1116890 1116887 2026-10-18T15:43:17Z ~2026-55076-31 41992 /* Zeitplan */ 1116890 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math>. Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== * Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). * Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. * In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== * Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). * Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs * Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. * Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können/sollen passende Programme und computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== * Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! * Ausschliesslich während der Präsenzzeit im Seminar an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! * Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pverxfeej1xzvucij50lqi5guwi9u3e 106 172241 1117031 1109449 2026-10-19T09:59:42Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117031 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|15|6|Kurs=|}} ah0q6xldafjiti3yd98gt8yno3b8q1a 106 172635 1116893 1116673 2026-10-18T15:53:20Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisidee für das Konstruktionslemma */ 1116893 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Injektivitätslemmas für Wege mit Kreisscheiben wird für den [[Kurs:Funktionentheorie/Spurüberdeckungslemma|Spurüberdeckungslemma]] von Wegen benötigt. Die geometrische Grundidee besteht darin, zu jedem Spurpunkt <math>\gamma(t_o)</math> eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>D_r(\gamma(t_o))</math> als Umgebung <math>\gamma(t_o)</math> mit passendem Radius <math>r > 0</math> zu finden, dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> nur aus ''einer'' Zusammenhangskomponente besteht <math>[t_o-\delta_1 , t_o+\delta_2 ] </math> mit <math>\delta_1, \delta_2 > 0</math> besteht. === Animation === Bei großem Radius <math>r \geq 1.2 </math> enthält die grüne Kreisscheibe noch zwei [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]]. Für <math>r \leq 1.1</math> enthält die Kreisscheibe <math>D_r(\gamma_o))</math> nur noch eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] der Spur von <math>\gamma</math>. [[File:Umgebung injektiver weg.gif|350px|center|Injective Path and intersection with a disk with radius r - GIF Animaiton created Geogebra 4 on Linux]] === Bemerkung zur Animation === Die folgende Animation zeigt mit einem schrumpfenden Radius <math>r > 0 </math>, dass die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> mit größeren Radius zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen der <math>Spur(\gamma)</math> enthält. Damit besteht das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> der Kreisscheibe in dem Beispiel aus zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen <math>[a_0,b_0]</math> und <math>[a_1,b_1]</math> aus <math>[a,b]</math> (Abgeschlossenheit wegen Stetigkeit von <math>\gamma</math>). Im Allgemeinen kann das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> also notwendig [[w:de:wegzusammenhängend|zusammenhängend]] und besteht aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. === Bemerkung zu Zusammenhangskomponenten === Das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> ist nie leer, da es zumindest <math>t_o</math> enthält. Damit enthält das Urbild zumindest eine Zusammenhangskomponente <math>[a_0,b_0]</math> mit <math>t_0\in [a_0,b_0]\subseteq [a,b] </math>. Für den Beweis durch Widerspruch nimmt an, dass es für beliebige Radien <math>r > 0 </math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten im Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> gibt und führt das zum Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math>. === Bemerkung - nicht-injektive Wege === Bei Wegen <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math>, die nicht injektiv sind, gibt es mindestens zwei Argumente <math>t_1,t_2\in [a,b]</math> mit <math>t_1\not= t_2</math> und <math>\gamma(t_1)=\gamma(t_2)</math>. In <math>t_2</math> schneidet der Weg erneut die eigene Spur in <math>\gamma(t_1)</math>. In diesem Fall kann man kein <math>r_o > 0 </math> finden, sodass für alle <math>0 \leq r \leq r_o</math> immer aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht. Die Injektivität ist also eine wesentliche Voraussetzung für das Injektivitätslemma. == Injektivitätslemma für Wege == Sei <math> \gamma: [a, b] \to G </math> ein '''injektiver Weg''' in einem Gebiet <math>G</math>. Dann gibt es für jeden Spurpunkt <math> \gamma(t_o) </math> einer Radius <math>r_0 > 0 </math>, sodass jede abgeschlossen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(\gamma(t_o))} </math> um <math> \gamma(t_o) </math> mit Radius <math> r \leq r_0 </math> nur eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] der [[Weg (Mathematik)#Spur|Spur]] enthält und somit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> existieren, mit: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) </math> == Beweis == Sei <math> D_t := D_{r_t}(\gamma(t)) </math> offene Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0 </math> und <math> \overline{D_t} </math> die abgeschlossen Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>. === Schritt 1 - Voraussetzungen === Sei <math> \gamma </math> ein injektiver Weg, d. h.: * <math> \gamma </math> ist injektiv, * <math> \gamma </math> ist [[Stetigkeit|stetig]] (d.h. Urbilder <math> \gamma^{-1}(U) </math> von offenen Menge <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> sind offen). === Schritt 2 - Definition der Kreisscheibe === Sei <math> \gamma(t_0) = z_0 </math> ein Spurpunkt. In dem Beweis muss man zu jedem <math>t_0\in [a,b]</math> einer Radius <math>r_0 > 0</math> finden, sodass das Urbild von abgeschlossenen Kreisscheiben <math> \overline{D_r\big(\gamma(t_0)\big)}</math> um <math> z_0 </math> mit beliebigen Radius <math> r_t > 0 </math> wählen. Diese Kreischeiben sind wie folgt definiert: :<math> D_r(z_0) := \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | < r \} \quad \quad \overline{D_r(z_0)} = \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | \leq r \} </math> === Schritt 3 - Urbilder abgeschlossener Mengen === Bei stetigen Funktionen <math>\gamma</math> sind die [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Urbilder abgeschlossener Mengen]] wieder abgeschlossen. Damit sind * <math>\gamma^{-1}(D_r(z_0))</math> für beliebige offene Kreisscheiben offene Mengen und * <math>\gamma^{-1}(\overline{D_r(z_0)}) </math> für beliebige abgeschlossene Kreisscheiben abgeschlossene Mengen in <math>[a,b]</math>. Dabei wird die [[Normen, Metriken, Topologie#Relativtopologie|Relativtopologie]] von <math>\mathbb{R}</math> eingeschränkt auf <math>[a,b]</math> verwendet (z.B. ist dann <math>[a,\varepsilon)</math> eine offene Menge in <math>[a,b]</math>). === Schritt 4 - Schnitte von abgeschlossenen Mengen === Beliebige Vereinigungen <math>\bigcup_{i\in I} U_i</math> von offenen Mengen <math>U_i</math> sind wieder offen (siehe (T3) der [[topologischer Raum|Definition von topologischen Räumen]]). Damit sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i\in I} A_i</math> von abgeschlossenen Mengen <math>A_i</math> mit <math>i\in I</math> sind wieder abgeschlossen. Angewendet auf Kreisschreiben <math>D_r\big(\gamma(t)\big)\subset G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>I:= \{ r > 0 \, : \, r \leq r_o \}</math> gilt: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} = \bigcap_{n\in \mathbb{N}, \, \tfrac{1}{n} \leq r_0 } \overline{D_{\tfrac{1}{n}}\big(\gamma(t_o)\big)} </math> === Schritt 5 - Urbilder von abgeschlossenen Kreisschreiben === Die Urbilder <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> von abgeschlossenen Kreisschreiben <math>\overline{D_r(t_o)}</math> sind auch bei injektiven Wegen [[w:de:wegzusammenhängend|nicht notwendig zusammenhängend]] in <math>[a,b]</math> (wenn z.B. der Weg <math>\gamma</math> ab einer Parameterschranke <math> t_1 > t_0</math> die abgeschlossene Kreisscheibe "verlässt" (d.h. <math>\gamma(\widehat{t_1})\notin \overline{D_t(\varepsilon)}</math> für bestimmte <math> \widehat{t_1} > t_1 </math> - siehe Animation oben) und dann ab einer weiteren Parameterschranke <math> t_2 > t_1</math> für bestimmte <math> \widehat{t_2} \geq t_2 </math> die Bildpunkte <math>\gamma(\widehat{t_2})</math> wieder in der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegt. Analog kann Weg <math>\gamma(t)</math> auch für <math>t < t_1 < t_0</math> die abgeschlossenen Kreissscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> verlassen und für <math> t\leq t_2 < t_1 </math> kann <math>\gamma(t)</math> wieder in <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegen. === Schritt 6 - Urbilder und Zusammenhangskomponenten === Man nimmt nun an, dass das Urbild <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]] besteht, wobei es für alle <math>r \leq r_0</math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten <math>[a_0(r),b_0(r)], [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a,b]</math> mit <math>[a_0(r),b_0(r)] \cap [a_1(r),b_1(r)] = \emptyset </math>, die im <math>i\not=j</math>, wobei beide Intervalle für beliebige <math>0 < r \leq r_0 </math> nicht leer sind und ohne Einschränkung liegt <math>t_0</math> in <math>[a_0(r),b_0(r)]</math>. === Schritt 7 - Injektivität des Weges === Wegen der Injektivität von <math>\gamma</math> kann <math>\gamma(t_0)</math> nun in einer Zusammenhangskomponente liegen. Nach Schritt 6 gilt <math>t_0 \in [a_0(r),b_0(r)]</math> und man erhält mit <math>\gamma(t_0) \in \gamma([a_0(r),b_0(r)])</math> auch <math>t_0\notin [a_1(r),b_1(r)]</math> bzw. <math>\gamma([a_0(r),b_0(r)])\cap \gamma( [a_1(r),b_1(r)]) =\emptyset</math> nach Definition der Intervalle. Für <math>0 < r < R \leq r_0 </math> gilt ferner: :<math> \emptyset \not= [a_0(r),b_0(r)] \subseteq [a_0(R),b_0(R)] \quad \quad \emptyset \not= [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a_1(R),b_1(R)] </math> === Schritt 8 - Durchschnitt abgeschlossener Mengen === Nach Schritt 4 ist der Durchschnitt von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen und damit gilt: :<math> t_0 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_0(r),b_0(r)] \quad t_1 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_1(r),b_1(r)] </math> Wegen der Disjunktheit von <math>[a_0(r),b_0(r)]</math> und <math>[a_1(r),b_1(r)]</math> gilt auch <math>t_0\not= t_1</math>. === Schritt 9 - Widerspruch zur Injektivität === Der Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math> entsteht durch Schritt 4 mit: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} </math> und der Urbildfunktion :<math> \gamma^{-1}\big(\{\gamma(t_o)\}\big) = \gamma^{-1}\left( \bigcap_{r \in I} \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) = \bigcap_{r \in I } \gamma^{-1}\left(\overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) \supseteq \{t_0,t_1\} </math> Damit wäre die Injektivität veretzt, da <math>t_0\not= t_1</math> gilt, aber <math>\gamma(t_0) = \gamma(t_1)</math>. === Schritt 10 - Radiusschranke === Damit besteht das Urbild von <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> aber einer Indexschranke <math> r \leq r_o</math> nur noch aus einer Zusammenhangskomponente in <math>[a,b]</math> und ist mit der Stetigkeit von <math>\gamma</math> ein abgeschossenes Intervall <math>[t_o-\delta_1,t_o+\delta_2]</math>, dass man mit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> wie folgt darstellen kann: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) \quad \Box </math> == Bemerkung - Umgebung einer Spur == Mit dem Injektivitätslemma kann eine <math>\varepsilon -</math>-Umgebung einer Spur eines Weges <math>\gamma</math> bestimmen. Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G</math>, dann gibt es ein <math>\varepsilon > 0 </math>: :<math> U_\varepsilon (\gamma) = \{ z_0 \in \mathbb{C} \, : \, \inf_{z\in Spur(\gamma)} |z-z_0| < \varepsilon \} \subseteq G </math> Wichtig bei der Aussage ist, dass es ein globales <math>\varepsilon > 0</math> gibt, dass den Abtand von beliebigen Spurpunkten <math>\gamma(t)</math> zum Rand beschreibt. D.h. ein Weg als stetige Abbildung <math>[a,b]</math> in <math>G</math> kann sich mit der Spur nicht beliebig nah an den Rand des Gebietes annähern. === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie die obige Bemerkung für die Umgebung der Spur und nutzen Sie dazu die Kompaktheit der Spur aus. === Hinweis zur Beweisidee === Beliebige offene Überdeckungen der Spur besitzen endliche Teilüberdeckungen. Bei den diesen Überdeckungen schaut man sich den Kreisschnittdurchmesser an und verwendet das Minimum der endlichen nicht-leeren [[Kreisschnittdurchmesser]] als <math>\varepsilon</math>. <span id="Animation"></span> === Bemerkung - Ableitung und Einheitsnormalenvektoren === Über die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eines Weges <math>\gamma</math> erhält man eine Richtungsvektor <math>\gamma{\,}'(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math>. Zu diesem Richtungsvektor <math>\gamma{\,}'(t)</math> bildet man Einheitsnormalenvektoren und erzeugt so über Skalierung mit <math>\varepsilon > 0</math> eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um <math>Spur(\gamma)</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist eine Vereinigung von alle <math>\varepsilon</math>-Kreisscheiben <math>D_\varepsilon(\gamma(t))</math> um Spurpunkte <math>\gamma(t)</math>. === Animation - Ableitung und Einheitsnormalenvektoren === Für einen injektiven Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> wird in der Animation mit gestrichelten Linien ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Umgebung der Spur von <math>\gamma</math> erzeugt. Auf diesem Gebiet als Umgebung der Spur hat jede [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine Stammfunktion, wenn man <math>f</math> auf <math>G_0</math> einschränkt <math>f|_{G_0} : G_0 \to \mathbb{C}</math>. [[File:Tangentialvektor spirale einheitsnormalenvektor epsilonumgebung.gif|350px|center|Tangent vector and normal vectors to create a epsilon neighborhood around a curve]] === Bemerkung - Singularitäten === <math>G</math> selbst muss dabei selbst nicht einfach zusammenhängend sein und kann "Löcher" besitzen. Wählt man z.B. als undefinierte Stellen <math>S:= \{-8,2+4i,-1+6i, 4 \}</math> und entfernt die Punktmenge aus dem Definitionbereich einer Funktion mit <math>G:=\mathbb{C}\setminus S</math>, so erhält man eine Gebiet <math>G</math> auf dem man holomorphe Funktionen definieren kann. ==== Definition einer holomorphen Funktion ==== Betrachtet man die folgenden [[holomorphe Funktion]] <math>f</math>, so hat diese [[Singularitäten|undefinierte Stellen]] <math>S</math> (siehe auch [[Singularitäten]]) als Nullstellen des [[w:de:Nenner|Nenners]], die alle außerhalb von <math>G</math> liegen. Damit ist <math>f</math> nach Konstruktion auf ganz <math>G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]]. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & G & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & f(z) = \tfrac{1}{(z+8)\cdot (z-(2+4i))\cdot (z-(-i+6i))\cdot (z-4)} \end{array} </math> ==== Definition eines Weges in G ==== Der obige [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege#Animation|Weg aus der Animation]] <math>\gamma</math> verläuft in <math>G</math> und daher besitzt <math>\gamma</math> auch keine undefinierten Stellen aus <math>S</math> (als Menge der [[Singularitäten]]) in der Spur (d.h. <math>Spur(\gamma)\cap S = \emptyset</math>). [[Singularitäten]] werden im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung im Kontext des [[Residuensatz|Residuensatzes]] genauer untersucht und die obige Funktion ist dabei ein Beispiel für eine [[meromorphe Funktion]]. ==== Existenz von Stammfunktionen ==== Da <math>G</math> selbst ist nicht [[einfach zusammenhängend]] und es gibt in diesem Fall keine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf ganz <math>G</math>. Der obige in der Der obige [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege#Animation|Animation]] schraffierte Bereich <math>G_0</math> ohne den schraffierten Rand eine offene, [[einfach zusammenhängend]]e Teilmenge von <math>G</math>. Auf dem Gebiet <math>G_0</math> besitzt das oben genannte <math>f</math> eine Stammfunktion. <span id="Konstruktionslemma"></span> == Konstruktionslemma für Stammfunktionen == Sei <math>G</math> eine Gebiet und <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein injektiver [[Integrationsweg]] mit <math>\gamma{\,}'(t)\neq 0</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, dann gibt es ein Gebiet <math>G_0 \subset G</math> auf dem jede [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:G_0\to \mathbb{C}</math> besitzt und für alle <math>z_0 :=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> mit <math>t_0\in [a,b]</math> gilt: :<math> F(z_0) = \int_{\gamma_{t_0}} \!\!\! f(\xi) \, d\xi \ := \int_a^{t_0} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Beweisidee für das Konstruktionslemma === * Man startet mit der Konstruktion des einfach zusammenhängenden Gebietes bei <math>z_0 := \gamma(a)</math> Anfangspunkt des Weges <math>\gamma</math>. * Nun wählt man eine Kreisscheibe und dem [[Injektivitätslemma für Wege]] eine Kreischeibe <math>D_r(z_0)\subseteq G</math>, die einen maximalen Kreisradius enthält und dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big(D_r(z_0)\big)</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] in <math>[a,b]</math>. * Dann besteht auch das Urbild der Kreisscheibe <math>D_{r_0}(z_0)\subset D_r(z_0)</math> mit <math>r_0 := \tfrac{r}{3}</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. * Nun wählt man eine Kreisscheibe und dem [[Injektivitätslemma für Wege]] eine Kreischeibe <math>D_r(z_0)\subseteq G</math>, die einen maximalen Kreisradius enthält und dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big(D_{r}(z_0)\big)</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] in <math>[a,b]</math>. * Wenn <math>D_{r_0}(z_0)</math> schon die ganze Spur <math>Spur(\gamma)</math> überdeckt, definiert man <math>G_0:= D_{r_0}(z_0)</math> als einfach zusammenhängendes [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]]. * Wenn <math>D_{r_0}(z_0)</math> noch '''nicht''' die ganze Spur <math>Spur(\gamma)</math> überdeckt, dann ist <math>\gamma^{-1}\big(D_{r}(z_0)\big)=[a,t_1)</math>. * Nun wählt man für <math>z_1:= \gamma(t_1)\in \partial D_{r_0}(z_0) </math> aus dem Rand der Kreisscheibe <math>D_{r_0}(z_0)</math>. * Für <math>z_1</math> wählt man mit dem [[Injektivitätslemma für Wege]] wieder eine Kreischeibe <math>D_r(z_1)\subseteq G</math>, die einen maximalen Kreisradius besitzt und dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big(D_r(z_1)\big)</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] in <math>[a,b]</math>. * Dann besteht auch wieder das Urbild der Kreisscheibe <math>D_{r_1}(z_1)\subset D_r(z_1)</math> mit <math>r_1 := \tfrac{r}{3}</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. * Wenn <math>G_1 := D_{r_0}(z_0) \cup D_{r_1}(z_1)</math> bereits die ganze Spur überdeckt, wählt man als gesuchtes einfach zusammenhängendes Gebiet <math>G_0:=G_1</math>. * Wenn <math>G_1 := D_{r_0}(z_0) \cup D_{r_1}(z_1)</math> '''nicht''' die ganze Spur <math>Spur(\gamma)</math> überdeckt, gilt <math>\gamma^{-1}\big(G_1\big) = [a,t_2)</math>. * Man setzt die Konstuktion des Gebiets <math>G_n</math> durch fortgesetzte Vereinigung <math>G_{n+1} := G_n \cup D_{r_{n+1}}(z_{n+1})</math> immer weiter fort, bis die ganze Spur überdeckt wird. * Radiendefinition mit <math>r_n:= \tfrac{r}{3}</math> sorgt insgesamt dafür, dass durch die Vereinigung der Kreisscheiben in <math>G_{n+1}</math> keine "Löcher" entstehen. * Habt man <math>G_0</math> als einfach zusammenhängendes Gebiet gefunden, das die Spur überdeckt, gilt nach Definition des Lemmas <math>F(z_0) = F(\gamma(a)) = 0</math>. * Als Schnittmenge <math>M_1:= D_{r_0}(z_0) \cap D_{r_1}(z_1) \neq \emptyset </math> entsteht eine nicht-leere Menge <math>M_1</math>, sodass die Konstante der Stammfunktion auch auf <math>D_{r_1}(z_1)</math> eindeutig auf <math>D_{r_1}(z_1)</math> festgelegt ist. * Die [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen|Entwicklung]] von <math>f</math> in eine [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen|Potenzreihe]] gewährleitet die [[Cauchy-Integralformel]]. * Die [[gleichmäßige Konvergenz]] auf <math>D_{r_n}(z_n)</math> erlaubt die summandenweise Integration der Potenzreihe für die Stammfunktion. * Man kann das Gebiet <math>G_n</math> schrittweise mit Kreisscheiben erweitern, die den Weg nicht abdecken. In einem solchen Fall muss man darauf achtet, dass der Schnitt mit der hinzugefügte Kreisscheibe nur aus einer Zusammenhangskomponente entsteht. * '''(Messbarkeit und Topologie)''' als Bezug zur Maßtheorie ist <math>G_0</math> eine abzählbare Vereinigung von offenen Kreisscheiben aus der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und damit eine messbare Menge. Zugleich ist die beliebige Vereingigung von offenen Menge nach Definition der Topologie wieder offen. Ist das Ausgangsgebiet <math>G\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> ebenfalls eine messbare Menge, dann ist nach maximaler abzählbarer Ergänzung von Kreisscheiben, dann ist <math>G\setminus G_0</math> ein Nullmenge bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math>. === Aufgabe für Studierende === * Führen Sie die Beweisidee in den Übungen aus. * Teilen Sie sich in Gruppen Teilschritte im Beweis für die Vorstellung auf. * Fertigen Sie bei Ihrer Vorstellung Skizzen an, mit denen Sie die Beweiseschritte den anderen Studierenden erläutern. == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Kreisschnittdurchmesser]] * [[Konstruktionslemma für Stammfunktionen]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Relativtopologie]] * [[Residuensatz]] * [[Stetigkeit]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Stetigkeit - Urbilder abgeschlossener Mengen]] * [[Topologischer Raum]] * [[Weg (Mathematik)]] * [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]] [[Category:Funktionentheorie]] 6jvvywketp2t3x7an49mxsemly62ok3 1116894 1116893 2026-10-18T15:55:07Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisidee für das Konstruktionslemma */ 1116894 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Injektivitätslemmas für Wege mit Kreisscheiben wird für den [[Kurs:Funktionentheorie/Spurüberdeckungslemma|Spurüberdeckungslemma]] von Wegen benötigt. Die geometrische Grundidee besteht darin, zu jedem Spurpunkt <math>\gamma(t_o)</math> eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>D_r(\gamma(t_o))</math> als Umgebung <math>\gamma(t_o)</math> mit passendem Radius <math>r > 0</math> zu finden, dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> nur aus ''einer'' Zusammenhangskomponente besteht <math>[t_o-\delta_1 , t_o+\delta_2 ] </math> mit <math>\delta_1, \delta_2 > 0</math> besteht. === Animation === Bei großem Radius <math>r \geq 1.2 </math> enthält die grüne Kreisscheibe noch zwei [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]]. Für <math>r \leq 1.1</math> enthält die Kreisscheibe <math>D_r(\gamma_o))</math> nur noch eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] der Spur von <math>\gamma</math>. [[File:Umgebung injektiver weg.gif|350px|center|Injective Path and intersection with a disk with radius r - GIF Animaiton created Geogebra 4 on Linux]] === Bemerkung zur Animation === Die folgende Animation zeigt mit einem schrumpfenden Radius <math>r > 0 </math>, dass die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> mit größeren Radius zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen der <math>Spur(\gamma)</math> enthält. Damit besteht das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> der Kreisscheibe in dem Beispiel aus zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen <math>[a_0,b_0]</math> und <math>[a_1,b_1]</math> aus <math>[a,b]</math> (Abgeschlossenheit wegen Stetigkeit von <math>\gamma</math>). Im Allgemeinen kann das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> also notwendig [[w:de:wegzusammenhängend|zusammenhängend]] und besteht aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. === Bemerkung zu Zusammenhangskomponenten === Das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> ist nie leer, da es zumindest <math>t_o</math> enthält. Damit enthält das Urbild zumindest eine Zusammenhangskomponente <math>[a_0,b_0]</math> mit <math>t_0\in [a_0,b_0]\subseteq [a,b] </math>. Für den Beweis durch Widerspruch nimmt an, dass es für beliebige Radien <math>r > 0 </math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten im Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> gibt und führt das zum Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math>. === Bemerkung - nicht-injektive Wege === Bei Wegen <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math>, die nicht injektiv sind, gibt es mindestens zwei Argumente <math>t_1,t_2\in [a,b]</math> mit <math>t_1\not= t_2</math> und <math>\gamma(t_1)=\gamma(t_2)</math>. In <math>t_2</math> schneidet der Weg erneut die eigene Spur in <math>\gamma(t_1)</math>. In diesem Fall kann man kein <math>r_o > 0 </math> finden, sodass für alle <math>0 \leq r \leq r_o</math> immer aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht. Die Injektivität ist also eine wesentliche Voraussetzung für das Injektivitätslemma. == Injektivitätslemma für Wege == Sei <math> \gamma: [a, b] \to G </math> ein '''injektiver Weg''' in einem Gebiet <math>G</math>. Dann gibt es für jeden Spurpunkt <math> \gamma(t_o) </math> einer Radius <math>r_0 > 0 </math>, sodass jede abgeschlossen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(\gamma(t_o))} </math> um <math> \gamma(t_o) </math> mit Radius <math> r \leq r_0 </math> nur eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] der [[Weg (Mathematik)#Spur|Spur]] enthält und somit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> existieren, mit: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) </math> == Beweis == Sei <math> D_t := D_{r_t}(\gamma(t)) </math> offene Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0 </math> und <math> \overline{D_t} </math> die abgeschlossen Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>. === Schritt 1 - Voraussetzungen === Sei <math> \gamma </math> ein injektiver Weg, d. h.: * <math> \gamma </math> ist injektiv, * <math> \gamma </math> ist [[Stetigkeit|stetig]] (d.h. Urbilder <math> \gamma^{-1}(U) </math> von offenen Menge <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> sind offen). === Schritt 2 - Definition der Kreisscheibe === Sei <math> \gamma(t_0) = z_0 </math> ein Spurpunkt. In dem Beweis muss man zu jedem <math>t_0\in [a,b]</math> einer Radius <math>r_0 > 0</math> finden, sodass das Urbild von abgeschlossenen Kreisscheiben <math> \overline{D_r\big(\gamma(t_0)\big)}</math> um <math> z_0 </math> mit beliebigen Radius <math> r_t > 0 </math> wählen. Diese Kreischeiben sind wie folgt definiert: :<math> D_r(z_0) := \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | < r \} \quad \quad \overline{D_r(z_0)} = \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | \leq r \} </math> === Schritt 3 - Urbilder abgeschlossener Mengen === Bei stetigen Funktionen <math>\gamma</math> sind die [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Urbilder abgeschlossener Mengen]] wieder abgeschlossen. Damit sind * <math>\gamma^{-1}(D_r(z_0))</math> für beliebige offene Kreisscheiben offene Mengen und * <math>\gamma^{-1}(\overline{D_r(z_0)}) </math> für beliebige abgeschlossene Kreisscheiben abgeschlossene Mengen in <math>[a,b]</math>. Dabei wird die [[Normen, Metriken, Topologie#Relativtopologie|Relativtopologie]] von <math>\mathbb{R}</math> eingeschränkt auf <math>[a,b]</math> verwendet (z.B. ist dann <math>[a,\varepsilon)</math> eine offene Menge in <math>[a,b]</math>). === Schritt 4 - Schnitte von abgeschlossenen Mengen === Beliebige Vereinigungen <math>\bigcup_{i\in I} U_i</math> von offenen Mengen <math>U_i</math> sind wieder offen (siehe (T3) der [[topologischer Raum|Definition von topologischen Räumen]]). Damit sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i\in I} A_i</math> von abgeschlossenen Mengen <math>A_i</math> mit <math>i\in I</math> sind wieder abgeschlossen. Angewendet auf Kreisschreiben <math>D_r\big(\gamma(t)\big)\subset G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>I:= \{ r > 0 \, : \, r \leq r_o \}</math> gilt: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} = \bigcap_{n\in \mathbb{N}, \, \tfrac{1}{n} \leq r_0 } \overline{D_{\tfrac{1}{n}}\big(\gamma(t_o)\big)} </math> === Schritt 5 - Urbilder von abgeschlossenen Kreisschreiben === Die Urbilder <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> von abgeschlossenen Kreisschreiben <math>\overline{D_r(t_o)}</math> sind auch bei injektiven Wegen [[w:de:wegzusammenhängend|nicht notwendig zusammenhängend]] in <math>[a,b]</math> (wenn z.B. der Weg <math>\gamma</math> ab einer Parameterschranke <math> t_1 > t_0</math> die abgeschlossene Kreisscheibe "verlässt" (d.h. <math>\gamma(\widehat{t_1})\notin \overline{D_t(\varepsilon)}</math> für bestimmte <math> \widehat{t_1} > t_1 </math> - siehe Animation oben) und dann ab einer weiteren Parameterschranke <math> t_2 > t_1</math> für bestimmte <math> \widehat{t_2} \geq t_2 </math> die Bildpunkte <math>\gamma(\widehat{t_2})</math> wieder in der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegt. Analog kann Weg <math>\gamma(t)</math> auch für <math>t < t_1 < t_0</math> die abgeschlossenen Kreissscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> verlassen und für <math> t\leq t_2 < t_1 </math> kann <math>\gamma(t)</math> wieder in <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegen. === Schritt 6 - Urbilder und Zusammenhangskomponenten === Man nimmt nun an, dass das Urbild <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]] besteht, wobei es für alle <math>r \leq r_0</math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten <math>[a_0(r),b_0(r)], [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a,b]</math> mit <math>[a_0(r),b_0(r)] \cap [a_1(r),b_1(r)] = \emptyset </math>, die im <math>i\not=j</math>, wobei beide Intervalle für beliebige <math>0 < r \leq r_0 </math> nicht leer sind und ohne Einschränkung liegt <math>t_0</math> in <math>[a_0(r),b_0(r)]</math>. === Schritt 7 - Injektivität des Weges === Wegen der Injektivität von <math>\gamma</math> kann <math>\gamma(t_0)</math> nun in einer Zusammenhangskomponente liegen. Nach Schritt 6 gilt <math>t_0 \in [a_0(r),b_0(r)]</math> und man erhält mit <math>\gamma(t_0) \in \gamma([a_0(r),b_0(r)])</math> auch <math>t_0\notin [a_1(r),b_1(r)]</math> bzw. <math>\gamma([a_0(r),b_0(r)])\cap \gamma( [a_1(r),b_1(r)]) =\emptyset</math> nach Definition der Intervalle. Für <math>0 < r < R \leq r_0 </math> gilt ferner: :<math> \emptyset \not= [a_0(r),b_0(r)] \subseteq [a_0(R),b_0(R)] \quad \quad \emptyset \not= [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a_1(R),b_1(R)] </math> === Schritt 8 - Durchschnitt abgeschlossener Mengen === Nach Schritt 4 ist der Durchschnitt von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen und damit gilt: :<math> t_0 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_0(r),b_0(r)] \quad t_1 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_1(r),b_1(r)] </math> Wegen der Disjunktheit von <math>[a_0(r),b_0(r)]</math> und <math>[a_1(r),b_1(r)]</math> gilt auch <math>t_0\not= t_1</math>. === Schritt 9 - Widerspruch zur Injektivität === Der Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math> entsteht durch Schritt 4 mit: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} </math> und der Urbildfunktion :<math> \gamma^{-1}\big(\{\gamma(t_o)\}\big) = \gamma^{-1}\left( \bigcap_{r \in I} \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) = \bigcap_{r \in I } \gamma^{-1}\left(\overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) \supseteq \{t_0,t_1\} </math> Damit wäre die Injektivität veretzt, da <math>t_0\not= t_1</math> gilt, aber <math>\gamma(t_0) = \gamma(t_1)</math>. === Schritt 10 - Radiusschranke === Damit besteht das Urbild von <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> aber einer Indexschranke <math> r \leq r_o</math> nur noch aus einer Zusammenhangskomponente in <math>[a,b]</math> und ist mit der Stetigkeit von <math>\gamma</math> ein abgeschossenes Intervall <math>[t_o-\delta_1,t_o+\delta_2]</math>, dass man mit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> wie folgt darstellen kann: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) \quad \Box </math> == Bemerkung - Umgebung einer Spur == Mit dem Injektivitätslemma kann eine <math>\varepsilon -</math>-Umgebung einer Spur eines Weges <math>\gamma</math> bestimmen. Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G</math>, dann gibt es ein <math>\varepsilon > 0 </math>: :<math> U_\varepsilon (\gamma) = \{ z_0 \in \mathbb{C} \, : \, \inf_{z\in Spur(\gamma)} |z-z_0| < \varepsilon \} \subseteq G </math> Wichtig bei der Aussage ist, dass es ein globales <math>\varepsilon > 0</math> gibt, dass den Abtand von beliebigen Spurpunkten <math>\gamma(t)</math> zum Rand beschreibt. D.h. ein Weg als stetige Abbildung <math>[a,b]</math> in <math>G</math> kann sich mit der Spur nicht beliebig nah an den Rand des Gebietes annähern. === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie die obige Bemerkung für die Umgebung der Spur und nutzen Sie dazu die Kompaktheit der Spur aus. === Hinweis zur Beweisidee === Beliebige offene Überdeckungen der Spur besitzen endliche Teilüberdeckungen. Bei den diesen Überdeckungen schaut man sich den Kreisschnittdurchmesser an und verwendet das Minimum der endlichen nicht-leeren [[Kreisschnittdurchmesser]] als <math>\varepsilon</math>. <span id="Animation"></span> === Bemerkung - Ableitung und Einheitsnormalenvektoren === Über die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eines Weges <math>\gamma</math> erhält man eine Richtungsvektor <math>\gamma{\,}'(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math>. Zu diesem Richtungsvektor <math>\gamma{\,}'(t)</math> bildet man Einheitsnormalenvektoren und erzeugt so über Skalierung mit <math>\varepsilon > 0</math> eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um <math>Spur(\gamma)</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist eine Vereinigung von alle <math>\varepsilon</math>-Kreisscheiben <math>D_\varepsilon(\gamma(t))</math> um Spurpunkte <math>\gamma(t)</math>. === Animation - Ableitung und Einheitsnormalenvektoren === Für einen injektiven Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> wird in der Animation mit gestrichelten Linien ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Umgebung der Spur von <math>\gamma</math> erzeugt. Auf diesem Gebiet als Umgebung der Spur hat jede [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine Stammfunktion, wenn man <math>f</math> auf <math>G_0</math> einschränkt <math>f|_{G_0} : G_0 \to \mathbb{C}</math>. [[File:Tangentialvektor spirale einheitsnormalenvektor epsilonumgebung.gif|350px|center|Tangent vector and normal vectors to create a epsilon neighborhood around a curve]] === Bemerkung - Singularitäten === <math>G</math> selbst muss dabei selbst nicht einfach zusammenhängend sein und kann "Löcher" besitzen. Wählt man z.B. als undefinierte Stellen <math>S:= \{-8,2+4i,-1+6i, 4 \}</math> und entfernt die Punktmenge aus dem Definitionbereich einer Funktion mit <math>G:=\mathbb{C}\setminus S</math>, so erhält man eine Gebiet <math>G</math> auf dem man holomorphe Funktionen definieren kann. ==== Definition einer holomorphen Funktion ==== Betrachtet man die folgenden [[holomorphe Funktion]] <math>f</math>, so hat diese [[Singularitäten|undefinierte Stellen]] <math>S</math> (siehe auch [[Singularitäten]]) als Nullstellen des [[w:de:Nenner|Nenners]], die alle außerhalb von <math>G</math> liegen. Damit ist <math>f</math> nach Konstruktion auf ganz <math>G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]]. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & G & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & f(z) = \tfrac{1}{(z+8)\cdot (z-(2+4i))\cdot (z-(-i+6i))\cdot (z-4)} \end{array} </math> ==== Definition eines Weges in G ==== Der obige [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege#Animation|Weg aus der Animation]] <math>\gamma</math> verläuft in <math>G</math> und daher besitzt <math>\gamma</math> auch keine undefinierten Stellen aus <math>S</math> (als Menge der [[Singularitäten]]) in der Spur (d.h. <math>Spur(\gamma)\cap S = \emptyset</math>). [[Singularitäten]] werden im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung im Kontext des [[Residuensatz|Residuensatzes]] genauer untersucht und die obige Funktion ist dabei ein Beispiel für eine [[meromorphe Funktion]]. ==== Existenz von Stammfunktionen ==== Da <math>G</math> selbst ist nicht [[einfach zusammenhängend]] und es gibt in diesem Fall keine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf ganz <math>G</math>. Der obige in der Der obige [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege#Animation|Animation]] schraffierte Bereich <math>G_0</math> ohne den schraffierten Rand eine offene, [[einfach zusammenhängend]]e Teilmenge von <math>G</math>. Auf dem Gebiet <math>G_0</math> besitzt das oben genannte <math>f</math> eine Stammfunktion. <span id="Konstruktionslemma"></span> == Konstruktionslemma für Stammfunktionen == Sei <math>G</math> eine Gebiet und <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein injektiver [[Integrationsweg]] mit <math>\gamma{\,}'(t)\neq 0</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, dann gibt es ein Gebiet <math>G_0 \subset G</math> auf dem jede [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:G_0\to \mathbb{C}</math> besitzt und für alle <math>z_0 :=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> mit <math>t_0\in [a,b]</math> gilt: :<math> F(z_0) = \int_{\gamma_{t_0}} \!\!\! f(\xi) \, d\xi \ := \int_a^{t_0} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Beweisidee für das Konstruktionslemma === * Man startet mit der Konstruktion des einfach zusammenhängenden Gebietes bei <math>z_0 := \gamma(a)</math> Anfangspunkt des Weges <math>\gamma</math>. * Nun wählt man eine Kreisscheibe und dem [[Injektivitätslemma für Wege]] eine Kreischeibe <math>D_r(z_0)\subseteq G</math>, die einen maximalen Kreisradius enthält und dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big(D_r(z_0)\big)</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] in <math>[a,b]</math>. * Dann besteht auch das Urbild der Kreisscheibe <math>D_{r_0}(z_0)\subset D_r(z_0)</math> mit <math>r_0 := \tfrac{r}{3}</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. * Nun wählt man eine Kreisscheibe und dem [[Injektivitätslemma für Wege]] eine Kreischeibe <math>D_r(z_0)\subseteq G</math>, die einen maximalen Kreisradius enthält und dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big(D_{r}(z_0)\big)</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] in <math>[a,b]</math>. * Wenn <math>D_{r_0}(z_0)</math> schon die ganze Spur <math>Spur(\gamma)</math> überdeckt, definiert man <math>G_0:= D_{r_0}(z_0)</math> als einfach zusammenhängendes [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]]. * Wenn <math>D_{r_0}(z_0)</math> noch '''nicht''' die ganze Spur <math>Spur(\gamma)</math> überdeckt, dann ist <math>\gamma^{-1}\big(D_{r}(z_0)\big)=[a,t_1)</math>. * Nun wählt man für <math>z_1:= \gamma(t_1)\in \partial D_{r_0}(z_0) </math> aus dem Rand der Kreisscheibe <math>D_{r_0}(z_0)</math>. * Für <math>z_1</math> wählt man mit dem [[Injektivitätslemma für Wege]] wieder eine Kreischeibe <math>D_r(z_1)\subseteq G</math>, die einen maximalen Kreisradius besitzt und dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big(D_r(z_1)\big)</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] in <math>[a,b]</math>. * Dann besteht auch wieder das Urbild der Kreisscheibe <math>D_{r_1}(z_1)\subset D_r(z_1)</math> mit <math>r_1 := \tfrac{r}{3}</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. * Wenn <math>G_1 := D_{r_0}(z_0) \cup D_{r_1}(z_1)</math> bereits die ganze Spur überdeckt, wählt man als gesuchtes einfach zusammenhängendes Gebiet <math>G_0:=G_1</math>. * Wenn <math>G_1 := D_{r_0}(z_0) \cup D_{r_1}(z_1)</math> '''nicht''' die ganze Spur <math>Spur(\gamma)</math> überdeckt, gilt <math>\gamma^{-1}\big(G_1\big) = [a,t_2)</math>. * Man setzt die Konstuktion des Gebiets <math>G_n</math> durch fortgesetzte Vereinigung <math>G_{n+1} := G_n \cup D_{r_{n+1}}(z_{n+1})</math> immer weiter fort, bis die ganze Spur überdeckt wird. * Radiendefinition mit <math>r_n:= \tfrac{r}{3}</math> sorgt insgesamt dafür, dass durch die Vereinigung der Kreisscheiben in <math>G_{n+1}</math> keine "Löcher" entstehen. * Habt man <math>G_0</math> als einfach zusammenhängendes Gebiet gefunden, das die Spur überdeckt, gilt nach Definition des Lemmas <math>F(z_0) = F(\gamma(a)) = 0</math>. * Als Schnittmenge <math>M_1:= D_{r_0}(z_0) \cap D_{r_1}(z_1) \neq \emptyset </math> entsteht eine nicht-leere Menge <math>M_1</math>, sodass die Konstante der Stammfunktion auch auf <math>D_{r_1}(z_1)</math> eindeutig auf <math>D_{r_1}(z_1)</math> festgelegt ist. * Die [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen|Entwicklung]] von <math>f</math> in eine [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen|Potenzreihe]] gewährleitet die [[Cauchy-Integralformel]]. * Die [[gleichmäßige Konvergenz]] auf <math>D_{r_n}(z_n)</math> erlaubt die summandenweise Integration der Potenzreihe für die Stammfunktion. * Man kann das Gebiet <math>G_n</math> schrittweise mit Kreisscheiben erweitern, die den Weg nicht abdecken. In einem solchen Fall muss man darauf achtet, dass der Schnitt mit der hinzugefügte Kreisscheibe nur aus einer Zusammenhangskomponente entsteht. * '''(Messbarkeit und Topologie)''' als Bezug zur Maßtheorie ist <math>G_0</math> eine abzählbare Vereinigung von offenen Kreisscheiben aus der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und damit eine messbare Menge. Zugleich ist die beliebige Vereingigung von offenen Menge nach Definition der Topologie wieder offen. Ist das Ausgangsgebiet <math>G\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> ebenfalls eine messbare Menge, dann ist nach maximaler abzählbarer Ergänzung von Kreisscheiben ist Menge <math>G\setminus G_0</math> ein Nullmenge bzgl. des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesquemaßes]] auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math>. === Aufgabe für Studierende === * Führen Sie die Beweisidee in den Übungen aus. * Teilen Sie sich in Gruppen Teilschritte im Beweis für die Vorstellung auf. * Fertigen Sie bei Ihrer Vorstellung Skizzen an, mit denen Sie die Beweiseschritte den anderen Studierenden erläutern. == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Kreisschnittdurchmesser]] * [[Konstruktionslemma für Stammfunktionen]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Relativtopologie]] * [[Residuensatz]] * [[Stetigkeit]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Stetigkeit - Urbilder abgeschlossener Mengen]] * [[Topologischer Raum]] * [[Weg (Mathematik)]] * [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]] [[Category:Funktionentheorie]] 5w5w7wkdrbemvmbohprvcugjmyjqhnk 1116895 1116894 2026-10-18T15:57:06Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisidee für das Konstruktionslemma */ 1116895 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Injektivitätslemmas für Wege mit Kreisscheiben wird für den [[Kurs:Funktionentheorie/Spurüberdeckungslemma|Spurüberdeckungslemma]] von Wegen benötigt. Die geometrische Grundidee besteht darin, zu jedem Spurpunkt <math>\gamma(t_o)</math> eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>D_r(\gamma(t_o))</math> als Umgebung <math>\gamma(t_o)</math> mit passendem Radius <math>r > 0</math> zu finden, dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> nur aus ''einer'' Zusammenhangskomponente besteht <math>[t_o-\delta_1 , t_o+\delta_2 ] </math> mit <math>\delta_1, \delta_2 > 0</math> besteht. === Animation === Bei großem Radius <math>r \geq 1.2 </math> enthält die grüne Kreisscheibe noch zwei [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]]. Für <math>r \leq 1.1</math> enthält die Kreisscheibe <math>D_r(\gamma_o))</math> nur noch eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] der Spur von <math>\gamma</math>. [[File:Umgebung injektiver weg.gif|350px|center|Injective Path and intersection with a disk with radius r - GIF Animaiton created Geogebra 4 on Linux]] === Bemerkung zur Animation === Die folgende Animation zeigt mit einem schrumpfenden Radius <math>r > 0 </math>, dass die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> mit größeren Radius zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen der <math>Spur(\gamma)</math> enthält. Damit besteht das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> der Kreisscheibe in dem Beispiel aus zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen <math>[a_0,b_0]</math> und <math>[a_1,b_1]</math> aus <math>[a,b]</math> (Abgeschlossenheit wegen Stetigkeit von <math>\gamma</math>). Im Allgemeinen kann das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> also notwendig [[w:de:wegzusammenhängend|zusammenhängend]] und besteht aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. === Bemerkung zu Zusammenhangskomponenten === Das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> ist nie leer, da es zumindest <math>t_o</math> enthält. Damit enthält das Urbild zumindest eine Zusammenhangskomponente <math>[a_0,b_0]</math> mit <math>t_0\in [a_0,b_0]\subseteq [a,b] </math>. Für den Beweis durch Widerspruch nimmt an, dass es für beliebige Radien <math>r > 0 </math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten im Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> gibt und führt das zum Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math>. === Bemerkung - nicht-injektive Wege === Bei Wegen <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math>, die nicht injektiv sind, gibt es mindestens zwei Argumente <math>t_1,t_2\in [a,b]</math> mit <math>t_1\not= t_2</math> und <math>\gamma(t_1)=\gamma(t_2)</math>. In <math>t_2</math> schneidet der Weg erneut die eigene Spur in <math>\gamma(t_1)</math>. In diesem Fall kann man kein <math>r_o > 0 </math> finden, sodass für alle <math>0 \leq r \leq r_o</math> immer aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht. Die Injektivität ist also eine wesentliche Voraussetzung für das Injektivitätslemma. == Injektivitätslemma für Wege == Sei <math> \gamma: [a, b] \to G </math> ein '''injektiver Weg''' in einem Gebiet <math>G</math>. Dann gibt es für jeden Spurpunkt <math> \gamma(t_o) </math> einer Radius <math>r_0 > 0 </math>, sodass jede abgeschlossen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(\gamma(t_o))} </math> um <math> \gamma(t_o) </math> mit Radius <math> r \leq r_0 </math> nur eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] der [[Weg (Mathematik)#Spur|Spur]] enthält und somit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> existieren, mit: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) </math> == Beweis == Sei <math> D_t := D_{r_t}(\gamma(t)) </math> offene Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0 </math> und <math> \overline{D_t} </math> die abgeschlossen Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>. === Schritt 1 - Voraussetzungen === Sei <math> \gamma </math> ein injektiver Weg, d. h.: * <math> \gamma </math> ist injektiv, * <math> \gamma </math> ist [[Stetigkeit|stetig]] (d.h. Urbilder <math> \gamma^{-1}(U) </math> von offenen Menge <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> sind offen). === Schritt 2 - Definition der Kreisscheibe === Sei <math> \gamma(t_0) = z_0 </math> ein Spurpunkt. In dem Beweis muss man zu jedem <math>t_0\in [a,b]</math> einer Radius <math>r_0 > 0</math> finden, sodass das Urbild von abgeschlossenen Kreisscheiben <math> \overline{D_r\big(\gamma(t_0)\big)}</math> um <math> z_0 </math> mit beliebigen Radius <math> r_t > 0 </math> wählen. Diese Kreischeiben sind wie folgt definiert: :<math> D_r(z_0) := \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | < r \} \quad \quad \overline{D_r(z_0)} = \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | \leq r \} </math> === Schritt 3 - Urbilder abgeschlossener Mengen === Bei stetigen Funktionen <math>\gamma</math> sind die [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Urbilder abgeschlossener Mengen]] wieder abgeschlossen. Damit sind * <math>\gamma^{-1}(D_r(z_0))</math> für beliebige offene Kreisscheiben offene Mengen und * <math>\gamma^{-1}(\overline{D_r(z_0)}) </math> für beliebige abgeschlossene Kreisscheiben abgeschlossene Mengen in <math>[a,b]</math>. Dabei wird die [[Normen, Metriken, Topologie#Relativtopologie|Relativtopologie]] von <math>\mathbb{R}</math> eingeschränkt auf <math>[a,b]</math> verwendet (z.B. ist dann <math>[a,\varepsilon)</math> eine offene Menge in <math>[a,b]</math>). === Schritt 4 - Schnitte von abgeschlossenen Mengen === Beliebige Vereinigungen <math>\bigcup_{i\in I} U_i</math> von offenen Mengen <math>U_i</math> sind wieder offen (siehe (T3) der [[topologischer Raum|Definition von topologischen Räumen]]). Damit sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i\in I} A_i</math> von abgeschlossenen Mengen <math>A_i</math> mit <math>i\in I</math> sind wieder abgeschlossen. Angewendet auf Kreisschreiben <math>D_r\big(\gamma(t)\big)\subset G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>I:= \{ r > 0 \, : \, r \leq r_o \}</math> gilt: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} = \bigcap_{n\in \mathbb{N}, \, \tfrac{1}{n} \leq r_0 } \overline{D_{\tfrac{1}{n}}\big(\gamma(t_o)\big)} </math> === Schritt 5 - Urbilder von abgeschlossenen Kreisschreiben === Die Urbilder <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> von abgeschlossenen Kreisschreiben <math>\overline{D_r(t_o)}</math> sind auch bei injektiven Wegen [[w:de:wegzusammenhängend|nicht notwendig zusammenhängend]] in <math>[a,b]</math> (wenn z.B. der Weg <math>\gamma</math> ab einer Parameterschranke <math> t_1 > t_0</math> die abgeschlossene Kreisscheibe "verlässt" (d.h. <math>\gamma(\widehat{t_1})\notin \overline{D_t(\varepsilon)}</math> für bestimmte <math> \widehat{t_1} > t_1 </math> - siehe Animation oben) und dann ab einer weiteren Parameterschranke <math> t_2 > t_1</math> für bestimmte <math> \widehat{t_2} \geq t_2 </math> die Bildpunkte <math>\gamma(\widehat{t_2})</math> wieder in der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegt. Analog kann Weg <math>\gamma(t)</math> auch für <math>t < t_1 < t_0</math> die abgeschlossenen Kreissscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> verlassen und für <math> t\leq t_2 < t_1 </math> kann <math>\gamma(t)</math> wieder in <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegen. === Schritt 6 - Urbilder und Zusammenhangskomponenten === Man nimmt nun an, dass das Urbild <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]] besteht, wobei es für alle <math>r \leq r_0</math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten <math>[a_0(r),b_0(r)], [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a,b]</math> mit <math>[a_0(r),b_0(r)] \cap [a_1(r),b_1(r)] = \emptyset </math>, die im <math>i\not=j</math>, wobei beide Intervalle für beliebige <math>0 < r \leq r_0 </math> nicht leer sind und ohne Einschränkung liegt <math>t_0</math> in <math>[a_0(r),b_0(r)]</math>. === Schritt 7 - Injektivität des Weges === Wegen der Injektivität von <math>\gamma</math> kann <math>\gamma(t_0)</math> nun in einer Zusammenhangskomponente liegen. Nach Schritt 6 gilt <math>t_0 \in [a_0(r),b_0(r)]</math> und man erhält mit <math>\gamma(t_0) \in \gamma([a_0(r),b_0(r)])</math> auch <math>t_0\notin [a_1(r),b_1(r)]</math> bzw. <math>\gamma([a_0(r),b_0(r)])\cap \gamma( [a_1(r),b_1(r)]) =\emptyset</math> nach Definition der Intervalle. Für <math>0 < r < R \leq r_0 </math> gilt ferner: :<math> \emptyset \not= [a_0(r),b_0(r)] \subseteq [a_0(R),b_0(R)] \quad \quad \emptyset \not= [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a_1(R),b_1(R)] </math> === Schritt 8 - Durchschnitt abgeschlossener Mengen === Nach Schritt 4 ist der Durchschnitt von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen und damit gilt: :<math> t_0 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_0(r),b_0(r)] \quad t_1 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_1(r),b_1(r)] </math> Wegen der Disjunktheit von <math>[a_0(r),b_0(r)]</math> und <math>[a_1(r),b_1(r)]</math> gilt auch <math>t_0\not= t_1</math>. === Schritt 9 - Widerspruch zur Injektivität === Der Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math> entsteht durch Schritt 4 mit: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} </math> und der Urbildfunktion :<math> \gamma^{-1}\big(\{\gamma(t_o)\}\big) = \gamma^{-1}\left( \bigcap_{r \in I} \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) = \bigcap_{r \in I } \gamma^{-1}\left(\overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) \supseteq \{t_0,t_1\} </math> Damit wäre die Injektivität veretzt, da <math>t_0\not= t_1</math> gilt, aber <math>\gamma(t_0) = \gamma(t_1)</math>. === Schritt 10 - Radiusschranke === Damit besteht das Urbild von <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> aber einer Indexschranke <math> r \leq r_o</math> nur noch aus einer Zusammenhangskomponente in <math>[a,b]</math> und ist mit der Stetigkeit von <math>\gamma</math> ein abgeschossenes Intervall <math>[t_o-\delta_1,t_o+\delta_2]</math>, dass man mit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> wie folgt darstellen kann: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) \quad \Box </math> == Bemerkung - Umgebung einer Spur == Mit dem Injektivitätslemma kann eine <math>\varepsilon -</math>-Umgebung einer Spur eines Weges <math>\gamma</math> bestimmen. Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G</math>, dann gibt es ein <math>\varepsilon > 0 </math>: :<math> U_\varepsilon (\gamma) = \{ z_0 \in \mathbb{C} \, : \, \inf_{z\in Spur(\gamma)} |z-z_0| < \varepsilon \} \subseteq G </math> Wichtig bei der Aussage ist, dass es ein globales <math>\varepsilon > 0</math> gibt, dass den Abtand von beliebigen Spurpunkten <math>\gamma(t)</math> zum Rand beschreibt. D.h. ein Weg als stetige Abbildung <math>[a,b]</math> in <math>G</math> kann sich mit der Spur nicht beliebig nah an den Rand des Gebietes annähern. === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie die obige Bemerkung für die Umgebung der Spur und nutzen Sie dazu die Kompaktheit der Spur aus. === Hinweis zur Beweisidee === Beliebige offene Überdeckungen der Spur besitzen endliche Teilüberdeckungen. Bei den diesen Überdeckungen schaut man sich den Kreisschnittdurchmesser an und verwendet das Minimum der endlichen nicht-leeren [[Kreisschnittdurchmesser]] als <math>\varepsilon</math>. <span id="Animation"></span> === Bemerkung - Ableitung und Einheitsnormalenvektoren === Über die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eines Weges <math>\gamma</math> erhält man eine Richtungsvektor <math>\gamma{\,}'(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math>. Zu diesem Richtungsvektor <math>\gamma{\,}'(t)</math> bildet man Einheitsnormalenvektoren und erzeugt so über Skalierung mit <math>\varepsilon > 0</math> eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um <math>Spur(\gamma)</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist eine Vereinigung von alle <math>\varepsilon</math>-Kreisscheiben <math>D_\varepsilon(\gamma(t))</math> um Spurpunkte <math>\gamma(t)</math>. === Animation - Ableitung und Einheitsnormalenvektoren === Für einen injektiven Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> wird in der Animation mit gestrichelten Linien ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Umgebung der Spur von <math>\gamma</math> erzeugt. Auf diesem Gebiet als Umgebung der Spur hat jede [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine Stammfunktion, wenn man <math>f</math> auf <math>G_0</math> einschränkt <math>f|_{G_0} : G_0 \to \mathbb{C}</math>. [[File:Tangentialvektor spirale einheitsnormalenvektor epsilonumgebung.gif|350px|center|Tangent vector and normal vectors to create a epsilon neighborhood around a curve]] === Bemerkung - Singularitäten === <math>G</math> selbst muss dabei selbst nicht einfach zusammenhängend sein und kann "Löcher" besitzen. Wählt man z.B. als undefinierte Stellen <math>S:= \{-8,2+4i,-1+6i, 4 \}</math> und entfernt die Punktmenge aus dem Definitionbereich einer Funktion mit <math>G:=\mathbb{C}\setminus S</math>, so erhält man eine Gebiet <math>G</math> auf dem man holomorphe Funktionen definieren kann. ==== Definition einer holomorphen Funktion ==== Betrachtet man die folgenden [[holomorphe Funktion]] <math>f</math>, so hat diese [[Singularitäten|undefinierte Stellen]] <math>S</math> (siehe auch [[Singularitäten]]) als Nullstellen des [[w:de:Nenner|Nenners]], die alle außerhalb von <math>G</math> liegen. Damit ist <math>f</math> nach Konstruktion auf ganz <math>G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]]. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & G & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & f(z) = \tfrac{1}{(z+8)\cdot (z-(2+4i))\cdot (z-(-i+6i))\cdot (z-4)} \end{array} </math> ==== Definition eines Weges in G ==== Der obige [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege#Animation|Weg aus der Animation]] <math>\gamma</math> verläuft in <math>G</math> und daher besitzt <math>\gamma</math> auch keine undefinierten Stellen aus <math>S</math> (als Menge der [[Singularitäten]]) in der Spur (d.h. <math>Spur(\gamma)\cap S = \emptyset</math>). [[Singularitäten]] werden im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung im Kontext des [[Residuensatz|Residuensatzes]] genauer untersucht und die obige Funktion ist dabei ein Beispiel für eine [[meromorphe Funktion]]. ==== Existenz von Stammfunktionen ==== Da <math>G</math> selbst ist nicht [[einfach zusammenhängend]] und es gibt in diesem Fall keine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf ganz <math>G</math>. Der obige in der Der obige [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege#Animation|Animation]] schraffierte Bereich <math>G_0</math> ohne den schraffierten Rand eine offene, [[einfach zusammenhängend]]e Teilmenge von <math>G</math>. Auf dem Gebiet <math>G_0</math> besitzt das oben genannte <math>f</math> eine Stammfunktion. <span id="Konstruktionslemma"></span> == Konstruktionslemma für Stammfunktionen == Sei <math>G</math> eine Gebiet und <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein injektiver [[Integrationsweg]] mit <math>\gamma{\,}'(t)\neq 0</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, dann gibt es ein Gebiet <math>G_0 \subset G</math> auf dem jede [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:G_0\to \mathbb{C}</math> besitzt und für alle <math>z_0 :=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> mit <math>t_0\in [a,b]</math> gilt: :<math> F(z_0) = \int_{\gamma_{t_0}} \!\!\! f(\xi) \, d\xi \ := \int_a^{t_0} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Beweisidee für das Konstruktionslemma === * Man startet mit der Konstruktion des einfach zusammenhängenden Gebietes bei <math>z_0 := \gamma(a)</math> Anfangspunkt des Weges <math>\gamma</math>. * Nun wählt man eine Kreisscheibe und dem [[Injektivitätslemma für Wege]] eine Kreischeibe <math>D_r(z_0)\subseteq G</math>, die einen maximalen Kreisradius enthält und dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big(D_r(z_0)\big)</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] in <math>[a,b]</math>. * Dann besteht auch das Urbild der Kreisscheibe <math>D_{r_0}(z_0)\subset D_r(z_0)</math> mit <math>r_0 := \tfrac{r}{3}</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. * Nun wählt man eine Kreisscheibe und dem [[Injektivitätslemma für Wege]] eine Kreischeibe <math>D_r(z_0)\subseteq G</math>, die einen maximalen Kreisradius enthält und dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big(D_{r}(z_0)\big)</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] in <math>[a,b]</math>. * Wenn <math>D_{r_0}(z_0)</math> schon die ganze Spur <math>Spur(\gamma)</math> überdeckt, definiert man <math>G_0:= D_{r_0}(z_0)</math> als einfach zusammenhängendes [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]]. * Wenn <math>D_{r_0}(z_0)</math> noch '''nicht''' die ganze Spur <math>Spur(\gamma)</math> überdeckt, dann ist <math>\gamma^{-1}\big(D_{r}(z_0)\big)=[a,t_1)</math>. * Nun wählt man für <math>z_1:= \gamma(t_1)\in \partial D_{r_0}(z_0) </math> aus dem Rand der Kreisscheibe <math>D_{r_0}(z_0)</math>. * Für <math>z_1</math> wählt man mit dem [[Injektivitätslemma für Wege]] wieder eine Kreischeibe <math>D_r(z_1)\subseteq G</math>, die einen maximalen Kreisradius besitzt und dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big(D_r(z_1)\big)</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] in <math>[a,b]</math>. * Dann besteht auch wieder das Urbild der Kreisscheibe <math>D_{r_1}(z_1)\subset D_r(z_1)</math> mit <math>r_1 := \tfrac{r}{3}</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. * Wenn <math>G_1 := D_{r_0}(z_0) \cup D_{r_1}(z_1)</math> bereits die ganze Spur überdeckt, wählt man als gesuchtes einfach zusammenhängendes Gebiet <math>G_0:=G_1</math>. * Wenn <math>G_1 := D_{r_0}(z_0) \cup D_{r_1}(z_1)</math> '''nicht''' die ganze Spur <math>Spur(\gamma)</math> überdeckt, gilt <math>\gamma^{-1}\big(G_1\big) = [a,t_2)</math>. * Man setzt die Konstuktion des Gebiets <math>G_n</math> durch fortgesetzte Vereinigung <math>G_{n+1} := G_n \cup D_{r_{n+1}}(z_{n+1})</math> immer weiter fort, bis die ganze Spur überdeckt wird. * Radiendefinition mit <math>r_n:= \tfrac{r}{3}</math> sorgt insgesamt dafür, dass durch die Vereinigung der Kreisscheiben in <math>G_{n+1}</math> keine "Löcher" entstehen. * Habt man <math>G_0</math> als einfach zusammenhängendes Gebiet gefunden, das die Spur überdeckt, gilt nach Definition des Lemmas <math>F(z_0) = F(\gamma(a)) = 0</math>. * Als Schnittmenge <math>M_1:= D_{r_0}(z_0) \cap D_{r_1}(z_1) \neq \emptyset </math> entsteht eine nicht-leere Menge <math>M_1</math>, sodass die Konstante der Stammfunktion auch auf <math>D_{r_1}(z_1)</math> eindeutig auf <math>D_{r_1}(z_1)</math> festgelegt ist. * Die [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen|Entwicklung]] von <math>f</math> in eine [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen|Potenzreihe]] gewährleitet die [[Cauchy-Integralformel]]. * Die [[gleichmäßige Konvergenz]] auf <math>D_{r_n}(z_n)</math> erlaubt die summandenweise Integration der Potenzreihe für die Stammfunktion. * Man kann das Gebiet <math>G_n</math> schrittweise mit Kreisscheiben erweitern, die den Weg nicht abdecken. In einem solchen Fall muss man darauf achtet, dass der Schnitt mit der hinzugefügte Kreisscheibe nur aus einer Zusammenhangskomponente entsteht. * '''(Messbarkeit und Topologie)''' als Bezug zur Maßtheorie ist <math>G_0</math> eine abzählbare Vereinigung von offenen Kreisscheiben aus der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und damit eine messbare Menge. Zugleich ist die beliebige Vereingigung von offenen Menge nach Definition der Topologie wieder offen. Ist das Ausgangsgebiet <math>G\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> ebenfalls eine messbare Menge, dann ist nach maximaler abzählbarer Ergänzung von Kreisscheiben ist Menge <math>G\setminus G_0</math> ein Nullmenge bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> mit der Identifikation von <math>\mathbb{C}</math> mit <math>\mathbb{R}^2</math>. === Aufgabe für Studierende === * Führen Sie die Beweisidee in den Übungen aus. * Teilen Sie sich in Gruppen Teilschritte im Beweis für die Vorstellung auf. * Fertigen Sie bei Ihrer Vorstellung Skizzen an, mit denen Sie die Beweiseschritte den anderen Studierenden erläutern. == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Kreisschnittdurchmesser]] * [[Konstruktionslemma für Stammfunktionen]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Relativtopologie]] * [[Residuensatz]] * [[Stetigkeit]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Stetigkeit - Urbilder abgeschlossener Mengen]] * [[Topologischer Raum]] * [[Weg (Mathematik)]] * [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]] [[Category:Funktionentheorie]] auy6nbpu6wv73p6wy380ges9h7zobtj 1116896 1116895 2026-10-18T15:58:48Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116896 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Injektivitätslemmas für Wege mit Kreisscheiben wird für den [[Kurs:Funktionentheorie/Spurüberdeckungslemma|Spurüberdeckungslemma]] von Wegen benötigt. Die geometrische Grundidee besteht darin, zu jedem Spurpunkt <math>\gamma(t_o)</math> eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>D_r(\gamma(t_o))</math> als Umgebung <math>\gamma(t_o)</math> mit passendem Radius <math>r > 0</math> zu finden, dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> nur aus ''einer'' Zusammenhangskomponente besteht <math>[t_o-\delta_1 , t_o+\delta_2 ] </math> mit <math>\delta_1, \delta_2 > 0</math> besteht. === Animation === Bei großem Radius <math>r \geq 1.2 </math> enthält die grüne Kreisscheibe noch zwei [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]]. Für <math>r \leq 1.1</math> enthält die Kreisscheibe <math>D_r(\gamma_o))</math> nur noch eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] der Spur von <math>\gamma</math>. [[File:Umgebung injektiver weg.gif|350px|center|Injective Path and intersection with a disk with radius r - GIF Animaiton created Geogebra 4 on Linux]] === Bemerkung zur Animation === Die folgende Animation zeigt mit einem schrumpfenden Radius <math>r > 0 </math>, dass die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> mit größeren Radius zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen der <math>Spur(\gamma)</math> enthält. Damit besteht das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> der Kreisscheibe in dem Beispiel aus zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen <math>[a_0,b_0]</math> und <math>[a_1,b_1]</math> aus <math>[a,b]</math> (Abgeschlossenheit wegen Stetigkeit von <math>\gamma</math>). Im Allgemeinen kann das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> also notwendig [[w:de:wegzusammenhängend|zusammenhängend]] und besteht aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. === Bemerkung zu Zusammenhangskomponenten === Das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> ist nie leer, da es zumindest <math>t_o</math> enthält. Damit enthält das Urbild zumindest eine Zusammenhangskomponente <math>[a_0,b_0]</math> mit <math>t_0\in [a_0,b_0]\subseteq [a,b] </math>. Für den Beweis durch Widerspruch nimmt an, dass es für beliebige Radien <math>r > 0 </math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten im Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> gibt und führt das zum Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math>. === Bemerkung - nicht-injektive Wege === Bei Wegen <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math>, die nicht injektiv sind, gibt es mindestens zwei Argumente <math>t_1,t_2\in [a,b]</math> mit <math>t_1\not= t_2</math> und <math>\gamma(t_1)=\gamma(t_2)</math>. In <math>t_2</math> schneidet der Weg erneut die eigene Spur in <math>\gamma(t_1)</math>. In diesem Fall kann man kein <math>r_o > 0 </math> finden, sodass für alle <math>0 \leq r \leq r_o</math> immer aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht. Die Injektivität ist also eine wesentliche Voraussetzung für das Injektivitätslemma. == Injektivitätslemma für Wege == Sei <math> \gamma: [a, b] \to G </math> ein '''injektiver Weg''' in einem Gebiet <math>G</math>. Dann gibt es für jeden Spurpunkt <math> \gamma(t_o) </math> einer Radius <math>r_0 > 0 </math>, sodass jede abgeschlossen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(\gamma(t_o))} </math> um <math> \gamma(t_o) </math> mit Radius <math> r \leq r_0 </math> nur eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] der [[Weg (Mathematik)#Spur|Spur]] enthält und somit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> existieren, mit: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) </math> == Beweis == Sei <math> D_t := D_{r_t}(\gamma(t)) </math> offene Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0 </math> und <math> \overline{D_t} </math> die abgeschlossen Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>. === Schritt 1 - Voraussetzungen === Sei <math> \gamma </math> ein injektiver Weg, d. h.: * <math> \gamma </math> ist injektiv, * <math> \gamma </math> ist [[Stetigkeit|stetig]] (d.h. Urbilder <math> \gamma^{-1}(U) </math> von offenen Menge <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> sind offen). === Schritt 2 - Definition der Kreisscheibe === Sei <math> \gamma(t_0) = z_0 </math> ein Spurpunkt. In dem Beweis muss man zu jedem <math>t_0\in [a,b]</math> einer Radius <math>r_0 > 0</math> finden, sodass das Urbild von abgeschlossenen Kreisscheiben <math> \overline{D_r\big(\gamma(t_0)\big)}</math> um <math> z_0 </math> mit beliebigen Radius <math> r_t > 0 </math> wählen. Diese Kreischeiben sind wie folgt definiert: :<math> D_r(z_0) := \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | < r \} \quad \quad \overline{D_r(z_0)} = \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | \leq r \} </math> === Schritt 3 - Urbilder abgeschlossener Mengen === Bei stetigen Funktionen <math>\gamma</math> sind die [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Urbilder abgeschlossener Mengen]] wieder abgeschlossen. Damit sind * <math>\gamma^{-1}(D_r(z_0))</math> für beliebige offene Kreisscheiben offene Mengen und * <math>\gamma^{-1}(\overline{D_r(z_0)}) </math> für beliebige abgeschlossene Kreisscheiben abgeschlossene Mengen in <math>[a,b]</math>. Dabei wird die [[Normen, Metriken, Topologie#Relativtopologie|Relativtopologie]] von <math>\mathbb{R}</math> eingeschränkt auf <math>[a,b]</math> verwendet (z.B. ist dann <math>[a,\varepsilon)</math> eine offene Menge in <math>[a,b]</math>). === Schritt 4 - Schnitte von abgeschlossenen Mengen === Beliebige Vereinigungen <math>\bigcup_{i\in I} U_i</math> von offenen Mengen <math>U_i</math> sind wieder offen (siehe (T3) der [[topologischer Raum|Definition von topologischen Räumen]]). Damit sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i\in I} A_i</math> von abgeschlossenen Mengen <math>A_i</math> mit <math>i\in I</math> sind wieder abgeschlossen. Angewendet auf Kreisschreiben <math>D_r\big(\gamma(t)\big)\subset G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>I:= \{ r > 0 \, : \, r \leq r_o \}</math> gilt: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} = \bigcap_{n\in \mathbb{N}, \, \tfrac{1}{n} \leq r_0 } \overline{D_{\tfrac{1}{n}}\big(\gamma(t_o)\big)} </math> === Schritt 5 - Urbilder von abgeschlossenen Kreisschreiben === Die Urbilder <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> von abgeschlossenen Kreisschreiben <math>\overline{D_r(t_o)}</math> sind auch bei injektiven Wegen [[w:de:wegzusammenhängend|nicht notwendig zusammenhängend]] in <math>[a,b]</math> (wenn z.B. der Weg <math>\gamma</math> ab einer Parameterschranke <math> t_1 > t_0</math> die abgeschlossene Kreisscheibe "verlässt" (d.h. <math>\gamma(\widehat{t_1})\notin \overline{D_t(\varepsilon)}</math> für bestimmte <math> \widehat{t_1} > t_1 </math> - siehe Animation oben) und dann ab einer weiteren Parameterschranke <math> t_2 > t_1</math> für bestimmte <math> \widehat{t_2} \geq t_2 </math> die Bildpunkte <math>\gamma(\widehat{t_2})</math> wieder in der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegt. Analog kann Weg <math>\gamma(t)</math> auch für <math>t < t_1 < t_0</math> die abgeschlossenen Kreissscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> verlassen und für <math> t\leq t_2 < t_1 </math> kann <math>\gamma(t)</math> wieder in <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegen. === Schritt 6 - Urbilder und Zusammenhangskomponenten === Man nimmt nun an, dass das Urbild <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]] besteht, wobei es für alle <math>r \leq r_0</math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten <math>[a_0(r),b_0(r)], [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a,b]</math> mit <math>[a_0(r),b_0(r)] \cap [a_1(r),b_1(r)] = \emptyset </math>, die im <math>i\not=j</math>, wobei beide Intervalle für beliebige <math>0 < r \leq r_0 </math> nicht leer sind und ohne Einschränkung liegt <math>t_0</math> in <math>[a_0(r),b_0(r)]</math>. === Schritt 7 - Injektivität des Weges === Wegen der Injektivität von <math>\gamma</math> kann <math>\gamma(t_0)</math> nun in einer Zusammenhangskomponente liegen. Nach Schritt 6 gilt <math>t_0 \in [a_0(r),b_0(r)]</math> und man erhält mit <math>\gamma(t_0) \in \gamma([a_0(r),b_0(r)])</math> auch <math>t_0\notin [a_1(r),b_1(r)]</math> bzw. <math>\gamma([a_0(r),b_0(r)])\cap \gamma( [a_1(r),b_1(r)]) =\emptyset</math> nach Definition der Intervalle. Für <math>0 < r < R \leq r_0 </math> gilt ferner: :<math> \emptyset \not= [a_0(r),b_0(r)] \subseteq [a_0(R),b_0(R)] \quad \quad \emptyset \not= [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a_1(R),b_1(R)] </math> === Schritt 8 - Durchschnitt abgeschlossener Mengen === Nach Schritt 4 ist der Durchschnitt von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen und damit gilt: :<math> t_0 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_0(r),b_0(r)] \quad t_1 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_1(r),b_1(r)] </math> Wegen der Disjunktheit von <math>[a_0(r),b_0(r)]</math> und <math>[a_1(r),b_1(r)]</math> gilt auch <math>t_0\not= t_1</math>. === Schritt 9 - Widerspruch zur Injektivität === Der Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math> entsteht durch Schritt 4 mit: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} </math> und der Urbildfunktion :<math> \gamma^{-1}\big(\{\gamma(t_o)\}\big) = \gamma^{-1}\left( \bigcap_{r \in I} \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) = \bigcap_{r \in I } \gamma^{-1}\left(\overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) \supseteq \{t_0,t_1\} </math> Damit wäre die Injektivität veretzt, da <math>t_0\not= t_1</math> gilt, aber <math>\gamma(t_0) = \gamma(t_1)</math>. === Schritt 10 - Radiusschranke === Damit besteht das Urbild von <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> aber einer Indexschranke <math> r \leq r_o</math> nur noch aus einer Zusammenhangskomponente in <math>[a,b]</math> und ist mit der Stetigkeit von <math>\gamma</math> ein abgeschossenes Intervall <math>[t_o-\delta_1,t_o+\delta_2]</math>, dass man mit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> wie folgt darstellen kann: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) \quad \Box </math> == Bemerkung - Umgebung einer Spur == Mit dem Injektivitätslemma kann eine <math>\varepsilon -</math>-Umgebung einer Spur eines Weges <math>\gamma</math> bestimmen. Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G</math>, dann gibt es ein <math>\varepsilon > 0 </math>: :<math> U_\varepsilon (\gamma) = \{ z_0 \in \mathbb{C} \, : \, \inf_{z\in Spur(\gamma)} |z-z_0| < \varepsilon \} \subseteq G </math> Wichtig bei der Aussage ist, dass es ein globales <math>\varepsilon > 0</math> gibt, dass den Abtand von beliebigen Spurpunkten <math>\gamma(t)</math> zum Rand beschreibt. D.h. ein Weg als stetige Abbildung <math>[a,b]</math> in <math>G</math> kann sich mit der Spur nicht beliebig nah an den Rand des Gebietes annähern. === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie die obige Bemerkung für die Umgebung der Spur und nutzen Sie dazu die Kompaktheit der Spur aus. === Hinweis zur Beweisidee === Beliebige offene Überdeckungen der Spur besitzen endliche Teilüberdeckungen. Bei den diesen Überdeckungen schaut man sich den Kreisschnittdurchmesser an und verwendet das Minimum der endlichen nicht-leeren [[Kreisschnittdurchmesser]] als <math>\varepsilon</math>. <span id="Animation"></span> === Bemerkung - Ableitung und Einheitsnormalenvektoren === Über die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eines Weges <math>\gamma</math> erhält man eine Richtungsvektor <math>\gamma{\,}'(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math>. Zu diesem Richtungsvektor <math>\gamma{\,}'(t)</math> bildet man Einheitsnormalenvektoren und erzeugt so über Skalierung mit <math>\varepsilon > 0</math> eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um <math>Spur(\gamma)</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist eine Vereinigung von alle <math>\varepsilon</math>-Kreisscheiben <math>D_\varepsilon(\gamma(t))</math> um Spurpunkte <math>\gamma(t)</math>. === Animation - Ableitung und Einheitsnormalenvektoren === Für einen injektiven Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> wird in der Animation mit gestrichelten Linien ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Umgebung der Spur von <math>\gamma</math> erzeugt. Auf diesem Gebiet als Umgebung der Spur hat jede [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine Stammfunktion, wenn man <math>f</math> auf <math>G_0</math> einschränkt <math>f|_{G_0} : G_0 \to \mathbb{C}</math>. [[File:Tangentialvektor spirale einheitsnormalenvektor epsilonumgebung.gif|350px|center|Tangent vector and normal vectors to create a epsilon neighborhood around a curve]] === Bemerkung - Singularitäten === <math>G</math> selbst muss dabei selbst nicht einfach zusammenhängend sein und kann "Löcher" besitzen. Wählt man z.B. als undefinierte Stellen <math>S:= \{-8,2+4i,-1+6i, 4 \}</math> und entfernt die Punktmenge aus dem Definitionbereich einer Funktion mit <math>G:=\mathbb{C}\setminus S</math>, so erhält man eine Gebiet <math>G</math> auf dem man holomorphe Funktionen definieren kann. ==== Definition einer holomorphen Funktion ==== Betrachtet man die folgenden [[holomorphe Funktion]] <math>f</math>, so hat diese [[Singularitäten|undefinierte Stellen]] <math>S</math> (siehe auch [[Singularitäten]]) als Nullstellen des [[w:de:Nenner|Nenners]], die alle außerhalb von <math>G</math> liegen. Damit ist <math>f</math> nach Konstruktion auf ganz <math>G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]]. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & G & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & f(z) = \tfrac{1}{(z+8)\cdot (z-(2+4i))\cdot (z-(-i+6i))\cdot (z-4)} \end{array} </math> ==== Definition eines Weges in G ==== Der obige [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege#Animation|Weg aus der Animation]] <math>\gamma</math> verläuft in <math>G</math> und daher besitzt <math>\gamma</math> auch keine undefinierten Stellen aus <math>S</math> (als Menge der [[Singularitäten]]) in der Spur (d.h. <math>Spur(\gamma)\cap S = \emptyset</math>). [[Singularitäten]] werden im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung im Kontext des [[Residuensatz|Residuensatzes]] genauer untersucht und die obige Funktion ist dabei ein Beispiel für eine [[meromorphe Funktion]]. ==== Existenz von Stammfunktionen ==== Da <math>G</math> selbst ist nicht [[einfach zusammenhängend]] und es gibt in diesem Fall keine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf ganz <math>G</math>. Der obige in der Der obige [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege#Animation|Animation]] schraffierte Bereich <math>G_0</math> ohne den schraffierten Rand eine offene, [[einfach zusammenhängend]]e Teilmenge von <math>G</math>. Auf dem Gebiet <math>G_0</math> besitzt das oben genannte <math>f</math> eine Stammfunktion. <span id="Konstruktionslemma"></span> == Konstruktionslemma für Stammfunktionen == Sei <math>G</math> eine Gebiet und <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein injektiver [[Integrationsweg]] mit <math>\gamma{\,}'(t)\neq 0</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, dann gibt es ein Gebiet <math>G_0 \subset G</math> auf dem jede [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:G_0\to \mathbb{C}</math> besitzt und für alle <math>z_0 :=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> mit <math>t_0\in [a,b]</math> gilt: :<math> F(z_0) = \int_{\gamma_{t_0}} \!\!\! f(\xi) \, d\xi \ := \int_a^{t_0} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Beweisidee für das Konstruktionslemma === * Man startet mit der Konstruktion des einfach zusammenhängenden Gebietes bei <math>z_0 := \gamma(a)</math> Anfangspunkt des Weges <math>\gamma</math>. * Nun wählt man eine Kreisscheibe und dem [[Injektivitätslemma für Wege]] eine Kreischeibe <math>D_r(z_0)\subseteq G</math>, die einen maximalen Kreisradius enthält und dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big(D_r(z_0)\big)</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] in <math>[a,b]</math>. * Dann besteht auch das Urbild der Kreisscheibe <math>D_{r_0}(z_0)\subset D_r(z_0)</math> mit <math>r_0 := \tfrac{r}{3}</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. * Nun wählt man eine Kreisscheibe und dem [[Injektivitätslemma für Wege]] eine Kreischeibe <math>D_r(z_0)\subseteq G</math>, die einen maximalen Kreisradius enthält und dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big(D_{r}(z_0)\big)</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] in <math>[a,b]</math>. * Wenn <math>D_{r_0}(z_0)</math> schon die ganze Spur <math>Spur(\gamma)</math> überdeckt, definiert man <math>G_0:= D_{r_0}(z_0)</math> als einfach zusammenhängendes [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]]. * Wenn <math>D_{r_0}(z_0)</math> noch '''nicht''' die ganze Spur <math>Spur(\gamma)</math> überdeckt, dann ist <math>\gamma^{-1}\big(D_{r}(z_0)\big)=[a,t_1)</math>. * Nun wählt man für <math>z_1:= \gamma(t_1)\in \partial D_{r_0}(z_0) </math> aus dem Rand der Kreisscheibe <math>D_{r_0}(z_0)</math>. * Für <math>z_1</math> wählt man mit dem [[Injektivitätslemma für Wege]] wieder eine Kreischeibe <math>D_r(z_1)\subseteq G</math>, die einen maximalen Kreisradius besitzt und dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big(D_r(z_1)\big)</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] in <math>[a,b]</math>. * Dann besteht auch wieder das Urbild der Kreisscheibe <math>D_{r_1}(z_1)\subset D_r(z_1)</math> mit <math>r_1 := \tfrac{r}{3}</math> nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. * Wenn <math>G_1 := D_{r_0}(z_0) \cup D_{r_1}(z_1)</math> bereits die ganze Spur überdeckt, wählt man als gesuchtes einfach zusammenhängendes Gebiet <math>G_0:=G_1</math>. * Wenn <math>G_1 := D_{r_0}(z_0) \cup D_{r_1}(z_1)</math> '''nicht''' die ganze Spur <math>Spur(\gamma)</math> überdeckt, gilt <math>\gamma^{-1}\big(G_1\big) = [a,t_2)</math>. * Man setzt die Konstuktion des Gebiets <math>G_n</math> durch fortgesetzte Vereinigung <math>G_{n+1} := G_n \cup D_{r_{n+1}}(z_{n+1})</math> immer weiter fort, bis die ganze Spur überdeckt wird. * Radiendefinition mit <math>r_n:= \tfrac{r}{3}</math> sorgt insgesamt dafür, dass durch die Vereinigung der Kreisscheiben in <math>G_{n+1}</math> keine "Löcher" entstehen. * Habt man <math>G_0</math> als einfach zusammenhängendes Gebiet gefunden, das die Spur überdeckt, gilt nach Definition des Lemmas <math>F(z_0) = F(\gamma(a)) = 0</math>. * Als Schnittmenge <math>M_1:= D_{r_0}(z_0) \cap D_{r_1}(z_1) \neq \emptyset </math> entsteht eine nicht-leere Menge <math>M_1</math>, sodass die Konstante der Stammfunktion auch auf <math>D_{r_1}(z_1)</math> eindeutig auf <math>D_{r_1}(z_1)</math> festgelegt ist. * Die [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen|Entwicklung]] von <math>f</math> in eine [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen|Potenzreihe]] gewährleitet die [[Cauchy-Integralformel]]. * Die [[gleichmäßige Konvergenz]] auf <math>D_{r_n}(z_n)</math> erlaubt die summandenweise Integration der Potenzreihe für die Stammfunktion. * Man kann das Gebiet <math>G_n</math> schrittweise mit Kreisscheiben erweitern, die den Weg nicht abdecken. In einem solchen Fall muss man darauf achtet, dass der Schnitt mit der hinzugefügte Kreisscheibe nur aus einer Zusammenhangskomponente entsteht. * '''(Messbarkeit und Topologie)''' als Bezug zur Maßtheorie ist <math>G_0</math> eine abzählbare Vereinigung von offenen Kreisscheiben aus der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und damit eine messbare Menge. Zugleich ist die beliebige Vereingigung von offenen Menge nach Definition der Topologie wieder offen. Ist das Ausgangsgebiet <math>G\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> ebenfalls eine messbare Menge, dann ist nach maximaler abzählbarer Ergänzung von Kreisscheiben ist Menge <math>G\setminus G_0</math> ein Nullmenge bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> mit der Identifikation von <math>\mathbb{C}</math> mit <math>\mathbb{R}^2</math>. === Aufgabe für Studierende === * Führen Sie die Beweisidee in den Übungen aus. * Teilen Sie sich in Gruppen Teilschritte im Beweis für die Vorstellung auf. * Fertigen Sie bei Ihrer Vorstellung Skizzen an, mit denen Sie die Beweiseschritte den anderen Studierenden erläutern. == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Kreisschnittdurchmesser]] * [[Konstruktionslemma für Stammfunktionen]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Relativtopologie]] * [[Residuensatz]] * [[Stetigkeit]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Stetigkeit - Urbilder abgeschlossener Mengen]] * [[Topologischer Raum]] * [[Weg (Mathematik)]] * [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] [[Category:Funktionentheorie]] qe0oeoh2ultlf12p6gjqhdywchmwa9o 106 172698 1116892 1116168 2026-10-18T15:44:15Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116892 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Man betrachtet nun beliebige offene einfach zusammenhängende [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math>G</math> mit <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it} \in G</math>, <math>t\in \mathbb{R}</math> und <math>0\notin G</math> und betrachtet die zugehörige Stammfunktion <math>log_{_G}(z)</math> von <math>f(z)</math>, die die Eigenschaft <math>log_{_G}(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t</math>. Im Allgemeinen muss <math>G</math> nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin G</math> sein, damit eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> existiert. Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math> unterscheiden sich nur durch eine Konstante <math>c</math>. === Festlegung der Stammfunktion als Logarithmus === Durch die Festlegung von <math>F(1)=0</math> für den Hauptzweig des Logarithmus, bzw. <math>F(-1)=\pi i</math> für den [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] ist der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>f</math> allerdings eindeutig festgelegt. Für einen generalisierten Logarithmus auf einem Gebiet <math>G</math> reicht die Festlegung des Zweiges für die Festlegung in einem Punkt: :<math>F(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t = w</math> Damit gilt bei Einsetzen in die Exponentialfunktion: :<math> e^{w} = e^{F(z_0)}= e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t} = e^{\ln(|z_0|)}\cdot e^{i\cdot t} = |z_0|\cdot e^{i\cdot t} = z_0 </math> === Einführendes Beispiel - Archimedische Spiral === Man verwendet und ein [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]], der wie folgt definiert ist: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,+\infty) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = t\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Spur der [[w:de:Archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] <math>Spur(\gamma)</math> wird nun aus den komplexen Zahlen entfernt <math>G:=\mathbb{C}\setminus Spur(\gamma)</math> und man erhält ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. ==== Abbildung - Archimedische Spirale ==== Die folgende Abbildung zeigt die Spur des Weges <math>\gamma</math> als [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]]. [[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]] ==== Beschränkter Imaginärteil beim Logarithmus ==== Wenn man den [[Hauptzweig des Logarithmus]] oder den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] betrachtet, so haben die Logarithmen immer einen beschränkten Imaginärteil. * <math>(-\pi,+\pi)</math> für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] und * <math>(0,2\pi)</math> für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]]. Bei generalisierten Logarithmen auf einfach zusammenhängenden Gebieten ist der Imaginärteil aber nicht notwendigerweise beschränkt. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass der [[Zweig des Logarithmus]], der auf dem Gebiet <math>G\setminus Spur(\gamma)</math> definiert ist, einen unbeschränkten Imaginärteil besitzt. <math>G</math> entsteht dabei durch die Entfernung der Spur der [[w:de:archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] aus den komplexen Zahlen. ==== Hinweis zur Aufgabe ==== Die Zahl 0 wird ebenfalls aus dem Definitionsbereiches des Zweiges entfernt, da <math>\gamma(0)=0\cdot e^{i\cdot 0} = 0\in Spur(\gamma)</math> gilt. == Definition - generalisierter Logarithmus == Sei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet mit <math>0\notin G</math> und <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math>. Die Funktion <math>\log_{_G} : G \to \mathbb{C} </math> mit :<math> \log_{_G}(z_0) = \ln(|z_0|) + i \cdot t </math> nennt man generalisierter Logarithmus auf <math>G</math> für <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \in G</math>. === LogMod-Funktion des Startpunktes === Analog zu den bereits angesprochenen [[Zweige des Logarithmus|Zweige des Logorithmus]] wählt man <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> als Startpunkt des definierenden Wegintegrals über <math>f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}</math>. Die Eigenschaft <math>log_{_G}(1)=2\pi i\cdot k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> ist erfüllt, wobei die [[logmod-Funktion]] <math>logmod(z_0)</math> und die topologische Struktur des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes die Vielfachheit <math>k</math> von <math>log_{_G}(1)</math> eindeutig festlegt. === Aufgabe für Studierende === Wählen Sie als Gebiet <math>G</math> das [[einfach zusammenhängend]]e Gebiet, das durch die Entfernung der archimedischen Spirale in <math>\mathbb{C}</math> entstanden ist. Sei <math>z_0 = 10\cdot e^{13\pi}</math>. Berechnen Sie den Logarithmus von: * <math>log_{_G}(1)=2\pi i\cdot k_1</math> und * <math>log_{_G}(e)=w+2\pi i\cdot k_2</math> und bestimmen Sie <math>k_1, k_2, w </math> für die beiden Logarithmen. === Integraldarstellung des Zweiges === Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] <math>\gamma_z</math> als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft für <math>z_0 =|z_0|\cdot e^{it}</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> log_{_G}(z) := \underbrace{(\ln(|z_0|\cdot i\cdot t)}_{=\log_{_G}(z_0)} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \log_{_G}(z_0) + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> === Entwicklung in Potenzreihen === Man legt Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus Spur(\gamma)</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des Logarithmus auf <math>G</math> eindeutig definiert ist. Wie bei anderen Zweigen des Logarithmus ist durch den [[Identitätssatz]] bereits durch die Festlegung eines Punkte die Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> auf einer Kreisscheibe festgelegt, die als nicht diskrete Menge den Logarithmus auf ganz <math>G</math> festlegt. == Siehe auch == * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[einfach zusammenhängend]] * [[Injektivitätslemma für Wege]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] * [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] * [[Zweige des Logarithmus]] abqvhr2ylaj6idsvqafjzepq2gysq8h 106 172708 1116903 1116683 2026-10-18T16:01:38Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116903 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktionen]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen [[Funktionenraum]] von [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]], bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglichst klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten eine möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung über eine Grundgesamtheit an Wegen. === Reellwertige Funktionen und komplexe Analysis === Der Residuensatz ermöglicht die Berechnung von reellen Integralen über Werkzeuge, die in der komplexen Analysis zur Verfügung stehen. Im Anwendungsfall beschäftigt man sich i.d.R. reellwertigen [[Wegintegral]]. Wenn die Grundmenge der Wege aus [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] besteht (z.B. [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>), so kann man diese als Wege im <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren und so Werkzeuge aus der komplexen Analysis anwenden. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Integralkorrespondenzsatz - IKS== Sei <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> eine Kette <math>\Gamma</math> von [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math> und <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[meromorphe Funktion]]. Die Integration über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] <math>\Gamma := \sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> in <math>G</math> lässt sich dann wie folgt berechnen: :<math> \sum_{i=1}^n n_i\cdot \int_{a_i}^{b_i} f(\gamma_i(t)) \, dt = </math> === Bemerkung - Weg-Zeit-Risikointegral === Im Integralkorrespondenzsatz seht auf linken ein Integrationsterm, der man als Zusammenfassung von zu berechnenden [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] auffassen kann (z.B. mehrere Rettungsaktionen über die Wege <math>\gamma_i</math>). :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} </math> Auf der rechten Seite steht dann ein Integrationsterm, der sich über die Anwendung des [[Residuensatz|Residuensatzes]] und dem [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] ergibt. == Beweis - IKS == == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[Konstruktionslemma für Stammfunktionen]] * [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynom]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] [[Category:Funktionentheorie]] jvqbn3ykvmtk2omtsnmlas5738dkj81 106 172715 1116898 1116728 2026-10-18T15:59:29Z Coc39ked 40763 1116898 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Für die aktuell betrachtete Modellvariante beträgt der eingestellte Stenosegrad 80 %. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Die Geschwindigkeitsverteilung der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation wurde mithilfe des Geschwindigkeitsbetrags ''spf.U'' in COMSOL Multiphysics untersucht. Die berechneten Geschwindigkeiten liegen gemäß der dargestellten Farbskala zwischen nahezu 0 m/s an den Gefäßwänden und ungefähr 0,32 m/s im Strömungsgebiet. Im gemeinsamen Zuflussgefäß zeigt sich eine erhöhte Strömungsgeschwindigkeit im zentralen Bereich, während die Geschwindigkeit zu den Gefäßwänden hin abnimmt. An der Gefäßverzweigung teilt sich die Strömung auf die beiden Tochtergefäße auf. Im oberen Gefäßast führt die lokale Querschnittsverengung zu einer Veränderung der Geschwindigkeitsverteilung. Im Bereich der Engstelle sind erhöhte Geschwindigkeiten zu erkennen, während in wandnahen Bereichen geringere Geschwindigkeiten auftreten. Die zusätzlich dargestellten Stromlinien verdeutlichen den Verlauf der Strömung durch die Gefäßverzweigung. In der vorliegenden Darstellung sind keine eindeutig ausgeprägten geschlossenen Rückströmungsgebiete zu erkennen. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Gefäßgeometrie die lokale Geschwindigkeitsverteilung beeinflusst. Insbesondere die Verengung verändert die Strömung im betroffenen Gefäßast. Aus der Geschwindigkeitsdarstellung allein lässt sich jedoch noch nicht beurteilen, ob hinter der Stenose eine Strömungsablösung auftritt. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Geschwindigkeit spf.png|700px|zentriert|Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.]] <small>'''Abbildung 1:''' Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.</small> </div> ==== Auswertung ==== Die quantitative Auswertung des Geschwindigkeitsfeldes mittels der COMSOL-Funktion ''Oberflächenmaximum'' ergibt für das gesamte zweidimensionale Strömungsgebiet eine maximale Geschwindigkeit von '''0,31853 m/s'''. Dieser Wert bestätigt die aus der Farbskala abgelesene Größenordnung von etwa '''0,32 m/s'''. Die maximale Geschwindigkeit beschreibt den höchsten lokal auftretenden Geschwindigkeitsbetrag im untersuchten Modell mit einer ACI-Stenose von ''80 %''. Aus dem Maximalwert allein lässt sich jedoch noch nicht bestimmen, an welcher Position innerhalb des Gefäßes dieser auftritt. Auch eine mögliche Rückströmung kann damit nicht nachgewiesen werden. ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. === Wandschubspannung === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Für den untersuchten Stenosebereich ergibt sich eine maximale Wandschubspannung von '''3,2282 Pa'''. Der Wert beschreibt das Maximum auf den ausgewählten Wandkanten der 80-%-Stenose. Da für diese Auswertung der Betrag der Wandschubspannung verwendet wurde, lässt sich daraus allein keine Aussage über eine mögliche Umkehr der wandnahen Strömungsrichtung ableiten. Zur Untersuchung möglicher Ablösebereiche ist zusätzlich eine Auswertung der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung erforderlich. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Wandschubspannung.png|800px|zentriert|Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.]] <small>'''Abbildung 4:''' Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.</small> </div> ==== Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung ==== Zur weiteren Untersuchung möglicher Strömungsablösungen wurde die vorzeichenbehaftete tangentiale Wandschubspannung entlang der oberen und unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose ausgewertet. An der oberen Gefäßwand steigt die berechnete Spannung von ungefähr −0,05 Pa auf +0,47 Pa an. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm auf. An der unteren Gefäßwand steigt die Spannung von ungefähr −0,48 Pa auf +0,06 Pa an. Hier erfolgt ein Vorzeichenwechsel bei einer Bogenlänge von etwa 20 mm. Die Ergebnisse zeigen somit auf beiden untersuchten Wandabschnitten einen Vorzeichenwechsel der tangentialen Spannungskomponente. Dies kann auf Änderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen und ist mit möglichen Ablöse- oder Wiederanlagerungsvorgängen vereinbar. Die Bogenlängen beziehen sich jeweils auf den untersuchten Wandabschnitt und können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Zudem hängt das Vorzeichen von der Orientierung der lokalen Wandtangente ab. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet lässt sich aus den Vorzeichenwechseln allein nicht eindeutig nachweisen. <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Oberer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.]] <small>'''Abbildung 5:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.</small> </div> <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Unterer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.]] <small>'''Abbildung 6:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.</small> </div> === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> i89wadx78mkr6m6n108vrgrhhdiktno 1116900 1116898 2026-10-18T15:59:57Z Coc39ked 40763 1116900 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Für die aktuell betrachtete Modellvariante beträgt der eingestellte Stenosegrad 80 %. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Die Geschwindigkeitsverteilung der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation wurde mithilfe des Geschwindigkeitsbetrags ''spf.U'' in COMSOL Multiphysics untersucht. Die berechneten Geschwindigkeiten liegen gemäß der dargestellten Farbskala zwischen nahezu 0 m/s an den Gefäßwänden und ungefähr 0,32 m/s im Strömungsgebiet. Im gemeinsamen Zuflussgefäß zeigt sich eine erhöhte Strömungsgeschwindigkeit im zentralen Bereich, während die Geschwindigkeit zu den Gefäßwänden hin abnimmt. An der Gefäßverzweigung teilt sich die Strömung auf die beiden Tochtergefäße auf. Im oberen Gefäßast führt die lokale Querschnittsverengung zu einer Veränderung der Geschwindigkeitsverteilung. Im Bereich der Engstelle sind erhöhte Geschwindigkeiten zu erkennen, während in wandnahen Bereichen geringere Geschwindigkeiten auftreten. Die zusätzlich dargestellten Stromlinien verdeutlichen den Verlauf der Strömung durch die Gefäßverzweigung. In der vorliegenden Darstellung sind keine eindeutig ausgeprägten geschlossenen Rückströmungsgebiete zu erkennen. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Gefäßgeometrie die lokale Geschwindigkeitsverteilung beeinflusst. Insbesondere die Verengung verändert die Strömung im betroffenen Gefäßast. Aus der Geschwindigkeitsdarstellung allein lässt sich jedoch noch nicht beurteilen, ob hinter der Stenose eine Strömungsablösung auftritt. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Geschwindigkeit spf.png|700px|zentriert|Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.]] <small>'''Abbildung 1:''' Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.</small> </div> ==== Auswertung ==== Die quantitative Auswertung des Geschwindigkeitsfeldes mittels der COMSOL-Funktion ''Oberflächenmaximum'' ergibt für das gesamte zweidimensionale Strömungsgebiet eine maximale Geschwindigkeit von '''0,31853 m/s'''. Dieser Wert bestätigt die aus der Farbskala abgelesene Größenordnung von etwa '''0,32 m/s'''. Die maximale Geschwindigkeit beschreibt den höchsten lokal auftretenden Geschwindigkeitsbetrag im untersuchten Modell mit einer ACI-Stenose von ''80 %''. Aus dem Maximalwert allein lässt sich jedoch noch nicht bestimmen, an welcher Position innerhalb des Gefäßes dieser auftritt. Auch eine mögliche Rückströmung kann damit nicht nachgewiesen werden. ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. === Wandschubspannung === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Für den untersuchten Stenosebereich ergibt sich eine maximale Wandschubspannung von '''3,2282 Pa'''. Der Wert beschreibt das Maximum auf den ausgewählten Wandkanten der 80-%-Stenose. Da für diese Auswertung der Betrag der Wandschubspannung verwendet wurde, lässt sich daraus allein keine Aussage über eine mögliche Umkehr der wandnahen Strömungsrichtung ableiten. Zur Untersuchung möglicher Ablösebereiche ist zusätzlich eine Auswertung der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung erforderlich. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Wandschubspannung.png|800px|zentriert|Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.]] <small>'''Abbildung 4:''' Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.</small> </div> ==== Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung ==== Zur weiteren Untersuchung möglicher Strömungsablösungen wurde die vorzeichenbehaftete tangentiale Wandschubspannung entlang der oberen und unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose ausgewertet. An der oberen Gefäßwand steigt die berechnete Spannung von ungefähr −0,05 Pa auf +0,47 Pa an. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm auf. An der unteren Gefäßwand steigt die Spannung von ungefähr −0,48 Pa auf +0,06 Pa an. Hier erfolgt ein Vorzeichenwechsel bei einer Bogenlänge von etwa 20 mm. Die Ergebnisse zeigen somit auf beiden untersuchten Wandabschnitten einen Vorzeichenwechsel der tangentialen Spannungskomponente. Dies kann auf Änderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen und ist mit möglichen Ablöse- oder Wiederanlagerungsvorgängen vereinbar. Die Bogenlängen beziehen sich jeweils auf den untersuchten Wandabschnitt und können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Zudem hängt das Vorzeichen von der Orientierung der lokalen Wandtangente ab. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet lässt sich aus den Vorzeichenwechseln allein nicht eindeutig nachweisen. <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Oberer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.]] <small>'''Abbildung 5:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.</small> </div> <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Unterer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.]] <small>'''Abbildung 6:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.</small> </div> === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> c5k1vbfi09aqq1h7rpml82pgckukegz 106 172948 1116884 1116393 2026-10-18T15:36:52Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1116884 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''"Zweige"''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]] und [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]] === Periodizität und Äquivalenzklassen === Die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]] und die Bildung von [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen]] ist wesentlich die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Vielfachen von <math>2\pi i</math> eine Periodizität aufweist, die zu unterschiedliche Zweigen des Logarithmus führt. === Wahl des Gebietes === Die topogische Form als [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet ist wesentlich, da dadurch der Zweig des Logarithmus unterschiedlich wird. Die unterschiedliche Wahl des Gebietes <math>G</math> für zum Begriff eines [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]). === Algebraische Vollständigkeit === In der Funktionentheorie sind Zweige des des [[Logarithmus]] holomorphe Funktionen <math>\log_G</math> mit <math>\exp(\log_G(z))=z</math>. Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]]) erweitert man Definitionsbereich des Zweiges des Logaritmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> definiert ist. Durch die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] verliert man aber allerdings die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft. == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log_G(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. <span id="Hauptzweig"></span> === Hauptzweig des Logarithmus === Eine übliche Wahl für <math> G </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser <math> -\pi < \arg(z) < +\pi </math>. === Integraldarstellung des Hauptzweiges === Wählt man <math>z_o = 1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math>, so gilt muss die Stammfunktion <math>log</math> von <math>f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}</math> die Eigenschaft <math>log(1)=0</math> erfüllen. Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] <math>\gamma_z</math> als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> log(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="Periodizitaet"></span> === Zweige des Logarithmus - Peridoizität === Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von <math>2\pi i</math> Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot\arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln \big(|z|\big) + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln \big(|z|\big)</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> auf <math>\mathbb{R}^+</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\log(z) = \ln\big(|z|\big) + \mathrm{i}\arg(z)</math>. <span id="negativer_Hauptzweig"></span> === Negativer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_-}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''negativen Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> ==== Bemerkung - Anwendung des negativen Hauptzweiges ==== Der negative Hauptzweig findet Verwendung für die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] des Gebietes zusammen mit Äquivalenzklassen <math>[z]_n</math> bzgl. der [[logmod-Funktion]] und dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Dabei werden Rechenoperationen analog zu den Äquivalenzklassen betrachtet, um Rechenregeln für den Logarithmus aus der reellen Analysis auf die komplexe Analysis zu übertragen. Die algebraische Vervollständigung führt zu eine Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> <span id="imaginaerer_Hauptzweig"></span> === Imaginärer Hauptzweige des Logarithmus === Beim imaginären Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>i</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den imaginären Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_i}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative imaginäre Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = i\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''imaginären Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_i}(z) := \frac{\pi}{2} i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \frac{\pi}{2} i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="negativer_imaginaerer_Hauptzweig"></span> === Negativer imaginärer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_-}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = -i\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''negativen imaginären Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_{-i}}(z) := -\frac{\pi}{2} i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = -\frac{\pi}{2} i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="algebraischvollstaendig"></span> == Definition - algebraisch vollständig == Ein Zweig des Logarithmus als Funktion <math> \log: G\to \mathbb{C} </math> heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich <math> G := \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> besitzt und <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math> gilt. === Bemerkung - algebraische Vollständigkeit === Der Definitionsbereich <math> G := \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in <math>\mathbb{C}</math>. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. <math>\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]</math>. Dies ist keine offene Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle <math> z \not= 0 </math> (bzw. <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>) definiert ist. == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante <math>c_0</math> zu dem gegebenen <math>z_0</math> wählen? ::<math> F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe <math>2\pi i</math> einschränken, zum Beispiel: :<math> G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : G \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math>G </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus. == Zusammenfassung == * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : G \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene <math> \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich <math>G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i </math> zu <math>G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i</math> für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich <math>G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i</math> auch diesen Definitionsbereich auf <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i</math> erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz <math>\mathbb{D}_1</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] *[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für Logarithmen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] * [[Stetigkeit]] 9eavj3aw66mhuserh8ntgctv2xcnb0c 1116888 1116884 2026-10-18T15:42:55Z Bert Niehaus 20843 /* Zusammenfassung */ 1116888 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''"Zweige"''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]] und [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]] === Periodizität und Äquivalenzklassen === Die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]] und die Bildung von [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen]] ist wesentlich die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Vielfachen von <math>2\pi i</math> eine Periodizität aufweist, die zu unterschiedliche Zweigen des Logarithmus führt. === Wahl des Gebietes === Die topogische Form als [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet ist wesentlich, da dadurch der Zweig des Logarithmus unterschiedlich wird. Die unterschiedliche Wahl des Gebietes <math>G</math> für zum Begriff eines [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]). === Algebraische Vollständigkeit === In der Funktionentheorie sind Zweige des des [[Logarithmus]] holomorphe Funktionen <math>\log_G</math> mit <math>\exp(\log_G(z))=z</math>. Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]]) erweitert man Definitionsbereich des Zweiges des Logaritmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> definiert ist. Durch die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] verliert man aber allerdings die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft. == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log_G(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. <span id="Hauptzweig"></span> === Hauptzweig des Logarithmus === Eine übliche Wahl für <math> G </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser <math> -\pi < \arg(z) < +\pi </math>. === Integraldarstellung des Hauptzweiges === Wählt man <math>z_o = 1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math>, so gilt muss die Stammfunktion <math>log</math> von <math>f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}</math> die Eigenschaft <math>log(1)=0</math> erfüllen. Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] <math>\gamma_z</math> als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> log(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="Periodizitaet"></span> === Zweige des Logarithmus - Peridoizität === Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von <math>2\pi i</math> Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot\arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln \big(|z|\big) + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln \big(|z|\big)</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> auf <math>\mathbb{R}^+</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\log(z) = \ln\big(|z|\big) + \mathrm{i}\arg(z)</math>. <span id="negativer_Hauptzweig"></span> === Negativer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_-}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''negativen Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> ==== Bemerkung - Anwendung des negativen Hauptzweiges ==== Der negative Hauptzweig findet Verwendung für die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] des Gebietes zusammen mit Äquivalenzklassen <math>[z]_n</math> bzgl. der [[logmod-Funktion]] und dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Dabei werden Rechenoperationen analog zu den Äquivalenzklassen betrachtet, um Rechenregeln für den Logarithmus aus der reellen Analysis auf die komplexe Analysis zu übertragen. Die algebraische Vervollständigung führt zu eine Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> <span id="imaginaerer_Hauptzweig"></span> === Imaginärer Hauptzweige des Logarithmus === Beim imaginären Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>i</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den imaginären Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_i}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative imaginäre Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = i\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''imaginären Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_i}(z) := \frac{\pi}{2} i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \frac{\pi}{2} i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="negativer_imaginaerer_Hauptzweig"></span> === Negativer imaginärer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_-}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = -i\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''negativen imaginären Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_{-i}}(z) := -\frac{\pi}{2} i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = -\frac{\pi}{2} i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="algebraischvollstaendig"></span> == Definition - algebraisch vollständig == Ein Zweig des Logarithmus als Funktion <math> \log: G\to \mathbb{C} </math> heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich <math> G := \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> besitzt und <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math> gilt. === Bemerkung - algebraische Vollständigkeit === Der Definitionsbereich <math> G := \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in <math>\mathbb{C}</math>. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. <math>\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]</math>. Dies ist keine offene Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle <math> z \not= 0 </math> (bzw. <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>) definiert ist. == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante <math>c_0</math> zu dem gegebenen <math>z_0</math> wählen? ::<math> F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe <math>2\pi i</math> einschränken, zum Beispiel: :<math> G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : G \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math>G </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus. === Algebraische Vervollständigung === Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene <math> \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich <math>G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i </math> zu <math>G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i</math> für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich <math>G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i</math> auch diesen Definitionsbereich auf <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i</math> erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz <math>\mathbb{D}_1</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] *[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für Logarithmen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] * [[Stetigkeit]] owuw5zoicj3u7qa5jlrqqpvxjjl8vxo 1116889 1116888 2026-10-18T15:43:15Z Bert Niehaus 20843 /* Algebraische Vervollständigung */ 1116889 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''"Zweige"''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]] und [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]] === Periodizität und Äquivalenzklassen === Die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]] und die Bildung von [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen]] ist wesentlich die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Vielfachen von <math>2\pi i</math> eine Periodizität aufweist, die zu unterschiedliche Zweigen des Logarithmus führt. === Wahl des Gebietes === Die topogische Form als [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet ist wesentlich, da dadurch der Zweig des Logarithmus unterschiedlich wird. Die unterschiedliche Wahl des Gebietes <math>G</math> für zum Begriff eines [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]). === Algebraische Vollständigkeit === In der Funktionentheorie sind Zweige des des [[Logarithmus]] holomorphe Funktionen <math>\log_G</math> mit <math>\exp(\log_G(z))=z</math>. Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]]) erweitert man Definitionsbereich des Zweiges des Logaritmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> definiert ist. Durch die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] verliert man aber allerdings die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft. == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log_G(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. <span id="Hauptzweig"></span> === Hauptzweig des Logarithmus === Eine übliche Wahl für <math> G </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser <math> -\pi < \arg(z) < +\pi </math>. === Integraldarstellung des Hauptzweiges === Wählt man <math>z_o = 1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math>, so gilt muss die Stammfunktion <math>log</math> von <math>f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}</math> die Eigenschaft <math>log(1)=0</math> erfüllen. Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] <math>\gamma_z</math> als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> log(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="Periodizitaet"></span> === Zweige des Logarithmus - Peridoizität === Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von <math>2\pi i</math> Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot\arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln \big(|z|\big) + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln \big(|z|\big)</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> auf <math>\mathbb{R}^+</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\log(z) = \ln\big(|z|\big) + \mathrm{i}\arg(z)</math>. <span id="negativer_Hauptzweig"></span> === Negativer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_-}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''negativen Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> ==== Bemerkung - Anwendung des negativen Hauptzweiges ==== Der negative Hauptzweig findet Verwendung für die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] des Gebietes zusammen mit Äquivalenzklassen <math>[z]_n</math> bzgl. der [[logmod-Funktion]] und dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Dabei werden Rechenoperationen analog zu den Äquivalenzklassen betrachtet, um Rechenregeln für den Logarithmus aus der reellen Analysis auf die komplexe Analysis zu übertragen. Die algebraische Vervollständigung führt zu eine Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> <span id="imaginaerer_Hauptzweig"></span> === Imaginärer Hauptzweige des Logarithmus === Beim imaginären Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>i</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den imaginären Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_i}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative imaginäre Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = i\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''imaginären Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_i}(z) := \frac{\pi}{2} i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \frac{\pi}{2} i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="negativer_imaginaerer_Hauptzweig"></span> === Negativer imaginärer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_-}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = -i\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''negativen imaginären Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_{-i}}(z) := -\frac{\pi}{2} i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = -\frac{\pi}{2} i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="algebraischvollstaendig"></span> == Definition - algebraisch vollständig == Ein Zweig des Logarithmus als Funktion <math> \log: G\to \mathbb{C} </math> heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich <math> G := \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> besitzt und <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math> gilt. === Bemerkung - algebraische Vollständigkeit === Der Definitionsbereich <math> G := \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in <math>\mathbb{C}</math>. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. <math>\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]</math>. Dies ist keine offene Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle <math> z \not= 0 </math> (bzw. <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>) definiert ist. == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante <math>c_0</math> zu dem gegebenen <math>z_0</math> wählen? ::<math> F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe <math>2\pi i</math> einschränken, zum Beispiel: :<math> G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : G \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math>G </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus. === Algebraische Vervollständigung === Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene <math> \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich <math>G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i </math> zu <math>G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i</math> für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich <math>G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i</math> auch diesen Definitionsbereich auf <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i</math> erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz <math>\mathbb{D}_1</math>. == Zusammenfassung == * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>G</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : G \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht. * die offene Menge <math>G</math> muss im Allgemeinen dazu nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin G</math> erfüllen (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Erweitert man den Definitionsbereich eines Zweiges des Logarithmus auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gewinnt man algebraische Eigenschaften, aber man verliert die Eigenschaft der <math>Holomorphie</math> und sogar der Stetigkeit. Im einfachsten Fall entfernt man für einen holomorphe Zweig des Logarithmus aus Definitionsbereich des Logarithmus negative reelle Achse mit 0 und erhält dann mit <math> G_{+1} := \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math> den [[Hauptzweig des Logarithmus]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] *[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für Logarithmen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] * [[Stetigkeit]] 98258vnecwr7t58mikwmf0xnlqjn578 1116891 1116889 2026-10-18T15:43:27Z Bert Niehaus 20843 /* Bijektive Abbildung */ 1116891 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''"Zweige"''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]] und [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]] === Periodizität und Äquivalenzklassen === Die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]] und die Bildung von [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen]] ist wesentlich die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Vielfachen von <math>2\pi i</math> eine Periodizität aufweist, die zu unterschiedliche Zweigen des Logarithmus führt. === Wahl des Gebietes === Die topogische Form als [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet ist wesentlich, da dadurch der Zweig des Logarithmus unterschiedlich wird. Die unterschiedliche Wahl des Gebietes <math>G</math> für zum Begriff eines [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]). === Algebraische Vollständigkeit === In der Funktionentheorie sind Zweige des des [[Logarithmus]] holomorphe Funktionen <math>\log_G</math> mit <math>\exp(\log_G(z))=z</math>. Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]]) erweitert man Definitionsbereich des Zweiges des Logaritmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> definiert ist. Durch die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] verliert man aber allerdings die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft. == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log_G(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. <span id="Hauptzweig"></span> === Hauptzweig des Logarithmus === Eine übliche Wahl für <math> G </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser <math> -\pi < \arg(z) < +\pi </math>. === Integraldarstellung des Hauptzweiges === Wählt man <math>z_o = 1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math>, so gilt muss die Stammfunktion <math>log</math> von <math>f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}</math> die Eigenschaft <math>log(1)=0</math> erfüllen. Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] <math>\gamma_z</math> als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> log(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="Periodizitaet"></span> === Zweige des Logarithmus - Peridoizität === Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von <math>2\pi i</math> Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot\arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln \big(|z|\big) + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln \big(|z|\big)</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> auf <math>\mathbb{R}^+</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\log(z) = \ln\big(|z|\big) + \mathrm{i}\arg(z)</math>. <span id="negativer_Hauptzweig"></span> === Negativer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_-}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''negativen Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> ==== Bemerkung - Anwendung des negativen Hauptzweiges ==== Der negative Hauptzweig findet Verwendung für die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] des Gebietes zusammen mit Äquivalenzklassen <math>[z]_n</math> bzgl. der [[logmod-Funktion]] und dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Dabei werden Rechenoperationen analog zu den Äquivalenzklassen betrachtet, um Rechenregeln für den Logarithmus aus der reellen Analysis auf die komplexe Analysis zu übertragen. Die algebraische Vervollständigung führt zu eine Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> <span id="imaginaerer_Hauptzweig"></span> === Imaginärer Hauptzweige des Logarithmus === Beim imaginären Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>i</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den imaginären Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_i}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative imaginäre Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = i\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''imaginären Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_i}(z) := \frac{\pi}{2} i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \frac{\pi}{2} i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="negativer_imaginaerer_Hauptzweig"></span> === Negativer imaginärer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_-}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = -i\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''negativen imaginären Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_{-i}}(z) := -\frac{\pi}{2} i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = -\frac{\pi}{2} i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="algebraischvollstaendig"></span> == Definition - algebraisch vollständig == Ein Zweig des Logarithmus als Funktion <math> \log: G\to \mathbb{C} </math> heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich <math> G := \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> besitzt und <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math> gilt. === Bemerkung - algebraische Vollständigkeit === Der Definitionsbereich <math> G := \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in <math>\mathbb{C}</math>. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. <math>\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]</math>. Dies ist keine offene Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle <math> z \not= 0 </math> (bzw. <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>) definiert ist. == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante <math>c_0</math> zu dem gegebenen <math>z_0</math> wählen? ::<math> F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe <math>2\pi i</math> einschränken, zum Beispiel: :<math> G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : G \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math>G </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus. === Algebraische Vervollständigung === Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene <math> \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich <math>G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i </math> zu <math>G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i</math> für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich <math>G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i</math> auch diesen Definitionsbereich auf <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i</math> erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz <math>\mathbb{D}_1</math>. == Zusammenfassung == * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>G</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : G \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht. * die offene Menge <math>G</math> muss im Allgemeinen dazu nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin G</math> erfüllen (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Erweitert man den Definitionsbereich eines Zweiges des Logarithmus auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gewinnt man algebraische Eigenschaften, aber man verliert die Eigenschaft der <math>Holomorphie</math> und sogar der Stetigkeit. Im einfachsten Fall entfernt man für einen holomorphe Zweig des Logarithmus aus Definitionsbereich des Logarithmus negative reelle Achse mit 0 und erhält dann mit <math> G_{+1} := \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math> den [[Hauptzweig des Logarithmus]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] *[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für Logarithmen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] * [[Stetigkeit]] 0xqsfw4kbdyzipbahvu31j5efw4a0nn 1116899 1116891 2026-10-18T15:59:57Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116899 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''"Zweige"''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]] und [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]] === Periodizität und Äquivalenzklassen === Die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]] und die Bildung von [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen]] ist wesentlich die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Vielfachen von <math>2\pi i</math> eine Periodizität aufweist, die zu unterschiedliche Zweigen des Logarithmus führt. === Wahl des Gebietes === Die topogische Form als [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet ist wesentlich, da dadurch der Zweig des Logarithmus unterschiedlich wird. Die unterschiedliche Wahl des Gebietes <math>G</math> für zum Begriff eines [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]). === Algebraische Vollständigkeit === In der Funktionentheorie sind Zweige des des [[Logarithmus]] holomorphe Funktionen <math>\log_G</math> mit <math>\exp(\log_G(z))=z</math>. Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]]) erweitert man Definitionsbereich des Zweiges des Logaritmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> definiert ist. Durch die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] verliert man aber allerdings die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft. == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log_G(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. <span id="Hauptzweig"></span> === Hauptzweig des Logarithmus === Eine übliche Wahl für <math> G </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser <math> -\pi < \arg(z) < +\pi </math>. === Integraldarstellung des Hauptzweiges === Wählt man <math>z_o = 1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math>, so gilt muss die Stammfunktion <math>log</math> von <math>f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}</math> die Eigenschaft <math>log(1)=0</math> erfüllen. Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] <math>\gamma_z</math> als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> log(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="Periodizitaet"></span> === Zweige des Logarithmus - Peridoizität === Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von <math>2\pi i</math> Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot\arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln \big(|z|\big) + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln \big(|z|\big)</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> auf <math>\mathbb{R}^+</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\log(z) = \ln\big(|z|\big) + \mathrm{i}\arg(z)</math>. <span id="negativer_Hauptzweig"></span> === Negativer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_-}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''negativen Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> ==== Bemerkung - Anwendung des negativen Hauptzweiges ==== Der negative Hauptzweig findet Verwendung für die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] des Gebietes zusammen mit Äquivalenzklassen <math>[z]_n</math> bzgl. der [[logmod-Funktion]] und dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Dabei werden Rechenoperationen analog zu den Äquivalenzklassen betrachtet, um Rechenregeln für den Logarithmus aus der reellen Analysis auf die komplexe Analysis zu übertragen. Die algebraische Vervollständigung führt zu eine Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> <span id="imaginaerer_Hauptzweig"></span> === Imaginärer Hauptzweige des Logarithmus === Beim imaginären Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>i</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den imaginären Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_i}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative imaginäre Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = i\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''imaginären Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_i}(z) := \frac{\pi}{2} i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \frac{\pi}{2} i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="negativer_imaginaerer_Hauptzweig"></span> === Negativer imaginärer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_-}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = -i\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''negativen imaginären Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_{-i}}(z) := -\frac{\pi}{2} i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = -\frac{\pi}{2} i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="algebraischvollstaendig"></span> == Definition - algebraisch vollständig == Ein Zweig des Logarithmus als Funktion <math> \log: G\to \mathbb{C} </math> heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich <math> G := \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> besitzt und <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math> gilt. === Bemerkung - algebraische Vollständigkeit === Der Definitionsbereich <math> G := \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in <math>\mathbb{C}</math>. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. <math>\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]</math>. Dies ist keine offene Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle <math> z \not= 0 </math> (bzw. <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>) definiert ist. == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante <math>c_0</math> zu dem gegebenen <math>z_0</math> wählen? ::<math> F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe <math>2\pi i</math> einschränken, zum Beispiel: :<math> G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : G \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math>G </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus. === Algebraische Vervollständigung === Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene <math> \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich <math>G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i </math> zu <math>G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i</math> für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich <math>G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i</math> auch diesen Definitionsbereich auf <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i</math> erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz <math>\mathbb{D}_1</math>. == Zusammenfassung == * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>G</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : G \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht. * die offene Menge <math>G</math> muss im Allgemeinen dazu nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin G</math> erfüllen (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Erweitert man den Definitionsbereich eines Zweiges des Logarithmus auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gewinnt man algebraische Eigenschaften, aber man verliert die Eigenschaft der <math>Holomorphie</math> und sogar der Stetigkeit. Im einfachsten Fall entfernt man für einen holomorphe Zweig des Logarithmus aus Definitionsbereich des Logarithmus negative reelle Achse mit 0 und erhält dann mit <math> G_{+1} := \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math> den [[Hauptzweig des Logarithmus]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] *[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Konstruktionslemma für Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für Logarithmen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] * [[Stetigkeit]] qbx88n1yep7mf6nw4wxievpi39eybgo 106 172963 1116957 1115741 2026-10-19T06:34:25Z Barkmann-hdaOek 40593 1116957 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2025/26 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS25_26/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Skyfall srt - Büro für Media Research]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] cq2czhkjsrrnjnbx06k8zlsy9yba0vm 1116958 1116957 2026-10-19T06:35:21Z Barkmann-hdaOek 40593 /* Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2025/26 */ 1116958 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] eo9emf67mhs87nbmgyzipf7b2jrycco 1116994 1116958 2026-10-19T07:49:45Z Barkmann-hdaOek 40593 1116994 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyshield - Büro für Elon Must Research]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] bauwsbk239ejmbxo09t5vbnxglup9be 1116995 1116994 2026-10-19T07:50:57Z Barkmann-hdaOek 40593 1116995 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyshield - Büro für Must-Research]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] og0lvgjjmv2h9yr2ti4gxc4ce2quz16 1116996 1116995 2026-10-19T07:51:10Z Capricornuser 42001 1116996 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyshield - Büro für Must-Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Novaterra]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] sjw9fj5muw8sxeiuzvom5mqdmkjfet4 1116997 1116996 2026-10-19T07:52:21Z CMBFe 41969 1116997 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyshield - Büro für Must-Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Novaterra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] 92gh9k7q2ph3ekjayutujje8cmjpds3 1116998 1116997 2026-10-19T07:52:51Z Barkmann-hdaOek 40593 /* Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 */ 1116998 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Novaterra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] i5qh1ks3t8y3znh6v4684yl64ciki8m 1116999 1116998 2026-10-19T07:53:06Z Stsaanwar 42003 1116999 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] 7lr0oq1knefj8wjepgfrua29xn3c8yg 1117000 1116999 2026-10-19T07:53:52Z Barkmann-hdaOek 40593 /* Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 */ 1117000 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] 8bbg1nxg5v75wuwoygkvliwcscksiaf 1117001 1117000 2026-10-19T07:58:37Z Unknownuser1505 41939 1117001 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PublicVision]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] c3md8z8hl7cwxixjfpyx5bi9xcxx4q5 1117002 1117001 2026-10-19T07:58:56Z Barkmann-hdaOek 40593 /* Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 */ 1117002 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PublicVision]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] a59b13pmu6jy9886yf4so6mb9eftw1o 1117003 1117002 2026-10-19T07:59:36Z Sarquel.1129 41960 1117003 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PublicVision]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/ Globalfluence]] ln6pe0x1sy4z4ro2rbs26mpfm3ceo34 1117004 1117003 2026-10-19T08:03:25Z Artvas26 41937 1117004 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PublicVision]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Civia - Better Spaces, Better Futures.]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/ Globalfluence]] 9i0tgrcut4040f5f3scif0n151fue04 1117018 1117004 2026-10-19T09:35:26Z Klarja 41942 /* Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 */ 1117018 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PublicVision]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Civia - Better Spaces, Better Futures.]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Mediclub]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/ Globalfluence]] a1ti6zq3sitn2era6ajkpi7sbh71lks 1117021 1117018 2026-10-19T09:36:53Z Leonidas Müller 41964 /* Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 */ 1117021 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PublicVision]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Civia - Better Spaces, Better Futures.]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Mediclub]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Personalfive]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/ Globalfluence]] n3dye7mxshmpuw4mxias11yb2c39w2j 1117022 1117021 2026-10-19T09:37:24Z Leonidas Müller 41964 /* Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 */ 1117022 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PublicVision]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Civia - Better Spaces, Better Futures.]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Mediclub]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PersonalFive]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/ Globalfluence]] djknv0n6frxl1c3b17nor6i59223opy 1117023 1117022 2026-10-19T09:41:40Z Birooo31 41951 1117023 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PublicVision]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Civia - Better Spaces, Better Futures.]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Mediclub]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PersonalFive]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/ Globalfluence]] # [[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/BetterGreen]] qzm7pl56wmgnb43xjtflle4fktxnhr9 1117024 1117023 2026-10-19T09:42:05Z Morrison-Moestar 41975 1117024 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PublicVision]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Civia - Better Spaces, Better Futures.]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Mediclub]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PersonalFive]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/ Globalfluence]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/BetterGreen]] 64c655og0m7a48ha7ohb86f090nd9ex 1117026 1117024 2026-10-19T09:44:24Z Jooy02 41963 /* Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 */ 1117026 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PublicVision]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Civia - Better Spaces, Better Futures.]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Mediclub]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PersonalFive]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/EL³Collective]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/ Globalfluence]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/BetterGreen]] mhmt7n2av3owfwgf1yhdd382or7a2w8 1117027 1117026 2026-10-19T09:45:58Z Kayalem 42005 /* Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 */ 1117027 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PublicVision]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Civia - Better Spaces, Better Futures.]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Mediclub]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PersonalFive]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/EL³Collective]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/ Globalfluence]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/BetterGreen]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Greenity]] fan0fb5gvp34ifuqb9yzyo290vlig9e 1117028 1117027 2026-10-19T09:45:59Z SoWiMaster5000 41952 /* Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 */ 1117028 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Anthropos]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PublicVision]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Civia - Better Spaces, Better Futures.]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Mediclub]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PersonalFive]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/EL³Collective]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/ Globalfluence]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/BetterGreen]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Greenity]] jp2hppjvm5ikf6pyij368xosk2qei6g 1117029 1117028 2026-10-19T09:51:02Z Lamughi 41974 /* Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 */ 1117029 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Anthropos]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PublicVision]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Civia - Better Spaces, Better Futures.]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Mediclub]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PersonalFive]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/EL³Collective]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/ Globalfluence]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/BetterGreen]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Greenity]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/SOCIOVIA]] ktbg4ndaf72g7r7bx9pj67915g0ly5r 1117040 1117029 2026-10-19T11:03:33Z Lenenee 42011 /* Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 */ 1117040 wikitext text/x-wiki = Liste der (fiktiven!) Unternehmen im Wintersemester 2026/27 = #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Anthropos]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall - Büro für Media Research]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/NovaTerra]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/HumanConnect]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PublicVision]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Civia - Better Spaces, Better Futures.]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/SecureU]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Mediclub]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/PersonalFive]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/EL³Collective]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/ Globalfluence]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/BetterGreen]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Greenity]] #[[Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/SOCIOVIA]] m6hy964aj7cd7yr4sf8kjsv9md57xpb 106 173022 1116910 1116253 2026-10-18T16:22:57Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl */ 1116910 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen. In <math>\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(z)</math> für <math>z > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> z^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\ln(z) \cdot a) </math> [[Zweige des Logarithmus]] von einer <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math>. ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> w:=log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> w=\log_G^*(i)</math>, <math> z^a = e^{w\cdot a} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> a \cdot [w]_0 = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 = [a \cdot w]_0 </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === (4) Addition von Logarithmen === :<math> \log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2) </math> > '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet! > Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''. > '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist. --- == 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen == Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus <math> \log(z) </math>, d. h. eine Funktion <math> L: G \to \mathbb{C} </math>, sodass <math> \exp(L(z)) = z </math> und <math> L </math> stetig auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. > '''Beispiel:''' > Der '''Hauptzweig''' <math> \text{Log}(z) </math> ist ein Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. > '''Jeder Logarithmenzweig''' <math> L </math> wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, nämlich <math> L(z) \in [w]_0 </math>. > '''Zusammenhang:''' > Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt. --- == 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen == | Konzept | Beschreibung | |--------|--------------| | '''Äquivalenzklasse''' <math> [w]_0 </math> | Menge aller <math> w + 2\pi i k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math> | | '''Logarithmus von <math> z </math>''' | <math> \log(z) = [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math> | | '''Hauptzweig''' | <math> \text{Log}(z) \in \log(z) </math>, mit <math> \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] </math> | | '''Rechenregeln''' | <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math> (in Klassen) | | '''Exponentialfunktion''' | <math> \exp(\log(z)) = z </math>, <math> \log(\exp(w)) = [w]_0 </math> | --- == 9. Übungsaufgaben == 1. Zeige, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math>. 2. Berechne <math> \log(i) + \log(i) </math> und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. 3. Zeige, dass <math> \log(z^2) = 2 \log(z) </math> in der Klassen-Sicht gilt. 4. Warum ist <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet? 5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus [0, \infty) </math>, der <math> \log(z) \in [i \cdot 0]_0 </math> für <math> z = 1 </math> wählt. --- == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] 0f0ntb8dqiqd6eiyq7yntkudlouww9c 1116914 1116910 2026-10-18T16:31:24Z Bert Niehaus 20843 /* (4) Addition von Logarithmen */ 1116914 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen. In <math>\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(z)</math> für <math>z > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> z^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\ln(z) \cdot a) </math> [[Zweige des Logarithmus]] von einer <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math>. ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> w:=log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> w=\log_G^*(i)</math>, <math> z^a = e^{w\cdot a} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> a \cdot [w]_0 = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 = [a \cdot w]_0 </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === Addition von Logarithmen === Für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> vom [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> \log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2) - 2\pi i\cdot \mathrm{logmod} \big(\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)\big) = \log^\ast_{_G}(z_1 \cdot z_2) </math> Ohne die Anwendung der [[logmod-Funktion]] ist die obige Gleichung nicht immer wahr, denn die Summe der Imaginäreteile <math>\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)</math> kann im Imaginärteil größer als <math>2\pi</math> werden. Bezogen auf die [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist die Aussage aber richtig, das sich Repräsentaten von Restklassen um Vielfach von <math>2\pi i </math> im Imaginärteil unterscheiden können. == 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen == Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus <math> \log(z) </math>, d. h. eine Funktion <math> L: G \to \mathbb{C} </math>, sodass <math> \exp(L(z)) = z </math> und <math> L </math> stetig auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. > '''Beispiel:''' > Der '''Hauptzweig''' <math> \text{Log}(z) </math> ist ein Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. > '''Jeder Logarithmenzweig''' <math> L </math> wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, nämlich <math> L(z) \in [w]_0 </math>. > '''Zusammenhang:''' > Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt. --- == 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen == | Konzept | Beschreibung | |--------|--------------| | '''Äquivalenzklasse''' <math> [w]_0 </math> | Menge aller <math> w + 2\pi i k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math> | | '''Logarithmus von <math> z </math>''' | <math> \log(z) = [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math> | | '''Hauptzweig''' | <math> \text{Log}(z) \in \log(z) </math>, mit <math> \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] </math> | | '''Rechenregeln''' | <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math> (in Klassen) | | '''Exponentialfunktion''' | <math> \exp(\log(z)) = z </math>, <math> \log(\exp(w)) = [w]_0 </math> | --- == 9. Übungsaufgaben == 1. Zeige, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math>. 2. Berechne <math> \log(i) + \log(i) </math> und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. 3. Zeige, dass <math> \log(z^2) = 2 \log(z) </math> in der Klassen-Sicht gilt. 4. Warum ist <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet? 5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus [0, \infty) </math>, der <math> \log(z) \in [i \cdot 0]_0 </math> für <math> z = 1 </math> wählt. --- == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] otv873b1pdzs2xa0y3cnaeezxnq32rx 1116915 1116914 2026-10-18T16:31:49Z Bert Niehaus 20843 /* 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen */ 1116915 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen. In <math>\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(z)</math> für <math>z > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> z^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\ln(z) \cdot a) </math> [[Zweige des Logarithmus]] von einer <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math>. ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> w:=log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> w=\log_G^*(i)</math>, <math> z^a = e^{w\cdot a} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> a \cdot [w]_0 = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 = [a \cdot w]_0 </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === Addition von Logarithmen === Für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> vom [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> \log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2) - 2\pi i\cdot \mathrm{logmod} \big(\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)\big) = \log^\ast_{_G}(z_1 \cdot z_2) </math> Ohne die Anwendung der [[logmod-Funktion]] ist die obige Gleichung nicht immer wahr, denn die Summe der Imaginäreteile <math>\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)</math> kann im Imaginärteil größer als <math>2\pi</math> werden. Bezogen auf die [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist die Aussage aber richtig, das sich Repräsentaten von Restklassen um Vielfach von <math>2\pi i </math> im Imaginärteil unterscheiden können. == 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen == | Konzept | Beschreibung | |--------|--------------| | '''Äquivalenzklasse''' <math> [w]_0 </math> | Menge aller <math> w + 2\pi i k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math> | | '''Logarithmus von <math> z </math>''' | <math> \log(z) = [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math> | | '''Hauptzweig''' | <math> \text{Log}(z) \in \log(z) </math>, mit <math> \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] </math> | | '''Rechenregeln''' | <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math> (in Klassen) | | '''Exponentialfunktion''' | <math> \exp(\log(z)) = z </math>, <math> \log(\exp(w)) = [w]_0 </math> | --- == 9. Übungsaufgaben == 1. Zeige, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math>. 2. Berechne <math> \log(i) + \log(i) </math> und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. 3. Zeige, dass <math> \log(z^2) = 2 \log(z) </math> in der Klassen-Sicht gilt. 4. Warum ist <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet? 5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus [0, \infty) </math>, der <math> \log(z) \in [i \cdot 0]_0 </math> für <math> z = 1 </math> wählt. --- == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ja18jitseedaipotvtv5p9dstrqttqo 1116916 1116915 2026-10-18T16:32:07Z Bert Niehaus 20843 /* 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen */ 1116916 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen. In <math>\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(z)</math> für <math>z > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> z^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\ln(z) \cdot a) </math> [[Zweige des Logarithmus]] von einer <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math>. ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> w:=log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> w=\log_G^*(i)</math>, <math> z^a = e^{w\cdot a} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> a \cdot [w]_0 = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 = [a \cdot w]_0 </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === Addition von Logarithmen === Für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> vom [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> \log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2) - 2\pi i\cdot \mathrm{logmod} \big(\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)\big) = \log^\ast_{_G}(z_1 \cdot z_2) </math> Ohne die Anwendung der [[logmod-Funktion]] ist die obige Gleichung nicht immer wahr, denn die Summe der Imaginäreteile <math>\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)</math> kann im Imaginärteil größer als <math>2\pi</math> werden. Bezogen auf die [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist die Aussage aber richtig, das sich Repräsentaten von Restklassen um Vielfach von <math>2\pi i </math> im Imaginärteil unterscheiden können. == 9. Übungsaufgaben == 1. Zeige, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math>. 2. Berechne <math> \log(i) + \log(i) </math> und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. 3. Zeige, dass <math> \log(z^2) = 2 \log(z) </math> in der Klassen-Sicht gilt. 4. Warum ist <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet? 5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus [0, \infty) </math>, der <math> \log(z) \in [i \cdot 0]_0 </math> für <math> z = 1 </math> wählt. --- == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] h92krtavyir3olm3a6c40n8fxurttqu 1116919 1116916 2026-10-18T16:39:18Z Bert Niehaus 20843 /* 9. Übungsaufgaben */ 1116919 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen. In <math>\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(z)</math> für <math>z > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> z^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\ln(z) \cdot a) </math> [[Zweige des Logarithmus]] von einer <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math>. ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> w:=log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> w=\log_G^*(i)</math>, <math> z^a = e^{w\cdot a} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> a \cdot [w]_0 = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 = [a \cdot w]_0 </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === Addition von Logarithmen === Für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> vom [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> \log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2) - 2\pi i\cdot \mathrm{logmod} \big(\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)\big) = \log^\ast_{_G}(z_1 \cdot z_2) </math> Ohne die Anwendung der [[logmod-Funktion]] ist die obige Gleichung nicht immer wahr, denn die Summe der Imaginäreteile <math>\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)</math> kann im Imaginärteil größer als <math>2\pi</math> werden. Bezogen auf die [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist die Aussage aber richtig, das sich Repräsentaten von Restklassen um Vielfach von <math>2\pi i </math> im Imaginärteil unterscheiden können. == Übungsaufgaben für Studierende == * Zeigen Sie, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math> gilt. * Berechnen Sie <math> \log_{G}^\ast(i) + \log_{G}^\ast(i) </math> für den [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. * Zeige Sie, dass <math> \log_{G}^\ast(z^2) = 2 \cdot \log(z) </math> in der [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt. * Warum ist <math> \log_{G}^\ast(z_1 z_2) = \log_{G}^\ast(z_1) + \log_{G}^\ast(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr? Geben Sie zwei komplexe Zahlen <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> an, für die die obige Gleichung nicht gilt. * In der reellen Analysis sind Potenzfunktion mit negativer Basis nicht definiert. Verwenden Sie [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und berechnen Sie <math>(-8)^{2+\pi i}</math>. == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] er5k0hcvgr7b8gi3ynnvkn9ohhvgyfv 1116920 1116919 2026-10-18T16:39:33Z Bert Niehaus 20843 /* Lernziel */ 1116920 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen. In <math>\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(z)</math> für <math>z > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> z^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\ln(z) \cdot a) </math> [[Zweige des Logarithmus]] von einer <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math>. ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> w:=log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> w=\log_G^*(i)</math>, <math> z^a = e^{w\cdot a} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> a \cdot [w]_0 = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 = [a \cdot w]_0 </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === Addition von Logarithmen === Für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> vom [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> \log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2) - 2\pi i\cdot \mathrm{logmod} \big(\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)\big) = \log^\ast_{_G}(z_1 \cdot z_2) </math> Ohne die Anwendung der [[logmod-Funktion]] ist die obige Gleichung nicht immer wahr, denn die Summe der Imaginäreteile <math>\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)</math> kann im Imaginärteil größer als <math>2\pi</math> werden. Bezogen auf die [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist die Aussage aber richtig, das sich Repräsentaten von Restklassen um Vielfach von <math>2\pi i </math> im Imaginärteil unterscheiden können. == Übungsaufgaben für Studierende == * Zeigen Sie, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math> gilt. * Berechnen Sie <math> \log_{G}^\ast(i) + \log_{G}^\ast(i) </math> für den [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. * Zeige Sie, dass <math> \log_{G}^\ast(z^2) = 2 \cdot \log(z) </math> in der [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt. * Warum ist <math> \log_{G}^\ast(z_1 z_2) = \log_{G}^\ast(z_1) + \log_{G}^\ast(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr? Geben Sie zwei komplexe Zahlen <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> an, für die die obige Gleichung nicht gilt. * In der reellen Analysis sind Potenzfunktion mit negativer Basis nicht definiert. Verwenden Sie [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und berechnen Sie <math>(-8)^{2+\pi i}</math>. == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] 134lu17cfhq2w1f25b5jwqn8ia849j2 1116924 1116920 2026-10-18T16:50:50Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116924 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen. In <math>\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(z)</math> für <math>z > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> z^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\ln(z) \cdot a) </math> [[Zweige des Logarithmus]] von einer <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math>. ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> w:=log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> w=\log_G^*(i)</math>, <math> z^a = e^{w\cdot a} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> a \cdot [w]_0 = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 = [a \cdot w]_0 </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === Addition von Logarithmen === Für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> vom [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> \log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2) - 2\pi i\cdot \mathrm{logmod} \big(\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)\big) = \log^\ast_{_G}(z_1 \cdot z_2) </math> Ohne die Anwendung der [[logmod-Funktion]] ist die obige Gleichung nicht immer wahr, denn die Summe der Imaginäreteile <math>\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)</math> kann im Imaginärteil größer als <math>2\pi</math> werden. Bezogen auf die [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist die Aussage aber richtig, das sich Repräsentaten von Restklassen um Vielfach von <math>2\pi i </math> im Imaginärteil unterscheiden können. == Übungsaufgaben für Studierende == * Zeigen Sie, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math> gilt. * Berechnen Sie <math> \log_{G}^\ast(i) + \log_{G}^\ast(i) </math> für den [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. * Zeige Sie, dass <math> \log_{G}^\ast(z^2) = 2 \cdot \log(z) </math> in der [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt. * Warum ist <math> \log_{G}^\ast(z_1 z_2) = \log_{G}^\ast(z_1) + \log_{G}^\ast(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr? Geben Sie zwei komplexe Zahlen <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> an, für die die obige Gleichung nicht gilt. * In der reellen Analysis sind Potenzfunktion mit negativer Basis nicht definiert. Verwenden Sie [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und berechnen Sie <math>(-8)^{2+\pi i}</math>. == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] tbhm3yt69s9y2zfu7eer0vor042vy1a 1116949 1116924 2026-10-19T06:05:05Z Bert Niehaus 20843 /* Vergleich von Zweigen des Logarithmus */ 1116949 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen. In <math>\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(z)</math> für <math>z > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> z^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\ln(z) \cdot a) </math> [[Zweige des Logarithmus]] von einer <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math> (siehe auch [[komplexe Potenzfunktionen]]). ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> w:=log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> w=\log_G^*(i)</math>, <math> z^a = e^{w\cdot a} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> a \cdot [w]_0 = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 = [a \cdot w]_0 </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === Addition von Logarithmen === Für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> vom [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> \log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2) - 2\pi i\cdot \mathrm{logmod} \big(\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)\big) = \log^\ast_{_G}(z_1 \cdot z_2) </math> Ohne die Anwendung der [[logmod-Funktion]] ist die obige Gleichung nicht immer wahr, denn die Summe der Imaginäreteile <math>\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)</math> kann im Imaginärteil größer als <math>2\pi</math> werden. Bezogen auf die [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist die Aussage aber richtig, das sich Repräsentaten von Restklassen um Vielfach von <math>2\pi i </math> im Imaginärteil unterscheiden können. == Übungsaufgaben für Studierende == * Zeigen Sie, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math> gilt. * Berechnen Sie <math> \log_{G}^\ast(i) + \log_{G}^\ast(i) </math> für den [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. * Zeige Sie, dass <math> \log_{G}^\ast(z^2) = 2 \cdot \log(z) </math> in der [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt. * Warum ist <math> \log_{G}^\ast(z_1 z_2) = \log_{G}^\ast(z_1) + \log_{G}^\ast(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr? Geben Sie zwei komplexe Zahlen <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> an, für die die obige Gleichung nicht gilt. * In der reellen Analysis sind Potenzfunktion mit negativer Basis nicht definiert. Verwenden Sie [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und berechnen Sie <math>(-8)^{2+\pi i}</math>. == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3qe0b9s1vzxmnr596xwu6wmqs5tvg61 1116953 1116949 2026-10-19T06:26:30Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden */ 1116953 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_2}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_2}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ & = & [w_2]_0 \oplus [w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen. In <math>\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(z)</math> für <math>z > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> z^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\ln(z) \cdot a) </math> [[Zweige des Logarithmus]] von einer <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math> (siehe auch [[komplexe Potenzfunktionen]]). ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> w:=log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> w=\log_G^*(i)</math>, <math> z^a = e^{w\cdot a} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> a \cdot [w]_0 = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 = [a \cdot w]_0 </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === Addition von Logarithmen === Für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> vom [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> \log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2) - 2\pi i\cdot \mathrm{logmod} \big(\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)\big) = \log^\ast_{_G}(z_1 \cdot z_2) </math> Ohne die Anwendung der [[logmod-Funktion]] ist die obige Gleichung nicht immer wahr, denn die Summe der Imaginäreteile <math>\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)</math> kann im Imaginärteil größer als <math>2\pi</math> werden. Bezogen auf die [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist die Aussage aber richtig, das sich Repräsentaten von Restklassen um Vielfach von <math>2\pi i </math> im Imaginärteil unterscheiden können. == Übungsaufgaben für Studierende == * Zeigen Sie, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math> gilt. * Berechnen Sie <math> \log_{G}^\ast(i) + \log_{G}^\ast(i) </math> für den [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. * Zeige Sie, dass <math> \log_{G}^\ast(z^2) = 2 \cdot \log(z) </math> in der [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt. * Warum ist <math> \log_{G}^\ast(z_1 z_2) = \log_{G}^\ast(z_1) + \log_{G}^\ast(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr? Geben Sie zwei komplexe Zahlen <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> an, für die die obige Gleichung nicht gilt. * In der reellen Analysis sind Potenzfunktion mit negativer Basis nicht definiert. Verwenden Sie [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und berechnen Sie <math>(-8)^{2+\pi i}</math>. == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9e3ceai1vzz0jbiw9xxp1yxlly9l4sc 1116956 1116953 2026-10-19T06:34:14Z Bert Niehaus 20843 /* Potenzen und Logarithmus */ 1116956 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_2}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_2}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ & = & [w_2]_0 \oplus [w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen (siehe [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]]). Mit <math>x\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(x)</math> für <math>x > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> x^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\underbrace{\ln(x)}_{\in \mathbb{R}^+} \cdot a) </math> In komplexen Zahlen ist der [[Logarithmus]] nicht eindeutig festgelegt. Ist <math>\log_G\ast</math> als [[Zweig des Logarithmus]] für das Potenzieren festgelegt, kann man die Potenzfunktion für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit beliebgigen <math>a\in \mathbb{C}</math> definieren. Die Zweige unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math> (siehe auch [[komplexe Potenzfunktionen]]). ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> w:=log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> w=\log_G^*(i)</math>, <math> z^a = e^{w\cdot a} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> a \cdot [w]_0 = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 = [a \cdot w]_0 </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === Addition von Logarithmen === Für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> vom [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> \log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2) - 2\pi i\cdot \mathrm{logmod} \big(\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)\big) = \log^\ast_{_G}(z_1 \cdot z_2) </math> Ohne die Anwendung der [[logmod-Funktion]] ist die obige Gleichung nicht immer wahr, denn die Summe der Imaginäreteile <math>\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)</math> kann im Imaginärteil größer als <math>2\pi</math> werden. Bezogen auf die [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist die Aussage aber richtig, das sich Repräsentaten von Restklassen um Vielfach von <math>2\pi i </math> im Imaginärteil unterscheiden können. == Übungsaufgaben für Studierende == * Zeigen Sie, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math> gilt. * Berechnen Sie <math> \log_{G}^\ast(i) + \log_{G}^\ast(i) </math> für den [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. * Zeige Sie, dass <math> \log_{G}^\ast(z^2) = 2 \cdot \log(z) </math> in der [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt. * Warum ist <math> \log_{G}^\ast(z_1 z_2) = \log_{G}^\ast(z_1) + \log_{G}^\ast(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr? Geben Sie zwei komplexe Zahlen <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> an, für die die obige Gleichung nicht gilt. * In der reellen Analysis sind Potenzfunktion mit negativer Basis nicht definiert. Verwenden Sie [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und berechnen Sie <math>(-8)^{2+\pi i}</math>. == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] koh2uui8r1ygcmaqu4lihzs82t4x288 1116969 1116956 2026-10-19T06:40:57Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente */ 1116969 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_2}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_2}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ & = & [w_2]_0 \oplus [w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen (siehe [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]]). Mit <math>x\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(x)</math> für <math>x > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> x^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\underbrace{\ln(x)}_{\in \mathbb{R}^+} \cdot a) </math> In komplexen Zahlen ist der [[Logarithmus]] nicht eindeutig festgelegt. Ist <math>\log_G\ast</math> als [[Zweig des Logarithmus]] für das Potenzieren festgelegt, kann man die Potenzfunktion für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit beliebgigen <math>a\in \mathbb{C}</math> definieren. Die Zweige unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math> (siehe auch [[komplexe Potenzfunktionen]]). ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> w:=log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> w=\log_G^*(i)</math>, <math> z^a = e^{w\cdot a} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> a \cdot [w]_0 = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 = [a \cdot w]_0 </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === Addition von Logarithmen === Für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> vom [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> \log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2) - 2\pi i\cdot \mathrm{logmod} \big(\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)\big) = \log^\ast_{_G}(z_1 \cdot z_2) </math> Ohne die Anwendung der [[logmod-Funktion]] ist die obige Gleichung nicht immer wahr, denn die Summe der Imaginäreteile <math>\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)</math> kann im Imaginärteil größer als <math>2\pi</math> werden. Bezogen auf die [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist die Aussage aber richtig, das sich Repräsentaten von Restklassen um Vielfach von <math>2\pi i </math> im Imaginärteil unterscheiden können. == Übungsaufgaben für Studierende == * Zeigen Sie, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math> gilt. * Berechnen Sie <math> \log_{G}^\ast(i) + \log_{G}^\ast(i) </math> für den [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. * Zeige Sie, dass <math> \log_{G}^\ast(z^2) = 2 \cdot \log(z) </math> in der [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt. * Warum ist <math> \log_{G}^\ast(z_1 z_2) = \log_{G}^\ast(z_1) + \log_{G}^\ast(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr? Geben Sie zwei komplexe Zahlen <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> an, für die die obige Gleichung nicht gilt. * In der reellen Analysis sind Potenzfunktion mit negativer Basis nicht definiert. Verwenden Sie [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und berechnen Sie <math>(-8)^{2+\pi i}</math>. == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rlv1vyznosa0eyinyn5vm221ewp8ddj 1117036 1116969 2026-10-19T10:14:44Z Bert Niehaus 20843 /* Zweig des Logarithmus und Potenzen */ 1117036 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_2}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_2}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ & = & [w_2]_0 \oplus [w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen (siehe [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]]). Mit <math>x\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(x)</math> für <math>x > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> x^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\underbrace{\ln(x)}_{\in \mathbb{R}^+} \cdot a) </math> In komplexen Zahlen ist der [[Logarithmus]] nicht eindeutig festgelegt. Ist <math>\log_G\ast</math> als [[Zweig des Logarithmus]] für das Potenzieren festgelegt, kann man die Potenzfunktion für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit beliebgigen <math>a\in \mathbb{C}</math> definieren. Die Zweige unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzfunktionen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Zweig des Logarithmus und expotenzfunktionen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math> (siehe auch [[komplexe Potenzfunktionen]]). ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> w:=log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> w=\log_G^*(i)</math>, <math> z^a = e^{w\cdot a} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> a \cdot [w]_0 = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 = [a \cdot w]_0 </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === Addition von Logarithmen === Für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> vom [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> \log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2) - 2\pi i\cdot \mathrm{logmod} \big(\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)\big) = \log^\ast_{_G}(z_1 \cdot z_2) </math> Ohne die Anwendung der [[logmod-Funktion]] ist die obige Gleichung nicht immer wahr, denn die Summe der Imaginäreteile <math>\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)</math> kann im Imaginärteil größer als <math>2\pi</math> werden. Bezogen auf die [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist die Aussage aber richtig, das sich Repräsentaten von Restklassen um Vielfach von <math>2\pi i </math> im Imaginärteil unterscheiden können. == Übungsaufgaben für Studierende == * Zeigen Sie, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math> gilt. * Berechnen Sie <math> \log_{G}^\ast(i) + \log_{G}^\ast(i) </math> für den [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. * Zeige Sie, dass <math> \log_{G}^\ast(z^2) = 2 \cdot \log(z) </math> in der [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt. * Warum ist <math> \log_{G}^\ast(z_1 z_2) = \log_{G}^\ast(z_1) + \log_{G}^\ast(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr? Geben Sie zwei komplexe Zahlen <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> an, für die die obige Gleichung nicht gilt. * In der reellen Analysis sind Potenzfunktion mit negativer Basis nicht definiert. Verwenden Sie [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und berechnen Sie <math>(-8)^{2+\pi i}</math>. == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 54hjza5nejav0muyup0y8macbhum96i 0 173051 1116963 1116220 2026-10-19T06:38:42Z Bocardodarapti 2041 1116963 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler verwenden eingeführte mathematische Fachbegriffe sachgerecht|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenario, in dem die Kinder die erwarteten Kompetenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Didaktik der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} mk2172ew5kowjcs6707vtdhf5mhxvsk 0 173052 1116964 1116219 2026-10-19T06:38:57Z Bocardodarapti 2041 1116964 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler beschreiben mathematische Sachverhalte mit eigenen Worten und finden dazu Fragestellungen|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenario, in dem die Kinder die erwarteten Kompetenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Didaktik der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} jq7t4ofikz2ixqt1izt8uipy6j6tlma 0 173053 1116965 1116221 2026-10-19T06:39:08Z Bocardodarapti 2041 1116965 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler stellen Vermutungen über mathematische Sachverhalte an, begründen und überprüfen sie|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenario, in dem die Kinder die erwarteten Kompetenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Didaktik der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 8r1bj7hh4r51x608ckv9viv92lxofbh 0 173054 1116968 1116224 2026-10-19T06:39:43Z Bocardodarapti 2041 1116968 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler überprüfen mathematische Aussagen, kennzeichnen sie als richtig oder falsch und begründen dies|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenario, in dem die Kinder die erwarteten Kompetenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Didaktik der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} hnf45sk7gji8pdlvy4wzcng6q1u5kdi 0 173055 1116967 1116223 2026-10-19T06:39:32Z Bocardodarapti 2041 1116967 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler beschreiben und begründen eigene Lösungswege und reflektieren darüber|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenario, in dem die Kinder die erwarteten Kompetenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Didaktik der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 7a8j2cd8o9bxga6y24vooaepi7l11uj 0 173056 1116966 1116222 2026-10-19T06:39:21Z Bocardodarapti 2041 1116966 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler entdecken und beschreiben mathematische Zusammenhänge|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenario, in dem die Kinder die erwarteten Kompetenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Didaktik der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} sgozqn0fw9tscwn89799h8tkuaqah7k 106 173057 1116863 1116493 2026-10-18T15:01:12Z Bocardodarapti 2041 1116863 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe|p||| |N/Summe 65/Produkt 1000/Aufgabe|p||| |Natürliche_Zahlen/Ordnung/Differenz/Zweifache_Subtraktion/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/3^n größer gleich n^3/Ab 1/Aufgabe|p||| |Menge/Disjunkte Vereinigung/Bijektion der Potenzmengen/2/Aufgabe|p||| |Menge/Potenzmenge/Halbring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Hörsaal/Tafelgestell/Reihenfolgen/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Quadratzahlen/Gleicher Abstand/Aufgabe|p||| |Cocktailmixer/Anzahl/Aufgabe|p||| |Räuberbande/Schatztruhe/Aufgabe|p||| |Primzahlen/Unendlich viele/Fakt/Beweis/Aufgabe|p+||| |Kleines Einmaleins/Diagonale und Gegendiagonale/Aufgabe|p||| |Fakultäten/GgT und KgV/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Rechenbeispiel/2/Aufgabe|p||| |Dezimalsystem/Umstellungen/Aufgabe|p||| |Ziffernentwicklung/13 nach 10/Umrechnung/2/Aufgabe|p||| |Dezimalsystem/Vorgänger/Algorithmus/Aufgabe|p||| |Schriftliches Multiplizieren/Zehnersystem/Jalousie-Verfahren/3/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} nsr5dtycyxr1i2659bn7pjq1kqvozk1 106 173058 1116869 1116465 2026-10-18T15:06:49Z Bocardodarapti 2041 1116869 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/6/Szenario/Aufgabe|p||| |Gleichungen/Arten/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nullteilerfrei/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/10a+b/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Betragsungleichung/2x-3/5x-7/Aufgabe|p||| |Goldwürfel/Deutschland/Anteil/Aufgabe|p||| |Energiebedarf/Sonneneinstrahlung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 7dj725xzfv6xejrvtxoi8kz182nyd62 1116908 1116869 2026-10-18T16:20:44Z Bocardodarapti 2041 1116908 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/6/Szenario/Aufgabe|p||| |Gleichungen/Arten/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nullteilerfrei/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/10a+b/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe|p||| |Z^2/5 Punkte/Zwischenpunkt geradzahlig/Aufgabe|p||| |Betragsungleichung/2x-3/5x-7/Aufgabe|p||| |Goldwürfel/Deutschland/Anteil/Aufgabe|p||| |Energiebedarf/Sonneneinstrahlung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} lcsij5s9igaumdhk0fx9omp31p54dn3 1116911 1116908 2026-10-18T16:23:37Z Bocardodarapti 2041 1116911 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/6/Szenario/Aufgabe|p||| |Gleichungen/Arten/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nullteilerfrei/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/10a+b/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe|p||| |Z^2/5 Punkte/Zwischenpunkt geradzahlig/Aufgabe|p||| |Betragsungleichung/2x-3/5x-7/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Betragsfunktion/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|p||| |Goldwürfel/Deutschland/Anteil/Aufgabe|p||| |Energiebedarf/Sonneneinstrahlung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} d1tg5fxhq3twy53yttsn1aqraz2kzum 1116912 1116911 2026-10-18T16:24:55Z Bocardodarapti 2041 1116912 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/6/Szenario/Aufgabe|p||| |Gleichungen/Arten/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nullteilerfrei/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/10a+b/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe|p||| |Z^2/5 Punkte/Zwischenpunkt geradzahlig/Aufgabe|p||| |Betragsungleichung/2x-3/5x-7/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Betragsfunktion/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|p||| |Goldwürfel/Deutschland/Anteil/Aufgabe|p||| |Energiebedarf/Sonneneinstrahlung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} p1xlmijjksu8z1hgjricptavtj94guk 1116936 1116912 2026-10-18T17:27:25Z Bocardodarapti 2041 1116936 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/6/Szenario/Aufgabe|p||| |Gleichungen/Arten/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nullteilerfrei/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/10a+b/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe|p||| |Stammbruch/Dezimalbruch/Aufgabe|p||| |Z^2/5 Punkte/Zwischenpunkt geradzahlig/Aufgabe|p||| |Betragsungleichung/2x-3/5x-7/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Betragsfunktion/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|p||| |Goldwürfel/Deutschland/Anteil/Aufgabe|p||| |Energiebedarf/Sonneneinstrahlung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} gvh132osuwuhflyjsrjj4zm7z0t8p79 1117009 1116936 2026-10-19T08:34:57Z Bocardodarapti 2041 1117009 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Gleichungen/Arten/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nullteilerfrei/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p||| |Professor/Socken und Schuhe/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/10a+b/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe|p||| |Stammbruch/Dezimalbruch/Aufgabe|p||| |Z^2/5 Punkte/Zwischenpunkt geradzahlig/Aufgabe|p||| |Betragsungleichung/2x-3/5x-7/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Betragsfunktion/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|p||| |Goldwürfel/Deutschland/Anteil/Aufgabe|p||| |Energiebedarf/Sonneneinstrahlung/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/6/Szenario/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 0hb3mrxjv5kugmpw8ws56loua0qljmv 106 173060 1116864 1116312 2026-10-18T15:02:44Z Bocardodarapti 2041 1116864 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Gleichungsarten/Beispiele/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Quadratische Gleichung/Lösung vorgegeben/Unendlich/Aufgabe|p||| |Klippe/Vorgänger und Nachfolger/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Zeitreise/2/Aufgabe|p||| |Produktmenge/ZxZ/Addition und Subtraktion/Aufgabe|p||| |Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe|p||| |Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/999999/Aufgabe|p||| |Abziehregel/Kürzungsregel/Vergleich/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Stammbrüche/Dazwischen/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/4/Szenario/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} cwpn3hezcazt01n5q8xaxelu2jkslne 1116918 1116864 2026-10-18T16:33:13Z Bocardodarapti 2041 1116918 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Gleichungsarten/Beispiele/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Quadratische Gleichung/Lösung vorgegeben/Unendlich/Aufgabe|p||| |Klippe/Vorgänger und Nachfolger/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Zeitreise/2/Aufgabe|p||| |Produktmenge/ZxZ/Addition und Subtraktion/Aufgabe|p||| |Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe|p||| |Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/999999/Aufgabe|p||| |Abziehregel/Kürzungsregel/Vergleich/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Stammbrüche/Dazwischen/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Heidi Gonzales/Heidelbeeren/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/4/Szenario/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} g1o1m2fgfme4rlfm64qvkk5ftwc1vau 1116928 1116918 2026-10-18T17:11:38Z Bocardodarapti 2041 1116928 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Gleichungsarten/Beispiele/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Quadratische Gleichung/Lösung vorgegeben/Unendlich/Aufgabe|p||| |Klippe/Vorgänger und Nachfolger/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Zeitreise/2/Aufgabe|p||| |Produktmenge/ZxZ/Addition und Subtraktion/Aufgabe|p||| |Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe|p||| |Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/999999/Aufgabe|p||| |Abziehregel/Kürzungsregel/Vergleich/Aufgabe|p||| |Körper/Integritätsbereich/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Stammbrüche/Dazwischen/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Heidi Gonzales/Heidelbeeren/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/4/Szenario/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} m7hefx03iu0s4s9b758qwgwx8vq1z0o 1116929 1116928 2026-10-18T17:11:55Z Bocardodarapti 2041 1116929 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Gleichungsarten/Beispiele/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Quadratische Gleichung/Lösung vorgegeben/Unendlich/Aufgabe|p||| |Klippe/Vorgänger und Nachfolger/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Zeitreise/2/Aufgabe|p||| |Produktmenge/ZxZ/Addition und Subtraktion/Aufgabe|p||| |Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe|p||| |Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/999999/Aufgabe|p||| |Abziehregel/Kürzungsregel/Vergleich/Aufgabe|p||| |Körper/Integritätsbereich/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Stammbrüche/Dazwischen/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Heidi Gonzales/Heidelbeeren/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/4/Szenario/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 76qkd7xfv4u5f1a4riu8tquvldvfskx 1117007 1116929 2026-10-19T08:28:13Z Bocardodarapti 2041 1117007 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Gleichungsarten/Beispiele/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Quadratische Gleichung/Lösung vorgegeben/Unendlich/Aufgabe|p||| |Klippe/Vorgänger und Nachfolger/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Zeitreise/2/Aufgabe|p||| |Produktmenge/ZxZ/Addition und Subtraktion/Aufgabe|p||| |Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe|p||| |Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/999999/Aufgabe|p||| |Abziehregel/Kürzungsregel/Vergleich/Aufgabe|p||| |Körper/Integritätsbereich/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Stammbrüche/Dazwischen/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Heidi Gonzales/Heidelbeeren/Aufgabe|p||| |Äpfelpackung/6 Äpfel/Größe/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/4/Szenario/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} gsry9d7psalc0i09j2vnqesxm33k4d8 0 173064 1116857 1116489 2026-10-18T14:54:24Z Bocardodarapti 2041 1116857 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Definitionsabfrage6{{{opt1|}}} |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Definition| |/Definition| |Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition| |Rationale Zahlen/Brüche/Addition/Definition| |Rationale Zahlen/Gaußklammer/Definition| |Angeordneter Körper/Betrag/Definition| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ihpbf6wgotjyxrdps4x0462nn4sutj3 1116913 1116857 2026-10-18T16:28:40Z Bocardodarapti 2041 1116913 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Definitionsabfrage6{{{opt1|}}} |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Definition| |Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition| |Rationale Zahlen/Brüche/Addition/Definition| |Rationale Zahlen/Gaußklammer/Definition| |Dezimalbruch/Dezimalsystem/Definition| |Angeordneter Körper/Betrag/Definition| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lkkjxrvnbvk2pqaa5tyv6mvcx0du4qx 0 173066 1116858 1116483 2026-10-18T14:55:12Z Bocardodarapti 2041 1116858 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt| |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt| |Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt| }} |Textart= |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dj961uilml17hhq90t8eulw0zra80w8 106 173070 1116845 1116490 2026-10-18T14:31:17Z Bocardodarapti 2041 1116845 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} nguzbc5djrw5mkx5qjv6ljjxk1e334q 1116860 1116845 2026-10-18T14:56:45Z Bocardodarapti 2041 1116860 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} r9sx3nd1rca6y9blyjkcrljz43r89ln 1116861 1116860 2026-10-18T14:57:29Z Bocardodarapti 2041 1116861 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} slvozsa8r4vjr11ml7h0nwfnrbqtp9d 1116867 1116861 2026-10-18T15:05:05Z Bocardodarapti 2041 1116867 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} qm0fivnrba8i8jzbhv96foa94v3gowq 1116927 1116867 2026-10-18T17:10:02Z Bocardodarapti 2041 1116927 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwf/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} o9zqbdchin8fs0ecrm0zvt450iu9vke 1116932 1116927 2026-10-18T17:20:33Z Bocardodarapti 2041 1116932 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwf/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} oemg7zx5oprudexoljnpizhc1g506yn 1116980 1116932 2026-10-19T06:55:21Z Bocardodarapti 2041 1116980 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwf/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} i3ynq3277oip1l56lq261zrqtohjm6h 1116981 1116980 2026-10-19T06:56:32Z Bocardodarapti 2041 1116981 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwf/Aufgabe|p||| |Vorlesung/Sau/Negation/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 8g4hhaenrsefxaddfn1qygqolwijuu4 1116982 1116981 2026-10-19T07:01:02Z Bocardodarapti 2041 1116982 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwf/Aufgabe|p||| |Vorlesung/Sau/Negation/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/Inklusion in Vereinigung/Äquivalenz/Aufgabe|p||| |Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} d16iae1z7pufgqxxdlm2m31rxy9gjh3 1116985 1116982 2026-10-19T07:06:33Z Bocardodarapti 2041 1116985 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwf/Aufgabe|p||| |Vorlesung/Sau/Negation/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/Inklusion in Vereinigung/Äquivalenz/Aufgabe|p||| |Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ef1mic8svxj4zwx5rfuqisbwgdsyb41 1116990 1116985 2026-10-19T07:13:36Z Bocardodarapti 2041 1116990 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Eurozahlen/Minimale_Darstellung/Koeffizientenbedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwf/Aufgabe|p||| |Vorlesung/Sau/Negation/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/Inklusion in Vereinigung/Äquivalenz/Aufgabe|p||| |Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} n5sl5ra4wlaflo5kct5matztcwu6tdj 1117008 1116990 2026-10-19T08:32:31Z Bocardodarapti 2041 1117008 wikitext text/x-wiki {{ Klausur21 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Eurozahlen/Minimale_Darstellung/Koeffizientenbedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwf/Aufgabe|p||| |Karl und Susanne/Tor/Aufgabe|p||| |Vorlesung/Sau/Negation/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/Inklusion in Vereinigung/Äquivalenz/Aufgabe|p||| |Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 22cihhg00wwe3ssmp65g3sgpb0yy9sc 1117010 1117008 2026-10-19T08:36:39Z Bocardodarapti 2041 1117010 wikitext text/x-wiki {{ Klausur21 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Flußüberquerung/Wolf Schaf Kohl/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Eurozahlen/Minimale_Darstellung/Koeffizientenbedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwf/Aufgabe|p||| |Karl und Susanne/Tor/Aufgabe|p||| |Vorlesung/Sau/Negation/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/Inklusion in Vereinigung/Äquivalenz/Aufgabe|p||| |Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 007bt8zdcdi566oo6o62pxn0b09xtwe 1117014 1117010 2026-10-19T08:40:44Z Bocardodarapti 2041 1117014 wikitext text/x-wiki {{ Klausur23 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Flußüberquerung/Wolf Schaf Kohl/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Ungerade Zahl/Summe/Aufgabe|p||| |Eurozahlen/Minimale_Darstellung/Koeffizientenbedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwf/Aufgabe|p||| |Karl und Susanne/Tor/Aufgabe|p||| |Vorlesung/Sau/Negation/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/Inklusion in Vereinigung/Äquivalenz/Aufgabe|p||| |Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} pivmiiu4l805wmtzv5005k2fseajwt5 1117015 1117014 2026-10-19T08:45:59Z Bocardodarapti 2041 1117015 wikitext text/x-wiki {{ Klausur23 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Flußüberquerung/Wolf Schaf Kohl/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Ungerade Zahl/Summe/Aufgabe|p||| |Eurozahlen/Minimale_Darstellung/Koeffizientenbedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwf/Aufgabe|p||| |Karl und Susanne/Tor/Aufgabe|p||| |Vorlesung/Sau/Negation/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/Inklusion in Vereinigung/Äquivalenz/Aufgabe|p||| |Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Abbildung/Verknüpfung/Linksinjektiv/Aufgabe|p||| |Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 4rf0gfpiyae0v9ohe0a47kopyb9bv0v 1117017 1117015 2026-10-19T09:30:22Z Bocardodarapti 2041 1117017 wikitext text/x-wiki {{ Klausur24 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Flußüberquerung/Wolf Schaf Kohl/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Quadrat/Teilquadrate/Anzahl/Aufgabe|p||| |Ungerade Zahl/Summe/Aufgabe|p||| |Eurozahlen/Minimale Darstellung/Koeffizientenbedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwf/Aufgabe|p||| |Karl und Susanne/Tor/Aufgabe|p||| |Vorlesung/Sau/Negation/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/Inklusion in Vereinigung/Äquivalenz/Aufgabe|p||| |Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Abbildung/Verknüpfung/Linksinjektiv/Aufgabe|p||| |Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 8e8bg130hqkpwjbnumu526djuyelmxe 0 173071 1116854 1116476 2026-10-18T14:51:00Z Bocardodarapti 2041 1116854 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Definitionsabfrage6{{{opt1|}}} |Zahlentheorie/Primzahl/Definition| |Natürliche Zahl/Gerade/Definition| |Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition| |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition| |Endliche Menge/1...n/Definition| |/Definition| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8sul7d0qr5zkfs0o001enu4strdemz0 1116962 1116854 2026-10-19T06:38:11Z Bocardodarapti 2041 1116962 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Definitionsabfrage6{{{opt1|}}} |Zahlentheorie/Primzahl/Definition| |Natürliche Zahl/Gerade/Definition| |Implikation/Kontraposition/Definition| |Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition| |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition| |Endliche Menge/1...n/Definition| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fvenlstpwxn5y63xwg2tg7oy22xxwuq 0 173072 1116847 1116186 2026-10-18T14:41:04Z Bocardodarapti 2041 1116847 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |Eurozahlen/Minimale Darstellung/Koeffizientenbedingung/Fakt| |/Fakt| |/Fakt| }} |Textart= |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5tbt9deuzlhkq10s1jbwz9lihbi3n38 1116849 1116847 2026-10-18T14:43:25Z Bocardodarapti 2041 1116849 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |Eurozahlen/Minimale Darstellung/Koeffizientenbedingung/Fakt| |/Fakt| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Injektiv/Fakt| }} |Textart= |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pip96xzrbu0vtd3k7g67c8h5k1xn8o1 1116852 1116849 2026-10-18T14:47:22Z Bocardodarapti 2041 1116852 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |Eurozahlen/Minimale Darstellung/Koeffizientenbedingung/Fakt| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Injektiv/Fakt| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Surjektiv/Fakt| }} |Textart= |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jamilt9rs8wf9pg5uqqoshgwzzuijnw 0 173073 1116909 1116461 2026-10-18T16:21:34Z Bocardodarapti 2041 1116909 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Definitionsabfrage6{{{opt1|}}} |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Definition| |Euklidischer Algorithmus/Z/Euklidische Restfolge/Definition| |Größe/Proportionalität/Definition| |Rationale Zahlen/Brüche/Definition| |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition| |Rationale Zahl/Gemischter Bruch/Definition| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1i2nv1m60361qvtoaj4jueizmfm897s 106 173075 1116853 1116486 2026-10-18T14:48:56Z Bocardodarapti 2041 1116853 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/2/Szenario/Aufgabe|p||| |Jonathan/8 mal 8/Fehlinterpretation/Aufgabe|p||| |Widerspruchsbeweis/Einwand/Aufgabe|p||| |Produktmenge/Durchschnitt/Aufgabe|p||| |Summe/Teilmengenanzahl/Induktion/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Summe aller Zahlen/Gerade/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Knopfloch/Finger verstaucht/Aufgabe|p||| |Schokolade/Teilung/Brechungstiefe/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/n über 2/Zerlegbar/Aufgabe|p||| |Vier natürliche Zahlen/Hintereinander/Produkt/Teilbar durch 8/Aufgabe|p||| |Zweistellige Zahlen/Vertauschung/Differenz/Aufgabe|p||| |Schriftliches Addieren/Dreiersystem/1/Aufgabe|p||| |Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Buchstabenkombination/Ersetzung/2/Aufgabe|p||| |Term/Einsetzen/4/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} l0a480ygu34xf3pcgqh2mnbnah0ww12 0 173077 1116976 1116192 2026-10-19T06:50:08Z Bocardodarapti 2041 1116976 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |/Fakt| |/Fakt| |Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt| }} |Textart= |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0pcdjot314byba3jitfkq940sunshax 1116977 1116976 2026-10-19T06:51:45Z Bocardodarapti 2041 1116977 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |/Fakt| |Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt| |Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt| }} |Textart= |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hd0ys44ompx9siex68r0mk1j9b6ekpw 1116978 1116977 2026-10-19T06:52:31Z Bocardodarapti 2041 1116978 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt| |Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt| |Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt| }} |Textart= |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f4xu12v50f7n38nr7cnls1hlfkbuh09 0 173080 1116972 1116488 2026-10-19T06:43:15Z Bocardodarapti 2041 1116972 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Definitionsabfrage6{{{opt1|}}} |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition| |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition| |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition| |/Definition| |Dezimalbruch/Definition| |Angeordneter Körper/Arithmetisches Mittel/Definition| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0mjvvomblht5dqfzsdwav34mkjtlmon 106 173081 1116875 1116491 2026-10-18T15:18:46Z Bocardodarapti 2041 1116875 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/5/Szenario/Aufgabe|p||| |Höhle/Taschenlampe/Aufgabe|p||| |Brötchen/Tage/1/Aufgabe|p||| |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p||| |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Endliche geometrische Reihe/Q/Aufgabe|p||| |Brüche/Produkte/Induktion/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Goldwürfel/Verteilung/Anteil/Aufgabe|p||| |Laugenstange/Butterbelag/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 9iarcjxavc9s0vebln60zuj6p2a3kz6 1116930 1116875 2026-10-18T17:16:29Z Bocardodarapti 2041 1116930 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/5/Szenario/Aufgabe|p||| |Höhle/Taschenlampe/Aufgabe|p||| |Brötchen/Tage/1/Aufgabe|p||| |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p||| |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Endliche geometrische Reihe/Q/Aufgabe|p||| |Brüche/Produkte/Induktion/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Goldwürfel/Verteilung/Anteil/Aufgabe|p||| |Laugenstange/Butterbelag/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} iy5feoglp24a1s6avh94mfa5ie9s86z 1116934 1116930 2026-10-18T17:24:27Z Bocardodarapti 2041 1116934 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/5/Szenario/Aufgabe|p||| |Höhle/Taschenlampe/Aufgabe|p||| |Brötchen/Tage/1/Aufgabe|p||| |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p||| |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche geometrische Reihe/Q/Aufgabe|p||| |Brüche/Produkte/Induktion/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Drei Produktgleichungen/Lösungen/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Goldwürfel/Verteilung/Anteil/Aufgabe|p||| |Laugenstange/Butterbelag/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 51w31v0kvw8cm63s2grt3com2oskink 1116970 1116934 2026-10-19T06:41:26Z Bocardodarapti 2041 1116970 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/5/Szenario/Aufgabe|p||| |Höhle/Taschenlampe/Aufgabe|p||| |Brötchen/Tage/1/Aufgabe|p||| |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Division Mit Rest/Dezimalentwicklung/Erläuterung/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p||| |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche geometrische Reihe/Q/Aufgabe|p||| |Brüche/Produkte/Induktion/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Drei Produktgleichungen/Lösungen/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Goldwürfel/Verteilung/Anteil/Aufgabe|p||| |Laugenstange/Butterbelag/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} em7w4nl8800h20h0xe08gjlykrchr6g 1116971 1116970 2026-10-19T06:42:14Z Bocardodarapti 2041 1116971 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/5/Szenario/Aufgabe|p||| |Höhle/Taschenlampe/Aufgabe|p||| |Brötchen/Tage/1/Aufgabe|p||| |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p||| |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche geometrische Reihe/Q/Aufgabe|p||| |Brüche/Produkte/Induktion/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Drei Produktgleichungen/Lösungen/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Goldwürfel/Verteilung/Anteil/Aufgabe|p||| |Laugenstange/Butterbelag/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 51w31v0kvw8cm63s2grt3com2oskink 1116975 1116971 2026-10-19T06:48:43Z Bocardodarapti 2041 1116975 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/5/Szenario/Aufgabe|p||| |Höhle/Taschenlampe/Aufgabe|p||| |Brötchen/Tage/1/Aufgabe|p||| |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p||| |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Intervall/Gleichlange Teile/1/Aufgabe|p||| |Endliche geometrische Reihe/Q/Aufgabe|p||| |Brüche/Produkte/Induktion/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Drei Produktgleichungen/Lösungen/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Goldwürfel/Verteilung/Anteil/Aufgabe|p||| |Laugenstange/Butterbelag/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} k42lkb8afi8c75eyhk0cv3qs7w44rx9 0 173103 1116897 1116434 2026-10-18T15:59:24Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116897 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> <span id="ISL"></span> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_{_G}</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_{_G}</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_{_G}(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_{_G} </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_{_G}</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log_{_G})(z) = \exp(\log_{_G}(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>H</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> {\log{\,}'}_{\!\!\!\!_G}(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log_{_G})'(z) = \underbrace{\exp(\log_{_G}(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'\!\!_{_G}(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert :<math> F(z_0) = \log_{_G}(z_0) = w_0 = \ln(|z_0|) + {i\cdot t_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt mit <math> \log_{_G}(z_0) = w_0 </math> und Einsetzen in die Exponentialfunktion (i.e. ISL1): :<math> \begin{array}{rcl} \exp(w_0) & = & \exp(\ln(|z_0|) + {i\cdot t_0}) = \exp(\ln(|z_0|)) \cdot \exp( {i\cdot t_0}) \\ & = & |z_0|\cdot \exp(i\cdot t_0) = z_0 \\ \end{array} </math> In der zweiten Gleichungszeile wurde die Polarkoordinatendarstellung von <math>z_0</math> verwendet. === Schritt 8 - Zweig des Logarithmus - ISL2 === Nun lann man durch Verkettung die Konstante ablesen: :<math> C\cdot z_0 = H(z_0) = \exp(\log_{_G}(z_0)) = \exp(w_0) = z_0 </math> Damit ist die Konstante <math>C=1</math> und diese gilt für das ganze Gebiet <math>G</math>. Damit ist <math>\log_{_G}</math> zusammen mit der Eigenschaft ISL1 auf ganz <math>G</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich einerseits auf die Beweisidee und der Vorstellung in Übungen und in der zweiten Aufgaben soll der Unterschied zu [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmenzweige]] an einem konkreten Beispiel und einem gegeben Weg herausgearbeitet werden. === Aufgabe 1 für Studierenden === * Warum ist die summandenweise Intergration in der darstellenden Potenzreihe für <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> zulässig? * Stellen Sie die Beweisidee dar und legen Sie besonderen Wert auf Begründungen, die einzelnen Stammfunktionen auf Kreisscheiben zunächst zu einer holomorphen Funktion machen, die dann die Eigenschaften eines Zweiges des Logarithmus besitzt! === Aufgabe 2 - Archimedische Spirale === Die folgende Abbildung soll die Spur des Weges <math>\gamma: \left[\frac{\pi}{4},6\pi\right]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math> abbildet. Der Weg <math>\gamma</math> ist [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] === Abbildung - Archimedische Spirale === [[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]] == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Konstruktionslemma für Stammfunktionen]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qv9e5lcmsmvz170mx6i0l7oonttauoe 1116904 1116897 2026-10-18T16:03:10Z Bert Niehaus 20843 /* Identitätssatz für den Logarithmus */ 1116904 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> ''eindeutig festgelegt'', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> <span id="ISL"></span> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_{_G}</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_{_G}</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_{_G}(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_{_G} </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_{_G}</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log_{_G})(z) = \exp(\log_{_G}(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>H</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> {\log{\,}'}_{\!\!\!\!_G}(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log_{_G})'(z) = \underbrace{\exp(\log_{_G}(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'\!\!_{_G}(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert :<math> F(z_0) = \log_{_G}(z_0) = w_0 = \ln(|z_0|) + {i\cdot t_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt mit <math> \log_{_G}(z_0) = w_0 </math> und Einsetzen in die Exponentialfunktion (i.e. ISL1): :<math> \begin{array}{rcl} \exp(w_0) & = & \exp(\ln(|z_0|) + {i\cdot t_0}) = \exp(\ln(|z_0|)) \cdot \exp( {i\cdot t_0}) \\ & = & |z_0|\cdot \exp(i\cdot t_0) = z_0 \\ \end{array} </math> In der zweiten Gleichungszeile wurde die Polarkoordinatendarstellung von <math>z_0</math> verwendet. === Schritt 8 - Zweig des Logarithmus - ISL2 === Nun lann man durch Verkettung die Konstante ablesen: :<math> C\cdot z_0 = H(z_0) = \exp(\log_{_G}(z_0)) = \exp(w_0) = z_0 </math> Damit ist die Konstante <math>C=1</math> und diese gilt für das ganze Gebiet <math>G</math>. Damit ist <math>\log_{_G}</math> zusammen mit der Eigenschaft ISL1 auf ganz <math>G</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich einerseits auf die Beweisidee und der Vorstellung in Übungen und in der zweiten Aufgaben soll der Unterschied zu [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmenzweige]] an einem konkreten Beispiel und einem gegeben Weg herausgearbeitet werden. === Aufgabe 1 für Studierenden === * Warum ist die summandenweise Intergration in der darstellenden Potenzreihe für <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> zulässig? * Stellen Sie die Beweisidee dar und legen Sie besonderen Wert auf Begründungen, die einzelnen Stammfunktionen auf Kreisscheiben zunächst zu einer holomorphen Funktion machen, die dann die Eigenschaften eines Zweiges des Logarithmus besitzt! === Aufgabe 2 - Archimedische Spirale === Die folgende Abbildung soll die Spur des Weges <math>\gamma: \left[\frac{\pi}{4},6\pi\right]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math> abbildet. Der Weg <math>\gamma</math> ist [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] === Abbildung - Archimedische Spirale === [[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]] == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Konstruktionslemma für Stammfunktionen]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pqr94nw5qnwfozv8rejxy800a3f172o 1116905 1116904 2026-10-18T16:04:03Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 2 - Archimedische Spirale */ 1116905 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> ''eindeutig festgelegt'', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> <span id="ISL"></span> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_{_G}</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_{_G}</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_{_G}(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_{_G} </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_{_G}</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log_{_G})(z) = \exp(\log_{_G}(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>H</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> {\log{\,}'}_{\!\!\!\!_G}(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log_{_G})'(z) = \underbrace{\exp(\log_{_G}(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'\!\!_{_G}(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert :<math> F(z_0) = \log_{_G}(z_0) = w_0 = \ln(|z_0|) + {i\cdot t_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt mit <math> \log_{_G}(z_0) = w_0 </math> und Einsetzen in die Exponentialfunktion (i.e. ISL1): :<math> \begin{array}{rcl} \exp(w_0) & = & \exp(\ln(|z_0|) + {i\cdot t_0}) = \exp(\ln(|z_0|)) \cdot \exp( {i\cdot t_0}) \\ & = & |z_0|\cdot \exp(i\cdot t_0) = z_0 \\ \end{array} </math> In der zweiten Gleichungszeile wurde die Polarkoordinatendarstellung von <math>z_0</math> verwendet. === Schritt 8 - Zweig des Logarithmus - ISL2 === Nun lann man durch Verkettung die Konstante ablesen: :<math> C\cdot z_0 = H(z_0) = \exp(\log_{_G}(z_0)) = \exp(w_0) = z_0 </math> Damit ist die Konstante <math>C=1</math> und diese gilt für das ganze Gebiet <math>G</math>. Damit ist <math>\log_{_G}</math> zusammen mit der Eigenschaft ISL1 auf ganz <math>G</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich einerseits auf die Beweisidee und der Vorstellung in Übungen und in der zweiten Aufgaben soll der Unterschied zu [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmenzweige]] an einem konkreten Beispiel und einem gegeben Weg herausgearbeitet werden. === Aufgabe 1 für Studierenden === * Warum ist die summandenweise Intergration in der darstellenden Potenzreihe für <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> zulässig? * Stellen Sie die Beweisidee dar und legen Sie besonderen Wert auf Begründungen, die einzelnen Stammfunktionen auf Kreisscheiben zunächst zu einer holomorphen Funktion machen, die dann die Eigenschaften eines Zweiges des Logarithmus besitzt! === Aufgabe 2 - Archimedische Spirale === Die folgende Abbildung soll die Spur des Weges <math>\gamma: \left[\frac{\pi}{4},6\pi\right]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math> abbildet. Der Weg <math>\gamma</math> ist [[w:de:injektive Funktion|injektiv]]. === Abbildung - Archimedische Spirale === [[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]] == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Konstruktionslemma für Stammfunktionen]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2io2jvxut6w9o42jyes2teuwl1bla0h 1116906 1116905 2026-10-18T16:08:58Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben für Studierende */ 1116906 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> ''eindeutig festgelegt'', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> <span id="ISL"></span> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_{_G}</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_{_G}</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_{_G}(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_{_G} </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_{_G}</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log_{_G})(z) = \exp(\log_{_G}(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>H</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> {\log{\,}'}_{\!\!\!\!_G}(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log_{_G})'(z) = \underbrace{\exp(\log_{_G}(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'\!\!_{_G}(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert :<math> F(z_0) = \log_{_G}(z_0) = w_0 = \ln(|z_0|) + {i\cdot t_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt mit <math> \log_{_G}(z_0) = w_0 </math> und Einsetzen in die Exponentialfunktion (i.e. ISL1): :<math> \begin{array}{rcl} \exp(w_0) & = & \exp(\ln(|z_0|) + {i\cdot t_0}) = \exp(\ln(|z_0|)) \cdot \exp( {i\cdot t_0}) \\ & = & |z_0|\cdot \exp(i\cdot t_0) = z_0 \\ \end{array} </math> In der zweiten Gleichungszeile wurde die Polarkoordinatendarstellung von <math>z_0</math> verwendet. === Schritt 8 - Zweig des Logarithmus - ISL2 === Nun lann man durch Verkettung die Konstante ablesen: :<math> C\cdot z_0 = H(z_0) = \exp(\log_{_G}(z_0)) = \exp(w_0) = z_0 </math> Damit ist die Konstante <math>C=1</math> und diese gilt für das ganze Gebiet <math>G</math>. Damit ist <math>\log_{_G}</math> zusammen mit der Eigenschaft ISL1 auf ganz <math>G</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich einerseits auf die Beweiside und andereseits wird der Unterschied zu [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmenzweige]] an einem konkreten Beispiel und einem gegebenen Weg herausgearbeitet. Stellen Sie die Aufgaben in den Übungen vor! === Aufgabe 1 für Studierenden === * Warum ist die summandenweise Intergration in der darstellenden Potenzreihe für <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> zulässig? * Stellen Sie die Beweisidee dar und legen Sie besonderen Wert auf Begründungen, die einzelnen Stammfunktionen auf Kreisscheiben zunächst zu einer holomorphen Funktion machen, die dann die Eigenschaften eines Zweiges des Logarithmus besitzt! === Aufgabe 2 - Archimedische Spirale === Die folgende Abbildung zeigt die Spur des Weges <math>\gamma: [0,\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math> abbildet. Der Weg <math>\gamma</math> ist [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] und ein [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg]]. Entfernt man die Spur von <math>\gamma</math> von <math>\mathbb{C}</math>, so erhält man [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G:=\mathbb{C}\setminus Spur(\gamma)</math>. === Abbildung - Archimedische Spirale === [[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]] == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Konstruktionslemma für Stammfunktionen]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] d5p26iv4p0xaxyjuzwpxp1b3jawvnzi 0 173134 1116826 1116593 2026-10-18T11:59:52Z Bocardodarapti 2041 1116826 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die hier für die Eurozahlen gestellten Fragen kann und sollte man sich auch für andere vorgegebene Zahlmengen {{ Zusatz/Klammer |text=Münzsysteme| |ISZ=|ESZ= }} stellen. Die dabei wichtigste Zahlmenge ist {{ Zusatz/Klammer |text=die unendliche Menge| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= 1,10,100,1000, ... |SZ=;}} die hier diskutierten Fragen hängen unmittelbar mit der Dezimalentwicklung von natürlichen Zahlen zusammen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Münzen/Dezimalsystem/Zusammenhang/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Dort gelten entsprechende Aussagen zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Andere Zahlmengen wie beispielsweise {{mathl|term= 1,3,5 |SZ=}} oder {{mathl|term= 1,4,5,6 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Münzen/1,4,5,6/Maximale Auffüllung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} zeigen, dass die hier erzielten Ergebnisse nicht auf beliebige Zahlmengen verallgemeinert werden können. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 8lgqwidqqteyy3wqyhjy006dmgoi8xj 1116829 1116826 2026-10-18T12:03:59Z Bocardodarapti 2041 1116829 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die hier für die Eurozahlen gestellten Fragen kann und sollte man sich auch für andere vorgegebene Zahlmengen {{ Zusatz/Klammer |text=Münzsysteme| |ISZ=|ESZ= }} stellen. Die dabei wichtigste Zahlmenge ist {{ Zusatz/Klammer |text=die unendliche Menge| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= 1,10,100,1000, ... |SZ=;}} die hier diskutierten Fragen hängen unmittelbar mit der Dezimalentwicklung von natürlichen Zahlen zusammen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Münzen/Dezimalsystem/Zusammenhang/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Dort gelten entsprechende Aussagen zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Andere Zahlmengen wie beispielsweise {{mathl|term= 1,3,5 |SZ=}} oder {{mathl|term= 1,4,6 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Münzen/1,4,6/Maximale Auffüllung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} zeigen, dass die hier erzielten Ergebnisse nicht auf beliebige Zahlmengen verallgemeinert werden können. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} pr7s0xdm24ey4h51jdoyesaj6s4i835 108 173149 1116943 1116816 2026-10-18T19:04:50Z ChristianSW 15793 /* selbstgedruckte Halterung */ 1116943 wikitext text/x-wiki == Elektromagnet == === Halterung: selbst entworfen und gedruckt === <gallery mode=packed heights=360> Magnethalterung V1 a.jpg Magnethalterung V1 b.jpg </gallery> nsw5utywar1zkhqz4ck71p1luchgvfe 1116944 1116943 2026-10-18T19:07:55Z ChristianSW 15793 ... 1116944 wikitext text/x-wiki == 3D Druck == === Halterung: selbst entworfen und gedruckt === <gallery mode=packed heights=360> Magnethalterung V1 a.jpg Magnethalterung V1 b.jpg </gallery> 0y2ihgg4jqo3qytnx53h4cwo2h0862x 106 173150 1116831 1116824 2026-10-18T12:11:49Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge */ 1116831 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] b7644rig03mck9xyxbqqvhq13z76ufg 1116832 1116831 2026-10-18T12:29:41Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung */ 1116832 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] gre26gthn19rsm4ev05r18k3ryc55t4 1116833 1116832 2026-10-18T12:30:39Z Bert Niehaus 20843 1116833 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 49am0t6oslhgssa61s108zjkcgarvip 1116835 1116833 2026-10-18T12:41:57Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme */ 1116835 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] eftndcdu6clz7o15jgl2huj9ad6aysu 1116836 1116835 2026-10-18T12:42:18Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zum Beweis */ 1116836 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qekpv54fp8grv63eu20g3ia4z0s9hwe 1116837 1116836 2026-10-18T13:18:37Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zum Beweis */ 1116837 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält dann: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6grkcel4qutcc191x2zvlal9mfx6236 1116839 1116837 2026-10-18T13:46:30Z Bert Niehaus 20843 /* Produktdarstellung nach Umformung */ 1116839 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält dann: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welche <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 772clu9vk64an8er3dfml5bvp800wp7 1116840 1116839 2026-10-18T13:47:43Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendungen */ 1116840 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält dann: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welche <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] g5yu94gtzkxyxu6phh1c865lzc83v2n 1116841 1116840 2026-10-18T13:50:22Z Bert Niehaus 20843 /* Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle */ 1116841 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält dann: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] tosowm4zfewcevfgtsxaghbs1ngupmx 1116844 1116841 2026-10-18T14:30:55Z Bert Niehaus 20843 /* Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle */ 1116844 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält dann: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereit [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die Algebraerweiterung <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist das <math>z</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math> gesucht. Für die Anwendung des Satzes und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element <math>a^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}}</math>. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender darstellung :<math> a^{-1} = (e - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| < 1 </math>. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1uu7arw8bpvmmg0ur18pcnhbtupmk28 1116859 1116844 2026-10-18T14:56:01Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der Elemente im Satz */ 1116859 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält dann: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereit [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die Algebraerweiterung <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist das <math>z</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math> gesucht. Für die Anwendung des Satzes und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element <math>a^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}}</math>. Wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> gilt ferner ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender darstellung :<math> a^{-1} = (e - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| < 1 </math>. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dw5r0j6rxog3wh10o6yv0gg4sf7mahv 1116865 1116859 2026-10-18T15:03:12Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der Elemente im Satz */ 1116865 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält dann: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereit [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die Algebraerweiterung <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist das <math>z</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math> gesucht. Für die Anwendung des Satzes und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element <math>a^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender darstellung :<math> a^{-1} = (e - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| < 1 </math>. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9ppzkjtzyt6bydvzs4y8slnkoq98vl5 1116866 1116865 2026-10-18T15:03:59Z Bert Niehaus 20843 /* Potenzreihe eine Polynoms */ 1116866 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält dann: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereit [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die Algebraerweiterung <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist das <math>z</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math> gesucht. Für die Anwendung des Satzes und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element <math>a^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender darstellung :<math> a^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| < 1 </math>. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ozve88yf7tidwbkpihfe74wl8s6brdq 1116868 1116866 2026-10-18T15:05:45Z Bert Niehaus 20843 /* Potenzreihe eine Polynoms */ 1116868 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält dann: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereit [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die Algebraerweiterung <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist das <math>z</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math> gesucht. Für die Anwendung des Satzes und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element <math>a^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> a^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4v4spc070kiicaqrzvm2ceka0lzi42o 1116872 1116868 2026-10-18T15:12:57Z Bert Niehaus 20843 /* Potenzreihe eine Polynoms */ 1116872 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält dann: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereit [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die Algebraerweiterung <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist das <math>z</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math> gesucht. Für die Anwendung des Satzes und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element <math>a^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> a^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zu Betragsabschätzung ==== == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nlr196ucszcxwimjh1ot22vmgquaxc5 1116873 1116872 2026-10-18T15:16:00Z Bert Niehaus 20843 /* Von der Lösung der Nullstellengleichung zu Betragsabschätzung */ 1116873 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält dann: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereit [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die Algebraerweiterung <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist das <math>z</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math> gesucht. Für die Anwendung des Satzes und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element <math>a^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> a^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zu Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung überführt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6y30muyolsvmw2h2fj5lf1hwtvuu7rs 1116874 1116873 2026-10-18T15:17:49Z Bert Niehaus 20843 /* Von der Lösung der Nullstellengleichung zu Betragsabschätzung */ 1116874 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält dann: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereit [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die Algebraerweiterung <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist das <math>z</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math> gesucht. Für die Anwendung des Satzes und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element <math>a^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> a^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zu Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lt4t8iq7amrvg52dboua9is38yw0q6s 1116876 1116874 2026-10-18T15:19:47Z Bert Niehaus 20843 /* Von der Lösung der Nullstellengleichung zu Betragsabschätzung */ 1116876 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält dann: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereit [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die Algebraerweiterung <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist das <math>z</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math> gesucht. Für die Anwendung des Satzes und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element <math>a^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> a^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pdc5lmfkmx3pkhrykxj16l8kloa37kk 1116877 1116876 2026-10-18T15:20:38Z Bert Niehaus 20843 /* Algebraische Umformung des Polynoms */ 1116877 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereit [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die Algebraerweiterung <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist das <math>z</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math> gesucht. Für die Anwendung des Satzes und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element <math>a^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> a^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mzdtkt2f9qkue448u08w3tz65j8ibm4 1116878 1116877 2026-10-18T15:21:46Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116878 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereit [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die Algebraerweiterung <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist das <math>z</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math> gesucht. Für die Anwendung des Satzes und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element <math>a^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> a^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topolologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 715mxlq3a25wfbueaz4qu8ybhe7c0u7 1116879 1116878 2026-10-18T15:22:00Z Bert Niehaus 20843 /* Kurse */ 1116879 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung von <math>q(z)</math> zu einem neuen Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>p_0=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^k = -1+p(z)\cdot z </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereit [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die Algebraerweiterung <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist das <math>z</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math> gesucht. Für die Anwendung des Satzes und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element <math>a^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> a^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1quvsea47p174mt9zmo1atq4f73sppl 1116974 1116879 2026-10-19T06:47:18Z Bert Niehaus 20843 /* Algebraische Umformung des Polynoms */ 1116974 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereit [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die Algebraerweiterung <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist das <math>z</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math> gesucht. Für die Anwendung des Satzes und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element <math>a^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> a^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2rpwbsrjlhapmr3y3eipjgwjzdtnqlj 1117016 1116974 2026-10-19T09:27:28Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen */ 1117016 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereit [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die Algebraerweiterung <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist das <math>z</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math> gesucht. Für die Anwendung des Satzes und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element <math>a^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> a^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qyh3lcu9ydwpqf8xki029fqtblrfl02 1117025 1117016 2026-10-19T09:43:00Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen */ 1117025 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rdin1q4qonpaw538ojeiisvfesbjzmk 0 173162 1116828 2026-10-18T12:03:39Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116828 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Land besitze Münzen im Nennwert von {{math|term= 1,4 |SZ=}} und {{math|term= 6|SZ=}} Talern. Zeige{{n Sie}}, dass es nicht unbedingt zu einer minimalen Anzahl von Münzen führt, wenn man einen Betrag sukzessive mit der größtmöglichen Münze begleicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} h98vkid7kvr16ps9qqlz4vntqjhcljm 0 173163 1116843 2026-10-18T14:30:47Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116843 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Münzsystem verfüge über Münzen mit den Werten {{ Relationskette/display | 1 || w_1 |<| w_2 |<| w_3 |< \cdots <| w_n || |SZ=, }} und dabei gelte {{ Relationskette/display | 2 w_i | \leq | w_{i+1} || || || |SZ= }} für alle {{math|term= i |SZ=.}} Ist dann die minimale Darstellung eines jedes Betrages eindeutig? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} m9ywdttkqp48jcvy3e1y385gtqs3eul 0 173164 1116846 2026-10-18T14:34:24Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116846 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Das muss nicht sein. Die Münzwerte {{ Relationskette/display | 1 |<| 3 |<| 7 || || |SZ= }} erfüllen die Bedingung. Der Betrag {{math|term= 9 |SZ=}} lässt sich als {{ Relationskette/display | 9 || 7+1+1 || 3+3+3 || || |SZ= }} schreiben. Das sind zwei verschiedene minimale Darstellungen, da eine Darstellungen mit nur zwei Münzen nicht möglich ist. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 8m5smfmfv1i3fm0j3j9qo0526zsn7th 0 173165 1116848 2026-10-18T14:41:52Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116848 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die Koeffizientenbedingung einer minimalen Darstellung eines Betrages mit den Eurozahlen. |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j6dkt5u7gqske5axk7pjlj9fu9h84be 0 173166 1116850 2026-10-18T14:44:14Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116850 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die Injektivität bei Hintereinanderschaltungen. |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0tlhklhf5tsh46zsir6x7bawh29k74q 0 173167 1116851 2026-10-18T14:47:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116851 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die Surjektivität bei Hintereinanderschaltungen. |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a4vm3bm4vtzvtpf8311ww86uf3e5fm7 0 173168 1116855 2026-10-18T14:51:29Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116855 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine natürliche {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |gerade| |SZ= }} Zahl {{math|term= n |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5pfmwqyw37eeq56v1nnuqnyh3rg1uf5 0 173169 1116856 2026-10-18T14:52:37Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116856 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= {{math|term= n |SZ=}} heißt {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |gerade| |SZ=, }} wenn sie von der Form {{ Relationskette | n || 2k || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | k | \in | \N || || || |SZ= }} ist. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2915v81rlm95f1h73qvqreste10um9e 108 173170 1116938 2026-10-18T18:56:27Z ChristianSW 15793 neu 1116938 wikitext text/x-wiki == Drehkran == <gallery mode=packed heights=360> Drehkran mit Magnethalterung.jpg </gallery> === Drehkranz === <gallery mode=packed heights=360> Drehkranz für Drehkran.jpg </gallery> === selbstgedruckte Halterung === <gallery mode=packed heights=360> Magnethalterung V1 a.jpg Magnethalterung V1 b.jpg </gallery> 43p4v1k7to3x72jv8h8pdkmvuyyzvwc 1116939 1116938 2026-10-18T18:56:53Z ChristianSW 15793 /* selbstgedruckte Halterung */ 1116939 wikitext text/x-wiki == Drehkran == <gallery mode=packed heights=360> Drehkran mit Magnethalterung.jpg </gallery> === Drehkranz === <gallery mode=packed heights=360> Drehkranz für Drehkran.jpg </gallery> === selbstgedruckte Halterung für den Elektromagneten === <gallery mode=packed heights=360> Magnethalterung V1 a.jpg Magnethalterung V1 b.jpg </gallery> gch5dkt0pvzxo1m9lc0m3mr3kjyaqnh 1116942 1116939 2026-10-18T19:04:15Z ChristianSW 15793 /* selbstgedruckte Halterung für den Elektromagneten */ 1116942 wikitext text/x-wiki == Drehkran == <gallery mode=packed heights=360> Drehkran mit Magnethalterung.jpg </gallery> === Drehkranz === <gallery mode=packed heights=360> Drehkranz für Drehkran.jpg </gallery> === Halterung: selbst entworfen und gedruckt === <gallery mode=packed heights=360> Magnethalterung V1 a.jpg Magnethalterung V1 b.jpg </gallery> sbfjucsornfyodgzutbw5ugsio3ja0h 108 173171 1116945 2026-10-18T19:24:11Z ChristianSW 15793 + 1116945 wikitext text/x-wiki == Servoventil == === Servomotor schaltet Pneumatikventil <gallery mode=packed heights=360> Ventil mit Servomotor für Klemmbausteinmodelle.jpg </gallery> mteborlwlqgzd3d7jtu4o3qnt24o30f 1116946 1116945 2026-10-18T19:24:24Z ChristianSW 15793 /* Servoventil */ 1116946 wikitext text/x-wiki == Servoventil == === Servomotor schaltet Pneumatikventil === <gallery mode=packed heights=360> Ventil mit Servomotor für Klemmbausteinmodelle.jpg </gallery> q4jsn54xcfjwe114usx0rig4sb8n0rw 3 173172 1116947 2026-10-18T19:28:45Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1116947 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=HNeub}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 21:28, 18. Okt. 2026 (CEST) h0jbnb404qdz2jpb8lcpf6qgze1n0n8 0 173173 1116950 2026-10-19T06:05:50Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116950 wikitext text/x-wiki == Siehe auch == * [[komplexer Logarithmus]] * [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] 2ezsb8iovrtixkv1muci7g3s81utvaf 1116951 1116950 2026-10-19T06:06:26Z Bert Niehaus 20843 1116951 wikitext text/x-wiki == Siehe auch == * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] 5b7170kqgozju364nji0tm9x3ltufo1 3 173174 1116954 2026-10-19T06:32:44Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1116954 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Capricornuser}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 08:32, 19. Okt. 2026 (CEST) 7fdxv0c0gsu8kxgfrxzfxd4r4dnz0eu 3 173175 1116961 2026-10-19T06:37:46Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1116961 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Catloverrr.0507}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 08:37, 19. Okt. 2026 (CEST) 6vtd75nkawvsv42ar7n9y4nvo585xxx 3 173176 1116984 2026-10-19T07:03:49Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1116984 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Stsaanwar}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 09:03, 19. Okt. 2026 (CEST) df4lg6wpiaqt1g7txn4d8n08y0pzm6s 3 173177 1116986 2026-10-19T07:10:14Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1116986 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Jangohong}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 09:10, 19. Okt. 2026 (CEST) 6ggx7j1i9458xbp0bnyotht4edkgcuo 0 173178 1116987 2026-10-19T07:11:11Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116987 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= w |SZ=}} eine natürliche Zahl und es sei eine Summendarstellung {{ Relationskette/display | w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette | a_1 {{kommadots|}} a_9 | \in | \N || || || |SZ= }} }} mit der Eigenschaft gegeben, dass die Gesamtanzahl der Summanden {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathlk|term= a_1 +a_2 {{plusdots}} a_9 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} unter all solchen Darstellungen für {{math|term= w |SZ=}} minimal sei. Zeige{{n Sie}}, dass dann die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung3/a |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 1,5,10,50,100 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 1 |SZ=.}} |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 2,20,200 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 2 |SZ=.}} |Falls der Koeffizient, der sich auf {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= 20 |SZ=}} bzw. {{math|term= 200 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bezieht, gleich {{math|term= 2 |SZ=}} ist, so ist der vorhergehende Koeffizient {{ Zusatz/Klammer |text=der sich also auf {{math|term= 1 |SZ=}} bzw. {{math|term= 10 |SZ=}} bzw. {{math|term= 100 |SZ=}} bezieht| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} cmbple9w84njfoy0klrpad13zh18jmw 1116989 1116987 2026-10-19T07:12:18Z Bocardodarapti 2041 1116989 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= w |SZ=}} eine natürliche Zahl und es sei eine Summendarstellung {{ Relationskette/display | w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette | a_1 {{kommadots|}} a_9 | \in | \N || || || |SZ= }} }} mit der Eigenschaft gegeben, dass die Gesamtanzahl der Summanden {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathlk|term= a_1 +a_2 {{plusdots}} a_9 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} unter all solchen Darstellungen für {{math|term= w |SZ=}} minimal sei. Zeige{{n Sie}}, dass dann die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung3/a |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 1,5,10,50,100 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 1 |SZ=.}} |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 2,20,200 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 2 |SZ=.}} |Falls der Koeffizient, der sich auf {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= 20 |SZ=}} bzw. {{math|term= 200 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bezieht, gleich {{math|term= 2 |SZ=}} ist, so ist der vorhergehende Koeffizient {{ Zusatz/Klammer |text=der sich also auf {{math|term= 1 |SZ=}} bzw. {{math|term= 10 |SZ=}} bzw. {{math|term= 100 |SZ=}} bezieht| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} b2lsxkajmzsies8cpg5azzkjuhkcqtm 0 173179 1116988 2026-10-19T07:11:35Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116988 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Eurozahlen/Minimale Darstellung/Koeffizientenbedingung/Fakt/Beweis|opt=Text}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 6zhnh66i1r2v41jvsekh5y2h7rzlv6r 3 173180 1117005 2026-10-19T08:19:04Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1117005 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Kayalem}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:19, 19. Okt. 2026 (CEST) aog0c46js9tfqvmslawtvzrplv7uazz 3 173181 1117011 2026-10-19T08:38:34Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1117011 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Abduljaafar}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:38, 19. Okt. 2026 (CEST) anzwzbrgnaml73vt54tgvjhc93qwbhl 3 173182 1117012 2026-10-19T08:39:47Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1117012 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Hyueiqibshdwk}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:39, 19. Okt. 2026 (CEST) mw4exuabwbkkymdgak18t9i14ksyx25 3 173183 1117013 2026-10-19T08:40:23Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1117013 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Leon homi}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:40, 19. Okt. 2026 (CEST) h6fucgm1h3b3kp3ybhtwilacjd9in0m 106 173184 1117037 2026-10-19T10:15:47Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1117037 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|3|13|Kurs=|}} a3w4d9l3t2eg5tgmd28m1a60bo3u0xw 106 173185 1117038 2026-10-19T10:15:58Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1117038 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|3|11|Kurs=|}} ditbtbrqbf3ejv2bdycawnotvrrcf3j 3 173186 1117039 2026-10-19T10:59:33Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1117039 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Lenenee}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 12:59, 19. Okt. 2026 (CEST) 1077y81hyvpfor7wu3572tmz9lkyacj