Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 10 48543 1117161 1077099 2026-10-20T10:02:41Z Bocardodarapti 2041 1117161 wikitext text/x-wiki {{Netz oder Druck| |\thispagestyle{empty} \large}} {{Seitenüberschrift|Grundkurs Mathematik - Blätter {{{Blatt1}}} und {{{Blatt2}}} }} {{deckblattabstand}} Abgabegruppe: {{deckblattabstand}} {{deckblattabstand}} {{#switch: {{#expr: {{{bis1|}}} - {{{von1|}}} + 1}} |2 = {{Wertetabelle2 |text1=Aufgabe |{{{Blatt1}}}.{{{von1}}} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 1 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |3 = {{Wertetabelle3 |text1=Aufgabe |{{{Blatt1}}}.{{{von1}}} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 1 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 2 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |4 = {{Wertetabelle4 |text1=Aufgabe |{{{Blatt1}}}.{{{von1}}} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 1 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 2 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 3 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |5 = {{Wertetabelle5 |text1=Aufgabe |{{{Blatt1}}}.{{{von1}}} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 1 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 2 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 3 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 4 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |6 = {{Wertetabelle6 |text1=Aufgabe |{{{Blatt1}}}.{{{von1}}} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 1 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 2 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 3 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 4 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 5 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |7 ={{Wertetabelle7 |text1=Aufgabe |{{{Blatt1}}}.{{{von1}}} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 1 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 2 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 3 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 4 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 5 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 6 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |8 ={{Wertetabelle8 |text1=Aufgabe |{{{Blatt1}}}.{{{von1}}} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 1 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 2 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 3 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 4 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 5 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 6 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 7 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |#default = }} {{deckblattabstand}} {{#switch: {{#expr: {{{bis2|}}} - 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Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [mailto:office@falko-wilms.de klick & mail] <big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort ==<span style="color:blue;">'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie * <span style="color:blue;">die Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für Abweichungen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835376&item_ref_id=0 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835401&item_ref_id=0 <span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/Verschriftlichung.pdf <span style="color:red;"> <big>'''Erläuterung zur Verschriftlichung'''</big></span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835377&item_ref_id=0 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835402&item_ref_id=0 <span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [ https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835379&item_ref_id=0 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835404&item_ref_id=0<span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] jgrqk19vpxi0waq3vi1775ver0rn7uh 0 82603 1117137 1116559 2026-10-20T07:43:30Z Bocardodarapti 2041 1117137 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung=Es gelten die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Jede natürliche Zahl {{math|term= w |SZ=}} besitzt eine eindeutige Summendarstellung {{ Relationskette/display |w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | a_1 {{kommadots|}} a_9 | \in | \N || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} mit der Eigenschaft, dass die Gesamtanzahl der Summanden {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathlk|term= a_1 +a_2 {{plusdots}} a_9 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} unter allen Darstellungen minimal ist. |Eine solche Darstellung ist genau dann minimal, wenn die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung3/a |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 1,5,10,50,100 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 1 |SZ=.}} |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 2,20,200 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 2 |SZ=.}} |Falls der Koeffizient, der sich auf {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= 20 |SZ=}} bzw. {{math|term= 200 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bezieht, gleich {{math|term= 2 |SZ=}} ist, so ist der vorhergehende Koeffizient {{ Zusatz/Klammer |text=der sich also auf {{math|term= 1 |SZ=}} bzw. {{math|term= 10 |SZ=}} bzw. {{math|term= 100 |SZ=}} bezieht| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} }} |Die eindeutige Darstellung findet man, indem man sukzessive absteigend {{mathl|term= a_9 {{kommadots|}} a_1 |SZ=}} bestimmt, wobei man folgendermaßen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Dies ist ein sogenannter {{Anführung|gieriger Algorithmus|SZ=,}} da er sich bei jedem Einzelschritt daran orientiert, wie man möglichst viel von dem {{ Zusatz/Klammer |text=verbleibenden| |ISZ=|ESZ= }} Geldbetrag abzahlen kann| |ISZ=.|ESZ= }} vorgeht {{ Math/display|term= a_9 \text{ ist die maximale natürliche Zahl mit } a_9 \cdot 500 \leq w |SZ=, }} definiere {{ Relationskette/display |w_8 | {{defeq}} | w- a_9 \cdot 500 || || || |SZ=. }} {{ Math/display|term= a_8 \text{ ist die maximale natürliche Zahl mit } a_8 \cdot 200 \leq w_8 |SZ=, }} definiere {{ Relationskette/display |w_7 | {{defeq}} | w_8- a_8 \cdot 200 || || || |SZ=, }} etc. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz über die minimale Bargeld-Darstellung |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ab9y0phqwl5r0p0mfg8cpm9b1jsfhoy 0 99180 1117145 1062066 2026-10-20T09:19:29Z Carl Stiller 32616 /* 8.4. Die Entfaltung der islamischen Rechtstheorie */ typo 1117145 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07|7 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 09|>>> 9]] {{TOC nonum}} = 8. Das schiitische Jahrhundert und die Konsolidierung des Sunnitentums (930-1173) = Die meisten islamischen Länder werden von schiitischen Dynastien beherrscht. Sie fördern nicht nur schiitische Gelehrsamkeit und Gedächtniskultur, sondern auch muʿtazilitische Theologie und Philosophie. Ab 1050 kommt eine „sunnitische Restauration“ in Gang, allerdings bestehen im sunnitischen Lager noch große dogmatische Gegensätze. Der Islam verbreitet sich zunehmend nach Afrika. == 8.1. Das schiitische Jahrhundert (930-1063) == === 8.1.1. Die schiitischen Mächte und ihre Religionspolitik === ==== 8.1.1.1. Die aus der ismailitischen Daʿwa hervorgegangenen Staaten ==== [[File:The Blackstone.jpg|mini|Heutiger Zustand des [[w:Schwarzer Stein (Mekka)|Schwarzen Steins]] in Mekka. 951 brachten ihn die Bahrain-Qarmaten nach Mekka zurück. Da er beschädigt war, musste er mit einer Silbereinfassung versehen werden.]] Kennzeichnend für die Zeit nach 930 ist die große Bedeutung ismailitischer Lehren an den Höfen der muslimischen Herrscher. In ihrer qarmatischen Form hatte diese Lehre zum Beispiel viele Anhänger am [[w:Samaniden|Samaniden]]-Hof von Buchara. Staaten mit eindeutig qarmatischer Ausrichtung bildeten sich in Aserbaidschan und in Sindh, wo sich noch vor 958 ein qarmatischer [[w:Dāʿī|Dāʿī]] der Stadt [[w:Multan|Multān]] bemächtigte. Die beiden mächtigsten Staaten mit ismailitischer Ausrichtung waren der Staat der Qarmaten von Bahrain sowie das Fatimidenkalifat. Die Bahrain-Qarmaten wandten sich aber im Laufe der Zeit von ihren überspannten eschatologischen Erwartungen ab und suchten den Ausgleich mit dem abbasidischen Kalifat. Den Isfahāner Mahdī ließ der Dāʿī von Bahrain schon 939 wieder beseitigen, und im Jahre 951 brachten die Qarmaten den [[w:Schwarzer Stein (Mekka)|Schwarzen Stein]] der Kaaba wieder nach Mekka zurück. Gleichzeitig konnten die Qarmaten ihr Herrschaftsgebiet über große Teile der arabischen Halbinsel ausweiten und Ende der 960er Jahre sogar Syrien und Palästina tributpflichtig machen. Noch größere Bedeutung erlangte das auf den berberischen [[w:Kutāma|Kutāma]]-Stamm gestützte Fatimidenkalifat, dessen Herrschaftsgebiet sich Anfang der 930er Jahre bereits über große Gebiete Nordafrikas und Sizilien erstreckte. Als al-Mahdī 934 starb, gingen das Imamat und Kalifat auf seinen Sohn al-Qā'im bi-Amr Allāh über. Gleichzeitig wurde ein zweites Berbervolk in die Machtstrukturen eingebunden: die [[w:Sanhādscha|Sanhādscha]] des zentralen Algerien, deren Fürst [[w:Zīrī ibn Manād|Zīrī]] sich eng an die Fatimiden anschloss. Im Maghreb konkurrierten die Fatimiden zunächst noch mit den Umaiyaden, die 931 Ceuta eroberten und von da aus versuchten, mit Hilfe einheimischer Fürsten, aber auch durch direkte Interventionen den Einfluss ihres Kalifats immer weiter auszudehnen. Unter dem Kalifen [[w:al-Muʿizz|al-Muʿizz]] (reg. 953–975) konnten die Fatimiden dann aber ihre Herrschaft über ganz Nordafrika ausdehnen. [[w:Dschauhar as-Siqillī|Dschauhar as-Siqillī]], der General des Kalifen, drang 958 bis zum Atlantik vor und rückte 969 in Ägypten ein. An Prestige gewannen die Fatimiden zusätzlich dadurch, dass 976 auch die [[w:Hasaniden|hasanidischen]] Herrscher von Mekka, die erst kurze Zeit vorher die Macht in der heiligen Stadt an sich gerissen hatten, die Oberherrschaft der fatimidischen Kalifen anerkannten. In den Jahren bis 978 verdrängten sie außerdem die Qarmaten aus Palästina und Syrien; durch Zahlung eines jährlichen Rentenbetrags wurden sie dazu gebracht, die fatimidische Oberherrschaft anzuerkennen. [[File:Old Cairo Walls (2348000312).jpg|mini|Die alte Stadtmauer von Kairo mit dem Minarett der im frühen 11. Jahrhundert errichteten [[w:al-Hakim-Moschee|al-Hākim-Moschee]]]] Zur Festigung ihrer Herrschaft über Ägypten gründeten die Fatimiden nördlich von al-Fustāt die neue Stadt ''al-Qāhira'' („die Siegreiche“), das heutige [[w:Kairo|Kairo]], mit der [[w:al-Azhar-Moschee|Moschee al-Azhar]], benannt nach [[w:Fātima bint Muhammad|Fātima az-Zahrā']] („Fātima, der Glanzvollen“), der Namenspatronin ihrer Dynastie. Als neue Dār al-hidschra wurde Kairo nun zum Zentrum dieser fatimidischen Version der ismailitischen Daʿwa. Die Fatimiden zwangen ihren muslimischen Untertanen das ismailitische Bekenntnis nicht auf, doch kam es in Folge der intensiven Werbung zu zahlreichen Konversionen. An der Spitze der inneren wie der äußeren Mission stand nun ein Ober-[[w:Dāʿī|Dāʿī]], der häufig zugleich als Ober-Qādī amtierte. Er hielt im Palast von Kairo allwöchentlich donnerstags öffentliche Lehrsitzungen ab, die sogenannten ''maǧālis al-ḥikma'' („Sitzungen der Weisheit“), in denen die Adepten nach Ablegung eines Gelübdes in die ismailitische Geheimlehre eingewiesen wurden. Außerhalb der Grenzen des Fatimidenreiches wurde die Daʿwa, die nach wie vor auf den Sturz des Bagdader Kalifen abzielte, konspirativ betrieben. Dafür unterhielt die Daʿwa-Zentrale in Kairo ein Netz von Missionszellen (''ǧazāʾir'' von sing. ''ǧazīra'' „Insel“), in das sie Dāʿīs entsandte. Ihren größten Erfolg errang die fatimidische Daʿwas im Jemen, wo 1047 der Dāʿī [[w:ʿAlī as-Sulaihī|ʿAlī as-Sulaihī]] eine neue den Fatimiden gegenüber loyale ismailitische Dynastie begründete und Sanaa sowie Aden in seine Gewalt brachte. Unter dem Druck der öffentlichen Meinung und der gegnerischen politischen Propaganda, vor allem der Bagdader Kalifen, waren die Fatimiden gezwungen, sich durch die Offenlegung ihrer Abstammung zu legitimieren. Die fatimidische Genealogie erhielt Ende des 10. Jahrhunderts eine neue Form: Demnach war der Ahn der Dynastie und Stifter der Lehre, ʿAbdallāh der Ältere, ein Sohn des Muhammad ibn Ismāʿīl; auf ihn seien dann in ununterbrochener Vater-Sohn-Linie die „verborgenen Imame“ von Salamya gefolgt. Damit wurde das ursprüngliche Modell der sieben Imame endgültig aufgegeben. Allgemein ließen die Fatimiden keine Gelegenheit aus, um die Abstammung der Dynastie vom Propheten zu betonen. Zu diesem Zweck führten sie im 11. Jahrhundert ein neues höfisches Fest ein, den [[w:Maulid an-nabī|Geburtstag des Propheten]]. Man beging ihn am 12. [[w:Rabīʿ al-Auwal|Rabīʿ al-Auwal]], was eigentlich der Todestag des Propheten war. Der Kalif spielte bei den Feierlichkeiten eine zentrale Rolle; es fanden öffentliche Predigten und Koranlesungen statt. Auch bildete sich am Hof der Fatimiden eine eigene ismailitische Rechtsschule heraus. Ihr Schöpfer war [[w:an-Nuʿmān|al-Qādī an-Nuʿmān]], der bis 974 den Fatimiden als Ober-Qādī diente. ==== 8.1.1.2. Die Buyiden und die Festigung der Zwölfer-Schia ==== In Baghdad machten sich in den 930er Jahren vor allem fanatische Anhänger des hanbalitischen Gelehrten [[w:al-Barbahārī|al-Barbahārī]] bemerkbar: sie gingen 935 nicht nur gegen Schiiten vor, sondern drangen auch in Privathäuser ein, um Musikinstrumente zu zerstören, plünderten Geschäfte, in denen Wein verkauft wurde, und belästigten Passanten, denen sie unsittliches Verhalten vorwarfen. Für diese [[w:Hanbaliten|Hanbaliten]] bestand der Glaube ([[w:Īmān|Īmān]]) aus Wort und Tat, das heißt dem Glaubensbekenntnis und der Erfüllung der vorgeschriebenen Pflichten. Der seit 934 herrschende Kalif [[w:ar-Rādī|ar-Rādī]] nahm in dieser Situation Partei für die Schiiten. Er erklärte die Anhänger al-Barbahārīs zu Ungläubigen und zog Ibn Rauh al-Qummī, den „Botschafter“ des [[w:Muhammad al-Mahdī|Zwölften Imams]] (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07#7.4.1. Der Abbasidenhof zwischen Schiiten und Sunniten|7.4.1.]]), an seinen Hof. [[File:Buyids within the Middle East, ca. 970.png|mini|left|Vorderasien um 970 mit den Reichen der [[w:Buyiden|Buyiden]], [[w:Hamdaniden|Hamdaniden]], Fatimiden und Samaniden]] In den 930er Jahren eroberten die [[w:Buyiden|Buyiden]], eine aus [[w:Dailam|Dailam]] im Süden des Kaspischen Meeres stammende Militärfamilie, große Gebiete Westirans. 946 besetzten sie Bagdad und übernahmen die militärische und administrative Gewalt im Abbasidenreich. Die Macht der Familie erreichte im letzten Drittel des 10. Jahrhunderts ihren Höhepunkt, als der in Persien herrschende Buyide [[w:Adud ad-Daula|ʿAdud ad-Daula]] die Macht im Irak an sich riss und den altpersischen Titel eines „Königs der Könige“ (''šāhān-šāh'') annahm. Der byzantinische Kaiser, der mit ihm korrespondierte, erkannte ihn als „König des Islams“ (''malik al-islām'') an. Wie die meisten ihrer dailamitischen Landsleute waren die Buyiden [[w:Zaiditen|zaiditische]] Schiiten. Aber sie nahmen auch die imamitischen Schiiten unter ihren besonderen Schutz. Antischiitische Rädelsführer wurden in dieser Zeit in die Verbannung geschickt. Außerdem wurde den imamitischen Schiiten in den 960er Jahren zum ersten Mal erlaubt, die eigenen Feste – das Fest zur Erinnerung an [[w:Schlacht von Kerbela|al-Husains Martyriums bei Karbalā']] am 10. Muharram und das Fest zur Erinnerung an die Designation ʿAlīs durch den Propheten (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 04#4.2.1. Die Ereignisse der Saqīfa und die Anfänge des Kalifats|4.2.1.]]) am [[w:Ghadīr Chumm|Ghadīr Chumm]] am 18. [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] – öffentlich zu begehen. Desgleichen bemühten sich die Buyiden um den Schutz und die Ausstattung der Gräber der schiitischen Imame im Irak. {| class="wikitable floatright" |- ! colspan="2" | Die zwölf Imame der Zwölfer-Schia |- | 1. || [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī ibn Abī Tālib]] (gest. 661) |- | 2. || [[w:al-Hasan ibn ʿAlī|al-Hasan ibn ʿAlī]] (gest. 670) |- | 3. || [[w:al-Husain ibn ʿAlī|al-Husain ibn ʿAlī]] (gest. 680) |- | 4. || [[w:ʿAlī ibn Husain Zain al-ʿĀbidīn|ʿAlī ibn Husain Zain al-ʿĀbidīn]] (gest. 713) |- | 5. || [[w:Muhammad al-Bāqir|Muhammad al-Bāqir]] (gest. 732 od. 736) |- | 6. || [[w:Dschaʿfar as-Sādiq|Dschaʿfar as-Sādiq]] (gest. 765) |- | 7. || [[w:Mūsā al-Kāzim|Mūsā al-Kāzim]] (gest. 799) |- | 8. || [[w:ʿAlī ibn Mūsā ar-Ridā|ʿAlī ar-Ridā]] (gest. 818) |- | 9. || [[w:Muhammad al-Dschawād|Muhammad al-Dschawād]] (gest. 835) |- | 10. || [[w:ʿAlī al-Hādī an-Naqī|ʿAlī al-Hādī]] (gest. 868) |- | 11. || [[w:Hasan al-ʿAskarī|Hasan al-ʿAskarī]] (gest. 874) |- | 12. || [[w:Muhammad al-Mahdī|Muhammad al-Mahdī]] (entrückt) |} Die Imamiten, die an die Verborgenenheit des zwölften Imams glaubten, gingen in dieser Zeit zu einer neuen Lehre über. Die Konzeption des „Botschafteramtes“ (''sifāra'') wurde aufgegeben und die Lehre von der „großen Verborgenheit“ (''al-ġaiba al-kubrā'') entwickelt. Demnach hat sich der Imam im Jahre 941 endgültig aus der Welt zurückgezogen. Erst am Ende der Zeiten soll er wiederkommen und den Schiiten zum Sieg über alle Widersacher verhelfen. Allgemein wurde für die Gruppierung, die diese religiösen Überzeugungen pflegte, die Bezeichnung [[w:Zwölfer-Schia|Zwölfer-Schia]] (''aš-Šīʿa al-Iṯnā-ʿašarīya'') gebräuchlich. Diese Zwölfer-Schia verdrängte im Laufe des 10. Jahrhunderts alle anderen imamitischen Gruppierungen und wurde zum eigentlichen „Gesicht“ der Imāmīya, wie es [[w:asch-Schaich al-Mufīd|asch-Schaich al-Mufīd]], ein zeitgenössischer Autor ausdrückte. Imamitische Schia und Zwölfer-Schia sind also seit Ende des 10. Jahrhunderts gewissermaßen dasselbe. Die Zeit der Buyiden stellt für die Zwölfer-Schia so etwas wie eine Ära der „Kirchenväter“ dar. In dieser Zeit erfolgte die wirkliche Ausarbeitung der zwölfer-schiitischen Lehre. So wie vorher schon Hadithe gesammelt worden waren, wurden nun die Nachrichten (''aḫbār'') über die Imame in nach Sachgebieten gegliederten Kompendien zusammengestellt. Die älteste dieser Sammlungen, die noch heute in Gebrauch ist, ist ''al-Kāfī fī ʿilm ad-dīn'' („Das Hinlängliche in der Religionswissenschaft“) von [[w:al-Kulainī|al-Kulainī]] (gest. 941). Zusammen mit drei weiteren Büchern aus dem 10. und 11. Jahrhundert gehört sie zu den [[w:al-Kutub al-arbaʿa|vier kanonischen Traditionssammlungen]] der Zwölfer-Schia. Da von mehreren der Imame überliefert ist, dass sie [[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa-Ehen]] eingingen und erlaubten, wurde diese Eheform von den Zwölfer-Schiiten weiter zugelassen. Dies stellt bis heute eine der wichtigsten Besonderheiten des zwölfer-schiitischen Rechts dar. Die Buyiden-Herrscher unterstützten nicht nur die Schiiten, sondern hatten auch große Sympathien für die Lehren der [[w:Muʿtazila|Muʿtazila]]. Sāhib Ibn ʿAbbād, der Wesir des Buyiden-Fürsten von [[w:Schahr-e Rey|Raiy]], verfasste eigenhändig theologische Bücher, in denen er die muʿtazilitische Doktrin erläuterte, und berief im Jahre 970 [[w:ʿAbd al-Dschabbār ibn Ahmad|ʿAbd al-Dschabbār ibn Ahmad]], den führenden Muʿtaziliten der Zeit, zum Ober-Qādī von Raiy. Kennzeichnend für seine Lehre war die Betonung der [[w:Erschaffenheit des Korans|Erschaffenheit des Korans]] sowie die Negierung der Möglichkeit der [[w:Schau Gottes|Schau Gottes]], mit der Begründung, dass sich Gott nicht auf einen Ort beschränke. Das muʿtazilitische Prinzip der göttlichen Gerechtigkeit implizierte für ihn, dass keine der Handlungen Gottes böse ist. Schmerz und Leiden, die der Mensch im Diesseits erlebt, betrachtete er als nützlich, weil sie eine Belohnung im Jenseits nach sich ziehen. Die Belastung des Menschen mit Pflichten durch Gott, auf Arabisch [[w:Taklīf|Taklīf]] genannt, soll dem Menschen die Möglichkeit geben, eine Belohnung im Jenseits zu verdienen. Die Muʿtaziliten waren strenge Rationalisten. [[w:Mānkdīm Schaschdīw|Mānkdīm Schaschdīw]], einer von ʿAbd al-Dschabbārs indirekten Schülern, ging darin so weit, dass er in seiner Theologie die Vernunft als Argument über den Koran stellte. ==== 8.1.1.3. Die Hamdāniden und die Nusairīya ==== Eine weitere Dynastie, die sich in dieser Zeit durch die Förderung der Schia hervortat, waren die arabischen [[w:Hamdaniden|Hamdāniden]] (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07#7.4.1. Der Abbasidenhof zwischen Schiiten und Sunniten|7.4.1.]]), deren Herrschaftsgebiet sich in dieser Zeit über Nordmesopotamien und Nordsyrien erstreckte. Berühmt wurde vor allem der Hamdānide [[w:Saif ad-Daula|Saif ad-Daula]], der zwischen 942 und 967 über Nordsyrien herrschte. Er zog nicht nur berühmte Literaten und Philosophen an seinen Hof in [[w:Aleppo|Aleppo]], sondern auch bekannte Vertreter der [[w:Ghulāt|extremen Schia]] wie den [[w:Alawiten|nusairischen]] Gelehrten al-Chasībī (gest. 957), der ihm eines seiner wichtigsten Bücher widmete. Bis ins 12. Jahrhundert blieb Aleppo eine Hochburg der Schiiten. In der Zeit nach 968 eroberten die Byzantiner Kilikien und die syrische Küste zurück. Es war dieses Gebiet, auf dem die Nachfolger von al-Chasībī wirkten. Um die lokale christliche Bevölkerung für die nusairische Lehre gewinnen zu können, integrierten sie christliche Feste in den nusairischen Festkalender und gaben christlichen Vorstellungen eine neue schiitische Deutung. Bis heute besteht die Nusairīya als religiöse Sondergemeinschaft in Westsyrien, in der Südtürkei ([[w:Hatay|Hatay]] und [[w:Çukurova|Çukurova]]) und im Nordlibanon weiter. === 8.1.2. Die Entwicklung einer islamischen Philosophie === Charakteristisch für die religiöse Kultur des 10. Jahrhunderts war, dass sich in dieser Zeit viele muslimische Gelehrte der antiken griechischen Philosophie zuwandten. Vorherrschendes System war hierbei der [[w:Neuplatonismus|Neuplatonismus]], eine philosophische Lehre der Spätantike, in deren Zentrum ein [[w:Emanation (Philosophie)|emanativer]] Schöpfungsprozess steht. Durch Harmonisierung mit Aussagen des Korans konnte diese Lehre islamisiert werden. Wichtige Vertreter dieses islamischen Neuplatonismus waren [[w:al-Fārābī|al-Fārābī]] (gest. 950), ein türkischer Gelehrter aus Transoxanien, den [[w:Saif ad-Daula|Saif ad-Daula]] an seinen Hof in Aleppo ziehen konnte, Abū Sulaimān as-Sidschistānī (gest. um 985), der am Hofe der Buyiden in Baghdad wirkte und im Zentrum eines Philosophenkreises stand, sowie Ibn Sīnā (gest. 1037), latinisiert [[w:Avicenna|Avicenna]], mit dem das islamische metaphysische Denken seinen Höhepunkt erreichte. Die neuplatonische Lehre wurde sehr stark auch innerhalb der ismailitischen [[w:Daʿwa|Daʿwa]] eingesetzt. Einer der wichtigsten neuplatonischen Philosophen der Ismāʿīlīya war der Perser Abū Yaʿqūb as-Sidschistānī (gest. nach 971). Manche muslimische Philosophen mischten in ihrer Lehre auch das neuplatonische mit dem [[w:Aristotelismus|aristotelischen]] System, wie [[w:Abū l-Hasan al-ʿĀmirī|Abū l-Hasan al-ʿĀmirī]] (gest. 992), der an den Höfen der Buyiden und Samaniden tätig war. Er verteidigte die Philosophie auch gegen die islamischen Traditionsgelehrten, die meinten, dass sie eine Bedrohung für die Religion darstelle. Zu diesem Zweck versuchte er, der griechischen Philosophie ein islamisches Fundament zu geben, indem er sie auf die koranischen Figuren [[w:Luqman|Luqmān]] und [[w:Salomo|Sulaimān]] zurückführte. Nach seiner Theorie waren alle großen griechischen Philosophen der Antike direkte oder indirekte Schüler von Luqmān oder Sulaimān gewesen, hatten ihr Wissen von ihnen empfangen und sich für islamische Prinzipien wie die Bekämpfung von [[w:Schirk|Schirk]] eingesetzt. === 8.1.3. Die Anfänge des Drusentums === Die Etablierung einer Imām-Dynastie bei den Fatimiden bedeutete den Verzicht auf die sofortige Erfüllung der apokalyptischen Erwartungen, die sich an das Erscheinen des Mahdī geknüpft hatten. Allerdings waren die apokalyptischen Erwartungen bei den Anhängern der Ismāʿīlīya nicht völlig erloschen. Als eine Bewegung, innerhalb derer diese Erwartungen neu belebt wurden, entstand Anfang des 11. Jahrhundert das [[w:Drusen|Drusentum]]. Der Name dieser Bewegung leitet sich von einem jungen Türken aus Buchara her, der den Beinamen [[w:ad-Darzī|ad-Darzī]] (pers. „Schneider“) hatte und in der Regierungszeit des fatimidischen Kalifen [[w:al-Hākim bi-amr Allāh|al-Hākim]] (reg. 996-1021) in Kairo als Missionar dieser Bewegung tätig war. Die von ihm verbreitete Lehre wurde als ad-Darzīya, seine Anhänger als Drusen (''Durūz'') bezeichnet. Eigentlicher Begründer der drusischen Lehre war allerdings nicht ad-Darzī selbst, sondern [[w:Hamza ibn ʿAlī|Hamza ibn ʿAlī]], ein persischer Dāʿī aus Ostiran. Er behauptete im Jahre 1017, die Ära des Qā'im (eschatologischer Herrscher) sei angebrochen und der regierende fatimidische Kalif al-Hākim sei Gott. Auch lehrte er die [[w:Abrogation (Islam)|Abrogation]] der koranischen Offenbarung und ihrer ismailitischen Deutung; an die Stelle beider sollte das bloße Bekenntnis von Gottes Einzigkeit ([[w:Tauhīd|Tauhīd]]) treten, das alle kultischen Handlungen überflüssig macht. Ismailitische Theologen wie [[w:Hamīd ad-Dīn al-Kirmānī|Hamīd ad-Dīn al-Kirmānī]] wiesen die drusische Lehre zurück und bekräftigten, dass mit al-Hākim keinesweges das Ende des Islams und der [[w:Scharia|Scharia]] gekommen sei, sondern nach ihm noch viele weitere Imame kommen würden. Durch Entsendung eigener Dāʿīs versuchte Hamza, Ägypten und Syrien für seine neue Lehre zu gewinnen. Es entstand eine Daʿwa innerhalb der Daʿwa. Die Tatsache, dass der Kalif al-Hākim im Februar 1021 bei einem seiner nächtlichen Ausritte auf mysteriöse Weise verschwand, bestärkte die Drusen noch in ihrem Glauben: Der Schöpfergott hatte sich der undankbaren Menschheit erneut entzogen. Ein Nachfolger Hamzas weitete die Daʿwa auch auf ismailitische Gemeinden außerhalb des Fatimidenreiches, im Irak, Hedschas, Iran, Jemen, Bahrain und Indien aus. Innere Streitigkeiten führten allerdings dazu, dass die drusische Daʿwa schon im Jahre 1034 eingestellt wurde. Während der Kalif al-Hākim das Treiben der drusischen Dāʿīs zumindest geduldet zu haben scheint, verbot sein Nachfolger [[w:az-Zahir|az-Zāhir]] (reg. 1021-1036) die drusische Lehre und verfolgte ihre Anhänger. Aufgrund dieser Verfolgung hat sich das Drusentum in Ägypten nicht erhalten; überlebt hat es jedoch im zentralen Libanon, im südsyrischen [[w:Hauran|Haurān]] und in Palästina. Dort werden die Schriften Hamzas bis heute jeden Donnerstag von drusischen Gelehrten, die sich einem bestimmten Initiationsverfahren unterzogen haben, studiert. Die große Menge der Drusen – weltweit gibt es heute etwa zwei bis drei Millionen – ist dagegen nicht in die Religion „eingeweiht“. === 8.1.4. Die anti-schiitische Reaktion === ==== 8.1.4.1. Die Abbasiden und die neuen anti-schiitischen Dynastien ==== [[File:East-Hem 1025ad.jpg|mini|Die politische Landkarte um das Jahr 1025]] Die ismailitische Propaganda der Fatimiden und die Bevormundung durch die buyidischen Herrscher unterminierten in der zweiten Hälfte des 10. Jahrhunderts immer stärker die Autorität des abbasidischen Kalifats. Nachkommen früherer Kalifen schmiedeten Pläne, vom Osten her mit einer Armee nach Bagdad zu ziehen, um ein neues abbasidisches Kalifat zu begründen. In Bagdad selbst startete der Kalif [[w:al-Qādir|al-Qādir]] (reg. 991-1031) ein ambitioniertes politisches Programm zur Stärkung der abbasidischen Autorität. Er ließ keine Gelegenheit aus, um öffentlich die ismailitische Lehre als Ketzerei zu verurteilen und die Fatimiden als Feinde des Islams zu brandmarken. Das abbasidische Kalifat gewann in dieser Zeit auch dadurch neues Prestige, dass sich zwei aufstrebende türkische Dynastien im Osten, die [[w:Ghaznawiden|Ghaznawiden]] und die [[w:Karachaniden|Karachaniden]], formal in seinen Dienst stellen. Die Ghaznawiden-Dynastie geht auf den türkischen Militärsklaven [[w:Sebüktigin|Sebüktigin]] zurück, der ursprünglich im Dienst der Sāmāniden stand. Sein Sohn, [[w:Mahmūd von Ghazna|Mahmūd von Ghazna]], machte sich von ihnen unabhängig und bekam 999 von dem abbasidischen Kalifen den Titel „Freund des Befehlshaber der Gläubigen“ (''walī amīr al-muʾminīn'') verliehen. In der Zeit bis 1030 führte er zahlreiche Feldzüge nach Nordwestindien durch. Als Ausgangspunkt für seine Eroberungen diente ihm die Stadt [[w:Lahore|Lahore]] im [[w:Punjab|Punjab]], die er zu einer Festung ausbaute. Mahmūd trieb nicht nur Dschihad in Indien, sondern kämpfte auch gegen Schiiten: 1010 entwand er Sindh dem dort herrschenden ismailitischen Dāʿī, ab 1017 ging er auch gegen die schiitischen Buyiden vor. [[File:Минарет в Узген.jpg|mini|links|hochkant|Das Minarett von [[w:Ösgön|Ösgön]], [[w:Kirgistan|Kirgistan]], errichtet im 11. Jahrhundert unter den [[w:Karachaniden|Karachaniden]]]] Die Karachaniden (auch Ilek-Chāne) waren die herrschende Familie einer Konföderation türkischer Stämme auf dem Gebiet der heutigen chinesischen Provinz [[w: Xinjiang|Xinjiang]] sowie im heutigen nördlichen [[w:Kirgistan|Kirgistan]]. Die politisch wichtigste Stadt des von ihnen beherrschten Gebietes war [[w:Kaschgar|Kaschgar]]. Die Karachaniden und die von ihnen geführten Stämme waren erst um 950 zum Islam übergetreten. Es muss sich um eine Massenkonversion gehandelt haben; zeitgenössische Quellen nennen 200.000 Zelte, die davon betroffen waren. Die von den Karachaniden geführte Stammeskonföderation griff alsbald nach Westen und nach Osten aus, wo sie Krieg gegen die [[w:Buddhismus|buddhistischen]] Königreiche der [[w:Uiguren|Uiguren]] führte. Im Jahre 999 gelang es den Karachaniden, die alte samanidische Hauptstadt Buchara zu erobern. 1006 unterstellten auch sie sich dem abbasidischen Kalifen. Auch in Nordafrika gewann das abbasidische Kalifat Unterstützung. Als 973 der fatimidische Kalif al-Muʿizz Kairo zu seiner Residenz machte, überließ er die Hegemonie über den Maghreb dem Berbervolk der Sanhādscha: als fatimidische Vizekönige zogen die [[w:Ziriden|Zīriden]] in die verlassenen Paläste der Fatimiden bei Kairouan ein. Unter ihrer Herrschaft konnte sich die mālikitische Gelehrsamkeit Nordafrikas neu organisieren. An ihre Spitze stellte sich der Gelehrte [[w:Ibn Abī Zaid al-Qairawānī|Ibn Abī Zaid al-Qairawānī]] (gest. 996), der mit seinen Werken erheblich zur Systematisierung der [[w:Malikiten|mālikitischen]] Lehre beitrug. Eine Zeitlang blieben die Zīriden den Fatimiden loyal verbunden, doch 1045 kündigten sie den Kalifen von Kairo den Gehorsam und ließen nach der Freitagspredigt die Segensformeln für den abbasidischen Kalifen rezitieren. In den Jahren nach 1035 eroberte das türkische Volk der [[w:Oghusen|Oghusen]] vom Nordosten her den Iran. Angeführt wurden sie von zwei Häuptlingen der Sippe Seltschuq (eingedeutscht [[w:Seldschuken|Seldschuken]]), die sich selbst als „Klienten des Befehlshabers der Gläubigen“ bezeichneten und diplomatische Beziehungen mit dem abbasidischen Kalifen unterhielten. Der Wesir des ersten seldschukischen Fürsten [[w:Tughrul Beg|Toghril Beg]] ließ schon im Jahre 1053 in seinem Machtbereich die Schiiten öffentlich von allen Kanzeln verfluchen. 1055 drangen die Truppen Toghrils bis nach Baghdad vor und nahmen den letzten Buyiden gefangen. Der Kalif setzte den Seldschuken drei Jahre später als „König des Ostens und des Westens“ ein. Toghril selbst benutzte für sich auf Münzen die Bezeichnung [[w:Sultan|Sultān]] („Macht, Autorität“), ein Titel, der nachfolgend auch von den Herrschern der Ghaznawiden und vieler anderer muslimischer Dynastien übernommen wurde. Der Machtantritt der Seldschuken in Baghdad war ein folgenschweres Ereignis für die religiöse Machtkonstellation in der islamischen Welt, denn die Schiiten verloren damit ihre Macht über das abbasidische Kalifat in Bagdad. In den Rahmen der Anstrengungen der Abbasiden um Rückgewinnung ihrer Autorität gehören auch zwei staatstheoretische Abhandlungen, die damals für den Kalifen [[w:al-Qa'im bi-amri 'llah (Abbasiden)|al-Qā'im]] abgefasst wurden und beide mit ''al-Aḥkām as-sulṭānīya'' („Die herrschaftlichen Bestimmungen“) betitelt sind. Verfasser waren die beiden in Bagdad tätigen Rechtsgelehrten [[w:al-Māwardī|al-Māwardī]] (gest. 1058) und [[w:Ibn al-Farrāʾ|Ibn al-Farrā']] (gest. 1066). Sie entwarfen in diesen Schriften erstmals eine an die reale Situation angepasste Theorie vom islamischen Staat. Ein zentraler Gedanke ist dabei die Ämterdelegation. Der Kalif, der zu den [[w:Quraisch|Quraisch]] gehören muss, ist als Imam Vorsteher der islamischen Gemeinschaft, dessen Aufgaben sich in allumfassender Weise auf die Bewahrung der Religion (''dīn'') und die Führung (''siyāsa'') der weltlichen Angelegenheiten erstrecken. Er kann diese Aufgaben jedoch an verschiedene Amtsträger delegieren, nämlich an * den [[w:Wesir|Wesir]], der eine allgemeine Amtsbefugnis in allen Angelegenheiten hat, * die [[w:Emir|Emire]], die als Statthalter in den Provinzen fungieren oder den Dschihad führen, * den [[w:Qādī|Qādī]], * den Stammbaumwächter, * den [[w:Imam|Imam]], der für die Durchführung des Ritualgebets verantwortlich ist, * den Leiter der [[w:Haddsch|Wallfahrt]], * den Steuerbeamten und * den [[w:Muhtasib|Muhtasib]], der von Amts wegen für das „[[w:Das Gebieten des Rechten und Verbieten des Unrechten|Gebieten des Rechten und Verbieten des Unrechten]]“ verantwortlich ist. Das, was in diesen Werken, die von großer Bedeutung für die Folgezeit waren, als Emire bezeichnet wird, waren in der Realität die Herrscher bzw. Sultane der Ghaznawiden, Karachaniden und Seldschuken, die die wirkliche Macht in der Hand hatten, aber die formale Oberhoheit des Kalifats anerkannten. Bei Abū Yaʿlā findet sich auch eine wichtige Differenzierung hinsichtlich der Moscheen. Er erklärt, dass in den Moscheen der verschiedenen Stadtviertel die betreffende Bevölkerung den Imam einsetzen dürfe, der Imam einer großen Dschāmiʿ-Moschee jedoch nur vom Kalifen. Der Unterschied zwischen einfacher Moschee und Dschāmiʿ-Moschee (auch als [[w:Freitagsmoschee|Freitagsmoschee]] übersetzt) hat sich bis heute erhalten. ==== 8.1.4.2. Die dogmatischen und rituellen Differenzen im anti-schiitischen Lager ==== Die oben genannten Dynastien, die eine antischiitische Ausrichtung hatten und den abbasidischen Kalifen als Oberherrn anerkannten, werden häufig als „sunnitische“ Dynastien bezeichnet, folgten aber auf dogmatischer und ritueller Ebene sehr unterschiedlichen Lehrrichtungen. Die Ghaznawiden waren in der dogmatischen Ausrichtung zunächst Karrāmiten und in der Normenlehre Hanafiten. Die Lehre der [[w:Karrāmīya|Karrāmīya]], die auf den Prediger Ibn Karrām (gest. 869) zurückgeht und in Ostiran in der Bevölkerung eine große Anhängerschaft hatte, war stark auf Askese ausgerichtet und zeichnete sich durch eine körperliche Gottesauffassung aus. Die Karrāmiten schrieben Gott einen Ort zu und betrachteten den Schöpfungsprozess als Geschehen, das sich in Gott selbst abspielt und nur durch sein Schöpfungswort ''kun'' (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/19/vers/35 Sure 19:35]) auf die Welt übertragen wird. Außerdem beschränkten sie den Glauben auf ein einmaliges verbales Bekenntnis und hatten ein sehr laxes Verständnis von den gottesdienstlichen Pflichten. Aufgrunddessen wurden sie von vielen anderen Muslimen als [[w:Murdschi'a|Murdschi'a]] eingeordnet und teilweise sogar zu Ungläubigen erklärt. In Anbetracht dieses schlechten Ansehens der Karrāmīya wandte sich im Jahre 1011 der ghaznawidische Herrscher [[w:Mahmud von Ghazni|Mahmūd]] von dieser Lehre ab und ging zur [[w:Aschʿarīya|Aschʿarīya]] über. Hierbei handelt es sich um eine [[w:Kalām|Kalām]]-Schule, die nach dem basrischen Theologen [[w:Abū l-Hasan al-Aschʿarī|Abū l-Hasan al-Aschʿarī]] (gest. 936) benannt ist, allerdings erst in der zweiten Hälfte des 10. Jahrhunderts mit dem Wirken solcher Gelehrter wie [[w:al-Bāqillānī|al-Bāqillānī]] (gest. 1013) und Ibn Fūrak (gest. 1015) Konturen angenommen hat. Die aschʿaritische Lehre stellt in mehrerlei Hinsicht einen Mittelweg dar und knüpft dabei zum Teil an die Lehrauffassungen Ibn Kullābs (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07#7.2.3. Die Mihna|7.2.3.]]) an. Wie Ibn Kullāb differenzierten die Aschʿariten zwischen dem Sinn (''maʿnā'') des Korans und seiner sprachlichen Realisation. Nur ersterem sprachen sie eine urewige Existenz zu. Und wie Ibn Kullāb nahmen sie an, dass göttliche Attribute existieren, allerdings nicht außerhalb von Gott, sondern vielmehr in Gottes Wesen selbst als [[w:Hypostase|Hypostasen]]. Auch hinsichtlich der Beurteilung menschlichen Handelns wählten die Aschʿariten eine Mittelposition, indem sie die synergistische [[w:Kasb|Kasb]]-Theorie von Dirār ibn ʿAmr (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07#7.1.2. Das Sektenwesen unter den frühen Abbasiden und die Anfänge des Kalām|7.1.2.]]) übernahmen. Allerdings stellten sie die göttliche Allmacht über das Prinzip der Gerechtigkeit: So glaubten sie auch, dass Gott dem Menschen etwas auferlegen könne, was er nicht erfüllen kann. Dieses Dogma von der [[w:Taklīf mā lā yutāq|Auferlegung des Unerfüllbaren]] hat den Aschʿariten bei ihren Gegnern viel Kritik und Spott eingebracht, zumal in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/286 Sure 2:286] explizit ausgesagt wird, dass dies nicht möglich ist. Kennzeichnend für die Aschʿarīya war auch ihr strenger [[w:Okkasionalismus|Okkasionalismus]]. Dazu gehören die Lehre von der Unbeständigkeit der Akzidentien, die Vorstellung, dass Gott die Welt in jedem Augenblick neu erschafft, indem er die [[w:Atomismus|Atome]] mit neuen [[w:Akzidens (Philosophie)|Akzidentien]] versieht, und die Zurückweisung jeglicher [[w:Kausalität|Kausalität]] außerhalb Gottes. Mahmūd von Ghazna ging übrigens gleichzeitig mit seinem Wechsel zur Aschʿarīya in der Normenlehre von der [[w:Hanafiten|Hanafīya]] zur [[w:Schafiiten|Schāfiʿīya]] über. Somit erhielt das Ghaznawiden-Reich eine klare aschʿaritisch-schafiitische Ausrichtung. Durch den Malikiten al-Bāqillānī wurde die aschʿaritische Lehre zu dieser Zeit auch nach Nordafrika verbreitet. Karachaniden und Seldschuken waren dagegen wie die Samaniden eifrige Hanafiten. Die Seldschuken bekämpften zeitweise auch die Lehre al-Aschʿarīs. 1053 befahl Toghril Beg die Verfluchung al-Aschʿarīs von allen Kanzeln Chorasans und ließ die Aschʿariten verfolgen. Zu den Opfern gehörten die Theologen [[w:al-Quschairī|al-Quschairī]] und [[w:al-Dschuwainī|al-Dschuwainī]]. Ersterer wurde für kurze Zeit inhaftiert, letzterer begab sich für mehrere Jahre ins Exil nach Mekka und Medina. Die abbasidischen Kalifen selbst waren [[w:Hanbaliten|Hanbaliten]]. Einer der wichtigsten hanbalitischen Gelehrten dieser Zeit war [[w:Ibn al-Farrā'|Ibn al-Farrā']], der 1055 Qādī des kalifalen Harems wurde. Er hat erheblich dazu beigetragen, dass sich die Hanbalīya nun auch zu einer eigenen Lehrrichtung im [[w:Fiqh|Fiqh]] entwickelte. ==== 8.1.4.3. Das sunnitische Ideal als verbindendes Element ==== Was die meisten Gruppen, die hier genannt wurden, verband, war ihre Ausrichtung an dem Ideal des [[w:Sunniten|Sunnitentums]]. Sie kommt darin zum Ausdruck, dass sie zwischen dem 9. und dem 11. Jahrhundert den Ausdruck ''ahl as-sunna wa-l-ǧamāʿa'' („Leute der Sunna und der Gemeinschaft“) als Selbstbezeichnung annahmen. Dies gilt für die Hanbaliten, die Hanafiten und die Aschʿariten. Die einzige Gruppe, die diese Entwicklung nicht mitmachte, waren die Karrāmiten. Mit dem Zusatz ''ǧamāʿa'' in dem Ausdruck ''ahl as-sunna wa-l-ǧamāʿa'' war nicht eine bestimmte Gruppe oder Gemeinschaft gemeint, sondern die gegenseitige Verbundenheit als soziales Prinzip im Sinne des Gemeinschaft-Haltens und der Eintracht. Indem man sich nach diesem Prinzip benannte, machte man klar, dass man Sektierertum (''furqa'') für falsch hielt und sich selbst als die große Mehrheit der Muslime betrachtete. Mit dieser Idee der ''ǧamāʿa'' war auch die Vorstellung verbunden, dass die Sunniten eine Gemeinschaft bildeten, die bei allen Fragen, die zwischen den verschiedenen muslimischen Gruppen (Schiiten, Charidschiten, Murdschiiten, Qadariten, Dschahmiten usw.) strittig waren, jeweils die Mitte hält. Das Sunnitentum war somit gewissermaßen ein antisektarisches Ideal. In Wirklichkeit bildete das Sunnitentum allerdings keine große Gemeinschaft, sondern war selbst sehr stark fragmentiert, denn die verschiedenen Gruppen, die sich als ''ahl as-sunna wa-l-ǧamāʿa'' bezeichneten, erkannten sich diesen Titel gar nicht gegenseitig zu. Hanafitische Autoren beispielsweise betrachteten die Hanbaliten nicht als Sunniten, weil sie ihrer Auffassung nach ein zu körperhaftes Gottesbild vertraten. Hanbalitische Autoren und der andalusische Gelehrte [[w:Ibn Hazm|Ibn Hazm]] (gest. 1064), der sich zur [[w:Zahiriten|Zāhirīya]] bekannte, schlossen umgekehrt Aschʿariten und Hanafiten aus dem Sunnitentum aus, weil sie meinten, dass sie mit ihren Lehren eigentlich Murdschiiten seien. Die starke Fragmentierung des Sunnitentums zeigt sich auch darin, dass man sich auf kein gemeinsames Glaubensbekenntnis einigen konnte. Selbst das „sunnitische“ Glaubensbekenntnis, das 1018 von dem abbasidischen Kalifen [[w:al-Qādir|al-Qādir]] proklamiert wurde, hat nie allgemeine Anerkennung gefunden. Dennoch gab es natürlich einige Gemeinsamkeiten zwischen den verschiedenen sunnitischen Gruppen. Dazu gehörte insbesondere die Verehrung der vier ersten Nachfolger des Propheten als rechtgeleitete Kalifen (''ḫulafāʾ rāšidūn'') und die Liebe zu den Prophetengefährten. Vergleicht man die verschiedenen sunnitischen Glaubensbekenntnisse, die zwischen dem 9. und 11. Jahrhundert entstanden sind, entdeckt man noch verschiedene andere Gemeinsamkeiten, so zum Beispiel dass fast alle die sechs Glaubenspunkte aus dem [[w:Gabriel-Hadith|Gabriel-Hadith]] enthalten. Dazu gehört der Glaube an 1. Gott, 2. seine Engel, 3. seine Bücher, 4. seine Gesandten, 5. den jüngsten Tag und 6. die Vorherbestimmung des Guten und Schlechten. Daneben bildete sich im Sunnitentum in dieser Zeit ein Kanon von Hadith-Sammlungen heraus, denen man eine besonders autoritative Bedeutung zumaß. Die wichtigsten davon sind die beiden ''Ṣaḥīḥ'' genannten Werke von [[w:al-Buchārī|al-Buchārī]] (gest. 870) und [[w:Muslim ibn al-Haddschādsch|Muslim ibn al-Haddschādsch]] (gest. 875). Schließlich ist für das Sunnitentum die Beschränkung der Koranrezitation auf eine bestimmte Anzahl anerkannter [[w:Lesarten des Korans|Lesarten des Korans]] charakteristisch. == 8.2. Kampf der Kalifate und der Niedergang der Ismāʿīlīya (1063-1173) == === 8.2.1. Die abbasidisch-seldschukische Allianz und die Fidā'īyūn === ==== 8.2.1.1. Denominationeller Inklusivismus im Seldschukenstaat ==== [[File:East-Hem_1100ad.jpg|mini|Die politische Landkarte der Alten Welt um das Jahr 1100]] Unter den Sultanen [[w:Alp Arslan|Alp Arslan]] (reg. 1063-72) und [[w:Malik Schah|Malikschāh]] (reg. 1072-92) entwickelte sich der Seldschukenstaat zu einer islamischen Großmacht. In den 1060er Jahren unternahm Alp Arslan Eroberungszüge in Armenien und Georgien, 1071 vernichtete er in der [[w:Schlacht bei Manzikert|Schlacht bei Manzikert]] die byzantinische Armee und bereitete damit die Islamisierung Kleinasiens vor. Außerdem gelang es den Seldschuken, den Fatimiden die Herrschaft über Syrien zu entreißen und sich in Damaskus festzusetzen. Zeitweise konnten die Seldschuken auch die heiligen Stätten im Hidschas unter ihre Oberherrschaft bringen. Ein Abkömmling der Seldschuken nahm wenige Jahre später die Stadt [[w:İznik|Nizäa]] in Westanatolien ein und begründete dort den [[w:Sultanat der Rum-Seldschuken|Staat der Rum-Seldschuken]]. Was die [[w:Denomination (Religion)|denominationelle]] Ausrichtung des Seldschukenstaates anlangt, so entwickelte sich ein pluralistisch-inklusivistisches Modell. Die militärische türkische Führungsschicht des Reiches blieb hanafitisch und förderte Gelehrte dieser Richtung. Scharaf al-Mulk, Finanzminister (''mustaufī'') Alp Arslans und glühender Hanafit, errichtete 1066 über dem Grab [[w:Abū Hanīfa|Abū Hanīfas]] in Bagdad ein prächtiges Mausoleum von gewaltigen Ausmaßen zusammen mit einer religiösen Schule, einer [[w:Madrasa|Madrasa]]. Damit versuchte er, diesem [[w:Madhhab|Madhhab]] („Lehrrichtung“) einen kulturellen Mittelpunkt und eine zentrale Lehrstätte zu verschaffen. Bemerkenswert ist aber, dass nun auch die Gelehrten anderer Richtungen Förderung erhielten. Gleichzeitig errichtete nämlich [[w:Nizām al-Mulk|Nizām al-Mulk]], der mächtige persische Wesir, der hinter den beiden Seldschuken-Sultanen stand, in Bagdad eine Schule für die Schafiiten. Offenbar versuchte Nizām al-Mulk, seine Schule analog zu der hanafitischen Schule mit den sterblichen Überresten [[w:asch-Schāfiʿī|asch-Schāfiʿīs]] auszustatten, aber der Plan misslang. Auch in anderen Städten gründete Nizām al-Mulk Madrasas, so dass bald ein ganzes Netz von solchen [[w:Nizāmīya|Nizāmīya]]-Schulen entstand. Alle diejenigen, die an ihnen Lehrstühle erhielten, waren Schafiiten im Recht, die meisten von ihnen gleichzeitig Aschʿariten in der Theologie. Der abbasidische Kalif schließlich wurde zum Patron der Hanbaliten. Zu den hanbalitischen Gelehrten, die er unter seinen Schutz nahm, gehörte der [[w:Herat|Herater]] Sufi [[w:ʿAbdallāh al-Ansārī|ʿAbdallāh al-Ansārī]], der ein erbitterter Gegner des [[w:Kalām|Kalām]] und der Aschʿariten war. Selbst die Zwölfer-Schiiten wurden jetzt in den Staat integriert. Schiitische Beamte und Höflinge traten von nun an als Gönner und Mäzene der schiitischen Minderheit auf. Sie förderten nicht nur imamitische Gelehrte, sondern bedachten auch die Schreine der Imame mit reichen Stiftungen. Einer von ihnen ließ zu dieser Zeit auf dem [[w:Baqīʿ al-Gharqad|Baqīʿ-Friedhof]] in Medina eine Kuppel über den dort befindlichen Gräbern der vier Imame al-Hasan, ʿAlī Zain al-ʿĀbidīn, Muhammad al-Bāqir und Dschaʿfar as-Sādiq errichten. ==== 8.2.1.2. Die ismailitischen Fidā'īyūn und der Zerfall des Seldschukenstaates ==== [[File:Iran - Qazvin - Alamout Castle View.jpg|mini|Reste der Burg Alamut im Elburz-Gebirge]] [[File:Alamut.png|mini|Der Ismailitenstaat von Alamūt in Nordpersien]] Trotz ihrer Bemühungen um die Stärkung des sunnitischen Islams schafften es die Seldschuken nicht, die Ismāʿīlīya im eigenen Lande auszuschalten. Im Gegenteil, im Jahre 1090 gelang es [[w:Hasan-i Sabbāh|Hasan-i Sabbāh]], einem Dāʿī der Fatimiden, sich der Burg [[w:Alamut|Alamūt]] im östlichen [[w: Elburs-Gebirge|Elburz-Gebirge]] zu bemächtigen, die nachfolgend zum Zentrum eines kleinen Dāʿī-Fürstentums wurde. Ein Jahr später entsandte Hasan-i Sabbāh einen Dāʿī in die kleinen Oasenstädte im Osten der Zentraliranischen Salzwüste und schürte die offene Rebellion gegen die Bagdader Kalifen und den Seldschukensultan. 1092 gelang es Sendboten Hasan-i Sabbāhs, kurz nacheinander Malik-Schāh und seinen Wesir Nizām al-Mulk zu ermorden. Der Anschlag war der erste einer ganzen Serie von Attentaten, durch die führende Politiker und religiöse Würdenträger aus dem Weg geräumt wurden; circa 50 Terrorakte gehen auf Hasan-i Sabbāhs Konto. Die Attentäter, die auch in Gruppen auftraten, nannte man „Opferbereite“ (arab. ''fidāʾīyūn'', Sg. ''fidāʾī''), da sie bei ihren Aktionen meist selbst den Tod fanden. Das seldschukische Regime und das abbasidische Kalifat wurden durch die Aktivitäten der Fidā'īyūn tatsächlich erheblich geschwächt. Wie sehr man in dieser Zeit der Selbstvergewisserung bedurfte, zeigt der Traktat ''Faḍāʾiḥ al-Bāṭinīya'' („Die Schandtaten der [[w:Batinīya|Bātiniten]]“), den 1095 [[w:al-Ghazālī|al-Ghazālī]] auf Wunsch des jungen abbasidischen Kalifen [[w:al-Mustazhir bi-'llah|al-Mustazhir]] (reg. 1094-1118) verfasste. Darin bemühte er sich um eine Widerlegung der ismailitischen Imamatslehre, bekräftigte den Anspruch der Abbasiden auf das Kalifat und rechtfertigte auch das seldschukische Sultanat. Da die ismailitische Daʿwa auf die Lehren des Neuplatonismus zurückgriff, ging es auch darum, dieses System zu widerlegen. In seinem Buch ''Tahāfut al-falāsifa'' („Der Zusammenbruch der Philosophen“; 1095) versuchte al-Ghazālī, aufzuzeigen, dass die Lehren von al-Fārābī und Avicenna unvereinbar mit dem Koran seien. Er urteilte, dass die Philosophen Apostaten seien, die getötet werden müssten. Das Seldschukenreich geriet Ende des 11. Jahrhunderts in eine schwere Krise, aus der es nicht mehr herauskam. Anfang des 12. Jahrhunderts entglitt den Seldschuken auch wieder die Oberherrschaft über die Heiligen Stätten in Mekka und Medina, und ihr Reich zerfiel in verschiedene Regionaldynastien. Die ismailitische Daʿwa dagegen errang unter Hasan-i Sabbāh, der ab 1094 unabhängig von Kairo operierte, weitere Erfolge: in mehreren Regionen Irans besetzten die Ismailiten Burgen und bauten sie zu Stützpunkten aus. Seit etwa 1100 trugen persische Dāʿīs aus Alamūt die neue Daʿwa auch nach Syrien und nahmen dort verschiedene Bergfestungen in Besitz. Als Hasan-i Sabbāh 1124 starb, folgte ihm als Chef der Daʿwa der von ihm designierte Herr der benachbarten Burg [[w:Lamasar|Lamasar]], der wiederum vor seinem Tode seinen Sohn zum Nachfolger bestimmte und damit eine Dāʿī-Dynastie gründete, die nun für mehr als ein Jahrhundert den kleinen Ismailitenstaat von Alamūt und die von ihm abhängigen Burgen in Iran und Syrien regierte. Ein bleibendes Vermächtnis der Seldschuken ist die Islamisierung Kleinasiens. Der byzantinische Versuch, diese Region zurückzugewinnen, misslang; ab 1143 zogen sich die Byzantiner endgültig daraus zurück. Zum Zentrum des islamischen Anatoliens wurde um die Mitte des 12. Jahrhundert [[w:Konya|Konya]], das antike Iconium, nun Hauptstadt der Rūm-Seldschuken. === 8.2.2. Abwehr des „fränkischen Dschihad“ === [[Datei:Map Crusader states 1135-de.svg|mini|Die Kreuzfahrerstaaten um 1135.]] Im späten 11. Jahrhundert setzten die christlichen westeuropäischen Mächte im Mittelmeerraum eine umfangreiche militärische Expansionsbewegung gegen die muslimischen Mächte in Gang, die auf deren Seite zu herben Gebietsverlusten führte: In den einzelnen Gebieten ergaben sich folgende Entwicklungen: (1) Sizilien wurde 1061-91 von [[w:Normannen|Normannen]] erobert; (2) auf der iberischen Halbinsel begann Ende des 11. Jahrhunderts die [[w:Reconquista|Reconquista]], die „Rückeroberung“ islamischer Gebiete durch christliche Streitkräfte; die Städte [[w:Toledo|Toledo]] (1085) und [[w:Saragossa|Saragossa]] (1113) fielen in diesem Zuge an die christlichen Königreiche von [[w:Königreich von Kastilien|Kastilien]] und [[w:Königreich Aragón|Aragon]]; (3) im östlichen Mittelmeerraum nahmen die Kreuzritter 1098 [[w:Antakya|Antiochia]] und [[w:Şanlıurfa|Edessa]] und ein Jahr später Jerusalem ein und gründeten mehrere [[w:Kreuzfahrerstaaten|Kreuzfahrerstaaten]]. Zeitgenössische muslimische Autoren nahmen diese Expansionsbewegung als einen christlichen Dschihad wahr und forderten die Muslime zu einem Gegen-Dschihad auf. Es war [[w:Zengi|ʿImād ad-Dīn Zengi]], Statthalter der Seldschuken in Mossul, der in den 1140er tatsächlich eine Gegenoffensive gegen die Kreuzfahrerstaaten eröffnete. 1144 erobert er Edessa von den Kreuzrittern zurück. Sein Sohn [[w: Nur ad-Din|Nūr ad-Din Zengi]] (reg. 1146-1174), der das ganze islamische Syrien unter seinen Oberbefehl bringen konnte, weitete den Kampf gegen die Kreuzritter aus und drängte sie bis 1174 auf das Bergland westlich des [[w:Orontes|Orontes]] und des [[w:Jordan|Jordan]] zurück. Nūr ad-Dīn war auch für die islamisch-religiösen Wissenschaften von Bedeutung. In seiner neuen Hauptstadt Damaskus baute er eine neue Schule zur Vermittlung der prophetischen Tradition, Dār al-Hadīth genannt, an der ein eifriger Vertreter der Aschʿariten, [[w:Ibn ʿAsākir|ʿAlī Ibn ʿAsākir]], tätig wurde. Im Jahre 1162 hieß Nūr ad-Dīn außerdem den Sufi [[w:Abū n-Nadschīb as-Suhrawardī|Abū n-Nadschīb as-Suhrawardī]] in Damaskus willkommen, der hier eine Zeitlang predigte. Mit der Sufik werden wir uns in der folgenden Sitzung noch weiter befassen. === 8.2.3. Die Ausbreitung des Islams in Afrika durch Handel und Ribāt === [[File:Great Mosque of Kilwa Kisiwani, 11th - 18th cents (9) (28992091121).jpg|mini|links|Reste der Großen Moschee von [[w:Kilwa Kisiwani|Kilwa]] im heutigen Tansania]] Schon um 960 hatten persische Händler aus [[w:Schiras|Schiras]] eine Handelskolonie auf der Insel [[w:Kilwa Kisiwani|Kilwa]] vor der Küste des heutigen Tansania gegründet. Von dort aus erfolgte im 11. und 12. Jahrhundert sukzessive die Islamisierung der der ostafrikanischen Küste vorgelagerten Inseln ([[w:Mafia (Insel)|Mafia]], [[w:Komoren|Komoren]] usw.). Durch muslimische Kaufleute aus dem Maghreb, die im Transsaharahandel tätig waren, verbreitete sich der Islam in dieser Zeit auch in West- und Zentralafrika. Einige dieser Kaufleute ließen sich in Orten südlich der Sahara nieder, die sich zu muslimischen Städten entwickelten wie [[w:Oualata|Walāta]] und [[w:Timbuktu|Timbuktu]]. Andere wurden an den Höfen heidnischer afrikanischer Herrscher tätig und machten diese mit dem Islam bekannt. Der um 1067 schreibende arabische Geograph [[w:Abū ʿUbaid al-Bakrī|al-Bakrī]] berichtet davon, dass zu seiner Zeit bereits die [[w:Reich Kanem|Herrscher von Qānim]] östlich des [[w:Tschadsee|Tschadsees]], von [[w:Gao|Gao]] am Nigerbogen und von Takrūr im unteren [[w:Senegal (Fluss)|Senegalgebiet]] zum Islam übergegangen waren. Zu den Insignien der [[w:Gao-Reich|Herrscher von Gao]] gehörte sogar ein vom Kalifen in Bagdad übermitteltes Koranexemplar. [[File:ExpansiónAlmorávide.svg|mini|Die Expansion des Almoravidenstaates]] Zu einer weiteren Verbreitung des Islams in Westafrika trug die Dynastie der [[w:Almoraviden|Almoraviden]] (1056-1147) bei. Der Gründer dieser Dynastie, [[w:Ibn Yasin|Ibn Yāsīn]], war ein Berber aus dem [[w:Souss-Ebene|Sūs-Tal]], der die Wallfahrt nach Mekka unternommen hatte und als Missionar und Sittenprediger bei den nur oberflächlich islamisierten nomadisierenden Berberstämmen der Westsahara tätig wurde. Ibn Yāsīn predigte bei ihnen einen strengen, puritanischen Islam, der auf die mālikitische Rechtsschule gestützt war, und formte aus den Kämpfern der Berberstämme den Kampfverband der Murābitūn. Der Name ist abgeleitet von dem arabischen Begriff [[w:Ribāt|Ribāt]], einer Kurzform des im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/60 Q 8:60]) verwendeten Ausdrucks ''ribāṭ al-ḫail'', der das „Zusammenziehen der Pferde“ für den Kampf gegen die Ungläubigen bezeichnet. Spätestens seit der frühen Abbasidenzeit bezeichnete man damit den militärischen Einsatz an den Grenzen zum [[w:Dār al-harb|Dār al-harb]]. Diejenigen Personen, die sich dem Ribāt hingaben und dies meist mit gottesdienstlichen Übungen verbanden, wurden auf Arabisch als ''murābiṭūn'' bezeichnet. Ziel der militärischen Islamisierungskampagnen der Almoraviden, deren europäischer Dynastiename von ''murābiṭūn'' herrührt, waren nicht nur die nichtislamischen, sondern auch die nur oberflächlich islamisierten bzw. heterodoxen Berber der [[w:Bargawata| Bargawata]] in der marokkanischen Küstenebene südlich von Rabat; im Kampf gegen sie fand Ibn Yāsīn 1059 auch den Tod. Ein Nachfolger konnte den Staat der Almoraviden rasch nach Norden ausdehnen und 1070 die Stadt [[w:Marrakesch|Marrakesch]] (daher der Name Marokko) zum neuen städtischen Zentrum des westlichen Maghreb machen. Unter [[w: Yusuf ibn Taschfin|Yūsuf ibn Tāschfīn]] (reg. 1072-1106), der neben Nordwestafrika auch fast ganz Andalusien unter seiner Herrschaft vereinigen konnte, erhielt der Almoravidenstaat imperiale Dimension. Kennzeichnend für die Almoraviden auf religiöser Ebene war die Orientierung an der mālikitischen Normenlehre. === 8.2.4. Ibn Tūmart, ein neuer Mahdī im Westen === [[File:Tin Mal Mosque4 (js).jpg|mini|Der Mihrab der [[w:Moschee von Tinmal|Moschee von Tinmal]], die im 12. Jahrhundert in Erinnerung an Ibn Tūmarts dortiges zehnjähriges Exil errichtet wurde.]] Im frühen 12. Jahrhundert trat im Maghreb ein neuer Mahdī auf, [[w:Ibn Tūmart|Ibn Tūmart]], ein junger berberischer Gelehrter, der sich nach Studien im Orient der [[w:Aschʿarīya|aschʿaritischen]] Lehrrichtung angeschlossen hatte und als Bußprediger den ganzen Maghreb durchzog. 1120 erschien er in der Großen Moschee von Marrakesch und verurteilte in Anwesenheit des almoravidischen Herrschers die ungebildete Masse der Gläubigen und die Gelehrten wegen ihre körperlichen Gottesbildes als Ungläubige. Vor dem Zorn des Herrschers zog er sich 1121 in seine Heimat, den kleinen Ort Tinmal im [[w:Antiatlas|Antiatlas]], zurück, wo er sich von seinen Anhängern als der Mahdī und unfehlbare Imam proklamieren ließ. Im Zentrum der Lehre Ibn Tūmarts stand das Dogma von der absoluten Einzigkeit Gottes ([[w:Tauhīd|Tauhīd]]). Seine Anhänger nannten sich deswegen wie die Drusen „Einzigkeitsbekenner“ (''al-muwaḥḥidūn''; daher ihr europäischer Name „[[w:Almohaden|Almohaden]]“). Der Kampfverband war streng hierarchisch organisiert: An seiner Spitze stand der Mahdī mit seiner Familie; ihn umgaben ein „Rat der Zehn“, den seine engsten Jünger bildeten, und ein „Rat der Fünfzig“, in dem die Vertreter der geeinten Stämme und Clans saßen. Der Zweck des Kampfverbandes war der Dschihad gegen die Almoraviden, der 1129 aufgenommen wurde. Zwar scheiterte 1130 ein Angriff der Bewegung auf Marrakesch, bei dem Ibn Tūmart auch starb, doch gelang es seinem Nachfolger [[w:Abd al-Mu'min|ʿAbd al-Mu'min]] (1130-1163), die Almoraviden zu stürzen und in nur kurzer Zeit ganz Andalusien und große Teile Nordwestafrikas unter seine Herrschaft zu bringen. Er und seine Nachkommen, die Mu'miniden, beanspruchten nun auch den kalifalen Titel des ''amīr al-mu'minīn'' für sich. Der dritte Herrscher der Dynastie, [[w:Abu Yaqub Yusuf I.|Abū Yaʿqūb Yūsuf]] (1163-84), war erheblich liberaler als seine Vorgänger. Er zog die beiden brillanten Philosophen [[w:Ibn Tufail|Ibn Tufail]] und [[w:Averroes|Averroes]] an seinen Hof, die in ihren Schriften die Philosophie gegen die Kritik al-Ghazālīs verteidigten. Die von Ibn Tūmart verbreitete Aschʿarīya blieb jedoch im Maghreb die herrschende theologische Lehre. === 8.2.5. Die Aufspaltung der Ismāʿīlīya und das Ende des fatimidischen Kalifats === Das fatimidische Kalifat wurde in dieser Zeit durch innere Schismen weiter geschwächt. Als im Jahre 1094 der Fatimidenkalif [[w:al-Mustansir (Fatimiden)|al-Mustansir]] starb, spaltete die Frage seiner Nachfolge die ismailitischen Gemeinden. Der Kalif hatte seinen Sohn [[w:Nizār ibn al-Mustansir|Nizār]] als künftigen Imam designiert, doch sein Wesir und Armeechef [[w:al-Afdal Schahanschah|al-Afdal al-Dschamālī]], der eigentliche Machthaber in Ägypten, hob einen anderen Prinzen, seinen Schwiegersohn [[w:Al-Mustaʿlī bi-Llāh|al-Mustaʿlī]], auf den Thron. Nizār floh nach Alexandria und stellte sich an die Spitze eines Aufstands; die Rebellion scheiterte jedoch, er selbst wurde gefangengenommen und beseitigt. Hasan-i Sabbāh (vgl. oben [[#8.2.1.2. Die ismailitischen Fidā'īyūn und der Zerfall des Seldschukenstaates|8.2.1.2.]]) verweigerte daraufhin dem in Ägypten als Nachfolger auf den Thron gehobenen fatimidischen Prinzen al-Mustaʿlī die Anerkennung als Imam und machte sich von Kairo unabhängig. Die persische Daʿwa hielt an dem Imamat von Nizār fest, den al-Mustansir als Imam designiert hatte. Sie wird deswegen auch als [[w:Nizariten|nizāritisch]] bezeichnet, im Gegensatz zu den Ismailiten in Ägypten, Syrien, Jemen und Indien, die den Fatimidenkalifen al-Mustaʿlī und seinen Sohn und Nachfolger [[w:al-Āmir|al-Āmir]] als Imame anerkannten und [[w:Mustaʿlīten|Mustaʿlīten]] genannt werden. Die Nizāriten sandten im 12. und 13. Jahrhundert weiter Fidā'īs gegen ihre politischen Gegner aus, darunter auch gegen verschiedene Kreuzfahrerfürsten. Auf diese Weise wurde diese Gruppe auch schon im Mittelalter im christlichen Europa bekannt, allerdings nicht unter dem Namen Nizāriten oder Fidā'īs, sondern unter dem polemischen Begriff [[w:Assassinen|Assassinen]]. [[File:Jibla 01.jpg|mini|links|[[w:Dschibla|Dschibla]], die Hauptstadt der sulaihidischen Königin ʿArwa im Jemen]] Als 1130 al-Āmir einem Mordanschlag durch nizāritische Fidā'īs zum Opfer fiel und Thronwirren ausbrachen, kam es zu einem weiteren Schisma innerhalb der ismailitischen Daʿwa. Im Jemen nutzte die sulaihidische Königin [[w:Arwa bint Ahmad|ʿArwa]] (reg. 1086–1138) die Gelegenheit, die fatimidische Oberhoheit abzuschütteln. Sie erkannte den zum Nachfolger erhobenen Vetter des Ermordeten nicht an und unterstützte einen Dāʿī, der die Lehre vertrat, dass al-Āmirs Sohn [[w:Abū l-Qāsim at-Taiyib|Abū l-Qāsim at-Taiyib]], dessen Rechte in den Thronwirren übergangen worden waren, der wahre Imam sei. Er sei allerdings noch als Kind entrückt worden. Während der Verborgenheit des Imams sollte der absolute Dāʿī (''dāʿī muṭlaq'') als sein Stellvertreter die Leitung der Gemeinde übernehmen. Die Ismailiten, die dieser Lehre folgten, werden als [[w:Tayyibiten|Taiyibiten]] bezeichnet. Auch die Nizāriten griffen in ihrer Lehre zunächst wieder auf das Modell der [[w:Ghaiba|Ghaiba]] zurück und warben für einen verborgenen, anonymen Imam. Anders als die Taiyibiten wandten sie sich aber später von diesem Modell wieder ab und kehrten zum Konzept eines „anwesenden“ Imams zurück, denn Ende des 12. Jahrhunderts trat ein Vertreter der persischen Dāʿī-Dynastie, [[w:Nur ad-Din Muhammad|Muhammad II.]] (1166-1210), mit der Behauptung hervor, sein Vater und er selbst seien leibliche Nachkommen des Fatimiden Nizār und hätten somit auch Anspruch auf den Imam-Titel. Damit begründete er eine neue ismailitische Imam-Dynastie, die bis heute weiter existiert. [[File:Syedna Mufaddal Saifuddin first Waaz as Dai-al-Mutlaq.jpg|mini|hochkant|Der 53. Dāʿī Mutlaq der Dawudi-Bohras, [[w:en:Mufaddal Saifuddin|Mufaddal Saifuddin]]]] Die von 1130 an regierenden fatimidischen Kalifen wurden außerhalb des Reiches fast nirgendwo mehr anerkannt. Das einst so gewaltige Fatimidenreich schrumpfte in den folgenden Jahrzehnten endgültig auf Ägypten zusammen. Sein Ende kam, als der noch junge [[w:Saladin|Saladin]], ursprünglich ein Offizier im Dienste Nūr ad-Dīns (vgl. oben [[#8.2.2. Abwehr des „fränkischen Dschihad“|8.2.2.]]), der im Rahmen einer militärischen Expedition nach Ägypten gekommen war, zum Wesir des fatimidischen Kalifen [[w: al-ʿĀdid| al-ʿĀdid]] berufen wurde. Er entmachtete seinen Herrn und führte 1171 Ägypten in die staatsrechtliche Sphäre des abbasidischen Kalifats zurück. Er kann somit gewissermaßen als Vollender der abbasidischen Restauration angesehen werden. Zwar hat die Ismāʿīlīya als religiöse Gruppierung den Untergang des Fatimidenreichs überlebt, doch ist die vorher eingetretene Spaltung nie überwunden worden. Beide Richtungen, die Nizārīya und die Taiyibīya, bestehen indessen bis heute fort und haben eine zahlenstarke Anhängerschaft. Die Nizārīya blieb die vorherrschende Form der Ismāʿīlīya in Iran, Syrien sowie im [[w:Hindukusch|Hindukusch]] (Nordpakistan, Afghanistan und Tadschikistan), während die Taiyibīya die vorherrschende Form der Ismāʿīlīya im Jemen blieb. Beide Gruppierungen missionierten ab dem 14. Jahrhundert in Nordwestindien, wo sie verschiedene [[w:Hinduismus|hinduistische]] Händlerkasten (die [[w:en:Khoja|Khojas]] bzw. [[w:Bohras|Bohras]]) für ihre Form des Islams gewinnen konnten. Die Bohras spalteten sich allerdings Ende des 16. Jahrhundert noch einmal in verschiedene Gruppen auf, von denen die [[w:en:Dawoodi Bohra|Dawudi Bohras]] heute mit ca. 5 Millionen Anhängern vor allem in Indien und Pakistan die zahlenmäßig bedeutendste bilden. == 8.3. Der Einfluss der Schia auf den sunnitischen Islam == [[File:Maulidur Rasul (8413657269).jpg|mini|links|Ein Festumzug zum Prophetengeburtstag in Malaysia 2013]] Zwar hat sich der Sunnismus in dem Zeitraum zwischen 930 und 1171 eigentlich als eine Abwehrbewegung gegen die schiitische Bedrohung herausgebildet, doch hat die Schia auch großen Einfluss auf den sunnitischen Islam ausgeübt. Er zeigt sich vor allem im Bereich des religiösen Alltagslebens. So ist zum Beispiel das im 11. Jahrhundert am Hof der Fatimiden eingeführte [[w:Maulid an-Nabī|Geburtstagsfest des Propheten]] am 12. [[w:Rabīʿ al-awwal|Rabīʿ al-auwal]] im 12. Jahrhundert auch von sunnitischen Herrschern übernommen worden. Der erste sunnitische Herrscher, der das Fest offiziell beging, war Nūr ad-Dīn Zengi, der bereits als Kämpfer gegen die Kreuzfahrer erwähnt wurde (vgl. oben [[#8.2.2. Abwehr des „fränkischen Dschihad“|8.2.2.]]). In wenigen Jahrzehnten verbreitete sich der Brauch, den Geburtstag des Propheten zu feiern, über weite Teile der sunnitisch-islamischen Welt. Noch heute ist es eines der wichtigsten Feste im Bereich des sunnitischen Islams, allerdings ist es sehr umstritten, weil es sich nicht auf den Propheten zurückführen lässt. Ein weiterer Bereich, in dem die schiitische religiöse Praxis auf die Sunniten eingewirkt hat, ist die Verehrung der Gräber von als heilig erachteten Personen. Im schiitischen Islam ist die Praxis des Besuchs von Gräbern ([[w:ziyārat al-qubūr|Ziyārat al-qubūr]]) der Angehörigen der Prophetenfamilie schon seit dem siebten Jahrhundert belegt. Im 10. Jahrhundert entstand eine eigene Literatur von schiitischen Wallfahrtsbüchern, in denen die verschiedenen Gräber und die an ihnen auszuführenden Riten beschrieben wurden. Die bekanntesten schiitischen Wallfahrtsorte waren die Gräber von ʿAlī und Husain in Nadschaf und Karbalā' sowie später von [[w:as-Saiyida Nafīsa|Saiyida Nafīsa]] südlich von Kairo, über denen die Buyiden bzw. Fatimiden Mausoleen errichteten. Im 11. und 12. Jahrhundert verbreitete sich der Brauch des Gräberbesuchs zunehmend auch im Bereich des sunnitischen Islams, es wurde zum Beispiel üblich, den Haddsch nach Mekka mit einem Besuch (''ziyāra'') des Prophetengrabes in Medina zu verbinden. Und sunnitische Herrscher gingen dazu über, die Gräber von Persönlichkeiten des sunnitischen Islams auszubauen. Auch fingen Gelehrte jetzt an, Wallfahrtsführer speziell für sunnitische Gläubige, die Gräber besuchen wollten, abzufassen. Schließlich kann man den Bereich der Heilpraktiken nennen. Seit der frühen Abbasidenzeit genoss die antike griechische Medizin, die überwiegend von christlichen Ärzten ausgeübt wurde, in den islamischen Ländern großes Ansehen. Gegen diese „heidnische“ Medizin machte sich ab dem 10. Jahrhundert Zeit eine islamische Abwehrreaktion bemerkbar. Zwei schiitische Gelehrte stellten in dieser Zeit eine Sammlung von Aussprüchen der Imame über Krankheit und Heilung zusammen, die als religiöse Alternative zu der griechischen Medizin dienen sollte. Dieses Konzept einer islamisch-religiösen Medizin wurde ein Jahrhundert später auch im sunnitischen Islam übernommen, allerdings bezog man sich hier allein auf den Propheten als therapeutisches Vorbild. Einer der ersten sunnitischen Gelehrten, der eine Spezialsammlung mit Traditionen zur [[w:Prophetische Medizin|prophetischen Medizin]] (''ṭibb nabawī'') zusammengestellt hat, war [[w:Abū Nuʿaim al-Isfahānī|Abū Nuʿaim al-Isfahānī]] (gest. 1038). Hier wurden nacheinander die verschiedenen körperlichen und seelischen Krankheiten abgehandelt und jeweils angegeben, welche Arzneien und Gebete Heilung versprechen. Die „prophetische Medizin“ knüpfte an das an, was der Prophet über Krankheit und Heilung gelehrt hatte, stützte sich aber auch auf viele gefälschte Hadithe. == 8.4. Die Entfaltung der islamischen Rechtstheorie == Der religiöse Wissenschaftszweig, der jetzt besonders aufzublühen begann und in dem sich die Gelehrten aller dieser Richtungen betätigten, war die Lehre von den „Grundlagen des Verstehens“ ([[w:Usūl al-fiqh|Usūl al-fiqh]]), die sich mit den Quellen und methodischen Prinzipien der Normenfindung befasst. Zu den Gelehrten, die zu jener Zeit eigenständige Werke zu dieser Disziplin verfassten, gehörten die beiden Schafiiten [[w:al-Dschuwainī|al-Dschuwainī]] (gest. 1085) und [[w:al-Ghazālī|al-Ghazālī]] (gest. 1111), die an Nizāmīya-Schulen tätig waren, und der Hanbalit [[w:Ibn ʿAqīl|Ibn ʿAqīl]], der von 1066 bis 1072 den Lehrzirkel an der Hauptmoschee von Bagdad leitete. Innerhalb der Usūl al-fiqh wurden jetzt auch Verfahrensweisen für besonders knifflige Probleme entwickelt, so zum Beispiel für den Fall, dass zu einer Rechtsfrage zwei gleichartige, aber einander widersprechende Beweise vorlagen. In diesem Fall sollte [[w:Tardschīh|Tardschīh]] betrieben werden, d.h. die beiden Beweise sollten anhand bestimmter Kriterien gegeneinander abgewogen werden, um denjenigen zu bestimmen, der das größere Gewicht hat. Allgemein wurde es in dieser Zeit unter den sunnitischen Gelehrten üblich, die menschlichen Handlungen nach ihrem Verpflichtungsgrad in [[w:al-Ahkām al-chamsa|fünf Kategorien]] einzuteilen: 1. obligatorisch (''wāǧib''), 2. verboten ([[w:Harām|Harām]]), 3. empfohlen ([[w:mandūb|Mandūb]], auch [[w:Sunna#Sunna als Bewertungskategorie im Fiqh|Sunna]]), 4. verpönt ([[w:Makrūh|Makrūh]]) und 5. erlaubt (''mubāḥ''). Anders als bei den Muʿtaziliten und Imamiten setzte sich bei den Sunniten die Auffassung durch, dass eine wirkliche [[w:Taklīf|Verpflichtung]] des Menschen nicht durch Vernunft, sondern nur durch Koran und Sunna begründet wird. == 8.5. Weiterführende Literatur == * Paul E. Chevedden: “The Islamic Interpretation of the Crusade: A New (Old) Paradigm for Understanding the Crusades” in ''Der Islam'' 83 (2006) 90-136. * Mouhamed El-Hage: ''Die Medizin der Imame: ein Werk religiöser Medizin aus dem 10. Jahrhundert der Gebrüder Abū ʿItāb ʿAbdallāh und al-Husain bin Bistām bin Sābūr az-Zaiyāt.'' Berlin, HU, Dissertation 1998. * Erika Glassen: ''Der mittlere Weg. Studien zur Religionspolitik und Religiosität der späteren Abbasidenzeit.'' Wiesbaden 1981. * Frank Griffel: ''Apostasie und Toleranz im Islam: die Entwicklung zu al-Ġazālīs Urteil gegen die Philosophie und die Reaktion der Philosophen.'' Leiden 2000. * Heinz Halm: ''Kosmologie und Heilslehre der frühen Ismāʿīliyya. Eine Studie zur islamischen Gnosis.'' Wiesbaden 1978. * Carole Hillenbrand: ''The Crusades: Islamic Perspectives.'' Edinburgh 1999. * Nico Kaptein: ''Muḥammad’s birthday festival: early history in the central Muslim lands and development in the Muslim west until the 10th/16th century.'' Leiden 1993. * Joel L Kraemer: ''Humanism in the Renaissance of Islam. The Cultural Revival during the Buyid Age.'' Leiden 1986. * Joel L. Kraemer: ''Philosophy in the Renaissance of Islam. Abū Sulaimān as-Sijistānī and his circle.'' Leiden 1986. * George Makdisi: ''Ibn ʿAqīl: religion and culture in classical Islam.'' Edinburgh 1997. * Alex Metcalfe: ''Muslims and Christians in Norman Sicily: Arabic Speakers and the end of Islam.'' London 2003. * Tilman Nagel: ''Die Festung des Glaubens. Triumph und Scheitern des islamischen Rationalismus im 11. Jahrhundert.'' München 1988. * Irmeli Perho: ''The prophet’s medicine: A creation of the Muslim traditionalist scholars.'' Helsinki 1995. * Devin Stewart: ''Islamic Legal Orthodoxy. Twelver Shiite Responses to the Sunni Legal System.'' Salt Lake City 1998. * Speros Vryonis: ''The Decline of Medieval Hellenism in Asia Minor and the Process of Islamization from the Eleventh through the Fifteenth Century.'' Berkeley 1971. == 8.6. Aufgaben/Fragen == 1. Wie ist das Fest des Prophetengeburtstags entstanden und wie hat es sich verbreitet? 2. Welche Haltung nahmen die mittelalterlichen muslimischen Gelehrten gegenüber der antiken griechischen Philosophie ein? 3. Um die Mitte des 11. Jahrhundert entwickelten zwei Gelehrte auf dem Gebiet des abbasidischen Kalifats eine islamische Staatstheorie. Wie sah sie aus und inwiefern spiegelte sie die politische Realität der Zeit wider? 4. Mit welchen Lehren ist das Hanbalitentum hervorgetreten und wie hat es sich zu einer Lehrrichtung im Fiqh entwickelt? 5. Die Festung Alamut im iranischen Elburz-Gebirge wurde Ende des 11. Jahrhunderts zum Zentrum einer neuen ismailitischen Bewegung. Wodurch zeichnete sich diese aus? 6. Erklären Sie den Namen der Dynastie der Almoraviden. 7. Inwiefern kann man Saladin als einen Vollender der abbasidischen Restauration betrachten? {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} 5aeoglb604pa25shu26f0eej4womm43 0 104829 1117047 1100297 2026-10-19T13:03:00Z Bocardodarapti 2041 1117047 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{bildskip}} {{ inputbild |Complete bipartite graph K2,1|svg| 230px {{!}} left {{!}} | |Zusname=Complete_bipartite_graph_K2,1 |Text= |Autor= |Benutzer=Illes |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Intersecting planes|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Intersecting_planes |Text= |Autor= |Benutzer=David Eppstein |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Zu einem Graphen {{math|term= \Gamma|SZ=}} auf einer Menge {{math|term= V |SZ=}} bzw. dem zugehörigen {{ Definitionslink |simplizialen Komplex| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \Delta|SZ=}} besteht die zugehörige Achsenraumkonfiguration aus allen Achsen {{mathl|term= K e_v|SZ=}} und genau aus denjenigen Achsenebenen {{mathl|term= K e_v + Ke_w |SZ=,}} für die {{mathl|term= \{v,w\} |SZ=}} eine Kante des Graphen ist. Bei {{ Relationskette |V || \{1,2,3\} || || || |SZ= }} ergibt der leere Graph {{ Zusatz/Klammer |text=bei dem die Kantenmenge leer ist| |ISZ=|ESZ= }} das Achsenkreuz im Raum, der Graph mit einer Kante ergibt eine Ebene mit einer dazu senkrechten Geraden, der Graph mit zwei Kanten ergibt zwei Ebenen, die sich in einer Geraden senkrecht schneiden, und der Graph mit drei Kanten ergibt die drei Achsenebenen im Raum. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6qc2bvdjn3ax86znhces7s1ym0b8coq 2 107732 1117096 1106415 2026-10-19T20:14:46Z Jeb 26942 /* Projekte */ Kiel 1117096 wikitext text/x-wiki [[Datei:Auftaktveranstaltung_Fellow-Programm_2019_-_150.jpg|mini|(Q56880673)]] ''Mehr Edits wagen!'', steht erfahrungsgemäß am Anfang von Lernkurven, um mit der Wissensproduktion in Wikis zu starten. Wer mit Wikimediawerkzeug aktiv sein bzw. andere befähigen will in institutionellen Zusammenhängen Wikis zu bearbeiten, die oder der muss selbst*Vertrauen bauen. Rhetorisch, abstrakt und theoretisch mag das in einzelnen Fällen auch funktionieren. Eigene Edits für individuell relevante Wikis, Inhalte, Objekte und Projekte helfen wirklich. https://nearby.hypotheses.org/3322 Jens Bemme: ''Wie funktioniert eine [[Projekt:Wikiversitätsstadt|Wikiversitätsstadt]]?'', ABI Technik, 9. November 2022, https://doi.org/10.1515/abitech-2022-0057 Perhaps a fundamental difference: In wikiversity (as I use it) you create your work yourself and/or with others by bringing a community into the wikiversity yourself to do so. https://openbiblio.social/@JensB/109538994686557598 ; ''Growing down the rabbit hole'' [[d:Q112610206|(Q112610206)]] I mean ... you don't need such communities like Wikipedia or Wikisource to build open educational resources (okay, it depends) ... different way of thinking, working, editing, publishing in Wikiversity for YOUR specific idea of teaching. You see ... *versity consulting just has begun. https://openbiblio.social/@JensB/109536618233022471 == Semester-, Bachelor- und Masterarbeiten == oder [https://saxorum.hypotheses.org/9788 besondere Lernleistung] ... über, im und mit Wikiversum (und im Interwikiversum!) samt Citizen Science berate und begleite ich gelegentlich. Bitte einfach anfragen, per Mail und <nowiki>{{ping| }}</nowiki> hier. == Projekte == [[Datei:Valga Gümnaasium.jpg|mini|Valga Gümnaasium]] * [[Kurs:Citizen Science im Kulturspeicher]], 26. Oktober 2026 * [[Kurs:Adventskalender mit Weblogs]], 21. Oktober 2026 * [[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] * [[Kurs:Wikisource ASpB 2026]] * [[BiblioCON 2026]], ''[[BiblioCON 2026/Kooperation nearby|Digital nebenan: Wikidata ermöglicht Bibliothekskooperationen ‘nearby’, lokal und überregional weltweit]]'' * [[Projekt:Tanzkarten]], 2026 * [[Projekt:Sächsische Innerschweiz digital]], September 2025 – März 2026 * [[Projekt:Archive + Wikidata 2025]] * [[Kurs:WikiCite 2025]] * [[Kurs:Coding History 2025 xEditsXnearby]], 5. August :: [[Projekt:Das Sulzbacher Wochenblatt digital]] * ''mehr Edits wagen'': [[VBIB/vBIB25|#vBIB25]] :: [[VBIB/vBIB25/Open Citizen Science|Open Citizen Science – gestern, heute, morgen]], #vBIB25 * [[Kurs:AKMB 2025]], Edits in Kunst- und Museumsbibliotheken * [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] * [[Kurs:KultDig-Lunch im Wikiversum]], 17. Februar 2025 * [[Kurs:Wikiversum Wuppertal (2025)]] * SLUB: [[SLUB Dresden/2024|Citizen Science-Rückblick 2024]] * #vBIB24 :: [[VBIB/vBIB24/vBIB in Wikidata|vBIB in Wikidata]] :: [[VBIB/vBIB24/Geschichtsvereine|Vision: Wir korrigier(t)en alle gemeinfreien Publikationen historischer Geschichtsvereine]] * [[Projekt:Making Research (Booksprint)]], 2024/25 * [[Projekt:Werkstattbericht xEditsXnearby 2024]] * [[Kurs:CdVnearby/Sommer 24]], Terminserie im August 2024 * [[Projekt:Solarpunkindex 2024]] * [[AG Regionalportale (2024)]] * [[Projekt:Immerwährender Datenlaube-Kalender]] * [[Projekt:800 Jahre Kamenz]], 2024/2025 * [[VBIB/vBIB24|#vBIB24]], 4./5. Dezember * [[Kurs:OpenKnowledge24]], März 2024 * [[Projekt:Reputation ohne Paywall (2024)]] * LIBREAS: Call ''[https://libreas.wordpress.com/2023/11/03/libreas-call-for-papers-45-the-sound-of-libraries-ein-impuls-in-funf-stationen/ The Sound of Libraries]'' w/ ''[[DieDatenlaube/LIBREAS The Sound of Gesprochene Wikisource|The Sound of Gesprochene Wikisource]]'', 2024 * [[BiblioCON 2024]] :: [[BiblioCON 2024/open glam lab|''Open a GLAM Lab? Als Wikimedian in Residence zwischen SLUB, Staatsarchiv Leipzig und Geschichtsverein'']] :: [[BiblioCON 2024/Antifa-Vernetzung|Antifa-Vernetzung]] * [[Kurs:Provenance loves Wiki (2024)]], 14. Januar * [[VBIB/vBiB23|#vBiB23]]: 6./7. Dezember 2023 :: ''[[VBIB/vBiB23/Nearby|Variantenvielfalt für das multilinguale Weltwissen der nahen Umgebung, #1Lib1Nearby]]'', 6. Dezember, 15:00-15:20 :: ''[[VBIB/vBiB23/Solarpunk|Solarpunk in Bibliotheken?]]'', 7. Dezember, 10:15-10:35 [[File:Berlin Friedrichstraße Utopia 2048 small file.jpg|thumb|An aerial view of a futuristic, sustainable Berlin]] * [[Projekt:WikiRemembrance]], ab 7. November 2023 * [[Kurs:CdVnearby]] * [[Kurs:TH Koeln 2023 Citizen Science]], Oktober 2023 * [[Kurs:Canons of Digital Cultures (Wikiverse)]], 12. Oktober 2023 * [[Kurs:Future Editor Forum + metadata]], 7. September 2023 * [[Projekt:Staatsarchiv Leipzig 2023]] * [[DieDatenlaube/LIBREAS Grassroots Open Access|LIBREAS Grassroots Open Access]], Abstract * [[Projekt:Datenlaube-Kalender 2023]] * [[Open Science Festival]] > 2023 @ ZB MED: [[Open Science Festival/Forschen im Wikiversum (2023)|Forschen im Wikiversum]], 4./5. Juli 2023 * [[BiblioCON 2023]], 23.–26. Mai 2023 in Hannover :: ''[[BiblioCON 2023/Kleine Editionen|#KleineEditionen für institutionelle Wisskomm-Strategien mit Linked Open Storytelling und Open Citizen Science]]'', 24. Mai, 11-12:30 :: ''[[BiblioCON 2023/Freiraum23: Wikiversity|Wikiversität: OER-Fabrik, Aggregator und Linkschleuder?]]'', 24. Mai, 16:30 :: ''[[BiblioCON 2023/1Lib1Nearby|1Lib1Nearby – Werkzeug für das multilinguale Weltwissen der nahen Umgebung: 1Lib1Ref + Open Data Literacy]]'', 25. Mai :: ''[[BiblioCON 2023/Wikimedians in Bibliotheken|Wikimedians in Bibliotheken]]'', öffentliche Arbeitssitzung, 25. Mai, 14-16:00 :: Poster: ''[[BiblioCON 2023/Bürger:innen finden, die forschten|Bürger:innen finden, die forschten : Quellen für Citizen Science im 19. Jahrhundert – suchen, erschließen und verknüpfen]]'' * [[Kurs:Heimatgeschichte (2023)]], ''Heimatgeschichte rein ins Netz!'' Einführung in digitale Methoden mit dem Geschichtsverein Dresden, 29. März 2023 * [[Kurs:Bibliothek im Wikiversum (Potentiale 2023)]] * Abstract: ''[[DieDatenlaube/pm4dh_abstract|Projekt- und Community-Management im Digitalen – was bewirken, mit echten Menschen im Wikiversum]]'', November 2022–2023 * ergänzende Materialsammlung [[Projekt:Dresdner Heft 152: Juedisches (in) Dresden]], Dezember 2022 * [[BibChatDE/2022|2022 mit (und ohne) #BibChatDe – gemeinsamer Jahresrückblick]], 5. Dezember * Sammelband: [[Landes- und Regionalgeschichte digital (2022)]] * [[Kurs:GLAM-Wiki-CH Wikisource Workshop (2022)]], 16. November * [[Projekt:Colouring Dresden]], 2022– * [[Projekt:Heimatkalendr 2023]] * [[Kurs:SVGarchaeologie (vBIB22)]], Dezember 2022 * [[Kurs:TUD linked open (2022)]], Graduiertenakademie der TU Dresden, 11. November 2022 * [[Kurs:Wikipedia:60 Minuten (9/2022)]] mit Marlene Neumann (Stadtbibliothek Erlangen), 26. September 2022 * [[Kurs:Wikiversum für Ortschronisten (2022)]] * [[Kurs:Rostock und Die Datenlaube (2022)]] * [[WikiLibCon]] + [[WikiLibCon/Proposal: Taktischer Nearbyismus]]: Dokumentation der ''Wikimedia+Libraries International Convention 2022'' am 23. und 24. Juli 2022 in Maynooth, Ireland * 59. BibChatDe: [[BibChatDE/Geschichtsvereine|Geschichtsvereine & Bibliotheken: Was geht?]], 20. Juni 2022 * Workshop: [[Projekt:Geschichtsvereine 2x/Wikisource, Wikidata und Commons]], 11. Juni 2022 * [[Projekt:Radfahrerwissen in Dresden]] * [[Bibliothekskongress 2022]] (#Bibtag22) und #Wisskom2022: [[Projekt:Wikiversum, Wisskomm und Saxonica (2022)]] * [[Projekt:Wikiversitätsstadt]], 2022 * [[Kurs:Digitale Mittagspause (mitforschen 2022)]], 25. März 2022 * [[Kurs:CodingDaVinciOst3]], 20. März 2022, https://www.youtube.com/watch?v=afxP0ew83iY * Blogpostprojekt: [[Projekt:1Lib1Nearby/xWalnutXnearby|xWalnutXnearby]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)|Open Government und Open Data]], Wahlmodul 332582, Hochschule der Medien, Sommersemester 2022 * [[Kurs:Eigene Metadaten für eigene Blogposts|Eigene Metadaten für eigene Blogposts]]: mit Wikidata arbeiten, 18. März 2022; zehn Jahre [http://de.hypotheses.org/ de.hypotheses – Workshopreihe]: Geburtstagsaktion zum 9. März 2022 * [[BibChatDE/Wikiversum|57. BibChatDe]], 7. März 2022 * SLUB: [[Kurs:SAVE-Fachtag 2022|2. SAVE-Fachtag 2022]], 3. März 2022 * [[DieDatenlaube]]: Ideensammlung für die [[DieDatenlaube/Lehre|Lehre]] * [[Kurs:InnOsci Festival Wisskomm (2021)]], innOsci Festival [https://innosci.de/unknown-festival/ ‘The unknOwn unkOwns’], 14. Dezember 2021 * #vBIB21: [[VBIB21/DatenlaubeCon|DatenlaubeCon]], 2. Dezember 2021: ''[[VBIB21/DatenlaubeCon/Zusammenhänge linked open|Dinge hängen zusammen, linked open. #DieGartenlaube im Wiki~versum]]'' * Vortrag und Hands On Lab: [[Kurs:Partizipative Transkriptionsprojekte (DieDatenlaube)]], Oktober 2021 * Vortrag: [[Projekt:Digitale Heimatforschung (innoX2021)|Digitale Heimatforschung (innoX2021)]], 22.-25. September 2021, TH Wildau, digital * Workshop: [[Kurs:Wikidata und Heimatforschung (SXRM, 2021)]], Juni/Juli 2021 * Workshop: [[Kurs:Linked Open Data (Uni Potsdam, 2021)|Linked Open Data, Uni Potsdam]], Mai 2021 * Workshop: [[Kurs:Linked Open Storytelling (2021)/Coding da Vinci SH|Coding da Vinci Schleswig Holstein]], April 2021 * Workshop: [[Kurs:Linked Open Storytelling (2021)]], Februar 2021 * [[WikiCafe]], 2020 * [[WikiLunch]], 2020 ... * [[BibChatDE]] * [[Forum Citizen Science]], [[InnoX]] * Abstract: [[Projekt:UNLOCK Citizen Science City]] ... * [[Projekt:Fellow-Programm_Freies_Wissen_Einreichungen_2019/Europäische_Heimatforschung_mit_Radfahrerwissen|Europäische Heimatforschung]] * {{wikisource|Wikisource:Wikidata|(( #Wikisource + #Wikidata ))}} * [https://tools.wmflabs.org/scholia/author/Q56880673 Scholia] : mail @ [http://jensbemme.de jensbemme.de] == {{commons|Category:SVG of stereotype (printing)|SVG of stereotype (printing)}}== <gallery> Amateur-Photographin, Ottomar Anschütz, 1898.svg|Dame mit Hut mit Photoapparat, Inserat: Ottomar Anschütz GmbH, Berlin, in: "Volldampf", 1898, No. 3 Radfahrerin, E. TRAUTMANN facsimile J. KLEINER.svg|E. TRAUTMANN facsimile J. KLEINER, ca. 1897. Radfahrerin,_TRAUTMANN.svg|TRAUTMANN, um 1899. Herr_mit_Laufrad,_TRAUTMANN.svg|TRAUTMANN, um 1898. Zwei_Mädchen_im_Laufrad_sitzend,_TRAUTMANN.svg|TRAUTMANN, um 1898. Sitzende_Dame,_GUSTAV_BAUER.svg|Gustav Bauer, um 1899. Zwei_Radfahrer,_Klischee_(Druck).pdf|Zwei Radfahrer, Klischee, um 1897. Dame Herr Burg (Gustav Bauer).svg|Gustav Bauer, 1899 Velo i.svg|velo i, 1899 Radfahrer-Verein Wanderlust Seifhennersdorf.svg|Liederbuch des Radfahrer-Vereins "Wanderlust" Seifhennersdorf Vier Damen, GUSTAV BAUER, 1899.svg|Gustav Bauer, 1899 Radfahrer, 1899.svg|Radfahrer, Gustav Bauer, 1899 Nütze die Zeit.svg|Nütze die Zeit Radfahrerin, 1899.svg|Radfahrerin, Gustav Bauer, 1899 Zwerg_1890.svg Louis Gerstner Leipzig.svg </gallery> == Werkzeug == <gallery> Same procedure as every Tuesday, Miss Sophie.pdf|Poster, ''[https://unu.edu/flores/workshop/citizen-science-workshop-dresden-concept Citizen Science Workshop by DRESDEN-concept]'', 2024 ¡HASTA LA HISTORIA SIEMPRE!.svg|mini|8th Wikidata birthday logo: ¡Hasta la historia siempre! Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource-Broschüre, 2019. Wikidata-Broschüre.pdf|mini|Wikidata-Broschüre, August 2019. Die Datenlaube.jpg|mini|Die Datenlaube FDJ IG Heimatforschung free edit.svg|mini|FDJ Interessengemeinschaft "Heimatforschung", Abzeichnenmotiv Abzeichen_„FDJ_Heimatforschung“.jpg|Abzeichen „FDJ Heimatforschung“ 1Lib1Nearby.jpg|mini|1Lib1Nearby Libraries 4 Future.png|mini|Libraries 4 Future WP20Symbols Wikiversity.svg|mini|Wikipedia 20 symbols: Wikiversity Digitale Heimatforschung (InnoX2021).jpg|Digitale Heimatforschung (InnoX2021) Fellow-Programm Freies Wissen 2016 - 2021.pdf|Abschlusspublikation zum Fellow-Programm, 2016 - 2021 Wikiversitätsstadt.png Citizen Science City.png Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022).pdf|Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022) LABA Kiep it real.jpg|LABA Kiep it real: der Rucksack der in der Oberlausitz (nach)wächst Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wikimedia and Democracy - Wikimedia UK report 2021 (summary brochure).pdf|Summary Wikimedia and Democracy - Wikimedia UK report 2021 (full report).pdf|Report Wikiversity.logo.svg|Wikiversity logo submitted for voting. ''This logo embodies the true spirit of learning as in the Chinese proverb, "If you give a man a fish he will have a single meal. If you teach him how to fish, he will eat all his life." Education allows each of us to do for ourselves.'' 2006]] Themen der Open Science Ringvorlesung.png|Themen einer Open Science-Ringvorlesung, Hamburg 2019 </gallery> f2zl7tyn9kin7gqww6wokrstx1ylh6x 106 111244 1117154 1115591 2026-10-20T09:55:27Z Bert Niehaus 20843 /* Wurzeln */ 1117154 wikitext text/x-wiki == Rechenoperationen == Im Folgenden werden die Rechenoperationen * [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzieren]], * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzelziehen]] (Radizieren) und * [[w:de:Logarithmus|Logarithmieren]] behandelt. == Potenzen == Sei <math>z\in\mathbb{C}</math> und man betrachtet die die Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math>. Dabei hilft u.a. die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] für die geometrische Interpretation der Operation. === Natürliche Exponenten - Polarkoordinaten === Für natürliche Zahlen <math>n</math> berechnet sich die <math>n</math>-te Potenz in der polaren Form <math>z=r \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi}</math> zu :<math>z^n = r^n \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i n\varphi} = r^n \cdot (\cos n\varphi + \mathrm i \cdot \sin n \varphi)</math> (siehe auch [[w:de:Moivrescher Satz|Satz von de Moivre]]) === Natürliche Exponenten - algebraische Darstellung === Für die algebraische Form <math>z=a+b\,\mathrm i</math> mit Hilfe des [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Satzes]] zu :<math>z^n=\sum_{k=0, \atop k\text{ gerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac k2} a^{n-k}b^k + \mathrm i \sum_{k=1, \atop k\text{ ungerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac{k-1}2} a^{n-k}b^k.</math> <span id="Wurzeln"></span> == Wurzeln == Da Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math> in der [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] die Winkel addieren und für den Betrag der Potenz <math>|z^n|=|z|^n</math> muss man mit der Periodizität von <math>2\pi</math> und <math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi} </math> ergeben bei der <math>n</math>-ten Wurzel <math>n</math> verschieden Zahlen <math>z_k\in \mathbb{C}</math> mit <math>z_k^n = z</math>. Die Wurzeln können in folgenden Form dargestellt werden: : <math>z_k=\sqrt[n]{|z|}\cdot\exp\left(\frac{\mathrm i\varphi}{n} + k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n}\right)\quad(k=0,1,\dots,n-1)</math> === Bemerkung zur Wurzeln === Der Term <math> k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n} </math> liefert beim Potenzieren mit Exponent <math>n</math> ein Vielfaches von <math>2\pi \mathrm{i}</math>. Der Term <math> \frac{\mathrm i\varphi}{n}</math> erzeugt beim Potenzieren mit <math>n</math> genau den gesuchten Winkel <math>\varphi</math> von <math>z</math> in der Polarkoordinatendarstellung. - siehe auch [[w:de:Wurzel (Mathematik)#Wurzeln aus komplexen Zahlen|Wurzeln aus komplexen Zahlen]] == Die endlichen Untergruppen == Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen [[w:de:Einheitengruppe|Einheitengruppe]] <math> \mathbb{C} ^\times = \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> sind [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzeln]]. Unter allen [[w:de:Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnungen]] von Gruppenelementen einer solchen Untergruppe gibt es eine maximale, etwa <math>n\in \N</math>. Da <math> \mathbb{C} </math> kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe [[w:de:Zyklische Gruppe|zyklisch]] ist und genau aus den Elementen :<math>\exp\left({2\pi \mathrm i k\over n}\right),\quad k=0,1,\dotsc, n-1</math> besteht. Alle Elemente liegen auf dem [[w:de:Einheitskreis|Einheitskreis]]. == Logarithmen == Der [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|komplexe natürliche Logarithmus]] ist (anders als der [[w:de:Logarithmus#Definition|reelle]]) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl <math>w</math> heißt Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math>, wenn :<math>\mathrm{e}^w=z.</math> === Periodizität der e-Funktion === Mit <math>w</math> ist auch jede Zahl <math>w + 2m \pi \mathrm i</math> mit beliebigem <math>m\in \Z</math> ein Logarithmus von <math>z</math>. Man arbeitet daher mit [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|Zweigen des Logaritmus]], d.&nbsp;h. mit Werten in einem bestimmten Streifen der komplexen Ebene. === Geschlitzte Ebene === Die Periodizität der e-Funktion führt dazu, dass man nicht nur den Nullpunkt <math>0\in\mathbb{C}</math> aus dem Definitionsbereich des komplexen Logarithmus "entfernen" muss, sondern man z.B. ausgehend vom Nullpunkt eine Halbgerade aus dem Definitionsbereich entfernen muss, denn die Periodizität führt ansonsten zu einer Unstetigkeit des Logarithmus mit Sprungstellen von <math>2\pi \mathrm{i}</math> auf einem geschlossenen kreisförmigen Weg um den Nullpunkt. === Hauptzweig des Logarithmus === Der Hauptzweig <math> \ln_{{}_{\mathbb{C}} } </math> des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl :<math>z = re^{\mathrm i \phi}</math> mit <math>r>0</math> und <math>-\pi <\phi \leq \pi</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} }(r) + \mathrm i \phi.</math> === Bemerkung - Notation === Zur Unterscheidung wurde oben bei "ln" als Index <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> bzw. <math>\ln_{{}_{\mathbb{R}} }</math> um den reellwertigen Logarithmus von dem definierten Hauptzweig <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> zu unterscheiden. === Bemerkung - Hauptzweig === Der Hauptzweig des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} } (|z|) + \mathrm i\, \operatorname{Arg}(z),</math> wobei <math>\operatorname{Arg}(z)=\varphi</math> der Hauptzweig des [[w:de:#Polarform|Arguments]] von <math>z</math> ist. == Siehe auch == * [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzeln]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionentheorie]] ky0xdi2t5wiv8yt76u0mr9w5o5o1z49 0 128943 1117097 1116388 2026-10-20T03:27:50Z Jeb 26942 /* 20. Oktober */ 1117097 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 20. Oktober == ; Tafellieder Heute [[Datei:Tafellieder Verein für Erdkunde zu Dresden 1913.pdf|mini|Tafellieder des Vereins für Erdkunde zu Dresden, 14. März 1913]] * ''Des Bäuerleins Tageslauf : Dem Landwirtschaftlichen Verein Reinhardtsgrimma und Umgegend gewidmet zum Ball am 15. März 1921'', [https://cdn.reinhardtsgrimma.de/reinhardtsgrimma.de/images/heimatblatt/grimmsches_heimatblatt18.pdf Grimmsches Heimatblatt 18] * ''Tafellied zum 31. Stiftungsfest des Gewerbegehilfen-Vereins Reinhardtsgrimma u. Umg. Am 18. Januar 1923 Im „Goldnen Hirsch“ zu Reinhardtsgrimma'', [https://cdn.reinhardtsgrimma.de/reinhardtsgrimma.de/images/heimatblatt/grimmsches_heimatblatt21.pdf Grimmsches Heimatblatt 21] : Grimmsches Heimatblatt: https://reinhardtsgrimma.de/heimatblatt.html * Landesbibliothek Kiel: https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/SET=2/TTL=1/MAT=/NOMAT=T/CLK?IKT=1016&TRM=Tafellieder bzw. ''Tafel*lied'' == 13. Oktober == ; Neu aus Dresden [[s:Verein für Erdkunde zu Dresden]] == 6. Oktober == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter - Titel.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter - Titel]] ; Fertig [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], bis auf die geschützten Texte ; Zweitkorrektur {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} ; Wunschzettel [[d:Q4112660]], [[c:Category:Wish lists]] == 29. September == [[Datei:Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde.jpg|mini|Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde]] * Dundee City Archives: Burns Supper, Scotland-GDR Society, In The Red Flag, https://nearby.hypotheses.org/6524 * Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band - mindestens einmal korrigiert: {{Wikisource|Index:Mitteilungen_des_Vereins_für_Chemnitzer_Geschichte_Dritter_und_Vierter_Band.pdf}} * Geschichtswettbwerb: [[w:Lotte Hahm]] ; Neu {{Wikisource|Zur Kipper- und Wipperzeit in Kursachsen}} ; Handwerker-Heft (Dresdner Hefte) {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden}} * [[c:Category:Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks Dresden 1896]] * Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks 1896 baute einen kleinen Event-Erlebnis-Park im Stile einer frühneuzeitlichen Stadt auf das Areal der Güntzwiese, heutige Cockerwiese. "Die Alte Stadt" zog mehr Besucher an als die Ausstellungen des Handwerks im Ausstellungspalast. Wer möchte kann per Georeferenzierung die Bilder des Leporellos der Cockerwiese zuordnen, hier ist der genaue Plan aus dem Ausstellungskatalog: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/124455/24 == 22. September == * Leseholz transkribiert und in der Wikisource: {{Wikisource|Leseholz-Zettel_No_33}} * Korrekturlesen erwünscht: {{Wikisource|Index:Goldenes_Buch_Hotel_Bellevue_Dresden.pdf}} == 15. September == [[Datei:Leseholz-Zettel.pdf|Leseholz-Zettel, 1861|mini]] ; Leseholz-Zettel Neu: [[s:Leseholz-Zettel No 33]] ; Sächsisches Gaffee-Lied!, circa 1909 <poem>Und nimmt der Deifel einst mich beim Schlaffiddchen, Und trägt im Flug mich nach der Helle fort, So trink ich schnell vom Gaffee noch ä Schniddchen, Denn keenen giebts an jenem dunklen Ort. Nur trinkt mer Schwefelbliemchen Nur mit des Deifels Miehmchen; Kee Gaffee dort, o welche Hellenpein, Ich bin ä Sachse, will ä Sachse sein. (...)</poem> Quelle: Stadtarchiv Leipzig: 0290 (Handwerkerinnungen), Schornsteinfegerinnung Nr. C 13, 200-jähriges Bestehen [Jubelfeier!] der Schornsteinfegerkreisinnung Leipzig, (Dokument 81), Transkript: https://nearby.hypotheses.org/6448. Vielleicht von Lene Voigt? Vgl. https://www.mdr.de/kultur/literatur/lene-voigt-gedichte,lene-voigt-leipzig-sachsen-mundart-dichtung-104.html == 8. September == [[Datei:Typographen-Lied 1846.jpg|mini|Typographen-Lied 1846]] ; SPRECHSAAL ; Handwerksheft {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden|Tafellied bei dem zur 400jährigen Jubelfeier der Erfindung der Buchdruckerkunst den 21. Juni 1840 in Dresden stattfindenden Festmahle im Saale der Harmonie}} == 1. September == ; Elektrische-Tafellied-Archiv-Bibliothek (ETAB) : Neu 1913 {{Wikisource|Eröffnung Bahn Hohenstein–Gersdorf–Lugau–Oelsnitz}} Gesucht: Tafellieder der Textilindustrie, vielleicht auch mit Damast? ; 3 x Leipzig 1866 {{Wikisource|Tafellieder der Bäcker und Müller 1866}} == 25. August == [[Datei:Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895.jpg|mini|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895]] {{Wikisource|Tafellieder Eröffnungsfeier der Eisenbahn Wolkenstein-Jöhstadt 1892}} {{Wikisource|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895}} ; Digitalladen Aschaffenburg CF berichtet: ''Bürgerbeteiligung und Digitalladen der Stadt Aschaffenburg'', https://digital.aschaffenburg.de/digitalladen/ : ''Kommen Sie vorbei! Wir freuen uns darauf, Sie kennenzulernen.'' ; ''Anschließend'' [[meta:Event:Global GLAM call 2026-08-25]] : https://etherpad.wikimedia.org/p/Global_GLAM_Calls_%E2%80%94_2026_Notes == 18. August == Wir sprachen über KI-Fotos auf Einladungen von Gesichtsvereinen, über das attraktive Ambiente für gelegentlichen DatenlabeJam in der Zebradiele nahe dem [[w:Universitätsarchiv der Technischen Universität Dresden]] ... ; Neu ist ... die [[s:Forsche Naturforscherei]] aus Chemnitz. == 11. August == [[Datei:In Memoriam Moreauschaenke Liedtext.JPG|mini|In Memoriam ''Moreauschaenke'', Liedtext]] ; [[w:Moreauschänke|Moreauschänke]] in Dresden : In memoriam Moreauschänke <poem> 1. Schänke wir Dich grüßen, o Gambrinus hilf, Bald wirst Du Dich schließen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 2. Quelle unsrer Freude, o Gambrinus hilf, Trösterin in Leiden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 3. Kneipe ohnegleichen, o Gambrinus hilf, Mußt vom Platze weichen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 4. Stoff tat'st Du uns spenden, o Gambrinus hilf, Traurig mußt Du enden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 5. Gedenkt es miteinander, o Gambrinus hilf, Man rieb hier Salamander, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 6. Lieder hier erklangen, o Gambrinus hilf, Mützen wir hier schwangen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 7. Uns bleibt nur zu hoffen, o Gambrinus hilf, Du einst wieder offen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 8. Jetzt mit diesem Tranke, o Gambrinus hilf, Sagen wir Dir "Danke", o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 9. Altem Brauch gemäße, o Gambrinus hilf, Leert nun die Gefäße, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! </poem> : Worte: AH. Jürgen Modrzynski x S! xx O! zum 4. November 1988 : Melodie: altes fränkisches Wallfahrtslied ''Anmerkungen'' : "Man rieb hier Salamander", ein Ritus vor dem Ex-Trinken eines Glases Bieres, vgl. [[w:Salamander (Ritual)]]. : Parodie auf das katholische Marienlied "Meerstern, ich Dich grüße", [[w:Ave maris stella]] == 4. August == [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] {{Wikisource|Alt-Dresdner Gelegenheitsdichtung}} : "Ein fruchtbarer Boden für diese Erzeugnisse war unser Sachsen. In Dresden blühte die Gelegenheitsdichtung. Noch finden sich in alten Papieren wertvolle Reste. Das beste davon sollte gesammelt werden; ich bitte, mir solche Gedichte, ob gedruckt oder handschriftlich, zugänglich machen zu wollen." [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop).jpg|mini|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop)]] {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} : {{Wikisource|Gottlob Daniel Staberoh}} {{Wikisource|Tafellied der Abend-Zeitung 13.07.1842}} : "Dieses Zitat (''Die erste Strophe des Tafellieds'') stammt aus dem Gedicht „Die Kochkunst“ von Friedrich von Hagedorn (1708–1754), einem bekannten Dichter der deutschen Aufklärung", behauptet eine Suchmaschine. Stimmt das? Wer findet ggf.? : zur 2. Strophe: "Dieses Zitat stammt aus dem Gedicht „Der Küchengarten“ von Christian Fürchtegott Gellert (1715–1769), einem bedeutenden deutschen Dichter und Moralphilosophen der Aufklärungszeit." : zur 3. Strophe: "Ein wunderbarer Vierzeiler, der die perfekte Balance zwischen Trank und Schmaus beschreibt! Die Verse fangen das klassische Lebensgefühl von Genuss und Geselligkeit perfekt ein." : Tafellied gesamt mit Google: "Das ist ein wunderbares, historisches Gedicht, das die Kochkunst gegenüber dem Weinloben verteidigt! Es stammt aus dem Kochbuch-Klassiker „Praktisches Kochbuch“ von Henriette Davidis (erstmals erschienen 1844). Dort dient es traditionell als feierliches Entree (Einleitung) für das Kapitel über die Kochkunst." ; Notizen zur Methode ''DatenlaubeJam'' Was noch? * 2026: ''See the Unseen'': [[s:Chemnitzer Geschichtsverein|Verein für Chemnitzer Geschichte]] mit [[s:Kunsthütte Chemnitz]] :: Lern- und Lehrmittel (OER): [[s:Tafellieder#Sekundärliteratur]] :: Tafellieder und andere Gelegenheitsdichtung in sächsischen Sammlungen :: Neu: DatenlaubeJam [[d:Q140833912]] * 2024: [[DieDatenlaube/Notizen/Methode DatenlaubeJam|Methode DatenlaubeJam]] * 2023: [[DieDatenlaube/Lehre]] * 2022: [[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|GeNeMe]] == 27. Juli == ; Tatort Dresden Läuft gut, [[d:Q140136012]], https://www.dresdner-geschichtsverein.de/hefte/aktuelles-heft. ; Tafellieder : [[s:Tafellied Jubelfeier Schnellpresse König und Bauer|Tafellied bei der Jubelfeier zur Erbauung der 1000. Schnellpresse im König und Bauer’schen Etablissement Kloster Oberzell am 23. März 1865]] : [[s:Orthographisches Tafellied 1876|Orthographisches Tafellied]] == 21. Juli == [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop).jpg|thumb|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop)]] * [[s:Tafellied bei dem Hebeschmause Waldenburg 1878|Tafellied bei dem Hebeschmause des Seminar-Umbaues zu Waldenburg den 10. August 1878]] * feine Piktogramme [[c:Category:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran]] ; Sind Turmvasen = Turmknöpfe mit anderer Form? [[s:Der alte und neue urkundliche Inhalt der Turmvase des alten Rathauses zu Dresden]], in: [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], 1915 == 14. Juli == * [[s:Aus dem religiösen und kirchlichen Leben Dresdens mit besonderer Berücksichtigung früherer Kriegszeiten]], Dresdner Geschichtsblätter, 1916 * ''Ein Ausflug nach Waldenburg'' samt ''Volkslied, am Tauftage des erstgeborenen Durchlauchtigen Prinzen von Schönburg Waldenburg, gesungen den 5. November 1819'', 11. Juli 2026, https://www.museum-waldenburg.de/blog/detail/ein-ausflug-nach-waldenburg == 7. Juli == ; Mission Blüher 2.0 Janosch (SLUB) zeigt Kulinaria: https://www.slub-dresden.de/entdecken/deutsches-archiv-der-kulinarik/digitalisierung-und-erschliessung-kulinarischer-quellen/ocr-blueher * Blueher OCR Korrektur App https://blueher-korrektur.culinaria-online.de/ * Vokabulartdaten für https://skosmos.org/, https://demo.skosmos.org/euro/de/, Skosmos [[d:Q130281770]] ; Schon gewusst? [[w:Tafellied|Tafellied]] in der Wikipedia Dazu Saxorum: https://saxorum.hypotheses.org/15983, Zugriffsstatistik: https://pageviews.wmcloud.org/?project=de.wikipedia.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&range=latest-30&pages=Tafellied == 30. Juni == [[Datei:Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914.pdf|mini|Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt, 1914]] ; [[v:de:Kurs:Wikisource ASpB 2026|Spezialbestände aus Spezialbibliotheken]] {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914|''Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens (§§ 36 bis 43 des Versicherungsgesetzes für Angestellte)''}} == 23. Juni == ; Stadtansichten Alexander Winkler entdeckt (in & für) Berlin ''Wikidata Bildpositionen'': https://wd-image-positions.toolforge.org/, vgl. [[c:User:Awinkler3/Annotating_the_City]]. Austausch willkommen! ; Geschichtsvereinsbibliotheken linked open JB: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026|Projekt]] mit Daniel F. == 16. Juni == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter 1915 Nr. 1 Seite 110 Grafik.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter 1915, Nr. 1, [[s:Seite:Dresdner Geschichtsblätter Sechster Band.pdf/113|S. 110]]]] Neu ist der Artikel [[w:Tafellied]]. ; Lied der Töpfer Altstadtwaldenburg: https://nearby.hypotheses.org/6053 == 9. Juni == ; 180 Tage Zukunft [[Datei:Lepidoptera collection 01652.jpg|mini|Lepidoptera collection 01652]] * Naturalienkabinett Waldenburg: https://www.museum-waldenburg.de/forschen-bewahren/wunderkammer-digital, ... https://www.geschichtsverein-waldenburg.de * neu: [[s:Waldenburg (Sachsen)]], siehe auch: [[c:Category:Museum Waldenburg]] == 2. Juni == {{Wikisource|Ludwig Richter}} ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? ; Neu : [[c:Category:Elbhang-Kurier]] : Leipziger Ausstellungsdaten: [[c:Category:Strukturen der Macht (exhibition)]] == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource DDB im Wikiversum q.jpg|[[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Deutsche Digitale Bibliothek im Wikiversum]]]] </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] 7m3jpximtdfiznthouez8wporqwlfeq 108 170333 1117098 1116940 2026-10-20T05:15:56Z ChristianSW 15793 /* Halterung für zwei Elektromagneten */ 1117098 wikitext text/x-wiki == Kranprojekt == === Aufbau mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg </gallery> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 1.jpg </gallery> === Aufbau mit Beleuchtung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Beleuchtung.jpg </gallery> == Laufkatze == === Alter Antrieb === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail3.jpg </gallery> === Neuer Antrieb mit Schneckengetrieben === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Oberseite.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Unterseite.jpg </gallery> === RFID === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Verdrahtung.jpg Tüftlerclub Laufkatze 2.jpg </gallery> === Laufkatze betriebsbereit === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Laufkatze 1.jpg Tüftlerclub Laufkatze 3.jpg </gallery> == Seilwinde == === Schneckengetriebe und Seilführung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Seilwinde.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail2.jpg </gallery> === Seilwinde mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Unterseite.jpg Tüftlerclub Laufkatze Beleuchtung.jpg </gallery> === Halterung für zwei Elektromagnete === <gallery mode=packed heights=360> Verbindung Magnet Klemmbausteine.jpg </gallery> == Steuerung == <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Tastatur DUE.jpg Tüftlerclub Kranbrücke ESP32.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Relais.jpg </gallery> 6h51j25yzv8poko664gfwely1cdlk4e 1117099 1117098 2026-10-20T05:18:16Z ChristianSW 15793 .... 1117099 wikitext text/x-wiki == Kranprojekt == === Aufbau mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg </gallery> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 1.jpg </gallery> === Aufbau mit Beleuchtung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Beleuchtung.jpg </gallery> == Laufkatze == === Alter Antrieb === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail3.jpg </gallery> === Neuer Antrieb mit Schneckengetrieben === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Oberseite.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Unterseite.jpg </gallery> === RFID === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Verdrahtung.jpg Tüftlerclub Laufkatze 2.jpg </gallery> === Laufkatze betriebsbereit === <gallery mode=packed 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sy7fjsuakjg0t7bj3w2nh36j70iiqis 106 170999 1117089 1115256 2026-10-19T15:45:54Z Bocardodarapti 2041 1117089 wikitext text/x-wiki {{Vorlesungsaufzählung |Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)| |V1=Der Satz über implizite Abbildungen |V2=Algebraische Nullstellengebilde |V3=Monomiale Gleichungen und simpliziale Komplexe |V4=Glattheit |V5=Stanley-Reisner-Ringe |V6=Binomiale Gleichungen Monoidringe |V7=Gruppenoperationen |V8=Quotientensingularitäten |V9=Die lokale Fundamentalgruppe |V10=Die lokale Fundamentalgruppe für Monoidringe |V11=Knoten |V12=Derivationen und Differentiale |V13=Kähler-Differentiale und Jacobi-Matrix |V14=Jacobiideal und Milnorzahl |V15=Die Multiplizität |V16=Die Hilbertfunktion graduierter Moduln |V17=Die Hilbert-Samuel-Multiplizität |V18=Die Krulldimension |V19=Dimension von Varietäten |V20=Produktvarietäten |V21=Reguläre Ringe |V22=Schnitttheorie in glatten Punkten |V23=Freie Auflösungen |V24=Homologische Charakterisierung |V25=Faktorialität |V26= |V27= 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lokal wie Punkte auf einem affinen Raum der entsprechenden Dimension verhalten, also glatt sind. Um dies zu bestätigen, müssen wir zuerst allgemein für einen beliebigen Körper die Glattheit definieren. Dieses Konzept hängt zwar im Allgemeinen auch von der Dimension der affin-algebraischen Mengen ab, die wir noch nicht eingeführt haben, doch ist bei den Achsenraumkonfigurationen klar, dass die Dimension einfach die maximale Dimension einer irreduziblen Komponente ist, die ja alle affine Räume sind, deren Dimension aus der Elementanzahl der zugehörigen Facette ablesbar ist. {{:Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Jacobi-Matrix/Glattheit/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputbild |Tangentialvektor|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=TN |Domäne=de Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir definieren den Tangentialraum für einen Punkt einer affin-algebraischen Menge, wobei wir uns an der {{ Definitionslink |Prämath= |entsprechenden Definition| |Definitionsseitenname= Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition |SZ= }} aus der Analysis orientieren. Wir werden im Laufe dieser Vorlesung eine ganze Reihe von weiteren Konzepten für den Tangentialraum und den Kotangentialraum kennenlernen. Der Nachteil der gegebenen Definition ist, dass sie extrinsisch ist, also vom umgebenden Raum abhängt, und nicht intrinsisch ist. Eine intrinsische Realisierung werden wir in der zwölften Vorlesung kennenlernen. {{ inputdefinition |Polynomiale Abbildung/Nullstellenmenge/Punkt/Tangentialraum/Definition|| }} Oft nennt man auch den affinen Raum {{mathl|term= P + T_PY |SZ=}} den Tangentialraum an {{math|term= P |SZ=}} von {{math|term= V |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=der|Dimensionsformel|Faktseitenname= Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} für lineare Abbildungen gilt {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension| T_PV |}} || m - {{op:Rang(|\operatorname{Jak} {{makl| f_1 {{ kommadots|}} f_m |}}_P |}} || || || |SZ=. }} In einem glatten Punkt stimmt somit die Vektorraumdimension des Tangentialraumes mit der Dimension von {{math|term= V|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} überein. Bei einem singulären Punkt einer Hyperfläche ist der gesamte umgebende Raum der Tangentialraum. {{ inputdefinition |Affine Varietät/Isolierte Singularität/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|Glatte Punkte auf Achsenraumkonfigurationen}} {{:Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Glattheit/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Stanley-Reisner-Ringe}} Wie in der ersten Vorlesung angekündigt, wollen wir einen singulären Raum immer auch über die auf ihm definierten Funktionen verstehen. Im algebraischen Kontext werden diese im affinen Koordinatenring zusammengefasst. Für die simplizialen Komplexe und ihre geometrische Realisierung als Achsenraumkonfigurationen führt das zu den Stanley-Reisner-Ringen. {{:Stanley-Reisner-Ring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Lokale Ringe}} {{:Lokaler Ring/Singularitätentheorie/Einführung/Textabschnitt}} }} 2ksjbw7prc634za60frbuhp6ujin7xg 1117083 1117042 2026-10-19T15:41:17Z Bocardodarapti 2041 1117083 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|Glatte Punkte}} Bei einer Achsenraumkonfiguration, die zu einem simplizialen Komplex gehört, erwartet man, dass die Punkte, die auf genau einer irreduziblen Komponente liegen und daher die anderen Komponenten nicht treffen, sich lokal wie Punkte auf einem affinen Raum der entsprechenden Dimension verhalten, also glatt sind. Um dies zu bestätigen, müssen wir zuerst allgemein für einen beliebigen Körper die Glattheit definieren. Dieses Konzept hängt zwar im Allgemeinen auch von der Dimension der affin-algebraischen Mengen ab, die wir noch nicht eingeführt haben, doch ist bei den Achsenraumkonfigurationen klar, dass die Dimension einfach die maximale Dimension einer irreduziblen Komponente ist, die ja alle affine Räume sind, deren Dimension aus der Elementanzahl der zugehörigen Facette ablesbar ist. {{:Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Jacobi-Matrix/Glattheit/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputbild |Tangentialvektor|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=TN |Domäne=de Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir definieren den Tangentialraum für einen Punkt einer affin-algebraischen Menge, wobei wir uns an der {{ Definitionslink |Prämath= |entsprechenden Definition| |Definitionsseitenname= Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition |SZ= }} aus der Analysis orientieren. Wir werden im Laufe dieser Vorlesung eine ganze Reihe von weiteren Konzepten für den Tangentialraum und den Kotangentialraum kennenlernen. Der Nachteil der gegebenen Definition ist, dass sie extrinsisch ist, also vom umgebenden Raum abhängt, und nicht intrinsisch ist. Eine intrinsische Realisierung werden wir in der zwölften Vorlesung kennenlernen. {{ inputdefinition |Polynomiale Abbildung/Nullstellenmenge/Punkt/Tangentialraum/Definition|| }} Oft nennt man auch den affinen Raum {{mathl|term= P + T_PY |SZ=}} den Tangentialraum an {{math|term= P |SZ=}} von {{math|term= V |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=der|Dimensionsformel|Faktseitenname= Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} für lineare Abbildungen gilt {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension| T_PV |}} || m - {{op:Rang(|\operatorname{Jak} {{makl| f_1 {{ kommadots|}} f_m |}}_P |}} || || || |SZ=. }} In einem glatten Punkt stimmt somit die Vektorraumdimension des Tangentialraumes mit der Dimension von {{math|term= V|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} überein. 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Es gibt aber auch die komponentenweise Multiplikation, mit der der affine Raum allerdings nur ein Monoid und keine Gruppe ist. Andererseits ist {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Einheiten|K}} |}}^n || D {{makl| X_1 \cdots X_n |}} || D {{makl| X_1 |}} {{capdots}} D {{makl| X_n |}} || || |SZ= }} eine Gruppe. {{ inputfaktbeweis |Binomiale Gleichungen/Nullstellengebilde/Monoidstruktur/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Von binomialen Gleichungen zu Exponentengleichungen}} {{:Binomiale Gleichungen/Exponentengleichungen/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Monoidringe}} {{:Monoidring/Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputbeispiel |Allgemeine Hyperbel/Laurentring/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Universelle Eigenschaft der Monoidringe}} {{inputfaktbeweis|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|}} Die folgende Aussage bedeutet, in Zusammenhang mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} dass bei fixiertem Grundring {{math|term= R |SZ=}} die Zuordnung, die einem Monoid {{math|term= M |SZ=}} den Monoidring {{math|term= R[M] |SZ=}} zuordnet, ein {{Stichwort|Funktor|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung||}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt|Korollar||}} {{Zwischenüberschrift|Monoidring und binomiales Ideal}} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Lemma|| }} Die folgende Aussage knüpft an {{ Faktlink |Faktseitenname= Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} an. {{ inputfaktbeweis |Ebene monomiale Kurve/Teilerfremd/Ideal/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Das {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum eines Monoidringes}} {{inputdefinition |Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Definition|}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Bemerkung|}} }} 5e2q7toq6r7s48av9t5a6oggiiu5fjm 106 171050 1117045 1115393 2026-10-19T12:54:07Z Bocardodarapti 2041 1117045 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|3| {{ inputaufgabe |Träger/Tupel/Beispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Simplizialer Komplex/Bis 3/Achsenraumkonfiguration/R/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Beschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenebenen/Schnitt mit Ebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenraumkonfiguration/R/Reelle Sphäre/Schnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenraumkonfiguration/R/Reelle Sphäre/Schnitt/Rekonstruktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenraumkonfiguration/K/Multiplikative Struktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenraumkonfiguration/R/Kegel über Schnitt mit affiner Standardhyperebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Simplizialer Komplex/V oder 1 bis n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Charakteristik 2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Simplizialer Komplex/Smashprodukt/Definition|}} {{ inputaufgabe |Simplizialer Komplex/Smashprodukt/Achsenraumkonfiguration/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenkreuz/Drei Geraden in Ebene/Beziehung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Triangulación|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Der ursprüngliche Ausgangspunkt für simpliziale Komplexe war es, komplizierte topologische Gebilde durch einfachere Gebilde zu approximieren, deren Kombinatorik die topologischen Eigenschaften widerspiegeln soll. Man spricht von einer {{Stichwort|Triangulierung|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Magister Mathematicae |Domäne= |Lizenz=CC0 1.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Triangulierung/Simplizialer Komplex/Bild/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 2k8c4bp9vz9szhb6l5dvu1lo11hj3s0 106 171051 1117046 1116823 2026-10-19T12:54:23Z Bocardodarapti 2041 1117046 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|4| {{ inputaufgabe |Formales Ableiten/Zwei Variablen/Positive Charakteristik/Eine partielle Ableitung und beide sind null/Charakterisiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Formales partielles Ableiten/Satz von Schwarz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale Abbildung/Formales partielles Ableiten/Produktregel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale Abbildung/Kettenregel/Formal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tangentialraum/Als Bild des impliziten Differentials/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tangentialraum/(x,y,z) nach (x^2 e^z-y^3, x durch e^(zy))/(2,-1,3)/Gleichungen und Parametrisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faser/(x,y,z) nach (x^2+y^2+z^2,2x+3y+4z)/(1,-2,1)/Reguläre Punkte, Tangentialraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Implizit/x^2+y^2+z^2/(1,-1,2)/Senkrecht/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Singularität/X^2+Y^3Z^2+Z^2/Nicht isoliert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monome/xy,xz/Glatte Punkte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ideal/Radikal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ideal/Primideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ideal/Primideal zu Seite/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenraumkonfiguration/Singulärer Ort/Achsenraumkonfiguration/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homogene Polynome/n Variablen/Monomanzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homogene Polynome/n Variablen/Monomanzahl/Bis Grad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Maximales Ideal/Potenzen/Restklassenbasis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Körper/Monomiales Ideal/Polynom/Zugehörigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomiales Ideal/Produkt/Erzeugergrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Maximales Ideal/Potenzen/Formale partielle Ableitung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ring/Rechnung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ring/Achsenkreuz/Hilbert-Samuel-Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ring/Koordinatenebenen/Hilbert-Samuel-Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ring/Multiplizität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Charakterisierung mit Addition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition äquivalent/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Enthält Körper/Gleiche Charakteristik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Restklassenring/Einheiten surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Zahlen/Unterringe/Lokaler Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossen/Lokalisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Achsenkreuz/K/Integre und nicht integre Punkte/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Neilsche Parabel/Isomorphe Lokalisierungen/Ausnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Y^2 ist X^3+X^2/Lokalisierungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokalisierung/Ideal im Kern/Lokalisierung von Restklassenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/K/Wesentlich von endlichem Typ/Restklassenkörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokalisierung/Idealzugehörigkeit/Lokaler Test/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integre endlich erzeugte Algebren/Lokaler Isomorphismus/In Umgebung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Restekörper als Quotientenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| zusatz=}} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ring/Glatter Punkt/Lokalisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affin-algebraische Menge/D(g)/Bijektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affin-algebraische Menge/D(g)/Bijektion/Glattheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir werden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt |Nr= |SZ= }} sehen, dass die Glattheit eine intrinsische Eigenschaft des Punktes bzw. des lokalen Ringes ist. }} n85y76refwycfv49dhrp9bhovxi4p72 1117087 1117046 2026-10-19T15:43:52Z Bocardodarapti 2041 1117087 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|4| {{ inputaufgabe |Formales Ableiten/Zwei Variablen/Positive Charakteristik/Eine partielle Ableitung und beide sind null/Charakterisiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Formales partielles Ableiten/Satz von Schwarz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale Abbildung/Formales partielles Ableiten/Produktregel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale Abbildung/Kettenregel/Formal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tangentialraum/Als Bild des impliziten Differentials/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tangentialraum/(x,y,z) nach (x^2 e^z-y^3, x durch e^(zy))/(2,-1,3)/Gleichungen und Parametrisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faser/(x,y,z) nach (x^2+y^2+z^2,2x+3y+4z)/(1,-2,1)/Reguläre Punkte, Tangentialraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Implizit/x^2+y^2+z^2/(1,-1,2)/Senkrecht/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Singularität/X^2+Y^3Z^2+Z^2/Nicht isoliert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monome/xy,xz/Glatte Punkte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ideal/Radikal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ideal/Primideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ideal/Primideal zu Seite/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenraumkonfiguration/Singulärer Ort/Achsenraumkonfiguration/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homogene Polynome/n Variablen/Monomanzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homogene Polynome/n Variablen/Monomanzahl/Bis Grad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Maximales Ideal/Potenzen/Restklassenbasis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Körper/Monomiales Ideal/Polynom/Zugehörigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomiales Ideal/Produkt/Erzeugergrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Maximales Ideal/Potenzen/Formale partielle Ableitung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} kmunsl0tyjtsi4p64rkmb507kadtls0 106 171052 1117088 1115396 2026-10-19T15:44:11Z Bocardodarapti 2041 1117088 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|5| {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ring/Rechnung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ring/Achsenkreuz/Hilbert-Samuel-Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ring/Koordinatenebenen/Hilbert-Samuel-Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ring/Multiplizität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Charakterisierung mit Addition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition äquivalent/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Enthält Körper/Gleiche Charakteristik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Restklassenring/Einheiten surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Zahlen/Unterringe/Lokaler Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affiner 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Menge/D(g)/Bijektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affin-algebraische Menge/D(g)/Bijektion/Glattheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir werden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt |Nr= |SZ= }} sehen, dass die Glattheit eine intrinsische Eigenschaft des Punktes bzw. des lokalen Ringes ist. }} ogajzgj5ykg0535wm14x1wyg9tb4911 106 171053 1117086 1115397 2026-10-19T15:43:06Z Bocardodarapti 2041 1117086 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|6| {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/2 Variablen/Gleich 1/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/2 Variablen/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitswurzeln/Binomiale Gleichung/C/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affine ebene Kurven/x^d+1 ist y^d/Parametrisierung mit Nullpunkt und Gerade x ist 1/Erläutert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Lokale Ringe/Isomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Dimensionstheorie/Varietät/Lokal/Lineares Schnittverhalten/Bemerkung|}} Dieser Ansatz wird in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dimensionstheorie/Affiner Raum/Schnitt mit linearen Unterräumen/Fakt |Nr= |SZ= }} begründet. Einige der folgenden Aufgaben beruhen auf dieser Sichtweise. Man überprüfe diesen Ansatz auch für die Achsenraumkonfigurationen. {{ inputaufgabe |A-Singularitäten/Schnitt mit Ebenen/Mit Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standardkegel/R/Trennende Ebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomialer Standardkegel/R/Trennende Ebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomialer Standardkegel/R/Topologischer Homöomorphietyp/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomialer Standardkegel/Standardkegel/R/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraisch Abgeschlossener Körper/Hyperfläche/Geradenschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/3 Variablen/Glattheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir besprechen eine andere Sichtweise auf {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Monomiale Raumkurve/X ist YZ/Y ist XZ/Beispiel |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Monomiale Raumkurve/X ist YZ/Y ist XZ/Elimination/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomiale Raumkurve/XY ist Z^3/X^2Z ist Y^2/Irreduzible Komponenten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraische Raumkurven/Monomial/u^5-v^3,u^11-w^3,v^11-w^5/w-u^2v im Radikal/Realisierung in zwei Variablen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidringe/Idealerzeuger für Neilsche Parabel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomiale Abbildung/S,ST^2,ST/Gleichung für Bild/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/K/Zusammenhängend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/K/Schnitt mit linearen Räumen/Dimensionstest/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/Einbettung in vierdimensionalen Polynomring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/Primideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Funktion/Allgemeine Hyperbel/Beispiel/Gruppenisomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Ein Element/Restklassendarstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} ................. {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Monoidhomomorphismus/Verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Verträgliche Äquivalenzrelation/Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Eine Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Verträgliche Äquivalenzrelation/Monoidstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/N^2 modulo 2e ist 4f/Untermonoidrealisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Obermonoid/Endlicher Abschluss/ist Monoid/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Untermonoid/N^2/Nicht endlich erzeugt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod 5/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Assoziativ und distributiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Idempotentes Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Gruppe/Monoidring/Idempotente Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenring/Endlich erzeugte kommutative Gruppe/Glatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standardkegel/C/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Quadrik in vier Variablen/ux-vy/Finde Realisierung als Monoidring/Aufgabe|| }} Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids. {{ inputaufgabe |Monoid/Einheit/Ring/Umkehrung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Ideal auf Monoidebene/Ergibt Ideal in R M/Aufgabe||}} {{inputaufgabe |Kommutative Monoidringe/Zu Z^n ist Laurentring/Beweis mit universeller Eigenschaft/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Homomorphismus/Endlich Charakterisierung/Aufgabe|}} Die folgenden Aufgaben besprechen Monoidringe zu Monoiden, die nicht endlich erzeugt sind. {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Rechnungsbeispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Polynom in Wurzel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über R/Zerlegung von X^2+1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über C/Keine irreduziblen Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über K/Teiler von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q/Über K/Einheiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgenden Aufgaben mit dem {{math|term=K|SZ=-}}Spektrum eines kommutativen Monoids {{math|term=M|SZ=,}} also der Menge aller Monoidhomomorphismen von {{math|term=M|SZ=}} nach {{math|term=K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der multiplikativen Struktur| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/ef ist 5g/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches kommutatives Monoid/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/N^2 nach Z/e_1,e_2 nach 1,-1/Interpretiere/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Zyklische Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Singulärer Ort/Beispiel/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidringe/Funktorialität/K-Spektrum/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Rationale und reelle Zahlen als Monoid/Monoidhomomorphismen/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch Matrix über N zwischen N^r und N^s/Aufgabe||zusatz=Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch quadratische Matrix über N/Determinante und generisch surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Faser über 1 als Monoidring/Aufgabe|| |zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung {{math|term=M \mapsto 1|SZ=}} entspricht| |ISZ=|ESZ= }}|}} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/M und N/Beschreibung der Produktmorphismen/Aufgabe||}} Die folgenden Aufgaben haben mit der Differenzengruppe eines Monoids zu tun. {{ inputaufgabe |Kommutative Monoidtheorie/Differenzengruppe/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Universelle Eigenschaft/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Charakterisierungen Kürzungsregel/Aufgabe|}} }} 7l89opgugx9o50k66tl6cqqs5ytm28l 106 171942 1117049 1106418 2026-10-19T13:27:05Z Jeb 26942 Links 1117049 wikitext text/x-wiki [[Datei:Die Gartenlaube (1864) b 045.jpg|mini|Matthäus Friedrich Chemnitz, der Dichter des Liedes [[s:„Schleswig-Holstein, meerumschlungen!“|„Schleswig-Holstein, meerumschlungen“]], in: [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube, 1864, S. 45.]]|left]] {{Kurs Box | '''Impulse''' | ''Wir starten in den Tag mit einem einführenden Vortrag zu Citizen Science und aktuellen Entwicklungen. Zudem stellen wir verschiedene Projekte vor, die digitale Methoden wie Transkribus, Wikidata und vieles mehr nutzen. Am Nachmittag gibt es Einsteiger-Workshops zu Transkribus, Wikidata und zur Projektplanung eines Citizen-Science-Projekts. (...)'' |'''Veranstalter'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Kulturspeicher] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen. {{In Arbeit}} | '''Termin'''| 26. Oktober 2026 |'''Ort'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Schleswig-Holsteinische Landesbibliothek], Kiel | '''Referent''' | [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] }} ; Was bisher geschah [[Datei:Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021.png|mini|[https://codingdavinci.de/events/schleswig-holstein/ Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021]]] : [[Kurs:Linked Open Storytelling (2021)/Coding da Vinci SH]] : [[Kurs:KultDig-Lunch im Wikiversum]], 2025 == Open Citizen Science mit Wikidata == === [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube]] === ; Mit Wikisource + Wikidata === Die Datenlaube === === [[s:Malerwerke des 19. Jahrhunderts|Malerwerke des 19. Jahrhunderts]] === === Archive, Bibliotheken === ''Open GLAM-Netze: Schleswig-Holstein'', https://nearby.hypotheses.org/1180 {{SPARQL|query= #defaultView:Map,Table SELECT distinct ?item ?itemLabel ?itemDescription ?image ?coord ?verwaltungseinheitLabel ?streetLabel ?zip ?adress ?blog ?layerLabel WITH { SELECT distinct ?region # Unterabfrage für alle Verwaltungseinheiten (Kreise, Städte, Gemeinden, Ortsteile, etc.) WHERE { hint:Query hint:optimizer "None" . BIND(wd:Q1194 AS ?state). # liegt in Schleswig Holstein ?region wdt:P131* ?state. MINUS { ?region wdt:P576 _:b0. } # Verwaltungseinheit ohne Auflösungsdatum } } AS %region WHERE { INCLUDE %region. ?item wdt:P131 ?region. ?item (wdt:P31/wdt:P279*) wd:Q166118 . # ist ein Archiv oder Subklasse davon ?item wdt:P31 ?layer. OPTIONAL { ?item wdt:P18 ?image . } OPTIONAL { ?item wdt:P625 ?coord. } OPTIONAL { ?item wdt:P6375 ?adress. } OPTIONAL { ?item wdt:P131 ?verwaltungseinheit. } OPTIONAL { ?item wdt:P1581 ?blog. } SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],de,en". } } ORDER BY ?layerLabel }} == Bibliothek == * Lesen, transkribieren, detailliert erschließen: [[c:Category:Gesellschaft für schleswig-holsteinische Geschichte]], [[c:Category:Zeitschrift der Gesellschaft für Schleswig-Holsteinische Geschichte]] * [[w:Nordelbingen (Zeitschrift)]]? Nordelbingen: Beiträge zur Geschichte der Kunst und Kultur, Literatur und Musik in Schleswig-Holstein, [[d:Q1310392]] [[Kategorie:Citizen Science]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Kiel]] [[Kategorie:Schleswig-Holstein]] 43f1by2x8vn6xgqxd4cz0pvbeatmab8 1117050 1117049 2026-10-19T13:48:33Z Jeb 26942 /* Open Citizen Science mit Wikidata */ 1117050 wikitext text/x-wiki [[Datei:Die Gartenlaube (1864) b 045.jpg|mini|Matthäus Friedrich Chemnitz, der Dichter des Liedes [[s:„Schleswig-Holstein, meerumschlungen!“|„Schleswig-Holstein, meerumschlungen“]], in: [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube, 1864, S. 45.]]|left]] {{Kurs Box | '''Impulse''' | ''Wir starten in den Tag mit einem einführenden Vortrag zu Citizen Science und aktuellen Entwicklungen. Zudem stellen wir verschiedene Projekte vor, die digitale Methoden wie Transkribus, Wikidata und vieles mehr nutzen. Am Nachmittag gibt es Einsteiger-Workshops zu Transkribus, Wikidata und zur Projektplanung eines Citizen-Science-Projekts. (...)'' |'''Veranstalter'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Kulturspeicher] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen. {{In Arbeit}} | '''Termin'''| 26. Oktober 2026 |'''Ort'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Schleswig-Holsteinische Landesbibliothek], Kiel | '''Referent''' | [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] }} ; Was bisher geschah [[Datei:Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021.png|mini|[https://codingdavinci.de/events/schleswig-holstein/ Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021]]] : [[Kurs:Linked Open Storytelling (2021)/Coding da Vinci SH]] : [[Kurs:KultDig-Lunch im Wikiversum]], 2025 == Open Citizen Science mit Wikidata == === [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube]] === ... mit Wikisource + Wikidata ; [[DieDatenlaube|Die Datenlaube]] ... beschrieben in [[d:Q61943025#P1343]]. ; Themenseite [[s:Schleswig Holstein]] in Wikisource * [[s:Kiel]] ... * [[s:Gesellschaft zur Rettung Schiffbrüchiger]] * [[s:Friedrich von Esmarch]] === [[s:Malerwerke des 19. Jahrhunderts|Malerwerke des 19. Jahrhunderts]] === Wie viele Bezüge (Künstler*innen, Kunstvereine, Publikationen) in, aus und über Schleswig Holstein stecken im ''Boetticher''? Vgl. [[Kurs:Provenance loves Wiki (2024)]] * ''Boettichers „Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts”, Kunstbände und Illustrierte zitieren, um alte und neue Datenberge linked open zu verknüpfen'' (2023), https://saxorum.hypotheses.org/9471 === Archive, Bibliotheken === ''Open GLAM-Netze: Schleswig-Holstein'', https://nearby.hypotheses.org/1180 {{SPARQL|query= #defaultView:Map,Table SELECT distinct ?item ?itemLabel ?itemDescription ?image ?coord ?verwaltungseinheitLabel ?streetLabel ?zip ?adress ?blog ?layerLabel WITH { SELECT distinct ?region # Unterabfrage für alle Verwaltungseinheiten (Kreise, Städte, Gemeinden, Ortsteile, etc.) WHERE { hint:Query hint:optimizer "None" . BIND(wd:Q1194 AS ?state). # liegt in Schleswig Holstein ?region wdt:P131* ?state. MINUS { ?region wdt:P576 _:b0. } # Verwaltungseinheit ohne Auflösungsdatum } } AS %region WHERE { INCLUDE %region. ?item wdt:P131 ?region. ?item (wdt:P31/wdt:P279*) wd:Q166118 . # ist ein Archiv oder Subklasse davon ?item wdt:P31 ?layer. OPTIONAL { ?item wdt:P18 ?image . } OPTIONAL { ?item wdt:P625 ?coord. } OPTIONAL { ?item wdt:P6375 ?adress. } OPTIONAL { ?item wdt:P131 ?verwaltungseinheit. } OPTIONAL { ?item wdt:P1581 ?blog. } SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],de,en". } } ORDER BY ?layerLabel }} == Bibliothek == * Lesen, transkribieren, detailliert erschließen: [[c:Category:Gesellschaft für schleswig-holsteinische Geschichte]], [[c:Category:Zeitschrift der Gesellschaft für Schleswig-Holsteinische Geschichte]] * [[w:Nordelbingen (Zeitschrift)]]? Nordelbingen: Beiträge zur Geschichte der Kunst und Kultur, Literatur und Musik in Schleswig-Holstein, [[d:Q1310392]] [[Kategorie:Citizen Science]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Kiel]] [[Kategorie:Schleswig-Holstein]] 3c7nrm8rp0aha3bdq8xnxuyzztkczb8 1117051 1117050 2026-10-19T13:53:19Z Jeb 26942 /* Open Citizen Science mit Wikidata */ 1117051 wikitext text/x-wiki [[Datei:Die Gartenlaube (1864) b 045.jpg|mini|Matthäus Friedrich Chemnitz, der Dichter des Liedes [[s:„Schleswig-Holstein, meerumschlungen!“|„Schleswig-Holstein, meerumschlungen“]], in: [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube, 1864, S. 45.]]|left]] {{Kurs Box | '''Impulse''' | ''Wir starten in den Tag mit einem einführenden Vortrag zu Citizen Science und aktuellen Entwicklungen. Zudem stellen wir verschiedene Projekte vor, die digitale Methoden wie Transkribus, Wikidata und vieles mehr nutzen. Am Nachmittag gibt es Einsteiger-Workshops zu Transkribus, Wikidata und zur Projektplanung eines Citizen-Science-Projekts. (...)'' |'''Veranstalter'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Kulturspeicher] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen. {{In Arbeit}} | '''Termin'''| 26. Oktober 2026 |'''Ort'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Schleswig-Holsteinische Landesbibliothek], Kiel | '''Referent''' | [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] }} ; Was bisher geschah [[Datei:Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021.png|mini|[https://codingdavinci.de/events/schleswig-holstein/ Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021]]] : [[Kurs:Linked Open Storytelling (2021)/Coding da Vinci SH]] : [[Kurs:KultDig-Lunch im Wikiversum]], 2025 == Open Citizen Science mit Wikidata == === [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube]] === ... mit Wikisource + Wikidata ; [[DieDatenlaube|Die Datenlaube]] ... beschrieben in [[d:Q61943025#P1343]]. ; Themenseite [[s:Schleswig Holstein]] in Wikisource [[Datei:Die Gartenlaube (1889) b 623.jpg|mini|[[s:Carl Falkenhorst|Carl Falkenhorst]]: [[s:Rettung Ertrinkender und Wiederbelebung Scheintodter|''Rettung Ertrinkender und Wiederbelebung Scheintodter'']], in: Die Gartenlaube, 1889, S. 623.|left]] * [[s:Kiel]] ... * [[s:Gesellschaft zur Rettung Schiffbrüchiger]] * [[s:Friedrich von Esmarch]] ; Methodentransfer: === [[s:Malerwerke des 19. Jahrhunderts|Malerwerke des 19. Jahrhunderts]] === Wie viele Bezüge (Künstler*innen, Kunstvereine, Publikationen) in, aus und über Schleswig Holstein stecken im ''Boetticher''? Vgl. [[Kurs:Provenance loves Wiki (2024)|''Provenance loves Wiki'']], 2024. * ''Boettichers „Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts”, Kunstbände und Illustrierte zitieren, um alte und neue Datenberge linked open zu verknüpfen'' (2023), https://saxorum.hypotheses.org/9471 === Archive, Bibliotheken === ''Open GLAM-Netze: Schleswig-Holstein'', https://nearby.hypotheses.org/1180 {{SPARQL|query= #defaultView:Map,Table SELECT distinct ?item ?itemLabel ?itemDescription ?image ?coord ?verwaltungseinheitLabel ?streetLabel ?zip ?adress ?blog ?layerLabel WITH { SELECT distinct ?region # Unterabfrage für alle Verwaltungseinheiten (Kreise, Städte, Gemeinden, Ortsteile, etc.) WHERE { hint:Query hint:optimizer "None" . BIND(wd:Q1194 AS ?state). # liegt in Schleswig Holstein ?region wdt:P131* ?state. MINUS { ?region wdt:P576 _:b0. } # Verwaltungseinheit ohne Auflösungsdatum } } AS %region WHERE { INCLUDE %region. ?item wdt:P131 ?region. ?item (wdt:P31/wdt:P279*) wd:Q166118 . # ist ein Archiv oder Subklasse davon ?item wdt:P31 ?layer. OPTIONAL { ?item wdt:P18 ?image . } OPTIONAL { ?item wdt:P625 ?coord. } OPTIONAL { ?item wdt:P6375 ?adress. } OPTIONAL { ?item wdt:P131 ?verwaltungseinheit. } OPTIONAL { ?item wdt:P1581 ?blog. } SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],de,en". } } ORDER BY ?layerLabel }} == Bibliothek == * Lesen, transkribieren, detailliert erschließen: [[c:Category:Gesellschaft für schleswig-holsteinische Geschichte]], [[c:Category:Zeitschrift der Gesellschaft für Schleswig-Holsteinische Geschichte]] * [[w:Nordelbingen (Zeitschrift)]]? Nordelbingen: Beiträge zur Geschichte der Kunst und Kultur, Literatur und Musik in Schleswig-Holstein, [[d:Q1310392]] [[Kategorie:Citizen Science]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Kiel]] [[Kategorie:Schleswig-Holstein]] omcsam02y7ednesdgynvu1uul9e9y1f 1117064 1117051 2026-10-19T14:51:36Z Jeb 26942 /* Open Citizen Science mit Wikidata */ DieDatenlaube/Notizen 1117064 wikitext text/x-wiki [[Datei:Die Gartenlaube (1864) b 045.jpg|mini|Matthäus Friedrich Chemnitz, der Dichter des Liedes [[s:„Schleswig-Holstein, meerumschlungen!“|„Schleswig-Holstein, meerumschlungen“]], in: [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube, 1864, S. 45.]]|left]] {{Kurs Box | '''Impulse''' | ''Wir starten in den Tag mit einem einführenden Vortrag zu Citizen Science und aktuellen Entwicklungen. Zudem stellen wir verschiedene Projekte vor, die digitale Methoden wie Transkribus, Wikidata und vieles mehr nutzen. Am Nachmittag gibt es Einsteiger-Workshops zu Transkribus, Wikidata und zur Projektplanung eines Citizen-Science-Projekts. (...)'' |'''Veranstalter'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Kulturspeicher] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen. {{In Arbeit}} | '''Termin'''| 26. Oktober 2026 |'''Ort'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Schleswig-Holsteinische Landesbibliothek], Kiel | '''Referent''' | [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] }} ; Was bisher geschah [[Datei:Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021.png|mini|[https://codingdavinci.de/events/schleswig-holstein/ Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021]]] : [[Kurs:Linked Open Storytelling (2021)/Coding da Vinci SH]] : [[Kurs:KultDig-Lunch im Wikiversum]], 2025 == Open Citizen Science mit Wikidata == === [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube]] === ... mit Wikisource + Wikidata ; [[DieDatenlaube|Die Datenlaube]] ... beschrieben in [[d:Q61943025#P1343]]. : ''[[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|Hackathon ist immer (dienstags)]]'', 8:15 Uhr (seit 2021). Offenes Onlinetreffen mit Dresdner*innen, Gästen und dem [[s:Dresdner Geschichtsverein]], siehe [[DieDatenlaube/Notizen]]. ; Themenseite [[s:Schleswig Holstein]] in Wikisource [[Datei:Die Gartenlaube (1889) b 623.jpg|mini|[[s:Carl Falkenhorst|Carl Falkenhorst]]: [[s:Rettung Ertrinkender und Wiederbelebung Scheintodter|''Rettung Ertrinkender und Wiederbelebung Scheintodter'']], in: Die Gartenlaube, 1889, S. 623.|left]] * [[s:Kiel]] ... * [[s:Gesellschaft zur Rettung Schiffbrüchiger]] * [[s:Friedrich von Esmarch]] ; Methodentransfer: === [[s:Malerwerke des 19. Jahrhunderts|Malerwerke des 19. Jahrhunderts]] === Wie viele Bezüge (Künstler*innen, Kunstvereine, Publikationen) in, aus und über Schleswig Holstein stecken im ''Boetticher''? Vgl. [[Kurs:Provenance loves Wiki (2024)|''Provenance loves Wiki'']], 2024. * ''Boettichers „Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts”, Kunstbände und Illustrierte zitieren, um alte und neue Datenberge linked open zu verknüpfen'' (2023), https://saxorum.hypotheses.org/9471 === Archive, Bibliotheken === ''Open GLAM-Netze: Schleswig-Holstein'', https://nearby.hypotheses.org/1180 {{SPARQL|query= #defaultView:Map,Table SELECT distinct ?item ?itemLabel ?itemDescription ?image ?coord ?verwaltungseinheitLabel ?streetLabel ?zip ?adress ?blog ?layerLabel WITH { SELECT distinct ?region # Unterabfrage für alle Verwaltungseinheiten (Kreise, Städte, Gemeinden, Ortsteile, etc.) WHERE { hint:Query hint:optimizer "None" . BIND(wd:Q1194 AS ?state). # liegt in Schleswig Holstein ?region wdt:P131* ?state. MINUS { ?region wdt:P576 _:b0. } # Verwaltungseinheit ohne Auflösungsdatum } } AS %region WHERE { INCLUDE %region. ?item wdt:P131 ?region. ?item (wdt:P31/wdt:P279*) wd:Q166118 . # ist ein Archiv oder Subklasse davon ?item wdt:P31 ?layer. OPTIONAL { ?item wdt:P18 ?image . } OPTIONAL { ?item wdt:P625 ?coord. } OPTIONAL { ?item wdt:P6375 ?adress. } OPTIONAL { ?item wdt:P131 ?verwaltungseinheit. } OPTIONAL { ?item wdt:P1581 ?blog. } SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],de,en". } } ORDER BY ?layerLabel }} == Bibliothek == * Lesen, transkribieren, detailliert erschließen: [[c:Category:Gesellschaft für schleswig-holsteinische Geschichte]], [[c:Category:Zeitschrift der Gesellschaft für Schleswig-Holsteinische Geschichte]] * [[w:Nordelbingen (Zeitschrift)]]? Nordelbingen: Beiträge zur Geschichte der Kunst und Kultur, Literatur und Musik in Schleswig-Holstein, [[d:Q1310392]] [[Kategorie:Citizen Science]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Kiel]] [[Kategorie:Schleswig-Holstein]] iswfzqov09zxkee8x1oajko236dplrv 106 172153 1117043 1116890 2026-10-19T12:05:21Z Bert Niehaus 20843 /* Begriffsklärung */ 1117043 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== Ein Begriffsklärung von [[mathematische Modellbildung|mathematischer Modellbildung]] soll dabei helfen, ein Grundverständnis für Modelle und deren Entwicklung und Verbesserung zu gewinnen. === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math>. Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== * Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). * Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. * In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== * Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). * Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs * Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. * Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können/sollen passende Programme und computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== * Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! * Ausschliesslich während der Präsenzzeit im Seminar an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! * Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] tpgt3x5igx6n45rl62yddync6iaxu3o 1117044 1117043 2026-10-19T12:06:16Z Bert Niehaus 20843 /* Mathematische Modelle */ 1117044 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== Ein Begriffsklärung von [[mathematische Modellbildung|mathematischer Modellbildung]] soll dabei helfen, ein Grundverständnis für Modelle und deren Entwicklung und Verbesserung zu gewinnen. === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger (z.B. als [[Entscheidungsunterstützungssystem|Entscheidungsunterstützung]]. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math>. Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== * Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). * Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. * In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== * Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). * Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs * Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. * Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können/sollen passende Programme und computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== * Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! * Ausschliesslich während der Präsenzzeit im Seminar an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! * Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hbmvia1yot9r4jxleyhuifaoirzuxct 0 172696 1117052 1115001 2026-10-19T14:00:08Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1117052 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der polynomiale Nullstellensatz erweitert den [[Satz von Liouville]] in Bezug auf die Existenz von Nullstellen in Polynomen. === Anwendung des polynomialen Nullstellensatzes === Der polynomiale Nullstellensatz wird für den [[Integralkorrespondenzsatz]] für Wege benötigt, damit auf den [[Integrationsweg|Integrationswegen]] über eine [[meromorphe Funktion]] keine Singulariäten auf dem verwendeten Integrationsweg liegen. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen|Inverse und geometrische Reihen]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Integrationsweg|Integrationswegen]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiv|rekursiver Logarithmus]] * [[Wegintegral]] au6o0dp3ecji1bqgachb1wyz1mx6sdx 106 172736 1117111 1115291 2026-10-20T07:37:35Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117111 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|5|20|Kurs=|}} ihgw4e1i6h004e5crs2uk9srhg59pcb 106 172737 1117123 1115292 2026-10-20T07:39:35Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117123 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Definition|4|3|Kurs=|}} tg2n0rlb8s5yienfknfv9sl692wh12l 106 172738 1117126 1115293 2026-10-20T07:40:05Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117126 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|6|1|Kurs=|}} lwrwnr7ivq6pnvqlkxkdrmizooljfpa 106 172739 1117129 1115294 2026-10-20T07:40:35Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117129 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|6|7|Kurs=|}} 1nwy06ohcauz00iv61d742b5wwna5d5 106 172740 1117132 1115295 2026-10-20T07:41:05Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117132 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Korollar|6|19|Kurs=|}} ic0a5bpmofnayrv813k0hrf4izxrs08 106 172741 1117128 1115296 2026-10-20T07:40:25Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117128 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|6|6|Kurs=|}} br25vdcusnzmxdjba48tjc4rq4p46i6 106 172750 1117125 1115305 2026-10-20T07:39:55Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117125 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|4|9|Kurs=|}} 08x77rpso8gtoixnpwpc0tz2p2hp7tw 106 172753 1117122 1115308 2026-10-20T07:39:25Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117122 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Definition|3|3|Kurs=|}} b8g2c99rz6rh24gtx47ipavs901du4l 106 172755 1117108 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6ctr5m8f1vgn9l8eya12eszzc4z6m6t 106 172761 1117133 1115316 2026-10-20T07:41:15Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117133 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|6|21|Kurs=|}} 10j289may82351lb4le3c4ikppnav34 106 172762 1117130 1115317 2026-10-20T07:40:45Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117130 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|6|15|Kurs=|}} 4cuo1u85gx6z2b14ydtki49qw46c24n 106 172763 1117131 1115318 2026-10-20T07:40:55Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117131 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|6|18|Kurs=|}} q7l4ks36om4mmvgx92js0uyxeahffut 106 172764 1117120 1115319 2026-10-20T07:39:05Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117120 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|6|29|Kurs=|}} tr61x3mnh8gidjgeiqd88tsnika0746 106 172765 1117134 1115320 2026-10-20T07:41:25Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117134 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|6|23|Kurs=|}} mhm4x6qhlcnuhmbdx2knjszxue75typ 106 172766 1117121 1115321 2026-10-20T07:39:15Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117121 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|6|42|Kurs=|}} mfo5q7v5ladhk9s6l67tief0wokb9om 106 172782 1117124 1115355 2026-10-20T07:39:45Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117124 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Definition|4|6|Kurs=|}} sf2qmsgwqk5bk4hwol0tqcufahm2qa0 106 172801 1117109 1115384 2026-10-20T07:37:15Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117109 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|4|15|Kurs=|}} rzi1ew64epc6ja97cejetepdj2jbcpm 106 172807 1117110 1115398 2026-10-20T07:37:25Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117110 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|4|16|Kurs=|}} k33psauuedl4afymb2i33omtoh2ajc7 106 172828 1117113 1115429 2026-10-20T07:37:55Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117113 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|6|7|Kurs=|}} cbpc5ra8ywtpsu0xfdr8qpjj9ixwpoi 106 172833 1117117 1115434 2026-10-20T07:38:35Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117117 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|6|12|Kurs=|}} 5hpvapyk7t7f0m25311in0hr5p1qn5y 106 172835 1117118 1115436 2026-10-20T07:38:45Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117118 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|6|20|Kurs=|}} nbu5fotlz11y3xpu9d9xt3y6dqq6ljy 106 172836 1117115 1115437 2026-10-20T07:38:15Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117115 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|6|9|Kurs=|}} h9zuymazhrrqvja00z80bod9ymmb5yu 106 172838 1117114 1115439 2026-10-20T07:38:05Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117114 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|6|8|Kurs=|}} cuv435zmaqkh94xftaleyzrqju6s1w7 106 173058 1117091 1117009 2026-10-19T15:57:43Z Bocardodarapti 2041 1117091 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Gleichungen/Arten/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nullteilerfrei/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p||| |Professor/Socken und Schuhe/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/10a+b/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe|p||| |Stammbruch/Dezimalbruch/Aufgabe|p||| |Z^2/5 Punkte/Zwischenpunkt geradzahlig/Aufgabe|p||| |Betragsungleichung/2x-3/5x-7/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Größenvergleich/573 durch -1234 und -2007 durch 4322/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Betragsfunktion/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|p||| |Goldwürfel/Deutschland/Anteil/Aufgabe|p||| |Energiebedarf/Sonneneinstrahlung/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/6/Szenario/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 0w6w2lwzihqjry4npo7fvgfuty7p74k 106 173070 1117092 1117017 2026-10-19T16:27:01Z Bocardodarapti 2041 1117092 wikitext text/x-wiki {{ Klausur24 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Flußüberquerung/Wolf Schaf Kohl/Aufgabe|p||| |Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe|p||| |Quadrat/Teilquadrate/Anzahl/Aufgabe|p||| |Ungerade Zahl/Summe/Aufgabe|p||| |Eurozahlen/Minimale Darstellung/Koeffizientenbedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Münzsystem/Doppelschranke/Eindeutig/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwf/Aufgabe|p||| |Karl und Susanne/Tor/Aufgabe|p||| |Vorlesung/Sau/Negation/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/Inklusion in Vereinigung/Äquivalenz/Aufgabe|p||| |Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Abbildung/Verknüpfung/Linksinjektiv/Aufgabe|p||| |Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |Planet/Drei Geschlechter/Generationen/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} pywkvzohs2in48ad085vzu19kkog0j8 106 173081 1117090 1116975 2026-10-19T15:54:23Z Bocardodarapti 2041 1117090 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/5/Szenario/Aufgabe|p||| |Höhle/Taschenlampe/Aufgabe|p||| |Brötchen/Tage/1/Aufgabe|p||| |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p||| |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Intervall/Gleichlange Teile/1/Aufgabe|p||| |Endliche geometrische Reihe/Q/Aufgabe|p||| |Brüche/Produkte/Induktion/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/1 und 0/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Drei Produktgleichungen/Lösungen/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Goldwürfel/Verteilung/Anteil/Aufgabe|p||| |Laugenstange/Butterbelag/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ikrzg35a90w6lce123k9yqwlroj8qeu 0 173127 1117136 1116568 2026-10-20T07:43:18Z Bocardodarapti 2041 1117136 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation=Es sei {{math|term= w |SZ=}} eine natürliche Zahl und es sei eine Summendarstellung {{ Relationskette/display | w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | a_1 {{kommadots|}} a_9 | \in | \N || || || |SZ= }} }} mit der Eigenschaft gegeben, dass die Gesamtanzahl der Summanden {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathlk|term= a_1 +a_2 {{plusdots}} a_9 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} unter all solchen Darstellungen für {{math|term= w |SZ=}} minimal sei. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann sind die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt. {{ Aufzählung3/a |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 1,5,10,50,100 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 1 |SZ=.}} |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 2,20,200 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 2 |SZ=.}} |Falls der Koeffizient, der sich auf {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= 20 |SZ=}} bzw. {{math|term= 200 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bezieht, gleich {{math|term= 2 |SZ=}} ist, so ist der vorhergehende Koeffizient {{ Zusatz/Klammer |text=der sich also auf {{math|term= 1 |SZ=}} bzw. {{math|term= 10 |SZ=}} bzw. {{math|term= 100 |SZ=}} bezieht| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} pkwxua2t9fzxj0d0mzk36gltkfrw0ir 0 173129 1117135 1116572 2026-10-20T07:43:04Z Bocardodarapti 2041 1117135 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation=Es sei {{math|term= w |SZ=}} eine natürliche Zahl. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es genau eine Summendarstellung {{ Relationskette/display | w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | a_1 {{kommadots|}} a_9 | \in | \N || || || |SZ= }}|ESZ=,}} die die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt. {{ Aufzählung3/a |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 1,5,10,50,100 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 1 |SZ=.}} |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 2,20,200 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 2 |SZ=.}} |Falls der Koeffizient, der sich auf {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= 20 |SZ=}} bzw. {{math|term= 200 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bezieht, gleich {{math|term= 2 |SZ=}} ist, so ist der vorhergehende Koeffizient {{ Zusatz/Klammer |text=der sich also auf {{math|term= 1 |SZ=}} bzw. {{math|term= 10 |SZ=}} bzw. {{math|term= 100 |SZ=}} bezieht| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} m908j34poxd5g4r4cqql0dje0y41c66 0 173130 1117048 1116582 2026-10-19T13:13:33Z Bocardodarapti 2041 1117048 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Da es eine minimale Summendarstellung von {{math|term= w |SZ=}} gibt, und diese nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Eurozahlen/Minimale Darstellung/Koeffizientenbedingung/Fakt |Nr= |SZ= }} die Koeffizientenbedingung erfüllen muss, ergibt sich die Existenzaussage. Wir müssen also die Eindeutigkeit zeigen. Wir betrachten also die Situation, in der zwei Darstellungen {{ Relationskette/align | w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || b_1 \cdot 1 + b_2 \cdot 2 +b_3 \cdot 5 + b_4 \cdot 10 +b_5 \cdot 20 +b_6 \cdot 50 + b_7 \cdot 100+ b_8 \cdot 200 + b_9 \cdot 500 || || |SZ= }} vorliegen, die beide jeweils die Koeffizientenbedingungen erfüllen. Wir müssen die Koeffizientengleichheiten {{ Relationskette/display | a_i || b_i || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | i || 1 {{kommadots|}} 9 || || || |SZ= }} zeigen. Wenn für ein bestimmtes {{math|term= i |SZ=}} die Koeffizienten {{ mathkor|term1= a_i |und|term2= b_i |SZ= }} beide {{mathl|term= \geq 1 |SZ=}} sind, so kann man beidseitig die zugehörige Eurozahl {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell zweimal| |ISZ=|ESZ= }} abziehen und erhält dann eine kleinere Zahl {{math|term= w'|SZ=,}} für die zwei Darstellungen vorliegen, die ebenfalls die Koeffizientenbedingungen erfüllen. Da man diese Überlegung für jedes {{math|term= i |SZ=}} durchführen kann, gelangt man zu einer Gleichheit, bei der für jedes {{math|term= i |SZ=}} jeweils mindestens einer der Koeffizienten {{math|term= a_i, b_i |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Es ist dann zu zeigen, dass auch der andere Koeffizient gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Dies zeigen wir absteigend, beginnend mit {{math|term= a_9 |SZ=}} bzw. {{math|term= b_9 |SZ=.}} Da die Situation symmetrisch{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Die Situation ist symmetrisch, da die beiden Darstellungen gleichberechtigt sind. In einer solchen Situation bedeutet es keine Einschränkung der Aussagekraft der Argumentation, wenn man eine Umbenennung vornimmt bzw. eine Eigenschaft, die eines der beteiligten Objekte hat, dem ersten zuweist. In einer solchen Situation finden sich häufig Formulierungen wie {{Anführung|wir können annehmen, dass ...|SZ=.}} | |ISZ=|ESZ= }} ist, können wir annehmen, dass {{ Relationskette | a_9 || 0 || || || |SZ= }} ist. Aufgrund der Koeffizientenbedingungen ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Klammern sind suggestiv und sollen die verwendeten Abschätzungen verdeutlichen, die erste Abschätzung ist echt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/drucklinks | {{makl| a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 |}} + {{makl| a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 |}} + {{makl| a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 |}} |< | 10 + 90+ 400 || 500 || || |SZ=. }} Daher kann {{math|term= b_9 |SZ=}} nicht größergleich {{math|term= 1 |SZ=}} sein und ist ebenfalls {{math|term= 0 |SZ=.}} So zeigt man absteigend, dass alle Koeffizienten {{math|term= 0 |SZ=}} sind und dass die Darstellung also eindeutig ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} cmwf2tzfpdmhi7b96ls1ucnyo2jijkm 106 173150 1117053 1117025 2026-10-19T14:00:59Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendungen */ 1117053 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math>p</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7ek1fcmmh9wqg97hurkt7ufamj17hv4 1117054 1117053 2026-10-19T14:03:56Z Bert Niehaus 20843 /* Produktdarstellung nach Umformung */ 1117054 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> man verwendt nun den Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen mittels Potenzreihe auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] g1257nidqvuh1iblf5v17o5x6c7tlg2 1117055 1117054 2026-10-19T14:05:18Z Bert Niehaus 20843 /* Produktdarstellung nach Umformung */ 1117055 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikatives Inverse von <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7s8clqvjz85zdbvdr4mzt1hr6ysfff3 1117056 1117055 2026-10-19T14:05:57Z Bert Niehaus 20843 /* Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle */ 1117056 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] c11grhprrc76l8k1t81e8uym5pzbtp9 1117057 1117056 2026-10-19T14:07:04Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der Elemente im Satz */ 1117057 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 324w8do4g6c0jg85fbauoikgxw3sqoh 1117058 1117057 2026-10-19T14:23:10Z Bert Niehaus 20843 /* Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung */ 1117058 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(1)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] sbla1ce6xnup909yxwc3pysjkhnjr37 1117060 1117058 2026-10-19T14:32:51Z Bert Niehaus 20843 /* Grad von p ist 1 */ 1117060 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(1)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5h346y4k4svtocpobni6lczjiyt5sis 1117062 1117060 2026-10-19T14:43:13Z Bert Niehaus 20843 /* Grad von p ist nicht 1 */ 1117062 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}(z) = 1-p(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(1)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(1)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(1)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dqjhyke62nnrp2owtqol0yk3olnovwk 1117063 1117062 2026-10-19T14:44:47Z Bert Niehaus 20843 /* Potenzreihe eine Polynoms */ 1117063 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(1)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(1)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(1)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3g3mw4o05ta3a2psvysly4jlvgt5yrz 1117065 1117063 2026-10-19T14:54:28Z Bert Niehaus 20843 /* Iterative Anwendung des Satzes */ 1117065 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(1)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(1)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(1)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(1)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. Nach spätesten <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] b9zl87phnx6z07bpgnjtn9jlredproi 1117066 1117065 2026-10-19T14:58:16Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der Elemente im Satz */ 1117066 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(1)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(1)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(1)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(1)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. Nach spätesten <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9zml2sadm1xkvway5kuoh79i0sh0crt 1117067 1117066 2026-10-19T15:02:09Z Bert Niehaus 20843 /* Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle */ 1117067 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(1)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(1)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(1)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(1)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. Nach spätesten <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 90voc2nbhull9hpgz7easprxwc0evjg 1117068 1117067 2026-10-19T15:02:53Z Bert Niehaus 20843 /* Algebraische Umformung des Polynoms */ 1117068 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math> an, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \frac{0}{-q_0} = \frac{q(z)}{-q_0} = \widetilde{q}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(1)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(1)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(1)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(1)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. Nach spätesten <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hspr6jo5sxi7facba8fasp20n41rrt1 1117069 1117068 2026-10-19T15:05:50Z Bert Niehaus 20843 /* Algebraische Umformung des Polynoms */ 1117069 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(1)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(1)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(1)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(1)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. Nach spätesten <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dc2kn6mioqbmqwr9p3junacnry3qs6i 1117070 1117069 2026-10-19T15:07:59Z Bert Niehaus 20843 /* Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle */ 1117070 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(1)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(1)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(1)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(1)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. Nach spätesten <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 06xjdkngf0lyvj226qd117t6edcpzt3 1117071 1117070 2026-10-19T15:10:25Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der Elemente im Satz */ 1117071 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad und die Koeffizienten mit jedem Iterationsschritt reduzieren. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(1)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(1)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(1)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(1)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. Nach spätesten <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] d3zp66yc67jwj5g2poge6zhagq7sogm 1117073 1117071 2026-10-19T15:11:22Z Bert Niehaus 20843 /* Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung */ 1117073 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad und die Koeffizienten mit jedem Iterationsschritt reduzieren. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}(z)| = |1- p(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(1)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(1)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(1)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(1)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. Nach spätesten <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1436lwupq8fcajanbb8qkjldidr3pr7 1117074 1117073 2026-10-19T15:15:19Z Bert Niehaus 20843 /* Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung */ 1117074 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad und die Koeffizienten mit jedem Iterationsschritt reduzieren. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1]}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1]}(z)| = |1- p^{(1]}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(1)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(1)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(1)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(1)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. Nach spätesten <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] j8rkz9zbofsgqehvxgoy1ovwy3y7ppu 1117075 1117074 2026-10-19T15:16:03Z Bert Niehaus 20843 /* Grad von p ist 1 */ 1117075 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad und die Koeffizienten mit jedem Iterationsschritt reduzieren. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1]}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1]}(z)| = |1- p^{(1]}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(1)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(1)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(1)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(1)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. Nach spätesten <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 23yaqec668l0m7a40rrouub5l9z6677 1117076 1117075 2026-10-19T15:17:38Z Bert Niehaus 20843 /* Grad von p ist nicht 1 */ 1117076 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad und die Koeffizienten mit jedem Iterationsschritt reduzieren. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1]}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1]}(z)| = |1- p^{(1]}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(1)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(1)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(1)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. Nach spätesten <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] n919nyx2o1nrjw8dmww2tn6g5ga5w57 1117077 1117076 2026-10-19T15:18:01Z Bert Niehaus 20843 /* Nächster Iterationsschritt */ 1117077 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad und die Koeffizienten mit jedem Iterationsschritt reduzieren. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1]}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1]}(z)| = |1- p^{(1]}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(1)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. Nach spätesten <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] h246lieh9u59ye27bo812ds2vn7tdwi 1117078 1117077 2026-10-19T15:19:44Z Bert Niehaus 20843 /* Iterative Anwendung des Satzes */ 1117078 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad und die Koeffizienten mit jedem Iterationsschritt reduzieren. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1]}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1]}(z)| = |1- p^{(1]}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 8pjrcf8sfziepduv25iovnj54bnozcg 1117079 1117078 2026-10-19T15:27:16Z Bert Niehaus 20843 /* n-1 Interationen - Nullstellengleichung */ 1117079 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad und die Koeffizienten mit jedem Iterationsschritt reduzieren. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1]}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1]}(z)| = |1- p^{(1]}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0o6d0nrsdp6l07pvnejbaerxdnatr0w 1117080 1117079 2026-10-19T15:31:42Z Bert Niehaus 20843 /* n-1 Interationen - Nullstellengleichung */ 1117080 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad und die Koeffizienten mit jedem Iterationsschritt reduzieren. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1]}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1]}(z)| = |1- p^{(1]}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jgjnxw6us2lzrasgh7nfgrd72nie6o9 1117081 1117080 2026-10-19T15:38:01Z Bert Niehaus 20843 /* Einsetzung in die geometrische Reihe */ 1117081 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad und die Koeffizienten mit jedem Iterationsschritt reduzieren. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1]}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1]}(z)| = |1- p^{(1]}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9p6ibixsli3dd675rj305rm64cr1co3 1117082 1117081 2026-10-19T15:39:04Z Bert Niehaus 20843 /* Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung */ 1117082 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>p</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-q_0} = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z\cdot p(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad und die Koeffizienten mit jedem Iterationsschritt reduzieren. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 40dz3rhhdxz3aumtmca7rv8j7379z2w 1117093 1117082 2026-10-19T17:14:35Z Bert Niehaus 20843 /* Algebraische Umformung des Polynoms */ 1117093 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad und die Koeffizienten mit jedem Iterationsschritt reduzieren. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ik2g9w7vixdg17mi4d2p43ecle3po3g 1117094 1117093 2026-10-19T17:15:08Z Bert Niehaus 20843 /* Produktdarstellung nach Umformung */ 1117094 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math>: :<math> 1 = p(z) \cdot z </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad und die Koeffizienten mit jedem Iterationsschritt reduzieren. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] leokif02eep796eunp5ooqeefm4xqry 1117100 1117094 2026-10-20T06:02:47Z Bert Niehaus 20843 /* Produktdarstellung nach Umformung */ 1117100 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad und die Koeffizienten mit jedem Iterationsschritt reduzieren. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] njsgtult7oybgm43bc92xwerk9ew834 1117101 1117100 2026-10-20T06:04:54Z Bert Niehaus 20843 /* Produktdarstellung nach Umformung */ 1117101 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad und die Koeffizienten mit jedem Iterationsschritt reduzieren. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] gco9hft5l716whr1323qfv655ic1tz5 1117102 1117101 2026-10-20T06:11:02Z Bert Niehaus 20843 /* Gradreduktion und Indizierung */ 1117102 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. ==== Definition der Elemente im Satz ==== In der Fragestellung ist eine Lösung <math>z</math> für die Gleichung <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p(z)\cdot z = 1</math> ist. Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== Gradreduktion und Indizierung ==== Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] an5387ycg8dgydwmecvy6nl8z6wfsc8 1117103 1117102 2026-10-20T06:33:46Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen */ 1117103 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. ==== Gradreduktion und Indizierung ==== Die Polynome <math>p^{(k)}</math> erhalten einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kac2krjpb3a3fsh5kyn7xndjxwp7i4n 1117104 1117103 2026-10-20T06:35:02Z Bert Niehaus 20843 /* Gradreduktion und Indizierung */ 1117104 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rt9d5lp56j6bs38f57xydn1bsd0osj1 1117105 1117104 2026-10-20T07:04:36Z Bert Niehaus 20843 /* Grad von p ist 1 */ 1117105 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Polynom p mit einem Summand mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> nicht eindeutig ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rs59vbaiplgtmh8sq5dwn5jm9j61b9n 1117106 1117105 2026-10-20T07:05:19Z Bert Niehaus 20843 /* Polynom p mit einem Summand mit Konstante */ 1117106 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Polynom p mit einem Summand mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Grad von p ist nicht 1 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ckk7p16fae8fyrtqe44p0sdi84rvnd0 1117138 1117106 2026-10-20T08:35:59Z Bert Niehaus 20843 /* Grad von p ist nicht 1 */ 1117138 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Polynom p mit einem Summand mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z_0) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] maociqecqci1oxf4xj0o8ixtx0n4zxc 1117139 1117138 2026-10-20T09:00:09Z Bert Niehaus 20843 /* Polynom p mit mehr als 3 */ 1117139 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Polynom p mit einem Summand mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ojzjv0qameln8bxepjg5l2xkx6vq5n2 1117140 1117139 2026-10-20T09:01:33Z Bert Niehaus 20843 /* Nächster Iterationsschritt */ 1117140 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Polynom p mit einem Summand mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] a5mm72030nty185k4b31ziqlpkjnaqs 1117141 1117140 2026-10-20T09:05:34Z Bert Niehaus 20843 /* Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 */ 1117141 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Polynom p mit einem Summand mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9va3st4c571sk8fmo208m28zifbxu5f 1117142 1117141 2026-10-20T09:11:46Z Bert Niehaus 20843 /* Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 */ 1117142 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Polynom p mit einem Summand mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> === Iterative Anwendung des Satzes === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-1} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-1}</math> kennt, kann man über Kehrwertbildung auch <math>z</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] k6fqaga56zcy0gxbuxf50b1rz5gibs1 1117143 1117142 2026-10-20T09:13:28Z Bert Niehaus 20843 /* Iterative Anwendung des Satzes */ 1117143 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Polynom p mit einem Summand mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mwiv1lge92rm9i0pj39cp37woo4rg5h 1117144 1117143 2026-10-20T09:15:41Z Bert Niehaus 20843 /* Setzen der Konstante durch Multiplikation */ 1117144 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Polynom p mit einem Summand mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>n-1</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-2</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 ist. ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kphld6wk4h3j1yl194xlvx145u9t6it 1117146 1117144 2026-10-20T09:20:36Z Bert Niehaus 20843 /* 2. Iteration - Nullstellengleichung */ 1117146 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Polynom p mit einem Summand mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter Wurzel) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kh4issl3fhcks35amea1tcp44l6lv6u 1117147 1117146 2026-10-20T09:23:15Z Bert Niehaus 20843 /* 2. iterative Anwendung des Satzes */ 1117147 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p</math> vom Grad 1 ist. ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Polynom p mit einem Summand mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter Wurzel) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] aetbhh4npivcgvl0gkfoernvvdht2fe 1117148 1117147 2026-10-20T09:27:53Z Bert Niehaus 20843 /* Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung */ 1117148 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Polynom p mit einem Summand mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter Wurzel) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4d6mubbgysk7c4ipnola9xxmifxj2s2 1117149 1117148 2026-10-20T09:28:59Z Bert Niehaus 20843 /* Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung */ 1117149 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Polynom p mit einem Summand mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter Wurzel) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] h1s3i646f1quqnzoj3kmra7tl0dxn2m 1117150 1117149 2026-10-20T09:30:09Z Bert Niehaus 20843 /* Grad von p ist 1 */ 1117150 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Polynom p mit einem Summand mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter Wurzel) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] epz2gd750gcv8zhj4omxp3d0eqck0vq 1117151 1117150 2026-10-20T09:31:00Z Bert Niehaus 20843 /* Polynom p mit einem Summand mit Konstante */ 1117151 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter Wurzel) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z+a_0</math> folgende Gleichung erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] my7z5mgh7avgl6grncequajexgdkmx6 1117152 1117151 2026-10-20T09:45:02Z Bert Niehaus 20843 /* n-1 Interationen - Nullstellengleichung */ 1117152 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter Wurzel) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ntt67sutk5z3rtwnl6vun72blivg2k3 1117153 1117152 2026-10-20T09:53:13Z Bert Niehaus 20843 /* Fall 1.1 - Grad von p ist 1 */ 1117153 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten Wurzel von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter Wurzel) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lay637u9nwt4gixnnnkaxxzlo8tk6wo 1117157 1117153 2026-10-20T09:57:58Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration */ 1117157 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter Wurzel) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] egjyn0lp8up2gx3zclbx6lri941ua5x 1117158 1117157 2026-10-20T09:58:22Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1117158 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter Wurzel) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0pgjy1gduz74xpxy5pwwbml018kifma 1117159 1117158 2026-10-20T09:59:35Z Bert Niehaus 20843 /* 2. Iteration - Nullstellengleichung */ 1117159 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kppt16g7tjh8b0wkoq4ostnky1en3du 106 173187 1117059 2026-10-19T14:29:01Z Jeb 26942 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117059 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''2026''' | [[Datei:Die Gartenlaube (1894) b 839.jpg|mini|Die Gartenlaube (1894) b 839|200px|center]] |'''Veranstalter'''| Max Weber-Stiftung, [https://de.hypotheses.org/ de.Hypotheses.org], [https://www.slub-dresden.de/entdecken/saechsische-landeskunde SLUB Dresden: Sächsische Landeskunde] | '''Ziel''' | Erschließungsgeschichten, Datenpflege und Methodentransfer im Advent | '''Termin'''| Mittwoch, 21. 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Auch 2025 baut sie an ihrer Liste ‘Mehr oder weniger bibliothekarische Adventskalender‘. https://osl.hypotheses.org/18957 === Technik === ; Infrastruktur * [[c:Category:OSL blog advent calendar 2024]] mit [[d:Q131330105]] * [[c:Category:OSL blog advent calendar 2025]] mit [[d:Q136767635]] === Strategien === ; Themen ; Kooperationen === Wirkungen === ; Regionalbibliografie * Sächsische Bibliografie: https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/SET=9/TTL=1/CMD?ACT=SRCHA&IKT=1016&SRT=YOP&TRM=Adventskalender (SAXB) Nachweis und Erschließungsverbesserung, Datenpflege * Neue Digitalisate und (auch) offene Metadaten in Verbundkatalogen, Wikidata und ''Structured Data on Commons'' * Linked Open Storytelling [[d:Q66631860]] <gallery> Bubbles with 24 numbers.png|Cornelius Kibelka (WMDE): Bubbles with 24 numbers Ueber Land und Meer, Bd. 69, Nr. 12, Eduard Unger.jpg|[[s:Eduard Unger|Eduard Unger]]ː ''Weihnachten'', inː ''[[s:Ueber Land und Meer|Ueber Land und Meer]]'', Bd. 69, 1892/93 </gallery> == Bibliothek == * Open Science-Lab Blog (SLUB): https://osl.hypotheses.org/tag/advent [[Kategorie:Bibliothek]] 84tdzkngupfqhou2fqaogs0xxsg8d42 3 173188 1117072 2026-10-19T15:10:55Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1117072 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Ariane.bergen}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 17:10, 19. Okt. 2026 (CEST) sj46ucnonuuto0a8tn3foh1brymuf0n 0 173189 1117155 2026-10-20T09:56:38Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln#Wurzeln]] erstellt 1117155 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln#Wurzeln]] no8rr77qutd276600h4rcwkn2tyvfkb 1117156 1117155 2026-10-20T09:57:08Z Bert Niehaus 20843 1117156 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln#Wurzeln]] [[Category:Funktionentheorie]] 2u6wbkneh7wmik2k36sy6kwshw2tb8s 106 173190 1117160 2026-10-20T10:02:13Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117160 wikitext text/x-wiki {{Deckblatt |Blatt1=1 |von1=22 |bis1=24 |Blatt2=2 |von2=20 |bis2=24 |}} [[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Hilfsstruktur]] 397bcnubuyy9badu5ym88mh8anxykqt 106 173191 1117162 2026-10-20T10:03:26Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117162 wikitext text/x-wiki {{Latex}} 3e3nqvm6nsvokcc33v86ivll7ce6lru