Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 9722 1117165 1078273 2026-10-20T12:15:35Z Bert Niehaus 20843 /* Grundlagen */ 1117165 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] Der Kurs Stochastik nutzt den [[Wiki2Reveal]] und den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator Wiki2Reveal], der direkt aus dem jeweiligen Wiki-Quelltext eine Präsentation erstellt, die man im Browser mit der Taste "F" in den Vollbildmodus (z.B. für die Nutzung direkt in der Vorlesung verwenden kann. Mit der Taste "C" (Comment) kann man die Folien im Browser auch beschreiben. Mit der Taste "B" (Blackboard) hat man zu jeder Folien eine digitale Tafel für handschriftliche Anmerkungen. Die Annotationen bleiben nur temporär für den jeweiligen Aufruf der Wiki2Reveal-Präsentation und nur in der eigenen Browsersitzung erhalten. Wenn andere Personen die Wiki2Reveal-Präsentation aufrufen, sehen diese die eigenen Annotationen nicht. Das Design von [[Wiki2Reveal]] sorgt dafür, dass jeder Aufruf eine eigene individuelle Annotationsumgebung im Browser besitzt und damit auch bei einem Reload die eigenen Annotationen aus Datenschutzgründen nicht mehr sichtbar sind. == Lernressourcen == * [[/Aufgaben Tutorium/]] * [[Stochastik Überblick]] von Thomas Rudolf Korn * [[/R-Befehle/]] für Übungen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Datenanalyse == Grundlagen == * [[/Sigma-Algebra/]] * '''[[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche Sigma-Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] für stetige Wahrscheinlichkeitsmaße * '''[[Wahrscheinlichkeitsraum]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Siebformel|Siebformel]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Siebformel&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Siebformel&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Zufallsvariable|Zufallsvariable]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zufallsvariable&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zufallsvariable&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kombinatorik]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kombinatorik&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kombinatorik&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] wird z.B. benötigt, um die Anzahl in der Grundmenge <math>\Omega</math> zu bestimmen oder auch in der Definition von W-Verteilungen (z.B. [[/Binomialverteilung/]]) * '''[[Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen|Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete%20und%20stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilungen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Diskrete%20und%20stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilungen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/diskrete Verteilung/]] ** [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|Stetige Verteilung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Verteilungsfunktion/]] ** [[/P-fast sicher/]] * '''[[Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume|Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete%20Wahrscheinlichkeitsr%C3%A4ume&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Diskrete%20Wahrscheinlichkeitsr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Bedingte Wahrscheinlichkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte%20Wahrscheinlichkeit&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Bedingte%20Wahrscheinlichkeit&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] * '''[[Stochastische Unabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stochastische%20Unabh%C3%A4ngigkeit&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Stochastische%20Unabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Momente|Erwartungswert und Momente]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Linearität Erwartungswert/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Linearit%C3%A4t%20Erwartungswert&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) **[[/Gleitender Mittelwert/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Gleitender+Mittelwert&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Erzeugende%20Funktionen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Erzeugende%20Funktionen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche Sigma-Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Räumliche Wahrscheinlichkeitsdichten aus diskreten Daten/]] == Zufallsexperimente == * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Zufallsexperiment&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Verteilungsfunktion&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Eigenschaften Verteilungsfunktion|Eigenschaften Verteilungsfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Eigenschaften%20Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eigenschaften%20Verteilungsfunktion&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Konvergenz von Verteilungsfunktionen/]] * [[/Nullmenge/]] === Diskrete Zufallsexperimente === * [[/Bernoulli-Experiment/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Bernoulli-Experiment&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Galtonbrett/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Galtonbrett&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Binomialverteilung/]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Binomialverteilung&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) * [[/Negative Binomialverteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Negative%20Binomialverteilung&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/hypergeometrische Verteilung/]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/hypergeometrische%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/multivariate hypergeometrische Verteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/multivariate%20hypergeometrische_Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Poisson-Verteilung|Poisson-Verteilung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Poisson-Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Poisson-Verteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stetige Zufallsexperimente === * '''[[Glockenkurve|Glockenkurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Glockenkurve&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Glockenkurve&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Normalverteilung|Normalverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetige Gleichverteilung|Stetige Gleichverteilung bzw. Rechteckverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetige%20Gleichverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetige%20Gleichverteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[w:de:Dreiecksverteilung|Dreiecksverteilung]] * '''[[Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Exponentialverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Cauchy-Verteilung|Cauchy-Verteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Verteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Gesetze der großen Zahlen == <span id="Konvergenzbegriffe"><span> * [[/Unfaire Münze/]] * [[/Faltung/|Summenverteilung - Faltung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] * '''[[/Konvergenzeigenschaften/]]''' ** [[Kurs:Stochastik/fast sichere Konvergenz|P-fast sichere Konvergenz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/fast%20sichere%20Konvergenz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=fast%20sichere%20Konvergenz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit/]] ** [[Konvergenz nach Verteilung]] ** [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Kurs:Stochastik/Tschebyscheffsche Ungleichung|Tschebyscheffsche Ungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Tschebyscheffsche%20Ungleichung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Tschebyscheffsche%20Ungleichung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Gesetz der großen Zahlen|Gesetze der großen Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Stochastik/Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Schwaches Gesetz der großen Zahlen|Schwaches Gesetz der großen Zahlen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Schwaches%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schwaches%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Starkes Gesetz der großen Zahlen|Starkes Gesetz der großen Zahlen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Starkes%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Starkes%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/fast sichere Konvergenz|P-fast sichere Konvergenz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/fast%20sichere%20Konvergenz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=fast%20sichere%20Konvergenz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Grenzwertsätze]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Grenzwertsätze&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Approximation Binomialverteilung/]] ** [[/Zentraler Grenzwertsatz/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zentraler_Grenzwertsatz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Hypothesentest]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Hypothesentest&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Allgemeine Wahrscheinlichkeitstheorie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Allgemeine_Wahrscheinlichkeitstheorie&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf Vektorräumen === * [[Multivariate Statistik]] ** [[/multivariate hypergeometrische Verteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/multivariate_hypergeometrische_Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen für Vektorräume|Zufallsvariablen für Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Texterzeugung und Textanalyse === * '''[[Kurs:Stochastik/Stochastik auf Texten|Stochastik auf Texten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stochastik%20auf%20Texten&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastik%20auf%20Texten&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Rangordnung|Rangordnung von Texten]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Tippfehler und Ähnlichkeitsmaße/|Tippfehler und Ähnlichkeitsmaße]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Kryptoanalyse und Stochastik|Kryptoanalyse und Stochastik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/syntaktische Struktur|syntaktische Struktur und Grammatik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Vorhersage von Textfragmenten|Vorhersage von Textfragmenten]] * '''[[Kurs:Stochastik/Stochastische Netze|Stochastische Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stochastische%20Netze&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastische%20Netze&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Textanalyse und Textgenerierung/Graphen von Textfragmenten|Graphen von Textfragmenten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Textanalyse%20und%20Textgenerierung/Graphen%20von%20Textfragmenten&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graphen%20von%20Textfragmenten&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Wege in Graphen|Wege in Graphen aus Textfragmenten]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/stochastische Textgenerierung|stochastische Textgenerierung]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/interaktive Textgenerierung|interaktive Textgenerierung]] == Mathematik und Nachhaltigkeit == * [[Geplante Obsoleszenz]] - Stochastik, mittlere Lebensdauer und die Identifikation von kurzlebigen Produkten, die nicht ressourcenschonend produziert wurden. == Literatur / Skripte == <references/> == Siehe auch == * [[COVID-19/Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Formelsammlung Stochastik|Formelsammlung Stochastik]] * [[Graph einer Funktion]] * [[v:en:KnitR|KnitR]] * [[Kurs:Didaktik der Stochastik für Lernumgebungen]] * [[Kurs:Statistik für Anwender]] * [[w:de:Stochastik|Stochastik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung]] * [[Wiki2Reveal]] mit [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator für Wiki2Reveal] [[Kategorie:Stochastik]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] n72dvd2nopbq6w7gm4uzha1fohzqdvc 1117185 1117165 2026-10-20T14:14:30Z Bert Niehaus 20843 /* Grundlagen */ 1117185 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] Der Kurs Stochastik nutzt den [[Wiki2Reveal]] und den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator Wiki2Reveal], der direkt aus dem jeweiligen Wiki-Quelltext eine Präsentation erstellt, die man im Browser mit der Taste "F" in den Vollbildmodus (z.B. für die Nutzung direkt in der Vorlesung verwenden kann. Mit der Taste "C" (Comment) kann man die Folien im Browser auch beschreiben. Mit der Taste "B" (Blackboard) hat man zu jeder Folien eine digitale Tafel für handschriftliche Anmerkungen. Die Annotationen bleiben nur temporär für den jeweiligen Aufruf der Wiki2Reveal-Präsentation und nur in der eigenen Browsersitzung erhalten. Wenn andere Personen die Wiki2Reveal-Präsentation aufrufen, sehen diese die eigenen Annotationen nicht. Das Design von [[Wiki2Reveal]] sorgt dafür, dass jeder Aufruf eine eigene individuelle Annotationsumgebung im Browser besitzt und damit auch bei einem Reload die eigenen Annotationen aus Datenschutzgründen nicht mehr sichtbar sind. == Lernressourcen == * [[/Aufgaben Tutorium/]] * [[Stochastik Überblick]] von Thomas Rudolf Korn * [[/R-Befehle/]] für Übungen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Datenanalyse == Grundlagen == * [[/Sigma-Algebra/]] * '''[[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche Sigma-Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] für stetige Wahrscheinlichkeitsmaße * '''[[Wahrscheinlichkeitsraum]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] ** [[Messraum]] ** [[induziertes Wahrscheinlichkeitsmaß]] ** [[Kurs:Stochastik/Siebformel|Siebformel]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Siebformel&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Siebformel&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Zufallsvariable|Zufallsvariable]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zufallsvariable&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zufallsvariable&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kombinatorik]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kombinatorik&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kombinatorik&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] wird z.B. benötigt, um die Anzahl in der Grundmenge <math>\Omega</math> zu bestimmen oder auch in der Definition von W-Verteilungen (z.B. [[/Binomialverteilung/]]) * '''[[Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen|Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete%20und%20stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilungen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Diskrete%20und%20stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilungen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/diskrete Verteilung/]] ** [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|Stetige Verteilung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Verteilungsfunktion/]] ** [[/P-fast sicher/]] * '''[[Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume|Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete%20Wahrscheinlichkeitsr%C3%A4ume&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Diskrete%20Wahrscheinlichkeitsr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Bedingte Wahrscheinlichkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte%20Wahrscheinlichkeit&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Bedingte%20Wahrscheinlichkeit&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] * '''[[Stochastische Unabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stochastische%20Unabh%C3%A4ngigkeit&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Stochastische%20Unabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Momente|Erwartungswert und Momente]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Linearität Erwartungswert/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Linearit%C3%A4t%20Erwartungswert&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) **[[/Gleitender Mittelwert/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Gleitender+Mittelwert&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Erzeugende%20Funktionen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Erzeugende%20Funktionen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche Sigma-Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Räumliche Wahrscheinlichkeitsdichten aus diskreten Daten/]] == Zufallsexperimente == * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Zufallsexperiment&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Verteilungsfunktion&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Eigenschaften Verteilungsfunktion|Eigenschaften Verteilungsfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Eigenschaften%20Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eigenschaften%20Verteilungsfunktion&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Konvergenz von Verteilungsfunktionen/]] * [[/Nullmenge/]] === Diskrete Zufallsexperimente === * [[/Bernoulli-Experiment/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Bernoulli-Experiment&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Galtonbrett/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Galtonbrett&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Binomialverteilung/]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Binomialverteilung&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) * [[/Negative Binomialverteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Negative%20Binomialverteilung&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/hypergeometrische Verteilung/]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/hypergeometrische%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/multivariate hypergeometrische Verteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/multivariate%20hypergeometrische_Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Poisson-Verteilung|Poisson-Verteilung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Poisson-Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Poisson-Verteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stetige Zufallsexperimente === * '''[[Glockenkurve|Glockenkurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Glockenkurve&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Glockenkurve&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Normalverteilung|Normalverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetige Gleichverteilung|Stetige Gleichverteilung bzw. Rechteckverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetige%20Gleichverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetige%20Gleichverteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[w:de:Dreiecksverteilung|Dreiecksverteilung]] * '''[[Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Exponentialverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Cauchy-Verteilung|Cauchy-Verteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Verteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Gesetze der großen Zahlen == <span id="Konvergenzbegriffe"><span> * [[/Unfaire Münze/]] * [[/Faltung/|Summenverteilung - Faltung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] * '''[[/Konvergenzeigenschaften/]]''' ** [[Kurs:Stochastik/fast sichere Konvergenz|P-fast sichere Konvergenz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/fast%20sichere%20Konvergenz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=fast%20sichere%20Konvergenz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit/]] ** [[Konvergenz nach Verteilung]] ** [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Kurs:Stochastik/Tschebyscheffsche Ungleichung|Tschebyscheffsche Ungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Tschebyscheffsche%20Ungleichung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Tschebyscheffsche%20Ungleichung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Gesetz der großen Zahlen|Gesetze der großen Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Stochastik/Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Schwaches Gesetz der großen Zahlen|Schwaches Gesetz der großen Zahlen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Schwaches%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schwaches%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Starkes Gesetz der großen Zahlen|Starkes Gesetz der großen Zahlen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Starkes%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Starkes%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/fast sichere Konvergenz|P-fast sichere Konvergenz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/fast%20sichere%20Konvergenz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=fast%20sichere%20Konvergenz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Grenzwertsätze]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Grenzwertsätze&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Approximation Binomialverteilung/]] ** [[/Zentraler Grenzwertsatz/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zentraler_Grenzwertsatz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Hypothesentest]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Hypothesentest&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Allgemeine Wahrscheinlichkeitstheorie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Allgemeine_Wahrscheinlichkeitstheorie&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf Vektorräumen === * [[Multivariate Statistik]] ** [[/multivariate hypergeometrische Verteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/multivariate_hypergeometrische_Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen für Vektorräume|Zufallsvariablen für Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Texterzeugung und Textanalyse === * '''[[Kurs:Stochastik/Stochastik auf Texten|Stochastik auf Texten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stochastik%20auf%20Texten&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastik%20auf%20Texten&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Rangordnung|Rangordnung von Texten]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Tippfehler und Ähnlichkeitsmaße/|Tippfehler und Ähnlichkeitsmaße]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Kryptoanalyse und Stochastik|Kryptoanalyse und Stochastik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/syntaktische Struktur|syntaktische Struktur und Grammatik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Vorhersage von Textfragmenten|Vorhersage von Textfragmenten]] * '''[[Kurs:Stochastik/Stochastische Netze|Stochastische Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stochastische%20Netze&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastische%20Netze&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Textanalyse und Textgenerierung/Graphen von Textfragmenten|Graphen von Textfragmenten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Textanalyse%20und%20Textgenerierung/Graphen%20von%20Textfragmenten&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graphen%20von%20Textfragmenten&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Wege in Graphen|Wege in Graphen aus Textfragmenten]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/stochastische Textgenerierung|stochastische Textgenerierung]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/interaktive Textgenerierung|interaktive Textgenerierung]] == Mathematik und Nachhaltigkeit == * [[Geplante Obsoleszenz]] - Stochastik, mittlere Lebensdauer und die Identifikation von kurzlebigen Produkten, die nicht ressourcenschonend produziert wurden. == Literatur / Skripte == <references/> == Siehe auch == * [[COVID-19/Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Formelsammlung Stochastik|Formelsammlung Stochastik]] * [[Graph einer Funktion]] * [[v:en:KnitR|KnitR]] * [[Kurs:Didaktik der Stochastik für Lernumgebungen]] * [[Kurs:Statistik für Anwender]] * [[w:de:Stochastik|Stochastik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung]] * [[Wiki2Reveal]] mit [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator für Wiki2Reveal] [[Kategorie:Stochastik]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] bk3b54lrpehplsli02esqtoqkoqp89t 108 11991 1117202 1112889 2026-10-20T14:58:35Z Bocardodarapti 2041 1117202 wikitext text/x-wiki Der einzige Sinn dieser Seite ist, solche Seiten aufzulisten, auf die im Moment zwar nicht von irgendwoher zugegriffen wird, die aber in sinnvoller Weise kategorisiert wurden. Dies kann auf Aufgaben, die auf Vorrat angelegt wurden, oder auf Definitionsvarianten etc. zutreffen. Der Zweck ist, dass solche Seiten nicht unter [[Spezial:Verwaiste_Seiten|verwaiste Seiten]] auftauchen. Es handelt sich ja nicht wirklich um verwaiste Seiten, da sie über das Kategoriensystem auffindbar und verfügbar sind. Ebenso werden hier Latexvarianten von Seiten abgelegt. Es besteht kein Grund, die Seiten hier zu löschen, nachdem sie verlinkt sind. [[Kategorie:Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Sonstiges]] =Verwaiste Vorlagen = [[Vorlage:Arbeitsblattaufzählungsform]] [[Vorlage:Algorithmen-Kategorie unter]] [[Vorlage:Element-Kategorie]] [[Vorlage:Elemente-Kategorie‏]] [[Vorlage:DefinitionslinkAnführung‏‎]] [[Vorlage:DefinitionslinkFußnote‏]] [[Vorlage:Extralatex]] [[Vorlage:Fakten mit Beweis-Kategorie]] [[Vorlage:FaktlinkAufgabe]] [[Vorlage:Latexdruck2\!]] [[Vorlage:Latexmakros-Kategorie unter]] [[Vorlage:Mathbed3‏‎]] [[Vorlage:Mathbed3/display‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/BeweisaufgabeKategorie‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/BeweisaufgabeKategorie2‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/BeweisaufgabeKategorie3‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/FaktKategorie1‏‎‏‎]] [[Vorlage:Semantische Vorlage‏]] [[Vorlage:Seminarformvorlage‏]] [[Vorlage:Sumj0k]] [[Vorlage:Sumj1m‏‎]] [[Vorlage:Sumn0k‏]][[Vorlage:Synchronized‏‎]] [[Vorlage:Tabellemitdreispalten]] [[Vorlage:Tabellemitzeilen‏‎]] [[Vorlage:Tabellemitzeilen]] [[Vorlage:Textabschnitts-Kategorie]] [[Vorlage:Vorlesungsaufzählungsform]] [[Vorlage:Vorlesungsfußform‏‎]] [[Vorlage:Vortragseintragaktuellsek‏‎]] = = [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 3/wikicode]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Deckblatt/latex]] [[Ring/Lineare Algebra/Einführung/Textabschnitt/wikicode]] [[Lineare Abbildung/Normierte Räume/Stetigkeit/Charakterisierung/Fakt/Name]] [[Algebraische Kurven/Geradenbündel/Aufgaben/Textabschnitt]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Information/Inhalt]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesungsaufzählung/Vorlesungstitellatex]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesungsaufzählung/Vorlesungstitellatex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Information/Klausur]] [[Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Information/Übungsbetrieb]] [[Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik/2a/Klausur]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik/3a/Klausur]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Algebraische Kurven/Test 1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Lizenzerklärung]] [[Zeitungsabos/3/Aufgabe]] [[Zeitungsabos/4/Aufgabe]] [[Quadratische Gleichung/K/Lösungsformel/Fakt]] [[Quadratwurzelfunktion/Potenzreihe/Einspunkt/Aufgabe]] [[Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition/wiki]] [[Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition/wikicode]] [[Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition/wikicode]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Vorlesungsaufzählung/Vorlesungstitellatex]] [[Kurs:Lineare Algebra I,II (Osnabrück)/Mündliche Prüfung]] [[Holger Brenner/Corona/Klausur/Zu unterschreibendes Dokument/E-mail]] [[Holger Brenner/Corona/Klausur/Zu unterschreibendes Dokument/latex]] [[Holger Brenner/Corona/Präsenzveranstaltung/Zusatz November 21]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Nachfolger/Addition/Multiplikation/Textabschnitt]] [[Geordnete Menge/Extremalelemente/Textabschnitt]] [[Fermat-Kubik/4 Variablen/Standardquadrik/Beispiel]] [[Fermat-Kubik/Z mod 3/Gruppenoperation/Invariantenring/Beispiel]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/61/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/62/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/63/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/64/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/65/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/6a/Klausur mit Lösungen]] [[Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt/Name]] [[Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt/Name/Inhalt]] [[Frobenius-Homomorphismus/Elliptische Kurve/Direkt und basistrivial/Textabschnitt]] [[Funktion/Profil/Kraftfeld/Differentialgleichung zweiter Ordnung/Beispiel]] [[Funktionentheorie/Singularitäten/Einführung/Textabschnitt]] [[Fünfter Kreisteilungsring/Faktoriell/Normschranke/Aufgabe]] [[Euklidischer Vektorraum/Orthogonalbasis/Definition]] [[Exponentialsequenz/Jacobische Varietät/Zusammenhang/Textabschnitt]] [[Bocardodarapti/StudIP/Abgabe]] [[Bruch/Zehnersystem/Umrechnung in Dreiersystem/2/Aufgabe]] [[Archimedisch angeordneter Körper/Gaußklammer/Funktion/Definition]] [[Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T2/Aufgabe]] [[Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T7/Aufgabe]] [[Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/T7/Aufgabe]] [[Angeordneter Körper/Folgen/Rechenregeln/Textabschnitt]] [[Abelsche Gruppe/Normfunktion/Einführung/Endlich erzeugt/Textabschnitt]] [[Affiner Raum/Offene Menge/Globale Funktion/Beispiel]] [[Endlicher freier Modul/Basiswechsel/Drei Basen/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung]] [[Elliptische Kurve/Kubisch/Differentialform explizit/Direkt/Beispiel]] [[Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Homogen/Geradenschnitt/Bemerkung]] [[Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe]] [[Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe]] [[Ebene algebraische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition]] [[Eigenvektoren/Charakteristisches Polynom/4/Aufgabe]] [[Eindimensionale Algebra/R/Zwei Variablen modulo s^2+t^2/Beispiel]] [[Division mit Rest/Konstruktiv/Bemerkung]] [[Dedekindbereich/Gebrochene Ideale/Bezug zu Divisoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialgleichung/Potenzreihenansatz/y' ist ty-t^2+1/Aufgabe]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Induktiv und Produktbedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt/Name/Inhalt]] [[Differenzierbare Funktionen/K/Hintereinanderschaltung/Höhere Kettenregel/Fakt]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Lizenzerklärung]] [[Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Ableitungen und Regeln/Textabschnitt]] [[Aussagenlogik/Elementare Einführung/Textabschnitt]] [[Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix/Glattheit/Einführung/Textabschnitt]] [[Euro-Münze/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe]] [[Ebene glatte Kurve/Grad 4/Normalform/Syzygienbündel/2/Bemerkung]] [[Ebene glatte Kurve/Grad 4/Normalform/Syzygienbündel/Bemerkung]] [[Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Abzählbarer Fall/Fakt]] [[Aussagenlogik/Modellbeziehung/Folgerung/Textabschnitt]] [[Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Textabschnitt]] [[Logarithmus/Reihen und Integrale/Aufgabe]] [[Erststufige Peano-Arithmetik/Kommutativer Halbring/Fakt]] [[Spektrumsabbildung/Faser/Tensorprodukt/Aufgabe]] [[Summierbarkeit/1 durch ab/a,b geq k/Aufgabe]] == == [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/100/Klausur]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/31/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/32/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/33/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/34/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/35/Klausur mit Lösungen]] [[Dedekindbereich/Gebrochene Ideale/Isomorph und gleiche Klasse/Aufgabe]] [[Endliche Permutationen/1 bis n/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt]] [[Folge/C/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Explizite Darstellung/Erläuterung/d ist 2/0,1/Aufgabe]] [[Graph/Wald/Ergänzung/Fakt/Name]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2014)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Elementare Algebra/1/Test/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Deckblatt]] [[Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/100/Klausur]] [[Kurs:Differentialgeometrie/100/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Materialienaufzählung]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Platzaufteilung/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Testklausur/Ablauf]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Analysis/Teil I/64/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis/Teil II/26/Klausur mit Lösungen]] [[Sigmaendlicher Maßraum/Offenes Intervall/Funktion/Situation]] [[Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/4/Aufgabe]] [[Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt/Name/Inhalt]] [[Reeller Vektorraum/Gitter/Einführung/Textabschnitt]] [[Neilsche Parabel/+/Matrix zu Hauptteilen/Quadrataddition/Beispiel]] [[Noethersche Normalisierung/Ebene/3/Aufgabe]] [[Minimalpolynom/sqrt(3)+sqrt(7)/Aufgabe]] [[Kathetensatz/Lineare Algebra/Fakt/Name]] [[Dachprodukt/Endlichdimensional/Dimensionsangabe/Fakt/Name]] [[Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Definition/Begriff]] [[Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Definition/Begriff/Inhalt]] = = [[Nichtmodulare Gruppe/Normalteiler/Lineare Operation/Linearisierbar/Aufgabe]] [[SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/2/Fakt/Beweis]] [[R^3/Ohne Punkt/Einfach zusammenhängend/Aufgabe]] [[Intrat/Aufgabe]] [[Endliche lineare Gruppenoperation/pm S 2/Normalteiler/Linear und nicht/Aufgabe]] [[Chevalley-Shephard-Todd/Polynomring/Spiegelungsgruppe/Mit Jacobi-Determinante/Fakt/Beweis]] [[Algebra/Seminar/Mögliche Themen]] [[Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt mit Beweisklappe]] [[Modultheorie/Untermodul/Definition]] [[Lexikographische Ordnung/Leitmonom/Multiplikativ/Aufgabe]] [[Lineare Invariantentheorie/Relative Invarianten zu Charakter/Textabschnitt]] [[MDLUL/Anfangswertproblems]] [[Differentialgleichung/y^2+t+yt^2/0/Picard-Lindelöf/Bis vierte Iteration/Aufgabe]] [[Direkter Summand/Spektrumsabbildung/Einführung/Textabschnitt]] [[Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel]] [[Binäre polyedrische Gruppen/Realisierung in SL2C/Invariantenringe/Textabschnitt]] [[Wegintegral/Ebene/x^2-y^3,xy/t^2,t^3-5t/-3 bis 4/Beispiel]] [[Wegintegral/Stetiges Vektorfeld/Euklidisch/Definition]] [[Totale Differenzierbarkeit/R/Polynomiale Funktion/Aufgabe]] [[Totales Differential/R/Kettenregel/(uv^3w^2,u^2-v^2w) und (xy-y^2,cos(xy),x-y)/Beispiel]] [[Stetigkeit/Wikipediaartikel/Aufgabe]] [[Partielle Ableitung/K/xy^2-z^3, sin xy+x^2 exp z/Berechnung/Beispiel]] [[Polynomfunktionen/R/Sind stetig/Aufgabe]] [[Polynomialkoeffizient/Polynomring/Polynomialsatz/Aufgabe]] [[Primzahlen/Fermatsche Primzahl/Doppelexponent/Definition]] [[Prädikatenlogik/Ableitbar/Definition]] [[R^n/Abgeschlossene Teilmenge/Volumen/Überpflasterung/Fakt]] [[Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] [[Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/2/Definition]] [[Differentialgleichung/y+t+yt^2/0/Picard-Lindelöf/Bis vierte Iteration/Aufgabe]] [[Ebene Kurve/Bogenparametrisiert/Definition]] [[Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (t^3-yt^2,tx^2y-sinh t)/Start (0,1)/Aufgabe]] [[Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (x^2t-xyt+y^3-yt^3,x^3-xy^2+cos t)/Start (0,0)/Aufgabe]] [[Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (xt^2-y^2t,xy)/Start (0,0)/Aufgabe]] [[Bestimmtes Integral/Berechnung/x^2+3x-4 durch x-1/Von 2 bis 5/Aufgabe]] [[Familie/Alter/Lineares Gleichungssystem/2/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/5+2i und 3+7i/Aufgabe mit Lösungslink]] [[Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt mit Beweisklappe]] [[Prädikatenlogik/Ableitungskalkül/Surjektivität/Verknüpfung/Beispiel]] [[Prädikatenlogik/Erste Stufe/Identität/Syntaktische Tautologien/Sequenzenkalkül ableitbar/Textabschnitt]] [[Reihe/Koch Schneeflocke/Länge und Flächeninhalt/Aufgabe]] [[Sinus/R/Additionstheorem/Aufgabe]] [[Uneigentliches Integral/1 bis unendlich/1 durch t^n/n ganzzahlig/Beispiel]] == == [[Kurs:Invariantentheorie/100/Klausur]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/1. Drittel/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/1. Drittel/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/1. Drittel/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/2. Drittel/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/2. Drittel/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/2. Drittel/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. Drittel/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. Drittel/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. Drittel/3/Klausur mit Lösungen]] [[Euklidischer Algorithmus/Arbeitsblatt 1]] [[Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primitive Elemente/Arbeitsblatt]] [[Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismen/Z kanonisch/Aufgabe]] [[Kommutative Ringtheorie/Urbild eines maximalen Ideals/Nicht maximal/Aufgabe]] [[Kommutatives Monoid/Teilbarkeitseigenschaften/Arbeitsblatt]] [[Riemannsche Zetafunktion/Divergenz der Produktdarstellung für s ist 1/Fakt mit Beweis]] [[Gruppentheorie/Index/Definition/2]] [[Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Nichteinheiten Ideal/Definition]] [[Konjugierte invertierbare Matrizen/R/Invariante Eigenschaften/Aufgabe]] [[Zahlentheorie/Primzahlen/Kleiner Fermat/Fakt mit Beweisklappe]] [[Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Legendres Identität/Fakt mit Beweisklappe]] [[Zahlentheorie/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/ist zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/-1/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt mit Beweisklappe]] [[Riemannsche Zetafunktion/Divergenz der Produktdarstellung für s ist 1/Fakt mit Beweisklappe]] [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt mit Beweisklappe]] = = [[Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endliche Körper/Körper/X^q-X zerfällt/Körper mit q Elementen/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endliche Körper/Nullstellen von X^q-X/bilden Körper/Fakt mit Beweisklappe]] [[Carmichael Zahlen/Charakterisierung mit Primteilern/Fakt mit Beweisklappe]] [[Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Textabschnitt]] [[Euklidische Bereiche/Multiplikative euklidische Funktionen/Primkriterium/Fakt mit Beweisklappe]] [[Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Beweisverweis]] [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt mit Beweisklappe]] [[Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt mit Beweisklappe]] [[Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt mit Beweisklappe]] [[Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt mit Beweisklappe]] [[Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt mit Beweisklappe]] [[Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt mit Beweisklappe]] [[MDLUL/kompakten Teilmengen]] [[Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Kern ist zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] = = [[Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Funktion/Definition]] [[Quadratische Lösungsformel/R/Beweise/Aufgabe]] [[Reelle Funktion/Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Reelle Funktion/Linksseitiger rechtsseitiger Limes/Definition]] [[Reelle Funktion/Satz von Rolle/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Reelle Zahlen/Gaußklammer/Funktion/Definition]] [[Reelle Zahlen/Konvergente Folge/Gemittelte Folge/Aufgabe]] [[Integral/Dreieck (0,2), (1,-1), (-2,-1)/x^3y^2dxdy/Stammform/Aufgabe]] [[MDLUL/Offene Innere]] [[MDLUL/Untermannigfaltigkeit mit Rand]] [[MDLUL/diffeomorph (Rand)]] [[MDLUL/differenzierbare Funktionen (C^k)]] [[MDLUL/Überdeckung untergeordnete Partition der Eins]] [[Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Wegintegral/M und R^n/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialformen und Orientierung/Textabschnitt]] [[Polynomiale Abbildung/A^2 nach A^1/Eine Faser reduzibel, sonst irreduzibel/Aufgabe/2/Lösung]] [[Angeordneter Körper/Vollständigkeit/Textabschnitt]] [[MDLUL/Lösung für das Anfangswertproblem]] [[Chinesischer Restsatz (Z)/3/Basislösungen/4 5 9/1 4 7/Aufgabe]] [[Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/3/Aufgabe]] [[Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung]] [[MDLUL/messbaren Funktion]] [[MDLUL/Schnitt]] [[MDLUL/abgeschlossenen Untermannigmannigfaltigkeit]] [[MDLUL/orientierungstreu]] [[MDLUL/regulären Punkt (Kurve)]] [[Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Zusammenstellung/Textabschnitt]] [[MDLUL/wachsenden (Funktionenfolge)]] [[Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Textabschnitt]] [[MDLUL/kompakten]] [[MDLUL/Endomorphismus]] [[MDLUL/Polygons]] [[MDLUL/Dimension (Mannigfaltigkeit)]] [[MDLUL/Niveaumenge zum Wert 0]] [[Produktraum/Endlich/Produktprämaß auf Produktpräring/Textabschnitt]] [[Produktraum/Endlich/Produktpräring/Textabschnitt]] [[Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Begründungsfenster]] [[Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Begründungsfenster]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit/Glatter Tensor/Definition]] = = [[Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster]] [[Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Einführung/Textabschnitt]][[Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Linearität des Integrales/Textabschnitt]] [[Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Charakterisierung/Fakt]] [[Existenzsätze für Maße/Fortsetzung/Produktmaß/Textabschnitt]] [[Diskrete Bewertungsringe/Einführung/Textabschnitt]] [[MDLUL/Anfangsbedingung (dgl)]] [[MDLUL/Anfangswertprobleme]] [[MDLUL/Anfangswertprobleme (gd)]] [[MDLUL/Anfangswertprobleme (gdg)]] [[MDLUL/Anfangswertproblemen]] [[MDLUL/Anfangswertproblemen (gdg)]] [[MDLUL/Exponentialfunktionen (allg R)]] [[MDLUL/Funktionenfolgen (mr)]] [[MDLUL/Lineare Abbildung]] [[MDLUL/Linearfaktor (1K)]] [[MDLUL/Lösung (Anfangswertproblem gdg)]] [[MDLUL/Lösung (Anfangwertproblem gdg)]] [[MDLUL/Lösung des Anfangwertproblems (gdg)]] [[MDLUL/Matrixpotenz]] [[MDLUL/Maximum (fkt)]] [[MDLUL/Minimum (fkt)]] [[MDLUL/Neilsche Parabel]] [[MDLUL/Nullfolgen (R)]] [[MDLUL/Nullteiler]] [[MDLUL/Obere Schranke]] [[MDLUL/Obere Schranke (ang)]] [[MDLUL/Ordnung (Gruppe)]] [[MDLUL/Orthonormalbasen]] [[MDLUL/Partialsumme (C)]] [[MDLUL/Polynomring (1)]] [[MDLUL/Potenz (matrix)]] [[MDLUL/Produkt (Matrix)]] [[MDLUL/Rang (Matrix)]] [[MDLUL/Restklassenring (Z)]] [[MDLUL/Skalarprodukte (R)]] [[MDLUL/Skalarprodukten (R)]] [[MDLUL/Teilen]] [[MDLUL/Teilfolgen (mr)]] [[MDLUL/Untere Schranke]] [[MDLUL/Untere Schranke (ang)]] [[MDLUL/Wachstumsverhalten (abb)]] [[MDLUL/endlichdimensional (VR)]] [[MDLUL/erzeugte σ-Algebra]] [[MDLUL/stetige Abbildung (tr)]] [[Mathematik/Hilfsmittel/Griechisches Alphabet 2]] [[Messbare Funktionen/Folge/Supremum und Infimum/Fakt/Beweis]] [[Satz über implizite Abbildungen/Faser ist topologische Mannigfaltigkeit/Fakt]] [[Satz über implizite Abbildungen/Faser ist topologische Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis]] [[Satz über implizite Abbildungen/Stetige Beschreibung des Tangentialbündels der Faser/Fakt]] [[Tensorprodukte von Vektorräumen/Einführung/Textabschnitt]] [[Topologische Grundbegriffe/Zusammenstellung für Mannigfaltigkeiten/Textabschnitt]] [[Transformationsformel/Asphalt und Mittelstreifen/Beispiel]] [[Der Banachsche Fixpunktsatz/Textabschnitt]] [[Gewöhnliche Differentialgleichungen/Picard Lindelöf/Textabschnitt]] [[Satz über Umkehrabbildung/Textabschnitt]] [[Satz über implizite Abbildungen/Textabschnitt]] [[Stammfunktion/(sqrt(x^2+x+1))^3 +4 sqrt(x^2+x+1) x^3 -3 sqrt(x^2+x+1) x durch x^2 sqrt(x^2+x+1)/Aufgabe]] [[Bestimmtes Integral/f^2/Über 1 durch n+1 bis 1 durch n/Aufgabe]] [[Stammfunktion/1 durch cos/Aufgabe]] [[Uneigentliches Integral/t^x e^(-t)/0 bis -infty/Aufgabe]] [[Die Fakultätsfunktion/Komplex/Textabschnitt]] [[Uneigentliches Integral/0 bis 1/1 durch t^n/n ganzzahlig/Beispiel]] [[Mathematik/Einführender Text/Platon und Würfelsymmetrie/Vortrag/Zusatz]] = = [[Ganze Zahlen/Als Quotientenmenge/NxN/Äquivalenzrelation/Variante 1/Aufgabe]] [[Beschränkte Abbildungen/Euklidischer Raum/Supremumsnorm/Normeigenschaften/Aufgabe]] [[Polynom/Linearfaktor/Definition]] [[Potenzen, Wurzeln/Aufgabe 3/Aufgabe]] [[Sinus und Kosinus]] [[Hintereinanderschaltung/Treppenfunktion/Ist Treppenfunktion/Aufgabe]] [[Stammfunktionen/Rechenregeln/Textabschnitt]] [[Komplexe Reihen/Umordnungssatz/Fakt]] [[Komplexe Reihen/Umordnungssatz/Fakt/Beweis]] [[Mathematik/Einführung/Reflexion/Beweisprinzipien/Aufgabe]] [[Q nach R/Kleiner sqrt(2)/Keine stetige Fortsetzung/Aufgabe]] [[Seminar Algebra (Osnabrück 2009/2010)/Themen]] [[Abbildung/Metrischer Raum/Beschränkt/Definition]] [[Abbildung/Nach Körper/Nullfunktion/Definition]] [[Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Monoton/Definition]] [[Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum und Minimum/Definition]] [[Komplexe Kosinusfunktion/Definition]] [[Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise]] [[Matrix/Körper/Potenz/Definition]] [[Komplexe Kosinusfunktion/Durch Potenzreihe/Definition]] [[Komplexe Sinusfunktion/Durch Potenzreihe/Definition]] [[Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition]][[Abbildung nach Körper/Nullstelle/Definition]][[Obere Dreiecksmatrix/Definition]] [[Körper und reelle Zahlen/Quadratwurzel/Definition]] [[Lineare Algebra/Quadratische Matrix/Definition]] [[Matrix/Zeilenrang einer Matrix/Definition]] [[Basiswechsel/Übergangsmatrix/Definition]] [[Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Charakterisierung/Fakt/Beweis]] [[Determinante/Multiplikationssatz/Mit Spalten/Fakt/Beweis]] [[Determinante/Rekursiv/Alternierend und andere Eigenschaften/Fakt]] [[Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Definition]] [[Vektorraum/Nullraum/Definition]] [[Polynom/f(-1)ist2,f(1)ist0,f(3)ist5/Gleichungssystem/Aufgabe]] [[Determinante/Rekursiv/Alternierend und andere Eigenschaften/Fakt/Beweis]] [[Lineare Abbildung und Matrix/Bijektiv und invertierbar/Fakt]] [[Quadratische Matrix/Rang/Invertierbar/Linear unabhängig/Fakt/Beweis]] [[Körper/2 nicht null/Arithmetisches Mittel/Definition]] [[Reelle Zahlen/Folge/Beschränkt monoton/Konvergiert/Fakt/Beweis]] [[Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition]] [[Angeordneter Körper/Folgen/Textabschnitt]] [[Reelle Zahlen/Binomi/Fakt]][[Matrix/44/Abhängig von k/Selbstinvers/Aufgabe]] [[Endliche Mengen/Doppelte Existenz injektiver Abbildungen/Bijektiv/Aufgabe]] [[Endliche Mengen/In M unendlich/Gibt disjunkte bijektive Menge/Aufgabe]] [[Endliche Mengen/Über Injektion vergleichbar/Aufgabe]] [[Abbildung/Einschränkung auf Teilmenge/Definition]] [[Binomialkoeffizient/Anzahl der Monome vom Grad maximal n/Aufgabe]] [[Endliche Menge/In M unendlich/Bijektion zu 1...kl(T)/Aufgabe]] [[Endliche Menge/In M unendlich/Wohldefinierte Addition über disjunkte Mengen/Aufgabe]] [[Polynomialkoeffizient/Definition]] [[Polynomialkoeffizient/Polynomialsatz/Aufgabe]] [[Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Isoliertes System/Definition]] [[Vektorraum/Familie von Untervektorräumen/Untervektorraum/Aufgabe]] = = [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Eigentheorie/Textabschnitt]] [[Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/n ist p^e/e ist 1/Fakt]] [[Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/n ist p^e/e ist 1/Fakt/Beweis]] [[Affiner Raum/Reell/Lineare Variablentransformation/Definition]] [[Gruppentheorie/Alternierende Gruppe/Konstruktion/Aufgabe]] [[Semantische Einlesevorlagen/Alphabetische Parameterweitergabe]] [[Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Textabschnitt]] = = [[Seminar Algebraische Kurven (Osnabrück 2009)/Themen]] [[Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen und GgT/Textabschnitt]] [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Untergruppe und Element/Fakt]] [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Untergruppe und Element/Fakt/Beweis]] [[Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz/Abschätzungskette]] [[Theorie der Abbildungen/Abbildung/Als Relation/Definition]] [[Quadratische Reste/35 mod 97/Aufgabe]][[Ebene algebraische Kurve/Irreduzibel/Nur endlich viele singuläre Punkte/Aufgabe]] [[Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität (ohne Nakayama)/Fakt/Beweis]] [[Monomiale ebene Kurven/Multiplizität/Textabschnitt]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/align]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/detail]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/display//Grund1]] [[Topologie/Topologische Räume/Simplex/Definition]] [[Topologie (Osnabrück 2008/2009)/Arbeitsblatt 2]] = = [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorwort zum Skript]] [[Logik/Vollständigkeitssatz/Textabschnitt]] [[Lineare Abbildung/Determinante/Textabschnitt]] [[Zahlentheorie/Großer Fermat/Exponent 3/Fakt]] [[Satz von Schwarz/x^4y^5/Beispiel]] [[Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt mit Beweisklappe]] [[R nach R/Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Definition]] [[Quadratzahl/Definition]] [[JohnSinclair/Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Einzelbegründungen]] [[Restklassenringe (Z)/Restberechnung/36! mod 31/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/78+66i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Affiner Raum/Irreduzibilität/Schnitt von Zylinder und Kugel/2/Aufgabe]] [[Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Antimonotonie/Fakt]] [[Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Antimonotonie/Fakt/Beweis]] [[Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge ist Nullstellenmenge ihres Verschwindungsideals/Fakt/Beweis]] [[Kommutative Ringtheorie/Theorie der noetherschen kommutativen Ringe/Textabschnitt]] [[Lokale kommutative noethersche Ringe/Minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals/Einführender Textabschnitt]] [[Monomiale Kurven/Multiplizität/Textabschnitt]] [[Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Euklidischer Bereich Definition Alternative]] [[Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 2/X^6+X^2+1 und X^3+X/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 3/X^4+2X^2+X+2 und X^2+2X+1/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 7/X^3+6X^2+4 und X^2+3X+2/Aufgabe]] [[ Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/Q/2X^4-7X^2+5/2X+3 und X^3+1/Aufgabe]] = = [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt mit Beweis]] [[Chinesischer Restsatz (Z)/Basislösungen/7 8 9/Aufgabe]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/71 mod 89/Aufgabe]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/479 mod 1277/Aufgabe]] = = [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Addition und Multiplikation/bildet Ring/Fakt]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Addition und Multiplikation/bildet Ring/Fakt/Beweis]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt/Beweis]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Schnittring/Definition]] [[Affine Varietäten/Irreduzible/Rationale Funktion/Definition]] = = [[Stetige Funktion/Halbgerade/Überabzählbare Nullstellen/Aufgabe]] [[Stetige Funktion/R/Lokales Nullteilerpaar/Aufgabe]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Häufige Fehler/Zweite Woche/Doppelinduktion]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/TeilI I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Ferientutorium]] [[Zahlentheorie/Chinesischer Restsatz (Z)/4 5 11/Basislösungen/Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 6/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 7/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 3/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 3/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 11/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] = = [[Lineare Abbildung/Modul/Situation]] [[Lineare Abbildungen/Bestimme Bild und Kern 3x3/Aufgabe]] [[Lineares Gleichungssystem/Situation]] [[Logik/Terminterpretation/Surjektiv machen/Aufgabe]] [[Logistische Funktion/e^x durch 1+e^x/Eigenschaften/Aufgabe]] [[Numerischer Halbgruppenring/3,4,5/Unitäre Operatoren/Aufgabe]] [[Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Invertierungsfunktion/Logarithmus/Beispiel]] [[Modultheorie/Antisymmetrisierungsoperator/Definition]] [[Monoidring/Dimension zwei/Idempotenz/Lokale Picardgruppe/Beispiel]] [[Monoidring/Universelle Eigenschaft/Funktorialität/Einführung/2/Textabschnitt]] [[Monoidring/ZW ist XY/Unitärer Operator/Aufgabe]] [[Monoidring/Z^2 ist XY/Unitärer Operator/Aufgabe]] [[Münzwurf/10/Abwechselnd/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe/Lösung2]] [[N/Teilerverband/Untergruppenverband/Antimonoton/Aufgabe]] [[Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Nachfolger rechts/Fakt/Name]] [[Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Nachfolger rechts/Fakt/Name/Inhalt]] [[Kubisches Polynom/X^3-3X+1/Nullstelle/Polynomialer Ausdruck/Beispiel]] [[Mannigfaltigkeit/Riemannsches Vektorbündel/Metrischer Zusammenhang/Aufgabe]] [[Mathematik/Einführung/Reflexion/Lineare Algebra und Analysis/Aufgabe]] [[Mathematik/Einführung/Reflexion/Zahlensystem/Konstruktionen/Aufgabe]] [[Mathematik/Logik- und Knobelaufgaben/Liste/Zufallsauswahl]] [[Mathematik/Zahlen lügen/Reflexion/Aufgabe]] [[Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe/Lösung]] [[Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe/Lösung]] [[Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe/Lösung]] [[Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe/Lösung]] [[Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe/Lösung]] [[Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe]] [[Matrix/Eigenräume/2/Aufgabe]] [[Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe]] [[Maßraum/L^2-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/Offenes Intervall/Funktion/Situation]] [[Kähler-Differentiale/Projektiver Raum/Einführung/Textabschnitt]] [[Körper/Transzendenzbasis/Transzendenzgrad/Endlich/Einführung/Textabschnitt]] [[Körper/Transzendenzgrad/Transitivität/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Kompakte riemannsche Fläche/Basiswahl/Jacobische Varietät/Einführung/Textabschnitt]] [[Kompakte riemannsche Fläche/Basiwahl/Jacobische Varietät/Abbildung/Definition]] [[Kompakte riemannsche Fläche/Jacobische Varietät/Basis/Globale Differentialformen/Bemerkung]] [[Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann integrierbar auf Unterteilung/Existenz/Fakt]] [[Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann integrierbar auf Unterteilung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Kompaktes Intervall/Stetig differenzierbare Funktion/Situation]] [[Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialraum über holomorphe Kurven/Derivationen/Textabschnitt]] [[Komplexe Zahlen/Konjugation Betrag/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Definition]] [[Komutative Algebra/Freier Modul/Beispiel]] [[Konstruierbare Zahl/In keinem Kreisteilungskörper/Aufgabe]] [[Kreisbogen/Umgehung/Zurückweichung/Textabschnitt]] [[Kommutative Algebra/Alternierend/Beispiel]] [[Kommutative Algebra/Alternierende Abbildung/Erzeugendensystem/Fakt]] [[Kommutative Algebra/Modultheorie/Epimorphimus zwischen Freien Modul und Modul/Fakt]] [[Kommutative Algebra/Modultheorie/Isomorphie R^n und M/Bemerkung]] [[Kommutative Algebra/Modultheorie/Wohldefiniertheit des Ranges/Bemerkung]] [[Kommutative Algebra/Multilineare Abbildung über Moduln/Definition]] [[Kommutative Algebra/Ringtheorie/Ring modulo maximalem Ideal/Fakt]] [[Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Spektrumsabbildung/Normal/Textabschnitt]] [[Kommutativer Ring/Z mod k-graduiert/Twists mit verträglicher Gruppenoperation/Beispiel]] [[Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(2x+2y=4x+4y)/Idempotenz/Beispiel]] [[Vorkurs/Mathematik/2/Klausur]] [[Vorkurs/Mathematik/3/Klausur]] [[Gerichtete Graphen/Einführung/Textabschnitt]] [[Gerichtete Menge/Vorgängermenge/Definition/Begriff/Inhalt]] [[Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Ableitung/Fakt]] [[Gleichungssystem/Inhomogen/11/Aufgabe]] [[Gleichungssystem/Inhomogen/12/Aufgabe]] [[Gleichungssystem/Inhomogen/13/Aufgabe]] [[Gleichungssystem/Inhomogen/14/Aufgabe]] [[K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Schnittring/Definition/Begriff]] [[K^4 nach K^3/Urbild von Untervektorraum/4/Aufgabe]] [[Kegel/Linearform/Teilerfremdheit/Aufgabe]] [[Kegel/Zweidimensional/Kantengleichung/Signatur/Aufgabe]] [[Invertierbare Garbe/Übergangsabbildung/Motivation für Cech-Kohomologie/Beispiel]] [[Hilbertraum/Orthonormalsystem/Einführung/Textabschnitt]] [[Hilbertraum/Untervektorraum/Projektion/Textabschnitt]] [[Hintereinanderschaltung/Polynomiales Beispiel/4/Aufgabe]] [[Holomorphe Funktion/Entfaltung/z^2+y^2/Beispiel]] [[Homogene Polynome/S T ST/Homogene Gleichung/Aufgabe/Lösung]] [[Hyperbelfunktion/R/Kotangens hyperbolicus/Definition/Begriff]] [[Hyperbolische Halbebene/Kurve/Tangentiale Beschleunigung/1/Aufgabe]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorwort zum Skript]] [[Restklassenringe (Z)/Z/12/nilpotent idempotent Einheit/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Z/48/nilpotent idempotent Einheit/Aufgabe]] [[Quadratische Erweiterungen von Z/Element nicht in Z/Norm ist nicht Erzeuger von Schnitt mit Z/Aufgabe]] = = [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Test 1/Statistik]] [[Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/23+2i und 11+23i/Aufgabe]] [[Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/(1+ sqrt(D))/2 erfüllt Ganzheitsgleichung/Kein Zwischenring/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Berechnung/14! mod 187/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/35x ist 5 mod 100/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/4x ist 2 mod 6/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/4x ist 6 mod 9/Aufgabe]] = = [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/18/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/19/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/20/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/21/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/10/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/11/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/12/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/13/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/14/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T1/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T2/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T3/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T5/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T7/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Definitionsfrageliste]] [[Kurs:Analysis 3/13/Klausur]] [[Kurs:Analysis 3/18/Klausur]] [[Körpertheorie (Algebra)/Charakteristik/ist Primzahl/Aufgabe]] [[Quadratische Erweiterungen von Z/Z(sqrt(5))/Zerlegung von 2/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/-1+10i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/350+70i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/7-4i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/93-55i/Aufgabe]] = = [[Monoidring/Q geq 0/Erläutert/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Aktuelles]] = = [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Elementare Algebra/6/Klausur mit Lösungen]] [[Quadratische Reste/19 mod 97/Aufgabe]] [[Quadratische Reste/53 mod 83/Aufgabe]] [[Quadratische Reste/44 mod 73/Aufgabe]] = = [[Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Komplexes Polynom/Surjektiv/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Länge des Graphen/x^2 durch 2 - x + 13/Von 4 nach 8/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Wegintegral/Vektorfeld/Archimedische Spirale/Senkrechtes Feld/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Wärmeleitungsgleichung/Standardlösung mit Sinus/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Peano-Axiome/Multiplikation/Rechengesetze/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomring/Körper/1/Teilbarkeitsbegriffe/Textabschnitt]] [[Proportionalität/Summe und Produkt/Interpretation/Bemerkung]] [[Quadratisches Polynom/R/Äquivalenzklasse zu Verschiebung/Aufgabe]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1117 mod 1861/Aufgabe/Lösung/Einzelgründe]] [[Rationale Zahl/Primzahlexponentdarstellung/Rechnung/2/Aufgabe]] [[Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Einführung/2/Textabschnitt]] [[Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Restklassenring (Z)/55/Quadratische Gleichung/1/Aufgabe]] [[Restklassenring (Z)/65/Quadratische Gleichung/1/Aufgabe]] [[Schriftliches Addieren/Zehnersystem/2/Aufgabe]] [[Schriftliches Addieren/Zehnersystem/3/Aufgabe]] [[Schriftliches Multiplizieren/Zehnersystem/1/Aufgabe]] [[Stanley-Reisner-Ring/Ideal/Starke Zugehörigkeit auf Komponenten/Beispiel]] [[Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Gt Ggt teilerfremd/Definition]] [[Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Teilbarkeitstheorie (N)/gV und kgV/Definition]] [[Verknüpfung/Produktmenge/Natürliche Zahlen/Elementare Einführung/Textabschnitt]] [[Wurzel/Definition]] [[Zahlbereich/Restklassenring/Endlich/Fakt mit Beweisklappe]] [[Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrektheit/Zwei Beweise/Textabschnitt]] [[Zählen/Zweiersystem/Bis 10000/Aufgabe]] [[Äquivalenzrelation/N mal N/Sprünge (2,0) und (3,3)/Beispiele/Aufgabe]] [[Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Surjektiv/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenz/Zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Beschreibung des Legendre Symbols mit Summe/Fakt mit Beweisklappe]] [[Primzahlverteilung/Häufigkeit gegen null/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endlicher Körper/16/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/4/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/4/Multiplikationstafel]] [[Endlicher Körper/8/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/8/Multiplikationstafel]] [[Endlicher Körper/9/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/9/Multiplikationstafel]] [[Idealoperationen/Idealprodukt/Definition]] [[Quadratische Erweiterungen von Z/Element nicht in Z/Norm ist nicht Erzeuger von Schnitt mit Z/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/mod 13/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 13/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 14/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 14/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 15/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 15/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 16/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 16/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 17/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 17/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 18/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 18/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 20/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 20/Multiplikationstafel]] [[Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe mit Lösungslink]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe mit Lösungsklappe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe mit Lösung]] [[Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT(zwei Elemente)/Fakt]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/12x ist 3 mod 18/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1071 und 1029/Aufgabe mit Lösung]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/7x ist 0 mod 91/Aufgabe]] = = [[Magisches Quadrat/Erste n^2 Zahlen/Definition]] [[Normierter Vektorraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt mit Beweislink]] [[Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT (zwei Elemente)/Fakt/Beweis]] [[Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/7+4i und 5+3i/Aufgabe mit Lösungslink]] [[Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt/Beweis2]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 1]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 2]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 3]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 4]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 5]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Produktdarstellung/Berechnung/s ist 3/p ist 3 5 7/Aufgabe]] # [[Sophie Germain Primzahlen/Elementare Übersicht/Textabschnitt]] = = [[Cardanosche Formel/x^3-3x+1/Beispiel]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T2/Klausur mit Lösungen]] [[Reelle Exponentialfunktion/Einführung/Ohne stetig/Textabschnitt]] [[MDLUL/Norm (Zahlbereich)]] [[MDLUL/Ordnung (Z)]] [[MDLUL/Quadrate]] [[MDLUL/Tensorierung]] [[MDLUL/beschränkt (Folge R)]] [[MDLUL/freie Gruppe vom Rang]] [[Matrix/Diagonalgestalt/1/Beispiel]] [[Matrix/Diagonalgestalt/2/Beispiel]] [[Mengentheorie/Partition/Definition]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Definition/Begriff]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Definition/Begriff/Inhalt]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Textabschnitt]] [[Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt mit Beweisklappe]] [[Kombinatorik/Elementar/Einführung/Textabschnitt]] [[Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endliche geometrische Reihe/Term/Natürliche Zahlen/Aufgabe]] [[Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt mit Beweisklappe]] [[Primfaktorzerlegung/1573/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/2047/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/539/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/717/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/827/Aufgabe]] == == [[Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt/Beweis/Variante]] [[Prädikatenlogik/Substitution/Ohne Beweis/Einführung/Textabschnitt]] [[Strukturen/Automorphismus/Definition]] [[Strukturen/Isomorphismus (direkt)/Isomorph/Definition]] [[MDLUL/Alleinführung im Sukzedens]] [[MDLUL/Automorphismusgruppe (Struktur)]] [[MDLUL/Bijektive Abbildung]] [[MDLUL/Disjunktive Normalform]] [[MDLUL/Drehung (2)]] [[MDLUL/Extrema (mr)]] [[MDLUL/Grenzfunktion (mr)]] [[MDLUL/Konjugation (Untergruppe)]] [[MDLUL/Peano-Modelle]] [[MDLUL/Polynomfunktion (n R)]] [[MDLUL/Polynomringen (n)]] [[MDLUL/Randpunkt (R)]] [[MDLUL/Randpunkten (mr)]] [[MDLUL/Register-Programmen]] [[MDLUL/beschränkten (mr)]] [[MDLUL/differenzierbar (n)]] [[MDLUL/differenzierbare Funktionen (n)]] [[MDLUL/divergiert (mr)]] [[MDLUL/erststufigen Peanoaxiome]] [[MDLUL/gleichmäßig konvergiert]] [[MDLUL/gleichmäßig stetigen (mr)]] [[MDLUL/kompakten (Rn)]] [[MDLUL/konvergiert]] [[MDLUL/offenes (R)]] [[MDLUL/punktweise konvergent (funktfolge mr)]] [[MDLUL/reelles Intervall (ang)]] [[MDLUL/stetig differenzierbare Funktionen (1 K)]] [[MDLUL/summierbaren (C)]] [[MDLUL/(komplex-)differenzierbare (total)]] [[MDLUL/Ball (mr)]] [[MDLUL/Erzeugendensystem (VR)]] [[MDLUL/Homotopieklassen]] [[MDLUL/Laurent-Entwicklungen]] [[MDLUL/Obersumme]] [[MDLUL/Obersummen]] [[MDLUL/Polynomfunktionen (R)]] [[MDLUL/Untersumme]] [[MDLUL/Untersummen]] [[MDLUL/holomorphe (Funktion)]] [[MDLUL/holomorphe Funktionen]] [[MDLUL/holomorphen Funktion]] [[MDLUL/inversen gebrochenes Ideale (Dedekindbereich)]] [[MDLUL/inzident (Graph)]] [[MDLUL/komplex-differenzierbar (1)]] [[MDLUL/komplex-differenzierbare (C)]] [[MDLUL/komplex-differenzierbare (Funktion)]] [[MDLUL/komplex-differenzierbaren]] [[MDLUL/reell-differenzierbar]] [[MDLUL/unverzweigte Überlagerung (riemannsche Fläche)]] [[MDLUL/vertauschbaren (Matrix)]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/10/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/11/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/12/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/13/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/14/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/15/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/4/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/6/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/7/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/8/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/9/Klausur mit Lösungen]] [[Befreundete Zahlen/Regel von Thabit/2/Tabelle]] [[Dezimalentwicklung/5 durch 7/Aufgabe]] [[Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Phantasie/Stammbaum/Beispiel]] [[Vorkurs/Mathematik/4/Klausur]] [[Vorkurs/Mathematik/5/Klausur]] [[Windschiefe Geraden/R^3/Abstand/Beispiel]] [[Spaltenstochastisch/2x2/Beispiel/Zweiter Eigenvektor/Aufgabe]] [[Strahlensatz/Zwei Strahlen/Nur Strahlen/Fakt]] [[Quadratische Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt/Name/Inhalt]] [[Radius in Abhängigkeit von Winkel/Pseudoformel für Flächeninhalt/Aufgabe]] [[Rechnen mit Skalarprodukt/2/Aufgabe]] [[Reell-projektive Räume/Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt mit Beweisklappe]] [[Polynomring/Körper/1/Teilbarkeitsbegriffe/Textabschnitt [[Produktmenge/Direktes Produkt/Direkte Summe/Einführung/Textabschnitt]] [[Punkt in Ebene/Gerade/Abstand/1/Aufgabe]] [[Punkt in Ebene/Gerade/Abstand/2/Aufgabe]] [[MDLUL/fatalistischen (Modallogik)]] [[MDLUL/repräsentierbar (schwach)]] [[KXY/Modulo X^2 Y^2/Kein zyklischer Restklassentest/Beispiel]] [[Kugel/Lineare Abbildung/Beschreibung durch Quadrik/Aufgabe]] [[Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Widersprüchlich/Definition]] [[Fermat-Zahlen/Paarweise teilerfremd/Fakt mit Beweisklappe]] [[Quadratische_Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt/Name/Inhalt]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name/Inhalt]] [[Minkowski-Raum/4/Diagonale/Möglichkeiten/Aufgabe]] [[Endlich viele Mengen/Erzeugte Algebra/Indikatorfunktionen/Aufgabe]] [[Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/1/Fakt/Beweis]] [[Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/Fakt/Name/Inhalt]] [[Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Polynom/Wirkungsweise/Fakt/Name/Inhalt]] [[Endomorphismus/Polynom/Eigenvektor/Fakt/Name/Inhalt]] [[Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe für Endomorphismus/Fakt/Name/Inhalt]] [[Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Winkeltreu/Zuerst Streckung/Aufgabe]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name/Inhalt]] [[Minkowski-Raum/4/Diagonale/Möglichkeiten/Aufgabe]] [[Determinante/Transponierte einer Matrix/Aufgrund universeller Eigenschaft/Fakt/Name/Inhalt]] [[Multilineare Abbildung/Alternierend/K/Definition]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Charakterisierung auf Basis/Fakt/Name/Inhalt]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Minimalpolynom/Fakt/Name/Inhalt]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Sukzessive Kerne/Fakt/Name/Inhalt]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Trigonalisierbar/Fakt/Name/Inhalt]] [[Permutation/Signum ist Gruppenhomomorphismus/Fakt/Name/Inhalt]] [[Halbräume/Differenzierbare Abbildung/Über Ausdehnung/Definition]] [[Hauptachsentransformation/Einführung/Textabschnitt]] [[Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßiges n-Eck/Charakterisierung mit Fermatschen Primzahlen/Notwendige Bedingung/Fakt/Beweis]] [[KursEinführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Vorlesungsgestaltung]] [[Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Name]] [[Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Name]] [[Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineare Abbildung/Nilpotenter Kern und Bild/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineare Algebra/Linear unabhängig/Fast alle/Definition]] [[MDLUL/Kerne]] [[MDLUL/Peano-Axiome]] [[MDLUL/Unterraum]] [[MDLUL/Unterraum (vr)]] [[MDLUL/aufgespannten Parallelotops]] [[MDLUL/hermitesche (sesquilinear)]] [[MDLUL/isoliertes Minimum (R)]] [[MDLUL/nichtausgeartet]] [[MDLUL/translationsinvariant (Maß)]] [[MDLUL/translationsinvariante]] [[Affiner Raum/Affiner Unterraum/Charakterisierung/Fakt/Name/Inhalt]] [[Affiner Raum/Affiner Unterraum/Durchschnittseigenschaft/Fakt/Name/Inhalt]] [[Affiner Raum/Punktmenge/Erzeugter affiner Unterraum/Fakt/Name/Inhalt]] [[Affiner Unterraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Cayley-Hamilton/Fakt/Name/Inhalt]] [[Cayley-Hamilton/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Fakt/Name/Inhalt]] [[Charakteristisches Polynom/Begleitmatrix/Spalte/Aufgabe]] [[Endlichdimensionaler Vektorraum/Untervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineares Gleichungssystem/Über Z mod 7/2/Aufgabe]] [[MDLUL/linear-magischer Quadrate]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/36/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/10/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/11/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/12/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/13/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/14/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/15/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/16/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/17/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/18/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/4/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/5/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/6/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/7/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/8/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/9/Klausur mit Lösungen]]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Fehler TK/aufg12]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Fehler TK/aufg13]] [[Elementare und algebraische Zahlentheorie/T1/Klausur mit Lösungen]] == == [[Permutation/Stirling-Zahl erster Art/Einführung/Textabschnitt]] [[Permutationen/Zyklendarstellung/Einführung/Textabschnitt]] [[Projektive Ebene/Endlicher Körper/Inzidenzstruktur/Textabschnitt]] [[Projektive Ebene/Konzentrische Kreise/Schnittpunkte/Bézout/Aufgabe]] [[Punktierte affine Gerade/Potenzieren/C und R^2/Etale/Beispiel]] [[Rationale Funktion/Ordnung/1/Aufgabe]] [[Satz vom Igel/Eine Nullstelle/Aufgabe]] [[Satz von Gauss/Ebene/Fakt/Name]] [[Satz von Gauss/Ebene/Fakt/Name/Inhalt]] [[Satz über implizite Abbildungen/R/Stetige Beschreibung des Tangentialbündels der Faser/Fakt]] [[Satz über implizite Abbildungen/R/Textabschnitt]] [[Satz über implizite Abbildungen/Rekapituliere/Aufgabe]] [[Schema/R/Invertierbare Garbe/Sehr ampel/Affine Invertierbarkeitsorte und surjektiv/Fakt]] [[Schema/Topologische Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt]] [[Schneckenparadoxon/Reihe/Aufgabe]] [[Reihe/-1^n durch Wurzel(n^2+1)/(absolute) Konvergenz/Aufgabe]] [[Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Effektiv/Aufgabe]] [[Riemannsche Fläche/Kanonischer Divisor/Definition]] [[Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Differenzierbare Funktionen/Dolbeault/Textabschnitt]] [[Riemannsche Flächen/Divisoren/Invertierbare Garben/Textabschnitt]] [[Ring/Modul/Gruppenoperation/Verträglich/Textabschnitt]] [[Quasiprojektive Varietäten/Irreduzibel/Funktionenkörper/Definition]] [[R/Konvergente Folge/Gemittelte Folge/Aufgabe]] [[R^n/Standardbasis/Dualbasis/Beispiel]] [[Rationale Funktion/Exponentialfunktion/Stammfunktion/Aufgabe]] [[Rationale Parametrisierung/Gleichung/1/Aufgabe]] [[Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung2]] [[Reelle Funktion/Ableitung null/Konstant/2/Fakt]] [[Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/4/Aufgabe[[ [[Reelle Zahlen/Beschränktes Intervall/Abgeschlossen/Definition]] [[Reelle Zahlen/Beschränktes Intervall/Offen/Definition]] Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt/Name/Inhalt Reeller Vektorraum/Gitter/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomiale Abbildung/Standardaufblasung/Affine Koordinaten/Bemerkung]] [[Polynomring/Differentialoperatoren/Nicht kommutativ/Aufgabe]] [[Polynomring/Einsetzung/Matrix/X^2+(1+4i)X+3-i/2-i 1+3i 5 -3+4i/Aufgabe]] [[Polynomring/Formales partielles Ableiten/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomring/Gruppenoperation/Klein/F-Signatur/Fakt/en]] [[Polynomring/Polynom/Endliche Erweiterung/Phänomene/Beispiel]] [[Potenzreihe/(Un)gerade Potenzen/(Un)gerade Funktion/Aufgabe]] [[Potenzreihe/Koeffizient ist 1 durch n^2/Randverhalten/Aufgabe]] [[Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Definition/Begriff]] [[Primitive Einheitswurzeln/Galoiserzeuger/Aufgabe]] [[Produktraum/Endlich/Produktpräring/Produktprämaß/Textabschnitt]] [[Projektiver Raum/R/Topologie/Kegelabbildung/Definition]] [[Prägarben/Gruppe/Homomorphismus/Kern/Definition]] [[Elementare und algebraische Zahlentheorie/T3/Klausur]] [[Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/1071 und 1029/Aufgabe mit Lösung]] [[1-Form/K/Vektorräume/Textabschnitt]] [[Kurs:Maß- und Integrationstheorie/100/Klausur]] [[Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Information/Übungsbetrieb/Tutoren]] [[Kurs:Maß- und Integrationstheorie/Test 1/Klausur]] [[Kurs:Maß- und Integrationstheorie/Test 2/Klausur]] [[Kurs:Maß- und Integrationstheorie/Test 3/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Information/Testklausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Repetitorium]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Lizenzerklärung]] == == [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1. Drittel/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/2. Drittel/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/2. Drittel/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/2. Drittel/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/2. Hälfte/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/3. Drittel/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/3. Drittel/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/3. Drittel/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/1. Drittel/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Teiltest/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/100/Klausur]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Teiltest/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/31/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/32/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/33/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/34/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/35/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik/1a/Klausur]] [[Kurs:Analysis/Teil II/100/Klausur]] [[Kurs:Analysis/Teil I/61/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis/Teil I/62/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis/Teil I/63/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis/Teil I/64/Klausur mit Lösungen [[Kurs:Analysis/Teil I/65/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/100/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/100/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil 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[[Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe]] [[Umkehrfunktion/Potenzreihenansatz/cos x/1/Ordnung 4/Aufgabe]] [[Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt/Name/Inhalt]] [[Vektorraum/Dualbasis/Basiswechsel/Fakt/Name/Inhalt]] [[Vektorraum/K/Skalarprodukt/Normgleichheit/2/Aufgabe]] [[Zyklische Gruppe/Produkt/Eigentliche Symmetriegruppe/Aufgabe]] [[XY Z^3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel]] [[X^2+Y^2+Z^3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel]] [[X^2+Y^2+Z^k/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel]] [[Zahlbereich/3te Wurzel aus q/pm 1 mod 9/Kähler-Differential/Differente/Beispiel]] [[Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt mit Beweisklappe]] [[Zahlbereich/Ideal/Zerlegung im Restklassenring/Aufgabe]] [[Zahlbereich/Nenneraufnahme/Element/Endlich erzeugt/Aufgabe]] [[Zahlbereich/Restklassenring/Endlich/Fakt]] [[Zahlbereich/X^3-3X+1/Einheiten/Beispiel]] [[Zahlbereich/pte Wurzel aus q/Kähler-Differential/Differente/Beispiel]] [[Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt mit Beweisklappe]] [[Kurs:Analysis/Teil I/100/Klausur]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Algebraische Kurven/100/Klausur]] [[Topologische Mannigfaltigkeit/Fundamentalgruppe/Nach Dualraum/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologiegruppe/Fakt]] [[Topologische Räume/Lokal konstante Funktionen/Kohomologie/Produktstruktur/Textabschnitt]] [[Topologischer Raum/Kontrahierbar auf Punkt/Deformationsintervall links/Definition]] [[Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Untergeordnete (stetige) Partition der Eins/Direkt/Definition]] [[Topologischer Raum/Produktraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Topologischer Raum/Stetige Funktionen/Lokal beringter Raum/2/Beispiel]] [[Standardkegel/Derivationen/Nicht unitär/Aufgabe]] [[Summenzeichen/Anwendung/3/Aufgabe/Lösung]] [[Symmetrische Bilinearform/Nicht ausgeartet/Gramsche Determinante/Aufgabe]] [[Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim ist irreduzibel/Fakt mit Beweisklappe]] [[Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Axiomatisierbar/Aufzählbar/Fakt]] [[Sinus/Schwerpunkt/Aufgabe]] [[Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/Fakt/Name/Inhalt]] [[Sinusreihe/Kosinusreihe/Cauchyprodukt/Bis fünftes Glied/Aufgabe]] 0dw2gq4sqfqsl7lin21qsc2yf7c1mnh 2 19388 1117237 1114003 2026-10-20T17:07:57Z Bocardodarapti 2041 1117237 wikitext text/x-wiki [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Deckblatt]] [[/Jupyter/Github/Binder/Test]] [[/Differentialgeometrie]] check: [[Differenzierbare Funktion/Graph/Hyperfläche/Weingartenabbildung/Fakt]] [[/Monomiale Syzygien/Beispiel]] [[/Simpliziale Komplexe]] [[/Analysis III]] [[/Algebraische Zahlentheorie]] [[/Algebraische Topologie]] [[/Abelsche Kategorie/Weitere Axiome/Textabschnitt]] [[Komplexe Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt]] [[/Elliptisches]] [[/Riemannsche Flächen]] [[/Funktionentheorie]] [[/Diskrete Mathematik]] [[/Kommutative Algebra]] [[/Invariantentheorie]] [[/Differentialoperatoren]] [[/Trigonometrische Summen]] [[Chevalley-Warning/Einführung/Textabschnitt]] [[/Cogni/Papers]] [[/Sonderaufgaben]] [[/Z/Modulschema]] [[/Positive Charakteristik]] [[Simplizialer Komplex/K/Transpositionsbündel/Beispiel]] [[Topologische Filter/Konvergenz/Einführung/Textabschnitt]] [[Modul/Symmetrische Potenz/Einführung/Textabschnitt]] [[Benutzer:Pizarro4/Projekt/Freie Moduln]] [[Beringter Raum/Geradenbündel/Verklebung/Textabschnitt]] [[Kommutatives Monoid/Kürzbar/Torsion/Beispiele/Textabschnitt]] [[/Lineare Algebra]] [[/BEU]] [[/Lineare Algebra]] [[/Homologische Algebra]] [[/Modallogik]] [[/Affine Situation/Textabschnitt]] [[Affiner Raum/Knotenkurve/Textabschnitt]] == == [[Benutzer:Bocardodarapti/Rockettutor/Bemerkung]] [[Benutzer:Bocardodarapti/Didaktischer Populismus]] [[/Parameter/Tabellen]] [[/Sonstiges]] [[Hilfsparameter/Durchnummeriert/400]] https://www.geogebra.org/m/vWMCKYbV https://www.symbolab.com/solver/trigonometric-simplification-calculator http://classes.lt.unt.edu/Summer_MA_2013/CECS_5200_080/gmm0101/CECS5200/assign3/articles/Inclass%20multitasking.pdf http://blog.reyjunco.com/wp-content/uploads/2010/03/JuncoCottenMultitaskingFBTextCAE2012.pdf http://www.psychologytoday.com/files/attachments/40095/anempiricalexaminationoftheeducationalimpactoftextmessage-inducedtaskswitchingintheclassroom-educati.pdf == [[Projekt:Semantische Vorlagen]] == {{:Benutzer:Bocardodarapti/Vorlagendiagramm|Vorlagendiagramm}} [[:Kategorie:Mathematische Diagrammvorlagen]] === [[Benutzer:Bocardodarapti/monobook.js]] === === [[:Kategorie:Latex-Vorspann|Latex-Vorspänne]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Grundvorspann in Latex|Grund]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Vortragshandvorspann in Latex|Hand]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Skriptvorspann in Latex|Skript]] === [[Projekt:Semantische Vorlagen/Tabellen mit benannten Parametern/Latex|Tabellen mit benannten Parametern]] [[Projekt:Semantische_Vorlagen/Aufgabenblatt/Stauchung/Latex]] === [[:Kategorie:Vorlagen zur Kursgestaltung]] === ==== [[/Kursaufbau/Reihenfolge]] ==== === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik]] === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Verlinkungshilfe/Standardkurse]] === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Bereits kategorisiert]] === == Admin == [[Spezial:Spezialseiten]] == Sonstiges == [https://github.com/JonathanSteinbuch/sheafstability] [[/Sonstiges]] [[/Vom Fliegen]] [[Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)]] [[/Wiki-Seminar/Konzeption]] [[Graduiertenkolleg Osnabrück: Kombinatorische Strukturen in Algebra und Topologie]] [[Benutzer:Mgausmann]] == [[Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie]] == [[/Hilfstabellen]] [[/Hilfstabelle/1/20]] [[/Hilfstabelle/1/30]] [[/Hilfstabelle/2/20]] [[/Hilfstabelle/6/20]] [[/Hilfstabelle/7/20]] [[/Hilfstabelle/9/2]] == [[w:Wikipedia:Hilfe]] == === [[w:Hilfe:Vorlagenprogrammierung]] === [[commons:Category:Mathematics|Commons]] [[commons:Category:MediaWiki_edit_toolbar|Buttons]] == [[Benutzer:Bocardodarapti/Sonstiges|Sonstiges]] == == Check == [[:Kategorie:Mathematischer Text/check]] 2h7cmac25wou1vi2qee65h8nwusjo6d 106 84861 1117222 1116115 2026-10-20T15:19:34Z Bocardodarapti 2041 1117222 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Zweite Binomische Formel/Z nach Q/Aufgabe|p||| |Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe|p||| |20-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p||| |N/Untermonoid/3,7/Geldfälscher/2/Aufgabe|p||| |Frühe Vogel/Späte Igel/Aufgabe|p||| |Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/ffwf/Aufgabe|p||| |Aussagenlogik/Allgemeingültig/1/Aufgabe|p||| |Kein Schwein ruft mich an/Negation/Aufgabe|p||| |Topf/Deckel/Prädikatenlogisch/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/Einfaches Mengengesetz/1/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Injektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche Permutation/Zykellänge/Elemente/Aufgabe|p||| |Abbildung/N und Z/Injektiv und surjektiv/Aufgabe|p+||| |Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Aufgabe|p||| |Induktion/6^(n+2)+7^(2n+1) teilbar durch 43/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Addition/+1/Umlegung/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 9wm25oo74kcchgljyp88oz086pv03ae 108 98331 1117200 1111447 2026-10-20T14:57:12Z Bocardodarapti 2041 1117200 wikitext text/x-wiki [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1. Drittel/3/Klausur/latex]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1. Drittel/3/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/2. Hälfte/2/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1. Drittel/1/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/1/Klausur/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/1/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/10/Klausur/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/10/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/11/Klausur/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/11/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/12/Klausur/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/12/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/2/Klausur/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/2/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/3/Klausur/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/3/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/4/Klausur/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/4/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/5/Klausur/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/5/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/6/Klausur/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/6/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/7/Klausur/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/7/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/8/Klausur/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/8/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/9/Klausur/latex]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/9/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Vorlesungsaufzählung/Vorlesungstitellatex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/26/Klausur/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/26/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/27/Klausur/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/27/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/28/Klausur/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/28/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/29/Klausur/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/29/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/30/Klausur/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/30/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. 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[[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 19/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 19/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 2/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 2/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 20/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 20/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 21/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 21/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 22/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 22/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 23/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 23/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 24/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 24/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 25/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 25/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 26/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 26/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 3/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 3/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 4/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 4/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 5/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 5/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 6/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 6/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 7/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 7/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 8/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 8/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 9/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 9/latex]] [[Kommutativer Ring/Komplex/Homomorphismus/Homotopie/Einführung/Textabschnitt/latex]] [[Kleines Einsminuseins/Tabelle/latex]] [[Facard/Vortrag/1/Textabschnitt/latex]] [[Facard/Vortrag/2/Textabschnitt/latex]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/3/Textabschnitt/latex]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/1/Textabschnitt/latex]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/2/Textabschnitt/latex]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Einführung/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Teiltest/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Teiltest/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/10/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/10/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/11/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/11/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/12/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/12/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/13/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/13/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/18/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Teiltest/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Teiltest/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/3/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/3/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/7/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/7/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/8/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/8/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/9/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/9/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/3/Teiltest/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Teiltest/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Teiltest/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/50/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Reflexionsaufgaben/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesungsaufzählung/latex]] [[Vorlage:Aufzählung2/latex‏‎]] [[Vorlage:Aufzählung3/latex‏‎]] [[Vorlage:Aufzählung4/latex‏‎]] [[Vorlage:Aufzählung5/latex]] [[Vorlage:Aufzählung6/latex‏‎]] [[Vorlage:Anführung/latex‏‎]] [[Vorlage:Align/latex‏‎]] [[Vorlage:Einrückung/latex]] [[Vorlage:Inputbild/latex‏‎]] [[Vorlage:Math/latex]] [[Vorlage:Seitenüberschrift/latex‏‎‏]] [[Vorlage:Zwischenüberschrift/latex‏]] [[Mathematik/Einführender Text/Quadratur des Kreises/Vortrag/latex]] [[Gruppenoperation/Einführung/Textabschnitt/latex]] [[Gruppenoperation/Äquivalente Elemente/Definition/latex]] [[Separable und rein-inseparable Elemente/Separabler Abschluss/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/21/Klausur/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/21/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorwort zum Skript/latex]] [[Mathematik/Einführender Text/Platon und Würfelsymmetrie/Vortrag/latex]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/1/Klausur/latex]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/1/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/11/Klausur/latex]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/11/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/2/Klausur/latex]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/2/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Aktuelles]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Grundlagen zu Hauptidealbereichen/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Elementarteilersatz/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Grundlagen zu Moduln/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 1/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 10/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 2/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 3/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 4/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 5/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 6/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 7/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 8/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 9/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 1/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 2/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 3/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 4/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 5/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 6/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 7/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 8/latex]] [[Kurs:Vector bundles and ideal closure operations (MSRI 2012)/Lecture 1/latex]] [[Kurs:Vector bundles and ideal closure operations (MSRI 2012)/Lecture 2/latex]] [[Kurs:Vector bundles and ideal closure operations (MSRI 2012)/Lecture 3/latex]] [[Kurs:Vector bundles and ideal closure operations (MSRI 2012)/Tutorial/latex]] [[Kurs:Vector bundles and their torsors (Kolkata 2011)/Lecture 1/latex]] [[Kurs:Vector bundles and their torsors (Kolkata 2011)/Lecture 2/latex]] [[Kurs:Vector bundles and their torsors (Kolkata 2011)/Lecture 3/latex]] [[Kurs:Vector bundles and their torsors (Kolkata 2011)/Lecture 4/latex]] [[Kurs:Vector bundles and their torsors (Kolkata 2011)/Lecture 5/latex]] = = [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Modultheorie für Vektorraum-Endomorphismen/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Torsion und Annullator/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Zerlegung von Moduln über Hauptidealbereichen/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Reflexionsaufgaben/latex]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Restklassenräume/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Zusatzaufgaben/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Endliche Mengen/latex]] [[Isomorphe Fußballgruppen/Fragen/Textabschnitt/latex]] [[Äquivalenzrelation/Einführung/Textabschnitt/latex]] [[Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/z bis 100/Tabelle/latex]] [[Mathematik/Einführender Text/Pythagoreische Tripel und der Einheitskreis/Vortrag/latex]] [[Lucas-Test (A.Brankova und T.Nikolaenkova)/latex]] [[Diskrete Mathematik (Bochum 2004)/Klausur/latex]] [[Diskrete Mathematik (Bochum 2004)/Klausur2/latex]] [[Aufgabenblatt zu Peano-Axiomen 1/latex]] [[Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt10/latex]] [[Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt11/latex]] [[Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt12/latex]] [[Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt13/latex]] [[Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt8/latex]] [[Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt9/latex]] [[Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] = = [[Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)/Abschnitt 2.1/latex]] [[Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)/Abschnitt 2.2/latex]] [[Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)/Abschnitt 2.3/latex]] [[Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)/Abschnitt 2.4/latex]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Formelsammlung/latex]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Reflexionsaufgaben/latex]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Vorwort zum Skript/latex]] [[Kurs:Analysis 3/19/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis 3/19/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Vektorbündel und Abschlussoperationen (MSRI 2012)/latex]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Vorlesungsaufzählung/latex]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Vorwort zum Skript/latex]] [[Kurs:Mathematik für Anwender I/2/Klausur/latex]] [[Kurs:Mathematik für Anwender I/2/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Mathematik für Anwender I/3/Klausur/latex]] [[Kurs:Mathematik für Anwender II/Teiltest 1/Klausur/latex]] [[Kurs:Mathematik für Anwender II/Teiltest 1/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Proseminar:Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen (Osnabrück 2011-2012)/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Deckblatt/latex]] [Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorwort zum Skript/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/2/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/2/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Test 3/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Test 3/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Test/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Deckblatt/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Information/Übungsbetrieb/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Reflexionsaufgaben/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/2/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Abelsche Gruppen/Hauptsatz/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Diagonalisierbare Abbildungen/Ergänzungen/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Gruppenoperation/Einführung/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Liste der Hauptsätze/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Permutationsgruppen/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Polynomring in einer Variablen/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Verknüpfung und Gruppen/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/1/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/T1/Klausur/latex]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/T1/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesungsaufzählung/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 1/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 2/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 3/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 4/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 5/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 6/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 7/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 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[[Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Fundamentalgruppe und Vektorbündel (Osnabrück 2011)/Vorlesung 1/latex]] [[Kurs:Fundamentalgruppe und Vektorbündel (Osnabrück 2011)/Vorlesung 2/latex]] [[Kurs:Fundamentalgruppe und Vektorbündel (Osnabrück 2011)/Vorlesung 3/latex]] [[Kurs:Fundamentalgruppe und Vektorbündel (Osnabrück 2011)/Vorlesung 4/latex]] [[Kurs:Fundamentalgruppe und Vektorbündel (Osnabrück 2011)/Vorlesung 5/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Information/Übungsbetrieb/latex]] [[Kurs:Computation of tight closure (Ann Arbor 2012)/Lecture 1/latex]] [[Kurs:Computation of tight closure (Ann Arbor 2012)/Lecture 2/latex]] [[Kurs:Computation of tight closure (Ann Arbor 2012)/Lecture 3/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T6/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T6/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Deckblatt/latex]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Information/Übungsbetrieb/latex]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Vorwort zum Skript/latex]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Deckblatt/latex]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Vorlesung/latex]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Vorlesung 5/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/1/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/1/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/10/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/10/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/11/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/11/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/12/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/12/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/13/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/13/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/3/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/3/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/4/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/4/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/5/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/5/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/6/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/6/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/7/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/7/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/8/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/8/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 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11/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 12/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 12/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 13/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 13/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 14/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 14/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 15/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 15/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 16/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 16/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 17/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 17/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 18/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 18/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 19/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 19/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 2/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 2/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 20/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 20/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 21/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 21/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 22/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 22/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 23/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 23/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 24/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 24/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 25/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 25/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 26/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 26/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 3/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 3/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 4/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 4/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 5/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 5/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 6/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 6/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 7/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 7/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 8/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 8/latex]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 9/kontrolle]] [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 9/latex]] [[Kommutativer Ring/Komplex/Homomorphismus/Homotopie/Einführung/Textabschnitt/latex]] [[Kleines Einsminuseins/Tabelle/latex]] [[Facard/Vortrag/1/Textabschnitt/latex]] [[Facard/Vortrag/2/Textabschnitt/latex]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/3/Textabschnitt/latex]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/1/Textabschnitt/latex]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/2/Textabschnitt/latex]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Einführung/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Teiltest/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Teiltest/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/10/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/10/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/11/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/11/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/12/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/12/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/13/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/13/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/18/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Teiltest/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Teiltest/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/3/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/3/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/7/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/7/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/8/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/8/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/9/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/9/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/3/Teiltest/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Teiltest/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Teiltest/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/50/Klausur/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Reflexionsaufgaben/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesungsaufzählung/latex]] [[Vorlage:Aufzählung2/latex‏‎]] [[Vorlage:Aufzählung3/latex‏‎]] [[Vorlage:Aufzählung4/latex‏‎]] [[Vorlage:Aufzählung5/latex]] [[Vorlage:Aufzählung6/latex‏‎]] [[Vorlage:Anführung/latex‏‎]] [[Vorlage:Align/latex‏‎]] [[Vorlage:Einrückung/latex]] [[Vorlage:Inputbild/latex‏‎]] [[Vorlage:Math/latex]] [[Vorlage:Seitenüberschrift/latex‏‎‏]] [[Vorlage:Zwischenüberschrift/latex‏]] [[Mathematik/Einführender Text/Quadratur des Kreises/Vortrag/latex]] [[Gruppenoperation/Einführung/Textabschnitt/latex]] [[Gruppenoperation/Äquivalente Elemente/Definition/latex]] [[Separable und rein-inseparable Elemente/Separabler Abschluss/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/21/Klausur/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/21/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorwort zum Skript/latex]] [[Mathematik/Einführender Text/Platon und Würfelsymmetrie/Vortrag/latex]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/1/Klausur/latex]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/1/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/11/Klausur/latex]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/11/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/2/Klausur/latex]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/2/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Aktuelles]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Grundlagen zu Hauptidealbereichen/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Elementarteilersatz/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Grundlagen zu Moduln/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 1/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 10/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 2/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 3/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 4/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 5/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 6/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 7/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 8/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Medellin 2012)/Lecture 9/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 1/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 2/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 3/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 4/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 5/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 6/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 7/latex]] [[Kurs:Vector bundles, forcing algebras and local cohomology (Tehran 2012)/Lecture 8/latex]] [[Kurs:Vector bundles and ideal closure operations (MSRI 2012)/Lecture 1/latex]] [[Kurs:Vector bundles and ideal closure operations (MSRI 2012)/Lecture 2/latex]] [[Kurs:Vector bundles and ideal closure operations (MSRI 2012)/Lecture 3/latex]] [[Kurs:Vector bundles and ideal closure operations (MSRI 2012)/Tutorial/latex]] [[Kurs:Vector bundles and their torsors (Kolkata 2011)/Lecture 1/latex]] [[Kurs:Vector bundles and their torsors (Kolkata 2011)/Lecture 2/latex]] [[Kurs:Vector bundles and their torsors (Kolkata 2011)/Lecture 3/latex]] [[Kurs:Vector bundles and their torsors (Kolkata 2011)/Lecture 4/latex]] [[Kurs:Vector bundles and their torsors (Kolkata 2011)/Lecture 5/latex]] = = [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Modultheorie für Vektorraum-Endomorphismen/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Torsion und Annullator/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Zerlegung von Moduln über Hauptidealbereichen/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Reflexionsaufgaben/latex]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Restklassenräume/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Zusatzaufgaben/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Endliche Mengen/latex]] [[Isomorphe Fußballgruppen/Fragen/Textabschnitt/latex]] [[Äquivalenzrelation/Einführung/Textabschnitt/latex]] [[Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/z bis 100/Tabelle/latex]] [[Mathematik/Einführender Text/Pythagoreische Tripel und der Einheitskreis/Vortrag/latex]] [[Lucas-Test (A.Brankova und T.Nikolaenkova)/latex]] [[Diskrete Mathematik (Bochum 2004)/Klausur/latex]] [[Diskrete Mathematik (Bochum 2004)/Klausur2/latex]] [[Aufgabenblatt zu Peano-Axiomen 1/latex]] [[Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt10/latex]] [[Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt11/latex]] [[Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt12/latex]] [[Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt13/latex]] [[Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt8/latex]] [[Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt9/latex]] [[Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] = = [[Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)/Abschnitt 2.1/latex]] [[Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)/Abschnitt 2.2/latex]] [[Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)/Abschnitt 2.3/latex]] [[Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)/Abschnitt 2.4/latex]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Formelsammlung/latex]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Reflexionsaufgaben/latex]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Vorwort zum Skript/latex]] [[Kurs:Analysis 3/19/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis 3/19/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Vektorbündel und Abschlussoperationen (MSRI 2012)/latex]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Vorlesungsaufzählung/latex]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Vorwort zum Skript/latex]] [[Kurs:Mathematik für Anwender I/2/Klausur/latex]] [[Kurs:Mathematik für Anwender I/2/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Mathematik für Anwender I/3/Klausur/latex]] [[Kurs:Mathematik für Anwender II/Teiltest 1/Klausur/latex]] [[Kurs:Mathematik für Anwender II/Teiltest 1/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Proseminar:Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen (Osnabrück 2011-2012)/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Deckblatt/latex]] [Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorwort zum Skript/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/2/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/2/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Test 3/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Test 3/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Test/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Deckblatt/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Information/Übungsbetrieb/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Reflexionsaufgaben/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/2/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Abelsche Gruppen/Hauptsatz/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Diagonalisierbare Abbildungen/Ergänzungen/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Gruppenoperation/Einführung/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Liste der Hauptsätze/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Permutationsgruppen/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Polynomring in einer Variablen/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Verknüpfung und Gruppen/Textabschnitt/latex]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/1/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/T1/Klausur/latex]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/T1/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesungsaufzählung/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 1/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 2/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 3/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 4/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 5/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 6/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 7/latex]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 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2012-2013)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorwort zum Skript/latex]] [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorwort zum Skript/latex]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/1/Klausur/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/1/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/2/Klausur/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/2/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/3/Klausur/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/3/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/4/Klausur/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/4/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/5/Klausur/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/5/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/T1/Klausur/latex]] [[Kurs:Elementare Algebra/T1/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblattaufzählung/latex]] [[Kurs:Fundamentalgruppe und Vektorbündel (Osnabrück 2011)/Vorlesung 1/latex]] [[Kurs:Fundamentalgruppe und Vektorbündel (Osnabrück 2011)/Vorlesung 2/latex]] [[Kurs:Fundamentalgruppe und Vektorbündel (Osnabrück 2011)/Vorlesung 3/latex]] [[Kurs:Fundamentalgruppe und Vektorbündel (Osnabrück 2011)/Vorlesung 4/latex]] [[Kurs:Fundamentalgruppe und Vektorbündel (Osnabrück 2011)/Vorlesung 5/latex]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Information/Übungsbetrieb/latex]] [[Kurs:Computation of tight closure (Ann Arbor 2012)/Lecture 1/latex]] [[Kurs:Computation of tight closure (Ann Arbor 2012)/Lecture 2/latex]] [[Kurs:Computation of tight closure (Ann Arbor 2012)/Lecture 3/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T6/Klausur/latex]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T6/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Deckblatt/latex]] 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[[Kurs:Analysis/Teil I/29/Klausur mit Lösungen/kontrolle]] [[Kurs:Analysis/Teil I/29/Klausur mit Lösungen/latex]] [[Kurs:Analysis/Teil I/3/Klausur/kontrolle]] [[Kategorie:Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Sonstiges]] rrh21yiirlmvc61ngjlzv3h9vjvh7b9 0 98616 1117179 1115980 2026-10-20T14:10:49Z PaFra 14559 /* 2.1.3. Die neue Gemeinde */ 1117179 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01|1 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03|>>> 3]] {{TOC nonum}} = 2. Die Anfänge der neuen Religion: Muhammad in Mekka = Die Sitzung beschreibt Muhammads religiöse Entwicklung im hanīfischen Milieu, seine Anhängerschaft und Auseinandersetzung mit Gegnern in Mekka bis zum Jahre 622. Anhand von koranischen Aussagen wird sodann seine frühe religiöse Botschaft rekonstruiert. Schließlich werden die neuen Formen des Gottesdienstes behandelt, durch die sich die neue Religionsgemeinschaft auszeichnet. == 2.1. Muhammad, seine frühen Anhänger und Gegner nach den arabischen Quellen == === 2.1.1. Der Charakter der Quellen === Muhammads Leben wird durch eine große Anzahl arabischer Quellenwerke beleuchtet. Das bekannteste und älteste erhaltene biographische Werk, das sich allein mit seiner Person befasst, ist die sogenannte ''Sīra'' von [[w:Ibn Hischām|Ibn Hischām]] (gest. 834). Daneben existieren noch mehrere andere biographische und historiographische Werke, die das Leben Muhammads behandeln, so zum Beispiel die Weltchronik von [[w:at-Tabarī|Abū Dschaʿfar Ibn Dscharīr at-Tabarī]] (gest. 923). Diese Werke bestehen zum großen Teil aus Einzelberichten (''aḫbār'', sg. ''ḫabar''), die jeweils auf Personen, Gruppen oder Ereignisse konzentriert sind. Eine formale Eigenheit dieser Berichte besteht darin, dass sie jeweils zwei Teile enthalten: zum einen den eigentlichen Text über das Ereignis, zum anderen die diesem Text vorangestellte Überlieferungskette ([[w:Isnād|Isnād]]). Anhand dieser Überlieferungsketten lässt sich feststellen, dass die Verfasser dieser Werke ihre Informationen aus einer Fülle früherer Werke schöpften, die nicht eigenständig erhalten sind. Die ''Sīra'' Ibn Hischāms und die Berichte at-Tabarīs zum Leben des Propheten zum Beispiel basieren auf einem nicht mehr existierenden Werk des Gelehrten [[w:Ibn Ishāq|Ibn Ishāq]] (gest. 767), der am Hofe des abbasidischen Kalifen [[w:al-Mansūr (Abbaside)|al-Mansūr]] tätig war. Er und andere Autoren, die nicht von Ibn Ishāq abhingen, hatten ihre Informationen zum großen Teil von [[w:Ibn Schihāb az-Zuhrī|Ibn Schihāb az-Zuhrī]] (gest. 742), einem Gelehrten am Hof der [[w:Umayyaden|Umaiyaden]]. Dieser wiederum berief sich auf frühere Gewährsleute wie [[w:ʿUrwa ibn az-Zubair|ʿUrwa ibn az-Zubair]] (gest. 713). Den heute noch erhaltenen Werken ging somit eine längere mündliche und schriftliche Überlieferung voraus. Einige der Berichte, die sich in den arabischen Quellenwerken finden, haben legendenhaften Charakter. Sie dienten vor allem dazu, den hohen religiösen Rang Muhammads aufzuzeigen. Lässt man diese Berichte mit wunderhaften Elementen weg, so kann man anhand der genannten Quellen Muhammads Leben und die Geschehnisse um ihn annähernd rekonstruieren. === 2.1.2. Muhammad und seine religiöse Entwicklung === At-Tabarī zitiert den Historiker und Genealogen [[w:Ibn al-Kalbī|Ibn al-Kalbī]] (gest. 819) mit der Aussage, Muhammad sei im 42. Jahr nach dem Herrschaftsantritt des Sassanidenherrschers [[w:Chosrau I.|Chosrau I. Anuschirwan]] geboren worden. Demnach ist seine Geburt auf das Jahr 573 zu datieren. Muhammads Vater [[w:ʿAbdallāh ibn ʿAbd al-Muttalib|ʿAbdallāh]] aus dem Clan der [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]] starb kurz vor der Geburt seines Sohnes auf einer Geschäftsreise. Muhammad lebte eine Zeitlang bei seiner Mutter [[w:Āmina bint Wahb|Āmina]] und deren Familie, die dem Clan der Banū Zuhra angehörte. Als Muhammad sechs Jahre alt war, starb auch seine Mutter, und er kam in die Obhut seines väterlichen Großvaters [[w:ʿAbd al-Muttalib ibn Hāschim|ʿAbd al-Muttalib]], der zu dieser Zeit Hakam der Banū Hāschim war und das Amt der ''siqāya'', also der Tränkung der Pilger, innehatte. Ihm wird auch die Reaktivierung des Brunnens [[w:Zamzam|Zamzam]] bei der Kaaba zugeschrieben, über den die Pilger mit Wasser versorgt wurden. Als ʿAbd al-Muttalib zwei Jahre später ebenfalls starb, kam Muhammad in den Haushalt seines väterlichen Onkels [[w:Abū Tālib ibn ʿAbd al-Muttalib|Abū Tālib]], der von seinem Vater die führende Position im Clan erbte und als Händler tätig war. [[File:The House of Khadijah, The Prophet Mohammad's Wife in Mecca after Demolition 01.jpg|mini|Das Haus von Chadīdscha in Mekka wurde von den Muslimen über Jahrhunderte als heiliger Ort verehrt. Nachdem es 1925 von den [[w:Wahhabiten|Wahhabiten]] zerstört wurde, fanden dort im Dezember 1989 Ausgrabungen statt.]] Als Muhammad ungefähr 25 Jahre alt war, forderte ihn eine wohlhabende Witwe namens [[w:Chadīdscha bint Chuwailid|Chadīdscha]] auf, auf einer Reise nach Syrien als ihr Beauftragter zu handeln. Chadīdscha war mit der Art und Weise, wie Muhammad ihren Auftrag erfüllt hatte, zufrieden und bot ihm die Ehe an. Diese Heirat bildete einen wichtigen Wendepunkt in Muhammads Leben. Dem arabischen Brauch entsprechend hatte er als Minderjähriger weder von seiner Mutter noch von seinem Großvater etwas geerbt. Die Ehe mit Chadīdscha jedoch, die wahrscheinlich dem uxorilokalen Typ entsprach, versorgte ihn mit dem nötigen Kapital, damit er sich als Kaufmann niederlassen konnte. Auf diesen „Aufstieg“ bezieht sich nach der islamischen Überlieferung das folgende Koranwort: {{Zitat|Hat er dich nicht als Waise gefunden und (dir) Aufnahme gewährt, dich auf dem Irrweg gefunden und rechtgeleitet und dich bedürftig gefunden und reich gemacht?|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/93/vers/6 Q 93:6-8]}} Muhammad war durch die Ehe mit Chadīdscha so wohlhabend, dass er zur Entlastung seines Onkels Abū Tālib, der sich verschuldet hatte, dessen noch jungen Sohn [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī]] in seinen Haushalt aufnehmen konnte. Zu einem bestimmten Zeitpunkt scheint Muhammad mit den [[w:Hanīf|Hanīfen]] (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.6. Der religiöse Wandel und die Hanīfen|1.3.6.]]) in Kontakt gekommen zu sein. Ein Anzahl von Überlieferungen berichtet davon, dass es der Hanīf Zaid ibn ʿAmr war, der ihn dazu brachte, kein Fleisch mehr von Tieren zu essen, die man für die Götzen geopfert hatte. Irgendwann scheint er auch mit besonderen religiösen Übungen begonnen zu haben. Von [[w:Aischa bint Abi Bakr|ʿĀ'ischa bint Abī Bakr]], Muhammads späterer Frau, werden dazu folgende Worte überliefert: {{Zitat|Dann wurde ihm das Alleinsein lieb, und er hielt sich in einer Höhle auf dem Berg Hirā' auf, um sich dort eine Anzahl von Nächten dem Tahannuth hinzugeben, bevor er zu seiner Familie zurückkehrte. Er pflegte sich dafür mit Proviant zu versorgen. War dieser aufgebraucht, kehrte er zu Chadīdscha zurück, um sich mit neuen Vorräten zu versehen.|[[w:Sahīh al-Buchārī|Sahīh al-Buchārī]]}} Der Tahannuth war eine fromme Übung, die zu Muhammads Zeit vor allem von Hanīfen vollzogen wurde. Sie galt der Verehrung des Heiligen Bezirks von Mekka, wurde im Sommer vollzogen, und bestand neben der mehrwöchigen Einkehr am Berg [[w:Hirā'|Hirā']] aus der Gabe von Almosen. Bekannt ist auch, dass Muhammad zu jener Zeit in dem Sommermonat [[w:Schaʿbān|Schaʿbān]] ein mehrtägiges Fasten einhielt. [[File:Intheroadofhiracave.JPG|mini|Der Berg Hirā', auf den sich Muhammad nach der islamischen Überlieferung vor seinen ersten Offenbarungen zurückgezogen hat]] Die arabische Überlieferung berichtet, dass Muhammad während seiner Andachtsübungen am Berg Hirā' ein religiöses Erlebnis hatte, das ihn tief erschütterte. Wie dieses religiöse Erlebnis genau aussah, ist nur noch schwer zu rekonstruieren. Im Koran selbst finden wir in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/53/vers/3 Sure 53:3-18] einen eindrucksvollen Visionsbericht, der möglicherweise dieses erste Erlebnis beschreibt. Demnach sah Muhammad eine Gestalt, die „am höchsten Horizont hoch aufgerichtet thronte“, dann näher kam und sich herabsenkte, „nur zwei Bogenlängen entfernt oder noch näher“. Diese Gestalt, „stark an Kraft und Festigkeit“ teilte sich ihm in Form einer Eingebung (''waḥy'') mit und lehrte ihn etwas. Wer diese Gestalt war, die Muhammad erblickte, wird im koranischen Bericht nicht spezifiziert. Offensichtlich war Muhammad sich selbst über die Person, die er bei seinem Erlebnis gesehen hatte, unsicher. In den arabischen Quellen wird berichtet, dass er bzw. seine Frau Chadīdscha einen Mann namens [[w:Waraqa ibn Naufal|Waraqa ibn Naufal]] aufsuchte, um ihn über das Erlebte zu konsultieren. Waraqa wird ebenfalls den Hanīfen zugerechnet, soll allerdings zum Christentum konvertiert und mit den „heiligen Schriften“ vertraut gewesen sein. Er soll Muhammads Erlebnis so gedeutet haben, dass das „große Gesetz“ (''an-nāmūs al-akbar''), das zuvor zu Mose gekommen war, nun zu ihm gekommen sei. Wenn dieser Bericht eine reale Begebenheit widerspiegelt, so ist er ein weiterer Beleg dafür, wie groß der Einfluss der Hanīfen im Enstehungsmilieu des Islams war. Waraqas Worte dürften Muhammad in dem Gefühl bestärkt haben, bei seinem Erlebnis am Berg Hirā' eine religiöse Botschaft empfangen zu haben. === 2.1.3. Die neue Gemeinde === Nach den arabischen Quellen half Chadīdscha ihrem Mann bei der religiösen Verarbeitung seiner beängstigenden Erlebnisse und unterstützte ihn auch später immer wieder, wenn er in seiner Umgebung auf Ablehnung stieß. Allgemein wird angenommen, dass sie die erste Person war, die an seine religiöse Botschaft glaubte. Uneinig ist man sich allerdings darüber, wer der erste Mann war, der an Muhammads Verkündigung glaubte. Zum einen wird der damals etwa neunjährige Vetter ʿAlī genannt, zum anderen der bei Muhammad lebende freigelassene Sklave [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]]. ʿAlī war durch sein jugendliches Alter in seiner Wirksamkeit sicherlich begrenzt. Eine weitere Person, die in diesem Zusammenhang genannt wird, ist der Stoffhändler [[w:Abū Bakr|Abū Bakr ibn Abī Quhāfa]]. Er stand mit dem Hanīfen [[w:Umaiya ibn Abī s-Salt|Umaiya ibn Abī s-Salt]] in Verbindung, der in Erwartung eines Propheten war, und spielte bei der weiteren Verbreitung von Muhammads Verkündigung offenbar eine wichtige Rolle. Ibn Hischām nennt in seiner Prophetenbiographie fünf Personen, die sich aufgrund seiner Werbung Muhammad anschlossen. Offenbar verfügte Abū Bakr damals in der mekkanischen Gesellschaft über einigen Einfluss. Muhammad selbst war bei der Verbreitung seiner Verkündigung offensichtlich zunächst zurückhaltend. Die arabischen Berichte sprechen davon, dass er nach seinem Berufungserlebnis etwa drei Jahre lang die empfangenen Offenbarungen nur seiner Familie und einigen auserwählten Freunden mitteilte. Erst danach, ungefähr im Jahre 613, begann er, auch öffentlich zu predigen. Als der Prophet fast 40 Anhänger um sich geschart hatte, soll er das Haus eines gewissen [[w:al-Arqam ibn Abī l-Arqam|al-Arqam]] zum Mittelpunkt seiner Tätigkeit als Prediger gemacht haben. Al-Arqam war ein junger Mann, der zum einflussreichen Clan der [[w:Machzūm|Machzūm]] gehörte. Sein Vater war wohl bereits verstorben, er selbst scheint sehr wohlhabend gewesen zu sein. Sein Haus war offensichtlich groß genug, um die Anhängerschaft Muhammads aufzunehmen, und befand sich in der Nähe der Kaaba. Es bildete eine Zeitlang den Mittelpunkt der neuen religiösen Bewegung. Zwar wohnte Muhammad nicht in diesem Haus, doch fand er sich dort mit seinen Anhängern zum Gottesdienst zusammen. Ibn Hischām führt in seiner Prophetenbiographie unter der Überschrift [[w:as-Sābiqūn|as-Sābiqūn al-auwalūn]] („die ersten Vorausgehenden“) eine Liste von 53 Personen auf, die zu den frühesten Anhängern Muhammads gehörten. Die Tatsache, dass einige dieser Personen später keine bedeutendere Rolle mehr spielten, deutet darauf hin, dass diese Liste authentisches frühes Material enthält. So lassen sich von ihr Rückschlüsse auf den Typ der Menschen ziehen, die die neue religiöse Bewegung als erste trugen. Auffällig an der Zusammensetzung von Muhammads frühester Anhängerschaft ist, dass junge Leute in ihr eindeutig dominierten. Fast alle waren zu dem Zeitpunkt, als sie sich Muhammad anschlossen, unter 30 Jahre alt, nur wenige waren älter als 35 Jahre. Unter den frühen Anhängern befanden sich auch einige junge Frauen und Mädchen, so zum Beispiel [[w:Asmā' bint Abī Bakr|Asmā']] und [[w:Aischa bint Abi Bakr|ʿĀ'ischa]], die Töchter Abū Bakrs. Ein weiterer auffälliger Punkt ist die breite Streuung der Anhängerschaft über die verschiedenen Clane der Quraisch. Es waren sowohl Mitglieder der beiden mächtigen Clane [[w:ʿAbd Schams ibn ʿAbd Manāf|ʿAbd Schams]] und [[w:Machzūm|Machzūm]] darunter, die damals um die Führung der Stadt Mekka rivalisierten, als auch Mitglieder der Clane Zuhra, Taim und ʿAdī, die nicht ganz so einflussreich waren. Allerdings waren es jeweils immer nur Einzelpersonen aus diesen Clanen, die sich Muhammad anschlossen. Daneben gab es einige Männer, die mit diesen Clanen nur indirekt in Verbindung standen. Sie waren Sklaven oder Freigelassene von Angehörigen dieser Clane und dadurch in einer benachteiligten Situation. Schließlich gab es noch einige Männer aus anderen Teilen Arabiens, die sich Muhammad anschlossen. Ein Beispiel ist [[w:Abū Dharr al-Ghifārī|Abū Dharr]] aus dem Clan der weit nördlich von Mekka siedelnden Ghifār. Er soll schon vor seinem Kontakt mit Muhammad Allāh als monotheistischen Gott verehrt und den Götzendienst abgelehnt haben. Nachdem er nach Mekka gekommen und sich Muhammad angeschlossen hatte, kehrte er zu den Ghifār zurück, von denen er die Hälfte ebenfalls zu Muhammads Lehre bekehren konnte. Nicht wenige von Muhammads Anhängern waren wie dieser selbst als Händler tätig. Beispiele sind Abū Bakr, [[w:ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf|ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf]], und [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān ibn ʿAffān]], der als Tuchhändler tätig war und nach dem Tode des Propheten eine wichtige politische Rolle spielen sollte. Der frühe Islam war also sehr stark eine Religion von Händlern. Mehrere Berichte zeugen davon, dass es unter den wohlhabenderen Anhängern Muhammads eine große Bereitschaft gab, das eigene Vermögen für die Gemeinschaft und zur Unterstützung der ärmeren Mitglieder einzusetzen. [[w:Chālid ibn Saʿīd|Chālid ibn Saʿīd]] von den ʿAbd Schams schenkte Muhammad, nachdem er sich diesem angeschlossen hatte, mehrere Sklaven, die er von seinem Vater geerbt hatte. Abū Bakr soll zu dem Zeitpunkt, als Abū Dharr nach Mekka kam und sich Muhammad anschloss, diesem zur Verbesserung seiner materiellen Lage zwei Gewänder geschenkt haben. Diese Solidarität unter den frühen Anhängern von Muhammads war möglicherweise einer der Gründe für die starke Anziehungskraft seiner neuen Religion. Die Beziehungen zwischen Muhammads Anhängern wurden darüber hinaus durch Heiratsbeziehungen gestärkt. So verehelichte zum Beispiel der Prophet seine eigene Tochter Ruqaiya mit ʿUthmān ibn ʿAffān. Einige der frühen Anhänger Muhammads brachten eigene religiöse Überzeugungen mit und übten damit auch Einfluss auf die Entwicklung des Islams aus. Besondere Erwähnung verdient ʿUthmān ibn Mazʿūn aus dem Clan der Dschumah, von dem berichtet wird, dass er schon vor dem Auftreten Mohammads [[w:Askese|asketische]] Neigungen hatte und sich berauschender Getränke (''ḫamr'') enthielt. Mit dieser Haltung unterschied er sich stark von den anderen Gefährten des Propheten, die zu dieser Zeit noch Trinkgelage abhielten und deswegen auch öfters betrunken zum Gebet kamen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/43 Q 4:43]). Einige Jahre später wurde jedoch ein allgemeines Verbot berauschender Getränke für die Anhänger des Propheten verhängt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/90 Q 5:90]). In anderen Punkten wurden die asketischen Vorstellungen des ʿUthmān ibn Mazʿūn jedoch offensichtlich zurückgewiesen. Es wird berichtet, dass er als Reaktion auf Muhammads Predigten über das Endgericht auf den Genuss von Fleisch verzichtete und sich jeder sexueller Aktivität enthielt, ja sogar erwog, sich zu [[w:Kastration|kastrieren]]. Als andere Gefährten des Propheten seinem Beispiel folgen wollten, verbot der Prophet diese Formen der Askese. Das Koranwort „Ihr Gläubigen! Erklärt nicht die guten Dinge, die Gott euch erlaubt hat, für verboten“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/87 Q 5:87]) wurde nach der islamischen Tradition in diesem Zusammenhang geoffenbart. Einige von Muhammads frühesten Anhängern standen auch zum [[w:Hanīf|hanīfischen]] Milieu in Beziehung. So war sein Anhänger [[w:Saʿīd ibn Zaid|Saʿīd ibn Zaid]] Sohn des Hanīfen Zaid ibn ʿAmr. === 2.1.4. Muhammads Gegner in Mekka === Muhammads öffentliche Predigt in Mekka und auf den Märkten, die im Vorfeld des [[w:Haddsch|Haddsch]] stattfanden, erregte große Aufmerksamkeit, und viele Männer und Frauen schlossen sich ihm an. Im Laufe der Zeit bildete sich unter den [[w:Quraisch|Quraisch]] aber auch eine Opposition gegen seine Bewegung. Ausschlaggebend war hierbei, dass Muhammad im Namen Allāhs die von den Quraisch neben Allāh verehrten Götter kritisierte und über die ewige Verdammnis ihrer Vorväter sprach, die im Unglauben gestorben waren. Hieraufhin soll eine Gruppe von Quraisch angefangen haben, ihn zu bekämpfen, so dass Muhammad eine große Anzahl seiner ursprünglichen Anhänger wieder verlor. Die Quellen berichten von einer Delegation von Quraisch, die zu seinem Onkel Abū Tālib kam, um sich über Muhammads Verhalten zu beschweren. Ihr gehörte auch al-Walīd ibn al-Mughīra an, der Hakam des Clans [[w:Machzūm|Machzūm]]. [[w:An-Nadr ibn al-Hārith|An-Nadr ibn al-Hārith]], ein reicher Kaufmann aus dem Clan ʿAbd ad-Dār, der Handelsbeziehungen nach Persien unterhielt und mit den persischen Epen vertraut war, verspottete die von Muhammad vorgetragenen Erzählungen als „Legenden der Alten“ (''asāṭīr al-auwalīn'') und machte ihm mit seinen wesentlich unterhaltsameren Geschichten die Zuhörer abspenstig, ein Sachverhalt, der sich wahrscheinlich auch im Koran (Q [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/68/vers/15 68:15]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/83/vers/13 83:13]) spiegelt. [[File:LocationAksumiteEmpire.png|mini|Ungefähre Lage des Reiches von Aksum]] Die Opposition gegenüber der neuen religiösen Verkündigung äußerte sich zunächst nur verbal. Der Ton der Polemik gegen Muhammad wurde aber mit der Zeit immer schärfer. Hierbei tat sich [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahl]] aus dem Clan der Machzūm besonders hervor. Wenn er davon erfuhr, dass sich jemand Muhammad angeschlossen hatte, dann kritisierte er ihn in aggressiver Weise. Wenn die betreffende Person ein Kaufmann war, fügte er noch die Bemerkung hinzu: „Bei Gott, wir werden dafür sorgen, dass deine Waren keinen Absatz finden, und werden dein Eigentum vernichten.“ Andere Gefährten Muhammads wie [[w:Chabbāb ibn al-Aratt|Chabbāb ibn al-Aratt]], die in Mekka keine Protektion genossen, versuchte man, mit Foltermethoden von ihrem Glauben abzubringen. Wegen der zunehmenden Bedrückung durch ihre mekkanischen Gegner wanderten um das Jahr 615 ca. 70 Anhänger Muhammads in das äthiopische [[w:Aksumitisches Reich|Reich Aksum]] aus, um bei dem dort herrschenden christlichen König den Schutz zu finden, der ihnen in Mekka nicht mehr garantiert war. Möglicherweise spielten bei der Auswanderung auch Sympathien für das Christentum eine Rolle, denn es wird überliefert, dass die Auswanderergruppe von dem Asketen ʿUthmān ibn Mazʿūn angeführt wurde. Einige von ihnen traten später auch zum Christentum über und lösten sich auf diese Weise von der Gemeinschaft. Für die Wahl gerade Äthiopiens als Zufluchtsort dürfte aber auch ausschlaggebend gewesen sein, dass die Quraisch mit dem Reich Aksum enge Handelsbeziehungen unterhielten. Durch die Auswanderungsbewegung entstand nun neben der Gemeinde von Gläubigen in Mekka eine zweite Exilgemeinde in Äthiopien. Unter Berufung auf [[w:Ibn Ishāq|Ibn Ishāq]] wird bei [[w:at-Tabarī|at-Tabarī]] berichtet, dass Muhammad nach der Auswanderung vieler seiner Anhänger den Wunsch nach einer Aussöhnung mit seinem Stamm hegte. In dieser Situation habe er eine Offenbarung empfangen, deren ersten beiden Verse so lauteten: „Was meint ihr denn mit al-Lāt und al-ʿUzzā und weiter mit Manāt, der dritten“. Diese beiden Verse stehen im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/53/vers/19 Q 53:19f]). Ihnen folgten nach Ibn Ishāq zwei andere, die von Muhammad verkündet wurden, aber keine Aufnahme in den Koran gefunden haben, nämlich: „Diese sind die erhabenen ''ġarānīq'', deren Fürbitte (bei Allāh) genehm ist.“ Wie aus dem Götzenbuch [[w:Ibn al-Kalbī|Ibn al-Kalbī]] hervorgeht, war ''ġarānīq'' (eigtl. „Kraniche“) eine Bezeichnung, unter der die Quraisch bei der Umkreisung der Kaaba die drei Gottheiten [[w:al-Lāt|al-Lāt]], [[w:al-ʿUzzā|al-ʿUzzā]] und [[w:Manāt|Manāt]] anriefen, in Hoffnung auf ihre Fürsprache bei Allāh. Ibn Ishāq berichtet weiter, dass die Kaufleute der Quraisch Muhammads Verkündigung als eine Anerkennung der drei Gottheiten verstanden. Als er sich selbst in Gottesfurcht vor ihnen verneigte, hätten sie es ihm gleichgetan. Dann – einigen Versionen zufolge noch am selben Abend – habe Muhammad bemerkt, dass diese letzten Verse nicht von Allāh stammten, sondern [[w:Satan|Satan]] es war, der sie ihm eingegeben hatte. Wenn dieser Bericht eine reale Begebenheit widerspiegelt, dann hat Muhammad die ''ġarānīq''-Verse, die später auch als [[w:Satanische Verse|Satanische Verse]] bekannt wurden, zu einer bestimmten Zeit als göttliche Offenbarung betrachtet, später jedoch verkündet, sie seien doch nicht Teil der Offenbarung. At-Tabarī führt diesen Bericht in seinem Korankommentar als Erklärung für den folgenden Koranvers an: {{Zitat|Und wir haben vor Dir keinen Gesandten oder Propheten geschickt, ohne dass ihm, wenn er etwas wünschte, der Satan es ihm in seinem Wunsch untergeschoben hätte. Aber Gott tilgt dann, was der Satan unterschiebt. Hierauf legt Gott seine Verse fest.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/52 Q 22.52]}} Der Vorfall der Einflüsterung der „satanischen Verse“ scheint also im Koran selbst bezeugt zu sein, denn kein anderer Vorfall passt so genau auf diesen Text. Es wird berichtet, dass ein Teil der äthiopischen Exulanten nach Mekka zurückkehrte, als sich im Zusammenhang mit diesem Vorfall das Gerücht verbreitete, die Quraisch hätten den Islam angenommen. Dies deutet daraufhin, dass Muhammad seine [[w:Henotheismus|henotheistische]] Kompromissposition länger aufrechterhalten hat als nur einen Tag. Er war offenbar eine Zeitlang bereit, den Glauben an die Fürsprache der geringeren Gottheiten als Kompromiss zu tolerieren. An der Tatsache, dass die besagten Verse für nichtig erklärt wurden, lässt sich nach [[w:William Montgomery Watt|W. Montgomery Watt]] erkennen, „dass der Kompromiss sich als nicht zufriedenstellend erwies.“ Nach dem Ende dieser Episode verschärften die Quraisch ihre Maßnahmen gegen Muhammad. Um das Jahr 616 brachte Abū Dschahl die meisten mekkanischen Clane dazu, die Geschäfts- und Heiratsbeziehungen mit den Banū Hāschim abzubrechen. Der Boykott soll länger als zwei Jahre befolgt worden sein, allerdings wohl nicht ganz strikt, denn die Banū Hāschim scheinen darunter nicht stark gelitten zu haben. Schließlich wurde er um das Jahr 619 ganz beendet, als verschiedene Clane seiner überdrüssig wurden. Dass Muhammad seine Religion trotz des Boykotts weiter propagieren konnte, verdankte er dem Konzept der Gruppen-Verantwortlichkeit, zu der die Idee der [[w:Blutrache|Blutrache]] gehört. Obwohl der Clan seine religiöse Aktivität nicht billigte, war man eher bereit, sich dem Boykott durch die anderen Clane zu unterwerfen, als Muhammad die Unterstützung zu versagen. Vor allem Abū Tālib, der zu dieser Zeit noch immer Oberhaupt der Hāschim war, bewährte sich als Beschützer Muhammads, obwohl er selber wahrscheinlich nie den Islam angenommen hat. === 2.1.5. Die Suche nach externen Verbündeten === Ein harter Schlag war es für Muhammad, als im Jahre 619 kurz nacheinander Abū Tālib und seine Gattin Chadīdscha starben. An die Stelle Abū Tālibs als Oberhaupt des Clans Hāschim trat ein anderer Onkel Muhammads namens [[w:Abū Lahab|Abū Lahab]]. Er war offenbar dafür verantwortlich, dass sich Muhammads Position in Mekka nun stark verschlechterte. Während des Boykotts hatte Abū Lahab die Banū Hāschim verlassen und eine Schwester von [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān]] aus dem Clan der [[w:ʿAbd Schams ibn ʿAbd Manāf|ʿAbd Schams]] geheiratet, der in der mekkanischen Geschäftswelt ähnlich einflussreich war wie Abū Dschahl und wie dieser Muhammad bekämpfte. Bei Erhebung zum Oberhaupt der Banū Hāschim versprach Abū Lahab zwar, Muhammad in der Weise zu schützen, wie es vorher Abū Tālib getan hatte. Als jedoch Muhammad wenig später mit der Behauptung auftrat, sein Großvater [[w:ʿAbd al-Muttalib ibn Hāschim|ʿAbd al-Muttalib]] befände sich in der Hölle, stellte dies eine Beleidigung für den ganzen Clan dar, die Abū Lahab als Vorwand nutzte, um ihm ohne irgendeinen Ehrverlust seinen Schutz zu entziehen. Muhammad, der durch Abū Lahab mit einem Predigtverbot belegt wurde, hatte nun keine Möglichkeit mehr, seine Religion öffentlich zu propagieren. Seine Erbitterung spiegelt sich in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/111/vers/1 Sure 111] wider, in der Abū Lahab und seine Frau geschmäht werden. [[File:طريق الطائف1.JPG|mini|Die Straße von Mekka nach [[w:Ta'if|at-Tā'if]] heute. Um den Ort zu erreichen, muss man eine große Steigung überwinden.]] Chaula bint al-Hakīm, eine treue Anhängerin Muhammads, arrangierte in dieser Zeit für ihn eine neue Ehe mit [[w:Sawda_bint_Zamʿah|Sauda bint Zamʿa]], der Witwe eines Auswanderers, der während des Exils in Abessinien verstorben war. Außerdem heiratete Muhammad [[w:Aischa bint Abi Bakr|ʿĀ'ischa]], die Tochter seines Gefährten Abū Bakr, die allerdings wegen ihres zarten Alters zunächst im Hause ihres Vaters verblieb. Mit dem Ziel, neue Verbündete zu finden, trat Muhammad mit einigen Nomadenstämmen in Kontakt, die die Märkte in der Umgebung von Mekka besuchten. Auch reiste er in die Nachbarstadt [[w:Ta'if|at-Tā'if]], um mit deren Einwohnern Verhandlungen aufzunehmen. Seine Bemühungen blieben jedoch erfolglos. Wie prekär seine Lage mittlerweile war, zeigt sich darin, dass er bei seiner Rückkehr nach Mekka die Schutzgarantie des Oberhauptes eines anderen Clans einholen musste, bevor er die Stadt betreten konnte, und erst der dritte Mann, an den er sich wandte, Mutʿim ibn ʿAdī, bereit war, ihm unter bestimmten Bedingungen Schutz zu gewähren. Zu denjenigen Menschen, die Muhammad wahrscheinlich im Jahre 620 auf den Märkten in der Umgebung von Mekka traf, gehörte eine Gruppe von sechs Männern aus der Stadt [[w:Medina|Yathrib]]. Sie waren von der Art, wie Muhammad seine neue monotheistische Religion darlegte, eingenommen und schlossen sich ihm an. Nach ihrer Rückkehr nach Yathrib verbreiteten sie dort seine Lehre. Bei der Wallfahrt 621 kamen fünf von ihnen wieder und brachten sieben weitere Männer mit. Zwischen den in Yathrib lebenden Stämmen der [[w:Aus (Stamm)|Aus]] und [[w:Chazradsch|Chazradsch]] bestanden damals Spannungen, die auch mit dem ungeklärten Status der in der Oase ansässigen jüdischen Stämme zusammenhingen. Ungefähr im Jahr 617 war es bei Buʿāth im südöstlichen Teil der Oase zu einer großen Schlacht gekommen, an der die meisten Bewohner Yathribs teilgenommen hatten. Da nach dieser Schlacht formell noch kein Frieden geschlossen worden war, bestand eine potentielle Gefahr neu ausbrechender Blutfehden. Durch die neue Gemeinschaft mit Muhammad und den Beitritt zu seiner Religion erhofften sich die Abgesandten aus Yathrib vielleicht eine Heilung des Risses, der durch ihre Gesellschaft ging. Während die sechs Männer, mit denen Muhammad im Jahr 620 zusammengetroffen war, alle Angehörige des Stammes Chazradsch gewesen waren, nahmen an dem Treffen von 621 auch Männer von den Aus teil. An einem abgelegenen Ort namens ʿAqaba gelobten die zwölf Männer, Muhammad und seine Anhänger aufzunehmen und sie wie ihre Frauen und Kinder zu schützen (deshalb ''baiʿat an-nisāʾ'' „Huldigung der Frauen“). Bei dieser Gelegenheit bekamen die Anhänger Mohammads aus Yathrib wahrscheinlich auch den Titel [[w:Ansār|Ansār]] („Helfer“) verliehen. Die islamische Tradition setzt zu diesem Ereignis [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/14 Koranvers 61:14] in Beziehung, in dem die Gläubigen aufgefordert werden, in der Weise „Helfer Gottes“ (''anṣār Allāh'') zu sein, wie die Jünger Jesu‘ Helfer Gottes gewesen waren. Ibn Ishāq berichtet, dass Muhammad zusammen mit den zwölf Männern einen seiner mekkanischen Anhänger, [[w:Musʿab ibn ʿUmair|Musʿab ibn ʿUmair]], nach Yathrib schickte und ihm auftrug, „ihnen den Qurʾān vorzutragen, sie den Islam zu lehren, und sie in der Religion zu unterweisen.“ Musʿab ibn ʿUmair sollte ihnen als [[w:Imam|Imām]], also als Vorbild und Modell, dienen. Auf diese Weise entstand neben den Gemeinden von Mekka und Äthiopien eine dritte Gemeinde von Anhängern Muhammads in Yathrib. Während des Haddsch des darauffolgenden Jahres (Juni 622) kam es zu einem zweiten Treffen in al-ʿAqaba, an dem diesmal 73 Männer aus Yathrib teilnahmen. Sie schworen nicht nur Muhammad den treuen Gehorsam, sondern gelobten auch, für ihn zu kämpfen. Dieser Eid ist deswegen als ''baiʿat al-ḥarb'' („Huldigung des Krieges“) bekannt. Muslime reisten fortan grüppchenweise nach Medina. Nach der islamischen Überlieferung schmiedeten die ungläubigen Mekkaner in dieser Zeit Mordpläne gegen Muhammad, was zu [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/30 Sure 8:30] in Bezug gesetzt wird. Im September 622 verließ dann auch Muhammad mit Abū Bakr, einem seiner engsten Gefährten, heimlich Mekka und zog nach Yathrib. Wie der Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/40 Q 9:40]) bezeugt, mussten sie sich auf dem Weg in einer Höhle verbergen. Die Auswanderung des Propheten und seiner Anhänger aus Mekka wird als die [[w:Hidschra|Hidschra]] (eigtl. „Lossagung“) bezeichnet und läutete einen neuen Abschnitt in der Geschichte der neuen Religion ein. == 2.2. Die wichtigsten Themen von Muhammads früher Botschaft == === 2.2.1. Der Koran als Quelle für die Entwicklung von Muhammads Botschaft === Wenn wir nun wissen wollen, was die Botschaft war, mit der Mohammad in Mekka auftrat, so finden wir darauf am besten im Koran eine Antwort, und zwar in den Teilen, die der mekkanischen Periode zugeordnet werden. Die Unterscheidung zwischen „mekkanischen“ und „medinischen“ Teilen des Korans geht auf die vormodernen muslimischen Gelehrten zurück, die eine [[w:Chronologie des Korans|Chronologie des Korans]] entwickelten. Grob gesagt, lässt sich diese Chronologie in der Weise zusammenfassen, dass die frühesten [[w:Sure|Suren]] des Korans am Ende stehen, während viele der am Anfang stehenden Suren aus den späteren Zeiten des prophetischen Wirkens Muhammads stammen. Dementsprechend muss man, wenn man der historischen Reihenfolge der Suren nahekommen will, den Koran von hinten nach vorne lesen. [[File:Theodor Nöldeke - Orientalische Studien.jpg|mini|150px|[[w:Theodor Nöldeke|Theodor Nöldeke]]]] Aufbauend auf dem von den muslimischen Gelehrten erarbeiteten Material erstellte der deutsche Orientalist [[w:Theodor Nöldeke|Theodor Nöldeke]] 1860 eine „Geschichte des Qorāns“, die er in Buchform veröffentlichte. Darin führte er bei den mekkanischen Suren noch eine Verfeinerung ein, indem er anhand von stilistischen und inhaltlichen Merkmalen drei aufeinanderfolgende Perioden (frühmekkanisch, mittelmekkanisch, spätmekkanisch) unterschied. Die Suren der frühmekkanischen Periode zeichnen sich demnach durch ihre stark poetische Form mit kühnen Bildern und kurzen, rhythmischen Reimen sowie durch eine Aneinanderreihung von Schwüren an ihrem Anfang aus. In der mittelmekkanischen Zeit nehmen die Verse allmählich an Länge zu, und der Gottesname ar-Rahmān ist vorherrschend. In der spätmekkanischen Zeit werden die Verse noch länger, der Stil wird prosaischer und damit dem der medinischen Zeit ähnlich. Nöldekes Chronologie des Korans ist in Teilen zwar in Frage gestellt worden, wird jedoch in der westlichen Islamwissenschaft immer noch weitgehend als Arbeitshypothese akzeptiert. Zu beachten ist bei dieser Chronologie noch, dass die Suren nicht aus einem Guss sind. Die chronologische Einordnung gilt immer nur für den Hauptteil der Sure, während einzelne Passagen Einschübe aus früherer oder späterer Zeit darstellen können. Auf der Grundlage von Nöldekes Chronologie wurden noch andere literarische Besonderheiten der einzelnen Koranperioden herausgearbeitet. So hat zum Beispiel [[w:Angelika Neuwirth|Angelika Neuwirth]] gezeigt, dass in der mittelmekkanischen Periode mit Gleichnisreden und Parabeln neue Elemente der Predigt auftreten, die dann in spätmekkanischer Zeit unter der Bezeichnung ''maṯal'' im Koran selbst thematisiert werden (z.B. in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/26 Q 2:26]). [[w:Nicolai_Sinai|Nicolai Sinai]] hat in den letzten Jahren zudem eine verfeinerte Chronologie für die frühmekkanischen Suren entwickelt. Nach der Nöldeke‘schen Chronologie mit seiner Verfeinerung ergibt sich für die Suren des Korans insgesamt die folgende chronologische Reihenfolge: {| class="wikitable" |- | Frühmekkanische Periode || I 105, 106, 95, 102, 103, 104, 107, 99, 100, 101, 111, 93, 94, 108, 97 – II 73, 81-82, 84-96 – IIIa 53, 74, 75, 77, 78, 79, 80 – IIIb 51, 52, 55, 56, 68, 69, 70, 83 − Von Sinai nicht zugeordnet: 112, 109, 113, 114, 1 |- | Mittelmekkanische Periode || 54, 37, 71, 76, 44, 50, 20, 26, 15, 19, 38, 36, 43, 72, 67, 23, 21, 25, 17, 27, 18 |- | Spätmekkanische Periode || 32, 41, 45, 16, 30, 11, 14, 12, 40, 28, 39, 29, 31, 42, 10, 34, 35, 7, 46, 6, 13 |- | Medinische Periode || 2, 98, 64, 62, 8, 47, 3, 61, 57, 4, 65, 59, 33, 63, 24, 58, 22, 48, 66, 60, 110, 49, 9, 5 |} In den folgenden Abschnitten verwende ich diese Chronologie als Grundlage zur Beschreibung der Entwicklung von Muhammads Botschaft. Koranzitate erscheinen ausnahmsweise ohne vorangestelltes Q. === 2.2.2. Aussagen über Gott === Zum richtigen Verständnis der koranischen Aussagen ist es wichtig, sich zunächst die hier entworfene kommunikative Struktur klar zu machen: Gott spricht in diesen Texten selbst zu Muhammad und den Menschen und benutzt dafür häufig auch die erste Person („ich“ oder „wir“). An einer ganzen Anzahl von Stellen des Korans erinnert Gott den Menschen in dieser Form an seine Wohltaten. Ihm wird vor Augen gehalten, dass er den Menschen einen Lebensraum gegeben, sie als Paare erschaffen, Tag und Nacht eingerichtet hat und es für sie regnen lässt, damit sich die Natur erneuern kann ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/78/vers/6 78:6-16]). Auch wenn Gott nach der entworfenen Kommunikationsstruktur im Koran selbst spricht, wird er darin selbst thematisiert und mit verschiedenen Namen belegt. In den frühesten Teilen des Korans wird fast ausschließlich der Name [[w:Rabb|Rabb]], „Herr“, verwendet, ein Terminus, der eigentlich aus dem Rechtsverhältnis der Sklaverei stammt und eine Abhängigkeit zum Ausdruck bringt. So wird in einer der frühesten Suren Muhammad daran erinnert, dass sein Herr ihn als armen Waisen vorfand und ihn reich machte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/93/vers/6 93:6-8]). Der Begriff ''Rabb'' tritt an mehreren Stellen auch mit Erweiterungen auf, so wenn zum Beispiel vom „Herrn des Hauses“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/106/vers/3 106:3]) die Rede ist, womit sicherlich die Kaaba gemeint ist. An anderen Stellen wird Gott als „Herr des Ostens und des Westens“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/73/vers/9 73:9]) bzw. „Herr des Hundssterns“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/53/vers/49 53:49]) bezeichnet. Mit letzterem Ausdruck wird implizit ein Alleingeltungsanspruch formuliert, denn als „Herr des Hundssterns“ galt zu heidnischer Zeit noch Yaghūth (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). [[Datei:Basmala.svg|mini|Die Basmala, wie sie in zeitgenössischen Drucken zu finden ist]] [[Datei:Basmala in a Turkish Dolmus.jpg|mini|Eine Basmala in lateinischen Buchstaben in einem türkischen [[w:Dolmuş|Dolmuş]].]] Schon in frühmekkanischer Zeit wird Gott gelegentlich mit dem Namen Allāh bezeichnet. So wird in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/95/vers/8 95:8] gefragt: „Ist es nicht Allāh, der am besten entscheidet?“ Und in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/85/vers/8 85:8-9] wird Allāh als der Mächtige (''al-ʿazīz'') und Lobenswürdige (''al-ḥamīd'') beschrieben, dem die Herrschaft über Himmel und Erde gehört. Ab der mittelmekkanischen Zeit wird dann Rahmān, der andere Gottesname, der schon durch altsüdarabische Inschriften belegt ist, vorherrschend. So heißt es in dieser Zeit, dass Rahmān die Menschen aus Lehm und die [[w:Dschinn|Dschinn]] aus rauchlosem Feuer erschaffen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/55/vers/14 55:14f]) und am Himmel eine Lampe und einen leuchtenden Mond gemacht habe ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/25/vers/61 25:61]). Beide Gottesnamen, Allāh und Rahmān, kommen auch in der Anrufungsformel vor, die in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/27/vers/30 27:30] am Anfang eines [[w:Salomo|Salomo]] zugeschriebenen Briefes zum ersten Mal begegnet: ''Bi-smi l-Lāhi r-Raḥmāni r-raḥīm'' „Im Namen Allāhs, ar-Rahmāns, des Gütigen“. Diese Formel, [[w:Basmala|Basmala]] genannt, ist später an den Anfang fast aller Suren des Korans gesetzt worden; bis heute spielt sie eine äußerst wichtige Rolle im Gottesdienst und Alltag der Muslime. So soll sie zum Beispiel an den Anfang jeden Textes gesetzt werden. Das Attribut ''raḥīm'' ist vielleicht deswegen hinzugesetzt worden, um den Aspekt der Güte (''raḥma'') in dem Gottesnamen zu betonen. Die göttliche Güte und Barmherzigkeit wird nämlich in der mittelmekkanischen Zeit zu einem wichtigen Thema der koranischen Botschaft. Auch die Entsendung Mohammads zu den Menschen wird in dieser Zeit als ein Akt göttlicher Barmherzigkeit beschrieben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/21/vers/107 21:107]). Die Verwendung unterschiedlicher Gottesnamen war möglicherweise für einige Zeitgenossen verwirrend. Dem wird in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/17/vers/110 17:110] eine klare Aussage entgegensetzt: „Ihr mögt Allāh anrufen oder Rahmān. Wie immer ihr ihn nennt, ihm kommen die schönen Namen zu.“ Damit wurde geklärt, dass beide Namen sich auf den einen Gott beziehen und die Verwendung unterschiedlicher Gottesnamen zulässig, ja sogar erwünscht ist. Gott wird im Koran noch mit zahlreichen anderen Attributen belegt, die ebenfalls als derartige Gottesnamen verstanden wurden. Die Reflexion über diese [[w:Gottes schöne Namen|Schönen Namen Gottes]] (''asmāʾ Allāh al-ḥusnā'') ist später ein wichtiger Bestandteil islamischer Theologie und Spiritualität geworden. Der Monotheismus Muhammads nahm im Laufe der Zeit strengere Formen an. Schon in Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/73/vers/9 73:9], der der frühmekkanischen Zeit entstammt, kommt die Formel „es gibt keinen Gott außer ihm“ (''lā ilāha illā huwa'') vor. Von den anderen Göttern wurde gegen Ende der frühmekkanischen Zeit gesagt, sie seien bloße Namen, die die Menschen und ihre Väter aufgebracht haben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/53/vers/23 53:23]). Aus Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/37/vers/35 37:35], der der mittelmekkanischen Zeit entstammt, geht hervor, dass Muhammad jetzt in der Predigt die Formel „es gibt keinen Gott außer Allāh“ (''lā ilāha illā Llāh'') benutzte, die auch Eingang in das [[w:Schahāda|islamische Glaubensbekenntnis]] gefunden hat. Parallel zu der wiederholten Betonung der Alleinzigkeit Gottes wurde der entgegengesetzte Glaube an „Teilhaber Gottes“, die seine Macht einschränken könnten, scharf missbilligt. Für diejenigen, die diesen Glauben vertraten, wurde in spätmekkanischer Zeit der Begriff [[w:Muschrik|Muschrikūn]] („Beigeseller“) üblich. [[w:Schirk|Schirk]], das „Gott-Teilhaber-Zuschreiben“, wird an einer Stelle aus medinischer Zeit als die einzige Sünde gekennzeichnet, die Gott nicht vergibt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/48 4:48]). === 2.2.3. Das Strafgericht, das Höllenfeuer und der Garten === Eine der wichtigsten Botschaften Muhammads war das den Menschen bevorstehende Strafgericht, das im Koran ebenfalls mit dem Begriff [[w:Dīn|Dīn]] bezeichnet wird (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/107/vers/1 107:1]). In bewegten Bildern wird der Tag des Gerichts (''yaum ad-dīn'') als eine Katastrophe kosmischen Ausmaßes beschrieben. Die Meere schwellen über die Ufer ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/82/vers/3 82:3]), die Berge sind wie zersauste Wolle ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/101/vers/5 101:5]). Die Erde bebt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/79/vers/6 79:6f]), wird zu Staub zerstoßen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/89/vers/21 89:21]) und wirft aus, was in ihr ist ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/84/vers/4 84:4]). Die Sonne verfinstert sich ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/81/vers/1 81:1]), die Sterne erlöschen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/77/vers/8 77:8]), der Himmel zerbirst ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/82/vers/1 82:1]) und öffnet sich zu Toren ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/78/vers/19 78:19]). Ein Posaunenstoß geht dem Geschehen voraus ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/74/vers/8 74:8f]). Die Menschen werden wie auffliegende Motten sein ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/101/vers/4 101:4]), der Einzelne ist isoliert, die Familienbande sind zerrissen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/80/vers/34 80:34-37]). Wann die „Stunde“ (''sāʿa'') ist, an dem dieses apokalyptische Szenario eintreten soll, weiß allein Gott ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/79/vers/42 79:42-44]). Das Unheil, das mit dem Gerichtstag über die Menschen hereinbrechen soll, wird mehrfach an dem Schicksal untergangener altarabischer Stämme wie den [[w:ʿĀd|ʿĀd]] und [[w:Thamūd|Thamūd]] exemplifiziert ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/69/vers/4 69:4-10]). Der Tag des Gerichts ist auch ein Tag der Auferstehung (''yaum al-qiyāma''; so [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/75/vers/1 75:1]). Die Gräber springen auf ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/82/vers/4 82:4]) und die morschen Knochen werden in ihren früheren Zustand zurückgebracht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/79/vers/10 79:10f]). Es reicht nur ein einziger Aufschrei, dann sind die Menschen hellwach ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/79/vers/13 79:13f]). Bis zu den Fingerspitzen werden ihre Gebeine wieder zusammengefügt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/75/vers/3 75:3f]). Zum Gericht selbst treten die Engel in Reihen heran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/89/vers/22 89:22]). Gott sitzt auf seinem Thron zu Gericht, und die Menschen werden vorgeführt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/69/vers/17 69:17f]). Zu ihrer Unterscheidung werden ihre guten und schlechten Taten gegeneinander aufgewogen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/99/vers/7 99:7-8]). Auch die geheimen Gedanken (''sarāʾir'') werden geprüft ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/86/vers/9 86:9]). Wessen Waagschalen schwer wiegen, wird belohnt, wessen Waagschalen aber leicht wiegen, wird bestraft ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/101/vers/6 101:6-10]). Bei der „Abrechnung“ (''ḥisāb'') wird dem Menschen das präsentiert, was zu seinen Lebzeiten in einem Buch (''kitāb'') aufgeschrieben wurde. Demjenigen, der sein Buch in die rechte Hand erhält, wird die Abrechnung leicht gemacht. Demjenigen aber, der es hinter seinem Rücken erhält, droht Unheil ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/84/vers/7 84:7-11]). So gibt es an jenem Tag strahlende, fröhliche Gesichter und Gesichter, auf denen schmutzige Trübung liegt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/80/vers/38 80:38-42]). [[File:Muhammad sees the sinners and demons in Hell during the Miraj.gif|mini|Darstellung des Höllenfeuers in einem Buch über die [[w:Himmelfahrt Mohammeds|Jenseitsreise Muhammads]] aus [[w:Herat|Herat]] von 1436, heute in der [[w:Bibliothèque nationale de France|Bibliothèque Nationale]] in Paris]] Die beim Strafgericht verurteilten Menschen haben einen Feuerbrand (''ǧaḥīm'') zu erwarten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/102/vers/6 102:6]). Dieser Feuerbrand wird erst am Gerichtstag herangebracht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/79/vers/36 79:36]). Die Verurteilten sollen in diesem Feuer Gottes (''nār Allāh'') brennen, dessen Flammen in hochaufragenden Säulen über ihnen zusammenschlagen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/104/vers/6 104:6-9]). Wer in dem großen Feuer brennt, befindet sich in einem Zustand zwischen Tod und Lebendigkeit ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/87/vers/12 87:12f]). Dem Feuer, dessen Hitze die Haut versengt und nichts übriglässt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/74/vers/28 74:28f]), kann niemand entfliehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/82/vers/16 82:16]). Die Menschen, die an diesen Ort, der auch [[w:Dschahannam|Dschahannam]] genannt wird, für Ewigkeiten verbannt sind, erhalten dort nur siedend heißes Wasser und Eiter zu trinken ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/78/vers/21 78:21-26]). Ihre Speise ist dorniges Gestrüpp, das keinen Hunger stillt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/88/vers/6 88:6f]) und nur Würgen hervorruft ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/73/vers/13 73:13]). Nur diejenigen, die glauben und Gutes tun, sind von dieser Strafe ausgenommen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/103/vers/3 103:3]). Ihnen soll verdienter Lohn zuteilwerden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/95/vers/6 95:6]). Sie kehren zufrieden und glücklich zu ihrem Herrn zurück und treten ein in seinen Garten ([[w:Dschanna|Dschanna]]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/89/vers/27 89:27-30]). Der Ort der Beglückung (''naʿīm''), in den die Frommen eingehen sollen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/82/vers/13 82:13]), wird im Laufe der Zeit in immer bunteren Farben beschrieben. Es sind mehrere Gärten mit Weinstöcken ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/78/vers/32 78:32]), Palmen, Granatäpfelbäumen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/55/vers/68 55:68]) und sprudelnden Quellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/55/vers/66 55:66]). Die Insassen der Gärten erhalten Früchte und Fleisch, so viel sie begehren, dazu einen Trank, der nicht berauscht, und Knaben, schön wie wohlverwahrte Perlen, kreisen zwischen ihnen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/52/vers/22 52:22-24]). Ruhepolster, Kissen und ausgebreitete Teppiche stehen ihnen bereit ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/88/vers/12 88:12-16]). Dort werden sie mit großäugigen [[w:Huri|Huris]] (''ḥūr ʿīn'') vermählt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/52/vers/20 52:20]), weiblichen Wesen, die keiner von den Menschen oder Dschinn je berührt hat ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/55/vers/70 55:70-74]). === 2.2.4. Die Aufgaben des Menschen === Aufforderungen werden im Koran zunächst speziell an die Quraisch gerichtet. Sie sollen dem „Herrn des Hauses“, also dem Gott der Kaaba, dienen, weil er sie vor Hunger bewahrt und vor Furcht gesichert habe ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/106/vers/1 106]). Der Mensch allgemein soll auf seine Nahrung, die Pflanzen und das Vieh schauen und anerkennen, wie Gott für ihn sorgt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/80/vers/24 80:24-32]). Gleichzeitig wird er auf seine niedrige Herkunft hingewiesen und dazu angehalten, Gott für seine Erschaffung zu danken: „Verflucht sei der Mensch! Wie undankbar ist er! Woraus denn hat er ihn erschaffen? Aus einem Tropfen ([[w:Nutfa|Nutfa]]) erschuf er ihn“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/80/vers/17 80:17-19]). Viele Passagen befassen sich mit denjenigen, die nicht glauben, nicht niederfallen, wenn die Lesung vorgetragen wird, undankbar sind und Muhammad der Lüge zeihen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/84/vers/21 84:21f]). [[w:Kufr|Kufr]], der arabische Begriff für „Undankbarkeit“, wird in den späteren Suren immer wieder als Gegenbegriff für Glauben ([[w:Īmān|Īmān]]) verwendet und erhält damit in der Botschaft Muhammads die zusätzliche Bedeutung von „Unglauben“. Das davon abgeleitete Adjektiv [[w:Kāfir|Kāfir]] („undankbar, ungläubig“) wird zu einer der wichtigsten islamischen Bezeichnungen für diejenigen, die Muhammads Botschaft nicht anerkennen. Schon zu den ältesten Botschaften des Korans gehören Aufforderungen, den eigenen Reichtum zu teilen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/92/vers/5 92:5-11]) bzw. einen Teil des eigenen Vermögens dem Bittenden und Unbemittelten zu geben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/70/vers/24 70:24f]). Wer sein Gut dahingibt, hat die Möglichkeit, sich dadurch zu läutern ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/92/vers/18 92:18]). „Läuterungsgabe“ ([[w:Zakāt|Zakāt]]) wurde später auch der allgemeine Name für diese Art des Almosens. Diejenigen, die das diesseitige Leben (''al-ḥayāt ad-dunyā'') dem Jenseits (''al-āḫira'') vorziehen und aufgrund dessen die Läuterungsgabe vernachlässigen, werden gerügt, weil das Jenseits besser und beständiger ist ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/87/vers/14 87:14-17]). Andere Tugenden, die schon in frühmekkanischer Zeit vom Menschen gefordert werden, sind Gottesfurcht ([[w:Taqwā|Taqwā]]) und der Glaube an die göttliche Verheißung ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/92/vers/5 92:5-6]). Die aus mittelmekkanischer Zeit stammende [[w:Sure 25|Sure 25]] enthält einen ganzen Katalog von Verhaltensweisen, an denen man „die Diener ar-Rahmāns“ erkennen kann. Es sind diejenigen, die, wenn törichte Menschen sie ansprechen, freundlich zurückgrüßen, die sich in der Nacht vor ihrem Herrn niederwerfen, die die Höllenstrafe fürchten, die in Maßen spenden, die neben Allāh keinen anderen Gott anrufen und keinen Menschen töten, den er zu töten verboten hat, nicht unzüchtig sind, die nicht falsches Zeugnis ablegen, die nicht taub sind gegenüber den Zeichen des Herrn usw. ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/25/vers/63 25:63-74]). [[Datei:Adam and the Angels watched by Iblis.jpg|mini|Iblīs verweigert im Gegensatz zu den anderen Engeln die Niederwerfung vor [[w:Adam im Islam|Adam]], Darstellung in einer [[w:Timuriden|timuridischen]] Handschrift, 15. Jh.]] Der Mensch muss auch standhaft sein, dies deswegen, weil er immer wieder von dem [[w:Satan|Satan]] bzw. [[w:Iblīs|Iblīs]] versucht und in die Irre geführt wird. Iblīs (im Namen verwandt mit [[w:Altgriechische Sprache|altgriechisch]] „diabolos“ und so auch mit dem deutschen Wort ''Teufel'') ist der eigentliche Widersacher der Menschen und begleitet sie seit den Zeiten ihres Urvaters [[w:Adam im Islam|Adam]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/20/vers/115 20:115-127]). In vielen Erzählungen mit erbaulichem Charakter aus der spätmekkanischen Zeit wird die Wichtigkeit des ''ṣabr'', der Geduld und Standhaftigkeit, betont (vgl. z.B [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/7/vers/137 7:137]). Die längste und bedeutendste dieser erbaulichen Erzählungen ist die Geschichte über Josef ([[w:Yusuf (Prophet)|Yūsuf]]) in Ägypten, die fast den gesamten Inhalt von [[w:Sure 12|Sure 12]] ausmacht. Sie wird im Koran selbst als die „schönste der Erzählungen“ angepriesen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/12/vers/3 12:3]). === 2.2.5. Der Überbringer der Botschaft === Der Koran spricht an vielen Stellen über die Vorwürfe, mit denen Muhammad konfrontiert war. Man höhnte zum Beispiel, seine Botschaft sei nichts als überlieferte Zauberei (''siḥr'') und nur das Wort eines Sterblichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/74/vers/24 74:24f]). Ein anderer Vorwurf lautete, dass er ein Betrüger sei, „der nichts als Schwindel ausgeheckt hat, bei dem ihm andere Leute geholfen haben“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/25/vers/4 25:4]). Schon sehr früh wurde Muhammad offensichtlich auch vorgeworfen, ein von Dschinn besessener Dichter oder Wahrsager zu sein (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/81/vers/22 81:22]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/37/vers/36 37:36]). Im Zusammenhang mit dem gegen ihn erhobenen Vorwurf dichterischer Inspiration distanziert sich der Koran von den Dichtern und tadelt sie, die Menschen in die Irre zu führen und in den Taten hinter den eigenen Worten zurückzubleiben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/26/vers/224 26:224-26]). Gleichzeitig werden Muhammads Zeitgenossen aber auch aufgefordert, etwas dem Koran Ebenbürtiges hervorzubringen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/52/vers/33 52:33f]), und bekräftigt, dass sie dazu nicht imstande seien, auch wenn sie sich mit den Dschinn zusammentäten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/17/vers/88 17:88]). Aufbauend auf diesen Versen der „Herausforderung“ (''taḥaddī''), entwickelten die islamischen Theologen später die Theorie von der Unnachahmlichkeit ([[w:Iʿdschāz|Iʿdschāz]]) des Korans. Eine Antwort auf die Vorwürfe von Muhammads Gegners sind die koranischen Bekräftigungen, dass Muhammad das, was er sagt, nicht willkürlich, sondern aufgrund von göttlicher Eingebung (''waḥy'') hervorbringt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/53/vers/2 53:2-4]). Den Gegnern Muhammads wird entgegengehalten, dass seine Worte eine Herabsendung (''tanzīl'') des Herrn der Welten sind ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/69/vers/40 69:40-43]). Muhammad selbst wird im Koran als ein edler „Gesandter“ ([[w:Rasūl|Rasūl]]) beschrieben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/69/vers/40 69:40-43]). Ein anderer Begriff, der für Muhammad verwendet wird, ist ''munḏir'', „Warner“. So wird zum Beispiel an einer Stelle hervorgehoben, dass jeder Mensch für sein eigenes Heil selbst verantwortlich sei, Muhammad sei nur ein Warner ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/27/vers/92 27:92]). Als Warner hat Muhammad viele Vorgänger, wie in der mittelmekkanischen Zeit mit einem neuen Typ von Erzählungen deutlich gemacht wird, die sich mit solchen Warnern befasst. Diese Erzählungen folgen fast alle einem bestimmten Modell: der Warner wird zu einem bestimmten Volk (z.B.[[w:ʿĀd|ʿĀd]] und [[w:Thamūd|Thamūd]]) gesandt, doch die Leute glauben nicht die Botschaft, die er überbringt. Während sie auf spektakuläre Weise vernichtet werden, werden der Warner und seine Anhänger errettet. Eine der längsten Erzählungen, die diesem Muster entspricht, ist die Geschichte von Noah und der Sintflut ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/11/vers/25 11:25-49]). Derartige Geschichten, die in ihrer Gesamtheit in der westlichen Koranforschung als „Straflegenden“ bezeichnet werden, sollten die Muslime, die sich in einer schwierigen Lage befanden, aufmuntern, indem sie ihnen deutlich machten, dass diejenigen, die der wahren Religion folgen, am Ende rechtbehalten. Denjenigen, die Muhammad als Lügner bezeichneten, sollte mit diesen Erzählungen umgekehrt klargemacht werden, dass ihnen ein ähnliches Schicksal blühte wie den früher untergegangenen Völkern ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/42 22:42]). Daneben wurde mit diesen Erzählungen herausgestellt, dass Mohammad kein Neuerer ist, sondern in einer langen Traditionsline früherer Gottesmänner steht. In diesen Kontext gehört auch die Aussage von Koranvers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/41/vers/43 41:43]: „Zu dir wird nichts anderes gesagt als das, was zu den Gesandten vor dir gesagt worden ist.“ Auch wenn Muhammad durch Eingebungen zu Gott in besonderem Kontakt steht, so ist er doch nicht mehr als nur sein Knecht ([[w:ʿAbd|ʿAbd]], vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/53/vers/10 53:10]). Die Knechtschaft ([[w:ʿUbūdīya|ʿUbūdīya]]) gegenüber Gott verbindet Muhammad mit den anderen Gesandten, ja sogar mit allen anderen Menschen, weil „es im Himmel und auf Erden niemanden gibt, der nicht als Knecht zu ar-Rahmān“ kommt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/19/vers/93 19:93]). Dieses Thema der Knechtschaftsbeziehung sowohl Muhammads als auch allgemein des Menschen gegenüber Gott sollte später in der islamischen Theologie eine wichtige Rolle spielen. Da Muhammad in mekkanischer Zeit mehrfach als Knecht bezeichnet wird, bezieht sich gewiss auch die Koranstelle in Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/17/vers/1 17:1] auf ihn, in der von einer nächtlichen Reise die Rede ist, die Gott seinen Knecht von dem „Heiligen Gebetsplatz“ ([[w:Al-Masdschid al-Harām|al-Masdschid al-Harām]]) in Mekka zum gesegneten „fernsten Gebetsplatz“ ([[w:al-Aqsa-Moschee|al-Masdschid al-Aqsā]]) vollziehen lässt, um ihm etwas von seinen Zeichen sehen zu lassen. In der traditionellen Koranexegese wird diese Stelle in der Weise gedeutet, dass Muhammad in einer Nacht auf wunderbare Weise nach Jerusalem versetzt wurde. Ob Muhammad selbst bei diesen Worten schon das Jerusalemer Heiligtum vor Augen hatte, ist nicht ganz klar. In jedem Fall zeigt aber dieses aus spätmekkanischer Periode stammende Koranwort, wie stark er sich in dieser Zeit bereits vom mekkanischen Heiligtum geistig entfernt hatte und seinen Blick in die Ferne richtete. == 2.3. Der neue Gottesdienst == === 2.3.1. Lesung, Gebet, Gottesgedenken === Die Gründung der neuen Religion war auch mit der Einführung bzw. Reform bestimmter Kultpraktiken verbunden. Eines der wichtigsten Rituale für die neue Gemeinschaft war die Lesung der Muhammad eingegebenen Texte. Muhammad selbst wird im Koran aufgefordert, eine solche Lesung „im Namen seines Herrn“ abzuhalten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/96/vers/1 Q 96:1]). Die Lesung sollte während nächtlicher Vigilien in gleichmäßiger Form stattfinden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/73/vers/2 Q 73:2-4]), und während der Lesung sollten die Zuhörer eine [[w:Sudschūd|Prosternation]] vollziehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/84/vers/21 Q 84:21]). Der Begriff, der für diese Lesung von Muhammads Eingebungen verwendet wurde, war ''qurʾān''. Erst später hat sich dieses Wort zum Namen für das Buch entwickelt, in dem diese Eingebungen schriftlicht fixiert sind (daraus dann eingedeutscht [[w:Koran|Koran]]). In mittelmekkanischer Zeit wurde die Lesung in die frühen Morgenstunden verlegt. Diese Rezitation des frühen Morgens (''qurʾān al-faǧr'') war eine gemeinschaftliche Handlung, während die Lesung in der Nacht nur noch als eine zusätzliche Leistung (''nāfila'') von Muhammad selbst und vielleicht einzelnen Gläubigen vollzogen wurde (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/17/vers/78 Q 17:78f]). Bei der Rezitation des Korans sollte Muhammad um Zuflucht vor dem verfluchten Satan bitten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/16/vers/98 Q 16:98]) und die anderen sollten Ruhe halten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/7/vers/204 7:204]). Ein zweites wichtiges Element des islamischen Gottesdienstes war das rituelle Gebet ([[w:Salāt|Salāt]]). Denjenigen, die auf ihr Gebet nicht achten, droht Unheil, wie es schon an einer frühmekkanischen Stelle heißt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/107/vers/4 107:4-5]), sie sollen in die Hölle gestoßen werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/74/vers/42 Q 74:42f]). Das Gebet enthielt bestimmte Formeln, die weder zu laut, noch zu leise gesprochen werden sollten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/17/vers/110 Q 17:110]). Aus nachkoranischen arabischen Berichten geht hervor, dass Muhammad anfangs an dem Gebet des hellen Morgens (''ḍuḥā'') teilnahm, das in Mekka üblich war, nach einer gewissen Zeit aber ein zweites Gebet einführte, das am Nachmittag (''ʿaṣr'') abgehalten wurde. Auf dieses Gebet wird wahrscheinlich in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/17/vers/78 Sure 17:78] Bezug genommen, wo es heißt: „Verrichte die Salāt, wenn die Sonne sich neigt, bis die Nacht dunkelt!“ Mit dem Nachmittagsgebet hatte die von Muhammad angeführte Gemeinde eine eigene Gebetszeit. Dieses Nachmittagsgebet wurde allerdings von den heidnischen Mekkanern missbilligt, so dass sich die Gläubigen dafür teilweise an versteckte Orte zurückzogen. Im Koran ist von Versuchen, die Gläubigen vom Gebet abzuhalten, die Rede ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/96/vers/9 Q 96:9f]). Muhammad und seine Leute werden aufgefordert, trotz dieser Behinderungen das Gebet zu verrichten und darin auszuharren ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/20/vers/132 Q 20:132]). Muhammads Anhänger in Yathrib richteten sich bei der Salāt nach Jerusalem aus. Wahrscheinlich noch während seines Aufenthaltes in Mekka ging auch Muhammad zu dieser Praxis über. In spätmekkanischer Zeit wurde außerdem das [[w:Dhikr|Gottesgedenken]] sehr wichtig. Hierüber heißt es in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/29/vers/45 Sure 29:45]: „Siehe, das Gebet hält vom Schändlichen und Verwerflichen ab. Doch das Gedenken Gottes ist wahrlich noch bedeutender.“ Über die Art, wie dieses Gottesgedenken vollzogen werden soll, findet man in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/7/vers/205 Sure 7:205] die folgende Anweisung: „Gedenke Deines Herrn bei dir, in Demut insgeheim und ohne lautes Wort, am Morgen und am Abend. Und sei nicht einer von den Achtlosen.“ === 2.3.2. Die Anfänge des Freitagsgottesdienstes === Aus den arabischen Berichten über die frühislamische Zeit geht hervor, dass die Anhänger Muhammads in Mekka keinen besonderen wöchentlichen Gottesdienst hatten. Schon im Jahr vor der [[w:Hidschra|Hidschra]] wurde jedoch in der Gemeinde seiner Anhänger in Yathrib ein spezieller Freitagsgottesdienst eingeführt. Es wird berichtet, dass [[w:Musʿab ibn ʿUmair|Musʿab ibn ʿUmair]], den Muhammad den Abgesandten aus Yathrib nach dem ersten ʿAqaba-Treffen als Imam mitgegeben hatte (vgl. oben [[#2.1.5. Die Suche nach externen Verbündeten|2.1.5.]]), Muhammad in einem Brief um Erlaubnis bat, mit den Leuten aus Yathrib eine wöchentliche Versammlung abhalten zu dürfen. Muhammad soll daraufhin die Muslime von Yathrib angewiesen haben, ihren öffentlichen Gottesdienst am Freitag, dem Vortag des jüdischen [[w:Sabbat|Sabbat]], abzuhalten. Einige frühe Quellen geben an, dass der [[w:Freitag|Freitag]] gewählt wurde, damit die Muslime einen eigenen wöchentlichen Feiertag hatten, der sich von den heiligen Tagen der Juden und Christen unterschied. [[w:Shlomo Dov Goitein|S.D. Goitein]] hat aber gezeigt, dass die Wahl des Freitags keine polemische Tendenz hatte. Der Tag wurde vielmehr deswegen gewählt, weil die Juden von Yathrib an diesem Tag ihre Vorräte für den Sabbat kauften. Der Freitag, auf Arabisch ''yaum al-ǧumʿa'' („Tag der Versammlung“), war also der wöchentliche Markttag in der Oase von Yathrib. „Jeder war anwesend, und deshalb ergab sich ein natürlicher Anlass, Leute zum Zweck des Gebetes und der Ermahnung zu versammeln.“ Der Freitagsgottesdienst wurde nach Goitein deshalb auf den Mittag gesetzt, weil in Arabien die Märkte kurz nach Mittag endeten und auf diese Weise sicher gestellt werden konnte, dass diejenigen, die von weiter herkamen, noch vor Einbruch der Dunkelheit nach Hause zurückkehren konnten. Diese Ansicht wird durch die einzige Koranstelle gestützt, in der der Freitagsgottesdienst erwähnt wird ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/62/vers/9 Q 62:9f]). Dort werden die Muslime aufgefordert, die Kaufgeschäfte für den Gottesdienst ruhen zu lassen und danach ihrer Wege zu gehen. Der in der Diasporagemeinde von Yathrib entstandene [[w:Freitagsgebet|Freitagsgottesdienst]] wurde später zu einem typischen Merkmal des muslimischen religiösen Lebens und ist es bis heute geblieben. === 2.3.3. Veränderungen beim Umlauf um die Kaaba === Mit großer Wahrscheinlichkeit führte Muhammad auch Veränderungen beim Umlauf ([[w:Tawāf|Tawāf]]) um die Kaaba ein. Die islamische Tradition berichtet im Zusammenhang mit der koranischen Aufforderung „O Kinder Adams, legt bei jeder Kultstätte euren Schmuck (= Kleidung?) an“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/7/vers/31 Q 7:31]), dass er seinen Anhängern verbot, den Umlauf nackt zu verrichten. Da diese Sure aus spätmekkanischer Zeit stammt, ist zu vermuten, dass diese Reform ebenfalls zu jener Zeit stattfand. Im Koran wird an der gleichen Stelle die Nacktheit als ein satanischer Zustand beschrieben und zu der satanischen Versuchung Adams im Paradies in Verbindung gesetzt: „Ihr Kinder Adams! Wir haben Kleidung auf euch herabgesandt, dass sie eure ''sauʾa'' („Scham, Schlechtigkeit“) verberge [...] Ihr Kinder Adams! Dass euch der Satan nur nicht in Versuchung führt, wie er (einst) eure Eltern (in Versuchung geführt) und aus dem Paradies vertrieben hat, indem er ihnen ihre Kleidung auszog, um sie ihre ''sauʾa'' sehen zu lassen“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/7/vers/20 Q 7:20-27]). Diese Mahnung hat in entscheidender Weise im Islam das Verhältnis zur [[w:Nacktheit|Nacktheit]] geprägt. == 2.4. Weiterführende Literatur == * [[w:Hartmut Bobzin|Hartmut Bobzin]]: ''Der Koran. Eine Einführung.'' 4. Aufl. München 2001. * [[w:Shlomo Dov Goitein|Shlomo Dov Goitein]]: “The Origin and Nature of the Muslim Friday Worship” in ''The Muslim World'' 49 (1959) 183–195. * M.J. Kister: „Al-Taḥannuth: an enquiry into the meaning of a term“ in ''Bulletin of the School of Oriental and African Studies'' 31 (1968) 223–236. * M. J. Kister: „'A Bag of Meat': A Study of an Early Ḥadīth“ in ''Bulletin of the School of Oriental and African Studies'' 33 (1970) 267-75. [http://www.kister.huji.ac.il/sites/default/files/Bag_Of_Meat_0.pdf Digitalisat] * M.J. Kister: "'Shaʿbān is my month'. A study of an early tradition." in J. Blau a.o. (ed.): ''Studia orientalia memoriae D.H. Baneth dedicata.'' Jerusalem 1979. S. 15–37. * [[w:Angelika Neuwirth|Angelika Neuwirth]]: ''Frühmekkanische Suren. Poetische Prophetie.'' Insel, Berlin 2011. * [[w:Theodor Nöldeke|Theodor Nöldeke]]: ''Geschichte des Qorāns. Erster Teil: Über den Ursprung des Qorāns.'' 2. Aufl, bearbeitet von Friedrich Schwally. Leipzig 1909. [https://archive.org/details/geschichtedesqor01nluoft/geschichtedesqor01nluoft/page/n3/mode/2up Digitalisat] * Neal Robinson: ''Discovering the Qurʾan. A contemporary approach to a veiled text.'' 2nd edition. SCM Press, London, 1996. * Uri Rubin: „Morning and Evening Prayers in Early Islam“ in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 10 (1987), 40–67. [https://www.academia.edu/5878873/_Morning_and_Evening_Prayers_in_Early_Islam_ Digitalisat] * Nicolai Sinai: "The Qur'an as process" in Angelika Neuwirth, Nicolai Sinai, Michael Marx (Hrsg.): ''The Qur'ān in Context. Historical and Literary Investigations into the Qur'ānic Milieu.'' Leiden 2011. S. 407–439. * [[w:Aloys Sprenger|Aloys Sprenger]]: ''Das Leben und die Lehre des Moḥammad, nach bisher grösstentheils ungenutzten Quellen.'' 3 Bde. 2. Ausg. Nicolaische Verlagsbuchhandlung, Berlin, 1869. * [[w:William Montgomery Watt|W. Montgomery Watt]]: ''Muhammad at Mecca.'' Oxford 1953. * W. Montgomery Watt, Alford T. Welch: ''Der Islam I: Mohammed und die Frühzeit, Islamisches Recht, Religiöses Leben'' (= ''Die Religionen der Menschheit''. Band 25,1). Stuttgart 1980. == 2.5. Fragen/Aufgaben == 1. Was sind Hanīfen und welche Rolle spielten sie in der frühen religiösen Entwicklung Muhammads? 2. Beschreiben Sie Muhammads früheste Anhängerschaft. Welchen sozialen Gruppen gehörte sie an? 3. Während ein Teil von Muhammads Anhängerschaft schon 615 nach Äthiopien auswanderte, verließ er selbst seine Heimatstadt Mekka erst 622. Wie lässt sich das erklären? 4. Um den Koran als Quelle zur Rekonstruktion der frühen Botschaft Muhammads benutzen zu können, ist es notwendig, die einzelnen Teile des Korans zeitlich einordnen zu können. Geben Sie einen Überblick zu deren Chronologie. 5. Welche Aussagen macht der Koran über das den Menschen bevorstehende Strafgericht? 6. Wie wurde Muhammad von seinen Gegnern in Mekka wahrgenommen und was war die koranische Antwort auf die von ihnen gegen ihn erhobenen Vorwürfe? 7. Mit welchen besonderen Gottesdienstformen haben sich die frühen Muslime in Mekka von ihrer Umgebung abgesetzt? 8. Erklären Sie die Entstehung des Freitagsgebets. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} prclm6sjaitvz0h0pef4qjrecmvswx0 0 98625 1117169 1116454 2026-10-20T13:48:56Z PaFra 14559 1117169 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02|2 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 04|>>> 4]] {{TOC nonum}} = 3. Der Prophet von Yathrib und das neue Gemeinwesen (622-630) = Das Zentrum der neuen Religion verlagert sich in die Oase Yathrib, kriegerisches Handeln steht im Vordergrund. Muhammad und seine Anhänger kämpfen gegen das heidnische Mekka und geraten immer mehr in einen Konflikt mit den Juden von Yathrib, die schließlich aus der Oase vertrieben werden. Als Anführer des neuen Gemeinwesens führt Muhammad verschiedene rechtliche, soziale und kultische Reformen durch. == 3.1. Maghāzī – Die Kriegszüge Muhammads == === 3.1.1. Die Provokation der Quraisch === Die arabischen Quellen berichten übereinstimmend, dass Muhammad nach seiner Auswanderung aus Mekka am 24. September 622 die Oase von Yathrib erreichte. Da er aus Mekka vertrieben worden war, sah er es als gerechtfertigt an, gegen seine frühere Heimatstadt zu kämpfen. Das geht deutlich aus zwei Koranversen hervor, die nach allgemeiner Auffassung als älteste Offenbarung zum Thema des Kampfes gelten: {{Zitat|Denen, die kämpfen, ist das erlaubt, weil ihnen Unrecht angetan – siehe, Gott hat zu helfen ihnen die Macht! – Weil sie vertrieben wurden aus ihrer Heimat ohne Recht, nur weil sie sagten: Unser Herr ist Gott.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/39 Q 22:39f]}} Der Krieg mit Mekka, den Muhammad von seiner neuen Basis Yathrib aus führte, begann mit kleinen Nadelstichen. Nach der Chronologie [[w:al-Wāqidī|al-Wāqidīs]], der im frühen 9. Jahrhundert ein Werk über die Kriegszüge ([[w:Maghāzī|Maghāzī]]) Muhammads verfasste, schickte dieser schon sieben Monate nach seiner Ankunft seinen Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] mit einer Gruppe von Kriegern aus, um an der Küste eine aus Syrien heimkehrende mekkanische Handelskarawane unter Führung [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahls]] abzufangen, doch kam es zu keiner Kampfhandlung, weil ein Mann aus dem Stamm der [[w:Qudāʿa|Dschuhaina]], der mit beiden Seiten verbündet war, dazwischentrat. Bei einer zweiten Unternehmung im April 623 wurde „der erste Pfeil im Islam“ abgeschossen. Der Kampf gegen die Mekkaner setzte sich bald auch über altarabische religiöse Normen hinweg, wie das Friedensgebot in den heiligen Monaten (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). So überfiel ein von Muhammad beauftragtes Kommando im heiligen Monat [[w:Radschab|Radschab]] bei [[w:Nakhla_(Saudi-Arabien)|Nachla]] südlich von Mekka eine mekkanische Karawane. Das war nach der Überlieferung Anlass für die folgende Offenbarung: {{Zitat|Sie fragen dich nach dem heiligen Monat, ob Kampf in ihm erlaubt sei. Sprich: Kampf in ihm wiegt schwer, aber jemanden abzuhalten vom Wege Gottes, darin liegt Unglaube. Und sie vom heiligen Gebetsplatz abzuhalten, und dessen Volk daraus zu vertreiben, – das wiegt schwerer vor Gott. Und Verführung (zum Abfall vom Islam) wiegt schwerer als Töten. Sie werden nicht aufhören, euch zu bekriegen, bis sie euch von eurer Religion abbringen, wenn sie können.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/217 Q 2:217]}} Aus dem Koranwort geht hervor, dass das Weiterbestehen der alten Religion in Mekka für die Anhänger Muhammads eine ständige Versuchung war, von ihrem Glauben abzufallen. Da vielen von ihnen der militärische Kampf (''qitāl'') offenbar zuwider war, wurde er nun zur Pflicht erklärt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/216 Q 2:216]) und durch die Bezeichnung ''ǧihād fī sabīl Allāh'' („Bemühung [[w:Fī sabīli Llāh|für die Sache Gottes]]“, so schon im folgenden Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/218 Q 2:218]), auf eine religiöse Ebene gehoben. In der Form [[w:Dschihad|Dschihad]] hat dieser Begriff auch Eingang ins Deutsche gefunden. [[File:Balami - Tarikhnama - The Battle of Badr - The death of Abu Jahl, and the casting of the Meccan dead into dry wells (cropped).jpg|mini|Bildliche Darstellung der [[w:Schlacht von Badr|Schlacht von Badr]] in einer persischen Handschrift, frühes 14. Jahrhundert]] Die erste große Konfrontation zwischen Mekkanern und den Anhängern Muhammads ergab sich im März 624 bei dem Ort [[w:Badr_(Saudi-Arabien)|Badr]] ca. 130 km südwestlich von Yathrib. Muhammad hatte Informationen erhalten, dass eine reiche mekkanische Karawane aus Syrien zurückkehrte. Mit 300 Mann, unter denen sich auch Angehörige des mit den [[w:Aus (Stamm)|Aus]] verbündeten Stammes [[w:Muzaina|Muzaina]] befanden, zog er nach dem an der Küstenstraße liegenden Badr, um die Karawane abzufangen. Es kam zu einer Schlacht zwischen Muhammads Männern und einer etwa 950 Mann starken Armee der Mekkaner, die der Karawane zur Hilfe geeilt war und von Muhammads erbittertem Gegner Abū Dschahl befehligt wurde. Muhammads Lager siegte überraschend. Die Mekkaner verloren zwischen 45 und 70 Mann, und eine ähnliche Anzahl von ihnen wurde gefangengenommen. Zu den gefallenen Mekkanern gehörten mehrere ihrer führenden Persönlichkeiten, darunter auch Abū Dschahl. Die Anhänger Muhammads hatten dagegen nur 14 Gefallene zu beklagen und machten große Beute. Nach der Schlacht ließ Muhammad einige der Gefangenen enthaupten, darunter seinen früheren Gegner [[w:an-Nadr ibn al-Hārith|an-Nadr ibn al-Hārith]]. Der [[w:Schlacht von Badr|Sieg bei Badr]] war sowohl in militärischer als auch in religiöser Hinsicht von größter Bedeutung für die Anhänger Muhammads. Offenbar hatten aber nicht alle von ihnen an diesem Sieg mitgewirkt. Das geht aus Versen hervor, die aus der Zeit nach Badr stammen und klarstellen, dass diejenigen unter den Gläubigen, die ohne Entschuldigung zu Hause „sitzenbleiben“ bei Gott nicht auf der gleichen Stufe stehen wie die Mudschāhidūn, also diejenigen, die den Dschihad führen und dabei Vermögen und Leben aufs Spiel setzen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/95 Q 4:95f]). === 3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags === Für die Quraisch von Mekka war die Niederlage bei Badr ein harter Schlag. Sie hatten in dem Ruf gestanden, ein besonders mächtiger Stamm in Arabien zu sein, und in gewissem Maße stützte sich auch der Erfolg ihrer Geschäfte auf diese Reputation, denn bei ihrem Handel waren sie auf die Zusammenarbeit mit vielen anderen Stämmen angewiesen, und von einigen von ihnen war nun Aufsässigkeit zu erwarten. Deshalb war es für die Quraisch von essentieller Bedeutung, zu beweisen, dass sie noch die Kraft hatten, für erlittenes Unrecht Rache zu nehmen. Zehn Wochen nach Badr unternahm [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]], der nach der Schlacht von Badr die Führung von Mekka übernommen hatte, einen Blitzüberfall auf Yathrib, zog sich aber, nachdem er zwei Häuser in Brand gesteckt hatte, rasch zurück. [[File:The Prophet Muhammad and the Muslim Army at the Battle of Uhud, from the Siyer-i Nebi, 1595.jpg|mini|Darstellung der Schlacht von Uhud in einem [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i Nebi]] von 1594, heute David Collection, Kopenhagen]] In den Monaten danach gelang es Abū Sufyān, 3000 gut ausgerüstete Krieger zu rekrutieren. Im März 625 rückte er mit diesen nach Yathrib vor und drang von der Nordwestecke in die Oase ein. Beim Berg Uhud kam es zu einem Kampf, der lange hin und her wogte. Als sich das Kriegsglück zu Gunsten der Anhänger Muhammads zu wenden begann, fingen diese an, die Beute einzusammeln. Das veranlasste eine Gruppe von Muhammads Bogenschützen, ihren Platz zu verlassen, um sich ebenfalls der Beute zuzuwenden. Auf der Seite der Mekkaner nutzte diese Situation der prominente Kämpfer [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] aus, um Verwirrung in den Reihen von Muhammads Anhängern zu stiften und sie niederzuringen. Allerdings gelang es Muhammads Anhängern zum Schluss, wichtige Stellungen zurückzugewinnen, so dass die Mekkaner abziehen mussten, ohne sich ihres Widersachers Muhammad endgültig entledigt zu haben. Für die Anhänger Muhammads war die [[w:Schlacht von Uhud|Schlacht von Uhud]] dennoch eine herbe Enttäuschung, nicht nur deshalb, weil sie 50 bis 70 Mann verloren hatten, Muhammads Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] gefallen und Muhammad selbst verwundet worden war, sondern auch deshalb, weil sie merkten, dass sie sich der Unterstützung Gottes doch nicht immer so sicher sein konnten, wie es ihnen nach dem Sieg von Badr schien. In verschiedenen Koranworten aus dieser Zeit wird bekräftigt, dass diejenigen, die „für die Sache Gottes“ getötet wurden, nicht wirklich tot sind, sondern weiter leben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/154 Q 2:154]), bei ihrem Herrn versorgt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/169 3:169]), ihnen die Sünden vergeben werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/157 3:157]) und sie direkt ins Paradies eingehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/195 3:195]). Der Konflikt zwischen Muhammad und den Mekkanern war mit der Schlacht von Uhud noch keineswegs beendet. Da Muhammad weiter den mekkanischen Handel störte und bei den arabischen Beduinen immer mehr Verbündete fand, sahen sich die Mekkaner genötigt, erneut gegen ihn vorzugehen. Dafür versuchten sie ihrerseits, eine Anzahl beduinischer Stämme auf ihre Seite zu ziehen. Diese Bündnisse zeigen, dass der Konflikt zwischen Mekka und Yathrib inzwischen das Umland der beiden Städte mit einschloss. Im Juli 625 massakrierten die [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]], ein mit den Quraisch verbündeter Stamm, bei Biʾr Maʿūna zwischen Mekka und Yathrib eine größere Anzahl von Muslimen. Muhammad soll daraufhin einen Monat lang die Banū Sulaim verflucht haben. In veränderter Form hat sich dieser Ritus bis heute im sogenannten [[w:Qunūt|Qunūt]] erhalten, einem Bittgebet, das beim Morgengebet oder beim nächtlichen Witr-Gebet gesprochen wird. Zu Beginn des Jahres 627 erschienen die Mekkaner und ihre Verbündeten mit einer Truppe von 10.000 Mann vor Yathrib. Dort hatte Muhammad allerdings um die weniger befestigten Stellen der Oasensiedlung einen Graben (''ḫandaq'') ausheben lassen, der so breit war, dass ein Pferd ihn nicht überspringen konnte. Diese Aktion kam für die Mekkaner offensichtlich so unerwartet, dass sie ihr kein geeignetes strategisches Mittel entgegensetzen konnten. Aus dem geplanten Angriff wurde so eine Belagerung. Aufgrund von Intrigen brach die Allianz der Mekkaner jedoch schon nach 14 Tagen zusammen, und die [[w:Grabenschlacht|Belagerung von Yathrib]] musste beendet werden. Die Mekkaner zogen schließlich ab, ohne etwas erreicht zu haben. === 3.1.3. Der militärische und politische Durchbruch === [[File:Dinar, Khusro II, 590, 591-628 AD, year 31 - Bode-Museum - DSC02737.JPG|mini|Der Sassanidenherrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] (reg. 590-628) auf einer Goldmünze, [[w:Bode-Museum|Bode-Museum]]]] Der Grabenkrieg war im Grunde genommen der letzte Defensivkrieg Muhammads. Hiernach begann die Offensivphase in seinem Leben, und gleichzeitig für das von ihm begründete Gemeinweisen die Zeit der Eroberungen. Zum Verständnis des folgenden militärischen Erfolgs von Muhammad ist es notwendig, sich die politische Situation im Vorderen Orient dieser Zeit zu vergegenwärtigen. Anfang des 7. Jahrhunderts hatte ein längerer Schlagabtausch zwischen dem [[w:Byzantinisches Reich|Byzantinischen Reich]] und den [[w:Sassanidenreich|Sassaniden]] begonnen. In den Jahren 603 bis 619 hatten zunächst die sassanidischen Truppen Syrien, Palästina und Ägypten erobert, 622 hatte der byzantinische Kaiser zum Gegenangriff ausgeholt. Es kam zu heftigen Auseinandersetzungen, bei denen die Sassaniden ebenfalls mehrere Niederlagen erlitten, und die 628 mit einem Friedensschluss endeten, der ihren Herrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] dazu verpflichtete, die eroberten Gebiete vollständig zurückzugeben. Hieraufhin wurde Chosrau von seinen Offizieren gestürzt, und es begannen im Sassanidenreich Thronwirren, die bis 633 andauerten und während derer das sassanidische Bündnissystem auf der arabischen Halbinsel zusammenbrach. Es war genau diese fünfjährige Periode des Machtvakuums, innerhalb derer Muhammad seinen neu gegründeten Staat zum militärischen und politischen Erfolg führte. Im Jahr nach der [[w:Grabenschlacht|Grabenschlacht]] unternahm er noch einige weitere kleinere Kriegszüge, von denen die beiden bedeutendsten derjenige gegen die Oase Dūmat al-Dschandal und derjenige gegen den westlich von Yathrib lebenden Stamm der Mustaliq waren. Im März 628 zog er dann mit einer Schar von Gläubigen nach Mekka, um eine [[w:ʿUmra|ʿUmra]] zu vollziehen. Die Mekkaner, die annahmen, dass er kriegerische Absichten hegte, sorgten allerdings dafür, dass er der Stadt nicht zu nahe kam. Von seinem Lager in al-Hudaibiya am Rande des [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]] nahm Muhammad Verhandlungen mit den Mekkanern auf, die mit einem Vertrag endeten. Er selbst musste in diesem Vertrag rein äußerlich einige Demütigungen hinnehmen, die zu Spannungen unter seinen Anhängern führten. So wurde er von dem mekkanischen Abgesandten nicht als „Muhammad, der Gesandte Gottes“ anerkannt, sondern nur als „Muhammad ibn ʿAbdallāh“. Bedeutender waren aber die getroffenen Vereinbarungen. Dazu gehörten ein zehnjähriger Waffenstillstand und das Versprechen der Mekkaner, Muhammad und seinen Anhängern im nächsten Jahr die Stadt für drei Tage zum Vollzug der ʿUmra zu überlassen. Umgekehrt verzichtete Muhammad für dieses Jahr auf die ʿUmra und zog sich mit seinen Männern nach Yathrib zurück. Der Vertrag von Hudaibiya war ein Triumph für den Propheten und seine Anhänger. Der Koran berichtet, dass Gott seine [[w:Sakīna|Sakīna]] in die Herzen der Gläubigen hinabsandte, so dass sie im Glauben zunahmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/4 Q 48:4], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/18 18]). Der Begriff ''sakīna'' geht eigentlich auf ein jüdisches Konzept, die [[w:Schechina|Schechina]], zurück, das die „Gegenwart“ Gottes bei seinem Volk bezeichnet. Hier bezeichnet er aber auch den psychischen Zustand der Gelassenheit und Ruhe. Nach dem Vertrag von Hudaibiya vollzogen mehrere Araber aus anderen Gebieten Arabiens, die sich schon früher Muhammad angeschlossen hatten, die [[w:Hidschra|Hidschra]], d.h. sie zogen nach Yathrib, um Muhammad militärisch zu unterstützen. Zu ihnen gehörten zum Beispiel auch die beiden Jemeniten [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]]. Im folgenden Jahr, im März 629, zog Muhammad dann mit etwa 2.000 Mann nach Mekka, um wie geplant die ʿUmra zu vollziehen. Bei dieser Gelegenheit heiratete er Maimūna, die Schwägerin seines Onkels [[w:al-ʿAbbās ibn ʿAbd al-Muttalib|ʿAbbās]], der zu dieser Zeit in Mekka die Führung der [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]] übernommen hatte. Immer mehr Mekkaner erkannten nun Muhammad als Propheten an und verließen die Stadt, um sich ihm anzuschließen, auch solche, die ihn kurz zuvor noch bekriegt hatten wie zum Beispiel der Kämpfer Chālid ibn al-Walīd, der bei der Schlacht von Uhud noch auf der gegnerischen Seite gestanden hatte (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]). Im Laufe des Jahres 629 ließ Muhammad noch einige weitere kriegerische Unternehmungen durchführen. So schickte er im September seinen ehemaligen Sklaven und Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] mit einer Armee nach Mu'ta auf dem Gebiet des heutigen Jordanien, östlich der Südspitze des Toten Meeres. Dann ergab sich eine Kette von Ereignissen, die letztlich zur friedlichen Kapitulation Mekkas führten. Muhammad heiratete Umm Habība, eine schon viele Jahre früher zum Islam übergetreten Tochter [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], deren muslimischer Ehemann gestorben war. Wenig später wurde ein Clan der [[w:Chuzāʿa|Chuzāʿa]], der in der Nähe von Mekka lebte und nach Hudaibiya einen Bund mit Muhammad geschlossen hatte, von einem Clan der [[w:Kināna|Kināna]], der mit den Mekkanern verbündet war, angegriffen. Der in Bedrängnis geratene Clan der Chuzāʿa wandte sich an Muhammad, der mit diesem Vorfall das Abkommen von Hudaibiya als gebrochen betrachtete. Zur Verhinderung einer militärischen Konfrontation reiste Abū Sufyan unter dem Vorwand, seine Tochter besuchen zu wollen, nach Yathrib und führte mit Muhammad Verhandlungen. Der genaue Hergang der nachfolgenden Ereignisse ist nicht klar, doch steht fest, dass es nach der Rückkehr Abū Sufyans nach Mekka zwischen ihm und Muhammad zum Austausch von Geschenken kam. In der Sache selbst war Muhammad allerdings zu keinen Zugeständnissen bereit. Er gab das Kommando zur Vorbereitung eines Feldzuges zur Einnahme von Mekka. Mit einer Armee von ca. 10.000 Mann, die neben seinen Anhängern aus Mekka und Yathrib auch Kämpfer von Stämmen der Umgebung wie den [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]] und [[w:Muzaina|Muzaina]] einschloss, zog er von Yathrib in Richtung Mekka. Abū Sufyān zog ihm entgegen und führte die Kontaktgespräche. Im Gegenzug für seine Konversion zum Islam erhielt er eine Sicherheitsgarantie für all diejenigen Bewohner Mekkas, die keinen bewaffneten Widerstand leisteten. Die weitreichenden Garantien führten dazu, dass Muhammads Armee bei ihrem von verschiedenen Seiten erfolgendem Einrücken im Januar 630 auf nur sehr geringen Widerstand stieß. In den arabischen Quellen wird die Einnahme Mekkas als ''fatḥ'', „Öffnung“ bezeichnet. Sie steht damit gewissermaßen archetypisch für alle späteren muslimischen Eroberungen ([[w:Futūh|Futūh]]) von Städten und Ländern, die die Muslime unter Muhammads Nachfolgern machten. Über sie wurden später eigene Texte und Werke zusammengestellt. == 3.2. Die interne Entwicklung der Gemeinschaft von Yathrib == === 3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“ === Die Anhängerschaft Muhammads bei seiner Ankunft in Yathrib setzte sich im Wesentlichen aus zwei Gruppen zusammen, den Angehörigen der Quraisch, die zusammen mit ihm die Hidschra aus Mekka vollzogen hatten, und den Clanen von [[w:Aus (Stamm)|Aus]] und [[w:Chazradsch|Chazradsch]], die diesen Auswanderern in Yathrib Aufnahme gewährt hatten. Um eine Gemeinschaft zwischen diesen beiden Gruppen herzustellen, war es dringend notwendig, ein Loyalitätsverhältnis zwischen ihnen zu begründen. Genau diesen Sachverhalt spricht ein Koranwort an, in dem es heißt: „Diejenigen, die den Glauben angenommen haben und ausgewandert sind und unter Einsatz ihres Vermögens und Lebens für die Sache Gottes gekämpft haben, und diejenigen, die Asyl und Hilfe gewährten, die sollen untereinander Freunde sein“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/72 Q 8:72]). Offensichtlich wurden sogar praktische Maßnahmen ergriffen, um dieses Ziel zu verwirklichen, denn es gibt Berichte, denen zufolge zwischen verschiedenen Angehörigen der beiden Gruppen eine „Verbrüderung“ (''muʾāḫāh'') hergestellt wurde. Die übliche Form dieser Verbrüderung sah so aus, dass dem betreffenden Auswanderer (''muhāǧir'') einer von den „Helfern“ (''anṣār'') zur Seite gestellt wurde und die beiden sich gegenseitig zu Brüdern erklärten. Wenn einer der beiden im Kampf fiel, beerbte ihn der andere. Der wichtigste Zweck der Verbrüderung war es, größeren Zusammenhalt im Kampf zu erreichen. Die Zweiteilung der Anhängerschaft Muhammads wurde allerdings auch durch diese Maßnahme nicht völlig überwunden. Vielmehr scheint sich der Gegensatz zwischen den mekkanischen „Auswanderern“ ([[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]]) und den „Helfern“ ([[w:Ansār|Ansār]]) aus Yathrib im Laufe der Zeit noch verfestigt zu haben, wie sich zwei Koranstellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/100 Q 9:100], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/117 117]) aus späterer Zeit entnehmen lässt, in denen die beiden Gruppen einander gegenübergestellt werden. Über die politischen Verhältnisse, die seit der Zeit von Muhammads Ankunft in Yathrib herrschten, gibt es ein historisches Dokument, das uns noch wesentlich genauer informiert als der Koran, nämlich die sogenannte [[w:Gemeindeordnung von Medina|Gemeindeordnung von Medina]]. In diesem Dokument, das bei [[w:Ibn Hischām|Ibn Hischām]] überliefert ist, erscheint auch zum ersten Mal die arabische Bezeichnung ''al-Madīna'' („die Stadt, der Gerichtsort“) für Yathrib. Sie wurde später als Name für diesen Ort allgemein üblich und erscheint auch in den letzten Suren des Korans (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/102 Q 9:102]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/8 63:8]). Was nun die politische Ordnung anlangt, so wird am Anfang des Dokuments festgestellt, dass es sich um „einen Vertrag Muhammads des Propheten zwischen den Gläubigen und Muslimen der Quraisch und von Yathrib und jenen, die ihnen folgen, ihnen verbunden sind und zusammen mit ihnen kämpfen“ (§ 1), handelt. Sie sollen „eine einzige Umma“ bilden, „die sich von anderen unterscheidet“ (§&nbsp;2). Der Begriff [[w:Umma|Umma]] wird im Koran noch an vielen anderen Stellen verwendet und bezeichnet dort verschiedene von Propheten angeführte Gemeinschaften. Die Umma von Medina war allerdings eher an tribalen Konzepten orientiert. Die neun wichtigsten Vertragsparteien waren die „Auswanderer der Quraisch“, die offensichtlich als ein einziger Clan verstanden wurden, und acht Clane aus Yathrib. Jede Gruppe, so heißt es, sollte ihre tribale Organisation beibehalten und für die Zahlung von [[w:Diya (Islam)|Blutgeld]] und Lösegeld unter ihren Angehörigen verantwortlich sein. Allerdings wurde diese Solidaritätspflicht auf die Gläubigen (''muʾminūn'') unter ihnen eingeschränkt. Der zweite Teil des Dokuments befasst sich mit den Beziehungen zu den jüdischen Stämmen von Yathrib und ihren beduinischen Verbündeten. Das Dokument zeigt, dass die Umma zu jener Zeit als etwas verstanden wurde, das Beziehungen zu Angehörigen anderer Religionen einschloss. Im Wesentlichen handelte es sich um einen Bündnisvertrag, der den traditionellen arabischen Rechtsvorstellungen entsprach. Dadurch, dass im ersten Teil die Solidaritätsverpflichtungen auf die „Gläubigen“ beschränkt wurden, kam jedoch eine religiöse Komponente ins Spiel. Muhammad selbst wurde in der Gemeindeordnung eine richterliche Funktion zugesprochen. So wurde festgelegt, dass diejenigen, die über eine Sache im Streit sind, diese vor Gott und Muhammad bringen sollten (§§ 26, 52). Am Ende des Dokuments wird erklärt, dass das Tal von Yathrib für alle Vertragspartner geheiligt (''ḥarām'') sei (§ 49), womit es wie Mekka den Status eines [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Heiligen Bezirks]] erhält. === 3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden === Muhammad hatte am Ende der mekkanischen Zeit dem Judentum äußerst positiv gegenübergestanden. Koranische Texte aus diesem Zeitabschnitt fordern dazu auf, nicht mit den „Leuten des Buches“ ([[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]]) – gemeint sind die Juden von Yathrib – zu disputieren, sondern die Gemeinsamkeiten zwischen den beiden offenbarten Religionen herauszustellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/29/vers/46 Q 29:46]). Der gute Kontakt mit den Juden in der frühen medinischen Zeit führte dazu, dass sich Muhammad und seine Anhänger noch stärker an die jüdischen Vorschriften annäherten. So wurde zu dieser Zeit nach jüdischem Vorbild ein drittes Tagesgebet eingeführt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/238 Q 2:238f]), und der Verzehr von Schweinefleisch und der Beischlaf während der [[w:Menstruation|Menstruation]] wurden verboten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/173 Q 2:173], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/222 222]). Ebenfalls in frühmedinischer Zeit wurde für Muhammad der Titel ''nabī'' gebräuchlich, der in der Bibel und in der jüdischen Tradition für Propheten verwendet wird. Möglicherweise wurde dieser Titel deswegen jetzt für Muhammad eingeführt, um die Juden von Yathrib dazu zu bewegen, seine religiöse Führerschaft anzuerkennen. Besonders interessant ist das Adjektiv ''ummī'', mit dem der Begriff ''nabī'' an der ersten Stelle, an der er vorkommt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/7/vers/157 Q 7:157f]), versehen ist. Wahrscheinlich handelt es sich um eine Ableitung des hebräischen Ausdrucks ''ummot ha-ʿolam'', mit dem im [[w:Talmud|Talmud]] die nicht-jüdischen Völker bezeichnet werden, in denen [[w:Gerechter unter den Völkern|Gerechte]] auftreten können. Die Bezugnahme auf diese heidenfreundliche Tradition war sehr wichtig, denn unter den Juden von Yathrib herrschte die Auffassung vor, dass es unter den Arabern keine Prophetie geben könne. Die Annäherung an das Judentum bedeutete allerdings nicht, dass Muhammad seine Religion darin aufgehen lassen wollte. Die Gemeindeordnung von Medina stellt ausdrücklich fest, „dass die Juden ihre Religion beibehalten und die Gläubigen die Ihrige.“ Eine gemeinsame religiöse Basis fand er im Monotheismus, wie sich dem folgenden Koranwort entnehmen lässt: {{Zitat|Sag: O Leute des Buches, kommt her zu einem Wort, das uns und euch gemeinsam ist. Ist es nicht so, dass wir Gott allein dienen, ihm nichts beigesellen und uns nicht untereinander anstelle Gottes zu Herren nehmen?|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/64 Q 3:64]}} Offenbar hegte Muhammad die Vorstellung, die Juden würden in seiner Botschaft schließlich ihre eigene Religion wiedererkennen. Das brachte ihn letztendlich auch zu der Erwartung, dass sie seinen religiösen Anspruch anerkennen müssten. An mehreren Stellen im Koran werden die [[w:Israeliten|Israeliten]] aufgefordert, an das, was ihm offenbart wurde, als Bestätigung ihrer Schrift zu glauben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/41 Q 2:41]) und ihn allgemein als Bestätiger der [[w:Tora|Tora]] zu verstehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/50 Q 3:50]). Es geschah wahrscheinlich auch im Rahmen der Auseinandersetzung mit den Juden von Medina, dass sich Muhammad zum ersten Mal auf den [[w:Erzengel|Erzengel]] [[w:Gabriel (Erzengel)|Gabriel]] als Vermittler der koranischen Offenbarung berief. Gabriel spielte schon in vorislamischer Zeit eine große Rolle in den jüdischen Überlieferungen über Abraham und Mose. In Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/97 2:97] wird ausgesagt, dass er es ist, der den Koran in Muhammads Herz hinabgesandt habe, „mit Erlaubnis Gottes, bestätigend, was vor ihm war, als rechte Leitung und als frohe Botschaft für die Gläubigen.“ Die Korankommentatoren erklären, dass diese Verse offenbart wurden, als die Juden von Medina Muhammad fragten, wer der Engel sei, der ihm die Offenbarungen brächte. Als er antwortete, dass dies Gabriel sei, der Freund eines jeden Propheten, sollen sie entgegnet haben, dass sie ihn dann nicht anerkennen könnten, weil ihr Freund der Engel [[w:Erzengel_Michael|Michael]] sei, Gabriel dagegen ihr Feind. In Sure 2:97-98 wird diese „Feindschaft“ zu Gabriel missbilligt. Koranstellen wie diese zeigen sehr deutlich, dass die Juden Medinas nicht bereit waren, Muhammad als Propheten in ihrer Tradition anzuerkennen. Andere Stellen erwähnen, dass es immer wieder zu Streitereien mit ihnen kam (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/139 Q 2:139]). Die historiographischen Quellen berichten, dass es damals in Medina nur einen einzigen namhaften Juden gab, der zum Islam übertrat: [[w:ʿAbdallāh ibn Salām|ʿAbdallāh ibn Salām]]. An seine Konversion knüpfen sich in der islamischen Tradition zahlreiche Legenden. Aus Enttäuschung darüber, dass ihn die Juden von Medina nicht unterstützen und ihm zunehmend feindlich gegenüberstanden, brach Muhammad nach der Badr-Schlacht mit dem Judentum. So forderte er die Juden auf, ihn nicht mehr als Schiedsrichter anzurufen, da sie sich nicht einmal an die Regeln ihrer Tora hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/43 Q 5:43-45]). Immer häufiger kam es nun auch zu verbalen Attacken gegen die Juden. So wird ihnen an verschiedenen Stellen Verstocktheit vorgeworfen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/87 Q 2:87-90]) und ihre strengen Speiseverbote werden damit begründet, dass die Juden sich in der Vergangenheit schwerer Sünden schuldig gemacht hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/160 Q 4:160]). An anderen Stellen werden sie beschuldigt, sie würden einen Teil ihrer Schriften zurückhalten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/11/vers/18 Q 11:18]). Schließlich gibt es vier Passagen, die besagen, die Juden hätten die Schriften absichtlich „entstellt“ oder „verdorben“ (so [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/75 Q 2:75-79], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/46 4:46], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/13 5:13], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/41 5:41]). Den verbalen Attacken folgten bald reelle Angriffe auf die Juden von Yathrib. Sie waren keine einheitliche Gemeinschaft, sondern gehörten drei verschiedenen Stämmen an, den [[w:Banū Qainuqāʿ|Banū Qainuqāʿ]], den [[w:Banū n-Nadīr|Banū n-Nadīr]] und den [[w:Banū Quraiza|Banū Quraiza]]. Der erste Angriff richtete sich gegen die Banū Qainuqāʿ, die in Yathrib einen eigenen Markt unterhielten. Als Anlass wird in der Überlieferung genannt, dass nach der Schlacht von Badr (624) auf ihrem Markt eine arabische Frau von einer Gruppe von Juden belästigt worden war. Ein Muslim, der die Begebenheit beobachtet hatte, tötete einen der Juden und wurde dann selbst umgebracht. Das war der Auslöser dafür, dass Muhammad die Banū Qainuqāʿ im April 624 in ihrem befestigten Stadtteil belagerte. Sie mussten ihre Habe zurücklassen und wanderten nach Adhriʿāt (dem heutigen [[w:Darʿā|Darʿā]] im [[w:Hauran|Hauran]], Syrien) aus. Die Vertreibung der Banū Qainuqāʿ hatte wahrscheinlich auch einen ökonomischen Hintergrund, denn Muhammad strebte in dieser Zeit danach, einen eigenen Markt aufzubauen, und der Markt der Qainuqāʿ war ihm dabei im Weg. [[File:Khaybar - deserted houses.jpg|mini|250px|Die Oase Chaibar heute]] Im August 625 ging Muhammad gegen den jüdischen Stamm der Banū n-Nadīr vor. Als Anlass für den Konflikt nennt die Überlieferung einerseits einen versuchten Mordanschlag auf Muhammad, andererseits den Vorwurf der Kollaboration mit den feindlichen Quraisch. Muhammad ließ sie in ihren befestigten Häusern belagern und außerdem ihre Palmenpflanzungen zerstören, womit er ein ungeschriebenes Gesetz der arabischen Kriegführung verletzte. Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/59/vers/5 Q 59:5] liefert nach der islamischen Tradition eine Rechtfertigung für dieses Vorgehen. Wie die Banū Qainuqāʿ, so wurden auch die Banū Nadīr vertrieben; sie fanden mehrheitlich in der jüdischen Oase [[w:Chaibar|Chaibar]] Zuflucht, in der sie über Grundbesitz und eigene Festungen verfügten. Nach der Grabenschlacht 627 kam es zu einer Konfrontation der Muslime mit dem dritten und letzten noch in Medina verbliebenen jüdischen Stamm, den Banū Quraiza, denen auch verschiedene andere Oasen im Norden der Halbinsel gehörten. Ihnen wurden der Bruch ihres Abkommens mit Muhammad und die Zusammenarbeit mit den Quraisch während der Grabenschlacht vorgeworfen. Es erfolgte eine mehrwöchige Belagerung ihres befestigten Stadtteil. Da die Banū Aus mit den Banū Quraiza verbündet waren und sich für sie einsetzten, legte Muhammad die Entscheidung über ihr Leben in die Hand von [[w:Saʿd ibn Muʿādh|Saʿd ibn Muʿādh]], dem Anführer der Banū Aus, der in der Grabenschlacht schwere Verwundungen erlitten hatte und dem Tode nahe war. Dieser sprach sich dafür aus, alle Männer umzubringen, Frauen und Kinder in die Gefangenschaft zu führen und ihren Besitz aufzuteilen, was trotz Protesten von Seiten anderer Verbündeter unverzüglich umgesetzt wurde. Auch nach diesem Vorfall dauerte die Auseinandersetzung mit den Juden noch an. Die Banū n-Nadīr rüsteten nach ihrer Vertreibung aus Medina in Chaibar zum Krieg gegen Muhammad, wobei sie mit den arabischen Stämmen der Nachbarschaft zusammenarbeiteten. Muhammad kam ihnen im Frühjahr 628 mit einem eigenen [[w:Chaibar (Feldzug)|Kriegszug]] zuvor. Das Koranwort aus [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/33 Sure 5:33], das denjenigen, die gegen Gott und seinen Gesandten Krieg führen, eine grausame Strafe (Tötung, Kreuzigung bzw. kreuzweise Amputation von Hand und Fuß) in Aussicht stellt, wird in diesen historischen Zusammenhang gestellt. Chaibar kapitulierte im Juni 628, und die Juden der Oase wurden verpflichtet, ihr Vermögen herauszugeben und jedes Jahr die Hälfte ihrer Ernte den muslimischen Eroberern zu übergeben. Zwei andere von Juden besiedelte Oasen, Fadak und [[w:Tayma|Taimāʾ]], unterstellten sich Muhammads Herrschaft kurze Zeit später freiwillig. === 3.2.3. Andere Gegner Muhammads === In den Koranversen, die in die Zeit nach der [[w:Schlacht von Uhud|Uhud-Schlacht]] eingeordnet werden, taucht noch eine weitere gegnerische Personengruppe auf, die [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]]. Sie werden beschrieben als Personen, die zuerst den Glauben angenommen haben, sich dann aber wieder davon abwandten und nur noch so taten, als würden sie an den Gottesgesandten glauben (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/1 Q 63:1-3]). Man kann insofern den arabischen Begriff ''munāfiqūn'' mit „Heuchler“ übersetzen. Der Koran bezeichnet diese Leute auch als „Menschen, die in ihrem Herzen eine Krankheit haben“ (''fī qulūbi-him maraḍ''; vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/52 5:52]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/49 8:49]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/125 9:125]) und droht ihnen an, dass sie dereinst auf den untersten Grund des Höllenfeuers verbannt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/145 Q 4:145]). Die Munāfiqūn stellten vor allem Muhammads richterliche Autorität in Frage. Der Koran spricht davon, dass einige von ihnen ihren Streit nicht durch Muhammad schlichten lassen wollten und sich von ihm abwandten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/60 Q 4:60f]). Gegen diese Abfallsbewegung richtet sich die Aufforderung an die Gläubigen, ihre Dispute auf jeden Fall Muhammad zur Entscheidung vorzulegen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]). Nur diejenigen sollten fortan noch als Gläubige gelten, die sich an dieses Gebot hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/65 Q 4:65]). Als Anführer der Munāfiqūn wird in den arabischen Quellen ʿAbdallāh ibn Ubaiy genannt. Von ihm wird berichtet, dass er ohne Muhammads Auftreten in Yathrib „König“ ([[w:Malik|Malik]]) der Stadt geworden wäre. Es ging also möglicherweise um konkurrierende Machtansprüche. Offenbar geriet in dieser Zeit aber auch die religiöse Autorität Muhammads in eine Krise. Die islamische Tradition hat den Bericht von einem Christen aus dem medinischen Clan der Banū n-Naddschār bewahrt, der zum Islam übergetreten war und dem Propheten während der Niederschrift der Suren [[w:Sure 2|2]] und [[w:Sure 3|3]] als Sekretär gedient hatte, nun aber zu seiner alten Religion zurückkehrte und sich bei seinen Glaubensbrüdern damit brüstete, Muhammad wisse nichts außer dem, was er für ihn niedergeschrieben habe. Auf skandalöse Weise fiel in dieser Zeit auch einer von Muhammads mekkanischen Schreibern ab, nämlich [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]]. Er begab sich ins heidnische Mekka und brüstete sich dort, er habe Muhammad auf die Probe gestellt, indem er nachträglich an einer Stelle den Wortlaut der Offenbarung geändert habe, ohne dass Muhammad diese Abänderung bemerkte. Gegenstand der Änderung waren Reimwörter, die in ähnlicher Form an anderen Stellen des Korans vorkommen. Der Koran selbst scheint von diesem Vorfall Zeugnis abzulegen. So werden Leute erwähnt, in deren Herzen Verirrung ist, die sich nicht an den festgefügten Versen (''āyāt muḥkamāt'') des Korans orientieren, sondern „das suchen, was einander ähnlich ist, um Zwietracht zu stiften“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/7 Q 3:7]). Nach der Überlieferung ist außerdem mit dem Mann, von dem der Koran berichtet, dass er den Unglauben ([[w:Kufr|Kufr]]) gegen den Glauben ([[w:Īmān|Īmān]]) eintauschte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/108 Q 2:108]), ʿAbdallāh ibn Abī Sarh gemeint. Gegen einige seiner Gegner ging Muhammad sehr grausam vor. So ließ er zum Beispiel den mit den Banū n-Nadīr verbundenen Dichter [[w:Kaʿb ibn al-Aschraf|Kaʿb ibn al-Aschraf]], der in Mekka die Quraisch zum Kampf gegen die Muslime angestachelt und nach einigen Berichten mit ihnen sogar eine Allianz gegen Muhammad geschlossen hatte, nach seiner Rückkehr nach Medina im September 624 heimtückisch ermorden. Bei der Einnahme von Mekka im Januar 630 war er dagegen sehr viel gutmütiger. Mit Ausnahme weniger Personen, die Tötungsdelikte begangen hatten, begnadete der Prophet alle seine früheren Gegner, die er in der Stadt vorfand, darunter auch seinen ehemaligen Schreiber Ibn Abī Sarh, der in Mekka Stimmung gegen ihn gemacht hatte. Er profitierte davon, dass sich sein Milchbruder [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān]] beim Propheten für ihn einsetzte. Muhammads Bereitschaft, früheren Gegnern zu verzeihen, spiegelt sich auch auf koranischer Ebene wieder. Wer die Umkehr ([[w:Tauba|Tauba]]) zu Gott vollzieht, so heißt es dort, kann damit rechnen, dass es ihm wohlergeht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/31 Q 24:31]). Gott selbst wird im Koran als derjenige beschrieben, der „die Umkehr von seinen Knechten annimmt“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/104 Q 9:104]). Wer umkehrt, dem wendet sich auch Gott wieder zu ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/39 Q 5:39]). Heuchlern und Apostaten, die die Tauba nicht vollziehen, droht jedoch das Höllenfeuer ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/74 Q 9:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/86 3:86-89]). === 3.2.4. Die Konstituierung als eigenständige Religionsgemeinschaft === Die Zusammenfügung der Gläubigen zu einem Loyalitätsverband und die Abgrenzung nach außen gegenüber anderen Gruppierungen gingen einher mit dem Bestreben, den Einfluss anderer Loyalitätsbeziehungen, die für den Zusammenhalt der Gläubigen eine Bedrohung darstellen könnten, zu beschränken. Dieses zeigt sich an verschiedenen Koranstellen der medinischen Periode, an denen die Gläubigen aufgefordert werden, sich keine Ungläubigen, sondern nur noch Gläubige zu Freunden zu nehmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/28 Q 3:28]). Nur diejenigen sollten noch als „Gläubige“ und damit vollwertige Mitglieder dieser Gemeinschaft gelten, die die Beziehungen zu den Gegnern des Gottesgesandten komplett abbrechen und sich dabei auch über Verwandtschaftsbande hinwegsetzen. Denjenigen, die sich an diese Grundsätze halten, wird im Koran Erfolg und jenseitiges Heil verheißen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/56 Q 5:56]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/58/vers/22 58:22]). Für Frauen, die in das muslimische Lager überwechseln wollten, erwähnt der Koran ein eigenes Aufnahmeverfahren: man solle sie prüfen, und wenn sie als gläubige Frauen erkannt seien, solle man sie nicht zu den Ungläubigen zurückkehren lassen, diesen aber den für sie entrichteten Brautpreis ersetzen, dann sei es erlaubt, mit diesen Frauen eheliche Beziehungen einzugehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/60/vers/10 Q 60:10]). Der Abgrenzung nach außen auf sozialer Ebene lief eine Abgrenzung auf religiöser Ebene parallel. Die Abgrenzung von den Juden betraf dabei insbesondere die religiösen Riten (vgl. unten [[#3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus|3.3.]]). Auf ideeller Ebene erfolgte gleichzeitig eine Rückbesinnung auf die Gestalt [[w:Abraham im Islam|Abrahams]]. Er wurde nun zum Prototypen der neuen Religionsgemeinschaft erhoben. An mehreren Koranstellen aus dieser Zeit findet sich die Aufforderung, der Religion der „Gemeinschaft Abrahams“ (''millat Ibrāhīm'') zu folgen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/130 Q 2:130]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/125 4:125]). Es wird betont, dass Abraham kein Jude, Christ oder [[w:Muschrik|Muschrik]] war, sondern ein Muslim und [[w:Hanīf|Hanīf]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/67 Q 3:67]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/95 3:95]). Eine Weile war Hanīf wohl auch die übliche Bezeichnung für Muhammads Anhänger und Hanīfīya („Hanīfentum“) der Name für die von ihm gegründete Religion. Mit den auf Abraham bezogenen koranischen Passagen ließ sich auch die kultische Wiederausrichtung auf das arabische Heiligtum in Mekka gut rechtfertigen. Sie wurde damit erklärt, dass „das Haus“ (''bait'') in Mekka das Jerusalemer Heiligtum an Alter übertreffe, weil es das erste sei, das für die Menschen errichtet wurde ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/96 Q 3:96]). Schon Abraham habe zusammen mit seinem Sohn [[w:Ismael|Ismāʿīl]] die Grundmauern dieses „Hauses“ aufgerichtet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/127 Q 2:127]). Muhammad scheint hier auf hanīfische Konzepte (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.6. Der religiöse Wandel und die Hanīfen|1.3.6.]]) zurückgegriffen zu haben. An zwei Stellen des Korans ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 2:125]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/97 3:97]) wird das mekkanische Heiligtum zudem als der „[[w:maqām Ibrāhīm|Standplatz Abrahams]]“ (''maqām Ibrāhīm'') bezeichnet. === 3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten === Muhammad war nach der Gemeindeordnung von Medina keineswegs der absolute Herrscher von Medina. Er wurde lediglich als Prophet (§ 1) und Schiedsrichter (§ 23, 42) anerkannt. In den Quellen werden mehrfach Vorfälle geschildert, die zeigen, dass er sich darum bemühen musste, die Unterstützung anderer Clanoberhäupter zu gewinnen. Im Zusammenhang mit den militärischen Aktivitäten veränderten sich jedoch die Machtstrukturen innerhalb der Gemeinschaft der Muslime. Eine Folge des Misserfolges von Uhud war die Aufforderung an die Gläubigen, zukünftig dem Gottesgesandten und „denjenigen, die zu befehlen haben“ (''ūlū l-amr''), unbedingt zu gehorchen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]) und vor Streuung von sicherheitsrelevanten Informationen erst diesen Personenkreis zu unterrichten, um eine Überprüfung dieser Informationen zu ermöglichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/83 Q 4:83]). Das militärische Nachrichtenwesen wurde auf diese Weise zentralisiert. Den Gläubigen wurde außerdem mitgeteilt, dass der Gottesgesandte das Vorrecht auf mindestens ein Fünftel (''ḫums'') der Beute habe, um es unter den Verwandten, Weisen, Armen und Wohnungslosen zu verteilen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]). Von seinen Anhängern, den gläubigen Männern und Frauen, forderte der Prophet nach der Vertreibung der jüdischen Stämme uneingeschränkten Gehorsam bei all den Dingen, die er selbst entschieden hatte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/36 Q 33:36]). Seine militärischen und diplomatischen Erfolge brachten ihm offenbar so viel Prestige und Autorität ein, dass auch seine Macht immer weiter zunahm. Von nicht geringer Bedeutung für Muhammads Machtzuwachs war die Tatsache, dass sich in Medina auch mehrere Dichter auf seine Seite stellten. Der bekannteste von ihnen war [[w:Hassān ibn Thābit|Hassān ibn Thābit]], der schon für [[w:Ghassaniden|ghassānidische]] und [[w:Lachmiden|lachmidische]] Prinzen Lobgedichte verfasst hatte. Vor diesem Hintergrund wurde die im Koran formulierte allgemeine Ablehnung gegenüber den Dichtern (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.2.5. Der Überbringer der Botschaft|2.2.5.]]) differenziert: Nur diejenigen von ihnen sollten der Verdammung anheimfallen, die Unrecht getan haben, nicht aber diejenigen, „die den Glauben angenommen haben, das Rechte tun und Partei ergreifen, nachdem ihnen Unrecht angetan worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/26/vers/227 Q 26:227]). Außerdem standen Muhammad jetzt auch mehr Schreiber zur Verfügung, die seine Korrespondenz führen und seinen Koranvortrag niederschreiben konnten. Zu nennen sind insbesondere [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], der vor der Hidschra auf einer jüdischen Schule die syrische oder hebräische Schrift erlernt hatte, und [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]]. Beide gehörten sie dem chazradschitischen Clan der Banū n-Naddschār an, in deren Viertel sich Muhammad niedergelassen hatte. Wie für einen arabischen Stammesfürsten seiner Zeit üblich, hatte Muhammad eine ganze Anzahl von Frauen nebeneinander. Viele dieser Ehen dienten vor allem politischen Zwecken. Mit ihnen wollte er zum Beispiel wichtige Anhänger enger an sich binden oder die Freundschaft des tribalen Verbands der Ehefrau gewinnen. Allerdings gab es andere Ehen, die er rein aus Zuneigung geschlossen hat. Der bekannteste Fall ist [[w:Safīya bint Huyaiy|Safīya bint Huyaiy]]. Sie war die Tochter des Oberhaupts des jüdischen Clans der Banū n-Nadīr, der in Medina den Propheten bekämpft hatte und dann mit seinem Clan von dort vertrieben worden war. Nach dem Sieg über Chaibar war diese Safīya von den Muslimen gefangen genommen und bei der Beuteaufteilung einem anderen Kämpfer zugeteilt worden. Aufgrund ihrer Schönheit beanspruchte sie der Prophet aber für sich selbst. Unter der Bedingung, dass sie sich zum Islam bekehrte, kaufte er sie frei und nahm sie als reguläre Ehefrau. Die Eheschließung Muhammads mit Safīya war sehr konfliktgeladen, weil die anderen Gattinnen Muhammads auf die neue Nebenfrau eifersüchtig waren. Es wird angenommen, dass dies auch der Anlass für das seltsame Verbot war, das in [[w:Sure 33|Sure 33]] speziell für den Propheten ausgesprochen wird. Ihm wird dort verboten, weitere Frauen zu ehelichen, „auch wenn ihre Schönheit dir gefallen sollte“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/52 Q 33:52]). Neben seinen Ehefrauen besaß Muhammad noch verschiedene Sklavinnen, die ihm als Konkubinen dienten. Eine von ihnen, [[w:Māriya al-Qibtīya|Maria, die Koptin]], der Muhammad besonders zugetan war, löste in Muhammads Harem einen derart großen Eifersuchtskonflikt aus, dass Muhammad gelobte, sich zukünftig von ihr fernzuhalten. Dieses Versprechen nahm er aufgrund der Indiskretion einer seiner Ehefrauen allerdings später wieder zurück, ein Vorfall, auf den auch im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/66/vers/1 Q 66:1-5]) Bezug genommen wird. [[Datei:Mohamed peace be upon him.svg|mini|Eine [[w:Tasliya|Tasliya]] in kalligraphischer Ausführung]] Wie sich an [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/32 Sure 33:32] ablesen lässt, wurden Muhammads Ehefrauen auch von anderen Männnern begehrt. Damit sie sich auf Avancen von dieser Seite nicht einließen, wurde ihnen eine hohe Strafe für Ehebruch angedroht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/30 Q 33:30]). Des Weiteren wurden sie aufgefordert, in ihrem Haus zu bleiben und sich nicht „nach Art der früheren [[w:Dschāhilīya|Dschāhilīya]]“ herauszuputzen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/33 Q 33:33]). Außerdem wurden sie durch einen Vorhang (''ḥiǧāb'') von anderen Männern abgeschirmt und für die Zeit nach Muhammads Tod mit einem ewigen Heiratsverbot belegt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/53 Q 33:53]). Anlass für diese Neuregelung soll Muhammads Hochzeit mit [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] im Frühjahr 627 gewesen sein, bei der sich der Prophet durch Männer belästigt fühlte, die offenbar ohne Erlaubnis sein Haus betreten und mit seinen Frauen Kontakt aufgenommen hatten. Der Allgemeinheit der Gläubigen wurde um diese Zeit auferlegt, für den Propheten einen speziellen Segenswunsch zu sprechen, sobald er erwähnt wird ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/56 Q 33:56]). Dadurch erhielt seine Person immer mehr einen sakrosankten Charakter. Der [[w:Tasliya|Tasliya]]-Segenswunsch bei Muhammads Erwähnung gilt bis heute im Islam als Pflicht. === 3.2.6. Rechtliche und soziale Reformen === Muhammad erfüllte, wie oben ([[#3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“|3.2.1.]]) beschrieben, in Medina eine richterliche Funktion und entsprach damit in etwa dem Typ des altarabischen ''ḥakam''. Bei vielen Streitigkeiten, die vor ihn gebracht wurden, fällte er sein Urteil wahrscheinlich aufgrund früherer Rechtssetzung ([[w:Sunna|Sunna]]). Dort, wo sich das vorhandene System allerdings als unzulänglich erwies, lieferte er mit dem Koran neue Bestimmungen und Vorschriften. Die ersten Regelungen, die Muhammad nach der Hidschra traf, sind in [[w:al-Baqara|Sure 2]] festgehalten. Hier wird das altarabische [[w:Qisās|Qisās]]-System bestätigt, allerdings die Empfehlung ausgesprochen, die Wiedervergeltung durch Wergeld ([[w:Diya (Islam)|Diya]]) zu regeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/178 Q 2:178f]). Daneben wird Zinswucher ([[w:Ribā|Ribā]]) verboten (vgl. u.a. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/275 Q 2:275]). Auch der Bereich der Ehe wurde neu geordnet. Muhammad gab den Männern die Möglichkeit, ihre Frauen [[w:Talāq|zu verstoßen]], verbot ihnen aber für diesen Fall, etwas von ihrem Vermögen einzubehalten. Die Frau konnte selbst auch die Auflösung der Ehe verlangen, musste sich dann aber durch Rückgabe der [[w:Brautgabe|Brautgabe]] oder eines Teils davon loskaufen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/229 Q 2:229]). Diese Form des Selbstloskaufs der Ehefrau, die bis heute existiert, wird im islamischen Recht [[w:Chulʿ|Chulʿ]] genannt. Nach Verstoßung seiner Frau kann der Mann diese erst dann wieder heiraten, wenn sie zwischenzeitlich einen anderen Mann geheiratet hat ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/230 Q 2:230]). Außerdem wurde die Vorschrift eingeführt, dass die Frau zwischen ihren Ehen eine drei- bzw. viermonatige Wartezeit (''ʿidda'') einhalten muss ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/228 Q 2:228], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/234 2:234]). Auf diese Weise sollte die leibliche [[w:Vaterschaft|Vaterschaft]] sichergestellt werden. Des Weiteren führte Muhammad verschiedene strafrechtliche Regeln ein. So wurde bestimmt, dass männlichen und weiblichen Dieben „als Vergeltung für das, was sie begangen haben, und als Warnung vor Gott“ die Hand abgeschnitten werden sollte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/38 Q 5:38]). Verschiedene Überlieferungen verlegen auch das in [[w:Sure 5|Sure 5]] ausgesprochene allgemeine Weinverbot, das für den Islam [[w:Alkoholverbot im Islam|kennzeichnend]] geworden ist, in diese Zeit. An der Stelle selbst ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/90 Q 5:90f]) wird das Verbot damit begründet, dass der Weingenuss genauso wie das Losspiel Feindschaft und Hass zwischen den Anhängern Muhammads säe und sie vom Gebet abhalte. Die Berichte zum Anlass der Verhängung dieses Verbots erklären, dass zuvor Streitereien unter betrunkenen Prophetengefährten vorgefallen waren, bei denen einzelne von ihnen sogar schwer verletzt worden waren. Nach Uhud führte Muhammad im Bereich der Geschlechter- und Eheregeln weitere wichtige Änderungen und Reformen durch, die hauptsächlich in [[w:an-Nisāʾ|Sure 4]] festgehalten sind. Den männlichen Muslimen wurde erlaubt, bis zu vier Frauen gleichzeitig zu heiraten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/3 Q 4:3]), ihnen andererseits auferlegt, das Brautgeld den Ehefrauen selbst zu übergeben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/4 Q 4:4]). Darüber hinaus legte der Koran genaue Erbschaftsregelungen fest, die auch weibliche Verwandte und Witwen berücksichtigten, Frauen allerdings immer nur die Hälfte dessen zugestanden, das Männer desselben Verwandtschaftsgrades erhielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/7 Q 4:7-14]). Ehefrauen gehörten fortan nicht mehr zum Erbgut des Verstorbenen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/19 Q 4:19]) und durften auch nicht mehr von dessen Söhnen geheiratet werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/23 Q 4:23]). In Anbetracht ihrer Unterhaltspflicht gegenüber den Frauen wurde den Männern erlaubt, diese im Falle der Aufsässigkeit zu züchtigen ([[w:Sure 4:34|Q 4:34]]). Besuchsehen (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.2._Geschlechterverhältnisse|1.3.2.]]) wurden weiter zugelassen, allerdings daran gebunden, dass der Mann die Frau entlohnte und die Frau keine Beziehungen zu mehreren Männern gleichzeitig unterhielt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Q 4:24f]). Damit wurde die altarabische Institution der [[w:Polyandrie|Polyandrie]], die Ehe einer Frau mit mehreren Männern, verboten. Frauen, denen durch vier Zeugen sexuelles Fehlverhalten nachgewiesen werden konnte, sollten lebenslang unter Arrest gestellt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/15 Q 4:15]). Muhammads Haltung zum Institut der zeitlich begrenzten Besuchsehe scheint allerdings nicht ganz eindeutig gewesen zu sein. In verschiedenen islamischen Quellen wird überliefert, dass er solche Verhältnisse anlässlich der [[w:Chaibar_(Feldzug)|Schlacht von Chaibar]] verboten, später aber wieder erlaubt habe. Insgesamt lässt die neue Eheordnung den Willen erkennen, einen Ausgleich zwischen den beiden im alten Arabien existierenden Ehesystemen (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]) zu schaffen. {{Anker|Halskettenskandal}} Ein Skandal um Muhammads junge Ehefrau [[w:Aischa bint Abi Bakr|ʿĀ'ischa]] führte zu einer Verschärfung des Sexualstrafrechts. Hintergrund war ein Vorfall auf einem Feldzug im Januar 627. Es wird erzählt, dass sich ʿĀ'ischa auf dem Rückweg von diesem Feldzug nach Medina auf der Suche nach einer verlorenen Halskette vom Rastplatz entfernte, bei ihrer Rückkehr das Lager abgebrochen fand und am nächsten Tag von einem jungen Mann namens Safwān ibn al-Muʿattal zurückgebracht wurde. Der durch diesen Vorfall hervorgerufene Skandal spaltete die Gemeinschaft, weil einige prominente Muslime ʿĀʾischa öffentlich der Untreue beschuldigten. Muhammad schickte ʿĀʾischa zunächst in ihr Elternhaus zurück und erwog wohl ihre Verstoßung, überzeugte sich dann aber durch eine Eingebung ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/11 Q 24:11-20]) von der Grundlosigkeit dieser Verdächtigung und nahm sie wieder zu sich auf. Im Zusammenhang mit diesem Vorfall wurde die Regel eingeführt, dass diejenigen, die ehrbare Frauen in Verruf bringen, ohne vier Zeugen beizubringen, 80 Peitschenhiebe erhalten sollten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/4 Q 24:4]). Auf [[w:Zinā|außerehelichen Geschlechtsverkehr]] wurden als neue Strafe nun 100 Peitschenhiebe eingeführt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2]). Eine Neuregelung, die zunächst nur die Frauen Muhammads betraf, war das [[w:Hidschāb|Hidschāb]]-Gebot. Anlass für diese Neuregelung war wahrscheinlich Muhammads Hochzeit mit [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] im Frühjahr 627. Bei der Hochzeitsfeier kam es nämlich zu einem Zwischenfall. Der Prophet fühlte sich durch Männer belästigt, die offenbar ohne Erlaubnis sein Haus betreten und mit seinen Frauen Kontakt aufgenommen hatten. Als Folge dieses Vorfalls wurde bestimmt, dass sich die Frauen des Propheten künftig hinter einem Vorhang (''ḥiǧāb'') verbergen sollten, wenn sie mit Männern sprachen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/53 Q 33:53]). Das Hidschāb-Gebot galt allerdings nur für Muhammads freie Frauen. Im Zusammenhang mit der Eheschließung mit Safīya wird berichtet, dass Muhammad ihr zum Zeichen ihrer Freilassung den Hidschāb auferlegte. In einem anderen Vers derselben Sure wird der Prophet aufgefordert, die „Frauen der Gläubigen“ insgesamt dazu anzuhalten, sich in der Öffentlichkeit zu verhüllen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/59 Q 33:59]). Dieses Verhüllungsgebot wurde später zusammen mit dem Hidschāb zu einem festen Bestandteil der traditionellen islamischen Geschlechterordnung. Die Eheschließung mit Zainab brachte übrigens noch eine andere rechtliche Neuerung mit sich. Auch in diesem Fall war persönliche Zuneigung Muhammads mit im Spiel. Zainab war ursprünglich die Gattin von Muhammads Adoptivsohn Zaid ibn Hāritha gewesen. Es wird berichtet, dass Muhammad, als er einmal mit Zaid sprechen wollte, diesen nicht zu Hause antraf, sondern nur Zainab, die gerade leicht bekleidet war, und daraufhin in heißer Liebe zu ihr entbrannte. Zainab berichtete Zaid von dem Besuch und den Andeutungen, die Muhammad beim Weggehen gemacht hatte. Zaid verstand diese Andeutungen und trennte sich von Zainab, um sie ihm zu überlassen. Muhammads Plan, Zainab zu heiraten, löste allerdings in der Gesellschaft von Medina Empörung aus, da die Ehe mit der früheren Ehefrau des eigenen Sohns, auch wenn er nur ein „Nennsohn“ (''daʿī'') war, als inzestuös betrachtet wurde. Muhammad setzte sich jedoch über diese Einwände hinweg und heiratete Zainab. Durch eine Offenbarung wurde diese Ehe nachträglich gerechtfertigt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/37 Q 33:37]) und als von Gott verhängtes Geschick ([[w:Qadar|Qadar]]) abgesegnet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/38 Q 33.38]). Wahrscheinlich im Zusammenhang mit diesen Vorfällen wurde auch insgesamt das Rechtsinstitut der [[w:Adoption|Adoption]] verboten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/4 Q 33:4f]), ein Verbot, das bis heute die Rechtsordnung des Islams prägt. == 3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus == === 3.3.1. Die Anfänge der Moschee und die Weiterentwicklung der Salāt === [[Bild:Oldquba.jpg|mini|Die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] zu Anfang des 20. Jahrhunderts]] Als Muhammad nach der Hidschra im September 622 in der Oase von Yathrib ankam, wohnte er die ersten Tage in Qubā', einem südlichen Vorort von Yathrib. Für die [[w:Salāt|Salāt]] nutzte er einen Masdschid, den Anhänger von ihm dort angelegt hatten. ''Masdschid'' hängt mit dem Wort [[w:Sudschūd|Sudschūd]] zusammen und bedeutet soviel wie „Ort der Prosternation“ (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). Es ist der gleiche Begriff, der auch für das Heiligtum in Mekka verwendet wurde, das für die Muslime nun nicht mehr erreichbar war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/34 Q 8:34]). Von ''Masdschid'' leitet sich auch das deutsche Wort „Moschee“ ab, das wahrscheinlich über das spanische ''mezquita'' und das italienische ''moschea'' aus dem Arabischen entlehnt wurde. Aufgrund ihrer besonderen Rolle in der islamischen Geschichte gilt die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] den Muslimen als besonders heilig. Sie soll auch mit dem im Koran genannten „Masdschid, der vom ersten Tag auf Gottesfurcht gegründet war“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/108 Q 9:108]) identisch sein. Bis heute wird sie bei der Wallfahrt von Scharen muslimischer Pilger zum Gebet aufgesucht. Neben dem Masdschid von Qubā' bestanden in Yathrib noch verschiedene andere private Gebetsplätze. Muhammad fasste nach kurzer Zeit den Entschluss, ebenfalls einen Masdschid zu errichten. Er wählte dafür einen Ort im Viertel der Banū n-Naddschār aus, in dem er Aufnahme gefunden hatte. Zusammen mit seinen Anhängern errichtete er dort einen Hof von etwa 35 x 30 m, der mit einer Ziegelmauer eingefasst war. Muhammad selbst schlief in einer der Kammern an der Außenmauer. Der Bau war also auch gewissermaßen Muhammads Haus. An der nördlichen Seite, wo zunächst gebetet wurde, schützte ein Schattendach (''ṣuffa'') aus Palmblättern und Lehm die Betenden vor der Sonne. Nach der Verlegung der Gebetsrichtung nach Mekka (siehe unten) nutzten mittellose Muhādschirūn und solche, die in Yathrib keine Unterkunft hatten, den Platz als Zufluchtsort und übernachteten hier. Aufgrund ihrer Armut und besonderen Nähe zum Propheten gelten diese „Leute des Schattendachs“ ([[w:Ahl as-Suffa|Ahl as-Suffa]]) bis heute vielen Muslimen als religiöses Vorbild. Die Moschee Muhammads entwickelte sich im Laufe der Zeit zum Zentrum des Gemeindelebens seiner Anhänger. Die Gebete wurden durch einen öffentlichen Ruf, [[w:Adhān|Adhān]] genannt, angekündigt. Als ersten Gebetsrufer (''muʾaḏḏin'', davon abgeleitet das deutsche Wort [[w:Muezzin|Muezzin]]) soll Muhammad den Äthiopier [[w:Bilāl ibn Rabāh|Bilāl ibn Rabāh]] eingesetzt haben, der deswegen gewissermaßen als Vorbild aller späteren Muezzine gilt. Man versammelte sich in Muhammads Moschee allerdings nicht nur zum Gebet, sondern hielt auch Beratungen ab, empfing Gesandtschaften und pflegte Verwundete. In den angrenzenden Räumlichkeiten wurden die Ehefrauen Muhammads untergebracht. Auf Grundlage des enormen ökonomischen Zugewinns, den die Gemeinschaft der Muslime nach der Schlacht von Chaibar erlebte, konnte der Bau 628 auf etwa 50 x 50 m erweitert werden. Auch im Gebetsritus erfolgten in den Jahren nach der Hidschra einige Änderungen. Parallel zur Einführung eines dritten Tagesgebets (vgl. oben [[#3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden|3.2.2.]]) wurde die Pflicht zur Abhaltung der Vigilien gelockert ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/73/vers/20 Q 73:20]). Nach dem Zerwürfnis mit den jüdischen Stämmen löste sich Muhammad von der Gebetsrichtung ([[w:Qibla|Qibla]]) nach Jerusalem, und es begann ein Prozess der schrittweisen Umorientierung. Zunächst wurde betont, wie gleichgültig es ist, nach welcher Richtung man betet, weil Gott überall ist ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/115 Q 2:115]). Schließlich wurde als neue Qibla die „Heilige Kultstätte“ ([[w:al-Masdschid al-Harām|al-Masdschid al-Harām]]) in Mekka festgelegt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/144 Q 2:144]), wobei offensichtlich die frühere Gebetsrichtung noch als gleichberechtigt anerkannt wurde (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/148 Q 2:148]). In der Mitte von Muhammads medinischer Periode wurden außerdem einige Bestimmungen für den Zustand erlassen, in dem sich die Gläubigen befinden mussten, wenn sie sich dem Gebet näherten: Wenn sie unrein (''ǧunub'') waren, sollten sie vorher eine Waschung vornehmen, und wenn sie vom Abort kamen oder eine Frau berührt hatten, sich vorher mit Wasser oder ersatzweise Erde über Gesicht und Hände streichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/43 Q 4:43]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/6 5:6]). Etwa um die gleiche Zeit wurde die Salāt für alle Muslime zu einer obligatorischen Pflicht. Das geht aus koranischen Passagen dieser Periode hervor, die beschreiben, dass die Munāfiqūn nur widerwillig an diesem Ritual teilnahmen (vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/142 Q 4:142]). === 3.3.2. Ramadān-Fasten und Festgebet === Eines der größten [[w:Jamim_Noraim|Feste im Judentum]] ist das Fasten am [[w:Jom Kippur|Jom Kippur]], dem zehnten Tag des Monats [[w:Tischri|Tischri]]. Die Juden in Yathrib nannten diesen Tag wegen seiner Stellung im Monat einfach den Zehnten ([[w:Aschura|ʿĀschūrā']]), so wie er auch im Alten Testament (Lev 16:29) genannt wird. Als sich nach Muhammads Ankunft in Yathrib zum ersten Mal der zehnte Tag des Tischri näherte, befahl er seinen Anhängern, zusammen mit den Juden an diesem Tag zu fasten. Der Koran legt davon noch Zeugnis ab: „Ihr Gläubigen! Euch ist vorgeschrieben worden zu fasten, so wie es auch denjenigen, die vor euch lebten, vorgeschrieben worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/183 Q 2:183]). Die Juden fasteten an diesem Tag von einem Abend zum nächsten, und auch die Muslime übernahmen diese Gewohnheit. Im Zuge seiner Abwendung von den Juden im Jahre 624 löste sich Muhammad aber auch von den jüdischen Fastenvorschriften und führte das dreißigtägige Tagesfasten im Monat [[w:Ramadan|Ramadān]] ein. Der Ramadān hatte spätestens seit der Schlacht von Badr, die in diesem Monat stattgefunden hatte, eine besondere Bedeutung bei den Muslimen. Er galt nun auch als Monat der Herabsendung des Korans (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/185 Q 2:185]) und wurde mit einem speziellen Fastenritus geehrt, der das frühere ʿĀschūrā'-Fasten ablöste. Die ersten Regelungen für das Ramadānfasten finden sich in den beiden Koranversen 2:185 und [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]. Diese beiden Verse liefern die Grundlage für die ausführlichen Fastenvorschriften, die die muslimischen Rechtsgelehrten in späterer Zeit ausarbeiteten. Zum Fasten gehörte neben dem Verzicht auf Speisen und Getränke auch die Enthaltung vom Geschlechtsverkehr. Geschlechtsverkehr in den Nächten des Ramadān wurde dagegen ausdrücklich erlaubt, mit der Begründung, dass Mann und Frau einander wie Kleider seien. Nur für die Zeit des [[w:Iʿtikāf|Iʿtikāf]], eine besondere Andachtszeit am Ende des Ramadāns, wurde das nächtliche Sexualverbot aufrechterhalten (Q [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]). Die letzten Ramadān-Nächte hatten schon früh eine Sonderstellung im religiösen Leben der Muslime, weil die Auffassung bestand, dass der Koran in einer dieser Nächte herabgesandt worden war. Diese Nacht der Herabsendung des Korans wird entsprechend [[w:Sure 97|Sure 97]] als [[w:Lailat al-Qadr|Lailat al-Qadr]] („Nacht der Vorsehung“) bezeichnet und gilt als besonders heilige Zeit. [[Datei:Eid Gaah Mahoba - panoramio - Dr. Nizam.jpg|mini|ʿĪdgāh in [[w:Mahoba|Mahoba]], Indien]] Eingeführt wurde in dieser Zeit auch ein [[w:Fest des Fastenbrechens|Fest des Fastenbrechens]] (''ʿīd al-fiṭr'') am Anfang des nachfolgenden Monats [[w:Schawwāl|Schauwāl]]. Bei dieser Gelegenheit, so wird überliefert, begab sich Muhammad mit den Gläubigen in einem prozessionsartigen Zug zu einem Platz außerhalb der Stadt, wobei ihnen Bilāl mit einer Lanze (''ʿanaza'') – ursprünglich ein Geschenk des äthiopischen [[w:Negus|Negus]] – vorauslief. Während des Gebetes wurde dann die Lanze als Markierung für die Qibla an einer Stelle in den Boden gesteckt. An diesem Gebetsplatz ([[w:Musallā|Musallā]]) fanden jetzt auch die Regengebete und das Gebet zum [[w:Islamisches Opferfest|Opferfest]] (''ʿīd al-aḍḥā'') am 10. [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] statt. Das Opferfest wurde zu dieser Zeit wahrscheinlich neu eingeführt und knüpfte an die Opferzeremonien an, die beim [[w:Haddsch|Haddsch]] an diesem Tag in [[w:Minā|Minā]] vollzogen wurden (siehe oben [[Bamberger_Einführung_in_die_Geschichte_des_Islams_(BEGI)_01#1.3.3._Das_altarabische_Heidentum_und_die_Heiligtümer_von_Mekka|1.3.3.]]). Üblicherweise hielt der Prophet nach Abschluss dieser Gebete eine Ansprache ([[w:Chutba|Chutba]]), in der er die Gläubigen dazu aufforderte, sich an gemeinsamen (kriegerischen) Unternehmungen zu beteiligen. Bis heute hat sich das vormittägliche Festgebet als Sonderritus erhalten. Auch ist es in vielen islamischen Ländern bis heute üblich, Festgebete und Regengebete an einem speziellen Festplatz ([[w:ʿĪdgāh|ʿĪdgāh]]) außerhalb der Stadt zu vollziehen. == 3.4. Weiterführende Literatur == * Andreas Görke: “Between History and Exegesis: The Origins and Transformation of the Story of Muḥammad and Zaynab Bt Ǧaḥš” in ''Arabica'' 65/1-2 (2018) 31–63. * [[w:Meir Jacob Kister|Meir Jacob Kister]]: “The Market of the Prophet”. In: ''Journal of the Economic and Social History of the Orient''. 8 (1965) 272–276. [http://www.kister.huji.ac.il/content/market-prophet Digitalisat] * Michael Lecker: ''The 'Constitution of Medina'. Muḥammad’s First Legal Document''. Darwin Press, Princeton NJ 2004. [https://archive.org/details/the-constitution-of-medina-muhammads-first-legal-document-by-micheal-lecker-2004/page/n1/mode/2up Digitalisat] * Michael Lecker: ''Muslims, Jews and Pagans. Studies on early Islamic Medina.'' Leiden: Brill 1995. * David S. Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men. The making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Hannah Rahman: "The Conflicts Between the Prophet and the Opposition in Madina" in ''Der Islam'' 62/2 (1985) 260-297. [https://doi.org/10.1515/islm.1985.62.2.260 Digitalisat] * Uri Rubin: “The Assassination of Kaʿb b. al-Ashraf”, in ''Oriens'' 32 (1990) 65–71. * Richard B. Serjeant: The Sunna Jāmiʿah, „Pacts with the Yathrib Jews, and the Taḥrīm of Yathrib. Analysis and Translation of the Documents Comprised in the So-Called ‘Constitution of Medina’“ in ''Bulletin of the School of Oriental and African Studies'' 41 (1978) 1–42. * [[w:William Montgomery Watt|William Montgomery Watt]]: ''Muhammad at Medina.'' Oxford: Oxford University Press 1956. [https://archive.org/details/muhammadatmedina029655mbp/page/n9/mode/2up Digitalisat] * William Montgomery Watt: ''Muḥammad: Prophet and Statesman''. London: Oxford University Press 1961. * [[w:Julius Wellhausen|Julius Wellhausen]]: ''Mohammeds Gemeindeordnung von Medina. Skizzen und Vorarbeiten''. Bd. IV. Reimer, Berlin, 1889. S. 65–83. [http://archive.org/stream/medinavordemisl00sagoog#page/n74/mode/2up Digitalisat] == 3.5. Aufgaben/Fragen == 1. Wie ist das Konzept des Dschihad entstanden? 2. Was beinhaltete der Vertrag von Hudaibiya und inwiefern stellte er einen Triumph für Muhammad dar? 3. Welche Regeln beinhaltete die Gemeindeordnung von Medina? 4. Ab dem Ende der mekkanischen Zeit näherte sich Muhammad dem Judentum an. Wie äußerte sich das auf religiöser Ebene? 5. Geben Sie einen Überblick über die militärische Auseinandersetzung Muhammads mit den Juden von Medina und Umgebung. 6. Muhammad erlebte während seiner Zeit in Medina einen allmählichen Machtzuwachs. Worin zeigte sich dieser? 7. Nennen Sie rechtliche Regeln, die während der Zeit in Medina eingeführt wurden. 8. Erklären Sie, wie der Ramadān zum heiligen Monat der Muslime geworden ist und welche Vorstellungen und Praktiken mit ihm verbunden sind. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} 7wy91xovc0htbjmr8v3jpqkjoif2l15 1117239 1117169 2026-10-20T17:23:04Z PaFra 14559 /* 3.2.6. Rechtliche und soziale Reformen */ 1117239 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02|2 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 04|>>> 4]] {{TOC nonum}} = 3. Der Prophet von Yathrib und das neue Gemeinwesen (622-630) = Das Zentrum der neuen Religion verlagert sich in die Oase Yathrib, kriegerisches Handeln steht im Vordergrund. Muhammad und seine Anhänger kämpfen gegen das heidnische Mekka und geraten immer mehr in einen Konflikt mit den Juden von Yathrib, die schließlich aus der Oase vertrieben werden. Als Anführer des neuen Gemeinwesens führt Muhammad verschiedene rechtliche, soziale und kultische Reformen durch. == 3.1. Maghāzī – Die Kriegszüge Muhammads == === 3.1.1. Die Provokation der Quraisch === Die arabischen Quellen berichten übereinstimmend, dass Muhammad nach seiner Auswanderung aus Mekka am 24. September 622 die Oase von Yathrib erreichte. Da er aus Mekka vertrieben worden war, sah er es als gerechtfertigt an, gegen seine frühere Heimatstadt zu kämpfen. Das geht deutlich aus zwei Koranversen hervor, die nach allgemeiner Auffassung als älteste Offenbarung zum Thema des Kampfes gelten: {{Zitat|Denen, die kämpfen, ist das erlaubt, weil ihnen Unrecht angetan – siehe, Gott hat zu helfen ihnen die Macht! – Weil sie vertrieben wurden aus ihrer Heimat ohne Recht, nur weil sie sagten: Unser Herr ist Gott.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/39 Q 22:39f]}} Der Krieg mit Mekka, den Muhammad von seiner neuen Basis Yathrib aus führte, begann mit kleinen Nadelstichen. Nach der Chronologie [[w:al-Wāqidī|al-Wāqidīs]], der im frühen 9. Jahrhundert ein Werk über die Kriegszüge ([[w:Maghāzī|Maghāzī]]) Muhammads verfasste, schickte dieser schon sieben Monate nach seiner Ankunft seinen Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] mit einer Gruppe von Kriegern aus, um an der Küste eine aus Syrien heimkehrende mekkanische Handelskarawane unter Führung [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahls]] abzufangen, doch kam es zu keiner Kampfhandlung, weil ein Mann aus dem Stamm der [[w:Qudāʿa|Dschuhaina]], der mit beiden Seiten verbündet war, dazwischentrat. Bei einer zweiten Unternehmung im April 623 wurde „der erste Pfeil im Islam“ abgeschossen. Der Kampf gegen die Mekkaner setzte sich bald auch über altarabische religiöse Normen hinweg, wie das Friedensgebot in den heiligen Monaten (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). So überfiel ein von Muhammad beauftragtes Kommando im heiligen Monat [[w:Radschab|Radschab]] bei [[w:Nakhla_(Saudi-Arabien)|Nachla]] südlich von Mekka eine mekkanische Karawane. Das war nach der Überlieferung Anlass für die folgende Offenbarung: {{Zitat|Sie fragen dich nach dem heiligen Monat, ob Kampf in ihm erlaubt sei. Sprich: Kampf in ihm wiegt schwer, aber jemanden abzuhalten vom Wege Gottes, darin liegt Unglaube. Und sie vom heiligen Gebetsplatz abzuhalten, und dessen Volk daraus zu vertreiben, – das wiegt schwerer vor Gott. Und Verführung (zum Abfall vom Islam) wiegt schwerer als Töten. Sie werden nicht aufhören, euch zu bekriegen, bis sie euch von eurer Religion abbringen, wenn sie können.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/217 Q 2:217]}} Aus dem Koranwort geht hervor, dass das Weiterbestehen der alten Religion in Mekka für die Anhänger Muhammads eine ständige Versuchung war, von ihrem Glauben abzufallen. Da vielen von ihnen der militärische Kampf (''qitāl'') offenbar zuwider war, wurde er nun zur Pflicht erklärt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/216 Q 2:216]) und durch die Bezeichnung ''ǧihād fī sabīl Allāh'' („Bemühung [[w:Fī sabīli Llāh|für die Sache Gottes]]“, so schon im folgenden Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/218 Q 2:218]), auf eine religiöse Ebene gehoben. In der Form [[w:Dschihad|Dschihad]] hat dieser Begriff auch Eingang ins Deutsche gefunden. [[File:Balami - Tarikhnama - The Battle of Badr - The death of Abu Jahl, and the casting of the Meccan dead into dry wells (cropped).jpg|mini|Bildliche Darstellung der [[w:Schlacht von Badr|Schlacht von Badr]] in einer persischen Handschrift, frühes 14. Jahrhundert]] Die erste große Konfrontation zwischen Mekkanern und den Anhängern Muhammads ergab sich im März 624 bei dem Ort [[w:Badr_(Saudi-Arabien)|Badr]] ca. 130 km südwestlich von Yathrib. Muhammad hatte Informationen erhalten, dass eine reiche mekkanische Karawane aus Syrien zurückkehrte. Mit 300 Mann, unter denen sich auch Angehörige des mit den [[w:Aus (Stamm)|Aus]] verbündeten Stammes [[w:Muzaina|Muzaina]] befanden, zog er nach dem an der Küstenstraße liegenden Badr, um die Karawane abzufangen. Es kam zu einer Schlacht zwischen Muhammads Männern und einer etwa 950 Mann starken Armee der Mekkaner, die der Karawane zur Hilfe geeilt war und von Muhammads erbittertem Gegner Abū Dschahl befehligt wurde. Muhammads Lager siegte überraschend. Die Mekkaner verloren zwischen 45 und 70 Mann, und eine ähnliche Anzahl von ihnen wurde gefangengenommen. Zu den gefallenen Mekkanern gehörten mehrere ihrer führenden Persönlichkeiten, darunter auch Abū Dschahl. Die Anhänger Muhammads hatten dagegen nur 14 Gefallene zu beklagen und machten große Beute. Nach der Schlacht ließ Muhammad einige der Gefangenen enthaupten, darunter seinen früheren Gegner [[w:an-Nadr ibn al-Hārith|an-Nadr ibn al-Hārith]]. Der [[w:Schlacht von Badr|Sieg bei Badr]] war sowohl in militärischer als auch in religiöser Hinsicht von größter Bedeutung für die Anhänger Muhammads. Offenbar hatten aber nicht alle von ihnen an diesem Sieg mitgewirkt. Das geht aus Versen hervor, die aus der Zeit nach Badr stammen und klarstellen, dass diejenigen unter den Gläubigen, die ohne Entschuldigung zu Hause „sitzenbleiben“ bei Gott nicht auf der gleichen Stufe stehen wie die Mudschāhidūn, also diejenigen, die den Dschihad führen und dabei Vermögen und Leben aufs Spiel setzen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/95 Q 4:95f]). === 3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags === Für die Quraisch von Mekka war die Niederlage bei Badr ein harter Schlag. Sie hatten in dem Ruf gestanden, ein besonders mächtiger Stamm in Arabien zu sein, und in gewissem Maße stützte sich auch der Erfolg ihrer Geschäfte auf diese Reputation, denn bei ihrem Handel waren sie auf die Zusammenarbeit mit vielen anderen Stämmen angewiesen, und von einigen von ihnen war nun Aufsässigkeit zu erwarten. Deshalb war es für die Quraisch von essentieller Bedeutung, zu beweisen, dass sie noch die Kraft hatten, für erlittenes Unrecht Rache zu nehmen. Zehn Wochen nach Badr unternahm [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]], der nach der Schlacht von Badr die Führung von Mekka übernommen hatte, einen Blitzüberfall auf Yathrib, zog sich aber, nachdem er zwei Häuser in Brand gesteckt hatte, rasch zurück. [[File:The Prophet Muhammad and the Muslim Army at the Battle of Uhud, from the Siyer-i Nebi, 1595.jpg|mini|Darstellung der Schlacht von Uhud in einem [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i Nebi]] von 1594, heute David Collection, Kopenhagen]] In den Monaten danach gelang es Abū Sufyān, 3000 gut ausgerüstete Krieger zu rekrutieren. Im März 625 rückte er mit diesen nach Yathrib vor und drang von der Nordwestecke in die Oase ein. Beim Berg Uhud kam es zu einem Kampf, der lange hin und her wogte. Als sich das Kriegsglück zu Gunsten der Anhänger Muhammads zu wenden begann, fingen diese an, die Beute einzusammeln. Das veranlasste eine Gruppe von Muhammads Bogenschützen, ihren Platz zu verlassen, um sich ebenfalls der Beute zuzuwenden. Auf der Seite der Mekkaner nutzte diese Situation der prominente Kämpfer [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] aus, um Verwirrung in den Reihen von Muhammads Anhängern zu stiften und sie niederzuringen. Allerdings gelang es Muhammads Anhängern zum Schluss, wichtige Stellungen zurückzugewinnen, so dass die Mekkaner abziehen mussten, ohne sich ihres Widersachers Muhammad endgültig entledigt zu haben. Für die Anhänger Muhammads war die [[w:Schlacht von Uhud|Schlacht von Uhud]] dennoch eine herbe Enttäuschung, nicht nur deshalb, weil sie 50 bis 70 Mann verloren hatten, Muhammads Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] gefallen und Muhammad selbst verwundet worden war, sondern auch deshalb, weil sie merkten, dass sie sich der Unterstützung Gottes doch nicht immer so sicher sein konnten, wie es ihnen nach dem Sieg von Badr schien. In verschiedenen Koranworten aus dieser Zeit wird bekräftigt, dass diejenigen, die „für die Sache Gottes“ getötet wurden, nicht wirklich tot sind, sondern weiter leben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/154 Q 2:154]), bei ihrem Herrn versorgt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/169 3:169]), ihnen die Sünden vergeben werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/157 3:157]) und sie direkt ins Paradies eingehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/195 3:195]). Der Konflikt zwischen Muhammad und den Mekkanern war mit der Schlacht von Uhud noch keineswegs beendet. Da Muhammad weiter den mekkanischen Handel störte und bei den arabischen Beduinen immer mehr Verbündete fand, sahen sich die Mekkaner genötigt, erneut gegen ihn vorzugehen. Dafür versuchten sie ihrerseits, eine Anzahl beduinischer Stämme auf ihre Seite zu ziehen. Diese Bündnisse zeigen, dass der Konflikt zwischen Mekka und Yathrib inzwischen das Umland der beiden Städte mit einschloss. Im Juli 625 massakrierten die [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]], ein mit den Quraisch verbündeter Stamm, bei Biʾr Maʿūna zwischen Mekka und Yathrib eine größere Anzahl von Muslimen. Muhammad soll daraufhin einen Monat lang die Banū Sulaim verflucht haben. In veränderter Form hat sich dieser Ritus bis heute im sogenannten [[w:Qunūt|Qunūt]] erhalten, einem Bittgebet, das beim Morgengebet oder beim nächtlichen Witr-Gebet gesprochen wird. Zu Beginn des Jahres 627 erschienen die Mekkaner und ihre Verbündeten mit einer Truppe von 10.000 Mann vor Yathrib. Dort hatte Muhammad allerdings um die weniger befestigten Stellen der Oasensiedlung einen Graben (''ḫandaq'') ausheben lassen, der so breit war, dass ein Pferd ihn nicht überspringen konnte. Diese Aktion kam für die Mekkaner offensichtlich so unerwartet, dass sie ihr kein geeignetes strategisches Mittel entgegensetzen konnten. Aus dem geplanten Angriff wurde so eine Belagerung. Aufgrund von Intrigen brach die Allianz der Mekkaner jedoch schon nach 14 Tagen zusammen, und die [[w:Grabenschlacht|Belagerung von Yathrib]] musste beendet werden. Die Mekkaner zogen schließlich ab, ohne etwas erreicht zu haben. === 3.1.3. Der militärische und politische Durchbruch === [[File:Dinar, Khusro II, 590, 591-628 AD, year 31 - Bode-Museum - DSC02737.JPG|mini|Der Sassanidenherrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] (reg. 590-628) auf einer Goldmünze, [[w:Bode-Museum|Bode-Museum]]]] Der Grabenkrieg war im Grunde genommen der letzte Defensivkrieg Muhammads. Hiernach begann die Offensivphase in seinem Leben, und gleichzeitig für das von ihm begründete Gemeinweisen die Zeit der Eroberungen. Zum Verständnis des folgenden militärischen Erfolgs von Muhammad ist es notwendig, sich die politische Situation im Vorderen Orient dieser Zeit zu vergegenwärtigen. Anfang des 7. Jahrhunderts hatte ein längerer Schlagabtausch zwischen dem [[w:Byzantinisches Reich|Byzantinischen Reich]] und den [[w:Sassanidenreich|Sassaniden]] begonnen. In den Jahren 603 bis 619 hatten zunächst die sassanidischen Truppen Syrien, Palästina und Ägypten erobert, 622 hatte der byzantinische Kaiser zum Gegenangriff ausgeholt. Es kam zu heftigen Auseinandersetzungen, bei denen die Sassaniden ebenfalls mehrere Niederlagen erlitten, und die 628 mit einem Friedensschluss endeten, der ihren Herrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] dazu verpflichtete, die eroberten Gebiete vollständig zurückzugeben. Hieraufhin wurde Chosrau von seinen Offizieren gestürzt, und es begannen im Sassanidenreich Thronwirren, die bis 633 andauerten und während derer das sassanidische Bündnissystem auf der arabischen Halbinsel zusammenbrach. Es war genau diese fünfjährige Periode des Machtvakuums, innerhalb derer Muhammad seinen neu gegründeten Staat zum militärischen und politischen Erfolg führte. Im Jahr nach der [[w:Grabenschlacht|Grabenschlacht]] unternahm er noch einige weitere kleinere Kriegszüge, von denen die beiden bedeutendsten derjenige gegen die Oase Dūmat al-Dschandal und derjenige gegen den westlich von Yathrib lebenden Stamm der Mustaliq waren. Im März 628 zog er dann mit einer Schar von Gläubigen nach Mekka, um eine [[w:ʿUmra|ʿUmra]] zu vollziehen. Die Mekkaner, die annahmen, dass er kriegerische Absichten hegte, sorgten allerdings dafür, dass er der Stadt nicht zu nahe kam. Von seinem Lager in al-Hudaibiya am Rande des [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]] nahm Muhammad Verhandlungen mit den Mekkanern auf, die mit einem Vertrag endeten. Er selbst musste in diesem Vertrag rein äußerlich einige Demütigungen hinnehmen, die zu Spannungen unter seinen Anhängern führten. So wurde er von dem mekkanischen Abgesandten nicht als „Muhammad, der Gesandte Gottes“ anerkannt, sondern nur als „Muhammad ibn ʿAbdallāh“. Bedeutender waren aber die getroffenen Vereinbarungen. Dazu gehörten ein zehnjähriger Waffenstillstand und das Versprechen der Mekkaner, Muhammad und seinen Anhängern im nächsten Jahr die Stadt für drei Tage zum Vollzug der ʿUmra zu überlassen. Umgekehrt verzichtete Muhammad für dieses Jahr auf die ʿUmra und zog sich mit seinen Männern nach Yathrib zurück. Der Vertrag von Hudaibiya war ein Triumph für den Propheten und seine Anhänger. Der Koran berichtet, dass Gott seine [[w:Sakīna|Sakīna]] in die Herzen der Gläubigen hinabsandte, so dass sie im Glauben zunahmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/4 Q 48:4], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/18 18]). Der Begriff ''sakīna'' geht eigentlich auf ein jüdisches Konzept, die [[w:Schechina|Schechina]], zurück, das die „Gegenwart“ Gottes bei seinem Volk bezeichnet. Hier bezeichnet er aber auch den psychischen Zustand der Gelassenheit und Ruhe. Nach dem Vertrag von Hudaibiya vollzogen mehrere Araber aus anderen Gebieten Arabiens, die sich schon früher Muhammad angeschlossen hatten, die [[w:Hidschra|Hidschra]], d.h. sie zogen nach Yathrib, um Muhammad militärisch zu unterstützen. Zu ihnen gehörten zum Beispiel auch die beiden Jemeniten [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]]. Im folgenden Jahr, im März 629, zog Muhammad dann mit etwa 2.000 Mann nach Mekka, um wie geplant die ʿUmra zu vollziehen. Bei dieser Gelegenheit heiratete er Maimūna, die Schwägerin seines Onkels [[w:al-ʿAbbās ibn ʿAbd al-Muttalib|ʿAbbās]], der zu dieser Zeit in Mekka die Führung der [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]] übernommen hatte. Immer mehr Mekkaner erkannten nun Muhammad als Propheten an und verließen die Stadt, um sich ihm anzuschließen, auch solche, die ihn kurz zuvor noch bekriegt hatten wie zum Beispiel der Kämpfer Chālid ibn al-Walīd, der bei der Schlacht von Uhud noch auf der gegnerischen Seite gestanden hatte (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]). Im Laufe des Jahres 629 ließ Muhammad noch einige weitere kriegerische Unternehmungen durchführen. So schickte er im September seinen ehemaligen Sklaven und Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] mit einer Armee nach Mu'ta auf dem Gebiet des heutigen Jordanien, östlich der Südspitze des Toten Meeres. Dann ergab sich eine Kette von Ereignissen, die letztlich zur friedlichen Kapitulation Mekkas führten. Muhammad heiratete Umm Habība, eine schon viele Jahre früher zum Islam übergetreten Tochter [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], deren muslimischer Ehemann gestorben war. Wenig später wurde ein Clan der [[w:Chuzāʿa|Chuzāʿa]], der in der Nähe von Mekka lebte und nach Hudaibiya einen Bund mit Muhammad geschlossen hatte, von einem Clan der [[w:Kināna|Kināna]], der mit den Mekkanern verbündet war, angegriffen. Der in Bedrängnis geratene Clan der Chuzāʿa wandte sich an Muhammad, der mit diesem Vorfall das Abkommen von Hudaibiya als gebrochen betrachtete. Zur Verhinderung einer militärischen Konfrontation reiste Abū Sufyan unter dem Vorwand, seine Tochter besuchen zu wollen, nach Yathrib und führte mit Muhammad Verhandlungen. Der genaue Hergang der nachfolgenden Ereignisse ist nicht klar, doch steht fest, dass es nach der Rückkehr Abū Sufyans nach Mekka zwischen ihm und Muhammad zum Austausch von Geschenken kam. In der Sache selbst war Muhammad allerdings zu keinen Zugeständnissen bereit. Er gab das Kommando zur Vorbereitung eines Feldzuges zur Einnahme von Mekka. Mit einer Armee von ca. 10.000 Mann, die neben seinen Anhängern aus Mekka und Yathrib auch Kämpfer von Stämmen der Umgebung wie den [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]] und [[w:Muzaina|Muzaina]] einschloss, zog er von Yathrib in Richtung Mekka. Abū Sufyān zog ihm entgegen und führte die Kontaktgespräche. Im Gegenzug für seine Konversion zum Islam erhielt er eine Sicherheitsgarantie für all diejenigen Bewohner Mekkas, die keinen bewaffneten Widerstand leisteten. Die weitreichenden Garantien führten dazu, dass Muhammads Armee bei ihrem von verschiedenen Seiten erfolgendem Einrücken im Januar 630 auf nur sehr geringen Widerstand stieß. In den arabischen Quellen wird die Einnahme Mekkas als ''fatḥ'', „Öffnung“ bezeichnet. Sie steht damit gewissermaßen archetypisch für alle späteren muslimischen Eroberungen ([[w:Futūh|Futūh]]) von Städten und Ländern, die die Muslime unter Muhammads Nachfolgern machten. Über sie wurden später eigene Texte und Werke zusammengestellt. == 3.2. Die interne Entwicklung der Gemeinschaft von Yathrib == === 3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“ === Die Anhängerschaft Muhammads bei seiner Ankunft in Yathrib setzte sich im Wesentlichen aus zwei Gruppen zusammen, den Angehörigen der Quraisch, die zusammen mit ihm die Hidschra aus Mekka vollzogen hatten, und den Clanen von [[w:Aus (Stamm)|Aus]] und [[w:Chazradsch|Chazradsch]], die diesen Auswanderern in Yathrib Aufnahme gewährt hatten. Um eine Gemeinschaft zwischen diesen beiden Gruppen herzustellen, war es dringend notwendig, ein Loyalitätsverhältnis zwischen ihnen zu begründen. Genau diesen Sachverhalt spricht ein Koranwort an, in dem es heißt: „Diejenigen, die den Glauben angenommen haben und ausgewandert sind und unter Einsatz ihres Vermögens und Lebens für die Sache Gottes gekämpft haben, und diejenigen, die Asyl und Hilfe gewährten, die sollen untereinander Freunde sein“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/72 Q 8:72]). Offensichtlich wurden sogar praktische Maßnahmen ergriffen, um dieses Ziel zu verwirklichen, denn es gibt Berichte, denen zufolge zwischen verschiedenen Angehörigen der beiden Gruppen eine „Verbrüderung“ (''muʾāḫāh'') hergestellt wurde. Die übliche Form dieser Verbrüderung sah so aus, dass dem betreffenden Auswanderer (''muhāǧir'') einer von den „Helfern“ (''anṣār'') zur Seite gestellt wurde und die beiden sich gegenseitig zu Brüdern erklärten. Wenn einer der beiden im Kampf fiel, beerbte ihn der andere. Der wichtigste Zweck der Verbrüderung war es, größeren Zusammenhalt im Kampf zu erreichen. Die Zweiteilung der Anhängerschaft Muhammads wurde allerdings auch durch diese Maßnahme nicht völlig überwunden. Vielmehr scheint sich der Gegensatz zwischen den mekkanischen „Auswanderern“ ([[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]]) und den „Helfern“ ([[w:Ansār|Ansār]]) aus Yathrib im Laufe der Zeit noch verfestigt zu haben, wie sich zwei Koranstellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/100 Q 9:100], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/117 117]) aus späterer Zeit entnehmen lässt, in denen die beiden Gruppen einander gegenübergestellt werden. Über die politischen Verhältnisse, die seit der Zeit von Muhammads Ankunft in Yathrib herrschten, gibt es ein historisches Dokument, das uns noch wesentlich genauer informiert als der Koran, nämlich die sogenannte [[w:Gemeindeordnung von Medina|Gemeindeordnung von Medina]]. In diesem Dokument, das bei [[w:Ibn Hischām|Ibn Hischām]] überliefert ist, erscheint auch zum ersten Mal die arabische Bezeichnung ''al-Madīna'' („die Stadt, der Gerichtsort“) für Yathrib. Sie wurde später als Name für diesen Ort allgemein üblich und erscheint auch in den letzten Suren des Korans (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/102 Q 9:102]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/8 63:8]). Was nun die politische Ordnung anlangt, so wird am Anfang des Dokuments festgestellt, dass es sich um „einen Vertrag Muhammads des Propheten zwischen den Gläubigen und Muslimen der Quraisch und von Yathrib und jenen, die ihnen folgen, ihnen verbunden sind und zusammen mit ihnen kämpfen“ (§ 1), handelt. Sie sollen „eine einzige Umma“ bilden, „die sich von anderen unterscheidet“ (§&nbsp;2). Der Begriff [[w:Umma|Umma]] wird im Koran noch an vielen anderen Stellen verwendet und bezeichnet dort verschiedene von Propheten angeführte Gemeinschaften. Die Umma von Medina war allerdings eher an tribalen Konzepten orientiert. Die neun wichtigsten Vertragsparteien waren die „Auswanderer der Quraisch“, die offensichtlich als ein einziger Clan verstanden wurden, und acht Clane aus Yathrib. Jede Gruppe, so heißt es, sollte ihre tribale Organisation beibehalten und für die Zahlung von [[w:Diya (Islam)|Blutgeld]] und Lösegeld unter ihren Angehörigen verantwortlich sein. Allerdings wurde diese Solidaritätspflicht auf die Gläubigen (''muʾminūn'') unter ihnen eingeschränkt. Der zweite Teil des Dokuments befasst sich mit den Beziehungen zu den jüdischen Stämmen von Yathrib und ihren beduinischen Verbündeten. Das Dokument zeigt, dass die Umma zu jener Zeit als etwas verstanden wurde, das Beziehungen zu Angehörigen anderer Religionen einschloss. Im Wesentlichen handelte es sich um einen Bündnisvertrag, der den traditionellen arabischen Rechtsvorstellungen entsprach. Dadurch, dass im ersten Teil die Solidaritätsverpflichtungen auf die „Gläubigen“ beschränkt wurden, kam jedoch eine religiöse Komponente ins Spiel. Muhammad selbst wurde in der Gemeindeordnung eine richterliche Funktion zugesprochen. So wurde festgelegt, dass diejenigen, die über eine Sache im Streit sind, diese vor Gott und Muhammad bringen sollten (§§ 26, 52). Am Ende des Dokuments wird erklärt, dass das Tal von Yathrib für alle Vertragspartner geheiligt (''ḥarām'') sei (§ 49), womit es wie Mekka den Status eines [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Heiligen Bezirks]] erhält. === 3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden === Muhammad hatte am Ende der mekkanischen Zeit dem Judentum äußerst positiv gegenübergestanden. Koranische Texte aus diesem Zeitabschnitt fordern dazu auf, nicht mit den „Leuten des Buches“ ([[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]]) – gemeint sind die Juden von Yathrib – zu disputieren, sondern die Gemeinsamkeiten zwischen den beiden offenbarten Religionen herauszustellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/29/vers/46 Q 29:46]). Der gute Kontakt mit den Juden in der frühen medinischen Zeit führte dazu, dass sich Muhammad und seine Anhänger noch stärker an die jüdischen Vorschriften annäherten. So wurde zu dieser Zeit nach jüdischem Vorbild ein drittes Tagesgebet eingeführt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/238 Q 2:238f]), und der Verzehr von Schweinefleisch und der Beischlaf während der [[w:Menstruation|Menstruation]] wurden verboten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/173 Q 2:173], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/222 222]). Ebenfalls in frühmedinischer Zeit wurde für Muhammad der Titel ''nabī'' gebräuchlich, der in der Bibel und in der jüdischen Tradition für Propheten verwendet wird. Möglicherweise wurde dieser Titel deswegen jetzt für Muhammad eingeführt, um die Juden von Yathrib dazu zu bewegen, seine religiöse Führerschaft anzuerkennen. Besonders interessant ist das Adjektiv ''ummī'', mit dem der Begriff ''nabī'' an der ersten Stelle, an der er vorkommt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/7/vers/157 Q 7:157f]), versehen ist. Wahrscheinlich handelt es sich um eine Ableitung des hebräischen Ausdrucks ''ummot ha-ʿolam'', mit dem im [[w:Talmud|Talmud]] die nicht-jüdischen Völker bezeichnet werden, in denen [[w:Gerechter unter den Völkern|Gerechte]] auftreten können. Die Bezugnahme auf diese heidenfreundliche Tradition war sehr wichtig, denn unter den Juden von Yathrib herrschte die Auffassung vor, dass es unter den Arabern keine Prophetie geben könne. Die Annäherung an das Judentum bedeutete allerdings nicht, dass Muhammad seine Religion darin aufgehen lassen wollte. Die Gemeindeordnung von Medina stellt ausdrücklich fest, „dass die Juden ihre Religion beibehalten und die Gläubigen die Ihrige.“ Eine gemeinsame religiöse Basis fand er im Monotheismus, wie sich dem folgenden Koranwort entnehmen lässt: {{Zitat|Sag: O Leute des Buches, kommt her zu einem Wort, das uns und euch gemeinsam ist. Ist es nicht so, dass wir Gott allein dienen, ihm nichts beigesellen und uns nicht untereinander anstelle Gottes zu Herren nehmen?|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/64 Q 3:64]}} Offenbar hegte Muhammad die Vorstellung, die Juden würden in seiner Botschaft schließlich ihre eigene Religion wiedererkennen. Das brachte ihn letztendlich auch zu der Erwartung, dass sie seinen religiösen Anspruch anerkennen müssten. An mehreren Stellen im Koran werden die [[w:Israeliten|Israeliten]] aufgefordert, an das, was ihm offenbart wurde, als Bestätigung ihrer Schrift zu glauben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/41 Q 2:41]) und ihn allgemein als Bestätiger der [[w:Tora|Tora]] zu verstehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/50 Q 3:50]). Es geschah wahrscheinlich auch im Rahmen der Auseinandersetzung mit den Juden von Medina, dass sich Muhammad zum ersten Mal auf den [[w:Erzengel|Erzengel]] [[w:Gabriel (Erzengel)|Gabriel]] als Vermittler der koranischen Offenbarung berief. Gabriel spielte schon in vorislamischer Zeit eine große Rolle in den jüdischen Überlieferungen über Abraham und Mose. In Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/97 2:97] wird ausgesagt, dass er es ist, der den Koran in Muhammads Herz hinabgesandt habe, „mit Erlaubnis Gottes, bestätigend, was vor ihm war, als rechte Leitung und als frohe Botschaft für die Gläubigen.“ Die Korankommentatoren erklären, dass diese Verse offenbart wurden, als die Juden von Medina Muhammad fragten, wer der Engel sei, der ihm die Offenbarungen brächte. Als er antwortete, dass dies Gabriel sei, der Freund eines jeden Propheten, sollen sie entgegnet haben, dass sie ihn dann nicht anerkennen könnten, weil ihr Freund der Engel [[w:Erzengel_Michael|Michael]] sei, Gabriel dagegen ihr Feind. In Sure 2:97-98 wird diese „Feindschaft“ zu Gabriel missbilligt. Koranstellen wie diese zeigen sehr deutlich, dass die Juden Medinas nicht bereit waren, Muhammad als Propheten in ihrer Tradition anzuerkennen. Andere Stellen erwähnen, dass es immer wieder zu Streitereien mit ihnen kam (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/139 Q 2:139]). Die historiographischen Quellen berichten, dass es damals in Medina nur einen einzigen namhaften Juden gab, der zum Islam übertrat: [[w:ʿAbdallāh ibn Salām|ʿAbdallāh ibn Salām]]. An seine Konversion knüpfen sich in der islamischen Tradition zahlreiche Legenden. Aus Enttäuschung darüber, dass ihn die Juden von Medina nicht unterstützen und ihm zunehmend feindlich gegenüberstanden, brach Muhammad nach der Badr-Schlacht mit dem Judentum. So forderte er die Juden auf, ihn nicht mehr als Schiedsrichter anzurufen, da sie sich nicht einmal an die Regeln ihrer Tora hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/43 Q 5:43-45]). Immer häufiger kam es nun auch zu verbalen Attacken gegen die Juden. So wird ihnen an verschiedenen Stellen Verstocktheit vorgeworfen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/87 Q 2:87-90]) und ihre strengen Speiseverbote werden damit begründet, dass die Juden sich in der Vergangenheit schwerer Sünden schuldig gemacht hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/160 Q 4:160]). An anderen Stellen werden sie beschuldigt, sie würden einen Teil ihrer Schriften zurückhalten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/11/vers/18 Q 11:18]). Schließlich gibt es vier Passagen, die besagen, die Juden hätten die Schriften absichtlich „entstellt“ oder „verdorben“ (so [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/75 Q 2:75-79], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/46 4:46], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/13 5:13], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/41 5:41]). Den verbalen Attacken folgten bald reelle Angriffe auf die Juden von Yathrib. Sie waren keine einheitliche Gemeinschaft, sondern gehörten drei verschiedenen Stämmen an, den [[w:Banū Qainuqāʿ|Banū Qainuqāʿ]], den [[w:Banū n-Nadīr|Banū n-Nadīr]] und den [[w:Banū Quraiza|Banū Quraiza]]. Der erste Angriff richtete sich gegen die Banū Qainuqāʿ, die in Yathrib einen eigenen Markt unterhielten. Als Anlass wird in der Überlieferung genannt, dass nach der Schlacht von Badr (624) auf ihrem Markt eine arabische Frau von einer Gruppe von Juden belästigt worden war. Ein Muslim, der die Begebenheit beobachtet hatte, tötete einen der Juden und wurde dann selbst umgebracht. Das war der Auslöser dafür, dass Muhammad die Banū Qainuqāʿ im April 624 in ihrem befestigten Stadtteil belagerte. Sie mussten ihre Habe zurücklassen und wanderten nach Adhriʿāt (dem heutigen [[w:Darʿā|Darʿā]] im [[w:Hauran|Hauran]], Syrien) aus. Die Vertreibung der Banū Qainuqāʿ hatte wahrscheinlich auch einen ökonomischen Hintergrund, denn Muhammad strebte in dieser Zeit danach, einen eigenen Markt aufzubauen, und der Markt der Qainuqāʿ war ihm dabei im Weg. [[File:Khaybar - deserted houses.jpg|mini|250px|Die Oase Chaibar heute]] Im August 625 ging Muhammad gegen den jüdischen Stamm der Banū n-Nadīr vor. Als Anlass für den Konflikt nennt die Überlieferung einerseits einen versuchten Mordanschlag auf Muhammad, andererseits den Vorwurf der Kollaboration mit den feindlichen Quraisch. Muhammad ließ sie in ihren befestigten Häusern belagern und außerdem ihre Palmenpflanzungen zerstören, womit er ein ungeschriebenes Gesetz der arabischen Kriegführung verletzte. Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/59/vers/5 Q 59:5] liefert nach der islamischen Tradition eine Rechtfertigung für dieses Vorgehen. Wie die Banū Qainuqāʿ, so wurden auch die Banū Nadīr vertrieben; sie fanden mehrheitlich in der jüdischen Oase [[w:Chaibar|Chaibar]] Zuflucht, in der sie über Grundbesitz und eigene Festungen verfügten. Nach der Grabenschlacht 627 kam es zu einer Konfrontation der Muslime mit dem dritten und letzten noch in Medina verbliebenen jüdischen Stamm, den Banū Quraiza, denen auch verschiedene andere Oasen im Norden der Halbinsel gehörten. Ihnen wurden der Bruch ihres Abkommens mit Muhammad und die Zusammenarbeit mit den Quraisch während der Grabenschlacht vorgeworfen. Es erfolgte eine mehrwöchige Belagerung ihres befestigten Stadtteil. Da die Banū Aus mit den Banū Quraiza verbündet waren und sich für sie einsetzten, legte Muhammad die Entscheidung über ihr Leben in die Hand von [[w:Saʿd ibn Muʿādh|Saʿd ibn Muʿādh]], dem Anführer der Banū Aus, der in der Grabenschlacht schwere Verwundungen erlitten hatte und dem Tode nahe war. Dieser sprach sich dafür aus, alle Männer umzubringen, Frauen und Kinder in die Gefangenschaft zu führen und ihren Besitz aufzuteilen, was trotz Protesten von Seiten anderer Verbündeter unverzüglich umgesetzt wurde. Auch nach diesem Vorfall dauerte die Auseinandersetzung mit den Juden noch an. Die Banū n-Nadīr rüsteten nach ihrer Vertreibung aus Medina in Chaibar zum Krieg gegen Muhammad, wobei sie mit den arabischen Stämmen der Nachbarschaft zusammenarbeiteten. Muhammad kam ihnen im Frühjahr 628 mit einem eigenen [[w:Chaibar (Feldzug)|Kriegszug]] zuvor. Das Koranwort aus [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/33 Sure 5:33], das denjenigen, die gegen Gott und seinen Gesandten Krieg führen, eine grausame Strafe (Tötung, Kreuzigung bzw. kreuzweise Amputation von Hand und Fuß) in Aussicht stellt, wird in diesen historischen Zusammenhang gestellt. Chaibar kapitulierte im Juni 628, und die Juden der Oase wurden verpflichtet, ihr Vermögen herauszugeben und jedes Jahr die Hälfte ihrer Ernte den muslimischen Eroberern zu übergeben. Zwei andere von Juden besiedelte Oasen, Fadak und [[w:Tayma|Taimāʾ]], unterstellten sich Muhammads Herrschaft kurze Zeit später freiwillig. === 3.2.3. Andere Gegner Muhammads === In den Koranversen, die in die Zeit nach der [[w:Schlacht von Uhud|Uhud-Schlacht]] eingeordnet werden, taucht noch eine weitere gegnerische Personengruppe auf, die [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]]. Sie werden beschrieben als Personen, die zuerst den Glauben angenommen haben, sich dann aber wieder davon abwandten und nur noch so taten, als würden sie an den Gottesgesandten glauben (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/1 Q 63:1-3]). Man kann insofern den arabischen Begriff ''munāfiqūn'' mit „Heuchler“ übersetzen. Der Koran bezeichnet diese Leute auch als „Menschen, die in ihrem Herzen eine Krankheit haben“ (''fī qulūbi-him maraḍ''; vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/52 5:52]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/49 8:49]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/125 9:125]) und droht ihnen an, dass sie dereinst auf den untersten Grund des Höllenfeuers verbannt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/145 Q 4:145]). Die Munāfiqūn stellten vor allem Muhammads richterliche Autorität in Frage. Der Koran spricht davon, dass einige von ihnen ihren Streit nicht durch Muhammad schlichten lassen wollten und sich von ihm abwandten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/60 Q 4:60f]). Gegen diese Abfallsbewegung richtet sich die Aufforderung an die Gläubigen, ihre Dispute auf jeden Fall Muhammad zur Entscheidung vorzulegen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]). Nur diejenigen sollten fortan noch als Gläubige gelten, die sich an dieses Gebot hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/65 Q 4:65]). Als Anführer der Munāfiqūn wird in den arabischen Quellen ʿAbdallāh ibn Ubaiy genannt. Von ihm wird berichtet, dass er ohne Muhammads Auftreten in Yathrib „König“ ([[w:Malik|Malik]]) der Stadt geworden wäre. Es ging also möglicherweise um konkurrierende Machtansprüche. Offenbar geriet in dieser Zeit aber auch die religiöse Autorität Muhammads in eine Krise. Die islamische Tradition hat den Bericht von einem Christen aus dem medinischen Clan der Banū n-Naddschār bewahrt, der zum Islam übergetreten war und dem Propheten während der Niederschrift der Suren [[w:Sure 2|2]] und [[w:Sure 3|3]] als Sekretär gedient hatte, nun aber zu seiner alten Religion zurückkehrte und sich bei seinen Glaubensbrüdern damit brüstete, Muhammad wisse nichts außer dem, was er für ihn niedergeschrieben habe. Auf skandalöse Weise fiel in dieser Zeit auch einer von Muhammads mekkanischen Schreibern ab, nämlich [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]]. Er begab sich ins heidnische Mekka und brüstete sich dort, er habe Muhammad auf die Probe gestellt, indem er nachträglich an einer Stelle den Wortlaut der Offenbarung geändert habe, ohne dass Muhammad diese Abänderung bemerkte. Gegenstand der Änderung waren Reimwörter, die in ähnlicher Form an anderen Stellen des Korans vorkommen. Der Koran selbst scheint von diesem Vorfall Zeugnis abzulegen. So werden Leute erwähnt, in deren Herzen Verirrung ist, die sich nicht an den festgefügten Versen (''āyāt muḥkamāt'') des Korans orientieren, sondern „das suchen, was einander ähnlich ist, um Zwietracht zu stiften“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/7 Q 3:7]). Nach der Überlieferung ist außerdem mit dem Mann, von dem der Koran berichtet, dass er den Unglauben ([[w:Kufr|Kufr]]) gegen den Glauben ([[w:Īmān|Īmān]]) eintauschte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/108 Q 2:108]), ʿAbdallāh ibn Abī Sarh gemeint. Gegen einige seiner Gegner ging Muhammad sehr grausam vor. So ließ er zum Beispiel den mit den Banū n-Nadīr verbundenen Dichter [[w:Kaʿb ibn al-Aschraf|Kaʿb ibn al-Aschraf]], der in Mekka die Quraisch zum Kampf gegen die Muslime angestachelt und nach einigen Berichten mit ihnen sogar eine Allianz gegen Muhammad geschlossen hatte, nach seiner Rückkehr nach Medina im September 624 heimtückisch ermorden. Bei der Einnahme von Mekka im Januar 630 war er dagegen sehr viel gutmütiger. Mit Ausnahme weniger Personen, die Tötungsdelikte begangen hatten, begnadete der Prophet alle seine früheren Gegner, die er in der Stadt vorfand, darunter auch seinen ehemaligen Schreiber Ibn Abī Sarh, der in Mekka Stimmung gegen ihn gemacht hatte. Er profitierte davon, dass sich sein Milchbruder [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān]] beim Propheten für ihn einsetzte. Muhammads Bereitschaft, früheren Gegnern zu verzeihen, spiegelt sich auch auf koranischer Ebene wieder. Wer die Umkehr ([[w:Tauba|Tauba]]) zu Gott vollzieht, so heißt es dort, kann damit rechnen, dass es ihm wohlergeht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/31 Q 24:31]). Gott selbst wird im Koran als derjenige beschrieben, der „die Umkehr von seinen Knechten annimmt“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/104 Q 9:104]). Wer umkehrt, dem wendet sich auch Gott wieder zu ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/39 Q 5:39]). Heuchlern und Apostaten, die die Tauba nicht vollziehen, droht jedoch das Höllenfeuer ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/74 Q 9:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/86 3:86-89]). === 3.2.4. Die Konstituierung als eigenständige Religionsgemeinschaft === Die Zusammenfügung der Gläubigen zu einem Loyalitätsverband und die Abgrenzung nach außen gegenüber anderen Gruppierungen gingen einher mit dem Bestreben, den Einfluss anderer Loyalitätsbeziehungen, die für den Zusammenhalt der Gläubigen eine Bedrohung darstellen könnten, zu beschränken. Dieses zeigt sich an verschiedenen Koranstellen der medinischen Periode, an denen die Gläubigen aufgefordert werden, sich keine Ungläubigen, sondern nur noch Gläubige zu Freunden zu nehmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/28 Q 3:28]). Nur diejenigen sollten noch als „Gläubige“ und damit vollwertige Mitglieder dieser Gemeinschaft gelten, die die Beziehungen zu den Gegnern des Gottesgesandten komplett abbrechen und sich dabei auch über Verwandtschaftsbande hinwegsetzen. Denjenigen, die sich an diese Grundsätze halten, wird im Koran Erfolg und jenseitiges Heil verheißen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/56 Q 5:56]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/58/vers/22 58:22]). Für Frauen, die in das muslimische Lager überwechseln wollten, erwähnt der Koran ein eigenes Aufnahmeverfahren: man solle sie prüfen, und wenn sie als gläubige Frauen erkannt seien, solle man sie nicht zu den Ungläubigen zurückkehren lassen, diesen aber den für sie entrichteten Brautpreis ersetzen, dann sei es erlaubt, mit diesen Frauen eheliche Beziehungen einzugehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/60/vers/10 Q 60:10]). Der Abgrenzung nach außen auf sozialer Ebene lief eine Abgrenzung auf religiöser Ebene parallel. Die Abgrenzung von den Juden betraf dabei insbesondere die religiösen Riten (vgl. unten [[#3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus|3.3.]]). Auf ideeller Ebene erfolgte gleichzeitig eine Rückbesinnung auf die Gestalt [[w:Abraham im Islam|Abrahams]]. Er wurde nun zum Prototypen der neuen Religionsgemeinschaft erhoben. An mehreren Koranstellen aus dieser Zeit findet sich die Aufforderung, der Religion der „Gemeinschaft Abrahams“ (''millat Ibrāhīm'') zu folgen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/130 Q 2:130]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/125 4:125]). Es wird betont, dass Abraham kein Jude, Christ oder [[w:Muschrik|Muschrik]] war, sondern ein Muslim und [[w:Hanīf|Hanīf]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/67 Q 3:67]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/95 3:95]). Eine Weile war Hanīf wohl auch die übliche Bezeichnung für Muhammads Anhänger und Hanīfīya („Hanīfentum“) der Name für die von ihm gegründete Religion. Mit den auf Abraham bezogenen koranischen Passagen ließ sich auch die kultische Wiederausrichtung auf das arabische Heiligtum in Mekka gut rechtfertigen. Sie wurde damit erklärt, dass „das Haus“ (''bait'') in Mekka das Jerusalemer Heiligtum an Alter übertreffe, weil es das erste sei, das für die Menschen errichtet wurde ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/96 Q 3:96]). Schon Abraham habe zusammen mit seinem Sohn [[w:Ismael|Ismāʿīl]] die Grundmauern dieses „Hauses“ aufgerichtet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/127 Q 2:127]). Muhammad scheint hier auf hanīfische Konzepte (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.6. Der religiöse Wandel und die Hanīfen|1.3.6.]]) zurückgegriffen zu haben. An zwei Stellen des Korans ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 2:125]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/97 3:97]) wird das mekkanische Heiligtum zudem als der „[[w:maqām Ibrāhīm|Standplatz Abrahams]]“ (''maqām Ibrāhīm'') bezeichnet. === 3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten === Muhammad war nach der Gemeindeordnung von Medina keineswegs der absolute Herrscher von Medina. Er wurde lediglich als Prophet (§ 1) und Schiedsrichter (§ 23, 42) anerkannt. In den Quellen werden mehrfach Vorfälle geschildert, die zeigen, dass er sich darum bemühen musste, die Unterstützung anderer Clanoberhäupter zu gewinnen. Im Zusammenhang mit den militärischen Aktivitäten veränderten sich jedoch die Machtstrukturen innerhalb der Gemeinschaft der Muslime. Eine Folge des Misserfolges von Uhud war die Aufforderung an die Gläubigen, zukünftig dem Gottesgesandten und „denjenigen, die zu befehlen haben“ (''ūlū l-amr''), unbedingt zu gehorchen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]) und vor Streuung von sicherheitsrelevanten Informationen erst diesen Personenkreis zu unterrichten, um eine Überprüfung dieser Informationen zu ermöglichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/83 Q 4:83]). Das militärische Nachrichtenwesen wurde auf diese Weise zentralisiert. Den Gläubigen wurde außerdem mitgeteilt, dass der Gottesgesandte das Vorrecht auf mindestens ein Fünftel (''ḫums'') der Beute habe, um es unter den Verwandten, Weisen, Armen und Wohnungslosen zu verteilen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]). Von seinen Anhängern, den gläubigen Männern und Frauen, forderte der Prophet nach der Vertreibung der jüdischen Stämme uneingeschränkten Gehorsam bei all den Dingen, die er selbst entschieden hatte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/36 Q 33:36]). Seine militärischen und diplomatischen Erfolge brachten ihm offenbar so viel Prestige und Autorität ein, dass auch seine Macht immer weiter zunahm. Von nicht geringer Bedeutung für Muhammads Machtzuwachs war die Tatsache, dass sich in Medina auch mehrere Dichter auf seine Seite stellten. Der bekannteste von ihnen war [[w:Hassān ibn Thābit|Hassān ibn Thābit]], der schon für [[w:Ghassaniden|ghassānidische]] und [[w:Lachmiden|lachmidische]] Prinzen Lobgedichte verfasst hatte. Vor diesem Hintergrund wurde die im Koran formulierte allgemeine Ablehnung gegenüber den Dichtern (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.2.5. Der Überbringer der Botschaft|2.2.5.]]) differenziert: Nur diejenigen von ihnen sollten der Verdammung anheimfallen, die Unrecht getan haben, nicht aber diejenigen, „die den Glauben angenommen haben, das Rechte tun und Partei ergreifen, nachdem ihnen Unrecht angetan worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/26/vers/227 Q 26:227]). Außerdem standen Muhammad jetzt auch mehr Schreiber zur Verfügung, die seine Korrespondenz führen und seinen Koranvortrag niederschreiben konnten. Zu nennen sind insbesondere [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], der vor der Hidschra auf einer jüdischen Schule die syrische oder hebräische Schrift erlernt hatte, und [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]]. Beide gehörten sie dem chazradschitischen Clan der Banū n-Naddschār an, in deren Viertel sich Muhammad niedergelassen hatte. Wie für einen arabischen Stammesfürsten seiner Zeit üblich, hatte Muhammad eine ganze Anzahl von Frauen nebeneinander. Viele dieser Ehen dienten vor allem politischen Zwecken. Mit ihnen wollte er zum Beispiel wichtige Anhänger enger an sich binden oder die Freundschaft des tribalen Verbands der Ehefrau gewinnen. Allerdings gab es andere Ehen, die er rein aus Zuneigung geschlossen hat. Der bekannteste Fall ist [[w:Safīya bint Huyaiy|Safīya bint Huyaiy]]. Sie war die Tochter des Oberhaupts des jüdischen Clans der Banū n-Nadīr, der in Medina den Propheten bekämpft hatte und dann mit seinem Clan von dort vertrieben worden war. Nach dem Sieg über Chaibar war diese Safīya von den Muslimen gefangen genommen und bei der Beuteaufteilung einem anderen Kämpfer zugeteilt worden. Aufgrund ihrer Schönheit beanspruchte sie der Prophet aber für sich selbst. Unter der Bedingung, dass sie sich zum Islam bekehrte, kaufte er sie frei und nahm sie als reguläre Ehefrau. Die Eheschließung Muhammads mit Safīya war sehr konfliktgeladen, weil die anderen Gattinnen Muhammads auf die neue Nebenfrau eifersüchtig waren. Es wird angenommen, dass dies auch der Anlass für das seltsame Verbot war, das in [[w:Sure 33|Sure 33]] speziell für den Propheten ausgesprochen wird. Ihm wird dort verboten, weitere Frauen zu ehelichen, „auch wenn ihre Schönheit dir gefallen sollte“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/52 Q 33:52]). Neben seinen Ehefrauen besaß Muhammad noch verschiedene Sklavinnen, die ihm als Konkubinen dienten. Eine von ihnen, [[w:Māriya al-Qibtīya|Maria, die Koptin]], der Muhammad besonders zugetan war, löste in Muhammads Harem einen derart großen Eifersuchtskonflikt aus, dass Muhammad gelobte, sich zukünftig von ihr fernzuhalten. Dieses Versprechen nahm er aufgrund der Indiskretion einer seiner Ehefrauen allerdings später wieder zurück, ein Vorfall, auf den auch im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/66/vers/1 Q 66:1-5]) Bezug genommen wird. [[Datei:Mohamed peace be upon him.svg|mini|Eine [[w:Tasliya|Tasliya]] in kalligraphischer Ausführung]] Wie sich an [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/32 Sure 33:32] ablesen lässt, wurden Muhammads Ehefrauen auch von anderen Männnern begehrt. Damit sie sich auf Avancen von dieser Seite nicht einließen, wurde ihnen eine hohe Strafe für Ehebruch angedroht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/30 Q 33:30]). Des Weiteren wurden sie aufgefordert, in ihrem Haus zu bleiben und sich nicht „nach Art der früheren [[w:Dschāhilīya|Dschāhilīya]]“ herauszuputzen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/33 Q 33:33]). Außerdem wurden sie durch einen Vorhang (''ḥiǧāb'') von anderen Männern abgeschirmt und für die Zeit nach Muhammads Tod mit einem ewigen Heiratsverbot belegt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/53 Q 33:53]). Anlass für diese Neuregelung soll Muhammads Hochzeit mit [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] im Frühjahr 627 gewesen sein, bei der sich der Prophet durch Männer belästigt fühlte, die offenbar ohne Erlaubnis sein Haus betreten und mit seinen Frauen Kontakt aufgenommen hatten. Der Allgemeinheit der Gläubigen wurde um diese Zeit auferlegt, für den Propheten einen speziellen Segenswunsch zu sprechen, sobald er erwähnt wird ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/56 Q 33:56]). Dadurch erhielt seine Person immer mehr einen sakrosankten Charakter. Der [[w:Tasliya|Tasliya]]-Segenswunsch bei Muhammads Erwähnung gilt bis heute im Islam als Pflicht. === 3.2.6. Rechtliche und soziale Reformen === Muhammad erfüllte, wie oben ([[#3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“|3.2.1.]]) beschrieben, in Medina eine richterliche Funktion und entsprach damit in etwa dem Typ des altarabischen ''ḥakam''. Bei vielen Streitigkeiten, die vor ihn gebracht wurden, fällte er sein Urteil wahrscheinlich aufgrund früherer Rechtssetzung ([[w:Sunna|Sunna]]). Dort, wo sich das vorhandene System allerdings als unzulänglich erwies, lieferte er mit dem Koran neue Bestimmungen und Vorschriften. Die ersten Regelungen, die Muhammad nach der Hidschra traf, sind in [[w:al-Baqara|Sure 2]] festgehalten. Hier wird das altarabische [[w:Qisās|Qisās]]-System bestätigt, allerdings die Empfehlung ausgesprochen, die Wiedervergeltung durch Wergeld ([[w:Diya (Islam)|Diya]]) zu regeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/178 Q 2:178f]). Daneben wird Zinswucher ([[w:Ribā|Ribā]]) verboten (vgl. u.a. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/275 Q 2:275]). Auch der Bereich der Ehe wurde neu geordnet. Muhammad gab den Männern die Möglichkeit, ihre Frauen [[w:Talāq|zu verstoßen]], verbot ihnen aber für diesen Fall, etwas von ihrem Vermögen einzubehalten. Die Frau konnte selbst auch die Auflösung der Ehe verlangen, musste sich dann aber durch Rückgabe der [[w:Brautgabe|Brautgabe]] oder eines Teils davon loskaufen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/229 Q 2:229]). Diese Form des Selbstloskaufs der Ehefrau, die bis heute existiert, wird im islamischen Recht [[w:Chulʿ|Chulʿ]] genannt. Nach Verstoßung seiner Frau kann der Mann diese erst dann wieder heiraten, wenn sie zwischenzeitlich einen anderen Mann geheiratet hat ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/230 Q 2:230]). Außerdem wurde die Vorschrift eingeführt, dass die Frau zwischen ihren Ehen eine drei- bzw. viermonatige Wartezeit (''ʿidda'') einhalten muss ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/228 Q 2:228], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/234 2:234]). Auf diese Weise sollte die leibliche [[w:Vaterschaft|Vaterschaft]] sichergestellt werden. Des Weiteren führte Muhammad verschiedene strafrechtliche Regeln ein. So wurde bestimmt, dass männlichen und weiblichen Dieben „als Vergeltung für das, was sie begangen haben, und als Warnung vor Gott“ die Hand abgeschnitten werden sollte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/38 Q 5:38]). Verschiedene Überlieferungen verlegen auch das in [[w:Sure 5|Sure 5]] ausgesprochene allgemeine Weinverbot, das für den Islam [[w:Alkoholverbot im Islam|kennzeichnend]] geworden ist, in diese Zeit. An der Stelle selbst ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/90 Q 5:90f]) wird das Verbot damit begründet, dass der Weingenuss genauso wie das Losspiel Feindschaft und Hass zwischen den Anhängern Muhammads säe und sie vom Gebet abhalte. Die Berichte zum Anlass der Verhängung dieses Verbots erklären, dass zuvor Streitereien unter betrunkenen Prophetengefährten vorgefallen waren, bei denen einzelne von ihnen sogar schwer verletzt worden waren. Nach Uhud führte Muhammad im Bereich der Geschlechter- und Eheregeln weitere wichtige Änderungen und Reformen durch, die hauptsächlich in [[w:an-Nisāʾ|Sure 4]] festgehalten sind. Den männlichen Muslimen wurde erlaubt, bis zu vier Frauen gleichzeitig zu heiraten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/3 Q 4:3]), ihnen andererseits auferlegt, das Brautgeld den Ehefrauen selbst zu übergeben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/4 Q 4:4]). Darüber hinaus legte der Koran genaue Erbschaftsregelungen fest, die auch weibliche Verwandte und Witwen berücksichtigten, Frauen allerdings immer nur die Hälfte dessen zugestanden, das Männer desselben Verwandtschaftsgrades erhielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/7 Q 4:7-14]). Ehefrauen gehörten fortan nicht mehr zum Erbgut des Verstorbenen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/19 Q 4:19]) und durften auch nicht mehr von dessen Söhnen geheiratet werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/23 Q 4:23]). In Anbetracht ihrer Unterhaltspflicht gegenüber den Frauen wurde den Männern erlaubt, diese im Falle der Aufsässigkeit zu züchtigen ([[w:Sure 4:34|Q 4:34]]). Besuchsehen (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.2._Geschlechterverhältnisse|1.3.2.]]) wurden weiter zugelassen, allerdings daran gebunden, dass der Mann die Frau entlohnte und die Frau keine Beziehungen zu mehreren Männern gleichzeitig unterhielt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Q 4:24f]). Damit wurde die altarabische Institution der [[w:Polyandrie|Polyandrie]], die Ehe einer Frau mit mehreren Männern, verboten. Frauen, denen durch vier Zeugen sexuelles Fehlverhalten nachgewiesen werden konnte, sollten lebenslang unter Arrest gestellt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/15 Q 4:15]). Muhammads Haltung zum Institut der zeitlich begrenzten Besuchsehe scheint allerdings nicht ganz eindeutig gewesen zu sein. In verschiedenen islamischen Quellen wird überliefert, dass er solche Verhältnisse anlässlich der [[w:Chaibar_(Feldzug)|Schlacht von Chaibar]] verboten, später aber wieder erlaubt habe. Insgesamt lässt die neue Eheordnung den Willen erkennen, einen Ausgleich zwischen den beiden im alten Arabien existierenden Ehesystemen (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]) zu schaffen. {{Anker|Halskettenskandal}} Ein Skandal um Muhammads junge Ehefrau [[w:Aischa bint Abi Bakr|ʿĀ'ischa]] führte zu einer Verschärfung des Sexualstrafrechts. Hintergrund war ein Vorfall auf einem Feldzug im Januar 627. Es wird erzählt, dass sich ʿĀ'ischa auf dem Rückweg von diesem Feldzug nach Medina auf der Suche nach einer verlorenen Halskette vom Rastplatz entfernte, bei ihrer Rückkehr das Lager abgebrochen fand und am nächsten Tag von einem jungen Mann namens Safwān ibn al-Muʿattal zurückgebracht wurde. Der durch diesen Vorfall hervorgerufene Skandal spaltete die Gemeinschaft, weil einige prominente Muslime ʿĀʾischa öffentlich der Untreue beschuldigten. Muhammad schickte ʿĀʾischa zunächst in ihr Elternhaus zurück und erwog wohl ihre Verstoßung, überzeugte sich dann aber durch eine Eingebung ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/11 Q 24:11-20]) von der Grundlosigkeit dieser Verdächtigung und nahm sie wieder zu sich auf. Im Zusammenhang mit diesem Vorfall wurde die Regel eingeführt, dass diejenigen, die ehrbare Frauen in Verruf bringen, ohne vier Zeugen beizubringen, 80 Peitschenhiebe erhalten sollten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/4 Q 24:4]). Auf [[w:Zinā|außerehelichen Geschlechtsverkehr]] wurden als neue Strafe nun 100 Peitschenhiebe eingeführt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2]). In zwei anderen Versen derselben Sure werden die gläubigen Männer und Frauen aufgefordert, ihre Blicke zu senken und ihre Scham zu bewahren. Frauen werden zusätzlich angewiesen, sich in Anwesenheit von heiratbaren Männern ihren Schal um den Ausschnitt zu schlagen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/11 Q 24:11-20]) und sich in der Öffentlichkeit zu verhüllen, damit sie nicht belästigt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/59 Q 33:59]). Dieses Verhüllungsgebot wurde später zu einem festen Bestandteil der traditionellen islamischen Geschlechterordnung. Allerdings waren Frauen zur Zeit Muhammads noch keineswegs aus dem öffentlichen Leben ausgeschlossen. Von mehreren (z.B. [[w:Rufaida al-Aslamīya|Rufaida]] und [[w:Umm Sinān al-Aslamīya|Umm Sinān]]) wird berichtet, dass sie die Männer bei Kriegszügen begleiteten und die Versorgung von Verwundeten und Kranken übernahmen. Die Eheschließung mit Zainab brachte übrigens noch eine andere rechtliche Neuerung mit sich. Auch in diesem Fall war persönliche Zuneigung Muhammads mit im Spiel. Zainab war ursprünglich die Gattin von Muhammads Adoptivsohn Zaid ibn Hāritha gewesen. Es wird berichtet, dass Muhammad, als er einmal mit Zaid sprechen wollte, diesen nicht zu Hause antraf, sondern nur Zainab, die gerade leicht bekleidet war, und daraufhin in heißer Liebe zu ihr entbrannte. Zainab berichtete Zaid von dem Besuch und den Andeutungen, die Muhammad beim Weggehen gemacht hatte. Zaid verstand diese Andeutungen und trennte sich von Zainab, um sie ihm zu überlassen. Muhammads Plan, Zainab zu heiraten, löste allerdings in der Gesellschaft von Medina Empörung aus, da die Ehe mit der früheren Ehefrau des eigenen Sohns, auch wenn er nur ein „Nennsohn“ (''daʿī'') war, als inzestuös betrachtet wurde. Muhammad setzte sich jedoch über diese Einwände hinweg und heiratete Zainab. Durch eine Offenbarung wurde diese Ehe nachträglich gerechtfertigt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/37 Q 33:37]) und als von Gott verhängtes Geschick ([[w:Qadar|Qadar]]) abgesegnet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/38 Q 33.38]). Wahrscheinlich im Zusammenhang mit diesen Vorfällen wurde auch insgesamt das Rechtsinstitut der [[w:Adoption|Adoption]] verboten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/4 Q 33:4f]), ein Verbot, das bis heute die Rechtsordnung des Islams prägt. == 3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus == === 3.3.1. Die Anfänge der Moschee und die Weiterentwicklung der Salāt === [[Bild:Oldquba.jpg|mini|Die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] zu Anfang des 20. Jahrhunderts]] Als Muhammad nach der Hidschra im September 622 in der Oase von Yathrib ankam, wohnte er die ersten Tage in Qubā', einem südlichen Vorort von Yathrib. Für die [[w:Salāt|Salāt]] nutzte er einen Masdschid, den Anhänger von ihm dort angelegt hatten. ''Masdschid'' hängt mit dem Wort [[w:Sudschūd|Sudschūd]] zusammen und bedeutet soviel wie „Ort der Prosternation“ (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). Es ist der gleiche Begriff, der auch für das Heiligtum in Mekka verwendet wurde, das für die Muslime nun nicht mehr erreichbar war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/34 Q 8:34]). Von ''Masdschid'' leitet sich auch das deutsche Wort „Moschee“ ab, das wahrscheinlich über das spanische ''mezquita'' und das italienische ''moschea'' aus dem Arabischen entlehnt wurde. Aufgrund ihrer besonderen Rolle in der islamischen Geschichte gilt die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] den Muslimen als besonders heilig. Sie soll auch mit dem im Koran genannten „Masdschid, der vom ersten Tag auf Gottesfurcht gegründet war“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/108 Q 9:108]) identisch sein. Bis heute wird sie bei der Wallfahrt von Scharen muslimischer Pilger zum Gebet aufgesucht. Neben dem Masdschid von Qubā' bestanden in Yathrib noch verschiedene andere private Gebetsplätze. Muhammad fasste nach kurzer Zeit den Entschluss, ebenfalls einen Masdschid zu errichten. Er wählte dafür einen Ort im Viertel der Banū n-Naddschār aus, in dem er Aufnahme gefunden hatte. Zusammen mit seinen Anhängern errichtete er dort einen Hof von etwa 35 x 30 m, der mit einer Ziegelmauer eingefasst war. Muhammad selbst schlief in einer der Kammern an der Außenmauer. Der Bau war also auch gewissermaßen Muhammads Haus. An der nördlichen Seite, wo zunächst gebetet wurde, schützte ein Schattendach (''ṣuffa'') aus Palmblättern und Lehm die Betenden vor der Sonne. Nach der Verlegung der Gebetsrichtung nach Mekka (siehe unten) nutzten mittellose Muhādschirūn und solche, die in Yathrib keine Unterkunft hatten, den Platz als Zufluchtsort und übernachteten hier. Aufgrund ihrer Armut und besonderen Nähe zum Propheten gelten diese „Leute des Schattendachs“ ([[w:Ahl as-Suffa|Ahl as-Suffa]]) bis heute vielen Muslimen als religiöses Vorbild. Die Moschee Muhammads entwickelte sich im Laufe der Zeit zum Zentrum des Gemeindelebens seiner Anhänger. Die Gebete wurden durch einen öffentlichen Ruf, [[w:Adhān|Adhān]] genannt, angekündigt. Als ersten Gebetsrufer (''muʾaḏḏin'', davon abgeleitet das deutsche Wort [[w:Muezzin|Muezzin]]) soll Muhammad den Äthiopier [[w:Bilāl ibn Rabāh|Bilāl ibn Rabāh]] eingesetzt haben, der deswegen gewissermaßen als Vorbild aller späteren Muezzine gilt. Man versammelte sich in Muhammads Moschee allerdings nicht nur zum Gebet, sondern hielt auch Beratungen ab, empfing Gesandtschaften und pflegte Verwundete. In den angrenzenden Räumlichkeiten wurden die Ehefrauen Muhammads untergebracht. Auf Grundlage des enormen ökonomischen Zugewinns, den die Gemeinschaft der Muslime nach der Schlacht von Chaibar erlebte, konnte der Bau 628 auf etwa 50 x 50 m erweitert werden. Auch im Gebetsritus erfolgten in den Jahren nach der Hidschra einige Änderungen. Parallel zur Einführung eines dritten Tagesgebets (vgl. oben [[#3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden|3.2.2.]]) wurde die Pflicht zur Abhaltung der Vigilien gelockert ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/73/vers/20 Q 73:20]). Nach dem Zerwürfnis mit den jüdischen Stämmen löste sich Muhammad von der Gebetsrichtung ([[w:Qibla|Qibla]]) nach Jerusalem, und es begann ein Prozess der schrittweisen Umorientierung. Zunächst wurde betont, wie gleichgültig es ist, nach welcher Richtung man betet, weil Gott überall ist ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/115 Q 2:115]). Schließlich wurde als neue Qibla die „Heilige Kultstätte“ ([[w:al-Masdschid al-Harām|al-Masdschid al-Harām]]) in Mekka festgelegt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/144 Q 2:144]), wobei offensichtlich die frühere Gebetsrichtung noch als gleichberechtigt anerkannt wurde (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/148 Q 2:148]). In der Mitte von Muhammads medinischer Periode wurden außerdem einige Bestimmungen für den Zustand erlassen, in dem sich die Gläubigen befinden mussten, wenn sie sich dem Gebet näherten: Wenn sie unrein (''ǧunub'') waren, sollten sie vorher eine Waschung vornehmen, und wenn sie vom Abort kamen oder eine Frau berührt hatten, sich vorher mit Wasser oder ersatzweise Erde über Gesicht und Hände streichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/43 Q 4:43]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/6 5:6]). Etwa um die gleiche Zeit wurde die Salāt für alle Muslime zu einer obligatorischen Pflicht. Das geht aus koranischen Passagen dieser Periode hervor, die beschreiben, dass die Munāfiqūn nur widerwillig an diesem Ritual teilnahmen (vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/142 Q 4:142]). === 3.3.2. Ramadān-Fasten und Festgebet === Eines der größten [[w:Jamim_Noraim|Feste im Judentum]] ist das Fasten am [[w:Jom Kippur|Jom Kippur]], dem zehnten Tag des Monats [[w:Tischri|Tischri]]. Die Juden in Yathrib nannten diesen Tag wegen seiner Stellung im Monat einfach den Zehnten ([[w:Aschura|ʿĀschūrā']]), so wie er auch im Alten Testament (Lev 16:29) genannt wird. Als sich nach Muhammads Ankunft in Yathrib zum ersten Mal der zehnte Tag des Tischri näherte, befahl er seinen Anhängern, zusammen mit den Juden an diesem Tag zu fasten. Der Koran legt davon noch Zeugnis ab: „Ihr Gläubigen! Euch ist vorgeschrieben worden zu fasten, so wie es auch denjenigen, die vor euch lebten, vorgeschrieben worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/183 Q 2:183]). Die Juden fasteten an diesem Tag von einem Abend zum nächsten, und auch die Muslime übernahmen diese Gewohnheit. Im Zuge seiner Abwendung von den Juden im Jahre 624 löste sich Muhammad aber auch von den jüdischen Fastenvorschriften und führte das dreißigtägige Tagesfasten im Monat [[w:Ramadan|Ramadān]] ein. Der Ramadān hatte spätestens seit der Schlacht von Badr, die in diesem Monat stattgefunden hatte, eine besondere Bedeutung bei den Muslimen. Er galt nun auch als Monat der Herabsendung des Korans (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/185 Q 2:185]) und wurde mit einem speziellen Fastenritus geehrt, der das frühere ʿĀschūrā'-Fasten ablöste. Die ersten Regelungen für das Ramadānfasten finden sich in den beiden Koranversen 2:185 und [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]. Diese beiden Verse liefern die Grundlage für die ausführlichen Fastenvorschriften, die die muslimischen Rechtsgelehrten in späterer Zeit ausarbeiteten. Zum Fasten gehörte neben dem Verzicht auf Speisen und Getränke auch die Enthaltung vom Geschlechtsverkehr. Geschlechtsverkehr in den Nächten des Ramadān wurde dagegen ausdrücklich erlaubt, mit der Begründung, dass Mann und Frau einander wie Kleider seien. Nur für die Zeit des [[w:Iʿtikāf|Iʿtikāf]], eine besondere Andachtszeit am Ende des Ramadāns, wurde das nächtliche Sexualverbot aufrechterhalten (Q [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]). Die letzten Ramadān-Nächte hatten schon früh eine Sonderstellung im religiösen Leben der Muslime, weil die Auffassung bestand, dass der Koran in einer dieser Nächte herabgesandt worden war. Diese Nacht der Herabsendung des Korans wird entsprechend [[w:Sure 97|Sure 97]] als [[w:Lailat al-Qadr|Lailat al-Qadr]] („Nacht der Vorsehung“) bezeichnet und gilt als besonders heilige Zeit. [[Datei:Eid Gaah Mahoba - panoramio - Dr. Nizam.jpg|mini|ʿĪdgāh in [[w:Mahoba|Mahoba]], Indien]] Eingeführt wurde in dieser Zeit auch ein [[w:Fest des Fastenbrechens|Fest des Fastenbrechens]] (''ʿīd al-fiṭr'') am Anfang des nachfolgenden Monats [[w:Schawwāl|Schauwāl]]. Bei dieser Gelegenheit, so wird überliefert, begab sich Muhammad mit den Gläubigen in einem prozessionsartigen Zug zu einem Platz außerhalb der Stadt, wobei ihnen Bilāl mit einer Lanze (''ʿanaza'') – ursprünglich ein Geschenk des äthiopischen [[w:Negus|Negus]] – vorauslief. Während des Gebetes wurde dann die Lanze als Markierung für die Qibla an einer Stelle in den Boden gesteckt. An diesem Gebetsplatz ([[w:Musallā|Musallā]]) fanden jetzt auch die Regengebete und das Gebet zum [[w:Islamisches Opferfest|Opferfest]] (''ʿīd al-aḍḥā'') am 10. [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] statt. Das Opferfest wurde zu dieser Zeit wahrscheinlich neu eingeführt und knüpfte an die Opferzeremonien an, die beim [[w:Haddsch|Haddsch]] an diesem Tag in [[w:Minā|Minā]] vollzogen wurden (siehe oben [[Bamberger_Einführung_in_die_Geschichte_des_Islams_(BEGI)_01#1.3.3._Das_altarabische_Heidentum_und_die_Heiligtümer_von_Mekka|1.3.3.]]). Üblicherweise hielt der Prophet nach Abschluss dieser Gebete eine Ansprache ([[w:Chutba|Chutba]]), in der er die Gläubigen dazu aufforderte, sich an gemeinsamen (kriegerischen) Unternehmungen zu beteiligen. Bis heute hat sich das vormittägliche Festgebet als Sonderritus erhalten. Auch ist es in vielen islamischen Ländern bis heute üblich, Festgebete und Regengebete an einem speziellen Festplatz ([[w:ʿĪdgāh|ʿĪdgāh]]) außerhalb der Stadt zu vollziehen. == 3.4. Weiterführende Literatur == * Andreas Görke: “Between History and Exegesis: The Origins and Transformation of the Story of Muḥammad and Zaynab Bt Ǧaḥš” in ''Arabica'' 65/1-2 (2018) 31–63. * [[w:Meir Jacob Kister|Meir Jacob Kister]]: “The Market of the Prophet”. In: ''Journal of the Economic and Social History of the Orient''. 8 (1965) 272–276. [http://www.kister.huji.ac.il/content/market-prophet Digitalisat] * Michael Lecker: ''The 'Constitution of Medina'. Muḥammad’s First Legal Document''. Darwin Press, Princeton NJ 2004. [https://archive.org/details/the-constitution-of-medina-muhammads-first-legal-document-by-micheal-lecker-2004/page/n1/mode/2up Digitalisat] * Michael Lecker: ''Muslims, Jews and Pagans. Studies on early Islamic Medina.'' Leiden: Brill 1995. * David S. Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men. The making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Hannah Rahman: "The Conflicts Between the Prophet and the Opposition in Madina" in ''Der Islam'' 62/2 (1985) 260-297. [https://doi.org/10.1515/islm.1985.62.2.260 Digitalisat] * Uri Rubin: “The Assassination of Kaʿb b. al-Ashraf”, in ''Oriens'' 32 (1990) 65–71. * Richard B. Serjeant: The Sunna Jāmiʿah, „Pacts with the Yathrib Jews, and the Taḥrīm of Yathrib. Analysis and Translation of the Documents Comprised in the So-Called ‘Constitution of Medina’“ in ''Bulletin of the School of Oriental and African Studies'' 41 (1978) 1–42. * [[w:William Montgomery Watt|William Montgomery Watt]]: ''Muhammad at Medina.'' Oxford: Oxford University Press 1956. [https://archive.org/details/muhammadatmedina029655mbp/page/n9/mode/2up Digitalisat] * William Montgomery Watt: ''Muḥammad: Prophet and Statesman''. London: Oxford University Press 1961. * [[w:Julius Wellhausen|Julius Wellhausen]]: ''Mohammeds Gemeindeordnung von Medina. Skizzen und Vorarbeiten''. Bd. IV. Reimer, Berlin, 1889. S. 65–83. [http://archive.org/stream/medinavordemisl00sagoog#page/n74/mode/2up Digitalisat] == 3.5. Aufgaben/Fragen == 1. Wie ist das Konzept des Dschihad entstanden? 2. Was beinhaltete der Vertrag von Hudaibiya und inwiefern stellte er einen Triumph für Muhammad dar? 3. Welche Regeln beinhaltete die Gemeindeordnung von Medina? 4. Ab dem Ende der mekkanischen Zeit näherte sich Muhammad dem Judentum an. Wie äußerte sich das auf religiöser Ebene? 5. Geben Sie einen Überblick über die militärische Auseinandersetzung Muhammads mit den Juden von Medina und Umgebung. 6. Muhammad erlebte während seiner Zeit in Medina einen allmählichen Machtzuwachs. Worin zeigte sich dieser? 7. Nennen Sie rechtliche Regeln, die während der Zeit in Medina eingeführt wurden. 8. Erklären Sie, wie der Ramadān zum heiligen Monat der Muslime geworden ist und welche Vorstellungen und Praktiken mit ihm verbunden sind. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} itwahvrlxbsbdctc8kfcabspng8isbr 1117240 1117239 2026-10-20T17:42:43Z PaFra 14559 /* 3.2. Die interne Entwicklung der Gemeinschaft von Yathrib */ 1117240 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02|2 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 04|>>> 4]] {{TOC nonum}} = 3. Der Prophet von Yathrib und das neue Gemeinwesen (622-630) = Das Zentrum der neuen Religion verlagert sich in die Oase Yathrib, kriegerisches Handeln steht im Vordergrund. Muhammad und seine Anhänger kämpfen gegen das heidnische Mekka und geraten immer mehr in einen Konflikt mit den Juden von Yathrib, die schließlich aus der Oase vertrieben werden. Als Anführer des neuen Gemeinwesens führt Muhammad verschiedene rechtliche, soziale und kultische Reformen durch. == 3.1. Maghāzī – Die Kriegszüge Muhammads == === 3.1.1. Die Provokation der Quraisch === Die arabischen Quellen berichten übereinstimmend, dass Muhammad nach seiner Auswanderung aus Mekka am 24. September 622 die Oase von Yathrib erreichte. Da er aus Mekka vertrieben worden war, sah er es als gerechtfertigt an, gegen seine frühere Heimatstadt zu kämpfen. Das geht deutlich aus zwei Koranversen hervor, die nach allgemeiner Auffassung als älteste Offenbarung zum Thema des Kampfes gelten: {{Zitat|Denen, die kämpfen, ist das erlaubt, weil ihnen Unrecht angetan – siehe, Gott hat zu helfen ihnen die Macht! – Weil sie vertrieben wurden aus ihrer Heimat ohne Recht, nur weil sie sagten: Unser Herr ist Gott.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/39 Q 22:39f]}} Der Krieg mit Mekka, den Muhammad von seiner neuen Basis Yathrib aus führte, begann mit kleinen Nadelstichen. Nach der Chronologie [[w:al-Wāqidī|al-Wāqidīs]], der im frühen 9. Jahrhundert ein Werk über die Kriegszüge ([[w:Maghāzī|Maghāzī]]) Muhammads verfasste, schickte dieser schon sieben Monate nach seiner Ankunft seinen Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] mit einer Gruppe von Kriegern aus, um an der Küste eine aus Syrien heimkehrende mekkanische Handelskarawane unter Führung [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahls]] abzufangen, doch kam es zu keiner Kampfhandlung, weil ein Mann aus dem Stamm der [[w:Qudāʿa|Dschuhaina]], der mit beiden Seiten verbündet war, dazwischentrat. Bei einer zweiten Unternehmung im April 623 wurde „der erste Pfeil im Islam“ abgeschossen. Der Kampf gegen die Mekkaner setzte sich bald auch über altarabische religiöse Normen hinweg, wie das Friedensgebot in den heiligen Monaten (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). So überfiel ein von Muhammad beauftragtes Kommando im heiligen Monat [[w:Radschab|Radschab]] bei [[w:Nakhla_(Saudi-Arabien)|Nachla]] südlich von Mekka eine mekkanische Karawane. Das war nach der Überlieferung Anlass für die folgende Offenbarung: {{Zitat|Sie fragen dich nach dem heiligen Monat, ob Kampf in ihm erlaubt sei. Sprich: Kampf in ihm wiegt schwer, aber jemanden abzuhalten vom Wege Gottes, darin liegt Unglaube. Und sie vom heiligen Gebetsplatz abzuhalten, und dessen Volk daraus zu vertreiben, – das wiegt schwerer vor Gott. Und Verführung (zum Abfall vom Islam) wiegt schwerer als Töten. Sie werden nicht aufhören, euch zu bekriegen, bis sie euch von eurer Religion abbringen, wenn sie können.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/217 Q 2:217]}} Aus dem Koranwort geht hervor, dass das Weiterbestehen der alten Religion in Mekka für die Anhänger Muhammads eine ständige Versuchung war, von ihrem Glauben abzufallen. Da vielen von ihnen der militärische Kampf (''qitāl'') offenbar zuwider war, wurde er nun zur Pflicht erklärt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/216 Q 2:216]) und durch die Bezeichnung ''ǧihād fī sabīl Allāh'' („Bemühung [[w:Fī sabīli Llāh|für die Sache Gottes]]“, so schon im folgenden Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/218 Q 2:218]), auf eine religiöse Ebene gehoben. In der Form [[w:Dschihad|Dschihad]] hat dieser Begriff auch Eingang ins Deutsche gefunden. [[File:Balami - Tarikhnama - The Battle of Badr - The death of Abu Jahl, and the casting of the Meccan dead into dry wells (cropped).jpg|mini|Bildliche Darstellung der [[w:Schlacht von Badr|Schlacht von Badr]] in einer persischen Handschrift, frühes 14. Jahrhundert]] Die erste große Konfrontation zwischen Mekkanern und den Anhängern Muhammads ergab sich im März 624 bei dem Ort [[w:Badr_(Saudi-Arabien)|Badr]] ca. 130 km südwestlich von Yathrib. Muhammad hatte Informationen erhalten, dass eine reiche mekkanische Karawane aus Syrien zurückkehrte. Mit 300 Mann, unter denen sich auch Angehörige des mit den [[w:Aus (Stamm)|Aus]] verbündeten Stammes [[w:Muzaina|Muzaina]] befanden, zog er nach dem an der Küstenstraße liegenden Badr, um die Karawane abzufangen. Es kam zu einer Schlacht zwischen Muhammads Männern und einer etwa 950 Mann starken Armee der Mekkaner, die der Karawane zur Hilfe geeilt war und von Muhammads erbittertem Gegner Abū Dschahl befehligt wurde. Muhammads Lager siegte überraschend. Die Mekkaner verloren zwischen 45 und 70 Mann, und eine ähnliche Anzahl von ihnen wurde gefangengenommen. Zu den gefallenen Mekkanern gehörten mehrere ihrer führenden Persönlichkeiten, darunter auch Abū Dschahl. Die Anhänger Muhammads hatten dagegen nur 14 Gefallene zu beklagen und machten große Beute. Nach der Schlacht ließ Muhammad einige der Gefangenen enthaupten, darunter seinen früheren Gegner [[w:an-Nadr ibn al-Hārith|an-Nadr ibn al-Hārith]]. Der [[w:Schlacht von Badr|Sieg bei Badr]] war sowohl in militärischer als auch in religiöser Hinsicht von größter Bedeutung für die Anhänger Muhammads. Offenbar hatten aber nicht alle von ihnen an diesem Sieg mitgewirkt. Das geht aus Versen hervor, die aus der Zeit nach Badr stammen und klarstellen, dass diejenigen unter den Gläubigen, die ohne Entschuldigung zu Hause „sitzenbleiben“ bei Gott nicht auf der gleichen Stufe stehen wie die Mudschāhidūn, also diejenigen, die den Dschihad führen und dabei Vermögen und Leben aufs Spiel setzen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/95 Q 4:95f]). === 3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags === Für die Quraisch von Mekka war die Niederlage bei Badr ein harter Schlag. Sie hatten in dem Ruf gestanden, ein besonders mächtiger Stamm in Arabien zu sein, und in gewissem Maße stützte sich auch der Erfolg ihrer Geschäfte auf diese Reputation, denn bei ihrem Handel waren sie auf die Zusammenarbeit mit vielen anderen Stämmen angewiesen, und von einigen von ihnen war nun Aufsässigkeit zu erwarten. Deshalb war es für die Quraisch von essentieller Bedeutung, zu beweisen, dass sie noch die Kraft hatten, für erlittenes Unrecht Rache zu nehmen. Zehn Wochen nach Badr unternahm [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]], der nach der Schlacht von Badr die Führung von Mekka übernommen hatte, einen Blitzüberfall auf Yathrib, zog sich aber, nachdem er zwei Häuser in Brand gesteckt hatte, rasch zurück. [[File:The Prophet Muhammad and the Muslim Army at the Battle of Uhud, from the Siyer-i Nebi, 1595.jpg|mini|Darstellung der Schlacht von Uhud in einem [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i Nebi]] von 1594, heute David Collection, Kopenhagen]] In den Monaten danach gelang es Abū Sufyān, 3000 gut ausgerüstete Krieger zu rekrutieren. Im März 625 rückte er mit diesen nach Yathrib vor und drang von der Nordwestecke in die Oase ein. Beim Berg Uhud kam es zu einem Kampf, der lange hin und her wogte. Als sich das Kriegsglück zu Gunsten der Anhänger Muhammads zu wenden begann, fingen diese an, die Beute einzusammeln. Das veranlasste eine Gruppe von Muhammads Bogenschützen, ihren Platz zu verlassen, um sich ebenfalls der Beute zuzuwenden. Auf der Seite der Mekkaner nutzte diese Situation der prominente Kämpfer [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] aus, um Verwirrung in den Reihen von Muhammads Anhängern zu stiften und sie niederzuringen. Allerdings gelang es Muhammads Anhängern zum Schluss, wichtige Stellungen zurückzugewinnen, so dass die Mekkaner abziehen mussten, ohne sich ihres Widersachers Muhammad endgültig entledigt zu haben. Für die Anhänger Muhammads war die [[w:Schlacht von Uhud|Schlacht von Uhud]] dennoch eine herbe Enttäuschung, nicht nur deshalb, weil sie 50 bis 70 Mann verloren hatten, Muhammads Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] gefallen und Muhammad selbst verwundet worden war, sondern auch deshalb, weil sie merkten, dass sie sich der Unterstützung Gottes doch nicht immer so sicher sein konnten, wie es ihnen nach dem Sieg von Badr schien. In verschiedenen Koranworten aus dieser Zeit wird bekräftigt, dass diejenigen, die „für die Sache Gottes“ getötet wurden, nicht wirklich tot sind, sondern weiter leben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/154 Q 2:154]), bei ihrem Herrn versorgt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/169 3:169]), ihnen die Sünden vergeben werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/157 3:157]) und sie direkt ins Paradies eingehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/195 3:195]). Der Konflikt zwischen Muhammad und den Mekkanern war mit der Schlacht von Uhud noch keineswegs beendet. Da Muhammad weiter den mekkanischen Handel störte und bei den arabischen Beduinen immer mehr Verbündete fand, sahen sich die Mekkaner genötigt, erneut gegen ihn vorzugehen. Dafür versuchten sie ihrerseits, eine Anzahl beduinischer Stämme auf ihre Seite zu ziehen. Diese Bündnisse zeigen, dass der Konflikt zwischen Mekka und Yathrib inzwischen das Umland der beiden Städte mit einschloss. Im Juli 625 massakrierten die [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]], ein mit den Quraisch verbündeter Stamm, bei Biʾr Maʿūna zwischen Mekka und Yathrib eine größere Anzahl von Muslimen. Muhammad soll daraufhin einen Monat lang die Banū Sulaim verflucht haben. In veränderter Form hat sich dieser Ritus bis heute im sogenannten [[w:Qunūt|Qunūt]] erhalten, einem Bittgebet, das beim Morgengebet oder beim nächtlichen Witr-Gebet gesprochen wird. Zu Beginn des Jahres 627 erschienen die Mekkaner und ihre Verbündeten mit einer Truppe von 10.000 Mann vor Yathrib. Dort hatte Muhammad allerdings um die weniger befestigten Stellen der Oasensiedlung einen Graben (''ḫandaq'') ausheben lassen, der so breit war, dass ein Pferd ihn nicht überspringen konnte. Diese Aktion kam für die Mekkaner offensichtlich so unerwartet, dass sie ihr kein geeignetes strategisches Mittel entgegensetzen konnten. Aus dem geplanten Angriff wurde so eine Belagerung. Aufgrund von Intrigen brach die Allianz der Mekkaner jedoch schon nach 14 Tagen zusammen, und die [[w:Grabenschlacht|Belagerung von Yathrib]] musste beendet werden. Die Mekkaner zogen schließlich ab, ohne etwas erreicht zu haben. === 3.1.3. Der militärische und politische Durchbruch === [[File:Dinar, Khusro II, 590, 591-628 AD, year 31 - Bode-Museum - DSC02737.JPG|mini|Der Sassanidenherrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] (reg. 590-628) auf einer Goldmünze, [[w:Bode-Museum|Bode-Museum]]]] Der Grabenkrieg war im Grunde genommen der letzte Defensivkrieg Muhammads. Hiernach begann die Offensivphase in seinem Leben, und gleichzeitig für das von ihm begründete Gemeinweisen die Zeit der Eroberungen. Zum Verständnis des folgenden militärischen Erfolgs von Muhammad ist es notwendig, sich die politische Situation im Vorderen Orient dieser Zeit zu vergegenwärtigen. Anfang des 7. Jahrhunderts hatte ein längerer Schlagabtausch zwischen dem [[w:Byzantinisches Reich|Byzantinischen Reich]] und den [[w:Sassanidenreich|Sassaniden]] begonnen. In den Jahren 603 bis 619 hatten zunächst die sassanidischen Truppen Syrien, Palästina und Ägypten erobert, 622 hatte der byzantinische Kaiser zum Gegenangriff ausgeholt. Es kam zu heftigen Auseinandersetzungen, bei denen die Sassaniden ebenfalls mehrere Niederlagen erlitten, und die 628 mit einem Friedensschluss endeten, der ihren Herrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] dazu verpflichtete, die eroberten Gebiete vollständig zurückzugeben. Hieraufhin wurde Chosrau von seinen Offizieren gestürzt, und es begannen im Sassanidenreich Thronwirren, die bis 633 andauerten und während derer das sassanidische Bündnissystem auf der arabischen Halbinsel zusammenbrach. Es war genau diese fünfjährige Periode des Machtvakuums, innerhalb derer Muhammad seinen neu gegründeten Staat zum militärischen und politischen Erfolg führte. Im Jahr nach der [[w:Grabenschlacht|Grabenschlacht]] unternahm er noch einige weitere kleinere Kriegszüge, von denen die beiden bedeutendsten derjenige gegen die Oase Dūmat al-Dschandal und derjenige gegen den westlich von Yathrib lebenden Stamm der Mustaliq waren. Im März 628 zog er dann mit einer Schar von Gläubigen nach Mekka, um eine [[w:ʿUmra|ʿUmra]] zu vollziehen. Die Mekkaner, die annahmen, dass er kriegerische Absichten hegte, sorgten allerdings dafür, dass er der Stadt nicht zu nahe kam. Von seinem Lager in al-Hudaibiya am Rande des [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]] nahm Muhammad Verhandlungen mit den Mekkanern auf, die mit einem Vertrag endeten. Er selbst musste in diesem Vertrag rein äußerlich einige Demütigungen hinnehmen, die zu Spannungen unter seinen Anhängern führten. So wurde er von dem mekkanischen Abgesandten nicht als „Muhammad, der Gesandte Gottes“ anerkannt, sondern nur als „Muhammad ibn ʿAbdallāh“. Bedeutender waren aber die getroffenen Vereinbarungen. Dazu gehörten ein zehnjähriger Waffenstillstand und das Versprechen der Mekkaner, Muhammad und seinen Anhängern im nächsten Jahr die Stadt für drei Tage zum Vollzug der ʿUmra zu überlassen. Umgekehrt verzichtete Muhammad für dieses Jahr auf die ʿUmra und zog sich mit seinen Männern nach Yathrib zurück. Der Vertrag von Hudaibiya war ein Triumph für den Propheten und seine Anhänger. Der Koran berichtet, dass Gott seine [[w:Sakīna|Sakīna]] in die Herzen der Gläubigen hinabsandte, so dass sie im Glauben zunahmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/4 Q 48:4], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/18 18]). Der Begriff ''sakīna'' geht eigentlich auf ein jüdisches Konzept, die [[w:Schechina|Schechina]], zurück, das die „Gegenwart“ Gottes bei seinem Volk bezeichnet. Hier bezeichnet er aber auch den psychischen Zustand der Gelassenheit und Ruhe. Nach dem Vertrag von Hudaibiya vollzogen mehrere Araber aus anderen Gebieten Arabiens, die sich schon früher Muhammad angeschlossen hatten, die [[w:Hidschra|Hidschra]], d.h. sie zogen nach Yathrib, um Muhammad militärisch zu unterstützen. Zu ihnen gehörten zum Beispiel auch die beiden Jemeniten [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]]. Im folgenden Jahr, im März 629, zog Muhammad dann mit etwa 2.000 Mann nach Mekka, um wie geplant die ʿUmra zu vollziehen. Bei dieser Gelegenheit heiratete er Maimūna, die Schwägerin seines Onkels [[w:al-ʿAbbās ibn ʿAbd al-Muttalib|ʿAbbās]], der zu dieser Zeit in Mekka die Führung der [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]] übernommen hatte. Immer mehr Mekkaner erkannten nun Muhammad als Propheten an und verließen die Stadt, um sich ihm anzuschließen, auch solche, die ihn kurz zuvor noch bekriegt hatten wie zum Beispiel der Kämpfer Chālid ibn al-Walīd, der bei der Schlacht von Uhud noch auf der gegnerischen Seite gestanden hatte (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]). Im Laufe des Jahres 629 ließ Muhammad noch einige weitere kriegerische Unternehmungen durchführen. So schickte er im September seinen ehemaligen Sklaven und Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] mit einer Armee nach Mu'ta auf dem Gebiet des heutigen Jordanien, östlich der Südspitze des Toten Meeres. Dann ergab sich eine Kette von Ereignissen, die letztlich zur friedlichen Kapitulation Mekkas führten. Muhammad heiratete Umm Habība, eine schon viele Jahre früher zum Islam übergetreten Tochter [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], deren muslimischer Ehemann gestorben war. Wenig später wurde ein Clan der [[w:Chuzāʿa|Chuzāʿa]], der in der Nähe von Mekka lebte und nach Hudaibiya einen Bund mit Muhammad geschlossen hatte, von einem Clan der [[w:Kināna|Kināna]], der mit den Mekkanern verbündet war, angegriffen. Der in Bedrängnis geratene Clan der Chuzāʿa wandte sich an Muhammad, der mit diesem Vorfall das Abkommen von Hudaibiya als gebrochen betrachtete. Zur Verhinderung einer militärischen Konfrontation reiste Abū Sufyan unter dem Vorwand, seine Tochter besuchen zu wollen, nach Yathrib und führte mit Muhammad Verhandlungen. Der genaue Hergang der nachfolgenden Ereignisse ist nicht klar, doch steht fest, dass es nach der Rückkehr Abū Sufyans nach Mekka zwischen ihm und Muhammad zum Austausch von Geschenken kam. In der Sache selbst war Muhammad allerdings zu keinen Zugeständnissen bereit. Er gab das Kommando zur Vorbereitung eines Feldzuges zur Einnahme von Mekka. Mit einer Armee von ca. 10.000 Mann, die neben seinen Anhängern aus Mekka und Yathrib auch Kämpfer von Stämmen der Umgebung wie den [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]] und [[w:Muzaina|Muzaina]] einschloss, zog er von Yathrib in Richtung Mekka. Abū Sufyān zog ihm entgegen und führte die Kontaktgespräche. Im Gegenzug für seine Konversion zum Islam erhielt er eine Sicherheitsgarantie für all diejenigen Bewohner Mekkas, die keinen bewaffneten Widerstand leisteten. Die weitreichenden Garantien führten dazu, dass Muhammads Armee bei ihrem von verschiedenen Seiten erfolgendem Einrücken im Januar 630 auf nur sehr geringen Widerstand stieß. In den arabischen Quellen wird die Einnahme Mekkas als ''fatḥ'', „Öffnung“ bezeichnet. Sie steht damit gewissermaßen archetypisch für alle späteren muslimischen Eroberungen ([[w:Futūh|Futūh]]) von Städten und Ländern, die die Muslime unter Muhammads Nachfolgern machten. Über sie wurden später eigene Texte und Werke zusammengestellt. == 3.2. Die interne Entwicklung der Gemeinschaft von Yathrib == === 3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“ === Die Anhängerschaft Muhammads bei seiner Ankunft in Yathrib setzte sich im Wesentlichen aus zwei Gruppen zusammen, den Angehörigen der Quraisch, die zusammen mit ihm die Hidschra aus Mekka vollzogen hatten, und den Clanen von [[w:Aus (Stamm)|Aus]] und [[w:Chazradsch|Chazradsch]], die diesen Auswanderern in Yathrib Aufnahme gewährt hatten. Um eine Gemeinschaft zwischen diesen beiden Gruppen herzustellen, war es dringend notwendig, ein Loyalitätsverhältnis zwischen ihnen zu begründen. Genau diesen Sachverhalt spricht ein Koranwort an, in dem es heißt: „Diejenigen, die den Glauben angenommen haben und ausgewandert sind und unter Einsatz ihres Vermögens und Lebens für die Sache Gottes gekämpft haben, und diejenigen, die Asyl und Hilfe gewährten, die sollen untereinander Freunde sein“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/72 Q 8:72]). Offensichtlich wurden sogar praktische Maßnahmen ergriffen, um dieses Ziel zu verwirklichen, denn es gibt Berichte, denen zufolge zwischen verschiedenen Angehörigen der beiden Gruppen eine „Verbrüderung“ (''muʾāḫāh'') hergestellt wurde. Die übliche Form dieser Verbrüderung sah so aus, dass dem betreffenden Auswanderer (''muhāǧir'') einer von den „Helfern“ (''anṣār'') zur Seite gestellt wurde und die beiden sich gegenseitig zu Brüdern erklärten. Wenn einer der beiden im Kampf fiel, beerbte ihn der andere. Der wichtigste Zweck der Verbrüderung war es, größeren Zusammenhalt im Kampf zu erreichen. Die Zweiteilung der Anhängerschaft Muhammads wurde allerdings auch durch diese Maßnahme nicht völlig überwunden. Vielmehr scheint sich der Gegensatz zwischen den mekkanischen „Auswanderern“ ([[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]]) und den „Helfern“ ([[w:Ansār|Ansār]]) aus Yathrib im Laufe der Zeit noch verfestigt zu haben, wie sich zwei Koranstellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/100 Q 9:100], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/117 117]) aus späterer Zeit entnehmen lässt, in denen die beiden Gruppen einander gegenübergestellt werden. Über die politischen Verhältnisse, die seit der Zeit von Muhammads Ankunft in Yathrib herrschten, gibt es ein historisches Dokument, das uns noch wesentlich genauer informiert als der Koran, nämlich die sogenannte [[w:Gemeindeordnung von Medina|Gemeindeordnung von Medina]]. In diesem Dokument, das bei [[w:Ibn Hischām|Ibn Hischām]] überliefert ist, erscheint auch zum ersten Mal die arabische Bezeichnung ''al-Madīna'' („die Stadt, der Gerichtsort“) für Yathrib. Sie wurde später als Name für diesen Ort allgemein üblich und erscheint auch in den letzten Suren des Korans (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/102 Q 9:102]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/8 63:8]). Was nun die politische Ordnung anlangt, so wird am Anfang des Dokuments festgestellt, dass es sich um „einen Vertrag Muhammads des Propheten zwischen den Gläubigen und Muslimen der Quraisch und von Yathrib und jenen, die ihnen folgen, ihnen verbunden sind und zusammen mit ihnen kämpfen“ (§ 1), handelt. Sie sollen „eine einzige Umma“ bilden, „die sich von anderen unterscheidet“ (§&nbsp;2). Der Begriff [[w:Umma|Umma]] wird im Koran noch an vielen anderen Stellen verwendet und bezeichnet dort verschiedene von Propheten angeführte Gemeinschaften. Die Umma von Medina war allerdings eher an tribalen Konzepten orientiert. Die neun wichtigsten Vertragsparteien waren die „Auswanderer der Quraisch“, die offensichtlich als ein einziger Clan verstanden wurden, und acht Clane aus Yathrib. Jede Gruppe, so heißt es, sollte ihre tribale Organisation beibehalten und für die Zahlung von [[w:Diya (Islam)|Blutgeld]] und Lösegeld unter ihren Angehörigen verantwortlich sein. Allerdings wurde diese Solidaritätspflicht auf die Gläubigen (''muʾminūn'') unter ihnen eingeschränkt. Der zweite Teil des Dokuments befasst sich mit den Beziehungen zu den jüdischen Stämmen von Yathrib und ihren beduinischen Verbündeten. Das Dokument zeigt, dass die Umma zu jener Zeit als etwas verstanden wurde, das Beziehungen zu Angehörigen anderer Religionen einschloss. Im Wesentlichen handelte es sich um einen Bündnisvertrag, der den traditionellen arabischen Rechtsvorstellungen entsprach. Dadurch, dass im ersten Teil die Solidaritätsverpflichtungen auf die „Gläubigen“ beschränkt wurden, kam jedoch eine religiöse Komponente ins Spiel. Muhammad selbst wurde in der Gemeindeordnung eine richterliche Funktion zugesprochen. So wurde festgelegt, dass diejenigen, die über eine Sache im Streit sind, diese vor Gott und Muhammad bringen sollten (§§ 26, 52). Am Ende des Dokuments wird erklärt, dass das Tal von Yathrib für alle Vertragspartner geheiligt (''ḥarām'') sei (§ 49), womit es wie Mekka den Status eines [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Heiligen Bezirks]] erhält. === 3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden === Muhammad hatte am Ende der mekkanischen Zeit dem Judentum äußerst positiv gegenübergestanden. Koranische Texte aus diesem Zeitabschnitt fordern dazu auf, nicht mit den „Leuten des Buches“ ([[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]]) – gemeint sind die Juden von Yathrib – zu disputieren, sondern die Gemeinsamkeiten zwischen den beiden offenbarten Religionen herauszustellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/29/vers/46 Q 29:46]). Der gute Kontakt mit den Juden in der frühen medinischen Zeit führte dazu, dass sich Muhammad und seine Anhänger noch stärker an die jüdischen Vorschriften annäherten. So wurde zu dieser Zeit nach jüdischem Vorbild ein drittes Tagesgebet eingeführt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/238 Q 2:238f]), und der Verzehr von Schweinefleisch und der Beischlaf während der [[w:Menstruation|Menstruation]] wurden verboten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/173 Q 2:173], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/222 222]). Ebenfalls in frühmedinischer Zeit wurde für Muhammad der Titel ''nabī'' gebräuchlich, der in der Bibel und in der jüdischen Tradition für Propheten verwendet wird. Möglicherweise wurde dieser Titel deswegen jetzt für Muhammad eingeführt, um die Juden von Yathrib dazu zu bewegen, seine religiöse Führerschaft anzuerkennen. Besonders interessant ist das Adjektiv ''ummī'', mit dem der Begriff ''nabī'' an der ersten Stelle, an der er vorkommt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/7/vers/157 Q 7:157f]), versehen ist. Wahrscheinlich handelt es sich um eine Ableitung des hebräischen Ausdrucks ''ummot ha-ʿolam'', mit dem im [[w:Talmud|Talmud]] die nicht-jüdischen Völker bezeichnet werden, in denen [[w:Gerechter unter den Völkern|Gerechte]] auftreten können. Die Bezugnahme auf diese heidenfreundliche Tradition war sehr wichtig, denn unter den Juden von Yathrib herrschte die Auffassung vor, dass es unter den Arabern keine Prophetie geben könne. Die Annäherung an das Judentum bedeutete allerdings nicht, dass Muhammad seine Religion darin aufgehen lassen wollte. Die Gemeindeordnung von Medina stellt ausdrücklich fest, „dass die Juden ihre Religion beibehalten und die Gläubigen die Ihrige.“ Eine gemeinsame religiöse Basis fand er im Monotheismus, wie sich dem folgenden Koranwort entnehmen lässt: {{Zitat|Sag: O Leute des Buches, kommt her zu einem Wort, das uns und euch gemeinsam ist. Ist es nicht so, dass wir Gott allein dienen, ihm nichts beigesellen und uns nicht untereinander anstelle Gottes zu Herren nehmen?|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/64 Q 3:64]}} Offenbar hegte Muhammad die Vorstellung, die Juden würden in seiner Botschaft schließlich ihre eigene Religion wiedererkennen. Das brachte ihn letztendlich auch zu der Erwartung, dass sie seinen religiösen Anspruch anerkennen müssten. An mehreren Stellen im Koran werden die [[w:Israeliten|Israeliten]] aufgefordert, an das, was ihm offenbart wurde, als Bestätigung ihrer Schrift zu glauben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/41 Q 2:41]) und ihn allgemein als Bestätiger der [[w:Tora|Tora]] zu verstehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/50 Q 3:50]). Es geschah wahrscheinlich auch im Rahmen der Auseinandersetzung mit den Juden von Medina, dass sich Muhammad zum ersten Mal auf den [[w:Erzengel|Erzengel]] [[w:Gabriel (Erzengel)|Gabriel]] als Vermittler der koranischen Offenbarung berief. Gabriel spielte schon in vorislamischer Zeit eine große Rolle in den jüdischen Überlieferungen über Abraham und Mose. In Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/97 2:97] wird ausgesagt, dass er es ist, der den Koran in Muhammads Herz hinabgesandt habe, „mit Erlaubnis Gottes, bestätigend, was vor ihm war, als rechte Leitung und als frohe Botschaft für die Gläubigen.“ Die Korankommentatoren erklären, dass diese Verse offenbart wurden, als die Juden von Medina Muhammad fragten, wer der Engel sei, der ihm die Offenbarungen brächte. Als er antwortete, dass dies Gabriel sei, der Freund eines jeden Propheten, sollen sie entgegnet haben, dass sie ihn dann nicht anerkennen könnten, weil ihr Freund der Engel [[w:Erzengel_Michael|Michael]] sei, Gabriel dagegen ihr Feind. In Sure 2:97-98 wird diese „Feindschaft“ zu Gabriel missbilligt. Koranstellen wie diese zeigen sehr deutlich, dass die Juden Medinas nicht bereit waren, Muhammad als Propheten in ihrer Tradition anzuerkennen. Andere Stellen erwähnen, dass es immer wieder zu Streitereien mit ihnen kam (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/139 Q 2:139]). Die historiographischen Quellen berichten, dass es damals in Medina nur einen einzigen namhaften Juden gab, der zum Islam übertrat: [[w:ʿAbdallāh ibn Salām|ʿAbdallāh ibn Salām]]. An seine Konversion knüpfen sich in der islamischen Tradition zahlreiche Legenden. Aus Enttäuschung darüber, dass ihn die Juden von Medina nicht unterstützen und ihm zunehmend feindlich gegenüberstanden, brach Muhammad nach der Badr-Schlacht mit dem Judentum. So forderte er die Juden auf, ihn nicht mehr als Schiedsrichter anzurufen, da sie sich nicht einmal an die Regeln ihrer Tora hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/43 Q 5:43-45]). Immer häufiger kam es nun auch zu verbalen Attacken gegen die Juden. So wird ihnen an verschiedenen Stellen Verstocktheit vorgeworfen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/87 Q 2:87-90]) und ihre strengen Speiseverbote werden damit begründet, dass die Juden sich in der Vergangenheit schwerer Sünden schuldig gemacht hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/160 Q 4:160]). An anderen Stellen werden sie beschuldigt, sie würden einen Teil ihrer Schriften zurückhalten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/11/vers/18 Q 11:18]). Schließlich gibt es vier Passagen, die besagen, die Juden hätten die Schriften absichtlich „entstellt“ oder „verdorben“ (so [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/75 Q 2:75-79], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/46 4:46], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/13 5:13], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/41 5:41]). Den verbalen Attacken folgten bald reelle Angriffe auf die Juden von Yathrib. Sie waren keine einheitliche Gemeinschaft, sondern gehörten drei verschiedenen Stämmen an, den [[w:Banū Qainuqāʿ|Banū Qainuqāʿ]], den [[w:Banū n-Nadīr|Banū n-Nadīr]] und den [[w:Banū Quraiza|Banū Quraiza]]. Der erste Angriff richtete sich gegen die Banū Qainuqāʿ, die in Yathrib einen eigenen Markt unterhielten. Als Anlass wird in der Überlieferung genannt, dass nach der Schlacht von Badr (624) auf ihrem Markt eine arabische Frau von einer Gruppe von Juden belästigt worden war. Ein Muslim, der die Begebenheit beobachtet hatte, tötete einen der Juden und wurde dann selbst umgebracht. Das war der Auslöser dafür, dass Muhammad die Banū Qainuqāʿ im April 624 in ihrem befestigten Stadtteil belagerte. Sie mussten ihre Habe zurücklassen und wanderten nach Adhriʿāt (dem heutigen [[w:Darʿā|Darʿā]] im [[w:Hauran|Hauran]], Syrien) aus. Die Vertreibung der Banū Qainuqāʿ hatte wahrscheinlich auch einen ökonomischen Hintergrund, denn Muhammad strebte in dieser Zeit danach, einen eigenen Markt aufzubauen, und der Markt der Qainuqāʿ war ihm dabei im Weg. [[File:Khaybar - deserted houses.jpg|mini|250px|Die Oase Chaibar heute]] Im August 625 ging Muhammad gegen den jüdischen Stamm der Banū n-Nadīr vor. Als Anlass für den Konflikt nennt die Überlieferung einerseits einen versuchten Mordanschlag auf Muhammad, andererseits den Vorwurf der Kollaboration mit den feindlichen Quraisch. Muhammad ließ sie in ihren befestigten Häusern belagern und außerdem ihre Palmenpflanzungen zerstören, womit er ein ungeschriebenes Gesetz der arabischen Kriegführung verletzte. Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/59/vers/5 Q 59:5] liefert nach der islamischen Tradition eine Rechtfertigung für dieses Vorgehen. Wie die Banū Qainuqāʿ, so wurden auch die Banū Nadīr vertrieben; sie fanden mehrheitlich in der jüdischen Oase [[w:Chaibar|Chaibar]] Zuflucht, in der sie über Grundbesitz und eigene Festungen verfügten. Nach der Grabenschlacht 627 kam es zu einer Konfrontation der Muslime mit dem dritten und letzten noch in Medina verbliebenen jüdischen Stamm, den Banū Quraiza, denen auch verschiedene andere Oasen im Norden der Halbinsel gehörten. Ihnen wurden der Bruch ihres Abkommens mit Muhammad und die Zusammenarbeit mit den Quraisch während der Grabenschlacht vorgeworfen. Es erfolgte eine mehrwöchige Belagerung ihres befestigten Stadtteil. Da die Banū Aus mit den Banū Quraiza verbündet waren und sich für sie einsetzten, legte Muhammad die Entscheidung über ihr Leben in die Hand von [[w:Saʿd ibn Muʿādh|Saʿd ibn Muʿādh]], dem Anführer der Banū Aus, der in der Grabenschlacht schwere Verwundungen erlitten hatte und dem Tode nahe war. Dieser sprach sich dafür aus, alle Männer umzubringen, Frauen und Kinder in die Gefangenschaft zu führen und ihren Besitz aufzuteilen, was trotz Protesten von Seiten anderer Verbündeter unverzüglich umgesetzt wurde. Auch nach diesem Vorfall dauerte die Auseinandersetzung mit den Juden noch an. Die Banū n-Nadīr rüsteten nach ihrer Vertreibung aus Medina in Chaibar zum Krieg gegen Muhammad, wobei sie mit den arabischen Stämmen der Nachbarschaft zusammenarbeiteten. Muhammad kam ihnen im Frühjahr 628 mit einem eigenen [[w:Chaibar (Feldzug)|Kriegszug]] zuvor. Das Koranwort aus [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/33 Sure 5:33], das denjenigen, die gegen Gott und seinen Gesandten Krieg führen, eine grausame Strafe (Tötung, Kreuzigung bzw. kreuzweise Amputation von Hand und Fuß) in Aussicht stellt, wird in diesen historischen Zusammenhang gestellt. Chaibar kapitulierte im Juni 628, und die Juden der Oase wurden verpflichtet, ihr Vermögen herauszugeben und jedes Jahr die Hälfte ihrer Ernte den muslimischen Eroberern zu übergeben. Zwei andere von Juden besiedelte Oasen, Fadak und [[w:Tayma|Taimāʾ]], unterstellten sich Muhammads Herrschaft kurze Zeit später freiwillig. === 3.2.3. Andere Gegner Muhammads === In den Koranversen, die in die Zeit nach der [[w:Schlacht von Uhud|Uhud-Schlacht]] eingeordnet werden, taucht noch eine weitere gegnerische Personengruppe auf, die [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]]. Sie werden beschrieben als Personen, die zuerst den Glauben angenommen haben, sich dann aber wieder davon abwandten und nur noch so taten, als würden sie an den Gottesgesandten glauben (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/1 Q 63:1-3]). Man kann insofern den arabischen Begriff ''munāfiqūn'' mit „Heuchler“ übersetzen. Der Koran bezeichnet diese Leute auch als „Menschen, die in ihrem Herzen eine Krankheit haben“ (''fī qulūbi-him maraḍ''; vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/52 5:52]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/49 8:49]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/125 9:125]) und droht ihnen an, dass sie dereinst auf den untersten Grund des Höllenfeuers verbannt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/145 Q 4:145]). Die Munāfiqūn stellten vor allem Muhammads richterliche Autorität in Frage. Der Koran spricht davon, dass einige von ihnen ihren Streit nicht durch Muhammad schlichten lassen wollten und sich von ihm abwandten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/60 Q 4:60f]). Gegen diese Abfallsbewegung richtet sich die Aufforderung an die Gläubigen, ihre Dispute auf jeden Fall Muhammad zur Entscheidung vorzulegen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]). Nur diejenigen sollten fortan noch als Gläubige gelten, die sich an dieses Gebot hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/65 Q 4:65]). Als Anführer der Munāfiqūn wird in den arabischen Quellen ʿAbdallāh ibn Ubaiy genannt. Von ihm wird berichtet, dass er ohne Muhammads Auftreten in Yathrib „König“ ([[w:Malik|Malik]]) der Stadt geworden wäre. Es ging also möglicherweise um konkurrierende Machtansprüche. Offenbar geriet in dieser Zeit aber auch die religiöse Autorität Muhammads in eine Krise. Die islamische Tradition hat den Bericht von einem Christen aus dem medinischen Clan der Banū n-Naddschār bewahrt, der zum Islam übergetreten war und dem Propheten während der Niederschrift der Suren [[w:Sure 2|2]] und [[w:Sure 3|3]] als Sekretär gedient hatte, nun aber zu seiner alten Religion zurückkehrte und sich bei seinen Glaubensbrüdern damit brüstete, Muhammad wisse nichts außer dem, was er für ihn niedergeschrieben habe. Auf skandalöse Weise fiel in dieser Zeit auch einer von Muhammads mekkanischen Schreibern ab, nämlich [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]]. Er begab sich ins heidnische Mekka und brüstete sich dort, er habe Muhammad auf die Probe gestellt, indem er nachträglich an einer Stelle den Wortlaut der Offenbarung geändert habe, ohne dass Muhammad diese Abänderung bemerkte. Gegenstand der Änderung waren Reimwörter, die in ähnlicher Form an anderen Stellen des Korans vorkommen. Der Koran selbst scheint von diesem Vorfall Zeugnis abzulegen. So werden Leute erwähnt, in deren Herzen Verirrung ist, die sich nicht an den festgefügten Versen (''āyāt muḥkamāt'') des Korans orientieren, sondern „das suchen, was einander ähnlich ist, um Zwietracht zu stiften“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/7 Q 3:7]). Nach der Überlieferung ist außerdem mit dem Mann, von dem der Koran berichtet, dass er den Unglauben ([[w:Kufr|Kufr]]) gegen den Glauben ([[w:Īmān|Īmān]]) eintauschte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/108 Q 2:108]), ʿAbdallāh ibn Abī Sarh gemeint. Gegen einige seiner Gegner ging Muhammad sehr grausam vor. So ließ er zum Beispiel den mit den Banū n-Nadīr verbundenen Dichter [[w:Kaʿb ibn al-Aschraf|Kaʿb ibn al-Aschraf]], der in Mekka die Quraisch zum Kampf gegen die Muslime angestachelt und nach einigen Berichten mit ihnen sogar eine Allianz gegen Muhammad geschlossen hatte, nach seiner Rückkehr nach Medina im September 624 heimtückisch ermorden. Bei der Einnahme von Mekka im Januar 630 war er dagegen sehr viel gutmütiger. Mit Ausnahme weniger Personen, die Tötungsdelikte begangen hatten, begnadete der Prophet alle seine früheren Gegner, die er in der Stadt vorfand, darunter auch seinen ehemaligen Schreiber Ibn Abī Sarh, der in Mekka Stimmung gegen ihn gemacht hatte. Er profitierte davon, dass sich sein Milchbruder [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān]] beim Propheten für ihn einsetzte. Muhammads Bereitschaft, früheren Gegnern zu verzeihen, spiegelt sich auch auf koranischer Ebene wieder. Wer die Umkehr ([[w:Tauba|Tauba]]) zu Gott vollzieht, so heißt es dort, kann damit rechnen, dass es ihm wohlergeht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/31 Q 24:31]). Gott selbst wird im Koran als derjenige beschrieben, der „die Umkehr von seinen Knechten annimmt“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/104 Q 9:104]). Wer umkehrt, dem wendet sich auch Gott wieder zu ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/39 Q 5:39]). Heuchlern und Apostaten, die die Tauba nicht vollziehen, droht jedoch das Höllenfeuer ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/74 Q 9:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/86 3:86-89]). === 3.2.4. Die Konstituierung als eigenständige Religionsgemeinschaft === Die Zusammenfügung der Gläubigen zu einem Loyalitätsverband und die Abgrenzung nach außen gegenüber anderen Gruppierungen gingen einher mit dem Bestreben, den Einfluss anderer Loyalitätsbeziehungen, die für den Zusammenhalt der Gläubigen eine Bedrohung darstellen könnten, zu beschränken. Dieses zeigt sich an verschiedenen Koranstellen der medinischen Periode, an denen die Gläubigen aufgefordert werden, sich keine Ungläubigen, sondern nur noch Gläubige zu Freunden zu nehmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/28 Q 3:28]). Nur diejenigen sollten noch als „Gläubige“ und damit vollwertige Mitglieder dieser Gemeinschaft gelten, die die Beziehungen zu den Gegnern des Gottesgesandten komplett abbrechen und sich dabei auch über Verwandtschaftsbande hinwegsetzen. Denjenigen, die sich an diese Grundsätze halten, wird im Koran Erfolg und jenseitiges Heil verheißen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/56 Q 5:56]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/58/vers/22 58:22]). Für Frauen, die in das muslimische Lager überwechseln wollten, erwähnt der Koran ein eigenes Aufnahmeverfahren: man solle sie prüfen, und wenn sie als gläubige Frauen erkannt seien, solle man sie nicht zu den Ungläubigen zurückkehren lassen, diesen aber den für sie entrichteten Brautpreis ersetzen, dann sei es erlaubt, mit diesen Frauen eheliche Beziehungen einzugehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/60/vers/10 Q 60:10]). Der Abgrenzung nach außen auf sozialer Ebene lief eine Abgrenzung auf religiöser Ebene parallel. Die Abgrenzung von den Juden betraf dabei insbesondere die religiösen Riten (vgl. unten [[#3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus|3.3.]]). Auf ideeller Ebene erfolgte gleichzeitig eine Rückbesinnung auf die Gestalt [[w:Abraham im Islam|Abrahams]]. Er wurde nun zum Prototypen der neuen Religionsgemeinschaft erhoben. An mehreren Koranstellen aus dieser Zeit findet sich die Aufforderung, der Religion der „Gemeinschaft Abrahams“ (''millat Ibrāhīm'') zu folgen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/130 Q 2:130]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/125 4:125]). Es wird betont, dass Abraham kein Jude, Christ oder [[w:Muschrik|Muschrik]] war, sondern ein Muslim und [[w:Hanīf|Hanīf]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/67 Q 3:67]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/95 3:95]). Eine Weile war Hanīf wohl auch die übliche Bezeichnung für Muhammads Anhänger und Hanīfīya („Hanīfentum“) der Name für die von ihm gegründete Religion. Mit den auf Abraham bezogenen koranischen Passagen ließ sich auch die kultische Wiederausrichtung auf das arabische Heiligtum in Mekka gut rechtfertigen. Sie wurde damit erklärt, dass „das Haus“ (''bait'') in Mekka das Jerusalemer Heiligtum an Alter übertreffe, weil es das erste sei, das für die Menschen errichtet wurde ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/96 Q 3:96]). Schon Abraham habe zusammen mit seinem Sohn [[w:Ismael|Ismāʿīl]] die Grundmauern dieses „Hauses“ aufgerichtet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/127 Q 2:127]). Muhammad scheint hier auf hanīfische Konzepte (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.6. Der religiöse Wandel und die Hanīfen|1.3.6.]]) zurückgegriffen zu haben. An zwei Stellen des Korans ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 2:125]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/97 3:97]) wird das mekkanische Heiligtum zudem als der „[[w:maqām Ibrāhīm|Standplatz Abrahams]]“ (''maqām Ibrāhīm'') bezeichnet. === 3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten === Muhammad war nach der Gemeindeordnung von Medina keineswegs der absolute Herrscher von Medina. Er wurde lediglich als Prophet (§ 1) und Schiedsrichter (§ 23, 42) anerkannt. In den Quellen werden mehrfach Vorfälle geschildert, die zeigen, dass er sich darum bemühen musste, die Unterstützung anderer Clanoberhäupter zu gewinnen. Im Zusammenhang mit den militärischen Aktivitäten veränderten sich jedoch die Machtstrukturen innerhalb der Gemeinschaft der Muslime. Eine Folge des Misserfolges von Uhud war die Aufforderung an die Gläubigen, zukünftig dem Gottesgesandten und „denjenigen, die zu befehlen haben“ (''ūlū l-amr''), unbedingt zu gehorchen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]) und vor Streuung von sicherheitsrelevanten Informationen erst diesen Personenkreis zu unterrichten, um eine Überprüfung dieser Informationen zu ermöglichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/83 Q 4:83]). Das militärische Nachrichtenwesen wurde auf diese Weise zentralisiert. Den Gläubigen wurde außerdem mitgeteilt, dass der Gottesgesandte das Vorrecht auf mindestens ein Fünftel (''ḫums'') der Beute habe, um es unter den Verwandten, Weisen, Armen und Wohnungslosen zu verteilen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]). Von seinen Anhängern, den gläubigen Männern und Frauen, forderte der Prophet nach der Vertreibung der jüdischen Stämme uneingeschränkten Gehorsam bei all den Dingen, die er selbst entschieden hatte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/36 Q 33:36]). Seine militärischen und diplomatischen Erfolge brachten ihm offenbar so viel Prestige und Autorität ein, dass auch seine Macht immer weiter zunahm. Von nicht geringer Bedeutung für Muhammads Machtzuwachs war die Tatsache, dass sich in Medina auch mehrere Dichter auf seine Seite stellten. Der bekannteste von ihnen war [[w:Hassān ibn Thābit|Hassān ibn Thābit]], der schon für [[w:Ghassaniden|ghassānidische]] und [[w:Lachmiden|lachmidische]] Prinzen Lobgedichte verfasst hatte. Vor diesem Hintergrund wurde die im Koran formulierte allgemeine Ablehnung gegenüber den Dichtern (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.2.5. Der Überbringer der Botschaft|2.2.5.]]) differenziert: Nur diejenigen von ihnen sollten der Verdammung anheimfallen, die Unrecht getan haben, nicht aber diejenigen, „die den Glauben angenommen haben, das Rechte tun und Partei ergreifen, nachdem ihnen Unrecht angetan worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/26/vers/227 Q 26:227]). Außerdem standen Muhammad jetzt auch mehr Schreiber zur Verfügung, die seine Korrespondenz führen und seinen Koranvortrag niederschreiben konnten. Zu nennen sind insbesondere [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], der vor der Hidschra auf einer jüdischen Schule die syrische oder hebräische Schrift erlernt hatte, und [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]]. Beide gehörten sie dem chazradschitischen Clan der Banū n-Naddschār an, in deren Viertel sich Muhammad niedergelassen hatte. Wie für einen arabischen Stammesfürsten seiner Zeit üblich, hatte Muhammad eine ganze Anzahl von Frauen nebeneinander. Viele dieser Ehen dienten vor allem politischen Zwecken. Mit ihnen wollte er zum Beispiel wichtige Anhänger enger an sich binden oder die Freundschaft des tribalen Verbands der Ehefrau gewinnen. Allerdings gab es andere Ehen, die er rein aus Zuneigung geschlossen haben soll. Dies gilt zum Beispiel für seine Ehe mit [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]]. Sie war ursprünglich die Gattin von Muhammads Adoptivsohn Zaid ibn Hāritha gewesen. Es wird berichtet, dass Muhammad, als er einmal mit Zaid sprechen wollte, diesen nicht zu Hause antraf, sondern nur Zainab, die gerade leicht bekleidet war, und daraufhin in heißer Liebe zu ihr entbrannte. Zainab berichtete Zaid von dem Besuch und den Andeutungen, die Muhammad beim Weggehen gemacht hatte. Zaid verstand diese Andeutungen und trennte sich von Zainab, um sie ihm zu überlassen. Muhammads Plan, Zainab zu heiraten, löste allerdings in der Gesellschaft von Medina Empörung aus, da die Ehe mit der früheren Ehefrau des eigenen Sohns, auch wenn er nur ein „Nennsohn“ (''daʿī'') war, als inzestuös betrachtet wurde. Muhammad setzte sich jedoch über diese Einwände hinweg und heiratete Zainab. Durch eine Offenbarung wurde diese Ehe nachträglich gerechtfertigt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/37 Q 33:37]) und als von Gott verhängtes Geschick ([[w:Qadar|Qadar]]) abgesegnet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/38 Q 33.38]). [[Datei:Mohamed peace be upon him.svg|mini|Eine [[w:Tasliya|Tasliya]] in kalligraphischer Ausführung]] Ein weiterer Fall ist [[w:Safīya bint Huyaiy|Safīya bint Huyaiy]]. Sie war die Tochter des Oberhaupts des jüdischen Clans der Banū n-Nadīr, der in Medina den Propheten bekämpft hatte und dann mit seinem Clan von dort vertrieben worden war. Nach dem Sieg über Chaibar war diese Safīya von den Muslimen gefangen genommen und bei der Beuteaufteilung einem anderen Kämpfer zugeteilt worden. Aufgrund ihrer Schönheit beanspruchte sie der Prophet aber für sich selbst. Unter der Bedingung, dass sie sich zum Islam bekehrte, kaufte er sie frei und nahm sie als reguläre Ehefrau. Die Eheschließung Muhammads mit Safīya war sehr konfliktgeladen, weil die anderen Gattinnen Muhammads auf die neue Nebenfrau eifersüchtig waren. Es wird angenommen, dass dies auch der Anlass für das seltsame Verbot war, das in [[w:Sure 33|Sure 33]] speziell für den Propheten ausgesprochen wird. Ihm wird dort verboten, weitere Frauen zu ehelichen, „auch wenn ihre Schönheit dir gefallen sollte“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/52 Q 33:52]). Neben seinen Ehefrauen besaß Muhammad noch verschiedene Sklavinnen, die ihm als Konkubinen dienten. Eine von ihnen, [[w:Māriya al-Qibtīya|Maria, die Koptin]], der Muhammad besonders zugetan war, löste in Muhammads Harem einen derart großen Eifersuchtskonflikt aus, dass Muhammad gelobte, sich zukünftig von ihr fernzuhalten. Dieses Versprechen nahm er aufgrund der Indiskretion einer seiner Ehefrauen allerdings später wieder zurück, ein Vorfall, auf den auch im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/66/vers/1 Q 66:1-5]) Bezug genommen wird. Wie sich an [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/32 Sure 33:32] ablesen lässt, wurden Muhammads Ehefrauen auch von anderen Männnern begehrt. Damit sie sich auf Avancen von dieser Seite nicht einließen, wurde ihnen eine hohe Strafe für Ehebruch angedroht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/30 Q 33:30]). Des Weiteren wurden sie aufgefordert, in ihrem Haus zu bleiben und sich nicht „nach Art der früheren [[w:Dschāhilīya|Dschāhilīya]]“ herauszuputzen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/33 Q 33:33]). Außerdem wurden sie durch einen Vorhang (''ḥiǧāb'') von anderen Männern abgeschirmt und für die Zeit nach Muhammads Tod mit einem ewigen Heiratsverbot belegt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/53 Q 33:53]). Anlass für diese Neuregelung soll Muhammads Hochzeit mit Zainab bint Dschahsch im Frühjahr 627 gewesen sein, bei der sich der Prophet durch Männer belästigt fühlte, die offenbar ohne Erlaubnis sein Haus betreten und mit seinen Frauen Kontakt aufgenommen hatten. Der Allgemeinheit der Gläubigen wurde um diese Zeit auferlegt, für den Propheten einen speziellen Segenswunsch zu sprechen, sobald er erwähnt wird ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/56 Q 33:56]). Dadurch erhielt seine Person immer mehr einen sakrosankten Charakter. Der [[w:Tasliya|Tasliya]]-Segenswunsch bei Muhammads Erwähnung gilt bis heute im Islam als Pflicht. === 3.2.6. Reformen der Rechts- und Geschlechterordnung === Muhammad erfüllte, wie oben ([[#3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“|3.2.1.]]) beschrieben, in Medina eine richterliche Funktion und entsprach damit in etwa dem Typ des altarabischen ''ḥakam''. Bei vielen Streitigkeiten, die vor ihn gebracht wurden, fällte er sein Urteil wahrscheinlich aufgrund früherer Rechtssetzung ([[w:Sunna|Sunna]]). Dort, wo sich das vorhandene System allerdings als unzulänglich erwies, lieferte er mit dem Koran neue Bestimmungen und Vorschriften. Die ersten Regelungen, die Muhammad nach der Hidschra traf, sind in [[w:al-Baqara|Sure 2]] festgehalten. Hier wird das altarabische [[w:Qisās|Qisās]]-System bestätigt, allerdings die Empfehlung ausgesprochen, die Wiedervergeltung durch Wergeld ([[w:Diya (Islam)|Diya]]) zu regeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/178 Q 2:178f]). Daneben wird Zinswucher ([[w:Ribā|Ribā]]) verboten (vgl. u.a. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/275 Q 2:275]). Auch der Bereich der Ehe wurde neu geordnet. Muhammad gab den Männern die Möglichkeit, ihre Frauen [[w:Talāq|zu verstoßen]], verbot ihnen aber für diesen Fall, etwas von ihrem Vermögen einzubehalten. Die Frau konnte selbst auch die Auflösung der Ehe verlangen, musste sich dann aber durch Rückgabe der [[w:Brautgabe|Brautgabe]] oder eines Teils davon loskaufen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/229 Q 2:229]). Diese Form des Selbstloskaufs der Ehefrau, die bis heute existiert, wird im islamischen Recht [[w:Chulʿ|Chulʿ]] genannt. Nach Verstoßung seiner Frau kann der Mann diese erst dann wieder heiraten, wenn sie zwischenzeitlich einen anderen Mann geheiratet hat ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/230 Q 2:230]). Außerdem wurde die Vorschrift eingeführt, dass die Frau zwischen ihren Ehen eine drei- bzw. viermonatige Wartezeit (''ʿidda'') einhalten muss ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/228 Q 2:228], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/234 2:234]). Auf diese Weise sollte die leibliche [[w:Vaterschaft|Vaterschaft]] sichergestellt werden. Eine weitere Regelung, die in diese Richtung zielt, ist das Verbot der [[w:Adoption|Adoption]] ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/4 Q 33:4f]), das wahrscheinlich im Zusammenhang mit Eheschließung mit Zainab eingeführt wurde. Des Weiteren führte Muhammad verschiedene strafrechtliche Regeln ein. So wurde bestimmt, dass männlichen und weiblichen Dieben „als Vergeltung für das, was sie begangen haben, und als Warnung vor Gott“ die Hand abgeschnitten werden sollte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/38 Q 5:38]). Verschiedene Überlieferungen verlegen auch das in [[w:Sure 5|Sure 5]] ausgesprochene allgemeine Weinverbot, das für den Islam [[w:Alkoholverbot im Islam|kennzeichnend]] geworden ist, in diese Zeit. An der Stelle selbst ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/90 Q 5:90f]) wird das Verbot damit begründet, dass der Weingenuss genauso wie das Losspiel Feindschaft und Hass zwischen den Anhängern Muhammads säe und sie vom Gebet abhalte. Die Berichte zum Anlass der Verhängung dieses Verbots erklären, dass zuvor Streitereien unter betrunkenen Prophetengefährten vorgefallen waren, bei denen einzelne von ihnen sogar schwer verletzt worden waren. Nach Uhud führte Muhammad im Bereich der Geschlechter- und Eheregeln weitere wichtige Änderungen und Reformen durch, die hauptsächlich in [[w:an-Nisāʾ|Sure 4]] festgehalten sind. Den männlichen Muslimen wurde erlaubt, bis zu vier Frauen gleichzeitig zu heiraten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/3 Q 4:3]), ihnen andererseits auferlegt, das Brautgeld den Ehefrauen selbst zu übergeben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/4 Q 4:4]). Darüber hinaus legte der Koran genaue Erbschaftsregelungen fest, die auch weibliche Verwandte und Witwen berücksichtigten, Frauen allerdings immer nur die Hälfte dessen zugestanden, das Männer desselben Verwandtschaftsgrades erhielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/7 Q 4:7-14]). Ehefrauen gehörten fortan nicht mehr zum Erbgut des Verstorbenen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/19 Q 4:19]) und durften auch nicht mehr von dessen Söhnen geheiratet werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/23 Q 4:23]). In Anbetracht ihrer Unterhaltspflicht gegenüber den Frauen wurde den Männern erlaubt, diese im Falle der Aufsässigkeit zu züchtigen ([[w:Sure 4:34|Q 4:34]]). Besuchsehen (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.2._Geschlechterverhältnisse|1.3.2.]]) wurden weiter zugelassen, allerdings daran gebunden, dass der Mann die Frau entlohnte und die Frau keine Beziehungen zu mehreren Männern gleichzeitig unterhielt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Q 4:24f]). Damit wurde die altarabische Institution der [[w:Polyandrie|Polyandrie]], die Ehe einer Frau mit mehreren Männern, verboten. Frauen, denen durch vier Zeugen sexuelles Fehlverhalten nachgewiesen werden konnte, sollten lebenslang unter Arrest gestellt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/15 Q 4:15]). Muhammads Haltung zum Institut der zeitlich begrenzten Besuchsehe scheint allerdings nicht ganz eindeutig gewesen zu sein. In verschiedenen islamischen Quellen wird überliefert, dass er solche Verhältnisse anlässlich der [[w:Chaibar_(Feldzug)|Schlacht von Chaibar]] verboten, später aber wieder erlaubt habe. Insgesamt lässt die neue Eheordnung den Willen erkennen, einen Ausgleich zwischen den beiden im alten Arabien existierenden Ehesystemen (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]) zu schaffen. {{Anker|Halskettenskandal}} Ein Skandal um Muhammads junge Ehefrau [[w:Aischa bint Abi Bakr|ʿĀ'ischa]] führte zu einer Verschärfung des Sexualstrafrechts. Hintergrund war ein Vorfall auf einem Feldzug im Januar 627. Es wird erzählt, dass sich ʿĀ'ischa auf dem Rückweg von diesem Feldzug nach Medina auf der Suche nach einer verlorenen Halskette vom Rastplatz entfernte, bei ihrer Rückkehr das Lager abgebrochen fand und am nächsten Tag von einem jungen Mann namens Safwān ibn al-Muʿattal zurückgebracht wurde. Der durch diesen Vorfall hervorgerufene Skandal spaltete die Gemeinschaft, weil einige prominente Muslime ʿĀʾischa öffentlich der Untreue beschuldigten. Muhammad schickte ʿĀʾischa zunächst in ihr Elternhaus zurück und erwog wohl ihre Verstoßung, überzeugte sich dann aber durch eine Eingebung ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/11 Q 24:11-20]) von der Grundlosigkeit dieser Verdächtigung und nahm sie wieder zu sich auf. Im Zusammenhang mit diesem Vorfall wurde die Regel eingeführt, dass diejenigen, die ehrbare Frauen in Verruf bringen, ohne vier Zeugen beizubringen, 80 Peitschenhiebe erhalten sollten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/4 Q 24:4]). Auf [[w:Zinā|außerehelichen Geschlechtsverkehr]] wurden als neue Strafe nun 100 Peitschenhiebe eingeführt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2]). In zwei anderen Versen derselben Sure werden die gläubigen Männer und Frauen dazu angehalten, ihre Blicke zu senken und ihre Scham zu bewahren. Frauen werden zusätzlich angewiesen, sich in Anwesenheit von heiratbaren Männern ihren Schal um den Ausschnitt zu schlagen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/11 Q 24:11-20]) und sich in der Öffentlichkeit zu verhüllen, damit sie nicht belästigt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/59 Q 33:59]). Dieses Verhüllungsgebot wurde später zu einem festen Bestandteil der traditionellen islamischen Geschlechterordnung. Allerdings waren Frauen zur Zeit Muhammads noch keineswegs aus dem öffentlichen Leben ausgeschlossen. Von mehreren (z.B. [[w:Rufaida al-Aslamīya|Rufaida]] und [[w:Umm Sinān al-Aslamīya|Umm Sinān]]) wird berichtet, dass sie die Männer bei Kriegszügen begleiteten und die Versorgung von Verwundeten und Kranken übernahmen. == 3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus == === 3.3.1. Die Anfänge der Moschee und die Weiterentwicklung der Salāt === [[Bild:Oldquba.jpg|mini|Die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] zu Anfang des 20. Jahrhunderts]] Als Muhammad nach der Hidschra im September 622 in der Oase von Yathrib ankam, wohnte er die ersten Tage in Qubā', einem südlichen Vorort von Yathrib. Für die [[w:Salāt|Salāt]] nutzte er einen Masdschid, den Anhänger von ihm dort angelegt hatten. ''Masdschid'' hängt mit dem Wort [[w:Sudschūd|Sudschūd]] zusammen und bedeutet soviel wie „Ort der Prosternation“ (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). Es ist der gleiche Begriff, der auch für das Heiligtum in Mekka verwendet wurde, das für die Muslime nun nicht mehr erreichbar war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/34 Q 8:34]). Von ''Masdschid'' leitet sich auch das deutsche Wort „Moschee“ ab, das wahrscheinlich über das spanische ''mezquita'' und das italienische ''moschea'' aus dem Arabischen entlehnt wurde. Aufgrund ihrer besonderen Rolle in der islamischen Geschichte gilt die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] den Muslimen als besonders heilig. Sie soll auch mit dem im Koran genannten „Masdschid, der vom ersten Tag auf Gottesfurcht gegründet war“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/108 Q 9:108]) identisch sein. Bis heute wird sie bei der Wallfahrt von Scharen muslimischer Pilger zum Gebet aufgesucht. Neben dem Masdschid von Qubā' bestanden in Yathrib noch verschiedene andere private Gebetsplätze. Muhammad fasste nach kurzer Zeit den Entschluss, ebenfalls einen Masdschid zu errichten. Er wählte dafür einen Ort im Viertel der Banū n-Naddschār aus, in dem er Aufnahme gefunden hatte. Zusammen mit seinen Anhängern errichtete er dort einen Hof von etwa 35 x 30 m, der mit einer Ziegelmauer eingefasst war. Muhammad selbst schlief in einer der Kammern an der Außenmauer. Der Bau war also auch gewissermaßen Muhammads Haus. An der nördlichen Seite, wo zunächst gebetet wurde, schützte ein Schattendach (''ṣuffa'') aus Palmblättern und Lehm die Betenden vor der Sonne. Nach der Verlegung der Gebetsrichtung nach Mekka (siehe unten) nutzten mittellose Muhādschirūn und solche, die in Yathrib keine Unterkunft hatten, den Platz als Zufluchtsort und übernachteten hier. Aufgrund ihrer Armut und besonderen Nähe zum Propheten gelten diese „Leute des Schattendachs“ ([[w:Ahl as-Suffa|Ahl as-Suffa]]) bis heute vielen Muslimen als religiöses Vorbild. Die Moschee Muhammads entwickelte sich im Laufe der Zeit zum Zentrum des Gemeindelebens seiner Anhänger. Die Gebete wurden durch einen öffentlichen Ruf, [[w:Adhān|Adhān]] genannt, angekündigt. Als ersten Gebetsrufer (''muʾaḏḏin'', davon abgeleitet das deutsche Wort [[w:Muezzin|Muezzin]]) soll Muhammad den Äthiopier [[w:Bilāl ibn Rabāh|Bilāl ibn Rabāh]] eingesetzt haben, der deswegen gewissermaßen als Vorbild aller späteren Muezzine gilt. Man versammelte sich in Muhammads Moschee allerdings nicht nur zum Gebet, sondern hielt auch Beratungen ab, empfing Gesandtschaften und pflegte Verwundete. In den angrenzenden Räumlichkeiten wurden die Ehefrauen Muhammads untergebracht. Auf Grundlage des enormen ökonomischen Zugewinns, den die Gemeinschaft der Muslime nach der Schlacht von Chaibar erlebte, konnte der Bau 628 auf etwa 50 x 50 m erweitert werden. Auch im Gebetsritus erfolgten in den Jahren nach der Hidschra einige Änderungen. Parallel zur Einführung eines dritten Tagesgebets (vgl. oben [[#3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden|3.2.2.]]) wurde die Pflicht zur Abhaltung der Vigilien gelockert ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/73/vers/20 Q 73:20]). Nach dem Zerwürfnis mit den jüdischen Stämmen löste sich Muhammad von der Gebetsrichtung ([[w:Qibla|Qibla]]) nach Jerusalem, und es begann ein Prozess der schrittweisen Umorientierung. Zunächst wurde betont, wie gleichgültig es ist, nach welcher Richtung man betet, weil Gott überall ist ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/115 Q 2:115]). Schließlich wurde als neue Qibla die „Heilige Kultstätte“ ([[w:al-Masdschid al-Harām|al-Masdschid al-Harām]]) in Mekka festgelegt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/144 Q 2:144]), wobei offensichtlich die frühere Gebetsrichtung noch als gleichberechtigt anerkannt wurde (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/148 Q 2:148]). In der Mitte von Muhammads medinischer Periode wurden außerdem einige Bestimmungen für den Zustand erlassen, in dem sich die Gläubigen befinden mussten, wenn sie sich dem Gebet näherten: Wenn sie unrein (''ǧunub'') waren, sollten sie vorher eine Waschung vornehmen, und wenn sie vom Abort kamen oder eine Frau berührt hatten, sich vorher mit Wasser oder ersatzweise Erde über Gesicht und Hände streichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/43 Q 4:43]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/6 5:6]). Etwa um die gleiche Zeit wurde die Salāt für alle Muslime zu einer obligatorischen Pflicht. Das geht aus koranischen Passagen dieser Periode hervor, die beschreiben, dass die Munāfiqūn nur widerwillig an diesem Ritual teilnahmen (vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/142 Q 4:142]). === 3.3.2. Ramadān-Fasten und Festgebet === Eines der größten [[w:Jamim_Noraim|Feste im Judentum]] ist das Fasten am [[w:Jom Kippur|Jom Kippur]], dem zehnten Tag des Monats [[w:Tischri|Tischri]]. Die Juden in Yathrib nannten diesen Tag wegen seiner Stellung im Monat einfach den Zehnten ([[w:Aschura|ʿĀschūrā']]), so wie er auch im Alten Testament (Lev 16:29) genannt wird. Als sich nach Muhammads Ankunft in Yathrib zum ersten Mal der zehnte Tag des Tischri näherte, befahl er seinen Anhängern, zusammen mit den Juden an diesem Tag zu fasten. Der Koran legt davon noch Zeugnis ab: „Ihr Gläubigen! Euch ist vorgeschrieben worden zu fasten, so wie es auch denjenigen, die vor euch lebten, vorgeschrieben worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/183 Q 2:183]). Die Juden fasteten an diesem Tag von einem Abend zum nächsten, und auch die Muslime übernahmen diese Gewohnheit. Im Zuge seiner Abwendung von den Juden im Jahre 624 löste sich Muhammad aber auch von den jüdischen Fastenvorschriften und führte das dreißigtägige Tagesfasten im Monat [[w:Ramadan|Ramadān]] ein. Der Ramadān hatte spätestens seit der Schlacht von Badr, die in diesem Monat stattgefunden hatte, eine besondere Bedeutung bei den Muslimen. Er galt nun auch als Monat der Herabsendung des Korans (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/185 Q 2:185]) und wurde mit einem speziellen Fastenritus geehrt, der das frühere ʿĀschūrā'-Fasten ablöste. Die ersten Regelungen für das Ramadānfasten finden sich in den beiden Koranversen 2:185 und [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]. Diese beiden Verse liefern die Grundlage für die ausführlichen Fastenvorschriften, die die muslimischen Rechtsgelehrten in späterer Zeit ausarbeiteten. Zum Fasten gehörte neben dem Verzicht auf Speisen und Getränke auch die Enthaltung vom Geschlechtsverkehr. Geschlechtsverkehr in den Nächten des Ramadān wurde dagegen ausdrücklich erlaubt, mit der Begründung, dass Mann und Frau einander wie Kleider seien. Nur für die Zeit des [[w:Iʿtikāf|Iʿtikāf]], eine besondere Andachtszeit am Ende des Ramadāns, wurde das nächtliche Sexualverbot aufrechterhalten (Q [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]). Die letzten Ramadān-Nächte hatten schon früh eine Sonderstellung im religiösen Leben der Muslime, weil die Auffassung bestand, dass der Koran in einer dieser Nächte herabgesandt worden war. Diese Nacht der Herabsendung des Korans wird entsprechend [[w:Sure 97|Sure 97]] als [[w:Lailat al-Qadr|Lailat al-Qadr]] („Nacht der Vorsehung“) bezeichnet und gilt als besonders heilige Zeit. [[Datei:Eid Gaah Mahoba - panoramio - Dr. Nizam.jpg|mini|ʿĪdgāh in [[w:Mahoba|Mahoba]], Indien]] Eingeführt wurde in dieser Zeit auch ein [[w:Fest des Fastenbrechens|Fest des Fastenbrechens]] (''ʿīd al-fiṭr'') am Anfang des nachfolgenden Monats [[w:Schawwāl|Schauwāl]]. Bei dieser Gelegenheit, so wird überliefert, begab sich Muhammad mit den Gläubigen in einem prozessionsartigen Zug zu einem Platz außerhalb der Stadt, wobei ihnen Bilāl mit einer Lanze (''ʿanaza'') – ursprünglich ein Geschenk des äthiopischen [[w:Negus|Negus]] – vorauslief. Während des Gebetes wurde dann die Lanze als Markierung für die Qibla an einer Stelle in den Boden gesteckt. An diesem Gebetsplatz ([[w:Musallā|Musallā]]) fanden jetzt auch die Regengebete und das Gebet zum [[w:Islamisches Opferfest|Opferfest]] (''ʿīd al-aḍḥā'') am 10. [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] statt. Das Opferfest wurde zu dieser Zeit wahrscheinlich neu eingeführt und knüpfte an die Opferzeremonien an, die beim [[w:Haddsch|Haddsch]] an diesem Tag in [[w:Minā|Minā]] vollzogen wurden (siehe oben [[Bamberger_Einführung_in_die_Geschichte_des_Islams_(BEGI)_01#1.3.3._Das_altarabische_Heidentum_und_die_Heiligtümer_von_Mekka|1.3.3.]]). Üblicherweise hielt der Prophet nach Abschluss dieser Gebete eine Ansprache ([[w:Chutba|Chutba]]), in der er die Gläubigen dazu aufforderte, sich an gemeinsamen (kriegerischen) Unternehmungen zu beteiligen. Bis heute hat sich das vormittägliche Festgebet als Sonderritus erhalten. Auch ist es in vielen islamischen Ländern bis heute üblich, Festgebete und Regengebete an einem speziellen Festplatz ([[w:ʿĪdgāh|ʿĪdgāh]]) außerhalb der Stadt zu vollziehen. == 3.4. Weiterführende Literatur == * Andreas Görke: “Between History and Exegesis: The Origins and Transformation of the Story of Muḥammad and Zaynab Bt Ǧaḥš” in ''Arabica'' 65/1-2 (2018) 31–63. * [[w:Meir Jacob Kister|Meir Jacob Kister]]: “The Market of the Prophet”. In: ''Journal of the Economic and Social History of the Orient''. 8 (1965) 272–276. [http://www.kister.huji.ac.il/content/market-prophet Digitalisat] * Michael Lecker: ''The 'Constitution of Medina'. Muḥammad’s First Legal Document''. Darwin Press, Princeton NJ 2004. [https://archive.org/details/the-constitution-of-medina-muhammads-first-legal-document-by-micheal-lecker-2004/page/n1/mode/2up Digitalisat] * Michael Lecker: ''Muslims, Jews and Pagans. Studies on early Islamic Medina.'' Leiden: Brill 1995. * David S. Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men. The making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Hannah Rahman: "The Conflicts Between the Prophet and the Opposition in Madina" in ''Der Islam'' 62/2 (1985) 260-297. [https://doi.org/10.1515/islm.1985.62.2.260 Digitalisat] * Uri Rubin: “The Assassination of Kaʿb b. al-Ashraf”, in ''Oriens'' 32 (1990) 65–71. * Richard B. Serjeant: The Sunna Jāmiʿah, „Pacts with the Yathrib Jews, and the Taḥrīm of Yathrib. Analysis and Translation of the Documents Comprised in the So-Called ‘Constitution of Medina’“ in ''Bulletin of the School of Oriental and African Studies'' 41 (1978) 1–42. * [[w:William Montgomery Watt|William Montgomery Watt]]: ''Muhammad at Medina.'' Oxford: Oxford University Press 1956. [https://archive.org/details/muhammadatmedina029655mbp/page/n9/mode/2up Digitalisat] * William Montgomery Watt: ''Muḥammad: Prophet and Statesman''. London: Oxford University Press 1961. * [[w:Julius Wellhausen|Julius Wellhausen]]: ''Mohammeds Gemeindeordnung von Medina. Skizzen und Vorarbeiten''. Bd. IV. Reimer, Berlin, 1889. S. 65–83. [http://archive.org/stream/medinavordemisl00sagoog#page/n74/mode/2up Digitalisat] == 3.5. Aufgaben/Fragen == 1. Wie ist das Konzept des Dschihad entstanden? 2. Was beinhaltete der Vertrag von Hudaibiya und inwiefern stellte er einen Triumph für Muhammad dar? 3. Welche Regeln beinhaltete die Gemeindeordnung von Medina? 4. Ab dem Ende der mekkanischen Zeit näherte sich Muhammad dem Judentum an. Wie äußerte sich das auf religiöser Ebene? 5. Geben Sie einen Überblick über die militärische Auseinandersetzung Muhammads mit den Juden von Medina und Umgebung. 6. Muhammad erlebte während seiner Zeit in Medina einen allmählichen Machtzuwachs. Worin zeigte sich dieser? 7. Nennen Sie rechtliche Regeln, die während der Zeit in Medina eingeführt wurden. 8. Erklären Sie, wie der Ramadān zum heiligen Monat der Muslime geworden ist und welche Vorstellungen und Praktiken mit ihm verbunden sind. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} g3xoaul48sifhn7tfvtewy6zg8z4y88 0 99631 1117167 1062420 2026-10-20T12:55:19Z Carl Stiller 32616 /* 9.1.3. Die Sufis an den Höfen */ anführungsstriche 1117167 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 08|8 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 10|>>> 10]] {{TOC nonum}} = 9. Das Aufblühen der Sufi-Orden und der Zwölfer-Schia (1173-1517) = Das mystische Denk- und Lehrsystem der Sufis wird immer wichtiger und erhält auch herrscherliche Förderung. Der Mongolensturm bringt große Umwälzungen mit sich, trägt aber im Ergebnis zur weiteren Verbreitung des Islams bei. Die ägyptischen Mamluken erlangen die Herrschaft über die Heiligen Stätten des Islams und unterhalten ein abbasidisches „Schattenkalifat“. Die Zwölfer-Schia wird in Iran zur Staatslehre. == 9.1. Sunnitische Kanonisierung und Aufblühen der Sufik (1173-1261) == === 9.1.1. Die Entwicklung der politischen Landkarte === [[Datei:قبة يوسف.JPG|mini|links|Die Qubbat Yūsuf auf dem [[w:Tempelberg|Tempelberg]] in Jerusalem mit der Inschrift von 1191, in der sich Saladin als [[w:Diener der beiden heiligen Stätten|Diener der beiden heiligen Stätten]] rühmt.]] Mit [[w:Saladin|Saladin]] hatte das abbasidische Kalifat im Vorderen Orient einen wichtigen Unterstützer erhalten. 1173 sandte er seinen Bruder [[w:Turan Schah (Gouverneur)|Tūrān-Schāh]] mit einer Streitmacht in den Süden, um den Jemen zu erobern. Auf dem Wege machte er auch die [[w:Scherifen von Mekka|Scherifen von Mekka]], die selbst [[w:Zaiditen|zaiditische]] Schiiten waren, botmäßig. Seither erkannten die Scherifen von Mekka auch wieder den abbasidischen Kalifen als ihren Oberherren an. Nachdem Saladin 1174 Damaskus erobert hatte, verlieh ihm der abbasidische Kalif das Sultanat über Ägypten, Palästina und Syrien. 1187 konnte er die Franken in der [[w:Schlacht bei Hattin|Schlacht von Hattīn]] besiegen und Jerusalem zurückerobern. Dies löste große Freude in Bagdad aus. Saladin selbst rühmte sich in einer Inschrift in Jerusalem, ein „[[w:Diener der beiden heiligen Stätten|Diener der beiden edlen Heiligen Stätten]] und dieses geheiligten Hauses“ zu sein. Damit führte er einen neuen Herrschertitel in den Islam ein. Mit den beiden heiligen Stätten meinte er die [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]]-Bezirke von Mekka und Medina, die durch den Feldzug seines Bruders (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 08#8.2.5. Die Aufspaltung der Ismāʿīlīya und das Ende des fatimidischen Kalifats|8.2.5.]]) unter seine Herrschaft gelangt waren, mit dem „geheiligten Haus“ Jerusalem. Der [[w:Tempelberg|Tempelberg]] stieg sogar bald zu einem dritten Haram auf. In einem Friedensvertrag aus dem Jahre 1228 zwischen Saladins Neffe [[w:al-Malik al-Kāmil|al-Malik al-Kāmil]] und [[w:Friedrich II.|Friedrich II.]] wird er als ''al-ḥaram aš-šarīf'' („der edle Haram“) bezeichnet. Dieser Ehrentitel wird noch heute von muslimischer Seite für den Tempelberg verwendet. [[File:Premongol.png|mini|Die alte Welt um das Jahr 1200]] Die von Saladin begründete Dynastie, die sogenannten [[w:Ayyubiden|Ayyubiden]], blieben dem abbasidischen Kalifat fest verbunden. In Mekka, wo die Ayyubiden herrschten, wurde für die Verhüllung ([[w:Kiswa|Kiswa]]) der Kaaba die schwarze Farbe der Abbasiden eingeführt. Vorher hatte diese Verhüllung meist eine andere Farbe (weiß, gelb oder grün) gehabt. Unter dem Kalifen [[w:an-Nāsir li-Dīn Allāh|an-Nāsir li-Dīn Allāh]] (reg. 1180-1225) konnten sich die Abbasiden gänzlich von der [[w:Seldschuken|seldschukischen]] Bevormundung befreien und im Irak nach langer Zeit wieder eine Direktherrschaft errichten. In Anatolien wurden sie von den [[w:Sultanat der Rum-Seldschuken|Sultanen der Rum-Seldschuken]] als Oberherren anerkannt. Auch im Osten konnten die abbasidischen Kalifen Unterstützung für ihren politischen Anspruch auf die Führung der islamischen Umma gewinnen. Hier hatte 1192 ein General des [[w:Ghuriden|Ghūrīden]]-Reichs, [[w:Delhi|Delhi]] eingenommen und 1209 mit dem [[w:Sultanat von Delhi|Sultanat von Delhi]] den ersten islamischen Staat auf indischem Boden gegründet. Nachdem 1211 [[w: Iltutmish|Iltutmisch]] die Herrschaft im Sultanat übernommen hatte, unterstellte er sich 1229 an-Nāsirs Nachfolger [[w:al-Mustansir (Abbasiden)|al-Mustansir]] (reg. 1226-1242) und ließ Münzen in seinem Namen prägen. Im Jemen machte sich der [[w:Rasuliden|Rasulide]] ʿUmar 1232 von den ägyptischen Ayyubiden unabhängig und ließ sich ebenfalls vom Kalifen ein Einsetzungsschreiben geben. Ein konflikthaftes Verhältnis bestand im Osten allein mit dem [[w:Choresm-Schahs|Choresm-Schah]] [[w:Muhammad II. (Choresmien)|ʿAlā' ad-Dīn Muhammad]], dessen Reich Anfang des 13. Jahrhunderts neben Choresmien auch Transoxanien und weite Teile Irans umfasste. Dieses Reich wurde jedoch zwischen 1219 und 1221 durch die mongolischen Truppen [[w: Dschingis Khan|Dschingis-Chans]] erobert. Zahlreiche persische und türkische Gelehrte flohen damals vor den [[w:Mongolen|Mongolen]] aus [[w:Transoxanien|Transoxanien]] in das neu islamisierte Anatolien. Da die mongolischen Truppen von Iran aus nordwärts über den Kaukaus in die [[w:Osteuropäische Ebene|osteuropäische Ebene]] abzogen, war die von den Mongolen herrührende militärische Gefahr für das Kalifat abgewendet. Nach dem Tode Dschingis-Chans im Jahre 1227 wurden vier mongolische Teilreiche gebildet, die dem Großchan in Karakorum unterstellt waren. Eines davon war das Reich der [[w:Goldene Horde|Goldenen Horde]], das die Eroberungsaktivitäten in Osteuropa fortsetzte und 1237 auch den Staat der muslimischen [[w:Wolga-Bulgaren|Wolga-Bulgaren]] annektierte. [[w:Berke Khan|Berke]], der Sohn des Chans der Goldenen Horde, konvertierte schon in den vierziger Jahren des 13. Jahrhunderts zum Islam, nahm Beziehungen zum Kalifen [[w: al-Musta'sim bi-'llah|al-Mustaʿsim]] (reg. 1242-1258) auf, und es kam zum Austausch von Gesandtschaften und Geschenken. Auf diese Weise wurde das abbasidische Kalifat durch die Mongoleninvasion letztendlich sogar noch gestärkt. Im Westen reichte die Einflusssphäre des abbasidischen Kalifats allerdings nur bis Ägypten. Der Maghreb und al-Andalus unterstanden ab Anfang des 13. Jahrhundert vollständig den Almohaden. Nacheinander lösten sich jedoch verschiedene Territorien vom Almohadenreich: Tunis unter den [[w:Hafsiden|Hafsiden]], Nachkommen eines der zehn Jünger des Mahdī (ab 1230), al-Andalus unter den [[w:Nasriden (Granada)|Nasriden]] von [[w:Granada|Granada]] (ab 1232), Ostalgerien unter den [[w:Abdalwadiden|ʿAbd al-Wādiden]] von [[w:Tlemcen|Tlemcen]] (ab 1236), Zentralmarokko unter den [[w:Meriniden|Meriniden]] in Fès (ab 1244) und Nordmarokko unter den ʿAzafiden in [[w:Ceuta|Ceuta]] (ab 1250). === 9.1.2. Die Etablierung des Vier-Madhhab-Systems === [[File:Public Domain Mecca Maps 03.jpg|mini|Schematische Darstellung der [[w:Mihrāb|Mihrābe]] der vier sunnitischen Lehrrichtungen in der [[w:al-Masdschid al-Harām|Heiligen Moschee]] von Mekka auf einem Haddsch-Zertifikat von 1433: rechts der hanafitische, oben der malikitische, links der hanbalitische und unten der schafiitische]] In der politischen Sphäre des abbasidischen Kalifates setze sich um diese Zeit die Auffassung durch, dass es in der sunnitischen Normenlehre vier anerkannte [[w:Madhhab|Lehrrichtungen]] gibt. Hierzu gehörte der mālikitische Madhhab (nach [[w:Mālik ibn Anas|Mālik ibn Anas]], vgl. [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 06#6.5. Die dritte Fitna und der Sturz des umaiyadischen Kalifats (744-750)|6.5.]]), dem vor allem die Muslime im Maghreb anhingen, der hanafitische Madhhab (nach [[w:Abū Hanīfa|Abū Hanīfa]], vgl. [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 06#6.5. Die dritte Fitna und der Sturz des umaiyadischen Kalifats (744-750)|6.5.]]), der vor allem bei den Türken beliebt war, der schafiitische Madhhab (nach [[w:asch-Schāfiʿī|asch-Schāfiʿī]], vgl. [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07#7.1.3. Die Synthesen im Fiqh|7.1.3.]]), der in Ägypten, Syrien, Iran, im Jemen und an den Küsten des Indischen Ozeans vorherrschend war, sowie der hanbalitische Madhhab (nach [[w:Ahmad ibn Hanbal|Ahmad ibn Hanbal]], vgl. [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07#7.2.3. Die Mihna|7.2.3.]]), der im Irak viele Anhänger hatte. Der Unterschied zwischen diesen Lehrrichtungen äußert sich nicht nur auf rechtlicher, sondern auch auf ritueller Ebene, so zum Beispiel beim [[w:Salāt|rituellen Gebet]]. Die Durchsetzung des Vier-Madhhab-Systems lässt sich an der Organisation des Gemeinschaftsgebetes in der [[w:al-Masdschid al-Harām|Heiligen Moschee]] von Mekka erkennen. Um die Mitte des 12. Jahrhundert wurde der zentrale Platz rund um die Kaaba in vier Zonen eingeteilt, innerhalb derer die Anhänger der verschiedenen Lehrrichtungen das Gebet in getrennten Gruppen nebeneinander verrichteten. Die Standorte der jeweiligen Vorbeter waren durch [[w:Mihrāb|Mihrābe]] gekennzeichnet, die im Kreis um die Kaaba angeordnet waren. Nach einer festgelegten Ordnung beteten die verschiedenen Gebetsgruppen (''ǧamāʿāt'') in einer bestimmten Reihenfolge nacheinander, beim Abendgebet auch gleichzeitig. Der abbasidische Kalif al-Mustansir gründete 1234 mit der Mustansirīya in Bagdad die erste [[w:Madrasa|Madrasa]], in der alle vier sunnitischen Lehrrichtungen berücksichtigt waren. Mit der Gründung wollte der Kalif wohl seinen universalen politischen Anspruch zum Ausdruck bringen. Später wurde dieses Vier-Madhhab-System auch in anderen zentralen Orten der islamischen Welt, so in Mekka, Medina, Jerusalem und Damaskus im Schulwesen übernommen. Aus dem Vier-Madhhab-System fiel lediglich das Almohadenreich im Westen heraus. [[w:Abū Yūsuf Yaʿqūb al-Mansūr|Abū Yūsuf Yaʿqūb]] (reg. 1184-99), der dritte Almohadenherrscher, bekannte sich öffentlich zur [[w: Zahiriten|Zāhirīya]], einer Lehrrichtung, die auf den irakischen Traditionalisten Dāwūd ibn Chalaf (gest. 884) zurückgeht und durch [[w:Ibn Hazm|Ibn Hazm]] (gest. 1064) in al-Andalus verbreitet worden war. Kennzeichen der Zāhirīya ist die Ablehnung des [[w:Qiyās|Qiyās]] und die strikte Orientierung am offenkundigen Wortsinn (''ẓāhir'') von Koran und Hadith. Die Orientierung an der Zāhirīya ging mit einer Bekämpfung der mālikitischen Richtung einher. Nach Berichten zeitgenössischer Autoren ließ Abū Yūsuf sogar die Bücher der Mālikiten verbrennen. Um 1230 wurde aber die religiöse Sonderlehre im Almohadenreich abgeschafft; der Begründer, der Mahdī [[w:Ibn Tūmart|Ibn Tūmart]], wurde nun auf allen Kanzeln verflucht und die Rückkehr zur mālikitischen Lehre proklamiert. Auch in fast allen Nachfolgestaaten des Almohadenreiches wurde die malikitische Rechtsschule zur herrschenden Lehrrichtung. Nur die Statthalter von Tunis, die Hafsiden, Nachkommen eines der zehn Jünger des Mahdī, blieben der almohadischen Lehre noch eine Zeit lang treu. === 9.1.3. Die Sufis an den Höfen === Kennzeichnend für die islamisch-religiöse Kultur der nachfatimidischen Zeit ist die große Bedeutung des Sufitums (''taṣauwuf''). Hierbei handelt es sich um ein religiöses Lehrsystem, das die eigene spirituelle Erfahrung, das "Schmecken" (''ḏauq''), ins Zentrum stellt, aber auch solchen Prinzipien wie „Gottesfurcht“ ([[w:Taqwā|Taqwā]]), [[w:Armut|Armut]] (''faqr'') und Dienstbarkeit ([[w:ʿUbūdīya|ʿUbūdīya]]) sowie dem Gottesgedenken ([[w:Dhikr|Dhikr]]) sehr große Bedeutung beimisst. Das Sufitum, das eine ganz eigene Terminologie zur Beschreibung von Seelenzuständen und mystischen Erfahrungen besitzt, ist eigentlich im 9. Jahrhundert im Irak entstanden, doch hat man den Begriff ''taṣauwuf'' später auch für muslimische Asketen aus anderen Regionen verwendet, die sich um eine Verinnerlichung der Religion bemühten. Nachdem Gelehrte aus dem ostiranischen Raum wie [[w:Abū Nasr as-Sarrādsch|Abū Nasr as-Sarrādsch]] (gest. 988), [[w:al-Kalābādhī|al-Kalābādhī]] (gest. 995) und [[w:al-Quschairī|al-Quschairī]] (gest. 1074) das Sufitum in Handbüchern zu einem umfassenden kohärenten spirituellen Lehrsystem ausgearbeitet hatten, fand dieses auch in den anderen Gebieten der islamischen Welt bei Rechtsgelehrten, Theologen und Literaten immer mehr Zuspruch. Der Begriff des Sufitums wird üblicherweise damit erklärt, dass die Sufis in der Anfangszeit Kleidung aus Wolle (''ṣūf'') trugen, allerdings setzten sich die Sufis selbst sehr stark zu den [[w:Ahl as-Suffa|Ahl as-Suffa]] in Beziehung und betrachteten sich als deren Nachfolger. Innerhalb der Sufik gibt es ein eigenes Autoritätsmodell, das des [[w:Scheich|Scheichs]] (arab. ''šaiḫ'', wörtl. „älterer Mann“). Der Scheich leitet diejenigen, die den spirituellen Weg beschreiten wollen, an. Derjenige, der sich einem solchen Scheich anschließt und sich seiner Autorität unterwirft, wird als [[w:Murīd|Murīd]] (arab. „der Wollende“) bezeichnet. Gelehrte, die sich mit der Sufik beschäftigten, erhielten um diese Zeit zum ersten Mal herrscherliche Unterstützung. Das schlagendste Beispiel ist der Sufi [[w:ʿUmar as-Suhrawardī|Schihāb ad-Dīn ʿUmar as-Suhrawardī]] (gest. 1234), der eine der wichtigsten Persönlichkeiten am Hof der Abbasiden-Kalifen an-Nāsīr und al-Mustansir war. Aufgrund seiner engen Beziehung zu an-Nāsir, dem er auch als Gesandter zu den aiyubidischen Herrschern von Ägypten und Syrien und zu den Rum-Seldschuken diente, wurde er zum Schaich asch-Schuyūch, zum obersten Sufi-Meister von Bagdad, ernannt. Der Kalif erbaute für ihn einen eigenen [[w:Ribāt|Ribāt]], eine Art Sufi-Hospiz, in dem er seine Novizen unterrichten konnte. [[Datei:Awarif-maarif-Titelblatt.png|mini|hochkant|Titelblatt einer Pariser Handschrift von ''ʿAwārif al-maʿārif'' aus dem 13. Jahrhundert mit verschiedenen Besitzvermerken.]] Im Unterricht verwendete as-Suhrawardī sein Werk [[w:ʿAwārif al-maʿārif|ʿAwārif al-maʿārif]] („Die Gaben der Erkenntnisse“), das sich zu einem der einflussreichsten Sufi-Lehrbücher überhaupt entwickelte. As-Suhrawardī liefert in diesem Buch nicht nur eine Zusammenschau der gesamten älteren sufischen Literatur, sondern entwirft auch neue sufische Regeln, so zum Beispiel für das Leben im Ribāt, der zu dieser Zeit eine Art „Entmilitarisierung“ erlebte. As-Suhrawardī ist sich dieses Bedeutungswandels auch bewusst. Er erklärt, dass Ribāt eigentlich einen Ort bezeichne an der Grenze bezeichne, von dem man aus das Hinterland verteidige. Der Ribāt diene aber auch dem Dschihad gegen die Seele und die Lust. Dies, so erklärt as-Suhrawardī, sei der wahre Dschihad, nämlich der große Dschihad, entsprechend dem, was vom Gottesgesandten überliefert werde, dass er nämlich bei der Rückkehr von einem Kriegszug sagte: "Wir sind vom kleinen Dschihad zum großen Dschihad zurückgekehrt." Ausführlich beschreibt as-Suhrawardī in dieser Zeit auch den Flickenrock ([[w:Chirqa|Chirqa]]) der Sufis. Er erklärt, dass das Anlegen dieses Kleidungsstücks wichtig sei, um eine Verbundenheit zwischen dem Scheich und dem Murīd herzustellen. Als Praktik zur inneren Läuterung empfiehlt as-Suhrawardī die Praktik der vierzigtägigen Einkehr ''(arbaʿīnīya)''. Zur Begründung dieser Praxis beruft er sich auf das angebliche Prophetenwort: "Wer Gott vierzig Tage aufrichtig widmet, auf dessen Zungen erscheinen die Quellen der Weisheit aus seinem Herzen." Außerdem weist seiner Auffassung nach die koranische Geschichte von Mose, der sich vierzig Tage zurückzieht und dann mit Gott spricht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/7/vers/142 Sure 7:142]), auf diese Praktik hin. ʿUmar as-Suhrawardī gründete auch einen der ersten Sufi-Orden, die [[w:Suhrawardīya|Suhrawardīya]]. In diesem Orden, der sich vor allem in Irak, Iran und auf dem indischen Subkontinent verbreitete, aber auch in anderen Orden, die sich später entwickelten, wurde sein Buch sehr intensiv studiert. Sufis wurden nun auch an den Höfen anderer islamischer Herrscher gefördert. In Indien hieß Iltutmisch den zentralasiatischen Sufi Qutb ad-Dīn Bachtiyār Kākī (gest. 1235) und den Suhrawardī-Missionar Dschalāl ad-Dīn Tabrīzī willkommen. Im rasulidischen Jemen erhielt der Sufi Ahmad ibn ʿAlwān (gest. 1266) herrscherliche Förderung. Bei den Almohaden bekam [[w:Ibn Sabʿīn|Ibn Sabʿīn]] (gest. 1270), der wegen seiner Nähe zur Philosophie als „Sufi nach den Grundsätzen der Philosophen“ (''ṣūfī ʿalā qāʿidat al-falāsifa'') bezeichnet wurde, herrscherliche Protektion. Und am Hof der Rum-Seldschuken in Konya wurde der aus dem andalusischen [[w:Murcia|Murcia]] stammende sufische Gelehrte [[w:Muhyī d-Dīn Ibn ʿArabī|Muhyī d-Dīn Ibn ʿArabī]] (gest. 1240) willkommen geheißen. Er war im Laufe seines Lebens von Nordafrika aus durch weite Gebiete des Orients gewandert, mit fast allen bedeutenden Sufis seiner Zeit zusammengetroffen und übte später großen Einfluss auf das islamische Denken aus (vgl. unten [[#9.2.6. Theologische Auseinandersetzungen innerhalb des sunnitischen Islams|9.2.6.]]). === 9.1.4. Zweiter Mongolensturm und Fall des Bagdader Kalifats === [[File:Bagdad1258.jpg|mini|Darstellung der [[w:Eroberung Bagdads (1258)|Eroberung Bagdads]] im Jahre 1258 in einer Handschrift von [[w:Raschīd ad-Dīn|Raschīd ad-Dīn Fadlallāhs]] Geschichtswerk [[w:Dschāmiʿ at-tawārīch|Dschāmiʿ at-tawārīch]]]] In den Jahren 1251 bis 1259 führte [[w:Hülegü|Hülegü]], ein Enkel Dschingis-Chans, im Auftrag des [[w:Großkhan|Großchans]] von [[w:Karakorum (Stadt)|Karakorum]] eine neue mongolische Invasion gegen Westasien durch. Zwischen 1256 und 1259 wurden Iran und der Irak vollständig erobert. Als Hülegü 1258 [[w:Eroberung Bagdads (1258)|Bagdad eroberte]], stürzte er den abbasidischen Kalifen al-Mustaʿsim und ließ ihn hinrichten. Mit dieser Tat zerstörte er nicht nur das bisherige politische Zentrum der islamischen Welt, sondern stellte auch das islamische Herrschaftsverständnis ernstlich in Frage. Die islamische [[w:Umma|Umma]] wurde damit gewissermaßen führungslos. Die mongolische Invasion konnte erst 1260 bei [[w:Schlacht bei ʿAin Dschālūt|Schlacht bei ʿAin Dschālūt]] in Nordpalästina durch die ägyptischen [[w:Mamluken|Mamluken]] gestoppt werden. Die zweite mongolische Invasion war insofern besonders einschneidend, weil dadurch der Islam für mehrere Generationen in Iran seinen Status als Religion der Herrschenden verlor. Hülägü, der Eroberer Bagdads, war Buddhist, und auch seine Nachkommen, die [[w:Ilchane|Ilchane]], die von [[w:Täbris|Täbris]] aus herrschten, förderten den [[w:Buddhismus|Buddhismus]]. == 9.2. Die Zeit des abbasidischen Schattenkalifats (1261-1517) == === 9.2.1. Die Mamluken, das abbasidische Schattenkalifat und der Mahmal === Die Mamluken waren Militärsklaven – daher auch ihr Name (''mamlūk'' = Sklave) –, die seit 1250 über Ägypten herrschten und dort die Dynastie der Aiyubiden verdrängt hatten. Nach der Schlacht von ʿAin Dschālūt konnten sie ihre Herrschaft auch auf Palästina und Syrien ausweiten. Zwar waren die Mamluken die neue aufstrebende Macht des Nahen Ostens, doch fehlte es ihnen aufgrund ihrer Herkunft als [[w:Turkvölker|turkstämmige]] Militärsklaven an religiös-politischer Legitimation. Um diese zu erhalten, gingen sie ein Bündnis mit Abkömmlingen der [[w:Abbasiden|Abbasiden]] ein. Zwei von ihnen waren 1261 bei den Mamluken aufgetaucht und versuchten, mit ihrer Hilfe Bagdad zurückzuerobern. Nachdem dieser Versuch misslungen war, erhob [[w:Baibars I.|az-Zāhir Baibars]], der nun unangefochtene Anführer der Mamluken in Ägypten, den einzig noch verbliebenen Abbasiden zum Kalifen und ließ sich umgekehrt von ihm den [[w:Sultan|Sultanstitel]] verleihen. Die Abbasidenprinzen aus dieser Linie versahen in den folgenden Jahrhunderten ihr weitgehend formales Amt, ein Kalifat ohne herrscherliche Machtbefugnisse, das den Mamlukensultanen jedoch die notwendige islamische Legitimität verlieh. Im Laufe der Zeit erkannten auch die Herrscher verschiedener anderer Dynastien diese abbasidischen Kalifen als ihre Oberherren an. Innerhalb des Mamlukenreiches hatten die abbasidischen Kalifen nur wenig zu sagen, hier gaben Sultane und Emire der Mamluken den Ton an. Sie erwarben sich hohes religiöses Prestige durch ihren Abwehrkampf gegen die nicht-muslimischen Mongolen, der noch über mehrere Jahrzehnte andauerte. Auch die endgültige Vertreibung der Kreuzfahrer aus Syrien (1280-90) und die Zertrümmerung des [[w:Königreich Kleinarmenien|christlich-armenischen Reiches in Kilikien]] (1375) gehen auf die Mamluken zurück. Darüber hinaus profilierten sie sich durch ihre großzüge Unterstützung der islamischen Gelehrsamkeit. Alle vier sunnitischen Lehrrichtungen erhielten nun einen eigenen Ober-Qādī, der gleichberechtigt neben den anderen stand. Mit Hilfe [[w:Waqf|frommer Stiftungen]] förderten die Mamluken das religiöse Bildungswesen und errichteten in Kairo und den anderen großen Städten ihres Reiches Madrasas und Ribāte. Dahinter stand der Wunsch der mamlukischen Führungsschicht, möglichst viele bedeutende religiöse Persönlichkeiten in das eigene Land zu ziehen, um dieses als kulturelles Zentrum der islamischen Welt auszuweisen. Die [[w:Azhar (Ägypten)|Azhar]]-Moschee in Kairo erlebte in dieser Zeit ihren Aufstieg als international anerkannte Stätte islamischer Gelehrsamkeit. Die Mamluken positionierten sich auch als eindeutig anti-schiitische Macht. Schon in den 1270er Jahren unterwarf Baibars die Burgen der nizāritischen Ismailiten im syrischen Küstengebirge. Im frühen 14. Jahrhundert rückte dann das Heer des mamlukischen Statthalters von Damaskus mehrfach aus, um die in den umliegenden Gebirgszügen lebenden schiitischen Gruppen (Drusen, Nusairier, Zwölfer-Schiiten) mit der Waffe zu bekämpfen. Hinter diesen Aktionen stand der hanbalitische Gelehrte [[w:Ibn Taimīya|Ibn Taimīya]] (gest. 1329), der in einer Fatwa zur Verfolgung von Nusairiern und Drusen aufgerufen hatte. Mit dem Argument, dass sie heimliche Apostaten seien und damit schlimmer als Juden und Christen, forderte er die mamlukischen Herrscher auf, sie ohne Rücksicht auf eine eventuelle [[w:Tauba|Reue]] zu töten. Einer der bedeutendsten imamitischen Gelehrten dieser Zeit, Muhammad ibn Makkī aus [[w:Jezzine|Dschizzīn]] im heutigen Libanon, wurde 1384 von dem mamlukischen Sultan hingerichtet. Er wird von den Zwölfer-Schiiten bis heute als der „Erste Märtyrer“ (''aš-šahīd al-auwal'') verehrt. Auch sunnitische Gelehrte, die mit der Schia sympathisierten, wie [[w:Nadschm ad-Dīn at-Tūfī|Nadschm ad-Dīn at-Tūfī]] (gest. 1316) hatten es im Mamlukenreich schwer. [[File:Mahmal in Lane.png|mini|hochkant|Schematische Zeichung eines [[w:Mahmal|Mahmal]] in [[w:Edward William Lane|Edward William Lanes]] ''An Account of the Manners and Customs of the Modern Egyptians'' (1842)]] Herrschende theologische Schule im Mamlukenreich war die [[w:Aschʿarīya|Aschʿarīya]]. Daneben hatte die hanafitische [[w:Kalām|Kalām]]-Schule in ihrer [[w:Māturīdīya|māturīditischen]] Ausprägung unter den mamlukischen Beamten viele Anhänger. Der syrische Gelehrte [[w:Tādsch ad-Dīn as-Subkī|Tādsch ad-Dīn as-Subkī]] (gest. 1370) schrieb in dieser Zeit ein Lehrgedicht, in dem er die wesentlichen Lehrunterschiede zwischen Aschʿarīya und Hanafīya zusammenfasste. Der Vergleich war nicht auf Betonung der Differenz, sondern auf Harmonisierung angelegt. Damit bahnte er einem nachhaltigen Ausgleich der beiden Lehrrichtungen den Weg. Eine größere Herausforderung erwuchs der Aschʿarīya damals in Form der „Lehrrichtung der Altvorderen“ (''maḏhab as-salaf''), auch Salafīya genannt. Damit wurden diejenigen traditionalistischen Gelehrten bezeichnet, die der Kalām-Wissenschaft ablehnend gegenüberstanden und die in ihr übliche metaphorische Deutung des Korans ablehnten. Zu den bedeutendsten Gelehrten, die eine solche Orientierung hatten, gehörten der bereits genannte Ibn Taimīya und sein Schüler [[w:Ibn Qaiyim al-Dschauzīya|Ibn Qaiyim al-Dschauzīya]] (gest. 1350), beides [[w:Hanbaliten|Hanbaliten]] sowie die beiden [[w:Schafiiten|Schafiiten]] [[w:adh-Dhahabī|Schams ad-Dīn adh-Dhahabī]] (gest. 1348) und [[w:Ibn Kathīr|Ibn Kathīr]] (gest. 1370). Als Sitz des abbasidischen Kalifats hatte das Mamlukenreich von Anfang an eine besondere Stellung unter den islamischen Reichen. Darüber hinaus beanspruchten die mamlukischen Sultane auch die Oberherrschaft über die Heiligen Stätten im Hedschas. Ab 1261 nahmen sie den Titel „Diener der beiden heiligen Stätten“ für sich in Anspruch, ab 1266 schickten sie jährlich mit der Pilgerkarawane den sogenannten [[w:Mahmal|Mahmal]], ein mit kostbaren Stoffen überzogenes Zelt, nach Mekka. Der Mahmal wurde auf einem geschmückten Kamel transportiert und nach der Ankunft bei den kultischen Ritualen in der [[w:ʿArafāt|ʿArafāt]]-Ebene und bei der [[w:Kaaba|Kaaba]] sichtbar positioniert. Auf diese Weise wurde die politische Hoheit der Mamluken über die Heiligen Stätten zum Ausdruck gebracht. Der Sultan wurde während der Wallfahrt meist durch einen Offizier, den ''amīr al-ḥaǧǧ'', der auch die Karawane leitete, vertreten, einzelne Sultane vollzogen aber auch selbst die Wallfahrt nach Mekka. Lange Zeit konkurrierten die Mamluken allerdings noch mit anderen Herrschern, insbesondere den jemenitischen Rasuliden, um die Oberherrschaft über die Heiligen Stätten in Mekka und Medina. Seit 1297 schickten diese ebenfalls einen Mahmal zur Wallfahrt nach Mekka. Auch um das Recht, die [[w:Kaaba|Kaaba]] mit der [[w:Kiswa|Kiswa]] bekleiden zu dürfen, stritten sich die Herrscher der beiden Dynastien. === 9.2.2. Islamisierung in den mongolischen Teilreichen === [[File:Asia in 1335.svg|mini|links|Asien um 1335 mit den vier mongolischen Teilreichen]] Im Jahre 1260 starb der mongolische Großchan [[w:Möngke|Möngke]], und das mongolische Großreich zerfiel endgültig in vier verschiedene Teilreiche: 1.) das Reich der Goldenen Horde, das sich über die Gebiete Südrusslands, der Ukraine und Kasachstans bis nach Westsibirien erstreckte, 2.) das Reich der Ilchane in Persien, dem Kaukasus, Mesopotamien und Ostanatolien, 3.) das [[w: Yuan-Dynastie|Reich der Yüan]] in China und der Mongolei, und schließlich in der Mitte 4.) das [[w:Tschagatai-Khanat|Tschagatai-Chanat]], das Transoxanien, das westliche [[w:Tarimbecken|Tarimbecken]], das [[w:Siebenstromland|Siebenstromland]] und einen Teil der [[w:Dsungarei|Dsungarei]] umfasste. In all diesen Teilreichen fanden in der Folgezeit bedeutende Islamisierungsprozesse statt. Eine Vorreiterrolle spielte dabei das Reich der Goldenen Horde, in dem schon im 13. Jahrhundert verschiedene Herrscher zum Islam übergegangen waren. Berke, seit 1257 Chan der Horde, schloss 1264 mit den Mamluken im Namen des Islam ein Bündnis gegen den buddhistischen Ilchan Hülägü. Und seit 1283 erkannte die Goldene Horde den abbasidischen Schattenkalifen von Kairo als Führer der islamischen Gemeinschaft an. Im 14. Jahrhundert trieb dann vor allem [[w: Usbek Khan|Uzbek Chan]] (reg. 1312-41) die Islamisierung voran: er holte zahlreiche muslimische Gelehrte ins Land, vertrieb die von seinem Vorgänger [[w:Tohtu|Tochtu]] geschätzten [[w:Schamanismus|schamanistischen]] Priester und forderte die Oberschicht des Reiches dazu auf, zum Islam überzutreten. Zwar lebten weiter viele Nicht-Muslime auf dem Gebiet der Goldenen Horde, doch bekam der Staat einen eindeutig islamischen Charakter, und langfristig wurde der Islam auch in der Bevölkerung zur dominierenden Religion. [[Datei:GhazanCoin.jpg|mini|[[w:Dirham|Dirham]] von Ghazan mit arabischer und [[w:Uigurische Sprache|uigurischer]] Beschriftung. Die arabische Inschrift enthält den Text der [[w:Schahāda|Schahāda]]]] Die von Täbris aus herrschenden Ilchane blieben zunächst dem Buddhismus und den Riten des mongolischem Schamanismus treu, allerdings vergaben sie schon von Anfang an wichtige Staatsämter an Muslime, Juden und Christen. Das frühe Ilchan-Reich war also ein Staat mit multireligiöser Ausrichtung. Als 1282 der Ilchan [[w:Tekuder|Tegüder]] nach seiner Thronbesteigung den Übertritt zum Islam bekanntgab und den Namen Ahmad annahm, stieß dies noch auf heftigen Widerspruch in seiner Verwandtschaft. Sein Neffe [[w:Arghun|Arghun]] überwältigte ihn 1284 und kehrte als neuer Ilchan zur früheren Religionspolitik zurück. Erst als 1295 der bereits vor Herrschaftsantritt zum Islam übergetretene [[w:Ghazan Ilchan|Ghāzān]] zum Ilchan wurde, erhielt der Islam wieder die Stellung als Religion des Staates; die in der Zwischenzeit errichteten buddhistischen Tempel wurden zerstört. Unter dem letzten Ilchan-Herrscher [[w:Abū Saʿīd|Abū Saʿīd]] (reg. 1316–1335) wurde eines der wichtigsten [[w:Kalām|Kalām]]-Handbücher der postklassischen Zeit verfasst, das ''Kitāb al-Mawāqif'' von [[w:ʿAdud ad-Dīn al-Īdschī|ʿAdud ad-Dīn al-Īdschī]]. Normative Grundlage für die Herrschaft der Ilchane blieb aber die [[w:Jassa|Yāsā]], das auf Dschingis Chan zurückgeführte mongolische Gesetzeswerk, das militärische wie auch zivile Angelegenheiten regelte und seine Bedeutung als Richtschnur für die Staatsordnung und politische Autorität im Staat behielt. Dies ermöglichte den Mamluken, sich umgekehrt als Garanten der [[w:Scharia|Scharia]], der islamischen Rechtsordnung, die auf Koran und Sunna fußt, zu profilieren. Vor dem Hintergrund einer neuerlichen Invasion der Mongolen in Syrien im Jahre 1299 erklärte Ibn Taimīya in einer [[w:Fatwa|Fatwa]] den Dschihad gegen die Mongolen zur Pflicht für alle Muslime, weil sie eben nicht die Scharia anwandten. Seiner Auffassung nach war nur ein Staat, dessen Regierung (''siyāsa'') auf der Scharia beruhte, ein wirklich islamischer Staat. Ibn Taimīya entwickelte die Theorie von der Notwendigkeit einer scharia-gemäßen Staatsführung (''siyāsa šarʿīya'') in einem eigenen Traktat, der bis heute großen Einfluss auf das islamische politische Denken besitzt. [[Datei:Hui man at Daqingzhen Si.jpg|mini|links|[[w:Hui-Chinesen|Hui-Chinese]] an der [[w:Moschee zu Xi’an|Großen Moschee von Xi'an]], die in den 1360er Jahren erbaut wurde.]] Auch im Yüan-Reich (1260-1368) kam es zu einem Islamisierungsprozess. Die Truppen, mit denen [[w:Kublai Khan|Qubilai Chan]], der Begründer dieses Reiches, Nord- und Südchina überrannt hatte, bestanden zum großen Teil aus muslimischen Kämpfern, die sein Großvater Dschingis Chan von seinen Feldzügen nach Zentral- und Westasien mitgebracht hatte. Da zahlreiche Soldaten Muslime waren, bestimmte der Chan, dass sie nach den Mongolen und vor den Einheimischen den zweiten Rang in China einnehmen sollten. Einer von Qubilai’s muslimischen Generälen, der bucharische [[w:Sayyid|Prophetennachkomme]] Schams ad-Dīn ʿUmar mit dem Beinamen [[w:Sayyid Adschall Schams ad-Din Umar|Saiyid-i Adschall]], begründete in der südwestlichen chinesischen Provinz [[w:Yunnan|Yunnan]] eine eigene Dynastie von muslimischen Statthaltern, die stark zur Verbreitung des Islams in dieser Region beitrug. Ein Enkel von Saiyid-i Adschall erwirkte 1335 die kaiserliche Anerkennung des Islams als Qing-zhen jiao, „Lehre der reinen Wahrheit“, ein Name, der bis heute in China für den Islam verwendet wird. Nach der Ablösung der mongolischen Yüan durch die chinesische [[w:Ming-Dynastie|Ming-Dynastie]] (1368-1644) bekleideten die Muslime aus Yunnan noch eine Zeitlang hohe Staatsämter in China. So stammte zum Beispiel der chinesische Admiral [[w:Zheng He|Zheng He]], der im frühen 15. Jahrhundert für die Ming-Herrscher mehrere große Expeditionen in den Indischen Ozean unternahm, aus ihren Reihen. In der späteren Ming-Zeit verloren die Muslime dann aber ihre Führungsposition in China und gerieten unter großen Assimilierungsdruck. Von den anderen Chinesen als [[w:Hui-Chinesen|Hui]] bezeichnet, erhielten sie sich allerdings über die Jahrhunderte ein starkes Zusammengehörigkeitsgefühl, das sich unter anderem auch darauf stützte, dass sie in bestimmten Berufsfeldern wie dem Bergbau und dem Karawanenhandel besonders erfolgreich waren. Im Reich des Tschagatai war [[w:Tarmaschirin|Tarmaschirin]] (reg. 1331-1334) der erste bedeutende Herrscher, der zum Islam überging und sich für die Verbreitung dieser Religion einsetzte. Um die Mitte des 14. Jahrhunderts zerfiel das Reich in ein östliches und ein westliches Chanat. Chizr Chodscha, von 1389 bis 1399 Herrscher des östlichen Chanats (auch [[w:Moghulistan|Moghulistan]] genannt), unterwarf das uigurische Königreich von Qocho, das eine buddhistische Ausrichtung hatte, und trug damit dazu bei, dass der Islam bei den [[w:Uiguren|Uiguren]] zur herrschenden Religion wurde. Auf dem Gebiet des westlichen Chanats trat in der zweiten Hälfte des 14. Jahrhunderts der Freibeuter [[w:Timur|Timur]] auf. Er unternahm den Versuch, die formal noch bestehenden mongolischen Teilreiche wieder zu einem Großreich zu vereinigen. Bei seinen Eroberungszügen durch Iran, Zentralasien, Irak, die kiptschakische Steppe, Nordindien, Syrien und Anatolien zerstörte Timur (reg. 1370-1405) zahlreiche Städte und Landstriche und massakrierte die Bevölkerung. Timur stellte die Gültigkeit der Scharia als Herrschaftsprinzip in Iran und Zentralasien erneut in Frage, denn er fühlte sich vor allem mongolischen Traditionen verpflichtet. Seine Nachkommen, die [[w:Timuriden|Timuriden]], herrschten bis 1506 über Ostiran, Transoxanien und Westturkestan. Hinsichtlich des Islams verhielten sie sich unterschiedlich. Timurs Sohn [[w:Schāh Ruch|Schāh Ruch]], der von 1405 bis 1447 von [[w:Herat|Herat]] aus über weite Teile Irans herrschte, gab sich wieder ganz als islamischer Herrscher und verkündete zu Beginn seiner Herrschaft, dass die Yāsā durch die Scharia abgelöst sei. Er vermied selbst das Weintrinken und gegen Ende seiner Herrschaft schickte er sogar eine [[w:Kiswa|Kiswa]] zur Verhüllung der Kaaba nach Mekka. Schah Ruchs Sohn [[w:Ulugh Beg|Ulugh Beg]] dagegen, der von 1410 bis 1449 in Samarkand als sein Statthalter tätig war, fühlte sich wie sein Großvater vor allem mongolischen Sitten verbunden und führte seinen Hof ohne Rücksicht auf islamische Vorschriften: es gab dort Zechgelage mit Musik und Gesang. Das Reich der Goldenen Horde zerfiel im Laufe des 15. Jahrhundert in zahlreiche Teilstaaten: 1.) das [[w:Khanat Kasan|Chanat von Kasan]] an der mittleren Wolga, während des 15. Jahrhunderts der bedeutendste militärischen Gegner der Moskauer [[w:Rus|Rus]], 2.) das [[w:Khanat Astrachan|Chanat Astrachan]] im Mündungsgebiet der Wolga, 3.) das [[w:Khanat der Krim|Chanat der Krim]], das die Halbinsel [[w:Krim|Krim]] und die südlichen Steppengebiete der heutigen Ukraine umfasste, 4.) das [[w:Usbeken-Chanat|Chanat der Usbeken]] in Transoxanien, 5.) das [[w:Kasachen-Khanat|Chanat der Kasachen]] auf dem Gebiet des heutigen Staates Kasachstan sowie das 6.) [[w:Khanat Sibir|Chanat von Sibir]], von dem die heutige geographische Bezeichnung [[w:Sibirien|Sibirien]] herrührt. In all diesen Reichen blieb der Islam die Religion der Herrschenden. === 9.2.3. Türkische Ghāzī-Reiche in Südasien und auf dem Balkan === [[File:Sultanat von Delhi Tughluq-Dynastie.png|mini|links|Das Sultanat von Delhi im frühen 14. Jahrhundert]] Zwischen dem späten 13. und dem frühen 14. Jahrhundert brachten die Herrscher des Sultanats von Delhi den größten Teil Nord- und Zentralindiens unter islamische Herrschaft: 1298 wurde das Gebiet von [[w:Gujarat|Gujarat]] annektiert, 1318 der [[w:Dekkan|Dekkan]], der südliche Teil des indischen Subkontinents. Sultan [[w:Muhammad ibn Tughluq|Muhammad ibn Tughluq]] (reg. 1325-1351) verlegte seine Hauptstadt in den Süden nach [[w:Daulatabad|Daulatābād]], um von dort aus den Süden des Reiches besser kontrollieren zu können. Um die Mitte des 14. Jahrhunderts fiel dann das Sultanat von Delhi auseinander. Im Osten machten sich die [[w:Sultanat von Bengalen|Sultane von Bengalen]] (ab 1342) unabhängig. Sie bauten ihre Hauptstadt Pandua prachtvoll aus und errichteten dort mit der 1375 vollendeten [[w:Adina-Moschee|Adina-Moschee]] die größte Moschee des ganzen Subkontinents. Im Süden Indiens gründete 1347 Bahmanschāh, ein Emir des Sultanats von Delhi, das [[w:Bahmani-Sultanat|Bahmaniden-Sultanat]], dessen Hauptstadt [[w:Gulbarga|Gulbarga]] wurde. Und im Westen entstand mit dem [[w:Sultanat Gujarat|Sultanat von Gujarat]] (1407-1584) ein weiteres islamisches Herrschaftsgebilde, das ab 1411 von der neu gegründeten Hauptstadt [[w:Ahmedabad|Ahmadābād]] aus regiert wurde. [[File:Sixty Dome Mosque in Bagerhat Bangladesh.JPG|mini|Die von [[w:Khan Jahan Ali|Chān Dschahān ʿAlī]] errichtete 60-Kuppelmoschee in [[w:Historische Moscheenstadt Bagerhat|Bagerhat]], vormals Chalīfatābād, im heutigen Bangladesch.]] Bei all diesen Staaten erfolgten die Loslösung vom Sultanat von Dehli und die Erhebung zum eigenständigen Sultanat mit einem Einsetzungsschreiben des abbasidischen Kalifen. Einige dieser Herrscher nahmen aber später auch selbst den Kalifentitel für sich in Anspruch wie etwa der bengalische Sultan Nāsir ad-Dīn Mahmūd I. (reg. 1433-1459). Ein General von ihm, [[w:Khan Jahan Ali|Chān Dschahān ʿAlī]] erschloss die gewaltigen Mangrovenwälder des bengalischen [[w:Sundarbans|Sundarban-Gebietes]] für die Besiedlung und errichtete dort die neue Stadt [[w:Historische Moscheenstadt Bagerhat|Chalīfatābād]], von der heute noch die historische 60-Kuppel-Moschee zeugt. Schon 1430 hatte ein Vorgänger Nāsir ad-Dīns das buddhistische Königreich von [[w:Arakan|Arakan]] an der Küste des heutigen [[w:Myanmar|Myanmar]] zum Vasallen gemacht, womit dort ebenfalls ein Prozess der Islamisierung eingeleitet wurde. Bengalische Muslime siedelten sich in großer Zahl in Arakan an. Die heutige Volksgruppe der [[w:Rohingya|Rohingya]] in Myanmar geht zum großen Teil auf sie zurück. Die meisten der türkischen Sultane in Südasien verstanden sich als [[w:Ghāzī (Titel)|Ghāzīs]]. Ein Ghāzī ist ein muslimischer Kämpfer, der sich in der Grenzzone aufhält und in Nachfolge der prophetischen [[w:Maghāzī|Maghāzī]] (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.1.1. Die Provokation der Quraisch|3.1.1.]]) Kriegszüge auf nicht-islamisches Gebiet unternimmt, um den Bereich des [[w:Dār al-islām|Dār al-islām]] zu vergrößern. Allgemein umgab die frommen Kämpfer dieses Typs eine heilige Aura. Sie galten als Träger eines besonderen Segens ([[w:Baraka|Baraka]]), und wurden später zum Gegenstand von Legenden, die in hagiographischen Werken gesammelt wurden. Der Ghāzī ist damit gewissermaßen das östliche Gegenstück zum Murābit (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 08#8.2.3. Die Ausbreitung des Islams in Afrika durch Handel und Ribāt|8.2.3.]]). [[File:Osman I area map.PNG|mini|links|Nordwestanatolien mit der Keimzelle des osmanischen Staates um 1300]] Eine andere Region, in der um diese Zeit türkische Ghāzīs tätig wurden, war Nordwestanatolien. Im Zusammenhang mit dem Niedergang des [[w:Sultanat der Rum-Seldschuken|Sultanats der Rum-Seldschuken]] im 13. Jahrhundert waren hier mehrere autonome Fürstentümer, sogenannte [[w:Beylik|Beyliks]], entstanden. Eines dieser Beyliks war dasjenige, das [[w:Osman I.|ʿOthmān ibn Ertoğrul]], der Angehörige eines [[w:Oghusen|Oghusenstammes]], 1281 in der Nähe von [[w: İznik|Iznik]] gegründet hatte. Mit Überschreitung der [[w:Dardanellen|Dardanellen]] durch seine Kämpfer 1353 begann die erste Expansionswelle dieses „osmanischen“ Ghāzī-Fürstentums nach Europa. Bis 1394 besetzten die osmanischen Truppen [[w:Thrakien (Landschaft)|Thrakien]], [[w:Edirne|Adrianopel (Edirne)]], das zur zweiten osmanischen Hauptstadt wurde, Bulgarien, das serbische Makedonien, die Stadt [[w:Saloniki|Saloniki]] und [[w:Thessalien|Thessalien]]. In Anerkennung um seine Verdienste ließ sich der osmanische Emir [[w:Bayezid I.|Bāyezīd]] 1394 vom abbasidischen Schattenkalifen den Titel „Sultan von Rūm“ verleihen. 1402 wurde dieser neue Sultan Bāyezīd jedoch von Timur vernichtend geschlagen. Dadurch kam die osmanische Expansion auf dem Balkan zunächst einmal zum Stillstand. [[File:Empèri Otoman - Expansion territòriala de 1307 a 1490-es.svg|mini|Der Prozess der osmanischen Expansion im 14. und 15. Jahrhundert]] Eine zweite osmanische Eroberungswelle begann um die Mitte des 15. Jahrhunderts unter Sultan [[w:Mehmed II.|Mehmed II.]] Sie brachte das gesamte Südosteuropa unter osmanische Herrschaft. Um 1453 verlegten die Osmanen ihre Hauptstadt nach Konstantinopel, das fortan Istanbul hieß, und traten damit das symbolische Erbe des Byzantinischen Reiches an. Die [[w:Hagia Sophia|Hagia Sophia]], die frühere Hauptkirche von Byzanz, wurde in eine Moschee verwandelt und bildete fortan das religiöse Zentrum des Osmanischen Reiches. An die Spitze der Gelehrten trat ab 1480 als oberster [[w:Mufti|Muftī]] des Reiches der [[w:Schaich al-Islām|Schaich al-islām]] von Istanbul. Die osmanische Expansion setzte sich in der zweiten Hälfte des 15. Jahrhunderts ungebremst fort. 1475 machten die Osmanen das dschingisidische Chanat der Krim zu ihrem Vasallen. Bis zum Ende des Jahrhundert verdrängten sie fast alle anderen türkischen Beyliks in Anatolien. Auf dem Balkan kam es schon zu dieser Zeit in den osmanischen Verwaltungszentren zu einer Islamisierung der Bevölkerung. Statistiken vom Anfang des 16. Jahrhunderts zeigen, dass damals bereits mehrere Städte, die als solche Zentren fungierten, muslimische Bevölkerungsmehrheiten hatten. Außerhalb dieser Städte änderte sich die religiöse Bevölkerungsstruktur in den meisten Gebieten allerdings nur wenig. Allein im 1463 eroberten [[w:Bosnien|Bosnien]], wo aufgrund der Existenz einer eigenständigen [[w:Bosnische Kirche|Bosnischen Kirche]] eine besondere religiöse Situation herrschte, fasste der Islam in diesem Zeitraum auch schon in den ländlichen Regionen Fuß. Die Konversionen zum Islam hatten hier allerdings zumeist nur deklarativen Charakter, das heißt, die Konvertiten nahmen nur islamische Namen an und lebten unverändert weiter mit ihren christlichen Familien zusammen. === 9.2.4. Islamisierung durch Handel im Indischen Ozean und in Westafrika === [[File:Malacca Sultanate en.svg|mini|Das Sultanat von Malakka im späten 15. Jahrhunderts, einer der frühesten Staaten mit islamischer Ausrichtung in Südostasien]] Parallel zu diesen Entwicklungen setzte sich die Verbreitung des Islams durch den Handel fort. Um die Mitte des 12. Jahrhundert waren bereits das Herrscherhaus und die Bevölkerung der [[w:Malediven|Malediven]] zum Islam übergegangen. Über den Seehandel verbreitete sich der Islam auch in [[w:Südostasien|Südostasien]] und fasste dort zunächst in einigen Häfen an den Küsten Fuß. Mit Perlak und [[w:Sultanat Pasai|Pasai]] an der Nordspitze [[w:Sumatra|Sumatra]]s erschienen in den 1290er Jahren die ersten islamischen Staaten Südostasiens. Die [[w:en:Terengganu Inscription Stone|Steininschrift von Terengganu]], die auf das 13. Jahrhundert datiert ist und die islamische Religion explizit erwähnt, zeigt, dass sich in dieser Zeit der Islam auch schon auf der [[w:Malaiische Halbinsel|Malaiischen Halbinsel]] verbreitete. Dieser Prozess verschnellerte sich, als die [[w:Sultanat Malakka|Herrscher von Malakka]] (1413) und [[w:Sultanat Patani|Patani]] (ab 1457) im Süden des heutigen Staates Thailand zum Islam übergingen und ihre Herrschaft ins Innere der Malaiischen Halbinsel ausdehnten. Weitere islamische Fürstentümer, die in dieser Zeit im [[w:Malaiischer Archipel|Malaiischen Archipel]] entstanden, waren das [[w:Bruneiisches Großreich|Sultanat Brunei]] auf [[w:Borneo|Borneo]], das [[w:Sultanat von Sulu|Sultanat von Sulu]] auf den Inseln der [[w:Sulusee|Sulusee]] (ab 1450), das [[w:Sultanat Demak|Sultanat Demak]] auf [[w:Java (Insel)|Java]] (ab 1475) und das [[w:Sultanat von Maguindanao|Sultanat Maguindanao]] auf [[w:Mindanao|Mindanao]] (ab 1515). [[Datei:MALI reich Karte.PNG|mini|links|Ungefähre Ausdehnung des Malireiches im 13. Jahrhundert]] In Westafrika gingen die Könige des westafrikanischen [[w:Malireich|Reiches Mali]], das sich über den oberen Nigerbogen bis zur Senegal-Mündung erstreckte, um die Mitte des 13. Jahrhunderts zum Islam über. Sie nutzen gerne den [[w:Haddsch|Haddsch]], um ihre Macht zur Schau zu stellen. Mehrere von ihnen kamen zwischen dem späten 13. und frühen 14. Jahrhundert persönlich zur Pilgerfahrt nach Mekka, verteilten unterwegs große Mengen Goldes und verbreiteten damit den Ruhm ihres Königreiches in anderen Regionen der islamischen Welt. Muslimische Händler aus Mali missionierten ab dem 14. Jahrhundert in dem Stadtstaat [[w:Kano|Kano]] (heute Nord-Nigeria) und bekehrten schließlich deren Herrscher zum Islam. === 9.2.5. Herrscher und Sufi-Orden === [[File:آرامگاه بایزید بسطامی.jpg|mini|links|Das Grabmausoleum von [[w:Bāyazīd Bistāmī|Bāyazīd Bistāmī]] in Nordostiran, das 1313 von [[w:Öldscheitü|Öldscheitü]] ausgebaut wurde.]] Auch die Herrscher dieses Zeitraums zeigten deutliche Neigungen für die sufische Religiosität. Als der mongolische Herrscher Ghāzān den islamischen Glauben annahm, ließ er sich bezeichnenderweise nicht von einem ausgebildeten Theologen, sondern von einem Sufi des [[w:Kubrawiyya|Kubrawīya]]-Ordens unterweisen. Der Kubrawīya-Orden geht auf den im zentralasiatischen [[w:Choresm|Choresm]] lehrenden Sufi [[w:Nadschm ad-Dīn al-Kubrā|Nadschm ad-Dīn Kubrā]] zurück, der 1221 beim Mongoleneinfall den Tod fand. Auch Ghāzāns Nachfolger [[w:Öldscheitü|Öldscheitü]] und [[w:Abū Saʿīd|Abū Saʿīd]] verkehrten häufig mit volkstümlichen Sufis. Öldscheitü ließ 1313 das Grab des Mystikers [[w:Bāyazīd Bistāmī|Bāyazīd Bistāmī]] ausbauen. Er ist für seine paradoxen Aussprüche (''šataḥāt'') bekannt, in denen er sich scheinbar selbst vergöttlichte. [[Datei:Lalish.jpg|mini|Das Grab von Scheich [[w:ʿAdī ibn Musāfir|ʿAdī ibn Musāfir]] in [[w:Lalisch|Lalisch]]]] Auch viele Sultane im Mamlukenreich standen in einem engen Verhältnis zu sufischen Scheichen. Az-Zāhir Baibars zum Beispiel hatte einen Scheich, der dem ʿAdawīya-Orden angehörte. Dieser Orden, der im 12. Jahrhundert durch den Umaiyaden-Abkömmling [[w:ʿAdī ibn Musāfir|ʿAdī ibn Musāfir]] (gest. 1162/3) im Tal von [[w:Lalisch|Lalisch]] im Nordirak gegründet wurde, ist deswegen besonders erwähnenswert, weil er eine eigenartige „sektarische“ Entwicklung nahm. Er verbreitete sich nämlich im frühen 13. Jahrhundert vor allem bei kurdischen Stämmen, die noch altiranischen religiösen Vorstellungen anhingen. Während der Orden selbst unterging, vermischten sich die sufischen Lehren der ʿAdawīya und die iranischen Vorstellungen der kurdischen Stämme im Laufe der Zeit zu einer eigenständigen Religion, die als [[w:Jesiden|Jesidentum]] bekannt wurde. Bis heute ist das Zentralheiligtum der Jesiden, deren Anzahl weltweit auf etwa 800.000 geschätzt wird, das Grab von ʿAdī ibn Musāfir in Lalisch. In Ägypten entwickelte sich außerdem ein reger Heiligenkult um den wundertätigen Sufi Saiyid [[w:Ahmad al-Badawī|Ahmad al-Badawī]] (gest. 1276). Er gilt seitdem gewissermaßen als der islamische Nationalheilige Ägyptens. Noch heute finden jährlich drei Wallfahrten zu seinem Grab in dem unterägyptischen Ort [[w:Tanta|Tantā]] statt. [[File:Sufi photos 051.jpg|mini|links|Der Schrein von [[w:Muinuddin Chishti|Muʿīn ad-Dīn Tschischtī]] in [[w:Ajmer|Ajmer]]]] Bei der Verbreitung des Islams in Südasien spielten Sufi-Scheiche des Suhrawardī-Ordens eine bedeutende Rolle. Zum wichtigsten Orden wurde hier aber die [[w:Chishtiyya|Tschischtīya]], benannt nach dem aus Tschischt in [[w:Sīstān|Sidschistān]] stammenden Sufi [[w:Muinuddin Chishti|Muʿīn ad-Dīn Tschischtī]] (gest. 1236). Die Tschischtīs waren asketisch ausgerichtet, pflegten intensive Beziehungen zu hinduistischen [[w:Yoga|Yogis]] und maßen dem Hören von Musik (''samāʿ'') als Mittel zur Annäherung an Gott große Bedeutung zu. Der Tschischtīya-Orden besteht bis heute in Südasien weiter. Seit dem 14. Jahrhundert ist es üblich, dass indoislamische Herrscher die Pilgerfahrt zum Grab von Muʿīn ad-Dīn Tschischtī in [[w:Ajmer|Ajmer]] unternehmen und dem Heiligen ihre Reverenz erweisen. Unter den Timuriden von Samarkand und Herat erlebte die [[w:Naqschbandīya|Naqschbandīya]] ihren Aufstieg. Nach [[w: Baha-ud-Din Naqschband|Bahā' ad-Dīn Naqschband]] (gest. 1389) aus Buchara benannt, ist die Naqschbandīya ein Orden, in dem der strikte Gehorsam gegenüber der Scharia betont wird. Auch sind die Naqschbandīs sehr positiv dem Engagement in der Gesellschaft und der Politik gegenüber eingestellt. Ihr leitendes Prinzip ist ''ḫalwat dar anǧuman'' („Einkehr in der Gesellschaft“). Das bedeutet, dass der Sufi sich nicht speziell aus der Gesellschaft zurückziehen soll, um seine gottesdienstlichen Übungen zu vollziehen, sondern Gottes ständig gedenken soll, während er weiter mit weltlichen Dingen beschäftigt ist. Der Aufstieg der Naqschbandīya ist untrennbar mit dem Sufi Chwādscha [[w:Ubaidullah Ahrar|ʿUbaidallāh Ahrār]] (1404-1490) verbunden. Er hatte erheblichen Einfluss auf den Timuriden [[w:Abu Sa'id (Timuride)|Abū Saʿīd]], der zwischen 1451 und 1469 von Samarkand herrschte und sich als seinen Adepten bezeichnete. Ahrār gelang es, ihn zur Durchsetzung der Scharia und zum Verzicht auf unislamische Steuern zu bewegen. Außerdem entsandte er Stellvertreter nach Iran, zu den Osmanen, nach Indien und in den [[w:Hedschas|Hedschas]], wodurch sich die Naqschbandīya auch dort verbreitete. [[File:Haci bektaş pir.jpg|mini|Das Grab von [[w:Haddschi Bektasch|Hāddschi Bektāsch]] in Anatolien]] Im osmanischen Staat gab es neben der Naqschbandīya noch mehrere andere sufische Orden. Sultan Bāyezīd II. (reg. 1481-1512) war eng mit dem [[w:Halveti|Chalwatīya]]-Orden verbunden, der seit Mitte des 15. Jahrhundert von Aserbeidschan aus verbreitet wurde. Er ist nach dem Prinzip der Einkehr (''ḫalwa'') benannt, dem sich die Anhänger regelmäßig zu unterziehen hatten. Mehrere osmanische Prinzen hatten in dieser Zeit Chalwatīya-Scheiche als Lehrer. Außerdem war Bāyezīd II. der [[w:Bektaschi|Bektāschīya]] zugeneigt, einem Orden, der nach dem semi-legendären anatolischen Heiligen [[w:Haddschi Bektasch|Hāddschi Bektāsch]] (um 1300) benannt ist. Der Ort in [[w:Kappadokien|Kappadokien]], an dem dieser gelebt haben und begraben sein soll, trägt bis heute seinen Namen (türkische Schreibweise [[w:Hacıbektaş|Hacıbektaş]]). So bestand zu Anfang des 16. Jahrhunderts bereits eine große Anzahl [[w:Liste von Sufi-Orden|sufischer Orden]]. Jeder dieser Orden führte seine Tradition mit einer Initiationskette ([[w:Silsila|Silsila]]) auf einen bestimmten Scheich zurück. Bei den meisten Orden gehörte zur Ordenstradition auch eine bestimmte Form des [[w:Dhikr|Dhikr]], der sie von anderen Orden unterscheidet. === 9.2.6. Die Auseinandersetzungen über die Lehren Ibn ʿArabīs === Ein sehr kontroverses Thema innerhalb dieses Zeitraums waren die Lehren Ibn ʿArabīs (vgl. oben [[#9.1.3. Die Sufis an den Höfen|9.1.3.]]). In diesen Lehren, die nur sehr schwer zu fassen sind, kehrte gewissermaßen das neuplatonische Gedankensystem in sufisch verbrämter Form wieder. Von zentraler Bedeutung für Ibn ʿArabī war die Vorstellung von der [[w:Wahdat al-wudschūd|Wahdat al-wudschūd]] („Einheit der Existenz“). Ihr zufolge ist der monotheistische Gott mit der Existenz (''wuǧūd'') identisch, und diese eine Existenz ist dasjenige, durch das alle existierenden Dinge (''mauǧūdāt'') existieren. Damit wurde eine Verbindung zwischen Gott und geschaffener Welt hergestellt. Mit der Theorie der Wahdat al-wudschūd verbunden war das Konzept der sogenannten [[w:Aʿyān thābita|Aʿyān thābita]] („feststehende Wesenheiten“). Damit meinte Ibn ʿArabī [[w:Archetyp|Archetypen]] der real existierenden Dinge, die schon vor dem Schöpfungsprozess in Gottes urewigem Wissen enthalten sind. Ibn ʿArabī bekannte selbst, dass er diesen Begriff der muʿtazilitischen Theologie entlehnt hatte. Was ihn methodisch aber von den Neuplatonikern und Muʿtaziliten unterschied, war sein Vertrauen auf „Enthüllung“ (''kašf'') und „Imagination“ (''ḫayāl'') als den Korrektiven von „Vernunft“ (''ʿaql''). Bei mehreren seiner Werke gibt Ibn ʿArabī an, dass er sie selbst bei einer derartigen Enthüllung erhalten habe, so auch bei seinen berühmten ''Fuṣūṣ al-ḥikam'' („Ringsteine der göttlichen Weisheiten“), in denen er anhand der Geschichten der koranischen Propheten verschiedene göttliche Weisheiten, die den Menschen zur spirituellen Vollkommenheit bringen sollen, beschreibt. Ibn ʿArabī erklärt im Vorwort, dass ihm das Buch im Jahre 1229 bei einer Vision in Damaskus vom Gottesgesandten persönlich überreicht worden sei. Zahlreiche Gelehrte schrieben nach Ibn ʿArabīs Tod Kommentare zu seinen ''Fuṣūṣ al-ḥikam'' und entwickelten seine Theorie von der Wahdat al-wudschūd weiter. Manche Regionen, in der der Islam in dieser Zeit erst Fuß fasste wie Südasien und Südostasien, lernten die neue Religion zunächst nur in dieser mystischen Form kennen. Anhänger der Lehre Ibn ʿArabīs waren auch an vielen Fürstenhöfen tätig wie etwa der Kubrawī-Scheich [[w:Sayyid Ali Hamadani|ʿAlī al-Hamadānī]] (1314-1385), der während seines langen Aufenthaltes in [[w:Kaschmir|Kaschmir]] sein persisches Werk ''Ḏaḫīrat al-mulūk'' verfasste, in dem er den Menschen als Mikrokosmos darstellt und beschreibt, dass Gott jeden Menschen als Kalifen im Reich seines eigenen Körpers einsetzt. In Kaschmir war erst 1336 eine islamische Dynastie an die Macht gekommen. Neben Indien war um die Wende zum 15. Jahrhundert auch der rasūlidische Jemen eine Hochburg der Lehren Ibn ʿArabīs. Die Lehren Ibn ʿArabīs hatten in dieser Zeit also eine große Anhängerschaft und fassten ebenfalls im Bereich des schiitischen Islams Fuß, allerdings riefen sie auch Gegner auf den Plan. Was Ibn ʿArabī in den ''Fuṣūṣ al-ḥikam'' vorgetragen hatte, dass zum Beispiel das transzendente Göttliche mit der körperlichen Schöpfung identisch sei, dass sich Gott in jedem Objekt der Verehrung zeige, dass das im Koran angedrohte Höllenfeuer sich für Sünder in einen Ort der Wonne verwandeln werde usw., wurde von einigen traditionalistischen Gelehrten als blanke Ketzerei betrachtet. Die Philosophie Ibn ʿArabīs war allerdings auch bei den Sufis keinesfalls unumstritten. Der persische Sufi [[w:ʿAlā' ad-Daula as-Simnānī|ʿAlā' ad-Daula as-Simnānī]] (gest. 1336), der die Lehre von der Einheit der Existenz als Schamlosigkeit betrachtete, lieferte sich darüber eine heftige Auseinandersetzung mit dem Ibn-ʿArabī-Anhänger [[w:ʿAbd ar-Razzāq al-Kāschānī|ʿAbd ar-Razzāq al-Kāschānī]] (gest. 1329). Im Mamlukenreich hatten es Gelehrte, die Kritik an Ibn ʿArabī laut vortrugen, allerdings nicht leicht. Zwei von ihnen, der bereits erwähnte Ibn Taimīya und der etwas spätere al-Biqāʿī (gest. 1470), wurden dort wegen solcher Kritik sogar in die Verbannung geschickt. === 9.2.7. Die schleichende Schiitisierung Irans === Mit den Ilchanen begann die schleichende Schiitisierung Irans. Schon Schams ad-Dīn Dschuwainī, der für Hülegü und mehrere seiner Nachfolger das Amt des Finanzministers versah, förderte mehrere schiitische Gelehrte. Auch in dem Kubrawīya-Orden, dem der Scheich angehörte, der 1295 Ghāzān zum Islam bekehrte, gab es starke schiitische Tendenzen. Ghāzāns Nachfolger [[w:Öldscheitü|Öldscheitü]], der vor Herrschaftsantritt noch christlich getauft worden war, trat zunächst zum Islam sunnitischer Richtung über, wurde aber später von dem irakischen Gelehrten [[w:al-ʿAllāma al-Hillī|al-ʿAllāma al-Hillī]] (gest. 1325) zur Zwölfer-Schia bekehrt. Al-Hillī stammte aus der irakischen Stadt al-Hilla, in der sich eine bedeutende rationalistische Schule der Zwölfer-Schia entwickelt hatte, und war ein entschiedener Befürworter des [[w:Idschtihād|Idschtihād]]. Ibn Taimīya verfasste eine Widerlegung seiner Lehren. Nach dem Tode Abū Saʿīds im Jahre 1335 löste sich das iranische Mongolenreich auf; mongolische Regionaldynastien wie die [[w:Dschalairiden|Dschalāyiriden]] im Zweistromland und Aserbaidschan traten zunächst an ihre Stelle. Ende des 14. Jahrhundert bildeten sich dann in Nordsyrien und Ostanatolien mit den [[w:Aq Qoyunlu|Akkoyunlu]] („Weiße Hammel“) und den [[w:Qara Qoyunlu|Karakoyunlu]] („Schwarze Hammel“) zwei bedeutende turkmenische Stammeskonföderationen, die weite Teile Westirans unter ihre Herrschaft bringen konnten. Die Machthaber dieser Dynastien schwankten ebenfalls zwischen Sunna und Schia. Zur weiteren Verbreitung der Schia in Iran trugen vor allem verschiedene [[w:Mahdi|Mahdī]]-Bewegungen bei, die sich in der unsicheren Situation während und nach den Eroberungszügen Timurs entwickelten. In mehreren von ihnen wurden Vorstellungen propagiert, wie sie von den [[w:Ghulāt|Ghulāt]], den extremen Schiiten, her bekannt sind (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07#7.3.2. Die Anfänge der Nusairīya|7.3.2.]]). Darüber hinaus waren in diesen Bewegungen [[w:Okkultismus|okkulte Lehren]] wie [[w:Alchemie|Alchemie]] und [[w:Wahrsagen|Wahrsagekunst]] sehr populär. [[w:Fazlallāh Astarābādī|Fadlallāh Astarābādī]] und [[w:al-Achlātī|Husain al-Achlātī]], zwei religiöse Führer aus dem nordwestlichen Iran, wurden von ihren Anhängern besonders deshalb verehrt, weil man glaubte, dass sie bei Offenbarungen das geheime Wissen der Imame über die Bedeutung der [[w:Arabisches Alphabet|arabischen Buchstaben]] (''ḥurūf'') erhalten hatten. In der von Fadlallāh gegründeten Bewegung, die sich über die Städte Irans, Ostanatoliens und Syriens ausbreitete, war dieser Gedanke so dominant, dass sie als [[w: Hurufismus|Hurūfīya]] bekannt wurde. Fadlallāh wurde wegen seiner politischen Aktivitäten auf Geheiß von Timurs Sohn [[w:Miran Schah|Mīrānschāh]] 1394 in Baku eingekerkert und wenig später hingerichtet. Ein Ableger der Hurūfiyya war die Nuqtawīya von Mahmūd Pasichānī (gest. 1427/28), die deswegen so genannt wurde, weil sie lehrte, dass in der Kosmogonie die Erde Ausgangspunkt (''nuqṭa'') aller anderen Dinge war. In der Nuqtawīya wurden elaborierte zyklische Weltzeitalterlehren gepflegt, die an ismailitische Konzepte anknüpften. Auch Mahmūd Pasichānī nahm den Mahdī-Titel für sich in Anspruch, allerdings trat er nicht politisch hervor. [[File:Blue Mosque in the northern Afghan city in 2012.jpg|mini|links|Das im 15. Jahrhundert errichtete ʿAlī-Mausoleum in Mazār-i Scharīf]] Eine weitere Mahdī-Bewegung dieser Zeit mit zwölfer-schiitischer Ausrichtung war die Nūrbachschīya, benannt nach Muhammad ibn Muhammad ''Nūrbachsch'' („Lichtgeschenk“), der von seinem Scheich, einem Kubrawī-Sufi, als Nachkomme des siebten Imams [[w:Mūsā al-Kāzim|Mūsā al-Kāzim]]s und erwarteter Mahdī präsentiert wurde. Nūrbachsch, der zwischen Chorasan, dem Irak und den Kurdengebieten wirkte, behauptete, dass das Licht des Rechtgeleiteten (''al-mahdī'') in ihm Platz genommen hätte, und nahm für sich in Anspruch, „Imam und Kalif aller Muslime“ zu sein. Ein Sohn von Nūrbachsch konnte den Timuridenherrscher Husain Bāyqarā, der von 1470 bis 1506 in Herat herrschte, für die Nūrbachschī-Version der Zwölfer-Schia gewinnen. Unter seinem Einfluss errichtete der Herrscher über dem angeblichen Grab von [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī ibn Abī Tālib]] in der Nähe von [[w:Balch|Balch]] eine [[w:Ali-Mausoleum|prächtige Grabmoschee]]. Als [[w:Masar-e Scharif|Mazār-i Scharīf]] („erhabener Wallfahrtplatz“) entwickelte sich der Ort zu einem der wichtigsten Pilgerorte auf dem Gebiet des heutigen Afghanistan. Derwische der Nūrbachschīya brachten ihre Lehre in dieser Zeit auch nach Kaschmir. Auf ihre Aktivitäten ist es zurückzuführen, dass sich bis heute ein großer Teil der muslimischen Bevölkerung in [[w:Ladakh|Ladakh]] und [[w:Baltistan|Baltistan]] zur Nūrbachschīya bzw. Zwölfer-Schia bekennt. {{Anker|Kizilbasch}} [[File:Qezelbash.JPG|mini|hochkant|Nachbildung eines [[w:Kizilbasch|Kizilbasch]]-Kämpfers in der [[w:Saadabad-Palastanlage|Saadabad-Palastanlage]] in Teheran]] Die erfolgreichste iranische Mahdī-Bewegung des 15. Jahrhunderts war diejenige der Familie der [[w:Safawiyya|Safawiden]]-Scheiche im Nordwestiran. Sie hat freilich auch eine lange Vorgeschichte. Ahnherr der Safawiden-Familie war ein gewisser Scheich [[w:Safi ad-Din Ardabili|Safī ad-Dīn]], ein Derwisch wahrscheinlich kurdischer Abstammung, der in seiner Heimatstadt [[w:Ardabil (Stadt)|Ardabīl]] 1301 an die Spitze eines lokalen sufischen Ordens trat und für diesen in Persien, Syrien und Kleinasien mit [[w:Daʿwa|Daʿwa]]-Aktivitäten begann, die dem Orden zahlreiche Anhänger zuführten. Scheich [[w:Scheich Dschunaid|Dschunaid]], ein Nachkomme Safī ad-Dīns, gab Mitte des 15. Jahrhunderts dem Orden eine eindeutig schiitische Ausrichtung und führte ihn erfolgreich in den Kampf gegen die Christen von [[w:Georgien|Georgien]] und [[w:Kaiserreich Trapezunt|Trapezunt]]. Sein Sohn [[w: Scheich Haidar|Haidar]], der dem Orden von 1460 bis 1488 vorstand, verordnete seinen Anhängern in Westiran und Anatolien eine besondere rote Kopfbedeckung, nach der sie fortan [[w:Kizilbasch|Kizilbasch]] (türk. ''qızılbāş'' = Rotkopf) genannt wurden. [[Datei:The declaration of Shi'ism as the state religion of Iran by Shah Ismail -Safavids dynasty.jpeg|mini|links|Die Erklärung der Zwölfer-Schia zur offiziellen Lehre in Iran durch Schah [[w:Ismail I. (Schah)|Ismāʿīl]] im Jahre 1501, Illustration in einem anonymen persischen Werk von 1680 in der [[w:British Library|British Library]].]] Im Jahr 1499 trat Haidars zwölfjähriger Sohn [[w:Ismail I. (Schah)|Ismāʿīl]] als charismatischer Führer an die Spitze der Kizilbasch-Anhänger. Er konnte die Akkoyunlu besiegen und damit ihr politisches Erbe antreten. Im Sommer 1501 hielt Ismāʿīl Einzug in Täbris und nahm den alten iranischen Titel eines „Königs der Könige“ (''šāhān-šāh'') an. Bis zum Jahre 1510 nahmen die Kizilbasch-Kämpfer fast den gesamten Iran ein, im gleichen Jahr schlugen sie in Chorasan den Chan der Usbeken. Damit war das Gebiet Irans zum ersten Mal seit langem wieder politisch geeint. Die Gedichte des Dīwāns, den Schah Ismāʿīl unter seinem ''nom de plume'' Chatā'ī verfasste, zeugen von dem großen Sendungsbewusstsein des jungen Herrschers. Unmissverständlich machen sie deutlich, dass er sich nicht nur für den erwarteten Mahdī, sondern auch für eine Reinkarnation ʿAlīs und der zwölf Imame betrachtete. Die religiös-politischen Ansprüche Ismāʿīls wurden bald auch für die Osmanen gefährlich, denn auf ihrem Territorium befanden sich viele Kizilbasch. 1511 kam es in der Gegend von Antalya zu einem ersten Aufstand dieser Gruppierung gegen ihre Herrschaft. Den osmanischen Staatsapparat kostete es einige Mühe, der Erhebung, die nach ihrem Anführer als Aufstand des [[w:Şahkulu|Şahkulu]] („Sklave des Schahs“) bekannt geworden ist, Herr zu werden. 1514 fand eine erste Feldschlacht zwischen Safawiden und Osmanen statt, die unentschieden endete. Als Ismāʿīl 1501 in Täbris zum Schah ausgerufen wurde, ließ er die [[w:Chutba|Freitagspredigt]] auf die zwölf Imame lesen und an den [[w:Adhān|Gebetsruf]] nicht nur die schiitische Formel „Auf zum besten Tun“, sondern auch den Satz „Ich bezeuge, dass ʿAlī der Freund Gottes ist“ anschließen. Die ersten drei Kalifen Abū Bakr, ʿUmar und ʿUthmān wurden verflucht. Dieses Ritual wurde seitdem regelmäßig wiederholt. Damit erhielt der safawidische Staat von Anfang an eine klar zwölferschiitische Ausrichtung. Auf dem [[w:Dekkan-Sultanate|Dekkan]] in Indien ließen sich zwei Herrscherhäuser, die die Nachfolge der Bahmaniden angetreten hatten, die [[w:Qutb-Schāhī-Sultanat|Qutb-Schāhīs]] von [[w:Golkonda|Golkonda]] und die [[w:Adil Shahi|ʿĀdil-Schāhīs]] von [[w:Bijapur (Sultanat)|Bijapur]] von dem Modell des Safawiden-Staates inspirieren und führten in ihren Reichen kurze Zeit später ebenfalls die Zwölfer-Schia als offizielle Richtung ein. === 9.2.8. Der Fortgang der Reconquista === [[File:Reino de Granada.svg|mini|Das [[w:Emirat von Granada|Emirat von Granada]]. Die Jahreszahlen beziehen sich auf das jeweilige Jahr der christlichen Eroberung.]] Der Niedergang des Almohadenreiches im 13. Jahrhunderts hatte bewirkt, dass auch die christliche [[w:Reconquista|Reconquista]] auf der iberischen Halbinsel besser vorankam: 1236 wurde [[w:Córdoba (Spanien)|Córdoba]] erobert, 1248 [[w:Sevilla|Sevilla]]. Seit Ende des 13. Jahrhunderts war das islamische Spanien auf das [[w:Nasriden (Granada)|nasridische]] [[w:Emirat von Granada|Emirat von Granada]] im Süden der iberischen Halbinsel beschränkt. In den christlichen Königreichen wurden die Muslime als [[w:Mudejaren|Mudejaren]] allerdings weiter geduldet und durften auch ihre Religion ausüben. Diese Situation veränderte sich jedoch, nachdem 1492 eine christliche Armee unter [[w: Ferdinand II. (Aragón)|Ferdinand von Aragon]] und [[w: Isabella I. (Kastilien)|Isabella von Kastilien]] Granada eingenommen und die islamische Herrschaft auf der iberischen Halbinsel beendet hatte. 1502 verbot ein Edikt von Ferdinand und Isabella die Ausübung der islamischen Religion in ganz Kastilien. In den Jahren bis 1525 wurde die Ausübung des Islams auch in den anderen christlichen Königreichen der iberischen Halbinsel untersagt. Die Muslime verloren damit ihren Mudejar-Status und wurden vor die Wahl gestellt, das Land zu verlassen oder sich taufen zu lassen. Es war dies die Zeit, in der die Portugiesen zur weltweit größten Seemacht aufstiegen. Sie brachten in den Jahren 1505 bis 1513 auch die gesamte marokkanische Küste unter ihre Kontrolle. === 9.2.9. Letzte Blüte und Ende des Mamlukenreiches; as-Suyūtī === Nach dem Zerfall des jemenitischen Rasūlidenreiches im späten 14. Jahrhundert konnten die ägyptischen Mamluken Mekka und Medina vollständig unter ihre Kontrolle bringen und sich auch das Recht auf die Einkleidung der Kaaba mit der Kiswa dauerhaft sichern. Die Scherifen von Mekka stellten die mamlukische Oberherrschaft nicht mehr in Frage und gingen offiziell zum sunnitischen Islam über. Damit gelangte die Durchsetzung der sunnitischen Lehre im Zentrum der islamischen Welt zum Abschluss. Das abbasidische Schattenkalifat gewann so viel Prestige, dass auch außerhalb des Mamlukenreiches viele Herrscher dem Kalifen in Kairo ihre [[w:Baiʿa|Huldigung]] übermittelten und sich dafür Einsetzungsschreiben von ihm geben ließen, so zum Beispiel 1497 die Herrscher des [[w:Songhaireich|Songhaireiches]] in Westafrika, eines Nachfolgereiches von Mali. [[File:Jalaluddin Assuyuti Tomb.jpg|mini|Der Eingang zum Grabmausoleum von [[w:as-Suyūtī|as-Suyūtī]] in Kairo]] Auch einige der im Mamlukenreich tätigen Gelehrten erlangten in dieser Zeit überregionale Bekanntheit. Besondere Erwähnung verdient [[w:as-Suyūtī|Dschalāl ad-Dīn as-Suyūtī]] (gest. 1505), den ein abbasidischer Kalif gegen Ende des 15. Jahrhunderts kurzzeitig zum obersten Qādī aller islamischen Länder ernannte. As-Suyūtī unterhielt von Kairo aus ein Netzwerk von Kontakten bis nach Westafrika, Anatolien und Indien. Innerhalb des sunnitischen Islams wurde in dieser Zeit die Frage diskutiert, wie weit die Gelehrten nach der Bildung der verschiedenen Rechtsschulen selbst noch [[w:Idschtihād|Idschtihād]] betreiben durften. Eine verbreitete Doktrin ging von der „Schließung des Tors des Idschtihād“ aus und wollte die Rechtsgelehrten dazu verpflichten, den Autoritäten eines [[w:Madhhab|Madhhabs]] zu folgen und deren Entscheidungen kritiklos zu übernehmen, also ihnen gegenüber [[w:Taqlīd|Taqlīd]] (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07#Taqlid|7.1.4.]]) zu betreiben. As-Suyūtī hielt diese Doktrin jedoch für falsch und nahm für sich selbst das Recht zum Idschtihād und den Rang eines [[w:Mudschtahid|Mudschtahid]] in Anspruch. Dies bedeutete aber keineswegs, dass er uneingeschränkt rationale Methoden akzeptierte. So verfasste er mehrere Traktate, in denen er Logik (''manṭiq'') und [[w:Kalām|Kalām]] für verboten erklärte. As-Suyūtī war ein Vielschreiber: er hat [[w:Liste der Werke as-Suyūtīs|mehr als 300 Werke]] zu verschiedenen islamischen Wissenschaften (insbesondere Koranexegese, [[w:Hadith|Hadith]] und [[w:Fiqh|Fiqh]]) verfasst, die bis heute in allen Gebieten der islamischen Welt gelesen werden. Im frühen 16. Jahrhundert versuchten die Mamluken noch, den Jemen ihrem Reich einzuverleiben. Bevor sie dieses Unternehmen jedoch zu Ende führen konnten, brach ihr Staat zusammen. Der osmanische Sultan [[w:Selim I.|Selīm]] unternahm 1516 einen Feldzug gegen die Mamluken und besiegte sie bei [[w: Schlacht von Mardsch Dabiq|Mardsch Dābiq]] in Nordsyrien. Als die Mamluken das Angebot ausschlugen, Vasallen des Siegers zu werden, zog das osmanische Heer südwärts weiter durch die Sinai-Wüste bis nach Ägypten. Im Januar 1517 kam es vor den Toren Kairos zur Entscheidungsschlacht gegen das letzte mamlukische Aufgebot. [[w:Tuman Bay|Tūmān Bāy]], der letzte Mamlukensultan, endete am Galgen. Die Scherifen von Mekka huldigten daraufhin den Osmanen als ihren neuen Oberherren. == 9.3. Weiterführende Literatur == * Muhammad Ali Aziz: ''Religion and Mysticism in Early Islam. Theology and Sufism in Yemen. The Legacy of Aḥmad Ibn ʿAlwān.'' London 2011. * Michal Biran: „The Chaghadaids and Islam: The Conversion of Tarmashirin Khan (1331-34)“ in ''Journal of the American Oriental Society'' 122/4 (2002) 742-752. * Devin DeWeese: ''Islamization and Native Religion in the Golden Horde. Baba Tükles and Conversion to Islam in Historical and Epical Records.'' University Park, PA 1994. * Richard M. Eaton: ''The Rise of Islam and the Bengal Frontier, 1204-1760.'' Berkeley, Los Angeles 1993. * Éric Geoffroy: ''Le Soufisme en Égypte et en Syrie sous les derniers Mamelouks et les premiers Ottomans. Orientations spirituels et enjeux culturels.'' Damaskus 1995. * Ignaz Goldziher: ''Die Ẓâhiriten. Ihr Lehrsystem und ihre Geschichte. Ein Beitrag zur Geschichte der muhammedanischen Theologie.'' Leipzig 1884. * Wael Hallaq: “Was the gate of ijtihad closed?” in ''International Journal of Middle East Studies'' 16/1 (1984) 3-41. * Angelika Hartmann: ''An-Nāṣir li-Dīn Allāh (1180-1225). Politik, Religion, Kultur in der späten ʿAbbāsidenzeit.'' Berlin-New York 1975. * Jacques Jomier: ''Le maḥmal et la caravane Egyptienne des pèlerins de la Mecque (XIIIe-XXe siècles).'' Kairo 1953. * Alexander Knysh: ''Ibn ‘Arabī in the Later Islamic tradition. The Making of a Polemical Image in Medieval Islam.'' Albany 1999. * Hermann Landolt: „Der Briefwechsel zwischen Kāšānī und Simnānī über Waḥdat al-Wuǧūd“ in ''Der Islam'' 50 (1973) 29-81. * Catherine Maieur-Jaouen: ''Al-Saiyid al-Badawi. Un grand saint de l’islam égyptien.'' Kairo 1994. * Erik S. Ohlander: ''Sufism in an Age of Transition. ʿUmar al-Suhrawardī and the Rise of the Islamic Mystical Brotherhoods.'' Leiden 2008. * Hannah Sohrweide: „Der Sieg der Ṣafaviden in Persien und seine Rückwirkungen auf die Schiiten Anatoliens im 16. Jahrhundert“ in ''Der Islam'' 41 (1965) 95-223. == 9.4. Aufgaben/Fragen == 1. Was ist das Vier-Madhhab-System und wie hat es sich ab der Mitte des 12. Jahrhunderts bemerkbar gemacht? 2. Nennen Sie wichtige Grundprinzipien und Praktiken der Sufik. 3. Mekka diente in seiner Geschichte häufig als Bühne für den Rangstreit der verschiedenen muslimischen Herrscher. Zeigen Sie das anhand von Beispielen. 4. In welcher Weise haben die Mongolen zur Verbreitung des Islams beigetragen? 5. Wo hat sich der Islam vor allem durch Handel verbreitet? Bringen Sie Beispiele aus der Geschichte. 6. Nennen Sie drei sufische Orden und machen Sie Angaben zu ihrer spirituellen Ausrichtung, Geschichte und geographischen Verbreitung. 7. Seit Anfang des 16. Jahrhunderts hat der Iran eine klar zwölfer-schiitische Ausrichtung. Erklären Sie, wie es dazu gekommen ist. 8. Was bedeuten die Begriffe Idschtihād und Taqlīd und in welcher Weise hob sich as-Suyūtī mit seinen Lehren dazu ab? {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} jhqsboluotl1m228llpxgomkzj0ft9h 1117168 1117167 2026-10-20T12:55:59Z Carl Stiller 32616 /* 9.1.3. Die Sufis an den Höfen */ 1117168 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 08|8 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 10|>>> 10]] {{TOC nonum}} = 9. Das Aufblühen der Sufi-Orden und der Zwölfer-Schia (1173-1517) = Das mystische Denk- und Lehrsystem der Sufis wird immer wichtiger und erhält auch herrscherliche Förderung. Der Mongolensturm bringt große Umwälzungen mit sich, trägt aber im Ergebnis zur weiteren Verbreitung des Islams bei. Die ägyptischen Mamluken erlangen die Herrschaft über die Heiligen Stätten des Islams und unterhalten ein abbasidisches „Schattenkalifat“. Die Zwölfer-Schia wird in Iran zur Staatslehre. == 9.1. Sunnitische Kanonisierung und Aufblühen der Sufik (1173-1261) == === 9.1.1. Die Entwicklung der politischen Landkarte === [[Datei:قبة يوسف.JPG|mini|links|Die Qubbat Yūsuf auf dem [[w:Tempelberg|Tempelberg]] in Jerusalem mit der Inschrift von 1191, in der sich Saladin als [[w:Diener der beiden heiligen Stätten|Diener der beiden heiligen Stätten]] rühmt.]] Mit [[w:Saladin|Saladin]] hatte das abbasidische Kalifat im Vorderen Orient einen wichtigen Unterstützer erhalten. 1173 sandte er seinen Bruder [[w:Turan Schah (Gouverneur)|Tūrān-Schāh]] mit einer Streitmacht in den Süden, um den Jemen zu erobern. Auf dem Wege machte er auch die [[w:Scherifen von Mekka|Scherifen von Mekka]], die selbst [[w:Zaiditen|zaiditische]] Schiiten waren, botmäßig. Seither erkannten die Scherifen von Mekka auch wieder den abbasidischen Kalifen als ihren Oberherren an. Nachdem Saladin 1174 Damaskus erobert hatte, verlieh ihm der abbasidische Kalif das Sultanat über Ägypten, Palästina und Syrien. 1187 konnte er die Franken in der [[w:Schlacht bei Hattin|Schlacht von Hattīn]] besiegen und Jerusalem zurückerobern. Dies löste große Freude in Bagdad aus. Saladin selbst rühmte sich in einer Inschrift in Jerusalem, ein „[[w:Diener der beiden heiligen Stätten|Diener der beiden edlen Heiligen Stätten]] und dieses geheiligten Hauses“ zu sein. Damit führte er einen neuen Herrschertitel in den Islam ein. Mit den beiden heiligen Stätten meinte er die [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]]-Bezirke von Mekka und Medina, die durch den Feldzug seines Bruders (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 08#8.2.5. Die Aufspaltung der Ismāʿīlīya und das Ende des fatimidischen Kalifats|8.2.5.]]) unter seine Herrschaft gelangt waren, mit dem „geheiligten Haus“ Jerusalem. Der [[w:Tempelberg|Tempelberg]] stieg sogar bald zu einem dritten Haram auf. In einem Friedensvertrag aus dem Jahre 1228 zwischen Saladins Neffe [[w:al-Malik al-Kāmil|al-Malik al-Kāmil]] und [[w:Friedrich II.|Friedrich II.]] wird er als ''al-ḥaram aš-šarīf'' („der edle Haram“) bezeichnet. Dieser Ehrentitel wird noch heute von muslimischer Seite für den Tempelberg verwendet. [[File:Premongol.png|mini|Die alte Welt um das Jahr 1200]] Die von Saladin begründete Dynastie, die sogenannten [[w:Ayyubiden|Ayyubiden]], blieben dem abbasidischen Kalifat fest verbunden. In Mekka, wo die Ayyubiden herrschten, wurde für die Verhüllung ([[w:Kiswa|Kiswa]]) der Kaaba die schwarze Farbe der Abbasiden eingeführt. Vorher hatte diese Verhüllung meist eine andere Farbe (weiß, gelb oder grün) gehabt. Unter dem Kalifen [[w:an-Nāsir li-Dīn Allāh|an-Nāsir li-Dīn Allāh]] (reg. 1180-1225) konnten sich die Abbasiden gänzlich von der [[w:Seldschuken|seldschukischen]] Bevormundung befreien und im Irak nach langer Zeit wieder eine Direktherrschaft errichten. In Anatolien wurden sie von den [[w:Sultanat der Rum-Seldschuken|Sultanen der Rum-Seldschuken]] als Oberherren anerkannt. Auch im Osten konnten die abbasidischen Kalifen Unterstützung für ihren politischen Anspruch auf die Führung der islamischen Umma gewinnen. Hier hatte 1192 ein General des [[w:Ghuriden|Ghūrīden]]-Reichs, [[w:Delhi|Delhi]] eingenommen und 1209 mit dem [[w:Sultanat von Delhi|Sultanat von Delhi]] den ersten islamischen Staat auf indischem Boden gegründet. Nachdem 1211 [[w: Iltutmish|Iltutmisch]] die Herrschaft im Sultanat übernommen hatte, unterstellte er sich 1229 an-Nāsirs Nachfolger [[w:al-Mustansir (Abbasiden)|al-Mustansir]] (reg. 1226-1242) und ließ Münzen in seinem Namen prägen. Im Jemen machte sich der [[w:Rasuliden|Rasulide]] ʿUmar 1232 von den ägyptischen Ayyubiden unabhängig und ließ sich ebenfalls vom Kalifen ein Einsetzungsschreiben geben. Ein konflikthaftes Verhältnis bestand im Osten allein mit dem [[w:Choresm-Schahs|Choresm-Schah]] [[w:Muhammad II. (Choresmien)|ʿAlā' ad-Dīn Muhammad]], dessen Reich Anfang des 13. Jahrhunderts neben Choresmien auch Transoxanien und weite Teile Irans umfasste. Dieses Reich wurde jedoch zwischen 1219 und 1221 durch die mongolischen Truppen [[w: Dschingis Khan|Dschingis-Chans]] erobert. Zahlreiche persische und türkische Gelehrte flohen damals vor den [[w:Mongolen|Mongolen]] aus [[w:Transoxanien|Transoxanien]] in das neu islamisierte Anatolien. Da die mongolischen Truppen von Iran aus nordwärts über den Kaukaus in die [[w:Osteuropäische Ebene|osteuropäische Ebene]] abzogen, war die von den Mongolen herrührende militärische Gefahr für das Kalifat abgewendet. Nach dem Tode Dschingis-Chans im Jahre 1227 wurden vier mongolische Teilreiche gebildet, die dem Großchan in Karakorum unterstellt waren. Eines davon war das Reich der [[w:Goldene Horde|Goldenen Horde]], das die Eroberungsaktivitäten in Osteuropa fortsetzte und 1237 auch den Staat der muslimischen [[w:Wolga-Bulgaren|Wolga-Bulgaren]] annektierte. [[w:Berke Khan|Berke]], der Sohn des Chans der Goldenen Horde, konvertierte schon in den vierziger Jahren des 13. Jahrhunderts zum Islam, nahm Beziehungen zum Kalifen [[w: al-Musta'sim bi-'llah|al-Mustaʿsim]] (reg. 1242-1258) auf, und es kam zum Austausch von Gesandtschaften und Geschenken. Auf diese Weise wurde das abbasidische Kalifat durch die Mongoleninvasion letztendlich sogar noch gestärkt. Im Westen reichte die Einflusssphäre des abbasidischen Kalifats allerdings nur bis Ägypten. Der Maghreb und al-Andalus unterstanden ab Anfang des 13. Jahrhundert vollständig den Almohaden. Nacheinander lösten sich jedoch verschiedene Territorien vom Almohadenreich: Tunis unter den [[w:Hafsiden|Hafsiden]], Nachkommen eines der zehn Jünger des Mahdī (ab 1230), al-Andalus unter den [[w:Nasriden (Granada)|Nasriden]] von [[w:Granada|Granada]] (ab 1232), Ostalgerien unter den [[w:Abdalwadiden|ʿAbd al-Wādiden]] von [[w:Tlemcen|Tlemcen]] (ab 1236), Zentralmarokko unter den [[w:Meriniden|Meriniden]] in Fès (ab 1244) und Nordmarokko unter den ʿAzafiden in [[w:Ceuta|Ceuta]] (ab 1250). === 9.1.2. Die Etablierung des Vier-Madhhab-Systems === [[File:Public Domain Mecca Maps 03.jpg|mini|Schematische Darstellung der [[w:Mihrāb|Mihrābe]] der vier sunnitischen Lehrrichtungen in der [[w:al-Masdschid al-Harām|Heiligen Moschee]] von Mekka auf einem Haddsch-Zertifikat von 1433: rechts der hanafitische, oben der malikitische, links der hanbalitische und unten der schafiitische]] In der politischen Sphäre des abbasidischen Kalifates setze sich um diese Zeit die Auffassung durch, dass es in der sunnitischen Normenlehre vier anerkannte [[w:Madhhab|Lehrrichtungen]] gibt. Hierzu gehörte der mālikitische Madhhab (nach [[w:Mālik ibn Anas|Mālik ibn Anas]], vgl. [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 06#6.5. Die dritte Fitna und der Sturz des umaiyadischen Kalifats (744-750)|6.5.]]), dem vor allem die Muslime im Maghreb anhingen, der hanafitische Madhhab (nach [[w:Abū Hanīfa|Abū Hanīfa]], vgl. [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 06#6.5. Die dritte Fitna und der Sturz des umaiyadischen Kalifats (744-750)|6.5.]]), der vor allem bei den Türken beliebt war, der schafiitische Madhhab (nach [[w:asch-Schāfiʿī|asch-Schāfiʿī]], vgl. [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07#7.1.3. Die Synthesen im Fiqh|7.1.3.]]), der in Ägypten, Syrien, Iran, im Jemen und an den Küsten des Indischen Ozeans vorherrschend war, sowie der hanbalitische Madhhab (nach [[w:Ahmad ibn Hanbal|Ahmad ibn Hanbal]], vgl. [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07#7.2.3. Die Mihna|7.2.3.]]), der im Irak viele Anhänger hatte. Der Unterschied zwischen diesen Lehrrichtungen äußert sich nicht nur auf rechtlicher, sondern auch auf ritueller Ebene, so zum Beispiel beim [[w:Salāt|rituellen Gebet]]. Die Durchsetzung des Vier-Madhhab-Systems lässt sich an der Organisation des Gemeinschaftsgebetes in der [[w:al-Masdschid al-Harām|Heiligen Moschee]] von Mekka erkennen. Um die Mitte des 12. Jahrhundert wurde der zentrale Platz rund um die Kaaba in vier Zonen eingeteilt, innerhalb derer die Anhänger der verschiedenen Lehrrichtungen das Gebet in getrennten Gruppen nebeneinander verrichteten. Die Standorte der jeweiligen Vorbeter waren durch [[w:Mihrāb|Mihrābe]] gekennzeichnet, die im Kreis um die Kaaba angeordnet waren. Nach einer festgelegten Ordnung beteten die verschiedenen Gebetsgruppen (''ǧamāʿāt'') in einer bestimmten Reihenfolge nacheinander, beim Abendgebet auch gleichzeitig. Der abbasidische Kalif al-Mustansir gründete 1234 mit der Mustansirīya in Bagdad die erste [[w:Madrasa|Madrasa]], in der alle vier sunnitischen Lehrrichtungen berücksichtigt waren. Mit der Gründung wollte der Kalif wohl seinen universalen politischen Anspruch zum Ausdruck bringen. Später wurde dieses Vier-Madhhab-System auch in anderen zentralen Orten der islamischen Welt, so in Mekka, Medina, Jerusalem und Damaskus im Schulwesen übernommen. Aus dem Vier-Madhhab-System fiel lediglich das Almohadenreich im Westen heraus. [[w:Abū Yūsuf Yaʿqūb al-Mansūr|Abū Yūsuf Yaʿqūb]] (reg. 1184-99), der dritte Almohadenherrscher, bekannte sich öffentlich zur [[w: Zahiriten|Zāhirīya]], einer Lehrrichtung, die auf den irakischen Traditionalisten Dāwūd ibn Chalaf (gest. 884) zurückgeht und durch [[w:Ibn Hazm|Ibn Hazm]] (gest. 1064) in al-Andalus verbreitet worden war. Kennzeichen der Zāhirīya ist die Ablehnung des [[w:Qiyās|Qiyās]] und die strikte Orientierung am offenkundigen Wortsinn (''ẓāhir'') von Koran und Hadith. Die Orientierung an der Zāhirīya ging mit einer Bekämpfung der mālikitischen Richtung einher. Nach Berichten zeitgenössischer Autoren ließ Abū Yūsuf sogar die Bücher der Mālikiten verbrennen. Um 1230 wurde aber die religiöse Sonderlehre im Almohadenreich abgeschafft; der Begründer, der Mahdī [[w:Ibn Tūmart|Ibn Tūmart]], wurde nun auf allen Kanzeln verflucht und die Rückkehr zur mālikitischen Lehre proklamiert. Auch in fast allen Nachfolgestaaten des Almohadenreiches wurde die malikitische Rechtsschule zur herrschenden Lehrrichtung. Nur die Statthalter von Tunis, die Hafsiden, Nachkommen eines der zehn Jünger des Mahdī, blieben der almohadischen Lehre noch eine Zeit lang treu. === 9.1.3. Die Sufis an den Höfen === Kennzeichnend für die islamisch-religiöse Kultur der nachfatimidischen Zeit ist die große Bedeutung des Sufitums (''taṣauwuf''). Hierbei handelt es sich um ein religiöses Lehrsystem, das die eigene spirituelle Erfahrung, das „Schmecken“ (''ḏauq''), ins Zentrum stellt, aber auch solchen Prinzipien wie „Gottesfurcht“ ([[w:Taqwā|Taqwā]]), [[w:Armut|Armut]] (''faqr'') und Dienstbarkeit ([[w:ʿUbūdīya|ʿUbūdīya]]) sowie dem Gottesgedenken ([[w:Dhikr|Dhikr]]) sehr große Bedeutung beimisst. Das Sufitum, das eine ganz eigene Terminologie zur Beschreibung von Seelenzuständen und mystischen Erfahrungen besitzt, ist eigentlich im 9. Jahrhundert im Irak entstanden, doch hat man den Begriff ''taṣauwuf'' später auch für muslimische Asketen aus anderen Regionen verwendet, die sich um eine Verinnerlichung der Religion bemühten. Nachdem Gelehrte aus dem ostiranischen Raum wie [[w:Abū Nasr as-Sarrādsch|Abū Nasr as-Sarrādsch]] (gest. 988), [[w:al-Kalābādhī|al-Kalābādhī]] (gest. 995) und [[w:al-Quschairī|al-Quschairī]] (gest. 1074) das Sufitum in Handbüchern zu einem umfassenden kohärenten spirituellen Lehrsystem ausgearbeitet hatten, fand dieses auch in den anderen Gebieten der islamischen Welt bei Rechtsgelehrten, Theologen und Literaten immer mehr Zuspruch. Der Begriff des Sufitums wird üblicherweise damit erklärt, dass die Sufis in der Anfangszeit Kleidung aus Wolle (''ṣūf'') trugen, allerdings setzten sich die Sufis selbst sehr stark zu den [[w:Ahl as-Suffa|Ahl as-Suffa]] in Beziehung und betrachteten sich als deren Nachfolger. Innerhalb der Sufik gibt es ein eigenes Autoritätsmodell, das des [[w:Scheich|Scheichs]] (arab. ''šaiḫ'', wörtl. „älterer Mann“). Der Scheich leitet diejenigen, die den spirituellen Weg beschreiten wollen, an. Derjenige, der sich einem solchen Scheich anschließt und sich seiner Autorität unterwirft, wird als [[w:Murīd|Murīd]] (arab. „der Wollende“) bezeichnet. Gelehrte, die sich mit der Sufik beschäftigten, erhielten um diese Zeit zum ersten Mal herrscherliche Unterstützung. Das schlagendste Beispiel ist der Sufi [[w:ʿUmar as-Suhrawardī|Schihāb ad-Dīn ʿUmar as-Suhrawardī]] (gest. 1234), der eine der wichtigsten Persönlichkeiten am Hof der Abbasiden-Kalifen an-Nāsīr und al-Mustansir war. Aufgrund seiner engen Beziehung zu an-Nāsir, dem er auch als Gesandter zu den aiyubidischen Herrschern von Ägypten und Syrien und zu den Rum-Seldschuken diente, wurde er zum Schaich asch-Schuyūch, zum obersten Sufi-Meister von Bagdad, ernannt. Der Kalif erbaute für ihn einen eigenen [[w:Ribāt|Ribāt]], eine Art Sufi-Hospiz, in dem er seine Novizen unterrichten konnte. [[Datei:Awarif-maarif-Titelblatt.png|mini|hochkant|Titelblatt einer Pariser Handschrift von ''ʿAwārif al-maʿārif'' aus dem 13. Jahrhundert mit verschiedenen Besitzvermerken.]] Im Unterricht verwendete as-Suhrawardī sein Werk [[w:ʿAwārif al-maʿārif|ʿAwārif al-maʿārif]] („Die Gaben der Erkenntnisse“), das sich zu einem der einflussreichsten Sufi-Lehrbücher überhaupt entwickelte. As-Suhrawardī liefert in diesem Buch nicht nur eine Zusammenschau der gesamten älteren sufischen Literatur, sondern entwirft auch neue sufische Regeln, so zum Beispiel für das Leben im Ribāt, der zu dieser Zeit eine Art „Entmilitarisierung“ erlebte. As-Suhrawardī ist sich dieses Bedeutungswandels auch bewusst. Er erklärt, dass Ribāt eigentlich einen Ort bezeichne an der Grenze bezeichne, von dem man aus das Hinterland verteidige. Der Ribāt diene aber auch dem Dschihad gegen die Seele und die Lust. Dies, so erklärt as-Suhrawardī, sei der wahre Dschihad, nämlich der große Dschihad, entsprechend dem, was vom Gottesgesandten überliefert werde, dass er nämlich bei der Rückkehr von einem Kriegszug sagte: „Wir sind vom kleinen Dschihad zum großen Dschihad zurückgekehrt.“ Ausführlich beschreibt as-Suhrawardī in dieser Zeit auch den Flickenrock ([[w:Chirqa|Chirqa]]) der Sufis. Er erklärt, dass das Anlegen dieses Kleidungsstücks wichtig sei, um eine Verbundenheit zwischen dem Scheich und dem Murīd herzustellen. Als Praktik zur inneren Läuterung empfiehlt as-Suhrawardī die Praktik der vierzigtägigen Einkehr ''(arbaʿīnīya)''. Zur Begründung dieser Praxis beruft er sich auf das angebliche Prophetenwort: „Wer Gott vierzig Tage aufrichtig widmet, auf dessen Zungen erscheinen die Quellen der Weisheit aus seinem Herzen.“ Außerdem weist seiner Auffassung nach die koranische Geschichte von Mose, der sich vierzig Tage zurückzieht und dann mit Gott spricht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/7/vers/142 Sure 7:142]), auf diese Praktik hin. ʿUmar as-Suhrawardī gründete auch einen der ersten Sufi-Orden, die [[w:Suhrawardīya|Suhrawardīya]]. In diesem Orden, der sich vor allem in Irak, Iran und auf dem indischen Subkontinent verbreitete, aber auch in anderen Orden, die sich später entwickelten, wurde sein Buch sehr intensiv studiert. Sufis wurden nun auch an den Höfen anderer islamischer Herrscher gefördert. In Indien hieß Iltutmisch den zentralasiatischen Sufi Qutb ad-Dīn Bachtiyār Kākī (gest. 1235) und den Suhrawardī-Missionar Dschalāl ad-Dīn Tabrīzī willkommen. Im rasulidischen Jemen erhielt der Sufi Ahmad ibn ʿAlwān (gest. 1266) herrscherliche Förderung. Bei den Almohaden bekam [[w:Ibn Sabʿīn|Ibn Sabʿīn]] (gest. 1270), der wegen seiner Nähe zur Philosophie als „Sufi nach den Grundsätzen der Philosophen“ (''ṣūfī ʿalā qāʿidat al-falāsifa'') bezeichnet wurde, herrscherliche Protektion. Und am Hof der Rum-Seldschuken in Konya wurde der aus dem andalusischen [[w:Murcia|Murcia]] stammende sufische Gelehrte [[w:Muhyī d-Dīn Ibn ʿArabī|Muhyī d-Dīn Ibn ʿArabī]] (gest. 1240) willkommen geheißen. Er war im Laufe seines Lebens von Nordafrika aus durch weite Gebiete des Orients gewandert, mit fast allen bedeutenden Sufis seiner Zeit zusammengetroffen und übte später großen Einfluss auf das islamische Denken aus (vgl. unten [[#9.2.6. Theologische Auseinandersetzungen innerhalb des sunnitischen Islams|9.2.6.]]). === 9.1.4. Zweiter Mongolensturm und Fall des Bagdader Kalifats === [[File:Bagdad1258.jpg|mini|Darstellung der [[w:Eroberung Bagdads (1258)|Eroberung Bagdads]] im Jahre 1258 in einer Handschrift von [[w:Raschīd ad-Dīn|Raschīd ad-Dīn Fadlallāhs]] Geschichtswerk [[w:Dschāmiʿ at-tawārīch|Dschāmiʿ at-tawārīch]]]] In den Jahren 1251 bis 1259 führte [[w:Hülegü|Hülegü]], ein Enkel Dschingis-Chans, im Auftrag des [[w:Großkhan|Großchans]] von [[w:Karakorum (Stadt)|Karakorum]] eine neue mongolische Invasion gegen Westasien durch. Zwischen 1256 und 1259 wurden Iran und der Irak vollständig erobert. Als Hülegü 1258 [[w:Eroberung Bagdads (1258)|Bagdad eroberte]], stürzte er den abbasidischen Kalifen al-Mustaʿsim und ließ ihn hinrichten. Mit dieser Tat zerstörte er nicht nur das bisherige politische Zentrum der islamischen Welt, sondern stellte auch das islamische Herrschaftsverständnis ernstlich in Frage. Die islamische [[w:Umma|Umma]] wurde damit gewissermaßen führungslos. Die mongolische Invasion konnte erst 1260 bei [[w:Schlacht bei ʿAin Dschālūt|Schlacht bei ʿAin Dschālūt]] in Nordpalästina durch die ägyptischen [[w:Mamluken|Mamluken]] gestoppt werden. Die zweite mongolische Invasion war insofern besonders einschneidend, weil dadurch der Islam für mehrere Generationen in Iran seinen Status als Religion der Herrschenden verlor. Hülägü, der Eroberer Bagdads, war Buddhist, und auch seine Nachkommen, die [[w:Ilchane|Ilchane]], die von [[w:Täbris|Täbris]] aus herrschten, förderten den [[w:Buddhismus|Buddhismus]]. == 9.2. Die Zeit des abbasidischen Schattenkalifats (1261-1517) == === 9.2.1. Die Mamluken, das abbasidische Schattenkalifat und der Mahmal === Die Mamluken waren Militärsklaven – daher auch ihr Name (''mamlūk'' = Sklave) –, die seit 1250 über Ägypten herrschten und dort die Dynastie der Aiyubiden verdrängt hatten. Nach der Schlacht von ʿAin Dschālūt konnten sie ihre Herrschaft auch auf Palästina und Syrien ausweiten. Zwar waren die Mamluken die neue aufstrebende Macht des Nahen Ostens, doch fehlte es ihnen aufgrund ihrer Herkunft als [[w:Turkvölker|turkstämmige]] Militärsklaven an religiös-politischer Legitimation. Um diese zu erhalten, gingen sie ein Bündnis mit Abkömmlingen der [[w:Abbasiden|Abbasiden]] ein. Zwei von ihnen waren 1261 bei den Mamluken aufgetaucht und versuchten, mit ihrer Hilfe Bagdad zurückzuerobern. Nachdem dieser Versuch misslungen war, erhob [[w:Baibars I.|az-Zāhir Baibars]], der nun unangefochtene Anführer der Mamluken in Ägypten, den einzig noch verbliebenen Abbasiden zum Kalifen und ließ sich umgekehrt von ihm den [[w:Sultan|Sultanstitel]] verleihen. Die Abbasidenprinzen aus dieser Linie versahen in den folgenden Jahrhunderten ihr weitgehend formales Amt, ein Kalifat ohne herrscherliche Machtbefugnisse, das den Mamlukensultanen jedoch die notwendige islamische Legitimität verlieh. Im Laufe der Zeit erkannten auch die Herrscher verschiedener anderer Dynastien diese abbasidischen Kalifen als ihre Oberherren an. Innerhalb des Mamlukenreiches hatten die abbasidischen Kalifen nur wenig zu sagen, hier gaben Sultane und Emire der Mamluken den Ton an. Sie erwarben sich hohes religiöses Prestige durch ihren Abwehrkampf gegen die nicht-muslimischen Mongolen, der noch über mehrere Jahrzehnte andauerte. Auch die endgültige Vertreibung der Kreuzfahrer aus Syrien (1280-90) und die Zertrümmerung des [[w:Königreich Kleinarmenien|christlich-armenischen Reiches in Kilikien]] (1375) gehen auf die Mamluken zurück. Darüber hinaus profilierten sie sich durch ihre großzüge Unterstützung der islamischen Gelehrsamkeit. Alle vier sunnitischen Lehrrichtungen erhielten nun einen eigenen Ober-Qādī, der gleichberechtigt neben den anderen stand. Mit Hilfe [[w:Waqf|frommer Stiftungen]] förderten die Mamluken das religiöse Bildungswesen und errichteten in Kairo und den anderen großen Städten ihres Reiches Madrasas und Ribāte. Dahinter stand der Wunsch der mamlukischen Führungsschicht, möglichst viele bedeutende religiöse Persönlichkeiten in das eigene Land zu ziehen, um dieses als kulturelles Zentrum der islamischen Welt auszuweisen. Die [[w:Azhar (Ägypten)|Azhar]]-Moschee in Kairo erlebte in dieser Zeit ihren Aufstieg als international anerkannte Stätte islamischer Gelehrsamkeit. Die Mamluken positionierten sich auch als eindeutig anti-schiitische Macht. Schon in den 1270er Jahren unterwarf Baibars die Burgen der nizāritischen Ismailiten im syrischen Küstengebirge. Im frühen 14. Jahrhundert rückte dann das Heer des mamlukischen Statthalters von Damaskus mehrfach aus, um die in den umliegenden Gebirgszügen lebenden schiitischen Gruppen (Drusen, Nusairier, Zwölfer-Schiiten) mit der Waffe zu bekämpfen. Hinter diesen Aktionen stand der hanbalitische Gelehrte [[w:Ibn Taimīya|Ibn Taimīya]] (gest. 1329), der in einer Fatwa zur Verfolgung von Nusairiern und Drusen aufgerufen hatte. Mit dem Argument, dass sie heimliche Apostaten seien und damit schlimmer als Juden und Christen, forderte er die mamlukischen Herrscher auf, sie ohne Rücksicht auf eine eventuelle [[w:Tauba|Reue]] zu töten. Einer der bedeutendsten imamitischen Gelehrten dieser Zeit, Muhammad ibn Makkī aus [[w:Jezzine|Dschizzīn]] im heutigen Libanon, wurde 1384 von dem mamlukischen Sultan hingerichtet. Er wird von den Zwölfer-Schiiten bis heute als der „Erste Märtyrer“ (''aš-šahīd al-auwal'') verehrt. Auch sunnitische Gelehrte, die mit der Schia sympathisierten, wie [[w:Nadschm ad-Dīn at-Tūfī|Nadschm ad-Dīn at-Tūfī]] (gest. 1316) hatten es im Mamlukenreich schwer. [[File:Mahmal in Lane.png|mini|hochkant|Schematische Zeichung eines [[w:Mahmal|Mahmal]] in [[w:Edward William Lane|Edward William Lanes]] ''An Account of the Manners and Customs of the Modern Egyptians'' (1842)]] Herrschende theologische Schule im Mamlukenreich war die [[w:Aschʿarīya|Aschʿarīya]]. Daneben hatte die hanafitische [[w:Kalām|Kalām]]-Schule in ihrer [[w:Māturīdīya|māturīditischen]] Ausprägung unter den mamlukischen Beamten viele Anhänger. Der syrische Gelehrte [[w:Tādsch ad-Dīn as-Subkī|Tādsch ad-Dīn as-Subkī]] (gest. 1370) schrieb in dieser Zeit ein Lehrgedicht, in dem er die wesentlichen Lehrunterschiede zwischen Aschʿarīya und Hanafīya zusammenfasste. Der Vergleich war nicht auf Betonung der Differenz, sondern auf Harmonisierung angelegt. Damit bahnte er einem nachhaltigen Ausgleich der beiden Lehrrichtungen den Weg. Eine größere Herausforderung erwuchs der Aschʿarīya damals in Form der „Lehrrichtung der Altvorderen“ (''maḏhab as-salaf''), auch Salafīya genannt. Damit wurden diejenigen traditionalistischen Gelehrten bezeichnet, die der Kalām-Wissenschaft ablehnend gegenüberstanden und die in ihr übliche metaphorische Deutung des Korans ablehnten. Zu den bedeutendsten Gelehrten, die eine solche Orientierung hatten, gehörten der bereits genannte Ibn Taimīya und sein Schüler [[w:Ibn Qaiyim al-Dschauzīya|Ibn Qaiyim al-Dschauzīya]] (gest. 1350), beides [[w:Hanbaliten|Hanbaliten]] sowie die beiden [[w:Schafiiten|Schafiiten]] [[w:adh-Dhahabī|Schams ad-Dīn adh-Dhahabī]] (gest. 1348) und [[w:Ibn Kathīr|Ibn Kathīr]] (gest. 1370). Als Sitz des abbasidischen Kalifats hatte das Mamlukenreich von Anfang an eine besondere Stellung unter den islamischen Reichen. Darüber hinaus beanspruchten die mamlukischen Sultane auch die Oberherrschaft über die Heiligen Stätten im Hedschas. Ab 1261 nahmen sie den Titel „Diener der beiden heiligen Stätten“ für sich in Anspruch, ab 1266 schickten sie jährlich mit der Pilgerkarawane den sogenannten [[w:Mahmal|Mahmal]], ein mit kostbaren Stoffen überzogenes Zelt, nach Mekka. Der Mahmal wurde auf einem geschmückten Kamel transportiert und nach der Ankunft bei den kultischen Ritualen in der [[w:ʿArafāt|ʿArafāt]]-Ebene und bei der [[w:Kaaba|Kaaba]] sichtbar positioniert. Auf diese Weise wurde die politische Hoheit der Mamluken über die Heiligen Stätten zum Ausdruck gebracht. Der Sultan wurde während der Wallfahrt meist durch einen Offizier, den ''amīr al-ḥaǧǧ'', der auch die Karawane leitete, vertreten, einzelne Sultane vollzogen aber auch selbst die Wallfahrt nach Mekka. Lange Zeit konkurrierten die Mamluken allerdings noch mit anderen Herrschern, insbesondere den jemenitischen Rasuliden, um die Oberherrschaft über die Heiligen Stätten in Mekka und Medina. Seit 1297 schickten diese ebenfalls einen Mahmal zur Wallfahrt nach Mekka. Auch um das Recht, die [[w:Kaaba|Kaaba]] mit der [[w:Kiswa|Kiswa]] bekleiden zu dürfen, stritten sich die Herrscher der beiden Dynastien. === 9.2.2. Islamisierung in den mongolischen Teilreichen === [[File:Asia in 1335.svg|mini|links|Asien um 1335 mit den vier mongolischen Teilreichen]] Im Jahre 1260 starb der mongolische Großchan [[w:Möngke|Möngke]], und das mongolische Großreich zerfiel endgültig in vier verschiedene Teilreiche: 1.) das Reich der Goldenen Horde, das sich über die Gebiete Südrusslands, der Ukraine und Kasachstans bis nach Westsibirien erstreckte, 2.) das Reich der Ilchane in Persien, dem Kaukasus, Mesopotamien und Ostanatolien, 3.) das [[w: Yuan-Dynastie|Reich der Yüan]] in China und der Mongolei, und schließlich in der Mitte 4.) das [[w:Tschagatai-Khanat|Tschagatai-Chanat]], das Transoxanien, das westliche [[w:Tarimbecken|Tarimbecken]], das [[w:Siebenstromland|Siebenstromland]] und einen Teil der [[w:Dsungarei|Dsungarei]] umfasste. In all diesen Teilreichen fanden in der Folgezeit bedeutende Islamisierungsprozesse statt. Eine Vorreiterrolle spielte dabei das Reich der Goldenen Horde, in dem schon im 13. Jahrhundert verschiedene Herrscher zum Islam übergegangen waren. Berke, seit 1257 Chan der Horde, schloss 1264 mit den Mamluken im Namen des Islam ein Bündnis gegen den buddhistischen Ilchan Hülägü. Und seit 1283 erkannte die Goldene Horde den abbasidischen Schattenkalifen von Kairo als Führer der islamischen Gemeinschaft an. Im 14. Jahrhundert trieb dann vor allem [[w: Usbek Khan|Uzbek Chan]] (reg. 1312-41) die Islamisierung voran: er holte zahlreiche muslimische Gelehrte ins Land, vertrieb die von seinem Vorgänger [[w:Tohtu|Tochtu]] geschätzten [[w:Schamanismus|schamanistischen]] Priester und forderte die Oberschicht des Reiches dazu auf, zum Islam überzutreten. Zwar lebten weiter viele Nicht-Muslime auf dem Gebiet der Goldenen Horde, doch bekam der Staat einen eindeutig islamischen Charakter, und langfristig wurde der Islam auch in der Bevölkerung zur dominierenden Religion. [[Datei:GhazanCoin.jpg|mini|[[w:Dirham|Dirham]] von Ghazan mit arabischer und [[w:Uigurische Sprache|uigurischer]] Beschriftung. Die arabische Inschrift enthält den Text der [[w:Schahāda|Schahāda]]]] Die von Täbris aus herrschenden Ilchane blieben zunächst dem Buddhismus und den Riten des mongolischem Schamanismus treu, allerdings vergaben sie schon von Anfang an wichtige Staatsämter an Muslime, Juden und Christen. Das frühe Ilchan-Reich war also ein Staat mit multireligiöser Ausrichtung. Als 1282 der Ilchan [[w:Tekuder|Tegüder]] nach seiner Thronbesteigung den Übertritt zum Islam bekanntgab und den Namen Ahmad annahm, stieß dies noch auf heftigen Widerspruch in seiner Verwandtschaft. Sein Neffe [[w:Arghun|Arghun]] überwältigte ihn 1284 und kehrte als neuer Ilchan zur früheren Religionspolitik zurück. Erst als 1295 der bereits vor Herrschaftsantritt zum Islam übergetretene [[w:Ghazan Ilchan|Ghāzān]] zum Ilchan wurde, erhielt der Islam wieder die Stellung als Religion des Staates; die in der Zwischenzeit errichteten buddhistischen Tempel wurden zerstört. Unter dem letzten Ilchan-Herrscher [[w:Abū Saʿīd|Abū Saʿīd]] (reg. 1316–1335) wurde eines der wichtigsten [[w:Kalām|Kalām]]-Handbücher der postklassischen Zeit verfasst, das ''Kitāb al-Mawāqif'' von [[w:ʿAdud ad-Dīn al-Īdschī|ʿAdud ad-Dīn al-Īdschī]]. Normative Grundlage für die Herrschaft der Ilchane blieb aber die [[w:Jassa|Yāsā]], das auf Dschingis Chan zurückgeführte mongolische Gesetzeswerk, das militärische wie auch zivile Angelegenheiten regelte und seine Bedeutung als Richtschnur für die Staatsordnung und politische Autorität im Staat behielt. Dies ermöglichte den Mamluken, sich umgekehrt als Garanten der [[w:Scharia|Scharia]], der islamischen Rechtsordnung, die auf Koran und Sunna fußt, zu profilieren. Vor dem Hintergrund einer neuerlichen Invasion der Mongolen in Syrien im Jahre 1299 erklärte Ibn Taimīya in einer [[w:Fatwa|Fatwa]] den Dschihad gegen die Mongolen zur Pflicht für alle Muslime, weil sie eben nicht die Scharia anwandten. Seiner Auffassung nach war nur ein Staat, dessen Regierung (''siyāsa'') auf der Scharia beruhte, ein wirklich islamischer Staat. Ibn Taimīya entwickelte die Theorie von der Notwendigkeit einer scharia-gemäßen Staatsführung (''siyāsa šarʿīya'') in einem eigenen Traktat, der bis heute großen Einfluss auf das islamische politische Denken besitzt. [[Datei:Hui man at Daqingzhen Si.jpg|mini|links|[[w:Hui-Chinesen|Hui-Chinese]] an der [[w:Moschee zu Xi’an|Großen Moschee von Xi'an]], die in den 1360er Jahren erbaut wurde.]] Auch im Yüan-Reich (1260-1368) kam es zu einem Islamisierungsprozess. Die Truppen, mit denen [[w:Kublai Khan|Qubilai Chan]], der Begründer dieses Reiches, Nord- und Südchina überrannt hatte, bestanden zum großen Teil aus muslimischen Kämpfern, die sein Großvater Dschingis Chan von seinen Feldzügen nach Zentral- und Westasien mitgebracht hatte. Da zahlreiche Soldaten Muslime waren, bestimmte der Chan, dass sie nach den Mongolen und vor den Einheimischen den zweiten Rang in China einnehmen sollten. Einer von Qubilai’s muslimischen Generälen, der bucharische [[w:Sayyid|Prophetennachkomme]] Schams ad-Dīn ʿUmar mit dem Beinamen [[w:Sayyid Adschall Schams ad-Din Umar|Saiyid-i Adschall]], begründete in der südwestlichen chinesischen Provinz [[w:Yunnan|Yunnan]] eine eigene Dynastie von muslimischen Statthaltern, die stark zur Verbreitung des Islams in dieser Region beitrug. Ein Enkel von Saiyid-i Adschall erwirkte 1335 die kaiserliche Anerkennung des Islams als Qing-zhen jiao, „Lehre der reinen Wahrheit“, ein Name, der bis heute in China für den Islam verwendet wird. Nach der Ablösung der mongolischen Yüan durch die chinesische [[w:Ming-Dynastie|Ming-Dynastie]] (1368-1644) bekleideten die Muslime aus Yunnan noch eine Zeitlang hohe Staatsämter in China. So stammte zum Beispiel der chinesische Admiral [[w:Zheng He|Zheng He]], der im frühen 15. Jahrhundert für die Ming-Herrscher mehrere große Expeditionen in den Indischen Ozean unternahm, aus ihren Reihen. In der späteren Ming-Zeit verloren die Muslime dann aber ihre Führungsposition in China und gerieten unter großen Assimilierungsdruck. Von den anderen Chinesen als [[w:Hui-Chinesen|Hui]] bezeichnet, erhielten sie sich allerdings über die Jahrhunderte ein starkes Zusammengehörigkeitsgefühl, das sich unter anderem auch darauf stützte, dass sie in bestimmten Berufsfeldern wie dem Bergbau und dem Karawanenhandel besonders erfolgreich waren. Im Reich des Tschagatai war [[w:Tarmaschirin|Tarmaschirin]] (reg. 1331-1334) der erste bedeutende Herrscher, der zum Islam überging und sich für die Verbreitung dieser Religion einsetzte. Um die Mitte des 14. Jahrhunderts zerfiel das Reich in ein östliches und ein westliches Chanat. Chizr Chodscha, von 1389 bis 1399 Herrscher des östlichen Chanats (auch [[w:Moghulistan|Moghulistan]] genannt), unterwarf das uigurische Königreich von Qocho, das eine buddhistische Ausrichtung hatte, und trug damit dazu bei, dass der Islam bei den [[w:Uiguren|Uiguren]] zur herrschenden Religion wurde. Auf dem Gebiet des westlichen Chanats trat in der zweiten Hälfte des 14. Jahrhunderts der Freibeuter [[w:Timur|Timur]] auf. Er unternahm den Versuch, die formal noch bestehenden mongolischen Teilreiche wieder zu einem Großreich zu vereinigen. Bei seinen Eroberungszügen durch Iran, Zentralasien, Irak, die kiptschakische Steppe, Nordindien, Syrien und Anatolien zerstörte Timur (reg. 1370-1405) zahlreiche Städte und Landstriche und massakrierte die Bevölkerung. Timur stellte die Gültigkeit der Scharia als Herrschaftsprinzip in Iran und Zentralasien erneut in Frage, denn er fühlte sich vor allem mongolischen Traditionen verpflichtet. Seine Nachkommen, die [[w:Timuriden|Timuriden]], herrschten bis 1506 über Ostiran, Transoxanien und Westturkestan. Hinsichtlich des Islams verhielten sie sich unterschiedlich. Timurs Sohn [[w:Schāh Ruch|Schāh Ruch]], der von 1405 bis 1447 von [[w:Herat|Herat]] aus über weite Teile Irans herrschte, gab sich wieder ganz als islamischer Herrscher und verkündete zu Beginn seiner Herrschaft, dass die Yāsā durch die Scharia abgelöst sei. Er vermied selbst das Weintrinken und gegen Ende seiner Herrschaft schickte er sogar eine [[w:Kiswa|Kiswa]] zur Verhüllung der Kaaba nach Mekka. Schah Ruchs Sohn [[w:Ulugh Beg|Ulugh Beg]] dagegen, der von 1410 bis 1449 in Samarkand als sein Statthalter tätig war, fühlte sich wie sein Großvater vor allem mongolischen Sitten verbunden und führte seinen Hof ohne Rücksicht auf islamische Vorschriften: es gab dort Zechgelage mit Musik und Gesang. Das Reich der Goldenen Horde zerfiel im Laufe des 15. Jahrhundert in zahlreiche Teilstaaten: 1.) das [[w:Khanat Kasan|Chanat von Kasan]] an der mittleren Wolga, während des 15. Jahrhunderts der bedeutendste militärischen Gegner der Moskauer [[w:Rus|Rus]], 2.) das [[w:Khanat Astrachan|Chanat Astrachan]] im Mündungsgebiet der Wolga, 3.) das [[w:Khanat der Krim|Chanat der Krim]], das die Halbinsel [[w:Krim|Krim]] und die südlichen Steppengebiete der heutigen Ukraine umfasste, 4.) das [[w:Usbeken-Chanat|Chanat der Usbeken]] in Transoxanien, 5.) das [[w:Kasachen-Khanat|Chanat der Kasachen]] auf dem Gebiet des heutigen Staates Kasachstan sowie das 6.) [[w:Khanat Sibir|Chanat von Sibir]], von dem die heutige geographische Bezeichnung [[w:Sibirien|Sibirien]] herrührt. In all diesen Reichen blieb der Islam die Religion der Herrschenden. === 9.2.3. Türkische Ghāzī-Reiche in Südasien und auf dem Balkan === [[File:Sultanat von Delhi Tughluq-Dynastie.png|mini|links|Das Sultanat von Delhi im frühen 14. Jahrhundert]] Zwischen dem späten 13. und dem frühen 14. Jahrhundert brachten die Herrscher des Sultanats von Delhi den größten Teil Nord- und Zentralindiens unter islamische Herrschaft: 1298 wurde das Gebiet von [[w:Gujarat|Gujarat]] annektiert, 1318 der [[w:Dekkan|Dekkan]], der südliche Teil des indischen Subkontinents. Sultan [[w:Muhammad ibn Tughluq|Muhammad ibn Tughluq]] (reg. 1325-1351) verlegte seine Hauptstadt in den Süden nach [[w:Daulatabad|Daulatābād]], um von dort aus den Süden des Reiches besser kontrollieren zu können. Um die Mitte des 14. Jahrhunderts fiel dann das Sultanat von Delhi auseinander. Im Osten machten sich die [[w:Sultanat von Bengalen|Sultane von Bengalen]] (ab 1342) unabhängig. Sie bauten ihre Hauptstadt Pandua prachtvoll aus und errichteten dort mit der 1375 vollendeten [[w:Adina-Moschee|Adina-Moschee]] die größte Moschee des ganzen Subkontinents. Im Süden Indiens gründete 1347 Bahmanschāh, ein Emir des Sultanats von Delhi, das [[w:Bahmani-Sultanat|Bahmaniden-Sultanat]], dessen Hauptstadt [[w:Gulbarga|Gulbarga]] wurde. Und im Westen entstand mit dem [[w:Sultanat Gujarat|Sultanat von Gujarat]] (1407-1584) ein weiteres islamisches Herrschaftsgebilde, das ab 1411 von der neu gegründeten Hauptstadt [[w:Ahmedabad|Ahmadābād]] aus regiert wurde. [[File:Sixty Dome Mosque in Bagerhat Bangladesh.JPG|mini|Die von [[w:Khan Jahan Ali|Chān Dschahān ʿAlī]] errichtete 60-Kuppelmoschee in [[w:Historische Moscheenstadt Bagerhat|Bagerhat]], vormals Chalīfatābād, im heutigen Bangladesch.]] Bei all diesen Staaten erfolgten die Loslösung vom Sultanat von Dehli und die Erhebung zum eigenständigen Sultanat mit einem Einsetzungsschreiben des abbasidischen Kalifen. Einige dieser Herrscher nahmen aber später auch selbst den Kalifentitel für sich in Anspruch wie etwa der bengalische Sultan Nāsir ad-Dīn Mahmūd I. (reg. 1433-1459). Ein General von ihm, [[w:Khan Jahan Ali|Chān Dschahān ʿAlī]] erschloss die gewaltigen Mangrovenwälder des bengalischen [[w:Sundarbans|Sundarban-Gebietes]] für die Besiedlung und errichtete dort die neue Stadt [[w:Historische Moscheenstadt Bagerhat|Chalīfatābād]], von der heute noch die historische 60-Kuppel-Moschee zeugt. Schon 1430 hatte ein Vorgänger Nāsir ad-Dīns das buddhistische Königreich von [[w:Arakan|Arakan]] an der Küste des heutigen [[w:Myanmar|Myanmar]] zum Vasallen gemacht, womit dort ebenfalls ein Prozess der Islamisierung eingeleitet wurde. Bengalische Muslime siedelten sich in großer Zahl in Arakan an. Die heutige Volksgruppe der [[w:Rohingya|Rohingya]] in Myanmar geht zum großen Teil auf sie zurück. Die meisten der türkischen Sultane in Südasien verstanden sich als [[w:Ghāzī (Titel)|Ghāzīs]]. Ein Ghāzī ist ein muslimischer Kämpfer, der sich in der Grenzzone aufhält und in Nachfolge der prophetischen [[w:Maghāzī|Maghāzī]] (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.1.1. Die Provokation der Quraisch|3.1.1.]]) Kriegszüge auf nicht-islamisches Gebiet unternimmt, um den Bereich des [[w:Dār al-islām|Dār al-islām]] zu vergrößern. Allgemein umgab die frommen Kämpfer dieses Typs eine heilige Aura. Sie galten als Träger eines besonderen Segens ([[w:Baraka|Baraka]]), und wurden später zum Gegenstand von Legenden, die in hagiographischen Werken gesammelt wurden. Der Ghāzī ist damit gewissermaßen das östliche Gegenstück zum Murābit (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 08#8.2.3. Die Ausbreitung des Islams in Afrika durch Handel und Ribāt|8.2.3.]]). [[File:Osman I area map.PNG|mini|links|Nordwestanatolien mit der Keimzelle des osmanischen Staates um 1300]] Eine andere Region, in der um diese Zeit türkische Ghāzīs tätig wurden, war Nordwestanatolien. Im Zusammenhang mit dem Niedergang des [[w:Sultanat der Rum-Seldschuken|Sultanats der Rum-Seldschuken]] im 13. Jahrhundert waren hier mehrere autonome Fürstentümer, sogenannte [[w:Beylik|Beyliks]], entstanden. Eines dieser Beyliks war dasjenige, das [[w:Osman I.|ʿOthmān ibn Ertoğrul]], der Angehörige eines [[w:Oghusen|Oghusenstammes]], 1281 in der Nähe von [[w: İznik|Iznik]] gegründet hatte. Mit Überschreitung der [[w:Dardanellen|Dardanellen]] durch seine Kämpfer 1353 begann die erste Expansionswelle dieses „osmanischen“ Ghāzī-Fürstentums nach Europa. Bis 1394 besetzten die osmanischen Truppen [[w:Thrakien (Landschaft)|Thrakien]], [[w:Edirne|Adrianopel (Edirne)]], das zur zweiten osmanischen Hauptstadt wurde, Bulgarien, das serbische Makedonien, die Stadt [[w:Saloniki|Saloniki]] und [[w:Thessalien|Thessalien]]. In Anerkennung um seine Verdienste ließ sich der osmanische Emir [[w:Bayezid I.|Bāyezīd]] 1394 vom abbasidischen Schattenkalifen den Titel „Sultan von Rūm“ verleihen. 1402 wurde dieser neue Sultan Bāyezīd jedoch von Timur vernichtend geschlagen. Dadurch kam die osmanische Expansion auf dem Balkan zunächst einmal zum Stillstand. [[File:Empèri Otoman - Expansion territòriala de 1307 a 1490-es.svg|mini|Der Prozess der osmanischen Expansion im 14. und 15. Jahrhundert]] Eine zweite osmanische Eroberungswelle begann um die Mitte des 15. Jahrhunderts unter Sultan [[w:Mehmed II.|Mehmed II.]] Sie brachte das gesamte Südosteuropa unter osmanische Herrschaft. Um 1453 verlegten die Osmanen ihre Hauptstadt nach Konstantinopel, das fortan Istanbul hieß, und traten damit das symbolische Erbe des Byzantinischen Reiches an. Die [[w:Hagia Sophia|Hagia Sophia]], die frühere Hauptkirche von Byzanz, wurde in eine Moschee verwandelt und bildete fortan das religiöse Zentrum des Osmanischen Reiches. An die Spitze der Gelehrten trat ab 1480 als oberster [[w:Mufti|Muftī]] des Reiches der [[w:Schaich al-Islām|Schaich al-islām]] von Istanbul. Die osmanische Expansion setzte sich in der zweiten Hälfte des 15. Jahrhunderts ungebremst fort. 1475 machten die Osmanen das dschingisidische Chanat der Krim zu ihrem Vasallen. Bis zum Ende des Jahrhundert verdrängten sie fast alle anderen türkischen Beyliks in Anatolien. Auf dem Balkan kam es schon zu dieser Zeit in den osmanischen Verwaltungszentren zu einer Islamisierung der Bevölkerung. Statistiken vom Anfang des 16. Jahrhunderts zeigen, dass damals bereits mehrere Städte, die als solche Zentren fungierten, muslimische Bevölkerungsmehrheiten hatten. Außerhalb dieser Städte änderte sich die religiöse Bevölkerungsstruktur in den meisten Gebieten allerdings nur wenig. Allein im 1463 eroberten [[w:Bosnien|Bosnien]], wo aufgrund der Existenz einer eigenständigen [[w:Bosnische Kirche|Bosnischen Kirche]] eine besondere religiöse Situation herrschte, fasste der Islam in diesem Zeitraum auch schon in den ländlichen Regionen Fuß. Die Konversionen zum Islam hatten hier allerdings zumeist nur deklarativen Charakter, das heißt, die Konvertiten nahmen nur islamische Namen an und lebten unverändert weiter mit ihren christlichen Familien zusammen. === 9.2.4. Islamisierung durch Handel im Indischen Ozean und in Westafrika === [[File:Malacca Sultanate en.svg|mini|Das Sultanat von Malakka im späten 15. Jahrhunderts, einer der frühesten Staaten mit islamischer Ausrichtung in Südostasien]] Parallel zu diesen Entwicklungen setzte sich die Verbreitung des Islams durch den Handel fort. Um die Mitte des 12. Jahrhundert waren bereits das Herrscherhaus und die Bevölkerung der [[w:Malediven|Malediven]] zum Islam übergegangen. Über den Seehandel verbreitete sich der Islam auch in [[w:Südostasien|Südostasien]] und fasste dort zunächst in einigen Häfen an den Küsten Fuß. Mit Perlak und [[w:Sultanat Pasai|Pasai]] an der Nordspitze [[w:Sumatra|Sumatra]]s erschienen in den 1290er Jahren die ersten islamischen Staaten Südostasiens. Die [[w:en:Terengganu Inscription Stone|Steininschrift von Terengganu]], die auf das 13. Jahrhundert datiert ist und die islamische Religion explizit erwähnt, zeigt, dass sich in dieser Zeit der Islam auch schon auf der [[w:Malaiische Halbinsel|Malaiischen Halbinsel]] verbreitete. Dieser Prozess verschnellerte sich, als die [[w:Sultanat Malakka|Herrscher von Malakka]] (1413) und [[w:Sultanat Patani|Patani]] (ab 1457) im Süden des heutigen Staates Thailand zum Islam übergingen und ihre Herrschaft ins Innere der Malaiischen Halbinsel ausdehnten. Weitere islamische Fürstentümer, die in dieser Zeit im [[w:Malaiischer Archipel|Malaiischen Archipel]] entstanden, waren das [[w:Bruneiisches Großreich|Sultanat Brunei]] auf [[w:Borneo|Borneo]], das [[w:Sultanat von Sulu|Sultanat von Sulu]] auf den Inseln der [[w:Sulusee|Sulusee]] (ab 1450), das [[w:Sultanat Demak|Sultanat Demak]] auf [[w:Java (Insel)|Java]] (ab 1475) und das [[w:Sultanat von Maguindanao|Sultanat Maguindanao]] auf [[w:Mindanao|Mindanao]] (ab 1515). [[Datei:MALI reich Karte.PNG|mini|links|Ungefähre Ausdehnung des Malireiches im 13. Jahrhundert]] In Westafrika gingen die Könige des westafrikanischen [[w:Malireich|Reiches Mali]], das sich über den oberen Nigerbogen bis zur Senegal-Mündung erstreckte, um die Mitte des 13. Jahrhunderts zum Islam über. Sie nutzen gerne den [[w:Haddsch|Haddsch]], um ihre Macht zur Schau zu stellen. Mehrere von ihnen kamen zwischen dem späten 13. und frühen 14. Jahrhundert persönlich zur Pilgerfahrt nach Mekka, verteilten unterwegs große Mengen Goldes und verbreiteten damit den Ruhm ihres Königreiches in anderen Regionen der islamischen Welt. Muslimische Händler aus Mali missionierten ab dem 14. Jahrhundert in dem Stadtstaat [[w:Kano|Kano]] (heute Nord-Nigeria) und bekehrten schließlich deren Herrscher zum Islam. === 9.2.5. Herrscher und Sufi-Orden === [[File:آرامگاه بایزید بسطامی.jpg|mini|links|Das Grabmausoleum von [[w:Bāyazīd Bistāmī|Bāyazīd Bistāmī]] in Nordostiran, das 1313 von [[w:Öldscheitü|Öldscheitü]] ausgebaut wurde.]] Auch die Herrscher dieses Zeitraums zeigten deutliche Neigungen für die sufische Religiosität. Als der mongolische Herrscher Ghāzān den islamischen Glauben annahm, ließ er sich bezeichnenderweise nicht von einem ausgebildeten Theologen, sondern von einem Sufi des [[w:Kubrawiyya|Kubrawīya]]-Ordens unterweisen. Der Kubrawīya-Orden geht auf den im zentralasiatischen [[w:Choresm|Choresm]] lehrenden Sufi [[w:Nadschm ad-Dīn al-Kubrā|Nadschm ad-Dīn Kubrā]] zurück, der 1221 beim Mongoleneinfall den Tod fand. Auch Ghāzāns Nachfolger [[w:Öldscheitü|Öldscheitü]] und [[w:Abū Saʿīd|Abū Saʿīd]] verkehrten häufig mit volkstümlichen Sufis. Öldscheitü ließ 1313 das Grab des Mystikers [[w:Bāyazīd Bistāmī|Bāyazīd Bistāmī]] ausbauen. Er ist für seine paradoxen Aussprüche (''šataḥāt'') bekannt, in denen er sich scheinbar selbst vergöttlichte. [[Datei:Lalish.jpg|mini|Das Grab von Scheich [[w:ʿAdī ibn Musāfir|ʿAdī ibn Musāfir]] in [[w:Lalisch|Lalisch]]]] Auch viele Sultane im Mamlukenreich standen in einem engen Verhältnis zu sufischen Scheichen. Az-Zāhir Baibars zum Beispiel hatte einen Scheich, der dem ʿAdawīya-Orden angehörte. Dieser Orden, der im 12. Jahrhundert durch den Umaiyaden-Abkömmling [[w:ʿAdī ibn Musāfir|ʿAdī ibn Musāfir]] (gest. 1162/3) im Tal von [[w:Lalisch|Lalisch]] im Nordirak gegründet wurde, ist deswegen besonders erwähnenswert, weil er eine eigenartige „sektarische“ Entwicklung nahm. Er verbreitete sich nämlich im frühen 13. Jahrhundert vor allem bei kurdischen Stämmen, die noch altiranischen religiösen Vorstellungen anhingen. Während der Orden selbst unterging, vermischten sich die sufischen Lehren der ʿAdawīya und die iranischen Vorstellungen der kurdischen Stämme im Laufe der Zeit zu einer eigenständigen Religion, die als [[w:Jesiden|Jesidentum]] bekannt wurde. Bis heute ist das Zentralheiligtum der Jesiden, deren Anzahl weltweit auf etwa 800.000 geschätzt wird, das Grab von ʿAdī ibn Musāfir in Lalisch. In Ägypten entwickelte sich außerdem ein reger Heiligenkult um den wundertätigen Sufi Saiyid [[w:Ahmad al-Badawī|Ahmad al-Badawī]] (gest. 1276). Er gilt seitdem gewissermaßen als der islamische Nationalheilige Ägyptens. Noch heute finden jährlich drei Wallfahrten zu seinem Grab in dem unterägyptischen Ort [[w:Tanta|Tantā]] statt. [[File:Sufi photos 051.jpg|mini|links|Der Schrein von [[w:Muinuddin Chishti|Muʿīn ad-Dīn Tschischtī]] in [[w:Ajmer|Ajmer]]]] Bei der Verbreitung des Islams in Südasien spielten Sufi-Scheiche des Suhrawardī-Ordens eine bedeutende Rolle. Zum wichtigsten Orden wurde hier aber die [[w:Chishtiyya|Tschischtīya]], benannt nach dem aus Tschischt in [[w:Sīstān|Sidschistān]] stammenden Sufi [[w:Muinuddin Chishti|Muʿīn ad-Dīn Tschischtī]] (gest. 1236). Die Tschischtīs waren asketisch ausgerichtet, pflegten intensive Beziehungen zu hinduistischen [[w:Yoga|Yogis]] und maßen dem Hören von Musik (''samāʿ'') als Mittel zur Annäherung an Gott große Bedeutung zu. Der Tschischtīya-Orden besteht bis heute in Südasien weiter. Seit dem 14. Jahrhundert ist es üblich, dass indoislamische Herrscher die Pilgerfahrt zum Grab von Muʿīn ad-Dīn Tschischtī in [[w:Ajmer|Ajmer]] unternehmen und dem Heiligen ihre Reverenz erweisen. Unter den Timuriden von Samarkand und Herat erlebte die [[w:Naqschbandīya|Naqschbandīya]] ihren Aufstieg. Nach [[w: Baha-ud-Din Naqschband|Bahā' ad-Dīn Naqschband]] (gest. 1389) aus Buchara benannt, ist die Naqschbandīya ein Orden, in dem der strikte Gehorsam gegenüber der Scharia betont wird. Auch sind die Naqschbandīs sehr positiv dem Engagement in der Gesellschaft und der Politik gegenüber eingestellt. Ihr leitendes Prinzip ist ''ḫalwat dar anǧuman'' („Einkehr in der Gesellschaft“). Das bedeutet, dass der Sufi sich nicht speziell aus der Gesellschaft zurückziehen soll, um seine gottesdienstlichen Übungen zu vollziehen, sondern Gottes ständig gedenken soll, während er weiter mit weltlichen Dingen beschäftigt ist. Der Aufstieg der Naqschbandīya ist untrennbar mit dem Sufi Chwādscha [[w:Ubaidullah Ahrar|ʿUbaidallāh Ahrār]] (1404-1490) verbunden. Er hatte erheblichen Einfluss auf den Timuriden [[w:Abu Sa'id (Timuride)|Abū Saʿīd]], der zwischen 1451 und 1469 von Samarkand herrschte und sich als seinen Adepten bezeichnete. Ahrār gelang es, ihn zur Durchsetzung der Scharia und zum Verzicht auf unislamische Steuern zu bewegen. Außerdem entsandte er Stellvertreter nach Iran, zu den Osmanen, nach Indien und in den [[w:Hedschas|Hedschas]], wodurch sich die Naqschbandīya auch dort verbreitete. [[File:Haci bektaş pir.jpg|mini|Das Grab von [[w:Haddschi Bektasch|Hāddschi Bektāsch]] in Anatolien]] Im osmanischen Staat gab es neben der Naqschbandīya noch mehrere andere sufische Orden. Sultan Bāyezīd II. (reg. 1481-1512) war eng mit dem [[w:Halveti|Chalwatīya]]-Orden verbunden, der seit Mitte des 15. Jahrhundert von Aserbeidschan aus verbreitet wurde. Er ist nach dem Prinzip der Einkehr (''ḫalwa'') benannt, dem sich die Anhänger regelmäßig zu unterziehen hatten. Mehrere osmanische Prinzen hatten in dieser Zeit Chalwatīya-Scheiche als Lehrer. Außerdem war Bāyezīd II. der [[w:Bektaschi|Bektāschīya]] zugeneigt, einem Orden, der nach dem semi-legendären anatolischen Heiligen [[w:Haddschi Bektasch|Hāddschi Bektāsch]] (um 1300) benannt ist. Der Ort in [[w:Kappadokien|Kappadokien]], an dem dieser gelebt haben und begraben sein soll, trägt bis heute seinen Namen (türkische Schreibweise [[w:Hacıbektaş|Hacıbektaş]]). So bestand zu Anfang des 16. Jahrhunderts bereits eine große Anzahl [[w:Liste von Sufi-Orden|sufischer Orden]]. Jeder dieser Orden führte seine Tradition mit einer Initiationskette ([[w:Silsila|Silsila]]) auf einen bestimmten Scheich zurück. Bei den meisten Orden gehörte zur Ordenstradition auch eine bestimmte Form des [[w:Dhikr|Dhikr]], der sie von anderen Orden unterscheidet. === 9.2.6. Die Auseinandersetzungen über die Lehren Ibn ʿArabīs === Ein sehr kontroverses Thema innerhalb dieses Zeitraums waren die Lehren Ibn ʿArabīs (vgl. oben [[#9.1.3. Die Sufis an den Höfen|9.1.3.]]). In diesen Lehren, die nur sehr schwer zu fassen sind, kehrte gewissermaßen das neuplatonische Gedankensystem in sufisch verbrämter Form wieder. Von zentraler Bedeutung für Ibn ʿArabī war die Vorstellung von der [[w:Wahdat al-wudschūd|Wahdat al-wudschūd]] („Einheit der Existenz“). Ihr zufolge ist der monotheistische Gott mit der Existenz (''wuǧūd'') identisch, und diese eine Existenz ist dasjenige, durch das alle existierenden Dinge (''mauǧūdāt'') existieren. Damit wurde eine Verbindung zwischen Gott und geschaffener Welt hergestellt. Mit der Theorie der Wahdat al-wudschūd verbunden war das Konzept der sogenannten [[w:Aʿyān thābita|Aʿyān thābita]] („feststehende Wesenheiten“). Damit meinte Ibn ʿArabī [[w:Archetyp|Archetypen]] der real existierenden Dinge, die schon vor dem Schöpfungsprozess in Gottes urewigem Wissen enthalten sind. Ibn ʿArabī bekannte selbst, dass er diesen Begriff der muʿtazilitischen Theologie entlehnt hatte. Was ihn methodisch aber von den Neuplatonikern und Muʿtaziliten unterschied, war sein Vertrauen auf „Enthüllung“ (''kašf'') und „Imagination“ (''ḫayāl'') als den Korrektiven von „Vernunft“ (''ʿaql''). Bei mehreren seiner Werke gibt Ibn ʿArabī an, dass er sie selbst bei einer derartigen Enthüllung erhalten habe, so auch bei seinen berühmten ''Fuṣūṣ al-ḥikam'' („Ringsteine der göttlichen Weisheiten“), in denen er anhand der Geschichten der koranischen Propheten verschiedene göttliche Weisheiten, die den Menschen zur spirituellen Vollkommenheit bringen sollen, beschreibt. Ibn ʿArabī erklärt im Vorwort, dass ihm das Buch im Jahre 1229 bei einer Vision in Damaskus vom Gottesgesandten persönlich überreicht worden sei. Zahlreiche Gelehrte schrieben nach Ibn ʿArabīs Tod Kommentare zu seinen ''Fuṣūṣ al-ḥikam'' und entwickelten seine Theorie von der Wahdat al-wudschūd weiter. Manche Regionen, in der der Islam in dieser Zeit erst Fuß fasste wie Südasien und Südostasien, lernten die neue Religion zunächst nur in dieser mystischen Form kennen. Anhänger der Lehre Ibn ʿArabīs waren auch an vielen Fürstenhöfen tätig wie etwa der Kubrawī-Scheich [[w:Sayyid Ali Hamadani|ʿAlī al-Hamadānī]] (1314-1385), der während seines langen Aufenthaltes in [[w:Kaschmir|Kaschmir]] sein persisches Werk ''Ḏaḫīrat al-mulūk'' verfasste, in dem er den Menschen als Mikrokosmos darstellt und beschreibt, dass Gott jeden Menschen als Kalifen im Reich seines eigenen Körpers einsetzt. In Kaschmir war erst 1336 eine islamische Dynastie an die Macht gekommen. Neben Indien war um die Wende zum 15. Jahrhundert auch der rasūlidische Jemen eine Hochburg der Lehren Ibn ʿArabīs. Die Lehren Ibn ʿArabīs hatten in dieser Zeit also eine große Anhängerschaft und fassten ebenfalls im Bereich des schiitischen Islams Fuß, allerdings riefen sie auch Gegner auf den Plan. Was Ibn ʿArabī in den ''Fuṣūṣ al-ḥikam'' vorgetragen hatte, dass zum Beispiel das transzendente Göttliche mit der körperlichen Schöpfung identisch sei, dass sich Gott in jedem Objekt der Verehrung zeige, dass das im Koran angedrohte Höllenfeuer sich für Sünder in einen Ort der Wonne verwandeln werde usw., wurde von einigen traditionalistischen Gelehrten als blanke Ketzerei betrachtet. Die Philosophie Ibn ʿArabīs war allerdings auch bei den Sufis keinesfalls unumstritten. Der persische Sufi [[w:ʿAlā' ad-Daula as-Simnānī|ʿAlā' ad-Daula as-Simnānī]] (gest. 1336), der die Lehre von der Einheit der Existenz als Schamlosigkeit betrachtete, lieferte sich darüber eine heftige Auseinandersetzung mit dem Ibn-ʿArabī-Anhänger [[w:ʿAbd ar-Razzāq al-Kāschānī|ʿAbd ar-Razzāq al-Kāschānī]] (gest. 1329). Im Mamlukenreich hatten es Gelehrte, die Kritik an Ibn ʿArabī laut vortrugen, allerdings nicht leicht. Zwei von ihnen, der bereits erwähnte Ibn Taimīya und der etwas spätere al-Biqāʿī (gest. 1470), wurden dort wegen solcher Kritik sogar in die Verbannung geschickt. === 9.2.7. Die schleichende Schiitisierung Irans === Mit den Ilchanen begann die schleichende Schiitisierung Irans. Schon Schams ad-Dīn Dschuwainī, der für Hülegü und mehrere seiner Nachfolger das Amt des Finanzministers versah, förderte mehrere schiitische Gelehrte. Auch in dem Kubrawīya-Orden, dem der Scheich angehörte, der 1295 Ghāzān zum Islam bekehrte, gab es starke schiitische Tendenzen. Ghāzāns Nachfolger [[w:Öldscheitü|Öldscheitü]], der vor Herrschaftsantritt noch christlich getauft worden war, trat zunächst zum Islam sunnitischer Richtung über, wurde aber später von dem irakischen Gelehrten [[w:al-ʿAllāma al-Hillī|al-ʿAllāma al-Hillī]] (gest. 1325) zur Zwölfer-Schia bekehrt. Al-Hillī stammte aus der irakischen Stadt al-Hilla, in der sich eine bedeutende rationalistische Schule der Zwölfer-Schia entwickelt hatte, und war ein entschiedener Befürworter des [[w:Idschtihād|Idschtihād]]. Ibn Taimīya verfasste eine Widerlegung seiner Lehren. Nach dem Tode Abū Saʿīds im Jahre 1335 löste sich das iranische Mongolenreich auf; mongolische Regionaldynastien wie die [[w:Dschalairiden|Dschalāyiriden]] im Zweistromland und Aserbaidschan traten zunächst an ihre Stelle. Ende des 14. Jahrhundert bildeten sich dann in Nordsyrien und Ostanatolien mit den [[w:Aq Qoyunlu|Akkoyunlu]] („Weiße Hammel“) und den [[w:Qara Qoyunlu|Karakoyunlu]] („Schwarze Hammel“) zwei bedeutende turkmenische Stammeskonföderationen, die weite Teile Westirans unter ihre Herrschaft bringen konnten. Die Machthaber dieser Dynastien schwankten ebenfalls zwischen Sunna und Schia. Zur weiteren Verbreitung der Schia in Iran trugen vor allem verschiedene [[w:Mahdi|Mahdī]]-Bewegungen bei, die sich in der unsicheren Situation während und nach den Eroberungszügen Timurs entwickelten. In mehreren von ihnen wurden Vorstellungen propagiert, wie sie von den [[w:Ghulāt|Ghulāt]], den extremen Schiiten, her bekannt sind (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07#7.3.2. Die Anfänge der Nusairīya|7.3.2.]]). Darüber hinaus waren in diesen Bewegungen [[w:Okkultismus|okkulte Lehren]] wie [[w:Alchemie|Alchemie]] und [[w:Wahrsagen|Wahrsagekunst]] sehr populär. [[w:Fazlallāh Astarābādī|Fadlallāh Astarābādī]] und [[w:al-Achlātī|Husain al-Achlātī]], zwei religiöse Führer aus dem nordwestlichen Iran, wurden von ihren Anhängern besonders deshalb verehrt, weil man glaubte, dass sie bei Offenbarungen das geheime Wissen der Imame über die Bedeutung der [[w:Arabisches Alphabet|arabischen Buchstaben]] (''ḥurūf'') erhalten hatten. In der von Fadlallāh gegründeten Bewegung, die sich über die Städte Irans, Ostanatoliens und Syriens ausbreitete, war dieser Gedanke so dominant, dass sie als [[w: Hurufismus|Hurūfīya]] bekannt wurde. Fadlallāh wurde wegen seiner politischen Aktivitäten auf Geheiß von Timurs Sohn [[w:Miran Schah|Mīrānschāh]] 1394 in Baku eingekerkert und wenig später hingerichtet. Ein Ableger der Hurūfiyya war die Nuqtawīya von Mahmūd Pasichānī (gest. 1427/28), die deswegen so genannt wurde, weil sie lehrte, dass in der Kosmogonie die Erde Ausgangspunkt (''nuqṭa'') aller anderen Dinge war. In der Nuqtawīya wurden elaborierte zyklische Weltzeitalterlehren gepflegt, die an ismailitische Konzepte anknüpften. Auch Mahmūd Pasichānī nahm den Mahdī-Titel für sich in Anspruch, allerdings trat er nicht politisch hervor. [[File:Blue Mosque in the northern Afghan city in 2012.jpg|mini|links|Das im 15. Jahrhundert errichtete ʿAlī-Mausoleum in Mazār-i Scharīf]] Eine weitere Mahdī-Bewegung dieser Zeit mit zwölfer-schiitischer Ausrichtung war die Nūrbachschīya, benannt nach Muhammad ibn Muhammad ''Nūrbachsch'' („Lichtgeschenk“), der von seinem Scheich, einem Kubrawī-Sufi, als Nachkomme des siebten Imams [[w:Mūsā al-Kāzim|Mūsā al-Kāzim]]s und erwarteter Mahdī präsentiert wurde. Nūrbachsch, der zwischen Chorasan, dem Irak und den Kurdengebieten wirkte, behauptete, dass das Licht des Rechtgeleiteten (''al-mahdī'') in ihm Platz genommen hätte, und nahm für sich in Anspruch, „Imam und Kalif aller Muslime“ zu sein. Ein Sohn von Nūrbachsch konnte den Timuridenherrscher Husain Bāyqarā, der von 1470 bis 1506 in Herat herrschte, für die Nūrbachschī-Version der Zwölfer-Schia gewinnen. Unter seinem Einfluss errichtete der Herrscher über dem angeblichen Grab von [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī ibn Abī Tālib]] in der Nähe von [[w:Balch|Balch]] eine [[w:Ali-Mausoleum|prächtige Grabmoschee]]. Als [[w:Masar-e Scharif|Mazār-i Scharīf]] („erhabener Wallfahrtplatz“) entwickelte sich der Ort zu einem der wichtigsten Pilgerorte auf dem Gebiet des heutigen Afghanistan. Derwische der Nūrbachschīya brachten ihre Lehre in dieser Zeit auch nach Kaschmir. Auf ihre Aktivitäten ist es zurückzuführen, dass sich bis heute ein großer Teil der muslimischen Bevölkerung in [[w:Ladakh|Ladakh]] und [[w:Baltistan|Baltistan]] zur Nūrbachschīya bzw. Zwölfer-Schia bekennt. {{Anker|Kizilbasch}} [[File:Qezelbash.JPG|mini|hochkant|Nachbildung eines [[w:Kizilbasch|Kizilbasch]]-Kämpfers in der [[w:Saadabad-Palastanlage|Saadabad-Palastanlage]] in Teheran]] Die erfolgreichste iranische Mahdī-Bewegung des 15. Jahrhunderts war diejenige der Familie der [[w:Safawiyya|Safawiden]]-Scheiche im Nordwestiran. Sie hat freilich auch eine lange Vorgeschichte. Ahnherr der Safawiden-Familie war ein gewisser Scheich [[w:Safi ad-Din Ardabili|Safī ad-Dīn]], ein Derwisch wahrscheinlich kurdischer Abstammung, der in seiner Heimatstadt [[w:Ardabil (Stadt)|Ardabīl]] 1301 an die Spitze eines lokalen sufischen Ordens trat und für diesen in Persien, Syrien und Kleinasien mit [[w:Daʿwa|Daʿwa]]-Aktivitäten begann, die dem Orden zahlreiche Anhänger zuführten. Scheich [[w:Scheich Dschunaid|Dschunaid]], ein Nachkomme Safī ad-Dīns, gab Mitte des 15. Jahrhunderts dem Orden eine eindeutig schiitische Ausrichtung und führte ihn erfolgreich in den Kampf gegen die Christen von [[w:Georgien|Georgien]] und [[w:Kaiserreich Trapezunt|Trapezunt]]. Sein Sohn [[w: Scheich Haidar|Haidar]], der dem Orden von 1460 bis 1488 vorstand, verordnete seinen Anhängern in Westiran und Anatolien eine besondere rote Kopfbedeckung, nach der sie fortan [[w:Kizilbasch|Kizilbasch]] (türk. ''qızılbāş'' = Rotkopf) genannt wurden. [[Datei:The declaration of Shi'ism as the state religion of Iran by Shah Ismail -Safavids dynasty.jpeg|mini|links|Die Erklärung der Zwölfer-Schia zur offiziellen Lehre in Iran durch Schah [[w:Ismail I. (Schah)|Ismāʿīl]] im Jahre 1501, Illustration in einem anonymen persischen Werk von 1680 in der [[w:British Library|British Library]].]] Im Jahr 1499 trat Haidars zwölfjähriger Sohn [[w:Ismail I. (Schah)|Ismāʿīl]] als charismatischer Führer an die Spitze der Kizilbasch-Anhänger. Er konnte die Akkoyunlu besiegen und damit ihr politisches Erbe antreten. Im Sommer 1501 hielt Ismāʿīl Einzug in Täbris und nahm den alten iranischen Titel eines „Königs der Könige“ (''šāhān-šāh'') an. Bis zum Jahre 1510 nahmen die Kizilbasch-Kämpfer fast den gesamten Iran ein, im gleichen Jahr schlugen sie in Chorasan den Chan der Usbeken. Damit war das Gebiet Irans zum ersten Mal seit langem wieder politisch geeint. Die Gedichte des Dīwāns, den Schah Ismāʿīl unter seinem ''nom de plume'' Chatā'ī verfasste, zeugen von dem großen Sendungsbewusstsein des jungen Herrschers. Unmissverständlich machen sie deutlich, dass er sich nicht nur für den erwarteten Mahdī, sondern auch für eine Reinkarnation ʿAlīs und der zwölf Imame betrachtete. Die religiös-politischen Ansprüche Ismāʿīls wurden bald auch für die Osmanen gefährlich, denn auf ihrem Territorium befanden sich viele Kizilbasch. 1511 kam es in der Gegend von Antalya zu einem ersten Aufstand dieser Gruppierung gegen ihre Herrschaft. Den osmanischen Staatsapparat kostete es einige Mühe, der Erhebung, die nach ihrem Anführer als Aufstand des [[w:Şahkulu|Şahkulu]] („Sklave des Schahs“) bekannt geworden ist, Herr zu werden. 1514 fand eine erste Feldschlacht zwischen Safawiden und Osmanen statt, die unentschieden endete. Als Ismāʿīl 1501 in Täbris zum Schah ausgerufen wurde, ließ er die [[w:Chutba|Freitagspredigt]] auf die zwölf Imame lesen und an den [[w:Adhān|Gebetsruf]] nicht nur die schiitische Formel „Auf zum besten Tun“, sondern auch den Satz „Ich bezeuge, dass ʿAlī der Freund Gottes ist“ anschließen. Die ersten drei Kalifen Abū Bakr, ʿUmar und ʿUthmān wurden verflucht. Dieses Ritual wurde seitdem regelmäßig wiederholt. Damit erhielt der safawidische Staat von Anfang an eine klar zwölferschiitische Ausrichtung. Auf dem [[w:Dekkan-Sultanate|Dekkan]] in Indien ließen sich zwei Herrscherhäuser, die die Nachfolge der Bahmaniden angetreten hatten, die [[w:Qutb-Schāhī-Sultanat|Qutb-Schāhīs]] von [[w:Golkonda|Golkonda]] und die [[w:Adil Shahi|ʿĀdil-Schāhīs]] von [[w:Bijapur (Sultanat)|Bijapur]] von dem Modell des Safawiden-Staates inspirieren und führten in ihren Reichen kurze Zeit später ebenfalls die Zwölfer-Schia als offizielle Richtung ein. === 9.2.8. Der Fortgang der Reconquista === [[File:Reino de Granada.svg|mini|Das [[w:Emirat von Granada|Emirat von Granada]]. Die Jahreszahlen beziehen sich auf das jeweilige Jahr der christlichen Eroberung.]] Der Niedergang des Almohadenreiches im 13. Jahrhunderts hatte bewirkt, dass auch die christliche [[w:Reconquista|Reconquista]] auf der iberischen Halbinsel besser vorankam: 1236 wurde [[w:Córdoba (Spanien)|Córdoba]] erobert, 1248 [[w:Sevilla|Sevilla]]. Seit Ende des 13. Jahrhunderts war das islamische Spanien auf das [[w:Nasriden (Granada)|nasridische]] [[w:Emirat von Granada|Emirat von Granada]] im Süden der iberischen Halbinsel beschränkt. In den christlichen Königreichen wurden die Muslime als [[w:Mudejaren|Mudejaren]] allerdings weiter geduldet und durften auch ihre Religion ausüben. Diese Situation veränderte sich jedoch, nachdem 1492 eine christliche Armee unter [[w: Ferdinand II. (Aragón)|Ferdinand von Aragon]] und [[w: Isabella I. (Kastilien)|Isabella von Kastilien]] Granada eingenommen und die islamische Herrschaft auf der iberischen Halbinsel beendet hatte. 1502 verbot ein Edikt von Ferdinand und Isabella die Ausübung der islamischen Religion in ganz Kastilien. In den Jahren bis 1525 wurde die Ausübung des Islams auch in den anderen christlichen Königreichen der iberischen Halbinsel untersagt. Die Muslime verloren damit ihren Mudejar-Status und wurden vor die Wahl gestellt, das Land zu verlassen oder sich taufen zu lassen. Es war dies die Zeit, in der die Portugiesen zur weltweit größten Seemacht aufstiegen. Sie brachten in den Jahren 1505 bis 1513 auch die gesamte marokkanische Küste unter ihre Kontrolle. === 9.2.9. Letzte Blüte und Ende des Mamlukenreiches; as-Suyūtī === Nach dem Zerfall des jemenitischen Rasūlidenreiches im späten 14. Jahrhundert konnten die ägyptischen Mamluken Mekka und Medina vollständig unter ihre Kontrolle bringen und sich auch das Recht auf die Einkleidung der Kaaba mit der Kiswa dauerhaft sichern. Die Scherifen von Mekka stellten die mamlukische Oberherrschaft nicht mehr in Frage und gingen offiziell zum sunnitischen Islam über. Damit gelangte die Durchsetzung der sunnitischen Lehre im Zentrum der islamischen Welt zum Abschluss. Das abbasidische Schattenkalifat gewann so viel Prestige, dass auch außerhalb des Mamlukenreiches viele Herrscher dem Kalifen in Kairo ihre [[w:Baiʿa|Huldigung]] übermittelten und sich dafür Einsetzungsschreiben von ihm geben ließen, so zum Beispiel 1497 die Herrscher des [[w:Songhaireich|Songhaireiches]] in Westafrika, eines Nachfolgereiches von Mali. [[File:Jalaluddin Assuyuti Tomb.jpg|mini|Der Eingang zum Grabmausoleum von [[w:as-Suyūtī|as-Suyūtī]] in Kairo]] Auch einige der im Mamlukenreich tätigen Gelehrten erlangten in dieser Zeit überregionale Bekanntheit. Besondere Erwähnung verdient [[w:as-Suyūtī|Dschalāl ad-Dīn as-Suyūtī]] (gest. 1505), den ein abbasidischer Kalif gegen Ende des 15. Jahrhunderts kurzzeitig zum obersten Qādī aller islamischen Länder ernannte. As-Suyūtī unterhielt von Kairo aus ein Netzwerk von Kontakten bis nach Westafrika, Anatolien und Indien. Innerhalb des sunnitischen Islams wurde in dieser Zeit die Frage diskutiert, wie weit die Gelehrten nach der Bildung der verschiedenen Rechtsschulen selbst noch [[w:Idschtihād|Idschtihād]] betreiben durften. Eine verbreitete Doktrin ging von der „Schließung des Tors des Idschtihād“ aus und wollte die Rechtsgelehrten dazu verpflichten, den Autoritäten eines [[w:Madhhab|Madhhabs]] zu folgen und deren Entscheidungen kritiklos zu übernehmen, also ihnen gegenüber [[w:Taqlīd|Taqlīd]] (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07#Taqlid|7.1.4.]]) zu betreiben. As-Suyūtī hielt diese Doktrin jedoch für falsch und nahm für sich selbst das Recht zum Idschtihād und den Rang eines [[w:Mudschtahid|Mudschtahid]] in Anspruch. Dies bedeutete aber keineswegs, dass er uneingeschränkt rationale Methoden akzeptierte. So verfasste er mehrere Traktate, in denen er Logik (''manṭiq'') und [[w:Kalām|Kalām]] für verboten erklärte. As-Suyūtī war ein Vielschreiber: er hat [[w:Liste der Werke as-Suyūtīs|mehr als 300 Werke]] zu verschiedenen islamischen Wissenschaften (insbesondere Koranexegese, [[w:Hadith|Hadith]] und [[w:Fiqh|Fiqh]]) verfasst, die bis heute in allen Gebieten der islamischen Welt gelesen werden. Im frühen 16. Jahrhundert versuchten die Mamluken noch, den Jemen ihrem Reich einzuverleiben. Bevor sie dieses Unternehmen jedoch zu Ende führen konnten, brach ihr Staat zusammen. Der osmanische Sultan [[w:Selim I.|Selīm]] unternahm 1516 einen Feldzug gegen die Mamluken und besiegte sie bei [[w: Schlacht von Mardsch Dabiq|Mardsch Dābiq]] in Nordsyrien. Als die Mamluken das Angebot ausschlugen, Vasallen des Siegers zu werden, zog das osmanische Heer südwärts weiter durch die Sinai-Wüste bis nach Ägypten. Im Januar 1517 kam es vor den Toren Kairos zur Entscheidungsschlacht gegen das letzte mamlukische Aufgebot. [[w:Tuman Bay|Tūmān Bāy]], der letzte Mamlukensultan, endete am Galgen. Die Scherifen von Mekka huldigten daraufhin den Osmanen als ihren neuen Oberherren. == 9.3. Weiterführende Literatur == * Muhammad Ali Aziz: ''Religion and Mysticism in Early Islam. Theology and Sufism in Yemen. The Legacy of Aḥmad Ibn ʿAlwān.'' London 2011. * Michal Biran: „The Chaghadaids and Islam: The Conversion of Tarmashirin Khan (1331-34)“ in ''Journal of the American Oriental Society'' 122/4 (2002) 742-752. * Devin DeWeese: ''Islamization and Native Religion in the Golden Horde. Baba Tükles and Conversion to Islam in Historical and Epical Records.'' University Park, PA 1994. * Richard M. Eaton: ''The Rise of Islam and the Bengal Frontier, 1204-1760.'' Berkeley, Los Angeles 1993. * Éric Geoffroy: ''Le Soufisme en Égypte et en Syrie sous les derniers Mamelouks et les premiers Ottomans. Orientations spirituels et enjeux culturels.'' Damaskus 1995. * Ignaz Goldziher: ''Die Ẓâhiriten. Ihr Lehrsystem und ihre Geschichte. Ein Beitrag zur Geschichte der muhammedanischen Theologie.'' Leipzig 1884. * Wael Hallaq: “Was the gate of ijtihad closed?” in ''International Journal of Middle East Studies'' 16/1 (1984) 3-41. * Angelika Hartmann: ''An-Nāṣir li-Dīn Allāh (1180-1225). Politik, Religion, Kultur in der späten ʿAbbāsidenzeit.'' Berlin-New York 1975. * Jacques Jomier: ''Le maḥmal et la caravane Egyptienne des pèlerins de la Mecque (XIIIe-XXe siècles).'' Kairo 1953. * Alexander Knysh: ''Ibn ‘Arabī in the Later Islamic tradition. The Making of a Polemical Image in Medieval Islam.'' Albany 1999. * Hermann Landolt: „Der Briefwechsel zwischen Kāšānī und Simnānī über Waḥdat al-Wuǧūd“ in ''Der Islam'' 50 (1973) 29-81. * Catherine Maieur-Jaouen: ''Al-Saiyid al-Badawi. Un grand saint de l’islam égyptien.'' Kairo 1994. * Erik S. Ohlander: ''Sufism in an Age of Transition. ʿUmar al-Suhrawardī and the Rise of the Islamic Mystical Brotherhoods.'' Leiden 2008. * Hannah Sohrweide: „Der Sieg der Ṣafaviden in Persien und seine Rückwirkungen auf die Schiiten Anatoliens im 16. Jahrhundert“ in ''Der Islam'' 41 (1965) 95-223. == 9.4. Aufgaben/Fragen == 1. Was ist das Vier-Madhhab-System und wie hat es sich ab der Mitte des 12. Jahrhunderts bemerkbar gemacht? 2. Nennen Sie wichtige Grundprinzipien und Praktiken der Sufik. 3. Mekka diente in seiner Geschichte häufig als Bühne für den Rangstreit der verschiedenen muslimischen Herrscher. Zeigen Sie das anhand von Beispielen. 4. In welcher Weise haben die Mongolen zur Verbreitung des Islams beigetragen? 5. Wo hat sich der Islam vor allem durch Handel verbreitet? Bringen Sie Beispiele aus der Geschichte. 6. Nennen Sie drei sufische Orden und machen Sie Angaben zu ihrer spirituellen Ausrichtung, Geschichte und geographischen Verbreitung. 7. Seit Anfang des 16. Jahrhunderts hat der Iran eine klar zwölfer-schiitische Ausrichtung. Erklären Sie, wie es dazu gekommen ist. 8. Was bedeuten die Begriffe Idschtihād und Taqlīd und in welcher Weise hob sich as-Suyūtī mit seinen Lehren dazu ab? {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} m1fp858o7dg8s9uw8yh508j8dlk9em9 0 101886 1117171 1078456 2026-10-20T14:05:36Z Bert Niehaus 20843 /* Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung */ 1117171 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Zufallsgröße auf dem Messraum <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wie folgt definiert: :<math>P_X: \mathcal{B} \rightarrow [0,1] </math> mit <math>B \mapsto P_X(B):= P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) </math> <math>(\mathbb{R},\mathcal{B},P_X)</math> nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] 5qy797lwhpmt9no8y3w9f2edmvgne6y 1117172 1117171 2026-10-20T14:06:26Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Messbare Abbildung */ 1117172 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="messbare_Abbildung"> <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Zufallsgröße auf dem Messraum <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wie folgt definiert: :<math>P_X: \mathcal{B} \rightarrow [0,1] </math> mit <math>B \mapsto P_X(B):= P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) </math> <math>(\mathbb{R},\mathcal{B},P_X)</math> nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] h4584fbteiqjfhl8v4t04uetb39xffi 1117173 1117172 2026-10-20T14:06:47Z Bert Niehaus 20843 /* Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum */ 1117173 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="messbare_Abbildung"> <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Zufallsgröße auf dem Messraum <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wie folgt definiert: :<math>P_X: \mathcal{B} \rightarrow [0,1] </math> mit <math>B \mapsto P_X(B):= P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) </math> <math>(\mathbb{R},\mathcal{B},P_X)</math> nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] 6w7ejitefu5iw0hgtgix066fqci2i40 1117174 1117173 2026-10-20T14:07:12Z Bert Niehaus 20843 /* Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes */ 1117174 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="messbare_Abbildung"> <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Zufallsgröße auf dem Messraum <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wie folgt definiert: :<math>P_X: \mathcal{B} \rightarrow [0,1] </math> mit <math>B \mapsto P_X(B):= P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) </math> <math>(\mathbb{R},\mathcal{B},P_X)</math> nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] kgb0twkrksw6aie5jvqdv9ms0e2ujpz 1117175 1117174 2026-10-20T14:08:21Z Bert Niehaus 20843 /* Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung */ 1117175 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="messbare_Abbildung"> <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Zufallsgröße auf dem Messraum <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wie folgt definiert: :<math>P_X: \mathcal{B} \rightarrow [0,1] </math> mit <math>B \mapsto P_X(B):= P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) </math> <math>(\mathbb{R},\mathcal{B},P_X)</math> nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] t33dcmb9nrb7ddygo4nchhnc02zjhzz 1117176 1117175 2026-10-20T14:09:03Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1117176 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="messbare_Abbildung"> <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Zufallsgröße auf dem Messraum <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wie folgt definiert: :<math>P_X: \mathcal{B} \rightarrow [0,1] </math> mit <math>B \mapsto P_X(B):= P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) </math> <math>(\mathbb{R},\mathcal{B},P_X)</math> nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] 4xg6khja5jkuv90btpeq572ge3mowvz 1117180 1117176 2026-10-20T14:11:25Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 2 */ 1117180 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Zufallsgröße auf dem Messraum <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wie folgt definiert: :<math>P_X: \mathcal{B} \rightarrow [0,1] </math> mit <math>B \mapsto P_X(B):= P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) </math> <math>(\mathbb{R},\mathcal{B},P_X)</math> nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] 6yim7r6i9lu8fehnhb57xehhass1dwh 1117181 1117180 2026-10-20T14:11:44Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung */ 1117181 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Zufallsgröße auf dem Messraum <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wie folgt definiert: :<math>P_X: \mathcal{B} \rightarrow [0,1] </math> mit <math>B \mapsto P_X(B):= P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) </math> <math>(\mathbb{R},\mathcal{B},P_X)</math> nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] s9pl78sk78euuktttwchg8n2ywtahop 1117182 1117181 2026-10-20T14:11:55Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Messbare Abbildung */ 1117182 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Zufallsgröße auf dem Messraum <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wie folgt definiert: :<math>P_X: \mathcal{B} \rightarrow [0,1] </math> mit <math>B \mapsto P_X(B):= P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) </math> <math>(\mathbb{R},\mathcal{B},P_X)</math> nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] bsvvnhjne7hcn6yvm5xwjeqb8w838oc 1117183 1117182 2026-10-20T14:12:07Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 2 */ 1117183 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Zufallsgröße auf dem Messraum <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wie folgt definiert: :<math>P_X: \mathcal{B} \rightarrow [0,1] </math> mit <math>B \mapsto P_X(B):= P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) </math> <math>(\mathbb{R},\mathcal{B},P_X)</math> nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] bwh2uypkwfdkj2hgz39nnjq396t0ajc 1117184 1117183 2026-10-20T14:12:42Z Bert Niehaus 20843 /* Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum */ 1117184 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Zufallsgröße auf dem Messraum <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wie folgt definiert: :<math>P_X: \mathcal{B} \rightarrow [0,1] </math> mit <math>B \mapsto P_X(B):= P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) </math> <math>(\mathbb{R},\mathcal{B},P_X)</math> nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] 9g8qa6wuufzkcvwqhu0tnat1fg9tpid 1117189 1117184 2026-10-20T14:37:06Z Bert Niehaus 20843 /* Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung */ 1117189 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Zufallsgröße auf dem Messraum <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rccl} P_X : & \mathcal{B}(\mathbb{R}) & \rightarrow & [0,1] \\ & B & \mapsto & P_X(B) := P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) \end{array} </math> Das Triple <math> (\mathbb{R},\mathcal{B},P_X) </math> nennt man eine induzierte [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|W-Verteilung]] der [[Zufallsgröße]] <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] 39131djbyttwr26sfz7oix3lhtjs1b1 1117190 1117189 2026-10-20T14:38:40Z Bert Niehaus 20843 /* Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung */ 1117190 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine [[Zufallsgröße]] auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rccl} P_X : & \mathcal{B}(\mathbb{R}) & \rightarrow & [0,1] \\ & B & \mapsto & P_X(B) := P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) \end{array} </math> Das [[w:de:Tupel|Triple]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B},P_X) </math> nennt man eine induzierte [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|W-Verteilung]] der [[Zufallsgröße]] <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] cbkmk0k52yqboh68ciwtmwz5a3rb3rk 1117191 1117190 2026-10-20T14:39:22Z Bert Niehaus 20843 /* Einführung */ 1117191 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine [[Zufallsgröße]] auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rccl} P_X : & \mathcal{B}(\mathbb{R}) & \rightarrow & [0,1] \\ & B & \mapsto & P_X(B) := P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) \end{array} </math> Das [[w:de:Tupel|Triple]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B},P_X) </math> nennt man eine induzierte [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|W-Verteilung]] der [[Zufallsgröße]] <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] kpunpdfhy41a8mm2u884fc5qaujp6se 1117192 1117191 2026-10-20T14:40:20Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel */ 1117192 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}(\mathbb{R})</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine [[Zufallsgröße]] auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rccl} P_X : & \mathcal{B}(\mathbb{R}) & \rightarrow & [0,1] \\ & B & \mapsto & P_X(B) := P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) \end{array} </math> Das [[w:de:Tupel|Triple]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B},P_X) </math> nennt man eine induzierte [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|W-Verteilung]] der [[Zufallsgröße]] <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] qbtuuw5zerjll2ku2dcb77lxjhae7dw 1117193 1117192 2026-10-20T14:41:07Z Bert Niehaus 20843 /* Reellwertige Zufallsgröße */ 1117193 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}(\mathbb{R})</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die [[Messbarkeit]] von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine [[Zufallsgröße]] auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rccl} P_X : & \mathcal{B}(\mathbb{R}) & \rightarrow & [0,1] \\ & B & \mapsto & P_X(B) := P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) \end{array} </math> Das [[w:de:Tupel|Triple]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B},P_X) </math> nennt man eine induzierte [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|W-Verteilung]] der [[Zufallsgröße]] <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] 86ly155no2s66ofeaj3hl0dpw7oy7vy 1117194 1117193 2026-10-20T14:42:11Z Bert Niehaus 20843 /* Reellwertige Zufallsgröße */ 1117194 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}(\mathbb{R})</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-[[messbare Abbildung]] <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die [[Messbarkeit]] von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine [[Zufallsgröße]] auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rccl} P_X : & \mathcal{B}(\mathbb{R}) & \rightarrow & [0,1] \\ & B & \mapsto & P_X(B) := P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) \end{array} </math> Das [[w:de:Tupel|Triple]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B},P_X) </math> nennt man eine induzierte [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|W-Verteilung]] der [[Zufallsgröße]] <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] s2mf5y4e803urt3lsr45xquo11f24yy 1117195 1117194 2026-10-20T14:42:48Z Bert Niehaus 20843 /* Reellwertige Zufallsgröße */ 1117195 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}(\mathbb{R})</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-[[messbare Abbildung]] <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die [[messbare Abbildung|Messbarkeit]] von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine [[Zufallsgröße]] auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rccl} P_X : & \mathcal{B}(\mathbb{R}) & \rightarrow & [0,1] \\ & B & \mapsto & P_X(B) := P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) \end{array} </math> Das [[w:de:Tupel|Triple]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B},P_X) </math> nennt man eine induzierte [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|W-Verteilung]] der [[Zufallsgröße]] <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] 16rktv5stbn6nwwmf8x5y1bduzjs5ch 1117196 1117195 2026-10-20T14:43:54Z Bert Niehaus 20843 1117196 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] oder [[w:de:Wahrscheinlichkeitstheorie|Wahrscheinlichkeitstheorie]]besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}(\mathbb{R})</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-[[messbare Abbildung]] <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die [[messbare Abbildung|Messbarkeit]] von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine [[Zufallsgröße]] auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rccl} P_X : & \mathcal{B}(\mathbb{R}) & \rightarrow & [0,1] \\ & B & \mapsto & P_X(B) := P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) \end{array} </math> Das [[w:de:Tupel|Triple]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B},P_X) </math> nennt man eine induzierte [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|W-Verteilung]] der [[Zufallsgröße]] <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] ctkdmrmrxhiklixsqqcgigci4xdkmp1 0 105368 1117258 1116805 2026-10-21T09:57:33Z Bocardodarapti 2041 1117258 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette |V || {{Menge1n}} || || || |SZ= }} die Grundmenge und {{mathl|term= A_1 {{kommadots|}} A_m |SZ=}} eine Aufzählung aller Nichtseiten. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Abbildung/display |name= {{makl| \prod_{v \in A_1 }X_v {{kommadots|}} \prod_{v \in A_m }X_v |}} | K^n | K^m || |SZ= }} eine Abbildung, deren Faser über {{math|term= 0 |SZ=}} die Achsenraumkonfiguration zum simplizialen Komplex {{math|term= \Delta |SZ=}} ist. Wir schreiben die {{ Definitionslink |Jacobimatrix| |Kontext=formal| |SZ= }} als {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| \prod_{v \in A_1 \setminus \{1\} }X_v| \prod_{v \in A_1 \setminus \{2\} }X_v| \ldots| \prod_{v \in A_1 \setminus \{n\} }X_v | \prod_{ v \in A_2 \setminus \{1\} }X_v | \prod_{ v \in A_2 \setminus \{2\} }X_v | \ldots | \prod_{ v \in A_2 \setminus \{n\} } X_v | \vdots | \vdots | \vdots | \vdots | \prod_{v \in A_m \setminus \{1\} }X_v| \prod_{v \in A_m \setminus \{2\} }X_v| \ldots| \prod_{v \in A_m \setminus \{n\} }X_v |}} |SZ=, }} wobei {{mathl|term= \prod_{v \in A_i \setminus \{j\} }X_v|SZ=}} als {{math|term= 0 |SZ=}} zu verstehen ist, falls {{ Relationskette | j |\notin| A_i || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | P | \in | K^n || || || |SZ= }} ein Punkt, der auf {{math|term= K^F |SZ=}} zu genau einer Facette {{math|term= F |SZ=}} liegt. Es sei {{math|term= S |SZ=}} der Träger von {{math|term= P |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der in {{math|term= F |SZ=}} enthalten ist| |ISZ=|ESZ=. }} Für jeden Index {{ Relationskette |z |\notin| F || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= S \cup \{z \} |SZ=}} eine Nichtseite, da der Punkt sonst in einer weiteren Facette liegen müsste. Die Anzahl von {{math|term= F |SZ=}} sei {{math|term= d |SZ=,}} was auch die Dimension von {{math|term= K^F |SZ=}} ist, also die Dimension der Achsenraumkonfiguration im Punkt {{math|term= P |SZ=.}} Es gibt also {{mathl|term= n-d |SZ=}} solche Indizes. Nach Umnummerierung seien {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} n-d \} |SZ=}} diese Indizes und seien {{mathl|term= A_1 {{kommadots|}} A_{n-d} |SZ=}} die Nichtseiten der Form {{ Relationskette/display | A_j || S \cup \{j \} || || || |SZ= }} zu {{ Relationskette | j || 1 {{kommadots|}} n-d || || || |SZ=. }} Wir betrachten die {{mathl|term= (n-d) \times (n-d) |SZ=-}}Untermatrix oben links der Jacobimatrix, also {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| \prod_{ v \in A_1 \setminus \{1\} } X_v | \prod_{ v \in A_1 \setminus \{2\} }X_v | \ldots | \prod_{ v \in A_1 \setminus \{n-d\} }X_v | \prod_{v \in A_2 \setminus \{1\} }X_v| \prod_{v \in A_2 \setminus \{2\} }X_v| \ldots| \prod_{v \in A_2 \setminus \{n-d\} }X_v| \vdots | \vdots |\vdots|\vdots| \prod_{ v \in A_{n-d} \setminus \{1\} } X_v | \prod_{ v \in A_{n-d} \setminus \{2\} }X_v | \ldots | \prod_{ v \in A_{n-d} \setminus \{n-d\} } X_v ||}} |SZ=. }} In der Diagonalen ist stets {{ Relationskette/display | A_j \setminus \{j\} || {{makl| S \cup \{j\} |}} \setminus \{j\} || S || || |SZ= }} und die Auswertung der Monome im Punkt {{math|term= P |SZ=}} ergibt in der Diagonalen Werte {{math|term= \neq 0 |SZ=.}} An einer Stelle zum Index {{mathl|term= (i,j) |SZ=}} mit {{ Relationskette | i |\neq| j || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | A_i \setminus \{j\} || {{makl| S \cup \{i\} |}} \setminus \{j\} || || || |SZ=. }} Der Index {{math|term= i |SZ=}} gehört nicht zu {{math|term= S |SZ=}} und taucht in der Indexmenge des Monoms auf, daher sind diese Einträge an der Stelle {{math|term= P |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Daher ist diese Untermatrix eine Diagonalmatrix mit von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Diagonaleinträgen. Daher hat sie den vollen Rang {{mathl|term= n-d |SZ=,}} und das bedeutet, dass der Rang der Jacobimatrix zumindest {{mathl|term= n-d |SZ=}} ist. Also ist der Punkt glatt nach der Definition. {{parskip}} Es sei nun vorausgesetzt, dass der Träger {{math|term= S |SZ=}} des Punktes {{math|term= P |SZ=}} in den zwei Facetten {{ mathkor|term1= F |und|term2= G |SZ= }} liegt, und {{math|term= F |SZ=}} aus {{math|term= d |SZ=}} Indizes besteht, wobei {{math|term= d |SZ=}} die lokale Dimension des Punktes sei. Wir können {{ Zusatz/Klammer |text=nach Umbenennung der Indizes| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= F |SZ=}} als {{ Relationskette | F || \{n-d+1 {{kommadots|}} n\} || || || |SZ= }} ansetzen und darüber hinaus annehmen, dass {{ Relationskette | n-d | \in | G || || || |SZ= }} liegt. Es sei {{ Relationskette | k | \geq | n-d || || || |SZ=. }} Wir zeigen, dass die zugehörige Spalte der Jacobimatrix ausgewertet an {{math|term= P |SZ=}} die Nullspalte ist. Es sei {{math|term= A |SZ=}} eine Nichtseite. Wir behaupten {{ Relationskette/display | A \setminus \{k\} | \not \subseteq | S || || || |SZ=. }} Andernfalls wäre {{ Relationskette | A \setminus \{k\} | \subseteq | S || || || |SZ= }} und wegen {{ Relationskette | k | \in | F || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | k | \in | G || || || |SZ= }} wäre {{ Relationskette | A | \subseteq| F || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | A | \subseteq | G || || || |SZ= }} im Widerspruch dazu, dass {{math|term= A |SZ=}} eine Nichtseite ist. Somit ist der Wert des Monoms zum Index {{mathl|term= (A,k) |SZ=}} an der Stelle {{math|term= P |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} da die partielle Ableitung in Richtung der {{math|term= k |SZ=-}}ten Variablen noch eine Variable übrigbleibt. die in {{math|term= P |SZ=}} den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} besitzt. Die Jacobimatrix besitzt also höchstens {{math|term= n-d-1 |SZ=}} Nichtnullspalten {{ Zusatz/Klammer |text=die zu {{ Relationskette | k | \leq| n-d-1 || || || |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} und damit ist ihr Rang höchstens {{mathl|term= n-d-1 |SZ=.}} Der Punkt ist also nicht glatt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5280oqxal36tx6anj2fgr0jcnda5x16 1117259 1117258 2026-10-21T09:59:19Z Bocardodarapti 2041 1117259 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette |V || {{Menge1n}} || || || |SZ= }} die Grundmenge und {{mathl|term= A_1 {{kommadots|}} A_m |SZ=}} eine Aufzählung aller Nichtseiten. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Abbildung/display |name= {{makl| \prod_{v \in A_1 }X_v {{kommadots|}} \prod_{v \in A_m }X_v |}} | K^n | K^m || |SZ= }} eine Abbildung, deren Faser über {{math|term= 0 |SZ=}} die Achsenraumkonfiguration zum simplizialen Komplex {{math|term= \Delta |SZ=}} ist. Wir schreiben die {{ Definitionslink |Jacobimatrix| |Kontext=formal| |SZ= }} als {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| \prod_{v \in A_1 \setminus \{1\} }X_v| \prod_{v \in A_1 \setminus \{2\} }X_v| \ldots| \prod_{v \in A_1 \setminus \{n\} }X_v | \prod_{ v \in A_2 \setminus \{1\} }X_v | \prod_{ v \in A_2 \setminus \{2\} }X_v | \ldots | \prod_{ v \in A_2 \setminus \{n\} } X_v | \vdots | \vdots | \vdots | \vdots | \prod_{v \in A_m \setminus \{1\} }X_v| \prod_{v \in A_m \setminus \{2\} }X_v| \ldots| \prod_{v \in A_m \setminus \{n\} }X_v |}} |SZ=, }} wobei {{mathl|term= \prod_{v \in A_i \setminus \{j\} }X_v|SZ=}} als {{math|term= 0 |SZ=}} zu verstehen ist, falls {{ Relationskette | j |\notin| A_i || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | P | \in | K^n || || || |SZ= }} ein Punkt, der auf {{math|term= K^F |SZ=}} zu genau einer Facette {{math|term= F |SZ=}} liegt. Es sei {{math|term= S |SZ=}} der Träger von {{math|term= P |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der in {{math|term= F |SZ=}} enthalten ist| |ISZ=|ESZ=. }} Für jeden Index {{ Relationskette |z |\notin| F || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= S \cup \{z \} |SZ=}} eine Nichtseite, da der Punkt sonst in einer weiteren Facette liegen müsste. Die Anzahl von {{math|term= F |SZ=}} sei {{math|term= d |SZ=,}} was auch die Dimension von {{math|term= K^F |SZ=}} ist, also die Dimension der Achsenraumkonfiguration im Punkt {{math|term= P |SZ=.}} Es gibt also {{mathl|term= n-d |SZ=}} solche Indizes. Nach Umnummerierung seien {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} n-d \} |SZ=}} diese Indizes und seien {{mathl|term= A_1 {{kommadots|}} A_{n-d} |SZ=}} die Nichtseiten der Form {{ Relationskette/display | A_j || S \cup \{j \} || || || |SZ= }} zu {{ Relationskette | j || 1 {{kommadots|}} n-d || || || |SZ=. }} Wir betrachten die {{mathl|term= (n-d) \times (n-d) |SZ=-}}Untermatrix oben links der Jacobimatrix, also {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| \prod_{ v \in A_1 \setminus \{1\} } X_v | \prod_{ v \in A_1 \setminus \{2\} }X_v | \ldots | \prod_{ v \in A_1 \setminus \{n-d\} }X_v | \prod_{v \in A_2 \setminus \{1\} }X_v| \prod_{v \in A_2 \setminus \{2\} }X_v| \ldots| \prod_{v \in A_2 \setminus \{n-d\} }X_v| \vdots | \vdots |\vdots|\vdots| \prod_{ v \in A_{n-d} \setminus \{1\} } X_v | \prod_{ v \in A_{n-d} \setminus \{2\} }X_v | \ldots | \prod_{ v \in A_{n-d} \setminus \{n-d\} } X_v ||}} |SZ=. }} In der Diagonalen ist stets {{ Relationskette/display | A_j \setminus \{j\} || {{makl| S \cup \{j\} |}} \setminus \{j\} || S || || |SZ= }} und die Auswertung der Monome im Punkt {{math|term= P |SZ=}} ergibt in der Diagonalen Werte {{math|term= \neq 0 |SZ=.}} An einer Stelle zum Index {{mathl|term= (i,j) |SZ=}} mit {{ Relationskette | i |\neq| j || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | A_i \setminus \{j\} || {{makl| S \cup \{i\} |}} \setminus \{j\} || || || |SZ=. }} Der Index {{math|term= i |SZ=}} gehört nicht zu {{math|term= S |SZ=}} und taucht in der Indexmenge des Monoms auf, daher sind diese Einträge an der Stelle {{math|term= P |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Daher ist diese Untermatrix eine Diagonalmatrix mit von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Diagonaleinträgen. Daher hat sie den vollen Rang {{mathl|term= n-d |SZ=,}} und das bedeutet, dass der Rang der Jacobimatrix zumindest {{mathl|term= n-d |SZ=}} ist. Also ist der Punkt glatt nach der Definition. {{parskip}} Es sei nun vorausgesetzt, dass der Träger {{math|term= S |SZ=}} des Punktes {{math|term= P |SZ=}} in den zwei Facetten {{ mathkor|term1= F |und|term2= G |SZ= }} liegt, und {{math|term= F |SZ=}} aus {{math|term= d |SZ=}} Indizes besteht, wobei {{math|term= d |SZ=}} die lokale Dimension des Punktes sei. Wir können {{ Zusatz/Klammer |text=nach Umbenennung der Indizes| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= F |SZ=}} als {{ Relationskette | F || \{n-d+1 {{kommadots|}} n\} || || || |SZ= }} ansetzen und darüber hinaus annehmen, dass {{ Relationskette | n-d | \in | G || || || |SZ= }} liegt. Es sei {{ Relationskette | k | \geq | n-d || || || |SZ=. }} Wir zeigen, dass die zugehörige Spalte der Jacobimatrix ausgewertet an {{math|term= P |SZ=}} die Nullspalte ist. Es sei {{math|term= A |SZ=}} eine Nichtseite. Wir behaupten {{ Relationskette/display | A \setminus \{k\} | \not \subseteq | S || || || |SZ=. }} Andernfalls wäre {{ Relationskette | A \setminus \{k\} | \subseteq | S || || || |SZ= }} und wegen {{ Relationskette | k | \in | F || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | k | \in | G || || || |SZ= }} wäre {{ Relationskette | A | \subseteq| F || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | A | \subseteq | G || || || |SZ= }} im Widerspruch dazu, dass {{math|term= A |SZ=}} eine Nichtseite ist. Somit ist der Wert des Monoms zum Index {{mathl|term= (A,k) |SZ=}} an der Stelle {{math|term= P |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} da die partielle Ableitung in Richtung der {{math|term= k |SZ=-}}ten Variablen noch eine Variable besitzt, die in {{math|term= P |SZ=}} den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} besitzt. Die Jacobimatrix besitzt also höchstens {{math|term= n-d-1 |SZ=}} Nichtnullspalten {{ Zusatz/Klammer |text=die zu {{ Relationskette | k | \leq| n-d-1 || || || |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} und damit ist ihr Rang höchstens {{mathl|term= n-d-1 |SZ=.}} Der Punkt ist also nicht glatt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} com2849jojbs6pzr7joxi4o4gxmdgmo 0 148389 1117186 1064479 2026-10-20T14:15:13Z Bert Niehaus 20843 /* Messwerte - Schadstoffe */ 1117186 wikitext text/x-wiki == Einführung == In der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] ist eine '''Zufallsvariable''' oder '''Zufallsgröße''' (auch '''zufällige Größe''',<ref name="Bewersdorff2012" /> '''Zufallsveränderliche''', selten '''stochastische Variable''' oder '''stochastische Größe''') eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängig ist.<ref>[[w:de:Norbert Henze|Norbert Henze]]: ''Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls.'' Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, [[doi:10.1007/978-3-8348-9351-2]], S. 12.</ref> Formal ist eine Zufallsvariable eine [[w:de:Zuordnungsvorschrift|Zuordnungsvorschrift]], die jedem [[w:de:Ergebnis (Stochastik)|möglichen Ergebnis]] eines [[w:de:Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]]s eine Größe zuordnet.<ref name="Bewersdorff2012" /> === Zufallszahlen === Führt man ein [[Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]] durch und ist diese Ergebnis eine [[w:de:Zahl|Zahl]], so spricht man von einer [[w:de:Zufallszahl|Zufallszahl]]. In einem Experiment viele Zufallszahlen mit vielen Versuchswiederholung durchzuführen, kann dazu verwendet werden, mit dem [[Kurs:Stochastik/Gesetz der großen Zahlen|Gesetz der großen Zahlen]] unbekannte Wahrscheinlichkeiten zu schätzen. Beispiele für Zufallszahlen sind die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln und die Gewinnhöhe in einem [[w:de:Glücksspiel|Glücksspiel]]. Zufallsvariablen können aber auch komplexere mathematische Objekte sein, wie [[w:de:Zufallsbewegung|Zufallsbewegung]]en, [[w:de:Zufallspermutation|Zufallspermutation]]en oder [[w:de:Zufallsgraph|Zufallsgraph]]en. === Mehrere Zufallsvariablen für ein Experiment === Über verschiedene Zuordnungsvorschriften können einem Zufallsexperiment auch verschiedene Zufallsvariablen zugeordnet werden.<ref name="Bewersdorff2012" /> Den einzelnen Wert, den eine Zufallsvariable bei der Durchführung eines Zufallsexperiments annimmt, nennt man [[w:de:Realisierung (Stochastik)|Realisierung]]<ref>{{Literatur |Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler |Titel=Stochastik |TitelErg=Theorie und Anwendungen |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg New York |Datum=2005 |ISBN=3-540-21676-6 |Seiten=456-457 |DOI=10.1007/b137972}}</ref> oder im Falle eines stochastischen Prozesses einen [[w:de:Pfad (Stochastik)|Pfad]]. === Entstehung des Begriffs === Während früher der von [[w:de:Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow|A. N. Kolmogorow]] eingeführte Begriff ''zufällige Größe'' der übliche deutsche Begriff war, hat sich heute (ausgehend vom englischen ''random variable'') der etwas irreführende Begriff ''Zufallsvariable'' durchgesetzt.<ref>Jeff Miller: ''Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.'' Abschnitt [https://jeff560.tripod.com/r.html R].</ref> === Motivation des formalen Begriffs === Die Funktionswerte <math>X(\omega)</math> einer Zufallsvariablen <math>X</math> sind abhängig von einer den Zufall repräsentierenden Größe <math>\omega</math>. Zum Beispiel kann <math>\omega</math> das zufällige [[w:de:Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] eines Münzwurfs sein. Dann kann zum Beispiel eine Wette auf den Ausgang eines [[w:de:Münzwurf|Münzwurf]]s mithilfe einer Zufallsvariablen modelliert werden. Angenommen, es wurde auf Zahl gewettet, und wenn richtig gewettet wurde, wird 1 EUR ausgezahlt, sonst nichts. == Definition - Zufallsvariable == Als Zufallsvariable bezeichnet man eine [[w:de:messbare Funktion|messbare Funktion]] von einem [[w:de:Wahrscheinlichkeitsraum|Wahrscheinlichkeitsraum]] in einen [[w:de:Messraum (Mathematik)|Messraum]]. Eine formale mathematische Definition lässt sich wie folgt geben:<ref>Karl Hinderer: ''Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie.'' Springer, Berlin 1980, ISBN 3-540-07309-4 (nicht überprüft)</ref> : Es seien <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega',\mathcal{S}')</math> ein Messraum. Eine <math>(\mathcal{S},\mathcal{S}')</math>-messbare Funktion <math>X\colon\Omega\to\Omega'</math> heißt dann eine <math>\Omega'</math>-Zufallsvariable auf <math>\Omega</math>. === Bemerkung - Bezeichung Zufallsvariable === Die Bezeichnung ''Zufallsvariable'' wird gewählt, weil der Wert von <math>X</math> vom Zufall und der Durchführung eines [[w:de:Zufallsexperiment|Zufallsexperimentes]] abhängt. Abbildung <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> ordnet dann einem zufälligen Ergebnis (z.B. <math>\omega = (2,5)\in \Omega</math> bei zweimaligen Würfelwurd) einen reellen Wert <math>X(\omega) = X(2,5) = 7 \in \mathbb{R}</math> zu. Die Zufallsvariable nennt man mit Wertbereiche insbesondere eine [[w:de:Zufallsvariable#Reelle Zufallsvariable|reelle Zufallsvariable]]. == Definition - reelle Zufallsvariable == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> eine [[Messraum]] und <math>(\mathbb{R},\mathcal{B})</math> die Menge der reellen Zahlen mit der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]]-<math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]]. Eine <math>\mathcal{S}</math>-<math>\mathcal{B}</math>-[[messbare Abbildung]] <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nennt man Zufallsvariable. === Zufallsvariable - Augensumme === Sei <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> die Auszahlungssumme bei einem zweimaligen Münzwurf. Dabei ist :<math> \Omega := \{1,2,3,4,5,6\} \times \{1,2,3,4,5,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}^2 </math> und <math>\mathcal{S}=\wp(\Omega)</math> die [[w:de:Potenzmenge|Potenzmenge]] von <math>\Omega</math> mit <math>X(\omega_1,\omega_2) = \omega_1 + \omega_2</math>. <span id="Zufallsvektor"></span> == Definition - reeller Zufallsvektor == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> eine [[Messraum]] und <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}^n)</math> der reelle <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\mathbb{R}^n</math> mit der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]]-<math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}^n</math>. Eine <math>\mathcal{S}</math>-<math>\mathcal{B}^n</math>-[[messbare Abbildung]] <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n</math> nennt man reellen Zufallsvektor. === Messwerte - Schadstoffe === Bei einer Probenentnahme <math>\omega\in\Omega</math> wird die Probe auf die 3 verschiedene Schadstoffe über überprüft. * <math>X_k : \Omega \to \mathbb{R}</math> gibt die Menge der Chemikalie <math>k</math> an, die in der Probe enthalten ist. * <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^3</math> mit <math>X(\omega)=(X_1(\omega),X_2(\omega),X_3(\omega))</math> ist ein Zufallsvektor. * <math>X(\omega)=(130,50,35)</math> bedeutet, dass die Probe <math>\omega</math> <math>130</math> Einheiten des Schadstoffes '''1''' enthält und analo <math>50</math> bzw. <math>35</math> Einheiten des Schadstoffes 2 und 3. <span id="Zufallsfolge"></span> == Definition - reeller Zufallsfolge == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> eine [[Messraum]] und <math>V\subset \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der Teilmenge des Raumes der reellen Zahlenfolgen mit einer Topologie <math>\mathcal{T}</math> und <math>\mathcal{B}(\mathcal{T})</math> die [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]]-<math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] auf <math>V</math>. Eine <math>\mathcal{S}</math>-<math>\mathcal{B}(\mathcal{T})</math>-[[messbare Abbildung]] <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> nennt man reelle Zufallsfolge. === Abbauprozess - radioaktives Material === Man betrachtet hier einen zufälligen Zerfallsprozess von radioaktivem Material. Man betrachtet dann die [[Folgenräume|Nullfolgen]] in <math>\mathbb{R}</math>. <math>X_n(\omega)</math> gibt dann die Menge des strahlenden Materials zum Zeitpunkt <math>n\in \mathbb{N}</math> an. Der [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Raum der Nullfolgen]] wird mit der Supremumsnorm [[Normen, Metriken, Topologie|topologisiert]] und man erhält damit eine Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf dem Raum der [[Folgenräume|reellwertigen Nullfolgen]] <math>c_o(\mathbb{R})</math>: :<math> (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \in c_o(\mathbb{R}) \,\,\, \,\,\, \,\,\, \|(x_n)_{n\in\mathbb{N}} \|_\infty := \sup_{n\in\mathbb{N}} |x_n| </math> Bei Zerfallsprozessen nimmt man dann an, dass die Folge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}} \in c_o(\mathbb{R})</math> eine Nullfolge ist. == Beispiel - reellwertige Zufallsgrößen == In der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] werden zunächst reellwertige Zufallsgröße behandelt. Die folgenden Abschnitte zeigen ausgewählte Beispiele. === Beispiel: Zweimaliger Würfelwurf === Summe von zwei Würfeln:<math>(\Omega,\mathcal{S},P) \xrightarrow{S} (\Omega',\mathcal{S}', P^S)</math>. [[Datei:Twodice.svg|350px|Summe von zwei Würfeln]] ==== Experiment mit 2 fairen Würfeln - Laplaceverteilung ==== Das Experiment, mit einem fairen Würfel zweimal zu würfeln, lässt sich mit folgendem Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> modellieren: * <math>\Omega</math> ist die Menge der 36 möglichen Ergebnisse <math>\Omega=\{(1,1), (1,2), \dotsc, (6,5), (6,6)\}</math> * <math>\mathcal{S}</math> ist die [[w:de:Potenzmenge|Potenzmenge]] von <math>\Omega</math> * Will man zwei unabhängige Würfe mit einem fairen Würfel modellieren, so setzt man alle 36 Ergebnisse gleich wahrscheinlich, wählt also das [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> als <math>P\left(\{(n_1,n_2)\}\right) = \tfrac {1}{36}</math> für <math>n_1, n_2 \in \{1,2,3,4,5,6\}</math>. ==== Definition von Zufallsgrößen ==== Die Zufallsvariablen <math>X_1</math> (gewürfelte Zahl des ersten Würfels), <math>X_2</math> (gewürfelte Zahl des zweiten Würfels) und <math>S</math> (Augensumme des ersten und zweiten Würfels) werden als folgende Funktionen definiert: * <math>X_1\colon \Omega \to \mathbb{R};\quad\left(n_1,n_2\right) \mapsto n_1,</math> * <math>X_2\colon \Omega \to \mathbb{R};\quad\left(n_1,n_2\right) \mapsto n_2,</math> und * <math>X\colon \Omega \to \mathbb{R};\quad\left(n_1,n_2\right) \mapsto n_1+n_2,</math> wobei für <math>\mathcal{S}'</math> die [[w:de:borelsche σ-Algebra|borelsche σ-Algebra]] auf den reellen Zahlen gewählt wird. === Bemerkung - Angabe des Messräume === Oft wird auf die konkrete Angabe der zugehörigen Räume verzichtet; es wird angenommen, dass aus dem Kontext klar ist, welcher Wahrscheinlichkeitsraum auf <math>\Omega</math> und welcher <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\Omega</math> gemeint ist. Im Zweifel sollte man den zugehörigen Messraum angeben. === Bemerkung - Sigma-Algebra bei endlicher Ergebnismenge === Bei einer endlichen Ergebnismenge <math>\Omega</math> wird <math>\Sigma</math> meistens als die Potenzmenge von <math>\Omega</math> gewählt. Die Forderung, dass die verwendete Funktion messbar ist, ist dann immer erfüllt. === Bemerkung - Sigma-Algebra bei überabzählbarer Ergebnismenge === Messbarkeit wird erst wirklich bedeutsam, wenn die Ergebnismenge <math>\Omega</math> [[w:de:Abzählbarkeit|überabzählbar]] viele Elemente enthält. Dies ist bei Maßen auf den reellen Zahlen der Fall. ==== Einmaliger Münzwurf - Ergebnisraum ==== So bildet die Menge der Wurfergebnisse von einem Münzwurf die Ergebnismenge <math>\Omega_1 := \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\} </math>, während das zusammengesetzte Experiment des zweimaligen Münzwurfes die Ergebnismenge <math>\Omega := \Omega_1 \times \Omega_1 = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}^2 </math> ist. ==== Zusammengesetztes Ergebnis - zweimaliger Münzwurf ==== Die Menge der möglichen Auszahlungsbeträge im zusammengesetzten Experiment is <math>\{0, 1, 2\}</math>: :<math>X(\omega_1,\omega_2) = \begin{cases} 0, & \text{wenn }\omega_1 = \text{Kopf} \text{ und }\omega_2 = \text{Kopf},\\ 1, & \text{entweder }\omega_1 = \text{Zahl} \text{ oder } \omega_2 = \text{Zahl}.\\ 2, & \text{wenn }\omega_1 = \text{Zahl} \text{ und }\omega_2 = \text{Zahl},\\ \end{cases}</math> ==== Ergebnisraum des Zufallsexperimentes ==== <math>\Omega := \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}^2</math> nennt als Menge aller Ergebnisse eine Zufallsexperimentes ''Ergebnisraum''. Besteht das Wettet man bei zwei Münzwürfen beide Male auf Kopf und bezeichnet die Kombination der Ausgänge der Münzwürfe mit <math>\omega=\left(\omega_1,\omega_2\right)</math>, so lassen sich beispielsweise folgende Zufallsvariablen untersuchen: * <math>X_1(\omega) := X(\omega_1) \in\{0,1\}</math> als Auszahlung nach der ersten Wette, * <math>X_2(\omega) := X(\omega_2) \in\{0,1\}</math> als Auszahlung nach der zweiten Wette, * <math>X(\omega) := X(\omega_1) + X(\omega_2) \in\{0,1,2\}</math> als Summe der beiden Auszahlungen. ==== Bezeichnungen ==== Zufallsvariablen<!--das ist der hier verwendete fachsprachliche Plural--> selbst werden üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet (hier <math>X_1, X_2, X</math>), während man für die Realisierungen die entsprechenden Kleinbuchstaben verwendet (so beispielsweise für <math>\omega=\left(\text{Zahl},\text{Kopf}\right)</math> die Realisierungen <math>x_1 = 1</math>, <math>x_2=0</math>, <math>s=1</math>). === Bedeutung des Ergebnisraumes === Im Beispiel sind die Mengen <math>\Omega = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\times \{\text{Kopf}, \text{Zahl}</math> und <math>\Omega_1 = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}</math> eine konkrete Interpretation. In der weiteren Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es oft zweckmäßig, die Elemente von <math>\Omega</math> als Repräsentanten des Zufalls zu betrachten und die Verteilungsannahmen für die induzierte Verteilung z.B. auf die reellen Zahlen zu ohne ihnen eine konkrete Bedeutung zuzuweisen, und dann sämtliche zu modellierende Zufallsvorgänge als Zufallsvariable zu erfassen. == Klassen von Zufallsvariablen == Einige Klassen von Zufallsvariablen mit bestimmten Wahrscheinlichkeits- und Messräumen werden besonders häufig verwendet (z.B. die [[w:de:Borelsche_σ-Algebra|Borelsche_σ-Algebra]] auf den reellen Zahlen). Diese werden teilweise mit Hilfe alternativer Definitionen eingeführt, die keine Kenntnisse der Maßtheorie voraussetzen: === Reelle Zufallsvariable === Bei reellen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge <math>\mathbb{R}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] versehen mit der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|borelschen <math>\sigma</math>-Algebra]]. Die allgemeine Definition von Zufallsvariablen lässt sich in diesem Fall zur folgenden Definition vereinfachen: ==== Definition - reelle Zufallsvariable ==== Eine reelle Zufallsvariable ist eine Funktion <math>X\colon\Omega\to\mathbb{R}</math>, die jedem Ergebnis <math>\omega</math> aus einer [[w:de:Ergebnismenge|Ergebnismenge]] <math>\Omega</math> eine reelle Zahl <math>X(\omega)</math> zuordnet und die folgende Messbarkeitsbedingung erfüllt: :<math>\forall x \in \mathbb{R}:\ \lbrace \omega \mid X(\omega) \leq x \rbrace \in \mathcal{S}</math> ==== Bemerkung zur Definition ==== Die Definition bedeutet, dass die Menge aller Ergebnisse, deren Realisierung unterhalb eines bestimmten Wertes liegt, ein Ereignis bilden muss. ==== Bezug zum Beispiel Würfelwurf ==== Im Beispiel des zweimaligen Würfelns sind <math>X_1</math>, <math>X_2</math> und <math>S</math> jeweils reelle Zufallsvariablen. === Mehrdimensionale Zufallsvariable === {{Hauptartikel|Zufallsvektor}} Eine mehrdimensionale Zufallsvariable ist eine messbare Abbildung <math>X\colon\Omega\to\mathbb{R}^n</math> für eine Dimension <math>n\in\mathbb N</math>. Sie wird auch als Zufallsvektor bezeichnet. Damit ist <math>X=(X_1,\dotsc,X_n)</math> gleichzeitig ein Vektor von einzelnen reellen Zufallsvariablen <math>X_i\colon\Omega\to\mathbb{R}</math>, die alle auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. ==== Multivariate Verteilung ==== Die Verteilung von <math>X</math> wird als [[w:de:Multivariate Verteilung|multivariat]] bezeichnet, die Verteilungen der Komponenten <math>X_i</math> nennt man auch [[w:de:Randverteilung|Randverteilung]]en. Die mehrdimensionalen Entsprechungen von Erwartungswert und Varianz sind der [[w:de:Erwartungswertvektor|Erwartungswertvektor]] und die [[w:de:Kovarianzmatrix|Kovarianzmatrix]]. ==== Beispiel diskrete multivariate Verteilung ==== Im diskreten Fall kann als Beispiel der zweimalige Würfelwurf mit <math>X=(X_1,X_2)</math> als eine zweidimensionale Zufallsvariable angesehen werden. ==== Beispiel stetige multivariate Verteilung ==== Im stetigen Fall kann als Beispiel des Dartwurf auf ein rechteckiges Brett mit einem Koordinatensystem angesehen werden. Dabei steht omega für einen Wurf <math>X(\omega)=(X_1(\omega),X_2(\omega))=(x,y)</math>, die die Einstichstelle <math>(x,y)</math> des Wurfel <math> <math>\omega</math> als zweidimensionale Zufallsvariable auf dem Brett angibt. === Unterschied - Zufallsvektoren - Wahrscheinlichkeitsvektoren === [[Zufallsvektor|Zufallsvektoren]] sollten nicht mit [[w:de:Wahrscheinlichkeitsvektor|Wahrscheinlichkeitsvektoren]] (auch stochastische Vektoren genannt) verwechselt werden. Ein [[Zufallsvektor]] <math>X:\Omega \to \mathbb{R}^n</math> von einem [[Ergebnisraum]] <math>\Omega</math> auf <math> \mathbb{R}^n </math> an, während ein [[w:de:Wahrscheinlichkeitsvektor|Wahrscheinlichkeitsvektor]] <math>(p_1,\ldots ,p_n) \in [0,1]^n</math> nicht-negative Komponenten <math>p_k</math> besitzt und die Komponentensumme 1 ergibt. Sie beschreiben die Wahrscheinlichkeitsmaße auf Mengen mit <math> n </math> Elementen. === Komplexe Zufallsvariable === Bei komplexen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge <math>\mathbb C</math> der [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] versehen mit der durch die kanonische Vektorraumisomorphie zwischen <math>\mathbb C</math> und <math>\mathbb{R}^2</math> „geerbten“ borelschen σ-Algebra. <math>X</math> ist genau dann eine Zufallsvariable, wenn Realteil <math>\operatorname{Re}(X)</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(X)</math> jeweils reelle Zufallsvariablen sind. === Numerische oder erweiterte Zufallsvariable === {{Hauptartikel|Erweiterte Zufallsvariable}} Der Begriff ''Zufallsvariable'' ohne weitere Charakterisierung bedeutet meistens – und fast immer in anwendungsnahen Darstellungen – ''reelle Zufallsvariable''. Zur Unterscheidung von einer solchen wird eine Zufallsvariable mit Werten in den [[w:de:Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R} \cup \{-\infty, \infty\}</math> als '''numerische Zufallsvariable'''<ref name="LdM">{{Literatur | Titel=Lexikon der Mathematik |Verlag= Springer Spektrum |Hrsg=Guido Walz |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53499-1 |Band=Band 4 (Moo bis Sch)|Seiten=98}}</ref> – entsprechend der Terminologie der [[w:de:Numerische Funktion|numerischen Funktion]] – oder als '''erweiterte Zufallsvariable'''<ref name="LdM"/> (engl. ''extended random variable''<ref>{{Literatur |Autor=Galen R. Shorack | Titel=Probability for Statisticians |Reihe=Springer Texts in Statistics |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2017 |ISBN=978-3-319-52206-7 |DOI=10.1007/978-3-319-52207-4| Seiten=35}}</ref>) bezeichnet. Es gibt aber auch eine abweichende Terminologie, bei der ''Zufallsvariable'' eine numerische Zufallsvariable bezeichnet und eine reelle Zufallsvariable immer als solche bezeichnet wird.<ref>{{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |Auflage=2.,durchgesehene Auflage |Seiten=194}}</ref> == Die Verteilung von Zufallsvariablen, Existenz == Eng verknüpft mit dem eher technischen Begriff einer Zufallsvariablen ist der Begriff der auf dem Bildraum von <math>X\;</math> induzierten [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]]. Mitunter werden beide Begriffe auch synonym verwendet. === Induzierte Verteilung - Bildmaß === Formal wird die Verteilung <math>\;P^X</math> einer Zufallsvariablen <math>X\;</math> als das [[w:de:Bildmaß|Bildmaß]] des Wahrscheinlichkeitsmaßes <math>P\;</math> definiert, also :<math>\;P^X (A) = P \left(X^{-1}(A)\right)</math> für alle <math> A \in \Sigma'</math>, wobei <math>\Sigma'</math> die auf dem Bildraum der Zufallsvariable <math>X</math> gegebene σ-Algebra ist. === Alternative Notation in der Literatur === Statt <math>\;P^X</math> werden in der Literatur für die Verteilung von <math>X\;</math> auch die Schreibweisen <math>P_X</math> oder <math>P \circ X^{-1}</math> verwendet. === Beispiel - Induzierte Verteilung === Spricht man also beispielsweise von einer normalverteilten Zufallsvariablen, so ist damit eine Zufallsvariable mit Werten in den reellen Zahlen gemeint, deren Verteilung einer [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] entspricht. === Eigenschaften von induzierten Veteilungen === Eigenschaften, welche sich allein über gemeinsame Verteilungen von Zufallsvariablen ausdrücken lassen, werden auch ''wahrscheinlichkeitstheoretisch'' genannt.<ref> Loève: ''Probability Theory.'' 4. Auflage. Band 1, Springer 1977, ISBN 0-387-90210-4, S. 172f. </ref> Für Behandlung solcher Eigenschaften ist es nicht notwendig, die konkrete Gestalt des (Hintergrund-)[[w:de:Wahrscheinlichkeitsraum|Wahrscheinlichkeitsraumes]] zu kennen, auf dem die Zufallsvariablen definiert sind. === Bedeutung der Verteilung auf Omega === Häufig wird deswegen z.B. von einer reellen Zufallsvariablen <math>X : \Omega \to \mathbb{R}</math> lediglich die Verteilungsfunktion angegeben und der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \mathcal{S},P)</math> offen gelassen. === Existenz einer Verteilung auf Omega 1 === Obwohl man in der Regel nur mit der induzierten Verteilung arbeitet, ist dennoch notwendig zu klären, dass zumindest ein <math>(\Omega, \mathcal{S},P)</math>, das die durch Zufallsvariablen <math>X </math> induzierte Verteilung generieren kann. === Existenz einer Verteilung auf Omega 2=== Ein solcher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> lässt sich aber zu einer konkreten Verteilung leicht angeben, indem beispielsweise <math>\Omega=\mathbb{R}</math>, <math>\mathcal{S}</math> als die Borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen und <math>P</math> als das durch die Verteilungsfunktion induzierte [[w:de:Lebesgue-Stieltjes-Maß|Lebesgue-Stieltjes-Maß]] gewählt wird. Als Zufallsvariable <math> X</math> kann dann z.B. die [[w:de:identische Abbildung|identische Abbildung]] <math>X \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> mit <math>X(\omega) = \omega</math> gewählt werden.<ref>Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, Definition 5.6.2.</ref> === Familien von Zufallsvariablen === Wenn eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] von Zufallsvariablen betrachtet wird, reicht es aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Perspektive genauso, die gemeinsame Verteilung <!-- endlicher Unterfamilien, um genau zu sein --> der Zufallsvariablen anzugeben, die Gestalt des Wahrscheinlichkeitsraums kann wiederum offen gelassen werden. ==== Zugehörigkeit zu einer Familie von Zufallsvariablen ==== Die Frage nach der konkreten Gestalt des Wahrscheinlichkeitsraumes tritt also in den Hintergrund, es ist jedoch von Interesse, ob zu einer Familie von Zufallsvariablen mit vorgegebenen endlichdimensionalen gemeinsamen Verteilungen ein Wahrscheinlichkeitsraum existiert, auf dem sie sich gemeinsam definieren lassen. Diese Frage wird für unabhängige Zufallsvariablen durch einen Existenzsatz von [[w:de:Émile Borel|É. Borel]] gelöst, der besagt, dass man im Prinzip auf den von Einheitsintervall und Lebesgue-Maß gebildeten Wahrscheinlichkeitsraum zurückgreifen kann. ==== Beweisidee von Borel ==== Ein möglicher Beweis nutzt, dass sich die binären Nachkommastellen der reellen Zahlen in [0,1] als ineinander verschachtelte [[w:de:Bernoulli-Prozess|Bernoulli-Folgen]] betrachten lassen (ähnlich [[w:de:Hilberts Hotel|Hilberts Hotel]]).<ref>Olav Kallenberg: ''Foundations of Modern Probability.'' 2. Ausgabe. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95313-2, S. 55.</ref> == Mathematische Attribute für Zufallsvariablen == Verschiedene mathematische Attribute, die in der Regel denen für allgemeine Funktionen entlehnt sind, finden bei Zufallsvariablen Anwendung. Die häufigsten werden in der folgenden Zusammenstellung kurz erklärt: === Diskret === Eine Zufallsvariable wird als [[w:de:diskret|diskret]] bezeichnet, wenn sie nur [[w:de:Endliche Menge|endlich viele]] oder [[w:de:Abzählbarkeit|abzählbar unendlich viele]] Werte annimmt oder etwas allgemeiner, wenn ihre Verteilung eine [[w:de:diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]] ist.<ref>{{Literatur |Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler |Titel=Stochastik |TitelErg=Theorie und Anwendungen |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg New York |Datum=2005 |ISBN=3-540-21676-6 |Seiten=90 |DOI=10.1007/b137972}}</ref> Im obigen Beispiel des zweimaligen Würfelns sind alle drei Zufallsvariablen <math>X_1</math>, <math>X_2</math> und <math>S</math> diskret. Ein weiteres Beispiel für diskrete Zufallsvariablen sind [[w:de:Zufällige Permutation|zufällige Permutationen]]. === Konstant === Eine Zufallsvariable wird als [[w:de:Konstante Funktion|konstant]] bezeichnet, wenn sie nur einen Wert annimmt: <math>X(\omega)=c</math> für alle <math>\omega</math>. Sie ist ein Spezialfall einer diskreten Zufallsvariable. Es gilt :<math>X(\omega)=c\;\forall \omega\in \Omega\implies P(X=c)=1</math> die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Eine Zufallsvariable die nur die rechte Seite erfüllt, heißt ''[[w:de:fast sicher|fast sicher]] konstant''. === Unabhängig === {{Hauptartikel|Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen}} Zwei reelle Zufallsvariablen <math>X,Y</math> heißen unabhängig, wenn für je zwei Intervalle <math>[a_1,b_1]</math> und <math>[a_2,b_2]</math> die Ereignisse <math>E_X := \{ \omega | X(\omega) \in [a_1,b_1] \}</math> und <math>E_Y := \{ \omega | Y(\omega) \in [a_2,b_2] \}</math> [[w:de:Stochastisch unabhängige Ereignisse|stochastisch unabhängig]] sind. Das sind sie, wenn gilt: <math>P(E_X \cap E_Y ) = P(E_X) P(E_Y)</math>. In obigem Beispiel sind <math>X_1</math> und <math>X_2</math> unabhängig voneinander; die Zufallsvariablen <math>X_1</math> und <math>S</math> hingegen nicht. Unabhängigkeit mehrerer Zufallsvariablen <math>X_1, X_2, \dotsc, X_n</math> bedeutet, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P_X</math> des Zufallsvektors <math>X=\left(X_1, X_2, \dotsc, X_n\right)</math> dem [[w:de:Produktmaß|Produktmaß]] der Wahrscheinlichkeitsmaße der Komponenten, also dem Produktmaß von <math>P_{X_1}, P_{X_2}, \dotsc, P_{X_n}</math> entspricht.<ref>Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3 (Definition 5.8.1)</ref> So lässt sich beispielsweise dreimaliges unabhängiges Würfeln durch den Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\Sigma,P)</math> mit :<math>\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}^3</math>, :<math>\Sigma</math> der Potenzmenge von <math>\Omega</math> und :<math>P\left(\left(n_1, n_2, n_3\right)\right)=\frac{1}{6^3}=\frac{1}{216}</math> modellieren; die Zufallsvariable "Ergebnis des <math>k</math>-ten Wurfes" ist dann :<math>X_k\left(n_1, n_2, n_3\right)=n_k</math> für <math>k\in\{1,2,3\}</math>. Die Konstruktion eines entsprechenden Wahrscheinlichkeitsraums für eine beliebige Familie unabhängiger Zufallsvariable mit gegebenen Verteilungen ist ebenfalls möglich.<ref>Klaus D. Schmidt: ''Maß und Wahrscheinlichkeit.'' Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, Kapitel 11.4.</ref> === Identisch verteilt === Zwei oder mehr Zufallsvariablen heißen identisch verteilt (bzw. ''i.d. für identically distributed''), wenn ihre [[w:de:#Die Verteilung von Zufallsvariablen, Existenz|induzierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] gleich sind. In Beispiel des zweimaligen Würfelns sind <math>X_1</math>, <math>X_2</math> identisch verteilt; die Zufallsvariablen <math>X_1</math> und <math>S</math> hingegen nicht. === Unabhängig und identisch verteilt === {{Hauptartikel|Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen}} Häufig werden [[w:de:Folge (Mathematik)|Folgen]] von Zufallsvariablen untersucht, die sowohl unabhängig als auch identisch verteilt sind; demnach spricht man von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen, üblicherweise mit ''u.i.v.'' bzw. ''i.i.d.'' (für ''independent and identically distributed'') abgekürzt. In obigem Beispiel des dreimaligen Würfelns sind <math>X_1</math>, <math>X_2</math> und <math>X_3</math> i.i.d. Die Summe der ersten beiden Würfe <math>S_{1,2}=X_1+X_2</math> und die Summe des zweiten und dritten Wurfs <math>S_{2,3}=X_2+X_3</math> sind zwar identisch verteilt, aber nicht unabhängig. Dagegen sind <math>S_{1,2}</math> und <math>X_3</math> unabhängig, aber nicht identisch verteilt. === Austauschbar === [[w:de:Austauschbare Familie von Zufallsvariablen|Austauschbare Familien von Zufallsvariablen]] sind Familien, deren Verteilung sich nicht ändert, wenn man endlich viele Zufallsvariablen in der Familie vertauscht. Austauschbare Familien sind stets identisch verteilt, aber nicht notwendigerweise unabhängig. == Mathematische Attribute für reelle Zufallsvariablen == === Kenngrößen === Zur Charakterisierung von Zufallsvariablen dienen einige wenige Funktionen, die wesentliche mathematische Eigenschaften der jeweiligen Zufallsvariable beschreiben. Die wichtigste dieser Funktionen ist die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]], die Auskunft darüber gibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert bis zu einer vorgegebenen Schranke annimmt, beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine Vier zu würfeln. Bei stetigen Zufallsvariablen wird diese durch die [[w:de:Dichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]] ergänzt, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, dass die Werte einer Zufallsvariablen innerhalb eines bestimmten [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervalls]] liegen. Des Weiteren sind Kennzahlen wie der [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]], die [[w:de:Varianz (Stochastik)|Varianz]] oder höhere mathematische [[w:de:Moment (Stochastik)|Momente]] von Interesse. === Stetig oder kontinuierlich === Das Attribut [[w:de:Stetige Funktion|stetig]] wird für unterschiedliche Eigenschaften verwendet. :* Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig (oder auch absolut stetig) bezeichnet, wenn sie eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichte|Dichte]] besitzt (ihre Verteilung [[w:de:Absolut stetiges Maß|absolutstetig]] bezüglich des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]]es ist).<ref>[[w:de:Marek Fisz|Marek Fisz]]: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.'' 11. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, Definition 2.3.3.</ref> :* Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine stetige [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] besitzt.<ref>Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, S. 210.</ref> Insbesondere bedeutet das, dass <math>P(\{X=x\})=0</math> für alle <math>x\in\mathbb{R}</math> gilt. === Messbarkeit, Verteilungsfunktion und Erwartungswert === Wenn eine reelle Zufallsvariable <math>X</math> auf dem Ergebnisraum <math>\Omega</math> und eine messbare Funktion <math>g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gegeben ist, dann ist auch <math>Y = g(X)</math> eine Zufallsvariable auf demselben Ergebnisraum, da die Verknüpfung messbarer Funktionen wieder messbar ist. <math>g(X)</math> wird auch als ''Transformation'' der Zufallsvariablen <math>X</math> unter <math>g</math> bezeichnet. Die gleiche Methode, mit der man von einem Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> nach <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}),P^X)</math> gelangt, kann benutzt werden, um die Verteilung von <math>Y</math> zu erhalten. Die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] von <math>Y</math> lautet :<math>F_Y(y) = \operatorname{P}(g(X) \leq y)</math>. Der [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] einer [[w:de:Quasiintegrierbare Zufallsvariable|quasi-integrierbaren]] Zufallsgröße <math>X</math> von <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> nach <math>(\bar{\mathbb{R}}, \mathcal{B}(\bar{\mathbb{R}}))</math> berechnet sich folgend: :<math>\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X(\omega)\mathrm{d}P(\omega)\,</math>. === Integrierbar und quasi-integrierbar === Eine Zufallsvariable heißt [[w:de:Lebesgue-Integral|integrierbar]], wenn der [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] der Zufallsvariable existiert und endlich ist. Die Zufallsvariable heißt [[w:de:Quasiintegrierbare Zufallsvariable|quasi-integrierbar]], wenn der Erwartungswert existiert, möglicherweise aber unendlich ist. Jede integrierbare Zufallsvariable ist folglich auch quasi-integrierbar. === Beispiel === Es sei <math>X</math> eine reelle stetig verteilte Zufallsvariable und <math>Y = X^2</math>. Dann ist :<math>F_Y(y) = \operatorname{P}(X^2 \leq y).</math> Fallunterscheidung nach <math>y</math>: <math>y<0:</math> :<math> \begin{alignat}{2} & & \operatorname P(X^2 \leq y) &= 0\\ & \Rightarrow & F_Y(y) &= 0 \end{alignat} </math> <math>y\geq 0:</math> :<math> \begin{alignat}{2} & & \operatorname P\left(X^2\leq y\right) &=\operatorname P\left(|X|\leq\sqrt y\right)\\ & & &= \operatorname P\left(-\sqrt y\leq X\leq\sqrt y\right)\\ &\Rightarrow & F_Y\left(y\right) &= F_X\left(\sqrt y\right) - F_X\left(-\sqrt y\right) \end{alignat} </math> === Gegenbeispiel - Cauchy-Verteilung === Für die [[Cauchy-Verteilung]] gibt es einen Wert <math>\mu</math>, der bei der symmetrischen [[Cauchy-Verteilung]] wie bei [[Normalverteilung]] mit <math>\mu</math> als [[Glockenkurve]] eine Achsensymmetrie der [[w:de:Dichtefunktion|Dichtefunktion]] darstellt. Im Gegensatz zur Normalverteilung existiert der [[Erwartungswert]] bei der [[Cauchy-Verteilung]] nicht. === Standardisierung === Eine Zufallsvariable nennt man standardisiert, wenn ihr [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] 0 und ihre [[w:de:Varianz (Stochastik)|Varianz]] 1 ist. Die Transformation einer Zufallsvariable <math>Y</math> in eine standardisierte Zufallsvariable :<math>Z=\frac{Y-\operatorname{E}(Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}}</math> bezeichnet man als Standardisierung der Zufallsvariable <math>Y</math>. == Sonstiges == * Zeitlich zusammenhängende Zufallsvariablen können auch als [[w:de:stochastischer Prozess|stochastischer Prozess]] aufgefasst werden * Eine Folge von Realisierungen einer Zufallsvariable nennt man auch [[w:de:Zufallssequenz|Zufallssequenz]] * Eine Zufallsvariable <math>X\colon \Omega \to \mathbb{R}^n</math> erzeugt eine σ-Algebra <math>\mathcal{F}_X(\mathcal{B}):=\{X^{-1}(B)|B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\}</math>, wobei <math>\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche σ-Algebra]] des <math>\mathbb{R}^n</math> ist. == Literatur == * [[w:de:Karl Hinderer|Karl Hinderer]]: ''Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie.'' Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 1980, ISBN 3-540-07309-4. * Erich Härtter: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler.'' Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9. * [[w:de:Michel Loève|Michel Loève]]: ''Probability Theory I.'' 4. Auflage. Springer, 1977, ISBN 0-387-90210-4. == Weblinks == [[b:de:Statistik: Zufallsvariablen|Wikibuch - Zufallsvariablen]] [[b:de:Statistik: Funktionen von Zufallsvariablen|Funktionen von Zufallsvariablen]] == Einzelnachweise == <references> <ref name="Bewersdorff2012"> {{Literatur |Autor=[[w:de:Jörg Bewersdorff|Jörg Bewersdorff]] |Titel=Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel - Methoden, Ergebnisse und Grenzen |Auflage=6. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2012 |ISBN=978-3-8348-1923-9 |Seiten=39 |Online={{Google Buch |BuchID=aC0gBAAAQBAJ |Seite=39}} |DOI=10.1007/978-3-8348-2319-9}} </ref> </references> == Siehe auch == * [[Cauchy-Verteilung]] * [[Ergebnis (Stochastik)]] * [[Ereignis (Stochastik)]] * [[Folgenräume]] * [[messbare Abbildung]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zufallsvariable&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zufallsvariable&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zufallsvariable&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zufallsvariable&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable https://de.wikiversity.org/wiki/Zufallsvariable] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Zufallsvariable Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Zufallsvariable * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Zufallsvariable&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zufallsvariable&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; ===Wikipedia2Wikiversity=== Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable Zufallsvariable] https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable * Datum: 30.1.2023 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zufallsvariable| ]] [[Kategorie:Statistischer Grundbegriff]] ag1m5umkwb10w3knbm4ci0rvg87qa9q 1117187 1117186 2026-10-20T14:15:50Z Bert Niehaus 20843 /* Messwerte - Schadstoffe */ 1117187 wikitext text/x-wiki == Einführung == In der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] ist eine '''Zufallsvariable''' oder '''Zufallsgröße''' (auch '''zufällige Größe''',<ref name="Bewersdorff2012" /> '''Zufallsveränderliche''', selten '''stochastische Variable''' oder '''stochastische Größe''') eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängig ist.<ref>[[w:de:Norbert Henze|Norbert Henze]]: ''Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls.'' Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, [[doi:10.1007/978-3-8348-9351-2]], S. 12.</ref> Formal ist eine Zufallsvariable eine [[w:de:Zuordnungsvorschrift|Zuordnungsvorschrift]], die jedem [[w:de:Ergebnis (Stochastik)|möglichen Ergebnis]] eines [[w:de:Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]]s eine Größe zuordnet.<ref name="Bewersdorff2012" /> === Zufallszahlen === Führt man ein [[Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]] durch und ist diese Ergebnis eine [[w:de:Zahl|Zahl]], so spricht man von einer [[w:de:Zufallszahl|Zufallszahl]]. In einem Experiment viele Zufallszahlen mit vielen Versuchswiederholung durchzuführen, kann dazu verwendet werden, mit dem [[Kurs:Stochastik/Gesetz der großen Zahlen|Gesetz der großen Zahlen]] unbekannte Wahrscheinlichkeiten zu schätzen. Beispiele für Zufallszahlen sind die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln und die Gewinnhöhe in einem [[w:de:Glücksspiel|Glücksspiel]]. Zufallsvariablen können aber auch komplexere mathematische Objekte sein, wie [[w:de:Zufallsbewegung|Zufallsbewegung]]en, [[w:de:Zufallspermutation|Zufallspermutation]]en oder [[w:de:Zufallsgraph|Zufallsgraph]]en. === Mehrere Zufallsvariablen für ein Experiment === Über verschiedene Zuordnungsvorschriften können einem Zufallsexperiment auch verschiedene Zufallsvariablen zugeordnet werden.<ref name="Bewersdorff2012" /> Den einzelnen Wert, den eine Zufallsvariable bei der Durchführung eines Zufallsexperiments annimmt, nennt man [[w:de:Realisierung (Stochastik)|Realisierung]]<ref>{{Literatur |Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler |Titel=Stochastik |TitelErg=Theorie und Anwendungen |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg New York |Datum=2005 |ISBN=3-540-21676-6 |Seiten=456-457 |DOI=10.1007/b137972}}</ref> oder im Falle eines stochastischen Prozesses einen [[w:de:Pfad (Stochastik)|Pfad]]. === Entstehung des Begriffs === Während früher der von [[w:de:Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow|A. N. Kolmogorow]] eingeführte Begriff ''zufällige Größe'' der übliche deutsche Begriff war, hat sich heute (ausgehend vom englischen ''random variable'') der etwas irreführende Begriff ''Zufallsvariable'' durchgesetzt.<ref>Jeff Miller: ''Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.'' Abschnitt [https://jeff560.tripod.com/r.html R].</ref> === Motivation des formalen Begriffs === Die Funktionswerte <math>X(\omega)</math> einer Zufallsvariablen <math>X</math> sind abhängig von einer den Zufall repräsentierenden Größe <math>\omega</math>. Zum Beispiel kann <math>\omega</math> das zufällige [[w:de:Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] eines Münzwurfs sein. Dann kann zum Beispiel eine Wette auf den Ausgang eines [[w:de:Münzwurf|Münzwurf]]s mithilfe einer Zufallsvariablen modelliert werden. Angenommen, es wurde auf Zahl gewettet, und wenn richtig gewettet wurde, wird 1 EUR ausgezahlt, sonst nichts. == Definition - Zufallsvariable == Als Zufallsvariable bezeichnet man eine [[w:de:messbare Funktion|messbare Funktion]] von einem [[w:de:Wahrscheinlichkeitsraum|Wahrscheinlichkeitsraum]] in einen [[w:de:Messraum (Mathematik)|Messraum]]. Eine formale mathematische Definition lässt sich wie folgt geben:<ref>Karl Hinderer: ''Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie.'' Springer, Berlin 1980, ISBN 3-540-07309-4 (nicht überprüft)</ref> : Es seien <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega',\mathcal{S}')</math> ein Messraum. Eine <math>(\mathcal{S},\mathcal{S}')</math>-messbare Funktion <math>X\colon\Omega\to\Omega'</math> heißt dann eine <math>\Omega'</math>-Zufallsvariable auf <math>\Omega</math>. === Bemerkung - Bezeichung Zufallsvariable === Die Bezeichnung ''Zufallsvariable'' wird gewählt, weil der Wert von <math>X</math> vom Zufall und der Durchführung eines [[w:de:Zufallsexperiment|Zufallsexperimentes]] abhängt. Abbildung <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> ordnet dann einem zufälligen Ergebnis (z.B. <math>\omega = (2,5)\in \Omega</math> bei zweimaligen Würfelwurd) einen reellen Wert <math>X(\omega) = X(2,5) = 7 \in \mathbb{R}</math> zu. Die Zufallsvariable nennt man mit Wertbereiche insbesondere eine [[w:de:Zufallsvariable#Reelle Zufallsvariable|reelle Zufallsvariable]]. == Definition - reelle Zufallsvariable == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> eine [[Messraum]] und <math>(\mathbb{R},\mathcal{B})</math> die Menge der reellen Zahlen mit der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]]-<math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]]. Eine <math>\mathcal{S}</math>-<math>\mathcal{B}</math>-[[messbare Abbildung]] <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nennt man Zufallsvariable. === Zufallsvariable - Augensumme === Sei <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> die Auszahlungssumme bei einem zweimaligen Münzwurf. Dabei ist :<math> \Omega := \{1,2,3,4,5,6\} \times \{1,2,3,4,5,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}^2 </math> und <math>\mathcal{S}=\wp(\Omega)</math> die [[w:de:Potenzmenge|Potenzmenge]] von <math>\Omega</math> mit <math>X(\omega_1,\omega_2) = \omega_1 + \omega_2</math>. <span id="Zufallsvektor"></span> == Definition - reeller Zufallsvektor == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> eine [[Messraum]] und <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}^n)</math> der reelle <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\mathbb{R}^n</math> mit der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]]-<math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}^n</math>. Eine <math>\mathcal{S}</math>-<math>\mathcal{B}^n</math>-[[messbare Abbildung]] <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n</math> nennt man reellen Zufallsvektor. === Messwerte - Schadstoffe === Bei einer Probenentnahme <math>\omega\in\Omega</math> wird die Probe auf die 3 verschiedene Schadstoffe über überprüft. * <math>X_k : \Omega \to \mathbb{R}</math> gibt die Menge der Chemikalie <math>k</math> an, die in der Probe enthalten ist. * <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^3</math> mit <math>X(\omega)=(X_1(\omega),X_2(\omega),X_3(\omega))</math> ist ein Zufallsvektor. * <math>X(\omega)=(130,50,35)</math> bedeutet, dass die Probe <math>\omega</math> <math>130</math> Einheiten des Schadstoffes '''1''' enthält und <math>50</math> bzw. <math>35</math> Einheiten des Schadstoffes 2 und 3. <span id="Zufallsfolge"></span> == Definition - reeller Zufallsfolge == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> eine [[Messraum]] und <math>V\subset \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der Teilmenge des Raumes der reellen Zahlenfolgen mit einer Topologie <math>\mathcal{T}</math> und <math>\mathcal{B}(\mathcal{T})</math> die [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]]-<math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] auf <math>V</math>. Eine <math>\mathcal{S}</math>-<math>\mathcal{B}(\mathcal{T})</math>-[[messbare Abbildung]] <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> nennt man reelle Zufallsfolge. === Abbauprozess - radioaktives Material === Man betrachtet hier einen zufälligen Zerfallsprozess von radioaktivem Material. Man betrachtet dann die [[Folgenräume|Nullfolgen]] in <math>\mathbb{R}</math>. <math>X_n(\omega)</math> gibt dann die Menge des strahlenden Materials zum Zeitpunkt <math>n\in \mathbb{N}</math> an. Der [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Raum der Nullfolgen]] wird mit der Supremumsnorm [[Normen, Metriken, Topologie|topologisiert]] und man erhält damit eine Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf dem Raum der [[Folgenräume|reellwertigen Nullfolgen]] <math>c_o(\mathbb{R})</math>: :<math> (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \in c_o(\mathbb{R}) \,\,\, \,\,\, \,\,\, \|(x_n)_{n\in\mathbb{N}} \|_\infty := \sup_{n\in\mathbb{N}} |x_n| </math> Bei Zerfallsprozessen nimmt man dann an, dass die Folge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}} \in c_o(\mathbb{R})</math> eine Nullfolge ist. == Beispiel - reellwertige Zufallsgrößen == In der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] werden zunächst reellwertige Zufallsgröße behandelt. Die folgenden Abschnitte zeigen ausgewählte Beispiele. === Beispiel: Zweimaliger Würfelwurf === Summe von zwei Würfeln:<math>(\Omega,\mathcal{S},P) \xrightarrow{S} (\Omega',\mathcal{S}', P^S)</math>. [[Datei:Twodice.svg|350px|Summe von zwei Würfeln]] ==== Experiment mit 2 fairen Würfeln - Laplaceverteilung ==== Das Experiment, mit einem fairen Würfel zweimal zu würfeln, lässt sich mit folgendem Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> modellieren: * <math>\Omega</math> ist die Menge der 36 möglichen Ergebnisse <math>\Omega=\{(1,1), (1,2), \dotsc, (6,5), (6,6)\}</math> * <math>\mathcal{S}</math> ist die [[w:de:Potenzmenge|Potenzmenge]] von <math>\Omega</math> * Will man zwei unabhängige Würfe mit einem fairen Würfel modellieren, so setzt man alle 36 Ergebnisse gleich wahrscheinlich, wählt also das [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> als <math>P\left(\{(n_1,n_2)\}\right) = \tfrac {1}{36}</math> für <math>n_1, n_2 \in \{1,2,3,4,5,6\}</math>. ==== Definition von Zufallsgrößen ==== Die Zufallsvariablen <math>X_1</math> (gewürfelte Zahl des ersten Würfels), <math>X_2</math> (gewürfelte Zahl des zweiten Würfels) und <math>S</math> (Augensumme des ersten und zweiten Würfels) werden als folgende Funktionen definiert: * <math>X_1\colon \Omega \to \mathbb{R};\quad\left(n_1,n_2\right) \mapsto n_1,</math> * <math>X_2\colon \Omega \to \mathbb{R};\quad\left(n_1,n_2\right) \mapsto n_2,</math> und * <math>X\colon \Omega \to \mathbb{R};\quad\left(n_1,n_2\right) \mapsto n_1+n_2,</math> wobei für <math>\mathcal{S}'</math> die [[w:de:borelsche σ-Algebra|borelsche σ-Algebra]] auf den reellen Zahlen gewählt wird. === Bemerkung - Angabe des Messräume === Oft wird auf die konkrete Angabe der zugehörigen Räume verzichtet; es wird angenommen, dass aus dem Kontext klar ist, welcher Wahrscheinlichkeitsraum auf <math>\Omega</math> und welcher <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\Omega</math> gemeint ist. Im Zweifel sollte man den zugehörigen Messraum angeben. === Bemerkung - Sigma-Algebra bei endlicher Ergebnismenge === Bei einer endlichen Ergebnismenge <math>\Omega</math> wird <math>\Sigma</math> meistens als die Potenzmenge von <math>\Omega</math> gewählt. Die Forderung, dass die verwendete Funktion messbar ist, ist dann immer erfüllt. === Bemerkung - Sigma-Algebra bei überabzählbarer Ergebnismenge === Messbarkeit wird erst wirklich bedeutsam, wenn die Ergebnismenge <math>\Omega</math> [[w:de:Abzählbarkeit|überabzählbar]] viele Elemente enthält. Dies ist bei Maßen auf den reellen Zahlen der Fall. ==== Einmaliger Münzwurf - Ergebnisraum ==== So bildet die Menge der Wurfergebnisse von einem Münzwurf die Ergebnismenge <math>\Omega_1 := \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\} </math>, während das zusammengesetzte Experiment des zweimaligen Münzwurfes die Ergebnismenge <math>\Omega := \Omega_1 \times \Omega_1 = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}^2 </math> ist. ==== Zusammengesetztes Ergebnis - zweimaliger Münzwurf ==== Die Menge der möglichen Auszahlungsbeträge im zusammengesetzten Experiment is <math>\{0, 1, 2\}</math>: :<math>X(\omega_1,\omega_2) = \begin{cases} 0, & \text{wenn }\omega_1 = \text{Kopf} \text{ und }\omega_2 = \text{Kopf},\\ 1, & \text{entweder }\omega_1 = \text{Zahl} \text{ oder } \omega_2 = \text{Zahl}.\\ 2, & \text{wenn }\omega_1 = \text{Zahl} \text{ und }\omega_2 = \text{Zahl},\\ \end{cases}</math> ==== Ergebnisraum des Zufallsexperimentes ==== <math>\Omega := \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}^2</math> nennt als Menge aller Ergebnisse eine Zufallsexperimentes ''Ergebnisraum''. Besteht das Wettet man bei zwei Münzwürfen beide Male auf Kopf und bezeichnet die Kombination der Ausgänge der Münzwürfe mit <math>\omega=\left(\omega_1,\omega_2\right)</math>, so lassen sich beispielsweise folgende Zufallsvariablen untersuchen: * <math>X_1(\omega) := X(\omega_1) \in\{0,1\}</math> als Auszahlung nach der ersten Wette, * <math>X_2(\omega) := X(\omega_2) \in\{0,1\}</math> als Auszahlung nach der zweiten Wette, * <math>X(\omega) := X(\omega_1) + X(\omega_2) \in\{0,1,2\}</math> als Summe der beiden Auszahlungen. ==== Bezeichnungen ==== Zufallsvariablen<!--das ist der hier verwendete fachsprachliche Plural--> selbst werden üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet (hier <math>X_1, X_2, X</math>), während man für die Realisierungen die entsprechenden Kleinbuchstaben verwendet (so beispielsweise für <math>\omega=\left(\text{Zahl},\text{Kopf}\right)</math> die Realisierungen <math>x_1 = 1</math>, <math>x_2=0</math>, <math>s=1</math>). === Bedeutung des Ergebnisraumes === Im Beispiel sind die Mengen <math>\Omega = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\times \{\text{Kopf}, \text{Zahl}</math> und <math>\Omega_1 = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}</math> eine konkrete Interpretation. In der weiteren Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es oft zweckmäßig, die Elemente von <math>\Omega</math> als Repräsentanten des Zufalls zu betrachten und die Verteilungsannahmen für die induzierte Verteilung z.B. auf die reellen Zahlen zu ohne ihnen eine konkrete Bedeutung zuzuweisen, und dann sämtliche zu modellierende Zufallsvorgänge als Zufallsvariable zu erfassen. == Klassen von Zufallsvariablen == Einige Klassen von Zufallsvariablen mit bestimmten Wahrscheinlichkeits- und Messräumen werden besonders häufig verwendet (z.B. die [[w:de:Borelsche_σ-Algebra|Borelsche_σ-Algebra]] auf den reellen Zahlen). Diese werden teilweise mit Hilfe alternativer Definitionen eingeführt, die keine Kenntnisse der Maßtheorie voraussetzen: === Reelle Zufallsvariable === Bei reellen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge <math>\mathbb{R}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] versehen mit der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|borelschen <math>\sigma</math>-Algebra]]. Die allgemeine Definition von Zufallsvariablen lässt sich in diesem Fall zur folgenden Definition vereinfachen: ==== Definition - reelle Zufallsvariable ==== Eine reelle Zufallsvariable ist eine Funktion <math>X\colon\Omega\to\mathbb{R}</math>, die jedem Ergebnis <math>\omega</math> aus einer [[w:de:Ergebnismenge|Ergebnismenge]] <math>\Omega</math> eine reelle Zahl <math>X(\omega)</math> zuordnet und die folgende Messbarkeitsbedingung erfüllt: :<math>\forall x \in \mathbb{R}:\ \lbrace \omega \mid X(\omega) \leq x \rbrace \in \mathcal{S}</math> ==== Bemerkung zur Definition ==== Die Definition bedeutet, dass die Menge aller Ergebnisse, deren Realisierung unterhalb eines bestimmten Wertes liegt, ein Ereignis bilden muss. ==== Bezug zum Beispiel Würfelwurf ==== Im Beispiel des zweimaligen Würfelns sind <math>X_1</math>, <math>X_2</math> und <math>S</math> jeweils reelle Zufallsvariablen. === Mehrdimensionale Zufallsvariable === {{Hauptartikel|Zufallsvektor}} Eine mehrdimensionale Zufallsvariable ist eine messbare Abbildung <math>X\colon\Omega\to\mathbb{R}^n</math> für eine Dimension <math>n\in\mathbb N</math>. Sie wird auch als Zufallsvektor bezeichnet. Damit ist <math>X=(X_1,\dotsc,X_n)</math> gleichzeitig ein Vektor von einzelnen reellen Zufallsvariablen <math>X_i\colon\Omega\to\mathbb{R}</math>, die alle auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. ==== Multivariate Verteilung ==== Die Verteilung von <math>X</math> wird als [[w:de:Multivariate Verteilung|multivariat]] bezeichnet, die Verteilungen der Komponenten <math>X_i</math> nennt man auch [[w:de:Randverteilung|Randverteilung]]en. Die mehrdimensionalen Entsprechungen von Erwartungswert und Varianz sind der [[w:de:Erwartungswertvektor|Erwartungswertvektor]] und die [[w:de:Kovarianzmatrix|Kovarianzmatrix]]. ==== Beispiel diskrete multivariate Verteilung ==== Im diskreten Fall kann als Beispiel der zweimalige Würfelwurf mit <math>X=(X_1,X_2)</math> als eine zweidimensionale Zufallsvariable angesehen werden. ==== Beispiel stetige multivariate Verteilung ==== Im stetigen Fall kann als Beispiel des Dartwurf auf ein rechteckiges Brett mit einem Koordinatensystem angesehen werden. Dabei steht omega für einen Wurf <math>X(\omega)=(X_1(\omega),X_2(\omega))=(x,y)</math>, die die Einstichstelle <math>(x,y)</math> des Wurfel <math> <math>\omega</math> als zweidimensionale Zufallsvariable auf dem Brett angibt. === Unterschied - Zufallsvektoren - Wahrscheinlichkeitsvektoren === [[Zufallsvektor|Zufallsvektoren]] sollten nicht mit [[w:de:Wahrscheinlichkeitsvektor|Wahrscheinlichkeitsvektoren]] (auch stochastische Vektoren genannt) verwechselt werden. Ein [[Zufallsvektor]] <math>X:\Omega \to \mathbb{R}^n</math> von einem [[Ergebnisraum]] <math>\Omega</math> auf <math> \mathbb{R}^n </math> an, während ein [[w:de:Wahrscheinlichkeitsvektor|Wahrscheinlichkeitsvektor]] <math>(p_1,\ldots ,p_n) \in [0,1]^n</math> nicht-negative Komponenten <math>p_k</math> besitzt und die Komponentensumme 1 ergibt. Sie beschreiben die Wahrscheinlichkeitsmaße auf Mengen mit <math> n </math> Elementen. === Komplexe Zufallsvariable === Bei komplexen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge <math>\mathbb C</math> der [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] versehen mit der durch die kanonische Vektorraumisomorphie zwischen <math>\mathbb C</math> und <math>\mathbb{R}^2</math> „geerbten“ borelschen σ-Algebra. <math>X</math> ist genau dann eine Zufallsvariable, wenn Realteil <math>\operatorname{Re}(X)</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(X)</math> jeweils reelle Zufallsvariablen sind. === Numerische oder erweiterte Zufallsvariable === {{Hauptartikel|Erweiterte Zufallsvariable}} Der Begriff ''Zufallsvariable'' ohne weitere Charakterisierung bedeutet meistens – und fast immer in anwendungsnahen Darstellungen – ''reelle Zufallsvariable''. Zur Unterscheidung von einer solchen wird eine Zufallsvariable mit Werten in den [[w:de:Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R} \cup \{-\infty, \infty\}</math> als '''numerische Zufallsvariable'''<ref name="LdM">{{Literatur | Titel=Lexikon der Mathematik |Verlag= Springer Spektrum |Hrsg=Guido Walz |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53499-1 |Band=Band 4 (Moo bis Sch)|Seiten=98}}</ref> – entsprechend der Terminologie der [[w:de:Numerische Funktion|numerischen Funktion]] – oder als '''erweiterte Zufallsvariable'''<ref name="LdM"/> (engl. ''extended random variable''<ref>{{Literatur |Autor=Galen R. Shorack | Titel=Probability for Statisticians |Reihe=Springer Texts in Statistics |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2017 |ISBN=978-3-319-52206-7 |DOI=10.1007/978-3-319-52207-4| Seiten=35}}</ref>) bezeichnet. Es gibt aber auch eine abweichende Terminologie, bei der ''Zufallsvariable'' eine numerische Zufallsvariable bezeichnet und eine reelle Zufallsvariable immer als solche bezeichnet wird.<ref>{{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |Auflage=2.,durchgesehene Auflage |Seiten=194}}</ref> == Die Verteilung von Zufallsvariablen, Existenz == Eng verknüpft mit dem eher technischen Begriff einer Zufallsvariablen ist der Begriff der auf dem Bildraum von <math>X\;</math> induzierten [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]]. Mitunter werden beide Begriffe auch synonym verwendet. === Induzierte Verteilung - Bildmaß === Formal wird die Verteilung <math>\;P^X</math> einer Zufallsvariablen <math>X\;</math> als das [[w:de:Bildmaß|Bildmaß]] des Wahrscheinlichkeitsmaßes <math>P\;</math> definiert, also :<math>\;P^X (A) = P \left(X^{-1}(A)\right)</math> für alle <math> A \in \Sigma'</math>, wobei <math>\Sigma'</math> die auf dem Bildraum der Zufallsvariable <math>X</math> gegebene σ-Algebra ist. === Alternative Notation in der Literatur === Statt <math>\;P^X</math> werden in der Literatur für die Verteilung von <math>X\;</math> auch die Schreibweisen <math>P_X</math> oder <math>P \circ X^{-1}</math> verwendet. === Beispiel - Induzierte Verteilung === Spricht man also beispielsweise von einer normalverteilten Zufallsvariablen, so ist damit eine Zufallsvariable mit Werten in den reellen Zahlen gemeint, deren Verteilung einer [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] entspricht. === Eigenschaften von induzierten Veteilungen === Eigenschaften, welche sich allein über gemeinsame Verteilungen von Zufallsvariablen ausdrücken lassen, werden auch ''wahrscheinlichkeitstheoretisch'' genannt.<ref> Loève: ''Probability Theory.'' 4. Auflage. Band 1, Springer 1977, ISBN 0-387-90210-4, S. 172f. </ref> Für Behandlung solcher Eigenschaften ist es nicht notwendig, die konkrete Gestalt des (Hintergrund-)[[w:de:Wahrscheinlichkeitsraum|Wahrscheinlichkeitsraumes]] zu kennen, auf dem die Zufallsvariablen definiert sind. === Bedeutung der Verteilung auf Omega === Häufig wird deswegen z.B. von einer reellen Zufallsvariablen <math>X : \Omega \to \mathbb{R}</math> lediglich die Verteilungsfunktion angegeben und der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \mathcal{S},P)</math> offen gelassen. === Existenz einer Verteilung auf Omega 1 === Obwohl man in der Regel nur mit der induzierten Verteilung arbeitet, ist dennoch notwendig zu klären, dass zumindest ein <math>(\Omega, \mathcal{S},P)</math>, das die durch Zufallsvariablen <math>X </math> induzierte Verteilung generieren kann. === Existenz einer Verteilung auf Omega 2=== Ein solcher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> lässt sich aber zu einer konkreten Verteilung leicht angeben, indem beispielsweise <math>\Omega=\mathbb{R}</math>, <math>\mathcal{S}</math> als die Borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen und <math>P</math> als das durch die Verteilungsfunktion induzierte [[w:de:Lebesgue-Stieltjes-Maß|Lebesgue-Stieltjes-Maß]] gewählt wird. Als Zufallsvariable <math> X</math> kann dann z.B. die [[w:de:identische Abbildung|identische Abbildung]] <math>X \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> mit <math>X(\omega) = \omega</math> gewählt werden.<ref>Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, Definition 5.6.2.</ref> === Familien von Zufallsvariablen === Wenn eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] von Zufallsvariablen betrachtet wird, reicht es aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Perspektive genauso, die gemeinsame Verteilung <!-- endlicher Unterfamilien, um genau zu sein --> der Zufallsvariablen anzugeben, die Gestalt des Wahrscheinlichkeitsraums kann wiederum offen gelassen werden. ==== Zugehörigkeit zu einer Familie von Zufallsvariablen ==== Die Frage nach der konkreten Gestalt des Wahrscheinlichkeitsraumes tritt also in den Hintergrund, es ist jedoch von Interesse, ob zu einer Familie von Zufallsvariablen mit vorgegebenen endlichdimensionalen gemeinsamen Verteilungen ein Wahrscheinlichkeitsraum existiert, auf dem sie sich gemeinsam definieren lassen. Diese Frage wird für unabhängige Zufallsvariablen durch einen Existenzsatz von [[w:de:Émile Borel|É. Borel]] gelöst, der besagt, dass man im Prinzip auf den von Einheitsintervall und Lebesgue-Maß gebildeten Wahrscheinlichkeitsraum zurückgreifen kann. ==== Beweisidee von Borel ==== Ein möglicher Beweis nutzt, dass sich die binären Nachkommastellen der reellen Zahlen in [0,1] als ineinander verschachtelte [[w:de:Bernoulli-Prozess|Bernoulli-Folgen]] betrachten lassen (ähnlich [[w:de:Hilberts Hotel|Hilberts Hotel]]).<ref>Olav Kallenberg: ''Foundations of Modern Probability.'' 2. Ausgabe. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95313-2, S. 55.</ref> == Mathematische Attribute für Zufallsvariablen == Verschiedene mathematische Attribute, die in der Regel denen für allgemeine Funktionen entlehnt sind, finden bei Zufallsvariablen Anwendung. Die häufigsten werden in der folgenden Zusammenstellung kurz erklärt: === Diskret === Eine Zufallsvariable wird als [[w:de:diskret|diskret]] bezeichnet, wenn sie nur [[w:de:Endliche Menge|endlich viele]] oder [[w:de:Abzählbarkeit|abzählbar unendlich viele]] Werte annimmt oder etwas allgemeiner, wenn ihre Verteilung eine [[w:de:diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]] ist.<ref>{{Literatur |Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler |Titel=Stochastik |TitelErg=Theorie und Anwendungen |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg New York |Datum=2005 |ISBN=3-540-21676-6 |Seiten=90 |DOI=10.1007/b137972}}</ref> Im obigen Beispiel des zweimaligen Würfelns sind alle drei Zufallsvariablen <math>X_1</math>, <math>X_2</math> und <math>S</math> diskret. Ein weiteres Beispiel für diskrete Zufallsvariablen sind [[w:de:Zufällige Permutation|zufällige Permutationen]]. === Konstant === Eine Zufallsvariable wird als [[w:de:Konstante Funktion|konstant]] bezeichnet, wenn sie nur einen Wert annimmt: <math>X(\omega)=c</math> für alle <math>\omega</math>. Sie ist ein Spezialfall einer diskreten Zufallsvariable. Es gilt :<math>X(\omega)=c\;\forall \omega\in \Omega\implies P(X=c)=1</math> die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Eine Zufallsvariable die nur die rechte Seite erfüllt, heißt ''[[w:de:fast sicher|fast sicher]] konstant''. === Unabhängig === {{Hauptartikel|Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen}} Zwei reelle Zufallsvariablen <math>X,Y</math> heißen unabhängig, wenn für je zwei Intervalle <math>[a_1,b_1]</math> und <math>[a_2,b_2]</math> die Ereignisse <math>E_X := \{ \omega | X(\omega) \in [a_1,b_1] \}</math> und <math>E_Y := \{ \omega | Y(\omega) \in [a_2,b_2] \}</math> [[w:de:Stochastisch unabhängige Ereignisse|stochastisch unabhängig]] sind. Das sind sie, wenn gilt: <math>P(E_X \cap E_Y ) = P(E_X) P(E_Y)</math>. In obigem Beispiel sind <math>X_1</math> und <math>X_2</math> unabhängig voneinander; die Zufallsvariablen <math>X_1</math> und <math>S</math> hingegen nicht. Unabhängigkeit mehrerer Zufallsvariablen <math>X_1, X_2, \dotsc, X_n</math> bedeutet, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P_X</math> des Zufallsvektors <math>X=\left(X_1, X_2, \dotsc, X_n\right)</math> dem [[w:de:Produktmaß|Produktmaß]] der Wahrscheinlichkeitsmaße der Komponenten, also dem Produktmaß von <math>P_{X_1}, P_{X_2}, \dotsc, P_{X_n}</math> entspricht.<ref>Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3 (Definition 5.8.1)</ref> So lässt sich beispielsweise dreimaliges unabhängiges Würfeln durch den Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\Sigma,P)</math> mit :<math>\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}^3</math>, :<math>\Sigma</math> der Potenzmenge von <math>\Omega</math> und :<math>P\left(\left(n_1, n_2, n_3\right)\right)=\frac{1}{6^3}=\frac{1}{216}</math> modellieren; die Zufallsvariable "Ergebnis des <math>k</math>-ten Wurfes" ist dann :<math>X_k\left(n_1, n_2, n_3\right)=n_k</math> für <math>k\in\{1,2,3\}</math>. Die Konstruktion eines entsprechenden Wahrscheinlichkeitsraums für eine beliebige Familie unabhängiger Zufallsvariable mit gegebenen Verteilungen ist ebenfalls möglich.<ref>Klaus D. Schmidt: ''Maß und Wahrscheinlichkeit.'' Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, Kapitel 11.4.</ref> === Identisch verteilt === Zwei oder mehr Zufallsvariablen heißen identisch verteilt (bzw. ''i.d. für identically distributed''), wenn ihre [[w:de:#Die Verteilung von Zufallsvariablen, Existenz|induzierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] gleich sind. In Beispiel des zweimaligen Würfelns sind <math>X_1</math>, <math>X_2</math> identisch verteilt; die Zufallsvariablen <math>X_1</math> und <math>S</math> hingegen nicht. === Unabhängig und identisch verteilt === {{Hauptartikel|Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen}} Häufig werden [[w:de:Folge (Mathematik)|Folgen]] von Zufallsvariablen untersucht, die sowohl unabhängig als auch identisch verteilt sind; demnach spricht man von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen, üblicherweise mit ''u.i.v.'' bzw. ''i.i.d.'' (für ''independent and identically distributed'') abgekürzt. In obigem Beispiel des dreimaligen Würfelns sind <math>X_1</math>, <math>X_2</math> und <math>X_3</math> i.i.d. Die Summe der ersten beiden Würfe <math>S_{1,2}=X_1+X_2</math> und die Summe des zweiten und dritten Wurfs <math>S_{2,3}=X_2+X_3</math> sind zwar identisch verteilt, aber nicht unabhängig. Dagegen sind <math>S_{1,2}</math> und <math>X_3</math> unabhängig, aber nicht identisch verteilt. === Austauschbar === [[w:de:Austauschbare Familie von Zufallsvariablen|Austauschbare Familien von Zufallsvariablen]] sind Familien, deren Verteilung sich nicht ändert, wenn man endlich viele Zufallsvariablen in der Familie vertauscht. Austauschbare Familien sind stets identisch verteilt, aber nicht notwendigerweise unabhängig. == Mathematische Attribute für reelle Zufallsvariablen == === Kenngrößen === Zur Charakterisierung von Zufallsvariablen dienen einige wenige Funktionen, die wesentliche mathematische Eigenschaften der jeweiligen Zufallsvariable beschreiben. Die wichtigste dieser Funktionen ist die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]], die Auskunft darüber gibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert bis zu einer vorgegebenen Schranke annimmt, beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine Vier zu würfeln. Bei stetigen Zufallsvariablen wird diese durch die [[w:de:Dichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]] ergänzt, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, dass die Werte einer Zufallsvariablen innerhalb eines bestimmten [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervalls]] liegen. Des Weiteren sind Kennzahlen wie der [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]], die [[w:de:Varianz (Stochastik)|Varianz]] oder höhere mathematische [[w:de:Moment (Stochastik)|Momente]] von Interesse. === Stetig oder kontinuierlich === Das Attribut [[w:de:Stetige Funktion|stetig]] wird für unterschiedliche Eigenschaften verwendet. :* Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig (oder auch absolut stetig) bezeichnet, wenn sie eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichte|Dichte]] besitzt (ihre Verteilung [[w:de:Absolut stetiges Maß|absolutstetig]] bezüglich des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]]es ist).<ref>[[w:de:Marek Fisz|Marek Fisz]]: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.'' 11. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, Definition 2.3.3.</ref> :* Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine stetige [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] besitzt.<ref>Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, S. 210.</ref> Insbesondere bedeutet das, dass <math>P(\{X=x\})=0</math> für alle <math>x\in\mathbb{R}</math> gilt. === Messbarkeit, Verteilungsfunktion und Erwartungswert === Wenn eine reelle Zufallsvariable <math>X</math> auf dem Ergebnisraum <math>\Omega</math> und eine messbare Funktion <math>g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gegeben ist, dann ist auch <math>Y = g(X)</math> eine Zufallsvariable auf demselben Ergebnisraum, da die Verknüpfung messbarer Funktionen wieder messbar ist. <math>g(X)</math> wird auch als ''Transformation'' der Zufallsvariablen <math>X</math> unter <math>g</math> bezeichnet. Die gleiche Methode, mit der man von einem Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> nach <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}),P^X)</math> gelangt, kann benutzt werden, um die Verteilung von <math>Y</math> zu erhalten. Die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] von <math>Y</math> lautet :<math>F_Y(y) = \operatorname{P}(g(X) \leq y)</math>. Der [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] einer [[w:de:Quasiintegrierbare Zufallsvariable|quasi-integrierbaren]] Zufallsgröße <math>X</math> von <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> nach <math>(\bar{\mathbb{R}}, \mathcal{B}(\bar{\mathbb{R}}))</math> berechnet sich folgend: :<math>\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X(\omega)\mathrm{d}P(\omega)\,</math>. === Integrierbar und quasi-integrierbar === Eine Zufallsvariable heißt [[w:de:Lebesgue-Integral|integrierbar]], wenn der [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] der Zufallsvariable existiert und endlich ist. Die Zufallsvariable heißt [[w:de:Quasiintegrierbare Zufallsvariable|quasi-integrierbar]], wenn der Erwartungswert existiert, möglicherweise aber unendlich ist. Jede integrierbare Zufallsvariable ist folglich auch quasi-integrierbar. === Beispiel === Es sei <math>X</math> eine reelle stetig verteilte Zufallsvariable und <math>Y = X^2</math>. Dann ist :<math>F_Y(y) = \operatorname{P}(X^2 \leq y).</math> Fallunterscheidung nach <math>y</math>: <math>y<0:</math> :<math> \begin{alignat}{2} & & \operatorname P(X^2 \leq y) &= 0\\ & \Rightarrow & F_Y(y) &= 0 \end{alignat} </math> <math>y\geq 0:</math> :<math> \begin{alignat}{2} & & \operatorname P\left(X^2\leq y\right) &=\operatorname P\left(|X|\leq\sqrt y\right)\\ & & &= \operatorname P\left(-\sqrt y\leq X\leq\sqrt y\right)\\ &\Rightarrow & F_Y\left(y\right) &= F_X\left(\sqrt y\right) - F_X\left(-\sqrt y\right) \end{alignat} </math> === Gegenbeispiel - Cauchy-Verteilung === Für die [[Cauchy-Verteilung]] gibt es einen Wert <math>\mu</math>, der bei der symmetrischen [[Cauchy-Verteilung]] wie bei [[Normalverteilung]] mit <math>\mu</math> als [[Glockenkurve]] eine Achsensymmetrie der [[w:de:Dichtefunktion|Dichtefunktion]] darstellt. Im Gegensatz zur Normalverteilung existiert der [[Erwartungswert]] bei der [[Cauchy-Verteilung]] nicht. === Standardisierung === Eine Zufallsvariable nennt man standardisiert, wenn ihr [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] 0 und ihre [[w:de:Varianz (Stochastik)|Varianz]] 1 ist. Die Transformation einer Zufallsvariable <math>Y</math> in eine standardisierte Zufallsvariable :<math>Z=\frac{Y-\operatorname{E}(Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}}</math> bezeichnet man als Standardisierung der Zufallsvariable <math>Y</math>. == Sonstiges == * Zeitlich zusammenhängende Zufallsvariablen können auch als [[w:de:stochastischer Prozess|stochastischer Prozess]] aufgefasst werden * Eine Folge von Realisierungen einer Zufallsvariable nennt man auch [[w:de:Zufallssequenz|Zufallssequenz]] * Eine Zufallsvariable <math>X\colon \Omega \to \mathbb{R}^n</math> erzeugt eine σ-Algebra <math>\mathcal{F}_X(\mathcal{B}):=\{X^{-1}(B)|B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\}</math>, wobei <math>\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche σ-Algebra]] des <math>\mathbb{R}^n</math> ist. == Literatur == * [[w:de:Karl Hinderer|Karl Hinderer]]: ''Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie.'' Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 1980, ISBN 3-540-07309-4. * Erich Härtter: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler.'' Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9. * [[w:de:Michel Loève|Michel Loève]]: ''Probability Theory I.'' 4. Auflage. Springer, 1977, ISBN 0-387-90210-4. == Weblinks == [[b:de:Statistik: Zufallsvariablen|Wikibuch - Zufallsvariablen]] [[b:de:Statistik: Funktionen von Zufallsvariablen|Funktionen von Zufallsvariablen]] == Einzelnachweise == <references> <ref name="Bewersdorff2012"> {{Literatur |Autor=[[w:de:Jörg Bewersdorff|Jörg Bewersdorff]] |Titel=Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel - Methoden, Ergebnisse und Grenzen |Auflage=6. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2012 |ISBN=978-3-8348-1923-9 |Seiten=39 |Online={{Google Buch |BuchID=aC0gBAAAQBAJ |Seite=39}} |DOI=10.1007/978-3-8348-2319-9}} </ref> </references> == Siehe auch == * [[Cauchy-Verteilung]] * [[Ergebnis (Stochastik)]] * [[Ereignis (Stochastik)]] * [[Folgenräume]] * [[messbare Abbildung]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zufallsvariable&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zufallsvariable&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zufallsvariable&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zufallsvariable&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable https://de.wikiversity.org/wiki/Zufallsvariable] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Zufallsvariable Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Zufallsvariable * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Zufallsvariable&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zufallsvariable&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; ===Wikipedia2Wikiversity=== Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable Zufallsvariable] https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable * Datum: 30.1.2023 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zufallsvariable| ]] [[Kategorie:Statistischer Grundbegriff]] 918eahlowr2w2ssm8o6jlvh8vls9l51 1117188 1117187 2026-10-20T14:16:54Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1117188 wikitext text/x-wiki == Einführung == In der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] ist eine '''Zufallsvariable''' oder '''Zufallsgröße''' (auch '''zufällige Größe''',<ref name="Bewersdorff2012" /> '''Zufallsveränderliche''', selten '''stochastische Variable''' oder '''stochastische Größe''') eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängig ist.<ref>[[w:de:Norbert Henze|Norbert Henze]]: ''Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls.'' Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, [[doi:10.1007/978-3-8348-9351-2]], S. 12.</ref> Formal ist eine Zufallsvariable eine [[w:de:Zuordnungsvorschrift|Zuordnungsvorschrift]], die jedem [[w:de:Ergebnis (Stochastik)|möglichen Ergebnis]] eines [[w:de:Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]]s eine Größe zuordnet.<ref name="Bewersdorff2012" /> === Zufallszahlen === Führt man ein [[Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]] durch und ist diese Ergebnis eine [[w:de:Zahl|Zahl]], so spricht man von einer [[w:de:Zufallszahl|Zufallszahl]]. In einem Experiment viele Zufallszahlen mit vielen Versuchswiederholung durchzuführen, kann dazu verwendet werden, mit dem [[Kurs:Stochastik/Gesetz der großen Zahlen|Gesetz der großen Zahlen]] unbekannte Wahrscheinlichkeiten zu schätzen. Beispiele für Zufallszahlen sind die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln und die Gewinnhöhe in einem [[w:de:Glücksspiel|Glücksspiel]]. Zufallsvariablen können aber auch komplexere mathematische Objekte sein, wie [[w:de:Zufallsbewegung|Zufallsbewegung]]en, [[w:de:Zufallspermutation|Zufallspermutation]]en oder [[w:de:Zufallsgraph|Zufallsgraph]]en. === Mehrere Zufallsvariablen für ein Experiment === Über verschiedene Zuordnungsvorschriften können einem Zufallsexperiment auch verschiedene Zufallsvariablen zugeordnet werden.<ref name="Bewersdorff2012" /> Den einzelnen Wert, den eine Zufallsvariable bei der Durchführung eines Zufallsexperiments annimmt, nennt man [[w:de:Realisierung (Stochastik)|Realisierung]]<ref>{{Literatur |Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler |Titel=Stochastik |TitelErg=Theorie und Anwendungen |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg New York |Datum=2005 |ISBN=3-540-21676-6 |Seiten=456-457 |DOI=10.1007/b137972}}</ref> oder im Falle eines stochastischen Prozesses einen [[w:de:Pfad (Stochastik)|Pfad]]. === Entstehung des Begriffs === Während früher der von [[w:de:Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow|A. N. Kolmogorow]] eingeführte Begriff ''zufällige Größe'' der übliche deutsche Begriff war, hat sich heute (ausgehend vom englischen ''random variable'') der etwas irreführende Begriff ''Zufallsvariable'' durchgesetzt.<ref>Jeff Miller: ''Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.'' Abschnitt [https://jeff560.tripod.com/r.html R].</ref> === Motivation des formalen Begriffs === Die Funktionswerte <math>X(\omega)</math> einer Zufallsvariablen <math>X</math> sind abhängig von einer den Zufall repräsentierenden Größe <math>\omega</math>. Zum Beispiel kann <math>\omega</math> das zufällige [[w:de:Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] eines Münzwurfs sein. Dann kann zum Beispiel eine Wette auf den Ausgang eines [[w:de:Münzwurf|Münzwurf]]s mithilfe einer Zufallsvariablen modelliert werden. Angenommen, es wurde auf Zahl gewettet, und wenn richtig gewettet wurde, wird 1 EUR ausgezahlt, sonst nichts. == Definition - Zufallsvariable == Als Zufallsvariable bezeichnet man eine [[w:de:messbare Funktion|messbare Funktion]] von einem [[w:de:Wahrscheinlichkeitsraum|Wahrscheinlichkeitsraum]] in einen [[w:de:Messraum (Mathematik)|Messraum]]. Eine formale mathematische Definition lässt sich wie folgt geben:<ref>Karl Hinderer: ''Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie.'' Springer, Berlin 1980, ISBN 3-540-07309-4 (nicht überprüft)</ref> : Es seien <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega',\mathcal{S}')</math> ein Messraum. Eine <math>(\mathcal{S},\mathcal{S}')</math>-messbare Funktion <math>X\colon\Omega\to\Omega'</math> heißt dann eine <math>\Omega'</math>-Zufallsvariable auf <math>\Omega</math>. === Bemerkung - Bezeichung Zufallsvariable === Die Bezeichnung ''Zufallsvariable'' wird gewählt, weil der Wert von <math>X</math> vom Zufall und der Durchführung eines [[w:de:Zufallsexperiment|Zufallsexperimentes]] abhängt. Abbildung <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> ordnet dann einem zufälligen Ergebnis (z.B. <math>\omega = (2,5)\in \Omega</math> bei zweimaligen Würfelwurd) einen reellen Wert <math>X(\omega) = X(2,5) = 7 \in \mathbb{R}</math> zu. Die Zufallsvariable nennt man mit Wertbereiche insbesondere eine [[w:de:Zufallsvariable#Reelle Zufallsvariable|reelle Zufallsvariable]]. == Definition - reelle Zufallsvariable == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> eine [[Messraum]] und <math>(\mathbb{R},\mathcal{B})</math> die Menge der reellen Zahlen mit der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]]-<math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]]. Eine <math>\mathcal{S}</math>-<math>\mathcal{B}</math>-[[messbare Abbildung]] <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nennt man Zufallsvariable. === Zufallsvariable - Augensumme === Sei <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> die Auszahlungssumme bei einem zweimaligen Münzwurf. Dabei ist :<math> \Omega := \{1,2,3,4,5,6\} \times \{1,2,3,4,5,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}^2 </math> und <math>\mathcal{S}=\wp(\Omega)</math> die [[w:de:Potenzmenge|Potenzmenge]] von <math>\Omega</math> mit <math>X(\omega_1,\omega_2) = \omega_1 + \omega_2</math>. <span id="Zufallsvektor"></span> == Definition - reeller Zufallsvektor == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> eine [[Messraum]] und <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}^n)</math> der reelle <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\mathbb{R}^n</math> mit der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]]-<math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}^n</math>. Eine <math>\mathcal{S}</math>-<math>\mathcal{B}^n</math>-[[messbare Abbildung]] <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n</math> nennt man reellen Zufallsvektor. === Messwerte - Schadstoffe === Bei einer Probenentnahme <math>\omega\in\Omega</math> wird die Probe auf die 3 verschiedene Schadstoffe über überprüft. * <math>X_k : \Omega \to \mathbb{R}</math> gibt die Menge der Chemikalie <math>k</math> an, die in der Probe enthalten ist. * <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^3</math> mit <math>X(\omega)=(X_1(\omega),X_2(\omega),X_3(\omega))</math> ist ein Zufallsvektor. * <math>X(\omega)=(130,50,35)</math> bedeutet, dass die Probe <math>\omega</math> <math>130</math> Einheiten des Schadstoffes '''1''' enthält und <math>50</math> bzw. <math>35</math> Einheiten des Schadstoffes 2 und 3. <span id="Zufallsfolge"></span> == Definition - reeller Zufallsfolge == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> eine [[Messraum]] und <math>V\subset \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der Teilmenge des Raumes der reellen Zahlenfolgen mit einer Topologie <math>\mathcal{T}</math> und <math>\mathcal{B}(\mathcal{T})</math> die [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]]-<math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] auf <math>V</math>. Eine <math>\mathcal{S}</math>-<math>\mathcal{B}(\mathcal{T})</math>-[[messbare Abbildung]] <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> nennt man reelle Zufallsfolge. === Abbauprozess - radioaktives Material === Man betrachtet hier einen zufälligen Zerfallsprozess von radioaktivem Material. Man betrachtet dann die [[Folgenräume|Nullfolgen]] in <math>\mathbb{R}</math>. <math>X_n(\omega)</math> gibt dann die Menge des strahlenden Materials zum Zeitpunkt <math>n\in \mathbb{N}</math> an. Der [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Raum der Nullfolgen]] wird mit der Supremumsnorm [[Normen, Metriken, Topologie|topologisiert]] und man erhält damit eine Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf dem Raum der [[Folgenräume|reellwertigen Nullfolgen]] <math>c_o(\mathbb{R})</math>: :<math> (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \in c_o(\mathbb{R}) \,\,\, \,\,\, \,\,\, \|(x_n)_{n\in\mathbb{N}} \|_\infty := \sup_{n\in\mathbb{N}} |x_n| </math> Bei Zerfallsprozessen nimmt man dann an, dass die Folge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}} \in c_o(\mathbb{R})</math> eine Nullfolge ist. == Beispiel - reellwertige Zufallsgrößen == In der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] werden zunächst reellwertige Zufallsgröße behandelt. Die folgenden Abschnitte zeigen ausgewählte Beispiele. === Beispiel: Zweimaliger Würfelwurf === Summe von zwei Würfeln:<math>(\Omega,\mathcal{S},P) \xrightarrow{S} (\Omega',\mathcal{S}', P^S)</math>. [[Datei:Twodice.svg|350px|Summe von zwei Würfeln]] ==== Experiment mit 2 fairen Würfeln - Laplaceverteilung ==== Das Experiment, mit einem fairen Würfel zweimal zu würfeln, lässt sich mit folgendem Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> modellieren: * <math>\Omega</math> ist die Menge der 36 möglichen Ergebnisse <math>\Omega=\{(1,1), (1,2), \dotsc, (6,5), (6,6)\}</math> * <math>\mathcal{S}</math> ist die [[w:de:Potenzmenge|Potenzmenge]] von <math>\Omega</math> * Will man zwei unabhängige Würfe mit einem fairen Würfel modellieren, so setzt man alle 36 Ergebnisse gleich wahrscheinlich, wählt also das [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> als <math>P\left(\{(n_1,n_2)\}\right) = \tfrac {1}{36}</math> für <math>n_1, n_2 \in \{1,2,3,4,5,6\}</math>. ==== Definition von Zufallsgrößen ==== Die Zufallsvariablen <math>X_1</math> (gewürfelte Zahl des ersten Würfels), <math>X_2</math> (gewürfelte Zahl des zweiten Würfels) und <math>S</math> (Augensumme des ersten und zweiten Würfels) werden als folgende Funktionen definiert: * <math>X_1\colon \Omega \to \mathbb{R};\quad\left(n_1,n_2\right) \mapsto n_1,</math> * <math>X_2\colon \Omega \to \mathbb{R};\quad\left(n_1,n_2\right) \mapsto n_2,</math> und * <math>X\colon \Omega \to \mathbb{R};\quad\left(n_1,n_2\right) \mapsto n_1+n_2,</math> wobei für <math>\mathcal{S}'</math> die [[w:de:borelsche σ-Algebra|borelsche σ-Algebra]] auf den reellen Zahlen gewählt wird. === Bemerkung - Angabe des Messräume === Oft wird auf die konkrete Angabe der zugehörigen Räume verzichtet; es wird angenommen, dass aus dem Kontext klar ist, welcher Wahrscheinlichkeitsraum auf <math>\Omega</math> und welcher <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\Omega</math> gemeint ist. Im Zweifel sollte man den zugehörigen Messraum angeben. === Bemerkung - Sigma-Algebra bei endlicher Ergebnismenge === Bei einer endlichen Ergebnismenge <math>\Omega</math> wird <math>\Sigma</math> meistens als die Potenzmenge von <math>\Omega</math> gewählt. Die Forderung, dass die verwendete Funktion messbar ist, ist dann immer erfüllt. === Bemerkung - Sigma-Algebra bei überabzählbarer Ergebnismenge === Messbarkeit wird erst wirklich bedeutsam, wenn die Ergebnismenge <math>\Omega</math> [[w:de:Abzählbarkeit|überabzählbar]] viele Elemente enthält. Dies ist bei Maßen auf den reellen Zahlen der Fall. ==== Einmaliger Münzwurf - Ergebnisraum ==== So bildet die Menge der Wurfergebnisse von einem Münzwurf die Ergebnismenge <math>\Omega_1 := \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\} </math>, während das zusammengesetzte Experiment des zweimaligen Münzwurfes die Ergebnismenge <math>\Omega := \Omega_1 \times \Omega_1 = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}^2 </math> ist. ==== Zusammengesetztes Ergebnis - zweimaliger Münzwurf ==== Die Menge der möglichen Auszahlungsbeträge im zusammengesetzten Experiment is <math>\{0, 1, 2\}</math>: :<math>X(\omega_1,\omega_2) = \begin{cases} 0, & \text{wenn }\omega_1 = \text{Kopf} \text{ und }\omega_2 = \text{Kopf},\\ 1, & \text{entweder }\omega_1 = \text{Zahl} \text{ oder } \omega_2 = \text{Zahl}.\\ 2, & \text{wenn }\omega_1 = \text{Zahl} \text{ und }\omega_2 = \text{Zahl},\\ \end{cases}</math> ==== Ergebnisraum des Zufallsexperimentes ==== <math>\Omega := \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}^2</math> nennt als Menge aller Ergebnisse eine Zufallsexperimentes ''Ergebnisraum''. Besteht das Wettet man bei zwei Münzwürfen beide Male auf Kopf und bezeichnet die Kombination der Ausgänge der Münzwürfe mit <math>\omega=\left(\omega_1,\omega_2\right)</math>, so lassen sich beispielsweise folgende Zufallsvariablen untersuchen: * <math>X_1(\omega) := X(\omega_1) \in\{0,1\}</math> als Auszahlung nach der ersten Wette, * <math>X_2(\omega) := X(\omega_2) \in\{0,1\}</math> als Auszahlung nach der zweiten Wette, * <math>X(\omega) := X(\omega_1) + X(\omega_2) \in\{0,1,2\}</math> als Summe der beiden Auszahlungen. ==== Bezeichnungen ==== Zufallsvariablen<!--das ist der hier verwendete fachsprachliche Plural--> selbst werden üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet (hier <math>X_1, X_2, X</math>), während man für die Realisierungen die entsprechenden Kleinbuchstaben verwendet (so beispielsweise für <math>\omega=\left(\text{Zahl},\text{Kopf}\right)</math> die Realisierungen <math>x_1 = 1</math>, <math>x_2=0</math>, <math>s=1</math>). === Bedeutung des Ergebnisraumes === Im Beispiel sind die Mengen <math>\Omega = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\times \{\text{Kopf}, \text{Zahl}</math> und <math>\Omega_1 = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}</math> eine konkrete Interpretation. In der weiteren Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es oft zweckmäßig, die Elemente von <math>\Omega</math> als Repräsentanten des Zufalls zu betrachten und die Verteilungsannahmen für die induzierte Verteilung z.B. auf die reellen Zahlen zu ohne ihnen eine konkrete Bedeutung zuzuweisen, und dann sämtliche zu modellierende Zufallsvorgänge als Zufallsvariable zu erfassen. == Klassen von Zufallsvariablen == Einige Klassen von Zufallsvariablen mit bestimmten Wahrscheinlichkeits- und Messräumen werden besonders häufig verwendet (z.B. die [[w:de:Borelsche_σ-Algebra|Borelsche_σ-Algebra]] auf den reellen Zahlen). Diese werden teilweise mit Hilfe alternativer Definitionen eingeführt, die keine Kenntnisse der Maßtheorie voraussetzen: === Reelle Zufallsvariable === Bei reellen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge <math>\mathbb{R}</math> der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] versehen mit der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|borelschen <math>\sigma</math>-Algebra]]. Die allgemeine Definition von Zufallsvariablen lässt sich in diesem Fall zur folgenden Definition vereinfachen: ==== Definition - reelle Zufallsvariable ==== Eine reelle Zufallsvariable ist eine Funktion <math>X\colon\Omega\to\mathbb{R}</math>, die jedem Ergebnis <math>\omega</math> aus einer [[w:de:Ergebnismenge|Ergebnismenge]] <math>\Omega</math> eine reelle Zahl <math>X(\omega)</math> zuordnet und die folgende Messbarkeitsbedingung erfüllt: :<math>\forall x \in \mathbb{R}:\ \lbrace \omega \mid X(\omega) \leq x \rbrace \in \mathcal{S}</math> ==== Bemerkung zur Definition ==== Die Definition bedeutet, dass die Menge aller Ergebnisse, deren Realisierung unterhalb eines bestimmten Wertes liegt, ein Ereignis bilden muss. ==== Bezug zum Beispiel Würfelwurf ==== Im Beispiel des zweimaligen Würfelns sind <math>X_1</math>, <math>X_2</math> und <math>S</math> jeweils reelle Zufallsvariablen. === Mehrdimensionale Zufallsvariable === {{Hauptartikel|Zufallsvektor}} Eine mehrdimensionale Zufallsvariable ist eine messbare Abbildung <math>X\colon\Omega\to\mathbb{R}^n</math> für eine Dimension <math>n\in\mathbb N</math>. Sie wird auch als Zufallsvektor bezeichnet. Damit ist <math>X=(X_1,\dotsc,X_n)</math> gleichzeitig ein Vektor von einzelnen reellen Zufallsvariablen <math>X_i\colon\Omega\to\mathbb{R}</math>, die alle auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. ==== Multivariate Verteilung ==== Die Verteilung von <math>X</math> wird als [[w:de:Multivariate Verteilung|multivariat]] bezeichnet, die Verteilungen der Komponenten <math>X_i</math> nennt man auch [[w:de:Randverteilung|Randverteilung]]en. Die mehrdimensionalen Entsprechungen von Erwartungswert und Varianz sind der [[w:de:Erwartungswertvektor|Erwartungswertvektor]] und die [[w:de:Kovarianzmatrix|Kovarianzmatrix]]. ==== Beispiel diskrete multivariate Verteilung ==== Im diskreten Fall kann als Beispiel der zweimalige Würfelwurf mit <math>X=(X_1,X_2)</math> als eine zweidimensionale Zufallsvariable angesehen werden. ==== Beispiel stetige multivariate Verteilung ==== Im stetigen Fall kann als Beispiel des Dartwurf auf ein rechteckiges Brett mit einem Koordinatensystem angesehen werden. Dabei steht omega für einen Wurf <math>X(\omega)=(X_1(\omega),X_2(\omega))=(x,y)</math>, die die Einstichstelle <math>(x,y)</math> des Wurfel <math> <math>\omega</math> als zweidimensionale Zufallsvariable auf dem Brett angibt. === Unterschied - Zufallsvektoren - Wahrscheinlichkeitsvektoren === [[Zufallsvektor|Zufallsvektoren]] sollten nicht mit [[w:de:Wahrscheinlichkeitsvektor|Wahrscheinlichkeitsvektoren]] (auch stochastische Vektoren genannt) verwechselt werden. Ein [[Zufallsvektor]] <math>X:\Omega \to \mathbb{R}^n</math> von einem [[Ergebnisraum]] <math>\Omega</math> auf <math> \mathbb{R}^n </math> an, während ein [[w:de:Wahrscheinlichkeitsvektor|Wahrscheinlichkeitsvektor]] <math>(p_1,\ldots ,p_n) \in [0,1]^n</math> nicht-negative Komponenten <math>p_k</math> besitzt und die Komponentensumme 1 ergibt. Sie beschreiben die Wahrscheinlichkeitsmaße auf Mengen mit <math> n </math> Elementen. === Komplexe Zufallsvariable === Bei komplexen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge <math>\mathbb C</math> der [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] versehen mit der durch die kanonische Vektorraumisomorphie zwischen <math>\mathbb C</math> und <math>\mathbb{R}^2</math> „geerbten“ borelschen σ-Algebra. <math>X</math> ist genau dann eine Zufallsvariable, wenn Realteil <math>\operatorname{Re}(X)</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(X)</math> jeweils reelle Zufallsvariablen sind. === Numerische oder erweiterte Zufallsvariable === {{Hauptartikel|Erweiterte Zufallsvariable}} Der Begriff ''Zufallsvariable'' ohne weitere Charakterisierung bedeutet meistens – und fast immer in anwendungsnahen Darstellungen – ''reelle Zufallsvariable''. Zur Unterscheidung von einer solchen wird eine Zufallsvariable mit Werten in den [[w:de:Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R} \cup \{-\infty, \infty\}</math> als '''numerische Zufallsvariable'''<ref name="LdM">{{Literatur | Titel=Lexikon der Mathematik |Verlag= Springer Spektrum |Hrsg=Guido Walz |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53499-1 |Band=Band 4 (Moo bis Sch)|Seiten=98}}</ref> – entsprechend der Terminologie der [[w:de:Numerische Funktion|numerischen Funktion]] – oder als '''erweiterte Zufallsvariable'''<ref name="LdM"/> (engl. ''extended random variable''<ref>{{Literatur |Autor=Galen R. Shorack | Titel=Probability for Statisticians |Reihe=Springer Texts in Statistics |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2017 |ISBN=978-3-319-52206-7 |DOI=10.1007/978-3-319-52207-4| Seiten=35}}</ref>) bezeichnet. Es gibt aber auch eine abweichende Terminologie, bei der ''Zufallsvariable'' eine numerische Zufallsvariable bezeichnet und eine reelle Zufallsvariable immer als solche bezeichnet wird.<ref>{{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |Auflage=2.,durchgesehene Auflage |Seiten=194}}</ref> == Die Verteilung von Zufallsvariablen, Existenz == Eng verknüpft mit dem eher technischen Begriff einer Zufallsvariablen ist der Begriff der auf dem Bildraum von <math>X\;</math> induzierten [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]]. Mitunter werden beide Begriffe auch synonym verwendet. === Induzierte Verteilung - Bildmaß === Formal wird die Verteilung <math>\;P^X</math> einer Zufallsvariablen <math>X\;</math> als das [[w:de:Bildmaß|Bildmaß]] des Wahrscheinlichkeitsmaßes <math>P\;</math> definiert, also :<math>\;P^X (A) = P \left(X^{-1}(A)\right)</math> für alle <math> A \in \Sigma'</math>, wobei <math>\Sigma'</math> die auf dem Bildraum der Zufallsvariable <math>X</math> gegebene σ-Algebra ist. === Alternative Notation in der Literatur === Statt <math>\;P^X</math> werden in der Literatur für die Verteilung von <math>X\;</math> auch die Schreibweisen <math>P_X</math> oder <math>P \circ X^{-1}</math> verwendet. === Beispiel - Induzierte Verteilung === Spricht man also beispielsweise von einer normalverteilten Zufallsvariablen, so ist damit eine Zufallsvariable mit Werten in den reellen Zahlen gemeint, deren Verteilung einer [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] entspricht. === Eigenschaften von induzierten Veteilungen === Eigenschaften, welche sich allein über gemeinsame Verteilungen von Zufallsvariablen ausdrücken lassen, werden auch ''wahrscheinlichkeitstheoretisch'' genannt.<ref> Loève: ''Probability Theory.'' 4. Auflage. Band 1, Springer 1977, ISBN 0-387-90210-4, S. 172f. </ref> Für Behandlung solcher Eigenschaften ist es nicht notwendig, die konkrete Gestalt des (Hintergrund-)[[w:de:Wahrscheinlichkeitsraum|Wahrscheinlichkeitsraumes]] zu kennen, auf dem die Zufallsvariablen definiert sind. === Bedeutung der Verteilung auf Omega === Häufig wird deswegen z.B. von einer reellen Zufallsvariablen <math>X : \Omega \to \mathbb{R}</math> lediglich die Verteilungsfunktion angegeben und der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \mathcal{S},P)</math> offen gelassen. === Existenz einer Verteilung auf Omega 1 === Obwohl man in der Regel nur mit der induzierten Verteilung arbeitet, ist dennoch notwendig zu klären, dass zumindest ein <math>(\Omega, \mathcal{S},P)</math>, das die durch Zufallsvariablen <math>X </math> induzierte Verteilung generieren kann. === Existenz einer Verteilung auf Omega 2=== Ein solcher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> lässt sich aber zu einer konkreten Verteilung leicht angeben, indem beispielsweise <math>\Omega=\mathbb{R}</math>, <math>\mathcal{S}</math> als die Borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen und <math>P</math> als das durch die Verteilungsfunktion induzierte [[w:de:Lebesgue-Stieltjes-Maß|Lebesgue-Stieltjes-Maß]] gewählt wird. Als Zufallsvariable <math> X</math> kann dann z.B. die [[w:de:identische Abbildung|identische Abbildung]] <math>X \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> mit <math>X(\omega) = \omega</math> gewählt werden.<ref>Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, Definition 5.6.2.</ref> === Familien von Zufallsvariablen === Wenn eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] von Zufallsvariablen betrachtet wird, reicht es aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Perspektive genauso, die gemeinsame Verteilung <!-- endlicher Unterfamilien, um genau zu sein --> der Zufallsvariablen anzugeben, die Gestalt des Wahrscheinlichkeitsraums kann wiederum offen gelassen werden. ==== Zugehörigkeit zu einer Familie von Zufallsvariablen ==== Die Frage nach der konkreten Gestalt des Wahrscheinlichkeitsraumes tritt also in den Hintergrund, es ist jedoch von Interesse, ob zu einer Familie von Zufallsvariablen mit vorgegebenen endlichdimensionalen gemeinsamen Verteilungen ein Wahrscheinlichkeitsraum existiert, auf dem sie sich gemeinsam definieren lassen. Diese Frage wird für unabhängige Zufallsvariablen durch einen Existenzsatz von [[w:de:Émile Borel|É. Borel]] gelöst, der besagt, dass man im Prinzip auf den von Einheitsintervall und Lebesgue-Maß gebildeten Wahrscheinlichkeitsraum zurückgreifen kann. ==== Beweisidee von Borel ==== Ein möglicher Beweis nutzt, dass sich die binären Nachkommastellen der reellen Zahlen in [0,1] als ineinander verschachtelte [[w:de:Bernoulli-Prozess|Bernoulli-Folgen]] betrachten lassen (ähnlich [[w:de:Hilberts Hotel|Hilberts Hotel]]).<ref>Olav Kallenberg: ''Foundations of Modern Probability.'' 2. Ausgabe. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95313-2, S. 55.</ref> == Mathematische Attribute für Zufallsvariablen == Verschiedene mathematische Attribute, die in der Regel denen für allgemeine Funktionen entlehnt sind, finden bei Zufallsvariablen Anwendung. Die häufigsten werden in der folgenden Zusammenstellung kurz erklärt: === Diskret === Eine Zufallsvariable wird als [[w:de:diskret|diskret]] bezeichnet, wenn sie nur [[w:de:Endliche Menge|endlich viele]] oder [[w:de:Abzählbarkeit|abzählbar unendlich viele]] Werte annimmt oder etwas allgemeiner, wenn ihre Verteilung eine [[w:de:diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]] ist.<ref>{{Literatur |Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler |Titel=Stochastik |TitelErg=Theorie und Anwendungen |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg New York |Datum=2005 |ISBN=3-540-21676-6 |Seiten=90 |DOI=10.1007/b137972}}</ref> Im obigen Beispiel des zweimaligen Würfelns sind alle drei Zufallsvariablen <math>X_1</math>, <math>X_2</math> und <math>S</math> diskret. Ein weiteres Beispiel für diskrete Zufallsvariablen sind [[w:de:Zufällige Permutation|zufällige Permutationen]]. === Konstant === Eine Zufallsvariable wird als [[w:de:Konstante Funktion|konstant]] bezeichnet, wenn sie nur einen Wert annimmt: <math>X(\omega)=c</math> für alle <math>\omega</math>. Sie ist ein Spezialfall einer diskreten Zufallsvariable. Es gilt :<math>X(\omega)=c\;\forall \omega\in \Omega\implies P(X=c)=1</math> die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Eine Zufallsvariable die nur die rechte Seite erfüllt, heißt ''[[w:de:fast sicher|fast sicher]] konstant''. === Unabhängig === {{Hauptartikel|Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen}} Zwei reelle Zufallsvariablen <math>X,Y</math> heißen unabhängig, wenn für je zwei Intervalle <math>[a_1,b_1]</math> und <math>[a_2,b_2]</math> die Ereignisse <math>E_X := \{ \omega | X(\omega) \in [a_1,b_1] \}</math> und <math>E_Y := \{ \omega | Y(\omega) \in [a_2,b_2] \}</math> [[w:de:Stochastisch unabhängige Ereignisse|stochastisch unabhängig]] sind. Das sind sie, wenn gilt: <math>P(E_X \cap E_Y ) = P(E_X) P(E_Y)</math>. In obigem Beispiel sind <math>X_1</math> und <math>X_2</math> unabhängig voneinander; die Zufallsvariablen <math>X_1</math> und <math>S</math> hingegen nicht. Unabhängigkeit mehrerer Zufallsvariablen <math>X_1, X_2, \dotsc, X_n</math> bedeutet, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P_X</math> des Zufallsvektors <math>X=\left(X_1, X_2, \dotsc, X_n\right)</math> dem [[w:de:Produktmaß|Produktmaß]] der Wahrscheinlichkeitsmaße der Komponenten, also dem Produktmaß von <math>P_{X_1}, P_{X_2}, \dotsc, P_{X_n}</math> entspricht.<ref>Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3 (Definition 5.8.1)</ref> So lässt sich beispielsweise dreimaliges unabhängiges Würfeln durch den Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\Sigma,P)</math> mit :<math>\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}^3</math>, :<math>\Sigma</math> der Potenzmenge von <math>\Omega</math> und :<math>P\left(\left(n_1, n_2, n_3\right)\right)=\frac{1}{6^3}=\frac{1}{216}</math> modellieren; die Zufallsvariable "Ergebnis des <math>k</math>-ten Wurfes" ist dann :<math>X_k\left(n_1, n_2, n_3\right)=n_k</math> für <math>k\in\{1,2,3\}</math>. Die Konstruktion eines entsprechenden Wahrscheinlichkeitsraums für eine beliebige Familie unabhängiger Zufallsvariable mit gegebenen Verteilungen ist ebenfalls möglich.<ref>Klaus D. Schmidt: ''Maß und Wahrscheinlichkeit.'' Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, Kapitel 11.4.</ref> === Identisch verteilt === Zwei oder mehr Zufallsvariablen heißen identisch verteilt (bzw. ''i.d. für identically distributed''), wenn ihre [[w:de:#Die Verteilung von Zufallsvariablen, Existenz|induzierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] gleich sind. In Beispiel des zweimaligen Würfelns sind <math>X_1</math>, <math>X_2</math> identisch verteilt; die Zufallsvariablen <math>X_1</math> und <math>S</math> hingegen nicht. === Unabhängig und identisch verteilt === {{Hauptartikel|Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen}} Häufig werden [[w:de:Folge (Mathematik)|Folgen]] von Zufallsvariablen untersucht, die sowohl unabhängig als auch identisch verteilt sind; demnach spricht man von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen, üblicherweise mit ''u.i.v.'' bzw. ''i.i.d.'' (für ''independent and identically distributed'') abgekürzt. In obigem Beispiel des dreimaligen Würfelns sind <math>X_1</math>, <math>X_2</math> und <math>X_3</math> i.i.d. Die Summe der ersten beiden Würfe <math>S_{1,2}=X_1+X_2</math> und die Summe des zweiten und dritten Wurfs <math>S_{2,3}=X_2+X_3</math> sind zwar identisch verteilt, aber nicht unabhängig. Dagegen sind <math>S_{1,2}</math> und <math>X_3</math> unabhängig, aber nicht identisch verteilt. === Austauschbar === [[w:de:Austauschbare Familie von Zufallsvariablen|Austauschbare Familien von Zufallsvariablen]] sind Familien, deren Verteilung sich nicht ändert, wenn man endlich viele Zufallsvariablen in der Familie vertauscht. Austauschbare Familien sind stets identisch verteilt, aber nicht notwendigerweise unabhängig. == Mathematische Attribute für reelle Zufallsvariablen == === Kenngrößen === Zur Charakterisierung von Zufallsvariablen dienen einige wenige Funktionen, die wesentliche mathematische Eigenschaften der jeweiligen Zufallsvariable beschreiben. Die wichtigste dieser Funktionen ist die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]], die Auskunft darüber gibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert bis zu einer vorgegebenen Schranke annimmt, beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine Vier zu würfeln. Bei stetigen Zufallsvariablen wird diese durch die [[w:de:Dichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]] ergänzt, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, dass die Werte einer Zufallsvariablen innerhalb eines bestimmten [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervalls]] liegen. Des Weiteren sind Kennzahlen wie der [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]], die [[w:de:Varianz (Stochastik)|Varianz]] oder höhere mathematische [[w:de:Moment (Stochastik)|Momente]] von Interesse. === Stetig oder kontinuierlich === Das Attribut [[w:de:Stetige Funktion|stetig]] wird für unterschiedliche Eigenschaften verwendet. :* Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig (oder auch absolut stetig) bezeichnet, wenn sie eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichte|Dichte]] besitzt (ihre Verteilung [[w:de:Absolut stetiges Maß|absolutstetig]] bezüglich des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]]es ist).<ref>[[w:de:Marek Fisz|Marek Fisz]]: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.'' 11. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, Definition 2.3.3.</ref> :* Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine stetige [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] besitzt.<ref>Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, S. 210.</ref> Insbesondere bedeutet das, dass <math>P(\{X=x\})=0</math> für alle <math>x\in\mathbb{R}</math> gilt. === Messbarkeit, Verteilungsfunktion und Erwartungswert === Wenn eine reelle Zufallsvariable <math>X</math> auf dem Ergebnisraum <math>\Omega</math> und eine messbare Funktion <math>g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gegeben ist, dann ist auch <math>Y = g(X)</math> eine Zufallsvariable auf demselben Ergebnisraum, da die Verknüpfung messbarer Funktionen wieder messbar ist. <math>g(X)</math> wird auch als ''Transformation'' der Zufallsvariablen <math>X</math> unter <math>g</math> bezeichnet. Die gleiche Methode, mit der man von einem Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> nach <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}),P^X)</math> gelangt, kann benutzt werden, um die Verteilung von <math>Y</math> zu erhalten. Die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] von <math>Y</math> lautet :<math>F_Y(y) = \operatorname{P}(g(X) \leq y)</math>. Der [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] einer [[w:de:Quasiintegrierbare Zufallsvariable|quasi-integrierbaren]] Zufallsgröße <math>X</math> von <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> nach <math>(\bar{\mathbb{R}}, \mathcal{B}(\bar{\mathbb{R}}))</math> berechnet sich folgend: :<math>\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X(\omega)\mathrm{d}P(\omega)\,</math>. === Integrierbar und quasi-integrierbar === Eine Zufallsvariable heißt [[w:de:Lebesgue-Integral|integrierbar]], wenn der [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] der Zufallsvariable existiert und endlich ist. Die Zufallsvariable heißt [[w:de:Quasiintegrierbare Zufallsvariable|quasi-integrierbar]], wenn der Erwartungswert existiert, möglicherweise aber unendlich ist. Jede integrierbare Zufallsvariable ist folglich auch quasi-integrierbar. === Beispiel === Es sei <math>X</math> eine reelle stetig verteilte Zufallsvariable und <math>Y = X^2</math>. Dann ist :<math>F_Y(y) = \operatorname{P}(X^2 \leq y).</math> Fallunterscheidung nach <math>y</math>: <math>y<0:</math> :<math> \begin{alignat}{2} & & \operatorname P(X^2 \leq y) &= 0\\ & \Rightarrow & F_Y(y) &= 0 \end{alignat} </math> <math>y\geq 0:</math> :<math> \begin{alignat}{2} & & \operatorname P\left(X^2\leq y\right) &=\operatorname P\left(|X|\leq\sqrt y\right)\\ & & &= \operatorname P\left(-\sqrt y\leq X\leq\sqrt y\right)\\ &\Rightarrow & F_Y\left(y\right) &= F_X\left(\sqrt y\right) - F_X\left(-\sqrt y\right) \end{alignat} </math> === Gegenbeispiel - Cauchy-Verteilung === Für die [[Cauchy-Verteilung]] gibt es einen Wert <math>\mu</math>, der bei der symmetrischen [[Cauchy-Verteilung]] wie bei [[Normalverteilung]] mit <math>\mu</math> als [[Glockenkurve]] eine Achsensymmetrie der [[w:de:Dichtefunktion|Dichtefunktion]] darstellt. Im Gegensatz zur Normalverteilung existiert der [[Erwartungswert]] bei der [[Cauchy-Verteilung]] nicht. === Standardisierung === Eine Zufallsvariable nennt man standardisiert, wenn ihr [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] 0 und ihre [[w:de:Varianz (Stochastik)|Varianz]] 1 ist. Die Transformation einer Zufallsvariable <math>Y</math> in eine standardisierte Zufallsvariable :<math>Z=\frac{Y-\operatorname{E}(Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}}</math> bezeichnet man als Standardisierung der Zufallsvariable <math>Y</math>. == Sonstiges == * Zeitlich zusammenhängende Zufallsvariablen können auch als [[w:de:stochastischer Prozess|stochastischer Prozess]] aufgefasst werden * Eine Folge von Realisierungen einer Zufallsvariable nennt man auch [[w:de:Zufallssequenz|Zufallssequenz]] * Eine Zufallsvariable <math>X\colon \Omega \to \mathbb{R}^n</math> erzeugt eine σ-Algebra <math>\mathcal{F}_X(\mathcal{B}):=\{X^{-1}(B)|B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\}</math>, wobei <math>\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche σ-Algebra]] des <math>\mathbb{R}^n</math> ist. == Literatur == * [[w:de:Karl Hinderer|Karl Hinderer]]: ''Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie.'' Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 1980, ISBN 3-540-07309-4. * Erich Härtter: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler.'' Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9. * [[w:de:Michel Loève|Michel Loève]]: ''Probability Theory I.'' 4. Auflage. Springer, 1977, ISBN 0-387-90210-4. == Weblinks == [[b:de:Statistik: Zufallsvariablen|Wikibuch - Zufallsvariablen]] [[b:de:Statistik: Funktionen von Zufallsvariablen|Funktionen von Zufallsvariablen]] == Einzelnachweise == <references> <ref name="Bewersdorff2012"> {{Literatur |Autor=[[w:de:Jörg Bewersdorff|Jörg Bewersdorff]] |Titel=Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel - Methoden, Ergebnisse und Grenzen |Auflage=6. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2012 |ISBN=978-3-8348-1923-9 |Seiten=39 |Online={{Google Buch |BuchID=aC0gBAAAQBAJ |Seite=39}} |DOI=10.1007/978-3-8348-2319-9}} </ref> </references> == Siehe auch == * [[Cauchy-Verteilung]] * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Ergebnis (Stochastik)]] * [[Ereignis (Stochastik)]] * [[Folgenräume]] * [[messbare Abbildung]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zufallsvariable&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zufallsvariable&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zufallsvariable&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zufallsvariable&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable https://de.wikiversity.org/wiki/Zufallsvariable] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Zufallsvariable Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Zufallsvariable * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Zufallsvariable&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zufallsvariable&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; ===Wikipedia2Wikiversity=== Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable Zufallsvariable] https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable * Datum: 30.1.2023 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zufallsvariable| ]] [[Kategorie:Statistischer Grundbegriff]] 697txx9z4fwnqw1qhyo337a1v7xrmkj 106 167013 1117255 1114494 2026-10-21T09:12:11Z Paul Sutermeister 37610 Priorität indirekte Rede 1117255 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (erstellt von [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 2 Lektionen à 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]]</small>[[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 17./18. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 24./25. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''' (Satzglieder sind nicht prüfungsrelevant): <small>Prädikat, Subjekt, Adverbial, [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt|Objekt]]</small> || Seiten 10-14 |- | 31. August / 1. September || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]]</small> → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 7./8. September || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 14./15. September || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 21./22. September || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:</br>Vier gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten (nicht Wortschatz) 2) Rechtschreibung, 3) Satzbau, 4) Satzzeichen.</small> || |- | 12./13. Oktober || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Adressatenorientierung|Adressatenorientierung]]</small>, '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]]''' || |- | 19./20. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 26./27. Oktober || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]]''' → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]]''' || Seiten 66-69 |- | 2./3. November || Indirekte Rede → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Protokoll|Protokoll]]''' || Seiten 66-69 |- | 9./10. November || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 16./17. November || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 23./24. November || Alte Diplomprüfung als Repetition für Textproduktion || |- | 30. November / 1. Dezember || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''Modus → Indirekte Rede → Protokoll''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br><!--2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>-->2. Aufgabe '''GESCHÄFTSBRIEF:''' Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl. Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 7./8. Dezember 2026 || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | '''14./15. Dezember 2026''' || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small>; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | <span style="color:red;">'''4./5. Januar 2027'''</span> || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: closed book, siehe Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (nur Duden erlaubt)<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] qhg4qn2qwppz02ekbwpt75d2x2q9e3a 106 170572 1117251 1108528 2026-10-21T06:21:45Z Bocardodarapti 2041 1117251 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|Aussagen}} {{:Aussagen/Elementare Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Verknüpfungen von Aussagen}} {{:Aussagen/Verknüpfungen/Elementare Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Aussagenvariablen und Junktoren}} {{:Aussagen/Variablen und Junktoren/Elementare_Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Tautologien}} {{:Aussagen/Tautologien/Elementare_Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} kwh1bh2bv6md6wyt9srvushuopo500o 0 172731 1117252 1116007 2026-10-21T08:00:03Z Bocardodarapti 2041 1117252 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ Abbildung/display |name= \delta |\Z^m | \Z || |SZ= }} die Standardgraduierung und {{ Abbildung/display |name=d | \Z^m | D || |SZ= }} mit {{math|term= D |SZ=}} endlich. Es ist {{ Relationskette/display | L_c || {{Mengebed| \nu \in \N^m| d( \nu) {{=}} c }} || || || |SZ= }} ein reflexiver Rang eins Modul über dem Invariantenring {{ Relationskette | L_0 || R || || || |SZ=. }} Die allgemeine Formel für die kumulative Hilbertfunktion von {{math|term= L_c |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | A_c(N) || {{op:Anzahl| {{Mengebed|\nu| d(\nu) {{=}} c | {{op:Betrag| \nu|}} \leq N }} }} || || || |SZ=. }} Für jedes {{math|term= n |SZ=}} verteilt sich der Wert {{math|term= h(n) |SZ=}} der Hilbertfunktion des Polynomringens auf endlich viele {{math|term= c |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | h(n) || \sum_{c \in D} {{op:Anzahl| {{Mengebed| \nu | d(\nu) {{=}} c | {{op:Betrag| \nu|}} {{=}} n }} }} || || || |SZ=. }} Es ist für den Polynomring {{ Relationskette/display | h (n) || {{op:Binomialkoeffizient|n+m-1|m-1}} || \alpha_{m-1} n^{m-1} + \alpha_{m-2} n^{m-2} {{plusdots}} \alpha_1 n+ \alpha_{0} || || |SZ= }} die nichtkumulative Hilbertfunktion für {{ Relationskette | n | \geq| 0 || || || |SZ=. }} Wir betrachten die starke Bedingung, dass {{math|term= c |SZ=}} durch {{math|term= \delta |SZ=}} faktorisiert. Dann ist, für die Moduln {{mathl|term= L_d |SZ=}} zu {{ Relationskette | d | \in | D || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | h_{L_d} (n) || \begin{cases} h (n), \text{ falls } c(n) {{=}} d \, ,\\ 0 \text{ sonst} . \end{cases} || || || |SZ= }} Die Summe von {{math|term= 0 |SZ=}} bis {{math|term= N |SZ=}} ist dann für die einzelnen Koeffizienten {{ Math/display|term= \alpha_i \sum_{ n \in \{1 {{kommadots|}} N\}, \, c(n) {{=}} d } n^i |SZ=. }} Es gibt die Beschreibung {{ Relationskette/display | A_c(N) || \sum_\zeta P_{c, \zeta } (N) \zeta^N || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \zeta |SZ=}} durch die Einheitswurzeln, die für {{math|term= D |SZ=}} relevant sind, läuft, und {{mathl|term= P_{c, \zeta } |SZ=}} Polynome sind. Eventuell direkt mit der erzeugenden Funktion arbeiten, die man als {{ Relationskette/display | F_c(t) || {{op:Bruch|1| {{op:Betrag|D|}} (1-t) }} \sum_{\chi \in {{op:Charakterdual|D|}} } {{op:Bruch| {{op:Komplexe Konjugation| \chi (c) }} | \prod_{i {{=}} 1}^m {{makl| 1 - \chi {{makl| d {{makl| e_i |}} |}} t |}} |}} || || || |SZ= }} schreiben kann. {{ inputbeispiel |A_1-Singularität/Hilbertfunktion/Aufteilung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Auflösung/Standardgraduierung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Grad 3/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Dreidimensional/Auflösung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} bfnzl77a12j33h981ztpk7egtzr2dbt 1117253 1117252 2026-10-21T08:30:00Z Bocardodarapti 2041 1117253 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ Abbildung/display |name= \delta |\Z^m | \Z || |SZ= }} die Standardgraduierung und {{ Abbildung/display |name=d | \Z^m | D || |SZ= }} mit {{math|term= D |SZ=}} endlich. 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Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] sb0klmffamk5jgf4193mqsp4ida6mgp 1117198 1117197 2026-10-20T14:50:18Z Bert Niehaus 20843 1117198 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] 2pavlctwjt3afs7gagagjvz1ed91a1g 1117199 1117198 2026-10-20T14:54:05Z Bert Niehaus 20843 /* Potenzreihe eine Polynoms */ 1117199 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{-k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] jxliejb82i5qbjfax36yruc58254cxb 1117211 1117199 2026-10-20T15:01:55Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1117211 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{-k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] tvq8eu0gs2ya5ksz72mcxbx1ihrb1fj 1117220 1117211 2026-10-20T15:10:42Z Bert Niehaus 20843 /* Beispielrechnung für Anwendung */ 1117220 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{-k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Normalisierte Konstante === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] gdk7r74exei56gx1z0t048i6gragqzf 1117221 1117220 2026-10-20T15:18:54Z Bert Niehaus 20843 /* Beispielrechnung für Anwendung */ 1117221 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{-k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> <math> </math> == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] mh8fippnpsdmj148ncb4qmmxknqkg24 1117223 1117221 2026-10-20T15:36:33Z Bert Niehaus 20843 /* Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung */ 1117223 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{-k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(1)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die geometrische Reihe zu Bestimmung von einer komplexen Wurzel für <math>z^{-3}</math> konvergiert. === Abbruchbedingung für das Nullstellenverfahren === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> besteht noch aus 3 Summanden. Als Abbruchbedingung für die Lösbarkeit gibt es aber die zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0 </math>. Daher wird das Nullstellenverfahren weiter fortgesetzt. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> Mit der Umformung erhält man eine Nullstellenformulierung für das Polynom: <math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}4\cdot z^1 - \frac{10}{9}+\frac{1}{2} </math> == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] 44srpin5m5ardz2tj8ek3gkbeg29lf1 1117226 1117223 2026-10-20T15:52:13Z Bert Niehaus 20843 /* Lösung der Gleichung für Betragsungleichung */ 1117226 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{-k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(1)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die geometrische Reihe zu Bestimmung von einer komplexen Wurzel für <math>z^{-3}</math> konvergiert. === Abbruchbedingung für das Nullstellenverfahren === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> besteht noch aus 3 Summanden. Als Abbruchbedingung für die Lösbarkeit gibt es aber die zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0 </math>. Daher wird das Nullstellenverfahren weiter fortgesetzt. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 2=== Mit der Umformung erhält man eine Nullstellenformulierung für das Polynom: <math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{10}{9}+\frac{1}{2} </math> Man erhält also eine Nullstellengleichung, die man wieder in Inversengleichung umformulieren möchte: :<math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{11}{18} </math> === Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2=== Durch Multiplikation mit <math>\tfrac{18}{11}</math> erhält man wieder als Konstante <math>-1</math> für das Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)} = \tfrac{18}{11}\cdot q</math>, die durch ausklammern von <math>z</math> eine Inversendarstellung erlaubt. Diese lautet: :<math> 1 = p^{(2)}(z) \cdot z = \left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)\cdot z^1 </math> == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] 65izuh2svzbbvw3i35j0oc7tlhik2sa 1117227 1117226 2026-10-20T15:55:56Z Bert Niehaus 20843 /* Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2 */ 1117227 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{-k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(1)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die geometrische Reihe zu Bestimmung von einer komplexen Wurzel für <math>z^{-3}</math> konvergiert. === Abbruchbedingung für das Nullstellenverfahren === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> besteht noch aus 3 Summanden. Als Abbruchbedingung für die Lösbarkeit gibt es aber die zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0 </math>. Daher wird das Nullstellenverfahren weiter fortgesetzt. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 2=== Mit der Umformung erhält man eine Nullstellenformulierung für das Polynom: <math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{10}{9}+\frac{1}{2} </math> Man erhält also eine Nullstellengleichung, die man wieder in Inversengleichung umformulieren möchte: :<math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{11}{18} </math> === Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2=== Durch Multiplikation mit <math>\tfrac{18}{11}</math> erhält man wieder als Konstante <math>-1</math> für das Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)} = \tfrac{18}{11}\cdot q</math>, die durch ausklammern von <math>z</math> eine Inversendarstellung erlaubt. Diese lautet: :<math> 1 = p^{(2)}(z) \cdot z = \left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)\cdot z^1 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(2)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zu Bestimmung von dem Kehrwert von <math>z^{-1}</math> konvergiert. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] qmgjez0oi9789k6nyvfbqximdladfjc 1117228 1117227 2026-10-20T15:56:48Z Bert Niehaus 20843 /* Lösung der Gleichung für Betragsungleichung */ 1117228 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{-k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(1)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die geometrische Reihe zu Bestimmung von einer komplexen Wurzel für <math>z^{-3}</math> konvergiert. === Abbruchbedingung für das Nullstellenverfahren === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> besteht noch aus 3 Summanden. Als Abbruchbedingung für die Lösbarkeit gibt es aber die zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0 </math>. Daher wird das Nullstellenverfahren weiter fortgesetzt. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 1 === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 2=== Mit der Umformung erhält man eine Nullstellenformulierung für das Polynom: <math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{10}{9}+\frac{1}{2} </math> Man erhält also eine Nullstellengleichung, die man wieder in Inversengleichung umformulieren möchte: :<math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{11}{18} </math> === Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2=== Durch Multiplikation mit <math>\tfrac{18}{11}</math> erhält man wieder als Konstante <math>-1</math> für das Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)} = \tfrac{18}{11}\cdot q</math>, die durch ausklammern von <math>z</math> eine Inversendarstellung erlaubt. Diese lautet: :<math> 1 = p^{(2)}(z) \cdot z = \left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)\cdot z^1 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(2)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zu Bestimmung von dem Kehrwert von <math>z^{-1}</math> konvergiert. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] iigagtiwd0w49582jcnw89uvww0quud 1117229 1117228 2026-10-20T15:58:30Z Bert Niehaus 20843 /* Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2 */ 1117229 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{-k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(1)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die geometrische Reihe zu Bestimmung von einer komplexen Wurzel für <math>z^{-3}</math> konvergiert. === Abbruchbedingung für das Nullstellenverfahren === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> besteht noch aus 3 Summanden. Als Abbruchbedingung für die Lösbarkeit gibt es aber die zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0 </math>. Daher wird das Nullstellenverfahren weiter fortgesetzt. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 1 === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 2=== Mit der Umformung erhält man eine Nullstellenformulierung für das Polynom: <math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{10}{9}+\frac{1}{2} </math> Man erhält also eine Nullstellengleichung, die man wieder in Inversengleichung umformulieren möchte: :<math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{11}{18} </math> === Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2=== Durch Multiplikation mit <math>\tfrac{18}{11}</math> erhält man wieder als Konstante <math>-1</math> für das Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)} = \tfrac{18}{11}\cdot q</math>, die durch ausklammern von <math>z</math> eine Inversendarstellung erlaubt. Diese lautet: :<math> 1 = p^{(2)}(z) \cdot z = \left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)\cdot z^1 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(2)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zu Bestimmung von dem Kehrwert von <math>z^{-1}</math> konvergiert. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 2 === Das Polynom <math>p^{(2)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] o8ade0lhce2inutll3dd98a8rp9jubb 1117230 1117229 2026-10-20T15:59:27Z Bert Niehaus 20843 /* Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 2 */ 1117230 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{-k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(1)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die geometrische Reihe zu Bestimmung von einer komplexen Wurzel für <math>z^{-3}</math> konvergiert. === Abbruchbedingung für das Nullstellenverfahren === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> besteht noch aus 3 Summanden. Als Abbruchbedingung für die Lösbarkeit gibt es aber die zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0 </math>. Daher wird das Nullstellenverfahren weiter fortgesetzt. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 1 === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 2=== Mit der Umformung erhält man eine Nullstellenformulierung für das Polynom: <math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{10}{9}+\frac{1}{2} </math> Man erhält also eine Nullstellengleichung, die man wieder in Inversengleichung umformulieren möchte: :<math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{11}{18} </math> === Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2=== Durch Multiplikation mit <math>\tfrac{18}{11}</math> erhält man wieder als Konstante <math>-1</math> für das Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)} = \tfrac{18}{11}\cdot q</math>, die durch ausklammern von <math>z</math> eine Inversendarstellung erlaubt. Diese lautet: :<math> 1 = p^{(2)}(z) \cdot z = \left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)\cdot z^1 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(2)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zu Bestimmung von dem Kehrwert von <math>z^{-1}</math> konvergiert. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 2 === Das Polynom <math>p^{(2)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(2)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(2)}(z)} </math> == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] 02a6afhrux1f6e83mktwq9vaixbe807 1117231 1117230 2026-10-20T16:00:27Z Bert Niehaus 20843 /* Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 2 */ 1117231 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{-k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(1)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die geometrische Reihe zu Bestimmung von einer komplexen Wurzel für <math>z^{-3}</math> konvergiert. === Abbruchbedingung für das Nullstellenverfahren === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> besteht noch aus 3 Summanden. Als Abbruchbedingung für die Lösbarkeit gibt es aber die zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0 </math>. Daher wird das Nullstellenverfahren weiter fortgesetzt. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 1 === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 2=== Mit der Umformung erhält man eine Nullstellenformulierung für das Polynom: <math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{10}{9}+\frac{1}{2} </math> Man erhält also eine Nullstellengleichung, die man wieder in Inversengleichung umformulieren möchte: :<math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{11}{18} </math> === Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2=== Durch Multiplikation mit <math>\tfrac{18}{11}</math> erhält man wieder als Konstante <math>-1</math> für das Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)} = \tfrac{18}{11}\cdot q</math>, die durch ausklammern von <math>z</math> eine Inversendarstellung erlaubt. Diese lautet: :<math> 1 = p^{(2)}(z) \cdot z = \left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)\cdot z^1 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(2)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zu Bestimmung von dem Kehrwert von <math>z^{-1}</math> konvergiert. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 2 === Das Polynom <math>p^{(2)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(2)}(z) = 1- \underbrace{\left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)}_{=p^{(2)}(z)} </math> Dies liefert die Nullstellengleichung: == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] g8ap4fndk3aal2ezsa4h5lnvfae59c8 1117232 1117231 2026-10-20T16:01:14Z Bert Niehaus 20843 /* Normalisierte Konstante */ 1117232 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{-k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}^{(1)}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(1)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die geometrische Reihe zu Bestimmung von einer komplexen Wurzel für <math>z^{-3}</math> konvergiert. === Abbruchbedingung für das Nullstellenverfahren === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> besteht noch aus 3 Summanden. Als Abbruchbedingung für die Lösbarkeit gibt es aber die zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0 </math>. Daher wird das Nullstellenverfahren weiter fortgesetzt. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 1 === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 2=== Mit der Umformung erhält man eine Nullstellenformulierung für das Polynom: <math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{10}{9}+\frac{1}{2} </math> Man erhält also eine Nullstellengleichung, die man wieder in Inversengleichung umformulieren möchte: :<math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{11}{18} </math> === Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2=== Durch Multiplikation mit <math>\tfrac{18}{11}</math> erhält man wieder als Konstante <math>-1</math> für das Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)} = \tfrac{18}{11}\cdot q</math>, die durch ausklammern von <math>z</math> eine Inversendarstellung erlaubt. Diese lautet: :<math> 1 = p^{(2)}(z) \cdot z = \left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)\cdot z^1 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(2)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zu Bestimmung von dem Kehrwert von <math>z^{-1}</math> konvergiert. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 2 === Das Polynom <math>p^{(2)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(2)}(z) = 1- \underbrace{\left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)}_{=p^{(2)}(z)} </math> Dies liefert die Nullstellengleichung: == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] i0613m0q140xed920yt0vv06xn2cszv 1117234 1117232 2026-10-20T16:06:25Z Bert Niehaus 20843 /* Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 2 */ 1117234 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{-k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}^{(1)}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(1)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die geometrische Reihe zu Bestimmung von einer komplexen Wurzel für <math>z^{-3}</math> konvergiert. === Abbruchbedingung für das Nullstellenverfahren === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> besteht noch aus 3 Summanden. Als Abbruchbedingung für die Lösbarkeit gibt es aber die zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0 </math>. Daher wird das Nullstellenverfahren weiter fortgesetzt. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 1 === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 2=== Mit der Umformung erhält man eine Nullstellenformulierung für das Polynom: <math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{10}{9}+\frac{1}{2} </math> Man erhält also eine Nullstellengleichung, die man wieder in Inversengleichung umformulieren möchte: :<math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{11}{18} </math> === Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2=== Durch Multiplikation mit <math>\tfrac{18}{11}</math> erhält man wieder als Konstante <math>-1</math> für das Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)} = \tfrac{18}{11}\cdot q</math>, die durch ausklammern von <math>z</math> eine Inversendarstellung erlaubt. Diese lautet: :<math> 1 = p^{(2)}(z) \cdot z = \left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)\cdot z^1 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(2)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zu Bestimmung von dem Kehrwert von <math>z^{-1}</math> konvergiert. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 2 === Das Polynom <math>p^{(2)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(3)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(2)}(z) = 1- \underbrace{\left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)}_{=p^{(2)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3=== Der vorherige Schritt liefert die Nullstellengleichung: :<math> 0 = q^{(3)}(z)= \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11} +\frac{1}{2} = \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{2}{22} </math> Nun kann man <math>z</math> auflösen und man erhält mit den [[komplexe Wurzeln|komplexen Wurzeln]] 4 Lösungen für die Gleichung in <math>\mathbb{C}</math>. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] t0fzcpd54vg9s5iageqvk9a22oeyn8c 1117235 1117234 2026-10-20T16:08:19Z Bert Niehaus 20843 /* Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3 */ 1117235 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{-k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{-k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}^{(1)}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(1)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die geometrische Reihe zu Bestimmung von einer komplexen Wurzel für <math>z^{-3}</math> konvergiert. === Abbruchbedingung für das Nullstellenverfahren === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> besteht noch aus 3 Summanden. Als Abbruchbedingung für die Lösbarkeit gibt es aber die zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0 </math>. Daher wird das Nullstellenverfahren weiter fortgesetzt. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 1 === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 2=== Mit der Umformung erhält man eine Nullstellenformulierung für das Polynom: <math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{10}{9}+\frac{1}{2} </math> Man erhält also eine Nullstellengleichung, die man wieder in Inversengleichung umformulieren möchte: :<math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{11}{18} </math> === Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2=== Durch Multiplikation mit <math>\tfrac{18}{11}</math> erhält man wieder als Konstante <math>-1</math> für das Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)} = \tfrac{18}{11}\cdot q</math>, die durch ausklammern von <math>z</math> eine Inversendarstellung erlaubt. Diese lautet: :<math> 1 = p^{(2)}(z) \cdot z = \left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)\cdot z^1 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(2)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zu Bestimmung von dem Kehrwert von <math>z^{-1}</math> konvergiert. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 2 === Das Polynom <math>p^{(2)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(3)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(2)}(z) = 1- \underbrace{\left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)}_{=p^{(2)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3=== Der vorherige Schritt liefert die Nullstellengleichung: :<math> 0 = q^{(3)}(z)= \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11} +\frac{1}{2} = \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{2}{22} </math> Nun kann man <math>z</math> auflösen und man erhält mit den [[komplexe Wurzeln|komplexen Wurzeln]] 4 Lösungen für die Gleichung in <math>\mathbb{C}</math>. === Lösung der Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3=== Die Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3 lautet: :<math> z^4 = = \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{2}{22} </math> Die 4 Lösungen der Nullstellengleichungen sind: == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] 8a926ez53uatpp2lfq64u1gki79rtb9 1117260 1117235 2026-10-21T10:21:26Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration */ 1117260 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{-k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}^{(1)}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(1)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die geometrische Reihe zu Bestimmung von einer komplexen Wurzel für <math>z^{-3}</math> konvergiert. === Abbruchbedingung für das Nullstellenverfahren === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> besteht noch aus 3 Summanden. Als Abbruchbedingung für die Lösbarkeit gibt es aber die zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0 </math>. Daher wird das Nullstellenverfahren weiter fortgesetzt. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 1 === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 2=== Mit der Umformung erhält man eine Nullstellenformulierung für das Polynom: <math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{10}{9}+\frac{1}{2} </math> Man erhält also eine Nullstellengleichung, die man wieder in Inversengleichung umformulieren möchte: :<math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{11}{18} </math> === Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2=== Durch Multiplikation mit <math>\tfrac{18}{11}</math> erhält man wieder als Konstante <math>-1</math> für das Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)} = \tfrac{18}{11}\cdot q</math>, die durch ausklammern von <math>z</math> eine Inversendarstellung erlaubt. Diese lautet: :<math> 1 = p^{(2)}(z) \cdot z = \left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)\cdot z^1 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(2)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zu Bestimmung von dem Kehrwert von <math>z^{-1}</math> konvergiert. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 2 === Das Polynom <math>p^{(2)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(3)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(2)}(z) = 1- \underbrace{\left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)}_{=p^{(2)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3=== Der vorherige Schritt liefert die Nullstellengleichung: :<math> 0 = q^{(3)}(z)= \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11} +\frac{1}{2} = \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{2}{22} </math> Nun kann man <math>z</math> auflösen und man erhält mit den [[komplexe Wurzeln|komplexen Wurzeln]] 4 Lösungen für die Gleichung in <math>\mathbb{C}</math>. === Lösung der Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3=== Die Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3 lautet: :<math> z^4 = = \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{2}{22} </math> Die 4 Lösungen der Nullstellengleichungen sind: == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] k9t5fubo41z36p0okodqjl8zukhiuag 1117261 1117260 2026-10-21T10:22:30Z Bert Niehaus 20843 /* Potenzreihe eine Polynoms */ 1117261 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{-k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{-k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{-k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}^{(1)}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(1)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die geometrische Reihe zu Bestimmung von einer komplexen Wurzel für <math>z^{-3}</math> konvergiert. === Abbruchbedingung für das Nullstellenverfahren === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> besteht noch aus 3 Summanden. Als Abbruchbedingung für die Lösbarkeit gibt es aber die zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0 </math>. Daher wird das Nullstellenverfahren weiter fortgesetzt. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 1 === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 2=== Mit der Umformung erhält man eine Nullstellenformulierung für das Polynom: <math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{10}{9}+\frac{1}{2} </math> Man erhält also eine Nullstellengleichung, die man wieder in Inversengleichung umformulieren möchte: :<math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{11}{18} </math> === Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2=== Durch Multiplikation mit <math>\tfrac{18}{11}</math> erhält man wieder als Konstante <math>-1</math> für das Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)} = \tfrac{18}{11}\cdot q</math>, die durch ausklammern von <math>z</math> eine Inversendarstellung erlaubt. Diese lautet: :<math> 1 = p^{(2)}(z) \cdot z = \left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)\cdot z^1 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(2)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zu Bestimmung von dem Kehrwert von <math>z^{-1}</math> konvergiert. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 2 === Das Polynom <math>p^{(2)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(3)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(2)}(z) = 1- \underbrace{\left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)}_{=p^{(2)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3=== Der vorherige Schritt liefert die Nullstellengleichung: :<math> 0 = q^{(3)}(z)= \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11} +\frac{1}{2} = \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{2}{22} </math> Nun kann man <math>z</math> auflösen und man erhält mit den [[komplexe Wurzeln|komplexen Wurzeln]] 4 Lösungen für die Gleichung in <math>\mathbb{C}</math>. === Lösung der Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3=== Die Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3 lautet: :<math> z^4 = = \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{2}{22} </math> Die 4 Lösungen der Nullstellengleichungen sind: == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] 19ydtct6qosr0w05a15t7jgfj9yulp7 1117262 1117261 2026-10-21T10:24:32Z Bert Niehaus 20843 /* 2. iterative Anwendung des Satzes */ 1117262 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}^{(1)}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(1)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die geometrische Reihe zu Bestimmung von einer komplexen Wurzel für <math>z^{-3}</math> konvergiert. === Abbruchbedingung für das Nullstellenverfahren === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> besteht noch aus 3 Summanden. Als Abbruchbedingung für die Lösbarkeit gibt es aber die zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0 </math>. Daher wird das Nullstellenverfahren weiter fortgesetzt. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 1 === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 2=== Mit der Umformung erhält man eine Nullstellenformulierung für das Polynom: <math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{10}{9}+\frac{1}{2} </math> Man erhält also eine Nullstellengleichung, die man wieder in Inversengleichung umformulieren möchte: :<math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{11}{18} </math> === Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2=== Durch Multiplikation mit <math>\tfrac{18}{11}</math> erhält man wieder als Konstante <math>-1</math> für das Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)} = \tfrac{18}{11}\cdot q</math>, die durch ausklammern von <math>z</math> eine Inversendarstellung erlaubt. Diese lautet: :<math> 1 = p^{(2)}(z) \cdot z = \left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)\cdot z^1 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(2)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zu Bestimmung von dem Kehrwert von <math>z^{-1}</math> konvergiert. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 2 === Das Polynom <math>p^{(2)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(3)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(2)}(z) = 1- \underbrace{\left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)}_{=p^{(2)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3=== Der vorherige Schritt liefert die Nullstellengleichung: :<math> 0 = q^{(3)}(z)= \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11} +\frac{1}{2} = \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{2}{22} </math> Nun kann man <math>z</math> auflösen und man erhält mit den [[komplexe Wurzeln|komplexen Wurzeln]] 4 Lösungen für die Gleichung in <math>\mathbb{C}</math>. === Lösung der Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3=== Die Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3 lautet: :<math> z^4 = = \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{2}{22} </math> Die 4 Lösungen der Nullstellengleichungen sind: == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] qfn45wlchr5zn9j3g2lndmdcp9hd6o3 1117263 1117262 2026-10-21T10:25:20Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexe Wurzeln als Lösung */ 1117263 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}^{(1)}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(1)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die geometrische Reihe zu Bestimmung von einer komplexen Wurzel für <math>z^{-3}</math> konvergiert. === Abbruchbedingung für das Nullstellenverfahren === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> besteht noch aus 3 Summanden. Als Abbruchbedingung für die Lösbarkeit gibt es aber die zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0 </math>. Daher wird das Nullstellenverfahren weiter fortgesetzt. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 1 === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 2=== Mit der Umformung erhält man eine Nullstellenformulierung für das Polynom: <math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{10}{9}+\frac{1}{2} </math> Man erhält also eine Nullstellengleichung, die man wieder in Inversengleichung umformulieren möchte: :<math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{11}{18} </math> === Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2=== Durch Multiplikation mit <math>\tfrac{18}{11}</math> erhält man wieder als Konstante <math>-1</math> für das Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)} = \tfrac{18}{11}\cdot q</math>, die durch ausklammern von <math>z</math> eine Inversendarstellung erlaubt. Diese lautet: :<math> 1 = p^{(2)}(z) \cdot z = \left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)\cdot z^1 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(2)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zu Bestimmung von dem Kehrwert von <math>z^{-1}</math> konvergiert. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 2 === Das Polynom <math>p^{(2)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(3)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(2)}(z) = 1- \underbrace{\left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)}_{=p^{(2)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3=== Der vorherige Schritt liefert die Nullstellengleichung: :<math> 0 = q^{(3)}(z)= \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11} +\frac{1}{2} = \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{2}{22} </math> Nun kann man <math>z</math> auflösen und man erhält mit den [[komplexe Wurzeln|komplexen Wurzeln]] 4 Lösungen für die Gleichung in <math>\mathbb{C}</math>. === Lösung der Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3=== Die Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3 lautet: :<math> z^4 = = \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{2}{22} </math> Die 4 Lösungen der Nullstellengleichungen sind: == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] 08wqdplbmeamqx9uoc3cqiysflk9x5r 1117264 1117263 2026-10-21T10:26:52Z Bert Niehaus 20843 /* Lösung der Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3 */ 1117264 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit geht es zunächst um die Bestimmung des multiplikativ inversen Elementes <math>z\in A</math> in einer gegebenen normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math>. Das inverse Element <math>b\in B</math> aus eine Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist in diesem einfache Fall zunächst einmal die [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] der Algebra <math>A</math>. Man geht also von der [[Norm (Mathematik)|normierten]] topologischen [[topologische Algebra|Algebra]] zu der [[Banachalgebra]] über. === Vervollständigung als mathematisches Prinzip === Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe geht man von Gleichungen aus, die man in einem Zahlbereich <math>\mathbb{A}</math> aus und stellt fest, dass diese Gleichung in diesem Zahlbereicht nicht lösbar ist. Man erweitert den [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereich]] dann zu <math>\mathbb{B}</math>, in dem die Gleichung dann lösbar ist. Als Beispiel kann man die rationalen Zahlen <math>\mathbb{A}:=\mathbb{Q}</math> nennen, in der die Gleichung <math>z^2 = 3 </math> nicht lösbar ist, man erweitert dann den Zahlbereich durch [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] zu den reellen Zahlen <math>\mathbb{B}:=\mathbb{R}</math> und in dieser Menge existiert eine Lösung <math>z=\sqrt{3}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>. === Bemerkung 1 - Inverse durch geometrische Reihe === Die Inversenbestimmung in Algebraerweiterungen zu <math>z\in A</math> wird in diesem einführenden Beispiel davon abhängen, dass <math>\|z\| < 1 </math> ist. Diese Voraussetzung ist im dem vorgestellt Beweis notwendig, damit man ein [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zur Erzeugung von einer [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math>, die in einer vervollständigten [[Banachalgebra]] <math>B\supseteq A</math> konvergent ist. Der Grenzwert <math>a_o := \lim_{n\to\infty} a_n \in B</math> der konvergenten Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann dazu verwendet ein inverses Element <math>b\in B</math> zu bestimmen. === Bemerkung 2 - Inverse in Algebraerweiterung === Das Vorgehen wird in der Lehrveranstaltung zu topologischen Invertierbarkeitskriterien als Einstieg verwendet, um die Suche nach Inversen in [[Algebraerweiterung|Algebraerweiterungen]] von beliebigen [[Klassen von topologischen Algebren]] genauer zu untersuchen bzw. topologische Eigenschaften zu identifizieren, die eine Invertierbarkeit verhindern (siehe [[permanentsinguläre Elemente]]). === Zusammenhang - Potenzreihen und Inverse === In dieser Lerneinheit geht es um die Existenz multiplikativer Inverser in normierten Algebren bzw. Banachalgebren mittels Potenzreihen. In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] im Kontext von topologischen Invertierbarkeitskriterien ist die Frage nach der Existenz eines multiplikativen Inversen einer Element <math> a </math> von zentraler Bedeutung. ==== Inverse in Algebraerweiterung ==== Ein Element <math> a \in A</math> in einer Algebra <math> A </math> hat ein multiplikatives Inverses in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>B</math>, wenn es ein <math> b \in B </math> gibt mit: :<math> a \cdot b = b \cdot a = e </math> (wobei <math> e\in A </math> das Einselement der Algebra sowowjhl ist). ==== Submultiplikative Norm ==== In normierten [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] (also insbesondere [[Banachalgebra|Banachalgebren]] als vollständige normierte Algebren) kann die Topologie durch eine submultiplkative Norm mit <math> \|a_1\cdot a_2\|_A \leq \|a_1\|_A \cdot\|a_2\|_A </math> erzeugt werden, wobei diese auch für die Norm der Algebraerweiterung <math> \|\cdot\|_B </math> mit <math> \|b_1\cdot b_2\|_B \leq \|b_1\|_B \cdot\|b_2\|_B </math> für <math>A\subset B</math> für alle <math>b_1,b_2\in B</math> gelten muss. Bei [[Algebraerweiterung]]en muss die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \|\cdot\|_B </math> eingeschränkt auf die Teilmenge <math>A</math> eine [[Normenäquivalenzsatz|äquivalente Norm]] auf <math>A</math> sein (siehe [[Normenäquivalenzsatz]]). ==== Abstand vom neutralen Element der Multiplikation ==== Ziel wird es nun sein, dass man die Existenz von Inversen durch Potenzreihen nachweist, wobei der Abstand des Elementes <math>a\in A</math> zum neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math> durch 1 beschränkt sein muss. Genauer gesagt: : Wenn <math> \|a - e\| < 1 </math> gilt, besitzt <math>a\in A</math> eine inverses Element in <math>b\in B</math> in der [[Vollständigkeit|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math>. === Vorbereitungen - Banachalgebren - Vervollständigung === Zu einer gegebenen normierten Algebra <math>A</math> bildet man die Klassen von [[Cauchy-Folgen]]. Da normierte Räume auf metrische Räume sind, kann man jeden normierten Raum <math>A</math> [[Vervollständigungssatz für metrische Räume|isometrisch]] zu einer [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> vervollständigen (siehe [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]]). Zentral wird es in dem folgenden [[Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen]] sein, dass das algebraische und topologische Vorgehen bei der Inversebildung erläutert wird. Die Konvergenz bei erzeugten [[Cauchy-Folgen]] erhält man durch den [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigungssatz]]. <span id="Satz"></span> == Satz zu multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Sei <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) </math> eine unitale normierte Algebra mit Norm <math> \|\cdot\|_{_A} </math> mit Einselement <math> e\in A </math>. Für jedes <math> z \in A </math> mit <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> existiert in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|isometrischen Vervollständigung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) </math> ein multiplikatives Inverse von <math> a = e - z \in A</math>, und es gilt: :<math> a^{-1} = (e - z)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty z^n </math> Die darstellende Reihe <math>a^{-1}\in B</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> B </math> von <math>A</math> bezüglich der Norm <math> \|\cdot\|_{_B} </math>. == Beweis - multiplikativen Inversen mit geometrischen Reihen == Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * als Grundraum <math>B</math> für das gesuchte inverse Element für <math>a=e-z</math> verwendet man die Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. * [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] für die Reihe <math> \sum_{k=0}^\infty z^k</math> nachweisen und * man muss dann noch zeigen, dass die Reihe das inverve Element von <math>e-z</math> ist. === Schritt 1 - Absolut konvergente Reihe === Man betrachte die folgende Reihe <math display="text">\sum_{k=0}^\infty z^k</math> mit <math>\|z\|_{_A}< 1 </math> und man muss nachweisen, dass die folgende Eigenschaft der absoluten Konvergenz gilt: :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k < \infty </math> In einem vollständigen Raum <math>B\supseteq A</math> existiert dann auch der Grenzwert der Reihe bzw. der Norm <math>\|\cdot \|_{_B}</math>. === Schritt 2 - Partialsummenfolge === Man betrachtet zuerst die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>A</math> mit: :<math> s_n:= \sum_{k=0}^n z^k \in A </math> Die Partialsummen sind Elemente von <math>A</math>, da diese aus endlichen multiplikativen (<math>z^n=z\cdot \ldots \cdot z</math>) und additiven Verknüpfungen bestehen. Erst im Grenzwertübergang von <math>n\to\infty</math> wird die [[Vollständigkeit]] benötigt. === Schritt 3 - Abschätzung der Partialsummen === Über die Anwendung der [[Norm (Mathematik)|Dreiecksungleichung]] (DUG) und der Submultiplikativität der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (SMN) mit <math> \|z_1\cdot z_2 \|_{_A} \leq \|z_1\|_{_A} \cdot \|z_2\|_{_A} </math> gilt folgende Ungleichung: :<math> \|s_n\|_{_A} = \left\|\sum_{k=0}^n z^k \right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k </math> Da <math> \|z\|_{_A} < 1 </math>, ist <math> \sum_{n=0}^\infty \|z\|_{_A}^n </math> eine [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] in den reellen Zahl <math>\mathbb{R}</math>. === Schritt 4 - Grenzwertübergang in den reellen Zahl === Bei dem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> ist für den rechten Term in der Ungleichungskette aus Schritt 3 möglich, da es sich um eine Reihe in den reellen Zahl handelt und <math>\mathbb{R}</math> vollständig ist. :<math> \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \|z\|_{_A}^k = \lim_{n\to \infty} \frac{1-\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> Dabei ist <math>\lim_{n\to \infty} \|z\|_{_A}^{n+1} = 0</math>, weil <math> \|z\|_{_A} < 1 </math> gilt. === Schritt 5 - Grenzwertübergang in B === Beim Grenzwertübergang bleiben die Ungleichungen aus Schritt 3 und 4 erhalten. Man muss aber die Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> durch die isometrische [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot \|_{_B}</math> austauschen, da der <math>s_0:=\lim_{n\to \infty} s_n</math> ggf. nur in der [[Vervollständigungssatz für normierte Räume|Vervollständigung]] <math>B</math> von <math>A</math> enthalten ist und nicht in <math>A</math> selbst. Es gilt damit: :<math> \left\|\lim_{n\to\infty} s_n\right\|_{_B} = \left\|\sum_{k=0}^\infty z^k \right\|_{_B} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=0}^\infty \|z\|_{_A}^k = \frac{1}{1 - \|z\|_{_A}} < \infty </math> ==== Bemerkung zu Schritt 5 ==== Ab der Anwendung der Dreiecksungleichung (DUG) in der Ungleichungskette kann man wieder die isometrische Norm <math>\|\cdot \|_{_A}</math> verwende, da die Elemente <math>z^k , z</math> Elemente aus der Algebra <math>A</math> nach Voraussetzung sind. === Schritt 6 - Grenzwert des Restglieds der Reihe === Mit Schritt zeigt man nun, dass die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. Dafür betrachtet man zunächst das Restglied <math>r_n</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot\|_{_A}</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} r_n = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k}_{=r_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{\|z\|_{_A}^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = \frac{\underset{n\to \infty}{\lim} \big(\, \overbrace{\|z\|_{_A}}^{<1}\,\,\big)^{n+1}}{1 - \|z\|_{_A}} = 0 </math> Das Restglied <math>r_n</math> der Partialsummenfolge ist als Folge <math>(r_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> damit eine [[Folgenräume|Nullfolge]]. === Schritt 7 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Nun kann man die definierende Eigenschaft für [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchyfolgen in normierten Räumen]] überprüfen. Diese lautet für die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}</math> : :<math>\forall_{\varepsilon>0} \quad \exists_{n_\varepsilon \in\mathbb{N}} \quad \forall_{m,n \geq n_\varepsilon, \ m > n} \, \colon \quad \| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon</math> Ohne Einschränkung sei <math>m > n</math> gewählt. === Schritt 8 - Partialsummenfolge - Cauchy-Folge === Man berechnet nun die Differenz <math> s_m - s_n </math> als Argument der Norm <math> \| \cdot \|_{_A}</math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| s_m - s_n \|_{_A} & = & \displaystyle \left\| \sum_{k=n}^m z^k\right\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (DUG)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m \|z^k\|_{_A} \stackrel{\scriptscriptstyle (SMN)}{\leq} \ \sum_{k=n}^m {\underbrace{\|z\|_{_A}}_{\geq 0}}^k \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=n}^\infty \|z\|_{_A}^k \ = \ r_n \ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \ 0 \\ \end{array} </math> Da <math>(r_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Nullfolge ist, kann man den unteren Index <math>n_\varepsilon</math> in der [[Cauchy-Folgen#Norm|Cauchy-Folgen-Definition]] so wählen, dass <math>\| s_m - s_n \|_{_A} < \varepsilon </math> gilt. === Schritt 9 - Konvergente Folge in Vervollständigung === Damit ist insgesamt die Partialsummenfolge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] und eine konvergente Folge in der Vervollständigung <math>B</math> von <math>A</math>. Nun bleibt zu zeigen, dass die absolut konvergente Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty z^k</math> tatsächlich das inverse Element von <math>a:=e-z\in A</math> mit Einselement <math>e\in A</math> ist. === Schritt 10 - Element als Reihe definieren === Man definiert nun den Grenzwert der Reihe aus Schritt 9 als eine Element <math>b</math>, für das man <math>a\cdot b = b\cdot a = e</math> nachweisen muss. :<math> b := \sum_{k=0}^\infty z^k \in B </math> Dabei ist das Element <math>a:= e-z\in A</math> definiert. Es gilt <math>a\in A </math>, da <math>a</math> als Differenz von zwei Elementen aus der Algebra <math>A</math> gebildet wurde. === Schritt 11 - Produkt als Teleskopsumme === Für die Berechnung von <math>a\cdot b</math> setzt man die in Schritt 9 definierten Terme für <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> ein. :<math> \underbrace{(e - z)}_{=a} \cdot b = (e - z) \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty (e - z) \cdot z^k \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) </math> Dies ist eine Teleskopsumme, die bei Betrachtung der Partialsummen folgende Struktur besitzt: :<math> \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \big(z^k - z^{k+1}\big) = \lim_{n\to\infty} \big(\underbrace{z^0}_{=e} - z^{n+1}\big) = e - \underbrace{\lim_{n\to\infty} \big( z^{n+1}\big) }_{=0_{_A}} = e </math> === Schritt 12 - Produkt als Teleskopsumme === Analog kann man ebenfalls das Produkt <math>a\cdot b</math> mit vertauschten Faktoren berechnen, wobei wieder <math>a= e-z \in A</math> und <math>b\in B</math> aus Schritt 9 gewählt wurde. :<math> b\cdot \underbrace{(e - z)}_{=a} = \left( \sum_{k=0}^\infty z^k \right) \cdot (e - z) = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot (e - z) \ \stackrel{\scriptscriptstyle(PG)}{=}\ \sum_{k=0}^\infty (z^k - z^{k+1}) = e </math> Die rechte Reihe in der Gleichungskette ist wieder eine Teleskopsumme und liefert mit Schritt 11 wieder das neutrale Element der Multiplikation. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zum Beweis === Im Beweis wurde nicht vorausgesetzt, dass die Multiplikation in der [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] kommutativ ist. Dies kann man im Allgemeinen aucht nicht voraussetzen. Aus der Linearen Algebra kennen Sie z.B. Algebra der <math>n\times n</math>-Matrizen, die mit der euklischen Norm ein topologische Algebra bilden und die Matrixmultiplikation in der Menge der quadratischen Matrizen ist nicht kommutativ. == Anwendungen == In der komplexen Analysis kann man diesen Satz wie folgt anwenden. Ausgangspunkt ist die Nullstellengleichung eines Polynoms <math>q(z)=0</math> in den komplexen Zahlen. :<math> q(z)= \sum_{k=0}^n q_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q_0\neq 0</math> und <math>q_n\neq 0</math> als Polynom <math>n</math>-ten Grades mit <math>n > 1</math>. === Algebraische Umformung des Polynoms === Man wendet eine algebraische Umformung auf <math>q(z)</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q}(z):=\tfrac{q(z)}{-q_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p(z) := \sum_{k=0}^{n-1} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(1)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}(z) = \tfrac{1}{-q_0}\cdot q(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{q_k}{-q_0}}_{=p_{k-1}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_1}\cdot p^{(1)}(z) </math> === Produktdarstellung nach Umformung === Das transformierte Polynom <math display="text">p^{(1)}(z)=\sum_{k=0}^{n-1} p_k\cdot z^k=\sum_{k=0}^{n-1} \tfrac{q_{k+1}}{-q_0}\cdot z^k</math> erlaubt eine multiplikative Darstellung mit dem Einselement <math>e:=1\in\mathbb{C}</math> und <math>k_1\in \mathbb{N}</math> mit <math>1\leq k_1\leq n</math>: :<math> 1 = p^{(1)}(z) \cdot z^{k_1} </math> und man verwendet nun den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Satz über die Existenz eines multiplikativen Inversen]] mittels geometrischen Reihen auf ein Polynom in <math> \mathbb{C} </math> an. Der Index <math>(1)</math> deutet an, dass <math>p^{(1)}</math> das 1. interativ aus dem gegebenen <math>q</math> generierten Polynom ist. === Zielsetzung - Inverses Element und Nullstelle === Die Frage nach eine Nullstelle für das Polynom <math>q(z)</math> hängt algebraisch mit der Frage zusammen, für welches <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die komplexe Zahl <math>p(z)</math> multiplikativ inverses Element zu <math>z</math> ist. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existiert eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für <math>q(z_0)=\widetilde{q\,}(z_0)=0</math> bzw. <math>p^{(1)}(z_0)\cdot z_0 = 1</math>. Dabei liegt ein nicht-konstantes Polynom <math>q</math> vor, wobei <math>p^{(1)}_{n-1}=\tfrac{q_n}{-q_0} \neq 0</math> gilt und <math>q</math> bzw. <math>\widetilde{q\,}</math> nach Voraussetzung ein Polynom <math>n</math>-ten Grades ist. === Anwendung auf den Satz in den komplexen Zahlen === In diesem Fall ist die Algebra <math> (A,\|\cdot\|_{_A}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Da <math> (\mathbb{C},|\cdot|)</math> bereits [[Vollständigkeit|vollständig]] ist, ist auch die [[Algebraerweiterung]] <math> (B,\|\cdot\|_{_B}) := (\mathbb{C},|\cdot|)</math> wieder der [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] der komplexen Zahlen mit Einselment <math>1\in \mathbb{C}</math>. Der Satz wird auf Gleichungen der <math>p^{(j)}(z)\cdot z^{k_j} = 1</math> mit <math>k_j\in\{1,\ldots , n\}</math> angewendet. === Von Nullstellenbestimmung zur Inversenbestimmung === In der Ausgangsfragestellung ist eine Lösung <math>z_0\in\mathbb{C}</math> für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. Dabei wird die Lösbarkeit von <math>q(z)=0</math> in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> genau dann eine Lösung von <math>q(z)=0</math> ist, wenn <math> z_0</math> auch eine <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> ist. === Komplexe Wurzeln als Lösung === Die gesuchte Lösung <math>z\neq 0</math> ist dann eine Wurzel von <math>c=z^{k_1}= \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} \neq 0</math>. In den komplexen Zahlen gibt es für <math>k_1 > 1</math> genau <math>k_1</math> Lösungen für die Gleichung <math>c=z^{k_1}\neq 0</math>. === Definition der Elemente im Satz - 1. Iteration === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(1)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{k_1}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(1)}(z)\cdot z^{k_1} = 1</math> und <math> z^{k_1} = \tfrac{1}{p^{(1)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{k_1}</math> kennt, <math>z</math> eine der <math>k_1</math>-ten [[komplexe Wurzeln|Wurzel]] von <math>z</math> bzw. das multiplikative Inverse von <math>z</math> bei <math>k_1=1</math>. === Gradreduktion und Indizierung === Die Polynome <math>p^{(k)}</math> entstehen iterativ aus <math>p^{(k-1)}</math>. Daher erhalten die Polynome einen Iterationsindex <math>k</math>, weil sich der Grad um mindestens 1 im Vergleich zum Polynom <math>p^{(k-1)}</math> reduziert. Da das Ausgangspolynom <math>q=p^{(0)}</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> war, erhält man nach mindestens <math>n-1</math> ein Polynom 1. Grades. Das letzte Polynom in diesem Interationsverfahren ist einfach zu lösen und liefert dann eine Lösung für die Gleichung <math>q(z_0)=0</math>. ==== Geometrische Reihe als Funktion ==== Man definiert nun die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] als Funktion :<math> \begin{array}{rrcl} g : & D_1(0) & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & g(z) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k \end{array} </math> wobei <math>D_1(0):= \{ z\in\mathbb{C} \ \colon \ |z| < 1\}</math> die offene Einheitskreisscheibe mit Radius <math>r=1</math> um <math>0</math> ist. ==== Potenzreihe eine Polynoms ==== Das gesuchte inverse Element ist dann eine Potenzreihe des Polynoms <math>\widehat{p\,}^{(1)}(z) = 1-p^{(1)}(z)</math> mit folgender Darstellung :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(1)}(z)\big) = z^{k_1} </math> Die darstellende Reihe für <math>a^{-1}\in \mathbb{C}</math> konvergiert absolut in der Algebraerweiterung <math> \mathbb{C} </math>, wenn <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math>. ==== Von der Lösung der Nullstellengleichung zur Betragsabschätzung ==== Ausgehend von der Fragestellung ein <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> für die Nullstellengleichung <math>q(z)=0</math> für ein Polynom <math>n</math>-ten Grades hat man diese Problem auf eine Betragsabschätzung die Lösung der Gleichung <math>p^{(1)}(z)\cdot z = 1</math> mit einem Polynom <math>p</math> mit dem Grad <math>n-1</math> und einer Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)|< 1 </math> überführt. ==== Iteratives Vorgehen - Nullstellengleichung ==== Man versucht nun die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Der Vorteil nach dem erste Iterationssschritt ist, dass man von eine Polynom <math>q</math> vom Grad <math>n</math> zu einem Polynom vom Grad <math>n-k_1</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man, ob das Polynom <math>p^{(1)}</math> vom Grad 1 ist oder aus zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z)=a_1\cdot z^m+a_0</math> besteht. Eine Lösung der Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> führt dazu, dass die folgenden Betragsungleichung erfüllt ist: :<math> |\widehat{p\,}^{(1)}(z)| = |1- p^{(1)}(z)| = \left| \tfrac{1}{2} \right|< 1 </math> ==== Fall 1.1 - Grad von p ist 1 ==== Ist der Grad von dem Polynom <math>p</math> dann 1, löst man die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> nach <math>z</math> und erhält eine Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Sei <math>p(z) = a_1\cdot z+a_0</math>, dann gilt für <math>z</math> :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> ==== Fall 1.2 - Polynom mit zwei Summanden mit Konstante ==== Hat das Polynom <math>p^{(1)}</math> nur aus einem Summanden <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0</math> mit <math>m\in \{1,\ldots , n-1 \}</math>, so kann mit die Gleichung wie folgt umformen: :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z^m+a_0)}_{=p^{(1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z^m= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> Da die Lösung der rechten Gleichung in den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> nur für <math> m = 1 </math> eindeutig lösbar ist, kann man im Fall <math> m > 1 </math> für <math>z</math> eine <math>m</math>-te Wurzel von <math>\tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1}</math> wählen. ==== Polynom p mit mehr als 3 ==== Man setzt <math>q^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2} - p(z) </math> und es gilt <math>q^{(2)}(z) = 0 </math> genan dann, wenn <math>1- p^{(1)}(z_0) = \tfrac{1}{2}</math>. Nun erfolgt eine weitere Iteration zu weiteren Reduktion des Grads. Ferner gilt auch <math>p^{(1)}(z_0)=\tfrac{1}{2}\neq 0</math>. === Nächster Iterationsschritt === Die Ausgangsfragestellung wiederholt sich nun für die Suche einer Lösung <math>z_0</math> für die Gleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math>. Dabei transformiert man die Nullstellengleichung wieder in einen multiplikativen Zusammenhang <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> überführt, wobei eine Lösung <math>z\in \mathbb{C}</math> genau dann eine Lösung von auch <math>q^{(2)}(z)=0</math>, wenn <math> z</math> auch eine <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> ist. ==== Nullstellengleichung des Polynoms - Iteration 2 ==== Die Nullstellengleichung des Polynoms im zweiten Iterationsschritt lautet: :<math> q^{(2)}(z)= \sum_{k=0}^{n-k_1} q^{(2)}_k \cdot z^k = 0 </math> mit <math>q^{(2)}_0\neq 0</math> und <math>q^{(2)}_{n-k_1}\neq 0</math> als Polynom <math>(n-k_1)</math>-ten Grades mit <math>(n-k_1) > 1</math>. Die Gradreduktion erfolgt um <math>k_1\in \{1,\ldots, n-1\}</math>. ==== Setzen der Konstante durch Multiplikation ==== Analog zum 1. Iteration wendet eine algebraische Umformung auf <math>q^{(2)}(z)=</math> an und erzeugt eine Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> mit <math>\widetilde{q}^{(2)}(z):=\tfrac{q^{(2)}(z)}{-q^{(2)}_0}</math>, das die gleichen Nullstellen wie <math>q</math> besitzt und <math>\widetilde{q^{(2)}_0}=-1</math> erfüllt. Dann erzeugt man ein weiteres Polynom <math display="text">p^{(2)}(z) := \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} p_k^{(1)}\cdot z^{k_1}</math>, sodass die Konstante <math>\widetilde{q_0}^{(2)}=-1</math> des Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)}</math> erfüllt ist. Diese algebraische Umformung ist möglich, da <math>q_0^{(2)}\neq 0</math> gilt. Man erhält die Koeffizienten von <math>p^{(2)}</math> über: :<math> 0 = \widetilde{q\,}^{(2)}(z) = \tfrac{1}{-q^{(2)}_0}\cdot q^{(2)}(z) = -1 + z\cdot \sum_{k=0}^{n-k_1-k_2} \underbrace{\frac{q^{(2)}_k}{-q^{(2)}_0}}_{=p^{(2)}_{k}} \cdot z^{k-1} = -1 + z^{k_2}\cdot p^{(2)}(z) </math> ==== 2. iterative Anwendung des Satzes ==== Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen#Satz|Anwendung des Satzes]] und zur Vermeidung von Konflikten bzgl. Variablenamen setzt man: * <math>\widehat{z\,} := 1-p^{(2)}(z)</math> als Funktionswert des Polynoms an der Stelle <math>z</math> und * das gesuchte inverse Element ist dann <math>\widehat{a\,}^{-1}=(1-\widehat{z\,})^{-1}=\tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} = z^{k_2}</math>. Das letzte Gleichheitszeichen gilt ferner wegen <math>p^{(2)}(z)\cdot z = 1</math> und <math> z^{k_2} = \tfrac{1}{p^{(2)}(z)} = \tfrac{1}{1-\widehat{z\,}} </math>. Wenn man <math>z^{k_2}</math> kennt, kann man auch <math>z</math> als <math>k_2</math>-Wurzel aus <math> \tfrac{1}{p^{(2)}(z)}</math> berechnen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe muss dann wieder die Betragsabschätzung <math> |\widehat{p\,}^{(2)}(z)| = |1- p^{(2)}(z)|< 1 </math> gelten. ==== 2. Iteration - Nullstellengleichung ==== Man versucht wieder die Gleichung <math>1- p^{(2)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> zu lösen. Mit jedem Iterationssschritt wird das Polynom <math>q^{(2)}</math> vom Grad <math>(n-k_1)</math> zu einem Polynom vom Grad <math>(n-k_1-k_2)</math> übergegangen ist. Dabei überprüft man wieder, ob das Polynom <math>p^{(2)}</math> vom Grad 1 <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z+ a_0</math> ist bzw. aus zwei Summanden der Form <math>p^{(2)}(z)=a_1\cdot z^m+ a_0</math> besteht. In beiden Fällen kann man die Gleichung (ggf. mit <math>m</math>-ter [[komplexe Wurzeln|Wurzel]]) lösen. Lösung erfüllt die Gleichung ==== n-1 Interationen - Nullstellengleichung ==== Nach spätestens <math>n-1</math> Iterationen erhält man ein Polynom vom Grad 1, das die Gleichung <math>1- p^{(n-1)}(z) = \tfrac{1}{2}</math> bzw. <math>|1- p^{(n-1)}(z)| < 1</math> erfüllt. Man kann also ein <math>z_0\in \mathbb{C}</math> angeben, für das mit <math>p^{(n-1)}(z) = a_1\cdot z^m+a_0</math> folgende Gleichung mit <math>m\geq 1</math> und <math> m\in\mathbb{N}</math> erfüllt ist. :<math> \tfrac{1}{2} = 1- p^{(n-1)}(z_0) = 1- \underbrace{(a_1\cdot z_0^m+a_0)}_{=p^{(n-1)}(z)} \ \Longrightarrow \ z_0^m:= \tfrac{\tfrac{1}{2} - a_0}{a_1} </math> === Einsetzung in die geometrische Reihe === Durch Einsetzen von <math>z_0</math> in die geometrische Reihe erhält man: :<math> \widehat{a\,}^{-1} = (1 - \widehat{z\,})^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \widehat{z\,}^n = \sum_{n=0}^\infty \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big)^n = g \big(\widehat{p\,}^{(n-1)}(z_0)\big) </math> === Spezialfall für das Ausgangspolynom === Bei den oben genannten Iterationen ist man davon ausgegangen, dass alle Koeffizienten <math>q_k</math> von dem Ausgangspolynom von 0 verschieden sind. Falls einzelne Koeffizienten <math>q_k=0</math> sind, muss man mit <math>\widehat{a\,}^{-1}</math> und <math>\widehat{z\,}</math> wie folgt setzen. == Beispielrechnung für Anwendung == Berechnung der Nullstelle von dem folgenden Polynom: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Man bestimmt zunächst für <math>q(z)=0</math> das entsprechende <math>\widetilde{q\,}</math> mit <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math>. === Konstante nicht 0 === Für die Nullstellenbestimmung kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Konstante <math>q_0\neq 0</math> nicht verschwindet. Ansonsten hätte man im dem Beispiel :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3 = (3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10)\cdot z^3 </math> in <math>z=0</math> ein dreifache Nullstelle. Man würde das Nullstellenverfahren dann mit dem Polynom <math>3\cdot z^4 -4\cdot z^1- 10</math> fortsetzen. === Normalisierte Konstante === Bei der Normalisierung der Konstante ändern sich bzgl. <math>\widetilde{q\,}^{(1)}(z)=0</math> die Nullstellen der Gleichung im Vergleich zu <math>q(z)=0</math> nicht. :<math> \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = \frac{q(z)}{-9}= -\frac{3}{9}\cdot z^7 +\frac{4}{9}4\cdot z^4 + \frac{10}{9}\cdot z^3-1 </math> === Von Nullstellengleichung zu Inversengleichung === Die Nullstellengleichung <math>\widetilde{q\,}(z)=0</math> wird nun zu der folgenden Inversengleichung umgeformt. :<math> 1 = p^{(1)}(z)\cdot z^3 = \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}4\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} \cdot z^3 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(1)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die geometrische Reihe zu Bestimmung von einer komplexen Wurzel für <math>z^{-3}</math> konvergiert. === Abbruchbedingung für das Nullstellenverfahren === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> besteht noch aus 3 Summanden. Als Abbruchbedingung für die Lösbarkeit gibt es aber die zwei Summanden der Form <math>p^{(1)}(z) = a_1\cdot z^m + a_0 </math>. Daher wird das Nullstellenverfahren weiter fortgesetzt. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 1 === Das Polynom <math>p^{(1)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(1)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(1)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(2)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(1)}(z) = 1- \underbrace{\left(-\frac{3}{9}\cdot z^4 +\frac{4}{9}\cdot z^1 + \frac{10}{9}\right)}_{=p^{(1)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 2=== Mit der Umformung erhält man eine Nullstellenformulierung für das Polynom: <math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{10}{9}+\frac{1}{2} </math> Man erhält also eine Nullstellengleichung, die man wieder in Inversengleichung umformulieren möchte: :<math> 0 = q^{(2)}(z) = \frac{3}{9}\cdot z^4 -\frac{4}{9}\cdot z^1 - \frac{11}{18} </math> === Formulierung als Inversengleichung im Iterationsschritt 2=== Durch Multiplikation mit <math>\tfrac{18}{11}</math> erhält man wieder als Konstante <math>-1</math> für das Polynom <math>\widetilde{q\,}^{(2)} = \tfrac{18}{11}\cdot q</math>, die durch ausklammern von <math>z</math> eine Inversendarstellung erlaubt. Diese lautet: :<math> 1 = p^{(2)}(z) \cdot z = \left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)\cdot z^1 </math> Man kann das Inverse von <math>p^{(2)}(z)</math> bestimmen, wenn die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| < 1 </math> gilt und damit die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zu Bestimmung von dem Kehrwert von <math>z^{-1}</math> konvergiert. === Lösung der Gleichung für Betragsungleichung - Iteration 2 === Das Polynom <math>p^{(2)}(z)</math> wird jetzt mit der Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> gelöst, denn dann gilt die Betragsungleichung <math>|1-p^{(2)}(z)| = \left|\tfrac{1}{2}\right| < 1</math>. Die Gleichung <math> 1-p^{(2)}(z)=\tfrac{1}{2}</math> wird nun wieder als Nullstellengleichung <math>q^{(3)}(z)=0</math> formuliert. :<math> \frac{1}{2} = 1-p^{(2)}(z) = 1- \underbrace{\left(\frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11}\right)}_{=p^{(2)}(z)} </math> === Formulierung als Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3=== Der vorherige Schritt liefert die Nullstellengleichung: :<math> 0 = q^{(3)}(z)= \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{8}{11} +\frac{1}{2} = \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{2}{22} </math> Nun kann man <math>z</math> auflösen und man erhält mit den [[komplexe Wurzeln|komplexen Wurzeln]] 4 Lösungen für die Gleichung in <math>\mathbb{C}</math>. === Lösung der Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3=== Die Nullstellgleichung im Iterationsschritt 3 lautet: :<math> z^4 = \frac{6}{11}\cdot z^4 -\frac{2}{22} </math> Die 4 Lösungen der Nullstellengleichungen sind: == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Cauchy-Folgen]] * [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] * [[Klassen von topologischen Algebren]] * [[komplexe Wurzeln]] * [[permanentsinguläre Elemente]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für normierte Räume]] * [[Zahlbereichserweiterung]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] pgfiy382hqylphi9nlt1sio4pdibjrv 106 173187 1117164 1117095 2026-10-20T12:06:03Z Jeb 26942 /* Wirkungen */ Wikisource & WikiCite 1117164 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''2026''' | [[Datei:Die Gartenlaube (1894) b 839.jpg|mini|Die Gartenlaube (1894) b 839|200px|center]] |'''Veranstalter'''| Max Weber-Stiftung, [https://de.hypotheses.org/ de.Hypotheses.org], [https://www.slub-dresden.de/entdecken/saechsische-landeskunde SLUB Dresden: Sächsische Landeskunde] | '''Ziel''' | Erschließungsgeschichten, Datenpflege und Methodentransfer im Advent | '''Termin'''| Mittwoch, 21. Oktober 2026, 9:30 bis 11:00 Uhr |'''Ort'''| Zoom: [https://maxweberstiftung.zoom.us/meeting/register/jIusGOhIQwafPSiEt6blkA#/registration Registrierung] | '''Referent''' | Daniel Fischer (SLUB), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] & Kolleg*innen }} {{In Arbeit}} == Erschließungsgeschichten im Advent == Bis Weihnachten wächst ein neuer Adventskalender mit Erschließungsgeschichten: mit Metadaten, Saxonica, Links, PPN, historischen und anderen Quellen. Dörte Böhner leistet mit bibliothekarisch.de langjährig Vorarbeit. Auch 2025 baut sie an ihrer Liste ‘Mehr oder weniger bibliothekarische Adventskalender‘. https://osl.hypotheses.org/18957 === Technik === ; Infrastruktur * [[c:Category:OSL blog advent calendar 2024]] mit [[d:Q131330105]] * [[c:Category:OSL blog advent calendar 2025]] mit [[d:Q136767635]] === Strategien === ; Themen ; Kooperationen === Wirkungen === ; Regionalbibliografie * Sächsische Bibliografie: https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/SET=9/TTL=1/CMD?ACT=SRCHA&IKT=1016&SRT=YOP&TRM=Adventskalender (SAXB) ; Nachweis und Erschließungsverbesserung, Datenpflege * Neue Digitalisate und (auch) offene Metadaten in Verbundkatalogen, Wikidata und ''Structured Data on Commons'' * Transkriptionen, z.B. : ''[[s:Rechenschaftsbericht des Abgeordneten Bernhard Eisenstuck|Rechenschaftsbericht des Abgeordneten Bernhard Eisenstuck]]'', 15. Juli 1849, verknüpft auf der Kalender-Metaebene mit 'cites work' in [[d:Q136767635#P2860]]. * Linked Open Storytelling [[d:Q66631860]] <gallery> Bubbles with 24 numbers.png|Cornelius Kibelka (WMDE): Bubbles with 24 numbers Ueber Land und Meer, Bd. 69, Nr. 12, Eduard Unger.jpg|[[s:Eduard Unger|Eduard Unger]]ː ''Weihnachten'', inː ''[[s:Ueber Land und Meer|Ueber Land und Meer]]'', Bd. 69, 1892/93 </gallery> == Bibliothek == * Open Science-Lab Blog (SLUB): https://osl.hypotheses.org/tag/advent [[Kategorie:Bibliothek]] svykvee0uy475jdo6seusj9naakm3l0 1117241 1117164 2026-10-20T19:46:29Z Jeb 26942 /* Wirkungen */ PPN=1941161731 1117241 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''2026''' | [[Datei:Die Gartenlaube (1894) b 839.jpg|mini|Die Gartenlaube (1894) b 839|200px|center]] |'''Veranstalter'''| Max Weber-Stiftung, [https://de.hypotheses.org/ de.Hypotheses.org], [https://www.slub-dresden.de/entdecken/saechsische-landeskunde SLUB Dresden: Sächsische Landeskunde] | '''Ziel''' | Erschließungsgeschichten, Datenpflege und Methodentransfer im Advent | '''Termin'''| Mittwoch, 21. Oktober 2026, 9:30 bis 11:00 Uhr |'''Ort'''| Zoom: [https://maxweberstiftung.zoom.us/meeting/register/jIusGOhIQwafPSiEt6blkA#/registration Registrierung] | '''Referent''' | Daniel Fischer (SLUB), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] & Kolleg*innen }} {{In Arbeit}} == Erschließungsgeschichten im Advent == Bis Weihnachten wächst ein neuer Adventskalender mit Erschließungsgeschichten: mit Metadaten, Saxonica, Links, PPN, historischen und anderen Quellen. Dörte Böhner leistet mit bibliothekarisch.de langjährig Vorarbeit. Auch 2025 baut sie an ihrer Liste ‘Mehr oder weniger bibliothekarische Adventskalender‘. https://osl.hypotheses.org/18957 === Technik === ; Infrastruktur * [[c:Category:OSL blog advent calendar 2024]] mit [[d:Q131330105]] * [[c:Category:OSL blog advent calendar 2025]] mit [[d:Q136767635]] === Strategien === ; Themen ; Kooperationen === Wirkungen === ; Regionalbibliografie * Sächsische Bibliografie: https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/SET=9/TTL=1/CMD?ACT=SRCHA&IKT=1016&SRT=YOP&TRM=Adventskalender (SAXB) ; Nachweis und Erschließungsverbesserung, Datenpflege * Neue Digitalisate und (auch) offene Metadaten in Verbundkatalogen, Wikidata und ''Structured Data on Commons'' * Transkriptionen, z.B. : ''[[s:Rechenschaftsbericht des Abgeordneten Bernhard Eisenstuck|Rechenschaftsbericht des Abgeordneten Bernhard Eisenstuck]]'', 15. Juli 1849, verknüpft auf der Kalender-Metaebene mit 'cites work' in [[d:Q136767635#P2860]]. : SAXB: https://opac.k10plus.de/DB=2.299/PPNSET?PPN=1941161731 * Linked Open Storytelling [[d:Q66631860]] <gallery> Bubbles with 24 numbers.png|Cornelius Kibelka (WMDE): Bubbles with 24 numbers Ueber Land und Meer, Bd. 69, Nr. 12, Eduard Unger.jpg|[[s:Eduard Unger|Eduard Unger]]ː ''Weihnachten'', inː ''[[s:Ueber Land und Meer|Ueber Land und Meer]]'', Bd. 69, 1892/93 </gallery> == Bibliothek == * Open Science-Lab Blog (SLUB): https://osl.hypotheses.org/tag/advent [[Kategorie:Bibliothek]] jibz1kicgu7g486b6eghogt1no5d9uz 1117249 1117241 2026-10-21T04:58:36Z Jeb 26942 Erweitert 1117249 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''2026''' | [[Datei:Die Gartenlaube (1894) b 839.jpg|mini|Die Gartenlaube (1894) b 839|200px|center]] |'''Veranstalter'''| Max Weber-Stiftung, [https://de.hypotheses.org/ de.Hypotheses.org], [https://www.slub-dresden.de/entdecken/saechsische-landeskunde SLUB Dresden: Sächsische Landeskunde] | '''Ziel''' | Erschließungsgeschichten, Datenpflege und Methodentransfer im Advent | '''Termin'''| Mittwoch, 21. Oktober 2026, 9:30 bis 11:00 Uhr |'''Ort'''| Zoom: [https://maxweberstiftung.zoom.us/meeting/register/jIusGOhIQwafPSiEt6blkA#/registration Registrierung] | '''Referent''' | Daniel Fischer (SLUB), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB) & Kolleg*innen }} {{In Arbeit}} == Erschließungsgeschichten im Advent == Bis Weihnachten wächst ein neuer Adventskalender mit Erschließungsgeschichten: mit Metadaten, Saxonica, Links, PPN, historischen und anderen Quellen. Dörte Böhner leistet mit bibliothekarisch.de langjährig Vorarbeit. Auch 2025 baut sie an ihrer Liste ‘Mehr oder weniger bibliothekarische Adventskalender‘. https://osl.hypotheses.org/18957 === Technik === ; Infrastruktur * 1 Blogpost je Kalendertür vs. 1 Blogpost je Kalender vs. Mix mit eingebetteten Beiträgen (eigenen oder von Dritten) :* ISGV: Bildsehen / Bildhandeln, https://fotografie.hypotheses.org/tag/adventskalender2024, [https://fotografie.hypotheses.org/tag/adventskalender2025 2025] * Wikimedia Commons = Bilderquelle und Bilddatenspeicher :* [[c:Category:OSL blog advent calendar 2024]] mit [[d:Q131330105]] :* [[c:Category:OSL blog advent calendar 2025]] mit [[d:Q136767635]] * Metadaten in Wikidata verknüpft mit PPN der Sächsischen Bibliografie im K10plus-Verbund * Social Media: Mastodon :* [https://openbiblio.social/tags/Erschlie%C3%9Fungsgeschichten #Erschließungsgeschichten] :* [https://openbiblio.social/tags/Adventskalender #Adventskalender] === Strategien === ; Arbeitsweisen : Grobe Themenplanung und Recherchen, Fenster täglich in neuen Blogpost-Blöcken ergänzen, Elemente gruppieren: 1 Türchen = 1 Block : Pingbacks durch eingebettete Gastbeiträge in Blogs Dritter ; Themen und Ziele * 2026 @ SLUB ''Erschließungsgeschichten im sächsischen Einzelhandel'', vgl. Max Grund: ''Kamenzer Weihnachtsmärkte im 19. Jahrhundert'', 2025, https://saxorum.hypotheses.org/14510 * ''Wunschzettel'' aus Archiven und Bibliotheken (im dann herbstlichen ''[https://saxorum.hypotheses.org/tag/summer-of-ephemera Summer of Ephemera]'') * neue ''alte'' Illustrationen finden und nutzen [[Datei:Louis Gerstner Leipzig.svg|mini|Louis Gerstner Leipzig|left]] ; Kooperationen * Dörte Böhner, https://weihnachtsleben.de/2024/ & [https://weihnachtsleben.de/2025/ 2025] * Ideal: 24 Türchen gestalten mit 24 verschiedenen GLAM in Sachsen (!?) === Wirkungen === ; Regionalbibliografie * Sächsische Bibliografie: https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/SET=9/TTL=1/CMD?ACT=SRCHA&IKT=1016&SRT=YOP&TRM=Adventskalender (SAXB) ; Nachweis und Erschließungsverbesserung, Datenpflege * Neue Digitalisate und (auch) offene Metadaten in Verbundkatalogen, Wikidata und ''Structured Data on Commons'' * Transkriptionen, z.B. : ''[[s:Rechenschaftsbericht des Abgeordneten Bernhard Eisenstuck|Rechenschaftsbericht des Abgeordneten Bernhard Eisenstuck]]'', 15. Juli 1849, verknüpft auf der Kalender-Metaebene mit 'cites work' in [[d:Q136767635#P2860]]. : SAXB: https://opac.k10plus.de/DB=2.299/PPNSET?PPN=1941161731 ; Linked Open Storytelling [[d:Q66631860]] <gallery> Bubbles with 24 numbers.png|Cornelius Kibelka (WMDE): Bubbles with 24 numbers Ueber Land und Meer, Bd. 69, Nr. 12, Eduard Unger.jpg|[[s:Eduard Unger|Eduard Unger]]ː ''Weihnachten'', inː ''[[s:Ueber Land und Meer|Ueber Land und Meer]]'', Bd. 69, 1892/93 Christmas light - The Noun Project.svg|[[c:Category:SVG icons from The Noun Project]] Weltrunde DECEMBER 1899.svg|Gustav Bauer: ''Weltrunde : December'', 1899 HypothesesLogo.png </gallery> == Bibliothek == * Open Science-Lab Blog (SLUB): https://osl.hypotheses.org/tag/advent ; Commons * [[c:Category:Christmas icons]] * [[c:Category:SVG_of_stereotype_(printing)]] [[Kategorie:Bibliothek]] cw59rpfi453v3tpgfljqfcakighc6hl 1117250 1117249 2026-10-21T05:14:06Z Jeb 26942 1117250 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''2026''' | [[Datei:Die Gartenlaube (1894) b 839.jpg|mini|Die Gartenlaube (1894) b 839|200px|center]] |'''Veranstalter'''| Max Weber-Stiftung, [https://de.hypotheses.org/ de.Hypotheses.org], [https://www.slub-dresden.de/entdecken/saechsische-landeskunde SLUB Dresden: Sächsische Landeskunde] | '''Ziel''' | Erschließungsgeschichten, Datenpflege und Methodentransfer im Advent | '''Termin'''| Mittwoch, 21. Oktober 2026, 9:30 bis 11:00 Uhr |'''Ort'''| Zoom: [https://maxweberstiftung.zoom.us/meeting/register/jIusGOhIQwafPSiEt6blkA#/registration Registrierung] | '''Referent''' | Daniel Fischer (SLUB), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB) & Kolleg*innen }} {{In Arbeit}} == Erschließungsgeschichten im Advent == Bis Weihnachten wächst ein neuer Adventskalender mit Erschließungsgeschichten: mit Metadaten, Saxonica, Links, PPN, historischen und anderen Quellen. Dörte Böhner leistet mit bibliothekarisch.de langjährig Vorarbeit. Auch 2025 baut sie an ihrer Liste ‘Mehr oder weniger bibliothekarische Adventskalender‘. https://osl.hypotheses.org/18957 === Technik === ; Infrastruktur 1 Blogpost je Kalendertür vs. 1 Blogpost je Kalender vs. Mix mit eingebetteten Beiträgen (eigenen oder von Dritten) :* ISGV: Bildsehen / Bildhandeln, https://fotografie.hypotheses.org/tag/adventskalender2024, [https://fotografie.hypotheses.org/tag/adventskalender2025 2025] :* Birgit Pack: ''Kochen nach Lahmann'', 25. November 2025, https://veggie.hypotheses.org/2205, SÄBI: [https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1945935081 PPN=1945935081] Wikimedia Commons = Bilderquelle und Bilddatenspeicher :* [[c:Category:OSL blog advent calendar 2024]] mit [[d:Q131330105]] :* [[c:Category:OSL blog advent calendar 2025]] mit [[d:Q136767635]] Metadaten in Wikidata verknüpft mit PPN der Sächsischen Bibliografie im K10plus-Verbund Social Media: Mastodon :* [https://openbiblio.social/tags/Erschlie%C3%9Fungsgeschichten #Erschließungsgeschichten] :* [https://openbiblio.social/tags/Adventskalender #Adventskalender] === Strategien === ; Arbeitsweisen : Grobe Themenplanung und Recherchen, Fenster täglich in neuen Blogpost-Blöcken ergänzen, Elemente gruppieren: 1 Türchen = 1 Block : Pingbacks durch eingebettete Gastbeiträge in Blogs Dritter ; Werkzeug * KXP-Opac, https://opac.k10plus.de/DB=2.299 * OGND, https://swb.bsz-bw.de/DB=2.104 * RVK, https://rvk.uni-regensburg.de/regensburger-verbundklassifikation-online * Deutsche Bibliografie, https://www.deutsche-biographie.de/ :: Sächsische Bibliografie, https://saebi.isgv.de/ * Wikipedia, Wikidata, Wikisource * Historische Adressbücher, https://www.saxorum.de/adressbuecher ; Themen und Ziele * 2026 @ SLUB ''Erschließungsgeschichten im sächsischen Einzelhandel'', vgl. Max Grund: ''Kamenzer Weihnachtsmärkte im 19. Jahrhundert'', 2025, https://saxorum.hypotheses.org/14510 * ''Wunschzettel'' aus Archiven und Bibliotheken (im dann herbstlichen ''[https://saxorum.hypotheses.org/tag/summer-of-ephemera Summer of Ephemera]'') * neue ''alte'' Illustrationen finden und nutzen [[Datei:Louis Gerstner Leipzig.svg|mini|Louis Gerstner Leipzig|left]] ; Kooperationen * Dörte Böhner, https://weihnachtsleben.de/2024/ & [https://weihnachtsleben.de/2025/ 2025] * Ideal: 24 Türchen gestalten mit 24 verschiedenen GLAM in Sachsen (!?) === Wirkungen === ; Regionalbibliografie * Sächsische Bibliografie: https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/SET=9/TTL=1/CMD?ACT=SRCHA&IKT=1016&SRT=YOP&TRM=Adventskalender (SAXB) * 2025: Aufkatalogisierung/Verbesserung Formalerschließung: 42; Neu-Aufnahmen: 6; Sacherschlossen: 62; GND-Personensatz/-Körperschaft bearb.: 7; GND-Personensatz/-Körperschaft neu: 2 ; Nachweis und Erschließungsverbesserung, Datenpflege * Neue Digitalisate und (auch) offene Metadaten in Verbundkatalogen, Wikidata und ''Structured Data on Commons'' * Transkriptionen, z.B. : ''[[s:Rechenschaftsbericht des Abgeordneten Bernhard Eisenstuck|Rechenschaftsbericht des Abgeordneten Bernhard Eisenstuck]]'', 15. Juli 1849, verknüpft auf der Kalender-Metaebene mit 'cites work' in [[d:Q136767635#P2860]]. : SAXB: https://opac.k10plus.de/DB=2.299/PPNSET?PPN=1941161731 ; Linked Open Storytelling [[d:Q66631860]] <gallery> Bubbles with 24 numbers.png|Cornelius Kibelka (WMDE): Bubbles with 24 numbers Ueber Land und Meer, Bd. 69, Nr. 12, Eduard Unger.jpg|[[s:Eduard Unger|Eduard Unger]]ː ''Weihnachten'', inː ''[[s:Ueber Land und Meer|Ueber Land und Meer]]'', Bd. 69, 1892/93 Christmas light - The Noun Project.svg|[[c:Category:SVG icons from The Noun Project]] Weltrunde DECEMBER 1899.svg|Gustav Bauer: ''Weltrunde : December'', 1899 HypothesesLogo.png </gallery> == Bibliothek == * Open Science-Lab Blog (SLUB): https://osl.hypotheses.org/tag/advent ; Commons * [[c:Category:Christmas icons]] * [[c:Category:SVG_of_stereotype_(printing)]] [[Kategorie:Bibliothek]] kzowhf1ss9eipl3xsmxnp266ocfsie5 1117256 1117250 2026-10-21T09:15:47Z Jeb 26942 1117256 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''2026''' | [[Datei:Die Gartenlaube (1894) b 839.jpg|mini|Die Gartenlaube (1894) b 839|200px|center]] |'''Veranstalter'''| Max Weber-Stiftung, [https://de.hypotheses.org/ de.Hypotheses.org], [https://www.slub-dresden.de/entdecken/saechsische-landeskunde SLUB Dresden: Sächsische Landeskunde] | '''Ziel''' | Erschließungsgeschichten, Datenpflege und Methodentransfer im Advent | '''Termin'''| Mittwoch, 21. Oktober 2026, 9:30 bis 11:00 Uhr |'''Ort'''| Zoom: [https://maxweberstiftung.zoom.us/meeting/register/jIusGOhIQwafPSiEt6blkA#/registration Registrierung] | '''Referent''' | Daniel Fischer (SLUB), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB) & Kolleg*innen }} {{In Arbeit}} == Erschließungsgeschichten im Advent == Bis Weihnachten wächst ein neuer Adventskalender mit Erschließungsgeschichten: mit Metadaten, Saxonica, Links, PPN, historischen und anderen Quellen. Dörte Böhner leistet mit bibliothekarisch.de langjährig Vorarbeit. Auch 2025 baut sie an ihrer Liste ‘Mehr oder weniger bibliothekarische Adventskalender‘. https://osl.hypotheses.org/18957 === Technik === ; Infrastruktur 1 Blogpost je Kalendertür vs. 1 Blogpost je Kalender vs. Mix mit eingebetteten Beiträgen (eigenen oder von Dritten) :* ISGV: Bildsehen / Bildhandeln, https://fotografie.hypotheses.org/tag/adventskalender2024, [https://fotografie.hypotheses.org/tag/adventskalender2025 2025] :* Birgit Pack: ''Kochen nach Lahmann'', 25. November 2025, https://veggie.hypotheses.org/2205, SÄBI: [https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1945935081 PPN=1945935081] Wikimedia Commons = Bilderquelle und Bilddatenspeicher :* [[c:Category:OSL blog advent calendar 2024]] mit [[d:Q131330105]] :* [[c:Category:OSL blog advent calendar 2025]] mit [[d:Q136767635]] Metadaten in Wikidata verknüpft mit PPN der Sächsischen Bibliografie im K10plus-Verbund * Ankerlinks: https://bloghaus.hypotheses.org/3474#ankerlinks Social Media: Mastodon :* [https://openbiblio.social/tags/Erschlie%C3%9Fungsgeschichten #Erschließungsgeschichten] :* [https://openbiblio.social/tags/Adventskalender #Adventskalender] === Strategien === ; Arbeitsweisen : Grobe Themenplanung und Recherchen, Fenster täglich in neuen Blogpost-Blöcken ergänzen, Elemente gruppieren: 1 Türchen = 1 Block : Pingbacks durch eingebettete Gastbeiträge in Blogs Dritter ; Werkzeug * KXP-Opac, https://opac.k10plus.de/DB=2.299 * OGND, https://swb.bsz-bw.de/DB=2.104 * RVK, https://rvk.uni-regensburg.de/regensburger-verbundklassifikation-online * Deutsche Bibliografie, https://www.deutsche-biographie.de/ :: Sächsische Bibliografie, https://saebi.isgv.de/ * Wikipedia, Wikidata, Wikisource * Historische Adressbücher, https://www.saxorum.de/adressbuecher ; Themen und Ziele * 2026 @ SLUB ''Erschließungsgeschichten im sächsischen Einzelhandel'', vgl. Max Grund: ''Kamenzer Weihnachtsmärkte im 19. Jahrhundert'', 2025, https://saxorum.hypotheses.org/14510 * ''Wunschzettel'' aus Archiven und Bibliotheken (im dann herbstlichen ''[https://saxorum.hypotheses.org/tag/summer-of-ephemera Summer of Ephemera]'') * neue ''alte'' Illustrationen finden und nutzen [[Datei:Louis Gerstner Leipzig.svg|mini|Louis Gerstner Leipzig|left]] ; Kooperationen * Dörte Böhner, https://weihnachtsleben.de/2024/ & [https://weihnachtsleben.de/2025/ 2025] * Ideal: 24 Türchen gestalten mit 24 verschiedenen GLAM in Sachsen (!?) === Wirkungen === ; Regionalbibliografie * Sächsische Bibliografie: https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/SET=9/TTL=1/CMD?ACT=SRCHA&IKT=1016&SRT=YOP&TRM=Adventskalender (SAXB) * 2025: Aufkatalogisierung/Verbesserung Formalerschließung: 42; Neu-Aufnahmen: 6; Sacherschlossen: 62; GND-Personensatz/-Körperschaft bearb.: 7; GND-Personensatz/-Körperschaft neu: 2 ; Nachweis und Erschließungsverbesserung, Datenpflege * Neue Digitalisate und (auch) offene Metadaten in Verbundkatalogen, Wikidata und ''Structured Data on Commons'' * Transkriptionen, z.B. : ''[[s:Rechenschaftsbericht des Abgeordneten Bernhard Eisenstuck|Rechenschaftsbericht des Abgeordneten Bernhard Eisenstuck]]'', 15. Juli 1849, verknüpft auf der Kalender-Metaebene mit 'cites work' in [[d:Q136767635#P2860]]. : SAXB: https://opac.k10plus.de/DB=2.299/PPNSET?PPN=1941161731 ; Linked Open Storytelling [[d:Q66631860]] <gallery> Bubbles with 24 numbers.png|Cornelius Kibelka (WMDE): Bubbles with 24 numbers Ueber Land und Meer, Bd. 69, Nr. 12, Eduard Unger.jpg|[[s:Eduard Unger|Eduard Unger]]ː ''Weihnachten'', inː ''[[s:Ueber Land und Meer|Ueber Land und Meer]]'', Bd. 69, 1892/93 Christmas light - The Noun Project.svg|[[c:Category:SVG icons from The Noun Project]] Weltrunde DECEMBER 1899.svg|Gustav Bauer: ''Weltrunde : December'', 1899 HypothesesLogo.png </gallery> == Bibliothek == * Open Science-Lab Blog (SLUB): https://osl.hypotheses.org/tag/advent ; Commons * [[c:Category:Christmas icons]] * [[c:Category:SVG_of_stereotype_(printing)]] ; Weitere Adventskalender * https://histgymbib.hypotheses.org/tag/advent2022 * https://aktarcha.hypotheses.org/tag/Adventskalender [[Kategorie:Bibliothek]] pdxp63eln29679gtc0jqw03ir9khftg 1117265 1117256 2026-10-21T11:39:37Z Jeb 26942 Blogparaden 1117265 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''2026''' | [[Datei:Die Gartenlaube (1894) b 839.jpg|mini|Die Gartenlaube (1894) b 839|200px|center]] |'''Veranstalter'''| Max Weber-Stiftung, [https://de.hypotheses.org/ de.Hypotheses.org], [https://www.slub-dresden.de/entdecken/saechsische-landeskunde SLUB Dresden: Sächsische Landeskunde] | '''Ziel''' | Erschließungsgeschichten, Datenpflege und Methodentransfer im Advent | '''Termin'''| Mittwoch, 21. Oktober 2026, 9:30 bis 11:00 Uhr |'''Ort'''| Zoom: [https://maxweberstiftung.zoom.us/meeting/register/jIusGOhIQwafPSiEt6blkA#/registration Registrierung] | '''Referent''' | Daniel Fischer (SLUB), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB) & Kolleg*innen }} {{In Arbeit}} == Erschließungsgeschichten im Advent == Bis Weihnachten wächst ein neuer Adventskalender mit Erschließungsgeschichten: mit Metadaten, Saxonica, Links, PPN, historischen und anderen Quellen. Dörte Böhner leistet mit bibliothekarisch.de langjährig Vorarbeit. Auch 2025 baut sie an ihrer Liste ‘Mehr oder weniger bibliothekarische Adventskalender‘. https://osl.hypotheses.org/18957 === Technik === ; Infrastruktur 1 Blogpost je Kalendertür vs. 1 Blogpost je Kalender vs. Mix mit eingebetteten Beiträgen (eigenen oder von Dritten) :* ISGV: Bildsehen / Bildhandeln, https://fotografie.hypotheses.org/tag/adventskalender2024, [https://fotografie.hypotheses.org/tag/adventskalender2025 2025] :* Birgit Pack: ''Kochen nach Lahmann'', 25. November 2025, https://veggie.hypotheses.org/2205, SÄBI: [https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1945935081 PPN=1945935081] Wikimedia Commons = Bilderquelle und Bilddatenspeicher :* [[c:Category:OSL blog advent calendar 2024]] mit [[d:Q131330105]] :* [[c:Category:OSL blog advent calendar 2025]] mit [[d:Q136767635]] Metadaten in Wikidata verknüpft mit PPN der Sächsischen Bibliografie im K10plus-Verbund * Ankerlinks: https://bloghaus.hypotheses.org/3474#ankerlinks Social Media: Mastodon :* [https://openbiblio.social/tags/Erschlie%C3%9Fungsgeschichten #Erschließungsgeschichten] :* [https://openbiblio.social/tags/Adventskalender #Adventskalender] === Strategien === ; Arbeitsweisen : Grobe Themenplanung und Recherchen, Fenster täglich in neuen Blogpost-Blöcken ergänzen, Elemente gruppieren: 1 Türchen = 1 Block : Pingbacks durch eingebettete Gastbeiträge in Blogs Dritter ; Werkzeug * KXP-Opac, https://opac.k10plus.de/DB=2.299 * OGND, https://swb.bsz-bw.de/DB=2.104 * RVK, https://rvk.uni-regensburg.de/regensburger-verbundklassifikation-online * Deutsche Bibliografie, https://www.deutsche-biographie.de/ :: Sächsische Bibliografie, https://saebi.isgv.de/ * Wikipedia, Wikidata, Wikisource * Historische Adressbücher, https://www.saxorum.de/adressbuecher ; Themen und Ziele * 2026 @ SLUB ''Erschließungsgeschichten im sächsischen Einzelhandel'', vgl. Max Grund: ''Kamenzer Weihnachtsmärkte im 19. Jahrhundert'', 2025, https://saxorum.hypotheses.org/14510 * ''Wunschzettel'' aus Archiven und Bibliotheken (im dann herbstlichen ''[https://saxorum.hypotheses.org/tag/summer-of-ephemera Summer of Ephemera]'') * neue ''alte'' Illustrationen finden und nutzen [[Datei:Louis Gerstner Leipzig.svg|mini|Louis Gerstner Leipzig|left]] ; Kooperationen * Dörte Böhner, https://weihnachtsleben.de/2024/ & [https://weihnachtsleben.de/2025/ 2025] * Ideal: 24 Türchen gestalten mit 24 verschiedenen GLAM in Sachsen (!?) === Wirkungen === ; Regionalbibliografie * Sächsische Bibliografie: https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/SET=9/TTL=1/CMD?ACT=SRCHA&IKT=1016&SRT=YOP&TRM=Adventskalender (SAXB) * 2025: Aufkatalogisierung/Verbesserung Formalerschließung: 42; Neu-Aufnahmen: 6; Sacherschlossen: 62; GND-Personensatz/-Körperschaft bearb.: 7; GND-Personensatz/-Körperschaft neu: 2 ; Nachweis und Erschließungsverbesserung, Datenpflege * Neue Digitalisate und (auch) offene Metadaten in Verbundkatalogen, Wikidata und ''Structured Data on Commons'' * Transkriptionen, z.B. : ''[[s:Rechenschaftsbericht des Abgeordneten Bernhard Eisenstuck|Rechenschaftsbericht des Abgeordneten Bernhard Eisenstuck]]'', 15. Juli 1849, verknüpft auf der Kalender-Metaebene mit 'cites work' in [[d:Q136767635#P2860]]. : SAXB: https://opac.k10plus.de/DB=2.299/PPNSET?PPN=1941161731 ; Linked Open Storytelling [[d:Q66631860]] <gallery> Bubbles with 24 numbers.png|Cornelius Kibelka (WMDE): Bubbles with 24 numbers Ueber Land und Meer, Bd. 69, Nr. 12, Eduard Unger.jpg|[[s:Eduard Unger|Eduard Unger]]ː ''Weihnachten'', inː ''[[s:Ueber Land und Meer|Ueber Land und Meer]]'', Bd. 69, 1892/93 Christmas light - The Noun Project.svg|[[c:Category:SVG icons from The Noun Project]] Weltrunde DECEMBER 1899.svg|Gustav Bauer: ''Weltrunde : December'', 1899 HypothesesLogo.png </gallery> == Bibliothek == * Open Science-Lab Blog (SLUB): https://osl.hypotheses.org/tag/advent ; Commons * [[c:Category:Christmas icons]] * [[c:Category:SVG_of_stereotype_(printing)]] ; Weitere Adventskalender * https://histgymbib.hypotheses.org/tag/advent2022 * https://aktarcha.hypotheses.org/tag/Adventskalender ; Dörte Böhner über... [https://weihnachtsleben.de/tag/blogparade/ Blogparaden] # ''Der eigene Blog-Adventskalender – heute: Blogstöckchen-Blogsöckchen – Blogparade'', https://weihnachtsleben.de/2026/10/21/der-eigene-blog-adventskalender-heute-blogstockchen-blogsockchen-blogparade/ [[Kategorie:Bibliothek]] 56gii55nemzl3ok5gd2mydg5wwkrdio 3 173192 1117166 2026-10-20T12:24:37Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1117166 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Jona Buchheit}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 14:24, 20. Okt. 2026 (CEST) o9v5s1f6yoab18542p402n4wwz0udnf 0 173193 1117170 2026-10-20T14:01:09Z Lenenee 42011 Grundgerüst für das fiktive Unternehmen in einem Kurs erstellt 1117170 wikitext text/x-wiki {{Fiktives Unternehmen}} {{Infobox | Titel = SecureU | Bildname = | Bildbreite = | Bildtext = | Stil = 1 | Titelfarbe = 5 | Abschnittsfarbe = | Farbe = | Style = float:right; | Feldstyle = | Feldname1 = Unternehmensform | Daten1 = tbd | Feldname2 = Gründungsdatum | Daten2 = tbd | Feldname3 = Sitz | Daten3 = [[Darmstadt]], {{DEU}} | Feldname4 = Leitung | Daten4 = tbd | Feldname5 = Branche | Daten5 = tbd | Feldname6 = | Daten6 = | Feldname7 = | Daten7 = | Feldname8 = | Daten8 = | Feldname9 = | Daten9 = | Feldname10 = | Daten10 = }} = Unser Unternehmen = tbd = Unser Team = tbd = Unser Angebot = tbd qug33czbsiqu6akxo04a5uugp3n9hwk 1117224 1117170 2026-10-20T15:38:34Z Lenenee 42011 1117224 wikitext text/x-wiki {{Fiktives Unternehmen}} {{Infobox | Titel = <big>SecureU</big> | Bildname = | Bildbreite = 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[[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> i94y0tk9sefvxfyov34arqvodum08n9 1117244 1117242 2026-10-20T21:13:01Z C.Koltzenburg 13981 /* 1533 */ 1117244 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === ... === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.). * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> idubib9muvlofvxwcakpr6hk8ea9ne1 1 173211 1117243 2026-10-20T20:50:56Z C.Koltzenburg 13981 Neuer Abschnitt /* Quellen (Hilfeseiten) */ 1117243 wikitext text/x-wiki == Quellen (Hilfeseiten) == https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung/Mehrspaltigkeit_und_Listen#Blockweise_Gruppierung_und_Zwischen%C3%BCberschriften [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] ([[Benutzer Diskussion:C.Koltzenburg|Diskussion]]) 22:50, 20. Okt. 2026 (CEST) nyfigeg056vvpvzx7hun49j9b2zmc5t 106 173212 1117245 2026-10-21T01:05:46Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117245 wikitext text/x-wiki '''Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]5 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Unternehmensbezogene Veränderungsprozesse|B5.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aktuelle Entwicklungen in Wirtschaft und Gesellschaft|B5.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen umsetzen|B5.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Persönlicher Umgang mit Veränderungen|B5.4]] +--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Unternehmensbezogene Veränderungsprozesse|Sie erläutern grundlegende Ursachen, Merkmale und Auswirkungen von unternehmensbezogenen Veränderungsprozessen.]] -+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aktuelle Entwicklungen in Wirtschaft und Gesellschaft|Sie recherchieren aktuelle Entwicklungen im wirtschaftlichen und gesellschaftlichen Bereich und reflektieren Auswirkungen auf Betrieb und Arbeitsbereich.]] Usw… --+- ([[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen umsetzen|Sie setzen neue betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen entsprechend den Vorgaben der vorgesetzten Stellen um.]] Betriebliches Leistungsziel) ---+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Persönlicher Umgang mit Veränderungen|Sie reflektieren charakteristische Vorgehensweisen im persönlichen Umgang mit Veränderungen in einem Betrieb.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B5| ]] d3w36xefrkh9ytdzht44d6fjbebd6jy 14 173213 1117246 2026-10-21T01:07:12Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117246 wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB B]] c2gz850ke7rej2qwy7v5qj6l1lk7teq 106 173214 1117247 2026-10-21T01:10:20Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117247 wikitext text/x-wiki [[Datei:7_Phasen_der_Veränderung_nach_Streich.png|thumb|mini|[[:w:7-Phasen-Modell (Veränderungsmanagement)|7 Phasen der Veränderung nach Streich]]]] [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B5]] efxs2dnodzvw8aeoz9kvh7fmubm6d01 1117248 1117247 2026-10-21T01:12:33Z Paul Sutermeister 37610 1117248 wikitext text/x-wiki [[Datei:3-Phasenmodell_von_Lewin.png|thumb|mini|[[:w:3-Phasen-Modell von Lewin|3-Phasen-Modell von Lewin]]]] [[Datei:7_Phasen_der_Veränderung_nach_Streich.png|thumb|mini|[[:w:7-Phasen-Modell (Veränderungsmanagement)|7 Phasen der Veränderung nach Streich]]]] [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B5]] hgbumcay286upz4duiha2qx29mrsqjn 0 173215 1117254 2026-10-21T08:34:31Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117254 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die endliche projektive Auflösung ist {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 S(-k-1) \longrightarrow \bigoplus_2 S(-k) \oplus S(-2) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^k,UV,V^k |}} |SZ=, }} die Syzygien sind {{mathl|term= ( V , -U^{k-1}, 0) |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} oecf3nzhd2dj2sknxddfk6awrmwebeq 1117257 1117254 2026-10-21T09:21:19Z Bocardodarapti 2041 1117257 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die endliche projektive Auflösung ist {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 S(-k-1) \longrightarrow \bigoplus_2 S(-k) \oplus S(-2) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^k,UV,V^k |}} |SZ=, }} die Syzygien sind {{mathl|term= ( V , -U^{k-1}, 0) |SZ=.}} Die feine Auflösung ist {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow S(-k, -1 ) \oplus S(-1,-k) \longrightarrow S( - k,0 ) \oplus S(0,-k ) \oplus S(- 1,-1 ) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^k,V^k,UV |}} |SZ=. }} Der Grad 0 Anteil zu {{mathl|term= S(-i,-j) |SZ=}} ist {{mathl|term= L_{d (-i,-j) }|SZ=.}} Die induzierte Pseudoauflösung ist also {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow L_{1} (-k) \oplus L_{-1} (-k) \longrightarrow R(-k) \oplus R(-k) \oplus R(-2) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{makl| X,Y,Z |}} |SZ=, }} in der Mitte stehen die Shifts mit der induzierten {{math|term= \Z |SZ=-}}Graduierung. 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