Wikilibros:Café

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    <title>Wikilibros:Café</title>
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== Petición para establecer una política sobre inteligencia artificial ==

Buenas.

En el tiempo que llevo en Wikilibros, he observado varias páginas editadas mediante copias directas de texto generado por chatbots de IA (como ChatGPT, Copilot, Claude, Gemini, o Grok). Esto me preocupa, ya que este tipo de ediciones pueden resultar muy perjudiciales, y mientras que en muchas otras wikis ya se han establecido políticas sobre el uso de IA, en Wikilibros aún no tenemos ninguna política específica al respecto.

Wikilibros en inglés cuenta con una política prohibiendo explícitamente esta clase de ediciones, que además explica el daño que pueden llegar a hacer, traduzco:

{{Cita|Solicitar a un chatbot que escriba un libro o un ensayo puede dar lugar a la producción de [[W:Alucinación (inteligencia artificial)|invenciones completas]], incluyendo referencias ficticias. El resultado puede ser sesgado, difamar a personas reales, infringir derechos de autor o simplemente ser de mala calidad.
&lt;br&gt;...&lt;br&gt;
Estos problemas pueden volverse rápidamente problemáticos en comunidades y entornos grandes donde la transferencia de conocimiento, la verificabilidad, la rendición de cuentas y el pensamiento crítico son importantes. En particular, el alto volumen y la velocidad a la que los LLM pueden generar contenido, todo el cual debe ser verificado, implica que su uso supone un riesgo considerable. Por lo tanto, los materiales de aprendizaje de idiomas no deben utilizarse para generar o resumir material e ideas en Wikibooks, y no se debe confiar ciegamente en sus fuentes.
|[https://en.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Artificial_intelligence Extraído y traducido de la política de Wikibooks (en inglés) sobre el uso de IA.]
}}

Wikipedia en Español también [[w:Wikipedia:Redacción de artículos con modelos de lenguaje grandes|cuenta con una política sobre este asunto]] que me parece correcta.

Como Wikilibros en Español es una wiki tan pequeña, quizás sea mas adecuado adaptar o traducir la política de Wikibooks en inglés, o simplemente redirigir o adaptar la política de Wikipedia en español. En mi opinión, las políticas de estas wikis son sólidas, y además, han sido redactadas y consensuadas por más usuarios de los que tenemos aquí, por lo que cuentan con un buen consenso, y están más desarrolladas y probadas en comunidades más grandes.

Quedo a la escucha de comentarios, y espero que podamos avanzar en este frente. Menciono a @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] que siempre es de gran ayuda. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 17:33 27 jun 2026 (UTC)

:Creo que sí sería conveniente que Wikilibros contara con una política específica sobre el uso de la IA, no tanto porque sea una tecnología distinta a otras herramientasd e edición, sino por la escala a la que permite generar contenido. A diferencia de Wikipedia, aquí no construimos artículos independientes, sino libros completos y materiales de aprendizaje, donde la estructura, la coherencia y la progresión de los contenidos son partwe esencial de la calidad de la obra. Un texto generado por IA puede ser correcto en términos generales y, aun así, presentar problemas de organización, inconsistencias entre capítulos, ejemplos poco adecuados o explicaciones que no responden a un criterio didáctico claro. Detectar ese tipo de problemas exige una revisión completa del libro, algo que en una comunidad pequeña como eswikibooks rara vez es posible cuando se incorporan grandes cantidades de contenido.

:Por ello, considero que una política debería ser relativamente estricta con la incorporación de texto generado por IA. No porque toda utilización de estas herramientas sea necesariamente perjudicial, sino porque el riesgo de publicar contenido insuficientemente revisado es mayor que la capacidad que tiene la comunidad para detectarlo y corregirlo. En mi opinión, la IA puede tener cabida como herramienta de apoyo durante el proceso de redacción, pero no debería emplearse para generar de forma directa partes sustanciales de un libro destinadas a su publicación. En un proyecto con pocos editores activos, resulta más prudente priorizar la calidad y el mantenimiento de los libros que facilitar un aumento rápido de contenido cuya revisión efectiva no puede garantizarse. [[Usuario:Divinations|Divinations]] ([[Usuario discusión:Divinations|discusión]]) 20:49 27 jun 2026 (UTC)
::Estoy de acuerdo con todo lo que has dicho, especialmente con tu segundo párrafo, del que suscribo cada palabra al 100%.
::Lo de adaptar una política de otra wiki, lo mencioné en gran medida, no por la dificultad en sí de redactarla, si no porque en estos lugares ya existe consenso, y así puede ser más fácil ponerse de acuerdo. Pero si en Wikilibros en español también estamos todos más o menos de acuerdo, no veo por qué no podríamos redactar la nuestra propia.
::Concuerdo totalmente en que habría que ser relativamente estricto, porque por los chatbots de IA pueden generar enormes cantidades de texto, y al ser una comunidad tan pequeña no tenemos capacidad para pararnos a revisar un libro que se generase con IA.
::En este sentido, la política de enWikibooks me parece suficientemente estricta, además, [https://en.wikibooks.org/wiki/Wikibooks_talk:Artificial_intelligence/Archive_1 se puede leer el debate que tuvieron para alcanzar tal consenso (en inglés)] que es muy interesante.
::Según la política enWikibooks:
::# Se advierte brevemente de que el contenido de IA puede ser inexacto, inventado o de baja calidad. (Personalmente creo que además podría advertirse de los posibles problemas de copyright que puede llegar a causar).
::# No se permite usar IA para generar, resumir o traducir contenido.
::# Está explícitamente prohibido hacer ediciones que consistan en copiar y pegar texto de IA en páginas.
::# Se avisa de que el contenido debe ser siempre verificado y escrito por humanos.
::# No se prohíbe que alguien consulte o haga uso de la IA como apoyo externo, lo que está prohibido es que la IA genere el contenido, pero uno puede usarla para consulta externa si lo desea.
::Considero que podríamos basarnos en la política de enWikibooks y traducirla y adaptarla a nuestra versión. Si estamos más o menos de acuerdo en que es adecuada, sería muy sencillo incorporar esta política. Si os parece bien esto, podría escribirla basándome en enWikibooks y luego mencionaros para que la reviséis. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 22:47 27 jun 2026 (UTC)
: De acuerdo a que en conjunto establezcamos una política en base al uso de IA. Es algo que se debe de tocar acá y me parece buen puerto, el guiarnos de la política establecida desde enWikibooks [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 02:29 28 jun 2026 (UTC)
::Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] y @[[Usuario:Divinations|Divinations]] he tomado la iniciativa y redactado la página «''[[Wikilibros:Política sobre el uso de inteligencia artificial generativa]]''» (que de momento está marcada como un borrador). Esta página está traducida y adaptada de la versión de enWikibooks, me he inspirado también en la conversación que hemos tenido por aquí, y en la misma política en la Wikipedia en español.
::Os agradecería si pudieseis revisar esta página, sentíos libres de editarla si lo consideráis, y os invito a continuar esta conversación en la discusión de esta página. Gracias por vuestra colaboración en este asunto. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 09:33 28 jun 2026 (UTC)
:::&lt;s&gt;Gracias, [[Usuario:Antimundo|Antimundo]]. Añadí un atajo para que pueda ser encontrada más fácilmente. [[Usuario:Divinations|Divinations]] ([[Usuario discusión:Divinations|discusión]]) 17:47 28 jun 2026 (UTC)&lt;/s&gt;
::::Parece que se borró. Creo que me adelanté antes de tiempo, mejor esperar a obtener un mejor consenso comunitario más allá de solo tres usuarios. [[Usuario:Divinations|Divinations]] ([[Usuario discusión:Divinations|discusión]]) 20:44 28 jun 2026 (UTC)
: Me temo que antes de formarse como una política dentro de Wikilibros, debe ser llevada a votación, un aviso tanto para @[[Usuario:Antimundo]] como para @[[Usuario:Divinations]]. Estoy adaptando el contenido para que se proceda a votación. Saludos [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 20:52 28 jun 2026 (UTC)
::Entendido, gracias por iniciar el procedimiento. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 22:01 28 jun 2026 (UTC)

== Votación sobre nueva política sobre el uso de la inteligencia artificial ==

En relación con el hilo anterior, se abrió una página de votación para establecer como una nueva política dentro de Wikilibros en Español. El enlace de la votación se encuentra acá: [[Wikilibros:Votaciones/Política sobre el uso de inteligencia artificial generativa]]. Saludos [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 21:24 28 jun 2026 (UTC)

== Clarificar el propósito de las plantillas infraesbozo y contextualizar ==

Buenas, en esWikilibros contamos con las plantillas {{tlx|Infraesbozo}} y {{tlx|Contextualizar}} que se adaptaron desde esWikipedia en 2015. Sin embargo, la forma en la que están redactadas en Wikilibros, sumada a la falta de documentación, hace que resulten demasiado similares entre sí y sus propósitos se solapen.

Estas plantillas en esWikipedia tienen [[w:Wikipedia:Infraesbozo|propósitos claramente diferenciados]]:

* [[w:Plantilla:Infraesbozo|Infraesbozo]]: Se utiliza para páginas cuyo contenido es insuficiente para constituir un esbozo válido. No depende de la longitud del texto, si no de que el artículo tenga algo de información mínima para desarrollar el tema. Se sugieren las siguientes preguntas para establecer si una página:
*# ¿El artículo está contextualizado en tema, lugar y tiempo?, es decir ¿entiendo exactamente de qué habla?
*# ¿El artículo aporta alguna, aunque sea mínima, información adicional enciclopédicamente pertinente? (Adicional a la imprescindible para contextualizar y marcar relevancia, se entiende).
*# ¿El artículo muestra la relevancia de su tema?
* [[w:Plantilla:Contextualizar|Contextualizar]]: Se utiliza para artículos que no proporcionan el contexto suficiente para un lector general. Su objetivo es solicitar que se añada información introductoria, explicaciones o contexto que permitan entender adecuadamente el tema tratado, sin que ello implique que el artículo sea demasiado corto.

Quiero empezar señalando la importancia que, en mi opinión, tiene borrar los infraesbozos, especialmente en esWikilibros. En el proyecto existen muchísios libros muy incompletos y abandonados que se escribieron hace 10 o 20 años que a penas contienen una portada y, como mucho, un par de frases. En la mayoría de casos está claro que su autor no va a regresar para terminarlo, por lo que permanecen indefinidamente en ese estado.

Mantener todos estos libros dificulta considerablemente el mantenimiento del proyecto. Por un lado, incrementa enormemente el número de páginas que requieren seguimiento sin aportar contenido útil. Por otro, complica la identificación de libros que realmente cuentan con algo de desarrollo o que tienen posibilidades de completarse. Además, transmiten una imagen de falta de mantenimiento y puede dificultar la navegación y el descubrimiento de obras que sí ofrecen un contenido aprovechable.

A todo esto se suma, que estos infraesbozos rara vez sirven como punto de partida para futuros colaboradores, cuando alguien decide crear un libro sobre un tema que ya cuenta con un infraesbozo, lo habitual es que el contenido existente sea tan escaso que no resulte útil para construir sobre él. En la práctica, el trabajo consiste en rehacer el libro desde el principio, ya que apenas hay material que conservar o desarrollar. En estos casos, la existencia del infraesbozo ni si quiera facilita la creación del libro.

Sin embargo, en Wikilibros, nuestra plantilla de «''Infraesbozo''» dice «''Este libro es demasiado reducido y carece de información básica que permita saber de qué se trata.''» Pero esto habla de contexto, y para contexto ya existe la plantilla «''Contextualizar''». Voy a poner algún ejemplo sobre por qué considero esto problemático:

* Existe el libro de [[Vim]] que tiene una portada y  '''absolutamenete nada''' de contenido. Está clarísimo que el libro pretende tratar sobre [[w:Vim|el editor de texto Vim]], su problema no es que «''carece de información básica que permita saber de qué se trata.''», sé perfectamente de qué quiere tratar. Pero sencillamente no contiene información útil. No hay ningún texto útil que desarrollar, ampliar o contextualizar, ni puede aportar absolutamente nada a ningún lector. Además, lleva once años sin recibir ediciones, por lo que es muy poco probable que su autor original vaya a volver en ningún momento a completarlo. Este tipo de «libros» me parecen problemáticos por lo que comenté anteriormente.
* Hay muchos casos similares en Wikilibros. Por ejemplo, existe un libro de [[Vida saludable]] que contiene una portada y una breve frase introductoria, pero nada más. De nuevo, el problema no es que «''carece de información básica que permita saber de qué se trata.''», cualquiera entiende que el libro pretende tratar sobre la vida saludable. Lo que ocurre es que ese contenido no constituye ninguna base útil para un libro. No desarrolla el tema, no aporta información aprovechable al lector y, en la práctica, cualquier editor que quisiera escribir un libro sobre ese tema tendría que empezar de cero. Además hace 16 años que no se edita, no parece que su autor original vaya a volver para completarlo.

Por ello, sugiero adaptar estas plantillas para que sus propósitos queden claramente diferenciados, siguiendo el criterio de esWikipedia. En concreto, que «''Infraesbozo''» se reserve para señalar libros cuyo contenido es insuficiente para constituir un esbozo válido, independientemente de que el tema esté claramente identificado, y que «''Contextualizar''» se utilice únicamente cuando el problema sea la falta de contexto o de información introductoria que dificulte la comprensión del contenido existente. De este modo, ambas plantillas dejarían de solapar sus funciones y su uso resultaría mucho más claro y coherente.

Además, creo que el origen del problema probablemente sea bastante trivial y ni si quiera responde a ninguna decisión deliberada: simplemente se trata de un pequeño cambio de redacción que se introdujo al adaptar las plantillas desde esWikipedia hace once años, sin que hubiera una intención concreta detrás. Con el tiempo, esa pequeña diferencia ha acabado generando este solapamiento entre ambas plantillas. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 08:30 30 jun 2026 (UTC)

:Han pasado ocho días desde que planteé esto y, dado que no ha habido ninguna objeción y tampoco considero que se trate de un cambio especialmente controvertido, voy a hacer el ajuste que propuse para clarificar la redacción de las plantillas, de forma similar a como ya está escrito en esWikipedia, tal y como expliqué anteriormente. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 16:16 8 jul 2026 (UTC)

== Un pequeño hito que quería compartir ==

¡Buenas! quería compartir con orgullo un pequeño hito conseguido en Wikilibros, solo por informar de las tareas que ando haciendo. 😊 Últimamente he estado arreglando literalmente '''miles''' de errores de sintaxis que reporta el [[:mw:Extension:Linter|linter]] de Wikilibros. Si entráis en la [[Especial:Errores_de_sintaxis|lista de errores de sintaxis]] podréis ver que la mayoría de categorías de errores graves están a 0, o se han reducido también drásticamente.

Arreglar estos errores puede parecer poco llamativo porque no cambia en nada el contenido de las páginas, pero corregirlos hace que Wikilibros sea más fácil de mantener, más compatible con futuras actualizaciones de MediaWiki, cumpla los estándares modernos de accesibilidad y reduce la posibilidad de que las páginas no se rendericen correctamente.

No puedo arreglar ''todos'' los errores porque muchos están en páginas protegidas que no puedo editar al no ser bibliotecario, además son muy numerosos (muchos miles) y algunos son complejos de arreglar. Pero ando trabajando en ello en mis ratos libres. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:14 8 jul 2026 (UTC)

== Estandarización de las categorías de libros ==

En esWikilibros tenemos un problema grave con la catalogación de los libros, que en enWikibooks no existe gracias a una simple convención a la hora de nombrar las categorías. Ya expuse este asunto en [[Usuario:Antimundo/Taller/El estado actual de Wikilibros#Problemas_de_organización|un escrito en mi página de usuario]]. ''(Nótese que voy a usar enWikibooks de ejemplo, pero que esa misma solución se usa en otras ediciones de Wikilibros como en alemán o portugués).''

Tanto en esWikilibros como en enWikibooks, los libros tienen dos clases de categorías:
# '''Categoría para ''agrupar'' el libro''': Todas las páginas de un mismo libro se agrupan bajo una categoría con el mismo nombre del libro. Por ejemplo, el libro [[:en:C programming]] pertenece a la categoría [[:en:Category:Book:C programming]].
# '''Categoría para ''catalogar'' el libro''': El libro en sí mismo se cataloga bajo una o varias categorías. Por ejemplo, el libro [[:en:C programming]] pertenece a la categoría [[:en:Category:Shelf:C programming language]] que agrupa todos los libros sobre programación en C, como [[:en:Linear Algebra and the C Language]] o [[:en:A Little C Primer]].

Habréis notado que en enWikibooks usan los prefijos:
# '''''Book''''': Para ''agrupar'' las páginas del libro.
# '''''Shelf''''': Para ''catalogar'' libros.

En esWikilibros, hacemos exactamente lo mismo, con la diferencia de que no usamos estos prefijos. Lo cual es un problema porque esto genera innumerables errores como los siguientes:
* El libro [[Programación en C++]] se agrupa bajo la categoría [[:Categoría:Programación en C++]].
* Pero a su vez, la [[:Categoría:Programación en C++]] también se usa para catalogar libros relacionados con programación en C++, por lo que esta categoría incluye también el libro [[Desarrollo de videojuegos para PSP con C++ y SDL]] y [[Programación con Qt4]].

Es decir, la [[:Categoría:Programación en C++]] solapa dos propósitos distintos, y este problema ocurre con una gran cantidad de libros en esWikilibros, y hace que sea muy confuso navegar por las categorías de esWikilibros.

;La solución

Usar el mismo sistema que usan en otras ediciones de Wikilibros, donde los libros se agrupan bajo una categoría llamada ''Libro:'' (de forma que quedaría ''Categoría:Libro:Programación en C++''), y los libros a su vez se catalogan mediante ''Shelf:'' o en español ''Estante:'' (de forma que quedaría ''Categoría:Estante:Programación en C++'').

Curiosamente, ya ha existido algún tímido intento de usar este sistema en esWikilibros, por eso, por ejemplo, tenemos la categoría de catalogación [[:Categoría:Estante:Lenguajes de programación]] y el libro de [[Haskell]] está agrupado bajo la categoría [[:Categoría:Libro:Haskell]]. Pero esto no lo tenemos estandarizado, porque directamente no seguimos ningún sistema en particular [[Usuario:Antimundo/Taller/El estado actual de Wikilibros#Problemas_de_organización|como ya expliqué en mi reciente escrito]].

; Conclusión
En consecuencia, propongo adoptar esta convención como estándar en esWikilibros:
* Las categorías destinadas a agrupar las páginas de un libro pasarán a usar el prefijo «Libro:».
* Las categorías destinadas a catalogar libros por temática pasarán a usar el prefijo «Estante:».
Las categorías existentes se irán trasladando progresivamente a esta estructura, corrigiendo los casos en los que actualmente ambos usos se solapan.

Se trata de un  pequeño cambio principalmente organizativo, que no modifica el contenido de los libros, pero sí hace que la estructura de categorías sea mucho más clara, coherente y fácil de mantener, y que además ya se usa en otras ediciones de Wikilibros.

Voy a esperar unos días por si alguien quiere dejar algún comentario sobre este asunto, tras los cuales mi intención es comenzar a usar esta convención y dejarla documentada para que pueda aplicarse de forma consistente en el futuro.

¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 08:18 15 jul 2026 (UTC)

:Mientras trabajaba en este asunto, me he fijado también en que en Wikilibros tenemos dos «categorías raíz»:
:# [[:Categoría:Categorías]]
:# [[:Categoría:Principal]]
:Ambas dicen ser «la categoría raíz de nuestro sistemas de categorías». Esta duplicidad es un error por motivos obvios.
:Mi sugerencia es que nos quedemos sólo con [[:Categoría:Categorías]]. Por los siguientes motivos:
:# «Categorías» es mucho mas claro que «Principal». ¿Qué significa principal? ¿Principal qué? «Categorías» deja bastante claro, que esa categoría alberga categorías.
:# Por coherencia con otras wikis, ya que en esWikipedia la categoría raíz de otras categorías también se llama «Categorías». Y en enWikibooks se llama «Categories».
:[[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:04 15 jul 2026 (UTC)
:Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]], me alegra mucho ver los cambios recientes que has realizado en línea con esta propuesta, y que incluso has categorizado algunos libros usando esta estructura de ''libros'' y ''estantes''. Por lo tanto ¿imagino que la propuesta te parece razonable? Me gustaría conocer tu opinión, gracias de antemano. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 07:03 16 jul 2026 (UTC)
: Hola, Antimundo:
: Sí, la propuesta me parece una buena iniciativa. Comenzar a diferenciar correctamente las categorías destinadas a agrupar las páginas de cada libro de aquellas utilizadas para catalogar los libros por temática permitiría ordenar considerablemente la estructura actual de esWikilibros.
: Tomar como referencia el sistema utilizado en enWikibooks, mediante los prefijos «Libro:» y «Estante:», me parece razonable, especialmente porque evita que una misma categoría cumpla simultáneamente dos funciones diferentes. Además, facilitaría la navegación, el mantenimiento y la aplicación de un criterio común en todo el proyecto.
: Por esa razón, he comenzado a realizar algunos cambios siguiendo esta estructura, categorizando las secciones de los libros dentro de sus respectivas categorías «Libro:» y utilizando las categorías «Estante:» para su clasificación temática.
: También procedí a eliminar una plantilla que habías creado recientemente para esta finalidad, debido a que en el proyecto ya existía previamente una plantilla destinada a autocategorizar los libros ({{tl|AutoCat}} Mantener dos plantillas con funciones iguales o muy similares habría generado duplicidad, confusión y posibles inconsistencias en la categorización.
: Considero importante que esta convención quede bien documentada antes de extenderla al resto del proyecto, incluyendo el funcionamiento de las plantillas de autocategorización y el procedimiento para trasladar progresivamente las categorías existentes.
: Un saludo. [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 16:21 16 jul 2026 (UTC)
::Genial, gracias por tu ayuda. Sabía que existía {{ep|AutoCat}} (también existe {{ep|AutoCategoría}} por cierto) el motivo por el que hice una nueva plantilla era para no «molestar», porque estaba probando cosas y no sabía si al resto de usuarios os iba a parecer bien esta forma de categorizar, así que preferí no tocar las plantillas que ya existían.
::Estoy 100% de acuerdo contigo en que esta convención debería quedar bien documentada. Ya comenté que me parecía muy problemático que hasta ahora no hubiese ninguna convención documentada en general. ¿Supongo que esto debería ser una política y como tal habría que redactarla para ser incluída en las políticas y orientaciones? Como es una convención bastante sencilla, esto sería sencillo de redactar. Podríamos llamarla «Política de catalogación de libros» o algo así.
::Quedo a la espera de tu opinión sobre cómo proceder con este asunto de la documentación. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 17:14 16 jul 2026 (UTC)
:::Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] he modificado [[Wikilibros:Política_de_nombrado#Uso_de_categorías_y_navegación]] con esta convención. Te invito a revisarlo para ver si te parece bien.
:::Espero que no haya problema en haberme adelantado a añadir esta convención en la política. Pero teniendo en cuenta que ambos estamos de acuerdo cuando somos con diferencia los usuarios más activos en Wikilibros y los únicos que participamos en estas discusiones. Y que es una convención sencilla que mejora bastante el sistema que había, no creo que este cambio resulte polémico para nadie. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:25 18 jul 2026 (UTC)

== Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) ==

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Apologies if this has not yet been translated into your wiki's language. {{int:Please-translate}}
You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}}
[[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]])  12:24 24 jul 2026 (UTC)
&lt;/bdi&gt;
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:DreamRimmer@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30513860 --&gt;

== Una nueva propuesta para medir la calidad de los libros ==

Recientemente he estado compartiendo mensajes con @[[Usuario:Ignacio Rodríguez|Ignacio Rodríguez]], quien actualmente está realizando una gran labor como el administrador más activo de nuestro proyecto hermano Wikisource. Wikisource usó en sus inicios exactamente el mismo sistema de «porcentajes» que usamos actualmente en Wikilibros, el cual fue sustituido recientemente, pues Ignacio ha creado [[s:Wikisource:Calidad de textos|un sistema más claro y sencillo de mantener]] que personalmente me parece mucho más adecuado.

Inspirado por su labor y sus mensajes, me puse a redactar una propuesta para mejorar el sistema que usamos para medir la calidad de los wikilibros. Actualmente tenemos dos sistemas principales, uno son los [[Wikilibros:Libros destacados|libros destacados]], y otro es el [[Wikilibros:Niveles de desarrollo|nivel de desarrollo]]. Pero aunque ambos sistemas existen básicamente desde la concepción misma de Wikilibros, encuentro numerosos problemas con ellos.

* '''El sistema de porcentajes es profundamente ambiguo.''' Intenta asignar un valor numérico a algo que, por naturaleza, es subjetivo. Un wikilibro nunca está realmente «terminado», ya que puede seguir ampliándose y mejorándose indefinidamente, por lo que es discutible siquiera afirmar que un libro pueda llegar a estar nunca 100% desarrollado, y resulta muy difícil justificar que un libro esté al 25 %, al 50 % o al 75 % de desarrollo.
* '''La clasificación no refleja la calidad real de los libros.''' Es habitual encontrar libros marcados con porcentajes bajos a pesar de estar bastante desarrollados, mientras que otros aparecen como completados al 75 % o al 100 % cuando todavía presentan importantes carencias de contenido o de calidad.
* '''Requiere un mantenimiento constante que nuestra comunidad difícilmente puede asumir.''' Para que los porcentajes fueran mínimamente útiles habría que revisarlos continuamente conforme evolucionan los libros, algo poco realista en un proyecto con una comunidad reducida.
* '''Ambos sistemas reciben muy poco mantenimiento.''' Aunque existe desde hace muchos años, el sistema de libros destacados apenas se ha utilizado, nunca se han celebrado votaciones y ni siquiera existen unas instrucciones claras sobre cómo debe otorgarse esta distinción. Por su parte la gran mayoría de páginas de «Desarrollo» llevan intactas desde hace una o dos décadas sin que nadie las actualice.
* '''El sistema de porcentajes requiere mucho esfuerzo para la utilidad que aporta.''' En lugar de indicar con claridad si un libro ha sido revisado y cumple unos estándares mínimos de calidad, intenta clasificar los libros mediante criterios difíciles de medir y que generan más dudas que certezas.

Por estos motivos llevo tiempo trabajando en una propuesta inspirada en el sistema que actualmente utiliza Wikisource y en la filosofía de revisión de Wikipedia. Mi propuesta es sustituir ambos sistemas por un modelo mucho más simple, objetivo y fácil de mantener, basado en tres estados:
# [[File:Circle with Pencil.svg|20px]] '''No corregido''' - Por defecto. Al igual que en Wikipedia, la mayoría de páginas y libros simple y llanamente no han sido revisadas. Pueden llegar a tener problemas que se evidenciarían por las plantillas de mantenimiento ({{ep|Desactualizado}}, {{ep|Referencias}}, {{ep|Esbozo}}, etc) que tenga.
# [[File:Yellow Checkmark Circle.svg|20px]] '''Corregido''' - La página o libro ha sido corregida por al menos un usuario, y esta se ha marcado «Para validar». Una página o libro corregida debería cumplir todas las políticas de Wikilibros, y tener un formato, sintaxis, redacción y extensión adecuadas.
# [[File:Yes Check Circle.svg|20px]] '''Validado''' - La página o libro estaba corregida, y posteriormente ha sido validada por al menos un bibliotecario.

Las principales ventajas de este sistema son que elimina la ambigüedad de los porcentajes, reduce enormemente el mantenimiento que requiere la comunidad y proporciona dos sellos de calidad claros: «''Corregido''», cuando al menos un editor considera que el libro cumple los estándares de Wikilibros, y «''Validado''», cuando además un bibliotecario ha revisado y confirmado esa valoración. En definitiva, creo que ofrece una información mucho más útil tanto para los lectores como para los propios editores.

;En la práctica
Cuando un usuario quiera marcar una página como «''corregida''» lo haría añadiendo a esa página la plantilla &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{calidad|nivel=corregido|usuario=Antimundo|fecha={{subst:CURRENTTIMESTAMP}}}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;, como solo los bibliotecarios deberían poder marcar una página como «''validada''» se puede usar un filtro antiabusos (AbuseFilter) para evitar que un usuario sin permisos escriba &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{calidad|nivel=validado}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;.

Las páginas «''corregidas''» se añadirán a una categoría de mantenimiento como ''Categoría:Páginas marcadas como corregidas'', para que los bibliotecarios puedan ver las páginas a la espera de validarse.

;Quiero destacar algunas cosas:
# Que llevo más de un mes pensando en este asunto y pensando una propuesta que pueda ser interesante, estoy más que abierto a comentarios y opiniones, invito a todo el mundo a [[Antimundo/Taller/Propuesta de sistema de medición de calidad|leer mi propuesta completa]].
# Sé que este cambio puede resultar disruptivo, pero en realidad el sistema de porcentajes fue añadido por un usuario en 2005 y adoptado de facto desde entonces, pero no existe ninguna votación ni consenso formal que lo aprobara (que haya podido encontrar).

Como toda propuesta, estoy abierto a escuchar opiniones y sugerencias, ya que la idea en Wikilibros es buscar el consenso. Dicho esto, considero que el sistema actual presenta problemas importantes por los motivos expuestos anteriormente, y creo que este nuevo modelo supone una mejora clara, por lo que mi intención es trabajar para que pueda implementarse. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 18:40 26 jul 2026 (UTC)</text>
      <sha1>dhlooqi3mn4z3tpcrqd64yhfuuh3xfy</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>429221</id>
      <parentid>429220</parentid>
      <timestamp>2026-07-26T18:41:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Antimundo</username>
        <id>74354</id>
      </contributor>
      <comment>/* Una nueva propuesta para medir la calidad de los libros */ Respuesta</comment>
      <origin>429221</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="33561" sha1="qym7d7mylakxgqgvpzdj599codsagqf" xml:space="preserve">{{Wikilibros:Café/Cabecera}}
{{Usuario:MABot/config
|archive = Wikilibros:Café/Archivo/%(year)s
|algo = old(45d)
|counter = 1
|archiveheader = {{Archivo}}
|minthreadsleft = 0
|minthreadstoarchive = 1
}}

== Petición para establecer una política sobre inteligencia artificial ==

Buenas.

En el tiempo que llevo en Wikilibros, he observado varias páginas editadas mediante copias directas de texto generado por chatbots de IA (como ChatGPT, Copilot, Claude, Gemini, o Grok). Esto me preocupa, ya que este tipo de ediciones pueden resultar muy perjudiciales, y mientras que en muchas otras wikis ya se han establecido políticas sobre el uso de IA, en Wikilibros aún no tenemos ninguna política específica al respecto.

Wikilibros en inglés cuenta con una política prohibiendo explícitamente esta clase de ediciones, que además explica el daño que pueden llegar a hacer, traduzco:

{{Cita|Solicitar a un chatbot que escriba un libro o un ensayo puede dar lugar a la producción de [[W:Alucinación (inteligencia artificial)|invenciones completas]], incluyendo referencias ficticias. El resultado puede ser sesgado, difamar a personas reales, infringir derechos de autor o simplemente ser de mala calidad.
&lt;br&gt;...&lt;br&gt;
Estos problemas pueden volverse rápidamente problemáticos en comunidades y entornos grandes donde la transferencia de conocimiento, la verificabilidad, la rendición de cuentas y el pensamiento crítico son importantes. En particular, el alto volumen y la velocidad a la que los LLM pueden generar contenido, todo el cual debe ser verificado, implica que su uso supone un riesgo considerable. Por lo tanto, los materiales de aprendizaje de idiomas no deben utilizarse para generar o resumir material e ideas en Wikibooks, y no se debe confiar ciegamente en sus fuentes.
|[https://en.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Artificial_intelligence Extraído y traducido de la política de Wikibooks (en inglés) sobre el uso de IA.]
}}

Wikipedia en Español también [[w:Wikipedia:Redacción de artículos con modelos de lenguaje grandes|cuenta con una política sobre este asunto]] que me parece correcta.

Como Wikilibros en Español es una wiki tan pequeña, quizás sea mas adecuado adaptar o traducir la política de Wikibooks en inglés, o simplemente redirigir o adaptar la política de Wikipedia en español. En mi opinión, las políticas de estas wikis son sólidas, y además, han sido redactadas y consensuadas por más usuarios de los que tenemos aquí, por lo que cuentan con un buen consenso, y están más desarrolladas y probadas en comunidades más grandes.

Quedo a la escucha de comentarios, y espero que podamos avanzar en este frente. Menciono a @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] que siempre es de gran ayuda. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 17:33 27 jun 2026 (UTC)

:Creo que sí sería conveniente que Wikilibros contara con una política específica sobre el uso de la IA, no tanto porque sea una tecnología distinta a otras herramientasd e edición, sino por la escala a la que permite generar contenido. A diferencia de Wikipedia, aquí no construimos artículos independientes, sino libros completos y materiales de aprendizaje, donde la estructura, la coherencia y la progresión de los contenidos son partwe esencial de la calidad de la obra. Un texto generado por IA puede ser correcto en términos generales y, aun así, presentar problemas de organización, inconsistencias entre capítulos, ejemplos poco adecuados o explicaciones que no responden a un criterio didáctico claro. Detectar ese tipo de problemas exige una revisión completa del libro, algo que en una comunidad pequeña como eswikibooks rara vez es posible cuando se incorporan grandes cantidades de contenido.

:Por ello, considero que una política debería ser relativamente estricta con la incorporación de texto generado por IA. No porque toda utilización de estas herramientas sea necesariamente perjudicial, sino porque el riesgo de publicar contenido insuficientemente revisado es mayor que la capacidad que tiene la comunidad para detectarlo y corregirlo. En mi opinión, la IA puede tener cabida como herramienta de apoyo durante el proceso de redacción, pero no debería emplearse para generar de forma directa partes sustanciales de un libro destinadas a su publicación. En un proyecto con pocos editores activos, resulta más prudente priorizar la calidad y el mantenimiento de los libros que facilitar un aumento rápido de contenido cuya revisión efectiva no puede garantizarse. [[Usuario:Divinations|Divinations]] ([[Usuario discusión:Divinations|discusión]]) 20:49 27 jun 2026 (UTC)
::Estoy de acuerdo con todo lo que has dicho, especialmente con tu segundo párrafo, del que suscribo cada palabra al 100%.
::Lo de adaptar una política de otra wiki, lo mencioné en gran medida, no por la dificultad en sí de redactarla, si no porque en estos lugares ya existe consenso, y así puede ser más fácil ponerse de acuerdo. Pero si en Wikilibros en español también estamos todos más o menos de acuerdo, no veo por qué no podríamos redactar la nuestra propia.
::Concuerdo totalmente en que habría que ser relativamente estricto, porque por los chatbots de IA pueden generar enormes cantidades de texto, y al ser una comunidad tan pequeña no tenemos capacidad para pararnos a revisar un libro que se generase con IA.
::En este sentido, la política de enWikibooks me parece suficientemente estricta, además, [https://en.wikibooks.org/wiki/Wikibooks_talk:Artificial_intelligence/Archive_1 se puede leer el debate que tuvieron para alcanzar tal consenso (en inglés)] que es muy interesante.
::Según la política enWikibooks:
::# Se advierte brevemente de que el contenido de IA puede ser inexacto, inventado o de baja calidad. (Personalmente creo que además podría advertirse de los posibles problemas de copyright que puede llegar a causar).
::# No se permite usar IA para generar, resumir o traducir contenido.
::# Está explícitamente prohibido hacer ediciones que consistan en copiar y pegar texto de IA en páginas.
::# Se avisa de que el contenido debe ser siempre verificado y escrito por humanos.
::# No se prohíbe que alguien consulte o haga uso de la IA como apoyo externo, lo que está prohibido es que la IA genere el contenido, pero uno puede usarla para consulta externa si lo desea.
::Considero que podríamos basarnos en la política de enWikibooks y traducirla y adaptarla a nuestra versión. Si estamos más o menos de acuerdo en que es adecuada, sería muy sencillo incorporar esta política. Si os parece bien esto, podría escribirla basándome en enWikibooks y luego mencionaros para que la reviséis. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 22:47 27 jun 2026 (UTC)
: De acuerdo a que en conjunto establezcamos una política en base al uso de IA. Es algo que se debe de tocar acá y me parece buen puerto, el guiarnos de la política establecida desde enWikibooks [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 02:29 28 jun 2026 (UTC)
::Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] y @[[Usuario:Divinations|Divinations]] he tomado la iniciativa y redactado la página «''[[Wikilibros:Política sobre el uso de inteligencia artificial generativa]]''» (que de momento está marcada como un borrador). Esta página está traducida y adaptada de la versión de enWikibooks, me he inspirado también en la conversación que hemos tenido por aquí, y en la misma política en la Wikipedia en español.
::Os agradecería si pudieseis revisar esta página, sentíos libres de editarla si lo consideráis, y os invito a continuar esta conversación en la discusión de esta página. Gracias por vuestra colaboración en este asunto. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 09:33 28 jun 2026 (UTC)
:::&lt;s&gt;Gracias, [[Usuario:Antimundo|Antimundo]]. Añadí un atajo para que pueda ser encontrada más fácilmente. [[Usuario:Divinations|Divinations]] ([[Usuario discusión:Divinations|discusión]]) 17:47 28 jun 2026 (UTC)&lt;/s&gt;
::::Parece que se borró. Creo que me adelanté antes de tiempo, mejor esperar a obtener un mejor consenso comunitario más allá de solo tres usuarios. [[Usuario:Divinations|Divinations]] ([[Usuario discusión:Divinations|discusión]]) 20:44 28 jun 2026 (UTC)
: Me temo que antes de formarse como una política dentro de Wikilibros, debe ser llevada a votación, un aviso tanto para @[[Usuario:Antimundo]] como para @[[Usuario:Divinations]]. Estoy adaptando el contenido para que se proceda a votación. Saludos [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 20:52 28 jun 2026 (UTC)
::Entendido, gracias por iniciar el procedimiento. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 22:01 28 jun 2026 (UTC)

== Votación sobre nueva política sobre el uso de la inteligencia artificial ==

En relación con el hilo anterior, se abrió una página de votación para establecer como una nueva política dentro de Wikilibros en Español. El enlace de la votación se encuentra acá: [[Wikilibros:Votaciones/Política sobre el uso de inteligencia artificial generativa]]. Saludos [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 21:24 28 jun 2026 (UTC)

== Clarificar el propósito de las plantillas infraesbozo y contextualizar ==

Buenas, en esWikilibros contamos con las plantillas {{tlx|Infraesbozo}} y {{tlx|Contextualizar}} que se adaptaron desde esWikipedia en 2015. Sin embargo, la forma en la que están redactadas en Wikilibros, sumada a la falta de documentación, hace que resulten demasiado similares entre sí y sus propósitos se solapen.

Estas plantillas en esWikipedia tienen [[w:Wikipedia:Infraesbozo|propósitos claramente diferenciados]]:

* [[w:Plantilla:Infraesbozo|Infraesbozo]]: Se utiliza para páginas cuyo contenido es insuficiente para constituir un esbozo válido. No depende de la longitud del texto, si no de que el artículo tenga algo de información mínima para desarrollar el tema. Se sugieren las siguientes preguntas para establecer si una página:
*# ¿El artículo está contextualizado en tema, lugar y tiempo?, es decir ¿entiendo exactamente de qué habla?
*# ¿El artículo aporta alguna, aunque sea mínima, información adicional enciclopédicamente pertinente? (Adicional a la imprescindible para contextualizar y marcar relevancia, se entiende).
*# ¿El artículo muestra la relevancia de su tema?
* [[w:Plantilla:Contextualizar|Contextualizar]]: Se utiliza para artículos que no proporcionan el contexto suficiente para un lector general. Su objetivo es solicitar que se añada información introductoria, explicaciones o contexto que permitan entender adecuadamente el tema tratado, sin que ello implique que el artículo sea demasiado corto.

Quiero empezar señalando la importancia que, en mi opinión, tiene borrar los infraesbozos, especialmente en esWikilibros. En el proyecto existen muchísios libros muy incompletos y abandonados que se escribieron hace 10 o 20 años que a penas contienen una portada y, como mucho, un par de frases. En la mayoría de casos está claro que su autor no va a regresar para terminarlo, por lo que permanecen indefinidamente en ese estado.

Mantener todos estos libros dificulta considerablemente el mantenimiento del proyecto. Por un lado, incrementa enormemente el número de páginas que requieren seguimiento sin aportar contenido útil. Por otro, complica la identificación de libros que realmente cuentan con algo de desarrollo o que tienen posibilidades de completarse. Además, transmiten una imagen de falta de mantenimiento y puede dificultar la navegación y el descubrimiento de obras que sí ofrecen un contenido aprovechable.

A todo esto se suma, que estos infraesbozos rara vez sirven como punto de partida para futuros colaboradores, cuando alguien decide crear un libro sobre un tema que ya cuenta con un infraesbozo, lo habitual es que el contenido existente sea tan escaso que no resulte útil para construir sobre él. En la práctica, el trabajo consiste en rehacer el libro desde el principio, ya que apenas hay material que conservar o desarrollar. En estos casos, la existencia del infraesbozo ni si quiera facilita la creación del libro.

Sin embargo, en Wikilibros, nuestra plantilla de «''Infraesbozo''» dice «''Este libro es demasiado reducido y carece de información básica que permita saber de qué se trata.''» Pero esto habla de contexto, y para contexto ya existe la plantilla «''Contextualizar''». Voy a poner algún ejemplo sobre por qué considero esto problemático:

* Existe el libro de [[Vim]] que tiene una portada y  '''absolutamenete nada''' de contenido. Está clarísimo que el libro pretende tratar sobre [[w:Vim|el editor de texto Vim]], su problema no es que «''carece de información básica que permita saber de qué se trata.''», sé perfectamente de qué quiere tratar. Pero sencillamente no contiene información útil. No hay ningún texto útil que desarrollar, ampliar o contextualizar, ni puede aportar absolutamente nada a ningún lector. Además, lleva once años sin recibir ediciones, por lo que es muy poco probable que su autor original vaya a volver en ningún momento a completarlo. Este tipo de «libros» me parecen problemáticos por lo que comenté anteriormente.
* Hay muchos casos similares en Wikilibros. Por ejemplo, existe un libro de [[Vida saludable]] que contiene una portada y una breve frase introductoria, pero nada más. De nuevo, el problema no es que «''carece de información básica que permita saber de qué se trata.''», cualquiera entiende que el libro pretende tratar sobre la vida saludable. Lo que ocurre es que ese contenido no constituye ninguna base útil para un libro. No desarrolla el tema, no aporta información aprovechable al lector y, en la práctica, cualquier editor que quisiera escribir un libro sobre ese tema tendría que empezar de cero. Además hace 16 años que no se edita, no parece que su autor original vaya a volver para completarlo.

Por ello, sugiero adaptar estas plantillas para que sus propósitos queden claramente diferenciados, siguiendo el criterio de esWikipedia. En concreto, que «''Infraesbozo''» se reserve para señalar libros cuyo contenido es insuficiente para constituir un esbozo válido, independientemente de que el tema esté claramente identificado, y que «''Contextualizar''» se utilice únicamente cuando el problema sea la falta de contexto o de información introductoria que dificulte la comprensión del contenido existente. De este modo, ambas plantillas dejarían de solapar sus funciones y su uso resultaría mucho más claro y coherente.

Además, creo que el origen del problema probablemente sea bastante trivial y ni si quiera responde a ninguna decisión deliberada: simplemente se trata de un pequeño cambio de redacción que se introdujo al adaptar las plantillas desde esWikipedia hace once años, sin que hubiera una intención concreta detrás. Con el tiempo, esa pequeña diferencia ha acabado generando este solapamiento entre ambas plantillas. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 08:30 30 jun 2026 (UTC)

:Han pasado ocho días desde que planteé esto y, dado que no ha habido ninguna objeción y tampoco considero que se trate de un cambio especialmente controvertido, voy a hacer el ajuste que propuse para clarificar la redacción de las plantillas, de forma similar a como ya está escrito en esWikipedia, tal y como expliqué anteriormente. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 16:16 8 jul 2026 (UTC)

== Un pequeño hito que quería compartir ==

¡Buenas! quería compartir con orgullo un pequeño hito conseguido en Wikilibros, solo por informar de las tareas que ando haciendo. 😊 Últimamente he estado arreglando literalmente '''miles''' de errores de sintaxis que reporta el [[:mw:Extension:Linter|linter]] de Wikilibros. Si entráis en la [[Especial:Errores_de_sintaxis|lista de errores de sintaxis]] podréis ver que la mayoría de categorías de errores graves están a 0, o se han reducido también drásticamente.

Arreglar estos errores puede parecer poco llamativo porque no cambia en nada el contenido de las páginas, pero corregirlos hace que Wikilibros sea más fácil de mantener, más compatible con futuras actualizaciones de MediaWiki, cumpla los estándares modernos de accesibilidad y reduce la posibilidad de que las páginas no se rendericen correctamente.

No puedo arreglar ''todos'' los errores porque muchos están en páginas protegidas que no puedo editar al no ser bibliotecario, además son muy numerosos (muchos miles) y algunos son complejos de arreglar. Pero ando trabajando en ello en mis ratos libres. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:14 8 jul 2026 (UTC)

== Estandarización de las categorías de libros ==

En esWikilibros tenemos un problema grave con la catalogación de los libros, que en enWikibooks no existe gracias a una simple convención a la hora de nombrar las categorías. Ya expuse este asunto en [[Usuario:Antimundo/Taller/El estado actual de Wikilibros#Problemas_de_organización|un escrito en mi página de usuario]]. ''(Nótese que voy a usar enWikibooks de ejemplo, pero que esa misma solución se usa en otras ediciones de Wikilibros como en alemán o portugués).''

Tanto en esWikilibros como en enWikibooks, los libros tienen dos clases de categorías:
# '''Categoría para ''agrupar'' el libro''': Todas las páginas de un mismo libro se agrupan bajo una categoría con el mismo nombre del libro. Por ejemplo, el libro [[:en:C programming]] pertenece a la categoría [[:en:Category:Book:C programming]].
# '''Categoría para ''catalogar'' el libro''': El libro en sí mismo se cataloga bajo una o varias categorías. Por ejemplo, el libro [[:en:C programming]] pertenece a la categoría [[:en:Category:Shelf:C programming language]] que agrupa todos los libros sobre programación en C, como [[:en:Linear Algebra and the C Language]] o [[:en:A Little C Primer]].

Habréis notado que en enWikibooks usan los prefijos:
# '''''Book''''': Para ''agrupar'' las páginas del libro.
# '''''Shelf''''': Para ''catalogar'' libros.

En esWikilibros, hacemos exactamente lo mismo, con la diferencia de que no usamos estos prefijos. Lo cual es un problema porque esto genera innumerables errores como los siguientes:
* El libro [[Programación en C++]] se agrupa bajo la categoría [[:Categoría:Programación en C++]].
* Pero a su vez, la [[:Categoría:Programación en C++]] también se usa para catalogar libros relacionados con programación en C++, por lo que esta categoría incluye también el libro [[Desarrollo de videojuegos para PSP con C++ y SDL]] y [[Programación con Qt4]].

Es decir, la [[:Categoría:Programación en C++]] solapa dos propósitos distintos, y este problema ocurre con una gran cantidad de libros en esWikilibros, y hace que sea muy confuso navegar por las categorías de esWikilibros.

;La solución

Usar el mismo sistema que usan en otras ediciones de Wikilibros, donde los libros se agrupan bajo una categoría llamada ''Libro:'' (de forma que quedaría ''Categoría:Libro:Programación en C++''), y los libros a su vez se catalogan mediante ''Shelf:'' o en español ''Estante:'' (de forma que quedaría ''Categoría:Estante:Programación en C++'').

Curiosamente, ya ha existido algún tímido intento de usar este sistema en esWikilibros, por eso, por ejemplo, tenemos la categoría de catalogación [[:Categoría:Estante:Lenguajes de programación]] y el libro de [[Haskell]] está agrupado bajo la categoría [[:Categoría:Libro:Haskell]]. Pero esto no lo tenemos estandarizado, porque directamente no seguimos ningún sistema en particular [[Usuario:Antimundo/Taller/El estado actual de Wikilibros#Problemas_de_organización|como ya expliqué en mi reciente escrito]].

; Conclusión
En consecuencia, propongo adoptar esta convención como estándar en esWikilibros:
* Las categorías destinadas a agrupar las páginas de un libro pasarán a usar el prefijo «Libro:».
* Las categorías destinadas a catalogar libros por temática pasarán a usar el prefijo «Estante:».
Las categorías existentes se irán trasladando progresivamente a esta estructura, corrigiendo los casos en los que actualmente ambos usos se solapan.

Se trata de un  pequeño cambio principalmente organizativo, que no modifica el contenido de los libros, pero sí hace que la estructura de categorías sea mucho más clara, coherente y fácil de mantener, y que además ya se usa en otras ediciones de Wikilibros.

Voy a esperar unos días por si alguien quiere dejar algún comentario sobre este asunto, tras los cuales mi intención es comenzar a usar esta convención y dejarla documentada para que pueda aplicarse de forma consistente en el futuro.

¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 08:18 15 jul 2026 (UTC)

:Mientras trabajaba en este asunto, me he fijado también en que en Wikilibros tenemos dos «categorías raíz»:
:# [[:Categoría:Categorías]]
:# [[:Categoría:Principal]]
:Ambas dicen ser «la categoría raíz de nuestro sistemas de categorías». Esta duplicidad es un error por motivos obvios.
:Mi sugerencia es que nos quedemos sólo con [[:Categoría:Categorías]]. Por los siguientes motivos:
:# «Categorías» es mucho mas claro que «Principal». ¿Qué significa principal? ¿Principal qué? «Categorías» deja bastante claro, que esa categoría alberga categorías.
:# Por coherencia con otras wikis, ya que en esWikipedia la categoría raíz de otras categorías también se llama «Categorías». Y en enWikibooks se llama «Categories».
:[[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:04 15 jul 2026 (UTC)
:Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]], me alegra mucho ver los cambios recientes que has realizado en línea con esta propuesta, y que incluso has categorizado algunos libros usando esta estructura de ''libros'' y ''estantes''. Por lo tanto ¿imagino que la propuesta te parece razonable? Me gustaría conocer tu opinión, gracias de antemano. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 07:03 16 jul 2026 (UTC)
: Hola, Antimundo:
: Sí, la propuesta me parece una buena iniciativa. Comenzar a diferenciar correctamente las categorías destinadas a agrupar las páginas de cada libro de aquellas utilizadas para catalogar los libros por temática permitiría ordenar considerablemente la estructura actual de esWikilibros.
: Tomar como referencia el sistema utilizado en enWikibooks, mediante los prefijos «Libro:» y «Estante:», me parece razonable, especialmente porque evita que una misma categoría cumpla simultáneamente dos funciones diferentes. Además, facilitaría la navegación, el mantenimiento y la aplicación de un criterio común en todo el proyecto.
: Por esa razón, he comenzado a realizar algunos cambios siguiendo esta estructura, categorizando las secciones de los libros dentro de sus respectivas categorías «Libro:» y utilizando las categorías «Estante:» para su clasificación temática.
: También procedí a eliminar una plantilla que habías creado recientemente para esta finalidad, debido a que en el proyecto ya existía previamente una plantilla destinada a autocategorizar los libros ({{tl|AutoCat}} Mantener dos plantillas con funciones iguales o muy similares habría generado duplicidad, confusión y posibles inconsistencias en la categorización.
: Considero importante que esta convención quede bien documentada antes de extenderla al resto del proyecto, incluyendo el funcionamiento de las plantillas de autocategorización y el procedimiento para trasladar progresivamente las categorías existentes.
: Un saludo. [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 16:21 16 jul 2026 (UTC)
::Genial, gracias por tu ayuda. Sabía que existía {{ep|AutoCat}} (también existe {{ep|AutoCategoría}} por cierto) el motivo por el que hice una nueva plantilla era para no «molestar», porque estaba probando cosas y no sabía si al resto de usuarios os iba a parecer bien esta forma de categorizar, así que preferí no tocar las plantillas que ya existían.
::Estoy 100% de acuerdo contigo en que esta convención debería quedar bien documentada. Ya comenté que me parecía muy problemático que hasta ahora no hubiese ninguna convención documentada en general. ¿Supongo que esto debería ser una política y como tal habría que redactarla para ser incluída en las políticas y orientaciones? Como es una convención bastante sencilla, esto sería sencillo de redactar. Podríamos llamarla «Política de catalogación de libros» o algo así.
::Quedo a la espera de tu opinión sobre cómo proceder con este asunto de la documentación. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 17:14 16 jul 2026 (UTC)
:::Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] he modificado [[Wikilibros:Política_de_nombrado#Uso_de_categorías_y_navegación]] con esta convención. Te invito a revisarlo para ver si te parece bien.
:::Espero que no haya problema en haberme adelantado a añadir esta convención en la política. Pero teniendo en cuenta que ambos estamos de acuerdo cuando somos con diferencia los usuarios más activos en Wikilibros y los únicos que participamos en estas discusiones. Y que es una convención sencilla que mejora bastante el sistema que había, no creo que este cambio resulte polémico para nadie. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:25 18 jul 2026 (UTC)

== Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) ==

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Apologies if this has not yet been translated into your wiki's language. {{int:Please-translate}}
You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}}
[[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]])  12:24 24 jul 2026 (UTC)
&lt;/bdi&gt;
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:DreamRimmer@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30513860 --&gt;

== Una nueva propuesta para medir la calidad de los libros ==

Recientemente he estado compartiendo mensajes con @[[Usuario:Ignacio Rodríguez|Ignacio Rodríguez]], quien actualmente está realizando una gran labor como el administrador más activo de nuestro proyecto hermano Wikisource. Wikisource usó en sus inicios exactamente el mismo sistema de «porcentajes» que usamos actualmente en Wikilibros, el cual fue sustituido recientemente, pues Ignacio ha creado [[s:Wikisource:Calidad de textos|un sistema más claro y sencillo de mantener]] que personalmente me parece mucho más adecuado.

Inspirado por su labor y sus mensajes, me puse a redactar una propuesta para mejorar el sistema que usamos para medir la calidad de los wikilibros. Actualmente tenemos dos sistemas principales, uno son los [[Wikilibros:Libros destacados|libros destacados]], y otro es el [[Wikilibros:Niveles de desarrollo|nivel de desarrollo]]. Pero aunque ambos sistemas existen básicamente desde la concepción misma de Wikilibros, encuentro numerosos problemas con ellos.

* '''El sistema de porcentajes es profundamente ambiguo.''' Intenta asignar un valor numérico a algo que, por naturaleza, es subjetivo. Un wikilibro nunca está realmente «terminado», ya que puede seguir ampliándose y mejorándose indefinidamente, por lo que es discutible siquiera afirmar que un libro pueda llegar a estar nunca 100% desarrollado, y resulta muy difícil justificar que un libro esté al 25 %, al 50 % o al 75 % de desarrollo.
* '''La clasificación no refleja la calidad real de los libros.''' Es habitual encontrar libros marcados con porcentajes bajos a pesar de estar bastante desarrollados, mientras que otros aparecen como completados al 75 % o al 100 % cuando todavía presentan importantes carencias de contenido o de calidad.
* '''Requiere un mantenimiento constante que nuestra comunidad difícilmente puede asumir.''' Para que los porcentajes fueran mínimamente útiles habría que revisarlos continuamente conforme evolucionan los libros, algo poco realista en un proyecto con una comunidad reducida.
* '''Ambos sistemas reciben muy poco mantenimiento.''' Aunque existe desde hace muchos años, el sistema de libros destacados apenas se ha utilizado, nunca se han celebrado votaciones y ni siquiera existen unas instrucciones claras sobre cómo debe otorgarse esta distinción. Por su parte la gran mayoría de páginas de «Desarrollo» llevan intactas desde hace una o dos décadas sin que nadie las actualice.
* '''El sistema de porcentajes requiere mucho esfuerzo para la utilidad que aporta.''' En lugar de indicar con claridad si un libro ha sido revisado y cumple unos estándares mínimos de calidad, intenta clasificar los libros mediante criterios difíciles de medir y que generan más dudas que certezas.

Por estos motivos llevo tiempo trabajando en una propuesta inspirada en el sistema que actualmente utiliza Wikisource y en la filosofía de revisión de Wikipedia. Mi propuesta es sustituir ambos sistemas por un modelo mucho más simple, objetivo y fácil de mantener, basado en tres estados:
# [[File:Circle with Pencil.svg|20px]] '''No corregido''' - Por defecto. Al igual que en Wikipedia, la mayoría de páginas y libros simple y llanamente no han sido revisadas. Pueden llegar a tener problemas que se evidenciarían por las plantillas de mantenimiento ({{ep|Desactualizado}}, {{ep|Referencias}}, {{ep|Esbozo}}, etc) que tenga.
# [[File:Yellow Checkmark Circle.svg|20px]] '''Corregido''' - La página o libro ha sido corregida por al menos un usuario, y esta se ha marcado «Para validar». Una página o libro corregida debería cumplir todas las políticas de Wikilibros, y tener un formato, sintaxis, redacción y extensión adecuadas.
# [[File:Yes Check Circle.svg|20px]] '''Validado''' - La página o libro estaba corregida, y posteriormente ha sido validada por al menos un bibliotecario.

Las principales ventajas de este sistema son que elimina la ambigüedad de los porcentajes, reduce enormemente el mantenimiento que requiere la comunidad y proporciona dos sellos de calidad claros: «''Corregido''», cuando al menos un editor considera que el libro cumple los estándares de Wikilibros, y «''Validado''», cuando además un bibliotecario ha revisado y confirmado esa valoración. En definitiva, creo que ofrece una información mucho más útil tanto para los lectores como para los propios editores.

;En la práctica
Cuando un usuario quiera marcar una página como «''corregida''» lo haría añadiendo a esa página la plantilla &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{calidad|nivel=corregido|usuario=Antimundo|fecha={{subst:CURRENTTIMESTAMP}}}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;, como solo los bibliotecarios deberían poder marcar una página como «''validada''» se puede usar un filtro antiabusos (AbuseFilter) para evitar que un usuario sin permisos escriba &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{calidad|nivel=validado}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;.

Las páginas «''corregidas''» se añadirán a una categoría de mantenimiento como ''Categoría:Páginas marcadas como corregidas'', para que los bibliotecarios puedan ver las páginas a la espera de validarse.

;Quiero destacar algunas cosas:
# Que llevo más de un mes pensando en este asunto y pensando una propuesta que pueda ser interesante, estoy más que abierto a comentarios y opiniones, invito a todo el mundo a [[Antimundo/Taller/Propuesta de sistema de medición de calidad|leer mi propuesta completa]].
# Sé que este cambio puede resultar disruptivo, pero en realidad el sistema de porcentajes fue añadido por un usuario en 2005 y adoptado de facto desde entonces, pero no existe ninguna votación ni consenso formal que lo aprobara (que haya podido encontrar).

Como toda propuesta, estoy abierto a escuchar opiniones y sugerencias, ya que la idea en Wikilibros es buscar el consenso. Dicho esto, considero que el sistema actual presenta problemas importantes por los motivos expuestos anteriormente, y creo que este nuevo modelo supone una mejora clara, por lo que mi intención es trabajar para que pueda implementarse. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 18:40 26 jul 2026 (UTC)

:Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] te menciono como siempre porque actualmente somos los usuarios más activos de esta wiki, y como siempre, me interesan tus opiniones y comentarios. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 18:41 26 jul 2026 (UTC)</text>
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      <comment>/* Petición para establecer una política sobre inteligencia artificial */ archive to [[Wikilibros:Café/Archivo/2026#Petición para establecer una política sobre inteligencia artificial]]: Archivando ([[mw:c:Special:MyLanguage/User:JWBTH/CD|CD]])</comment>
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== Votación sobre nueva política sobre el uso de la inteligencia artificial ==

En relación con el hilo anterior, se abrió una página de votación para establecer como una nueva política dentro de Wikilibros en Español. El enlace de la votación se encuentra acá: [[Wikilibros:Votaciones/Política sobre el uso de inteligencia artificial generativa]]. Saludos [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 21:24 28 jun 2026 (UTC)

== Clarificar el propósito de las plantillas infraesbozo y contextualizar ==

Buenas, en esWikilibros contamos con las plantillas {{tlx|Infraesbozo}} y {{tlx|Contextualizar}} que se adaptaron desde esWikipedia en 2015. Sin embargo, la forma en la que están redactadas en Wikilibros, sumada a la falta de documentación, hace que resulten demasiado similares entre sí y sus propósitos se solapen.

Estas plantillas en esWikipedia tienen [[w:Wikipedia:Infraesbozo|propósitos claramente diferenciados]]:

* [[w:Plantilla:Infraesbozo|Infraesbozo]]: Se utiliza para páginas cuyo contenido es insuficiente para constituir un esbozo válido. No depende de la longitud del texto, si no de que el artículo tenga algo de información mínima para desarrollar el tema. Se sugieren las siguientes preguntas para establecer si una página:
*# ¿El artículo está contextualizado en tema, lugar y tiempo?, es decir ¿entiendo exactamente de qué habla?
*# ¿El artículo aporta alguna, aunque sea mínima, información adicional enciclopédicamente pertinente? (Adicional a la imprescindible para contextualizar y marcar relevancia, se entiende).
*# ¿El artículo muestra la relevancia de su tema?
* [[w:Plantilla:Contextualizar|Contextualizar]]: Se utiliza para artículos que no proporcionan el contexto suficiente para un lector general. Su objetivo es solicitar que se añada información introductoria, explicaciones o contexto que permitan entender adecuadamente el tema tratado, sin que ello implique que el artículo sea demasiado corto.

Quiero empezar señalando la importancia que, en mi opinión, tiene borrar los infraesbozos, especialmente en esWikilibros. En el proyecto existen muchísios libros muy incompletos y abandonados que se escribieron hace 10 o 20 años que a penas contienen una portada y, como mucho, un par de frases. En la mayoría de casos está claro que su autor no va a regresar para terminarlo, por lo que permanecen indefinidamente en ese estado.

Mantener todos estos libros dificulta considerablemente el mantenimiento del proyecto. Por un lado, incrementa enormemente el número de páginas que requieren seguimiento sin aportar contenido útil. Por otro, complica la identificación de libros que realmente cuentan con algo de desarrollo o que tienen posibilidades de completarse. Además, transmiten una imagen de falta de mantenimiento y puede dificultar la navegación y el descubrimiento de obras que sí ofrecen un contenido aprovechable.

A todo esto se suma, que estos infraesbozos rara vez sirven como punto de partida para futuros colaboradores, cuando alguien decide crear un libro sobre un tema que ya cuenta con un infraesbozo, lo habitual es que el contenido existente sea tan escaso que no resulte útil para construir sobre él. En la práctica, el trabajo consiste en rehacer el libro desde el principio, ya que apenas hay material que conservar o desarrollar. En estos casos, la existencia del infraesbozo ni si quiera facilita la creación del libro.

Sin embargo, en Wikilibros, nuestra plantilla de «''Infraesbozo''» dice «''Este libro es demasiado reducido y carece de información básica que permita saber de qué se trata.''» Pero esto habla de contexto, y para contexto ya existe la plantilla «''Contextualizar''». Voy a poner algún ejemplo sobre por qué considero esto problemático:

* Existe el libro de [[Vim]] que tiene una portada y  '''absolutamenete nada''' de contenido. Está clarísimo que el libro pretende tratar sobre [[w:Vim|el editor de texto Vim]], su problema no es que «''carece de información básica que permita saber de qué se trata.''», sé perfectamente de qué quiere tratar. Pero sencillamente no contiene información útil. No hay ningún texto útil que desarrollar, ampliar o contextualizar, ni puede aportar absolutamente nada a ningún lector. Además, lleva once años sin recibir ediciones, por lo que es muy poco probable que su autor original vaya a volver en ningún momento a completarlo. Este tipo de «libros» me parecen problemáticos por lo que comenté anteriormente.
* Hay muchos casos similares en Wikilibros. Por ejemplo, existe un libro de [[Vida saludable]] que contiene una portada y una breve frase introductoria, pero nada más. De nuevo, el problema no es que «''carece de información básica que permita saber de qué se trata.''», cualquiera entiende que el libro pretende tratar sobre la vida saludable. Lo que ocurre es que ese contenido no constituye ninguna base útil para un libro. No desarrolla el tema, no aporta información aprovechable al lector y, en la práctica, cualquier editor que quisiera escribir un libro sobre ese tema tendría que empezar de cero. Además hace 16 años que no se edita, no parece que su autor original vaya a volver para completarlo.

Por ello, sugiero adaptar estas plantillas para que sus propósitos queden claramente diferenciados, siguiendo el criterio de esWikipedia. En concreto, que «''Infraesbozo''» se reserve para señalar libros cuyo contenido es insuficiente para constituir un esbozo válido, independientemente de que el tema esté claramente identificado, y que «''Contextualizar''» se utilice únicamente cuando el problema sea la falta de contexto o de información introductoria que dificulte la comprensión del contenido existente. De este modo, ambas plantillas dejarían de solapar sus funciones y su uso resultaría mucho más claro y coherente.

Además, creo que el origen del problema probablemente sea bastante trivial y ni si quiera responde a ninguna decisión deliberada: simplemente se trata de un pequeño cambio de redacción que se introdujo al adaptar las plantillas desde esWikipedia hace once años, sin que hubiera una intención concreta detrás. Con el tiempo, esa pequeña diferencia ha acabado generando este solapamiento entre ambas plantillas. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 08:30 30 jun 2026 (UTC)

:Han pasado ocho días desde que planteé esto y, dado que no ha habido ninguna objeción y tampoco considero que se trate de un cambio especialmente controvertido, voy a hacer el ajuste que propuse para clarificar la redacción de las plantillas, de forma similar a como ya está escrito en esWikipedia, tal y como expliqué anteriormente. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 16:16 8 jul 2026 (UTC)

== Un pequeño hito que quería compartir ==

¡Buenas! quería compartir con orgullo un pequeño hito conseguido en Wikilibros, solo por informar de las tareas que ando haciendo. 😊 Últimamente he estado arreglando literalmente '''miles''' de errores de sintaxis que reporta el [[:mw:Extension:Linter|linter]] de Wikilibros. Si entráis en la [[Especial:Errores_de_sintaxis|lista de errores de sintaxis]] podréis ver que la mayoría de categorías de errores graves están a 0, o se han reducido también drásticamente.

Arreglar estos errores puede parecer poco llamativo porque no cambia en nada el contenido de las páginas, pero corregirlos hace que Wikilibros sea más fácil de mantener, más compatible con futuras actualizaciones de MediaWiki, cumpla los estándares modernos de accesibilidad y reduce la posibilidad de que las páginas no se rendericen correctamente.

No puedo arreglar ''todos'' los errores porque muchos están en páginas protegidas que no puedo editar al no ser bibliotecario, además son muy numerosos (muchos miles) y algunos son complejos de arreglar. Pero ando trabajando en ello en mis ratos libres. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:14 8 jul 2026 (UTC)

== Estandarización de las categorías de libros ==

En esWikilibros tenemos un problema grave con la catalogación de los libros, que en enWikibooks no existe gracias a una simple convención a la hora de nombrar las categorías. Ya expuse este asunto en [[Usuario:Antimundo/Taller/El estado actual de Wikilibros#Problemas_de_organización|un escrito en mi página de usuario]]. ''(Nótese que voy a usar enWikibooks de ejemplo, pero que esa misma solución se usa en otras ediciones de Wikilibros como en alemán o portugués).''

Tanto en esWikilibros como en enWikibooks, los libros tienen dos clases de categorías:
# '''Categoría para ''agrupar'' el libro''': Todas las páginas de un mismo libro se agrupan bajo una categoría con el mismo nombre del libro. Por ejemplo, el libro [[:en:C programming]] pertenece a la categoría [[:en:Category:Book:C programming]].
# '''Categoría para ''catalogar'' el libro''': El libro en sí mismo se cataloga bajo una o varias categorías. Por ejemplo, el libro [[:en:C programming]] pertenece a la categoría [[:en:Category:Shelf:C programming language]] que agrupa todos los libros sobre programación en C, como [[:en:Linear Algebra and the C Language]] o [[:en:A Little C Primer]].

Habréis notado que en enWikibooks usan los prefijos:
# '''''Book''''': Para ''agrupar'' las páginas del libro.
# '''''Shelf''''': Para ''catalogar'' libros.

En esWikilibros, hacemos exactamente lo mismo, con la diferencia de que no usamos estos prefijos. Lo cual es un problema porque esto genera innumerables errores como los siguientes:
* El libro [[Programación en C++]] se agrupa bajo la categoría [[:Categoría:Programación en C++]].
* Pero a su vez, la [[:Categoría:Programación en C++]] también se usa para catalogar libros relacionados con programación en C++, por lo que esta categoría incluye también el libro [[Desarrollo de videojuegos para PSP con C++ y SDL]] y [[Programación con Qt4]].

Es decir, la [[:Categoría:Programación en C++]] solapa dos propósitos distintos, y este problema ocurre con una gran cantidad de libros en esWikilibros, y hace que sea muy confuso navegar por las categorías de esWikilibros.

;La solución

Usar el mismo sistema que usan en otras ediciones de Wikilibros, donde los libros se agrupan bajo una categoría llamada ''Libro:'' (de forma que quedaría ''Categoría:Libro:Programación en C++''), y los libros a su vez se catalogan mediante ''Shelf:'' o en español ''Estante:'' (de forma que quedaría ''Categoría:Estante:Programación en C++'').

Curiosamente, ya ha existido algún tímido intento de usar este sistema en esWikilibros, por eso, por ejemplo, tenemos la categoría de catalogación [[:Categoría:Estante:Lenguajes de programación]] y el libro de [[Haskell]] está agrupado bajo la categoría [[:Categoría:Libro:Haskell]]. Pero esto no lo tenemos estandarizado, porque directamente no seguimos ningún sistema en particular [[Usuario:Antimundo/Taller/El estado actual de Wikilibros#Problemas_de_organización|como ya expliqué en mi reciente escrito]].

; Conclusión
En consecuencia, propongo adoptar esta convención como estándar en esWikilibros:
* Las categorías destinadas a agrupar las páginas de un libro pasarán a usar el prefijo «Libro:».
* Las categorías destinadas a catalogar libros por temática pasarán a usar el prefijo «Estante:».
Las categorías existentes se irán trasladando progresivamente a esta estructura, corrigiendo los casos en los que actualmente ambos usos se solapan.

Se trata de un  pequeño cambio principalmente organizativo, que no modifica el contenido de los libros, pero sí hace que la estructura de categorías sea mucho más clara, coherente y fácil de mantener, y que además ya se usa en otras ediciones de Wikilibros.

Voy a esperar unos días por si alguien quiere dejar algún comentario sobre este asunto, tras los cuales mi intención es comenzar a usar esta convención y dejarla documentada para que pueda aplicarse de forma consistente en el futuro.

¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 08:18 15 jul 2026 (UTC)

:Mientras trabajaba en este asunto, me he fijado también en que en Wikilibros tenemos dos «categorías raíz»:
:# [[:Categoría:Categorías]]
:# [[:Categoría:Principal]]
:Ambas dicen ser «la categoría raíz de nuestro sistemas de categorías». Esta duplicidad es un error por motivos obvios.
:Mi sugerencia es que nos quedemos sólo con [[:Categoría:Categorías]]. Por los siguientes motivos:
:# «Categorías» es mucho mas claro que «Principal». ¿Qué significa principal? ¿Principal qué? «Categorías» deja bastante claro, que esa categoría alberga categorías.
:# Por coherencia con otras wikis, ya que en esWikipedia la categoría raíz de otras categorías también se llama «Categorías». Y en enWikibooks se llama «Categories».
:[[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:04 15 jul 2026 (UTC)
:Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]], me alegra mucho ver los cambios recientes que has realizado en línea con esta propuesta, y que incluso has categorizado algunos libros usando esta estructura de ''libros'' y ''estantes''. Por lo tanto ¿imagino que la propuesta te parece razonable? Me gustaría conocer tu opinión, gracias de antemano. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 07:03 16 jul 2026 (UTC)
: Hola, Antimundo:
: Sí, la propuesta me parece una buena iniciativa. Comenzar a diferenciar correctamente las categorías destinadas a agrupar las páginas de cada libro de aquellas utilizadas para catalogar los libros por temática permitiría ordenar considerablemente la estructura actual de esWikilibros.
: Tomar como referencia el sistema utilizado en enWikibooks, mediante los prefijos «Libro:» y «Estante:», me parece razonable, especialmente porque evita que una misma categoría cumpla simultáneamente dos funciones diferentes. Además, facilitaría la navegación, el mantenimiento y la aplicación de un criterio común en todo el proyecto.
: Por esa razón, he comenzado a realizar algunos cambios siguiendo esta estructura, categorizando las secciones de los libros dentro de sus respectivas categorías «Libro:» y utilizando las categorías «Estante:» para su clasificación temática.
: También procedí a eliminar una plantilla que habías creado recientemente para esta finalidad, debido a que en el proyecto ya existía previamente una plantilla destinada a autocategorizar los libros ({{tl|AutoCat}} Mantener dos plantillas con funciones iguales o muy similares habría generado duplicidad, confusión y posibles inconsistencias en la categorización.
: Considero importante que esta convención quede bien documentada antes de extenderla al resto del proyecto, incluyendo el funcionamiento de las plantillas de autocategorización y el procedimiento para trasladar progresivamente las categorías existentes.
: Un saludo. [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 16:21 16 jul 2026 (UTC)
::Genial, gracias por tu ayuda. Sabía que existía {{ep|AutoCat}} (también existe {{ep|AutoCategoría}} por cierto) el motivo por el que hice una nueva plantilla era para no «molestar», porque estaba probando cosas y no sabía si al resto de usuarios os iba a parecer bien esta forma de categorizar, así que preferí no tocar las plantillas que ya existían.
::Estoy 100% de acuerdo contigo en que esta convención debería quedar bien documentada. Ya comenté que me parecía muy problemático que hasta ahora no hubiese ninguna convención documentada en general. ¿Supongo que esto debería ser una política y como tal habría que redactarla para ser incluída en las políticas y orientaciones? Como es una convención bastante sencilla, esto sería sencillo de redactar. Podríamos llamarla «Política de catalogación de libros» o algo así.
::Quedo a la espera de tu opinión sobre cómo proceder con este asunto de la documentación. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 17:14 16 jul 2026 (UTC)
:::Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] he modificado [[Wikilibros:Política_de_nombrado#Uso_de_categorías_y_navegación]] con esta convención. Te invito a revisarlo para ver si te parece bien.
:::Espero que no haya problema en haberme adelantado a añadir esta convención en la política. Pero teniendo en cuenta que ambos estamos de acuerdo cuando somos con diferencia los usuarios más activos en Wikilibros y los únicos que participamos en estas discusiones. Y que es una convención sencilla que mejora bastante el sistema que había, no creo que este cambio resulte polémico para nadie. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:25 18 jul 2026 (UTC)

== Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) ==

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Apologies if this has not yet been translated into your wiki's language. {{int:Please-translate}}
You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}}
[[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]])  12:24 24 jul 2026 (UTC)
&lt;/bdi&gt;
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:DreamRimmer@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30513860 --&gt;

== Una nueva propuesta para medir la calidad de los libros ==

Recientemente he estado compartiendo mensajes con @[[Usuario:Ignacio Rodríguez|Ignacio Rodríguez]], quien actualmente está realizando una gran labor como el administrador más activo de nuestro proyecto hermano Wikisource. Wikisource usó en sus inicios exactamente el mismo sistema de «porcentajes» que usamos actualmente en Wikilibros, el cual fue sustituido recientemente, pues Ignacio ha creado [[s:Wikisource:Calidad de textos|un sistema más claro y sencillo de mantener]] que personalmente me parece mucho más adecuado.

Inspirado por su labor y sus mensajes, me puse a redactar una propuesta para mejorar el sistema que usamos para medir la calidad de los wikilibros. Actualmente tenemos dos sistemas principales, uno son los [[Wikilibros:Libros destacados|libros destacados]], y otro es el [[Wikilibros:Niveles de desarrollo|nivel de desarrollo]]. Pero aunque ambos sistemas existen básicamente desde la concepción misma de Wikilibros, encuentro numerosos problemas con ellos.

* '''El sistema de porcentajes es profundamente ambiguo.''' Intenta asignar un valor numérico a algo que, por naturaleza, es subjetivo. Un wikilibro nunca está realmente «terminado», ya que puede seguir ampliándose y mejorándose indefinidamente, por lo que es discutible siquiera afirmar que un libro pueda llegar a estar nunca 100% desarrollado, y resulta muy difícil justificar que un libro esté al 25 %, al 50 % o al 75 % de desarrollo.
* '''La clasificación no refleja la calidad real de los libros.''' Es habitual encontrar libros marcados con porcentajes bajos a pesar de estar bastante desarrollados, mientras que otros aparecen como completados al 75 % o al 100 % cuando todavía presentan importantes carencias de contenido o de calidad.
* '''Requiere un mantenimiento constante que nuestra comunidad difícilmente puede asumir.''' Para que los porcentajes fueran mínimamente útiles habría que revisarlos continuamente conforme evolucionan los libros, algo poco realista en un proyecto con una comunidad reducida.
* '''Ambos sistemas reciben muy poco mantenimiento.''' Aunque existe desde hace muchos años, el sistema de libros destacados apenas se ha utilizado, nunca se han celebrado votaciones y ni siquiera existen unas instrucciones claras sobre cómo debe otorgarse esta distinción. Por su parte la gran mayoría de páginas de «Desarrollo» llevan intactas desde hace una o dos décadas sin que nadie las actualice.
* '''El sistema de porcentajes requiere mucho esfuerzo para la utilidad que aporta.''' En lugar de indicar con claridad si un libro ha sido revisado y cumple unos estándares mínimos de calidad, intenta clasificar los libros mediante criterios difíciles de medir y que generan más dudas que certezas.

Por estos motivos llevo tiempo trabajando en una propuesta inspirada en el sistema que actualmente utiliza Wikisource y en la filosofía de revisión de Wikipedia. Mi propuesta es sustituir ambos sistemas por un modelo mucho más simple, objetivo y fácil de mantener, basado en tres estados:
# [[File:Circle with Pencil.svg|20px]] '''No corregido''' - Por defecto. Al igual que en Wikipedia, la mayoría de páginas y libros simple y llanamente no han sido revisadas. Pueden llegar a tener problemas que se evidenciarían por las plantillas de mantenimiento ({{ep|Desactualizado}}, {{ep|Referencias}}, {{ep|Esbozo}}, etc) que tenga.
# [[File:Yellow Checkmark Circle.svg|20px]] '''Corregido''' - La página o libro ha sido corregida por al menos un usuario, y esta se ha marcado «Para validar». Una página o libro corregida debería cumplir todas las políticas de Wikilibros, y tener un formato, sintaxis, redacción y extensión adecuadas.
# [[File:Yes Check Circle.svg|20px]] '''Validado''' - La página o libro estaba corregida, y posteriormente ha sido validada por al menos un bibliotecario.

Las principales ventajas de este sistema son que elimina la ambigüedad de los porcentajes, reduce enormemente el mantenimiento que requiere la comunidad y proporciona dos sellos de calidad claros: «''Corregido''», cuando al menos un editor considera que el libro cumple los estándares de Wikilibros, y «''Validado''», cuando además un bibliotecario ha revisado y confirmado esa valoración. En definitiva, creo que ofrece una información mucho más útil tanto para los lectores como para los propios editores.

;En la práctica
Cuando un usuario quiera marcar una página como «''corregida''» lo haría añadiendo a esa página la plantilla &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{calidad|nivel=corregido|usuario=Antimundo|fecha={{subst:CURRENTTIMESTAMP}}}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;, como solo los bibliotecarios deberían poder marcar una página como «''validada''» se puede usar un filtro antiabusos (AbuseFilter) para evitar que un usuario sin permisos escriba &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{calidad|nivel=validado}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;.

Las páginas «''corregidas''» se añadirán a una categoría de mantenimiento como ''Categoría:Páginas marcadas como corregidas'', para que los bibliotecarios puedan ver las páginas a la espera de validarse.

;Quiero destacar algunas cosas:
# Que llevo más de un mes pensando en este asunto y pensando una propuesta que pueda ser interesante, estoy más que abierto a comentarios y opiniones, invito a todo el mundo a [[Antimundo/Taller/Propuesta de sistema de medición de calidad|leer mi propuesta completa]].
# Sé que este cambio puede resultar disruptivo, pero en realidad el sistema de porcentajes fue añadido por un usuario en 2005 y adoptado de facto desde entonces, pero no existe ninguna votación ni consenso formal que lo aprobara (que haya podido encontrar).

Como toda propuesta, estoy abierto a escuchar opiniones y sugerencias, ya que la idea en Wikilibros es buscar el consenso. Dicho esto, considero que el sistema actual presenta problemas importantes por los motivos expuestos anteriormente, y creo que este nuevo modelo supone una mejora clara, por lo que mi intención es trabajar para que pueda implementarse. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 18:40 26 jul 2026 (UTC)

:Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] te menciono como siempre porque actualmente somos los usuarios más activos de esta wiki, y como siempre, me interesan tus opiniones y comentarios. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 18:41 26 jul 2026 (UTC)</text>
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== Clarificar el propósito de las plantillas infraesbozo y contextualizar ==

Buenas, en esWikilibros contamos con las plantillas {{tlx|Infraesbozo}} y {{tlx|Contextualizar}} que se adaptaron desde esWikipedia en 2015. Sin embargo, la forma en la que están redactadas en Wikilibros, sumada a la falta de documentación, hace que resulten demasiado similares entre sí y sus propósitos se solapen.

Estas plantillas en esWikipedia tienen [[w:Wikipedia:Infraesbozo|propósitos claramente diferenciados]]:

* [[w:Plantilla:Infraesbozo|Infraesbozo]]: Se utiliza para páginas cuyo contenido es insuficiente para constituir un esbozo válido. No depende de la longitud del texto, si no de que el artículo tenga algo de información mínima para desarrollar el tema. Se sugieren las siguientes preguntas para establecer si una página:
*# ¿El artículo está contextualizado en tema, lugar y tiempo?, es decir ¿entiendo exactamente de qué habla?
*# ¿El artículo aporta alguna, aunque sea mínima, información adicional enciclopédicamente pertinente? (Adicional a la imprescindible para contextualizar y marcar relevancia, se entiende).
*# ¿El artículo muestra la relevancia de su tema?
* [[w:Plantilla:Contextualizar|Contextualizar]]: Se utiliza para artículos que no proporcionan el contexto suficiente para un lector general. Su objetivo es solicitar que se añada información introductoria, explicaciones o contexto que permitan entender adecuadamente el tema tratado, sin que ello implique que el artículo sea demasiado corto.

Quiero empezar señalando la importancia que, en mi opinión, tiene borrar los infraesbozos, especialmente en esWikilibros. En el proyecto existen muchísios libros muy incompletos y abandonados que se escribieron hace 10 o 20 años que a penas contienen una portada y, como mucho, un par de frases. En la mayoría de casos está claro que su autor no va a regresar para terminarlo, por lo que permanecen indefinidamente en ese estado.

Mantener todos estos libros dificulta considerablemente el mantenimiento del proyecto. Por un lado, incrementa enormemente el número de páginas que requieren seguimiento sin aportar contenido útil. Por otro, complica la identificación de libros que realmente cuentan con algo de desarrollo o que tienen posibilidades de completarse. Además, transmiten una imagen de falta de mantenimiento y puede dificultar la navegación y el descubrimiento de obras que sí ofrecen un contenido aprovechable.

A todo esto se suma, que estos infraesbozos rara vez sirven como punto de partida para futuros colaboradores, cuando alguien decide crear un libro sobre un tema que ya cuenta con un infraesbozo, lo habitual es que el contenido existente sea tan escaso que no resulte útil para construir sobre él. En la práctica, el trabajo consiste en rehacer el libro desde el principio, ya que apenas hay material que conservar o desarrollar. En estos casos, la existencia del infraesbozo ni si quiera facilita la creación del libro.

Sin embargo, en Wikilibros, nuestra plantilla de «''Infraesbozo''» dice «''Este libro es demasiado reducido y carece de información básica que permita saber de qué se trata.''» Pero esto habla de contexto, y para contexto ya existe la plantilla «''Contextualizar''». Voy a poner algún ejemplo sobre por qué considero esto problemático:

* Existe el libro de [[Vim]] que tiene una portada y  '''absolutamenete nada''' de contenido. Está clarísimo que el libro pretende tratar sobre [[w:Vim|el editor de texto Vim]], su problema no es que «''carece de información básica que permita saber de qué se trata.''», sé perfectamente de qué quiere tratar. Pero sencillamente no contiene información útil. No hay ningún texto útil que desarrollar, ampliar o contextualizar, ni puede aportar absolutamente nada a ningún lector. Además, lleva once años sin recibir ediciones, por lo que es muy poco probable que su autor original vaya a volver en ningún momento a completarlo. Este tipo de «libros» me parecen problemáticos por lo que comenté anteriormente.
* Hay muchos casos similares en Wikilibros. Por ejemplo, existe un libro de [[Vida saludable]] que contiene una portada y una breve frase introductoria, pero nada más. De nuevo, el problema no es que «''carece de información básica que permita saber de qué se trata.''», cualquiera entiende que el libro pretende tratar sobre la vida saludable. Lo que ocurre es que ese contenido no constituye ninguna base útil para un libro. No desarrolla el tema, no aporta información aprovechable al lector y, en la práctica, cualquier editor que quisiera escribir un libro sobre ese tema tendría que empezar de cero. Además hace 16 años que no se edita, no parece que su autor original vaya a volver para completarlo.

Por ello, sugiero adaptar estas plantillas para que sus propósitos queden claramente diferenciados, siguiendo el criterio de esWikipedia. En concreto, que «''Infraesbozo''» se reserve para señalar libros cuyo contenido es insuficiente para constituir un esbozo válido, independientemente de que el tema esté claramente identificado, y que «''Contextualizar''» se utilice únicamente cuando el problema sea la falta de contexto o de información introductoria que dificulte la comprensión del contenido existente. De este modo, ambas plantillas dejarían de solapar sus funciones y su uso resultaría mucho más claro y coherente.

Además, creo que el origen del problema probablemente sea bastante trivial y ni si quiera responde a ninguna decisión deliberada: simplemente se trata de un pequeño cambio de redacción que se introdujo al adaptar las plantillas desde esWikipedia hace once años, sin que hubiera una intención concreta detrás. Con el tiempo, esa pequeña diferencia ha acabado generando este solapamiento entre ambas plantillas. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 08:30 30 jun 2026 (UTC)

:Han pasado ocho días desde que planteé esto y, dado que no ha habido ninguna objeción y tampoco considero que se trate de un cambio especialmente controvertido, voy a hacer el ajuste que propuse para clarificar la redacción de las plantillas, de forma similar a como ya está escrito en esWikipedia, tal y como expliqué anteriormente. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 16:16 8 jul 2026 (UTC)

== Un pequeño hito que quería compartir ==

¡Buenas! quería compartir con orgullo un pequeño hito conseguido en Wikilibros, solo por informar de las tareas que ando haciendo. 😊 Últimamente he estado arreglando literalmente '''miles''' de errores de sintaxis que reporta el [[:mw:Extension:Linter|linter]] de Wikilibros. Si entráis en la [[Especial:Errores_de_sintaxis|lista de errores de sintaxis]] podréis ver que la mayoría de categorías de errores graves están a 0, o se han reducido también drásticamente.

Arreglar estos errores puede parecer poco llamativo porque no cambia en nada el contenido de las páginas, pero corregirlos hace que Wikilibros sea más fácil de mantener, más compatible con futuras actualizaciones de MediaWiki, cumpla los estándares modernos de accesibilidad y reduce la posibilidad de que las páginas no se rendericen correctamente.

No puedo arreglar ''todos'' los errores porque muchos están en páginas protegidas que no puedo editar al no ser bibliotecario, además son muy numerosos (muchos miles) y algunos son complejos de arreglar. Pero ando trabajando en ello en mis ratos libres. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:14 8 jul 2026 (UTC)

== Estandarización de las categorías de libros ==

En esWikilibros tenemos un problema grave con la catalogación de los libros, que en enWikibooks no existe gracias a una simple convención a la hora de nombrar las categorías. Ya expuse este asunto en [[Usuario:Antimundo/Taller/El estado actual de Wikilibros#Problemas_de_organización|un escrito en mi página de usuario]]. ''(Nótese que voy a usar enWikibooks de ejemplo, pero que esa misma solución se usa en otras ediciones de Wikilibros como en alemán o portugués).''

Tanto en esWikilibros como en enWikibooks, los libros tienen dos clases de categorías:
# '''Categoría para ''agrupar'' el libro''': Todas las páginas de un mismo libro se agrupan bajo una categoría con el mismo nombre del libro. Por ejemplo, el libro [[:en:C programming]] pertenece a la categoría [[:en:Category:Book:C programming]].
# '''Categoría para ''catalogar'' el libro''': El libro en sí mismo se cataloga bajo una o varias categorías. Por ejemplo, el libro [[:en:C programming]] pertenece a la categoría [[:en:Category:Shelf:C programming language]] que agrupa todos los libros sobre programación en C, como [[:en:Linear Algebra and the C Language]] o [[:en:A Little C Primer]].

Habréis notado que en enWikibooks usan los prefijos:
# '''''Book''''': Para ''agrupar'' las páginas del libro.
# '''''Shelf''''': Para ''catalogar'' libros.

En esWikilibros, hacemos exactamente lo mismo, con la diferencia de que no usamos estos prefijos. Lo cual es un problema porque esto genera innumerables errores como los siguientes:
* El libro [[Programación en C++]] se agrupa bajo la categoría [[:Categoría:Programación en C++]].
* Pero a su vez, la [[:Categoría:Programación en C++]] también se usa para catalogar libros relacionados con programación en C++, por lo que esta categoría incluye también el libro [[Desarrollo de videojuegos para PSP con C++ y SDL]] y [[Programación con Qt4]].

Es decir, la [[:Categoría:Programación en C++]] solapa dos propósitos distintos, y este problema ocurre con una gran cantidad de libros en esWikilibros, y hace que sea muy confuso navegar por las categorías de esWikilibros.

;La solución

Usar el mismo sistema que usan en otras ediciones de Wikilibros, donde los libros se agrupan bajo una categoría llamada ''Libro:'' (de forma que quedaría ''Categoría:Libro:Programación en C++''), y los libros a su vez se catalogan mediante ''Shelf:'' o en español ''Estante:'' (de forma que quedaría ''Categoría:Estante:Programación en C++'').

Curiosamente, ya ha existido algún tímido intento de usar este sistema en esWikilibros, por eso, por ejemplo, tenemos la categoría de catalogación [[:Categoría:Estante:Lenguajes de programación]] y el libro de [[Haskell]] está agrupado bajo la categoría [[:Categoría:Libro:Haskell]]. Pero esto no lo tenemos estandarizado, porque directamente no seguimos ningún sistema en particular [[Usuario:Antimundo/Taller/El estado actual de Wikilibros#Problemas_de_organización|como ya expliqué en mi reciente escrito]].

; Conclusión
En consecuencia, propongo adoptar esta convención como estándar en esWikilibros:
* Las categorías destinadas a agrupar las páginas de un libro pasarán a usar el prefijo «Libro:».
* Las categorías destinadas a catalogar libros por temática pasarán a usar el prefijo «Estante:».
Las categorías existentes se irán trasladando progresivamente a esta estructura, corrigiendo los casos en los que actualmente ambos usos se solapan.

Se trata de un  pequeño cambio principalmente organizativo, que no modifica el contenido de los libros, pero sí hace que la estructura de categorías sea mucho más clara, coherente y fácil de mantener, y que además ya se usa en otras ediciones de Wikilibros.

Voy a esperar unos días por si alguien quiere dejar algún comentario sobre este asunto, tras los cuales mi intención es comenzar a usar esta convención y dejarla documentada para que pueda aplicarse de forma consistente en el futuro.

¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 08:18 15 jul 2026 (UTC)

:Mientras trabajaba en este asunto, me he fijado también en que en Wikilibros tenemos dos «categorías raíz»:
:# [[:Categoría:Categorías]]
:# [[:Categoría:Principal]]
:Ambas dicen ser «la categoría raíz de nuestro sistemas de categorías». Esta duplicidad es un error por motivos obvios.
:Mi sugerencia es que nos quedemos sólo con [[:Categoría:Categorías]]. Por los siguientes motivos:
:# «Categorías» es mucho mas claro que «Principal». ¿Qué significa principal? ¿Principal qué? «Categorías» deja bastante claro, que esa categoría alberga categorías.
:# Por coherencia con otras wikis, ya que en esWikipedia la categoría raíz de otras categorías también se llama «Categorías». Y en enWikibooks se llama «Categories».
:[[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:04 15 jul 2026 (UTC)
:Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]], me alegra mucho ver los cambios recientes que has realizado en línea con esta propuesta, y que incluso has categorizado algunos libros usando esta estructura de ''libros'' y ''estantes''. Por lo tanto ¿imagino que la propuesta te parece razonable? Me gustaría conocer tu opinión, gracias de antemano. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 07:03 16 jul 2026 (UTC)
: Hola, Antimundo:
: Sí, la propuesta me parece una buena iniciativa. Comenzar a diferenciar correctamente las categorías destinadas a agrupar las páginas de cada libro de aquellas utilizadas para catalogar los libros por temática permitiría ordenar considerablemente la estructura actual de esWikilibros.
: Tomar como referencia el sistema utilizado en enWikibooks, mediante los prefijos «Libro:» y «Estante:», me parece razonable, especialmente porque evita que una misma categoría cumpla simultáneamente dos funciones diferentes. Además, facilitaría la navegación, el mantenimiento y la aplicación de un criterio común en todo el proyecto.
: Por esa razón, he comenzado a realizar algunos cambios siguiendo esta estructura, categorizando las secciones de los libros dentro de sus respectivas categorías «Libro:» y utilizando las categorías «Estante:» para su clasificación temática.
: También procedí a eliminar una plantilla que habías creado recientemente para esta finalidad, debido a que en el proyecto ya existía previamente una plantilla destinada a autocategorizar los libros ({{tl|AutoCat}} Mantener dos plantillas con funciones iguales o muy similares habría generado duplicidad, confusión y posibles inconsistencias en la categorización.
: Considero importante que esta convención quede bien documentada antes de extenderla al resto del proyecto, incluyendo el funcionamiento de las plantillas de autocategorización y el procedimiento para trasladar progresivamente las categorías existentes.
: Un saludo. [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 16:21 16 jul 2026 (UTC)
::Genial, gracias por tu ayuda. Sabía que existía {{ep|AutoCat}} (también existe {{ep|AutoCategoría}} por cierto) el motivo por el que hice una nueva plantilla era para no «molestar», porque estaba probando cosas y no sabía si al resto de usuarios os iba a parecer bien esta forma de categorizar, así que preferí no tocar las plantillas que ya existían.
::Estoy 100% de acuerdo contigo en que esta convención debería quedar bien documentada. Ya comenté que me parecía muy problemático que hasta ahora no hubiese ninguna convención documentada en general. ¿Supongo que esto debería ser una política y como tal habría que redactarla para ser incluída en las políticas y orientaciones? Como es una convención bastante sencilla, esto sería sencillo de redactar. Podríamos llamarla «Política de catalogación de libros» o algo así.
::Quedo a la espera de tu opinión sobre cómo proceder con este asunto de la documentación. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 17:14 16 jul 2026 (UTC)
:::Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] he modificado [[Wikilibros:Política_de_nombrado#Uso_de_categorías_y_navegación]] con esta convención. Te invito a revisarlo para ver si te parece bien.
:::Espero que no haya problema en haberme adelantado a añadir esta convención en la política. Pero teniendo en cuenta que ambos estamos de acuerdo cuando somos con diferencia los usuarios más activos en Wikilibros y los únicos que participamos en estas discusiones. Y que es una convención sencilla que mejora bastante el sistema que había, no creo que este cambio resulte polémico para nadie. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:25 18 jul 2026 (UTC)

== Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) ==

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Apologies if this has not yet been translated into your wiki's language. {{int:Please-translate}}
You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}}
[[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]])  12:24 24 jul 2026 (UTC)
&lt;/bdi&gt;
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:DreamRimmer@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30513860 --&gt;

== Una nueva propuesta para medir la calidad de los libros ==

Recientemente he estado compartiendo mensajes con @[[Usuario:Ignacio Rodríguez|Ignacio Rodríguez]], quien actualmente está realizando una gran labor como el administrador más activo de nuestro proyecto hermano Wikisource. Wikisource usó en sus inicios exactamente el mismo sistema de «porcentajes» que usamos actualmente en Wikilibros, el cual fue sustituido recientemente, pues Ignacio ha creado [[s:Wikisource:Calidad de textos|un sistema más claro y sencillo de mantener]] que personalmente me parece mucho más adecuado.

Inspirado por su labor y sus mensajes, me puse a redactar una propuesta para mejorar el sistema que usamos para medir la calidad de los wikilibros. Actualmente tenemos dos sistemas principales, uno son los [[Wikilibros:Libros destacados|libros destacados]], y otro es el [[Wikilibros:Niveles de desarrollo|nivel de desarrollo]]. Pero aunque ambos sistemas existen básicamente desde la concepción misma de Wikilibros, encuentro numerosos problemas con ellos.

* '''El sistema de porcentajes es profundamente ambiguo.''' Intenta asignar un valor numérico a algo que, por naturaleza, es subjetivo. Un wikilibro nunca está realmente «terminado», ya que puede seguir ampliándose y mejorándose indefinidamente, por lo que es discutible siquiera afirmar que un libro pueda llegar a estar nunca 100% desarrollado, y resulta muy difícil justificar que un libro esté al 25 %, al 50 % o al 75 % de desarrollo.
* '''La clasificación no refleja la calidad real de los libros.''' Es habitual encontrar libros marcados con porcentajes bajos a pesar de estar bastante desarrollados, mientras que otros aparecen como completados al 75 % o al 100 % cuando todavía presentan importantes carencias de contenido o de calidad.
* '''Requiere un mantenimiento constante que nuestra comunidad difícilmente puede asumir.''' Para que los porcentajes fueran mínimamente útiles habría que revisarlos continuamente conforme evolucionan los libros, algo poco realista en un proyecto con una comunidad reducida.
* '''Ambos sistemas reciben muy poco mantenimiento.''' Aunque existe desde hace muchos años, el sistema de libros destacados apenas se ha utilizado, nunca se han celebrado votaciones y ni siquiera existen unas instrucciones claras sobre cómo debe otorgarse esta distinción. Por su parte la gran mayoría de páginas de «Desarrollo» llevan intactas desde hace una o dos décadas sin que nadie las actualice.
* '''El sistema de porcentajes requiere mucho esfuerzo para la utilidad que aporta.''' En lugar de indicar con claridad si un libro ha sido revisado y cumple unos estándares mínimos de calidad, intenta clasificar los libros mediante criterios difíciles de medir y que generan más dudas que certezas.

Por estos motivos llevo tiempo trabajando en una propuesta inspirada en el sistema que actualmente utiliza Wikisource y en la filosofía de revisión de Wikipedia. Mi propuesta es sustituir ambos sistemas por un modelo mucho más simple, objetivo y fácil de mantener, basado en tres estados:
# [[File:Circle with Pencil.svg|20px]] '''No corregido''' - Por defecto. Al igual que en Wikipedia, la mayoría de páginas y libros simple y llanamente no han sido revisadas. Pueden llegar a tener problemas que se evidenciarían por las plantillas de mantenimiento ({{ep|Desactualizado}}, {{ep|Referencias}}, {{ep|Esbozo}}, etc) que tenga.
# [[File:Yellow Checkmark Circle.svg|20px]] '''Corregido''' - La página o libro ha sido corregida por al menos un usuario, y esta se ha marcado «Para validar». Una página o libro corregida debería cumplir todas las políticas de Wikilibros, y tener un formato, sintaxis, redacción y extensión adecuadas.
# [[File:Yes Check Circle.svg|20px]] '''Validado''' - La página o libro estaba corregida, y posteriormente ha sido validada por al menos un bibliotecario.

Las principales ventajas de este sistema son que elimina la ambigüedad de los porcentajes, reduce enormemente el mantenimiento que requiere la comunidad y proporciona dos sellos de calidad claros: «''Corregido''», cuando al menos un editor considera que el libro cumple los estándares de Wikilibros, y «''Validado''», cuando además un bibliotecario ha revisado y confirmado esa valoración. En definitiva, creo que ofrece una información mucho más útil tanto para los lectores como para los propios editores.

;En la práctica
Cuando un usuario quiera marcar una página como «''corregida''» lo haría añadiendo a esa página la plantilla &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{calidad|nivel=corregido|usuario=Antimundo|fecha={{subst:CURRENTTIMESTAMP}}}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;, como solo los bibliotecarios deberían poder marcar una página como «''validada''» se puede usar un filtro antiabusos (AbuseFilter) para evitar que un usuario sin permisos escriba &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{calidad|nivel=validado}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;.

Las páginas «''corregidas''» se añadirán a una categoría de mantenimiento como ''Categoría:Páginas marcadas como corregidas'', para que los bibliotecarios puedan ver las páginas a la espera de validarse.

;Quiero destacar algunas cosas:
# Que llevo más de un mes pensando en este asunto y pensando una propuesta que pueda ser interesante, estoy más que abierto a comentarios y opiniones, invito a todo el mundo a [[Antimundo/Taller/Propuesta de sistema de medición de calidad|leer mi propuesta completa]].
# Sé que este cambio puede resultar disruptivo, pero en realidad el sistema de porcentajes fue añadido por un usuario en 2005 y adoptado de facto desde entonces, pero no existe ninguna votación ni consenso formal que lo aprobara (que haya podido encontrar).

Como toda propuesta, estoy abierto a escuchar opiniones y sugerencias, ya que la idea en Wikilibros es buscar el consenso. Dicho esto, considero que el sistema actual presenta problemas importantes por los motivos expuestos anteriormente, y creo que este nuevo modelo supone una mejora clara, por lo que mi intención es trabajar para que pueda implementarse. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 18:40 26 jul 2026 (UTC)

:Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] te menciono como siempre porque actualmente somos los usuarios más activos de esta wiki, y como siempre, me interesan tus opiniones y comentarios. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 18:41 26 jul 2026 (UTC)</text>
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== Clarificar el propósito de las plantillas infraesbozo y contextualizar ==

Buenas, en esWikilibros contamos con las plantillas {{tlx|Infraesbozo}} y {{tlx|Contextualizar}} que se adaptaron desde esWikipedia en 2015. Sin embargo, la forma en la que están redactadas en Wikilibros, sumada a la falta de documentación, hace que resulten demasiado similares entre sí y sus propósitos se solapen.

Estas plantillas en esWikipedia tienen [[w:Wikipedia:Infraesbozo|propósitos claramente diferenciados]]:

* [[w:Plantilla:Infraesbozo|Infraesbozo]]: Se utiliza para páginas cuyo contenido es insuficiente para constituir un esbozo válido. No depende de la longitud del texto, si no de que el artículo tenga algo de información mínima para desarrollar el tema. Se sugieren las siguientes preguntas para establecer si una página:
*# ¿El artículo está contextualizado en tema, lugar y tiempo?, es decir ¿entiendo exactamente de qué habla?
*# ¿El artículo aporta alguna, aunque sea mínima, información adicional enciclopédicamente pertinente? (Adicional a la imprescindible para contextualizar y marcar relevancia, se entiende).
*# ¿El artículo muestra la relevancia de su tema?
* [[w:Plantilla:Contextualizar|Contextualizar]]: Se utiliza para artículos que no proporcionan el contexto suficiente para un lector general. Su objetivo es solicitar que se añada información introductoria, explicaciones o contexto que permitan entender adecuadamente el tema tratado, sin que ello implique que el artículo sea demasiado corto.

Quiero empezar señalando la importancia que, en mi opinión, tiene borrar los infraesbozos, especialmente en esWikilibros. En el proyecto existen muchísios libros muy incompletos y abandonados que se escribieron hace 10 o 20 años que a penas contienen una portada y, como mucho, un par de frases. En la mayoría de casos está claro que su autor no va a regresar para terminarlo, por lo que permanecen indefinidamente en ese estado.

Mantener todos estos libros dificulta considerablemente el mantenimiento del proyecto. Por un lado, incrementa enormemente el número de páginas que requieren seguimiento sin aportar contenido útil. Por otro, complica la identificación de libros que realmente cuentan con algo de desarrollo o que tienen posibilidades de completarse. Además, transmiten una imagen de falta de mantenimiento y puede dificultar la navegación y el descubrimiento de obras que sí ofrecen un contenido aprovechable.

A todo esto se suma, que estos infraesbozos rara vez sirven como punto de partida para futuros colaboradores, cuando alguien decide crear un libro sobre un tema que ya cuenta con un infraesbozo, lo habitual es que el contenido existente sea tan escaso que no resulte útil para construir sobre él. En la práctica, el trabajo consiste en rehacer el libro desde el principio, ya que apenas hay material que conservar o desarrollar. En estos casos, la existencia del infraesbozo ni si quiera facilita la creación del libro.

Sin embargo, en Wikilibros, nuestra plantilla de «''Infraesbozo''» dice «''Este libro es demasiado reducido y carece de información básica que permita saber de qué se trata.''» Pero esto habla de contexto, y para contexto ya existe la plantilla «''Contextualizar''». Voy a poner algún ejemplo sobre por qué considero esto problemático:

* Existe el libro de [[Vim]] que tiene una portada y  '''absolutamenete nada''' de contenido. Está clarísimo que el libro pretende tratar sobre [[w:Vim|el editor de texto Vim]], su problema no es que «''carece de información básica que permita saber de qué se trata.''», sé perfectamente de qué quiere tratar. Pero sencillamente no contiene información útil. No hay ningún texto útil que desarrollar, ampliar o contextualizar, ni puede aportar absolutamente nada a ningún lector. Además, lleva once años sin recibir ediciones, por lo que es muy poco probable que su autor original vaya a volver en ningún momento a completarlo. Este tipo de «libros» me parecen problemáticos por lo que comenté anteriormente.
* Hay muchos casos similares en Wikilibros. Por ejemplo, existe un libro de [[Vida saludable]] que contiene una portada y una breve frase introductoria, pero nada más. De nuevo, el problema no es que «''carece de información básica que permita saber de qué se trata.''», cualquiera entiende que el libro pretende tratar sobre la vida saludable. Lo que ocurre es que ese contenido no constituye ninguna base útil para un libro. No desarrolla el tema, no aporta información aprovechable al lector y, en la práctica, cualquier editor que quisiera escribir un libro sobre ese tema tendría que empezar de cero. Además hace 16 años que no se edita, no parece que su autor original vaya a volver para completarlo.

Por ello, sugiero adaptar estas plantillas para que sus propósitos queden claramente diferenciados, siguiendo el criterio de esWikipedia. En concreto, que «''Infraesbozo''» se reserve para señalar libros cuyo contenido es insuficiente para constituir un esbozo válido, independientemente de que el tema esté claramente identificado, y que «''Contextualizar''» se utilice únicamente cuando el problema sea la falta de contexto o de información introductoria que dificulte la comprensión del contenido existente. De este modo, ambas plantillas dejarían de solapar sus funciones y su uso resultaría mucho más claro y coherente.

Además, creo que el origen del problema probablemente sea bastante trivial y ni si quiera responde a ninguna decisión deliberada: simplemente se trata de un pequeño cambio de redacción que se introdujo al adaptar las plantillas desde esWikipedia hace once años, sin que hubiera una intención concreta detrás. Con el tiempo, esa pequeña diferencia ha acabado generando este solapamiento entre ambas plantillas. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 08:30 30 jun 2026 (UTC)

:Han pasado ocho días desde que planteé esto y, dado que no ha habido ninguna objeción y tampoco considero que se trate de un cambio especialmente controvertido, voy a hacer el ajuste que propuse para clarificar la redacción de las plantillas, de forma similar a como ya está escrito en esWikipedia, tal y como expliqué anteriormente. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 16:16 8 jul 2026 (UTC)

== Un pequeño hito que quería compartir ==

¡Buenas! quería compartir con orgullo un pequeño hito conseguido en Wikilibros, solo por informar de las tareas que ando haciendo. 😊 Últimamente he estado arreglando literalmente '''miles''' de errores de sintaxis que reporta el [[:mw:Extension:Linter|linter]] de Wikilibros. Si entráis en la [[Especial:Errores_de_sintaxis|lista de errores de sintaxis]] podréis ver que la mayoría de categorías de errores graves están a 0, o se han reducido también drásticamente.

Arreglar estos errores puede parecer poco llamativo porque no cambia en nada el contenido de las páginas, pero corregirlos hace que Wikilibros sea más fácil de mantener, más compatible con futuras actualizaciones de MediaWiki, cumpla los estándares modernos de accesibilidad y reduce la posibilidad de que las páginas no se rendericen correctamente.

No puedo arreglar ''todos'' los errores porque muchos están en páginas protegidas que no puedo editar al no ser bibliotecario, además son muy numerosos (muchos miles) y algunos son complejos de arreglar. Pero ando trabajando en ello en mis ratos libres. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:14 8 jul 2026 (UTC)

== Estandarización de las categorías de libros ==

En esWikilibros tenemos un problema grave con la catalogación de los libros, que en enWikibooks no existe gracias a una simple convención a la hora de nombrar las categorías. Ya expuse este asunto en [[Usuario:Antimundo/Taller/El estado actual de Wikilibros#Problemas_de_organización|un escrito en mi página de usuario]]. ''(Nótese que voy a usar enWikibooks de ejemplo, pero que esa misma solución se usa en otras ediciones de Wikilibros como en alemán o portugués).''

Tanto en esWikilibros como en enWikibooks, los libros tienen dos clases de categorías:
# '''Categoría para ''agrupar'' el libro''': Todas las páginas de un mismo libro se agrupan bajo una categoría con el mismo nombre del libro. Por ejemplo, el libro [[:en:C programming]] pertenece a la categoría [[:en:Category:Book:C programming]].
# '''Categoría para ''catalogar'' el libro''': El libro en sí mismo se cataloga bajo una o varias categorías. Por ejemplo, el libro [[:en:C programming]] pertenece a la categoría [[:en:Category:Shelf:C programming language]] que agrupa todos los libros sobre programación en C, como [[:en:Linear Algebra and the C Language]] o [[:en:A Little C Primer]].

Habréis notado que en enWikibooks usan los prefijos:
# '''''Book''''': Para ''agrupar'' las páginas del libro.
# '''''Shelf''''': Para ''catalogar'' libros.

En esWikilibros, hacemos exactamente lo mismo, con la diferencia de que no usamos estos prefijos. Lo cual es un problema porque esto genera innumerables errores como los siguientes:
* El libro [[Programación en C++]] se agrupa bajo la categoría [[:Categoría:Programación en C++]].
* Pero a su vez, la [[:Categoría:Programación en C++]] también se usa para catalogar libros relacionados con programación en C++, por lo que esta categoría incluye también el libro [[Desarrollo de videojuegos para PSP con C++ y SDL]] y [[Programación con Qt4]].

Es decir, la [[:Categoría:Programación en C++]] solapa dos propósitos distintos, y este problema ocurre con una gran cantidad de libros en esWikilibros, y hace que sea muy confuso navegar por las categorías de esWikilibros.

;La solución

Usar el mismo sistema que usan en otras ediciones de Wikilibros, donde los libros se agrupan bajo una categoría llamada ''Libro:'' (de forma que quedaría ''Categoría:Libro:Programación en C++''), y los libros a su vez se catalogan mediante ''Shelf:'' o en español ''Estante:'' (de forma que quedaría ''Categoría:Estante:Programación en C++'').

Curiosamente, ya ha existido algún tímido intento de usar este sistema en esWikilibros, por eso, por ejemplo, tenemos la categoría de catalogación [[:Categoría:Estante:Lenguajes de programación]] y el libro de [[Haskell]] está agrupado bajo la categoría [[:Categoría:Libro:Haskell]]. Pero esto no lo tenemos estandarizado, porque directamente no seguimos ningún sistema en particular [[Usuario:Antimundo/Taller/El estado actual de Wikilibros#Problemas_de_organización|como ya expliqué en mi reciente escrito]].

; Conclusión
En consecuencia, propongo adoptar esta convención como estándar en esWikilibros:
* Las categorías destinadas a agrupar las páginas de un libro pasarán a usar el prefijo «Libro:».
* Las categorías destinadas a catalogar libros por temática pasarán a usar el prefijo «Estante:».
Las categorías existentes se irán trasladando progresivamente a esta estructura, corrigiendo los casos en los que actualmente ambos usos se solapan.

Se trata de un  pequeño cambio principalmente organizativo, que no modifica el contenido de los libros, pero sí hace que la estructura de categorías sea mucho más clara, coherente y fácil de mantener, y que además ya se usa en otras ediciones de Wikilibros.

Voy a esperar unos días por si alguien quiere dejar algún comentario sobre este asunto, tras los cuales mi intención es comenzar a usar esta convención y dejarla documentada para que pueda aplicarse de forma consistente en el futuro.

¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 08:18 15 jul 2026 (UTC)

:Mientras trabajaba en este asunto, me he fijado también en que en Wikilibros tenemos dos «categorías raíz»:
:# [[:Categoría:Categorías]]
:# [[:Categoría:Principal]]
:Ambas dicen ser «la categoría raíz de nuestro sistemas de categorías». Esta duplicidad es un error por motivos obvios.
:Mi sugerencia es que nos quedemos sólo con [[:Categoría:Categorías]]. Por los siguientes motivos:
:# «Categorías» es mucho mas claro que «Principal». ¿Qué significa principal? ¿Principal qué? «Categorías» deja bastante claro, que esa categoría alberga categorías.
:# Por coherencia con otras wikis, ya que en esWikipedia la categoría raíz de otras categorías también se llama «Categorías». Y en enWikibooks se llama «Categories».
:[[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:04 15 jul 2026 (UTC)
:Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]], me alegra mucho ver los cambios recientes que has realizado en línea con esta propuesta, y que incluso has categorizado algunos libros usando esta estructura de ''libros'' y ''estantes''. Por lo tanto ¿imagino que la propuesta te parece razonable? Me gustaría conocer tu opinión, gracias de antemano. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 07:03 16 jul 2026 (UTC)
: Hola, Antimundo:
: Sí, la propuesta me parece una buena iniciativa. Comenzar a diferenciar correctamente las categorías destinadas a agrupar las páginas de cada libro de aquellas utilizadas para catalogar los libros por temática permitiría ordenar considerablemente la estructura actual de esWikilibros.
: Tomar como referencia el sistema utilizado en enWikibooks, mediante los prefijos «Libro:» y «Estante:», me parece razonable, especialmente porque evita que una misma categoría cumpla simultáneamente dos funciones diferentes. Además, facilitaría la navegación, el mantenimiento y la aplicación de un criterio común en todo el proyecto.
: Por esa razón, he comenzado a realizar algunos cambios siguiendo esta estructura, categorizando las secciones de los libros dentro de sus respectivas categorías «Libro:» y utilizando las categorías «Estante:» para su clasificación temática.
: También procedí a eliminar una plantilla que habías creado recientemente para esta finalidad, debido a que en el proyecto ya existía previamente una plantilla destinada a autocategorizar los libros ({{tl|AutoCat}} Mantener dos plantillas con funciones iguales o muy similares habría generado duplicidad, confusión y posibles inconsistencias en la categorización.
: Considero importante que esta convención quede bien documentada antes de extenderla al resto del proyecto, incluyendo el funcionamiento de las plantillas de autocategorización y el procedimiento para trasladar progresivamente las categorías existentes.
: Un saludo. [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 16:21 16 jul 2026 (UTC)
::Genial, gracias por tu ayuda. Sabía que existía {{ep|AutoCat}} (también existe {{ep|AutoCategoría}} por cierto) el motivo por el que hice una nueva plantilla era para no «molestar», porque estaba probando cosas y no sabía si al resto de usuarios os iba a parecer bien esta forma de categorizar, así que preferí no tocar las plantillas que ya existían.
::Estoy 100% de acuerdo contigo en que esta convención debería quedar bien documentada. Ya comenté que me parecía muy problemático que hasta ahora no hubiese ninguna convención documentada en general. ¿Supongo que esto debería ser una política y como tal habría que redactarla para ser incluída en las políticas y orientaciones? Como es una convención bastante sencilla, esto sería sencillo de redactar. Podríamos llamarla «Política de catalogación de libros» o algo así.
::Quedo a la espera de tu opinión sobre cómo proceder con este asunto de la documentación. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 17:14 16 jul 2026 (UTC)
:::Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] he modificado [[Wikilibros:Política_de_nombrado#Uso_de_categorías_y_navegación]] con esta convención. Te invito a revisarlo para ver si te parece bien.
:::Espero que no haya problema en haberme adelantado a añadir esta convención en la política. Pero teniendo en cuenta que ambos estamos de acuerdo cuando somos con diferencia los usuarios más activos en Wikilibros y los únicos que participamos en estas discusiones. Y que es una convención sencilla que mejora bastante el sistema que había, no creo que este cambio resulte polémico para nadie. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:25 18 jul 2026 (UTC)

== Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) ==

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Apologies if this has not yet been translated into your wiki's language. {{int:Please-translate}}
You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}}
[[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]])  12:24 24 jul 2026 (UTC)
&lt;/bdi&gt;
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:DreamRimmer@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30513860 --&gt;

== Una nueva propuesta para medir la calidad de los libros ==

Recientemente he estado compartiendo mensajes con @[[Usuario:Ignacio Rodríguez|Ignacio Rodríguez]], quien actualmente está realizando una gran labor como el administrador más activo de nuestro proyecto hermano Wikisource. Wikisource usó en sus inicios exactamente el mismo sistema de «porcentajes» que usamos actualmente en Wikilibros, el cual fue sustituido recientemente, pues Ignacio ha creado [[s:Wikisource:Calidad de textos|un sistema más claro y sencillo de mantener]] que personalmente me parece mucho más adecuado.

Inspirado por su labor y sus mensajes, me puse a redactar una propuesta para mejorar el sistema que usamos para medir la calidad de los wikilibros. Actualmente tenemos dos sistemas principales, uno son los [[Wikilibros:Libros destacados|libros destacados]], y otro es el [[Wikilibros:Niveles de desarrollo|nivel de desarrollo]]. Pero aunque ambos sistemas existen básicamente desde la concepción misma de Wikilibros, encuentro numerosos problemas con ellos.

* '''El sistema de porcentajes es profundamente ambiguo.''' Intenta asignar un valor numérico a algo que, por naturaleza, es subjetivo. Un wikilibro nunca está realmente «terminado», ya que puede seguir ampliándose y mejorándose indefinidamente, por lo que es discutible siquiera afirmar que un libro pueda llegar a estar nunca 100% desarrollado, y resulta muy difícil justificar que un libro esté al 25 %, al 50 % o al 75 % de desarrollo.
* '''La clasificación no refleja la calidad real de los libros.''' Es habitual encontrar libros marcados con porcentajes bajos a pesar de estar bastante desarrollados, mientras que otros aparecen como completados al 75 % o al 100 % cuando todavía presentan importantes carencias de contenido o de calidad.
* '''Requiere un mantenimiento constante que nuestra comunidad difícilmente puede asumir.''' Para que los porcentajes fueran mínimamente útiles habría que revisarlos continuamente conforme evolucionan los libros, algo poco realista en un proyecto con una comunidad reducida.
* '''Ambos sistemas reciben muy poco mantenimiento.''' Aunque existe desde hace muchos años, el sistema de libros destacados apenas se ha utilizado, nunca se han celebrado votaciones y ni siquiera existen unas instrucciones claras sobre cómo debe otorgarse esta distinción. Por su parte la gran mayoría de páginas de «Desarrollo» llevan intactas desde hace una o dos décadas sin que nadie las actualice.
* '''El sistema de porcentajes requiere mucho esfuerzo para la utilidad que aporta.''' En lugar de indicar con claridad si un libro ha sido revisado y cumple unos estándares mínimos de calidad, intenta clasificar los libros mediante criterios difíciles de medir y que generan más dudas que certezas.

Por estos motivos llevo tiempo trabajando en una propuesta inspirada en el sistema que actualmente utiliza Wikisource y en la filosofía de revisión de Wikipedia. Mi propuesta es sustituir ambos sistemas por un modelo mucho más simple, objetivo y fácil de mantener, basado en tres estados:
# [[File:Circle with Pencil.svg|20px]] '''No corregido''' - Por defecto. Al igual que en Wikipedia, la mayoría de páginas y libros simple y llanamente no han sido revisadas. Pueden llegar a tener problemas que se evidenciarían por las plantillas de mantenimiento ({{ep|Desactualizado}}, {{ep|Referencias}}, {{ep|Esbozo}}, etc) que tenga.
# [[File:Yellow Checkmark Circle.svg|20px]] '''Corregido''' - La página o libro ha sido corregida por al menos un usuario, y esta se ha marcado «Para validar». Una página o libro corregida debería cumplir todas las políticas de Wikilibros, y tener un formato, sintaxis, redacción y extensión adecuadas.
# [[File:Yes Check Circle.svg|20px]] '''Validado''' - La página o libro estaba corregida, y posteriormente ha sido validada por al menos un bibliotecario.

Las principales ventajas de este sistema son que elimina la ambigüedad de los porcentajes, reduce enormemente el mantenimiento que requiere la comunidad y proporciona dos sellos de calidad claros: «''Corregido''», cuando al menos un editor considera que el libro cumple los estándares de Wikilibros, y «''Validado''», cuando además un bibliotecario ha revisado y confirmado esa valoración. En definitiva, creo que ofrece una información mucho más útil tanto para los lectores como para los propios editores.

;En la práctica
Cuando un usuario quiera marcar una página como «''corregida''» lo haría añadiendo a esa página la plantilla &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{calidad|nivel=corregido|usuario=Antimundo|fecha={{subst:CURRENTTIMESTAMP}}}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;, como solo los bibliotecarios deberían poder marcar una página como «''validada''» se puede usar un filtro antiabusos (AbuseFilter) para evitar que un usuario sin permisos escriba &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{calidad|nivel=validado}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;.

Las páginas «''corregidas''» se añadirán a una categoría de mantenimiento como ''Categoría:Páginas marcadas como corregidas'', para que los bibliotecarios puedan ver las páginas a la espera de validarse.

;Quiero destacar algunas cosas:
# Que llevo más de un mes pensando en este asunto y pensando una propuesta que pueda ser interesante, estoy más que abierto a comentarios y opiniones, invito a todo el mundo a [[Antimundo/Taller/Propuesta de sistema de medición de calidad|leer mi propuesta completa]].
# Sé que este cambio puede resultar disruptivo, pero en realidad el sistema de porcentajes fue añadido por un usuario en 2005 y adoptado de facto desde entonces, pero no existe ninguna votación ni consenso formal que lo aprobara (que haya podido encontrar).

Como toda propuesta, estoy abierto a escuchar opiniones y sugerencias, ya que la idea en Wikilibros es buscar el consenso. Dicho esto, considero que el sistema actual presenta problemas importantes por los motivos expuestos anteriormente, y creo que este nuevo modelo supone una mejora clara, por lo que mi intención es trabajar para que pueda implementarse. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 18:40 26 jul 2026 (UTC)

:Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] te menciono como siempre porque actualmente somos los usuarios más activos de esta wiki, y como siempre, me interesan tus opiniones y comentarios. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 18:41 26 jul 2026 (UTC)
: Disculpando la inactividad a seguir en estos hilos, debido al trabajo del día a día, procederé a dar mi punto de vista sobre esto. En términos generales, puede ser un buen sistema para verificar de una manera más clara la calidad de los libros y de sus páginas. La clasificación entre «No corregido», «Corregido» y «Validado» resulta más comprensible que el sistema actual de porcentajes y permitiría distinguir con mayor precisión entre una página que simplemente existe, una que ha sido revisada por un usuario y otra que ha recibido una revisión adicional por parte de un bibliotecario, aunque este cambio conlleva a mejorar por completo la forma tradicional de trabajar con nuevas entradas, es decir, modificar plantillas y eliminar casi &quot;en masa&quot;, todas esas entradas de libros con «Libro/Desarrollo». Por lo mismo, antes de avanzar con una posible implementación, considero importante aclarar cómo funcionaría técnicamente el estado «No corregido». Si este nivel será el estado predeterminado, entiendo que todas las páginas y libros existentes, así como cada nueva página que se cree en el futuro, quedarían catalogados inicialmente como «No corregidos». ¿Esta clasificación se aplicaría de manera automática mediante una plantilla, un módulo, una categoría oculta o algún otro mecanismo, o sería necesario añadirla manualmente página por página? Este punto es especialmente relevante, considerando la cantidad de páginas que existen actualmente en Wikilibros y el trabajo que supondría realizar una modificación manual en cada una de ellas.&lt;br&gt; Respecto del nivel «Validado», considero muy acertado que solamente pueda ser otorgado por un bibliotecario. Si cualquier usuario pudiera marcar una página como validada, el nivel perdería parte de su valor como garantía de calidad. En este sentido, el uso del filtro antiabusos podría ser una alternativa adecuada, aunque habría que revisar con detalle cómo impedir modificaciones indebidas sin bloquear ediciones legítimas.&lt;br&gt; Sería excelente que @[[Usuario:Ignacio Rodríguez|Ignacio Rodríguez]] pudiera explicarnos en este mismo hilo cómo funciona internamente el sistema de categorización y validación utilizado en Wikisource. En particular, sería útil conocer qué elementos funcionan automáticamente, cuáles requieren una acción manual y cómo se registran los usuarios y las fechas de revisión.&lt;br&gt; También sería importante que nos comentara cómo se realiza allí el proceso de marcar una sección o página como «Validada». Según entiendo, en Wikisource existe una relación entre las páginas transcritas, el índice de la obra y la página principal del texto, de manera que, una vez validada la transcripción, el contenido mostrado en el espacio principal se construye o se reemplaza mediante una indexación de las páginas transcritas. Sería conveniente confirmar si esto funciona efectivamente de esa manera y determinar qué partes de ese procedimiento podrían adaptarse a Wikilibros, considerando que la estructura de ambos proyectos es diferente. [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 02:17 27 jul 2026 (UTC)</text>
      <sha1>balb9etk1e8wdoavs3om22rrq0gzgzs</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>429303</id>
      <parentid>429226</parentid>
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      <contributor>
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{{Usuario:MABot/config
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}}

== Clarificar el propósito de las plantillas infraesbozo y contextualizar ==

Buenas, en esWikilibros contamos con las plantillas {{tlx|Infraesbozo}} y {{tlx|Contextualizar}} que se adaptaron desde esWikipedia en 2015. Sin embargo, la forma en la que están redactadas en Wikilibros, sumada a la falta de documentación, hace que resulten demasiado similares entre sí y sus propósitos se solapen.

Estas plantillas en esWikipedia tienen [[w:Wikipedia:Infraesbozo|propósitos claramente diferenciados]]:

* [[w:Plantilla:Infraesbozo|Infraesbozo]]: Se utiliza para páginas cuyo contenido es insuficiente para constituir un esbozo válido. No depende de la longitud del texto, si no de que el artículo tenga algo de información mínima para desarrollar el tema. Se sugieren las siguientes preguntas para establecer si una página:
*# ¿El artículo está contextualizado en tema, lugar y tiempo?, es decir ¿entiendo exactamente de qué habla?
*# ¿El artículo aporta alguna, aunque sea mínima, información adicional enciclopédicamente pertinente? (Adicional a la imprescindible para contextualizar y marcar relevancia, se entiende).
*# ¿El artículo muestra la relevancia de su tema?
* [[w:Plantilla:Contextualizar|Contextualizar]]: Se utiliza para artículos que no proporcionan el contexto suficiente para un lector general. Su objetivo es solicitar que se añada información introductoria, explicaciones o contexto que permitan entender adecuadamente el tema tratado, sin que ello implique que el artículo sea demasiado corto.

Quiero empezar señalando la importancia que, en mi opinión, tiene borrar los infraesbozos, especialmente en esWikilibros. En el proyecto existen muchísios libros muy incompletos y abandonados que se escribieron hace 10 o 20 años que a penas contienen una portada y, como mucho, un par de frases. En la mayoría de casos está claro que su autor no va a regresar para terminarlo, por lo que permanecen indefinidamente en ese estado.

Mantener todos estos libros dificulta considerablemente el mantenimiento del proyecto. Por un lado, incrementa enormemente el número de páginas que requieren seguimiento sin aportar contenido útil. Por otro, complica la identificación de libros que realmente cuentan con algo de desarrollo o que tienen posibilidades de completarse. Además, transmiten una imagen de falta de mantenimiento y puede dificultar la navegación y el descubrimiento de obras que sí ofrecen un contenido aprovechable.

A todo esto se suma, que estos infraesbozos rara vez sirven como punto de partida para futuros colaboradores, cuando alguien decide crear un libro sobre un tema que ya cuenta con un infraesbozo, lo habitual es que el contenido existente sea tan escaso que no resulte útil para construir sobre él. En la práctica, el trabajo consiste en rehacer el libro desde el principio, ya que apenas hay material que conservar o desarrollar. En estos casos, la existencia del infraesbozo ni si quiera facilita la creación del libro.

Sin embargo, en Wikilibros, nuestra plantilla de «''Infraesbozo''» dice «''Este libro es demasiado reducido y carece de información básica que permita saber de qué se trata.''» Pero esto habla de contexto, y para contexto ya existe la plantilla «''Contextualizar''». Voy a poner algún ejemplo sobre por qué considero esto problemático:

* Existe el libro de [[Vim]] que tiene una portada y  '''absolutamenete nada''' de contenido. Está clarísimo que el libro pretende tratar sobre [[w:Vim|el editor de texto Vim]], su problema no es que «''carece de información básica que permita saber de qué se trata.''», sé perfectamente de qué quiere tratar. Pero sencillamente no contiene información útil. No hay ningún texto útil que desarrollar, ampliar o contextualizar, ni puede aportar absolutamente nada a ningún lector. Además, lleva once años sin recibir ediciones, por lo que es muy poco probable que su autor original vaya a volver en ningún momento a completarlo. Este tipo de «libros» me parecen problemáticos por lo que comenté anteriormente.
* Hay muchos casos similares en Wikilibros. Por ejemplo, existe un libro de [[Vida saludable]] que contiene una portada y una breve frase introductoria, pero nada más. De nuevo, el problema no es que «''carece de información básica que permita saber de qué se trata.''», cualquiera entiende que el libro pretende tratar sobre la vida saludable. Lo que ocurre es que ese contenido no constituye ninguna base útil para un libro. No desarrolla el tema, no aporta información aprovechable al lector y, en la práctica, cualquier editor que quisiera escribir un libro sobre ese tema tendría que empezar de cero. Además hace 16 años que no se edita, no parece que su autor original vaya a volver para completarlo.

Por ello, sugiero adaptar estas plantillas para que sus propósitos queden claramente diferenciados, siguiendo el criterio de esWikipedia. En concreto, que «''Infraesbozo''» se reserve para señalar libros cuyo contenido es insuficiente para constituir un esbozo válido, independientemente de que el tema esté claramente identificado, y que «''Contextualizar''» se utilice únicamente cuando el problema sea la falta de contexto o de información introductoria que dificulte la comprensión del contenido existente. De este modo, ambas plantillas dejarían de solapar sus funciones y su uso resultaría mucho más claro y coherente.

Además, creo que el origen del problema probablemente sea bastante trivial y ni si quiera responde a ninguna decisión deliberada: simplemente se trata de un pequeño cambio de redacción que se introdujo al adaptar las plantillas desde esWikipedia hace once años, sin que hubiera una intención concreta detrás. Con el tiempo, esa pequeña diferencia ha acabado generando este solapamiento entre ambas plantillas. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 08:30 30 jun 2026 (UTC)

:Han pasado ocho días desde que planteé esto y, dado que no ha habido ninguna objeción y tampoco considero que se trate de un cambio especialmente controvertido, voy a hacer el ajuste que propuse para clarificar la redacción de las plantillas, de forma similar a como ya está escrito en esWikipedia, tal y como expliqué anteriormente. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 16:16 8 jul 2026 (UTC)

== Un pequeño hito que quería compartir ==

¡Buenas! quería compartir con orgullo un pequeño hito conseguido en Wikilibros, solo por informar de las tareas que ando haciendo. 😊 Últimamente he estado arreglando literalmente '''miles''' de errores de sintaxis que reporta el [[:mw:Extension:Linter|linter]] de Wikilibros. Si entráis en la [[Especial:Errores_de_sintaxis|lista de errores de sintaxis]] podréis ver que la mayoría de categorías de errores graves están a 0, o se han reducido también drásticamente.

Arreglar estos errores puede parecer poco llamativo porque no cambia en nada el contenido de las páginas, pero corregirlos hace que Wikilibros sea más fácil de mantener, más compatible con futuras actualizaciones de MediaWiki, cumpla los estándares modernos de accesibilidad y reduce la posibilidad de que las páginas no se rendericen correctamente.

No puedo arreglar ''todos'' los errores porque muchos están en páginas protegidas que no puedo editar al no ser bibliotecario, además son muy numerosos (muchos miles) y algunos son complejos de arreglar. Pero ando trabajando en ello en mis ratos libres. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:14 8 jul 2026 (UTC)

== Estandarización de las categorías de libros ==

En esWikilibros tenemos un problema grave con la catalogación de los libros, que en enWikibooks no existe gracias a una simple convención a la hora de nombrar las categorías. Ya expuse este asunto en [[Usuario:Antimundo/Taller/El estado actual de Wikilibros#Problemas_de_organización|un escrito en mi página de usuario]]. ''(Nótese que voy a usar enWikibooks de ejemplo, pero que esa misma solución se usa en otras ediciones de Wikilibros como en alemán o portugués).''

Tanto en esWikilibros como en enWikibooks, los libros tienen dos clases de categorías:
# '''Categoría para ''agrupar'' el libro''': Todas las páginas de un mismo libro se agrupan bajo una categoría con el mismo nombre del libro. Por ejemplo, el libro [[:en:C programming]] pertenece a la categoría [[:en:Category:Book:C programming]].
# '''Categoría para ''catalogar'' el libro''': El libro en sí mismo se cataloga bajo una o varias categorías. Por ejemplo, el libro [[:en:C programming]] pertenece a la categoría [[:en:Category:Shelf:C programming language]] que agrupa todos los libros sobre programación en C, como [[:en:Linear Algebra and the C Language]] o [[:en:A Little C Primer]].

Habréis notado que en enWikibooks usan los prefijos:
# '''''Book''''': Para ''agrupar'' las páginas del libro.
# '''''Shelf''''': Para ''catalogar'' libros.

En esWikilibros, hacemos exactamente lo mismo, con la diferencia de que no usamos estos prefijos. Lo cual es un problema porque esto genera innumerables errores como los siguientes:
* El libro [[Programación en C++]] se agrupa bajo la categoría [[:Categoría:Programación en C++]].
* Pero a su vez, la [[:Categoría:Programación en C++]] también se usa para catalogar libros relacionados con programación en C++, por lo que esta categoría incluye también el libro [[Desarrollo de videojuegos para PSP con C++ y SDL]] y [[Programación con Qt4]].

Es decir, la [[:Categoría:Programación en C++]] solapa dos propósitos distintos, y este problema ocurre con una gran cantidad de libros en esWikilibros, y hace que sea muy confuso navegar por las categorías de esWikilibros.

;La solución

Usar el mismo sistema que usan en otras ediciones de Wikilibros, donde los libros se agrupan bajo una categoría llamada ''Libro:'' (de forma que quedaría ''Categoría:Libro:Programación en C++''), y los libros a su vez se catalogan mediante ''Shelf:'' o en español ''Estante:'' (de forma que quedaría ''Categoría:Estante:Programación en C++'').

Curiosamente, ya ha existido algún tímido intento de usar este sistema en esWikilibros, por eso, por ejemplo, tenemos la categoría de catalogación [[:Categoría:Estante:Lenguajes de programación]] y el libro de [[Haskell]] está agrupado bajo la categoría [[:Categoría:Libro:Haskell]]. Pero esto no lo tenemos estandarizado, porque directamente no seguimos ningún sistema en particular [[Usuario:Antimundo/Taller/El estado actual de Wikilibros#Problemas_de_organización|como ya expliqué en mi reciente escrito]].

; Conclusión
En consecuencia, propongo adoptar esta convención como estándar en esWikilibros:
* Las categorías destinadas a agrupar las páginas de un libro pasarán a usar el prefijo «Libro:».
* Las categorías destinadas a catalogar libros por temática pasarán a usar el prefijo «Estante:».
Las categorías existentes se irán trasladando progresivamente a esta estructura, corrigiendo los casos en los que actualmente ambos usos se solapan.

Se trata de un  pequeño cambio principalmente organizativo, que no modifica el contenido de los libros, pero sí hace que la estructura de categorías sea mucho más clara, coherente y fácil de mantener, y que además ya se usa en otras ediciones de Wikilibros.

Voy a esperar unos días por si alguien quiere dejar algún comentario sobre este asunto, tras los cuales mi intención es comenzar a usar esta convención y dejarla documentada para que pueda aplicarse de forma consistente en el futuro.

¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 08:18 15 jul 2026 (UTC)

:Mientras trabajaba en este asunto, me he fijado también en que en Wikilibros tenemos dos «categorías raíz»:
:# [[:Categoría:Categorías]]
:# [[:Categoría:Principal]]
:Ambas dicen ser «la categoría raíz de nuestro sistemas de categorías». Esta duplicidad es un error por motivos obvios.
:Mi sugerencia es que nos quedemos sólo con [[:Categoría:Categorías]]. Por los siguientes motivos:
:# «Categorías» es mucho mas claro que «Principal». ¿Qué significa principal? ¿Principal qué? «Categorías» deja bastante claro, que esa categoría alberga categorías.
:# Por coherencia con otras wikis, ya que en esWikipedia la categoría raíz de otras categorías también se llama «Categorías». Y en enWikibooks se llama «Categories».
:[[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:04 15 jul 2026 (UTC)
:Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]], me alegra mucho ver los cambios recientes que has realizado en línea con esta propuesta, y que incluso has categorizado algunos libros usando esta estructura de ''libros'' y ''estantes''. Por lo tanto ¿imagino que la propuesta te parece razonable? Me gustaría conocer tu opinión, gracias de antemano. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 07:03 16 jul 2026 (UTC)
: Hola, Antimundo:
: Sí, la propuesta me parece una buena iniciativa. Comenzar a diferenciar correctamente las categorías destinadas a agrupar las páginas de cada libro de aquellas utilizadas para catalogar los libros por temática permitiría ordenar considerablemente la estructura actual de esWikilibros.
: Tomar como referencia el sistema utilizado en enWikibooks, mediante los prefijos «Libro:» y «Estante:», me parece razonable, especialmente porque evita que una misma categoría cumpla simultáneamente dos funciones diferentes. Además, facilitaría la navegación, el mantenimiento y la aplicación de un criterio común en todo el proyecto.
: Por esa razón, he comenzado a realizar algunos cambios siguiendo esta estructura, categorizando las secciones de los libros dentro de sus respectivas categorías «Libro:» y utilizando las categorías «Estante:» para su clasificación temática.
: También procedí a eliminar una plantilla que habías creado recientemente para esta finalidad, debido a que en el proyecto ya existía previamente una plantilla destinada a autocategorizar los libros ({{tl|AutoCat}} Mantener dos plantillas con funciones iguales o muy similares habría generado duplicidad, confusión y posibles inconsistencias en la categorización.
: Considero importante que esta convención quede bien documentada antes de extenderla al resto del proyecto, incluyendo el funcionamiento de las plantillas de autocategorización y el procedimiento para trasladar progresivamente las categorías existentes.
: Un saludo. [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 16:21 16 jul 2026 (UTC)
::Genial, gracias por tu ayuda. Sabía que existía {{ep|AutoCat}} (también existe {{ep|AutoCategoría}} por cierto) el motivo por el que hice una nueva plantilla era para no «molestar», porque estaba probando cosas y no sabía si al resto de usuarios os iba a parecer bien esta forma de categorizar, así que preferí no tocar las plantillas que ya existían.
::Estoy 100% de acuerdo contigo en que esta convención debería quedar bien documentada. Ya comenté que me parecía muy problemático que hasta ahora no hubiese ninguna convención documentada en general. ¿Supongo que esto debería ser una política y como tal habría que redactarla para ser incluída en las políticas y orientaciones? Como es una convención bastante sencilla, esto sería sencillo de redactar. Podríamos llamarla «Política de catalogación de libros» o algo así.
::Quedo a la espera de tu opinión sobre cómo proceder con este asunto de la documentación. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 17:14 16 jul 2026 (UTC)
:::Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] he modificado [[Wikilibros:Política_de_nombrado#Uso_de_categorías_y_navegación]] con esta convención. Te invito a revisarlo para ver si te parece bien.
:::Espero que no haya problema en haberme adelantado a añadir esta convención en la política. Pero teniendo en cuenta que ambos estamos de acuerdo cuando somos con diferencia los usuarios más activos en Wikilibros y los únicos que participamos en estas discusiones. Y que es una convención sencilla que mejora bastante el sistema que había, no creo que este cambio resulte polémico para nadie. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 19:25 18 jul 2026 (UTC)

== Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) ==

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Apologies if this has not yet been translated into your wiki's language. {{int:Please-translate}}
You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}}
[[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]])  12:24 24 jul 2026 (UTC)
&lt;/bdi&gt;
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:DreamRimmer@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30513860 --&gt;

== Una nueva propuesta para medir la calidad de los libros ==

Recientemente he estado compartiendo mensajes con @[[Usuario:Ignacio Rodríguez|Ignacio Rodríguez]], quien actualmente está realizando una gran labor como el administrador más activo de nuestro proyecto hermano Wikisource. Wikisource usó en sus inicios exactamente el mismo sistema de «porcentajes» que usamos actualmente en Wikilibros, el cual fue sustituido recientemente, pues Ignacio ha creado [[s:Wikisource:Calidad de textos|un sistema más claro y sencillo de mantener]] que personalmente me parece mucho más adecuado.

Inspirado por su labor y sus mensajes, me puse a redactar una propuesta para mejorar el sistema que usamos para medir la calidad de los wikilibros. Actualmente tenemos dos sistemas principales, uno son los [[Wikilibros:Libros destacados|libros destacados]], y otro es el [[Wikilibros:Niveles de desarrollo|nivel de desarrollo]]. Pero aunque ambos sistemas existen básicamente desde la concepción misma de Wikilibros, encuentro numerosos problemas con ellos.

* '''El sistema de porcentajes es profundamente ambiguo.''' Intenta asignar un valor numérico a algo que, por naturaleza, es subjetivo. Un wikilibro nunca está realmente «terminado», ya que puede seguir ampliándose y mejorándose indefinidamente, por lo que es discutible siquiera afirmar que un libro pueda llegar a estar nunca 100% desarrollado, y resulta muy difícil justificar que un libro esté al 25 %, al 50 % o al 75 % de desarrollo.
* '''La clasificación no refleja la calidad real de los libros.''' Es habitual encontrar libros marcados con porcentajes bajos a pesar de estar bastante desarrollados, mientras que otros aparecen como completados al 75 % o al 100 % cuando todavía presentan importantes carencias de contenido o de calidad.
* '''Requiere un mantenimiento constante que nuestra comunidad difícilmente puede asumir.''' Para que los porcentajes fueran mínimamente útiles habría que revisarlos continuamente conforme evolucionan los libros, algo poco realista en un proyecto con una comunidad reducida.
* '''Ambos sistemas reciben muy poco mantenimiento.''' Aunque existe desde hace muchos años, el sistema de libros destacados apenas se ha utilizado, nunca se han celebrado votaciones y ni siquiera existen unas instrucciones claras sobre cómo debe otorgarse esta distinción. Por su parte la gran mayoría de páginas de «Desarrollo» llevan intactas desde hace una o dos décadas sin que nadie las actualice.
* '''El sistema de porcentajes requiere mucho esfuerzo para la utilidad que aporta.''' En lugar de indicar con claridad si un libro ha sido revisado y cumple unos estándares mínimos de calidad, intenta clasificar los libros mediante criterios difíciles de medir y que generan más dudas que certezas.

Por estos motivos llevo tiempo trabajando en una propuesta inspirada en el sistema que actualmente utiliza Wikisource y en la filosofía de revisión de Wikipedia. Mi propuesta es sustituir ambos sistemas por un modelo mucho más simple, objetivo y fácil de mantener, basado en tres estados:
# [[File:Circle with Pencil.svg|20px]] '''No corregido''' - Por defecto. Al igual que en Wikipedia, la mayoría de páginas y libros simple y llanamente no han sido revisadas. Pueden llegar a tener problemas que se evidenciarían por las plantillas de mantenimiento ({{ep|Desactualizado}}, {{ep|Referencias}}, {{ep|Esbozo}}, etc) que tenga.
# [[File:Yellow Checkmark Circle.svg|20px]] '''Corregido''' - La página o libro ha sido corregida por al menos un usuario, y esta se ha marcado «Para validar». Una página o libro corregida debería cumplir todas las políticas de Wikilibros, y tener un formato, sintaxis, redacción y extensión adecuadas.
# [[File:Yes Check Circle.svg|20px]] '''Validado''' - La página o libro estaba corregida, y posteriormente ha sido validada por al menos un bibliotecario.

Las principales ventajas de este sistema son que elimina la ambigüedad de los porcentajes, reduce enormemente el mantenimiento que requiere la comunidad y proporciona dos sellos de calidad claros: «''Corregido''», cuando al menos un editor considera que el libro cumple los estándares de Wikilibros, y «''Validado''», cuando además un bibliotecario ha revisado y confirmado esa valoración. En definitiva, creo que ofrece una información mucho más útil tanto para los lectores como para los propios editores.

;En la práctica
Cuando un usuario quiera marcar una página como «''corregida''» lo haría añadiendo a esa página la plantilla &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{calidad|nivel=corregido|usuario=Antimundo|fecha={{subst:CURRENTTIMESTAMP}}}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;, como solo los bibliotecarios deberían poder marcar una página como «''validada''» se puede usar un filtro antiabusos (AbuseFilter) para evitar que un usuario sin permisos escriba &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{calidad|nivel=validado}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;.

Las páginas «''corregidas''» se añadirán a una categoría de mantenimiento como ''Categoría:Páginas marcadas como corregidas'', para que los bibliotecarios puedan ver las páginas a la espera de validarse.

;Quiero destacar algunas cosas:
# Que llevo más de un mes pensando en este asunto y pensando una propuesta que pueda ser interesante, estoy más que abierto a comentarios y opiniones, invito a todo el mundo a [[Antimundo/Taller/Propuesta de sistema de medición de calidad|leer mi propuesta completa]].
# Sé que este cambio puede resultar disruptivo, pero en realidad el sistema de porcentajes fue añadido por un usuario en 2005 y adoptado de facto desde entonces, pero no existe ninguna votación ni consenso formal que lo aprobara (que haya podido encontrar).

Como toda propuesta, estoy abierto a escuchar opiniones y sugerencias, ya que la idea en Wikilibros es buscar el consenso. Dicho esto, considero que el sistema actual presenta problemas importantes por los motivos expuestos anteriormente, y creo que este nuevo modelo supone una mejora clara, por lo que mi intención es trabajar para que pueda implementarse. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 18:40 26 jul 2026 (UTC)

:Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] te menciono como siempre porque actualmente somos los usuarios más activos de esta wiki, y como siempre, me interesan tus opiniones y comentarios. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 18:41 26 jul 2026 (UTC)
: Disculpando la inactividad a seguir en estos hilos, debido al trabajo del día a día, procederé a dar mi punto de vista sobre esto. En términos generales, puede ser un buen sistema para verificar de una manera más clara la calidad de los libros y de sus páginas. La clasificación entre «No corregido», «Corregido» y «Validado» resulta más comprensible que el sistema actual de porcentajes y permitiría distinguir con mayor precisión entre una página que simplemente existe, una que ha sido revisada por un usuario y otra que ha recibido una revisión adicional por parte de un bibliotecario, aunque este cambio conlleva a mejorar por completo la forma tradicional de trabajar con nuevas entradas, es decir, modificar plantillas y eliminar casi &quot;en masa&quot;, todas esas entradas de libros con «Libro/Desarrollo». Por lo mismo, antes de avanzar con una posible implementación, considero importante aclarar cómo funcionaría técnicamente el estado «No corregido». Si este nivel será el estado predeterminado, entiendo que todas las páginas y libros existentes, así como cada nueva página que se cree en el futuro, quedarían catalogados inicialmente como «No corregidos». ¿Esta clasificación se aplicaría de manera automática mediante una plantilla, un módulo, una categoría oculta o algún otro mecanismo, o sería necesario añadirla manualmente página por página? Este punto es especialmente relevante, considerando la cantidad de páginas que existen actualmente en Wikilibros y el trabajo que supondría realizar una modificación manual en cada una de ellas.&lt;br&gt; Respecto del nivel «Validado», considero muy acertado que solamente pueda ser otorgado por un bibliotecario. Si cualquier usuario pudiera marcar una página como validada, el nivel perdería parte de su valor como garantía de calidad. En este sentido, el uso del filtro antiabusos podría ser una alternativa adecuada, aunque habría que revisar con detalle cómo impedir modificaciones indebidas sin bloquear ediciones legítimas.&lt;br&gt; Sería excelente que @[[Usuario:Ignacio Rodríguez|Ignacio Rodríguez]] pudiera explicarnos en este mismo hilo cómo funciona internamente el sistema de categorización y validación utilizado en Wikisource. En particular, sería útil conocer qué elementos funcionan automáticamente, cuáles requieren una acción manual y cómo se registran los usuarios y las fechas de revisión.&lt;br&gt; También sería importante que nos comentara cómo se realiza allí el proceso de marcar una sección o página como «Validada». Según entiendo, en Wikisource existe una relación entre las páginas transcritas, el índice de la obra y la página principal del texto, de manera que, una vez validada la transcripción, el contenido mostrado en el espacio principal se construye o se reemplaza mediante una indexación de las páginas transcritas. Sería conveniente confirmar si esto funciona efectivamente de esa manera y determinar qué partes de ese procedimiento podrían adaptarse a Wikilibros, considerando que la estructura de ambos proyectos es diferente. [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 02:17 27 jul 2026 (UTC)
::Gracias por tu respuesta @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]]. Me gustaría responder a tus comentarios sobre cómo se implementaría esto en la práctica.
::&lt;br&gt;El cómo funciona este sistema en Wikisource puede leerse en ''[[s:Wikisource:Calidad de textos]]''. Su uso es distinto a cómo lo haríamos en Wikilibros, principalmente porque su implementación en Wikisource se realiza a través de la extensión de MediaWiki [[m:Extension:Proofread Page]] que es una extensión especialmente creada para digitalizar textos para Wikisource por lo que no tendría sentido usarla en Wikilibros. Por eso mi propuesta consiste en usar plantillas que bastante más simple y sencillo.
::&lt;br&gt;Sobre el «''no corregido''», mi idea es que, cuando una página no tenga ninguna plantilla de calidad, se pueda asumir que simplemente aún no ha sido corregida. Del mismo modo que en Wikipedia los [[w:Artículos buenos|artículos buenos]] se identifican mediante una plantilla, mientras que los artículos «''no buenos''» no llevan ninguna plantilla: simplemente no presentan ninguna distinción ni sello de calidad.
::Esto lo planteo de esta forma, precisamente para evitar tener que añadir masivamente una plantilla de &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{calidad|nivel=nocorregido}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; a las miles de páginas de Wikilibros. Al igual que en Wikipedia con los artículos «buenos» y «destacados» se asume que las páginas que no lleven ninguna plantilla de distinción de calidad no están «corregidas».
::&lt;br&gt;Quería destacar otra diferencia respecto a mi propuesta y el sistema de Wikisource. En Wikisource existe la clasificación de «[[File:Purple Exclamation.svg|20px]] ''Problemático''». Yo no he puesto esta clasificación por el mismo motivo que no he puesto una plantilla de ''no corregido'', por sencillez. Cuando un contenido es marcado con una plantilla de mantenimiento como {{ep|esbozo}}, {{ep|desactualizado}}, {{ep|referencias}}, {{ep|hoja suelta}}, {{ep|corregir nombrado}}, etc. Se asume que esa página tiene ese problema, al igual que en Wikipedia donde tampoco se marcan las páginas como ''problemáticas'' simplemente tienen una cierta plantilla de mantenimiento y ya. En Wikisource tiene sentido que usen esta distinción de «''problemático''» porque como ya mencioné usan la extensión de ''Proofread Page'', pero en Wikilibros y Wikipedia añadir esto solo sería complejidad innecesaria.
::&lt;br&gt;Sobre la eliminación en masa de páginas de ''/Desarrollo'', esta es mi humilde opinión, y disculpad si peco de radical. Considero que muchas indicaciones de desarrollo tienen poco valor y, con frecuencia, son demasiado imprecisas o llevan años (e incluso décadas) desactualizadas. Además, exigir que todos los libros tengan una página independiente de ''/Desarrollo'' añade una complejidad adicional al mantenimiento cuya principal ventaja es poder mostrar el nivel de desarrollo en la portada. Sin embargo, ni siquiera esa ventaja resulta especialmente útil, ya que la portada está protegida y solo los bibliotecarios pueden actualizar esa información. En la práctica, esto significa que los propios autores no pueden mantener al día el nivel de desarrollo de sus libros, por lo que el sistema pierde buena parte de su razón de ser.
::Esto sumado a los problemas que ya destaqué sobre los problemas con las páginas de ''/Desarrollo'' hace que personalmente no le vea mucho problema al hecho de ir borrando las páginas de ''/Desarrollo'', aunque personalmente no las borraría en masa con ninguna herramienta, y me tomaría la molestia de hacer el cambio poco a poco, para ir asegurándose de que esto no provoca errores de sintaxis en otros lados, y que no se pierde nada de valor. Personalmente estoy dispuesto a realizar ese trabajo.
::&lt;br&gt;También quería añadir respecto del nivel «Validado», que si bien he puesto que sólo podrían editarlo, bibliotecarios, vería interesante que quizás en un futuro podría plantearse que otros usuarios estuviesen autorizados para hacer esta tarea, por ejemplo se podría hacer que los [[Wikilibros:Verificadores|verificadores]] también tuviesen la capacidad de marcar páginas como validadas, o crear un nuevo rol de ''usuario validador'' específicamente destinado para esta tarea. Esto no sería necesario ahora, pero lo planteo como posibilidad en un futuro hipotético donde hiciese falta más gente ayudando a validar páginas.
::&lt;br&gt;Por último, quería aclarar que en la plantilla &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{calidad|nivel=corregido|usuario=Antimundo|fecha={{subst:CURRENTTIMESTAMP}}}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;. Lo de «usuario» y «fecha» lo pongo porque creo que es importante registrar quién y cuándo ha marcado una cierta página como corregida o validada, aquí habría que esperar que los usuarios usen la plantilla correctamente, otra opción más sencilla es tener que firmar al añadir la plantilla: &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{calidad|nivel=corregido|firma=~~~~}}}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;. No tengo una preferencia personal sobre cómo se podría implementar esto, quizás lo de la firma es más sencillo y menos usuarios se equivocarían al ponerlo. Actualmente la plantilla {{ep|desarrollo}} supuestamente también hay que firmarla, aunque muchos usuarios se olvidan de hacerlo (seguramente en parte porque esta práctica no está muy bien documentada).
::&lt;br&gt;Espero haber aclarado las posibles dudas de la implementación. ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 06:41 27 jul 2026 (UTC)</text>
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    <title>Manual de la bicicleta</title>
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      <comment>Retirar dos subpáginas eliminadas</comment>
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      <text bytes="737" sha1="e9xb618w7mlqvbd3wufdxwbaown39ol" xml:space="preserve">Wikilibro en proceso de traducción [[:en:Bicycle repair|del inglés]], siéntete libre de añadir o traducir lo que quieras.
[[Archivo:Togo-pedaleamundo2.jpg|centro|sinmarco|300x300px]]
&lt;div style=&quot;font-size:120%; text-align: center;&quot;&gt;'''Mantenimiento y reparación de bicicletas'''&lt;/div&gt;
== Índice ==
* [[Manual de la bicicleta/Introducción|Introducción]]
* [[Manual de la bicicleta/Partes de la bicicleta|Partes de la bicicleta]]
* [[Manual de la bicicleta/Herramientas|Herramientas]]
* [[Manual de la bicicleta/Mantenimiento de la bicicleta|Mantenimiento]]
* [[Manual de la bicicleta/Reparaciones|Reparaciones]]
* [[Manual de la bicicleta/Glosario español-inglés de la bicicleta|Glosario inglés-español]]

{{Estantes|Deporte}}</text>
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    <title>Manual de la bicicleta/Mantenimiento de la bicicleta</title>
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        <username>Mazbel</username>
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      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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      <text bytes="1643" sha1="d6asvx6l0wlhxkga0ta4uiwjds4nx8d" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
[[File:Bicycle diagram-es.svg]]
&lt;center&gt;'''Partes de la bicicleta'''&lt;/center&gt;

Las revisiones periódicas de la bicicleta mejorarán sus prestaciones y ampliará la vida útil de la misma. La regularidad con que se realicen las revisiones debe depender del uso que se le dé, de las condiciones climáticas bajo las que se utilice, del rendimiento, de si se conduce por un camino o por carretera, su calidad, etcétera.

La revisión periódica anual debería ser el mínimo para mantener la bicicleta para un ciclista medio, pero las siguientes revisiones ayudan a mantener el buen estado:

◇•Antes de cada vez en que se monte•◇

•Comprueba que las ruedas estén infladas y que los frenos funcionen correctamente.

•Verifica que no haya ningún radio roto, y que no falte ninguna pieza.

•Usa siempre seguridad (casco, rodilleras, coderas, etc).

==Revisiones semanales:==
*Comprueba si la cadena está adecuadamente lubricada
*Comprobar los cubos y el soporte inferior para saber si hay bamboleo.
*Haz girar las ruedas para comprobar que estén bien centradas.
.....

==Trimestralmente:==
*Amplia revisión de la funcionalidad de los frenos.
*Comprobar el ajuste de los cambios de marchas.
*Engrasar el tubo del asiento. Puede que técnicamente no sea una parte móvil, pero no sería deseable que pudiera quedar atascada.

==Al menos cada dos años:==
*Desensamblarla por completo, limpiar todas sus partes, y lubricar todas las zonas móviles.
*Engrasar las zonas de contacto 'metal con metal'.
*Reemplazar las partes desgastadas cuando sea necesario.

[[en:Bicycles/Maintenance and Repair/Maintenance Schedules]]</text>
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    <title>Manual de la bicicleta/Partes de la bicicleta</title>
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      <text bytes="5696" sha1="7gpper237mir37074djh3bit4w3yd9y" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Dada la prioridad de ligereza y simplicidad, la mayoría de las bicicletas se componen de un número bien limitado y visible de componentes.

* [[Manual de la bicicleta/Bicicleta|Chasis]], bastidor o cuadro, de una o varias piezas, en definitiva la estructura de soporte del resto de componentes, y además, del ciclista.

* [[Manual de la bicicleta/Ruedas|Ruedas]], generalmente dos (bicicleta, 3 si es para otro tipo como el triciclo), pudiendo ser del mismo o distinto tamaño cada una.

* [[Manual de la bicicleta/Grupo|Grupo]], componentes motrices imprescindibles, como son: [[Manual de la bicicleta/Ejes|ejes]], [[Manual de la bicicleta/Piñones|piñones]], [[Manual de la bicicleta/Platos|platos]], [[Manual de la bicicleta/Biela|bielas]], [[Manual de la bicicleta/Pedalier|pedalier]] o eje de las mismas, [[Manual de la bicicleta/Pedales|pedales]], [[Manual de la bicicleta/Dirección|dirección]], [[Manual de la bicicleta/Cadena|cadena]], [[Manual de la bicicleta/Cambios|cambios]], [[Manual de la bicicleta/Desviadores|desviadores]], [[Manual de la bicicleta/Freno|frenos]] y [[Manual de la bicicleta/Mandos de cambio y freno|mandos]].

* Otros componentes imprescindibles como: [[Manual de la bicicleta/Manillar|Manillar]], [[Manual de la bicicleta/Tija del manillar|Tija del manillar]], [[Manual de la bicicleta/Sillín|Sillín]], [[Manual de la bicicleta/Tija del sillín|Tija del sillín]].

* Accesorios (no menos imprescindibles dependiendo del uso, y teniendo en cuenta que la bicicleta en sí es un vehículo sencillo y fácil de adaptar y reparar por el propio usuario).
 
Algunos de estos componentes que prácticamente se encuentran en todas las bicicletas del mundo son, [[Manual de la bicicleta/Puños|puños]], [[Manual de la bicicleta/Cinta del manillar|cinta de manillar]], [[Manual de la bicicleta/Portabultos|portabultos]], [[Manual de la bicicleta/Luz|luz]], [[Manual de la bicicleta/Guardabarros|guardabarros]], [[Manual de la bicicleta/Timbre|timbre]], hinchador o inflador o [[Manual de la bicicleta/Bomba|Bomba de inflar]], [[Manual de la bicicleta/Guardacadena|guardacadena]] y otros también difundidos entre los países industrializados y muy comunes como: [[Manual de la bicicleta/Velocímetro|velocímetro]], [[Manual de la bicicleta/Suspensión|suspensión]], [[Manual de la bicicleta/Apéndices de manillar|avances]], [[Manual de la bicicleta/Cierres rápidos|cierres rápidos]], bolsas de transporte de diversas formas y tamaños, set de herramientas.


'''Lista de piezas que componen una bicicleta básica:'''

#[[Manual de la bicicleta/no biela |Biela]], [[Manual de la bicicleta/Bielas|Bielas]]
#[[Manual de la bicicleta/Cadena |Cadena]], [[Manual de la bicicleta/Transmisión|Transmisión]]
#[[Manual de la bicicleta/Chasis|Chasis]]
#[[Manual de la bicicleta/Cierre Sillín|Cierre Sillín]]
#[[Manual de la bicicleta/Dirección|Dirección]] (Rodamiento) 
#[[Manual de la bicicleta/Sistema de Frenos|Frenos]] con [[Manual de la bicicleta/Mando| Mando]]s, [[Manual de la bicicleta/Maneta|Maneta]]s, [[Manual de la bicicleta/Transmisión|Transmisión]], [[Manual de la bicicleta/Puente de Freno|Puentes de Freno]], [[Manual de la bicicleta/Mordaza|Mordaza]]s o [[Manual de la bicicleta/Leva|Levas]] y [[Manual de la bicicleta/Zapatas|Zapatas]]
#[[Manual de la bicicleta/Horquilla|Horquilla]]
#[[Manual de la bicicleta/Manillar|Manillar]] de una pieza con [[Tija]] o varias, como [[Manillar]], [[Tija de manillar]] [[Potencia]]
#[[Manual de la bicicleta/Pedales|Pedales]]
#[[Manual de la bicicleta/Pedalier|Pedalier]]
#[[Manual de la bicicleta/Piñón|Piñón]]
#[[Manual de la bicicleta/Plato|Plato]]
#[[Manual de la bicicleta/Puños|Puños]]
#[[Manual de la bicicleta/Ruedas|Ruedas]] con [[Manual de la bicicleta/Ejes|Ejes]] también llamados [[Manual de la bicicleta/Bujes|Bujes]], [[Llantas]], [[Neumáticos]] o [[Cubiertas]], [[Cámaras]], [[Válvula]]s y generalmente con [[Radio]]s
#[[Sillín]] con [[Tija de Sillín]] o [[Tubo]]


'''Dependiendo del uso y modalidad las bicicletas pueden componerse de otras piezas'''


[[Image:Bicycle diagram-es.svg|490px|thumb|right|Partes básicas de una bicicleta.]]


*[[Manual de la bicicleta/Amortiguación delantera|Amortiguación delantera]]
*[[Manual de la bicicleta/Amortiguación trasera|Amortiguación trasera]]
*[[Manual de la bicicleta/Biela|Biela]]
*[[Manual de la bicicleta/Bomba|Bomba]]
*[[Manual de la bicicleta/Cadena|Cadena]]
*[[Manual de la bicicleta/Cadena antirrobo|Cadena antirrobo]]
*[[Manual de la bicicleta/Cambio delantero|Cambio delantero]]
*[[Manual de la bicicleta/Cambio trasero|Cambio trasero]]
*[[Manual de la bicicleta/Cuadro|Cuadro]]
*[[Manual de la bicicleta/Cubierta|Cubierta]]
*[[Manual de la bicicleta/Cuerno|Cuerno]]
*[[Manual de la bicicleta/Dinamo|Dinamo]]
*[[Manual de la bicicleta/Frenos de disco hidráulicos|Frenos de disco hidráulicos]]
*[[Manual de la bicicleta/Frenos de disco|Frenos de disco]]
*[[Manual de la bicicleta/Frenos V|Frenos V]]
*[[Manual de la bicicleta/Guardabarros|Guardabarros]]
*[[Manual de la bicicleta/Leva|Leva]]
*[[Manual de la bicicleta/Llanta|Llanta]]
*[[Manual de la bicicleta/Maneta|Maneta]]
*[[Manual de la bicicleta/Manillar|Manillar]]
*[[Manual de la bicicleta/Pata de cabra|Pata de cabra]]
*[[Manual de la bicicleta/Pedal|Pedal]]
*[[Manual de la bicicleta/Radio|Radio]]
*[[Manual de la bicicleta/Reflector|Reflector]]
*[[Manual de la bicicleta/Rin|Rin]]
*[[Manual de la bicicleta/Sillín|Sillín]]
*[[Manual de la bicicleta/Válvula|Válvula]]
*[[Manual de la bicicleta/Zapata|Zapata]]


La tijera también es conocida como horquilla delantera o tenedor. La parte trasera del cuadro se conoce como horquilla trasera.</text>
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Introducción

Ahora que hemos hecho una revisión de las funciones, llegamos a una idea central del cálculo, el concepto de límite.

Es preferible comenzar con una función f(x) = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Sabemos que f(2) = 4.Sin embargo seamos un poco más ingeniosos y creemos un &quot;hueco&quot; en ''x'' = 2. Podemos hacer esto variando la función sutilmente, así


{| WIDTH=&quot;75%&quot;
|-
| style=&quot;background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;&quot; valign=&quot;top&quot; |
&lt;center&gt;&lt;math&gt;f(x) = \frac{x^2(x-2)}{x-2}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
|}

Esta última función es igual a &lt;math&gt;x^2&lt;/math&gt; en toda función la parte o las partes excepto por x=2 donde no existe. Ahora, un hecho curioso es que cuando x se acerca más a 2, entonces f(x) se acerca más a 4. Esto es un hecho útil y podemos expresarlo en símbolos como


{| WIDTH=&quot;75%&quot;
|-
| style=&quot;background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;&quot; valign=&quot;top&quot; |
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\qquad\lim_{x\to 2} f(x) = 4&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
|}

Note que no importa qué es f(x) en x=2, en este caso la hemos dejado indefinida, pero podría ser 2 o 15 o 10000000. Esto no importa, la idea de límite es que usted puede hablar acerca de cómo se comporta una función cuando se hace más y más cercana a un valor, sin hablar de cómo se comporta en ese valor. Ahora usando variables podemos decir que ''L'' es el ''límite'' de una función ''f(x)'' cuando a ''x'' se aproxima a ''c'' si ''f(x)''&amp;nbsp;&amp;asymp;&amp;nbsp;''L'' cuando ''x''&amp;nbsp;&amp;asymp;&amp;nbsp;''c''.

Decimos que el límite, cuando x se aproxima a c, de f(x) es L, si L existe como un número finito. Y lo expresamos algebraicamente como sigue

:&lt;math&gt;\lim_{x\to c} f(x) = L&lt;/math&gt;

Intuitivamente, el límite ''L'' es simplemente el número al que ''f(x)'' se hace más y más cercana cuando ''x'' se aproxima a ''c'', pero ''f(c)'' no necesita estar definido.

Esta idea de hablar acerca de una función cuando se aproxima a algo fue un descubrimiento importante, porque permite hablar de cosas de las que antes no se hubiera podido. Por ejemplo, consideremos una función 1/x. Cuando x se hace muy grande, 1/x se hace muy pequeña, más y más cercano a cero, cuanto más grande se haga x. Sin los límites es muy difícil hablar de este hecho, porque 1/x nunca llega realmente a ser cero. Pero el lenguaje de los límites existe precisamente para permitirnos hablar acerca del comportamiento de una función cuando ésta se aproxima a algo, sin preocuparnos acerca de que nunca llegará allí. Así que podemos decir


{| WIDTH=&quot;75%&quot;
|-
| style=&quot;background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;&quot; valign=&quot;top&quot; |
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\qquad\lim_{x\to \infin} \frac{1}{x} = 0&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
|}

=== Aplicación al cálculo de la velocidad instantánea ===

Para ver el poder del límite, vayamos atrás al ejemplo del auto en movimiento del que hablamos en la introducción. Suponga que tenemos un auto cuya posición es lineal con el tiempo. Queremos encontrar la velocidad. Esto es fácil de hacer desde el álgebra, simplemente tomamos la inclinación de la recta distancia contra tiempo para este auto y esta es nuestra velocidad.

Pero desafortunadamente (o tal vez afortunadamente si usted es un profesor de cálculo), las cosas en el mundo real no siempre viajan en agradables líneas rectas. Los carros aceleran, desaceleran, y generalmente se comportan en formas que hacen difícil calcular sus velocidades. (Figura 2).

Ahora lo que realmente queremos es encontrar la velocidad en un momento dado. (Figura 3). El problema es que para encontrar la velocidad necesitamos dos puntos, mientras que en cualquier tiempo dado, sólo tenemos un punto. Podemos, por supuesto, encontrar siempre la velocidad promedio del auto, dados dos puntos en el tiempo, pero queremos encontrar la velocidad del auto en un momento preciso.

Acá es donde el truco básico del cálculo diferencial entra. Elegimos un par de puntos en nuestra gráfica de posición contra tiempo, uno en donde queremos hallar la velocidad instantánea y otro en cualquier otro sitio y luego trazamos una línea entre ellos. Empezamos a acercar cada vez más y más este último punto al primero y a trazar sucesivas líneas, entre ellos. En la medida en que los puntos se hacen más cercanos, la pendiente de la línea se acerca a la velocidad instantánea.

== Definición formal de límite ==

La definición formal de límite ha tenido tradición de ser algo complicada para los estudiantes que la ven por primera vez. Vamos a presentarla primero y luego veremos detalladamente qué es lo que nos dicen en forma tan sucinta.

Decimos que el límite de ''f''(''x'') cuando ''x'' tiende a ''c'' es igual a L o

:&lt;math&gt;\lim_{x\to c} f(x) = L&lt;/math&gt;

si para todo &amp;epsilon; &gt; 0 existe un &amp;delta; &gt; 0, tal que, para todo &lt;var&gt;x&lt;/var&gt;, si 0 &lt; |&lt;var&gt;x&lt;/var&gt; - c| &lt; &amp;delta;, entonces |''f''(''x'') - L| &lt; &amp;epsilon;

Miremos en principio las normas o valores absolutos de la anterior expresión. Sobre la recta real, un valor absoluto de un número es la diferencia entre este número (ya sea positivo o negativo) y el origen. -3 está a tres unidades de distancia de cero, por tanto |-3| = 3. De modo análogo, el valor absoluto de una resta corresponde a la distancia entre los dos números involucrados en ella. Démonos cuenta que &amp;epsilon; y &amp;delta; en la definición anterior nos delimitan la distancia tanto entre los valores de ''f''(''x'') y L, como entre los de ''c'' y ''x''.

Es decir, una vez escogida una distancia entre ''x'' y ''c'' menor que &amp;delta; pero mayor que cero (pues ''c'' se acerca a ''x'' pero no lo alcanza), podemos garantizar que la distancia entre ''f''(''x'') y L es menor a &amp;epsilon; Independientemente del &amp;epsilon; elegido.

== Límites laterales ==

Obsérvese que sobre la recta real estamos en condiciones de acercarnos a una valor particular de ''x'' bien sea por valores más grandes (a la derecha) o por valores más pequeños (a la izquierda). Debido a que existen funciones que no se comportan del mismo modo a la izquierda y a la derecha de un valor dado, el concepto de límite lateral puede ayudarnos a dilucidar este tipo de comportamiento. Consideremos por ejemplo la función parte entera de x o escalón unitario (usada frecuentemente para exponer la idea de límites laterales), denotada por E(''x'') y que se define de la siguiente forma
:E(''x'') = [''x''], donde [''x''] es el mayor [[:m:w:es:N%FAmero_entero|número entero]] inferior o igual a ''x'', tal que, E(''x'') &amp;le; ''x'' &lt; E(''x'') + 1.

[[Archivo:Floor function.svg|center|thumb|250px|Función piso.]]

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Consideremos ahora un valor entero particular, por ejemplo 1. En la medida en que nos acercamos a 1 por la izquierda nos damos cuenta que los sucesivos valores de E(''x'') son iguales a cero, y en la medida en que nos acercamos a 1 por la derecha los valores son iguales a uno. La idea de acercarnos sucesivamente a un valor es la que introduce la noción de límite lateral. A continuación introduciremos las nociones formales de los límites laterales por izquierda y por derecha.

=== Límite por la derecha ===

El límite por la derecha de f(''x'') cuando ''x'' tiende a ''a'' por la derecha es igual a ''L'', si &amp;forall;&amp;epsilon;&gt;0, existe un &amp;delta; &gt; 0 tal que si 0 &lt; x - a &lt; &amp;delta;, entonces |f(''x'') - L| &lt; &amp;epsilon;. Lo anterior se denota como:

:&lt;math&gt;\lim_{x \to a^+}f(x)= L&lt;/math&gt;

=== Límite por la izquierda ===

El límite por la izquierda de f(''x'') cuando ''x'' tiende a ''a'' por la izquierda es igual a ''L'', si &amp;forall;&amp;epsilon;&gt;0, existe un &amp;delta; &gt; 0 tal que si 0 &lt; a - x &lt; &amp;delta;, entonces |f(''x'') - L| &lt; &amp;epsilon;. Lo anterior se denota como:

:&lt;math&gt;\lim_{x \to a^-}f(x)= L&lt;/math&gt;
'''TEOREMA'''
Existe el límite si y solo si los dos límites laterales(por la derecha y por la izquierda) ambos existen y coinciden

Nota:aunque también es válido si consideramos que el límite vale +∞ o -∞ en lugar de 1.

== Teoremas fundamentales sobre límites ==

Sean ''f'' y ''g'' funciones con límites en ''c'', ''n'' un número entero y ''k'' una constante. Se tiene entonces que:

* El límite de una constante es la constante:
:&lt;math&gt;\lim_{x \to c}k= k &lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;\lim_{x \to c}x= c &lt;/math&gt;

* El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función:
:&lt;math&gt;\lim_{x \to c}k f(x)= k \lim_{x \to c} f(x) &lt;/math&gt;

* El límite de una suma es igual a la suma de los límites:
:&lt;math&gt;\lim_{x \to c}[f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \pm \lim_{x \to c} g(x)&lt;/math&gt;

* El límite de un producto es igual al producto de los límites:
:&lt;math&gt;\lim_{x \to c}[f(x) \cdot g(x)] = [\lim_{x \to c}f(x)]\cdot[\lim_{x \to c}g(x)]&lt;/math&gt;

* El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el denominador evaluado en el límite no sea cero.
:&lt;math&gt;\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c}f(x)}{\lim_{x \to c}g(x)}&lt;/math&gt;, siempre y cuando &lt;math&gt;\lim_{x \to c}g(x) \ne 0&lt;/math&gt;

* El límite de la potencia enésima de una función es igual a la potencia enésima del límite de la función:
:&lt;math&gt;\lim_{x \to c}[f(x)]^n = [\lim_{x \to c}f(x)]^n&lt;/math&gt;

* El límite de un radical enésimo de una función es igual al radical enésimo del límite de la función:
:&lt;math&gt;\lim_{x \to c}\sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to c}f(x)}&lt;/math&gt;

=== Demostraciones ===
&lt;div align=&quot;left&quot;&gt;

==== Teorema de la suma de límites ====

Debemos verificar que:

{{ecuación|1=&lt;math&gt; \lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) =\, L_1 + L_2\, &lt;/math&gt;|2=1|3=center}}

Siendo:

{{ecuación|1=&lt;math&gt; \lim_{x \to c} f(x) =\, L_1 \, ; \lim_{x \to c} g(x) =\, L_2 \,&lt;/math&gt;|3=center }}

Por lo tanto, según la definición de límite, tiene que haber un &lt;math&gt;\delta \,&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;\epsilon \,&lt;/math&gt; tal que:

{{ecuación|1=&lt;math&gt;0&lt;|x-c|&lt;\delta \longrightarrow|(f(x)+g(x))-(L_1+L_2)| &lt; \epsilon &lt;/math&gt;|2=2|3=center}}

Entonces, tomando en &lt;math&gt;f(x)\,&lt;/math&gt; y &lt;math&gt; g(x)\,&lt;/math&gt; sus límites para &lt;math&gt;x\,&lt;/math&gt; tendiendo a &lt;math&gt;c\,&lt;/math&gt;, tomamos un &lt;math&gt;\frac{\epsilon}{2}&lt;/math&gt;, tal que:

{{ecuación|1=&lt;math&gt;0&lt;|x-c|&lt;\delta_1 \longrightarrow |f(x)-L_1|&lt;\frac{\epsilon}{2} &lt;/math&gt;|3=center}}
y
{{ecuación|1=&lt;math&gt;0&lt;|x-c|&lt;\delta_2 \longrightarrow |g(x)-L_2|&lt;\frac{\epsilon}{2} &lt;/math&gt;|3=center}}
Si ahora tomamos un &lt;math&gt;\delta \,&lt;/math&gt; mínimo para &lt;math&gt;\delta_1 \,&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\delta_2 \,&lt;/math&gt;, es decir, &lt;math&gt;\delta \le \delta_1 ; \delta \le \delta_2&lt;/math&gt;, entonces:

{{ecuación|1=&lt;math&gt;0&lt;|x-c|&lt;\delta \longrightarrow |f(x)-L_1|&lt;\frac{\epsilon}{2} &lt;/math&gt;|2=3|3=center}}
y
{{ecuación|1=&lt;math&gt;0&lt;|x-c|&lt;\delta \longrightarrow |g(x)-L_2|&lt;\frac{\epsilon}{2} &lt;/math&gt;|2=4|3=center}}

Por lo tanto, para todo &lt;math&gt;0&lt;|x-c|&lt;\delta \,&lt;/math&gt; luego:

{{ecuación|1=&lt;math&gt;|(f(x)+g(x))-(L_1+L_2)| = |(f(x)-L_1)+(g(x)-L_2)| \,&lt;/math&gt;|3=center}}

Usando [[desigualdad triangular]]:

{{ecuación|1=&lt;math&gt;|(f(x)+g(x))-(L_1+L_2)| \le |(f(x)-L_1)|+|(g(x)-L_2)| \,&lt;/math&gt;|3=center}}

Reemplazando por {{eqnref|3}} y {{eqnref|4}}:

{{ecuación|1=&lt;math&gt;|(f(x)+g(x))-(L_1+L_2)| &lt; \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2},&lt;/math&gt;|3=center}}

Es decir:

{{ecuación|1=&lt;math&gt;|(f(x)+g(x))-(L_1+L_2)| &lt; \epsilon &lt;/math&gt;}}

Lo que demuestra {{eqnref|2}}, es decir, hay un &lt;math&gt;\delta \,&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;\epsilon \,&lt;/math&gt; tal que:

{{ecuación|1=&lt;math&gt;0&lt;|x-c|&lt;\delta \longrightarrow|(f(x)+g(x))-(L_1+L_2)| &lt; \epsilon &lt;/math&gt;|3=center}}

Que según {{eqnref|1}} verifica que:

{{ecuación|1=&lt;math&gt; \lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) =\, L_1 + L_2\, &lt;/math&gt;|3=center}}

Es decir:

{{ecuación|1=&lt;math&gt;\lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)\, &lt;/math&gt;|3=center}}

El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus límites.

&lt;/div&gt;

== Teorema del Sandwich (Teorema del Emparedado o Teorema del Encaje) ==

El teorema de intercalación, más coloquialmente llamado teorema del emparedado, es útil cuando queremos hallar el límite de una función que se encuentra &quot;confinada&quot; por dos funciones que ya conocemos.

Si &lt;math&gt;f(x) \le g(x)  \le h(x)&lt;/math&gt; y
&lt;math&gt;\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} h(x) = L&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;\lim_{x \to c} g(x) = L&lt;/math&gt;

== Límites de funciones trigonométricas ==

=== Demostración del límite de sen(x)/x cuando x tiende a 0 ===

Considerese que, un entorno reducido de 0, &lt;math&gt;\sin(x) \le x \le \tan(x)&lt;/math&gt;

Si dividimos todos los miembros por &lt;math&gt;\sin(x)&lt;/math&gt; nos queda &lt;math&gt;\frac {\sin(x)}{\sin(x)} \le \frac {x}{\sin(x)} \le \frac {\tan(x)}{\sin(x)}&lt;/math&gt;

Pero &lt;math&gt;\frac {\sin(x)}{\sin(x)} = 1&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\frac {\tan(x)}{\sin(x)} =  \frac {\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}{\sin(x)} = \frac {1}{\cos(x)}&lt;/math&gt;

Invirtiendo cada miembro nos queda esta expresión que es totalmente indeterminada &lt;math&gt;1 \ge \frac {\sin(x)}{x} \ge \cos(x)&lt;/math&gt;

Si hallamos el &lt;math&gt;\lim_{x \to 0}&lt;/math&gt; de cada miembro, nos queda &lt;math&gt;\lim_{x \to 0} 1 \ge \lim_{x \to 0} \frac {\sin(x)}{x} \ge \lim_{x \to 0} \cos(x)&lt;/math&gt;

Y como ✓ &lt;math&gt;\lim_{x \to 0} 1 = 1&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\lim_{x \to 0} \cos(x) = 1&lt;/math&gt;, por Teorema del Encaje nos queda que &lt;math&gt;\lim_{x \to 0} \frac {\sin(x)}{x} = 1&lt;/math&gt;
*****************************Antropología matemàtica¶
TEOREMA DEL ENCAGE¶
&lt;math&gt;\lim_{x \to 0} frac {\sin(x)}{x} = 1&lt;/math&gt;✓

== Límites infinitos ==
Considere simplemente los valores de 0,1,2,3,4,5 .... permitiendo de esta manera que crece o decrece
pero sin dejar atrás la definición de límite entonces en conclusión se podría determinar que la función se acercaría al límite por un infinito de números pero nunca tocando el límite

'''Definición 1'''

Sea ''f'' una función que está definida en todo número de algún intervalo abierto (''a'',+∞). El límite de ''f''(x) cuando x crece sin límite, es ''L'' lo que se escribe como:

&lt;math&gt;\lim_{x\to +\infty} f(x) = L&lt;/math&gt;


'''Definición 2'''

Sea ''f'' una función que está definida en todo número de algún intervalo abierto(-∞,a). El limite de ''f''(x) cuando ''x'' decrece sin límite, es ''L'', lo que se escribe como


&lt;math&gt;\lim_{x\to -\infty} f(x) = L&lt;/math&gt;


'''Teorema'''

Sea n cualquier entero positivo, entonces
:&lt;math&gt;\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x^n} =0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x^n} =0&lt;/math&gt;

== Límites al infinito ==

Se trata ahora de calcular cuál es el valor, en caso de que exista y sea finito, al que se acerca una sucesión según vamos avanzando términos. Usaremos un ejemplo muy ilustrativo para introducir esta. Considérese la siguiente sucesión:


&lt;math&gt;a_n = \frac{1}{n}&lt;/math&gt;


Si escribimos algunos términos, nos haremos rápidamente una idea de hacia qué valor real se acercan los mismos:


&lt;math&gt;a_1 = 1,  a_2 = \frac{1}{2} = 0.5,  a_3 = \frac{1}{3} = 0.33333...,  a_4 = \frac{1}{4} = 0.25,  a_5 = \frac{1}{5} = 0.2, ...&lt;/math&gt;


Como podemos comprobar, los términos se van haciendo cada vez menores, por lo que es de esperar que, de existir realmente un último término de la sucesión, éste sería 0. Esto nos da una idea intuitiva de lo que significa el límite de una sucesión cuando tiende a infinito; ésto es, aventurar de algún modo a qué valor se acercan los términos de la sucesión según vamos avanzando sobre la misma.

Con la sucesión anterior, podemos escribir &lt;math&gt;\lim_{n \to \infty}a_n = 0&lt;/math&gt;, y de hecho, nos podemos tomar la siguiente licencia:
&lt;math&gt;\lim_{n \to \infty}a_n = \frac{1}{\infty} = 0&lt;/math&gt;.

Dar una prueba para esta igualdad es algo complicado, pero podemos ilustrarlo con el siguiente ejemplo:


''Supongamos que disponemos de una barra de pan y con ella debemos alimentar a toda la población de China. La pregunta es cuánto pan corresponde a cada persona.''


Si tenemos en cuenta la cantidad de chinos que hay, habremos de realizar fracciones muy microscópicas de pan, porciones casi moleculares que en ningún caso supondrán alimento alguno, por lo que podemos decir que a cada chino le toca cero pan. La idea es que al dividir una cantidad por otra inmensamente mayor, el resultado es inmensamente diminuto; por lo que dividir una cantidad por infinito, que vendría a ser el mayor de todos los valores, nos da el menor de todos ellos, que es cero.


Es importante de cara al cálculo de límites al infinito tener en mente algunas igualdades que implican al infinito. Debemos, además, recordar siempre que infinito no es un número, sinó un concepto. Nos referimos a infinito como aquello que es inabarcable o inabastable, pero mediante un inofensivo abuso de lenguaje podemos valernos de él para efectuar operaciones:


&lt;math&gt;\frac{k}{\infty} = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \forall k \ne \infty&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\frac{k}{0} = \infty &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall k \ne 0&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\infty \pm k = \infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\infty + \infty = \infty&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\infty \cdot \infty = \infty&lt;/math&gt;


-Por completar-

===Límites especiales===

Ejemplo 1.

Hallar el límite de &lt;math&gt;\frac{\sqrt[5]{x^3+x^2-4}-\sqrt[3]{x^2+x-4}}{x-3}&lt;/math&gt; cuando x tiende a 3, usando el método de '''eliminación de irracionalidades'''.

Para x = 3 sale una indeterminación &lt;math&gt;(2-2)/0 = 0/0&lt;/math&gt;

El primer radical lo convertimos en (x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; -4-2&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;)/(5·2&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)= A, y el segundo radical en (x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+x-4-2&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;)/(3·2&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)= B

Restando las fracciones A y B resulta (3x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-7x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-10x+12)/240; factorizando se obtiene (x-3)(3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2x-4)/240; luego combinando con el denominador original (x-3) se tiene

:::(x-3)(3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2x-4)/240(x-3) simplificando , aparece (3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2x-4)/240, tomando límite cuando x tiende a 3 , sale

:::&lt;math&gt; L= 29/240&lt;/math&gt; &lt;ref&gt;''Compulsando Límites'' de Xilef Aryen, ediciones Yachay de Sociedad Matemática Peruana (2013)&lt;/ref&gt;

Ejemplo 2.
::Hallar el límite de &lt;math&gt;\sqrt[]{x^5+3x^4-8}-x&lt;/math&gt;, cuando x tiende a infinito, sale una indeterminación infinito -infinito.Eliminando irracionalidades

:::(x&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;+3x&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;-8-x&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;)/5·x&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; simplificando

:::::(3x&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;-8)/5x&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;, cuyo límite cuando x tiende a infinito es

:::::::&lt;math&gt;L = 3/5&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Aryen: Ibídem&lt;/ref&gt;

===Teorema de la eliminación de irracionalidades===
;Caso 1. c finito
Si límite de &lt;math&gt;\sqrt[n]{f(x)}&lt;/math&gt; es L cuando x tiende a c, equivale a límite de(f(x)-L&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;)/n·L&lt;sup&gt;n-1&lt;/sup&gt;, cuando c se aproxima a c. &lt;ref&gt; Xilef Aryen: ''Compulsando límites'' &lt;/ref&gt;. Esta equivalencia lógico-matemática permite operar solo con expresiones racionales.

;Caso 2. El punto c es infinito
Sea el caso, calcular el límite de &lt;math&gt;\sqrt[n]{f(x)}&lt;/math&gt; - g(x), cuando x tiende a infinito; se admiten que f y g son funciones algebraicas o, en en le mejor de los casos, polinómicas, que además tienden a infinito. Resulta la indeterminación infinito - infinito.Se supone que dicho límite de la diferencia existe y es igual a &lt;math&gt;L&lt;/math&gt;

En este caso, es lo mismo hallar el límite de [&lt;math&gt;f(x)- (g(x))^n&lt;/math&gt;]/n(g(x))&lt;sup&gt;n-1&lt;/sup&gt; y se obtiene el límite &lt;math&gt;L&lt;/math&gt;, que aún puede ser infinito &lt;ref&gt; Aryen: Op.cit&lt;/ref&gt;

== Indeterminaciones ==

Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:
: &lt;math&gt;
   \infty - \infty , \quad
   \frac{\infty}{\infty} , \quad
   \infty \cdot 0 , \quad
   \frac{0}{0} , \quad
   \infty ^0 , \quad
   1^\infty , \quad
   0^0
&lt;/math&gt;

A estas expresiones se les denomina '''indeterminaciones''', ya que, a simple vista, no está claro cuál puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la [[regla de l'Hôpital]].

=== Ejemplos ===
Un ejemplo de indeterminación del tipo &lt;math&gt;\textstyle \frac{0}{0}&lt;/math&gt; es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :

&lt;center&gt;

&lt;math&gt;\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t} = \infty&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0} 1 =1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0} {t} = 0&lt;/math&gt;

&lt;/center&gt;

&lt;br /&gt;
Un ejemplo de indeterminación &lt;math&gt;\textstyle \frac{0}{0}&lt;/math&gt; que se resuelve aplicando el límite fundamental &lt;span style=&quot;vertical-align: 25%&quot;&gt;&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sen x}{x}=1&lt;/math&gt;&lt;/span&gt; es
&lt;center&gt;
&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sen (kx)}{x}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

límite que se resuelve si se multiplica y divide por ''k'':

&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sen (kx)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\left[\frac{\sen (kx)}{x}\cdot\frac{k}{k}\right]=k\cdot\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sen (kx)}{kx}=k.1=k&lt;/math&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\therefore \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sen (kx)}{x}=k&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

&lt;br /&gt;
Supongamos otro caso que contenga indeterminaciones con funciones trigonométricas como:

&lt;center&gt;
&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

En este caso, la indeterminación se &quot;salva&quot; mediante los siguientes artificios algebraicos:

&lt;math&gt;\begin{matrix}
\ &amp; \underset{x\rightarrow 0}\lim\frac{1-\cos x}{x} &amp; = &amp; \underset{x\rightarrow 0}\lim\left(\frac{1-\cos x}{x}\cdot\frac{1+\cos x}{1+\cos x}\right) &amp; = &amp; \underset{x\rightarrow 0}\lim\frac{1-{\cos}^2 x}{x\left(1+\cos x\right)} &amp; = \\
= &amp; \underset{x\rightarrow 0}\lim\frac{{\sen}^2 x}{x\left(1+\cos x\right)} &amp; = &amp; \underset{x\rightarrow 0}\lim\frac{\sen x \sen x}{x\left(1+\cos x\right)} &amp; = &amp; \underset{x\rightarrow 0}\lim\frac{\sen x}{x\left(1+\cos x\right)}\cdot \underset{x\rightarrow 0}\lim\sen x &amp; = \\
= &amp; \underset{x\rightarrow 0}\lim\left(\frac{\sen x}{x}\cdot\frac{1}{1+\cos x}\right)\cdot 0 &amp; = &amp;  \underset{x\rightarrow 0}\lim \frac{\sen x}{x} \cdot \underset{x\rightarrow 0}\lim \frac{1}{1+\cos x} \cdot 0 &amp; = &amp; 1 \cdot \frac{1}{1+\cos 0} \cdot 0 &amp; = \\
\end{matrix}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 1 \cdot \frac{1}{1+1} \cdot 0 = 0 \quad
\therefore \, \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x} = 0&lt;/math&gt;

En este caso:
# Se multiplicó y se dividió por el término &lt;span style=&quot;vertical-align: 25%&quot;&gt;&lt;math&gt;1+\cos x&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;, operación válida puesto que una fracción con igual numerador y denominador es el elemento neutro en la multiplicación (uno);
# Se multiplicaron las dos fracciones, aplicando diferencia de cuadrados en el numerador;
# Se reemplazó según la identidad trigonométrica pitagórica &lt;span style=&quot;vertical-align: 25%&quot;&gt;&lt;math&gt;{\sen}^2+{\cos}^2=1&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;;
# Se separó la potencia y luego
# se &quot;extrajo&quot; uno de los factores a otro límite, operación que es válida por propiedades del límite para la multiplicación;
# Se expresó convenientemente el límite que poseía la indeterminación y se evaluó &lt;span style=&quot;vertical-align: -20%&quot;&gt;&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 0}\sen x=0&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;;
# Se separó la indeterminación y
# se evaluó el límite. Se efectúa el cálculo aritmético y se obtiene cero.

== Asíntotas ==

Las '''asíntotas''' son [[:m:w:es:Recta|rectas]] a las cuales una [[:m:w:es:Funci%F3n_matem%E1tica|función]] se aproxima indefinidamente, cuando x o f(x) tienden al [[:m:w:es:Infinito|infinito]].


=== Usando la notación de límite para describir asíntotas ===

Ahora considere la función

:&lt;math&gt; g(x) = \frac {1}{x}. &lt;/math&gt;

Cuál es el límite cuando ''x'' se aproxima a cero? El valor de &lt;math&gt;g(0)&lt;/math&gt; no existe puesto que

:&lt;math&gt;\qquad g(0) = \frac {1}{0} &lt;/math&gt;

no está definido

Pero es intuitivamente claro que podemos hacer la función ''g'' tan grande como queramos, escogiendo un ''x'' suficientemente pequeño. Por ejemplo para hacer &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; igual a un millón, escogemos que ''x'' sea 10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt;. En este caso decimos que podemos hacer ''g''(''x'') arbitrariamente grande (tan grande como queramos) tomando un ''x'' que sea suficientemente cercano a cero, pero no igual y expresamos esto algebraicamente como sigue:

:&lt;math&gt;\lim_{x\to 0^+} g(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac {1}{x} = \infty&lt;/math&gt;

Note que hemos usado la notación de límite por derecha, ya que el límite, propiamente dicho no existe de hecho en x&amp;nbsp;=&amp;nbsp;0 (dado que el límite por la derecha y por la izquierda son distintos).

De igual manera podemos considerar que en la medida en que ''x'' se hace más y más grande g(x) tiende a cero, pero nunca lo alcanza. Esto nos permite introducir la noción de asíntotas horizontales y verticales.

=== Asíntota Vertical ===

Una asíntota vertical se da en ''x'' = ''c'', para una función ''f''(''x'') siempre que:

# &lt;math&gt;\lim_{x\to c^-} f(x) = \pm \infty &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\lim_{x\to c^+} f(x) = \pm \infty &lt;/math&gt;

Vale la pena hacer énfasis en que en ''c'' el límite la función puede ser o bien infinito positivo o bien infinito negativo (cualquiera de ellos, pero no ambos), para que tengamos una asíntota vertical y que esto se puede cumplir cuando nos acercamos a ''c'' bien sea por la izquierda (primer caso) o bien por la derecha (segundo caso).

=== Asíntota Horizontal ===

Una asíntota horizontal es la recta &lt;math&gt;y = b&lt;/math&gt; y se tiene siempre que:

# &lt;math&gt;\lim_{x\to \infty} f(x) = b &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\lim_{x\to -\infty} f(x) = b &lt;/math&gt;

== Continuidad de una función ==

=== En un punto ===

Ahora estamos listos para una definición formal de continuidad, que fue introducida en nuestra revisión de funciones. La definición es simple: ''f''(''x'') es continua en ''c'' si y sólo si


{| WIDTH=&quot;75%&quot;
|-
| style=&quot;background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;&quot; valign=&quot;top&quot; |
&lt;center&gt;'''Definición de Continuidad'''&lt;br /&gt;
&lt;math&gt;\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
|}

Note que la función o el límite o ambos podrían no estar definidos en ''c'', en cuyo caso la ecuación no sería cierta, y por tanto ''f'' no es continua en ''c''.

Sean f y g funciones continuas en los reales. Los siguientes teoremas se cumplirán:


'''Teorema 1'''
::&lt;math&gt;(f + g)(x) = f(x) + g(x)&lt;/math&gt; es continua en todos los reales.
'''Teorema 2'''
::&lt;math&gt;(f - g)(x) = f(x) - g(x)&lt;/math&gt; es continua en todos los reales.
'''Teorema 3'''
::&lt;math&gt;(f * g)(x) = f(x) * g(x)&lt;/math&gt; es continua en todos los reales.
'''Teorema 4'''
::&lt;math&gt;(f / g)(x) = f(x) / g(x)&lt;/math&gt; es continua en los reales, mientras g sea diferente de 0.
'''Teorema 5'''
::&lt;math&gt;(g o f)(x) = g( f(x) )&lt;/math&gt; que es la composición de funciones, es continua en los reales.
'''Ejemplo'''

Con &lt;math&gt;f(x) = x^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g(x) = e^x&lt;/math&gt; tendremos que
&lt;math&gt;(f + g)(x) = x^2 + e^x &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(fog)(x) = f(e^x) = (e^x)^2 &lt;/math&gt; son continuas.

=== En intervalos abiertos y cerrados ===
'''INTERVALO ABIERTO'''

:Se dice que una función es continua en un intervalo abierto si y sólo si es continua en cada número del intervalo abierto

'''INTERVALO CERRADO'''

:Se dice que una función, cuyo dominio contiene al intervalo cerrado [a.b], es continua en el intervalo cerrado [a,b] si y solo si es continua en el intervalo (a,b), así como continúa por la derecha en a y continua por la izquierda en b.

=== De funciones compuestas ===

=== Discontinuidades ===

Una '''discontinuidad''' es un punto donde una función no es continua. Por ejemplo, la función &lt;math&gt;f(x) = \frac {x^2-9} {x-3}&lt;/math&gt; se considera que tiene una '''discontinuidad removible''' en &lt;math&gt;x = 3&lt;/math&gt;.

¿Por qué la llamamos 'removible'? Porque, si modificamos la función ligeramente, podemos eliminar la discontinuidad y hacer la función continua. En particular, podemos dividir la función para obtener &lt;math&gt;f(x) = x + 3&lt;/math&gt;, excepto en &lt;math&gt;x = 3&lt;/math&gt;. Si hacemos que ''f''(''x'') sea 6 en ese punto, obtenemos la función continua:

:&lt;math&gt;g(x) = \left\{\begin{matrix} x + 3, &amp; \mbox{si }x \ne 3 \\ 6, &amp; \mbox{si }x = 3 \end{matrix}\right. &lt;/math&gt;

Pero x + 3 = 6 para x = 3, y así podemos simplificar la función a g(x) = x + 3. (Esta no es la misma que la función original, en la cual hay un punto extra en (3,6)). Así el límite en x = 3 es 6. De hecho, esta clase de simplificación es siempre posible con una discontinuidad removible en una función racional. Cuando el denominador es cero, podemos redefinir la función para obtener una función que es igual a la anterior, salvo por los nuevos puntos, donde previamente teníamos una división por 0. Y arriba se probó que el límite de esta función (puesto que es continua) es igual al límite de la función antigua.

== Aplicaciones para aislar raíces ==

== Encontrando límites ==

Ahora nos concentraremos en encontrar los límites, en lugar de probarlos. En las pruebas anteriores, empezamos con el valor del límite. ¿Cómo encontramos ese límite para empezar nuestras pruebas?

Primero, si la función es continua en un punto particular ''c'', el límite es simplemente el valor de la función en ''c'', debido a la definición de continuidad. Todas las funciones polinómicas, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales son continuas sobre sus dominios.

Si la función no es continua en ''c'', entonces en muchos casos (como con las funciones racionales) la función es continua alrededor, pero es discontinua en un punto aislado. En este caso, queremos encontrar una función similar, excepto que el &quot;agujero&quot; que antes representaba la discontinuidad ahora está &quot;relleno&quot;. El límite de esta función en ''c'' será el mismo, como puede ser visto de la definición de límite. La función es la misma que la anterior excepto en el punto ''c''. La definición de límite depende de ''f''(''x'') sólo en los puntos donde 0&amp;nbsp;&lt;&amp;nbsp;|''x''&amp;nbsp;-&amp;nbsp;''c''|&amp;nbsp;&lt;&amp;nbsp;&amp;delta;. Cuando ''x''&amp;nbsp;''c'', la desigualdad es falsa, y así el límite en ''c'' no depende del valor de la función en ''c''. Por tanto, el límite es el mismo. Y puesto que nuestra nueva función es continua, ahora podemos sólo evaluar la función en ''c'' como antes.

Finalmente, note que nuestro límite podría no existir del todo. Hay muchas formas en que esto puede ocurrir:

&lt;!-- Aquí son muy necesarios unos gráficos. Hace falta un buen método para generarlos. --&gt;

'''&quot;Hueco&quot;''': Hay un hueco (de más de un punto de ancho) en la función donde ésta no está definida. Por ejemplo, en:

:&lt;math&gt;f(x) = \sqrt{x^2 - 16}&lt;/math&gt;

''f''&amp;nbsp;(''x'') no tiene ningún límite cuando -4&amp;nbsp;&amp;le;&amp;nbsp;''x''&amp;nbsp;&amp;le;&amp;nbsp;4. No hay manera de &quot;aproximarse&quot; al medio del gráfico. Nótese que la función no tiene límites en los extremos de las dos curvas generadas (en x&amp;nbsp;=&amp;nbsp;-4 y x&amp;nbsp;=&amp;nbsp;4). Para que exista un límite, el punto debe ser aproximable desde ''ambos'' derecha e izquierda. Nótese también que no existe límite en un punto completamente aislado de un gráfico.

'''&quot;Salto&quot;''': Se sigue de nuestra discusión previa que si el gráfico salta de repente a un nivel diferente (creando una discontinuidad), el límite no existe. Esto se ilustra con la función escalón unitario (en la cual el valor de la salida es el entero más grande no mayor al valor de entrada).


'''Asíntota''': En

:&lt;math&gt;f(x) = {1 \over x^2}&lt;/math&gt;

La gráfica se hace arbitrariamente alta cuando 'x' se aproxima a 0. El límite no existe.

'''Oscilación infinita''': Las dos siguientes pueden ser un poco truculentas para visualizar. En ésta, nos referimos a una gráfica que continuamente alcanza puntos arriba y abajo de una línea horizontal. De hecho, hace esto infinitamente en la medida en que nos aproximamos a un cierto valor ''x''. Esto significa a menudo que no hay límite, puesto que el gráfico nunca se establece en un valor particular. Sin embargo, si la altura (y profundidad) de cada oscilación disminuye cuando el gráfico se aproxima al valor ''x'', de modo que las oscilaciones se hagan arbitrariamente pequeñas, entonces podría haber de hecho un límite.

El uso de la oscilación naturalmente trae a la mente las funciones trigonométricas. Un ejemplo simplemente definido de este tipo de límites no existentes es

:&lt;math&gt;f(x) = \sin {1 \over x}.&lt;/math&gt;

En la función seno hay un número infinito de ciclos a medida que el gráfico continúa al infinito. sin(1/x) tomará cualquier valor (1,&amp;infin;) y devolverá otro entre (0, 1). Aquí tenemos una oscilación infinita sobre un intervalo finito del gráfico.

'''Gráfica Incompleta''': Vamos a considerar dos ejemplos. Primero, siendo ''f'' la función constante ''f(q)=2'' definida por un número racional ''q''. Luego, ''f'' es continua: sea racional &lt;math&gt;q_0&lt;/math&gt;. Mostramos que ''f'' es continua con &lt;math&gt;q_0&lt;/math&gt;. Sea &lt;math&gt;\delta &gt;0&lt;/math&gt;; entonces si cogemos ''cualquier'' &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt;, entonces siempre que ''q'' sea un número racional dentro de &lt;math&gt;\epsilon&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;q_0&lt;/math&gt;, tenemos &lt;math&gt;|f(q_0)-f(q)| = |2-2| = 0 &lt; \delta&lt;/math&gt;. Así que ''f'' es continua en &lt;math&gt;q_0&lt;/math&gt;.

Ahora Sea g la función de aspecto similar se define en toda la recta real. Dejamos g tomar el valor 2 para la entrada racional y 0 para la entrada de irracional. Ahora g es continua en ninguna parte! Sea, pues, x un número real, se muestra que g no es continua en x. Vamos a δ = 2; entonces, si g se continua en x, no habría un número tal que cada vez que ε y fue un número real a una distancia inferior a ε, tendríamos | g (x) - g (y) | &lt; 1. Pero no importa lo pequeños que hacen ε podemos encontrar un número dentro de ε y de x tal que | g (x) - g (y) | = 2, porque si x es racional, sólo debes elegir y lo irracional y si x es irracional, pick x racional. Por lo tanto g no ser continua en todo número real!

Tenga en cuenta que estos dos ejemplos muestran lo importante que es conseguir que los dominios de las funciones de resolver. f y g tienen gráficos muy similares, pero sus propiedades de continuidad se oponen por completo.

&lt;!-- hacen falta ejercicios--&gt;
&lt;!-- más sobre encontrar límites, hasta que lleguemos a... --&gt;

==Referencias y notas==
&lt;references/&gt;

== Enlaces ==

* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=home&amp;search_keywords=limit&amp;search_category=X Online interactive exercises on limits]
* [http://matematicasies.com/spip.php?article951 Introducción al Cálculo de Límites - Video en español]</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra Lineal/Espacios Vectoriales 2</title>
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        <username>Mazbel</username>
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      <text bytes="15079" sha1="gzv9sn5ebkp1st8mslxwwe3d826ewr6" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
== Definición ==

Un espacio vectorial &lt;math&gt;\mathbb{V}&lt;/math&gt; sobre un [[cuerpo]] &lt;math&gt;\mathbb{K}&lt;/math&gt; es un conjunto no vacío sobre el que se definen 2 operaciones internas y 8 propiedades inherentes, a saber:

&lt;math&gt;\oplus:\mathbb{V}\times\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{V}&lt;/math&gt;
   &lt;math&gt;(u,v)\rightarrow u\oplus v&lt;/math&gt; (Cerradura bajo la operación  &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; de dos elementos de &lt;math&gt;\mathbb{V}&lt;/math&gt;)
&lt;math&gt;\otimes:\mathbb{K}\times\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{V}&lt;/math&gt;
   &lt;math&gt;(\alpha,u)\rightarrow \alpha\otimes u&lt;/math&gt; (Cerradura ante &lt;math&gt;\otimes&lt;/math&gt; de un elemento del cuerpo &lt;math&gt;\mathbb{K}&lt;/math&gt; y un elemento de &lt;math&gt;\mathbb{V}&lt;/math&gt;)


* '''Propiedad Conmutativa'''
&lt;math&gt; u \oplus v = v \oplus u&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\forall u,v \in \mathbb{V}&lt;/math&gt; 

* '''Propiedad Asociativa'''
&lt;math&gt;u\oplus(v\oplus w)=(u\oplus v)\oplus w&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\forall u,v,w \in \mathbb{V}&lt;/math&gt;
* '''Existencia de elemento neutro ante &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;'''
&lt;math&gt;\forall u \in \mathbb {V}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\exists e \in \mathbb{V}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\ni &lt;/math&gt;&lt;math&gt;u\oplus e=u&lt;/math&gt;

* '''Existencia de elemento opuesto ante &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;'''
&lt;math&gt;\forall u \in \mathbb{V}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\exists u \prime &lt;/math&gt;&lt;math&gt;\ni&lt;/math&gt;&lt;math&gt;u\oplus u \prime =e&lt;/math&gt;

* '''Propiedad Asociativa'''
&lt;math&gt;(\alpha \bullet \beta)\otimes u = \alpha \otimes (\beta \otimes u)&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\forall \alpha,\beta \in \mathbb{K}&lt;/math&gt;,&lt;math&gt;\forall u \in \mathbb{V}&lt;/math&gt;
* '''Propiedad distributiva para la opearación (+) entre escalares'''
&lt;math&gt; (\alpha (+) \beta)\otimes u=\alpha \otimes u \oplus \beta\otimes u&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\forall \alpha,\beta \in \mathbb{K}&lt;/math&gt;,&lt;math&gt;\forall u \in \mathbb{V}&lt;/math&gt;

* '''Propiedad distributiva para la operación &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; entre elementos de &lt;math&gt;\mathbb{V}&lt;/math&gt;'''
&lt;math&gt;\alpha \otimes (u\oplus v)=\alpha \otimes u \oplus \alpha \otimes v&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\forall \alpha \in \mathbb{K}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\forall u,v \in \mathbb{V}&lt;/math&gt;

* '''Existencia de elemento neutro ante la operación''' &lt;math&gt;\otimes&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\forall u \in \mathbb{V} &lt;/math&gt;&lt;math&gt;\exists \epsilon \in \mathbb{K}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\ni&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\epsilon \otimes u=u&lt;/math&gt;

== Ejemplos ==

# &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; es un espacio vectorial sobre &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

En efecto:

&lt;math&gt;\oplus:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;
      &lt;math&gt;(a,b)\rightarrow a+b&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;*:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;
      &lt;math&gt;(\alpha,a)\rightarrow \alpha*a&lt;/math&gt;

''' Ante la suma''' 
 

&lt;math&gt;\forall a,b \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;:
      &lt;math&gt;a\oplus b = b\oplus a&lt;/math&gt; (ley conmutativa ante la operación interna suma)
&lt;math&gt;\forall a,b,c \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;:
      &lt;math&gt;a\oplus(b\oplus c) = (a\oplus b)\oplus c&lt;/math&gt; (ley asociativa ante la operación interna suma)
&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}^n\exists 0 \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;:
      &lt;math&gt;a\oplus 0=a&lt;/math&gt; (existencia de elemento neutro aditivo)
&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}^n\exists (-1)a \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;:
      &lt;math&gt;a\oplus (-1)a=0&lt;/math&gt; ( existencia de elemento opuesto)
'''Ante el producto por escalares'''

&lt;math&gt;\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R}, \forall a \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt; se cumple:
    &lt;math&gt;(\alpha\cdot\beta)*a=\alpha*(\beta*a)&lt;/math&gt; (ley asociativa ante el producto por escalares)
&lt;math&gt;\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R},\forall a \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt; se tiene:
    &lt;math&gt;(\alpha\cdot\beta)*a=\alpha*a + \beta*a&lt;/math&gt; (ley distributiva)
&lt;math&gt;\forall \alpha \in \mathbb{R},\forall a,b \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt; se satisface:
    &lt;math&gt; \alpha * (a\oplus b)= \alpha*a \oplus  \alpha*b&lt;/math&gt; (ley distributiva)
&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}^n,\exists \alpha \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;:
     &lt;math&gt; \alpha*a =a&lt;/math&gt; (existencia de neutro multiplicativo).

2.El conjunto de todos los polinomios 

3.El conjunto de todas las funciones continuas

= Matrices=
 

== Definición ==
Una matriz es un ordenamiento de elementos de un cuerpo, representado por filas y columnas, por ejemplo:

&lt;math&gt;A =
\begin{pmatrix}
  a_{11} &amp; a_{12} &amp; \ldots &amp; a_{1n} \\
  a_{21} &amp; a_{22} &amp; \ldots &amp; a_{2n} \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  a_{i1} &amp; a_{i2} &amp; \ldots &amp; a_{in}  \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  a_{m1} &amp; a_{m2} &amp; \ldots &amp; a_{mn} 
\end{pmatrix},\ni A \in M_{m,n}(\mathbb{K})
&lt;/math&gt;

Donde:
&lt;math&gt;M_{m,n}(\mathbb{K})&lt;/math&gt; representa al conjunto de matrices de &lt;math&gt;m-filas, n-columnas&lt;/math&gt; de un cuerpo &lt;math&gt;\mathbb{K}&lt;/math&gt;.

Normalmente la &lt;math&gt;i,j&lt;/math&gt;-ésima entrada de una matriz de &lt;math&gt; m \times n&lt;/math&gt; se representa por &lt;math&gt;(a_{ij})&lt;/math&gt;.


== Ejemplos de matrices: ==


Si m=n la matriz se suele llamar cuadrada, por ejemplo:

&lt;math&gt;C =
\begin{pmatrix}
  a_{11} &amp; a_{12} &amp; \ldots &amp; a_{1n} \\
  a_{21} &amp; a_{22} &amp; \ldots &amp; a_{2n} \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  a_{j1} &amp; a_{j2} &amp; \ldots &amp; a_{jn}  \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \ldots &amp; a_{nn} 
\end{pmatrix},\ni C \in M_{m,n}(\mathbb{K})
&lt;/math&gt;

Que tiene por entrada &lt;math&gt;(c_{ij})&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\forall i,j \in {1,...,n}&lt;/math&gt;

En particular:

&lt;math&gt;B =
\begin{pmatrix}
  3 &amp; 5^{20} &amp; \ldots &amp; \sqrt{2} \\
  20 &amp; -30   &amp;\ldots  &amp; \pi \\
  \vdots     &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  e &amp; 34\times 10^{-23} &amp; \ldots &amp; 590  \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  \log_{12} 20 &amp; 897 &amp; \ldots &amp; 4576 
\end{pmatrix},\ni B \in M_{n,n}(\mathbb{R})
&lt;/math&gt;

Si &lt;math&gt;m&gt;n&lt;/math&gt; se desprenden casos importantes como:

&lt;math&gt;D =
\begin{pmatrix}
  a_{11}  \\
  a_{21}  \\
  \vdots  \\
  a_{i1}  \\
  \vdots  \\
  a_{m1} 
\end{pmatrix},\ni D \in M_{m,1}(\mathbb{K})
&lt;/math&gt;

que en particular puede representar un vector en &lt;math&gt;\mathbb{R}^m&lt;/math&gt;, de hecho &lt;math&gt;M_{m,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;es el conjunto mencionado.

Como podemos observar la condensación de notación en forma matricial es una ventaja imprescindible, pues, al trabajar con grandes cantidades numéricas se ahorra memoria al igual que trabajo en sí mismo.

Ahora vamos a exponer un método para operar con matrices.

== Estructura de matrices ==

'''Definición'''.

Sean &lt;math&gt;\mathrm{A}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\mathrm{B}&lt;/math&gt; dos matrices con respectivas entradas &lt;math&gt;(\mathrm{a_{ij}})&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;(\mathrm{b_{ij}})&lt;/math&gt;
será &lt;math&gt;\mathrm{A}&lt;/math&gt; ''igual'' a &lt;math&gt;\mathrm{B}&lt;/math&gt; si poseén las mismas entradas, es decir, si:
&lt;math&gt;(\mathrm{a_{ij})=(b_{ij}})&lt;/math&gt;.

'''Definición'''.

Sean &lt;math&gt;\mathrm{A}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\mathrm{B}&lt;/math&gt; matrices &lt;math&gt;m \times n&lt;/math&gt; con entradas &lt;math&gt;(\mathrm{a_{ij}})&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;(\mathrm{a_{ij}})&lt;/math&gt; respectivamente, ''la adición'' de &lt;math&gt;\mathrm{A}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\mathrm{B}&lt;/math&gt;, se define:

&lt;math&gt;\mathrm{A + B=((a_{ij}) +(b_{ij})})&lt;/math&gt;

Observación:
notar que la adición se genera entrada con entrada.

'''Ejemplo''':

&lt;math&gt;A =
\begin{pmatrix}
  a_{11} &amp; a_{12} &amp; \ldots &amp; a_{1n} \\
  a_{21} &amp; a_{22} &amp; \ldots &amp; a_{2n} \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  a_{i1} &amp; a_{i2} &amp; \ldots &amp; a_{in}  \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  a_{m1} &amp; a_{m2} &amp; \ldots &amp; a_{mn}
\end{pmatrix}, B =
\begin{pmatrix}
  b_{11} &amp; b_{12} &amp; \ldots &amp; b_{1n} \\
  b_{21} &amp; b_{22} &amp; \ldots &amp; b_{2n} \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  b_{i1} &amp; b_{i2} &amp; \ldots &amp; b_{in}  \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  b_{m1} &amp; b_{m2} &amp; \ldots &amp; b_{mn}
\end{pmatrix}, \ni A,B \in M_{m,n}(\mathbb{K})
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;A+B = 
\begin{pmatrix}
  a_{11}+b_{11} &amp; a_{12}+b_{12} &amp; \ldots &amp; a_{1n}+b_{1n} \\
  a_{21}+b_{21} &amp; a_{22}+b_{22} &amp; \ldots &amp; a_{2n}+b_{2n}\\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  a_{i1}+b_{i1} &amp; a_{i2}+b_{i2} &amp; \ldots &amp; a_{in}+b_{in}  \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  a_{m1}+b_{m1} &amp; a_{m2}+b_{m2} &amp; \ldots &amp; a_{mn}+b_{mn}
\end{pmatrix}, \ni [A+B]\in M_{m,n}(\mathbb{K})
&lt;/math&gt;

'''Definición:'''

Considere &lt;math&gt;\mathrm{A}&lt;/math&gt; un matriz de &lt;math&gt;m \times n&lt;/math&gt; con entrada &lt;math&gt;(\mathrm{a_{ij}})&lt;/math&gt; y sea &lt;math&gt;\alpha &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in \mathbb{K}&lt;/math&gt; se define la matriz &lt;math&gt;\alpha \cdot A&lt;/math&gt; como:

&lt;math&gt;\alpha \cdot A =
\begin{pmatrix}
  \alpha \cdot a_{11} &amp; \alpha \cdot a_{12} &amp; \ldots &amp; \alpha \cdot a_{1n} \\
  \alpha \cdot a_{21} &amp; \alpha \cdot a_{22} &amp; \ldots &amp; \alpha \cdot a_{2n} \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  \alpha \cdot a_{i1} &amp; \alpha \cdot a_{i2} &amp; \ldots &amp; \alpha \cdot a_{in}  \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  \alpha \cdot a_{m1} &amp; \alpha \cdot a_{m2} &amp; \ldots &amp; \alpha \cdot a_{mn}
\end{pmatrix}, \ni [\alpha \cdot A] \in M_{m,n}(\mathbb{K})
&lt;/math&gt;

'''Observación''':

En las dos definiciones anteriores la cerradura se debe a que son elementos de un cuerpo, el cual, posee esta propiedad.

Sin mucha dificultad se puede demostrar que el conjunto &lt;math&gt;M_{m,n}(\mathbb{K})&lt;/math&gt; es un espacio vectorial sobre el cuerpo referido(&lt;math&gt;\mathbb{K}&lt;/math&gt;).

'''Definición:'''

Sea &lt;math&gt;\mathrm{A}&lt;/math&gt; una matriz &lt;math&gt;m\times n&lt;/math&gt; con entrada &lt;math&gt;(\mathrm{a_{ij}})&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\mathrm{B}&lt;/math&gt; una matriz de &lt;math&gt;n\times q&lt;/math&gt; con entrada &lt;math&gt;(\mathrm{b_{ij}})&lt;/math&gt; se define &lt;math&gt;A \bullet B&lt;/math&gt;
que es la multiplicación de &lt;math&gt;\mathrm{A}&lt;/math&gt; por &lt;math&gt;\mathrm{B}&lt;/math&gt; como sigue:

&lt;math&gt;A \bullet B =
\begin{pmatrix}
  \sum_{j=i}^{n}a_{1j}b_{j1} &amp; \sum_{j=1}^{n}a_{1j}b_{j2} &amp; \ldots &amp; \sum_{j=1}^{n}a_{1j}b_{jq} \\

  \sum_{j=1}^{n}a_{2j}b_{j1} &amp; \sum_{j=1}^{n}a_{2j}b_{j2} &amp; \ldots &amp; \sum_{j=1}^{n}a_{2j}b_{jq}\\

  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\

  \sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{j1} &amp; \sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{j2} &amp; \ldots &amp; \sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jq} \\

  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\

  \sum_{j=1}^{n}a_{mj}b_{j1} &amp; \sum_{j=1}^{n}a_{mj}b_{j2} &amp; \ldots &amp; \sum_{j=1}^{n}a_{mj}b_{jq}
\end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

generando una matriz &lt;math&gt;C = A \bullet B&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\times q&lt;/math&gt; con entrada &lt;math&gt;(c_{ik})=(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b{jk})&lt;/math&gt;.

'''Observación''':

Es importante que las filas coincidan con las columnas o viceversa en la multiplicación de matrices ya que si no fuese así no se puede definir ninguna multiplicación entre estas.

----

'''Propiedades inmediatas:'''

Sea &lt;math&gt;\mathrm{A}&lt;/math&gt; matriz &lt;math&gt;m\times n &lt;/math&gt; con entrada &lt;math&gt;(\mathrm{a_{ij}})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathrm{B}&lt;/math&gt;un matriz &lt;math&gt;n\times q&lt;/math&gt; con entrada &lt;math&gt;(\mathrm{b_{jk}})&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\alpha_{l}\in\mathbb{K}&lt;/math&gt;, entonces se cumple:

1.&lt;math&gt;(\sum_{l=1}^{r}\alpha_{l})\cdot(A\bullet B)=(\sum_{l=1}^{r}\alpha_{l}\cdot A)\bullet B=A\bullet (\sum_{l=1}^{r}\alpha_{l}\cdot B)=(A\bullet B) \cdot \sum_{l=1}^{r}\alpha_{l}&lt;/math&gt;.

2.&lt;math&gt;\prod_{l=1}^{s}\alpha_{l}\cdot(A\bullet B)=(\prod_{l=1}^{s}\alpha_{l}\cdot A)\bullet B=A\bullet (B\cdot \prod_{l=1}^{s}\alpha_{l})=(A\bullet B)\cdot \prod_{l=1}^{s}\alpha_{l}&lt;/math&gt;

----

'''Definición.'''
Sea &lt;math&gt;\mathrm{A}&lt;/math&gt; un matriz &lt;math&gt;m\times n&lt;/math&gt; con entrada&lt;math&gt;(\mathrm{a_{ij}})&lt;/math&gt; ''la traspuesta'' de &lt;math&gt;\mathrm{A}&lt;/math&gt; es una matriz que &quot;invierte&quot; las m-columnas por las n-filas, así que podemos esperar una matriz de &lt;math&gt;n\times m&lt;/math&gt; la cual se representa como &lt;math&gt;\mathrm{A}^{T}&lt;/math&gt;y tiene por entrada &lt;math&gt;(a_{ji})&lt;/math&gt;.

'''Ejemplo:'''

&lt;math&gt;A =
\begin{pmatrix}
  b_{11} &amp; b_{12} &amp; \ldots &amp; b_{1n} \\
  b_{21} &amp; b_{22} &amp; \ldots &amp; b_{2n} \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  b_{i1} &amp; b_{i2} &amp; \ldots &amp; b_{in}  \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  b_{m1} &amp; b_{m2} &amp; \ldots &amp; b_{mn}
\end{pmatrix}, A^{T}= 
\begin{pmatrix}
  b_{11} &amp; b_{12} &amp; \ldots &amp; b_{1m} \\
  b_{21} &amp; b_{22} &amp; \ldots &amp; b_{2m} \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  b_{j1} &amp; b_{i2} &amp; \ldots &amp; b_{jm}  \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  b_{n1} &amp; b_{n2} &amp; \ldots &amp; b_{nm}
\end{pmatrix}
&lt;/math&gt;


'''Propiedades:'''

1.&lt;math&gt;\forall A \in M_{m,n}(\mathbb{K})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(\mathbf{A^{T})^{T} = A}&lt;/math&gt;

2.&lt;math&gt;(\mathbf{\sum_{i=1}^{l}A_{i})^{T} = \sum_{i=1}^{l}A_{i}^{T}}&lt;/math&gt;

3.&lt;math&gt;\forall \mathbf{\alpha_{j}} \in \mathbb{K}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\forall \mathbf{A_{i}} \in M_{m,n}(\mathbb{K})&lt;/math&gt;,se satisface:

&lt;math&gt;\mathbf{\prod_{v=1}^{s}\alpha_{v} \cdot (\sum_{i=1}^{p}A_{i})^{T}= (\prod_{v=1}^{s}\alpha_{v} \cdot \sum_{i=1}^{p}A_{i})^{T}=\sum_{i=1}^{p}A_{i}^{T} \cdot \prod_{v=1}^{s}\alpha_{v}}&lt;/math&gt;

4.&lt;math&gt;\forall \mathbf{A_{i}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathbf{B_{i}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in M_{m,n}(\mathbb{K})&lt;/math&gt; se cumple:

&lt;math&gt;\mathbf{(\sum_{i=1}^{s}A_{i} + B_{i})^{T}=\sum_{i=1}^{n}(B_{i})^{T} + \sum_{i=1}^{n}(A_{i})^{T}}&lt;/math&gt;


== Teorema ==


Todo sistema de m-ecuaciones lineales con  n-incógnitas (&lt;math&gt;m\times n&lt;/math&gt;)con coeficientes en un cuerpo &lt;math&gt;(\mathbb{K})&lt;/math&gt; se puede escribir en forma matricial.

'''Demostración:'''

Básicamente lo que necesitamos recordar es cómo se representa a tal sistema, por ejemplo se tiene:

&lt;math&gt;\begin{matrix}

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\

a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\

\vdots  \\

a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2} + a_{i3}x_{3} + \cdots + a_{in}x_{n} = b_{i}\\

\vdots   \\

a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + a_{m3}x_{3} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m}

\end{matrix}
&lt;/math&gt;

Observemos cuidadosamente que los coeficientes &lt;math&gt;a_{ij} \forall i,j \in {1,2,...,n}&lt;/math&gt;
corresponden a la entrada &lt;math&gt;(a_{ij})&lt;/math&gt; de una cierta matriz de &lt;math&gt;m\times n&lt;/math&gt;.Sea esta:

&lt;math&gt;A = 
\begin{pmatrix}
  a_{11} &amp; a_{12} &amp; \ldots &amp; a_{1n} \\
  a_{21} &amp; a_{22} &amp; \ldots &amp; a_{2n}\\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  a_{i1} &amp; a_{i2} &amp; \ldots &amp; a_{in}  \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  a_{m1} &amp; a_{m2} &amp; \ldots &amp; a_{mn}
\end{pmatrix}, \forall A \in M_{m,n}(\mathbb{K})
&lt;/math&gt;

Notemos que la primera ecuación es de la forma  y posee la característica de la primera entrada de la multiplicación de A con una matriz &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; &lt;math&gt;1\times n&lt;/math&gt; con entrada &lt;math&gt;(\mathrm{x_{j}})\forall j \in {1,2,...,n}&lt;/math&gt; entonces:

&lt;math&gt;A\bullet X = 
\begin{pmatrix}
  a_{11} &amp; a_{12} &amp; \ldots &amp; a_{1n} \\
  a_{21} &amp; a_{22} &amp; \ldots &amp; a_{2n}\\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  a_{i1} &amp; a_{i2} &amp; \ldots &amp; a_{in}  \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  a_{m1} &amp; a_{m2} &amp; \ldots &amp; a_{mn}
\end{pmatrix} \bullet
\begin{pmatrix}
  x_{1} \\
  x_{2}  \\
  x_{3}  \\
  \vdots \\
  x_{n}  \\
\end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Que esto evidentemente tiene que ser igual a una matriz &lt;math&gt;m\times 1 &lt;/math&gt;,sea esta matriz  B con entrada &lt;math&gt;(b_{ij})&lt;/math&gt;, por tanto, se puede terminar la representación matricial del sistema lineal de la siguiente forma:

&lt;math&gt;A\bullet X = 
\begin{pmatrix}
  a_{11} &amp; a_{12} &amp; \ldots &amp; a_{1n} \\
  a_{21} &amp; a_{22} &amp; \ldots &amp; a_{2n}\\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  a_{i1} &amp; a_{i2} &amp; \ldots &amp; a_{in}  \\
  \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
  a_{m1} &amp; a_{m2} &amp; \ldots &amp; a_{mn}
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
  x_{1} \\
  x_{2}  \\
  x_{3}  \\
  \vdots \\
  x_{n}  \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
  b_{1} \\
  b_{2}  \\
  b_{3}  \\
  \vdots \\
  b_{m}  \\
\end{pmatrix}=B&lt;/math&gt;</text>
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    </revision>
  </page>
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    <title>Matemáticas/Cálculo en una variable/Funciones</title>
    <ns>0</ns>
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      <id>429098</id>
      <parentid>406006</parentid>
      <timestamp>2026-07-26T16:27:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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      <text bytes="6853" sha1="eujjw2mvv8wi910ffz6v9lxsgo0y0tw" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección}}&lt;/noinclude&gt;
[[archivo:Operación unaria 1b.svg|derecha|200px]]
Una '''función''' es una relación entre dos conjuntos A y B, donde a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.&lt;br /&gt;
El conjunto de todos los elementos de B relacionados con algún elemento de A se denomina rango, o conjunto imagen y a cada elemento del conjunto B le denominamos imagen de algún elemento del conjunto A.&lt;br /&gt;

Notación usual:
: &lt;math&gt;
      \begin{array}{cccl}
         f: &amp; A &amp; \longrightarrow &amp; B \\
            &amp; x &amp; \longmapsto     &amp; y = f(x)
      \end{array}
&lt;/math&gt;

Donde:
: &lt;math&gt; y = f(x) \, &lt;/math&gt;: es la función.
: &lt;math&gt; x \, &lt;/math&gt;: es la variable independiente.
: &lt;math&gt; y \, &lt;/math&gt;: es la variable dependiente.

'''Dominio:''' Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente &quot;&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;&quot;.&lt;br /&gt;

'''Rango o codominio:''' Es el conjunto de todos los valores que puede tomar una función &quot;&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;&quot;, dependiendo de los valores de &quot;&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;&quot;.&lt;br /&gt;

'''Funciones Iguales:''' Dos funciones &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; son iguales si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:&lt;br /&gt;
# Ambas funciones tienen el mismo dominio.&lt;br /&gt;
# Para todo valor de &quot;&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;&quot; que pertenece al dominio de &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt;, se cumple que el rango de &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; es igual al rango de &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt;.&lt;br /&gt;

===Ejemplo===

: &lt;math&gt;
   f(x) = x-2
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   g(x) = \cfrac{x^2 - 4}{x + 2}
&lt;/math&gt;

Tenemos que el dominio de &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; son los números reales, mientras que el dominio de la función &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; son los números reales excepto el número -2.&lt;br /&gt;

Por lo que no se cumple la primera condición, entonces &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; no son iguales.&lt;br /&gt;

'''¿Cómo identificar una función de manera práctica?'''&lt;br /&gt;
Para identificar una función, hay que representarla gráficamente y trazar varias rectas paralelas  al eje &quot;y&quot; o de ordenadas. Si cada una de esas rectas trazadas cortan a la curva en un único punto podemos estar seguros que la gráfica representa a una función, porque cumpliría con la definición más arriba mencionada, explícitamente, para cada valor de &quot;&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;&quot; existe un único valor de &quot;&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;&quot;.&lt;br /&gt;

'''Función implícita'''&lt;br /&gt;
Cuando una función está dada por una ecuación en donde no está despejada con respecto a la variable dependiente, se denomina implícita.&lt;br /&gt;

===Ejemplo===

: &lt;math&gt;
   4x+3y = 0 \,
&lt;/math&gt;

Las funciones son de gran utilidad para resolver problemas de la vida cotidiana, por citar unos ejemplos, pueden ser útiles en las siguientes áreas: economía, estadística, ingeniería, medicina, química, física, astronomía, geología, biología y en cualquier área donde se relacionen variables.&lt;br /&gt;


Las funciones juegan un papel esencial en el desarrollo del cálculo, las  funciones son generalmente del tipo:&lt;br /&gt;
:::&lt;math&gt;y=f(x)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;

En otras palabras, &quot;x&quot; es una variable, &quot;y&quot; es otra variable, y el valor que tome &quot;y&quot; depende del valor que esté tomando &quot;x&quot;. Por ejemplo, en la función &quot;2x = y&quot;, pues cuando &quot;x&quot; tome el valor de 5, &quot;y&quot; va a tomar el valor de 10 (porque 2*5 es 10).

En donde a &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; se la llama variable dependiente y a &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; se la llama variable independiente, la anterior fórmula nos indica que ''y esta en función de x'' o sea ''x'' puede ser reemplazado en la función por cualquier número y el resultado de esta operacion se la asigna a ''y''.&lt;br /&gt;
Así por ejemplo si nuestra función &lt;math&gt;y=f(x)&lt;/math&gt; es:&lt;br /&gt;
:::&lt;math&gt;y=3x&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Y la cambiamos por &lt;math&gt;y=f(5)&lt;/math&gt; esto nos dice que reemplazemos ''x'' por ''5'' y tenemos como resultado:&lt;br /&gt;
:::&lt;math&gt;y=3*5&lt;/math&gt; y por tanto: &lt;math&gt;y=15&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Tenemos que:&lt;br /&gt;
:::&lt;math&gt;y=f(2)&lt;/math&gt; entonces  &lt;math&gt;y=3*2&lt;/math&gt; y por tanto: &lt;math&gt;y=6&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
:::&lt;math&gt;y=f(9)&lt;/math&gt; entonces  &lt;math&gt;y=27&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
:::&lt;math&gt;y=f(2a)&lt;/math&gt; entonces  &lt;math&gt;y=6a&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Y así sucesivamente.&lt;br /&gt;

== Dominio==
[[Archivo:Función 01 inversa.svg|300px|left]]
El '''dominio''' son los valores que puede tomar la variable independiente para que la variable dependiente sea un número real, Por ejemplo:
:::&lt;math&gt;
   y= \cfrac{1}{x}
&lt;/math&gt;

En esta función ''x'' puede tomar cualquier valor excepto el cero pues la división por cero no esta definida para los números reales.

Ilustración que muestra f, una función de dominio X a codominio Y. El óvalo pequeño dentro de Y es la imagen de f, a veces llamado rango de f.

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función   es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota   o bien . En   se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.

== Clasificación==
{| style=&quot;margin:2em; border-right:1px solid Silver; border-bottom:2px solid Silver&quot;
|
{| style=&quot;margin:4px; border:2px solid Silver&quot;
|
{| style=&quot;margin:1em&quot;
| &lt;math&gt;
   Funciones
   \left \{
   \begin{array}{l}
      Expl \acute{\imath} citas \\
      Impl \acute{\imath} citas
   \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;
   Funciones
   \left \{
   \begin{array}{l}
      Algebraicas
      \left \{
      \begin{array}{l}
         Potencias
            \left \{
            \begin{array}{l}
               Polin \acute{o} mica \\
               Racionales
            \end{array}
            \right .
      \\
         Radicales
      \end{array}
      \right .
      \\
      Trascendentes
      \left \{
      \begin{array}{l}
         Trigonom \acute{e} trica \\
         Exponencial              \\
         Logar \acute{\imath} tmica
      \end{array}
      \right .
   \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;
|}
|}
|}

Pero las funciones no acaban ahí, y se las puede clasificar en:&lt;br /&gt;
:[[/Función Polinómica/]]
::[[/Función Constante/]]
::[[/Función Lineal/]]
::[[/Función Cuadrática/]]

:[[/Función Racionales/]]

:[[/Función Radicales/]]
::[[/Funciones Circulares/]]
::[[/Función Hipérbola/]]
::[[/Función Elipse/]]

:[[/Función Transcendentes/]]
::[[/Funciones Trigonométricas/]]
:::[[/Función Seno/]]
:::[[/Función Coseno/]]
:::[[/Función Tangente/]]
:::[[/Función Cotangente/]]
:::[[/Función Secante/]]
:::[[/Función Cosecante/]]

::[[/Funciones Exponenciales/]]
::[[/Funciones Logarítmicas/]]

:[[/Función Valor Absoluto/]]
:[[/Función Parte Entera o Escalonada/]]
:[[/Funciones de bolas/]]

Por paridad:&lt;br /&gt;
:[[/Función par/]]
:[[/Función impar/]]
(solo ciertas funcione poseen paridad hay otras que no poseen ninguna paridad).

&lt;noinclude&gt;{{Plantilla:Matemáticas}}&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Manual de la bicicleta/Bicicleta</title>
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Dicese del bastidor, chasis o estructura que soporta los componentes de una bicicleta. Por ejemplo: &quot; El cuadro de esta bicicleta es muy ligero estable y bien diseñado, esta fabricado por Colnago en carbono
El Chasis es la pieza principal de una bicicleta donde se anclan el resto de componentes. Se le denomina Cuadro, Bastidor
Podemos decir que el chasis es el Alma de la bicicleta, porque además de mostrar sus detalles como marcas, soldaduras, diseño y geometria, esta ultima decide el comportamiento general de la bicicleta.
El diseño y creacion del chasis es complejo, si bien hay empresas para las que ese proceso es sencillo y habitual por dedicarse a ello desde siempre, como por ejemplo Habanero
Materiales de los que puede estar construido un chasis:

Acero
Aluminio
Carbono
Titanio
Madera
Caña de bambú</text>
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    <title>Manual de la bicicleta/Introducción</title>
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[[Image:Bicycle evolution-es.svg|thumb|300px|Evolución de la bicicleta]]
Las [[w:Bicicleta|bicicletas]] en todo el mundo, se fabrican con muchas partes (piezas), estándar simples, comunes e intercambiables. Al contrario que en muchos productos modernos, la tecnología usada en las bicicletas es lo suficientemente simple para que muchos usuarios de bicicleta hagan reparaciones sencillas a sus propios vehículos. Este wikilibro tiene el propósito de llegar a describir las '''partes''' y los '''accesorios''' de la bicicleta, '''herramientas''' útiles, su '''mecánica''', las técnicas de '''reparación y mantenimiento''', '''recomendaciones en su uso''' y un '''glosario''' para poder traducir términos técnicos de la bicicleta.</text>
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    <title>Manual de la bicicleta/Herramientas</title>
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=== Herramientas básicas ===
Herramientas que cualquier ciclista debería tener:
*Llaves Allen (2-8mm)
*[[Manual de la bicicleta/Tronchacadenas|Tronchacadenas]] o cortacadenas
*[[Manual de la bicicleta/Llave de conos|Llave de conos]]
*Destornilladores de estrella y planos 
*Llaves abiertas o cerradas (8, 10, y 15mm)
*[[Manual de la bicicleta/Llave para radios|Llave para radios]]
*[[Manual de la bicicleta/Palancas para cámaras|Palancas para cámaras]]
*[[Manual de la bicicleta/Bomba|Bomba]] o inflador
Los ciclistas que viajan largas distancias podrían llevar esas herramientas con ellos, o bien podrían llevar una [[Manual de la bicicleta/Multi-herramienta|multi-herramienta]].

=== Herramientas (nivel intermedio) ===
Herramientas para ciclistas con más que un interés en reparación de bicicletas.
*[[Manual de la bicicleta/Llave para el pedal|Llave para el pedal]]
*[[Manual de la bicicleta/Cortacables|Cortacables]]

=== Herramientas (nivel avanzado)===
Herramientas para ciclistas que están preparados para arreglar todo lo que pueda ir mal en una bicicleta.
*[[Manual de la bicicleta/Banco de centrado|Banco de centrado]] 
*[[Manual de la bicicleta/Banco de centrado|Llave de carkeja]]
== Varios ==

*[[Manual de la bicicleta/Desengrasante|Desengrasante]]
*[[Manual de la bicicleta/Grasa|Grasa]]
*[[Manual de la bicicleta/Aceite|Aceite]]
*[[Manual de la bicicleta/Pegamento para parches|Pegamento para parches]]
*[[Manual de la bicicleta/parches|Parches]]</text>
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    <title>Manual de la bicicleta/Reparaciones</title>
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=== Básicas ===
* [[Manual de la bicicleta/Arreglar un pinchazo|Arreglar un pinchazo]]
* [[Manual de la bicicleta/Ajuste de los frenos|Ajuste de los frenos]]
* [[Manual de la bicicleta/Limpieza|Limpieza]]
* [[Manual de la bicicleta/Quitar los pedales|Quitar los pedales]]

=== Intermedias ===
* [[Manual de la bicicleta/Centrar una rueda|Centrar una rueda]] 
* [[Manual de la bicicleta/Reparar una cadena rota|Reparar una cadena rota]]
* [[Manual de la bicicleta/Fijar el cambio|Fijar el cambio]]

=== Avanzadas ===
* [[Manual de la bicicleta/Limpieza y ensamblado de un eje|Limpieza y ensamblado de un eje]]
* [[Manual de la bici/Lubricación de la suspensión delantera|Lubricación de la suspensión delantera]]</text>
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    <title>Matemáticas/Cálculo en una variable/Cálculo integral</title>
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Técnicas de integración:
*[[Matemáticas/Cálculo en una variable/Cálculo integral/Integración por partes|Integración por partes]]
*[[Matemáticas/Cálculo en una variable/Cálculo integral/Fracciones parciales|Fracciones parciales]]
*[[Matemáticas/Cálculo en una variable/Cálculo integral/Sustituciones trigonométricas|Sustituciones trigonométricas]]
*[[Matemáticas/Cálculo en una variable/Cálculo integral/Integrales impropias|Integrales impropias]]</text>
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    <title>Matemáticas/Cálculo en una variable/Cálculo integral/Técnicas de integración</title>
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      <text bytes="485" sha1="3do5rs72yrk0dwkt5ahb392ynsgpi09" xml:space="preserve">* Cálculo en una variable/Cálculo integral/Técnicas de integración/Integración por partes-Integración por partes
* Cálculo en una variable/Cálculo integral/Técnicas de integración/Fracciones parciales-Fracciones parciales* álculo en una variable/Cálculo integral/Técnicas de integración/Sustituciones trigonométicas-Sustituciones trigonométicas* Cálculo en una variable/Cálculo integral/Técnicas de integración/Integrales impropias-Integrales impropias

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    <title>Matemáticas/Cálculo en una variable/Cálculo integral/Sustituciones trigonométricas</title>
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Las sustituciones trigonométricas sirven para transformar varias integrales que contienen raíces cuadradas en otras integrales más simples.

&lt;!-- Por ejemplo, puedes transformar la siguiente integral utilizando este método:

&lt;math&gt;\int_{}^{} {dx \over x^2\sqrt{4-x^2}}&lt;/math&gt;

== Sustituciones básicas ==
--&gt;

La '''integración por sustitución trigonométrica ''' sirve para [[Integral|integrar funciones]] que tienen la siguiente forma

:&lt;math&gt; \sqrt {a^2 - u^2} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \sqrt{a^2 + u^2} &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; \sqrt{u^2 - a^2} &lt;/math&gt;

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el [[teorema de Pitágoras]] e identidades trigonométricas.

En el caso general la integral a resolver es:
:&lt;math&gt;\int R (x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx&lt;/math&gt;
Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, en primer lugar sacaremos &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.
:&lt;math&gt;\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 -\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 \right )}=&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;=\sqrt{a\cdot \left ( \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+ \left ( \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2} \right ) \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+c-\frac{b^2}{4a}}&lt;/math&gt;

De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:

# &lt;math&gt;a&gt;0&lt;/math&gt; Λ &lt;math&gt;c-\frac{b^2}{4a}&gt;0&lt;/math&gt; es decir: &lt;math&gt;\sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+n^2}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;a&gt;0&lt;/math&gt; Λ &lt;math&gt;c-\frac{b^2}{4a}&lt;0&lt;/math&gt; es decir: &lt;math&gt;\sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2-n^2}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;a&lt;0&lt;/math&gt; Λ &lt;math&gt;c-\frac{b^2}{4a}&gt;0&lt;/math&gt; es decir: &lt;math&gt;\sqrt{n^2-m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2}&lt;/math&gt;

teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con
 &lt;math&gt;u=m \left ( x+\frac{b}{2a} \right)  &lt;/math&gt;

Estos los cambios que hay que realizar según la situación:

# &lt;math&gt;\sqrt{u^2+n^2};\quad  u=n\cdot \tan t&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sqrt{u^2-n^2};\quad  u=n\cdot \sec t&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sqrt{n^2-u^2};\quad  u=n\cdot \sin t&lt;/math&gt;

La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en &lt;math&gt;t&lt;/math&gt;, se resuelve y se deshace el cambio.

[[Categoría:Integrales]]</text>
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    <title>Matemáticas/Cálculo en una variable/Sucesiones</title>
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      <text bytes="9118" sha1="mkblbcpqu6ztjp57ixkbsgwa22ub39y" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
==Definiciones==
'''Definición''' Una ''sucesión'' es una función de &lt;math&gt;F:\N\to \R&lt;/math&gt;

Puesto que podemos listar los enteros 1, 2, 3,... podemos de igual manera listar una sucesión
f(1), f(2), f(3), f(4), &amp;hellip; Denotaremos una sucesión por una letra mayúscula itálica,
el conjunto de los valores reales que la función toma por la misma letra mayúscula no-itálica,
y los elementos de ese conjunto con la correspondiente letra minúscula, y subíndices. Por ejemplo
la sucesión ''S'' toma valores en el conjunto S con elementos &lt;math&gt;s_1, s_2, s_3 ...\,&lt;/math&gt;.

S es un conjunto de reales, ''S'' es una función de los enteros en los reales, dos conceptos
diferentes. Si somos rigurosos debemos ser cuidadosos de no confundir las dos,
pero en el uso general ambos conceptos son intercambiables.

Podemos también denotar sucesiones por su función. Por ejemplo si decimos que la función ''S'' es 3''k'', entonces la sucesión consiste en 3, 6, 9,&amp;hellip;.

En particular estamos interesados en tipos especiales de sucesiones que convergen.
Introducimos primero tres definiciones.

'''Definición 1:''' Una sucesión ''S'' es una '''sucesión de Cauchy''' si para todo
&lt;math&gt;\epsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, existe un entero &lt;math&gt;n(\epsilon)&lt;/math&gt; tal que para todo
&lt;math&gt;k &gt; n(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;|s_k - s_{n(\epsilon)}| &lt; \epsilon.&lt;/math&gt;

'''Definición 2:''' Una sucesión, ''S'', está acotada superiormente/inferiormente
si el conjunto, S, de todos sus elementos está [[../Conjunto acotado|acotada superiormente/inferiormente]]

'''Definición 3:''' Una sucesión, ''S'', ''converge'' si existe un número, ''s'', tal que
para todo &lt;math&gt;\epsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, existe un entero &lt;math&gt;n(\epsilon)&lt;/math&gt; tal que
para todo &lt;math&gt;k&gt; n(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;|s_k - s| &lt; \epsilon.&lt;/math&gt;
Si la  sucesión es convergente llamaremos al número ''s'' el ''límite'' de la sucesión ''S''.
Escribimos,
&lt;math&gt;s=\lim_{n \to \infty} s_n&lt;/math&gt;

'''Teorema 0:''' Si existe un número, ''s'', tal que para todo &lt;math&gt;\epsilon &gt; 0&lt;/math&gt;,
existe un entero &lt;math&gt;n(\epsilon)&lt;/math&gt; tal que para todo &lt;math&gt;k&gt; n(\epsilon)&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;|s-s_{n(\epsilon)}| &lt; f(\epsilon)&lt;/math&gt; donde ''f'' es tal que &amp;delta; es menor o igual
que algún &amp;delta;(&amp;epsilon;) implica que ''f''(&amp;delta;)&amp;le;&amp;epsilon;, ''f''(''x'')
es positiva para todo ''x'' positivo, y ''f''(0)=0 entonces ''S'' converge.

''Prueba''
Para cualquier &amp;epsilon; consideremos ''n''(&amp;delta;(&amp;epsilon;)).

Si ''n''&gt;''n''(&amp;delta;(&amp;epsilon;)) entonces

Por las condiciones dadas, &lt;math&gt;|s-s_{n(\delta(\epsilon))}| &lt; f(\delta(\epsilon)) \le \epsilon&lt;/math&gt;

Luego, ''S'' cumple las condiciones en la Definición 3.

Este teorema indica que es suficiente probar que la diferencia entre un término y el límite
es menor que alguna función positiva continua de &amp;epsilon;

==Cauchy = convergente==

Probaremos que una sucesión es convergente si y sólo si es de Cauchy.
Para esto necesitamos algunos teoremas preliminares.

'''Teorema 1:''' Toda sucesión de Cauchy está acotada superiormente

Prueba:
*Por la definición 1 con &amp;epsilon;=1
:&lt;math&gt;\exists N \mbox{ tal que } \forall n&gt;N \quad |s_n-s_N|&lt;1 &lt;/math&gt;
*Definamos
:&lt;math&gt;r=2+\operatorname{sup}\{s_1,s_2, ... s_N\}&lt;/math&gt;
*Entonces,  por definición
:&lt;math&gt;s_k&lt;r \quad \forall k \le N&lt;/math&gt;
*Si ''n''&gt;''N''
:&lt;math&gt;s_n \le 1+s_N &lt; r&lt;/math&gt;
*Por lo tanto la sucesión satisface la definición 2 con &lt;math&gt;s_{+}=r&lt;/math&gt;
La sucesión de Cauchy está acotada superiormente.

'''Teorema 2:''' Toda sucesión de Cauchy está acotada inferiormente

Prueba: Como en el Teorema 1, con los cambios obvios.
Ejercicio: Probar esto

'''Definición 4'''
* una sucesión es ''monótonamente creciente'' si para todo n,m n&amp;ge;m implies a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;&amp;ge;a&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;
* una sucesión es ''monótonamente decreciente'' si para todo n,m n&amp;ge;m implies a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;&amp;le;a&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;

'''Teorema 3'''
a/Si ''S'' es acotada superiormente y monótonamente creciente, ''S'' converge a sup S
b/Si ''S'' es acotada inferiormente y monótonamente decreciente, ''S'' converge a inf S

Prueba:
a)Para una sucesión monótonamente creciente y acotada superiormenteS, y para todo
&amp;epsilon;&gt;0, debemos tener
:s&lt;sub&gt;N&lt;/sub&gt;&gt;sup S -&amp;epsilon;
:para algún N, si no sup S -&amp;epsilon; es una cota superior de S, contradiciendo la
definición de sup
:para todo n&gt;N, s&lt;sub&gt;N&lt;/sub&gt;&amp;lt;s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, por definición
:combinando con la primera desigualdad para obtener
:sup S&gt;s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;&gt;sup S -&amp;epsilon;
:reordenando
:|s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;-sup S|&lt;&amp;epsilon; para todo n mayor que algún N
:Hence sup S es el límite de ''S''
3b) se prueba similarmente


'''Teorema 4''' (The sandwich teorema)
:Dadas tres sucesiones, ''R, S , T'',
:Si ''R'' y ''T'' convergen ambas, lim ''R''=lim ''T'' y
:&lt;math&gt;\exists N \, \forall n&gt;N\quad r_n\le s_n \le t_n&lt;/math&gt;
:la sucesión ''S'' converge al mismo límite.

''Prueba''

:Sea ''s''=lim ''R'' = lim ''T''
:Para cualquier &amp;epsilon;&gt;0, por definición de convergencia, existen ''M, N'' tal que
:&lt;math&gt;\forall n &gt; M \quad |r_n-s|&lt;\epsilon&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\forall n &gt; N \quad |t_n-s|&lt;\epsilon&lt;/math&gt;
:Combinando estas dos desigualdades con las condiciones para ''R'' y ''T'' da
:&lt;math&gt;s-\epsilon&lt;r_n \le s_n \le t_n  &lt; s+\epsilon&lt;/math&gt;
:para todo ''n'' mayor que el máximo de ''M'' y ''N''
:Después de reordenar, S satisface la definición de convergencia, con límite ''s'',
y ''n(&amp;epsilon;)=''max&amp;nbsp;{''M,N''}

'''Teorema 5'''
Si ''R'', y ''S'' son ambas sucesiones convergentes
:&lt;math&gt;\forall n r_n \le s_n \Rightarrow \lim r_n \le \lim s_n &lt;/math&gt;

'''Teorema:''' Una sucesión ''S'' es convergente si y sólo si es de Cauchy.

1/ Convergencia implica Cauchy
:Supongamos ''S'' es convergente, con límite ''s''
:Para un &amp;epsilon;&gt;0, elijamos n tal que
:&lt;math&gt;\forall k &gt; n \quad |s_k-s|&lt;\epsilon/2&lt;/math&gt;
:(siempre es posible por definición de convergencia)
:Por la desigualdad triangular, &lt;math&gt;|s_k-s_j| &lt;|s_k-s|+|s-s_j| &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;|s_k-s_j| &lt; \epsilon /2+\epsilon /2= \epsilon&lt;/math&gt;, for j,k&gt;n
:Esta es la definición de sucesión de Cauchy.

2/ Cauchy implica convergencia&lt;
:Sea ''S'' una sucesión de Cauchy
:Definamos dos sucesiones ''R'' y ''T'' por
:&lt;math&gt;r_n=\inf \{s_m: m \ge n \} \quad
t_n=\sup \{s_m: m \ge n\} &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;r_n= \min(s_n , r_{n+1}) \le r_{n+1}&lt;/math&gt;
:''R'' es monótonamente creciente. Similarmente ''T'' es monótonamente decreciente.
:&lt;math&gt;\forall m&gt;n \quad r_1 \le r_n \le s_m \le t_n \le t_1 &lt;/math&gt;
:de modo que R y T están acotadas superiormente y inferiormente respectivamente.
:Siendo acotadas y monótonas, convergen a su supremo e ínfimo respectivamente.
:&lt;math&gt; r=\lim_{n \to \infty} r_n = \sup \, \inf \{s_m\}
\quad t=\lim_{n \to \infty} t_n = \inf \, \sup \{s_m\}
&lt;/math&gt;
:Por el teorema 5 puesto que ''r&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;&amp;le;t&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'' para todo n, r &amp;le; t
:Si, para algún ''N'', todo s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; with ''n&gt;N'' es mayor que r, r es una cota inferior de los s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;
:pero es también una cota superior.
:Para ''r'' ser ambas cosas, los s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; deben ser constantes, haciendo la serie trivialmente convergente.
:Similarmente para t.
:Entonces, para todo ''N'', deben existir ''n, m'' mayores que ''N'', con
:&lt;math&gt;s_n \le r \quad s_m \ge t&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\forall N \,\exists n,m&gt;N \quad |s_n - s_m| \ge |r-t|&lt;/math&gt;
:Si ''r&amp;ne;t'' esto contradice la definición of Cauchy, luego ''r=t''
:Pero ''S'' está acotada entre ''R'' y ''T'', por lo tanto por el teorema del sandwhich, ''S'' es convergente

Podemos usar ahora Cauchy y convergente intercambiablemente, según convenga.
A menudo probaremos que una sucesión es convergente probando que es de Cauchy.

== Operaciones con sucesiones ==

Si podemos sumar, multiplicar, y dividir sucesiones en la manera obvia, entonces el límite
de una suma/producto/cociente de sucesiones será la suma/producto/cociente de sus límites.

Definimos (''S+T'') por (''s+t'')&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;=''s''&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;+''t''&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;

La suma de sucesiones hereda las propiedades de grupo de los reales.

Si ''S'' y ''T'' convergen ambas, a ''s'' y ''t'' respectivamente, entonces para todo
&amp;epsilon;&gt;0,
:&lt;math&gt;\exists N \forall n&gt;N\ |s_n-s|&lt;\epsilon/2\quad |t_n-t|&lt;\epsilon/2&lt;/math&gt;
(definición de límite)
:&lt;math&gt;|s_n-s|+|t_n-t|&gt;|s_n+t_n-s-t|&lt;/math&gt; hence
:&lt;math&gt;|s_n+t_n-(s+t)|&lt;\epsilon&lt;/math&gt;
Luego, por definición de límite, ''S''+''T'' converge a ''s''+''t''

Definimos (''ST'') por (''st'')&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;=''s''&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''t''&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;

El producto de sucesiones hereda conmutatividad y asociatividad de los reales.

Si ''S'' y ''T'' convergen ambas, a ''s'' y ''t'' respectivamente, entonces para todo
&amp;epsilon;&gt;0,
:&lt;math&gt;\exists N \forall n&gt;N\ |s_n-s|&lt;\epsilon \quad |t_n-t|&lt;\epsilon&lt;/math&gt;
(definición de límite)
:&lt;math&gt;|s_n t_n-st|=|(s_n-s)(t_n-t)+s(t_n-t)+t(s_n-s)|&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;|s_n t_n-st|&lt;|s_n-s||t_n-t|+|s||t_n-t|+|t||s_n-s|&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;|(st)_n -st|&lt;\epsilon^2+2\epsilon (|s|+|t|)&lt;/math&gt;
El lado derecho es una función monótona creciente de &amp;epsilon;,
por consiguiente puede ser reemplazado por &amp;epsilon;,
Luego, por definición de límite, ''S''''T'' converge a ''s''''t''</text>
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    <title>Programación en C++/Desarrollo</title>
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        <username>Mazbel</username>
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    <title>Matemáticas/Cálculo en una variable/Cálculo diferencial</title>
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__NOTOC__
{|cellspacing=&quot;10&quot;
|valign=&quot;top&quot;|En [[matemáticas elementales|matemáticas]], la '''[[derivada]]''' de una [[Función (matemáticas)|función]] es uno de los dos conceptos centrales del [[cálculo]]. La [[inversa]] de una derivada se llama [[antiderivada]], o [[integración indefinida|integral indefinida]].

La derivada de una función en un cierto [[punto (geometría)|punto]] es una medida de la tasa en la cual una función [[cambio|cambia]] conforme un [[parámetro|argumento]] se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una '''tasa de cambio'''. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de ''f''(''x'') en cada punto ''x''. Esto se corresponde a las [[pendiente]]s de las [[tangente]]s de la [[gráfica de una función|gráfica]] de dicha función en el punto dado; las pendientes de dichas tangentes pueden ser aproximadas por una [[secante]]. Las derivadas también pueden ser utilizadas para calcular la [[concavidad]].

Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical o una [[continuidad (matemáticas|discontinuidad]].
|}

== Diferenciación y diferenciabilidad ==

La '''Diferenciación''' puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una [[relación matemática]] entre dos objetos. La derivada de ''f''(''x'') se puede escribir de varias formas: ''f'' ′(''x'') (se pronuncia ''f [[prima (marca)|prima]] de x''), ''d''/''dx''[''f''(''x'')] (se pronuncia ''d en d x de f de x''), ''df''/''dx'' (se pronuncia ''d f en d x''), o ''D&lt;sub&gt;x''&lt;/sub&gt;''f'' (se pronuncia ''d sub x de f''). Los últimos tres simbolismos son útiles cuando se considera a la diferenciación como una operación entre funciones. En ese contexto, los símbolos ''d''/''dx'' y ''D&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;'' se llaman [[operador diferencial|operadores diferenciales]].

Una función es '''diferenciable''' en un punto ''x'' si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un [[Intervalo (matemáticas)|intervalo]] si lo es en cada punto ''x'' perteneciente al intervalo. Si una función no es [[Función contínua|contínua]] en ''c'', entonces no puede ser diferenciable en ''c''; sin embargo, aunque una función sea contínua en ''c'', puede no ser diferenciable.

La derivada de una función diferenciable puede a su vez ser diferenciable, hablándose entonces de '''segunda derivada''' de la función diferenciable como la derivada de la derivada de ésta. Análogamente, la derivada de la segunda derivada recibe el nombre de '''tercera derivada''', y así sucesivamente.

== Notaciones para la diferenciación ==
La notación más simple para la diferenciación que se utiliza en la actualidad se debe a [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] y utiliza la [[Prima (marca)|prima]], ′. Para tomar las derivadas de ''f''(''x'') en el punto ''a'', se escribe:

:&lt;math&gt;f'(a)&lt;/math&gt; para la primera derivada,
:&lt;math&gt;f''(a)&lt;/math&gt; para la segunda derivada,
:&lt;math&gt;f'''(a)&lt;/math&gt; para la tercera derivada, y luego,
:&lt;math&gt;f^{(n)}(a)&lt;/math&gt; para la ''n''-ésima derivada (''n'' &gt; 3).

Para la función cuyo valor en cada ''x'' es la derivada de ''f''(''x''), se escribe ''f''′(''x''). De forma similar, para la segunda derivada de ''f'' se escribe ''f'' ″(''x''), y así sucesivamente.

La otra notación común para la diferenciación se debe a [[Leibniz]]. Para la función cuyo valor en ''x'' es la derivada de ''f'' en ''x'', se escribe:

:&lt;math&gt;\frac{d\left(f(x)\right)}{dx}&lt;/math&gt;

Se puede escribir la derivada de ''f'' en el punto ''a'' de dos formas distintas:

&lt;!-- You have no idea how hard it was to make Wikipedia display this.  Why can't I use \Bigg?  This is such an ugly hack. --&gt;

:&lt;math&gt;\frac{d\left(f(x)\right)}{dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \left(\frac{d\left(f(x)\right)}{dx}\right)(a)&lt;/math&gt;

Si la resultante de ''f''(''x'') es otra variable, por ejemplo, si ''y''=''f''(''x''), se puede escribir la derivada como:

:&lt;math&gt;\frac{dy}{dx}&lt;/math&gt;

Las derivadas de orden superior se expresan así

:&lt;math&gt;\frac{d^n\left(f(x)\right)}{dx^n}&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;\frac{d^ny}{dx^n}&lt;/math&gt;

para la ''n''-ésima derivada de ''f''(''x'') o ''y'' respectivamente. Históricamente, ésto proviene de el hecho de que, por ejemplo, la tercera derivada es:

:&lt;math&gt;\frac{d \left(\frac{d \left( \frac{d \left(f(x)\right)} {dx}\right)} {dx}\right)} {dx}&lt;/math&gt;

que se puede escribir sin mucho rigor como:

:&lt;math&gt;\left(\frac{d}{dx}\right)^3 \left(f(x)\right) =
\frac{d^3}{\left(dx\right)^3} \left(f(x)\right)&lt;/math&gt;

Eliminando las llaves nos da la notación que está arriba.

La notación de Leibniz es tan versátil que permite especificar la variable que se utilizará para la diferenciación (en el denominador). Esto es específicamente relevante para la [[derivada parcial|diferenciación parcial]]. Y también hace más fácil de recordar la [[regla de la cadena]], debido a que los términos &quot;d&quot; se cancelan simbólicamente:

:&lt;math&gt;\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}&lt;/math&gt;.

Sin embargo, es importante recordar que los términos &quot;d&quot; ''no se pueden'' cancelar literalmente, debido a que son un operador diferencial. Sólo se utilizan cuando se usan en conjunto para expresar una derivada.

La notación de [[Newton]] para la diferenciación consiste en poner un punto sobre el nombre de la función:

:&lt;math&gt;\dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t)&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\ddot{x} = x''(t)&lt;/math&gt;
y así sucesivamente.

La notación de Newton se utiliza principalmente en la [[mecánica]], normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleración y en la teoría [[ODE]]. Normalmente sólo se utilizan para la primera y segunda derivadas.

== Definición. Cociente diferencial de Newton ==

[[Archivo:Derivative.svg|250px|right]]

Las derivadas se defineno el [[límite (matemáticas)|límite]] de la pendiente de las rectas [[secante]]s conforme se van aproximando a la recta [[tangente]].

Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta [[tangente]] de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta [[tangente]] por rectas [[secante]]s. Cuando tomemos el [[límite (matemáticas)|límite]] de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta [[tangente]].

Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos ''h''. ''h'' representa una pequeña variación en ''x'', y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (''x'',''f(x)'') y (''x+h'',''f(x+h)'') es
:&lt;math&gt;f(x+h)-f(x)\over h&lt;/math&gt;
Esta expresión es un '''cociente diferencial''' de [[Isaac Newton|Newton]]. La '''derivada de''' '''''f''''' '''en''' '''''x''''' es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:
:&lt;math&gt;f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}&lt;/math&gt;

Si la derivada de ''f'' existe en cada punto ''x'', podemos definir la '''derivada de''' '''''f''''' como la función cuyo valor en el punto ''x'' es la derivada de ''f'' en ''x''.

Puesto que la inmediata sustitución de ''h'' por 0 da como resultado una [[división por cero]], calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el [[numerador]] de modo que la ''h'' del [[denominador]] pueda ser cancelada. Esto resulta muy sencillo con funciones [[polinomio|polinómicas]], pero para la mayoría de las funciones resulta demasiado complicado. Afortunadmente, hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la mayoría de las funciones descritas; ver abajo.

Algunos ejemplos de cómo utilizar este cociente:

=== Ejemplo 1 ===

Consideremos &lt;math&gt;f(x) = 5&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{5-5}{h} = 0&lt;/math&gt;

La derivada de una [[constante]] vale cero.

=== Ejemplo 2 ===

Consideremos la gráfica de &lt;math&gt;f(x)=2x-3&lt;/math&gt;. Esta [[recta]] tiene una pendiente igual a 2 en cada punto. Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de [[límite (matemáticas)|límite]], [[secante]], y [[tangente]]) podremos determinar las pendientes en (4,5):

:&lt;math&gt;f'(4)  =  \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(4+h)-3-(2\cdot 4-3)}{h} &lt;/math&gt;
::&lt;math&gt; =  \lim_{h\rightarrow 0}\frac{8+2h-3-8+3}{h} =  \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h} =  2 &lt;/math&gt;

La derivada y la pendiente son equivalentes.

=== Ejemplo 3 ===

Mediante diferenciación, se puede calcular la pendiente de una curva. Consideremos &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt;:

:&lt;math&gt; f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} &lt;/math&gt;
::&lt;math&gt; = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(2x + h)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}(2x + h) = 2x &lt;/math&gt;

Para cualquier punto ''x'', la pendiente de la función &lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;f'(x)=2x&lt;/math&gt;.

=== Ejemplo 4 ===

Consideremos &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{x}&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} &lt;/math&gt;
::&lt;math&gt; = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x+h - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} &lt;/math&gt;
::&lt;math&gt; = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} &lt;/math&gt;

== Derivadas notables ==

*'''[[Lista de derivadas y su deducción]]'''

== Usos ==
=== Física ===

Es posible que la aplicación más importante del cálculo en la [[física]] sea el concepto de &quot;'''derivada temporal'''&quot;&amp;nbsp;-- la tasa de cambio en el tiempo&amp;nbsp;-- que se requiere para la definición precisa de varios importantes conceptos. En particular, las derivadas con respecto al tiempo de la posición de un objeto son significativas en la física Newtoniana:
* La [[velocidad]] (velocidad instantánea; el concepto de la velocidad promedio que prevalece en el cálculo) es la derivada, con respecto al tiempo, de la posición de un objeto.
* La [[aceleración]] es la derivada, con respecto al tiempo, de la velocidad de un objeto.
* El [[tirón]] es la derivada, con respecto al tiempo, de la aceleración de un objeto.

Por ejemplo, si la posición de un objeto está determinada por la ecuación &lt;math&gt;p(t) = -16t^2 + 16t + 32&lt;/math&gt;, entonces la velocidad del objeto es &lt;math&gt;\dot p(t) = p'(t) = -32t + 16&lt;/math&gt;; la aceleración del objeto es &lt;math&gt;\ddot p(t) = p''(t) = -32&lt;/math&gt;; y el tirón del objeto es &lt;math&gt;p'''(t) = 0&lt;/math&gt;. 

Si la [[velocidad]] de un [[automóvil|auto]] está dada como una función del [[tiempo]], entonces la derivada de dicha función con respecto al tiempo, describe la [[aceleración]] del auto como una función del tiempo.

=== Uso de las derivadas para graficar funciones ===

Las derivadas son una útil herramienta para examinar las [[gráfica de una función|gráficas de funciones]]. En particular, los puntos en el interior de un dominio de una función de valores reales que llevan a dicha función a un [[extremo]] local tendrán una primera derivada de cero. Sin embargo, no todos los puntos críticos son extermos locales. Por ejemplo, ''f(x)=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;'' tiene un punto crítico en ''x=0'', pero en ese punto no hay un máximo ni un mínimo. La [[prueba de la primera derivada]] y la [[prueba de la segunda derivada]] permiten determinar si los puntos críticos son máximos, mínimos o ninguno.

En el caso de dominios multidimensionales, la función tendrá una derivada parcial de cero con respecto a cada dimensión en un extremo local. En este caso, la prueba de la segunda derivada se puede seguir utilizando para caracterizar a los puntos críticos, considerando el [[eigenvalor]] de la [[matriz Hessiana]] de las segundas derivadas parciales de la función en el punto crítico. Si todos los eigenvalores son positivos, entonces el punto es un mínimo local; si todos son negativos es un máximo local. Si hay algunos eigenvalores positivos y algunos negativos, entonces el punto crítico es un punto silla, y si no se cumple ninguno de estos casos, la prueba es no concluyente (e.g., los engeivalores son 0 y 3).

Una vez que se encuentran los extremos locales, es mucho más fácil hacerse de una burda idea de la gráfica general de la función, ya que (en el caso del dominio mono dimensional) se incrementará o decrementará uniformemente excepto en los puntos críticos, y por ello (suponiendo su [[continuidad (matemáticas)|continuidad]] tendrá valores intermedios entre los valores en los puntos críticos de cada lado.

=== Aproximación local de Taylor ===

Hemos visto que podemos aproximar mediante su recta tangente a una función derivable localmente en un punto. Si se cumple que la función es suficientemente suave en el punto o dominio de estudio (esto es, la función es de clase &lt;math&gt;C^\infty&lt;/math&gt;) cabe la posibilidad de intentar aproximar a la función no por polinomios de grado uno, sino por polinomios de grado dos, tres, cuatro y sucesivamente. Esta aproximación recibe el nombre de &quot;desarrollo polinómico de Taylor&quot; y se define de la siguiente manera:

:&lt;math&gt;P(x) = f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots + \frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n&lt;/math&gt;

Donde ''P''(''x'') es el polinomio de grado n que mejor aproxima a la función en el punto ''x''=''a''. Nótese que si evaluamos P(''x'') en ''x''=''a'' todos los términos salvo el ''f''(''a'') se anulan, luego ''P''(''a'') = ''f''(''a''). Nótese también que la ecuación de la recta tangente del apartado anterior corresponde al caso en el que ''n''=1. 

El polinomio de Taylor es un polinomio &quot;osculador&quot;. De entre todos los polinomios de orden no mayor que ''n'' y que pasan por ''f''(''a'') el desarrollo polinómico de Taylor de ''f''(''x'') en ''x''=''a'' es el que posee el contacto de mayor orden con ''f''(''x'')en ''a''. Se basa en la idea de que si dos funciones comparten en ''x''=''a'' el mismo valor, la misma primera derivada, la misma segunda derivada etc, la misma ''i''-ésima derivada, (lo que brevemente se expresa diciendo que las dos funciones tienen un contacto de orden ''i'') entonces dichas funciones serán muy parecidas cerca de ''x''=''a'', queriendo decir por parecidas que podemos aproximar a una de las dos por la otra cometiendo un error despreciable.

Cuando ''a''=0 el desarrollo se denomina [[serie de MacLaurin|desarrollo de MacLaurin]]. En la práctica la mayoría de las veces se emplean desarrollos de MacLaurin. Ejemplos de desarrollos importantes de MacLaurin son:

:&lt;math&gt;e^x \approx 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots &lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\ln(1+x)\approx x -\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots&lt;/math&gt;

Nótese el símbolo &lt;math&gt;\approx&lt;/math&gt; que denota aproximación que no igualdad. Si la función a aproximar es infinitamente derivable y agregamos infinitos términos al desarrollo entonces el &lt;math&gt;\approx&lt;/math&gt; se convierte en un &lt;math&gt;=&lt;/math&gt;. 

Este último paso de agregar infinitos términos no se puede tomar a la ligera. Hemos dicho que la aproximación de grado uno, dos, tres etc es una aproximación local en el punto en que se evalúa la función, esto es, si nos alejamos mucho del punto la aproximación dejará de ser precisa. Cuantos más términos agreguemos al desarrollo en serie de Taylor tanto más precisa será nuestra aproximación si estamos en un entorno del punto. Podríamos pensar pues que al añadir infinitos términos podemos evaluar la función aproximada en cualquier punto de su dominio de definición con precisión absoluta. Esto no siempre es cierto, pues dependerá del carácter de la serie de Taylor en el punto en que la evaluamos.

El estudio del carácter de una serie es un problema frecuentemente complejo. Se trata de definir los valores para los cuales la serie es convergente, esto es, determinar el radio de convergencia de la misma. Dentro del intervalo de convergencia de la serie sí que podemos tomar infinitos términos y admitir que la serie nos da el valor &quot;exacto&quot; de la función en el punto. Sin embargo, fuera del intervalo de convergencia la serie no proporcionará el valor exacto de la función aunque agreguemos infinitos términos. 

Los desarrollos en serie de Taylor presentan grandes ventajas a la hora de operar funciones cuyas ecuaciones involucran expresiones complicadas tales como funciones trascendentes (senos, logaritmos, etc). Sin embargo también presentan ciertos inconvenientes. Un inconveniente importante es que el número de términos necesarios para aproximar con precisión razonable a la función en un punto alejado del evaluado (pero siempre dentro del intervalo de convergencia de la serie) se dispara al infinito. Otro inconveniente es que la expresión polinómica de la función puede hacer difícil detectar sus propiedades elementales, por ejemplo, no es obvio deducir del desarrollo del seno que se trata de una función periódica.

Conociendo el desarrollo en serie de una función ''f''(''x'') en ''x''=''a'' es inmediato obtener sus derivadas sucesivas &lt;math&gt;f '(a), f ''(a), f '''(a)&lt;/math&gt; etc . Según se desprende de la definición, sin más que multiplicar el i-ésimo coeficiente (correspondiente al término de grado ''i'') por &lt;math&gt;i!&lt;/math&gt; obtenemos la derivada ''i''-ésima en el punto ''a'' de la función. Asimismo calcular una integral definida sobre un intervalo perteneciente a un entorno del punto ''a'' es también inmediato, pues la función primitiva se obtiene fácilmente integrando cada término del desarrollo. Si bien cabe señalar que dicha integral no será exacta, sino aproximada, y será tanto más precisa cuanto más pequeño sea el intervalo de integración y cuanto más centrado esté dicho intervalo en el punto ''x''=''a''.

Los desarrollos en serie son una potente herramienta en el cálculo de límites. Un límite aparentemente complejo puede convertirse en trivial sin más que sustituir cada función por su desarrollo en serie y realizar las operaciones correspondientes de simplificación.

=== Puntos críticos ===
Reciben el nombre de '''puntos críticos''' aquellos puntos de una función en los que la derivada tiene valor nulo; también pueden recibir el nombre de '''puntos estacionarios'''. 

Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un [[mínimo local]]; si es negativa, se dice que el punto es un [[máximo local]]; si vale cero, puede ser un [[punto de inflexión]]. Derivar y resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden ser empleados en [[optimización]].

== Más información ==
Cuando una función depende de más de una variable, se utiliza el concepto de '''[[derivada parcial]]'''. Las derivadas parciales se pueden pensar informalmente como tomar la derivada de una función con respecto a todas, excepto una variable que se mantiene constante cerca de un punto. Las derivadas parciales se representan como ∂/∂x (en donde ∂ es una 'd' redondeada conocida como 'símbolo de la derivada parcial'). 

El concepto de derivada puede ser extendido de forma más general. El hilo común es que la derivada en un punto sirve como una aproximación lineal a la función en dicho punto. Quizá la situación más natural es que las funciones sean difrenciables en las [[variedad]]es. La derivada en un cierto punto entonces se convierte en una [[transformación lineal]] entre los correspondientes [[espacios tangenciales]] y la derivada de la función se convierte en un mapeo entre los [[grupos tangenciales]].

Para diferenciar todas las funciones [[continuidad (matemáticas)|continuas]] y mucho más, se puede definir el concepto de [[distribución]].

Para las funciones [[Número complejo|complejas]] de una variable compleja, la diferenciabilidad es una condición mucho más fuerte que la simple parte real e imaginaria de la función diferenciada con respecto a la parte real e imaginaria del argumento. Por ejemplo, la función f(x+iy)=x+2iy satisface lo segundo, pero no lo primero. Vea también [[Función holomórfica]].

Vea también: [[diferintegral]].

== Referencias ==
* ''[[Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions]]'' (3a Edición) por [[Bruce H. Edwards|Edwards]], [[Robert P. Hostetler|Hostetler]], y [[Ron Larson|Larson]] ([[2003]])

== Enlaces externos ==

* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.en WIMS Calculador de funciones] hace el cálculo de derivadas en línea.

[[Categoría:Cálculo]]</text>
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    <title>Manual de la bicicleta/Arreglar un pinchazo</title>
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==¿Qué herramientas se necesitan?==
[[Image:Puncture-repaire-kit.jpg|thumb|Un kit profesional para reparar pinchaduras]]
*Parches.
*Pegamento.
*Una lija.
*Algo para hacer palanca y así retirar la cubierta.
*Un balde con agua.
*Una tiza o un bolígrafo.

==¿Cómo hacerlo?==
Estos son los pasos que se han de seguir para arreglar un pinchazo:

'''Paso 1.''' Usa las llaves para '''retirar la rueda del cuadro'''. En algunas bicis necesitarás retirar también los frenos. Si la rueda en cuestión es la trasera, la tarea es más complicada porque hay que correr la cadena. Si tu bici tiene cambios, te conviene pasar la cadena al engranaje más grande. Lo mejor es colocar la bici ''boca arriba'' para realizar este paso.

'''Paso 2.''' Una vez retirada la rueda '''tienes que sacarle la cámara''', haciéndola pasar entre la llanta y el rin. Si queda algo de aire en la cámara, conviene vaciarla abriendo la válvula. Puedes valerte de palancas para abrir el espacio entre la llanta y el rin. Con cuidado de no morder la cámara con las palancas y generarle otra pinchadura, empieza a retirarla siempre desde el lado opuesto a la valvula. Te resultará más fácil sacarla, ya que puedes acomodar mejor las palancas en la cubierta. Una vez ''destripada'' la rueda, la cámara todavía queda unida al rin por la válvula. Con cuidado, empuja la válvula hacia adentro con tus dedos para liberarla.

'''Paso 3.''' Lo siguiente es '''encontrar donde está el pinchazo'''. Lo primero que puede intentarse es buscar escuchando el silbido del aire que pasa por el agujero. Si se fracasa, lo que seguro funciona es inflar la cámara y meterla en un balde lleno de agua. Por el sitio de la cámara que salgan burbujas será donde esté el agujero. Una vez hallado conviene marcarlo con una tiza o bolígrafo.

'''Paso 4.''' Una vez hallado el pinchazo, lo debes '''emparchar'''. Se debe secar muy bien la cámara. Después con una hoja de lijar, '''debes lijar bien el lugar del pinchazo''' porque el pegamento funde las dos superficies de contacto (el parche y la cámara). A continuación se pone el pegamento en la cámara unos centímetros alrededor del agujero.

Espera unos minutos hasta que la solución se seque y no se te quede pegado al dedo (prueba con el reverso de un dedo, no con la yema porque podrías engrasar la superficie donde hace contacto y después no pegar bien). Ahora toma el parche, libéralo de la protección y pégalo en la cámara para que tape el pinchazo. Presiona lo más parejo posible sobre el parche, así evitarás que quede aire dentro, y el vulcanizado sea perfecto. Dejalo reposar por un rato. 
Los parches son trozos de caucho con pegamento, de un lado tiene pegamento y del otro no. Generalmente tienen una cara anaranjada (que es el pegamento) y del otro lado se puede ver una cara de color negra, que es el caucho.

'''Paso 5.''' Hincha un poco la cámara para comprobar que no sale aire del parche. Puede suceder que el parche esté dañado o que lo hayas puesto mal, o incluso que haya otras pinchaduras. Si hinchas la cámara con mucha presión y no está bien puesto el parche, puede que reviente (ver &quot;Notas&quot;).

Tras asegurarnos que no sale aire de la cámara, hay que reubicarla en el interior de la rueda. Pero antes conviene comprobar que no haya quedado ningún clavo, vidrio u otro objeto incrustado en la llanta que haya provocado la pinchadura y que pueda provocar una nuevamente. Revisar el orificio sale el pituto para ver si no tiene filo o alguna astilla de fierro, pasarle una lija para quitarle el filo. Puedes pasar la mano o un trapo por la llanta. Puedes revisar el rin en busca de un radio que esté pinchando la cámara.

Ahora es el momento de '''poner la cámara en la rueda'''. Por supuesto, conviene desinflarla (no del todo, así es más fácil acomodarla), y una vez puesta se infla. Empieza poniendo la válvula en el rin. Una vez bien acomodado sigue acomodando el resto de la cámara en el rin y luego acomoda el neumático encima, empezando a acomodarlo desde la válvula hasta el lado opuesto. Es importante que al hacer coincidir el pico de la cámara con el orificio de la llanta, éste quede perpendicular a la misma, para evitar que se ¨muerda¨ el pico provocando así una resquebrajadura a corto o largo plazo, no apretar mucho el pico contra la llanta.

Por último recoloca la rueda en el cuadro.

==Notas==
Si el agujero es debido a un &quot;reventón&quot;, es decir, es muy grande y un parche no lo taparía se recomienda cambiar de cámara. 

Hay que dejar secar bien el pegamento antes de volver a inflar la cámara.para que no falle</text>
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    <title>Matemáticas/Cálculo en una variable/Introducción</title>
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== Que significa cálculo en una variable ==
[[archivo:Operación unaria 1.svg|derecha|200px]]

Con cálculo en una variable nos referimos al área de conocimientos de las ciencias exactas que se encarga de analizar diferentes propiedades de las [[:m:b:es:C%C3%A1lculo_en_una_variable/Funciones|funciones]] matemáticas que dependen de una '''única variable'''. Una variable es una forma simbólica de denotar a algo que tiene un valor pero que no esta definido, sino que puede tomar cualquiera de los valores contenidos en un cierto conjunto. Ese conjunto recibe el nombre de [[:m:w:es:Dominio_de_definici%C3%B3n|dominio]] de la función.
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      f : &amp; A &amp; \longrightarrow &amp; B            \\
          &amp; a &amp; \longmapsto     &amp; b = f(a)
   \end{array} 
&lt;/math&gt;

En virtud de que la variable no tiene un valor constante, la función tampoco; pero cuando le damos un valor a la variable (un valor cualquiera, elegido entre todos los que nos permite el dominio de la función), el valor de la función quedará fijado. Es por esto que recibe ese nombre ya que su valor se obtiene ''en base a'' o ''en '''función''' de'' el valor de la variable. El conjunto de todos los valores que puede tomar la función recibe el nombre de conjunto imagen o recorrido, de modo que una función se puede considerar como una aplicación entre dos conjuntos: el conjunto origen (dominio) y el conjunto imagen (recorrido). Dado que podemos definir la aplicación de infinitas maneras, existen tantas funciones como la imaginación de uno pueda concebir, y para cada una de ellas el análisis matemático da resultados diferentes. No obstante, hay ciertas estructuras de funciones genéricas que presentan un comportamiento extrapolable a todas las que se parecen a ellas.

Básicamente, pues, el objeto de estudio del cálculo en una variable, es analizar cada una de estas funciones ''tipo'', sabiendo que el resto de las funciones son casos particulares provenientes de estos contados casos generales.

=Introducción=

La disciplina matemática que hoy conocemos como cálculo se desarrolló básicamente en el siglo XVII. Esto fue gracias a las enormes aportaciones hechas por [[:m:w:es:Isaac_Newton|Sir Isaac Newton]] y [[:m:w:es:Leibniz|Gottfried Wilhelm von Leibniz]], quienes, de forma independiente, inventaron el cálculo diferencial pudiendo asi hacer más fácil el trabajo del matemático.

La base del cálculo es el concepto de límite, el cual consiste en ir analizando el comportamiento de las funciones en puntos cada vez más cercanos a cierto punto particular, pero sin necesidad de llegar nunca a evaluar la función en dicho punto.


* [[Cálculo en una variable/Introducción/¿Qué es el cálculo?|un poco más]]

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    <title>Matemáticas/Cálculo en una variable/Series</title>
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==Introducción==

Una serie aritmética, o suma compleja, es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie
interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica
&lt;math&gt; r + r^2 + r^3 + r^4 + ...&lt;/math&gt; donde &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; indica que la serie continúa indefinidamente.

Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una
secuencia que consiste en la suma de los primeros &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; términos.

Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la
secuencia que suma los primeros &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; términos:
:&lt;math&gt;S_n(r) = \sum_{i=1}^{n} r^i. &lt;/math&gt;

Por lo general, estudiando la secuencia de sumas parciales podemos
entender el comportamiento de la serie infinita entera.

Dos de las cuestiones más importantes sobre una serie son

* Converge?
* Si es así, a dónde?

Por ejemplo, es fácil ver que para &lt;math&gt; r &gt; 1 &lt;/math&gt;, la serie geométrica &lt;math&gt;S_n(r)&lt;/math&gt;
no converge a un número finito (es decir, diverge a infinito). Para ver esto, notemos que
cada vez que aumentamos el número de términos en la serie &lt;math&gt;S_n(r)&lt;/math&gt; aumenta.
Quizás un hecho más sorprendente e interesante es que para &lt;math&gt;|r|&lt; 1 &lt;/math&gt;,
&lt;math&gt; S_n(r) &lt;/math&gt; converge a un valor finito.

Específicamente, es posible demostrar que
:&lt;math&gt;\lim_{n \rightarrow \infty} S_n(r) = \frac{r}{1-r}. &lt;/math&gt;
De hecho, consideremos la
cantidad:
:&lt;math&gt;(1-r)S_n(r) = (1-r)\sum_{i=1}^{n} r^n = \sum_{i=1}^{n} r^n - \sum_{i=2}^{n+1} r^n = r - r^{n+1}&lt;/math&gt;

Puesto que &lt;math&gt;r^{n+1}\to 0&lt;/math&gt; cuando &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; para
&lt;math&gt;|r| &lt; 1&lt;/math&gt;, esto demuestra que &lt;math&gt;(1-r)S_n(r)\to r&lt;/math&gt; cuando
&lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt;. La cantidad &lt;math&gt;1-r&lt;/math&gt; es diferente a cero y no depende
de &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; así que podemos dividir por ella y llegar a la fórmula que deseamos.

Nos gustaría poder obtener conclusiones similares sobre cualquier serie.

Desafortunadamente, no hay un modo simple de sumar una serie. Lo más que podremos hacer
en la mayoría de los casos es determinar si converge. Las series geométricas y
telescópicas son los únicos tipos de series en las cuales se puede encontrar fácilmente la suma.

== Convergencia ==

Es obvio que para que una serie converja, los ''a''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub &gt; deben tender a cero,
pero esto no es suficiente. Consideremos la serie armónica, la suma de 1/''n'',
y agrupemos los términos
:&lt;math&gt;\begin{matrix}
\sum_1^{2^m} \frac{1}{n} &amp;= 1+ \frac{1}{2}+ &amp; \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ &amp; +\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+ &amp; \ldots &amp; + \sum_{1+2^{n-1}}^{2^n} \frac{1}{p} \\ 
 &amp; &gt; \frac{3}{2}+ &amp; \frac{1}{4}2+ &amp; \frac{1}{8}4+ &amp;  \ldots &amp; + \frac{1}{2^n}2^{n-1} \\
 &amp; = \frac{3}{2}+ &amp; \frac{1}{2} + &amp; \frac{1}{2} + &amp; \ldots &amp; + \frac{1}{2} \quad (m \mbox{ terms})
\end{matrix}&lt;/math&gt;

Cuando ''m'' tiende a infinito, también lo hace la suma final, por lo tanto la serie diverge.

Podemos también deducir algo sobre cuán rápidamente diverge. Usando el mismo
agrupamiento de términos, podemos obtener un límite superior de la suma de los
primeros términos, las ''sumas parciales''.
:&lt;math&gt;1+\frac{m}{2} &lt;   \sum_1^{2^m} \frac{1}{n} &lt;1+m &lt;/math&gt;
o
:&lt;math&gt;1+\frac{\ln_2 m}{m}&lt; \sum_1^m \frac{1}{n} &lt; 1+ \ln_2 m&lt;/math&gt;

y las sumas parciales aumentan como log ''m'', muy lentamente.

Notemos que para descubrir esto, comparamos los términos de la serie armónica con una
serie que sabíamos divergente.

Esto es una ''prueba de convergencia'' (también conocida como prueba directa de
comparación) que podemos aplicar a cualquier par de series.
* Si ''b''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; converge y |''a''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;|&amp;le;|''b''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;| entonces ''a''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; converge.
* Si ''b''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; diverge y |''a''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;|&amp;ge;|''b''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;| entonces ''a''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; diverge.

Existen muchas de tales pruebas, las más importantes de las cuales describiremos en este capítulo.

=== Convergencia absoluta ===

Teorema: Si la serie de valores '''absolutos''', &lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty \left| a_n \right|&lt;/math&gt;, converge,
entonces también lo hace la serie &lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty a_n&lt;/math&gt;

Decimos que tal serie es ''absolutamente convergente'' o que ''converge absolutamente''.

''El recíproco no es cierto''. La serie 1-1/2+1/3-1/4... converge, aunque la serie
de sus valores absolutos diverge.

Una serie como esta que converge, pero no absolutamente, se dice que es ''condicionalmente convergente''
o que ''converge condicionalmente''.

Si una serie converge absolutamente, podemos sumar los términos en cualquier orden que
queramos y el límite será siempre el mismo. Si converge una serie condicional, el cambio de los
términos cambia el límite.

De hecho, podemos hacer que la serie converge a cualquier límite que deseemos eligiendo
un cambio conveniente. P.ej., en la serie 1-1/2+1/3-1/4..., podemos sumar solamente
términos positivos hasta que la suma parcial excede de 100, restamos el 1/2, sumamos
solamente términos positivos hasta que la suma parcial excede de 100, restamos 1/4,
etcétera, consiguiendo una secuencia con los mismos términos que converja a 100.

Esto hace que sea más fácil trabajar con una serie absolutamente convergente.
Así, todas excepto una de las pruebas de convergencia en este capítulo serán para
series cuyos términos sean todos positivos, que deben ser series
absolutamente convergentes o divergentes. La otra serie será estudiada
considerando la serie correspondiente de valores absolutos.

=== Prueba del cociente ===

Sea una serie con términos ''a''&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, todos positivos, si
:&lt;math&gt; \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} = r&lt;/math&gt;
entonces

* la serie converge si ''r''&lt;1
* la serie diverge si ''r''&gt;1
* si ''r''=1, la prueba no es concluyente.

P. ej., supongamos que
:&lt;math&gt;a_n=\frac{n!n!}{(2n)!}&lt;/math&gt;
entonces
:&lt;math&gt;\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{n+1}{4n+2} \to \frac{1}{4}&lt;/math&gt;
luego esta serie converge.

=== Prueba de la integral ===

Si ''f''(''x'') es una función monótonamente decreciente, siempre positiva, entonces
la serie

:&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty f(n)&lt;/math&gt;

converge ''si y solo si'' la integral

:&lt;math&gt;\int_1^\infty f(x)dx&lt;/math&gt;
converge.

P. ej., consideremos ''f''(''x'')=1/''x''&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;, para ''p'' fijo.

Si ''p''=1 esta es la serie armónica, que diverge.
Si ''p''&lt;1 cada término es mayor que la serie armónica, luego diverge.
Si ''p''&gt;1 entonces
:&lt;math&gt;\begin{matrix}\int_1^\infty x^{-p}dx &amp; = &amp; \lim_{s \to \infty}\int_1^s x^{-p}dx &amp; \\
&amp; = &amp; \lim_{s \to \infty } \left. \frac{-1}{(p-1)x^{p-1}} \right|^s_1 &amp;  \\
&amp; = &amp; \lim_{s \to \infty } \left( \frac{1}{p-1}-\frac{1}{(p-1)s^{p-1}} \right)
&amp; =\frac{1}{p-1} \end{matrix}&lt;/math&gt;

La integral converge, para ''p''&gt;1, luego la serie converge.

Podemos probar que la prueba funciona escribiendo la integral como
:&lt;math&gt;\int_1^\infty f(x)dx=\sum_{n=1}^\infty \int_n^{n+1} f(x)dx&lt;/math&gt;
y comparando cada una de las integrales con rectángulos, dando las desigualdades
:&lt;math&gt;f(n) \ge \int_n^{n+1} f(x)dx \ge f(n+1)&lt;/math&gt;
Aplicando entonces estas a la suma demuestra la convergencia.</text>
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    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Aritmética</title>
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== Números ==
[[archivo:AL Numeros 00.svg|680px|centrado]]

==Números Racionales==
Se dan por conocidos los números naturales &lt;math&gt;\{1, 2, 3, 4, ..., 10, 11, ...\}&lt;/math&gt; . El conjunto de todos ellos se representa con la letra &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt;.

Los enteros (&lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;) son los naturales y sus opuestos ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

La definición de números racionales es:
&lt;math&gt;x \in \mathbb{Q} \iff a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0&lt;/math&gt; tales que &lt;math&gt; x= \frac{a}{b}&lt;/math&gt;

Es decir, se dice que un número es racional si se puede escribir como la fracción de dos números enteros.

Los números racionales también se pueden detectar por su forma decimal ya que todos tienen una expresión finita o periódica.

&lt;math&gt;\mathrm{-3} \qquad \frac{57}{25}=2,28 \qquad \frac{22}{6}=3,6666666...=3,\widehat{6}&lt;/math&gt; son todos números racionales.

====Representación de números racionales sobre la recta====

===Aproximación decimal de un número real===
Podemos encontrarnos con números reales que tienen infinitas cifras decimales. ¿Cómo trabajamos con este tipo de números? Para esto hacemos una aproximación al orden de unidad que más nos interese. Existen distintos métodos tales como redondeo o truncamiento.

==Intervalos y semirectas==
Se intentará explicar aquí la nomenclatura que existe para designar algunos tramos de la recta real:

{| border=&quot;1&quot; border-color=&quot;000000&quot; style=&quot;border-top:1px solid red; border-right:2px solid red; border-bottom:2px solid red; border-left:1px solid red;&quot;
!NOMBRE!!SIMBOLO!!SIGNIFICADO!!REPRESENTACIÓN
|--------------------------------------------
|Intervalo abierto||&lt;center&gt;&lt;math&gt;(a, b)\,\!&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left \{ x \ / a&lt;x&lt;b \right \}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;&lt;/center&gt;Números comprendidos entre a y b.||[[Imagen:Intervalo abierto.png]]
|--------------------------------------------
|Intervalo cerrado||&lt;center&gt;&lt;math&gt;[a, b]\,\!&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left \{ x \ / a \le x \le b \right \}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;&lt;/center&gt;Números comprendidos entre a y b, ambos incluidos.||[[Imagen:Intervalo cerrado.png]]
|--------------------------------------------
|rowspan=2|Intervalo&lt;br&gt;semiabierto||&lt;center&gt;&lt;math&gt;(a, b]\,\!&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left \{ x \ / a&lt;x \le b \right \}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;&lt;/center&gt;Números comprendidos entre a y b, b incluido.||[[Imagen:Intervalo semiabierto 01.png]]
|--------------------------------------------
|&lt;center&gt;&lt;math&gt;[a, b)\,\!&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left \{ x \ / a \le x&lt;b \right \}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;&lt;/center&gt;Números comprendidos entre a y b, a incluido.||[[Imagen:Intervalo semiabierto 02.png]]
|--------------------------------------------
|rowspan=4|Semirecta||&lt;center&gt;&lt;math&gt;( - \infty , a)\,\!&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left \{ x \ / x&lt;a \right \}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;&lt;/center&gt;Números menores que a.||&lt;center&gt;[[Imagen:Semirrecta 01.png]]&lt;/center&gt;
|--------------------------------------------
|&lt;center&gt;&lt;math&gt;( - \infty , a]\,\!&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left \{ x \ / x \le a \right \}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;&lt;/center&gt;Números menores o iguales que a.||&lt;center&gt;[[Imagen:Semirrecta 02.png]]&lt;/center&gt;
|--------------------------------------------
|&lt;center&gt;&lt;math&gt;( a, \infty )\,\!&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left \{ x \ / a &lt; x \right \}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;&lt;/center&gt;Números mayores que a.||&lt;center&gt;[[Imagen:Semirrecta 03.png]]&lt;/center&gt;
|--------------------------------------------
|&lt;center&gt;&lt;math&gt;[ a, \infty )\,\!&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left \{ x \ / a \le x \right \}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;&lt;/center&gt;Números mayores o iguales que a.||&lt;center&gt;[[Imagen:Semirrecta 04.png]]&lt;/center&gt;
|}


==Expresión decimal aproximada. Errores==
La motivación de este apartado no es otro que mostrar lo absurdo que puede ser tener muchas cifras significativas si podemos cometer errores de medida.

Por ejemplo la altura de una montaña no tiene sentido decir que es 1245,782m (7 cifras significativas) si hay un escarabajo paseandose por ahí o bien se produce erosión en la cima esa medida no sirve para nada, mejor sería decir que la montaña mide 1250m (3 cifras significativas) o 1245m (4 cifras significativas) si hay que ser preciso. Los dos últimos serían medidas aproximadas.

Cuando damos una medida aproximada el valor que damos no coincidirá en general con el valor exacto (que desconocemos y que normalmente ni siquiera es constante) esta diferencia entre lo real y el valor que damos es el error absoluto.

El error absoluto es desconocido porque el valor real también lo es, pero podemos acotarlo, esto es asegurar que por debajo de cierto valor seguro que no estará y que por encima de otro tampoco. Por ejemplo yo puedo decir que la montaña mide entre 1250 y 1240 metros esto quiere decir que el error que yo cometería sería inferior a 5 metros.

El problema del error absoluto es que engaña, no es lo mismo si digo que el error de medición de un bonsai que mide 0,4m es de 0,2 metros que si digo que el error de medición de una secuoya (de 20m) es de 0,2m. En el segundo caso casi ni se nota en el primero si. Para eso se tiene el error relativo que es la relación entre error absoluto y el valor real.

==Notación científica==
La notación científica es muy útil para expresar números muy grandes o muy pequeños.

Tiene tres partes:
* Una parte entera de una sola cifra
* Las otras cifras significativas como la parte decimal
* Una potencia de base diez que da el orden de magnitud de la cifra

Ejemplo:
&lt;math&gt;\mathrm {3,287} \cdot \mathrm{10^{12}} = 3\,287\,000\,000\,000&lt;/math&gt;

===Operaciones con números en notación científica===
====Productos====
&lt;math&gt;\mathrm{2,34 \cdot 10^{-4}} \cdot \mathrm{3,45 \cdot 10^{8}} = (2,34 \cdot 3,45) \cdot 10^{-4+8} = 8,073 \cdot 10^{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathrm{7,04 \cdot 10^{3}} \cdot \mathrm{5,35 \cdot 10^{8}} = 37,664 \cdot 10^{11} = 3,7664 \cdot 10^{12}&lt;/math&gt;


Vemos que tanto el primer caso como el segundo son inmediatos esto pasa siempre con los productos, sin embargo habría que prestar atención al segundo ejemplo en el que hay que correr la coma hacia la izquierda y aumentar el exponencial para que la notación siga siendo científica.

====Cocientes====
&lt;math&gt;\frac {2,34 \cdot 10^{-4}}{1,45 \cdot 10^{8}}=\bigg( \frac {2,34}{1,45} \bigg) \cdot 10^{-4-8}=1,614 \cdot 10^{-12}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac {5,35 \cdot 10^{8}}{7,04 \cdot 10^{3}}=0,7599 \cdot 10^{5}= 7,599 \cdot 10^{4}&lt;/math&gt;

====Sumas y restas====

&lt;math&gt;4,3 \cdot 10^{9} + 3,67 \cdot 10^{13} - 5,324 \cdot 10^{10}= &lt;/math&gt;

&lt;math&gt; = 4,3 \cdot 10^{9} + 36700 \cdot 10^{9} - 53,24 \cdot 10^{9} = (4,3+36700-53,24) \cdot 10^{9} = &lt;/math&gt;

&lt;math&gt; = 36651,06 \cdot 10^{9} = 3,665106 \cdot 10^{13}&lt;/math&gt;

Fijémonos en el método seguido: primero hemos puesto todas los números con un exponente común, y luego cuando ya lo hemos calculado todo lo hemos dejado en notación científica otra vez.


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    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Álgebra</title>
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        <username>Mazbel</username>
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==Ecuaciones de segundo grado==
Seguramente ya se ha visto como resolver ecuaciones de segundo grado en cursos anteriores la motivación ahora es recordarlo y ampliarlo si es posible.

La forma general de las ecuaciones de segundo grado es:

&lt;math&gt;ax^2+bx+c=0\,\!&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;a \ne 0&lt;/math&gt;

Siendo '''a''', '''b''' y '''c''' números reales

Y obtenemos la solución mediante: &lt;math&gt;x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}&lt;/math&gt;

Al radicando se le llama discriminante y se le nota &lt;math&gt;\Delta = b^2-4ac&lt;/math&gt;. En función del signo del discriminante se tiene el número de soluciones reales de la ecuación, a saber:
* Si &lt;math&gt;\Delta &gt; 0\,\!&lt;/math&gt; hay dos soluciones reales.
* Si &lt;math&gt;\Delta = 0\,\!&lt;/math&gt; hay una solución reala.
* Si &lt;math&gt;\Delta &lt; 0\,\!&lt;/math&gt; no hay solución real, pero si dos soluciones complejas.

Si la ecuación es incompleta, esto es si b=0 o c=0 no es necesario aplicar la fórmula anterior:

&lt;math&gt;ax^2+c=0 \rightarrow&lt;/math&gt; se despeja &lt;math&gt;x^2\,\!&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;ax^2+bx=0 \rightarrow x(ax+b)=0 \rightarrow x=0 , \; x = \frac{-b}{a}&lt;/math&gt;

==== Ecuaciones bicuadradas ====
Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma &lt;math&gt;ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!&lt;/math&gt;

El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable &lt;math&gt;x^2=y&lt;/math&gt; entonces la ecuación quedará como una de segundo grado &lt;math&gt;ay^2 + by + c = 0 &lt;/math&gt;

La resolvemos, y entonces desechamos las &lt;math&gt;y&lt;0\,\!&lt;/math&gt; ya que no dan solución en las &lt;math&gt;x\,\!&lt;/math&gt; pero las positivas nos daran dos valores de &lt;math&gt;x\,\!&lt;/math&gt; &lt;math&gt;x=\pm \sqrt{y}&lt;/math&gt;

==== Ejemplos ====
&lt;math&gt;x^4 - 7x^2 + 6 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \} y^2-7y+6 = 0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y = \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=6 \rightarrow x= \pm \sqrt 6 \end{cases}&lt;/math&gt;

Soluciones: &lt;math&gt;-1,\, 1,\, -\sqrt 6,\, \sqrt 6\,\!&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;x^4 - 3x^2 - 10 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \} y^2-3y-10 = 0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}=\frac{3 \pm 7}{2} \rightarrow \begin{cases} y=-2 \rightarrow  \mbox {No existe solucion para x} \\ y=5 \rightarrow x= \pm \sqrt 5 \end{cases}&lt;/math&gt;

Soluciones: &lt;math&gt;  -\sqrt 5,\, \sqrt 5\,\!&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;x^4 - 9x^2 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \} y^2-9y = 0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt; y(y-9)=0 \rightarrow \begin{cases} y=0 \rightarrow x= 0 \\ y=9 \rightarrow x= \pm \sqrt 9 = \pm 3 \end{cases}&lt;/math&gt;

Soluciones: &lt;math&gt;0,\, -3,\, 3\,\!&lt;/math&gt;

== Ecuaciones con radicales ==
Hay veces que nos encontraremos con ecuaciones que tienen la x dentro de raices cuadradas para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado y buscar la solución aparecen soluciones debidas al proceso (de elevar al cuadrado para eliminar las raíces) estas soluciones son erroneas y hay que rechazarlas. Hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial '''siempre''' para detectar las soluciones erroneas.

==== Ejemplos ====
&lt;math&gt;\sqrt{3x-5} +1=x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt{3x-5}=x-1&lt;/math&gt; Se elevan al cuadrado los dos lados del igual

&lt;math&gt;3x-5=x^2-2x+1 \rightarrow x^2 -5x + 6 \rightarrow x_1=2 \ x_2=3 \,\!&lt;/math&gt;

Comprobación: &lt;math&gt;\begin{cases} \sqrt{3 \cdot 2 - 5} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 2 \ \mbox{valida} \\ \sqrt{3 \cdot 3 - 5} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 3 \ \mbox{valida} \end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4&lt;/math&gt; Despejamos la primera raíz (Podíamos haber empezado por la segunda)

&lt;math&gt;\sqrt{2x-3} = 4 - \sqrt{x+7}&lt;/math&gt; Se elevan al cuadrado los dos lados del igual

&lt;math&gt;2x-3 = 16 + (x+7) -8\sqrt{x+7}&lt;/math&gt; Aislamos la raíz

&lt;math&gt;x -26 = -8\sqrt{x+7}&lt;/math&gt; Se elevan al cuadrado los dos lados del igual

&lt;math&gt;x^2-52x+676=64(x+7) \rightarrow x^2-116x+228=0 \rightarrow x_1=2 \ x_2=114&lt;/math&gt;

Comprobación &lt;math&gt;\begin{cases} x_1=2 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 2 -3} \sqrt{2+7}=\sqrt{1}+\sqrt{9} = 1+3=4 \ \mbox{valida} \\ x_2=114 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 114 - 3} + \sqrt{114+7}=15+11 \ne 4 \ \mbox{no valida} \end{cases}&lt;/math&gt;

== Nociones básicas para la factorización de polinomios ==
La motivación de este apartado es la misma que la que se podría encontrar para la factorización de números; factorizar un número cualquiera es muy útil para calcular el mcm y el MCD además de para simplificar fracciónes o sacar factores de un radical. Factorizar polinomios nos servirá para simplificar fracciones algebraicas, hacer el mcm y el MCD de los polinomios, que también los tiene, y si alguno va a la universidad le serán muy útiles (por ejemplo para hacer transformadas). El concepto fundamental para factorizar polinomios es el de ''polinomio irreducible'', esto es en el cuerpo de los números reales, un polinomio sin raíces reales. Se puede comprobar (con ayuda del cálculo diferencial, por ejemplo) que cualquier polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real, por tanto los polinomios irreducibles han de ser de grado par. Aplicando razonamientos sencillos con números complejos se puede deducir, además, que cualquier polinomio de grado par se puede expresar como producto de polinomios de grado dos. Por tanto, los polinomios irreducibles son los de primer grado y los de segundo grado cuyo discriminante es negativo. Tenemos así determinados los equivalentes a los números primos en el caso de los enteros, en el conjunto de los polinomios con coeficientes reales de variable real.

Podemos ver que: &lt;math&gt;x^6-5x^5+3x^4-19x^3+30x^2 = (x-2)x^2(x+3)(x^2+4x+5)\,\!&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(x-2)x^3(x+3)(x^2+4x+5)\,\!&lt;/math&gt; es el polinomio factorizado. Un polinomio está factorizado cuando está expresado como productos de polinomios de menor grado posible es decir de la forma &lt;math&gt;x^n(x-a)^m(ax^2+bx+c)^r...\,\!&lt;/math&gt; es decir como producto de polinomios de primer grado, y de como máximo de segundo grado cuando no existen soluciones en los reales.

En el ejemplo &lt;math&gt;(x-2)x^3(x+3)(x^2+4x+5) \rightarrow 2,\ -3\,\!&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;0\,\!&lt;/math&gt; serían raíces del polinomio.

==== Factorización de polinomios de segundo grado ====
Los polinomios de segundo grado &lt;math&gt;ax^2+bx+c\,\!&lt;/math&gt; se pueden factorizar de esta manera (teniendo en cuenta que tendrá como máximo 2 raíces reales):
* Si el polinomio tiene dos raices &lt;math&gt;x_1\,\! y x_2\,\!&lt;/math&gt; entonces &lt;math&gt;ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)\,\!&lt;/math&gt;

'''Ejemplo'''

&lt;math&gt;3x^2+9x-30=3(x-2)(x+5)\,\!&lt;/math&gt;


* Si sólo tiene una raíz &lt;math&gt;x_1\,\!&lt;/math&gt; entonces &lt;math&gt;ax^2+bx+c = a(x-x_1)^2\,\!&lt;/math&gt;

'''Ejemplo'''

&lt;math&gt;2x^2-28x+98=2(x-7)^2\,\!&lt;/math&gt;


* Si no tiene ninguna raíz real, su descomposición constará de dos factores de grado 1 con coeficientes imaginarios.
'''Ejemplo'''

&lt;math&gt;x^2+4x+5\,\!&lt;/math&gt;

==== Factorización de polinomios de grado mayor que dos ====
Imaginemos que queremos factorizar un polinomio de la forma &lt;math&gt;P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} +...+a_2x^2+a_1x+a_0\,\!&lt;/math&gt;
Para hacerlo no tenemos la ayuda de una fórmula general como en el caso de los polinomios de 2º grado, para hacerlo no queda más remedio que ir encontrando las raíces una a una:

* Si un polinomio tiene raíces enteras estas tienen que ser divisores del término independiente.
* Si &lt;math&gt;x_1\,\!&lt;/math&gt; es una raiz del polinomio entonces se divide &lt;math&gt;P(x)\,\!&lt;/math&gt; por &lt;math&gt;(x-x_1)\,\!&lt;/math&gt; obtenemos &lt;math&gt;Q(x)\,\!&lt;/math&gt; que es un grado menor y repetimos hasta llegar al grado menor posible (que siempre es 1 o máximo 2).

Para hacerlo más cómodo se emplea la regla de Ruffini.yii

==== Regla de Ruffini ====
Seguramente esto ya se ha visto anteriormente, por lo que aquí solamente lo refrescaremos.

Tenemos un polinomio como este &lt;math&gt;7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\!&lt;/math&gt; y queremos dividirlo por &lt;math&gt;x-2\,\!&lt;/math&gt;
{|
|
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{r|rrrrr}
         &amp; 7 &amp; -5 &amp; -4 &amp;  6 &amp; -1 \\
       2 &amp;   &amp; 14 &amp; 18 &amp; 28 &amp; 68 \\
      \hline
         &amp; 7 &amp;  9 &amp; 14 &amp; 34 &amp; 67 
   \end{array}
&lt;/math&gt;
|
# &lt;math&gt;2 \cdot 7=14\,\!&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;-5+14=9\,\!&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;2 \cdot 9 =18\,\!&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;-4+18=14\,\!&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;2\cdot 14=28\,\!&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;6+28=34\,\!&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;2 \cdot 34=68\,\!&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;-1+68=67\,\!&lt;/math&gt;
|}


El resultado significa que el cociente de la división &lt;math&gt;C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!&lt;/math&gt; y el resto es &lt;math&gt;67\,\!&lt;/math&gt;

==== Teorema del resto ====
Imaginemos que hacemos la división de un polinomio &lt;math&gt;P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\,\!&lt;/math&gt; por &lt;math&gt;(x-t)\,\!&lt;/math&gt; y nos da un resto que llamaremos &lt;math&gt;r\,\!&lt;/math&gt;, bien pues si hiciesemos &lt;math&gt;x=t\,\!&lt;/math&gt; en el polinomio es decir &lt;math&gt;P(t)\,\!&lt;/math&gt; el resultado sería &lt;math&gt;r\,\!&lt;/math&gt; es decir &lt;math&gt;P(t)=r\,\!&lt;/math&gt; Eoo

Este resultado se puede extender a polinomios de grado cualquiera.

'''Demostración'''
{|
|
{|
|-
| &lt;math&gt;P(x)\,\!&lt;/math&gt;
|
| align=&quot;center&quot; style=&quot;border-bottom:1px solid black; border-left:1px solid black; height:14px&quot; |
&lt;math&gt;x-t\,\!&lt;/math&gt;
|-
|align=&quot;center&quot;| &lt;math&gt;r\,\!&lt;/math&gt;
|
|&lt;math&gt;C(x)\,\!&lt;/math&gt;
|}
| style=&quot;width:50px&quot; |
|&lt;math&gt;P(x)=(x-t)C(x)+r\,\!&lt;/math&gt; &lt;br /&gt; &lt;math&gt;P(t)=(t-t)C(t)+r=0 \cdot C(t)+r=r\,\!&lt;/math&gt;
|}

==== Localización de las raíces enteras de un polinomio ====
Tenemos un polinomio &lt;math&gt;P(x)\,\!&lt;/math&gt; con raíces entera y queremos encontrarlas, para hacerlo tenemos que ir probando de dividirlo por &lt;math&gt;x-a\,\!&lt;/math&gt;, pero ¿qué valor puede tomar &lt;math&gt;a\,\!&lt;/math&gt;? pues tiene que ser un divisor del termino independiente.

Intuitivamente podemos ver que tenemos que conseguir el opuesto del termino idependiente para hacerlo no queda mas remedio que multiplicar algo por a, por eso es necesario que a sea un divisor del termino independiente, ya que el termino independiente tiene que ser multiplo de &lt;math&gt;a\,\!&lt;/math&gt;.

==== Procedimiento para la factorización de un polinomio ====
Para factorizar un polinomio aplicaremos Ruffini sucesivamente hasta que nos quede un polinomio de segundo grado, cuando estemos en este punto aplicaremos la fórmula y obtendremos las dos últimas raíces o si &lt;math&gt;b^2-4ac\,\!&lt;/math&gt; es negativo sabremos que no lo podemos descomponer más

'''Ejemplo'''
Tenemos el polinomio siguiente &lt;math&gt;3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!&lt;/math&gt; y queremos descomponerlo

* Primero sacamos &lt;math&gt;3&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;x^2\,\!&lt;/math&gt; factores comunes:
: &lt;math&gt;
   3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =
   3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)
&lt;/math&gt;

* Ahora aplicamos Ruffini, los divisores de &lt;math&gt;70\,\!&lt;/math&gt; son &lt;math&gt;1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 5,\ -5,\ \mbox{etc.}\,\!&lt;/math&gt; Empezaremos probando con el &lt;math&gt;1\,\!&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{r|rrrrr}
         &amp; 1 &amp; -1 &amp; -39 &amp; 109 &amp; -70 \\
       1 &amp;   &amp;  1 &amp;   0 &amp; -39 &amp;  70 \\
      \hline
         &amp; 1 &amp;  0 &amp; -39 &amp;  70 &amp;   0 
   \end{array}
&lt;/math&gt;

El resto es cero, fantástico, eso quiere decir que hemos encontrado una de las raíces.
: &lt;math&gt;
   3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =
   3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70) =
   3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)
&lt;/math&gt;

* Seguimos aplicando Ruffini, probamos con 1
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{r|rrrr}
         &amp; 1 &amp; 0 &amp; -39 &amp; 70  \\
       1 &amp;   &amp; 1 &amp;   1 &amp; -38 \\
      \hline
         &amp; 1 &amp; 2 &amp; -38 &amp; 32 
   \end{array}
&lt;/math&gt;

El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{r|rrrrr}
         &amp; 1 &amp;  0 &amp; -39 &amp; 70  \\
      -1 &amp;   &amp; -1 &amp;   1 &amp; 38  \\
      \hline
         &amp; 1 &amp; -1 &amp; -38 &amp; 108 
   \end{array}
&lt;/math&gt;

El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{r|rrrrr}
         &amp; 1 &amp; 0 &amp; -39 &amp; 70  \\
       2 &amp;   &amp; 2 &amp;   4 &amp; 70  \\
      \hline
         &amp; 1 &amp; 2 &amp; -35 &amp;  0 
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Fantastico, ya hemos encontrado otra raíz con lo cual el polinomio quedará de la siguiente forma:
: &lt;math&gt;
   3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =
   3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70 =
&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
   = 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70) =
   3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)
&lt;/math&gt;

* Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula para resolver polinomios de 2º grado:
: &lt;math&gt;
   x^2+2x-35=0
   \rightarrow
   x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 -4 \cdot (-35)}}{2}=
   \frac{-2 \pm 12}{2}=
   \begin{cases}
      x_1=-7 \\
      x_2=5
   \end{cases}
&lt;/math&gt;

Vemos que &lt;math&gt;2^2 -4 \cdot (-35)=144&gt;0\,\!&lt;/math&gt; con lo cual podemos descomponer el polinomio y que sus raíces son 5 y -7. Entonces:
: &lt;math&gt;
   3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =
   3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x^-70 =
&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
   = 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70) =
   3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)=
&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
   = 3x^2(x-1)(x-2)(x-5)(x+7)
&lt;/math&gt;

* Ya hemos descompuesto el polinomio. Ya que todos los factores son de primer grado

== Resolución de ecuaciones por factorización de polinomios ==
Cuando un polinomio esta factorizado podemos encontrar las raíces facilmente, es decir podemos resolver ecuaciones de grado n.

'''Ejemplos'''

Queremos resolver la ecuación &lt;math&gt;3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2=0\,\!&lt;/math&gt; afortunadamente este es el mismo polinomio que en el apartado anterior con lo cual ya sabemos las soluciones, que son &lt;math&gt;x=1\,\!&lt;/math&gt; &lt;math&gt;x=2\,\!&lt;/math&gt; &lt;math&gt;x=5\,\!&lt;/math&gt; &lt;math&gt;x=-7\,\!&lt;/math&gt; &lt;math&gt;x=0\mbox{(doble)}\,\!&lt;/math&gt;


Ahora queremos resolver &lt;math&gt;x^7-5x^6+3x^5-19x^4+30x^3\,\! &lt;/math&gt;

Sacamos factor común &lt;math&gt;x^3\,\!&lt;/math&gt;, aplicamos después Ruffini y encontramos las raíces 2 y -3 finalmente nos queda &lt;math&gt;(x-2)x^3(x+3)(x^2+4x+5)\,\!&lt;/math&gt; la ecuación &lt;math&gt;x^2+4x+5\,\!&lt;/math&gt; no tiene solución, por eso no podemos descomponer más. Las soluciones del polinomio son: &lt;math&gt;x=2\,\!&lt;/math&gt; &lt;math&gt;x=-3\,\!&lt;/math&gt; &lt;math&gt;x=0\mbox{(triple)}\,\!&lt;/math&gt; Como podemos ver aunque el polinomio es de grado 7 y debería tener 7 soluciones, dos de ellas no están porque hay una ecuación de segundo grado que no podemos descomponer.


==== Nota final ====
Aunque durante los dos últimos apartados se ha presentado los polinomios como fácilmente factorizables, no es así. Como norma general la raíz de un polinomio es un número no entero, 0,3242 por ejemplo, para encontrar estas raíces tiene que hacerse lo siguiente:
Las soluciones racionales de una ecuación polinómica con coeficientes enteros se encuentran entre los números &lt;math&gt;p/q&lt;/math&gt; donde p es uno de los divisores del término independiente y q uno de los divisores del coeficiente director.

Ejemplos

Hallar las raíces de &lt;math&gt;x^3-2x-4=0&lt;/math&gt;.
Los divisores del termino independiente serán, en este caso, 1, -1, 2, -2, 4, -4 y del coeficiente director 1, -1. Por tanto las posibles raíces son 1, -1, 2, -2, 4, -4 que introduciendolos en el polinomio nos dara que la solución es 2.
Hallar las raíces de &lt;math&gt;2x^4+x^3+2x+1=0&lt;/math&gt;.
Ahora tenemos como divisores del término independiente 1, -1 y del coeficiente director 1, -1, 2, -2. De lo que tenemos como posibles soluciones 1/2, -1/2, 1, -1 e introduciendolas en el polinomio comprobamos que las soluciones son -1/2 y -1.
El número de soluciones que faltan para correponderse con el grado de estas ecuaciones corresponde a soluciones de números complejos.

Aun con esto muchas veces tampoco podremos encontrar las soluciones de un polinomio como &lt;math&gt;x^4 +7x^3+27x^2+55x +50\,\!&lt;/math&gt; ya que se trata de soluciones irracionales a las que solo nos podemos aproximar, o soluciones de números complejos

== Fracciones algebráicas ==

Una fracción algebraica es un cociente entre dos polinomios de la forma &lt;math&gt;\frac{P(x)}{Q(x)}&lt;/math&gt; y funcionan casi igual que las numéricas.

==== Simplificación ====

Al igual que con las numéricas podemos dividir el denominador y el numerador por el mismo polinomio y de esta manera simplificarla.

&lt;math&gt;\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P_1(x) \cdot D(x)}{Q_1(x) \cdot D(x)}=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}&lt;/math&gt;


'''Ejemplo'''

&lt;math&gt;\frac {5x^3+2x^2+3x}{7x^2+3x}= \frac {(5x^2+2x+3) \cdot x}{(7x+3)x}=\frac {(5x^2+2x+3)}{(7x+3)}&lt;/math&gt;

==== Fracciones equivalentes ====
Son aquellas que al simplificarse dan la misma fracción o aquellas que al dividirlas entre si dan como resultado 1


'''Ejemplo'''

&lt;math&gt;\frac {x}{2x^2+5x}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\frac{x-3}{2x^2-x-15}&lt;/math&gt; són equivalentes ya que las dos dan 1 al dividirse entre si o también se puede ver porque al simplificarse las dos dan &lt;math&gt;\frac{1}{2x+5}&lt;/math&gt;

==== Reducción a común denominador ====
Supongamos que queremos sumar

&lt;math&gt;\frac{4x^2+3}{x}+\frac{2x^2-x-15}{x-2}&lt;/math&gt;

Para hacerlo primero debemos reducir a común denominador, para hacerlo multiplicamos el denominador y el numerador de una por el denominador de la otra, esto es:

&lt;math&gt;\frac{(4x^2+3)(x-2)}{x(x-2)} + \frac{(2x^2-x-15)x}{x(x-2)}=&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;=\frac {(4x^2+3)(x-2)
 + (2x^2-x-15)x}{x(x-2)}=&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;=\frac {(4x^3+-8x^2+3x-6) + (2x^2-x-15)x}{x(x-2)}&lt;/math&gt;

==== Suma resta multiplicación y división de fracciones algebraicas ====
* '''Suma (y resta)''': Ya hemos visto en realidad un ejemplo de suma de polinomios el metodo es 
'''Ejemplo:'''

&lt;math&gt;\frac{2x^2+5x-1}{x^2+4} \cdot \frac {3x+2}{x^2+7x}=\frac{(2x^2+5x-1)\cdot(3x+2)}{(x^2+4)(x^2+7x)}=\frac{6x^3+19x^2+7x-2}{x^4+7x^3+4x^2+28x}&lt;/math&gt;


* División: Se multiplica la fraccion dividendo por la inversa de la fracción divisor

'''Ejemplo:'''

&lt;math&gt;\frac{x-3}{x+5} : \frac{x-1}{x+2}=\frac{(x-3)(x+2)}{(x+5)(x-1)}=\frac{x^2-x-6}{x^2+4x-5}&lt;/math&gt;

== Ecuaciones exponenciales y logarítmicas ==

==== Ecuaciones exponenciales ====

Las ecuaciones exponenciales son las que tienen la incógnita en el exponente. Para sacarlo de allí hay que expresar lado y lado del igual con una potencia de la misma base y si esto no se puede hacer entonces se recurre a los logaritmos, aun así hay algunas en las que deberemos usar el ingenio y otras (aunque aquí no veremos ninguna) no se pueden resolver analíticamente.


'''Ejemplos'''

&lt;math&gt;5^{6-x^2}=\frac{1}{125}\,\!&lt;/math&gt; Si factorizamos &lt;math&gt;125\,\!&lt;/math&gt; nos damos cuenta de que es &lt;math&gt;5^3\,\!&lt;/math&gt; y que por lo tanto &lt;math&gt;\frac{1}{125}=5^{-3}\,\!&lt;/math&gt;
La cosa queda como sigue: &lt;math&gt;5^{6-x^2}=5^{-3} \rightarrow 6-x^2=-3 \rightarrow x^2=9 \rightarrow x=\pm 3\,\!&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;7^{2x^2-x-15}=1\,\!&lt;/math&gt;
Ponemos el segundo miembro como potencia de &lt;math&gt;7\,\!&lt;/math&gt; es decir: &lt;math&gt;1= 7^0\,\!&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;7^{x^2+2x-35}=7^0 \rightarrow x^2+2x-35=0 \rightarrow x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+140}}{2}=\begin{cases} x_1=-7 \\ x_2=5 \end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;5^{6-x^2}=3\,\!&lt;/math&gt; Al no poder escribir 3 como potencia de 5 debemos coger logaritmos

&lt;math&gt;(6-x^2) \log 5= \log 3 \rightarrow 6-x^2=\frac{\log 3}{\log 5}\approx 0,6826 \rightarrow x^2 \approx 6-0,6826 \approx 5,3174 \rightarrow x \approx \pm 2,3059\,\!&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;-4 \cdot 3^{x+1}+3^{2x}=-27\,\!&lt;/math&gt; Hacemos un cambio de variable &lt;math&gt;y=3^x \rightarrow \begin{cases} -4 \cdot 3^{x+1}=-4\left( 3 \cdot 3^x \right)=-12y  \\ 3^{2x}=y^2 \end{cases}\,\!&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y^2-12y+27=0 \begin{cases} y=3 \rightarrow 3^x=3 \rightarrow x=1\\ y=9 \rightarrow 3^x=9 \rightarrow x=2 \end{cases}&lt;/math&gt;

==== Ecuaciones logarítmicas ====

Son las que tienen la x dentro de un logaritmo. Para resolverlas uno debe coger las propiedades de los logaritmos y utilizarlas para resolver la ecuación, muchas veces (aunque no veremos ninguna) no se pueden resolver analiticamente. Hay que comprobar la ecuación inicial

'''Ejemplos'''


&lt;math&gt;\log 2x + \log 5 = 2 \rightarrow \log (2x \cdot 5)= \log 100 \rightarrow \log (10x)= \log 100 \rightarrow x=10 \,\!&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;4 \log_3(x+5)=\log_3 81 \rightarrow \log_3(x+5)^4=\log_3 3^4 \rightarrow x+5=3 \rightarrow x=-2\,\!&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;2\log x=\log(x+2) \rightarrow \log x^2= \log(x+2) \rightarrow&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\rightarrow x^2=x+2 \rightarrow x^2-x-2=0 \rightarrow \begin{cases} x_1=-1 \mbox{  no es valida ya que no podemos hacer} \log -1 \\ x_2=2 \mbox{  valida} \end{cases}&lt;/math&gt;

Nota curiosa: Fijemonos que si la ecuación inicial hubiese sido &lt;math&gt;\log x^2= \log(x+2)\,\!&lt;/math&gt; las dos soluciones serían correctas.

== Sistemas de ecuaciones ==
Se supone que el alumno ya está familiarizado con los sistemas de ecuaciones, por eso simplemente repasaremos los procedimientos y unos cuantos conceptos.

* Para que un conjunto de valores sea solución de una ecuación ese conjunto de valores debe cumplirla, por ejemplo para: &lt;math&gt;2x + 5y - z^2 = 7\,\!&lt;/math&gt; una solución podria ser &lt;math&gt;x=1\ y=1\ z=0\,\!&lt;/math&gt; pero también &lt;math&gt;x=1\ y=\frac{1}{5}\ z=-2\,\!&lt;/math&gt;

* Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones en las que siguiendo unos pasos podemos encontrar una solución común

* Un sistema de ecuaciones con más incognitas que ecuaciones suele tener infinitas soluciones

==== Ejemplos ====
: &lt;math&gt;
   \begin{cases}
      x+2y = -13      \\
      \sqrt{3x+2y}=x-8
   \end{cases}
&lt;/math&gt;

Lo resolveremos mediante substitución, tomamos la primera ecuación despejamos la y:
: &lt;math&gt;
   y= \frac{-13-x}{2}
&lt;/math&gt;

Ahora substituimos y en la segunda ecuación:
: &lt;math&gt;
   \sqrt{3x+ \not 2
   \left (
      \frac{-13-x}{ \not 2}
   \right )
   } =x-8
&lt;/math&gt;

Resolvemos la ecuación con una incognita, primero elevando al cuadrado los dos miembros
: &lt;math&gt;
   3x -x -13 = (x-8)^2
   \quad \rightarrow \quad
   2x-13 = x^2-16x+64
   \quad \rightarrow \quad
   x^2-18x+77 = 0
   \quad \rightarrow
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \rightarrow \quad
   \begin{cases}
      x_1=7
      \quad \rightarrow \quad
      y_1=\cfrac{-13-x_1}{2}=10 &amp;
      \mbox{ no valida}        \\
      x_2=11
      \quad \rightarrow \quad
      y_2 = \cfrac{-13-x_2}{2} = 12 &amp;
      \mbox{ valida}
   \end{cases}
&lt;/math&gt;


: &lt;math&gt;
   \left .
      \begin{matrix}
         \log x^3 - \log y =6 \\
         \log (xy)= 4
      \end{matrix}
   \right \}
   \rightarrow
   \left .
      \begin{matrix}
         3 \log x - \log y =7 \\
         \log x + \log y = 5
      \end{matrix}
   \right \}
&lt;/math&gt;

Aplicamos el metodo de reducción sumamos las dos ecuaciones:
: &lt;math&gt;
   4 \log x = 12
   \quad \rightarrow \quad
   \log x = \frac{12}{4} = 3
   \quad \rightarrow \quad
   \log y = 5- \log x = 2
&lt;/math&gt;

Por tanto si 
&lt;math&gt;
   \begin{cases}
      \log x = 3 \rightarrow x = 1000 \\
      \log y = 2 \rightarrow y = 100
   \end{cases}
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \begin{cases}
      4y = 8x^2 \\
      y = 12x-16
   \end{cases}
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   4y = 8x^2
   \quad \rightarrow \quad
   y = 2x^2
&lt;/math&gt;

Resolvemos por igualación 
: &lt;math&gt;
   2x^2 = 12x-16
   \quad \rightarrow \quad
   2x^2-12x-16=0
   \quad \rightarrow \quad
   \begin{cases}
      x_1 = 2 \rightarrow y_1 = 8 \\
      x_2 = 4 \rightarrow y_2=32
   \end{cases}
&lt;/math&gt;

=== Sistemas de tres ecuaciones (método de Gauss) ===

El método de Gauss consiste en convertir un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas en un sistema con una 1ª ecuación de tres incógnitas, una 2ª ecuación de dos incógnitas y, por último una 3ª ecuación de solo una incógnita. Por lo que se reduce sustancialmte la dificultad del problema.

Ejemplo
: &lt;math&gt;
   \left \{
      \begin{array}{rrrrr}
         2x &amp; +3y &amp; -7z &amp; = &amp; -1 \\
         3x &amp; +4y &amp; -6z &amp; = &amp;  5 \\
         5x &amp; -2y &amp; +4z &amp; = &amp; -7
      \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;

En un primer paso, la primera ecuación se deja siempre igual, mientras que en las otras ecuaciones eliminamos el término de la x usando el método de la reducción con la primera ecuación.

: &lt;math&gt;
   \left \{
      \begin{array}{rrrrr}
         2x &amp; +3y &amp; -7z &amp; = &amp; -1 \\
            &amp;  -y &amp; +9z &amp; = &amp; 13 \\
            &amp;-19y &amp;+43z &amp; = &amp; -9
      \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;
Ahora no cambiaremos ni la 1ª ecuación ni la 2ª ecuación y anularemos el término y de la 3ª ecuación usando la reducción con la 2ª ecuación.

: &lt;math&gt;
   \left \{
      \begin{array}{rrrrr}
         2x &amp; +3y &amp;   -7z &amp; = &amp; -1 \\
            &amp;  -y &amp;   +9z &amp; = &amp; 13 \\
            &amp;     &amp; -128z &amp; = &amp; -256
      \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;
Ahora la resolución del sistema se convierte en una trivialidad. De la 3ª ecuación obtenemos z=2, que introducimos en la 2ª ecuación para hallar y=5, y por último introducimos z e y en la 1ª ecuación para hallar x=-1.

&lt;noinclude&gt;{{Matemáticas}}&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Resolución de triángulos</title>
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      <timestamp>2026-07-26T16:12:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
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      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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      <text bytes="17348" sha1="84t7ard6snfp717eejaqfrxmdm95tui" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
==Razones trigonométricas de un ángulo agudo==
[[Imagen:Trigonometria 02.svg|260px|derecha]]
Si miramos el triángulo  de la izquierda podemos describir tres razones que son intrínsecas de los ángulos agudos, ya que las razones sólamente dependen del ángulo &lt;math&gt;\alpha &lt;/math&gt; debido al teorema de Thales.

&lt;math&gt;\sin \alpha = \frac { \mbox{longitud del cateto opuesto a } \alpha}{\mbox{longitud de la hipotenusa}} \rightarrow \sin \alpha =\frac{a}{c}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos \alpha = \frac { \mbox{longitud del cateto contiguo a } \alpha}{\mbox{longitud de la hipotenusa}} \rightarrow \cos \alpha =\frac{b}{c}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan \alpha = \frac { \mbox{longitud del cateto opuesto a } \alpha}{ \mbox{longitud del cateto contiguo a } \alpha} \rightarrow \tan \alpha =\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

* Gracias a estas definiciones podemos calcular razones trigonométricas aproximadamente dibujando y midiendo simplemente.

* Estas razones trigonométricas evidentemente no dependen del triángulo que tracemos sólo dependen del ángulo.

====Ejemplo====
[[Archivo:Triángulo R010.svg|260px|derecha]]
Tenemos un triángulo como el de la figura y queremos saber sus razones trigonométricas así que medimos sus tres lados a= 60mm b= 80mm c= 100mm

&lt;math&gt;\sin \alpha =  \frac {a}{c}=\frac{60}{100}=0,6&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
&lt;math&gt;\cos \alpha = \frac{b}{c}=\frac{80}{100}=0,8&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
&lt;math&gt;\tan \alpha=\frac{a}{b}=\frac{60}{80}=0,75&lt;/math&gt;

==Relaciones entre las razones trigonométricas del mismo ángulo==
Las razones trigonometricas, es decir el sin, cos, tan son dependientes, esto quiere decir que si sabemos una, sabemos las tres. Estas relaciones son las siguientes:

====Relaciones trigonométricas fundamentales====
&lt;math&gt;(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1\,\!&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha}=\tan \alpha&lt;/math&gt;

Nota importante: El cuadrado de estas razones no se expresa &lt;math&gt;(\sin \alpha)^2\ ,\; (\cos \alpha)^2\  ,\; (\tan \alpha)^2\,\!&lt;/math&gt; sino así &lt;math&gt;\sin^2 \alpha ,\; \cos^2 \alpha ,\; \tan^2 \alpha \,\!&lt;/math&gt; Es conveniente que se aprendan, hay que tener en cuenta que la mayor parte (seguramente toda) de la literatura matemática usa esa notación.

====Demostración====

: &lt;math&gt;
   \sin^2 \alpha  + \cos^2 \alpha = 1
   \; \longrightarrow \quad
   \left ( \frac{a}{c} \right ) ^2 + \left ( \frac{b}{c} \right ) ^2 = 1
   \; \longrightarrow \quad
   \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2} = 1
   \; \longrightarrow \quad
   \frac{a^2+b^2}{c^2} = \cfrac{c^2}{c^2}
   \; \longrightarrow \quad
   a^2 + b^2 = c^2
&lt;/math&gt;

====Ejemplos====
Se conoce el &lt;math&gt; \cos \alpha = 0,6 &lt;/math&gt; y se quiere calcular cuánto valen &lt;math&gt; s = \sin \alpha \; y \; t = \tan \alpha &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
   \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
   \quad \rightarrow \quad
   s^2 + (0,6)^2 = 1
   \quad \rightarrow \quad
   s^2 = 1-(0,6)^2
   \quad \rightarrow \quad
   s = \sqrt {0,64} = 0,8
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \tan \alpha = \cfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
   \quad \rightarrow \quad
   t=\frac{0,8}{0,6} = 1,333
&lt;/math&gt;

Se conoce la tangente de un ángulo &lt;math&gt; \tan \alpha = \frac{1}{3} &lt;/math&gt; y se quiere calcular cuánto valen &lt;math&gt; \sin \alpha=s  \; y \; \cos \alpha = c &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \left .
      \begin{matrix}
         \cfrac {s}{c} = \cfrac{1}{3} \\
         s^2+c^2 = 1
      \end{matrix}
   \right \}
   \quad \rightarrow \quad
   \left |
      \begin{matrix}
         c=3s \\
         s^2+c^2 = 1
      \end{matrix}
   \right \}
   \quad \rightarrow \quad
   s^2+(3s)^2=1
   \rightarrow
   10s^2=1
   \rightarrow
   s=\frac{1}{\sqrt{10}}= \frac{\sqrt{10}}{10}
   \rightarrow
   c = \frac{3 \sqrt{10}}{10}
&lt;/math&gt;

==Utilización de la calculadora en trigonometría==
Todas las calculadoras científicas del mercado disponen de teclas para las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Sin embargo, es importante tener en cuenta dos factores de interés:
* En algunos modelos se introduce el valor del ángulo y luego se pulsa la tecla de la razón trigonométrica para obtener su valor, mientras que en otros se hace justamente al revés, primero se pulsa la tecla de la razón deseada, luego se introduce el valor del ángulo y por último la tecla de resultado (generalmente =) nos muestra el resultado en la pantalla.
* Las calculadoras científicas utilizan tres sistemas de medida angular, los ''radianes'' (RAD), los ''grados sexagesimales'' (DEG) y los ''gradianes'' (GRAD). Es muy importante tener en cuenta este factor, ya que no es lo mismo &lt;math&gt; sin(100^o) = 0,984807753 &lt;/math&gt; que &lt;math&gt; sin(100 rad) = -0,506365641 &lt;/math&gt; o &lt;math&gt; sin(100 gra) = 1 &lt;/math&gt;. La conversión entre los sistemas es la siguiente: &lt;math&gt; 180^o = \pi rad = 200 gra &lt;/math&gt;

==Resolución de triangulos rectángulos==

Cuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos todas sus magnitudes desconocidas, es decir la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos, a partir de las conocidas.

====Triángulos rectángulos====
[[Archivo:Triángulo R004.svg|260px|derecha]]
Si un triángulo es rectángulo en realidad ya sabemos una cosa, que tiene un ángulo de 90º, así que nos hará falta menos información para resolverlo. Podemos resolver un triángulo rectángulo si conocemos:

* '''Dos lados'''
** Podemos calcular el tercer lado con el Teorema de Pitágoras &lt;math&gt;a^2+b^2=c^2\,\!&lt;/math&gt;
** Cuando sabemos lo que miden los tres lados es fácil encontrar los ángulos a partir de las razones trigonométricas y de la relación entre los ángulos de un triángulo.

'''Ejemplo'''
[[Archivo:Triángulo R005.svg|260px|derecha]]
Tenemos este triángulo y sabemos que &lt;math&gt;a= 14 \ \mbox{ y } \ c = 23\,\!&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;b=\sqrt{23^2-14^2}=18,25&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin \hat A = \frac{14}{23}=0,6087 \rightarrow \hat A=37,5^\circ&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\hat B = 180 - 90 - \hat A=180-90-37,5 = 52,5^\circ\,\!&lt;/math&gt;


* '''Un ángulo y un lado'''
** Los lados se calculan mediante la razón trigonométrica del ángulo que tenemos y con la longitud del lado que tenemos
** El ángulo que nos falta se calcula recordando que los ángulos de un triángulo suman entre los tres 180º siempre.

'''Ejemplo'''
[[Archivo:Triángulo R011.svg|260px|derecha]]
Tenemos este triángulo y conocemos &lt;math&gt;a=29 \ \mbox{ y } \ \hat A=63^o\,\!&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan \hat A = \frac{a}{b} \rightarrow b=a \tan \hat A=29 \tan 63=56,92\,\!&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{29^2+56,92^2}=63,88&lt;/math&gt;

{{clear}}

==Resolución de triángulos no rectángulos. Estrategia de la altura==
[[Archivo:Triángulo R105.svg|derecha|250px]]
Queremos resolver un triángulo como el de la figura. Sabemos que miden dos de sus lados &lt;math&gt;a=273cm,\; b=326cm\,&lt;/math&gt; y el ángulo &lt;math&gt;\hat A = 38^\circ\,&lt;/math&gt;

Para resolverlo lo que hacemos es trazar la siguiente altura '''h''', obtenemos así dos triángulos rectángulos:

Del primer triángulo (el 1) conocemos &lt;math&gt;a=273cm \ \mbox{ y } \  \hat C = 38^\circ\,\!&lt;/math&gt; obtendremos '''x''' e '''y'''.
: &lt;math&gt;
   \sin \hat A =
   \frac {h}{b}
   \; \rightarrow \;
   h = b \sin \hat A =
   326cm \, \sin 38^\circ =
   200,70cm
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \cos \hat A =
   \frac {x}{b}
   \; \rightarrow \;
   x = b \cos \hat A =
   326cm \, \cos 38^\circ =
   256,89cm
&lt;/math&gt;

Para encontrar '''y''' aplicamos Pitágoras:
: &lt;math&gt;
   a^2 = y^2 + h^2
   \; \rightarrow \;
   y^2 = a^2 - h^2
   \; \rightarrow \;
   y = \sqrt{a^2 - h^2}
   \; \rightarrow \;
   \sqrt{273^2 - 200,70^2} =
   185,06cm
&lt;/math&gt;

Y por fin:
: &lt;math&gt;
   c = x + y
   \; \rightarrow \;
   c = 256,89cm + 185,06cm =
   441,95cm
&lt;/math&gt;

[[Archivo:Triángulo R104.svg|derecha|250px]]
Tenemos un triángulo como el siguiente y queremos encontrar que vale '''h''', sabemos que:
: &lt;math&gt; c = 30cm \, &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; \hat A = 40^\circ &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; \hat B = 60^\circ &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \left .
      \begin{matrix}
         \tan \hat A = \cfrac{h}{x} \\
         \tan \hat B = \cfrac{h}{y} \\
         x + y = c
      \end{matrix}
   \right \}
   \; \rightarrow \;
    \left |
      \begin{matrix}
         \tan \hat A = \cfrac{h}{x} \\
         \tan \hat B = \cfrac{h}{c - x}
      \end{matrix}
   \right \}
   \; \rightarrow \;
    \left |
      \begin{matrix}
         x = \cfrac{h}{\tan \hat A} \\
         x = c - \cfrac{h}{\tan \hat B}
      \end{matrix}
   \right \}
   \; \rightarrow \;
   \cfrac{h}{\tan \hat A} = c - \cfrac{h}{\tan \hat B}
&lt;/math&gt;

con lo que tenemos
: &lt;math&gt;
   \cfrac{h}{\tan \hat A} = c - \cfrac{h}{\tan \hat B}
   \; \rightarrow \;
   \cfrac{h}{\tan \hat A} + \cfrac{h}{\tan \hat B} = c
   \; \rightarrow \;
   \cfrac{h \, \tan \hat B + h \, \tan \hat A}{\tan \hat A \; \tan \hat B} = c
   \; \rightarrow \;
   \cfrac{h \,( \tan \hat B + \tan \hat A)}{\tan \hat A \; \tan \hat B} = c
&lt;/math&gt;

Que resulta:
: &lt;math&gt;
   h = \cfrac{\tan \hat A \; \tan \hat B}{\tan \hat B + \tan \hat A} \; c
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   h = \cfrac{\tan 40^\circ \; \tan 60^\circ}{\tan 60^\circ + \tan 40^\circ} \; 30cm
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   h = \cfrac{1.453}{2,571}\; 30cm
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   h = 0.565 \cdot 30cm = 16.958cm
&lt;/math&gt;

==Algunos resultados muy útiles==

Esto que viene a continuación uno podria deducirlo. Pero igual que las tablas de multiplicar que se pueden deducir sumando repetidas veces un número es mejor memorizarlo ya que aparecen con frecuencia.

'''Proyección de un segmento''' 
[[Archivo:Triángulo R012.svg|260px|derecha]]
Cuando proyectamos un segmento sobre una recta la longitud de dicha proyección es la misma que la del segmento multiplicada por el coseno del angulo que formar segmento y recta.

&lt;math&gt;\cos \alpha = \frac {\overline{AC}}{\overline{AB}} \to \overline{AC}=\overline{AB} \cos \alpha&lt;/math&gt;

{{clear}}
'''Altura de un triangulo'''
[[Archivo:Triángulo R011.svg|260px|derecha]]
Si cojemos cualquier lado del triángulo (que no sea la base) y lo multiplicamos por el seno del ángulo que forma este con la base obtendremos la altura del triángulo.

&lt;math&gt;\sin \alpha= \frac {a}{c} \to a=c\sin \alpha&lt;/math&gt; 
{{clear}}

'''Area de un triangulo'''
[[Archivo:Triángulo R013.svg|260px|derecha]]
El area del triangulo es la misma que la mitad del producto de dos de sus lados multiplicado por el seno que forman

&lt;math&gt;A=\cfrac{b\cdot a}{2} = \cfrac{b \cdot b\tan \alpha}{2} =\cfrac{ b^2 \cdot \tan \alpha}{2}&lt;/math&gt;
{{clear}}

==Razones trigonométricas de ángulos obtusos==
[[Archivo:RelTri-4.svg|260px|derecha]]
Si queremos conocer las razones trigonométricas de un angulo obtuso &lt;math&gt;\alpha\,\!&lt;/math&gt;, basta fijarse en la figura para ver que son fáciles de obtener, a través de su angulo suplementario &lt;math&gt;180^\circ - \alpha\,\!&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin \alpha=\sin(180^\circ - \alpha)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos \alpha=-\cos (180^\circ - \alpha)&lt;/math&gt;

La tngente es un poco menos intuitiva, pero también es facil de entender:
La tangente de un angulo obtuso es siempre negativa.

&lt;math&gt;\tan \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sin(180^\circ - \alpha}{-\cos (180^\circ - \alpha)}=-\tan(180^\circ - \alpha)&lt;/math&gt;

==Resolución de triangulos cualesquiera==
Podría parecer que este apartado es inútil debido a que ya se ha aprendido a resolver triangulos cualesquiera con la estrategia de la altura. Sin embargo existen dos teoremas que no agilizarán mucho las cosas sin que tengamos que hacer tantos pasos como con la estratégia de la altura.

===Teorema del seno===
[[Archivo:Triángulo R101.svg|derecha|250px]]
Intuitivamente uno puede ver que el angulo mayor de un triangulo tiene enfrente el lado mayor, y el angulo menor de un triangulo tiene enfrente el lado menor.

El teorema del seno dice esto precisamente, un poco más formalmente:

Si tenemos un triangulo de lados &lt;math&gt;a,\ b,\ c&lt;/math&gt; y ángulos &lt;math&gt;\hat A \ \hat B \ \mbox{ y } \hat C&lt;/math&gt; 

Se cumple que:

&lt;math&gt;\frac{a}{\sin \hat A}=\frac{b}{\sin \hat B}=\frac{c}{\sin \hat C}&lt;/math&gt;


====Demostración====
[[Archivo:Triángulo R103.svg|derecha|250px]]
Lo demostraremos a partir de la estrategia de la altura.

Dibujamos la altura h desde el vértice C. Los triángulos APC y BCP son rectángulos los dos.

Tenemos que:

&lt;math&gt;\left . \begin{matrix} \sin \hat A=\cfrac{h}{b} \to h=b \sin \hat A \\ \sin \hat B=\cfrac{h}{a} \to h=a \sin \hat B \end{matrix} \right \} \to b \sin \hat A= a \sin \hat B \to \frac{a}{\sin A}= \frac{b}{\sin B}&lt;/math&gt;

Para encontrar la igualdad &lt;math&gt;\frac{a}{\sin \hat A}=\frac{c}{\sin \hat C}&lt;/math&gt; trazamos h desde el vértice B y procedemos igual que antes.

====Aplicaciones====
Antes de continuar hay que advertir que cuando nuestra incognita sea uno de los angulos y apliquemos el teorema del seno hay dos soluciones debido a que los angulos suplementarios tienen el mismo seno. Tendremos que comprobar si las soluciones son validas.

* Triangulos cualesquiera con dos ángulos y un lado conocidos

'''Ejemplo'''
[[archivo:Triángulo S010.svg|260px|derecha]]
Tenemos un triangulo como el de la figura, y queremos resolverlo.

Conocemos un lado &lt;math&gt; b= 71cm\,\!&lt;/math&gt; y dos ángulos &lt;math&gt; \alpha = 61^\circ \; y \;  \gamma = 37^\circ &lt;/math&gt; ¿ cuanto miden los lados a y c.?

Sabiendo que:
: &lt;math&gt;
   \left .
      \begin{array}{l}
         \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \\
         \alpha = 61^\circ \\
         \gamma = 37^\circ
      \end{array}
   \right \}
   \; \longrightarrow \quad
   \left |
      \begin{array}{l}
         \beta = 180^\circ - \alpha - \gamma     \\
         \beta = 180^\circ - 61^\circ - 37^\circ \\
         \beta = 82^\circ
      \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;

Aplicando el teorema del seno:
: &lt;math&gt;
   \frac{a}{\sin \alpha} =
   \frac{b}{\sin \beta} =
   \frac{c}{\sin \gamma}
&lt;/math&gt;

con los valores numéricos:
: &lt;math&gt;
   \frac{a}{\sin 61^\circ} =
   \frac{71cm}{\sin 82^\circ} =
   \frac{c}{\sin 37^\circ}
&lt;/math&gt;

tenemos:
: &lt;math&gt;
   \frac{a}{\sin 61^\circ} =
   \frac{71cm}{\sin 82^\circ}
   \; \longrightarrow \quad
   a = \frac{71cm \cdot \sin 61^\circ}{\sin 82^\circ}
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \sin 61^\circ = 0,874
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \sin 82^\circ = 0,990
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   a = \frac{71cm \cdot 0,874}{0,990}
   \; \longrightarrow \quad
   a = 62,68cm
&lt;/math&gt;

y tenemos:
: &lt;math&gt;
   \frac{71cm}{\sin 82^\circ} =
   \frac{c}{\sin 37^\circ}
   \; \longrightarrow \quad
   c = \frac{71cm \cdot\sin 37^\circ }{\sin 82^\circ}
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \sin 37^\circ = 0,602
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \sin 82^\circ = 0,990
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   c = \frac{71cm \cdot 0,602}{0,990}
   \; \longrightarrow \quad
   c = 43,17cm
&lt;/math&gt;

* Dos lados y el angulo opuesto de uno de ellos conocido

'''Ejemplo'''
[[archivo:Triángulo S011.svg|260px|derecha]]
Ahora nos encontramos con el siguiente problema:

Conocemos &lt;math&gt; a=7cm, \; b=9cm, \; \hat B = 25^\circ &lt;/math&gt; tenemos que encontrar &lt;math&gt; \hat A &lt;/math&gt;

Con el teorema del seno:
: &lt;math&gt;
   \frac{a}{\sin \alpha} =
   \frac{b}{\sin \beta} =
   \frac{c}{\sin \gamma}
&lt;/math&gt;

y los valores:
: &lt;math&gt;
   \frac{7cm}{\sin \alpha} =
   \frac{9cm}{\sin 25^\circ}
   \; \longrightarrow \quad
   \sin \alpha =
   \cfrac{\sin 25^\circ \cdot 7cm}{9cm}
&lt;/math&gt;

sabiendo:
: &lt;math&gt;
   \sin 25^\circ = 0,423
&lt;/math&gt;

tenemos
: &lt;math&gt;
   \sin \alpha =
   \cfrac{0,423 \cdot 7cm}{9cm}
   \; \longrightarrow \quad
   \sin \alpha = 0,329
&lt;/math&gt;

y por fin:
: &lt;math&gt;
   \sin \alpha = 0,329
   \; \longrightarrow \quad
   \alpha = arc \, \sin (0,329)
   \; \longrightarrow \quad
   \alpha = 19,208^\circ
&lt;/math&gt;

=== Teorema del coseno ===
[[File:Demostración del Teorema del Coseno.gif|thumb|La animación muestra cómo varía la hipotenusa (a) acorde con el ángulo opuesto (A), manteniendo los catetos con la misma longitud.]]
Si cogemos un triangulo rectángulo y conservando la longitud de los catetos, el angulo de 90° lo disminuimos es intuitivo de que la &quot;hipotenusa&quot; se hará más corta, y si lo hago más grande esta se hará más grande. Pues esto es lo que nos dice el teorema del coseno, en realidad podríamos decir que el teorema del coseno es el teorema de Pitágoras versión 2.0

[[Archivo:Triángulo R105.svg|derecha|250px]]
Tenemos un triangulo cualquiera, se cumple que: 

&lt;math&gt; a^2 = b^2+c^2 -2bc \cos \hat{A} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt; b^2 = a^2+c^2 -2ac \cos \hat{B}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt; c^2 = a^2+b^2 -2ab \cos \hat{C}&lt;/math&gt;

==== Demostración ====

Dibujamos la altura h, perpendicular a b

&lt;math&gt;\overline{AH}= c \cos \hat A&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{HC}= b - \overline{AH}= b- c \cos \hat A&lt;/math&gt;

Aplicamos Pitagoras a AHB y BHC

&lt;math&gt;a^2=h^2+ \overline{HC}^2=h^2+(b - \overline{AH})^2=h^2+b^2+c^2 \cos^2 \hat A -2bc \cos \hat A&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c^2=h^2+ \overline{AH}^2=h^2+(c \cos \hat A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a^2-c^2=b^2-2bc \cos \hat A \to a^2=b^2+c^2 -2bc \cos \hat A&lt;/math&gt;

Se puede comprobar que tanto para todos los tipos de triángulos sale la misma fórmula.

==== Aplicaciones ====
Hay cuatro casos de problemas que se aconsejan resolver por el teorema del coseno

* Conocemos tres lados y queremos conocer cualquier angulo
* Conocemos dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos y queremos conocer el otro lado
* Conocemos dos lados y el angulo que forman y queremos saber el otro lado
* Conocemos dos lados y el angulo que forman y queremos conocer otro angulo. Para este último caso deberemos aplicar el teorema del coseno primero para saber el lado que nos falta y después el teorema del seno para saber el angulo</text>
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    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Introducción a la trigonometría</title>
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        <username>Mazbel</username>
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[[Image:Trigonometria 02.svg|right|260px]]
La ''trigonometría'' (del griego τριγωνο &lt;''trigōno''&gt; &quot;triángulo&quot; + μετρον &lt;''metron''&gt; medida, &quot;medición de triángulos&quot;), es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para ello se vale de las funciones o razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

====Circunferencia goniométrica====
[[Image:SexaCircunferencia.svg|right|260px]]
La circunferencia goniométrica (trigonométrica o unitaria) es una herramienta muy útil a la hora de visualizar y definir razones trigonométricas de ángulos cualesquiera.

Se trata de una circunferencia de radio 1, situada en el origen de coordenadas. En ella se dibujan los ángulos de la siguiente forma:
* El vértice en el origen de coordenadas.
* Uno de sus lados en el eje de las x.
* El otro lado se sitúa con la amplitud deseada: se mide el ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj. 

La circunferencia goniométrica se divide en cuatro partes, denominadas cada una de ellas cuadrantes. 
Los cuadrantes se numeran a partir del semieje positivo de las x, en sentido antihorario: primero, segundo, tercero y cuarto:
*La parte del plano comprendida entre el semieje positivo de las x y el semieje positivo de las y es el primer cuadrante.
*La parte del plano comprendida entre el smieje positivo de las y, y el semieje negativo de las x es el segundo cuadrante
Y así sucesivamente. Tomando en cuenta los ángulos de la figura adjunta tenemos:
*Primer cuadrante: de 0 a 90º, x&gt;0, y &gt;0
*Segundo cuadrante: de 90 a 180º, x&lt;0, y&gt;0
*Tercer cuadrante: de 180º a 270º, x&lt;0, y&lt;0
*Cuarto cuadrante: de 270º a 360º, x&gt;0, y&lt;0

Como se verá más adelante, dependiendo del cuadrante considerado, las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente tienen un valor positivo o negativo.

====Seno y coseno de un angulo entre 0 y 360 grados====
[[Image:Función Trigonométrica S110.svg|right|260px]]
Fijémonos en la figura. Si situamos un ángulo cualquiera &lt;math&gt;\phi\to (\cos\phi,\ \sin \phi)&lt;/math&gt; son las coordenadas del punto en que el lado corta la circunferencia goniométrica. 

Nota: Recordemos que &lt;math&gt;\sin^2\phi+\cos^2\phi=1\,\!&lt;/math&gt;

Si miramos la figura veremos que se cumple que:
{|
|  &lt;math&gt;\sin \left \{ \begin{matrix} \mbox{arriba} \to + \\ \mbox{abajo}\to - \end{matrix} \right .&lt;/math&gt;
| [[Image:Trigonometria 05.svg|100px]]
|}

{|
| &lt;math&gt;\cos \left \{ \begin{matrix} \mbox{derecha} \to + \\ \mbox{izquierda}\to - \end{matrix} \right .&lt;/math&gt;
| [[Image:Trigonometria 06.svg|right|100px]]
|}

====Tangente de un ángulo entre 0 y 360 grados====
[[Image:Función Trigonométrica S001.svg|right|260px]]
Si trazamos una recta t tangente al punto U de la circunferencia, ya podemos representar gráficamente la tangente. Cojamos ahora un ángulo cualquiera prolonguemos el segundo lado hasta que corte a t por un punto T. La tangente del ángulo es la longitud del segmento UT, con el signo que le toque.

Los ángulos 90º y 270º no tienen tangente.

==Ángulos de medidas cualquiera==

La motivación de este apartado no es otra que dar respuesta a la pregunta ¿cual es el seno de &lt;math&gt;420^\circ&lt;/math&gt;?

Si hacemos &lt;math&gt;420^\circ-360^\circ=60^\circ&lt;/math&gt; esto quiere decir que 420 es una vuelta entera y 60 grados. Con esta sencilla operación se definen todos los ángulos posibles

====Ángulos negativos====

Si a 310º le restamos 360º obtenemos -50º. Es decir 310º puede expresarse como -50º. Es más, normalmente los ángulos que están por debajo del eje de las x se escriben con una medida negativa, es decir que todos los ángulos posibles se suelen escribir con valores comprendidos entre -180º y 180 grados

====Ejemplo====
Escribir con valores comprendidos entre -180º y 180º estos ángulos:

&lt;math&gt;748^\circ \to&lt;/math&gt; 


{|
|-
| &lt;math&gt;748\,\!&lt;/math&gt;
|
| align=&quot;center&quot; style=&quot;border-bottom:1px solid black; border-left:1px solid black; height:14px&quot; |
&lt;math&gt;360\,\!&lt;/math&gt;
|-
|align=&quot;center&quot;| &lt;math&gt;28\,\!&lt;/math&gt;
|
|&lt;math&gt;2\,\!&lt;/math&gt;
|}


&lt;math&gt;\to 748^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 28^\circ = 28^\circ&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;1703^\circ \to&lt;/math&gt; 


{|
|-
| &lt;math&gt;1703\,\!&lt;/math&gt;
|
| align=&quot;center&quot; style=&quot;border-bottom:1px solid black; border-left:1px solid black; height:14px&quot; |
&lt;math&gt;360\,\!&lt;/math&gt;
|-
|align=&quot;center&quot;| &lt;math&gt;263\,\!&lt;/math&gt;
|
|&lt;math&gt;4\,\!&lt;/math&gt;
|}


&lt;math&gt;\to 1703^\circ = 4 \cdot 360^\circ + 263^\circ = 263^\circ&lt;/math&gt;

==Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos==
[[Archivo:Trigonometria E1.svg|260px|derecha]]
Esto que viene ahora es tremendamente útil, y no sólo para ahora. No es necesario aprenderlas de memoria porque si las razonas un par de veces las visualizarás sin pensar
: &lt;math&gt;\sin(\alpha) = \overline{CB}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\cos(\alpha) = \overline{AC}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\tan(\alpha) = \overline{DE}&lt;/math&gt;

{{clear}}

==== Ángulos que difieren en 90 grados: x y 90º-x ====
[[Archivo:Trigonometria E2.svg|260px|derecha]]
: &lt;math&gt;\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\tan(90^\circ - \alpha) = \cfrac{1}{\tan(\alpha)}&lt;/math&gt;

{{clear}}

==== Ángulos que difieren en 90 grados: x y 90º+x ====
[[Archivo:Trigonometria E3.svg|260px|derecha]]
: &lt;math&gt;\sin(90^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\tan(90^\circ + \alpha) = \cfrac{-1}{\tan(\alpha)}&lt;/math&gt;

{{clear}}

==== Ángulos que difieren en 180 grados: x y 180º-x ====
[[Archivo:Trigonometria E4.svg|260px|derecha]]
: &lt;math&gt;\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan(\alpha)&lt;/math&gt;

{{clear}}

==== Ángulos que difieren en 180 grados: x y 180º+x ====
[[Archivo:Trigonometria E5.svg|260px|derecha]]
: &lt;math&gt;\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\tan(180^\circ + \alpha) = \tan(\alpha)&lt;/math&gt;

{{clear}}

==== Ángulos que difieren en 270 grados: x y 270º-x ====
[[Archivo:Trigonometria E6.svg|260px|derecha]]
: &lt;math&gt;\sin(270^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\cos(270^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\tan(270^\circ - \alpha) = \cfrac{1}{\tan(\alpha)}&lt;/math&gt;

{{clear}}

==== Ángulos que difieren en 270 grados: x y 270º+x ====
[[Archivo:Trigonometria E7.svg|260px|derecha]]
: &lt;math&gt;\sin(270^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\cos(270^\circ + \alpha) = \sin(\alpha)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\tan(270^\circ + \alpha) = \cfrac{-1}{\tan(\alpha)}&lt;/math&gt;

{{clear}}

====Ángulos opuestos: x y -x====
[[Archivo:Trigonometria E8.svg|260px|derecha]]
: &lt;math&gt;\sin(360^\circ - \alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos(\alpha)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\tan(360^\circ - \alpha) = \tan(-\alpha) = -\tan(\alpha)&lt;/math&gt;

{{clear}}

para reducir razones trigonométricas de un angulo negativo, -x, basta con darse cuenta de que si sumamos una vuelta a este angulo. obtenemos un angulo equivalente que sunma 360ºcon el opuesto a -x.
&lt;br clear=all&gt;

==Una nueva unidad para medir ángulos: el radian==

Los costumbre de medir los ángulos en grados, proviene de los babilonios que dividieron el ciclo anual en 360 partes, así, el arco recorrido en un día era casi un grado. Y esta forma de medición ha perdurado hasta nuestros días.

Sin embargo el radian aporta algunas ventajas y por eso es interesante conocerlo

====Visualización de un radian====
[[Image:RadiánCircunferencia.svg|right|260px]]

# Coge un vaso o cualquier objeto cilíndrico. Apóyalo sobre un papel y dibuja su contorno (es decir una circunferencia).
# Localiza el centro de la circunferencia (dibuja dos segmentos haz las mediatrices y donde se corten ese es el centro.
# Coge una cuerda y pon el extremo en el centro y marca con un rotulador el punto donde coincida con la circunferencia.
# Vuelve a poner el vaso en la circunferencia y enrolla la cuerda en el, marca en la circunferencia los dos puntos señalados en la cuerda.
# Dibuja los radios correspondientes a los dos puntos y ya tienes un radian. Mídelo si quieres y verás que son aproximadamente 57º

====Definición formal====

Llamamos radián a aquel ángulo tal que el arco que abarca tiene la misma longitud que el radio del arco.del mismo angulo

====Conversión radian-grado grado-radian====

Una circunferencia tiene una longidud de &lt;math&gt;2 \pi r\,\!&lt;/math&gt; y un radian mide r es decir en una circunferencia caben &lt;math&gt;2 \pi\,\!&lt;/math&gt; radianes. A su vez en una circunferencia caben 360º. Es decir que:

&lt;math&gt;360^\circ=2 \pi \ \mbox{ radianes}&lt;/math&gt;

Paso de grados a radianes: &lt;math&gt;\alpha \ \mbox{ grados} = \frac {2\pi}{360} \cdot \alpha \ \mbox{ radianes}&lt;/math&gt;

Paso de radianes a grados: &lt;math&gt;n \ \mbox{ radianes}=\frac{360}{2\pi} \cdot n \ \mbox{ grados}&lt;/math&gt;

El valor de un radian es: &lt;math&gt;\frac{360}{2\pi}=\frac{180}{3,141592654} \approx 57^\circ \ \ 17^\prime \ \ 44,81^{\prime\prime}&lt;/math&gt;

====Utilidad de los radianes====

Al nivel en que nos encontramos &quot;solamente&quot; sirven para las funciones trigonométricas, no obstante la utilidad del radian es indiscutible para muchas otras cosas que no podremos explicar aquí.

Sin embargo su utilidad es fundamental para problemas tanto matemáticos como para problemas de física, en el tema de la dinámica.

Su utilidad ha servido mucho a la ciencia, su uso es solamente para circunferencias, círculos, y la mayoría de líneas curvas, pues siempre los radianes y los grados han estado correlacionados.

====Calculadora====

==Funciones circulares==

Vamos a dibujar unas funciones que para cada ángulo expresado en radianes nos den un valor para y:
[[Image:Función Trigonométrica S111.svg|right|260px]]


====Fuciones circulares definidas en todo &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;====
Como ya hemos visto un ángulo de 400º es igual a uno de 40º uno de 410º equivale a uno de 50.
por lo tanto las funciones circulares son periódicas.

==Fórmulas trigonométricas==

LAS ECUACIONES TRIGONOMETRICAS CONTIENEN RESULTADOS CUADRADOS EQUIDISTANTES

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    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Números complejos</title>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección}}&lt;/noinclude&gt;==Qué son los números complejos==
Si intentamos resolver esta ecuación &lt;math&gt;x^2+1=0&lt;/math&gt; veremos que no tiene solución en números reales.

Para ello recurrimos a los números imaginarios o números complejos. 

Sin embargo para entender mejor el problema y luego la solución, primero debemos recurrir a la ley de los signos en la multiplicación, al multiplicar dos signos negativos o dos positivos, el resultado es un numero positivo siempre, es decir
si elevo al cuadrado cualquier numero sea positivo o negativo, el resultado es siempre positivo, por tanto no hay manera de encontrar la raíz de un numero negativo. es allí donde se da la solución introduciendo el valor imaginario,es decir aislando el termino insoluble y dejándolo tal como esta , pues si bien es cierto &lt;math&gt;i = \sqrt {-1}&lt;/math&gt; este no tiene solución y tampoco necesitamos que tenga solución, pues manteniéndolo tal como esta como una expresión matemática , nos sirve para dar la solución y se hace así: si mantengo este &lt;math&gt; \sqrt {-1}&lt;/math&gt; [sin necesidad de llamarlo i ] puedo operar: por ejemplo &lt;math&gt; \sqrt {-9}&lt;/math&gt; sería igual a &lt;math&gt; \sqrt {9}&lt;/math&gt;.(-1)  y como se puede aplicar propiedad distributiva a la raíz, se tiene: &lt;math&gt; \sqrt {-9}&lt;/math&gt; =  &lt;math&gt; \sqrt {9}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt; \sqrt {-1}&lt;/math&gt;  operando se tiene &lt;math&gt; \sqrt {-9}&lt;/math&gt; = 3.  &lt;math&gt; \sqrt {-1}&lt;/math&gt;

esta es la solución, pero alguien me dirá, pero sigue ahí el problema, que no se sabe cuanto es exactamente &lt;math&gt; \sqrt {-9}&lt;/math&gt; , yo le respondo que si llamamos &quot;i&quot; a &lt;math&gt; \sqrt {-1}&lt;/math&gt; , entonces la solucion es 3i, y ésta solución pasa la prueba, porque en este caso si elevo al cuadrado esta solución, &quot;ahora si me da un numero NEGATIVO&quot; pues:  &lt;math&gt; (3 . \sqrt {-1})^2 &lt;/math&gt; es  &lt;math&gt; (3)^2 &lt;/math&gt; por &lt;math&gt; (\sqrt {-1})^2&lt;/math&gt; =  9 por (-1) = -9

como ven, nunca se solucionó en realidad la raíz de un numero negativo, sino que se lo dejo en &quot;durmiendo&quot; para que cuando se aplique lo contrario ( el cuadrado o potencia par ) se elimine la raiz par y quede el MENOS 1 que hace negativo al numero solucion de un  cuadrado o potencia par.


&lt;math&gt;i = \sqrt {-1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a} = \frac {-b \pm \sqrt {-(-b^2 + 4ac)}}{2a} = \frac {-b \pm \sqrt{-1} \sqrt {-b^2 + 4ac}}{2a} = \frac {-b \pm i \sqrt {4ac - b^2}}{2a}&lt;/math&gt;

==Operaciones con números complejos==

* Suma
: &lt;math&gt;(a, b) + (c, d) = (a+c,\; b+d)&lt;/math&gt;
* Resta
: &lt;math&gt;(a, b) - (c, d) = (a-c,\; b-d)&lt;/math&gt;
* Multiplicación
: &lt;math&gt;(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd,\; ad + cb) &lt;/math&gt;
* División
:&lt;math&gt;\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{ac + bd + (-ad + bc)i}{c^2 + d^2} = \frac{ac + bd + (-ad + bc)i}{|z_{2}|^2} &lt;/math&gt;
* Igualdad
: &lt;math&gt;(a, b) = (c, d) \iff a = c \land b = d&lt;/math&gt;

==Números complejos en forma polar==
===  Paso de forma binómica a polar===
Dado un complejo en forma binómica &lt;math&gt;u = (a, b) &lt;/math&gt;, definimos su modulo '''r''' como:


&lt;math&gt;r = \sqrt{(a)^2 +(b)^2}&lt;/math&gt;


y su argumento como  


&lt;math&gt;\textstyle{\phi} = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) &lt;/math&gt;


La expresión &lt;math&gt; r(\textstyle{\phi})&lt;/math&gt; la llamaremos forma polar del número complejo u.


===Paso de forma polar a binómica===

La parte real de un complejo  &lt;math&gt; r(\textstyle{\phi})&lt;/math&gt;  es

&lt;math&gt; a=r\cdot cos(\textstyle{\phi})&lt;/math&gt;

y la parte imaginaria es

&lt;math&gt; b=r\cdot sen(\textstyle{\phi})&lt;/math&gt;

con lo cual su forma binómica será 

&lt;math&gt; u=r\cdot cos(\textstyle{\phi})+r\cdot sen(\textstyle{\phi}) i&lt;/math&gt;

==Operaciones con números complejos en forma polar==

La raiz de indice n de un numero complejo tiene n soluciones, todas ellas con el mismo modulo, que es la raiz n-esima del modulo de radicando y se obtienen al sumarle a este valor, 360/n sucesivas veces hasta completar una vuelta.

== Referencias==
[http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Los_numeros_complejos/ Lección sobre Números Complejos (Con ejemplos graficos)]

&lt;noinclude&gt;{{Matemáticas}}
&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Vectores</title>
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==Conceptos básicos==
Es necesario conocer algunos conceptos: '''definición de vector fijo'''. Un vector fijo es un segmento orientado. Es decir, un par ordenado de puntos. El primero se denomina origen y el segundo extremo del vector. Cuando ambos puntos coinciden se denomina vector nulo.
{|
| [[Archivo:Vector 101.svg|derecha|280px]]
| [[Archivo:Vector 102.svg|derecha|280px]]
|}
{{clear}}

Para describir un vector fijo se nombran su origen y su extremo con una flecha por encima: &lt;math&gt;\overrightarrow{AB}&lt;/math&gt;

Propiedades de un vector fijo:

'''MÓDULO:''' es la distancia entre su origen y su extremo. Se representa &lt;math&gt;| \overrightarrow{AB}|&lt;/math&gt;

'''DIRECCIÓN:''' es la clase formada por todas las rectas paralelas al vector. Dos vectores tienen la misma dirección cuando son paralelos y diferente cuando no lo son. Un vector nulo no tiene dirección.

'''SENTIDO:''' Entre dos vectores fijos con la misma dirección, la recta que une sus dos orígenes divide al plano en dos semiplanos. Si los extremos de ambos vectores están en el mismo semiplano, entonces se dice que los vectores tienen el mismo sentido, mientras que si están en diferente el semiplano tienen sentidos opuestos.

'''equipolencia''' 
Dos vectores fijos se dice que son equipolentes cuando tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido. 
Dicho de otra forma, dos vectores equipolentes se diferencian sólo en sus puntos de origen y extremo.
La equipolencia establece una relación de equivalencia en el conjunto de todos los vectores fijo.

'''definición de vector libre'''  
Un vector libre es cada una de las clases de equivalencia establecidas en el conjunto de los vectores fijo por la anterior relación de equivalencia. Los vectores que forman parte de una misma clase de equivalencia tienen el mismo módulo, dirección y sentido, por lo que un vector libre se puede considerar como un vector sin origen ni extremo. Así pues, mientras que un vector fijo representa un desplazamiento concreto desde un punto del plano a otro, un vector libre representa un desplazamiento genérico en el plano, sin considerar el punto de partida. Por ejemplo: Mientras que un vector fijo sería el desplazamiento de Pamplona a Logroño, el correspondiente vector libre sería un desplazamiento de 85 km en dirección suroeste.
Dos segmentos de recta dirigidos (flechas) con longitudes no nulas representan el mismo vector si y sólo si tienen la misma longitud y la misma dirección. Para denotar los vectores libres usaremos letras latinas con una barra encima. Si el punto inicial y terminal del vector  son los puntos A y B respectivamente, también podemos escribir

== Nombrar vectores y coordenadas de un vector ==
Un vector puebe nombrarse con una sola letra, que lo designa que se coloca junto a la flecha que indica el sentido.
{|
| [[Archivo:Vector 103.svg|derecha|260px]]
| [[Archivo:Vector 104.svg|derecha|260px]]
|}
{{clear}}

Las proyecciones del vector sobre los ejes son las coordenadas del vector, respecto a ese sistema de coordenadas.
{|
| [[Archivo:Vector 105.svg|derecha|260px]]
| [[Archivo:Vector 106.svg|derecha|260px]]
|}

En el caso de dos dimensiones, en el plano x-y, las coordenadas del vector &lt;math&gt; \vec{v} &lt;/math&gt; son: &lt;math&gt; v_x \; , \; v_y &lt;/math&gt; que se representa: &lt;math&gt; \vec{v} = (v_v, v_y) &lt;/math&gt;
{{clear}}

En un sistema de tres dimensiones de ejes x-y-z las cooredenadas del vector &lt;math&gt; \vec{v} &lt;/math&gt; seran &lt;math&gt; \vec{v} = ( v_v, v_y, v_z) &lt;/math&gt;
{|
| [[Archivo:Vector 107.svg|derecha|260px]]
| [[Archivo:Vector 108.svg|derecha|260px]]
|}
{{clear}}

==¿Cómo hallar el módulo de un vector?==

Bien. Ahora, regresemos al pasado y recordemos la fórmula del teorema de Pitágoras.

&lt;math&gt;C_1^2 + C_2^2 = H^2&lt;/math&gt;, para averiguar el modulo del vector vamos a aplicar la misma fórmula. Nos imaginamos que el modulo del vector es la hipotenusa de un triángulo rectangulo:

&lt;math&gt;| \overrightarrow {v}| = \sqrt {v_1^2  + v_2^2 }   \to 
&lt;/math&gt; para este vector &lt;math&gt; \overrightarrow {v}=(5,2)\to | \overrightarrow {v} | = \sqrt{29} &lt;/math&gt;

==Operaciones con vectores==

'''1. PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO.'''

Hacer esta operación no entraña ninguna dificultad, pero tienes que saber algunas cosas del vector  resultante. Si K es un número real y &lt;math&gt; \overrightarrow {v}&lt;/math&gt; un vector no nulo, el producto &lt;math&gt; K \cdot \overrightarrow {v}&lt;/math&gt; será otro vector con las siguientes características:
*Su módulo es igual al módulo de &lt;math&gt; \overrightarrow {v}&lt;/math&gt; multiplicado por el valor absoluto de K. 
*Su dirección es la misma que la de &lt;math&gt; \overrightarrow {v}&lt;/math&gt; . 
*Su sentido es el mismo de &lt;math&gt; \overrightarrow {v}&lt;/math&gt; si K es positivo o el contrario si K es negativo.
*Cuando &lt;math&gt; \overrightarrow {v}&lt;/math&gt; es el vector nulo, o K=0, el resultado es el vector nulo:
:&lt;math&gt;0 \cdot \overrightarrow {v}=K \cdot \overrightarrow {0}= \overrightarrow {0}&lt;/math&gt;

'''2. SUMAS Y RESTAS DE VECTORES.'''

Gráficamente pueden sumarse mediante el teorema del paralelogramo. Matemáticamente, se emplea la forma:

&lt;math&gt;(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)&lt;/math&gt;

'''3. COMBINACION LINEAL DE VECTORES.'''

Definicion: dados dos vectores, X¯ e Y¯ y dos números A y B, el vector AX¯+BY¯ se dice que es una COMBINACION LINEAL de X¯ e Y¯.

Entonces tu lo haces gráficamente.... dibujas los vectores X¯ e Y¯ y el vector V¯ lo dibujas como si fuera el módulo de los anteriores... pero claro este será más grande que el módulo real de X¯ e Y¯ entonces tendrás que multiplicar los vectores X¯ e Y¯  por dos números hasta que el vector V coincida con el módulo de los nuevos vectores dibujados.

         · DE ESTO SE SACA QUE: cualquier vector se puede escribir como combinación lineal de otros dos. 
         · Y que esta combinación de números (A y B) es única, es decir: no hay otra.

==Coordenadas de un vector==


'''1. BASE'''

Este es un concepto muy importante que te servira bastante de aqui en adelante. 

      · DEFINICIÓN: forman base dos vectores con distinta dirección, porque cualquier vector del    
       ·plano se puede poner como combinacion lineal entre ellos.

TIPOS DE BASES:

''B. ORTOGONAL''. si los vectores que la forman son perpendiculares entre sí.

''B. ORTONORMAL'': es una base ortogonal cuyos vectores son además unitarios.
 Aclaracion: un vector es unitario si su módulo es = 1
''B. CANÓNICA'': La base canónica es la más común de todas las bases y la que se usará a este nivel. Se caracteriza por estar formada por vectores unitarios que tienen todas las componentes nulas (iguales a 0) excepto una. Por ejemplo, la base canónica en el espacio es {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)} y en el plano {(1,0);(0,1)}.

''B. GENÉRICA'': Los vectores que la forman no tienen por que ser ortogonales ni unitarios. Cambian algunas expresiones como la del producto escalar. No se usarán en este curso pero existen.

&lt;math&gt;&lt;/math&gt;

==Producto escalar de vectores==
siendo:
: &lt;math&gt;
 \vec{u} = (u_1, u_2)
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
 \vec{v} = (v_1, v_2)
&lt;/math&gt;

Existen dos fórmulas fundamentales:

: &lt;math&gt;
 \vec{u} \cdot \vec{v} =  |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot cos(\vec{u},\vec{v})
&lt;/math&gt;    (Expresión geométrica)

: &lt;math&gt;
   \vec{u} \cdot \vec{v} = {u_1} \cdot {v_1} + {u_2} \cdot {v_2}
&lt;/math&gt;    (Expresión algebraica)

Simplemente, aplica estas dos fórmulas según lo que te pidan. Y estúdiate las propiedades del producto escalar que seguro que vienen en tu libro.

[[Categoría:Matemáticas Bachillerato LOGSE]]</text>
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    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Geometría analítica</title>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección}}&lt;/noinclude&gt;
==Conceptos Previos==
=== Punto ===
Un punto en el [https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas| plano cartesiano] está formado por un par ordenado ''(x,y)'', donde &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; es la coordenada en el eje de abscisas e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; es la coordenada en el eje de ordenada.
=== Segmento ===
Un segmento es un fragmento de la recta que está delimitada por dos puntos, extremos o finales, así, un segmento &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; está formado por los puntos &lt;math&gt;A(a_1, a_2)&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;B(b_1, b_2)&lt;/math&gt;
==== Punto Medio de un Segmento ====
Para hallar el punto medio del segmento &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt;, formado por &lt;math&gt;A(a_1, a_2)&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;B(b_1, b_2)&lt;/math&gt;:
{{Ecuación|&lt;math&gt;M = \left( \frac{a_1 + b_1}{2}, \frac{a_2 + b_2}{2} \right) \Rightarrow M(m_1, m_2)&lt;/math&gt;}}
==== Puntos Alineados ====
Los puntos ''A'', ''B'' y ''C'' están alineados si:
{{Ecuación|&lt;math&gt;\frac{b_1 - a_1}{b_2 - a_2} = \frac{c_1 - b_1}{c_2 - b_2} = \frac{c_1 - a_1}{c_2 - a_2}&lt;/math&gt;}}
==== Puntos Simétricos ====
Dos puntos &lt;math&gt;P&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;P'&lt;/math&gt; son simétricos respecto de un punto &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;,si &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; es el punto medio del segmento &lt;math&gt;PP'&lt;/math&gt;.
Así, se cumple que: 
{{Ecuación|&lt;math&gt;\frac{p_1 + p'_1}{2} = o_1&lt;/math&gt;}}

{{Ecuación|&lt;math&gt;\frac{p_2 + p'_2}{2} = o_2&lt;/math&gt;}}

==Ecuaciones de la recta==

Cuando representamos una ecuación de primer grado en un gráfico de 2 dimensiones (dos ejes: ordenadas y abscisas) se hace una recta.

&lt;math&gt;y = mx + n&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m&lt;/math&gt; es la pendiente de la recta, coincide con la tangente del ángulo que forma la recta respecto al eje de abscisas.

&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; es la ordenada de origen, el punto en el eje de ordenadas en el cual la recta corta.
'''La parábola''' es el lugar geométrico de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada '''directriz''', y a un punto fijo, llamado '''foco''' son iguales

==Aplicación de los vectores a problemas métricos==

==Problemas con rectas en paramétricas==

==Ecuación explicita de la recta. Pendiente==
La ecuación explicita de la recta se obtiene despejando la &quot;y&quot; en la ecuación general de la recta (ax + by + c = 0):

&lt;math&gt;y = \frac{-a}{b}x + \frac{-c}{b}&lt;/math&gt;

Sustituyendo &lt;math&gt;-a/b = m&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;-c/b = n&lt;/math&gt; obtenemos:

&lt;math&gt;y = mx + n&lt;/math&gt;

Donde &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; es el coeficiente angular de la recta y &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; es la intersección de la recta con el eje Oy.

==Relacion entre las pendientes m&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y m&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; de dos rectas r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;==

'''Inclinación y pendiente'''.
Dado un segmento cualquiera, la inclinación de ésta es el menor de los ángulos (&lt;math&gt;theta&lt;/math&gt;)que forma con el semieje positivo X y se mide desde el eje hacia el segmento o la recta L. la inclinación es positiva si el ángulo se mide en el sentido contrario a las agujas del reloj, en caso contrario es negativo.

{| border=&quot;1&quot; cellpadding=&quot;5&quot; cellspacing=&quot;0&quot; align=&quot;center&quot;
|  &lt;math&gt;m =  \operatorname{tg}\ \theta&lt;/math&gt;
|}

==Posición relativa de dos rectas dadas en forma general==
ACLARACION EXAGERADA
Si la ecuación general de una recta es Ax + By + C = 0, se observa, que es una expresión de primer grado (o lineal) &quot;toda ecuación de primer grado (en  dos variables cuyo exponente es la unidad) tiene como gráfica una recta&quot; determinados los coeficientes  A, B y C, tenemos la ecuación de la recta. Lo mismos ocurrirá cuando determinemos las ecuaciones de las cónicas, &quot;una vez encontrada la ecuación general, bastará determinar los coeficientes, para tener la ecuación particular a ese problema&quot;.
Estos coeficientes se hallan en relación a propiedades y características de la curva, condiciones iniciales y de contorno, más los datos del problema.

&lt;noinclude&gt;{{Matemáticas}}&lt;/noinclude&gt;</text>
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==Concepto de función==
Tipo de relación donde dada una variable o cantidad y procesada de acuerdo a unas condiciones preestablecidas da como resultado un único resultado.
[[archivo:Operación unaria 1b.svg|derecha|240px]]
Ej. Dado cualquier número se elevara al cuadrado y al resultado se le restara uno.
Con este ejemplo de función se puede realizar la siguiente tabla donde los datos de la primera columna son datos arbitrarios y la segunda columna son datos obtenidos al procesar el dato de la izquierda.

{| {{tablabonita}}
!   X || Y 
|----------
|   2 || 3 
|----------
|   3 || 8 
|}
Observamos que a los datos de entrada se les llamó X y a los de salida se les llamó Y, entonces podemos escribir una formula que muestre lo anteriormente expresado: donde X es cualquier número, é Y es el valor que se obtiene al remplazar la X por el valor arbitrario.

Para dar una mayor idea al respecto y esperando que se profundice en el tema, diremos que una función es como una maquina que siempre le hace a lo que le introduzcan lo mismo, claro que de acuerdo a lo que le introduzcan dará un resultado diferente.

   
Producto inicial
(x) » » »
(función)  Producto final
(y). 


El anterior esquema representa un proceso industrial, matemáticamente podríamos decir que el producto inicial es como el valor izquierdo de la tabla, los valores de X; el producto final será el valor de Y que es lo que sale de la maquina, y finalmente la maquina será la función, la que convierte mediante un proceso propio de cada maquina un producto inicial en otro final.

==Dominio de definición de una función==

El dominio de una función es el conjunto de valores que pueden entrar para operar. Es decir, los valores que puede tener la variable independiente.

&lt;math&gt;y = x&lt;/math&gt; tiene como dominio todo número real ademas cuando tiene en coma.

&lt;math&gt;y = \sqrt{x}&lt;/math&gt; tiene como dominio todo número real positivo incluído el cero

==Discontinuidades. Continuidad==
Una función es continua en un punto si, y solo si el límite de la función cuando tiende a tal punto tanto por la derecha y por la izquierda es el mismo, y es igual al valor que toma la función a tal punto.

&lt;math&gt;y = f(x)&lt;/math&gt;

La función es continua en el punto &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; si se cumple la siguiente condición:

&lt;math&gt;\lim_{x\to a^{-}} f(x) = \lim_{x\to a^{+}} f(x) = f(a)&lt;/math&gt;
[[archivo:AL Discontinuidad.svg|centrado|600px]]

En caso de no cumplirse esta condición, la función es discontinua. Dicha discontinuidad puede ser ''evitable'', si existen los límites por la derecha y por la izquierda (y son iguales, por lo tanto, existe el límite), pero no coinciden con el valor de la función (en tal caso, bastaría definir una nueva función &quot;a trozos&quot;, de manera que se asignase el valor de los límites a la función en el punto para que esta fuese contínua), o ''inevitable'', caso de que no existan o sean distintos.

La ''discontinuidad evitable'' también aparece cuando existe el límite y existe la imagen pero son diferentes.

==Límites en un punto==
[[archivo:Función real continua ck.svg|derecha|260px]]
Una función f(x) es continua en un punto x=a si se cumplen la siguientes condiciones:
*Que el punto x=a tenga imagen.
&lt;math&gt;&lt;/math&gt;
*Que exista el límite de la función en el punto x=a.
&lt;math&gt;&lt;/math&gt;
*Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto. 
: &lt;math&gt;
   \lim_{x\to a} f(x) = f(a)
&lt;/math&gt;

== Cálculo de límites cuando x -&gt; a ==

=== Cálculo del límite de un cociente de polinomios cuando x -&gt; a ===

==Comportamiento de una función cuando  x -&gt; infinito==
El comportamiento de una función cuando x tiende a &lt;math&gt;{\pm\infty}&lt;/math&gt; son los distintos valores del &lt;math&gt;{\lim_{x\to{\pm\infty}}f(x)}&lt;/math&gt;, estos pueden ser &lt;math&gt;{\pm\infty}&lt;/math&gt; ó &lt;math&gt;{a \in R}&lt;/math&gt;.
Si la función es un polinomio &lt;math&gt;{\lim_{x\to{\pm\infty}}f(x)}=\lim_{x\to{\pm\infty}}(a_k x^k)&lt;/math&gt;, siendo k el grado del polinomio,serà &lt;math&gt;{+\infty}&lt;/math&gt; cuando &lt;math&gt;x\to{+\infty}&lt;/math&gt;, independiente si k es par o impar, y será &lt;math&gt;{-\infty}&lt;/math&gt;
cuando &lt;math&gt;x\to{-\infty}&lt;/math&gt; y k impar y será &lt;math&gt;{+\infty}&lt;/math&gt;
cuando &lt;math&gt;x\to{-\infty}&lt;/math&gt; y k par.

==Ramas infinitas y asíntotas==
En el estudio de la función, es importante analizar los puntos en los que esta tiende hacia el infinito (ramas infinitas), o las direcciones constantes que toma al alejarse hacia &lt;math&gt;{+\infty}&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;{-\infty}&lt;/math&gt; (caso de que las haya).
Una buena forma de enfocar este estudio podría ser el siguiente: localizar los puntos singulares de la función (denominador que se anula, logaritmo negativo ...), estudiar el límite en &lt;math&gt;{\pm\infty}&lt;/math&gt; y por último buscar asíntotas verticales.

'''Asíntotas Verticales''': Indican un valor ''a'' de la variable independiente ''x'', tal que &lt;math&gt;{\lim_{x\to{a}}f(x)={\pm\infty}}&lt;/math&gt;. Si ya hemos hecho un análisis del dominio de la función, encontrarlas es mucho más facil; son los ceros del denominador, los puntos en los que el argumento de un logaritmo se anula ...
Para la posterior representación gráfica, es recomendable dibujar con trazo discontínuo las A. V. como rectas &lt;math&gt;{x=a}&lt;/math&gt;
:{|
| [[archivo:Función xy discontinua 22.svg|200px]]
| [[archivo:Función xy discontinua 23.svg|200px]]
| [[archivo:Función xy discontinua 32.svg|200px]]
| [[archivo:Función xy discontinua 33.svg|200px]]
|}
{{clear}}

'''Asíntotas Horizontales''': Son tales que &lt;math&gt;{\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=a}&lt;/math&gt;. Intuitivamente, es el valor al que se va acercando la función al crecer el valor de la variable independiente.
Análogamente al caso anterior, es recomendable dibujar con trazo discontínuo la A.H. como una recta &lt;math&gt;y=a&lt;/math&gt;.

'''Asíntotas Oblícuas''': 
a una dirección constante en el plano cartesiano. Para ello, es necesario calcular dos límites, que nos proporcionan diversa información:
*&lt;math&gt;{m=\lim_{x\to\pm\infty} f(x)/x}&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;{m=\pm\infty}&lt;/math&gt;, se trata de una rama parabólica de dirección OY; si &lt;math&gt;{m=0}&lt;/math&gt; es una rama infinita de dirección OX. Si &lt;math&gt;{m=k}&lt;/math&gt;, es una rama asintótica de pendiente ''k''.
*Para determinar completamente dicha asíntota, tenemos que obtener el límite &lt;math&gt;{n=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx)}&lt;/math&gt;. 
La asíntota será la recta de ecuación &lt;math&gt;y = mx + n&lt;/math&gt;.

==Comportamiento de una función cuando &lt;math&gt;x\to{-\infty}&lt;/math&gt;==

Se calcula exactamente igual que cuando X-&gt; infinito, pero teniendo en cuenta las reglas de los signos (ya sea suma, resta, multiplicación, división, potencia o raíz).

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    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Derivadas</title>
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==Medida del crecimiento de una función==

El resultado de derivar una función es una segunda función que nos indica el crecimiento de la función original. Esto es, en un punto determinado, la pendiente de la función original. Desde un punto de vista gráfico para facilitar su comprensión, una línea recta dibujada horizontalmente tiene una función, una ecuación, asociada como la siguiente: &lt;math&gt;y = n&lt;/math&gt;, donde n es un número.
La derivada de esta función es 0, puesto que n es una constante. En este caso la derivada nos explica que la función ni crece ni decrece.

Ahora imaginemos una recta creciente de función &lt;math&gt;y = nx&lt;/math&gt;, donde n (la pendiente) es un número positivo. Si derivamos la función obtendremos de resultado una constante de valor n (la pendiente de la función anterior). Siendo este número positivo sabemos que la función crece.

Conclusión: La derivada de una función nos dice la pendiente de la función.

¿Es esto siempre válido? Con matices. En el caso de las funciones de recta (polinomios de 1r grado) lo es porque independientemente del punto en el que derives el resultado es constante.

¿Y en el caso de curvas (polinomios de grado superior a 1 u otras funciones)? Es válido. PERO: La derivada genérica de la función &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; nos devolverá una función derivada &lt;math&gt;D[f(x)]&lt;/math&gt; que nos dará toda la información del crecimiento de la función original, para cada punto de esta, por lo que para obtener la información de crecimiento en un punto concreto debemos evaluar la función derivada en ese punto. Es decir, &lt;math&gt;D[f(1)]&lt;/math&gt; nos dará la tasa de crecimiento de la función &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; para puntos &lt;small&gt;infinitesimalmente&lt;/small&gt; cercanos a 1.

== Definición ==

Sea &lt;math&gt;f \,&lt;/math&gt; una [[Continuidad (matemáticas)|función continua]], y &lt;math&gt;C \,&lt;/math&gt; su curva. 
Sea &lt;math&gt;x=a \,&lt;/math&gt; la abscisa de un punto regular, es decir donde &lt;math&gt;C \,&lt;/math&gt; no hace un ángulo.
En el punto &lt;math&gt;A(a,f(a)) \,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;C \,&lt;/math&gt; se puede trazar la [[Tangente (geometría)|tangente]] a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es &lt;math&gt;f^\prime(a)&lt;/math&gt;, el número derivado de &lt;math&gt;f \,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;a \,&lt;/math&gt;.

La función &lt;math&gt;a\rightarrow f^\prime(a)&lt;/math&gt; es la derivada de &lt;math&gt;f \,&lt;/math&gt;. 

&lt;center&gt;[[Archivo:pendiente.png]]&lt;/center&gt;

En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir &lt;math&gt;f^\prime(a)&lt;/math&gt;, se puede saber a qué ritmo crece o decrece la función. El signo de &lt;math&gt;f^\prime(a)&lt;/math&gt; determina si la función &lt;math&gt;f \,&lt;/math&gt; crece o decrece.

&lt;center&gt;[[Archivo:derivada.png|260px]]&lt;/center&gt;

En este gráfico se ve que donde &lt;math&gt;f \,&lt;/math&gt; es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto &lt;math&gt;f^\prime \,&lt;/math&gt; es positiva, como en el punto &lt;math&gt;D \,&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;x=d \,&lt;/math&gt;), mientras que donde &lt;math&gt;f \,&lt;/math&gt; es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y &lt;math&gt;f^\prime&lt;/math&gt; es negativa, como en el punto &lt;math&gt;B \,&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;x=b \,&lt;/math&gt;). En los puntos &lt;math&gt;A \,&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;C \,&lt;/math&gt;, que son máximo y mínimo local, la tangente es horizontal, luego &lt;math&gt;f^\prime(a)=0=f^\prime(c)&lt;/math&gt;.

La función derivada se puede calcular sin dibujar la curva de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la [[Tangente (geometría)|tangente]], se tiene la fórmula:

:&lt;math&gt;f^\prime(x) = \lim_{h \to 0} \frac {f(x+h) -  f(x)} {h}&lt;/math&gt;

== Interpretación geométrica ==
[[Archivo:Tangent_to_a_curve.svg|thumb|350px]]

Sea &lt;math&gt;f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt; una función cualquiera.

Si trazamos una recta entre dos de sus puntos, podemos hallar la Tasa de Valor Medio como los incrementos en la ordenada respecto de la variable independiente. Es decir, '''la pendiente de la recta secante a la función por los puntos &lt;math&gt;(x, y), (x_0, y_0)&lt;/math&gt; es:''' &lt;math&gt;m = { y - y_0 \over x - x_0 }&lt;/math&gt;, o de forma abreviada, &lt;math&gt;m = {\Delta x \over \Delta y}&lt;/math&gt;.

Ahora acerquemos &lt;math&gt;x_0&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; uno al otro. Cuando se confundan en un punto, también lo harán la recta tangente con la secante. De este modo, por la definición de límite, tema de este curso, podemos hallar la función &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; como sigue:
&lt;math&gt;m_{0} = f'(x) = \lim_{x\to x_0} {f(x) - f(x_0) \over x - x_0} = \lim_{h\to 0} { f(x+h)-f(x)\over h }&lt;/math&gt;

Esta es la definición formal de función derivada. Sale directamente de la fórmula de la pendiente, acercando los puntos &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;x_0&lt;/math&gt;.

En resumen, la interpretación geométrica de la función derivada es: ''la función que nos devuelve la pendiente de la función original en cada punto''.


==Crecimiento de una función en un punto==

==Función derivada de otra==

==Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones==
Las reglas básicas que hay que conocer para derivar funciones tan complejas como uno quiera son:
#&lt;math&gt;D[c]=0&lt;/math&gt;, siendo ''c''=cte.
#&lt;math&gt;D[c\cdot f(x)]=c\cdot D[f(x)]&lt;/math&gt;, siendo ''c''=cte. y ''f''(''x'') cualquier función.
#&lt;math&gt;D[x^n]=n\cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;, siendo ''n''=cte no nula.
#&lt;math&gt;D[\sin(x)]=\cos(x)&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;D[\cos(x)]=-\sin(x)&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;D[\tan(x)]=1/\cos^2(x)=1+\tan^2(x)&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;D[\ln(x)]=1/x&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;D[e^x]=e^x&lt;/math&gt;

Y la regla de la cadena:
&lt;math&gt;D[f(g(x))]=g'(x)\cdot f'(g(x))&lt;/math&gt;

==Aplicaciones de las derivadas==

Dada una función &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; que es derivada de otra función &lt;math&gt;F(x)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(x) = F'(x)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; se anula en los puntos donde hay un máximo o un mínimo en la función primitiva, o sea en esos puntos cambia el crecimiento de la función &lt;math&gt;F(x)&lt;/math&gt;

La derivada segunda &lt;math&gt;F''(x)&lt;/math&gt; (derivada de la derivada) se anula en los puntos en los cuales se encuentran puntos de inflexión en la función original,que es donde cambia la curvatura de la función &lt;math&gt;F(x)&lt;/math&gt;

== Ejemplos ==
=== Ejemplo #1 ===

Consideremos la siguiente función:

{|
|-
|&lt;math&gt;f(x) \,\!&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; = 5 \,\!&lt;/math&gt;
|-
|}

Entonces:
{|
|&lt;math&gt;f'(x) \,\!&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(5)-(5)}{h}&lt;/math&gt;
|-
|
|&lt;math&gt; = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{5-5}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{0}{h} = 0 &lt;/math&gt;
|-
|}

Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero nunca lo alcanza. Si pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la recta tangente a la curva, es a la vez, la recta secante a la misma curva.

=== Ejemplo #2 ===
Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada de la función.
:&lt;math&gt;\mathit{f} (x)= 3x-2 \,&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\mathit{f} (x+\Delta x)= 3(x+\Delta x)-2  \,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\mathit{f'} (x) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\mathit{f}(x+\Delta x)-\mathit{f}(x)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

Sustituir datos:
:&lt;math&gt; \lim_{\Delta x\to 0} \frac{3(x+\Delta x)-2-(3x-2)}{\Delta x} &lt;/math&gt;

Desarrollar:
:&lt;math&gt;\lim_{\Delta x\to 0} \frac{3x +3\Delta x-2-3x+2}{\Delta x}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\lim_{\Delta x\to 0} \frac{3\Delta x}{\Delta x}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\mathit{f'} (x) = \lim_{\Delta x\to 0}3 = 3&lt;/math&gt;

Entonces, la derivada de la función &lt;math&gt;\mathit{f} (x)= 3x-2 \,&lt;/math&gt; es: 
:&lt;math&gt;\mathit{f'} (x) = 3 \,&lt;/math&gt;

=== Ejemplo #3 ===
Encuentra la derivada de:
:&lt;math&gt;g(x)= \sqrt{(1+2x)}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g'(x)=\lim_{h\to 0}  \frac{\sqrt{1+2(x+h)}-\sqrt{1+2x}}{h}&lt;/math&gt;

Racionalizando:

:&lt;math&gt;g'(x)=\lim_{h\to 0}  \frac{\sqrt{1+2(x+h)}-\sqrt{1+2x}}{h} * \frac{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}}{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g'(x)=\lim_{h\to 0}  \frac{1+2x+2h-1-2x}{h(\sqrt{1+2x+2h}+\sqrt{1+2x})}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g'(x)=\lim_{h\to 0}  \frac{2h}{h(\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x})}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g'(x)=\lim_{h\to 0}  \frac{2}{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}}&lt;/math&gt;

Calculamos el límite:

:&lt;math&gt;g'(x)=\lim_{h\to 0}  \frac{2}{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g'(x)=\lim_{h\to 0}  \frac{2}{\sqrt{1+2(x+0)}+\sqrt{1+2x}}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g'(x)=\lim_{h\to 0}  \frac{2}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2x}}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g'(x)=  \frac{2}{2\sqrt{1+2x}}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;g'(x)=  \frac{1}{\sqrt{1+2x}}&lt;/math&gt;

Algunos ejemplos de cómo utilizar este cociente:

=== Ejemplo #4 ===

Mediante esta diferenciación, se puede calcular la pendiente de una curva. Consideremos que:
&lt;math&gt;f(x)=x^2 \,\!&lt;/math&gt;

{|
|-

|-
|}

Entonces:
{|
|&lt;math&gt;f'(x) \,\!&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h}&lt;/math&gt;
|-
|
|&lt;math&gt; = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh + h^2}{h}&lt;/math&gt;
|-
|
|&lt;math&gt; = \lim_{h\rightarrow 0}(2x + h) = 2x&lt;/math&gt;
|-
|}

Para cualquier punto ''x'', la pendiente de la función &lt;math&gt;f(x)=x^2 \,\!&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;f'(x)
 =2x \,\!&lt;/math&gt;.

=== Ejemplo #5 ===
Sea &lt;math&gt;f \,&lt;/math&gt; la función &lt;math&gt;f(x)=2x^3+9x^2-24x+51 \,&lt;/math&gt;, definida sobre el conjunto de los números reales (denotado por &lt;math&gt;\mathbb R \,&lt;/math&gt;). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:
:&lt;math&gt;f^\prime(x)=6x^2+18x-24&lt;/math&gt;
Para encontrar el signo de &lt;math&gt;f^\prime(x)&lt;/math&gt;, se tiene que factorizar:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}f^\prime(x)&amp;=&amp;6(x^2+3x-4)\\&amp;=&amp;6(x+4)(x-1)\end{array}&lt;/math&gt;

lo anterior que se hace resolviendo una [[ecuación de segundo grado]].

También se observa su segunda derivada:
:&lt;math&gt;f''(x)=12x+18&lt;/math&gt;


Dado que &lt;math&gt;f'(1)=0\,&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;f''(1)&gt;0\,&lt;/math&gt; entonces &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; tiene un mínimo local en 1 y su valor es &lt;math&gt;f(1)=38\,&lt;/math&gt;.

Dado que &lt;math&gt;f'(-4)=0\,&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;f''(-4)&lt;0\,&lt;/math&gt; entonces &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; tiene un máximo local en -4 y su valor es &lt;math&gt;f(-4)=163\,&lt;/math&gt;.

Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; tales que &lt;math&gt;f'(x)=0\,&lt;/math&gt;, los cuales son &lt;math&gt;x=1\,&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;x=-4\,&lt;/math&gt;, tomando en cuenta el teorema del valor medio y que &lt;math&gt;f''(-4)&lt;0\,&lt;/math&gt; entonces la derivada es negativa en el intervalo &lt;math&gt;(-4,1)\,&lt;/math&gt; por lo tanto la función es decreciente en el intervalo &lt;math&gt;[-4, 1]\,&lt;/math&gt;.

Al ser una función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por arriba ni por abajo y como su derivada es una función cuadrática entonces no tiene más de 2 puntos con derivada igual a cero, por tanto la función es creciente en el intervalo &lt;math&gt;[1, \infty)\,&lt;/math&gt; y en el intervalo &lt;math&gt;(-\infty, -4]\,&lt;/math&gt;.

== Véase también ==
http://ballz.ababa.net/silvana/derivada.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/node1.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/derivada-direccional/node1.html

[[Categoría:Matemáticas Bachillerato LOGSE]]</text>
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    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Funciones elementales</title>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección}}&lt;/noinclude&gt;

Dada una función real de variable real. función elemental:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      f: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
         &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = f(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Las funciones elementales son funciones recursivamente construibles a partir de alguna de los siguientes conjuntos:
# Conjunto de funciones polinómicas
# Función exponencial
# Funciones trigonométricas
Mediante alguna de las siguientes operaciones
# Operaciones de álgebra elemental (suma, resta, multiplicación, división) entre funciones de los anteriores conjuntos
# Composición de funciones elementales de los anteriores conjuntos
# Recíproco de funciones elementales (dada una función elemental su recíproca también es elemental por definición).

: &lt;math&gt;
   Funciones
   \left \{
   \begin{array}{l}
      Algebraicas
      \left \{
      \begin{array}{l}
         Potencias
            \left \{
            \begin{array}{l}
               Polin\acute{o}mica
                  \left \{
                     \begin{array}{l}
                        Funci\acute{o}n \; constante \\
                        Funci\acute{o}n \; lineal    \\
                        Funci\acute{o}n \; cuadr\acute{a}tica \\
                        \dots
                     \end{array}
                  \right .
                \\
               Racionales
            \end{array}
            \right .
      \\
      Radicales
      \end{array}
      \right .
      \\
      Trascendentes
      \left \{
      \begin{array}{l}
         Trigonom\acute{e}trica \\
         Exponencial            \\
         Logar\acute{\imath}tmica
      \end{array}
      \right .
   \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;
==Representación de una función ==
Representación gráfica de funciones Se llama estudiar una función al conjunto de las tareas encaminadas a determinar los elementos que definen su comportamiento para los diferentes intervalos de valores de su dominio. Crecimiento, concavidad, tendencias asintóticas y otras informaciones relacionadas sirven de ayuda para conocer la conducta de las funciones matemáticas y extraer datos de optimización relevantes para los problemas prácticos.

La abscisa de un punto en el que la grafica de una función intercepta al eje al eje x se denomina intersección con el eje x o raíz de la función. La intersección con el eje x es también una solución real o raíz de la ecuación f(x)=0. La ordenada de un punto en el que la grafica de una función cruza el eje y se denomina intersección con el eje y de la función.

Para estudiar el comportamiento de una función, se aplica un procedimiento sistemático que comprende los puntos siguientes:
 
*Determinación de su dominio de definición.
*Búsqueda de simetrías y periodicidades.
*Fijación de los puntos de corte con los ejes.
*Cálculo de las asíntotas.
*Tendencias de crecimiento y decrecimiento, con determinación de los máximos y los mínimos relativos.
*Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
*Análisis del comportamiento de la función en las distintas regiones del plano.

En las aplicaciones, es frecuente que una gráfica muestre la relación entre dos variables con mayor claridad que una ecuación o una tabla.

Cuando la regla que define una función f está dada mediante una ecuación en x y y, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación, es decir, el conjunto de puntos (x, y) en el plano xy que satisfacen dicha ecuación.

No toda colección de puntos en el plano xy representa la grafica de una función. Para una función cada numero x en el dominio de f  tiene una, y solo una, imagen f(x). Así, la grafica de una función no puede contener dos puntos con la misma abscisa  y diferentes ordenadas. Por lo tanto, la grafica de una función debe satisfacer el siguiente criterio de la recta vertical:
Un conjunto de puntos en el plano xy es la grafica de una función si, y solo si, una recta vertical interseca la grafica a lo mas en un punto. De esto concluimos que si una recta vertical interseca una grafica en más de un punto, esa grafica no es la de una función.

== Representar una función ==
es un tipo de representación gráfica de modo f(x)=y+x
Pubertad
Universidad
Tecnológica
Amistad

== Función constante ==
[[Archivo:Función lineal 0.svg|280px|derecha]]
Una función contante es la que tiene la forma:
: &lt;math&gt;
   y = a
&lt;/math&gt;

Siendo '''a''' un valor real costante y conocido. Por ejemplo:


: &lt;math&gt;
   y = 2
&lt;/math&gt;
{{clear}}

==Funciones líneales==
[[Archivo:Función lineal 1.svg|280px|derecha]]
Una función es lineal si tiene la forma:
: &lt;math&gt;
   y = a x + b
&lt;/math&gt;

Donde '''a''' y '''b''' son valores reales constantes y conocidos. Por ejemplo:


: &lt;math&gt;
   y =
   2x-3
&lt;/math&gt;

* Dominio de definición.
La función esta definida para todo '''x''' real.

* Corte con el eje '''y'''.
: &lt;math&gt;
   \left .
      \begin{matrix} 
         x= 0 \\
         y = 2x - 3
      \end{matrix}
   \right \}
   \quad \longrightarrow \quad
   y = -3
&lt;/math&gt;

* Corte con el eje '''x'''.
: &lt;math&gt;
   \left .
      \begin{matrix} 
         y= 0 \\
         y = 2x - 3
      \end{matrix}
   \right \}
   \quad \longrightarrow \quad
   0 = 2x - 3
   \quad \longrightarrow \quad
   2x = 3
   \quad \longrightarrow \quad
   x = \cfrac{3}{2} = 1,5
&lt;/math&gt;
{{clear}}

== Función cuadrática ==
[[archivo:Función cuadrática 04.svg|260px|derecha]]
Una función cuadrática es de la forma:
: &lt;math&gt;
   y = a x^2 + b x +c
&lt;/math&gt;

Donde '''a''', '''b''' y '''c''' son valores reales constantes y conocidos.
{{clear}}

== Función cubica ==
[[Archivo:X_Cubed.svg|260px|right]]
Una función cubica es de la forma:
: &lt;math&gt;
   y = a x^3 + b x^2 + c x + d
&lt;/math&gt;

Donde '''a''', '''b''', '''c''' y '''d''' son valores reales constantes y conocidos.
{{clear}}
== Función polinómica, caso general ==
[[Archivo:Arbitrary_function_graph.png|260px|right]]
Una función polinómica es de la forma, en un caso general:
: &lt;math&gt;
   y = a_n x^n + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0
&lt;/math&gt;
{{clear}}
== Representación de funciones racionales ==
: &lt;math&gt;
   f(x)=
   \cfrac{x^2-1}{x+3}
&lt;/math&gt;

==Funciones trigonométricas==

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=250px perrow=3&gt;
Image:Función Trigonométrica S100.svg|Seno:       y= sen x
Image:Función Trigonométrica S010.svg|Coseno:     y= cos x
Image:Función Trigonométrica S001.svg|Tangente:   y= tan x
Image:Función Trigonométrica S200.svg|Cosecante:  y= csc x

Image:Función Trigonométrica S020.svg|Secante:    y= sec x
Image:Función Trigonométrica S002.svg|Cotangente: y= ctg x

&lt;/gallery&gt;

Todas:
[[Image:Función Trigonométrica S333.svg|center|600px]]

==Funciones exponenciales==
: &lt;math&gt;
   f(x)= 2^x
&lt;/math&gt;

==Funciones logarítmicas==
: &lt;math&gt;
   f(x)= \log_{2} {x} = \lg {x}
&lt;/math&gt;

&lt;noinclude&gt;{{Matemáticas}}&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Integrales</title>
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        <username>Mazbel</username>
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==Área bajo una curva==

El concepto de integral proviene del deseo de conocer el área comprendida entre el eje de coordenadas y una curva, también llamada área bajo la curva. Originalmente para calcular dicha área se propuso dibujar rectángulos de altura y base conocidas para poder así sumar sus áreas. Obviamente el método no es exacto. Para obtener más precisión se han de hacer los rectángulos con una base más pequeña para que la diferencia sea cada vez menor. El único método exacto es crear rectángulos de base infinatamente pequeñas, usando diferenciales, con lo que se obtiene una serie de áreas infinitamente pequeñas. La integral es la suma de dichas áreas aprovechando las bases diferenciales, con lo que se eliminan las inexactitudes.

==Relación analítica entre el area y la función==

==Iniciación al cálculo de primitivas==
==Regla práctica para el cálculo de integrales==

==Aplicaciones de las integrales==

[[Categoría:Matemáticas Bachillerato LOGSE]]</text>
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    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Combinatoria</title>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección}}&lt;/noinclude&gt;
La '''combinatoria''' estudia las diferentes formas en que se pueden agrupar u ordenar los elementos de un conjunto. El punto de partida será el '''principio de la multiplicación''' o estrategia del producto.


==Principio de la multiplicación o estrategia del producto==
:'''Ejemplo 1''':	Un equipo de baloncesto tiene que elegir un nuevo uniforme. Para ello debe escoger entre 4 camisetas y 5 pantalones con diferentes colores. ¿Cuántos uniformes distintos se pueden componer con las camisetas y pantalones disponibles?

::Para resolver este problema hemos de tener en cuenta que cada una de las camisetas se podrá combinar con cada uno de los pantalones disponibles. Si tuviéramos una única camiseta, podríamos componer 5 uniformes diferentes, resultado de combinar dicha camiseta con cada uno de los 5 pantalones. Si tuviéramos 2 camisetas, podríamos componer 5 uniformes distintos para cada camiseta, resultado de combinar cada camiseta con cada uno de los 5 pantalones. Tendríamos por tanto 2 · 5 = 10 combinaciones posibles. Siguiendo el mismo razonamiento, llegaríamos a la conclusión de que con 4 camisetas y 5 pantalones, podríamos componer 4 · 5 = 20 uniformes diferentes.


Lo que hemos utilizado es lo que se conoce con el nombre de principio de la multiplicación, que puede enunciarse de la siguiente forma:

{| width=&quot;95%&quot; cellpadding=&quot;20&quot; cellspacing=&quot;0&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;border-top:1px solid DarkGray; border-right:1px solid DarkGray; border-bottom:1px solid DarkGray; border-left:1px solid DarkGray;&quot;
| align=&quot;left&quot;|'''Principio de la multiplicación'''. 	Si tenemos ''a'' opciones para escoger un objeto, ''b'' opciones para elegir un segundo objeto, ''c'' opciones para escoger un tercero, etc., el número total de formas de combinar los distintos objetos es el producto ''a'' · ''b'' · ''c'' · .....
|}


:'''Ejemplo 2''':  ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4, sin que se repita ninguna cifra?

::Las opciones para escoger la primera cifra son cuatro, pues ésta no puede tomar el valor 0, ya que ningún número de tres cifras comienza por 0. Para la segunda cifra tendremos también cuatro opciones, pues aunque en este caso si puede tomar el valor 0, tendremos que descartar el valor que haya tomado la primera cifra, por no poderse repetir ninguna. Por último, para la tercera cifra tendremos tres opciones, resultado de descartar los valores empleados en las dos primeras cifras, para evitar repeticiones.

::Por tanto, aplicando el principio de la multiplicación, se obtiene que hay  4 · 4 · 3 = 48 números de tres cifras distintos con los dígitos indicados en el enunciado.

==Diagrama de árbol==
Un '''diagrama de árbol''' es una representación gráfica que ilustra las formas en las que se llevan a cabo las agrupaciones de elementos. Volviendo al ejemplo 1, si llamamos &lt;math&gt;C_1, C_2, C_3 \text{ y } C_4&lt;/math&gt; a las diferentes camisetas y &lt;math&gt;P_1, P_2, P_3, P_4 \text{ y } P_5&lt;/math&gt; a los distintos pantalones, obtendríamos el diagrama de árbol que se muestra en la '''figura 1'''. Si contamos los resultados, comprobamos que obtenemos los 20 que indicaba el principio de la multiplicación.


[[Imagen:DiagramaArbol.svg|thumbnail|center|400px|'''Figura 1'''. Diagrama de árbol.]]


En los diagramas de árbol se emplea una nomenclatura propia, que describimos a continuación:

* '''Árbol''': es el diagrama completo.
* '''Raíz''': es el punto en el cual se origina el árbol. En la figura 1, la raíz sería el punto desde donde parten las cuatro flechas que llegan hasta las cuatro opciones de camiseta.
* '''Ramas''': son las distintas bifurcaciones. En la figura 1 se corresponden con las flechas del gráfico.
* '''Nodos''' o '''nudos''': son los puntos desde los que surgen nuevas bifurcaciones. En la figura 1, los nodos serían los puntos en los que tenemos las 4 opciones de camiseta: &lt;math&gt;C_1, C_2, C_3 \text{ y } C_4&lt;/math&gt;.
* '''Hojas''': son los puntos finales, desde los cuales no surgen nuevas bifurcaciones. En la figura 1, las hojas son los puntos correspondientes a las 5 opciones de pantalón (todos los nombrados como &lt;math&gt;P_1, P_2, P_3, P_4 \text{ y } P_5&lt;/math&gt;, 20 puntos en total).
* '''Nivel''': es el número de ramas que separa a un nodo u hoja de la raíz. La raíz corresponde al nivel 0 y, en la figura 1, las opciones de camiseta estarán en el nivel 1 y las de pantalón en el nivel 2.
* '''Camino''': es cualquier recorrido por las ramas del árbol, desde la raíz hasta alguna de sus hojas. En la figura 1 tenemos 20 caminos diferentes.


==Variaciones sin repetición==

:'''Ejemplo 3''': En una carrera de natación participan 8 nadadores. ¿De cuántas formas posibles pueden ocuparse los tres primeros puestos?

::Veamos las posibles opciones: Cualquiera de los nadadores participantes podría ser el primero, por lo que el número de opciones para escoger al primero es 8. El segundo puesto lo podría ocupar cualquiera de los nadadores restantes; por tanto, el número de opciones en este caso será 7. Por último, el tercer puesto lo podría ocupar cualquiera de los nadadores que no haya sido primero ni segundo; en este caso las opciones serán 6. Aplicando el principio de la multiplicación, habría 8 · 7 · 6 = 336 posibilidades distintas.

::A cada grupo de 3 nadadores, de los 336 posibles, le llamaremos variación de 8 elementos tomados de 3 en 3.


{| width=&quot;95%&quot; cellpadding=&quot;20&quot; cellspacing=&quot;0&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;border-top:1px solid DarkGray; border-right:1px solid DarkGray; border-bottom:1px solid DarkGray; border-left:1px solid DarkGray;&quot;
|align=&quot;left&quot;|'''Variaciones sin repetición''' o '''variaciones ordinarias''' de ''m'' elementos tomados de ''n'' en ''n'' (''n'' &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt; ''m''), son los distintos grupos de ''n'' elementos no repetidos que se pueden formar, escogidos de entre los ''m'' elementos posibles, de forma que en cada grupo haya algún elemento distinto, o tenga los mismos elementos que otro grupo, pero colocados en distinto orden. Cada uno de los posibles grupos es una variación. Se representa por &lt;math&gt;V_{m, n}&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;V_m^n&lt;/math&gt;.
|}


Como el primero de los elementos puede ser cualquiera de los ''m'' disponibles, el segundo cualquiera de los (''m'' – 1) restantes, el tercero cualquiera de los (''m'' – 2) que quedan y así sucesivamente, aplicando el principio de la multiplicación se obtiene:


{| cellpadding=&quot;10&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;border-top:1px solid DarkGray; border-right:1px solid DarkGray; border-bottom:1px solid DarkGray; border-left:1px solid DarkGray;&quot;
| |
&lt;center&gt;&lt;math&gt;V_{m, n} = \overbrace{m \cdot (m-1) \cdot (m-2) \cdot \cdot \cdot (m-n+1)}^{n \text{ factores}}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
|}


==Permutaciones sin repetición. Factorial==


===Factorial===


{| width=&quot;95%&quot; cellpadding=&quot;20&quot; cellspacing=&quot;0&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;border-top:1px solid DarkGray; border-right:1px solid DarkGray; border-bottom:1px solid DarkGray; border-left:1px solid DarkGray;&quot;
|align=&quot;left&quot;|
Sea el número natural ''n'' mayor que 1. Se conoce como '''factorial''' de ''n'', y se representa por ''n''!, al producto de los ''n'' primeros números naturales:

&lt;center&gt;&lt;math&gt; n! = n \cdot (n-1) \cdot \cdot \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
|}


Por convenio se definen 1! = 1 y 0! = 1 (son excepciones a la definición, ya que en ambos ''n'' no es mayor que 1).


:'''Ejemplo 4''':

::* 3! = 3·2·1 = 6
::* 5! = 5·4·3·2·1 = 120
::* 1! = 1


Teniendo en cuenta la definición de factorial de un número, se puede escribir la expresión para la obtención de las variaciones de ''m'' elementos tomados de ''n'' en ''n'', de la siguiente forma:

&lt;center&gt;&lt;math&gt;V_{m, n} = m \cdot (m-1) \cdot (m-2) \cdot \cdot \cdot (m-n+1) \Rightarrow&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


{| cellpadding=&quot;10&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;border-top:1px solid DarkGray; border-right:1px solid DarkGray; border-bottom:1px solid DarkGray; border-left:1px solid DarkGray;&quot;
| |
&lt;center&gt;&lt;math&gt;V_{m, n} = \frac{m!}{(m-n)!}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
|}


===Permutaciones sin repetición===


:'''Ejemplo 5''': En el bombo de un juego de lotería, quedan 5 bolas. ¿De cuántas formas podrán salir las cinco bolas?

::La primera bola en salir podrá ser cualquiera de las 5. La segunda bola tendrá que ser una cualquiera de las 4 restantes, etc. Si aplicamos a este problema la definición de variación sin repetición que ya hemos visto, se obtiene que las formas posibles de salir las bolas son:

&lt;center&gt;&lt;math&gt;V_{5, 5} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

En este caso, vemos que en todas las variaciones intervienen todos los elementos, y que la única diferencia entre una variación y otra está en el orden de dichos elementos. A las variaciones de ''n'' elementos tomados de ''n'' en ''n'', se las llama permutaciones de ''n'' elementos.

{| width=&quot;95%&quot; cellpadding=&quot;20&quot; cellspacing=&quot;0&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;border-top:1px solid DarkGray; border-right:1px solid DarkGray; border-bottom:1px solid DarkGray; border-left:1px solid DarkGray;&quot;
|align=&quot;left&quot;|
'''Permutaciones ordinarias''' de ''n'' elementos son las distintas formas de ordenar dichos elementos. Cada forma de ordenarlos es una permutación.

El número de permutaciones de ''n'' elementos se representa por &lt;math&gt;P_n&lt;/math&gt;, y su valor es:

&lt;center&gt;&lt;math&gt; P_n = n!&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
|}


===Permutaciones circulares===

:'''Ejemplo 6''': ¿De cuántas formas pueden colocarse 7 niños formando un círculo?
::Hay que tener cuidado, ya que no se trata de ordenar simplemente a los 7 niños, pues hay que tener en cuenta que si desplazamos a todos los niños un lugar hacia la derecha, se obtiene una ordenación idéntica a la anterior. En este caso no nos interesa la posición exacta de los niños dentro del círculo, sino la posición relativa entre ellos (no existe un primer niño, ni un último). Cuando el único orden que interesa es el orden relativo entre los n elementos, se dejará fijo a uno de los elementos y se permutará el resto de elementos de todas las formas posibles.

::Operando de esta forma se obtiene que el número de formas de posicionarse es:

 &lt;center&gt;&lt;math&gt;P_6 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


{| width=&quot;95%&quot; cellpadding=&quot;20&quot; cellspacing=&quot;0&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;border-top:1px solid DarkGray; border-right:1px solid DarkGray; border-bottom:1px solid DarkGray; border-left:1px solid DarkGray;&quot;
|align=&quot;left&quot;|
A estas permutaciones se las llama '''permutaciones circulares''' de ''n'' elementos:

&lt;center&gt;&lt;math&gt;PC_n = P_{n-1} = (n-1)!&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
|}


==Cuando no importa el orden. Combinaciones==

===Combinaciones sin repetición===

:'''Ejemplo 7''': A un concursante en un programa de televisión, le dejan elegir 3 regalos entre los siguientes: lavadora, frigorífico, lavavajillas, motocicleta, televisor y viaje. ¿Cuántas posibilidades de elección tiene el concursante?

::Se podría pensar en un principio, que se trata de las variaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3, pero hay que tener en cuenta que hay distintas variaciones que dan lugar a la misma elección del concursante.

::Considérese el caso en que el concursante elige la motocicleta, el televisor y el viaje. Den­tro del conjunto de todas las variaciones, dicha elección estaría repetida 3! = 6 veces, que son las distintas formas de ordenar dichos regalos. Por tanto, tendríamos que dividir el número de variaciones, entre el número de ordenaciones posibles de los regalos elegidos. En este caso:

&lt;center&gt;&lt;math&gt;\frac{V_{6, 3}}{P_3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3!} = 20&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


{| width=&quot;95%&quot; cellpadding=&quot;20&quot; cellspacing=&quot;0&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;border-top:1px solid DarkGray; border-right:1px solid DarkGray; border-bottom:1px solid DarkGray; border-left:1px solid DarkGray;&quot;
|align=&quot;left&quot;|
'''Combinaciones ordinarias''' o '''combinaciones sin repetición''' de ''m'' elementos tomados de ''n'' en ''n'' (''n'' &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt; ''m'') son los distintos grupos que se pueden formar con los ''m'' elementos disponibles, de modo que en cada grupo haya ''n'' elementos distintos. En este caso para que dos grupos sean distintos, han de tener algún elemento diferente; no basta con que tengan distinto orden de colocación. Se representa por &lt;math&gt;C_{m, n}&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;C_m^n&lt;/math&gt; y su valor viene dado por:


&lt;center&gt;&lt;math&gt;C{m, n} = \frac{V_{m, n}}{P_n} = \frac{m \cdot (m-1) \cdot (m-2) \cdot \cdot \cdot (m-n+1)}{n!} = \frac{m!}{n! (m-n)!}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
|}


===Números combinatorios===
El número &lt;math&gt;C_{m, n}&lt;/math&gt; se conoce también como '''número combinatorio''' &lt;math&gt;m \choose n&lt;/math&gt;. 

====Propiedades de los números combinatorios====

1. &lt;math&gt;{m \choose 0} = {m \choose m} = 1&lt;/math&gt;

:*'''Demostración''':

:: &lt;math&gt;{m \choose 0} = \frac{m!}{0! \cdot (m-0)!} = \frac{m!}{1 \cdot m!} = \frac{m!}{m!} = 1&lt;/math&gt;

:: &lt;math&gt;{m \choose m} = \frac{m!}{m! \cdot (m-m)!} = \frac{m!}{m! \cdot 0!} = \frac{m!}{m! \cdot 1} = \frac{m!}{m!} = 1&lt;/math&gt;


2. &lt;math&gt;{m \choose n} = {m \choose {m-n}}&lt;/math&gt;

:*'''Demostración''':

:: &lt;math&gt;{m \choose n} = \frac{m!}{n! \cdot (m-n)!} = \frac{m!}{(m-m+n)! \cdot (m-n)!} = \frac{m!}{(m-(m-n))! \cdot (m-n)!} = &lt;/math&gt;

:: &lt;math&gt;\frac{m!}{(m-n)! \cdot (m-(m-n))!} = {m \choose {m-n}}&lt;/math&gt;


3. &lt;math&gt;{m \choose {n - 1}} + {m \choose n} = {{m + 1}  \choose n}&lt;/math&gt;

:*'''Demostración''':

:: &lt;math&gt;{m \choose {n-1}} + {m \choose n} = \frac{m!}{(n-1)! \cdot (m-n+1)!} + \frac{m!}{n! \cdot (m-n)!} = &lt;/math&gt;

:: &lt;math&gt;\frac{m! \cdot n}{n! \cdot (m-n+1)!} + \frac{m! \cdot (m-n+1)}{n! \cdot (m-n+1)!} = \frac{m! \cdot (n+m-n+1)}{n! \cdot (m-n+1)!} =&lt;/math&gt;

:: &lt;math&gt;\frac{m! \cdot (m+1)}{n! \cdot (m-n+1)!} = \frac{(m+1)!}{n! \cdot (m+1-n)!} = {{m + 1}  \choose n}&lt;/math&gt;


===Triangulo de Tartaglia===
A partir de las propiedades de los números combinatorios, se puede construir el llamado '''triángulo de Tartaglia''' o de Pascal, que permite obtener los valores de los números combinatorios sin necesidad de realizar las operaciones de la fórmula. Para obtener el triángulo se interpretan las propiedades de los números combinatorios de la siguiente forma:

:1.Los extremos de las filas del triángulo toman el valor 1 (propiedad 1).

:2.Todas las filas del triángulo son simétricas (propiedad 2).

:3.Cada número se obtiene mediante la suma de los dos que tiene encima en el triángulo, excepto los extremos, cuyo valor es 1, según se indicó en el punto 1 (propiedad 3).

Con esto es muy sencillo construir el triángulo para las primeras filas. En la '''figura 2''' se muestra el triángulo para las 10 primeras filas.

[[Imagen:Triángulo_de_Pascal_en_tabla.png|thumbnail|center|567px|'''Figura 2'''. Triángulo de Tartaglia.]]


El valor correspondiente al número combinatorio &lt;math&gt;{n \choose p}&lt;/math&gt;, será el que se encuentra en la fila ''n'' y columna ''p'' del triángulo.

Así &lt;math&gt;{7 \choose 4}&lt;/math&gt; estaría en la fila ''n'' = 7 y ''p'' = 4, luego sería igual a 35.


==Variaciones con repetición==

:'''Ejemplo 8''': ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?

::La primera cifra podrá ser una cualquiera de las 5. La segunda cifra también podrá ser una cualquiera de las cinco ya que puede repetirse, y lo mismo ocurre para la tercera cifra. Aplicando el principio de multiplicación, hay 5 · 5 · 5 = 125 números de tres cifras.

::Vemos que en este caso importa el orden, pues aún teniendo las mismas cifras, 123 y 231 son números diferentes. Además se han tomado 3 elementos de entre los 5 posibles, luego son variaciones, pero en este caso se puede elegir un elemento de los 5 más de una vez. A este tipo de variaciones se las llama '''variaciones con repetición'''.

{| width=&quot;95%&quot; cellpadding=&quot;20&quot; cellspacing=&quot;0&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;border-top:1px solid DarkGray; border-right:1px solid DarkGray; border-bottom:1px solid DarkGray; border-left:1px solid DarkGray;&quot;
|align=&quot;left&quot;|
'''Variaciones con repetición''' de ''m'' elementos tomados de ''n'' en ''n'', son los distintos grupos de ''n'' elementos repetidos o no que se pueden formar, escogidos de entre los ''m'' elementos posibles. En este caso, dos grupos son distintos si tienen algún elemento diferente o si, siendo todos los elementos iguales, están colocados con distinto orden.

Se representa por &lt;math&gt;VR_{m, n}&lt;/math&gt;  ó  &lt;math&gt;VR_m^n&lt;/math&gt;. 

&lt;center&gt;&lt;math&gt;VR_{m, n} = \overbrace{m \cdot m \cdot \cdot \cdot m}^{n \text{ factores}} = m^n&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
|}

==Permutaciones con repetición==

:'''Ejemplo 9''': ¿Cuántas palabras de 5 letras, con sentido o sin él, se pueden formar con tres A y dos B?

::Se trata en este caso de obtener las distintas ordenaciones posibles de AAABB. Si las A fuesen distinguibles entre sí, y lo mismo ocurriera con las B, se trataría de ordenar 5 elementos distintos y estaríamos ante el caso de las permutaciones sin repetición visto anteriormente.

::Al ser indistinguibles, muchas de las permutaciones consideradas serán idénticas. Veamos, por ejemplo, el caso en que las 3 A aparezcan al principio de la palabra; la diferencia entre los casos en que las letras sean distinguibles e indistinguibles se recogen en la tabla siguiente (las hemos hecho distinguibles dotándolas de un subíndice).


{| width=&quot;65%&quot; cellpadding=&quot;5&quot; cellspacing=&quot;0&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;border-top:2px solid DarkGray; border-right:2px solid DarkGray; border-bottom:2px solid DarkGray; border-left:2px solid DarkGray;&quot;
|-
! style=&quot;border-bottom:1px solid DarkGray; border-right:1px solid DarkGray; background:#efefef;&quot; | Indistinguibles
! style=&quot;border-bottom:1px solid DarkGray; background:#efefef;&quot; | Distinguibles
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;border-right:1px solid DarkGray;&quot; | &lt;math&gt;A A A B B&lt;/math&gt;
| align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;A_1 A_2 A_3 B_1 B_2&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;border-right:1px solid DarkGray;&quot; | &amp;nbsp;
| align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;A_1 A_3 A_2 B_1 B_2&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;border-right:1px solid DarkGray;&quot; | &amp;nbsp;
| align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;A_2 A_1 A_3 B_1 B_2&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;border-right:1px solid DarkGray;&quot; | &amp;nbsp;
| align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;A_2 A_3 A_1 B_1 B_2&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;border-right:1px solid DarkGray;&quot; | &amp;nbsp;
| align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;A_3 A_2 A_1 B_1 B_2&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;border-right:1px solid DarkGray;&quot; | &amp;nbsp;
| align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;A_3 A_1 A_2 B_1 B_2&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;border-right:1px solid DarkGray;&quot; | &amp;nbsp;
| align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;A_1 A_2 A_3 B_2 B_1&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;border-right:1px solid DarkGray;&quot; | &amp;nbsp;
| align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;A_1 A_3 A_2 B_2 B_1&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;border-right:1px solid DarkGray;&quot; | &amp;nbsp;
| align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;A_2 A_1 A_3 B_2 B_1&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;border-right:1px solid DarkGray;&quot; | &amp;nbsp;
| align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;A_2 A_3 A_1 B_2 B_1&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;border-right:1px solid DarkGray;&quot; | &amp;nbsp;
| align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;A_3 A_2 A_1 B_2 B_1&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;border-right:1px solid DarkGray;&quot; | &amp;nbsp;
| align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;A_3 A_1 A_2 B_2 B_1&lt;/math&gt;
|}


::Vemos que para el caso de las letras distinguibles, el número de palabras resulta de multiplicar las permutaciones de &lt;math&gt;A_1 A_2 A_3&lt;/math&gt; por las de &lt;math&gt;B_1 B_2&lt;/math&gt;, obteniéndose que el número de permutaciones es 3! · 2! = 12 , de las cuales sólo tenemos que considerar 1. Hemos considerado el caso en que las 3 A aparezcan al principio de la palabra; considerando todos los demás casos obtendremos que el número de palabras es

&lt;center&gt;Número de palabras &lt;math&gt;= \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


A partir del ejemplo anterior llegamos a la siguiente definición:

{| width=&quot;95%&quot; cellpadding=&quot;20&quot; cellspacing=&quot;0&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;border-top:1px solid DarkGray; border-right:1px solid DarkGray; border-bottom:1px solid DarkGray; border-left:1px solid DarkGray;&quot;
|align=&quot;left&quot;|
Dados ''n'' elementos, de los cuales el primer elemento se repite ''a'' veces, el segundo ''b'' veces, ..., el último ''r'' veces (''a'' + ''b'' + ..... + ''r'' = ''n''), llamaremos '''permutaciones con repetición''' de esos ''n'' elementos a los distintos grupos que se pueden formar, de forma que en cada grupo de ''n'' elementos, el primer elemento esté repetido ''a'' veces, el segundo ''b'' veces, ..., el último ''r'' veces. La única diferencia entre los grupos está en el orden de colocación de sus elementos distinguibles.

El número de permutaciones con repetición de n elementos se representa por &lt;math&gt;P_n^{\, a, b, ..., r}&lt;/math&gt;


&lt;center&gt;&lt;math&gt;P_n^{\, a, b, ..., r} = \frac{n!}{a! \cdot b! \cdot \cdot \cdot r!}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
|}


==Procedimiento para resolver problemas de combinatoria==
[[Imagen:AlgoritmoCombinatoria.svg|thumbnail|right|550px|'''Figura 3'''. Procedimiento para resolver problemas de combinatoria.]]
El algoritmo representado en la '''figura 3''' puede resultar de ayuda en la resolución de problemas de combinatoria. Partiremos del símbolo con la leyenda '''Inicio''' y seguiremos un camino que será función de las respuestas que demos a las preguntas de los rombos por los que pasemos. El camino concluye al llegar a uno de los rectángulos que nos indican el tipo de agrupamiento.

:'''Ejemplo 10''': Utilizaremos el procedimiento de la figura 3 para resolver el problema del ejemplo 9.

::* Partimos del inicio y descendemos a la primera pregunta: ''¿Importa el orden?'' La respuesta en este caso es ''Sí'', puesto que no es lo mismo ''AAABB'' que ''ABAAB''.

::* Seguimos la flecha correspondiente a la respuesta ''Sí'' y llegamos a la segunda pregunta: ''¿Hay que utilizar todos los elementos?'' La respuesta vuelve a ser ''Sí'', pues así nos lo indicaban en el enunciado del ejemplo 9.

::* Seguimos de nuevo la flecha correspondiente a la respuesta ''Sí'' y llegamos a la tercera pregunta: ''¿Hay elementos indistinguibles?'' La respuesta es de nuevo ''Sí'', como ya se vió en el ejemplo 9.

::* Siguiendo por último la flecha correspondiente a la respuesta ''Sí'', llegamos al rectángulo que nos indica que se trata de ''Permutaciones con repetición''.

:'''Ejemplo 11''': Utilizaremos el procedimiento de la figura 3 con el problema del ejemplo 7.

::* Partimos del inicio y descendemos a la primera pregunta: ''¿Importa el orden?'' La respuesta en este caso es ''No'', puesto que cuando el concursante elige tres regalos, pongamos por caso que sean lavadora, frigorífico y lavavajillas, el conjunto de premios que se llevará el concursante será el mismo, idependientemente de la forma en que se ordenen dichos premios.

::* Siguiendo la flecha correspondiente a la respuesta ''No'', llegamos al rectángulo que nos indica que se trata de ''Combinaciones''.

==Potencias de un binomio. Teorema del binomio==

El '''Teorema del binomio de ''' permite desarrollar la potencia de una suma o diferencia de dos monomios.&lt;ref&gt;A Isaac Newton le cupo ampliar para potencia racional que es un desarrollo infinito &lt;/ref&gt;

&lt;math&gt;(a + b)^{n} = \sum^{n}_{k = 0} { {n \choose k} a^{n-k}b^{k} }&lt;/math&gt;

Siendo &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

===Demostración===

Demostraremos la fórmula anterior por inducción sobre N.

====Base de inducción====

Comprobamos que la fórumula se verifica para n = 1:

&lt;math&gt;(a + b)^1 = \sum^{1}_{k = 0} {1 \choose k} a^{1-k}b^{k} = {1 \choose 0} a^{1}b^{0} + {1 \choose 1} a^{0}b^{1} = a + b&lt;/math&gt;

====Paso de inducción====

Se trata de comprobar que, si la fórmula se verifica para el valor n, entonces se verifica para n + 1.


Puesto que &lt;math&gt; {n \choose k} + {n \choose k-1} = {n+1 \choose k} &lt;/math&gt;, se tiene


&lt;math&gt;(a + b)^{n+1} = \sum^{n}_{k = 0} {n \choose k} a^{n-k}b^{k} (a + b) =  \sum^{n}_{k = 0} {n \choose k} a^{n+1-k}b^{k} + \sum^{n}_{k = 0} {n \choose k} a^{n-k}b^{k+1} = &lt;/math&gt;


&lt;math&gt; = {n \choose 0} a^nb^0 + \sum^{n}_{k = 1} {n \choose k} a^{n+1-k}b^{k} + \sum^{n}_{k = 1} {n \choose k-1} a^{n+1-k}b^{k} + {n \choose n} a^0b^n = &lt;/math&gt;


&lt;math&gt; = {n+1 \choose 0} a^nb^0 + \sum^{n}_{k = 1} {n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k} + {n+1 \choose n+1} a^0b^n = \sum^{n+1}_{k = 0} {n+1 \choose k} a^{n-k}b^{k} &lt;/math&gt;

[...]

===Importante===
El teorema del binomio dio un vuelco cualitativo cuando el exponente de la potencia de un binomio , se considera un número racional; obviamente con una cantidad infinita de términos, si se trata de exponentes enteros negativos o números fraccionarios, y, correlativamente, los los números combinatorios que se se usan en dichos casos, difieren del típico número combinatorio de enteros no negativos.&lt;ref&gt; Banach, Stefan: &quot;Cálculo diferencial e integral&quot;, ISBN 968-18-3949-8, (1991) 


==Notas y referencias==
&lt;references/&gt;

&lt;noinclude&gt;{{Matemáticas}}&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>mrhkonrvjzp7fdiilfg6xb83i817h1e</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Sucesos aleatorios</title>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
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      </contributor>
      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17433" sha1="po9ie4h87axmzybp5yocuijm7tn7lhi" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
==Experiencias aleatorias. Sucesos==
Una '''experiencia aleatoria''' o '''experimento aleatorio''' es todo fenóneno cuyo resultado no es predecible.Por ejemplo, no es posible saber el resultado del lanzamiento de una moneda antes de lanzarla, por tanto lanzar una moneda es un experimento aleatorio.
Se llama '''Suceso''' a todo resultado posible de una experiencia aleatoria o experimento aleatorio. Por ejemplo, que una moneda caiga mostrando una cara es un resultado posible del experimento lanzar una moneda, por tanto &quot;salir cara&quot; es un suceso de la experiencia aleatoria &quot;Lanzar una moneda&quot;&lt;br /&gt;
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se denomina '''Espacio muestral'''. Por ejemplo el espacio muestral de la experiencia aleatoria &quot;Lanzar una moneda&quot; estará compuesto por los sucesos &quot;salir cara&quot; y &quot;salir cruz&quot;&lt;br /&gt;
Entre los sucesos posibles de una experiencia aleatoria se pueden distinguir varios tipos:&lt;br /&gt;
- '''Sucesos elementales''': Son aquellos sucesos que solo pueden ocurrir con un resultado del espacio muestral. Por ejemplo en la experiencia aleatoria lanzar un dado, el suceso &quot;sacar 1&quot; solo se puede obtener si se obtiene el resultado 1, es por tanto un suceso elemental. En cambio el suceso &quot;sacar un número par&quot; no es un suceso elemental por que se puede obtener si sale 2, 4 o 6.&lt;br /&gt;
- '''Sucesos compatibles''': Son aquellos sucesos que se pueden dar a la vez. Por ejemplo en la experiencia aleatoria lanzar un dado, los sucesos &quot;salir par&quot; y &quot;salir primo&quot; se satisfacen a la vez si se obtiene el resultado 2.&lt;br /&gt;
- '''Sucesos incompatibles''': Son aquellos sucesos que no pueden ocurrir a la vez. Ejemplo, en la experiencia aleatoria lanzar un dado, no pueden ocurrir a la vez los sucesos &quot;salir par&quot; y &quot;salir impar&quot;. Todos los sucesos elementales son incompatibles entre si.&lt;br /&gt;
- '''Suceso contrario''': El suceso contrario a un suceso A es aquel que sucede si no ocurre A. Por ejemplo el suceso contrario a que salga cara en el lanzamiento de una moneda es que salga cruz, El suceso contrario a que salga par en el lanzamiento de un dado es que salga impar, El suceso contrario a que salga Oro en la extracción de una carta en una baraja es que No salga Oros.&lt;br /&gt;
- '''Suceso seguro''': Es aquel suceso que ocurre sea cual sea el resultado de la experiencia. Por ejemplo en al lanzar un dado será suceso seguro &quot;obtener un número menor o igual a 6&quot;&lt;br /&gt;
Para sistematizar todas estas ideas se puede utilizar el álgebra de conjuntos.&lt;br /&gt;
El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos posibles de una experiencia aleatoria. Llamemoslo &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Un suceso seria cualquier subconjunto que se pudiera formar con los elementos del espacio muestral. A&lt;br /&gt;
Un suceso elemental sería aquel subconjunto del espacio muestal que solo contuviera un único elemento del espacio muestral.&lt;br /&gt;
Dos sucesos serian compatibles si su intersección tuviera al menos un elemento&lt;br /&gt;
A es compatible con B si &lt;math&gt;A\cap B\neq \varnothing &lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Dos sucesos serian incompatibles si su intersección fuera el conjunto vacío, es decir no contuviera ningun elemento.&lt;br /&gt;
El suceso contrario a un suceso A es aquel suceso B, subconjunto del espacio muestral cuyos elementos son todos aquellos que no pertenecen al subconjunto A.&lt;br /&gt;
El suceso seguro seria el propio espacio muestral, que es un subconjunto de si mismo.&lt;br /&gt;
Analicemos con estas ideas un ejemplo sencillo, la experiencia aleatoria lanzar un dado.
Espacio muestral: &lt;math&gt;\Omega =\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Sucesos elementales: Los elementos individuales del espacio muestral: Obtener 1, Obtener 2,...,Obtener 6&lt;br /&gt;
Suceso: Cualquier subconjunto que podamos formar con los elementos del espacio muestral, tengan sentido como grupo o no.&lt;br /&gt;
&lt;math&gt;A\left (par \right )=\left \{ 2,4,6 \right \}&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
&lt;math&gt;B\left ( impar \right )=\left \{ 1,3,5 \right \}&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
A y B son ejemplos de sucesos incompatibles, no contienen ningún elemento en común,la teoría de conjuntos diria que tienen la intersección vacía.&lt;br /&gt;

--[[Usuario:Kuhn2012|Kuhn2012]] ([[Usuario discusión:Kuhn2012|discusión]]) 12:21 11 ene 2013 (UTC)

==Frecuencia y probabilidad==
El estudio de las experiencias aleatorias comienza con un estudio estadístico. Se repite la experiencia aleatoria un gran número de veces y se analizan los resultados. Tomemos como ejemplo el estudio de la experiencia aleatoria lanzar un dado. Si lo lanzamos un número grande de veces, N, cada resultado posible se obtendrá un número de veces, f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; con i variando de 1 a 6.
Al número de veces que se obtiene un resultado después de N repeticiones de una experiencia aleatoria se denomina '''Frecuencia'''&lt;br /&gt;
Es evidente que la suma de todas las frecuencias debe ser igual al número de veces que se ha realizado la experiencia aleatoria N&lt;br /&gt;
Si las distintas frecuencias se dividen por el número total de veces que se ha realizado la experiencia aleatoria fr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;=f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;/N se obtiene lo que se denomina '''frecuencia relativa'''.&lt;br /&gt;
También resulta evidente que la suma de todas las frecuencia relativa debe ser 1.&lt;br /&gt;
Si repetimos un número virtualmente infinito de veces la experiencia aleatoria, las frecuencia relativas tienden a estabilizarse en un valor determinado.&lt;br /&gt;
Se denomina '''Probabilidad''' de un suceso al valor al que tiende su frecuencia relativa cuando el número de veces(N) que se realiza la experiencia aleatoria tienda a infinito.

==Ley de Laplace==
La probabilidad de que ocurra un suceso en una experiencia aleatoria es la relación entre el número de casos favorables a tal suceso que contiene el espacio muestral y el número de casos totales que contiene el espacio muestral.&lt;br /&gt;
P=número de casos favorables/Número de casos posibles&lt;br /&gt;
Un ejemplo simple: La probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda sería 1/2 (un caso favorable/2 casos posibles)&lt;br /&gt;
En esta ley se hace la suposición implícita de que todos los sucesos elementales del espacio muestral de la experiencia aleatoria son igualmente probables, lo cual no siempre es cierto, pero como aproximación a la realidad es bastante aceptable.&lt;br /&gt;
Para realizar un estudio más exacto de una experiencia aleatoria sin la suposición de que todos sus resultados son igualmente probables seria necesario realizar un estudio estadístico y hacer una estimación de las probabilidades de los sucesos elementales del espacio muestral de dicha experiencia aleatoria. En la mayoría de los casos los resultados obtenidos discrepan de la ley de Laplace en una cantidad insignificante.

==Probabilidad condicionada. Sucesos independientes==
Dos sucesos se denominan independientes, cuando la probabilidad de que ocurra uno de ellas no afecta a la probabilidad de que ocurra el otro. Ejemplo, el lanzamiento de dos dados, el resultado que se haya obtenido en un dado no afecta al resultado que se obtiene en el otro dado.&lt;br /&gt;
Dos sucesos son dependientes cuando la probabilidad de que ocurra uno de ellos depende de que el otro haya ocurrido anteriormente o no.&lt;br /&gt;
Analicemos un ejemplo clásico, la experiencia aleatoria extraer dos cartas de una baraja. Para fijar ideas, la baraja es de española de 40 cartas.&lt;br /&gt;
Si la primera carta que se extrae se vuelve a poner en la baraja para que este disponible en la segunda extracción, se dice que la experiencia es una extracción '''con reposición'''&lt;br /&gt;
Si la primera carta que se extrae no se vuelve a poner en la baraja, no estará disponible en la segunda extracción, se dice entonces que la experiencia es una extracción '''sin reposición'''&lt;br /&gt;
En el caso de que la extracción sea con reposición, la probabilidad de que salga una carta concreta en la segunda extracción es: 1/40, independientemente de la carta que haya salido en la primera extracción.
En el caso de que la extracción sea sin reposición, la probabilidad de que salga una carta concreta en la segunda extracción es: 1/39, a menos que ya haya salido la carta en la primera extracción, en cuyo caso la probabilidad es cero (la carta ya no está en la baraja)&lt;br /&gt;
Se denomina Probabilidad de un suceso A condicionada a otro suceso B P(A/B) a la probabilidad que tiene un suceso A de ocurrir cuando anteriormente ha ocurrido el suceso B.&lt;br /&gt;
En el experimento de la extracción de dos cartas de una baraja española de 40 cartas. Supongamos que sacamos una carta y resulta ser el As de Oros y nos planteamos la pregunta de cual será la probabilidad de obtener otra vez oros.&lt;br /&gt;
A= Obtener oros.&lt;br /&gt;
B= Obtener el As de oros.&lt;br /&gt;
Si la experiencia se realiza sin reposición:
La probabilidad de obtener Oros habiendo obtenido el As de oros es: P(A/B)=9/39, la razón es que el As de oros es un resultado posible del suceso obtener oros y ya no está disponible y además hay una carta menos en la baraja.&lt;br /&gt;
En este caso se dice que los sucesos A y B son dependientes.&lt;br /&gt;
Si la experiencia se realiza con reposición:&lt;br /&gt;
La probabilidad de obtener Oros habiendo obtenido el As de oros es: P(A/B)=10/40, la razón es que el As de oros está disponible en la segunda extracción y vuelven a ser cuarenta cartas en la baraja. Se observa que el resultado es independiente de que se haya obtenido anteriormente el As de oros.(La probabilidad de obtener oros en una extracción es según la ley de Laplace 10/40)&lt;br /&gt;
En este caso se dice que se los sucesos A y B son independientes.&lt;br /&gt;
Vemos que un par de sucesos son independientes cuando: P(A/B)=P(A)&lt;br /&gt;
Si dos sucesos son dependientes, ¿Cuál sería la fórmula para calcular la probabilidad de modo general?:
P(A/B)&lt;br /&gt;
Sabemos, que ha sucedido B, por tanto los casos favorables estarán dentro del conjunto intersección de &lt;math&gt;A\bigcap B&lt;/math&gt;, serán aquellas posibilidades comunes a A y B. Los casos totales estarán dentro del suceso B, el que sabemos que ha ocurrido previamente, es decir que &lt;math&gt;P(A/B)=P(A\bigcap B)/P(B)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;

==Tablas de contingencia==
Las tablas de contingencia son un método útil de determinar probabilidades. Consisten en tablas de doble entrada en cuyas celdas se localizan posibilidades de determinados sucesos. La utilidad radica en que se pueden determinar muchas probabilidades de sucesos relacionados. Pongamos un ejemplo. En una empresa se hace recuento de los empleados bajo dos criterios, su sexo y su actitud hacia el tabaco. Los resultados se resumen en una tabla de doble entrada:&lt;br /&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
!  !! Fumadores !! No fumadores !! Totales
|-
| Mujeres ||123 ||161||284 
|-
| Hombres ||177 ||152||329 
|-
| Totales ||300 ||313||613 
|}
Si realizamos la siguiente experiencia aleatoria: Extraemos la ficha al azar de un empleado de esta empresa, ¿Cuál será la probabilidad de que sea Mujer?&lt;br /&gt;
Respuesta: Son 284 mujeres entre 613 empleados, por tanto, aplicando la Ley de Laplace: P(mujer)=284/613&lt;br /&gt;
¿Cuál es la probabilidad de que extraída la ficha de un empleado al azar, sea hombre y fumador?&lt;br /&gt;
Son 177 hombres fumadores de 613 empleados, aplicando la ley de Laplace: P(Hombre y fumador)=177/613
Las tablas de contingencia también permiten calcular probabilidades condicionadas:
Se extrae una ficha de empleado al azar, se lee el nombre y resulta ser hombre,¿Cuál es la probabilidad de que se trate de una fumadora?&lt;br /&gt;
Son 123 de 284 mujeres, por tanto: P(Fumador/Mujer)=123/284&lt;br /&gt;

==Pruebas compuestas==
Las pruebas compuestas o experimentos compuestos son aquellas experiencias aleatorias que se desarrollan en dos o más etapas. Por ejemplo la experiencia aleatoria ya comentada en el apartado de los sucesos dependientes e independientes, extraer dos cartas de una baraja.&lt;br /&gt;
La probabilidad de que ocurra un suceso A y luego otro B sería &lt;math&gt;P(A\bigcap B)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Recordando la definición de probabilidad condicionada:&lt;math&gt;P(B\bigcap A)=P(A)\cdot P(B/A)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Como la &lt;math&gt;A\bigcap B=B\bigcap A&lt;/math&gt;, ocurre que tenemos dos igualdades:&lt;br /&gt;
&lt;math&gt;P(A\bigcap B)=P(A)\cdot P(B/A)&lt;/math&gt; y  &lt;math&gt;
P(A\bigcap B)=P(B)\cdot P(A/B)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Si los sucesos son independientes ocurre que la fórmula anterior se convierte simplemente en:&lt;math&gt;P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Pongamos un ejemplo con sucesos independientes:&lt;br /&gt;
Extraer dos cartas de una baraja con reemplazamiento es un ejemplo de '''experiencia aleatoria compuesta con sucesos independientes''',  supongamos que la baraja es de 40 cartas. La probabilidad de obtener Oros y luego Copas es: &lt;math&gt;P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)&lt;/math&gt;, es decir &lt;math&gt;P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{10}{40}\cdot \frac{10}{40}&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Pongamos un ejemplo con sucesos dependientes:&lt;br /&gt;
Extaer dos cartas de una baraja sin reemplazamiento es un ejemplo de '''experiencia aleatoria compuesta con sucesos dependientes'''. La probabilidad de obtener Oros y luego Copas es:&lt;math&gt;P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B/A)=\frac{10}{40}\cdot \frac{10}{39}&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
La diferencia es que en la segunda extracción hay una carta menos en la baraja.&lt;br /&gt;
La diferencia se nota aun mas si nos planteamos la probabilidad de sacar dos oros consecutivos, en ese caso la probabilidad pasa a ser &lt;math&gt;\frac{10}{40}\cdot \frac{9}{39}&lt;/math&gt;, en este caso hay una posibilidad menos de obtener oros por que ya ha salido oros en la anterior extracción y no se ha devuelto a la baraja y además hay una carta menos en la baraja.

==Probabilidad total==
Imaginemos un suceso que puede ocurrir en diversas situaciones, situaciones que no pueden darse simultáneamente. Por ejemplo la probabilidad de alguien sufra un accidente montando en bici es diferente si hace buen tiempo que si está lloviendo. Nos interesa saber cual es la probabilidad global de que alguien sufra un accidente montando en  bici, independientemente de las circunstancias. A esta probabilidad se le llama probabilidad total.&lt;br /&gt;
El teorema de la probabilidad total es un resultado que nos permite calcular la probabilidad total de un suceso cuando conocemos las probabilidades concicionadas de ese suceso en las diversas circunstancias en las que se puede presentar.&lt;br /&gt;
Se llama '''sistema completo de sucesos''' a un conjunto de sucesos A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;,...,A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; de un espacio muestral Ω que cumplan los siguientes requisitos:&lt;br /&gt;
- Son incompatibles entre si dos a dos: &lt;math&gt;A_{i}\cap A_{j}=\O &lt;/math&gt; con &lt;math&gt;i\neq j&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;  para todo i,j con valores entre 1 y n&lt;br /&gt;
- La unión de todos ellos es el suceso seguro (el espacio muestral completo):&lt;math&gt;\bigcup_{1}^{n}A_{i}=\Omega &lt;/math&gt;
El teorenma de la probabilidad total dice que:
Si tenemos un sistema completo de sucesos A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,...,A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; tal que la probabilidad de ningnuno de ellos es nula, y tenemos un suceso B del que se conocen todas la probabilidades condicionadas P(B/A&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), entonces la probabilidad total de que el suceso B ocurra es;&lt;math&gt;P(B)=P(A_{1})\cdot P(B/A_{1})+P(A_{2})\cdot P(B/A_{2})+...+P(A_{n})\cdot P(B/A_{n})&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Analicemos el ejemplo del inicio de la sección: Supongamos que la probabilidad de que alguien sufra un accidente montando en bici cuando hace buen tiempo es del 0,1 y cuando llueve 0,2, si hace  buen tiempo con probabilidad del 0,6 y llueve 0,4, podemos calcular la probabilidad de que alguien sufra un accidente montando en bici: &lt;math&gt;P(accidente)=P(nollueve)P(accidente/nollueve)+P(llueve)P(accidente/llueve)=0,6\cdot 0,1+0,4\cdot0,2=0,06+0,08=0.14&lt;/math&gt;

==Probabilidades &quot;a posteriori&quot;. Formula de Bayes==
El teorema de Bayes relaciona la probabilidades condicionadas de dos sucesos: P(A/B) con P(B/A). Un ejemplo, una enfermedad tiene una serie de síntomas con ciertas probabilidades, estas son probabilidades condicionadas de tener un determinado síntoma cuando se sufre la enfermedad, nos puede interesar saber la probabilidad de que alguien sufra la enfermedad cuando muestra un determinado síntoma. Mas concreto, A= Gripe, B=Dolor de cabeza, la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se tiene gripe P(B/A), probabilidad de tener gripe cuando se tiene dolor de cabeza P(A/B). El teorema nos permitirá relacionar ambas probabilidades. También se le llama de las probabilidades &quot;A posteriori&quot; por que relaciona un hecho anterior con los hechos que le acompañan después, tener gripe lleva a tener fiebre, dolor de cabeza, etc.
Matemáticamente el teorema de Bayes se establece en las mismas condiciones que el teorema de la probabilidad total:
Un sistema completo de sucesos A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;,...,A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; de un espacio muestral Ω que cumplan los siguientes requisitos:&lt;br /&gt;
- Son incompatibles entre si dos a dos: &lt;math&gt;A_{i}\cap A_{j}=\O &lt;/math&gt; con &lt;math&gt;i\neq j&lt;/math&gt;para todo i,j con valores entre 1 y n&lt;br /&gt;
- La unión de todos ellos es el suceso seguro (el espacio muestral completo):&lt;math&gt;\bigcup_{1}^{n}A_{i}=\Omega &lt;/math&gt;&lt;br /&gt;

Si tenemos un sistema completo de sucesos A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,...,A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; tal que la probabilidad de ninguno es nula. B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades P(B/A&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) entonces la probabilidad P(A&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;/B) viene dada por:&lt;br /&gt;
&lt;center&gt;&lt;math&gt;P(A_{i}/B)=\frac{P(B/A_{i})\cdot P(A_{i})}{P(B)}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
[[Categoría:Matemáticas Bachillerato LOGSE]]</text>
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    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Distribuciones de probabilidad</title>
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==Distribuciones estadísticas==

===Distribución de probabilidad de variable discreta===

====La distribución binomial====

===Distribuciones de probabilidad de variable continua===

====La distribución normal====

==La distribución binomial se aproxima a la normal==
==Ajuste de un conjunto de datos a una binomial==
==Ajuste de un conjunto de datos a una normal==

[[Categoría:Matemáticas Bachillerato LOGSE]]</text>
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    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Distribuciones bidimensionales</title>
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==Nubes de puntos. Correlación==

==Medida de la correlación==

==Rectas de regresión==
Recta de regresión de x sobre y:
*x=media de x+(sigma xy/sigma y^2)·(y-media de y)
*y=media de y+(sigma xy/sigma x^2)·(x-media de x)

==Tablas de doble entrada==

[[Categoría:Matemáticas Bachillerato LOGSE]]</text>
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    <title>Análisis matemático</title>
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      <text bytes="549" sha1="jamxot5adepkjhdwazl512tuq37qpem" xml:space="preserve">== Objetivo ==
El objetivo de este wikilibro es brindar una referencia para estudiantes de ingenierías, matemáticas, física, computación y afines sobre análisis matemático.

== Contenido ==
* [[Análisis matemático/Los números reales|Los números reales]]
* [[Análisis matemático/Funciones|Funciones]]
* [[Análisis matemático/Límite|Límite]]
* [[Análisis matemático/Derivadas|Derivadas]]
* [[Análisis matemático/Cálculo Integral|Introducción al cálculo integral]]

[[Categoría:Análisis matemático| ]]
{{Estantes|Matemática}}</text>
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    <title>Análisis matemático/Los números reales</title>
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      <text bytes="12838" sha1="qcoqfs64om336106zasdtvufz0gx4kq" xml:space="preserve">Antes de empezar con el análisis matemático propiamente, nos haremos de una idea del cuerpo de los reales.
[[Archivo:AL Numeros 00.svg|izquierda|700px]]
{{clear}}

== Los números ==
Cuando apenas somos unos niños nos enseñan a contar, contamos aquello que podemos ver, contamos ''números naturales'': &lt;math&gt;\mathbb N=\{1,2,3,4,\ldots\}&lt;/math&gt;, se podría decir que es el conjunto básico.

Luego, a medida que crecemos extendemos este conjunto, y al agregar los negativos junto con el 0 obtenemos los llamados ''números enteros'': &lt;math&gt;\mathbb Z=\{\ldots,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots\}&lt;/math&gt;

La siguiente extensión será a los ''números racionales'', aquellos que se forman al introducir la posibilidad de división entre dos números enteros, como por ejemplo &lt;math&gt;\frac{1}{2}, \frac{3}{8}, \frac{8}{9}&lt;/math&gt;. A este conjunto lo simboliza con &lt;math&gt;\mathbb Q&lt;/math&gt;.

Si nos detuvieramos aquí estaríamos olvidándonos de un conjunto de números, los ''números irracionales'', los cuales no pueden ser expresados como el cociente entre dos números enteros. Entre los irracionales se encuentran por ejemplo &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;. A este conjunto se los simboliza con &lt;math&gt;\mathbb I&lt;/math&gt;.

A la unión de &lt;math&gt;\mathbb I&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;\mathbb Q&lt;/math&gt; formará el conjunto de los ''números reales''.

&lt;math&gt;\mathbb R = \mathbb I \cup \mathbb Q&lt;/math&gt;

== Axiomas ==
{{VT|w:Grupo abeliano}}
Un axioma es un postulado que se acepta desde el comienzo, sin demostración alguna.
[[archivo:Algebra 2 leyes 4b Cuerpo conmutativo.svg|centrado|600px]]

=== Suma de números reales ===
[[archivo:Operación 04abc1.svg|derecha|200px]]
Sea un conjunto: ''R'' de los números reales y una ley de composición suma: &lt;math&gt; \oplus &lt;/math&gt;, tomada como primera ley, definida:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
   \oplus : &amp; R \times R &amp; \longrightarrow &amp; R \\
            &amp; (a,b)      &amp; \longmapsto     &amp; c = a \oplus b
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Dado que se cumple:
: &lt;math&gt;
   \forall (a,b) \in R \times R
   \, , \quad
   \exists !  c \in R
   \; : \quad
   c = a \oplus b
&lt;/math&gt;

Para todo par ordenado (''a'',''b'') en ''R'' por ''R'', se cumple que existe un único ''c'' en ''R'', tal que ''c'' es el resultado de sumar ''a'' y ''b''.

Normalmente la operación suma de dos números: a, b; se representa:
: &lt;math&gt;
   a + b \,
&lt;/math&gt;

en esta demostración, dado que la suma es una operación interna, lo representaremos:
: &lt;math&gt;
   a \oplus b
&lt;/math&gt;

Esta notación, normalmente no es necesaria, pero en estos primeros pasos y para evitar posibles confusiones la utilizaremos.
[[Archivo:Algebra 1 ley 14b.svg|derecha|260px]]

La suma de números reales es un ''grupo conmutativo'' o ''abeliano'' que es una estructura algebraica de la forma &lt;math&gt; (R,\oplus) &lt;/math&gt; donde '''R''' es el conjunto de los números reales, en el que se ha definido la suma como ley de composición interna: &lt;math&gt; \oplus &lt;/math&gt;.
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      \oplus : &amp; R \times R &amp; \longrightarrow &amp; R \\
               &amp; (a,b)      &amp; \longmapsto     &amp; c = a \oplus b
   \end{array} 
&lt;/math&gt;

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, con elemento neutro, elemento simétrico y conmutativa:

1.- ''Operación interna'': 
La ley de composición: &lt;math&gt; (R, \oplus) &lt;/math&gt; es interna si cumple:
: &lt;math&gt;
   \forall (a,b) \in R \times R
   \, : \quad
   \exists !  c \in R
   \; \vert \quad
   c = a \oplus b
&lt;/math&gt;

Para todo par ordenado (''a'',''b'') en ''R'' por ''R'', se cumple que existe un único ''c'' en ''R'', tal que ''c'' es el resultado de sumar ''a'' y ''b''.

2.- ''Propiedad asociativa'': 
La ley de composición: &lt;math&gt; (R, \oplus) &lt;/math&gt; cumple la propiedad asociativa si:
: &lt;math&gt;
  \forall a, b, c \in R
  \; : \quad
  ( a \oplus b ) \oplus c =
  a \oplus ( b \oplus c )
&lt;/math&gt;

Para todo '''a''', '''b''', '''c''' de '''R''' se cumple que sumar '''a''' con '''b''' y el resultado con '''c''' es igual a sumar '''a''' con el resultado de sumar '''b''' con '''c'''.

3.- ''Elemento neutro'': 
Un elemento '''0''' es '''elemento neutro''' en &lt;math&gt; (R, \oplus) &lt;/math&gt; si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.
: &lt;math&gt;
   \forall a \in R
   \; : \quad
   \exists 0 \in R
   \; \vert \quad
   0 \oplus a = a \oplus 0 = a
&lt;/math&gt;

Para todo ''a'' de ''R'', se cumple que existe ''0'' de ''R'', tal que el resultado de sumar ''0'' con ''a'' es igual a sumar ''a'' con ''0'' y es igual a ''a''.

4.- ''Elemento simétrico'': 
El '''elemento simétrico''' en el conjunto ''R'' respecto de la operación &lt;math&gt; \oplus &lt;/math&gt;, si es elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:
: &lt;math&gt;
   \forall a \in R
   \; : \quad
   \exists -a \in R
   \; \vert \quad
   -a \oplus a = a \oplus (-a) = 0
&lt;/math&gt;

Un elemento simétrico &lt;math&gt; -a \, &lt;/math&gt; de &lt;math&gt; a \, &lt;/math&gt; en &lt;math&gt; ( R, \oplus ) &lt;/math&gt; es simétrico por la derecha del elemento &lt;math&gt; a \, &lt;/math&gt; y simétrico por la izquierda del elemento &lt;math&gt; a \, &lt;/math&gt;. Donde '''0''' es el elemento neutro.

Dado que ''R'' es un conjunto de números y la operación &lt;math&gt; \oplus &lt;/math&gt; es la suma de números reales, al elemento simétrico se suele denominar como: '''elemento opuesto'''.

5.- ''Propiedad conmutativa'': 
Dado el conjunto de números reales '''R''', en el que se ha definido una ley de composición interna &lt;math&gt; \oplus &lt;/math&gt;, que se representa: &lt;math&gt; (R, \oplus) &lt;/math&gt;, se dice que &lt;math&gt; \oplus &lt;/math&gt; tiene la propiedad conmutativa en '''R''' si se cumple:
: &lt;math&gt;
   \forall a,b \in R
   \; : \quad
   a \oplus b = b \oplus a
&lt;/math&gt;

Para todo '''a''', '''b''' de '''R''', se cumple que el resultado de sumar '''a''' con '''b''' es igual al de sumar '''b''' con '''a'''.

Luego &lt;math&gt; (R, \oplus) &lt;/math&gt; es un grupo conmutativo o abeliano.

=== Producto de números reales ===
[[archivo:Operación 02abc1.svg|derecha|200px]]
Sea un conjunto: &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt; de los números reales excepto el 0 y una ley de composición producto: &lt;math&gt; \odot &lt;/math&gt;, tomada como segunda ley, definida:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
   \odot : &amp; R^{\ast} \times R^{\ast} &amp; \longrightarrow &amp; R^{\ast} \\
           &amp; (a,b)      &amp; \longmapsto     &amp; c = a \odot b
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Dado que se cumple:
: &lt;math&gt;
   \forall (a,b) \in R^{\ast} \times R^{\ast}
   \, , \quad
   \exists !  c \in R^{\ast}
   \; : \quad
   c = a \odot b
&lt;/math&gt;

Para todo par ordenado (''a'',''b'') en &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt; por &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt;, se cumple que existe un único ''c'' en &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt;, tal que ''c'' es el resultado del producto ''a'' y ''b''.

Normalmente la operación producto de dos números: a, b; se representa:
: &lt;math&gt;
   a \times b
   \; ; \quad
   a \ast b
   \; ; \quad
   a \cdot b
   \; ; \quad
   a \, b
&lt;/math&gt;

en esta demostración, dado que el producto es una operación interna, lo representaremos:
: &lt;math&gt;
   a \odot b
&lt;/math&gt;

Esta notación, normalmente no es necesaria, pero en estos primeros pasos y para evitar posibles confusiones la utilizaremos.
[[Archivo:Algebra 1 ley 24b.svg|derecha|260px]]

El producto de números reales es un ''grupo conmutativo'' o ''abeliano'' que es una estructura algebraica de la forma &lt;math&gt; (R^{\ast},\odot) &lt;/math&gt; donde &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt; es el conjunto de los números reales excepto el 0, en el que se ha definido el producto como ley de composición interna: &lt;math&gt; \odot &lt;/math&gt;.
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      \odot : &amp; R^{\ast} \times R^{\ast} &amp; \longrightarrow &amp; R^{\ast} \\
              &amp; (a,b)                    &amp; \longmapsto     &amp; c = a \odot b
   \end{array} 
&lt;/math&gt;

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, con elemento neutro, elemento simétrico y conmutativa:

6.- ''Operación interna'': 
La ley de composición: &lt;math&gt; (R^{\ast}, \odot) &lt;/math&gt; es interna si cumple:
: &lt;math&gt;
   \forall (a,b) \in R^{\ast} \times R^{\ast}
   \, : \quad
   \exists !  c \in R^{\ast}
   \; \vert \quad
   c = a \odot b
&lt;/math&gt;

Para todo par ordenado (''a'',''b'') en &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt; por &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt;, se cumple que existe un único ''c'' en &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt;, tal que ''c'' es el resultado del producto ''a'' y ''b''.

7.- ''Propiedad asociativa'': 
La ley de composición: &lt;math&gt; (R^{\ast}, \odot) &lt;/math&gt; cumple la propiedad asociativa si:
: &lt;math&gt;
  \forall a, b, c \in R^{\ast}
  \; : \quad
  ( a \odot b ) \odot c =
  a \odot ( b \odot c )
&lt;/math&gt;

Para todo '''a''', '''b''', '''c''' de &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt; se cumple que el producto '''a''' con '''b''' y el resultado con '''c''' es igual al producto de '''a''' con el resultado del producto '''b''' con '''c'''.

8.- ''Elemento neutro'': 
Un elemento '''1''' es '''elemento neutro''' en &lt;math&gt; (R^{\ast}, \odot) &lt;/math&gt; si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.
: &lt;math&gt;
   \forall a \in R^{\ast}
   \; : \quad
   \exists 1 \in R^{\ast}
   \; \vert \quad
   1 \odot a = a \odot 1 = a
&lt;/math&gt;

Para todo ''a'' de &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt;, se cumple que existe ''1'' de &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt;, tal que el resultado del producto de ''1'' con ''a'' es igual al producto de ''a'' con ''1'' y es igual a ''a''.

9.- ''Elemento simétrico'': 
El '''elemento simétrico''' en el conjunto &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt; respecto de la operación &lt;math&gt; \odot &lt;/math&gt;, si es elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:
: &lt;math&gt;
   \forall a \in R^{\ast}
   \; : \quad
   \exists 1/a \in R^{\ast}
   \; \vert \quad
   1/a \odot a = a \odot (1/a) = 1
&lt;/math&gt;

Un elemento simétrico &lt;math&gt; 1/a \, &lt;/math&gt; de &lt;math&gt; a \, &lt;/math&gt; en &lt;math&gt; ( R^{\ast}, \odot ) &lt;/math&gt; es simétrico por la derecha del elemento &lt;math&gt; a \, &lt;/math&gt; y simétrico por la izquierda del elemento &lt;math&gt; a \, &lt;/math&gt;. Donde '''1''' es el elemento neutro.

Aquí podemos ver que el número 0, no tiene simétrico en el producto:
: &lt;math&gt;
   1/0 \notin R
&lt;/math&gt;

Por eso la operación producto la hemos definido en &lt;math&gt; R^{\ast} = R - \{ 0 \} &lt;/math&gt;

Dado que &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt; es un conjunto de números y la operación &lt;math&gt; \odot &lt;/math&gt; es el producto de números reales, al elemento simétrico se suele denominar como: '''elemento inverso ó recíproco'''.

10.- ''Propiedad conmutativa'': 
Dado el conjunto de números reales &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt;, en el que se ha definido una ley de composición interna &lt;math&gt; \odot &lt;/math&gt;, que se representa: &lt;math&gt; (R^{\ast}, \odot) &lt;/math&gt;, se dice que &lt;math&gt; \odot &lt;/math&gt; tiene la propiedad conmutativa en &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt; si se cumple:
: &lt;math&gt;
   \forall a,b \in R^{\ast}
   \; : \quad
   a \odot b = b \odot a
&lt;/math&gt;

Para todo '''a''', '''b''' de &lt;math&gt; R^{\ast} &lt;/math&gt;, se cumple que el resultado del producto '''a''' con '''b''' es igual al del producto '''b''' con '''a'''.

Luego &lt;math&gt; (R^{\ast}, \odot) &lt;/math&gt; es un grupo conmutativo o abeliano.

=== Propiedad distributiva del producto sobre la suma ===
11.-''Propiedad distributiva del producto sobre la suma'': Dado un conjunto &lt;math&gt; R &lt;/math&gt; en el que se han definidos dos operaciones internas: suma y producto, que expresaremos &lt;math&gt; (R, \oplus , \odot ) &lt;/math&gt;, se dice que el producto &lt;math&gt; \odot &lt;/math&gt; es distributiva por la izquierda sobre la suma &lt;math&gt; \oplus &lt;/math&gt; si:
: &lt;math&gt;
   \forall a, b, c \in R
   \; : \quad
    a \odot (b \oplus c) = (a \odot b) \oplus (a \odot c)
&lt;/math&gt;

Del mismo modo se dice que el producto &lt;math&gt; \odot &lt;/math&gt; es distributiva por la derecha sobre la suma &lt;math&gt; \oplus &lt;/math&gt; si:
: &lt;math&gt;
   \forall a, b, c \in R
   \; : \quad
 (a \oplus b)  \odot c = (a \odot c) \oplus (b \odot c)
&lt;/math&gt;

El producto &lt;math&gt; \odot &lt;/math&gt; es distributiva sobre la suma &lt;math&gt; \oplus &lt;/math&gt; si es distributiva por la derecha y por la izquierda.

La estructura &lt;math&gt; (R^{\ast}, \oplus, \odot) &lt;/math&gt; es un '''cuerpo conmutativo'''.

== Resumen ==
Aceptaremos que:
#&lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; es un cuerpo, y como tal, tiene dos operaciones binarias asociadas la suma (&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;) y el producto (&lt;math&gt;\times&lt;/math&gt;).
##Asociatividad de la suma: &lt;math&gt;a+(b+c)=(a+b)+c \,&lt;/math&gt;
##Asociatividad del producto: &lt;math&gt;a\times (b\times c)=(a\times b)\times c \,&lt;/math&gt;
##Conmutatividad de la suma: &lt;math&gt;a+b=b+a \,&lt;/math&gt;
##Conmutatividad del producto: &lt;math&gt;a\times b=b\times a \,&lt;/math&gt;
##Existencia del neutro de la suma: &lt;math&gt;a+0=a \,&lt;/math&gt;
##Existencia del neutro del producto: &lt;math&gt;a\times 1=a&lt;/math&gt;
##Existencia del opuesto: &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R} \exists x \in \mathbb{R}, a+x=0 \,&lt;/math&gt;
##Existencia del recíproco: &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R} -\{0\} \exists x \in \mathbb{R}, a\times x=1 \,&lt;/math&gt;
##Distributividad del producto respecto a la suma: &lt;math&gt;a\times (b+c)=a\times b+a\times c \,&lt;/math&gt;

[[Categoría:Análisis matemático|Los números reales]]

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    <title>Manual de la bicicleta/Centrar una rueda</title>
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      <text bytes="1907" sha1="nxn8c45i0msqv0e2hizu8tnqfrl5pav" xml:space="preserve">Buscar y marcar el descentrado 

Armados de una tiza, marcamos los radios de los puntos donde la rueda está descentrada, pintamos los radios del lado que roza sobre la zapata. 

Corrección del descentrado 

Con giros de 1/2 vuelta, apretando  los radios del lado más alejado de la zapata y después aflojamos también en 1/2 vuelta los de la parte más cercana (si estaban ya flojos los de la parte más separada de la zapata, solo apretamos los radios flojos). Comprobamos la corrección y repetimos la operación si aún no se ha corregido o rectificamos realizando la operación al revés pero en 1/4 de vuelta si nos hemos pasado.


Ajuste fino

Armados esta vez de regla calibrada y tiza, buscamos los descentrados aunque no lleguen a rozar en la zapata, con objeto de dejar la rueda lo más centrada posible, para ello, repetimos las operaciones del paso anterior, pero en esta ocasión apretando y aflojando radios en 1/4 de vuelta y comprobando hasta dejar la rueda centrada (figura 3).


Descentrado vertical, (el &quot;salto&quot; de la llanta)

El descentrado en este caso puede ser hacia el buje o hacia fuera, si el salto es hacia fuera, apretamos todos los radios de la zona (a ambos lados de la zona) en 1/4 de vuelta y comprobamos, para repetir la operación o rectificar con la mitad de intensidad de la operación anterior. Si el salto es hacia dentro aflojamos los radios a ambos lados en 1/4 de vuelta y comprobamos hasta dejarlo bien. Si el salto es muy pronunciado también se actuará sobre los radios opuestos al salto (el otro extremo del diámetro), realizando la operación contraria (tensado o destensado) de la realizada en el lugar del &quot;salto&quot;.

 
Revisión del centrado lateral tras dequilibrar los &quot;saltos&quot;

Revisaremos otra vez el equilibrado lateral si hemos tenido que ajustar &quot;saltos&quot;, ya que seguro que se habrá descompensado algo.

 
Fuente: [www.motoboxalz.es]

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    <title>Matemáticas/Aritmética/Clasificación de los números</title>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección|tono=azul}}&lt;/noinclude&gt;
La noción de '''[[w:Número|número]]''' es una de las más fundamentales en matemáticas. Su origen se remonta a la antigüedad y a través de los siglos ha pasado por un proceso de extensión y de generalización de los números reales...
[[archivo:AL Numeros 00.svg|700px|centrado]]

== Números naturales ==
Los '''números naturales''' son cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjuntos&lt;ref&gt;{{Cita libro |apellido=Arias Cabezas |apellido2=Maza Sáez |nombre=José María |nombre2=Ildefonso |año=2008 |título=Matemáticas 1 |fechaacceso=30 de abril de 2017 |página=13|capítulo=Aritmética y Álgebra |ubicación=Madrid |editorial=Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada |apellido-editor=Carmona Rodríguez |apellido-editor2=Díaz Fernández |nombre-editor=Manuel |nombre-editor2=Francisco Javier |isbn=9788421659854 |número-autores=2}}&lt;/ref&gt; así como también en operaciones elementales de cálculo.

El cero: 0, no suele considerarse número natural:
: &lt;math&gt;
   \N = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots \}
&lt;/math&gt;

[[Archivo:Recta numérica a00.svg|540px]]

dado que no suele empezarse a contar desde cero, pero en ocasiones se puede incluir entre los naturales:
: &lt;math&gt;
   \N = \{0 ,1, 2, 3, 4, \dots \}
&lt;/math&gt;

[[Archivo:Recta numérica a01.svg|540px]]

== Números enteros ==
Los '''números enteros''' son los que pueden representar cantidades enteras, positivas o negativas pero sin parte decimal:
: &lt;math&gt;
   \Z = \{ \dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \}
&lt;/math&gt;
[[Archivo:Recta numérica b01.svg|540px]]

== Números racionales ==
Los números racionales son los que pueden expresar cantidades inferiores a la unidad, los números racionales incluyen a los enteros.

=== Números racionales no negativos ===
Así si la unidad la dividimos en dos partes iguales tendremos:

[[Archivo:Recta numérica a02.svg|540px]]

que se numerarían así:

[[Archivo:Recta numérica a12.svg|540px]]

si la unidad la dividimos en tres partes iguales, tendremos:

[[Archivo:Recta numérica a03.svg|540px]]

que se numerarían así:

[[Archivo:Recta numérica a13.svg|540px]]

=== Números racionales con valor negativos ===
Así si la unidad la dividimos en dos partes iguales tendremos:

[[Archivo:Recta numérica b02.svg|540px]]

que se numerarían así:

[[Archivo:Recta numérica b12.svg|540px]]

si la unidad la dividimos en tres partes iguales, tendremos:

[[Archivo:Recta numérica b03.svg|540px]]

que se numerarían así:

[[Archivo:Recta numérica b13.svg|540px]]

== Referencias ==
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    <title>Matemáticas/Cálculo en una variable/Cálculo integral/Integración por partes</title>
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      <text bytes="1976" sha1="ok9a3zbhdy3z309xetzqhm14ug92kck" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
La '''integración por partes''' es un método que surge de la fórmula de la derivada de un producto.

Sean u y v funciones definidas en un mismo dominio I, es decir:

&lt;math&gt;u,v:I\to \mathbf{R}&lt;/math&gt;

derivables en todo punto del dominio. Sabemos que:

&lt;math&gt;d(u\cdot v)= du\cdot v + u\cdot dv&lt;/math&gt;

despejando, obtenemos:

&lt;math&gt;u\cdot dv=d(u\cdot v)-v \cdot du&lt;/math&gt;

Integrando esta expresión:

&lt;math&gt;\int u \cdot dv = \int d(u \cdot v)-\int v\cdot du&lt;/math&gt;

 &lt;math&gt;\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du&lt;/math&gt; 

que es la fórmula de integración por partes. 

Esta fórmula se utiliza sobre todo para integrar funciones trascendentes, cuya derivada es algebraica, integrandos que sean productos de funciones polinómicas por trascendentes, y en general, integrandos que se puedan expresar como producto de una función por la derivada de otra. 

Así tenemos por ejemplo:
  &lt;math&gt;\int f(x)dx=x \cdot f(x)-\int x \cdot f'(x)dx&lt;/math&gt;

Con la fórmula anterior podemos obtener:

&lt;math&gt;\int log(x) dx = x \cdot log(x)-\int x \frac{1}{x} dx = &lt;/math&gt;
&lt;math&gt; = x \cdot log(x)-\int dx = x \cdot log(x)-x+C&lt;/math&gt;

Lo más complicado suele ser la elección de u y dv en la integración de
&lt;math&gt;\int f(x) \cdot g(x) dx&lt;/math&gt;, para comenzar podemos tener en cuenta la siguiente clasificación de funciones:
'''L'''ogaritmica,
'''I'''nversa trigonométrica, 
'''A'''lgebraica,
'''T'''rascendente,
'''E'''xponencial.

Cada función de la clasificación '''LIATE''' tiene su derivada en una posterior, así que hemos de tomar &quot;u&quot; lo más a la izquierda posible en dicha clasificación y el resto será dv.

Ejemplo: &lt;math&gt; \int x\cdot e^{x} dx &lt;/math&gt;

x es algebraica y &lt;math&gt;e^{x}&lt;/math&gt; es exponencial, por tanto, hemos de tomar &lt;math&gt;u=x;dv=e^{x}dx&lt;/math&gt; diferenciando la primera e integrando la segunda, tendremos: &lt;math&gt;du=dx, v=e^{x}&lt;/math&gt;, y la integral es:

 &lt;math&gt; \int x\cdot e^{x} dx = x \cdot e^{x} - \int e^{x}dx= x \cdot e^{x} - e^{x}+C&lt;/math&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Cálculo en una variable/Cálculo integral/Fracciones parciales</title>
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      <text bytes="1087" sha1="lyjzh4z9ak4gqmvv30x1scyanqa4cv6" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
En esta sección se desarrollará el procedimiento para la integración de una función racional algebraica, a partir de su descomposición en fracciones parciales.

Una '''función racional algebraica''' es aquella cuya expresión corresponde al cociente de dos polinomios; esto es, de la forma &lt;math&gt;P(x)/Q(x)&lt;/math&gt;, donde P(x) es un polinomio de variable real, y de grado '''m''', y Q(x) un polinomio de variable real de grado '''n'''. Las funciones racionales algebraicas (en lo sucesivo las abreviaremos como FRA) se pueden clasificar en:
Propias: Si m &lt; n
Impropias: Si m &gt; n, o a lo sumo m = n

Así, pues, una FRA impropia puede ser transformada en una FRA propia equivalente, bajo la siguiente regla:

&lt;math&gt;P(x)/Q(x)=C(x)+R(x)/Q(x)&lt;/math&gt;

donde C(x) es el cociente que resulta de la división, y R(x) el residuo de la misma. La fracción &lt;math&gt;R(x)/Q(x)&lt;/math&gt; es propia, pues se conoce que una división de polinomios culmina cuando el resto parcial alcanza un grado menor al del divisor.

Lo que se traduce en que se necesita conocer cómo integrar FRA propias.</text>
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    <title>Análisis matemático/Funciones</title>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3749" sha1="bkgj9gga89q8r4rf32a3ul05rcm7zfe" xml:space="preserve">== Aplicaciones ==
Una aplicación es una relación entre dos conjuntos, a uno lo llamaremos «de partida» o «dominio» y al otro «de llegada» o «codominio». Esta relación tiene un particularidad, tal que a cada elemento del conjunto de partida le corresponde solo uno del conjunto de llegada.

'''Ejemplos:'''

Sean los conjuntos &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; siguientes:
: &lt;math&gt; 
   A = \{ 1, 2, 3 \}
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   B = \{ 4, 5 \}
&lt;/math&gt;

'''Ejemplo: 1''':

: &lt;math&gt;
   f : A \to B = \{ (1,4), (2,5), (3, 5) \}
&lt;/math&gt;

en forma cartesiana
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{r|rrr}
      5 &amp;        &amp; \times &amp; \times \\
      4 &amp; \times                   \\
      \hline
        &amp;      1 &amp;      2 &amp;      3 \\
\end{array}
&lt;/math&gt;

La aplicación &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; tiene como dominio al conjunto &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; y como codominio al conjunto &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;. Esta aplicación está bien definida, pues a cada elemento del conjunto de partida, le corresponde solo uno del conjunto de llegada. (Específicamente: a 1 le corresponde 4, a 2 y a 3 les corresponden 5).

'''Ejemplo: 2''':
: &lt;math&gt;
   g : B \to A = \{ (4,1), (5,2) \}
&lt;/math&gt;

en forma cartesiana
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{r|rr}
      3                    \\
      2 &amp;        &amp; \times  \\
      1 &amp; \times           \\
      \hline
        &amp;      4 &amp;      5  \\
\end{array}
&lt;/math&gt;

Esta aplicación &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; tiene como dominio al conjunto &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; y como codominio al conjunto &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. Como vemos, no a todo elemento del conjunto &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; le corresponde un elemento del conjunto &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, cuando esto sucede se dice que la función no es sobreyectiva o no suryectiva (sur viene del francés y significa sobre). En ciertos países se utiliza también la palabra suprayectiva. Volveremos con el concepto de sobreyectividad más tarde.

'''Ejemplo: 3''':
: &lt;math&gt;
   h : B \to A = \{ (4,1), (4,2), (5,3) \}
&lt;/math&gt;

en forma cartesiana
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{r|rr}
      3 &amp;        &amp; \times  \\
      2 &amp; \times           \\
      1 &amp; \times           \\
      \hline
        &amp;      4 &amp;      5  \\
\end{array}
&lt;/math&gt;

En este caso, &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; no es una aplicación pues a un elemento del dominio (al 4) le corresponden dos valores del codominio (1 y 2).

=== Ley de una aplicación ===

Si bien una aplicación puede ser definida a través de un conjunto de pares ordenados, esto puede ser incómodo si hablamos de conjuntos grandes. Por eso se suele definir una aplicación a través de una ley.

'''Ejemplos:'''
: &lt;math&gt;
      \begin{array}{cccl}
         f: &amp; \mathbb N &amp; \longrightarrow &amp; \mathbb N \\
            &amp;         x &amp; \longmapsto     &amp; y = 2 \cdot x
      \end{array}
&lt;/math&gt;

Esta aplicación tiene como dominio y codominio los números naturales, y lo que hace es asignar a cada número su doble. Si lo viéramos como un conjunto de pares ordenados, sería de la siguiente manera:
: &lt;math&gt;
   f = \{ (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), \ldots \}
&lt;/math&gt;

en forma cartesiana
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{r|rrrr}
      8 &amp;        &amp;        &amp;       &amp; \times\\
      7 \\
      6 &amp;        &amp;       &amp; \times\\
      5 \\
      4 &amp;        &amp; \times\\
      3 \\
      2 &amp; \times \\
      1 \\
      \hline
        &amp;      1 &amp;      2 &amp;      3 &amp;      4  \\
\end{array}
&lt;/math&gt;

Los &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt; indican que la sucesión de pares continúa indefinidamente. La cardinalidad de este conjunto es &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;.

== Funciones ==

Dentro de las aplicaciones hay un conjunto particular que es el que es objeto de estudio del análisis matemático, las funciones. Las funciones son aplicaciones cuyo dominio y codominio están contenidos en el conjunto de los números reales o complejos.

[[Categoría:Análisis matemático|Funciones]]

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    <title>Manual de la bicicleta/Reparar una cadena rota</title>
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      <text bytes="780" sha1="qkpoe4b6p33y3ljpn2ovlof1f2nxiul" xml:space="preserve">Cooperación sobre reparación de cadenas de bicicletas.
Generalmente las cadenas se abren por la perdida del cierre que consiste en un pasador doble que une dos eslabones y una presilla para fijar. La pérdida de esta presilla conlleva a que el pasador doble se salga y se zafe la cadena. Para esto debes 1 Conseguir otra presilla o 2 tomar una tapilla de otra cadena, ponerla como cierre y martillarla hasta remachar los dos pasadores. Esto es todo Roberto.

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Existe también una herramienta que se llama “extractor de cadenas” con el podemos separar un eslabón defectuoso y volver a unir los eslabones. También sirve para quitar completamente una cadena y cambiarla por una nueva o arreglarlas provisionalmente.
&quot;Brigada Anarco-Ciclista Insurgente&quot;
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      <sha1>qkpoe4b6p33y3ljpn2ovlof1f2nxiul</sha1>
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    <title>Matemáticas/Álgebra/Ecuaciones</title>
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      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2317" sha1="kxn5jznx3v91zasxd3w7clpfe08ltsx" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
La palabra '''ecuación''' proviene del latín ‘equi’ y ‘ecu’ (del lat. &quot;aequus&quot;, que significa &quot;igual&quot;) y aporta la idea de igualdad.&lt;br&gt;
Las ecuaciones son expresiones matemáticas que en esencia manejan '''dos elementos o miembros separados por un signo de igualdad''' o signo de igual &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot;. &lt;br&gt;
'''Ecuación''' significa en estricto sentido '''igualdad''', por lo que tanto el elemento que aparece a la izquierda como el que aparece a la derecha del signo de igual tienen el mismo valor. &lt;br&gt;
Por ejemplo, la ecuación &lt;math&gt;y = 4x &lt;/math&gt;,  significa que el valor de &quot;&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;&quot; se puede definir como cuatro veces el valor de &quot;&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;&quot; y por el contrario &quot;&lt;math&gt; x &lt;/math&gt;&quot; tiene como valor la cuarta parte de &quot;&lt;math&gt; y &lt;/math&gt;&quot;. &lt;br&gt;
Por lo que la ecuación &lt;math&gt;y = 4x&lt;/math&gt; se puede escribir también como &lt;math&gt;x = y/4 &lt;/math&gt; y la ecuación se mantiene. &lt;br&gt;
Otra forma de expresar la misma ecuación pudiera ser &lt;math&gt;y - 4x = 0&lt;/math&gt;, es decir que si al valor de &quot;&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;&quot; le restamos el mismo valor de &quot;&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;&quot; pero en términos de &quot;&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;&quot; obtenemos un valor nulo o cero. &lt;br&gt;
Lo que importa de la definición de la ecuación es precisamente que siempre debe conservarse la igualdad del elemento izquierdo con respecto al derecho. &lt;br&gt;

En matemáticas también existen [https://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas/%C3%81lgebra/Inecuaciones inecuaciones] o desigualdades, pero ese es otro tema.&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Las ecuaciones son operaciones con incógnitas que tienen resultados al efectuar ciertas operaciones. Se distinguen:

# [[/Ecuaciones de primer grado/]]
# Ecuaciones de segundo grado [[Ecuación cuadrática|     (ver libro de ecuaciones cuadráticas)]]
## [[/Ecuaciones de segundo grado incompletas/]]
## [[/Ecuación de segundo grado/]] (forma ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c=0, a&gt;0)
## [[/Ecuaciones reducibles a segundo grado/]]
## [[/Ecuaciones con radicales/]]
# [[/Ecuaciones de tercer grado/]]
# [[/Ecuaciones de cuarto grado/]]
# Sistemas de ecuaciones
## [[/Sistema de ecuaciones lineales/]]
### [[/Metodos de resolución/]]
## [[/Sistema de ecuaciones de segundo grado/]]
# [[/Ecuaciones logarítmicas/]] 
## [[/Sistema de ecuaciones logarítmicas/]]
# [[/Ecuaciones exponenciales/]]
## [[/Sistema de ecuaciones exponenciales/]]</text>
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    <title>Matemáticas/Cálculo en una variable/Conjunto Acotado</title>
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==Conjunto acotado superiormente==

'''Definición''': Sea &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; un conjunto de números reales. Decimos que el conjunto &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; está ''acotado superiormente'' si existe algún &lt;math&gt;k\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; cumpliendo &lt;math&gt;k \ge x,  \forall x\in S&lt;/math&gt;. A este valor &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; lo llamamos ''Cota superior de S''.


'''Proposición''': Si un conjunto &lt;math&gt;S\sub\mathbb{R}&lt;/math&gt; tiene una cota superior, esta no es única.

'''Prueba''': Procedamos por reducción al absurdo: 

Sea &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; una cota superior de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, supongamos que &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; es único. Por ser &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; cota superior, se cumple &lt;math&gt;k\ge x, \forall x \in S&lt;/math&gt;. Consideremos ahora el conjunto &lt;math&gt;S_0=S\cup\lbrace k\rbrace&lt;/math&gt;. Puesto que &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; es la única cota superior de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; es el mayor de todos los elementos de &lt;math&gt;S_0&lt;/math&gt;, y no existe ningún &lt;math&gt;k_0 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; siendo cota superior de &lt;math&gt;S_0&lt;/math&gt;, pues de existir, lo sería también de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; y hemos supuesto que sólo había una cota superior para &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;. Luego no existe &lt;math&gt;k_0 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; cumpliendo &lt;math&gt;k_0 \ge k&lt;/math&gt; ya que de existir, sería cota superior de &lt;math&gt;S_0&lt;/math&gt; y hemos dicho que &lt;math&gt;S_0&lt;/math&gt; no está acotado superiormente. Pero esto es falso, pues dado un número real cualquiera siempre podemos encontrar otro más grande. Por lo tanto, llegamos a una contradicción, y la cota superior de un conjunto no es única.


'''Corolario''': Dados sendos conjuntos &lt;math&gt;S\sub\mathbb{R}&lt;/math&gt; acotado superiormente y &lt;math&gt;T\sub\mathbb{R}&lt;/math&gt; finito, los conjuntos &lt;math&gt;S \cup T&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;S \cap T&lt;/math&gt; son también acotados superiormente.

'''Prueba''': Para ver que &lt;math&gt;S \cup T&lt;/math&gt; es acotado superiormente, procedemos como sigue: Reiterando el proceso usado en la demostración anterior, construimos los conjuntos &lt;math&gt;S_n&lt;/math&gt; del modo siguiente:
&lt;math&gt;S_{n+1} = S_n \cup \lbrace y_n \rbrace&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;y_n \in T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;. Los conjuntos sucesivos &lt;math&gt;S_n&lt;/math&gt; son acotados superiormente por lo que hemos visto en la demostración anterior. Como &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; es finito, este proceso tiene un final definido, que no es otro que la construcción del conjunto &lt;math&gt;S \cup T&lt;/math&gt; que resulta acotado superiormente por la misma.

En el caso del conjunto &lt;math&gt;S \cap T&lt;/math&gt;, distinguimos dos subcasos:
*Si existen &lt;math&gt;k_1, k_2 \in S &lt;/math&gt; siendo &lt;math&gt;k_1&lt;/math&gt; cota inferior de &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;k_2&lt;/math&gt; cota superior, entonces la demostración es trivial.
*Si hay algún &lt;math&gt;x \in T&lt;/math&gt; que es o bien cota superior o bien cota inferior de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, reproducimos la construcción de la demostración anterior usando las proposiciones para cota inferior y superior según convenga y resulta &lt;math&gt;S\cap T&lt;/math&gt; acotado superiormente.


'''Proposición''': Todo subconjunto &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; de un conjunto &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; acotado superiormente, es acotado superiormente.

'''Prueba''': Si &lt;math&gt;k \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; es cota superior de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, se cumple &lt;math&gt;k \ge x, \forall x \in S&lt;/math&gt;. Por ser &lt;math&gt;T \sub S&lt;/math&gt;, todo elemento &lt;math&gt;y \in T&lt;/math&gt; lo es también de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;; y por lo tanto, &lt;math&gt;k \ge y, \forall y \in T&lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; es acotado superiormente.


==Conjunto acotado inferiormente==

'''Definición''': Sea &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; un conjunto de números reales. Decimos que el conjunto &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; está ''acotado inferiormente'' si existe algún &lt;math&gt;k\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; cumpliendo &lt;math&gt;k \le x,  \forall x\in S&lt;/math&gt;. A este valor &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; lo llamamos ''Cota inferior de S''.


'''Proposición''': Si un conjunto &lt;math&gt;S\sub\mathbb{R}&lt;/math&gt; tiene una cota inferior, esta no es única.

'''Prueba''': Por un procedimiento análogo al usado para cotas superiores, se tiene lo siguiente: 

Sea &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; una cota inferior de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, supongamos que &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; es único. Por ser &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; cota inferior, se cumple &lt;math&gt;k\le x, \forall x \in S&lt;/math&gt;. Consideremos ahora el conjunto &lt;math&gt;S_0=S\cup\lbrace k\rbrace&lt;/math&gt;. Puesto que &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; es la única cota inferior de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; es el menor de todos los elementos de &lt;math&gt;S_0&lt;/math&gt;, y no existe ningún &lt;math&gt;k_0 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; siendo cota inferior de &lt;math&gt;S_0&lt;/math&gt;, pues de existir, lo sería también de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; y hemos supuesto que sólo había una cota inferior para &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;. Luego no existe &lt;math&gt;k_0 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; cumpliendo &lt;math&gt;k_0 \le k&lt;/math&gt; ya que de existir, sería cota inferior de &lt;math&gt;S_0&lt;/math&gt; y hemos dicho que &lt;math&gt;S_0&lt;/math&gt; no está acotado inferiormente. Pero esto es falso, pues dado un número real cualquiera siempre podemos encontrar otro más pequeño. Por lo tanto, llegamos a una contradicción, y la cota inferior de un conjunto no es única.


'''Corolario''': Dados sendos conjuntos &lt;math&gt;S\sub\mathbb{R}&lt;/math&gt; acotado inferiormente y &lt;math&gt;T\sub\mathbb{R}&lt;/math&gt; finito, los conjuntos &lt;math&gt;S \cup T&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;S \cap T&lt;/math&gt; son también acotados inferiormente.

'''Prueba''': Para ver que &lt;math&gt;S \cup T&lt;/math&gt; es acotado inferiormente, procedemos como sigue: Reiterando el proceso usado en la demostración anterior, construimos los conjuntos &lt;math&gt;S_n&lt;/math&gt; del modo siguiente:
&lt;math&gt;S_{n+1} = S_n \cup \lbrace y_n \rbrace&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;y_n \in T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;. Los conjuntos sucesivos &lt;math&gt;S_n&lt;/math&gt; son acotados inferiormente por lo que hemos visto en la demostración anterior. Como &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; es finito, este proceso tiene un final definido, que no es otro que la construcción del conjunto &lt;math&gt;S \cup T&lt;/math&gt; que resulta acotado inferiormente por la misma.

En el caso del conjunto &lt;math&gt;S \cap T&lt;/math&gt;, distinguimos dos subcasos:
*Si existen &lt;math&gt;k_1, k_2 \in S &lt;/math&gt; siendo &lt;math&gt;k_1&lt;/math&gt; cota inferior de &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;k_2&lt;/math&gt; cota superior, entonces la demostración es trivial.
*Si hay algún &lt;math&gt;x \in T&lt;/math&gt; que es o bien cota superior o bien cota inferior de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, reproducimos la construcción de la demostración anterior usando las proposiciones para cota inferior y superior según convenga y resulta &lt;math&gt;S\cap T&lt;/math&gt; acotado inferiormente.


'''Proposición''': Todo subconjunto &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; de un conjunto &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; acotado inferiormente, es acotado inferiormente.

'''Prueba''': Si &lt;math&gt;k \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; es cota inferior de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, se cumple &lt;math&gt;k \le x, \forall x \in S&lt;/math&gt;. Por ser &lt;math&gt;T \sub S&lt;/math&gt;, todo elemento &lt;math&gt;y \in T&lt;/math&gt; lo es también de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;; y por lo tanto, &lt;math&gt;k \le y, \forall y \in T&lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; es acotado inferiormente.


==Conjunto acotado==

'''Definición''': Sea &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; una conjunto de números reales. Decimos que el conjunto &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; está ''acotado'' si está acotado superior e inferiormente.


'''Teorema''': Todo conjunto &lt;math&gt;C \sub \mathbb{R}&lt;/math&gt; finito es acotado.

'''Prueba''': Consideramos el conjunto &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; de la siguiente manera: &lt;math&gt;C=\bigcup_{k=1}^n \lbrace x_k \rbrace&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt; por ser &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; finito. Procedemos ahora por inducción sobre &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; para comprobar que todos los conjuntos &lt;math&gt;C \sub \mathbb{R}&lt;/math&gt; escritos de esta manera -es decir, finitos- son acotados:

*Para &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; se tiene &lt;math&gt;C=\bigcup_{k=1}^1 \lbrace x_k \rbrace = \lbrace x_1 \rbrace&lt;/math&gt; que es trivialmente acotado.
*Supongamos cierto el paso &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; y probemos el caso &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt;:
Ahora tenemos que el conjunto C es el siguiente: &lt;math&gt;C=\bigcup_{k=1}^{n+1} \lbrace x_k \rbrace = \bigcup_{k=1}^n \lbrace x_k \rbrace \cup \lbrace x_{n+1} \rbrace&lt;/math&gt;. Por hipótesis de inducción &lt;math&gt;\bigcup_{k=1}^n \lbrace x_k \rbrace&lt;/math&gt; es acotado, luego es acotado superior e inferiormente. Si ahora unimos con un conjunto que tiene un solo elemento estamos repitiendo la construcción empleada en las demostraciones anteriores, luego este nuevo conjunto es acotado superior e inferiormente y, por tanto, es acotado. Y vemos que todo conjunto finito es acotado.
 

'''Proposición''': Todo subconjunto de un conjunto acotado, es acotado.

'''Prueba''': Si un conjunto es acotado, es acotado superior e inferiormente. Luego está contenido a la vez en un conjunto acotado superiormente y en un conjunto acotado inferiormente. Si tomamos la intersección de estos dos conjuntos, obtenemos un conjunto acotado que contiene al conjunto inicial.


==Ejemplos==

El conjunto &lt;math&gt;\lbrace 1,2,3,4,...\rbrace&lt;/math&gt; está acotado inferiormente por 0.

El conjunto &lt;math&gt;\lbrace-1, -2, -3, -4,...\rbrace&lt;/math&gt; está acotado superiormente por 0.

El conjunto &lt;math&gt;\lbrace1,2,3,4\rbrace&lt;/math&gt; está acotado.

El conjunto &lt;math&gt;\lbrace1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\rbrace&lt;/math&gt; está acotado (siendo 1 una cota superior y 0 una cota inferior) pero no es finito, lo cual indica que el recíproco del Teorema anterior no es cierto.</text>
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    <title>Plantilla:NUMBEROFBOOKS</title>
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        <username>Mazbel</username>
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[[Categoría:Wikilibros:Plantillas de atajos y cálculos‎|NUMBEROFBOOKS]]
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Adición</title>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección|tono=azul}}&lt;/noinclude&gt;
El ser humano siempre ha necesitado de la habilidad de contar, y además, de ''reunir'' cantidades separadas, hecho que origino la suma. Por ejemplo, cuando cogemos dos canicas por nuestra izquierda, y otras dos canicas por nuestra derecha, al unirlas (o '''sumarlas''') originan cuatro canicas:

[[Archivo:Suma.png|center|300 px]]

&lt;center&gt;&lt;Big&gt;&lt;Big&gt;&lt;Big&gt;&lt;Big&gt;&lt;math&gt;2 + 2 = 4&lt;/math&gt;&lt;/Big&gt;&lt;/Big&gt;&lt;/Big&gt;&lt;/Big&gt;&lt;/center&gt;

== Propiedades de la suma ==

Las propiedades que cumplen la regla de la suma son dos: La propiedad conmutativa y la propiedad asociativa.

=== Propiedad conmutativa ===

El orden de los sumandos no altera el valor de la suma. Da igual resultado sumarle 5 a 3, que sumarle 3 a 5:

&lt;math&gt;A + B = B + A&lt;/math&gt;

=== Propiedad asociativa ===

Al sumar varios números, el orden no varía de cualquier modo:

&lt;math&gt;a + \left ( b + c \right ) = (a + b) + c = b + (a + c)&lt;/math&gt;


== Suma de números naturales ==
''Véase [[Matemáticas/Los números/Clasificación de los números|Clasificación de los números]]''

[[Imagen:Suma.png|thumb|right
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;&lt;math&gt;2 + 2 = 4&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|300 px]]
En la imagen se ve que las dos cantidades son números naturales. Se realiza la operación al juntar las dos cantidades dadas.

== Suma de números enteros ==
''Véase [[Matemáticas/Los números/Clasificación de los números|Clasificación de los números]]''

Cuando un número entero es sumado con otro número entero el resultado será igualmente un número entero.

=== Existencia de un número neutro ===

Al haber un número neutro (un cero):

* Si son más de dos cantidades: se suman todas las demás cantidades de la forma regular y se omite el cero.
:'''Por ejemplo:''' &lt;math&gt;5 + 3 + 0 = 5 + 3 = 8&lt;/math&gt;

* Si solo son dos (un cero y un número ''n''): se pasa el número ''n'' y se elimina el 0.
:'''Por ejemplo''' &lt;math&gt;5 + 0 = 5&lt;/math&gt;

=== Existencia de un número opuesto ===

Se crea cuando exista un número negativo y uno positivo se restaran y se pondrá el signo del número más grande (por valor absoluto).
:'''Por ejemplo:''' &lt;math&gt;-8 + 2 = -6&lt;/math&gt; porque &lt;math&gt;8 - 2 = 6&lt;/math&gt; y el número más grande es 8, en este caso.

== Suma de números fraccionarios ==
''Véase [[Matemáticas/Los números/Clasificación de los números|Clasificación de los números]]''''

Los quebrados son aquellos que se representan como una fraccion o un decimal.

=== Con el mismo denominador ===

[[Archivo: Suma quebrados.png|left|350px]]

Al tener el mismo denominador se facilita la operación. Solo se sumaran directamente los numeradores. En el ejemplo se puede apreciar que:

&lt;center&gt;&lt;math&gt;\frac {3}{6} + \frac {2}{6} = \frac {3+2}{6} = \frac {5}{6}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

=== Con diferente denominador ===
5 y 8

== Suma de números decimales ==
''Véase [[Matemáticas/Los números/Clasificación de los números|Clasificación de los números]]''

Los números decimales son números que parten en 10 a la unidad por cada uno de los espacios ocupados a la derecha.

Se suma como cualquier otro número de varios dígitos pero tomando en cuenta el lugar del punto. ''Ejemplos:'' 
:&lt;math&gt;2.3 + 5.4 = 7.7&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;2.4 + 5.67 = 8.07&lt;/math&gt;
::'''Nota''' en esta ocasión se agrega un 0 imaginario a la 2.4 quedando 2.40</text>
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    <title>Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva</title>
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En la introducción, o en algún lugar especial, de los libros de la teoría axiomática de conjuntos suele darse una explicación de por qué es necesario fundamentar la teoría de conjuntos y dejarla construida a partir de unos cuantos axiomas. Estos axiomas son, en su mayoría, principios evidentes de por sí una vez que se ha comprendido previamente cómo deben comportarse los conjuntos o, por lo menos, cuando ya se tiene una idea de esto. Por esa razón, es más que justificable la revisión de una exposición intuitiva de la teoría de conjuntos, como el que incluimos aquí, en donde se expongan unas cuantas cosas, de forma rápida e intuitiva, que familiaricen al lector con los conjuntos, sus relaciones y operaciones; de esta manera el lector no encontrará (esperamos) dificultades mayores a la hora de enfrentarse a la teoría axiomática de conjuntos, donde los principios de los que se parte son formalizaciones y restricciones ''ad hoc'' de las propiedades que uno ya le suponía a los conjuntos.


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'''Capítulo siguiente:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Conjuntos|Conjuntos]]</text>
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Lo principal para nuestro desarrollo de la teoría (intuitiva) de conjuntos es aceptar que es posible ‘comprimir’ o ‘substancializar’ una colección o conjunto (que para este caso son lo mismo) de cualesquiera objetos diferentes y, así, poder considerarla como un todo o, mejor dicho, como una única cosa que tratar. Los objetos de un conjunto se llaman ''elementos'' de dicho conjunto. 

'''1.1.1.''' Desde luego, la relación más básica de la teoría de conjuntos es la que existe entre los elementos y su conjunto: la relación de ''pertenencia''. Como es la regla hoy en día, escribiremos

&lt;center&gt;&lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

para indicar que el objeto &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; es uno de los elementos del conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Es decir, el símbolo &quot;&lt;math&gt;\in&lt;/math&gt;&quot;, una versión de la letra griega &lt;math&gt;\epsilon&lt;/math&gt; (épsilon), lo usaremos para representar la relación de pertenencia{{ref|1}}. Los argumentos de una relación son los objetos que acompañan a esa relación. En el ejemplo &lt;math&gt;a \in x&lt;/math&gt;, los argumentos de la relación &lt;math&gt;\in&lt;/math&gt; son &lt;math&gt;\,a&lt;/math&gt; (primer argumento) y &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; (segundo argumento). Así, puede decirse que los primeros argumentos de la relación &lt;math&gt;\in&lt;/math&gt; pertenecen al universo de los elementos, mientras que los segundos argumentos de esta misma relación pertenecen al universo de los conjuntos. Si aceptamos que todo es un conjunto (algo que, por ciertas razones que se verán en su momento, haremos cuando se desarrolle la teoría axiomática de conjuntos), entonces los primeros y segundos argumentos de &lt;math&gt;\in&lt;/math&gt; pertenecen al mismo universo. 

La negación de &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; la escribiremos

&lt;center&gt; &lt;math&gt;a\notin x&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

Ejemplo: 
Consideremos el conjunto &lt;math&gt;\,x=\{1,2,3,4,5\}&lt;/math&gt;. Con esto lo que estamos haciendo es denominar por &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; al conjunto &lt;math&gt;\,\{1,2,3,4,5\}&lt;/math&gt;. Pues bien, podemos decir entonces que &lt;math&gt;1 \in x&lt;/math&gt; y que &lt;math&gt;7 \notin x&lt;/math&gt;. 


'''1.1.2.''' Diremos que dos conjuntos &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; son ''iguales'', lo que se representa por &lt;math&gt;\,x=y&lt;/math&gt;, si y solo si &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; consisten de los mismos elementos. Así pues, &lt;math&gt;\,x=y&lt;/math&gt; siempre que

&lt;center&gt;&lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; si y solo si  &lt;math&gt;a\in y&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

para todo elemento &lt;math&gt;\,a&lt;/math&gt; (i.e. si todo elemento de &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; es elemento de &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; y, recíprocamente, si todo elemento de &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; es elemento de &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;).

Ejemplo: Siguiendo con nuestro ejemplo, según nuestro criterio vemos que &lt;math&gt;\,\{1,2,3,4,5,\}=\{1,1,1,1,1,1,1,2,3,3,3,4,5,5,5,1\}&lt;/math&gt;. En efecto, cada uno de los elementos del conjunto de la izquierda es un elemento del conjunto de la derecha, y viceversa. Podemos pues considerar que ambos conjuntos son iguales, y, como hicimos antes, podemos identificar entonces como &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; a cualquiera de ambos.

'''1.1.3.''' Por otra parte, como un hecho más general que la igualdad, un conjunto &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; es ''subconjunto'' de otro &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt;, lo que se representa por 

&lt;center&gt;&lt;math&gt;x\subseteq y&lt;/math&gt;, &lt;/center&gt;

siempre que

&lt;center&gt;&lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; implica &lt;math&gt;a\in y&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

para cualquiera que sea el elemento &lt;math&gt;\,a&lt;/math&gt; (i.e., si  todo elemento de &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; es elemento de &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt;). Claramente 

&lt;center&gt;&lt;math&gt;x\subseteq x&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

para todo conjunto &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;, por lo que se dice que la relación &lt;math&gt;\subseteq&lt;/math&gt; es reflexiva. También tenemos que 

&lt;center&gt;&lt;math&gt;x\subseteq y&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;y\subseteq x&lt;/math&gt;si y solo si &lt;math&gt;\,x=y&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;

y que 

&lt;center&gt;&lt;math&gt;x\subseteq y&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;y\subseteq z&lt;/math&gt; implica &lt;math&gt;x\subseteq z&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

para cualesquiera conjuntos &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;. Estos dos hechos muestran, respectivamente, que la relación &lt;math&gt;\subseteq&lt;/math&gt; es antisimétrica y transitiva (véase más adelante [[Teoría de conjuntos/Teoría intuitiva de conjuntos/Relaciones|relaciones]]).


'''1.1.4.''' Si &lt;math&gt;x\subseteq y&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;x\neq y&lt;/math&gt; (i.e. si &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; tiene por lo menos un elemento más que &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;) se dice que &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; es subconjunto ''propio'' de &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt;, lo cual se representa por

&lt;center&gt;&lt;math&gt;x\subset y&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


----

{{nota|1}}Peano fue el primero en representar la relación de pertenencia por la letra &lt;math&gt;\,\epsilon&lt;/math&gt; en sus ''Arithmetices Principia'' (1889), por ser la primera letra de la palabra griega &lt;math&gt;\acute\epsilon\sigma\tau\grave\iota&lt;/math&gt;, que significa &quot;está&quot;.


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'''Capítulo anterior:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva|Introducción]]
'''Capítulo siguiente:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Notación de conjuntos y el conjunto vacío|Notación de conjuntos y el conjunto vacío]]</text>
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    <title>Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Notación de conjuntos y el conjunto vacío</title>
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'''1.2.1.''' Si &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; es un conjunto cuyos elementos son &lt;math&gt;a_1,a_2,\ldots\,a_n&lt;/math&gt; y solo ellos, es común representar a este conjunto &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; por extensión

&lt;center&gt;&lt;math&gt;\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;

si &lt;math&gt;\,n&lt;/math&gt; (al que llamaremos cardinalidad) no es un número muy grande.

Por ejemplo &lt;math&gt;\{a, e, i, o, u\}&lt;/math&gt; representa por extensión el conjunto de las vocales del español y su cardinalidad es 5.  

Tenga en cuenta que en un conjunto no hay elementos repetidos, por ejemplo el conjunto &lt;math&gt;\{a, a\}&lt;/math&gt; es el mismo conjunto &lt;math&gt;\{a\}&lt;/math&gt;

'''1.2.2.''' Nótese que, de acuerdo con esa notación, 

&lt;center&gt;&lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; es equivalente a &lt;math&gt;\{a\}\subseteq x&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


'''1.2.3.''' Existe otra forma común de representar conjuntos, llamada por comprensión. Si &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; es el conjunto de todos aquellos elementos &lt;math&gt;\,a&lt;/math&gt; que verifican una propiedad &lt;math&gt;\,\phi&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; se representa también por

&lt;center&gt;&lt;math&gt;\{a\mid\phi(a)\} &lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


'''1.2.4.''' Así, si &lt;math&gt;\,\phi(a) &lt;/math&gt; es la propiedad &lt;math&gt;\,a=a&lt;/math&gt;, entonces el conjunto

&lt;center&gt;&lt;math&gt;\{a\mid a=a\}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

claramente contiene cualquier cosa.


'''1.2.5.''' Mientras tanto, si &lt;math&gt;\,\phi(a) &lt;/math&gt; es la propiedad &lt;math&gt;a\neq a&lt;/math&gt;, entonces el conjunto

&lt;center&gt;&lt;math&gt;\{a\mid a\neq a\}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

no contiene nada. Este conjunto sin elementos lo llamaremos conjunto vacío, y lo representaremos por &lt;math&gt;\varnothing&lt;/math&gt;. Tenemos que &lt;math&gt;\varnothing\subseteq x&lt;/math&gt; para cualquiera que sea el conjunto &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; (pues esto sería falso sólo si existiera algún elemento en &lt;math&gt;\varnothing&lt;/math&gt; que no estuviera en el conjunto &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;, lo cual es absurdo pues &lt;math&gt;\varnothing&lt;/math&gt; no contiene nada). 

Por otro lado, 

&lt;center&gt;&lt;math&gt;x\subseteq\varnothing&lt;/math&gt; implica &lt;math&gt;x=\varnothing&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
para cualquier conjunto &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;. Efectivamente, pues si fuera &lt;math&gt;x\subseteq\varnothing&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;x\neq\varnothing&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;\varnothing&lt;/math&gt; tendría por lo menos un elemento que no está en &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;, lo que es imposible.


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'''Capítulo anterior:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Conjuntos|Conjuntos]]
'''Capítulo siguiente:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Unión e intersección de conjuntos|Unión e intersección de conjuntos]]</text>
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    <title>Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Unión e intersección de conjuntos</title>
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'''1.3.1.''' Las operaciones entre conjuntos consisten en tomar ciertos elementos de uno y ciertos de otro para formar con ellos nuevos conjuntos. Así, por ejemplo, si &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; son dos conjuntos, la ''unión'' de &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; es el conjunto


&lt;center&gt;&lt;math&gt;x\cup y=\{a\mid a\in x&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;a\in y\}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Esto es, &lt;math&gt;x\cup y&lt;/math&gt; consiste de todos los elementos que están ya sea en &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;, ya sea en &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt;, ya sea en ambos &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt;. La unión se representa por el área sombreada en el diagrama siguiente:


[[File:Venn0111.svg|thumb|center|&lt;center&gt;&lt;math&gt;x\cup y&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;]]


Sean &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt; conjuntos cualesquiera. Se cumplen las propiedades siguientes:

&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;'''( U-1 )''' &lt;math&gt;x\cup x=x&lt;/math&gt; (idempotencia)&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;'''( U-2 )''' &lt;math&gt;x\cup\varnothing=x&lt;/math&gt;  (identidad) &lt;/p&gt;
&lt;p&gt;'''( U-3 )''' &lt;math&gt;x\cup y=y\cup x&lt;/math&gt;  (conmutatividad) &lt;/p&gt;
&lt;p&gt;'''( U-4 )''' &lt;math&gt;x\cup(y\cup z)=(x\cup y)\cup z&lt;/math&gt; (asociatividad) &lt;/p&gt;
&lt;p&gt;'''( U-5 )''' &lt;math&gt;x\subseteq x\cup y&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;'''( U-6 )''' &lt;math&gt;x\subset y&lt;/math&gt; si y solo si &lt;math&gt;x\cup y=y&lt;/math&gt;
&lt;/blockquote&gt;

Estas propiedades son fácilmente demostrables. Veamos la demostración de '''( U-2 )''' y '''( U-6 )''':


'''( U-2 )''' Hay que demostrar que todo elemento de &lt;math&gt;x\cup\varnothing&lt;/math&gt; es elemento de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; (demostrar que &lt;math&gt;x\cup\varnothing\subseteq x&lt;/math&gt;) y que, recíprocamente, todo elemento de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; es elemento de &lt;math&gt;x\cup\varnothing&lt;/math&gt; (demostrar que &lt;math&gt;x\subseteq x\cup\varnothing&lt;/math&gt;). Si &lt;math&gt;a\in x\cup\varnothing&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;a\in\varnothing&lt;/math&gt;, de lo que solo puede ser &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt;. Recíprocamente, si &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;a\in x\cup\varnothing&lt;/math&gt;. Por tanto &lt;math&gt;x\cup\varnothing=x&lt;/math&gt;. 


'''( U-6 )''' Supóngase que &lt;math&gt;x\subseteq y&lt;/math&gt; pero que &lt;math&gt;x\cup y\neq y&lt;/math&gt;. Entonces, en particular, existe &lt;math&gt;a\notin y&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;a\in x\cup y&lt;/math&gt;, pero si esto es cierto, &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt;, lo que contradice el hecho de que &lt;math&gt;x\subseteq y&lt;/math&gt;. Recíprocamente, si &lt;math&gt;x\cup y=y&lt;/math&gt;, entonces de '''( U-5 )''' se sigue el resultado deseado.


'''1.3.2.''' La ''intersección'' de dos conjuntos &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; se define como el conjunto


&lt;center&gt;&lt;math&gt;x\cap y=\{a\mid a\in x\quad \mbox{y}\quad a\in y\}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Es decir, &lt;math&gt;x\cap y&lt;/math&gt; es el conjunto formado por todos los elementos que están tanto en &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; como en &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt;. La intersección se representa por el área sombreada en el diagrama siguiente :

[[Imagen:Setsintersection.png|thumb|center|&lt;center&gt;&lt;math&gt;x\cap y&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;]]


Sean &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt; conjuntos cualesquiera

&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;'''( I-1 )''' &lt;math&gt;x\cap x=x&lt;/math&gt; (idempotencia)&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;'''( I-2 )''' &lt;math&gt;x\cap\varnothing=\varnothing&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;'''( I-3 )''' &lt;math&gt;x\cap y=y\cap x&lt;/math&gt;  (conmutatividad) &lt;/p&gt;
&lt;p&gt;'''( I-4 )''' &lt;math&gt;x\cap(y\cap z)=(x\cap y)\cap z&lt;/math&gt; (asociatividad) &lt;/p&gt;
&lt;p&gt;'''( I-5 )''' &lt;math&gt;x\cap y\subseteq x&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;'''( I-6 )''' &lt;math&gt;x\subseteq y&lt;/math&gt; si y solo si &lt;math&gt;x\cap y=x&lt;/math&gt;
&lt;/blockquote&gt;


Además, se cumplen las siguientes leyes distributivas:

&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;'''( UI-1 )''' &lt;math&gt;x\cup(y\cap z)=(x\cup y)\cap(x\cup z)&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;'''( UI-2 )''' &lt;math&gt;x\cap(y\cup z)=(x\cap y)\cup(x\cap z)&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;


'''1.3.3.''' Si &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; son dos conjuntos tales que &lt;math&gt;x\cap y=\varnothing&lt;/math&gt; (i.e. si &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; no tienen elementos en común) se dice que &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; son ''conjuntos disjuntos''.


'''1.3.4.''' Las operaciones de unión e intersección pueden generalizarse. Si &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt; es una colección (conjunto) de conjuntos, la unión de los conjuntos de &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt; puede definirse como el conjunto


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\bigcup_{x\in C}x=\{a\mid\mathrm{existe}\ x\in C\ \mathrm{tal}\ \mathrm{que}\ a\in x\}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Así, &lt;math&gt;a\in\bigcup_{x\in C}x&lt;/math&gt; si y solo si existe por lo menos un conjunto &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt; que contenga al elemento &lt;math&gt;\,a&lt;/math&gt;. Como caso particular, tenemos


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\bigcup\{x,y\}=x\cup y&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


'''1.3.5.''' De manera similar, la intersección de los conjuntos de una colección &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; se define por


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\bigcap_{x\in C}x=\{a\mid\mathrm{para}\ \mathrm{todo}\ x\in C,\quad a\in x\}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Por tanto, &lt;math&gt;a\in\bigcap_{x\in C}x&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; para todo conjunto &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt; (i.e. &lt;math&gt;\bigcap_{x\in C}x&lt;/math&gt; consiste de los elementos que están en todo conjunto de &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;). Como caso particular, tenemos


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\bigcap\{x,y\}=x\cap y&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


'''1.3.6.''' Nótese que, de acuerdo a la definición anterior, si &lt;math&gt;C=\varnothing&lt;/math&gt;, entonces, puesto que en ese caso &lt;math&gt;x\in\varnothing&lt;/math&gt; implica &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; para cualquiera que sea el conjunto &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; y el elemento &lt;math&gt;\,a&lt;/math&gt;, el conjunto &lt;math&gt;\bigcap C&lt;/math&gt; lo contiene todo.


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'''Capítulo anterior:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Notación de conjuntos y el conjunto vacío|Notación de conjuntos y el conjunto vacío]]
'''Capítulo siguiente:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios|Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios]]</text>
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'''1.4.1''' Si &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; son dos conjuntos cualesquiera, la ''diferencia'' de &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; es el conjunto &lt;math&gt;\,x-y&lt;/math&gt; (también simbolizado por &lt;math&gt;x \backslash y&lt;/math&gt;) definido por


&lt;center&gt;&lt;math&gt;x-y=\{a\mid a\in x&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;a\notin y\}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Es decir, &lt;math&gt;\,x-y&lt;/math&gt; consiste de todos los elementos que están en &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; pero no en &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt;. Este conjunto se representa por el área sombreada en el siguiente diagrama:


[[File:SetDifferenceA.svg|thumb|center|&lt;center&gt;&lt;big&gt;Diferencia de&lt;/big&gt; &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\,y   &lt;/math&gt; &lt;big&gt;, o entre A y B en este caso&lt;/big&gt;&lt;/center&gt; ]]


'''Ejercicio:''' Probar que &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; son conjuntos disjuntos si y solo si &lt;math&gt;\,x-y=x&lt;/math&gt;.


Sean &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;z\,&lt;/math&gt; conjuntos cualesquiera. Entonces

&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;( '''D-1''' ) &lt;math&gt;x-x=\varnothing&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;( '''D-2''' ) &lt;math&gt; x-\varnothing=x&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;( '''D-3''' ) &lt;math&gt; x-(x-y)=x\cap y&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;( '''D-4''' ) &lt;math&gt; x\cap(y-z)=(x\cap y)-(x\cap z)&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;( '''D-5''' ) &lt;math&gt;x-(y\cup z)=(x-y)\cap (x-z)&lt;/math&gt; &lt;/p&gt; 
&lt;p&gt;( '''D-6''' ) &lt;math&gt; x-(y\cap z)=(x-y)\cup (x-z)&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;( '''D-7''' ) &lt;math&gt; x-y\subseteq x&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;( '''D-8''' ) &lt;math&gt; x\subseteq y&lt;/math&gt; si y solo si &lt;math&gt; x-y=\varnothing&lt;/math&gt;
&lt;/blockquote&gt;


[[File:InterseccionRestas.png|thumb|center|&lt;center&gt;&lt;big&gt;Ver diagrama&lt;/big&gt;&lt;/center&gt; ]]

'''1.4.2.''' Si &lt;math&gt;\,x_1&lt;/math&gt; es un subconjunto de &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;, entonces el subconjunto de &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;,


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\mathcal{C}_x x_1=x-x_1&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


se dice conjunto ''complementario'' de &lt;math&gt;\,x_1&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;. En el siguiente diagrama se representa este conjunto como el area sombreada:

[[File:SetComplement.svg|thumb|center|&lt;center&gt;&lt;big&gt;Complemento de &lt;/big&gt;&lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;en &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;&lt;big&gt;, o de A en U en este caso&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;]]


Sean &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt; subconjuntos de un conjunto &lt;math&gt;u\,&lt;/math&gt;. Se cumplen


&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;( '''C-1''' ) &lt;math&gt;\mathcal{C}_u u=\varnothing&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;( '''C-2''' ) &lt;math&gt;\mathcal{C}_u \varnothing=u&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;( '''C-3''' ) &lt;math&gt;\mathcal{C}_\varnothing u=\varnothing&lt;/math&gt;  (conmutatividad) &lt;/p&gt;
&lt;p&gt;( '''C-4''' ) &lt;math&gt;\mathcal{C}_u\mathcal{C}_u x=x&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;( '''C-5''' ) &lt;math&gt; x\cup\mathcal{C}_u x=u&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;( '''C-6''' ) &lt;math&gt; x\cap\mathcal{C}_u x=\varnothing&lt;/math&gt;&lt;/p&gt; 
&lt;p&gt;( '''C-7''' ) &lt;math&gt;\mathcal{C}_u(x\cup y)=\mathcal{C}_u x\cap\mathcal{C}_u y&lt;/math&gt;&lt;/p&gt; 
&lt;p&gt;( '''C-8''' ) &lt;math&gt; \mathcal{C}_u(x\cap y)=\mathcal{C}_u x\cup\mathcal{C}_u y&lt;/math&gt;&lt;/p&gt; 
&lt;p&gt;( '''C-9''' ) &lt;math&gt; x-y=x\cap\mathcal{C}_u y&lt;/math&gt;&lt;/p&gt; 
&lt;/blockquote&gt;


Los enunciados '''( C-7 )''' y '''( C-8 )''' se conocen como ''leyes de De Morgan''.


'''1.4.3.''' En ocasiones, para evitar complejidades notacionales, escribiremos &lt;math&gt;\mathcal{C}x&lt;/math&gt; en lugar de &lt;math&gt;\mathcal{C}_y x&lt;/math&gt; cuando del contexto se sobreentienda cual es el conjunto &lt;math&gt;\,y&lt;/math&gt;.


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'''Capítulo anterior:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Unión e intersección de conjuntos|Unión e intersección de conjuntos]]
'''Capítulo siguiente:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Conjuntos potencia|Conjuntos potencia]]</text>
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'''1.5.1.''' Un conjunto muy importante en la teoría de conjuntos es aquel que, dado un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; cualquiera, contiene todos los subconjuntos de este conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Un conjunto así se llama ''conjunto potencia''. Más exactamente, si &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; es un conjunto, entonces el conjunto potencia de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; es el conjunto &lt;math&gt;\mathcal{P}(x) &lt;/math&gt; dado por 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\mathcal{P}(x)=\{y\mid y\subseteq x\}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

'''1.5.2.''' Puesto que &lt;math&gt;\varnothing\subseteq\varnothing&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}&lt;/math&gt;, y por tanto &lt;math&gt;\mathcal{P}(\varnothing) &lt;/math&gt; contiene un solo elemento, y por ello &lt;math&gt;\mathcal{P}(\varnothing)\neq\varnothing&lt;/math&gt;. Sea &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; un conjunto con &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; elementos. Entonces, existen &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; subconjuntos de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; con un solo elemento, &lt;math&gt;n\choose 2&lt;/math&gt; subconjuntos de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; con dos elementos, &lt;math&gt;n\choose 3&lt;/math&gt; subconjuntos de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; con 3 elementos, y así sucesivamente hasta llegar a los &lt;math&gt;n\choose n&lt;/math&gt; subconjuntos de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; elementos. De este modo, &lt;math&gt;\mathcal{P}(x) &lt;/math&gt; tiene 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\sum_{i=0}^n {n\choose i}=(1+1)^n=2^n&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


elementos, siendo esta última ecuación un caso particular del binomio de Newton. Como puede verse, el conjunto potencia &lt;math&gt;\mathcal{P}(x) &lt;/math&gt; de un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; contiene en general muchos más elementos que el conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, razón por la cual es difícil dar ejemplos de conjuntos potencia.


'''1.5.3.''' Nótese que &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; equivale a &lt;math&gt;\{a\}\in\mathcal{P}(x) &lt;/math&gt;.


'''1.5.4.''' Algo más interesante y conveniente de notar es que 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\bigcup_{x\in\mathcal{P}(X)}x=X&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


para cualquier conjunto &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. En efecto, pues de &lt;math&gt;a\in\bigcup_{x\in\mathcal(X)}x&lt;/math&gt;, se sigue &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; para algún &lt;math&gt;x\in\mathcal{P}(X) &lt;/math&gt;, es decir, para algún &lt;math&gt;x\subseteq X&lt;/math&gt;, por lo que &lt;math&gt;a\in X&lt;/math&gt;. Recíprocamente, si &lt;math&gt;a\in X&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; para algún conjunto &lt;math&gt;x\in\mathcal{P}(X) &lt;/math&gt; (e.g. el conjunto &lt;math&gt;\{a\}\subseteq X&lt;/math&gt;), luego &lt;math&gt;a\in\bigcup_{x\in\mathcal{P}(X)}x&lt;/math&gt;.


'''1.5.5.''' Como hecho más general, si &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; es una colección de subconjuntos de un conjunto &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;, es decir si &lt;math&gt;C\subseteq\mathcal{P}(X) &lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;\bigcup_{x\in C}x\subseteq X&lt;/math&gt;.


'''1.5.6.''' Ahora vamos a generalizar algunas leyes a cerca de la unión e intersección de conjuntos. Primero, considérese un conjunto dado &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;, y luego considérese una colección &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; de subconjuntos de &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;. Fórmese la unión


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\bigcup_{x\in C}x&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


un subconjunto de &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;. El complemento


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\mathcal{C}\left(\bigcup_{x\in C}x\right)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


es un subconjunto de &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;a\in\mathcal{C}(\bigcup_{x\in C}x) &lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;a\notin\bigcup_{x\in C}x&lt;/math&gt;, por lo que &lt;math&gt;a\notin x&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;x\in C&lt;/math&gt;, y puesto que &lt;math&gt;x\subseteq u&lt;/math&gt;, el complemento &lt;math&gt;\mathcal{C}x&lt;/math&gt; existe y &lt;math&gt;a\in\mathcal{C}x&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;x\in C&lt;/math&gt;. Así, &lt;math&gt;a\in\bigcap_{x\in C}\mathcal{C}x&lt;/math&gt;. El conjunto anterior es en efecto una intersección de los conjuntos de una colección, a saber


&lt;center&gt;&lt;math&gt;C'=\{y\mid y\subseteq v&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\mathcal{C}y\in C\}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Sea &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; un conjunto y &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; una colección de subconjuntos de &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;. El resultado anterior, y otro cuya demostración se deja como un sencillo ejercicio al lector, se presentan a continuación:

*&lt;math&gt;\mathcal{C}\left(\bigcup_{x\in C}x\right)=\bigcap_{x\in C}\mathcal{C}x&lt;/math&gt;

*&lt;math&gt;\mathcal{C}\left(\bigcap_{x\in C}x\right)=\bigcup_{x\in C}\mathcal{C}x&lt;/math&gt;

Las proposiciones anteriores son una generalización de las leyes de De Morgan.


----
'''Capítulo anterior:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Diferencia  de conjuntos y conjuntos complementarios|Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios]]
'''Capítulo siguiente:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Producto cartesiano|Producto cartesiano]]</text>
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    <title>Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Producto cartesiano</title>
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'''1.6.1.''' En matemáticas, un par ordenado es un par &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; de objetos &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; tal que si &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; es otro par ordenado, &lt;math&gt;(a,b) &lt;/math&gt; y &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; serán iguales si y solo si &lt;math&gt;a=c&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b=d&lt;/math&gt;. La idea de esta descripción es garantizar que el orden de los componentes de un par ordenado importe. Sin embargo, no es sino en la teoría de conjuntos donde el concepto de par ordenado encuentra una definición al ser considerado como un tipo especial de conjunto que cumple lo que se acaba de describir del mismo. En realidad existen varias definiciones de par ordenado dentro de la teoría de conjuntos, aunque la más común, y la que usaremos aquí, es aquella donde el par ordenado &lt;math&gt; (a,b) &lt;/math&gt; se define por


&lt;center&gt;&lt;math&gt;~(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


para todo &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; Para ver que esta definición de par ordenado es adecuada, hemos de mostrar que 


&lt;center&gt; &lt;math&gt; (a,b)=(c,d) &lt;/math&gt; si y solo si &lt;math&gt;a=c&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b=d&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


para cualesquiera &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;. Sea pues &lt;math&gt; (a,b)=(c,d) &lt;/math&gt;. Entonces


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\{a\}=\{c\}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\{a,b\}=\{c,d\}&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;\{a\}=\{c,d\}&lt;/math&gt;  y &lt;math&gt;\{a,b\}=\{c\}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Si &lt;math&gt;a=b&lt;/math&gt;, todo se reduce fácilmente a &lt;math&gt;a=b=c=d&lt;/math&gt; considerado que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Si &lt;math&gt;a\neq b&lt;/math&gt;, entonces no puede ser &lt;math&gt;\{a\}=\{c,d\}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\{a,b\}=\{c\}&lt;/math&gt;, pues si &lt;math&gt;\{a,b\}=\{c\}&lt;/math&gt; resulta &lt;math&gt;a=b=c&lt;/math&gt; por definición de la igualdad de conjuntos, lo que contradice &lt;math&gt;a\neq b&lt;/math&gt;, y por tanto ha de ser &lt;math&gt;\{a\}=\{c\}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\{a,b\}=\{c,d\}&lt;/math&gt;, con lo que claramente &lt;math&gt;a=c&lt;/math&gt;, además de que  &lt;math&gt;b=d&lt;/math&gt;, pues suponer que &lt;math&gt;b=c&lt;/math&gt; nos lleva de nuevo a &lt;math&gt;a=b&lt;/math&gt; cuando la hipótesis dice lo contrario.

La definición de par ordenado anterior se debe a Kuratowski, quien la introdujo en 1921.


'''Ejercicio:''' Probar que es posible definir el par ordenado por 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;(x,y)=\{\{\{x\},\varnothing\},\{\{y\}\}\}&lt;/math&gt; &lt;/center&gt;


para todo &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; mostrando que en ese caso también se cumple


&lt;center&gt; &lt;math&gt; (a,b)=(c,d) &lt;/math&gt; si y solo si &lt;math&gt;a=c&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b=d&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


para cualesquiera &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;. Esta definición de par ordenado la dio Weiner en 1914.


'''Ejercicio:''' Considérese la definición de pares ordenados de Kuratowski. Probar que si &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b\in x&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt; (a,b)\in\mathcal{PP}(x) &lt;/math&gt;. Probar que, más generalmente, si &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b\in y&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt; (a,b)\in\mathcal{PP}(x\cup y) &lt;/math&gt;


'''1.6.2.''' La definición de par ordenado se puede generalizar inductivamente para cualquier número &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; de componentes, mediante la ecuación

&lt;center&gt; &lt;math&gt; (a_1,a_2,\ldots ,a_n)=((a_1,a_2,\ldots ,a_{n-1}),a_n) &lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


'''1.6.3.''' Sean &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dos conjuntos. El producto cartesiano de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; es el conjunto &lt;math&gt;x\times y&lt;/math&gt; definido por


&lt;center&gt;&lt;math&gt;x\times y=\{(a,b)\mid a\in x&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b\in y\}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Es decir, &lt;math&gt;x\times y&lt;/math&gt; es el conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; y segundo componente un elemento de &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;. 


Dados cualesquiera dos conjuntos &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, tenemos
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;( '''P-1''' ) &lt;math&gt; x\times(y\cup z)=(x\times y)\cup(x\times z)&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;( '''P-2''' ) &lt;math&gt; x\times(y\cap z)=(x\times y)\cap(x\times z)&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;( '''P-3''' ) &lt;math&gt; x\times(y-z)=(x\times y)-(x\times z)&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;( '''P-4''' ) &lt;math&gt; x\times y=\varnothing&lt;/math&gt; si y solo si &lt;math&gt; x=\varnothing&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;y=\varnothing&lt;/math&gt; &lt;/p&gt;
&lt;p&gt;( '''P-5''' ) &lt;math&gt; x\subseteq v&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;y\subseteq w&lt;/math&gt; si y solo si &lt;math&gt;x\times y\subseteq v\times w&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;


----
'''Capítulo anterior:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Conjuntos potencia|Conjuntos potencia]]
'''Capítulo siguiente:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Funciones|Funciones]]</text>
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    <title>Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Funciones</title>
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'''1.7.1.''' Sean &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dos conjuntos cualesquiera. Cualquier subconjunto &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; del producto cartesiano &lt;math&gt;x\times y&lt;/math&gt; que cumpla

&lt;blockquote&gt;
 &lt;p&gt;'''( F-1 )'''  para todo &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; existe &lt;math&gt;b\in y&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;(a,b)\in f&lt;/math&gt; y&lt;/p&gt;
 &lt;P&gt;'''( F-2 )''' &lt;math&gt; (a,b)\in f&lt;/math&gt; y &lt;math&gt; (a,c)\in f&lt;/math&gt; implica &lt;math&gt;b=c&lt;/math&gt;,&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;

se dice ''función'' de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;. Para indicar que &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es una función de un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; en otro &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, es común escribir &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt;. 


'''1.7.2.''' Sean dos conjuntos &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, y sea &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt; una función de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;(a,b)\in f&lt;/math&gt; se dice que &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; es ''antecedente'' de &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; por medio de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, y que &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; es ''imagen'' de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; por medio de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Por definición, un elemento &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; no puede tener ni más ni menos que una sola imagen &lt;math&gt;b\in y&lt;/math&gt;, que representaremos por &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; (de modo que &lt;math&gt;b=f(a) &lt;/math&gt; si y solo si &lt;math&gt;(a,b)\in f&lt;/math&gt;). El conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; se dice ''dominio'' de la función &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, y se representa comúnmente por &lt;math&gt;\mathrm{dom}(f) &lt;/math&gt;, mientras que el subconjunto &lt;math&gt;y'\subseteq y&lt;/math&gt; tal que para todo &lt;math&gt;b\in y'&lt;/math&gt; existe &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;b=f(a)&lt;/math&gt; (i.e. el subconjunto de &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; que contiene solo las imágenes de los elementos de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; por medio de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) se dice ''rango'' de la función &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, y se representa por &lt;math&gt;\mathrm{ran} (f) &lt;/math&gt;. 


'''1.7.3.''' Claramente dos funciones &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;g:x\longrightarrow y&lt;/math&gt; son iguales si y solo si


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f(a)=g(a) &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


para todo &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt;.


'''1.7.4.''' Tenemos también que si &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; son dos conjuntos, y si &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt; es cualquier función de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;f\subseteq x\times y&lt;/math&gt;,  y así &lt;math&gt;f\in\mathcal{P}(x\times y)&lt;/math&gt;. Luego, si &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; es el conjunto de todas las funciones &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F\subseteq\mathcal{P}(x\times y)&lt;/math&gt;, de modo que &lt;math&gt;F\in\mathcal{PP}(x\times y)&lt;/math&gt;. 


'''1.7.5.''' Sea &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; un conjunto cualquiera, y sea &lt;math&gt;f:\varnothing\longrightarrow y&lt;/math&gt;. Claramente &lt;math&gt;f=\varnothing&lt;/math&gt;. 


'''1.7.6.''' Sea &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; un conjunto. La función


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\{x\}_{i\in I}:I\longrightarrow\mathcal{P}(x)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


que envía un elemento &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; con un subconjunto de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, se denomina ''familia'' de subconjuntos de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; indicada por &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;. El conjunto &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; se denomina en este caso conjunto de ''índices'' (por lo que cada &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt; se dice un ''índice''), y la imagen de cualquier &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt; por medio de esta función se representa por &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. 


Por ejemplo, considérese el conjunto


&lt;center&gt;&lt;math&gt;x=\{a,b,c,d\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


y el conjunto de índices &lt;math&gt;I=\{m,n,o,p\}&lt;/math&gt;. Existen varias familias de subconjuntos de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; indicadas por &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;. Una de estas puede ser la función


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\{x\}_{i\in I}:I\longrightarrow\mathcal{P}(x) &lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


dada por 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;x_m=\{a\},\quad x_n=\{a,b\},\quad x_o=\{a,b,c\},\quad x_p=\{a,b,c,d\}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Otra puede ser la que viene dada por


&lt;center&gt;&lt;math&gt;x_m\{a\},\quad x_n=\{b\},\quad x_o=\{c\},\quad x_p=\{d\}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


'''1.7.7.''' Sea la función &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt; de un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; en otro &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;; 
Si

&lt;blockquote&gt;
 &lt;p&gt;'''(F-3)''' para cualesquiera &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b\in x,\quad f(a)=f(b) &lt;/math&gt; implica &lt;math&gt;a=b&lt;/math&gt;,&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;

es decir, si cualesquiera distintos elementos de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; tienen distintas imágenes en &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, se dice que &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es una función ''inyectiva'' o que es una ''inyección''. 

Si 
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;'''(F-4)''' para todo &lt;math&gt;b\in y&lt;/math&gt; existe &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;b=f(a) &lt;/math&gt;,&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;
es decir, si &lt;math&gt;\mathrm{ran}(f)=y&lt;/math&gt; (i.e. si todo &lt;math&gt;b\in y&lt;/math&gt; es imagen), se dice que &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es una función ''sobreyectiva'' (o ''suprayectiva''), que es una función de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ''sobre'' &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, o que es una ''sobreyección''.
 
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;'''(F-5)''' Una función que es a la vez inyectiva y sobreyectiva se dice función biyectiva o ''biyección''.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;


'''1.7.8.''' Sea &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt;, y sea &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; un subconjunto de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; (i.e. un elemento de &lt;math&gt;\mathcal{P}(x) &lt;/math&gt;). El conjunto &lt;math&gt;f(x')\subseteq y&lt;/math&gt; dado por


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f\left[x_1\right]=\{b\in y\mid&lt;/math&gt; existe &lt;math&gt;a\in x_1&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;b=f(a)\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


se dice ''imagen'' del subconjunto &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; por &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Es decir, &lt;math&gt;f\left[x_1\right] &lt;/math&gt; es el conjunto de todos los &lt;math&gt;b\in y&lt;/math&gt; que son imagen de algún elemento de &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;. Así pues,


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f\left[x_1\right]\subseteq\mathrm{ran}(f)&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


y, en particular,


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f\left[x\right]= \mathrm{ran}(f) &lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Nótese que, si &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt;, entonces


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f\left[\{a\}\right]=\{f(a)\} &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


es un conjunto con un solo elemento, a saber, la imagen de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; por &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;.


'''1.7.9.''' Por otra parte, si &lt;math&gt;y_1\subseteq y&lt;/math&gt;, entonces se define el conjunto &lt;math&gt;f^{-1}\left[y_1\right] &lt;/math&gt; por


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f^{-1}\left[y_1\right]=\{a\in x\mid f(a)\in y_1\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


y se llama a este conjunto ''imagen recíproca'' de &lt;math&gt;y_1&lt;/math&gt; por &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Así pues,


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f^{-1}\left[y_1\right]\subseteq x&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Puesto que todo elemento de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; tiene una imagen en &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, tenemos que, como caso particular,


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f^{-1}\left[y\right]=x&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Sin embargo, debemos tener presente que, si bien &lt;math&gt;f\left[\{a\}\right] &lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt;, siempre es un conjunto con un solo elemento, el conjunto &lt;math&gt;f^{-1}\left[\{b\}\right] &lt;/math&gt; con &lt;math&gt;b\in y&lt;/math&gt; puede ser vacío, ya que la definición de función no garantiza que todo elemento de &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; tenga un antecedente en &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Sin embargo esto si esta garantizado cuando &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es sobreyectiva, de modo que, en ese caso, el conjunto

 
&lt;center&gt;&lt;math&gt;f^{-1}\left[\{b\}\right] &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


contiene cualquier elemento de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; cuya imagen sea &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es además inyectiva, entonces &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es biyectiva, de modo que &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; es la imagen de solo un elemento &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, y así &lt;math&gt;f^{-1}\left[\{b\}\right] &lt;/math&gt; contiene solo a tal elemento &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;.


'''1.7.10.''' Veamos ahora algunas propiedades generales de las funciones. Para esto definimos una función &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt; y dos familias &lt;math&gt;\{x\}_{i\in I}&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\{y\}_{j\in J}&lt;/math&gt; de subconjuntos de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; respectivamente. Convenimos también en que &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y_2&lt;/math&gt; representan, respectivamente, subconjuntos de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; y subconjuntos de &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Tenemos que
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;(a) &lt;math&gt;x_1\subseteq x_2&lt;/math&gt; implica &lt;math&gt;f\left[x_1\right]\subseteq f\left[x_2\right] &lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;

'''Demostración:''' Sea pues &lt;math&gt;x_1\subseteq x_2&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;b\in f\left[x_1\right] &lt;/math&gt;, entonces, por definición (véase ¿?), existe &lt;math&gt;a\in x_1&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;b=f(a) &lt;/math&gt;, pero en tal caso &lt;math&gt;a\in x_2&lt;/math&gt;, pues &lt;math&gt;x_1\subseteq x_2&lt;/math&gt;, de modo que &lt;math&gt;b\in f\left[x_2\right] &lt;/math&gt;. QED

&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;(b) &lt;math&gt;y_1\subseteq y_2&lt;/math&gt; implica &lt;math&gt;f^{-1}\left[y_1\right]\subseteq f^{-1}\left[y_2\right] &lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;

'''Demosracón:''' Si &lt;math&gt;a\in f^{-1}\left[y_1\right] &lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;f(a)\in y_1&lt;/math&gt;, puesto que &lt;math&gt;y_1\subseteq y_2&lt;/math&gt;, se tiene &lt;math&gt;f(a)\in y_2&lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;a\in f^{-1}\left[y_2\right] &lt;/math&gt;, y así &lt;math&gt;f^{-1}\left[y_1\right]\subseteq f^{-1}\left[y_2\right] &lt;/math&gt;. QED


&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;(c) &lt;math&gt;x_1\subseteq f^{-1}\left[f\left[x_1\right]\right] &lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;

'''Demostración:''' Sea &lt;math&gt;a\in x_1&lt;/math&gt;. La imagen de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; por &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(a) &lt;/math&gt;, está en el conjunto &lt;math&gt;f\left[x_1\right]&lt;/math&gt;, y así &lt;math&gt;a\in f^{-1}\left[f\left[x_1\right]\right] &lt;/math&gt;. QED


Si, en particular, la función &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es inyectiva, entonces
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;(d) &lt;math&gt;x_1=f^{-1}\left[f\left[x_1\right]\right] &lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;


&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;(e) &lt;math&gt;f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right]\subseteq y_1&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;


'''Demostración:''' Si &lt;math&gt;b\in f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right] &lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; es la imagen de algún &lt;math&gt;a\in f^{-1}\left[y_1\right] &lt;/math&gt;, y así &lt;math&gt;b\in y_1&lt;/math&gt;. QED


Si, en particular, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es sobreyectiva, entonces
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;(f) &lt;math&gt;f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right]=y_1&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;

&lt;blockquote&gt;
 &lt;p&gt;(g) &lt;math&gt;y_1\subseteq f\left[x_1\right] &lt;/math&gt; implica &lt;math&gt;f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right]=y_1&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;

'''Demostración:''' En vista de (d), solo queda demostrar que, si &lt;math&gt;y_1\subseteq f\left[x_1\right] &lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;y_1\subseteq f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right] &lt;/math&gt;. Esto es fácil considerando que &lt;math&gt;f\left[x_1\right]&lt;/math&gt; solo contiene elementos que son imágenes, y por tanto esto también es cierto para &lt;math&gt;y_1&lt;/math&gt;, de modo que si &lt;math&gt;f(a)\in y_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a\in f^{-1}\left[y_1\right] &lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;f(a)\in f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right] &lt;/math&gt;, con lo que la prueba termina. QED

&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;(h)] &lt;math&gt;f^{-1}\left[\mathcal{C}_{y}y_1\right]=\mathcal{C}_xf^{-1}\left[y_1\right] &lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;

'''Demostración:''' Sea &lt;math&gt;a\in f^{-1}\left[\mathcal{C}_{y}y_1\right] &lt;/math&gt;. Así, existe &lt;math&gt;b\in\mathcal{C}_{y}y_1&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;b=f(a) &lt;/math&gt;, pero en ese caso &lt;math&gt;b\notin y_1&lt;/math&gt;, de modo que &lt;math&gt;a\notin f^{-1}\left[y_1\right]&lt;/math&gt;, y con esto &lt;math&gt;a\in\mathcal{C}_xf^{-1}\left[y_1\right]&lt;/math&gt;. Solo falta demostrar que &lt;math&gt;\mathcal{C}_xf^{-1}\left[y_1\right]\subseteq f^{-1}\left[\mathcal{C}_{y}y_1\right] &lt;/math&gt;, lo que consiste de seguir los pasos anteriores en el sentido opuesto. QED


Si, en particular, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es inyectiva, se cumple
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;(i) &lt;math&gt;f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right]\subseteq\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right] &lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;

'''Demostración:''' Sea &lt;math&gt;b\in f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right] &lt;/math&gt;. Entonces, puesto que &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es inyectiva, existe un único &lt;math&gt;a\in\mathcal{C}_{x}x_1&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;b=f(a) &lt;/math&gt;. Luego, &lt;math&gt;a\notin x_1&lt;/math&gt;, de modo que &lt;math&gt;b\notin f\left[x_1\right] &lt;/math&gt;, y así &lt;math&gt;b\in\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right] &lt;/math&gt;. QED

Debemos hacer énfasis en que el resultado anterior no se cumple para cualquier función &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a menos que esta sea inyectiva. Por ejemplo, si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; no es inyectiva, puede ser &lt;math&gt;a\notin x_1&lt;/math&gt;, pero esto no es suficiente para garantizar que &lt;math&gt;f(a)\notin f\left[x_1\right] &lt;/math&gt;, por que al no ser &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; inyectiva, podría existir un &lt;math&gt;c\in x_1&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;f(a)=f(c) &lt;/math&gt;, caso en el cual la imagen de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; está en &lt;math&gt;f\left[x_1\right] &lt;/math&gt; por que es la misma imagen de un elemento que si esta en &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;.


Si, en particular, la función &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es sobreyectiva, tenemos
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;(j) &lt;math&gt;\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right]\subseteq f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right]&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;

'''Demostración:''' Si &lt;math&gt;b\in\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right] &lt;/math&gt;, tenemos que &lt;math&gt;b\notin f\left[x_1\right] &lt;/math&gt; , por lo que &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; no tiene ningún antecedente en &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;. Notemos que, por ser &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; una sobreyección, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; tiene por lo menos un antecedente en &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Sea &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; cualquiera de estos antecedentes de &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;, es decir, sea &lt;math&gt;b=f(a) &lt;/math&gt;. Tenemos que &lt;math&gt;a\in\mathcal{C}_{x}x_1&lt;/math&gt;, por lo que &lt;math&gt;b\in f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right] &lt;/math&gt;, lo que demuestra lo que se quería. QED


Si la función &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es biyectiva (es decir, si es tanto inyectiva como sobreyectiva), se cumple, en vista de (h) e (i), lo siguiente
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;(k) &lt;math&gt;f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right]=\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right]&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;


'''1.7.11.''' Sea &lt;math&gt;\{x\}_{i\in I}&lt;/math&gt; una familia de subconjuntos de un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Es común llamar simplemente ''unión'' de &lt;math&gt;\{x\}_{i\in I}&lt;/math&gt; a la  unión de los conjuntos del rango de &lt;math&gt;\{x\}_{i\in I}&lt;/math&gt;, que se representa por &lt;math&gt;\bigcup_{i\in I}x_i&lt;/math&gt; y que se define (véase 1.3.4) naturalmente por


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\bigcup_{i\in I}x_i=\{a\mid\ \mathrm{existe}\ i\in I\ \mathrm{tal}\ \mathrm{que}\ a\in x_i\}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


'''1.7.12.''' Sea una función &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt;. Se cumplen:
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;(a) &lt;math&gt;f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right]=\bigcup_{i\in I}f[x_i]&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;

'''Demostración:''' Si &lt;math&gt;b\in f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right]&lt;/math&gt;, entonces existe al menos un &lt;math&gt;a\in\bigcup_{i\in I}x_i&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;f(a)=b&lt;/math&gt;, y de esta manera &lt;math&gt;a\in x_i&lt;/math&gt;, y con ello &lt;math&gt;b\in f\left[x_i\right]&lt;/math&gt;, para almenos un &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt;. Así, &lt;math&gt;b\in \bigcup_{x\in I}f\left[x_i\right]&lt;/math&gt;, lo que demuestra &lt;math&gt;f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right]\subseteq\bigcup_{i\in I}f\left[x_i\right]&lt;/math&gt;. Invertir todos los pasos de esta prueba para demostrar que &lt;math&gt;\bigcup_{i\in I}f\left[x_i\right]\subseteq f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right]&lt;/math&gt; se deja como ejercicio para el lector. QED

&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;(b) &lt;math&gt;f^{-1}\left[\bigcup_{i\in I}y_i\right]=\bigcup_{i\in I}f^{-1}[y_i]&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;

La demostración se deja como ejercicio para el lector.

'''1.7.13.''' Por otra parte, la intersección de los conjuntos del rango de la familia &lt;math&gt;\{x\}_{i\in I}&lt;/math&gt;, que se representa por &lt;math&gt;\bigcap_{i\in I}x_i&lt;/math&gt;, se dice simplemente ''intersección'' de &lt;math&gt;\{x\}_{i\in I}&lt;/math&gt;. Así pues (véase 1.3.5),


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\bigcap_{i\in I}x_i=\{a\mid\mathrm{para}\ \mathrm{todo}\ i\in I,\quad a\in x_i\}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


'''1.7.14.''' Sea una función &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt;. Se cumplen

&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;(a) &lt;math&gt;f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]\subseteq\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;

'''Demostración:''' Sea &lt;math&gt;b\in f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]&lt;/math&gt;. Entonces existe &lt;math&gt;a\in\bigcap_{i\in I}x_i&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;f(a)=b&lt;/math&gt;, con &lt;math&gt;a\in x_i&lt;/math&gt; para todo índice &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt;. Por esta razón, &lt;math&gt;b\in f\left[x_i\right]&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt;, con lo que &lt;math&gt;b\in\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]&lt;/math&gt;. QED

&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;(b) &lt;math&gt;f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right]=\bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right]&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;

'''Demostración:''' Si &lt;math&gt;a\in f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; es el antecedente de un único &lt;math&gt;b\in\bigcap_{i\in I}y_i&lt;/math&gt;, es decir, &lt;math&gt;b=f(a)&lt;/math&gt;. Pero si &lt;math&gt;b\in\bigcap_{i\in I}y_i&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;b\in y_i&lt;/math&gt; para todo índice &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt;. Así &lt;math&gt;a\in f^{-1}\left[y_i\right]&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;a\in\bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right]&lt;/math&gt;. Esto demuestra que &lt;math&gt;f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right]\subseteq\bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right]&lt;/math&gt;. Demostrar que &lt;math&gt;\bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right]\subseteq f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right]&lt;/math&gt; se deja como ejercicio al lector. QED


Si la función &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es además inyectiva, se cumple
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;(c) &lt;math&gt;f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]=\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;

'''Demostración:''' En vista de (a), solo queda demostrar que, en caso de que &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; sea inyectiva, &lt;math&gt;\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]\subseteq f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]&lt;/math&gt;. Para esto, sea &lt;math&gt;b\in\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]&lt;/math&gt;, de manera que &lt;math&gt;b\in f\left[x_i\right]&lt;/math&gt; para todo índice &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt;. Puesto que &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es inyectiva, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; no es imagen más que de un único elemento a, y que, al ser &lt;math&gt;b\in f\left[x_i\right]&lt;/math&gt; para todo índice &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt;,  cumple con &lt;math&gt;a\in x_i&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt;, con lo que &lt;math&gt;a\in\bigcap_{i\in I}x_i&lt;/math&gt;. Así &lt;math&gt;b\in f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]&lt;/math&gt;, lo que demuestra lo que se quería. QED


Resaltamos que el enunciado (c) se cumple solo en caso de que la función &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; sea inyectiva. La razón es que un elemento &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; puede no estar en &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt;, y sin embargo, puede que su imagen &lt;math&gt;b=f(a)&lt;/math&gt; si esté en todos los conjuntos &lt;math&gt;f\left[x_i\right]&lt;/math&gt; debido a que es la imagen de algún otro elemento contenido en los conjuntos &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt; que no tienen a &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;. Por ejemplo, supóngase &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, cuya imagen es &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;, no está en &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt; para algún &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt;, pero que este conjunto &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt; contiene otro elemento &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; cuya imagen es también &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;, de tal manera que &lt;math&gt;b\in f\left[x_i\right]&lt;/math&gt; para cualquiera que sea el índice &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt; sin necesidad de que &lt;math&gt;a\in x_i&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt;. En ese caso (cuando &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es no inyectiva) tenemos


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]\subset\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


'''1.7.15.''' La función &lt;math&gt;\mathrm{id}_x:x\longrightarrow x&lt;/math&gt; dada por


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\mathrm{id}_x(a)=a&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


para todo &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt;, y que por tanto envía cada elemento de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; consigo mismo, se llama función ''identidad''.


Es claro que, siendo &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt;, 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\mathrm{id}_x\circ f=f&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;f\circ\mathrm{id}_y=f&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Si &lt;math&gt;f:x\longrightarrow x&lt;/math&gt;, esto se reduce a


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f\circ\mathrm{id}_x=\mathrm{id}_x\circ f=f&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


'''1.7.16.''' Sean &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dos conjuntos y considérese una función &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt;. Sea &lt;math&gt;x'&lt;/math&gt; un subconjunto de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. La función &lt;math&gt;f|_{x'}:x'\longrightarrow y&lt;/math&gt; dada por


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f|_{x'}(a)=f(a)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


se dice ''restricción'' de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a &lt;math&gt;x'&lt;/math&gt;. Esto es,


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f|_{x'}=f\cap(x'\times y)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


por lo que la restricción de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a &lt;math&gt;x'&lt;/math&gt; es una función que resulta de 'recortar' el dominio de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Es claro que &lt;math&gt;f|_{x'}\subseteq f&lt;/math&gt;.


'''1.7.17.''' Sea &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; un conjunto y &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; un subconjunto de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. La aplicación


&lt;center&gt;&lt;math&gt;i:x_1\longrightarrow x&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


dada por


&lt;center&gt;&lt;math&gt;i(a)=a&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


e.i. la restricción &lt;math&gt;\mathrm{id}_x|_{x_1}&lt;/math&gt;, se llama ''inyección canónica'' de &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; en x.


'''1.7.18.''' Sea &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt; una aplicación de un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; en otro &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, y sea &lt;math&gt;g:y\longrightarrow z&lt;/math&gt; una aplicación de &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; en un conjunto &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;. La aplicación


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f\circ g:x\longrightarrow z&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


dada por


&lt;center&gt; &lt;math&gt; (f\circ g)(x)=g(f(x)) &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


se dice ''composición'' de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;g&lt;/math&gt;. Esto es, &lt;math&gt;f\circ g&lt;/math&gt; resulta de aplicar &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; seguida de &lt;math&gt;g&lt;/math&gt;, por lo que si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; envía un elemento &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; con un elemento &lt;math&gt;b\in y&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; envía a &lt;math&gt;b\in y&lt;/math&gt; con un elemento &lt;math&gt;c\in z&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;f\circ g&lt;/math&gt; envía directamente el elemento &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; con el elemento &lt;math&gt;c\in z&lt;/math&gt; (Refiérase a la figura de abajo).

[[Imagen:Compositionoffunctions.png|thumb|300 px|center|&lt;center&gt;&lt;math&gt;f\circ g&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;]]


'''1.7.19.''' Sean las funciones &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g:y\longrightarrow z&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;h:z\longrightarrow v&lt;/math&gt;. Tenemos que &lt;math&gt;f\circ(g\circ h) = (f\circ g)\circ h&lt;/math&gt;. Para convencernos de ello es suficiente ver que


&lt;center&gt;&lt;math&gt;(f\circ(g\circ h))(a)=h(g(f(a)))&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


y que


&lt;center&gt;&lt;math&gt;((f\circ g)\circ h)(a)=h(g(f(a)))&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


'''1.7.20''' Si &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt; es una función biyectiva, puede definirse la función &lt;math&gt;f^{-1}&lt;/math&gt;, llamada ''función inversa'' de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, por


&lt;center&gt;&lt;math&gt;(b,a)\in f^{-1}&lt;/math&gt; si y solo si &lt;math&gt;(a,b)\in f&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Es decir,

 
&lt;center&gt;&lt;math&gt;f^{-1}(b)=a&lt;/math&gt; si y solo si &lt;math&gt;f(a)=b&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

'''1.7.21''' Es inmediato que

&lt;center&gt;&lt;math&gt;(f^{-1})^{-1}=f&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


'''1.7.22.''' Además, se observa que


&lt;center&gt;&lt;math&gt; (f\circ f^{-1})(a)=f^{-1}(f(a))=a&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


y


&lt;center&gt;&lt;math&gt;(f^{-1}\circ f)(b)=f(f^{-1}(b))=b&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


por lo que


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_x&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_y&lt;/math&gt;. &lt;/center&gt;


Si &lt;math&gt;f:x\longrightarrow x&lt;/math&gt;, esto se simplifica a


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_x&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


'''1.7.23.''' Nótese también que, siendo &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt;,


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f^{-1}\circ\mathrm{id}_x=f^{-1}\quad\mathrm{y}\quad\mathrm{id}_y\circ f^{-1}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


'''1.7.24.''' Es claro que &lt;math&gt;f^{-1}&lt;/math&gt; existe cuando &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es biyectiva. Además la función inversa de una función es única. Para probar esto, supóngase que &lt;math&gt;f_{1}^{-1}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;f_2^{-1}&lt;/math&gt; son dos funciones inversas de una función &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt;. Entonces 
&lt;center&gt;&lt;math&gt;f_1^{-1}\circ (f\circ f_2^{-1})=f_1^{-1}\circ\mathrm{id}_x=f_1^{-1}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
y
&lt;center&gt;&lt;math&gt;(f_1^{-1}\circ f)\circ f_2^{-1}=\mathrm{id}_y\circ f_2^{-1}=f_2^{-1}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
y por tanto &lt;math&gt;f_1^{-1}=f_2^{-1}&lt;/math&gt;.

'''1.7.25.''' Sean las funciones &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;g:y\longrightarrow z&lt;/math&gt;. Entonces


&lt;center&gt;&lt;math&gt;(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


En efecto, pues &lt;math&gt;(f\circ g)^{-1}&lt;/math&gt; es función inversa de &lt;math&gt;f\circ g&lt;/math&gt;, y 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;g^{-1}\circ f^{-1}\circ (f\circ g) = g^{-1}\circ (f^{-1}\circ f)\circ g&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
                                   &lt;math&gt;= g^{-1}\circ\mathrm{id}_y\circ g&lt;/math&gt;
                                   &lt;math&gt;= (g^{-1}\circ\mathrm{id}_y)\circ g&lt;/math&gt;
                                   &lt;math&gt;= g^{-1}\circ g&lt;/math&gt;
                                   &lt;math&gt;=\mathrm{id}_y,&lt;/math&gt;

con lo que &lt;math&gt;g^{-1}\circ f^{-1}&lt;/math&gt; es también función inversa de &lt;math&gt;f\circ g&lt;/math&gt;, y así &lt;math&gt;g^{-1}\circ f^{-1}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;(f\circ g)^{-1}&lt;/math&gt; han de ser la misma función (pues la inversa de cualquier función es única). Otra forma de demostrar que &lt;math&gt;(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}&lt;/math&gt; es el argumento siguiente: Sea &lt;math&gt;(c,a)\in (f\circ g)^{-1}&lt;/math&gt;. Se sigue que &lt;math&gt;(a,c)\in (f\circ g)&lt;/math&gt;, y de esto que &lt;math&gt;c=g(b)&lt;/math&gt; para un &lt;math&gt;b\in y&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;b=f(a)&lt;/math&gt;, o sea que &lt;math&gt;(b,c)\in g&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;(a,b)\in f&lt;/math&gt;, de modo que &lt;math&gt;(c,b)\in g^{-1}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;(b,a)\in f^{-1}&lt;/math&gt;, y por tanto &lt;math&gt;(c,a)\in g^{-1}\circ f^{-1}&lt;/math&gt;. Esto prueba que &lt;math&gt;(f\circ g)^{-1}\subseteq g^{-1}\circ f^{-1}&lt;/math&gt;, y probar que &lt;math&gt;g^{-1}\circ f^{-1}\subseteq(f\circ g)^{-1}&lt;/math&gt; resulta de recorrer todos los pasos anteriores de forma invertida.

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'''Capítulo anterior:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Producto cartesiano|Producto cartesiano]]
'''Capítulo siguiente:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Relaciones|Relaciones]]</text>
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    <title>Manual de la bicicleta/Quitar los pedales</title>
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        <username>Mazbel</username>
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      <comment>Plantilla al final: {{AutoCat}}</comment>
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      <text bytes="1242" sha1="8c7hedbf1x68xlfb0c8adyqs6eduljd" xml:space="preserve">Cuando se quiere cambiar el pedal de una bici, hay que observar bien el pedal a cambiar. Los pedales de las bicis tienen &quot;cara&quot;, o sea uno va a la derecha, y otro a la izquierda. Habitualmente, suelen llevar un grabado en el eje a roscar.

Paso 1_ Antes que nada, hay q dar vuelta la bicicleta para trabajar en una posición mas comoda.
Luego introducir cualquier tipo de liquido lubricante (kerosene, Desmosil, wd_40) para aflojar los pedales ya que muchas veces estos están oxidados.¡¡Recordar girar en el sentido adecuado o nos quedaremos sin rosca!!!

Estando la bicicleta de pie (normal): El pedal izquierdo se afloja a derechas y 
el derecho se afloja a izquierdas.

Paso 2_ Con Un martillo de tamaño considerable golpear la punta de la palanca donde esta enroscado el pedal, siempre usando un contragolpe para que el eje central no gire. 

Paso 3_ Utilizar la llave adecuada al cuadrante del pedal y girar hacia el lado correspondiente (teniendo de frente el pedal, siempre hacia la derecha. sea rosca izq. o rosca der.)

Nota1: Al colocar pedales nuevos, siempre untar la rosca con grasa para q no suceda el fenómeno de la oxidación.

Nota2: Cada pedal afloja en la dirección contraria a la dirección del pedaleo.

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    <title>Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Relaciones</title>
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      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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      <text bytes="18390" sha1="6c331r176epqy15xfdyc1f8ad9jonbq" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
'''1.8.1.''' Sean los conjuntos &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;. Cualquier subconjunto &lt;math&gt;\mathrm{R}\subseteq x\times y&lt;/math&gt; se dice ''relación'' de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; sobre &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;. Por tanto, una relación es un conjunto de pares ordenados, de modo que toda función &lt;math&gt;f:x\longrightarrow y&lt;/math&gt; es una relación, si bien lo recíproco no es necesariamente cierto, pues puede una relación no cumplir '''(f-1)''' o '''(f-2)''' (o ambas) de '''1.7.1''' . De ésto, resulta conveniente adoptar una notación diferente a la que se usó con las funciones para expresar el hecho de que &lt;math&gt;(a,b)\in \mathrm{R}&lt;/math&gt;. Así pues, escribiremos 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;a\mathrm{R} b\quad\mathrm{siempre\ que}\quad(a,b)\in\mathrm{R}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


y &lt;math&gt;a\not\mathrm{R} b&lt;/math&gt; cuando &lt;math&gt;(a,b)\notin\mathrm{R}&lt;/math&gt;. Para el caso particular en que &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es una relación que es a su vez es función, tenemos


&lt;center&gt;&lt;math&gt;f(a)=b\quad\mathrm{equivale\ a}\quad a\mathrm{f} b&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Sin embargo, emplearemos la notación &lt;math&gt;f(a)=b&lt;/math&gt; para representar &lt;math&gt;(a,b)\in f&lt;/math&gt; cuando sepamos que &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es una función.


'''1.8.2.''' Las relaciones pueden definirse entre más de dos conjuntos. Así, una relación entre los conjuntos &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, puede ser cualquier subconjunto del producto cartesiano &lt;math&gt;x\times y\times z&lt;/math&gt;, y consistiría por tanto de ternas ordenadas. Una relación &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; así se dice ''relación ternaria'', para distinguirse de las relaciones que se aplican solo entre dos conjuntos (que naturalmente se llaman ''relaciones binarias'').  En términos más generales, una función &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-''aria'' entre cuales quiera &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; conjuntos &lt;math&gt;x_1,\ldots,x_n&lt;/math&gt;, es un conjunto cualquiera &lt;math&gt;\mathrm{R}\subseteq x_1\times\cdots\times x_n&lt;/math&gt;.


'''1.8.3.''' En este libro solo trataremos las relaciones binarias, por lo que cuando se hable de relación se entenderá que se trata de una de éstas.


'''1.8.4.''' En particular, una relación sobre un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; es un subconjunto &lt;math&gt;\mathrm{R}\subseteq x\times x&lt;/math&gt;. Al igual que las funciones, las relaciones sobre un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; pueden tener, de forma particular, ciertas propiedades que permiten clasificarlas. Más exactamente: Sea &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; una relación sobre un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

&lt;blockquote&gt;
La relación &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; es ''reflexiva'' siempre que
 &lt;p&gt;'''( R-1 )''' &lt;math&gt;a\mathrm{R}a&lt;/math&gt;  para toda &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
La relación &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; es ''irreflexiva'' si
 &lt;P&gt;'''( R-2 )''' &lt;math&gt;a\mathrm{R}a&lt;/math&gt; para ningún &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt;.&lt;p&gt;
La relación &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; es ''simétrica'' siempre que
 &lt;p&gt;'''(R-3)''' &lt;math&gt;a\mathrm{R} b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b\mathrm{R}&lt;/math&gt; a para cualesquiera &lt;math&gt;a,b\in x&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
La relación &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; es ''antisimétrica'' siempre que
 &lt;p&gt;'''(R-4)''' &lt;math&gt;a\mathrm{R} b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b\mathrm{R} a&lt;/math&gt; implica &lt;math&gt;a=b&lt;/math&gt; para cualesquiera &lt;math&gt;a,b\in x&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
La relación &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; es ''asimétrica'' siempre que
 &lt;p&gt;'''(R-5)''' &lt;math&gt;a\mathrm{R} b&lt;/math&gt; implica que &lt;math&gt;b\mathrm{R}&lt;/math&gt; a es falso para cualesquiera &lt;math&gt;a,b\in x&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
La relación &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; es ''transitiva'' siempre que
 &lt;p&gt;'''(R-6)''' &lt;math&gt;a\mathrm{R} b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b\mathrm{R} c&lt;/math&gt; implica &lt;math&gt;a\mathrm{R} c&lt;/math&gt; para cualesquiera &lt;math&gt;a,b,c\in x&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
La relación &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; es ''conexa'' siempre que
 &lt;p&gt;'''(R-7)''' &lt;math&gt;a\mathrm{R} b&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;b\mathrm{R} a&lt;/math&gt; para cualesquiera &lt;math&gt;a,b\in x&lt;/math&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;


'''1.8.5.''' Una relación &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; que es reflexiva, simétrica y transitiva se dice ''relación de equivalencia''. Si &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; es una relación de equivalencia sobre un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; y si &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt;, entonces el conjunto &lt;math&gt;\left[a\right]_{\mathrm{R}}&lt;/math&gt; dado por


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left[a\right]_{\mathrm{R}}=\{b\mid b\in x\quad\mbox{y}\quad b\mathrm{R} a\}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


se dice ''clase de equivalencia'' de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; por &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt;. Si se sabe cual es la relación &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; y si no se presta a confusión, es común escribir simplemente &lt;math&gt;\left[a\right]&lt;/math&gt; en lugar de &lt;math&gt;\left[a\right]_{\mathrm{R}}&lt;/math&gt;. Así pues


&lt;center&gt;&lt;math&gt;b\in\left[a\right]_{\mathrm{R}}\quad\mbox{si y solo si}\quad b\mathrm{R} a&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


'''1.8.6.''' La aplicación identidad en un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;,


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\mathrm{id}_x=\{(a,a)\mid a\in x\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


es claramente una relación de equivalencia sobre &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, y dentro del contexto de la teoría de relaciones suele hacerse referencia a ella mediante el término ''relación trivial''. 

'''1.8.7.''' Otra relación de equivalencia sobre un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; es el mismo producto cartesiano &lt;math&gt;x\times x&lt;/math&gt;, que en este caso se llama comúnmente ''relación grosera''. 

 
'''1.8.8.''' Puesto que una relación de equivalencia &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; sobre un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; es reflexiva, tenemos


&lt;center&gt;&lt;math&gt;a\in \left[a\right]_{\mathrm{R}}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


para todo &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt;. Además, &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; es simétrica, de donde


&lt;center&gt;&lt;math&gt;b\in \left[a\right]_{\mathrm{R}}\quad\mathrm{si\ y\ solo\ si}\quad a\in \left[b\right]_{\mathrm{R}}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Se tiene también que


&lt;center&gt;&lt;math&gt;b,c\in \left[a\right]_{\mathrm{R}}\quad\mathrm{implica}\quad b\mathrm{R} c&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Efectivamente, pues si &lt;math&gt;b,c\in \left[a\right]_{\mathrm{R}}&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;a\mathrm{R}b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c\mathrm{R}a&lt;/math&gt;, y por simetría, &lt;math&gt;a\mathrm{R}c&lt;/math&gt;, luego por transitividad &lt;math&gt;b\mathrm{R}c&lt;/math&gt;. Otra cosa más es que


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left[a\right]_{\mathrm{R}}\cap \left[b\right]_{\mathrm{R}}\neq\varnothing\quad\mbox{implica}\quad \left[a\right]_{\mathrm{R}}=\left[b\right]_{\mathrm{R}}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


La razón es que si &lt;math&gt;\left[a\right]_{\mathrm{R}}\cap \left[b\right]_{\mathrm{R}}\neq\varnothing&lt;/math&gt;, entonces existe un &lt;math&gt;c\in x&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;c\in\left[a\right]_{\mathrm{R}}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c\in\left[b\right]_{\mathrm{R}},&lt;/math&gt; o sea que &lt;math&gt;c\mathrm{R}a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c\mathrm{R}b&lt;/math&gt;, y con esto &lt;math&gt;a\mathrm{R}b&lt;/math&gt;, que como ya vimos significa que &lt;math&gt;\left[a\right]_{\mathrm{R}}=\left[b\right]_{\mathrm{R}}&lt;/math&gt;. 

'''1.8.9.''' Otra forma de expresear este resultado es que


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left[a\right]_{\mathrm{R}}\neq\left[b\right]_{\mathrm{R}}\quad\mathrm{implica}\quad\left[a\right]_{\mathrm{R}}\cap \left[b\right]_{\mathrm{R}}=\varnothing&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;.
 

'''1.8.10.''' Sea &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; una relación de equivalencia sobre un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. El ''conjunto cociente'' de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; por la relación &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt;, que se representa por &lt;math&gt;x/\mathrm{R}&lt;/math&gt;, se define por


&lt;center&gt;&lt;math&gt;x/\mathrm{R}=\{\left[a\right]_{\mathrm{R}}\mid a\in x\}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Es decir, &lt;math&gt;x/\mathrm{R}&lt;/math&gt; contiene todas las clases de equivalencia por la relación &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt;.


'''1.8.11.''' Puesto que cada uno de los elementos de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; está en alguna clase de equivalencia (pues por ejemplo si &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; se tiene &lt;math&gt;a\in\left[a\right]_{\mathrm{R}}&lt;/math&gt;), resulta que


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\bigcup_{\left[a\right]_{\mathrm{R}el}\in x/{\mathrm{R}}}\left[a\right]_{\mathrm{R}}=x&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


o, para mayor claridad,


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\bigcup_{a\in x}\left[a\right]_{\mathrm{R}}=x&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


y como cualesquiera dos clases de equivalencia distintas de &lt;math&gt;x/\mathrm{R}&lt;/math&gt; son disjuntas (véase '''1.8.9'''), &lt;math&gt;x/\mathrm{R}&lt;/math&gt; es una partición de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; (véase '''1.5.6''').


'''1.8.12.''' Sea &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; una partición  de un conjunto &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. Luego defínase la relación &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; mediante


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\mathrm{para\ cualesquiera}\ a,b\in X,\quad a\mathrm{R} b\ \mathrm{si\ y\ solo\ si}\ a,b\in x&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


para algún &lt;math&gt;x\in C&lt;/math&gt;. Puesto que


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\bigcup_{x\in C}x=X&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


cada uno de los elementos de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; está contenido en algún conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;C&lt;/math&gt;, por lo que &lt;math&gt;a\mathrm{R}a&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;a\in X&lt;/math&gt;, y así &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; es reflexiva. Claramente &lt;math&gt;a\mathrm{R}b&lt;/math&gt; implica &lt;math&gt;b\mathrm{R}a&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;a,b\in X&lt;/math&gt;, por lo que &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; es simétrica. Además, si &lt;math&gt;a\mathrm{R}b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b\mathrm{R}c&lt;/math&gt;, existen &lt;math&gt;x_1,x_2\in C&lt;/math&gt; tales que &lt;math&gt;a,b\in x_1&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b,c\in x_2&lt;/math&gt;, y estos han de cumplir &lt;math&gt;x_1=x_2&lt;/math&gt; (pues si &lt;math&gt;x_1\neq x_2&lt;/math&gt;, ha de ser &lt;math&gt;x_1\cap x_2=\varnothing&lt;/math&gt;, lo que es contradictorio en vista de que &lt;math&gt;b\in x_1&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b\in x_2&lt;/math&gt;), y entonces concluimos que &lt;math&gt;a\mathrm{R}c&lt;/math&gt;. Esto hace que &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; sea también transitiva, y entonces termina siendo esta una relación de equivalencia sobre &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; inducida por la partición &lt;math&gt;C&lt;/math&gt;.


'''1.8.13.''' El resultado de '''1.8.11''' y el resultado de '''1.8.12''' se resumen en el enunciado siguiente:


''Si &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; es una relación de equivalencia sobre un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, entonces el conjunto cociente &lt;math&gt;x/\mathrm{R}&lt;/math&gt; es una partición de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; y, recíprocamente, si &lt;math&gt;P&lt;/math&gt; es una partición del conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, entonces existe una relación &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;x/\mathrm{R}=P&lt;/math&gt;.''


'''1.8.14.''' Una relación &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; sobre un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; reflexiva, antisimétrica y transitiva se dice ''relación de orden parcial'' (o simplemente un ''orden'') sobre el conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, y el par &lt;math&gt;(x,\mathrm{R})&lt;/math&gt; se dice entonces un ''conjunto parcialmente ordenado'', o simplemente que es un ''conjunto ordenado''. 


'''1.8.15.''' Aquí usaremos el símbolo 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


para representar un orden parcial cualquiera (diferente según el contexto) y no solo para el familiar orden sobre el conjunto de números reales. 


En particular, la relación de inclusión &lt;math&gt;\subseteq&lt;/math&gt; sobre el conjunto potencia &lt;math&gt;\mathcal{P}(x)&lt;/math&gt; de un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; es una relación de orden parcial. 

'''1.8.16.''' Se dice que &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; es una ''relación de orden (parcial) estricto'', o simplemente que es un ''orden estricto'', sobre un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, si &lt;math&gt;\mathrm{R}&lt;/math&gt; es irreflexiva, antisimétrica y transitiva. Para representar ordenes estrictos, cualesquiera que sean estos, usaremos el símbolo 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;&lt;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;.


Un orden que no sea estricto será llamado simplemente ''orden no estricto''.


'''1.8.17.''' Si &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; es una relación de orden no estricto sobre un conjunto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, entonces la relación 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;&lt;=\{(a,b)\mid (a,b)\in\,\leq\quad\mbox{y}\quad a\neq b\}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


es claramente un orden estricto sobre &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Por otro lado, si &lt;math&gt;&lt;&lt;/math&gt; es una relación de orden estricto sobre &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, entonces 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\leq=&lt;\cup \{(a,a)\mid a\in x\}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


es una relación de orden no estricto sobre &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.  


'''1.8.18.''' Sea &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; un conjunto ordenado. Un elemento &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;a\leq b&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;b\in x&lt;/math&gt; se dice ''elemento mínimo'' (o ''primer elemento'') de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. El elemento mínimo de un conjunto, si existe, es único. En efecto, pues si &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;a'&lt;/math&gt; fueran dos elementos mínimos de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, por definición


&lt;center&gt;&lt;math&gt;a\leq a'\quad\mbox{y}\quad a'\leq a&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


y por antisimetría, &lt;math&gt;a=a'&lt;/math&gt;.


'''1.8.19.''' Sea &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; un conjunto ordenado. Un elemento &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;b\leq a&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;b\in x&lt;/math&gt; se dice ''elemento máximo'' (o ''último elemento'') de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. También el elemento máximo de un conjunto, si existe, es único. 


'''1.8.20.''' En un conjunto ordenado &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; es posible que existan elementos que, pudiendo no ser un máximo o un mínimo de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, tienen cierta distinción sobre otros elementos de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; por medio de el orden &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;. Nos referimos a los ''minimales'' y los ''maximales''. Un elemento &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; es un ''minimal'' en &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; si no existe ningún elemento en &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; estrictamente menor que &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;. (por medio del orden estricto &lt;math&gt;&lt;&lt;/math&gt; dado por &lt;math&gt;a&lt;b&lt;/math&gt; si y solo si &lt;math&gt;a\leq b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;a\neq b&lt;/math&gt;, por supuesto) ; un elemento &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; se dice ''máximal'' de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; si no existe ningún elemento en &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; estrictamente mayor que &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;. Es posible que los minimales de un conjunto, si existen, sean más de uno. Lo mismo aplica para los maximales de un conjunto. 


Notemos pues que un conjunto puede no contener ni mínimos (máximos) ni minimales (maximales), o bien, contener uno o más minimales (maximales) y ningún mínimo (máximo). Si un conjunto tiene mínimo (máximo), éste es a su vez el único minimal (maximal) del conjunto.


'''1.8.21.''' Sea &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; un conjunto ordenado, y sea &lt;math&gt;x_1\subseteq x&lt;/math&gt;. Un elemento &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;a\leq b&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;b\in x_1&lt;/math&gt; se dice ''cota inferior'' (o ''minorante'') de &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;. Por otro lado, un elemento &lt;math&gt;a\in x&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;b\leq a&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;b\in x_1&lt;/math&gt; se dice ''cota superior'' (o ''mayorante'') de &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;. Una cota inferior o superior de &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; puede o no estar en &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;. Además, si &lt;math&gt;C_i&lt;/math&gt; es el conjunto de cotas inferiores de &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;C_i\cap x_1&lt;/math&gt; solo puede ser vacío o ser un conjunto con un solo elemento. Si &lt;math&gt;C_i\cap x_1\neq\varnothing&lt;/math&gt;, entonces el único elemento de &lt;math&gt;C_i\cap x_1&lt;/math&gt; es claramente un mínimo de &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;C_i&lt;/math&gt; contiene un elemento máximo, entonces este se dice ''ínfimo'' de &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, y lo representaremos por &lt;math&gt;\mathrm{inf}(x_1)&lt;/math&gt;. Análogamente, si &lt;math&gt;C_s&lt;/math&gt; es el conjunto de todas las cotas superiores de &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;C_s\cap x_1=\varnothing&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;C_s\cap x_1&lt;/math&gt; contiene a lo más un elemento, el cual sería entonces un máximo de &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;C_s&lt;/math&gt; tiene un mínimo, entonces este se dice ''supremo'' de &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, y lo representaremos por &lt;math&gt;\mathrm{sup}(x_1)&lt;/math&gt;.


'''1.8.22.''' Un conjunto que tiene cotas inferiores se dice ''inferiormente acotado'', mientras que un conjunto que tiene cotas superiores se dice ''superiormente acotado''. Si un conjunto esta acotado inferior y superiormente, se dice simplemente que es ''acotado''.


'''1.8.23.''' Sea &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; un conjunto parcialmente ordenado. Si todo subconjunto de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; admite un minimal respecto de &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;, se dice que &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; es una ''relación de orden bien fundada'' sobre &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, o que es un orden bien fundado sobre &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Dado ese caso, se dice que el par &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; es bien fundado.


'''1.8.24.''' Un hecho apreciable a cerca de órdenes bien fundados es el siguiente:


''Si &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; es un conjunto parcialmente ordenado, entonces &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; es bien fundado si y solo si no existe una secuencia infinita &lt;math&gt;\{a\}_{n}^{\infty}&lt;/math&gt; tal que  &lt;math&gt;a_{n+1}&lt; a_{n}&lt;/math&gt;.''


En efecto, pues si &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; no fuera un conjunto bien fundado, entonces, si &lt;math&gt;a_n\in x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; no es un minimal, y por lo tanto existe otro elemento &lt;math&gt;a_{n+1}\in x&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;a_{n+1}&lt;a_n&lt;/math&gt;. Este argumento es claramente válido para cualquiera que sea el número natural &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, por lo que se concluye que si &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; es no bien fundado, existe una secuencia infinita descendiente &lt;math&gt;\ldots&lt;a_{n+1}&lt;a_{n}&lt;\ldots&lt;a_{0}&lt;/math&gt;. Recíprocamente, si &lt;math&gt;(a,\leq)&lt;/math&gt; es un conjunto ordenado tal que existe una secuencia descendiente infinita &lt;math&gt;\ldots&lt;a_{n+1}&lt;a_{n}&lt;\ldots&lt;a_{0}&lt;/math&gt;, entonces, para cualquiera que sea el elemento &lt;math&gt;a_{n}\in x&lt;/math&gt;, existe otro &lt;math&gt;a_{n+1}&lt;/math&gt; tal que  &lt;math&gt;\ldots&lt;a_{n+1}&lt;a_{n}&lt;/math&gt;, de modo que &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; no es minimal de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, y con ello &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; es no bien fundado.


'''1.8.25.''' Una relación de orden &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; que es conexa en &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, se dice ''relación de orden total'', u ''orden total'', sobre &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, y se dice que el par &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; es un conjunto ''totalmente ordenado''.  


'''1.8.25.''' Un conjunto totalmente ordenado y bien fundado se dice conjunto ''bien ordenado'', y su relación de orden se dice por tanto un ''buen orden''. Supóngase que &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; es un conjunto bien ordenado. Entonces &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; es, en particular, bien fundado, por lo que todo subconjunto &lt;math&gt;x_1\subseteq x&lt;/math&gt; tiene por lo menos un minimal. Supóngase que &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;a'&lt;/math&gt; son dos minimales de &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;. Puesto que &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; es totalmente ordenado, 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;a\leq a'\quad\mathrm{o}\quad a'\leq a&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Cualquiera que sea el caso, debe de ser &lt;math&gt;a=a'&lt;/math&gt;, pues si no, &lt;math&gt;a&lt;a'&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;a'&lt;a&lt;/math&gt;, lo que no puede ser por que un minimal no tiene un elemento estrictamente menor que él (ni siquiera siendo este otro minimal). Vemos entonces que el elemento minimal &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; es un mínimo de &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;. Por conclusión, un conjunto ordenado &lt;math&gt;(x,\leq)&lt;/math&gt; es bien ordenado si todo subconjunto &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; tiene mínimo.

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'''Capítulo anterior:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Funciones|Funciones]]
'''Capítulo siguiente:''' [[Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Ejercicios|Ejercicios]]</text>
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    <title>Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Ejercicios</title>
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*'''1.'''  Supóngase dado el conjunto de los números naturales, que representaremos por &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt;. Escribir el conjunto &lt;math&gt;\,\{0,1,2,3,4,5\}&lt;/math&gt; en notación de la forma &lt;math&gt;\{a\mid\phi(a)\} &lt;/math&gt;. 

*'''2.'''  Probar que, siendo &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; el conjunto de los números enteros, &lt;math&gt;\{a\mid a\in\mathbb{Z}\ \mathrm{y}\ 20a^2-23a+6=0\}=\varnothing&lt;/math&gt;.</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Operaciones con números complejos</title>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección|tono=azul}}&lt;/noinclude&gt;
El término '''número complejo''' describe la suma de un [[w:número real|número real]] y un [[w:número imaginario|número imaginario]] (que es un múltiplo real de la [[w:unidad imaginaria|unidad imaginaria]], que se indica con la letra '''i''').&lt;br /&gt;
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.&lt;br /&gt;
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del [[w:cálculo diferencial|cálculo diferencial]] e [[w:integral|integral]] con números complejos reciben el nombre de [[w:variable compleja|variable compleja]] o análisis complejo.
Definiremos cada complejo ''z'' como un par ordenado de números reales (''a'', ''b'') ó (Re(''z''), Im(''z'')), en el que se definen las siguientes operaciones:

== Suma == 


Para sumar números complejos, se siguen las normas  básicas de la aritmética, sumando los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios:

: &lt;math&gt;
   
   (a+bi)+(c+di)=(a + c) + (b + d)i \,
&lt;/math&gt;

Ejemplo de suma:

: &lt;math&gt;
   (4 + 2i) + (3 + 2i) =
   4 + 2i + 3 + 2i =
   4 + 3 + 2i + 2i =
   (4 + 3) + (2 + 2)i =
&lt;/math&gt;

el resultado es 7 + 4i

== Resta ==

Al igual que en la suma, se opera como con los números reales ordinarios:

: &lt;math&gt;
   (36+36i) - (11+11i) =
   
   (36-11) + (36i-11i) =
   25 - 25i  \,

&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   6(6+6i) - (5+5i) =

   (36-5) + (36i-5i)=
   31 + 31i \,

&lt;/math&gt;

== Multiplicación ==
===Forma Rectangular===
La multiplicación de forma rectángular se compone de un binomio al cuadrado:
:&lt;math&gt;(a + bi) \cdot (c + di) = (ac + adi + bic + bdi^2 ) = ((ac - bd) + (ad + bc)i) &lt;/math&gt;

Ya que &lt;math&gt;i^2 = -1&lt;/math&gt;

===Forma Polar===
La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:
: &lt;math&gt;
   z_1 z_2 = 
   rse^{\mathrm{i}(\phi + \psi)} \Leftrightarrow z_1 z_2 = 
   r e^{\mathrm{i}\phi} s e^{\mathrm{i}\psi} 
&lt;/math&gt;

== División ==

===Forma Rectangular===
La división en forma rectangular se compone de una racionalización:
:&lt;math&gt;\frac{(a + bi)}{(c + di)} = {((ac+bd) + (bc-ad)i) \over c^2+d^2} = \left({(ac + bd) +(bc - ad)i \over c^2 + d^2}\right)&lt;/math&gt;

===Forma Polar===
La división de números complejos es recomendable con la notación polar:
: &lt;math&gt;
   \frac{z_1}{z_2} = 
   \frac{r}{s} e^{\mathrm{i}(\phi - \psi)}
&lt;/math&gt;

== Potencias  ==

===Forma Rectangular===

Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables (cuadrado de la suma) . Se debe tener en cuenta la igualdad &lt;math&gt;i^2 = - 1&lt;/math&gt;:
: &lt;math&gt;
  (6 - 3i)^2 =
   6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3i + (3i)^2 =
   36 - 36i + 9i^2 =36 - 36i + 9(-1)=
   36 - 36i -9 =
   27 - 36i \,.
&lt;/math&gt;
esto es para explicar el proceso de potenciacion

===Forma Polar===

* Exponente natural y entero. Sea el número complejo, en notación trigonométrica, &lt;math&gt; z= r(\cos\phi + i\sen\phi) &lt;/math&gt;, según el Teorema de Moivre: {{Ecuación|&lt;math&gt; z^n= r^n[\cos n\phi + i\sen n\phi] &lt;/math&gt;.}} 
* Entero negativo
{{Ecuación|&lt;math&gt; z^{-n} =\left ( \frac{1}{z^n} \right )&lt;/math&gt;, donde el entero &lt;math&gt; n \ge 2&lt;/math&gt;}} 

* Exponente racional. La ecuación
{{Ecuación|&lt;math&gt; z= \alpha^{\frac{p}{q}} &lt;/math&gt; significa &lt;math&gt; z^q = \alpha^p&lt;/math&gt;, en donde se toman en cuenta todas las soluciones z posibles. Se supone que p y q son primos entre sí. }}. Se deduce {{Ecuación|&lt;math&gt; |z|^q =  |\alpha|^p &lt;/math&gt;  y &lt;math&gt;  q\times \arg z = p \times \arg\alpha +2k\pi &lt;/math&gt; }}. En consecuencia {{Ecuación|&lt;math&gt; |z| =  |\alpha|^{\frac{p}{q}} &lt;/math&gt;  y &lt;math&gt;\arg z = \frac{p}{q} \times \arg\alpha +\frac{2k\pi}{q} &lt;/math&gt;}}
considerando &lt;math&gt; k = 0,1,..,q-1 &lt;/math&gt;, se obtienen &lt;math&gt;q&lt;/math&gt; resultados. 

* Exponente complejo. Si ''z'' y α son números complejos entonces &lt;math&gt; z^{\alpha} = e^{\alpha \ln z } = \exp(\alpha\times \ln z)&lt;/math&gt; 

Un ejemplo sencillo: &lt;math&gt; (-2)^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2}}[\cos(2k+1)\pi \sqrt{2}+i\sen(2k+1)\pi \sqrt{2}]&lt;/math&gt;

== Raíces ==
Para obtener las &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; raíces de un número complejo, se aplica:
: &lt;math&gt;
     z^{1/n} = \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^{1/n} = r^{1/n} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]

&lt;/math&gt;
donde &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; es un número entero que va desde &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; hasta &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; raíces diferentes de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.

== Enlaces externos ==
* [http://demonstrations.wolfram.com/DeMoivresTheoremForTrigIdentities/ De Moivre's Theorem for Trig Identities] by Michael Croucher, [[Wolfram Demonstrations Project]].</text>
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    <title>Matemáticas/Generalidades/Conjuntos de números</title>
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Ahora estudiaremos un poco más a fondo los conjuntos de números que emplearemos en este libro. El primer conjunto que estudiaremos es el de los números naturales,


{{Ecuación|1=&lt;math&gt;\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}&lt;/math&gt;|2=1.2.1|3=center}}


que es ciertamente el más sencillo de todos los conjuntos de números. Nótese que hemos incluido el cero dentro de los números naturales. Aunque rara vez tiene importancia si los números naturales parten del cero o del uno, es conveniente hacer una aclaración a este respecto. Lo mejor que podemos decir es que nosotros, al haber incluido el cero entre los números naturales, nos hemos ajustado a la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que incluye el cero como número natural. No entraremos aquí en detalles, así es que a un lector más ambicioso lo remitimos a una sección incluida en el Apéndice A donde se profundiza más en este asunto. 


Lo primero a notar es que, si bien, los números naturales tienen un primer elemento (el cero), no tienen un último, y esto es precisamente lo que se pretende indicar con los tres puntos en la expresión (1.2.1). Otra cosa es que los números naturales tienen, en el sentido técnico de la palabra, un buen ordenamiento, pues todo subconjunto de &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; tiene un primer elemento. Por supuesto, para apreciar que el conjunto de los números naturales es bien ordenado, es necesario definir aquella relación que le da el orden. Estudiar esto nos llevaría de nuevo lejos de nuestro propósito, por lo que aquí también remitimos al lector a la segunda sección del Apéndice A.


Los números naturales son, valga la redundancia, muy &quot;naturales&quot;, y es quizá por ello que raras veces se pregunta uno el por qué de sus características o propiedades. Sin entrar mucho en el trasfondo del asunto, mencionaremos aquellos principios básicos que dan su estructura a los números naturales. Estos principios son los llamados ''axiomas de Peano'', en honor al lógico-matemático Giuseppe Peano, quien los expuso por primera vez en su obra Arithmetices principia (1889). Los axiomas de Peano, que en la obra original de este matemático eran nueve, hoy han podido ser reducidos a los cinco siguientes:


# &lt;math&gt;0\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;
# para todo &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;, existe &lt;math&gt;n^{+}\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;, llamado ''sucesor'' de &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;0\neq n^{+}&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;
# si &lt;math&gt;~m^{+}=n^{+}&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;~m=n&lt;/math&gt;
# si &lt;math&gt;S\subseteq\mathbb{N}&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;0\in S&lt;/math&gt;, y si para todo &lt;math&gt;n\in S&lt;/math&gt; se tiene que &lt;math&gt;n^{+}\in S&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;S=\mathbb{N}&lt;/math&gt;.


El primer axioma nos dice que el conjunto &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; contiene, para empezar, un elemento (el cero). El segundo afirma que para todo número natural, existe un sucesor, el cual es también un número natural. El tercer axioma dice que el cero no es sucesor de ningún número natural, es decir, es el primer número natural. El cuarto axioma dice que dos números naturales distintos tienen sucesores distintos. Y finalmente, el quinto axioma dice que cualquier subconjunto de &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; que contenga al cero y al sucesor de cualquiera de sus elementos habrá de ser forzosamente el mismo &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt;. En otras palabras, el quinto axioma dice que el conjunto de los números naturales es el menor conjunto que puede tener al cero y al sucesor de cada uno de sus elementos. De este quinto axioma surge lo que se conoce como ''principio de inducción matemática'' (véase la sección 2, Apéndice A). 


El siguiente conjunto de números es, por su sencillez, el de los ''números enteros'', que se representa por &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;. La diferencia es que este conjunto incluye también números negativos. Es decir,


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


Puede decirse que el conjunto &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; incluye a los números naturales así como a una replica de ellos, cuya diferencia es un signo de menos. Estos enteros negativos nos dan solución para la ecuación 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;x+b=c\ &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


aún cuando &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; sea mayor que &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;. Por ejemplo, para


&lt;center&gt;&lt;math&gt;x+5=4\ &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


se tiene &lt;math&gt;x=-1\ &lt;/math&gt;, un número no natural pero si entero.


Es posible dar una definición más rigurosa de &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; a partir de los números naturales, y así se ha hecho en el Apéndice A. Lo que ya observamos aquí es que, siendo &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; números naturales, la ecuación


&lt;center&gt;&lt;math&gt;x+b=c\ &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


puede no tener solución dentro del mismo &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; (esto sucede cuando &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; es mayor que &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;). Sin embargo, esta ecuación encuentra siempre solución, siendo &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; enteros cualesquiera, dentro de &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;. Vemos pues que &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; presenta una ventaja sobre &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; ¿Pero qué sucede con la ecuación


&lt;center&gt;&lt;math&gt;a\cdot b=c&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;


donde &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; son números enteros? Ciertamente, para que esta ecuación tenga siempre solución, hemos de buscarlas en el conjunto de los ''números racionales'', &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt;. Este conjunto es descrito frecuentemente como el que incluye a todos los números que pueden expresarse de la forma &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt;, con &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b\neq 0&lt;/math&gt; enteros (es decir, &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; incluye también fracciones). Puesto que todo entero &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; puede expresarse como un cociente de enteros (por ejemplo &lt;math&gt;\frac{a}{1}&lt;/math&gt;), resulta que &lt;math&gt;\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}&lt;/math&gt;. 


Notemos que existen expresiones decimales de números racionales donde aparecen infinitas cifras, aunque siempre repetidas. Por ejemplo, la representación decimal de la fracción


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


es &lt;math&gt;0.3333\ldots&lt;/math&gt;, una repetición de puros 3, mientras que la expresión decimal de 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;\frac{47}{11}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


es &lt;math&gt;4.272727\ldots&lt;/math&gt;, una repetición de 2 y 7 siempre en el mismo orden.  Este tipo de expresiones se dicen ''decimales periódicas infinitas'', y es fácil demostrar que toda expresión decimal periódica infinita representa un número racional, y recíprocamente. 


A pesar de ser el conjunto &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; mas grande en apariencia que el conjunto &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, aquél no es suficiente para resolver todas las ecuaciones. Por ejemplo, ningún &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt;  cumple con


&lt;center&gt;&lt;math&gt;x^2=2\ &lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Nos encontramos pues ante la necesidad de un conjunto más amplio, que nos de soluciones para la ecuación anterior, y muchas otras. Éste conjunto puede ser el de los ''números reales'', &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. El conjunto de los números reales incluye números que son soluciones para ecuaciones como la anterior y que, por no ser números racionales, son llamados ''números irracionales''. Como es de esperarse, la representación decimal de estos números es infinita y no periódica. Por ejemplo, &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; es un número irracional, y la siguiente es su representación decimal aproximada con cien cifras:


&lt;center&gt;
  &lt;div style=&quot;width:35%; text-align:left&quot;&gt;
1.414213562373095048801688724209

69807856967187537694807317667973

79907324784621070388503875343276

41573...
  &lt;/div&gt;
&lt;/center&gt;


La constante &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, que equivale a la razón entre el diámetro de una circunferencia y su perímetro, es otro ejemplo de número irracional. Su representación decimal aproximada con cien cifras es


&lt;center&gt;
  &lt;div style=&quot;width:35%; text-align:left&quot;&gt;
3.141592653589793238462643383279

50288419716939937510582097494459

23078164062862089986280348253421

17068...
  &lt;/div&gt;
&lt;/center&gt;


Veamos ahora lo que sucede con ecuaciones del tipo


&lt;center&gt;&lt;math&gt;x^2=c\ &lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Si &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; es un número real positivo, o cero, la ecuación encuentra solución en &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. No obstante, al ser &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; un número real negativo la ecuación queda sin solución en &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, como sucede, por ejemplo, en la ecuación


&lt;center&gt;&lt;math&gt;x^2=-1\ &lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Lo que sucede es que, como se demostrará más adelante en este libro, el cuadrado de todo número real es siempre positivo. Para remediar esto, se crean los número imaginarios, que, unidos con los reales, forman el conjunto de los números complejos, &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Pero para poder entender mejor las características de estos números, son necesarios conocimientos que se presentan en capítulos posteriores de este libro, de modo que pospondremos el estudio de los números complejos hasta que sea el momento apropiado.

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    <title>Matemáticas/Cálculo en una variable/Cálculo integral/Integrales impropias</title>
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Una integral impropia es un tipo de integral definida que consiste en un límite. Se usa cuando un extremo (o ambos) tienden a infinito o a una asíntota vertical (donde el valor del integrando tiende a mas infinito o menos infinito).</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra/Sucesiones</title>
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==Sucesión==
Se llama sucesión a un conjunto infinito de números, dados ordenadamente, de modo que hay un primero, un segundo, un tercero, etc, es decir, de modo que se correspondan con los números naturales.

==Términos==
Los elementos de la sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante letras, con los subíndices correspondientes a los lugares que ocupa en la sucesión: a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;
El término que representa un lugar cualquiera se llama término general y se designa por a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;.
En la mayoría de los casos, disponenmos de recursos para expresar el término general mediante una fórmula S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = f(n).

===Sucesiones especiales===
Progresión aritmética: cuando cada uno de los términos se obtiene del anterior sumándole un número, llamado diferencia.
Progresión geométrica: cuando cada uno de los términos se obtiene del anterior multiplicándolo por un número, llamado razón.


La [[w:suma|suma]] se basa en la unión de dos o más números. Ej:

4+4=8

Normalmente se acomodan de forma vertical. En la suma o resta de una sola cifra no es tan necesario.
Veamos la suma de dos o más [[w:cifra (Matemáticas)|cifras]]:


Siempre se suman primero las unidades, y si el número que resulta es de dos cifras se suma la decena a las decenas, que son las cifras que siguen por sumar.</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra/Historia del Álgebra</title>
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El desarrollo histórico del álgebra sugiere que actualmente ésta se concibe como la rama de las matemáticas que trata la simbolización de relaciones numéricas generales y de estructuras matemáticas así como de la operación sobre esas estructuras. 
Los temas típicos incluyen: 

* Propiedades de los números reales y complejos 
* El planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado en una incógnita 
* La simplificación de expresiones polinómicas y racionales 
* La representación simbólica de funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, junto con sus gráficas 
* Sucesiones y series

El contenido del álgebra escolar ha cambiado poco. Al comienzo de este siglo los cursos iniciales de álgebra cubrían temas como: 

* Simplificación de expresiones 
* Planteo y resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas 
* Uso de tales técnicas para hallar respuesta a problemas 
* Práctica con razones, proporciones, potencias y raíces.

En las siguientes décadas se incluyeron aspectos prácticos y el uso de los métodos gráficos. Al comienzo de los años 60 se vio una brecha muy grande entre el álgebra escolar y las necesidades de ella en campos como la física nuclear, la exploración espacial, las comunicaciones y la tecnología computacional. Se crean entonces las nuevas matemáticas. Se incluyen las desigualdades y se hace énfasis en conceptos unificadores como conjunto y función a fin de enseñarlos de manera que su estructura y carácter deductivo fuera evidente. 

Se mantiene el carácter estructural que era evidente a comienzos del siglo. Ejemplos de aspectos estructurales del álgebra superior tradicional incluyen: simplificación y factorización de expresiones; resolución de ecuaciones haciendo operaciones en ambos lados y manipulación de parámetros de ecuaciones funcionales tales como &lt;math&gt;y= v+(x-h)^3&lt;/math&gt;, para manejar familias de funciones. 

El capítulo introductorio de la mayor parte de los textos enfatiza la aritmética. Las representaciones algebraicas se tratan como enunciados generalizados de las operaciones aritméticas; es decir que se trabaja en términos procedimentales en donde los valores numéricos se sustituyen por expresiones algebraicas para obtener resultados específicos. Sin embargo, una vez que se ha completado esta introducción, relativamente suave, las representaciones algebraicas empiezan a tratarse como objetos matemáticos sobre los cuales se ejecutan ciertas operaciones estructurales tales como combinar términos; factorizar o restar un término en ambos lados de una ecuación. 

En este texto se hace una distinción entre los términos procedimental y estructural. Procedimental, se refiere a las operaciones aritméticas que se hacen sobre números para obtener números. Estructural se refiere a un conjunto de operaciones que se hacen, no sobre números, sino sobre expresiones algebraicas.
[[Categoría: Matemáticas]]</text>
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    <title>Matemáticas/Generalidades/Sistemas de ecuaciones</title>
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Un sistema de ecuaciones es una cantidad determinada de igualdades con determinadas incógnitas. 

Por ejemplo:
: &lt;math&gt;
   x + y = 3
&lt;/math&gt;

Esta es una sola ecuación, pero también puede considerarse un sistema de ecuaciones.

Es una ecuación (igualdad) de dos variables. Nótese que despejando cualquiera de las dos variables (x o y) su valor dependerá de una y la otra. Entonces hay ''infinitas soluciones'' a esta ecuación. El sistema se dice ''compatible indeterminado''.

Si: 
: &lt;math&gt;
   \left .
      \begin{array}{l}
         x+y=4 \\
         x-y=0
      \end{array}
   \right \}
&lt;/math&gt;

tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. 

Entonces el sistema tiene una ''única solución'' y se llama ''compatible determinado''. 

En este caso 
: &lt;math&gt;
   \left \{
      \begin{array}{l}
         y = 2 \\
         x = 2
      \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;

Compruébelo usted mismo</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra/Monomios</title>
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'''Un monomio''' es una expresión algebraica compuesta únicamente por un sólo término. La unión de varios monomios se denomina '''[[Matemáticas/Álgebra/Polinomios|polinomio]]'''.

El grado de un monomio es la suma de los exponentes que forman dicho término. En el monomio &lt;math&gt;x^5&lt;/math&gt;, el grado de este monomio es 5, y en el monomio &lt;math&gt;x^4y^2z&lt;/math&gt;, el grado del monomio es 7 (&lt;math&gt;4+2+1=7&lt;/math&gt;).
== Definición más formal ==
Llamamos '''monomios''' a una expresión de la forma &lt;math&gt;ax^n_{}&lt;/math&gt;  &lt;br /&gt;
donde  '''&lt;big&gt;&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;'''  es un número real que denominamos  '''coeficiente''',&lt;br /&gt;
'''&lt;big&gt;&lt;math&gt;n&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;''' es un número natural que denominamos ''' Grado del monomio''',&lt;br /&gt;
y '''&lt;big&gt;&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;''' la denominamos ''' indeterminada o variable '''
las variables también se denominan &quot;&quot;Parte Literal&quot;&quot;

== Definición avanzada ==
Antiguamente se tomaba por monomio lo que hoy es un término, ciertamente, pero hoy la definición correcta de monomio es la mencionada a continuación.&lt;br /&gt;
En términos precisos, un monomio es una aplicación {{Eqn|&lt;math&gt;\mu:S\rightarrow\mathbb{N}&lt;/math&gt;|1}}
(donde &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; es un conjunto cualquiera) y tal que el conjunto &lt;math&gt;\{s\in S\mid\mu(s)\neq 0\}&lt;/math&gt; es finito. Así, en términos intuitivos, un monomio es el producto de un número finito de variables elevadas a alguna potencia entera positiva. Cuando un monomio se multiplica por coeficientes en algún anillo (como puede ser &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;), entonces el resultado es un término.&lt;br /&gt;
Por supuesto, la definición formal no es del todo sencilla y puede parecer artificial, pero resulta indispensable a la hora de estudiar conceptos algebraicos más abstractos.

== Operaciones con monomios ==
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones con letras que intervienen son la multiplicación y las potencias de exponente natural.

Se pueden operar con los monomios, siempre que en la suma y la resta tengan las mismas variables, si no, formarían polinomios

=== Adición de monomios ===

Si nos dan dos monomios, &lt;math&gt;x^3&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;3x^3&lt;/math&gt; su suma sería: &lt;math&gt;3x^3+x^3=4x^3&lt;/math&gt;

Ya que &lt;math&gt;3x^3&lt;/math&gt; es lo mismo que  &lt;math&gt;x^3+x^3+x^3 &lt;/math&gt;  o también, &lt;math&gt;3x^3&lt;/math&gt;  En cambio,si nos dan &lt;math&gt;x^4 + x^3&lt;/math&gt;  la suma quedaría: &lt;math&gt;x^4 + x^3 = x^4 + x^3&lt;/math&gt;  

ya que sus términos son de distinto grado, aun teniendo la misma variable (''x''). También, se puede dar el caso de que se den los monomios &lt;math&gt;xy&lt;/math&gt;  y  &lt;math&gt;3x^2&lt;/math&gt;   En tal caso, la suma daría un polinomio &lt;math&gt;xy + 3x^2&lt;/math&gt;

===Sustracción de monomios ===
Para restar monomios, se suma el minuendo con el sustraendo cambiado de signo y se da el mismo proceso de la suma.Por ejemplo: Sean los monomios &lt;math&gt;x^3&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;3x^3&lt;/math&gt; su resta sería: &lt;math&gt;x^3 - (+ 3x^3)= x^3 + (-3x^3) = - 2x^3&lt;/math&gt;

===Multiplicación de monomios ===
Para multiplicar monomios, se suman los exponentes de cada variable, se multiplican los números, y se juntan todas las variables. 

Ejemplo:

&lt;math&gt;5x^3 .  3y^2x = 15x^4y^2&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;4z^2 .  2z^3y = 8z^5y&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;1w^4 .  1y^4 = 1w^4y^4&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
{{Wikipedia|Monomio}}

===División de monomios===
Para dividir monomios, se resta los exponentes de cada variable, se dividen los números, y se agrupan todas las variables o incógnitas. &lt;br /&gt;
Ejemplo: &lt;br /&gt;
&lt;math&gt;8x^4y / 2x^2 = 4x^2y&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
&lt;math&gt;4z^2 / 2z^3 = 2/z &lt;/math&gt;&lt;sup&gt;&lt;big&gt;–1&lt;/big&gt;&lt;/sup&gt;&lt;br /&gt;
&lt;math&gt;1w^4 / 1y^4 = 1w^4/y^4&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;

===Potencia de monomios===
Para realizar la potencia de monomios, se multiplica el coeficiente tantas veces como indica la potencia y se multiplica los exponentes por la potencia. Ejemplo: 
(&lt;math&gt;5x^3)^2 =  25x&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;&lt;big&gt; 3×2&lt;/big&gt;  &lt;math&gt; =    25x^6 &lt;/math&gt;


= Referencias =
Matemática 8 - 3° Ciclo EEB - En Alianza Fundación - pág 16 al 19p</text>
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    <title>Matemáticas/Teoría de grupos/Grupos</title>
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      <text bytes="11089" sha1="adw1ehosz0jqcj7aqdwad8lg41iyd4o" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
==Semigrupos, monoides y grupos==

'''&lt;font size=3&gt;Definición 1.1:&lt;/font&gt;''' Sea &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; un conjunto. Una aplicación
{{Eqn|&lt;math&gt;*:S\times S\longrightarrow S&lt;/math&gt;}}


se dice una '''operación binaria''' (o '''ley de composición interna''') en &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;. La imagen de cualquier par &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; bajo la operación &lt;math&gt;*&lt;/math&gt; se representa por &lt;math&gt;a*b&lt;/math&gt;, en lugar de &lt;math&gt;*((a,b))&lt;/math&gt; o de &lt;math&gt;*(a,b)&lt;/math&gt;. Cuando el símbolo que representa la operación es &lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;, entonces la imagen de &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; bajo la operación &lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt; suele representarse también por &lt;math&gt;ab&lt;/math&gt;.

Una operación binaria &lt;math&gt;*&lt;/math&gt; sobre un conjunto &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; se dice '''asociativa''' si 
{{Eqn|&lt;math&gt;(a*b)*c=a*(b*c)&lt;/math&gt;}} 
para cualesquiera &lt;math&gt;a,b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;. Cuando para cualesquiera &lt;math&gt;a,b&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; se cumple &lt;math&gt;a*b=b*a&lt;/math&gt;, se dice que la operación &lt;math&gt;*&lt;/math&gt; es '''conmutativa'''. Por lo regular usaremos el símbolo &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; para representar operaciones que sean conmutativas. En general, cuando hagamos uso de los símbolos &lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; para representar operaciones diremos que nuestra notación es, respectivamente, '''multiplicativa''' o '''aditiva'''.


'''&lt;font size=3&gt;Definición 1.2:&lt;/font&gt;''' Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un conjunto y &lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt; una operación binaria en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Se dice que el par &lt;math&gt;(G,\cdot)&lt;/math&gt; es un '''semigrupo''' si la operación &lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt; es asociativa. Si, además, existe un elemento &lt;math&gt;e\in G&lt;/math&gt; tal que 
{{Eqn|&lt;math&gt;ae=ea=a,&lt;/math&gt;}}

entonces el par &lt;math&gt;(G,\cdot)&lt;/math&gt; se llama un '''monoide'''.

En lo sucesivo, cuando no haya lugar a confusión, nos referiremos a un monoide &lt;math&gt;(G,\cdot)&lt;/math&gt; simplemente como el monoide &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, haciendo mención sólo del conjunto y dejando que la operación se deduzca del contexto.

El elemento &lt;math&gt;e&lt;/math&gt; aludido en la definición anterior se dice '''identidad''' o '''elemento neutro''' del monoide &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, y es único, pues si &lt;math&gt;e'&lt;/math&gt; fuera otro elemento de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; con las mismas propiedades, entonces &lt;math&gt;e=ee'=e'&lt;/math&gt;. Para representar identidades usaremos el símbolo 1 en notación multiplicativa y el símbolo 0 en notación aditiva.

Representaremos por &lt;math&gt;|G|&lt;/math&gt; al cardinal de un monoide &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.
Si &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; es el elemento de un monoide &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;n\in\Z&lt;/math&gt; es un entero positivo, definimos
{{Eqn|&lt;math&gt;a^n=a\cdots a\qquad (n\ \mbox{factores}),&lt;/math&gt;}}
Cuando nuestra notación sea aditiva escribiremos &lt;math&gt;na&lt;/math&gt; en lugar de &lt;math&gt;a^n&lt;/math&gt;.

Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un monoide y &lt;math&gt;a_1\ldots a_n&lt;/math&gt; elementos de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;1&lt;n\in\Z&lt;/math&gt;. Se define inductivamente el producto de &lt;math&gt;a_1\ldots a_n&lt;/math&gt; como
{{Eqn|&lt;math&gt;\prod_{i=1}^n a_i=a_1\cdots a_n=(a_1\cdots a_{n-1})a_n.&lt;/math&gt;}}
Definimos 
{{Eqn|&lt;math&gt;\prod_{i=1}^0 a_i=1.&lt;/math&gt;}}

Con estas definiciones, se cumple el


'''&lt;font size=3&gt;Teorema 1.3 (Ley asociativa general):&lt;/font&gt;''' ''Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un monoide y &lt;math&gt;a_1,\ldots, a_m,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;a_{m+1},\ldots, a_{m+n}&lt;/math&gt; elementos de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Entonces''
{{Eqn|&lt;math&gt; 
\prod_{i=1}^m a_i\cdot\prod_{j=1}^n a_{j+m}=\prod_{i=1}^{m+n}a_i.
&lt;/math&gt;}}

{{Proof|1=Por inducción sobre &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;. Para &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; es evidente. Supuesto cierto para &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, vemos que
{{Eqnarray|
A1=&lt;math&gt;\prod_{i=1}^{m+n+1}a_i&lt;/math&gt;|A2=&lt;math&gt;\prod_{i=1}^{m+n}a_i\cdot a_{m+n+1}&lt;/math&gt;|
B2=&lt;math&gt;\prod_{i=1}^m a_i\cdot\prod_{j=1}^n a_{j+m}\cdot a_{m+n+1}&lt;/math&gt;|
C2=&lt;math&gt;\prod_{i=1}^m a_i\cdot\prod_{j=1}^{n+1} a_{j+m},&lt;/math&gt;
}}
lo que demuestra el teorema.}}


Se dice que un monoide &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es '''conmutativo''' si su operación es conmutativa.
 

'''&lt;font size=3&gt;Teorema 1.4 (Ley conmutativa general):&lt;/font&gt;''' ''Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un monoide conmutativo y &lt;math&gt;a_1\ldots a_n&lt;/math&gt; elementos de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Sea &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; una aplicación del conjunto &lt;math&gt;\{1,\ldots,n\}&lt;/math&gt; sobre sí mismo. Entonces''
{{Eqn|&lt;math&gt;\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}=\prod_{i=1}^n a_i&lt;/math&gt;}}


'''Demostración:''' Por inducción sobre &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;. Para &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; es evidente. Supóngase cierto para &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;. Sea &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; el entero tal que &lt;math&gt;\varphi(k)=n&lt;/math&gt;. Entonces,
{{Eqnarray|
A1=&lt;math&gt;\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}&lt;/math&gt;|A2=&lt;math&gt;\prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot a_{\phi(k)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}&lt;/math&gt;|
B2=&lt;math&gt;\prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}\cdot a_{\phi(k)}&lt;/math&gt;|
C2=&lt;math&gt;\prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}\cdot a_n.&lt;/math&gt;
}}
Con el propósito de aplicar el teorema 1.3, definimos la aplicación &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; por
{|align=&quot;center&quot;
|&lt;math&gt;\theta(i)=\phi(i)\quad&lt;/math&gt;
|width=&quot;25px&quot;|
|&lt;math&gt;\mbox{si}\ i&lt;k,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\theta(i)=\phi(i+1)\quad&lt;/math&gt; 
|
|&lt;math&gt;\mbox{si}\ i\geq k.&lt;/math&gt;
|}

Así tenemos que
{{Eqnarray|
A1=&lt;math&gt;\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}&lt;/math&gt;|A2=&lt;math&gt; \prod_{i=1}^{k-1}a_{\theta(i)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\theta(k-1+i)}\cdot a_n&lt;/math&gt;|
B2=&lt;math&gt;\prod_{i=1}^{n-1}a_{\theta(i)}\cdot a_n&lt;/math&gt;
}}
donde &lt;math&gt;\prod_{i=1}^{n-1}a_{\theta(i)}=\prod_{i=1}^{n-1}a_i&lt;/math&gt; por hipótesis de inducción, y así 
{{Eqn|&lt;math&gt;\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}=\prod_{i=1}^n a_i.&lt;/math&gt;}}
{{QED}}


'''&lt;font size=3&gt;Definición 1.5:&lt;/font&gt;''' Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un monoide. Un elemento &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; se dice '''invertible por la izquierda''' (resp. '''invertible por la derecha''') si existe un elemento &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;, llamado '''inverso izquierdo''' de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; (resp. '''inverso derecho''' de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;), tal que &lt;math&gt;ba=1&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;ab=1&lt;/math&gt;). Se llama '''invertible''' a un elemento &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; que es invertible por ambos lados.

Si un elemento &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de un monoide &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es invertible, entonces su inverso izquierdo y su inverso derecho coinciden. En efecto, pues si &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; son, respectivamente, el inverso izquierdo y el inverso derecho de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;b=b\cdot1=b(ac)=(ba)c=1\cdot c=c&lt;/math&gt;. 

'''&lt;font size=3&gt;Definición 1.6:&lt;/font&gt;''' Se llama '''grupo''' a un monoide &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; cuando todos sus elementos son invertibles, es decir, cuando para todo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; existe &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; tal que
{{Eqn|&lt;math&gt;ab=ba=1.&lt;/math&gt;}}

El elemento &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; aludido en la definición anterior se llama '''inverso''' de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y es único, pues si &lt;math&gt;b'&lt;/math&gt; es otro inverso de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;b=b(ab')=(ba)b'~=~b'&lt;/math&gt;. En notación multiplicativa y notación aditiva el inverso de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; se denota, respectivamente, por &lt;math&gt;a^{-1}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;-a&lt;/math&gt;. 

Se define
{{Eqn|&lt;math&gt;a^{-n}=a^{-1}\cdots a^{-1}\qquad (n\ \mbox{factores}).&lt;/math&gt;}}
En notación aditiva se escribe &lt;math&gt;-na&lt;/math&gt; en lugar de &lt;math&gt;a^{-n}&lt;/math&gt;.

Un grupo &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; en el que se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en el que &lt;math&gt;ab=ba&lt;/math&gt; para cualesquiera &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, se dice grupo '''abeliano'''.


El teorema siguiente recoge algunos hechos básicos acerca de los grupos

'''&lt;font size=3&gt;Teorema 1.7:&lt;/font&gt;'''   ''Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo y &lt;math&gt;a,b,c&lt;/math&gt; elementos de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Se cumplen''

:'''(G-1)''' ''&lt;math&gt;aa=a&lt;/math&gt; implica &lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt;''
:'''(G-2)''' ''&lt;math&gt;ab=ac&lt;/math&gt; implica &lt;math&gt;b=c&lt;/math&gt;''
:'''(G-3)''' &lt;math&gt;(a^{-1})^{-1}=a&lt;/math&gt;
:'''(G-4)''' &lt;math&gt;(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}&lt;/math&gt;
:'''(G-5)''' &lt;math&gt;(a_1\cdots a_n)^{-1}=a_n^{-1}\cdots a_1^{-1}&lt;/math&gt;


{{Proof|1=(G-1) Si &lt;math&gt;aa=a&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;a=a(aa^{-1})=(aa)a^{-1}=aa^{-1}=1&lt;/math&gt;. (G-2) Si &lt;math&gt;ab=ac&lt;/math&gt;, entonces al multiplicar ambos lados de la ecuación por &lt;math&gt;a^{-1}&lt;/math&gt; se obtiene &lt;math&gt;b=c&lt;/math&gt;. (G-3) &lt;math&gt;(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)=((a^{-1})^{-1}a^{-1})a=1\cdot a=a&lt;/math&gt;. (G-4) &lt;math&gt;(b^{-1}a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}\cdot 1\cdot b=b^{-1}b=1&lt;/math&gt;, de modo que &lt;math&gt;b^{-1}a^{-1}&lt;/math&gt; es inverso de &lt;math&gt;ab&lt;/math&gt;, pero éste es único, así es que ha de ser &lt;math&gt;b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}&lt;/math&gt;. (G-5) se sigue de (G-4) usando por inducción matemática.}}


Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.


'''&lt;font size=3&gt;Teorema 1.8:&lt;/font&gt;''' ''Un semigrupo &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es un grupo si y sólo si''

# ''existe una identidad por la izquierda &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; tal que para todo elemento &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;1a=a&lt;/math&gt;;''
# ''todo elemento &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; tiene un inverso por la izquierda &lt;math&gt;a^{-1}&lt;/math&gt;.''


{{Proof|1=La implicación es obvia. Por la otra parte, &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; cumple también con (G-1) del teorema 1.7 (pues por hipótesis todo elemento suyo es invertible), así que, de 
{{Eqn|&lt;math&gt;(aa^{-1})(aa^{-1})=a(a^{-1}a)a^{-1}=a(1\cdot a^{-1})=aa^{-1},&lt;/math&gt;}}
se deduce que &lt;math&gt;aa^{-1}=1&lt;/math&gt;, por lo que &lt;math&gt;a^{-1}&lt;/math&gt; es también inverso de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; por la derecha. Además, &lt;math&gt;a\cdot 1=a(a^{-1}a)=(aa^{-1})a=1\cdot a=a&lt;/math&gt;, por lo que 1 es también una identidad por la derecha en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es un grupo.}}


'''&lt;font size=3&gt;Teorema 1.9:&lt;/font&gt;''' ''Un semigrupo &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es un grupo si y sólo si para cualesquiera &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; las ecuaciones'' 

{{Eqn|&lt;math&gt;ax=b\qquad\mbox{y}\qquad ya=b&lt;/math&gt;}}


''tienen soluciones únicas en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.''

{{Proof|1=Si &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es un grupo, entonces las soluciones de &lt;math&gt;ax=b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;ya=b&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; son &lt;math&gt;x=a^{-1}b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;y=ba^{-1}&lt;/math&gt;. Recíprocamente, si &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es un semigrupo en el que las ecuaciones &lt;math&gt;ax=b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;ya=b&lt;/math&gt; tienen soluciones únicas, entonces, tomando &lt;math&gt;a=b&lt;/math&gt;, tenemos que existen &lt;math&gt;e&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;e'&lt;/math&gt; tales que
{{Eqn|&lt;math&gt;ae=a\qquad\mbox{y}\qquad e'a=a,&lt;/math&gt;}}
y si &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; es un elemento cualquiera de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, entonces también existen &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; tales que
{{Eqn|&lt;math&gt;as=g\qquad\mbox{y}\qquad ta=g,&lt;/math&gt;}}
de modo que 
{{Eqn|&lt;math&gt;
ge=(ta)e=t(ae)=ta=g
&lt;/math&gt;|1.1}}
y
{{Eqn|&lt;math&gt;
e'g=e'(as)=(e'a)s=as=g.
&lt;/math&gt;|1.2}}

Puesto que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; es cualquier elemento de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, podemos tomar &lt;math&gt;g=e'&lt;/math&gt; en {{Eqnref|1.1}} y &lt;math&gt;g=e&lt;/math&gt; en {{Eqnref|1.2}}, obteniendo &lt;math&gt;e'e=e'&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;e'e=e&lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;e=e'&lt;/math&gt; es la identidad de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Ahora, si &lt;math&gt;a'&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;a''&lt;/math&gt; son las soluciones de &lt;math&gt;ax=e&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;ya=e&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;a'&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;a''&lt;/math&gt; son, respectivamente, los inversos derecho e izquierdo de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, y como vimos, debe de ser &lt;math&gt;a'=a''&lt;/math&gt;. Esto prueba que &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es un grupo.}}</text>
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    <title>Trigonometría/Tabla trigonométrica</title>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>Eliminación de [[Categoría:Trigonometría]] mediante [[c:Help:Cat-a-lot|Cat-a-lot]]</comment>
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      <text bytes="8534" sha1="3tol2el73mk0t9ulh5yumr9vu8o8cjd" xml:space="preserve">
El uso de la [[w:es:trigonometría|trigonometría]] en los cálculos de [[w:es:geometría|geometría]] exige el poder calcular sus variables con cierta precisión, una forma de hacer estos cálculos es mediante el uso de la '''tabla trigonométrica''' o '''tabla de senos''', estas tablas son una herramienta sencilla y de uso muy general.

Veamos una tabla trigonométrica y su modo de uso, para el calculo de las funciones trigonométricas.

== La tabla ==
Esta tabla de doble entrada determina el seno de un ángulo, dado en [[w:es:Grado sexagesimal|grados sexagesimales]], desde 0 a 45 grados, a intervalos de 0,1 grado o 6 minutos de grado, según se puede ver en las dos filas superiores, en la primera como el primer decimal, y en la segunda como minutos de grado.

En la columna de la izquierda vienen los grados, en la fila superior las fracciones de grado en intervalos de 0,1 de grado, o en minutos a intervalos de 6 minutos, de grado sexagesimales, donde se cruzan la fila y columna correspondientes podemos encontrar el valor del seno del ángulo, expresado con seis cifras decimales, separadas de tres en tres por un espacio en blanco, para facilitar la lectura.
: {{:Tabla trigonométrica}}

Ejemplo: cual es el seno de 5,4 grados, o lo que es lo mismo el seno de 5°24′:

en la fila del cinco, y la columna del 0,4 tenemos:
: &lt;math&gt; \sin(5,4) = 0,094 108 \,&lt;/math&gt;

== Para otros valores ==
En la tabla podemos encontrar el seno de un ángulo comprendido entre 0 y 45 grados, naturalmente podría confeccionarse una tabla hasta 90 grados, pero esto no es necesario, porque como vamos a ver se puede determinar los valores para ángulos superiores a 45, así como el valor del coseno y de la tangente

Partiendo de un triángulo ABC, rectángulo en C, podemos ver las siguientes relaciones:
[[Image:Trigonometria 01.svg|right|300px]]

Según la definición de las funciones seno y coseno:
: &lt;math&gt; [1] \; \operatorname {sen} \; \alpha = \cos \beta = \frac{a}{c} &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; [2] \; \cos \alpha = \operatorname {sen} \; \beta = \frac{b}{c} &lt;/math&gt;

por el [[w:es:Teorema de Pitágoras|Teorema de Pitágoras]]:

: &lt;math&gt; [3] \; c^2 = a^2 + b^2 \,&lt;/math&gt;

y al ser ángulos complementarios:
: &lt;math&gt; [4] \; \alpha + \beta = 90^o \,&lt;/math&gt;

Con esta cuatro relaciones y la tabla anterior podemos determinar los valores de las funciones.

=== sin(α): y 45 &lt; α &lt; 90 ===
Partiendo de la relación [3]:
: &lt;math&gt; c^2 = a^2 + b^2 \,&lt;/math&gt;

y dividiendo por c al cuadrado, tenemos:
: &lt;math&gt; \frac{c^2}{c^2} = \frac{a^2}{c^2}  + \frac{b^2}{c^2}  \,&lt;/math&gt;

esto es:
: &lt;math&gt; 1 = {\Bigg( \frac{a}{c}\Bigg)}^2  + {\Bigg( \frac{b}{c}\Bigg)}^2  \,&lt;/math&gt;

sustituyendo de [1] y [2]:
: &lt;math&gt; 1 = \sin^2 (\alpha) + \sin^2 (\beta) \,&lt;/math&gt;

sustituyendo de [4], tenemos:
: &lt;math&gt; 1 = \sin^2 (\alpha) + \sin^2 (90 - \alpha) \,&lt;/math&gt;

ordenando términos:
: &lt;math&gt; \sin^2 (\alpha) = 1 - \sin^2 (90 - \alpha) \,&lt;/math&gt;

y por fin:
: &lt;math&gt; \sin (\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2 (90 - \alpha)} \,&lt;/math&gt;

con lo que partiendo de un &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt; comprendido entre 45 y 90 grados su seno es la raíz cuadrada de 1 menos el cuadrado del seno de 90 menos &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt; (90 - \alpha) &lt;/math&gt; se puede buscar en la tabla.

==== Ejemplo ====
Cual es el seno de 50,6°.

Como 50,6° es mayor de 45°, aplicamos la expresión:
: &lt;math&gt; \sin (\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2 (90 - \alpha)} \,&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt; \alpha = 50,6 &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; \sin (50,6) = \sqrt{1 - \sin^2 (90 - 50,6)} \,&lt;/math&gt;

operando:
: &lt;math&gt; \sin (50,6) = \sqrt{1 - \sin^2 (39,4)} \,&lt;/math&gt;

en la tabla tenemos el valor del seno:
: &lt;math&gt; \sin (39,4) = 0,634 731 \, &lt;/math&gt;

para sustituir en la ecuación:
: &lt;math&gt; \sin (50,6) = \sqrt{1 - (0,634 731) ^2} \,&lt;/math&gt;

operando y haciendo los cálculos tenemos, por fin:
: &lt;math&gt; \sin (50,6) = 0,772 733 \,&lt;/math&gt;

=== cos(α): y 0 &lt; α &lt; 45 ===
Como en el caso anterior partiendo de la relación [3]:
: &lt;math&gt; c^2 = a^2 + b^2 \,&lt;/math&gt;

y dividiendo por c al cuadrado:
: &lt;math&gt; \frac{c^2}{c^2} = \frac{a^2}{c^2}  + \frac{b^2}{c^2}  \,&lt;/math&gt;

que resulta:
: &lt;math&gt; 1 = {\Bigg( \frac{a}{c} \Bigg)}^2 + {\Bigg(\frac{b}{c} \Bigg)} ^2 \,&lt;/math&gt;

sustituyendo de [1] y de [2] el coseno:
: &lt;math&gt; 1 = \sin^2 (\alpha) + \cos^2 (\alpha) \,&lt;/math&gt;

ordenando términos:
: &lt;math&gt; \cos^2 (\alpha) = 1 - \sin^2 (\alpha) \,&lt;/math&gt;

que da por resultado:
: &lt;math&gt; \cos (\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2 (\alpha) }\,&lt;/math&gt;

pudiéndose calcular &lt;math&gt; \cos(\alpha) &lt;/math&gt; para un &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt; comprendido entre 0 y 45 grados, a partir de &lt;math&gt; \sin(\alpha) &lt;/math&gt; que encontramos en la tabla.

==== Ejemplo ====
Cual es el coseno de 12°24′, esto es:
: &lt;math&gt; \cos(12,4) \, &lt;/math&gt;

según lo anterior:
: &lt;math&gt; \cos (\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2 (\alpha) }\,&lt;/math&gt;

que en este caso:
: &lt;math&gt; \cos (12,4) = \sqrt{1 - \sin^2 (12,4) }\,&lt;/math&gt;

buscando en la tabla, tenemos el valor del seno:
: &lt;math&gt; \sin (12,4) = 0,214 735 \,&lt;/math&gt;

sustituyendo el valor del seno en la expresión:
: &lt;math&gt; \cos (12,4) = \sqrt{1 - (0,214 735)^2 }\,&lt;/math&gt;

realizando las operaciones, da como resultado:
: &lt;math&gt; \cos (12,4) = 0,976 672 \,&lt;/math&gt;

que es el valor del coseno buscado.

=== cos(α): y 45 &lt; α &lt; 90 ===
Este caso es muy sencillo, partimos de las relaciones [2] y [4]:
: &lt;math&gt; [2] \; \cos(\alpha) = \sin(\beta) = \frac{b}{c} &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; [4] \; \alpha + \beta = 90^o \,&lt;/math&gt;

y sustituyendo: &lt;math&gt; \beta &lt;/math&gt; en [2] tenemos que:
: &lt;math&gt; \cos(\alpha) = \sin(90 - \alpha) \,&lt;/math&gt;

con lo que obtenemos el coseno de un ángulo comprendido entre 45 y 90°, partiendo de la tabla de senos.

==== Ejemplo ====
Cual es el coseno de 75°.

Según la expresión anterior:
: &lt;math&gt; \cos(75) = \sin(90 - 75) \,&lt;/math&gt;

esto es:
: &lt;math&gt; \cos(75) = \sin(15) \,&lt;/math&gt;

buscando en la tabla tenemos que:
: &lt;math&gt; \cos(75) = \sin(15) = 0,258 819 \,&lt;/math&gt;

que es la solución al problema planteado.

=== tan(α): y 0 &lt; α &lt; 45 ===
Para el calculo de la tangente usaremos la expresión:
: &lt;math&gt; \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha) }{\cos(\alpha) } &lt;/math&gt;

empleando las deducciones del seno y el coseno hecho ya en las secciones anteriores, para un ángulo comprendido entre 0 y 45° tendremos que:
: &lt;math&gt; \tan(\alpha) = \frac{ \sin(\alpha) }{\sqrt{ 1 - \sin^2 (\alpha) } } &lt;/math&gt;

==== Ejemplo ====
Cual es la tangente de 32,1°.

Según lo anterior, tenemos:
: &lt;math&gt; \tan(32,1) = \frac{ \sin(32,1) }{\sqrt{ 1 - \sin^2 (32,1) } } &lt;/math&gt;

Mirando en la tabla el valor del seno, tenemos que:
: &lt;math&gt; \sin (32,1) = 0,531 399 \, &lt;/math&gt;

que sustituyéndolo en la expresión tenemos:
: &lt;math&gt; \tan(32,1) = \frac{ 0,531 399 }{\sqrt{ 1 - (0,531 399 ) ^2 } } &lt;/math&gt;

operando:
: &lt;math&gt; \tan(32,1) = \frac{ 0,531 399 }{0,847 122} &lt;/math&gt;

que por fin da:
: &lt;math&gt; \tan(32,1) = 0,627 299 \,&lt;/math&gt;

=== tan(α): y 45 &lt; α &lt; 90 ===
Del mismo modo podemos determinar la tangente de un ángulo comprendido entre 45 y 90°:
: &lt;math&gt; \tan (\alpha) = \frac{ \sqrt{1 - \sin^2 (90 - \alpha)}}{ \sin(90 - \alpha)} &lt;/math&gt;

ampliando la raíz al denominador:
: &lt;math&gt; \tan (\alpha) = \sqrt{\frac{ 1 - \sin^2 (90 - \alpha)}{ \sin^2(90 - \alpha)}} &lt;/math&gt;

descomponiendo la fracción:
: &lt;math&gt; \tan (\alpha) = \sqrt{\frac{1}{\sin^2(90 - \alpha)} - \frac{\sin^2 (90 - \alpha)}{ \sin^2(90 - \alpha)}} &lt;/math&gt;

simplificando tenemos:
: &lt;math&gt; \tan (\alpha) = \sqrt{\frac{ 1}{ \sin^2(90 - \alpha)} - 1} &lt;/math&gt;

esta expresión, nos permite calcular la tangente partiendo de la tabla de senos.

==== Ejemplo ====
Cuanto vale la tangente de 53°

Al ser la tangente de un ángulo comprendido entre 45 y 90°, tenemos que:
: &lt;math&gt; \tan (53) = \sqrt{\frac{ 1}{ \sin^2(90 - 53)} - 1} &lt;/math&gt;

operando:
: &lt;math&gt; \tan (53) = \sqrt{\frac{ 1}{ \sin^2(37)} - 1} &lt;/math&gt;

de la tabla sacamos:
: &lt;math&gt; \sin(37) = 0,601 815 \, &lt;/math&gt;

sustituyendo este valor:
: &lt;math&gt; \tan (53) = \sqrt{\frac{ 1}{(0,601 815)^2} - 1} &lt;/math&gt;

operando:
: &lt;math&gt; \tan (53) = \sqrt{2,761 048 - 1} &lt;/math&gt;

esto es:
: &lt;math&gt; \tan (53) = \sqrt{1,761 048} &lt;/math&gt;

y por fin, realizando la raíz, tenemos:
: &lt;math&gt; \tan (53) = 1,327 045 \,&lt;/math&gt;

que es el valor solicitado.

== Enlaces externos ==
* [http://math2.org/math/trig/es-tables.htm Tablas Matemáticas de David: Tablas de Trigonometría]
* [http://www.sectormatematica.cl/proyectos/tabla.htm TABLA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS]
*[http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Geometria/Elemental/Trigonometria/TabTrigo1.htm Tabla de funciones trigonométricas]

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    <title>Trigonometría</title>
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      <text bytes="903" sha1="0du6zsod8q5zc073xei04ewug7cz6bp" xml:space="preserve">La trigonometría viene de griego que es trigo que significa tres, &quot;gono&quot; que significa angulos y metria que significa medida y es la parte de la geometría que estudia la relación entre los lados de un triángulo rectángulo y sus ángulos. Actualmente, esta idea básica ha sido superada y las funciones trigonométricas tienen, matemáticamente hablando, sentido propio.

La trigonometría es una disciplina fundamental, tanto para el estudio geométrico, como para el conocimiento del calculo y el análisis matemático.

Este tratado pretende recoger los conocimientos de trigonometría necesarios al finalizar [[Matemáticas/Bachillerato LOGSE]], o necesarios para comenzar una carrera técnica.

[[Archivo:Trigonometria 01.svg|300px|right]]
* [[Trigonometría/Índice|'''Índice''']]
{{:Trigonometría/Índice}}

* [[Trigonometría/Texto completo|'''Texto completo''']]

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: [[Trigonometría/Trigonometría|Trigonometría]]
: [[Trigonometría/Teorema de Thales de Mileto|Teorema de Thales de Mileto]]
: [[Trigonometría/Teorema de Pitagoras|Teorema de Pitagoras]]
: [[Trigonometría/Funciones Trigonométricas|Funciones Trigonométricas]]
: [[Trigonometría/Tabla trigonométrica|Tabla trigonométrica]]
: [[Trigonometría/Fórmula de Euler|Fórmula de Euler]]
: [[Trigonometría/Circunferencia Unitaria|Circunferencia Unitaria]]
: [[Trigonometría/Análisis de funciones trigonométricas|Análisis de funciones trigonométricas]]
: [[Trigonometría/Tabla de senos|Tabla de senos]]

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    <title>Matemáticas/Teoría de grupos/Homomorfismos</title>
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      <text bytes="3751" sha1="btjyncgjugtujf2sqnx1k8wznmgk4bj" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
==Homomorfismos==


'''&lt;font size=3&gt;Definición 1.10:&lt;/font&gt;'''  Sean &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; dos grupos. Una aplicación &lt;math&gt;f:G\longrightarrow H&lt;/math&gt; se llama '''homomorfismo de grupos''' (o simplemente '''homomorfismo''') si 
{{Eqn|&lt;math&gt;~f(ab)=f(a)f(b)&lt;/math&gt;}}
para todo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; , &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. 
 

Es claro que si &lt;math&gt;f:G\longrightarrow H&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;g:H\longrightarrow K&lt;/math&gt; son homomorfismos entonces &lt;math&gt;g\circ f:G\longrightarrow K&lt;/math&gt; es un homomorfismo.


'''&lt;font size=3&gt;Teorema 1.11:&lt;/font&gt;'''  ''Sean &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; dos grupos y &lt;math&gt;f:G\longrightarrow H&lt;/math&gt; un homomorfismo. Se cumple que''

# ''si &lt;math&gt;1_G&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;1_H&lt;/math&gt; son las identidades de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt;, respectivamente, entonces &lt;math&gt;f(1_G)=1_H&lt;/math&gt;;''
# ''si &lt;math&gt;a\in G&lt;/math&gt; entonces &lt;math&gt;f(a^{-1})=f(a)^{-1}&lt;/math&gt;.''


{{Proof|1=En efecto, pues &lt;math&gt;f(1_G)=f(1_G\cdot 1_G)=f(1_G)f(1_G)&lt;/math&gt;, lo que implica &lt;math&gt;f(1_G)=1_H&lt;/math&gt;. Además, &lt;math&gt;f(a^{-1})f(a)=f(a^{-1}a)=f(1_G)=1_H&lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;f(a^{-1})=f(a)^{-1}&lt;/math&gt;.}}


Se dice que un homomorfismo es un '''monomorfismo''', un '''epimorfismo''' o un '''isomorfismo''' si es, respectivamente, inyectivo, sobreyectivo o biyectivo. Un homomorfismo de un grupo &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; en sí mismo se dice un '''endomorfismo''', mientras que un isomorfismo de un grupo &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; en sí mismo se dice un '''automorfismo'''. 

Dos grupos &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; se dicen '''isomorfos''' si existe un isomorfismo entre ellos, hecho que representaremos por &lt;math&gt;G\cong H&lt;/math&gt;. Dos grupos que son isomorfos son, desde el punto de vista algebraico, indistinguibles, pues lo que vale para &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; respecto de su operación de grupo vale también para &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; respecto de su operación de grupo, y viceversa. Así, aunque desde el punto de vista conjuntista &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; sean dos conjuntos diferentes, desde el punto de vista algebraico &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; son el mismo objeto.

Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo. Denotaremos por &lt;math&gt;\mbox{Aut}\ G&lt;/math&gt; al conjunto de todos los automorfismos del grupo &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Puede probarse que &lt;math&gt;\mbox{Aut} G&lt;/math&gt; es a su vez un grupo tomando como operación la composición de aplicaciones.


'''&lt;font size=3&gt;Definición 1.12:&lt;/font&gt;'''  Sean &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; dos grupos y sea &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; un homomorfismo entre ellos. El '''núcleo''' de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; se define como el conjunto
{{Eqn|&lt;math&gt;\ker f=\{a\in G\mid f(a)=1_H\},&lt;/math&gt;}}
donde &lt;math&gt;1_H&lt;/math&gt; es la identidad de &lt;math&gt;H&lt;/math&gt;.


'''&lt;font size=3&gt;Teorema 1.13:&lt;/font&gt;''' ''Sean &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; dos grupos cualesquiera. La aplicación &lt;math&gt;f:G\longrightarrow H&lt;/math&gt; es monomorfismo si y sólo si es homomorfismo y &lt;math&gt;~\ker f=1&lt;/math&gt;.''


{{Proof|1=Si &lt;math&gt;f:G\longrightarrow H&lt;/math&gt; es un monomorfismo, entonces sólo puede existir un elemento &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;f(a)=1_H&lt;/math&gt;, y por el teorema 1.11, ese elemento es &lt;math&gt;1_G&lt;/math&gt;, de modo que &lt;math&gt;\ker f=\{1_G\}&lt;/math&gt;. Recíprocamente, si &lt;math&gt;\ker f=\{1_G\}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;f(a)=f(b)&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;1_H=f(a)f(b)^{-1}=f(a)f(b^{-1})=f(ab^{-1})&lt;/math&gt;, lo que implica &lt;math&gt;ab^{-1}\in\ker f&lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;ab^{-1}=1_G&lt;/math&gt; y así &lt;math&gt;a=b&lt;/math&gt;, por lo que &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es inyectiva y con ello un monomorfismo.}}


El teorema anterior resulta útil para probar que dos grupos son isomorfos, ya que para esto basta con mostrar que existe un epimorfismo &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; entre ellos cuyo núcleo es trivial (en cuyo caso &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es también un monomorfismo y por tanto un isomorfismo).</text>
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    <title>Matemáticas/Teoría de grupos/Subgrupos</title>
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==Subgrupos==
&lt;font size=3&gt;&lt;font size=3&gt;'''Definición 1.14:'''&lt;/font&gt;&lt;/font&gt; Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo. Se dice que &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; es un '''subgrupo''' de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, hecho que se representa por &lt;math&gt;H\leq G&lt;/math&gt;, si &lt;math&gt;H\subseteq G&lt;/math&gt; y si &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; es él mismo un grupo respecto de la operación de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.
 

Es claro que la identidad de &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; es la misma que la identidad de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, pues éste es el único elemento &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; que cumple &lt;math&gt;aa=a&lt;/math&gt;. También los inversos de los elementos de &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; son los mismos en &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; que en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. 


Todo grupo &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; tiene al menos dos subgrupos, a saber, &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mismo y el grupo &lt;math&gt;\{1\}&lt;/math&gt;, llamado subgrupo '''trivial''' de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, que sólo contiene a la identidad de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Cualquier otro subgrupo de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; disitinto de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\{1\}&lt;/math&gt; se dice subgrupo '''propio''' de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.


&lt;font size=3&gt;'''Teorema 1.15:''' ''&lt;/font&gt; Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo y &lt;math&gt;H\subseteq G&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; no vacío. Entonces &lt;math&gt;H\leq G&lt;/math&gt; si y sólo si &lt;math&gt;gh^{-1}\in H&lt;/math&gt; para cualesquiera &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;H&lt;/math&gt;.''

{{Proof|1=La implicación es obvia. Si &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; es un subconjunto no vacío de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;gh^{-1}\in H&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;g,h\in H&lt;/math&gt;, entonces, en particular, &lt;math&gt;1=gg^{-1}\in H&lt;/math&gt; (el elemento &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; existe, pues &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; es no vacío). Luego también &lt;math&gt;1g^{-1}=g^{-1}\in H&lt;/math&gt;. Además, puesto que &lt;math&gt;g(h^{-1})^{-1}=gh\in G&lt;/math&gt;, la operación binaria de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es también operación binaria en &lt;math&gt;H&lt;/math&gt;, lo que demuestra que &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; es un subgrupo de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.}}


Si &lt;math&gt;f:G\longrightarrow H&lt;/math&gt; es un homomorfismo de grupos entonces &lt;math&gt;\ker f&lt;/math&gt; es un subgrupo de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. En efecto, pues si &lt;math&gt;a,b\in\ker f&lt;/math&gt;, entonces 

{{Eqn|&lt;math&gt;f(ab^{-1})=f(a)f(b)^{-1}=1_H\cdot1_H^{-1}=1_H,&lt;/math&gt;}}


por lo que &lt;math&gt;ab^{-1}\in\ker f&lt;/math&gt;, lo que, en vista del teorema anterior, demuestra que &lt;math&gt;\ker f\leq G&lt;/math&gt;.


He aquí otros dos hechos, aún más básicos, acerca de subgrupos:

# Si &lt;math&gt;K\leq H&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;H\leq G&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;K\leq G&lt;/math&gt;.
# Si &lt;math&gt;H,K\leq G&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;K\subseteq H&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;K\leq H&lt;/math&gt;.

Las pruebas de estos hechos se dejan como ejercicio al lector.

Un subgrupo propio &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; de un grupo &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; se dice subgrupo '''maximal''' de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;M\leq H\leq G&lt;/math&gt; implica &lt;math&gt;H=G&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;H=M&lt;/math&gt; para cualquiera que sea el conjunto &lt;math&gt;H&lt;/math&gt;.</text>
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        <username>Mazbel</username>
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      <text bytes="12208" sha1="gjfj6ap0cvrw8xywqpokvt329bqvb0n" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
==Grupos generados y grupos cíclicos==

Si &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; son dos subgrupos de un grupo &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, es fácil ver que &lt;math&gt;H\cap K&lt;/math&gt; es de nuevo un subgrupo de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Más aún, si &lt;math&gt;\{G_i\}_{i\in I}&lt;/math&gt; es una familia de subgrupos de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;\bigcap_{i\in I}G_i&lt;/math&gt; es también un subgrupo de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.


&lt;font size=3&gt;'''Definición 1.16:'''&lt;/font&gt; Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo y &lt;math&gt;S\subseteq G&lt;/math&gt;. Se llama subgrupo '''generado''' por &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; a la intersección de todos los subgrupos de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; que contienen a &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, y se representa por &lt;math&gt;\left\langle S\right\rangle&lt;/math&gt;. Es decir, 

{{Eqn|&lt;math&gt;\left\langle S\right\rangle=\bigcap G_i,&lt;/math&gt;}}


donde &lt;math&gt;G_i&lt;/math&gt; es cualquier grupo que contenga al conjunto &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;. Cuando &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; sea un conjunto finito, digamos &lt;math&gt;\{a_1,\ldots a_n\}&lt;/math&gt;, escribiremos también &lt;math&gt;\left\langle a_1,\ldots a_n\right\rangle&lt;/math&gt; en lugar de &lt;math&gt;\left\langle S\right\rangle&lt;/math&gt;.

Equivalentemente, tenemos que &lt;math&gt;\left\langle S\right\rangle&lt;/math&gt; se puede definir como el menor subgrupo de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; que contiene a &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;. 

En realidad, es posible saber explícitamente la forma que tienen los elementos de &lt;math&gt;\left\langle S\right\rangle&lt;/math&gt;:


&lt;font size=3&gt;'''Teorema 1.17:'''&lt;/font&gt; ''Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo y &lt;math&gt;S\subseteq G&lt;/math&gt;. Defínase &lt;math&gt;S^{-1}=\{a^{-1}\mid a\in S\}&lt;/math&gt;. Entonces &lt;math&gt;\left\langle S\right\rangle&lt;/math&gt; es el grupo formado por todos los elementos que son el producto de un número finito de elementos de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; o de &lt;math&gt;S^{-1}&lt;/math&gt;. En otras palabras,''

{{Eqn|&lt;math&gt;\left\langle S\right\rangle=\{a_1\cdots a_n\mid a_1,\ldots, a_n\in S\cup S^{-1}\}.&lt;/math&gt;}}


{{Proof|1=Sea &lt;math&gt;H=\{a_1\cdots a_n\mid a_1,\ldots, a_n\in S\cup S^{-1}\}&lt;/math&gt;. Sean &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; elementos de &lt;math&gt;H&lt;/math&gt;, de modo que

{{Eqn|&lt;math&gt;a=a_1\cdots a_n\qquad\mbox{y}\qquad b=b_1\cdots b_n,&lt;/math&gt;}}


donde &lt;math&gt;a_i\in S&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;a_i\in S^{-1}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b_i\in S&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;b_i\in S^{-1}&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i\in\{1,\ldots, n\}&lt;/math&gt;. El hecho de que &lt;math&gt;ab^{-1}\in H&lt;/math&gt; se sigue inmediatamente de (G-5) del teorema 1.7, así que &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; es un grupo que además, como es claro, contiene a &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, de modo que &lt;math&gt;\left\langle S\right\rangle\subseteq H&lt;/math&gt;, pero también es claro que &lt;math&gt;H\subseteq\left\langle S\right\rangle&lt;/math&gt; (pues los elementos de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; y sus inversos están en &lt;math&gt;\left\langle S\right\rangle&lt;/math&gt;, luego cualquier producto entre ellos estará también en &lt;math&gt;\left\langle S\right\rangle&lt;/math&gt;), por lo que termina siendo &lt;math&gt;\left\langle S\right\rangle=H&lt;/math&gt;.}} 


El teorema siguiente es un caso particular del teorema anterior.


&lt;font size=3&gt;'''Teorema 1.18:'''&lt;/font&gt;  ''Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo finito y &lt;math&gt;S\subseteq G&lt;/math&gt;. Entonces''

{{Eqn|&lt;math&gt;\left\langle S\right\rangle=\{a_1\cdots a_n\mid a_1,\ldots, a_n\in S\}.&lt;/math&gt;}}


{{Proof|1=Si &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es finito, las potencias &lt;math&gt;a^1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a^3,\ldots&lt;/math&gt; de cualquier &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; no pueden ser todas diferentes, por lo que deben existir enteros &lt;math&gt;m&gt;n&lt;/math&gt; tales que &lt;math&gt;a^m=a^n&lt;/math&gt;, o sea que &lt;math&gt;a^{m-n}=1&lt;/math&gt; (donde &lt;math&gt;m-n&gt;0&lt;/math&gt;), de lo que se sigue &lt;math&gt;a^{m-n-1}=a^{-1}&lt;/math&gt; (con &lt;math&gt;m-n-1\geq 0&lt;/math&gt;). Esto significa que todo elemento &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; tiene su inverso en &lt;math&gt;\{a_1\cdots a_n\mid a_1,\ldots, a_n\in S\}&lt;/math&gt;, pues éste puede expresarse como un producto de elementos de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.}}


Como consecuencia inmediata del teorema 1.17 tenemos también que


'''&lt;font size=3&gt;Corolario 1.19:&lt;/font&gt;''' ''Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo y &lt;math&gt;g\in G&lt;/math&gt;. Entonces 
{{Eqn|&lt;math&gt;\left\langle g\right\rangle=\{g^n\mid n\in\Z\}.&lt;/math&gt;}}''


&lt;font size=3&gt;'''Definición 1.20:'''&lt;/font&gt; Si &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es un grupo y &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; es un elemento de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;\left\langle a\right\rangle=G&lt;/math&gt;, i.e. si &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es generado por un sólo elemento suyo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, se diceque &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es un grupo '''cíclico'''. Más en general, si &lt;math&gt;\left\langle a_1,\ldots, a_n\right\rangle=G&lt;/math&gt; con cada &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, se dice que &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es un grupo '''finitamente generado'''.


Como un ejemplo de grupo cíclico, tenemos al grupo aditivo &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; generado por su unidad &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (aunque también puede ser generado por &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt;). Se trata de un grupo cíclico infinito, al igual que lo es el grupo aditivo

{{Eqn|&lt;math&gt;2\Z=\{2n\mid n\in\Z\}&lt;/math&gt;.}}


cuyo generador es &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;. En general, &lt;math&gt;n\Z=\{nk\mid n\in\Z\}&lt;/math&gt; forma un grupo cíclico infinito respecto de la adición, y cuyo generador es &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;. Es muy fácil notar que &lt;math&gt;(n\Z,+)&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;(\Z,+)&lt;/math&gt; son isomorfos, siendo la aplicación &lt;math&gt;f:n\Z\longrightarrow\Z&lt;/math&gt;, dada por

{{Eqn|&lt;math&gt;f(nk)=k\qquad\mbox{para todo}\ k\in\Z,&lt;/math&gt;}}


el isomorfismo entre ellos.

Otro ejemplo de grupo cíclico es el grupo aditivo &lt;math&gt;\Z_n&lt;/math&gt;, cuyos elementos son las clases de equivalencia &lt;math&gt;[1]\ldots [n]&lt;/math&gt; surgidas a partir de la relación de congruencia módulo &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\equiv\ (\mbox{mod}\ n)&lt;/math&gt;) sobre &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;. Se trata en este caso de un grupo cíclico finito de orden &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.


Un ejemplo más de grupo cíclico: el grupo multiplicativo &lt;math&gt;\{-1,1,-i,i\}&lt;/math&gt;, generado por &lt;math&gt;i=\sqrt{-1}&lt;/math&gt; (o también por &lt;math&gt;-i&lt;/math&gt;). 


&lt;center&gt;
[[Imagen:Grupos_ciclicos_1.svg|170px]]

'''Figura''': &lt;math&gt;~i&lt;/math&gt; genera al grupo multiplicativo &lt;math&gt;~\{-1,1,i,-i\}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;


El lector puede verificar que, como un hecho más general, el grupo multiplicativo de las &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; raíces complejas de la unidad, &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, es un grupo cíclico.


A parte del corolario 1.19, hay otro hecho característico de los grupos cíclicos que nos va a interesar:


&lt;font size=3&gt;'''Teorema 1.21:'''&lt;/font&gt; ''Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo y &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; un elemeno de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Entonces, si &lt;math&gt;\left|\left\langle a\right\rangle\right|=m&lt;/math&gt;, el grupo &lt;math&gt;\left\langle a\right\rangle&lt;/math&gt; consiste de los elementos &lt;math&gt;1,a,a^2,\ldots,a^{m-1}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;a^r=a^s&lt;/math&gt; si y sólo si &lt;math&gt;r\equiv s\ (\mbox{mod}\  m)&lt;/math&gt;.''


{{Proof|1=Por el corolario 1.19, existe el menor entero &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;a^n=1&lt;/math&gt;. Vemos entonces que los elementos &lt;math&gt;1,a,a^2,\ldots, a^{n-1}&lt;/math&gt; son todos distintos, pues si &lt;math&gt;a^i=a^j&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;i&lt;j&lt;n&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;a^{j-i}=1&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;0&lt;j-i&lt;n&lt;/math&gt;, pero hemos supuesto que &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; es el menor entero que cumple &lt;math&gt;a^n=1&lt;/math&gt;. Luego vemos que &lt;math&gt;a^n=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a^{n+1}=a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a^{n+2}=a^2&lt;/math&gt;, etc., de modo que las potencias de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; comienzan a repetirse a partir de &lt;math&gt;a^{n-1}&lt;/math&gt; y así &lt;math&gt;\left\langle a\right\rangle=\{1, a, a^2,\ldots, a^{n-1}\}&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;n=m=\left|\left\langle a\right\rangle\right|&lt;/math&gt;. Además se observa que &lt;math&gt;a^{km+r}=a^{km}a^r=(a^m)^ka^r=1^k\cdot a^r=a^r&lt;/math&gt; para cualesquiera enteros &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;, de modo que &lt;math&gt;a^r=a^s&lt;/math&gt; si y sólo si &lt;math&gt;r\equiv s\ (\mbox{mod}\ m)&lt;/math&gt;.}}


Por el teorema anterior, tenemos que si &lt;math&gt;\left|\left\langle a\right\rangle\right|=m&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;a^n=1&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;m\mid n&lt;/math&gt;.


Otra consecuencia del corolario 1.19 es que todo grupo cíclico es abeliano. En efecto, pues dos elementos de un grupo &lt;math&gt;\left\langle a\right\rangle&lt;/math&gt; son de la forma &lt;math&gt;a^r&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;a^s&lt;/math&gt;, y 

{{Eqn|&lt;math&gt;a^r\cdot a^s=a^{r+s}=a^{s+r}=a^s\cdot a^r.&lt;/math&gt;}}


Uno de nuestros propósitos principales en nuestro estudio de la teoría de grupos es determinar explícitamente las características de los subgrupos de un grupo dado. Para un grupo cualquiera, esta tarea resulta bastante complicada, y no podremos confrontarla realmente hasta después de haber obtenido una buena cantidad de resultados a cerca de grupos. Sin embargo, cuando el grupo en cuestión es cíclico, esta tarea resulta mucho más sencilla.


&lt;font size=3&gt;'''Teorema 1.22:'''&lt;/font&gt; ''Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.''


{{Proof|1=Sea &lt;math&gt;G=\langle a\rangle&lt;/math&gt; un grupo cíclico. Si &lt;math&gt;H\leq G&lt;/math&gt;, entonces existen dos posibilidades: que &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; sea trivial, en cuyo caso &lt;math&gt;H=\langle 1\rangle&lt;/math&gt;, o que exista un entero positivo mínimo &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;a^n\in H&lt;/math&gt;. En este último caso, claramente &lt;math&gt;\langle a^n\rangle\subseteq H&lt;/math&gt;. Ahora bien, si &lt;math&gt;h\in H&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; es de la forma &lt;math&gt;a^m&lt;/math&gt; pues &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; es un subgrupo de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, y por el algoritmo de la división tenemos que &lt;math&gt;a^m=a^{nq+r}=a^{nq}a^r&lt;/math&gt;, con &lt;math&gt;q,r\in\Z&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;0\leq r&lt;n&lt;/math&gt;, o sea que

{{Eqn|&lt;math&gt;a^r=a^{-nq}a^m\in H,&lt;/math&gt;}}


por lo que sólo puede ser &lt;math&gt;r=0&lt;/math&gt; ya que hemos supuesto que &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; es el menor entero positivo para el cual &lt;math&gt;a^n\in H&lt;/math&gt;, así que todo elemento &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; es de la forma &lt;math&gt;a^{qn}&lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;H\subseteq\langle a^n\rangle&lt;/math&gt;, y así concluimos que &lt;math&gt;H=\langle a^n\rangle&lt;/math&gt;, lo que demuestra el teorema.}}


Como caso particular, tenemos que todo subgrupo del grupo aditivo &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; es cíclico. Para ser exactos, todo subgrupo &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; es de la forma &lt;math&gt;n\Z&lt;/math&gt;, donde, según el teorema anterior, &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; es el menor entero positivo de &lt;math&gt;H&lt;/math&gt;.


Mostraremos ahora que, esencialmente, los únicos grupos cíclicos son el grupo aditivo (infinito) &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; y los grupos aditivos (finitos) de la forma &lt;math&gt;\Z_n&lt;/math&gt;.


&lt;font size=3&gt;'''Teorema 1.23 (Teorema de clasificación de grupos cíclicos):'''&lt;/font&gt; ''Todo grupo cíclico infinito es isomorfo al grupo  &lt;math&gt;(\Z,+)&lt;/math&gt;, y todo grupo cíclico finito de orden &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; es isomorfo al grupo &lt;math&gt;(\Z_n,+)&lt;/math&gt;.''


{{Proof|1=Sea &lt;math&gt;G=\langle a\rangle&lt;/math&gt; un grupo cíclico. La aplicación &lt;math&gt;\Z\longrightarrow G&lt;/math&gt; dada por

{{Eqn|&lt;math&gt;f(n)=a^n&lt;/math&gt;}}


es un epimorfismo de grupos (lo cual puede verificar el lector) por el teorema &lt;&lt;Teorema pendiente&gt;&gt;. Por lo tanto, existen las siguientes dos posibilidades:

# &lt;math&gt;\ker f=0&lt;/math&gt;, en cuyo caso &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es un isomorfismo por el teorema 1.13. 
# &lt;math&gt;\ker f&lt;/math&gt; contiene un menor entero positivo &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, y por el teorema 1.22, &lt;math&gt;\ker f=n\Z&lt;/math&gt;, pues &lt;math&gt;\ker f\leq\Z&lt;/math&gt;. En este caso, podemos definir una aplicación &lt;math&gt;g:\Z_n\longrightarrow G&lt;/math&gt; dada por 

{{Eqn|&lt;math&gt;g\left([n]\right)=a^n.&lt;/math&gt;}}


Esta aplicación está bien definida, pues &lt;math&gt;a^r=a^s&lt;/math&gt; si y sólo si &lt;math&gt;a^{r-s}=1_G&lt;/math&gt; (con &lt;math&gt;1_G&lt;/math&gt; la unidad de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;), es decir, si y sólo si &lt;math&gt;r-s\in\ker f=n\Z&lt;/math&gt;, lo que equivale a que &lt;math&gt;[r]=[s]\in\Z_n&lt;/math&gt; (pues &lt;math&gt;n\mid (r-s)&lt;/math&gt;). Es claro que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; es un epimorfismo de grupos. Pero &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; es además un monomorfismo de grupos, ya que &lt;math&gt;g\left([a]\right)=1_G=a^0&lt;/math&gt; si y sólo si &lt;math&gt;a^k=a^0&lt;/math&gt;, lo que equivale a &lt;math&gt;[a]=[0]&lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;\ker f=[0]&lt;/math&gt;. Esto demuestra que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; es un isomorfismo.}}


Así pues, tenemos que un grupo cíclico es, o isomorfo a &lt;math&gt;(\Z,+)&lt;/math&gt; (en cuyo caso el grupo en cuestión es infinito), o isomorfo a un grupo de la forma &lt;math&gt;(\Z_n,+)&lt;/math&gt; (en cuyo caso el grupo en cuestión es finito y de orden &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), luego hemos clasificado a todos los grupos cíclicos. En términos algebraicos, esto quiere decir que los únicos grupos cíclicos son &lt;math&gt;(\Z,+)&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;(\Z_n,+)&lt;/math&gt;, pues todos los demás grupos cíclicos son isomorfos a ellos, y en realidad no existe ninguna distinción algebraica entre dos grupos isomorfos.</text>
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    <title>Matemáticas/Teoría de grupos/Clases laterales</title>
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==Clases laterales==

Uno de los resultados más destacables de la sección anterior es el hecho de que todo subgrupo de un grupo cíclico es igualmente cíclico. Este resultado fue muy sencillo de demostrar. Sin embargo, la tarea general de determinar explícitamente los subgrupos de un grupo cualquiera resulta mucho más complicada, y no podremos concluirla hasta mucho después. No obstante, es relativamente fácil encontrar la relación que existe entre el orden de un grupo y el orden de sus subgrupos, y a eso nos dedicaremos en esta sección.


Nos serán útiles los conceptos siguientes:


&lt;font size=3&gt;'''Definición 1.24:'''&lt;/font&gt; Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; un subgrupo de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Diremos que dos elementos &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; son '''congruentes por la izquierda''' módulo &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;a^{-1}b\in H&lt;/math&gt;. Este hecho lo representaremos por &lt;math&gt;a\equiv_i\ b\ (\mbox{mod}\ H)&lt;/math&gt;. Similarmente, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; serán '''congruentes por la derecha''' si &lt;math&gt;ab^{-1}\in H&lt;/math&gt;, y lo denotaremos por &lt;math&gt;a\equiv_d\ b\ (\mbox{mod}\ H)&lt;/math&gt;.


Las relaciones de congruencia módulo un subgrupo &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; por la izquierda y por la derecha son relaciones de equivalencia. Probaremos esto para el caso de la relación &lt;math&gt;\equiv_i\ (\mbox{mod}\ H)&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es un grupo y &lt;math&gt;H\leq G&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;a\equiv_i\ a\ (\mbox{mod}\ H)&lt;/math&gt;, pues &lt;math&gt;a^{-1}a=1\in H&lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;\equiv_i\ (\mbox{mod}\ H)&lt;/math&gt; es reflexiva. Si &lt;math&gt;a\equiv_i\ b\ (\mbox{mod}\ H)&lt;/math&gt;, entonces también &lt;math&gt;(a^{-1}b)^{-1}\in H&lt;/math&gt;, pero &lt;math&gt;(a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a&lt;/math&gt;, de modo que &lt;math&gt;b\equiv_i\ a\ (\mbox{mod}\ H)&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\equiv_i\ (\mbox{mod}\ H)&lt;/math&gt; es simétrica. Si &lt;math&gt;a\equiv_i\ b\ (\mbox{mod}\ H)&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b\equiv_i\ c\ (\mbox{mod}\ H)&lt;/math&gt;, entonces también &lt;math&gt;(a^{-1}b)(b^{-1}c)\in H&lt;/math&gt;, y como &lt;math&gt;(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c&lt;/math&gt;, tenemos que &lt;math&gt;a\equiv_i\ c\ (\mbox{mod}\ H)&lt;/math&gt;, y con ello &lt;math&gt;\equiv_i\ (\mbox{mod}\ H)&lt;/math&gt; es transitiva. Esto prueba que la relación de congruencia módulo &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; es una relación de equivalencia.


Tenemos entonces que, si &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es un grupo y &lt;math&gt;H\leq G&lt;/math&gt;, las relaciones de congruencia &lt;math&gt;\equiv_i\ (\mbox{mod}\ H)&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\equiv_d\ (\mbox{mod}\ H)&lt;/math&gt; definen cada cual una partición del grupo &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; en clases de equivalencia. La clase de equivalencia de un elemento &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; por la relación de congruencia módulo &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; por la izquierda es el conjunto

{{Eqn|&lt;math&gt;aH=\{ah\mid h\in H\}.&lt;/math&gt;}}


Efectivamente, pues si &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; es uno de los elementos de la clase de equivalencia de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; por esta relación de congruencia, &lt;math&gt;a\equiv_i\ b\ (\mbox{mod}\ H)&lt;/math&gt;, es decir, &lt;math&gt;a^{-1}b=h&lt;/math&gt; para cierto &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;H&lt;/math&gt;, lo que equivale a que &lt;math&gt;b=ah&lt;/math&gt;. Similarmente se prueba que la clase de equivalencia de un elemento &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; por la relació de congruencia módulo &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; por la derecha es el conjunto

{{Eqn|&lt;math&gt;Ha=\{ha\mid h\in H\}&lt;/math&gt;.}}


Llamaremos clase '''lateral izquierda''' de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y '''clase lateral derecha''' de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; según el subgrupo &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; a los conjuntos &lt;math&gt;aH&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;Ha&lt;/math&gt;, respectivamente. Al conjunto cociente de todas las clases laterales &lt;math&gt;aH&lt;/math&gt; (con &lt;math&gt;a\in G&lt;/math&gt;) lo representaremos por &lt;math&gt;\left(G/H\right)_i&lt;/math&gt;, mientras que al conjunto cociente de todas las clases laterales &lt;math&gt;Ha&lt;/math&gt; lo representaremos por &lt;math&gt;\left(G/H\right)_d&lt;/math&gt;

Tanto &lt;math&gt;aH&lt;/math&gt; como &lt;math&gt;Ha&lt;/math&gt; tienen cardinal igual a &lt;math&gt;|H|&lt;/math&gt;, pues, por ejemplo, la aplicación 

{{Eqn|&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
f:aH &amp; \longrightarrow &amp; H\\
ah &amp; \mapsto &amp; h
\end{array}&lt;/math&gt;}}


es claramente biyectiva, luego &lt;math&gt;|aH|=|H|&lt;/math&gt;. Más aún, también es cierto que

{{Eqn|&lt;math&gt;\left|(G/H)_i\right|=\left|(G/H)_d\right|,&lt;/math&gt;}}


La prueba de esto es que la aplicación &lt;math&gt;f:(G/H)_i\longrightarrow (G/H)_d&lt;/math&gt; dada por 

{{Eqn|&lt;math&gt;f(aH)=Ha^{-1}&lt;/math&gt;}}


está bien definida (hecho que puede verificar el lector) y es biyectiva.


&lt;font size=3&gt;'''Definición 1.25:'''&lt;/font&gt; Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; un subgrupo de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Llamaremos '''índice''' de &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; al cardinal &lt;math&gt;\left|(G/H)_i\right|=\left|(G/H)_d\right|&lt;/math&gt;. Lo representaremos por

{{Eqn|&lt;math&gt;[G:H]\,\!&lt;/math&gt;}}


Por todo lo anterior, tenemos que se cumple el siguiente hecho


&lt;font size=3&gt;'''Teorema 1.26 (Lagrange):'''&lt;/font&gt; ''Si &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es un grupo finito y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; es un subgrupo de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, entonces''

{{Eqn|&lt;math&gt;[G:H]=|G|/|H|\,\!&lt;/math&gt;,}}

''así que el orden de todo subgrupo &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es divisor del orden de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.''


{{Proof|1=Efectivamente, pues hemos visto que todas las clases laterales &lt;math&gt;aH&lt;/math&gt; tienen el mismo cardinal &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; (que es también el cardinal de cualquier clase &lt;math&gt;Ha&lt;/math&gt;), y si hay &lt;math&gt;n=[G:H]&lt;/math&gt; de estas clases, entonces el orden de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;nm&lt;/math&gt;.}}


En realidad el teorema anterior puede generalizarse para grupos no necesariamente finitos:


&lt;font size=3&gt;'''Teorema 1.27:'''&lt;/font&gt; ''Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo y &lt;math&gt;K\leq H\leq G&lt;/math&gt;. Entonces'' 

{{Eqn|&lt;math&gt;~[G:K]=[G:H][H:K]&lt;/math&gt;}}


{{Proof|1=Tenemos que 

{{Eqn|&lt;math&gt;G=\bigcup_{i\in I}g_iH\qquad\mbox{y}\qquad H=\bigcup_{j\in J}h_jK,&lt;/math&gt;}}

donde &lt;math&gt;g_i\in G&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;h_j\in H&lt;/math&gt; y las clases laterales &lt;math&gt;g_iH\,\!&lt;/math&gt; son disjuntas entre sí, al igual que lo son las clases &lt;math&gt;h_jK\,\!&lt;/math&gt;. Además, nótese que &lt;math&gt;|I|=[G:H]\,\!&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;|J|=[H:K]\,\!&lt;/math&gt;. Tenemos pues que

{{Eqn|&lt;math&gt;G=\bigcup_{i\in I}g_i\left(\bigcup_{j\in J}h_jK\right)=\bigcup_{(i,j)\in I\times J}g_ih_jK.&lt;/math&gt;|1.3}}


Vamos a probar ahora que las clases laterales &lt;math&gt;g_ih_jK&lt;/math&gt; son disjuntas, es decir, que &lt;math&gt;g_ih_jK=g_rh_sK&lt;/math&gt; si y sólo si &lt;math&gt;i=r&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;j=s&lt;/math&gt;. Supóngase pues que &lt;math&gt;g_ih_jK=g_rh_sK&lt;/math&gt;, de modo que 

{{Eqn|&lt;math&gt;~g_ih_j=g_rh_sk&lt;/math&gt;}} 


para cierto &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;. Ya que &lt;math&gt;h_j,h_s,k\in H&lt;/math&gt;, tenemos que 

{{Eqn|&lt;math&gt;~g_i=g_rh_t&lt;/math&gt;}} 


para cierto &lt;math&gt;h_t=h_skh_j^{-1}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;H&lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;g_iH=g_rH&lt;/math&gt;, y entonces &lt;math&gt;i=r&lt;/math&gt;. Esto da paso a que sea

{{Eqn|&lt;math&gt;~h_j=h_sk,&lt;/math&gt;}}


lo cual lleva claramente al hecho de que &lt;math&gt;h_jK=h_sK,&lt;/math&gt;, luego también &lt;math&gt;j=s&lt;/math&gt; y así la unión {{Eqnref|1.3}} es de clases mutuamente disjuntas, lo que implica que 

{{Eqn|&lt;math&gt;~[G:K]=|I\times J|=|I||J|=[G:H][H:K]&lt;/math&gt;}}


y el teorema queda demostrado.}}


Ahora el teorema 1.26 se convierte en un caso particular del teorema 1.27 cuando &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es finito y tomando &lt;math&gt;K=1&lt;/math&gt;.


Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo y &lt;math&gt;H,K\subseteq G&lt;/math&gt;. Se define

{{Eqn|&lt;math&gt;HK=\{ab\mid a\in H\ \ \mbox{y}\ \ b\in K\}.&lt;/math&gt;}}


(Este conjunto puede no ser un grupo aún cuando &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; lo sean). Si, por ejemplo, &lt;math&gt;H=\{a\}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;K\leq G&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;HK&lt;/math&gt; es la clase lateral izquierda de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; según el subgrupo &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;H\leq G&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;K\subseteq H&lt;/math&gt;, notar que &lt;math&gt;HK=H&lt;/math&gt;.


&lt;font size=3&gt;'''Teorema 1.28'''&lt;/font&gt; ''Si &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; son subgrupos finitos de un grupo &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, entonces'' 

{{Eqn|&lt;math&gt;|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}.&lt;/math&gt;}}


{{Proof|1=Si &lt;math&gt;H,K\leq G&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;H\cap K&lt;/math&gt; es también un subgrupo de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, aunque también lo es de ambos &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt;, así que 

{{Eqn|&lt;math&gt;H=\bigcup_{i\in I}h_i(H\cap K),&lt;/math&gt;|1.4}}

siendo esta unión disjunta y &lt;math&gt;|I|=[H:H\cap K]&lt;/math&gt;. Si multiplicamos {{Eqnref|1.4}} por &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; y teniendo en cuenta que &lt;math&gt;(H\cap K)K=K&lt;/math&gt;, obtenemos

{{Eqn|&lt;math&gt;HK=\bigcup_{i\in I}h_iK,&lt;/math&gt;}}


siendo esta unión igualmente disjunta (pues si no lo fuera tampoco lo sería {{Eqnref|1.4}}). Por tanto, &lt;math&gt;|HK|=|I||K|=[H:H\cap K]|K|&lt;/math&gt;, pero por el teorema de Lagrange &lt;math&gt;[H:H\cap K]=|H|/|H\cap K|&lt;/math&gt;, de donde se sigue el resultado que se buscaba.}}</text>
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    <title>Matemáticas/Teoría de grupos/Subgrupos normales</title>
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      <timestamp>2026-07-26T16:17:00Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
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      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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      <text bytes="9743" sha1="ecjsn88a24zzvswdi07aw9ozaghu2n9" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
==Subgrupos normales==


Si &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es un grupo y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; es un subgrupo de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, no es cierto en general que &lt;math&gt;aH=Ha&lt;/math&gt;, aunque claramente esto sí sucede cuando &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es abeliano. En realidad existen subgrupos de un grupo &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; que cumplen esto mismo sin necesidad de que &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; sea abeliano. En esta sección vamos a caracterizar tales subgrupos.


&lt;font size=3&gt;'''Definición 1.29:'''&lt;/font&gt; Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo y &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; un subgrupo de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Se dice que &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; es '''normal''' en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; si 

{{Eqn|&lt;math&gt;~aN=Na&lt;/math&gt;}}


para todo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Este hecho lo representaremos por &lt;math&gt;N\trianglelefteq G&lt;/math&gt;.


Equivalentemente tenemos que &lt;math&gt;N\trianglelefteq G&lt;/math&gt; si y sólo si

{{Eqn|&lt;math&gt;~aNa^{-1}=N.&lt;/math&gt;}}


Tenemos pues que si &lt;math&gt;N\trianglelefteq G&lt;/math&gt;, entonces las relaciones de congruencia izquierda y derecha módulo &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; coinciden, luego cualquiera de ellas da lugar al mismo conjunto cociente &lt;math&gt;(G/N)&lt;/math&gt;. Vamos a probar ahora que este conjunto cociente puede ser dotado de una estructura de grupo.


&lt;font size=3&gt;'''Teorema 1.30:'''&lt;/font&gt; ''Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo y &lt;math&gt;N\trianglelefteq G&lt;/math&gt;. Entonces &lt;math&gt;(G/N)&lt;/math&gt; es un grupo, llamado '''grupo cociente''' de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; por &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, con la operación de grupo dada por''


{{Eqn|&lt;math&gt;~aNbN=abN.&lt;/math&gt;}}


{{Proof|1=Para comenzar, debemos probar que la operación en &lt;math&gt;(G/N)&lt;/math&gt; dada por &lt;math&gt;aNbN=abN&lt;/math&gt; tiene  sentido, es decir, que si &lt;math&gt;a'\in aN&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b'\in N&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;abN=a'b'N&lt;/math&gt;. Esto es así, pues

{{Eqn|&lt;math&gt;(ab)^{-1}a'b'=b^{-1}a^{-1}a'b'=b^{-1}a^{-1}a'(bb^{-1})b'=b^{-1}(a^{-1}a')b(b^{-1}b')&lt;/math&gt;}}


con &lt;math&gt;a^{-1}a=n_1\in N&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b^{-1}b\in N&lt;/math&gt; (pues &lt;math&gt;a'\in aN&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b'\in bN&lt;/math&gt;), así es que &lt;math&gt;(ab)^{-1}a'b'=b^{-1}n_1bn_2&lt;/math&gt;, pero como &lt;math&gt;N\trianglelefteq G&lt;/math&gt;, también &lt;math&gt;b^{-1}n_1b=n_3\in N&lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;(ab)^{-1}a'b'=n_3n_2\in N&lt;/math&gt;, y entonces &lt;math&gt;ab\equiv a'b'\ (\mbox{mod}\ N)&lt;/math&gt;, lo que prueba que &lt;math&gt;abN=a'b'N&lt;/math&gt;. Hemos probado que la operación definida en &lt;math&gt;(G/N)&lt;/math&gt; tiene sentido. Esta operación es asociativa. La identidad de &lt;math&gt;(G/N)&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, y el inverso de todo &lt;math&gt;aN&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;(G/N)&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;a^{-1}N&lt;/math&gt;. Con esto queda probado que &lt;math&gt;(G/N)&lt;/math&gt; es un grupo.}}


Si &lt;math&gt;f:G\longrightarrow H&lt;/math&gt; es un homomorfismo de grupos, entonces &lt;math&gt;\ker f\trianglelefteq G&lt;/math&gt;. En efecto, pues si &lt;math&gt;n\in\ker f&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;a\in G&lt;/math&gt;, entonces

{{Eqn|&lt;math&gt;f(ana^{-1})=f(a)f(n)f(a^{-1})=f(a)1_Hf(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(1_G)=1_H,\,\!&lt;/math&gt;}}


luego &lt;math&gt;ana^{-1}\in\ker f&lt;/math&gt;, así que &lt;math&gt;a(\ker f)a^{-1}\subseteq\ker f&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, luego podemos cambiar &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; por &lt;math&gt;a^{-1}&lt;/math&gt; y así tener que &lt;math&gt;a^{-1}(\ker f)a\subseteq \ker f&lt;/math&gt;, luego para todo &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\ker f&lt;/math&gt; se tiene 

{{Eqn|&lt;math&gt;~n=a(a^{-1}na)a^{-1}\in a(\ker f)a^{-1},&lt;/math&gt;}}


lo que demuestra que &lt;math&gt;~a(\ker f)a^{-1}=\ker f&lt;/math&gt;, completando la prueba de que &lt;math&gt;\ker f\trianglelefteq G&lt;/math&gt;.


&lt;font size=3&gt;'''Teorema 1.31:'''&lt;/font&gt; ''El núcleo de todo homomorfismo de grupos &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es un subgrupo normal del dominio de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Recíprocamente, todo subgrupo normal de un grupo &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es el núcleo de cierto homomorfismo cuyo dominio es &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.''


{{Proof|1=La primera parte del teorema ya ha sido probada. Si &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; es un subgrupo normal de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, la aplicación

{{Eqn|&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\varphi:G  &amp; \longrightarrow &amp; (G/N)\\
a &amp; \mapsto &amp; aN
\end{array}&lt;/math&gt;}}


es claramente un epimorfismo, y es llamado '''proyección canónica'''. Puesto que &lt;math&gt;a\in N&lt;/math&gt; si y sólo si &lt;math&gt;aN=N\,\!&lt;/math&gt;, i.e. si y sólo si &lt;math&gt;a\in\ker\varphi&lt;/math&gt;, tenemos que &lt;math&gt;N=\ker\varphi\,\!&lt;/math&gt;.}}


Sea &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un grupo y &lt;math&gt;S\subseteq G&lt;/math&gt;, y defínanse los conjuntos

{{Eqn|&lt;math&gt;aS=\{as\mid s\in S\}\qquad\mbox{y}\qquad Sa=\{sa\mid s\in S\}.&lt;/math&gt;}}


Llamaremos '''normalizador''' de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; al conjunto 

{{Eqn|&lt;math&gt;N_s=\{a\in G\mid aS=Sa\}&lt;/math&gt;}}


Este conjunto es en realidad un grupo, pues es fácil ver que si &lt;math&gt;a,b\in N_s&lt;/math&gt; (i.e. si &lt;math&gt;aS=Sa&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;bS=Sb&lt;/math&gt;) entonces también &lt;math&gt;ab\in N_s&lt;/math&gt;, y que además &lt;math&gt;1\in N_s&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;a^{-1}\in N_s&lt;/math&gt;. 

Si &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; es un subgrupo de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, entonces claramente &lt;math&gt;H\trianglelefteq N_H&lt;/math&gt;. Más aún, &lt;math&gt;N_H&lt;/math&gt; es el mayor subgrupo de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; en el cual &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; es normal. En otras palabras, 

{{Eqn|&lt;math&gt;H\leq K\leq G\ \ \mbox{y}\ \ H\trianglelefteq K\qquad\mbox{implica}\qquad K\subseteq N_H.&lt;/math&gt;}}


Ahora bien, podemos definir un conjunto cuyas exigencias sean aún más fuertes que las que definen a un grupo normalizador. Para ser precisos, si &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es un grupo podemos definir un subgrupo cuyos elementos sean aquellos que conmuten con todos los elementos de un subconjunto &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. A este conjunto se le llama '''centralizador''' de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, y lo denotaremos por &lt;math&gt;C_S&lt;/math&gt;. Así pues,

{{Eqn|&lt;math&gt;C_S=\{a\in G\mid as=sa\ \ \mbox{para todo}\ \ s\in S\}.&lt;/math&gt;}}


Notar que 

# &lt;math&gt;C_H\subseteq N_H&lt;/math&gt;;
# &lt;math&gt;C_G=G\,\!&lt;/math&gt; equivale a decir que &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es abeliano.


Ahora vamos a enunciar un teorema que tiene consecuencias importantes.


&lt;font size=3&gt;'''Teorema 1.32 (Teorema fundamental de homomorfismos):'''&lt;/font&gt; ''Sea &lt;math&gt;f:G\longrightarrow H&lt;/math&gt; un homomorfismo de grupos y &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; un subgrupo normal de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;N\subseteq\ker f&lt;/math&gt;. Entonces existe un único homomorfismo &lt;math&gt;\bar f:(G/N)\longrightarrow H&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;\bar f\circ\varphi=f&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;\varphi:G\longrightarrow (G/N)&lt;/math&gt; es la proyección canónica. Además:

:(1) &lt;math&gt;\bar f&lt;/math&gt; es un epimorfismo si y sólo si &lt;math&gt;f\,\!&lt;/math&gt; lo es;
:(2) &lt;math&gt;\ker\bar f=(\ker f)/N&lt;/math&gt;
:(3) &lt;math&gt;\bar f&lt;/math&gt; es un monomorfismo si y sólo si &lt;math&gt;\ker f=N\,\!&lt;/math&gt;


{{Proof|1=Vamos a demostrar que el homomorfismo &lt;math&gt;\bar f:(G/N)\longrightarrow H&lt;/math&gt; es la aplicación dada por

{{Eqn|&lt;math&gt;\bar f(aN)=f(a).&lt;/math&gt;}}


Primeramente observamos que esta aplicación está bien definida, pues si &lt;math&gt;bN=aN\,\!&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;a^{-1}b\in N&lt;/math&gt;, y como &lt;math&gt;N\subseteq\ker f&lt;/math&gt;, también &lt;math&gt;a^{-1}b\in\ker f&lt;/math&gt;, luego  &lt;math&gt;f(a)=f(b)&lt;/math&gt;. Es fácil ver que &lt;math&gt;\bar f&lt;/math&gt; es un homomorfismo, y puesto que está completamente determinada por &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, es el único homomorfismo que cumple &lt;math&gt;\bar f\circ\varphi=f&lt;/math&gt;. (1) es evidente. (2) &lt;math&gt;\ker\bar f=\{aN\mid f(a)=1_H\}=\{aN\mid a\in\ker f\}=(\ker f)/N&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\bar f&lt;/math&gt; es un monomorfismo si y sólo si &lt;math&gt;\ker\bar f=(\ker f)/N&lt;/math&gt; es el subgrupo trivial de &lt;math&gt;(G/N)&lt;/math&gt;, es decir, si y sólo si &lt;math&gt;\ker f=N&lt;/math&gt;.}}

El teorema fundamental de homomorfismos puede enunciarse también de esta manera: si &lt;math&gt;f:G\longrightarrow H&lt;/math&gt; es un homomorfismo de grupos y &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; un subgrupo normal de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;N\in\ker f&lt;/math&gt;, entonces existe un único homomorfismo &lt;math&gt;\bar f:(G/N)\longrightarrow H&lt;/math&gt; que da lugar al diagrama conmutativo siguiente:

&lt;center&gt;[[Imagen:Teo_Fund_Homo_Diag.svg|135px]]&lt;/center&gt;


&lt;font size=3&gt;'''Teorema 1.33 (Primer teorema de isomorfía):'''&lt;/font&gt; ''Si &lt;math&gt;f:G\longrightarrow H&lt;/math&gt; es un homomorfismo de grupos, entonces &lt;math&gt;(G/\ker f)\cong\mbox{Im}\ f&lt;/math&gt;.''


{{Proof|1=El teorema anterior nos da un homomorfismo &lt;math&gt;\bar f&lt;/math&gt; entre &lt;math&gt;(G/\ker f)&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt;, que se convierte en epimorfismo si en lugar de &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; tomamos simplemente &lt;math&gt;\mbox{Im} f\subseteq H&lt;/math&gt;, pero por (3) del teorema anterior &lt;math&gt;\bar f&lt;/math&gt; es también un monomorfismo, luego termina siendo un isomorfismo.}}


&lt;font size=3&gt;'''Teorema 1.34 (Segundo teorema de isomorfía):'''&lt;/font&gt; ''Si &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; es un subgrupo normal de un grupo &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; es un subgrupo cualquiera de &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;H\cap N&lt;/math&gt; es normal en &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;H/H\cap N\cong (NH/N)&lt;/math&gt;.''


{{Proof|1=La aplicación 

&lt;center&gt;&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
f:H &amp; \longrightarrow &amp; (NH/N)\\
h &amp; \mapsto &amp; Nh
\end{array}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


es un epimorfismo, y como &lt;math&gt;\ker f=\{h\in H\mid Nh=N\}=\{h\in H\mid h\in N\}=H\cap N&lt;/math&gt;, el primer teorema de isomorfía nos da un isomorfismo &lt;math&gt;\bar f:H/H\cap N\longrightarrow (NH/N)&lt;/math&gt;.}}


&lt;font size=3&gt;'''Teorema 1.34 (Tercer teorema de isomorfía):'''&lt;/font&gt; ''Si &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; son dos subgrupos normales en un grupo &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, con &lt;math&gt;N\leq H&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;(G/H)\cong (G/N)/(H/N)&lt;/math&gt;.''


{{Proof|1=Sea &lt;math&gt;\varphi: G\longrightarrow (G/H)&lt;/math&gt; la proyección canónica. Tal aplicación es un epimorfismo de grupos, y por el teorema 1.31, &lt;math&gt;\ker\varphi=H&lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;N\leq\ker\varphi&lt;/math&gt;, así es que, de acuerdo con el teorema 1.32, existe un epimorfismo &lt;math&gt;\bar\varphi:(G/N)\longrightarrow (G/H)&lt;/math&gt;, pero &lt;math&gt;aN\in\ker\bar\varphi&lt;/math&gt; si y sólo si &lt;math&gt;aN=H\,\!&lt;/math&gt;, lo cual sucede si y sólo si &lt;math&gt;a\in H&lt;/math&gt;, luego &lt;math&gt;\ker\bar\varphi=(H/N)&lt;/math&gt;, así es que, por el primer teorema de isomorfía, existe un isomorfismo entre &lt;math&gt;(G/N)/(H/N)&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;(G/H)&lt;/math&gt;.}}</text>
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|nombre       = Matemáticas
|subtítulo    = El libro completo de las Matemáticas en Wikilibros

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    <title>Matemáticas/Aritmética/Introducción a las operaciones básicas</title>
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En el campo de la '''aritmética''', cada número tiene un valor definido, así 30 siempre va a valer treinta, el símbolo del valor absoluto de un número se representa así:

&lt;math&gt;|n|&lt;/math&gt; siendo n cualquier número entero, negativo o positivo

cabe resaltar que el valor de un número, esté precedido por el signo más o el signo menos, siempre será el mismo: 

&lt;math&gt;|3|=|-3|=3&lt;/math&gt; 

de esto se deduce que:

&lt;math&gt;|\pm \ n| = n&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|-36|-|-11|-|11| 
= 36-11-11=14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|-36+11|-|-11|-|11|&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 36-11-11-11=3&lt;/math&gt;

esto es porque el valor absoluto indica la distancia que hay en la recta numérica entre cualquier número y 0, y sea el número positivo o negativo, la distancia es la misma.

Como ya vimos en la clasificación de las cantidades, los Números Racionales, que serán estudiados a profundidad en este capítulo, se clasifican en ENTEROS y FRACCIONARIOS. Un número entero es, por ejemplo, 2, mientras que 0,5 ó 1⁄2 es un número fraccionario, que se puede escribir de esas dos maneras.

== Números Enteros ==

Son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los opuestos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Sus operaciones básicas son, como en los otros tipos de números, suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, esta última operación se puede aplicar a un pequeño grupo de números enteros, a los cuadrados perfectos, cubos perfectos, etc.

Para sumar o restar dos números hay que tener en cuenta los signos de los mismos: para sumar dos números de iguales signos, se suman sus valores absolutos y se deja el signo que tienen; para sumar dos números con signos diferentes, se resta el valor absoluto del menor del valor absoluto del mayor y se deja el signo del mayor número.

Por ejemplo: -5-3=-8; 5+3=8; 5-3=2; -5+3=-2

La multiplicación es una suma abreviada, así 3+3+3+3+3 se puede escribir y efectuar como 3x5=15.

La división consiste en buscar un número que multiplicado por el divisor, dé como resultado el dividendo, este número buscado se llama cociente, muchas veces la división no es exacta y se obtiene un residuo. Las divisiones se pueden reprentar de las siguientes maneras:

8/2=8÷2=4, porque 4x2=8, de la misma forma: 26/13=26÷13=2, porque 2x13=26.

La potenciación es una multiplicación abreviada, consiste en dos elementos: la base, que es el factor que va a multiplicarse por sí mismo, y el exponente, que indica cuántas veces se va a multiplicar la base por sí misma: 3x3x3x3=3^4=81 

La radicación, como se dijo anteriormente, es una operación que sólo puede ser aplicada a ciertos números racioneles para que el resultado siga siendo racional: si se va a aplicar raíz cuadrada, el número debe ser un cuadrado perfecto; si se va a aplicar una raíz cúbica, el número debe ser un cubo perfecto... Más adelante se explicará como se simplifican los números irracionales.

El resultado de una radicación es un número que al ser elevado al índice de la raíz, da como resultado la cantidad subradical.

√4=2; ∛27=3, cuando el índice de la raíz es 2, suele omitirse.</text>
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      <text bytes="11310" sha1="lpu20fjk2q5l0caa7wgg9s1c9mbqz2h" xml:space="preserve">== Bibliografía ==
* título: Actividades para unidad didáctica sobre trigonometría [Recurso electrónico] (2008)
: Autor: Cortés Espinosa de los Monteros, Nuria
: editor: Ediciones Didacticas y Pedagogicas S. L.
: id: ISBN 978-84-9363-363-9

* título: Trigonometría plana: tu material didáctico [Recurso electrónico] (2008)
: Autor: Merlini Navarro, Irene
: editor: Vision Libros
: id: ISBN 978-84-9821-279-2

* título: Trigonometría y números complejos, 1 Bachillerato. Cuaderno 2 [Monografía] (2007)
: Autor: Colera Jiménez, José; García Pérez, Rosario; Oliveira González, María José
: editor: Anaya
: id: ISBN 978-84-6671-368-9

* título: Trigonometría, 4 ESO, opción B. Cuadernillo de ejercicios [Recurso electrónico] (2007)
: Autor: Acosta Gavilán, Eva María; Pino Mejías, Miguel Francisco
: editor: Tutorial Formación, S. L. L.
: id: ISBN 978-84-9684-421-6

* título: Matemáticas, semejanza y trigonometría, 4 ESO. Cuaderno 4 [Monografía] (2007)
: Autor: Bellón Fernández, Manuel; Alcaide Guindo, Fernando; González Fernández, José Luis (1979- )
: editor: Ediciones SM
: id: ISBN 978-84-6751-550-3

* título: Matemáticas, triángulos y trigonometría, ESO. Cuaderno de ejercicios y problemas 9 [Monografía] (2006)
: Autor: Pérez Olano, Javier; Quiralte Fuentes, Vidal
: editor: Editorial Luis Vives (Edelvives)
: id: ISBN 978-84-2636-067-0

* título: Matemáticas prácticas [Monografía] (2006) [Obra Completa]
: Autor: Palmer, Claude Irving
: editor: Editorial Reverté, S. A. [Parte de obra completa: T. 4]
: id: ISBN 978-84-2915-112-1

* título: Trigonometría (1969) [Parte de obra completa: T. 4]
: Autor:
: editor: Editorial Reverté, S. A.
: id: ISBN 978-84-2915-104-6

* título: Proyecto Aureo, trigonometría II, ESO. Cuadernos de matemáticas 24 [Monografía] (2005)
: Autor: Nieto Conde, Félix Eugenio
: editor: Hergué Editora Andaluza
: id: ISBN 978-84-9531-993-7

* título: Proyecto Aureo, trigonometría I, ESO. Cuadernos de matemáticas 23 [Monografía] (2005)
: Autor: Nieto Conde, Félix Eugenio
: editor: Hergué Editora Andaluza
: id: ISBN 978-84-9531-992-0

* título: Trigonometría esférica: teoría y problemas resueltos [Monografía] (2004)
: Autor: Iglesias Martín, María Asunción
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: id: ISBN 978-84-8373-640-1

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: Autor: Berrocoso Domínguez, Manuel
: editor: Universidad de Cádiz. Servicio de Publicaciones
: id: ISBN 978-84-7786-651-0

* título: Matemáticas, semejanza y trigonometría, 4 ESO. Cuaderno 4 [Monografía] (2004)
: Autor: Bellón Fernández, Manuel
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: id: ISBN 978-84-3489-703-8

* título: Compendio de problemas de matemáticas, aritmética, álgebra, trigonometría y geometría, Bachillerato [Monografía] (2004)
: Autor: Torrecilla de Amo, Diego; Molina Mendoza, Juan de Dios
: editor: Grupo Editorial Universitario (Granada)
: id: ISBN 978-84-8491-336-8

* título: Trigonometría esférica: fundamentos [Monografía] (2003)
: Autor: Barrero Ripoll, Manuel; Castejón Solanas, María de los Ángeles; Sebastián Lorente, Luis
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* título: Matemáticas, trigonometría, ESO. Cuaderno 26 [Monografía] (2003)
: Autor: Ríos Santos, Agustín; Martínez Medina, César
: editor: Editorial Ecir, S. A.
: id: ISBN 978-84-7065-859-4

* título: Teoría básica para Bachillerato: trigonometría, álgebra, geometría en el plano y espacio [Monografía] (2002)
: Autor: Negrillo Díaz, M. Flor
: editor: Instituto Enseñanza Secundaria Pablo Ruiz Picasso
: id: ISBN 978-84-6009-814-0

* título: Matemáticas, ESO. Cuaderno 16. Trigonometría [Monografía] (2001)
: Autor:
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: id: ISBN 978-84-2365-702-5

* título: Matemáticas: determinantes, trigonometría, números complejos, geometría del plano y del espacio y análisis de funciones [Monografía] (2001)
: Autor: Ayllón Cesteros, Ana
: editor: Anaya
: id: ISBN 978-84-6670-082-5

* título: Álgebra y trigonometría [Monografía] (2000)
: Autor: Bruño, G. M.
: editor: Universidad de Léon. Secretariado de Publicaciones y Medios Audiovisuales
: id: ISBN 978-84-7719-860-4

* título: Tratado elemental de trigonometría [Monografía] (2000)
: Autor: Aguayo y Millán, Miguel
: editor: Universidad de Léon. Secretariado de Publicaciones y Medios Audiovisuales
: id: ISBN 978-84-7719-858-1

* título: Nociones de trigonometría [Monografía] (2000)
: Autor: Suárez Somonte, Ignacio
: editor: Universidad de Léon. Secretariado de Publicaciones y Medios Audiovisuales
: id: ISBN 978-84-7719-852-9

* título: Nociones de álgebra y trigonometría [Monografía] (2000)
: Autor: Jiménez Osuna, José Miguel
: editor: Universidad de Léon. Secretariado de Publicaciones y Medios Audiovisuales
: id: ISBN 978-84-7719-838-3

* título: Trigonometría [Monografía] (2000)
: Autor: Font Moll, Vicenç; Fargas Tatjé, Montserrat
: editor: Almadraba Editorial
: id: ISBN 978-84-8308-209-6

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: Autor: Esteban Piñeiro, M. ; Ibañes Jalón, Marcelino; Ortega, Tomás (1949- )
: editor: Editorial Síntesis, S. A.
: id: ISBN 978-84-7738-470-0

* título: Trigonometría I: cuaderno de ejercicios resueltos y propuestos para el alumno (1998)
: Autor: Sánchez Carrasco, Juan Jesús
: editor: Sánchez Carrasco, Juan Jesús
: id: ISBN 978-84-6057-967-0

* título: Matemáticas 2, 1 Bachillerato: ampliación de trigonometría, geometría analítica en el plano (1997)
: Autor: Faixes Farrús, Alfonso; Rodá Quintana, Jorge; Sans, Jaime
: editor: Iol Ediciones, S. L.
: id: ISBN 978-84-8965-852-3

* título: Curso de trigonometría esférica (1997)
: Autor: Nieto Vales, Juan Manuel
: editor: Universidad de Cádiz. Servicio de Publicaciones
: id: ISBN 978-84-7786-392-2

* título: Tratado de trigonometría 2: problemas resueltos (1997)
: Autor: Díez Díez, Pedro
: editor: Celarayn Editorial, S. L.
: id: ISBN 978-84-8971-630-8

* título: Trigonometría (1997)
: Autor: Cubelos Enríquez, Elvira; Hijano López, Juan Antonio
: editor: Hijano López, Juan Antonio
: id: ISBN 978-84-9221-060-2

* título: Elementos de trigonometría esférica [Monografía] (1996)
: Autor: Vila Mitjà, Antoni
: editor: Ediciones UPC, S. L.
: id: ISBN 978-84-8963-690-3

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: Autor: Abbott, P.
: editor: Ediciones Pirámide, S. A.
: id: ISBN 978-84-3680-426-3

* título: Trigonometría (1994)
: Autor: Plaza Tremado, Concepción; Muñoz Moreno, María Vicenta; Muñoz Jiménez, María Teresa
: editor: Instituto de Educación Secundaria &quot;Comendador Juan de Távora&quot;
: id: ISBN 978-84-8085-026-1

* título: Álgebra lineal: geometría y trigonometría (1994)
: Autor: Benítez López, Julio; Felipe Román, María José
: editor: Universidad Politécnica de Valencia. Servicio de Publicaciones
: id: ISBN 978-84-7721-283-6

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: Autor: Formals, Pura.
: editor: S. A. de Promoción y Ediciones
: id: ISBN 978-84-7758-908-2

* título: Trigonometría esférica y astronomía (1992)
: Autor: Mateo López, Luis J. (1932- )
: editor: Mateo López, Luis Juan
: id: ISBN 978-84-6043-877-9

* título: Trigonometría clásica (1992)
: Autor: Cordero Guerrero, Santiago
: editor: G. E. A. Bergidum Flavium
: id: ISBN 978-84-8692-118-7

* título: Problemas de trigonometría (1992)
: Autor: Bobillo Fresco, José Alberto.
: editor: Bobillo Fresco, José Alberto
: id: ISBN 978-84-6042-138-2

* título: Elementos de trigonometría (1991)
: Autor: Molina Pérez, M. Rosa; Coleto Martínez, José Miguel
: editor: Universidad de Extremadura. Servicio de Publicaciones
: id: ISBN 978-84-7723-088-5

* título: Problemas de trigonometría aplicados a la navegación (1989)
: Autor: Miguel, Pedro de (1956-2007)
: editor: País Vasco. Servicio Central de Publicaciones
: id: ISBN 978-84-7542-699-0

* título: Trigonometría razonada en las profesiones para aprender por si solo [Monografía] (1989)
: Autor: Toral San Juan, Antonio
: editor: Toral San Juan, Antonio
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* título: Fundamentos de trigonometría [Monografía] (1988)
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* título: Trigonometría. Que fácil [Monografía] (1988)
: Autor: Pijuan Voltas, Alberto
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* título: Matemáticas: geometría y trigonometría [Monografía] (1987)
: Autor: Rosa del Barrio, Antonio de la
: editor: Ingelek, S. A.
: id: ISBN 978-84-7708-096-1

* título: Trigonometría. Qué fácil [Monografía] (1987)
: Autor: Pijuan Voltas, Alberto
: editor: Pijuan Voltas, Alberto
: id: ISBN 978-84-4041-164-8

* título: Mil problemas de aritmética, álgebra, geometría, trigonometría (1985)
: Autor: Antonov, N.
: editor: Paraninfo Cengage Learning
: id: ISBN 978-84-2830-866-3

* título: Trigonometría activa: 2 BUP (1985)
: Autor: Domínguez Muro, Mariano
: editor: Universidad de Salamanca. Ediciones Universidad Salamanca
: id: ISBN 978-84-7800-056-2

* título: Apuntes de matemáticas. Tomo 1. Trigonometría y complejos (1984)
: Autor: Tarapiella Pérez, Eduardo
: editor: AUTOR-EDITOR 16
: id: ISBN 978-84-3982-449-7

* título: Curso de álgebra y trigonometría. (Fascículos) [Monografía] (1975)
: Autor:
: editor: Centro Técnico Profesional
: id: ISBN 978-84-4008-765-2

* título: Curso de álgebra y trigonometría [Monografía] (1975)
: Autor:
: editor: Centro Técnico Profesional
: id: ISBN 978-84-4008-764-5

* título: Geometría y Trigonometría. (Escuelas Ingeniería Técnica) (1974)
: Autor: Thomas Ara, Luis
: editor: AUTOR-EDITOR 15
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* título: Trigonometría y álgebra (1973)
: Autor: Rodríguez Vidal, Rafael
: editor: Editorial Teide, S. A.
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* título: Ejercicios y problemas de trigonometría rectilínea y esférica (1971)
: Autor: García Ardura, Manuel
: editor: Librería y Casa Editorial Hernando, S. A.
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* título: Norte de problemas: análisis algebraico, geometría métrica y trigonometría [Monografía]
: Autor: Rey Pastor, Julio (1888-1962); Gallego Díaz, José
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: editor: Editorial Nadal-Arcada S. L.
: id: ISBN 978-84-7887-181-0

* título: Matemáticas, ESO [Obra Completa]
: Autor: Vidal Juncosa, José
: editor: Editorial Nadal-Arcada S. L. [Parte de obra completa: T. 20]
: id: ISBN 978-84-7887-128-5

* título: Trigonometría (1995) [Parte de obra completa: T. 20]
: Autor:
: editor: Editorial Nadal-Arcada S. L.
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==Términos semejantes de polinomios ==

Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: –2a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;b y 5a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;b son semejantes. &lt;br /&gt;
Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal.&lt;br /&gt;
Por ejemplo: 

–2a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;b + 5a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;b = 3a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;b 

10x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;z&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; – 22x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;z&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = – 12x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;z&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 

Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar: 

La operación 12a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;b + 13ab&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; no se puede reducir más, debido a que los términos no son semejantes.

==Eliminación de Paréntesis ==

Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas: 

(1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. 

(2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. 

Ejemplo: 

2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) = 

Aplicando las reglas anteriores, tenemos: 

2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes: 

-3ab + 2a

==Producto de expresiones algebraicas ==

===Producto de monomios===
Se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”. 

Ejemplo: 2x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; z ·  4x&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 8x&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;y&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;z

===Producto de monomio por polinomio===
Se aplica la propiedad distributiva, esto es: “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”. 

Ejemplo: 

2ab (3a - ab&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 4b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;c&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;) = 2ab . 3a - 2ab . ab&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 2ab . 4b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;c&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 
6a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;b – 2a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; + 8ab&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;c&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;

===Producto de binomio por binomio===
Se multiplican todos los términos del primer binomio con los términos del segundo binomio. 

Ejemplo: 

(2a - 3b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;c) (4a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 5ab&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;) = 2a . 4a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 2a . 5ab&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; – 3b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;c . 4a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; – 3b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;c . 5ab&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 
8a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; + 10 a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; – 12 a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;c – 15 ab&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;c

===Producto de polinomio por polinomio ===
Al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo. 

(2x – 3y + 4z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;). (5x + 2xy + 4xz&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;) = 
2x . 5x + 2x . 2xy + 2x . 4xz&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; – 3y . 5x – 3y . 2xy – 3y . 4xz&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 4z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; . 5x + 4z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; . 2xy + 4z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; . 4xz&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 10x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 4x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y + 8x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; – 15xy – 6xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; – 12xyz&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 20xz&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 8xyz&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 16xz&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;

==Productos notables==

Son productos que, dada la frecuencia con que aparecen, es necesario memorizarlos para poder realizarlos más rápidamente. 

===GRUPO I: Equivalencias fundamentales===

===Axioma de la distribución de la multiplicación respecto a la suma:===

a(b + c + d) = ab + ac + ad

===Reglas de Stevin (Binomios con un término en común): ===

(x + a) (x + b) = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;   +(a + b)x + ab

(x + a) (x + b) (x + c) = x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;   +(a + b + c) x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;   +(ab + bc + ac)x + abc

===Cuadrado de binomio: ===

(a + b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 2ab + b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;

(a - b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; – 2ab + b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;

====Identidades de Legendre:====

(a + b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + (a + b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2(a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)

(a + b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; - (a + b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4ab

(a + b)&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; - (a + b)&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 8ab (a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)

===Diferencia de cuadrados: ===

(a + b) (a – b) = a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; - b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;

===Cubo de binomio: ===

(a + b)&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; + 3a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;b + 3ab&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;

(a - b)&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; - 3a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;b + 3ab&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; - b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;

====Disposición práctica de Cauchy:====

Se usa en casos donde conoces la suma y el producto de a y b.

(a + b)&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; + b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; + 3ab (a + b)

(a + b)&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; - b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; - 3ab (a - b)

===Suma y diferencia de cubos: ===
	
(a+b)(a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; - ab + b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;) = a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; + b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;

(a+b)(a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + ab + b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;) = a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; - b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;

===Suma y diferencia de quintas potencias:===

(a - 1)(a&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; + a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; + a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + a + 1) = a&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; - 1

(a + b)(a&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; + a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;b + a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + ab&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; + b&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;) = a&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; - b&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;

===Desarrollo productos notables ===

==Factorización ==

Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes: 

===Factor común ===

Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1. Ejemplo: 

15x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;z&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; – 5xy&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 10x&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;y&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;z&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 

Aquí el factor común es: 5xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la forma: 

15x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;z&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; – 5xy&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 10x&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;y&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;z&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 5xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; (3xz – y + 2x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;z), lo que corresponde a su factorización.

===Diferencia de cuadrados ===

Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las bases. 

a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; – b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = (a + b) (a – b) 

Ejemplo: 25a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; – 16b&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; 

Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; : 

Por lo tanto: (5a)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; – (4b2)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = (5a + 4b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;) (5a — 4b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)

===Factorización de trinomio cuadrático perfecto ===

Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es: 

a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 2ab + b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = (a + b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 

Ejemplo: 16x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; – 24xy + 9y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 

En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = (4x)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; y 9y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = (3y)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio: 

(4x - 3y)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la expresión dada.

===Factorización de trinomio cuadrático no perfecto ===

En este caso hay dos subcasos: 

Caso en que el coeficiente cuadrático es 1 

Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común”: 

(x + a)(x + b) = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + (a + b)x + ab 

Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + px + q 

Ejemplo: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; – 10x + 24 

El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números tales que a + b = –10 y ab = 24. Estos números son: –4 y –6, por lo tanto: 

x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; – 10x + 24 = (x – 4)(x – 6) 

Caso en que el coeficiente cuadrático es diferente de 1 

Ejemplo: 2x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 7x – 15 

Para poder factorizar trinomios de este tipo, multiplicaremos y dividiremos (para que la expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático: 


El numerador se puede factorizar de la forma (2x + a)(2x + b), donde a y b son números tales que a + b = 7 y ab = –30. Estos números son: 10 y -3:

===Diferencia de cubos ===

a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; – b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = (a – b) (a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + ab + b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;) 

Ejemplo: 

125z&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; – 64y&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; 

La expresión 125z&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; es el cubo de 5z y 64y&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; es el cubo de 4y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, por lo tanto: 

125z&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; – 64y&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = (5z)&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; – (4y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 

Ocupando que a = 5z y b = 4y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; en la expresión dada, tenemos que: 

(5z)&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; – (4y2)&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = (5z – 4y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)(25z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 20y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;z + 16y&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;) 

[[Categoría:Matemáticas]]</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Radicación</title>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección|tono=azul}}&lt;/noinclude&gt; 
La '''radicación''' es el proceso opuesto a la potenciación.
Es decir, matemáticamente: 
: &lt;math&gt;
   B^C = A
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \sqrt[C]{A} = B
&lt;/math&gt;

En el proceso de radicación, buscamos un B que satisfaga la condición anterior.

Los elementos y características de este proceso están explicados en '''[[w:es:Función raíz|Función raíz (Wikipedia)]]'''.


== Método de resolución para raíces cuadradas ==
El método más difundido para su resolución, es el siguiente:

Tomemos como ejemplo, el radicando 65536.

El primer paso es la separación en grupos de dos del radicando, así: &lt;math&gt;\sqrt{6.55.36}&lt;/math&gt;
Ahora se busca un número que multiplicado por sí mismo sea lo más próximo (por defecto) al primer grupo de números, comenzando por la izquierda.
Si el número no es un entero, los grupos se realizarán a partir de la coma decimal, hacia ambos lados. Si el número posee una cantidad impar de cifras decimales, se agrega un cero a la derecha, por ejemplo en el caso 123,456 la separación sería 1.23,45.60. Al llegar a la parte decimal, se pondría también en ese mismo paso la coma en el resultado.

En este caso es el 2, pues &lt;math&gt;2^2=4 &lt; 6&lt;/math&gt;.
Este número se resta del grupo de dígitos del radicando, y a la diferencia se le [[w:es:Concatenación|concatena]] el siguiente grupo. Es decir,
  √6.55.36  | 2
  -4
 ___
   2 55

El 2 ya es parte del resultado.
Una vez tenemos esto, el siguiente paso será iterado tantas veces como sea necesario hasta terminar la resolución de la raíz.
La parte que tenemos de resultado se multiplica por dos, y al resultado se le añade un número que multiplicado por sí mismo sea lo más próximo posible (por defecto) al número con el que estamos trabajando (255). Esto es, buscamos un &lt;math&gt;4X\times X \leq 255&lt;/math&gt;.
En el ejemplo, el X buscado es 5, pues &lt;math&gt;45\times 5=225 \leq 255&lt;/math&gt; (y &lt;math&gt;46 \times 6 =276 &gt; 255&lt;/math&gt;). El 5 es el siguiente dígito del resultado.
Ahora, se resta el resultado (45x5) a la parte &quot;activa&quot; del radicando.
En el ejemplo,

  √6.55.36  | 25
  -4        | 45x5=225
 ___
   2 55
 - 2 25
 _________
     30 36

Los pasos sucesivos son iteraciones del anterior, como se ha comentado.
Por tanto, se busaría un &lt;math&gt;50X \times X \leq 3036&lt;/math&gt;. Ese número es el 6, pues &lt;math&gt; 506 \times 6 = 3036 \leq 3036&lt;/math&gt;.
El resultado final es:

  √6.55.36  | 256
  -4        | 45x5=225
 ___        | 506x6 = 3036
   2 55
 - 2 25
 ______
     30 36
   - 30 36
 _________
         0

Y con eso demostramos que   &lt;math&gt;\sqrt{65536} = 256&lt;/math&gt;.
Por tanto, también es cierto que &lt;math&gt;256^2 = 65536&lt;/math&gt;

En caso de querer hallar números después de haberse terminado las cifras significativas del radicando, se bajarán grupos de dos ceros por cada dígito que se necesite de aproximación.

=Método de resolución para raíces cúbicas=
== Cálculo manual de la Raíz cúbica ==
Al igual que con las raíces cuadradas. existe también una operación que, aunque muy poco utilizada por haber métodos más sencillos para resolverlas, sirve para hallar el resultado de la raíz cúbica de un número dado, la operación es la siguiente:
  3√————————|
      1331  |11
     -1     |——————————————
     ——     |300·1²·3= 900
      0331  | 30·1·3²= 270
      -331  |      3³=  27
      ————  |         ————
       000  |         &lt;s&gt;1197&lt;/s&gt;
            |se pasa de 331
            |
            |300·1²·2= 600
            | 30·1·2²= 120
            |      2³=   8
            |         ————
            |          &lt;s&gt;728&lt;/s&gt;  
            |se pasa de 331
            |
            |300·1²·1= 300
            | 30·1·1²=  30
            |      1³=   1
            |          ———
            |          331
            |es igual o menor &lt;=
            |a 331
   
Explicación de la operación:

# Se separan los dígitos de 3 en 3 de derecha a izquierda a la derecha de la coma si no tiene decimales y si los tiene además las cifras decimales se separan de 3 en 3 de izquierda a derecha.
# Se busca un número cuyo cubo sea igual o menor (si es menor siempre la cifra más alta posible sin llegar a pasarse) a la primera cifra o conjunto de cifras que se encuentran primero (a la izquierda).
# A la primera cifra o conjunto de cifras se le resta ese número cuyo cubo es igual o menor al primer conjunto de cifras, y se pone ese resultado bajándose al lado el siguiente grupo de tres cifras.
# Se le restan las cifras que tenemos al resultado de sumar 300 multiplicado por las últimas cifras que hemos obtenido de la raíz al cuadrado,(si solo tenemos una cifra como en el ejemplo solo una) multiplicado por el número adecuado que será la siguiente cifra de la raíz, sumado a 30 multiplicado por las últimas cifras obtenidas de la raíz multiplicado por el cuadrado de la que será la siguiente cifra de la raíz, sumado al cubo de la que será la siguiente cifra de la raíz. Como en el ejemplo hay que aventurar la cifra que es adecuada y si se pasa el resultado del número que nos hace falta hay que cambiar a la cifra adecuada. La cifra adecuada lógicamente es de una cifra siempre.
# Una vez obtenido el número que es igual o menor (si es menor también la cifra más alta posible sin llegar a pasarse) se lo restamos.
# Repetimos estos pasos hasta que se nos acaben los grupos de tres. Si la raíz cúbica no es exacta se puede poner una coma y tres grupos de ceros para seguir haciendo las operaciones y obtener cifras decimales para la raíz, que a partir de que alcancemos la coma habiendo terminado de operar los números enteros también tendremos que añadirle una coma.

== Raíz cúbica entera.Método de extracción de un número superior a 1000 y dos decimales. ==
Pasos a seguir;
# Para extraer la raíz cúbica entera de un número entero mayor que 1000, se divide dicho número en grupos de a tres cifras, empezando por la derecha;se extrae la raíz cúbica entera del primer grupo de la izquierda, y se tiene la primera cifra de la raíz ; se eleva esta cifra al cubo, y este cubo se resta del primer grupo de la izquierda.
# A la derecha del resto, se baja el grupo siguiente : se separan con un punto las dos primeras cifras de la derecha,y el número que queda a la izquierda se divide por el triplo del cuadrado de la primera cifra de la raíz.
# El cociente hallado será la segunda cifra de la raíz, o un número mayor que ella.
# Para comprobar si dicho cociente es la segunda cifra de la raíz, se eleva al cubo el número formado por la primera cifra de la raíz y dicho cociente ; y si este cubo puede restarse el número formado por los dos primeros grupos de la izquierda del número propuesto, el cociente hallado es la segunda cifra de la raíz ; más si dicho cubo es mayor que el número formado por las dos primeras secciones, el cociente hallado es mayor que la segunda cifra de la raíz,en cual caso dicho cociente se desminuye en una unidad, y la nueva cifra se comprueba del mismo modo.
# Halladas la primera y segunda cifras de la raíz,se resta su cubo del número formado por las dos primeras secciones de la izquierda del número propuesto.
# A la derecha del resto, se baja el grupo siguiente ; se separan, con un punto, las dos primeras cifras de la derecha, y el número que queda a la izquierda se divide por el triplo del cuadrado de las dos primeras cifras de la raíz.
# El cociente hallado será, lo que se comprueba como anteriormente.
# Y así continuamos hasta haber bajado todas las secciones,haber hallado la última cifra de la raíz y el residuo correspondiente, si la raíz es inexacta.

[[Archivo:Raizcubica.svg|750px]]

== Raíz cúbica de un quebrado común ==
Para extraer la raíz cúbica de un quebrado o fracción común, se debe observar, primero, si el numerador y denominador tienen raíz cúbica exacta, en cuyo caso se extraen la raíz del numerador y la del denominador, y se divide la primera por la segunda. Si ambos términos no tienen raíz cúbica exacta, se reduce el quebrado a fracción decimal y se extrae la raíz del número decimal equivalente.
[[Archivo:Raíz cúbica de un quebrado común.png]]


==Radicales==
Nomenclatura: &lt;math&gt;\sqrt [n]{a}&lt;/math&gt; es el '''radical''' &lt;math&gt;\mathit {a}\,\!&lt;/math&gt; es el '''radicando''' y &lt;math&gt;\mathit {n}\,\!&lt;/math&gt; es el '''índice''' de la raíz.

Ya se ha visto que
&lt;math&gt;\sqrt [n]{a} = b \iff a = b^{n}&lt;/math&gt;
* Si &lt;math&gt;a \ge 0, \sqrt [n]{a}&lt;/math&gt; existe para cualquier &lt;math&gt;\mathit {a}\,\!&lt;/math&gt; y cualquier &lt;math&gt;\mathit {n}\,\!&lt;/math&gt;
* Si &lt;math&gt;a &lt; 0, \sqrt [n]{a}&lt;/math&gt; existe sólo para valores impares de &lt;math&gt;\mathit {n}\,\!&lt;/math&gt;

'''Forma exponencial de los radicales'''

&lt;math&gt;\sqrt [n]{a}= a ^{\frac{1}{n}}&lt;/math&gt; ya que &lt;math&gt;\big( a ^{\frac{1}{n}}\big)^{n} = a&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt [n]{a^m}= a ^{\frac{m}{n}}&lt;/math&gt; ya que &lt;math&gt;\sqrt [n]{a^m}=\big( a^m \big) ^{\frac{1}{n}}=a^{m \cdot \frac{1}{n}}=a ^{\frac{m}{n}}&lt;/math&gt;


===Propiedades de los radicales===
{|
| align=&quot;center&quot; colspan=&quot;2&quot; style=&quot;border-top:1px solid red; border-right:1px solid red; border-bottom:2px solid red; border-left:2px solid red;&quot; |
&lt;math&gt;\sqrt[np]{a^{p}} = \sqrt[n]{a}&lt;/math&gt;
|ya que &lt;math&gt;\sqrt [np]{a^{p}} = a^{\frac {p}{np}} = a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}&lt;/math&gt;
|} 

'''Aplicaciones'''
* Simplificar radicales &lt;math&gt;\sqrt[4]{25} = \sqrt[4]{5^{2}} = \sqrt{5}&lt;/math&gt;
* Pasar radicales a índice común. ¿Qué es más grande, &lt;math&gt;\sqrt[3]{534}&lt;/math&gt; ó &lt;math&gt;\sqrt{78}&lt;/math&gt;?  

&lt;math&gt;\sqrt[3]{534} = \sqrt[6]{534^{2}} = \sqrt[6]{285\,156}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt[6]{78^{3}} = \sqrt[6]{474\,552}&lt;/math&gt; Por lo tanto &lt;math&gt;\sqrt[3]{534} &lt; \sqrt{78}&lt;/math&gt;


{|
| align=&quot;center&quot; colspan=&quot;2&quot; style=&quot;border-top:1px solid red; border-right:1px solid red; border-bottom:2px solid red; border-left:2px solid red;&quot; |
&lt;math&gt;\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}&lt;/math&gt;
|ya que &lt;math&gt;\sqrt[n]{a \cdot b} = (a \cdot b)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} &lt;/math&gt;
|}

'''Aplicaciones'''
* Sacar fuera de la raíz los factores que nos convengan. &lt;math&gt;\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2}=&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \sqrt {5^{2} \cdot 2} = \sqrt {5^2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot \sqrt{2}&lt;/math&gt;

* Agrupar radicales &lt;math&gt;\sqrt{23} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{230}&lt;/math&gt;


{|
| align=&quot;center&quot; colspan=&quot;2&quot; style=&quot;border-top:1px solid red; border-right:1px solid red; border-bottom:2px solid red; border-left:2px solid red;&quot; |
&lt;math&gt;\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}&lt;/math&gt;
|ya que &lt;math&gt;\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \bigg( \frac{a}{b} \bigg)^{\frac{1}{n}} = \frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}&lt;/math&gt;
|}

'''Aplicaciones'''
* Gracias a estas tres propiedades podemos juntar castillos de fracciones en un solo radical:

&lt;math&gt;\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[6]{40}} = \frac{\sqrt[6]{5^3} \cdot \sqrt[6]{4^2}}{\sqrt[6]{5 \cdot 2^3}} = \sqrt[6]{\frac{5^3 \cdot 2^4}{5 \cdot 2^3}} = \sqrt[6]{2 \cdot 5^2} = \sqrt[6]{50}&lt;/math&gt;


{|
| align=&quot;center&quot; colspan=&quot;2&quot; style=&quot;border-top:1px solid red; border-right:1px solid red; border-bottom:2px solid red; border-left:2px solid red;&quot; |
&lt;math&gt;\Big( \sqrt[n]{a} \Big)^p = \sqrt[n]{a^p}&lt;/math&gt;
|ya que &lt;math&gt;\Big( \sqrt[n]{a} \Big)^p = \Big(a^{\frac{1}{n}} \Big)^p = (a^{\frac{1}{n} \cdot p}) = \Big(a^p \Big)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^p}&lt;/math&gt;
|}


{|
| align=&quot;center&quot; colspan=&quot;2&quot; style=&quot;border-top:1px solid red; border-right:1px solid red; border-bottom:2px solid red; border-left:2px solid red;&quot; |
&lt;math&gt;\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}&lt;/math&gt;
|ya que &lt;math&gt;\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \Big(a^{\frac{1}{n}}\Big)^\frac{1}{m} = a^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{n \cdot m}} = \sqrt[mn]{a}&lt;/math&gt;
|}


{|
| align=&quot;center&quot; colspan=&quot;2&quot; style=&quot;border-top:1px solid red; border-right:1px solid red; border-bottom:2px solid red; border-left:2px solid red;&quot; |
No se pueden sumar radicales distintos, sólo los semejantes (aquellos que tras simplificarlos tienen el mismo radicando y el mismo índice)
|}

Es decir, yo no puedo sumar &lt;math&gt;\sqrt{5} + \sqrt{2}&lt;/math&gt; ni tampoco &lt;math&gt;\sqrt[3]{5} + \sqrt{5}&lt;/math&gt;

En cambio sí que puedo sumar &lt;math&gt;3\sqrt{7} + 6\sqrt{7} - \sqrt{7} = 8\sqrt{7}&lt;/math&gt;

Hay veces que no es evidente: 

&lt;math&gt;\sqrt{8}-\sqrt{50}+\sqrt{98} = \sqrt{2^3}-\sqrt{2 \cdot 5^2}+\sqrt{2 \cdot 7^2} =  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= 2\sqrt{2}-5\sqrt{2}+7\sqrt{2} = 4\sqrt{2}&lt;/math&gt;


{|
| align=&quot;center&quot; colspan=&quot;2&quot; style=&quot;border-top:1px solid red; border-right:1px solid red; border-bottom:2px solid red; border-left:2px solid red;&quot; |
A veces (muchas) nos interesará 'quitar' las raíces del denominador. Esto se hace multiplicando numerador y denominador por la expresión adecuada (este proceso se denomina racionalizar)
|}

&lt;math&gt;\frac{1}{\sqrt[3]{49}} = \frac{1}{\sqrt[3]{7^2}} = \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7^2}\cdot\sqrt[3]{7}} = \frac{\sqrt[3]{7}}{7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{7 - \sqrt{5}} = \frac{7 + \sqrt{5}}{\big(7 + \sqrt{5}\big)\big(7 - \sqrt{5}\big)} = \frac{7 + \sqrt{5}}{7^2-\big(\sqrt{5}\big)^2} = \frac{7 + \sqrt{5}}{44}&lt;/math&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra/Clasificación de sistemas</title>
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: &lt;math&gt;
    \mbox{Sistemas}
    \begin{cases} 
        \mbox{Compatibles →(con soluciones)}
        \begin{cases}
           \mbox{Determinados →(solución única)}\\ \\
           \mbox{Indeterminados →(infinitas soluciones)}
        \end{cases}   \\ \\
        \mbox{Incompatibles →( sin soluciones)}
    \end{cases}
&lt;/math&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Precálculo/Funciones y propiedades</title>
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El límite de una función se puede entender como el valor al que tiende una función si su variable se acerca a cierto valor, sin llegar a ser éste.

'''Notación:''' 

== Introducción ==

Sea la función &lt;math&gt;f(x)=5x&lt;/math&gt;. Si quiero saber a qué valor tiende &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; para &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; tendiendo al infinito, se puede asignarle valores cada vez más grande a &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; , entonces tenemos para &lt;math&gt;x=5&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(x)=500&lt;/math&gt;, para &lt;math&gt;x=100000&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(x)=500000&lt;/math&gt;, y así sucesivamente, por lo que podemos suponer (sin entrar en mas detalles), que el límite de &lt;math&gt;f(x)=5x&lt;/math&gt; es infinito cuando &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; tiende a infinito (también puede deducirse ya que la función es estrictamente creciente).

Si ahora tengo f(X)=1/X ,
para X=2  y vale 0,5
     X=10    y vale 0.1
     X=100    y vale 0.01
     X=1000    y vale 0.001

Podemos concluir que cuando x cresca y va a valer cada vez menos ,es decir va a tender a cero .
Pero si X cada vez vale menos , ¿cuanto vale Y?
Con un razonamiento analogo , dando valores cada vez mas chicos a X ,(o dandonos cuenta que , se invierten las tablas echas) , Y crece inversamente con X,en el limite para X tendiendo a cero de f(x)es infinito .

Regla de L`Hopital .
El limite de un cociente , es el cociente de los limites ,(lo mismo con las derivadas) .</text>
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    <title>Matemáticas/Precálculo/Números y polinomios</title>
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Polinomio, en matemáticas, se denomina a la suma de varios monomios, llamados términos del polinomio. Es una expresión algebraica constituida por una o más variables, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos. El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio.

La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:

 
por ejemplo: &lt;math&gt;p(x) = x^3+x^2-x+2&lt;/math&gt;

 
Se denomina grado de un polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo componen.

== Funciones polinómicas ==

Las funciones polinómicas son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Son una clase de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).

A las funciones polinómicas de

-grado 0 se les llama funciones constantes 

-grado 1 se les llama funciones lineales,

-grado 2 se les llama funciones cuadráticas, 

-grado 3 se les llama funciones cúbicas. 

Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.

En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.

Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en interpolación spline y gráficos por ordenador.

== Definición algebraica ==
Para a0, …, an constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como  o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero, para n &gt; 0, entonces un polinomio de grado n en la variable x es un objeto de la forma

 
El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

 
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada.</text>
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    <title>Matemáticas/Matrices/Multiplicación</title>
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Ya vimos en los temas anteriores que se pueden extender las operaciones para los números reales a los sistemas con vectores y matrices, en cuanto a la multiplicación se puede extender en el producto escalar por matriz y el producto entre matrices.

== Definición ==

Sí &lt;math&gt;\mathbb{A} \,&lt;/math&gt; es una matriz de ''n ''x'' m'', &lt;math&gt;  \mathbb{A} =\left [U_1\   U_2\  ...\  U_m  \right ] &lt;/math&gt;,  y &lt;math&gt;\mathbb{B} \,&lt;/math&gt; es una matriz de ''m ''x'' k'', &lt;math&gt;  \mathbb{B} =\left [ V_1\ V_2\ ...\ V_k \right ] &lt;/math&gt;,  el producto &lt;math&gt;\mathbb{A} * \mathbb{B} \,&lt;/math&gt; es la matriz de ''n ''x'' k'', &lt;math&gt;  \mathbb{A} * \mathbb{B}  =\left  [AV_1\ AV_2\ ...\ AV_k  \right ] &lt;/math&gt; .

== Cálculo del producto de matrices ==

Si &lt;math&gt;\mathbb{A} \, &lt;/math&gt; es una matriz de dimensiones ''m x r'' y &lt;math&gt;\mathbb{B} \, &lt;/math&gt; otra matriz de dimensiones ''r x n'', entonces para calcular el elemento que está en el renglón ''i''-ésimo y la columna ''j''-ésima de &lt;math&gt;\mathbb{A}*\mathbb{B} \, &lt;/math&gt; y que se denomina &lt;math&gt; c_{ij} \, &lt;/math&gt; se toma el renglón ''i''-ésimo de la matriz '''''A''''' y la columna ''j''-ésima de '''''B'''''. Se multiplican los elementos correspondientes del renglón y la columna y después se suman los productos. Esta expresión equivale a:

:&lt;math&gt; c_{(i,j)} = a_{(i,1)} b_{(1,j)} + a_{(i,2)} b_{(2,j)} + a_{(i,3)} b_{(3,j)} + ... + a_{(i,r)} b_{(r,j)} \,
&lt;/math&gt;

Seguidamente, se desarrolla un ejemplo con dos matrices de 2 x 2. Sean las siguientes matrices:

:&lt;math&gt; \mathbb{A} = \begin{bmatrix} 2 &amp; 3 \\ 4 &amp; 5 \end{bmatrix};  
\mathbb{B}= \begin{bmatrix} 7 &amp; 9 &amp; 6  \\ 3 &amp; 4 &amp; 5\end{bmatrix}&lt;/math&gt;

De acuerdo a lo anterior, el producto se calcula así:

:&lt;math&gt;\mathbb{A} * \mathbb{B} = \begin{bmatrix} (2 \cdot 7) + (3 \cdot 3) &amp; (2 \cdot 9) + (3 \cdot 4) &amp; (2 \cdot 6) + (3 \cdot 5)\\ (4 \cdot 7) + (5 \cdot 3) &amp; (4 \cdot 9) + (5 \cdot 4) &amp; (4 \cdot 6) + (5 \cdot 5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23 &amp; 30 &amp; 27 \\ 43 &amp; 56 &amp; 49 \end{bmatrix}

&lt;/math&gt;

Como podemos observar, el número de columnas de &lt;math&gt;\mathbb{A} \, &lt;/math&gt; debe corresponder al número de renglones que haya en &lt;math&gt;\mathbb{B} \, &lt;/math&gt; para que el producto de las matrices esté definido. También, la definición de &lt;math&gt;\mathbb{A}* \mathbb{B}\, &lt;/math&gt; muestra que la matriz producto tiene idéntica cantidad de filas o renglones que &lt;math&gt;\mathbb{A} \, &lt;/math&gt; y de columnas que &lt;math&gt;\mathbb{B}&lt;/math&gt;.

== Cálculo parcial del producto de matrices ==

En ocasiones, no es necesario calcular todos los elementos de un producto de matrices, sino una fila o una columna determinada. Para ello, supondremos que existen dos matrices &lt;math&gt;\mathbb{A} \,&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\mathbb{B}\,&lt;/math&gt; de dimensiones ''m x r'' y ''r x n'', respectivamente. Si se desea calcular los elementos de la fila ''i''-ésima de la matriz producto, se deberá tomar de la matriz &lt;math&gt;\mathbb{A} \,&lt;/math&gt; únicamente la fila ''i''-ésima y multiplicarla por la matriz &lt;math&gt;\mathbb{B} \,&lt;/math&gt;. Esto se representa así:

:&lt;math&gt;
\mathbb{A}_i * \mathbb{B} = 
   \begin{bmatrix}
      a_{(i,1)} &amp; a_{(i,2)} &amp; \dots &amp; a_{(i,r)} 
   \end{bmatrix}*
   \begin{bmatrix}
      b_{(1,1)} &amp; b_{(1,2)} &amp; \dots &amp; b_{(1,n)} \\
      b_{(2,1)} &amp; b_{(2,2)} &amp; \dots &amp; b_{(2,n)} \\
      \dots &amp; \dots &amp; \dots\\
      b_{(r,1)} &amp; b_{(r,2)} &amp; \dots &amp; b_{(r,n)} 
   \end{bmatrix}=
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;
=
   \begin{bmatrix}
      c_{(i,1)} &amp; c_{(i,2)} &amp; \dots &amp; c_{(i,r)} 
   \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

En el caso de los elementos de la columna ''j''-ésima de la matriz producto, se deberá tomar de la matriz &lt;math&gt;\mathbb{B} \,&lt;/math&gt; únicamente la columna ''j''-ésima y multiplicarla por la matriz &lt;math&gt;\mathbb{A} \,&lt;/math&gt;:

:&lt;math&gt;
\mathbb{A} * \mathbb{B}_j = 
   \begin{bmatrix}
      a_{(1,1)} &amp; a_{(1,2)} &amp; \dots &amp; a_{(1,n)} \\
      a_{(2,1)} &amp; a_{(2,2)} &amp; \dots &amp; a_{(2,n)} \\
      \dots &amp; \dots &amp; \dots\\
      a_{(r,1)} &amp; a_{(r,2)} &amp; \dots &amp; a_{(r,n)} 
   \end{bmatrix}*
   \begin{bmatrix}
      b_{(1,j)} \\
      b_{(2,j)} \\
      \dots \\
      b_{(r,j)} \\
   \end{bmatrix}=
      \begin{bmatrix}
      c_{(1,j)} \\
      c_{(2,j)} \\
      \dots \\
      c_{(r,j)} \\
      \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

En ambos casos, cada elemento de la fila ''i''-ésima y columna ''j''-ésima de la matriz producto es calculado así:

:&lt;math&gt;
c_{(i,j)} = a_{(i,1)} b_{(1,j)} + a_{(i,2)} b_{(2,j)} + a_{(i,3)} b_{(3,j)} + ... + a_{(i,r)} b_{(r,j)} \,
&lt;/math&gt;

== Propiedades del producto entre matrices ==

:# &lt;math&gt;A(BC) = (AB)C \, &lt;/math&gt; Propiedad asociativa.
:# &lt;math&gt;A(B+C) = AB + AC \, &lt;/math&gt; Propiedad distributiva izquierda.
:# &lt;math&gt;(B+C)A = BA + CA \, &lt;/math&gt; Propiedad distributiva derecha.
:# &lt;math&gt;r(AB) = (rA)B = A(rB) \, &lt;/math&gt; Para cualquier &lt;math&gt;r \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
:# &lt;math&gt;I_mA = A = AI_n \, &lt;/math&gt; Identidad de la multiplicación entre matrices. Las matrices &lt;math&gt;I_m \, &lt;/math&gt; e &lt;math&gt;I_n \, &lt;/math&gt; denotan a la [[w:es: Matriz identidad|Matriz identidad]].

== Bibliografía ==

# Apuntes de clase de Álgebra Lineal. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
# ANTON, Howard. Introducción al álgebra lineal. Editorial Limusa, México, 1985. ISBN 968-18-0631-X
# LAY, David. Álgebra lineal y sus aplicaciones. Pearson Educación, México, 2007. ISBN 970-26-0906-2</text>
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    <title>Matemáticas/Matrices/Inversa</title>
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      <text bytes="2002" sha1="fszx3tstb6pjcusb413chzd11olgov3" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Para el cálculo de la inversa de una matriz expondremos dos métodos, usando el proceso de Gauss-Jordan y utilizando el concepto de determinante. Antes de explicar su desarrollo definiremos que es una matriz inversa en el siguiente enunciado:

Si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es una matriz cuadrada de &lt;math&gt;n x n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;BA = I&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; es la matriz identidad de &lt;math&gt;n x n&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; se llama la inversa de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; por la izquierda.

Del anterior enunciado podemos deducir el siguiente teorema:

La matriz &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es no singular si y sólo si &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; es invertible. Si &lt;math&gt;BA = I&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;B = m(T^{-1})&lt;/math&gt;.

Para encontrar la inversa de una matriz por el método de Gauss-Jordan debemos tener una matriz ampliada de la siguiente forma:

Sea la matriz &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; 
&lt;math&gt;
  \begin{bmatrix}
    a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13}\\
    a_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23}\\
    a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33}\\
  \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

y la matriz &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; 
&lt;math&gt;
  \begin{bmatrix}
    1 &amp; 0 &amp; 0\\
    0 &amp; 1 &amp; 0\\
    0 &amp; 0 &amp; 1\\
  \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

La matriz ampliada queda de la forma 
&lt;math&gt;
  \begin{bmatrix}
    a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} &amp; | &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0\\
    a_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23} &amp; | &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0\\
    a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33} &amp; | &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1\\
  \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

Aplicando Gauss-Jordan llegamos a la siguiente matriz ampliada 
&lt;math&gt;
  \begin{bmatrix}
    1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; | &amp; b_{11} &amp; b_{12} &amp; b_{13}\\ 
    0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; | &amp; b_{21} &amp; b_{22} &amp; b_{23}\\
    0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; | &amp; b_{31} &amp; b_{32} &amp; b_{33}\\
  \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

Donde la matriz &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, inversa de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es 
&lt;math&gt;
  \begin{bmatrix}
    b_{11} &amp; b_{12} &amp; b_{13}\\
    b_{21} &amp; b_{22} &amp; b_{23}\\
    b_{31} &amp; b_{32} &amp; b_{33}\\
  \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

El siguiente método es el más usado para el cálculo de matrices inversas, se describe bajo la ecuación
&lt;math&gt;{A^{-1}} =  {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \ (adj(A))^T \ &lt;/math&gt;</text>
      <sha1>fszx3tstb6pjcusb413chzd11olgov3</sha1>
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    <title>Wikilibros:Bot/Autorizaciones</title>
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        <username>Mazbel</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Solicitudes resueltas */</comment>
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      <text bytes="4151" sha1="r21cvi3qefffwomf083zfgqw5wvdly4" xml:space="preserve">{{/Cabecera}}
== Solicitudes actuales ==
&lt;!-- Crea una subpágina [[Wikilibros:Bot/Autorizaciones/NOMBRE DEL BOT AQUÍ]] transclúyela aquí debajo como {{Wikilibros:Bot/Autorizaciones/NOMBRE DEL BOT AQUÍ}}. Adicionalmente, deja una nota en el café diciendo que hay una votación en curso.--&gt;

== Solicitudes resueltas ==
:''Número actual de usuarios en el [[Special:Listbots|grupo bot]]'': '''{{NUMBERINGROUP:bot}}'''
{|class=&quot;wikitable&quot;
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! Recuento
! Resultado 
! Votación
|-bgcolor=&quot;#CFC&quot;
|1 || [[Usuario:MABot|MABot]] (antes Dfergbot) || [[Usuario:MarcoAurelio|MarcoAurelio]] || 4/0/0 || Autorizado || [[/Dfergbot|Ver]]
|-bgcolor=&quot;#CFC&quot;
|2 || [[user:KvedBOT|KvedBOT]] || [[user:Kved|Kved]] || 3/0/0 || Autorizado || [[/KvedBOT|Ver]] &lt;small&gt;([[Wikilibros:Votaciones/2014/Robots inactivos|permiso retirado]])&lt;/small&gt;
|-bgcolor=&quot;#CFC&quot;
|3 || [[user:Drinibot|Drinibot]] || [[user:Drini|Drini]] || 3/0/0 || Autorizado || [[/Drinibot|Ver]] &lt;small&gt;([[Wikilibros:Votaciones/2014/Robots inactivos|permiso retirado]])&lt;/small&gt;
|-bgcolor=&quot;#CFC&quot;
|4 || [[user:CarsracBot|CarsracBot]] || [[user:Carsrac|Carsrac]] || 3/0/0 || Autorizado || [[/CarsracBot|Ver]] &lt;small&gt;([[Wikilibros:Votaciones/2014/Robots inactivos|permiso retirado]])&lt;/small&gt;
|-bgcolor=&quot;#CFC&quot;
|5 || [[user:EdmenBot|EdmenBot]] || [[user:Edmenb|Edmenb]] || 3/0/0 || Autorizado || [[/EdmenBot|Ver]] &lt;small&gt;([[Wikilibros:Votaciones/2014/Robots inactivos|permiso retirado]])&lt;/small&gt;
|-bgcolor=&quot;#CFC&quot;
|6 || [[user:CommonsDelinker|CommonsDelinker]] || [[commons:User:Siebrand|Siebrand]]@commonswiki || 2/0/0 || Autorizado || [[/CommonsDelinker|Ver]]
|-bgcolor=&quot;#CFC&quot;
|7 || [[user:Mjbmrbot|Mjbmrbot]] || [[:fa:User:Mjbmr|Mjbmr]]@fawiki || 0/0/0 || Autorizado&lt;br&gt;&lt;small&gt;(discreccional)&lt;/small&gt; || [[/Mjbmrbot|Ver]] &lt;small&gt;(permiso retirado)&lt;/small&gt;
|-bgcolor=&quot;#CFC&quot;
|8 || [[User:タチコマ robot|タチコマ robot]] || [[m:User:White Cat|White Cat]]@meta || 2/0/0 || Autorizado || [[/タチコマ robot|Ver]] &lt;small&gt;(permiso retirado)&lt;/small&gt;
|-bgcolor=&quot;#CFC&quot;
|9 || [[User:Invadibot|Invadibot]] || [[w:User:Invadinado|Invadinado]]@eswiki || 2/0/0 || Autorizado || [[Wikilibros:Bot/Autorizaciones/Invadibot|Ver]] &lt;small&gt;(permiso retirado)&lt;/small&gt;
|-bgcolor=&quot;#CFC&quot;
|10 || [[User:Polyglottos|Polyglottos]] || [[w:User:Ralgis|Ralgis]]@eswiki || 1/0/0 || Autorizado sin flag &lt;small&gt;(otorgado posteriormente)&lt;/small&gt;|| [[Wikilibros:Bot/Autorizaciones/Polyglottos|Ver]] &lt;small&gt;([[Wikilibros:Votaciones/2014/Robots inactivos|permiso retirado]])&lt;/small&gt;
|-bgcolor=&quot;#CFC&quot;
|11 || [[User:Grillitus|Grillitus]] || [[w:User:Hprmedina|Hprmedina]]@eswiki || 5/0/0 || Autorizado || [[Wikilibros:Bot/Autorizaciones/Grillitus|Ver]] &lt;small&gt;(permiso retirado)&lt;/small&gt;
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Adición de fracciones</title>
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      <timestamp>2026-07-26T16:01:50Z</timestamp>
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        <username>Mazbel</username>
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      <text bytes="3104" sha1="1cepdfkc7qmedqc8ihyn3cbmygn66uu" xml:space="preserve">{{AutoCat}}

&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección|tono=azul}}&lt;/noinclude&gt;
La suma de fracciones es una de las operaciones básicas que puede efectuarse sobre fracciones.Lo primero que se hace es mirar las 2 de abajo y sumarala luego hacemos lo mismo con la otra y yA.

== Suma de fracciones homogéneas ==
[[Archivo:Suma fracciones.jpg|thumb|250 px|Suma de fracciones de igual denominador]]
Para sumar dos o más [[w:fracción|fracciones]] [[w:fracción homogénea|homogéneas]], se suman los [[w:numerador|numerador]]es y se deja el [[w:denominador|denominador]] común.

Ejemplo:
:&lt;math&gt; \frac{4}{5} + \frac{2}{5} = \frac{6}{5} &lt;/math&gt;

== Suma de fracciones heterogéneas: Forma 1==

La suma de dos o más [[w:fracción|fracciones]] [[w:fracción heterogénea|heterogéneas]] se realiza de la siguiente manera:

# Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.
# Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador por denominador común y dividido por denominador.
# Se suman los numeradores (dado que las fracciones modificadas tienen el mismo denominador).
[[Archivo:Fraction sum3.svg|thumb|280px|Suma de fracciones de distinto denominador]]
Ejemplo: 
:&lt;math&gt; \frac{1}{6} + \frac{4}{9}&lt;/math&gt;

1. Se calcula el [[w:mínimo común múltiplo|mínimo común múltiplo]] (m.c.m.), por lo que se tiene que &lt;math&gt; mcm (6, 9) = 18 \,\!&lt;/math&gt;

2. Se calculan los numeradores. 
:*Numerador de la primera fracción: &lt;math&gt;\frac{1\cdot18}{6} = 3 \,\!&lt;/math&gt;
:*Numerador de la segunda fracción: &lt;math&gt;\frac{4\cdot18}{9} = 8 \,\!&lt;/math&gt;
:*La suma se reduce a las siguientes fracciones: &lt;br /&gt;&lt;math&gt; \frac{3}{18} + \frac{8}{18}&lt;/math&gt;

3. Se suman los numeradores: 

:&lt;math&gt; \frac{3}{18} + \frac{8}{18} = \frac{11}{18}&lt;/math&gt;

----

Se calcula el m.c.m., que en este caso es 18. Se ponen las fracciones con tal mcm como denominador. Acto seguido, se divide el mcm en el denominador inicial y el resultado se multiplica en el numerador inicial, y ya tenemos el numerador de la fracción cuyo denominador es el mcm.

== Suma de fracciones heterogéneas: Forma 2==

Ejemplo: 
:&lt;math&gt;\frac{1}{6} + \frac{4}{9}&lt;/math&gt;

Se resolvería de la sig. forma:
:&lt;math&gt; \frac{ 1 \cdot 9 + 6 \cdot 4} {6 \cdot 9} = \frac{33}{54} &lt;/math&gt;


La fracción resultante es &lt;math&gt; \frac{33}{54}&lt;/math&gt; y los &lt;math&gt; \frac{11}{18}&lt;/math&gt; es una reducción ya que si observamos el numerador y el denominador son divisibles por tres, de ahí resulta:

&lt;math&gt; = \frac{11}{18} &lt;/math&gt;

El método es multiplicar el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda, posteriormente se suma la multiplicación del denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción y todo eso dividido por la multiplicación de los dos denominadores.

Aquí no calculamos el [[w:mínimo común múltiplo|mínimo común múltiplo]] (m.c.m.).

== Véase también ==
* [[Matemáticas/Aritmética/Resta de fracciones|Resta de fracciones]]
* [[Matemáticas/Aritmética/Multiplicación de fracciones|Multiplicación de fracciones]]
* [[Matemáticas/Aritmética/División de fracciones|División de fracciones]]</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Resta de fracciones</title>
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        <username>Mazbel</username>
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      <text bytes="1723" sha1="43bvsvg0oejwmlf15ynxnh8tsuj9a5u" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección|tono=azul}}&lt;/noinclude&gt;
La '''resta de fracciones''' es una operación [[w:Aritmética|aritmética]] por la que partiendo de dos fracciones se obtiene una tercera que es la diferencia entre ambas.

Resta de fracciones homogéneas 

Para restar dos ó más [[w:fracción homogénea|fracciones homogéneas]], se restan los [[w:numerador|numeradores]] y se deja el [[w:denominador|denominador]] común y simplificamos

1.Ejemplo:
: &lt;math&gt;
   \frac{7}{8} - \frac{3}{8} =
   \frac{7 - 3}{8} =
   \frac{4}{8}
&lt;/math&gt;

La resta de dos o más [[w:fracción|fracciones]] [[w:fracción heterogénea|heterogéneas]] se realiza de la siguiente manera:

1. Se halla el [[w:mínimo común múltiplo|mínimo común múltiplo]] de los dos denominadores:
: &lt;math&gt;
   \frac{5}{4} - \frac{1}{2}
&lt;/math&gt;

mínimo común múltiplo de 4 y 2:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{c}
      \begin{array}{r|r}
         4 &amp; 2 \\
         2 &amp; 2 \\
         1 &amp;
      \end{array} \\
      4 = 2^2
   \end{array}
   \quad
   \begin{array}{c}
      \begin{array}{r|r}
         2 &amp; 2 \\
         1 &amp;
      \end{array} \\
      2 = 2
   \end{array}
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   mcd (4, 2) = 4
&lt;/math&gt;

2. Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador antiguo (5) x  denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (4)

Numerador antiguo (1) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (2)
: &lt;math&gt;
   \frac{5}{4} - \frac{1}{2} =
   \frac{5}{4}- \frac{2}{4}
&lt;/math&gt; 

3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las fracciones tienen el mismo denominador)
: &lt;math&gt;
   \frac{5}{4} - \frac{2}{4} =
   \frac{5 - 2}{4} =
   \frac{3}{4}
&lt;/math&gt;

[[Categoría:Fracciones]]</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Multiplicación de fracciones</title>
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      <text bytes="1072" sha1="1gmf1lo1zomxe660qt3psx7wvhmn7i4" xml:space="preserve">{{AutoCat}}

&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección|tono=azul}}&lt;/noinclude&gt;
La multiplicación de fracciones es una operación aritmética, en la cual partiendo de dos fracciones se obtiene una tercera que será el producto de las anteriores.

Para multiplicar dos fracciones numéricas o algebraicas se multiplican sus [[w:numerador|numeradores]] y sus [[w:denominador|denominadores]], por separado, teniendo así el numerador y el denominador de la fracción producto.

:&lt;math&gt;\frac{3}{5} \times \frac{9}{10} = \frac{3 \times 9}{5 \times 10} = \frac{27}{50}&lt;/math&gt;


:&lt;math&gt;\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}&lt;/math&gt;

Para resolver productos de fracciones debemos [[w:Simplificación|simplificar]] y posteriormente multiplicar numerador con numerador y denominador con denominador.

== Véase también ==
* [[Matemáticas/Aritmética/Suma de fracciones|Suma de fracciones]]
* [[Matemáticas/Aritmética/Resta de fracciones|Resta de fracciones]]
* [[Matemáticas/Aritmética/División de fracciones|División de fracciones]]

[[Categoría:Matemáticas]]</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/División de fracciones</title>
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        <username>Mazbel</username>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección|tono=azul}}&lt;/noinclude&gt;
La '''división de fracciones''' es una operación [[w:aritmética|aritmética]] por la que partiendo de dos [[w:Fracción|fracciones]] se obtiene una tercera, que es la división de la primera entre la segunda, se puede realizar siguiendo tres métodos que, lógicamente, darán el mismo resultado:

== Multiplicar de forma cruzada ==
Multiplicar de &quot;forma cruzada&quot; las fracciones, es decir, multiplicar numerador por denominador, y denominador por numerador:

Ejemplo:
: &lt;math&gt;
   \frac{2}{5} \div \frac{3}{8} =
   \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 3} =
   \frac{16}{15}
&lt;/math&gt;

== Fracciones ==
&quot;Invertir&quot; la segunda fracción y multiplicar &quot;directamente&quot;, es decir, numerador por numerador, y denominador por denominador:

Ejemplo:
: &lt;math&gt;
   \frac{8}{9} \div \frac{5}{4} =
   \frac{8}{9} \cdot \frac{4}{5} =
   \frac{8 \cdot 4}{9 \cdot 5} =
   \frac{32}{45}
&lt;/math&gt;

== Representar como fracción de fracciones ==
Se representa una fracción en el numerador y la segunda en el denominador, se simplifica en otra fracción, donde se divide el producto de extremos entre el producto de medios:

Ejemplo:
: &lt;math&gt;
   \frac{3}{2} \div \frac{5}{7} =
   \cfrac {\; \cfrac{3}{2} \;}{ \; \cfrac{5}{7} \;} =
   \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 5} =
   \frac{21}{10}
&lt;/math&gt;

Una vez terminado el ejercicio hay que simplificar, si es posible.

== Véase también ==

* [[Matemáticas/Aritmética/Suma de fracciones|Suma de fracciones]]
* [[Matemáticas/Aritmética/Resta de fracciones|Resta de fracciones]]
* [[Matemáticas/Aritmética/Multiplicación de fracciones|Multiplicación de fracciones]]

[[Categoría:Matemáticas]]</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra Lineal/Sistemas de generadores y Base de un espacio vectorial</title>
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      <text bytes="3701" sha1="3h7i12aq4ixhpv04h0tjvxath7z9vqj" xml:space="preserve">{{AutoCat}}

==Sistema generador==

Un '''''sistema generador''''' de un [[espacio vectorial]] es un conjunto de vectores que
tienen la propiedad de que cualquier vector del espacio vectorial es combinación lineal
de los vectores del sistema generador. 

&lt;br/&gt;

===Ejemplo===

&lt;br/&gt;

En &amp;nbsp;
&lt;math&gt;
\R^2
&lt;/math&gt;
, los vectores

&lt;br/&gt;

&lt;center&gt;
&lt;math&gt;
\vec{\mathbf{v}}_1 \, = \,
\left(
  \, \frac{1}{2}, \, 0 \,
\right)
\qquad \mathrm{y} \qquad
\vec{\mathbf{v}}_2 \, = \,
\left(
  \, 0, \, \frac{1}{3}
\right)
&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

&lt;br/&gt;

forman un sistema generador ya que cualquier vector &amp;nbsp;
&lt;math&gt;
\left(
   \, x, \, y \,
\right)
&lt;/math&gt;
&amp;nbsp; en &amp;nbsp;
&lt;math&gt;
\R^2
&lt;/math&gt;
&amp;nbsp; se puede poner como combinación lineal de &amp;nbsp;
&lt;math&gt;
\vec{\mathbf{v}}_1 ~
&lt;/math&gt;
&amp;nbsp; y &amp;nbsp;
&lt;math&gt;
\vec{\mathbf{v}}_2 ~
&lt;/math&gt;:

&lt;br/&gt;

&lt;center&gt;
&lt;math&gt;
\left(
  \, x, \, y \,
\right)
\, = \, 2x \cdot \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, 3y \cdot \vec{\mathbf{v}}_2
&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

&lt;br/&gt;

==Base==

&lt;br/&gt;

Una '''''base''''' de un espacio vectorial es un sistema generador cuyos vectores son
linealmente independientes.

&lt;br/&gt;

Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de
vectores y ese número se llama '''''dimensión''''' del espacio vectorial.

&lt;br/&gt;

Todo espacio vectorial tiene, al menos, una base, y cualquier vector se puede expresar de
forma única como combinación lineal de los vectores de la base.

&lt;br/&gt;

Dada una base

&lt;br/&gt;

&lt;center&gt;
&lt;math&gt;
B \, = \,
\left\{
   \, \vec{\mathbf{u}}_1, \, \vec{\mathbf{u}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{u}}_n
\right\}
&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

&lt;br/&gt;

y un vector &amp;nbsp;
&lt;math&gt;
\vec{\mathbf{v}}
&lt;/math&gt;
, éste se puede escribir de la siguiente forma:

&lt;br/&gt;

&lt;center&gt;
&lt;math&gt;
\vec{\mathbf{v}} = \alpha_1 \cdot \vec{\mathbf{u}}_1 \, + \, \alpha_2 \cdot
\vec{\mathbf{u}}_2 \, + \, \ldots \, + \, \alpha_n \cdot \vec{\mathbf{u}}_n
&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

&lt;br/&gt;

Los numeros &amp;nbsp;
&lt;math&gt;
\alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots, \, \alpha_n
&lt;/math&gt;
&amp;nbsp; reciben el nombre de '''''coordenadas''''' del vector &amp;nbsp;
&lt;math&gt;
\vec{\mathbf{v}}
&lt;/math&gt;
&amp;nbsp; en la base &amp;nbsp;
&lt;math&gt;
B
&lt;/math&gt;
.

&lt;br/&gt;

===Ejemplo===

&lt;br/&gt;

El vector &amp;nbsp;
&lt;math&gt;
\vec{\mathbf{v}} =
\left(
   \, 10, \, 2 \,
\right)
&lt;/math&gt;
&amp;nbsp; expresado en la base &amp;nbsp;
&lt;math&gt;
B \, = \,
\left\{
   \, \vec{\mathbf{u}}_1, \, \vec{\mathbf{u}}_2 \, 
\right\}
&lt;/math&gt;
, siendo &amp;nbsp;
&lt;math&gt;
\vec{\mathbf{u}}_1 =
\left(
   \, 1, \, 2 \,
\right)
&lt;/math&gt;
&amp;nbsp; y &amp;nbsp;
&lt;math&gt;
\vec{\mathbf{u}}_2 =
\left(
   \, 2, \, 1 \,
\right)
&lt;/math&gt;
, es:

&lt;br/&gt;

&lt;center&gt;
&lt;math&gt;
\left(
  \, 10, \, 2 \,
\right)
= \alpha_1 \cdot
\left(
   \, 1, \, 2 \,
 \right)
 \, + \, \alpha_2 \cdot
\left(
   \, 2, \, 1 \,
 \right)
 \, = \,
 \left(
   \, \alpha_1 \, + \, 2 \alpha_2, \, 2 \alpha_1 \, + \, \alpha_2 \,
 \right)
&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

&lt;br/&gt;

de donde:

&lt;br/&gt;

&lt;center&gt;
&lt;math&gt;
\left.
  \begin{array}[c]{rcl}
    \alpha_1 \, + \, 2 \alpha_2 &amp; = &amp; 10
    \\
    2 \alpha_1 \, + \, \alpha_2 &amp; = &amp; 2
  \end{array}
\right\}
\, \Rightarrow \, \alpha_1 \, = \, -2, \, \alpha_2 \, = \, 6
&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

&lt;br/&gt;

Las coordenadas del vector &amp;nbsp;
&lt;math&gt;
\vec{\mathbf{v}}
&lt;/math&gt;
&amp;nbsp; en la base &amp;nbsp;
&lt;math&gt;
B
&lt;/math&gt;
&amp;nbsp; son &amp;nbsp; -2 y 6.

&lt;br/&gt;

En &amp;nbsp; &lt;math&gt; \R^2 &lt;/math&gt; &amp;nbsp; cualquier conjunto de 2 vectores linealmente independientes forman una base.
En &amp;nbsp; &lt;math&gt; \R^3 &lt;/math&gt; &amp;nbsp; cualquier conjunto de 3 vectores linealmente independientes forman una base.

&lt;br/&gt;

== Fuentes ==
* Parte de este artículo incorpora material de [http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Sistemas_de_generadores_y_bases_de_un_espacio_vectorial wikillerato], publicado bajo licencia GFDL.</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra Lineal/Espacios Vectoriales</title>
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      <timestamp>2026-07-26T15:57:31Z</timestamp>
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        <username>Mazbel</username>
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      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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      <text bytes="3454" sha1="2nrz1scz1s55pbng627zz5hi659ep8o" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
==Definicion==
Un espacio vectorial &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; sobre un campo &lt;math&gt;F&lt;/math&gt;, es un conjunto donde se cumplen 2 operaciones &lt;math&gt;\bar+&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\circ&lt;/math&gt;  

Donde:

:&lt;math&gt;
{\bar+:{V}\times{V}}\rightarrow {V}
&lt;/math&gt; 
Es una operacion binaria en el conjunto V conocida como ''suma de vectores''

:&lt;math&gt;
{\circ:{F}\times{V}}\rightarrow {V}
&lt;/math&gt;
Es una operacion binaria del campo F y el conjunto V, al conjunto V conocida como ''multiplicacion por escalares''


Y se cumplen las siguientes propiedades:

'''Propiedad 1.'''
: &lt;math&gt;
   \forall x, y, z \in V: \quad
   x \bar+ (y \bar+ z) =
   (x \bar+ y) \bar+ z 
&lt;/math&gt;

'''Propiedad 2.'''
: &lt;math&gt;
   \exists ! e \in V, \quad  \forall x \in V: \quad
   x \bar+ e =
   e \bar+ x = x
&lt;/math&gt;

'''Propiedad 3.'''
: &lt;math&gt;
  \forall x \in V , \quad
   \exists -x \in V : \quad
   (-x) \bar+ x =
   x \bar+ (-x) = e
&lt;/math&gt;

'''Propiedad 4.'''
: &lt;math&gt;
   \forall x,y \in V:\quad
 x \bar+ y = y \bar+ x 
&lt;/math&gt;.

'''Propiedad 5.'''
:&lt;math&gt;
   \exist ! 1 \in F, \quad
    \forall x \in V:\quad 
     {1}\circ{x}=x
&lt;/math&gt;

'''Propiedad 6.'''
:&lt;math&gt;
   \forall a \in F, \quad
    \forall x, y \in V:\quad 
     {a}\circ{(x\bar+y)}= ({a}\circ{x})\bar+({a}\circ{y})
&lt;/math&gt;

'''Propiedad 7.'''
:&lt;math&gt;
   \forall a,b \in F, \quad
    \forall x \in V:\quad 
     {({a}\times{b})}\circ{x} = {a}\circ{({b}\circ{x})}
&lt;/math&gt;

'''Propiedad 8.'''
:&lt;math&gt;
   \forall a,b \in F, \quad
    \forall x \in V:\quad 
     {(a+b)}\circ{x}=({a}\circ{x})\bar+({b}\circ{x})
&lt;/math&gt;


Donde&lt;math&gt; + &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; \times &lt;/math&gt; son las dos operaciones del campo F


A los elementos de V se les llama Vectores y a los elementos de F se les llama escalares.


No confundir  &lt;math&gt;\bar+&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;+&lt;/math&gt;, el primero es suma de vectores y el segundo es suma de escalares; y recordadr que &lt;math&gt;\circ&lt;/math&gt; es producto de escalares por vectores y &lt;math&gt;\times&lt;/math&gt; es multiplicacion de escalares


===Ejemplos===

1. &lt;math&gt;V = \mathbb{R}^2&lt;/math&gt;  es un espacio vectorial sobre el campo &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;


2. &lt;math&gt;V = M_{{n}\times{m}}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;   (el conjunto de matrices de &lt;math&gt;{n} \times {m}&lt;/math&gt; con entradas en &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;) es un espacio vectorial sobre el campo &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;       


3. &lt;math&gt;\mathbb{P}_n(\mathbb{R})&lt;/math&gt;   (los polinomios de grado menor o igual que &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; con coeficientes en &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;) son un espacio vectorial sobre el campo &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;


4. 

'''Teorema''' En un espacio vectorial siempre se cumplen las siguientes propiedades:

# &lt;math&gt;0\circ{x}= e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall x\in V&lt;/math&gt;
donde &lt;math&gt;0 \in F&lt;/math&gt; es el neutro de la operacion suma en F
# &lt;math&gt;(-1)\circ {x}=-x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall x\in V&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;a\circ{e}= e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall a \in F &lt;/math&gt;


''Demostración''

#  &lt;math&gt;(0\circ{x})\bar+e = 0\circ{x} = (0+0)\circ{x}\ =\ (0\circ{x})\bar+(0\circ{x})&lt;/math&gt; y por cancelacion  &lt;math&gt;e=0\circ{x}&lt;/math&gt;.
#  &lt;math&gt;x\bar +((-1)\circ x)=(1\circ x) \bar + ((-1)\circ x)=(1+(-1))\circ x=0\circ x=e&lt;/math&gt;. Como el simétrico (para la suma) de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; es único, tenemos &lt;math&gt;(-1)\circ x=-x&lt;/math&gt;.
#  &lt;math&gt;(a\circ e)\bar +e=a\circ e=a\circ (e\bar+e)=(a\circ e)\bar+(a\circ e)&lt;/math&gt; y por cancelación &lt;math&gt;e=a\circ e&lt;/math&gt;.

[[en:Linear Algebra/Vector Spaces]]
[[fr:Algèbre linéaire/Espace Vectoriel]]
[[pt:Álgebra linear/Espaços vetoriais]]</text>
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    <title>Matemáticas/Generalidades/Topología1</title>
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      <text bytes="1218" sha1="fx6mya2s2vgk5h8gaxe7szwoj1a7tgk" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
La topología es la rama de las matemáticas que trata las propiedades espaciales de los objetos que quedan inalteradas bajo deformaciones continuas: por ejemplo, que estiran o contraen, pero no cortan ni pegan. En topología se generalizan nociones propias de los espacios métricos, como continuidad y convergencia.
La Topología (del griego τόπος, “lugar”, y λόγος, “estudio”) es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.1 Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La Topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, etcétera.

== Topología general ==

=== Introducción a la topología ===
*[[Matemáticas/Topología/Espacios métricos|Espacios métricos]]

Ver el capítulo 8 del libro [[Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos| Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos]]</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra Lineal/Subespacios Vectoriales</title>
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      <text bytes="1173" sha1="2zk2ec1g2erlva3l7m028bf70fr7gyb" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
==Subespacios vectoriales==

Sea &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un espacio vectorial sobre el campo F. Un subespacio vectorial &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; es un subconjunto de &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; tal que es espacio vectorial sobre F con las mismas operaciones definidas en &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, es decir que cumple las 8 propiedades de espacio vectorial.


'''Teorema (de caracterización)''' Sea &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un espacio vectorial sobre F, W es subespacio vectorial de si y solo si se cumplen las siguientes propiedades:

# &lt;math&gt; \forall a \in F \quad \forall x \in W, \quad {a} \circ{x} \in W&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \forall x,y \in W,\quad x\bar+y \in W&lt;/math&gt;

'''Demostración'''

&lt;math&gt;\rightarrow)&lt;/math&gt; Es evidente, porque las operaciones &lt;math&gt;\bar+&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\circ&lt;/math&gt; son operaciones en &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\leftarrow)&lt;/math&gt; Las 8 propiedades de espacio vectorial se cumplen en &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; porque se cumplen en &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;.


'''Corolario''' Un subconjunto &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; no vacío de &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; es subespacio vectorial si y solo si, para cada &lt;math&gt;a,b\in F&lt;/math&gt; y para cada &lt;math&gt;x,y\in W&lt;/math&gt; se cumple 
::&lt;math&gt;a\circ x\bar + b\circ y\in W&lt;/math&gt;.</text>
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    <title>Matemáticas/Generalidades/Derivadas direccionales</title>
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      <text bytes="7953" sha1="2h0pgg8jdb49330ooa6tf25l6qjpwyp" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
==La derivada direccional==

Una forma de determinar, para una función &lt;math&gt;z = f(x,y)&lt;/math&gt;, el ''aumento en la dirección de un cierto vector'' &lt;math&gt;u = (u_1,u_2)&lt;/math&gt; a partir del punto genérico &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; es a través de la recta

&lt;math&gt;L(h) = (x,y) + h(u_1,u_2) = (x + h u_1,y + h u_2)&lt;/math&gt;,

situación que se muestra en la figura 3, de tal forma que si &lt;math&gt;u = (u_1,u_2)&lt;/math&gt; es unitario, es decir, &lt;math&gt;||u|| = 1&lt;/math&gt;, se puede establecer el cociente de diferencias de la función &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; respecto del incremento en la dirección de &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;.

[[Archivo:Deriv direcc-3.png]]
Figura 3. Recta en dirección de &lt;math&gt;(u_1,u_2)&lt;/math&gt;

== Definición ==
Sea la función escalar &lt;math&gt;z = f(x)&lt;/math&gt;  que depende del vector n-dimensional &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, se define la '''derivada direccional''' en dirección del vector &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; como

&lt;math&gt;
f'(x;u) = lim_{h\to 0}{\frac{f(x + h u) - f(x)}{h}}
&lt;/math&gt;

== Ejemplo 1 ==
Sea la función &lt;math&gt;g(x,y): = 3 x^2 - 2 x y + y^2&lt;/math&gt;. Determine la derivada direccional en dirección del vector &lt;math&gt;u = (u_1,u_2)&lt;/math&gt; y evalúela en los puntos P1 = (1, - 1) y P2 = (2,1).

=== Solución ===
Se debe hallar explícitamente &lt;math&gt;g(\mathbf{x} + hu)&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;\mathbf{x} = (x,y)&lt;/math&gt;. Así

&lt;math&gt;
\begin{align}
g(\mathbf{x} + hu) &amp;= g((x,y) + h(u_1,u_2)) \\
                   &amp;= g(x + h u_1,y + h u_2),
\end{align}
&lt;/math&gt;

lo que nos conduce a

&lt;math&gt;g(x +  h u_1, y + h u_2) = 3 (x + h u_1)^2 - 2 (x + h u_1) (y + h u_2) + (y +  h u_2)^2.&lt;/math&gt;

Expandiéndolo nos queda

&lt;math&gt;
\begin{align}
g(x +  h u_1, y + h u_2) = &amp; 3 x^2 + 3 h^2 u_1^2 + 6 h xu_1      \\
                           &amp; - 2 x y - 2 h x u_2 - 2 h y u_1 - 2 h^2 u_1 u_2  \\
                           &amp; + y^2 + h^2 u_2^2 + 2 h y u_2.
\end{align}
&lt;/math&gt; 

Se realiza el cociente de diferencias como

&lt;math&gt;   
\begin{align}                
\frac{g(\mathbf{x} + h u) - g(\mathbf{x})}{h} =
  &amp; \frac{3 x^2}{h} + 3 h u_1^2 + 6 xu_1 \\
  &amp;  - \frac{2 x y}{h} - 2 x u_2 - 2 y u_1 - 2 h u_1 u_2  \\
  &amp;  + \frac{y^2}{h} + h u_2^2 + 2 y u_2.\\
  &amp;  - \frac{3x^2}{h} + \frac{2xy}{h} - \frac{y^2}{h}
\end{align}
&lt;/math&gt;

Vemos que todos los términos que dividen por &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; se anulan. Ahora, tomamos el límite cuando &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; tiende a cero para obtener la derivada direccional.

&lt;math&gt;
\begin{align}
g'(x, y; u) &amp; = \lim_{ h \to 0} \frac{g(x + h u_1,y + h u_2) - g(x,y)}{h} \\
            &amp; = \lim_{ h \to 0} 3 h u_1^2 + 6 x u_1 - 2 x u_2 - 2 y u_1 - 2 h u_1 u_2 + h u_2^2 + 2 y u_2\\
            &amp; = 6 x u_1 - 2 x u_2 - 2 y u_1 + 2 y u_2 \\
            &amp; = (6 x - 2 y, 2y - 2 x)\cdot (u_1, u_2).
\end{align}
&lt;/math&gt;

Ahora evaluamos en el punto (1, - 1)

&lt;math&gt;g'(1, - 1;u) = (8, - 4)\cdot(u_1,u_2) = 8 u_1 - 4 u_2&lt;/math&gt;

y en el punto (2,1)

&lt;math&gt;g'(2,1;u) = (10, - 2)\cdot(u_1,u_2) = 10 u_1 - 2 u_2&lt;/math&gt;

Véase que el valor de la derivada depende de la dirección que se tome, si por ejemplo el vector unitario de dirección es (sqrt (2)2, -sqrt (2) 2) el valor de la derivada en el punto (1, - 1) es g '((1, - 1);(sqrt (2)2,-
sqrt (2)2)) = 8(sqrt (2)2) - 4(sqrt (2)2) = 2.8284, cuya interpretación es que en el punto (1, - 1), en la dirección (sqrt (2)2, -sqrt (2)2), la función tiene un incremento de 2.83 unidades por cada unidad de incremento; pero si se elige, por ejemplo, la dirección (1sqrt (5),2sqrt (5)) queda g '((1, - 1);(1
sqrt (5),2sqrt (5))) = 8(1sqrt (5)) - 4(2sqrt (5)) = 0 lo que significa que en esta dirección en el punto (1, - 1) la función g no tiene algún tipo incremento. A continuación un par de gráficas que se espera clarifiquen más lo expuesto en este ejemplo.

[[Archivo:Deriv direcc-4.png]]
Figura 4. Superficie g(x,y): = 3 x^2 - 2 x y + y^2
[[Archivo:Deriv direcc-5.png]]
Figura 5. Curva de nivel de g(x,y) que pasa por (1, - 1)

En la gráfica 4 se ve la función con sus curvas de nivel, en la gráfica 5 se ha dibujado la curva de nivel que pasa por el punto (1, - 1) y los vectores dirección a partir de este punto, nótese que el vector dirección (
1
sqrt (5)
,
2
sqrt (5)
) es tangente a la curva de nivel, es decir que caminando en esa dirección en ese punto no hay incremento ni decremento en la altura z , cosa que no sucede cuando nos dirigimos en la dirección (
sqrt (2)
2
, -
sqrt (2)
2
).

== Ejercicios ==

Aplicando la definición de derivada direccional, haga el cálculo para las siguientes funciones escalares:

=== Ejercicio 1 ===
f(x) = x⋅x siendo x = (x,y) en el punto (1,1) en la dirección del vector

( - 1,1)

=== Ejercicio 2===
f(x,y,z) = 3 x^2 - 2 x y + y^2 + z2 en el punto ( - 1,0,0) y en la dirección del vector (2,1,2)

= Derivadas parciales =

Hablar de las derivadas parciales es hablar de un caso particular de las derivadas direccionales puesto que las direcciones generalmente son paralelas al eje z pero también a cualquiera de los ejes de las variables involucradas, es decir, si ei = (01,02,⋯,1i, 0n - 1,⋯,0n) el vector unitario en la dirección del eje de la variable i-ésima se tiene que la definición de la derivada parcial es entonces:

== Definición ==
Se dice que una función &lt;math&gt;f'_i(x)&lt;/math&gt; es la '''derivada parcial''' de una función multivaluada escalar &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; si queda definida como

&lt;math&gt;f_i'(x) = f'(x;e_i) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x + h e_i) - f(x)}{h}&lt;/math&gt;

otras formas de escribirla son &lt;math&gt;\frac{\partial f}{\partial x_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;D_{x_i}f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;D_if&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;fxi&lt;/math&gt;.

Nótese que

&lt;math&gt;x + h e_i = (x_1,x_2,\cdots,x_i + h, \cdots,x_n)&lt;/math&gt;

y véase además que el vector dirección no es otra cosa que el vector unitario en dirección del eje de la variable &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;, así la derivada parcial mantiene todas las variables fijas a excepción de la variable con respecto de la cual se está derivando.

== Ejemplo ==
Determine la derivada parcial respecto de las variables x e y para la función f(x,y)≔x^2 + 3 x y + y4

Al utilizar la definición se tiene:
fx(x,y) = limh→0
f(x + h,y) - f(x,y)
h
= limh→0
y4 + 3 (x + h) y + (x + h)2 - (y4 + 3 x y + x^2)
h
= limh→0
3 h y + 2 h x + h2
h
= 3y + 2x

Nótese que fx mantiene como fija la variable y, la cual es considerada como constante, y se deriva con respecto a la variable x.

Por otro lado hallamos
∂f
∂y
( x , y ):
∂f
∂y
= limh→0
f(x,y + h) - f(x,y)
h
= limh→0
y4 + 4 h y3 + 6 h2 y^2 + 3 x y + 4 h3 y + x^2 + 3 h x + h4 - (y4 + 3 x y + x^2)
h
= limh→04 y3 + 6 h y^2 + 4 h2 y + 3 x + h3 = 4 y3 + 3 x

Esta vez la variable x se considera como una constante junto con las demás constantes numéricas y se deriva la variable y.

== Estrategia ==
Para determinar la derivada parcial de una función multivaluada escalar respecto de una de las variables, se debe considerar a todas las demás como constantes, y la derivada se halla con las reglas de derivación de la derivada corriente.

Según la regla anterior aplicada a f ( x , y ) ≔ x 2 + 3 x y + y 4 , derivando respecto de x , se ve que y es considerada como constante y se deriva como una ordinaria, así resulta que
∂f
∂x
= 2 x + 3 y + 0, la derivada de ( x 2 )' = 2 x , la derivada de (3 x y )' = 3 y puesto que se considera y como una constante y finalmente ( y 4 )' = 0 por la misma razón. En consecuencia
∂f
∂x
= 2 x + 3 y .


= Vector gradiente =

El vector gradiente es un vector que se construye con las derivadas parciales de una función.

== Definición ==.

El '''vector gradiente''' escrito como ∇f(x) se define como

∇f(x) = (
∂f(x)
∂x1
,
∂f(x)
∂x^2
,⋯,
∂f(x)
∂xn
) 	(3)

== Ejemplo ==
Determine el gradiente de la función escalar h(x,y,z): = 2 x y z + x^2 + ( - x) y + y^2 - z2.

=== Solución ===
Determinamos las derivadas parciales hx = 2 y z - y + 2 x, hy = 2 x z + 2 y - x y finalmente hz = 2 x y - 2 z, de modo que el vector gradiente es pues ∇f(x,y,z) = (2 y z - y + 2 x,2 x z + 2 y - x,2 x y - 2 z)</text>
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    <title>Matemáticas/Precálculo/Derivadas, reglas y teoremas</title>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
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      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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      <text bytes="6869" sha1="ck29txxop5v6df3ibjsx79un1bk3m0c" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
== Reglas de derivación ==

'''Regla de derivación general:'''

:&lt;math&gt;\frac{d}{dx}x^{n}= nx^{n-1}&lt;/math&gt;

'''Derivada de una suma:'''

:&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(x^{a}+x^{b})=\frac{d}{dx}{x^a}+\frac{d}{dx} {x^b}=ax^{a-1}+bx^{b-1}&lt;/math&gt;

'''Derivada de un producto:'''

:&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(uv)=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}&lt;/math&gt;

'''Derivada de un cociente:'''

:&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}&lt;/math&gt;

'''Derivada de una constante'''

:&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(a)=0&lt;/math&gt;

'''Regla de la cadena:'''

:&lt;math&gt;\frac{d}{dx}f(u(x))=\frac{df}{du}\frac{du}{dx}&lt;/math&gt;

==Resultados previos utilizados==
'''Linealidad'''
:&lt;math&gt;
\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx}+\frac{dg(x)}{dx}
&lt;/math&gt;
'''Regla de Leibniz'''
:&lt;math&gt;
\frac {d(f(x)\cdot g(x))}{dx}=\frac {df(x)}{dx}g(x)+f(x)\frac {dg(x)}{dx}
&lt;/math&gt;
'''Regla de la cadena'''
:&lt;math&gt;
\frac {df(g(x))}{dx}=\frac {df(g(x))}{dg}\cdot \frac {dg(x)}{dx}
&lt;/math&gt;
==Polinomios==
Por linealidad la derivación de un polinomio puede realizarse término a término.

Sea &lt;math&gt; \ f(x)=x^n &lt;/math&gt;
Empleando el desarrollo del binomio de Newton obtenemos un término en potencia 0 de ''h'', uno en potencia ''h'' y el resto iguales o superiores a &lt;math&gt; h^2 &lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
\frac {df}{dx}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{x^n+hnx^{n-1}+h^2(...)-x^n}{h}
&lt;/math&gt;
Efectuando el límite obtenemos el resultado buscado.
:&lt;math&gt;
\frac {dx^n}{dx}=\lim_{h \to 0}(nx^{n-1}+h(...))=nx^{n-1}
&lt;/math&gt;
==Exponencial==
Una de las posibles definiciones de &lt;math&gt; e^x &lt;/math&gt; es:
:&lt;math&gt;
e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}
&lt;/math&gt;
Dejando de lado cuestiones de convergencia, si efectuamos la derivación término a término extendiéndola a los infinitos términos tenemos que:
:&lt;math&gt;
\frac{de^x}{dx}=\frac{d1}{dx}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{d}{dx}\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{kx^{k-1}}{k(k-1)!}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}
&lt;/math&gt;
Obteniendo por tanto:
:&lt;math&gt;
\frac {de^x}{dx}=e^x
&lt;/math&gt;
===Exponencial en base arbitraria===
Sea &lt;math&gt; \ f(x)=a^x &lt;/math&gt;. Aplicando logaritmo y exponenciación sucesivamente tenemos que &lt;math&gt; \ln(e^{f(x)})=f(x)=e^{x\ln(a)} &lt;/math&gt;, de modo que derivando obtenemos:
:&lt;math&gt;
\frac{d(a^x)}{dx}=\ln(a)e^{x\ln(a)}=\ln(a)a^x
&lt;/math&gt;
== Logaritmo natural ==
Por definición de logaritmo natural tenemos que:
:&lt;math&gt;
\ln(e^t)=t
&lt;/math&gt;
Efectuamos el cambio de variable &lt;math&gt; x=e^t &lt;/math&gt;, derivando respecto a ''t'' y aplicando la regla de la cadena obtenemos:
:&lt;math&gt;
\frac {d\ln(x)}{dt}=\frac {d\ln(x)}{dx}\frac{dx}{dt}=1
&lt;/math&gt;
Dado que &lt;math&gt; x=e^t &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;
\frac{dx}{dt}=\frac{de^t}{dt}=e^t=x
&lt;/math&gt;
Sustituyendo en la penúltima expresión:
:&lt;math&gt;
\frac{d\ln(x)}{dx}=\frac{1}{x}
&lt;/math&gt;
==Funciones trigonométricas==
===Límites empleados===
* El primer límite que emplearemos es:
:&lt;math&gt;
\lim_{x \to 0}\frac {1-\cos(x)}{x}=0
&lt;/math&gt;
'''Demostración'''
Para ángulos en el primer cuadrante se verifica que:
:&lt;math&gt;
\ 0\leq \sin(x)\leq x\leq \tan(x)
&lt;/math&gt;
Elevando al cuadrado y dividiendo por ''x'':
:&lt;math&gt;
0\leq\frac{\sin^2(x)}{x}=\frac {1-\cos^2(x)}{x}=\frac {(1-\cos(x))(1+\cos(x)}{x}\leq x
&lt;/math&gt;
De modo que tenemos:
:&lt;math&gt;
0\leq\lim_{x \to 0}\frac {1-\cos(x)}{x}\leq\lim_{x \to 0}\frac {x}{1+\cos(x)}=0
&lt;/math&gt;
El segundo límite es trivial y da 0 de modo que:
:&lt;math&gt;
\lim_{x \to 0}\frac {1-\cos(x)}{x}=0
&lt;/math&gt;

* El segundo límite es:
:&lt;math&gt;
\lim_{x \to 0}\frac {\sin(x)}{x}=1
&lt;/math&gt;

'''Demostración'''
Empleando la misma desigualdad que en caso anterior para ángulos del primer cuadrante:
:&lt;math&gt;
\sin(x)\leq x\leq \tan(x)
&lt;/math&gt;
Dividiendo por sin(''x'') tenemos:
:&lt;math&gt;
\ 1 \leq\frac{x}{\sin(x)}\leq\frac{1}{\cos(x)}
&lt;/math&gt;
Aplicando límite a los tres términos:
:&lt;math&gt;
\lim_{x\to 0}1=1\leq\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin(x)}\leq\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos(x)}=1
&lt;/math&gt;
Obteniendo:
:&lt;math&gt;
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin(x)}=1
&lt;/math&gt;

===Seno===
Aplicando la definición de derivada y aplicando el seno de la suma:
:&lt;math&gt;
\frac{d\sin(x)}{dx}=\lim_{h \to 0}\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac {\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}
&lt;/math&gt;
Separando en dos límites
:&lt;math&gt;
\frac{d \sin(x)}{dx}=\sin(x)\lim_{h \to 0}\frac {\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\lim_{h \to 0}\frac {\sin(h)}{h}
&lt;/math&gt;
El primero de los límites resulta ser 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:
:&lt;math&gt;
\frac{d\sin(x)}{dx}=\cos(x)
&lt;/math&gt;
===Coseno===
El procedimiento será análogo al anterior.

Aplicando la definición de derivada y aplicando el coseno de la suma:
:&lt;math&gt;
\frac{d\cos(x)}{dx}=\lim_{h \to 0}\frac {\cos(x+h)-\cos(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac {\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h}
&lt;/math&gt;
Separando en dos límites
:&lt;math&gt;
\frac{d\cos(x)}{dx}=\cos(x)\lim_{h \to 0}\frac {\cos(h)-1}{h}-\sin(x)\lim_{h \to 0}\frac {\sin(h)}{h}
&lt;/math&gt;
El primero de los límites es 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:
:&lt;math&gt;
\frac{d\cos(x)}{dx}=-\sin(x)
&lt;/math&gt;
===Tangente===
La tangente viene definida como:
:&lt;math&gt;
\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}
&lt;/math&gt;
Aplicando la derivada del producto (podemos entender el cociente como el producto de una función por la otra elevada a -1).
:&lt;math&gt;
\frac{d(\tan(x))}{dx}=\frac{\cos(x)}{\cos(x)}+\sin(x)\frac {\sin(x)}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)
&lt;/math&gt;
==Funciones trigonométricas inversas==
===Arcoseno===
Por definición de arcoseno:
:&lt;math&gt;
\arcsin(\sin(t))=t
&lt;/math&gt;
Efectuando el cambio de variable &lt;math&gt; x=sin(t) &lt;/math&gt;, derivando respecto a ''t'' y aplicando la regla de la cadena tenemos:
:&lt;math&gt;
\frac{d(\arcsin(x))}{dt}=\frac {d(\arcsin(x))}{dx}\frac{dx}{dt}=1
&lt;/math&gt;
Teniendo en cuenta que:
:&lt;math&gt;
\frac{dx}{dt}=\cos(t)=\sqrt{1-\sin^2(t)}=\sqrt{1-x^2}
&lt;/math&gt;
Sustituyendo
:&lt;math&gt;
=\frac {d(\arcsin(x))}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
&lt;/math&gt;
===Arcocoseno===
Por definición de arcocoseno:
:&lt;math&gt;
\arccos(\cos(t))=t
&lt;/math&gt;
De nuevo efecttuando el cambio de variable &lt;math&gt; x=cos(t) &lt;/math&gt;, derivando respecto a ''t'' y aplicando la regla de la cadena tenemos:
:&lt;math&gt;
\frac{d(\arccos(x))}{dt}=\frac {d(\arccos(x))}{dx}\frac{dx}{dt}=1
&lt;/math&gt;
Análogamente (en este caso hemos de coger la raiz negativa para conservar el signo):
:&lt;math&gt;
\frac{dx}{dt}=-\sin(t)=-\sqrt{1-\cos^2(t)}=-\sqrt{1-x^2}
&lt;/math&gt;
Sustituyendo
:&lt;math&gt;
\frac {d(\arccos(x))}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
&lt;/math&gt;
===Arcotangente===
Por definición de arcotangente:
:&lt;math&gt;
\arctan(\tan(t))=t
&lt;/math&gt;
Efectuando el cambio de variable &lt;math&gt; x=tan(t) &lt;/math&gt;, derivando respecto a ''t'' y aplicando la regla de la cadena tenemos:
:&lt;math&gt;
\frac{d(\arctan(x))}{dt}=\frac {d(\arctan(x))}{dx}\frac{dx}{dt}=1
&lt;/math&gt;
Teniendo en cuenta que:
:&lt;math&gt;
\frac{dx}{dt}=1+\tan^2(t)=1+x^2
&lt;/math&gt;
Sustituyendo
:&lt;math&gt;
\frac {d(\arctan(x))}{dx}=\frac{1}{1+x^2}
&lt;/math&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Cálculo en una variable/Continuidad</title>
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        <username>Mazbel</username>
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== Definición formal ==
Distintas situaciones de una función en un punto.

: &lt;math&gt;
   Funci\acute{o}n
   \left \{
      \begin{array}{l}
         Continua
         \left \{
            \begin{array}{l}
               Derivable      \\
               No \; derivable
            \end{array}
         \right .
         \\ \\
         Discontinua
         \left \{
            \begin{array}{l}
               Evitable \\
               Esencial
               \left \{
                  \begin{array}{l}
                     De \; primera \; especie
                     \left \{
                        \begin{array}{l}
                           De \; salto \; finito  \\
                           De \; salto \; infinito \\
                           Asint\acute{o}tica
                        \end{array}
                     \right .
                     \\
                     De \; segunda \; especie
                  \end{array}
               \right .
               \\
            \end{array}
         \right .
      \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;

===Continuidad en un punto===
Una función  f(x) es continua en un punto &lt;math&gt; x_0 &lt;/math&gt; si verifica que:
:&lt;math&gt;
\forall \epsilon &gt;0 \quad\exists \delta &gt;0 \quad / \quad |x-x_0|&lt;\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-f(x_0)|&lt;\epsilon
&lt;/math&gt;
Informalmente esta definición quiere decir que podemos hacer que la imagen de un punto sea todo lo cercana que queramos a &lt;math&gt; f(x_0) &lt;/math&gt; tan solo acercando el punto x a &lt;math&gt; x_0 &lt;/math&gt;

===Continuidad en un intervalo===
Como resulta intuitivo, una función es continua en un intervalo si lo es en cada uno de sus puntos.

f(x) es continua en [a,b] &lt;math&gt; \quad\iff\quad\forall x \in[a,b]&lt;/math&gt; f(x) es continua.

==Propiedades==
Sean f(x) y g(x) funciones continuas. Se verifica:
*af(x) es continua &lt;math&gt; a\in \mathbb R &lt;/math&gt;
*f(x)+g(x) es continua
*f(x)g(x) es continua
*f(g(x)) es continua</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra Lineal/Método de Gauss</title>
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        <username>Mazbel</username>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3583" sha1="bjx9npf1rbixs9wa0amu76r4d7mxaos" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Sea K un [[w:Cuerpo (matemática)|cuerpo]]. Una ecuación lineal con coeficientes en K es una expresión de la forma:


&lt;math&gt; a_n x_n + a_{n-1} x_{n-1} +  a_{n-2} x_{n-2} + \cdots + a_2 x_2 + a_1 x_1 = b \,&lt;/math&gt;


donde &lt;math&gt; {a_i} \,&lt;/math&gt; son elementos de K para todo &lt;math&gt; i\in {0,...,n} \,&lt;/math&gt; y se llaman coeficientes; el término &lt;math&gt; b \,&lt;/math&gt; es de nuevo un elemento de K y se le llama término independiente y, por último, &lt;math&gt; x_1,...,x_n \,&lt;/math&gt; son símbolos que llamaremos incógnitas. Para un número pequeño de incógnitas, usaremos la notación x, y, z, t...
Es remarcable el hecho de que, al tratarse de una ecuación lineal, no pueden existir términos de incógnitas al cuadrado.

==Sistemas de ecuaciones lineales==

Un conjunto de m escuaciones lineales con las mismas incógnitas:


&lt;math&gt;
   \begin{matrix}
      a_{11}x_1 &amp; + a_{12}x_2 &amp; + \dots &amp; + a_{1n}x_n &amp; = b_1 \\
      a_{21}x_1 &amp; + a_{22}x_2 &amp; + \dots &amp; + a_{2n}x_n &amp; = b_2 \\
      \dots     &amp; \dots       &amp; \dots   &amp; \dots       &amp; \dots \\
      a_{m1}x_1 &amp; + a_{m2}x_2 &amp; + \dots &amp; + a_{mn}x_n &amp; = b_m
   \end{matrix}
&lt;/math&gt;


se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Llamaremos soluciones del sistema a cada conjunto de valores asignados a las incógnitas que son solución de todas las ecuaciones del sistema. Se llama solución general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema. Decimos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución general, es decir, si sus soluciones coinciden.

La clasificación de los sitemas de ecuaciones se hace en función de sus soluciones: si posee alguna solución, se llamará compatible; en caso contrario, se denomina incompatible. Además, los sistemas compatibles se dividen a su vez en: determinados, si la solución es única, e indeterminados en caso contrario. Se denomina discusión de un sistema al proceso de clasificación de un sistema dentro de los tipos anteriores. Decimos que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si los términos independientes son cero. Éste tipo de sistemas admiten una solución que se denomina trivial, &lt;math&gt; {x_i} = 0 \,&lt;/math&gt; , siendo por tanto compatible en cualquier caso.

==Método de Gauss==

El método de Gauss es un sistema -probablemente el más útil en dimensiones bajas- de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. La idea del método es conseguir, mediante un sistema dado, uno equivalente más sencillo, y aplicar el método iterativamente hasta obtener un sistema de solución obvia.

'''Proposición 1''': Si en un sistema de ecuaciones lineales dado intercambiamos dos ecuaciones de lugar, multiplicamos una ecuación por un miembro del cuerpo K, o sumamos una ecuación a otra multiplicada por un elemento del cuerpo, obtenemos un sistema equivalente.

'''Demostración''': es obvio que el primer predicado es cierto. El segundo lo podemos extraer de las propiedades de cuerpo de K, esto es, que si tenemos &lt;math&gt; a, b, c \in K \,&lt;/math&gt;, con &lt;math&gt; c \ne 0 \,&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt; a = b \Longleftrightarrow ac = bc \,&lt;/math&gt;. Para el tercer predicado consideramos el sistema de ecuaciones lineales:


&lt;math&gt;
   \begin{matrix}
      a_{11}x_1 &amp; + a_{12}x_2 &amp; + \dots &amp; + a_{1n}x_n &amp; = b_1 \\
      a_{21}x_1 &amp; + a_{22}x_2 &amp; + \dots &amp; + a_{2n}x_n &amp; = b_2 \\
      \dots     &amp; \dots       &amp; \dots   &amp; \dots       &amp; \dots \\
      a_{m1}x_1 &amp; + a_{m2}x_2 &amp; + \dots &amp; + a_{mn}x_n &amp; = b_m
   \end{matrix}
&lt;/math&gt;

y lo que resulta de sumar h veces la i-ésima ecuación a la j-ésima:</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra Lineal/Matrices</title>
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        <username>Mazbel</username>
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      <text bytes="1201" sha1="acdc8ebetcfzh2r989pmyl8dfynk5yw" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
En éste capítulo veremos como se qué es una [[w:Matriz (matemáticas)|matriz]], cómo se construyen y qué propiedades tienen. La idea de transformar sistemas de ecuaciones en matrices fue de [[w:Gauss|K. F. Gauss]], quien de éste modo simplificaba los métodos de resolución de los citados sistemas.
Más tarde, en el siglo XIX, una generación de matemáticos desarrolló toda una teoría que fue fundada por [[w:Hermann Grassmann|Grassmann]], y que a finales de siglo se reveló como la generatriz de la geometría, descubriéndose así la íntima relación existente entre las dos ramas de la matemática.


=Secciones=

# [[Matemáticas/Álgebra Lineal/Sistemas de ecuaciones lineales y matrices|Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.]]
# [[Matemáticas/Álgebra Lineal/Transformaciones elementales de una matriz|Transformaciones elementales de una matriz.]]
# [[Matemáticas/Álgebra Lineal/Operaciones con matrices|Operaciones con matrices.]]
# [[Matemáticas/Álgebra Lineal/Descomposición de matrices en matrices elementales|Descomposición de matrices en matrices elementales.]]
# [[Matemáticas/Álgebra Lineal/Determinante de una matriz|Determinante de una matriz.]]</text>
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    <title>Trigonometría/Funciones Trigonométricas</title>
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      <text bytes="3683" sha1="3tcsjc7zofdqi35mn4i4grc38dsumy1" xml:space="preserve">== Funciones trigonométricas de ángulo doble ==

Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que &lt;math&gt;\alpha = \beta&lt;/math&gt;
{{ecuación|
:&lt;math&gt; \sen(\alpha+\beta) =\sen \alpha \cos \beta + \sen \beta \cos \alpha &lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\sen 2\alpha =\sen\alpha \cos\alpha + \sen\alpha\cos\alpha = 2\sen\alpha\cos\alpha&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\cos(\alpha+\beta)=cos \alpha \cos\beta-\sen\alpha\sen\beta&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\cos 2\alpha = \cos^2\alpha-\sen^2\alpha&lt;/math&gt;
||left}}

Para la fórmula del coseno del ángulo doble se pueden presentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo &lt;math&gt;\cos\alpha&lt;/math&gt; a términos de &lt;math&gt;\sen\alpha&lt;/math&gt;, o convirtiendo &lt;math&gt;\sen\alpha&lt;/math&gt; a términos de &lt;math&gt;\cos\alpha&lt;/math&gt;:
{{ecuación|
:&lt;math&gt;\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha -1&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\cos2\alpha =1-2\sen^2\alpha&lt;/math&gt;
||left}}

Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:
{{ecuación|
:&lt;math&gt;\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}&lt;/math&gt;
||left}}

Para productos de dos funciones sinusoidales complementarias, se tiene que:
: &lt;math&gt;
   \sen(A)
   \cos(B) =
   \sen \left( \frac{A+B}{2} \right)
   \cos \left( \frac{A+B}{2} \right)
   + \sen \left( \frac{A-B}{2} \right)
   \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \sen(A)
   \cos(B) =
   \frac12
   \left( \sen(A+B)+\sen(A-B) \right)
&lt;/math&gt;

Y para el caso alternativo:

: &lt;math&gt;
   \cos(A)
   \sen(B) =
   \sen \left( \frac{A+B}{2} \right)
   \cos \left( \frac{A+B}{2} \right)
   - \sen \left( \frac{A-B}{2} \right)
   \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \cos(A)
   \sen(B) =
   \frac12
   \left( \sen(A+B)-\sen(A-B) \right)
&lt;/math&gt;

== Funciones trigonométricas inversas ==
Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:
* [[Arcoseno]] es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor. 

La función arcoseno real es una función &lt;math&gt;\left[-1,1\right] \to \left[0,2\pi \right]\,&lt;/math&gt;, es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente [[serie de Taylor]]:
{{ecuación|
&lt;math&gt;\operatorname{arcsen}(x) = \begin{cases} -\cfrac{\pi}{2} &amp; x = -1 \\
x + \cfrac{1}{2}\cfrac{x^3}{3} + \cfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cfrac{x^5}{5} +
\cfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cfrac{x^7}{7} + \dots &amp; -1 &lt; x &lt; 1\\
+\cfrac{\pi}{2} &amp; x = 1 \end{cases}&lt;/math&gt;
||left}}

* [[Arcocoseno]] es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor.

Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:
{{ecuación|
&lt;math&gt;\arccos (x) = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arcsen}(x)&lt;/math&gt;
||left}}

* [[Arcotangente]] es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor.

A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:
{{ecuación|
&lt;math&gt;\arctan (x) = \begin{cases} 
x - \cfrac{x^3}{3} + \cfrac{x^5}{5} - \cfrac{x^7}{7} + \dots &amp;  |x| &lt; 1 \\
\pm\cfrac{\pi}{2} -\cfrac{1}{x} +\cfrac{1}{3x^3} -\cfrac{1}{5x^5}+ \dots &amp; + \text{ con } x \ge 1, - \text{ con } x \le -1 \end{cases}&lt;/math&gt;
||left}}

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Mplwp inverse trigonometric functions piaxis.svg|450px|center|thumb|Representación gráfica en un sistema de [[coordenadas cartesianas]].]]

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    <title>Matemáticas/Aritmética/Los números</title>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección|tono=azul}}&lt;/noinclude&gt; 
* [[Matemáticas/Aritmética/Clasificación de los números|Clasificación de los números]]
** [[Matemáticas/Aritmética/Números naturales|Números naturales]]
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&lt;noinclude&gt;{{Renglóndoble|[[Matemáticas/Clasificación de los números/Texto completo|'''Texto completo de este capítulo''']]|Esta página contiene todo el texto del capítulo de '''«Clasificación de los números»'''}}</text>
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    <title>Matemáticas/Geometría/Poliedros</title>
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      <text bytes="1200" sha1="3jimak3zfgddyjawrbwvouuj8dac6dk" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
* [[Matemáticas/Geometría/Poliedros/Introducción|Introducción]]
* [[Matemáticas/Geometría/Poliedros/Definición|Definición de Cuerpo Geométrico]]
* [[Matemáticas/Geometría/Poliedros/Clasificación Poliedros|Clasificación de los Poliedros]]
* [[Matemáticas/Geometría/Poliedros/Clasificación Redondos|Clasificación de cuerpos Redondos]]
* [[Geometría Plana/Cuerpos Geométricos/Denominacion|Denominación]]
* [[Matemáticas/Geometría/Poliedros/Sólidos de Platón|Sólidos de Platón]]
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    <title>Matemáticas/Matrices/Teoremas</title>
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*[[Matemáticas/Matrices/Teoremas/Teorema 1|Permutación de elementos por conjugados]]
*[[Matemáticas/Matrices/Teoremas/Teorema 2|Permutación de líneas]]
*[[Matemáticas/Matrices/Teoremas/Teorema 3|Determinante nulo]]
*[[Matemáticas/Matrices/Teoremas/Teorema 4|Invariablidad del determinante]]
*[[Matemáticas/Matrices/Teoremas/Teorema 5|Elementos de una línea nulos]]
*[[Matemáticas/Matrices/Teoremas/Teorema 6|Multiplicación de una línea por una constante]]
*[[Matemáticas/Matrices/Teoremas/Teorema 7|Elementos equimúltiplos]]
*[[Matemáticas/Matrices/Teoremas/Teorema 8|Línea nula]]
*[[Matemáticas/Matrices/Teoremas/Teorema 9|Adjunto y menor complementario]]
*[[Matemáticas/Matrices/Teoremas/Teorema 10|Matriz triangular]]
*[[Matemáticas/Matrices/Teoremas/Teorema 11|Sustitución de una línea]]
*[[Matemáticas/Matrices/Teoremas/Teorema 12|Descomposición de una línea]]
*[[Matemáticas/Matrices/Teoremas/Teorema 13|Combinación lineal]]

== Teorema  1: Permutación de elementos por conjugados ==
Si se permutan cada elemento por su conjugado, es decir, si se cambian las filas por las columnas y las columnas por las filas, en forma tal que el orden de los elementos permanezcan invariable, el valor de la matriz, o sea, el determinante no cambia.
Obsérvese que los subíndices se intercambian, esto es  a&lt;sub&gt;1 ; 4&lt;/sub&gt;  se transforma en   a&lt;sub&gt;4 ; 1&lt;/sub&gt;  y en general a &lt;sub&gt;j k&lt;/sub&gt;   se transforma en   a &lt;sub&gt;k j&lt;/sub&gt;  . 

== Teorema 2: [[Permutaciones]] de líneas ==
El valor de un determinante, cambia de signo ( de positivo a negativo o de negativo a positivo) cuando en la matriz que representa se cambian entre sí dos filas o dos columnas.

== Teorema 3: Determinante nulo==
El determinante de una matriz que tiene dos filas o dos columnas iguales es nulo.

== Teorema 4: Invariablidad del determinante ==
El valor de una matriz no cambia. El determinante es equivalente a una función lineal y homogénea de los elementos de una misma fila o columna.

==Teorema 5: Elementos de una línea nulos==
Si los elementos de una misma fila (o columna) son nulos, el desarrollo de la matriz en tales condiciones es también nulo, es decir su determinante es cero.

== Teorema 6: Multiplicación de una línea por una constante ==
Al multiplicar todos los elementos de una columna  o fila por una constante K el determinante queda multiplicado por k.

== Teorema 7: Elementos equimúltiplos ==
Una matriz en la cual los elementos de dos líneas paralelas son proporcionales (equimúltiplos), el desarrollo de tal matriz es nulo, o sea su determinante vale cero.
En otras palabras, una matriz es nula, si los elementos de una línea son proporcionales a los elementos de otra línea paralela a la primera.

== Teorema 8: Línea nula ==
Una matriz que tiene nulos (valor cero) todos los elementos de una línea, columna o fila, su determinante vale cero.

===Lema del menor complementario y del adjunto ===

Si tomamos el menor complementario y el adjunto de una matriz que correspondan al primer elemento de tal matriz,  los valores de aquellos (adjunto y menor) son iguales, o sea que el adjunto es el determinante del menor complementario.

== Teorema 9: Adjunto y menor complementario ==
El adjunto de un elemento cualquiera es igual al valor absoluto del menor complementario correspondiente al mismo elemento; tomando el signo positivo o negativo según que la permutación doble que se origina, al cambiar la posición del elemento considerado, a primer elemento, sea de orden par o impar respectivamente.

== Teorema 10: Matriz triangular ==
Si una matriz tiene todos los elementos nulos a un lado de la diagonal principal, el valor del determinante de esta matriz, es el del producto formado por los elementos de la diagonal principal con el signo correspondiente.

== Teorema 11: Sustitución de una línea==
Si en una matriz reemplazamos una línea por una paralela a aquella, el valor de la matriz que resulta, es nulo.

==Teorema 12: Descomposición de una línea ==
Si los elementos de una línea son p sumandos, se puede descomponer el determinante en sumas de p determinantes, que tienen las mismas líneas restantes y en lugar de aquella, la formada por los primeros sumandos, por los segundos sumandos, etc respectivamente.
Dicho de otra forma, si una matriz tiene una línea formada por n elementos polinómicos, la matriz primitiva puede descomponerse en suma de n matrices del mismo orden.

== Teorema 13: Combinación lineal ==
El desarrollo de una matriz, el determinante, no varía cuando se suman a los elementos de una línea, los que corresponden a otra paralela a la considerada multiplicados previamente por un número cualquiera c1, mas los elementos correspondientes de otra línea, siempre paralela a la considerada, multiplicados por otro número c2, etc ( o sea agregándole una combinación lineal de líneas paralelas)
Este teorema permite simplificar los determinantes, reduciendo a cero varios elementos de una misma línea mediante sumas o restas convenientes, o sea sustituyendo una fila por una combinación lineal de las restantes.
Cada elemento que se logra anular de este modo evita el cálculo de un menor complementario, al desarrollar el determinante por los elementos de una línea. Si se logra anular así todos los elementos de una línea excepto uno, el producto de éste por su adjuto es igual al determinante total. Si se logra anular a todos los elementos, entonces el valor del determinante es cero.


[[Categoría:Matemáticas]]</text>
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    <title>Análisis matemático/Cálculo Integral</title>
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      <text bytes="4752" sha1="pabfe3l31zfz3bktn8c3r2rzig8jok1" xml:space="preserve">[[Image:Integral as region under curve.svg|thumb]]
La idea del cálculo integral consiste en calcular, en general, superficies curvilíneas, es decir, el área entre la gráfica de una función y el eje-x.

Estamos de acuerdo con la siguiente notación:
&lt;center&gt;
&lt;math&gt;
   S = \int_a^b f(x)\,\mathrm dx
&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

Es la integral definida de la función '''f(x)''' de variable '''x''', entre los límites de '''a''' a '''b'''. Se pretende que la zona entre la curva y el eje x, como en la imagen de arriba, es la superficie '''S'''. Más específicamente, es que esta es una integral de Riemann (por ejemplo, Riemann), hay también integrante líneas generales.

El cálculo integral se refiere al cálculo de integrales tales.

==Aspecto geométrico==

Para hacer la integral de manera sistemática &quot;de vuelta al espacio&quot;, que es abordado por las llamadas sumas superior e inferior de rectángulos cada vez más precisos.

&lt;gallery&gt;
Archivo:LeftRiemann2.png|segun integral de Riemann
Archivo:RightRiemann2.PNG|por exceso
&lt;/gallery&gt;

Las áreas de los rectángulos ahora se pueden calcular fácilmente, así que tenemos un límite superior y un límite inferior para la zona.
{|
|&lt;math&gt;\int_0^1 x^2\mathrm dx&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;&gt;R_1\,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;+R_2\,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;+R_3\,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;+R_4\,&lt;/math&gt;
|-
|
|&lt;math&gt;=\frac14\cdot0^2&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;+\frac14\cdot\left(\frac14\right)^2&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;+\frac14\cdot\left(\frac24\right)^2&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;+\frac14\cdot\left(\frac34\right)^2,\qquad\text{donde cada rectangulo }\tfrac14\text{ largo y tan alto}&lt;/math&gt;
|-
|
|&lt;math&gt;= 0{,}21875\,&lt;/math&gt;
|}

Analógamente la suma superior calculada:
{|
|&lt;math&gt;\int_0^1 x^2\mathrm dx&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;&lt;R_1\,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;+R_2\,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;+R_3\,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;+R_4\,&lt;/math&gt;
|-
|
|&lt;math&gt;+\frac14\cdot\left(\frac14\right)^2&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;+\frac14\cdot\left(\frac24\right)^2&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;+\frac14\cdot\left(\frac34\right)^2&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;+\frac14\cdot\left(\frac44\right)^2&lt;/math&gt;
|-
|
|&lt;math&gt;= 0{,}46875\,&lt;/math&gt;
|}

Entonces vale:
:&lt;math&gt;0{,}21875&lt;\int_0^1 x^2\mathrm dx&lt; 0{,}46875&lt;/math&gt;

====Para un enfoque general====

Aqui se tiene para la n-esima suma por defecto &lt;math&gt;U_n&lt;/math&gt;:

:&lt;math&gt;U_n=\frac1n\cdot0^2+\frac1n\cdot\left(\frac1n\right)^2+\frac1n\left(\frac2n\right)^2+\frac1n\cdot\left(\frac3n\right)^2+\cdots+\frac1n\cdot\left(\frac{n-1}n\right)^2&lt;/math&gt;

y la n-esima suma por exceso &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;:

:&lt;math&gt;O_n=\frac1n\cdot\left(\frac1n\right)^2+\frac1n\left(\frac2n\right)^2+\frac1n\cdot\left(\frac3n\right)^2+\cdots+\frac1n\cdot\left(\frac nn\right)^2&lt;/math&gt;

Y para sacar el valor exacto de la Integral, definimos formalmente
:&lt;math&gt;\int_1^2x^2\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}U_n=\lim_{n\to\infty}O_n&lt;/math&gt;
que en el caso es la igual.

Primero sacamos por la suma por exceso:

:&lt;math&gt;\left.O_n=\frac1n\cdot\left(\frac1n\right)^2+\frac1n\left(\frac2n\right)^2+\frac1n\cdot\left(\frac3n\right)^2+\cdots+\frac1n\cdot\left(\frac nn\right)^2\qquad \right|\text{ factorizamos por }\tfrac1n\text{, quadriere die }\mathrm{Br\ddot uche} &lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left.\frac1n\left[\frac{1^2}{n^2}+\frac{2^2}{n^2}+\frac{3^2}{n^2}+\cdots\frac{n^2}{n^2}\right]\qquad\qquad\qquad \right|\text{ resolvemos }\tfrac1{n^2}\text{ las potencias}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac1n\left[\frac1{n^2}\cdot\left(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\right)\right]\qquad\text{ con }1^2+2^2+3^2+...+n^2=\tfrac16n(n+1)(2n+1)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left.\frac1n\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^2}\right]\qquad\qquad\qquad\right|\text{ resolviendo el parentesis, }\tfrac1n\text{se simplifica}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{2n^2}{6n^2}+\frac{3n}{6n^2}+\frac1{6n^2}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac13+\frac1{2n}+\frac1{6n^2}&lt;/math&gt;

Con lo que el valor limite será:
: &lt;math&gt;
   \lim_{n\to\infty} O_n=
   \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3} +\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}=
   \frac{1}{3}
&lt;/math&gt;

Para la suma por defecto se tiene
: &lt;math&gt;
   U_n =
   O_n-\frac{1}{n} \cdot 1^2
&lt;/math&gt;

y de todos modos analógamente
: &lt;math&gt;
   \lim_{n\to\infty}U_n =
   \frac{1}{3}
&lt;/math&gt;

entonces tenemos:
: &lt;math&gt;
   \int_0^1 x^2 \mathrm dx =
   \frac{1}{3}
&lt;/math&gt;

==Corolario==

La sabiduría de las Matemáticas &quot;La diferenciación es un arte, la integración de un arte&quot; ya se ha señalado, no existe un procedimiento general para la determinación (exacto) de una [[integral]], es decir, en particular, la función potencial. Hay técnicas como la integración por partes o por sustitución, con la que uno - es parte integral de - pero incluso con una buena &quot;mente matemática&quot;. 

Otros conceptos son parte integral de la integral de Lebesgue y la integral de Stieltjes, una superior y un límite inferior de la zona.

[[Categoría:Análisis matemático]]

{{AutoCat}}</text>
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    <title>Trigonometría/Trigonometría</title>
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      <timestamp>2026-07-27T02:46:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>Eliminación de [[Categoría:Trigonometría]] mediante [[c:Help:Cat-a-lot|Cat-a-lot]]</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9738" sha1="6jogcw7bq93xo7opoczc5e2glusycac" xml:space="preserve">La trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Este estudio da pie a considerar una serie de funciones (seno, coseno, tangente...) que dan lugar a un campo mucho más amplio que el considerado inicialmente y que se aplica sobre todo a fenómenos de tipo periódico, como son las ondas electromagnéticas. En la antigüedad, se uso para los estudios astronómicos y en agrimensura. Hoy en día, además, la trigonometría juega un papel clave en los sistemas de posicionamiento global (GPS).

== Conceptos básicos  ==

[[Archivo:Identidades trigonométricas fundamentales.gif|thumb|right|280px|Identidades trigonométricas fundamentales.]]

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un [[triángulo rectángulo]] asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una [[circunferencia unitaria]] (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. 

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el [[verseno]] (1 − cos θ) y la [[exsecante]] (sec θ − 1).

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
!Función
!Abreviatura
!Equivalencias (en radianes)
|-
|'''[[Seno (trigonometría)|Seno]]'''
| sen, sin
| &lt;math&gt; \sen \; \theta \equiv \frac{1}{\csc \theta} \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\cot \theta} \,&lt;/math&gt;
|-
|'''[[Coseno]]'''  
| cos
| &lt;math&gt;\cos \theta \equiv \frac{1}{\sec \theta} \equiv \sen \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sen \theta}{\tan \theta} \,&lt;/math&gt;
|-
|'''[[Tangente (trigonometría)|Tangente]]'''
| tan, tg
| &lt;math&gt;\tan \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sen \theta}{\cos \theta} \,&lt;/math&gt;
|-
| '''[[Cotangente]]'''
| ctg (cot)
| &lt;math&gt;\cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\sen \theta} \,&lt;/math&gt;
|-
| '''[[Secante (trigonometría)|Secante]]'''
| sec
| &lt;math&gt;\sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta} \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\tan \theta}{\sen \theta} \,&lt;/math&gt;
|-
| '''[[Cosecante]]'''
| csc (cosec)
| &lt;math&gt;\csc \theta \equiv \frac{1}{\sen \theta} \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cot \theta}{\cos \theta} \,&lt;/math&gt;&lt;/td&gt;
|}

=== Definiciones respecto de un triángulo rectángulo ===
[[Archivo:Trigono a10.svg|right|220px]]
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;, del vértice ''A'', se parte de un [[triángulo rectángulo]] arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
* La [[hipotenusa]] (''h'') es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. 
* El [[Cateto|cateto opuesto]] (''a'') es el lado opuesto al ángulo &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;. 
* El [[Cateto|cateto adyacente]] (''b'') es el lado adyacente al ángulo &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π [[radian]]es (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango: 

1) El '''seno''' de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa: 
{{ecuación|
&lt;math&gt;\sen \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}&lt;/math&gt;
||left}}
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt; , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes. 

2) El '''coseno''' de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa: 
{{ecuación|
&lt;math&gt;\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}&lt;/math&gt;
||left}}
3) La '''tangente''' de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente: 
{{ecuación|
&lt;math&gt;\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}&lt;/math&gt;
||left}}
4) La '''cotangente''' de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
{{ecuación|
&lt;math&gt;\cot \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {b} {a}&lt;/math&gt;
||left}}
5) La '''secante''' de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
{{ecuación|
&lt;math&gt;\sec \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {h} {b}&lt;/math&gt;
||left}}
6) La '''cosecante''' de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
{{ecuación|
&lt;math&gt;\csc \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {h} {a}&lt;/math&gt;
||left}}

===    Funciones trigonométricas de ángulos notables ===
[[Archivo:ANGULOS NOTABLES.png|centro|marco]]

=== Definición para un número real cualquiera ===
{{AP|Función real}}
No es posible utilizar la definición dada anteriormente, un coseno de &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; para valores de &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; menores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir un triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos mida &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; radianes.
Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará entonces una [[circunferencia unitaria]], centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se definirán las funciones trigonométricas coseno y seno como la abscisa (x) y la ordenada (y), respectivamente, de un punto P de coordenadas (x, y), perteneciente a la circunferencia, siendo &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; el ángulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.

[[Archivo:Seno y coseno.gif]]

Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese que para valores entre 0 y π/2, los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razón trigonométrica.
Si el valor de x está fuera del [[intervalo (matemáticas)|intervalo]] [0,2π], puede descomponerse como x=2kπ+x' siendo k un número entero y x' un valor entre 0 y 2π. Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que los asignados a x', ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo tanto, las coordenadas del punto P serán las mismas en ambos casos.

=== Representación gráfica ===
Representación gráfica en un sistema de [[coordenadas cartesianas]].
[[Archivo:Función Trigonométrica R333.svg|centrado|680px]]

===Teorema fundamental de la trigonometría===
&lt;br&gt;
&lt;math&gt;\operatorname{sen}^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

== Equivalencia entre las funciones trigonométricas ==

&lt;center&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
!
! Seno
! Coseno
! Tangente
! Cotangente
! Secante
! Cosecante
|-
|&lt;math&gt;sen\theta\,&lt;/math&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;sen\theta\,&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\sqrt{1-cos^{2}\theta}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{tan\theta}{\sqrt{1+tan^{2}\theta}}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{1}{\sqrt{1+cot^{2}\theta}}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{\sqrt{sec^{2}\theta-1}}{sec\theta}&lt;/math&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;\frac{1}{csc\theta}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;cos\theta\,&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\sqrt{1-sen^{2}\theta}&lt;/math&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;cos\theta\,&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{1}{\sqrt{1+tan^{2}\theta}}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{cot\theta}{\sqrt{1+cot^{2}\theta}}&lt;/math&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;\frac{1}{sec\theta}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{\sqrt{csc^{2}\theta-1}}{csc\theta}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;tan\theta\,&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{sen\theta}{\sqrt{1-sen^{2}\theta}}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{\sqrt{1-cos^{2}\theta}}{cos\theta}&lt;/math&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;tan\theta\,&lt;/math&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;\frac{1}{cot\theta}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\sqrt{sec^{2}\theta-1}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{1}{\sqrt{csc^{2}\theta-1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;cot\theta\,&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{\sqrt{1-sen^{2}\theta}}{sen\theta}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{cos\theta}{\sqrt{1-cos^{2}\theta}}&lt;/math&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;\frac{1}{tan\theta}&lt;/math&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;cot\theta\,&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{1}{\sqrt{sec^{2}\theta-1}}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\sqrt{csc^{2}\theta-1}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;sec\theta\,&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{1}{\sqrt{1-sen^{2}\theta}}&lt;/math&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;\frac{1}{cos\theta\,}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\sqrt{1+tan^{2}\theta}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{\sqrt{1+cot^{2}\theta}}{cot\theta}&lt;/math&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;{sec\theta}\,&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{csc\theta}{\sqrt{csc^{2}\theta-1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;csc\theta\,&lt;/math&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;\frac{1}{sen\theta\,}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{1}{\sqrt{1-cos^{2}\theta}}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{\sqrt{1+tan^{2}\theta}}{tan\theta}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\sqrt{1+cot^{2}\theta}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{sec\theta}{\sqrt{sec^{2}\theta-1}}&lt;/math&gt;||&lt;center&gt;&lt;math&gt;{csc\theta}\,&lt;/math&gt;
|}
&lt;/center&gt;

{{AutoCat}}</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/División</title>
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      <text bytes="619" sha1="ta4eyq7miipov31u8jfitaoddw2tcm3" xml:space="preserve">{{AutoCat}}

La división es una de las operaciones aritméticas básicas. Para efectuarla se debe cumplir la condición de que:

&lt;math&gt;
\frac{a}{b} = c
&lt;/math&gt;

y que

&lt;math&gt;
(b)(c) = a
&lt;/math&gt;

Por ejemplo, sustituyendo los valores de '''a''' y '''b''' con los números 6 y 3 respectivamente, tenemos que

&lt;math&gt;
\frac{6}{3} = 2
&lt;/math&gt;

cumpliéndose aquí la condición de que el producto de '''b''' y '''c''' equivale al valor de '''a'''. Cabe decir que no existe un resultado para la división por cero, por lo tanto, un error muy común es suponer que la división por cero es una operación matemática válida.</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Potenciación</title>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección|tono=azul}}&lt;/noinclude&gt;
La ''potenciación'' es la operación matemática mediante la cual multiplicamos un número por sí mismo las veces que nos lo indique el ''exponente''. Es decir: tomar dicho número como factor tantas veces como lo indique el exponente.( obviamente esto es posible y cierto solamente cuando el exponente es un número natural)

[[File:Partes del exponente.svg|thumb|Partes del número con exponente]]

Por ejemplo, la ecuación &lt;math&gt;a^{3}&lt;/math&gt; donde '''a''' es un número cualquiera, equivale a la ecuación
: &lt;math&gt;
   a^{3} = a \cdot a \cdot a
&lt;/math&gt;

es decir que cumplimos la condición de multiplicar por sí mismo nuestro número (a) tres veces, tal como lo indicó el exponente (3)

== Leyes de los Exponentes ==
De acuerdo a las leyes básicas de los exponentes, sabemos que las operaciones como la multiplicación de términos homogéneos (en nuestros ejemplos el término será '''x''') con exponentes diferentes serán: 

=== Multiplicación de Exponentes ===
Dado el caso de la multiplicación de dos números iguales  (representados por la literal ''x'') con exponentes diferentes, tenemos que:
: &lt;math&gt;
   2^{n} \cdot 2^{m} =
   2^{n + m}
&lt;/math&gt;

Por ejemplo, en la operación:
: &lt;math&gt;
   2^{2} \cdot 2^{3} =
   2^{2 + 3} =
   2^{5}
&lt;/math&gt;

debido a que:
: &lt;math&gt;
   2^{2} = 2 \cdot 2
&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
   2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2
&lt;/math&gt;

por lo tanto, la operación de arriba se puede expresar como
: &lt;math&gt;
   2^{2} \cdot 2^{3} =
   (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) =
   2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 =
   2^{5}
&lt;/math&gt;

=== División de exponentes ===
Dado el caso de la división de dos números iguales (representados por la literal ''x'') con exponentes diferentes, tenemos que
: &lt;math&gt;
   \frac{x^{m}}{x^{n}} = x^{m-n}
&lt;/math&gt;

Por ejemplo, en la ecuación
: &lt;math&gt;
   \frac{x^{3}}{x^{2}} =
   x^{3-2} = x
&lt;/math&gt;

Esto porque, dicho de otra forma, podemos decir que la ecuación anterior es igual a la siguiente ecuación
: &lt;math&gt;
   \frac{x^{3}}{x^{2}} =
   \frac{x \cdot x \cdot x}{x \cdot x} =
   \frac{x \cdot \cancel {x} \cdot \cancel {x}}{\cancel {x} \cdot \cancel {x}} =
   x
&lt;/math&gt;

Entonces, de acuerdo a la ley de las divisiones, en donde teniendo términos similares como divisores y como dividendos de una ecuación, dichos términos iguales se '''anulan''', y siguiendo esta lógica, tenemos que dos de los términos de arriba de la división (dividendos) se '''anulan''' con los dos términos de abajo de la división (divisores). Quedando como resultado solamente la x restante del dividendo.

En el caso de tener como divisor un exponente mayor que el exponente del dividendo, tenemos el caso de un '''exponente negativo''', el cual se puede expresar como
: &lt;math&gt;
   \frac{x^{2}}{x^{4}} = x^{2-4} = x^{-2}
&lt;/math&gt;

Y expresado en forma de fracción, el número &lt;math&gt;x^{-2}&lt;/math&gt; equivale a
: &lt;math&gt;
   x^{-2} = \frac{1}{x^{2}}
&lt;/math&gt;

Esto porque, de igual forma que se '''anulan''' los dos términos en el primer ejemplo, aquí se '''anulan''' todos los términos de x que se encuentran en el dividendo, de forma que 
: &lt;math&gt;
   \frac{x^{2}}{x^{4}} =
   \frac{1}{x^{2}}
&lt;/math&gt;

== Potenciación del 10 ==
El número 10, al elevarlo a cualquier número, su exponente indica el número de ceros que tiene ese número:
: &lt;math&gt;
   10^{6} =
   1000000
&lt;/math&gt;

Como veréis esa es la norma de elevar 10 a cualquier número.</text>
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    <title>Matemáticas/Matrices/Conceptos previos</title>
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== Explicación de conceptos relacionados con el tema ==
=== Matriz ===
Es una disposición de elementos en filas y columnas de forma ordenada.
=== Operación Binaria ===
Se define como '''operación binaria''' aquella operación matemática, que necesita el operador y dos operandos (argumentos) para que se pueda calcular un valor.
=== Orden o Dimensión de una matriz ===
Se llama '''Orden''', '''Dimensión''' o '''tamaño''' de una matriz a la cantidad de filas y columnas que posee.

=== Cuerpo o Campo ===
En álgebra abstracta, un '''cuerpo''' o '''campo''' es una estructura algebraica en la cual las operaciones de adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, además de la existencia de un inverso aditivo y de un inverso multiplicativo, los cuales permiten efectuar la operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios.

=== Escalar ===
Se denomina escalar a los números reales o complejos que sirven para describir un fenómeno físico con magnitud, pero sin la característica vectorial de dirección. Es decir simplemente un valor numérico, sin las características de dirección y sentido que son propia de los vectores.
El concepto complementario sería vectorial.</text>
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    <title>Matemáticas/Matrices/Concepto de Matriz</title>
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      </contributor>
      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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      <text bytes="7870" sha1="jledydnxl2q5i1njipc1nzd47wtjmdc" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
'''Matriz''' es una disposición matemática  de elementos pertenecientes a un conjunto, en filas y columnas.
&lt;br /&gt;

== Definiciones de Matriz ==

Una matriz es un '''arreglo bidimensional''' de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse entre sí.
&lt;br /&gt;
Es una disposición de valores numéricos y/o variables (representadas por letras), en columnas y filas, de forma rectangular.
&lt;br /&gt;
Una '''matriz''' es una tabla '''cuadrada''' o '''rectangular''' de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales de la matriz. A una matriz con ''m'' filas y ''n'' columnas se le denomina matriz ''m'' x ''n''; y a ''m'' y ''n'' se les denomina dimensiones de la matriz.
&lt;br /&gt;
Las dimensiones de la matriz siempre se dan con el número de fila primero y el número de columnas.
&lt;br /&gt;
Por lo '''general''' se trabaja con matrices formadas por '''números reales'''.
Las matrices se usan generalmente para '''describir''' sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base).
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Una '''matriz''' es una colección ordenada de elementos colocados en filas y columnas, o sea es un arreglo bidimensional de números (llamados '''entradas''' de la matriz) ordenados en '''filas''' (o '''renglones''') y '''columnas''', donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con ''m'' filas y ''n'' columnas se le denomina matriz ''m'' por ''n'' (&lt;math&gt;m\times n&lt;/math&gt;) donde m y n son números naturales mayores que cero. El conjunto de las matrices de tamaño &lt;math&gt;m\times n&lt;/math&gt; se representa como &lt;math&gt;\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;\mathbb{K}&lt;/math&gt; es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y las mismas entradas.

Otra definición, muy usada en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, es la de '''vectores''' fila y '''vectores''' columna. Un '''vector fila''' o '''vector renglón''' es cualquier matriz de tamaño &lt;math&gt;1\times n&lt;/math&gt; mientras que un '''vector columna''' es cualquier matriz de tamaño &lt;math&gt;m\times 1&lt;/math&gt;.

A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, &lt;math&gt;m=n\,\!&lt;/math&gt;, se les llaman '''matrices cuadradas'''. y el conjunto se denota &lt;math&gt;\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{K})&lt;/math&gt; o alternativamente &lt;math&gt;\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})&lt;/math&gt;.

== Notación de Leibniz==
Se utiliza un elemento único acompañado de índice y subíndice, de manera tal que el índice indique la columna y el subíndice la fila.
: &lt;math&gt;
   \mathbb{A} =
   \begin{bmatrix}
      a^1_1 &amp; a^2_1 &amp; a^3_1\\
      a^1_2 &amp; a^2_2 &amp; a^3_2\\
      a^1_3 &amp; a^2_3 &amp; a^3_3
   \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

== Notación de Cauchy ==
Se utilizan elementos distintos uno para cada columna y a cada elemento se le acompaña de un subíndice que indica la fila del elemento.

== Notación más usada ==
Se utiliza un elemento único acompañado de doble subíndice, de manera tal que el par de valores indique la fila y la columna en ese orden.&lt;br /&gt;

A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila &lt;math&gt;i\,\!&lt;/math&gt;—ésima y la columna &lt;math&gt;j\,\!&lt;/math&gt;—ésima se le llama entrada &lt;math&gt;i,j\,\!&lt;/math&gt; o entrada &lt;math&gt;(i,j)\,\!&lt;/math&gt;—ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las columnas.

Casi siempre se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar las entradas de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz &lt;math&gt;\mathbb{A}&lt;/math&gt; que se encuentra en la fila &lt;math&gt;i-\,\!&lt;/math&gt;ésima y la columna &lt;math&gt;j-\,\!&lt;/math&gt;ésima se le denota como &lt;math&gt;a_{ij}\,\!&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;1\leq i\leq n&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;1\leq j\leq m&lt;/math&gt;. Cuando se va a representar explícitamente una entrada la cuál está indexada con un &lt;math&gt;i\,\!&lt;/math&gt; o un &lt;math&gt;j\,\!&lt;/math&gt; con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz &lt;math&gt;\mathbb{A}&lt;/math&gt; de tamaño &lt;math&gt;50\times 100&lt;/math&gt; se representa como &lt;math&gt;a_{1,2}\,\!&lt;/math&gt; mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como &lt;math&gt;a_{23,100}\,\!&lt;/math&gt;.

Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos. Así &lt;math&gt;\mathbb{A}&lt;/math&gt; es una matriz, mientras que &lt;math&gt;A\,\!&lt;/math&gt; es un escalar en esa notación. Sin embargo ésta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer ésta distinción tipográfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.

Las matrices se suelen notar con letras mayúsculas y sus elementos si son genéricos con minúsculas y un subíndice que indica la fila y columa en que se encuentra, así a23 hace referencia al elemento que se encuentra en la fila 2 columa 3.
Una matriz genérica de tres filas y tres columnas, de dimensión 3x3 es:

Dada la matriz &lt;math&gt;\mathbb{A}\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
   \mathbb{A} =
   \begin{bmatrix}
      a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13}\\
      a_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23}\\
      a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33}
   \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;


Otra notación, en si un abuso de notación, representa a la matriz por sus entradas, i.e. &lt;math&gt;A:=(a_{ij})\,\!&lt;/math&gt; o incluso &lt;math&gt;A:=a_{ij}\,\!&lt;/math&gt;.


== Grado de una matriz ==
El grado de una matriz es la cantidad de elementos que tiene por fila o por columna (si es cuadrada) o la raíz cuadrada del número total de elementos.
== Tamaño de una Matriz==
La dimensión de una matriz viene dada por el número de filas y columnas que tenga, así una matriz de dimensión 2x3 es una matriz con dos filas y tres columnas.
Reiterando, la dimensión de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.
&lt;br /&gt;
O sea que si se anota &lt;math&gt;\mathbb{C}_{7\times 5}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; significa que se nombra &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; a una matriz que tiene 7 filas y 5 columnas. La letra &lt;math&gt;(\mathbb{R})&lt;/math&gt; significa que sus elementos son números reales.

== Ejemplos ==
Dada la matriz &lt;math&gt;\mathbb{G}\in\mathcal{M}_{4\times 3}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
   \mathbb{G} =
   \begin{bmatrix}
      7 &amp; 5 &amp; 1 \\
      3 &amp; 6 &amp; 4 \\      
      1 &amp; 5 &amp; 9 \\
      8 &amp; 3 &amp; 0
   \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

es una matriz de tamaño &lt;math&gt;4\times 3&lt;/math&gt;. La entrada &lt;math&gt;g_{2,3}\,\!&lt;/math&gt; es 4.


La matriz &lt;math&gt;\mathbb{F}\in\mathcal{M}_{1\times 9}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
   \mathbb{F} =
   \begin{bmatrix}
    1 &amp; 4 &amp; 3 &amp; 7 &amp; 5 &amp; 9 &amp; 2 &amp; 8 &amp; 6
   \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

es una matriz de tamaño &lt;math&gt;1\times 9&lt;/math&gt;: un vector fila con 9 entradas.

Finalmente una matríz genérica se representa:
&lt;math&gt;\mathbb{A}\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;
   \begin{bmatrix}
      a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\
      a_{21} &amp; a_{22} &amp; \cdots &amp; a_{2n} \\
      \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\
      a_{m1} &amp; a_{m2} &amp; \cdots &amp; a_{mn}
   \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;


Y una matríz columna genérica  &lt;math&gt;\mathbb{B}\in\mathcal{M}_{m\times 1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; 
{{Ecuación|
&lt;math&gt;
   \begin{bmatrix}
      b_1 \\
      b_2 \\
      \vdots \\
      b_m
   \end{bmatrix} 
&lt;/math&gt;
|1|ledft}}</text>
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    </revision>
  </page>
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    <title>Matemáticas/Matrices/Sistema de ecuaciones lineales</title>
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      <id>428993</id>
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      <timestamp>2026-07-26T16:08:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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Un '''sistema de ecuaciones lineales''', también conocido como '''sistema lineal de ecuaciones''' o '''simplemente sistema lineal''', es un conjunto de ecuaciones lineales (el término lineal se refiere a que todas las variables tienen exponente 1) que cumplen las propiedades:
* Combinando dos o más ecuaciones lineales se obtiene siempre otra ecuación también lineal.
* Posee elementos neutro (opuesto aditivo).
* La adición entre ecuaciones cumple la propiedad asociativa.
* La multiplicación por un número real cumple la propiedad distributiva.
&lt;br /&gt;

A continuación se exponen ejemplos de sistemas lineales de '''tres''' ecuaciones:


{{ecuación|
&lt;math&gt;
    \left \{
        \begin{array}{rcrcrcr}
             7 \,x_1 &amp; - &amp; 3\,x_2  &amp; + &amp; 5 \,x_3 &amp; = &amp; 9  \\
             2 \,x_1 &amp; + &amp; 2\,x_2  &amp; + &amp; 4 \,x_3 &amp; = &amp; -2 \\
             -1 \,x_1 &amp; + &amp; \frac{1}{2} \,x_2  &amp; - &amp; 5 \,x_3 &amp; = &amp; 0
        \end{array}
    \right .
&lt;/math&gt;
||left}}

{{ecuación|
&lt;math&gt;
    \left \{
        \begin{array}{rcrcrcr}
              5 \,x &amp; - &amp; 2\,y  &amp; + &amp; 8 \,z &amp; = &amp; - 4   \\
             2 \,x &amp; + &amp; 2\,y  &amp; + &amp; \frac{3}{4} \,z &amp; = &amp; -2 \\
             -2 \,x &amp; + &amp; 4 \,y  &amp; - &amp; 5 \,z &amp; = &amp; 8
        \end{array}
    \right .
&lt;/math&gt;
||left}}

También pueden ser de más ecuaciones:
{{ecuación|
&lt;math&gt;
    \left \{
        \begin{array}{rcrcrcrcr}
             7  \,w &amp; - &amp; 5\,x  &amp; + &amp; 8 \,y &amp; + &amp; 3 \,z &amp; = &amp; 9  \\
             2  \,w &amp; + &amp; 7\,x  &amp; + &amp; 3 \,y &amp; + &amp; 1 \,z &amp; = &amp; -2 \\
             2  \,w &amp; + &amp; 2\,x  &amp; + &amp; 2 \,y &amp; + &amp; 7 \,z &amp; = &amp; -2 \\
             -1 \,w &amp; + &amp; 6\,x  &amp; - &amp; 1 \,y &amp; + &amp; 6 \,z &amp; = &amp; 0
        \end{array}
    \right .
&lt;/math&gt;
||left}}</text>
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    <title>Matemáticas/Matrices/Tipos de matrices</title>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
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      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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{{TOC|1=right}}
Existen diversos tipos y clasificaciones de matrices:

== Matriz cuadrada ==
Se dice que una matriz A es '''cuadrada''' si tiene el mismo número de filas que de columnas.
Ejemplos de matriz cuadrada:


Puede ser una matriz con valores &lt;math&gt;A\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
: &lt;math&gt;
   A =
   \begin{bmatrix}
      +4 &amp; +7 &amp; -9 \\
      +2  &amp; +1  &amp; +7 \\
      -5 &amp; +6 &amp; +9
   \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;
&lt;br /&gt;
O también una matríz con subíndices (Genérica)&lt;math&gt;B\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
   B =
   \begin{bmatrix}
      b_{11} &amp; b_{12} &amp; b_{13}\\
      b_{21} &amp; b_{22} &amp; b_{23}\\
      b_{31} &amp; b_{32} &amp; b_{33}
   \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;
&lt;br /&gt;
Puede ser de otro tamaño e incluso con variables &lt;math&gt;C\in\mathcal{M}_{4\times 4}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
  C =
   \begin{bmatrix}
      +7 &amp; +6 &amp; 6 &amp; -5\\
      +8 &amp; (3*w) &amp; +3 &amp; -1\\
      -1 &amp; +6 &amp; (w+8) &amp; +8\\
      -3&amp; (6-w) &amp; 0 &amp; -6
   \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

Se llama '''diagonal principal''' de una matriz A a la diagonal formada por los elementos &lt;math&gt; aii&lt;/math&gt;.
&lt;br /&gt;
Se llama diagonal secundaria a la diagonal del cuadrado que no es la principal, tiene por extremos los elementos &lt;math&gt; a_{1,n}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt; a_{n,1}&lt;/math&gt;, como características, todos los elementos tienen la particularidad que sus subíndices suman (n+1), por ejemplo &lt;math&gt; a_{8,  n-7}&lt;/math&gt;, donde 8 + (n - 7 ) = n + 1.

== Matriz  rectangular ==
Es aquella matriz que no es cuadrada, esto es que la cantidad de filas es diferente de la cantidad de columnas.
&lt;br /&gt;
Puede ser de dos formas; vertical u horizontal, y/o puede ser una matriz diagonal.

Al tener distinto número de filas que de columnas, su dimensión es mxn. 

&lt;math&gt;

\begin{bmatrix} 1&amp;2&amp; 25\\ 9&amp;1&amp;3 \end{bmatrix} &lt;/math&gt;

== Matriz de lado lineal''' o vertical.''' ==
Es aquella que tiene más filas que columnas.

== Matriz columna ==
Caso especial de matriz vertical que posee una sola columna.

&lt;math&gt;
 
\begin{bmatrix} 1  \\ 2  \\ 1 \end{bmatrix} &lt;/math&gt;

== Matriz horizontal ==
Es aquella que tiene más columnas que filas.

== Matriz fila ==
Caso especial de matriz horizontal que posee una sola fila.
:&lt;math&gt;\begin{bmatrix} 1  &amp; 2  &amp; 1 \end{bmatrix} &lt;/math&gt;

== Matriz diagonal ==

Una matriz '''diagonal''' es una matriz '''cuadrada''' en que las entradas o valores son todos nulas salvo en la diagonal principal, y éstos incluso pueden ser nulos o no. Escrito de otra forma, los elementos &lt;big&gt;&lt;math&gt; a_{ij} = 0  &lt;/math&gt; &lt;/big&gt; siempre que &lt;math&gt; i \neq j &lt;/math&gt;. 
&lt;br /&gt;
La matriz identidad es una matriz diagonal.


Ejemplos de matrices diagonales:


Puede ser una matriz con valores &lt;math&gt;A\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
: &lt;math&gt;
   A =
   \begin{bmatrix}
      +4 &amp; 0 &amp; 0 \\
      0  &amp; +1  &amp; 0 \\
      0 &amp; 0 &amp; +9
   \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;
&lt;br /&gt;
O también una matríz con subíndices (Genérica)&lt;math&gt;B\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
   B =
   \begin{bmatrix}
      b_{11} &amp; 0 &amp; 0\\
      0 &amp; b_{22} &amp; 0\\
      0 &amp;0 &amp; b_{33}
   \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;
&lt;br /&gt;
Puede ser de otro tamaño e incluso con variables &lt;math&gt;C\in\mathcal{M}_{4\times 4}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
  C =
   \begin{bmatrix}
      +7 &amp; 0 &amp; 0&amp; 0\\
      0&amp; (3*w)&amp; 0 &amp;0\\
      0&amp; 0 &amp; (w+8) &amp; 0\\
      0&amp; 0 &amp;0  &amp; -6
   \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

== Matriz escalar ==

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

&lt;math&gt;
 

\begin{bmatrix} 3&amp;0&amp;0 \\ 0&amp;3&amp;0  \\ 0&amp;0&amp;3 \end{bmatrix} &lt;/math&gt;

== Matriz escalonada ==
Es toda matriz en la que si existe alguna fila nula, esta se encuentra al final de la matriz y el primer valor diferente de cero de una fila se encuentra siempre a la derecha del primer valor diferente de cero en cualquier fila anterior, exceptuando la primera fila de la matriz. 
&lt;br /&gt;
EL proceso se puede aplicar lo mismo por fila que por columna conociendose como  '''escalonada''' por filas o '''escalonada''' por columnas.

== Matriz  triangular superior ==
Se dice que una matriz (cuadrada) es '''triangular superior''' si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.


&lt;math&gt;
 
\begin{bmatrix} 1&amp;7&amp;-2 \\ 0&amp;8&amp;5  \\ 0&amp;0&amp;4 \end{bmatrix} &lt;/math&gt;

== Matriz triangular inferior ==
Se dice que una matriz es '''triangular inferior''' si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son ceros.

&lt;math&gt;

 
\begin{bmatrix} 1&amp;0&amp;0\\ 3&amp;6&amp;0  \\ 7&amp;-1&amp;4 \end{bmatrix}  

&lt;/math&gt;

== Matriz  identidad ==
Se llama matriz '''identidad''' de orden n y se nota en  una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.
&lt;br /&gt;
&lt;math&gt;I_3\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
   I_3 =
   \begin{bmatrix}
      1 &amp; 0 &amp; 0\\
      0 &amp; 1 &amp; 0\\
      0 &amp;0 &amp; 1
   \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;
&lt;br /&gt;
La matriz identidad puede ser de cualquier tamaño, siempre y cuando sea cuadrada

== Matriz nula o matriz cero ==

Una '''matriz cero''' o '''matriz nula''' es una matriz con todos sus elementos nulos, o sea de valor cero.
Algunos ejemplos de matrices nulas son:

:&lt;math&gt;
0_{1,1} = \begin{bmatrix}
0 \end{bmatrix}
,\ 
0_{2,2} = \begin{bmatrix}
0 &amp; 0 \\
0 &amp; 0 \end{bmatrix}
,\ 
0_{2,3} = \begin{bmatrix}
0 &amp; 0 &amp; 0 \\
0 &amp; 0 &amp; 0 \end{bmatrix}
, etc.\ 
&lt;/math&gt;

Por lo tanto, una matriz nula de orden ''m''x''n'' asume la forma:

:&lt;math&gt;
0_{K_{m,n}} = \begin{bmatrix}
0_K &amp; 0_K &amp; \cdots &amp; 0_K \\
0_K &amp; 0_K &amp; \cdots &amp; 0_K \\
\vdots &amp; \vdots &amp;  &amp; \vdots \\
0_K &amp; 0_K &amp; \cdots &amp; 0_K \end{bmatrix}_{m \times n}
&lt;/math&gt;

Una matriz cero es, al mismo tiempo,matriz '''simétrica''', '''antisimétrica''', '''nilpotente''' y '''singular'''.

== Matriz opuesta ==
Teniendo una matriz determinada, se llama matriz opuesta de la antes mencionada a aquella que tiene por elementos los opuestos de los elementos de la matriz original.

== Matriz traspuesta ==
Matriz traspuesta ( A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;). Se llama matriz traspuesta de una matriz A a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A.


Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta  A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; a la matriz que se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por las columnas de A. Es decir, &lt;math&gt; a_{ij} = a_{ji} \ \forall \ i,j.&lt;/math&gt;

* Para una matriz &lt;math&gt;A \in M_{m\times n}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, se define la matriz traspuesta de &lt;math&gt;A=(a_{ij})&lt;/math&gt;, denotada por &lt;math&gt;A^t \in M_{n\times m}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, como &lt;math&gt;A^t=B=(b_{ij}) \quad b_{ji}=a_{ij} \quad \forall i \in \{1,2,\dots,m\} \text{ , } j \in \{1,2,\dots,n\}&lt;/math&gt;. Es decir, las filas de la matriz &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; corresponden a las columnas de &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; y viceversa.

'''Ejemplo 1:'''&lt;br /&gt;

:&lt;math&gt;
A = \begin{bmatrix}
1 &amp; 2 &amp; 3 \\
4 &amp; 5 &amp; 6 \end{bmatrix}
,    \ 
  A^T = \begin{bmatrix}
1 &amp; 4 \\
2 &amp; 5 \\ 
3 &amp; 6 \end{bmatrix}
\ 
&lt;/math&gt;

'''Ejemplo 2:'''&lt;br /&gt;

Si 
&lt;math&gt;
A =
\begin{bmatrix} 2&amp;3&amp;0 \\ 1&amp;2&amp;0  \\ 3&amp;5&amp;6 \end{bmatrix} &lt;/math&gt;, &lt;br /&gt;
entonces:

&lt;math&gt;
 
A^T =
 \begin{bmatrix} 2&amp;1&amp;3 \\ 3&amp;2&amp;5  \\ 0&amp;0&amp;6 \end{bmatrix} &lt;/math&gt;


'''Propiedades:'''

# (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = A &lt;br /&gt;
# (A + B)&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; + B&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; &lt;br /&gt;
# (α • A)&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = α • A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; &lt;br /&gt;
# (A • B)&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = B&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; • A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; &lt;br /&gt;

== Matriz simétrica ==
Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta.
:&lt;math&gt;\begin{bmatrix} 1&amp;3&amp;-1 \\ 3&amp;0&amp;5  \\ -1&amp;5&amp;1 \end{bmatrix} &lt;/math&gt;

== Matriz antisimétrica o hemisimetrica ==
Una matriz es antisimétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta de signo opuesto, siendo los elementos de la diagonal principal nulos; de valor cero.

A = – A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

== Matriz ortogonal ==
Una matriz '''ortogonal''' es una matriz cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta.

y cumple que 
A • A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = I.

== Matriz normal ==
Sea ''A'' matriz compleja cuadrada, entonces es una '''matriz normal''' si y sólo si

:&lt;math&gt;A^{*}A=AA^{*}\,&lt;/math&gt;

donde ''A''&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; es la matriz traspuesta conjugada de ''A'' (también llamado hermitiano)

== Matriz conjugada ==
Una '''Matriz conjugada''' es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; por sus valores conjugados. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo.

''' Ejemplo de matrices conjugadas '''
:&lt;math&gt;
B = \begin{pmatrix}
2-5i &amp; 3-5i &amp; 3-i \\
4+3i &amp; 4 &amp;2+i \\
1&amp; 3+2i &amp; 1-4i
\end{pmatrix}, \overline{B} = \begin{pmatrix}
2+5i &amp; 3+5i &amp; 3+i \\
4-3i &amp; 4 &amp; 2-i\\
1 &amp; 3-2i &amp; 1+4i\end{pmatrix} &lt;/math&gt;

== Matriz inversa ==
La matriz inversa de una matriz dada A, es otra, que se anota A &lt;sup&gt; −1 &lt;/sup&gt; y que cumple:
 
A·A &lt;sup&gt; −1 &lt;/sup&gt; = A &lt;sup&gt; −1&lt;/sup&gt; · A = I 


== Matriz invertible ==
También llamada matriz , no singular, no degenerada, regular.

Una matriz cuadrada ''A'' de orden ''n'' se dice que es '''invertible''' si existe otra matriz cuadrada de orden ''n'', llamada '''matriz inversa''' de ''A'' y representada como ''A''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;, tal que
:''AA''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = ''A''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;''A'' = ''I''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;,
donde ''I''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; es la matriz identidad de orden ''n'' y el producto utilizado es el producto de matrices usual. 
Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea cero.

La ''inversión de matrices'' es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

== Matriz regular ==
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa y como consecuencia, su determinante es diferente de cero.

== Matriz singular o degenerada ==
También llamada no regular.
Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.
Una matriz singular no tiene matriz inversa.

== Matriz permutación ==
La matriz permutación es la matriz cuadrada con todos sus n×n elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1.

== Matrices iguales ==
Se dice que dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y son iguales elemento a elemento, es decir, aij=bij i=1,...,n j=1,2,...,m.

== Matriz hermitiana ==

Una matriz '''Hermitiana''' (o '''Hermítica''') es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j.

== Matriz definida positiva ==
Una matriz '''definida positiva''' es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo.

== Matriz unitaria ==
Es una matriz compleja ''U'', de ''n'' por ''n'' elementos, que satisface la condición:

:&lt;math&gt;U^* U = UU^* = I_n\,&lt;/math&gt;

donde &lt;math&gt;I_n\,&lt;/math&gt; es la matriz identidad y &lt;math&gt;U^* \,&lt;/math&gt; es el traspuesto conjugado (también llamado el hermitiano adjunto o la hermítica) de ''U''. Esta condición implica que una matriz ''U'' es unitaria si tiene inversa igual a su traspuesta conjugada &lt;math&gt;U^* \,&lt;/math&gt;.

Una matriz unitaria en la que todas las entradas son reales es una matriz ortogonal.

== Submatriz ==
A partir de una Matriz M, se llama submatriz M' a toda matriz obtenida suprimiendo p filas y q columnas en M. Si M es de orden mxn, M' será de orden (m-p)x(n-q), es decir con p filas menos y q columnas menos. Es evidente que p &lt; m ; q &lt; n.


== Propiedades ==

(A · B) &lt;sup&gt; −1&lt;/sup&gt; = B &lt;sup&gt; −1&lt;/sup&gt; · A  &lt;sup&gt; −1&lt;/sup&gt; 

( A &lt;sup&gt; −1&lt;/sup&gt; ) &lt;sup&gt; −1&lt;/sup&gt; = A 

(k · A)&lt;sup&gt; −1&lt;/sup&gt; = k &lt;sup&gt; −1&lt;/sup&gt; · A  &lt;sup&gt; −1&lt;/sup&gt;

(A &lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;) &lt;sup&gt; −1&lt;/sup&gt; = ( A &lt;sup&gt; −1&lt;/sup&gt; ) &lt;sup&gt;  T &lt;/sup&gt;

== Resto del capítulo matrices ==

* [[Matemáticas/Matrices/Conceptos previos|Conceptos previos]]
* [[Matemáticas/Matrices/Concepto de Matriz|Concepto de matriz]]
* [[Matemáticas/Matrices/Regla de Cramer/Determinante|Determinante de una matriz]]
* Tipos de matrices
* [[Matemáticas/Matrices/Adición y Sustracción de matrices|Adición y sustracción de matrices]]
* [[Matemáticas/Matrices/Sistema de ecuaciones lineales|Sistema de ecuaciones lineales]]
* [[Matemáticas/Matrices/Regla de Cramer|Regla de Cramer]]</text>
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    <title>Matemáticas/Matrices/Adición y Sustracción de matrices</title>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
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      <text bytes="5406" sha1="oszpb0k28vp3yqsansd8rzrns6840ig" xml:space="preserve">{{AutoCat}}

=== Conceptos previos ===
Se define como '''operación binaria''' aquella operación matemática, que necesita el operador y dos operandos (argumentos) para que se pueda calcular un valor.

En álgebra abstracta, un '''cuerpo''' o '''campo''' es una estructura algebraica en la cual las operaciones de adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, además de la existencia de un inverso aditivo y de un inverso multiplicativo, los cuales permiten efectuar la operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios.
== Condiciones ==
No todas las matrices se pueden sumar o restar entre sí.
La condición necesaria para sumar o restar dos matrices es que tengan la misma dimensión, es decir, que tengan la misma cantidad de filas y de columnas.
Para sumar matrices de la misma dimensión se suman entre sí los elementos que ocupan el mismo lugar en cada matriz.
Es decir: suma de matrices de las mismas dimensiones, es la aplicación que asocia a cada par de matrices otra matriz de las mismas dimensiones cuyos elementos se obtienen sumando término a término los elementos correspondientes en dichas matrices.

== Suma o adición ==
Sean &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})&lt;/math&gt;. Se define la operación de '''adición de matrices''' como una '''operación binaria''' &lt;math&gt;+:\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\times\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})&lt;/math&gt;   tal que &lt;math&gt;(A,B)\mapsto C=A+B&lt;/math&gt;  y donde &lt;math&gt;c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\,\!&lt;/math&gt; en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo &lt;math&gt;\mathbb{K}&lt;/math&gt;. Por ejemplo, la entrada &lt;math&gt;c_{12}\,\!&lt;/math&gt; es igual a la suma de los elementos &lt;math&gt;a_{12}\,\!&lt;/math&gt; y  &lt;math&gt;b_{12}\,\!&lt;/math&gt; lo cual es &lt;math&gt;a_{12}+b_{12}\,\!&lt;/math&gt;.


Siendo &lt;math&gt;A_{n*m}   y   B_{n*m}&lt;/math&gt;,   que pertenecen a los números Reales.

 
:&lt;math&gt;
A =
  \begin{bmatrix}
   a_{11} &amp; a_{12} \\
    a_{21} &amp; a_{22}
  \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;


: &lt;math&gt;
B = 
\begin{bmatrix}
 b_{11} &amp; b_{12}  \\
 b_{21} &amp; b_{22} 
\end{bmatrix}
&lt;/math&gt;  

: &lt;math&gt;
A + B = 
\begin{bmatrix} 
a_{11} &amp; a_{12}  \\ 
a_{21} &amp; a_{22} 
\end{bmatrix}

+
\begin{bmatrix}
 b_{11} &amp; b_{12}  \\ 
b_{21} &amp; b_{22} 
\end{bmatrix}

 = 

\begin{bmatrix} 
a_{11} + b_{11} &amp; a_{12} + b_{12}\\ 
a_{21} + b_{21} &amp; a_{22} + b_{22}
 \end{bmatrix}

 = 

\begin{bmatrix} 
c_{11}  &amp; c_{12} \\ 
c_{21}  &amp; c_{22}
 \end{bmatrix}

&lt;/math&gt; 


: &lt;math&gt;
A - B = 
\begin{bmatrix} 
a_{11} &amp; a_{12}  \\ 
a_{21} &amp; a_{22} 
\end{bmatrix}

-
\begin{bmatrix}
 b_{11} &amp; b_{12}  \\ 
b_{21} &amp; b_{22} 
\end{bmatrix}

 = 

\begin{bmatrix} 
a_{11} - b_{11} &amp; a_{12} - b_{12}\\ 
a_{21} - b_{21} &amp; a_{22} - b_{22}
 \end{bmatrix}

 = 

\begin{bmatrix} 
d_{11}  &amp; d_{12} \\ 
d_{21}  &amp; d_{22}
 \end{bmatrix}

&lt;/math&gt; 


Algo mas general se puede describir como:

:&lt;math&gt;
A =
  \begin{bmatrix}
   a_{11} &amp; \cdots &amp; a_{1m} \\
   \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\
   a_{1n} &amp; \cdots &amp; a_{nm}
  \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
B =
  \begin{bmatrix}
  b_{11} &amp; \cdots &amp; b_{1m} \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ b_{1n} &amp; \cdots &amp; b_{nm}
  \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;    A + B = \begin{bmatrix} a_{11}  + b_{11} &amp; \cdots &amp; a_{1m} + b_{1m} \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ a_{1n} + b_{1n} &amp; \cdots &amp; a_{nm} + b_{nm}\end{bmatrix}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;    A - B = \begin{bmatrix} a_{11}  - b_{11} &amp; \cdots &amp; a_{1m} - b_{1m} \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ a_{1n} - b_{1n} &amp; \cdots &amp; a_{nm} - b_{nm}\end{bmatrix}&lt;/math&gt;


Veamos un ejemplo más explícito. Sea &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;
  \begin{bmatrix}
    1 &amp; 3 &amp; 2 \\
    1 &amp; 0 &amp; 0 \\
    1 &amp; 2 &amp; 2
  \end{bmatrix}
  +
  \begin{bmatrix}
    1 &amp; 0 &amp; 5 \\
    7 &amp; 5 &amp; 0 \\
    2 &amp; 1 &amp; 1
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    1+1 &amp; 3+0 &amp; 2+5 \\
    1+7 &amp; 0+5 &amp; 0+0 \\
    1+2 &amp; 2+1 &amp; 2+1
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    2 &amp; 3 &amp; 7 \\
    8 &amp; 5 &amp; 0 \\
    3 &amp; 3 &amp; 3
  \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

A la luz de éstos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices en el caso de que las entradas estén en un '''campo''' serán la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Esto es así ya que éstas son propiedades de los '''campos''' en los que están las entradas de la matriz. A continuación se presentan las propiedades.

== Propiedades de la Adición de matrices ==

Para poder sumar dos o más matrices deben tener el mismo tamaño, la misma cantidad de columnas y de filas.
Propiedades:
# Cerrada: La suma de dos matrices resulta otra matriz de igual tamaño.
# Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
# Neutro: Existe una matriz O, con todos sus elementos de valor cero tal que A + O = O + A = A
# Simétrico: Cada matriz A, posee su matriz simétrica A' tal que A + A' = A' + A = O
Los elementos de A' son de valor opuesto que sus correspondientes de la matriz A
# Conmutativa: A + B = B + A

== Sustracción ==
Se puede definir la sustracción entre dos matrices &lt;math&gt;A - B &lt;/math&gt; como la suma de la primera con la opuesta (simétrica aditiva) de la segunda.&lt;math&gt;A + B' &lt;/math&gt;

== Resto del capítulo Matrices ==</text>
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    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Matemáticas/Matrices/Multiplicar una matriz por un escalar</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35603</id>
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      <id>428995</id>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
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      <text bytes="6394" sha1="h6jnac1y9mxc7cyvdiqv901q1u54oim" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
=== Producto de una matriz por un escalar ===
Si multiplicamos una matriz por una escalar, multiplicamos cada elemento de la matriz por ese escalar.

Es decir: producto de un número real por una matriz, es la aplicación que asocia a cada par formado por un número real y una matriz, otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando el número real por todos los elementos de la matriz.

== Ejemplo ==
&lt;br/&gt;
Sea &lt;math&gt;D\in\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;5\in\mathbb{R}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
  5 \times 
  \begin{bmatrix}
    1 &amp; 4  \\
    3 &amp; 2
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    5 \times (1) &amp; 5\times (4)  \\
    5\times (3) &amp; 5\times (2) 
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    5 &amp; 20  \\
    15 &amp; 10
  \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;


&lt;br/&gt;

== Producto por un escalar ==

Sean &lt;math&gt;A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\lambda\in\mathbb{K}&lt;/math&gt;. Se define la operación de '''producto por un escalar''' como una función &lt;math&gt;\mathbb{K}\times\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;(\lambda,A)\mapsto B=\lambda A&lt;/math&gt; y donde &lt;math&gt;b_{ij}=\lambda a_{ij}\,\!&lt;/math&gt; en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el campo &lt;math&gt;\mathbb{K}&lt;/math&gt;. Por ejemplo, la entrada &lt;math&gt;b_{12}\,\!&lt;/math&gt; es igual al producto &lt;math&gt;\lambda a_{12}\,\!&lt;/math&gt;.

Veamos un ejemplo más explícito. Sea &lt;math&gt;A\in\mathcal{M}_{2\times 3}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;2\in\mathbb{R}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
  2
  \begin{bmatrix}
    1 &amp;  8 &amp; -3 \\
    4 &amp; -2 &amp; 6
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    2(1) &amp; 2(8) &amp; 2(-3) \\
    2(4) &amp; 2(-2) &amp; 2(6)
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    2 &amp; 16 &amp; -6 \\
    8 &amp; -4 &amp; 12
  \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

También es inmediato ver que el producto por un escalar da como resultado una matriz del mismo tamaño que la original. También el producto por un escalar dependerá de la estructura algebraica en la que las entradas están. En el caso de que estén en un campo serán dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto de suma en el campo), asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del campo. A continuación se presentan las propiedades.

== Propiedades ==

Sean &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\lambda,\mu\in\mathbb{K}&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;\mathbb{K}&lt;/math&gt; es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación producto por un escalar

==Asociatividad==

:&lt;math&gt;
 (\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)\,\!
&lt;/math&gt;
&lt;br /&gt;

'''Demostración.''' Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que &lt;math&gt;(\lambda\mu)a_{ij}=\lambda(\mu a_{ij})\,\!&lt;/math&gt; debido a que &lt;math&gt;a_{ij}\in\mathbb{K}&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i,j\,\!&lt;/math&gt;.
&lt;br /&gt;

==Distributividad respecto de la suma de matrices==

:&lt;math&gt;
 \lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\,\!
&lt;/math&gt;
&lt;br /&gt;
'''Demostración''' Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que &lt;math&gt;\lambda(a_{ij}+b_{ij})=\lambda a_{ij}+\lambda b_{ij}\,\!&lt;/math&gt; debido a que &lt;math&gt;a_{ij},b_{ij}\in\mathbb{K}&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i,j\,\!&lt;/math&gt;.
&lt;br /&gt;
==Distributividad respecto de la suma en el campo==

:&lt;math&gt;
 (\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\,\!
&lt;/math&gt;
&lt;br /&gt;
'''Demostración''' Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que &lt;math&gt;(\lambda+\mu)a_{ij}=\lambda a_{ij}+\mu a_{ij}\,\!&lt;/math&gt; debido a que &lt;math&gt;a_{ij}\in\mathbb{K}&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i,j\,\!&lt;/math&gt;.
&lt;br /&gt;
==Producto por el neutro multiplicativo del campo==
:&lt;math&gt;
 1_{\mathbb{K}}A=A\,\!
&lt;/math&gt;
&lt;br /&gt;
'''Demostración''' Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que &lt;math&gt;1_{\mathbb{K}}(a_{ij})=a_{ij}&lt;/math&gt; debido a que &lt;math&gt;a_{ij}\in\mathbb{K}&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i,j\,\!&lt;/math&gt;.
&lt;br /&gt;
Por como se definió la operación de producto por escalares se dice que &lt;math&gt;\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})&lt;/math&gt; es cerrado bajo producto por escalares. Con éstas propiedades y las de la adición se tiene que &lt;math&gt;\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})&lt;/math&gt; es un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por escalares definidas antes.
&lt;br /&gt;
En el caso de que las entradas y los escalares no estén en un campo sino en un anillo entonces no necesariamente existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista, con lo cual el anillo es un '''anillo con uno''', se dice que &lt;math&gt;\mathcal{M}_{n\times m}(A)&lt;/math&gt; es un módulo sobre &lt;math&gt;A\,\!&lt;/math&gt;.
&lt;br /&gt;
Ahora, a partir de las propiedades básicas se puede demostrar inmediatamente que

:&lt;math&gt;
 \lambda 0=0\,\!
&lt;/math&gt;
&lt;br /&gt;
'''Demostración''' Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que &lt;math&gt;c_{ij}=\lambda(0_{ij})=\lambda(0_{\mathbb{K}})=0_{\mathbb{K}}&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i,j\,\!&lt;/math&gt;.
&lt;br /&gt;
:&lt;math&gt;
 0_{\mathbb{K}}A=0
&lt;/math&gt;
&lt;br /&gt;
'''Demostración''' Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que &lt;math&gt;c_{ij}=0_{\mathbb{K}}(a_{ij})=0_{\mathbb{K}}&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i,j\,\!&lt;/math&gt; debido a que &lt;math&gt;a_{ij}\in\mathbb{K}&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i,j\,\!&lt;/math&gt;.
&lt;br /&gt;
:&lt;math&gt;
 \lambda A=0\longrightarrow \lambda=0_{\mathbb{K}}\text{ o }A=0
&lt;/math&gt;
&lt;br /&gt;
'''Demostración''' Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que como en un campo no hay divisores de cero entonces &lt;math&gt;\lambda(a_{ij})=0_{\mathbb{K}}&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i,j\,\!&lt;/math&gt; implica que &lt;math&gt;\lambda=0_{\mathbb{K}}&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;a_{ij}=0_{\mathbb{K}}&lt;/math&gt;para todo &lt;math&gt;i,j\,\!&lt;/math&gt;, i.e. &lt;math&gt;A=0\,\!&lt;/math&gt;. No es posible un caso en el que sólo algunas entradas de la matriz sean cero y el escalar sea no nulo ya que en esos casos estaríamos diciendo que hay divisores de cero y llegaríamos a una contradicción, ya que la suposición es que las entradas y los escalares están en un campo.
&lt;br /&gt;
:&lt;math&gt;
 (-\lambda)A=\lambda(-A)\,\!
&lt;/math&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Demostración''' Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que &lt;math&gt;(-\lambda)(a_{ij})=(-1_{\mathbb{K}}(\lambda))a_{ij}=(\lambda(-1_{\mathbb{K}}))a_{ij}=\lambda(-1_{\mathbb{K}}(a_{ij}))=\lambda(-a_{ij})&lt;/math&gt; debido a que &lt;math&gt;a_{ij}\in\mathbb{K}&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i,j\,\!&lt;/math&gt;.

Este último resultado permite usar la notación &lt;math&gt;-\lambda A\,\!&lt;/math&gt; sin riesgo de ambigüedad.</text>
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    <title>Matemáticas/Definiciones/Topología</title>
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      <text bytes="680" sha1="bji4nq06rbyf5jxn6g90ewip8lpq2ds" xml:space="preserve">La Topología (del griego τόπος, “lugar”, y λόγος, “estudio”) es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.1 Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La Topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, etcétera.
(en breve será extendido el artículo)

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    <title>Matemáticas/Matrices/Multiplicación de matrices</title>
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== Producto de una matriz fila por una matriz columna ==

Sean A una matriz con una fila y n columnas y B una matriz con n filas y una columna.

Sean &lt;math&gt;A\in\mathcal{M}_{1\times 3}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;B\in\mathcal{M}_{3\times 1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
 \begin{bmatrix}
       -1 &amp; 3 &amp; 2
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    4   \\
    7   \\
    5  
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
     -1(4)+3(7)+5(2) \\
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
     -4 + 21 + 10 \\
  \end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix}
    27 \\
    
  \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

Hay que hacer notar que para poder multiplicar A y B debe suceder que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B.

El producto de las matrices A y B (A×B) es otra matriz con una fila y una columna cuyo único elemento es:  c = a1×b1 + a2×b2 + ... + an×bn.  &lt;br /&gt;


&lt;math&gt;A . B = C =\sum^{n}_{i = 1} a_i. b_i  &lt;/math&gt;

Dónde la matriz producto es como habíamos establecido en la definición: una matriz &lt;math&gt;C\in\mathcal{M}_{1\times 1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;. O sea una matríz de un sólo elemento, el valor 27.

== Producto de matrices ==
 

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. 
M(m*n) * M(n*p) = M('''''m*p'''''); Y ademas m*p nos dirá el tamaño de la matriz resultante.
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. 

Ejemplo:
A•B = &lt;math&gt;
 \begin{bmatrix} 2 &amp; 0 &amp; 1\\ 3 &amp; 0 &amp; 0 \\5 &amp;1&amp; 1 \end{bmatrix} &lt;/math&gt; • &lt;math&gt;

\begin{bmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 1 \\ 1 &amp; 2 &amp; 1 \\ 1 &amp; 1 &amp; 0 \end{bmatrix} &lt;/math&gt; 
 
&lt;math&gt;

 \begin{bmatrix} 2*1+0*1+1*1 &amp; 2*0+0*2+1*1 &amp; 2*1+0*1+1*0 \\3*1+0*1+0*1&amp; 3*0+0*2+0*1 &amp; 3*1+0*1+0*0\\5*1+1*1+1*1 &amp; 5*0+1*2+1*1  &amp; 5*1+1*1+1*0\end{bmatrix} 

&lt;/math&gt;
es igual a

&lt;math&gt;

 C:\begin{bmatrix} 3 &amp; 1 &amp; 2\\ 3 &amp; 0 &amp; 3 \\7 &amp;3&amp; 6 \end{bmatrix} &lt;/math&gt;    [C(3*3)]; matriz resultante de 3*3

 
== Producto en General ==

[[Archivo:Matrix multiplication diagram.svg|right|200px|thumb|Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices &lt;math&gt;A\,\!&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;B\,\!&lt;/math&gt; dando como resultado la matriz &lt;math&gt;AB\,\!&lt;/math&gt;.]]

El producto de matrices se define de una manera muy peculiar y hasta caprichosa cuando no se conoce su origen. El origen proviene del papel de las matrices como representaciones de aplicaciones lineales. Así el producto de matrices, como se define, proviene de la composición de aplicaciones lineales. En este contexto, el tamaño de la matriz corresponde con las dimensiones de los espacios vectoriales entre los cuales se establece la aplicación lineal. De ese modo el producto de matrices, representa la composición de aplicaciones lineales.

En efecto, en ciertas bases tenemos que &lt;math&gt;f:V\longrightarrow W&lt;/math&gt; se puede representar como &lt;math&gt;f(x)=Ax\,\!&lt;/math&gt; donde &lt;math&gt;x\,\!&lt;/math&gt; es la representación de un vector de &lt;math&gt;V\,\!&lt;/math&gt; en la base que se ha elegido para &lt;math&gt;V\,\!&lt;/math&gt; en forma de vector columna. Si tenemos dos aplicaciones lineales &lt;math&gt;f:V\longrightarrow W&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;g:W\longrightarrow U&lt;/math&gt; entonces &lt;math&gt;f(x)=Bx\,\!&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;g(x)=Ax\,\!&lt;/math&gt;, luego la aplicación &lt;math&gt;g\circ f:V\longrightarrow U&lt;/math&gt; se representará como &lt;math&gt;g\circ f(x)=g(f(x))=g(Bx)=ABx&lt;/math&gt; donde &lt;math&gt;AB\,\!&lt;/math&gt; es el producto de las representaciones matriciales de &lt;math&gt;f,g\,\!&lt;/math&gt;. Nótese que la composición no se puede dar entre cualquier aplicación sino entre aplicaciones que vayan de &lt;math&gt;V\rightarrow W\rightarrow U\,\!&lt;/math&gt;, en particular debe de haber una relación entre las dimensiones de los espacios vectoriales. Una vez dicho ésto podemos definir el producto de la siguiente manera.

Sean &lt;math&gt;A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;B\in\mathcal{M}_{m\times p}(\mathbb{K})&lt;/math&gt;. Se define el '''producto de matrices''' como una función &lt;math&gt;\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\times\mathcal{M}_{m\times p}(\mathbb{K})\longrightarrow \mathcal{M}_{n\times p}(\mathbb{K})&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;(A,B)\mapsto C=AB&lt;/math&gt; y donde &lt;math&gt;c_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}&lt;/math&gt; para toda &lt;math&gt;i,j\,\!&lt;/math&gt;, es decir &lt;math&gt;c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}+\dots+a_{im}b_{mj}\,\!&lt;/math&gt;. Por ejemplo, la entrada 
&lt;math&gt;c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{2j}+\dots+a_{1m}b_{m2}&lt;/math&gt;.

Veamos un ejemplo más explícito. Sean &lt;math&gt;A\in\mathcal{M}_{2\times 3}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;B\in\mathcal{M}_{3\times 2}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
 \begin{bmatrix}
    1 &amp; 0 &amp; 2 \\
    -1 &amp; 3 &amp; 1
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    3 &amp; 1 \\
    2 &amp; 1 \\
    1 &amp; 0
  \end{bmatrix}
=
&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;
=
  \begin{bmatrix}
     1(3)+0(2)+2(1) &amp; 1(1)+0(1)+2(0) \\
    -1(3)+3(2)+1(1) &amp; -1(1)+3(1)+1(0) \\
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    5 &amp; 1 \\
    4 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

dónde la matriz producto es como habíamos establecido en la definición: una matriz &lt;math&gt;C\in\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

Sin tomar en cuenta la motivación que viene desde las aplicaciones lineales, es evidente ver que si ignoramos la definición de la función de producto de matrices y sólo se toma en cuenta la definición de las entradas, el producto no estará bien definido, ya que si &lt;math&gt;A\,\!&lt;/math&gt; no tiene el mismo número de columnas que &lt;math&gt;B\,\!&lt;/math&gt; de filas entonces no podremos establecer en donde acaba la suma: si la acabamos en el mayor de éstos números habrá sumandos que no están definidos ya que una de las matrices no tendrá mas entradas, mientras que si tomamos el menor habrá entradas de alguna de las matrices que no se tomen en cuenta. Así es necesario que '''&lt;math&gt;A\,\!&lt;/math&gt; tenga el mismo número de columnas que &lt;math&gt;B\,\!&lt;/math&gt; de filas para que &lt;math&gt;AB\,\!&lt;/math&gt; exista'''.

Como se puede suponer también, las propiedades de ésta operación serán más limitadas en la generalidad ya que además de las limitaciones impuestas por la naturaleza de las entradas está esta limitación respecto a tamaño. Es claro, además, que el producto de matrices no siempre es una operación interna.

== Propiedades ==

Sean &lt;math&gt;A,B,C\,\!&lt;/math&gt; matrices con entradas en &lt;math&gt;\mathbb{K}&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;\mathbb{K}&lt;/math&gt; es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para el producto de matrices (considerando que los productos existan)

==Asociatividad==
A • (B • C) = (A • B) • C

'''Demostración.''' Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que, si &lt;math&gt;A(BC)=AH=R\,\!&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}h_{kj}\,\!&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;h_{ij}=\sum_{\ell=1}^{p}b_{i\ell}c_{\ell j}\,\!&lt;/math&gt; por lo que &lt;math&gt;r_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}\sum_{\ell=1}^{p}b_{k\ell}c_{\ell j}=\sum_{\ell=1}^{p}\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{k\ell}c_{\ell j}=\sum_{\ell=1}^{p}s_{i\ell}c_{\ell j}=t_{ij}\,\!&lt;/math&gt; donde &lt;math&gt;(AB)C=SC=T\,\!&lt;/math&gt; debido a que &lt;math&gt;a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{K}&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i,j\,\!&lt;/math&gt;. Aquí estamos considerando que &lt;math&gt;A\,\!&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;n\times m&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,\!&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;m\times p&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;C\,\!&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;p\times q&lt;/math&gt;.

==Distributividad respecto de la suma de matrices por la derecha==

:&lt;math&gt;
 (A+B)C=AC+BC\,\!
&lt;/math&gt;

'''Demostración''' Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que &lt;math&gt;\sum_{k=1}^{m}(a_{ik}+b_{ik})c_{kj}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}c_{kj}+b_{ik}c_{kj}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}c_{kj}+\sum_{k=1}^{m}b_{ik}c_{kj}\,\!&lt;/math&gt; debido a que &lt;math&gt;a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{K}&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i,j\,\!&lt;/math&gt;. Aquí estamos considerando que &lt;math&gt;A\,\!&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;n\times m&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,\!&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;n\times m&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;C\,\!&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;m\times p&lt;/math&gt;.

==Distributividad respecto de la suma de matrices por la izquierda==

:&lt;math&gt;
 A(B+C)=AB+AC\,\!
&lt;/math&gt;

'''Demostración''' Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que &lt;math&gt;\sum_{k=1}^{m}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}+a_{ik}c_{kj}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}+\sum_{k=1}^{m}a_{ik}c_{kj}\,\!&lt;/math&gt; debido a que &lt;math&gt;a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{K}&lt;/math&gt; para todo &lt;math&gt;i,j\,\!&lt;/math&gt;. Aquí estamos considerando que &lt;math&gt;A\,\!&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;n\times m&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,\!&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;m\times p&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;C\,\!&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;m\times p&lt;/math&gt;.


El producto de matrices no es conmutativo, si lo fuera la composición de funciones lineales sería conmutativa y eso en general no sucede. Obviamente existen casos particulares de algunos tipos de matrices en los que si hay conmutatividad. En el caso en que tengamos &lt;math&gt;\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})&lt;/math&gt; tendremos que el producto entre matrices en &lt;math&gt;\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})&lt;/math&gt; también está en &lt;math&gt;\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})&lt;/math&gt;. En ese caso &lt;math&gt;\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})&lt;/math&gt; además de espacio vectorial es un [[Álgebra sobre un cuerpo|álgebra sobre un campo]]. En el caso de que el conjunto al que pertenecen las entradas sea un anillo conmutativo con uno entonces &lt;math&gt;\mathcal{M}_{n}(A)&lt;/math&gt; además de módulo es un álgebra sobre un anillo. Mas aún &lt;math&gt;(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),+,\cdot)&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt; el producto de matrices es un anillo.


== Elemento neutro ==
A • I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

== Anticonmutativa ==
En general, y salvo casos muy especiales, el producto de dos matrices no es conmutativo.

A • B ≠ B • A</text>
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    <title>Matemáticas/Matrices/Regla de Cramer</title>
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      <id>428997</id>
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      <timestamp>2026-07-26T16:09:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
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      <text bytes="4403" sha1="5dbloglfn39ahx8nsbfqve76nxrtdxv" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
== Temas introductorios ==

[[Matemáticas/Matrices/Regla de Cramer/Cramer, Gabriel|'''Biografía de Cramer''']]

[[Matemáticas/Matrices/Regla de Cramer/Cálculo de Determinantes|'''Cómo calcular determinantes''']]

[[Matemáticas/Matrices/Regla de Cramer/Determinante|'''Determinante''']]

== Regla de Cramer ==
La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729)
La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. 

''' Fórmulas explícitas para sistemas pequeños '''
== Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas ==


Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:

{{ecuación|
&lt;math&gt;
   \begin{cases} 
      a{\color{blue}x} + b{\color{blue}y} = {\color{red}e}\\ 
      c{\color{blue}x} + d{\color{blue}y} = {\color{red}f}
   \end{cases}
&lt;/math&gt;
||left}}

Lo representamos en forma de matrices:
: &lt;math&gt;
   \begin{bmatrix}
       a &amp; b \\
       c &amp; d 
   \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix}
      {\color{blue}x} \\
      {\color{blue}y}
   \end{bmatrix}=
   \begin{bmatrix}
      {\color{red}e}  \\
      {\color{red}f}
   \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

Entonces, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:
: &lt;math&gt;
   x =
   \frac {
      \begin{vmatrix}
         \color{red}{e} &amp; b \\
         \color{red}{f} &amp; d
      \end{vmatrix}
   }{
      \begin{vmatrix}
         a &amp; b \\
         c &amp; d
      \end{vmatrix}
   } = 
   \frac{
      {\color{red} e } d - b {\color{red} f }
   }{
      ad - bc
   }; \quad
   y =
   \frac {
      \begin{vmatrix}
         a &amp; \color{red}{e} \\
         c &amp; \color{red}{f}
      \end{vmatrix}
   }{
      \begin{vmatrix}
         a &amp; b \\
         c &amp; d
      \end{vmatrix}
   } = 
   \frac{
      a{\color{red} f } - {\color{red} e } c 
   }{
      ad - bc
   }
&lt;/math&gt;

== Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas ==

La regla para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es similar, con una división de determinantes:

{{ecuación|
&lt;math&gt;
   \begin{cases} 
      a{\color{blue}x} + b{\color{blue}y} + c{\color{blue}z} = {\color{red}j}\\ 
      d{\color{blue}x} + e{\color{blue}y} + f{\color{blue}z} = {\color{red}k}\\
      g{\color{blue}x} + h{\color{blue}y} + i{\color{blue}z} = {\color{red}l}
   \end{cases}
&lt;/math&gt;
||left}}

Que representadas en forma de matriz es:
: &lt;math&gt;
   \begin{bmatrix}
      a &amp; b &amp; c \\
      d &amp; e &amp; f \\
      g &amp; h &amp; i
   \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix}
      {\color{blue}x} \\
      {\color{blue}y} \\
      {\color{blue}z}
   \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}
      {\color{red}j} \\
      {\color{red}k} \\
      {\color{red}l} 
   \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; pueden ser encontradas como sigue:
: &lt;math&gt;
   x =
   \frac {
      \begin{vmatrix}
         {\color{red}j} &amp; b &amp; c \\
         {\color{red}k} &amp; e &amp; f \\
         {\color{red}l} &amp; h &amp; i
      \end{vmatrix}
   }{
      \begin{vmatrix} a &amp; b &amp; c \\
         d &amp; e &amp; f \\
         g &amp; h &amp; i
      \end{vmatrix}
   }; \quad
   y =
   \frac {
      \begin{vmatrix}
         a &amp; {\color{red}j} &amp; c \\
         d &amp; {\color{red}k} &amp; f \\
         g &amp; {\color{red}l} &amp; i
      \end{vmatrix}
   }{
      \begin{vmatrix}
         a &amp; b &amp; c \\
         d &amp; e &amp; f \\
         g &amp; h &amp; i
      \end{vmatrix}
   } , \quad
   z =
   \frac {
      \begin{vmatrix}
         a &amp; b &amp; {\color{red}j} \\
         d &amp; e &amp; {\color{red}k} \\
         g &amp; h &amp; {\color{red}l}
      \end{vmatrix}
   }{
      \begin{vmatrix}
         a &amp; b &amp; c \\
         d &amp; e &amp; f \\
         g &amp; h &amp; i
      \end{vmatrix}
   }
&lt;/math&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Matrices/Biografía de Cramer</title>
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        <username>Mazbel</username>
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== Cramer, Gabriel==
[[File:Gabriel Cramer.jpg|thumb|Gabriel Cramer (1704 - 1752)]]
Nació en 1704 y murió en 1752.

Gabriel Cramer, suizo, trabajó en Análisis y determinantes. Llegó a ser profesor de matemáticas en Ginebra, escribió un trabajo donde relataba la física, también en geometría y la historia de las matemáticas.

Cramer es más conocido por su trabajo en determinantes, pero también hizo contribuciones en el estudio de las curvas algebraicas (1750).

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    <title>Matemáticas/Aritmética/Resta</title>
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La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia o resto. Es el contrario de la suma, ya que esta añade y la resta quita. En la resta hay dos números al primero se llama minuendo y la segundo sustraendo.

Ejemplo:

: 36－5＝31
: 36－11＝25
: 36－5－11＝36－11－5＝20

== Intervenciones de la resta ==
=== En la propiedad distributiva de la [[Matemáticas/Aritmética/Multiplicación|multiplicación]] ===

&lt;math&gt;5 * (7.2 - 2.2) = 5 * 7.2 - 5 * 2.2 = 36-11 = 25&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-&lt;/math&gt; es el signo de la resta, por lo que interviene.

== Propiedades ==

La resta no tiene propiedades, pero está en el apartado anterior, que interviene en la propiedad conmutativa de la multiplicación.</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Multiplicación</title>
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La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número. Así, 4×3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.

== Propiedades ==
=== Conmutativa ===

El orden de los factores no altera el producto.

&lt;math&gt;12 * 7 = 7 * 12 = 84&lt;/math&gt;

=== Asociativa ===

&lt;math&gt;4 * (1 * 3) = (4 * 1) * 3 = (4 * 3) * 1 = 12 &lt;/math&gt;

=== Distributiva ===

&lt;math&gt;5 * (4+9) = 5 * 4 + 5 * 9 = 65&lt;/math&gt;

== En las potencias ==

Si multiplicas un mismo número por el mismo se llama potencia. 

&lt;math&gt;9 * 9 * 9 = 729&lt;/math&gt;

El exponente es un número pequeño que indica por cuantas veces lo has multiplicado.

&lt;math&gt;7 * 7 * 7 = 343 = 7^{3}&lt;/math&gt;

== Multiplicación y potenciación del número 10 ==

El 10, por ejemplo, si lo elevas al cubo tiene 3 ceros:

&lt;math&gt;10^{3} = 1000&lt;/math&gt;, mil tiene tres ceros

Pero si se eleva al exponente negativo:

&lt;math&gt;10^{-5} = 0,00001&lt;/math&gt;

El exponente negativo indica la cantidad de [[Matemáticas/Aritmética/Números decimales|números decimales]]

== Reglas ==

* Un número elevado al exponente negativo jamás dará número decimal.
* El orden de los factores no altera el producto
* En las operaciones combinadas, las multiplicaciones deben hacerse primero para que el resultado esté bien.</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Logaritmación</title>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección|tono=azul}}&lt;/noinclude&gt; 
El '''logaritmo''' de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número.

hay tres operaciones relacionadas:
* la potencia:
: &lt;math&gt; a= b^c &lt;/math&gt;

'''a''' es igual a '''b''' elevado a la potencia '''c'''

* la raíz
: &lt;math&gt; b= \sqrt[c]{a} &lt;/math&gt;

'''b''' es la raíz '''c'''-esima de '''a'''

* el logaritmo
: &lt;math&gt; c = \log_b a &lt;/math&gt;

'''c''' es el logaritmo de base '''b''' de '''a''', esto es '''c''' es el número al que hay que elevar '''b''' para obtener '''a'''.

Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10 &lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 10×10×10:
: &lt;math&gt;\log_5 (125) \to 5^x = 125 \to x = 3 &lt;/math&gt;

'''Orígenes'''

En el pasado los logaritmos eran muy útiles para calcular productos de números muy grandes (recordemos que no había calculadoras). Hoy en día se utilizan entre otras cosas para representar en un mismo gráfico diferentes órdenes de magnitud, los decibelios al fin y al cabo son logaritmos.

====Logaritmos decimales====
Un logaritmo decimal de un número &lt;math&gt;{P}\,\!&lt;/math&gt; se designa como &lt;math&gt;\log P\,\!&lt;/math&gt;, y el resultado es el número al que hay que elevar el &lt;math&gt;{10}\,\!&lt;/math&gt; para obtener &lt;math&gt;{P}\,\!&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\log P \iff 10^x=P&lt;/math&gt;

La primera vez que se ven los logaritmos uno se siente tal vez algo extrañado, por eso es bueno que se hagan pruebas para familiarizarse con ellos, por ejemplo decir cual es el &lt;math&gt;\log 245\,\!&lt;/math&gt; a base de tanteo &lt;math&gt;10^{2,3}=199&lt;/math&gt; &lt;math&gt;10^{2,4}=251&lt;/math&gt; &lt;math&gt;10^{2,35}=223&lt;/math&gt; y luego comprobar que vale log 245 con la calculadora.

====Logaritmos de base cualquiera====
Se define el logaritmo en base &lt;math&gt;a (a&gt;0)\,\!&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;P\,\!&lt;/math&gt;, y se escribe como &lt;math&gt;\log _a P\,\!&lt;/math&gt;, el exponente al que hay que elevar &lt;math&gt;a\,\!&lt;/math&gt; para obtener &lt;math&gt;P\,\!&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\log_a P=x \iff a^x=P&lt;/math&gt;

====Logaritmo Neperiano====
También llamado logaritmo natural, es un logaritmo en base &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;. Se representa como &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\log_e{x} = \ln{x}&lt;/math&gt;    Se lee: &quot;logaritmo en base e de x&quot; es igual (es lo mismo que) &quot;logaritmo natural de x&quot;

====Propiedades====

* El logaritmo de la base es uno &lt;math&gt;\log_a a=1\,\!&lt;/math&gt;
* El logaritmo de 1 es cero para cualquier base &lt;math&gt;\log_a 1=0\,\!&lt;/math&gt;
* Logaritmo de un producto &lt;math&gt;\log_a (P \cdot Q) = \log_a P + \log_a Q\,\!&lt;/math&gt;
* Logaritmo de un cociente &lt;math&gt;\log_a \left( \frac{P}{Q} \right) = \log_a P - \log_a Q\,\!&lt;/math&gt;
* Logaritmo de una potencia &lt;math&gt;\log_a P^n = n\, \log_a P\,\!&lt;/math&gt;
* Logaritmo de una raíz &lt;math&gt;\log_a \sqrt[n]{P} = \frac{1}{n} \log_a{P}\,\!&lt;/math&gt;
* Cambio de base &lt;math&gt;\log_a P = \frac{\log P}{\log a}&lt;/math&gt; Si nos fijamos esta propiedad nos permite calcular logaritmos de base cualquiera con una calculadora que solo disponga de logaritmo decimal.


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    <title>Matemáticas/Matrices/Introducción</title>
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=== Un poco de historia ===
Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 1850, introducidas por el inglés J. J. Sylvester. Su desarrollo se debe a W. R. Hamilton y a A. Cayley.
Además de su utilidad para el estudio de los sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen de manera natural en geometría, estadística, economía, etc.
Nuestra cultura está llena de matrices de números: El horario de los trenes de cada una de las estaciones es una matriz de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada uno de los días de la semana es otra, los horarios de clases con columnas (Lunes, Martes, etc) y filas ( 13:30 a 14:15, ...) donde las celdas se completan con las materias, y muchos otros ejemplos.
Las tablas de sumar y multiplicar, la disposición de los alumnos en clase, las casillas de un tablero de ajedrez, las apuestas de la loto, los puntos de un monitor de ordenador, son otros tantos ejemplos de la vida cotidiana de matrices.
Actualmente, muchos programas de ordenador utilizan el concepto de matriz. Así, las Hojas de Cálculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y columnas en cuyas celdas se pueden introducir datos y fórmulas para realizar cálculos a gran velocidad. Esto requiere utilizar las operaciones con matrices.</text>
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    <title>Matemáticas/Generalidades/Grafos</title>
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== Definición de Grafo ==

Un grafo está determinado por dos conjuntos finitos, uno de vértices y otro de aristas, los cuales llamaremos normalmente &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; respectivamente. La notación usual para decir que &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; es un grafo formado por los conjuntos &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; será &lt;math&gt;G = (V,E)&lt;/math&gt;.

El conjunto &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; tendrá la forma &lt;math&gt;V \times V&lt;/math&gt;.

(en breve será extendido este artículo)</text>
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    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE</title>
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    <title>Matemáticas/Álgebra/Introducción</title>
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El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las principales ramas de la matemática, junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números.

La palabra «álgebra» es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة) (que significa &quot;Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado&quot;), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» جبر (yabr) , proviene del árabe y significa &quot;reducción&quot;.
== El Álgebra elemental ==
Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde sólo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque:

* Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.
* Permite referirse a números &quot;desconocidos&quot;, formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.
* Permite la formulación de relaciones Funcionales.</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra/Polinomios</title>
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En matemáticas, un polinomio (del gr, «poli»-muchos y «νόμος»- división, y el lat. «binomius»)es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como exponentes enteros positivos. En otras palabras, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son muy utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

En áreas de las matemáticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica.
{{Wikipedia|Polinomios}}

* [[Matemáticas/Álgebra/Polinomios/Definiciones|Varias Definiciones formales]]
* [[Matemáticas/Álgebra/Polinomios/Observaciones|Observaciones varias]]
* [[Matemáticas/Álgebra/Polinomios/Valor|Valor numérico de un polinomio]]

===Operaciones con polinomios===

== Términos semejantes ==
Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Ejemplos: -1/2a y a; 3ab y -2ab.

== Reducción de términos semejantes ==
Se agrupan los términos semejantes; en paréntesis se colocan los coeficientes con los signos y se resuelven, luego se escribe el resultado acompañado de su parte literal. Por ejemplo: &lt;math&gt;x^3&lt;/math&gt; + &lt;math&gt;4x^3&lt;/math&gt; - &lt;math&gt;2x^3&lt;/math&gt; = (1 + 4 - 2)&lt;math&gt;x^3= 3x^3&lt;/math&gt; otro tipo de ejemplo sería 7x + 3y - 4x - 6y = (7 - 4)x + (3 - 6)y = 3x - 3y  

otro ejemplo:

	3) 4/5 x^2 y+1/6 x-1/5 x^2 y+2X/6


Matemática 8° Grado - Editorial en Alianza Fundación - pág 22
ejemplo 3 por libardo fernandez</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra/Inecuaciones</title>
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Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de orden (&lt;, &gt;, ≤ o ≥). Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce como intervalo. Una de las obligaciones de las (inecuaciones) es la de cumplir una desigualdad.</text>
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    <title>Matemáticas/Programación Lineal/Fundamentación</title>
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      <text bytes="1144" sha1="55kwqo1b4zqqk2bywfwhl3gxbcr0r9c" xml:space="preserve">La Investigación de operaciones es una metodología científica aplicable al análisis de problemas complejos para la toma de decisiones en un medio ambiente socio-económico, administrativo o de ingeniería, en instituciones públicas o privadas. Su utilización debe ser en la forma de participación interdisciplinaria.
Contribuye a formar la necesaria organización en su pensamiento para el uso del método científico en el análisis riguroso de los problemas que enfrente y la aplicación de técnicas de solución.

Ayuda a aprender la aplicación del método científico en el análisis y solución de algunos problemas representativos y comunes para el profesional en las áreas empresariales y de gobierno como son administración, ingeniería, transporte y sistemas de información. 

Es conveniente aclarar que la IO es el nombre del conjunto de conocimientos para enfrentar los problemas que se presentan en las grandes organizaciones humanas, involucrando filosofía de solución integral con enfoque sistemático, con gente interdisciplinaria utilizando la ciencia con modelos matemáticos y técnicas de muestreo.

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La [[w:Geometría|Geometría]] (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, γέω, ''geo'', 'tierra', y μετρία, ''metria'', 'medida'), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio idealizado de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc).

Es la justificación teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, astronomía, arquitectura, cartografía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías.

== Tipos de geometría ==
Entre los tipos de geometría se encuentran: geometría plana y del espacio.

== Geometría euclidiana ==
La geometría euclidiana (o geometría parabólica) es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana y de geometría clásica.
Fragmento de Los elementos de Euclides, escrito en papiro, hallado en el yacimiento de Oxirrinco (Egipto).
Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libro Los elementos, dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente —desde Arquímedes hasta Jakob Steiner—.
Según la contraposición entre método sintético y método algebraico-analítico, la geometría euclidiana sería, precisamente, el estudio por métodos sintéticos de los invariantes de un espacio vectorial real de dimensión 3 dotado de un producto escalar muy concreto (el frecuentemente denominado «producto escalar habitual»).
Según el programa de Erlangen, la geometría euclidiana sería el estudio de los invariantes de las isometrías en un espacio euclidiano (espacio vectorial real de dimensión finita, dotado de un producto escalar).

== Geometría plana ==
La geometría plana es una parte de la geometría euclidiana que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclidiana, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.

== Geometría espacial ==

La geometría espacial o geometría del espacio es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, los poliedros regulares (los sólidos platónicos, convexos, y los sólidos de Kepler-Poinsot, no convexos) y otros poliedros.

La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.

Llamamos cuerpos geométricos a las figuras que se han de representar en el espacio tridimensional. Los cuerpos geométricos ocupan siempre un espacio.

Asimismo, los cuerpos que están huecos pueden albergar en su interior otros cuerpos en una cantidad que recibe el nombre de capacidad. Existe una relación directa entre la capacidad de un cuerpo y el volumen que éste ocupa.

La geometría espacial se basa en un sistema formado por tres ejes (X,Y,Z):

* Ortogonales (perpendiculares 2 a 2)
* Normalizados (las longitudes de los vectores básicos de cada eje son iguales)
* Dextrógiros (el tercer eje es producto vectorial de los otros 2)

== Geometría No euclidiana ==
Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. No existe un sólo tipo de geometría no euclídea, sino muchos, aunque si se restringe la discusión a espacios homogéneos, en los que la curvatura del espacio la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles pueden distinguirse tres tipos de geometrías:

* La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.
* La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.
* La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.

Todos estos son casos particulares de geometrías riemannianas, en los que la curvatura es constante, si se admite la posibilidad de que la curvatura intrínseca de la geometría varíe de un punto a otro se tiene un caso de geometría riemanniana general, como sucede en la teoría de la relatividad general donde la gravedad causa una curvatura no homogénea en el espacio tiempo, siendo mayor la curvatura cerca de las concentraciones de masa, lo cual es percibido como un campo gravitatorio atractivo.

== Geometría Riemanniana ==
En geometría diferencial, la geometría de Riemann es el estudio de las variedades diferenciales con métricas de Riemann; es decir de una aplicación que a cada punto de la variedad, le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, aplicación que varía suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre otras magnitudes) ángulo, longitud de curvas, y volumen. A partir de éstas, pueden obtenerse otras magnitudes por integración de las magnitudes locales.

Fue propuesta por primera vez de forma general por Bernhard Riemann en el siglo XIX. Como casos especiales particulares aparecen los dos tipos convencionales (geometría elíptica y geometría hiperbólica) de geometría No-Euclidiana, así como la geometría euclidiana misma. Todas estas geometrías se tratan sobre la misma base, al igual que una amplia gama de las geometrías con propiedades métricas que varían de punto a punto.

== Geometría Analítica ==
La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.</text>
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* [[Matemáticas/Geometría/Coordenadas|Coordenadas]]
* [[Geometría Analítica|Libro de Geometría Analítica]]
# [[/Introducción|Introducción]]
# [[/Coordenadas cartesianas|Coordenadas cartesianas]]
## [[/Coordenadas cartesianas/Orden en rectas|Orden en rectas]]
## [[/Coordenadas cartesianas/Función distancia|Función distancia]]
## [[/Coordenadas cartesianas/Recta y números|Rectas y números]]
## [[/Coordenadas cartesianas/Abscisa de un punto|Abscisa de un punto]]
## [[/Coordenadas cartesianas/Teorema de Chasles|Teorema de Chasles]]
## [[/Coordenadas cartesianas/Sistema cartesiano de ejes|Sistema cartesiano de ejes]]
## [[/Coordenadas cartesianas/Coordenadas del punto medio|Coordenadas del punto medio]]
## [[/Coordenadas cartesianas/Distancia entre dos puntos|Distancia entre dos puntos]]
## [[/Coordenadas cartesianas/Baricentro|Baricentro]]
# [[/La Recta|La Recta]]
## [[/La Recta/Rectas paralelas a los ejes|Rectas paralelas a los ejes]]
## [[/La Recta/Teorema de Thales|Teorema de Thales]]
## [[/La Recta/Tres puntos alineados|Tres puntos alineados]]
## [[/La Recta/Ecuación general de la recta|Ecuación general de la recta]]
## [[/La Recta/Intersección de dos rectas|Intersección de dos rectas]]
## [[/La Recta/Paralelismo|Paralelismo]]
## [[/La Recta/Perpendicularidad|Perpendicularidad]]
## [[/La Recta/Ecuaciones de la recta|Ecuaciones de la recta]]
### [[/La Recta/Ecuaciones de la recta/Ecuación general|Ecuación general]]
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    <title>Matemáticas/Didáctica/Lecturas recomendadas</title>
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      <text bytes="376" sha1="ab19z1inf3qi7ksckwlnkmztko7gdhn" xml:space="preserve">Esta sección tiene como objetivo facilitar al lector una lista de libros útiles para el aprendizaje de las mátematicas.
==Educación Primaria y Secundaria==
El Mentor de Matemáticas. Barcelona Editorial:Oceano. ISBN 978-84-494-3241-5
==Calculó Mental==
* '''Coto, A. (2006):''' Entrenamiento Mental. Madrid:Editorial Edaf  2003.I (49). ISBN 978-84-414-1876-9.
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    <title>Matemáticas/Lógica/Introducción</title>
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==Definición breve ==
La lógica es la ciencia que expone las leyes, formas y modos del conocimiento científico.
Es una ciencia formal que no tiene contenido, sino que se dedica al estudio de las formas válidas de inferencia, o sea que trata del estudio de los métodos y los principios utilizados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.

La '''Lógica''' es una ciencia formal que estudia los principios de la demostración e inferencia válida. La palabra deriva del griego antiguo λογική (logike), que significa «dotado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo», que a su vez viene de λόγος (logos), «palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio».

La lógica tradicionalmente se consideró una rama de la filosofía. Pero desde finales del siglo XIX, su formalización simbólica ha demostrado una íntima relación con las matemáticas, y dio lugar a la lógica matemática.

== Aristóteles==
	 
La raíz etimologica de la palabra nos remonta al latín logĭca, que a su vez proviene del término griego logikós (de logos, “razón” o “estudio”).
Uno de los primeros en utilizar el término fue el filósofo griego Aristóteles, considerado el fundador de la lógica formal. Lo hizo para referirse al estudio de los argumentos los cuales consideró como manifestadores de la verdad en la ciencia, además de plantear al silogismo como el argumento que se considera totalmente válido.
	

Como contrapartida podemos considerar la lógica informal como el estudio metódico de los argumentos probables desde la retórica, la oratoria y la filosofía, entre otras ciencias, especializándose en la identificación de falacias y paradojas, y en la construcción correcta de los discursos.
	 
== Otras lógicas==
	 
* La lógica natural considerada como la disposición natural para discurrir con acierto sin el auxilio de la ciencia.&lt;br /&gt;
* La lógica borrosa o difusa, en cambio, es la que admite una cierta incertidumbre entre la verdad o falsedad de sus proposiciones, a semejanza del raciocinio humano.&lt;br /&gt;
* La lógica matemática es aquella que opera utilizando un lenguaje simbólico artificial y realizando una abstracción de los contenidos.&lt;br /&gt;
* Además, existen otros tipos o clases de lógica, como la lógica binaria, que trabaja con variables que sólo toman dos valores discretos.&lt;br /&gt;</text>
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== Introdución ==
El conocimiento es un conjunto de información adquirida a través de la experiencia o de la introspección. Puede ser organizado sobre la estructura de hechos objetivos y accesibles a distintos observadores, a través de un conjunto de técnicas y métodos que se conoce como ciencia. El vocablo proviene del latín scientia y, justamente, significa conocimiento.

==Ciencia==
La aplicación sistemática de dichos métodos genera nuevos conocimientos objetivos (científicos), que toman la forma de predicciones concretas, cuantitativas y comprobables. Las predicciones son susceptibles de ser estructuradas en leyes o reglas universales, que describen el funcionamiento de un sistema y predicen cómo será su actuación bajo ciertas circunstancias.

== División ==
La ciencia puede dividirse en ciencia básica y ciencia aplicada (cuando se aplica el conocimiento científico a las necesidades humanas). Existen además otras clasificaciones de las ciencias, como las planteadas por el epistemólogo alemán Rudolf Carnap, quien las dividió en ciencias formales (no tienen contenido concreto, como la lógica y la matemática), ciencias naturales (su objeto de estudio es la naturaleza. Ejemplo: biología, química, geología) y ciencias sociales (se ocupan de aspectos de la cultura y la sociedad, como la historia, la economía y la psicología).

== Métodos== 
Aunque cada ciencia cuenta con su propio método de investigación, los métodos científicos deben cumplir con varios requisitos, como la reproducibilidad (la capacidad de repetir un experimento en cualquier lugar y por cualquier persona) y falsabilidad (la capacidad de una teoría de ser sometida a pruebas que la contradigan).

== Proceso científico ==
Los pasos propios del proceso científico son la observación (se toma una muestra), la descripción detallada, la inducción (cuando se extrae el principio general implícito de los resultados observados), la hipótesis (que explica los resultados y su relación causa-efecto), la experimentación controlada (para comprobar la hipótesis), la demostración o refutación de la hipótesis y, por último, la comparación universal (para contrastar la hipótesis con la realidad).</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Expresión Lógica</title>
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==Expresión lógica==
'''Definición 1 '''--Una expresión lógica es una ''tautología'' si es verdad para todas las asignaciones posibles.

'''Definición 2'''--Una expresión lógica es una ''contradicción'' si es falsa para todas las asignaciones posibles.

'''Definición 3'''--Una expresión lógica que no sea ni una tautología ni una contradicción se denomina ''contingencia'' (casualidad/eventualidad).</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Leyes</title>
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{| border=1 style=&quot;float:center; margin:0 0 1em 1em&quot;
|+

== Tabla de leyes ==

!'''&lt;font color=&quot;#FF0000&quot;&gt;Leyes&lt;/font&gt;'''!!'''&lt;font color=&quot;#FF0000&quot;&gt;Nombre&lt;/font&gt;'''
|-----------------
|p∨-p≡V   || Ley de medio Excluido       
|-----------------
|p∧-p≡F   || Ley de Contradicción
|-----------------
|p∨F≡p    || Leyes de Indentidad
|-----------------
|p∧V≡p    || Leyes de Indentidad
|-----------------
|p∨V≡V    || Leyes de Dominación 
|-----------------
|p∧F≡F    || Leyes de Dominación 
|-----------------
|p∨p≡p    || Leyes de Idempotencia
|-----------------
|p∧p≡p    || Leyes de Idempotencia
|-----------------
|-(-p)≡p   || Ley de Doble Negación
|-----------------
|p∨q≡q∨p  || Leyes Conmutativas
|-----------------
|p∧q≡q∧p  || Leyes Conmutativas
|-----------------
|(p∨q)∨r≡p∨(q∨r) || Leyes Asociativas
|-----------------
|(p∧q)∧r≡p∧(q∧r)   || Leyes Asociativas
|-----------------
|(p∨q)∧(p∨r)≡p∨(q∧r) ||Leyes Distributivas      
|-----------------
|(p∧q)∨(p∧r)≡p∧(q∨r) ||Leyes Distributivas     
|-----------------
| -(p∧q)≡-p∨-q ||Leyes de DeMorgan
|-----------------
| -(p∨q)≡-p∧-q ||Leyes de DeMorgan
|-----------------
|................................................................. ||.................................................................
|}


----</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Pensamiento lógico</title>
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El pensamiento lógico es aquel que se desprende de las relaciones entre los objetos y procede de la propia elaboración del individuo. Surge a través de la coordinación de las relaciones que previamente ha creado entre los objetos.
==  Pensamiento lógico==
Es importante tener en cuenta que las diferencias y semejanzas entre los objetos sólo existen en la mente de aquel que puede crearlas. Por eso el conocimiento lógico no puede enseñarse de forma directa. En cambio, se desarrolla mientras el sujeto interactúa con el medio ambiente.

== Pedagogía ==
La pedagogía señala que los maestros deben propiciar experiencias, actividades, juegos y proyectos que permitan a los niños desarrollar su pensamiento lógico mediante la observación, la exploración, la comparación y la clasificación de los objetos.

Cabe destacar que la lógica es la ciencia que expone las leyes, los modos y las formas del conocimiento científico. Según su etimología, el concepto de lógica deriva del latín logĭca, que a su vez proviene del término griego logikós (de logos, “razón” o “estudio”).

Es una ciencia formal que no tiene contenido, ya que se dedica al estudio de las formas válidas de inferencia. Por lo tanto, la lógica se encarga del estudio de los métodos y los principios utilizados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.
== Utilidades ==
En este sentido, el pensamiento lógico sirve para analizar, argumentar, razonar, justificar o probar razonamientos. Se caracteriza por ser preciso y exacto, basándose en datos probables o en hechos. El pensamiento lógico es analítico (divide los razonamientos en partes) y racional, sigue reglas y es secuencial (lineal, va paso a paso)</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Filosofía</title>
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La reflexión metódica que refleja la articulación del conocimiento y los límites de la existencia y de los modos de ser se denomina filosofía. El término, de origen griego, se compone de dos vocablos: philos (“amor”) y sophia (“pensamiento, sabiduría, conocimiento”). Por lo tanto, la filosofía es el “amor por el conocimiento”.

== Filosofía==
El filósofo, por su parte, es un individuo que busca el saber por el saber mismo, sin un fin pragmático. Se mueve por la curiosidad e indaga acerca de los últimos fundamentos de la realidad. Más allá del desarrollo de la filosofía como disciplina, el acto de filosofar es intrínseco a la condición humana. No es un saber concreto, sino una actitud natural del hombre en relación al universo y a su propio ser.

Al igual que la religión, la filosofía se centra en las cuestiones últimas de la existencia humana. En cambio, a diferencia de la religión, no se basa en una revelación divina o en la fe, sino que lo hace en la razón. De esta forma, la filosofía puede ser definida como el análisis racional del sentido de la existencia humana, tanto individual como colectiva, fundado en la comprensión del ser. Pese a ciertas semejanzas con la ciencia, la filosofía se distancia de ésta ya que muchas de sus preguntas no pueden ser respondidas mediante el empirismo experimental.

== Ramas == 
La filosofía puede dividirse en diversas ramas. La filosofía del ser, por ejemplo, abarca a la metafísica, la ontología y la cosmología, entre otras disciplinas. La filosofía del conocimiento incluye a la lógica y la epistemología, mientras que la filosofía del obrar se relaciona con cuestiones como la ética.</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Método</title>
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Método es una palabra que proviene del término griego methodos (“camino” o “vía”) y que se refiere al medio utilizado para llegar a un fin. Su significado original señala el camino que conduce a un lugar.

La palabra método puede referirse a diversos conceptos. Por ejemplo, a los métodos de clasificación científica. Esta es la disciplina mediante la cual los biólogos agrupan y categorizan a los organismos y a sus conjuntos.

== Método científico ==
El método científico, por su parte, es el conjunto de pasos seguidos por una ciencia para alcanzar conocimientos válidos que puedan ser verificados por instrumentos confiables. Podría decirse que el método científico es el conjunto de pasos que permite que el investigador deje a un costado su propia subjetividad.

Según el filósofo inglés Francis Bacon, las distintas etapas del método científico son la observación (para estudiar con atención un fenómeno tal como se presenta en realidad), la inducción (a partir de determinadas observaciones, se extrae el principio particular de cada una de ellas), la hipótesis (se plantea mediante la observación y siguiendo las normas establecidas por el método científico), la prueba de la hipótesis mediante la experimentación, la demostración o refutación de la hipótesis y el establecimiento de la tesis o teoría científica (las conclusiones).
== Otros métodos ==
Otro método conocido es el hipotético deductivo, que es una descripción del método científico. Este sistema estipula que las teorías científicas nunca pueden reputarse como verdaderas, sino como no refutadas.

El término método también se utiliza en el concepto de métodos anticonceptivos, que es la metodología que impide o reduce la posibilidad de que ocurra el embarazo al mantener relaciones sexuales. A través de acciones, dispositivos o medicamentos, permite controlar la natalidad.</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Teoría</title>
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La palabra teoría proviene del griego theorein (“observar”). El término solía utilizarse dentro del contexto de la observación de una obra teatral, lo que puede explicar porque hoy en día el concepto de teoría permite referirse a algo provisional o que no es completamente real.

==Teoría==
De todas formas, la evolución histórica del término le otorgó un sentido más intelectual y comenzó a aplicarse a la capacidad para entender la realidad más allá de la experiencia sensible, a través de la comprensión de estas experiencias y su expresión mediante el lenguaje.

En la actualidad, una teoría es un sistema lógico compuesto por observaciones, axiomas y postulados, cuya función es afirmar bajo qué condiciones se desarrollarán ciertos supuestos. Para esto, se toma como contexto una explicación del medio idóneo para que se desarrollen las predicciones. A partir de estas teorías, es posible deducir o postular otros hechos mediante ciertas reglas y razonamientos.
== Teoría científica ==
Una teoría científica, por su parte, es el planteamiento de un sistema abstracto hipotético-deductivo, que conforma una descripción científica de un conjunto de observaciones o experimentos. La teoría científica se basa en hipótesis o supuestos verificados por científicos.
== Categorías ==
Existen dos categorías de ideas que pueden desarrollarse hasta generar una teoría: las conjeturas (suposiciones que no son respaldadas por observaciones) y las hipótesis (que sí están respaldadas). Estas ideas pueden resultar falsas, por lo que no evolucionan y no se convierten en teorías.

Por otra parte, cabe mencionar que una teoría es diferente a un teorema. Mientras que la teoría es un modelo de eventos físicos que no puede ser probado a partir de axiomas básicos, el teorema es una proposición de un hecho matemático que sigue lógicamente a un conjunto de axiomas.</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Definiciones</title>
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====Conjunto ====
Llamamos conjunto a una colección de objetos y a los objetos que lo forman se les llama elementos del conjunto.

==== Universo ====
Llamaremos Universo al conjunto que en un momento dado es usado como marco de referencia para formar conjuntos.
==== Determinación de un conjunto ====
Un conjunto queda determinado por una colección de atributos que los elementos del universo pueden o no poseer. Así los elementos del universo que sí posean los atributos requeridos forman el conjunto.
==== Notación ====
Generalmente usaremos letras mayúsculas para representar conjuntos; la letra U representa el universo. A los elementos que forman el conjunto los anotaremos con letras minúsculas.
====Descripción ====
Un conjunto está descripto por extensión o enumeración si se han dado explícitamente todos sus elementos y está descripto por comprensión si sus elementos están dados en forma implícita mediante una frase que los describa.
==== Conjunto universal ====
Conjunto universal o Universo es el conjunto que en un momento dado es usado como marco de referencia para formar conjuntos.

Un conjunto queda determinado por una colección de atributos que los elementos del universo pueden o no poseer. 
==== Igualdad de conjuntos ====
Sean A, B dos conjuntos cualesquiera, diremos que A = B si y solo si  A  ⊂  B y  B  ⊃  A.
==== Subconjuntos ====
Sea A y B dos conjuntos cualesquiera. Diremos que A es un subconjunto propio de B, que escribiremos A ⊂ B si y solo si A esta incluido en B, y A es diferente de B, o sea si para toda x que pertenece a A se tiene que x también pertenece a B, y existen elementos y que sólo pertenecen a B.
&lt;br /&gt;
Es decir que todos los elementos de A lo son también de B.
&lt;br /&gt;

Si A no es subconjunto de B lo anotaremos A -⊂B.
La proposición &lt;math&gt;\forall \,&lt;/math&gt;x &amp;isin; ''D'' , p(x) &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;q(x) es verdadera si y solo si P ⊂ Q donde P es el conjunto solución de p(x) y Q es el conjunto solución de q(x).

(no encontré el formato de negar la inclusión y coloqué -⊂)

==== Negación ==== 
Sea p una proposición, entonces &quot;no p&quot; que escribiremos – p, es la proposición negativa o negación de P. 
-p es una proposición falsa si p es una proposición verdadera, y viceversa. 

==== Universal y Complementario ====
Si consideramos a U como el conjunto universal y A  ⊂ U, definimos el complemento de A, que anotaremos como A&lt;sup&gt;C&lt;/sup&gt; o A' :
A&lt;sup&gt;C&lt;/sup&gt; = A' ={ x / x &amp;isin; ''U''  &lt;math&gt; \land &lt;/math&gt; x &amp;notin; ''A'' } 


Es decir, son todos los elementos del universo que no pertenecer al conjunto A.

==== Correspondencia====
Diremos que hay una correspondencia biunívoca ( o uno a uno) entre los conjuntos A y B si y sólo si cada elemento del conjunto A está relacionado con uno y sólo un elemento del conjunto B.
Cuando a cada elemento de un conjunto A le corresponde uno y sólo uno del conjunto B, y reciprocamente, a cada elemento del conjunto B le corresponde uno y sólo uno del conjunto A, se dice que dicho conjuntos son coordinables.
Llamaremos una sección del conjunto de los números naturales que denotaremos por Sn al conjunto de los primeros n números naturales esto es
 
Sn = { 1 , 2 , 3 , … , n } ⊂ N
Si existe una correspondencia uno a uno entre un conjunto A y una sección Sn de los naturales, diremos que n es la cardinalidad del conjunto y lo anotaremos por #(A) = n
Diremos que la cardinalidad del conjunto vacío es cero; o sea:
# ( Ø ) = 0 ; # {} = 0
Diremos que un conjunto A es finito si existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto A y una sección de los naturales Sn . 
Dos conjuntos A y B serán conjuntos disjuntos o ajenos si y solo si su intersección es el conjunto vacío, ( Ø ) o sea que no tienen elementos en común.
 
El conjunto potencia de un conjunto cualquiera A, P(A) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. 
Si A tiene n elementos, el conjunto potencia de A tendrá 2n elementos.

==== Otro símbolo para usar ====

⊆</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Proposición</title>
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Una expresión que deba ser verdadera o falsa pero que no pueda ser ambas, la llamaremos una proposición. 

====Ejemplos====
# La expresión '''La Luna es redonda''' es una proposición cuyo valor de verdad es '''verdadera''', pues es cierto que la Luna es redonda.
# La expresión '''2+3=5''' es una proposición cuyo valor de verdad es '''verdadero''', pues en el sistema numérico decimal es un resultado válido.
# La expresión ''' 1+1=3 ''' es una proposición cuyo valor de verdad es '''falso''', pues es sabido que en el sistema numérico decimal, 1+1=2.
En los tres ejemplos anteriores vimos oraciones declarativas de las cuales se puede afirmar que son o verdaderas o falsas. Luego, tales oraciones son proposiciones.
====Otros ejemplos====
Veamos ejemplos de oraciones que no son proposiciones:
# La oración &lt;math&gt; 3-x=5 &lt;/math&gt; es declarativa, pero no es una proposición, pues de ella, a menos que conozcamos el valor de &lt;math&gt; x &lt;/math&gt;, no sabemos su valor de verdad con certeza. Ahora, si &lt;math&gt; x=-2 &lt;/math&gt;, podríamos decir que la oración es una proposición con valor de verdad verdadero.
# La oración '''¿Habla usted español?''' no es declarativa, pues es interrogativa. Por tanto, no puede ser una proposición, pues no se le puede asignar ningún valor de verdad.
# La oración '''Toma dos aspirinas''' no es declarativa, pues es una orden, lo que la convierte en una oración imperativa. Luego, tampoco puede ser asociada a algún valor de verdad, por lo que no puede ser una proposición.
# La oración ''' ¡Hace frió hoy! ''' no es declarativa, pues la oración puede variar con respeto al tiempo y/o persona.
==== Proposiciones abiertas ====
Existen algunas afirmaciones de las cuales no podemos decir inicialmente si son falsas o verdaderas por intervenir en ellas una variable; se les llaman proposiciones abiertas, son expresiones que contienen una variable y que al ser sustituidas dicha variable por un valor determinado, hace que la expresión se convierta en una proposición, pero sin alterar el orden. La proposición abierta es una expresión que tiene significado pero contiene por lo menos un término variable o indeterminado.

==== Dominio de la variable ====
El conjunto que consiste de los elementos que pueden reemplazar a la variable de una proposición abierta, lo llamaremos el Dominio de la variable.
El conjunto formado por aquellos elementos del dominio de la variable que hacen verdadera la proposición abierta p(x), lo llamaremos el conjunto solución de la proposición abierta p(x).

== Proposición conjuntiva ==
A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo conjunción (&lt;math&gt; \land &lt;/math&gt;), la llamaremos proposición conjuntiva; p &lt;math&gt; \land &lt;/math&gt; q, teniendo un valor de verdad verdadero, sólo cuando ambas componentes sean verdaderas, es decir, si al menos una de las componentes es falsa, entonces la proposición p &lt;math&gt; \land &lt;/math&gt; q es falsa.


Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces definiremos el conjunto A intersección B, que anotaremos por A ∩ B al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al B, o sea, los elementos que tienen en común: &lt;br /&gt;

A ∩ B = { x / x &amp;isin; ''A''  &lt;math&gt; \land &lt;/math&gt; x &amp;isin; ''B'' } 
&lt;br /&gt;
Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución de p(x) (&lt;math&gt; \land &lt;/math&gt;) q(x) es P ∩ Q. 
&lt;br /&gt;
El conjunto vacío que anotaremos Ø es el conjunto que no tiene elementos.
&lt;br /&gt;
Pudiéndose anotar: Ø = { x / x &amp;isin; ''A''  &lt;math&gt; \land &lt;/math&gt; x &amp;notin; ''A'' } 
&lt;br /&gt;
&lt;big&gt;Tabla de la verdad&lt;/big&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! p !! q !!  p &lt;math&gt; \land &lt;/math&gt; q
|-
| 0 || 0 || 0
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}

== Proposición disyuntiva ==
Para indicar que dos proposiciones están conectadas con la letra &quot;o&quot; se utiliza el símbolo &lt;math&gt;\lor&lt;/math&gt; , llamado conectivo disyuntivo. 
A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo disyunción (&lt;math&gt;\lor&lt;/math&gt;), la llamaremos proposición disyuntiva p &lt;math&gt;\lor&lt;/math&gt; q.
p &lt;math&gt;\lor&lt;/math&gt; q tendrá un valor de verdad falso sólo cuando ambas componentes sean falsas, es decir, si al menos una de las componentes es verdadera, entonces p &lt;math&gt;\lor&lt;/math&gt; q es verdadera.

Sean A y B dos conjuntos, entonces definimos el conjunto A unión B, que anotaremos por A ∪ B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.
A ∪ B = { x / x &amp;isin; ''A''  &lt;math&gt; \lor &lt;/math&gt; x &amp;isin; ''B'' } 

Un elemento del resultado puede pertenecer a uno solo de los dos conjuntos o a los dos conjuntos dados, pero en este caso dicho elemento se considera una sola vez.
Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución de p(x) &lt;math&gt; \lor &lt;/math&gt; q(x) es P ∪ Q.

== Implicación o Condicional ==
Para indicar que dos proposiciones están conectadas, la primera implicando la segunda se utiliza el símbolo &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; , llamado conectivo condicional, la primera proposición es llamada antecedente o hipótesis y la segunda es consecuente o conclusión. 
A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo condicional, le llamaremos proposición condicional.
p &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; q tendrá un valor de verdad falso solamente cuando el antecedente (p) es verdadero y el consecuente (q) es falso; en los demás casos diremos que p &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;q es verdadero.
Entonces la implicacion resulta de que ambos tienen que ser iguales para que sea verdadero, de lo contrario seria falso....

== Bicondicional, doble implicación ==
A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo bicondicional (&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt;), la llamaremos proposición bicondicional.
&lt;br /&gt;
Recordemos que p &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; q significa ( p &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; q ) &lt;math&gt; \land &lt;/math&gt; ( q &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;p )
Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; q es verdadera.
&lt;br /&gt;
Y si p y q tienen valor de verdad opuestos, entonces p &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; q es falsa.
 
La proposición&lt;math&gt;\forall \,&lt;/math&gt; x, p(x) &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; q(x) es verdadera si y solo si P ⊂ Q y Q ⊂ P</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Cuantificador</title>
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Definiremos los '''Cuantificadores''', elementos matemáticos importantes para la continuación en el estudio de la lógica proposicional.

'''Objetivos'''

* Conocer los cuantificadores '''universal''' y '''existencial'''
* Aplicar los cuantificadores para la determinación de validez de oraciones

=== Cuantificadores ===

A diferencia de las [[Proposiciones|proposiciones simples]], las [[Conectivos Lógicos y Tablas de Verdad|proposiciones compuestas]]
y los [[Argumentos|argumentos]], existen enunciados que se llaman '''abiertos''', pues no pueden, a priori, ser relacionados con un valor de verdad verdadero o falso.

Por ejemplo, el enunciado &lt;math&gt; x&gt;3 &lt;/math&gt; no es ni verdadero ni falso. Entonces, es un enunciado abierto.

Cuando la variable &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; es reemplazada por ciertos valores, podemos darle un valor de verdad.

* Si &lt;math&gt; x=7 &lt;/math&gt;, el enunciado es una proposición con valor de verdad verdadero.
* Si &lt;math&gt; x=3 &lt;/math&gt;, el enunciado es una proposición con valor de verdad falso.


===Conjunto de Verdad===

La colección de objetos que al emplearlos en lugar de las variables en un enunciado abierto, hacen que éste se convierta en una proposición verdadera, se llama '''conjunto de verdad''' del enunciado.

Antes de determinar el conjunto de verdad de un enunciado es necesario saber cuáles objetos están disponibles para tomados en cuenta. Es decir, debemos haber especificado un universo de discurso.

Por ejemplo, para le enunciado &lt;math&gt; P(x): x^2=4 &lt;/math&gt;, si tomamos el conjunto universo como el conjunto de los números reales, entonces el conjunto de verdad de &lt;math&gt; P(x) &lt;/math&gt; es el conjunto &lt;math&gt; \{-2,2\} &lt;/math&gt;

En cambio, si para el mismo enunciado consideramos el conjunto universo como el conjunto de los números naturales, entonces el conjunto de verdad para &lt;math&gt; P(x) &lt;/math&gt; es el conjunto &lt;math&gt; \{2\} &lt;/math&gt;.

También, si consideramos el conjunto universo como los números impares, entonces el conjunto de verdad para el enunciado &lt;math&gt; P(x) &lt;/math&gt; es el '''conjunto vacío''', denotado por el símbolo &lt;math&gt; \varnothing &lt;/math&gt;.

De esta manera, un enunciado &lt;math&gt; P(x) &lt;/math&gt; se convierte en una proposición cuando la variable &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; toma un valor determinado &lt;math&gt; a &lt;/math&gt;.

Introduciremos, entonces, lo que es un '''cuantificador''', que usaremos como herramienta para modificar un enunciado &lt;math&gt; P(x) &lt;/math&gt; en una proposición &lt;math&gt; P(a) &lt;/math&gt;.


Para un enunciado &lt;math&gt; P(x) &lt;/math&gt;, con &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; variable, tenemos dos casos:

* El enunciado &lt;math&gt; \forall x, P(x) &lt;/math&gt; se lee ``'''para todo &lt;math&gt; x, P(x) &lt;/math&gt;'''´´, y es verdadero precisamente cuando el conjunto de verdad para &lt;math&gt; P(x) &lt;/math&gt; es el conjunto universo completo.
El símbolo &lt;math&gt; \forall &lt;/math&gt; se llama '''cuantificador universal'''.
* El enunciado &lt;math&gt; \exists, P(x) &lt;/math&gt; se lee ``'''existe &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt; P(x) &lt;/math&gt;'''´´, y es verdadero precisamente cuando el conjunto de verdad para &lt;math&gt; P(x) &lt;/math&gt; no es vacío (es decir, existe al menos un elemento que cumple con el enunciado).
El símbolo &lt;math&gt; \exists &lt;/math&gt; se llama '''cuantificador existencial'''.


'''Ejemplos'''

# El enunciado &lt;math&gt; \exists x,x&gt;3 &lt;/math&gt; es verdadero, pues al menos un valor de &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; en los números reales cumple tal afirmación. Tomar, por ejemplo, &lt;math&gt; x=4 &lt;/math&gt;.
# El enunciado &lt;math&gt; \forall x,x&gt;3 &lt;/math&gt; es falso, pues en los números reales no todos los números son mayores que 3. Por ejemplo, considerar el valor &lt;math&gt; x=2 &lt;/math&gt;.
# El enunciado &lt;math&gt; \exists x,x^2=-1 &lt;/math&gt; es falso, pues no existe ningún número real que elevado al cuadrado pueda dar un valor negativo.
# El enunciado &lt;math&gt; \forall x, x+2&gt;2 &lt;/math&gt; es verdadero, pues siempre el lado izquierdo de la inecuación será mayor que el lado derecho, independiente del valor que tome &lt;math&gt; x &lt;/math&gt;.


'''Un cuantificador especial'''

Para un enunciado abierto &lt;math&gt; P(x) &lt;/math&gt;, la proposición &lt;math&gt; \exists !x,P(x) &lt;/math&gt; se lee '''existe un único &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt; P(x) &lt;/math&gt;'''.

Tal enunciado es verdadero cuando el conjunto de verdad consta exactamente de un elemento.

Por ejemplo, la proposición '''&lt;math&gt; \exists !x, x &lt;/math&gt; es número primo par''' es verdadera, pues en el universo de los números reales, el único número primo par es el número 2.


=== Negación de Cuantificadores ===

Los cuantificadores se niegan de la siguiente manera

* &lt;math&gt; \sim(\forall x,P(x))\equiv\exists x,\sim P(x) &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \sim(\exists x,P(x))\equiv\forall x,\sim P(x) &lt;/math&gt;


Por ejemplo, si consideramos el conjunto universo como los números reales, queremos negar el enunciado

&lt;center&gt;

&lt;math&gt; \exists x,x&gt;3 &lt;/math&gt;

&lt;/center&gt;

la negación sería

&lt;center&gt;

&lt;math&gt; \forall x,x\leq 3 &lt;/math&gt;

&lt;/center&gt;

Los cuantificadores señalan el número de elementos del dominio cumplen la proposición,

== Para todo ==
Se usa el símbolo &lt;math&gt;\forall \,&lt;/math&gt; llamado cuantificador universal, para reemplazar la frase ''para todo'', dicho símbolo expresará que la proposición debe ser verdadera para todos los valores de la variable:
: &lt;math&gt;
   \forall x \in D
   \, : \;
   p(x)
&lt;/math&gt;

Para todo '''x''' de '''D''' se cumple '''p(x)'''.

* Que significa que la proposición p(x) debe ser verdadera para toda x en su dominio.
* Esta expresión es a su vez una nueva proposición por lo cual debe poseer un valor de verdad.
* Esta proposición será falsa si al menos un elemento x del dominio hace que p(x) sea falsa.
* A pesar de que en la proposición interviene la variable x, esta proposición no es abierta.

== Existe ==
El cuantificador de existencia, representado: &lt;math&gt; \exists &lt;/math&gt;, con el significado '''exise''', la proposición a de ser verdadera cuando menos en un caso:
: &lt;math&gt;
   \exists x \in D
   \, : \;
   p(x)
&lt;/math&gt;

Existe '''x''' de '''D''' que cumple '''p(x)'''.

* Que significa que la proposición p(x) es verdadera cuandomenos para un valor de x del dominio.
* Esta proposición será falsa si para ningun elemento x del dominio se cumple p(x).

== Existe un unico ==
Existe un unico, representado: &lt;math&gt; \exists ! &lt;/math&gt;, que significa '''existe un unico''', la proposición ha de ser cierta para un unico caso de la variable:
: &lt;math&gt;
   \exists ! x \in D
   \, : \;
   p(x)
&lt;/math&gt;

Existe un unico '''x''' de '''D''' que cumple '''p(x)'''.

* Esta proposición solo es cierta si uno y solo un '''x''' cumple la proposición.</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Operaciones</title>
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== Diferencia==
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, definimos el conjunto diferencia A-B a todos los elementos x que pertenecen al primer conjunto (A) y que no pertenecen al segundo conjunto. (B) 
 
A - B = { x / x &amp;isin; ''A''  &lt;math&gt; \land &lt;/math&gt; x &amp;notin; ''B'' }
( en breve se ampliará el artículo )</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Tablas de la verdad</title>
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Equivalencia de tablas de verdad.&lt;br /&gt;
Dos proposiciones son equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. Usaremos el símbolo de tres líneas horizontales paralelas ( ≡ ) para anotar equivalencia.

Tautología.&lt;br /&gt;
Una proposición será llamada una tautología si para cualquier valor de sus componentes, su valor de verdad siempre es verdadero.

Contradicción.&lt;br /&gt;
Una proposición será llamada una contradicción si para cualquier valor de sus componentes, su valor de verdad siempre es falso.

* [[Matemáticas/Lógica/Tablas de la verdad/Ejemplo 1|Tabla de Verdad: Ejemplo 1]]
* [[Matemáticas/Lógica/Tablas de la verdad/Ejemplo 2|Tabla de Verdad: Ejemplo 2]]
* [[Matemáticas/Lógica/Tablas de la verdad/Ejemplo 3|Tabla de Verdad: Ejemplo 3]]</text>
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    <title>Matemáticas/Programación Lineal/Historia 2</title>
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      <text bytes="2394" sha1="o20muc38sci0cbmz8i7as4d9lcvpmke" xml:space="preserve">La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que denominaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.


== Historia ==

El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantorovich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. Leonid Khachiyan en 1979 fue el primero en demostrar que el problema de la programación lineal se solucionaba en tiempo polinomial, sin embargo, el mejor avance en los principios teóricos y prácticos en el campo se produjo en 1984, cuando Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal.

El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deberán ser revisadas.

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    <title>Matemáticas/Definiciones/Varias</title>
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      <text bytes="1352" sha1="hyqbms5i5onj6gersdqezvao0jmftk1" xml:space="preserve">====Incógnita====
La cantidad desconocida que se determina resolviendo una ecuación.
Generalmente se representa con una letra.

====Expresión algebraica====
Es una concatenación de números y letras unidos por diversas operaciones.
====Fracción algebraica====
Cociente indicado de dos polinomios, a los que se llama numerador y denominador de la fracción. Las fracciones algebraicas se comportan de manera parecida a las fracciones numéricas. Se las puede simplificar, reducir a denominador común y operar (suma, resta, multiplicaciones y división. Las propiedades de éstas operaciones son parecidas a las de las fracciones numéricas.
====Solución de una ecuación==== 
Es un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de la incógnita. Una ecuación puede tener una, ninguna o varias soluciones.
====Reducir====
La sustitución de los números por letras permite generalizar la aritmética, así, aplicando las reglas básicas del cálculo con números es posible simplificar la escritura de ciertas expresiones literales. Se dice que en ese caso se &quot;reduce&quot; la expresión.
====Factorizar====
Cuando se transforma una suma en un producto de factores, se dice que se ha &quot;factorizado&quot; esa suma.
====Desarrollar====
Cuando se transforma un producto en una suma de términos, se dice que se ha &quot;desarrollado&quot; ese producto.

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    <title>Matemáticas/Álgebra/Ecuación</title>
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* [[Matemáticas/Álgebra/Ecuación/Introducción|Introducción]]
* [[Matemáticas/Álgebra/Ecuación/Resolución|Cómo se resuelva una ecuación con una incógnita]]</text>
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    <title>Matemáticas/Geometría/Figuras</title>
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[[Archivo:8-cell-simple.gif|230px|thumb|Proyección de un hipercubo, figura de cuatro dimensiones.]]
Una figura geométrica es un conjunto cuyos elementos son puntos.
La geometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclidiana, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.


;Adimensional (sin dimensiones)
* Punto

;Unidimensional (lineales)
* Recta 
** Semirrecta
** Segmento
* Curva

;Bidimensional (superficiales)
* Plano
Delimitan superficies (figuras geométricas en sentido estricto):
* Polígono
** Triángulo
** Cuadrilátero
* Sección cónica
** Elipse
*** Circunferencia
** Parábola
** Hipérbola
Describen superficies:
* Superficie de revolución
* Superficie reglada

;Tridimensional (volumétricas)
Delimitan volúmenes (cuerpos geométricos):
* Poliedro
Describen volúmenes:
* Sólido de revolución
** Cilindro
** Cono
** Esfera


;N-dimensional (n dimensiones)
* Politopo
{{Wikipedia|Figura Geométrica}}</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Historia</title>
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      <text bytes="2180" sha1="a07vack0nbxqpj06h55zxj0bcnptcbi" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
La evolución de la lógica está ligada a la evolución intelectual del ser humano, ya que como ciencia del razonamiento se puede afirmar que su historia representa la historia misma del hombre. La lógica surge desde el momento en que el hombre al enfrentarse a la naturaleza empieza   a observar, experimentar, deduce y razona.&lt;br /&gt;

El objetivo de la '''lógica matemática''' es cuestionar los conceptos y las reglas de deducción que son utilizadas en las matemáticas y esto constituye a la lógica una verdadera matemática.&lt;br /&gt;
Durante el periodo 600 AC hasta 300 AC se desarrollaron en Grecia los principios formales de las matemáticas, a este periodo se le llamo periodo clásico en donde sus principales representantes son: [[W:Platón|Platón]] que el introdujo sus ideas y abstracciones; '''Aristóteles''' que presento el razonamiento ductivo y sistemático y [[w:Euclides|Euclides]] que fue el que tuvo mayor influencia ya que este estableció el método axiomático.

== Tiempos Modernos ==

La Lógica Matemática se desarrolla a partir del siglo XIX con los trabajos de  
[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Boole.html George Boole]
(1815-1868),  
[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/De_Morgan.html Auguste de Morgan](1806--1871) y  
[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Dodgson.html Lewis Carroll](1832-1898). 
A inicios del siglo XX, los trabajos de
[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Hilbert.html David Hilbert] (1862-1943) y [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Russell.html Bertrand Russell] (1872--1970) dieron un gran impuso al estudio de la Lógica Matemática.
Posteriormente, los trabajos de 
[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Turing.html Alan Turing] (1912--1954) unieron la Lógica con
las Computadoras. El desarrollo de la Informática ha esta desde entonces muy
ligado a la Lógica Matemática, especialmente con referencia a la Inteligencia
Artificial:

Detalles biográficos en 
[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/  Mc_Tutor_Universidad_de_San_Andrés]</text>
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    <title>Matemáticas/Generalidades/Derivadas</title>
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      <text bytes="575" sha1="72qvfqaxgxtp4oitcq1cphbnoyuu8ig" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
== Reglas de derivación ==

'''Regla de derivación general:'''

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}x^{n}= nx^{n-1}&lt;/math&gt;

'''Derivada de una suma:'''

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(x^{a}+x^{b})=ax^{a-1}+bx^{b-1}&lt;/math&gt;

'''Derivada de un producto:'''

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(uv)=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}&lt;/math&gt;

'''Derivada de un cociente:'''

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}&lt;/math&gt;

'''Derivada de una constante'''

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(a)=0&lt;/math&gt;

'''Regla de la cadena:'''

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}f(u)=\frac{df}{du}\frac{du}{dx}&lt;/math&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Definiciones</title>
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== Raíz cuadrada exacta ==
Se llama raíz cuadrada exacta de un número natural, al número cuyo cuadrado reproduce exactamente el primer número dado.
Es posible calcular la raíz cuadrada exacta de un número cuando se le puede descomponer en factores primos que sean todos ellos potencias con exponentes pares, es decir, exponentes múltiplos de dos.

== Raíz cuadrada no exacta ==
La raíz cuadrada de un número que no sea cuadrado perfecto es, con cierta aproximación, igual a un número racional de determinada cantidad de cifras decimales, tantas como las que se desee en cada caso.

== Números positivos ==
Son todos los números mayores que cero, se les indica con un signo + delante de sus cifras. Si no se coloca ningún signo, se sobreentiende que es positivo. Por ejemplo + 5 ; se lee cinco positivo.

== Números negativos ==
Son todos los números menores que cero, se les indica siempre con un signo – delante de sus cifras. Por ejemplo – 6 ; se lee seis negativo.

== El Cero ==
El número cero no se clasifica ni como positivo ni como negativo.
&lt;br /&gt;
Tomando las definiciones de número positivo y negativo se deduce que el cero es menor que cualquier número positivo y mayor que cualquier número negativo.&lt;br /&gt;
Usando lo anterior y tomando al cero como separador entre los dos conjuntos podemos indicar que cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.&lt;br /&gt;
En cuanto a la clasificación dentro de los números reales, el cero es real, racional, y entero. Quedando para otro espacio la discusión sobre si considerarlo un número natural o no. A grandes rasgos se puede aclarar que hay dos posturas bien fundamentadas, para considerar el cero como natural ( número que represente el cardinal del conjunto vacío) o considerarlo fuera del conjunto de los naturales, por lo que el uno sería el menor de los naturales ( ver Axioma original de Peano y todo lo relacionado con inducción completa). Aunque incluso dentro del tema axioma de Peano se podría modificar sus bases para incluir al cero. (Todo un tema que en breve se agregará una sección aparte para tratarlo en este libro)

== Valor absoluto ==
Se llama valor absoluto o valor aritmético y también módulo de un número, a la diferencia de valor que tiene dicho número con el cero. Este valor nunca es negativo; siempre es positivo o incluso cero.
El valor absoluto de un número positivo es el mismo número.
Ejemplo: valor absoluto de + 8,3 = + 8,3
El valor absoluto de un número negativo es el opuesto de dicho número.
Ejemplo: valor absoluto de – 6,45 = + 6,45
De dos números positivos será mayor que tenga mayor módulo o valor absoluto.


Después  de procedimiento de lectura esperamos que te ayude a entender el valor absoluto de los numeros.

!buena suerte¡

== Números Irracionales ==
Números reales de infinitas cifras decimales, no periódicas y que no pueden ser iguales a números racionales, o sea su valor no se puede representar como una fracción o como resultado de una división entre dos números enteros.

esperamos que te ayude en tu trabajo

== Densidad en la recta numérica ==
Entre dos números racionales cualesquiera hay siempre un número racional.
El conjunto de puntos racionales es Denso en la recta numérica.

== Suma de números (positivos y/o negativos) ==
* Para sumar dos números que tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) se suman sus valores absolutos y dicha suma se le coloca el signo común ( positivo o negativo; el que tienen ambos sumandos).
* Para sumar dos números que tienen signos contrarios (uno positivo y el otro negativo) se restan los valores absolutos y a la diferencia se le coloca el signo de la cantidad que tiene mayor valor absoluto.
(+ 5 ) + ( + 2 ) = + ( 5 + 2 ) = + 7&lt;br /&gt;
(– 3 ) + ( – 6 ) = –  ( 3 + 6 ) = – 9&lt;br /&gt;
(+ 6 ) + ( – 4 ) = + ( 6 – 4) = + 2&lt;br /&gt;
(– 2 ) + ( + 5 ) = + ( 5 – 2) = + 3&lt;br /&gt;
(– 6 ) + ( + 2 ) = – ( 6 – 2) = – 4&lt;br /&gt;
(+ 1 ) + ( – 6 ) = – ( 6 – 1) = – 5&lt;br /&gt;

== Suma de varios números ==
Se comprende fácilmente que el razonamiento anterior es aplicable a cualquier cantidad de sumandos que haya por lo tanto:
* La suma de varios números (positivos y/o negativos) se obtiene agregando a la suma de los dos primeros, el tercero, al nuevo resultado se le agrega el cuarto, etc. hasta terminar con el último sumando.

== Propiedades de la adición ==
===Propiedad Conmutativa ===
* El valor de la suma no cambia si se altera el orden de los sumandos.

=== Propiedad Asociativa ===
* El valor de una suma no cambia si se sustituyen dos o más sumandos por su suma efectuada.

=== Suma de varios sumandos ===
Se puede también utilizar la propiedad conmutativa de la adición ( reordenando los sumandos según su signo, primero todos los positivos y luego todos los negativos) y la propiedad asociativa de la adición ( asociando en un único resultado todos los sumandos positivos entre sí y todos los sumandos negativos entre sí) de la siguiente forma:
* La suma de varios números (positivos y/o negativos)  se realiza agrupando por un lado todos los sumandos positivos y obteniendo un resultado parcial; agrupando todos los sumandos negativos por otro lado y obteniendo un segundo resultado parcial y finalmente sumando los dos resultados parciales para obtener el resultado final.

=== Propiedad Disociativa ===
* Si dos o más sumandos están encerrados dentro de paréntesis precedidos del signo +, se pueden quitar dichos paréntesis.
* En lugar de agregar una suma de varios sumandos, pueden agregarse sucesivamente los respectivos sumandos.
* Una suma no altera si se introducen o se suprimen paréntesis precedidos del signo de +.

=== Otra regla ===
Como aplicación de las propiedades conmutativa y asociativa, tendremos también:
* La suma de varios números relativos se obtiene sumando por un lado los positivos y por otro los negativos, luego se restan los valores absolutos de estas dos sumas, y se pone al resultado el signo que tenga la suma de mayor valor absoluto de estas dos.

== Números Opuestos ==
Dos números son opuestos cuando tienen igual valor absoluto pero uno es positivo y el otro negativo.
La suma de dos números opuestos es nula, es decir resulta cero.
De una suma de muchos sumados, se pueden suprimir dos sumados opuestos sin que altere el resultado. Esta operación se llama reducción de términos opuestos. o si no también aveces viene en otros casos</text>
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    <title>Matemáticas/Didáctica/Competencias</title>
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      <text bytes="7521" sha1="5yfhprcnkl6uqhmtq88mpk8sxhnxdn2" xml:space="preserve">{{AutoCat}}

Según las áreas de contenidos y sus subáreas, las matematicás se distribuyen del siguiente modo:
===ARITMÉTICA Y MEDIDA ===
'''Números:'''
*Fracciones y decimales
*Números enteros
*Razón, proporción y porcentaje
*Números naturales

'''Medición:'''
*Atributos y unidades
*Herramientas, técnicas y fórmulas

===GEOMETRÍA ===
*Congruencia y similitud
*Líneas y ángulos
*Localizaciones y relación espaciales
*Simetría y transformaciones
*Formas bi y tridimensionales

===REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN===
Atendiendo a los '''datos''':
*Interpretación
*Representación de datos
*Incertidumbre y probabilidad

===COMPETENCIAS MATEMÁTICAS===
De acuerdo con la nueva Ley de Educación de Andalucía (Ley 17/2007, de 10 de diciembre), fundamentada en las propuestas realizadas por la Unión Europea (OCDE, Pisa), la noción de competencia ocupa un lugar primordial en las reformas educativas. Las competencias básicas son aquéllas que van a permitir a la persona en esta sociedad del conocimiento, lograr una realización de su ser individual, social y su inclusión en el mundo laboral.
Según Pisa 2007, la competencia matemática &quot;es una capacidad del individuo para identificar y entender la función que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse con las matemáticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de los individuos como ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos.&quot; En la L.E.A,(Art.38, Sevilla, 26 de diciembre 2007), señala, entre las competencias básicas de las enseñanzas obligatorias, la &quot;competencia de razonamiento matemático, entendida como la habilidad para utilizar números y operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión del razonamiento matemático para producir e interpretar informaciones y para resolver problemas relacionados con la vida diaria y el mundo laboral.

==COMPETENCIAS MATEMÁTICAS SEGÚN EL PROYECTO PISA ==
===1.COMPETENCIAS=== 

* Pensar y Razonar 
* Argumentar
* Comunicar 
* Construir modelos 
* Plantear y resolver problemas 
* Representar 
* Utilizar un lenguaje simbólico, formal y técnico 
* Utilizar herramientas de apoyo (por ejemplos, calculadoras y  TIC)

===2.CONTENIDOS CLAVE=== 
====Espacio y forma.====
*Reconocer formas y patrones.
*Describir, codificar y descodificar información visual.
*Comprender los cambios dinámicos de las formas.
*Similitudes y diferencias.
*Posiciones relativas.
*Representaciones bidimensionales y tridimensionales y relaciones entre ambas.
*Orientaciones en el espacio.

====Cambio y relaciones.====
*Representar cambios de forma comprensible.
*Comprender los tipos de cambio fundamentales.
*Reconocer tipos concretos de cambio cuando estos se produzcan.
*Aplicar estas técnicas al mundo exterior.
*Controlar un universo cambiante para que redunde en nuestro beneficio.
::::::::::::::::::::::::::::(Steward, 1990)

Este tipo de contenido es un recurso  para el '''pensamiento funcional''', uno de los principales objetivos disciplinares de la enseñanza de las matemáticas.

====Cantidad. ====
Considerando el concepto de cantidad dentro de nuestra vida cotidiana, destacan nociones tales como la longitud, el área, el volumen, la altura, la velocidad o el valor monetario.Según el razonamiento cuantitativo comporta:

*Sentido numérico.
*Comprensión del significado de las operaciones.
*Sensibilidad hacia las magnitudes numéricas.
*Cálculos elegantes.
*Cálculo mental.
*Estimaciones.

====Incertidumbre.====
Esta idea está relacionada con '''los datos y el azar'''. Intervienen situaciones en las que intervengan casos como el de las monedas, los dados y los trompos, la variación de estaturas de estudiantes, los ingresos de un grupo de personas, etc. Entre las operaciones y conceptos más importantes destacan:
*La producción de datos.
*El análisis de datos y su presentación/visualización.
*La probabilidad.
*La inferencia.

==COMPETENCIAS MATEMÁTICAS SEGÚN LA JUNTA DE ANDALUCIA ==

===1.ORGANIZAR, COMPRENDER E INTERPRETAR LA INFORMACIÓN.===
* Comprender la información presentada en un formato verbal y/o gráfico 
* Conocer y utilizar sistemas de organización y representación de la información, en términos matemáticos 
* Traducir situaciones reales a esquemas o estructuras matemáticos

===2.EXPRESIÓN MATEMÁTICA.===

===3.PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS===

'''3.1.RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA.''' 
* Seleccionar los datos apropiados para resolver el problema 
* Formular preguntas típicas
* Conocer hechos y propiedades matemáticas
* Seleccionar y evaluar estrategias adecuadas para resolver el problema 
* Desarrollar procesos matemáticos rutinarios 
* Aplicar algoritmos estándares 
* Simbolizar en términos matemáticos 
* Manipular de forma estandarizada cálculos, expresiones simbólicas y fórmulas
* Utilizar herramientas de ayuda 
* Seguir y valorar cadenas de argumentos matemáticos de diferentes tipos
* Justificar los resultados obtenidos, argumentándolos con una base matemática
'''3.2.EXPRESIÓN DEL RESULTADO''' 
*Representar el contenido matemático en un formato verbal y/o gráfico 
*Expresar correctamente los resultados obtenidos al resolver problemas 
*Plantear problemas relacionados con el problema actual 

==ELEMENTOS DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA, SEGÚN LAS PRUEBAS DE EVALUACIÓN DE DIAGNÓSTICO EN ANDALUCIA (2006)==

===PARA EDUCACIÓN PRIMARIA===
Los elementos de la competencia matemática para primaria atienden a los contenidos de '''aritmética y medida, geometría y representación de la información.'''
* Traduce situaciones reales a esquemas o estructuras matemáticas
* Ordena información utilizando procedimientos matemáticos
* Utiliza formas adecuadas de representación según el propósito y naturaleza de la situación
* Selecciona los datos apropiados para resolver un problema
* Comprende la información presentada en un formato gráfico
* Identifica el significado de la información numérica o simbólica
* Expresa correctamente los resultados obtenidos al resolver problemas
* Justifica resultados expresando argumentos con una base matemática
* Selecciona estrategias adecuadas

===PARA EDUCACIÓN SECUNDARIA===
Los elementos de la competencia matemática para secundaria responden a los contenidos de '''números y medida, geometría, funciones y su representación, estadística y azar.'''

* Identifica el significado de la información numérica y simbólica
* Justifica resultados expresando argumentos con una base matemática
* Comprende la información presentada en un formato gráfico
* Traduce las situaciones reales a esquemas o estructuras matemáticos
* Selecciona estrategias adecuadas
* Valora la pertinencia de diferentes vías para resolver problemas con una base matemática
* Se expresa utilizando vocabulario y símbolos matemáticos básicos
* Ordena información utilizando procedimientos matemáticos
* Utiliza formas adecuadas de representación según el propósito y naturaleza de la situación
* Selecciona los datos apropiados para resolver un problema
== mas ==
==COMPETENCIAS MATEMÁTICAS SEGÚN EL PROYECTO PISA ==
* Pensar y Razonar 
* Argumentar
* Comunicar 
* Construir modelos 
* Plantear y resolver problemas 
* Representar 
* Utilizar un lenguaje simbólico, formal y técnico 
* Utilizar herramientas de apoyo (por ejemplos, calculadoras y  TIC) 


'''ENLACES'''
*DIVIÉRTETE CON LAS MATEMÁTICAS[http://aulavirtual-cambucos.wikispaces.com/MATEM%C3%81TICAS]</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra/Reglas derivadas</title>
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== Reglas de derivación ==

'''Regla de derivación general:'''

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}x^{n}= nx^{n-1}&lt;/math&gt;

'''Derivada de una suma:'''

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(x^{a}+x^{b})=ax^{a-1}+bx^{b-1}&lt;/math&gt;

'''Derivada de un producto:'''

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(uv)=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}&lt;/math&gt;

'''Derivada de un cociente:'''

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}&lt;/math&gt;

'''Derivada de una constante'''

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(a)=0&lt;/math&gt;

'''Regla de la cadena:'''

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}f(u)=\frac{df}{du}\frac{du}{dx}&lt;/math&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Definiciones/Apolonio 1</title>
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      <text bytes="338" sha1="dhr2b30yfxuervox3pnn9cg843rh44n" xml:space="preserve">= Problema de Apolonio: Caso 1 - Tres puntos =
Dibujar una circunferencia que pase por tres puntos dados.
En otras palabras, consiste en encontrar la circunferencia circunscrita a un triángulo. El centro de esta circunferencia se obtiene fácilmente, como intersección de las mediatrices de dos de los lados del triángulo.

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      <text bytes="351" sha1="5s8q4vxqmxgmiqmfro7vsbinijgo6yl" xml:space="preserve">= Problema de Apolonio: Caso 1 - Tres puntos =
Dibujar una circunferencia que pase por tres puntos dados.
En otras palabras, consiste en encontrar la circunferencia circunscrita a un triángulo. El centro de esta circunferencia se obtiene fácilmente, como intersección de las mediatrices de dos de los lados del triángulo.

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Dibujar una circunferencia que pase por tres puntos dados.
En otras palabras, consiste en encontrar la circunferencia circunscrita a un triángulo. El centro de esta circunferencia se obtiene fácilmente, como intersección de las mediatrices de dos de los lados del triángulo.

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En otras palabras, consiste en encontrar la circunferencia circunscrita a un triángulo. El centro de esta circunferencia se obtiene fácilmente, como intersección de las mediatrices de dos de los lados del triángulo.

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    <title>Matemáticas/Álgebra/Introducción Expresiones algebraicas</title>
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      <text bytes="2863" sha1="425myv0bx7wdsy0njq89qoig9advjqm" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
===Introducción ===
Para resolver ciertos problemas o explicarlos es necesario utilizar escrituras con operaciones que tienen a la vez números y letras (que representan números desconocidos o cantidades cambiantes).&lt;br /&gt;
A estas escrituras se les llama expresiones algebraicas y a las letras que en ella aparecen se les llama variables. &lt;br /&gt;
Ejemplo de expresiones algebraicas son las fórmulas para calcular áreas o volúmenes de figuras geométricas.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
La sustitución de los números por letras permite generalizar la aritmética. &lt;br /&gt;
Existen dos tipos principales de igualdad; la identidad y la ecuación. Ambas tienen propiedades en común, aunque sus significados son diferentes.
&lt;br /&gt;
Una identidad es una proposición de igualdad que es válida para todos los valores de las letras que aparecen en ella.
&lt;br /&gt;
Una ecuación es una proposición de igualdad válida sólo para algunos valores de las letras que aparecen en ella.
&lt;br /&gt;
Si importar si los números son decimales, enteros, fracciones, positivos o negativos; las operaciones que realizamos con ellos mantienen las mismas propiedades. Esta situación da origen al cálculo algebraico donde los números están representados genéricamente por letras.&lt;br /&gt;

A la adición, sustracción, multiplicación y división las hemos llamado operaciones racionales, porque son siempre realizables en el campo de los números racionales, los que se pueden representar con una fracción.
&lt;br /&gt;
A estas cuatro operaciones, junto con la potencia (porque es una multiplicación abreviada) y con la extracción de raíces las llamamos operaciones algebraicas.
Llamamos expresión algebraica al resultado de efectuar, con números fijos y números representados por letras, una cierta cantidad contable de operaciones algebraicas.
&lt;br /&gt;
Una expresión algebraica es una combinación de números, variables y operaciones como la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
&lt;br /&gt;
Se llaman términos de una expresión algebraica las partes de ésta que se encuentran separadas por signos de '''+''' o de '''-'''.
&lt;br /&gt;
=== Definiciones adjuntas ===
Términos semejantes son aquellos que difieren solamente en sus coeficientes numéricos.
&lt;br /&gt;
Fijando valores numéricos determinados a las letras, si con ellos son posibles las operaciones indicadas, resultará un cierto número que se llama valor numérico de la expresión para los valores atribuidos a las letras.
&lt;br /&gt;''
La habilidad para manipular las expresiones algebraicas es un requisito para progresar satisfactoriamente en la aplicación del álgebra; esta habilidad sólo se puede adquirir por medio de la práctica.''

=== Propiedades de las operaciones ===
La adición y la multiplicación poseen las propiedades conmutativa, asociativa y existencia de elemento neutro.</text>
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    <title>Matemáticas/Definiciones/Eje radical</title>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="681" sha1="hevryb6fsjz5ns966sx1193w2nff53s" xml:space="preserve">== Eje Radical de dos circunferencias == 
El eje radical de dos circunferencias no concéntricas está formado por los puntos cuya potencia es la misma respecto de las dos circunferencias.

* Cuando las circunferencias no se cortan, una forma de dibujar el eje radical es dibujar dos circunferencias que corten a las dos circunferencias dadas y unir los puntos de intersección tal como se muestra en la figura.
* Cuando las circunferencias son secantes, el eje radical es la recta que pasa por dos puntos de intersección.
* Como caso límite de este último, si las circunferencias son tangentes, el eje radical será la perpendicular común a ambas circunferencias.

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    <title>Matemáticas/Definiciones/Algoritmo de Euclides</title>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="808" sha1="1yuagujqlb2h4e74s5mmuwiarpl7vjl" xml:space="preserve">
Euclides fue un gran matemático y filósofo de la antigüedad.
Ideó un procedimiento para obtener el máximo común divisor (MCD) de dos números.

Dados dos números enteros A y B se divide el mayor entre el más pequeño. Si el resto R de la división es 0, el divisor B es el MCD, en caso contrario, B se convierte en dividendo y R en divisor. Volvemos a hacer la división, si el resto de esta nueva división es 0, el divisor R es el MCD, en caso contrario, el divisor se convierte en dividendo y el resto de la división en divisor, y volvemos a hacer la división. Haciendo esto sucesivamente encontraremos alguna vez resto 0, en este momento, el divisor de la división será el MCD.

El fichero de entrada contendrá los dos números enteros y el archivo de salida contendrá el MCD.

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    <title>Matemáticas/Definiciones/Centro radical</title>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="268" sha1="0s3ao5fhbixsa11xf82x978vmjoiun4" xml:space="preserve">== Centro radical de tres circunferencias ==

Dadas tres circunferencias, si dibujamos los ejes radicales de las circunferencias dos a dos, veremos que los tres ejes radicales se cortan en un punto, que se llama centro radical de las tres circunferencias.

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    <title>Matemáticas/Definiciones/Potencia de un punto</title>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="578" sha1="fszx3gnk7p9b3pv39r9zda14xhtv9fd" xml:space="preserve">== Potencia de un punto respecto de una circunferencia ==

Si desde un punto P trazamos una secante a una circunferencia C con centro O, que corta a la circunferencia en los puntos A y B, el producto PA · PB se mantiene constante independientemente de la secante dibujada. A este producto se le llama potencia del punto P respecto de la circunferencia C.

Llamando a la distancia del punto P al centro O ir al radio de la circunferencia, se obtiene, si P es exterior a la circunferencia,
Puede (P, C) = d2 - r2
mientras que si P es interior:
Puede (P, C) = r2 - d2

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    <title>Matemáticas/Definiciones/Árbelos</title>
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      <text bytes="411" sha1="iiacttrimrs7eqalxslemo9qj88omgq" xml:space="preserve">== Árbelos ==
El Arbelos es una figura que se obtiene quitando a un semicírculo de diámetro AB los semicírculos de diámetros AC y CB, asiento C un punto intermedio entre A y B. El nombre de Arbelos viene del griego y quiere decir cuchillo de zapatero. Esta figura fue estudiada por Arquímedes (287-221 aC). Muchas propiedades del Arbelos aparecen en su Libro de los Lemas (Liber Assumptorum).

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    <title>Matemáticas/Definiciones/Circunferencia especial</title>
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      <text bytes="1260" sha1="catccus99r1gajva24qh91ltt6g0t5u" xml:space="preserve">== Circunferencia de los 9 puntos ==

La circunferencia de los 9 puntos de un triángulo, llamada así por JV Poncelet, queda definida por el siguiente teorema:

* En cualquier triángulo, los pies de las tres alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con el ortocentro, están en una misma circunferencia, el radio de la que es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita.

En la circunferencia de los 9 puntos se la conoce también
como circunferencia de Euler (Leonhard Euler, 1707-1783)
o circunferencia de Feuerbach (Karl Feuerbach, 1800 a 1834).

En la siguiente figura, en la que hemos dibujado el triángulo ABC, las alturas AA ', BB' y CC 'se cortan en el ortocentro H y P, Q y R son los puntos medios de los lados AB, BC y CA. Asimismo, U, V y W son los puntos medios de los segmentos AH, BH y CH. La circunferencia de los 9 puntos está dibujada en rojo.

En esta figura podemos observar algunas propiedades. Por ejemplo,

* El centro N de la circunferencia de los 9 puntos está situado en la recta de Euler, equidistante del ortocentr H y del circuncentre O.

Recordemos que la recta de Euler contiene al ortocentro, baricentro y circuncentro de cualquier triángulo.

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      <text bytes="835" sha1="97465qk85m4hc004n8soq9rq26pv3bj" xml:space="preserve">== Centro de Homotecia ==
Consideremos dos circunferencias no concéntricas, con centros P y Q.

Dibujamos los radios paralelos PA y QB en el mismo sentido, siendo los punto A y B pertenecientes a cada circunferencia.
Trazando una recta que contenga los dos puntos A y B, y otra recta que contenga los centros P y Q.
En la intersección de dichas rectas,  es decir,  AB y PQ obtenemos el punto K, conocido como centro de homotecia externo de las dos circunferencias.

Si tomamos radios paralelos de sentidos opuestos, Pa y QC, y realizando procedimiento análogo, es decir:
Trazando una recta que contenga los dos puntos A y C, y otra recta que contenga los centros P y Q.
En la intersección de dichas rectas,  es decir,  AC y PQ obtenemos el punto K, conocido como centro de homotecia interno de las dos circunferencias.

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    <title>Matemáticas/Definiciones/Proposición</title>
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      <text bytes="825" sha1="l0or7koaebhk2umcjtemdvsnv4jalpr" xml:space="preserve">Una proposición es un enunciado que puede ser válido o falso.

Ejemplos
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; &quot;Madrid es la capital de España&quot;
&lt;li&gt; &quot;Roma está en Asia&quot;
&lt;li&gt; &quot;2 +3 =5&quot;
&lt;li&gt; &quot;2+3 =8&quot;
&lt;/ol&gt;

Lógicamente hablando, o sea en términos de válido o falso, las proposiciones se pueden clasificar como ''axiomas'' o ''teoremas'' dependiendo como aceptamos su validez. La validez de los axiomas se acepta sin demostración como punto de partida de una teoría. La válidez de los teoremas requiere una demostración.


En la presentación de textos se usan los vocablos &quot;teoremas&quot;, &quot;proposición&quot;, &quot;corolario&quot;, &quot;lema&quot;, &quot;escolio&quot; como sinónimos lógicos de teorema
Por su parte,&quot;postulado&quot; es un sinónimo de axioma.

En teoremas de la forma &quot;si P entonces Q&quot;, donde P y Q son proposiciones, se llama hipótesis a P y tésis a Q.

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    <title>Matemáticas/Definiciones/Axioma</title>
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      <text bytes="306" sha1="5r392q36tueuic5ql2eovub7hqxsumw" xml:space="preserve">Axioma es una proposición evidente en sí misma y por lo tanto, no necesita demostración.

(Definición Alternativa) Axioma es una proposición que se acepta como válida al iicio de una teoría matemática. La noción opuesta es &quot;teorema&quot; que es una proposición cuya validez debe probarse.

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    <title>Matemáticas/Definiciones/Teorema</title>
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      <text bytes="1515" sha1="13gtk85yyumqzip4lf1ii36zdarlapl" xml:space="preserve">Teorema es una proposición que para ser evidente necesita demostración.

=====TEOREMA DUAL=====
El principio de dualidad afirma que a partir de cualquier teorema o construcción de geometria proyectiva podemos obtener otro, conocido como teorema dual, sólo cabe intercambiar las palabras punto y recta, modificando también las relaciones entre los puntos y las rectas. Entonces, por este principio,
* Un punto se convierte en una recta.
* Puntos alineados se convierten en rectas que pasan por un punto.
* Rectas tangentes se convierten en el punto de tangencia.
* Un círculo circunscrito se convierte en un círculo inscrito.
*...etc, etc.
ejemplo: El teorema dual del teorema de Pascal es el teorema de Brianchon.

===== TEOREMAS ESPECIALES =====
TEOREMA DE FEUERBACH - La circunferencia de Euler o de los 9 puntos, es tangente a las circunferencias inscrita y exinscrita al triángulo.

TEOREMA DE GAUSS - Los puntos medios de las diagonales de un cuadrilátero completo están en línea recta.

TEOREMA DE EULER - En cualquier poliedro convexo, el número de caras más el número de vértices es igual al de aristas más dos. (caras + vértices = aristas + 2).

[[Matemáticas/Definiciones/Teorema 1|TEOREMA DE BRIANCHON]] - Las diagonales de un hexágono circunscrito a una cónica se cortan en un punto.

[[Matemáticas/Definiciones/Teorema 2|TEOREMA DE PASCAL]] - Cualquier hexágono inscrito en una circunferencia, los puntos de intersección de los lados opuestos están en línea recta.

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    <title>Matemáticas/Definiciones/Postulado</title>
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      <text bytes="211" sha1="fxzyhphv9zubdta9nkp0wbvwg872hw7" xml:space="preserve">Postulado es una proposición que se admite sin demostración, aunque sin la evidencia del axioma. Por ejemplo: Por un punto exterior a una recta sólo se puede dibujar una sola paralela a la recta.

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    <title>Matemáticas/Definiciones/Lema</title>
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      <text bytes="96" sha1="hp4y8nbx3fcphvkmeyj1ncjqv78ulnj" xml:space="preserve">Lema es un teorema preliminar que sirve de base para demostrar otras proposiciones.

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    <title>Matemáticas/Definiciones/Corolario</title>
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      <text bytes="198" sha1="9q1gid31d4rr29v9ddtpdxfnj0ywvuk" xml:space="preserve">Corolario o consecuencia es un teorema cuya validez sigue directa y simplemente de otro ya demostrado.

Mirar [[Matemáticas/Definiciones/Proposición| la definición de proposición]].

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    <title>Matemáticas/Definiciones/Escolio</title>
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      <text bytes="123" sha1="qrmsm1nvymr3c0cjx8xrb6ibgpbsotw" xml:space="preserve">Escolio es una advertencia o nota que se hace a fin de aclarar, ampliar o restringir proposiciones anteriores.

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    <title>Matemáticas/Definiciones/Problema</title>
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      <text bytes="361" sha1="6n1a203qx8rgyc1i2nrgy4hfcm16559" xml:space="preserve">==PROBLEMA==
Problema es una cuestión que se propone con la finalidad y ánimo de aclararla o resolverla utilitzando una metodología determinada.

[[Matemáticas/Definiciones/Problema 1|PROBLEMA DE APOLONIO]] - Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, puntos, rectas o circunferencias, dibujar una circunferencia tangente a las tres.

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    <title>Matemáticas/Álgebra/Funciones</title>
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* [[Matemáticas/Álgebra/Funciones/Clasificación|Clasificación]]
* [[Matemáticas/Álgebra/Funciones/Crecimiento|Crecimiento de funciones]]
* [[Matemáticas/Álgebra/Funciones/Extremos relativos|Extremos relativos]]</text>
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    <title>Matemáticas/Geometría/Pitágoras</title>
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==Teorema de Pitágoras ==
[[Imagen:Triangle.Right.svg|thumb|200px|&lt;center&gt;[[w:es:Triángulo rectángulo|Triángulo rectángulo&lt;/center&gt;]]]]
El '''teorema de Pitágoras''' es un teorema nombrado en honor a [[Apuntes matemáticos/Biografías/Pitágoras|Pitágoras]], filósofo y matemático griego. Pitágoras basandose en los conocimientos egipcios, descubrió una relación entre los lados de un triángulo rectángulo.
{{clear}}

=== Enunciado ===
[[archivo:Pythagorean.svg|derecha|200px]]
El enunciado del teorema establece que, en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
: &lt;math&gt;
   a^2 + b^2 = c^2
&lt;/math&gt;

La suma del cuadrado del cateto '''a''' más el cuadrado del cateto '''b''' es igual a el cuadrado de la hipotenusa '''c'''.

=== Aplicación ===
El teorema de [[Apuntes matemáticos/Biografías/Pitágoras|Pitágoras]] solamente es aplicable en un principio solamente a triángulos rectángulos. Un triángulo rectángulo es aquel que posee un ángulo denominado recto o de 90°. Se le nombra catetos a los dos lados que forman el ángulo de 90° y la hipotenusa es el segmento restante opuesto al ángulo recto. Pero con dominio de la geometría se puede extender a otros triángulos e incluso a otras figuras, por ejemplo en un rectángulo, al trazar una de sus diagonales quedan determinados dos triángulos rectángulos.

=== Otras formas del teorema de Pitágoras ===
Se puede obtener una fórmula para obtener el valor de uno de los catetos al despejar la ecuación. Las otras formas del teorema son las siguientes:
: &lt;math&gt;
   a^2 + b^2 = c^2
   \quad  \longrightarrow \quad
   a^2 = c^2 - b^2
   \quad  \longrightarrow \quad
   a= \sqrt{c^2 - b^2}
&lt;/math&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Generalidades/Sistemas</title>
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== Sistema de medida Imperial, Inglés o Anglosajón==

Al sistema de medición inglés de unidades se lo conoce también con el nombre de sistema imperial. Se trata de la unión de todas las unidades no métricas que en la actualidad son empleadas en Estados Unidos y otros países que tienen como idioma principal el inglés, como el caso, por supuesto, de Inglaterra. Sin embargo, entre ambos países existe una serie de diferencias en las unidades, así como también existen numerosas discrepancias entre los sistemas que se emplean en la actualidad con los que se utilizaban en otras épocas. &lt;br /&gt;
Como origen o influencia absoluta de estos sistemas tenemos que mencionar a las unidades que se utilizaban en la Roma antigua. Luego el proceso continuó con la evolución que se produjo de todas las unidades locales que con el correr del tiempo se fueron perfeccionando. Y finalmente, el sistema actual es un derivado del conjunto de aproximaciones que se han venido haciendo en Inglaterra, en especial en cuanto a la estandarización de los métodos y las técnicas. &lt;br /&gt;
Sin embargo, con el correr de los años, este sistema fue reemplazado de manea paulatina por otro mucho más abarcativo: el Sistema Internacional de Unidades. A pesar de esto, dos factores esenciales fueron los que produjeron una fuerte resistencia al cambio de método: la inercia del sistema primigenio y el costo sumamente elevado de la migración.&lt;br /&gt;

==Sistema Internacional==
Al sistema Internacional de medición se lo conoce con la abreviatura SI. Se trata del sistema internacional de medidas y, por ende, el que se usa con una frecuencia mayor a otros sistemas. Su denominación muchas veces es la de sistema métrico, ya que se encuentra emparentado con el sistema métrico decimal de la antigüedad. Su origen, por otro lado, data de comienzos de la década del sesenta, cuando la Conferencia General de Pesas y Medidas terminó de idear sus principios básicos. La misma pensó y posteriormente esbozó una serie de unidades – seis para ser más precisos – pertenecientes al grupo de las físicas (además de ser básicas) y a la cual, con el tiempo, aproximadamente una década después, se le agregó una séptima, conocida con el nombre de unidad de mol .&lt;br /&gt;
En cuanto a las características principales del sistema, es importante mencionar el hecho de que sus unidades están basadas en ciertos fenómenos físicos, no de los más extraños, sino de aquellos que se tienen en cuenta como fundamentales. Sin embargo, se presenta una excepción a la regla con la unidad de magnitud de masa, que se relaciona con el tema que nos ocupa. Es decir, se trata de una masa que se constituyó en una suerte de prototipo internacional para designar al kilogramo. Su conformación es, esencialmente, un cilindro realizado en platino con iridio, al cual se lo debió almacenar en una caja de seguridad, que se encuentra en la Oficina Internacional encargada del sector de pesos y medidas.&lt;br /&gt;
===Unidades fundamentales del sistema internacional===
Este sistema presenta siete unidades básicas. A las mismas se las emplea con el objetivo de expresar todas las magnitudes de la física que se conciben como fundamentales. Entre ellas es importante destacar a la longitud metro, que se define siempre en relación con la velocidad de la luz. Por otro lado, nos encontramos con la masa de kilogramo, la cual no puede ser definida como si se tratase de mil gramos. &lt;br /&gt;
Asimismo, podemos destacar a la intensidad con la que cuenta la corriente eléctrica del tipo de ampere o amperio, la cual debe ser irremisiblemente definida a partir del campo eléctrico. &lt;br /&gt;
Otras unidades del sistema de medición son el tiempo segundo, la temperatura kelvin, la cantidad de la sustancia mol y la intensidad luminosa candela. En el primer caso, tenemos que definirla siempre en relación al tiempo atómico. En el segundo caso, por otra parte, debe ser definida en función de la temperatura termodinámica que posee el punto llamado triple del agua. En tercer lugar, se la puede denominar también como Número de Avogadro. Cabe decirse que todas las unidades fundamentales tienen tanto sus múltiplos como sus submúltiplos. Debido a esto, hay que enunciarlos correctamente cuando se emplea el sistema de medición internacional, es decir, a través del uso de prefijos.&lt;br /&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Comparación de fracciones</title>
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      <text bytes="2476" sha1="isr1pp4gamujsna0dszyhzjj7v3ccuk" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
La '''compararación de fracciones''' permite determinar de una pareja o varias fracciones qué diferencias hay entre sus valores. Se pueden dar tres casos:

== Fracciones con igual denominador ==
Para fracciones que tienen el mismo denominador hay que comparar los numeradores. La fracción con mayor numerador será mayor.&lt;ref&gt;{{cita web |url=http://books.google.es/books?id=JmMxarhu_roC&amp;pg=PA16&amp;dq=Comparaci%C3%B3n+de+fracciones&amp;hl=es&amp;ei=BG2zTNT7O4_Jswb7oJHTDQ&amp;sa=X&amp;oi=book_result&amp;ct=result&amp;resnum=10&amp;ved=0CFcQ6AEwCQ#v=onepage&amp;q=Comparaci%C3%B3n%20de%20fracciones&amp;f=false |título=Diversificación I, E.S.O: ámbito científico-tecnológico |fechaacceso=30 de agosto de 2012 |apellido=González López de Guereñu |nombre=Filomena |página=16 }}&lt;/ref&gt;

* Ejemplo: [[Archivo:Fraction comp2.svg]]
:&lt;math&gt;\frac{2}{7}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\frac{5}{7}&lt;/math&gt;. La segunda fracción &lt;math&gt;\frac{5}{7}&lt;/math&gt; es mayor, ya que &lt;math&gt;5&gt;2&lt;/math&gt;.

== Fracciones con igual numerador ==
De dos o más fracciones que tienen igual numerador es mayor la que tiene menor denominador.&lt;ref&gt;{{cita web |url=http://books.google.es/books?id=7pycPLEMZ1wC&amp;pg=PA332&amp;dq=Comparaci%C3%B3n+de+fracciones&amp;hl=es&amp;ei=LHCzTNi2CYqSswbh56DYDQ&amp;sa=X&amp;oi=book_result&amp;ct=result&amp;resnum=7&amp;ved=0CEoQ6AEwBjgK#v=onepage&amp;q=Comparaci%C3%B3n%20de%20fracciones&amp;f=false |título=Enciclopedia Alvarez-iniciacion Profesi |fechaacceso=30 de agosto de 2012 |apellido=Álvarez |nombre=A |página=333 }}&lt;/ref&gt;

* Ejemplo: [[Archivo:Fraction comp1.svg]]
:&lt;math&gt;\frac{2}{3}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\frac{2}{5}&lt;/math&gt;. La mayor es &lt;math&gt;\frac{2}{3}&lt;/math&gt;, ya que &lt;math&gt;3&lt;5&lt;/math&gt;.

== Fracciones con diferente numerador y denominador ==
Para fracciones con diferente numerador y denominador, se deben buscar fracciones equivalentes hallando el [[w:mínimo común denominador|mínimo común denominador]] (reducir fracciones a común denominador). Para ello, se toma como denominador común el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores y a partir de ahí estamos en el primer caso que ya hemos visto.

* Ejemplo: &lt;math&gt;\frac{1}{4}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\frac{2}{5}&lt;/math&gt;.  El mínimo común denominador es 20, resultando &lt;math&gt;\frac{5}{20}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\frac{8}{20}&lt;/math&gt;. Como &lt;math&gt;5&lt;8&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{4} &lt; \frac{2}{5}&lt;/math&gt;

* Nota: también se puede utilizar la notación decimal, como &lt;math&gt;1/4=0,25&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;2/5=0,4&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;0,25&lt;0,4&lt;/math&gt; así pues &lt;math&gt;1/4&lt;2/5&lt;/math&gt;.

== Referencias ==
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Definiciones Cortas</title>
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==== Definiciones varias ====
=== Positivo ===
Todo número mayor que cero.&lt;br /&gt;
===Negativo ===
Todo número menor que cero.&lt;br /&gt;
=== Múltiplos ===
Un múltiplo es un número que contiene a otro , varias veces exactamente.&lt;br /&gt;
Los múltiplos de un número son aquellos que resultan de multiplicarlo por la secuencia de números enteros.&lt;br /&gt;
Datos: para saber si un número es múltiplo de otro, hay que hacer una división entre los dos y que el resto sea cero, o nulo, y que el cociente sea un número entero.&lt;br /&gt;
===Divisor ===
Se llama divisor a aquel número que es contenido una cantidad exacta de veces en otro número. &lt;br /&gt;
Divisor: Número que divide exactamente a otro número.&lt;br /&gt;
También se utiliza la palabra submúltiplo.&lt;br /&gt;
=== Potencia===
Producto de una cantidad por sí misma, una cantidad determinada de veces.&lt;br /&gt;
Es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.&lt;br /&gt;
El factor que se repite se llama base y el superíndice que indica la cantidad de veces que se repite se llama exponente.&lt;br /&gt;
Consiste en multiplicar un número por sí mismo las veces que indique el exponente.&lt;br /&gt;
Elevar un número al cuadrado es multiplicarlo por sí mismo.&lt;br /&gt;

===Exponente===
Número o expresión algebraica colocada a la derecha y arriba de otro número o expresión algebraica (como superíndice) que indica cuántas veces ha de multiplicarse una magnitud por sí misma.&lt;br /&gt;
=== Raíz cuadrada ===
es la operación inversa de elevar al cuadrado un número.&lt;br /&gt;
La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado resulta el primero mencionado. &lt;br /&gt;
La raíz cuadrada de cero tiene por resultado al cero.&lt;br /&gt;
La raíz cuadrada de un número positivo tiene por resultados dos valores opuestos.&lt;br /&gt;
No se puede calcular la raíz cuadrada a un número negativo.&lt;br /&gt;

===Notación científica ===
Es la manera rápida de representar un número utilizando potencia de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.&lt;br /&gt;
También llamada notación índice estándar.&lt;br /&gt;
Los números se escriben como producto.&lt;br /&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra/Expresiones algebraicas</title>
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===Constantes y variables===


Uno de las cosas que dan al álgebra su carácter general, es el uso de las ''variables''. Una variable puede representar cualquier número dentro de un dominio. Para nosotros, las variables podrán representar cualquier número real. Las variables serán expresiones literales, como &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;t&lt;/math&gt;, etc.


Por otra parte, las ''constantes'' representan un único número dentro de un dominio. Ejemplos de constantes son 


&lt;center&gt;&lt;math&gt;5,\qquad\frac{1}{3},\qquad\sqrt{2},\qquad\pi&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

===Expresiones algebraicas===


El resultado de aplicar una o más veces cualquier operación algebraica a dos o más números es una ''expresión algebraica''. Por ejemplo, las siguientes son '''expresiones algebraicas'''

&lt;center&gt;&lt;math&gt;4x^2y,\quad\frac{3ts^2+1}{ts},\quad\frac{\sqrt{2x-1}}{3y^{1/2}}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Una expresión algebraica se dice un ''término algebraico'' si sus constantes o variables están combinadas mediante cualquier operación algebraica excepto la adición y la sustracción. Las siguientes expresiones son '''términos algebraicos'''


&lt;center&gt;&lt;math&gt;3x^2,\qquad\sqrt{\frac{2x}{y^3}},\qquad\frac{t^{1/2}}{2s\sqrt{r}}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


En un término, se dice que cualquier factor es ''coeficiente'' de los factores restantes. Por ejemplo, en el término &lt;math&gt;3x^3y^2&lt;/math&gt;, el &lt;math&gt;3&lt;/math&gt; es coeficiente de &lt;math&gt;x^3y^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x^3&lt;/math&gt; es coeficiente de &lt;math&gt;3y^2&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;y^2&lt;/math&gt; es coeficiente de &lt;math&gt;3x^3&lt;/math&gt;. Los coeficientes que sean números (como el tres del ejemplo anterior) se dicen coeficientes numéricos, mientras que los coeficientes que sean letras se dicen coeficientes literales. Si dos términos se ditinguen tan solo por su coeficiente numérico, entonces estos se dice que son '''''términos semejantes'''''. Por ejemplo, 


{|align=&quot;center&quot;
|&lt;math&gt;~5x^2yz^4&lt;/math&gt; 
|width=&quot;40px&quot; align=&quot;center&quot; | y 
|&lt;math&gt;\frac{3}{4} x^2yz^4&lt;/math&gt;
|}


son términos semejantes.


Un término se dice ''racional entero'' si sus literales están combinadas solamente por la operación de multiplicación. Por lo tanto, todas las expresiones siguientes son '''términos racionales enteros''':


&lt;center&gt;&lt;math&gt;3x^3y^2,\qquad -\frac{1}{2}ab,\qquad\sqrt{21}\,nmp^2&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


El ''grado'' de un término racional entero es la suma de los exponentes de sus literales. Por ejemplo, &lt;math&gt;x^6&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;5^{100}a^2b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;s^3t^4p^5&lt;/math&gt; son términos de grados &lt;math&gt;6&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;3&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; respectivamente.


Una expresión que es tan solo un término se llama '''''monomio'''''. Dos términos combinados por adición o sustracción forman un binomio. Ejemplos de binomios son


&lt;center&gt;&lt;math&gt;2+xy,\qquad a\sqrt{n}-bm^2,\qquad -1+\sqrt{2}&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


Tres términos combinados por adición o sustracción forman un ''trinomio''. Una combinación de cualquier número de términos forma lo que se conoce con el nombre general de ''multinomio''. Cuando todos los términos de un multinomio son racionales enteros, entonces el multinomio puede llamarse también ''polinomio''. Un ejemplo de polinomio es la expresión siguiente:


&lt;center&gt;&lt;math&gt;~x^4-3x^3y+y^2+z-z^6&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;


El ''grado de un polinomio'' será el grado de su término de mayor grado. Así, el grado del polinomio del ejemplo anterior es &lt;math&gt;6&lt;/math&gt;.</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Números Primos</title>
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        <username>Mazbel</username>
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      <text bytes="3517" sha1="t1io0vtp6ep595gpvbrkf6ell0uji3e" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
===Introducción.===
En el siglo III a.c. Eratótenes ideó la primera tabla para saber si un número es primo o compuesto.&lt;br /&gt;
Se denomina Criba por el original método que siguió para construirla; escribió en una lámina metálica los primeros cuatro mil números naturales, y luego hizo agujeros sobre los que eran múltiplos de 2, 3, etc. eliminando de esta manera los números compuestos. Los números que quedaban sin agujerear resultaban ser los primos.&lt;br /&gt;
La lámina al final de la tarea presenta muchos agujeros por lo que parece un colador o criba, de ahí su nombre.&lt;br /&gt;

===Criba de [[Apuntes matemáticos/Biografías/Eratóstenes|Eratóstenes]]===
Algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado N.&lt;br /&gt;
Se forma una tabla con todos los números tachando los números que son primos de la siguiente manera.&lt;br /&gt;
Se forma una tabla con todos los números naturales desde 2 hasta N.&lt;br /&gt;
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{cccccccccc}
        &amp;    &amp;   2&amp;   3&amp;   4&amp;   5&amp;   6&amp;   7&amp;   8&amp;   9  \\
      10&amp;  11&amp;  12&amp;  13&amp;  14&amp;  15&amp;  16&amp;  17&amp;  18&amp;  19  \\
      20&amp;  21&amp;  22&amp;  23&amp;  24&amp;  25&amp;  26&amp;  27&amp;  28&amp;  29  \\
      30&amp;  31&amp;  32&amp;  33&amp;  34&amp;  35&amp;  36&amp;  37&amp;  38&amp;  39  \\
      40&amp;  41&amp;  42&amp;  43&amp;  44&amp;  45&amp;  46&amp;  47&amp;  48&amp;  49  \\
      50&amp;  51&amp;  52&amp;  53&amp;  54&amp;  55&amp;  56&amp;  57&amp;  58&amp;  59  \\
      60&amp;  61&amp;  62&amp;  63&amp;  64&amp;  65&amp;  66&amp;  67&amp;  68&amp;  69  \\
      70&amp;  71&amp;  72&amp;  73&amp;  74&amp;  75&amp;  76&amp;  77&amp;  78&amp;  79  \\
      80&amp;  81&amp;  82&amp;  83&amp;  84&amp;  85&amp;  86&amp;  87&amp;  88&amp;  89  \\
      90&amp;  91&amp;  92&amp;  93&amp;  94&amp;  95&amp;  96&amp;  97&amp;  98&amp;  99  \\
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Comenzando con el 2, y tachando todos sus múltiplos siguientes. Cada vez que se encuentre un número entero que no ha sido tachado, se señala como primo y se procede a tachar todos sus múltiplos siguientes. El proceso termina cuando del cuadrado del mayor número confirmado como primo supera a N.&lt;br /&gt;
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{cccccccccc}
        &amp;    &amp;   2&amp;   3&amp;   \cancel {4}&amp;   5&amp;   \cancel {6}&amp;   7&amp;   \cancel {8}&amp;   \cancel {9}  \\
      \cancel {10}&amp;  11&amp;  \cancel {12}&amp;  13&amp;  \cancel {14}&amp;  \cancel {15}&amp;  \cancel {16}&amp;  17&amp;  \cancel {18}&amp;  19  \\
      \cancel {20}&amp;  \cancel {21}&amp;  \cancel {22}&amp;  23&amp;  \cancel {24}&amp;  \cancel {25}&amp;  \cancel {26}&amp;  \cancel {27}&amp;  \cancel {28}&amp;  29  \\
      \cancel {30}&amp;  31&amp;  \cancel {32}&amp;  \cancel {33}&amp;  \cancel {34}&amp;  \cancel {35}&amp;  \cancel {36}&amp;  37&amp;  \cancel {38}&amp;  \cancel {39}  \\
      \cancel {40}&amp;  41&amp;  \cancel {42}&amp;  43&amp;  \cancel {44}&amp;  \cancel {45}&amp;  \cancel {46}&amp;  47&amp;  \cancel {48}&amp;  \cancel {49}  \\
      \cancel {50}&amp;  \cancel {51}&amp;  \cancel {52}&amp;  53&amp;  \cancel {54}&amp;  \cancel {55}&amp;  \cancel {56}&amp;  \cancel {57}&amp;  \cancel {58}&amp;  59  \\
      \cancel {60}&amp;  61&amp;  \cancel {62}&amp;  \cancel {63}&amp;  \cancel {64}&amp;  \cancel {65}&amp;  \cancel {66}&amp;  67&amp;  \cancel {68}&amp;  \cancel {69}  \\
      \cancel {70}&amp;  71&amp;  \cancel {72}&amp;  73&amp;  \cancel {74}&amp;  \cancel {75}&amp;  \cancel {76}&amp;  \cancel {77}&amp;  \cancel {78}&amp;  79  \\
      \cancel {80}&amp;  \cancel {81}&amp;  \cancel {82}&amp;  83&amp;  \cancel {84}&amp;  \cancel {85}&amp;  \cancel {86}&amp;  \cancel {87}&amp;  \cancel {88}&amp;  89  \\
      \cancel {90}&amp;  \cancel {91}&amp;  \cancel {92}&amp;  \cancel {93}&amp;  \cancel {94}&amp;  \cancel {95}&amp;  \cancel {96}&amp;  97&amp; \cancel {98}&amp;  \cancel {99} 
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Los números primos menores de 100 son:
: &lt;math&gt;
   \{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 \}
&lt;/math&gt;

El número uno: (1), no se considera primo.

[[Categoría:Matemáticas]]</text>
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    <title>Categoría:Heráldica</title>
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        <username>Antimundo</username>
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      <comment>Esto no es un libro, el libro es Manual de heráldica, esta plantilla hacía que este libro se contase dos veces</comment>
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[[Categoría:Cultura]]</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Introducción</title>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección|tono=azul}}&lt;/noinclude&gt; 
La aritmética es el proceso de realizar ciertas operaciones con números o variables. Existen seis operaciones aritméticas cerradas; adición , sustracción, multiplicación, división, potencias y raíces.

==Adición==
&lt;center&gt;
&lt;math&gt;\ 1 + 1 = 2&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

Para definir el número uno es una tarea bastante difícil, pero todos tenemos un buen sentido intuitivo de lo que la &quot;unidad&quot; es. La unidad es la propiedad de tener o pensar de una cantidad única. Por ejemplo, piensa en cuando usted tiene un dólar, un Kilogramo de papas, o un año luz. Desde aquí se puede definir recursivamente los números naturales mediante la asignación de un nuevo nombre para cada nuevo número de unidades que tenemos:

  {| class=&quot;wikitable&quot;
| 1 || unidad || uno
|-
| 2 || 1 + 1 || dos
|-
| 3 || 1 + 1 + 1 || tres
|-
| &amp;#8942; || &amp;#8942; || &amp;#8942;
|-
| n || 1 + 1 + … + 1 || enes
|}

Ahora que hemos nombrado los números podemos definir además el proceso de contar el número de unidades que tenemos. Por ejemplo,
&lt;center&gt;
&lt;math&gt;\ 5 + 3 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 +1)  = 8&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

==Sustracción ==
Sustracción igualmente puede ser definida como recuento de la cantidad inicial de unidades y la eliminación de una cierta cantidad. Por ejemplo:
&lt;center&gt;
&lt;math&gt;\ 5 - 3 = (1+1+1+1+1) - (1+1+1) = 2 &lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
significa, teniendo 5 unidades quitarle 3 unidades, dejando un resultado de 2 unidades.

==Multiplicación==
La multiplicación es una forma abreviada de adición repetida. Por ejemplo:

&lt;center&gt;&lt;math&gt;\ 5\cdot3 = 15 &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Lo que esto significa es sumar tres cinco veces, o sumar cinco en tres ocasiones.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\ 5\cdot3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Tenga en cuenta que en algunas regiones y de los casos, es mejor usar el símbolo de la cruz o la letra &quot;x&quot; en lugar del punto o también *
.

==División==
División es la operación opuesta a la multiplicación.


&lt;center&gt;
&lt;math&gt;\ \frac{6}{3} = 2 &lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

El problema de división superior se pregunta si seis es 1 +1 +1 +1 +1 +1, y tres es 1 +1 +1, entonces en cuántos juegos de tres podemos separar a seis? La respuesta es, por supuesto 2, ya que
&lt;center&gt;
&lt;math&gt;\ 6 = 1+1+1+1+1+1 = (1+1+1)+(1+1+1) = 3 + 3 &lt;/math&gt;; dos partes de 3 unidades.
&lt;/center&gt;

En la división es en la primera operación en la que surge un problema. En todas las operaciones previamente definidas (adición, sustracción y multiplicación) podríamos realizar la operación en cualquier par de números que elegimos. Sin embargo, en la división no se puede dividir por cero. Mucho se dijo sobre este hecho a lo largo de la historia, e incluso a través de sus estudios en toda la matemática.

== Potenciación==
Las potencias son una abreviatura utilizada para la '''multiplicación repetida'''. Recuerde que cuando se introdujo por primera vez la multiplicación, era como una abreviatura de adición repetida. Por ejemplo, usted aprendió que: &lt;big&gt;4 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5&lt;/big&gt; . La expresión &lt;big&gt;&quot;× 4&quot;&lt;/big&gt;, nos contó las veces que tuvimos que añadir. Los exponentes son el mismo tipo de taquigrafía para la multiplicación. Los exponentes se escriben en superíndice después de un número de tamaño normal.

Por ejemplo: &lt;big&gt;2&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 2 x 2 x 2&lt;/big&gt;. El número en letra más grande se llama la base. El número en superíndice (es decir, el número más pequeño escrito anteriormente) es el exponente. El exponente nos dice cuantas veces la base se multiplica por sí mismo. En este ejemplo, la base es '''2''' y el exponente es '''3'''.

La expresión &lt;big&gt;2&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/big&gt; se lee en voz alta como '''&quot;2 elevado a la tercera potencia&quot;''', o simplemente '''&quot;2 al cubo&quot;'''.
&lt;/br&gt;
{|align=left cellspacing=3 style=&quot;border: 1px solid #C0C090; font-size:100%; background-color: #f0f0ff; margin-bottom: 3px;&quot;
|Éstos son algunos otros ejemplos:
&lt;big&gt;6 &amp;times; 6 = 6&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/big&gt; (Esto se leería en voz alta como &quot;seis veces seis es seis elevado a la segunda potencia&quot;, o más simplemente &quot;seis veces es seis al cuadrado.) &quot; &lt;br&gt;

&lt;big&gt;7 &amp;times; 7 &amp;times; 7 &amp;times; 7 = 7&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;&lt;/big&gt; (Esto se leería en voz alta como &quot;siete veces siete veces siete veces siete es igual a siete elevado a la cuarta potencia.&quot; No hay alternativa para la expresión elevada a la cuarta potencia. Sólo los poderes segunda y tercera que por lo general reciben abreviado porque vienen más a menudo. Cuando está claro lo que se está hablando, la gente suele dejar caer las palabras &quot;elevadas&quot; y &quot;potencia&quot; y podría simplemente decir &quot;siete a la cuarta&quot;.
|}

En general, un exponente de un número a la potencia de '''n'''
&lt;big&gt;:; a x a x a ...&lt;/big&gt; = &lt;math&gt;a^n &lt;/math&gt;  

La base es '''&quot;a&quot;''' y es multiplicado por sí mismo '''n''' veces

{{Consejo|''Cuando nos fijamos en los exponentes más adelante en este libro veremos que cambiar el tipo de número que se utiliza para el exponente empieza a tener algunos resultados muy sofisticados. Para tener una idea acerca de por qué algunas personas disfrutan de las matemáticas leer acerca de la belleza matemática y la ecuación &lt;math&gt;e^{i \pi} + 1 = 0\,\!&lt;/math&gt;.''}}

== Raíces==

Las raíces son la operación inversa para exponentes. Es fácil, aunque tal vez tedioso, para calcular los exponentes dados una raíz. por ejemplo &lt;big&gt;7*7*7*7 = 49*49 = 2401&lt;/big&gt;.  Por lo tanto, sabemos que la raíz cuarta de &lt;big&gt;2401&lt;/big&gt; es &lt;big&gt;7&lt;/big&gt;, y la raíz cuadrada de &lt;big&gt;2401&lt;/big&gt; es &lt;big&gt;49&lt;/big&gt;. 

*'''¿Cuál es la raíz tercera de 2401?'''
Encontrar el valor de una raíz en particular es difícil. Esto se debe a la exponenciación es un tipo diferente de la función de suma, resta, multiplicación y división. Cuando nosotros, graficamos funciones veremos que los polinomios que utilizan curvas exponenciales de uso en lugar de líneas. Usando álgebra veremos que no todos estos polinomios son funciones, que saber cuándo un polinomio es una relación o una función nos puede permitir hacer ciertos tipos de supuestos, y podemos utilizar estos supuestos para construir modelos mentales de los temas que de otra manera imposible de entender.

Por ahora nos ocuparemos de raíces, al convertirlos de nuevo en exponentes. 

La raíz n-ésima positiva de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; se representa como &lt;math&gt;\sqrt[n]{x} = r&lt;/math&gt;. Nos deshacemos de la raíz, elevando nuestra respuesta a la enésima potencia quedando &lt;math&gt;r^n = x.\!\,&lt;/math&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Matrices/Determinantes</title>
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== Definición general de determinante ==
Llámese determinante de una matriz cuadrada de tercer grado a la suma de los productos de los elementos que pertenezcan a columnas y filas diferentes.
== Definición previa ==
===Permutación===
Disposición ordenada de todos los elementos disponibles, sin repetirse e intercambiando lugares.&lt;br /&gt;

===Inversión de una permutación===
a) Dadas dos permutaciones de los mismos elementos, si dos elementos de la segunda permutación, independiente de los demás, están en el mismo orden que en la primera, se llama en sucesión, si están en orden inverso, en inversión.&lt;br /&gt;
Ejemplo	1;   2 ;  3;   4 :  5 y 1 ;  3 ;  4 ;  2 ;  5
en la segunda permutación de los cinco primeros naturales, el 3 con el 2 está en inversión, y el 4 con el 2 está en inversión con respecto a la permutación original, los demás (p.ej. El 3 con el 5, el 1 con el 4) están en sucesión. O sea en este ejemplo se observan solamente dos inversiones.&lt;br /&gt;
b) se llama permutación principal a la ordenación natural de los números 1   2   3   4   5   6   ...&lt;br /&gt;
c) Una permutación es de clase par o impar, si el número de sus inversiones con respecto a la permutación principal es par o impar.&lt;br /&gt;
== Determinante ==
Llámese determinante de una matriz de n-ésimo grado al polinomio formado por todos los productos posibles de los n elementos que componen la matriz, de tal manera que cada sumando contenga un factor de cada fila y otro de cada columna y asignándole el signo positivo o negativo según que la permutación sea par o impar, respectivamente.

==Ley de Formación ==
Para formar el desarrollo de A, de una matriz cuadrada de orden n, procederemos de la siguiente manera:
Tomaremos como término principal al que tiene la pareja de índices en el orden de los números y manteniendo fijo los subíndices de las filas permutamos los subíndices de las columnas, precediendo a cada término del signo positivo o negativo según la permutación sea de orden par o impar, de acuerdo con la definición dada anteriormente.&lt;br /&gt;
No podrá haber ningún términ repetido, ni podrán faltar ninguno.&lt;br /&gt;
Todos los producto contienen la misma cantidad de factores.&lt;br /&gt;

El término principal  : &lt;math&gt;	a^1_1...a^2_2...a^3_3...a^4_4... ...a^n_n &lt;/math&gt; es el que corresponde a la diagonal principal; esta es la que tiene como primer término, el primero de la izquierda superior y como último el inferior derecho.&lt;br /&gt;
También es observable que la pareja de valores de subíndice son iguales para columna que para fila.&lt;br /&gt;

== Cálculo de determinantes: Regla de Cramer ==
Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de 2x2, se utiliza la regla de Cramer.
El determinante es la diferencia de la diagonal principal menos la diagonal secundaria.
a_11  x a_22	–  a_21  x a_12</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra Conmutativa/Introducción</title>
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En álgebra abstracta, el álgebra conmutativa es el campo de estudio de los anillos conmutativos, sus ideales, módulos y álgebras. Es una materia fundacional tanto para la geometría algebraica como para la teoría algebraica de números.

Se considera que el fundador real de la materia, en la época en la que se llamaba teoría de ideales, es David Hilbert. Parece que él piensa sobre ella (alrededor del 1900) como un enfoque alternativo a la entonces de moda teoría de funciones complejas. Este enfoque sigue cierta &quot;línea&quot; de pensamiento que considera que los aspectos computacionales son secundarios respecto a los estructurales. El concepto adicional de módulo, presentado de alguna manera en el trabajo de Kronecker, es técnicamente un paso adelante si lo comparamos con trabajar siempre directamente en el caso especial de los ideales. Este cambio se atribuye a la influencia de Emmy Noether.

Dado el concepto de esquema, el álgebra conmutativa es pensada, comprendida, de forma razonable, bien como la teoría local o bien como la teoría afín de la geometría algebraica.

El estudio general de anillos sin requerir conmutatividad se conoce como álgebra no conmutativa; es materia de la teoría de anillos, de la teoría de la representación y también de otras áreas como la teoría de las álgebras de Banach.</text>
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    <title>Matemáticas/Generalidades/Operaciones</title>
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= Operaciones (Matemáticas) =
==  Introducción. ==

== Definición de Operación ==

Definición 2.1. Sea ''E'' un conjunto no vacío. Llamamos operación (binaria) en ''E'' a una función de ''E x E --&gt; E''.

Es decir que una operación en un conjunto E asigna a cada par de elementos de E, otro (no necesariamente distinto) elemento de E. Por tradición, si * es una operación en E, al eleemnto que * asigna al para (a,b) de E x E se simboliza por a * b; esto es, el símbolo de la operación se colca entre los argumentos de la función, que se llamsn los operandos.  Tradicionalemente, los símbolos más usados, en álgebra, para operaciones son +, •, -, ÷, *, etc.  

Ejemplos 1.

a.   La adición, sustracción y multiplicación son operaciones en el conjunto de los números enteros, &lt;math&gt;\mathbb{Z} &lt;/math&gt;;.   

b.  Las operaciones del mismo nombre son operaciones en los Racionales, &lt;math&gt;\mathbb{Q} &lt;/math&gt;; igual situación tenemos en los Reales,  &lt;math&gt;\mathbb{R} &lt;/math&gt;;.

Observemos que es necesario especificar como diferentes la adición en Los Enteros, de la adición en los Racionales y de la adición de los Reales, ya que por la definición dada son diferentes, ya que sus dominios como funciones son diferentes. Aunque en rigor debiéramos  usar nombre y símbolos diferentes para cosas diferentes, la costumbre hace que usemos el mismo nombre y símbolo en esos casos. Tal situación no produce problemas cuando nos interesan los resultados específicos  de una de esas operaciones, ya que producen el ``mismo'' resultados; sin embargo, más adelante, veremos que hay diferencias algebraicas entre ellas. 

Ejemplos 2.  Sea X un conjunto cualquiera y sea E el conjunto de los subconjuntos de E. La (re)union y la intersección de subconjuntos son operaciones en E.

Ejemplo 3.  Sea X un conjunto cualquiera no vacío y sea E el conjunto de todas las funciones de E en E.  La composición de funciones es una operación en E, denotada por °.

²==   Propiedades  Generales de Operaciones ==

Las operaciones binarias, como abstracciones de las operaciones clásicas, reciben una atención especial y se destacan algunas propiedades de las mismas.

Definición 2. Sea * una operación cualquiera en un conjunto E. Decimos que la operación es

a.   '''asociativa''', ssi, ''x * (y * z) = (x * y)* z'', para todo x,y,z de E.

b.  '''conmutativa''', ssi, ''x * y = y * x'', para todo x, y de E.

c.  '''distributiva''' respecto a una operación #, ssi,
''x * (y # z) = x * y # x * z'', ,   (y #z) * x = y * x # z * x.

•   La adición y la multiplicación en los conjuntos numéricos son asociativas y conmutativas.

•   La sustración en cualquiwera de los sistemas numéricos no es ni asociativa ni conmutativa.

•   La reunión y la intersección de subconjuntos son operaciones asociativas y conmutativas. 

•   La composición de funciones es asociativa ni conmutativa.

•   La multiplicación es distributiva respecto a la adición en los conjuntos numéricos.

•   La reunión y la intersección son mutuamente distributivas.

==   Subconjuntos Cerrados  ==

Definición.  Sea * una operación en un conjunto E. Decimos que un subconjunto S no vacío  de E es '''cerrado''' o '''estable''' respecto a la operación, ssi, el resultado de la operación en dos elementos cualesquiera de S es un elemento de S. ES decir, ssi,
Para todo a, b en S, se cumple que a * b está en S.

•   Los Enteros como subconjunto de los Reales son cerrados respecto a la adición y a la multiplcación.

•   El subconjunto de los Enteros formado por todos los  cuadrados perfectos es cerrado respecto a la multiplicación, pero no respecto a la adición.  En efecto, tenemos que a^2 b^2 = (ab)^2, pero 2^2 + 3^2 = 13 que no es un cuadrado perfecto.

•   El subconjunto de los enteros pares es cerrado respecto a la adición y multiplicación; mientras que el subconjunto de los impares lo es respecto a la multiplicación, pero no frespecto a la adición.

Proposición  .  Cuando dos o más subconjuntos cerrados respecto a una operación tienen

==  Elementos Destacados ==

Definición  Sea * una operación en un conjunto E. Llamamos elemento neutro (respecto a la operación *) a un elemento e de $E tal que para todo elemento a de E se cumpla que ''a * e = e  = e * a&quot;.  

•   El cero, 0, es un elemento neutro respecto a la adición en los conjuntos numéricos; mientras que el 1 es neutro respecto a la multiplicación.

•  El conjunto vacío es un neutro respecto a la reunión de conjuntos, mientras que el conjunto del que estamos considerando los subconjuntos  es un neutro respecto a la intersección.

•  Con respecto a la composición de funciones del conjunto E en sí mismo, la función identidad, 1_E es un neutro.

'' Proposición 1.  Sea * una operación cualquiera en un conjunto E. El elemento neutro, si existe, es único.''

Demostración. Supongamos que e y e' fueran neutros respecto a la operación *. Evaluemos e * e'. 

Como e es neutro, tenemos que e * e' = e'.  Análogamente, como e' es un neutro, e * e '= e. Por lo tanto, e = e'.

==   Relaciones compatibles ==

== Estructuras Algebraicas ==</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra Lineal/Transformaciones lineales</title>
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Se denomina  '''transformación lineal''', '''aplicación lineal''' o '''función lineal''' a toda [[función matemática|aplicación]] cuyo dominio y codominio sean [[espacio vectorial|espacios vectoriales]] que cumpla la siguiente definición:

:Sean &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;, y &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; una función de &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; es una transformación lineal si para todo par de vectores &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; pertenecientes a &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; y para todo escalar &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; perteneciente a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;, se satisface que:

:# &lt;math&gt;T(u+v) = T(u) + T(v) \,&lt;/math&gt;
:# &lt;math&gt;T(ku) = kT(u) \,&lt;/math&gt; donde k es un [[escalar (matemática)|escalar]].

== Ejemplos ==

=== Transformación lineal identidad ===

:&lt;math&gt;T:V \rarr V \quad/\quad T(x) = x,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\forall x \in V&lt;/math&gt;

== Operador diferencial como transformación lineal ==
El operador diferencial puede ser tratado como una transformación lineal. En efecto, dado ''V'' = ''C''[0,1] el [[espacio vectorial]] de todas las funciones con valor real continuas en el intervalo [0,1] y se supone que ''W'' es el [[subespacio vectorial|subespacio]] de ''C''[0,1] que involucra todas las funciones con primeras derivadas continuas sobre el [[intervalo cerrado]] [0,1].

:::Sea D:  la ''transformación'' de ''V'' en ''W'' que aplica '''f''' hacia su derivada; esto es:

:::::D('''f''')='''f´'''

Al usar las propiedades de la derivación, resulta

:::D('''f''' + '''g''')=D('''f''') + D('''g''')

:::::D(k'''f''') = kD('''f''')

De tal modo D es una ''[[transformación lineal]]'' &lt;ref&gt;&quot;Introducción al álgebra lineal&quot; de Howard Antón (1989) sin ISBN, pág. 253&lt;/ref&gt;

----
&lt;references /&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Programación Lineal/Concepto</title>
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== Definición de Programación Lineal==

Es una de las técnicas agrupadas como programación matemática, aplicable a problemas de asignación de recursos limitados, con actividades competitivas hacia un objetivo común, que puede ser de maximizar beneficios (por ejemplo utilidades o bien rendimientos); también se puede desear minimizar el esfuerzo (por ejemplo los costos, el personal asignado a tareas, o el desperdicio en procesos). Se usa un modelo matemático con representación válida de la problemática en estudio; sus relaciones deben ser lineales o de &quot;línea recta&quot;, que significa utilizar, sólo una variable de primer grado en cada término.&lt;br /&gt;

En todos los problemas de programación lineal, el objetivo es el máximo o bien el mínimo de alguna cantidad en la acción de asignar recursos.

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    <title>Matemáticas/Programación Lineal/Historia</title>
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      <text bytes="6067" sha1="jyk293rxempdovirb4bbhnpc7k3sr8w" xml:space="preserve">==Inicio de sus desarrollo ==
El desarrollo de la programación lineal se considera entre los avances científicos más importantes del siglo XX, pues su impacto ha sido extraordinario. Actualmente es una herramienta de uso común que ha beneficiado a muchas organizaciones en distintos países con ahorros de cualquier índole, por lo que su uso se está ampliando rápidamente a todos los sectores de la sociedad. Una gran mayoría de los cálculos científicos en computadoras usan la programación lineal proliferando las publicaciones y libros sobre esta materia de gran aplicación.

== Antecedentes ==
Uno de sus antecedentes se registra con el método de análisis de insumo-producto que desarrolló el economista W. Leontief; también se debe reconocer al economista y matemático soviético L.V. Kantorovich, quien ya en 1939 formuló y resolvió un problema de programación lineal para la organización y planeación de la producción; otro antecedente es, la interpretación de Hitchcock a &quot;un problema de tipo de transportación&quot; en 1941. El problema de la dieta, fue analizado por Stigler en 1945. El gran impulso de la programación lineal para la industria y los negocios se identifica con el doctor George Dantzig, matemático norteamericano de origen, que desarrolló el algoritmo Simplex, un método sistemático de resolución para problemas modelados con programación lineal. Esto ocurrió en 1947 cuando se ocupó, con Marshal Wood y asociados, de un proyecto para la Fuerza Aérea de los Estados Unidos. Se organizó un grupo de investigación con el título de Proyecto SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs). Actualmente las principales aplicaciones de la PL son del área industrial; también, aunque en menor parte, en el campo urbano y social.

== Los años cincuenta ==
A partir de 1950, un número cada vez mayor de investigadores (matemáticos y economistas) aislados o constituyendo grupos contribuyen al desarrollo de las diferentes ramificaciones de la programación lineal; en particular, la &quot;Rand Corporation&quot; con G. B. Dantzig y W. Orchard-Hays, después L. R. Ford, D. R. Fulkerson, y D. Gale; el departamento de matemáticas de la Universidad de Princenton con A. W. Tucker y H. W. Kun; la &quot;Graduate School of Industrial Administration&quot; del &quot;Carnegie Institute of Technology&quot; con A. Charnes y W. Cooper. Los dos primeros grupos trabajan en la teoría matemática de los programas y su instalación en computadoras; los resultados se publicaron en la &quot;Rand Corporation&quot; en la serie de &quot;Rand notes on linear programming and extensions&quot; (desde 1953 a 1961); se deben mencionar las de Dantzig sobre los desarrollos teóricos, las de W. Orchard_Hays sobre la instalación de los programas de cálculo en máquinas, las de L. R Ford y D. R. Fulkerson sobre las redes de transporte; es necesario citar especialmente en el activo del grupo de Princenton, el método &quot;húngaro&quot; de H. W. Kun, para los problemas de asignación, la publicación de la notable colección de notas &quot;Linear Inequalities and Related Systems&quot; en 1956 y el método de Gomory para el cálculo de los problemas lineales en números enteros a finales del año 1958. El equipo del &quot;Carnegie Tech&quot; desarrolló la PL en aplicaciones industriales, se interesó en aspectos teóricos particulares como: degeneración, errores de redondeo, el Simplex revisado, variables acotadas.

== Años recientes ==

El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantorovich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. Leonid Khachiyan en 1979 fue el primero en demostrar que el problema de la programación lineal se solucionaba en tiempo polinomial, sin embargo, el mejor avance en los principios teóricos y prácticos en el campo se produjo en 1984, cuando Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal.

El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deberán ser revisadas.


En los últimos años, lo notable y más prometedor parece ser: La programación lineal en números enteros por R. Gomory, el principio de descomposición de Dantzig y Wolfe, los programas lineales estocásticos, el algoritmo de punto interior de Narendra Karmarkar, con aportaciones importantes de un matemático ruso I. Dikin en 1967, redescubierto, después de la publicación de Karmarkar por varios investigadores: E.R.Barnes, T. M.Cavalier y A.L.Soyster. Además R.J.Vanderbei, M.S.Meketon y B.A.Freedman publicaron en 1986, &quot;A modification of Karmarkar's Linear Programming Algorithm&quot;. Al inicio la programación lineal se llamó &quot;programación en estructura lineal&quot;. En 1948, Tjalling Koopmans sugirió a George Dantzing simplificar el nombre.

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    <title>Matemáticas/Programación Lineal/Introducción</title>
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      <text bytes="483" sha1="99hqw1995vlp3ipaah2fuy6bc06wkir" xml:space="preserve">La Programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

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    <title>Matemáticas/Programación Lineal/IO</title>
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      <text bytes="291" sha1="2v51l8hekyzuiipovpfwo7as2jadbgf" xml:space="preserve">
* [[Matemáticas/Programación Lineal/IO/Prólogo|Prólogo]]
* [[Matemáticas/Programación_Lineal/IO/Fundamentos|Fundamentación]]
* [[Matemáticas/Programación Lineal/IO/Definiciones|Definiciones]]
* [[Matemáticas/Programación Lineal/IO/Historia|Antecedentes históricos]]

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    <title>Matemáticas/Lógica/Proposiciones</title>
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Empezamos nuestro estudio de la lógica con elementos básicos llamados ''' proposiciones '''.

''' Objetivos '''

* Entender lo que es una proposición
* Diferenciar una proposición de otras definiciones

=== ''' Enunciados y valor de verdad ''' ===

Una ''' proposición ''' es un enunciado y oración '''declarativa''' de la cual se puede afirmar que es falsa o verdadera, pero no ambas cosas a la vez.

La veracidad o falsedad de una proposición es lo que se llama su '''valor de verdad'''

=== Axiomas y Teoremas ===

Un '''axioma''' o postulado es una proposición inicial la cual se asume como verdadera. El conjunto de postulados de los cuales se desprenden las demás proposiciones de un sistema se llama '''conjunto de postulados del sistema'''. En éste, uno de los axiomas no debe ser deducible de otros.

'''Ejemplos'''

# Uno de los postulados de la geometría euclidiana es el postulado de la recta: '''Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene'''. Este postulado es parte de un conjunto de postulados del sistema que formula la geometría de Euclides.
# En geometría, en el sistema euclidiano, se acepta el siguiente postulado: '''Dos rectas no pueden cortarse en más de un punto'''

Un '''teorema''' es cualquier proposición que se desprende de otra proposición o proposiciones dadas por supuestas o previamente demostradas dentro del sistema. Así, un teorema es una proposición cuya veracidad requiere ser demostrada a partir de otras.

'''Ejemplo'''

El teorema del triángulo isósceles asevera que: '''Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes'''


[[Matemáticas/Lógica/Ejercicios propuestos de Proposiciones|Ejercicios propuestos de Proposiciones]]


* Pasar al siguiente tema: [[Matemáticas/Lógica/Conectivos Lógicos y Tablas de Verdad|Conectivos Lógicos y Tablas de Verdad]]</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Conectivos Lógicos y tablas</title>
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Definiremos los conectivos lógicos que permiten relacionar proposiciones simples para convertirlas en proposiciones compuestas.

Analizaremos las tablas de verdad asociadas a cada conectivo, para desarrollar ejemplos usando sus propiedades.

'''Objetivos'''

* Conocer y entender los conectivos lógicos
* Conocer y entender las tablas de verdad
* Aplicar las propiedades y resultados de los conectivos lógicos para resolver problemas

=== '''Proposiciones simples y compuestas''' ===

Recordamos que una proposición es una oración declarativa a la cual se le puede asociar un valor de verdad.


Para representar proposiciones usaremos las letras p, q, r,...

Por ejemplo

&lt;center&gt; p = el sol brilla todo el día&lt;br /&gt;
q = hace frío &lt;/center&gt;

son proposiciones simples.

Así como en álgebra las variables que representan cantidades pueden formar expresiones más complejas mediante el uso de las operaciones básicas de aritmética y algunas funciones, en lógica podemos relacionar proposiciones mediante los '''conectivos lógicos'''.

Los '''conectivos lógicos''' son símbolos usados para combinar proposiciones simples dadas, produciendo así otras llamadas '''proposiciones compuestas'''.

Los conectivos lógicos que usaremos son

* ~ '''negación'''
* &lt;math&gt; \vee &lt;/math&gt; '''disyunción''' 
* &lt;math&gt; \wedge &lt;/math&gt; '''conjunción'''
* &lt;math&gt; \rightarrow &lt;/math&gt; '''condicionante'''
* &lt;math&gt; \leftrightarrow &lt;/math&gt; '''bicondicionante'''

==='''Tabla de Verdad'''===

Definimos una '''tabla de verdad''' como un arreglo que nos permite tener los posibles valores de verdad de una proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones simples.

Las tablas de verdad para los conectivos lógicos listados arriba son las siguientes:

'''Negación'''

La '''negación''' de una proposición es una nueva proposición que tiene un valor de verdad opuesto a la proposición original.
Es decir, si el valor de verdad de una proposición ''p'' es verdadero, entonces el valor de verdad de ~''p'' es falso.

La tabla de verdad para el conectivo ~ está dada por

&lt;center&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! '''''p''''' !! '''''~p'''''
|-
| V || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt;
|-
| F || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt;
|}
&lt;/center&gt;

'''Disyunción'''

La '''disyunción''' es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, ''p'' y ''q'', mediante el conectivo &lt;math&gt; \vee &lt;/math&gt;.

Esta proposición compuesta de denota por &lt;math&gt; p\vee q &lt;/math&gt; y se lee '''p o q'''.

La tabla de verdad para el conectivo &lt;math&gt; \vee &lt;/math&gt; está dada por

&lt;center&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! ''p'' !! ''q'' !! &lt;math&gt; p\vee q &lt;/math&gt;
|-
| V || V || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt;
|-
| V || F || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt;
|-
| F || V || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt;
|-
| F || F || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt;
|}
&lt;/center&gt;

Se puede ver que para que una proposición compuesta &lt;math&gt; p\vee q &lt;/math&gt; tenga valor de verdad verdadero, basta con una de las proposiciones simples tenga valor de verdad verdadero.

'''Conjunción'''

La '''conjunción''' es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, ''p'' y ''q'', mediante el conectivo &lt;math&gt; \wedge &lt;/math&gt;.

Esta proposición compuesta de denota por &lt;math&gt; p\wedge q &lt;/math&gt; y se lee '''p y q'''.

La tabla de verdad para el conectivo &lt;math&gt; \wedge &lt;/math&gt; está dada por

&lt;center&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! ''p'' !! ''q'' !! &lt;math&gt; p\wedge q &lt;/math&gt;
|-
| V || V || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt;
|-
| V || F || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt;
|-
| F || V || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt;
|-
| F || F || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt;
|}
&lt;/center&gt;

Se puede ver que para que una proposición compuesta &lt;math&gt; p\wedge q &lt;/math&gt; tenga valor de verdad verdadero, ambas proposiciones simples deben tener valor de verdad verdadero.

'''Condicionante'''

La '''condicional''' es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, ''p'' y ''q'', mediante el conectivo &lt;math&gt; \rightarrow &lt;/math&gt;.

Esta proposición compuesta de denota por &lt;math&gt; p\rightarrow q &lt;/math&gt; y se lee '''p implica q'''.

En esta proposición compuesta, la proposición simple ''p'' se llama '''antecedente''', mientras que la proposición simple ''q'' se llama '''consecuente'''.

La tabla de verdad para el conectivo &lt;math&gt; \rightarrow &lt;/math&gt; está dada por

&lt;center&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! ''p'' !! ''q'' !! &lt;math&gt; p\rightarrow q &lt;/math&gt;
|-
| V || V || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt;
|-
| V || F || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt;
|-
| F || V || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt;
|-
| F || F || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt;
|}
&lt;/center&gt;

Se puede ver que una proposición compuesta &lt;math&gt; p\rightarrow q &lt;/math&gt; tiene valor de verdad falso solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En cualquier otro caso, el valor de verdad de la proposición compuesta es verdadero.

'''Bicondicionante'''

La '''bicondicional''' es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, ''p'' y ''q'', mediante el conectivo &lt;math&gt; \leftrightarrow &lt;/math&gt;.

Esta proposición compuesta se denota por &lt;math&gt; p\leftrightarrow q &lt;/math&gt; y se lee '''p si y solo si q'''.

La tabla de verdad para el conectivo &lt;math&gt; p\leftrightarrow q &lt;/math&gt; está dada por

&lt;center&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! ''p'' !! ''q'' !! &lt;math&gt; p\leftrightarrow q &lt;/math&gt;
|-
| V || V || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt;
|-
| V || F || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt;
|-
| F || V || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt;
|-
| F || F || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt;
|}
&lt;/center&gt;

Se puede ver que la proposición compuesta &lt;math&gt; p\leftrightarrow q &lt;/math&gt; tiene valor de verdad verdadero siempre que las proposiciones simples tienen el mismo valor de verdad. Es cualquier otro caso, la proposición compuesta tiene valor de verdad falso.


Las proposiciones compuestas pueden combinarse o conectarse para formar proposiciones aún más complejas. Es claro que el valor de verdad de una proposición, por compleja que sea, depende de los valores de verdad de las proposiciones que las componen en sus formas más simples.

Para hacer la tabla de verdad de una proposición le asignamos una columna a cada proposición que interviene, sea ésta simple o compuesta, normalmente comenzando con las más simples y progresando en el orden de complejidad de las proposiciones componentes.

El número de filas de la tabla viene dado por la potencia &lt;math&gt; 2^n &lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt; n &lt;/math&gt; es el número de proposiciones en la forma más simple que forman la proposición compuesta dada.

Para asignar los valores de verdad a dichas proposiciones simples, se procede de la forma siguiente: 

* la primera columna se llena asignando valores V a la mitas de las filas y valores F a la mitad siguiente. 
* la segunda columna se llena asignando valores V a un cuarto de las filas, valores F al segundo cuarto, valores V al tercer cuarto y valores F al último cuarto de filas de esa columna. 
* la tercera columna se llena asignando valores V a un octavo de las filas, valores F al  segundo octavo, valores V al tercer octavo, etc.

Así, se continúa hasta que terminen las columnas de las proposiciones simples. Las columnas de las otras proposiciones se llenan a partir de las columnas de las proposiciones simples, usando las tablas de verdad definidas antes.</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Tablas varias</title>
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== Contradicción ==
¿Bajo qué condiciones de ''p'' y ''q'' la proposición
 
&lt;center&gt;

&lt;math&gt; [(p\leftrightarrow q)\wedge\sim q]\rightarrow(p\wedge\sim q) &lt;/math&gt;

&lt;/center&gt;

es falsa?

'''Sol:''' Este ejercicio se puede resolver de dos formas:

Primera forma, '''tabla de verdad'''.

En este caso, las proposiciones simples son dos, ''p'' y ''q''. Luego, la tabla de verdad tiene &lt;math&gt; 2^2=4 &lt;/math&gt; filas.

Empezando por llenar las columnas de las proposiciones simples, la tabla queda de la forma

&lt;center&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! &lt;math&gt; p &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; \sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; p\leftrightarrow q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; (p\leftrightarrow q)\wedge\sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; p\wedge\sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; [(p\leftrightarrow q)\wedge\sim q]\rightarrow(p\wedge\sim q) &lt;/math&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|}

&lt;/center&gt;

Luego, llenando la tercera columna, que es la negación de la segunda, tenemos

&lt;center&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! &lt;math&gt; p &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; \sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; p\leftrightarrow q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; (p\leftrightarrow q)\wedge\sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; p\wedge\sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; [(p\leftrightarrow q)\wedge\sim q]\rightarrow(p\wedge\sim q) &lt;/math&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|}

&lt;/center&gt;

La cuarta columna la llenamos usando el bicondicionante para las columnas uno y dos. Tenemos

&lt;center&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! &lt;math&gt; p &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; \sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; p\leftrightarrow q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; (p\leftrightarrow q)\wedge\sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; p\wedge\sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; [(p\leftrightarrow q)\wedge\sim q]\rightarrow(p\wedge\sim q) &lt;/math&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|}

&lt;/center&gt;

Llenamos la quinta columna usando la conjunción para las columnas cuatro y tres. Tenemos

&lt;center&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! &lt;math&gt; p &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; \sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; p\leftrightarrow q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; (p\leftrightarrow q)\wedge\sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; p\wedge\sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; [(p\leftrightarrow q)\wedge\sim q]\rightarrow(p\wedge\sim q) &lt;/math&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|}

&lt;/center&gt;

Para llenar la sexta columna usamos la conjunción para las columnas uno y tres. Tenemos

&lt;center&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! &lt;math&gt; p &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; \sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; p\leftrightarrow q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; (p\leftrightarrow q)\wedge\sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; p\wedge\sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; [(p\leftrightarrow q)\wedge\sim q]\rightarrow(p\wedge\sim q) &lt;/math&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt;  &lt;/center&gt;
|}

&lt;/center&gt;

Finalmente, para llenar la séptima y última columna de la tabla, usamos la condicionante para las columnas quinta y sexta, teniéndose que

&lt;center&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! &lt;math&gt; p &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; \sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; p\leftrightarrow q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; (p\leftrightarrow q)\wedge\sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; p\wedge\sim q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; [(p\leftrightarrow q)\wedge\sim q]\rightarrow(p\wedge\sim q) &lt;/math&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt;
|}

&lt;/center&gt;

De esta forma, vemos que para que la proposición compuesta &lt;math&gt; [(p\leftrightarrow q)\wedge\sim q]\rightarrow(p\wedge\sim q) &lt;/math&gt; tenga valor de verdad falso, debe cumplirse que cada proposición simple, ''p'' y ''q'', deben tener valor de verdad falso.


Segunda forma, '''descomposición en proposiciones simples'''.

Vemos que en la proposición compuesta &lt;math&gt; [(p\leftrightarrow q)\wedge\sim q]\rightarrow(p\wedge\sim q) &lt;/math&gt; el conectivo importante es el condicionante &lt;math&gt; \rightarrow &lt;/math&gt;. 

Por la tabla asociada, vemos que la única combinación que hace al condicionante tener valor de verdad falso, es cuando el antecedente tiene valor de verdad verdadero, y el consecuente tiene valor de verdad falso.

Luego, se debe tener que

&lt;center&gt;

&lt;math&gt; [(p\leftrightarrow q)\wedge\sim q]\equiv V\ \textrm{y}\ (p\wedge\sim q)\equiv F &lt;/math&gt;

&lt;/center&gt;

Del hecho que la proposición compuesta &lt;math&gt; [(p\leftrightarrow q)\wedge\sim q] &lt;/math&gt; tiene valor de verdad verdadero, se debe tener entonces que tanto la proposición &lt;math&gt; (p\leftrightarrow q) &lt;/math&gt; como la proposición &lt;math&gt; (\sim q) &lt;/math&gt; deben tener valor de verdad verdadero.

Así, como &lt;math&gt; \sim q\equiv V &lt;/math&gt;, entonces tenemos que &lt;math&gt; q\equiv F &lt;/math&gt;.

Ahora, como &lt;math&gt; (p\leftrightarrow q)\equiv V &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; q\equiv F &lt;/math&gt;, se tiene que la proposición simple &lt;math&gt; p\equiv F &lt;/math&gt;.

Luego, ambas proposiciones simples ''p'' y ''q'' deben tener valor de verdad falso.

== Número de combinaciones ==
Partiendo de un número '''n''' de variables, cada una de las cuales puede tomar el valor verdadero: '''V''', o falso: '''F''', por combinatoria, podemos saber que el número total de combinaciones: '''C''', que se pueden presentar es:
: &lt;math&gt;
   C =
   2^n
&lt;/math&gt;

el número de combinaciones que se pueden dar con '''n''' variable, cada una de las cuales puede tomar uno entre dos valores lógicos es de dos elevado a '''n''', esto es, el número de combinaciones: '''C''', tiene crecimiento exponencial respecto al número de variable n:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{r|r}
      n &amp; C  \\
      \hline
      0 &amp; 1  \\
      1 &amp; 2  \\
      2 &amp; 4  \\
      3 &amp; 8  \\
      4 &amp; 16 \\
      5 &amp; 32 \\
     \ldots &amp; \ldots \\
     n &amp; 2^n
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Si consideramos que un ''sistema combinacional'' de '''n''' variables binarias, puede presentar un resultado verdadero: '''V''', o falso: '''F''', para cada una de las posibles combinaciones de entrada tenemos que se pueden construir un número de funciones: '''F''' con '''n''' variables de entrada, donde:
: &lt;math&gt;
   F =
   2^{C} =
   2^{2^{n}}
&lt;/math&gt;

Que da como resultado la siguiente tabla:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{r|r}
      n &amp; F \\
      \hline
      0 &amp;               2 \\
      1 &amp;               4 \\
      2 &amp;              16 \\
      3 &amp;             256 \\
      4 &amp;         65_.536 \\
      5 &amp;  4_.294.967.296 \\
     \ldots &amp; \ldots \\
     n &amp; 2^{2^{n}}
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Para componer una tabla de verdad, pondremos las '''n''' variables en una línea horizontal, debajo de estas variables desarrollamos las distintas combinaciones que se pueden formar con '''V''' y '''F''', dando lugar a las distintas '''C''', número de combinaciones. Normalmente solo se representa la función para la que se confecciona la tabla de verdad, y en todo caso funciones parciales que ayuden en su cálculo, en la figura, se pueden ver todas las funciones posibles '''F''', que pueden darse para el número de variables dado.

[[archivo:Tabla de verdad.svg|700px]]

Así podemos ver que para dos variables binarias: '''A''' y '''B''', '''n'''= 2 , que pueden tomar los valores '''V''' y '''F''', se pueden desarrollar cuatro combinaciones: '''C'''= 4, con estos valores se pueden definir dieciséis resultados distintos, '''F'''= 16, cada una de las cuales seria una función de dos variables binarias. Para otro número de variables se obtendrán los resultados correspondientes, dado el crecimiento exponencial de '''F''', cuando '''n''' toma valores mayores de cuatro o cinco, la representación en un cuadro resulta compleja, y si se quiere representar las combinaciones posibles '''F''', resulta ya complejo para '''n'''= 3.

== Tabla de verdad de cero variables ==
: n= 0
: C= 1
: F= 2

: &lt;math&gt;
   \begin{array}{c|cccccccccccccccc}
     \cdot &amp; f_1 &amp; f_2  \\
     \hline
     \cdot &amp; V   &amp; F    \\
   \end{array}
&lt;/math&gt;

=== Caso: 1. &lt;math&gt; x= f_{1}() &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 0 01 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 2. &lt;math&gt; x= f_{2}() &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 0 02 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

== Tabla de verdad de una variable ==
: n= 1
: C= 2
: F= 4


: &lt;math&gt;
   \begin{array}{c|cccccccccccccccc}
     a &amp; f_1 &amp; f_2 &amp; f_3 &amp; f_4  \\
     \hline
     V &amp; V   &amp; V   &amp; F   &amp; F   \\
     F &amp; V   &amp; F   &amp; V   &amp; F   \\
   \end{array}
&lt;/math&gt;

=== Caso: 1. &lt;math&gt; x= f_{1}(a) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 1 01 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 2. &lt;math&gt; x= f_{2}(a) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 1 02 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 3. &lt;math&gt; x= f_{3}(a) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 1 03 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 4. &lt;math&gt; x= f_{4}(a) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 1 04 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

== Tabla de verdad de dos variables ==
: n= 2
: C= 4
: F= 16

: &lt;math&gt;
   \begin{array}{cc|cccccccccccccccc}
     a &amp; b &amp; f_1 &amp; f_2 &amp; f_3 &amp; f_4 &amp; f_5 &amp; f_6 &amp; f_7 &amp; f_8 &amp; f_9 &amp; f_{10} &amp; f_{11} &amp; f_{12} &amp; f_{13} &amp; f_{14} &amp; f_{15} &amp; f_{16} \\
     \hline
     V &amp; V &amp; V   &amp; V   &amp; V   &amp; V   &amp; V   &amp; V   &amp; V   &amp; V   &amp; F      &amp; F      &amp; F      &amp; F      &amp; F      &amp; F      &amp; F   &amp; F      \\
     V &amp; F &amp; V   &amp; V   &amp; V   &amp; V   &amp; F   &amp; F   &amp; F   &amp; F   &amp; V      &amp; V      &amp; V      &amp; V      &amp; F      &amp; F      &amp; F   &amp; F      \\
     F &amp; V &amp; V   &amp; V   &amp; F   &amp; F   &amp; V   &amp; V   &amp; F   &amp; F   &amp; V      &amp; V      &amp; F      &amp; F      &amp; V      &amp; V      &amp; F   &amp; F      \\
     F &amp; F &amp; V   &amp; F   &amp; V   &amp; F   &amp; V   &amp; F   &amp; V   &amp; F   &amp; V      &amp; F      &amp; V      &amp; F      &amp; V      &amp; F      &amp; V   &amp; F      \\
   \end{array}
&lt;/math&gt;

=== Caso: 1. &lt;math&gt; x= f_{1}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 01 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 2. &lt;math&gt; x= f_{2}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 02 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 3. &lt;math&gt; x= f_{3}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 03 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 4. &lt;math&gt; x= f_{4}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 04 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 5. &lt;math&gt; x= f_{5}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 05 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 6. &lt;math&gt; x= f_{6}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 06 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 7. &lt;math&gt; x= f_{7}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 07 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 8. &lt;math&gt; x= f_{8}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 08 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 9. &lt;math&gt; x= f_{9}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 09 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 10. &lt;math&gt; x= f_{10}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 10 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 11. &lt;math&gt; x= f_{11}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 11 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 12. &lt;math&gt; x= f_{12}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 12 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 13. &lt;math&gt; x= f_{13}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 13 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 14. &lt;math&gt; x= f_{14}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 14 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 15. &lt;math&gt; x= f_{15}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 15 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}

=== Caso: 16. &lt;math&gt; x= f_{16}(a,b) &lt;/math&gt; ===
[[Archivo:Conmutador 2 16 0.svg|derecha|260px]]
{{clear}}</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Argumentos</title>
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        <username>Mazbel</username>
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Usaremos las proposiciones simples y compuestas, y los resultados de las tablas de verdad ya vistas, para analizar argumentos y decidir si éstos son válidos o no.

'''Objetivos'''

*Aplicar las tablas de verdad a argumentos
*Determinar la validez de un argumento

=== Tautología. Contingencia. Contradicción ===

Consideremos las siguientes tablas de verdad, para cada una de las proposiciones dadas.

# &lt;math&gt; p\vee(q\wedge r) &lt;/math&gt;

&lt;center&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! &lt;math&gt; p &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; r &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; q\wedge r &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; p\vee(q\wedge r) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; &lt;font color=&quot;#FF0000&quot;&gt; V &lt;/font&gt; &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; &lt;font color=&quot;#FF0000&quot;&gt; V &lt;/font&gt; &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; &lt;font color=&quot;#FF0000&quot;&gt; V &lt;/font&gt; &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; &lt;font color=&quot;#FF0000&quot;&gt; V &lt;/font&gt; &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; &lt;font color=&quot;#FF0000&quot;&gt; V &lt;/font&gt; &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; &lt;font color=&quot;#FF0000&quot;&gt; F &lt;/font&gt; &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; &lt;font color=&quot;#FF0000&quot;&gt; F &lt;/font&gt; &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; &lt;font color=&quot;#FF0000&quot;&gt; F &lt;/font&gt; &lt;/center&gt;
|}

&lt;/center&gt;

# &lt;math&gt; (p\wedge q)\wedge(\sim p\wedge\sim q) &lt;/math&gt;

&lt;center&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; !! &lt;math&gt;q&lt;/math&gt; !! &lt;math&gt;\sim p&lt;/math&gt; !! &lt;math&gt;\sim q&lt;/math&gt; !! &lt;math&gt;p\wedge q&lt;/math&gt; !! &lt;math&gt;\sim p\wedge\sim q&lt;/math&gt; !! &lt;math&gt;(p\wedge q)\wedge(\sim p\wedge\sim q)&lt;/math&gt;
|-
| &lt;center&gt;V&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;V&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;F&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;F&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;V&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;F&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;&lt;font color=&quot;#FF0000&quot;&gt;F&lt;/font&gt;&lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt;V&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;F&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;F&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;V&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;F&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;F&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;&lt;font color=&quot;#FF0000&quot;&gt;F&lt;/font&gt;&lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt;F&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;V&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;V&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;F&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;F&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;F&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;&lt;font color=&quot;#FF0000&quot;&gt;F&lt;/font&gt;&lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt;F&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;F&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;V&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;V&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;F&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;V&lt;/center&gt; || &lt;center&gt;&lt;font color=&quot;#FF0000&quot;&gt;F&lt;/font&gt;&lt;/center&gt;
|}

&lt;/center&gt;

# &lt;math&gt; (p\wedge q)\leftrightarrow(q\wedge p) &lt;/math&gt;

&lt;center&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! &lt;math&gt; p &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; p\wedge q &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; q\wedge p &lt;/math&gt; !! &lt;math&gt; (p\wedge q)\leftrightarrow(q\wedge p) &lt;/math&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; &lt;font color=&quot;FF0000&quot;&gt; V &lt;/font&gt; &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; &lt;font color=&quot;FF0000&quot;&gt; V &lt;/font&gt; &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; V &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; &lt;font color=&quot;FF0000&quot;&gt; V &lt;/font&gt; &lt;/center&gt;
|-
| &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; F &lt;/center&gt; || &lt;center&gt; &lt;font color=&quot;FF0000&quot;&gt; V &lt;/font&gt; &lt;/center&gt;
|}

&lt;/center&gt;


Una &lt;b&gt; tautología &lt;/b&gt; es una proposición cuyo valor de verdad es verdadero, independiente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen.

La tabla 3 muestra una tautología.

Una &lt;b&gt; contradicción &lt;/b&gt; es una proposición cuyo valor de verdad es falso, independiente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen.

La tabla 2 muestra una contradicción.

Una &lt;b&gt; contingencia &lt;/b&gt; es una proposición que toma valores de verdad verdaderos en unos casos y falsos en otros, dependiendo de los valores de verdad de las proposiciones que la componen.

La tabla 1 muestra una contingencia.


=== Argumentos ===

Un &lt;b&gt; argumento &lt;/b&gt; es una relación entre un conjunto de proposiciones &lt;math&gt; p_1, p_2,..., p_k &lt;/math&gt; llamadas '''premisas''', y otra proposición &lt;math&gt; q &lt;/math&gt; llamada '''conclusión'''.

Denotamos un argumento por

&lt;center&gt;
&lt;math&gt; 
\left\{\begin{matrix} p_1\\ p_2\\.\\.\\.\\p_k\\ \therefore \\ q\end{matrix}\right.
&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

El símbolo &lt;math&gt;\therefore&lt;/math&gt; se lee '''por tanto'''.

Diremos que un argumento es '''válido''' si &lt;math&gt; q &lt;/math&gt; es verdadero cada vez que las premisas &lt;math&gt; p_1, p_2,..., p_k &lt;/math&gt; sean verdaderas.

Una manera práctica de decidir si un argumento es válido es observar la tabla de verdad:

* si cuando cada premisa es verdadera se tiene que la conclusión también lo es, entonces el argumento es válido.
* si cuando cada premisa es verdadera se tiene que la conclusión es falsa, entonces el argumento no es válido.

Un argumento que no es válido se llama '''falacia'''.

*[[Matemáticas/Lógica/Argumentos/Ejemplo 1|Ejemplo 1]].
*[[Matemáticas/Lógica/Argumentos/Ejemplo 1|Ejemplo 2]].
* [[Matemáticas/Lógica/Argumentos/Ejercicios|Ejercicios]].</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Ejercicios propuestos de Proposiciones</title>
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En los enunciados 1 al 10 se pide determinar si el enunciado dado es o no una proposición, justificando claramente la respuesta.

En caso de ser una proposición, determinar su valor de verdad.

# Julio César fue presidente de República Dominicana
# &lt;math&gt; 2+2=4 &lt;/math&gt;
# Si la tierra es plana, entonces &lt;math&gt; 2+2=4 &lt;/math&gt;
# ¿En tu casa o en la mía?
# ¡Ayúdame, por favor!
# La Matemática es importante
# Existen dos soluciones para la ecuación &lt;math&gt; x^2+4=20 &lt;/math&gt;, y ambas soluciones son enteras
# Si &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; es cualquier número entero, entonces &lt;math&gt;  x^2 &lt;/math&gt; es un número entero positivo
#¡Búscalo!
# &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; es mayor que &lt;math&gt; y &lt;/math&gt;

* Volver a [[Matemáticas/Lógica/Proposiciones|Proposiciones]].</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Ejercicios Conectivos Lógicos y Tablas de Verdad</title>
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En los problemas siguientes se pide construir la tabla de verdad de cada una de las proposiciones compuestas.

# &lt;math&gt; (p\rightarrow\sim q)\vee(\sim p\vee r) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; (p\rightarrow q)\rightarrow[(p\vee\sim q)\rightarrow(p\wedge q)] &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; [(p\vee q)\wedge r]\rightarrow(p\wedge\sim q) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; (p\rightarrow q)\rightarrow[p\rightarrow(\sim q\wedge p)] &lt;/math&gt;

En los siguientes problemas se pide determinar el valor de verdad de la proposición compuesta

&lt;center&gt;
&lt;math&gt; [(\sim p\wedge q)\vee(p\vee r)]\rightarrow[(p\vee\sim q)\vee(p\vee\sim r)] &lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

para los valores de verdad de las proposiciones simples:

# &lt;math&gt; p\equiv F, q\equiv F, r\equiv F &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; p\equiv F, q\equiv F, r\equiv V &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; p\equiv V, q\equiv F, r\equiv V &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; p\equiv V, q\equiv V, r\equiv F &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; p\equiv V, q\equiv V, r\equiv V &lt;/math&gt;


# Determinar los valores de verdad de &lt;math&gt; p, q, r &lt;/math&gt; de manera tal que la proposición
&lt;center&gt;
&lt;math&gt; (p\wedge\sim q)\rightarrow[r\vee(p\leftrightarrow q)] &lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
sea falsa.


En los siguientes problemas considerar las siguientes proposiciones

* &lt;math&gt; p &lt;/math&gt;: Panamá está en América Central
* &lt;math&gt; q &lt;/math&gt;: Colombia está al sur de Venezuela
* &lt;math&gt; r &lt;/math&gt;: Quito es la capital de Ecuador

Se pide escribir como proposición compuesta las siguientes frases y determinar el valor de verdad que poseen.

# Panamá está en América Central y Colombia está al sur de Venezuela.
# Colombia no está al sur de Venezuela.
# Quito no es la capital de Ecuador ni Panamá está en América Central.
# Si Panamá está en América Central y Colombia no está al sur de Venezuela, entonces ni Panamá está en América central ni Quito es la capital de Ecuador.
# Si 3&lt; 5, entonces 3+3 = 7 si, solo si, 1 + 1 =4</text>
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    <title>Matemáticas/Lógica/Ejercicios propuestos de Cuantificadores</title>
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En los problemas 1 al 10 se pide escribir las expresiones dadas en base a los enunciados siguientes
 
* &lt;math&gt; P(x,y) &lt;/math&gt;: &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; es más rápido que &lt;math&gt; y &lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt; Q(x,y) &lt;/math&gt;: &lt;math&gt; y &lt;/math&gt; es más alto que &lt;math&gt; x &lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt; R(x) &lt;/math&gt;: &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; pesa más de 200 libras

# &lt;math&gt; P(x,Jose) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; Q(Miguel, Luis)\wedge R(Juan) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; P(x,y)\rightarrow Q(x,y) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; Q(x,y)\rightarrow R(x) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; P(Miguel,Jose)\vee[Q(Miguel,Jose)\wedge R(Jose)] &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \forall x,\forall y Q(x,y)\rightarrow P(x,y) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \forall x, P(x,Jose)\leftrightarrow R(x) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \exists x, R(x)\wedge \forall y P(x,y) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \exists y, \forall x, P(x,y)\rightarrow R(x) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \forall y, R(Miguel)\vee Q(Miguel,y) &lt;/math&gt;

En los problemas 11 al 15 se pide escribir los enunciados en forma simbólica

# No todas las piedras preciosas son bonitas
# Existe un número positivo que es el menor
# Nadie ama a todo el mundo
# Existe un único presidente de Colombia
# Existe un número que es más grande que cualquier solución conocida para el problema o no hay solución

# En forma simbólica se pide la negación de los enunciados de los problemas 11 al 15.

En los problemas 17 al 21 se pide determinar el valor de verdad de cada proposición dada.
Para el problema 17 el conjunto universo es el conjunto de los enteros positivos.
Para los problemas 18 al 21 el conjunto universo es el conjunto de los números reales.

# &lt;math&gt; \forall m,\exists n, 2n=m &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \forall x,\exists y, xy=1 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \exists x,\exists y, xy=1 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \exists x,\forall y, (x+y)^2=x^2+y^2 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \exists !x,\forall y, x+y=y &lt;/math&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Teoría de conjuntos/Introducción</title>
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== Definición ==

Un '''conjunto''' es una colección bien definida de objetos. Tales objetos se llaman '''elementos''' del conjunto, y estos pueden tener distinta naturaleza (números, países, autos, etc.).

De manera general, los conjuntos serán denotados por letras mayúsculas &lt;math&gt;( A, B, C... )&lt;/math&gt;, mientras que los elementos serán denotados por letras minúsculas &lt;math&gt;( a, b, c,... )&lt;/math&gt;.

'''Ejemplos de conjuntos'''

# &lt;math&gt; A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} &lt;/math&gt;, el conjunto de los números dígitos.
# &lt;math&gt; B=\{rojo, naranja, amarillo, verde, azul, a\tilde{n}il, violeta\} &lt;/math&gt;, el conjunto de los colores del arcoíris.
# &lt;math&gt; C=\{a,e,i,o,u\} &lt;/math&gt;, el conjunto de las vocales.


'''Nota'''

Cuando un conjunto está descrito por sus elementos, y en éste algún elemento se repite más de una vez, tal elemento debe ser considerado solo una vez en la escritura final del conjunto.

Por ejemplo

* &lt;math&gt; \{1,1,2,3\}=\{1,2,3\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \{a,a,b,b,c,d,e\}=\{a,b,c,d,e\} &lt;/math&gt;

== Pertenencia ==

La '''pertenencia''' es el concepto que relaciona los dos conceptos básicos vistos (conjunto y elemento). El símbolo que representa la pertenencia es &lt;math&gt; \in &lt;/math&gt;, y escribimos

* &lt;math&gt; x\in A &lt;/math&gt; si es que el elemento &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; pertenece al conjunto &lt;math&gt; A &lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt; x\notin A &lt;/math&gt; si es que el elemento &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; no pertenece al conjunto &lt;math&gt; A &lt;/math&gt;.


=== Ejemplo de pertenencia ===

Si &lt;math&gt; A=\{2,4,6,8,10\} &lt;/math&gt;, entonces podemos decir que

* &lt;math&gt; 2\in A &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; 3\notin A &lt;/math&gt;

== Conjuntos por Extensión y por Comprensión ==

Un conjunto está descrito por '''extensión''' cuando son exhibidos todos y cada uno de sus elementos.

Un conjunto está descrito por '''comprensión''' cuando lo que representa al conjunto es una propiedad que cumplen sus elementos.

Así, por ejemplo, el conjunto

&lt;center&gt;
&lt;math&gt; A=\{x: x\ \mathrm{es}\ \mathrm{par}\ \mathrm{y}\ 2\leq x \leq 10\}=\{2,4,6,8,10\} &lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

está descrito primero por comprensión y luego por extensión.

=== Ejemplo Extensión ===

Escribir por extensión el conjunto &lt;math&gt; A=\{x: x\ \mathrm{es}\ \mathrm{real}\ \mathrm{y}\ x^2=0\} &lt;/math&gt;.

'''Sol:'''

[[File:Extension Uno.webm|thumb|center|&lt;center&gt;Ejemplo Extensión&lt;/center&gt;]]

=== Ejemplo Comprensión ===

Escribir por comprensión el conjunto &lt;math&gt; D=\{4,9,16,...\} &lt;/math&gt;.

'''Sol:'''

[[File:Comprension Uno.webm|center|thumb|&lt;center&gt;Ejemplo Comprensión&lt;/center&gt;]]

== Subconjunto ==

Sean &lt;math&gt; A\ \mathrm{y}\ B &lt;/math&gt; conjuntos. Diremos que &lt;math&gt; B &lt;/math&gt; '''es subconjunto de''' &lt;math&gt; A &lt;/math&gt;, lo que denotaremos por &lt;math&gt; B\subseteq A &lt;/math&gt;, si y solo si '''todos los elementos del conjunto &lt;math&gt; B &lt;/math&gt; perteneces al conjunto &lt;math&gt; A &lt;/math&gt;'''.

'''Ejemplo'''

Consideremos los conjuntos &lt;math&gt; B=\{1,2,3\} &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; A=\{1,2,3,4,5\} &lt;/math&gt;.

Podemos ver que &lt;math&gt; B\subseteq A &lt;/math&gt;, pues los tres elementos del conjunto &lt;math&gt; B &lt;/math&gt; están en el conjunto &lt;math&gt; A &lt;/math&gt;. 

También, podemos ver que el conjunto &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; no es subconjunto del conjunto &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;, lo que denotamos por &lt;math&gt; A\not\subseteq B &lt;/math&gt;, pues hay dos elementos, 4 y 5, del conjunto &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; que no están en el conjunto &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;.

Si el conjunto &lt;math&gt; B &lt;/math&gt; es subconjunto del conjunto &lt;math&gt; A &lt;/math&gt;, gráficamente se ve de la siguiente forma

[[File:Venn diagram - B is subset of A.svg|thumb|center|&lt;center&gt;&lt;math&gt;B\subseteq A&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;]]

=== Igualdad de conjuntos ===

Sean &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; B &lt;/math&gt; dos conjuntos. Diremos que el conjunto &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; '''es igual''' al conjunto &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;, lo que denotaremos por &lt;math&gt; A=B &lt;/math&gt;, si y solo si &lt;math&gt; A\subseteq B &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; B\subseteq A &lt;/math&gt;.

== Algunos conjuntos importantes ==

=== Conjunto Vacío ===

Es el conjunto que no contiene ningún elemento en su interior.

Es representado por el símbolo &lt;math&gt; \phi &lt;/math&gt;.

=== Conjunto Potencia ===

El '''conjunto potencia''' de un conjunto &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; es el conjunto formado por '''todos los subconjuntos de &lt;math&gt; A &lt;/math&gt;''', incluidos el conjunto vacío y el mismo conjunto &lt;math&gt; A &lt;/math&gt;.

El conjunto potencia de &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; es denotado por &lt;math&gt; \mathcal{P}(A) &lt;/math&gt;.

Si el conjunto &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; tiene &lt;math&gt; n &lt;/math&gt; elementos, entonces el conjunto potencia, &lt;math&gt; \mathcal{P}(A) &lt;/math&gt; tiene &lt;math&gt; 2^n &lt;/math&gt; elementos.

==== Ejemplo ====

Consideremos el conjunto &lt;math&gt; B=\{0,1,2,3\} &lt;/math&gt;. Queremos describir a &lt;math&gt; \mathcal{P}(B) &lt;/math&gt;, el conjunto potencia de &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;.

'''Sol:'''

[[File:Conjunto Potencia.webm|thumb|center|&lt;center&gt;Conjunto Potencia&lt;/center&gt;]]

=== Conjunto Universo ===

El '''conjunto universo''' es un conjunto de referencia, que se usa para el estudio de subconjuntos de elementos con alguna propiedad determinada.

Por ejemplo, si los conjuntos con los que se trabaja son conjuntos cuyos elementos son letras, entonces el conjunto universo , para este caso, es el conjunto formado por todas las letras del abecedario.

En tanto, si los conjuntos con los que se trabaja son conjuntos cuyos elementos son números, entonces el conjunto universo, para este caso, es el conjunto formado por todos los números reales.


== Ejercicios Propuestos de Conjuntos ==

Desarrollar los siguientes [[Álgebra/Conjuntos/Ejercicios|Ejercicios propuestos de conjuntos]]


----
* Revisar el siguiente tema: [[Álgebra/Conjuntos/Operaciones|Operaciones entre Conjuntos]].</text>
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    <title>Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Operaciones</title>
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'''Conjunto''' es la reunión de conjuntos diferenciales entre sí que se denominan elemento de conjunto. Se pueden diferenciar de dos formas: por extensión si se presenta la lista de uno o de todos los elementos que lo conforman, ejemplo:
C={amarillo, azul, rojo} los colores de la bandera de colombia.
Si se representa la consistencia a atributo común de los elementos que conforman el conjunto.
Ejemplo:
{x/x son los colores de la bandera colombiana}
En este caso se utiliza la representación x/x para referirse a &quot;x tal que x&quot;. La x representa  cual quiera de las características.

== Diagrama de Venn ==

Los '''Diagramas de Venn''' son ilustraciones usadas en la teoría de conjuntos cuyo fin es mostrar gráficamente la relación matemática o lógica que hay entre diferentes grupos de cosas (conjuntos).

En un Diagrama de Venn, el conjunto universo se representa por un rectángulo, y los conjuntos en su interior se representan por círculos.

Una representación genérica de lo que es un Diagrama de Venn se presenta en la siguiente figura, donde se representa un conjunto universo &lt;math&gt; U &lt;/math&gt;, y dentro de éste un conjunto &lt;math&gt; A &lt;/math&gt;.

[[File:Conjunto Universo.png|thumb|center|Diagrama de Venn]]

==Operaciones entre Conjuntos==

=== Unión de Conjuntos ===

Sean &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; B &lt;/math&gt; dos conjuntos. Se define la unión de &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; con &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;, denotada por &lt;math&gt; A\cup B &lt;/math&gt; (que se lee '''A unión B'''), por el conjunto 

&lt;center&gt; &lt;math&gt; A\cup B=\{x: x\in A\vee x\in B\} &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

En un Diagrama de Venn, la unión de dos conjuntos &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;, dependiendo de cómo se relacionan entre ellos, se ve como sigue:

[[File:Unión de Conjuntos.png|thumb|500px|center|&lt;center&gt;Unión de conjuntos&lt;center&gt;]]

En términos prácticos, la unión de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos de cualquiera de los dos conjuntos.

==== Ejemplo ====

Si tenemos los conjuntos &lt;math&gt; A=\{1,2,3,4,5\} &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; B=\{3,4,5,6,7,8\} &lt;/math&gt;, la unión de ellos es el conjunto &lt;center&gt;&lt;math&gt; A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

==== Propiedad de la unión de conjunto ====

La unión de conjunto cumple la siguiente propiedad.

* &lt;math&gt; A\cup A=A &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; A\cup B=B\cup A &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; A\cup\phi=A &lt;/math&gt;
* Si &lt;math&gt; A\subseteq B\Rightarrow A\cup B=B&lt;/math&gt;

=== Intersección de Conjuntos ===

Sean &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; B &lt;/math&gt; dos conjuntos. Se define la intersección de &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;, denotada por &lt;math&gt; A\cap B &lt;/math&gt; (que se lee '''A intersección B'''), por el conjunto 

&lt;center&gt; &lt;math&gt; A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\} &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

En un Diagrama de Venn, la intersección de dos conjuntos &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;, dependiendo de cómo se relacionan entre ellos, se ve como sigue:

[[File:Interseccion de Conjuntos.png|thumb|500px|center|&lt;center&gt;Intersección de Conjuntos&lt;/center&gt;]]

En términos prácticos, la intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos.

==== Ejemplo ====

Si tenemos los conjuntos &lt;math&gt; A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; B=\{4,5,6,7\} &lt;/math&gt;, el conjunto intersección es

&lt;center&gt;&lt;math&gt; A\cap B=\{4,5,6,7\} &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

'''Nota:''' Dos pares de conjuntos &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; B &lt;/math&gt; se llaman '''disjuntos''' siempre que &lt;math&gt; A\cap B=\phi &lt;/math&gt;.

==== Propiedades de la intersección de conjuntos ====

La intersección de conjuntos cumple con las siguientes propiedades

* &lt;math&gt; A\cap A=A &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; A\cap B=B\cap A &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; A\cap\phi=\phi &lt;/math&gt;
* Si &lt;math&gt; A\subseteq B\Rightarrow A\cap U=A&lt;/math&gt;

=== Diferencia de Conjuntos ===

Sean &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; B &lt;/math&gt; dos conjuntos. Se define la diferencia de &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; con &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;, denotada por &lt;math&gt; A-B &lt;/math&gt; (que se lee '''A menos B'''), por el conjunto 

&lt;center&gt;&lt;math&gt; A-B=\{x:x\in A\wedge x\notin B\} &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

En un Diagrama de Venn, la diferencia de &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; con &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;, dependiendo de cómo se relacionan los conjuntos, se ve como sigue:

[[File:Diferencia de Conjuntos.png|thumb|500px|center|&lt;center&gt;Diferencia entre Conjuntos&lt;/center&gt;]]

En términos prácticos, la diferencia de un conjunto &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; con un conjunto &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;, en ese orden, es el conjunto formado por todos los elementos que están en &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; pero no en &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;


==== Ejemplo ====

Si tenemos los conjuntos &lt;math&gt; A=\{1,2,3,4,5,6\} &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; B=\{3,5\} &lt;/math&gt;, entonces el conjunto diferencia de &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; con &lt;math&gt; B &lt;/math&gt; es

&lt;center&gt; &lt;math&gt; A-B=\{1,2,4,6\} &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

=== Complemento de un Conjunto ===

Sea &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; un conjunto dentro de un conjunto universo &lt;math&gt; U &lt;/math&gt;. Se define el '''complemento''' de &lt;math&gt; A &lt;/math&gt;, denotado por &lt;math&gt; A^c &lt;/math&gt; (que se lee '''A complemento'''), al conjunto

&lt;center&gt;&lt;math&gt; A^c=\{x:x\notin A\} &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

En un Diagrama de Venn, el complemento de un conjunto se ve como sigue:

[[File:Complemento de un Conjunto.png|thumb|250px|center|&lt;center&gt;Complemento de un Conjunto&lt;/center&gt;]]

En términos prácticos, el complemento de un conjunto es todo lo que no está en el conjunto.

==== Ejemplo ====

Si tenemos los conjuntos &lt;math&gt; U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; A=\{1,3,5,7,9\} &lt;/math&gt;, entonces el complemento de &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; es el conjunto 

&lt;center&gt; &lt;math&gt; A^c=\{0,2,4,6,8\} &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

==== Propiedades del complemento de un conjunto ====

El complemento de un conjunto cumple las siguientes propiedades

* &lt;math&gt; (A^c)^c=A &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; U^c=\phi &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \phi^c=U &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; A\subseteq B\Rightarrow B^c\subseteq A^c &lt;/math&gt;

=== Propiedades Combinadas ===

Se cumplen las siguientes propiedades entre conjuntos

* &lt;math&gt; A-B=A\cap B^c &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; A\cap A^c=\phi &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; A\cup A^c=U &lt;/math&gt;

'''Leyes de distribución'''

* &lt;math&gt; A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C) &lt;/math&gt;

'''Leyes de De Morgan'''

* &lt;math&gt; (A\cup B)^c=A^c\cap B^c &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; (A\cap B)^c=A^c\cup B^c &lt;/math&gt;

== Ejemplo de operaciones compuestas ==

Para los conjuntos &lt;center&gt;&lt;math&gt; U=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i\}, A=\{a,b,c,d,e\}, B=\{d,e,f,g\}, C=\{e,f,g,h,i\}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; 
&lt;center&gt;&lt;math&gt; D=\{a,c,e,g,i\}, E=\{b,d,f,h\}, F=\{a,e,i\} &lt;/math&gt;&lt;/center&gt; se pide

# &lt;math&gt; A\cap(B\cup C) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; (A\cap D)-B &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; (A-E)^c &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; E^c\cap F^c &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \{(B-F)\cup(F-B)\}^c\cup A &lt;/math&gt;

'''Sol:'''

[[File:Operatoria de Conjuntos 1.webm|thumb|center|&lt;center&gt;Operaciones combinadas&lt;/center&gt;]]

== Ejercicios Propuestos Operaciones entre Conjuntos ==

Desarrollar los siguientes [[Álgebra/Conjuntos/Operaciones/Ejercicios|Ejercicios propuestos para operaciones de conjuntos]].


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* Volver a [[Álgebra/Conjuntos|Conjuntos]]
* Revisar el siguiente tema: [[Álgebra/Conjuntos/Cardinalidad|Cardinalidad de Conjuntos]]</text>
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    <title>Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Cardinalidad</title>
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      <text bytes="3463" sha1="88wf3qoakfyiutc3x8o6bz0s3t8zftm" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
== Definición ==

La '''cardinalidad''' de un conjunto es el número de elementos que posee ese conjunto.

El símbolo que representa la cardinalidad de un conjunto &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; es &lt;math&gt; n(A) &lt;/math&gt;.

===Ejemplo===

El conjunto &lt;math&gt; A=\{a,e,i,o;u\} &lt;/math&gt; tiene cinco elementos. Por tanto, se tiene que &lt;math&gt; n(A)=5 &lt;/math&gt;.

== Propiedades de la Cardinalidad ==

Para dos conjuntos &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;

# &lt;math&gt; n(\phi)=0 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; A=B\Rightarrow n(A)=n(B) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; A\subseteq B\Rightarrow n(A)\le  n(B) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; n(U)=n(A)+n(A^c) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; n(A-B)=n(A)-n(A\cap B) &lt;/math&gt;

Para tres conjuntos &lt;math&gt; A, B &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; C &lt;/math&gt;

# &lt;math&gt; n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; n(A-(B\cup C))=n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; n((A\cap B)-C)=n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C) &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; n((A\cup B)-C)=n(A\cup B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C) &lt;/math&gt;


'''Nota:''' En este curso, que tiene un enfoque más aplicado, no se usarán siempre las propiedades para resolver ejercicios. Para ello se hará uso, de preferencia, de los Diagramas de Venn.

== Ejemplos de aplicación de Cardinalidad de Conjuntos ==

=== Ejemplo 1 ===

Se encuestó a 100 personas sobre sus preferencias en relación a dos programas (no excluyentes) municipales contra la delincuencia. Los programas recibieron los nombres &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;.

Los resultados fueron los siguientes:

* 65 no prefieren el programa &lt;math&gt; A &lt;/math&gt;
* 45 no prefieren el programa &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;
* 50 prefieren los programas &lt;math&gt; A &lt;/math&gt; o &lt;math&gt; B &lt;/math&gt;, pero no ambos

Se pide determinar el número de encuestados que prefieren ambos programas.

'''Sol:''' Usamos el siguiente Diagrama de Venn

[[File:Diagrama ejemplo.png|thumb|250px|center]]

Según los datos, podemos armar las siguientes ecuaciones

&lt;center&gt;
&lt;math&gt; 
\left\{\begin{matrix} a+b+c+d=100 \\ c+d=65 \\ a+d=45 \\ a+c=50 \end{matrix}\right.
&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;

Al resolver el sistema, los valores son los siguientes:

&lt;center&gt; &lt;math&gt; a=15, b=20, c=35, d=30 &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

Luego, el número de encuestados que prefieren ambos programas es 20

=== Ejemplo 2 ===

En una encuesta sobre los medios de transporte urbano más comunes, a cada persona se le pregunta si el taxi, el autobús o el aut particular es el medio más usado para ir al trabajo. Se permite más de una respuesta.
El resultado de la encuesta es el siguiente

a) 30 personas usan taxi

b) 35 personas usan autobús

c) 100 personas usan el auto particular

d) 15 personas usan taxi y autobús

e) 15 personas usan taxi y auto particular

f) 20 personas usan autobús y auto particular

g) 5 personas usan los tres medios de transporte

Se quiere saber el número de personas que respondieron la encuesta, considerando que todos los encuestados respondieron a favor de una o más de las opciones.

'''Sol:'''

[[File:Cardinalidad Transporte.webm|thumb|center|&lt;center&gt;Cardinalidad aplicada&lt;/center&gt;]]

== Ejercicios Propuestos de Cardinalidad de Conjuntos ==

Desarrollar los siguientes [[Ejercicios Propuestos de Cardinalidad de Conjuntos|ejercicios propuestos de cardinalidad de conjuntos]].


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* Volver a [[:Álgebra/Conjuntos|Conjuntos]]
* Revisar el tema anterior: [[Álgebra/Conjuntos/Operaciones|Operaciones entre Conjuntos]]</text>
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    <title>Plantilla discusión:NUMBEROFBOOKS</title>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
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      <comment>/* Usar un dato que no haya que actualizar a mano */ responder: Problema corregido. Gracias por el aviso ~~~~ (-) ([[mw:c:Special:MyLanguage/User:JWBTH/CD|CD]])</comment>
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      <text bytes="2696" sha1="ha0srrv79pwoodfudxrlpblo97fcara" xml:space="preserve">== Duda ==

¿Cómo es que se ha llegado a ese resultado? --{{Usuario:Jsmura/Firma}} 14:55 3 ago 2014 (UTC)

== Usar un dato que no haya que actualizar a mano ==

Hace 12 años un usuario preguntó en esta discusión cómo se ha llegado a este resultado, a lo cual a día de hoy todavía no ha obtenido ninguna respuesta.

Este resultado siempre se ha ido actualizado «a mano» por algún bibliotecario, sin que nadie explique de dónde se supone que sale el dato. Esto provoca la situación absurda de que hoy estemos en el año 2026, y este dato lleve sin actualizarse desde 2012. Es decir, Wikilibros lleva la friolera de 14 años poniendo que tenemos exactamente «193» libros, lo cual personalmente me deja atónito.

Dicho esto. Ruego que esta plantilla sea cambiada para que el dato provenga de algún lado donde se actualice automáticamente, y no tenga que estar un bibliotecario pendiente de actualizarlo a mano, para que esta tarea sea olvidada durante 14 años.

Tras investigar bastante sobre este asunto, he concluido que muy probablemente este número provenga de la cantidad de libros que hay listados en la categoría [[:categoría:Libros organizados]]. Por ello, sugiero que el contenido de esta plantilla debería actualizarse directamente de ahí, de la siguiente forma:
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;wikitext&quot;&gt;
{{PAGESINCATEGORY:Libros organizados}}
&lt;/syntaxhighlight&gt;
Este código devuelve el número «{{PAGESINCATEGORY:Libros organizados}}».

También solicito que se añada a la plantilla, la plantilla de {{ep|documentación}} para poder crear una página de documentación explicando precisamente de dónde sale el dato de esta plantilla.

Menciono a {{Ping|Mazbel}} que siempre es útil. ¡Muchas gracias!
--[[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 17:03 14 jul 2026 (UTC)

:Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] tras la última edición de esta plantilla, todos los lugares donde se transcluye esta plantilla introducen un salto de línea innecesario, seguramente sea por poner el ''noinclude'' tras un salto de línea, creo que se arreglaría si la primera línea la pones así: &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{PAGESINCATEGORY:Libros organizados}}&lt;noinclude&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;.
:Mis disculpas por mencionarte tanto, pero esta página está protegida y sigo sin poder editarla. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 12:59 25 jul 2026 (UTC)
: Problema corregido. Gracias por el aviso [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 15:23 26 jul 2026 (UTC)</text>
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    <title>Matemáticas/Generalidades/Factorización</title>
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      <text bytes="4663" sha1="svsvchpz3p653s9qruxjc7f3rihxsqf" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
== Definición ==

Una factorización consiste en escribir una expresión algebraica como el producto de dos o más expresiones algebraicas, llamadas factores de la expresión original..

Para ello, primero se debe identificar qué tipo de factorización tenemos que realizar.

== Primero caso: Cuando todos los términos de una expresión tienen un factor común ==

En este caso se deben reconocer el factor numérico y luego el factor literal, para proceder a escribir la expresión original como el producto de factores, considerando los siguientes pasos:

a) Para encontrar el factor numérico, se busca el mayor número que está contenido en todos los factores numéricos que aparecen en la expresión.

b) El factor literal es la expresión algebraica formada por el producto de todas las variables literales que aparecen en cada uno de los términos, elevadas a la menor potencia con la que aparecen.

=== Ejemplo ===

Queremos factorizar la expresión &lt;math&gt; 9xy^2+6y^4-12y^3z+2y &lt;/math&gt;.

'''Sol:'''

[[File:Factorización Factor Común.webm|thumb|center|&lt;center&gt;Ejemplo Factor Común&lt;/center&gt;]]

== Segundo caso: Cuando el factor común es un polinomio ==

Este caso se produce cuando el factor común no es un monomio, si no que es una expresión algebraica con más de un término.

=== Ejemplo ===

Queremos factorizar la expresión &lt;math&gt; a^2+ab+ax+bx &lt;/math&gt;

'''Sol:''' 

[[File:Factorización por agrupación 1.webm|thumb|center|&lt;center&gt;Factorización por agrupación&lt;/center&gt;]]

== Tercer caso: cuando la expresión es un cuadrado perfecto ==

Decimos que una expresión algebraica es un '''cuadrado perfecto''' cuando éste es el producto de dos factores iguales.

Por ejemplo, el término &lt;math&gt; 9x^2 &lt;/math&gt; es un cuadrado perfecto, pues &lt;math&gt; 9x^2=(3x)(3x) &lt;/math&gt;.

Nos interesa reconocer un trinomio como cuadrado perfecto. Esto pasa cuando el trinomio es el cuadrado perfecto de un binomio, lo que se conoce como '''cuadrado de un binomio'''.

La forma genérica de un cuadrado de binomio es la siguiente:

&lt;math&gt; (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2 &lt;/math&gt;

Un trinomio ordenado, con relación a una variable, es un cuadrado perfecto cuando los términos primero y tercero son cuadrados perfectos, y cuando el segundo término es el doble del producto de las raíces de esos cuadrados perfectos.

=== Ejemplo ===

Queremos factorizar la expresión &lt;math&gt; a^2-10ab+25b^2 &lt;/math&gt;

'''Sol:''' 

[[File:Factorización Cuadrado de Binomio 1.webm|thumb|center|&lt;center&gt;Factorización por Cuadrado de Binomio&lt;/center&gt;]]

== Cuarto caso: cuando la expresión es una diferencia de cuadrados perfectos ==

Un binomio es una suma por diferencia cuando tiene la forma &lt;math&gt; a^2-b^2 &lt;/math&gt;.

Esta expresión algebraica, que es un producto notable, puede ser factorizada de la forma

&lt;center&gt; &lt;math&gt; a^2-b^2=(a+b)(a-b) &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

=== Ejemplo ===

Queremos factorizar la expresión &lt;math&gt; 25-36x^2 &lt;/math&gt;

'''Sol:''' 

[[File:Factorización Suma por Diferencia 1.webm|thumb|center|&lt;center&gt;Diferencia de Cuadrados Perfectos&lt;/center&gt;]]

== Quinto caso: cuando el trinomio es de la forma &lt;math&gt; x^2+(a+b)x+ab &lt;/math&gt; ==

Esta factorización funciona cuando se cumplen las siguientes condiciones

a) El coeficiente del primero término es &lt;math&gt; 1 &lt;/math&gt;.

b) El primer término es una letra cualquier elevada al cuadrado.

c) El segundo término tiene la misma letra que el primero, con exponente &lt;math&gt; 1 &lt;/math&gt;.

d) El tercer término es independiente de la letra que aparece en los primeros dos términos, y es una cantidad cualquier, positiva o negativa.

e) Además, se cumple lo siguiente: el coeficiente del segundo término es la suma de dos términos, cuyo producto es el tercer término.

La factorización bajo estas condiciones está dada por

&lt;center&gt; &lt;math&gt; x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

=== Ejemplo ===

Queremos factorizar el trinomio &lt;math&gt; x^2+7x+10 &lt;/math&gt;

'''Sol:''' 

[[File:Factorización Trinomio 1.webm|thumb|center|&lt;center&gt;Factorización Trinomio de la Forma&lt;/center&gt;]]

== Caso seis: cuando el binomio es una suma o diferencia de cubos perfectos ==

Este producto notable se conoce por la forma &lt;math&gt; x^3\pm y^3 &lt;/math&gt;, y se factoriza de la siguiente manera:

&lt;center&gt; &lt;math&gt; x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2) &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

=== Ejemplo ===

Queremos factorizar la expresión &lt;math&gt; 27x^3-125y^3z^9 &lt;/math&gt;

'''Sol:''' 

[[File:Factorización Diferencia de cubos 1.webm|thumb|center|&lt;center&gt;Diferencia de Cubos Perfectos&lt;/center&gt;]]

== Ejercicios Propuestos ==

Revisar y desarrollar la siguiente lista de [[Álgebra/Capítulos a reubicar/Ejercicios Propuestos de Casos de Factorización]].</text>
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    <title>Matemáticas/Generalidades/Ejercicios de Factorización</title>
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      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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      <text bytes="1220" sha1="0r5dgkld1juykqit5brm8qub0vuqop7" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Factorizar las siguientes expresión algebraicas

# &lt;math&gt; 9xy^2+6y^4-12y^3z &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; 9a^2-12ab+15a^3b^3-24ab^3 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \frac{2}{3}x^2y^4-\frac{4}{12}x^3y^5+\frac{14}{18}x^3y^2 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; a^{20}-a^{19}+4a^{12}-a^8+3a^5+2a^3 &lt;/math&gt;

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

# &lt;math&gt; a^2+ab+ax+bx &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; 3abx^2-2y^2-2x^2+3aby^2 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; 6ax+3a+1+2x &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; 4a^3x-4a^2b+3bm-3amx &lt;/math&gt;

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

# &lt;math&gt; a^2-10ab+25b^2 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; 1-16ax^2+64a^2x^4 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; a^4-a^2b^2+\frac{b^4}{4} &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \frac{n^2}{9}+2mn+9m^2 &lt;/math&gt;

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

# &lt;math&gt; 25-36x^2 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; a^2b^8-c^2 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; 25x^2y^4-121 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \frac{x^2}{100}-\frac{y^2z^4}{81} &lt;/math&gt;

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

# &lt;math&gt; x^2+7x+10 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; x^2-5x-36 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; x^2-15x+54 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; x^2-4x-320 &lt;/math&gt;

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

# &lt;math&gt; 27x^3-125y^3z^9 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; x^6-y^6 &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \frac{1}{8}+\frac{z^3}{27} &lt;/math&gt;
# &lt;math&gt; \frac{x^{12}}{y^9}+\frac{y^3}{x^6} &lt;/math&gt;


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    <title>Matemáticas/Números/Naturales</title>
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      <text bytes="1039" sha1="nhifbn5wwm3d9dabfbkxi4ruiym6ei2" xml:space="preserve">* [[Matemáticas/Números/Naturales/Introducción|Introducción]]
* [[Matemáticas/Números/Naturales/Menor o Mayor|Menor o Mayor]]
* [[Matemáticas/Números/Naturales/Orden|Orden]]
* [[Matemáticas/Números/Naturales/Propiedades básicas|Propiedades básicas]]
* [[Matemáticas/Números/Naturales/Pares e Impares|Números Pares e Impares]]
* [[Matemáticas/Números/Naturales/Propiedades de Adición y Multiplicación|Propiedades de Adición y Multiplicación]]
* [[Matemáticas/Números/Naturales/Sustracción|Sustracción]]
* [[Matemáticas/Números/Naturales/División|División]]
* [[Matemáticas/Números/Naturales/Operaciones Combinadas|Operaciones Combinadas]]
* [[Matemáticas/Números/Naturales/Primos y Compuestos|Números Primos y Compuestos]]
* [[Matemáticas/Números/Naturales/Mínimo Común Múltiplo|Mínimo Común Múltiplo (mcm)]]
* [[Matemáticas/Números/Naturales/Máximo Común Divisor|Máximo Común Divisor (MCD)]]
* [[Matemáticas/Números/Naturales/MCM y MCD|Método para encontrar el mcm y el MCD]]

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* [[Matemáticas/Números/Enteros/Introducción|Introducción]]
* [[Matemáticas/Números/Enteros/Operaciones Básicas|Operaciones Básicas]]
* [[Matemáticas/Números/Enteros/Números Pares e Impares|Números Pares e Impares]]
* [[Matemáticas/Números/Enteros/Resta o Sustracción|Resta o Sustracción]]
* [[Matemáticas/Números/Enteros/División|División]]
* [[Matemáticas/Números/Enteros/Propiedades Aritméticas|Propiedades Aritméticas]]
* [[Matemáticas/Números/Enteros/Valor Absoluto|Valor Absoluto]]
* [[Matemáticas/Números/Enteros/Propiedades Fundamentales|Propiedades Fundamentales]]
* [[Matemáticas/Números/Enteros/Números Enteros B|A unificar]]

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* [[Matemáticas/Números/Racionales/Clasificación|Clasificación]]
* [[Matemáticas/Números/Racionales/Construcción|Construcción]]
* [[Matemáticas/Números/Racionales/Adición|Adición]]
* [[Matemáticas/Números/Racionales/Multiplicación|Multiplicación]]
* [[Matemáticas/Números/Racionales/Relaciones de equivalencia|Relaciones de equivalencia]]
* [[Matemáticas/Números/Racionales/Propiedades|Propiedades]]
* [[Matemáticas/Números/Racionales/Otras operaciones|Otras operaciones]]
* [[Matemáticas/Números/Racionales/Expresión decimal|Expresión decimal]]
* [[Matemáticas/Números/Racionales/Representación decimal|Representación decimal]]
* [[Matemáticas/Números/Racionales/Valor absoluto|Valor absoluto]]
* [[Matemáticas/Números/Racionales/Potencias|Potencias]]
* [[Matemáticas/Números/Racionales/Ecuaciones|Ecuaciones]]

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    <title>Matemáticas/Ecuaciones/Ecuaciones de primer grado</title>
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= Definición =

Una '''ecuación''' es una igualdad que involucra una o más cantidades desconocidas (las '''incógnitas''' de la ecuación).
Lo que queremos es determinar para qué valores de las incógnitas la ecuación se cumple.

En este apartado trabajaremos con ecuaciones que involucran una sola variable, la cual está elevada a la potencia 1. 

Tales ecuaciones se llaman '''ecuaciones de primer grado'''.

= Ecuación de Primer Grado =

Es una ecuación del tipo &lt;math&gt; ax+b=0 &lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt; a, b &lt;/math&gt; son números reales con &lt;math&gt; a\neq 0 &lt;/math&gt;.

== Resolución de una Ecuación de Primer Grado ==

Para resolver una ecuación de primer grado, se deben agrupar a un lado de la igualdad los términos que contienen a la incógnita (en general se agrupan al lado izquierdo), y al otro lado los términos libres(en general se agrupan al lado derecho), para luego reducir y despejar, siguiendo las siguientes indicaciones:

* Si una cantidad está sumando en un lado de la igualdad, pasa al otro lado de la igualdad restando.
* Si una cantidad está restando en un lado de la igualdad, pasa al otro lado de la igualdad sumando.
* Si una cantidad está multiplicando en un lado de la igualdad, pasa al otro lado de la igualdad dividiendo.
* Si una cantidad está dividiendo en un lado de la igualdad, pasa al otro lado de la igualdad multiplicando.

=== Ejemplos Uno ===

Se quiere resolver el valor de &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; en la ecuación

&lt;center&gt; &lt;math&gt; 4+2x-x=-3x-4 &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

'''Sol:''' 

[[File:ECUACIÓN DE PRIMER GRADO, EJERCICIO 1.webm|thumb|center|&lt;center&gt;Ecuación de primer grado&lt;/center&gt;]]

=== Ejemplo Dos ===

Queremos encontrar el valor de &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; en la ecuación

&lt;center&gt; &lt;math&gt; \frac{3-x}{5}-\frac{2x+1}{3}=2-\frac{x+2}{10} &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

'''Sol:'''

[[File:ECUACIÓN DE PRIMER GRADO, EJERCICIO 9.webm|thumb|center|&lt;center&gt;Ecuación de primer grado, fraccionaria&lt;/center&gt;]]

= Ejercicios Propuestos de Ecuación de Primer Grado =

Revisar y desarrollar la siguiente lista de [[Matemáticas/Ecuaciones/Ecuaciones de primer grado/Ejercicios|Ejercicios propuestos de ecuación de primer grado]].</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra Lineal/Introducción</title>
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El álgebra lineal es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales.
En éste libro se van a exponer los fundamentos del tratamiento de sistemas de ecuaciones lineales desde un punto de vista algebraico, así como (brevemente) el surgimiento de la geometría algebraica asociado a tal tratamiento, conocido como álgebra lineal.
En aras de no extenderse más de lo necesario, y de hacer de éste libro un manual de fácil acceso y una herramienta funcional para otras ramas de la ciencia distintas de las matemáticas puras, se van a presuponer del lector una serie de conocimientos previos, en el caso de que se desee una fundamentación más exhaustiva y directa que la que aquí se muestra.
Así, se supondrá un conocimiento de los fundamentos de la [[w:Teoría de Conjuntos|Teoría de Conjuntos]], tales como la idea de conjunto, sus operaciones básicas (unión, intersección, etc.); de la misma forma, se supondrá que el lector conoce los [[w:Número natural|números naturales]], los [[w:Número entero|enteros]], los [[w:Número racional|racionales]] y los [[w:Número real|reales]], así como sus propiedades básicas.
Otros fundamentos matemáticos, tales como [[w:Función matemática|función]], [[w:operador|operación]] y [[w:Demostración matemática|demostración matemática]], son igualmente necesarios, pero las ideas de todos ellos quedan suficientemente claros en el texto.</text>
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    <title>Matemáticas/Historia/Números Inconmensurables</title>
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=== Descubrimiento de los inconmensurables ===

Las circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la escuela pitagórica (se utiliza el Teorema de Pitágoras). Aristóteles menciona una demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con respecto a su lado basada en la distinción entre lo par y lo impar. La reconstrucción que realiza C. Boyer es:

Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional que podremos escribirlo como &lt;math&gt;p/q&lt;/math&gt; con p y q primos entre sí. Por el teorema de Pitágoras tenemos que &lt;math&gt; d^2=s^2+s^2&lt;/math&gt; , &lt;math&gt;(d/s)^2=p^2/q^2=2&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;p^2=2q^2&lt;/math&gt; y por tanto &lt;math&gt;p^2&lt;/math&gt; debe ser par y también p, y por tanto q impar. Al ser p par tenemos &lt;math&gt;p=2r&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;4r^2=2q^2&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;2r^2=q^2&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;q^2&lt;/math&gt; es par y q también, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradicción.

La teoría pitagórica de ''todo es número'' quedó seriamente dañada.

El problema lo resolvería Eudoxo de Cnido (408-355&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.) tal como nos indica Euclides en el libro V de ''Los elementos''. Para ello estableció el Axioma de Arquímedes: ''Dos magnitudes tienen una razón si se puede encontrar un múltiplo de una de ellas que supere a la otra'' (excluye el 0). Después en la Definición-5 da la famosa formulación de Eudoxo: ''Dos magnitudes están en la misma razón &lt;math&gt;a/b=c/d &lt;/math&gt; si dados dos [[número natural|números naturales]] cualesquiera m y n, si &lt;math&gt; ma = nb &lt;/math&gt; entonces &lt;math&gt;mc = nd&lt;/math&gt; (definición que intercambiando el 2º y 3º términos equivale a nuestro procedimiento actual).

En el libro de J.P. Colette se hace la observación de que esta definición está muy próxima a la de número real que dará [[Richard Dedekind|Dedekind en el siglo XIX, divide las fracciones en las &lt;math&gt;m/n&lt;/math&gt; tales que &lt;math&gt;ma = nb&lt;/math&gt; y las que no.</text>
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    <title>Orígenes del Neolítico en Andalucía/Info</title>
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      <text bytes="430" sha1="ee40wlzxgc118g1hoka4b0m16qdjg48" xml:space="preserve">La revolución que Internet en la mayoría de hogares de las sociedades que cuentan con tal medio ha multiplicado el intercambio de opiniones y divulgación de la información a una escala inimaginable. Así, el presente trabajo sobre los orígenes del Neolítico en Andalucía pretende, por un lado, explicar tal fenómeno en esa zona, y, por otro, realizar una crítica sobre la información de libre acceso sobre tal fenómeno.</text>
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    <title>Matemáticas/Historia/El cero</title>
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=== Creación del cero ===

En cualquier sistema de numeración posicional surge el problema de la falta de unidades de determinado orden. Por ejemplo, en el sistema babilónico el número &lt;math&gt;32&lt;/math&gt; escrito en base 60 puede ser &lt;math&gt;3\times60 + 2&lt;/math&gt; ó &lt;math&gt;3\times60^2+0\times60+2&lt;/math&gt;. A veces, se utilizaba la posición vacía para evitar este problema 3 _ 2; pero los escribas debían tener mucho cuidado para no equivocarse.

Hacia el siglo III&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C., en Grecia, se comenzó a representar la nada mediante una &quot;o&quot; que significa ''oudos'' 'vacío', y que no dio origen al concepto de cero como existe hoy en día. La idea del cero como concepto matemático parece haber surgido en la [[India]] mucho antes que en ningún otro lugar. La única notación ordinal del viejo mundo fue la sumeria, donde el cero se representaba por un vacío.

En América, la primera expresión conocida del sistema de numeración vigesimal prehispánico data del siglo III&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C. Se trata de una estela olmeca tardía, la cual ya contaba tanto con el concepto de &quot;orden&quot; como el de &quot;cero&quot;. Los mayas inventaron cuatro signos para el cero; los principales eran: el corte de un caracol para el cero matemático, y una flor para el cero calendárico (que implicaba, no la ausencia de cantidad, sino el cumplimiento de un ciclo).</text>
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    <title>Matemáticas/Introducción Cálculo Infinitesimal</title>
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      <text bytes="943" sha1="rgg79kkncspr5kb5oqlnu6kcbtm1yqc" xml:space="preserve">{{En desarrollo}}
Este libro pretende ser un recurso a la enseñanza/aprendizaje del Cálculo, no necesariamente un texto de Cálculo

Queremos colocar explicaciones, motivaciones o explicaciones alternativas de las diferentes nociones asociadas con Cálculo. 

Algunas páginas o libros, colocan una bella definición, exacta, precisa, con muchos símbolos. 
Por ejemplo, una función &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es continua en un punto &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de su dominio, ssi, para todo &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de su dominio se cumple que para todo &lt;math&gt;\epsilon &gt;0 &lt;/math&gt; hay un &lt;math&gt;\delta &gt;0&lt;/math&gt; tales que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
0 &lt; |x -a|&lt; \delta \implies |f(x) -f(a)|.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

La definición está correcta (espero). Pero, ¿de dónde salieron esos ε, δ? ¿Por qué es necesario introducir &quot;continuidad&quot;?  ¿Cuán importante es la &quot;continuidad&quot;? ¿A quién se le ocurrió esa idea?

Este libro pretende dar respuetas a ese tipo de preguntas.

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    <title>Hacer jabón casero sin cocción</title>
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{{Referencias}}
== Materiales ==

# '''Aceite:''' 12 litros. Puede ser nuevo o usado (en caso de ser usado debe pasarse por un colador para quitarle las impurezas).
# '''Agua''': la misma cantidad que de aceite (12 litros).
# '''[[w:Sosa|Sosa]]''': la sexta parte de la cantidad de aceite, es decir, 2 kilógramos:
#: Sosa cáustica: para hacer jabón sólido. Ésta es el que utilizaremos aquí. Se puede obtener en [[wikt:droguería|droguería]]s, tienda química, farmacias y sitios online. Debe tener 99% de pureza.
#: Sosa potásica: para hacer jabón líquido o gel. Debe tener al menos un 85% de pureza. Hace falta un 40% más de cantidad que la que la cantidad de sosa cáustica que se suele emplear para los jabones sólidos.
# '''Harina''': medio vaso (75 g aproximadamente). 
# '''Sal''': la misma cantidad que de harina (1/2 vaso).
# '''Recipiente''' para realizar la mezcla
# '''Palo''' o espatula de plástico o, preferentemente, de madera.
# '''Agua y vinagre:''' Para la limpieza posterior.
# '''Molde''' para enfriar el jabón.

== Procedimiento ==

# Tal y como se indica más arriba, se ha de filtrar el aceite en caso de ser usado, para ello es preferible calentarlo como a 35&amp;nbsp;°C  y luego pasarlo por un filtro para quitarle cualquier residuo, se recomienda usar un filtro para café, pero un paño delgado y limpio da buenos resultados.
# También es conveniente retirar el agua al aceite en caso de ser usado, para hacerlo debemos calentarlo hasta los 100&amp;nbsp;°C  para que el agua se evapore, se debe agitar el aceite para evitar que salpique y continuar hasta que el vapor disminuya, luego se mantiene a 130&amp;nbsp;°C (265&amp;nbsp;°F) durante diez minutos, se apaga y se espera a que enfrie.
#En el agua se va echando lentamente la sosa.
# El líquido producido se vierte poco a poco en cubo o recipiente donde está la mezcla de aceite, harina y sal y se va dando vueltas con el palo siempre en el mismo sentido (bien hacia la derecha o hacia la izquierda), hasta que tiene una consistencia similar al [[w:alioli|alioli]] (aproximadamente, a los 30 minutos).
# Se pone el jabón en el molde enaceitado y se deja enfriar durante dos días.
# Se corta en piezas del tamaño deseado y se deja durante mes y medio antes de poderlo usar.

== Otras formas de hacer jabón==
* [[Hágalo usted mismo/Jabón]]

{{Estantes|Aficiones}}</text>
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      <text bytes="2752" sha1="51aecact731xcaj1c1bj2ah1dbuohcb" xml:space="preserve">{{Hoja suelta}}
Para hacer jabón a partir de cualquier grasa de origen animal o aceite vegetal.

== Materiales ==

# Manteca de cerdo o algún tipo de grasa o aceite vegetal (como de girasol, aceite de oliva).
# [[w:Sosa caústica|Sosa caústica]]:  hidróxido de sodio (NaOH).
# Vaso de vidrio y varilla de agitación (para remover), que puede ser de madera o plástico.
# [[w:Mechero bunsen|Mechero bunsen]], hornillo u otro medio para calentar.
# Moldes, para verter el jabón mientras esté todavía líquido (cualquier envase de plástico flexible).

==Seguridad==
Guantes, bata de laboratorio y protección de ojos al manipular el NaOH. Se debe utilizar en una zona bien ventilada, preferiblemente en una campana de humos. NO RESPIRAR LOS VAPORES. Lavar con vinagre en caso de que caiga algo en la piel (se ha de tener un poco de vinagre a mano antes de comenzar el experimento) -NO lavar con agua !. Mezclar la [[w:lejía|] con agua resulta en una reacción química que crea calor extremo - por lo tanto, si se lava la lejía que puede haber en sus manos (por ejemplo) sólo con agua, esto hara que se inicie la reacción en su mano, dando lugar a quemaduras químicas.

== Procedimiento ==

#Coloque 450 g de la manteca de cerdo (o cualquier otra grasa o aceite vegetal, tales como aceite de girasol, de oliva o mantequilla) en un vaso de precipitados.
#En otro recipiente agregue 60g de NaOH a 170g de agua (no agregar agua al NaOH, ya que así no se controla la reacción y puede dar lugar a salpicaduras quemantes), agitar para disolver y dejar hasta que enfríe a 40ºC.
#Derrita la grasa bajo fuego lento a 40ºC y añada la solución de NaOH removiendo (siempre en el mismo sentido, hacia la derecha o hacia la izquierda) hasta que reaccione completamente con la manteca (unos 20 a 30 minutos)
#Vierta el resultado los moldes.
#Deje enfriar y que se asiente por un día o dos. Dividala en pastillas y dejelas curar durante tres semanas antes de usar.

== Otras formas de hacer jabón==
* [[Hacer jabón casero]]

==Enlaces externos==
{{en}}
*[http://www.ccnphawaii.com/glossary.htm Soap Making Glossary]
*[http://www.colebrothers.com/soap/ The Complete Guide to Soapmaking].
*[http://www.aquasapone.com.au/soapmaking/ Soap Recipe Corner] Soapmaking methods, including Discounted Water Cold Process (DWCP).
*[http://www.soapnaturally.org/ Soap Naturally ] Online instructions and self-hosted mailing list for beginner and expert soapmakers.
*[http://www.soapmakingfun.com/ Soap Making Fun] Tips, articles, videos, and newsletter dealing with soap making.
*[http://www.soap-making-resource.com/ Soap Making Resource] Soap making articles geared toward beginners.
{{Traducido ref|en|Do-It-Yourself/Soap|trad=total}}

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    <title>Hacer jabón casero</title>
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#REDIRECCIÓN [[Hacer jabón casero sin cocción]]</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra Conmutativa/Anillos conmutativos</title>
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= Definicion =

Sea ''A'' un conjunto no vacío, y sean &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt; las dos operaciones binarias en A. Se dice que el conjunto &lt;math&gt;(A,+,\cdot) \,&lt;/math&gt; es un '''anillo conmuntativo''' por que se cumple con las siguientes propiedades:

:{|
|width=&quot;20px&quot;|1. ||width=&quot;300px&quot;| ''A'' es cerrado bajo la operación de la suma &lt;math&gt;+&lt;/math&gt;. || &lt;math&gt;\forall a, b \in A, a + b \in A&lt;/math&gt;
|-
|2. || La operación &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; es asociativa. || &lt;math&gt;\forall a,b,c \in A, (a + b) + c = a + (b + c)&lt;/math&gt;
|-
|3. || La operación &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; tiene a ''n'' como elemento neutro. || &lt;math&gt;\forall a \in A, a + n = n + a = a&lt;/math&gt;
|-
|4. || Existe un elemento simétrico para &lt;math&gt;+&lt;/math&gt;. || &lt;math&gt;\forall a \in A, \exists b \in A, a + b = b + a = n&lt;/math&gt;
|}

Estas cuatro condiciones definen un grupo. Una quinta condición define un grupo abeliano:

:{|
|width=&quot;20px&quot;|5. ||width=&quot;300px&quot;| La operación &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; es conmutativa. || &lt;math&gt;\forall a,b \in A, a + b = b + a&lt;/math&gt;
|}

Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciones más que hablan acerca de la segunda operación binaria:

:{|
|width=&quot;20px&quot;|6. ||width=&quot;300px&quot;| ''A'' es cerrado bajo la operación &lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;. || &lt;math&gt;\forall a, b \in A, a \cdot b \in A&lt;/math&gt;
|-
|7. || La operación &lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt; es asociativa. || &lt;math&gt;\forall a,b,c \in A, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)&lt;/math&gt;
|-
|8. || La operación &lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt; es distributiva respecto de &lt;math&gt;+&lt;/math&gt;.
|&lt;math&gt;
   \forall a, b, c \in A, \quad
   \left \{
      \begin{array}{l}
         a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \\
         (a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) \\
      \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;
|}

Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:

:{|
|width=&quot;20px&quot;|9. ||width=&quot;300px&quot;| La operación &lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt; es conmutativa. || &lt;math&gt;\forall a,b \in A, a \cdot b = b \cdot a&lt;/math&gt;
|}

Si un anillo cuenta con un elemento neutro para la segunda operación se llama anillo unitario. A dicho elemento se le suele llamar la unidad (1) para diferenciarlo del elemento neutro de la primera operación (usualmente el 0).

=== Definición sintética ===

Un anillo ''R'' es un conjunto con dos leyes de composición, llamadas ''adición'' y ''multiplicación'', cumpliendo las condiciones siguientes:

* R1. ''R'' es grupo abeliano para la adición; el elemento neutro en esta adición se nombra ''cero'' del anillo, y se denota usualmente 0;
* R2. ''R'' es un semigrupo para la multiplicación;
* R3. La multiplicación (&lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;) es distributiva (por los dos lados) respecto de la adición.

=== Anillo Conmutativo Unitario ===

Se considera unitario a todo anillo que contenga un elemento neutro en la multiplicación 

&lt;math&gt;\forall a \in R, (a \cdot 1 = a = 1 \cdot a  )&lt;/math&gt;

== Ejemplos ==

*Todos los Números Racionales ''Q'' ,Reales ''R'' y Complejos ''C'' forman un anillo conmutativo unitario 

== Propiedades ==

* Si ''f'' : ''R'' → ''S'' es un homomorfismo de anillos entre ''R'' y ''S'', ''S'' es conmutativo, y ''f'' es inyectiva (esto es, un monomorfismo), ''R'' también debe ser conmutativo, pues ''f''(''a''·''b'') = ''f''(''a'')·''f''(''b'') = ''f''(''b'')·''f''(''a'') = ''f''(''b''·''a'').
* Si ''f'' : ''R'' → ''S'' es un homomorfismo de anillos entre ''R'' y ''S'', con ''R'' es conmutativo, la imagen ''f''(''R'') de ''R'' será también conmutativa; en particular, si ''f'' es |sobreyectiva (esto es, un epimorfismo), ''S'' será conmutativo también.

El mayor interés de los anillos conmutativos está en cuando además son unitarios, es decir, los anillos conmutativos unitarios.</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra Conmutativa/Módulos</title>
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== Definición ==

Específicamente, un '''módulo izquierdo''' sobre el anillo ''R'' consiste en un grupo abeliano (''M'', +) y una operación ''R'' × ''M'' → ''M'' (multiplicación escalar, generalmente escrita sólo por yuxtaposición, es decir como ''rx'' para ''r'' en ''R'' y ''x'' en ''M'') tal que

Para todo ''r'', ''s'' en ''R'', ''x'', ''y'' en ''M'', tenemos

&lt;math&gt;
 (rs)x = r(sx)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
 (r+s)x = rx + sx&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
 r(x+y) = rx + ry&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
 1x = x
&lt;/math&gt;

Generalmente, escribimos simplemente &quot;un R - módulo ''izquierdo'' ''M''&quot; o &lt;sub&gt;''R''&lt;/sub&gt;''M''.

Algunos  omiten la condición 4 en la definición general de módulos izquierdos, y llaman a las estructuras definidas antes &quot;módulos izquierdos unitales&quot;. En este artículo sin embargo, todos los módulos (y todos los anillos) se presuponen unitales. Por lo general, para módulos, en la mayoría de los textos se considera la condición 4, mientras que para anillos no se supone que exista elemento unidad, excepto que se diga lo contrario.

Un '''R''' '''módulo derecho''' ''M'' o ''M''&lt;sub&gt;''R''&lt;/sub&gt; se define de forma semejante, sólo que el anillo actúa por la derecha, es decir tenemos una multiplicación escalar de la forma ''M'' × ''R'' → ''M'', y los tres axiomas antedichos se escriben con los escalares ''r'' y ''s'' a la derecha de ''x'' e ''y''.

Si ''R'' es conmutativo, entonces los ''R''-módulos a la izquierda son lo mismo que ''R''-módulos a la derecha y se llaman simplemente ''R''-módulos.

== Ejemplos ==

* Si ''K'' es un cuerpo, entonces los conceptos &quot;''K''-espacio vectorial&quot; y ''K''-módulo son idénticos.

* Cada grupo abeliano ''M'' es un módulo sobre el anillo de los números enteros '''Z''' si definimos ''nx'' = ''x'' + ''x'' +... + ''x'' (''n'' sumandos) para ''n'' &gt; 0, 0 ''x'' = 0, y (- ''n'') ''x'' = - (''nx'') para ''n'' &amp;lt; 0.

* Si ''R'' es cualquier anillo y ''n'' un número natural, entonces el producto cartesiano ''R''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; es un módulo izquierdo y derecho sobre ''R'' si utilizamos las operaciones componente a componente. El caso ''n'' = 0 da el trivial ''R''-módulo {0} que consiste solamente en el elemento identidad (aditiva).

* Si ''X'' es una variedad diferenciable, entonces las funciones diferenciables de ''X'' a los números reales forman un anillo ''R''. El conjunto de todos los campos vectoriales diferenciables definidos en ''X'' forman un módulo sobre ''R'', y lo mismo con los campos tensoriales y las formas diferenciales en ''X''.

* Las ''matrices'' cuadradas ''n''-por-''n'' con entradas reales forman un anillo ''R'', y el [[espacio euclidiano]] '''R''' &lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; es un módulo izquierdo sobre este anillo si definimos la operación de módulo ''vía'' la [[multiplicación de matrices]].

* Si ''R'' es cualquier anillo e ''I'' es cualquier ideal izquierdo en ''R'', entonces ''I'' es un módulo izquierdo sobre ''R''. Análogamente, por supuesto, los ideales derechos son módulos derechos.

== Submódulos y homomorfismos ==

Suponga que ''M'' es un ''R''-módulo izquierdo y ''N'' es un subgrup de ''M''. Entonces ''N'' es un '''submódulo''' (o ''R''-submódulo, para ser más explícito) si, para cualquier ''n'' en ''N'' y cualquier ''r'' en ''R'', el producto ''rn'' está en ''N'' (o el ''nr'' para un módulo derecho).
Si ''M'' y ''N'' son ''R'' - módulos, entonces una función ''f'': ''M'' → ''N'' es un '''homomorfismo de ''R'' - módulos''' si, para cualquier ''m'', ''n'' en ''M'' y ''r'', ''s'' en ''R'',

: ''f'' (''rm'' + ''sn'') = ''rf''(''m'') + ''sf''(''n'').

Esto, como cualquier homomorfismo de objetos matemáticos, es precisamente una función que preserva la estructura de los objetos.
Un homomorfismo biyectivo de módulos es un isomorfismo de módulos, y los dos módulos se llaman ''isomorfos''. Dos módulos isomorfos son idénticos para todos los propósitos prácticos, diferenciándose solamente en la notación para sus elementos.

El núcleo de un homomorfismo de módulos ''f'': ''M'' → ''N'' es el submódulo de ''M'' que consiste en todos los elementos que son enviados a cero por ''f''. Los teoremas de isomorfía familiares de grupos abelianos y de espacios vectoriales son también válidos para ''R''-módulos.

Los ''R-módulos'' izquierdos, junto con sus homomorfismos de módulo, forman una categoría, escrita como &lt;sub&gt;''R''&lt;/sub&gt;'''Mod'''. Esta es una categoría abeliana.

== Tipos de módulos ==

'''Finitamente generado.''' Un módulo ''M'' es [[finitamente generado]] si existe un número finito de elementos ''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;..., ''x''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; en ''M'' tales que cada elemento de ''M'' es una [[combinación lineal]] de esos elementos con coeficientes del anillo escalar ''R''.

'''Libre.''' Un [[módulo libre]] es un módulo que tiene una base libre, o equivalentemente, uno que es isomorfo a una [[suma directa]] de copias del anillo escalar ''R''. Éstos son los módulos que se comportan parecido a los espacios vectoriales.

'''Proyectivo.''' Los [[módulo proyectivo|módulos proyectivos]] son [[sumando directo|sumandos directos]] de módulos libres y comparten muchas de sus propiedades deseables.

'''Inyectivo.''' Los [[módulo inyectivo|módulos inyectivos]] se definen dualmente a los módulos proyectivos.

'''Simple.''' Un [[módulo simple]] ''S'' es un módulo que no es {0} cuyos únicos submódulos son {0} y ''S''. Los módulos simples a veces se llaman ''irreducibles''.

'''Indescomponible.''' Un [[módulo indescomponible]] es un módulo diferente a cero que no se puede escribir como una [[suma directa]] de dos submódulos diferentes a cero. Cada módulo simple es indescomponible.

'''Fiel.''' Un [[módulo fiel]] ''M'' es uno donde la acción de cada ''r'' (distinto de cero) en ''R'' es no trivial (es decir, existe algún m en ''M'' tal que ''rm'' ≠ 0). Equivalente, el [[anulador]] de ''M'' es el ideal cero.

'''Noetheriano.''' Un [[módulo noetheriano]] es un módulo tal que cada submódulo es finitamente generado. Equivalente, cada cadena creciente de submódulos llega a ser estacionaria en finitos pasos.

'''Artiniano. ''' Un [[módulo artiniano]] es un módulo en el cual cada cadena decreciente de submódulos llega a ser estacionaria en finitos pasos.

== Definición alternativa como representaciones ==

Si ''M'' es un ''R-módulo'' izquierdo, entonces la ''acción'' de un elemento ''r'' en ''R'' se define como la función ''M'' → ''M'' que envía cada ''x'' al ''rx'' (o al ''xr'' en el caso de un módulo derecho), y es necesariamente un [[endomorfismo de grupo]] del grupo abeliano (''M'', +). El conjunto de todos los endomorfismos de grupo de ''M'' es denotado End&lt;sub&gt;'''Z'''&lt;/sub&gt;(''M'') y forma un anillo bajo la adición y composición, y enviando un elemento r del ''anillo'' ''R'' a su acción define realmente un [[homomorfismo de anillo]] de ''R'' a End&lt;sub&gt;'''Z'''&lt;/sub&gt;(''M'').

Tal del homorfismo ''R'' del anillo → End&lt;sub&gt;'''Z'''&lt;/sub&gt;(''M'') se llama una ''representación'' de ''R'' en el grupo abeliano ''M''; una manera alternativa y equivalente de definir R-módulos izquierdos es decir que un R-módulo izquierdo es un grupo abeliano ''M'' junto con una representación de ''R'' en él.

Una representación se llama ''fiel'' si y solamente si la ''función'' R → End&lt;sub&gt;'''Z'''&lt;/sub&gt;(''M'') es [[inyectivo|inyectiva]]. En términos de módulos, esto significa que si ''r'' es un elemento de ''R'' tal que ''rx'' = 0 para todo ''x'' en ''M'', entonces ''r'' = 0. Cada grupo abeliano es un módulo fiel sobre los [[número entero|números enteros]] o sobre una cierta [[aritmética modular]] '''Z'''/''n'' '''Z'''.

== Generalizaciones ==

Cualquier anillo ''R'' se puede ver como [[categoría preaditiva]] con un solo objeto. Con esta comprensión, un ''R-módulo'' izquierdo es un funtor aditivo ([[covariante]]) de ''R'' a la categoría '''Ab''' grupos abelianos. Los ''R-módulos'' derechos son funtores aditivos contravariantes. Esto sugiere que, si ''C'' es cualquier categoría preaditiva, un funtor aditivo covariante de ''C'' a '''Ab''' sea considerado un módulo izquierdo generalizado sobre ''C''; estos funtores forman una [[categoría de funtores]] ''C''-'''Mod''' que es la generalización natural de la categoría de módulos ''R''-'''Mod'''.

Los módulos sobre anillos conmutativos se pueden generalizar en una dirección distinta: tome un [[espacio anillado]] (''X'', O&lt;sub&gt;''X''&lt;/sub&gt;) y considere los [[Teoría de haces|haces]] de O&lt;sub&gt;''X''&lt;/sub&gt;-módulos. Éstos forman una categoría O&lt;sub&gt;''X''&lt;/sub&gt;-'''Mod'''. Si ''X'' tiene solamente un punto, entonces esto es una categoría de módulo en el viejo sentido sobre el anillo conmutativo O&lt;sub&gt;''X''&lt;/sub&gt;(''X'').

== Fuentes ==
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*  [[Matemáticas/Generalidades/Símbolos Matemáticos/Genéricos|Genéricos]]

*  [[Matemáticas/Generalidades/Símbolos Matemáticos/Aritmética y Álgebra|Aritmética y Álgebra]]

*  [[Matemáticas/Generalidades/Símbolos Matemáticos/Lógica proposicional|Lógica proposicional]]

*  [[Matemáticas/Generalidades/Símbolos Matemáticos/Lógica de predicados|Lógica de predicados]]

*  [[Matemáticas/Generalidades/Símbolos Matemáticos/Teoría de conjuntos|Teoría de conjuntos]]

*  [[Matemáticas/Generalidades/Símbolos Matemáticos/Funciones|Funciones]]

*  [[Matemáticas/Generalidades/Símbolos Matemáticos/Números|Números]]

*  [[Matemáticas/Generalidades/Símbolos Matemáticos/Órdenes parciales|Órdenes parciales]]

*  [[Matemáticas/Generalidades/Símbolos Matemáticos/Geometría euclídea|Geometría euclídea]]

*  [[Matemáticas/Generalidades/Símbolos Matemáticos/Combinatoria|Combinatoria]]

*  [[Matemáticas/Generalidades/Símbolos Matemáticos/Análisis funcional|Análisis funcional]]

*  [[Matemáticas/Generalidades/Símbolos Matemáticos/Cálculo|Cálculo]]

*  [[Matemáticas/Generalidades/Símbolos Matemáticos/Ortogonalidad|Ortogonalidad]]

*  [[Matemáticas/Generalidades/Símbolos Matemáticos/Álgebra matricial|Álgebra matricial]]

*  [[Matemáticas/Generalidades/Símbolos Matemáticos/Teoría de rejas|Teoría de rejas]]

== Véase también ==
* [[Wikipedia: Cómo se edita una página]] contiene información acerca de cómo producir símbolos matemáticos en otros artículos

== Enlaces externos ==
*  [http://www.3con14.com/35-%C3%BAtiles/f%C3%B3rmulas/9-s%C3%ADmbolos-matem%C3%A1ticos-f%C3%B3rmulas.html|Math Quick Reference Card]

* Math Quick Reference Card http://www.3con14.com/35-%C3%BAtiles/f%C3%B3rmulas/9-s%C3%ADmbolos-matem%C3%A1ticos-f%C3%B3rmulas.html

[[Categoría:Matemáticas|* ]]
= Fuentes =

http://lalupa3.webcindario.com/matematicas/simbolos%20matematicos.htm

http://www.epsilones.com/paginas/signos/signos-000-indice.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:S%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos

http://www.3con14.com/35-%C3%BAtiles/f%C3%B3rmulas/9-s%C3%ADmbolos-matem%C3%A1ticos-f%C3%B3rmulas.html</text>
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    <title>Matemáticas/Ecuaciones/Ecuación Cuadrática</title>
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= Definición =

Una '''Ecuación de Segundo Grado''' o '''Cuadrática''' es toda ecuación de la forma

&lt;center&gt; &lt;math&gt; ax^2+bx+c=0 &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

donde &lt;math&gt; a, b, c &lt;/math&gt; son números reales y &lt;math&gt; a\neq0 &lt;/math&gt;.

Una ecuación cuadrática representa, gráficamente, a una parábola.

La orientación de la parábola va a depender del signo que tenga el coeficiente &lt;math&gt; a &lt;/math&gt;.

Los casos son: 

[[File:Parábola.png|thumb|center|&lt;center&gt; Orientación Parabóla &lt;/center&gt;]]

La parábola que representa a una ecuación de segundo grado tiene los siguientes elementos asociados:

== Vértice ==

El '''vértice''' es el punto mínimo o máximo de la parábola (dependiendo de la orientación que ésta tenga), y la fórmula para encontrarlo es la siguiente:

&lt;center&gt; &lt;math&gt; V=\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right) &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

== Raíces ==

Las '''raíces''' (o ceros o soluciones) de una parábola son los puntos donde la parábola corta al eje &lt;math&gt; X &lt;/math&gt;.

La fórmula para encontrar dichos puntos es la siguiente:

&lt;center&gt; &lt;math&gt; x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

El número &lt;math&gt; \triangle=b^2-4ac &lt;/math&gt; se llama discriminante, y nos indica el número de raíces que va a tener una ecuación de segundo grado.

Hay tres casos:

* Si &lt;math&gt; \triangle&gt;0 &lt;/math&gt;, hay dos raíces
* Si &lt;math&gt; \triangle=0 &lt;/math&gt;, hay una raíz
* Si &lt;math&gt; \triangle&lt;0 &lt;/math&gt;, no hay raíces

Gráficamente, para una parábola asociada a una ecuación del tipo &lt;math&gt; ax^2+bx+c=0 &lt;/math&gt;, la situación se ve de la siguiente forma:

[[File:ParábolaCasosX.png|thumb|250px|center|&lt;center&gt; Casos &lt;math&gt; a&gt;0 &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;]]
[[File:ParábolaCasosX2.png|thumb|250px|center|&lt;center&gt; Casos &lt;math&gt; a&lt;0 &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;]]


= Ejemplo =

Encontrar el vértice, las raíces y dibujar la gráfica de la parábola asociada a la ecuación cuadrática

&lt;center&gt; &lt;math&gt; (1+x)^2+(2+x)^2=(3-x)^2 &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

'''Sol:''' Para las raíces tenemos que

[[File:ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO, EJERCICIO 8.webm|thumb|center|&lt;center&gt;Ecuación de Segundo Grado&lt;/center&gt;]]

Los coeficientes son los valores &lt;math&gt; a=1, b=12, c=-4 &lt;/math&gt;.

Reemplazando en la fórmulas del vértice tenemos que

&lt;center&gt; &lt;math&gt; \begin{matrix} V&amp;=&amp;\left(-\frac{12}{2(1)},\frac{4(1)(-4)-(12)^2}{4(1)}\right) \\
\rightarrow V&amp;=&amp;(-6,-40) \end{matrix} &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

El gráfico es:

[[File:Ejemplo Parábola.png|thumb|center|&lt;center&gt;Ejemplo Parábola&lt;/center&gt;]]

= Ejercicios Propuestos de Ecuación de Segundo Grado =

Revisar y desarrollar la siguiente lista de [[Álgebra/Ecuaciones/Ecuación Cuadrática/Ejercicios|Ejercicios]].

= Definición =

= Propiedades =

= Fuentes =</text>
      <sha1>c21k0zy56mxd7zbstdkxv2dka4mo4c3</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>Matemáticas/Ecuaciones/Ecuación Exponencial</title>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
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      <text bytes="11080" sha1="ilzn4j3prtpel12qoskwnh1y3vqvppk" xml:space="preserve">{{AutoCat}}


= Definición =

Se denomina  '''ecuación exponencial''' aquella en la cual la [[incógnita]] aparece únicamente en los exponentes de potencias para ciertas bases constantes.&lt;ref&gt;Manual de matemática (1985) Tsipkin; Editorial Mir, Moscú, traducción de Shapovalova, pg. 170&lt;/ref&gt;  La incógnita se halla en un [[exponente]] de un o unos de los términos. Es decir, un [[número]] (u otra variable) está elevada a la incógnita a despejar, normalmente representada por x. Para [[resolución de ecuaciones|resolver]] dichas ecuaciones se recurren a las propiedades de la potenciación, radicación, de logaritmos y cambio de la incógnita por otra.

= Leyes de Exponentes =

==== Multiplicación de potencias de igual base ====
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:

{{Demostración|1 = &lt;math&gt;a^n \times a^m = \underbrace{ \underbrace{a \times \cdots \times a}_n \times  \underbrace{a \times \cdots \times a}_m}_{n+m} = a^{n+m}&lt;/math&gt;| título=&lt;math&gt; a^n \cdot a^m = a^{n+m} &lt;/math&gt;}}

Ejemplos:
:&lt;math&gt; 9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5&lt;/math&gt;

==== Potencia de una potencia ====
La potencia de una potencia de base ''a'' es igual a la potencia de base ''a'' y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

{{Demostración|1 = &lt;math&gt;(a^m)^n = {( \underbrace{ a \times \cdots \times a }_m )}^n = n \begin{cases} \underbrace{ \begin{matrix} a \times &amp; \cdots &amp; \times a \times \\ \vdots &amp; &amp; \vdots \\ a \times &amp; \cdots &amp; \times a \end{matrix} }_m \end{cases} = a^{m \cdot n}&lt;/math&gt; |título=&lt;math&gt; {(a^m)}^n = a^{m \cdot n} &lt;/math&gt; }}

Debido a esto, la notación &lt;math&gt;a^{b^c}&lt;/math&gt; se reserva para significar &lt;math&gt;a^{(b^c)}&lt;/math&gt; ya que &lt;math&gt;{(a^b)}^c&lt;/math&gt; se puede escribir sencillamente como &lt;math&gt;a^{bc}\,&lt;/math&gt;.

==== Potencia de un producto ====
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:

{{Demostración|1 = &lt;math&gt;(a \times b)^n = n \begin{cases} \begin{matrix} a \times b \times \\ \vdots \\ a \times b \end{matrix} \end{cases} = a^n \times b^n&lt;/math&gt;| título=&lt;math&gt;(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n&lt;/math&gt;}}

----

Si la base ''a'' tiene [[inverso aditivo]], indicado mediante signo negativo ''-a'', entonces se tiene la regla:

{{Demostración|1 = &lt;math&gt;\begin{array}{ll}
(-a)^1 = &amp; -a \\
(-a)^2 = &amp; (-a)\times (-a) = a^2\\
(-a)^3 = &amp; \underbrace{(-a)\times (-a)}_{a^2} \times (-a)= -(a^3)\\
\vdots &amp; \\
(-a)^n = &amp; \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n \text{ par}} = a^n\\
(-a)^n = &amp; \underbrace{ \underbrace{ ((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n-1 \text{ par por tanto es } a^{n-1}} \times (-a) }_{n \text{ impar}}) = -(a^n),
\end{array}&lt;/math&gt;|título=&lt;math&gt;(-a)^n =\;\;\;\;\; a^n&lt;/math&gt; si '''''n''''' es par.
&lt;math&gt;(-a)^n = -( a^n)&lt;/math&gt; si '''''n''''' es impar.}}

Si la base ''a'' tiene [[inverso multiplicativo]] ''c'', es decir ''c''·''a'' = 1 o que &lt;math&gt;c=\frac{1}{a}&lt;/math&gt;, entonces este se denota por &lt;math&gt; a^{-1},&lt;/math&gt; y el exponente se puede ampliar a todos los [[números enteros]]:

{{Ecuación|&lt;math&gt;\begin{array}{l}a^{-1} = \frac{1}{a} \\
a^{-n} = \frac{1}{a^n}\end{array}&lt;/math&gt;|2}}

;Observación:
:&lt;math&gt; a^{-n} = ( a^{-1} )^n = \underbrace{ \frac{1}{a} \times \cdots \times \frac{1}{a}}_n = \frac{1}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} = \frac{1}{a^n}.&lt;/math&gt;

==== División de potencias de igual base ====
El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia  del exponente del dividendo menos el del divisor  ,&lt;ref&gt;Dolciani-Berman- Wooton, Algebra Modera y Trigonometría- ISBN 968-439-024-6&lt;/ref&gt; esto es:

{{Demostración|1 = &lt;math&gt;\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= a^{m+(-n)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= a^{m-n}&lt;/math&gt;

De forma extendida aparecen 3 casos:

&lt;math&gt; =\frac{ \overbrace{a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} &lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\begin{cases}\begin{matrix}
\frac{ \overbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}^n \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{m-n}}{\underbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=a^{m-n} &amp; \text{Si } m&gt;n\\
\frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=1&amp; \text{Si } m=n\\
\frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m} }=\frac{1}{a^{n-m}}&amp; \text{Si } m&lt;n
\end{matrix}\end{cases}&lt;/math&gt;|título=&lt;math&gt; \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n} &lt;/math&gt;}}

Ejemplo:

:&lt;math&gt; \frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2&lt;/math&gt;

===== Potencia de exponente 0 =====

Un número distinto de 0 elevado al exponente 0  da como resultado la [[uno|unidad]] (1), puesto que:&lt;ref name=&quot;FC&quot;&gt;{{cita libro |apellido=Soler |nombre=Francisco |apellido2=Nuñez |nombre2=Reinaldo |apellido3=Aranda |nombre3=Moises|enlaceautor= |título=Fundamentos de Cálculo. Con aplicaciones a ciencias económicas y administrativas |url= |fechaacceso= |idioma=castellano |otros= |edición=2ª |año=2004 |editor= |editorial=ECOE EDICIONES |ubicación=
 |isbn=9586482901 |capítulo=1. Álgebra básica |páginas=14 |cita=}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{MathWorld|ExponentLaws|Exponent Laws}}&lt;/ref&gt;
:&lt;math&gt;1 = \frac {a^n} {a^n} = a^{n-n} = 
a^0\,&lt;/math&gt;

El caso particular de &lt;math&gt;0^0\,&lt;/math&gt;, en principio, no está definido {{cr}} (ver [[Cero#Cero en la potenciación|cero]]).

==== Potencia de un cociente ====
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.

{{Demostración|1 =  &lt;math&gt; \left(\frac{a}{b}\right)^n = &lt;/math&gt;&lt;math&gt; \left( a \cdot b^{-1} \right)^n =&lt;/math&gt; &lt;math&gt; a^n \cdot b^{-n} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt; \frac{a^n}{b^n} &lt;/math&gt;

O de forma extendida:

&lt;math&gt;= \underbrace{ \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_n = \frac{a \times \cdots \times a}{b \times \cdots \times b} = \frac{a^n}{b^n}&lt;/math&gt;| título=&lt;math&gt; \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} &lt;/math&gt;}}

----

Si la base ''a'' = 0, entonces ''a'' no tiene [[inverso multiplicativo]] &lt;math&gt;a^{-1}&lt;/math&gt;, por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por {{Eqnref|1}} quedando así prohibida la notación {{Eqnref|2}} como valor numérico:

:&lt;math&gt;0^1=0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;0^n= \underbrace{0 \times \cdots \times 0}_n = 0.&lt;/math&gt;


== Formas de resolución ==
Depende del tipo de ecuación exponencial del que se trate, hay diversas formas de resolverla, por su nivel de complejidad. Las más fáciles son por simple inspección, es decir se descompone la parte numérica en sus factores primos y aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad. A continuación se brindan algunos ejemplos.

=== Igualación de bases ===
Sea la ecuación del siguiente ejemplo:
{{ecuación|&lt;math&gt;2^{x + 1} = 16
\,&lt;/math&gt;}}
Si el primer miembro sólo tiene un término y el término del segundo miembro es potencia de la base del término del primer miembro, entonces el segundo miembro, se expresa como potencia de la base de la expresión que contiene la incógnita. En el ejemplo 16 es potencia de la base dos de &lt;math&gt;2^{x + 1}&lt;/math&gt;.
{{ecuación|&lt;math&gt;2^{x + 1} = 2^4\,&lt;/math&gt;}}
Luego, por la siguiente propiedad: &lt;math&gt;a^x = a^y \Rightarrow x = y\,&lt;/math&gt;, tenemos:
&lt;math&gt;x + 1 = 4\,&lt;/math&gt;
::   &lt;math&gt;x = 4 - 1\,&lt;/math&gt;
::   &lt;math&gt;x = 3\,&lt;/math&gt;
* Un ejemplo algo variado
::4&lt;sup&gt;2''x''-1&lt;/sup&gt; = 2&lt;sup&gt;''x''&lt;/sup&gt;
Puesto que 4 = 2&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; en la ecuación dada resulta
::2&lt;sup&gt;2(2''x''-1)&lt;/sup&gt; = 2&lt;sup&gt;''x''&lt;/sup&gt;
Finamente, resolviendo 2(2''x''-1) = ''x'', se obtiene x = 2/3.

=== Cambio de variables ===
{{AP|Cambio de variable}}

Sea la ecuación exponencial del ejemplo:
{{ecuación|&lt;math&gt;2 \cdot 7^{x + 2} + 7^x = 33957\,&lt;/math&gt;}}
Vamos a escribirla así:
{{ecuación|&lt;math&gt;2 \cdot (7^x) \cdot 7^2 + (7^x) = 33957&lt;/math&gt;}}
Aplicamos el cambio de variable, y escribimos:
{{ecuación|&lt;math&gt;7^x = a\,&lt;/math&gt;}}
Ahora, al reemplazar, se tiene:
{{ecuación|&lt;math&gt;2a \cdot 49 + a = 33957\,&lt;/math&gt;}}
Despejamos &lt;math&gt;a\,&lt;/math&gt;:
{{ecuación|&lt;math&gt;99a = 33957\,&lt;/math&gt;}}
{{ecuación|&lt;math&gt;a = \frac{33957}{99}\,&lt;/math&gt;}}
{{ecuación|&lt;math&gt;a = 343\,&lt;/math&gt;}}
Ahora, recordemos que &lt;math&gt;a = 7^x\,&lt;/math&gt;, luego:
{{ecuación|&lt;math&gt;343 = 7^x\,&lt;/math&gt;}}
{{ecuación|&lt;math&gt;7^3 = 7^x\,&lt;/math&gt;}}
{{ecuación|&lt;math&gt;3 = x\,&lt;/math&gt;}}

=== Pasando a una algebraica ===
Resolver la ecuación&lt;ref&gt;Álgebra y principios de análisis  parte I (1981) Diigido por Yakovliev, Editorial Mir, MoscúTraducido por Samojválov, pg. 208&lt;/ref&gt;
::2·9&lt;sup&gt;''x''&lt;/sup&gt; - 3&lt;sup&gt;''x''+1&lt;/sup&gt; -2 = 0
Puesto que la ecuación propuesta puede ser escrita en la forma
::2·(3&lt;sup&gt;''x''&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; - 3·3&lt;sup&gt;''x''&lt;/sup&gt; - 2 = 0
Luego con la sustitución y = 3&lt;sup&gt;''x''&lt;/sup&gt;, se tiene respecto a y la ecuación algebraica de segundo grado
::2''y''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; - 3''y'' -2 = 0.
Resolviendo resulta ''y'' = 2;  ''y'' = -1/2. La última solución es imposible, pues 3&lt;sup&gt;''x''&lt;/sup&gt; &gt; 0. En tal caso 3&lt;sup&gt;''x''&lt;/sup&gt; = 2;
::''x'' = log&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;2 = ln2  : ln3 = 0.6309 ( logaritmos naturales);

=== Usando logaritmos ===
{{AP|logaritmo binario}}
Sea la ecuación:
{{ecuación|&lt;math&gt;4^{x + 1} \cdot 8^x = 4096\,&lt;/math&gt;}}
Usamos logaritmo a ambos lados de la ecuación:
{{ecuación|&lt;math&gt;\log_{2} (4^{x + 1} \cdot 8^x) = \log_{2} 4096&lt;/math&gt;}}
Por propiedades de los logaritmos, tenemos:
{{ecuación|&lt;math&gt;\log_{2} (4^{x + 1}) + \log_{2} (8^x) = \log_{2} 4096&lt;/math&gt;}}
{{ecuación|&lt;math&gt;(x + 1) \cdot \log_{2} 4 + x \cdot \log_{2} 8 = \log_{2} 4096\,&lt;/math&gt;}}
Operando:
{{ecuación|&lt;math&gt;(x + 1) \cdot 2 + x \cdot 3 = 12\,&lt;/math&gt;}}
{{ecuación|&lt;math&gt;2x + 2 + 3x = 12\,&lt;/math&gt;}}
{{ecuación|&lt;math&gt;5x = 10\,&lt;/math&gt;}}
De donde sale:
{{ecuación|&lt;math&gt;x = 2\,&lt;/math&gt;}}

==== Otra manera de resolver ====
Sea la ecuación 4&lt;sup&gt;''x''+1&lt;/sup&gt;·8&lt;sup&gt;''x''&lt;/sup&gt; = 4096, pasando las bases de potencia: 4 y 8 a potencias de 2, como también 4096 = 2&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;, se tiene
::2&lt;sup&gt;2''x''+2&lt;/sup&gt;·2&lt;sup&gt;3''x''&lt;/sup&gt; = 2&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;, igualando los exponentes, resulta
::(2''x'' +2) + 3''x'' = 12, finalmente
::5''x'' = 10; por tanto ''x'' = 2.

=== Ecuaciones exponenciales más complejas ===
Cuando la incógnita se encuentra en el índice de una raíz, también se la considera exponencial, ya que sólo basta escribirla como exponente fraccionario.
Sea la ecuación:

{{ecuación|&lt;math&gt; \sqrt[3x + 1]{2^{x + 2}} = 8&lt;/math&gt;}}

Vemos que la variable se encuentra también en el exponente de una [[Raíz de una función|raíz]]. Por las [[propiedades de la radicación]], vamos a escribirla así:
{{ecuación|&lt;math&gt;2^{ \frac {x + 2}{3x + 1}} = 8\,&lt;/math&gt;}}
Aplicamos el método de igualación de bases:
{{ecuación|&lt;math&gt;2^{ \frac {x + 2}{3x + 1}} = 2^3\,&lt;/math&gt;}}
O sea:
{{ecuación|&lt;math&gt; \frac {x + 2}{3x + 1} = 3\,&lt;/math&gt;}}
Operando, obtenemos:
{{ecuación|&lt;math&gt;x = - \frac {1}{8}\,&lt;/math&gt;}}

= Fuentes =</text>
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    </revision>
  </page>
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    <title>Matemáticas/Ecuaciones/Ecuación Logarítmica</title>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
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= Definición =
DESCRIPCIÓN

Son ecuaciones logarítmicas aquellas en las que aparece la incógnita o incógnitas dentro de un logarítmo. Por ejemplo:

log(x+6) = 1 + log(x-3)

&quot;Puede ser conveniente repasar el tema: Función logarítmica, antes de continuar&quot;&quot;

El logaritmo que suele aparecer en las ecuaciones logarítmicas es el decimal o el neperiano y, normalmente, siempre la misma base en toda la ecuación.

La forma de resolverlas es la misma cualquiera que sea la base del logaritmo, por lo que en este tema vamos a simbolizar los logaritmos como log, entendiendo que la base es 10, mientras no digamos lo contrario

Recuérdese no obstante que en las escenas (ventanas gráficas), el programa llama &quot;log&quot; al logaritmo neperiano y &quot;log10&quot; al decimal. En la resolución gráfica de los ejercicios se usará por tanto log10.

= Propiedades =
== Identidades algebraicas ==

=== Con operaciones simples ===
Los logaritmos se utilizan generalmente para hacer más simples las operaciones. Por ejemplo, se pueden multiplicar dos números utilizando una tabla de logaritmos y sumando.

{| cellpadding=3
| &lt;math&gt; \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\, &lt;/math&gt; || porque || &lt;math&gt; b^x \cdot b^y = b^{y + x} &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt; \log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) &lt;/math&gt; || porque || &lt;math&gt; \begin{matrix}\frac{b^x}{b^y}\end{matrix} = b^{x - y} &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt; \log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\, &lt;/math&gt; || porque || &lt;math&gt; (b^n)^y = b^{ny} \!\, &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt; \log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix} &lt;/math&gt; || porque || &lt;math&gt; \sqrt[y]{x} = x^{1/y} &lt;/math&gt;
|}

=== Cancelación de exponentes ===
Los logaritmos y exponenciales (antilogaritmos) con la misma base se cancelan.
{| cellpadding=3
| &lt;math&gt; b^{\log_b(x)} = x &lt;/math&gt; || porque || &lt;math&gt; \mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\, &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt; \log_b(b^x) = x \!\, &lt;/math&gt; || porque || &lt;math&gt; \log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\, &lt;/math&gt;
|}

=== Cambio de base ===
:&lt;math&gt;\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}&lt;/math&gt;

Esta identidad se requiere para evaluar logaritmos con calculadoras. La mayoría de las calculadoras sólo pueden procesar ln y log&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;, pero no por ejemplo log&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;. Para encontrar log&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;(3), basta calcular log&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;(3) / log&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;(2) (ó bien ln(3)/ln(2), que da idéntico resultado).

{{Demostración|1=A partir de un logaritmo tal que: 

:&lt;math&gt; y = \log_a b \rightarrow a^y = b &lt;/math&gt;

Tomando &lt;math&gt;\log_c&lt;/math&gt; en ambos lados de la segunda ecuación:

:&lt;math&gt; \log_c a^y = \log_c b \,&lt;/math&gt;

Se despeja &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;:

:&lt;math&gt; y \log_c a = \log_c b \,&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; y = \frac{\log_c b}{\log_c a} \,&lt;/math&gt;

Finalmente, como &lt;math&gt;y = \log_a b&lt;/math&gt;:

:&lt;math&gt; \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}&lt;/math&gt;
}}

==== Consecuencias ====

Esta fórmula tiene varias consecuencias:

:&lt;math&gt;\log_a b = \frac{1}{\log_b a}&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;a^{\log_b c} = c^{\log_b a}&lt;/math&gt;

=== Identidades triviales ===
{| cellpadding=3
| &lt;math&gt; \log_b1 = 0 \!\, &lt;/math&gt; || porque || &lt;math&gt; b^0 = 1\!\, &lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt; \log_bb = 1 \!\, &lt;/math&gt; || porque || &lt;math&gt; b^1 = b\!\, &lt;/math&gt;
|}

= Fuentes =

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/Descartes1/Bach_HCS_1/Ecuaciones_exponenciales_y_logaritmicas/Ecu_log.htm

http://www.vitutor.com/al/log/ecu1_Contenidos.html

https://www.matesfacil.com/ESO/logaritmos/ejercicios-resueltos-sistemas-ecuaciones-logaritmicas.html</text>
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Se llama '''ecuación diofántica''' a cualquier [[ecuación algebraica]],  de dos o más incógnitas, cuyos coeficientes  recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan soluciones enteras, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números enteros.&lt;ref&gt; Julián '''Espinoza de los Monteros''' ( Coordinador general).''Diccionario de matemáticas'', edición 2001, Cultural, S.A. Madrid. ISBN 84-8055-355-3&lt;/ref&gt; 

== Ejemplo ==
Un ejemplo de ecuación diofántica es:
&lt;math&gt;x + y = 5 \,&lt;/math&gt;

Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números enteros. Como regla general, sin embargo, las ecuaciones que aparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso a una única solución.

Por ejemplo, en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; a los enteros positivos, tenemos 4 soluciones para &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt;:
:(1,&amp;nbsp;4)   (2,&amp;nbsp;3)   (3,&amp;nbsp;2)   (4,&amp;nbsp;1)

Un problema matemático muy famoso que se resuelve por medio de ecuaciones diofánticas es el del [[problema del mono y los cocos|mono y los cocos]].

== Ecuación diofántica lineal ==
La ecuación diofántica &lt;math&gt;Ax + By = C \,&lt;/math&gt; o identidad de Bézout tiene solución si y solo si ''d''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;mcd(''A'',&amp;nbsp;''B'') (máximo común divisor) es un divisor de ''C''. En ese caso la ecuación tiene una infinidad de soluciones.

Similarmente la ecuación &lt;math&gt;a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = C \,&lt;/math&gt; tiene solución si y solo si ''d''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;mcd(''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,...,''a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'') es un divisor de ''C''.

=== Solución general ===
Supongamos la ecuación diofántica  &lt;math&gt;\scriptstyle Ax + By = C \,&lt;/math&gt;. Solo tiene solución si &lt;math&gt;\scriptstyle \mathrm{mcd}(A,B)=d|C \,&lt;/math&gt;. Para buscar el &lt;math&gt;\scriptstyle \mathrm{mcd}(A,B) &lt;/math&gt; empleamos el [[algoritmo de Euclides]]. Si una ecuación diofántica tiene solución, necesariamente tiene infinitas soluciones y todas son de la forma:
{{Ecuación|
&lt;math&gt;\begin{cases} x=x_{1}+\lambda\cfrac{B}{d} \\
y =y_{1}-\lambda\cfrac{A}{d}\end{cases}&lt;/math&gt;
||left}}
Donde &lt;math&gt;\scriptstyle d=\mathrm{mcd}(A,B)&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\scriptstyle x_1&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\scriptstyle y_1&lt;/math&gt; son una solución particular de la ecuación.

Esta solución para números enteros contrasta con la solución de la misma ecuación cuando se considera que ''A, B, C, x'' e ''y'' son números reales, que está formada por infinitas soluciones de la forma: ''y'' = (''C'' - ''x*A'')/''B'' (suponiendo B diferente de cero).

=== Solución particular ===
Para encontrar una solución particular usamos la [[identidad de Bézout]] junto al [[algoritmo de Euclides]]. Esto nos da &lt;math&gt;x_1 \,&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y_1 \,&lt;/math&gt;. Veamos el ejemplo:

Tenemos la ecuación diofántica 6''x''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;10''y''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;104
# Buscamos el ''d''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;mcd(6,&amp;nbsp;10). A través del algoritmo de Euclides encontramos que ''d'' &amp;nbsp;=&amp;nbsp;2.
# Como ''d''|''C'' (donde &quot;|&quot; significa &quot;divide a&quot;), es decir, 2|104, Calculamos una solución particular mediante la Identidad de Bézout: ''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 2 e ''y''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = -1. La ecuación quedaría así: 6 · 2 + 10 · (-1) = 2.
# Ahora tenemos una solución para la ecuación 6''x'' + 10''y ''= 2. Con ''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 2 e ''y''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = -1. Si multiplicamos cada parte de la ecuación por C/d (104 / 2 = 52), tendremos la solución particular de nuestra ecuación original (6x + 10y = 104). La ecuación quedaría así: 6 · 2 · 52 + 10 · (-1) · 52 = 104
# Con lo que hemos visto arriba, buscamos la solución general:
{{ecuación|&lt;math&gt;\left\{\begin{array}{rccl} x &amp;=&amp; (2 \cdot 52) &amp;+ \lambda \cdot \frac{10}{2} \\
 y &amp;=&amp; (-1 \cdot 52) &amp;- \lambda \cdot \frac{6}{2}\end{array}\right.
 \forall \lambda \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;||left}}

== Notas y referencias ==
{{listaref|2}}
=== Bibliografía ===
* {{cita libro| nombre=L. J.|apellido=Mordell | enlaceautor=Louis Mordell | título=Diophantine equations | editorial=[[Academic Press]] | año=1969 | isbn=0-12-506250-8 | zbl=0188.34503 | series=Pure and Applied Mathematics | volumen=30 }}
* {{cita libro | apellido=Schmidt | nombre=Wolfgang M. | enlaceautor=Wolfgang M. Schmidt | título=Diophantine approximations and Diophantine equations | series=Lecture Notes in Mathematics | editorial=[[Springer-Verlag]] | año=1991 | isbn=3-540-54058-X | volumen=1467 | ubicación=Berlin | zbl=0754.11020 }}
* {{cita libro| first1=T. N.|last1=Shorey | first2=R.|last2=Tijdeman |author2-link=Robert Tijdeman| título=Exponential Diophantine equations | series=Cambridge Tracts in Mathematics | volumen=87 | editorial=[[Cambridge University Press]] | año=1986 | isbn=0-521-26826-5 | zbl=0606.10011 }}
* {{cita libro| nombre=Nigel P.|apellido=Smart | título=The algorithmic resolution of Diophantine equations | series=London Mathematical Society Student Texts | volumen=41 | editorial=Cambridge University Press | año=1998 | isbn=0-521-64156-X | zbl=0907.11001 }}
* {{cita libro | nombre=John | apellido=Stillwell | título=Mathematics and its History | edición=Second Edition | editorial=Springer Science + Business Media Inc. | año=2004 | isbn=0-387-95336-1}}
=== Enlaces externos ===
* {{MathWorld|DiophantineEquation|Diophantine Equation}}
* {{PlanetMath|DiophantineEquation}}</text>
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    <title>Matemáticas/Ecuaciones/Ecuación Racional</title>
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{| align=right
| [[Archivo:RationalDegree2byXedi.gif|250px]]
|- align=center
| Función racional de grado 2:
|- align=center
| &lt;math&gt; y = \cfrac{x^2 -3x -2}{x^2 -4} &lt;/math&gt;
|- align=right
| [[Archivo:RationalDegree3byXedi.gif|250px]]
|- align=center
| Función racional de grado 3:
|- align=center
| &lt;math&gt; y = \cfrac{x^3 -2x}{2(x^2 -5)} &lt;/math&gt;
|}


En [[matemáticas]], una '''función racional''' de una variable es una [[función matemática|función]] que puede ser expresada de la forma:
{{ecuación|
&lt;math&gt;f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}&lt;/math&gt;
||left}}
donde ''P'' y ''Q'' son [[polinomio]]s y ''x'' una variable, siendo ''Q'' distinto del polinomio nulo. Esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando [[Polinomios de varias variables|polinomios de varias variables]].

La palabra &quot;racional&quot; hace referencia a que la función racional es una ''razón'' o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser [[números racionales]] o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del [[análisis numérico]] para [[interpolación|interpolar]] o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

== Ejemplos ==
[[Función homográfica]]:
:&lt;math&gt;f(x) = \frac{a x + b}{c x + d}&lt;/math&gt;
si  el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una hipérbola equilátera.&lt;ref&gt;{{cita libro|
|url=http://books.google.com/books?id=XGrILRo8GmsC&amp;lpg=PA58&amp;dq=funci%C3%B3n%20homogr%C3%A1fica&amp;hl=es&amp;pg=PA58#v=onepage&amp;q=funci%C3%B3n%20homogr%C3%A1fica&amp;f=false
|título=Cálculo infinitesimal 
|autor=Pedro Pérez Carreras
|editorial=Universidad Politécnica de Valencia
}}&lt;/ref&gt;

== Propiedades ==
* Toda función racional es de [[Función continua#Clase_de_continuidad|clase &lt;math&gt;C^\infty&lt;/math&gt;]] en un dominio que no incluya las [[raíz de una función|raíces]] del polinomio ''Q''(''x'').
* Todas las funciones racionales en las que el [[Polinomio|grado]] de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen [[asíntota]]s (verticales, horizontales u oblicuas).
* Todas las funciones racionales cuyos coeficientes pertenecen a un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] forman un cuerpo que incluye al cuerpo base como subcuerpo. El cuerpo de funciones racionales forma un subcuerpo del cuerpo de [[serie de potencias formal|series de potencias formales]].

== Integración de funciones racionales ==
Dada una función racional:

:&lt;math&gt;f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]&lt;/math&gt;

Si el denominador es un polinómico mónico &lt;math&gt;\scriptstyle Q(x)&lt;/math&gt; con ''k'' [[raíz de una función|raíces]] diferentes, entonces admitirá la siguiente [[factorización]] en términos de [[polinomio irreducible|polinomio irreducibles]]:

:&lt;math&gt;\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k}
(x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\
k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}&lt;/math&gt;

Si &lt;math&gt;\scriptstyle \mbox{gr}(P) &lt; \mbox{gr}(Q)&lt;/math&gt; entonces la función racional puede escribirse como [[combinación lineal]] de fracciones racionales de las formas:

:&lt;math&gt;\begin{matrix}
f_1(x) = \cfrac{1}{(x-r_i)} &amp; f_2(x)= \cfrac{1}{(x-r_i)^{u}} \\
f_3(x) = \cfrac{1}{x^2+a^2} &amp; f_4(x) = \cfrac{1}{(x^2+a^2)^{v}} \\
f_5(x) = \cfrac{x}{x^2+a^2} &amp; f_6(x) = \cfrac{x}{(x^2+a^2)^{w}} \end{matrix}
&lt;/math&gt;

Por lo que la integral de la función &lt;math&gt;\scriptstyle f_i(x)&lt;/math&gt; es una combinación lineal de funciones de la forma &lt;math&gt;\scriptstyle F_i(x)&lt;/math&gt; :

:&lt;math&gt;\begin{matrix}
F_1(x) = \ln(x-r_i) &amp; F_2(x)= \cfrac{1-u}{(x-r_i)^{u-1}} \\
F_3(x) = \cfrac{1}{a}\arctan \cfrac{x}{a} &amp; F_4(x) =
\cfrac{1}{2a^2}\left( \cfrac{x}{(v-1)(x^2+a^2)^{v-1}}
+ \cfrac{2v-3}{v-1} \int \cfrac{dx}{(x^2+a^2)^{v-1}} \right) \\
F_5(x) = \cfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2) &amp;
F_6(x) = \cfrac{-1}{2(w-1)(x^2+a^2)^{w-1}} \end{matrix}
&lt;/math&gt;

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un [[Cuerpo de cocientes|cuerpo algebraico]] que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración.</text>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección}}&lt;/noinclude&gt;
Se llama '''ecuación pitagórica''' a la ecuación &lt;math&gt;x^2 + y^2 = z^2 \,&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;x,y,z \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. Cualquier terna (''x, y, z'') solución de la ecuación anterior se conoce como terna pitagórica. Además si (''x, y, z'') es una terna pitagórica solución de la ecuación pitagórica también lo serán:

# La terna alternando ''x'' e ''y'': (''y, x, z'').
# Una terna múltiplo (''ky, kx, kz'').
# Una terna con algún signo cambiado (''-x, y, z''), (''x, -y, z'') o (''y, x, -z'')
# Cualquier otra terna obtenida mediante una combinación de los procedimientos anteriores.

Se dice que una terna es primitiva, si el máximo común divisor de ''x, y, z'' es la unidad, es decir, mcd(''x,y,z'') = 1. En toda terna primitiva al menos uno de los números ''x'' o ''y'' es par y ''z'' es impar. Puede verse que en esas condiciones todas las ternas primitivas que son soluciones de la ecuación pitagórica son de la forma:
{{ecuación|
&lt;math&gt;\begin{cases}
x = u^2 - v^2 \qquad y = 2uv  \qquad z = u^2 + v^2 \\ u,v \in \mathbb{N} \; \land \; u \neq v\ (\mbox{mod}\ 2) \; \land \; \mbox{mcd}(u,v) = 1 \end{cases} &lt;/math&gt;
||left}}&lt;ref&gt;La solución ya aparecía en la obra cumbre de Euclides, según HOfmann autor de ''Historia de la matemática'' ISBN 988-18-6286-4&lt;/ref&gt;

===Aporte de Platón===
A Platón se le debe un aporte sobre el caso cuando él formula como los lados de un triángulo rectángulo, en números enteros &lt;center&gt;&lt;math&gt;2n, n^2-1, n^2+1&lt;/math&gt; &lt;/center&gt;, sin duda alguna no tuvo influencia en el desarrollo matemático general.&lt;ref&gt;Hofmann. Op. cit.&lt;/ref&gt;

=== Ternas pitagóricas ===
Cuando los números enteros positivos ''u'', ''v'', ''w'' representan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, la terna (u, v, w) se dice que es una terna pitagórica. Por ejemplo (3,4,5),  (7,24,25) y (9, 40, 41) son ternas pitagóricas.&lt;ref&gt; &quot;El ingenio en las matemáticas&quot; de Ross Honsberger (1994) ISBN 85731-14-X pág.120 &lt;/ref&gt;
&lt;noinclude&gt;{{Matemáticas}}&lt;/noinclude&gt;</text>
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1. HISTORIA. 

==Historia de las ecuaciones lineales==
La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.

La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los &quot;cálculos con cantidades de distintas clases&quot; (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).

Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación   ax + b = c   han pasado más de 3.000 años. 

Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.

Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:

x + ax = b

x + ax + bx = 0

donde a, b y c eran números conocidos y   x   la incógnita que ellos denominaban aha o montón.

Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente: 

&quot;Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24&quot;.

En notación moderna, la ecuación sería:   	x + 1 / 7 x = 24 
La solución la obtenían por un método que hoy conocemos con el nombre de &quot;método de la falsa posición&quot; o &quot;regula falsi&quot;. Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta.

Supongamos que fuera   7   la solución, al sustituir en la x nos daría:   7 + 1/7 · 7 = 8 , y como nuestra solución es 24 , es decir, 8·3 , la solución es 21 = 3 · 7 , ya que 3 · (7 + 1/7 - 7) = 24.

Generalmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias (fracciones con numerador la unidad), cuyo uso dominaban los egipcios. En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibujo de un par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente.

Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.

Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuación 5x = 8 . En las tablas en base sexagesimal hallaban el recíproco de cinco que era 12/60 y en la tabla de multiplicar por 8 , encontramos 8 · 12/60 = 1 36/60 .

Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como hemos visto, mayor por la geometría. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal y dice:


   &quot; Transeúnte, ésta es la tumba de Diophante: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó su sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer vello. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro años.
   De todo esto, deduce su edad. &quot; 


Los primeros documentos matemáticos que existen (datan del siglo III d. de C.) son los Sulvasütras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos. En éstos aparece el siguiente problema:


   &quot; Hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su área es igual al área de un cuadrado dado. &quot;

Esto es: 


es decir, a x = S .
Lo resolvían utilizando el método de la falsa posición, como los egipcios.
Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, cómo resolver ecuaciones lineales. La incógnita la representaba por la abreviatura ya , y las operaciones con la primera sílaba de las palabras.
Dada la ecuación   ax + b = cx + d   , la solución vendrá dada dividiendo la diferencia de los términos conocidos entre la diferencia de los coeficientes de los desconocidos, esto es, 

Estos métodos pasaron a los árabes que los extendieron por Europa. Al algebrista Abu-Kamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la solución de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posición.
El método de la doble falsa posición es el siguiente:
Sea la ecuación   ax + b = 0   y supongamos dos valores para la x :

      x = m       am + b = p 
      x = n        an + b = q 

restando,

      a (m - n) = p - q 

Por otra parte, eliminando a en (1) 

      amn + bn = pn
      amn + bm = qm 

que restando, 

      b (n - m) = pn - qm 

y dividiendo ambos resultados, 

      - a / b = (p - q) / (pn - qm) 

o también 

      - b / a = (pn - qm) / (p - q) 

siendo esto último el valor de   x  . 

Veamos un ejemplo. Sea la ecuación   5x - 10 = 0   , si tomamos como valor de x : x = 3 y x = 4 , y sustituyendo, 

      5 · 4 - 10 = p 
      5 · 3 - 10 = q 

se tiene que 

      x = (10 · 3 - 5 · 4) / (10 - 5) = (30 - 20) / 5 = 10 / 5 = 2 

Este principio fue posteriormente presentado en una forma ligeramente modificada por el método de las escalas. El nombre proviene de un diagrama que permitía escribir la solución rápidamente:

Las dos líneas de la izquierda representan p y q y las de la derecha m y n y la cruz del centro indica que hay que multiplicar. 
El método puede ser sintetizado como sigue:
1. Consideran dos valores cualesquiera de la incógnita m, n . 
2. Calculan los errores correspondientes a ellos p, q .
3. Hallan el valor de la incógnita en función de los valores dados y sus errores.


En nuestro ejemplo, 

A partir de aquí se dedican al estudio de ecuaciones de grado superior.


==Historia de los sistemas de ecuaciones lineales==

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida. 

Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 
      1/4 anchura + longitud = 7 manos 
      longitud + anchura = 10 manos 
Para resolverlo comienzan asignando el valor   5   a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería:
      y + 4x = 28 
      y + x = 10 
restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y = 4 . 

También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática. 

Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de   n   ecuaciones con   n   incógnitas. 
Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. 
Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos.

Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.

El libro El arte matemático , de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.

= Fuentes =

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/historia.html</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra Lineal/Sistemas de ecuaciones lineales</title>
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Un '''sistema de ecuaciones lineales''', también conocido como '''sistema lineal de ecuaciones''' o '''simplemente sistema lineal''', es un conjunto de ecuaciones lineales (el término lineal se refiere a que todas las variables tienen exponente 1) que cumplen las propiedades:
* Combinando dos o más ecuaciones lineales se obtiene siempre otra ecuación también lineal.
* Posee elementos neutro (opuesto aditivo).
* La adición entre ecuaciones cumple la propiedad asociativa.
* La multiplicación por un número real cumple la propiedad distributiva.
&lt;br /&gt;

A continuación se exponen ejemplos de sistemas lineales de '''tres''' ecuaciones:


{{ecuación|
&lt;math&gt;
    \left \{
        \begin{array}{rcrcrcr}
             7 \,x_1 &amp; - &amp; 3\,x_2  &amp; + &amp; 5 \,x_3 &amp; = &amp; 9  \\
             2 \,x_1 &amp; + &amp; 2\,x_2  &amp; + &amp; 4 \,x_3 &amp; = &amp; -2 \\
             -1 \,x_1 &amp; + &amp; \frac{1}{2} \,x_2  &amp; - &amp; 5 \,x_3 &amp; = &amp; 0
        \end{array}
    \right .
&lt;/math&gt;
||left}}

{{ecuación|
&lt;math&gt;
    \left \{
        \begin{array}{rcrcrcr}
              5 \,x &amp; - &amp; 2\,y  &amp; + &amp; 8 \,z &amp; = &amp; - 4   \\
             2 \,x &amp; + &amp; 2\,y  &amp; + &amp; \frac{3}{4} \,z &amp; = &amp; -2 \\
             -2 \,x &amp; + &amp; 4 \,y  &amp; - &amp; 5 \,z &amp; = &amp; 8
        \end{array}
    \right .
&lt;/math&gt;
||left}}

También pueden ser de más ecuaciones:
{{ecuación|
&lt;math&gt;
    \left \{
        \begin{array}{rcrcrcrcr}
             7  \,w &amp; - &amp; 5\,x  &amp; + &amp; 8 \,y &amp; + &amp; 3 \,z &amp; = &amp; 9  \\
             2  \,w &amp; + &amp; 7\,x  &amp; + &amp; 3 \,y &amp; + &amp; 1 \,z &amp; = &amp; -2 \\
             2  \,w &amp; + &amp; 2\,x  &amp; + &amp; 2 \,y &amp; + &amp; 7 \,z &amp; = &amp; -2 \\
             -1 \,w &amp; + &amp; 6\,x  &amp; - &amp; 1 \,y &amp; + &amp; 6 \,z &amp; = &amp; 0
        \end{array}
    \right .
&lt;/math&gt;
||left}}</text>
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    <title>Matemáticas/Álgebra Conmutativa/Ideales</title>
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      <text bytes="11380" sha1="eb0ecasxzhvihx9ik7pnmsoi7tmydlz" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Un '''ideal''' es una subestructura algebraica definida en la teoría de anillos. Los ideales generalizan, de manera fecunda, el estudio de la divisibilidad entre los números enteros hacia otros objetos matemáticos. De este modo, es posible enunciar versiones muy generales de teoremas de la aritmética elemental, tales como el teorema chino del resto o el teorema fundamental de la aritmética, válidos para los ideales. Se puede comparar también esta noción con la de subgrupo normal para la estructura algebraica de grupo en el sentido de que facilita definir la noción de anillo cociente como una extensión natural de la noción de grupo cociente &lt;ref&gt;A.I. Kostrikin. «Introducción al álgebra» Editorial Mir, Moscú (1983)&lt;/ref&gt;.

== Aspecto histórico ==

La teoría de los ideales es relativamente reciente, puesto que fue creada por el matemático alemán, Richard Dedekind, a fines del siglo XIX. 

En dicha época, una parte de la comunidad matemática se interesó en los números algebraicos y, más concretamente, en los enteros algebraicos. 

La cuestión consiste en saber si los enteros algebraicos se comportan como los enteros relativos, particularmente, en lo que respecta a su descomposición en factores primos. Parecía claro, desde el comienzo del siglo XIX que este no era siempre el caso. Por ejemplo, el entero 6  puede descomponerse, en el anillo &lt;math&gt;\mathbb Z[i\sqrt{5}]&lt;/math&gt;,  en la forma &lt;math&gt;2 \times 3&lt;/math&gt; o en la forma &lt;math&gt;(1 + i\sqrt{5})(1- i\sqrt{5})&lt;/math&gt;

Ernst Kummer dice entonces que lo anterior va a depender de los números en cuestión e inventa la noción de complejos ideales.

La idea es hacer que sea única la descomposición en factores primos añadiendo artificialmente otros números (del mismo modo que se añade ''i'' a los números reales siendo &lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt; con el fin de disponer de números para los cuadrados negativos). En el ejemplo de más arriba, se va a &quot;inventar&quot; cuatro números &quot;ideales&quot; ''a'', ''b'', ''c'' y ''d'' tales que:

:&lt;math&gt;2 = a \cdot b&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;3 = c \cdot d&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;1 + i\sqrt{5} = a \cdot c&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;1 - i\sqrt{5} = b \cdot d&lt;/math&gt;

Así, 6 se descompondrá de manera única en:

:&lt;math&gt;6 = a \cdot b \cdot c \cdot d&lt;/math&gt;

Dedekind en 1871 vuelve a usar la noción de número ideal de Kummer y crea la noción de ideal en un anillo. Se interesa principalmente por los anillos de los enteros algebraicos, es decir, anillos conmutativos unitarios e íntegros. En este dominio se encuentran los resultados más interesantes sobre los ideales. Creó el conjunto de los ideales de un anillo conmutativo, unitario e íntegro para operaciones semejantes a la adición y a la multiplicación de los enteros relativos.

La teoría de los ideales no solo permitió un avance significativo en el [[Álgebra_abstracta|álgebra general]], sino también en el estudio de las curvas algebraicas (geometría algebraica).

== Definición ==

Un subconjunto &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; no vacío de un anillo &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es un '''ideal por la izquierda de ''A''''' si:

# ''I'' es un subgrupo aditivo de ''A''.
# &lt;math&gt;\forall (a,x) \in A \times I : a \times x \in I&lt;/math&gt; (El producto por la izquierda de un elemento de ''I'' por un elemento de ''A'' pertenece a ''I'').

y es un '''ideal por la derecha de ''A''''' si:

# ''I'' es un subgrupo aditivo de ''A''.
# &lt;math&gt;\forall (x,a) \in I \times A : x \times a \in I&lt;/math&gt; (El producto por la derecha de un elemento de ''I'' por un elemento de ''A'' pertenece a ''I'').

Un '''ideal bilátero''' es un ideal por la derecha y por la izquierda. En un anillo conmutativo, las nociones de ideal por la derecha, de ideal por la izquierda y de ideal bilátero coinciden y simplemente se habla de ideal. 

=== Ejemplos ===

* Para todo entero relativo &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;k \mathbb{Z}&lt;/math&gt; es un ideal de &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.
* Si ''A'' es un anillo, {0} y A son ideales triviales de ''A''. Estos dos ideales tienen un interés muy limitado. Por esta razón se llamará '''ideal propio''' a todo ideal no trivial.
* Si ''A'' es un anillo unitario y si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; es un ideal que contiene a 1 entonces &lt;math&gt;I = A&lt;/math&gt;. De modo más general, si, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; contiene un elemento inversible, entonces &lt;math&gt;I = A&lt;/math&gt;
* Los únicos ideales en un cuerpo &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; son los ideales triviales.

== Operaciones con ideales ==

=== Suma ===

Si ''I'' y ''J'' son dos ideales de un anillo ''A'', entonces se puede comprobar que el conjunto &lt;math&gt;I+ J = \{x + y : x \in I \ e \ y \in J\}&lt;/math&gt; es un ideal. 

{{demostración|
Para comprobar que el aserto es correcto, debemos comprobar en primer lugar que ''I+J'' es subgrupo del grupo aditivo de ''A'', i.e., &lt;math&gt;(A,+)&lt;/math&gt;, y en segundo lugar tendremos que comprobar que &lt;math&gt;xa\in(I+J),~\forall x\in A,\forall a\in (I+J)&lt;/math&gt;.

::*En primer lugar, sea &lt;math&gt;z_1,z_2\in(I+J)\Rightarrow\exists (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in I\times J&lt;/math&gt; tales que &lt;math&gt;z_i=x_i+y_i~(i=1,2)&lt;/math&gt;. Como &lt;math&gt;I,J&lt;/math&gt; son ideales, entonces son subgrupos de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; y por ende, &lt;math&gt;(x_1-x_2,y_1-y_2)\in I\times J&lt;/math&gt;, de manera que &lt;math&gt;z_1+(-z_2)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)&lt;/math&gt; es un elemento del conjunto &lt;math&gt;I+J&lt;/math&gt;. Ergo, &lt;math&gt;\forall z_1,z_2\in I+J,~(z_1-z_2)\in I+J&lt;/math&gt;, por lo tanto &lt;math&gt;I+J&lt;/math&gt; es subgrupo de &lt;math&gt;(A,+)&lt;/math&gt;.
::* En segundo lugar, sea &lt;math&gt;z=(x+y)\in I+J&lt;/math&gt;. Por ser &lt;math&gt;I,J&lt;/math&gt; ideales de ''A'' se tiene que &lt;math&gt;(a\cdot x, b\cdot y)\in I\times J, ~\forall a,b\in A&lt;/math&gt;. De este modo, &lt;math&gt;a\cdot z=a\cdot(x+y)=a\cdot x+a\cdot y=(a\cdot x)+(a\cdot y)&lt;/math&gt;. Dado que &lt;math&gt;a\cdot x\in I,~\forall a\in A&lt;/math&gt; y lo análogo para &lt;math&gt;a\cdot y&lt;/math&gt;, se tiene que &lt;math&gt;a\cdot z\in I+J&lt;/math&gt;.

::Con esto queda demostrado que era correcta la afirmación enunciada.
}}

=== Intersección ===

Toda intersección de ideales es un ideal.

{{demostración|
Sea una familia de ideales &lt;math&gt;\{I_k\}&lt;/math&gt;, queremos comprobar que &lt;math&gt;I=\bigcap_k I_k&lt;/math&gt; es ideal:
::* Comprobemos que es subgrupo del grupo aditivo &lt;math&gt;(A,+)&lt;/math&gt;. Sean &lt;math&gt;x,y\in \bigcap_k I_k&lt;/math&gt;, entonces se tiene que &lt;math&gt;x,y\in I_k,\forall k&lt;/math&gt;. Como los &lt;math&gt;I_k&lt;/math&gt; son ideales, entonces &lt;math&gt;x-y\in I_k,\forall k&lt;/math&gt;, por lo que a su vez se tiene que &lt;math&gt;x-y\in\bigcap_k I_k=I&lt;/math&gt;. Por consiguiente ''I'' es subgrupo de &lt;math&gt;(A,+)&lt;/math&gt;.
::* Comprobemos ahora que &lt;math&gt;a\cdot x\in I, \forall a\in A,x\in I&lt;/math&gt;. Supongamos que &lt;math&gt;x\in I\Rightarrow x\in\bigcap_k I_k \Rightarrow x\in I_k, \forall k&lt;/math&gt;. Ahora bien, como los &lt;math&gt;I_k&lt;/math&gt; son ideales, sabemos que &lt;math&gt;a\cdot x\in I_k,\forall a\in A,\forall k \Rightarrow a\cdot x\in \bigcap_k I_k,\forall a\in A&lt;/math&gt;. Por consiguiente &lt;math&gt;a\cdot x\in I, \forall a\in A,x\in I&lt;/math&gt;.

::Queda con esto demostrado el aserto anterior, i.e., &lt;math&gt;\bigcap_k I_k&lt;/math&gt; es ideal, siendo &lt;math&gt;\{I_k\}&lt;/math&gt; una familia arbitraria de ideales de ''A''.
}}

El conjunto de los ideales de ''A'' con estas dos operaciones forma una cadena. De esta segunda ley se permite la noción de '''ideal generado'''. Si ''P'' es un subconjunto de un anillo ''A'', se llama ''ideal generado por P'' a la intersección de todos los ideales de ''A'' que contienen a ''P'', notado usualmente como &lt;math&gt;\langle P \rangle&lt;/math&gt;. Se puede comprobar que:

#&lt;math&gt;\langle P \rangle = \{a_1x_1+\dots +a_nx_n:a_1,\dots,a_n\in P,~x_1,\dots,x_n\in A\}&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt; I+J= \langle I\cup J \rangle =\bigcap_k\{G_k:G_k \textrm{~es~ideal~en~}A\textrm{~y~} (I\cup J)\subseteq G_k\}&lt;/math&gt;

Ejemplos:
* Para un anillo &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, ''a'' ∈ ''A'' engendra el ideal &lt;math&gt;aA&lt;/math&gt; (por ejemplo ''n'' engendra &lt;math&gt;n\mathbb Z&lt;/math&gt;, ideal de &lt;math&gt;\mathbb Z&lt;/math&gt;)
* Si ''I'' y ''J'' son dos ideales de ''A'', el ideal &lt;math&gt;I+ J&lt;/math&gt; está engendrado por el subconjunto &lt;math&gt;I \cup J&lt;/math&gt; de ''A''.

=== Producto ===

Si ''I'' y ''J'' son dos ideales de un anillo, se llama producto de ''I'' y ''J'' al ideal &lt;math&gt; \textstyle IJ &lt;/math&gt; engendrado por todos los elementos de la forma ''xy'' donde ''x'' pertenece a ''I'' e ''y'' pertenece a ''J''. Se tiene que &lt;math&gt;IJ\subset I\cap J&lt;/math&gt;.

Como ejemplo, en el anillo &lt;math&gt;\mathbb Z&lt;/math&gt; , el producto de los ideales &lt;math&gt;n\mathbb Z&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;p\mathbb Z&lt;/math&gt; es el ideal &lt;math&gt;np\mathbb Z&lt;/math&gt; y este último está incluido en &lt;math&gt;n\mathbb Z \cap p\mathbb Z&lt;/math&gt;.
 
=== Anillo cociente === 

Si ''I'' es un ideal bilátero del anillo A, la relación &lt;math&gt;x \mathcal R y \Leftrightarrow x - y \in I&lt;/math&gt; es una relación de equivalencia compatible con las dos leyes del anillo. Se puede crear entonces, sobre el conjunto de las clases &lt;math&gt;\dot x = x + I &lt;/math&gt; una estructura de anillo denominada anillo cociente A/ I del anillo A por el ideal I. La construcción se realiza sobre la base del grupo aditivo del anillo. Cabe tomar como elementos de A/I las clases adjuntas a + I( llamadas «clases de restos respecto al módulo del ideal I»).

Como suma de clases  se define por (a+I) +&lt;sup&gt;º&lt;/sup&gt; (b+ I) =(a+b) + L; el opuesto  -&lt;sup&gt;º&lt;/sup&gt;(a+I) = -a + I.

Como producto de clases (a+I) ×&lt;sup&gt;º&lt;/sup&gt; (b+I)= ab + I. &lt;ref&gt;Kostrikin. Op. cit.&lt;/ref&gt;

== Casos particulares ==
'''Ideal principal''': es un ideal generado por ''un único'' elemento.

'''Ideal primario''': en un anillo conmutativo unitario, un ideal ''I'' es primario [[si y solo si]] para todo ''a'' y ''b'' tales que &lt;math&gt;ab\in I&lt;/math&gt; , si &lt;math&gt;a \notin I&lt;/math&gt; entonces existe un entero natural ''n'' tal que &lt;math&gt;b^n \in I&lt;/math&gt;.
 
'''Ideal primo''': en un anillo conmutativo unitario, ''I'' es un ideal primo si y solo si ''I'' es distinto de ''A'' y, para todo ''a'' y ''b'' pertenecientes a A tales que &lt;math&gt;ab\in I&lt;/math&gt;, si &lt;math&gt;a \notin I&lt;/math&gt; entonces &lt;math&gt;b \in I&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;P&lt;/math&gt; es un ideal primo de &lt;math&gt;A \Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A/P&lt;/math&gt; es dominio de integridad.
 
'''Ideal irreducible''' : en un anillo conmutativo unitario, un ideal ''I'' es irreducible si no se puede escribir como intersección de dos ideales ''J'' y ''K'' diferentes de ''I''.

'''Ideal maximal''' : Un ideal &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; es maximal &lt;math&gt; \Leftrightarrow&lt;/math&gt; existen exactamente dos ideales que contienen a &lt;math&gt;M&lt;/math&gt;, a saber, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; y el mismo &lt;math&gt;M&lt;/math&gt;.
:En un anillo conmutativo unitario, un ideal maximal es necesariamente primo.
:el ideal &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; es un ideal maximal de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; si y solo si &lt;math&gt;A/M&lt;/math&gt; es un cuerpo.

'''Radical de un ideal''': Si ''I'' es un ideal de un anillo conmutativo ''A'', se llama [[Radical de un ideal|radical]] de ''I'', y se escribe &lt;math&gt;\sqrt{I}&lt;/math&gt; , al conjunto de los elementos ''x'' de ''A'' tales que existe un entero natural ''n'' para el cual &lt;math&gt; x^n \in I&lt;/math&gt;. Es un ideal de ''A''.

:Ejemplo: &lt;math&gt;30\mathbb Z&lt;/math&gt; es el radical de &lt;math&gt;360\mathbb Z&lt;/math&gt; 
:Si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es un anillo conmutativo, entonces tiene las propiedades siguientes:

:* &lt;math&gt; \sqrt{I} \supset I&lt;/math&gt;
:* &lt;math&gt;\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}&lt;/math&gt;
:* &lt;math&gt;\sqrt{IJ} = \sqrt{I \cap J} = \sqrt{I} \cap \sqrt{J}&lt;/math&gt;
:* Si, además, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es unitario, &lt;math&gt; \sqrt{I}=A \Leftrightarrow I = A&lt;/math&gt;

==Referencias==
{{listaref}}
== Fuente ==
https://es.wikipedia.org/wiki/Ideal_(teor%C3%ADa_de_anillos)</text>
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    <title>Matemáticas/Teoría de anillos/Anillos y Subanillos</title>
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* [[Matemáticas/Historia/Números|H. de los Números]]
* [[Matemáticas/Historia/Concepto Número|H. del concepto Número]]
* [[Matemáticas/Historia/El cero|Creación del Cero]]
* [[Matemáticas/Historia/Números Negativos|H. de los Negativos]]
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* [[Matemáticas/Historia/Suma y Resta|H. de Sumas y Restas]]
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* [[Matemáticas/Historia/Egipto|Matemáticas en el Antiguo Egipto]]
* [[Matemáticas/Historia/Babilonia|Matemáticas en Babilonia]]
* [[Matemáticas/Historia/Grecia|Matemáticas en Antigua Grecia]]
* [[Matemáticas/Historia/India|Matemáticas en India Clásica]]
* [[Matemáticas/Historia/China|Matemáticas en China Clásica]]
* [[Matemáticas/Historia/Islam|Matemáticas y el Islam]]
* [[Matemáticas/Historia/Occidente|Matemáticas en Occidente]]
* [[Matemáticas/Historia/Bibliografía|Bibliografía]]


&lt;noinclude&gt;{{Renglóndoble|[[Matemáticas/Historia/Texto completo|'''Texto completo de este capítulo''']]|Esta página contiene todo el texto del capítulo de '''«Historia»'''}}</text>
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{{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos
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=== Capítulo 4 Espacios Métricos ===
(Libro = Matemáticas Univeritarias/Espacios Métricos)

== Introducción ==

Un espacio métrico es básicamente un conjunto provisto con una (noción de) distancia, formalmente  semejante a aquella de los espacios normados vistos en el capítulo anterior. Los espacios métricos son una abstracción de dichos espacios y de otras situaciones que irán apareciendo en este capítulo y los siguientes.

Daremos primeramente una definición abstracta de espacio métrico, para luego examinar algunas de sus propiedades básicas.

== Las Definiciones Básicas ==

&lt;div style=&quot;background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;&quot; class=&quot;theorem&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;&quot;&gt;Definición. (Métrica, Distancia})&lt;/span&gt;
Una &lt;b&gt;métrica&lt;/b&gt; o &lt;b&gt;distancia&lt;/b&gt; en un conjunto E  es una función 
d:E x E &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;  tal que para todo x, y, z  en E  se cumple que
: D1 d(x,y) &amp;ge; 0.    (la distancia entre dos puntos nunca es negativa).
: D2 d(x,y) = 0, ssi,  x=y.
: D3 d(x,y) = d(y,x).   (simetría)
: D4  d(x,y) &amp;le; d(x,z) + d(z,x).  (desigualdad triangular)
&lt;/div&gt; 

{{DefRht|Espacio Métrico| Un espacio métrico es un par &lt;E,d&gt;  donde E  es un conjunto no vacío y d  es una distancia (métrica) en E.}}

Cuando no haya riesgo de confusión sobre la distancia envuelta, podremos hablar simplemente del espacio métrico E, en vez de &lt;E,d&gt;.

=== Ejemplos de Espacios Métricos ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Los Reales, &amp;#8477; con la distancia definida a partir del valor absoluto, d(s,t) := |s -t| . Nos referiremos a este espacio como la &lt;b&gt;línea real&lt;/b&gt;.

&lt;li&gt; Los diferentes espacios normados en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;  con la distancia asociada con la norma.

Este ejemplo muestra la necesidad de, algunas veces, de usar el par &lt;E,d&gt;, ya que puede haber diferentes métricas en un mismo conjunto.
(&lt;b&gt;Convenio.&lt;/b&gt;) Cuando no especifiquemos la norma o distancia de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, siempre supondremos que se trata del espacio Euclídeo .&lt;/math&gt;

&lt;li&gt; Los Complejos y los &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt; con la métrica  deducida de su norma hermitania.
&lt;li&gt;  En general, cualquier  espacio normado tiene asociada una distancia que los hace un espacio métrico

&lt;li&gt; (&lt;b&gt;Espacio Discreto&lt;/b&gt;) Cualquier conjunto no vacío &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; admite trivialmente una métrica, definiendo para todo &lt;math&gt;x&lt;&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;d(x,y)= \begin{cases}
    0, &amp; \text{si x=y}; \\
    1, &amp;\text{ en caso contrario.}
\end{cases}&lt;/math&gt;
Llamaremos &lt;b&gt;espacio discreto&lt;/b&gt; a este espacio métrico.

Los espacios discretos tienen importantes aplicaciones a pesar de su aparente carácter artificial. Algunas veces nos referiremos a este espacio como el espacio con la &lt;i&gt;métrica 0--1&lt;/i&gt;.

Notemos que esta métrica, en el caso de  &lt;math&gt;&lt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,  no puede provenir de una norma, ya que tal norma no cumpliría la propiedad N3, &lt;math&gt;\|\alpha x\| =|\alpha| \|x\|&lt;/math&gt;
&lt;/ol&gt;

==== Subespacios. ====

Sea  &lt;E,d&gt;  un espacio métrico y sea X  un subconjunto no vacío de E . Si restringimos la metrica a X  obtenemos un espacio métrico &lt;X, d'&gt;, donde d' es la restricción de d a X x X. Diremos que ese espacio es un &lt;b&gt;subespacio&lt;/b&gt; (métrico) de E .
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Cada intervalo (abierto, cerrado, acotado o no acotado) de la línea real es un espacio métrico que es un subespacio de la línea real

&lt;li&gt; Los Racionales, &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt;, determinan un subespacio de los Reales.
&lt;/ul&gt;

Notemos que estos ejemplos, aunque corresponden a subconjuntos de un espacio normado,  no determinan un espacio normado.  En ambos casos, la multiplicación de un escalar por un elemento del espacio puede acabar  fuera del espacio.
&lt;hr&gt; 

En general, las propiedades métricas o topológicas de subespacios  pueden ser  bastante diferentes de aquellas del espacio total.  Por ejemplo, un intervalo [a,b]  de los Reales es un espacio métrico acotado, mientras que el conjunto de los reales no lo es.

Veamos, a continuación, una proposición simple, pero con una importante propiedad  de las métricas.
&lt;b&gt;Proposición 4.2.1.&lt;/b&gt; &lt;i&gt;
Sean x, y, z, w en E, entonces
&lt;center&gt;|d(x, y) − d(z,w)| ≤ d(x, z) + d(y,w). &lt;/center&gt;
&lt;/i&gt;
&lt;i&gt;
Demostración.&lt;/i&gt;
: Aplicando la desigualdad triangular, tenemos que
:: (1) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), y
:: (2) d(z,w) ≤ d(z, y) + d(y,w).
:: (1) y (2) ⇒ d(x, y) − d(z,w) ≤ d(x, z) + d(y,w) (*)
:: (3) d(z,w) ≤ d(z, y) + d(y,w) ⇒ d(z,w) − d(z, y) ≤ d(y,w).
:: (4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z,w) ⇒ d(x, y) = d(z,w) ≤ d(x, z).
:: (3) y (4) ⇒ d(z,w) − d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y,w). (**)
: De (*) y (**), concluimos que
:: −d(x, z) − d(y,w) ≤ d(x, y) − d(z,w) ≤ d(x, z) + d(y,w).
: Lo que implica el resultado.
{{QED}}

&lt;b&gt;Corolario 4.2.2.&lt;/b&gt; &lt;i&gt;Sean x, y, z puntos de un espacio métrico E. Entonces,
|d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y).&lt;br&gt;
Demostración. &lt;/i&gt; Ejercicio.
&lt;hr&gt;

=== Isometrías ===
&lt;div style=&quot;background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;&quot; class=&quot;theorem&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;&quot;&gt;Definición. (Isometría)&lt;/span&gt;
Sean &lt;E,d&gt;  y &lt;E',d'&gt;  espacios métricos. Llamamos &lt;b&gt;isometría&lt;/b&gt; de E  en E'  a una función biyectiva  f  de E  en E'  que preserva la distancia entre puntos. Esto es, para todo  x, y  en E, se cumple que:
&lt;center&gt;  d'(f(x), f(y))  =  d(x, y) &lt;/center&gt;.
&lt;/div&gt;

&lt;!---
Las traslaciones son isometrías en cualquier espacio normado. Ver ejercicios del capítulo [[../Espacios Normados|Espacios Normados]].
--&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 4.2.1.&lt;/b&gt; Cuando d es una métrica en un espacio, k veces d es también una
métrica. Ver ejercicio 2 al final de la sección.

Sean E = &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, d la métrica euclídea y d′ = 6d. La función
f :&lt; E, d′ &gt; → &lt; E, d &gt; tal que f(x, y) = (6x, 6y) es una isometría.

::d(f(x, y), f(u, v)) = d((6x, 6y), (6u, 6v)) = ||(6x − 6u, 6y − 6v)||
::::: =  6||(x − u, y − v)|| = 6d((x, y), (u, v)) = d′((x, y), (u, v)).

&lt;b&gt;
Proposición 4.2.3. &lt;/b&gt; &lt;i&gt;
La composición de isometrías es una isometría. La inversa de una isometría es una isometría.&lt;/i&gt;
&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;
: Sean f : E &amp;rarr; E′ y g : E′ &amp;rarr; E′′ isometrías. Entonces, para
todo x, y en E se cumple que
:: d(g(f(x)), g(f(y))) = d(f(x), f(y)) ya que g es isometría
::: = d(x, y) ya que f es isometría
: Lo que prueba que la composición de una isometría.

: Sea h la función inversa de f, entonces
:: d(h(x′), h(y′)) = d′(f(h(x′)), f(h(y′)) = d′(x′, y′).
: Lo que prueba que h es una isometría.
{{QED}}&lt;hr&gt;

&lt;i&gt;Observación 4.1. &lt;/i&gt;(♠) En Geometría se denomina grupo de transformaciones de un espacio X a un subconjunto no vacío G de biyecciones del conjunto que es
cerrado respecto a la composición (la composición de dos funciones de G está en
G) y cerrado respecto a tomar inversos (la inversa de una función de G está en G).
La proposición anterior aplicada al conjunto de isometrías de un espacio métrico
E en si mismo, Iso(E), muestra que forman un grupo de transformaciones de E.
Cuando E = &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, dicho grupo es el grupo de las congruencias o grupo Euclídeo de la Geometría plana clásica.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Traslaciones en un Espacio Normado.&lt;/b&gt;  Sean &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; un espacio normado y &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; un elemento de &lt;math&gt;E&lt;/math&gt;. Llamamos &lt;i&gt;traslación por a&lt;/i&gt;, a la función &lt;math&gt;t_a&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; en si mismo que envía cada punto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; en &lt;m&gt;a+x&lt;/math&gt;.

&lt;b&gt;Proposición 4.2.4.&lt;/b&gt;&lt;i&gt;
Las traslaciones son isometrías en cualquier espacio normado.&lt;/i&gt;&lt;br&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;

Demostración.&lt;/i&gt;  Sea t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;(x) = a + x, Entonces&lt;br /&gt;
d(t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;(x), t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;(y)) = ||t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;(x) − t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;(y)|| = ||(a + x) − (a + y)||= ||x − y|| = d(x, y).&lt;/ul&gt;&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 4.2 ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sea &lt;E,d&gt;  un espacio métrico. Sea d'(x,y) := kd(x,y)  donde k  es un número real positivo. Probar que d' es una métrica en E .

&lt;li&gt;  Sea x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ..., x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; una sucesión finita de puntos de un espacio métrico. Probar que
&lt;center&gt;d(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) &amp;le;  d(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) +  ... + d(x&lt;sub&gt;n-1&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;).&lt;/center&gt;

&lt;li&gt;   Probar que la inversa de una isometría es una isometría.    

&lt;li&gt;  (Geometría de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;)  Probar que las funciones siguientes determinan isometrías del plano.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; f(x,y) = (x+3, y-5) .
&lt;li&gt; f(x,y) = (ax -by, ax+by)  con a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1 .
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; (Transporte de Estructura) Sea &lt; E, d &gt; un espacio métrico y sea f : X &amp;rarr; E una función biyectiva. Para todo x, y en X definir
&lt;center&gt;d′(x, y) := d(f(x), f(y)). &lt;/center&gt;
¿Es d′ una métrica en X? En caso afirmativo, ¿qué tendría de especial la función &lt;i&gt;F&lt;/i&gt;?

&lt;li&gt;  Sea h(x) = sen(x) + 2. La gráfica de g es el conjunto
&lt;center&gt;X = {(x, y) ∈ R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; : y = h(x)}. &lt;/center&gt;

[[Archivo:Fig04-05.jpg|center]]

Sea f : X → &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; :: f(x, h(x)) = x. Probar que f es biyectiva. Definir una
distancia en X, por d((x, h(x)), (y, h(y)) = |x − y|. ¿Es d una métrica en
X?

&lt;!--
&lt;li&gt; Sea g : &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; → &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que g(t) = t&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;. Verificar que g es una biyección. Sea E el espacio métrico definido por transporte de estructura usando g en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. es
decir que d′(x, y) = |g(x) − g(y)|. Describir explícitamente los siguientes
conjuntos.
--&gt;
&lt;li&gt;  Una &lt;i&gt;semejanza lineal&lt;/i&gt; del plano &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; de razón r es una transformación h&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt; del  plano en si mismo,  tal que h&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(x) = rx.
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Si r &amp;ne; 0, h&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt; es biyectiva.
&lt;li&gt; d(h&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(x), h&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(y)) = |r|d(x, y).
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt;  Sea f : E &amp;rarr; E′ una isometría.
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; La imagen por f de una bola abierta (resp. cerrada) es una bola del
mismo typo y de igual radio.
&lt;li&gt; La imagen de un conjunto de diámetro D tiene el mismo diámetro. La
imagen de un conjunto acotado es acotado.
&lt;li&gt; ¿Qué otras çosas&quot;son preservadas por las isometrías?
&lt;/ol&gt;
&lt;/ol&gt;

== Las Funciones Continuas ==

Las funciones continuas entre espacios métricos (y, posteriormente, entre espacios topológicos) constituyen la familia más importante de funciones a considerar desde el punto de vista  de la proximidad.  Una función continua será una función que &lt;i&gt;preserva&lt;/i&gt; la proximidad.

Los lectores deben haber encontrado esta noción en sus cursos de Cálculo, donde muchas veces es opacada por las nociones de funciones diferenciables o integrables. Se dice usualmente en los textos de Cálculo que una función de un subconjunto de los Reales en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, es continua en un número a, ssi, para todo &amp;epsilon; &gt; 0  hay un &amp;delta; &gt;0  tal que &lt;!-- \label{eqn0401} --&gt;
&lt;center&gt;
|x-a| &lt; &amp;delta;  ==&gt;  |f(x) - f(a)| &lt; &amp;epsilon;   (*)
&lt;/center&gt;

Digamos, en primer lugar que la notación  &amp;epsilon;---&amp;delta;  es tradicional, se trata de un par de números reales denominados de esa manera por uso y costumbre. Cualquier otro par de símbolos serviría igual.

Algunas veces la definición no aparece explícitamente de esa forma, sino que se dice que &lt;math&gt; \lim_{x \to a} f(x)= f(a),&lt;/math&gt;. La transcripción a símbolos de la expresión con límites, es precisamente  la ecuación (*).

Lo que nos interesa aquí, es entender por qué  esa ecuación representa una preservación de cercanía o proximidad de puntos. En primer lugar, y para conectarla con los espacios métricos, la escribiremos usando la noción de distancia en los Reales.

Tenemos entonces que f  es continua en a, ssi, para todo &amp;epsilon;  &gt;0  hay un &amp;delta; &gt;0  tal que &lt;!-- label{eqn0402} tag{**} --&gt;
{{Eqn|&lt;math&gt;
d(x,a) &lt; \delta \implies  d(fx), f(a)) &lt; \epsilon.
&lt;/math&gt;|**}}
Decimos de manera más o menos informal que la  ecuación anterior establece que podemos hacer la distancia entre f(x)  y f(a)  tan pequeña como queramos (menor que  &amp;epsilon; ), siempre y cuando tomemos la distancia entre x  y a   lo suficientemente pequeña (menor que &amp;delta;) .

La proximidad entre f(x)  y f(a)  está determinada por la distancia usada (espacio métrico) y por la elección de &amp;epsilon;. La función &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; será continua en el punto &lt;i&gt;a&lt;/i&gt;, cuando  no importa que &amp;epsilon;  escojamos, siempre podremos hallar un valor &amp;delta; tal que tomando los valores de x  adecuados (con distancia a &lt;i&gt;a&lt;/i&gt;  menor que &amp;delta;) podremos lograr que d(f(x), f(a))  sea menor que &amp;epsilon;;.


&lt;b&gt;Ejemplo 4.3.1. &lt;/b&gt;&lt;br&gt;
Mostraremos el significado operacional de la definición de continuidad
indicada, probando que la función f : R &amp;rarr; R tal que f(x) = 3x + 4 es
continua en x = 5.

&lt;i&gt;Resolución.&lt;/i&gt; Comenzaremos evaluando |f(x) − f(5)|.&lt;br&gt;
|f(x) = f(5)| = |(3x + 4) − (3 ∗ 5 + 4)| = |3x − 3 ∗ 5| = 3|x − 5|.

La expresión a la derecha es la clave para la demostración, ya que nos dice que si
queremos que |f(x) − f(5)| &lt; ε, bastará con hacer 3|x − 5| &lt; ε, lo qual se logra
tomando |x − 5| &lt; ε/3. De esta manera, podemos hallar el valor adecuado de δ,
que en este caso será cualquier número menor o igual a ε/3. En efecto, cuando
|x − 5| &lt; δ se cumplirá que
|f(x) = f(5)| = 3|x − 5| &lt; 3δ = 3 ∗ ε/3 = ε.
Como el valor de ǫ era arbitrario, concluimos que f es continua en 5.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 4.3.2.&lt;/b&gt;&lt;br&gt;
Probaremos, para tener un ejemplo más elaborado, que la función
f(t) = t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; es continua en 3.

Resolución. Nuevamente empezamos acotando |f(x) − f(3)|. Tenemos que
{{Eqn|&lt;math&gt; |f(x) - f(3)| = |x^2 - 3^2| = |x + 3| |x - 3|. &lt;/math&gt;| 1}}
No podemos proceder, sin embargo, de una manera tan simple como en el ejemplo anterior, debido al factor
|x + 3|. Como interesa que pasa cerca de 3, limitaremos los valores de x a que
|x − 3| &lt; 1(Cualquier otro valor positivo serviría), o sea que 2 &lt; x &lt; 4. Usando la última relación, concluimos que 5 &lt; x + 3 &lt; 7, De donde,
{{Eqn|&lt;math&gt; |f(x) - f(3)| = |x^2 - 3^2| = |x + 3| |x - 3| &lt; 7|x - 3|.  &lt;/math&gt;|2}}
Luego, si queremos que |f(x) − f(3)| &lt; ε, bastará con que |x − 3| &lt; ε/7,
lo cual nos da una pista sobre el valor adecuado para δ, ε/7. Una vez obtenido
lo anterior, procedemos a la demostración formal. Sea ǫ &gt; 0 dado. Escojamos
δ = mín{ε/7, 1} (debemos asegurarnos que el valor de δ sea menor que 1, en
caso que ε/7 sea mayor que 1.
Sigue entonces de la ecuación (2) que |f(x) - f(3)| &lt; ε, lo que prueba la
continuidad de f en 3.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 4.3.3.&lt;/b&gt; Veamos ahora una función discontinua. Sea f : R &amp;rarr; R tal que
f(x) = 1, cuando x &gt; 0, y f(x) = 0, cuando x ≤ 0.

Veremos que f no puede ser continua en 0. Cualquier bola abierta con centro en 0 contiene números positivos, sea x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; uno de ellos, entonces f(x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;)−f(0) = 1−0 = 1. Por lo que no importa que δ escojamos la distancia entre esas imágenes será igual a 1, por lo que no puede hacerse tan pequeña como queramos (por ejemplo 1/2).
&lt;hr&gt;

En el último ejemplo, la gráfica de la función tiene un “salto” en 0. El salto
mide 1. Cualquier salto impide, por las mismas razones del ejemplo, la continuidad
de la función. Por eso, a veces, hay quienes dicen que una función continua
es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin tener que levantar el lápiz del papel


Extenderemos la definición de función continua a una función entre espacios
métricos.


Daremos, a continuación,  una definición formal de continuidad  para completar nuestra discusión.
&lt;div style=&quot;background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;&quot; class=&quot;theorem&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;&quot;&gt;Definición. (Continuidad)&lt;/span&gt;
Sea f :&lt; E, d &gt; &amp;rarr; &lt; E′,d′ &gt; una función.
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; (Local) f es continua en un punto p de E, ssi, para todo ǫ &gt; 0, podemos
hallar un δ &gt; 0 tal que
: d(x, p) &lt; δ ⇒ d′(f(x), f(p)).

&lt;li&gt;  (Global) f es continua en (el espacio) E, ssi, es continua en cada punto de
E.
&lt;/ul&gt;
&lt;/div&gt;

Siempre hay funciones continuas entre dos espacios métricos: las funciones
constantes.

&lt;b&gt;Proposición 4.3.1.&lt;/b&gt; &lt;i&gt;
Cada función constante de un espacio métrico en otro es continua en todo el espacio.&lt;/i&gt;

&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;
: Sea f : E &amp;rarr; E′ tal que para todo x en E, f(x) = b. Sea p un punto cualquiera de E. Como para todo x, se cumple que d(f(x), f(p)) = d′(b, b) = 0, vemos que para cualquier ε &gt; 0, podemos usar cualquier δ &gt; 0 y se tendrá que
:: d(x, p) &lt; δ ⇒ d′(f(x), f(p)) = 0 &lt; ε.
{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 4.3.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;&lt;br&gt;
Las isometrías son funciones continuas en todo el dominio.
&lt;/i&gt;
&lt;i&gt;Demostración.&lt;/i&gt;
: Sea f : E &amp;rarr; E′ una isometría. Como d′(f(x), f(a)) = d(x, a), dado un ε &gt; 0, basta tomar δ = ε para que se cumpla la definición de continuidad en a.
{{QED}}
&lt;hr&gt;
Dejaremos aquí, nuestra excursión a las funciones continuas, a las que dedicaremos
un capítulo completo. ([[../Continuidad|Cap 6. Continuidad]].)
Lo que más nos interesa de la definición,
por ahora, es que nos servirá para motivar los conceptos de la próxima sección.


=== Ejercicios 4.3 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Probar que en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; las funciones siguientes son biyectivas y continuas.
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; f : t &amp;#8614; t + a.
&lt;li&gt; g : t &amp;#8614; at, a &amp;ne; 0.
&lt;li&gt; h : t &amp;#8614; mt + n, m &amp;ne; 0.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea f : E &amp;rarr; E′ continua en p y g : E′ &amp;rarr; E′′ continua en f(p). Probar
que la composición g ◦ f es continua en p.

&lt;li&gt; Sean a, b, c y d números reales tales que a &lt; b y c &lt; d. Probar que la
función f : [a, b] → [c, d] tal que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
f(t) = \frac{d-c}{b-a} (t-a) + c
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
es biyectiva  y continua.

&lt;li&gt; Sea f: E &amp;rarr; E' una función continua. Sea A un subconjunto no vacío de E. Proanr que la restricción de f a A es continua.

&lt;li&gt; Sean E un espacio métrico y 1&lt;sub&gt;E&lt;/sub&gt; la función identidad, 1&lt;sub&gt;E&lt;/sub&gt;(x) = x; probar que se trata de una función continua.
&lt;/ol&gt;

== Bolas Abiertas, Cerradas y Esferas ==

Comenzamos en esta sección el estudio de la topología de un espacios métrico. Como parte de la definición de continuidad aparecen x  tales que d(x,a) &lt;  &amp;delta; . Por lo que interesa estudiar conjuntos que tienen esa propiedad. Si pensamos geométricamente, tal conjunto  será semejante al &quot;interior&quot; de  una circunferencia (en un plano) con centro a y radio &amp;delta;. Generalizaremos  las nociones anteriores a espacios métricos cualesquiera.

&lt;!---
\begin{figure}[ht]
\input {./Figuras/Fig03-01}
\caption{Bolas y esfera}
\label{fig04-01}
\end{figure}
--&gt;
[[Archivo:Fig04-01.jpg|center|Bolas y Esferas]]

{{DefRht|Bolas y Esferas| Sea E  un espacio métrico, p  un punto de E  y r  un número real positivo.
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Llamamos&lt;b&gt; bola abierta&lt;/b&gt;  con &lt;b&gt;centro&lt;/b&gt; p  y &lt;b&gt;radio&lt;/b&gt; r al subconjunto de E  denotado por B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(p) (o B(p:r)) y que está  formado por todos los puntos de E  cuya distancia a p es menor que r .
{{eqn|&lt;math&gt;B_r(p) := \{ x \in E: d(x,p) &lt;  r \}.&lt;/math&gt;}}

&lt;li&gt; Llamamos  &lt;b&gt;bola cerrada&lt;/b&gt; con &lt;b&gt;centro&lt;/b&gt; p  y &lt;b&gt;radio&lt;/b&gt; r&lt;/b&gt; al subconjunto de E  denotado por  Br[p](o B[p;r]) y que está formado por todos los puntos de E  cuya distancia a p  es   menor o igual que r .
{{eqn|&lt;math&gt;B_r[p] := \{x \in E:  d(x,a) \le r\}.&lt;/math&gt;}}

&lt;li&gt; Llamamos  &lt;b&gt;esfera&lt;/b&gt; de centro p  y radio r  al subconjunto de E  denotado por S&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;r(p) (o S(p;r))  y que está formado por todos los puntos de E  cuya distancia a p  es igual   a r .
{{eqn|&lt;math&gt;
S_r(p) := \{ x \in E: d(x,p) = r \}.
&lt;/math&gt;}}
&lt;/ul&gt;
}}

Claramente, B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;[p] = B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(p) &amp;cup; S&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(p).

&lt;ul&gt;&lt;small&gt;
(&amp;#9769;) Intuitivamente, una bola abierta contiene a todos los puntos vecinos próximos a su centro. ¿Cuán próximos?... depende del valor del radio.
Cuando decimos que podemos escoger puntos &quot;tan cerca como queramos&quot; de un cierto punto, estamos hablando de los puntos de un bola abierta con centro en el
punto y con un radio tan pequeño como queramos.
&lt;/small&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Observación 4.2.&lt;/b&gt; La terminología no es estándar. Algunos autores usan esferas en lugar de bolas. En situaciones planas, se usa también discos (abiertos y cerrados). Nosostros hablaremos, también,  de la  &lt;b&gt;r–vecindad&lt;/b&gt;
de un punto p, para referirnos  a la bola de radio r y centro p.


{{Ejmpl|Ejemplos 4.4.1}}
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; En el espacio euclídeo &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;,  las bolas abiertas son los interiores de los círculos con igual centro y radio. Por su parte, las bolas cerradas corresponden al círculo anterior, pero agregando la circunferencia correspondiente, que es la   correspondiente esfera.  En la geometría plana hablamos de círculo  y circunferencia  en vez de bola cerrada y esfera (que son más propios de espacios tridimensionales).

&lt;li&gt; En la línea real, la bola abierta B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(a)  coincide con el intervalo abierto ]a-r,a+r[. Mientras que la bola cerrada de igual centro y radios es el intervalo cerrado [a-r,a+r]. La esfera S&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(a)  es igual al conjunto {a-r, a+r}.
&lt;/ol&gt;
&lt;hr&gt;


{{Ejmpl|Ejemplo 4.4.2 (&lt;b&gt;Propiedad de Hausdorff&lt;/b&gt;) }}
Sean x, y  puntos diferentes de un espacio métrico.
Probar que hay bolas abiertas B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;  y B&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;   que contienen a x  y a y  respectivamente y que son disjuntas entre si.

&lt;i&gt;Resolución. &lt;/i&gt;   Un dibujo puede inspirarnos  en la solución.

[[Archivo:Fig04-02.jpg|center|250px|Propiedad de Hausdorff]]
&lt;center&gt; Figura 4.2.&lt;/center&gt; &lt;!-- \input {./Figuras/fig0402} --&gt;

Vemos que parece que tomando como r=d(x,y)/3, las bolas de radio r  y centros en x  y y serán disjuntas.

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
Como x &amp;ne; y , d(x,y)  es un número positivo, por lo que r= d(x,y)/3  también es un número positivo. Sean B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(x)  y B&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(y). Claramente, x &amp;isin;  B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; , y &amp;isin;  B&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;. Falta, tan solo, probar que dichas bolas son disjuntas. Supongamos que no y sea z  un punto común a ambas bolas. Entonces,
&lt;center&gt;
3r =d(x,y) &amp;le;  d(x,z) + d(z,y) &lt; r + r = 2r.
&lt;/center&gt;
Como es imposible que 3r &lt; 2r , hemos obtenido una contradicción. Luego, nuestras bolas deben ser disjuntas.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;
El último ejemplo muestra que  buenos dibujos  pueden ayudarnos a comprender la situación o a inspirarnos en las demostraciones. Sin embargo,  solamente una demostración es la única garantía de que andamos pisando terreno firme.

{{Ejmpl|Ejemplo 4.4.3}}
Supongamos que X  es un espacio discreto (métrica 0--1).
¿Cómo son las bolas abiertas o cerradas en X? La siguiente tabla muestra algunos resultados.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
r   &amp; B_r(a) &amp;  B_r[a] &amp; S_r(a) \\  \hline\hline
1/2 &amp; \{a\} &amp;  \{a\} &amp; \emptyset \\ \hline
1   &amp; \{a\} &amp; X  &amp; X \setminus  \{a\} \\ \hline
2   &amp;   X  &amp;  X &amp;   \emptyset \\ \hline \hline
\end{array}
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
&lt;hr&gt;

=== Bolas y Esferas en Subespacios ===

Usualmente, las  &quot;formas&quot; más extrañas de bolas y esferas aparecen en los subespacios, aunque esperamos que el lector o lectora descubra que sus dibujos intuitivos son suficientemente buenos para guiar en una demostración.

Sea E  un espacio métrico y sea F  un subespacio de E. Para precisión en la exposición, simbolizaremos por d&lt;sub&gt;E&lt;/sub&gt;  y d&lt;sub&gt;F&lt;/sub&gt; a  las distancias en E  y F  respectivamente, aunque si  x,y  están en F se cumple que  d&lt;sub&gt;F&lt;/sub&gt;(x,y) = d&lt;sub&gt;E&lt;/sub&gt;(x,y),  por definición de subespacio. Análogamente, simbolizaremos por B&lt;sub&gt;E&lt;/sub&gt;(p;r)  y B&lt;sub&gt;F&lt;/sub&gt;(p;r) a  las bolas abiertas en E y F respectivamente.

Sea p un punto de F. Notemos que un punto x está en B&lt;sub&gt;F&lt;/sub&gt;(p;r), ssi, x está en F  y d&lt;sub&gt;F&lt;/sub&gt;(p,r) &lt; r, ssi, x  está en F  y d&lt;sub&gt;E&lt;/sub&gt;(x,p)&lt;r. Es decir que
&lt;center&gt;
B&lt;sub&gt;F&lt;/sub&gt;(p;r) = B&lt;sub&gt;E&lt;/sub&gt;(p;r) &amp;cap;  F.
&lt;/center&gt;

El razonamiento es general, por lo que hemos probado que las bolas abiertas de F  son la intersección de una bola abierta de E  (con igual centro y radio) con el subespacio F. Análogamente, para bolas cerradas y esferas,

{{Ejmpl|Ejemplo 4.4.4}}
Sea E = [0,2[ = {x &amp;isin; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;: 0 &amp;le;  x &lt; 2}.

Notemos que en el espacio métrico E  con la distancia inducida de la distancia usual en los Reales, tenemos que
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;  B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;(0) = [0,1)   (bola abierta).
&lt;li&gt;  B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;[1] = [0,2[   (bola cerrada)
&lt;li&gt;  S&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;(1) = &amp;empty;.
&lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

{{Ejmpl|Ejemplo 4.4.5}}
La métrica usada también afecta a las figuras, como se ilustra a continuación; donde podemos ver  esferas de igual radio con igual centro, pero  para diferentes métricas de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

[[Archivo:Fig04-03.jpg|center|Esferas de Igual Radio, pero diferente norma|300px]]
&lt;center&gt; Figura 4.3: Esferas. &lt;/center&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;i&gt;Observación. &lt;/i&gt;El lenguaje de bolas y esferas proviene de la geometría de los
espacios euclídeos usuales (Rn con la métrica euclídea). Tal préstamo puede ayudar
a desarrollar nuestra intuición de situaciones más abstractas. Sin embargo,
cabe advertir que la situación no es tan simple, como se pudo apreciar en el ejemplo
4.4.3 anterior. Situaciones semejantes se hallarán en la próxima sección y en
la sección sobre espacios ultramétricos.

Moraleja: es conveniente visualizar las relaciones y propiedades en el modelo
euclídeo; pero, es absolutamente necesario probar la validez general de dichas
visualizaciones.

===  Los Espacios de Funciones ===

Sea E el espacio de funciones reales acotadas definidas en el intervalo [a,b], o sea el espacio normado B([a,b], &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;) definido en la sección el espacio normado de todas las funciones acotadas definidas sobre el intervalo [a,b].  Ver la sección 4 del capítulo 3.  Basado en dicha norma, tenemos una distancia definida por
{{eqn|&lt;math&gt;
d(f,g) = \sup\{|f(t) - g(t)| : t \in [a,b]\}.
&lt;/math&gt;}}

Dada una función f  por su gráfica, ¿cómo se ve gráficamente una bola de radio r  con centro en la función f?

[[Archivo:Fig04-04.jpg|center|250px]]
&lt;center&gt;Figura 2.4: Bola abierta en un espacio de funciones.&lt;/center&gt;
&lt;hr&gt;

Mirando a la figura vemos un dibujo de tal bola abierta. La linea continua es el centro de la bola y las  líneas entrecortadas son la esfera. Una función está en la
bola abierta, cuando su gráfica se ubique entre las dos líneas entrecortadas.

=== Ejercicios 4.4 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sean r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;  números reales tales que 0  &lt; r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt; r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;. Probar que la bola abierta (resp. cerrada) de radio r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;  está contenida en la bola abierta (resp. cerrada) de radio r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.

&lt;li&gt;  La distancia entre dos elementos de una misma bola abierta (resp. cerrada) de radio r  es menor (resp. menor o igual) que 2r.

&lt;li&gt;  Sea B = B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(a) . Probar que para todo punto p  de B , hay una bola abierta con centro en p , totalmente contenida en B.

&lt;li&gt; Sean B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, B&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;  bolas abiertas con  intersección no vacía. Probar que dicha intersección contiene a una bola abierta.

&lt;li&gt; Verificar las afirmaciones del ejemplo 4.4.3.
&lt;/ol&gt;

== Productos de Espacios Métricos ==

Sean &lt;E&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, d&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;&gt;, para i=1, ... , n,  una familia de espacios métricos.
Sea E el producto cartesiano de los E&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'s. Los elementos de E son n-uplas 
(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) con x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; en E&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;.

¿Podremos definir una estructura métrica en E relacionada con los factores? &lt;br&gt;
La respuesta es afirmativa, y daremos dos posibles definiciones.

&lt;b&gt;Definiciones de  métricas productos.&lt;/b&gt;
{{eqn|&lt;math&gt;
d_1((x_i),(y_i)) : = \max\{d_i(x_i,y_i): 1 \le i \le n\}.
&lt;/math&gt;|MP-1}}
{{eqn|&lt;math&gt;
d_2((x_i),(y_i)) : = \sum_{i=1}^n d_i(x_i,y_i)
&lt;/math&gt;|MP-2}}

Queda de ejercicio, verificar que tenemos métricas.

=== Ejercicios 4.5. ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;   Verificar que las funciones MP--1 y MP--2 definidas en el texto, efectivamente proveen métricas al espacio producto.     Discutir la relación entre esas definiciones y las métricas ciudad y máxima de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
¿Podría proveerse al espacio producto con una métrica análoga a la euclidiana?

&lt;li&gt;    Suponer que E es un espacio métrico  con métrica  &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt;, que es la métrica discreta 0--1. Sea SE el conjunto formado por todas las sucesiones de elementos de E.  Definir para dos sucesiones (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;), (y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;),
{{eqn|&lt;math&gt;
d((x_n), (y_n)) = \sum_{n \ge 0} \frac{\rho(x_n,y_n)}{2^{n+1}}.&lt;/math&gt;}}                            
Verificar que   &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; es una métrica en SE. ¿Es d discreta? 
&lt;/ol&gt;

== Algunas Nociones Métricas ==

Veremos, en esta sección, diversas nociones asociadas a subconjuntos de un espacio métrico. (Esta sección hace uso de las nociones de supremo e ínfimo, para un repaso ver la sección correpondiente del Capítulo [[../Números Reales|2 (Números Reales).]].

=== Diámetro de un Conjunto ===
Llamamos &lt;b&gt;diámetro&lt;/b&gt; de un subconjunto A  de un espacio métrico E al número real
&lt;center&gt;
&amp;delta;(A) := sup{ d(x, y): x, y &amp;isin;  A}.
&lt;/center&gt;

Cuando A  no sea vacío y el supremo anterior no exista, diremos que el conjunto tiene un &lt;b&gt;diámetro infinito&lt;/b&gt; (+&amp;infin;).

(&amp;#9769;) El diámetro de un conjunto mide lo más &quot;ancho&quot; del conjunto.

&lt;b&gt;Conjunto Acotado. &lt;/b&gt;  Decimos que un subconjunto A  de un espacio métrico es &lt;b&gt;acotado&lt;/b&gt;, cuando su diámetro es finito.

{{Ejmpl|Ejemplo 4.6.1}}
Hallar el diámetro de A= ]0,1].

&lt;i&gt;Resolución. &lt;/i&gt;  Intuitivamente ese diámetro (que aquí coincidirá con el largo intuitivo del intervalo) debe ser 1. Daremos, sin embargo, una demostración formal de ese resultado, para ilustrar como trabajamos con las definiciones.
Notemos que cuando  x, y son elementos de A, se tiene que

0 &lt; x &lt; y &amp;le;  1  implica que d(x,y)= |x-y| = y-x &lt; 1-x. Considerando x=1/n, n &gt; 1, vemos que d(x,y) = 1-1/n. Tales valores tienen supremo 1; lo que implica que el diámetro es 1.&lt;hr&gt;

{{Ejmpl|Ejemplo 4.6.2}}
Sea A  igual la cinta {(x,y) &amp;isin; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;: 1 &lt; x &amp;le;  5}.  Hallar el diámetro de A .

&lt;i&gt;Resolución. &lt;/i&gt;  Notemos que para todo número natural a = (3,0)  y b=(3,n)  son puntos de A  y que &lt;math&gt; d(a,b) = \sqrt{(3-3)^2 + (0-n)^2} = n&lt;/math&gt;.  Como los naturales no son acotados superiormente, no hay un supremo finito para las distancias, luego tendremos que &amp;delta;(A) = +&amp;infin; .
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Lema 4.6.1.&lt;/b&gt; &lt;i&gt; Sean A,B  subconjuntos de un espacio métrico.&lt;br&gt;
Cuando A  es un subconjunto de B   se cumple que &amp;delta;(A) &amp;le;  &amp;delta;(B) .
&lt;/i&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
: Sean x, y  puntos de A  y, por lo tanto, de B .  Luego, para todo x, y  en A , d(x,y) &amp;le;  &amp;delta;(B) --ya que &amp;delta;(B)  es una cota superior de esos valores. De donde, sup{d(x,y): x,y  &amp;isin;  A} &amp;le;  &amp;delta;(B) ---supremo es la menor cota superior.
{{QED}}
&lt;hr&gt;

{{Ejmpl|Ejemplo 4.6.3}} 
Sean B = B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(a) y B'=B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;[a].  Entonces, &amp;delta;(B) &amp;le;  &amp;delta;(B') &amp;le;  2r.

&lt;i&gt;Resolución. &lt;/i&gt; Sean x , y  en B', entonces
&lt;center&gt;
d(x,y) &amp;le;  d(x,a)+d(a,y) &amp;le;  r + r = 2r.
&lt;/center&gt;
Luego, &amp;delta;(B') &amp;le; 2r. La otra desigualdad sigue del lema anterior.
&lt;hr&gt;

Notemos que, al pasar, hemos probado que bolas, ya sean abiertas o cerradas son conjuntos acotados.

&lt;b&gt;Lema 4.6.2. &lt;/b&gt; &lt;i&gt;Un conjunto no vacío es acotado, ssi, está contenido en una bola (ya sea abierta o cerrada)&lt;/i&gt;
&lt;/b&gt;
&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;
: Supongamos que el conjunto X  fuera acotado, digamos que su diámetro fuera igual a m. Entonces, cuando a  es un punto de X , se tiene para todo x en X que d(x,a) &amp;le;  m. Luego, X  está contenido en B&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;[a] &amp;subset; B&lt;sub&gt;2m&lt;/sub&gt;(a).

: El recíproco sigue del lema anterior y de que las bolas son conjuntos acotados.
{{QED}}
&lt;hr&gt;

=== Distancia entre conjuntos ===
Llamamos &lt;b&gt;distancia&lt;/b&gt; entre subconjuntos A  y B  de un espacio métrico al número
&lt;center&gt;
d(A,B) := inf {d(x,y) : x &amp;isin;  A,   y &amp;isin;  B}.
&lt;/center&gt;
Cuando A = {a}  escribimos d(a,B)  y hablamos de distancia del punto a  al conjunto B.

{{Ejmpl|Ejemplo 4.6.4}}
Hallar la distancia euclídea del punto p=(1,1)  a la línea L  con ecuación cartesiana x+y=1.

&lt;i&gt;Resolución. &lt;/i&gt;  Sea s  la distancia del punto p a un punto (x,y) de la línea L. Tenemos que
:: m&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = d((x,y), (1,1)))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;= (x-1)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + (y-1)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = (x-1)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + (1-x-1)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
::: = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; - 2x + 1 + x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; - 2x + 1 = 2(x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; - x + 1/4 + 1/2.
::: = 2(x - 1/2)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 1/2

Por lo que, m&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;  tiene como valor mínimo 1/2, luego la distancia buscada es &lt;math&gt;\scriptstyle1/\sqrt{2}&lt;/math&gt;.
&lt;hr&gt;

===  Ejercicios 4.6 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Probar los siguientes enunciados.
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; &amp;delta;(A) = 0, ssi, A  consiste de un único punto.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Hallar el diámetro de los siguientes conjuntos de la línea real. Después de intuir el resultado dar una prueba formal.
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt;   ]a,b[),
&lt;li&gt;  [a,b],
&lt;li&gt;  {números primos}.
&lt;/ol&gt;
&lt;li&gt; ¿Será cierto que &amp;delta;(A &amp;cap; B) &amp;le;  &amp;delta;(A) + &amp;delta; B ? En caso afirmativo, dar una prueba. En caso negativo, dar un contraejemplo. Cuando puede que pase en algunas situaciones, indicar las condiciones con prueba.

&lt;li&gt; (Conjuntos Acotados)  Probar lo siguiente:
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Un conjunto  contenido en un conjunto acotado, es un conjunto acotado.
&lt;li&gt;  La reunión de dos conjuntos acotados es un conjunto acotado.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt;  (&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;  con la métrica euclídea)
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;  Sea B  (resp. B' ) la bola abierta (resp. cerrada)  con centro en a  y radio r . Probar que cuando la distancia de un punto a B'  es s , entonces la distancia del punto a B   también es s .
&lt;li&gt;  Hallar una fórmula para la distancia entre una bola de radio r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;  y una bola de radio r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; . Analizar las posibles posiciones de los centros y valores de los radios.
&lt;li&gt;  (*) ¿Son válidos los resultados anteriores en un espacio  discreto?
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; ¿Cierto o falso? Si cierto, dar una demostración o un ejemplo; en caso contrario, dar un contraejemplo?
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Un espacio métrico puede consistir de un único punto.
&lt;li&gt; Las bolas abiertas siempre son distintas de las bolas cerradas.
&lt;li&gt; Sea r &lt; &amp;rho;. La bola abierta (resp. cerrada) de radio r  es diferente a la bola abierta (resp. cerrada) de radio &amp;rho;.
&lt;li&gt; Una esfera de radio positivo nunca es vacía.
&lt;/ol&gt;
&lt;/ol&gt;

== Los Reales Extendidos, &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;#&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; ==
Definiremos una estructura de espacio métrico en los Reales extendidos, &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;#&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; = R ∪ {+∞,−∞}. &lt;br /&gt;
Sea f : R &amp;rarr; ]-1,1[ tal que
&lt;math&gt; f(x) = \frac{x}{1 + |x|}&lt;/math&gt; y sea g :]-1,1[ &amp;rarr;  tal que
g(x) = x/(1 - |x|). Se tiene que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
g(f(x)) = g(\frac{x}{1+|x|}= \frac{\frac{x}{1+|x|}}{1- \frac{|x|}{1-\frac{|x|}{1+|x|}}}
= x.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Análogamente, g(f(x)) = x, lo que prueba que f y g son biyectivas. Extendamos
f a  F : R &amp;rarr; [-1,1], poniendo  F(x) = f(x) cuando x es un número real,
F(+∞) = 1, y ¯ F(−∞) = −1. Claramente, F es también biyectiva. Por lo que la
usaremos para definir una métrica d* en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;#&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; por
d(x, y) := |F(x) − F(y)|.
La verificación de que d* es una métrica queda de ejercicio. Con respecto a esta métrica, la función F es una isometría.
Notemos que, por ejemplo, d*(1,+∞) = |f(1)−f(+∞)| = 1/2 y que d*(−∞,+∞) = 2. Como [−1, 1] es acotado, tendremos que &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;#&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es también acotado y que el subconjunto de los Reales también lo será.

Naturalmente, la restricción de esta métrica a &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; es bastante diferente a la métrica usual, definida por su valor absoluto, de la línea
real.

¿Cuáles son las vecindades de +∞ en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;#&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;?
Consideremos por ejemplo  la bola abierta de radio 1/2 con centro en +∞. Tenemos que

{{eqn|&lt;math&gt;
B\#(+\infty,1/2) = \{x \in \mathbb{R} : 1 &lt; x\} =]1,+\infty]&lt;/math&gt;.}}


===  Ejercicios 4.6 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Probar que una bola cerrada con radio mayor que 2 es igual a todos los
Reales extendidos.

&lt;li&gt; Describir las bolas abiertas centradas en +∞.
&lt;li&gt; Idem. para las bolas centradas en −∞.
&lt;/ol&gt;

==  Espacios Ultramétricos ==
Describiremos, en esta sección, a unos espacios métricos cuya métrica satisface una condición más estricta que la desigualdad triangular. Dichos espacios tienen interesantes aplicaciones en diversas áreas de matemáticas.  Para nosotros servirán de ejemplos de espacios métricos con unas propiedades ``extrañas'', lo que quiere decir bastante diferente de lo que pasa en espacios euclídeos.Una &lt;b&gt;ultramétrica&lt;/b&gt; en un conjunto E es una métrica que satisface una condición más estricta que la desigualdad triangular.
&lt;center&gt;d(x, y) ≤ máx {d(x, z), d(z, y).&lt;/center&gt;
Claramente, cada ultramétrica es una métrica. Un espacio ultramétrico es un
espacio provisto de una ultramétrica.

Antes de dar ejemplos, veremos algunas de las propiedades ``extrañas''  de los espacios ultramétricos.


&lt;b&gt;Ejemplo 4.8.1.&lt;/b&gt; &lt;i&gt; Todos los triángulos en un espacio ultramétrico son isósceles.&lt;/i&gt; Es decir que dados tres puntos x, y, z, al menos dos de las distancias entre esos puntos son iguales.

&lt;i&gt;Resolución.&lt;/i&gt; Supongamos que hay al menos dosdistancias  desiguales (el caso contrario es trivial), digamos que d(x, y) &lt; d(x, z). Entonces, como
d(y, z) ≤ máx{d(y, x), d(z, x)} concluimos que d(y, z) ≤ d(x, z). Por su parte,
d(x, z) ≤ máx{d(x, y), d(y, z)} implica que d(x, z) ≤ d(y, z) (ya que es mayor
que la otra alternativa). Luego, d(y, z) = d(x, z).
&lt;hr&gt;

Ejemplo 4.8.2. En un espacio ultramétrico, &lt;i&gt;cualquier punto de una bola abierta es
centro de la bola&lt;/i&gt;.

&lt;i&gt;Resolución.&lt;/i&gt; Sean B = B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(x), y ∈ B. Probaremos que B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(x) = B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(y). Sea
z ∈ B. Entonces, d(z, y) ≤ máx{d(z, x), d(x, y)} &lt; r.
Es decir que z ∈ B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(y). Lo que prueba que B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(x) ⊂ B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(y). Comenzando con un
punto en B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(y) obtenemos la inclusión inversa.
&lt;hr&gt;

=== Los valores absolutos p-ádicos en los Racionales ===
En esta sección veremos una familia de valores absolutos para los Racionales que tienen las mismas propiedades formales que el valor absoluto usual, pero con la propiedad adicional de que

&lt;center&gt;&lt;math&gt;
|x+y| \le \max{|x|, |y|}.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
la distancia deducida de tal valor absoluto es una ultramétrica.

Sea p un número primo. Es sabido que dado un número primo cualquiera p, cada número entero z no nulo puede representarse como el producto una potencia del primo p con un número relativamente primo con p.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
z = p^r m
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
con r &amp;ge; 0 y m no divisble por p.

Diremos  que el entero no negativo r  de la relación anterior es la p--ponderación de m  y la denotaremos por ord&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(m).  Extenderemos la p--ponderación a los racionales de la manera siguiente: si q=z/w, con z,  w tales que ord&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(z) = m y  ord&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(w) = n, entonces
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
ord_p(q) = ord_p(z) - ord_p(w) = m-n.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Notemos que si z = p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;x  y w = p&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;x , el racional z/w = p&lt;sup&gt;m-n&lt;/sup&gt; (x/y)  con x, y no divisibles por p.

&lt;b&gt;Valor absoluto p--ádico.&lt;/b&gt; Sea p un número primo y sea | &lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt; |&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; definido para un racional x como
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
|x|_p ;=p^{-ord_p(x)},
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
cuando x &amp;ne; 0, y |0|&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; = 0.

&lt;b&gt;Ejemplos 4.8.3.&lt;/b&gt; Consideremos el caso cuando p = 5.
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;   35 = 5&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; * 7, luego, ord_p(35)=1, por lo que |35|&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 5&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;.

&lt;li&gt;    1/25 = 5&lt;sup&gt;-2&lt;/sup&gt;, luego |1/25|&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 5\sup2&lt;/sup&gt;.
&lt;li&gt;      9 = 5^0  , luego  |9|&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;= 1.
&lt;li&gt;    35/100 = (5 * 7)/ (5&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; * 4) = 5&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; )7/4) , luego |35/100|,sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 5&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;.
&lt;/ol&gt;


Notemos que para todo  x,  |x|_p  es un número entero, que es una potencia de  p cuando x  no es nulo. Llamaremos a  |x|_p , el valor absoluto p --ádico de  &lt;b&gt;&gt;Q&lt;/b&gt;.  El nombre de valor absoluto proviene de las propiedades mostradas en la siguiente proposición. Comparar con la propiedades del valor absoluto usual---que en este contexto llamaremos el valor absoluto proveniente del orden.

&lt;b&gt;Proposición 4.8.1.(Propiedades del Valor Absoluto  p --ádico)&lt;/b&gt;
&lt;i&gt;Sean  x,  y  números racionales.
&lt;ol type=&quot;a&quot; &gt;
&lt;li&gt;    |x|_p &amp;ge; 0.
&lt;li&gt;    |x|_p = 0 \iff x =0.
&lt;li&gt;    |-x|_p = |x|_p.
&lt;li&gt;    |x+y|_p &amp;le; max{|x|_p, |y|_p }.
&lt;li&gt;     |xy|_p = |x|_p |y_p|.
&lt;/ol&gt;&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt; Los enunciados UVA1 al UVA3 son triviales. Las propiedades UVA4 y UVA5 ameritan demostraciones explícitas.

Sean  x,  y  racionales; si uno de ellos es nulo, los resultados son triviales. Supongamos que  ord&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(x) = r  y  ord&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(y) = s , o sea que  x=p^{r} (z/w) ,  y = p^s(u/v)  con  z ,  w ,  u ,  v , enteros no divisibles por  p. Luego,  |x|_p = p^{-r}  y  |y|_p = p^{-s}.


(UV4)  Sin perdida de generalidad, podemos suponer que   r &amp;le; s. Entonces,
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
x+y =  p^{r}\frac{z}{w} + p^s\frac{u}{v} = p^r(\frac{z}{w} + p^{s-r}\frac{u}{v}).
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Entonces,
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\frac{z}{v} + p^{s-r}\frac{u}{v} = \frac{zv+ p^{s-r}uw}{vw} = \frac{q}{vw}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Claramente,  p  no divide a vw.  Supongamos que  ord&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(q) = e , con  e &amp;ge; 0. Entonces,  ord&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(x+y) = r+e.
Por lo que,
&lt;center&gt;&lt;math&gt;|x+y| = p^{-(r+e)} = p^{-r} p^{-e} \le p^{-r} = \max{p^{-r}, p^{-s}} = \max{|x|_p,|y|_p}.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
 Lo que prueba la afirmación.

(UV5) Como  &lt;center&gt;&lt;math&gt;
xy =  p^r\frac{z}{w} \, p^s \frac{u}{v} =p^{rs} \frac{zu}{wv},
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
con  zu  y  wu  no son divisibles por  p ,  se tiene que  |xy|_p= p^{-(r+s)} ; lo que prueba el resultado.
&lt;/ul&gt;&lt;hr&gt;
Notemos que la propiedad UV4 implica inmediatamente una desigualdad triangular, ya  que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;|x+y|_p \le |x|_p +|y|_p.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Lo que justifica la nomenclatura de valor absoluto.  Asociaremos con este valor absoluto, la distancia  p --ádica en  &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt; , definida como  d_{(p)}(x,y) = |x-y|_p. Como
&lt;center&gt;&lt;math&gt;d_{(p)}(x,y) = |x-y|_p = |(x-z)+(z-y)|_p \le \max{|x-z|_p, |z-y|_p},&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
vemos que se trata de una ultramétrica.

&lt;b&gt;Observación 8.4. &lt;/b&gt;  Si llamamos valor absoluto en  \Q  a cualquier función que asigna a cada racional  un número real que cumple las propiedades formales del valor absoluto, se sabe,por un teorema de Ostrowski, que los únicos valores absolutos en &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt;  son esencialmente el valor absoluto usual (asociado al orden) y los  p-ádicos de esta sección.

Los Racionales provistos de un valor absoluto  p--ádico son ejemplos de cuerpos llamados &lt;i&gt;no arquimedianos&lt;/i&gt;, ya que se tiene la siguiente proposición.

&lt;b&gt;Proposición 4.8.2. &lt;/b&gt; &lt;i&gt;Sea  p  un número primo. Los Naturales como subconjunto de los Racionales no son acotados respecto al valor absoluto asociado al orden, pero  son acotados respecto a las normas   p--ádicas,     ya que se cumple para todo  n  en  &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;   que  |n|_p &amp;le; 1. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt; Notemos que  |0|_p= 0  y que  |1|_p = 1. Supongamos que  k &amp;ge; 1  y que  |k|&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; &amp;le; 1. Entonces,
&lt;center&gt;&lt;math&gt;|k+1|_p \le \max\{|k|_p, |1|_p\} \le 1.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
El resultado sigue por inducción.
&lt;/ul&gt;&lt;hr&gt;

Se puede hallar, además de los Racionales con los valores absolutos p--ádicos, otros espacios ultramétricos, pero nuestra exploración de tales espacios acaba, por ahora, aquí, ya que nos interesaban principalmente como ejemplo de las consecuencias posibles de los axiomas de espacio métrico.

===  Ejercicios 4.8 ===

&lt;b&gt;A.  Suponer que el primo p es igual a 5. &lt;/b&gt;

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;  Evaluar  ord&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;(100) ,  ord&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;(-10!) , ord&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;(20) ,  ord&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;(15/23) .

&lt;li&gt;  Evaluar  |100|&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; ,   |7-3|&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; ,   |750-625|&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; ,  |1/9 - (-1/6)|&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; .

&lt;li&gt; Probar que un número entero  z  tiene  |x|&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;=1 , ssi,  z  no es divisible por 5.

&lt;li&gt; Probar que un número entero  z  tiene  |x|&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;&lt;1 , ssi,  z   es divisible por 5.

&lt;li&gt;Probar que   q=m/n ,  m  y  n  relativamente primos, tiene |q|&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; &gt;1 , ssi,  n  es divisible por  5 .

&lt;li&gt; Si  |x-a|&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; &lt; |a|&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;  entonces  |x|&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = |a|&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; .
&lt;/ol&gt;

&lt;b&gt; B. Bolas abiertas, cerradas y esferas en  &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt;  con el valor absoluto 5 --ádico.&lt;/b&gt;

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;  Verificar que los valores posibles del valor absoluto  5 --ádico son las potencias enteras de 5 o 0.

&lt;li&gt;  Probar que  B(0;8) = B(0,5) = B[0;1] .
&lt;li&gt; Probar que  S(0;8)  es vacío.
&lt;li&gt;  Probar que el  diámetro de  B(0;1)  es 1.
&lt;/ol&gt;

&lt;b&gt;C. Suponer que  E  es un espacio ultramétrico. &lt;/b&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; El diámetro de una bola es menor o igual que su radio.

&lt;li&gt; Cuando dos bolas (abiertas o cerradas) tienen un punto en común, entonces  una de ellas está contenida en la otra.

&lt;li&gt; Cualquier punto de una bola cerrada es centro de la bola.

&lt;/ol&gt;

== Ejercicios del Capítulo 4 ==

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Cuando un punto p pertenece a un conjunto A, entonces d(p,A) = 0. ¿Es
válido el recíproco?

&lt;li&gt;. Sea &lt; E, d &gt; un espacio métrico. Sea &lt;math&gt;
d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)}.&lt;/math&gt;

Probar que d′ es una distancia en E. (Sug. Para la desigualdad triangular, escriba lo que
desea probar, luego expanda y simplifique.) Probar, además, que para todo x, y
en E, d′(x, y) &lt; 1.

&lt;li&gt; Sea BS(&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;) el conjunto formado por todas las sucesiones acotadas en E.
&lt;ol type = &quot;a&quot; &gt;
&lt;li&gt; Probar que la suma término a término y el producto de constante por cada término proveen a  BS(&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;) de una estructura de espacio vectorial (ver definición en el capítulo 3).

&lt;li&gt; Definir d((x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;), (y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;)) := sup{d(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) : n ∈ N}. d en una métrica en
BS(&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;).
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea X un espacio métrico discreto y E un espacio métrico cualquiera,
¿cuándo una función f : X &amp;rarr; E es continua?

&lt;li&gt; Sea f : E &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; una función continua en un punto p de E.
&lt;ol type = &quot;a&quot; &gt;
&lt;li&gt; f es acotada en una vecindad de p.
&lt;li&gt; Si f(p) &amp;ne; 0, hay una vecindad V de p tal que x en V implica que
f(x) tiene igual signo que f(p).
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt;  Sea f: E &amp;rarr; E'  una isometría.
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; La imagen por f de una bola abierto (resp. cerrada) es una bola del mismo typo y de igual radio.
&lt;li&gt; La imagen de un conjunto de diámetro D  tiene el mismo diámetro.

&lt;li&gt; La imagen de un conjunto acotado es acotado.
&lt;li&gt; ¿Qué otras &quot;cosas&quot; son preservadas por las isometrías?
&lt;/ol&gt; 
&lt;/ol&gt;

&lt;!-- == Resumen ==
%Léxico: distancia, espacio métrico, subespacio métrico, norma.
04/14/16 || 05/02/16 || 09/25/16 --&gt;

&lt;!-- 03/22/2018  Ortografía --&gt;

&lt;!-- 03/24/2019   Ortografía + p--adicos --&gt;

[[Categoría:Espacios Métricos]]</text>
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    <title>Matemáticas/Espacios Métricos/Conjuntos Abiertos y Cerrados</title>
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        <username>Mazbel</username>
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=== Capítulo 5 Conjuntos Abiertos y Cerrados ===

(Libro = Matemáticas Univeritarias/Espacios Métricos)


== Introducción ==

Este capítulo estará dedicado completamente a la &lt;b&gt;topología&lt;/b&gt; de los subconjuntos de un espacio métrico. Veremos como formalizar algunas de las principales nociones asociadas a “proximidad” entre puntos (o entre conjuntos, o entre puntos y conjuntos).

Cuando pensamos en una figura plana, podemos intuitivamente considerar puntos que están ya sea dentro de la figura,  en el borde de la figura, o en el exterior de la figura. Aquí formalizaremos esas nociones. Introduciremos el cómodo lenguaje de vecindades y clasificaremos a los puntos por la cantidad de vecinos en
un vecindario próximo.

Los lectores deberán seguir cuidadosamente las argumentaciones de las demostraciones y ejemplos, porque son básicas en el razonamiento topológico. Una
mayoría de las demostraciones se basan en propiedades de conjuntos y sus operaciones, por lo que resultará conveniente echar un vistazo a las sección A.1 del apéndice A, donde se resumen las propiedades de las operaciones. También, usaremos propiedades de familias de conjuntos que aparecen en la sección B.5 del
apéndice B.

En los ejemplos, proposiciones, etc. sugerimos hacer un dibujo de la situación. Un dibujo apropiado puede ayudar a la intuición y guiar en la formalización de la misma.

== Los Conjuntos Abiertos ==

La primera noción que estudiaremos, conjunto abierto, representa la formalización de la intuición de puntos próximos o cercanos.

{{DefRht|Conjunto Abierto| Sea E un espacio métrico. Decimos que un subconjunto A
de E es abierto, si y solo si, para cada punto x de A podemos hallar un número
real r &gt; 0 tal que la bola abierta de centro x y radio r está contenida en A.}}

(&amp;#9769;) Informalmente, un conjunto es abierto cuando contiene todos los vecinos
suficientemente próximos a cada uno de sus puntos

&lt;b&gt;Ejemplo 5.2.1.&lt;/b&gt;
El semiplano H = {(x, y) ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : y &gt; 0} es
un conjunto abierto.

&lt;i&gt;Resolución. &lt;/i&gt; Sea p = (x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;) un punto cualquiera del semiplano H. Debemos probar que hay un disco abierto con centro en p totalmente contenido en H. Sea
r = y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;/2 y B = B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(p). Entonces, para todo (x, y) en B, se tiene que
&lt;center&gt;|y − y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ≤ |x − x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + |y − y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;0|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, &lt;/center&gt; de donde
&lt;center&gt;|y − y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;] ≤ p|x − x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + |y − y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = d((x, y), p) &lt; r.&lt;/center&gt;
Como |y − y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;| &lt; r es equivalente a y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; − r &lt; y &lt; y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; + r y y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; − r = y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; − y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;/2 =
y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;/2 &gt; 0, tenemos que (x, y) está en H. Lo que prueba que H es un abierto.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 5.2.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;&lt;br&gt;
En cualquier espacio métrico, las bolas abiertas son conjuntos
abiertos..&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt; &lt;br&gt; [[Archivo:Fig05-01.jpg|right]]
Sea B la bola abierta con centro a y radio r y sea x un punto
cualquiera de B. Sea &amp;rho; = r − d(x, a) y sea V = B_&amp;rho;(x). Entonces, para todo z en V tenemos que
&lt;center&gt;d(z, a) ≤ d(z, x) + d(x, a) &lt; &amp;rho; + d(x, a) = r − d(x, a) + d(x, a) = r. &lt;/center&gt;
Lo que prueba que V está contenido en B; o sea que x es un punto interior de
B.
&lt;/ul&gt;{{QED}} &lt;hr&gt;


&lt;b&gt;Ejemplo 5.2.2. &lt;/b&gt;
Sigue de la proposición que los intervalos abiertos acotados de la
línea real son abiertos, ya que son bolas abiertas.
&lt;hr&gt;

Introduciremos dos nociones auxiliares: vecindad y punto interior. Tales nociones nos ayudarán a expresar más significativamente algunas propiedades.

&lt;div style=&quot;background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;&quot; class=&quot;theorem&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;&quot;&gt;Definición. (Vecindad)&lt;/span&gt;
Sea E un espacio métrico y sea A un subconjunto de E. Llamamos vecindad de A a cualquier conjunto V que contenga a un abierto que contiene a A. Cuando A = {p}, decimos que V es una vecindad de p.

Una vecindad abierta es una vecindad que como subconjunto del espacio es un conjunto abierto.
&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;&quot; class=&quot;theorem&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;&quot;&gt;Definición. (Punto Interior)&lt;/span&gt;
Sea E un espacio métrico y sea A un subconjunto de E. Decimos que un punto p es un &lt;b&gt;punto interior&lt;/b&gt; de A,  ssi, A es una veceidad
de p; o sea, cuando haya un abierto U que contenga a p y que esté contenido en
A.
&lt;/div&gt;

Sigue de lo anterior que cada conjunto abierto, en particular, una bola abierta,
es una vecindad abierta de cada uno de sus puntos y que, por lo tanto, cada uno de sus puntos es interior.

Vecindad es una noción auxiliar que simplifica la expresión, ya que decir “vecindad de p” es más simple que decir “un conjunto que contiene a un abierto que contiene a p” y nos da, además, la idea de proximidad o cercanía.

Algunas veces, por simplicidad de la expresión, hablaremos de una r–vecindad
de un punto para referirnos a una vecindad que es una bola abierta de radio r con centro en el punto.

¿Cuándo no es abierto un conjunto A?
Cuando haya, al menos, un punto p del conjunto tal que todas las bolas abiertas con centro en el punto p, contienen al menos un punto que no está en A.
Es decir que cada bola abierta con centro en p interseca en forma no vacía al complemento de A.

Sigue de la observación anterior que cuando no hay tal punto, el conjunto es
abierto. Un conjunto, en particular que no tiene ese tipo de puntos es el conjunto vacío, es decir que:

{{Caja|El conjunto vacío es un conjunto abierto.}}


=== Propiedades de Vecindades y Conjuntos Abiertos ===

Veremos algunas de las propiedades de los conjuntos abiertos y dejaremos
como ejercicios las propiedades análogas para las vecindades (que se deducen
casi en forma inmediata de las propiedades de los abiertos.

Supongamos que A y B fueran abiertos en un espacio métrico. ¿Que podríamos
decir de A ∪ B? Supongamos que p fuera un punto de la reunión que, por definición de reunión, estaría tanto en A como en B. Si estuviera en A, habría una r–vecindad V de p totalmente contenida en A. Como V ⊂ A implica que V ⊂ A∪B, concluiríamos que A ∪ B es abierto. Un razonamiento análogo funciona para p en B. Revisando el argumento, vemos que si consideramos la reunión de más de dos abiertos, el mismo argumento es válido, inclusive para la reunión de una familia cualquiera de abiertos.

Sea (A&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), i ∈ I, una familia de abiertos y sea A = &lt;math&gt;\cup&lt;/math&gt;{A&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;: i∈I}. Probaremos que A es abierto, razonando como arriba. Sea p un punto de A. Entonces (paso clave) hay al menos un i en I tal que p ∈ A&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;. Como A&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; es abierto, hay una r–vecindad V de
p totalmente contenida en A&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;. Luego, como V ⊂ A&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; ⊂ A, concluimos que A es
abierto.
&lt;br&gt;

¿Qué pasa con A ∩ B cuando A y B son abiertos?
Primeramente, observemos que si la intersección es vacía, entonces se trata de un conjunto abierto. Supongamos que los conjuntos no fueran disjuntos y que p fuera un punto de la intersección. Como A es abierto, hay una r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;–vecindad de p totalmente contenida en A; análogamente, hay una r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;–vecindad de p totalmente contenida en B. Sea r el menor valor entre r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; y sea V = B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(p), como r ≤ r&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, i = 1, 2,
V ⊂ B(p;r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) ⊂ A y V ⊂ B(p;r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) ⊂ B. Como V está contenida tanto en A como en B, está contenida en A ∩ B, lo que prueba que dicho conjunto es abierto.

El argumento anterior se puede extender a una familia finita de abiertos, razonando por inducción (ver más abajo la demostración). Sin embargo, el argumento no vale necesariamente para familias infinitas, ya que puede que no haya valor mínimo de los radios y que el ínfimo de los mismos sea 0.
{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 5.2.3. &lt;/b&gt; &lt;br&gt;Consideremos la familia de abiertos (A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;), A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; =] - 1/n, 1/n[, donde n es un natural positivo.

Veremos que A = &amp;cap;{A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; : n∈N } = {0}, que es un conjunto que será, claramente, un conjunto que no es abierto ya que cualquier vecindad abierta con centro en 0 contiene números diferentes de 0.

Veamos una demostración formal de lo anterior. Suponer que hubiera un número real x que perteneciera a A. Sin perdida de
generalidad, por la simetría de la situación, podemos suponer que x &gt; 0. Por el
principio arquimediano, siempre podremos hallar un n tal que 1/n &lt; x. Pero esto
implica que x no está en ]−1/n, 1/n[, por lo que no puede estar en A (que consiste
de los elementos comunes a todos los A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;). Luego A = {0}.
Resumimos las consideraciones anteriores en la siguiente importante proposición.

&lt;b&gt;Proposición 5.2.2 (Propiedades de los Abiertos). &lt;/b&gt; &lt;i&gt;
Sea E un espacio métrico.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; El conjunto vacío y todo el espacio E son abiertos.
&lt;li&gt; La reunión de una familia cualquiera de abiertos es un abierto.
&lt;li&gt; La intersección de una familia finita de abiertos es un abierto.
&lt;/ol&gt;&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración.&lt;/i&gt;&lt;br&gt;
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Trivialmente cada punto de E es interior a E. El resultado sobre el conjunto
vacío sigue de una observación anterior
&lt;li&gt; Probado arriba.
&lt;li&gt; Sea A = A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ∩ A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ∩· · ·∩ A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;. Probaremos que A es abierto por inducción sobre n. Cuando n = 2 el resultado sigue de lo hecho arriba. Supongamos que la intersección de k conjuntos abiertos, k ≥ 2, fuera abierto. Consideremos la intersección de k + 1 abiertos
&lt;center&gt;
A = A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ∩ A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ∩ · · · ∩ A&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; ∩ A&lt;sub&gt;k+1&lt;/sub&gt; = (A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ∩ A&lt;sub&gt;2&lt;/&gt; ∩ · · · ∩ A&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;) ∩ A&lt;sub&gt;k+1&lt;/sub&gt;.
&lt;/center&gt;
Por la hipótesis de inducción, la intersección de los k primeros es un conjunto
abierto cuya intersección con otro abierto es un abierto, por lo hecho arriba.
Por inducción se tiene el resultado.
&lt;/ol&gt;
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 5.2.3 (Propiedades de las Vecindades). &lt;/b&gt; &lt;i&gt;&lt;br&gt;
Sea A un subconjunto de un espacio métrico E. Entonces,
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; El espacio E es una vecindad de A.
&lt;li&gt; La intersección de dos vecindades de A es una vecindad de A.
&lt;li&gt; La reunión de una familia cualquiera de vecindades de A es una vecindad
de A.
&lt;li&gt; Cualquier conjunto que contiene a una vecindad de A es una vecindad de
A.
&lt;/ol&gt; &lt;/i&gt;&lt;br&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt; Probaremos (c) y dejaremos el resto de ejercicio. Sean &lt;math&gt;W_1&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;W_2&lt;/math&gt; vecindades del conjunto &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.  Entonces, hay abiertos &lt;math&gt;U_1&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;U_2&lt;/math&gt; tales que &lt;math&gt;A \subset U_i \subset W_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i=1,2&lt;/math&gt;.
Luego, &lt;math&gt;A \subset U_1 \cap U_2 \subset W_1  \cap W_2&lt;/math&gt;, lo que prueba la afirmación. 
&lt;/ul&gt;&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 5.2.4. &lt;/b&gt; El intervalo abierto I =]a,+∞[ es un conjunto abierto en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, ya que es una reunión de abiertos.
&lt;center&gt;]a,+∞[ = &amp;cup; {]a, a + n[ : n∈ &lt;b&gt;N&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;} &lt;/center&gt;

Sea x un número cualquiera que sea mayor que a. Entonces, x − a es positivo
y hay, por lo tanto, un natural n mayor que x−a (PropiedadAarquimediana). Como
x − a &lt; n implica que x &lt; a + n, tenemos  que x está en ]a, a + n[ y, por lo tanto, en la reunión indicada. Esto prueba que el intervalo  está contenido en la reunión de los ]a, a + n[’s. La inclusión inversa es trivial; de donde la igualdad.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 5.2.5.&lt;/b&gt;&lt;br&gt;
El intervalo (semiabierto) A = [0, 1[ no es abierto.

Consideremos al punto 0 de A. Cualquier bola abierta con centro en 0 contiene
números negativos que no están, por lo tanto, en A; por lo que 0 no es un punto
interior de A, lo que implica que A no puede ser abierto.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 5.2.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;&lt;br&gt;
Sea E un espacio métrico. Cualquier conjunto abierto A es
igual a una reunión de bolas abiertas. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;
Sigue de la definición de conjunto abierto que para cada x en A hay una bola abierta con centro en x, digamos B(x) totalmente contenida en A.
Sea G la reunion de todas esas bolas abiertas. Como para todo x en A, se tiene que x ∈ B(x) ⊂ G, concluimos que A está contenido en G.
Sea y un punto cualquiera de G, entonces hay al menos un x en
A tal que y está en B(x). Por lo que y está en A. Luego, G está contenido en A.
Es decir que A = G.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Base de los Abiertos. &lt;/b&gt; Cuando una familia de abiertos tiene la propiedad
que cualquier abierto es una reunión de abiertos de la familia, se
dice que familia es una base para los abiertos. El resultado de la proposición
anterior expresa que las bolas abiertas son una base para los
abiertos del espacio.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 5.2.6. &lt;/b&gt; Sea E un espacio métrico discreto con métrica 0–1. Entonces,
para cada x de E, la (1/2)-vecindad de x contiene solamente a x. Por lo que deducimos
que cada conjunto con un único punto es abierto. Como cualquier subconjunto
de E es una reunión de conjuntos con un único elemento, concluimos que
cada subconjunto de E es un abierto.
&lt;hr&gt;


La siguiente proposición muestra un resultado casi trivial, pero muy importante
más adelante.

&lt;b&gt;Proposición 5.2.6 (Propiedad de Hausdorff). &lt;/b&gt;&lt;i&gt; &lt;br&gt;
:Sean x, y puntos diferentes de un espacio métrico. Hay abiertos U y V tales que (i) x ∈ U, (ii) y ∈ V, y (iii) U ∩ V = ∅. (Decimos que dos puntos diferentes están separados por abiertos disjuntos.) &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;
Sea r = (1/3)d(x, y). Por hipótesis r &gt; 0. Sean U = B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(x) y V = B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(y). U y V son abiertos que satisfacen (i) y (ii). Probemos que son disjuntos, por contradicción. Supongamos que hubiera un z en A ∩ B entonces,
&lt;center&gt;3r = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, x) &lt; r + r = 2r. &lt;/center&gt;
Lo que es imposible, luego los conjuntos son disjuntos.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

=== Los Abiertos en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; ===

Sabemos, del capítulo anterior, que hay varias métricas posibles en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Veremos, relaciones entre algunas de esas métricas. Como siempre, cuando no especificamos
la métrica es porque se trata de la métrica euclidiana.

&lt;b&gt;Ejemplo 5.2.7. &lt;/b&gt;
Llamamos &lt;i&gt;celda&lt;/i&gt; o &lt;i&gt;caja abierta&lt;/i&gt; de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; a un conjunto de la forma ]a, b[×]c, d[. Probaremos que dicha celda abierta es un conjunto abierto.

&lt;i&gt;Resolución. &lt;/i&gt; Sea C la celda indicada. Sea (x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;) en C. Observemos que a &lt; x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; &lt; b y c &lt; y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; &lt; d.
Sea r = mín{x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; − a, b − x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; − c, d − y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;}. Luego,
r ≤ x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; −a ≤ ⇒ a ≤ x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;−r. Análogamente, tenemos que x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; +r ≤ b, c ≤ y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;−r
y y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; + r &lt; d. Sea B = B((x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;); r), y sea (x, y) un punto de B. Se tiene
entonces que |x − x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;| ≤ d((x, y), (x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;)) &lt; r. De donde, r &lt; x − x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; &lt; r,
o sea que x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; − r &lt; x &lt; x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; + r. Por las observaciones anteriores tenemos que
a ≤ x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; − r &lt; x &lt; x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; + r ≤ b. Análogamente se verifica que c ≤ y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; − r &lt; y &lt;
y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; + r ≤ d. Lo que prueba que (x, y) está en C. Por lo que B ⊂ C, o sea que C
es abierto.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 5.2.8. &lt;/b&gt; Probaremos que los conjuntos abiertos respecto a la  métrica--máxima son abiertos respecto a la métrica euclídea.

Sea C(p;r) la celda ]x&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; − r, x&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; + r[ × ]y&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; − r, y&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; + r[, donde

(x&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;, y&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; ) = p. De acuerdo al ejemplo anterior, dicha celda es un abierto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; respecto a la métrica euclídea.

Lo que implica que cualquier bola abierta respecto a la métrica--máxima, es un abierto respecto a la métrica euclidiana.

Sea &lt;math&gt;U_\text{max}&lt;/math&gt; un abierto respecto a la distancia máxima. Por definición de abierto, esto quiere decir que para cada punto &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;U_\text{max}&lt;/math&gt;, hay una celda &lt;math&gt;C(p,r)&lt;/math&gt; contenida en &lt;math&gt;U_\text{max}&lt;/math&gt;. Como &lt;math&gt;C(p;r)&lt;/math&gt; contiene a &lt;math&gt;B(p;r)&lt;/math&gt;, concluimos que &lt;math&gt;U_{\max}&lt;/math&gt; es un abierto euclídeo.
Resumiendo,

&lt;b&gt;Proposición 5.2.6. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Cada abierto respecto a la métrica máxima es un abierto respecto a la métrica euclídea.&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt; 
&lt;b&gt;Observación 5.1. &lt;/b&gt; El resultado del ejemplo anterior no es trivial, ya que puede haber conjuntos con diferentes métricas y que los abiertos respecto a una de las métricas no sean necesariamente abiertos respecto a la otra métrica. Por ejemplo, con respecto a la métrica discreta cualquier subconjunto de los Reales es abierto, lo que no pasa con respecto a la métrica usual de los Reales.
El resultado de ejemplo también sugiere investigar el converso, ¿son los abiertos euclidianos abiertos respecto a la métrica máxima?
&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 5.2 ===
&lt;ol&gt;

&lt;li&gt; Decidir la validez o falsedad de cada uno de los siguientes enunciados.  Explicar su respuesta.
    &lt;ol type= &quot;a&quot;&gt;    
    &lt;li&gt;  1/2 es un punto interior del intervalo abierto ]0,1[.

    &lt;li&gt;  1/2 es un punto interior del intervalo cerrado  [0,1].
    &lt;li&gt;  El  intervalo cerrado [0,1] es una vecindad de 1/2.
    &lt;li&gt;  El  intervalo  [0,1] es abierto.
    &lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son conjuntos abiertos en la línea real?

&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; El intervalo semiabierto ]a, b].
&lt;li&gt; El intervalo ]a,+∞[.
&lt;li&gt; El intervalo [a,+∞].
&lt;li&gt; {t ∈ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; : t &amp;ne; 0}.
&lt;li&gt; El complemento del conjunto ]a, b[.
&lt;li&gt; El complemento del conjunto [a, b].
&lt;li&gt; El complemento de los Naturales.
&lt;li&gt; El complemento de los Enteros.
&lt;li&gt; El complemento de los Racionales.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son conjuntos abiertos en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; ?
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; A = {(x, y) ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : y &lt; 2}.
&lt;li&gt; B = {(x, y) ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : 2 &lt; x &lt; 5}.
&lt;li&gt; C = {(x, y) ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : y = 5}.
&lt;/ol&gt;
&lt;li&gt; Probar que &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; \ {(0, 0)} es abierto.

&lt;li&gt; Probar que el conjunto {(x, y) ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : x + y &lt; 1} es abierto en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;li&gt; (♠) Probar que el conjunto {t ∈ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; : sen(t) &gt; 0} es abierto.

&lt;li&gt; Un conjunto es acotado, ssi, hay una bola abierta que lo contiene.


&lt;li&gt; El subconjunto de un conjunto formado por todos sus puntos interiores es un conjunto abierto.

&lt;li&gt; Cuando en un conjunto todos los puntos son interiores, el conjunto
es abierto

&lt;li&gt; Probar que cuando V es una vecindad cualquiera de un punto p, hay una
r–vecindad de p, contenida en V.

&lt;li&gt; (Propiedad de Separación de Hausdorff) Sean x, y puntos diferentes de un
espacio métrico. Probar que hay vecindades V, W de x y y, respectivamente,
que son disjuntas.

&lt;li&gt; Sea f : E &amp;rarr; E′ una isometría de espacios métricos. La imagen de cualquier bola abierta B de E por f es una bola abierta B’de E′ de igual radio y
cuyo centro es la imagen del centro de B. Usar lo anterior para probar que
las imagen por una isometría de un abierto, es un conjunto abierto abierto.

&lt;li&gt; Probar la proposición 5.2.3.

&lt;li&gt; (Relaciones entre la métricas euclidiana y máxima del plano) En el ejemplo
5.2.5 se vió que cada abierto respecto a la métrica máximal es abierto
respecto a la métrica euclidiana. Se trata ahora de probar el recíproco.
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Probar que cada bola euclidiana contiene una celda C(p;r).
&lt;li&gt; Concluir que cada abierto euclidiano es un abierto respecto a la métrica
máxima
&lt;li&gt; Un subconjunto V de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es una vecindad de un punto p, ssi, contiene una caja ]a, b[×]c, d[ que contiene a p. (Este resultado ayuda a probar que ciertos subconjuntos de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; son abiertos, porque es más fácil, a veces, trabajar con cajas, que con bolas.)
d) Generalizar los resultados del ejemplo citado y los de este ejercicios a
&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;li&gt; Idem para &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
&lt;/ol&gt;
&lt;/ol&gt;

== Los Conjuntos Cerrados ==

En esta sección, introduciremos un concepto dual al de conjunto abierto: conjunto cerrado. Los intervalos cerrados de la línea real serán los ejemplos iniciales de la noción. La definición inicial no será muy ilustrativa desde el punto de vista topogeométrico, pero la presentamos de esta manera porque queremos, por razones que quedarán  claras más adelante, usar abiertos en las definiciones de los conceptos importantes. Cuando veamos  la noción de \textit{puntos de acumulación}, tendremos una imagen topogeométrica más clara del significado  de cerrado. &lt;ref&gt;En Álgebra hay una  noción de conjunto cerrado respecto a una operación, para indicar que cuando los operandos están en un conjunto, el resultado de la operación con esos operandos, también está en el conjunto. Para distinguir las dos nociones, en este texto &quot;cerrado algebraicamente&quot; significará cerrado en el sentido del Álgebra.&lt;/ref&gt;
{{DefRht|Conjunto Cerrado| Sea E un espacio métrico. Decimos que un subconjunto
F de E es un conjunto cerrado, ssi, su complemento es abierto.}}

&lt;b&gt;Ejemplos 5.3.1. &lt;/b&gt; Cuando A es un subconjunto de otro X, su &lt;i&gt;complemento&lt;/i&gt; en X se denota por  X \ A. Cuando el conjunto X es el conjunto universal de la discusión, entonces podremos simbolizar el complemento de A por A&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;.
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Un intervalo cerrado de la línea real es un conjunto cerrado.
&lt;center&gt;[a, b]&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; = ]−∞, a[ ∪ ]b,+∞[ (abierto)&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;y &amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
] −∞, a]&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; = ]a,+∞[ (abierto) &lt;/center&gt;


&lt;li&gt; El conjunto vacío y todo el espacio son cerrados, ya que sus complementos
son abiertos.

&lt;li&gt; Los Naturales son cerrados, porque su complemento es abierto
&lt;center&gt;&lt;b&gt;N&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; = ]-∞, 0[ &lt;b&gt;∪&lt;/b&gt; {]n, n + 1[: n &amp;isin; &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;}. &lt;/center&gt;

&lt;li&gt; El intervalo ]0, 1] no es cerrado, ya que su complemento es la reunion de
]−∞, 0] con ]1,+∞[. El primer conjunto no es abierto, porque 0 no es un
punto interior del conjunto, por lo que la reunión no es un abierto.
&lt;/ol&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 5.3.2.&lt;/b&gt; Sea E un espacio discreto. Vimos en el ejemplo 5.2.6 que cada
subconjunto de E es abierto, por lo que su complemento es cerrado, Luego, todos
sus subconjuntos son cerrados, ya que sus complementos son abiertos.

Conclusión: en un espacio discreto  los subconjuntos son abiertos y cerrados
a la vez.
&lt;hr&gt;

&lt;big&gt;&amp;#9758;&lt;/big&gt; Notemos los ejemplos muestran que hay conjuntos abiertos---pero no abiertos, conjuntos cerrados---pero no abiertos, conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados, y otros que son abiertos y
cerrados a la vez (el conjunto vacío y todo el espacio).

=== Puntos Aislados, Puntos de Acumulación ===
&lt;!-- 5.3.1 --&gt;
Para entender el significado topológico de la noción de cerrado, introduciremos
dos conceptos: &lt;i&gt;punto aislado&lt;/i&gt; y &lt;i&gt;punto de acumulación&lt;/i&gt;, que se referirán a la cantidad de vecinos que puede tener un punto.

Veamos las posibilidades. Supongamos que tenemos un punto p de un espacio
métrico y un conjunto A. Si tomamos una vecindad V de p ¿cuántos vecinos de V
V están en A? Si hubiera una cantidad finitas de vecinos diferentes de p en A,
tomando como r a la menor de las distancias entre esos vecinos y p, tendríamos
que la r–vecindad de p no contendría puntos de A diferentes de p. →Tal punro  será un
&lt;i&gt;punto aislado&lt;/i&gt; en A; algo opuesto serán los puntos de acumulación.

{{DefRht|Puntos Aislados, Puntos de Acumulación| Sea &lt; E, d &gt; un
espacio métrico. Sea A un subconjunto de A y p un punto de E.
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Decimos que un punto p de A es un punto aislado de A, ssi, hay una vecindad
del punto que no contiene otro punto de A.
&lt;li&gt; Decimos que un punto p (no necesariamente en A) es un punto de acumulación de A, ssi, cada vecindad del punto contiene al menos un punto de A
diferente del punto p.
&lt;/ul&gt;}}

&lt;b&gt;Ejemplo 5.3.3.&lt;/b&gt; Sea X = {a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,..., a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;} un espacio métrico finito (por ejemplo un subconjunto finito de un espacio métrico). Sea p un punto cualquiera de X. El conjunto {d(p, a&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) : a&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; &amp;ne; p} es un conjunto finito. Si r es el menor de esos
números, entonces la bola abierta con centro p y radio r no contiene otro punto de A, luego p es aislado.

{{Caja|
&lt;b&gt;Cada espacio métrico finito consiste solamente de puntos aislados.&lt;/b&gt;}}
&lt;hr&gt;

Nuestro próximo ejemplo muestra que hay conjuntos infinitos tales que cada
uno de sus puntos es aislado.

&lt;b&gt;Ejemplo 5.3.4.&lt;/b&gt; Los Naturales en los Reales son un subconjunto infinito tal que todos sus puntos son aislados. En efecto, para cada número natural m, la bola abierta de centro m y radio 1/2 solamente contiene a un número natural m.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 5.3.5.&lt;/b&gt; Consideremos al subconjunto A = [0, 1] de los Reales.

Cualquier punto p en A=]0, 1[ es interior y la bola abierta con centro en p y contenida en A contiene puntos de A diferentes de p; es decir que p es un punto de acumulación de A.

Consideremos ahora a p = 0. Entonces, cualquier intervalo abierto centrado en
0, contiene números positivos que son elementos de A por lo que 0 es un punto de acumulación de A. Análogamente, se verifica que 1 es un punto de acumulación
de A. Es decir que todos los puntos de [0, 1] son puntos de acumulación.

Consideremos al subconjunto B=]0, 1] de los Reales. Razonando como arriba,
vemos que 0 es un punto de acumulación de B, aunque no pertenece a B.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 5.3.6. &lt;/b&gt;Sea A = {1/n : n es un natural positivo}∪{0}. Notemos que por la propiedad arquimediana de los Reales (ver sección 2.4.3) se tiene que para todo r &gt; 0 hay un n tal que 1/n &lt; r. Es decir que cualquier bola abierta con centro
en 0 contiene puntos del conjunto diferentes del 0. Es decir que 0 es un punto de
acumulación de A. Consideremos ahora al punto p = 1/n. Como los “vecinos”
de p son 1/(n + 1) y 1/(n − 1) y como
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\frac{1}{n + 1} &lt; \frac{1}{n} &lt; \frac{1}{n-1}. &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
tomando r = (1/2)|(1/n) − (1/(n + 1)) es fácil verificar que la bola con centro
1/n y radio r contiene solamente al punto 1/n del conjunto. Es decir, que excepto
por el 0 todos los puntos de A son puntos aislados.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 5.3.7.&lt;/b&gt; Los ejes de coordenadas del plano cartesiano son un conjunto cerrado porque su complemento es la reunión de los cuadrantes que son conjuntos abiertos.
&lt;hr&gt;

La siguiente proposición caracteriza topogeométricamente a los conjuntos cerrados.

&lt;!-- prop0507 --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 5.3.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Un conjunto F es cerrado, ssi, contiene a todos sus puntos de acumulación.&lt;/i&gt;
:&lt;i&gt;Demostración.&lt;/i&gt; Si F es el conjunto vacío o todo el espacio, el resultado es trivial. (Como el conjunto vacío no tiene puntos de acumulación, los contiene a todos)
:Supongamos que F fuera un conjunto que contiene a todos sus puntos de acumulación y sea x un punto cualquiera del complemento de F. Como x no está en F, no puede ser un punto de acumulación de F. Por lo tanto, hay una bola abierta con centro en x que no contiene puntos de F, es decir que está contenida en F&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;. Lo que prueba que F&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; es un conjunto abierto y, por lo tanto, que F es cerrado.
:Supongamos ahora que F fuera cerrado. Necesitamos probar que F contiene a todos sus puntos de acumulación. Si hubiera un punto de acumulación x de F que no estuviera en F, estaría en F&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;. Pero, al ser F&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; abierto, habría una bola abierta con centro en x totalmente contenida en F&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; lo que implicaría que no puede contener punto alguno de F; o sea que no puede ser punto de acumulación. Luego, F debe contener a todos sus puntos de acumulación.
{{QED}}
&lt;hr&gt;

La siguiente proposición muestra que un punto de acumulación tiene muchos
vecinos.

&lt;!--prop0507a --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 5.3.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea p un punto de acumulación de un conjunto A en un espacio métrico E. Cada vecindad de p tiene infinitos puntos de A.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sea V una vecindad de p Mostraremos que podemos hallar una sucesión x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,..., x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;,... de puntos de V ∩ A, que son diferentes entre si y diferentes de p. Por definición de vecindad, hay una r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;–vecindad de p totalmente contenida en V. Por definición de punto de acumulación, hay un punto x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &amp;ne; p de A contenido en la r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;–vecindad. Sea r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = d(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, p), por la definición  r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; es un número positivo menor que r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;. En la r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;–vecindad hay un punto x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; de A que es diferente tanto de p como de x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; (ya que r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &lt; r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;). Supongamos que hemos construido una sucesión de puntos de V ∩ A: x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,..., x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; tales que todos ellos son diferentes de p y tales que d(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, p) &gt; d(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, p) &gt; ··· &gt; d(x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;, p). Razonando como arriba, poniendo r&lt;sub&gt;{k+1}&lt;/sub&gt; = d(x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;, p), podemos hallar en la r&lt;sub&gt;{k+1}&lt;/sub&gt;–vecindad un nuevo punto x&lt;sub&gt;{k+1}&lt;/sub&gt; en V ∩A tal que es diferente de p y de los puntos anteriormente seleccionados. Por inducción, obtenemos una sucesión infinita de puntos (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) en V ∩ A, todos diferentes entre si y diferentes de p. Lo que prueba nuestra proposición.
{{QED}}
&lt;hr&gt;

Como corolario, tenemos nuevamente que conjuntos finitos no pueden tener
puntos de acumulación.

&lt;!-- prop0507b --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 5.3.3 (Caracterización métrica de los puntos de acumulación)&lt;/b&gt;. &lt;i&gt; Sea A un subconjunto de un espacio métrico E. Sea p un punto de E. Entonces, d(p,A) = 0, ssi, p está en A o es un punto de acumulación de A. &lt;/i&gt;
:&lt;I&gt;Demostración. &lt;/i&gt;&lt;br&gt;
:(⇒) Supongamos que d(p,A) = 0. Si p está en A no hay nada más que probar.
:Supongamos que p no está en A y que no fuera un punto de acumulación de A.
:Entonces, podríamos hallar un r &gt; 0 tal que la r–vecindad de p fuera disjunta de A. Pero, eso implicaría que para todo a en A, d(p, a) ≥ r, de donde d(p,A) ≥ r, lo que contradice la hipótesis. Por lo tanto, si p no está en A debe ser un punto de acumulación de A.&lt;br&gt;
:(&amp;lArr;) Si p está en A, se cumple que d(p,A) = 0. Supongamos que p fuera un punto de acumulación de A y que d(p,A) = d &gt; 0. Entonces, habría un n tal que 1/n &lt; d.
:Por definición de punto de acumulación, la 1/n–vecindad de p contiene al menos un punto de A, digamos a, diferente de p. Luego,
&lt;center&gt;d(p, a) &lt; 1/n &lt; d = ınf{d(p, x) : x ∈ A},&lt;/center&gt;
:lo que es absurdo. Luego, d(p,A) = 0.
{{QED}}
&lt;hr&gt;

=== Bolas Cerradas y Esferas ===

&lt;b&gt;Observaciones. &lt;/b&gt; Recordemos algunos hechos acerca de bolas cerradas y esferas.
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; En &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, una bola cerrada es un círculo de igual centro y radio; mientras que la esfera es la circunferencia correspondiente.

&lt;li&gt; En la línea real, la bola cerrada B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;[a] es el intervalo cerrado [a − r, a+ r] y
la correspondiente esfera es el conjunto {a − r, a + r}.
&lt;/ol&gt;
Veamos que el apellido de cerradas es consistente con nuestro concepto de
conjunto cerrado.

&lt;!-- prop0508 --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 5.3.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Las bolas cerradas y las esferas son conjuntos cerrados.&lt;/i&gt;
:&lt;I&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sea F = B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;[a]. Probaremos que el complemento de F es un conjunto abierto. Si dicho complemento es vacío no hay nada que probar. :Supongamos que x es un punto de F&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;. Entonces, se tiene que d(x, a) &gt; r. Sea r′ = d(z, a) − r. r′ es un número positivo. Sea y un punto de B&lt;sub&gt;r'&lt;/sub&gt;(x).. :Entonces,d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a), lo que implica que
&lt;center&gt;d(y, a) ≥ d(x, a) − d(x, y) &gt; d(x, a) − (d(x, a) − r) = r,&lt;/center&gt;
:lo que muestra que y está en F&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;. Es decir que F&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; es abierto. Luego F es cerrado.

:Sea S = S&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(a). Notemos que S&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; es la reunion de los x tales que d(x, a) &lt; r con los x tales que d(x, a) &gt; r. Es decir que
&lt;center&gt;S&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; = B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(a) ∪ B&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;[a]&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;.&lt;/center&gt;
:Por lo tanto, S&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; es abierto (reunión de abiertos) y, en consecuencia, S es cerrado.
{{QED}}
&lt;hr&gt;

La siguiente proposición es la dual de la proposición 5.2.2. sobre conjuntos abiertos.

&lt;!-- prop0509 --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 5.3.5 (Propiedades de los Cerrados).&lt;/b&gt; &lt;i&gt;Sea E.un espacio métrico. Entonces,
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; El conjunto vacío y todo el espacio son conjuntos cerrados.
&lt;li&gt; La reunión de una familia finita de cerrados es un conjunto cerrado.
&lt;li&gt; La intersección de una familia cualquiera de cerrados es un cerrado. &lt;/i&gt;
&lt;/ol&gt;

&lt;ul&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sigue de la definición de cerrado y de la proposición
5.2.2, aplicando las leyes de Morgan (Ver la sección B.5.). Por ejemplo, si (F&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) es una familia de abiertos con intersección F, tenemos que
&lt;center&gt;F&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; = (&amp;cap;F&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; = &amp;cup;(F&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;&lt;/center&gt; que al ser una reunión de abiertos es abierto.
{{QED}} &lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 5.3 ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; ¿Cuándo un conjunto no es cerrado?

&lt;li&gt; ¿Cuando un punto no es punto de acumulación de un cierto conjunto?

&lt;li&gt; ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de la línea real son cerrados?
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; El conjunto &lt;b&gt;Z&lt;/b&gt; de los enteros.
&lt;li&gt; El conjunto &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt; de los racionales.
&lt;li&gt; Un conjunto que contiene exactamente dos puntos.
&lt;li&gt; Un intervalo de la forma [a, b[.
&lt;li&gt; {x ∈ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; : x = 1/n, n ∈ &lt;b&gt;N&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; }.
&lt;li&gt; {x ∈ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; : x &amp;ne; 1/n, n ∈ &lt;b&gt;N&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; }.
&lt;/ol&gt;

4. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son abiertos? ¿cuáles son cerrados?
&lt;ol type =&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; {x ∈ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; : |x − 5| ≤ 3}.
&lt;li&gt; {x ∈ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; : |x − 2| &gt; 5}.
&lt;li&gt; &amp;cap;&lt;sub&gt;n &amp;isin; &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;&lt;/sub&gt;[−1, 1/n[ en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.
&lt;li&gt; A line in the plane &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
&lt;li&gt; {(x, y) ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : |x − 3| &lt; 2, |y − 5| &gt; 1}.
&lt;/ol&gt;

5. ¿Cuándo un punto p NO es un punto de acumulación de un conjunto A?

6. ¿Cuáles son los puntos de acumulación del conjunto de los racionales positivos
en R?

7. Sea A un subconjunto de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. ¿Es necesariamente el supremo de A un punto de acumulación de A?

8. Sea A un subconjunto no vacío, cerrado y acotado de la línea real. Probar
que el supremo de A está en A. Enunciar y probar un teorema análogo para
ínfimos.

9. Sea A un conjunto de números reales abierto, no vacío y acotado superior e
inferiormente. Probar que el supremo y el ínfimo del conjunto no pertenecen
al conjunto.

10. Sean A y B subconjuntos de la línea real. Cuando p es un punto de acumulación
de A ∪ B, ¿necesariamente p es un punto de acumulación de A o de
B?

11. Cada conjunto con exactamente un elemento es cerrado.

12. Probar que &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; \ {0, 0)} es abierto. (Este ejercicio apareció en la sección anterior, pero ahora hay una respuesta más fácil)

13. Sea &lt;b&gt;Z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; = {(x, y) ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : x, y son números enteros}. Probar que &lt;b&gt;Z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es un
conjunto cerrado.

14. ¿Cuáles son los puntos de acumulación del conjunto {(x, y) ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 2y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1}?

15. Probar que en un espacio discreto (con métrica 0–1) todos los subconjuntos
son abiertos y cerrados.

16. Suponer que para toda r–vecindad del punto p hay un punto de A diferente
de p. Probar que p es un punto de acumulación de A.

17. El punto a es un punto de acumulación de A, ssi, es un punto de acumulación
de A \ {a}.

18. En un espacio métrico &lt; E, d &gt; sean p un punto de E y r &gt; 0. Probar que
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; {x ∈ E : d(x, p) &gt; r} es abierto, y
&lt;li&gt; {x ∈ E : d(x, p) ≥ r} es cerrado.
&lt;/ol&gt;

19. Sea A un subconjunto de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Cuando A es un conjunto abierto y B = {(x, y) ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : x ∈ A}, entonces B es abierto.
&lt;li&gt; Cuando A es un conjunto cerrado y B = {(x, y) ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : x ∈ A}, entonces B es cerrado
&lt;/ol&gt;

20. Explicar de dos manera diferentes (obviamente lógicamente equivalentes)
por qué un conjunto finito de un espacio métrico tiene que ser cerrado.

21. Si d(x,A) &gt; 0 hay una vecindad V de x tal que V ∩ A = &amp;empty;.

22. Dar ejemplos en la línea real de
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; un subconjunto infinito que no tiene punto de acumulación en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.
&lt;li&gt; un subconjunto no vacío contenido en el conjunto de sus puntos de
acumulación.
&lt;li&gt; un subconjunto que tiene infinitos puntos de acumulación, pero que no
contiene a ninguno de ellos.
&lt;/ol&gt;

23. Sea f : E → E′ una isometría de espacios métricos, probar que f envía
conjuntos cerrados en conjuntos cerrados.

== Interior, Borde, Exterior y Clausura ==
&lt;!-- secIBEC --&gt;
[[Archivo:Fig05-02.jpg|center|300px]]
&lt;ul&gt;&lt;small&gt;(&amp;#9769;) Consideremos una figura plana, por ejemplo un cuadrado. Intuitivamente podemos reconocer puntos que están en el interior de la figura en su borde o en su exterior. En esta sección formalizaremos dichas nociones.
&lt;/small&gt;&lt;/ul&gt;
=== Interior, Exterior ===
Recordemos que llamamos punto interior de un conjunto A a un punto que está contenido en un abierto que, a su vez, está contenido en A, o sea tal que A es una vecindad de p. Un punto es interior de un conjunto, cuando todos los vecinos son puntos del conjunto.

¿Cuándo un punto estará en el exterior de un conjunto? Intuitivamente tal punto deberá de estar en  el complemento del conjunto, pero un punto en el borde del conjunto (pensemos en una bola cerrada de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;),  no está totalmente afuera del conjunto.

&lt;div style=&quot;background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;&quot; class=&quot;theorem&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;&quot;&gt;Definición. (Interior, Exterior)&lt;/span&gt;

Sea X un espacio métrico y A un subconjunto de X
Llamamos &lt;b&gt;interior&lt;/b&gt; del conjunto A al subconjunto de A formado por todos sus puntos interiores. Simbolizaremos al interior de A por A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; o por Int(A).
&lt;br /&gt;
Llamamos &lt;b&gt;exterior&lt;/b&gt; del conjunto A al interior de su complemento.
&lt;center&gt;Ext(A) := (A&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; = Int(A&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;).&lt;/center&gt;&lt;/div&gt;

La siguiente proposición resume las propiedades básicas del interior de un conjunto.

&lt;b&gt;Proposición 5.4.1 (Propiedades del Interior de un Conjunto).&lt;/b&gt;&lt;i&gt;
Sean A y B subconjuntos de un espacio métrico. Se cumple lo siguiente.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; El interior del conjunto A es un conjunto abierto que contiene a cualquier
otro conjunto abierto contenido en A.
&lt;li&gt; A es abierto, ssi, A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; = A.
&lt;li&gt; (A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; =A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;.
&lt;li&gt; Si A ⊂ B entonces A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; ⊂ B&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;.
&lt;li&gt; A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; ∪ B&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; ⊂ (A ∪ B)&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;.
&lt;li&gt; (A ∩ B)&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; = A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; ∩ B&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;.
&lt;/ol&gt;&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
&lt;ol type =&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Sea A un conjunto. Si el interior de A es vacío entonces no hay nada más que probar. Supongamos que el interior de A no fuera vacío. Si A contiene a un abierto U, por definición de punto interior, cada punto de U es un punto interior de A, por lo que U está contenido en el Int(A). Como para cada punto de p del interior, hay una vecindad abierta V&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; que lo contiene y está contenida en A.
Sigue de lo anterior que la reunión V de todos los V&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; es un abierto contenido en A y, por lo tanto, en Int(A). Como cada punto del interior está contenido en algún V&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; y, por lo tanto, en V, ya que Int(A) es la reunión de las puntos interiores, concluimos que Int(A) un subconjunto de V. Luego, Int(A) = V, lo que prueba que el interior es abierto.

&lt;li&gt; Si A es abierto, A es un abierto contenido en A, por lo que A ⊂ A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;. Como siempre el interior es un subconjunto del conjunto, tenemos la afirmación.

&lt;li&gt; El interior es un conjunto abierto.

&lt;li&gt; Si A ⊂ B entonces A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; ⊂ A implica que A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; ⊂ B. El resultado sigue de la parte (a).

&lt;li&gt; Como A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; ⊂ A y B&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; ⊂ B, tenemos que A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; ∩ B&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; ⊂ A ∩ B, de donde el resultado.

&lt;li&gt; Como A ∩ B ⊂ A,B se concluye que (A ∩ B)&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; ⊂ A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;,B&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;. De donde, (A ∩ B)&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; ⊂ A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; ∩ B&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;.

Lo que concluye la demostración.
 &lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 5.4.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;El exterior de un conjunto es un conjunto abierto.&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

=== Clausura y Frontera ===
&lt;ul&gt;&lt;small&gt;
(&amp;#9769;) ¿Cómo definir el borde o frontera de un conjunto? Pensemos en un
círculo abierto del plano, su borde es la circunferencia, que son los puntos
del plano pegados al círculo. Formalmente, puntos de acumulación. Pudiéramos
pensar que el borde consiste de los puntos de acumulación que no están
en el conjunto, pero si a nuestro círculo abierto le agregamos inicialmente
una semicircunferencia; intuitivamente, los puntos de la semicircunferencia
son puntos de acumulación que están en el conjunto. &lt;/small&gt;&lt;/ul&gt;

Veamos que tiene de especial un punto p del exterior de un conjunto A. Por
definición, ese punto es interior al complemento de A. Por lo que hay una vecindad V del punto que está totalmente contenida en A&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;. Luego, V ∩ A = &amp;empty;. Es decir que el punto p no es ni punto de A ni punto de acumulación de A. Cuando un punto no esté en el exterior de A, entonces deberá ser un punto de A o un punto de acumulación de A. Tales puntos recibirán un nombre especial: puntos de la clausura 
de A.

{{DefRht|Clausura|. Sea A un subconjunto de un espacio métrico E.
Llamamos clausura de A al conjunto denotado por Cl(A) o A&lt;sup&gt;--&lt;/sup&gt; y que está formado por los puntos que están en A o que son puntos de acumulación de A.
Un punto de clausura de un conjunto es un punto de la clausura del conjunto.}}

Notemos que un punto p está en la clausura de A, ssi, para cada vecindad V
de p, V ∩ A &amp;ne; &amp;empty;. Algunos autores llaman &lt;i&gt;adherencia&lt;/i&gt; a la clausura.

Usando la noción de clausura, definiremos la noción de frontera de un conjunto.


&lt;div style=&quot;background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;&quot; class=&quot;theorem&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;&quot;&gt;Definición. (Frontera)&lt;/span&gt;
La frontera o borde de un conjunto A en un espacio métrico es el conjunto formado por los puntos comunes a las clausuras de A y de su complemento.
&lt;center&gt;Fr(A) := Cl(A) ∩ Cl(A&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;).&lt;/center&gt;&lt;/div&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 5.4.1. &lt;/b&gt;Sea A =]a, b[⊂ &lt;b&gt;R.&lt;/b&gt; La clausura de A es el intervalo cerrado [a, b]. El exterior de A es &lt;br&gt;
]−∞,a[ ∪ ]b,+∞[ con clausura ]−∞,a] ∪ [b,+∞[.
Luego, la frontera de ]a, b[ es el conjunto{a, b}, o sea el conjunto formado por sus extremos.
&lt;hr&gt;

La notación usual para la clausura del conjunto A es &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;. Por razones tipográficas, no es fácil escribir lo anterior, por lo que usaremos Cl(A) o A&lt;sup&gt;&lt;b&gt;--&lt;/b&gt;&lt;/sup&gt;.

Sigue de la definición de clausura que los puntos de la clausura de un conjunto
son o puntos del conjunto o puntos de acumulación del conjunto. Notemos que
cuando un conjunto A es cerrado, coincide con su clausura.

&lt;b&gt;Ejemplos 5.5.1. &lt;/b&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Un conjunto cuyos puntos son todos aislados es un conjunto cerrado, por lo
tanto es igual a su clausura.
&lt;li&gt; La clausura de un intervalo real cualquiera con extremos a y b es el intervalo
cerrado[a, b].
&lt;li&gt; La clausura del conjunto vacío es el conjunto vacío.
Sigue, también, de la definición de clausura que cuando un punto p no está la
clausura de un conjunto, está en el exterior de ese conjunto, que es un conjunto
abierto; es decir que el complemento de la clausura es abierto, lo que implica que
la clausura es un conjunto cerrado. En símbolos,
&lt;center&gt;A&lt;sup&gt;--&lt;/sup&gt; = Cl(A) = (Ext(A))&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; = (A&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; = A&lt;sup&gt;coc&lt;/sup&gt;.&lt;/center&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;hr&gt;
Como veremos, en la siguiente proposición, se trata del cerrado más pequeño que contiene al conjunto. La proposición muestra las propiedades básicas de la clausura de un conjunto. Por comparación con la proposición 5.4.1 podemos afirmar que “clausura” e &quot;interior” son nociones duales.

&lt;!-- prop0510 --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 5.4.3 (Propiedades de la Clausura de un conjunto).&lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sean A y B subconjuntos de un espacio métrico. Se cumple que
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; La clausura de un conjunto A es un conjunto cerrado que contiene a A y que
está contenido en cualquier conjunto cerrado que contenga a A.
&lt;li&gt; A es cerrado, ssi, Cl(A) = A.
&lt;li&gt; Cl(Cl(A))= Cl(A).
&lt;li&gt; Si A ⊂ B entonces Cl(A) ⊂ Cl(B).
&lt;li&gt; La clausura de la union de A con B es igual a la reunión de la clausura de A con la clausura de B. Cl(A ∪ B) = Cl(A) ∪ Cl(B).
&lt;li&gt; La clausura de la intersección de dos conjuntos está contenida en la intersección de la clausura de dichos conjuntos.
Cl(A ∩ B) ⊂ Cl(A) ∩ Cl(B).
&lt;/ol&gt;
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Sabemos que la clausura de A es el complemento del exterior de A, que es
abierto, por lo que la clausura es cerrado. Si F es un conjunto cerrado que contiene a A, todos los puntos de A están en F. Por lo que cualquier punto de acumulación p de A también está en F, ya que cualquier vecindad de p contiene puntos de A y, por lo tanto, de F diferentes a p. Luego, F contiene a Cl(A).
&lt;li&gt; Trivial.
&lt;li&gt; La clausura es un conjunto cerrado.
&lt;li&gt; Si A ⊂ B, como B ⊂ Cl(B), A está contenida en el cerrado Cl(B). De donde el
resultado.
&lt;li&gt; Como A ⊂ Cl(A) y B ⊂ Cl(B), tenemos que A ∪ B es un subconjunto de Cl(A ∪ B)— que es un conjunto cerrado, por lo tanto, Cl(A ∪ B) ⊂ Cl(A) ∪ Cl(B). Como A y B son subconjuntos de A ∪ B ⊂ Cl(A ∪ B), tenemos que A y B son subconjuntos de Cl(A ∪ B). Luego, Cl(A) ∪ Cl(B) ⊂ Cl(A ∪ B). Lo que prueba la igualdad indicada.
&lt;li&gt; A ∩ B ⊂ A,B ⇒ Cl(A ∩ B) ⊂ Cl(A), Cl(B). De donde el resultado.
&lt;/ol&gt;
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;
==== Conjuntos Densos ====
Sabemos de las propiedades de los números reales que en cada vecindad de un
número real siempre hay al menos un número racional. Ver la sección 2.5.

En términos de lo visto en este capítulo, podemos expresar lo anterior diciendo
que los Reales son la clausura de los Racionales. Generalizamos esa relación con la siguiente definición.


&lt;div style=&quot;background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;&quot; class=&quot;theorem&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;&quot;&gt;Definición. (Subconjunto Denso)&lt;/span&gt;

Sea E un espacio métrico. Decimos que un
subconjunto A de E es denso en E, ssi, la clausura de A es igual a E (o sea que E = Cl(A)).
&lt;/div&gt;

La observación anterior muestra que los Racionales son densos en los Reales.
Opuesto a este concepto, tenemos lo siguiente: un conjunto es &lt;b&gt;nunca denso&lt;/b&gt; en E, ssi, su clausura tiene interior vacío.
Por ejemplo, los Naturales son un conjunto nunca denso de la línea real.

=== Ejercicios 5.4 ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Hallar el interior, exterior, frontera y clausura de cada uno de los siguientes
conjuntos en la línea real.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; [0, 1[.
&lt;li&gt; {t ∈ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; : |t − 5| &lt; 3}.
&lt;li&gt; {2n : n ∈ &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;}.
&lt;li&gt; {1/(2n) : n ∈ &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;}
&lt;li&gt; Los Racionales.
&lt;li&gt; &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt; ∩ [0, 1].
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Probar que
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; (A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; = A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;.
&lt;li&gt; (A&lt;sup&gt;&lt;b&gt;--&lt;/b&gt;&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;&lt;b&gt;--&lt;/b&gt;&lt;/sup&gt; = A &lt;sup&gt;&lt;b&gt;--&lt;/b&gt;&lt;/sup&gt;.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Probar las afirmaciones de la proposición 5.4.3 usando la relación A&lt;sup&gt;--&lt;/sup&gt; = A&lt;sup&gt;coc&lt;/sup&gt;

&lt;li&gt; Probar que el exterior de A es el complemento de la clausura de A.


&lt;li&gt; Hallar el interior, exterior, frontera y clausura de cada uno de los siguientes
conjuntos del plano &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; {(x, y) ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : y ≥ x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}.
&lt;li&gt; El círculo unitario, {(x, y) : x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ≤ 1}
&lt;li&gt; {(x, y); |x| &gt; 1, |y| ≥ 1}.
&lt;li&gt; {(x, y) ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : x &gt; 0, xy &lt; 1.}.
&lt;/ol&gt;
&lt;li&gt;. Hallar la frontera de cada uno de los conjuntos siguientes:
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; A = {x, y) ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : xy &gt; 1}.
&lt;li&gt; B = {(x, y) ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &lt; y}.
&lt;li&gt; C = A ∩ B.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; (Cubo Unitario) Llamamos cubo unitario al subconjunto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; denotado por &lt;b&gt;I&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y definido por
&lt;center&gt;&lt;math&gt;{\mathbf I}^n = \{(x_i) : 0 \le x_i \le 1, \text{ para todo }1 \le i \le n \}. &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Hallar el interior, la clausura y la frontera del cubo unitario.

&lt;li&gt; Demostrar que, en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, la clausura de una bola abierta es la bola cerrada del mismo centro y radio y su frontera es la esfera correspondiente. ¿Es lo anterior válido para cualquier espacio métrico?

&lt;li&gt; Dar un ejemplo de un conjunto infinito que no tenga puntos interiores.

&lt;li&gt; Hallar conjuntos A, B, C y D de la línea real tales que
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Int(A) ∩ Int(B) = Int(A ∩ B).
&lt;li&gt; Int(C) ∪ Int(D) Int(C ∪ D).
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Hallar conjuntos A, B, C y D de la línea real tales que
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Cl(A ∪ B) = Cl(A) ∪ Cl(B).
&lt;li&gt; Cl(C ∩ D) &amp;subset; Cl(C) ∩ Cl(D, sin igualdad.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Investigar la validez total o parcial de los siguientes enunciados
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Int(Cl(A)) = A.
&lt;li&gt; Cl(A) ∩ A = A.
&lt;li&gt; Cl(Int(A)) = A.
&lt;li&gt; Fr(Cl(A)) = Fr(A)
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; (Clausura y Bolas Abiertas) Sea A un subconjunto de un espacio métrico.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Probar que cuando toda bola abierta de centro p contiene un punto de
A diferente de p, entonces p es un punto de acumulación de A.

&lt;li&gt; Probar que cuando toda bola abierta de centro p y radio 1/n, n natural,
contiene un punto de A diferente de p, entonces p es un punto de
acumulación de A.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea A un conjunto no vacío. Probar que x está en A cuando, y solo cuando,
d(x,A) = 0.

&lt;li&gt; Sea A un conjunto no vacío cualquiera en un espacio métrico &lt; E, d &gt;,
A &amp;ne; E. Demostrar las siguientes afirmaciones.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; x ∈ A&lt;sup&gt;co&lt;/sup&gt;, ssi, d(x,A) &gt; 0.
&lt;li&gt; x ∈ A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;, ssi, d(x,A&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;) &gt; 0.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Si A y B son conjuntos no vacíos de &lt; E, d &gt;. Probar que d(Cl(A),Cl(B)) = d(A,B).


&lt;li&gt; Probar que para cualquier conjunto A, la frontera de A coincide con la frontera del complemento de A.

&lt;li&gt; Sean A y B son conjuntos cualesquiera de &lt;E,d&gt;, si Cl(A) ∩ Cl(B) = &amp;empty: entonces Fr(A ∪ B) = Fr(A) ∪ Fr(B).

&lt;li&gt; Probar que la frontera de la frontera de un conjunto está contenida en la frontera del conjunto.

&lt;li&gt; Sea F un subespacio de &lt; E, d &gt; y A ⊂ F. Hallar relaciones entre el
interior y la clausura de A en F con respecto al interior y la clausura en E.

&lt;li&gt; Probar que los siguientes enunciados son equivalentes para un subconjunto
A de un espacio métrico E.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; A es denso en E.
&lt;li&gt; Para todo x en E, d(x,A) = 0.
&lt;li&gt; Para todo abierto no vacío U de E, U ∩ A &amp;ne; &amp;empty;.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea A un subconjunto cualquiera de un espacio métrico E. B = A&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; ∪ A es denso en E.

&lt;li&gt; Demostrar que si A y B son abiertos y densos en un espacio métrico E, entonces A ∩ B también es denso.

&lt;li&gt; Si A y B son conjuntos en un espacio métrico E tales que A ∪ B es denso
en E y B es nunca–denso, entonces A es denso en E.

&lt;li&gt; Dar un ejemplo de una sucesión de conjuntos densos cuya intersección no
sea densa.

&lt;li&gt; Demostrar que un conjunto A de un espacio métrico E es nunca–denso, ssi,
para todo abierto U hay un abierto no vacío V contenido en U y tal que
V ∩ A = &amp;empty;.

&lt;li&gt; Sea f : E → E′ una isometría. Sea B = f(A), ¿qué podemos decir de la imagen
del interior (resp. exterior, clausura, frontera) de A?
&lt;/ol&gt;
== Espacios Ultramétricos ==

Los espacios ultramétricos se caracterizan por ser espacios métricos donde la métrica satisface la propiedad adicional
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
d(x,y) \le \max\{d(x,z), d(z,y)\}.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Vimos en el capítulo anterior que los Racionales con el valor absoluto p--ádico
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
|x_p|= p^{-v_p(x)}, 
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
cuando  x &amp;neq; 0,y |0|,sub&gt;p&lt;/sub&gt; = 0; donde si x = m/n, v&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(m) (resp. v&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(n)) es el exponente de la mayor potencia de p que divide a m (resp. a n). Por su parte, v&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;_p(x) = v&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(m) - v&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(n).
Vimos, también, que en cualquier espacio ultramétrico se cumple lo siguiente.

&lt;ul&gt;

&lt;li&gt;   Cada punto de una bola, sea abierta o cerrada, es un centro de la bola.
&lt;li&gt;    Cuando dos bolas tienen intersección  no vacía, aquella cuyo radio es menor o igual que el radio de la otra, está contenida en la otra bola.
&lt;/ul&gt;

&lt;b&gt;Proposición 5.5.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; En un espacio ultramétrico se cumple que las bolas abiertas, las bolas cerradas y las esferas son conjuntos abiertos y cerrados a la vez.
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt; Demostración. &lt;/i&gt; Probaremos lo afirmado acerca de las bolas abiertas y dejaremos el resto como ejercicio.

Las bolas abiertas son siempre conjuntos abiertos, luego solamente tenemos que probar que son cerrados. Sea B=B(x;r). Si B no tiene puntos de acumulación, B es trivialmente un conjunto cerrado.  Sea p un punto de acumulación de B, entonces cada bola abierta con centro en p tiene intersección no vacía con B \ {p}$; en particular B(p;r). Sigue de lo anterior que $B(p;r)=B$; lo que implica que p está en

B. Como B contiene a todos sus puntos de acumulación es un conjunto cerrado.

&lt;/ul&gt;&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 5.5 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;    Probar lo que falta de la demostración de la proposición~ 8.5.1..

&lt;li&gt;    Sea &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt; con el valor absoluto 5--ádico.
    &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt; Los únicos valores del valor absoluto p--ádico son potencias enteras de 5 o 0.
    &lt;li&gt;  Si r no es una potencia de 5, entonces la esfera S(0;r) es vacía.
    &lt;li&gt; Verificar que la bola abierta con centro en 0 y radio 5 es diferente de la bola cerrada con igual centro y radio.

        Usar lo anterior para concluir que en un espacio ultramétrico  no se cumple necesariamente que: (i) la clausura de una bola abierta, es la bola cerrada de igual centro y radio; (ii) el interior de una bola cerrada, es la bola abierta de igual centro y radio (iii) las bolas abiertas tienen frontera no vacía. Todas las afirmaciones anteriores son válidas en espacios euclídeos.

    &lt;li&gt;   Hallar ejemplos de bolas concéntricas de distinto radio que son iguales.
    &lt;/ol&gt;
\end{enumerate}

== Ejercicios del Capítulo 5 ==
A. Cierto o Falso
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Cada espacio métrico discreto es finito.
&lt;li&gt; En un espacio métrico, cada conjunto con un único punto es cerrado.
&lt;li&gt; Hay conjuntos abiertos cuya frontera es vacía.
&lt;li&gt; Hay conjuntos cerrados que no contienen puntos de acumulación.
&lt;li&gt; Un punto es de acumulación de un conjunto cuando cada abierto que contiene al punto tiene intersección no vacía con el conjunto.
&lt;li&gt; Una bola abierta nunca es un conjunto cerrado
&lt;li&gt; La frontera de un conjunto está contenida en el conjunto.
&lt;li&gt; Un punto que no es punto de acumulación de un conjunto es un punto asilado
del conjunto.
&lt;/ol&gt;

B. Hacer lo indicado o probar las afirmaciones.
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sea A un conjunto no vacío de números reales acotado superiormente. Si
s = sup(A) no es elemento de A, entonces s es un punto de acumulación de
A.

&lt;li&gt; Hallar una familia infinita de subconjuntos cerrados de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; cuya reunión no sea cerrada.

&lt;li&gt; Hallar una familia infinita de subconjuntos abiertos de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; cuya intersección no sea abierta.

&lt;li&gt; Dar ejemplos en la línea real de:
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; un subconjunto infinito que no tiene puntos de acumulación,
&lt;li&gt; un subconjunto no vacío contenido en el conjunto de sus puntos de
acumulación,
&lt;li&gt; un subconjunto que tiene infinitos puntos de acumulación, pero que no
contiene a ninguno de ellos.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Todo conjunto abierto y no vacío en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; contiene números racionales e irracionales.

&lt;li&gt; Todo intervalo cerrado en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; es intersección de una sucesión de abiertos.

&lt;li&gt; Cada vecindad V de un punto de la frontera del conjunto A es tal que
&lt;center&gt; V ∩ A &amp;ne; &amp;empty; y V ∩ A&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; &amp;ne; &amp;empty:.&lt;/center&gt;

&lt;li&gt; A abierto implica que Int(A) = Cl(A) \ Fr(A). ¿Vale lo anterior para un
conjunto cualquiera?

&lt;li&gt; Sea A un subconjunto no vacío de un espacio métrico E. Sean V&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(A) = {x ∈ E : d(x,A) &lt; r} y W&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(A) = {x ∈ E : d(x,A) ≤ r}. Entonces,
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; V&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(A) es una vecindad abierta de A.
&lt;li&gt; W&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(A) es un conjunto cerrado.
&lt;li&gt; La intersección de todos los V&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(A), r &gt; 0, es la clausura de A.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Si A y B son conjuntos en un espacio métrico &lt; E, d &gt;, probar que
&lt;center&gt;(A ∩ B)′ ⊂ A′ ∩ B′, y (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′. &lt;/center&gt;
(donde X’ es el conjunto &lt;i&gt;derivado&lt;/i&gt; de X, o sea aquel subconjunto formado por los puntos de acumulación de X). Dar un ejemplo donde la primera relación es una inclusión propia.

&lt;li&gt; A es abierto y B cualquiera en un espacio &lt; E, d &gt;. Probar que
&lt;center&gt;A ∩ Cl(B) ⊂ Cl(A ∩ B), y Cl(A ∩ Cl(B)) ⊂ Cl(A ∩ B). &lt;/center&gt;

&lt;li&gt; Si A es abierto y B cualquiera en un espacio &lt; E, d &gt;, probar que
&lt;centger&gt; A ∩ B = &amp;empty; ⇒ A ∩ B = &amp;empty;.

&lt;li&gt; Sea A un subconjunto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y p un vector cualquiera. Sea p+A = {p+x : x ∈ A}. la traslación de A por p.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Si A es abierto, p + A, también es abierto.
&lt;li&gt; ¿Qué se puede decir de p + F, cuando F es cerrado?
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt;. Sean A, B subconjuntos de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Sea A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
a) Investigar si A + B es abierto, cuando al menos uno de los conjuntos
(A, B) lo es, o cuando ambos lo son.
&lt;li&gt; Investigar si A + B es cerrado, cuando al menos uno de los conjuntos
(A, B) lo es, o cuando ambos lo son.
&lt;li&gt; Investigar la relación entre A, B, y A + B.
&lt;li&gt; Investigar la relación entre Int(A + B) e Int(A), Int(B).
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea A un subconjunto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Sea −A = {−a : a ∈ A}.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Investigar si −A es abierto (resp. cerrado) cuando A lo es.
&lt;li&gt; Investigar la relación entre Cl(−A) y Cl(A).
&lt;li&gt; Investigar la relación entre Int(−A) e Int(A).
&lt;/ol&gt;

16. (Espacios Ultramétrico) Ver definición en la sección 4.7. Sea E un espacio
ultramétrico. Probar las siguientes afirmaciones.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Cuando dos bolas (abiertas o cerradas ambas) tienen un punto en común,
las bolas coinciden.
&lt;li&gt; Probar que las bolas abiertas son conjuntos cerrados.
&lt;li&gt; Probar que las bolas cerradas son conjuntos abiertos.
&lt;li&gt; Dos bolas abiertas diferentes de radio r contenidas en una bola cerrada
de radio r tienen una distancia igual a r.
&lt;/ol&gt;
&lt;/ol&gt;

== Referencias ==
[[Categoría:Espacios Métricos]]


&lt;!-- 09/26/16 --&gt;
&lt;!--  03/22/2018 --&gt;

&lt;!--  03/24/2019 --&gt;</text>
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    </revision>
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    <title>Matemáticas/Espacios Métricos/Continuidad</title>
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        <username>Mazbel</username>
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      </contributor>
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&lt;noinclude&gt;
{{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos
|actual=Continuidad
|anterior=Abiertos y Cerrados
|siguiente=Sucesiones
}}
&lt;/noinclude&gt;
__TOC__
&lt;!-- LA CONTINUIDAD --&gt;
=== Capítulo 6 LA CONTINUIDAD ===
Libro: Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos y Topológicos
== Introducción ==

Las funciones continuas aparecen en cursos de Cálculo, donde son informalmente descritas 
como aquellas funciones cuyas gráficas no presentan &quot;saltos&quot;. Más formalmente, se dice que una función f es continua en un punto p de su dominio cuando, y solo cuando, lim&lt;sub&gt;{x \to p}&lt;/sub&gt;f(x) = f(p). Aquí, límite significa que dado un valor numérico &amp;epsilon;, podemos hallar un número &amp;delta; &gt; 0 tal que la distancia de f(x) a f(a) se puede hacer menor que &amp;epsilon;, cuando se cumple que la distancia de x a p es menor que &amp;delta;. Es decir que para todo &amp;epsilon; &gt;0, podemos hallar un &amp;delta; &gt;0, tal que
{{eqn|&lt;math&gt;
|x-a| &lt; \delta \implies |f(x) - f(a)| &lt; \epsilon.
&lt;/math&gt;|*}}

:&lt;small&gt;La terminología epsilon--delta es tradicional. Matemáticamente hablando, podríamos usar cualquier otro nombre para esos números, por ejemplo r y s.&lt;/small&gt;
 
En este capítulo, estudiaremos la continuidad para funciones entre dos espacios métricos cualesquiera.

== Definiciones de Continuidad ==

La noción de continuidad es central en nuestros estudios topogeométricos, por lo que empezaremos viendo varias versiones (lógicamente equivalentes) para su definición. Recordemos, primeramente, la definición de continuidad que dimos en el capítulo 4.

Sean E, F espacios métricos y f una función de E en F. Dijimos que la función f  era &lt;b&gt;continua en un punto&lt;/b&gt; p de E, ssi,
 &lt;ul&gt;
 (I) para todo &amp;epsilon; &gt; 0, podemos hallar un &amp;delta; &gt; 0 tal que
    {{eqn|&lt;math&gt;d(x,p) &lt; \delta \implies d(f(x), f(p)) &lt; \varepsilon.&lt;/math&gt;}}
&lt;/ul&gt;
Esta definición es la generalización directa de la definición formal de los cursos de Cálculo. Diremos que una función es &lt;b&gt;discontinua&lt;/b&gt; en un punto de su dominio, cuando no sea continua en ese punto.

Veremos a continuación, algunas versiones equivalentes a la definición anterior, pero usando el lenguaje de bolas abiertas---que fue introducido posterior a la definición anterior.

&lt;ul&gt; f es continua en p, ssi,&lt;br&gt;
(II) para toda &amp;epsilon;--vecindad de f(p) hay una &amp;delta;--vecindad de p tal que
{{eqn|&lt;math&gt;
x \in B_\delta(p) \implies f(x) \in B_{\epsilon}(f(p)).&lt;/math&gt;}}

(III) para toda &amp;epsilon;-- vecindad de p hay una &amp;delta;--vecindad de p tal que
    {{eqn|&lt;math&gt;f(B_\delta(x)) \subset B_{\varepsilon}(f(p)).&lt;/math&gt;}}
&lt;/ul&gt;

Los lectores deberán revisar los enunciados anteriores hasta entender plenamente por qué esos dos enunciados dicen lo mismo que la definición original. A continuación, expresaremos la definición en término de vecindades.

&lt;ul&gt; f es continua en p, ssi, &lt;br&gt;
(IV) para toda vecindad V de f(p), hay una vecindad U de p tal que para todo x se cumple que
{{eqn|&lt;math&gt;
x \in U \implies f(x) \in V.
&lt;/math&gt;}}

(V) para toda vecindad V de f(p) hay una vecindad U de p tal que
{{eqn|&lt;math&gt;
f(U) \subset V.
&lt;/math&gt;}}
&lt;/ul&gt;

Claramente, (IV) y (V) son equivalentes. Probaremos que (III) y (V)  también lo son.

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;
Supongamos (III). Sea V una vecindad de f(p). Entonces, hay una &amp;epsilon;--vecindad B' de f(p) contenida en V. Por la suposición, hay una &amp;delta;--vecindad B de p, tal que f(B) &amp;sub; B'. Poniendo U = B, tenemos que f(U) = f(B) &amp;sub; B' &amp;sub; V.

Supongamos ahora (V). Sea &amp;epsilon; &gt;0 dado y sea V la &amp;epsilon;--vecindad de f(p). Por la suposición, hay una vecindad U de p tal que f(U) &amp;sub; V. Como U es vecindad de p, hay una bola abierta B_\delta(p) contenida en U. Luego, 
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
f(B_\delta(p)) \subset f(U) \subset V = B_{\epsilon}(f(p)).
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{QED}}
&lt;hr&gt;

¿Cuál de los enunciados equivalentes usaremos? Depende de la situación. Para efectos teóricos, usualmente la versión (V) es conveniente. Cuando se trabaja con funciones numéricas u operaciones con funciones, la definición original puede resultar más conveniente.

Cuando el dominio o el codominio sea un espacio normado escribiremos las distancias en términos de normas, o de valor absoluto en el caso de los Reales.
Por ejemplo, cuando E y F sean espacios normados, tendremos que f:E &amp;rarr; F será continua en un punto p de E, ssi,
&lt;ul&gt;
(VI) para todo &amp;epsilon; &gt; 0, hay un &amp;delta; &gt; 0 tal que para todo x se cumple que
{{eqn|&lt;math&gt;
||x - p|| &lt; \delta \implies ||f(x) - f(p)|| &lt; \varepsilon.
&lt;/math&gt;}}
&lt;/ul&gt;

La noción de continuidad presentada aquí es la noción &lt;i&gt;local&lt;/i&gt;. Con esto queremos decir que depende solamente de lo que pasa en el punto y en los puntos suficientemente próximos a ese punto. En consecuencia, para los efectos de probar continuidad en un punto, podemos tomar una vecindad suficientemente &quot;pequeña&quot; para nuestros propósitos. En particular, cuando se trate de una r--vecindad del punto, podremos escoger el valor de r a nuestra conveniencia, siempre que se trate de un número positivo.

Tenemos también una versión global de continuidad que recordamos a continuación.
{{caja|
Una función f de un espacio métrico E en un espacio métrico F es &lt;b&gt;continua&lt;/b&gt; (en el espacio) E, ssi, &lt;br /&gt; es continua en cada punto de E.
}}

Sigue de la definición que para probar la continuidad de una función en (todo) el espacio E, bastará con probar la continuidad en un punto p cualquiera de E.

=== Ejercicios 6.2 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Explicar lo que significa que una función sea discontinua en un punto, usando cada una de las alternativas (I al VI) de la definición de continuidad.

&lt;li&gt; Sea E un espacio discreto con métrica 0-1 y sea F un espacio métrico cualquiera. Probar que cualquier función de E en F es continua.

&lt;li&gt; Sea E el espacio métrico definida en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; por la métrica discreta 0--1.
Cualquier función de E en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; (con la métrica usual) es continua, pero
id: &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; E tal que id(x) = x no lo es. Explicar.
&lt;/ol&gt;

== Propiedades Generales ==

Nuestra primera proposición nos garantiza la existencia de funciones continuas, aunque sean relativamente triviales.

&lt;b&gt;Proposición 6.3.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Las funciones constantes son continuas.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea f:E &amp;rarr; F una función constante entre espacios métricos. Sea p un punto de E y sea V una vecindad de f(p). Entonces para cualquier vecindad U de p. tenemos que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;f(U) = \{f(p)\} \subset V.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Luego, f es continua en p. Como p era arbitrario, la función es continua en E.
&lt;/ul&gt;{{QED}} &lt;hr&gt;

&lt;!-- propContIdentidad --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 6.3.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; La función identidad 1&lt;sub&gt;E&lt;/sub&gt;: E &amp;rarr; E es continua.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea p un punto cualquiera de E y sea V una vecindad de 1&lt;sub&gt;E&lt;/sub&gt;(p) (= p). Entonces U=V es una vecindad de p tal que f(U) = V.
&lt;/ul&gt;{{QED}} &lt;hr&gt;

Notemos que la identidad en los Reales es la función que en cursos de Cálculo se presenta como f(x) = x, para todo x real.

La siguiente proposición tiene tanto importancia teórica como práctica, como veremos en los ejemplos posteriores.

&lt;b&gt;Proposición 6.3.3 (Composición de Continuas) &lt;/b&gt;&lt;i&gt;
Sean f:E &amp;rarr; F y g: F &amp;rarr; G funciones.
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Si f es continua en p y g es continua en f(p) entonces g o f es continua en p.
&lt;li&gt; Si f y g son continuas (en todo su dominio), su composición es continua.
&lt;/ol&gt;
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;\quad
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Sea W una vecindad de g(f(p)). Por definición de continuidad aplicada a g en f(p), tenemos que hay una vecindad V de f(p) tal que g(V) está contenida en W. Por definición de continuidad de f en p, tenemos que hay una vecindad U de p tal que f(U) está contenida en V. Luego, g(f(U)) &amp;sub; g(V), lo que implica que g(f(U)) &amp;sub; W. Esto prueba la afirmación.

&lt;li&gt; Directo de la parte anterior.
&lt;/ol&gt;
&lt;/ul&gt;{{QED}} &lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proyecciones. &lt;/b&gt; Recordemos que llamamos i--ésima proyección de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; a la función &lt;b&gt;pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;&lt;/b&gt; que asigna a cada punto (x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;) de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, su i--ésima coordenada. Como, para todo x=(x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;) se cumple que |x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;| &amp;le; ||x||, tenemos que para que |x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;-p&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;| sea menor que &amp;epsilon;, es suficiente con tomar ||x-p||&lt; &amp;delta; = &amp;epsilon;. Por lo que tenemos la siguiente proposición.

&lt;b&gt;Proposición 6.3.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Las proyecciones de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; son funciones continuas.
&lt;/i&gt;

=== Observaciones y Ejemplos ===

Antes de ir a otros ejemplos, revisaremos lo que implica la continuidad y los procedimientos generales para probar continuidad.

&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Suponer que f es continua en p, es suponer que  para un &amp;epsilon; cualquiera se cumple que  d(f(x),f(p))&lt; &amp;epsilon;, siempre que restrinjamos los valores de x a una vecindad adecuada (por ejemplo, una bola abierta de centro p y de radio un cierto &amp;delta;). Coloquialmente, decimos que &quot;podemos hacer d(f(x),f(p)) tan pequeña como queramos&quot; ---a veces, agregando la condición de &quot;cuando d(x,p) sea lo suficientemente adecuada o pequeña&quot;.

&lt;li&gt; Probar que una función es continua puede resultar complicado usando directamente la definición (en cualquiera de sus alternativas), por lo que usaremos teoremas tales como que la composición de funciones continuas es continua y otros que veremos más adelante.

&lt;li&gt; Una estrategia útil---cuando usamos directamente la definición---consiste en acotar superiormente a d(f(x), f(p)) en una vecindad de p, mediante una expresión que contenga d(x,p). Cuando podamos lograr que tal acotamiento se exprese como una constante veces d(x,p), la continuidad sera inmediata.
Ver los ejemplos 4.3.1 y 3.3.2 del capitulo 4, y, más adelante, el lema 5.3.5. 

&lt;li&gt; (&amp;spades;) Para poder dar ejemplos significativos usaremos un resultado de Cálculo que establece que &quot;&lt;i&gt;toda función derivable en un punto es continua en ese punto&lt;/i&gt;.&quot; En particular, son continuas, en sus dominios, las funciones potencias, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Usando lo anterior, por ejemplo, podemos afirmar que la función f tal que f(x) = sen(e&lt;sup&gt;x&lt;/sup&gt;) es continua, ya que es una composición de funciones continuas:
x &amp;#8614; e^x &amp;#8614; sen(e&lt;sup&gt;x&lt;/sup&gt;).
&lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

El siguiente resultado será de gran ayuda para probar continuidad local.

&lt;b&gt;Lema 6.3.5 (Lema H) &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea f: E &amp;rarr; F continua en un punto p de E. Si hay un número positivo M y una vecindad U de p tal que para todo x en esa vecindad se cumple que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;d(f(x) , f(p)) \le M d(x,p).&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Entonces, f es continua en p.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; (Consideración intuitiva.) Sigue de la desigualdad en la hipótesis, que dado &amp;epsilon; &gt; 0, d(f(x) , f(p)) será menor que tal &amp;epsilon; &gt; 0, cuando Md(x,p) lo sea; es decir cuando d(x,p) &lt; &amp;epsilon;/M. Esta última relación nos sirve, por lo tanto, para estimar el valor adecuado de &amp;delta;.

(Demostración.) Sea &amp;epsilon;&gt;0 dado. Tomando &amp;delta; = &amp;epsilon;/M, se tiene que
{{eqn|&lt;math&gt;
d(x,p)&lt; \delta \text{ implica que } d(f(x) , f(p)) \le Md(x,p)| &lt; M \dfrac{\varepsilon}{M} = \varepsilon.
&lt;/math&gt;}}

Lo que prueba la continuidad deseada.
&lt;/ul&gt;{{QED}} &lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 6.3.1. &lt;/b&gt;Usar el lema H para probar que 1&lt;sub&gt;E&lt;/sub&gt;:E &amp;rarr; E es continua.

Sea un punto cualquiera de E. Como
&lt;center&gt;d(f(x), f(p)) = d(x, p) = 1 * d(x, p),&lt;/center&gt;
aplicando el lema H con M =1, se obtiene el resultado.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 6.3.2. &lt;/b&gt; Probar que f:&lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; \R::t &amp;#8614; 3t + 5 es una función continua en cualquier punto a de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.

&lt;i&gt;Solución. &lt;/i&gt; Notemos que |f(t) - f(a)| = 3|t - a|, por lo que el resultado sigue del lema H.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 6.3.3. &lt;/b&gt; La función radical de &lt;b&gt;R&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, x &amp;#8614; &amp;radic;{x} es continua en todo su dominio.

&lt;i&gt;Solución. &lt;/i&gt;Sea p &amp;ne; 0. Se tiene que
{{eqn|&lt;math&gt;
\sqrt{x} - \sqrt{p} = \frac{x-p}{\sqrt{x} + \sqrt{p}}.
&lt;/math&gt;|1}}
En una p/2--vecindad de p se cumple que -p/2 &lt; x - p &lt; p/2 de donde x &gt; p/2 y, por lo tanto, &amp;radic;{x} &gt; &amp;radic;{p/2} &gt; &amp;radic;{p}/{2}. Por lo que, &amp;radic;{x} + &amp;radic;{p} &gt; (3/2)&amp;radic;{2}.
Luego, &lt;math&gt;\dfrac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{p}} &lt; \dfrac{3}{2\sqrt{p}}&lt;/math&gt;.

Usando la última desigualdad en (1), tenemos que
{{eqn|&lt;math&gt;
|\sqrt{x} - \sqrt{p}| &lt; \dfrac{2}{3\sqrt{p}} |x - p|.
&lt;/math&gt;}}
Por el Lema H, tenemos la continuidad en p.

La continuidad en 0, sigue de que &amp;radic;(x) &lt; &amp;epsilon; &amp;larr;&amp;rarr; x &lt;
&amp;epsilon;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, lo que muestra que tomando &amp;delta; = &amp;epsilon;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, se
cumplirá la condición para continuidad.
&lt;hr&gt;

&lt;i&gt;Observación 6.1. &lt;/i&gt; Observemos, en el último ejemplo, que a pesar de la continuidad en 0, no hay número M&gt;0 tal que para todo x&gt;0 en una vecindad de 0 se cumpla que f(x) &lt; Mx.

En efecto, supongamos que tal M existiera, entonces se tendría que
{{eqn|&lt;math&gt;
f(x) = \sqrt{x} &lt; M x \implies \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{x} &lt; M.
&lt;/math&gt;}}

Como para cualquier vecindad U de 0, podemos hallar un número
natural N tal que n &gt; N, lo que implica que 1/n está en la
vecindad U, lo que a su vez implica que n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &gt; n, concluimos que 1/n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; está en la vecindad U. Como 1/&amp;radic;{1/n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;} = n y los
naturales no tienen cota superior, concluimos que es imposible la existencia de tal M.

Es decir que el criterio dado en el lema H es suficiente, pero no necesario; en otras palabras, el recíproco del lema H no es válido.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 6.3.4. &lt;/b&gt;La función valor absoluto, x &amp;#8614; |x| es continua.

Basta con recordar que &lt;math&gt;{|}\, |x| - |y|\,{|} \le |x-y|&lt;/math&gt; y aplicar el lema H.
&lt;hr&gt;

(&amp;#9769;) En los cursos de Cálculo, esta función se usa para ilustrar que la afirmación derivable implica continuidad no tiene converso, ya que la función valor absoluto es continua en 0, pero no derivable en 0. Notemos que la gráfica de esa función tiene una punta, Nuestra experiencia con gráficas de funciones  nos puede dar la impresión que las gráficas de funciones son siempre curvas suaves. Sin embargo, se puede ver que la &quot;suavidad&quot; de una gráfica está asociada más bien con la derivabilidad que con la continuidad. Por ejemplo, las gráficas producidas por un electrocardiograma o un sismográfo son generalmente continuas.
&lt;hr&gt;

A continuación, examinaremos una situación de discontinuidad.

&lt;b&gt;Ejemplo 6.3.5. &lt;/b&gt;&lt;!--\label{ejDiscontinuidad06}--&gt; Repetimos el ejemplo 4.3.3.
Sea f:&lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que f(x) = 1, cuando x &gt; 0, y f(x) = 0, cuando x &amp;le; 0. Veremos que f no puede ser continua en 0. Cualquier bola abierta con centro en 0 y radio &amp;delta; contiene números positivos, si x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; es uno de ellos, entonces f(x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;) - f(0) = 1 - 0 = 1. Por lo que no importa que &amp;delta; escojamos la distancia entre esas imágenes será igual a 1, por lo que no puede hacerse tan pequeña como queramos (por ejemplo 1/2).
&lt;hr&gt;

En el último ejemplo, la gráfica de la función tiene un &quot;salto&quot; en 0. El salto mide 1. Cualquier salto impide, por las mismas razones del ejemplo, la continuidad de la función. Por eso, tienen algo de razón quienes dicen que una función continua es aquella cuya gráfica se puede dibujar sin tener que levantar el lápiz del papel


¿Cuántos saltos puede admitir una función? &lt;br&gt;
¿Cuántas discontinuidades puede admitir una función? &lt;br&gt;
El siguiente ejemplo muestra que una función que es discontinua en cada uno de los puntos de su dominio.

&lt;b&gt;Ejemplo 6.3.6 (La función de Dirichlet) &lt;/b&gt; Sea f : [0,1] &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que f(x) = 0 cuando x es racional, y f(x) = 1 cuando x es irracional.

Como en cualquier vecindad de un irracional hay un racional, se tiene que la función no puede ser continua en un irracional i, ya que una r--vecindad del número 1 con r&lt;1 no contendrá imágenes de racionales. Como también se cumple que en la vecindad
de cada racional, hay un irracional, se tiene que no puede ser
continua en los racionales.

¿Cómo es la gráfica de esta función?

&lt;hr&gt;

=== Otros Ejemplos de  Funciones Continuas ===

Con el fin de tener  variados ejemplos  de continuidad, usaremos un teorema que enunciaremos a continuación, pero que probaremos en la sección 6.5.4.

&lt;b&gt;Teorema de las Operaciones. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sean f, g : E  &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; funciones continuas en un punto p (resp. en todo E).  Entonces se cumple que la suma, la resta, el producto y el cociente de f y g son continuas en p (resp. en todo E).
&lt;/i&gt;

Usaremos el resultado del teorema para poder mostrar una variedad de ejemplos.

&lt;b&gt;Ejemplo 6.3.7. &lt;/b&gt; Las funciones potencias p&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; : t &amp;#8614; t&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; son continuas.

El caso n = 1 está contenido en la proposición 6.3.2, donde probamos que la
identidad era continua.

El caso n = 2, resulta del producto de la identidad consigo misma; esto es
p&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;. El caso general, p&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;, es el producto de p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; con p&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;; por lo que el resultado sigue por inducción.

&lt;b&gt;Ejemplo 6.3.8. &lt;/b&gt;Suponiendo que sen, cos y exp son funciones continuas, se concluye la continuidad de las siguientes funciones.
:a. x &amp;#8614; sen(x) + e&lt;sup&gt;x&lt;/sup&gt; cos(x) (producto y suma de funciones continuas).
:b. g(x) = 1/(1 + x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;) (cociente de funciones continuas, además el denominador nunca es nulo).
:c. h : &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, h(x, y) = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. (proyecciones son continuas).

=== Ejercicios 6.3  ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sea f : [−2,−1]∪[1, 2] tal que f(x) = −1 cuando x es negativo y f(x) = 1
cuando x &gt; 0. ¿Es f continua?
&lt;li&gt;  Sea f : &lt;&gt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;&gt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que f(x) = | sen(x)|. Trazar la gráfica de f. ¿Es f
continua?
&lt;li&gt;  Sea f : E &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; continua, ¿es |f| continua? (|f|(x) := |f(x)|)
&lt;/ol&gt;

== La Continuidad Global ==

La continuidad global de una función, o sea cuando la función es continua en cada punto de su dominio, es muy importante en las consideraciones topogeométricas, por lo que estudiaremos algunas de sus caracterizaciones.
La siguiente proposición muestra criterios necesarios y suficientes para la continuidad global, en términos de abiertos,  sin referencia directa a puntos.

&lt;b&gt;Proposición 6.4.1 &lt;/b&gt; &lt;i&gt;Sea f: E &amp;rarr; F una función. Son equivalentes:
&lt;ul&gt;
(i) f es continua en E. &lt;br&gt;
(ii) Para todo abierto V de F, su preimagen (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V)) es abierto en E. &lt;br&gt;
(iii) Para todo cerrado W de F, su preimagen (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(W)) es cerrado en E. &lt;br&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;Recordemos que f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V) = \{x &amp;isin; E: f(x) &amp;isin; V\}. &lt;br /&gt;

&lt;b&gt;(i) implica (ii).&lt;/b&gt; Sea V un abierto de F. Si f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V) es vacío, es abierto. Supongamos que f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V) no es vacío y sea p un punto de ese conjunto. Entonces, f(p) está en V. Aplicando la alternativa (V) de las definiciones locales de continuidad, tenemos que hay una vecindad W de p, tal que f(W) &amp;sub; V. Luego, hay un abierto U vecindad de p y contenido en W. Entonces, U &amp;sub; W &amp;sub; f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(W)) &amp;sub; f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V). Lo que muestra que f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V) es abierto.

&lt;br&gt;
&lt;b&gt;(ii) implica (i).&lt;/b&gt; Sea p un punto cualquiera de E. Sea V una vecindad abierta de f(p). Entonces, U = f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V) es una vecindad abierta de p tal que f(U) &amp;sub; V, lo que prueba la continuidad en p. Como p era arbitrario, concluimos la continuidad en todo E.&lt;br&gt;

&lt;br&gt;
&lt;b&gt;(ii) equivalente con (iii)&lt;/b&gt; (El resultado sigue de la identidad entre conjuntos que establece que la preimagen del complemento de un conjunto es igual al complemento de la preimagen del conjunto. Es decir que f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(A&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;) = (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(A))&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;.

Supongamos que las preimágenes de abiertos son abiertos. Entonces, W cerrado en F implica que W&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; es abierto en F, lo que implica que (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(W))&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; = f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(W&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;) es abierto (por la hipótesis), de donde f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(W) es cerrado.

Supongamos, ahora, que las preimágenes de cerrados son cerrados. Entonces, V abierto en F implica que V&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; es cerrado en F; de donde por la hipótesis. f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;) = (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V))&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; es cerrado, lo que implica que
que f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V) es abierto en E.
&lt;/ul&gt;{{QED}} &lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 6.4.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sean E un espacio métrico y X un subespacio de E. La inclusión canónica &lt;i&gt;i&lt;/i&gt; : X &amp;rarr; E es continua.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;Sea V un abierto de E, entonces i&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V) = V &amp;cap; A, que es un abierto de X; lo que prueba la proposición.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 6.4.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea f : E &amp;rarr; F continua y sea X un subespacio no vacío de E. Entonces, la restricción de f a X, &lt;math&gt;f\big|_X&lt;/math&gt; es continua.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;&lt;math&gt;f\big|_X = f \circ i&lt;/math&gt;, donde i es la inclusión de X en E.
&lt;/ul&gt;{{QED}} &lt;hr&gt;


&lt;b&gt;Ejemplo6.4.1. &lt;/b&gt; Probar que el semiplano H= {(x,y) &amp;isin; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;: y &gt; 0\} es abierto (ver el ejemplo 5.2.1.).

&lt;i&gt;Solución. &lt;/i&gt;Consideremos la segunda proyección de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, pr&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;(x,y) = y. Como H es la preimagen por pr&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; del intervalo abierto ]0, +&amp;infin;[ y dicha proyección es una función continua (6.3.4.), el resultado sigue de la proposición anterior.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 6.4.2.&lt;/b&gt; Probar que la franja F= { (x,y) &amp;isin; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;: 2 &amp;le; x &amp;le; 5\} es un conjunto cerrado.

&lt;i&gt;Solución. &lt;/i&gt;F= pr&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;([2,5]), preimagen de un cerrado.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 6.4.3. &lt;/b&gt;Probar que la celda C= ]a,b[ x ]c,d[ de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es un conjunto abierto.

&lt;i&gt;Solución. &lt;/i&gt;Ver la solución dada en el ejemplo 5.2.7. Con las herramientas actuales, basta con ver que C es la intersección de la preimagen por pr&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; de ]a,b[ con la preimagen por pr&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; de ]c,d[.
{{Eqn|&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
C &amp; = &amp; \{(x,y) : a &lt; x &lt; b, c &lt; y &lt; d\} \\
     &amp; = &amp;\{(x,y): a &lt; x &lt; b \} \cap \{(x,y) : c &lt;y &lt; d\} \\
     &amp;= &amp; pr_1^{-1}(]a,b[) \cap pr_2^{-1}(]c,d[).
\end{array}
&lt;/math&gt;}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 6.4.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea f: E &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; continua. Entonces,
U= {x &amp;isin; E: f(x) &gt; 0\} y V = \j{x &amp;isin; E : f(x) &lt; 0\} son abiertos, mientras que W = \j{x &amp;isin; E: f(x) =0\} es cerrado en E.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;Basta con observar que U = f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(]0,+&amp;infin;[), V = f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(]-&amp;infin;,0[) y W = f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;({0}).
&lt;/ul&gt;{{QED}} &lt;hr&gt;

El lema siguiente se usará más adelante y tiene algunas notables aplicaciones.

&lt;b&gt;Lema 6.4.5 (Lema K)(Estabilidad del Signo) &lt;/b&gt;&lt;i&gt;
Sea f:E &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; una función continua en un punto p. Si f(p) &amp;ne; 0 hay una vecindad abierta de p tal que para todo x en la vecindad se cumple que f(x) tiene el mismo signo que f(p).
&lt;/I&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt; Supongamos que f(p) &gt; 0. Entonces, p pertenece al abierto f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;), preimagen de los Reales positivos. Luego, hay una vecindad de p cuyas imágenes son todas positivas. Análogamente cuando f(p) &lt; 0.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 6.4 ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sean f, g funciones continuas de E en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. Probar lo siguiente.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; {x &amp;isin; E: f(x) = g(x) } es cerrado en E.
&lt;li&gt; {x &amp;isin; E: f(x) &lt; g(x) } es abierto en E.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt;  Sean E un espacio métrico, A un subconjunto de E y f: E &amp;rarr; F continua. Si x es un punto de la clausura de A, entonces f(x) es un punto de la clausura de f(A).
 
&lt;li&gt; (Principio de Extensión de Identidades) Sean f y g funciones continuas de un espacio métrico E en un espacio métrico F. Si f(x) = g(x) para todo x en un subespacio A denso en E, entonces f = g.

&lt;li&gt; (Principio de Extensión de Desigualdades) Sean f y g funciones continuas de un espacio métrico E en &lt;B&gt;R&lt;/B&gt;. Si f(x) &amp;le; g(x) para todo x en un subespacio A denso en E, entonces f(x) &amp;le; g(x), para todo x en E.
&lt;/ol&gt;

== Las Funciones Numéricas ==

Llamamos &lt;i&gt;funciones numéricas&lt;/i&gt; a las funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de algún &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; respectivamente.

Sea f:A &amp;sub; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Cuando m = 1, decimos que se trata de una función de &lt;i&gt;una variable real&lt;/i&gt;; cuando m &gt; 1, que se trata de una función de &lt;i&gt;varias variables reales&lt;/i&gt;. Si n = 1, decimos que es una &lt;i&gt;función real&lt;/i&gt; o &lt;i&gt;con valores reales&lt;/i&gt;; y, en caso de que n &gt; 1, decimos que es una &lt;i&gt;función vectorial&lt;/i&gt; o &lt;i&gt;con valores vectoriales&lt;/i&gt;.

Examinaremos la continuidad de los diferentes tipos de funciones.

=== Funciones Reales de una Variable Real ===

Sumar una constante o multiplicar por una constante una función continua, produce una función continua.

&lt;b&gt;Proposición 6.5.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea a un número real y sean f,g:&lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tales que f(t) = t + a y g(t) = at, las funciones f y g son continuas.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;Sea p un real cualquiera.
Notemos que |f(t) - f(p)| = |(t+a)- (p+a)| = |t-p|. Luego, podemos hacer |f(t)-f(p)| menor que un cierto &amp;epsilon;, tomando |t-p| menor que &amp;epsilon;. Como p es arbitrario, f es continua en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.


Por su parte, si a = 0, la función g es constante y, por lo tanto, continua. Supongamos que a &amp;ne; 0.
 Tenemos que |g(t) - g(p)| = |at - ap | = |a(t-p)| = |a|\, |t-p|. Luego, podemos hacer |f(t)-f(p)| menor que un cierto &amp;epsilon;, tomando |t-p| menor que &amp;epsilon;/|a|. Como p es arbitrario, g es continua en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.

 En ambos casos, podríamos, alternativamente, haber invocado el lema H para probar la continuidad.
&lt;/ul&gt;{{QED}} &lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 6.5.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; La función t &amp;#8614; -t es continua.
&lt;/i&gt;

Notemos, para futuras consideraciones, que tanto f como g de la proposición, para a &amp;ne; 0 son biyectivas. Sus inversas tienen la misma forma, por lo que son también continuas.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 6.5.1 &lt;/b&gt;Para todo a, b reales, la función f:&lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que f(t) = at +b es continua.

Notemos que t &amp;#8614; at +b es la composición de t &amp;#8614; t+b con t &amp;#8614; at; lo que muestra lo afirmado.
&lt;hr&gt;

Tomar recíprocos también produce una función continua.

&lt;b&gt;Proposición 6.5.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;La función g: &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; \ {0} &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que g(t) = 1/t, es continua.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Como
&lt;math&gt;\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{p} = \dfrac{p-t}{pt}&lt;/math&gt;, tenemos que
&lt;math&gt;\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{p}| = \dfrac{|t-p|}{|p|\,|t|}.&lt;/math&gt; Suponiendo |t-p|&lt;\delta, tenemos que
{{eqn|&lt;math&gt;
\dfrac{|t-p|}{|p|\,|t|} &lt; \frac{\delta} {|p|\,|t|}.
&lt;/math&gt;|*}}
Necesitamos una cota superior para los valores 1/|t|, o equivalentemente una cota inferior para los valores de |t|. Supongamos que |t| &gt; K&gt;0, entonces 1/|t| &lt; 1/K. Tomando una |p|/2--vecindad de p, vemos que para cualquier t en esa vecindad se cumple que |t| &gt; |p|/2, por lo que una cota inferior es K=|p|/2. Por lo que sigue de (*) que
{{eqn|&lt;math&gt;
\dfrac{|t-p|}{|p|\,|t|} &lt; \frac{\delta} {|p|\,|t|} &lt; \frac{2}{|p|^2} \delta.
&lt;/math&gt;|**}}
Lo que implica que si queremos |g(t)- g(p)| &lt; &amp;epsilon;, debemos escoger &amp;delta; tal que
{{eqn|&lt;math&gt;
 \frac{2}{|p|^2} \delta &lt; \varepsilon.
 &lt;/math&gt;}}
Luego, tomando &lt;math&gt;\delta = \min\{\dfrac{|p|}{2}, \dfrac{\varepsilon |p|^2}{2}\}&lt;/math&gt; obtendremos que |g(t) - g(p)|&lt; &amp;epsilon;. Por lo que g es continua en p y, por lo tanto, continua en todo su dominio.
&lt;/ul&gt;{{QED}} &lt;hr&gt;

=== Funciones Reales de Varias Variables ===

Notemos que una función real de varias variables es una función de un subconjunto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. Tal función es continua, ssi, para todo &amp;epsilon; &gt; 0 es posible hallar un &amp;delta; tal que
{{eqn|&lt;math&gt;||x -p|| &lt; \delta \implies |f(x) - f(p)|&lt; \varepsilon.&lt;/math&gt;}}


==== Continuidad de las Operaciones con Números Reales. ====

Las operaciones algebraicas en los Reales son ejemplos básicos importantes de funciones reales de &quot;varias variables&quot;.

Recordemos que las operaciones de suma y multiplicación son funciones de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.

&lt;b&gt;Proposición 6.5.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; La función s: &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; x &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;::(x,y) &amp;#8614; x +y (suma), y la función m: &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; x &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;::(x,y) &amp;#8614; x*y (multiplicación) son continuas.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
(&lt;i&gt;Continuidad de la Suma&lt;/i&gt;) Sea (p,q) un punto cualquiera de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Dada una &amp;epsilon;--vecindad V de p+q, probaremos que hay una vecindad U de (p,q) tal que s(U) &amp;sub; V

Observemos que
{{eqn|&lt;math&gt;
|(x+y) - (p+q)| = |(x-p) + (y-q)| \le |x-p| + |y-q|.
&lt;/math&gt;|*}}
Sea &amp;epsilon; &gt;0 dado. Sea r = &amp;epsilon;/2 . Notemos que si podemos escoger x, y tales que |x-p| &lt; r y |y-q| &lt;r, entonces (*) implica que
{{eqn|&lt;math&gt;|(x+y) - (p+q) |&lt; r+ r = \varepsilon,&lt;/math&gt;}}
lo que probaría la continuidad en (p,q).

Seleccionemos U = ]p-r,p+r[ \times ]q -r, r+r[. Sabemos por trabajos previos que U es abierto y por construcción es una vecindad de (p,q). Luego, para todo (x,y) en U se cumple que |x-p|&lt; r y |y-q|&lt;r, lo que prueba el resultado.

(&lt;i&gt;Continuidad de la multiplicación&lt;/i&gt;) Necesitaremos la siguiente identidad, cuya validez se prueba por computación directa.
{{Eqn|&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
xy - pq &amp;= (x-p)(y-q) + (x -p )q + x(y-q)
\end{array}&lt;/math&gt;|**}}
(Idea: buscar acotamiento para cada uno de los sumandos en términos de cotas fijas para |x-p| y |y-q|, de modo que la suma en (**) sea menor que &amp;epsilon;. )

Sea &amp;delta; un número posistivo tal que |x -p| &lt; &amp;delta;   y |y-q| &lt; &amp;delta;.
Tenemos, entonces que
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; |(x-p)(x-q)| &lt; &amp;delta;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;.
&lt;li&gt; |(x-p)q| &lt; | &amp;delta;.
&lt;li&gt; |p(y-q)| &lt; |p| &amp;delta;.
&lt;ol&gt;
Supongamos &amp;delta; escogido de manera que &amp;delta; &amp;le;1, para que &amp;delta;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &amp;le; &amp;delta;. Entonces, usando (**) y los estimados anteriores, tenemos que
{{eqn|&lt;math&gt;|xy - pq| &lt; \delta + |q| \delta + |p|\delta = (1+|p|+ |q|) \delta.&lt;/math&gt;}}
Luego, para que |xy-pq| sea menor que &amp;epsilon; es suficiente con escoger
{{eqn|&lt;math&gt;\delta = \min\{1, \frac{\varepsilon}{1 + |p| + |q|}\}.&lt;/math&gt;}}
Como para todo (x,y) en B&lt;sub&gt;&amp;delta;&lt;/sub&gt;(p,q), |x-p|,|y-q| &amp;le; ||(x,y)-(p,q)||&lt;&amp;delta;, vemos que la función multiplicación es continua.
&lt;/ul&gt;{{QED}} 
&lt;hr&gt;

=== Funciones con Valores Vectoriales ===

Examinaremos, inicialmente, el caso donde el codominio es un subconjunto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Sea X un conjunto cualquiera y sean f&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, f&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; funciones de X en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. Usando ese par de funciones, podemos definir una función f:X &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tal que
{{eqn|&lt;math&gt;f(x) = (f_1(x), f_2(x)). &lt;/math&gt;}}

En forma recíproca, supongamos dada una función f:X &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y consideremos las composiciones de f con las i--ésima proyecciones (i=1,2), lo que nos producirá funciones de X en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. Llamando f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; a la composición de pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; con f, tenemos que
{{eqn|&lt;math&gt;f(x) = (f_1(x), f_2(x)).&lt;/math&gt;}}

Los desarrollos anteriores muestran que hay una correspondencia biyectiva entre
F(X, &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;) y el producto cartesiano de dos copias de F(X,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;), que asigna a cada función de X en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; sus &lt;i&gt;componentes&lt;/i&gt; f&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,f&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;. Usando esa correspondencia, identificaremos a ambos conjuntos, es decir que consideraremos f=(f&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, f&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).


Es fácil ver como el desarrollo anterior se generaliza a &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Cada función f:E &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; se identifica con la n--upla de funciones (f&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , f&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;), donde f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; = pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; ° f. Llamamos &lt;i&gt;componente&lt;/i&gt; de f a cada f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;.

&lt;b&gt;Proposición 6.5.5. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea E un espacio métrico y sea f:E &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. f es continua en un punto p de E, ssi, sus componentes lo son.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea f=(f&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... ,f&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) .

(&amp;rArr;) Como f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; = pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; º f, i=1, ... ,n, el resultado sigue del teorema de composición de funciones continuas. Ver 6.5.5.

(&amp;lArr;) Queremos probar que podemos lograr que
||f(x) = f(p)|| = ||(f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;(x))- (f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;(p))|| sea tan pequeño como queramos, tomando d(x,p) suficientemente pequeño.

Como f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, i=1,... , n es continua, para todo &amp;epsilon;&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; hay un &amp;delta;&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; tal que
{{eqn|&lt;math&gt;
d(x,p) &lt; \delta_i \implies |f_i(x) - f_i(p)| &lt; \varepsilon_i, \quad i=1, ... , n.
&lt;/math&gt;|*}}
Tomando &amp;epsilon;&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= ... = &amp;epsilon;&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = &amp;eta; y &amp;delta; = min{&amp;delta;&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , &amp;delta;&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;}, la relación (*) se mantiene válida para &amp;delta; y &amp;eta;.
Luego, si d(x,p) &lt; &amp;delta;, tenemos que
{{Eqn|&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
||f(x)-f(p)|| &amp;=&amp; ||(f_i(x)) - (f_i(p)) || \\
       &amp;=&amp; \sqrt{ (f_1(x)-f_1(p))^2 + ...  (f_n(x) -f_n(p))^2} \\
       &amp; &lt; &amp;\sqrt{\eta^2 + \dots \eta^2} = \eta\sqrt{n}
\end{array}&lt;/math&gt;}}
Por lo tanto, dado &amp;epsilon; &gt; 0 cualquiera, tomando &amp;eta; = &amp;epsilon;/&amp;radic;{n} obtendremos un &amp;delta; que sirve para nuestros propósitos. Es decir que la función f es continua.
&lt;/ul&gt;{{QED}} &lt;hr&gt;

== Espacios de Funciones Continuas ==
&lt;!--- secEspCont --&gt;

En el capítulo 4, introdujimos al conjunto F(X,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;) (funciones
de X en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;) y a su subconjunto B(X,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;), funciones acotadas de X en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.

En esta sección, estudiaremos la estructura algebraica de C(E,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;), el conjunto de las funciones continuas de E en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, donde E es un espacio métrico. Recordemos que hay una suma de funciones, una multiplicación por escalar y un multiplicación de funciones definidas en C(E,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;) por ser subconjunto de F(E,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;). Recordemos sus definiciones,
{{eqn|&lt;math&gt;
(f+g)(x) := f(x) + g(x), \quad
(af)(x) := af(x),
\quad 
(fg)(x) := f(x)g(x).
&lt;/math&gt;}}
Nuestro interés será examinar la relación entre la continuidad de las funciones y las operaciones indicadas. El resultado es el teorema de las operaciones anunciados en la sección 6.3.1.

&lt;b&gt;Teorema 6.5.6 (Teorema de las Operaciones) &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea E un espacio métrico. Si f y g son continuas de E en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, se tiene lo siguiente.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; La suma y la resta de las funciones f y g son funciones continuas.
&lt;li&gt; El producto de f y g es continuo.
&lt;li&gt; El producto af es continuo, a real.
&lt;li&gt; Si g no toma el valor 0, g(x) &amp;ne; 0 para todo x en X, 1/g es continua.
&lt;li&gt; Si g no toma el valor 0, g(x) &amp;ne; 0 para todo x en X, f/g es continua.
&lt;/ol&gt;
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt; 
&lt;li&gt; La función x &amp;#8614; f(x) + g(x) puede descomponerse como
     {{eqn|&lt;math&gt;x \mapsto (f(x), g(x)) \overset{+}{\mapsto} f(x) + g(x).&lt;/math&gt;}}
Es decir, como la composición de dos continuas, por lo que es continua.

&lt;li&gt; La función x &amp;rarr; f(x) g(x) puede descomponerse como
   {{eqn|&lt;math&gt;x \mapsto (f(x), g(x)) \overset{*}{\mapsto} f(x) + g(x).&lt;/math&gt;}}

&lt;li&gt; Sigue de (b), tomando g(x) = a.


&lt;li&gt; La función x &amp;rarr; 1/g(x) puede descomponerse como
    &lt;math&gt;x \mapsto g(x) \overset{1/(\ )}{\mapsto} 1/ g(x).&lt;/math&gt;Es decir como la composición de dos continuas, por lo que es continua.

&lt;li&gt; Como &lt;math&gt;\frac{f}{g} = f * \frac{1}{g}&lt;/math&gt;, el resultado sigue de (b) y (d).
&lt;/ol&gt;
&lt;/ul&gt;{{QED}} &lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 6.5.7. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Los resultados del teorema son válidos, reemplazando continuidad por continuidad en un punto.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
Mirar a las demostraciones de la proposición.
&lt;/ul&gt;{{QED}} 
&lt;hr&gt;

=== Aplicaciones del Teorema ===

&lt;b&gt;Funciones Polinómicas. &lt;/b&gt;Las funciones polinómicas de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; son funciones de la forma
 {{eqn|&lt;math&gt;t \mapsto a_nt^n + \dots + a_1t + a_0.&lt;/math&gt;}}

Veremos que tales funciones son continuas. En primer lugar, por la
proposición 6.3.2 la función t &amp;#8614; t es continua. El producto de esa función consigo mismo produce la función continua t &amp;#8614; t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Usando inducción, se verifica que la función potencia enésima, p&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(t)=t&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;, n entero positivo, es continua. Multiplicando esa función por constante, produce una función continua. Finalmente la suma de tales &quot;términos&quot; produce una función continua. Lo que muestra que las funciones polinómicas son continuas.

&lt;b&gt;Las Funciones Racionales.&lt;/b&gt; Una función racional es el cociente de dos polinómicas.
Sigue del teorema de las operaciones que el cociente de continuas es continua en todo su dominio.


Notemos que a pesar de lo que, a veces, se dice de la función f(x) = 1/x, esta función es continua en todo su dominio---que consiste de los reales no nulos.
&lt;hr&gt;

Sea f: A &amp;sub; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; una función. Podemos, a partir de f, formar una función g que sea un polinomio en f, es decir que
{{eqn|&lt;math&gt;g = a_0 + a_1 f + \dots +a_nf^n.&lt;/math&gt;}}
Cuando f sea continua, razonando como arriba (que es el caso donde f(t)=t) se ve que cuando f sea continua, también lo será g.

&lt;b&gt;Polinomios de Varias Variables &lt;/b&gt;

Sabemos (ver 6.3.4.) que las proyecciones son funciones continuas por lo que monomios de la forma
        {{eqn|&lt;math&gt;ax_1^{r_1} \dots x_n^{r_n},&lt;/math&gt;}}
donde x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; es la i--ésima proyección de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, son funciones continuas ya que son productos de funciones continuas. Como las funciones polinómicas de varias variables son sumas de tales monomios, tenemos que son continuas.

&lt;b&gt;Ejemplos 6.5.2.&lt;/b&gt; Sean x, y, z las coordenadas de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Entonces, las siguientes funciones son continuas.
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; f(x,y,z) = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;.
&lt;li&gt; g(x,y,z) = 2x - 3y + z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; - 8.
&lt;/ol&gt;
&lt;hr&gt;

(&amp;spades;) También son continuas las siguientes funciones (suponemos que la función seno y la exponencial son continuas).
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; f(x,y) = sen(x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;);
&lt;li&gt; g(x,y,z) = e&lt;sup&gt;-z&lt;/sup&gt; sen(xy).
&lt;/ol&gt;

=== Abiertos y Cerrados de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; ===

Un ejercicio del capítulo 5 pedía probar que el conjunto {(x,y) &amp;isin; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : y &lt; x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;} era abierto en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Tales ejercicios y otros similares tienen una respuesta fácil mediante una visualización; sin embargo una demostración formal usando directamente las definiciones puede resultar engorrosa. Veremos, a continuación, que con las herramientas ahora disponibles, la resolución de esos problemas es casi trivial. Usaremos como herramienta teórica la proposición 6.4.4.

&lt;b&gt;Ejemplo 6.5.3. &lt;/b&gt; Sea S = {(x,y) : y &lt; x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}. Probar que se trata de un conjunto abierto.

Sea f:&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que f(x,y)= y-x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Observemos que la función es continua por ser un polinomio de sus coordenadas. Luego, por la proposición citada, como y &lt; x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; es equivalente a y-x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;0, o sea f(x,y) &lt; 0, tenemos por la proposición citada que S es un conjunto abierto. Considerando a la función continua f: x &amp;#8614; x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; vemos que (x,y)&amp;isin; H &amp;lArr;&amp;rArr; y &lt; f(x). Sigue, entonces, de la proposición anterior, que H es abierto.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 6.5.4. &lt;/b&gt; Consideremos el conjunto H={(x,y) : xy = 1}. Probar que es cerrado.

La función f, f(x,y) = xy, es una función continua de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. H es la preimagen por f del conjunto cerrado {1}. Luego H es cerrado.
&lt;hr&gt;

=== Las Gráficas de Funciones ===

Sea f : A &amp;sub; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; una función. Llamamos &lt;b&gt;gráfica&lt;/b&gt; de f al subconjunto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n+1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; denotado por &lt;b&gt;Graf&lt;/b&gt;(f) y definido por
{{eqn|&lt;math&gt;{\rm Graf}(f) := \{(x_1, \dots, x_n, x_{n+1} : x_{n+1} = f(x_1, \dots, x_n) \in f(A)\}.&lt;/math&gt;}}

Se tiene entonces que g: (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;) = x&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt; - f(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) es una función continua cuando f lo es. Como la gráfica de f es la preimagen por g de {0}, concluimos que es un conjunto cerrado.

=== Ejercicios 6.6 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Cuando f&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , f&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; : E &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; son continuas, entonces su suma y su producto también lo son.

&lt;li&gt; Probar que la función x &amp;#8614; |x| de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; es continua.

&lt;li&gt; Probar que la función x &amp;#8614; ||x|| de \R^n en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; es continua.

 &lt;li&gt; Probar que la función (x,y) &amp;#8614; d(x,y) es continua.

&lt;li&gt; Probar que la elipse con ecuación 9x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+4y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 36 es un subconjunto cerrado de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;/ol&gt;

== Los Límites ==

Esta sección consistirá de una breve presentación del concepto de límite (de los valores) de una función. Dicho concepto es muy importante en  Cálculo y Análisis en general, pero no tanto en las consideraciones topogeométricas. En consecuencia, nuestra presentación se limitará a la definición y algunas proposiciones básicas. El resto está en los ejercicios.

En el desarrollo del Cálculo nos encontramos con funciones definidas en la vecindad de un punto, pero no necesariamente en el punto; típicamente, al computar derivadas. En tales situaciones, nos interesará saber si habrá un valor que podamos asignar a la función en ese punto, de manera que al extender el dominio de la función a ese punto resulte que la función sea continua en dicho punto.

&lt;b&gt;Ejemplo 6.6.1. &lt;/b&gt;
Sea &lt;math&gt;f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}&lt;/math&gt;. El dominio natural de la función anterior excluye solamente al 2, por lo que podemos afirmar que esa función está definida en cualquier punto de una vecindad de 2, excepto en el 2. Si simplemente intentamos evaluar en 2, nos encontraremos con 0/0 lo que es algo &lt;i&gt;indeterminado&lt;/i&gt;. La pregunta natural es:
¿habrá un valor que podamos asignar en 2, de modo que la función obtenida extendiendo el dominio a 2, sea continua en 2?

Observando de que
&lt;center&gt;&lt;math&gt; \dfrac{x^2-4}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} =
x+2,&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; para todo x &amp;ne; 2, y que g(x) = x + 2 es una función  continua en 2 con g(2) = 4, concluimos que el valor que se debe
asignar a f en 2 para hacerla continua allí es 4.

En tal situación, decimos que 4 es el limite de los valores de f, para valores de x que se aproximan o tienden a 2.
&lt;hr&gt;

El ejemplo se generaliza de la siguiente manera.

&lt;div style=&quot;background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;&quot; class=&quot;theorem&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;&quot;&gt;Definición. (Límite)&lt;/span&gt;
Sean E y F espacios métricos, A un subconjunto de E, p un punto de acumulación de A. Sea f función cuyo codominio es un subconjunto de F y que está definida en A con la posible excepción de p. Sea L un punto de F.

Decimos que L es &lt;b&gt;un límite de los valores de  f cuando  x tiende a p&lt;/b&gt;, ssi, hay una función g definida en una vecindad U de p, que es continua en p, y tal que
:(i) f y g coinciden en U &amp;cap; A, con la posible excepción de p, y &lt;br&gt;
:(ii) g(p) = L.&lt;/div&gt;

(&amp;clubs;) Intuitivamente, L es un valor que hace a f continua en p.

Primeramente, observemos que cuando haya un límite, tal valor será único. Por definición, si L y L' son limites de los valores de f cuando x tiende a p, se tendría que hay funciones continuas g y g' que coinciden en una vecindad de p con la excepción, a lo
más, de p, donde se cumple que g(p) = L y g'(p) = L'. Sea
&amp;epsilon; = |L- L'| y supongamos que es positivo, o sea que L &amp;ne; L'. Por las continuidades de g y g' en p concluimos que hay una vecindad U de p tal que para todo x en U se cumple que |g(x)-L| &lt; &amp;epsilon;/2 y |g'(x)-L| &lt; &amp;epsilon;/2. Luego, para todo x &amp;ne;
p se cumple que g(x) = g'(x) =f(x) y que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\epsilon &amp;=&amp; |L-L'| = |L-g(x) + g(x) - L'| \\
&amp; \le &amp; |L-g(x)| + |g(x) - L'| = |L-g(x)| + |g'(x) - L'| \\
&amp; &lt; &amp; \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon.
\end{array}
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Como lo anterior, implica que &amp;epsilon; &lt; &amp;epsilon;, hemos llegado
a un absurdo. Por lo tanto, es imposible que &amp;epsilon; sea
positivo. Debe, por lo tanto, ser igual a cero, o lo que es lo
mismo que L= L'.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Notación.&lt;/b&gt; Cuando exista el límite de los valores de f cuando x tiende a p, x en A, lo simbolizaremos por
{{eqn|&lt;math&gt;\lim_{x \to p, \, x \in A\setminus\{p\} } f(x).&lt;/math&gt;}}
Cuando el conjunto A quede claro del contexto, simplemente escribiremos
{{eqn|&lt;math&gt;\lim_{ x \to p} f(x).&lt;/math&gt;}}
Cuando ese límite sea, digamos L, escribiremos también que
{{eqn|&lt;math&gt;x \to p \implies f(x) \to L.&lt;/math&gt;}}
lo que leeremos: &quot;&lt;i&gt;cuando x tiende a p, f(x) tiende a
L&lt;/i&gt;&quot;.

Sigue de la definición anterior y de la definición de continuidad que afirmar que lim&lt;sub&gt;x &amp;rarr; p&lt;/sub&gt; f(x) = L es equivalente a afirmar que para todo &amp;epsilon; &gt; 0 hay un &amp;delta;&gt;0 tal que
{{eqn|&lt;math&gt;0 &lt; d(x,p) &lt; \delta \implies d(f(x), L) &lt; \epsilon.&lt;/math&gt;}}

Observemos que el enunciado simbólico es casi idéntico a aquel que define la continuidad en p, con la excepción de que pedimos que 0 &lt; d(x,p), es decir que estamos excluyendo de consideración al punto p.
Notemos que si la función f es continua en p, el límite en p es f(p)

Las propiedades de límites se reducen, en consecuencia, a propiedades de funciones continuas.

=== Ejercicios 6.7 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; (Límites y Operaciones)
Sean f y g funciones con codominio un subconjunto de ;los Reales y tales que lim&lt;sub&gt;x &amp;rarr; p&lt;/sub&gt; f(x) = L y lim&lt;sub&gt;x &amp;rarr; p&lt;/sub&gt; g(x) = M. Entonces,
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; lim&lt;sub&gt;x &amp;rarr; p&lt;/sub&gt; (f(x) + g(x)) = L + M.
&lt;li&gt; lim&lt;sub&gt;x &amp;rarr; p&lt;/sub&gt; (f(x) - g(x)) = L - M.
&lt;li&gt; lim&lt;sub&gt;x &amp;rarr; p&lt;/sub&gt; (f(x) g(x)) = L M.
&lt;li&gt; lim&lt;sub&gt;x &amp;rarr; p&lt;/sub&gt; &lt;math&gt;\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}&lt;/math&gt;, siempre que M &amp;ne; 0.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sean g y f funciones con g continua.
Entonces,
{{eqn|&lt;math&gt;\lim_{x \to p} g(f(x)) = g(\lim_{x \to p} f(x)).&lt;/math&gt;}}

&lt;li&gt; Sea f una función con valores reales. Suponer que hay una vecindad V de p tal que para todo x en V, x &amp;ne; p se cumple que f(x) &amp;ge; 0. Entonces, cuando el límite existe, se tiene que lim&lt;sub&gt;x &amp;rarr; p&lt;/sub&gt; f(x) &amp;ge;
&lt;li&gt; (Teorema del Sandwich])Sean f, g y h funciones reales tales que en una vecindad U de p se cumple para todo x, x &amp;ne; p, que
{{eqn|&lt;math&gt;f(x) \le g(x) \le h(x)&lt;/math&gt;}}
Si \lim&lt;sub&gt;x &amp;rarr; p&lt;/sub&gt; f(x) y lim&lt;sub&gt;x &amp;rarr; p&lt;/sub&gt; g(x) existen y son iguales, digamos a L, entonces lim&lt;sub&gt;x &amp;rarr; p&lt;/sub&gt; g(x) existe y es igual a L.

&lt;li&gt; Sea f una función real definida en una vecindad V de p con la posible excepción de p.&lt;br /&gt;
Si lim&lt;sub&gt;x &amp;rarr; p&lt;/sub&gt; |f(x)| = 0 entonces, lim&lt;sub&gt;x &amp;rarr; p&lt;/sub&gt; f(x) = 0.
&lt;/ol&gt;
&lt;hr&gt;

[[Categoría:Espacios Métricos]]

&lt;!-- Oct 1, 2016 --&gt;
&lt;!-- Marzo 24, 2018 --&gt;
&lt;!-- Marzo 24, 2019 --&gt;</text>
      <sha1>3obep8lbitnyo6eegh37ipv6ovykyo5</sha1>
    </revision>
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    <title>Matemáticas/Espacios Métricos/Sucesiones y Completitud</title>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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      <text bytes="45061" sha1="bbxoa3x3y97q9abn8qh5jdzdsea6sj3" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
&lt;noinclude&gt;
{{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos
|actual=Sucesiones
|anterior=Continuidad
|siguiente=Espacios Topológicos
}}
&lt;/noinclude&gt;
__TOC__
&lt;!-- Capítulo 7 Las Sucesiones --&gt;
== Introducción ==

Cada número real α tiene asociada una expansión decimal
&lt;center&gt;
α = a&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;.a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;... &lt;/center&gt;

Las truncaciones sucesivas producen una sucesión de números racionales
&lt;center&gt;a&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;  a&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;.a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp; a&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;.a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp; a&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;.a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;, ... &lt;/center&gt;
cuyos valores se aproximan más y más a α. Cuando α es un número irracional,
dichas aproximaciones constituyen la manera práctica de computar con esos números.
Las sucesiones (y sus asociadas, las series) aparecen como maneras de evaluar
números y funciones, aunque sea de forma aproximada. Recordemos, también, que en los cursos de Cálculo, se ve que podemos expresar ciertas funciones como series de
potencias. Por ejemplo
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\sen(x) = \sum_{n \ge 1} (-1)^n\frac{1}{(2n-1)!} x^{2n-1} = x-\frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \cdots
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;    
Dicha serie sirve para evaluar la función seno con tanta exactitud como queramos, ya que para series de potencias podemos computar estimados acerca del error en la aproximación.
Al valor computacional de las sucesiones, se agrega su valor teórico. Probaremos
que cada punto de acumulación de un conjunto es el límite de una sucesión
de puntos del conjunto.
Suponemos relativa familiaridad con las sucesiones y series de un primer curso
universitario de Cálculo, por lo que nos preocuparemos más de los aspectors
teóricos que de los computacional.

== Definiciones y Propiedades Básicas ==

Una sucesión s en un conjunto X es una familia de elementos de X cuyo conjunto de índices son los Naturales. Es decir que se trata de una función de los Naturales en X, donde lo más interesante son los valores que toma la función.
Cuando s es una sucesión, como es usual con las familias, simbolizamos por s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; a s(n)—término énésimo.
Podemos simbolizar a una sucesión s de diversas maneras, tales como
&lt;center&gt;s = (s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) = (s&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, s&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, . . . , s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, ...  ).&lt;/center&gt;
La importancia de que el conjunto de índices sean los Naturales reside en que
podemos transportar el orden de los números naturales a los correspondientes términos
de la sucesión. Así que podemos hablar del segundo término de la sucesión,
que está antes que el quinto, etc.
En la práctica, podemos tener sucesiones s cuyo primer término no es s&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, sino que es s&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; donde n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; &gt; 0. Por ejemplo, a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = 1/n, n &gt; 0. Sin embargo,
para efectos teóricos, siempre podremos suponer, por una simple traslación de los
índices, que el primer términio corresponde al 0. Por ejemplo, respecto al ejemplo
mencionado, s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = 1/(n + 1), n ≥ 0.

Sean E un espacio métrico, A un subconjunto de E y p un punto de acumulación
de A. Suponiendo que p no está en A, mostraremos que hay una sucesión de
puntos de A que se acercan más y más a p. Más adelante, diremos que esa sucesión
converge a p. El argumento que usaremos es igual al usado en la demostración
de la proposición 5.3.2.

Supongamos que p no está en A, pero que está en su clausura, o sea que es un
punto de acumulación de A. Entonces, por definición de punto de acumulación,
cada vecindad de p contiene al menos un punto de A diferente de p. Usaremos
bolas abiertas como vecindades. Sea r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 1, entonces la bola B(p; r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) contiene
un punto, digamos p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; de A que no es igual a p. Como p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &amp;ne; p, tenemos que
0 &lt; r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = d(p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, p) &lt; r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;. Considerando ahora la bola B(p; r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;), vemos que hay un
p&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; en A, diferente de p, y también de p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, tal que d(p&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, p) &lt; d(p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, p). Supongamos
generada de la manera anterior la sucesión finita, p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, p&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, . . . , p&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; de puntos de A diferentes de p y tales que
{{eqn|d(p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, p) &gt; d(p&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, p) &gt; . . . &gt; d(p, p&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;)&gt;0.}}
Generamos un punto p&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt; de igual forma que los anteriores, es decir que p&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;
es un punto de la bola B(p; d(p&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, p) diferente de p. Obtenemos así una sucesión cuyos términos p&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, a medida de que n crece ,se aproximan cada vez más a p. Tal
situación es un ejemplo de convergencia de una sucesión a un límite, nociones que
definiremos a continuación. Notemos que  cuando m ≥ n, B(p; r&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;) ⊂ B(p ; r&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;), lo que implica que p&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; está en B(p; r&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;).
La situación anterior se abstrae en la
siguiente definición.

{{DefRht|Convergencia, Límite| Sea E un espacio métrico, p un punto de E. Decimos que una sucesión (s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) converge a p, ssi, para todo vecindad V de p hay un natural n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que
&lt;center&gt;n ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; ⇒ s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; ∈ V.&lt;/center&gt;
Cuando (s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) converge a p, decimos que la sucesión es convergente y que
p es un límite de la sucesión. Una sucesión que no converge es una sucesión
divergente.}}

En términos métricos, tenemos que &lt;br&gt;
(Versión métrica del límite) Una sucesión (s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) converge a p, ssi, para todo ε &gt; 0 hay un n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que
&lt;center&gt;n ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; ⇒ d(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, p) &lt; ε. &lt;/center&gt;

Otra manera de expresar la convergencia.&lt;br&gt;
(Versión cardinal del límite.) Una sucesión (s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) tiene un límite p, ssi, para cada vecindad V de p, hay a lo más una cantidad finita de términos
de la sucesión fuera de V .
&lt;hr&gt;

&lt;i&gt;Observación 7.1. &lt;/i&gt;Sea P(n) una propiedad de los términos de una sucesión (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;).
Cuando la propiedad P se cumpla para todos los n a partir de un cierto n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, diremos que la propiedad se cumple &lt;b&gt;para casi todo n&lt;/b&gt;, o que la sucesión &lt;b&gt;finalmente&lt;/b&gt; alcanza esa propiedad.

Por ejemplo, la última versión de límite se puede expresar como, la sucesión
(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) converge a p, ssi, para cada vecindad de p, casi todos los términos de la sucesión están en V.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 7.2.1 (Unicidad de Límites). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea E un espacio métrico. Cuando una sucesión converge, su límite es único. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;&lt;/i&gt;Supongamos que p y q fueran límites diferentes de la sucesión
(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;). Sean U una vecindad de p y V una vecindad de q tales que U ∩ V = &amp;empty; (propiedad de Hausdorff). Por definición de convergencia aplicada a p hay un n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; tal que n ≥ n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; implica que x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; está en U. Análogamente, hay un n&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; tal que n ≥ n&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
implica que x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; está en V . Sea n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = máx{n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, n&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;}. Entonces,
n ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; ≥ n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, n&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ⇒ x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; ∈ U y x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; ∈ V ⇒ x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; ∈ U ∩ V.
Como U y V son disjuntas, lo anterior es imposible. Luego, no puede haber límites
diferentes.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

Notación Cuando una sucesión (s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) converge a un punto p, podemos, por lo
tanto, decir que p es el límite de la sucesión. Representaremos esta situación,
simbólicamente, por una cualquiera de las expresiones siguientes.
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; lím&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = p (el limite de la sucesión (s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) es p);
&lt;li&gt; &lt;math&gt; \lim_n s_n = p; &lt;/math&gt;
&lt;li&gt; lím&lt;sub&gt;n → ∞&lt;/sub&gt; s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = p;
&lt;li&gt; s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → p (s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; converge a p).
&lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 7.2.1. &lt;/b&gt; La sucesión a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = 1/n en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; es convergente a 0.

&lt;i&gt;Resolución. &lt;/i&gt;La prueba sigue de la propiedad arquimediana de los Reales (ver la sección 2.4.3). En efecto, dado un ε &gt; 0, hay un n tal que 1/n &lt; ε (2.4.6). Luego,
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
m \ge n \implies |\frac{1}{m - 0}| = \frac{1}{m} \le \frac{1}{n} &lt; \varepsilon.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
lo que prueba que lím&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; (1/n) = 0.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 7.2.2. &lt;/b&gt;Sea s la sucesión de números reales tal que s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = (−1)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;. Es decir
que s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = 1, cuando n es par, y s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = -1, en caso contrario.

Notemos que para cualquier bola abierta con centro 1 (resp. −1) y radio 1/2,
hay infinitos términos que quedan fuera de esa vecindad. Por lo que ni 1 ni −1
pueden ser límites de la sucesión. Sea a un número real diferente de 1 o −1 y sea r = (1/2) mín{d(a, 1), d(a,−1)}. Entonces, una bola con centro a y radio r no
contiene puntos de la sucesión, están todos fuera. Conclusión, la sucesión no es
convergente, ya que no tiene límite posible.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 7.2.3 (La sucesión de distancias).&lt;/b&gt; Notemos que dados una sucesión (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) y un punto p, podemos asociarles una sucesión de números reales (a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) cuyos
términos son a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = d(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, p). Sigue directo de la variante métrica de la definición de convergencia que &lt;center&gt; x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → p &amp;lArr;⇒ d(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, p) → 0. &lt;/center&gt;
Una sucesión converge a un punto p, cuando la sucesión asociada con la distancia
de los términos a p converge a 0.
&lt;hr&gt;

La discusión previa a la definición muestra que en un espacio métrico, un
punto de acumulación de un conjunto es un límite de una sucesión cuyos términos
pertenecen todos al conjunto, pero que son diferentes del límite. Tenemos que lo
anterior caracteriza a los puntos de acumulación.

&lt;b&gt;Proposición 7.2.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea A un subconjunto de un espacio métrico E. Un punto p es punto de acumulación de A, ssi, hay una sucesión de elementos de A diferentes de p que convergen a p. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;La existencia de tal sucesión fue probada arriba.
Supongamos que (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) fuera una sucesión de puntos de A, pero diferentes de
p, que converge a p. Sea V una vecindad cualquiera de p, entonces hay un n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que m ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; implica que x&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; está en V. Luego, V contiene puntos de A diferentes
a p, es decir que, p es un punto de acumulación de A.
&lt;/ul&gt;{{QED}}


&lt;b&gt;Corolario 7.2.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea E un espacio métrico y A un subconjunto de E. A es cerrado, ssi, cada sucesión convergente de puntos de A tiene su límite en A.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Un conjunto es cerrado, ssi, contiene a todos sus puntos de acumulación.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

=== El conjunto de términos de una sucesión ===

Cuando (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) sea una sucesión, denotaremos por {x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;} al conjunto formado por
todos los términos de la sucesión. Dicho conjunto puede ser infinito o finito. Analizaremos
los posibles comportamientos de las sucesiones con respecto al cardinal
(cantidad de elementos) de su conjunto de términos.

&lt;i&gt;El conjunto de términos es finito. &lt;/i&gt; Sea (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) tal que S = {x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;} = {x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; : n ∈ N} es un conjunto finito. La finitud de S implica que hay al menos un término cuyo valor se debe repetir infinitas veces. Cuando haya exactamente un único valor que
se repita infinitas veces, dicho valor será el límite de la sucesión. Al contrario,
cuando haya más de un valor que se repite infinitas veces, razonando como en el
ejemplo 7.2.2, concluiremos que la sucesión no converge.

&lt;i&gt;El conjunto de términos es infinito. &lt;/i&gt; Supongamos ahora que S = {x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;} es
infinito y que la sucesión converge a p. Supongamos que p no fuera un punto de
acumulación de S. Entonces, habría una vecindad V de p que no tendría puntos
de S diferentes de p. Como x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → p, hay un n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que n ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; implica que s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; está en V. Como p es el único punto de S en V. se debe tener que para n ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;
se cumple que x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = p; lo que implica que S es finito. Luego, cuando {x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;} es infinito y x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → p, p debe ser un
punto de acumulación de S.

Si S tiene más de un punto de acumulación, razonando como en la prueba de
que hay un único límite, vemos que la sucesión no puede converger. Resumimos
la discusión en la siguiente proposición.

&lt;b&gt;Proposición 7.2.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) una sucesión y {x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;} el conjunto formado por sus
términos.
:(a) Cuando {x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;} es finito la sucesión converge, ssi, hay un único término cuyo valor se repite infinitas veces.
:(b) Cuando {x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;} es infinito la sucesión converge, ssi, el conjunto {x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;} tiene un único punto de acumulación. En tal caso, dicho punto de acumulación es el límite de la sucesión.
&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 7.2.4. &lt;/b&gt;Sea (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) la sucesión con términos x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = 1 − (1/n) para n par y
x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = −1 + 1/n si n es impar.
Es fácil verificar que todos los términos son diferentes entre si para todo n &gt; 1,
por lo que hay infinitos términos. Además que 1 y −1 son puntos de acumulación
de {x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;}. Por lo que la sucesión no converge.
&lt;hr&gt;

&lt;i&gt;Observación.&lt;/i&gt;   Sea &lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; una sucesión convergente a un punto &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;. Sigue de la proposición que cuando &lt;math&gt;S=\{x_n\}&lt;/math&gt; es infinito, &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; es un punto de acumulación de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;. Esto implica que para cualquier reordenamiento de los términos de la sucesión produce una sucesión que también es convergente a &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.  Es decir que, en tal caso, el orden de los términos no es importante. En particular, cuando la sucesión convergente tiene sus términos dos a dos diferentes, la convergencia solamente depende de la ``topogeometría'' de sus términos.
\end{rem}

=== Subsucesiones === &lt;!-- 7.2.2 --&gt;
Sea s =(s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) una sucesión. Una &lt;b&gt;subsucesión&lt;/b&gt; de s es una sucesión cuyos términos son
términos de (s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) preservando el orden relativo. En forma más precisa, sea j :
&lt;b&gt;N&lt;/b&gt; → &lt;b&gt;N&lt;/b&gt; una función que preserva el orden, o sea tal que m &lt; n implica que
j(m) &lt; j(n), entonces una subsucesión de (s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) asociada a la función j es la
sucesión (t&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) tal que t&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = s&lt;sub&gt;j(n)&lt;/sub&gt;
.
Una sucesión puede ser divergente y tener una subsucesión convergente. La
sucesión del ejemplo 7.2.2, s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = (−1)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;, tiene subsucesiones convergentes, por ejemplo,
la sucesión de los términos pares converge a 1.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 7.2.5. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cuando una sucesión converge, todas sus subsucesiones convergen
al mismo límite.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea (s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) tal que s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → p y sea (t&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) una subsucesión con t&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = s&lt;sub&gt;j(n)&lt;/sub&gt; donde j :&lt;b&gt;N&lt;/b&gt; → &lt;b&gt;N&lt;/b&gt; es una función estrictamente creciente (o sea que preserva el orden).

&lt;br&gt;
Aserto: para todo n se cumple que j(n) ≥ n.
Si n = 0, claramente j(0) ≥ 0 ya que es un número natural. Supongamos que
j(k) ≥ k ≥ 0 para un k natural. Entonces, como k + 1 &gt; k se debe tener que
j(k+1) &gt; j(k) ≥ k, lo que implica que j(k+1) ≥ k+1. Por inducción, tenemos
la afirmación.

Sea V una vecindad de p. Como s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → p, hay un natural n tal que m ≥ n
implica que s&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; está en V . En particular, como j(n) ≥ n se cumple que para todo
m ≥ n, t&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; = s&lt;sub&gt;j(m)&lt;/sub&gt; está en V, ya que j(m) ≥ j(n) ≥ n.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 7.2.6. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cuando una sucesión tiene una subsucesión divergente, la sucesión
es divergente.&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

=== Convergencia y Continuidad ===
La siguiente proposición muestra otra posible definición de continuidad en un
punto.

&lt;b&gt;Proposición 7.2.7 (Convergencia y Continuidad). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea f : E → F una función
entre espacios métricos. Sea p un punto de E. Las afirmaciones siguientes son
equivalentes.
:(a) f es continua en p.
:(b) Para cada sucesión (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) en E, x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → p ⇒ f(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) → f(p).
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;&lt;br&gt;
((a)⇒(b)). Supongamos que f es continua en p y que x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → p.
Tenemos que probar que f(x) → f(p). Por la continuidad de f en p, tenemos que
para cada ε &gt; 0 hay un δ &gt; 0 tal que f(B&lt;sub&gt;δ&lt;/sub&gt;(p)) ⊂ B&lt;sub&gt;ε&lt;/sub&gt;(f(p)).

Como x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → p, hay un natural n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que n ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; implica que x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; está en B&lt;sub&gt;δ&lt;/sub&gt;(p). Luego, para n ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, f(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) está en B&lt;sub&gt;ε&lt;/sub&gt;(f(p)); lo que prueba que f(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) → f(p).

&lt;br&gt;
((b) ⇒ (a).) Supondremos que f no es continua en p y probaremos que hay una
sucesión (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) que converge a p, pero tal que f(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) no converge a f(p). Si f no es
continua en p, entonces hay una vecindad V de f(p) tal que para todo vecindad
U de p se cumple que f(U) no está contenida en V . Escojamos una sucesión U&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;
de vecindades de p, U&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = B&lt;sub&gt;1/n&lt;/sub&gt;(p) y formemos una sucesión con x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; ∈ U&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; tal que
f(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) no pertenece a V . Entonces, x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → p, pero f(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) no converge a f(p).
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

=== Propiedades Métricas ===
&lt;b&gt;Proposición 7.2.8. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Una sucesión convergente en un espacio métrico es acotada,
es decir hay un M tal que el conjunto de puntos de la sucesión está contenido en
una bola de radio M alrededor del límite.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Ejercicio. Sugerencias: (i) Aplicar la definición de convergencia a la  ε–vecindad del punto límite p con ε = 1. (ii) Definir M como el
máximo entre 1 y los d(x&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;, p), para aquellos m tales que x&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; no esta en la ε–vecindad.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 7.2 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Probar que las diferentes versiones de límite (vecindad, métrica y cardinal) son equivalentes.

&lt;li&gt; Sea (s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) una sucesión convergente de un espacio métrico. Probar que para todo ε &gt; 0 hay un n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que m, n ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; implica que d(x&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) &lt; ε. 

&lt;li&gt; Probar que la sucesión en R, s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = (n−1)/n converge.

&lt;li&gt; Probar que la sucesión en R, s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = 1/n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; converge. (no hay mucho que
calcular, basta con mencionar un ejemplo y una proposición).

&lt;/ol&gt;

== Las Sucesiones Reales ==
Una sucesión real es una sucesión cuyos términos son números reales. El conjunto formado por todas esas sucesiones es  &lt;math&gt;F(\mathbb{N}, \mathbb{R})&lt;/math&gt; (todas las funciones de los Naturales en los Reales, que es  un caso especial del espacio introducido en la sección 3.4/.

En ese conjunto hay definidas operaciones
de suma, multiplicación y producto por constantes, que para las sucesiones
son operaciones término a término. Es decir que cuando x = (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) y y = (y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) son
sucesiones reales y α una constantes (número real), se cumple que

&lt;center&gt;&lt;math&gt;
(x + y)_n = x_n + y_n,\quad
 (xy)_n = x_ny_n, \quad (\alpha x)_n = \alpha x_n.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

&lt;b&gt;Sucesiones constantes. &lt;/b&gt;Notemos que cada número real α produce una sucesión
s = (α), cuyos términos son todos iguales a α y que podemos identificar con
el número α. Con esa identificación, la multiplicación por constante es un caso
particular de la multiplicación de dos sucesiones.

&lt;b&gt;Sucesiones Acotadas. &lt;/b&gt; Una sucesión x = (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) es acotada, cuando hay un número
real tal que M tal que, para todo n en &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;, se cumple que |x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;| ≤ M. M es una
&lt;b&gt;cota&lt;/b&gt; de la sucesión.

Se verifica (ver los ejercicios) que la suma y el producto de sucesiones acotadas es una sucesión acotada. Si denotamos por B(&lt;b&gt;N&lt;/b&gt;, &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;) al conjunto de las funciones acotadas, se tiene entonces que se trata de una subalgebra
de F(&lt;b&gt;N&lt;/b&gt;, &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;). Sigue de la proposición 7.2.8 que cada sucesión convergente es acotada,
por lo que SC(&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;) (sucesiones reales convergentes) es un subconjunto de las sucesiones acotadas. La próxima
proposición muestra que se trata de una subálgebra del álgebra de las sucesiones acotadas.

&lt;b&gt;Proposición 7.3.1 (Operaciones y Convergencia). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sean x = (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;), y = (y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) sucesiones
de números reales tales que x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → a y y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → b. Entonces,
:(a) La sucesión x + y converge a a + b.
:(b) La sucesión xy converge a ab,
:(c) La sucesión αx converge a αa, α número real.
Es decir que SC(&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;) es una subálgebra de F(&lt;b&gt;N&lt;/b&gt;,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;).
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea ε dado. Como x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → a (resp. y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → b) hay un entero n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, (resp
n&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) tales que
::(1) n ≥ n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ⇒ |x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; − a| &lt; ε/2,
::(2) n ≥ n&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ⇒ |y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; − b| &lt; ε/2.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt;Sea n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = m´ax{n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, n&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;}. Entonces,
n ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; ⇒ |(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; − y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) − (a + b)| = |(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; − a) + (y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; − b)|
≤ |x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; − a| + |y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; − b| &lt; ε/2 + e/2 = ε.

&lt;li&gt; Debemos probar que hay un natural n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que para todo m,m ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; se cumple que |x&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; − ab| &lt; ε.

Sea δ un número positivo, cuyo valor específico determinaremos más adelante;
por ahora simplemente supondremos que es menor o igual a 1. Se tiene la
siguiente identidad (que los lectores deberán verificar)
&lt;center&gt;|x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; − ab| = |x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; − a| |y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; − b| + |a| |y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; − b| + |b| |x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; − a|. (*)&lt;/center&gt;

Veremos a continuación, como acotar cada sumando en el lado derecho de (*)
en términos de δ, para finalmente expresar δ en términos de ε.

Procediendo como en la parte (a) podemos hallar un n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
    m \ge n_0  &amp; \implies&amp;  |x_n - a | &lt; \delta   \\
    m \ge n_0 &amp; \implies&amp; |y_n - b | &lt; \delta.
\end{array}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Luego, cuando m &amp;ge; n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; se tiene que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 |x_ny_n-ab| &amp;=&amp; |x_n-a|\, |y_n -b| + |a|\, |y_n-b|  + |b| \, |x_n-a| \\
         &amp;&lt;&amp; \delta*\delta + |a| \delta + |b| \delta  \\
         &amp;&lt;&amp; \delta *1 + |a| \delta + |b| \delta = \delta(1+|a|+|b|).
\end{array}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Por lo tanto, si escojemos a δ = mín {jε/(1 + |a| + |b|), 1} obtendremos
que &lt;br&gt;
m ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; ⇒ |x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; − ab| &lt; ε.

(c) Sigue de (b),
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

Observación 7.2. Comparar la demostración anterior con la demostración del teorema 6.5.6
&lt;hr&gt;
.
&lt;b&gt;Proposición 7.3.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sean (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) una sucesión real tal que para todo n, x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; &amp;ne; 0. Si
x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → a, a &amp;ne; 0, entonces 1/x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → 1/a. &lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Ejercicio. &lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 7.3.3 (Teorema del Sandwich). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sean (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;), (y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) y (z&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) sucesiones tales
que para todo n se cumple que x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; ≤ y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; ≤ z&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;. Si x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → a y z&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → a, entonces
y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → a.
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Ejercicio &lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;
.
&lt;b&gt;Proposición 7.3.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sean (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;), (y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) sucesiones reales tales que y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = x&lt;sub&gt;n+k&lt;/sub&gt;, k un
entero positivo. Ambas sucesiones convergen o divergen simultáneamente.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Ejercicio. &lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

Notemos que en la proposición anterior, (y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) se obtiene de (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) eliminando
los primeros k términos. El resultado implica que lo único importante para la
convergencia es, entonces, la “cola” de la sucesión. Es decir que en las hipótesis
de proposiciones o teoremas donde aparece “para todo n”, podemos generalmente
poner en sustitución “para casi todo n” (ver la observación 7.1).


=== Las Sucesiones en Espacios Normados ===

Sea &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; un espacio normado,  en particular uno de los espacios Euclídeos &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;. La siguiente proposición resume los resultados sobre las sucesiones en &lt;math&gt;E&lt;/math&gt;.

&lt;b&gt;Proposición 7.3.5.&lt;/b&gt; &lt;i&gt;Sea &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; un espacio normado y sean &lt;math&gt;x= (x_n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y=(y_n)&lt;/math&gt; sucesiones de puntos de &lt;math&gt;E&lt;/math&gt;.&lt;/i&gt;
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt;Cuando &lt;math&gt;x_n \to p&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;y_n \to q&lt;/math&gt; entonces &lt;math&gt;x_n+y_n \to p +q&lt;/math&gt; y el producto &lt;math&gt;\alpha x_n \to \alpha p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; real.

&lt;li&gt;Cuando la sucesión &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; es convergente, también lo es la sucesión de normas, &lt;math&gt;(||x_n||)&lt;/math&gt;.

&lt;li&gt;Cuando &lt;math&gt;E=\mathbb{R}^m&lt;/math&gt;, una sucesión en &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; es convergente, ssi, las sucesiones de sus componentes lo son.
&lt;/ol&gt;
&lt;/i&gt;

La demostración queda de ejercicio.
&lt;hr&gt;

=== Las Series ===

En cualquier espacio normado podemos definir series (informalmente, sumas infinitas). La definición  general de serie  es la misma que  en los Reales.

Dada una sucesión &lt;math&gt;(a_n)&lt;/math&gt;, le asociamos la sucesión de &lt;i&gt;sumas parciales&lt;/i&gt; &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt;, tal que
::&lt;math&gt;s_n = a_0&lt;/math&gt; cuando &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;,
::&lt;math&gt;s_n = s_{n-1} + a_n&lt;/math&gt;cuando &lt;math&gt;n&gt;0. &lt;/math&gt;

Es decir que &lt;math&gt;s_0=a_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;s_1 = a_0+a_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;s_2=a_0+a_1+a_2&lt;/math&gt;, etc.

Decimos que la sucesión &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; es sumable, cuando la sucesión asociada de sumas parciales es convergente.  Denotamos al límite, cuando exista, por
{{eqn|&lt;math&gt;\sum_n a_n&lt;/math&gt;  o  &lt;math&gt; \sum_{n=1}^{\infty} a_n,&lt;/math&gt;}}
y le llamamos &lt;b&gt;serie&lt;/b&gt; definida por los &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; Por abuso de lenguaje, llamamos serie a la suma infinita y decimos que la serie converge o diverge dependiendo de que el límite mencionado exista o no.En cualquier espacio normado podemos definir series (o sea sumas infinitas).

Los siguientes resultados deberían ser conocido de los cursos de Cálculo. Sea

&lt;math&gt;S=\sum_{n \ge 0} a_n&lt;/math&gt;

&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Cuando S converge, su termino enésimo an tiende a 0;
&lt;li&gt; La serie geométrica a + ar + · · · + ar&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; + ... , a &amp;ne; 0, converge cuando |r| &lt; 1, diverge si r ≥ 1. Cuando converge su límite es a/(1 − r).
&lt;li&gt; La serie de potencias &amp;sum;&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;x&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; converge cuando ρ = lím&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; |an+1/an| &lt; 1,
diverge cuando ρ &gt; 1. El caso ρ = 1 es ambiguo.
&lt;/ul&gt;

&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 7.3  ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sea f : &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;→ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; continua. Sea (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) una sucesión convergente. Entonces
(f(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;)) l es una sucesión convergente y lím&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; f(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) = f(lím&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;).

&lt;li&gt; Probar la proposición 7.3.2.

&lt;li&gt; Probar la proposición 7.3.3.


&lt;li&gt; Si (a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) es una sucesión de números reales que es creciente (a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; ≤ a&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;) y acotada superiormente, entonces (a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) es convergente.

&lt;li&gt; La suma y el producto de sucesiones reales acotadas son sucesiones acotadas.

&lt;li&gt; Considerar las sucesiones reales cuyos términos se indican a continuación.
¿Cuáles de esas sucesiones reales son acotadas?¿Cuáles son convergentes?

En caso de convergencia, si fuera posible hallar el límite. Indicar los teoremas
o proposiciones usadas para obtener la respuesta.

{|
|-
| a) &lt;math&gt;(5/n).&lt;/math&gt; || b) &lt;math&gt;(1+ (-1)^n).\quad&lt;/math&gt; || c) &lt;math&gt;(1/\sqrt{n^3})&lt;/math&gt;
|-
| d) &lt;math&gt;\dfrac{n-1}{n}\quad\quad&lt;/math&gt; || e) &lt;math&gt;\dfrac{2n-3}{3n+2}.\quad\quad&lt;/math&gt; || f) &lt;math&gt;\dfrac{1}{n^2}.&lt;/math&gt;
|-
| g) &lt;math&gt;\dfrac{2^n}{3^n}.&lt;/math&gt; || h) &lt;math&gt;\dfrac{3^n}{2^n}.&lt;/math&gt; ||
i)  &lt;math&gt;\dfrac{3^n -2^n}{3^n + 2^n}.&lt;/math&gt;
|-
| j) &lt;math&gt;\sen((n+1)\pi /2n).\quad&lt;/math&gt; || k) &lt;math&gt;e^{1/n}.&lt;/math&gt; || l)&lt;math&gt;(1 + 1/n)^3 .&lt;/math&gt;
|}

&lt;li&gt; Probar la proposición 7.3.4.

&lt;li&gt; Probar que cada expansión decimal de un número real positivo define una
sucesión de números racionales, la sucesión de las truncaciones, que es acotada
superiormente. Aplicar el postulado del supremo para concluir que dicha
expansión tiene un límite.

&lt;li&gt; Sea u una sucesión en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tal que u&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;), Entonces, la sucesión
(u&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) es acotada (resp. convergente), ssi, las sucesiones (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) y (y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) lo son.
Usar ese resultado para evaluar &lt;br&gt;

lím&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; (3 + 1/n, 2+1/n) en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Generalizar para
sucesiones en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;li&gt; Sea E un espacio normado cualquiera.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Las sucesiones en E convergentes son acotadas.
&lt;li&gt; La suma y el producto de sucesiones acotadas (resp.convergentes) es
una sucesión acotada (resp. convergente).
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sean (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;), (y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) y (z&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) sucesiones de un espacio métrico E. Suponer que
hay un n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = z&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; cuando n &lt; n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, y y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; cuando n ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;. Las
sucesiones (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;), (y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) convergen o divergen simultáneamente. Es decir que
podemos alterar una cantidad finita de términos de una sucesión sin afectar
su convergencia o divergencia.

&lt;li&gt; Sea E un espacio métrico con métrica discreta. Probar que cuando una sucesión
(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) es convergente, hay un n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que m ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; implica que x&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; = x&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;.
&lt;/ol&gt;
== Las Sucesiones de Cauchy ==

¿Podemos saber que una sucesión es convergente, aunque no sepamos su límite?

Sea (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) una sucesión convergente a x en un espacio métrico E. Entonces,
para todo &amp;epsilon; &gt; 0, hay un n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que n ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; implica que d(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, x) &lt; ε/2. Luego,
para todo m, n ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, tenemos que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
d(x_n, x_m) \le d(x_n, x) + d(x_m,x) &lt;  \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. 
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
La condición anterior es, en consecuencia, una condición necesaria para la
convergencia de una sucesión. Podemos usarla para probar que una sucesión no
es convergente (por ejemplo en la sucesión del ejemplo 7.2.2, los términos pares
mantienen distancia de 2 de los términos impares, por lo que es imposible que tal sucesión converja). La condición se llama &lt;i&gt;condición de Cauchy&lt;/i&gt;, y la definiremos formalmente a continuación.
{{Caja|
&lt;center&gt;Condición de Cauchy &lt;/center&gt;
Una sucesión (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) en un espacio métrico satisface la condición de
Cauchy, ssi, para todo &amp;epsilon; &gt; 0 hay un n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que
&lt;center&gt;m, n ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; ⇒ d(x&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) &lt; ε.&lt;/center&gt;

Una sucesión de Cauchy es una sucesión que satisface la condición de
Cauchy.}}

Sigue de la discusión inicial la siguiente proposición.

&lt;b&gt;Proposición 7.4.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cada sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;
La convergencia de una sucesión depende tanto de la sucesión como del espacio
adonde está la sucesión. Por ejemplo, en los Reales, la sucesión 1/n es
convergente a 0 y es, por lo tanto, una sucesión de Cauchy. Sin embargo, la misma
sucesión no es convergente en ]0, 1], aunque continúa siendo una sucesión de
Cauchy. Es decir que la condición de Cauchy aunque necesaria, no es suficiente.
Por lo que, espacios adonde la condición de Cauchy sea suficiente para la convergencia
merecen un nombre especial.

{{DefRht|Espacio Métrico Completo| Decimos que espacio métrico es un
espacio (métrico) completo, ssi, toda sucesión de Cauchy es convergente.
Un subespacio es completo, cuando toda sucesión de Cauchy del subespacio
converge a un punto del subespacio. }}

&lt;i&gt;Observación 7.3. &lt;/i&gt;Cuando un espacio normado es completo respecto a la métrica
inducida, se dice que es un &lt;b&gt;espacio de Banach&lt;/b&gt;.

Probaremos, más adelante que los Reales son un espacio completo. De hecho,
se puede mostrar que suponer que la condición de que toda sucesión de Cauchy
de números reales sea convergente, es equivalente a la completitud de los Reales
vía postulado del supremo.

La condición de Cauchy es estrictamente métrica, no hay formulación de la
misma en términos solamente de abiertos. No obstante lo anterior, hay relaciones
con la topología del espacio.

&lt;b&gt;Ejemplo 7.4.1. &lt;/b&gt;El ejemplo anterior de la sucesión en X =]0, 1] sugiere que para
“completar” ese espacio deberíamos agregar 0, es decir un punto de acumulación
del conjunto que no está en el conjunto. La validez de esa intuición está contenida en la siguiente proposición.

&lt;b&gt;Proposición 7.4.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea E un espacio métrico. Cualquier subespacio completo X de E es cerrado.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Supongamos que X fuera completo. Sea p un punto de acumulación
de X. Por la proposición , hay una sucesión de puntos propLimPA de X que converge a
p. Como X es completo, p está en X; lo que implica que X es cerrado.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

Tenemos, también, casi un converso de lo anterior.

&lt;b&gt;Proposición 7.4.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea E un espacio métrico completo. Un subespacio X de E
cerrado es completo.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Supongamos que X fuera cerrado y que (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) fuera una sucesión
de Cauchy en X. Al ser (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) una sucesión de Cauchy en X, también lo es en E.
Como E es completo, la sucesión converge, digamos a p. Mostraremos que p está
en X. Consideremos el conjunto de términos de la sucesión. Si dicho conjunto
tiene finitos elementos, el límite de la sucesión es uno de ellos y, por lo tanto, el
límite está en X. En caso de que el conjunto sea infinito, tendremos que p es un
punto de acumulación del conjunto de términos y, en consecuencia, de X. Como
X es cerrado, dicho punto está en X. Es decir que la sucesión converge a un punto
de X.
&lt;/ul&gt;{{QED}}

Las sucesiones de Cauchy son sucesiones que casi convergen, solamente les
falta el límite, por lo que comparten algunas de las propiedades de las sucesiones
convergentes.

&lt;b&gt;Proposición 7.4.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Las sucesiones de Cauchy son acotadas.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) una sucesión de Cauchy. Tomando ε = 1 en la condición
de Cauchy. hallamos un n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que para m, n ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; se tiene que d(x&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) &lt; ε. En particular tomando n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; + 1, tenemos que para todo m &gt; n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, d(x&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) &lt; 1.
Sea M = máx{1, d(x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;, x&lt;subn&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;) : k &lt; n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;}. Entonces, para todo n se cumple que
d(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;.x&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;) ≤ M. Lo que muestra que el conjunto de términos de la sucesión es
acotado.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

Vimos antes que hay sucesiones divergentes que pueden tener subsucesiones
convergentes. Tal situación no ocurre con las subsucesiones de Cauchy (al igual
que con las sucesiones convergentes).

&lt;b&gt;Proposición 7.4.5. &lt;/b&gt;Cuando una sucesión de Cauchy (a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) en un espacio métrico
tiene una subsucesión convergente a q, entonces la sucesión converge a q.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea ε &gt; 0 dado. Sea (a&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;) la subsucesión convergente a q. Como
(a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) es sucesión de Cauchy, hay un natural k&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; tal que
d(a&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;, a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) &lt; ε/2, cuando m, n ≥ k&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.
Como lím&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; a&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; = q, podemos hallar un k&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; tal que
d(a&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; , q) &lt; ε/2, cuando n&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; ≥ k&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.
Escogiendo k ≥ k&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; tal que n&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; &gt; k&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, tenemos que para m ≥ k se cumple que
d(a&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;, q) ≤ d(a&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;, a&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;) + d(a&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;, q) &lt; &amp;epsilon;/2 + &amp;epsilon;/2 = ε.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 7.4 ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sea E un espacio métrico. Probar que la suma, resta, multiplicación y cociente
de sucesiones de Cauchy son sucesiones de Cauchy.
&lt;/ol&gt;

== La Completitud de los Reales ==
En el capítulo 2, introducimos la “completitud” de los Reales vía el postulado del supremo; “cada conjunto no vacío acotado superiormente tiene una supremo (cota superior estricta)”. En esta sección, mostraremos que &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; también es completo en el sentido de este capítulo, es decir que toda sucesión real de Cauchy es convergente.
Daremos una prueba usando solamente resultados acerca de los Reales y de las sucesiones de Cauchy.
Necesitaremos algunos resultados previos que nos mostrarán importantes propiedades adicionales
de los números reales.

&lt;b&gt;Proposición 7.5.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Si (a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) es una sucesión de números reales que es creciente
(a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; ≤ a&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;) y acotada superiormente, entonces (a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) es convergente. Resultado análogo para una sucesión decreciente y acotada inferiormente.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea S el conjunto de términos de la sucesión, o sea S = {a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; : n ∈ &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;}. Como S es no vacío y acotado superiormente, tiene un supremo, digamos, a. Probaremos que a es un límite de la sucesión. Supongamos dado ε &gt; 0, entonces a − ε no es una cota superior de S, por
lo que hay un n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que a&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; &gt; a − ε. Luego, para todo m ≥ n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; se cumple que a&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; &gt; a − ε, de donde |a − a&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;| = a − a&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; &lt; ε, lo que implica que lím&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = a.
El resto de la proposición queda al cuidado del lector o lectora.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

El siguiente lema nos ayudará en nuestro trabajo posterior.

&lt;b&gt;Lema 7.5.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Cualquier sucesión real (a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) tiene una subsucesión que es o creciente
o decreciente. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;(Spivak) Llamemos “punto cumbre” de la sucesión a un n tal que
m &gt; n implica a&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; &lt; a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;.&lt;br&gt;

&lt;i&gt;Caso 1. &lt;/i&gt; La sucesión tiene infinitos puntos cumbres. Digamos n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; &lt; n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &lt; n&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &lt;
Entonces la subsucesión a&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; &gt; a&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; &gt; a&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; &gt; ... es una sucesión decreciente. &lt;br&gt;

&lt;i&gt;Caso 2. &lt;/i&gt; La sucesión tiene una cantidad finita de puntos cumbres. Sea n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; un
natural mayor que todos los puntos cumbres. Como n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; no es punto cumbre, hay un
n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &gt; n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que an&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ≥ an&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; . Como n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; no es punto cumbre, hay un n&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &gt; n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; tal que
an&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ≥ an&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;. Continuando de esta manera (formalmente, por inducción) obtenemos
una subsucesión (ani) que es creciente.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 7.5.3 (Bolzano–Weierstrass). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Toda sucesión acotada tiene una subsucesión
convergente. &lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Teorema 7.5.4 (Completitud de Cantor). &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Toda sucesión de Cauchy es convergente.
Es decir que &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; es un espacio métrico completo.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Las sucesiones de Cauchy son acotadas (proposición 7.4.4) Por la
propiedad de Bolzano–Weierstrass (corolario anterior) tiene entonces una subsucesión
convergente. Pero, cuando una sucesión de Cauchy tiene una subsucesión
convergente, la sucesión es convergente (ver la proposición 7.4.5).
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

== Espacios de Sucesiones ==

Introduciremos dos espacios normados y, por lo tanto, métricos basados en
sucesiones reales especiales. El primero de esos espacios consistirá de los sucesiones acotadas con norma
definida por
&lt;center&gt;||(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;)||&lt;sub&gt;sup&lt;/sub&gt; := sup{x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; : n ∈ &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;}. &lt;/center&gt;

Tal espacio es un caso particular del espacio de funciones acotadas introducido
en la sección 3.4.

=== El espacio ℓ&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;: espacio de Hilbert ===

Definiremos otro espacio de sucesiones reales, denotado por ℓ&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; y formado por todas las sucesiones reales (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;)
tales que
&lt;center&gt;&lt;math&gt; \sum_n x_n^2 &lt; +\infty. &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Se verifica fácilmente que la suma de sucesiones y multiplicación por un real
de sucesiones en ℓ&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; son también sucesiones de ese espacio, lo que dice que ℓ&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; tiene
una estructura de espacio vectorial.
Se define una norma en ℓ&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, por
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
||(x_n)||_{\ell_2} := \sqrt{\sum_{n = 0}^{\infty} x_n^2}.
&lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 7.6.1. &lt;/b&gt; Sea e&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, la sucesión cuyos términos son todos nulos, excepto el
i–ésimo que es igual a 1. Entonces,
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;   &lt;math&gt;||e_i||_{\text{sup}} =1&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;d_{\text{sup}}(e_i,e_j )= 1&lt;/math&gt;, cuando i &amp;ne; j.

&lt;li&gt;  &lt;math&gt;||e_i||_{\ell_2} = 1&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;d_{\ell_2} (e_i,e_j) = \sqrt{2}&lt;/math&gt;, cuando  i &amp;ne; j.
&lt;/ul&gt;

Se puede verificar que ℓ&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; con la distancia inducida por la norma definida arriba
es un espacio métrico completo (ver Kolmogorov &amp; Fomin [4]), o sea que es un
espacio de Banach.
&lt;hr&gt;

=== Ejercicio 7.6 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; ¿Cuándo un espacio métrico no es completo? Dar un ejemplo de un espacio
métrico que no sea completo.

&lt;li&gt; Suponer que &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; es un espacio completo. Probar que &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es completo. Generalizar
a &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;li&gt; Probar que un espacio métrico E es completo, ssi, cada sucesión decreciente
de bolas cerradas cuyos radios tienden a cero tiene intersección no vacía.
&lt;/ol&gt;

== Completación de un Espacio Métrico ==


Suponer que tenemos un espacio métrico X que no es completo. Las sucesiones
de Cauchy son sucesiones que “casi” convergen; si no convergen es porque el
límite no se halla en el espacio métrico X. Si X es un subconjunto de un espacio
métrico E entonces, la clausura de X es un candidato para un espacio métrico
cerrado que contiene a X. Sea Cl(X) dicha clausura, entonces se cumple que X es un subconjunto denso en Cl(X).


La siguiente proposición esteblece que para cada espacio métrico (sea o no subespacio de otro), podemos hallar un espacio métrico completo
que contiene una imagen isométrica de X (que identificaremos con X).

&lt;b&gt;Proposición 7.7.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea X un espacio métrico. Hay un espacio métrico completo Cl(X) y hay una isometría ϕ : X → X&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; tal que ϕ(X) es denso en bX . Identificando X con su imagen, podemos decir que cada espacio metrico está contenido en un espacio métrico completo. &lt;/i&gt;

Indicaremos, a continuación, los pasos de una construcción de bX a partir de
X. Las demostraciones de las afirmaciones acerca de los pasos o detalles quedan
como ejercicios.

&lt;i&gt;Procedimiento para la construcción de la completación de un espacio métrico.&lt;/i&gt;

Sea X un espacio métrico, posiblemente incompleto.
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Formar un conjunto con todas las sucesiones de Cauchy en X al que denotaremos por SCy(X).

&lt;li&gt; Definir una relación ∼ entre las sucesiones de Cauchy, por
(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) &amp;sim; (y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) &amp;lArr;⇒ lím&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; d(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) = 0.
La relación así definida es de equivalencia.

&lt;li&gt; Simbolizar por X&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; al conjunto cociente SCy(X)/ ∼, es decir al conjunto formado por las clases de equivalencia de la relación anterior, Simbolizar por [x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;] a la clase de equivalencia de la sucesión (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;).

&lt;li&gt; Definir una distancia d&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;([x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;], [y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;]) = lím&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; d(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;). Probar que la sucesión (d(x_n,y_n))esuna sucesión de Cauchy.

&lt;li&gt; &lt;X&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;, d&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&gt; es un espacio métrico completo que contiene un subconjunto identificable con X (las sucesiones constantes) y tal que la clausura de X es X&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;.

Tal construcción es total análogo a una de la construcciones de los Reales a
partir de los Racionales. Ver por ejemplo &lt;i&gt;Fundamentos del Análisis&lt;/i&gt; en el sitio [https://app.box.com/s/5r19xfnlzfar53zf1gop].

&lt;/ol&gt;

== Ejercicios del Capítulo 7 ==

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Para cada uno de los siguientes enunciados decidir si son válidos o falsos.
En caso de válidos dar una demostración, en caso contrario producir un
contraejemplo.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Cuando una sucesión converge, cualquier subsucesión converge al mismo límite.

&lt;li&gt; Cuando una sucesión tiene dos subsucesiones que convergen a límites diferentes la sucesión no tiene límite.

&lt;li&gt; Cuando una sucesión tiene dos subsucesiones convergentes es convergente.

&lt;li&gt; Cada sucesión tiene una subsucesión acotada.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) una sucesión acotada. Entonces, para todo número real a, (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;−a)
y (ax&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) son sucesiones acotadas.

&lt;li&gt; Sea (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) una sucesión de números reales. Decimos que diverge a infinito,
x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → +∞, ssí, para todo número real positivo a, el intervalo ]a,+∞[ contiene
a casi todos los elementos de la sucesión (es decir todos, excepto por
una cantidad finita).
Enunciar y probar teoremas con respecto a esta noción,

&lt;li&gt; Sea E un espacio métrico y E′ un subespacio de E. Probar que cada sucesión
convergente en E′ es convergente en E al mismo límite. Dar un ejemplo
de una sucesión convergente en un espacio, pero que no es convergente en
un subespacio.

&lt;li&gt;  Probar que d&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt;(x,y) := |e&lt;sup&gt;x&lt;/sup&gt; - e&lt;sup&gt;y&lt;/sup&gt;| es una métrica en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; y que respecto a esta métrica &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; ni es completo. ðescribir la completación de este  espacio.
&lt;/ol&gt;

[[Categoría:Espacios Métricos]]

&lt;!-- 2  de octubre de 2016 --&gt;
&lt;!-- 25 de marzo de 2018 --&gt;</text>
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        <username>Mazbel</username>
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&lt;!-- Números Reales --&gt;
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|actual=Números Reales
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|siguiente=Espacios Normados
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&lt;/noinclude&gt;

===  Capítulo 2 LOS NÚMEROS REALES ===
(Libro = Matemáticas Univeritarias/Espacios Métricos)

== Introducción ==
La historia de los espacios métricos empieza con los (números) Reales. Representamos intuitivamente a los Reales mediante la llamada &lt;i&gt;línea numérica&lt;/i&gt;, equipada con la distancia entre números definida como el valor absoluto desu diferencia. Informalmente hablando, un espacio métrico será un conjunto provisto con una noción de distancia; los Reales con la distancia mencionada seránn el ejmeplo básico de espacio métrico (las definirionaes formales aparecerán en capítulos posteriores). Las propiedades de subconjuntos de los Reales y de las  funciones definidas sobre ellos  fueron generalizadas o abstraídas a las teorías de los espacios métricos y de los espacios topológicos.

En este capítulo revisaremos las propiedades relevantes de los Reales. Recomendamos a los lectores que revisen lo expuesto, aunque será muy probable que lo hayan visto con anterioridad. Es muy importante que revisen las secciones dedicadas a la completitud, el axioma del supremo y sus consecuencias, especialmente cuando la palabra &quot;supremo&quot; les  sea deconocida. El énfasis de la exposición será en aquellos aspectos útiles para el resto del texto.

La segunda sección es un resumen muy breve de las propiedades generales de los Reales.  La tercera sección presenta las consideraciones métricas de los Reales. En la cuarta sección,  presentamos/revisamos la noción de &lt;i&gt;supremo&lt;/i&gt;, que completa la presentación de la estructura de los Reales y que será muy importante en nuestro estudio. En las últimas secciones, veremos relaciones entre los Racionales y los Reales.

== Los Números Reales ==

Formalmente, los Reales están caracterizados por las propiedades de sus operaciones, las propiedades del orden y la completitud. Revisaremos primeramente lo referente a las operaciones y al orden.

=== La Estructura de Cuerpo ===

En los Reales, &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, hay definidas dos operaciones a las que llamamos adición (&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;) y multiplicación (*). Tales operaciones satisfacen los siguientes axiomas o postulados.&lt;ref&gt;Postulados son enunciados cuya validez aceptamos. En lugar de `&lt;i&gt;postulado&lt;/i&gt;  podremos decir &lt;i&gt;axiomas&lt;/i&gt;. Los teoremas y las proposiciones son afirmaciones cuya validez debemos probar.&lt;/ref&gt;

&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; (Axiomas de la Adición) La adición es asociativa, conmutativa, tiene un neutro 0 (a+0=a) y cada número a tiene un opuesto aditivo -a tal que a + (-a) = 0.

&lt;li&gt; (Axiomas de la Multiplicación) La multiplicación es asociativa, conmutativa, tiene neutro 1 (a*1=a) y cada número a &amp;ne; 0 tiene un recíproco 1/a tal que a * (1/a) = 1).

&lt;li&gt; (Axiomas MIxtos) La multiplicación es distributiva respecto a la adición.  Los neutros 0 y 1 son diferentes.
&lt;/ul&gt;

::Cuando en un conjunto cualquiera K haya definidas operaciones con las propiedades anteriores, decimos que  K tiene o posee con dichas operaciones una ''estructura de cuerpo'' o simplemente que K es un &lt;b&gt;cuerpo&lt;/b&gt;.  Por lo que, los postulados anteriores dicen que &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; es un cuerpo. &lt;br&gt;

::Otros cuerpos importantes que seguramente el lector conoce son los Racionales, &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt;, que es un subconjunto de los Reales y los Complejos, &lt;b&gt;C&lt;/b&gt;, que contienen a los Reales. &lt;br&gt;

En un cuerpo, se definen dos operaciones auxiliares: &lt;i&gt;substracción&lt;/i&gt; y &lt;i&gt;división&lt;/i&gt;.
{{Eqn|&lt;math&gt;a-b := a+(-b), \qquad  a \div b = a/b = a * (1/b).&lt;/math&gt;}}
Como es costumbre, escribiremos xy en lugar de x * y.

Los Reales contienen algunos subconjuntos especiales que recordamos a continuación.
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Los &lt;b&gt;Naturales&lt;/b&gt;, &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;, caracterizado por ser el subconjunto más pequeño de los Reales que satisface las siguientes propiedades
::(i)  0 es un número natural; &lt;ref&gt;Hay dos versiones de Naturales dependiendo de la inclusión del 0 en los Naturales. La tendencia actual es a incluirlo. &lt;/ref&gt;
::(ii) Si k es un número natural, también lo es k+1.
   

&lt;li&gt; Los &lt;b&gt;Enteros&lt;/b&gt;, &lt;b&gt;Z&lt;/b&gt;, que está formado por los naturales y sus opuestos aditivos.

&lt;li&gt; Los &lt;b&gt;Racionales&lt;/b&gt;, &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt;, cuyos elementos son fracciones de enteros.
&lt;/ul&gt;

=== La Estructura de Cuerpo Ordenado ===

Tenemos para el orden los siguientes axiomas.

&lt;b&gt;Axiomas del Orden.&lt;/b&gt; Hay una relación &quot;&amp;le;&quot; entre números reales, tal que
* (i)  Si (x &amp;le; y) y (y &amp;le; z) entonces (x &amp;le; z) (transitividad).
* (ii) (x &amp;le; y) y (y &amp;le; x) &lt;==&gt; x=y.
* (iii) para todo x, y se cumple que (x &amp;le; y) o que (y &amp;le; x).
* (iv) si (x &amp;le; y) entonces (x + z &amp;le; y + z).
* (v) si (0 &amp;le; x) y  (0 &amp;le; y) entonces (0 &amp;le; xy).

Cuando en un cuerpo hay una relación  como la anterior, (llamada &lt;i&gt;relación de orden&lt;/i&gt;), se dice que se trata de un &lt;b&gt;cuerpo ordenado&lt;/b&gt;. Los Reales y los Racionales forman un cuerpo ordenado, mientras que los Complejos no.

(Relaciones de orden asociadas) Asociada con la relación &amp;le; tenemos &quot;x &lt; y&quot;  que quiere decir que (x &amp;le; y) pero que (x &amp;ne; y). 
Suponemos conocido por los lectores los significados de &quot;x &gt; y&quot; y de  &quot;x &amp;ge; y&quot;, así como la terminología acerca de positivos y negativos.

&lt;b&gt;Notación de Intervalos.&lt;/b&gt;  Simbolizaremos los extremos abiertos de intervalos usando &quot;]&quot; para el extremo  inferior y  &quot;[&quot; para el extremo superior. Así, por ejemplo,
]3, 6[ = {x &amp;isin;  &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;: 3 &lt; x &lt; 6}.
Usamos esta notación, para distinguir intervalos abiertos de pares ordenados.

&lt;hr&gt;
Hay una propiedad muy importante que aparecerá frecuentemente en nuestras discusiones.

&lt;center&gt;&lt;i&gt;(Tricotomía) Para todo a, b en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, se cumple una, y solo una, de las siguientes afirmaciones.
{{eqn|&lt;math&gt;
\begin{array}{ccc}
a &gt; b , \quad &amp; a = b, \quad &amp; a &lt; b.\end{array}&lt;/math&gt;}}
&lt;/i&gt;&lt;/center&gt;

&lt;B&gt;Principio del Buen Orden (PBO)&lt;/b&gt; Esta es una propiedad del orden referentes a los Enteros que establece que:

:&lt;i&gt;Cualquier subconjunto de enteros no-negativos tiene un primer elemento, o sea un elemento que es menor o igual que cualquier otro elemento del conjunto.&lt;/i&gt;

=== Ejercicios 2.2. ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sean x, y tales que x &lt; y, sea z = (x+y)/2. Probar que x &lt; z &lt; y.

&lt;li&gt;(Demostraciones de que un número es igual a 0)
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Si x + y = x entonces y = 0.
&lt;li&gt; Si x + x = x entonces x = 0.
&lt;li&gt; a ∗ 0 = 0. (aplicar lo anterior).
&lt;/ol&gt;
&lt;li&gt; (Opuestos aditivos).
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Si x + y = 0 entonces y = −x.
&lt;li&gt; −(−x) = x (evaluar −x + x).
&lt;li&gt; −(a + b) = −a + (−b.1
&lt;li&gt;(−a)b = −ab (evaluar ab + (−a)b).
&lt;li&gt; (−a)(−b) = ab.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Hallar el conjunto solución de la siguientes inecuaciones.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; 2x − 3 &lt; 5.
&lt;li&gt; x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 12 ≤ 7x.
&lt;/ol&gt;
 
&lt;li&gt; Probar que todo número natural se cumple que n ≥ 0 y si n 6= 0, n &gt; 0.

&lt;li&gt; Probar que para todo número natural n se cumple que n &lt; 2n.
&lt;/ol&gt;

== Nociones Métricas en los Reales ==

Llamaremos nociones métricas a nociones asociadas al valor absoluto, ya que dicho valor absoluto nos permite definir una distancia entre puntos de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. Recordemos, primeramente, la definición de valor absoluto.

{{DefRht|Valor Absoluto| Llamamos &lt;b&gt;valor absoluto&lt;/b&gt; de un número real x, al número real &lt;math&gt;|x|&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;|x|=x&lt;/math&gt;, cuando &lt;math&gt;x \ge 0&lt;/math&gt;; e igual a &lt;math&gt;-x&lt;/math&gt;, en caso contrario.}}

Notemos que para todo a, se cumple que -|a| &amp;le; a &amp;le; |a|.

&lt;b&gt;Lema &lt;/b&gt; &lt;i&gt; Sea a un número real positivo. Entonces,
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; |x|&lt;a, ssi, -a &lt; x &lt; a.
&lt;li&gt; |x|=a, ssi, x = &lt;math&gt;\scriptstyle\pm&lt;/math&gt; a.
&lt;li&gt; |x|&gt;a, ssi, x &lt; -a o x &gt; a.
&lt;/ol&gt;
&lt;/i&gt;

&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
:Probaremos (a) y el resto queda de ejercicio. Por tricotomía se tiene que x&gt;0 o x=0 o x&lt;0.
:Supongamos que |x|&lt; a (*).  Si x es positivo, (*) es equivalente a x&lt;a; si x=0, (*) es equivalente a  0&lt;a; finalmente, si x es negativo, (*) es equivalente a -x&lt;a, o sea que x&gt;-a. Por lo tanto, (*) es equivalente a -a &lt; x &lt; a.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 2.3.2. (Propiedades Básicas del Valor Absoluto)&lt;/b&gt;&lt;i&gt; Para todo a, b  reales se cumple:
::(VA1) |a| &amp;ge; 0.
::(VA2) |a|=0, ssi, a=0.
::(VA3) |-a| = |a|.
::(VA4) |a+b| &amp;le; |a|+|b|.
::(VA5) |ab| = |a| |b|.
&lt;/i&gt;

''Demostración.''
(VA1), (VA2) y (VA3) siguen en forma directa de la definición.
(VA4)  Sigue de la definición que (1) -|a| &amp;le;  a &lt; |a| y que (2) -|b| &amp;le; b &amp;le; |b|. Sumando miembro a miembro en las desigualdades anteriores, obtenemos que
::-(|a|+|b|) &amp;le; a + b &amp;le; |a| + |b|.
El resultado deseado sigue del lema.

:(VA5) sigue de un análisis de casos de los signos de a y b.
::Si a, b&gt;0 entonces |ab| = ab = |a| |b|. &lt;/hr&gt;
::Si a= o b=0 el resultado es trivial. &lt;/hr&gt;
::Si a &lt; 0 y b &gt;0 entonces, |ab| = -a *b = |a| \, |b|. &lt;/hr&gt;
::Si a &lt;0 y b&lt;0 entonces |ab| = ab = (-a)(-b) = |a|\,|b|.
&lt;hr&gt;

La noción de valor absoluto se usa en los cursos básicos para definir una distancia entre números reales a y b, por

{{Caja|&lt;center&gt;&lt;math&gt; d(a,b):= |a-b|.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;}}

&lt;b&gt;Proposición 2.3.3 (Propiedades de la Distancia).&lt;/b&gt;
&lt;!-- \label{propVA-2-D} --&gt;
&lt;i&gt;Sean a,b,c reales. Se cumple:
::(D1) d(a,b) &amp;ge; 0.
::(D2) d(a,b) = 0, ssi, a=b.
::(D3) d(b,a) = d(a,b). &amp;nbsp; &amp;nbsp; (Simetría)
::(D4) d(a,b) &amp;le; d(a,c) + d(c,b). &amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;(Desigualdad Triangular)
&lt;/i&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Las demostraciones siguen directamente de las propiedades correspondientes del valor absoluto.

:(D1) d(a,b) = |a-b| &amp;ge; 0. (VA1)
:(D2) d(a,b)=0 ,ssi, ax-b|=0, ssi, a-b=0, ssi, a=b.  (VA2)
:(D3) d(b,a) = |b-a| = |-(a-b)| = |a-b| = d(a,b).  (VA3)
:(D4) d(a,b) = |a-b| = |(a-c) + (c-a)| &amp;le; |a-c|+|c-b|=d(a,c) + d(c,b).  (VA4)
{{QED}}
&lt;hr&gt;

Lo que es importante es mirar siempre a |a-b| como indicando distancia del punto a al punto b.  Esto permite visualizar expresiones que contienen valor absoluto.

&lt;b&gt;Ejemplo 2.3.1.&lt;/b&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Hallar todos los x tales que |x-3| = |x + 5|.&lt;br&gt;

&lt;i&gt;Resolución:&lt;/i&gt;  Reescribiendo la ecuación como |x-3| = |x -(-5)|, vemos que se trata de hallar un punto o puntos cuya distancia a 3 sea igual a su distancia a -5. Es fácil, entonces ver que la única solución posible es x=-1.

&lt;li&gt; Hallar todos los x tales que |x-5| &lt; 3.&lt;br&gt;

&lt;i&gt;Resolución. &lt;/i&gt;  Buscamos x cuya distancia a 5 sea inferior a 3. Fácil de ver que se trata de los x tales que 2=5-3&lt; x &lt; 5+3= 8, o sea que el conjunto solución es el intervalo abierto ]2,8[.
&lt;/ol&gt;
&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 2.3 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; (Desigualdades)
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Probar que para todo número real a, a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ≥ 0 y que a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 0, ssi, a = 0.
&lt;li&gt; Usar lo anterior para probar que |a| = √(a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;).
&lt;li&gt; Cuando a y b son números positivos o cero, entonces 2ab ≤ a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;.&lt;br /&gt; (Sug: Usar que (a − b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ≥ 0) ¿Cuándo la desigualdad es igualdad?
&lt;li&gt; Cuando a y b son números positivos o cero, entonces
:√ab ≤ (a + b)/2.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sabemos que |a + b| ≤ |a| + |b|. Investigar cuando se tiene la igualdad.

&lt;li&gt; Probar que ||a| − |b|| ≤ |a − b|. (Sug. Usar que x = y + (x − y) y que
y = x + (y − x).)
&lt;/ol&gt;

== Completitud ==
Esta sección está dedicada al actor principal en el drama de los Reales: el &lt;i&gt;supremo&lt;/i&gt;,  Si la lectora o lector sabe lo que supremo e ínfimo significan, puede ir a  mirar el Postulado del Supremo en la sección 2.4.2, el teorema 2.4.4 y sus corolarios.  Si siente que está suficientemente familiarizada o familiarizado con esas nociones puede saltarse esta sección  e ir al próximo capítulo.  Siempre será posible volver a consultarlo.

Suponemos conocido por los lectores que además de los números racionales (iguales a una fracción de enteros) hay otros que no lo son, los irracionales. Algunos irracionales famosos: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, etc.

Observamos anteriormente que tanto los Racionales como los Reales son cuerpos ordenados, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no pueden dar  cuenta de los irracionales.  Necesitaremos axioma o axiomas adicionales. Tales axiomas se llaman &lt;i&gt;axiomas de completitud&lt;/i&gt;.   Hay varias versiones posibles para lograr ese objetivo, como veremos más adelante.

Revisaremos, primeramente,   las bases intuitivas de la completación.

Suponemos conocido que cada número real &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; tiene una expansión decimal.  Es decir, suponiendo que &lt;math&gt;\alpha \ge 0&lt;/math&gt;, podemos hallar un entero positivo &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; y una sucesión infinita &lt;math&gt;(a_i)&lt;/math&gt; de dígitos (decimales)---&lt;math&gt;0\le a_n\le 9&lt;/math&gt;---tales que
{{eqn|&lt;math&gt;
\alpha = M + \frac{a_1}{10} + \frac{a_2}{10^2} + \dots + \frac{a_n}{10^n} + \cdots;
&lt;/math&gt;|1}}
lo que usualmente se escribe abreviadamente como
{{eqn|&lt;math&gt;
\alpha = M.a_1a_2a_3 \ldots a_n \dots
&lt;/math&gt;|2}}
donde llamamos &lt;i&gt;numeral decima&lt;/i&gt;} a la expresión de la derecha.
Lo anterior es más fácil escribirlo que explicarlo lógicamente, ¿cuál es el significado de un  numeral decimal? La notación en (2) oculta el hecho de que se trata de  una suma infinita.
Podemos, además, preguntarnos, ¿cómo se obtiene el numeral digital asociado a un número real? ¿será siempre posible esa asociación? ¿dada una expansión decimal cualquiera hay un número real asociado?
La búsqueda de una respuesta  a esas preguntas,  fue el origen de la teoría de los espacios métricos.
Hemos intencionalmente llamado  &quot;numeral decimal&quot; a la expresión en (2), para insinuar que no estamos seguro de que se trate de un número real.

&lt;b&gt;Ejemplo 2.4.1.&lt;/b&gt;. Antes de pasar adelante, para ilustrar que las consideraciones anteriores no son una cosa trivial, consideremos los numerales decimales siguientes:

::&lt;math&gt;\alpha = 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 \dots &lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;\beta   = 0.1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0  0 \dots &lt;/math&gt;
Las expresiones anteriores se han construido no--periódicas, porque se sabe que cuando tales expansiones son periódicas representan a números racionales.

Si alguien supone que las consideraciones anteriores y otras posteriores son triviales, suponga que &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt; representan números reales, y calcule &lt;math&gt;\alpha + \beta&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\alpha * \beta&lt;/math&gt;.
\end{ejemplo}

Supondremos conocido  que cuando  el numeral decimal es finito (a partir de un cierto subíndice todos los &lt;math&gt;a_i's&lt;/math&gt; son nulos), entonces el numeral decimal representa a un número racional, ya que
{{eqn|&lt;math&gt;
 M.a_1a_2 \dots a_k  = M + \frac{a_1}{10} + \dots + \frac{a_k}{10^k}.&lt;/math&gt;|3}}

Sea &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; un numeral decimal como en (2) y sea &lt;math&gt;\alpha_k&lt;/math&gt; la truncación (eliminar la cola) del numeral después de la posición &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;), o sea que &lt;math&gt;\alpha_k&lt;/math&gt; es lo que aparece en (3).
Si ponemos que &lt;math&gt;\alpha_0 = M&lt;/math&gt;, vemos que el numeral &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; da origen a una sucesión &lt;math&gt;\alpha_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\alpha_2&lt;/math&gt;, \ldots de números racionales tales que
{{eqn|&lt;math&gt;
\alpha_0 \le \alpha_1 \le \alpha_2  \le \cdots \le \alpha_k \le \cdots
&lt;/math&gt;|4}}
Se puede, además, verificar que para todo &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; se cumple que &lt;math&gt;\alpha_k \le M+1&lt;/math&gt;.

¿Define el numeral decimal o equivalentemente la sucesión en (4), a un número real?

Si se piensa en la expansión decimal de un irracional, por ejemplo &lt;math&gt;\sqrt{2} = 1.41423561 \ldots&lt;/math&gt;, vemos que no podemos obtener una respuesta lógicamente válida usando solamente los postulados de cuerpo ordenado. Este razonamiento heurístico muestra que necesitamos algo más:  postulados de completitud.

\medskip
Una solución simple es postular que &quot;&lt;i&gt;cada numeral decimal define a un número real&lt;/i&gt;, lo que llamaremos la &quot;&lt;i&gt;&quot;completitud ingenua''&lt;/i&gt;. Tal completitud es la que se usa en cursos primeros de matemáticas/
Una solución más formal requiere (entre otras opciones) la introducción de la noción de supremo. 

=== Supremos, Ínfimos, Axioma del Supremo ===

Sea A un subconjunto de los Reales.

&lt;b&gt;Cota Superior, Cota Inferior.&lt;/b&gt; Decimos que un número real M es una &lt;b&gt;cota superior&lt;/b&gt; del conjunto A, ssi, para todo x se cumple que
&lt;center&gt; x &amp;isin; A &amp;rArr; x &amp;le; M.&lt;/center&gt;

Tenemos un concepto dual.&lt;br&gt;
Decimos que un número real m es una &lt;b&gt;cota inferior&lt;/b&gt; del conjunto A, ssi, para todo x se cumple que
&lt;center&gt; x &amp;isin; A &amp;rArr; m &amp;le; x.&lt;/center&gt;


&lt;b&gt;Ejemplo 2.4.2.&lt;/b&gt;
Sea A=]0,1]. Entonces  1, 2, 100, etc. son cotas superiores de A, mientras que 0, -1, -5 son cotas inferiores de A.

Notemos que cuando un conjunto tiene una cota &lt;math&gt;C&lt;/math&gt;, digamos superior, cualquier número mayor que &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; es también una cota superior, por lo que cuando un conjunto tiene una cota superior, tiene infinitas cotas superiores. Dualmente,  cuando un conjunto tiene una cota inferior, cualquier número inferior a esa cota, es también una cota inferior.  Notemos, también, que las cotas pueden o no pertenecer al conjunto.
&lt;hr&gt;
&lt;b&gt;Conjunto Acotado.&lt;/b&gt; Decimos que un subconjunto está acotado superiormente
(resp. inferiormente) cuando haya una cota superior (resp. inferior) del conjunto. Un
conjunto es acotado, ssi, es acotado superior e inferiormente.

Usando la noción de cota definiremos supremo e ínfimo.
{{DefRht|Supremo, Ínfimo| Sea A un subconjunto de los Reales.
* Llamamos &lt;b&gt;supremo&lt;/b&gt; de A a una cota superior que sea menor o igual que cualquier otra cota superior.
* Llamamos &lt;b&gt;ínfimo&lt;/b&gt; de A a una cota inferior que sea mayor o igual que cualquier otra cota inferior.
}}


&lt;b&gt;Proposición 2.4.1.&lt;/b&gt;&lt;i&gt; Cuando un conjunto tiene un supremo (resp. ínfimo) dicho supremo es único.
&lt;/i&gt;&lt;br&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sea S y S' supremos de un conjunto A. Aplicando la definición de supremo a S y viendo a S' como una cota superior, tenemos que S &amp;le; S'. Invirtiendo los roles, se tiene que S' &amp;le; S. Por lo que se concluye que S=S'.

La parte del ínfimo queda de ejercicio.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;
El supremo de un conjunto es la menor de sus cotas superiores, mientras que el ínfimo es la mayor de sus coptas inferiores.
&lt;hr&gt;
&lt;b&gt;Notación.&lt;/b&gt; Denotaremos el supremo de A (cuando exista) por &lt;b&gt;sup(A)&lt;/b&gt; o &lt;br&gt;
sup{x &amp;isin; A}. Por su parte, &lt;b&gt;inf(A)&lt;/b&gt; será el ínfimo de A.

=== Postulado del Supremo ===

Nuestro postulado simplemente asegura la existencia de supremos para ciertos
conjuntos.
&lt;!-- \label{AxiomaSupremo} --&gt;
{{Caja|
&lt;center&gt;&lt;b&gt;Axioma del Supremo&lt;/b&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;
&lt;b&gt;Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.&lt;/b&gt;}}

Sigue de forma inmediata que dado un numera decimal &amp;alpha;  el conjunto de las truncaciones
&lt;center&gt;{&amp;alpha;&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, &amp;alpha;&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ..., &amp;alpha;&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;, ...}&lt;/center&gt;
es acotado superiormente (por &amp;alpha;&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;+1), por lo que tiene un supremo; que será el número real representado por ese numeral. En breve, cada numeral decimal produce un número real.

Para finalizar, digamos que se puede probar que hay a lo más un cuerpo ordenado completo (que cumpla con el axioma del supremo) y que hay una construcción comenzando con los llamados axiomas de Peano para los Naturales para construir desde cero a un cuerpo ordenado completo. Ver un desarrollo completo en WEB
&lt;ref&gt;RAHT, &lt;i&gt;Fundamentos del Análisis, 2013&lt;/i&gt;  [https://app.box.com/s/5r19xfnlzfar53zf1gop]&lt;/ref&gt;.

Finalmente, podemos resumir nuestras suposiciones sobre los Reales en el
siguiente enunciado
{{Caja|&lt;b&gt;Los Reales son un cuerpo ordenado completo.
&lt;/b&gt;}}

El siguiente resultado será usado frecuentemente.

&lt;b&gt;Proposición 2.4.2.&lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea S = sup(A), A un conjunto no vacío. Entonces, para todo número real positivo &amp;epsilon; hay un x de A tal que S-&amp;epsilon; &lt; x &amp;le; S.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; En caso contrario, S-&amp;epsilon; sería una cota superior de A menor que el supremo; lo que es imposible.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 2.4.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sean A, B subconjuntos de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tales que A ⊂ B y B es acotado superiormente. Entonces, el supremo de A existe y es menor o igual que el supremo de B. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt; Por la hipótesis, cualquier cota superior de B es una cota superior de A, por lo que A es acotado superiormente; de donde sabemos, por el postulado del supremo, que A tiene un supremo. Como sup(B) es una cota superior de B, también lo es de A. Luego, sup(A) ≤ sup(B), ya que sup(A) es la menor cota superior de A.
&lt;/ul&gt; {{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 2.4.3.&lt;/b&gt; &lt;!-- \label{ejSupRad2}--&gt;
Este ejercicio servirá para mostrar que hay un número real positivo cuyo cuadrado es igual a 2. Es decir probaremos que &amp;radic;2 es un número real.

Sea A = {x &amp;isin; &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt;: x &amp;ge; 0,  x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &lt; 2}, es decir el conjunto de los racionales no negativos cuyo cuadrado es menor que 2. Probaremos que A tiene un supremo tal que su cuadrado es 2.

&lt;i&gt;Resolución. &lt;/i&gt;  Como 1 es un racional positivo tal que 1&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;2, tenemos que  A no es vacío.  Notemos que  todo x en A debe ser menor que 2, ya que en caso contrario, x &amp;ge; 2  implica que x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &amp;ge; 4. Por lo que 2, es una cota superior del conjunto A.  Por el axioma del supremo, A tiene un supremo, digamos S. Probaremos que S&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=2.

Supongamos que S&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &lt; 2. Buscaremos un  número  0&lt;h&lt;1 tal que (S+h)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &lt; 2.  La suposición de que h&lt;1 implica que h&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;h.
Tenemos, entonces que
{{eqn|&lt;math&gt;
(S+h)^2 = S^2 + 2sh + h^2 &lt; S^2 + 2Sh + h = S^2 + (2S+1)h.&lt;/math&gt;|*}}

Resolviendo S&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + (2S+1)h &lt; 2, obtenemos que h &lt; (2-S&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)/(2S+1) Por lo que tomando un h satisfaciendo la última desigualdad y que, a la vez, sea menor que 1, obtendremos que (S+h)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &lt; 2. Luego, S+h sería un elemento de A. Como S+h &gt;S, esto es imposible, porque S es una cota superior de A. Por lo tanto, &lt;math&gt;\scriptstyle S^2 \nless 2&lt;/math&gt;.

Supongamos, ahora, que S&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &gt; 2.  Buscaremos un k&gt;0 tal que S-k sea cota superior de A.  Si probamos lo anterior, tendríamos la contradicción de que habría una cota superior menor que el supremo. Por lo que S&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &amp;#8815; 2.  Por tricotomía, se concluye que S&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=2 (ya que no puede ser ni menor ni mayor que 2).

Buscaremos un k &gt; 0 tal que (S-k)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &gt; 2.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
(S-k)^2 = S^2 -2Sk + k^2 &gt; S^2 - 2Sk &gt; 2 \implies S^2-2 &gt; 2Sk. &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Tomando, k &lt; (S&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; -2)/(2S), se tiene que (S - k)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &gt;2.  Si hubiera un x en A tal que x &gt; S-k, entonces x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&gt;(S-k)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &gt;2, lo que no puede ser. Luego, para todo x en A, x &amp;le; S-k, o sea S-k es una cota superior de A. Como esto es absurdo, concluimos que &lt;math&gt;\scriptstyle S^2 \ngtr 2&lt;/math&gt;.
&lt;hr&gt;

=== Consecuencias del Axioma del Supremo ===

Consideremos al conjunto de los Naturales, &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;, como subconjunto de los Reales.

&lt;b&gt;Teorema 2.4.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Los Naturales no están acotados superiormente.
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Supongamos que lo estuvieran. Como el conjunto no es vacío, tendría un supremo, digamos S.  Consideremos al número S-1. Debe haber al menos un natural n tal que S-1&lt; n &amp;le; S, si no S no será la menor cota superior. Pero, S-1&lt; n implica que S &lt; n+1 y, como n+1 es un número natural, esto es imposible ya que S es una cota superior de &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;. Como hemos llegado a una contradicción, nuestra suposición inicial era falsa, por lo que se tiene lo dicho en la proposición.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 2.4.5 (Propiedad Arquimediana I). &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea a un número real positivo. &lt;br&gt;
Hay un número natural n tal que a &lt; n. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
Si no lo hubiera, a sería una cota superior de los naturales. 
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 2.4.6 (Propiedad Arquimediana II).&lt;/b&gt; &lt;i&gt; Sea a un número real positivo. &lt;br&gt; Hay un número natural n tal que 1/n &lt; a.
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
Si no lo hubiera, para todo n&gt;0, se tendría que a&amp;le;1/n, de donde n &amp;le;  1/a, y 1/a sería una cota superior de los Naturales.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

Nos referiremos a los resultados de los corolarios como las &lt;b&gt;propiedades arquimedianas&lt;/b&gt;.

&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 2.4.7. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea x un número real no negativo tal que para todo n en &lt;b&gt;N&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; (Naturales positivos)se cumple que  0 ≤ x &lt; 1/n. &lt;br&gt;
Entonces, x = 0. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Si x &gt; 0, por la propiedad arquimediana habría un natural tal que 1/n &lt; x.
&lt;/ul&gt;
{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 2.4.4. &lt;/b&gt; Probar que el conjunto A = {2&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; : n natural positivo} no es acotado superiormente.

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Resolución. &lt;/i&gt;Probaremos que para todo n ≥ 1, 2&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; &gt; n. Por lo que si hubiera una cota superior para A, dicha cota sería una cota de los Naturales.

Si n = 1 entonces 2&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 2 &gt; 1.  Suponer que tenemos para un k &amp;ge; 1 que se cumple 2&lt;sup&gt;k&lt;/sup&gt; &amp;ge; k. &lt;br&gt;
Entonces, 2&lt;sup&gt;k+1&lt;/sup&gt; = 2 ∗ 2&lt;sup&gt;k&lt;/sup&gt; &gt; 2k = k +k ≥ k +1. El resultado sigue por inducción.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 2.4 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Probar los enunciados siguientes.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Sean A, B subconjuntos de R tales que A ⊂ B y B es acotado, entonces
A es acotado.
&lt;li&gt; Los intervalos con extremos finitos son acotados.
&lt;li&gt; Un conjunto de números reales es acotado, ssi, está contenido en un
intervalo cerrado acotado.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Hallar el supremo e ínfimo de cada conjunto, cuando existan. Probar sus
afirmaciones.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; A = {x ∈ R : 0 ≤ x &lt; 1}.
&lt;li&gt; B = N.
&lt;li&gt; C = {1/n :n natural positivo}.
&lt;li&gt; D = {x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − 4x + 7 : x ∈ R}.
&lt;li&gt; E = {x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − 4x + 7 : −5 &lt; x &lt; 5}.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Hallar el supremos e ínfimo (cuando existan) de los siguientes conjuntos.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; {x ∈ R : x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &lt; 5}.
&lt;li&gt; {x ∈ R : x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &gt; 11},
&lt;li&gt; {0.3, 0.33, 0.333, . . .}.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Probar que todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado inferiormente
tiene un ínfimo.

&lt;li&gt; Sean A y B subconjuntos no vacíos de los Reales disjuntos y cuya reunión

es R. Si para todo a en A y b en B se cumple que a ≤ b. Entonces, sup(A) =

ínf(B)

&lt;li&gt; Sea a &lt; 0. Probar que hay un natural n tal que −n &lt; a.

&lt;li&gt; Sea a &lt; 0. Probar que hay un natural n tal que a &lt; −1/n.

&lt;li&gt; Sean x, y números reales tales que para todo real positivo r se cumple que
x ≥ y + r. &lt;br /&gt;Entonces, x = y.

&lt;li&gt; Sean A, B subconjuntos de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. Examinar la validez de los siguientes enunciados.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; sup(A ∩ B) ≤ mín{sup(A), sup(B)}.
&lt;li&gt; sup(A ∩ B) = mín{sup(A), sup(B)}.
&lt;li&gt; sup(A ∪ B) ≥ máx{sup(A), sup(B)}.
&lt;li&gt; sup(A ∪ B) ≥ máx{sup(A), sup(B)}.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea I&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; =]- 1/n, 1/n[, n ≥ 0. Sea I la intersección de todos los I&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;. Describir al conjunto I.

&lt;li&gt; Sea A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; =]0, n[, n ≥ 1 natural. ¿Cuál es la reunion de todos los A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;?

&lt;li&gt; Probar que el conjunto {10&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; : n ∈ &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;}, no es acotado superiormente. Hallar conclusiones semejantes a las propiedades arquimedianas para este conjunto.

&lt;li&gt; Probar que la reunión de los intervalos ]−n, n[, n natural es igual a todo &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.

&lt;/ol&gt;

== Aproximaciones Racionales de Números Reales ==
&lt;!-- \label{secAproxRacionales}--&gt;

&lt;b&gt;Parte Entera.&lt;/b&gt; Sea a un número real positivo cualquiera. Como los Naturales no están acotados superiormente, habrá un número entero n tal que a &lt; n. Por el Principio del Buen Orden, hay un menor entero positivo con esa propiedad. Llamando m+1 a  ese entero, tendremos que se cumple que m &amp;le; a &lt; m+1. Llamamos &lt;b&gt;parte entera&lt;/b&gt; del número &lt;i&gt;a&lt;/i&gt; al entero m.

La noción se puede extender a los números  negativos y al cero, como lo haremos en la siguiente definición.

{{DefRht|Parte Entera|
Llamamos &lt;b&gt;parte entera&lt;/b&gt; de un número real  a,  al mayor entero que es menor o igual que el número.  Notación: &lt;math&gt; \textsf{pe}(a)&lt;/math&gt;.
}}

Observemos que se cumple que &lt;math&gt; \textsf{pe}(a)\le a &lt; \textsf{pe}(a) + 1&lt;/math&gt;. La desigualdad de la izquierda es igualdad, ssi, a  es un número entero.
&lt;br /&gt;
Ejemplo 2.5.1. ⌊5⌋ = 5,  ⌊&amp;pi; = 3⌋,  ⌊-3.5⌋ = −4.
La noción es bastante clara, solamente para mantener la logicidad de esta exposición,

debemos probar que cada número real a tiene una parte entera.
Sea a un número real positivo cualquiera. Como los Naturales no están acotados
superiormente, habrá un número entero positivo n tal que a &lt; n. Por el
Principio del Buen Orden habrá un menor entero positivo con
esa propiedad. Llamando m+1 a ese entero, tendremos que m ≤ a &lt; m+1. Tal
m es precisamente la parte entera de a.

Cuando a = 0 su parte entera es 0. ¿Qué pasa cuando a es negativo? Si a es
entero, coincide con su parte entera. Si a no es entero es fácil verificar (ejercicio)
que su parte entera es igual a -⌊-a⌋ -1.
===  Densidad de los Racionales  ===

Sea &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; un número real cualquiera y sea &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; un número entero positivo. Sea &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; la parte entera de &lt;math&gt;n\alpha&lt;/math&gt;. Por lo que tenemos que &lt;math&gt;m \le n\alpha &lt; m+1&lt;/math&gt;, de donde
{{eqn|&lt;math&gt;\frac{m}{n} \le \alpha &lt; \frac{m+1}{n}.&lt;/math&gt;}}
Sigue de lo anterior que
 {{eqn|&lt;math&gt;|\alpha -\frac{m}{n}| = \alpha - \frac{m}{n} &lt; \frac{m+1}{n} - \frac{m}{n} = \frac{1}{n}.&lt;/math&gt;}}
 
Es decir que la distancia de &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; a &lt;math&gt;m/n&lt;/math&gt; es inferior a &lt;math&gt;1/n&lt;/math&gt;, por lo que decimos que &lt;math&gt;m/n&lt;/math&gt; es una &lt;i&gt;aproximación raciona&lt;/i&gt;} al número real &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; con un error de a lo más &lt;math&gt;1/n&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;|\alpha-m/n| &lt;1/n)&lt;/math&gt; . Lo anterior tiene la siguiente importante consecuencia.

 
&lt;b&gt;Proposición 2.5.1 (Densidad de los Racionales).&lt;/b&gt;&lt;i&gt;
Sea a un número real. Entonces, para todo r&gt;0, hay un racional q tal que
|a-q|&lt;r.
&lt;/i&gt;&lt;br&gt;

&lt;ul&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
Sea r &gt;0 dado. Por la propiedad arquimediana, podemos hallar un n tal que 1/n &lt;r y, en consecuencia, tal que &lt;br&gt;  |a-m/n|&lt;1/n &lt; r.
&lt;/ul&gt;{{QED}}

&lt;hr&gt;

En otras palabras, dado un número real a, podemos hallar un número racional q que está tan cerca de a como queramos. “Como queramos” quiere decir  que podemos escoger r &gt; 0 arbitrariamente pequeño. Este es un resultado de tipo topológico, ya que nos habla de proximidad de puntos de un conjunto. Esta propiedad se conoce como la &lt;b&gt;densidad&lt;/b&gt; de los Racionales en los Reales.

La densidad de los Racionales en los Reales tiene una gran cantidad de aplicaciones,
entre ellas la posibilidad de computar con los Reales aproximándolos por Racionales. Otra interesante aplicación está contenida en la siguiente proposición.

&lt;b&gt;Proposición 2.5.2.&lt;/b&gt;&lt;i&gt; Entre dos números reales, siempre hay un número racional.
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sean a, b números reales tales que a &lt; b. Sea c = (a+b)/2, el punto medio entre a y b. 
Sea r = (b-a)/2 (= |c-a| =|c-b|).  Entonces, en ]c-r,c+r[, hay un racional q.   Luego
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
\scriptstyle |q-c|&lt; r &amp;\iff &amp;\scriptstyle  c-r &lt; q &lt; c+ r \\
&amp;\iff &amp; \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2} &lt; q &lt; \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\\ &amp;\iff&amp; \scriptstyle a &lt; q &lt; b.
\end{array}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

== Los Reales Extendidos ==

Los lectores seguramente habrán encontrado, anteriormente, los símbolos ±∞ de manera informal. Algunas veces, especialmente calculando límites en infinito,
podía ser conveniente tratar a ±∞ como “números”. Mostraremos en esta sección
como formalmente hacer lo anterior, mediante la introducción de los Reales
Extendidos. Se trata de un conjunto denotado por &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;#&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y que  estará formado por
todos los reales (ordinarios) y los símbolos +∞ y −∞. Para nosotros, los Reales
Extendidos nos servirán para ilustrar nociones métricas y topológicas que veremos
más adelante. A continuación, extenderemos (aunque sea parcialmente) las
operaciones de R y el orden de R, a &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;#&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;center&gt;
&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;#&lt;/sup&gt; := R ∪ {+∞,-∞}.&lt;/b&gt;
&lt;/center&gt;

=== Extensión de las Operaciones ===
Suponemos válidas para &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;#&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; la asociatividad y la conmutatividad de la suma y la multiplicación. Igualmente, la distributividad de la multiplicación. Supondremos,
además, lo siguiente: para cada número real a se cumple:
&lt;center&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
| +∞ ± a = +∞  || +∞∗ a = +∞, a &gt; 0
|-
| -∞ ± a = −∞ || +∞∗ a = +∞, a &lt; 0
|-
|       || −∞∗ a = −∞, a &gt; 0
|-
|    || −∞∗ a = +∞, a &lt; 0
|-
| +∞+∞ = +∞  || +∞∗ +∞ = +∞
|-
|  −∞−∞ = −∞  ||−∞∗ −∞ = +∞
|}
&lt;/center&gt;
Además,  &lt;b&gt; −∞ &lt; a &lt; +∞. &lt;/b&gt;
El resto de las combinaciones psobles queda indefinido.

Definiremos también que |+∞| = |-∞| = +∞; y, agregaremos el siguiente convenio
&lt;center&gt;
sup(∅) := +-∞,      ınf(∅) = +∞.
&lt;/center&gt;

Cualquier subconjunto no vacío de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;#&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tiene como cota superior a +∞; además
cuando se trate de un subconjunto no acotado en R, esa sera su única cota
superior, es decir que será su supremo. Análogas observaciones para −∞.
Cuando A sea vacío, su supremo será −∞ (Notemos que cuando A es vacío,
para todo real a se cumple que x ∈ A =⇒ x &amp;le; a (Un condicional es siempre
válido cuando su antecedente es falso). Análogamente,ınf(∅) = +∞. Sigue de lo
anterior, que cualquier subconjunto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;#&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tiene supremo e ínfimo.

&lt;b&gt;Proposición 2.6.1.&lt;/b&gt; &lt;i&gt;
Sean A y B subconjuntos no vacíos de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;#&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tales que A &amp;subset; B. Entonces
&lt;center&gt;
ınf(B) ≤ inf(A) ≤ sup(A) ≤ sup(B).
&lt;/center&gt;&lt;/i&gt;
&lt;i&gt;

&lt;ul&gt;Demostración.&lt;/i&gt; Ejercicio.
&lt;/ul&gt;&lt;hr&gt;


=== Ejercicios 2.6. ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Probar la proposición 2.6.1.
&lt;li&gt; Hallar en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;#&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; el conjunto solución de
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; |x| &lt; 5.
&lt;li&gt; |x| &gt; 5.
&lt;li&gt; |x| &lt; +∞.
&lt;li&gt; |x| &gt; +∞.
&lt;/ol&gt;
&lt;/ol&gt;

==  Ejercicios del Capítulo 2 ==

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sea α un número real cualquiera y sea A =]-∞, α[= {x ∈  &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; : x &lt; α}.
Probar que
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
a) Si x está en A y y &lt; x entonces y está en A. &lt;br&gt;
b) El conjunto A no es ni vacío ni igual a &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. &lt;br&gt;
c) Si x está en A hay un y en A que es mayor que x.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Hallar sup(A) e ínf(A) para cada uno de los siguientes conjuntos.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; A = {x ∈ R : x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; - 4x &lt; 21}. &lt;br&gt;
&lt;li&gt; A = {x ∈ R : x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &lt; 5}. &lt;br&gt;
&lt;li&gt; A = {x ∈ R : x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &gt; 11}. &lt;br&gt;
&lt;li&gt; A = {2 + 1/n : n ∈ N}.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea A ⊂ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. s es un supremo de A, ssi, s es una cota superior de A y para
todo ε &gt; 0 hay x en A tal que x &gt; s - ε.

&lt;li&gt; Sea A ⊂ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. m es un ínfimo de A, ssi, s es una cota inferior de A y para
todo ε &gt; 0 hay x en A tal que x − ε &lt; m.


&lt;li&gt; Investigar la validez de los siguientes enunciados.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Para todo número real x &gt; 0 hay un número irracional y tal que 0 &lt;
y &lt; x. &lt;br&gt;
&lt;li&gt; Para todo número real x &gt; 0 hay un número irracional y tal que y &lt; x.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea A un conjunto no vacío acotado superiormente de los Reales. ¿Cuáles
de los conjuntos siguientes son acotados superiormente? En caso afirmativo,
cuál es la relación entre su supremo y el supremo de A.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; 5A = {5a : a ∈ A}.
&lt;li&gt; A + b = {a + b : a ∈ A}, b número real cualquiera. &lt;br&gt;
&lt;li&gt; A&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = {a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; : a ∈ A}.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sean A y B subconjuntos acotados superiormente de los Reales. ¿Cuáles
de los conjuntos siguientes son acotados superiormente. En caso afirmativo,
cuál es la relación entre su supremo y los supremos de A y de B. Repetir
para los ínfimos.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; A ∗ B = {ab : a ∈ A, b ∈ B}. &lt;br&gt;
&lt;li&gt; −A = {-a : a ∈ A}. &lt;br&gt;
&lt;li&gt; A ∪ B. &lt;br&gt;
&lt;li&gt; A ∩ B.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea f : [0, 1] &amp;rarr; [a, b], a &lt; b, tal que f(t) = (b − a)t + a. Probar que
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; f es biyectiva con imagen [a, b]. &lt;br&gt;
&lt;li&gt; La restricción de f a ]0, 1[ tiene como imagen a ]a, b[.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; (Biyecciones entre intervalos reales)
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Probar que si A = [a, b] y B = [c, d], a &lt; b y c &lt; d, hay una función
biyectiva de A en B. Además, dicha función se puede escoger de modo
que preserve el orden (s, t ⇒ f(s) &lt; f(t)). &lt;br&gt;

&lt;li&gt;(♠) Sea f : &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; → &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que f(t) = arctan(t). Probar que f es
biyectiva con imagen ]-π/2, π/2[.a) 5A = {5a : a ∈ A}.
&lt;/ol&gt;

&lt;/ol&gt;

== Referencias ==
[[Categoría:Espacios Métricos]]
 

&lt;!-- 24 Septiembre, 2016 --&gt;
&lt;!--  Final 7 de noviembre de 2016 ---&gt;

&lt;!-- 23 de marzo de 2018 --&gt;</text>
      <sha1>qur3t95j9s1093e74vi3f4t3tqtvo7j</sha1>
    </revision>
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    <title>Matemáticas/Espacios Métricos/Espacios Normados</title>
    <ns>0</ns>
    <id>53638</id>
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      <parentid>423075</parentid>
      <timestamp>2026-07-26T15:59:00Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
      <origin>428916</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="42322" sha1="d3y5h4ebm400q3rd1u4u008gdmayt47" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
&lt;!-- LOS ESPACIOS NORMADOS --&gt;
&lt;noinclude&gt;
{{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos
|actual=Espacios Normados
|anterior=Números Reales
|siguiente=Espacios Métricos
}}
&lt;/noinclude&gt;
=== Capítulo 3 LOS Espacios Normados ===
(Libro = Matemáticas Univeritarias/Espacios Métricos)


En este capítulo presentamos varios ejemplos de espacios provistos de una noción de distancia. Uno de los ejemplos más importantes es toda una familia de espacios que nos acompañará a lo largo de este texto: los espacios Euclídeos n--dimensionales, &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;. Además de la métrica o distancia euclídea tradicional, veremos que hay otras posibles distancias en esos conjunto.

Usaremos la noción de norma (generalización del valor absoluto de los Reales) para definir la noción abstracta de espacios normados, que incluirán como ejemplos a los &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, y a algunos espacios de funciones. La distancia en esos espacios está definida en total analogía a la distancia en los Reales a partir del valor absoluto.

Nuestro principal interés reside en los espacios vectoriales $\Rn$ con  la norma euclídea, pero también exploraremos otros espacios, especialmente algunos espacios de funciones.
== Los Espacios &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; ==

Los espacios &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; aparecen inicialmente en los cursos de Cálculo Vectorial (o de varias variables) y en los cursos de Álgebra Lineal.

El conjunto &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; está formado por todas las n--uplas ordenadas de números reales, a las que, usualmente representaremos como (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;), o simplemente por (x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), o &lt;math&gt;(x_i)_{1 \le i \le n}&lt;/math&gt; cuando necesitemos especificar el valor de n.

Cuando x = (x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), los números que aparecen en la n--upla se llaman las &lt;i&gt;coordenadas&lt;/i&gt; de x, recibiendo los nombres de primera, segunda, ... , i--ésima, ...  , n--ésima coordenada para x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; respectivamente.

El caso más simple es &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;,  que identificaremos con los Reales. Por su parte, &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; se puede identificar con el plano cartesiano usual; etc.


::&lt;i&gt;La regla de oro en el trabajo con los espacios  &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es considerar el caso n = 2. Si uno entiende lo que pasa en ese caso, resultará, a menudo, fácil de entender el caso general&lt;/i&gt;.

[[File:Vector del Plano.jpg|center|Ilustración de un vector del plano|150px]]
&lt;center&gt;Vector de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;&lt;/center&gt;
&lt;br /&gt;
Observemos, de partida, que las n--uplas presentan una doble personalidad: puntos y vectores. Consideremos el caso de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;; allí un par ordenado representa,

por una parte, a un &lt;i&gt;punto&lt;/i&gt; del plano y, por la otra, a la punta de una flecha que comienza en el origen, en cuyo caso hablamos de &lt;i&gt;vector&lt;/i&gt;. Los vectores a diferencias de los puntos tiene largos asociados (el largo de la flecha). Normalmente, hablamos de puntos cuando se trata de nociones geométricas, mientras que hablamos de vectores para consideraciones algebraicas. En consecuencia, en este texto la mayoría del tiempo hablaremos de puntos.
=== La Estructura de Espacio Vectorial ===

Podemos proveer a los conjuntos  &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; con dos operaciones algebraicas: la suma de vectores y la multiplicación por un &lt;i&gt;escalar&lt;/i&gt; (en este contexto, se llama &lt;i&gt;escalares&lt;/i&gt; a los números reales). Las operaciones se definen como operaiones en las coordenadas.

Recordemos que cuando x=(x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), y=(y&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) son vectores de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, decimos que x=y, cuando se cumple que x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;=y&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, para todo i=1, ... , n.

Sean x=(x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), y=(y&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) dos vectores de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, &lt;i&gt;a&lt;/i&gt; un
escalar.

&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
x + y &amp;\ := \ &amp;(x_i+y_i) = (x_1+y_1,x_2+y_2, ... , x_n+y_n) \\ ax &amp;\ := \ &amp;  (ax_i) =
(ax_1, ax_2, ... , ax_n).
\end{array}
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 3.1.1. &lt;/b&gt;En &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tenemos que:

&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; (3,-2,0,1) + (4,3,-2,5) = (7,1,-2,6).
&lt;li&gt; 4(3,-2,0,1) = (12,-8,0,4).
&lt;/ul&gt;

&lt;b&gt;Propiedades Básicas de la Suma. &lt;/b&gt; La suma es asociativa, conmutativa,
tiene neutro al vector nulo o cero u origen (el vector cuyas coordenadas son
todas cero), y para cada vector &lt;i&gt;x = (x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;)&lt;/i&gt; hay un opuesto aditivo, &lt;i&gt;-x=(-x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;)&lt;/i&gt; tal que x + (-x) =0.

&lt;b&gt;Propiedades básicas de la multiplicación por escalar. &lt;/b&gt; Sean x, y
vectores, a y b escalares. Se cumple que:

&lt;ol type= &quot;i &quot;&gt;
&lt;li&gt; (a+b)x = ax +bx.
&lt;li&gt; (ab)x = a(bx)
&lt;li&gt; 1x = x.
&lt;li&gt; a(x+y) = ax + ay.
&lt;/ol&gt;

Las propiedades son fáciles de recordar y de aplicar, ya que semejan a  las
propiedades usuales de la suma y la multiplicación. En los ejercicios, al final de la
sección, se pide probar formalmente dichas propiedades. Para ilustrar como
proceder, probaremos la asociatividad de la suma de vectores.

Para todo x=(x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), y=(y&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) y z=(z&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;)  se cumple que (x + y) + z = x + (y + z).

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; (Idea: Evaluar ambos lados y comparar)
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
(x+y)+z &amp;= ((x_i)+ (y_i)) + (z_i) = (x_i+y_i) + (z_i) = ((x_i+y_i)+z_i) \\
x+y)+z &amp;= (x_i)+ ((y_i) + (z_i)) = (x_i)  + (y_i + z_i) = (x_i+(y_i+z_i)) .
\end{array}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Por la asociatividad de la suma de los números reales, los dos vectores al final de las líneas son iguales—ya que tienen iguales coordenadas, lo que prueba que los vectores al comienzo de las líneas son iguales. Lo que concluye la prueba de la
asociatividad de la suma
&lt;/ul&gt;&lt;hr&gt;

Las propiedades indicadas de suma y multiplicación en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; se abstraen en la siguiente
definición.

{{DefRht|Espacio Vectoriales| Llamamos &lt;b&gt;espacio vectorial&lt;/b&gt;
a un trio &lt;math&gt;\scriptstyle&lt;E,+,\cdot&gt;&lt;/math&gt; donde E es un conjunto, + es una suma en E, y &lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt; es una multiplicación por escalares, tales que satisfacen las propiedades básicas de la suma y de la multiplicación por escalar dadas más arriba.
}}

&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Los espacios &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; con las operaciones definidas arriba son  espacios  vectoriales.

&lt;li&gt; Sea &lt;math&gt;\scriptstyle M_{m \times n}(\R)&lt;/math&gt; el conjunto de todas las matrices de tamaño m x n  con entradas números reales. La suma de matrices junto con la multiplicación por constante (escalar) proveen a dicho conjunto con una
estructura de espacio  vectorial. Poniendo las filas una tras otra, vemos que
podemos considerar a &lt;math&gt;\scriptstyle M_{m \times n}(\R)&lt;/math&gt; como &lt;math&gt;\scriptstyle\R^{mn}.&lt;/math&gt;

Cuando m = n (matrices cuadradas) hay definida, además, una multiplicación
que es distributiva respecto a la suma; por lo que hablamos de una &lt;i&gt;álgebra&lt;/i&gt; de las matrices. (álgebra = espacio vectorial + multiplicación distributiva)
&lt;/ul&gt;

El Álgebra Lineal es el área de las matemáticas que estudia a los espacios
vectoriales. En este texto, necesitaremos solamente algunas propiedades
elementales que recordaremos oportunamente, aunque es recomendable tener un
texto de Álgebra Lineal a mano, para consultas.

{{DefRht|Subespacio vectorial| Sea E un espacio vectorial. Un
subconjunto no vacío H de E determina un &lt;b&gt;subespacio&lt;/b&gt; de E
cuando con las operaciones restringidas a H tiene una estructura de espacio
vectorial. Tal evento pasa cuando H es cerrado respecto a la suma (suma
de vectores en H están en H) y a los múltiplos por escalares ( producto de
cualquier escalar por elementos de H) están en H. Notación: H &lt; E.
}}


&lt;b&gt;Ejemplo 3.1.2. &lt;/b&gt;
Sea E = &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y H = {(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;) : x&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; = 2x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; }.
Probar que H  es un subespacio vectorial de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

Resolución.   El subconjunto H no es vacío porque (0,0,0) es claramente un
elemento de H. Sean x = (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;) y y=(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)  elementos de
H, o sea que x&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; =2x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+3x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, y y&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=2y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+3y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.
Entonces, x + y = (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; +y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; + y&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;) y
x&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; + y&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;  = 2x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+3x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + 2y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+3y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; =  2(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) + 3(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;), lo que
prueba que x + y está en H.  Análogamente, como ax&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; = a(2x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+3x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) =
2(ax&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)+3(ax&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;), tenemos que ax está en H. Conclusión: H &lt; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.  
&lt;hr&gt;

Ejemplo
Trabajaremos en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.  Sean e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; := (1,0,0), e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;:=(0,1,0) y
e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;:=(0,0,1).  Sea x=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;) un vector cualquiera de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;,
entonces,
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
 x\ &amp;=&amp;\  (x_1,x_2, x_3) = (x_1,0,0) + (0,x_2,0) + (0,0,x_3)\\
   &amp;=&amp;\  x_1(1,0,0)  + x_2(0,1,0) + x_3(0,0,1) \\
   &amp;=&amp;\  x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3.
\end{array}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

El resultado del cómputo anterior se expresa diciendo que cualquier vector de
&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es una &lt;i&gt;combinación lineal&lt;/i&gt; de e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;.
&lt;hr&gt;

El ejemplo anterior se generaliza de la siguiente manera.

&lt;b&gt;Combinaciones lineales, Bases.&lt;/b&gt; Sea E un espacio vectorial cualquiera. Sea {f&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, f&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , f_k} una familia finita de vectores. 
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Decimos que un vector x de E es una &lt;b&gt;combinación lineal&lt;/b&gt; de  los
    f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'s, cuando hay escalares a&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, con  1 &amp;le; i &amp;le;  k, tales que:
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
x = \sum_{i=1}^k a_k f_k = a_1f_1 + \dots + a_k f_k.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

&lt;li&gt; Decimos que la familia f&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , f_k es una &lt;b&gt;base&lt;/b&gt; del espacio
    E, ssi, cada vector del espacio puede representarse como una combinación
    lineal de los f_k's, de una &lt;i&gt;única&lt;/i&gt; manera.
&lt;/ul&gt;

El ejemplo anterior muestra que {e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;} es una base de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;hr&gt;
&lt;b&gt;Resultados del Álgebra Lineal&lt;/b&gt;

&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Cada espacio vectorial tiene una base.

&lt;li&gt; Dos bases de un mismo espacio tienen igual cantidad de elementos. Dicha
    cantidad se llama la &lt;b&gt;dimensión&lt;/b&gt; del espacio.

&lt;li&gt; Los espacios &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tienen a los vectores e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , e&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;,
...  e&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; como una base, donde e&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; es un vector cuyas coordenadas son todas nulas, excepto la i--ésima que es 1.  Luego, la dimensión de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es n.

&lt;li&gt; Nuestro interés principal reside en los espacios vectoriales &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, que son el modelo de todos los espacios cuya dimensión es finita. Hay, sin embargo, espacios vectoriales que no tienen dimensión finita, por lo que decimos que tiene dimensión infinita. Más adelante encontraremos ejemplos de tales espacios.
&lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Transformaciones Lineales. &lt;/b&gt; Una transformación lineal de un espacio vectorial
E en un espacio vectorial F es una función L : E → F tal que
&lt;center&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;(i) L(x + y) = L(x) + L(y)
&lt;li&gt;(ii) L(αx) = αL(x), 
&lt;/ul&gt;&lt;/center&gt;
para todo x, y en E, y escalares α, β.

Cuando una transformación lineal es biyectiva como función, se verifica que su inversa es lineal. En tal situacíón, llamamos &lt;b&gt;isomorfismo lineal&lt;/b&gt; a la transformación.

&lt;b&gt;Resultados del Álgebra Lineal&lt;/b&gt;

&lt;ul&gt;

&lt;li&gt; 	La imagen por una transformación lineal de un subespacio es un subespacio,

&lt;li&gt;	La preimagen por una transformación lineal de un subespacio es un subespacio.

&lt;li&gt;	La preimagen de {0} se llama el núcleo de la transformación. Notación:

ker(L).

&lt;li&gt;	La composición de transformaciones lineales es una transformación lineal .

&lt;li&gt;	La imagen por un isomorfismo de la base de un espacio es una base de la imagen del espacio.

&lt;li&gt; Cualquier espacio de dimensión n es isomórfico a &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
&lt;/ul&gt;

&lt;b&gt;Teorema 3.1.1 (Teorema Fundamental del Álgebra Lineal). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea L : E → F
lineal. Entonces,
&lt;center&gt; dim(ker(L)) + dim(L(E)) = dim(E). &lt;/center&gt;
&lt;/i&gt;

&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 3.1. ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Probar las propiedades básicas de la suma de vectores en
&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;

&lt;li&gt; Probar las propiedades básicas de la multiplicación por escalar en
&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;li&gt; Sea H = {(x,y) &amp;isin; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : y=x}. Probar que H es un
subespacio de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;li&gt; Sea E un espacio vectorial cualquiera. Usar las propiedades básicas de
    espacio vectorial para probar los enunciados siguientes.
    &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt;  Si x + x = x entonces x = 0 (vector nulo).
    &lt;li&gt;  Si a = 0 entonces ax = 0.
    &lt;li&gt;  Si ax = 0 entonces a = 0 o x = 0.
    &lt;li&gt; Si x + y = 0 entonces y = -x.
    &lt;li&gt; a(-x) = -ax.
    &lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Probar que los e&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'s forman una base de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.


&lt;li&gt; Sean f&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = (1, 1, 0), f&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = (1, 0, 1) y f&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; = (0, 1, 1). Sea v = (−1, 6, 1).
Hallar escalares t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, t&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; tales que v = t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;f&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;f&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + t&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;f&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;.


&lt;li&gt; Probar que L : &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;&lt;sub&gt;{s,t}&lt;/sub&gt; → &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tal que L(s, t) = (3s−2t, 2s+t, 5s−t) es una transformación lineal.

&lt;li&gt; La imagen de una combinación lineal por una transformación lineal es una
combinación lineal.
&lt;/ol&gt;

==  Los Espacios Euclídeos ==
Los espacios euclídeos son las generalizaciones n–dimensionales del plano y
Del espacio tridimensional de la Geometría Clásica. Las nociones principales son:
norma, distancia y producto interior.
=== La Norma Euclídea ===

[[File:Largo de un Vector (Pitágoras).jpg|thumb|Usando el teorema de Pitágoras para computar largo]]
Consideremos el plano &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y un vector v = (a,b) del plano.
Mirando a la figura, vemos que podemos computar el &quot;largo&quot; de la flecha
usando el teorema clásico de Pitágoras. Así, obtendremos que
&lt;center&gt; Largo(v) = &lt;math&gt;  \sqrt{a^2 + b^2}. &lt;/math&gt; &lt;/center&gt;

Inspirados en la relación anterior definiremos &quot;largo&quot; para vectores en
&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
&lt;!-- \label{defNormEucl} --&gt;

&lt;div style=&quot;background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;&quot; class=&quot;theorem&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;&quot;&gt;Definición. (Norma de un Vector)&lt;/span&gt; Sea x=(x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) un vector de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. 
Llamamos &lt;b&gt;norma&lt;/b&gt; de x o &lt;b&gt;largo&lt;/b&gt; del vector x al número real denotado por &lt;math&gt; ||x||&lt;/math&gt; y definido como
{{eqn|&lt;math&gt;
||x||\ :=\ \sqrt{x_1^2 + ...  + x_i^2 + ...  +x_n^2}.&lt;/math&gt;}}&lt;/div&gt; 

Claramente, la definición es una generalización de lo que obtuvimos para
&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Notemos, además, que si aplicamos la definición con
n=1, o sea a los Reales, obtenemos que
&lt;center&gt;&lt;math&gt; ||a||\ =\ \sqrt{a^2}\ =\ |a|.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Es decir que podemos considerar a la norma como una generalización del valor absoluto
usual. Dicha consideración se ve reforzada por las siguientes propiedades, que se
cumplen para todo vector x y escalar a:

&lt;b&gt;Proposición 3.2.1. (Propiedades de la Norma) &lt;/b&gt;&lt;i&gt;

:N1. &lt;math&gt; ||x||\ \ge\ 0&lt;/math&gt;, para todo vector x.
:N2. &lt;math&gt;||x||\ =\ 0 &lt;/math&gt;, ssi, x=0.
:N3. &lt;math&gt;||ax||\ =\ |a|\,  ||x||&lt;/math&gt;.

:N4. &lt;math&gt; ||x+y|| \le ||x|| +||y|| &lt;/math&gt;.
&lt;/i&gt;
Las propiedades siguen de forma inmediata de la definición. Por ejemplo para N3
tenemos que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
||ax||\ 
&amp;=&amp;  \sqrt{(ax_1)^2 + (ax_2)^2 + ...  + (ax_n)^2} \\
&amp;=&amp; \sqrt{a^2 x_1^2 + a^2x_2^2 + ...  + a^2x_n^2} \\
&amp;=&amp; \sqrt{a^2( x_1^2 + x_2^2 + ...  + x_n^2)} \\
&amp;=&amp; |a|\, \sqrt{ x_1^2 + x_2^2 + ...  + x_n^2}\\
&amp;=&amp; |a|\,  ||x||.
\end{array}
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Para completar el parecido con el valor absoluto necesitamos que se cumpla la
desigualdad en N4 
&lt;math&gt;  ||x+y||\ \le\  ||x|| + ||y||&lt;/math&gt;, llamada &lt;i&gt;desigualdad de Minkowski&lt;/i&gt;.

Verificaremos que esa desigualdad es válida. Una demostración usará la noción de producto interior que veremos en la próxima sección.

==== El Producto Interior ====

Introduciremos la noción de &lt;i&gt;producto interior&lt;/i&gt; que nos ayudará a desarrollar
una variedad de  cosas interesantes.

{{DefRht|Producto Interior| Sea E un espacio vectorial. Un producto interior en E es una función  &lt;math&gt;E \times E \rightarrow \R&lt;/math&gt; que envía el par (x,y) en el número real simbolizado por  &lt;math&gt; &lt;x|y&gt;,&lt;/math&gt; que es  bilineal, simétrica y positivamente definida.  Es decir que
:PI1. &lt;math&gt; &lt;x+x'| y&gt;\ =\ &lt;x| y&gt;  + &lt;x'| y&gt;.&lt;/math&gt;
:PI2. &lt;math&gt;&lt;ax | y&gt;\  =\ a&lt;x|y&gt; .&lt;/math&gt;
:PI3. &lt;math&gt;&lt;y|x&gt;\ =\ &lt;x|y&gt;. &lt;/math&gt;    (Simetría)
:PI4. &lt;math&gt;&lt;x|x&gt;\ &gt;\ 0&lt;/math&gt;, cuando &lt;math&gt;x \neq 0.&lt;/math&gt;  (Definición positiva)
}}

Las condiciones PI1 y PI2 especifican la linealidad en el primer argumento; por la simetría se tiene la linealidad en la segunda variable; de donde lo bilineal.

=== Producto Interior Canónico ===
Es posible definir  varios productos interiores para  &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, sin embargo para nuestos propósitos bastará con aquel llamado &lt;i&gt;producto interior canónico&lt;/i&gt; que definiremos a continuación. Además,  en los cursos de Álgebra Lineal se prueba que todos los productos interiores son, en un cierto sentido, equivalentes a dicho producto interior.

{{Caja|&lt;math&gt; x \cdot y := \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1y_1 + ...  + x_n y_n.&lt;/math&gt;}}
 
(Tradicionalmente, se usa &lt;math&gt; x \cdot y&lt;/math&gt; en vez de &lt;math&gt; &lt;x|y&gt;&lt;/math&gt; para el producto interior canónico, por lo que algunas veces se le llama también el &quot;producto punto&quot;.)

Notemos inmediatamente que &lt;math&gt;x \cdot x  = x_{1}^2 + \dots  + x_n^2&lt;/math&gt; coincide con el cuadrado de la norma de x definida arriba.

Para probar la desigualdad de Minkowski, desarrollaremos algunos resultados
previos.

&lt;b&gt; 3.2.2 (Cuadrado del Binomio). &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sean x, y vectores de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;,
&lt;center&gt;&lt;math&gt;||x+y||^2\ =\ ||x||^2 + 2x \cdot y + ||y||^2.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
&lt;/i&gt;&lt;br&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;  
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\begin{array}[t]{rcl}
(x+y)y\cdot(x+y) &amp;=&amp; x \cdot (x+y) + y\cdot(x+y)\\
&amp;\ =\ &amp; x\cdot x + x  \cdot y + y \cdot x + y \cdot y \\
&amp;\ =\ &amp; ||x||^2 + 2 x \cdot y + ||y||^2.
\end{array}&lt;/math&gt; {{QED}} &lt;/center&gt;

&lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 3.2.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; El producto interior puede expresase en términos de los largos.

&lt;center&gt;&lt;math&gt;x \cdot y = \frac{1}{2}(||x + y||^2 -||x||^2  - ||y||^2).
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

&lt;/i&gt;

&lt;b&gt;Proposición 3.3.4  (Desigualdad de Cauchy—Schwarz).&lt;/b&gt; &lt;i&gt;
Sean x, y vectores de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
&lt;center&gt;&lt;math&gt; |x\cdot y|\ \le\  ||x|| \, ||y||.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
Sea  w = tx + y, t un número real. Usando el tenemos que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;||tx+y||^2 = t^2||x||^2 + 2t\, x\cdot y +  ||y||^2.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Observemos que la expresión de la derecha se puede considerar como una expresión cuadrática en t. Como las normas nunca son negativas, tal expresión cuadrática nunca es negativa, lo que implica que su discriminante nunca es positivo, es decir que
&lt;center&gt;&lt;math&gt; (2x\cdot  y) - 4 ||x||^2 \, ||y||^2\ \le\  0.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
de donde, &lt;math&gt; 4 (x\cdot y)^2\ \le\  4 ||x||^2 \, ||y||^2&lt;/math&gt;.

Dividiendo por 4 y tomando raíz cuadrada en ambos lados de la desigualdad, obtenemos el resultado deseado.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;


&lt;b&gt;Proposición 3.2.5 (Desigualdad de Minkowski). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;
Sean x, y vectores de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
&lt;center&gt;&lt;math&gt; ||x+y||\ \le\  ||x|| + ||y||.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\begin{array}{rclcl} 
||x+y||^2 &amp;\ =\ &amp;  ||x||^2 + 2 x \cdot y +  ||y||^2 &amp; &amp;  \text{ anterior} \\
 &amp; \le  &amp;   ||x||^2 + 2 ||x||\,||y|| + ||y||^2 &amp; &amp;   \text{Cauchy--Schwarz} \\
 &amp;\ =\ &amp; =  (||x|| + ||y||)^2.
 \end{array}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Tomando raíz cuadrada en ambos lados, obtenemos el resultado deseado.
&lt;/ul&gt;{{QED}}

&lt;hr&gt;

=== Norma y Distancia Euclídea ===

&lt;b&gt;Norma Euclídea.&lt;/b&gt; Llamamos norma euclídea de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; a la norma &lt;math&gt;||\cdot||&lt;/math&gt; estudiada arriba, esto es
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
||x||\ =\ \sqrt{x \cdot x} = \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


&lt;b&gt;La distancia Euclídea en  R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;

Usando la norma euclídea, podemos definir &quot;distancia&quot;&quot;  entre puntos x, y   en
total analogía a la distancia en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; , o sea   como  la norma de la diferencia entre x y y.  Es decir que la distancia euclídea entre x y y será
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
(x,y)\ =\ \sqrt{(x_1 -y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \dots  +(x_n - y_n)}.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


:&lt;math&gt;\spadesuit&lt;/math&gt; Geométricamente, la distancia de x a y es el largo de x-y, o sea  el largo del segmento que une x con y.


Usando las propiedades de norma, se verifica que la definición anterior tiene
formalmente las propiedades de la distancia en los Reales ( la demostración de lo anterior es totalmente análoga a la  proposición 2.3.3, reemplazando valor absoluto por norma).

&lt;b&gt;Propiedades de la Base Canónica.  &lt;/b&gt;&lt;br&gt;
Notemos que los vectores de la base canónica de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, {e_1, e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , e&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;}, satisfacen lo siguiente: 
&lt;ul&gt; 
&lt;li&gt; cada e&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; es un vector unitario, o sea &lt;math&gt;||e_i||\ =\ 1&lt;/math&gt;. &lt;li&gt; el producto interior entre dos vectores diferentes es 0.
&lt;/ul&gt;
Bases con esas propiedades se llaman &lt;i&gt;bases ortonormales&lt;/i&gt;.

=== Algunos nociones de la Geometría Euclídea ===

Revisaremos brevemente algunas nociones de la Geometría Euclídea. Sea E =
&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; (se prueba que cualquier espacio vectorial de dimensión n es esencialmente
(isomórfico) a &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;).

Sea L : E → F una trasformación lineal. Sea b un elemento de F, se prueba en
cursos de Álgebra Lineal que la ecuación L(x) = b tiene como conjunto solución,
cuando hay al menos una solución x&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; a un conjunto de la forma
{{eqn|x_p + ker(L).}}
La solución x&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; es una solució particular y los elementos del núcleo son las soluciones de la ecuación homogénea asociada L(x) = 0. Tales conjuntos soluciones son llamados variedades (afines).
&lt;b&gt; Variedades.&lt;/b&gt; Una &lt;b&gt;variedad lineal&lt;/b&gt; de dimensión r de E es un subconjunto V de la forma

a + H, donde H es un subespacio vectorial de E de dimensión r. Esto equivale
a decir que hay una base {v&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , v&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;} de H, tal que que cada elemento x de
V = a + H puede escribirse de la forma
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
x = a + \alpha_1v_1 + \dots + \alpha_rv_r,
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
para escalares únicos α&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , α&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;.

Cuando V = a + H decimos que H es la &lt;i&gt;dirección&lt;/i&gt; de V y a es un punto por donde pasa la variedad.

&lt;b&gt;Paralelismo,&lt;/b&gt;  Dos variedades son &lt;b&gt;paralelas&lt;/b&gt; cuando la dirección de una está contenida en la otra.

&lt;b&gt; Variedades especiales&lt;/b&gt;. Una variedad de dimensión 1 (resp.2) se llama línea (resp. plano).&lt;br&gt;
Sea L una línea, digamos que L = {x ∈ E : x = a + αv, v &amp;ne; 0,α en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; }. Entonces,
una línea M := {x ∈ E : x = b + βw,w &amp;ne; 0} es paralela a L, ssi, w es un
múltiplo escalar de v. Simbolizaremos a la línea L superior como L : a + αv.

Notemos que cuando b es un punto de L diferente de a, b = a + αv, para algún
vector no nulo v. Entonces, b−a = αv, lo que nos dice que la línea L′ : a+β(b−a)
es paralela a L y pasa por a, lo que implica que L = L′. Es decir que la única línea
que pasa por a y b es L&lt;sub&gt;a,b&lt;/sub&gt; : a + α(b − a).

Notemos que z ∈ L&lt;sub&gt;a,b&lt;/sub&gt; ⇐⇒ z = a + t(b − a), para un cierto escalar t, o sea,
ssi, z = (1 − t)a + tb.

Observemos que si ponemos x(t) = (1−t)a+tb podemos pensar la ecuación
de definición de L&lt;sub&gt;a, b&lt;/sub&gt; como especificando la trayectoria de un móvil que está al
tiempo t en x(t). Notemos que x(0) = a y x(1) = b. Por lo que a tiempos 0 &lt; t &lt; 1,
x(t) está entre a y b. El segmento que une a con b es
&lt;center&gt;{x &amp;isin; E : x = (1 - t)a + tb, 0 ≤ t ≤ 1. }&lt;/center&gt;

&lt;b&gt;Perpendicularidad.&lt;/b&gt; &lt;br&gt;
Decimos que dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando su producto interior es nulo. 
Dos variedades son ortogonales, cuando cada vector de la dirección de una es perpendicular a un vector de la dirección de la otra.

Por ejemplo, los vectores de la base canónica de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; son
mutuamente ortogonales


&lt;b&gt;Ángulo entre vectores&lt;/b&gt; &lt;br&gt;
Sigue de la desigualdad de Cauchy, ver 3.2.2. que
&lt;center&gt;
−||x|| ||y|| ≤ x · y ≤ ||x|| ||y||.
&lt;/center&gt;
De donde, cuando x y y no son nulos se tiene que
&lt;center&gt; −1 ≤ x · y ||x|| ||y|| ≤ 1. &lt;/center&gt;
Luego, podemos definir el ángulo entre el vector &lt;i&gt;x&lt;/i&gt; y el vector &lt;i&gt;y&lt;/i&gt; como
{{Caja|
&lt;math&gt; \angle(x,y) := \arccos(\frac{x \cdot y}{||x||\ ||y||}) &lt;/math&gt;
}}

Finalmente, revisemoos un resultado clásico.

&lt;b&gt;Proposición 3.2.6 (Teorema de Pítágoras). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;
Sean A, B y C los vértices de un triángulo tal que los lados B-A y C-B son  ortogonales. Entonces,
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
||C-A||^2 = ||B-A||^2 + ||C-B||^2.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
&lt;/i&gt;&lt;br /&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
Aplicando el teorema del binomio, tenemos que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
||C-A||^2 &amp;=&amp;  ||(C-B) + (B-A)||^2 \\
          &amp;=&amp;  ||C-B||^2  -2 (C-B)\cdot (B-A ) + ||B-A||^2 \\
          &amp;=&amp;  ||C-B||^2  -2 (C-B)\cdot (B-A ) + ||B-A||^2.
\end{array}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 3.2 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Hallar la distancia (en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; del punto (1, 1, 1) a (3, 4, 5).

&lt;li&gt; Mostrar que si y = tx, t escalar no nulo (o sea geométricamente, ambos son
vectores en una línea que pasa por el origen), entonces ||x+y|| = ||x||+||y||.
¿Es válido el recíproco?

&lt;li&gt; Probar que | ||a|| − ||b|| ≤ | ≤ ||a − b||.


&lt;li&gt; Probar, usando cuadrado del binomio,  que en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; se cumple que
    &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt; &lt;math&gt; 2||x||^2 + 2||y||^2\ =\ ||x+y||^2 + ||x-y||^2&lt;/math&gt; (Ley del Paralelogramo)
    &lt;li&gt;  &lt;math&gt;||x+y|| \, ||x-y||\ \le\   ||x||^2 + ||y|^2&lt;/math&gt;.
    &lt;li&gt;  &lt;math&gt; x \cdot y\ =\ \frac{1}{4}( ||x+y||^2 - ||x-y||^2.&lt;/math&gt;
    &lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea d la distancia euclídea de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Probar las siguiente afirmaciones usando
solamente las propiedades de la norma euclídea. Para todo x, y y z.&lt;br&gt;

:(D1) d(x, y) ≥ 0.

:(D2) d(x, y) = 0, ssi, x = y.

:(D3) d(y, x) = d(y, x).

:(D4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Desigualdad Triangular.

&lt;li&gt; Sean &lt;math&gt;(x_i), (y_i),  1 \le i \le n&lt;/math&gt; sucesiones finitas de números
 
    &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt;   &lt;math&gt;\sum_{i} (x_i+y_i)^2 = \sum_i x_i^2 + 2 \sum_i x_i y_i + \sum y_i^2&lt;/math&gt;.

    &lt;li&gt;   &lt;math&gt;|\sum_i x_i y_i| \le \sqrt{\sum_i x_i^2}   \sqrt{\sum_i y_i^2}&lt;/math&gt;.

    &lt;li&gt;   &lt;math&gt;\sqrt{\sum_i (x_i+y_i)^2} \le \sqrt{\sum_i x_i^2} + \sqrt{\sum_i y_i^2}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;

(Sug: Después de lo hecho en esta sección, los resultados deben ser fáciles de probar.)     &lt;/ol&gt;
     
&lt;/ol&gt;

==  Los Espacios Normados ==

Generalizaremos la noción de norma vista para &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, usando como base las
propiedades de la prroposición 3.2.1

&lt;div style=&quot;background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;&quot; class=&quot;theorem&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;&quot;&gt;Definición. (Espacio Normado)&lt;/span&gt;
Llamamos &lt;b&gt;espacio normado&lt;/b&gt; a un espacio vectorial E provisto de una función &lt;math&gt; x \mapsto ||x||&lt;/math&gt; de
E en los Reales, tal que para todo x, y vectores, a escalar, se cumple
que
:N1.  &lt;math&gt; ||x||\ \ge\ 0.&lt;/math&gt;
:N2.  &lt;math&gt;  ||x||\ =\ 0 &lt;/math&gt;, ssi, x=0.
:N3.  &lt;math&gt; ||ax||\ =\ |a| \,||x||&lt;/math&gt;.
:N4.  &lt;math&gt; ||x+y||\ \le\  ||x|| + ||y||&lt;/math&gt;.
Asociamos con cada norma, una distancia &lt;math&gt; d(x,y) := ||x-y||&lt;/math&gt;.
&lt;/div&gt; 
&lt;b&gt;Proposición 3.3.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;
Sea E un espacio normado. La distancia &lt;math&gt; d(x,y) = ||x-y||&lt;/math&gt;
tiene las siguientes propiedades, para todo x, y se cumple que:
:D1.  &lt;math&gt; d(x,y)\ \ge\ 0&lt;/math&gt;.
:D2.  &lt;math&gt; d(a,b)\ =\ 0&lt;/math&gt;, ssi, a=b.
:D3. &lt;math&gt; d(b,a)\ =\ d(a,b)&lt;/math&gt;. (Simetría)
:D4:  &lt;math&gt; d(a,b)\ \le\  d(a,c) + d(c,b)&lt;/math&gt;. (Desigualdad Triangular) &lt;/i&gt;&lt;br /&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Ejercicio. &lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;
El ejemplo básico de espacio normado es &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; con la norma euclídea. Sin embargo, como veremos más adelante  hay otros espacios normados. A continuación,
veremos otras normas posibles para &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

Es posible que, por nuestra experiencia con la geometría elemental, nos parezca
que  la  norma y la distancia euclídea son  la manera más natural de definir esas
nociones. Sin embargo, como veremos en esta sección, es posible definir otras
normas y distancias asociadas con ellas, que son diferentes del caso euclídeo,
pero que son útiles en algunas consideraciones.

=== La Norma--ciudad ===
 [[File:Norma Ciudad.jpg|thumb| La norma (no euclídea) ciudad o del taxi.|150px]]

Consideremos la situación ilustrada en la figura lateral, que Consideraremos como la representación  del plano de una ciudad.  ¿Cuál es la distancia entre el punto A y el punto B?
Computando la distancia euclídea obtenemos una posible respuesta,  que es
correcta desde el punto de vista  de la geometría euclídea; pero, si preguntáramos
cuántos bloques debo caminar para ir de A hasta B, la distancia euclídea no
sería la respuesta correcta. Una mejor respuesta consistiría en  sumar la cantidad de
bloques caminando (en la dirección horizontal del mapa) más la cantidad de
bloques caminando verticalmente. Es decir,

&lt;center&gt;&lt;math&gt; |x_1-x_2| + |y_1 - y_2|.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Inspirados en estas consideraciones, definiremos una nueva norma en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, a la que nos referiremos como norma--ciudad.

&lt;center&gt;&lt;math&gt;||x||_c := \sum_i |x_i| = |x_1| + |x_2| + ...  + |x_n|&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Es fácil probar que se cumplen las propiedades N-1 a N-4 de normas.
La desigualdad de Minkowski proviene de la desigualdad triangular del valor
absoluto.
Asociada con esa norma, tendremos una distancia
&lt;center&gt;&lt;math&gt;d_c(x,y) := ||x-y||_c = \sum_i |x_i - y_i|  = |x_1- y_1| + |x_2-y_2| + ...  +
|x_n-y_n|.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

=== La Norma--maxima ===

Pensemos en un rectángulo  y los vértices de una de sus diagonales. La distancia
euclídea es el largo de esa diagonal. La distancia--ciudad (d_c) es la suma del
largo más el ancho. Ahora introduciremos una distancia a la que solamente le
interesa cuál es es el lado más largo.  Comenzamos con la definición de una
norma, para luego pasar a  la distancia asociada.

Sean x, y vectores de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
||x||_\text{max} :=  \text{max} \{|x_i| : 1 \le   i \le   n\}.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Nuevamente, tenemos que se cumplen trivialmente las propiedades N-1 a N-3 de
normas. Para N4, tenemos que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
|x_i + y_i| \le   |x_i| + |y_i| \le   ||x||_\text{max} + ||y||_\text{max};&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
de donde obtenemos que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\max \{|x_i +y_i|\ :\ 1 \le i \le  n\} \le\   ||x||_\text{max} + ||y||_\text{max}. &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Como consecuencia, tenemos también una distancia (máxima)
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
d_\text{max}(x,y)\ :=\ \text{max}\{|x_i-y_i| : 1 \le   i \le   n\}
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;


&lt;b&gt;Notación. &lt;/b&gt; En este contexto, cuando estemos considerando varias normas o
distancias en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, denotaremos por ||*||_e a la norma
euclídea definida anteriormente, d_e será la correspondiente distancia.

&lt;b&gt;Ejemplo 3.1.3. &lt;/b&gt; Sean x = (1,2,3), y = (3,-2,4). Entonces,
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;  &lt;math&gt;\scriptstyle d_e(x,y) =  \sqrt{(1-3)^2+(2-(-2))^2 + (3-4)^1} = \sqrt{21}&lt;/math&gt;.

&lt;li&gt; &lt;math&gt;\scriptstyle d_c(x,y) = |1-3| + |2-(-2)| + |3-4| = 8&lt;/math&gt;.

&lt;li&gt; &lt;math&gt;\scriptstyle d_{\text{max}}(x,y) = \max {|1-3|, |2-(-2)|, |3-4|} = 4&lt;/math&gt;.
&lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

===  Ejercicios 3.3 ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sean x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; , ... ,.
    z&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; sucesiones finitas de números reales.  Probar que
    &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
  &lt;li&gt; &lt;math&gt; |\sum_{i=1}^n x_i y_i | \le  \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}
        \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}&lt;/math&gt;.
    &lt;li&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i + y_i)^2} \le \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} +         \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}&lt;/math&gt;
    &lt;/ol&gt;
&lt;li&gt; Sea E = &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Probar que para todo x en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; se cumple que:
:a) ||x||&lt;sub&gt;max&lt;/sub&gt; ≤ ||x||&lt;sub&gt;ciudad&lt;/sub&gt; ≤ n||x||&lt;sub&gt;max&lt;/sub&gt;.
:b) ||x||&lt;sub&gt;max&lt;/sub&gt; ≤ ||x||&lt;sub&gt;euclídea&lt;/sub&gt; ≤ √n||x||&lt;sub&gt;max&lt;/sub&gt;.
&lt;li&gt; (La distancia d&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;) Se puede verificar que la siguiente definición provee a     &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; con una norma. Sea p un entero positivo,
    &lt;center&gt;&lt;math&gt;
     ||x||_p := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \dots  + |x_n|^p}.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Verificar que cuando p=1 (resp. p=2) obtenemos la norma--ciudad (resp. norma euclídea) vista anteriormente. Los detalles (para la desigualdad de Minkowski) son eleborados, por lo que no los incluimos aquí. Ver [[Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Bibliografía|Kolmogoroff [7]]].
&lt;/ol&gt;

==  Espacios de Funciones ==

El objetivo de esta sección es mostrar que además de los
&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, hay otros espacios normados. En cursos de Cálculo y
otros previos, considerábamos funciones desde un intervalo [a,b] en los
Reales. Para tales funciones había definidas sumas, productos y multiplicación
por constantes; tales operaciones aparecían en teoremas tales como &quot;la
derivada de la suma de dos funciones es igual a ... &quot;,.

Generalizaremos esas consideraciones a funciones con valores reales, pero con
un dominio cualquiera.

Sea X un conjunto no vacío. Simbolizaremos por F(X,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt; ) al conjunto formado
por todas las funciones de X en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; .  Se definen operaciones de suma,
multiplicación y multiplicación por constantes (números reales) punto a punto. Es
decir tales que
&lt;center&gt;&lt;math&gt; \begin{matrix}
(f+g)(x) :=  f(x) + g(x)&amp; &amp;
(fg)(x) :=  f(x)g(x) &amp;&amp;
(af)(x) :=  af(x).
\end{matrix}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
F(X,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt; ) con las operaciones indicadas tiene una estructura de espacio vectorial con multiplicación (álgebra de funciones).

Una función f: X &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;  es &lt;i&gt;acotada&lt;/i&gt; cuando hay un número M
(cota) tal que para todo x en X se cumple que |f(x)| &amp;le;  M. Las funciones
constantes siempre son acotadas. Simbolizaremos por B(X,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt; ) el subconjunto
de F(X,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;) formada por las funciones acotadas. Sean f y g funciones
acotadas con cotas M_f y M_g respectivamente. Entonces, para todo x
en X se cumple que
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;  &lt;math&gt;|f(x)+g(x)| \le |f(x)| + |g(x)| \le  M_f + M_g&lt;/math&gt;, lo que
muestra que f+g es     acotada.
&lt;li&gt;  &lt;math&gt;|af(x)| = |a| |f(x)| \le  aM_f&lt;/math&gt;, lo que prueba que af es acotada.
&lt;/ul&gt;
Los resultados anteriores implican que B(X,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;) es un espacio vectorial,
subespacio de F(X,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;).

Una propiedad fundamental de los Reales es que cada conjunto no vacío acotado
superiormente tiene un supremo (= cota superior estricta o menor cota
superior). Definiremos, para f en B(X,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;),
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
||f|| := \sup\{|f(x)| : x \in X \}.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

&lt;b&gt;Proposición 3.4.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;  
La función &lt;math&gt; f \mapsto ||f||&lt;/math&gt; es una norma en B(X,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;).
&lt;/i&gt;&lt;br /&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;  
Sean f y g funciones en B(X,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;).

(N1)Como tomamos supremos de un conjunto de números no negativos, dicho supremo nunca negativo, por lo que se cumple N-1, ||f|| &amp;ge; 0. &lt;br&gt;

(N2)Si ||f||= 0, quiere decir que todos los |f(x)| son nulos, es decir que f(x) \equiv 0. o sea que f=0. La otra mitad de N-2, es trivial.&lt;br&gt;

(N3) |af(x)| = |a|   |f(x)| &amp;le;   |a|  ||f(x)|| y |a|  |f(x) = |af(x)| &amp;le;  ||af|| implican que ||af|| = |a|   ||f(x)||. &lt;br&gt;

(N4) |f(x) + g(x)| &amp;le;  |f(x)|+ |g(x)| &amp;le;   ||f|| + ||g||, luego ||f+g||  &amp;le;   ||f|| + ||g||.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Sucesiones. &lt;/b&gt;  Una sucesión (de números reales) es  una familia
de números reales con conjunto de índices igual a los Naturales. Una
sucesión es, por lo tanto, una función de &lt;b&gt;N&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que tradicionalmente, escribimos &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; en lugar de s(n). Luego, el conjunto
de todas las sucesiones de números reales  es  F(&lt;b&gt;N&lt;/b&gt;,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;). 

&lt;center&gt;&lt;math&gt; (s_n) = (s_0, s_1, ... , s_n , ... ). &lt;/math&gt;&lt;/center&gt; sigue de lo anterior que las sucesiones acotadas determinan un subespacio que es un espacio normado para la norma ||(s_n)|| := sup{|s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;|:n \in &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;}.

Se puede verificar qu el espacio de las sucesiones no tiene una base finita., por
lo que es un espacio de dimensión infinita.
=== Ejercicios 3.4 ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Verificar que F(X,&lt;b&gt;R&lt;/b&gt; ) es un espacio vectorial con una multiplicación
    distributiva con respecto a la suma.

&lt;li&gt; Hallar la norma de las siguientes funciones en F([0,1],&lt;b&gt;R&lt;/b&gt; ).
    &lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt;    &lt;math&gt; f(t) = t^2-t&lt;/math&gt;
    &lt;li&gt;   &lt;math&gt; g(t) = \sin(2\pi t)  &lt;/math&gt;
    &lt;li&gt;   &lt;math&gt; h(t) = t - 2t^2&lt;/math&gt;.
    &lt;/ol&gt;   

&lt;li&gt; Sea X = &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, ¿cuáles de las siguientes funciones son acotadas sobre
    X? En caso afirmativo, ¿cuál es su norma?

    &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt; &lt;math&gt; f(t) = \dfrac{t}{1+t^2}&lt;/math&gt;.
    &lt;li&gt; &lt;math&gt;  f(t) = e^t .&lt;/math&gt;
    &lt;li&gt; &lt;math&gt;
   f(t) =\arctan(t).&lt;/math&gt;
    &lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Hallar la norma de las siguientes sucesiones, cuando sean acotadas.

     &lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;

&lt;li&gt; 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ....
&lt;li&gt; 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ....

&lt;li&gt;  1, 2, 4, 8, 16, ....
&lt;li&gt; 0.9, 0.99, 0.999, ...

&lt;/ol&gt;
&lt;/ol&gt;

==  Los Números  Complejos ==

Los números complejos son expresiones de la forma &lt;math&gt;a + bi&lt;/math&gt; donde &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; son reales, el número &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; es tal que  &lt;math&gt;i^2 = -1&lt;/math&gt;  (la unidad imaginaria).  La correspondencia &lt;math&gt;a+bi \rightleftarrows  (a,b)&lt;/math&gt; permite identificar al conjunto de los complejos, &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;, con &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;, lo que será útil para muchas consideraciones acerca de los complejos.

Hay definidas operaciones de suma y multiplicación en &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; que lo proveen con una estructura de cuerpo; pero tal cuerpo no es ordenado, ya que hay cuadrados de complejos que son negativos.

Se define una valor absoluto en los complejos, también llamado \textit{módulo} en este contexto, por
&lt;center&gt; &lt;math&gt;
|a + bi|_{\mathbb{C}} := \sqrt{a^2 + b^2}.
&lt;/math&gt; &lt;/center&gt;
Notemos que usando la identificación anteriormente mencionada, dicho valor absoluto coincide con la norma euclídea en &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;.

Hay toda una teoría de espacios vectoriales  con escalares complejos cuyos prototipos de dimensión finita son los espacios &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-uplas de números complejos.  Dichos espacios pueden identificarse de manera natural con &lt;math&gt;\mathbb{R}^{2n}&lt;/math&gt; 
{{eqn|&lt;math&gt;(a_1+b_1i, \dots, a_j + b_ji, \dots, a_n + b_ni) \rightleftarrows (a_1, b_1, \dots, a_j,b_j, \dots, a_n,b_n).&lt;/math&gt;}}
Cada número complejo &lt;math&gt;z = a+bi&lt;/math&gt;, tiene asociado un conjugado, &lt;math&gt;\overline{z} = a - bi&lt;/math&gt;.

Se cumple, para todo par de complejos  &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; que
&lt;ul&gt;
:a)\ &lt;math&gt;\overline{z+w}  = \overline{z} + \overline{w}, &lt;/math&gt;
:b)\ &lt;math&gt; \overline{zw} = \overline{z} \, \overline{w}, &lt;/math&gt;
:c)\ &lt;math&gt; z \overline{z} = |z|_{\mathbb{C}}. &lt;/math&gt;
&lt;/ul&gt;

Notemos que cuando &lt;math&gt;z = a + bi&lt;/math&gt; es real, o sea cuando &lt;math&gt;b=0&lt;/math&gt;, se cumple que &lt;math&gt;|z|_{\mathbb{C}}= |a|&lt;/math&gt;, por lo que se puede eliminar el subíndice &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;, sin problemas.

Hay un producto &quot;interior&quot; definido en &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt;  llamado &lt;b&gt;producto hermitiano&lt;/b&gt;,
{{eqn|&lt;math&gt;
\langle{z|w}\rangle := z_1\overline{w_1} + \dots + z_n \overline{w_n}&lt;/math&gt;}}
cuyos valores son números complejos y tiene propiedades básicas análogas al producto interior de los espacios reales, excepto que
{{eqn|&lt;math&gt;\langle{w|z}\rangle = \overline{\langle{z|w}\rangle}.&lt;/math&gt;}}

Cada &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n \ge 1&lt;/math&gt;, es un espacio normado con norma &lt;math&gt;||x|| := \langle{z | z}\rangle&lt;/math&gt;.
Cuando identificamos &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;\R^{2n}&lt;/math&gt; dicha norma coincide con la norma euclídea de &lt;math&gt;\R^{2n}&lt;/math&gt;.

== Ejercicios del Capítulo  3 ==
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sea E un espacio normado para todo a en E, sea &amp;tau;&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt; la
    función de E en si mismo que envía x  en a+x (traslación por a).
    Probar que &amp;tau;&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt; preserva distancia entre puntos, &lt;center&gt;&lt;math&gt;d(\tau_a(x), \tau_a(y) =     d(x,y).&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

&lt;li&gt; Sea E=&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. La línea que pasa por p y q es el
conjunto de puntos x tales que x = p + t(p-q), t \in &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; .  Esta es la trayectoria de un móvil que     al tiempo t=0 está en p y que se mueve con velocidad dada por q-p.
El  punto x está entre p y q cuando 0 &lt; t &lt; 1.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt; Probar que cuando x está entre p y q se cumple que
    d(p,q) =  d(p,x) + d(x,q), para cualquier norma de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

    &lt;li&gt; Cuando la norma es euclídea, si x no está entre p y q, la
        desigualdad triangular con punto intermedio x es estricta,
        d(p,q) &lt; d(p,x) + d(x,q). (Sug. Usar teorema de Pitágoras.)
    &lt;li&gt; (Norma--ciudad) Sean A=(0,0) y B=(4,3). Probar que si
        C=(x,y) tal que 0 &amp;le;  x &amp;le;  4 y 0 &amp;le;  y &amp;le;  3, entonces 
        d&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt;(A,B) = d&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt;(A,C) + d&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt;(C,B).
     &lt;li&gt; (Norma--max) Sean A=(0,0) y B=(4,3). Hallar puntos C tales
         que &lt;math&gt;\scriptstyle d_{\max}(A,B) = d_{\max}(A,C) + d_{\max}(C,A).&lt;/math&gt;.  Verificar que          (2,1) es uno de esos puntos.
       &lt;li&gt; ¿Qué pasa si reemplazamos &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; por &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; o por un espacio normado cualquiera?
    &lt;/ol&gt;


&lt;li&gt; Probar la identidad de Lagrange
{{Eqn|&lt;math&gt; \left(\sum_{i=1}^n  x_i y_i \right)^2\, =\,
           \left(\sum_{i=1}^n x_i)^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right) - \sum_{1 \le i &lt; j \le \le n}( x_iy_j -x_jy_i)^2.&lt;/math&gt;}}
(Sug: la prueba es puramente algebraica,tratar primero el caso n = 2.)

&lt;li&gt; Sean a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ≥ a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ≥ ··· ≥ a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; y b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ≥ b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ≥ ···  ≥ b&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;. Probar que
{{Eqn|&lt;math&gt; (\sum_{i=1}^n a_n)(\sum_{i=1}^n b_n)\ \le\ \sum_{i=1}^n a_i b_i.
&lt;/math&gt;}}&lt;/ol&gt;

[[Categoría:Espacios Métricos]]

&lt;!-- 05/02/2016 --&gt;
&lt;!-- 07/19/2016 --&gt;
&lt;!-- 09/25/2016 --&gt;
&lt;!-- 03/23/2018  --&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Espacios Métricos/Espacios Conexos</title>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
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      <text bytes="44571" sha1="hw4l6j1we51j33rz5dl4im14f9cpc1v" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
&lt;!-- Capítulo 10 Espacios Conexos --&gt;
&lt;noinclude&gt;
{{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos
|actual=Espacios Conexos
|anterior=Productos y Cocientes
|siguiente=Compactos
}}
&lt;/noinclude&gt;
__TOC__
== Introducción ==


[[Archivo:Fig09-Disconexo.jpg|center]]

Conexo significa intuitivamente algo formado por un solo pedazo, que está
conectado, no separado.
Un archipiélago (conjunto de islas) es un ejemplo de un espacio con varias
partes separadas. Tales espacios se llamarán &lt;i&gt;disconexos&lt;/i&gt;, mientras que una isla
será un ejemplo de un espacio &lt;i&gt;conexo&lt;/i&gt; (sin partes).
Veamos un ejemplo matemático. Consideremos al espacio topológico &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; formado
por los reales no nulos. &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es la reunión de dos partes separadas: los reales
positivos, &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, y los reales negativos, &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;-&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Ambos subconjuntos son conjuntos abiertos que son disjuntos entre si; y serán las partes topológicas del espacio. Vemos, además, intuitivamente, que no hay un camino continuo posible de un real positivo a un real negativo. La ausencia de un punto introduce un abismo infranqueable (continuamente) entre las dos partes. En una situación plana no sucede necesariamente lo anterior. Resulta
intuitivamente claro que dos puntos de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2*&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; (el plano sin el origen) pueden unirse por un camino.
&lt;br&gt;

En este capítulo, analizaremos las nociones de &lt;i&gt;conexo&lt;/i&gt; y de &lt;i&gt;conexo por caminos&lt;/i&gt;.
Un espacio será conexo por caminos cuando hay un camino continuo entre dos
cualesquiera de sus puntos. Veremos que esas dos nociones son topológicas, es
decir que cuando un espacio tiene una de esas propiedades, cualquier espacio homeomorfo también la tiene. Lo anterior nos servirá, a veces, para distinguir entre espacios topológicos. Por ejemplo, las consideraciones sobre caminos en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2*&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; nos indicará que esos espacios no pueden ser homeomorfos.

La formalización de dichas nociones y su uso en el estudio de espacios topológicos son un ejemplo de bella matematización de intuiciones.

== Las Definiciones Básicas ==

Iniciaremos nuestro estudio con los espacios conexos por ser, como veremos,
más generales que los espacios conexos por caminos. Postergaremos ejemplos importantes hasta ver espacios conexos por caminos, ya que será más fácil, usualmente, verificar dicha condición y, además, todo espacio conexo por caminos resultará ser conexo. El recíproco de lo anterior, sin embargo, no es válido en general.

La definición de espacio conexo abstrae de lo ilustrado en el ejemplo acerca
de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Allí, vimos que había dos subconjuntos abiertos disjuntos (los positivos y los negativos) cuya reunión era todo el espacio.

{{DefRht|Espacio Conexo|
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;Un espacio X es &lt;b&gt;conexo&lt;/b&gt;, ssi, cuando &lt;math&gt;X = U \cup V&lt;/math&gt; con U, V abiertos no–vacíos, se cumple que &lt;math&gt;U \cap V \neq \emptyset.&lt;/math&gt;
&lt;li&gt; Un espacio &lt;b&gt;disconexo&lt;/b&gt; es un espacio que no es conexo.
&lt;li&gt; Un &lt;b&gt;subespacio&lt;/b&gt; de X es &lt;b&gt;conexo&lt;/b&gt;, cuando lo es respecto a su topología relativa.
&lt;/ul&gt; }}

&lt;b&gt;Ejemplos 10.2.1. &lt;/b&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es un espacio disconexo.
&lt;li&gt; Cualquier espacio o subespacio consistente de un único punto es conexo.
&lt;/ol&gt;

&lt;b&gt;Disconexión, división, separación.&lt;/b&gt; Sea X un espacio topológico y sean A y B un par de subconjuntos propios abiertos disjuntos cuya reunión es X; lo que implica que X es disconexo. Diremos que el par A, B son (o determinan) una &lt;b&gt;disconexión&lt;/b&gt; del espacio. También, podremos decir que definen una división del espacio.


La formalización de dichas nociones y su uso en el estudio de espacios topológicos
es un ejemplo de bella matematización de intuiciones.

&lt;b&gt;Conjuntos Abiertos–Cerrados.&lt;/b&gt; Sea X un espacio topológico disconexo, con una división dada por A y B. Como, entonces, B es el complemento del abierto
A, tenemos que B es cerrado; lo mismo pasa con A.

Diremos que un conjunto es &lt;i&gt;abierto–cerrado&lt;/i&gt; cuando sea abierto y
cerrado a la vez.

En cualquier espacio X, el subconjunto vacío y todo el espacio X son abiertos
y cerrados. En un espacio conexo, de acuerdo con la definición, estos son los
únicos conjuntos abierto–cerrados posibles. Al contrario, cuando haya un subconjunto propio no vacío A de X que sea abierto–cerrado, se tendrá que X es
disconexo, con una disconexión dada por A y su complemento.

&lt;!-- ejemDiscretoConexo--&gt;
&lt;b&gt;Ejemplo 10.2.2.&lt;/b&gt; Sea X un espacio topológico discreto con más de un punto. Como cada subconjunto es abierto y cerrado, el espacio no es conexo.
&lt;hr&gt;

&lt;!-- ejemConexos01 --&gt;
&lt;b&gt;Ejemplo 10.2.3.&lt;/b&gt; Sea X = [0, 1] ∩ ]2, 3] (subconjunto de la línea real) . Probaremos que X es disconexo.

Sea A = [0, 1]. Observemos que en la topología relativa de X, como
A = X ∩ (−1, 3/2), se tiene que A es abierto. Claramente es cerrado. Luego A es
abierto–cerrado. Como no es vacío, el espacio X es disconexo.
Los subespacios [0, 1] y ]2, 3] forman una disconexión de A.
&lt;hr&gt;

La siguiente proposición muestra que en la línea real, la noción de conexión
coincide con la noción de intervalo.

&lt;!--propConexosLR --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 10.2.1 (conectividad en la Línea Real). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Un subespacio no vacío de la línea real es conexo, ssi, es un intervalo. En particular, la línea real es un espacio conexo. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
Sea X un subconjunto de R no vacío y conexo. Supongamos que X no es un intervalo. Esto implica que hay números x, y, z tales que x &lt; y &lt; z, con x, z en X, pero tales que y no está en X. Entonces,
&lt;center&gt; X = (X ∩ ]−∞, y[) ∪ (X ∩ ]y,+∞[ ) &lt;/center&gt;
es una disconexión de X. Como esto contradice la hipótesis, X debe ser un intervalo.

Supongamos ahora que X es un intervalo de R. Si X consiste de un punto, entonces X es conexo.
Supongamos que X no fuera conexo, por lo que habría subconjuntos propios no vacíos A y B de X,abiertos–cerrados, tales que X = A ∪ B y A ∩ B = &amp;empty;. Sean x &amp;isin; A, z &amp;isin; B, donde, sin perdida de generalidad, podemos suponer que x &lt; z. Como X es un intervalo, [x, z] es un subconjunto de X.
Sea y definido como y = sup{w : [x,w] ⊂ A}. Ya que x ≤ y ≤ z, y está en X. :Como A es cerrado, y debe ser un punto de A. Luego, y &lt; z. Entonces, para todo r &gt; 0, y + r debe ser un punto de B, como r es arbitrario, se tiene que y pertenece a la clausura de B y como B es cerrado, debe estar en B. Pero esto implica que A y B no son disjuntos. Luego, X debe ser conexo.
&lt;/ul&gt;
{{QED}}
&lt;hr&gt;

En el ejemplo 10.2.3, vemos que un espacio conexo (R) puede contener subespacios
disconexos. Vemos, también, que un espacio disconexo puede tener subespacios conexos.

C=== La Conectividad y las Funciones Continuas ===
&lt;!-- teoImagenConexo --&gt;
&lt;b&gt;Teorema 10.2.2.&lt;/b&gt;&lt;i&gt;La imagen de un espacio conexo por una función continua es un conjunto conexo. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;
&lt;i&gt;Demostración.&lt;/i&gt;
Sea f : X → Y una función continua. Supongamos que f(X) es disconexo. :Entonces, hay abiertos no vacíos disjuntos A y B tales que f(X) está contenido en A∪B. Pero, entonces, f−1(A) y f−1(B) son abiertos no vacíos cuya reunión es todo X. Además son disjuntos, ya que x en f−1(A) ∩ f−1(B) implica que f(x) está en A y en B, lo que es imposible.
&lt;/ul&gt;
{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 10.2.3.&lt;/b&gt; &lt;i&gt;Ser conexo (resp. disconexo) es una propiedad topológica. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración.&lt;/i&gt; Si X es conexo y f : X → Y es un homeomorfismo, entonces Y = f(X) es conexo.
&lt;/ul&gt;
{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 10.2.4. &lt;/b&gt; &lt;i&gt;Sea f : X → Y continua, donde X es conexo y Y es discreto. Entonces, f es constante. &lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 10.2.5. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea f : X → R continua. Si X es conexo, su imagen en R es un intervalo. &lt;/i&gt;

Este corolario tiene interesantes aplicaciones al Análisis Real, por ejemplo el
teorema del valor intermedio y sus aplicaciones (ver el Teorema A del primer capítulo y  los ejercicios de la sección).
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Criterio para Separación. &lt;/b&gt; La siguiente proposición nos da un criterio para disconexión.

&lt;b&gt;Proposición 10.2.6. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Un espacio topológico X es disconexo, ssi, hay una función suprayectiva continua de X en el espacio discreto {0, 1}.
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración.&lt;/i&gt; Suponer que existe función de f : X → {0, 1} suprayectiva y
continua. Como {0, 1} es disconexo, por la proposición anterior, X no puede ser
conexo.

Sea A,B una separación de X. Definiendo f(x) = 0 si x está en A y f(x) = 1
si x está en B, obtenemos una función suprayectiva, que además es continua, ya
que la imagen inversa de cualquier  abierto en {0,1} es abierto en X.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt; Gráfica de una Función Real Continua. &lt;/b&gt;Sea f : I ⊂ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;→ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;un a función continua, donde I es in intervalo y consideremos la gráfica de f como un subconjunto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
Graf(f) = \{(x, y) \in \R^2 : y = f(x), x \in I\}.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
&lt;uL&gt;Sea g : I → &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tal que g(x) = (x, f(x)). Claramente g es continua por coordenadas, por lo que es continua. Como su imagen es precisamente la gráfica de f, concluimos que dicha gráfica es conexa.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

El resultado anterior es la formulación matemática de la expresión que “una
función continua tiene una gráfica que puede dibujarse sin levantar el lápiz”.

:&lt;i&gt;Una función real definida en un intervalo es continua, ssi, su gráfica es conexa.&lt;/i&gt;

=== Ejercicios 10.2 ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sean A = [0, 1[, B = [1, 2] y C = A ∪ B subconjuntos de la línea real. Probar que C es conexo aunque A y B son disjuntos. Explicar.

&lt;li&gt; Dibujar dos subconjuntos conexos del plano, cuya intersección no sea conexa.

&lt;li&gt; Probar que el subconjunto de los Racionales no es conexo como subconjunto
de la línea real.

&amp;&amp;&amp;
&lt;li&gt; Sean A la 1–vecindad de (−1, 0), B la 1–vecindad de (0, 1) y C = A ∪ B.. Probar que
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; C es disconexo.
&lt;li&gt; Sea D = C ∪ {(0, 0)}. Probar que no puede haber una función continua tal que la restricción a A (resp. B) sea constante con valor 0 (resp. 1). ¿Es D conexo?
&lt;/ol&gt;
 
&lt;li&gt; Probar que ser conexo y ser disconexos son propiedades topológicas.
&lt;li&gt; Sea &lt;math&gt;C = \{(x, 0) \in R^2 : x &gt; 0} \cup {(x, y) \in R^2 : x &gt; 0, y = 1/x\}.&lt;/math&gt; ¿Es C conexo? Justificar.

&lt;li&gt; Probar que, de acuerdo a la definición, el conjunto vacío no es disconexo; por
lo que debe ser conexo.
&lt;!-- exConexionEquiv --&gt;
&lt;li&gt; Probar que los siguientes enunciados son equivalentes.
:a) X es conexo.
:b) X no puede dividirse entre dos subconjuntos disjuntos no vacíos abiertos.
:c) X no puede dividirse entre dos subconjuntos disjuntos no vacíos cerrados.
:d) Los únicos subconjuntos abierto–cerrados de X son X y el conjunto vacío.
:e) Los únicos subconjuntos de X con frontera vacía son X y el conjunto vacío.
:f) Cualquier función continua de X en un espacio discreto es constante.
:g) X no puede expresarse como la reunión de dos conjuntos no vacíos tales que cada uno de ellos es disjunto de la clausura del otro.

&lt;li&gt; Enunciar equivalencias para espacio disconexo, correspondientes al ejercicio
anterior.

&lt;li&gt; Probar que cuando el producto de dos espacios no vacíos X × Y es un
espacio conexo, también lo son X y Y . Generalizar a productos arbitrarios.

&lt;li&gt; Sean X, Y conexos. Probar que X × Y (con la topología producto) es conexo. Sugerencia: suponer que hay una función continua f : X × Y en el espacio discreto {0, 1} y probar que es constante. Ver ejercicio sobre equivalencias para la noción de conexo.

 Generalizar a productos arbitrarios. Aplicar lo anterior para concluir que &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y &lt;b&gt;I&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; (cubo unitario) son conexos.

&lt;li&gt; Cuando un subespacio X es conexo ¿lo será un subconjunto del mismo? ¿Un espacio cociente X/R?

&lt;li&gt; Si los conjuntos A y B forman una division de un espacio topológico X y
Y es un subespacio conexo de X, entonces Y es un subconjunto de A o un
subconjunto de B.

&lt;li&gt; Sean A y B subconjuntos conexos cuya intersección no es vacía. Probar que
su reunión es conexa. Generalizar a una familia de conexos con intersección
no vacía.


&lt;center&gt;&lt;b&gt;Aplicaciones al Análisis Real. &lt;/b&gt;&lt;/center&gt;
&lt;li&gt; (Teorema del Valor Intermedio) Sea f : [a, b] → &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;es continua, entonces para cualquier z entre f(a) y f(b), hay un x entre a y b tal que f(x) = z.
&lt;li&gt; (Existencia de Ceros) Sea f : [a.b] → &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;continua. Si f(a)f(b) &lt; 0 entonces hay un c entre a y b tal que f(c) = 0.
&lt;li&gt; Probar que dado un número real positivo a hay un número real positivo c tal
que c&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = a.
&lt;li&gt; (Teorema del Punto Fijo.) Sea f : [0, 1] → [0, 1] continua. Entonces, hay un z en [0, 1] tal que f(z) = z. (Sug. Si f(0) = 0 o f(1) = 1 no hay nada más
que probar. En caso contrario, estudiar la función g(x) = x − f(x).)

&lt;li&gt; Probar que cualquier función continua f de [a, b] en [a, b] tiene un punto
fijo. (Sugerencia: probar que si X y Y son homomeomórficos entonces cada
función continua de X en X tiene un punto fijo, ssi, cada función continua
de Y en Y tiene un punto fijo. Luego usar que [a, b] es homeomorfo a
[0, 1].)
&lt;/ol&gt;

== Los Subespacios Conexos ==

Sea X un espacio topológico y Y un subespacio de X. ¿Cuándo Y es disconexo?
Sigue de la definición que debe haber un par de abiertos A y B de X, tales
que
:(i) La reunión de los abiertos relativos A ∩ Y y B ∩ Y contiene a Y, lo que implica que Y ⊂ A ∪ B.

:(ii) La intersección de A ∩ Y y B ∩ Y no puede contener puntos de Y, es decir
que debe ser un subconjunto del complemento de Y .

:(iii) Los abiertos relativos A ∩ Y y B ∩ Y deben ser no vacíos.
Claramente, esas tres condiciones son, también, suficientes para garantizar que
tales abiertos de X definen una división de Y .

La siguiente proposición nos da un criterio para que un par de subconjuntos
de un subespacio definan una división del mismo.

&lt;b&gt;Proposición 10.3.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Si Y es un subespacio de X, una división de X es un par de conjuntos disjuntos no vacíos A y B cuya reunión es Y y tales que ninguno de ellos contiene un punto de acumulación del otro. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
Supongamos que A y B definen una disconexión de Y . Entonces, A es abierto–cerrado en Y. Recíprocamente, supongamos que A y B son conjuntos no vacíos disjuntos cuya reunión es Y y tal que ninguno de ellos contiene un punto de acumulación del otro. Como cl(A) ∩ B = ∅ (clausura respecto a X), tenemos que
&lt;center&gt;cl(A) ∩ Y = cl(A) ∩ (A ∪ B) = (cl(A) ∩ A) ∪ (cl(A) ∩ B) = A.&lt;/center&gt;
Análogamente, cl(B) ∩ Y = B. Lo que muestra que A y B son cerrados en Y . :Como cada uno de ellos es el complemento en Y del otro, son también abiertos en Y ; lo que muestra que forman una división de Y.
&lt;/ul&gt;
{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Lema 10.3.2.&lt;/b&gt; &lt;i&gt;Si los conjuntos A y B forman una division de un espacio topológico X y Y es un subespacio conexo de X, entonces Y es un subconjunto de A o un subconjunto de B. &lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Como A y B son abiertos en X, los conjuntos A∩Y y B ∪Y son abiertos disjuntos de Y cuya reunión es igual a Y . Si ambos subconjuntos fueran no vacíos, determinarían una división de Y, por lo tanto, uno de ellos debe ser vacío. Por lo que Y debe estar contenido en A o en B.
&lt;/ul&gt;
{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;!-- propClausuraConexa --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 10.3.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea X un espacio topológico. Sea A un conjunto conexo y sea B tal que A ⊂ B ⊂ Cl(A). Entonces, B es conexo. En particular, Cl(A) es conexo.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Supongamos que los abiertos disjuntos C y D determinan una disconexión de B. Por el lema anterior, A debe estar contenido en
uno de esos conjuntos, digamos que A está contenido en C.
Luego, B ⊂ Cl(A) ⊂ Cl(C). Como C y D son una desconexión de B, no puede haber intersección de Cl(C) con D, lo que contradice que D sea un subconjunto no vacío de B. Luego, B debe ser conexo.
&lt;/ul&gt;
{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;!-- propCon_A --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 10.3.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea X un espacio topológico. Sea (A&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) una familia de subconjuntos conexos de X cuya intersección no es vacía. Entonces A = &amp;cup;{A&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;} es un conjunto conexo. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Ver ejercicios.&lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 10.3 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Si los conjuntos A y B forman una division de un espacio topológico X y
Y es un subespacio conexo de X, entonces Y es un subconjunto de A o un
subconjunto de B.

&lt;li&gt; Sean A, B subconjuntos de un espacio topológico X tales que A es conexo,
B es abierto–cerrado, y A ∩ B &amp;ne; &amp;empty;. Entonces, A ⊂ B.

&lt;li&gt; Sean A y B subconjuntos conexos cuya intersección no es vacía. Probar que
su reunión es conexa.

&lt;li&gt; Sea (A&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), 1 ≤ i ≤ n, una familia finita de conexos tales que A&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; ∩ A&lt;sub&gt;i+1&lt;/sub&gt; &amp;ne; &amp;empty;, i = 1, . . ., n − 1. Entonces, la reunión de los conjuntos es conexa. (cadena de conjuntos conexos).

&lt;li&gt; Sea (A&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), i&amp;isin;I, una familia de conjuntos conexos de un espacio X tal que la intersección de la familia no es vacía. Entonces, su reunión es conexa,
&lt;/ol&gt;

== Las Componentes Conexas ==

Sea X un espacio topológico y sean x, y puntos de X. Decimos que “x está conectado con y”, ssi, hay un subconjunto conexo que contiene ambos puntos.
Claramente la relación “estar conectados” es una relación de equivalencia.
Denotaremos, en esta sección, por C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; a la clase de equivalencia de la relación anterior, que contiene a x. Sea A un conjunto conexo que contiene a x. Entonces, todos los elementos de A están relacionados con x, por lo que son elemento de C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;, es decir que A está contenido en C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;. Luego, C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; es la reunión de los subespacios conexos que contienen a x. Como dicha reunión tiene intersección no vacía concluimos
que se trata de un conjunto conexo. Como son clases de equivalencias, si
y está en C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; se tiene que C&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt; = C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;.

Llamaremos &lt;b&gt;componentes conexas&lt;/b&gt; a las clases de equivalencia anteriores.
Sigue de la discusión anterior que cada componente es un subespacio conexo de
X que es maximal con respecto a esa propiedad. Un espacio es conexo cuando tiene solamente una componente conexa, el mismo espacio.

Como la clausura de un conexo es un conjunto conexo, la clausura de una componente debe coincidir con la componente, lo que implica que las componentes son conjuntos cerrados.

La siguiente proposición resume nuestra discusión sobre componentes conexas.

&lt;!-- propComponentes --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 10.4.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea X un espacio topológico.
:(a) Cada punto x de X está contenido en exactamente una componente conexa de X.

:(b) Cada subconjunto conexo está contenido en una  única componente conexa.

:(c) Cada componente conexa  es un conjunto cerrado.
&lt;/i&gt;

&lt;b&gt;Ejemplos 10.4.1. &lt;/b&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sea X = &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; = {t ∈ R : t &amp;ne; 0}. X no es conexo porque no es un intervalo; sus componentes son los reales positivos y los reales negativos.

&lt;li&gt; En el ejemplo 10.2.3, X = [0, 1]∪]2, 3], los subespacios [0.1] y ]2, 3] son las
componentes conexas de X.

&lt;li&gt; En un espacio topológico discreto, cada punto define una componente conexa.
&lt;/ol&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Espacios Totalmente Disconexos. &lt;/b&gt; Son aquellos espacios donde cada punto es una componente conexa. Notemos que los espacios con un sólo punto son conexos y totalmente disconexos. Cualquier subespacio discreto es totalmente disconexo.
&lt;hr&gt;

&lt;br&gt;
&lt;b&gt;Espacios Localmente Conexos. &lt;/b&gt;Son aquellos espacios donde cada punto tiene una vecindad que contiene una vecindad abierta conexa del punto.

La línea real es un ejemplo de un espacio localmente conexo.

&lt;b&gt;Proposición 10.4.2. &lt;/b&gt;&lt;/i&gt;Sea X un espacio localmente conexo. Cada componente conexa de un subespacio abierto Y de X, es un conjunto abierto. En particular, las componentes conexas de X son conjuntos abiertos. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración.&lt;/i&gt; Sea C una componente de Y y x un punto de C. Como X es
localmente conexo y Y es una vecindad de x, hay un vecindad abierta V de x que
es conexa y abierta en X. Como Y es abierto, la topología de V como subespacio
de X es la misma que la topología como subespacio de Y, luego, V es conexo en Y. Luego, V ⊂ C, ya que C es maximal. Lo que prueba que C es abierto.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 10.4 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Probar que la relación “estar conectados” es una relación de equivalencia.

&lt;li&gt; Un subconjunto no vacío conexo que es abierto y cerrado es una componente conexa.
&lt;li&gt; Sea X un espacio topológico con una cantidad finita de componentes. Probar
que cada componente es un conjunto abierto–cerrado.

&lt;li&gt; Sean X, Y espacios homeomorfos. Probar que hay una correspondencia
biyectiva entre las componentes de ambos espacios.

&lt;li&gt; ¿Cuántas componentes conexas tiene un espacio topológico indiscreto?

&lt;li&gt; Dar un ejemplo de un espacio topológico finito que no sea totalmente indiscreto.
&lt;/ol&gt;

== Los Caminos ==
En la próxima sección, veremos una manera diferente de conexión, la conexión
por caminos. Allí, veremos que un espacio es conexo por caminos, cuando
haya un camino entre dos puntos cualesquiera del espacio.

¿Qué es un camino?

&lt;div style=&quot;background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;&quot; class=&quot;theorem&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;&quot;&gt;Definición. (Camino, Trayectoria)&lt;/span&gt;
Sea X un espacio topológico no vacío y sean x, y puntos de X.
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;Llamaremos &lt;b&gt;trayectoria&lt;/b&gt; (continua) de x a y, a una función continua
&amp;sigma; : [a, b] ⊂ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; → X tal que &amp;sigma;(a) = x y &amp;sigma;(b) = y. x es el punto de inicio y y el punto final de la trayectoria. &lt;br /&gt;
&lt;li&gt; Llamaremos &lt;b&gt;camino&lt;/b&gt; de de x a y al conjunto de puntos de una trayectoria de x a y.El camino asociado a la trayectoria &amp;sigma; se simbolizará por {&amp;sigma;}.


&lt;li&gt;   Llamamos  &lt;b&gt;punto inicial&lt;/b&gt;  del  camino, o de la trayectoria, al x, mientras que y e&gt;s su &lt;b&gt;punto final&lt;/b&gt;.  Ambos puntos son los &lt;b&gt;extremos&lt;/b&gt; del camino, o de la trayectoria.

&lt;/ul&gt;&lt;/div&gt;

Cada trayectoria define un camino, pero puede haber varias trayectorias diferentes para el mismo camino.
Cada trayectoria define un camino, pero puede haber varias trayectorias diferentes
para el mismo camino. Decimos que un camino es &lt;b&gt;cerrado&lt;/b&gt; cuando su punto inicial
coincide con su punto final.&lt;ref&gt;Cerrado como camino es distinto de conjunto cerrado.&lt;/ref&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 10.5.1. &lt;/b&gt; Sea E = &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Una trayectoria de x a y es &amp;sigma;: [0, 1] → &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;tal que &amp;sigma;(t) = (1 − t)x + ty.
El camino definido por &amp;sigma;, {&amp;sigma;}, es el &lt;i&gt;segmento lineal&lt;/i&gt; con extremos x y.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 10.5.2. &lt;/b&gt;Sean &amp;sigma;&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, &amp;sigma;&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; : [0, 2&amp;pi;] → &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tales que:
:&amp;sigma;&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;(t) = (cos(t), sen(t)) y
:&amp;sigma;&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;(t) = (cos(2t), sen(2t)).
Notemos que ambas trayectorias tienen como imagen la circunferencia unitaria.
Ambas empiezan en (1,0) y terminan en el mismo punto. La diferencia entre
ambas trayectorias es que, pensando cinemáticamente, la segunda recorre la circunferencia con el doble de rapidez que la primera. Lo que hace que la segunda recorra dos veces la circunferencia, mientras la primera lo hace solo una vez.

El último ejemplo muestra que, conceptualmente, camino y trayectoria son
nociones relacionadas, pero diferentes entre si. En estudios geométricos resulta,
a veces, necesario distinguir entre ambas nociones. Un camino es un objeto
geométrico (conjunto de puntos), una trayectoria que define al camino es una &lt;i&gt;parametrización&lt;/i&gt; del camino, lo que representa una manera de recorrer el camino. En general, las nociones geométricas son aquellas que dependen del camino y no de una trayectoria en particular del mismo.

Al contrario, en el contexto topogeométrico lo único que nos interesará, por ahora, es que haya un camino entre dos puntos del espacio, por lo que es tradicional usar camino como sinónimo de trayectoria (continua); lo que haremos en este capítulo. Lo que será importante para nuestras consideraciones será que los caminos (como subconjuntos) son subconjuntos conexos del espacio (ya que son imágenes de conexos).

Simbolizaremos por &lt;i&gt;x &amp;#8605; y&lt;/i&gt; a un camino de x a y (o sea una función &amp;sigma; continua de algún intervalo [a, b] ⊂ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; en el espacio con
&amp;sigma;(a) = x y &amp;sigma;(b) = y. Diremos, también, que el camino une su punto inicial con su punto final.&lt;br&gt;
Observemos que el dominio de una trayectoria puede ajustarse a ser cualquier
intervalo, por ejemplo, sea
&amp;sigma;: [a, b] → X una trayectoria y sea f : [c, d] → [a, b]
tal que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;f(t) = \frac{b - a}{d - c}(t- c) + a. &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Claramente, f es continua y f(c) = a y f(d) = b. Además,
&amp;sigma; ◦ f : [c, d] → X es un trayectoria que define el mismo camino que
&amp;sigma;.

Notemos que caminos pueden concatenarse, en el sentido que dados caminos
x &amp;#8605; y y y &amp;#8605; z, tenemos un camino x &amp;#8605; z. (Posiblemente, será necesario ajustar los dominios de los caminos, para definir la concatenación).

=== Ejercicios 10.5 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Probar que cuando hay una trayectoria de x a y, hay otra de y a x.

&lt;li&gt; Sean &amp;sigma;_1, &amp;sigma;_2 : [0, 1] → &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tales que
&amp;sigma;_1(t) = (1, t) y &amp;sigma;_2(t) = (1−t, 1). Probar que
&amp;sigma;_1 : (1, 0) &amp;#8605; (1, 1) y que
&amp;sigma;_2 : (1, 1) &amp;#8605; (0, 1). Escribir las ecuaciones para el camino de (1, 0) a (0, 1) recorriendo los caminos anteriores.

&lt;li&gt; Sea X un espacio topológico no vacío. Probar que la relación x y es una
relación de equivalencia en X. Describir en palabras la clase de equivalencia
de un punto x. Definir componente conexas por caminos y enunciar algunas
de sus propiedades.

&lt;li&gt; Sea &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; la esfera unitaria de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, o sea que
&lt;math&gt;\mathbb{S}^2 := \{(x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 = 1\}.&lt;/math&gt;
Probar que dos puntos cualesquiera de &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; pueden unirse por un camino continuo.
&lt;/ol&gt;

== La Conexión por Caminos ==

&lt;div style=&quot;background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;&quot; class=&quot;theorem&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;&quot;&gt;Definición. (Conexo por Caminos)&lt;/span&gt;

&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Un espacio X es &lt;b&gt;conexo&lt;/b&gt; por caminos, ssi, para todo x, y hay una camino (continuo) de x a y, esto es hay una función continua &amp;sigma; : [0, 1] → X tal que &lt;br&gt;
&amp;sigma;(0) = x, y &amp;sigma;(1) = y.

&lt;li&gt; Un espacio X es &lt;b&gt;localmente conexo por caminos&lt;/b&gt; cuando cada uno de sus puntos tiene una vecindad abierta que es conexa por caminos.

&lt;li&gt; Un subconjunto Y de un espacio topológico es conexo por caminos (resp.
localmente conexo por caminos) cuando lo sea con respecto a la topología
relativa.
&lt;/ul&gt;
&lt;/div&gt;

Recordemos que x &amp;#8605; y simboliza a un camino de  x en y.
Es fácil verificar que x &amp;#8605; y es una relación de equivalencia cuyas las clases de equivalencia se llaman las &lt;i&gt;componentes conexas por caminos&lt;/i&gt; del espacio.

&lt;!--- propIntervalsArePC --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 10.6.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cada intervalo de la línea real es conexo por caminos.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sean a, b numeros reales tales que a &lt; b y que pertenecen a un mismo intervalo. Sea &amp;sigma;(t) = a + t(b − a). Claramente, &amp;sigma; es continua y tal que &amp;sigma;(0) = a y &amp;sigma;(1) = b. Lo que prueba el resultado.
&lt;/ul&gt;
{{QED}}
&lt;hr&gt;
La siguiente proposición, aparte de sus implicaciones teóricas, nos será muy
útil para probar que ciertos espacios son conexos.

&lt;!-- propPCisConn --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 10.6.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Los espacios conexos por caminos son conexos.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Supongamos que X no fuera conexo. Entonces, tendríamos que X = U ∪V donde U, V ⊂ X son conjuntos abiertos no vacíos y tales que U∩V = &amp;empty;. Sean x &amp;isin; U y y &amp;isin; V. Por la hipótesis de conectividad por caminos, hay una función continua &amp;sigma; : [0, 1] → X tal que &amp;sigma;(0) = x, y
&amp;sigma;(1) = y. Entonces, [0, 1] = &amp;sigma;&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(U) ∪
&amp;sigma;&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V ) es una disconexión de [0, 1], lo que contradice la conectividad de [0, 1]. Luego, X debe ser conexo.
&lt;/ul&gt;
{{QED}}
&lt;hr&gt;

La conectividad por caminos implica a la conectividad, pero el recíproco no es válido como lo muestra el ejemplo siguiente.

&lt;!-- ejSenoTopo --&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 10.6.1 (La curva seno del topólogo). &lt;/b&gt;

[[File:TopSenCurve.jpg|thumb|Curva Seno de los Topólogos]]
(El nombre proviene  de uso como  ejemplos de libros de topología.) Sean
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt;  A = {(x,y): x=0, -1 &amp;le; y &amp;le; 1}

&lt;li&gt; B la gráfica de la función f:(0,1] &amp;rarr;, f(t) = sen(1/t), o sea que&lt;br /&gt;

B= {(x,y): 0 &lt;x &amp;le; 2/&amp;pi;, y = sen(1/x)}; 

&lt;li&gt; C = A \cup B.

&lt;/ol&gt;Sea a = arcsin(y), y &amp;isin; [−1, 1], entonces la sucesión x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = 1/(a + sin(2 &amp;pi; n) es tal que x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; → 0 y f(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) → a.). Lo anterior implica

:(i) que cada punto de A es un punto de acumulación de B y

:(ii) que la función f no puede extenderse a una función continua cuyo dominio incluya al 0. Luego, C coincide con la clausura de B, por lo que es conexo; pero, por (ii0, no hay camino continuo uniendo los puntos de A con los puntos de B, es decir que C no es conexo por caminos.
Gráficamente, podemos también apreciar que C tampoco es localmente conexo.
&lt;hr&gt;&lt;!-- propBallsArePC --&gt;

&lt;b&gt;Proposición 10.6.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Las bolas abiertas y las cerradas de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; son conexas por caminos.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea B una bola (abierta o cerrada) con centro en el punto a y radio r. Sea b un punto de B. La función &amp;sigma;(t) = a+t(b−a) define un camino continuo desde a hasta b. Sea x = a+t(b−a) con 0 ≤ t ≤ 1 un punto cualquiera de la Imagen de &amp;sigma;. Entonces, cuando 0 &lt; t &lt; 1 (o sea x &amp;ne; a, b) tenemos que:
{{eqn|&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
x - a = t(b - a) &amp;\implies &amp; \\
d(x, a) &amp;=&amp; kx - ak = kt(b - a)k s = tkb - ak = td(b, a) &lt; d(a, b).
\end{array}&lt;/math&gt;}}

Lo que prueba que x está en B.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

El argumento anterior muestra que dados x, y cualesquiera tenemos caminos
de a hasta x y de a hasta y. Recorriendo el primer camino en sentido inverso,
seguido por el segundo camino, obtenemos un camino de x hasta y.

&lt;b&gt;Corolario 10.6.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Las bolas abiertas y cerradas de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; son conexas.&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 10.6.5. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Los espacios &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; son conexos por caminos, localmente conexos y conexos. &lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Como las bolas son conexas por caminos, concluimos que &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es localmente conexo por caminos. Dos puntos cualesquiera son siempre elementos de una misma bola cerrada con centro en el origen y radio igual a la mayor de las distancias de esos puntos al origen. La conectividad sigue de la proposición anterior.
&lt;/ul&gt;
{{QED}}
&lt;hr&gt;


Usaremos el siguiente lema para la próxima proposición..

&lt;b&gt;Lema 10.6.6. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cuando dos espacios son conexos por caminos y su intersección también lo es, entonces su reunión es conexa por caminos. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sean X, Y los espacios. Sea U = X ∪ Y y sean x, y puntos
de U. Cuando ambos pertenecen a X o a Y, hay un camino que los conecta.
Supongamos, entonces, que x es un punto de X y y es un punto de Y . Sea z un
punto de la intersección de X con Y . Por las hipótesis tenemos que x &amp;#8605; z &amp;#8605; y es un camino continuo de x a y,
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 10.6.7. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cuando n ≥ 1, la esfera unitaria &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; = {x ∈ R&lt;sup&gt;n+1&lt;/sup&gt; : |x| = 1} es conexa, conexa por caminos y localmente conexa. &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;0&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; = {1,−1} es totalmente
disconexa (espacio discreto). &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Notemos que x = (x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) está en S = S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;, ssi,
&lt;center&gt;&lt;math&gt;x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_{n+1}^2 =1.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Si n = 1, &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es la circunferencia unitaria. Podemos representar cada punto de &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; como (cos(t), sen(t)), 0 ≤ t ≤ 2&amp;pi; . La representación anterior es única excepto para p = (1, 0) que corresponde a t = 0 y t = 2&amp;pi;.
Asociaremos la coordenada 0 con (1,0). Sea q un punto con coordenada s. El camino definido por &amp;sigma;(t) = (cos(t), sen(t)), 0 ≤ t ≤ s une continuamente p con q. Lo que muestra, que dados dos puntos q&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, q&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, el camino q&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &amp;#8605; p &amp;#8605; q&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; une ambos puntos.
Eso muestra que &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es conexa por caminos, por lo que es conexa.

Supongamos, ahora, que n &gt; 1 y sea &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; = {x ∈ &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : x&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt; ≥ 0} y &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;−&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; = {x ∈ &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : x&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt; ≤ 0}.
Entonces, &lt;b&gt;S&lt;/b&gt; = S&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt; ∪ S&lt;sup&gt;-&lt;/sup&gt; y S&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt; ∩ S&lt;sup&gt;-&lt;/sup&gt; = S&lt;sup&gt;n-1&lt;/sup&gt;.

Sea &amp;phi;: &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; &amp;rarr; B = B[0;1] ⊂ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tal que &amp;phi;(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ..., x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;) = (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, . . ., x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) (la proyección sobre el hiperplano ecuatorial). Entonces, &amp;phi; es continua con inversa dada por la función continua
&lt;center&gt;&lt;math&gt;(x_1, \dots, x_n) \mapsto (x_1, x_n, \sqrt{1 - x_1^2- \dots -x_n^2}).&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Por lo que, &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es homeomorfa a B. Como sabemos que B es conexa por caminos, concluimos que &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es conexa por caminos. Procediendo de manera análoga, concluimos que &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;-&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es conexo por caminos. sigue entonces, que &lt;b&gt;S&lt;/b&gt; es la reunión de dos espacios conexos por caminos, cuya intersección es, por inducción sobre n ≥ 2, conexa por caminos. Por el lema, tenemos que &lt;b&gt;S&lt;/b&gt; es localmente conexa; por lo que es conexa.
Dejamos la conectividad local de ejercicio.
&lt;/ul&gt;
{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 10.6.8. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Las esferas de radio cualesquiera son conexas, conexas por camino y localmente conexas por caminos. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea S = S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; la esfera unitaria de C, y sea S′ = S(s; r) una esfera de centro a y radio r en S&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;.
Si a = 0, la función x &amp;8614; rx is un homeomorfismo que envía S en S′. :Supongamos ahora que a es un punto cualquiera y que S′′ = S(0; r) es la esfera de centro el origen y radio r. La traslación que envía el origen en a es un homeomorfismo de S′′ en S′, lo que prueba el resultado.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 10.6.10. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; \ {0}, n &gt; 1, es un espacio conexo, conexo por caminos y localmente conexo por caminos.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sean x, y dos puntos diferentes del origen. Cuando el segmento lineal con extremos x y y no contiene al origen, dicho segmento provee un camino de x a y. Supongamos que el origen está entre x y y. Sea v = (1/|x − y|)(x − y), v es un vector unitario. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que x = tv y y = s(−v) con t, s &gt; 0. Como la esfera unitaria es conexa por caminos, hay un camino de v a −v, por lo que tenemos un camino de x a y dado por x &amp;#8605; v &amp;#8605; (−v) &amp;#8605; y. Lo que muestra la conectividad por caminos y, en consecuencia, la conectividad. La conectividad local sigue de que &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; \ {0} is abierto.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;!-- propConnLPCisPC --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 10.6.10. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Un espacio X que es conexo y localmente conexo por caminos es conexo por caminos. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea x un punto de X y sea C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; el subconjunto de X formado por todos los puntos y tales que hay un camino de x a y. Como X es localmente conexo por caminos, cada y en C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; tiene una vecindad abierta U&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt;que es conexa por caminos. Luego, para cada punto z en U&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt; hay un camino desde x a z, x &amp;#8605; y &amp;#8605; z.
Luego, C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; is open.
Razonando de manera análoga, se concluye que X \ C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; abierto.Por la conexidad de X, concluimos que C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; = &amp;empty; o X \ C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; = &amp;empty;. En consecuencia, X es conexo por caminos.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;!-- propImagesCC --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 10.6.11. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea f : X → Y continua. Cuando X es conexo por caminos entonces su imagen por f también lo es. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Supongamos que X es conexo por caminos y que x′ = f(x),
y′ = f(y) son puntos de f(X). Por la hipótesis hay un camino &amp;sigma; de x a y. Por lo tanto, f ◦ : x′ = f(x) y′ = f(y).
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 10.6.12. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;“Conexo por caminos” es una propiedad topológica. &lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 10.6.13. &lt;/b&gt;&lt;/i&gt;El producto topológico de dos espacios conexos (resp. conexo por caminos) es conexo (resp. conexo por caminos).
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sean X&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y X&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; los espacios y X su producto.

(Caso Conexo) Supongamos queX fuera disconexo. Entonces, habría una función continua f : X → {0, 1}. Sea (a, b) un punto de X. Definamos funciones g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; : X&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; → X tal que x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &amp;#8614; (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, b), y g&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; : X&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; → X tal x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &amp;#8614; (a, x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;). Claramente ambas funciones, g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, g&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, son continuas. Luego, f ◦ g&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, i = 1, 2, es continua.
Como cada X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; es conexo, la imagen por f ◦ g&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; tiene que ser conexa. Luego, f ◦ gi debe ser constante. Luego, f(x, b) = f(g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;(x)) = f(a, b) para todo x en X. Análogamente, f(a, y) = f(g&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;(y)) = f(a, b). Se tiene entonces que f es una función constante.
Esto contradice la suposición de que la imagen de f tiene dos puntos. Por lo tanto, tal función no existe, por lo que el producto es conexo. .

(Conexión por caminos) Sean (a, b) y (c, d) puntos de X. Como X&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y X&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; son conexos por caminos, hay caminos &amp;sigma&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; : a &amp;#8605; c, y &amp;sigmaq;&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; 2 : b d. Luego, (&amp;sigma;&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, &amp;sigma;&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) : (a, b) &amp;#8605; (c, d).
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 10.6.2.&lt;/b&gt; Un toro T = S&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; × S&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; es conexo por caminos.

=== Ejercicios 10.6 ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sea f : I &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; continua. Probar que cuando el intervalo I es cerrado, la gráfica de f es conexa por caminos.

&lt;li&gt; Sea X un espacio topológico. Sea C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; el conjunto de puntos de un espacio topológico X unidos al punto x de X.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
 &lt;li&gt; Cada x de X, x está en C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;.
&lt;li&gt; Para todo x, y en X, si y está en C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;, entonces x está en C&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt;.
&lt;li&gt; Para todo x, y, z de X, si y está en  C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;, z está en C&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt;, entonces z está en C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;.
&lt;li&gt; Para todo x, C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; es conexo por caminos.
&lt;li&gt; Todo A conexo por caminos que contiene a x, está contenido en
C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;.
&lt;li&gt; Un conjunto X es conexo por caminos, ssi, X = C&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; para algún x de
X.
&lt;/ol&gt;
&lt;li&gt; Sea f : I → &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; continua. Probar que cuando el intervalo es cerrado, la gráfica de f es conexa por caminos.

&lt;li&gt; Sea (Xi) una familia de espacios y sea X su producto. Si todos los espacios
son localmente conexos y todos, excepto popr una cantidad finita de ellos,
son conexos, entonces X es localmente conexo.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Probar que I = [0, 1] no es homeomorfo a S&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;.
&lt;li&gt; Probar que S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; (n &gt; 1) no es homeomorfa a &lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sean I = [0, 1] y J =]0, 1[. Probar que
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; J es homeomorfo a un subconjunto de I, e I es homeomorfo a un
subconjunto de J, pero
&lt;li&gt; I no es homeomorfo a J.
&lt;/ol&gt;
&lt;/ol&gt;

== Ejercicios del Capitulo 10 ==

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; ¿Cuáles de los enunciados siguientes son válidos? En caso afirmativo, dar
una razón; en caso contrario, producir un contraejemplo.
:a) Los subespacios de espacios conexos son conexos.
:b) Los subespacios de espacios localmente conexos son localmente conexos.
:c) Los espacios conexos por caminos son conexos.
:d) Hay una cantidad finita de componentes conexas de un espacio.
:e) La reunion de intervalos de la línea real es un conjunto conexo.
:f) La intersección no vacía de intervalos de la línea real es un conjunto conexo.

&lt;li&gt; Sea X un espacio topológico. Sea A un subconjunto de X.
 &lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Si A es conexo ¿qué podemos decir de su interior, clausura y frontera?
&lt;li&gt; Si el interior (resp. la clausura, la frontera) de A es conexo, ¿qué podemos decir de A.
  &lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea C un componente de un conjunto A de un espacio localmente conexo.
Demostrar que:
:a) int(C) = C ∩ int(A).
:b) fr(C) ⊂ fr(A).
:c) Si A es cerrado, entonces fr(C) = C ∩ fr(A).

&lt;li&gt; Sean A y B subconjuntos cerrados y no vacíos de un espacio X. Si su
reunión e intersección son conexos, entonces A y B son conexos.

&lt;li&gt; Decimos que dos conjuntos A y B están separados, ssi, ninguno de ellos
contiene puntos de acumulación del otro.
  &lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Probar que si A ∩ B = ∅ y ambos son abiertos o ambos cerrados, entonces están separados.
&lt;li&gt; Suponer que A y B están separados. Probar que
:A ∪ B abierto implica que A y B son abiertos,
:A ∪ B cerrado implica que A y B son cerrados.
&lt;li&gt; Demostrar que, en un espacio métrico, cuando d (A, B ) &gt; O, entonces A y B están separados. Dar un ejemplo que pruebe que el recíproco no necesariamente es válido.

&lt;li&gt; Un espacio es disconexo cuando es la reunión de dos conjuntos separados.
&lt;li&gt; Cuando A y B son conjuntos conexos no separados, entonces A ∩ B es conexo.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea A un subconjunto conexo de un espacio localmente conexo. Entonces,
A es localmente conexo.

&lt;li&gt; Probar que el producto de espacios localmente conexo es localmente conexo.

&lt;li&gt; Probar que el cubo unitario, &lt;b&gt;I&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es conexo, conexo por camino y localmente conexo.

&lt;li&gt; Sea E un espacio topológico y sea A y B subconjuntos conexos tales que
A ∩ cl(B) &amp;ne; &amp;empty;. Probar que A ∪ B es conexo.

&lt;li&gt; Sea ~c la relación de equivalencia definida por las componentes. Probar que
X/~c es totalmente disconexo.

&lt;li&gt; Probar que espacios discretos son localmente conexos.

&lt;li&gt; El espacio cociente de un espacio localmente conexo es localmente conexo.

&lt;li&gt; Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. Si C es un subespacio
conexo de X que interseca A y su complemento, entonces debe intersecar
su frontera.


&lt;li&gt; En un espacio X los siguientes enunciados son equivalentes.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; X es localmente conexo.
&lt;li&gt; Cada componente conexa de un subconjunto abierto de X es un conjunto
abierto.
&lt;li&gt; Los conjuntos abiertos conexos forman una base de la topología de X.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea E un espacio normado que consideraremos como espacio topológico inducido por la norma.

&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Cuando la esfera unitaria (||x|| = 1) tiene una propiedad topológica,
cualquier esfera también la tiene.
&lt;li&gt; Cuando el cubo unitario, I&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;, tiene un propiedad topológica, cualquier caja cerrada (ver ejemplo 5.2.7) también la tiene.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea E un espacio normado. Un subconjunto K de E es &lt;i&gt;convexo&lt;/i&gt;, ssi, para
todo x, y en K,K contiene al segmento lineal que une dichos puntos. Probar
que conjuntos convexos son conexos por caminos.

&lt;li&gt; Sea M = {(x, y) ∈ R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; : y &gt; x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}. Probar que M es conexo por caminos.

&lt;li&gt; Sea E un espacio normado y sean x, y puntos de E. Un camino de x a y
es un &lt;i&gt;&lt;b&gt;camino poligonal&lt;/b&gt;,&lt;/i&gt; ssi, hay una sucesión p&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, ..., p&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; de puntos tales
que (I) p&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = x, p&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = y; y (ii) hay un segmento lineal uniendo p&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; con p&lt;sub&gt;i+1&lt;/sub&gt;, i = 0, n − 1.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Probar que un conjunto es conexo por caminos cuando hay un camino
poligonal entre dos de sus puntos.
&lt;li&gt; Dar un ejemplo de un espacio conexo por caminos, para él cual no
siempre es posible hallar un camino poligonal entre dos de sus puntos.
&lt;/ol&gt;
&lt;li&gt; Sea S = [0, 1] ⊂ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, pero provisto con la topología de complementos finitos,
o sea que los cerrados de S son S o los subconjuntos finitos. Probar que en
esta topología S es conexo y conexo por caminos.

&lt;li&gt; ¿Es conexo el espacio &lt;b&gt;R&lt;sub&gt;T1&lt;/sub&gt;&lt;/b&gt;? (ver definición en el ejercicio 10 al final del capítulo 8). En caso negativo, ¿cuáles son sus componentes?&lt;/ol&gt;

[[Categoría:Libro]]
[[Categoría:Matemáticas Universitarias]]
[[Categoría:Espacios Métricos]]
&lt;! Autor : Rehernan --&gt;
&lt;!-- 1 de Agosto de 2016 --&gt;
&lt;!-- 3 de Octubfre de 2016 --&gt;
&lt;!-- 10 de noviembre de2016 --&gt;
&lt;!-- 2 de abril de 2019 --&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Espacios Métricos/Separación</title>
    <ns>0</ns>
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        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18394" sha1="6ekxmi2odzq5smajsgz3709st3pums8" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
&lt;!-- Capítulo 11 Las Propiedades de Separación Espacios Conexos --&gt;
&lt;noinclude&gt;
{{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos
|actual=Separación
|anterior=Compactos
|siguiente=Topología de Matrices
}}
&lt;/noinclude&gt;
== Introducción  ==

En varios de los capítulos anteriores, hemos visto aparecer la propiedad
de Hausdorff aparecer en varios resultados importantes.Recordemos que un espacio tiene dicha propiedad, cuando dados dos puntos distintos del espacio, hay abiertos disjuntos tales que cada uno de ellos contiene a exactamente uno de los puntos dados. En este capítulo estudiaremos propiedades análogas de separación, algunas más fuertes y otrás más débiles. Usaremos la notación tradicional de espacios T&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, i = 0, 1, 2, ... introducida por Alexandroff y Hopf (Topologie, 1935).

Generalizaremos la terminología de separación de la siguiente manera: diremos
que hay abiertos que &lt;b&gt;separan&lt;/b&gt; dos subconjuntos A y B, cuando haya abiertos
disjuntos U y V tales que U contiene a A y V a B.


Cuando estudiamos los conjuntos disconexos, vimos que hay funciones reales que permiten distinguir a conjuntos disconexos. Resulta útil, especialmente en Análisis, disponer de ese tipo de funciones, por lo que en la
sección 12.3.4 se hallará algunos resultados más profundos al respecto,

== Definiciones y Propiedades ==

Iniciaremos nuestro estudio con algunos tipos simples de separación.

{{DefRht|Propiedades de Separación| Sea X un espacio topológico.
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; X es un espacio &lt;b&gt;T&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/b&gt;, ssi, para todo x, y en X, al menos uno de ellos está contenido en un abierto que no contiene al otro.
&lt;li&gt; X es un espacio &lt;b&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/b&gt;, ssi, para todo x, y en X, cada uno de ellos está contenido
en un abierto que no contiene al otro.
&lt;li&gt; X es un espacio &lt;b&gt;T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/b&gt; o &lt;b&gt;Hausdorff&lt;/b&gt;, ssi, para todo x, y en X hay abiertos
disjuntos, cada uno de los cuales contiene exactamente a uno de los dos
puntos. Es decir que haya abiertos que separan los puntos. Siguiendo el
uso tradicional, continuaremos usando el nombre Hausdorff para estos espacios.}}

Claramente, un espacio &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt; es &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;, y un espacio &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt; es &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;. Los siguientes ejemplos mostrarán que las inclusiones son estrictas. Además, notemos que un espacio
topológico indiscreto con más de un punto no es &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt; — el único abierto no vacío es todo el espacio.


&lt;b&gt;Ejemplos 12.2.1.&lt;/b&gt; Los ejemplos siguientes, aunque tienen un aire artificial, permiten ver que cada condición es más restrictiva que la anterior.
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; (Espacio &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;) X = {a, b}, con topología T&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt;= {&amp;empty; ,X, {b}}. X es &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;, pero no &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;.

&lt;li&gt; (Espacio T1) Sea X un espacio infinito, por ejemplo los Naturales, y sea T&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt; el conjunto formado por el conjunto vacío y todos los subconjuntos cuyo complemento es finito. Si x, y son puntos diferentes de X entonces X \ {y}
es una vecindad de x que no contiene a y. Análogamente, X \{x} es una
vecindad de y que no contiene a x. Observemos que cualquier vecindad de
x difiere de una vecindad de y por a lo más una cantidad finita de elementos,
por lo que no son disjuntas. Es decir que X es T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, pero no T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.

&lt;li&gt; Los espacios métricos son espacios Hausdorff (&lt;i&gt;T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;).

&lt;/ol&gt;
Sea X un espacio &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt; y sea p un punto de X. Cada punto del complemento de {x} está contenido en un abierto que no contiene a p, o sea que está totalmente contenido en el complemento indicado. Luego, dicho complemento es un conjunto abierto. Luego, {x} es cerrado. Esta propiedad caracteriza a los espacios &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;.

&lt;!-- prop1101--&gt;
&lt;b&gt;Proposición 12.2.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Un espacio topológico es &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;, ssi, cada punto es cerrado.&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; &lt;/i&gt; X es &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt; &amp;lArr;⇒ cada punto tiene un complemento abierto, &amp;lArr;⇒  cada punto es cerrado.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

Sigue de la proposición que los subconjuntos finitos de espacios T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; son cerrados. En particular, los espacios Hausdorff tienen la misma propiedad.
Las siguientes proposiciones refuerzan la intuición de que compactos (al menos
en espacios Hausdorff) se comportan como puntos.

&lt;!-- prop1102--&gt;
Los espacios Hausdorff tienen interesantes propiedades de separación. La siguiente proposición establece que un punto y un conjunto compacto que no lo contengan pueden ser separados.

&lt;b&gt;Proposición 12.2.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sean X un espacio Hausdorff, C un subconjunto compacto de X, y p un punto que no está en C. Entonces, hay abiertos disjuntos U, V tales que U contiene a p y V a C.
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostrración. &lt;/i&gt;
Sea z un punto de C. Como el espacio es Haudorff hay abiertos $U_z$ y $V_z$ que separan p de z, o sea que p está en U&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt; y z está en V&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt;, con U&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt; y V&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt;disjuntos.  La familia de los V&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt;, z en C forman una cubierta abierta de C. Como C es compacto, una subfamilia de tales abiertos cubre a C, digamos que son V&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , V&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;.  Sean U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, i=1,..., m los correspondientes U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;'s,y sea  U = &amp;cap; {U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; ; 1 &amp;le; i &amp;le; m} y V = &amp;cup; {V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;: 1 &amp;le; i &amp;le; m. Claramente, U y V son abiertos con p en U y C contenido en V. Probaremos que son disjuntos.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
U \cap V &amp;=&amp;  (\bigcap_i U_i) \cap (\bigcup_j V_j) \\
  &amp;=&amp; \bigcup _j (\bigcap_i U_i \cap V_j) \\
  &amp;=&amp; \bigcup_j (U_1 \cap \dots \cap U_j \dots  \cap V_j)
  &amp;=&amp; \emptyset.
\end{array}
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; 
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

Sigue en forma inmediata de la proposicion que un subconjunto compacto de
un espacio Hausdorff es cerrado. Resultado que vimos anteriormente como
proposición 10.2.6.

La proposición anterior, se puede generalizar de la siguiente manera.

&lt;!-- prop1203 --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 12.2.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;En un espacio  Hausdorff, abiertos separan a conjuntos compactos. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sean C y D conjuntos compactos disjuntos de un espacio de Hausdorff X. Sigue de la proposición 12.2.2 que para todo x en C hay una vecindad abierta U&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; de x y una vecindad V&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; de D tales que U&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; ∩ V&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; = &amp;empty;.
La familia de abiertos U&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;, x ∈ C, forman una cubierta de X, por lo que hay una familia finita de ellos que cubre a C, digamos, los U&lt;sub&gt;x_i&lt;/sub&gt; con i = 1, ... ,m. Sea U la reunión de todos esos conjuntos. Sea V la intersección de los correspondientes V&lt;sub&gt;x_i&lt;/sub&gt;’s. Claramente
V contiene a D y U ∩ V = &amp;empty; .
&lt;/ul&gt;
{{QED}}
&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 12.2 ===

&lt;ol&gt;


&lt;li&gt; Decimos que una propiedad de un espacio topológico es ''hereditaria'', cuando
cada subespacio tiene la propiedad. Probar que las propiedades T&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, i =
0, 1, 2 son hereditarias.

&lt;li&gt; Sea f : X → Y continua e inyectiva. Probar que si Y es Hausdorff, X

también los es.

&lt;li&gt; Probar que cada espacio ''T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;'' con una base finita es un espacio finito y discreto. 

&lt;li&gt; Sea X un espacio infinito y sea T la topología generada por abiertos que tienen
complementos finitos. Probar que X es ''T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;'', pero no Hausdorff.

&lt;li&gt; Sea X un espacio topológico. Las afirmaciones siguientes son equivalentes.
:a)  X es Hausdorff.
:b) La intersección de las vecindades cerradas de un punto x es {x}.
:c) Cuando una sucesión en X converge, tiene un único límite.

&lt;li&gt; El producto de una familia de espacios Hausdorff es un espacio Hausdorff.

&lt;li&gt; Sea X un espacio topológico y sea D= {(x, y) ∈ X × X : x = y} (la

diagonal principal del producto). Probar que X es un espacio Hausdorff,
ssi, D es un subconjunto cerrado de X × X.

Probar que &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; con la topología de complementos finitos es un espaco T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, pero no T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.

&lt;/ol&gt;

&lt;!-- 12.3 --&gt;

== Los Espacios Regulares y Normales ==
&lt;ul&gt;&lt;small&gt;
Advertencia. La terminología acerca de estos espacios no está estandarizada,
al contrario de la terminología usada en la sección anterior. Cuando visitando
un libro de topología, resulta conveniente ates de mirar a los teoremas, ver
los convenios sobre la terminología usada.
&lt;/small&gt;&lt;/ul&gt;

&lt;!-- Definición 12.2. --&gt;
{{DefRht|Espacio Regular| Un espacio X es un espacio regular, ssi, es &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt; (cada punto es cerrado) y se cumple la siguiente propiedad: &lt;br /&gt;
&lt;b&gt;(Propiedad &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;.) &lt;/b&gt;Abiertos separan puntos de conjuntos cerrados. Es decir que
para cada punto p y cada conjunto cerrado C tal que p no está en C, hay abiertos
disjuntos U, V tales que p está en U y C está contenido en V.
}}

Algunos autores llaman regular a un espacio que satisface la condición &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;,
pero no necesariamente &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;, y llaman completamente regular a lo que aquí
llamamos regular.

&lt;!-- Definición 12.3.--&gt;
 {{DefRht|Espacio Normal| Un espacio es normal o &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;, ssi, es &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt; y se cumple la siguiente propiedad. &lt;br /&gt;
&lt;b&gt;(Propiedad &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;.)&lt;/b&gt; Abiertos separan conjuntos cerrados. Es decir, si H y K son
subconjuntos cerrados, hay abiertos disjuntos U, V tales que U contiene a H y
V contiene a K. }}

&lt;b&gt;Observación 12.1. &lt;/b&gt; Notemos que las condiciones &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt; y &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt; corresponden a las proposiciones 12.2.2 y 12.2.3 reemplazando compactos por cerrados.

=== Los Espacios Regulares === &lt;!-- 12.3.1. --&gt;
&lt;!-- prop12035 --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 12.3.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Un &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;–espacio X es regular si, y sólo si, para cada punto p y cada abierto U que contiene a p hay un abierto V cuya clausura está contenida en U.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Supongamos que X es regular y que el punto p está contenido en el abierto U. Como X es regular, hay abiertos disjuntos V y W tales que p está en V y W contiene a X \ U. Como, W ∩ V = &amp;empty; , se tiene que W ∩ Cl(V) = &amp;empty; , lo que implica que Cl(V) ⊂ U.

Recíprocamente, sea p un punto cualquiera de X y F un cerrado que no contiene
a p. Entonces X \ F es un abierto que contiene a p, luego hay un abierto V
que contiene a p y cuya clausura está contenida en X \ F. Entonces, X \ V es un
abierto conteniendo a F.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;
&lt;b&gt;Proposición 12.3.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sean &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; un espacio, &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un punto de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; un subconjunto cerrado de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. Hay abiertos que separan &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; cuyas clausuras son disjuntas.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Por la proposición 12.3.1 hay un abierto &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; que contiene a &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; y cuya clausura está contenida en el complemento de &lt;math&gt;C&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;X \setminus C&lt;/math&gt;, Por la misma proposición, hay un abierto &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; que contiene a &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; y tal que &lt;math&gt;Cl(A) \subset V&lt;/math&gt;. Entonces, &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;X \setminus V&lt;/math&gt; son los abiertos deseados.
{{QED}}&lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

=== Los Espacios Normales === &lt;!-- 12.3.2. --&gt;

&lt;!-- prop1104 --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 12.3.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Si H y K son subconjuntos cerrados de un espacio normal X, hay abiertos con clausuras disjuntas, uno de ellos contiene a H y el otro a K. &lt;/i&gt;

&lt;!-- prop1105 --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 12.3.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Un espacio Hausdorff compacto es normal. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Como cada conjunto conjuntos cerrado en un espacio compacto es compacto (ver 11.4.1), sigue de la proposición 12.2.3 que, en un espacio Hausdorff compacto, abiertos separan cerrados.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;


[[File:PropSeparacion.jpg|thumb|Las propiedades de separación de espacios topológicos.|center|360px]]
&lt;br /&gt;
&lt;hr&gt;

=== La Separación y los Espacios Métricos === &lt;!--.12.3.2. --&gt;
Sea E un espacio métrico, p un punto de E y U un abierto que contiene a
p. Luego, hay una bola abierta B(p; r) que contiene a p y está contenida en U.
Entonces, B(p; r/2) es un abierto contenido en U cuya clausura está contenida en
B(p; r) y, por lo tanto en U. Sigue de la proposición 12.3.1 que E es regular.

Probaremos que los espacios métricos tienen la siguiente propiedad: &lt;/br&gt;
&lt;b&gt;(Propiedad &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;.)&lt;/b&gt; Si H y K son dos subespacios separados (en el sentido de los espacios conexos, ninguno de ellos contiene puntos de acumulación del otro) entonces hay abiertos separando los conjuntos.

Un espacio &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt; se llama &lt;b&gt;completamente normal&lt;/b&gt; cuando tienen la propiedad &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;. Los espacios completamente normales son normales.

&lt;b&gt;Teorema 12.3.5. &lt;/b&gt; &lt;i&gt;Los espacios métricos son completamente normales. &lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sea E un espacio métrico y sean H y K subconjuntos separados.
Sea U el conjunto formado por todos los puntos p tales que d(p,H) &lt; d(p,K) y
sea V el conjunto formado por todos los puntos p tales d(p,H) &gt; d(p.K). Claramente,
tales conjuntos son disjuntos H ⊂ U, ya que d(h,H) = 0 y d(h,K) &gt; 0
para todo h en H. Análogamente, K ⊂ V . Probaremos que H es abierto. Sea x
cualquier punto de U y sea &amp;delta;= d(x, k) − d(x,H). Tenemos para y en B(x;&amp;delta;/2)
que d(x,K) ≤ d(x, y) + d(y,K) &lt; &amp;delta;/2 + d(y,K), de donde d(y,K) + &amp;delta;/2 &gt;
d(x,K) = d(x,H) + &amp;delta;; lo que implica que d(y,K) &gt; d(x,H) + &amp;delta;/2. Es decir
que y está en U; por lo que U es abierto.
En forma análoga, se prueba que V es abierto.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

Los resultados sobre los espacios vistos anteriormente muestra que las propiedades de separación son abstracciones de propiedades
de los espacios métricos.

=== La Separación por Funciones ===
&lt;!-- secFuncSeps --&gt;

Esta sección contiene tres resultados importantes, especialmente para el Análisis, pero que no usaremos en el resto del libro. Por esa razón, solamente los
enunciaremos, pero referiremos a la literatura para las demostraciones, ver por
ejemplo [[Espacios Métricos/Bibliografía|Simmons [15]]].

&lt;!-- prop1110 --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 12.3.6. (Lema de Urysohn) &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea X un espacio normal y sean A y B subconjuntos cerrados disjuntos de X. Entonces, hay una función continua de X en [0, 1] tal que f(A) = {0} y f(B) = {1}. &lt;/i&gt;


&lt;!-- prop1111 --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 12.3.7 (Lema de la extensión de Tietze).&lt;/b&gt; &lt;i&gt;Sea X un espacio normal y F un subconjunto cerrado de X. Suponer que tenemos una función f : A → [a, b] ⊂ R continua. Entonces, hay una extensión g : X → [a, b] de f, o sea que
la restricción de g a F coincide con f. &lt;/i&gt;

El siguiente lema responde a la pregunta de cuando un espacio topológico
X es metrizable, es decir cuando hay una métrica en X cuya topología inducida
coincide con la topología del espacio.

&lt;!-- prop1112 --&gt;
&lt;b&gt;Proposición 12.3.8 (Lema de la Metrización de Urysohn).&lt;/b&gt;&lt;i&gt; Cada espacio normal X con una base con una cantidad contable de elementos (se pueden escribir como una sucesión), es metrizable. &lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Heinrich Franz Friedrich Tietze 1880–1964, Austriaco
&lt;li&gt; Pavel Samuilovich Urysohn (1898–1924), Ucraniano.
&lt;/ul&gt;

=== Ejercicios 12.3 ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Probar que subespacios de espacios regulares (resp. completamente regulares,
normales, completamente regulares) también lo son.

&lt;li&gt; Los espacios completamente normales son normales.

&lt;li&gt; Sea X un espacio regular y p un punto de X y F un cerrado que no contiene

a p. Entonces, hay abiertos tales que uno de ellos contiene a p y el otro a F
y cuyas clausuras son disjuntas.
&lt;/ol&gt;

== Ejercicios del Capítulo 12 ==
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sea X un espacio topológico. Probar que X es un espacio &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;, ssi, para todo
x, y en X, x &amp;notin; cl{y} o y &amp;notin; cl{y}, ssi, x ≠ y implica que cl{x} ≠ cl{y}.

&lt;li&gt; Sea X un espacio topológico. Definamos una relación de equivalencia R en
X, por x R y, ssi, cl{x} = cl{y}. Probar que el espacio cociente es &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;.

&lt;li&gt; Sea X un espacio topológico y sea ∼ la relación en X tal que x ∼ y, ssi,
x ∈ cl{y}. La relación es reflexiva y simétrica. La relación es antisimétrica,
ssi, el espacio es &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;.

&lt;li&gt; Sea X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, i ∈ I una familia no vacía de espacios topológicos no vacíos y sea X su producto topológico. Probar que X es un espacios T&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;, k = 0, 1, 2, ssi,
cada espacio X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; lo es.
&lt;li&gt; Sean f, g : X → Y continuas y supongamos que Y es Hausdorff.
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; El conjunto {x ∈ X : f(x) = g(x} es un conjunto cerrado.
&lt;li&gt; La gráfica de f, {(x, y) ∈ X × Y : y = f(x)} es cerrado en X × Y .
&lt;li&gt; Si f y g coinciden sobre un subconjunto denso, entonces son iguales.
&lt;/ol&gt;
&lt;li&gt; Sea X un espacio topológico y sea R una relación de equivalencia en X, sea
g : X → X/R the canonical suprayección. Si (1) R es cerrado en X ×X y
(2) g es una función abierta, entonces X/R es Hausdorff.

&lt;li&gt; La única topología Hausdorff en un espacio finito es la topología discreta.

&lt;li&gt; Subespacios de espacios regulares son regulares.

&lt;li&gt; Sea X = {a, b, c} y sea T = {&amp;empty; ,X, {a}, {b, c}}. Probar que &lt; X, T &gt;
satisface la propiedad &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;, pero no es regular.

&lt;li&gt; Un espacio X es completamente regular, ssi, es &lt;i&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt; y satisface la propiedad
T&lt;sub&gt;3 1/2&lt;/sub&gt; para cada p de X y conjunto cerrado F que no contiene a p, hay una
función continua de X en [0, 1] tal que f(p) = 0 y f(F) = {1}. (Advertencia:
la terminología no está estandarizada, algunos autores intercambian
el significado de completamente regular y T&lt;sub&gt;3 1/2&lt;/sub&gt;. También son llamados espacios de Tychonoff).
 &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
 &lt;li&gt; Cada espacio completamente regular es regular.
&lt;li&gt; Producto de espacios completamente regulares son completamente regulares.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sean f, g : X → Y funciones continuas, Y un espacio Hausdorff. Probar
que {x ∈ X : f(x) = g(x)} es cerrado. Dar un ejemplo mostrando que la
condición Hausdorff es esencial.

&lt;li&gt; Sea X un espacio topológico Hausdorff y f una función continua de X en si
mismo. Probar que el conjunto formado por los puntos fijos de F es cerrado.
Dar un ejemplo, mostrando que la condición Hausdorff es esencial.

&lt;li&gt;  Probar que cuando f, g : X → Y son continuas, Y es Hausdorff, y A es un
subconjunto denso en X. Entonces, si f|&lt;sub&gt;A&lt;/sub&gt; = g|&lt;sub&gt;A&lt;/sub&gt;,
se cumple que f = g.

&lt;/ol&gt;

{{Categoría:Espacios Métricos}}
&lt;!-- 13 de Agosto de 2016 --&gt;
&lt;!-- 30 de Octubre de 2016 --&gt;
&lt;!--  121916 --&gt;

&lt;!--   4 de abril de 2019 --&gt;</text>
      <sha1>6ekxmi2odzq5smajsgz3709st3pums8</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Matemáticas/Espacios Métricos/Topología de Matrices</title>
    <ns>0</ns>
    <id>53986</id>
    <revision>
      <id>428926</id>
      <parentid>421066</parentid>
      <timestamp>2026-07-26T16:00:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
      <origin>428926</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="24797" sha1="mjeobjcm4y1g6w2jud4fd6lj5cjl09p" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
&lt;!-- LA TOPOLOGÍA DE LAS MATRICES --&gt;
&lt;noinclude&gt;
{{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos
|actual=Topología de Matrices
|anterior=Separación
|siguiente=Grupos Topológicos}}
&lt;/noinclude&gt;
== Introducción ==

En este capítulo, y en los dos siguientes, presentaremos aplicaciones de lo visto anteriormente a  ciertos grupos geométricos. Los grupos geométricos son objetos algebraicos asociados a nociones geométricas. En nuestro caso, se tratará de la geometría de los espacios Euclídeos  &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

Los grupos (abstractos o generales) se estudian en los cursos de Álgebra Abstracta,
lo necesario para este capítulo está resumido en el apéndice C. Los principales
grupos geométricos aparecerán como conjuntos de matrices, por lo que
iniciaremos el capítulo estudiando la topología de las matrices n × n. En la tercera
sección, generalizaremos lo visto en grupos de matrices a grupos topológicos
cualesquiera. Finalmente, aplicaremos lo anterior a la topología de los grupos geométricos.
Para concretar lo anterior consideremos a &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;. (grupo lineal) que será el
conjunto de todas las matrices n×n cuyo determinante no es nulo. Este conjunto
como veremos, puede considerarse un subconjunto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, por lo que resulta natural
preguntarse por la topología del mismo: ¿es abierto o cerrado? ¿es conexo?
¿es compacto?
Además de presentar alguna matemática interesante por sí mismo, queremos,
como dijimos arriba, mostrar como se aplican los conceptos vistos a esos conjuntos
de matrices.

Este capítulo requiere un conocimiento básico de Álgebra Lineal. Cuando una lectora o lector no posea dicho conocimiento, puede hallar algunas dificultades en la lectura del mismo. Sin embargo, en cualquier caso, creemos que la lectura de estos capítulos puede ser provechoso, usando algo de fe para los resultados de Álgebra Lineal.

== El Espacio Métrico de las Matrices ==
Simbolizaremos por &lt;b&gt;M&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(R)&lt;/b&gt; al conjunto formado por todas las matrices n × n
con entradas en los Reales. Cada matriz A = [a&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; ] puede identificarse con un
punto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; , colocado las filas, ordenadamente, una tras otra. Es decir que a&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; ⇆ b&lt;sub&gt;(i−1)n+j&lt;/sub&gt; .

&lt;b&gt;Ejemplo 13.2.1. &lt;/b&gt;En &lt;b&gt;M&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;(R)&lt;/b&gt;,

&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\begin{bmatrix}
a_{11} &amp; a_{12} \\
a_{21} &amp;  a_{22}
\end{bmatrix}  \rightleftarrows (a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}) \in R^4.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

La identificación de &lt;b&gt;M&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(R)&lt;/b&gt; con &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; provee, por lo tanto, a &lt;b&gt;M&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(R)&lt;/b&gt; con la estructura de espacio normado y, en consecuencia, con la métrica deducida de tal norma. Luego, podremos aplicar a &lt;b&gt;M&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(R)&lt;/b&gt; las nociones métricas y topológicas vistas anteriormente.

Cada subconjunto de &lt;b&gt;M&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(R)&lt;/b&gt; será un subespacio con la topología
relativa. Cualquier métrica de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; define la misma topología en &lt;b&gt;M&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(R)&lt;/b&gt;, pero como estamos interesados en los grupos geométricos usaremos la norma euclídea, a menos que se indique lo contrario.

Recordemos que las proyecciones (o coordenadas) p&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; : (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;) &amp;#8614; x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;,
1 ≤ i ≤ m de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; son funciones continuas. Recordemos, también, que una
función f : E &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, en particular m = n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, es continua, ssi, la composición
con cada una de las proyecciones es continua, o como diremos si es continua por
coordenadas.

Cuando A = [a&lt;sub&gt;ij}&lt;/sub&gt;] sea una matriz &lt;math&gt;n \times n&lt;/math&gt;, denotaremos  las coordenadas como pares i,j o ij con &lt;math&gt;0 \le i,j \le n&lt;/math&gt;. Así la coordenada ij de la matriz A es &lt;math&gt;a_{ij}&lt;/math&gt;.

=== Las Operaciones Matriciales son Funciones Continuas ===
La suma, resta, y producto de matrices n × n, son funciones continuas 
&lt;center&gt;
&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;
× &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;
&amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; . 
&lt;/center&gt;

También es continua la multiplicación por escalar.
Para probar lo anterior, basta con ver la continuidad por coordenadas. En efecto,
sean A = [a&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; ] y B = [b&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; ] matrices en &lt;b&gt;M&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(R)&lt;/b&gt; = &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Las coordenadas &lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; de
la suma, resta y multiplicación son, respectivamente,
&lt;center&gt;
a&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; + b&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
a&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; − b&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;y&amp;nbsp; &amp;sum;&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;
a&lt;sub&gt;ik&lt;/sub&gt; b&lt;sub&gt;kj&lt;/sub&gt;.
&lt;/center&gt;
Como dichos valores son polinomios en las coordenadas de los operandos, vemos
que son funciones continuas. (Ver la sección 6.5.3).
Resumimos la discusión anterior en la siguiente proposición.

&lt;b&gt;Proposición 13.2.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;La suma, resta y multiplicación son operaciones continuas en M&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;). &lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;
Se verifica que la suma y la multiplicación son asociativas, que la multiplicación
es distributiva respecto a la suma. La suma es conmutativa, pero la multiplicación
no lo es.
La matriz identidad I es una matriz cuyas entradass en la diagonal principal
son todas iguales a 1 y las demas entradas son nulas. Se verifica que para toda
matriz A se cumple que AI = IA = A.


&lt;b&gt;Ejemplo. &lt;/b&gt;La matriz identidad de &lt;math&gt;M_3(\mathbb{R})&lt;/math&gt; es
&lt;math&gt;\begin{bmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1 &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;.

=== La Función Determinante y el Grupo Lineal ===

El determinante es una función de &lt;b&gt;M&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(R)&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; definida como &lt;center&gt;&lt;math&gt;\det([a_{ij}]) := \sum_\sigma (-1)^{\text{sgn}(\sigma)} a_{i\,\sigma(i)},&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
donde la suma corre sobre todas las permutaciones &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; de los elemento del conjunto {1, 2, ... , n} y &lt;math&gt;\sgn(\sigma)&lt;/math&gt; es el signo de la permutación.
Se verifica la siguiente importante relación (a la que nos referiremos como la
identidad básica del determinante).
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\det(AB) = \det(A) \det(B). \qquad(IBD)
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Sigue de la definición que el determinante de la matriz identidad es igual a 1.

Decimos que una matriz A es invertible cuando hay una matriz &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;AB=I&lt;/math&gt;. Dicha matriz &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; es única y se denota &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.

Sigue de la identidad~{IBD} que cuando una matriz &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es invertible se cumple que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;

\det(A)\det(A^{-1}) =\det(AA^{-1}) = \det(I) = 1.

&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Por lo que el determinate de una matriz  invertible no es cero. Se verifica que el converso es válido, por lo que una matriz es invertible, ssi, su determinante no es nulo. En particular la matriz identidad es invertible.

Notemos que cuando &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es invertible, &lt;math&gt;\det(A^{-1})=1/\det(A)&lt;/math&gt;.
Simbolizaremos por &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; al conjunto formado por todas las matrices n × n

invertibles.
Cuando A y B son matrices invertibles, se cumple que

::(i) El producto AB es invertible, con (AB)&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = B&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;A&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;, y
::(ii) La inversa de A es invertible con (A&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = A.

En la terminología de Álgebra Abstracta, las propiedades anteriores, conjuntamente con la asociatividad del producto, hacen que &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; tenga una estructura de grupo (ver definición C.1), al que llamamos el &lt;b&gt;grupo lineal&lt;/b&gt; (real de dimensión
n). Con esa terminología, la relación básica establece que el determinante es un
homomorfismo (ver definición C.4) de grupos entre los grupos &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; y &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; (los Reales no nulos) que se verifica, además, que es suprayectivo. Sigue de la teoría de grupos, que la preimagen de cualquier subgrupo de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; será un subgrupo de
&lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; (ver D.4.2). En particular, la preimagen del subgrupo {1} de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es un subgrupo de &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;, al que llamamos el (sub)&lt;b&gt;grupo lineal especial&lt;/b&gt; y que denotamos por
&lt;b&gt;SL(n)&lt;/b&gt;.

&lt;b&gt;Proposición 13.2.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;La función determinante es continua. &lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sigue de la definición que se trata de un polinomio en las coordenadas,
por lo que es continua.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 13.2.3. &lt;/b&gt;El grupo lineal &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; es un subconjunto abierto de &lt;b&gt;M&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(R)&lt;/b&gt;.

El grupo lineal especial &lt;b&gt;SL(n)&lt;/b&gt; es un subconjunto cerrado (topológicamente) de
&lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;.

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Como det : &lt;b&gt;M&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(R)&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; es continua y &lt;b&gt;GLn(R)&lt;/b&gt; es la preimagen por determinante de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; (reales no nulos), que es un subconjunto abierto
de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, se tiene que &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; es abierto.
Por su parte, &lt;b&gt;SL(n)&lt;/b&gt; es la preimagen por el determinante del subconjunto cerrado
{1} en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 13.2.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;La asociación a cada matriz invertible A = [a&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; ] de su inversa
es una función continua.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Tenemos, por la Regla de Cramer, que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
(A^{-1})_{ij} = \frac{1}{\det(A)}(-1)^{i+j} C_{ij},
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
donde C&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; es el &lt;i&gt;ij&lt;/i&gt;–cofactor (el determinante de la matriz (n − 1) × (n − 1) que
se obtiene a partir de A por eliminación de la i–ésima fila y la j-ésima columna).
Sigue de la regla de Cramer que cada coordenada de la inversa es igual a un cociente de dos funciones continuas, el numerador siendo una suma de funciones continuas (determinantes), el denominador otra fución continua (también un determinante). Luego, &lt;math&gt;A \mapsto A^{-1}&lt;/math&gt; es continua.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;
&lt;b&gt;Corolario 13.2.5. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; La función &lt;math&gt;A \mapsto A^{-1}&lt;/math&gt; es un homemorfsimo de &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; en si mismo.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; La función &lt;math&gt;A \mapsto A^{-1}&lt;/math&gt; es su propia inversa (como función) ya que &lt;math&gt;(A^{-1})^{-1}=A.&lt;/math&gt;
&lt;/ul&gt;{{QED}}

&lt;hr&gt;
&lt;hr&gt;

=== La Conjugación ===
Sea G un grupo. Se llama &lt;b&gt;conjugación&lt;/b&gt; por (un elemento) g de G, a la función del grupo en sí mismo tal que x &amp;#8614; gxg&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; (el conjugado por g de x).

&lt;b&gt;Proposición 13.2.5. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;La conjugación es un homeomorfismo para todo g. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;La conjugación c&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt; es la composición de la multiplicación por la izquierda por g, con la multiplicación por la derecha por g−1
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
x \mapsto (x, g^{-1}) \overset{*}{\mapsto} xg^{-1} \mapsto (g,xg^{-1})\overset{*}{\mapsto} gxg^{-1}.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Lo que prueba que &lt;math&gt;c_g&lt;/math&gt; es continua.
Notemos que &lt;math&gt;c_g(c_h(x)) = c_g(hxh^{-1}) = ghx h^{-1}g^{-1}=(gh)x(gh)^{-1}&lt;/math&gt;. Es decir que &lt;math&gt;c_gc_h = c_{gh}&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;h=g^{-1}&lt;/math&gt;, se tiene que &lt;math&gt;c_gc_h =c_{gg^{-1}} = c_I = id&lt;/math&gt;. Es decir que &lt;math&gt;c_g&lt;/math&gt; es invertible como función, y la función inversa es continua, ya que también es una conjugación.
Recordemos que decimos  que un subgrupo es &lt;b&gt;normal&lt;/b&gt; en G cuando los conjugados de cada uno desus elementos es un elemento del subgrupo. Por ejemplo, &lt;b&gt;SL(n)&lt;/b&gt; es normal en &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;,

ya que para toda A en &lt;b&gt;SL(n)&lt;/b&gt; y B en &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; se cumple que
&lt;center&gt;
det(BAB&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;) = det(B) det(A) det(B&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;) = det(A) = 1.
&lt;/center&gt;
&lt;hr&gt;

== Las Matrices y las Transformaciones Lineales ==
Cualquier matriz &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n \times n&lt;/math&gt;, define una función de &lt;math&gt;\mathbb{R}^ n&lt;/math&gt; en si mismo, asignando a cada &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^ n&lt;/math&gt; el vector &lt;math&gt;Ax&lt;/math&gt;.  Identificamos a los vectores con matrices  &lt;math&gt;n \times 1&lt;/math&gt; (vectores columnas) y usamos la multiplicación general de matrices (filas por columnas).
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
Ax = \begin{bmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; \dots &amp;a_{1n} \\
a_{21} &amp; a_{22} &amp; \dots &amp; a_{2n}\\
\vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\
a_{n1}&amp; a_{n2} \dots &amp; a_{nn}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} \sum_j a_{1j}x_j \\ \sum_j a_{2j}x_j \\ \vdots \\
\sum_j a_{nj}x_j \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Simbolizaremos por &lt;math&gt;L_A&lt;/math&gt; o simplemente por &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dicha función. Se cumple que
:(i) L&lt;sub&gt;A&lt;/sub&gt;(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = L&lt;sub&gt;A&lt;/sub&gt;(x) + L&lt;sub&gt;A&lt;/sub&gt;(y)
:(ii) L&lt;sub&gt;A&lt;/sub&gt;(αx) = A(αx) = αAx = αL&lt;sub&gt;A&lt;/sub&gt;(x).

Tales propiedades establecen que la función L&lt;sub&gt;A&lt;/sub&gt; es una transformación ineal (en la terminología del Álgebra Lineal). En los cursos de Álgebra Lineal, se prueba que una vez seleccionada una base B de un espacio vectorial, podemos representar a cada transformación lineal T por una matriz T&lt;sub&gt;B&lt;/sub&gt; (llamada ''matriz de coordenadas'' de T) tal que las funciones A &amp;#8614; L&lt;sub&gt;A&lt;/sub&gt; y T &amp;#8614; T&lt;sub&gt;B&lt;/sub&gt; son inversas una de la otra. Las columnas de la matriz de coordenadas son las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base.

=== Las Matrices Ortogonales ===

&lt;div style=&quot;background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;&quot; class=&quot;theorem&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;&quot;&gt;Definición. (Transformación Ortogonal)&lt;/span&gt;
Sea E = &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; el espacio Euclídeo de dimensión n. Una transformación lineal T es ortogonal, ssi, preserva el producto interior, es decir, ssi, para todo x, y en E se cumple que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;T(x) \cdot T(y) = x \cdot y. \qquad&lt;/math&gt;  (TO) &lt;/center&gt;&lt;/div&gt;


&lt;b&gt;Proposición 13.2.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cuando T es transformación lineal ortogonal se cumple lo
siguiente:
:(a) T preserva la norma (o largo de los vectores), ||T(x)|| = ||x||.
:(b) T preserva el origen, T(0) = 0.
:(c) T preserva la ortogonalidad (perpendicularidad) entre vectores.
:(d) La composición de transformaciones ortogonales es ortogonal.
:(e) Cuando T es biyectiva, su inversa es ortogonal.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Ejercicio 
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

Sea B = {v&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , v&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;} un base ortonormal de E, o sea que los vectores v&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; tienen largo 1 y son mutuamente ortogonales. Lo que podemos simbolizar como que
v&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; · v&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt; = δ&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; , donde δ&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; es el delta de Kronecker, definido como δ&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; = 1, cuando i = j, y 0 en caso contrario.

Cuando T es ortogonal, sigue de la proposición anterior,
que las imágenes de los vectores de una base ortonormal forman un conjunto
ortonormal de vectores, que se verifica que también es una base ortonormal del
espacio.

Supongamos que A = [a&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; ] es la matriz de una transformación lineal ortogonal
respecto a una base ortonormal. Llamando w&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... ,w&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; a las columnas de la matriz
A, tenemos que dicho conjunto de vectores es ortonormal. Esto implica que para
todo 1 ≤ i, j &amp;le; n se cumple que w&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; · w&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt; = δ&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; (o sea igual a 1 cuando i = j y 0 en
caso contrario). Con la notación introducida arriba, tenemos que
{{eqn|&lt;math&gt;
w_i = \begin{bmatrix} a_{1,i} \\ a_{2,i} \\ \vdots \\a_{n,i} \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;}}
Luego,
{{eqn|&lt;math&gt;
w_i \cdot w_j = \sum_k a_{k,i} a_{k,j} = \delta_{ij}. 
&lt;/math&gt;|*}}

Sea B = [b&lt;sub&gt;&amp;eta;,μ&lt;/sub&gt;] = A&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt; la transpuesta de A &lt;ref&gt;La  transpuesta A&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt; de una matriz A, es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas de A.&lt;/ref&gt;. Entonces, b&lt;sub&gt;&amp;eta;,μ&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;μ,&amp;eta;&lt;/sub&gt; . Escribiendo (*) usando los b&lt;sub&gt;&amp;eta;,μ&lt;/sub&gt;, tenemos que
{{eqn|&lt;math&gt;
w_i \cdot w_j = \sum_k b_{i,k} a_{k,j}
&lt;/math&gt;|**}}

Podemos interpretar el número de la derecha como el elemento en la posición (i, j) del producto BA =  A&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt; A. 
&lt;!-- (A&lt;sup&gt;t &lt;/sup&gt; es la transpuesta de A, o sea la matriz que se obtiene intercambiando las filas por columnas de la matriz A.)--&gt;
Por las relaciones obtenidas, esos elementos son
nulos si i &amp;ne; j y son 1 si i = j. Es decir que hemos probado que
{{eqn|&lt;math&gt;
A^t \, A = I. &lt;/math&gt;|MO }}
&lt;/center&gt;
Notemos que la relación implica que A es invertible y que su inversa es A&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt;.

Simbolizaremos por &lt;b&gt;O&lt;/b&gt;(n) al conjunto formado por todas las matrices que satisfacen la relación (MO). Claramente, ese conjunto no es vacío ya que la (matriz) identidad &lt;b&gt;I&lt;/b&gt; tiene esa propiedad. Recordando que el determinante de una transpuesta es igual al determinante de la matriz original,por lo que usando la relación (MO) tenemos que
&lt;center&gt;
1 = det(I) = det(A&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt;A) = det(A&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt;) det(A) = det(A)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;.
&lt;/center&gt;

Luego, el determinante de una matriz ortogonal puede ser 1 o −1. La matriz identidad es una transformación ortogonal con determinante igual a 1. Sea A una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son nulos, y todos los elementos de su diagonal son 1, excepto el último que es -1.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\begin{bmatrix}
 1 &amp; 0 &amp; \dots &amp; \dots &amp; 0     \\
 0 &amp; 1 &amp; \dots &amp; \dots &amp; 0  \\
 0  &amp; 0 &amp; \ddots &amp;   &amp; \vdots \\
 0 &amp; 0 &amp; \dots  &amp;1 &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; \dots &amp; 0 &amp; -1
 \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Claramente, AA&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt;=I, por lo que A es ortogonal  y su determinante  es igual a −1.
Sigue de esa discusión, que la restricción de la función determinante a &lt;b&gt;O&lt;/b&gt;(n)
tiene como imagen al espacio discreto {1,−1}, concluimos que &lt;b&gt;O&lt;/b&gt;(n) es disconexo como espacio topológico.Denotaremos por &lt;b&gt;O&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;(n) (resp. &lt;b&gt;O&lt;sup&gt;-&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;(n)) al subconjunto de &lt;b&gt;O&lt;/b&gt;(n) formado por todas las matrices ortogonales con determinante igual a 1
(resp. −1).

&lt;b&gt;Proposición 13.2.5. &lt;/b&gt;&lt;/i&gt;&lt;b&gt;O&lt;/b&gt;(n) es un subgrupo de &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;, al que llamaremos &lt;b&gt;grupo ortogonal&lt;/b&gt; (de dimensión n). &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Recordemos que la matriz identidad es un elemento de &lt;b&gt;O&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;(n). Sean A, B matrices ortogonales. Entonces,
:(i) (AB)&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt; AB = B&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt;A&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt;AB = B&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt;(A&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt;A)B = B&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt;B = I, o sea que el producto de ortogonales es ortogonal.
:(ii) Recordemos que cuando A es ortogonal, su inversa es A&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt;. Entonces, la relación
AA&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = I implica que (A&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;A&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = I, o sea que (A&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;t &lt;/sup&gt;A&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = I,
:o sea que A&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; es ortogonal. Esto concluye la prueba.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

Sea A = [A&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; ] una matriz ortogonal. Entonces, usando la norma euclídea,
tenemos que:
{{eqn|&lt;math&gt;||A||^2 = \sum_{i,j}  a_{ij}^2
&lt;/math&gt;}}
Como las columnas de la matriz A forman un conjunto ortonormal, tenemos que
la norma de cada columna es igual a 1. Por lo que reagrupando la suma anterior
por columnas, tendremos que
{{eqn|&lt;math&gt;
||A||^2 = \sum_{i=1}^n (\sum_j a_{ij}^2) = \sum_{i =1}^n 1  = n.
&lt;/math&gt;}}
Por lo que ||A|| = √n. Lo que implica que &lt;b&gt;O&lt;/b&gt;(n) es un conjunto acotado.

Consideremos ahora, la función A &amp;#8614; A&lt;sup&gt;t &lt;/sup&gt;A de &lt;b&gt;M&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(R)&lt;/b&gt; en sí mismo. Es fácil ver
que esa función es continua, A &amp;#8614; (A&lt;sup&gt;t &lt;/sup&gt;,A) &lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&amp;rarr; A&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt;A. Como &lt;b&gt;O&lt;/b&gt;(n) es la preimagen por esa función de {I}, vemos que &lt;b&gt;O&lt;/b&gt;(n) es cerrado. Como es cerrado y acotado
en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, por el teorema de Heine–Borel (11.5.5), &lt;b&gt;O&lt;/b&gt;(n) es un conjunto compacto.


&lt;b&gt;Proposición 13.2.6. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;El grupo &lt;b&gt;O&lt;/b&gt;(n) es un subgrupo compacto de &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;.&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 13.3.1 (Grupo no Acotado). &lt;/b&gt;El grupo &lt;b&gt;SL&lt;/b&gt;(2) no es acotado en &lt;b&gt;M&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;(R).&lt;/b&gt;

En efecto, sea &lt;math&gt;A =\begin{bmatrix} 1 &amp; n \\ 0 &amp;1 \end{bmatrix}.&lt;/math&gt;
Entonces, det(A) = 1 y ||A|| = √(n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 2). Lo que
muestra que el grupo lineal especial no puede ser acotado.
&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 13.2 ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; En el texto, se dice que la función determinante es suprayectiva, explicar
porque eso es cierto.

&lt;li&gt; La función A &amp;#8614; A&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt; de &lt;b&gt;M&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(R)&lt;/b&gt; en sí mismo es continua.

&lt;li&gt; Hallar la norma euclídea de cada una de las siguientes matrices.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\begin{bmatrix} a&amp;0 \\ 0 &amp; b \end{bmatrix}, \qquad
\begin{bmatrix} 1 &amp; n \\ 0 &amp; 1 \end{bmatrix}, \qquad
\begin{bmatrix} a &amp; - b \\ b &amp; a \end{bmatrix} \  a^2 + b^2 = 1.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
&lt;li&gt; Sea G el conjunto de todas las matrices 2 × 2 cuyas entradas son todas números
racionales. Probar que G es un subgrupo de GL(2) que no es cerrado
en GL(2). ¿Cuál es la clausura de G en GL(2)?

&lt;li&gt; Los grupos &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; y &lt;b&gt;SL(n)&lt;/b&gt; no son acotados como subconjuntos de &lt;b&gt;M&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(R)&lt;/b&gt;.
 &lt;li&gt; &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; es por restricción de la distancia euclídea un espacio métrico. Luego,
es un espacio completamente normal—ver teorema 12.3.5. ¿Qué se puede
decir de &lt;b&gt;SL(n)&lt;/b&gt; y de &lt;b&gt;O&lt;/b&gt;(n)?

&lt;li&gt; Sean H un subgrupo cerrado de &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; y K un subgrupo cerrado de H.
Probar que K es cerrado en &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;.

&lt;li&gt; Probar que &lt;b&gt;O&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;(n) es un subgrupo cerrado de &lt;b&gt;O&lt;/b&gt;(n) y, por lo tanto, de &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;.
¿Por qué &lt;b&gt;O&lt;sup&gt;-&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;(n) no puede ser un grupo? ¿Es &lt;b&gt;O&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;(n) compacto, acotado?

&lt;li&gt; Sea UT(2) el conjunto de matrices 2×2 tal que el elemento bajo la diagonal
es 0. Probar que UT(2) es un subgrupo cerrado de &lt;b&gt;GL(2)&lt;/b&gt; .

&lt;!---

&lt;li&gt; Cualquier subgrupo compacto de GL(2) es un subgrupo topológicamente cerrado.

&lt;hr&gt;
--&gt;

&lt;li&gt; (Ortogonales de dimensión 1) (Matrices 1 × 1 se identifican con números
reales) Probar que O(1) = {1,−1}. Identificar a O&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;(1).

&lt;li&gt; (Ortogonales de dimensión 2.)
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Probar que las matrices de la forma
&lt;math&gt;\begin{bmatrix} \cos(\theta) &amp; -\sen(\theta) \\ \sen(\theta) &amp; \cos(\theta) \end{bmatrix}&lt;/math&gt;,   θ real, son
ortogonales con determinante 1.

&lt;li&gt; Probar que toda matriz ortogonal con determinante 1 tiene una matriz
de la forma anterior. (Sug. Verificar que cualquier vector de largo 1
tiene la forma necesaria para aparecer como columna de la matriz.
Usar que cuando (a, b) es un vector cualquiera, los únicos vectores de
igual largo y ortogonales a él, son (−b, a) y (b,−a).)

&lt;li&gt; Sea J = &lt;math&gt; \begin{bmatrix} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; -1 \end{bmatrix}.&lt;/math&gt;
Probar que J es ortogonal con determinante igual a −1.

&lt;li&gt; Sea ϕ : &lt;b&gt;O&lt;sup&gt;-&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;(2) &amp;rarr; &lt;b&gt;O&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;(2)&lt;/b&gt; la función que asocia a cada B en &lt;b&gt;O&lt;sup&gt;-&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;(2) con el producto JB. Probar que ϕ es un homeomorfismo.

&lt;li&gt; ¿Es O(2) conexo?
&lt;/ol&gt;


&lt;li&gt; Sea A una matriz n × n con determinante nulo. Para todo ε &gt; 0 hay una
matriz B tal que ||B − A|| &lt; ε y el determinante de B no es nulo.

&lt;li&gt; Sea A una matriz n × n y sea B la matrix (n + 1) × (n + 1) tal que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
B = \begin{bmatrix} A &amp; \vdots &amp; 0 \\ \dots &amp; &amp; \dots \\ 0 &amp; \vdots &amp;1 \end{bmatrix}.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Probar que A es ortogonal, ssi, B lo es. Usar el resultado para probar que
podemos considerar a &lt;b&gt;O&lt;/b&gt;(n) como un subgrupo cerrado de &lt;b&gt;O&lt;/b&gt;(n + 1).
&lt;li&gt; Sea A una matriz n×n con determinante no nulo. Probar que hay un ε &gt; 0
tal que para toda matriz B tal que max{|b&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; − a&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; |1 ≤ i, j ≤ n} &lt; ε, se
cumple que det(B) &amp;ne; 0.

&lt;li&gt; Sea &lt;math&gt;\mathcal{B}&lt;/math&gt; una base ortonormal de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.  Sean &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; vectores de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, cuyas matrices de coordenadas respecto a la base &lt;math&gt;\mathcal{B}&lt;/math&gt; son las matrices &lt;math&gt;n \times 1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[x_i]&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;[y_i]&lt;/math&gt; respectivamente.  Entonces, se cumple que
&lt;center&gt; &lt;math&gt;x \cdot y = [x_i]^t [y_i].&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; Usar esa relación para probar la  proposición 13.3.2.

&lt;li&gt; Sea &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; una matriz &lt;math&gt;n \times n&lt;/math&gt; con determinante nulo. Para todo &lt;math&gt;\varepsilon &gt;0&lt;/math&gt; hay una matriz &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;||B-A|| &lt; \varepsilon&lt;/math&gt; y el determinante de &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; no es nulo.


&lt;li&gt; Considerar el espacio normado &lt;math&gt;M_n(\mathbb{R})&lt;/math&gt; y sea &lt;math&gt;Exp(X)&lt;/math&gt; la serie de potencias definida en el ejercicio 4 del final del capítulo sobre Sucesiones. Para cada matrix &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;Exp(A)&lt;/math&gt; es otra matriz, la &lt;i&gt;matriz exponencial&lt;/i&gt; de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.  Para toda matriz &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; se cumple que
    &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt; &lt;math&gt;Exp (0_n) = I_n&lt;/math&gt;.
    &lt;li&gt; &lt;math&gt;Exp(\alpha A) Exp(\beta A) = Exp((\alpha + \beta) A)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.
    &lt;li&gt; &lt;math&gt;Exp(A)&lt;/math&gt; es invertible y &lt;math&gt;Exp(A)^{-1} = Exp(-A)&lt;/math&gt;.
    &lt;li&gt; &lt;math&gt;Exp(A^t) = (Exp(A))^t&lt;/math&gt;.
    &lt;/ol&gt;

Luego, &lt;math&gt;Exp&lt;/math&gt; define una función de &lt;math&gt;M_n(\mathbb{R})&lt;/math&gt; en &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; que es central en la teoría de grupos de Lie, grupos donde las operaciones son derivables (en el sentido del Cálculo Infinitesimal) y, por lo tanto, continuas.

&lt;/ol&gt;

== Referencias ==
[[Categoría:Espacios Métricos]]

[[Categoría: Matemáticas]]

&lt;!-- 3 de Noviembre de 2016; 121816--&gt;

&lt;!-- 22 de marzo de 2019 --&gt;</text>
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    </revision>
  </page>
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    <title>Matemáticas/Espacios Métricos/Espacios Topológicos</title>
    <ns>0</ns>
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      <timestamp>2026-07-26T15:59:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
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      </contributor>
      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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&lt;noinclude&gt;
{{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos
|actual=Espacios Topológicos
|anterior=Sucesiones
|siguiente=Productos y Cocientes
}}
&lt;/noinclude&gt;
__TOC__&lt;!--

LOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS

chTopologia --&gt;

== Introducción ==

Hemos analizado, en los capítulos anteriores,  las posiciones relativas de puntos y conjuntos  usando métricas.  Hay, sin embargo,  situaciones interesantes donde la métrica no es lo más adecuado o, inclusive, puede que no haya una métrica posible; pero que  nos interese tener una noción de proximidad. Aquí es donde entra la noción de espacio topológico donde la noción de proximidad será dada por abiertos en lugar de distancias.


Si examinamos lo hecho en los capítulos anteriores, todas las nociones importantes: vecindad, interior, exterior, clausura, puntos aislados,  de acumulación,  continuidad, etc. fueron definidas usando la noción de abierto.
Por lo que podemos, a partir de una familia de ''abiertos'', tener todas las nociones indicadas arriba. Eso es, precisamente lo que haremos en este capítulo. Nuestro punto de partida será las propiedades de abiertos contenidas en la proposición 5.2.2.

== Las Definiciones Básicas ==

&lt;!-- sec0802--&gt;

{{DefRht|Topología, Espacio Topológico|Una topología en un conjunto X es un conjunto T de subconjuntos de X tal que:

:(I) El conjunto vacío y el conjunto X están en T ;
:(II) La reunión de una familia cualquiera de conjuntos en T está en T ;
:(III) La intersección de dos conjuntos de T está en T .

Un espacio topológico es un par &lt;X, '''T''' &gt; donde T es una topología de X.
Llamamos '''puntos''' del espacio a los elementos de X y (conjuntos) '''abiertos''' (de X) a los conjuntos de la topología. }}

&lt;!--ejEspTop --&gt;
&lt;b&gt;Ejemplos 8.2.1. &lt;/b&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Los espacios métricos son espacios topológicos cuya su topología está determinada por los abiertos definidos a partir de las  bolas abiertas. Mirar la proposición 5.2.4. Llamamos a esta topología la &lt;i&gt;topología inducida&lt;/i&gt; por la métrica.

En particular, llamamos  &lt;b&gt;línea real&lt;/b&gt; a los Reales &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; con la métrica usual.

&lt;li&gt; Llamamos espacio topológico &lt;b&gt;discreto&lt;/b&gt; a cualquier espacio donde cualquier subconjunto es abierto.

&lt;li&gt; Llamamos espacio topológico &lt;b&gt;indiscreto&lt;/b&gt; aun espacio donde los únicos abiertos son todo el espacio y el subconjunto vacío.

&lt;li&gt; Sea X = {a, b, c} y sea T = {X, &amp;empty;, {a}, {a, b}, {a, c}}. Es fácil verificar que T es una topología de X. Notemos que no hay abiertos que separen a
b y c (la propiedad de Hausdorff). Por lo que el espacio X no puede tener
una métrica cuyos abiertos coincidan con los elementos de T . Aunque, por
ahora, parezcan una curiosidad, estos espacios topológicos finitos pueden tener
algunas aplicaciones interesantes.
&lt;/ol&gt;

&lt;b&gt;Convenios.&lt;/b&gt; Como es usual, cuando no haya riesgo de confusión acerca de la topología, hablaremos simplemente del espacio X. De ahora en adelante, además, “espacio” siempre querrá decir “espacio topológico”, a menos que digamos algo distinto.

Cuando digamos que una función f : X &amp;rarr; Y es continua, implícitamente
suponemos que X y Y son espacios (topológicos).
&lt;!-- 8.2.1. --&gt;

=== Los Puntos y los Conjuntos Especiales ===

La terminología asociada con espacios topológicos es básicamente la misma
que aquella usada para espacios métricos. Enunciaremos las definiciones, principalmente para  comparaciones y futuras referencias.

{{DefRht|Vecindad| Sea X un espacio topológico. Una &lt;b&gt;vecindad&lt;/b&gt; de un
conjunto A (resp. de un punto p) es cualquier conjunto que contenga un abierto
que contenga a A (resp. a p).
}}

Veremos, brevemente las definiciones de cerrado, interior, exterior, clausura y
frontera. Revisar las definiciones para ver que formalmente coinciden con aquellas dadas en el capítulo 5.

{{DefRht|Cerrado| Un subconjunto de un espacio topológico es cerrado,
ssi, su complemento es abierto. }}

{{DefRht|Puntos Especiales| Sean X un espacio topológico, A un subconjunto de X y p un punto de X.

&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; El punto p es &lt;b&gt;interior&lt;/b&gt; de A, ssi, hay un abierto U que contiene a p y está contenido en A.

&lt;li&gt; El punto p es &lt;b&gt;exterior&lt;/b&gt; a A, ssi, es interior al complemento de A.

&lt;li&gt; El punto p es de &lt;b&gt;clausura&lt;/b&gt; de A, ssi, cada vecindad abierta de p tiene intersección no vacía con A.

&lt;li&gt; El punto p es de &lt;b&gt;frontera&lt;/b&gt; de A,ssi, es de clausura de A y de su complemento.

&lt;li&gt; El punto p es de &lt;b&gt;acumulación&lt;/b&gt; de A, ssi, cada vecindad de p contiene un punto de A diferente de p.  

&lt;li&gt; El punto p de A es &lt;b&gt;aislado&lt;/b&gt; en A, ssi, hay una vecindad de p donde el único punto de A es p.
&lt;/ul&gt;

}}

{{DefRht|Conjuntos especiales| Sea A un subconjunto de un espacio topológico.

&lt;ul&gt;

&lt;li&gt; El &lt;b&gt;interior&lt;/b&gt; de A (Int(A) o A&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;) es el conjunto de puntos interiores de A.

&lt;li&gt; El &lt;b&gt;exterior&lt;/b&gt; de A (Ext(A) ) es el conjunto de puntos exteriores de A.

&lt;li&gt; La &lt;b&gt;clausura&lt;/b&gt; de A (Cl(A) o A&lt;sup&gt;--&lt;/sup&gt;) es el conjunto de puntos de la clausura de A.

&lt;li&gt; La &lt;b&gt;frontera&lt;/b&gt; de A (Fr(A)) es el conjunto de puntos de la frontera de A.

&lt;/ul&gt;}}

Claramente las nociones coinciden con las correspondientes de espacios métricos. Queda de ejercicio:

:a) revisar las propiedades enunciadas en el capítulo 5 que no hagan referencias a nociones dependientes de distancias tales como diámetro, distancia entre conjuntos,etc.

:b) verificar su validez en el contexto de espacios topológicos. Ver también los ejercicios
Cada espacio métrico define una topología. Resulta natural preguntarse si podriamos dotar a cada espacio topológico  de una métrica de modo que la topología inducida por la métrica coincida con la topología del espacio. La respuesta es negativa, como se puede apreciar en el ejemplo 4 de 8.2.1.

Cuando en un espacio topológico haya una métrica cuya topología inducida coincide con la topología del espacio,  diremos que el espacio es &lt;b&gt;metrizable&lt;/b&gt;.

Suponiendo que el espacio fuera metrizable, ¿podemos del conocimiento de 
su topología recuperar la métrica?

La respuesta es negativa, como es fácil de ver. observando que cuando d es una métrica en el conjunto X, entonces d'(x, y) := 2d(x, y) es una métrica que genera los mismos abiertos que d. Más adelante veremos que las normas euclídeas, ciudad y máxima generan la misma topología en los &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Es decir que aún métricas muy diferentes pueden generar la misma topología (o sea la misma familia de abiertos).

&lt;i&gt;Observación 8.1 (Topologías definidas por Cerrados)&lt;/i&gt;. Observamos en el capítulo de abiertos y cerrados, que cerrado era una noción dual a la de abierto. Luego, cuando en un conjunto X tenemos una familia de conjuntos &lt;math&gt;\mathcal F&lt;/math&gt; tal que:

:(i) el conjunto vacío y el conjunto X están en &lt;math&gt;\mathcal F&lt;/math&gt; ,

:(ii) la intersección de cualquier familia de conjuntos de &lt;math&gt;\mathcal F&lt;/math&gt; está en &lt;math&gt;\mathcal F&lt;/math&gt; , y

:(iii) la reunión de dos conjuntos en &lt;math&gt;\mathcal F&lt;/math&gt; está en &lt;math&gt;\mathcal F&lt;/math&gt;;

tenemos una familia que tiene las propiedades de los cerrados en la proposición 
5.3.5. Por lo que podemos definir una topología formada por los complementos de los conjuntos en &lt;math&gt;\mathcal F&lt;/math&gt;.

=== Espacios Hausdorff ===

Un espacio Hausdorff es un espacio topológico tal que, para todo p, q en X
con p &amp;ne; q hay abiertos disjuntos U y V tales que p está en U y q está en V .

Decimos que tales abiertos separan puntos o distinguen puntos.

Los espacios métricos son espacios Hausdorff, así como los espacios discretos.

&lt;!-- 8.2.3. --&gt;

=== Subespacios ===

Sean X un espacio (topológico) y Y un subconjunto de X, ¿cuándo Y tendrá
una topología relacionada con la topología de X?

La respuesta no consiste simplemente en usar los abiertos de X que son subconjuntos de Y. Miremos, por ejemplo, una situación con espacios métricos. Si X = &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; y Y = [0, 1], tenemos que [0, 1/2) es un conjunto abierto en Y, aunque no lo sea en X. Los abiertos de Y, recordemos, eran las intersecciones de abiertos de X con Y . Esto
motiva la siguiente proposición.

&lt;b&gt;Proposición 8.2.1. &lt;/b&gt;&lt;I&gt; Sean &lt;X, T&gt; un espacio topológico, Y un subconjunto de X, y T&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt; := {U &amp;cap; Y : U &amp;isin; T }. Entonces, T&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt; es una topología en el conjunto Y .&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;

Demostración. &lt;/i&gt; Claramente, el conjunto vacío (&amp;empty; = &amp;empty; &amp;cap; Y ) y Y = X &amp;cap; Y están en T&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt;. Sea (U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), i &amp;isin; I, una familia de conjuntos de &lt;i&gt;T&lt;/i&gt;&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt; . Por definición, para cada i en I, hay un abierto V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; de X tal que U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; = V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; &amp;cap; Y. Entonces, 
&lt;math&gt;V = \bigcup_{i \in I} V_i&lt;/math&gt; es un abierto de X y como
{{Eqn|&lt;math&gt;U = \bigcup_i U_i = \bigcup_i (V_i \cap Y) = (\bigcup_i V_i) \cap Y = V \cap Y,&lt;/math&gt;}}
tenemos que &lt;math&gt;U = \bigcup_{i} U_i&lt;/math&gt; está en T&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt;.

Análogamente, suponiendo que I fuera finito, tenemos que:
{{Eqn|&lt;math&gt;
W = \bigcap_i U_i = \bigcap_i (V_i \cap Y) = (\bigcap_i V_i) \cap Y,
&lt;/math&gt;}}
lo que prueba que W está en T&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt;. En conclusión, T&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt; es una topología.
&lt;/ul&gt; {{QED}}
&lt;hr&gt;

{{DefRht|Subespacio|. Sean &lt;X, T &gt; un espacio topológico, Y un subconjunto
de X y T&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt; la topología formada por la intersección de los abiertos de X con Y. Decimos que el espacio topológico &lt;Y, T&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt; &gt; es un &lt;b&gt;subespacio&lt;/b&gt; (topológico) de &lt;X, T &gt;. Llamamos &lt;b&gt;topología relativa&lt;/b&gt; de Y (respecto a X) a la topología T&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt; .
}}

Cuando en el contexto queda claro acerca de que topología estamos hablando,
decimos simplemente que Y es un subespacio de X y supondremos que su
topología es la topología relativa.
&lt;hr&gt;


Sea A ⊂ X. Aunque cada abierto A de X induce un abierto A ∩ Y de Y , el
recíproco no es válido, en general.

&lt;b&gt;Proposición 8.2.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea Y un subespacio abierto de X (o sea que Y es abierto en X). Entonces, A es abierto en Y , ssi, A es abierto en X. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Ejercicio &lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;!-- 8.2.4.--&gt;

=== Ejercicios 8.2 ===

&lt;ol&gt;

&lt;li&gt; Sea X un espacio topológico y sean A y B subconjuntos cualesquiera de
X. Probar que

:a) El interior de A &amp;cap; B es igual a Int(A) &amp;cap; Int(B)
:b) El interior de A es igual a la reunión de todos los abiertos contenidos en A.
:c) La clausura de A &amp;cup; B es igual a la reunión de las clausuras de A y B.
:d) La clausura de A es igual a la intersección de todos los cerrados que contienen a A.
:e) Si A &amp;sub; B entonces Int(A) &amp;sub; Int(B) y Cl(A) &amp;sub; Cl(B).
:f) El interior del complemento de A es igual al complemento de la clausura de A.
:g) La clausura de A es la reunión de A con su frontera.
:h) El interior de A es A \ Fr(A).
:i) Fr(Cl(A)) &amp;sub; Fr(A) y Fr(Int A) &amp;sub; Fr(A).
:j) Fr(A &amp;cup;B) &amp;sub; Fr(A) &amp;cup; Fr(B).

&lt;li&gt; Sea X = [0,&amp;infin;[ &amp;sub; &lt;b&gt;R.&lt;/b&gt;

Sea T = {&amp;empty;,X} &amp;cup; {[a,+&amp;infin;]: a &amp;ge; 0}. Probar que T es una topología de X.

&lt;li&gt; (Topología del punto especial) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p
un punto de X. &lt;br&gt;

Probar que T&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; = {&amp;empty;} &amp;cup; {A &amp;sub; X : p &amp;isin; A} es una topología de X.

&lt;li&gt; (Topología del punto excluido) Sea X cualquier conjunto no vacío y sea p
un punto de X.

Probar que T&lt;math&gt;_{\neg\ p}&lt;/math&gt; = {X} &amp;cup; {A &amp;sub; X : p &amp;notin; A} es una topología de X.

&lt;li&gt; (Topología de los complementos finitos) Sea X cualquier conjunto infinito.

Probar que T = {&amp;empty;} &amp;cup; {A &amp;sub; X : X \ A es finito } es una topología de X.


&lt;li&gt; Sea X un espacio con la topología del punto especial p. ¿Cuál es la clausura de {p}? Probar que cuando F es un subconjunto cerrado propio de X, su interior es vacío.

&lt;li&gt; (Espacio de Sierpinski) Sea X = {a, b} y sea T = {&amp;empty;,X, {a}}.
:a) Verificar que T es una topología en X que coincide con la topología del punto especial para ''a'' y con la topología del punto excluido para ''b''.
:b) Hallar el interior, el exterior, la clausura y la frontera de los conjuntos {a} y {b}.

&lt;li&gt; ¿Cuáles de los siguientes espacios topológicos son Hausdorff?

:a) Los Reales.
:b) Un espacio discreto.
:c) Un espacio indiscreto.
:d) Un espacio con la topología de complementos finitos (ver definición en un ejercicio anterior).
: e) Un espacio métrico cualquiera.

&lt;li&gt; Sean X un espacio y Y, Z subespacios de X con Z &amp;sub; Y . Probar que la
topología relativa de Z como subespacio de Y coincide con la topología
relativa de Z como subespacio de X.

&lt;li&gt; Sean X un espacio, A y B subespacios de X y C un subconjunto de A &amp;cap; B.

Si C es abierto respecto a las topologías relativas de A y B, C es abierto en
X.

&lt;li&gt; Probar que un subespacio de un espacio Hausdorff es un espacio Hausdorff.

&lt;li&gt; Sea X un espacio Hausdorff. Para todo p en X, {p} es cerrado.

&lt;li&gt; Probar que la topología usual de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; coincide con la topología relativa como subespacio de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; con su topología usual.

&lt;li&gt; Un subconjunto F de un subespacio Y de X es cerrado, ssi, es la intersección de Y con un cerrado de X.


&lt;!--

&lt;li&gt; Sea X, Y y Z tales que Y es un subespacio topológico de X y Z es un subespacio topológico de Y . ¿Es Z un subespacio topológico de X? En caso afirmativo, Z tiene dos topologías, la relativa como subespacio de Y y

la relativa como subespacio de X. ¿son iguales ambas topologías?
--&gt;

&lt;li&gt; Sea +∞ un símbolo que no está en N y sea &lt;b&gt;N&lt;sup&gt;♯&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; = &lt;b&gt;N&lt;/b&gt; ∪ {+∞}. Sea T el conjunto formado por los subconjuntos de &lt;b&gt;&lt;N&lt;sup&gt;♯&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; cuyo complemento es finito.Probar que:
:a) T es una topología en &lt;b&gt;N&lt;sup&gt;♯&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, y que
:b) la topología de &lt;b&gt;N&lt;/b&gt; como subespacio de &lt;b&gt;N&lt;sup&gt;♯&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es diferente de la topología de &lt;b&gt;N&lt;/b&gt; como subespacio de la línea real.

&lt;!-- 8.3. --&gt;

== Funciones Continuas y Homeomorfismos ==  


=== Funciones Continuas ===
La definición de función continua entre espacios topológicos será formalmente
igual a la versión de continuidad global en espacios métricos contenida en la
proposición 6.4.1. A nivel de topología, lo interesante es la continuidad global.

{{DefRht|Función Continua en Espacios Topológicos| Sean X y Y espacios
topológicos. Sea f : X &amp;rarr; Y una función cualquiera. Decimos que la función f es '''continua''', ssi,
para cada abierto V de Y, su preimagen, f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V), es un abierto en X.
}}

Notemos que si T&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt; y T&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt; son las topologías de X y Y respectivamente, entonces una función continua de X en Y induce una función &lt;math&gt;f* : T_Y \rightarrow T_X&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f^*(U)= f^{-1}(U)&lt;/math&gt;; por lo que decimos que la función inversa de una función continua preserva (a los conjuntos) abiertos.

&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Las funciones constantes son continuas.

&lt;li&gt; Sea Y un subespacio de X. La inyección canónica i (deducida de la inclusión) es continua. (i&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V ) = V &amp;cap; Y.)

&lt;li&gt; Cualquier función continua entre espacios métricos es continua para los espacios topológicos inducidos por las métricas (ver la proposición citada arriba).

Por lo que no haremos distinción entre ambas nociones.
&lt;/ul&gt;

&lt;!-- propo0803 --&gt;

&lt;b&gt;Proposición 8.3.1 (Composición de Continuas). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;La composición de funciones continuas es continua.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sean f : X &amp;rarr; Y y g : Y &amp;rarr; Z funciones continuas. Sea W un abierto de Z, entonces g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(W) es un abierto en Y. Por lo que (g o f)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(W) = f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(W)) es un abierto de X, lo que prueba la proposición.

(Comparar con la demostración de la proposición 6.3.3 referente a la composición de funciones continuas en espacios métricos.)

&lt;/ul&gt; {{QED}}

&lt;hr&gt;

Veremos, a continuación, una condición equivalente a la definición de continuidad, pero en términos de vecindades.

&lt;!-- lema0801 --&gt;

&lt;b&gt;Lema 8.3.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea f : X &amp;rarr; Y una función entre espacios. Entonces, los enunciados siguientes son equivalentes.

:(a) La función f es continua.

:(b) Para cada punto p de X y cada vecindad W de f(p) se cumple que f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(W) es una vecindad de p.
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;

&lt;br&gt;[(a) &amp;rArr; (b)] Sea p un punto de X y sea W una vecindad de f(p), entonces hay un abierto V de Y tal que f(p) &amp;isin; V &amp;sub; W. Luego, f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(W) contiene a f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V) que es un abierto de X que contiene a p. Lo que muestra que f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(W) es una vecindad de p.&lt;br&gt;

[(b) &amp;rArr; (a)] Sea V un abierto de Y. Si V es vacío, entonces f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V) es vacío, por lo que es abierto. Supongamos entonces que hay un y = f(x) en V. Como V es una vecindad de f(x), hay por hipótesis una vecindad U de

x tal que U &amp;sub; f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V ). Por definición de vecindad hay un abierto U&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; tal que x &amp;isin; U&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; &amp;sub; U &amp;sub; f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V ). Lo que prueba que f es continua.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;!-- lema0802 --&gt;

&lt;b&gt;Lema 8.3.3. &lt;/b&gt; &lt;/i&gt;Sean f : X &amp;rarr; Y una función continua y A un subconjunto de X. Entonces, f(Cl(A)) &amp;sub; Cl(f(A)).&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;Sea p un punto de la clausura de A. Sean V un abierto de Y que
contiene a f(p), entonces hay una vecindad U de p tal que f(U) está contenida

en V. Como p es punto de la clausura de A, tenemos que U &amp;cap; A &amp;ne; &amp;empty;. Luego, f(U n A) &amp;ne; &amp;empty;. Como,

{{Eqn|&lt;math&gt;
\emptyset \neq f(U \cap A) \subset f(U) \cap f(A) \subset V \cap f(A),&lt;/math&gt;}}
tenemos que f(p) es un punto de la clausura de f(A).
&lt;/ul&gt;{{QED}}

&lt;hr&gt;

&lt;!-- propo0802 --&gt;

&lt;b&gt;Proposición 8.3.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea f : X &amp;rarr; Y una función, X, Y espacios topológicos. Los enunciados siguientes son equivalentes.

:(a) f es continua.

:(b) Para todo abierto V de Y , su imagen inversa por f, f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V ), es abierto en X.

:(c) Para todo cerrado W de Y , su imagen inversa por f, f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(W), es cerrado en X.

:(d) Para todo subconjunto A de X, f(Cl(A)) &amp;sub; Cl(f(A)).

&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;La definición de continuidad da la equivalencia (a) &amp;lArr;&amp;rArr; (b). La equivalencia (b) &amp;hArr; (c) sigue de que la preimagen (o imagen inversa) del complemento de un conjunto es igual al complemento de la preimagen del conjunto.&lt;br&gt;

[(d) &amp;rArr; (c)] Sea W cerrado en F y sea W&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(W). Entonces,

f(Cl(W&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;)) &amp;sub; Cl(f(W&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;) )= Cl(f(f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(W) ) &amp;sub; Cl(W) = W.

Lo que implica que Cl(W&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;) &amp;sub; f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(W) = W&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, lo que implica que W&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; es cerrado.&lt;br&gt;

[(a) &amp;rArr; (d)] El resultado sigue del lema previo.
&lt;/ul&gt; {{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Observación 8.2. &lt;/b&gt;Notemos que, en general, imágenes de abiertos no son abiertos. Por ejemplo, las funciones numéricas constantes, que son continuas, envían cualquier conjunto en un conjunto con un único punto, que  no es abierto (es cerrado).

Para otro ejemplo consideremos la función f : &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que f(t) = sen(t). Entonces, f(] - p, 3p[) = [-1, 1].

Dualmente, las imágenes de cerrados no son necesariamente cerrados. La función t &amp;#8614; 1/t de X = &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; \ 0 en Y = &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; envía todo el espacio X (que es cerrado, ya que es todo el espacio) en ]-&amp;infin; 0[ &amp;cup; ]0,+&amp;infin;[ que no es cerrado en &lt;b&gt;R.&lt;/b&gt;

=== Los Homeomorfismos ===

Las funciones continuas, aunque sean biyectivas, no proporcionan necesariamente “isomorfismos” de espacios topológicos. Necesitaremos algo más.

&lt;b&gt;Ejemplo 8.3.1. &lt;/b&gt; Sea &lt;b&gt;R&lt;sub&gt;discreto&lt;/sub&gt;&lt;/b&gt; el espacio discreto sobre los Reales. Entonces, se tiene que la función identidad de &lt;b&gt;R&lt;sub&gt;discreto&lt;/sub&gt;&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, t &amp;#8614; t, es claramente biyectiva. Además, es continua ya que la preimagen de cada abierto en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; es un abierto en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;&lt;sub&gt;discreto&lt;/sub&gt;—todos los subconjuntos son abiertos. La función inversa no es continua por la misma razón, no todos los subconjuntos de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; son abiertos.
&lt;hr&gt;


{{DefRht|Homeomorfismo| Llamamos homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y a una función continua biyectiva f : X &amp;rarr; Y tal que su inversa
también es continua. &lt;br&gt;

Cuando haya un homeomorfismo de un espacio X en un espacio Y , diremos
que los espacios X y Y son  homeomorfos y escribiremos que
X &amp;cong; Y. }}

Sigue de la definición que la composición de homeomorfismo es un homeomorfismo y que la inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo.
Algunas veces,en la literatura (especialmente antigua), aparece la expresión
“función bicontinua” para referirse a los homeomorfismos.

&lt;b&gt;Ejemplo 8.3.2. &lt;/b&gt;Vimos en la proposición 6.5.1, que las funciones t &amp;#8614; t + a y t &amp;#8614; bt, b &amp;ne; 0 son funciones de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; continuas, invertibles, y con inversas continuas, por lo que son homeomorfismos

&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 8.3.3 (&amp;spades; Cálculo ). &lt;/b&gt;Sea f : &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que f : t &amp;#8614; t&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;, f es biyectiva con inversa &lt;math&gt;t \mapsto \sqrt[3]{t}&lt;/math&gt;. Como ambas funciones son continuas, f y su inversa son homeomorfismos.

&lt;hr&gt;


&lt;b&gt;Ejemplo 8.3.4. &lt;/b&gt; Las isometrías entre espacios métricos son homeomorfismos. Basta con observar que cuando f : E &amp;rarr; F es una isometría, las imágenes directas e inversas de bolas abiertas son bolas abiertas de igual radio.

&lt;hr&gt;

=== Significado de los Homeomorfismos ===

La noción de homeomorfismo es central en el estudio de los espacios topológicos, ya que un homeomorfismo entre dos espacios induce una correspondencia biyectiva entre sus topologías. Como todas las nociones topológicas dependen de la topología, todas las propiedades topológicas de uno, serán propiedades topológicas del otro. También, la correspondencia biyectiva entre los abiertos induce una correspondencia entre sus complementos: los cerrados. Igualmente, para cada noción que dependa de los abiertos: clausura, exterior, punto de acumulación, etc.

Dos espacios homeomórficos son, por lo tanto, indistinguibles para la topología.
Desde el punto de vista de la topología, ambos espacios son, esencialmente, el mismo espacio, solamente hay un cambio de nombre de sus elementos.

&lt;b&gt;Propiedad Topológica. &lt;/b&gt; Decimos que una propiedad de un espacio es una propiedad topológica, cuando cada espacio homeomórfico al espacio tiene la misma propiedad.

Cada propiedad o noción cuya definición dependa solamente de los abiertos es, por lo tanto, una propiedad topológica. Por ejemplo, abiertos, cerrados, interior, etc. son nociones topológicas. Aunque la métrica de un espacio define una topología, nociones que dependen especialmente de la distancia (y no de los abiertos), [por jemplo conjunto acotado, no serán nociones topológicas, como veremos en ejemplos posteriores.

&lt;br&gt;
&lt;b&gt;Propiedad Hereditaria.&lt;/b&gt; Decimos que una propiedad P es hereditaria, si cuando un espacio tiene la propiedad, entonces la tienen todos sus subespacios no vacíos.

Cuando en el futuro estudiemos propiedades de espacios topológicos, una pregunta natural será acerca de si es heredada por subespacios. Por ejemplo, un subespacio es un espacio Hausdorff es Hausdorff (ver ejercicios de la sección anterior.)

&lt;b&gt;Propiedad Invariante. &lt;/b&gt; Sea f : X &amp;rarr; Y una función (no necesariamente continua) entre espacios. Diremos que f preserva una propiedad de X o
de un subconjunto de X, cuando su imagen por f tiene la propiedad.

Notemos que propiedades invariantes de funciones continuas son propiedades
topológicas. La afirmación recíproca no es válida, ya que hay ejemplos de espacios uno de ellos imagen del otro por una función continua, pero tales que uno de ellos es Hausdorff y el otro no.

&lt;b&gt;Proposición 8.3.5. (Propiedades de &quot;es  homemorfo con&quot;)&lt;/b&gt;&lt;i&gt;
Sean X, Y y Z espacios topológicos. &lt;br&gt;

Se cumple que:
:(a) X &amp;cong; X.
:(b) X &amp;cong; Y implica que Y &amp;cong; X.
:(c) X &amp;cong; Y y Y &amp;cong; Z entonces X &amp;cong; Z.
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt; Ejercicio. &lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

Veremos, a continuación, algunos ejemplos no triviales de conjuntos homeomórficos.

&lt;b&gt;Proposición 8.3.6. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Dos intervalos abiertos acotados de la línea real son homeomórficos. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;Basta con probar que ]a, b[ &amp;cong; ]0, 1[. Sea f :]0, 1[ &amp;rarr; ]a, b[ tal que f(t) = (b - a)t + a. Claramente f es continua y biyectiva. Su inversa es: s : t &amp;#8614; (t - a)/(b - a) que también es continua.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

Es decir que para un topólogo no hay diferencia entre ambos intervalos. Lo
cual es una ventaja, por ejemplo, si queremos estudiar topológicamente a las funciones continuas de ]a, b[ en los Reales, basta considerar el caso a = 0, b = 1.

Sigue, en forma inmediata, de la proposición anterior que diámetro de un conjunto no es una propiedad topológica, ya que, si b-a &amp;ne; 1, se tiene que el diámetro de ]0, 1[ es 1, mientras que aquel de ]a, b[ es b - a. Más espectacular, lo anterior implica que distancia entre puntos no es una propiedad topológica.

El siguiente ejemplo muestra otro aspecto interesante.

&lt;b&gt;Ejemplo 8.3.5 (&amp;spades; Cálculo). &lt;/b&gt;La función f : &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; (-1, 1) tal que f(t) =(2/&amp;pi;) arctan(t) es biyectiva y continua (es derivable) y su inversa g(t) = (&amp;pi;/2) tan(t) también es continua, Luego, la línea real y el intervalo abierto ]-1, 1[ son homeomórficos.

Notemos que mientras que &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; es un espacio métrico completo, el intervalo
abierto no es completo. Completitud es, por lo tanto, una propiedad métrica que
no es topológica.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 8.3.6. &lt;/b&gt; Sean E = {(x, y, z) : x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1, z &amp;ge; 0} y F = {(x, y, z) &amp;isin; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1, z = 0}.

E es el hemisferio superior de la esfera unitaria de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y F es su proyección en el plano z = 0. Claramente, la proyección (x, y, z) &amp;#8614; (x, y, 0) es biyectiva con inversa &lt;math&gt;(x, y, 0) \mapsto (x, y, \sqrt{1- x^2 - y^2}) &lt;/math&gt;. Se puede verificar que ambas funciones son continuas, por lo que se trata de homeomorfismos.

Notemos que tales homeomorfismos no son isometrías. En general, la distancia euclídea entre dos puntos de la semiesfera es mayor que la distancia de sus proyecciones. Además, la distancia euclídea en E heredada de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; (distancia por el interior de la Tierra) no es aquella más natural en E. El homeomorfismo nos dice, en cambio, que topológicamente se tratan del mismo espacio, lo que resulta conveniente para muchos estudios.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 8.3.7. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Dos bolas cerradas cualesquiera de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; son homeomorfas.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt; Sea X = B[a; r] una bola cualquiera y sea B la bola con centro el origen y radio 1. Cuando t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt; es la traslación que envía cada punto p en p + a, tenemos que t&lt;sub&gt;-a&lt;/sub&gt;(B[a; r]) = B[0; r]. Como traslaciones son homeomorfismos, ya que son isometrías, se tiene que una esfera cualquiera es homeomorfa a una esfera del mismo radio, pero con centro en el origen. Sea h&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;, r &gt; 0, la función que envía cada punto p en &lt;i&gt;rp&lt;/i&gt;. Como
&lt;center&gt;||h&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(p) - h&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(q)|| = r||p - q||, &lt;/center&gt;
vemos que h&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt; es continua. Además es obviamente biyectiva, con inversa h&lt;sub&gt;1/r&lt;/sub&gt;. Luego se trata de un homeomorfismo. Como h&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(B) = B[0; r], se concluye que cualquier bola cerrada es homeomorfa a B.
&lt;/ul&gt;{{QED}}

Análogamente, se verifica que cualquier esfera de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es homeomorfa a la esfera unitaria –centro el origen y radio 1. Ver los ejercicios.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Convenio. &lt;/b&gt; Denotaremos por &lt;b&gt;B&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; a la bola cerrada de centro el origen y radio 1 de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Topológicamente, &lt;b&gt;B&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; representa a todas las bolas cerradas de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Por su parte, denotaremos
por &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; la esfera unitaria de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n+1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; (que es homeomorfa a todas las esferas en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n+1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;).
&lt;hr&gt;

=== Funciones Abiertas y Cerradas ===

Un homeomorfismo de X en Y envía abiertos en abiertos y cerrados en cerrados.
Funciones que tienen esas propiedades reciben nombres especiales.

{{DefRht|Funciones Abiertas, Cerradas| Una función abierta (resp. cerrada)
f de un espacio topológico X en un espacio topológico Y es una función que
envía abiertos de X en abiertos de Y (resp. cerrados de X en cerrados de Y ).
}}

Un homeomorfismo es una función biyectiva que es continua, abierta y cerrada.

Las nociones son, sin embargo, independientes. Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. Entonces, la inclusión i : A &amp;rArr; X es abierta (resp. cerrada), ssi, A es un conjunto abierto (resp. cerrado).

Notamos, anteriormente, que funciones numéricas constantes son continuas, pero no abiertas.

=== Ejercicios 8.3 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Explicar cuando una función entre dos espacios topológicos no es continua.

&lt;li&gt; Explicar por qué una función de un espacio discreto en cualquier espacio es
continua.

&lt;li&gt; Probar que una función cualquiera de un espacio topológico cualquiera en un espacio discreto es una función abierta, que no necesariamente es continua.

Probar que dicha función también es cerrada. Si la función fuera biyectiva,
¿debe necesariamente ser un homeomorfismo?

&lt;li&gt; Probar que la composición de homeomorfismos es un homeomorfismo y
que la función inversa de un homeomorfismo es un homeomorfismo.

&lt;li&gt; (&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;) Probar que el cuadrado con vértices (1, 0), (0, 1), (-1, 0) y (0,-1) es homeomórfico a la circunferencia unitaria {(x, y) : x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1}.

&lt;li&gt; (&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;) Probar que cada celda cerrada [a, b] × [c, d] es homeomórfica al cuadrado unitario &lt;b&gt;I&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; = {(x, y) : 0 &amp;le; x , y \le 1}.

&lt;li&gt; Sea &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n-1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; la esfera unitaria de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; (todos los puntos que distan 1 del origen). Probar que cualquier esfera de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es homeomorfa a &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n-1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;li&gt; Sea &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, n &gt; 0, la esfera unitaria de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n+1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Se tiene (con respecto a la métrica euclídea) que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\mathbb{S}^{n} = \{(x_1, \dots, x_{n+1}): x_1^2 + x_2^2 + \dots +x_{n+1}^2 = 1\}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Sean
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\mathbb{S}_{+}^{n} &amp;:=&amp; \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n} : x_{n+1} &gt;0\} \text{ (hemisferio norte),} \\
\mathbb{S}_{-}^{n} &amp;:= &amp; \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} &lt;0\}, \text{ y} \\

\mathbb{S}_{0}^{n} &amp;:=&amp; \{(x_i) \in \mathbb{S}^{n-1} : x_{n+1} =0\} \text{ (ecuador)}.
\end{array}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Probar las afirmaciones siguientes.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; &lt;math&gt;\mathbb{S}^n = \mathbb{S}_+^n \cup \mathbb{S}_0^n \cup \mathbb{S}_-^n.&lt;/math&gt;
&lt;li&gt; &lt;math&gt;\mathbb{S}_+^n \cong \mathbb{S}_-^n \cong B^{n}.&lt;/math&gt;
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sean X = [0, 1] y Y = {0, 1} con la topología de Sierpinski (topología = {&amp;empty;, Y, {0}}. Probar que f : X &amp;rarr; Y tal que f(x) = 0 si 0 = x &lt; 1/2, y
f(x) = 1 en caso contrario, es continua. X es Hausdorff, pero Y no lo es.

&lt;li&gt; Probar que una función biyectiva es continua, ssi, su inversa es abierta.

&lt;li&gt; Probar que una función biyectiva continua y abierta es un homeomorfismo.

&lt;li&gt; Una función f : X &amp;rarr; Y es continua, ssi, para todo subconjunto A de X se cumple que f(Int(A)) &amp;sub; Int(f(A)).

&lt;li&gt; Probar que si X es un espacio Hausdorff y f : X &amp;rarr; Y es un homeomorfismo, entonces Y es un espacio Hausdorff. Es decir que Hausdorff es una
propiedad topológica.

&lt;li&gt; En un espacio normado son homeomorfismos
:a) las traslaciones (x &amp;#8614; a + x);
:b) las multiplicaciones por escalar no nulo (x &amp;#8614; &amp;alpha; x).
:c) las simetrías alrededor de un punto c (x &amp;#8614; 2c - x).

&lt;li&gt; Probar que en un espacio normado todas las bolas abiertas son homeomorfas entre si. Lo mismo pasa con las bolas cerradas y con las esferas.

&lt;li&gt; (&amp;spades;) Probar que dos parabolas del plano son siempre homeomórficas. Usar que rotaciones y reflexiones alrededor de líneas son isometrías.

&lt;/ol&gt;

== Topologías de un Conjunto ==

Sea X un conjunto. Vimos, anteriormente que es posible proveer a X con diferentes métricas. Algo semejante sucede con las topologías. Más adelante, necesitaremos tener topologías especialmente adaptadas a ciertas propiedades.  Como las topologías son conjuntos (de conjuntos), podremos comparar a dos topologías mediante la inclusión.  En esta sección, introduciremos la nomenclatura usada al respecto y algunas propiedades de la comparación.

{{DefRht|Comparación de Topologías| Sea T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; topologías de un mismo conjunto X. Decimos que la topología T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; es menos fina que T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, cuando cada abierto de T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; sea un abierto de T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; (o sea cuando T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &amp;sub; T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;). }}

&lt;b&gt;Nomenclatura. &lt;/b&gt; Cuando T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; es menos fina que T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, también se dice que:
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; es más fina que T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;;
&lt;li&gt; T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; es más débil que T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;;
&lt;li&gt; T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; es más fuerte que T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.
&lt;/ul&gt;

En cada conjunto X tenemos una topología discreta—donde cada subconjunto
es abierto (y, por lo tanto, cerrado). Esta es la topología más fina posible sobre X. Opuesta a esa topología, está la topología indiscreta que tiene como abiertos solamente al conjunto vacío y a todo el espacio, que es la menos fina de todas las topologías posibles en un conjunto.

Sean T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dos topologías de un mismo conjunto, probaremos que su intersección, digamos T = T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; n T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; es una topología (menos fina que las topologías originales). Dicha topología consiste de todos los conjuntos que son abiertos en ambas topologías.

Claramente el conjunto vacío y todo el espacio están en T. Sea U = (U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;)i &amp;isin; I, una familia de abiertos de &lt;i&gt;T&lt;/i&gt; . Entonces U es una familia de abiertos tanto en T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; como en T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, por lo que su reunión estará tanto en T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; como en T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; y, en consecuencia, en T . Análogamente, si la familia I es finita, la intersección de los conjuntos en la familia será un abierto de T . Lo que prueba lo afirmado.

&lt;br&gt;

El razonamiento anterior se puede extender a una familia cualquiera no vacía
de topologías de un mismo conjunto. Si tenemos una familia de topologías,
(T&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;), k &amp;isin; K, de un conjunto X y llamamos T a su intersección, tendremos que: el conjunto vacío y todo el conjunto están en cada una de las topologías, por lo que están en su intersección T .

Si U = (U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), i &amp;isin; I, es una familia de abiertos de T , la reunión de los conjuntos de la familia estará en cada T&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;, por lo que la reunión estará en T .

Si U = (U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), i &amp;isin; I, es una familia finita de abiertos de T , la intersección de los conjuntos de la familia estará en cada T&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;, por lo que dicha intersección estará en T .

&lt;!-- propo0801 --&gt;

&lt;b&gt;Proposición 8.4.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;La intersección de una familia cualquiera de topologías de un conjunto es una topología, que es menos fina (o más débil) que cualesquiera de las topologías de la familia. &lt;/i&gt;

&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Topología Generada por Familias de Subconjuntos.&lt;/b&gt; Sea S una familia de subconjuntos de un conjunto X y sea &lt;math&gt;&lt;S&gt;&lt;/math&gt; la intersección de todas las topologías posibles de X que contienen a S. La topología discreta es una de esas topologías, por lo que dicha familia no es vacía. Decimos que &lt;math&gt;&lt;S&gt;&lt;/math&gt; es la topología de X generada por S. Dicha topología es la topología menos fina (o más débil) que contiene a S.

&lt;!-- prop080400 --&gt;

&lt;b&gt;Proposición 8.4.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea X un conjunto no vacío y sea S un conjunto de subconjuntos de X. Sea T la colección de reuniones arbitrarias de intersecciones de finitos elementos de S. Entonces, T contiene a S y está contenida en cualquier otra topología que contenga a S. Es decir que T = &lt;math&gt;&lt;S&gt;.&lt;/math&gt; &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Ejercicio. Considerar la intersección de una familia vacía como el conjunto X y la reunion de una familia vacía como el conjunto vacío.
&lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Subbase.&lt;/b&gt; Decimos que una familia de abiertos S de una topología T es una subbase de la topología, cuando T es la topología generada por S.

&lt;b&gt;Base.&lt;/b&gt; Decimos que una familia de abiertos B de una topología T es una base de la topología cuando cada abierto de T es una reunión de elementos de B. Un &lt;b&gt; abierto básico&lt;/b&gt; es un abierto de una base.

Cuando B sea una base de la topología de un espacio X y la topología quedé clara del contexto, podremos hablar de la base del espacio.

La importancia de bases y subbases reside en que propiedades topológicas de conjuntos abiertos preservadas por intersecciones finitas y reuniones necesitan tan solo verificarse en los elementos de una subbase. Análoga consideración para bases.

Cuando se trabaja alrededor de un punto p de un espacio es interesante considerar al conjunto V{p} formado por todas las vecindades del punto p. Una base &lt;math&gt;\mathcal{B}&lt;/math&gt; para las vecindades de un punto p es una colección de abiertos, vecindades de p, tales que para cada vecindad U de p, hay un A en &lt;math&gt;\mathcal{B}&lt;/math&gt; tal que A &amp;sub; U.

&lt;b&gt;Ejemplo 8.4.1. &lt;/b&gt; En un espacio métrico, cada abierto es una reunión de bolas abiertas, por lo que la familia de todas las bolas abiertas es una base para la topología inducida por la métrica. Las bolas abiertas con centro en un punto p determinan una base para las vecindades del punto.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 8.4.2. (&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;)&lt;/b&gt; Consideremos al plano con la topología usual. Las preimágenes por las proyecciones son franjas verticales (preimágenes de abiertos de intervalos en el eje X) y franjas horizontales (preimágenes de intervalos en el eje Y).

Sabemos que las celdas—subconjuntos que son productos de intervalos reales acotados (ver ejemplo 5.2.7.) de la sección 5.2.2, son intersecciones de franjas y son, por lo tanto, conjuntos abiertos.

Se puede verificar que para cada conjunto abierto U de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y para cada punto p del  abierto, hay una celda de las anteriores que contiene al punto y está contenida en el abierto. Es decir que el conjunto de franjas es una subbase de la topología usual del plano.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplos 8.4.3 (Ejemplos generales).&lt;/b&gt;

&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Cada topología es una base de ella misma.
&lt;li&gt; Cada base es una subbase.
&lt;li&gt; La familia de las intersecciones finitas de conjuntos de una subbase es una base.
&lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;!-- prop0811 --&gt;

&lt;b&gt;Proposición 8.4.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea X un espacio topológico. En orden a que una colección de abiertos B sea una base de la topología de X es necesario, y suficiente, que, para cada abierto no vacío U y cada x en U hay un elemento V de B tal que x &amp;isin;V &amp;sub; U.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;

Demostración. &lt;/i&gt;Supongamos que B fuera una base de X. Sea U un abierto cualquiera de X. Por la definición de base, U es una reunión de una familia (V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) de abiertos de la base. Si x está en U, x está entonces en algún V = V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;; lo que prueba la necesidad de la condición.

Supongamos que se cumple la condición. Sea U un abierto cualquiera no vacío,

entonces para cada x de U sea V&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; el abierto en B de la condición. Claramente, U es la reunión de todos tales V&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;, x &amp;isin; U.

&lt;/ul&gt;{{QED}}

&lt;hr&gt;

&lt;!-- prop0812 --&gt;

&lt;b&gt;Proposición 8.4.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea f : X &amp;rarr; Y una función cualquiera entre espacios.  Entonces

:(a) f es continua &amp;hArr; la imagen inversa de cada abierto básico es abierto :&amp;hArr; la imagen inversa de cada abierto de una subbase es abierto.

:(b) f es abierta &amp;hArr; la imagen de cada abierto básico es abierto.
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Los resultados siguen directamente de las siguientes identidades de conjuntos:
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
f^{-1}(\bigcup_i A_i) = \bigcup_i(f^*(A_i)) &amp; \qquad f^{-1}(\bigcap_i A_i) = \bigcap_i(f^{-1}(A_i).
\end{array}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
&lt;/ul&gt;{{QED}}

&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 8.4 ===

&lt;ol&gt;

&lt;li&gt; Probar la proposición 8.4.2.

&lt;li&gt; (Bases) Sea X un espacio topológico.

:a) ¿Siempre hay una base para la topología de X?

:b) ¿Puede una topología tener dos bases distintas?

:c) ¿Pueden dos espacios topológicos diferentes tener bases iguales?

&lt;li&gt; Probar que cualquier abierto de la línea real es una reunión de intervalos
abiertos disjuntos. (Sug: Cuando dos intervalos tiene intersección no vacía,
su reunión es un intervalo.) Luego, una base de la topología usual de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; consiste de  ...

&lt;li&gt; Sea f : X &amp;rarr; Y una biyección. Si X (resp. Y ) es un espacio topológico, se puede proveer a Y (resp. X) de una topología única tal que X y Y sean homeomórficos. Se dice que esa estructura topológica se obtiene por
transporte de estructura.

&lt;li&gt; Sea f : X &amp;rarr; Y una función del conjunto X en el espacio topológico Y.

Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos U de X que son preimágenes de abiertos de Y . Probar que T*(f) es una topología en X (la topología inducida por f) tal que f es continua y que es la menos fina de las topologías con esa propiedad.

&lt;li&gt; Sea X un espacio y sea A un subconjunto de X. Probar que la topología inducida por la inclusión i : A &amp;rarr; X coincide con la topología relativa de subespacio definida en la sección 8.2.

&lt;li&gt; Sea f : X &amp;rarr; Y una función del espacio X en el conjunto Y . Definir T*(f) como el conjunto formado por todos los subconjuntos V de Y cuyas preimágenes son abiertos de X. Probar que T*(f) es una topología en Y (la
topología coinducida por f) tal que f es continua y que es la más fina de las topologías con esa propiedad.

&lt;li&gt; Hallar tres bases diferentes para la topología usual de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;li&gt; Se llama subbase (resp. base) de cerrados a una colección de conjuntos cerrados cuyos complementos forman una subbase (resp. base). Enunciar y probar teoremas acerca de subbases y bases de cerrados.

&lt;/ol&gt;

== Métricas Equivalentes ==

El espacio vectorial &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; puede tener varias métricas diferentes; cada una de esas métricas induce una topología en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. ¿Cómo comparan esas topologías?

&lt;b&gt;Métricas y Normas Equivalentes.&lt;/b&gt; Decimos que dos métricas de un mismo conjunto X son (topológicamente) &lt;b&gt;equivalentes&lt;/b&gt;, cuando los abiertos definidos por una de ellas coinciden con los abiertos definidos por la otra. Es decir, cuando definen la misma topología. Análogamente, decimos que dos normas en un espacio vectorial E son equivalentes, cuando definen métricas equivalentes y, por lo tanto, la misma topología.

Por extensión de la terminología, diremos que una norma N&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; de un espacio vectorial E es mas fina que una norma N&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, cuando la topología inducida por N&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; sea más fina que aquella inducida por N&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, es decir que los abiertos respecto a la segunda norma son abiertos respecto a la primera. Para que se cumpla lo anterior, bastará con que cada bola abierta respecto a la segunda norma contenga una bola abierta respecto a la primera. Lo anterior pasa cuando la identidad id : E&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &amp;rarr; E&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
donde E&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; es el espacio con norma N&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, i = 1, 2, sea continua.

&lt;b&gt;Lema 8.5.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea E un espacio vectorial y sea E&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; el espacio E con norma ||•||&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;,  i = 1, 2. Si hay un número positivo a tal que para todo x se cumple que ||x||&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &amp;le; a||x||&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; entonces ||•||&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; es más fina que ||•||&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Basta probar que cada bola abierta de E&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; es abierto en E&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.Supongamos que ||x - p||&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &lt; r. Entonces, cuando ||x - p||&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &lt; r/a se tiene que &lt;br&gt;
&lt;center&gt;||x - p||&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &amp;le; a||x - p||&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &lt; a(r/a) = r.&lt;/center&gt;
Es decir que una bola de radio r respecto a ||•||2 siempre contiene a la bola de radio r/a respecto a ||•||&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;. Esto implica lo pedido.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

Revisaremos las topologías inducidas por las normas estudiadas de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;(norma–ciudad, norma euclídea y norma máxima).

[[Archivo:MetricasEquiv.jpg|center|300px]]
&lt;center&gt;Figura 8.1&lt;/center&gt;

La figura 8.1 ilustra gráficamente las equivalencias entre las normas ciudad,
euclídea y máxima. Ver la sección 3.3.1.

Formalmente, tenemos lo siguiente.
&lt;!-- lema0804 --&gt;

&lt;b&gt;Lema 8.5.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Para todo x en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; se cumple que

:(a) ||x||&lt;sub&gt;max&lt;/sub&gt; &amp;le; ||x||&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt; &amp;le; &amp;radic;(n)||x||&lt;sub&gt;max&lt;/sub&gt;,

:(b) ||x||&lt;sub&gt;max&lt;/sub&gt; &amp;le; ||x||&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt; &amp;le; n||x||&lt;sub&gt;max&lt;/sub&gt;.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;Probaremos (a) y dejaremos (b) como ejercicio. Sean x = (x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) y M = ||x||&lt;sub&gt;max&lt;/sub&gt; = máx{|x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;| : 1 ≤ i ≤ n}. Luego, hay un j, 1 ≤ j ≤ n tal que M = |x&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt;|. Entonces, para todo i = 1, . . . , n, |x_i| &amp;le; |x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;| = M. Tenemos, entonces, que
{{Eqn|&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
M = |x_j| = \sqrt{x_j^2:} &amp;\le &amp; \sqrt{x_1^2+\dots+x_j^2+\dots +x_n^2} =||x||_e\\
&amp;\le&amp; \sqrt{M^2 + \dots + M^2} = \sqrt{nM^2} = \sqrt{n}M.
\end{array}&lt;/math&gt;}}
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;!-- prop0804 --&gt;

&lt;b&gt;Proposición 8.5.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Las normas ciudad, euclídea y maxima de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;son equivalentes. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Directo de los lemas anteriores. {{QED}}
&lt;/ul&gt;
Más adelante, veremos que dos normas cualesquiera de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; son equivalentes.

&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 8.5.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Dos normas ||·||&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y ||·||&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; son equivalentes, cuando hay reales
a y b positivos tales que &lt;/i&gt;
&lt;center&gt;
a ||·||&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ≤ ||·||&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ≤ b || · ||&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.
&lt;/center&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Ejercicio. &lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;
=== Ejercicios 8.5 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Completar la demostración del lema 8.5.2.

&lt;li&gt; Probar la proposición 8.5.4.

&lt;li&gt; Sea &lt;E, d&gt; un espacio métrico y sea d' : E × E &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que d'(x, y) = mín {d(x, y), 1}. Probar que d' es una métrica en E que es topológicamente equivalente con d.

&lt;/ol&gt;

&lt;hr&gt;

== Las Sucesiones ==

Las sucesiones no tienen un rol tan destacado en los espacios topológicos generales, comparado con lo que pasa en espacios métricos.

La definición de convergencia es aquella de espacios métricos, pero usando solamente abiertos.

&lt;div style=&quot;background: rgb(240,240,240); border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt 80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: italic;&quot; class=&quot;theorem&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-family: Arial; font-weight:bold; font-style: normal;&quot;&gt;
Definición. &lt;/span&gt;
Sea X un espacio topológico, s=(s&lt;sub&gt;_n&lt;/sub&gt;) una sucesión de puntos de X y p un punto de X. Decimos que la sucesión (s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) converge o tiende a p, ssi, para cada vecindad de p, casi todos los términos de lasucción pertenecen a la vecindad. En tal situación, decimos que p es un límite de los s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'s.
&lt;/div&gt;
A pesar de su similitud con la definición para espacios métricos, hay algunas diferencias significativas.
Observemos, por ejemplo, que si &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; tiene la topología indiscreta, una sucesión de puntos de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; tiene como punto límite a cualquier elemento de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;.  Es decir que una sucesión puede converger a varios límites. La unicidad de límite requiere que el espacio sea Hausdorff; en tal situación hay un único límite. La demostración es análoga al caso de espacios métricos. (ver la proposición 7.2.1)

&lt;b&gt;Proposición 8.6.1 &lt;/b&gt;&lt;i&gt;En un espacio Hausdorff una sucesión tiene a lo más un límite.&lt;/i&gt; &lt;br /&gt;

&lt;b&gt;Proposición 8.6.2. (Lema de la Sucesión).&lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; un espacio topológico y &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; un subconjunto de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; es un punto límite de una sucesión de puntos diferentes &lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; está en &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Por definición de límite, cada vecindad &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; contiene a casi todos los términos de la sucesión, por lo tanto, al menos un punto de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; diferente de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.
{{QED}}&lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 8.6.3.&lt;/b&gt; &lt;i&gt; Sea &lt;math&gt;f : X \rightarrow  Y&lt;/math&gt; una función continua.  Entonces, para cada sucesión &lt;math&gt;(x_m)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;, si &lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; converge a &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; (no necesariamente único), entonces &lt;math&gt;f(x_n)&lt;/math&gt; converge a &lt;math&gt;f(p)&lt;/math&gt;.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sea &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; una vecindad de &lt;math&gt;f(p)&lt;/math&gt;. Como &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; es continua en &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, hay una vecindad &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;f(U)&lt;/math&gt; está contenido en &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Como casi todos los &lt;math&gt;x_n&lt;/math&gt; están en &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, casi todos los &lt;math&gt;f(x_n)&lt;/math&gt; están en &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;.
 {{QED}}&lt;/ul&gt;
 &lt;hr&gt;

&lt;i&gt;Observación 8.3. &lt;/i&gt;Se puede verificar que los recíprocos de las proposiciones anteriores son válidos solamente cuando &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; es metrizable o satisface el primer axioma de enumerabilidad (hay una base enumerable de abiertos en la vecindad de cada punto).
&lt;hr&gt;


=== Ejercicios 8.6 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;  Explicar el significado del enunciado  &quot;&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; no es un punto límite de la sucesión &lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;li&gt;  Sean &lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; una sucesión de un espacio &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. Sea &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; una biyección de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; en si mismo y sea &lt;math&gt;y_n=\phi(x_n)&lt;/math&gt;.  Probar que si &lt;math&gt;x_n&lt;/math&gt; converge a &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, también lo hace &lt;math&gt;y_n&lt;/math&gt;.    Es decir que el orden de los términos no afecta la convergencia ni el límite de una sucesión.
 
&lt;li&gt;  Probar la proposición 8.6.4.
&lt;/ol&gt;

== Ejercicios del capítulo 8 ==
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Probar que A = {(x, y) : 2 &lt; x &lt; 5} es un abierto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;li&gt; Probar que C = {(x, y) : 2 &lt; x &lt; 5,-1 &lt; y &lt; -1} es un abierto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;li&gt; (T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;–topología de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;) Sea A consistente del conjunto vacío y los complementos de subconjuntos finitos. Probar que A es una topología de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; con respecto a la cual &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; no es Hausdorff. Denotaremos por R&lt;sub&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; a los Reales con
esta topología. ¿Es id : &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; R&lt;sub&gt;T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; continua? ¿abierta? ¿homeomorfismo?

&lt;li&gt; (Funciones Abiertas)

:a) Dar ejemplo de una función continua que no sea abierta.

:b) Dar un ejemplo de una función abierta que no es continua.

:c) Probar que la composición de dos funciones abiertas es abierta..

&lt;li&gt; (Funciones Cerradas)

:a) Dar ejemplo de una función continua que no sea cerrada.

:b) Dar un ejemplo de una función cerrada que no sea continua.

Probar que la composición de dos funciones cerradas es cerrada.

&lt;li&gt; Sea X un espacio topológico con topología T y sea X* = X &amp;cup; {p}, donde
p no está en X. &lt;br&gt;

Sea T* = {&amp;empty;} &amp;cup; {A &amp;cup;{p} : A &amp;isin; T }. Probar que T* es una
topología de X* tal que un subconjunto F de X es cerrado respecto a T, ssi, es cerrado respecto a T*.

&lt;li&gt;  Sea F un subespacio cerrado de X. Si f: X &amp;rarr; Y es una función cerrada, entonces la restricción de f a F también es cerrada.


&lt;li&gt; Sea X un conjunto y sea (V{x}), x &amp;isin; X, una familia no vacía de subconjuntos

de X tales que para cada x de X se cumple que:

:(1) x está en cada conjunto de V{x};

:(2) si A está en V{x} y B &amp;sub; A, entonces B está en V{x};

:(3) la reunión de una familia cualquiera de conjuntos de V{x} es un elemento de V{x}.

:(4) la intersección de una familia finita de conjuntos de V{x} es un conjunto de V{x}.

:(5) para cada A en V{x} hay un B en V{x} tal que A está en V{y} para cada y en B.

Probar que hay una única topología en X tal que V{x} coincide con el

conjunto de vecindades de x.

&lt;li&gt; Sea X un espacio topológico y Y un subespacio de X. Sea A un subconjunto

de Y . Si A es abierto (resp. cerrado) en X, ¿lo es respecto a Y ?

&lt;/ol&gt;

[[Categoría: Matemáticas Universitarias]]
[[Categoría: Espacios Métricos]]
&lt;!--Categoría:Espacios Métricos/Espacios Topológicos--&gt;
&lt;!-- 9 de noviembre de 2016 Final --&gt;
&lt;!-- 30 de marzo de 2019 --&gt;

&lt;!-- 27 de diciembre de 2020 --&gt;

&lt;!-- 27 de Diciembre del 2020 --&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Espacios Métricos/Productos y Cocientes</title>
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__TOC__&lt;!--- \chapter{ESPACIOS PRODUCTOS Y COCIENTES}\label{chProductos} --&gt;

Capítulo ESPACIOS PRODUCTOS Y COCIENTES

Recordemos que espacio  quiere decir espacio topológico, a menos que se indique algo distinto.

== Introducción ==


Este capítulo está dedicado a la construcción de nuevos espacios a partir de espacios dados.  Una construcción básica es la de subespacio, que vimos en el capítulo anterior.  En este capítulo, veremos en la sección 9.3 como proveer de topología a un producto cartesiano de espacios. Luego, veremos en  la sección 9.4 como proveer de topología a un conjunto cociente de un espacio. Finalmente, en la sección 9.5, veremos algunas construcciones interesantes.

== Los Espacios Productos ==

El producto cartesiano de conjuntos nos permite formar un conjunto a partir de dos o más conjuntos. Hemos vistos celdas en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; que son producto de dos intervalos reales. La representación gráfica de tal producto es un rectángulo con &lt;i&gt;lados&lt;/i&gt; los intervalos factores. Tal representación nos es familiar y resulta adecuada y confiable para muchos aspectos. Consideremos sin embargo, la siguiente situación A ={a,b,c}, a, b, c arbitrarios, y B un segmento rectilíneo tal como [0,1] ¿cuál de las siguientes representaciones gráficas es la más adecuada?

[[File:Fig09-00.jpg|center|Productos Cartesianos|300px]]

La respuesta lógica es cualquiera de ellas, no hay nada que nos indique lo
contrario. Simplemente, usos tradicionales pueden favorecer una de ellas.

&lt;b&gt;Ejemplo 9.2.1 (Cilindro) &lt;/b&gt; Si tomamos el producto cartesiano de la circunferencia unitaria &lt;b&gt;S&lt;/b&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; del plano con un intervalo, digamos [0,1], queremos pensar tal producto como un cilindro (sin tapas). Ver la  siguiente figura

  [[File:Cílndro-CP.jpg|center|Cílindro como producto cartesiano|300px]]
&lt;center&gt;Figura 9.1: Cílindro como producto cartesiano&lt;/center&gt;

Sin embargo, las consideraciones anteriores nos dicen que va a depender de como se ubiquen los segmentos respecto a la circunferencia, queremos para un mismo ''y'' del segmento, los puntos (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,y) y (x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,y) estén próximos cuando  x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; lo estén en la circunferencia. En otras palabras, necesitamos una topología que &lt;i&gt;pegue&lt;/i&gt; continuamente a los segmentos sobre la circunferencia.
&lt;hr&gt;

=== El Producto Cartesiano de Conjuntos ===

Antes de introducir topología en un producto de espacios, revisaremos alguno hechos acerca del producto de conjuntos. Nos interesa considerar la generalización del producto de dos elementos a un producto de una familia cualquiera de conjuntos.

Supongamos que tenemos una familia &lt;ref&gt;Suponemos a menos que se diga lo contrario que las familias no son vacías.&lt;/ref&gt; de conjuntos (X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), i &amp;isin; I. Cuando uno de los X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; sea vacío el producto será el conjunto vacío. En caso contrario, llamamos &lt;b&gt;producto&lt;/b&gt; (cartesiano) de los X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'s al conjunto denotado por

&lt;center&gt;&lt;math&gt; \prod_{i \in I} X_i&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

y definido como el conjunto formado por todas las familias (x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), i &amp;isin; I, tales que x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, es un elemento de X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; &lt;ref&gt;Suponemos la existencia de tales familias. Formalmente, para un conjunto de índices arbitrario, tal suposición requiere de un axioma especial llamado &lt;i&gt;Axioma de Selección&lt;/i&gt;.}
Cada uno de los X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'s es un &lt;i&gt;factor&lt;/i&gt; del producto. Si k está en I, y x=(x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) es un elemento del producto, decimos que x_k es la &lt;i&gt;coordenada&lt;/i&gt; o &lt;i&gt;componente&lt;/i&gt; k (o k--ésima) de x. El producto anterior se presenta acompañado de una familia de funciones: las &lt;i&gt;proyecciones&lt;/i&gt;, pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; :X &amp;rarr; X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, que asocian a cada punto del producto, su i--ésima coordenada.

Claramente,  esta noción de producto es una generalización del producto cartesiano usual, ya que podemos considerar a un par (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) como una familia con conjunto de índices I = {1,2} tal que x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; está en X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;.

El producto cartesiano tiene la siguiente propiedad universal.

&lt;b&gt;Proposición (Propiedad Universal del Producto Cartesiano) &lt;/b&gt;&lt;/i&gt;
Sea (X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), i &amp;isin; I una familia de conjuntos no vacíos y sea X su producto, con las proyecciones pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;. Sean Z un conjunto y f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; :Z &amp;rarr; X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, i &amp;isin; I, una familia de funciones. Entonces, hay una única función f: Z &amp;rarr; X tal que pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; ◦ f = f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; (*). 
&lt;/i&gt;
[[File:Universal del Producto.jpg|center|Propiedad Universal del Producto]]
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sigue de la relación (*) que tal f debe cumplir con f(z) = (f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;(z)) lo que muestra su unicidad y existencia.
&lt;/ul&gt; {{QED}} &lt;hr&gt;

=== Los Espacios Productos ===

Volvamos a la consideración del rectángulo R = [a,b] x [c,d] (o región
rectangular, si se prefiere) que representamos gráficamente en la
figura 9.2.

 [[File:Rectángulo.jpg|thumb|Figura 9.2: Región Rectangular]]

Esa representación, que es estándar, tiene varios supuestos implícitos. En
primer lugar, suponemos que el rectángulo R esta contenido en un plano. En
segundo lugar hay una suposición de preservación de &lt;i&gt;cercanías&lt;/i&gt;.

Dos puntos, digamos (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) y (x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) están próximos en la representación, cuando sus primeras coordenadas (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) y sus segundas coordenadas (y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) lo están. Esto quiere decir que tenemos asociada a la imagen una topología. Puntos próximos en los factores, generan puntos próximos en el producto. Con esta idea en mente, veremos como, de forma general, podremos asociar una topología en el producto cartesiano de dos espacios topológicos que esté relacionada con la topología de los factores. La construcción que haremos tiene muchos usos en geometría y topología.

&lt;br&gt;
Sean X&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, X&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; espacios y sea X = X&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x X&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.
Sean pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; : X&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x X&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &amp;rarr; X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) &amp;#8614; x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, i=1,2. las
proyecciones naturales del producto en sus factores. Las consideraciones
intuitivas de la discusión anterior  sugieren que debemos poner una topología en el producto de
manera tal que esas funciones sean continuas. Naturalmente la topología discreta en el producto haría esas funciones continuas, pero no sería muy útil, ya que las proyecciones y cualquier otra función serían continuas; por lo que no habría una relación natural entre la topología de los factores y aquella del producto.
Por lo que definiremos como &lt;b&gt;topología producto&lt;/b&gt; a la topología menos fina entre las topologías que hacen que las proyecciones sean continuas. Es decir que las preimágenes de abiertos de los factores serán abiertos en el
producto. Con esa definición, resulta que las &lt;i&gt;celdas&lt;/i&gt; serían intersecciones de abiertos como los anteriores. En efecto, cuando U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y U&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; sean abiertos de X&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y X&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; respectivamente, U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x U&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; es un abierto en X&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x X&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ya que

&lt;center&gt;&lt;math&gt;U_1 \times U_2 = (U_1 \times X_2) \cap (X_1 \times U_2) = pr_1^{-1}(U_1) \cap pr_1^{-1}(U_2).&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

La topología producto deberá tener, por lo tanto, a las preimágenes de los abiertos de los factores como una subbase.

&lt;br&gt;
La definición anterior de producto puede generalizarse fácilmente a una familia
finita de espacios topológicos. ¿Qué pasa cuando tenemos una familia arbitraria
(&lt;X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, T&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;&gt;), i &amp;isin; I, de espacios topológicos?
Siguiendo lo hecho con el producto cartesiano de dos conjuntos, definimos la
siguiente topología producto general.

{{DefRht|Topología Producto| Sea (X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), i &amp;isin; I, una familia no vacía de espacios no vacíos y sea X su producto de conjuntos. Llamamos  &lt;b&gt;topología producto&lt;/b&gt; de X a la topología menos fina tal que las  proyecciones sean continuas. Llamamos &lt;b&gt;espacio topológico producto&lt;/b&gt; de  los X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'s a X provisto con esta topología.
}}

Sea X = &amp;prod;&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; X_I el espacio topológico producto de los X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'s.
La definición implica lo siguiente.
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Para cada abierto U de X_k, pr&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(U) es abierto en X. Tales preimágenes, con k en I cualquiera, forman una  &lt;i&gt;subbase&lt;/i&gt; de la topología del producto.

&lt;li&gt; Cada intersección &lt;i&gt;finita&lt;/i&gt;  de cada uno de esos abiertos se llama un &lt;i&gt;abierto básico&lt;/i&gt;, porque forman una base de la topología producto.

&lt;li&gt; Un abierto del producto es un producto &amp;Pi;&lt;sub&gt; i &amp;isin; &lt;/sub&gt;U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, donde cada U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; es un abierto en X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, igual a X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, excepto por una &lt;b&gt;cantidad finita&lt;/b&gt; de los U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'s. (Recordemos que solamente las intersecciones de finitos abiertos tienen garantía de ser abiertos.)

&lt;li&gt; Cuando U es un abierto de X, se cumple que pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;(U) (por la observación anterior) es un abierto de X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;; o sea que las proyecciones son funciones abiertas

&lt;li&gt; Tomando complementos, resulta que un conjunto cerrado es un producto
     prod&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; F&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; donde los F&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; son cerrados en X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, iguales a X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, excepto para una cantidad finita de los i.

&lt;li&gt; Cuando tenemos un producto de una familia finita de conjuntos, un abierto del producto es un producto de abiertos de los factores. Análogamente para los conjuntos cerrados.
&lt;/ol&gt;

&lt;b&gt;Proposición (Propiedad Universal del Producto Topológico)&lt;/b&gt;&lt;i&gt;

Sea (X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), i &amp;isin; I, una familia de espacios topológicos y sea f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; :Z &amp;rarr; X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, i &amp;isin; I, una familia de funciones continuas. Entonces, hay una única función continua f: Z &amp;rarr; &amp;prod;&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; tal que pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; o f = f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, para todo i.&lt;/i&gt;

[[File:Universal del Producto.jpg|thumb|Propiedad Universal del Producto]]

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; La existencia y unicidad de f proviene de la propiedad universal del producto cartesiano de conjuntos. Solamente necesitamos probar que f es continua. Sea U un abierto tal que U = pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V), V un abierto de X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;---es decir que U es un abierto de la subbase que define al producto. Entonces,

&lt;center&gt;&lt;math&gt;f^{-1}(U) = f^{-1}( pr_i^{-1}(V))= ( pr_i \circ f)^{-1})(V) = f_i^{-1}(V).&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Lo que prueba que f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(U) es un abierto. La continuidad de $f$ sigue, entonces, de la proposición 8.4.4 parte (a), que garantiza la continuidad cuando se la comprueba la continuidad para los abiertos de  una subbase.
&lt;/ul&gt; {{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;!--\label{coro0901} --&gt;
&lt;b&gt;Corolario 9.3.2 &lt;/b&gt; &lt;i&gt;El producto topológico es único, excepto por homeomorfismo.
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sean P y P' productos topológicos de una familia X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; de espacios topológicos. Sigue de la proposición anterior aplicada a P como producto que hay una función continua f:P' &amp;rarr; P tal que pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;f= { pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;}'.
Simétricamente, tenemos una función continua g: P &amp;rarr; P' tal que { pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;}'g =  pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;. De donde se deduce que &lt;br /&gt;
pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; fg = pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'g = pr&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; Por la unicidad de la
función anunciada por la proposición tenemos que fg=id&lt;sub&gt;P&lt;/sub&gt;. Análogamente,
gf=id&lt;sub&gt;P'&lt;/sub&gt;. Luego, f y g son biyectivas, continuas, una inversa de la otra,
por lo que son homeomorfismos.
&lt;/ul&gt; {{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 9.3.3 &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea f: Z &amp;rarr; X una función de un espacio en el producto X = prod&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;. Entonces, f es continua, ssi, la composición de f con cada proyección es continua.
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt; Ejercicio. (Mirar la demostración de la
proposición 6.5.5)
&lt;/ul&gt; {{QED}}
&lt;hr&gt;

=== Producto de Funciones ===

Sean f&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; : X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; &amp;rarr; Y&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, i=1,2, un par de funciones. Llamamos producto cartesiano de esas funciones a la función de X&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x X&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &amp;rarr; Y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x
Y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; denotada por f&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x f&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; y tal que (f&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x f&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) :=
(f&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;), f&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)).

&lt;b&gt;Proposición 9.3.4 &lt;/b&gt;&lt;i&gt;El producto cartesiano de dos funciones continuas
(resp. abiertas) es un función continua (resp. abierta).
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Ejercicio.
&lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

{{Caja|
&lt;center&gt;Pregunta Fundamental&lt;/center&gt;
Cuando X y Y tienen una cierta propiedad topológica ¿qué podremos decir de su producto?
}}

=== El Conjunto de Cantor ===

Presentamos en esta sección a un subconjunto muy interesante de los Reales, que usaremos para ejemplos y ejercicios más adelante.  Resultará que el llamado  &quot;conjunto de Cantor'' será una extraordinaria figura plana, que por su estructura parecerá desafiar algunas de nuestras  intuiciones geométricas preconcebidas---que están usualmente basadas en nuestras intuiciones preconcebidas a partir de los espacios Euclídeos de dimensiones 2 y 3.

Presentaremos inicialmente tres objetos geométricos, que posteriormente veremos son homeomorfos entre sí.  La primera versión es un producto infinito de espacios topológicos.

&lt;br&gt;

&lt;b&gt;Producto de Espacios Discretos.&lt;/b&gt; Sea A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = {0,2}, n &amp;ge; 1,
una familia de espacios, todos iguales entre si, con dos elementos y la topología discreta. Sea
{{Eqn|&lt;math&gt;C_P = \prod_{n \ge 1} A_n. &lt;/math&gt;}}

&lt;b&gt;Expansiones Ternarias Especiales. &lt;/B&gt;Sea

{{Eqn|&lt;math&gt;C_3 = \{ \sum _{n \ge 1} \frac{a_i}{3^n} : a_i = 0,2 \}. &lt;/math&gt;}}
Podemos pensar a C&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; como las
expansiones ternarias (es decir, usando 3 en lugar de 10) para las expansiones de
los números reales en [0,1] donde la cifra 1 no aparece.

Recordemos que en las expansiones decimales (base =10) se cumple que
0.9999 ... = 1, lo que permite exigir unicidad en la representación, cuando las expansiones decimales finitas se reemplazan usando la igualdad anterior, para
tener siempre expansiones decimales infinitas no nulas para los racionales
diferentes de 0.

 &lt;center&gt;&lt;math&gt;1= 0.9999 \dots; \quad 1/2 = 0.5 = 0.49999 \dots 1/10 = 0.1 = 0.09999  \dots&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Análogamente se tiene en expansión ternaria que 0.22222&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; =1 . En efecto,
0.2222 ... &lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; es una serie geométrica de razón 1/3 con termino
inicial 2/3, por lo que su suma es igual a

&lt;center&gt;&lt;math&gt;\frac{2}{3} * \frac{1}{1- 1/3} = 1.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Adoptando el convenio anterior, reemplazaremos expansiones ternarias finitas o adonde aparezca unj 1, por expansiones infinitas con ... 2222 ...&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;, excepto para el 0. Se tiene que
C&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; representa a todos los números reales en [0,1] cuya expansión ternaria no contiene 1's.

Notemos que la correspondencia &lt;math&gt;(a_n) \mapsto \sum_n (a_n/3^n)&lt;/math&gt; es una
biyección de C&lt;sub&gt;P&lt;/sub&gt; en C&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;.

&lt;b&gt;Presentación Gráfica. &lt;/b&gt;
Esta presentación es más fácil de visualizar. Se basa en el siguiente procedimiento de división de un intervalo cerrado: dividir al a  intervalo cerrado en tres partes iguales, y eliminar el interior de los subintervalos del centro para quedarse con los intervalos cerrados de los extremos. Para la construcción empezamos con el intervalo [0,1] y aplicamos el prpcedimentyo a es intervalo. Continuamos aplicando reiteradamente a cada intervalo cerrado que vaya apareciendo.

[[File:Conjunto de Cantor.jpg|center|Conjunto de Cantor]]
&lt;!---
\begin{figure}[ht]
&lt;center&gt;
&amp;isin;put{./Figuras/fig0903}%
%&amp;isin;cludegraphics[bb=0 0 380 102, scale=1]{./Figuras/fig0903.jpg}
&lt;/center&gt;
     &amp;cap; tion{Conjunto de Cantor}
    \label{fig0903}
% \rotatebox[origin=c]{180}{text}
\end{figure}
--&gt;
El proceso comienza con el intervalo I = [0,1]. Aplicando el procedimiento descrito, obtenemos

&lt;center&gt;&lt;math&gt;F_1 =[0,1/3] \cup [2/3,1].&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Dividamos cada uno de los intervalos de F&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y formemos F&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; como arriba, o sea excluyendo el interior del subintervalo del centro.
Es decir que,

&lt;center&gt;&lt;math&gt;F_2 = [0,1/9] \cup [2/9, 1/3] \cup [2/3, 7/9] \cup [8/9,1].&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Continuando de esta manera, generamos una sucesión (F&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) de conjuntos cerrados en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.
Llamamos &lt;b&gt;Conjunto de Cantor&lt;/b&gt; a la intersección de todos los F&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; y que simbolizaremos aquí por &lt;math&gt;\mathcal C&lt;/math&gt;.

¿Qué podemos decir de &lt;math&gt;\mathcal C&lt;/math&gt;?
Después de todas las exclusiones,¿quedará algo? Observemos que los puntos de los extremos de los subintervalos son preservados en las sucesivas divisiones, así que 1/3, 1/9, ..., 1/3^n, ... son todos puntos de &lt;math&gt;\mathcal C&lt;/math&gt;. No son los únicos puntos como se puede verificar.
En F&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; están todos los números tales que la primera cifra de su expansión ternaria no es 1. Recordemos que 1/3 = 0.02222...&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;.
En F&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; se eliminan todos los números cuya segunda cifra en la expansión ternaria es 1. y así sucesivamente. Lo que muestra que este conjunto coincide con C&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;

Como cada F&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; es una reunión finita de intervalos cerrados, F&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; es cerrado. Por lo que su intersección, &lt;math&gt;\mathcal C&lt;/math&gt; es un subconjunto cerrado de [0,1]  &amp;sub; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.

Sea &amp;alpha; un punto de &lt;math&gt;\mathcal C&lt;/math&gt;, entonces cualquier intervalo abierto centrado en &amp;alpha; contiene números cuya expansión ternaria tiene al menos un 1, por lo que ese intervalo no puede estar contenido en &lt;math&gt;\mathcal C&lt;/math&gt;. Es decir que el conjunto de Cantor no tiene puntos interiores (o sea que es nunca denso).

Computemos el largo de la reunion de intervalos removidos, sumando los largos de los segmentos removidos.

&lt;center&gt;&lt;math&gt;L= \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{8}{3^4} +\dots.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

La serie es geométrica con razón 2/3 y término inicial 1/3, luego

&lt;center&gt;&lt;math&gt;L = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 1.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Ese resultado implica que el largo de lo que queda, que debe ser igual al largo del segmento [0,1], o sea 1, menos el largo de lo removido, lo que nos dice que el largo del conjunto de Cantor debe ser 1-1=0. !!!!!

&lt;b&gt;Cardinalidad. &lt;/b&gt;La cantidad de elementos del conjunto de Cantor es
infinita, como fue observado anteriormente. Sin embargo, se trata de un infinito
comparable al de los Reales, que es mayor que el infinito de los Naturales. Para
ver lo anterior, basta considerar cada expansión ternaria de un elemento de
&lt;math&gt;\mathcal C&lt;/math&gt;

&lt;center&gt;&lt;math&gt;0.a_1a_2a_3 \dots &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

y cambiar cada 2 que allí aparece por 1. El resultado son todas las expansiones
binarias (base 2) de los números en [0,1], que muestra lo indicado.

&lt;b&gt;Largo del Conjunto de Cantor}.&lt;/b&gt;  El Conjunto de Cantor es un subconjunto de los reales que contiene infinitos números entre 0 y 1, ambos extremos incluidos. Resulta natural preguntarse por su largo. Computaremos dicho largo, mirando al largo de su complemento, que restaremos de 1 (el largo del intervalo [0,1]).

&lt;br&gt;
Computemos el largo de la reunion de  intervalos removidos, sumando los largos de los segmentos removidos.
{{eqn|&lt;math&gt;
L= \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{8}{3^4} +\dots.&lt;/math&gt;}}
La serie es geométrica con razón 2/3 y término inicial 1/3, luego
{{eqn|&lt;math&gt;
L = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 1.
&lt;/math&gt;}}
El largo del Conjunto de Cantor debe ser igual al largo del segmento [0,1]---o sea 1---menos el largo de lo removido,  o sea  1-1=0. !!!!!

=== Ejercicios 9.3 ===

Cuando Z = X x Y, pr&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt;, pr&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt; denotan las proyecciones sobre X
(Z &amp;rarr; X) y sobre Y (Z &amp;rarr; Y), respectivamente.
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; (Propiedades del Producto de Conjuntos) Sean A, A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &amp;sub; X y B, B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, B&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &amp;sub; Y. Se cumple que
    &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt; (A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &amp;cup; A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) x B = (A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x B) &amp;cup; (A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; x B).
    &lt;li&gt; (A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &amp;cup; A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) x (B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &amp;cup; B&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) = (A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) &amp;cup; (A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
         x B&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) &amp;cup; (A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; x B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) &amp;cup; (A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; x B&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).
     &lt;li&gt; (A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &amp;cap; A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) x B = (A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x B) &amp;cap; (A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; x B).
   &lt;li&gt; (A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) &amp;cap; (A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; x B&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) = (A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &amp;cap; A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) x (B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
        &amp;cap; B&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).
    &lt;li&gt; (A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) \ (A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; x B&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) = (A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; \ A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)
         x B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &amp;cap; A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x (B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; \ B&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).
    &lt;li&gt; (A x B)&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; = A&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; x Y &amp;cup; X x B&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;.
    &lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea A &amp;sub; X, entonces pr&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(A) = A x Y &amp;sub; X x Y.

&lt;li&gt; (Funciones y Producto Cartesiano) Sea f:X &amp;rarr; Y. Llamamos
    &lt;i&gt;gráfico&lt;/i&gt; de f al subconjunto &amp;Gamma; &lt;sub&gt;f&lt;/sub&gt; de X x Y tal que

  &lt;center&gt;&lt;math&gt; \Gamma_f := \{(x, f(x)) | x \in X\}.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

    &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt; Un subconjunto Z de X x Y es el gráfico de una función X
        &amp;rarr; Y, ssi, para todo a en X se cumple que Z &amp;cap; {a} x
        Y contiene exactamente un punto.
    &lt;li&gt; Sea f:X &amp;rarr; Y, A &amp;sub; X, B &amp;sub; Y.
        &lt;ul&gt;
        &lt;li&gt; f(A) = pr&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt; ( &amp;Gamma; &lt;sub&gt;f&lt;/sub&gt; &amp;cap; (A x Y )) = pr&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt; ( &amp;Gamma; &lt;sub&gt;f&lt;/sub&gt; &amp;cap;
             pr&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; (A)).
        &lt;li&gt; f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(B) = pr&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt;( &amp;Gamma; &lt;sub&gt;f&lt;/sub&gt; &amp;cap; (X x B)).
        &lt;/ul&gt;
    &lt;li&gt; La restricción de pr&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt; a &amp;Gamma; &lt;sub&gt;f&lt;/sub&gt; es una biyección.
    &lt;li&gt; La restricción de pr&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt; a &amp;Gamma; &lt;sub&gt;f&lt;/sub&gt; es inyectiva, ssi, f es        inyectiva.
    &lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea H la hipérbola {(x,y): xy=1}. Probar que H es cerrado en
    &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, pero que su proyección en el eje X no lo es. Es decir que las proyecciones canónicas no son funciones cerradas.

&lt;li&gt; Sean X, Y y Z espacios topológicos. Probar los enunciados
    siguientes.
    &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt; X x Y &amp;cong; Y x X.
    &lt;li&gt; X x (Y x Z) &amp;cong; (X x Y) x Z &amp;cong; X x Y x
        Z.
    &lt;li&gt; X x {p} &amp;cong; X.
    &lt;li&gt; X &amp;cong; Y &amp;rArr; X x Z &amp;cong; Y x Z.
    &lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Probar que &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; con la topología usual es homeomórfico con el producto de n copias de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. Análogamente, el cubo unitario &lt;b&gt;I&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; (como subespacio
    de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;) es homeomorfo al producto de n copias del intervalo I=[0,1].

&lt;li&gt; Probar que f:X &amp;rarr; Y es continua, ssi, la proyección de X x Y  sobre X
    restringida a &amp;Gamma;&lt;sub&gt;f&lt;/sub&gt; es continua.

&lt;li&gt; Sea W &amp;sub; X x Y. Si W es abierto entonces pr&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt;(W) es
    abierto. Concluir que las proyecciones son funciones abiertas. ¿Son funciones
    cerradas?

&lt;li&gt; Sea Z = X x Y. Sean A &amp;sub; X y B &amp;sub; Y.
    &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt; A x B es abierto en Z, ssi, A es abierto en X y B es
        abierto en Y.

    &lt;li&gt; A x B es cerrado en Z, ssi, A es cerrado en X y B es
        cerrado en Y.
    &lt;li&gt; Cl(A x B) = Cl(A) x Cl(B).
    &lt;li&gt; ¿Será cierto que Int(A x B) = Int(A) x Int(B)?
    &lt;li&gt; ¿Será cierto que Fr(A x B) = Fr(A) x Fr(B)? En caso
        negativo, hallar una fórmula para Fr(A x B)?
        &lt;/ol&gt;
&lt;li&gt; Los resultados del ejercicio anterior se pueden generalizar al producto
    cartesiano de una cantidad finita de espacios topológicos. ¿Cuáles, si alguna,
    se pueden generalizar a un producto arbitrario de espacios topológicos?

&lt;li&gt; Probar que el producto de dos espacios Hausdorff es un espacio
    Hausdorff.

&lt;li&gt; Sea C el conjunto de Cantor. Probar que
    &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt; C no interseca a ]1/2,2/3[.
    &lt;li&gt; C no interseca el intervalo &lt;math&gt; ]\frac{3s+1}{3^k} ,\frac{3s+2}{3^k}[&lt;/math&gt;  para cualquier par de enteros s y k.
    &lt;/ol&gt;

&lt;li&gt;   Probar que el espacio de Cantor no es un espacio discreto, pero que su topología coincide con la topología producto (proyecciones son continuas).

&lt;li&gt;   El ejercicio anterior muestra que el producto de infinitos espacios discretos no es necesariamente discreto. ¿Qué pasa con un producto finito de espacios discretos?

&lt;/ol&gt;

== Los Espacios Cocientes ==

=== Conjuntos Cocientes ===

Sea X un conjunto no vacío y R una relación de equivalencia en X (o sea que es reflexiva, simétrica y transitiva). Llamamos &lt;i&gt;R--clase de equivalencia&lt;/i&gt; o simplemente &lt;i&gt;clase de equivalencia&lt;/i&gt; de un elemento x de X, al subconjunto de X denotado por [x] y que está formado por todos los y en X que son equivalentes (respecto a R) con X. Cada elemento de una clase de equivalencia se denomina un &lt;i&gt;representante&lt;/i&gt; de la clase.

&lt;br&gt;
Las clases de equivalencia forman una partición de X, o sea una colección de subconjuntos no vacíos disjuntos entre si y cuya reunión es todo el conjunto. 
En efecto, como cada x está en [x] (reflexividad) se tiene que las clases de equivalencia no son vacías y que su reunión es igual a X. 
Supongamos que z fuera un elemento tanto de [x] como de [y]. Entonces, para todo w en [x] se cumple que w &amp;sim; x, x &amp;sim; z y z &amp;sim; y, luego z &amp;sim; y, o sea que w está en [y]. Conclusión, [x] &amp;sub; [y]. Por la simetría de la situación, tenemos que [y] &amp;sub; [x], por lo que concluimos que [x] = [y].

&lt;br&gt;

Llamamos &lt;b&gt;partición}&lt;/b&gt; de un conjunto X a una familia de subconjuntos no vacíos  de X disjuntos dos a dos y cuya reunión es todo el conjunto.
&lt;br&gt;
Los resultados anteriores muestran que cada relación de equivalencia en un conjunto induce una partición del conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia de la relación.
&lt;br&gt;
Supongamos ahora que tenemos una partición &lt;math&gt;\mathcal P&lt;/math&gt; de X. Esa partición define una relación de equivalencia en el conjunto de la manera siguiente. Dos elementos están relacionados cuando, y solo cuando, pertenecen al mismo subconjunto de la partición. Cada conjunto de la partición es entonces una clase de equivalencia respecto a esa relación.
&lt;hr&gt;

Sea X un conjunto cualquiera no vacío y R una relación de equivalencia. Llamamos &lt;b&gt;conjunto cociente&lt;/b&gt; de X por la relación R al conjunto formado por todas las clases de equivalencias de R, al que denotamos por X/R. La función &amp;nu; de X en X/R que asigna a cada x de X su clase de equivalencia se llama &lt;b&gt;suprayección canónica&lt;/b&gt; o &lt;b&gt;natural&lt;/b&gt;. o también la &lt;b&gt;función cociente&lt;/b&gt;.

&lt;b&gt;Ejemplo 9.4.1 &lt;/b&gt; Sea f:X &amp;rarr; Y un función cualquiera. Definimos una relación x &amp;sim;&lt;sub&gt;f&lt;/sub&gt; y en X cuando f(x)= f(y). Es fácil ver que se trata de un relación de equivalencia que denotamos por &amp;sim;&lt;sub&gt;f&lt;/sub&gt; o R&lt;sub&gt;f&lt;/sub&gt;. Las clases de equivalencia son las preimágenes f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y), donde y está en f(X). Denotaremos al conjunto cociente por X/f.
&lt;hr&gt;

El conjunto cociente tiene la siguiente propiedad universal.

&lt;b&gt;Proposición (Propiedad Universal del Conjunto Cociente) &lt;/b&gt;

Sea &amp;sim; una relación de equivalencia en un conjunto X y sea &lt;i&gt;&amp;nu;&lt;/i&gt; : X &amp;rarr; X/ &amp;sim; la suprayección canónica. Sea f:X &amp;rarr; Y una función compatible con la relación de equivalencia---es decir que x &amp;sim; y &amp;rArr; f(x) = f(y), o equivalentemente f es constante en las clases de equivalencia. Entonces, hay una única función inyectiva f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;: X/ &amp;sim; &amp;rarr; Y tal que f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; ° &amp;nu; = f cuya imagen es f(X). Cuando la función f es suprayectiva, f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; es biyectiva.
&lt;/i&gt;
[[File:Universal del Cociente.jpg|thumb|Propiedad Universal del Cociente]]

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt; En order de que f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; o &amp;nu; = f, se debe cumplir que f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;([x]) = f(x). Solamente es necesario verificar que tal definición no depende del representante escogido en la clase [x]. Observemos que cuando y está en [x] se cumple, por las hipótesis, que f(y) = f(x), lo que prueba que f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; está bien definida.

Notemos que f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;([x]) = f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;([y]) implica que f(x) = f(y). Lo que, a su vez, implica que [x]=[y]. Esto prueba la inyectividad de f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;. Claramente si f es suprayectiva, se tiene que para todo y en Y, hay un x en X con f(x)= y, lo que implica que f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;([x]]) = y, probando la suprayectividad de f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;.
&lt;/ul&gt; {{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Nomenclatura.&lt;/b&gt; La función f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; se dice que es la función &lt;i&gt;deducida&lt;/i&gt; de f por &lt;i&gt;paso al cociente&lt;/i&gt;.

&lt;b&gt;Ejemplo 9.4.2 &lt;/b&gt;Sea g:X &amp;rarr; Y un función &lt;u&gt;suprayectiva&lt;/u&gt; cualquiera. El conjunto Y puede identificarse (como conjunto) con el conjunto cociente X/g. En efecto, por paso al cociente de g, se tiene que la función g^* :X/g &amp;rarr; Y es una biyección.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 9.4.3 &lt;/b&gt;Definamos una relación &amp;sim;&lt;sub&gt;&lt;b&gt;Z&lt;/b&gt;&lt;/sub&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que x &amp;sim;&lt;sub&gt;&lt;b&gt;Z&lt;/b&gt;&lt;/sub&gt; y , ssi, x-y es un número entero. Claramente, esa relación es de equivalencia. Denotaremos por &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;/&lt;b&gt;Z&lt;/b&gt; al correspondiente conjunto cociente.

Consideremos ahora a una función f : &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; periódica con (menor) periodo igual a 1, o sea tal que para todo t se cumple que f(t+1) = f(t).
Probaremos que x &amp;sim;&lt;sub&gt;f&lt;/sub&gt; y &amp;hArr; x &amp;sim;&lt;sub&gt;&lt;b&gt;Z&lt;/b&gt;&lt;/sub&gt; y.

Debemos probar que para cualquier t, cuando m sea entero se cumplirá que f(t+m) = f(t) (*). Tal resultado es evidente si m=0 o m=1. Supongamos que m &gt;0 y que se sabe que f(t+m) = f(t). Entonces, f(t+(m+1)) = f((t+m) + 1 ) = f(t+m) = f(t). Por inducción, tenemos entonces que la relación (*) es válida cuando m es positivo. Sea m &lt;0, entonces f(t+m) = f(t+m + (-m)) = f(t); lo que concluye la prueba.

Por lo tanto, las clases de equivalencia de ambas relaciones coinciden, por lo que sus conjunto cocientes coinciden?
¿Qué más podemos decir del conjunto cociente &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;/&lt;b&gt;Z&lt;/b&gt; (= &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;/f)?
Esperemos a estudiar la topología de la situación.
&lt;hr&gt;

=== Cocientes Topológicos ===

Sea X un espacio. Una relación de equivalencia R en X o lo que es lo mismo una partición (a veces llamada &lt;i&gt;descomposición&lt;/i&gt; en algunos textos de Topología) definen un conjunto cociente, X/ R y una suprayección &lt;br&gt;
&amp;nu;: X &amp;rarr; X/R. Nuestro propósito es dotar a X/R con una topología que haga que
la suprayección canónica sea continua. Claramente la topología indiscreta cumple con esa condición, pero no es la más interesante, ya que no refleja nada especial de la partición La respuesta adecuada será la topología cociente que definiremos a continuación.

{{DefRht|Topología Cociente| Sean &amp;nu;: X &amp;rarr; X/R como arriba. Llamamos &lt;b&gt;topología cociente&lt;/b&gt; a la topología más fina que hace que &amp;nu; sea continua. Esto es, la topología que contiene a todas las otras topologías en que &amp;nu; es continua. Esto implica, que un subconjunto U de X/R es abierto, ssi, su preimagen por &amp;nu; es abierto en X. En tal situación decimos que X/R es el &lt;b&gt;espacio cociente&lt;/b&gt; relativo a la relación R o también respecto a la función cociente &amp;nu;.
}}

Es usual en Topología, llamar &lt;b&gt;identificación&lt;/b&gt; a cualquier función f:X &amp;rarr; Y entre espacios tal que la topalgia de Y sea tal que un subconjunto de A es abierto, ssi, f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(A) es abierto. Esto implica que f es continua y que la topología de Y coincide con la topología de X/f, o sea que Y &amp;cong; X/f.

La propiedad universal de los conjuntos cocientes produce una propiedad universal semejante para los espacios cocientes.

&lt;b&gt;Proposición 9.4.2 (Propiedad Universal de los Espacios Cocientes) &lt;/b&gt;&lt;i&gt;

Sea R una relación de equivalencia en el espacio topológico X. Sea &amp;nu; la suprayección canónica sobre el espacio cociente X/R. Sea f:X &amp;rarr; Y una función continua compatible con la relación R, o sea tal que x R y implica que f(x) = f(y). Entonces, hay una única función inyectiva &lt;b&gt;continua&lt;/b&gt; f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; : X /R &amp;rarr; Y tal que f = f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; o &amp;nu;. Tal función es biyectiva cuando f es suprayectiva.
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt; La existencia de la función f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; sigue de la propiedad universal de los conjuntos cocientes. Necesitamos tan sólo mostrar que se trata de una función continua. Sea V un abierto de Y y consideremos f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V), como
f es continua se trata de un abierto de X. Por la descomposición, f =
f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; o &amp;nu;, tenemos que

&lt;center&gt;&lt;math&gt;f^{-1}(V) = \nu^{-1}(f^*)^{-1}(V)).&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Lo que muestra que {f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;}&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V) es abierto, probando la continuidad de
f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;.
&lt;/ul&gt; {{QED}}
&lt;hr&gt;

Veremos, en ejemplos, que aunque f sea suprayectiva, la función f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; no es necesariamente un homomorfismo, a pesar de ser biyectiva.

&lt;b&gt;&lt;i&gt;Advertencia.&lt;/i&gt;&lt;/b&gt; Las topologías cocientes pueden, a pesar de la simpleza de su definición, ser bastante patológicas.

&lt;b&gt;Ejemplo 9.4.4 &lt;/b&gt;Sean X = [0,2] &amp;sub; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, Y={0,1} y sea f:X &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que f(x) = 0 si x está en [0,1[ y f(x) = 1 si x está en [1,2]. El espacio cociente X/f tiene dos elementos, la clase del 0 y la clase del 1. ¿Cómo es la topología de X/f. Como &amp;nu;&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;([0]) = [0,1] se tiene que el conjunto que contiene solamente a la clase del 0 es un abierto en X/f. Vemos entonces que la clase del 1 es cerrado. Así que X/f tiene la topología de Sierpinski.

Notemos que f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; es biyectiva, pero no es un homeomorfismo que Y (como subespacio de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tiene la topología discreta que es diferente de aquella de Sierpinski. Notemos que si f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; es la función obtenida de f por paso al cociente, se tiene que f*([0]) = 0 y f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;([1]) = 1; lo que muestra que f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; es biyectiva, pero no es un homeomorfismo por la diferencia de las topologías.
&lt;hr&gt;

El siguiente lema muestra que la condición sobre los abiertos de la topología cociente tiene una contrapartida equivalente con cerrados.

&lt;b&gt;Lema 9.4.3 &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea f:X &amp;rarr; Y una función entre espacios cualesquiera. Las siguientes propiedades son equivalentes.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Un subconjunto A de Y es abierto en Y, ssi, f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(A) es abierto en X.
&lt;li&gt; Un subconjunto A de Y es cerrado en Y, ssi, f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(F) es cerrado en X.
&lt;/ol&gt;
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Para cualquier función f:X &amp;rarr; Y y subconjunto Z de Y se cumple que

&lt;center&gt;&lt;math&gt;f^{-1}(Y \ Z) = X \ f^{-1}(Z).&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

De donde se obtiene en forma inmediata la equivalencia (a) &amp;hArr; (b).
&lt;/ul&gt; {{QED}} &lt;hr&gt;

La próxima proposición da condiciones para que una función biyectiva, obtenida por paso al cociente, sea un homeomorfismo.

&lt;b&gt;Proposición 9.4.4&lt;/b&gt; Sea f:X &amp;rarr; Y una función suprayectiva que es abierta o cerrada .La función f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;: X/f &amp;rarr; Y obtenida por paso al cociente de f es un homeomorfismo. Es decir que f es una identificación (función cociente)
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sea h= (f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; y &amp;nu;:X &amp;rarr; X/f canónica. Observemos que para todo x en X, f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;(&amp;nu;(x)) = f(x) implica que &amp;nu;(x) = h(f(x)), o sea que &amp;nu;= h o f.

Sea U un abierto de X/f. Entonces, &amp;nu;&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(U) es abierto, pero entonces, f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(h&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(U)) = &amp;nu;&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(U) es abierto, Como f es abierta, se tiene que f(f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(h&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(U))) es abierto en Y, pero como f es suprayectiva,
 h&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(U) = f(f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(h&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(U))), lo que prueba que h es continua. Luego, f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; es un homeomorfismo.

Razonamiento análogo para cuando f es cerrada.
&lt;/ul&gt; {{QED}}
&lt;hr&gt;

{{Caja|&lt;center&gt;Pregunta Fundamental&lt;/center&gt;
Cuando X tiene una cierta propiedad, ¿qué podemos decir de un espacio cociente de X?}}

=== Ejercicios 9.4 ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Probar que dada una relación de equivalencia R en un espacio X, el
    espacio cociente X/R es único, excepto por homeomorfos. Es decir que dos espacios cocientes para la misma relación son siempre homeomorfos.

&lt;li&gt; Sea X un conjunto cualquiera no vacío. La relación de igualdad = es una relación de equivalencia en X. ¿Qué relación hay entre X y X /=?

&lt;li&gt; Sea h : [0,1) &amp;rarr; &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tal que f(t) = (cos(2&amp;pi; t), sen(2&amp;pi; t). Probar que h es biyectiva, continua, pero noes un homeomorfismo.

&lt;li&gt; Sea f:X &amp;rarr; Y continua. Definir en X una relación &amp;sim;&lt;sub&gt;f&lt;/sub&gt; por x
     &amp;sim;&lt;sub&gt;f&lt;/sub&gt; y &amp;harr; f(x) = f(y). Probar que &amp;sim;&lt;sub&gt;f&lt;/sub&gt; es una relación de equivalencia y describir el espacio cociente.

&lt;li&gt; Sea X = &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; \ {(0,0)}. Definir relaciones R tal que (x,y) R (x',y'), ssi, hay un &amp;alpha; &gt;0 tal que x = &amp;alpha; x', y = &amp;alpha; y'.
    Probar que el espacio cociente es homeomorfo a una circunferencia.

&lt;li&gt; Probar que  &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; &amp;cong; &lt;b&gt;S&lt;/b&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; x ]0, +&amp;infin;[.

&lt;li&gt; Sea f: &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que f(x) = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Describir el espacio
    &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;/f (ver ejercicio anterior).

&lt;li&gt; Sea f: &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que f(x) = sen(x). Describir el espacio &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;/f.

&lt;/ol&gt;

}}

Mirando al ejemplo 9.4.4, vemos que un espacio puede ser Hausdorff, pero su cociente no.

== Construcción de Conjuntos ==

[[File:Möbius strip.jpg|thumb|Cinta de Moebius]]
Gran parte de los ejemplos consiste en hacer todos los puntos de un subconjunto del espacio equivalentes entre si. Sea X un espacio y A un subconjunto de X. Consideremos la partición de X formada por A y por un conjunto de un elemento, para los elementos en el complemento de A. Llamamos &lt;b&gt;contracción&lt;/b&gt; de X por A al espacio cociente correspondiente, al que denotaremos por X/A.

&lt;b&gt;Ejemplo 9.5.1 &lt;/b&gt;Consideración intuitiva: Sea X un intervalo cerrado de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, digamos [0,1]. Si pegamos 0 con 1, el resultado que se obtiene es una figura homeomórfica a una circunferencia.

Más formal, &quot;pegar&quot; quiere decir que queremos ``identificar'' 0 con 1. ¿Cómo podemos hacerlo? Simplemente usando una relación de equivalencia donde haya una clase de equivalencia que contenga al 0 y al 1; es decir,  haciendo una contracción con A={0,1}. La correspondiente partición  sería tal que cada x &amp;ne; 0,1 aporta {x} a la partición, y el único elemento con dos elementos es {0,1}, Sea R la relación definida por esa partición, entonces X/R contiene un punto por cada x &amp;ne; 0,1 y un punto donde se identifican 0 y 1.
Notemos que usando la terminología de contracciones, el espacio cociente es [0,1]/{0,1}.

Busquemos una función continua suprayectiva f:[0,1] &amp;rarr; &lt;b&gt;S&lt;/b&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; (&lt;b&gt;S&lt;/b&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; es la circunferencia unitaria) tal que f(0) = f(1) y f(x) = f(y) implica que x=y, cuando 0 &lt; x, y &lt;1. Si esa función es además abierta o cerrada, se tendría una identificación (proposición 9.4.4).

Una posible función es f:[0,1] &amp;rarr; &lt;b&gt;S&lt;/b&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; tal que f(t) = (cos(2&amp;pi; t), sen(2&amp;pi; t)). Claramente, f es una función continua suprayectiva tal que f(0) = f(1). Sea g:X/f &amp;rarr; &lt;b&gt;S&lt;/b&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;, la función biyectiva que se obtiene al pasar f al cociente. Notemos que f es una función cerrada. Conjuntos cerrados básicos de X son [0,a] con 0 &amp;le; a &lt; 1 y [b,1] con 0 &lt; b &amp;le; 1. Entonces, claramente, f([0,a]), el arco desde P= (0,1) a Q=(cos(2&amp;pi; a), sen(2&amp;pi; a)) es un subconjunto cerrado de &lt;b&gt;S&lt;/b&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; (intersección de la bola cerrada con centro en el punto medio entre P y Q, de radio la mitad de la distancia de P a Q, con &lt;b&gt;S&lt;/b&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;. Análogamente, para el otro conjunto cerrado básico. Luego, por la proposición citada, g : X/f &amp;rarr; &lt;b&gt;S&lt;/b&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; es un homeomorfismo.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 9.5.2. &lt;/b&gt; Anteriormente, en el ejemplo 9.4.3, vimos que la relación x &amp;sim;&lt;sub&gt;&lt;b&gt;Z&lt;/b&gt;&lt;/sub&gt; y, ssi, x-y es un número entero, producía un espacio cociente que al denotamos por &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;/Z. Considerando al espacio cociente &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;/ f con f(t) = (cos(2&amp;pi; t), sen(2&amp;pi; t)) y procediendo como en el ejemplo anterior, concluimos que &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;/&lt;b&gt;Z&lt;/b&gt; &amp;cong; &lt;b&gt;S&lt;/b&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 9.5.3 &lt;/b&gt; Sean X, Y espacios topológicos y sea Z = X x Y. Sea x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; un punto de X, definamos una relación de equivalencia, por (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) R (x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) &amp;harr; y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.

Se puede observar que la clase de equivalencia de (x,y) consiste de todos los pares cuya segunda coordenada es igual a y. En la representación como ``rectángulo'' del producto cartesiano, se trata de segmentos paralelos (uno por cada y en Y) al eje de X.
Se verifica que pr&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt; : X x Y &amp;rarr; Y es una identificación, o sea que Y es homeomorfo al correspondiente conjunto cociente.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 9.5.4 (Cilindro) &lt;/b&gt; (Intuición) Consideremos un rectángulo y seleccionemos dos de sus lados opuestos. Cada línea paralela a uno de los lados no seleccionados corta a esos dos lados. Identifiquemos esos puntos de corte, o sea imaginemos que pegamos los lados opuestos haciendo corresponder tales puntos de corte. ¿Qué obtenemos? ... un tubo; formalmente llamado &lt;i&gt;cilindro&lt;/i&gt; (sin tapas).

[[File:Cilindro Cociente.jpg|center|Cílindro como espacio cociente|300px]]
&lt;center&gt;Ficura 9.4:Cílindro como espacio cociente&lt;/center&gt;

Suponiendo un rectángulo R con vértices (1,0), (1,1), (-1,1) y (-1,0). Definamos una relación en R por (x,y) &amp;sim; (x',y'), ssi, x = 1, x'=-1, y=y' o x =-1, x'=1, y=y', si x &amp;neq;  1 o -1, (x,y) \sim (x',y') solamente cuando x = x', y = y'. R es una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia son {(x,y)} cuando x &amp;ne; ± 1, y arbitrario, y {(-1,y)(1,y)}, y cualquiera. Una (función) identificación posible es:
h: R &amp;rarr; C: (x,y) = (cos(&amp;pi; x), sen(&amp;pi; x),y) donde C = &lt;b&gt;S&lt;/b&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; x [0,1] (cilindro).
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 9.5.5 (Cinta (o banda) de Moebius) &lt;/b&gt; Consideremos nuevamente un rectángulo y seleccionemos dos lados opuestos. Peguemos nuevamente los lados opuestos, pero después de girar por media vuelta uno de ellos. Mirar la figura.
&lt;!--
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
    &amp;isin;put {./Figuras/fig0906}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    &amp;isin;put{./Figuras/fig0906b}
\end{minipage}
     &amp;cap; tion{Cinta de Moebius}
    \label{fig0906}
\end{figure}
--&gt;

[[File:Toro-EM.jpg|center|Toro como conjunto cociente|300px]]
¿Qué obtenemos? ... una superficie conocida como ``cinta de Moebius'''. Si la
lectora o lector no tiene experiencia con este objeto, una experiencia interesante
será construir en papel una cinta de Medius (empezar con un rectángulo mucho
más largo que ancho: una cinta y pegar los lados menores después de una media vuelta). El resultado será un modelo concreto de la cinta de Moebius. Después de hecho lo anterior, como curiosidad, cortar por el centro de la cinta obtenida ¿qué pasa? Un aspecto importante de la cinta es que tiene una solamente una cara.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo9.5.6 (Toro) &lt;/b&gt; Una superficie muy interesante es aquella llamando &lt;i&gt;toro&lt;/i&gt;, que resulta de hacer girar una circunferencia alrededor de un eje que no la corta. La palabra «toro» proviene del latín ``torus'', que significa algo así como ``protuberancia''.

[[File:Torus.png|center|Toto|300px]]
&lt;!-- [[File:Toro-EM.jpg|center|Toro como conjunto cociente|300px]] --&gt;
Objetos de la vida real que tienen forma de toro son las superficies de los flotadores o de una rosquilla.
Topológicamente,un toro se define como el espacio producto &lt;b&gt;S&lt;/b&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; x &lt;b&gt;S&lt;/b&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;. Se puede, también, generarlo como espacio cociente de la manera indicada en la figura, empezando con un rectángulo, pegamos por lados opuestos, obteniendo un cilindro. Luego, pegamos las dos bocas del cilindro.

&lt;!-- Figura 9.7
\begin{figure}[htb]
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        &amp;isin;put {./Figuras/fig0907a}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
        &amp;isin;put{./Figuras/fig0907b}
    \end{minipage}

     \caption{Toro}
    \label{fig0907}
\end{figure}
&lt;hr&gt;
--&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 9.5.7 (Plano Proyectivo). &lt;/b&gt; Sea X = &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; \ {(0,0,0)}. Definir una relación &amp;sim; tal que (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;) &amp;sim; (y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;), ssi, hay un número real &amp;alpha; &amp;ne; 0 tal que x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; = &amp;alpha; y&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, i=1,2,3. Claramente, la relación &amp;sim; es de equivalencia. El espacio cociente, se llama el &lt;b&gt;plano proyectivo&lt;/b&gt; y se denota por &lt;math&gt;\mathbb {RP}_2&lt;/math&gt;. Los puntos del plano proyectivo corresponden a líneas pasando por el origen y se simboliza por [x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;:x&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;] al punto que es la clase de equivalencia de (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,x&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;).

Un plano en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; que pasa por el origen genera una &lt;i&gt;línea&lt;/i&gt; del plano proyectivo.

Sea &lt;math&gt;p: \mathbb{R}^3 \setminus\{(0,0,0)\} \rightarrow \mathbb{RP}_2&lt;/math&gt; la función cociente natural. Para cada i = 1, 2, 3, sea

&lt;math&gt;U_i =  \{[x_1:x_2:x_3] : x_i \neq 0\}. &lt;/math&gt;
Se verifica que cada U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; es un abierto homeomórfico a &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 9.5 ===
&lt;ol&gt;

&lt;li&gt; Sea C el cilindro &lt;b&gt;S&lt;/b&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; x I donde I=[0,1]. Definir una relación de equivalencia (x,y) R (x',y), ssi, y' = y = 1.
    Explicar por qué C/R puede ser llamado ``sombrero cónico''.
      &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt; Probar que C/R es homeomorfo a un disco cerrado del plano.
    &lt;li&gt; Sea A = {(x,y): y=1}, mostrar que C/A = C/R.
    &lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea X el producto de una bola cerrada del plano con un intervalo cerrado, digamos &lt;math&gt;X = \mathbb{B}^2 \times [0,1]&lt;/math&gt;. Si se define una relación R tal que (x,y,t) R (x',y',t'), ssi, t=t'=1, explicar por que podemos decir que el cociente X/R es un cono sólido. &lt;math&gt;\mathbb{B}^2&lt;/math&gt; es la bola unitaria de \&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;!--
%&lt;li&gt; Sean X&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\mathbb{B}^3&lt;/math&gt;⊂ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, X&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = B((0,0,1) ⊂ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y X = X&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ∪ X&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; definamos una relación en X por
   % (x,y,z) R (x',y',z') , ssi, x=x', y = y'. Verificar que R es una relación de equivalencia y que el conjunto cociente es homeomorfo a &lt;b&gt;S&lt;/b&gt;^2,
--&gt;
&lt;li&gt; Sea &lt;b&gt;B&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; cualquier espacio homeomorfo a la bola de radio 1 y centro el origen de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Sea &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n-1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; la esfera unitaria de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
    &lt;ol&gt;
    &lt;li&gt; Mostrar que podemos identificar &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; con un subespacio de &lt;b&gt;B&lt;sup&gt;n+1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
    &lt;li&gt; Probar que &lt;b&gt;B&lt;sup&gt;n+1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;/&lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; &amp;cong; S&lt;sup&gt;n+1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
    &lt;/ol&gt;

&lt;li&gt;  Probar que un toro y X = &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; x &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; son homeomorfos.

&lt;/ol&gt;

== Ejercicios del capítulo 9 ==

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sean X={0,1} con la topología discreta y sea Y = X x X con la topología producto. Listar todos los abiertos de Y. ¿Es Y un espacio
    discreto?

&lt;li&gt; Sean X={0,1} el espacio de Sierpinski (topología = {&amp;empty;,{0}, X}) y sea Y = X x X con la topología producto. Listar todos los abiertos de Y.

&lt;li&gt; En el texto se indicó que el producto cartesiano de dos funciones continuas era continuo. Cuando se tiene una familia f_&amp;alpha; : X_&amp;alpha; &amp;rarr;
    Y_&amp;alpha; , &amp;alpha; en I, donde I es un conjunto arbitrario, podemos definir
    de manera análoga un producto f = &amp;prod;&lt;sub&gt;&amp;alpha; &lt;/sub&gt;f&lt;sub&gt;&amp;alpha; &lt;/sub&gt; tal que f
    ((x&lt;sub&gt;&amp;alpha; &lt;/sub&gt; ))= (f&lt;sub&gt;&amp;alpha; &lt;/sub&gt;(x&lt;sub&gt;&amp;alpha; &lt;/sub&gt; )). Cuando las f&lt;sub&gt;&amp;alpha; &lt;/sub&gt; son continuas, es f necesariamente continua?

&lt;li&gt; Sea X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, i &amp;isin; I una familia de espacios topológicos discreto y sea X su producto topológico. ¿Es X necesariamente discreto?

&lt;li&gt; Cuando g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, g&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; son funciones abiertas, también lo es su producto g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x g&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.

&lt;li&gt; Sea X un espacio cualquiera e I = [0,1] &amp;sub; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. Sea A = {(x,1): x &amp;isin; X } &amp;sub; X x I. Sea C&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt; = X/A, el &lt;i&gt;cono basado&lt;/i&gt; en X}.
    &lt;ol type = &quot;a &quot;&gt;
    &lt;li&gt; Si X= &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; entonces C&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt; es homeomorfo a la bola cerrada de radio 1 y centro el origen, &lt;b&gt;B&lt;sup&gt;n+1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, n &amp;ge; 1.

    &lt;li&gt; Sea I&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; el cuadrado unitario de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. ¿Cómo podría describirse C&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt;?

    &lt;li&gt; Escribir una relación de equivalencia R en X x I tal que C&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt; = X x I / R.
    &lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea X un espacio cualquiera. Se define una partición en X x I, donde I=[-1,1] &amp;sub; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, integrada por N = {(x,1): x &amp;isin; X},
    S = {(x,-1): x &amp;isin; X} y cada punto en el complemento de S &amp;cup; N generando una clase con un único elemento. El conjunto cociente se denota por S&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt; y se llama la &lt;i&gt;suspensión&lt;/i&gt; de X.
    &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt; Si X= &lt;b&gt;S&lt;/b&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; entonces S&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt;= &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; la esfera unitaria de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;

    &lt;li&gt; Si Y fuera un triángulo ordinario (unión de tres segmentos), ¿cómo podríamos describir a S&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt;? ¿Que relación hay entre S&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt; y S&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt;.
    &lt;/ol&gt;

 &lt;li&gt; (Homeomorfismos)
    &lt;ol&gt;
    &lt;li&gt; Probar que [0,1]/[1/4,3/4] &amp;cong; [0,1].
    &lt;li&gt; Describir el espacio cociente [0,1]/{1/3,1}. Comparar con una letra del alfabeto.
    &lt;li&gt; Si el punto medio del lado curvo se identifica con el punto medio del segmento rectilíneo de la letra &lt;b&gt;D&lt;/b&gt;, ¿qué letra obtenemos?
    &lt;li&gt; Construir otros ejemplos análogos a las situaciones anteriores.
    &lt;/ol&gt;

 &lt;li&gt; (Proyección Estereográfica) Sea S la esfera unitaria tridimensional (x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; +y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; +z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; =1) pero sin su polo norte N = (0,0,1). Sea Y el plano z=0 Sea P un punto cualquiera de la esfera. La línea qua pasa por N y P corta el plano en un punto &amp;pi;(P). Probar que &amp;pi; es un homeomorfismo.

&lt;/ol&gt;

[[Categoría:Espacios Métricos]]

&lt;!-- 14 de septiemebre de 2016 --&gt;

&lt;!-- 1 de abril de 2019 --&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Espacios Métricos/Espacios Compactos</title>
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{{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos
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&lt;/noinclude&gt;&lt;!-- Capítulo 11 LOS ESPACIOS COMPACTOS -=--&gt;

Capítulo 11 LOS ESPACIOS COMPACTOS
== Introducción==

La compacidad es una propiedad muy importante de los espacios topológicos.
Sin embargo, no resulta fácil dar una descripción intuitiva de la misma. La idea
de compacto es de algo que cabe en un espacio pequeño. Para nosotros, topológicamente
hablando, los espacios finitos serán espacios “pequeños”. Sin necesariamente
mucha precisión, podemos decir que los conjuntos compactos serán
espacios topológicamente semejantes a los conjuntos finitos. Una definición formal
aparecerá más adelante.

Por la importancia de los conjuntos compactos y de las nociones asociadas,
hemos adoptado una estructura especial en este capítulo. Después de dar una definición
general de la compacidad y ver algunas de sus propiedades generales, haremos un
estudio detallado de la compacidad para subconjuntos de la línea real; en particular
una serie de nociones equivalentes. Posteriormente, veremos la compacidad en
los espacios normados &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Luego, estudiaremos la noción en un espacio métrico cualquiera. Obviamente, cualquier propiedad de compactos en espacios métricos
será valida para la línea real y los &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Es decir que habrá resultados cuyas demostraciones podrán aparece tres veces, primeramente para línea real, luego para los espacios normados de dimensión finita y luego para los espacios métricos. ¿Por
qué esta redundancia? En primer lugar, porque ilustra el desarrollo de la noción.
En segundo lugar, veremos demostraciones diferentes para una misma propiedad,
dependiendo del ambiente. Finalmente, podremos ver que las propiedades equivalentes
o implicadas por la compacidad, no son las mismas para espacios generales
que para los &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;’s. Algunas propiedades importantes para los compactos de espacios &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;—en particular, la línea real—como la característica de ser cerrados y acotados, no son válidas en general. Por esa razón, nuestra definición de compacidad será dada en términos de familias de abiertos (cubiertas) que contienen al espacio o conjunto en cuestión, ya que la experiencia muestra que es la más provechosa.

== Cubiertas, subcubiertas ==


{{DefRht|Cubiertas, Subcubierta| Sea X un espacio topológico, A un
subconjunto de X. Decimos que una familia &lt;b&gt;&lt;i&gt;G&lt;/i&gt;&lt;/b&gt; de subconjuntos de X es una &lt;b&gt;cubierta&lt;/b&gt; o '''recubrimiento''' del conjunto A o que cubre al conjunto A, cuando la reunión de los conjuntos de la familia contiene al conjunto A.

Una '''subcubierta''' G′ de una cubierta '''G''' de A es un subconjunto de '''G''' que también
cubre a A.

Decimos que se trata de una &lt;b&gt;cubierta abierta&lt;/b&gt; cuando cada conjunto de la
cubierta es un conjunto abierto.}}

Notemos que una familia &lt;b&gt;G&lt;/b&gt; de subconjuntos de un conjunto A será una cubierta
de A, cuando para cada x de A hay un conjunto U en G que contiene a x.
 
&lt;b&gt;Ejemplo 11.2.1. &lt;/b&gt; Sea X = &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; y sea G la familia de intervalos ]z − 1, z + 1[,
z en '''Z'''. Claramente G es una cubierta abierta de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.

&lt;b&gt;Ejemplo 11.2.2. &lt;/b&gt; Sea X = [0, 1], r un racional positivo, y sea G el conjunto de
r–vecindades de puntos racionales de X. Claramente, G es una cubierta abierta de
X.

&lt;b&gt;Ejemplo 11.2.3. &lt;/b&gt; Aunque las cubiertas abiertas serán aquella más interesantes para
nosotros, podremos tener cubiertas de cerrados o de conjuntos que no son ni
abiertos ni cerrados. Consideremos a F = {[z − 1, z + 1] : z ∈ &lt;b&gt;Z&lt;/b&gt;}, que es claramente
una cubierta cerrada de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. Omitiendo en cada uno de esos conjuntos uno
de los extremos, todavía tendremos una cubierta.

&lt;b&gt;Ejemplo 11.2.4. &lt;/b&gt; Sea X = {x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;} un conjunto finito de un espacio topológico.

Sea G = {G&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; : i ∈ I} una cubierta abierta de X. Mostraremos que hay una
subcubierta finita de G que cubre a X, independiente del tamaño del conjunto de
índices I. En efecto, para cada k, k = 1, 2, . . . n, hay un abierto en G que denotaremos
por G&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; que contiene a x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;. Claramente la reunión de esos n abiertos cubre
al conjunto X.

=== Ejercicios 11.2. ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;Hallar la reunión y la intersección de cada una de las familias siguientes de subconjuntos de la línea real.
   &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt; &lt;math&gt;(A_n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;A_n = [0,1/n)&lt;/math&gt;.
    &lt;li&gt; &lt;math&gt;(B_n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B_n = ]-1/n, 1/n[&lt;/math&gt;.
    &lt;li&gt; &lt;math&gt;(C_n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;C_n= [-1/n.1/n]&lt;/math&gt;.
   &lt;/ol&gt;


&lt;li&gt; Sea &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; una cubierta abierta de un espacio &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;.
     &lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
    &lt;li&gt; Un subconjunto &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; es abierto, ssi, hay un &lt;math&gt;B \in \mathcal{C}&lt;/math&gt; tal     que &lt;math&gt;A \cup B&lt;/math&gt; es abierto en &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.
    &lt;li&gt; Una función &lt;math&gt;f:X \rightarrow Y&lt;/math&gt; es continua, ssi, para cada &lt;math&gt;B \in \mathcal{C}&lt;/math&gt;, la restricción de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; es continua.
    &lt;li&gt; Dos topologías de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; son iguales, ssi, inducen la misma topología relativa en cada &lt;math&gt;B \in \mathcal{C}&lt;/math&gt;.
    &lt;/ol&gt;
&lt;/ol&gt;

== Los Espacios Compactos ==

Inspirados en el ejemplo de los conjuntos finitos (11.2.4), &lt;/b&gt; daremos la siguiente definición de compacidad.

{{DefRht|Espacios y Conjuntos Compactos| Decimos que espacio topológico
es &lt;b&gt;compacto&lt;/b&gt;, ssi, cada cubierta abierta de X tiene una subcubierta finita.
Un subconjunto de un espacio topológico es un subconjunto compacto cuando
es un espacio compacto respecto a la topología relativa.
}}

&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Los espacios finitos son compactos.
&lt;li&gt; La línea real no es compacta. El cubrimiento del ejercicio 11.2.1 no tiene
un subcubrimiento finito de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.
&lt;/ul&gt;
La siguiente proposición sigue inmediatamente de la definición.

&lt;b&gt;Proposición 11.3.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sean X un espacio topológico y Y un subconjunto de X. Y
es compacto, ssi, para todo familia de abiertos (en X) que cubren Y , hay una
subfamilia finita de dicha familia que también lo cubre.
&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

Antes de entrar en detalles de los espacios compactos, veremos condiciones
duales para la compacidad, o sea en términos de cerrados.

Consideremos una familia (F&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) de cerrados en un espacio compacto X tal
que la intersección de sus miembros sea vacía. Entonces, el complemento de tal
intersección será todo X. Como el complemento de la intersección de los F&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;’s es
la reunión de los complementos de los F&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;’s, y tales complementos son abiertos,
tenemos que determinan una cubierta abierta de X. Como X es compacto, hay una
familia finita de tales abiertos cuya reunión será igual a todo X; por lo que sus
complementos—que es una familia finita de los F&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;’s—tendrá intersección vacía.
Lo anterior, produce la siguiente caracterización de la compacidad.

&lt;b&gt;Proposición 11.3.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;En un espacio compacto, una familia de cerrados tiene intersección
vacía, ssi, una subfamilia finita tiene intersección vacía.
&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

Introduciremos una terminología que nos ayudará a escribir de manera más
concisa algunas proposiciones.

&lt;b&gt;Propiedad de la Intersección Finita. &lt;/b&gt;Decimos que una familia de conjuntos
tiene la propiedad de la intersección finita (PIF), cuando cada subfamilia finita
tiene intersección no vacía.

Usando esa terminología, sigue de la discusión anterior
la siguiente proposición.

&lt;b&gt;Proposición 11.3.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Un espacio topológico X es compacto, ssi, cada familia de
cerrados en X que tiene la propiedad de la intersección finita, tiene intersección
no vacía.
&lt;/i&gt;

Algunas veces, resultará más cómodo esta versión de la compacidad para probar
que un conjunto ees compacto.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Sucesiones Anidadas de conjuntos.&lt;/b&gt; Sea X un conjunto. Una sucesión (A_n), n ∈&lt;b&gt;N&lt;/b&gt;,
de subconjuntos de X se llama &lt;i&gt;anidada&lt;/i&gt;, ssi, para todo m, n en &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;.se cumple que
m &gt; n implica que A_m ⊂ A_n.

Sea (A_n) una sucesión anidada de conjuntos no vacíos. Sean n_1 &lt; n_2 &lt; ... &lt;
n_k, Entonces, A&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; esta contenido en cada uno de los A&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; ’s anteriores,por lo que está contenido en su intersección. Hemos, así, probado el siguiente lema.

&lt;b&gt;Lema 11.3.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea (A_n), n ∈ &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;, una sucesión anidada de subconjuntos no vacíos
cualesquiera de un conjunto X, Entonces la familia de los A_n’s tiene la propiedad
de intersección finita.
&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;
Aplicando el lema a una familia anidada de cerrados no vacíos en un espacio
compacto, obtenemos la siguiente proposición.

&lt;b&gt;Proposición 11.3.5 (Cerrados Anidados). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea (F_n), n ∈ &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;, una familia anidada
de cerrados no vacíos de un espacio compacto X. Entonces, la intersección de los F_n no es vacía.
&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

==  Espacios y Conjuntos Compactos ==

Un subconjunto de un espacio compacto no necesita ser compacto. Por ejemplo,
veremos, más adelante, que I = [0, 1] es compacto, pero su interior no lo es
(ver ejercicio 5) sin embargo, los subconjunto cerrados siempre son compactos.

&lt;b&gt;Proposición 11.4.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cualquier subespacio cerrado de un espacio compacto es
compacto.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sea F un cerrado en el espacio compacto X. Sea (G&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) una cubierta
abierta de F. Entonces, los G&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;’s junto con el complemento de F cubren
X. Como X es compacto, una familia finita de los G&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;’s, eventualmente con F&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;
incluido, cubren a X y, por lo tanto, a F. Luego, F es compacto.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

La linea real no es compacta ya que la cubierta C = { ]n, n + 2[ : n ∈ &lt;b&gt;Z&lt;/b&gt;} no
tiene subcubierta finita posible. Por la misma razón, ni el intervalo abierto ]0,+∞[
ni el intervalo cerrado [0,+∞[ son compactos. La siguiente proposición muestra,
sin embargo, que hay otrosintervalos que son compactos.

&lt;b&gt;Proposición 11.4.2. &lt;/b&gt;&lt;/i&gt;El intervalo [0, 1] de la línea real es compacto.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Probaremos que cualquier cubrimiento de [0, 1] tiene un subcubrimiento finito. Sea (U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;), i∈I, un cubrimiento abierto de [0, 1]. Si I fuera finito no hay más que probar. Supongamos, por lo tanto, que I fuera infinito. Sea A el subconjunto
de [0, 1] formado por todos los x en [0, 1] tales que hay un subcubrimiento
finito de [0, x]. El conjunto A no es vacío porque al menos 0 está en A. Como,
además, A está acotado superiormente por 1, tenemos que A tiene supremo, digamos
s ≤ 1. Como [0, 1] es cerrado, s está en [0, 1]. Si s = 1, hemos probado
la proposición. Suponer que s &lt; 1. Entonces [0, s] está cubierto por una cantidad
finita de los U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;’s. Al menos uno de ellos contiene a s, digamos U&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;.

Como &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; está en el interior de &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, hay un intervalo abierto &lt;math&gt;]s-r,s+r[&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r&gt;0&lt;/math&gt;,  totalmente contenido en &lt;math&gt;U_\alpha \cap ]0,1[ \subset U_\alpha&lt;/math&gt;.  Pero, entonces
[0, s + r/2] está totalmente contenido en el subcubrimiento finito y s + r/2 &gt; s,
lo que es un absurdo. Luego, s = 1, y la proposición está probada.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Teorema 11.4.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;La imagen continua de un compacto es compacto.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea f : X &amp;rarr; Y continua y sea K ⊂ X compacto. Sea (U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) una
cubierta abierta de f(K). Cada U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; = V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; ∩ f(K) donde V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; es un abierto de Y .
La reunión de los V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; cubre a f(K), por lo que sus preimágenes f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) cubren
K. Pero, como K es compacto una familia finita de esas preimágenes cubre a K.
Como K ⊂ f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V&lt;sub&gt;i&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;) ∪ ...∪ f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(V&lt;sub&gt;i&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;) implica que f(K) ⊂ V&lt;sub&gt;i&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; ∪ ... V&lt;sub&gt;i&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;, tenemos la compacidad de f(K).
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 11.4.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Compacidad es una propiedad topológica. Si X y Y son homeomórficos,
se cumple que X es compacto, ssi, Y es compacto.&lt;/i&gt;

&lt;b&gt;Corolario 11.4.5. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cualquier intervalo cerrado y acotado de la línea real es
compacto. &lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;El intervalo [0, 1], por la proposición 11.3.7, es compacto y como
la función f : [0, 1] &amp;rarr; [a, b] tal que f(t) = (b − a)t + a es biyectiva y continua,
se tiene el resultado.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 11.4.6 (Intervalos Anidados). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea (J&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) una sucesión anidada de intervalos
cerrados y acotados de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, entonces la intersección de los J&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;’s no es vacía. Además, cuando la sucesión de los diámetros de los J&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; tiende a 0, dicha intersección contiene solamente un punto. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Ejercicio.
&lt;/ul&gt;&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 11.4.1. &lt;/b&gt; Sea ϕ : [0, 1] &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tal que ϕ(t) = (cos(2π t, sen(2π t)). La función ϕ es claramente continua, por lo que imagen &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, la circunferencia unitaria es un subconjunto compacto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 11.4.7. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cualquier subconjunto cerrado y acotado de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; es compacto.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea F cerrado y acotado. Por ser acotado, hay un número M tal
que F ⊂ [−M,M], Por el último corolario [−M,M] es compacto y, por la proposición
11.3.6, cualquier subconjunto cerrado de un compacto es compacto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 11.4.2. &lt;/b&gt; Hay espacios donde un conjunto cerrado y acotado no es compacto.

Consideremos al subespacio &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt; de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; con la topología relativa y sea B = [0, 1] ∩ &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt;. B es cerrado y acotado en &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt;.

Sea θ = √2/2 y sea F&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = [θ − 1/n, θ + 1/n], n ∈ &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;, n ≥ 4. Cada F&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; es un cerrado en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, por lo que H&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = F&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; ∩ B es un cerrado
de B. Observando que m &gt; n implica que H&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; ⊂ H&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, vemos que la familia de los H&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;’s es una familia de cerrados de B que tiene la propiedad de intersección finita. Peor, claramente, &amp;cap;n F&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = {θ}, por lo que &amp;cap;n H&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = &amp;empty; (ya que θ no está en B). Luego, B no puede ser compacto.
&lt;hr&gt;

=== La Compacidad en Espacios Hausdorff ===
Volvamos a espacio generales, pero suponiendo que son Hausdorff. Recordemos
que llamamos espacio Hausdorff a un espacio topológico donde cualquier par
de puntos distintos pueden separarse por abiertos disjuntos. Es decir, dados x, y,
x &amp;ne; y hay vecindades abiertas V&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; y V&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt; tales que x ∈ V&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;, y ∈ V&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt; y V&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; ∩ V&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt; = &amp;empty;.

La siguiente proposición puede ser considerada como un recíproco parcial de
la proposición 11.4.6.

&lt;b&gt;Proposición 11.4.8. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Un subconjunto compacto de un espacio Hausdorff es cerrado.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea X un espacio topológico Hausdorff y sea A un subconjunto
compacto de X. Si K = X o vacío, el resultado es trivial. Supongamos que
&amp;empty; &amp;ne; K &amp;ne; X y sea z un elemento del complemento de K. Como X es un espacio
Hausdorff, para todo x en K podemos hallar una vecindad V&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; de x y una vecindad
U&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; de z tales que V&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; ∩ U&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; = &amp;empty;. Claramente, los V&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;’s determinan una cubierta abierta
de K. Como K es compacto una familia finita de ellos, digamos V&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;, ... , V&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;
cubren a K. Sea U la intersección de los correspondientes U&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;’s. Entonces,
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;&lt;math&gt;
U \cap V_{x_i} = (\bigcap_{j=1}^m U_{j} ) \cap V_{x_i} = \emptyset,&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;
ya que &lt;math&gt;U_{x_i} \cap V_{x_i} = \emptyset.&lt;/math&gt;
Luego,
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;&lt;math&gt;U \cap \bigcup_{j=1}^m V_{x_j} = \bigcup_j (U \cap V_{x_j}) = \emptyset.&lt;/math&gt;&lt;/div&gt; 
Lo que implica que U ∩ K = &amp;empty;, o sea que U ⊂ K&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;. Es decir que K&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; es abierto, por lo que K es
cerrado.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 11.4.9. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;En un espacio métrico, los conjuntos compactos son cerrados
y acotados.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea E un espacio métrico y sea K un subconjunto compacto no
vacío de E. (El caso vacío es trivial). Como espacios métricos son Hausdorff,
sigue de la proposición que K es cerrado. Consideremos el cubrimiento de K
formado por las bolas abiertas de radio 1 y centro en cada elemento de K. Dicha
familia de abiertos cubre a K y, por ser K compacto, hay una familia finita de
ellos que contiene a K. Como cada bola es acotada y la reunión finita de acotados
es acotado y K está contenido en esa reunión tenemos que K es acotado.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 11.4.10. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea X un espacio Hausdorff compacto. Un subconjunto F de
X es compacto, ssi, es cerrado. &lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
Sea &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; un espacio métrico y sea &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; un subconjunto compacto no vacío de &lt;math&gt;E&lt;/math&gt;. (El caso vacío es trivial). Como espacios métricos son Hausdorff, sigue de la proposición que &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; es cerrado. Consideremos el cubrimiento de &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; formado por las bolas abiertas deradio 1 y centro en cada elemento  de &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;. Dicha familia de abiertos cubre
a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; y, por ser &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; compacto, hay una familia finita de ellos que contiene a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;.  Como cada bola es acotada y la reunión finita de acotados es acotada y &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; está contenido en esa reunión tenemos que &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; es acotado.
{{QED}}&lt;/ul&gt;
&lt;hr&gt;

El siguiente ejemplo muestra que el converso del corolario anterior no es válido en general; lo que complicará el estudio de compactos en espacios métricos.

&lt;b&gt;Ejemplo 11.4.3.&lt;/b&gt;&lt;!--\label{ejemCANC}--&gt; Espacio métrico donde un conjunto cerrado y acotado no es compacto.

Sea &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; un espacio métrico discreto infinito. Claramente, &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; es cerrado y acotado, pero no es compacto.   
&lt;hr&gt; 

La siguiente proposición resultará, más adelante, útil para probar que ciertas
funciones son homeomorfismos.

&lt;b&gt;Proposición 11.4.11. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sean X, Y espacios tales que X es compacto y Y es Hausdorff.
Si f : X &amp;rarr; Y es biyectiva y continua, entonces f es un homeomorfismo.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea f : X &amp;rarr; Y biyectiva y continua. Probaremos que para cada abierto A de X, f(A) es abierto en Y , para eso es suficiente mostrar que cada
cerrado F de X tiene una imagen f(F) cerrada en Y. Si F es vacío, su imagen
es vacía y, en consecuencia es cerrada. Supongamos que F no es vacío, sigue, entonces, de
la proposición 11.4.1 que F es compacto. Luego por el teorema 11.4.3, f(F) es
compacto. Pero, un compacto en un espacio Hausdorff es cerrado (ver la proposición 11.4.8).
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;
&lt;b&gt;Terminología. &lt;/b&gt;Los espacios compactos Hausdorff tienen muchas propiedades
agradables. Además muchos de los espacios compactos interesantes son Hausdorff,
por lo que hay varios autores (Bourbaki, Dixmier, por ejemplo) que incluyen
la hipótesis de Hausdorff en la definición de compacto. En tales situaciones,
se usan nombres tales como &lt;i&gt;cuasicompactos&lt;/i&gt; para nuestros compactos.

=== Ejercicios 11.4 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Explicar cuando un espacio no es compacto de acuerdo a la definición.

&lt;li&gt; Explicar cuando un espacio no es compacto de acuerdo a la proposición
11.3.3.
&lt;li&gt; Explicar cuando un espacio topológico discreto es compacto. Examinar, a
continuación, un espacio topológico indiscreto.
&lt;li&gt; Probar las afirmaciones no probadas en los ejemplos 11.2.1 y 11.2.4.
&lt;li&gt; Probar que ]0, 1[ no es compacto.

&lt;li&gt; Probar el corolario 11.3.11.

&lt;li&gt; Sea X = &lt;b&gt;I&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; el cuadrado unitario, {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 1}. La familia C de
bolas con centro en un punto del cuadrado y radio 1/10 cubre a X.
Probar que hay una subcubierta finita de C que también lo cubre.
&lt;li&gt; La reunión de una familia finitas de subconjuntos compacto es compacto.
&lt;li&gt; Sea X un espacio infinito con la topología de complementos finitos. Entonces,
X es compacto.
&lt;li&gt; . Cuando el producto de espacios no vacíos es compacto, entonces, cada factor
es compacto. El recíproco es válido, pero no es fácil de probar, ver más
adelante el teorema de Tychonoff.

&lt;li&gt; Sea X un espacio y B una base de la topología de X. Cada cubierta de X
por abiertos de B tiene una subcubierta finita, ssi, X es compacto.

&lt;li&gt; Sea X un espacio compacto y R una relación de equivalencia en X. Entonces,
el espacio cociente X/R es compacto.
&lt;li&gt; Sea S = [0, 1] ⊂ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; pero provisto con la topología de complementos finitos,
o sea que los cerrados de S son S o los subconjuntos finitos. Probar que
en esta topología cualquier subespacio de S, en particular los subconjuntos
abiertos, son compactos. ¿Por qué esto no contradice el resultado de la
proposición 11.3.13?
&lt;/ol&gt;

== La Línea Real ==

Antes de continuar un estudio general de la compacidad, examinaremos la
compacidad donde todo comenzó: la línea real. Veremos varias equivalencias para
la compacidad y algunas aplicaciones.

Claramente, como la línea real es un espacio métrico no acotado, sigue del
corolario 11.4.10, que no puede ser compacta. Como los intervalos abiertos son
homeomórficos a la línea real, tenemos que los intervalos abiertos no pueden ser
compactos. En el lado positivo, sabemos que los subconjuntos cerrados y acotados
de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; son compactos (ver la proposición 11.4.7).

En el capítulo 1 insinuamos, mediante los teoremas B y C, que los intervalos
cerrados y acotados eran algo especial—respecto a otro tipo de intervalos. La
respuesta es que son compactos. Presentamos, usando tal noción, pruebas de tales
teoremas.

&lt;b&gt;Teorema B. (Acotamiento de Funciones) &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea f : [a, b] &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; una función continua,
entonces hay un real positivo M tal que para todo x en [a, b] se cumple que
−M ≤ f(x) ≤ M. En palabras, la función f es acotada. &lt;/i&gt;

&lt;b&gt;Teorema C. (Existencia de Máximos y Mínimos Absolutos) &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea f : [a, b] &amp;rarr; &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; una función continua entonces hay números c y d tales que a ≤ c, d ≤ b con
f(c) ≤ f(x) ≤ f(d), para todo x en [a, b]. En palabras, la función f alcanza
máximos y mínimos absolutos. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea J = [a, b], por el teorema 11.5.3, la imagen de J por f es un subconjunto compacto de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;, por lo tanto, cerrado y acotado (corolario 11.3.14).
Lo que muestra en forma inmediata el teorema B. La acotación implica la existencia
de un ínfimo, digamos c, y un supremo, digamos d, de f(J). Como f(J) es
cerrado, tales números pertenecen a f(J), lo que prueba el teorema C.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;


Un análisis de la prueba, muestra inmediatamente que los resultados de los
teoremas mencionados son válidos si reemplazamos [a, b] por cualquier subconjunto
compacto de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.

&lt;i&gt;Observación 11.1. &lt;/i&gt;Los resultados de los teoremas anteriores se usan (a veces,
implícitamente) en el primer curso de Cálculo, especialmente cuando de trata de
hallar máximos o mínimos. Una demostración usando solamente la axiomática de
los Reales se puede hallar en [[Espacios Métricos/Bibliografía|Spivak [16]]].

El resultado de que una función continua es acotada se usa, en cursos de Cálculo,
para probar que la existencia de la integral de funciones continuas.
El resto de esta sección estará dedicado a estudiar propiedades equivalentes a
la compacidad de subconjuntos de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. Tales propiedades están contenidos en el siguiente
teorema, que resume muchos de los resultados del Análisis del siglo XIX.
La demostración del teorema se hará a través de varios lemas, cuyas demostraciones
serán interesantes  por si mismas. La lectora o lector deberá estar
atento a ver cuáles de esas propiedades se generalizan a &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, a espacios métricos cualesquiera y, finalmente, a espacios topológicos generales.

&lt;b&gt;Teorema 11.5.1 (Teorema de la Compacidad en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea A un subconjunto no
vacío de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;. Los enunciados siguientes son equivalentes.
:(a) A es compacto.
:(b) A es cerrado y acotado.
:(c) Cada subconjunto infinito de A tiene un punto de acumulación en A.
:(d) Cada sucesión de elementos de A tiene una subsucesión convergente.
:(e) Cada función continua de A en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; es acotada. &lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

Antes de continuar con la discusión de esas propiedades introduciremos algunos
nombres para las propiedades contenidas en el teorema.

&lt;b&gt;Bolzano–Weierstrass. &lt;/b&gt;Decimos que un subconjunto A de un espacio X (cualquiera)
tiene la propiedad de Bolzano–Weierstrass o que es un espacio B–W, ssi,
cada conjunto infinito de A tiene un punto de acumulación en A. Algunos autores
llaman a esta propiedad &lt;i&gt;compacidad enumerable&lt;/i&gt;.


&lt;b&gt;Compacidad secuencial. &lt;/b&gt;Un subconjunto A de un espacio X es &lt;b&gt;secuencialmente
compacto&lt;/b&gt;, ssi, cada sucesión de elementos de A tiene una subsucesión convergente
en A.

&lt;b&gt;Seudocompacidad. &lt;/b&gt;Un subconjunto A de un espacio X es &lt;b&gt;seudocompacto&lt;/b&gt;
cuando toda función real continua definida en A es acotada.

El teorema establece que cada una de esas propiedades es, en la línea real,
equivalente a la compacidad.
&lt;hr&gt;

Como en cualquier espacio métrico un conjunto compacto es cerrado y acotado
(ver corolario 11.4.10), sigue de la proposición 11.4.7 el siguiente resultado;

&lt;b&gt;Proposición 11.5.2 (Teorema de Heine–Borel para la Línea Real).
&lt;/b&gt;&lt;i&gt;Un subconjunto de la línea real es compacto, ssi, es cerrado y acotado.&lt;/i&gt;

Esta equivalencia de la compacidad será usada frecuentemente en lo que sigue.
En el corolario 7.5.3, vimos que toda sucesión real acotada tiene una subsucesión
convergente. Esto implica que cualquier conjunto infinito acotado (que
contiene, por lo tanto, a una sucesión acotada) tiene un punto de acumulación. Esta
propiedad es muy importante, por lo que la enunciaremos a continuación como
una proposición, y daremos otra demostración de la misma. Tal demostración será
útil en las generalizaciones..

&lt;b&gt;Proposición 11.5.3 (Bolzano–Weierstrass en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Todo subconjunto infinito y acotado de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tiene un punto de acumulación. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea A un conjunto infinito y acotado. Como A es acotado, está contenido en un intervalo cerrado y acotado, digamos [a, b]. La idea de la demostración es construir una sucesión anidada de intervalos cuyos diámetros tiendan a cero, tomar la intersección de tales conjuntos, que contendrá a un único elemento
(ver corolario 11.4.6) y probar que ese único elemento es el punto de acumulación
deseado.
Sea J&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = [a, b]. Dividamos en intervalo J&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; por su punto medio en dos subintervalos. Escogemos al subintervalo que contiene infinito puntos de A  y le llamamos J&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;. Al menos uno de ellos debe tener infinitos elementos, cuando ambos tengan infinitos elementos seleccionamos el subintervalo de la izquierda. Notemos que el diámetro de J&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; es igual a la mitad del diámetro de J&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, es decir que &amp;delta;(J&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) = (b − a)/2.

Supongamos construidos de la manera anterior, J&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , J&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; tales que

:(i) J&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; contiene infinitos puntos de A,
:(ii) J&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; ⊂ J&lt;sub&gt;k−1&lt;/sub&gt; ⊂ ... ⊂ J&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ⊂ J&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, y
:(iii) δ(J&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;) = (b − a)/2&lt;sup&gt;k&lt;/sup&gt;. (diámetro).
Repitiendo el proceso anterior con J&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;, obtendremos un J&lt;sub&gt;k+1&lt;/sub&gt; ⊂ J&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; que tiene infinitos puntos de A y cuyo diámetro es igual a la mitad del diámetro de J&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;, es decir, igual a (b − a)/2&lt;sup&gt;k+1&lt;/sup&gt;. Por inducción, obtenemos la sucesión de intervalos anidada anunciada. Luego, por el corolario 11.4.6, tenemos que la intersección de todos los J&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;’s contiene exactamente un punto, digamos z. Probaremos que z es un punto de acumulación de A. Sea V una vecindad de z, por definición de vecindad hay
un r &gt; 0 tal que la bola abierta B(z; r) está contenida en V . Como la sucesión
(b − a)/2&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; &amp;rarr; 0, hay un n tal que m ≥ n implica que (b − a)/2&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt; &lt; 2r, lo que
implica que el intervalo Jm que contiene a z, está contenido en B(z : r) ⊂ V .
Por lo que V contiene un punto (de hecho infinitos puntos) de A diferentes de z.
Luego, z es un punto de acumulación de A.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

&lt;i&gt;Observación 11.2. &lt;/i&gt;Notemos que el subconjunto &lt;b&gt;N&lt;/b&gt; de la línea real es infinito, pero no tiene punto de acumulación. Es decir que la condición de acotado es esencial.

&lt;b&gt;Lema 11.5.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Un subconjunto infinito A de la línea real es compacto, ssi, tiene la propiedad de Bolzano–Weierstrass. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;(⇒) Subconjuntos compactos son acotados, por lo que el
la proposición 11.5.3 implica A tiene un punto de acumulación. Como conjuntos compactos
son cerrados, dicho punto de acumulación está en el conjunto. &lt;br&gt;

(&amp;lArr;) Sea A un subconjunto de la línea real con la propiedad B-W. Si A es
finito, trivialmente tenemos que A es cerrado y acotado, por lo tanto, compacto.
Supongamos, entonces, que A es infinito. Probaremos que es cerrado y acotado.
Sea z un punto de acumulación de A. Entonces, hay una sucesión (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) de
puntos de A que convergen a z. Entonces, z es un punto de acumulación de {x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; :
n ∈ N} ⊂ A. Por la hipótesis, z está en A, lo que implica que A es cerrado.
Supongamos ahora que A no fuera acotado, digamos superiormente. Sea x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
un punto cualquiera de A tal que x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &gt; 1. Como A no está acotado superiormente,
podemos hallar un x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &gt; 2 tal que x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &lt; x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;. Análogamente (por inducción), cuando
hemos hallado x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &lt; x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &lt; ... &lt; x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; con x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; &gt; n, podremos hallar un x&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt; tal que
n + 1 &lt; x&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;. Por inducción, obtendremos una sucesión no acotada, por lo que
el conjunto S de los términos de la sucesión así formada es infinito y no acotado.
Por la hipótesis, debe haber un punto de acumulación de S, que será el límite de
una subsucesión (y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) de (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;). Luego, por ser convergente, la sucesión (y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) debe
ser acotada (ver 7.2.8), pero por la generación de los x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;’s debe ser no acotada.
Esta contradicción concluye la prueba.
El caso acotado inferiormente queda de ejercicio.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;


&lt;b&gt;Lema 11.5.5. &lt;/b &gt;Un subconjunto de la línea real es compacto, ssi, es secuencialmente
compacto.&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Usaremos la caracterización de compacto como cerrado y acotado.
(⇒) Sea A un conjunto compacto, o sea cerrado y acotado y sea (s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) una sucesión en A. Por ser acotado A, hay un real m tal que &lt;br /&gt; A ⊂ [−m,m]. Consideremos
al subconjunto S = {s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;} de A formado por los términos de la sucesión. Si S
fuera finito, entonces hay al menos un término cuyo valor se repite infinitas veces,
definiendo una subsucesión convergente. En caso contrario. la proposición 11.5.3
nos dice que hay un punto de acumulación de S, o que produce una sucesión de
S convergente al punto de acumulación. Tal sucesión es la subsucesión deseada.

(&amp;lArr;) Sea A un conjunto secuencialmente compacto. Sea p un punto de acumulación
de A. Sabemos que entonces hay una sucesión de números en A diferentes
de p, que converge a p. Por la hipótesis, p está en A, o sea que A es cerrado.
Supongamos que A no fuera acotado. Entonces, podremos hallar una sucesión
(x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;) tal que |x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;| ≥ k. Tal sucesión no es acotada, lo mismo que cualquier subsucesión
de ella, por lo tanto, no puede tener una subsucesión convergente a un
punto de A.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;


&lt;b&gt;Lema 11.5.6. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Un subconjunto A de &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; es compacto,ssi, cada función real continua definida en A es acotada.&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;(⇒) Ejercicio. (Sug.Mirar la prueba de los teoremas B y C; o usar el teorema 11.4.3.)&lt;br&gt;

(&amp;lArr;) Consideremos la función valor absoluto restringida a A. Como
valor absoluto es una función continua, la hipótesis de seudocompacidad implica
que es acotada. Luego, A es un conjunto acotado. Probaremos que también es
cerrado. Supongamos que no, y sea z un punto de la clausura de A que no está
en A. Entonces, para todo x en A, |x − z| &gt; 0 y acotado. Lo que implica que la
función x → 1/|x − z| es continua, pero no es acotada. Contradicción. Lo que
prueba el resultado..
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;


Con los lemas 11.5.4, 11.5.5 y 11.5.6 se concluye al prueba del teorema 11.5.1.
-----
Notemos que las equivalencias fueron hechas en cada lema con la propiedad de
cerrado y acotado. Podríamos haber adoptado otro esquema, como se sugiere en
el siguiente esquema.

[[File:Esquema-11.jpg|center|Equivalencias de Compacidad]]

Dejaremos al cuidado del lector de tratar de producir una demostración siguiendo
ese esquema, o cualquier otro para la parte cíclica de la derecha. Las
equivalencias directa con la definición de compacto son usualmente complicadas.
¿Cuáles de las equivalencias pueden extenderse a &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;? ¿a espacios métricos cualesquiera? ¿a espacios topológicos cualesquiera?
¿Cuáles de las equivalencias pueden extenderse a &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;? ¿a espacios métricos cualesquiera? ¿ a espacios topológicos cualesquiera?

=== Ejercicios 11.5 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Probar que los intervalos abiertos (acotados o no), así como los intervalos
semiabiertos (acotados o no) no son conjuntos compactos.

&lt;li&gt; Hallar un cubrimiento abierto del intervalo (0, 1) que no tenga recubrimiento
finito.

&lt;li&gt; Hallar un cubrimiento abierto de la línea real que no tenga recubrimiento
finito. ¿Por qué esto implica que los intervalos abiertos no son compactos?

&lt;li&gt; El Conjunto de Cantor es compacto.

&lt;li&gt; Probar que la propiedad de intervalos encajados (ver corolario 11.4.6)
implica la propiedad de Bolzano–Weierstrass (ver también a la proposición
11.5.3).

&lt;li&gt; Sea f : [a, b] &amp;rarr; [c, d] una función continua estrictamente creciente (x &lt;
y =⇒ f(x) &lt; f(y)) tal que f(a) = c y f(b) = d. Probar que f es un
homeomorfismo.

&lt;li&gt; Suponga conocido que el cubo unitario &lt;b&gt;I&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b es compacto (lo probaremos más adelante). Probar los siguientes enunciados.&gt;
:a) Cualquier “cuadrado ] − M,M[ × ] − M,M[, donde M es un real positivo cualquiera, es compacto.
:b) La circunferencia y círculo con centro en el origen y radio 1 son conjuntos
compactos.
:c) Cualquier bola cerrada de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es un conjunto compacto.

&lt;li&gt; Probar que la propiedad de Bolzano–Weierstrass (proposicion 11.5.3) para
&lt;b&gt;I&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Es decir que cada subconjunto infinito A de &lt;b&gt;I&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tiene un punto de acumulación
en A.
&lt;/ol&gt;

== El Teorema de Tychonoff ==

La extensión del estudio de la compacidad a &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y otros espacios requiere
relacionar la compacidad de un producto a la compacidad de los factores. Esto
se logra con el teorema de Tychonoff, que es uno de los teoremas más famosos e
importantes de la topología.

&lt;b&gt;Teorema 11.6.1 (Tychonoff). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;El producto de una familia cualquiera de conjuntos
compactos es compacto.&lt;/i&gt;

El teorema, con la generalidad indicada, requiere para su demostración de algunas
nociones avanzadas de la teoría de conjuntos (axioma de selección, lema de
Tukey) que están fuera del alcance de este texto. Nos limitaremos, en consecuencia,
al caso de una familia finita, lo que será suficiente para nuestros propósitos.
Usaremos en la demostración el siguiente lema general.

&lt;b&gt;Lema 11.6.2.&lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea X un espacio topológico y B = (B&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;: i∈I) una base de los abiertos de X. Si cada cubierta de X por abiertos de B tiene una subcubierta finita,
entonces X es compacto.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea (U&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt;), j en J, una cubierta abierta de X. Cada abierto de la cubierta es una reunion de abiertos de la base. Supongamos que U&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt; = &amp;cup;&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; B&lt;sub&gt;j,k&lt;/sub&gt;, con cada B&lt;sub&gt;j,k&lt;/sub&gt; es un abierto de la base y los base y los k’s están en un subconjunto K de I. Luego,
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;&lt;math&gt;X \subset \bigcup_j U_j = \bigcup_j \bigcup_{j, k} B_{j,k}.&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;
Lo que implica que los B&lt;sub&gt;j,k&lt;/sub&gt;’s determinan una cubierta de X. Por la hipótesis,
dicha cubierta tiene una subcubierta finita, digamos C&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, C&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ...C&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;. Cada C&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; es
alguno de los B&lt;sub&gt;j,k&lt;/sub&gt;, por lo que está contenido en, digamos, U&lt;sub&gt;j,k&lt;/sub&gt; . Luego,
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;&lt;math&gt;
X \subset \bigcup_{j=1}^m C_j \subset \bigcup_{j=1}^m U_{j_k}.
&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;
Lo que muestra que la cubierta original tiene una subcubierta finita, es decir que
X es compacto.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;


&lt;b&gt;Teorema 11.6.3 (Teorema de Tychonoff finito). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;El producto de una familia finita
de espacios topológicos compactos es compacto.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Probaremos que el producto de dos espacios compactos Z = X × Y es compacto. El resultado seguirá entonces por inducción.
Usaremos el lema anterior para la demostración. Consideraremos la base de
abiertos de Z consistente de los abiertos de la forma U ×V , donde U es un abierto
de X y V un abierto de Y .
Sea B = {U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; × V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; : i ∈ I} una cubierta de Z; probaremos que hay una
subcubierta finita de B.
Sea x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; un punto de X y consideremos al subespacio {x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;} × Y de Z. Dicho
subespacio es homeomórfico a Y ; por lo que es compacto. La familia B es una
cubierta de tal subespacio, por lo que hay un subconjunto finito J&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; de I, tal que
la familia C = (U&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt; × V&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt;), j ∈ J&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;, es una subcubierta de {x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;} × Y .
Sin perdida de generalidad, podemos suponer que cada elemento de esa subcubierta
contiene a {x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;}×Y (si algún elemento de la subcubierta no contuviera a
ese subespacio, lo podemos eliminar de la subcubierta, y el resultado continuaría
cubriendo a {x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;} × Y ).

Sea U&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; = &amp;cup; {U&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt; : j ∈ J&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;}. Entonces, tenemos que, para j en J&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;,
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \{x_0\} \times Y &amp; \subset &amp;U_{x_0} \times Y = U_{x_0} \times \bigcup_j \{V_j: j \in J_{x_0} \} \\
   &amp;=&amp; \bigcup_j \{U_{x_0} \times V_j \} \subset \bigcup_j (U_j \times V_j).
 \end{array}
 &lt;/math&gt;&lt;/div&gt;
Lo que muestra que la familia C es una cubierta abierta de U&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; × Y .
Consideremos ahora la familia (U&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;), x∈X, donde U&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; se obtiene como arriba.
Como X es compacto hay un subconjunto finito {x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;} de X tal que
U&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; ∪U&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; ∪...∪U&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; cubre a X. Sea J = J&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; ∪J&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; ∪...∪J&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;. J es un conjunto finito, por ser reunión de finitos. Sea (x, y) un punto de Z, entonces hay un k
tal que x pertenece a U&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; , 1 ≤ k ≤ m. Luego, (x, y) está en U&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; × Y , conjunto
que, por el trabajo inicial, está contenida en U&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt; × V&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt;, j ∈ J&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;. Luego, la familia
(U&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt;×V&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt; ), j∈J es una subcubierta finita de B. Lo que prueba queX×Y es compacto.

Sea X&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, i = 1, ... , m una familia finita de espacios compactos. Sabemos que
el teorema es válido cuando m = 2. Si el teorema fuera valido para productos de
k compactos, entonces tendremos para k + 1 espacios compactos que
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;&lt;math&gt;\prod_{i=1}^{k+1} X_i = (\prod_{i=1}^k X_i)
\times X_{k+1}.&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;
Como, por lo anterior, la expresión de la derecha es el producto de dos espacios
compactos, se tiene que el teorema es válido para el producto de (k + 1) espacios
compactos. Por inducción, tenemos el resultado.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

&lt;i&gt;Observación. &lt;/i&gt; ¿Por qué la demostración dada para el producto de dos compactos no sirve para un producto general?

Básicamente, porque los abiertos de las bases—en el caso general—no tienen la
forma indicada en la prueba del caso finito. La demostración del teorema general
requiere de un lema semejante al lema 11.5.2 con subbases en lugar de bases. Tal
demostración aparece, entre otros, en [[Espacios Métricos/Bibliografía|Simmoms [15]]].

=== Ejercicios 11.6 ===

1. Probar que el cílindro y la cinta de Moebius son espacios compactos.

== La Compacidad en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; ==

La teoría de los conjuntos compactos en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es semejante a la teoría en a línea real, como veremos en esta sección. Esto se debe, en primer lugar, a que conjuntos cerrados y acotados son compactos.
Nuestro primeros resultados, serán los análogos a aquellos en el corolario 11.4.5
y en la proposición 11.4.7.
Aplicando el teorema de Tychonoff al cubo unitario &lt;b&gt;I&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, vemos que se trata de un conjunto compacto, ya que I = [0, 1] es compacto y&lt;br /&gt; &lt;b&gt;I&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; = I × ... × I (n veces). 

En forma más general, tenemos el siguiente resultado.

&lt;b&gt;Lema 11.7.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;El cubo C(0;M) = {(x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : para todo i,  − M ≤ x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; ≤ M} es compacto.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;C(0;M) = J × ... × J (n veces), donde J = [−M,M]. El resultado sigue del teorema de Tychonoff.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

Veremos que el teorema básico de la compacidad de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, es totalmente análogo
al teorema correspondiente (teorema 11.4.1) para la línea real. Dos resultados
fueron importantes en las demostraciones del teorema mencionado. Veremos los
correspondientes análogos para &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;b&gt;Proposición 11.7.2&lt;/b&gt; (Teorema de Heine–Borel para &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;).
Un subconjunto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es compacto, ssi, es cerrado y acotado.
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Cualquier conjunto compacto de un espacio métrico es cerrado y
acotado. El enunciado recíproco, sigue de que un conjunto acotado está contenido
en un cubo centrado en el origen, que es compacto. Por lo que un subconjunto
cerrado de él, será compacto.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 11.7.3 (Bolzano–Weierstrass en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Todo subconjunto infinito y acotado de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tiene un punto de acumulación en A.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;La idea de la demostración es análoga a aquella de la proposición
11.5.3. Sea A un conjunto infinito y acotado. Como es acotado, está contenido
en un cubo cerrado, digamos C. La idea de la demostración es construir
una sucesión anidada de intervalos cuyos diámetros tiendan a cero, tomar la intersección
de tales conjuntos, que contendrá un único elemento y ver que ese único
elemento es el punto de acumulación deseado.
Ilustraremos la construcción para el caso n = 2. Sea A un conjunto infinito
acotado de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Entonces, habrá un cuadrado C&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; centrado en el origen que contienea A. Dividiendo C&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; por líneas que pasa por los puntos medios de sus lados, obtendremos
cuatro cuadrados cuya reunión es C&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, Al menos uno de ellos, digamos C&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
contiene infinitos puntos de A. Repitiendo con C&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; el procedimiento anterior, obtendremos
C&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;. Por inducción, obtenemos una sucesión anidada C&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; de cerrados con
diámetro tendiendo a cero. El resto de la prueba es idéntica al de la proposición
citada.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;


Las equivalencias de compacidad en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; son totalmente análogas a aquellas de
la línea real, ya que tenemos el siguiente teorema.

&lt;b&gt;Teorema 11.7.4 (Compacidad en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea A un subconjunto no vacío de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Los enunciados siguientes son equivalentes.
:(a) A es compacto.
:(b) A es cerrado y acotado.
:(c) A es B–W (compacto enumerable). Cada subconjunto infinito de A tiene punto de acumulación en A.
:(d) A es secuencialmente compacto. Cada sucesión de tos de A tiene una subsucesión convergente en A.
:(e) A es seudocompacto. Cada función continua definida en A es acotada.
&lt;/i&gt;&lt;hr&gt;

La demostración de la proposición quedará de ejercicio. Básicamente, las demostraciones
del teorema correspondiente para la línea real, se pueden extender
al caso de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Además, en próxima sección probaremos esas equivalencias para
espacios métricos cualesquiera, con la excepción de cerrado y acotado que no es
válida en general. Vale la pena, para entender la riqueza de relaciones envueltas
tratar de hacer las demostraciones con las herramientas que tenemos.

&lt;b&gt;Sugerencias para las demostraciones.&lt;/b&gt;&lt;br&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Cerrado y acotado implica B–W. Ver el lema 11.5.3.
&lt;li&gt; B-W, ssi, secuencialmente compacto. Ver la proposición11.5.5
&lt;li&gt; Secuencialmentre compacto implica cerrado y acotado. Ver el lema 11.5.5.
&lt;li&gt; Cerrado y acotado, ssi, seudocompacto. Ver el lema 11.5.6.
&lt;/ol&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 11.7.1. &lt;/b&gt;Cuando A un espacio seudocompacto, A es compacto (cerrado
y acotado).

&lt;i&gt;Resolución. &lt;/i&gt;Consideremos la función || · || restringida a A. Como norma es una
función continua, la hipótesis de seudocompacidad implica que es acotada. Luego,
A es un conjunto acotado. Probaremos que también es cerrado. Supongamos que
no, y sea z un punto de la clausura de A que no está en A. Entonces, para todo
x en A, d(x, z) &gt; 0 y acotado. Lo que implica que la función x &amp;#8614; 1/d(x, z) es
continua, pero no es acotada. Contradicción. Lo que prueba el resultado.
&lt;hr&gt;

=== Aplicaciones ===
Usaremos los resultados anteriores para dirimir una antigua interrogante. Probaremos
que los espacios normados de dimensión finita son topológicamente
equivalente a los espacios euclídeos &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.

&lt;b&gt;Proposición 11.7.5. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Todas las normas de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; son topológicamente equivalentes. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;.una norma cualquiera (o sea se cumple lo especificado en la definición 3.5) y sea || • || la norma euclídea usual. Probaremos que hay reales m y M tales que para todo x en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; se cumple que
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt; m||x|| ≤ N(x) ≤ M||x||. (*) &lt;/div&gt;
Sigue entonces de la proposición 8.5.4 que las normas serán equivalentes.
Sea e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... e&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; la base canónica de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y sea x = &amp;sum;&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; e&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;.
Sea M = n máx{N(x) : 1 ≤ i ≤ n}. Como solamente el vector nulo tiene norma
0, se tiene que M es un número positivo.

Además
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;&lt;math&gt;N(x) = N\sum_i x_i e_i  \le \sum_i |x_i| \, |N(e_i)| \le \frac{M}{n} \sum_i|x_i|.&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;
Pero, como siempre se cumple que |x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;| &amp;le; ||x||, concluimos que
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;&lt;math&gt;
N(x) \le \frac{M}{n} \sum_i |x_i| \le M ||x||.
&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;
En particular, N(x − y) ≤ M||x − y||, lo que implica que &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;.es una función
continua de E en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.
Sea S = &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n−1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; la esfera unitaria, que sabemos que es un conjunto compacto.
Por lo que &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;.alcanza máximo y mínimo en S. Sea m dicho mínimo que será un
número positivo, ya que ninguno de los vectores de la esfera es nulo. La relación
es válida cuando x = 0. Suponiendo x &amp;ne; 0, sea c = ||x||&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;. Entonces ||cx|| = 1,
lo que implica N(cx) = |c|N(x) ≥ m, es decir que N(x) ≥ m/|c| = m||X||.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;


&lt;i&gt;Observación 11.3. &lt;/i&gt;El resultado anterior requiere esencialmente que el espacio
normado sea de dimensión finita.

=== Ejercicio 11.7 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Probar que cualquier bola cerrada y cualquier esfera de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; son conjuntos compactos.

&lt;li&gt; Probar que las celdas de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, productos de intervalos cerrados de los factores,

son conjuntos compactos.

&lt;li&gt; Probar que conjuntos abiertos no vacíos de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; no son conjuntos compactos.
&lt;/ol&gt;

== La Compacidad en los Espacios Métricos ==

Históricamente, la idea de la compacidad surgió de tratar de extender los teoremas
clásicos del Análisis, teorema 11.7.4 de la sección anterior, a espacios métricos
generales, especialmente a espacios de funciones. Queremos probar para
espacios métricos cualesquiera el análogo al teorema citado. El mayor obstáculo
para la extensión es que, en general, cerrado y acotado no implica compacto. Basta
con considerar un espacio métrico discreto infinito E. Claramente es cerrado y
acotado, pero no puede ser compacto, ya que la colección de {x}, x en E es una
cubierta abierta de E que no admite subcubierta finita.

Como nuestras pruebas para &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; se basaban principalmente en las equivalencias de compacto con cerrado y acotado, necesitaremos nuevas pruebas. Debido a la generalidad, tendremos que proceder con bastante delicadeza, es decir con argumentos muy sutiles. La exposición está basada principalmente en el texto de Simmons.

===  Equivalencias de Compacidad ===
Probaremos, a continuación, las siguientes equivalencias.

[[File:Equivalencias de Compacidad.jpg|center|300px]]

Empezaremos con la siguiente equivalencia.

&lt;b&gt;Proposición 11.8.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Un espacio métrico E tiene la propiedad B–W, ssi, es secuencialmente compacto. &lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Supondremos que el espacio E es secuencialmente compacto y
probaremos B–W. Sea X un subconjunto infinito de E. Como X es infinito, podemos
formar una sucesión (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) de puntos diferentes de X. Por la hipótesis, dicha
sucesión tiene una subsucesión convergente a un punto de X. El límite de esa sucesión
es un punto de acumulación de los términos de la subsucesión que forman
un subconjunto de X, por lo que dicho límite es un punto de acumulación de X.
Supongamos, ahora, que se cumple la propiedad de B–W. Sea (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) una sucesión
en E. Consideremos al conjunto S = {x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;} formado por los términos de
la sucesión. Si S es finito, un valor de los términos se repite infinitas veces, la
subsucesión constante asociada con dicho valor es convergente. Si S es infinito,
por la hipótesis, hay un punto de acumulación de S. Dicho punto es un punto de
acumulación de S, por lo que podemos extraer una subsucesión que converge a
dicho punto de acumulación.
&lt;/ul&gt;&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 11.8.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cada espacio métrico compacto tiene la propiedad B–W.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea E un espacio métrico compacto y sea A un subconjunto infinito de A. Supongamos que A no tuviera un punto de acumulación. Entonces,
para cada x de E, hay una bola abierta con centro en x que no contiene punto
alguno de A, excepto x cuando x está en A. La reunión de esas bolas abiertas es
una cubierta de E, por la compacidad de E hay una subfamilia finita que cubre a
E y, en particular a A. Por lo que A debe ser finito. Esto contradice la hipótesis,
luego A debe tener un punto de acumulación.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

Figura 11.1: Implicaciones en un Espacio Métrico
Para completar nuestras equivalencias, bastará con probar que en cada espacio

métrico secuencialmente compacto es compacto.
Esto será establecido usando dos conceptos auxiliares, que son interesantes
por si mismos, el número de Lebesgue de una cubierta de abiertos y la noción de
espacio totalmente acotado.

=== Número de Lebesgue ===

Sea (G&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) una cubierta abierta de un espacio métrico E. Para cada x de X hay
un abierto de la cubierta que contiene una r–vecindad de x. Si escogemos otro
punto, y repetimos el mismo proceso, podremos hallar una r′–vecindad del nuevo
punto totalmente contenida en un abierto de la cubierta. En general, el radio de
la bola abierta conteniendo al punto variará de punto en punto. Sin embargo, en
algunos casos, un mismo radio servirá para todos los puntos, como veremos más
adelante. Tal situación merece un nombre especial.

{{DefRht|Número de Lebesgue| Llamamos número de Lebesgue de una
cubierta (G&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) de un espacio métrico E a un número λ, ssi, cada subconjunto de E
cuyo diámetro es menor que λ está totalmente contenido en alguno de los abiertos
de la cubierta. }}

Necesitaremos el siguiente resultado para la prueba de la próxima proposición.

&lt;b&gt;Lema 11.8.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea A un subconjunto de un espacio métrico E tal que δ(A) = r y
tal que A ∩ B(x;r) &amp;ne; &amp;empty;. Entonces, A está contenido en B(x;2r).&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea y un elemento de A y z un elemento de la intersección. Entonces,

d(y, x) ≤ d(y, z) + d(z, x) &lt; r + r = 2r.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

[[Archivo:Implicaciones de Compacidad.jpg|center|300px]]
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 11.8.4 (Lema de las Cubiertas de Lebesgue). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cuando un espacio
métrico es secuencialmente compacto, cada cubierta abierta del espacio tiene un
número de Lebesgue. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea E un espacio métrico secuencialmente compacto y sea
(G&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;)i∈I una cubierta de E. Digamos que un conjunto es “grande” si no está contenido
en un abierto de la familia. Si no hay conjuntos grandes, cualquier número
positivo servirá como nuestro número de Lebesgue, a. Supongamos, ahora, que
hubiera conjuntos “grandes” y sea a′ el ínfimo de sus diámetros. Claramente,
0 ≤ a′ ≤ +∞. Si a′ = +∞, cualquier número positivo servirá como nuestro
λ. Si a′ &gt; 0, entonces λ = a′ servirá para nuestra proposición. Veremos, a continuación,
que si a = 0, obtendremos una contradicción. Como cada conjunto
grande tiene al menos dos elementos, y a′ = 0, concluimos que para todo n &gt; 0,
hay un conjunto grande C&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; tal que 0 &lt; δ(C&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) &lt; 1/n. Escojamos un punto x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;
en cada C&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;. Como E es secuencialmente contacto, la sucesión (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) tiene una
subsucesión (y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) convergente a un punto y de E. Tal punto está en uno de los
elementos de la cubierta, digamos G&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt; , j ∈ I. Hay, por lo tanto, una r–vecindad
de y totalmente contenida en G&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt; . Sea B la r/2–vecindad de y, como y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; &amp;rarr; y, hay
un n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; tal que n ≥ n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; implica que y&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; está en B. Sea n0 tal que 1/n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; &lt; r/2 y
n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; ≥ n&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;. Como δ(C&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;) &lt; 1/n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; &lt; r/2, concluimos, usando el lema previo, que
C&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; ⊂ B(y;r) ⊂ G&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt; . Lo que contradice que C&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; fuera grande. Luego, a′ &gt; 0.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

=== ε–redes, Total Acotamiento ===

{{DefRht|ε–redes, Total Acotamiento| Sea E un espacio métrico.
Un subconjunto A de E es una ε–red de E, ε &gt; 0, ssi, A es finito y (B&quot;(x)),
x en A. es una cubierta de E.

Decimos que E es totalmente acotado, ssi, para cada ε &gt; 0 hay una ε–red
de E.}}
&lt;b&gt;Proposición 11.8.5. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cada espacio secuencialmente compacto es totalmente acotado.&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea E un espacio métrico secuencialmente compacto y sea ε &gt; 0
dado. Escojamos un a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; en E y consideremos la bola abierta B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = B(a;ε). Si
X = B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, entonces {a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;} es una ε–red para E. En caso contrario hay un a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; fuera de B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y consideramos la ε–vecindad B&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = B(a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;;ε). Si B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ∪ Bub&gt;&lt;sub&gt;2&lt;/s cubre a X, entonces
{a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;} es un ε–red para E. Supongamos que hemos generado de esa manera a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... a&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;, donde B&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; una ε- vecindad de a&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;. Si la reunion B&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ∪ ... ∪ B&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; cubre a
X, el conjunto {a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , a&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;} es una ε–net para E. En caso contrario, hallamos un a&lt;sub&gt;k+1&lt;/sub&gt; fuera de la reunión anterior y formamos B&lt;sub&gt;k+1&lt;/sub&gt; como la ε–vecindad de a&lt;sub&gt;k+1&lt;/sub&gt;.

Si ninguna reunión de los B&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;’s así obtenidos cubre a E, habremos generado una
sucesión (a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) que no tiene subsucesión convergente (d(a&lt;sub&gt;k+1&lt;/sub&gt;, a&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) ≥ ε, para i ≤ k),
lo cual contradice que E fuera secuencialmente compacto. Por lo que el proceso anterior debe finalizar en una cantidad finita de pasos, generando una ε–red para E.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;


Usando las proposiciones anteriores, probaremos lo que nos resta de las equivalencias
de la figura 11.1.

&lt;b&gt;Proposición 11.8.6. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cada espacio métrico secuencialmente compacto es compacto.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea E une espacio métrico secuencialmente compacto y sea (G&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;)
una cubierta abierta de E. Por la proposición 11.8.4 la cubierta tiene un número
de Lebesgue λ. Sea r = λ/3 y sea A = {a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , a&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;} una ε–red para E. Sea B&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; la
ε–vecindad de a&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;. Entonces, (i) la reunión de los B&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; cubre a E y (ii) el diámetro
de cada B&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; es menor que 2ε &lt; λ. Luego, cada B&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; está contenido en uno de los
G&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, digamos G&lt;sub&gt;I&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; , 1 ≤ k ≤ m. Luego, la reunión de los B&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; (que cubre a E) está
contenida en la reunión de los G&lt;sub&gt;i&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;, que es, por lo tanto, una subcubierta finita de
E. Conclusión, E es compacto.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;


=== Resumen ===

&lt;b&gt;Teorema 11.8.7 (Compacidad en Espacios Métricos). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea E un espacio métrico.
Los enunciados siguientes son equivalentes.
:(a) E es compacto.
:(b) E tiene la propiedad B–W.
:(c) E es secuencialmente compacto.
:(d) E es totalmente acotado y cada cubierta tiene un número de Lebesgue.
&lt;/i&gt;&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 11.8 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sea A un subconjunto compacto de un espacio métrico compacto. ¿Es necesariamente
compacto el complemento de A?

&lt;li&gt; Sea A un subconjunto compacto de un espacio métrico E y sea f : E &amp;rarr; F
una función continua en un espacio métrico E. Probar que si y es un punto
de la frontera de f(A), hay un x en A tal que f(x) = y.
&lt;li&gt; Un espacio métrico totalmente acotado es acotado.
&lt;li&gt; Probar que, en los Reales, acotado y totalmente acotado son equivalentes.
¿Es eso cierto para &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;? ¿para un espacio métrico cualquiera?

&lt;li&gt; Considerar a los Reales con la métrico discreta 0–1. Probar que se trata de

un espacio acotado que no es totalmente acotado.

&lt;li&gt; Todo espacio compacto es seudocompacto, ¿será cierto que un espacio métrico

seudocompacto es compacto?
&lt;/ol&gt;

== Compacidad y Completitud ==
Hay interesantes relaciones entre la completitud (cada sucesión de Cauchy es
convergente) y la compacidad, como veremos a continuación.

&lt;b&gt;Proposición 11.9.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea E un espacio métrico. Los enunciados siguientes son
equivalentes.
:(a) E es compacto.
:(b) E es totalmente acotado y completo.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;(a) ⇒ (b). Como E es compacto es totalmente acotado. Como
es compacto es secuencialmente compacto, por lo que cada sucesión de Cauchy
tiene una subsucesión convergente; pero esto implica que la sucesión es convergente,
por lo que el espacio es completo. &lt;br&gt;

(b) ⇒ (a). (Simmons) Probaremos que E es secuencialmente compacto. Como
E es completo, bastará con probar que cada sucesión tiene una subsucesión de
Cauchy. Sea (x&lt;sub&gt;1n&lt;/sub&gt;) un sucesión tal que S&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = {x&lt;sub&gt;1n&lt;/sub&gt;} es un conjunto infinito; para simplicidad de la exposición denotaremos la sucesión por su conjunto de términos (la razón del doble subscript se verá más adelante). Como E es totalmente acotado, hay un
cubrimiento finito por bolas abiertas de radio 1/2. Luego, S&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; debe contener una
subsucesión S&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = {x&lt;sub&gt;21&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;22&lt;/sub&gt;, ... } que está contenida en una de esas bolas. Aplicando nuevamente el acotamiento total a bolas de radio 1/3, se ve que hay una subsucesión S&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; = {x&lt;sub&gt;3n&lt;/sub&gt; : n=1,2, ...} que está totalmente contenida en una
bola de radio 1/3. Inductivamnete, continuamos hallamos S&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; = {x&lt;sub&gt;k1&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;k2&lt;/sub&gt;, ... } totalmente contenido en una bola de radio 1/k, k = 4, 5, . . . . Sea
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;S = {x&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;22&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;33&lt;/sub&gt;, ... }.&lt;/div&gt;
La sucesión así definida es una subsucesión de S&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;. La construcción de la sucesión muestra que es de Cauchy.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 11.9.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Un subconjunto cerrado de un espacio completo es compacto,
ssi, es totalmente acotado.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Un subespacio cerrado de un espacio completo es completo.&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

==  La Continuidad Uniforme == 

La siguiente proposición establece una propiedad de las funciones continuas
con dominio un compacto que tiene profundas consecuencias en Análisis y otras
ramas de la matemática. Enunciaremos la proposición para discutir de forma más
precisa su significado; la demostración aparecerá más tarde.

&lt;b&gt;Proposición 11.10.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea f : E &amp;rarr; F continua entre espacios métricos con E
compacto. Entonces, para todo ǫ &gt; 0 hay un δ &gt; 0 tal que para todo x, y en E se
cumple que
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;d(x, y) &lt; δ ⇒ d(f(x), f(y)) &lt; ε &lt;/div&gt;
&lt;/i&gt;

¿Cuál es la diferencia con continuidad? Diremos que una función que satisface
la propiedad de la proposición es uniformemente continua. Analizaremos
a continuación cuál es la diferencia con la continuidad que hemos usado hasta
ahora.

La definición de continuidad para f : E &amp;rarr; F, continua en cada punto de E,
establece que para todo p de E, para todo ε &gt; 0 hay un δ &gt; 0 tal que para todo x
se cumple que
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;d(x, p) &lt; δ ⇒ d(f(x), f(p)) &lt; ε. &lt;/div&gt;

Aparte de una diferencia en notación, pareciera no haber demasiada diferencia.
Para apreciar mejor lo diferente, escribiremos en forma simbólica total las
definiciones y haremos semejantes las notaciones.
Simbólicamente, tenemos

&lt;hr&gt;
&lt;i&gt;Continuidad.&lt;/i&gt;
∀y ∈ E, ∀ε &gt; 0, ∃δ &gt; 0, ∀x ∈ E, d(x, y) &lt; δ ⇒ d(f(x), f(y)) &lt; ε. &lt;br /&gt;

&lt;i&gt;Continuidad Uniforme.&lt;/i&gt;
∀ε &gt; 0, ∃δ &gt; 0, ∀y ∈ E, ∀x ∈ E, d(x, y) &lt; δ ⇒ d(f(x), f(y)) &lt; ε.
&lt;hr&gt;

Observemos que no hay diferencia entorno a la implicación, la diferencia está
en la posición del cuantificador referente a y. ¿Qué significa esto? En el caso de
la continuidad, el δ que existe depende tanto del y como del ε, es decir que para
puntos diferentes del espacio, pudiera ser que no habrá un δ que funciones con
todos los puntos (y); mientras que en el caso de la continuidad uniforme podemos
hallar un δ que funciona uniformemente con todos los puntos del espacio. La
proposicion 11.6.6 establece que tal situación siempre sucede cuando el dominio
de la función es compacto.

&lt;ul&gt;&lt;i&gt; Demostración de la proposición 11.9.1. &lt;/i&gt;Sea f : &lt;E, d&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&gt;  &amp;rarr; &lt;F, d&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&gt; continua y sea ε &gt; 0 dado. Para cada y de F, consideremos la bola abierta de radio ε/2 con centro en y. Las preimágenes (imagen inversa) de esas bolas forman un cubrimiento de E. Como E es compacto, es secuencialmente compacto, y tiene, por lo tanto, un
número de Lebesgue del cubrimiento, digamos δ &gt; 0. Si x y x′ son elementos
de E tales que d&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;(x, x′) &lt; δ, entonces {x, x′} tiene diámetro menor que δ, por lo que está contenidos en una de las preimágenes de bolas usadas arriba; luego f(x)
y f(x′) pertenecen a una de las bolas de radio ε/2, por lo que d&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;(f(x), f(x′)) &lt;
ε.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

== La Compacidad en Espacios Topológicos ==

Las propiedades equivalentes de los teoremas de compacidad en espacios métricos
no se pueden extender a espacios topológicos cualesquiera. La aparición de
“acotado” en algunas de las equivalencias, sugieren claramente que tales equivalencias
no hacen sentido en espacios topológicos arbitrarios.

En el lado positivo, se tiene la siguiente cadena de implicaciones, cuyas demostraciones
daremos más adelante.

[[File:Fig11-03.jpg|center|Compacidad en Espacios Topológicos|350px]]

Se puede hallar ejemplos que muestran que las implicaciones son estrictas. 

&lt;b&gt;Proposición 11.11.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cualquier espacio compacto es B–W (compacto enumerable).
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;Sea X un espacio compacto y sea A un subconjunto finito de X.
Supongamos que A no tiene punto de acumulación. Entonces, A y cualquier subconjunto
de A, son cerrados. Como A es infinito, hay una sucesión (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) de puntos
de A, diferentes entre si. Sea A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = {x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; : k ≥ n}, n = 1, 2, . . . . Cada A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; es cerrado y la familia de los A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; es una secuencia anidada que tiene, por lo tanto, la propiedad de la intersección finita. Sin embargo, &amp;cap; A&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; es vacío, por lo que X no pude ser compacto; lo que contradice la hipótesis. Luego, A debe tener un punto de acumulación en X.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 11.11.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cualquier espacio B–W (compacidad enumerable) es seudocompacto.&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;Sea X un espacio con la propiedad de B–W. Supongamos que hay
una función continua f : X → &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; que no es acotada. Sin perdida de generalidad
supondremos que f no es acotada superiormente (en caso contrario, usar −f).
Como n no es acotada superiormente, para todo n en N podremos hallar un x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;
tal que f(x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) &gt; n. El conjunto S = {x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; : n ∈ N} contiene infinitos puntos, ya que en caso contrario, f(S) sería acotado, lo que contradice la definición de los x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;’s. Como el espacio X es B−W, el conjunto S tiene un punto de acumulación, digamos y en X. Sea z = f(y), como f es continua, z es un punto de acumulación de f(S). Sea m el menor entero tal que z &lt; m. Por la definición de los x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, hay
solamente una cantidad finita de x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; tales que f(x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;)&lt; m. Sea r el mínimo entre las distancias de esos f(x&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;) a z, y de la distancia de z a m. Entonces, la r–vecindad de z no contiene puntos de f(S), lo que congradice su condición de punto de acumulación de ese conjunto. Luego, f dbe ser acotada.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 11.11.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Cualquier espacio secuencialmente compacto es B–W.&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt;Sea X un espacio secuencialmente compacto. Sea A un subconjunto
infinito de X. Como X es infinito, podemos formar una sucesión (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) con
los elementos de X. Por ser X secuencialmente compacto, hay una subsucesión
y&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;k&gt;&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; de los (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;) convergente a un punto y. Tal y es un punto de acumulación del conjunto de los y&lt;sub&gt;n&lt;sub&gt;k&gt;&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt; y, por lo tanto, de los (x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;), o sea que y es un punto de acumulación de A. Luego, X es B–W.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

Una de las mayores dificultades con espacios topológicos arbotrarios reside
en que sucesiones pueden tener más de un punto límite y que puntos de acumulación
de un conjunto no son necesariamente límites de sucesiones de puntos del
conjunto.
=== Ejercicios 11.11 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Hallar un ejemplo de espacio topológico donde una sucesión tiene dos puntos límites diferentes.
&lt;/ol&gt;

== Espacios Localmente Compactos ==
La línea real no es compacta, pero cada punto est;a contenido en un conjunto
compacto, el punto a está contenido en ]a−r, a+r[. Esta situación es compartida por muchos de nuestros ejemplos importantes.

{{DefRht|Relativamente y Localmente Compacto| Un subconjunto A de
un espacio topológico X es relativamente compacto, ssi, su clausura es compacta.

Un espacio Hausdorff es localmente compacto, ssi, cada punto del espacio
tiene una vecindad relativamente compacta.}}

&lt;b&gt;Ejemplos 11.12.1. &lt;/b&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Los espacios euclídeos &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; son localmente compactos.

&lt;li&gt; Cualquier espacio compacto es localmente compacto, todo el espacio es una vecindad compacta de cualquiera de sus puntos.

&lt;li&gt; Un espacio discreto infinito es localmente compacto, pero no compacto; por ejemplo, los Naturales.
&lt;/ul&gt;

&lt;b&gt;Proposición 11.12.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea X un espacio topológico. Los enunciados siguientes son equivalentes.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; X es localmente compacto.
&lt;li&gt; Para cada x en X y cada vecindad U de X, hay una vecindad abierta relativamente compacta V de x tal que V ⊂ Cl(V ) ⊂ U.
&lt;li&gt; Para cada compacto C y abierto U ⊃ C hay un abierto relativamente compacto V tal que C ⊂ V ⊂ Cl(V ) ⊂ U.
&lt;li&gt; X tiene una base que consiste de abiertos relativamente compactos.
&lt;/ol&gt;
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;(a) ⇒ (b). Para cada x hay una vecindad W tal que Cl(W) es compacta. Como  se cumple que Cl(W) es un espacio regular (ver proposición 3.1 en capítulo 12), y Cl(W) ∩ U es una vecindad de x en Cl(W), hay una vecindad abierta G tal que contenido en Cl(W) tal que G ⊂ Cl&lt;sub&gt;Cl(W)&lt;/sub&gt;(G) ⊂ Cl(W) ∩ U. Por definición de topología relativa, G = H ∩ Cl(W), donde H es un abierto en X. Luego, V = H ∩ Cl(W) es la vecindad buscada.

(b) ⇒ (c). Para cada c en C, sea V una vecindad de c relativamente compacta
cuya clausura está contenida en U. Como C es compacto, una familia finita de
tales vecindades cubre a C y su reunión es una vecindad de C que tiene clausura compacta.

(c) ⇒ (d). Sea B la familia de todos los abiertos relativamente compactos.
Como {x} es compacto, (c) implica que B es una base.

(d) ⇒ (a). Trivial.
&lt;/ul&gt; {{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 11.12.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea f : X → Y , continua y abierta. Si X es localmente compacta entonces Y es localmente compacta. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea y en Y y sea x en X tal que f(x) = y. Sea U una vecindad abierta relativamente compacta de x. Como f es abierta, f(U) es una vecindad abierta de y. Como Cl(U) es compacta, también lo es f(Cl(U)), y como
Cl(f(U)) ⊂ Cl(f(Cl(U)) = f(Cl(U)), tenemos que Cl(f(U)) es compacta.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;
=== Ejercicios 11.12 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Los Racionales como subespacio de los Reales no es localmente compacto.

&lt;li&gt; Probar que una reunión finita de abiertos relativamente compactos es relativamente
compacta. ¿Que se puede decir de su intersección?

&lt;li&gt; Sea X relativamente compacto. Cualquier subespacio abierto o cerrado de
X es también relativamente compacto.

&lt;li&gt; El producto de espacios relativamente compactos es compacto.
&lt;/ol&gt;

== Ejercicios del Capítulo 11 ==

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sea A un conjunto compacto de un espacio métrico E. Cuando U es una
vecindad abierta de A (o sea A ⊂ U), hay un número real positivo tal que
{x ∈ X : d(x,A) &lt; ε} esta contenido en U.

&lt;li&gt; Sea A un subconjunto cerrado y conexo de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Sea V la r–vecindad de A.
Probar que V es conexo por caminos.

&lt;li&gt; Sea E un espacio métrico compacto. Cuando la clausura de cada bola abierta
es la bola cerrada de igual centro y radio, se cumple que cada bola del
espacio es conexa.

&lt;li&gt; Sea A un subconjunto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. A es compacto, ssi, cada función continua con
valores reales es acotada.

&lt;li&gt; Sean F y G subconjuntos disjuntos de un espaciométrico E. Si F es cerrado
y G compacto, entonces d(F,G) &gt; 0.

&lt;li&gt; Sea U un conjunto abierto que contiene un subconjunto compacto A de un
espacio métrico E. Probar que hay un r &gt; 0 tal que U contiene a V&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;(A) =
{x ∈ E : d(x,A) &lt; r}.

&lt;li&gt; Sea A un subconjunto cerrado y conexo de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, y sea V una r–vecindad
cerrada de A (V = {x ∈ &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; : d(x &lt; A) ≤ r}). Probar que V es conexa
por caminos.

&lt;li&gt; Sea E un espacio métrico compacto. Sea f : X &amp;rarr; X continua tal que
d(f(x), f(y)) &lt; d(x, y) para todo x, y, x &amp;ne; y. Entonces, f tiene un punto
fijo único (o sea x tal que f(x) = x).

&lt;li&gt; ¿Cuando la reunión de una familia de compactos es compacta en un espacio
cualquiera?
&lt;ol&gt;
&lt;!-- Compilado 24 de diciembre de 2016 --&gt;

&lt;!--  4 de abril de 2019 --&gt;

[[Categoría:Espacios Métricos]]</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Operaciones combinadas</title>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección|tono=azul}}&lt;/noinclude&gt; 

Una operación combinada es un conjunto de operaciones distintas y de diversos tipos (multiplicación, división, potenciación, etc...). Por eso se llaman así (se combinan).

Ejemplo: &lt;math&gt; 5*3^2+5*9 &lt;/math&gt;

== Pueden llevar ==
Estas operaciones pueden incorporar un paréntesis () o un corchete [[]] ,cualquier operación que no se repita (sin ser cualquiera de las tres propiedades (conmutativa, distributiva, asociativa)

== Orden a seguir en operaciones combinadas (también llamado jerarquía de las operaciones) ==
En las operaciones combinadas, debes seguir un orden que te ayudará a no equivocarte, ya que un mínimo fallo puede confundir:

-Operaciones más complejas primero: log&lt;math&gt;3*6+2-8&lt;/math&gt;

-Potencias y raíces cuadradas segundo: &lt;math&gt;45^5*6-81&lt;/math&gt;

-Multiplicaciones y divisiones tercero (en el orden que están de izquierda a derecha): &lt;math&gt;61*5:4-32:32&lt;/math&gt;

-Sumas y restas de último (de izquierda a derecha): &lt;math&gt;54+2-8+10&lt;/math&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Espacios Métricos/Grupos Topológicos</title>
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&lt;!-- 14. Los Grupos Topológicos --&gt;
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&lt;/noinclude&gt;
== Definiciones y Propiedades Básicas ==
Los grupos topológicos son grupos (en el sentido de Álgebra Abstracta; ver C.1) provistos con una topología compatibles con las operaciones del grupo. Tales objetos aparecen en diversas ramas de la matemática y tienen, incluso, aplicaciones importantes en Física

Nuestro ejemplo básico es G = &lt;b&gt;GL&lt;/b&gt;(n). Vimos, en el capítulo anterior, que  tanto la multiplicación de matrices  y la función &quot;tomar inversas&quot; en G son funciones continuas, lo que conecta la parte algebraica con la parte topológica. Dichas propiedades se abstraen en la siguiente definición.
&lt;!-- Definición 14.1 --&gt;
{{DefRht|Grupo Topológico| Un grupo topológico G es un grupo provisto
de una topología tal que la operación del grupo y la operación unaria (x &amp;#8614; x&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;, tomar inversos) son funciones continuas.}}

Nuestro primer ejemplo es, por supuesto, &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;. Con la topología usual tenemos,
que además, son grupos topológicos: los Reales con la suma, los Reales
no nulos con la multiplicación. También, &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; con la suma de vectores es un grupo topológico y, en particular, las matrices n × n con la suma.

Veremos, a continuación, algunas propiedades generales de los grupos topológicos.
Aunque nuestro interés es el estudio de los grupos de matrices, algunos
resultados generales sobre grupos topológicos son relativamente fáciles de obtener
y servirán de aplicaciones a nuestros conceptos topológicos generales. Además,
la abstracción, como siempre, ilumina las relaciones entre los conceptos y puede
simplificar algunas consideraciones. Por lo que, en esta sección, trabajaremos
principalmente con grupos topológicos abstractos.

&lt;b&gt;Lema 14.1.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sean G un grupo topológico, g un elemento cualquiera del grupo, y ''e'' el elemento neutro del grupo.
&lt;ol type=&quot; a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Las funciones L&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt; : G &amp;rarr; G :: x &amp;#8614; gx (multiplicación, o traslación,  por g por la izquierda),

R&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt; : G &amp;rarr; G :: x &amp;#8614; xg (multiplicación, o traslación,
por g por la derecha) y

c&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt; : G &amp;rarr; G :: x &amp;#8614; gxg&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; (conjugación por g), son homeomorfismos.

&lt;li&gt; Tomar inversos, x &amp;#8614; x&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;, es un homeomorfismo.
&lt;li&gt; Si U es una vecindad de e, entonces gU y Ug son vecindades de g. Viceversa,
cuando  V es una vecindad de g, g&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;V y Vg&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; son vecindades de ''e''.
&lt;/ol&gt;
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración parcial. &lt;/i&gt;
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Observemos, primeramente, que para todo x en G se cumple que  L&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt;(x) = ex = x, lo que implica que L&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt; = id&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; (la función identidad en G.

Sigue de la definición de multiplicación por la izquierda, que para todo g, h,
x en G, se cumple que
&lt;center&gt;
&lt;math&gt; (L_g L_h)(x) = L_g(_h(x)) = g(h(x)) =(gh)x= L_{gh}(x).&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Es decir que &lt;math&gt;L_gL_h = L_{gh}&lt;/math&gt;. &lt;/br&gt;
 
Tomando h = g&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;, se concluye que L&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt;L&lt;sub&gt;g&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;&lt;/sub&gt; = L&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt; = id&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;; de donde concluimos que L&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt; es invertible y que su inversa es L&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;. Notemos que x &amp;#8614; gx es igual a x &amp;#8614; (x, g) &lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; &amp;#8614; xg, lo que implica que L&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt; es composición de continuas, luego es continua. Como su inversa es del mismo tipo, dicha inversa es continua; luego, se trata de un homeomorfismo.
El resto de las afirmaciones de (a) queda de ejercicio.

&lt;li&gt; Tomar inversa es su propia inversa.

&lt;li&gt; Trivial, ya que traslaciones por la izquierda o derecha son homeomorfismos.
En el grupo topológico &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; con la suma vectorial, las “multiplicaciones por la
izquierda” son las traslaciones ta : x &amp;#8614; a + x. En esta caso, como la suma es conmutativa, las traslaciones por la derecha coinciden con las traslaciones por la
izquierda.
&lt;/ol&gt;
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;i&gt;Observación 14.1.&lt;/i&gt; Sigue directamente del lema anterior que para cualquier subconjunto
A de un grupo topológico G, los subconjuntos A, gA, Ag, gAg&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; y A&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;
son homeomórficos entre si. Tenemos, como consecuencia inmediata la siguiente
proposición.

&lt;b&gt;Lema 14.1.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea G un grupo topológico. Sean U, F y Z subconjuntos de G tales
que U es abierto, F es cerrado y Z es cualquiera. Sea g un elemento cualquiera.
Entonces,
:(a) gF y Fg son cerrados.
:(b) gU y Ug son abiertos.
:(c) UZ y ZU son conjuntos abiertos.
:(d) U&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; es abierto y F&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; es cerrado.
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración.&lt;/i&gt; Los resultados siguen de la observación anterior. Los detalles quedan
de ejercicios. Observar que UZ = &amp;cup;&lt;sub&gt;z∈Z&lt;/sub&gt; Uz.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;i&gt; Observación. &lt;/i&gt; El producto (como subconjuntos del grupo) de dos conjuntos abiertos es abierto
¿vale lo mismo para conjuntos cerrados? Ver ejercicio 5.

=== Homogeneidad de los Grupos Topológicos ===
Decimos que un espacio topológico X es un espacio  &lt;b&gt;homogéneo&lt;/b&gt;, cuando para todo x, y en X
hay un homeomorfismo f de X en sí mismo tal que f(x) = y.

Los grupos topológicos son espacios homogéneos, ya que sigue del lema anterior
que dados puntos x, y del grupo, se cumple que L&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt;(x) = y cuando g = yx&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;.
Cuando un espacio es homogéneo las propiedades locales (propiedades alrededor
de un punto) son las mismas para cualquiera de los puntos. Resulta natural
entonces, en el caso de los grupos topológicos, estudiar las vecindades del elemento
neutro, como representante de cualquiera de los puntos de un grupo topológico.

=== Las vecindades del elemento neutro ===
Denotaremos por V_e al conjunto formado por todas las vecindades del
neutro e. Sigue de la continuidad de la multiplicación y de que ee = e que dada una
vecindad U de e, hay vecindades V, W de e, tales que VW ⊂ U. Análogamente,
como tomar inversos es continuo y e&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = e, para cualquier U vecindad de e, hay una vecindad V tal que V &lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; ⊂ U, Combinando los resultados anteriores y
observando que e&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;e = e, dada una vecindad U del neutro e, hay vecindades V, W de e tales que V &lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;W ⊂ U.

Resultará conveniente para algunas demostraciones considerar vecindades ''simétricas''. Una vecindad V del neutro es &lt;b&gt;simétrica&lt;/b&gt;, ssi, V &lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = V. Dada cualquier vecindad U del neutro, la vecindad V = U ∩ U&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; es simétrica y contenida en U.

Finalmente, Si U es una vecindad del neutro, hay una vecindad W tal que
W&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ⊂ U. Si V es una vecindad simétrica contenida en W, tenemos que V&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ⊂ U.
Registraremos los resultados anteriores en la siguiente proposición.

&lt;b&gt;Proposición 14.1.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea G un grupo topológico.
:(a) Si U es una vecindad del neutro, hay una vecindad V del neutro tal que V &lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; ⊂ U.
:(b) Si U es una vecindad del neutro, hay vecindades V, W del neutro tales que
VW ⊂ U.
:(c) Si U es una vecindad del neutro, hay vecindades V, W del neutro tales que
V &lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;W ⊂ U.
:(d) Si U es una vecindad del neutro, hay una vecindad simétrica V del neutro tal
que V ⊂ U.
:(e) Si U es una vecindad del neutro, hay una vecindad simétrica V del neutro tal
que V&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = V V ⊂ U.
&lt;/i&gt;


&lt;i&gt;Observación 14.3. &lt;/i&gt;Sea G un grupo topológico y sea A un subconjunto cualquiera
no vacío de G. Entonces, para cada vecindad U del neutro, UA es un abierto que
contiene a A (ea = a). Si A = {g}, Ug es una vecindad de g.
&lt;hr&gt;


&lt;hr&gt;

=== Las propiedades de Separación ===
&lt;b&gt;Convenios.&lt;/b&gt;  Sea G un grupo topológico. Cuando especifiquemos un tipo especial de grupo, el adjetivo usado podría referirse a la estructura algebraica o a la topológica del grupo. Usualmente, los adjetivos se referirán  a la estructura topológico: cerrado, abierto, compacto, conexo, etc. La única excepción será normal, ya que siempre lo usaremos para referirnos al significado algebraico (contener todos los posibles conjugados). Grupos con la propiedad de separación normal, se indicarán como grupos topológicamente normales.

Las definiciones de las propiedades topológicas de separación se hallan en el capítulo 12.

El siguiente lema muestra que los grupos topológicos tienen la propiedad de separación T&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;.

&lt;b&gt;Lema 14.1.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea G un grupo topológico. Entonces, para cada vecindad U del neutro, hay una vecindad V del neutro tal que Cl(V ) ⊂ U.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sea V una vecindad simétrica del neutro tal que V&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ⊂ U. Sea x un elemento de la clausura de V, entonces la vecindad xV de x interseca en forma no vacía a V. Esto implica que hay v&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, v&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; en V tales que xv&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = v&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;. De donde,
&lt;math&gt;x = v_2v_1^{-1}&lt;/math&gt;  ∈ V V^{-1} = V V \subset U.&lt;/math&gt;
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

Sigue directamente del lema anterior y de la proposición 12.3.1, la siguiente proposición

&lt;b&gt;Proposición 14.1.5. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea G un grupo topológico T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, entonces G es regular, y, por lo tanto, Hausdorff. &lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;
(Para la noción de espacio regular, ver la sección 12.3.)

Sean G un grupo topológico T&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; y G&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; el complemento de {e}. Probaremos
que G&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; es abierto. Sea x en G&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;. Por estar en un espacio T&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; al menos una de las alternativas siguientes es válida.
:(i) Hay una vecindad U de x que no contiene a e;
:(ii) Hay una vecindad W de e que no contiene a x.
La alternativa (i) implica que x es un punto interior de G&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;. Supongamos válida la
alternativa (ii) y sea V una vecindad simétrica contenida en W. Entonces xV es
una vecindad de x. Si e estuviera en xV, habrá un v tal que e = xv. Pero esto
implica que v = x&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; y como v es simétrica, v = (v&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;, tendríamos que x estaría en V. Luego, xV no contiene a e; lo que implica que x es interior de G&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;. Por
lo tanto G&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; es un abierto. En consecuencia, {e} es cerrado. Por la homogeneidad,
cada {x} = L&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;(ε) es cerrado. En consecuencia, el grupo G como espacio topológico
es T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;. Sigue de la proposición anterior que, también, es Hausdorff. Hemos
probado, así, la siguiente proposición.

&lt;b&gt;Proposición 14.1.6. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; En un grupo topológico, se cumple que
T&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; &amp;lArr;⇒ T1 &amp;lArr;⇒ T2 (Hausdorff).&lt;/i&gt;

&lt;b&gt;Corolario 14.1.7. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Un grupo topológico T&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; es regular.&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;i&gt;Observación 14.4. &lt;/i&gt; En la literatura matemática hay gran variedad acerca de cuáles propiedades de separación debe tener un grupo topológico. Algunos autores agregan a la definición que dimos
la exigencia de que sean espacios T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;. Los últimos resultados muestran que
podemos suponer indistintamente T&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; o Hausdorff.  Como nuestros ejemplos de interés son los grupos de matrices, que son subconjuntos de espacios métricos, tenemos que son automáticamente Hausdorff,  no necesitaremos una restricción especial.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Lema 14.1.8. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sean F y C subconjuntos disjuntos de un grupo topológico G. Si F es cerrado y C es compacto, hay una vecindad U del neutro e tal que
UC ∪ CU es disjunta de F. Si G es localmente compacto, se puede seleccionar U de modo que Cl(UC ∪ CU) es compacta. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Para cada x en C hay una vecindad V&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; del neutro tal que xV&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; no interseca a F. Por un resultado en la proposición 14.1.3, hay una vecindad W&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; del neutro tal que (W&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &amp;subset; V&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;.

Como C es compacto, hay una colección finita de
abiertos W&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, W&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; = x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;W&lt;sub&gt;x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;&lt;/sub&gt;, i = 1,..., n que cubre a C.
Sea U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = &amp;cap;&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;  W&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, entonces,
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
CU_1 \subset  \bigcup_i x_iW_i^2  \subset \cup_i x_i V_{x_i}.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Lo que prueba que CU&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; no interseca a F. Análogamente, podemos hallar un U&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
tal que U&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;C no interseca a F. Poniendo U = U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ∩ U&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; se obtiene la vecindad
deseada.

Cuando G es localmente compacto, escogemos vecindades V&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; que tengan
clausura compacta, y procedemos como arriba.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 14.1.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sean A y B subconjuntos de G.
:(a) Si A y B son compactos entonces AB también lo es.
:(b) Si A es cerrado y B es compacto, AB es cerrado.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; El producto A × B es, por el teorema de Tychonoff, compacto. AB es la
imagen de A × B por (x, y) &amp;#8614; xy.

&lt;li&gt; Sea x un elemento del complemento de AB, entonces A y xB&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; son disjuntos.
Aplicando el lema 14.1.8, podemos hallar una vecindad U del neutro tal que
UA no interseca a xB&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;. Entonces, U&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;x no interseca AB, o sea que AB es cerrado.
&lt;/ol&gt;&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 14.1 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sea G un subgrupo topológico, A un subconjunto cualquiera no vacío.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Sea x un punto de G tal que para toda vecindad U del neutro x está en
xU ∩ A &amp;ne; ∅, entonces x está en la clausura de A.

&lt;li&gt;  Sea y un punto de G tal que para toda vecindad U del neutro x está en
UA, entonces x está en la clausura de A.

&lt;li&gt; Usar cualesquiera de las afirmaciones de los ejercicios anteriores para
dar una condición para que un punto x no esté en la clausura de A.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt;  Sean G un grupo topológico, g un punto de G, A y B subconjuntos cualesquiera no vacíos, y U una vecindad del neutro. Probar que A ∩ UxB &amp;ne; ∅,
ssi, U&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;A ∩ xB &amp;ne; ∅.
&lt;/ol&gt;

== Los Subgrupos Topológicos ==
Sea G un grupo, topológico o no. Recordemos que un conjunto no vacío H
determina un subgrupo de G (lo que simbolizamos por H &lt; G), cuando HH&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; ⊂ H (ver definición de subgrupo en C.2). Veremos, a continuación, que cualquier
subgrupo de un grupo topológico es un grupo topológico. Para simplicidad de la
expresión, diremos “las operaciones del grupo” para referirnos conjuntamente  a la operación del
grupo junto con tomar inversos (operación unaria).

&lt;b&gt;Proposición 14.2.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea G un grupo topológico y H &lt; G, entonces H es un
grupo topológico.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sean x, y elemento de H y z = xy. Sea W&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; una vecindad de z
en H. Entonces, hay una vecindad W de G tal que W&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; = W ∩ H. Luego, hay
vecindades U, V tales que x está en U, y está en V y tales que UV &lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; ⊂ W. Sean
U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; = U ∩ H, V &lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; = V ∩ H. Entonces, U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;(V &lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; ⊂ W&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;W ∩ H; lo que implica que las operaciones en H son continuas.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Subgrupos Topológicos. &lt;/b&gt; Resulta de la experiencia que un subgrupo  de un grupo topológico tiene propiedades &quot;agradables&quot; cuando como subespacio topológico es cerrado. Por lo que es costumbre  llamar &lt;i&gt;subgrupos topológicos&lt;/i&gt; a tales subgrupos. Además, resultará que los subgrupos abiertos como subconjuntos de G, serán cerrados.

&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 14.2.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Un subgrupo H de un grupo topológico G que sea abierto como subconjunto, será cerrado topológicamente. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Si H = G el resultado es trivial. Supongamos que g es un elemento de G que no está en H. Entonces, gH (= Lg(H)) es una vecindad abierta de g que es disjunta de H, por lo que el complemento de H es abierto. Luego, H es cerrado.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplos 14.2.1.&lt;/b&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Un subgrupo cerrado que no es abierto: &lt;b&gt;Z&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.
Un subgrupo que no es ni cerrado ni abierto: &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.
&lt;/ul&gt;&lt;hr&gt;

{{DefRht|Subgrupo Topológico| Sea G un grupo topológico y sea H un
subgrupo (algebraico) de G. Decimos que H es un subgrupo topológico de G, ssi,
H es cerrado como subespacio topológico de G.}}

Naturalmente que si deseamos que el subgrupo trivial {e} sea un subgrupo
topológico, debemos suponer que el grupo es un espacio T&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; (o T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; o Hausdorff)..
Para la próxima proposición, recordemos que un subgrupo H de G se dice que
es normal en G, cuando todos los conjugados de sus elementos son elementos de
H; es decir, cuando para todo g en G se cumple que c&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt;(H) = gHg&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; ⊂ H.

&lt;b&gt;Proposición 14.2.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea G un grupo topológico cualquiera. Sea H la intersección
de todas las vecindades del neutro. Entonces, H es un subgrupo normal de G. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sean h&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, h&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; elementos de H. Sea U una vecindad del neutro, por el
lema 14.1.2, hay vecindades V, W del neutro tal que VW&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; ⊂ U. Luego, como
h&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; está en V y h&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; está en W, se tiene que h&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;h&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; está en U. Como U era arbitraria,
se tiene que h&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;h&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; está en H, Lo que prueba que H es un subgrupo de G.
Como cada conjugación es un homeomorfismo y c&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt;(e) = e se tiene para cada
vecindad U del neutro, c&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt;(U) = gUg&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; es también vecindad del neutro. Lo que prueba que H es normal en G.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;
La próxima proposición muestra que la clausura de cada subgrupo es un subgrupo
topológico.

&lt;b&gt;Proposición 14.2.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea G un grupo topológico y sea H un subgrupo G, entonces CL(H) &lt; G,
o sea es un subgrupo topológico de G. Cuando H es normal, Cl(H)  también
lo es. Si H es abierto, entonces Cl(H) = H.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sean x, y elementos de H. Sea W una vecindad de xy&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; y sean
U, V vecindades de x y y, respectivamente, tales que UV &lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; ⊂ W. Por definición
de clausura, hay u, v de H tales que u está en U y w en V, por lo que uv&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; está
en UV &lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; ⊂ W. Luego, xy&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; está en H, lo que prueba que Cl(H) es un grupo.
Supongamos que H es normal en G. Sea g un elemento cualquiera de G y x
un elemento de H. Sea V una vecindad de gxg&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; y sea U una vecindad de x tal
que gUg&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; ⊂ V. Como x está en H, hay un z en H que está en U, y por lo tanto
gzg&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; está en H (normalidad) y en V. Es decir que gxg&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; está en overlineH, lo
que prueba que se trata de un subgrupo normal.

Supongamos que H es abierto. Si x está en H, entonces x está contenido en
el abierto xH (homeomórfico a H). Por lo que xH debe interceptar H, lo que
implica que x estará en HH&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = H. luego, Cl(H) ⊂ H, por lo que se tiene que
Cl(H) = H.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;
=== Ejercicios 14.2  ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;  Sean A y B subconjuntos de un grupo topológíco G.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt;  Cl(A)  Cl(B) ⊂ Cl(AB).
&lt;li&gt;  Cl(A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) = Cl(A)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;.
&lt;li&gt;  x Cl(A)x&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = Cl(x A x&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;).
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt;  Usar los resultados del ejercicio anterior para probar que si H es un subgrupo
(resp. subgrupo normal) de un grupo topológico G, entonces Cl(H)
también lo es.

&lt;li&gt;  Sea G un grupo T&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, A y B subconjuntos de G.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt;  Si para todo a en A, b en B se cumple que ab = ba, entonces para todo
a en Cl(A) y b en Cl(B) se cumple que ab = ba.
&lt;li&gt;  Si H es un subgrupo abeliano (conmutativo) de G, entonces Cl(H)
también lo es.
&lt;li&gt;  Sea G un grupo topológico con neutro e. La clausura de {e} es un
subgrupo normal de G que es el menor (respecto a la inclusión) de los
subgrupos cerrados de G.
&lt;/ol&gt;
&lt;/ol&gt;

== Los Homomorfismos Continuos ==

{{DefRht|Homomorfismo Continuo| Sean G y H grupos topológicos.
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; Un  &lt;b&gt;homomorfismo continuo&lt;/b&gt;  de G en H es un homomorfismo de grupos que, además,
es continuo como función.
&lt;li&gt;  Un &lt;b&gt;homomorfismo abierto&lt;/b&gt; es un homomorfismo continuo que, además, es
abierto.
&lt;li&gt; Un &lt;b&gt;isomorfismo continuo&lt;/b&gt; es una biyección que es un isomorfismo de grupos
y que es continuo. 

&lt;li&gt; Un &lt;b&gt;isomorfismo–homeomorfismo&lt;/b&gt; o &lt;b&gt;isomorfismo topológico&lt;/b&gt;, es un
isomorfismo de los grupos que también es un homeomorfismo. 
&lt;li&gt; Un &lt;b&gt;automorfismo topológico&lt;/b&gt; es un isomorfismo topológico de un grupo en si mismo.
&lt;/ul&gt;}}

La composición de dos homomorfismos continuos (resp. abiertos, isomorfismos
topológicos) es también continuo (resp. abierto, isomorfismo topológico).
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplos 14.3.1. &lt;/b&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; La función exponencial usual es un isomorfismo topológico entre el grupo aditivo
de los Reales y el grupo multiplicativo de los Reales positivos.
&lt;li&gt; La función identidad es un automorfismo de cualquier grupo topológico.
&lt;li&gt; La función determinante de GLn en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es un homomorfismo continuo.
&lt;li&gt; Sea E un espacio normado. La multiplicación por un escalar no nulo en E es un
homomorfismo de la estructura aditiva que es un isomorfismo topológico.
&lt;/ul&gt;&lt;hr&gt;
&lt;b&gt;Convenios. &lt;/b&gt;Sea G un grupo topológico. Cuando especifiquemos un tipo especial
de grupo, el adjetivo usado especificará si se refiere a la estructura algebraica
o a la topológica del grupo. Los adjetivos se referirán usualmente a la estructura
topológica: cerrado, abierto, compacto, conexo, etc. La única excepción será
normal, ya que siempre lo usaremos para referirnos al significado algebraico (contener
todos los posibles conjugados).

&lt;b&gt;Proposición 14.3.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sean G, H grupos topológicos y sea f : G &amp;rarr; H un homomorfismo
de grupos. f es continua (resp. abierta), ssi, es continua (resp. abierta) en el neutro. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Ejercicio
&lt;/ul&gt;&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 14.3 ===
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Probar la proposición 14.3.1.

&lt;li&gt;  La composición de dos homomorfismos continuos (resp. abiertos, isomorfismos
continuos, isomorfismos–homeomorfismos) es también continuo
(resp. abierto, isomorfismo continuo, isomorfismo–homeomorfismo).

&lt;li&gt;  Sea f : G → H un homomorfismo de grupos. f es un homomorfismo
continuo, ssi, para cada vecindad del neutro eH de H hay una vecindad U
de eG tal que f(U) ⊂ V.

&lt;li&gt;  Sea f : G → H un homomorfismo de grupos. Probar que cuando H es un
espacio T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, el núcleo de f, ker(f) = {x ∈ G : f(x) = e&lt;sub&gt;H&lt;/sub&gt;}—que siempre
es un subgrupode G—es cerrado como subespacio de G.
&lt;/ol&gt;
&lt;hr&gt;

== Grupos Cocientes, Espacios Homogéneos ==

Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Se verifica que x &amp;sim; y &amp;harr; x&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;y ∈ H es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia son los conjuntos de
la forma xH = {xh : h ∈ H} (clase lateral izquierda de x respecto a H). Denotamos por G/H al conjunto cociente de la relación, o sea al conjunto formado por todas las clases laterales respecto a H. El conjunto G/H no es necesariamente un grupo, a menos que H sea normal en G (o sea que H contiene a todos sus conjugados.  Ver C.5).

G/H es un espacio topológico cuando se lo provee (canónicamente) con la
topología más fina tal que la suprayección canónica &amp;eta; : G &amp;rarr; G/H, &amp;eta; : x &amp;#8614; xH,
sea continua. Sigue de esa definición que U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; es abierto en G/H, ssi, &amp;eta;&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;) es un abierto de G.  Equivalentemente, una subconjunto F&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; de G/H  es cerrado, ssi, &amp;eta;&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(F&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;) es cerrado.
La definición, también, implica que &amp;eta; es abierta.

Supongamos ahora que H fuera un subgrupo normal de G. Probaremos que G/H es un grupo topológico con la operación natural del grupo cociente,
&lt;center&gt;xH * y H = (xy)H &lt;/center&gt;

Sean xH, yH dos puntos de G/H y sea zH = xyH. Sea U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; = &amp;eta;(U) una vecindad
de zH en G/H. Como la multiplicación es continua en G, hay vecindades
V de x y W de y, tales que VW ⊂ U. Entonces, V &lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; = &amp;eta;(V ) y W&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; = &amp;eta;(W) son vecindades de xH y yH, respectivamente, y tales que V &lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;W&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; ⊂ U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;. Lo que prueba que la multiplicación en G/H es continua. De manera análoga se verifica que tomar inversos es continua en G/H. Es decir que G/H es un grupo topológico.
&lt;hr&gt;

Resumimos lo anterior en la siguiente proposición.

&lt;b&gt;Proposición 14.4.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Si G un grupo topológico y H un subgrupo de H, entonces se cumple lo siguiente.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; El conjunto cociente G/H es un espacio con la topología más fina tal  que la suprayección canónica es continua,
&lt;li&gt; La suprayección canónica es además abierta.
&lt;li&gt; Si H es normal en G, G/H es un grupo topológico con las operaciones que hacen que la suprayección canónica sea un homomorfismo de grupos.
&lt;/ol&gt;&lt;/i&gt;&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 14.4.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea G un grupo topológico, H un subgrupo de G, &amp;nu; : G → G/H la suprayección natural, y f : G → X continua tal que x, y en H implica que f(x) = f(y). Entonces, hay una función continua inyectiva f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; : G/H → X tal que f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; ◦ &amp;nu; = f. Cuando f es abierta o cerrada, f&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; es un homeomorfismo sobre su imagen. Si, además, H es normal en G y X un grupo topológico, f es un homomorfismo.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;
Demostración. &lt;/i&gt; Directo de la propiedad universal de los espacios cocientes (ver la proposición 9.4.1). La parte acerca de homeomorfismo sigue de la proposición 9.4.4.
&lt;/ul&gt;{{QED}}&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Corolario 14.4.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea f : G → G′ un homomorfismo continuo de grupos topológicos. El núcleo de f, ker(f) = {x ∈ G : f(x) = e′}, e′ neutro de G′, es un subgrupo normal de G. Además, si G′ es Hausdorff, entonces ker(f) es un subgrupo topológico. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;La parte de subgrupo normal es estándar de Álgebra Abstracta. Si G′ es Hausdorff, {e′} es cerrado y ker(f) = f−1({e′}).&lt;/br&gt;

&lt;b&gt;Proposición 14.4.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea G un grupo topológico y H un subgrupo de G. Entonces, G/H es un espacio homogéneo. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; El siguiente diagrama de funciones continuas y abiertas es conmutativo,
donde g un elemento cualquiera de G y L&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;gH&lt;/sub&gt;
 es la función obtenida por
paso al cociente de &amp;eta; ◦ L&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt;.
[[File:Figura 14-02.jpg|center|160px]]

Como &amp;nu;◦ L&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt; es una función abierta, obtenemos que L&lt;sub&gt;gH&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; es un homeomorfismo tal que &lt;math&gt;L_{gH}^* (xH) = (gx)H.&lt;/math&gt; Por lo que dados xH, yH, se tiene que &lt;math&gt;{L_{gH}}^*(x) = yH,&lt;/math&gt; cuando g = x&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;y. Es decir que G/H es un espacio homogéneo.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 14.4.5. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea G un grupo topológico y H un subgrupo cerrado de G.
Entonces, G/H es un espacio que satisface la condición de separación &lt;math&gt;T_3&lt;/math&gt;. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Para todo g en G, &amp;eta;&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(&amp;eta;(g)) = gH = L&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt;(H); como H es cerrado y L&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt; es un homeomorfismo, tenemos que &amp;eta;(g) es cerrado en G/H. Como cada punto es cerrado, se tiene que G/H es un espacio T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;. (ver proposición 11.3.1.)
Sean p un punto cualquiera y F un subconjunto cerrado de G/H tales que p no está en F.

Como G/H es homogéneo, sin perdida de generalidad podemos suponer que p = eH = H. Como F es cerrado hay un U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; abierto tal que p ∈ U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;
y F ∩ U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; = &amp;empty;. Entonces, &amp;eta;&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;) es un abierto de G, por lo que hay una vecindad W de e tal que W&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;W ⊂ W&amp;eta;&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;). El conjunto &amp;eta;&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(F) es abierto (14.1.2).
Como &amp;eta; es abierta, tanto U = &amp;eta;(W) y V = &amp;eta;(nu&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(F) son abiertos en G/H.
Además, p está en U y F ⊂ V.
Probaremos que U ∩ V = &amp;empty;. Supongamos que hay un z ∈ U ∩ V, entonces hay
g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, g&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; en W y g en &amp;eta;(F), tales que z = &amp;eta;(g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) = &amp;eta;(g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;g). Luego, habrá un h ∈ H tal que g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;h = g&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;g, lo que implica que g&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = gh&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;. Llamando k al valor común, tenemos que k = g&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; está en W&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;W ⊂ &amp;eta;&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;), luego &amp;eta;(k) está en U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;.

Por otra parte, k = gh&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; implica que &amp;eta;(k) está en F. Es decir que k ∈ F ∩ U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; = &amp;empty;. Luego, U ∩ V = &amp;empty;.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

Notemos que podemos usar la última proposición para probar que un grupo
topológico T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; es regular. En efecto, la hipótesis T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; implica que {e} es cerrado y
G es homeomórfico a G/{e}.
&lt;hr&gt;

== Subgrupos, Grupos Cocientes y Compacidad ==
&lt;b&gt;Proposición 14.5.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea G un grupo topológico y H un subgrupo topológico de
G. Si G es compacto (resp. localmente compacto) entonces H y G/H también lo
son. &lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; La afirmación sobre H sigue de que H es cerrado (ver 11.3.13).
Cuando G es compacto, G/H es la imagen de un compacto por una función continua,
luego es compacto.
Supongamos ahora que G es localmente compacto. Sea a&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; = &amp;eta;(a) un elemento
de G/H. Sea U una vecindad de a en G tal que Cl(U) es compacto.
Entonces, &amp;eta;(U) es compacto en G/H y debe ser cerrado, ya que G/H es Hausdorff
(ver 14.1.13)). Como U ⊂ Cl(U) se tiene que &amp;eta;(U) ⊂ &amp;eta;(Cl(U)). Luego la clausura
de &amp;eta;(U) debe esta contenida en &amp;eta;(Cl(U)). Por lo que concluimos que &amp;eta;(U) es un conjunto
compacto. Sea U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; la vecindad de a&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; consistente de todos los xH que tiene
intersección no vacía con U, claramente U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; coincide con &amp;eta;(U), lo que implica que
Cl(U&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;) es compacta; o sea, G/H es localmente compacto.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 14.5.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea G un grupo y H un subgrupo topológico compacto. Entonces, la suprayección canónica &amp;eta; : G → G/H es cerrada.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sea F ⊂ G un subconjunto cerrado y x un elemento de G que no está en FH, por lo que &amp;eta;(x) no está en &amp;eta;(F) (si FH = G, la imagen de F es trivialmente cerrada en G/H). Como FH es cerrado (por 14.1.9), hay un abierto U de x que es disjunto de FH. Luego &amp;eta;(U) es un abierto disjunto de &amp;eta;(F), lo que implica que el complemento de &amp;eta;(F) es abierto. Luego, la suprayección es
cerrada.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 14.5.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea G un grupo y H un subgrupo topológico. Cuando H y G/H son  compactos, entonces G también lo es. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. ([[Espacios Métricos/Bibliografía|Chevalley [2]]]) &lt;/i&gt;Sea &amp;eta; : G → G/H la suprayección canónica y sea &amp;Phi; una familia de cerrados con la propiedad de intersección finita (cada subfamilia finita de miembros de &amp;Phi; tiene intersección no vacía). Probaremos que hay un elemento común a todos los miembros de &amp;Phi;, por lo que el resultado seguirá de la proposición 11.3.3.

Sin perdida de generalidad, podemos suponer que la intersección de una familia finita de miembros de &amp;Phi; es también un miembro de &amp;Phi;.

Como H es compacto, tenemos que &amp;eta; es cerrado, por lo que &amp;eta;(&amp;Phi;) es una familia de cerrados en G/H con la propiedad de intersección finita; como G/H es compacto hay un elemento
comun a todos los cerrados en &amp;eta;(&amp;Phi;), digamos x&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;.

Sea x en G tal que &amp;eta;(x) = x&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; y sea U en V_e (vecindades del neutro de G). Luego, Ux es una vecindad de x tal que &amp;eta;(Ux) interseca cada &amp;eta;(F) con F en &amp;Phi;.
Por lo que para cada F en &amp;Phi; tenemos que F ∩ UxH &amp;ne; &amp;empty;, lo que implica que U&lt;sup&gt;_1&lt;/sup&gt;F ∩ xH &amp;ne; &amp;empty;. Sea
{{eqn|&lt;math&gt;
\Phi_1 := \{U^{-1}F \cap xH: U \in V_e, F \in \Phi\}.
&lt;/math&gt;}}
Probaremos que &amp;Phi;&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; tiene la propiedad de intersección finita. En efecto, sean F&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,..., F&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; cerrados de &amp;Phi;&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y U&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,..., U&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; vecindades del neutro, entonces
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\bigcap_{i=1}^m (U_i^{-1} \cap F_i) \supset U^{-1}F \cap xH \neq \emptyset,
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
donde F = ∩&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; F&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; y U = ∩&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;U&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;. Como xH es imagen homeomórfica de H, es un conjunto compacto, y &amp;Phi;1 es una familia de cerrados de xH con PIF, hay un y en xH que pertenece a todos los miembros de &amp;Phi;&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; y, en consecuencia, a todos los U&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;F. Si para F fijo, consideramos lo anterior para toda vecindad U del neutro,
tenemos que y pertenece a la clausura de F, pero como F es cerrado pertenece a F. Luego, y es común a todos los F’s en &amp;Phi;.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;i&gt;Observación 14.5. &lt;/i&gt;Hay una proposición análoga para el caso de H y G/H localmente compactos.

== Subgrupos, Grupos Cocientes y Conexidad ==
&lt;b&gt;Proposición 14.6.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea G un grupo topológico. La componente conexa G&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt; que contiene al elemento neutro, es un subgrupo normal cerrado de G. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sea C cualquier subconjunto conexo de G, entonces para todo g en G se cumple que 
gC y Cg son conexos (traslaciones izquierdas y derechas son homeomorfismos).
Luego, para g en G&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt;, G&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt;g&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; debe ser conexo, lo que implica que G&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt;g&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; ⊂ G&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt;,
ya que contiene a e = gg&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;. Por lo que G&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt;G&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;
e ⊂ G&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt;, lo que implica que G&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt; es
un grupo, Análogamente, tenemos que para cualquier g de G, gG&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt;g&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; debe ser
una componente de G, pero como claramente contiene al neutro, debe ser igual
a G&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt;. Esto dice que G&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt; es normal (contiene a todos su conjugados). Finalmente, componentes conexas son siempre conjuntos cerrados.
El conjunto cociente G/G&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt; (que tiene una estructura natural de grupo, ya que
G&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt; es normal) tiene tantos elementos como componentes conexas de G y su topología
es discreta.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;
&lt;b&gt;Proposición 14.6.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea G un grupo topológico y sea H un subgrupo cerrado
conexo de G, si H y G/H son espacios conexos entonces G también lo es. &lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Supongamos que G no fuera conexo y sea G = U ∪ V una descomposición
de G. Como la suprayección canónica &amp;eta; : G &amp;rarr; G/H es abierta se
tiene que &amp;eta;(U) y &amp;eta;(V ) son abiertos de G/H tales que G/H = &amp;eta;(U)∪&amp;eta;(V ). Como
G/H es conexo, dichos abiertos tienen intersección no vacía. Sea [g] (la coclase
de g) un elemento de dicha intersección. Entonces, gH ∩ U y gH ∩ V son abiertos
relativos en gH, cuya reunión es gH y que tiene intersección no vacía, lo que
implica que gH es disconexo, lo que es imposible ya que gH es homeomórfico a
H—es igual a L&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt;(H). Luego, G debe ser conexo.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

== Ejercicios del Capítulo 14 ==
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sea E un espacio normado. Verificar que con respecto a la suma E es un
grupo topológico.

&lt;li&gt; La composición de homomorfismos continuos es un homomorfismo continuo.

&lt;li&gt; Cualquier grupo finito (cantidad finita de elementos) es un grupo topológico
respecto a la topología discreta.

&lt;li&gt; Sean X un espacio topológico y G un grupo topológico. Sean f, g : X &amp;rarr; G dos funciones continuas. Probar que las funciones h : x &amp;#8614; f(x)g(x) y
k : x &amp;#8614; f(x)&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; son continuas.

&lt;li&gt; ¿Cuáles de los siguientes subgrupos del grupo aditivo de los Reales son
cerrados?
(a) &lt;b&gt;Z&lt;/b&gt;, &amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp; (b) √2 &lt;b&gt;Z&lt;/b&gt;, &amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;(c) &lt;b&gt;Z&lt;/b&gt; + √2 &lt;b&gt;Z&lt;/b&gt;.

&lt;li&gt; Dar ejemplo de un subgrupo de un grupo topológico que
:a) es cerrado, pero no abierto;
:b) no es ni cerrado ni abierto.

&lt;li&gt; Sea G = &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; con la suma de vectores. Sean v&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, v&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; vectores no nulos tales
que ninguno de ellos es un múltiplo del otro. Verificar que los siguientes
subconjuntos son subgrupos topológicos de G.
:a) A = {α v&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; : α ∈ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;}.
:b) B = {m v&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; : m ∈ &lt;b&gt;Z&lt;/b&gt;}.
:c) C = {m&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;v&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + m&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;v&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; : m&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,m&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ∈ &lt;b&gt;Z&lt;/b&gt;}.
:d) D = {mv&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + α v&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; : m ∈ &lt;b&gt;Z&lt;/b&gt;, α en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;}.

&lt;li&gt; Sea G = &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; con la suma de vectores. Sean v un vector no nulo y H = {qv :
q ∈ &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt;}. Probar que H es un subgrupo de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. pero que no es cerrado. ¿Cuál es la clausura de H?

&lt;li&gt; Cualquier subgrupo cerrado que tiene una cantidad finita de clases laterales
es también abierto.

&lt;li&gt; Un subgrupo H de un grupo topológico es un subespacio discreto, ssi, H
contiene un punto aislado.

&lt;li&gt; Un subgrupo abierto H de G es cerrado (o sea un subgrupo topológico).
(Sug. Probar que las clases laterales de H diferentes de H forman un conjunto
abierto.)

&lt;li&gt; Sean G un grupo topológico con neutro e, U una vecindad de E, y n un
entero positivo. Probar que hay una vecindad simétrica V de e tal que V n ⊂ U.

&lt;li&gt; Sea V una vecindad simétrica de V del neutro e. Probar que &amp;cap;&lt;sub&gt;n≥1&lt;/sub&gt; V&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; es un subgrupo abierto–cerrado.

&lt;li&gt; Una base de las vecindades del neutro es una colección de abiertos C tal que
para cada U del neutro e, hay un V en C tal que V ⊂ U.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Sea C una base de las vecindades del neutro y sean A := {xU : x ∈ G, U ∈ C} y B := {Ux : x ∈ G, U ∈ C}. Probar que tanto A como B son bases de la topología de G.
&lt;li&gt; Hay una base de las vecindades del neutro consistente únicamente de
vecindades simétricas.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; En el texto vimos que la clausura de un subgrupo es siempre un subgrupo.
¿Será siempre válido que el interior de un subgrupo es un subgrupo?

&lt;li&gt; Probar que el producto de dos grupos topológicos es un grupo topológico.

&lt;li&gt; Sea G un grupo cualquiera. Probar que G con la topología discreta es un
grupo topológico.

&lt;li&gt; Sea H un subgrupo de un grupo topológico, probar que si H tiene al menos
un punto interior, entoces H es abierto.

&lt;li&gt; Sea H un subgrupo conexo de G. La preimagen de cualquier componente
conexa de G/H es una componente conexa de G.

&lt;li&gt; Sea H un subgrupo de G tal que G/H es un espacio regular. Entonces, H
es cerrado (ver proposición 14.4.5).

&lt;li&gt; Sea G un grupo topológico y V una vecindad simétrica del neutro e.
&lt;ol type= &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Sea W =  &amp;cup&lt;sub&gt;n≥1&lt;/sub&gt; V&lt;sup&gt;k&lt;/sup&gt; es un subgrupo abierto y cerrado de G.
&lt;li&gt; Si G es conexo, G = W. Es decir que V es un conjunto generador de
G, o sea que cualquier g en G es producto de elementos de V.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Sea G un grupo topológico y H un subgrupo de G. Si hay una vecindad U
del neutro de G tal que Cl(U) ∩ H es cerrado, entonces H es un subgrupo
topológico (cerrado).

&lt;li&gt; Sea G un grupo topológico localmente compacto, H un subgrupo de G. Entonces G/H es localmente compacto.
&lt;/ol&gt;

&lt;!-- == Referencias == --&gt;

[[Categoría:Espacios Métricos]]

&lt;!-- 121816 --&gt;

&lt;!-- 22 de marzo de 2019 --&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Espacios Métricos/Grupos Matriciales</title>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
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      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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      <text bytes="27235" sha1="ecn7dbablpc3xqai1idmq1qeivp7qeg" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
&lt;noinclude&gt;
{{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos
|actual=Grupos Matriciales
|anterior=Grupos Topológicos
|siguiente=}}
&lt;/noinclude&gt;
== Los Grupos Matriciales ==

Volvemos en este capítulo a los grupos de matrices, especialmente a aquellos relacionados con aspectos geométricos. Todos esos grupos son grupos topológicos. Entre ellos, los m'as interesantes serán aquellos que llamaremos \textit{grupos matriciales} (en la literatura en inglés, ``matrix groups''), cuya definición daremos a continuación.
{{DefRht|Grupo Matricial| Llamaremos grupo matricial a cualquier grupo
topológico que sea isomorfo-homeomorfo a un subgrupo cerrado de algún
grupo lineal general.}}

Grupos de matrices cerrados como subespacios son, por lo tanto, grupos matriciales.
Sigue de los trabajos previos que los grupos SL(n) y O(n) son grupos
matriciales. Igualmente, SO(n) = O&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;(n) = SL(n) ∩ O(n), ya que es la intersección de dos cerrados.
Recordemos que la proposición 14.2.2 establece que subgrupos abiertos son

cerrados. Hay, sin embargo, subgrupos cerrados que no son abiertos, por ejemplo &lt;b&gt;Z&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;R&lt;/b&gt;.

Sigue de los trabajos previos que los grupos &lt;b&gt;SL(n)&lt;/b&gt; y &lt;b&gt;O(n)&lt;/b&gt; son grupos matriciales.
Igualmente, &lt;b&gt;SO(n)&lt;/b&gt; = &lt;b&gt;O&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;(n)&lt;/b&gt; = &lt;b&gt;SL(n)&lt;/b&gt; ∩ &lt;b&gt;O(n)&lt;/b&gt;, por lo que es un subgrupo cerrado de &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;, ya que es la intersección de dos cerrados.


Mostraremos, a continuación, otros interesantes grupos de matrices que son
grupos matriciales. Para probar la cerradura topológica, recurriremos, muchas veces, al siguiente lema.

&lt;b&gt;Lema 15.1.1 (Lema–C). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea A un subconjunto de &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; tal que todas las matrices en A tienen nulas  iguales coordenadas. Entonces, A es cerrado en &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;.&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Sean p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , p&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; las proyecciones correspondientes a  las coordenadas que
son nulas. Entonces, el conjunto
&lt;math&gt;F= p_1^{-1}({0}) \cap \dots \cap p-k^{-1}({0})&lt;/math&gt; es un conjunto cerrado ya que es una intersección de finitos cerrados. Como A = F ∩ &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;, A
es cerrado en la topología relativa de subespacio de &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 15.1.1. &lt;/b&gt;Sea &lt;math&gt;G=\textsf{SUT}(2) = \{ \begin{bmatrix} 1 &amp; x \\ 0 &amp; 1\end{bmatrix}: x \in \R\}.&lt;/math&gt; ( Matrices 2 × 2 triangulares superiores especiales)

Observado que la coordenada 2,1 es nula para todas las matrices de G, sigue del Lema C, que G es un subconjunto cerrado de &lt;b&gt;SL(2)&lt;/b&gt; y, por lo tanto, de &lt;b&gt;GL(2)&lt;/b&gt;.

Veamos que se trata de un grupo, subgrupol de &lt;b&gt;GL(2)&lt;/b&gt;. Claramente, la identidad I está en G (x = 0).
Sea &lt;math&gt;A(x)= \begin{bmatrix}1 &amp; x \\ 0 &amp; 1 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;. Entonces,
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
A(x)A(y) = \begin{bmatrix} 1 &amp; x \\ 0 &amp; 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &amp; y \\ 0 &amp; 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 &amp; x+y \\ 0 &amp; 1 \end{bmatrix} = A(x+y).&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Luego, A(x)A(−x) = A(x + (−x)) = A(0) = I, lo que prueba que el producto
de dos matrices de G y la inversa de cada matriz en G, están en G. Por lo tanto,
G = SUT(2) es un subgrupo cerrado de &lt;b&gt;GL(2)&lt;/b&gt;, o sea que se trata de un grupo
matricial.
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 15.1.2. &lt;/b&gt;(Usamos la notación del ejemplo anterior) Sea A : &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; &amp;rarr; SUT(2)
tal que x &amp;#8614; A(x). Por la relación obtenida arriba, tenemos que A es un homomorfismo,
que como función es claramente biyectiva, por lo que es un isomorfismo
de grupos, que es claramente continuo, lo mismo que su inversa. Lo que prueba
que el grupo aditivo de los reales &lt;&lt;b&gt;R&lt;/b&gt;,+&gt; es isomorfo–homeomorfo a un grupo matricial; o sea que es un grupo matricial.

=== Ejercicios 15.1 ===

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sean G&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; un grupo de matrices m×m y G&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; un subgrupo de matrices n×n. Sea G = G&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; × G&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; el grupo producto (con operación por coordenadas). G puede considerarse como un grupo de matrices (m + n) × (m + n) con elemento típico
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\begin{bmatrix}
    A &amp; \vdots &amp; 0 \\
    \dots &amp; \cdot &amp; \dots \\
    0 &amp; \vdots &amp; B
    \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
donde A es un elemento de G&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y B un elemento de G&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.
Probar que G es un grupo matricial, subgrupo cerrado de &lt;b&gt;GL(m + n)&lt;/b&gt;.. Generalizar lo anterior a un producto de una cantidad finita de grupos matriciales.

&lt;li&gt; Probar que &lt;&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, +&gt;  (+ es la suma de vectores) es un grupo matricial. (Sugerencia: usar el ejercicio anterior y el ejemplo 15.1.2.)

&lt;li&gt; Sea &amp;theta; el ángulo &amp;pi;/3 (= 60◦). La rotación por &amp;theta; alrededor del origen está
dado por la transformación lineal con matriz
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\rho = \begin{bmatrix} \cos(\theta) &amp; - \sen(\theta) \\ \sen(\theta) &amp; \cos(\theta) \end{bmatrix}.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Probar que &amp;rho;&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = id y que &amp;rho;&lt;sup&gt;k&lt;/sup&gt; &amp;ne; id, cuando k = 1, ... , 5.
&lt;li&gt; Sea C&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt; = {id, &amp;rho;, . . . , &amp;rho;&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;}. Probar que C&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt; es un grupo matricial.
&lt;/ol&gt;
&lt;/ol&gt; 
&lt;hr&gt;

== E l Grupo Euclídeo ==

Sea E un espacio euclídeo. Una &lt;i&gt;isometría&lt;/i&gt; T de E es una transformación biyectiva
de E en si mismo que preserva la distancia entre puntos, es decir que
&lt;center&gt; d(T(x), T(y)) = d(x, y). &lt;/center&gt;
Se notará que tal noción es la generalización de la noción de congruencia del
plano. Denotaremos por &lt;b&gt;Eucl&lt;/b&gt;(E) al conjunto de todas las isometrías de E. Dicho
conjunt
La noción de isometría apareció en  la sección 4.2.2, donde se probó que las isometrías determinan un grupo de transformaciones, al que llamaremos   el &lt;b&gt;grupo euclídeo&lt;/b&gt; de E---que sea un grupo implica  que la composición de dos isometrías y la inversa de una isometría son isometrías.
Denotaremos por &lt;b&gt;Eucl&lt;/b&gt;(E)$ al grupo Euclídeo de E. En una próxima sección, probaremos que es un grupo matricial, aunque tal hecho no es aparente de la definición.

=== Las Traslaciones ===

Los primeros ejemplos de isometrías son las traslaciones. Una &lt;b&gt;traslación&lt;/b&gt; por
un vector a es la transformación que denotaremos por t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt; y que será tal que t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;(x) =
a + x &lt;ref&gt;Las traslaciones son las “traslaciones por la izquierda” L
g del lema 14.1.1, del grupo aditivo
de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Algunas de las propiedades de la sección se pueden deducir utilizando los resultados del
lema citado.&lt;/ref&gt;. Notemos que la traslación por el vector nulo, t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, coincide con la identidad id.

&lt;b&gt;Proposición 15.2.1 (Propiedades de las Traslaciones).&lt;/b&gt;&lt;i&gt;
:(a) La composición de dos traslaciones es una traslación, t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;t&lt;sub&gt;b&lt;/sub&gt; = t&lt;sub&gt;a+b&lt;/sub&gt;.
:(b) La inversa de una traslación es una traslación, (t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = t&lt;sub&gt;−a&lt;/sub&gt;.
:(c) Las traslaciones son isometrías.
:(d) Las traslaciones son homeomorfismos.
&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Tenemos que t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;(t&lt;sub&gt;b&lt;/sub&gt;(x)) = t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;(b+x) = a+(b+x) = (a+b)+x =
ta+b(x). Luego, t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt; ◦ t&lt;sub&gt;b&lt;/sub&gt; = t&lt;sub&gt;a+b&lt;/sub&gt;.
Poniendo b = −a, obtenemos que t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;t&lt;sub&gt;−a&lt;/sub&gt; = t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = id. Lo que acaba la prueba.
de (a) y (b). Como
&lt;center&gt;
d(t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;(x), t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;(y)) = d(a + x, a + y) = ||(a + x) − (a + y)|| = ||x − y|| = d(x, y),
&lt;/center&gt;
vemos que las traslaciones son isometrías.

Finalmente, sabemos que las isometrías son homeomorfismos
(ver el ejemplo 8.3.4 del capítulo 8).
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;
Denotaremos por &lt;b&gt;Tras&lt;/b&gt;(E) al conjunto formado por todas las traslaciones de
E. Sigue de las partes (a) y (b) de la proposición, que se trata de un grupo de
transformaciones, que por (c) es un subgrupo del grupo de las isometrías. Más adelante, probaremos que se trata de un grupo matricial.

=== Las Transformaciones Ortogonales ===

Recordemos que las trasformaciones ortogonales son las transformaciones lineales
que preservan el producto interior. Sigue de la proposición 13.3.1 que el
grupo O(n) de las transformaciones ortogonales es un subgrupo de &lt;b&gt;Eucl&lt;/b&gt;(E). Recordemos
que las transformaciones ortogonales preservan el origen, por lo que,
excepto por t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = id, las traslaciones no pueden ser transformaciones ortogonales.

=== La estructura del Grupo Euclídeo ===

Sea f : E → E una isometría cualquiera y supongamos que f(0) = a.
Entonces, t&lt;sub&gt;−a&lt;/sub&gt;f es una isometría (composición de isometrías) y
(t&lt;sub&gt;−a&lt;/sub&gt;f)(0) = t&lt;sub&gt;−a&lt;/sub&gt;(f(0)) = t&lt;sub&gt;−a&lt;/sub&gt;(a) = −a + a = 0.
Es decir que t&lt;sub&gt;−a&lt;/sub&gt;f = u, donde u es una isometría que fija el origen. Luego f = t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;u. Por lo que podemos afirmar lo siguiente.

&lt;b&gt;Proposición 15.2.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Cada isometría es el producto de una traslación por una
isometría que preserva el origen. &lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;
Veremos, después de algunos lemas que las isometrías que fijan el origen son
ortogonales.

&lt;b&gt;Lema 15.2.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Una isometría u que preserva el origen, preserva largos.&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;||u(x)|| = ||u(x)−u(0)|| = d(u(x), u(0)) = d(x, 0) = ||x−0|| =
||x||.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Lema 15.2.4. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Una isometría u que preserva largos es ortogonal.&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Por ser isometría. se tiene que d(u(x), u(y)) = d(x, y) de donde
||u(x) − u(y)||&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ||x − y||&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;.
Usando el lema del cuadrado del binomio (3.2.2), se tiene entonces que
||u(x)||&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − 2u(x) · u(y) + ||u(y)||&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ||x||&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − 2x · y + ||y||&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. &lt;/br&gt;
De donde, u(x) · u(y) = x · y.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Lema 15.2.5. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea u una isometría ortogonal. Entonces, u es lineal._&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Notemos que por ser u ortogonal, preserva origen y largos.
Sea B = {e_1, ... , e_n} una base ortonormal del espacio. Como u preserva
largos, es ortogonal. Luego, u(B) = {u(e_1), ... , u(e_n)} es un conjunto ortonormal.
Sea A la matriz cuyas columnas son u(e_i), 1 ≤ i ≤ n, por lo que la transformación
lineal L = L_A es ortogonal. Sea h = L&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; u. Observemos que h es una isometría
tal que para cada i, 1 ≤ i ≤ n, se cumple que h(e_i) = e_i. Sea x = \&amp;sum_i x_ie_i y
supongamos que h(x) = &amp;sum;&amp;alpha;_ie_i. Entonces,
&lt;center&gt;&amp;alpha;i = h(x) · e_i = h(x) · h(e_i) = x · e_i = x_i. &lt;/center&gt;
Lo que implica que h(x) = x. Como x era arbitrario, esto nos dice que h = id.
Luego, L&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; u = id, lo que implica que u = L, es decir que u es lineal. Notemos,
además, que al ser u lineal y cumplirse que u(x) = 0 implica que x = 0 (ya que
se preservan largos), por lo que tenemos que u es biyectiva (o sea un isomorfismo lineal).
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 15.2.6. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Cada isometría es el producto de una traslación por una
transformación lineal ortogonal biyectiva. &lt;/i&gt;

&lt;b&gt;Corolario 15.2.7. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Las isometrías son siempre transformaciones biyectivas.&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

=== Ejercicios 15.2 ===
Suponemos que E es un espacio euclídeo de dimensión n.
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; Sean p y q dos puntos de E, probar que hay una traslación que envía p en q.

&lt;li&gt; Sea p un punto y sea &lt;b&gt;Eucl&lt;/b&gt;&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; el conjunto formado por todas las isometrías que
fijan p.
:a) Probar que &lt;b&gt;Eucl&lt;/b&gt;&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; es un subgrupo de &lt;b&gt;Eucl&lt;/b&gt;(E).
:b) Sea q = t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;(p). Probar que &lt;b&gt;Eucl&lt;/b&gt;&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; = t&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt; &lt;b&gt;Eucl&lt;/b&gt;&lt;sub&gt;q&lt;/sub&gt; t&lt;sub&gt;−a&lt;/sub&gt;. (Ambos grupos son conjugados.)

&lt;li&gt; Sean p y q dos vectores de E de igual largo, probar que hay una transformación ortogonal
que envía p en q.

&lt;li&gt; (Simetría central con centro en c.) Sea c un punto de E. Sea &amp;sigma;&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt;(p) = 2c − p.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; La transformación &amp;sigma;&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt; fija c y envía cada punto p distinto de c en un
punto p′ tal que c es el punto medio entre p y p′.

&lt;li&gt;  &amp;sigma;&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = id.

&lt;li&gt;  &amp;sigma;&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt; es una isometría.

&lt;li&gt;  Sea &amp;sigma;&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; la simetría con centro el origen. Probar que
:(i) &amp;sigma;&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;es una transformación ortogonal y
:(ii) &amp;sigma;&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt; = t&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt;&amp;sigma;&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt;t&lt;sub&gt;−c&lt;/sub&gt;.

&lt;li&gt;  Sean c y d puntos diferentes. Probar que &amp;sigma;&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt;&amp;sigma;&lt;sub&gt;d&lt;/sub&gt; = &amp;sigma;&lt;sub&gt;d&lt;/sub&gt;&amp;sigma;&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt; es una traslación.
&lt;/ol&gt;

&lt;li&gt; Las isometrías son homeomorfismos del espacio en si mismo.

&lt;li&gt; Probar que el grupo de las traslaciones Tras(E) es isomorfo al gruo aditivo de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
&lt;/ol&gt;

== El Grupo Afín ==

El grupo afín es la generalización del grupo euclídeo, donde una isometría es el producto de una traslación por una transformación (lineal) ortogonal.
{{DefRht|Grupo Afín| Llamamos &lt;b&gt;transformación afín&lt;/b&gt; a un transformación que es el producto de una traslación por una transformación lineal biyectiva cualquiera.}}
Sigue de los trabajos anteriores que las isometrías son transformaciones afines, cuya parte lineal es ortogonal. En particular, las traslaciones son trasformaciones afines (producto de una traslación por la identidad---que es lineal). Esto implica que habrá transformaciones afines que no preservan el origen, por lo que no pueden ser lineales.
{{Marco|(&amp;spades;) &lt;i&gt;Geométricamente las transformaciones afines son importantes porque se puede probar que una transformación biyectiva envía líneas sobre líneas si, y sólo si, es afín. &lt;/i&gt; }}


Veamos, a continuación, que las transformaciones afines determinan un grupo.
Sean f = t&lt;sub&gt;v&lt;/sub&gt;A y g = t&lt;sub&gt;w&lt;/sub&gt;B dos transformaciones afines. Entonces, para todo x en
E, se tiene que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
(fg)(x) &amp;=&amp; (t_v At_wB)(x) = v + A(w +B(x)) = v+Aw + AB(x) \\
&amp;=&amp; (t_{v+Aw}AB)(x).
\end{array}
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Por lo que la composición de transformaciones afines es una transformación afín.
Notemos, también, que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
f^{-1}(x) &amp;=&amp; (t_vA)^{-1}(x) = A^{-1}t_{v}^{-1}(x) =A^{-1}(-v+x) \\
               &amp;=&amp; -A^{-1}(v) + A^{-1}(x) = (t_wA^{-1})(x),
\end{array}
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
donde w = −A&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(v).

En consecuencia, las transformaciones afines determinan un grupo de transformaciones
que llamamos el grupo afín y que denotamos por &lt;b&gt;GA(n)&lt;/b&gt; o &lt;b&gt;GA&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(R).&lt;/b&gt;

&lt;b&gt;Proposición 15.3.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Las transformaciones afines determinan un grupo de transformaciones
al que llamamos el grupo afín y denotamos por GA(n) o GAn(R).&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;
Notemos que el grupo lineal está contenido en el grupo afín, ya que cualquier A
en &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; es igual a t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;A, por lo que es afín. Es decir que el grupo afín contiene al
grupo lineal, y a todos sus subgrupos. .

=== Representación matricial de &lt;b&gt;GA(n)&lt;/b&gt; ===
En esta sección, veremos que el grupo afín es un grupo matricial, construyendo
un homomorfismo continuo inyectivo del grupo afín &lt;b&gt;GA(n)&lt;/b&gt; en el grupo
&lt;b&gt;GL(n + 1),&lt;/b&gt; cuya imagen. Dicha representación tendrá,
posteriormente, otras aplicaciones

Sean A una matriz n × n y v un vector cualquiera de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, asociaremos con el par (A, v) la matriz (n + 1) × (n + 1) que denotaremos por T(A, v) y que definiremos
como
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
T(A,v) := \begin{bmatrix} A &amp; \vdots &amp; v \\ \dots &amp; &amp; \dots \\ 0 &amp; \vdots &amp; 1 \end{bmatrix}
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Los siguientes lemas mostrarán que las matrices de la forma T(A, v) forman
un subgrupo de GL(n + 1).
&lt;b&gt;Lema 15.4.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;T(A; v)T(B;w) = T(AB;Aw + v)&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Computación directa.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;

\begin{bmatrix} A &amp; \vdots &amp; v \\ \dots &amp; &amp; \dots \\ 0 &amp; \vdots &amp; 1 \end{bmatrix} *
\begin{bmatrix} B &amp; \vdots &amp; w \\ \dots &amp; &amp; \dots \\ 0 &amp; \vdots &amp; 1 \end{bmatrix} =

\begin{bmatrix} AB &amp; \vdots &amp; v+Aw \\ \dots &amp; &amp; \dots \\ 0 &amp; \vdots &amp; 1 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

Comparar el resultado del lema con lo visto para el producto de dos transformaciones
afines.

&lt;b&gt;Lema 15.4.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sean A en &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;, v en &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Entonces, T(A, v) es invertible, con inversa &lt;math&gt;T(A^{-1}; -A^{-1}(v)).&lt;/math&gt;&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Usando la relación en lema 15.4.1, se tiene que
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
T(A,v) T(A^{-1},-A^{-1}(v)) = T(AA^{-1}, -AA^{-1}(v) + v) = T(I_n,0)=I_{n+1}.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
&lt;/ul&gt;{{QED}}

&lt;hr&gt;

El siguiente lema nos ayudará para nuestros propósitos.

&lt;b&gt;Lema 13.4.4 (Lema–D). &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea A en &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;, B = T(A, 0). Entonces,
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; A es invertible, ssi, B lo es.
&lt;li&gt; A es ortogonal, ssi, B lo es.
&lt;li&gt; det(A) = 1, ssi, det(B) = 1.
&lt;/ol&gt;&lt;/i&gt;

&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Sigue del lema 13.4.3
&lt;li&gt; Se tiene, usando lema 13.4.2, que BB&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt; = T(A; 0)T(A&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt;; 0) = T(AA&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt;, 0).
&lt;li&gt; Trivial, ya que det(B) = det(A).
&lt;/ol&gt;
{{QED}}
&lt;hr&gt;

Sean
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; &lt;math&gt;\mathcal{GA} := \{T(A, v) : A \in \mathbf{GL(n)}, v \in \R^n\}.&lt;/math&gt;

&lt;li&gt; &lt;math&gt;\mathcal{GL} := \{T(A, 0) : A \in \mathbf{GL(n)}\}.&lt;/math&gt;

&lt;li&gt; &lt;math&gt;\mathcal{GO} := \{T(A, 0) : A \in \mathbf{O(n)}\}. &lt;/math&gt;

&lt;li&gt; &lt;math&gt;\mathcal{GSO} := \{T(A, 0) : A \in \mathbf{SO(n)}\}. &lt;/math&gt;
&lt;/ul&gt;

Sigue de los lemas anteriores que &lt;math&gt;
\mathcal{GA}, \mathcal{GL}, \mathcal{GO}\text{ y } \mathcal{GSO}&lt;/math&gt;, determinan subgrupos de &lt;b&gt;GL(n + 1)&lt;/b&gt; que además, por el Lema–C, cada uno de ellos es cerrado (topológicamente).

Definamos ϕ : &lt;b&gt;GA(n)&lt;/b&gt; &amp;rarr; &lt;b&gt;GL(n + 1)&lt;/b&gt; tal que ϕ(t&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt;A) = T(A, c). Sigue del
lema 14.3.2, que ϕ es un homomorfismo de grupos. Como T(A, v) = I&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;, ssi,
A = I&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; y v = 0, concluimos que ϕ es inyectivo, por lo que &lt;b&gt;GA(n)&lt;/b&gt; es isomorfo a
su imagen, que es precisamente &lt;math&gt;\mathcal{GA}&lt;/math&gt;. Como ese isomorfismo y su inverso (definido en su imagen) son claramente continuos, concluimos que el grupo afín es un grupo
matricial.

Se tiene también, por el Lema–D, que: &lt;math&gt;\Phi(\mathbf{GL(n)}) = \mathcal{GL}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Phi(\bf{GO(n)}) = \mathcal{GO}&lt;/math&gt;, y &lt;math&gt;\Phi(GSO(n)) = \mathcal{GSO},&lt;/math&gt; lo que implica respectivos isomorfismos homeomórficos. Resultados que usaremos más adelante.

I=== El Grupo Euclídeo ===

&lt;b&gt;Proposición 15.3.4.&lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea &lt;b&gt;Tras(n)&lt;/b&gt; el grupo de las traslaciones de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Sea t&lt;sub&gt;v&lt;/sub&gt; la traslación por el vector v. Entonces. ϕ(t&lt;sub&gt;v&lt;/sub&gt;) = ϕ(I, v), donde &lt;b&gt;I&lt;/b&gt; es la matriz identidad.
ϕ induce un isomorfismo algebraico entre Tras(n) y el subgrupo &lt;math&gt;\mathcal{GT}&lt;/math&gt; =
{T(A, V ) : A = &lt;b&gt;I&lt;/b&gt;} de &lt;math&gt;\mathcal{GA}&lt;/math&gt;. Lo que implica que Tras(n) es un grupo matricial. &lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt; Sigue de 15.3.1 que T(&lt;b&gt;I&lt;/b&gt;, v)T(&lt;b&gt;I&lt;/b&gt;,w) = T(&lt;b&gt;I&lt;/b&gt;, v + w), lo que prueba
que la restricción de ϕ a Tras(n) es un isomorfismo de grupos de Tras en &lt;math&gt;\mathcal{GT}&lt;/math&gt;.
Claramente, ϕ es también un homeomorfismo, y Tras(n) es cerrado en GA.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Proposición 15.3.5. &lt;/b&gt;&lt;i&gt; El grupo Euclídeo es un grupo matricial.&lt;/i&gt;
&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;Basta con observar que si t&lt;sub&gt;v&lt;/sub&gt; es una  traslación y A es ortogonal, entonces,&lt;br&gt;

ϕ(v,A) = T(A, v) = T(A, &lt;b&gt;I&lt;/b&gt;v) = T(&lt;b&gt;I&lt;/b&gt;, v)T(A, 0).
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

== Los Grupos Ortogonales y Las Esferas ==

En esta sección, continuaremos usando las notaciones introducidas en la sección
anterior.

Supongamos que nuestro espacio es &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n+1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; provisto de una base ortonormal (e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , e&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;). Probaremos que &lt;b&gt;O(n)&lt;/b&gt; puede identificarse con las transformaciones en &lt;b&gt;O(n + 1)&lt;/b&gt; que fijan e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;.

Sea &amp;sigma; una transformación ortogonal en &lt;b&gt;O(n + 1)&lt;/b&gt; que fija a e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;. Sea [a&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;] la matriz de &amp;sigma;. Como &amp;sigma;(e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;) = e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt; se tiene que a&lt;sub&gt;i,n+1&lt;/sub&gt; = &amp;delta;&lt;sub&gt;i,n+1&lt;/sub&gt; (&amp;delta; de Kronecker),
o sea que el único elemento no nulo de esa columna es a &lt;sub&gt;n+1,n+1&lt;/sub&gt; que es igual a 1. Por su parte, la última fila de la matriz de &amp;sigma; es un vector unitario. Es decir que &lt;math&gt; \sum_j a_{n+1,j}^2 = 1&lt;/math&gt;.

Pero, como a&lt;sub&gt;n+1,n+1&lt;/sub&gt; = 1, tenemos que a&lt;sub&gt;n+1,j&lt;/sub&gt; = 0 cuando j &amp;le; n. Es decir que &amp;sigma; es un elemento de &lt;i&gt;GO&lt;/i&gt;, o sea que &lt;i&gt;GO&lt;/i&gt; está formado por todas las transformaciones ortogonales de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n+1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; que fijan e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;. Usando la identificación
de O(n) con &lt;i&gt;GO&lt;/i&gt; tenemso que podemos considerar a &lt;b&gt;O(n)&lt;/b&gt; como un subgrupo de &lt;b&gt;O(n + 1)&lt;/b&gt; que fija e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;.

Sea &amp;tau; una transformación ortogonal en &lt;b&gt;O(n + 1)&lt;/b&gt; que fija a e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;. Sea [a&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; ] la matriz de &amp;tau; . Como &amp;tau; (e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;) = e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt; se tiene que a&lt;sub&gt;i,n+1&lt;/sub&gt; = &amp;delta;&lt;sub&gt;i,n+1&lt;/sub&gt; (&amp;delta; de Kronecker), o sea que el único elemento no nulo de esa columna es a&lt;sub&gt;n+1,n+1&lt;/sub&gt; que es igual a 1.

Por su parte, la última fila de la matriz de &amp;tau; es un vector unitario. Es decir que
&lt;math&gt;\sum_j a_{m+1,j}^2 = 1&lt;/math&gt;. Pero como a&lt;sub&gt;n+1,n+1&lt;/sub&gt; = 1, tenemos que a&lt;sub&gt;n+1,j&lt;/sub&gt; = 0 cuando j &lt; n. Es decir que &amp;tau; es un elemento de &lt;math&gt;\mathcal{GO}&lt;/math&gt;, o sea que &lt;math&gt;\mathcal{GO}&lt;/math&gt; está formado por todas las transformaciones ortogonales que fijan e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;.
Identificando &lt;math&gt;\mathcal{GO}&lt;/math&gt; con &lt;b&gt;O(n)&lt;/b&gt; tenemos la identificación anunciada.


Sean, ahora, &amp;sigma;, &amp;tau; dos ortogonales de &lt;b&gt;O(n + 1)&lt;/b&gt; que fijan a e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;.
Entonces,
&lt;center&gt;&lt;math&gt;
(\sigma^{-1}\tau)(e_{n+1}) = \sigma^{-1}(\tau(e_{n+1})) =\sigma^{-1}(\sigma(e_{n+1})) = e_{n+1}.
&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Por lo tanto, &amp;sigma;&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;&amp;tau; está en &lt;b&gt;O(n)&lt;/b&gt;. La relación entre &amp;sigma; y &amp;tau; definida como que &amp;sigma;&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;&amp;tau; ∈ &lt;b&gt;O(n)&lt;/b&gt; es una relación de equivalencia en &lt;b&gt;O(n+1)&lt;/b&gt; cuyas clases de equivalencias son los subconjuntos de la forma &amp;sigma;&lt;b&gt;O(n)&lt;/b&gt; (todos los productos de &amp;sigma; por un elemento de &lt;b&gt;O(n)&lt;/b&gt;).

Denotamos por &lt;b&gt;O(n+1)&lt;/b&gt;/&lt;b&gt;O(n)&lt;/b&gt; al correspondiente conjunto cociente con la topología inducida por la función &amp;eta; : &lt;b&gt;O(n + 1)&lt;/b&gt; → &lt;b&gt;O(n + 1)&lt;/b&gt;/&lt;b&gt;O(n)&lt;/b&gt; tal que &amp;eta;(&amp;sigma;) = &amp;sigma;&lt;b&gt;O(n)&lt;/b&gt; (la clase de equivalencia de &amp;sigma;). Se tiene que &amp;eta; es continua y abierta (envía abiertos en abiertos).


Sea &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; la esfera unitaria de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n+1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; o sea el conjunto formado por todos los vectores de largo 1. Cada transformación ortogonal actúa en &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;---, ya que preserva largos, envía puntos de &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; en &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
Consideremos la órbita de e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;, o sea el subconjunto de &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; formado por todos los &amp;sigma;(e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;) con &amp;sigma; en &lt;b&gt;O(n+1)&lt;/b&gt;.
Dado v en &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, siempre hay una transformación ortogonal &amp;sigma; tal que &amp;sigma;(e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;) = v; basta tomar una base ortonormal (v&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , v&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt; = v) y definir &amp;sigma; como la transformación cuya matriz tenga como columnas  a los vectores de la base
anterior.

Definamos una función &amp;pi; : O(n + 1) → &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tal &amp;pi;(&amp;sigma;) = &amp;sigma(e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;). Notemos
que por lo anterior (i) &amp;pi; es suprayectiva y (ii) &amp;pi;(&amp;sigma;) = &amp;pi;(&amp;tau) ⇐⇒ &amp;sigma&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;&amp;tau; ∈ O(n).

Cuando &amp;sigma; = [a&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; ] entonces &amp;sigma;(e&lt;sub&gt;n+1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt; = [a&lt;sub&gt;1,n+1&lt;/sub&gt; ... a&lt;sub&gt;n+1,n+1&lt;/sub&gt;]; lo que prueba que &amp;pi; es una función continua.

Por lo que hay una función &amp;pi;&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;: O(n + 1)/O(n) → &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; tal
que el diagrama en la figura 15.1 es conmutativo.

[[Archivo:Figura 15-01.jpg|center|200px]]

&lt;center&gt;Figura 15.1: Cociente homeomórfico a la Esfera &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.&lt;/center&gt;

La función &amp;pi;&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; es biyectiva y continua. Como &lt;b&gt;O(n+1)/O(n)&lt;/b&gt; es compacto (imagen continua de compacto) y &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es Hausdorff (subconjunto de un espacio métrico), entonces por la proposición 11.3.16, &amp;pi;&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; es un homeomorfismo. Tenemos, en consecuencia, la siguiente proposición.

&lt;b&gt;Proposición 15.4.1. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea n ≥ 1 entonces &lt;math&gt;\textsf{O}(n + 1)/\textsf{O}(n) = \textsf{S}^n&lt;/math&gt;.&lt;/i&gt;

=== Grupos Ortogonales Especiales ===
Una revisión de los argumentos anteriores, muestra que los razonamientos anteriores son válidos para los SO(n), Por lo que se obtiene el siguiente resultado.

&lt;b&gt;Proposición 15.4.2. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Sea n ≥ 1 entonces &lt;b&gt;SO(n + 1)/&lt;b&gt;SO(n)&lt;/b&gt; ∼= &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/i&gt;.


&lt;b&gt;Proposición 15.4.3. &lt;/b&gt;&lt;i&gt;Los grupos &lt;b&gt;SO(n)&lt;/b&gt; son conexos, para todo n.
&lt;/i&gt;

&lt;ul&gt;&lt;i&gt;Demostración. &lt;/i&gt;(Inducción) Si n = 1, &lt;b&gt;SO(1)&lt;/b&gt; = {1} es conexo. Supongamos probado que &lt;b&gt;SO(n)&lt;/b&gt; es conexo. Entonces, como &lt;b&gt;SO(n + 1)/ SO(n)&lt;/b&gt; &amp;cong; &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y sabemos
que &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es conexo (ver proposición 10.6.7) y &lt;b&gt;SO(n)&lt;/b&gt; lo es por hipótesis, &lt;b&gt;SO(n+1)&lt;/b&gt; también es conexo, por la proposición 14.1.18.
&lt;/ul&gt;{{QED}}
&lt;hr&gt;

== Ejercicios del Capítulo 15 ==

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; (Representación Matricial de los Grupos Finitos) Sea (e&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) la base canónica de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;; o sea e&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; es un vector cuyas componentes son todas nulas, excepto la i–ésima que es igual a 1. &lt;br /&gt;

Sea G = {g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = e, g&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , g&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;} un grupo. Identificar cada g&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; con e&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;. i = 1, ... , n. Es decir que consideramos a los vectores de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; como sumas formales
&lt;center&gt;α&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + · · · + α&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;g&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;.&lt;/center&gt;
Con cada g asociamos la transformación lineal L&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt; cuya matriz tiene como columnas a los vectores gg&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;. Si gg&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; = g&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt; , L&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt; envía e&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; en e&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt; . Probar que la
función L : G &amp;rarr; &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; tal que g &amp;#8614; L&lt;sub&gt;g&lt;/sub&gt; es un homomorfismo cuya imagen
es un subgrupo cerrado de &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt;. Es decir que cada grupo finito es un grupo
matricial.

&lt;li&gt; (Toro) Llamamos &lt;b&gt;Toro&lt;/b&gt; (de dimensión 2) al espacio &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; ×&lt;b&gt;S&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;, que puede pensarse
como la superficie de una rosquilla.
&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; Investigar las propiedades topológicas del toro. ¿Es compacto? ¿Es
conexo? ¿Es acotado?
&lt;li&gt; Como &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es un grupo topológico, el toro también lo es. ¿Es conmutativo?
&lt;li&gt; Sea &lt;b&gt;Z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; el subconjunto de &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; formado por todos los puntos con ambas coordenadas enteras, Probar que &lt;b&gt;Z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es un subgrupo cerrado y que
&lt;b&gt;R&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;/&lt;b&gt;Z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; es homeomórfico a T.
&lt;li&gt; Generalizar el ejercicio anterior a G = &lt;b&gt;R&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt; y H = &lt;b&gt;Z&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;. Probar que
G/H es homeomórfico al producto de n copias de &lt;b&gt;S&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;&lt;/b&gt;.
&lt;/ol&gt;
&lt;li&gt; &lt;b&gt;GL(n)&lt;/b&gt; no es compacto para todo n ≥ 1. &lt;b&gt;SL(n)&lt;/b&gt; no es compacto para todo n ≥ 2.

&lt;li&gt; Sea G un grupo matricial y H un subgrupo cerrado de G, entonces H es matricial.

&lt;li&gt; ¿Es compacto el grupo afín GA(n)?

 &lt;li&gt; Sea G un subgrupo compacto de GL(n), entonces cada elemento de G tiene determinante igual a 1 o −1.

&lt;li&gt; . Sea &lt;math&gt;H= \{\begin{bmatrix} a &amp; b \\ 0 &amp; a^{-1} \end{bmatrix} \in M_2({\bf R}) : a \neq 0\}&lt;/math&gt;
&lt;ol type = &quot;a&quot;&gt;
&lt;li&gt; H es un subgrupo de SL(2).
&lt;li&gt; El grupo SO(2) es un subgrupo de SL(2).
 &lt;li&gt; Sea &amp;eta;: SO(2) × H → SL(2) tal que (A,B)  &amp;#8614; AB. Probar que &amp;eta; es un homeomorfismo que no es un homomorfismo de grupos.
&lt;/ol&gt;
&lt;/ol&gt;

== Referencias ==

[[Categoría:Espacios Métricos]]

&lt;!-- 121816 --&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Espacios Métricos/Introducción</title>
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      <timestamp>2026-07-26T15:58:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
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&lt;!-- INTRODUCCIÓN --&gt;
&lt;noinclude&gt;
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|siguiente=Números Reales}}
&lt;/noinclude&gt;
__toc__
=== Capítulo 1 INTRODUCCIÓN ===
(Libro = Matemáticas Univeritarias/Espacios Métricos)
 
El objetivo de este capítulo es presentar algunos resultados “intuitivos”, cuya
formalización condujo al desarrollo de los Espacios Métricos Y la Topología.

== Generalidades ==
Recordemos que, en los cursos de Cálculo, se define la noción de derivada
de una función como un cierto límite; donde por límite de los valores de una
función se entiende un cierto número al que se aproximan dichos valores cuando el argumento de la función se restringe adecuadamente.

¿Qué significa exactamente lo anterior? En la mayoría de los textos de Cálculo no se desarrolla una teoría profunda acerca de los límites, ya que el interés primario está en la manipulación de funciones derivables e integrables: cómo “calcular” una derivada o hallar una integral, así como en sus aplicaciones (máximos y mínimos, por ejemplo).

Tras bastidores, por así decirlo, están las funciones continuas, que para nosotros serán las más importantes. Generalmente, tales funciones aparecen definidas en términos de límites, diciendo que el limite de los valores de la función en un cierto número es precisamente el valor de la función en ese número.
Intuitivamente, se dice que una función es continua en un punto de su dominio cuando su gráfica no tiene “saltos” en dicho punto. Si la función está definida sobre un intervalo, continuidad en el intervalo significa, intuitivamente, que podemos dibujar la gráfica de la función sin necesidad de tener que levantar el lápiz.

Cuando examinamos un texto de Cálculo, especialmente en el área de aplicaciones de las derivadas, usualmente hallamos los enunciados de algunos  teoremas, con las pruebas omitidas por pertenecer a matemáticas más avanzadas. Este texto provee esas &quot;matemáticas más avanzadas&quot;. Una notable excepción a lo anterior es el texto de Cálculo de [[Espacios Métricos/Bibliografía|Spivak [16]]].

Examinaremos, a continuación, algunos de esos teoremas.

&lt;b&gt;Teorema A. (Teorema del Valor Intermedio) &lt;/b&gt;&lt;/i&gt; Sea f : [a, b] → &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; una función continua tal que f(a) y f(b) tienen signos opuestos. Entonces, hay un c tal que a &lt; c &lt; b y f(c) = 0.&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Teorema B.) (Acotamiento de Funciones) &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea f : [a, b] → &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; una función continua, entonces hay un real positivo M tal que para todo x en [a, b] se cumple que −M ≤ f(x) ≤ M. En palabras, la función f es acotada. &lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Teorema C. (Existencia de Máximos y Mínimos Absolutos) &lt;/b&gt;&lt;i&gt; Sea f : [a, b] → &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; una función continua, entonces hay números c y d tales que a ≤ c, d ≤ b con f(c) ≤ f(x) ≤ f(d), para todo x en [a, b]. En palabras, la función f alcanza máximos y mínimos absolutos.&lt;/i&gt;
&lt;hr&gt;

[[File:EM-Fig01-01.jpg|center|Gráficas de Funciones]]
&lt;center&gt;Figura 1.1: Gráficas de Funciones&lt;/center&gt;

Examinemos tales teoremas. Veamos primeramente su plausibilidad, o sea ¿por qué creemos que pueden ser válidos? Mirando a la parte (a) de la figura 1.1, y usando la intuición de que la gráfica no tiene saltos, vemos que yendo de (a, f(a)) (que está por debajo del eje X) a (b, f(b)) (que está por encima del eje X) tenemos que cruzar al menos una vez el eje, que es precisamente lo que dice el teorema A.

Igualmente, mirando a la parte (b) de la figura, podemos razonar que por mucho
que suba o baje la gráfica, debe finalmente llegar al punto (b, f(b)), que nos dice lo que enuncia el teorema B. Dicha figura también ilustra lo indicado por el teorema C.

La discusión heurística anterior, puede conducirnos a una serie de preguntas interesantes. ¿Por qué no aparece una demostración de esos teoremas, que parecen tan obvios? Inicialmente, los matemáticos tomaron a esos resultados como “evidentes”, razonando gráficamente como arriba. Varios tropiezos posteriores con tales argumentos gráficos, llevó a los matemáticos del siglo XIX a estudiar seriamente como probar lógicamente dichos teoremas. Fue solamente en las décadas finales de ese siglo que se obtuvo una teoría que permitió tales demostraciones.

Volviendo a los teoremas, notemos que los tres tienen una hipótesis común:
“sea f : [a, b] → &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; una función continua.” ¿Por qué el dominio de la función tiene que ser un intervalo cerrado y acotado? ¿Qué pasa si tomamos un intervalo que no sea cerrado o acotado o un dominio que no sea un intervalo?

(♠) Usaremos, en algunos de los ejemplos posteriores, el teorema que establece que cuando una función tiene derivada, la función es continua.
&lt;hr&gt;
&lt;b&gt;Ejemplo 1.1.1. &lt;/b&gt; Sea A =]0, 1] = {x ∈ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; : 0 &lt; x ≤ 1}. Notemos que la única diferencia con el intervalo [0, 1] es que A no contiene el punto 0, o sea que es un intervalo abierto en 0.

Sea f : A → &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que f(x) = 1/x. Esta función es continua en A (porque tiene derivada, f′(x) = −1/x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;) Tal función no es acotada superiormente, ya que si x = 1/n, n entero positivo, f(x) = n, o sea que alcanza valores tan grande como queramos. Por la misma razón, no alcanza un valor máximo.
&lt;hr&gt;
El ejemplo anterior ilustra que la ausencia de un punto del dominio hace que los teoremas B y C no sean válidos.

Moraleja: un sólo punto puede hacer una gran diferencia!!!!

&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 1.1.2. &lt;/b&gt; Sea B =]0, 1[= {x ∈ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; : 0 &lt; x &lt; 1}. Sea f : B → &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que f(x) = x. Esta función es continua en A (porque tiene derivada, f′(x) = 1). Es fácil ver que esa función es acotada, ya que para todo x en B se cumple que, digamos −2 &lt; f(x) &lt; 2; sin embargo, la función no alcanza valor máximo ni mínimo. (Los valores candidatos están fuera del dominio de la función.)
&lt;hr&gt;

&lt;b&gt;Ejemplo 1.1.3. &lt;/b&gt;En los ejemplos anteriores, hemos quitado un punto del extremo de un intervalo cerrado, ¿qué pasará si quitamos un punto dentro del intervalo?


[[File:EM-Fig01-02.jpg|thumb|Figura 1.2: Gráfica de una función|200px]]

Sea C = {x ∈ &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; : −1 ≤ x &lt; 0 o 0 &lt; x ≤ 1, o sea el intervalo [−1, 1]
menos el 0. Sea f : C → &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; tal que f(x) = 1 cuando x &gt; 0 y, en caso contrario, f(x) = −1.

Mirar la gráfica en la figura 1.2. Claramente la función tiene derivada en todo
su dominio, derivada que es nula. Notemos que f(−1) = −1 &lt; 0 y f(1) = 1 &gt; 0,
pero no hay un número c entre −1 y 1 donde f(x) = 0. (Ver el teorema A).

Recordemos, también que hay un teorema de Cálculo que dice que una función
con derivada nula es constante. Nuestra función tiene derivada nula en todo su
dominio, pero no es constante.

¿Qué sucede? &lt;br /&gt;
Simplemente, que el teorema que la derivada nula implica función constante requiere en su hipótesis que el dominio sea un intervalo, o sea que no puede haber un punto faltante entre los extremos. En este caso el dominio está desconectado (consiste de dos partes que no tienen punto común) y como consecuencia, su
gráfica también.

Los ejemplos anteriores muestran que la conducta de una función (es o no acotada, alcanza un cierto valor o tiene máximos o mínimos, etc.) depende no solamente de la regla o fórmula de la función, sino que también es muy importante el conjunto donde está definida la función.


Los ejemplos anteriores, y muchos otros más, condujeron a un estudio matemático formal de las situaciones envueltas. Nuevas teorías fueron creadas: Análisis para formalizar los procesos de derivación e integración, Geometría Multidimensional
(geometría y Cálculo de varias variables), Espacios Métricos, la teoría
de Conjuntos y finalmente la Topología.

Los Espacios Métricos y la Topología estudian la noción de proximidad, ¿qué
quiere decir estar cerca de un punto o de un conjunto? ¿Cuándo un conjunto tiene partes separadas? ¿Cuál es la diferencia entre intervalos cerrados y abiertos? Los espacios métricos lo hacen usando una noción de distancia entre puntos, los espacios topológicos lo hacen sin recurrir a la noción de distancia. Hay situaciones donde no hay una métrica o distancia posible o donde la métrica no es lo más natural, por lo
que se recurre a la noción de “vecindad” (espacios topológicos). Dos puntos de la
misma vecindad están “cercanos”, puntos pertenecientes a diferentes vecindades
estarán más separados. La habilidad de los matemáticos ha sido crear un lenguaje
formal para estudiar adecuadamente dichas intuiciones.
Para entender un poco los problemas que trata la teoría de los espacios métricos
y la topología, veamos la siguiente situación.

Consideremos el círculo unitario del plano cartesiano, o sea al conjunto
&lt;center&gt;&lt;math&gt;

C = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \le 1\}.&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Sea p = (a, b) un punto del plano. Tratar de responder a las siguientes preguntas
sin mirar a un dibujo de la situación, o sea solamente usando la definición de C.

&lt;ol&gt;
&lt;li&gt; ¿Qué condiciones deben satisfacer a y b para que p sea un punto en el interior de C? ¿en el borde de C? ¿en el exterior de C?

&lt;li&gt; ¿Cómo definir que p es un punto en el interior (resp. borde, exterior) de
C sin usar las ecuaciones? (Sug. Mirar que pasa con los vecinos de p (los
puntos suficientemente cercanos a p.)
&lt;/ol&gt;

{{Caja|No olvidar de leer la sección Convenios del Prefacio}}

[[Categoría:Espacios Métricos]]
&lt;!-- 23 de marzo de 2019 --&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Geometría Analítica/Ecuación de la Recta</title>
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* [[Matemáticas/Geometría Analítica/Ecuación de la Recta/Ecuación de la Pendiente|Ecuación de la Pendiente]]
* [[Matemáticas/Geometría Analítica/Ecuación de la Recta/Ecuación General de la Recta|Ecuación General de la Recta]]
* [[Matemáticas/Geometría Analítica/Ecuación de la Recta/Rectas Paralelas|Rectas Paralelas]]
* [[Matemáticas/Geometría Analítica/Ecuación de la Recta/Rectas Perpendículares|Rectas Perpendiculares]]
* [[Matemáticas/Geometría Analítica/Ecuación de la Recta/Ángulo entre dos rectas|Ángulo entre dos rectas]]

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* [[Matemáticas/Geometría Analítica/Coordenadas/Coordenadas Polares|Coordenadas Polares]]


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&lt;h1 align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font face=&quot;Arial&quot;&gt;&lt;small&gt;Sumar&lt;/small&gt;&lt;/font&gt;&lt;/h1&gt;

&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;

&lt;table border=&quot;8&quot; width=&quot;60%&quot;&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 1&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 2&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 3&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;1+0=1&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;2+0=2&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;3+0=3&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;1+1=2&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;2+1=3&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;3+1=4&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;1+2=3&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;2+2=4&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;3+2=5&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;1+3=4&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;2+3=5&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;1+4=5&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;3+4=7&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;1+6=7&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;3+7=10&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;1+8=9&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;1+9=10&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;2+9=11&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;3+9=12&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
&lt;/table&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;strong&gt;

&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;

&lt;table border=&quot;8&quot; width=&quot;80%&quot;&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;
      Tabla del 4&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 5&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
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      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 6&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 7&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;tr&gt;
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  &lt;tr&gt;
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  &lt;tr&gt;
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  &lt;tr&gt;
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  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
&lt;/table&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;

&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;

&lt;table border=&quot;8&quot; width=&quot;80%&quot;&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;
      Tabla del 8&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 9&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 10&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 11&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;8+0=8&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;9+0=9&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;10+0=10&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;11+0=11&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8+1=9&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;9+1=10&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;10+1=11&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;11+1=12&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8+2=10&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;9+2=11&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;10+2=12&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;11+2=13&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8+3=11&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;10+3=13&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;11+3=14&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8+4=12&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;9+4=13&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;10+4=14&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;11+4=15&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8+5=13&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;9+5=14&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8+6=14&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;9+6=15&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;11+6=17&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8+7=15&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;9+7=16&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;10+7=17&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;11+7=18&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8+8=16&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;9+8=17&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;10+8=18&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;11+8=19&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8+9=17&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;9+9=18&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;10+9=19&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;11+9=20&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8+10=18&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;9+10=19&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;10+10=20&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;11+10=21&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8+11=19&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;9+11=20&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;10+11=21&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;11+11=22&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
&lt;/table&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:10.0pt&quot;&gt;


&lt;b&gt;


&lt;o:p&gt;


&lt;/b&gt;


&lt;/span&gt;&lt;b&gt;&lt;font face=&quot;Arial&quot; size=&quot;3&quot;&gt;| &lt;a href=&quot;#TOP&quot;&gt; Arriba&lt;/a&gt; |&lt;/font&gt;
&lt;i&gt;&lt;font face=&quot;Arial&quot; size=&quot;4&quot;&gt;

&lt;/p&gt;
&lt;/font&gt;&lt;/i&gt;&lt;/b&gt;
&lt;b&gt;&lt;i&gt;&lt;font face=&quot;Arial&quot; size=&quot;4&quot;&gt;

&lt;p&gt;&lt;a NAME=&quot;restar&quot;&gt;&lt;/a&gt;&lt;/p&gt;


&lt;h1 align=&quot;center&quot;&gt;&lt;/font&gt;&lt;/i&gt;&lt;/b&gt;&lt;font face=&quot;Arial&quot; size=&quot;5&quot;&gt;Restar&lt;/font&gt;&lt;/h1&gt;


&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;

&lt;table border=&quot;8&quot; width=&quot;60%&quot;&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 1&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 2&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 3&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;1-1=0&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;2-2=0&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;3-3=0&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;2-1=1&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;3-2=1&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;4-3=1&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;3-1=2&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;4-2=2&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;5-3=2&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;4-1=3&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;5-2=3&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;6-3=3&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;5-1=4&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;6-2=4&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;7-3=4&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;6-1=5&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8-3=5&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;7-1=6&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;9-3=6&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8-1=7&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;9-2=7&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;10-3=7&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;9-1=8&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;10-2=8&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;11-3=8&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;10-1=9&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;11-2=9&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;11-1=10&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;13-3=10&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
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  &lt;tr&gt;
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    &lt;/td&gt;
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  &lt;tr&gt;
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&lt;/table&gt;
&lt;/div&gt;
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&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;

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    &lt;/td&gt;
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      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 10&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
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      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 11&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;21-11=10&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;19-8=11&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;22-11=11&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
&lt;/table&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:10.0pt&quot;&gt;


&lt;b&gt;


&lt;o:p&gt;


&lt;/b&gt;


&lt;/span&gt;&lt;b&gt;&lt;font face=&quot;Arial&quot; size=&quot;3&quot;&gt;| &lt;a href=&quot;#TOP&quot;&gt; Arriba&lt;/a&gt; |&lt;/font&gt;
&lt;i&gt;&lt;font face=&quot;Arial&quot; size=&quot;4&quot;&gt;

&lt;/p&gt;
&lt;/font&gt;&lt;/i&gt;&lt;/b&gt;

&lt;b&gt;


&lt;b&gt;&lt;i&gt;&lt;font face=&quot;Arial&quot; size=&quot;4&quot;&gt;

&lt;p&gt;&lt;a NAME=&quot;multiplicar&quot;&gt;&lt;/a&gt;&lt;/p&gt;


&lt;h1 align=&quot;center&quot;&gt;&lt;/font&gt;&lt;/i&gt;&lt;/b&gt;&lt;font face=&quot;Arial&quot; size=&quot;5&quot;&gt;Multiplicar
&lt;/font&gt;
&lt;/h1&gt;

&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;

&lt;table border=&quot;8&quot; width=&quot;60%&quot;&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 1&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 2&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 3&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;1x0=0&amp;nbsp;&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;2x0=0&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;3x0=0&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;1x1=1&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;3x1=3&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;1x2=2&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;1x3=3&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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  &lt;tr&gt;
    
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  &lt;tr&gt;
    
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  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
&lt;/table&gt;
&lt;/div&gt;
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&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;

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  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
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    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 9&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 10&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 11&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;8x0=0&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;tr&gt;
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  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8x5=40&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8x8=64&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8x9=72&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8x10=80&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;8x11=88&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;11x11=121&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
&lt;/table&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:10.0pt&quot;&gt;


&lt;o:p&gt;


&lt;/span&gt;&lt;font face=&quot;Arial&quot; size=&quot;3&quot;&gt;| &lt;a href=&quot;#TOP&quot;&gt; Arriba&lt;/a&gt; |&lt;/font&gt;
&lt;i&gt;&lt;font face=&quot;Arial&quot; size=&quot;4&quot;&gt;

&lt;/p&gt;
&lt;/font&gt;&lt;/i&gt;

&lt;/b&gt;


&lt;/strong&gt;&lt;strong&gt;
&lt;b&gt;


    &lt;i&gt;&lt;font face=&quot;Arial&quot; size=&quot;4&quot;&gt;

&lt;p&gt;&lt;a NAME=&quot;dividir&quot; href=&quot;#dividir&quot;&gt;&lt;/a&gt;&lt;/p&gt;


&lt;h1 align=&quot;center&quot;&gt;&lt;/font&gt;&lt;/i&gt;&lt;font face=&quot;Arial&quot; size=&quot;5&quot;&gt;Dividir
&lt;/font&gt;
    &lt;/h1&gt;

&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;

&lt;table border=&quot;8&quot; width=&quot;60%&quot;&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 1&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 2&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
      &lt;p align=&quot;center&quot;&gt;Tabla del 3&lt;/p&gt;
    &lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;&lt;p align=&quot;center&quot;&gt;&amp;nbsp;0:1=0&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
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&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;
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  &lt;tr&gt;
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    &lt;/td&gt;
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    &lt;/td&gt;
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    &lt;/td&gt;
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    &lt;/td&gt;
  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
    &lt;td width=&quot;20%&quot;&gt;
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  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;/tr&gt;
  &lt;tr&gt;
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  &lt;tr&gt;
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&lt;hr&gt;

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    <title>Matemáticas/Historia/Concepto Número</title>
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== Historia del concepto de número ==
Cognitivamente el concepto de número está asociado a la habilidad de contar y comparar cual de dos conjuntos de entidades similares tiene mayor cantidad de elementos. Las primeras sociedades humanas se toparon muy pronto con el problema de determinar cual de dos conjuntos era &quot;mayor&quot; que otro, o de conocer con precisión cuantos elementos formaban una colección de cosas. Esos problemas podían ser resueltos simplemente contando. La habilidad de contar del ser humano, no es un fenómeno simple, aunque la mayoría de culturas tienen sistemas de cuenta que llegan como mínimo a centenares, algunos pueblos con una cultura material simple, sólo disponen de términos para los números 1, 2 y 3 y usualmente usan el término &quot;muchos&quot; para cantidades mayores, aunque cuando es necesario usan recursivamente expresiones traducibles como &quot;3 más 3 y otros 3&quot; cuando es necesario.

El conteo se debió iniciar mediante el uso de objetos físicos (tales como montones de piedras) y de marcas de cuenta, como las encontradas en huesos tallados: el de Lebombo, con 29 muescas grabadas en un hueso de babuino, tiene unos 37.000 años de antigüedad y otro hueso de lobo encontrado en la antigua Checoslovaquia, con 57 marcas dispuestas en cinco grupos de 11 y dos sueltas, se ha estimado en unos 30.000 años de antigüedad. Ambos casos constituyen una de las más antiguas marcas de cuenta conocidas habiéndose sugerido que pudieran estar relacionadas con registros de fases lunares.&lt;ref&gt;[[Ian Stewart]], ''Historia de las matemáticas, Crítica, 2008. ISBN 978-84-8432-369-3 p. 12-13''&lt;/ref&gt; En cuanto al origen ordinal algunas teorías lo sitúan en rituales religiosos. Los sistemas numerales de la mayoría de familias lingüísticas reflejan que la operación de contar estuvo asociado al conteo de dedos (razón por la cual los sistemas de base decimal y vigesimal son los más abundantes), aunque están testimoniado el empleo de otras bases numéricas además de 10 y 20.

El paso hacia los símbolos numerales, al igual que la escritura, se ha asociado a la aparición de sociedades complejas con instituciones centralizadas constituyendo artificios burocráticos de contabilidad en registros impositivos y de propiedades. Su origen estaría en primitivos símbolos con diferentes formas para el recuento de diferentes tipos de bienes como los que se han encontrado en Mesopotamia inscritos en tablillas de arcilla que a su vez habían venido a sustituir progresivamente el conteo de diferentes bienes mediante fichas de arcilla (constatadas al menos desde el 8000&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.) Los símbolos numerales más antiguos encontrados se sitúan en las civilizaciones mesopotámicas usándose como sistema de numeración ya no solo para la contabilidad o el comercio sino también para la agrimensura o la astronomía como, por ejemplo, registros de movimientos planetarios.&lt;ref&gt;[[Ian Stewart]], ''Historia de las matemáticas, Crítica, 2008. ISBN 978-84-8432-369-3 p. 14''&lt;/ref&gt;

En conjunto, desde hace 5.000 años la mayoría de las civilizaciones han contado como lo hacemos hoy aunque la forma de escribir los números (si bien todos representan con exactitud los naturales) ha sido muy diversa. Básicamente la podemos clasificar en tres categorías:
# '''Sistemas de notación aditiva'''. Acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas, centenas,... necesarios hasta completar el número. Aunque los símbolos pueden ir en cualquier orden, adoptaron siempre una determinada posición (de más a menos). De este tipo son los sistemas de numeración: Numeración egipcia, hitita, cretense, romano, griego, armenio y judío.
# '''Sistemas de notación híbrida'''. Combinan el principio aditivo con el multiplicativo. En los anteriores 500 se representa con 5 símbolos de 100, en éstos se utiliza la combinación del 5 y el 100. El orden de las cifras es ahora fundamental (estamos a un paso del sistema posicional). De este tipo son los sistemas de numeración: Chino clásico, asirio, armenio, etíope y [[Numeración maya|maya]]. Este último utilizaba símbolos para el &quot;1&quot;, el &quot;5&quot; y el &quot;0&quot;. Siendo este el primer uso documentado del cero tal como lo conocemos hoy (Año 36 a.C) ya que el de los babilonios solo se utilizaba entre otros dígitos. 
# '''Sistemas de notación posicional'''. La posición de las cifras nos indica si son unidades, decenas, centenas,... o en general la potencia de la base. Solo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo: El sistema Chino (300&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.) que no disponía de 0, el sistema Babilónico (2000&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.) con dos símbolos, de base 10 aditivo hasta el 60 y posicional (de base 60) en adelante, sin &quot;0&quot; hasta el 300&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.</text>
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* [[Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Unidades de longitud]]
* [[Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Unidades de masa]]
*[[Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Unidades de capacidad]]
*[[Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Unidades de superficie]]
*[[Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Otras medidas de superficie]]
*[[Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Unidades de volumen]]
*[[Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Medida compleja|Medida compleja]]
*[[Aritmética/Pre-Algebra/Notación Científica|Notación Científica]]</text>
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MATEMÁTICAS DE LA PREHISTORIA

¿En qué momento? Comenzó la humanidad a pensar en términos de relaciones numéricas y geométricas &amp; La
tradición pretende que la ciencia matemática empezó en Grecia// hacia el siglo 5 a 100 para no dejar a las
civilizaciones anteriores más que parcelas cuyo contenido matemático es a la vez deslavazado y concreto:
Si el origen del hombre sigue siendo todavía enigmático desde distintos puntos de vista- es sin embargo casi seguro
que, hacia el año 400 000 a.C. (hombre de Neandertal), el hombre comenzó a pensar. Desde este momento, el
hombre de la prehistoria adquiere conciencia del medio en el que vive y tiene que procurar, con toda urgencia, su
supervivencia.

Las numerosas excavaciones arqueológicas realizadas en depósitos y sedimentos neolíticos revelan ya la
existencia de una industria perfeccionada y actividades sociales propias de una sociedad en marcha. Dos elementos
matemáticos importantes surgen en esta sociedad prehistórica:
1) un lenguaje articulado en el que hay un sistema de números;
2) utensilios y construcciones en los que intervienen relaciones espaciales.
Existen algunos factores que pueden persuadirnos de que el hombre primitivo poseía una cierta idea del concepto
de número.
• Por ejemplo, numerosas tribus primitivas que viven actualmente en Australia y Polinesia poseen un sistema
de números, más o menos elaborado. Estas tribus, que viven en la edad de piedra (varias de ellas no poseen
ni agricultura, ni utensilios perfeccionados como el arco y la flecha), consiguen contar y utilizar un lenguaje de
tipo descriptivo.
• Se conoce el descubrimiento, en Checoslovaquia, de un hueso perteneciente a un lobo joven, hueso sobre el
que aparece una sucesión de cincuenta y cinco incisiones, dispuestas en dos series, por grupos de cinco.
Este hueso fue descubierto en sedimentos que datan de hace aproximadamente 30 000 años.

FORMACIÓN DEL NÚMERO EN EL HOMBRE PRIMITIVO

Antes de que existiese un lenguaje capaz de favorecer la comunicación verbal, el hombre primitivo podía
observar en la naturaleza fenómenos cuantitativos: un árbol y un bosque, una piedra y un montón de piedras, un lobo
y una manada de lobos, etc. Esta distinción entre la unidad y la pluralidad, la estableció, sin duda, muy pronto.
Igualmente, la noción de par —dos pies, dos manos, dos ojos, etc.— debió llamar su atención.
A partir de estas rudimentarias observaciones, el hombre primitivo extrae gradualmente la idea de
comparación y asocia, a cada objeto observado, un signo, una cosa que le sea familiar. Puede así asociar a una
colección de objetos observados un grupo de signos o de cosas. Esta colección de signos puede ser muy variada
según las tribus o pueblos primitivos: una tribu (o incluso un individuo) utilizará rayas hechas en la madera, en un
hueso o en la arena; otra recurrirá a un montón de guijarros o incluso a cocos; y otra preferirá los gestos de la mano
(posiciones de la mano sobre una parte del cuerpo) o de la cabeza; etc.
La enumeración de un grupo de objetos observados deja paso a la numeración con la aparición de para un
lenguaje articulado .//escrito o hablado+. Esta transición corresponde probablemente al cambio de vida del hombre
primitivo que se convierte en productor, comerciante, en vez de simple proveedor de alimento. El comerciante
necesita un lenguaje articulado para conseguir vender sus productos y debe poseer un sistema de números para
contar. El productor evalúa la cantidad de objetos producidos, el número de corderos criados, las pérdidas por robo, y
todo esto presupone el conocimiento de un sistema de numeración adecuado al tipo de vida del hombre primitivo.
La numeración presenta también variantes según las tribus:
Por ejemplo, los antiguos sumerios utilizaban las palabras «hombre», «mujer» y «varios», en lugar de «uno», «dos» y
«tres», respectivamente. Así el hombre simboliza el número 1. Por matrimonio, él y su mujer representaban el número
dos. Todo lo que sobrepasase numéricamente el dos estaba simbolizado por «varios».
Los pigmeos de Africa utilizan el sistema repetitivo siguiente: a, oa, ua, oa-oa, para los números uno, dos, tres
y cuatro, respectivamente. Las tribus kamilarai de Australia utilizan también un sistema repetitivo: uno se dice «mal»;
dos se dice «bulan»; tres es «guliba»; cuatro corresponde a «bulan bulan»; etc.
No obstante, la sustitución de los objetos por palabras del lenguaje no significa aún que el concepto de
número esté en el pensamiento del que enumera. En esta fase, el hombre primitivo, que asocia a tres vacas tres
palabras distintas, no puede, sin las palabras, pensar en el número tres. Además, experiencias etnográficas
efectuadas con tribus primitivas han demostrado que el conocimiento de una sucesión ordenada de palabras
numéricas no lleva necesariamente consigo la comprensión del concepto de número cardinal.
Eliminar el soporte material del objeto observado, para no retener más que el elemento numérico al que
corresponde en el proceso de numeración, equivale de hecho a exigir
que el observador sea capaz de abstraer. Esta etapa decisiva no se
adquiere sino progresivamente y en la medida en que se distinguen dos
conceptos importantes: el número cardinal, que proporciona la
expresión cuantitativa, y el número ordinal, que pone de manifiesto la
existencia de un primer elemento seguido de un segundo y de un
tercero, etc.
El hombre primitivo piensa en un número cuando capta bien las
relaciones siguientes:
1) la naturaleza de los objetos que se van a contar no desempeña
ningún papel en la numeración;
2) el orden en el que los elementos son observados no influye en el
resultado final, es decir, en el número cardinal;
3) el último elemento contado corresponde de hecho, en la medida en
que sólo sea necesario el resultado de la cuenta, al número cardinal de
la colección.
Por consiguiente, el paso difícil de dar consiste en reconocer al
último elemento contado como aquel que expresa «cuántos elementos contiene el conjunto que se quiere contar». ¿A
qué nivel las tribus de hombres prehistóricos cumplieron las condiciones antes citadas? Esta pregunta permanecerá
probablemente sin respuesta debido a la ausencia casi total de documentos relativos a este tipo de cuestiones.

AGRUPAMIENTO DE LOS NÚMEROS

Si los signos para representar los números precedieron cronológicamente a las palabras, el agrupamiento de
los signos (rayas verticales, guijarros, dedos de la mano, etc.) influenció sin duda, de manera directa, la base del
sistema de numeración elegido.
Parece que las tribus más primitivas utilizaron primero el agrupamiento de dos en dos, después de cuatro en
cuatro y de seis en seis. Ocasionalmente, las variantes corresponden a agrupamientos de tres en tres (tribus
americanas). Un sistema muy natural y en boga corresponde a los dedos de la mano y puede así implicar
agrupamientos de cinco en cinco (dedos), de diez en diez (dedos) y de veinte en veinte (dedos de los pies y de las
manos). En un principio, este sistema presenta la ventaja, no solamente de preferir agrupamientos naturales y
fácilmente accesibles, sino también de favorecer, por la «disposición» de los dedos, una distinción entre número
cardinal y número ordinal. Estos agrupamientos de cinco, diez y veinte objetos aparecen en varias partes del mundo.
Otros agrupamientos fueron también utilizados por ciertas tribus primitivas, especialmente los agrupamientos de
doce, de sesenta y de ocho.
Documentación sobre una investigación emprendida por la Universidad de Stanford sobre 307 sistemas de
numeración que se encuentran en las tribus primitivas americanas. Aporta que, de estos sistemas, 146 pertenecen a
los agrupamientos de diez, 106 a los agrupamientos de cinco y diez, 81 son binarios, 35 sop de base veinte y de base
cinco y veinte, 15 pertenecen a los agrupamientos de cuatro, 3 son agrupamientos de tres y uno solo corresponde a
la base ocho.
Una vez comprendida perfectamente la noción de agrupamiento, es natural que el hombre primitivo asigne
entonces un símbolo particular al agrupamiento utilizado. Está ahora en posesión de los elementos que podrá
combinar para inventar su sistema de numeración.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

La necesidad de un sistema de numeración proviene de la naturaleza de las actividades propias de un pueblo
primitivo. Las tribus que poseían grandes rebaños domesticados o que practicaban una agricultura diversificada y
desarrollada sintieron muy pronto la necesidad de elaborar un sistema que les permitiese utilizar números grandes y
favoreciese la invención de un calendario.
¿Cuáles son los procedimientos utilizados durante la prehistoria (o que tienen en ella su origen) y que dieron
lugar a los diferentes sistemas de numeración? Un primer procedimiento consiste en prolongar el agrupamiento
añadiendo unidad a unidad. Por ejemplo, si el hombre primitivo utiliza los cinco dedos de su mano izquierda como
agrupamiento, utilizará los dedos (uno a uno) de su mano derecha para prolongar la cuenta hasta diez. Otra posible
extensión consistiría en utilizar los dedos de los pies. Este procedimiento, aunque muy simple, introduce dificultades
enormes en el lenguaje, puesto que requiere la creación de nuevas palabras.
Otro procedimiento, mucho más eficaz, consiste en utilizar el principio de la «repetición» en la numeración de
los objetos contados. Por ejemplo, en base tres, los pigmeos de Africa emplean el sistema repetitivo siguiente: 1, 2,
3, 4, 5 y 6 se corresponden con a, oa, ua, oa-oa, oa-ua y ua-ua.
Al hombre primitivo, que utiliza una mano-de cinco dedos como base, le es suficiente añadir la otra mano
para contar hasta diez; después, una segunda persona registra las cuentas de diez a veinte,y así sucesivamente. Una
variante consiste en utilizar los diez dedos como base y proceder así de la misma forma que antes. Este
procedimiento está catalogado como «sistema aditivo no posicional»; su principal defecto es que utiliza un gran
número de símbolos.
El tercer método, muy poco empleado durante la prehistoria, se basa esencialmente en el principio de la
posición. Cualquier símbolo posee el valor indicado por la posición que ocupa en la sucesión de símbolos que
representa un número u otro. El ejemplo por excelencia de este
tipo de sistema, llamado «sistema posicional», es nuestro
sistema decimal.
El desarrollo de los sistemas de numeración de la época
prehistórica no fue, probablemente, más allá del tipo aditivo no
posicional. No obstante, esto no impidió a los hombres primitivos
establecer los primeros elementos de una aritmética práctica y
de una geometría orientada a la medición de áreas y volúmenes.
Con la aparición del comercio, la industria y la agricultura, el
hombre primitivo debe no solamente saber contar, sino también
ser capaz de hacer un balance de sus actividades comerciales.
Los métodos primitivos varían enormemente cuando se trata de
registrar las diversas formas de actividad económica: marcas en
la madera, nudos en una cuerda, grupos de guijarros o de cocos,
rayas en papiros o en tablillas de arcilla, etc. Y hacer el balance implicaba necesariamente conocer las reglas
elementales de cálculo numérico. No era cuestión en aquella época de utilizar números que no fuesen los naturales.
Los números enteros, racionales, irracionales, complejos. por no citar más que éstos, son invenciones de nuestra era
.
GEOMETRÍA EMPÍRICA.

La adquisición de los rudimentos del cálculo aritmético da lugar a la medición de longitudes, áreas y
volúmenes. Las unidades de medición se eligen con frecuencia entre las partes del cuerpo humano: el dedo, el pie, el
pulgar, la mano, el antebrazo. Los volúmenes se miden con ayuda de cestos o de conchas de tamaño «standard». La
construcción de las casas se lleva a cabo con ayuda de reglas que garantizan la existencia de líneas y ángulos
rectos. La geometría que se utiliza es empírica y está esencialmente dirigida a un fin utilitario o ritual. La justificación
de las reglas utilizadas y de las convenciones elegidas es inexistente, por lo menos en los documentos recogidos
sobre esta época.
La geometría aparece también en las pinturas y motivos dibujados por estos pueblos primitivos. Una gran
riqueza de figuras geométricas se encuentra en vasos, cestos, muros de cavernas. Son abundantes los ejemplos de
semejanza y de distintas formas de simetría en las decoraciones del Neolítico. La imaginación geométrica de estos
pueblos es de una riqueza difícil de sospechar.
Hay que mencionar también que el desarrollo de las
matemáticas estuvo en esta época muy influenciado por la
astronomía. Los pueblos primitivos poseían ciertos conocimientos
relativos al sol, la luna y las estrellas. Además, un pueblo agrícola
debía llevar la cuenta de los días y de las noches, así como de las
distintas estaciones. Los pueblos primitivos adoptan casi todos un
calendario lunar con el fin de diferenciar los aspectos cambiantes de
la vegetación y poseer unidades de tiempo útiles y convenientes.
Por último, es indispensable subrayar la influencia de la
religión sobre la vida primitiva, tanto en el plano espiritual como en
el de las acciones diarias del hombre primitivo. Incluso si la
civilización se estableció sobre un soporte religioso inherente a
prácticas rituales, se debe, no obstante, considerar cuál fue el papel
de la práctica religiosa del hombre primitivo en su concepción del
número.
Es muy probable que el desarrollo de las matemáticas pudiese haber estado influenciado, en sus orígenes,
por las prácticas religiosas; en particular, el concepto de número y la geometría del hombre primitivo reflejan aspectos
ligados al ámbito religioso.

RESUMEN

Las civilizaciones de la época neolítica o prehistórica, caracterizadas por la caza y una agricultura y un
comercio rudimentarios, manifestaron interés por el número y la geometría empírica. Este comienzo de las
matemáticas fue originado por las necesidades de su vida social y económica, y estuvo influenciado también por la
religión y la magia.

Los hombres primitivos desarrollaron sistemas de numeración (de tipo aditivo no posicional) que les
permitían efectuar cálculos elementales con números naturales (adición, sustracción, multiplicación). La geometría
empírica del hombre primitivo se reduce a algunas reglas para medir longitudes y volúmenes. Los dibujos de rico
colorido contienen figuras geométricas en las que predomina la simetría. La mayoría de los pueblos primitivos
inventaron un calendario lunar.

=Fuentes=
Adaptado de
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Las '''matemáticas en el Antiguo Egipto''' constituyeron la rama de la ciencia que más se desarrolló, y podemos estudiarlas a partir del [[papiro Rhind]], que enuncia: ''Reglas para estudiar la naturaleza y para comprender todo lo que existe, todo misterio, todo secreto''. 

==Previamente==
La introducción de un calendario, basado en la división del año en doce meses de treinta días y el agregado de cinco días festivos, el erigimiento de  edificios monumentales perfectamente realizados, como las pirámides, sugieren , conjuntamente a una técnica avanzada, una buena apoyatura matemática. Los conocimientos actuales respecto a lo anterior están restringidos  a pocas listas de ejemplos, de muestra para encumbrados funcionarios; entre los más importantes, se puede mencionar:  Papiro de Moscú, Rollo de Cuero,  Papiro de Rhind, redactado por Ahmés.&lt;ref&gt;Hofmann. «Historia de la matemática»&lt;/ref&gt;

== Métodos ==

El punto de vista tradicional sobre el [[Imperio Antiguo]] nos dice que los egipcios dedicaron la [[aritmética]] para usos prácticos, con muchos problemas del tipo: ''Cómo un número de panes se pueden dividir en partes iguales entre un número de personas''. Los problemas de los papiros de Moscú y Rhind se expresan en un contexto educativo, y los traductores han encontrado tres definiciones abstractas del número y otras formas más complejas de aritmética. Las tres definiciones abstractas están en la tablilla de madera de Ajmin, el EMLR y el papiro matemático de Rhind. Las formas más complejas de aritmética incluyen el uso de tablas de fracciones, así como restos de la sustracción no aditiva y de la división. Los restos son precedidos por series binarias y seguidos por un factor de posicionamiento en la tablilla de [[Ajmin]], el PMR y otros textos.

Para la [[adición]] y la [[multiplicación]], emplearon el método de duplicar, y de dividir por dos, un número conocido para encontrar la solución. Para la [[sustracción]] y la [[División (matemática)|división]] emplearon otros métodos que todavía no se conocen en su totalidad. El «[[Método de la regla falsa|método de posición falsa]]» puede no haber sido utilizado para la división y los problemas simples del [[álgebra]]. 

En el Imperio Antiguo, usaban un sistema numérico de base 10, en el [[Imperio Nuevo]], [[fracción unitaria|fracciones unitarias]] y tablas de segundos resultados; los escribas solucionaron varios problemas matemáticos muy complejos, 84 de los cuales se explican en el papiro matemático de Rhind.

Según [[Heródoto]], los egipcios son los padres de la [[Matemáticas/Geometría|Geometría]], pero gracias a sus monumentos y sus papiros también sabemos hoy que disponían de un sistema de numeración adicional que les permitía trabajar con fracciones de una forma muy especial ya que el numerador siempre era la unidad.

== Descripción ==

Alrededor del año 2700&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C., los egipcios introdujeron el primer sistema de numeración completamente desarrollado de base 10. Aunque no era un sistema posicional, permitió el uso de grandes números y también de fracciones en la forma de fracciones unitarias: fracciones del ''[[Ojo de Horus]]'', y varias fracciones binarias. 

En esa misma época, las técnicas egipcias de construcción incluyeron sistemas de topografía, marcando el norte por la situación del sol al mediodía. Antes del año 2000&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C., comenzaron a aparecer referencias claras que citaban aproximaciones para [[Número π|π]] y raíces cuadradas. Las relaciones del número exacto, tablas aritméticas, los problemas del álgebra y aplicaciones prácticas con pesos y medidas también comenzaron a aparecer alrededor de 2000&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C., con varios problemas solucionados por métodos aritméticos abstractos.

== Fuentes ==

Nuestro conocimiento de las matemáticas egipcias ha sido incompleto por la falta de fuentes disponibles. La más famosa es el papiro Rhind, o Ahmes, el papiro matemático (PMR), un texto que puede ser leído comparando muchos de sus elementos con otros textos como el EMLR y las tablillas de madera de Ajmim. El PMR se fecha a partir del [[Segundo periodo intermedio de Egipto]] (circa 1650&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.), pero el autor lo identifica como copia de un papiro del [[Imperio Medio]]. El papiro matemático de Rhind contiene una tabla de la serie egipcia de la fracción 2/n (101 entradas) y 84 problemas. Utiliza una forma de aritmética que usa fracciones unitarias, que eran precedidas a menudo por un número entero. Tomando las fracciones de los números enteros y de la unidad juntas como una declaración, como cocientes y restos, o simplemente como aritmética del resto. 

El PMR también incluye fórmulas y métodos para cálculo de áreas, y operaciones aritméticas para la adición, la substracción, la multiplicación y la división de las fracciones unitarias. Contiene evidencia de otros conocimientos matemáticos, incluyendo números compuestos y primos; medias aritméticas, geométricas y armónicas; y un método simple de la ''tabla de [[Eratóstenes]]'' y del número perfecto. También muestra cómo solucionar ecuaciones lineales de primer orden así como sumar series aritméticas y geométricas. 

Los [[papiros de Berlín]], escritos alrededor del año 1300&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C., muestran que los antiguos egipcios habían solucionado dos ecuaciones de segundo grado, Diofánticas, aunque el método de Berlín para solucionar x² + y² = 100 no se ha confirmado en un segundo texto. 

Otras fuentes son el papiro matemático de Moscú (PMM), el papiro de Reisner, la tablilla de madera de Ajmim (Museo de El Cairo) (AWT), y varios otros textos que incluyen prescripciones médicas.

== Números ==

En el antiguo Egipto, fueron utilizados dos tipos de numeración. Uno, escrito en [[jeroglífico]]s, era un sistema decimal, con signos distintos para 10, 100, 1000, etc., que se usó en el [[Periodo predinástico de Egipto|periodo Predinástico]]. El segundo, el sistema [[hierático]], escrito con un nuevo tipo de cifras que asimilaba un número a un símbolo, 
se diferenció del sistema jeroglífico por simplificar los símbolos para poder escribir más rápido, y comenzó alrededor de 2150&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.
 
Una numeración jeroglífica tardía fue modificada y adoptada en el [[Periodo Romano de Egipto|Periodo Romano]] para las aplicaciones oficiales, y las fracciones egipcias en las situaciones cotidianas.

=== Números en hierático ===

Para los números hieráticos utilizaron un símbolo para cada número, sustituyendo las cifras que habían sido utilizadas para designar múltiplos de la unidad. Por ejemplo, utilizaban dos símbolos para escribir tres, treinta, trescientos, etcétera, en un sistema que reemplazó al modo jeroglífico.
 
Como la mayoría de textos administrativos y de contabilidad fue escrita en [[papiro]]s u [[ostraca]]s, y no grabados en piedra como los textos jeroglíficos, emplean el sistema [[hierático]] de escritura, siempre los casos encontrados de números escritos en hierático son posteriores al [[Imperio Antiguo]]. Los papiros de Abusir son una recopilación particularmente importante de textos que utilizan estos números.

Boyer demostró hace 50 años que esa escritura utilizaba un sistema de numeración diferente, usando símbolos individuales para los números 1 a 9, los múltiplos de 10 entre 10 y 90, las centenas a partir del 100 al 900, y los millares a partir de 1000 a 9000. Un número grande como 9999 se podía escribir con solamente cuatro signos, combinando los signos para 9000, 900, 90, y 9, opuestas a 36 jeroglíficos. 

Dos papiros matemáticos famosos que usan la escritura hierática son el de Moscú y el de Rhind. Este último contiene ejemplos de cómo los egipcios hicieron sus cálculos matemáticos, y los números fueron designados poniendo una línea sobre la letra asociada al número que era escrito, como /A. Este método de escribir números se extendió por el Cercano Oriente, y los griegos, 1500 años más tarde, lo usaban en dos de sus alfabetos, jónico y dórico, para representar sus números: /alfa = 1, /beta = 2 y así sucesivamente. Respecto a las fracciones, los griegos escribieron 1/n como n', por lo que en la numeración y resolución de problemas los griegos adoptaron o modificaron la numeración egipcia, la aritmética y otros aspectos de las matemáticas egipcias.

{{VT|Numeración egipcia}}

== Adición y sustracción ==

Simplemente unían los signos para sumar. 
{| cellpadding=5
|-
|&lt;hiero&gt;D54&lt;/hiero&gt;
| '''Y''' 
|&lt;hiero&gt;D55&lt;/hiero&gt;
|-
|}
Si los pies señalaban en la dirección de la escritura, significaban [[suma]], si no [[resta]].

La sustracción está descrita en el [[Rollo (manuscrito)|rollo]] de cuero EMLR (1800&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.), un documento que incluye cuatro métodos de adición.

== Multiplicación ==

La multiplicación egipcia se hacía por duplicaciones del multiplicando, y es conocido como '''duplicación y mediación''', y se basa en la [[propiedad distributiva]] de la multiplicación. 

El método utilizado solo requiere saber sumar:

Si deseamos multiplicar '''X''' por '''Y''', siendo '''X''' mayor que '''Y''' (si no lo fuera, se procedería a invertir el orden de los factores, se trata de realizar el menor número posible de operaciones) 
* En la primera columna se escribe la serie: '''X''', 2'''X''', 4'''X'''... (obteniendo cada cifra duplicando la precedente)
* En la segunda columna se escribe la serie: 1, 2, 4, 8...(2n &lt; '''Y''') (obteniendo cada cifra duplicando la precedente, hasta el último número que no supere la cifra '''Y''')
* En la tercera columna se ''marcan'' las cifras necesarias, de la segunda columna, de tal forma que expresemos el valor de '''Y''' como la suma del menor número de sumandos. Esto se puede hacer de dos formas por adición o sustracción: '''Sustracción''', se resta al valor de '''Y''', o sea 14, el último valor de la columna B, que es 8,  obteniendo 6. Ahora a 6 hay que restarle el mayor posible de la misma columna, en este caso 4, obteniendo 2 y se repite la operación hasta que el resultado dé 0, en este caso quedaría completado con la casilla siguiente. '''Adición''', mentalmente se suman 8+4+2=14 y se marcan las filas pertinentes.  
* El resultado es la suma de las cifras de la columna primera ''marcadas''. 

Como un corte para números más grandes, el multiplicando se puede también multiplicar inmediatamente por 10, 100, etc.

Por ejemplo, el problema 69 en el papiro de Rhind (RMP) proporciona el resultado siguiente:   
     
{| cellpadding=5
|colspan=5 |'''Para multiplicar 80 x 14'''
|-
|colspan=2 | &lt;u&gt;Números egipcios&lt;/u&gt; 
|colspan=1 |
|colspan=2 | &lt;u&gt;Números actuales&lt;/u&gt;
|-
|'''A'''
|'''B'''
|&lt;small&gt;cifras a sumar&lt;/small&gt;
|'''A'''
|'''B'''
|-
|&lt;hiero&gt;V20*V20*V20*V20:V20*V20*V20*V20&lt;/hiero&gt;
|&lt;hiero&gt;Z1&lt;/hiero&gt; 
|
|80
|1
|- 
|&lt;hiero&gt;V20*V20*V20:V20*V20*V20-V1&lt;/hiero&gt;
|&lt;hiero&gt;Z1*Z1&lt;/hiero&gt; 
|align=&quot;center&quot; | {{bien}}  
|160
|2
|- 
|&lt;hiero&gt;V20:V20-V1*V1:V1&lt;/hiero&gt;
|&lt;hiero&gt;Z1*Z1*Z1*Z1&lt;/hiero&gt; 
|align=&quot;center&quot; | {{bien}} 
|320
|4
|-
|&lt;hiero&gt;V20*V20*V1*V1*V1:V20*V20*V1*V1*V1&lt;/hiero&gt;
|&lt;hiero&gt;Z1*Z1*Z1*Z1:Z1*Z1*Z1*Z1&lt;/hiero&gt; 
|align=&quot;center&quot; | {{bien}} 
|640
|8
|-
| '''&lt;u&gt;Resultado:&lt;/u&gt;'''
|- 
|&lt;hiero&gt;V20:V20-V1-M12&lt;/hiero&gt;
|
|
|160 + 320 + 640 = 1.120
|
|}

Nota: El signo {{bien}} indica las cifras intermedias que se han de sumar para obtener el resultado final: se desecha la primera línea (A = '''X''' = 80) y se detiene la operación en B = 8, ya que la siguiente cifra (16) es mayor que '''Y''' (14). 

La matemática hierática del [[Imperio Medio]] mantuvo esta forma de multiplicación jeroglífica que era un sistema lento, pero seguro: al escriba le bastaba saber duplicar las cifras para hacer sus cálculos; por eso no necesitaron crear tablas de multiplicar, como luego se hizo en [[Mesopotamia]].

{{VT|Multiplicación por duplicación}}

== División ==
La división se efectuaba por el procedimiento inverso de la multiplicación: Se marcan los números de la columna '''B''' cuya suma es el dividendo, y sumando los correspondientes de la columna '''A''' se halla el cociente. Así: 
{| cellpadding=5
|colspan=5 |'''Para dividir 168 entre 8''' 
|-
|colspan=2 | &lt;u&gt;Números egipcios&lt;/u&gt; 
|colspan=1 |
|colspan=2 | &lt;u&gt;Números actuales&lt;/u&gt;
|-
|'''A'''
|'''B'''
||&lt;small&gt;cifras a sumar&lt;/small&gt;
|'''A'''
|'''B'''
|-
|&lt;hiero&gt;Z1&lt;/hiero&gt;
|&lt;hiero&gt;Z1*Z1*Z1*Z1:Z1*Z1*Z1*Z1&lt;/hiero&gt; 
| {{bien}}
|1
|8
|- 
|&lt;hiero&gt;Z1*Z1&lt;/hiero&gt; 
|&lt;hiero&gt;Z1*Z1*Z1:Z1*Z1*Z1-V20&lt;/hiero&gt;
|
|2
|16
|- 
|&lt;hiero&gt;Z1*Z1*Z1*Z1&lt;/hiero&gt; 
|&lt;hiero&gt;Z1*Z1-V20*V20:V20&lt;/hiero&gt;
| {{bien}} 
|4
|32
|- 
|&lt;hiero&gt;Z1*Z1*Z1*Z1:Z1*Z1*Z1*Z1&lt;/hiero&gt; 
|&lt;hiero&gt;Z1*Z1:Z1*Z1-V20*V20*V20:V20*V20*V20&lt;/hiero&gt; 
|
|8
|64
|-
|&lt;hiero&gt;V20-Z1*Z1*Z1:Z1*Z1*Z1&lt;/hiero&gt;
|&lt;hiero&gt;Z1*Z1*Z1*Z1*:Z1*Z1*Z1*Z1-V20:V20-V1&lt;/hiero&gt;
| {{bien}} 
|16
|128
|-
| &lt;u&gt;Resultado:&lt;/u&gt;
|- 
|&lt;hiero&gt;V20*V20-Z1&lt;/hiero&gt;
|
|1 + 4 + 16 = 21
|}
Notas:
* Las columnas se detienen cuando la columna '''B''' llega al número anterior al dividendo.
* El signo {{bien}} indica las cifras intermedias que se han de sumar para obtener el resultado final, aquellas que en la columna '''B''' suman 168: 128 + 32 + 8.
 
Cuando el cociente no es exacto, es necesario introducir las fracciones. 
:Así, para dividir 169 entre 8 se opera igual, pero habría que añadir '''1/8''' pues 21 = 16 + 4 + 1 '''+ 1 dividido por 8'''. Solución 21 + 1/8
::Para dividir 170 entre 8 se opera igual, pero habría que añadir '''1/8 + 1/8'''. Solución 21 + 1/8 + 1/8 etc.

== Fracciones ==

=== Fracciones en textos matemáticos ===

Los [[números racionales]] se podían también expresar, pero solamente como sumas de fracciones unitarias, es decir sumas de los inversos de los números enteros positivos, a excepción de 2/3 y de 3/4. El jeroglífico que indicaba una fracción era una boca, y significaba la &quot;parte&quot;:
::{| 
|&lt;hiero&gt;D21&lt;/hiero&gt;
|}
Las fracciones eran escritas con el signo '''r''' encima del número; en notación actual: 1 como [[numerador]], y el número escrito debajo como [[denominador]]. Así, 1/3 se representaba como: 
::{| 
|&lt;hiero&gt;D21:Z1*Z1*Z1&lt;/hiero&gt;
|&lt;math&gt;= \frac{1}{3}&lt;/math&gt;
|}

Había símbolos especiales para el 1/2 y para dos fracciones, 2/3 (usado con frecuencia) y 3/4 (utilizado algo menos): 
 
::{| 
|&lt;hiero&gt;Aa13&lt;/hiero&gt;
|&lt;math&gt;= \frac{1}{2}&lt;/math&gt;
|&lt;hiero&gt;-.-D22&lt;/hiero&gt;
|&lt;math&gt;= \frac{2}{3}&lt;/math&gt;
|&lt;hiero&gt;-.-D23&lt;/hiero&gt;
|&lt;math&gt;= \frac{3}{4}&lt;/math&gt;
|}
Si el denominador era demasiado grande, la &quot;boca&quot; era puesta al principio del &quot;denominador&quot;:
::{| 
|&lt;hiero&gt;D21:V1*V1*V1-V20*V20:V20*Z1&lt;/hiero&gt;
|&lt;math&gt;= \frac{1}{331}&lt;/math&gt;
|}

;Fracciones para medidas de capacidad
[[Archivo:Eye of Horus (fractions).svg|thumb|El [[Ojo de Horus]] ''Udyat'' contiene los signos de los primeros [[números racionales]].]]
Para las medidas agrarias de superficie y capacidad, conservaron un sistema mucho más antiguo, basado en las divisiones por dos de 1/2, fracciones representadas en el [[Ojo de Horus]] (ojo izquierdo que le fue arrancado por [[Seth]]).
Cada fracción se representaba por el jeroglífico correspondiente del ojo:
{|
|&lt;hiero&gt;D11&lt;/hiero&gt;
|&lt;math&gt;= \frac{1}{2}&lt;/math&gt;
|
|&lt;hiero&gt;-.-D12&lt;/hiero&gt;
|&lt;math&gt;= \frac{1}{4}&lt;/math&gt;
|
|&lt;hiero&gt;-.-D13&lt;/hiero&gt;
|&lt;math&gt;= \frac{1}{8}&lt;/math&gt;
|
|&lt;hiero&gt;-.-D14&lt;/hiero&gt;
|&lt;math&gt;= \frac{1}{16}&lt;/math&gt;
|
|&lt;hiero&gt;-.-D15&lt;/hiero&gt;
|&lt;math&gt;= \frac{1}{32}&lt;/math&gt;
|
|&lt;hiero&gt;-.-D16&lt;/hiero&gt;
|&lt;math&gt;= \frac{1}{64}&lt;/math&gt;
|}

Por ejemplo:
::{|
|&lt;hiero&gt;M34&lt;/hiero&gt;
|&lt;hiero&gt;N33:Z2ss&lt;/hiero&gt; 
|&lt;hiero&gt;S38&lt;/hiero&gt;
|&lt;hiero&gt;X7:X1&lt;/hiero&gt;
|&lt;hiero&gt;U9&lt;/hiero&gt;
|&lt;hiero&gt;Z1&lt;/hiero&gt;
|&lt;hiero&gt;D12&lt;/hiero&gt;
|&lt;hiero&gt;D13&lt;/hiero&gt;
|&lt;hiero&gt;D15&lt;/hiero&gt;
|}
Significa 1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 (45/32 = 1'40625) [[heqat]] de cebada.

=== Fracciones agrarias ===

Utilizaban un tercer sistema de notación para medir los campos: 

::{|
|&lt;hiero&gt;D43&lt;/hiero&gt;
|&lt;math&gt;= \frac{1}{2}&lt;/math&gt;  
|
| de ''setat'',
|
|&lt;hiero&gt;Z9&lt;/hiero&gt;
|&lt;math&gt;= \frac{1}{4}&lt;/math&gt;  
|
| de ''setat'',
|
|&lt;hiero&gt;G39&lt;/hiero&gt;
|&lt;math&gt;= \frac{1}{8}&lt;/math&gt;
|
|de ''setat'',
|
| etc.
|}

Por ejemplo:
::{|
|&lt;hiero&gt;O34:X1*X1&lt;/hiero&gt;
|&lt;hiero&gt;Z9&lt;/hiero&gt; 
|&lt;hiero&gt;G39&lt;/hiero&gt;
|}
Significa: 1/4 + 1/8 (3/8 = 0'375) de arada.

{{VT|Fracción egipcia}}

== Repartos proporcionales ==

Debido al sistema económico y social, donde todo trabajador estaba a cargo del faraón o los templos, y en el cual en todo comercio o trabajo se operaba por trueque, los egipcios adquirieron una gran maestría en el manejo de fracciones.

Al escriba correspondía llevar a cabo una gran contabilidad material, tanto el registro de la producción (suministro de simientes, herramientas, materias primas y recogida de cosechas), como para el reparto de los bienes de consumo (alimentos, vestidos,) entre los miembros de las comunidades agrícolas o artesanas. Esto explica la importancia de los problemas de reparto y de la fidelidad al sistema de fracciones.

Por ejemplo, en el problema nº 4 del Papiro de Rhind:&lt;br /&gt;
''Dividir 7 panes entre 10 hombres''.&lt;br /&gt;
''Tienes que multiplicar 2/3 + 1/30 por 10. Resultado, 7.''
{| cellpadding=5
|colspan=5 | 
|-
|colspan=2 |  
|-
|1
|&lt;math&gt;\frac{2}{3}&lt;/math&gt; + &lt;math&gt; \frac{1}{30}&lt;/math&gt;
|-
|2 '''(*)''' 
|&lt;math&gt;1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt; \frac{1}{3}&lt;/math&gt; + &lt;math&gt;\frac{1}{15}&lt;/math&gt;
|- 
|4
|&lt;math&gt;2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{2}{3}&lt;/math&gt; + &lt;math&gt; \frac{1}{10}&lt;/math&gt; + &lt;math&gt;\frac{1}{30}&lt;/math&gt;
|- 
|8 '''(&lt;big&gt;*&lt;/big&gt;)''' 
|&lt;math&gt;5\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt; \frac{1}{2}&lt;/math&gt; + &lt;math&gt;\frac{1}{10}&lt;/math&gt;
|-
|''Total: 7 panes; está bien.''
|}

==Geometría==
* El volumen del tronco de pirámide se basa en la fórmula &lt;math&gt;  \frac{h}{3} \times(a_1^2 + a_1 a_2 + a_2^2) &lt;/math&gt;
* La ecuación numérica, anticipo del teorema de Pitágoras, &lt;math&gt;3^2 + 4^2 = 5^2 &lt;/math&gt;, es posible invención de la matemática de los antiguos egipcios.
* Dan una aproximación para &lt;math&gt;\frac{\pi}{4} &lt;/math&gt; mediante &lt;math&gt; (\frac{8}{9})^2 &lt;/math&gt;, tal vez obtenida de una transformación  aproximada del octante en un triángulo rectángulo isósceles. &lt;ref&gt;Hofmann. Op. cit.&lt;/ref&gt;

== Noción de calidad ==

 
Es evidente que a los egipcios les interesaba sólo el aspecto práctico de la ciencia. Esto explica por qué, especialmente en los cálculos de repartimiento, los escribas tuvieran en cuenta, además del número de partes, la calidad de la mercancía. Este concepto se llamaba ''pesú'', que significa literalmente ''valor de cocina'', e indica el número de unidades que se puede obtener de una fanega: si el ''pesú'' de un pan es 12, significa que ese pan tiene 1/12 de fanega; el ''pesú'' de una jarra de cerveza (otro elemento fundamental en la alimentación) significa el número de jarras obtenidas de una fanega de grano. Cuanto más bajo sea el número del ''pesú'', más fuerte es la cerveza, o más grande o compacto el pan.

Este elemento de cálculo es fundamental para remunerar los servicios, por lo cual interviene en numerosos problemas.

Por ejemplo:&lt;br /&gt;
«''Tres 1/2 fanegas de harina se transforman en 80 panes. Dime cuánta harina tiene cada pan y cuál es su pesú.''»&lt;br /&gt;
«''Si te dicen: He aquí 100 panes de fuerza (pesú) 10, que hay que cambiar por panes de fuerza (pesú) 15. ¿Cuánto darás a cambio?''» (Da cómo respuesta que 100 panes de 10 equivalen a 150 de 15). 

Hay que observar que el valor ''pesú'' variaba en proporciones apreciables, y que los escribas a veces tenían que entregar líquidos por sólidos o viceversa.


=== Bibliografía ===

* {{cita libro
| autor = Arnaldez, Roger y otros
| título = Las antiguas ciencias del Oriente.
| año = 1988
| editorial = Barcelona: Ediciones Orbis S.A.
| isbn = 84-402-0159-1
}}

== Enlaces externos ==


https://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/egipto/egipt.htm

https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_Egipto</text>
      <sha1>0mh3cuiumdn1t4ogkxdm8qe9208b3pj</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Matemáticas/Historia/Babilonia</title>
    <ns>0</ns>
    <id>54777</id>
    <revision>
      <id>428982</id>
      <parentid>421522</parentid>
      <timestamp>2026-07-26T16:07:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
      <origin>428982</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="25462" sha1="a3kq00uxq9t4li03pze7zodkxqie60e" xml:space="preserve">{{AutoCat}}

[[Archivo:Ybc7289-bw.jpg|thumb|Tablilla de barro babilónica ''YBC 7289'' con anotaciones. La diagonal muestra una aproximación de la [[raíz cuadrada de 2]] en cuatro cifras sexagesimales, que son como seis cifras [[Sistema de numeración decimal|decimales]].&lt;br /&gt;1 + 24/60 + 51/60&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 10/60&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1.41421296...]]

La '''matemática babilónica''' (también conocida como '''matemática asirio-babilónica''')&lt;ref&gt;H. Lewy: «Studies in assyro-babylonian mathematics and metrology», en ''Orientalia'' (NS) 18, 40-67; págs.&amp;nbsp;137-170, 1951.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Lewy, H. (1951 «Studies in assyro-babylonian mathematics and metrology», en ''Orientalia'' (NS) 20, págs.&amp;nbsp;1-12.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;E. M. Bruins: «La classification des nombres dans les mathématiques babyloniennes», en ''Revue d'Assyriologie'', 47, págs.&amp;nbsp;185-188, 1953.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Cazalas: «Le calcul de la table mathématique AO 6456», en ''Revue d'Assyriologie'' 29, págs. 183-188, 1932.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;S. Langdon: «Assyriological notes: mathematical observations on the Scheil-Esagila tablet», en ''Revue d'Assyriologie'' 15, págs.&amp;nbsp;110-112, 1918.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;E. Robson: «Guaranteed genuine originals: the Plimpton Collection and the early history of mathematical assyriology», en ''Mining the archives: Festschrift for Chrisopher Walker on the occasion of his 60th birthday'' (ed. C. Wunsch). ISLET, Dresden, págs.&amp;nbsp;245-292, 2002.&lt;/ref&gt;
se refiere al conjunto de conocimientos matemáticos que desarrollaron los pueblos de [[Mesopotamia]], desde la temprana civilización [[sumeria]] hasta la caída de [[Babilonia (ciudad)|Babilonia]] en el [[siglo VI a. C.|539&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.]] Los textos de matemática babilónica son abundantes y están bien editados;&lt;ref name=&quot;Aaboe, Asger&quot;&gt;Asger AABOE: «The culture of Babylonia: babylonian mathematics, astrology, and astronomy»,
en [[John Boardman]], I.&amp;nbsp;E.&amp;nbsp;S.&amp;nbsp;Edwards, [[N. G. L. Hammond|N.&amp;nbsp;G.&amp;nbsp;L.&amp;nbsp;Hammond]], E.&amp;nbsp;Sollberger y C.&amp;nbsp;B.&amp;nbsp;F.&amp;nbsp;Walker (eds.):
''The assyrian and babylonian empires and other states of the Near East, from the eighth to the sixth centuries B.&amp;nbsp;C.''
Cambridge University Press, 1991.&lt;/ref&gt; se pueden clasificar en dos períodos temporales: el referido a la [[Imperio paleobabilónico|Antigua Babilonia]] (1830-1531&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.) y el correspondiente al [[Imperio seléucida|seléucida]] de los últimos tres o cuatro siglos&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C. En cuanto al contenido, hay apenas diferencias entre los dos grupos de textos. La matemática babilónica permaneció constante, en carácter y contenido, por aproximadamente dos milenios.&lt;ref name=&quot;Aaboe, Asger&quot;/&gt;
En contraste con las escasas fuentes de [[Matemáticas en el Antiguo Egipto|matemática egipcia]], nuestro conocimiento de la matemática [[Babilonia (región)|babilónica]] se deriva de unas 400&amp;nbsp;tablillas de arcilla, desenterradas  desde 1850. Trazadas  en [[escritura cuneiforme]], las tablillas se grababan mientras la arcilla estaba húmeda, y luego eran endurecidas en un horno o calentándolas al sol. La mayoría de las tablillas de arcilla recuperadas datan del [[siglo XIX a. C.|1800]] al [[siglo XVII a. C.|1600&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.]], y abarcan temas que incluyen [[número fraccionario|fracciones]], problemas de [[álgebra]], [[ecuación de segundo grado|ecuaciones cuadráticas]] y [[ecuación de tercer grado|cúbicas]] y  tríos de enteros en aplicación del esbozo del [[teorema de Pitágoras]], demostrado aún en Grecia tiempo después.&lt;ref&gt;Bell: ''Historia de las matemáticas''&lt;/ref&gt; La tablilla babilónica ''YBC 7289'' da una aproximación de &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; con cinco decimales de exactitud.

== Numerales babilónicos ==
{{ap|Numeración babilónica}}

El sistema de numeración babilónico era el [[sistema de numeración]] [[Sistema sexagesimal|sexagesimal]] (base-60). De aquí se deriva el uso moderno de 60&amp;nbsp;segundos en un minuto, 60&amp;nbsp;minutos en una hora, 360&amp;nbsp;grados en un círculo. Los babilonios fueron capaces de realizar grandes avances en matemáticas por dos razones: en primer lugar, el número&amp;nbsp;60 es un [[número compuesto]], con muchos divisores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, lo cual facilita los cálculos con [[Número fraccionario|fracciones]]; adicionalmente, a diferencia de egipcios y romanos, los babilonios, indios y mayas poseían un verdadero sistema de [[notación posicional]], en donde los dígitos escritos en la columna de la izquierda representan valores mayores (tal y como en nuestro sistema de base diez: 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1). Los sumerios y babilonios fueron pioneros a este respecto.

El sistema sexagesimal de numeración se ha establecido, posiblemente, de la fusión de otros dos antiguos: uno estrictamente decimal (semítico) de signos para monedas, pesos y medidas y otro, duodecimal. En textos astronómicos hay compulsa entre números positivos y números negativos; todas la parejas de factorización igual a  60 o de sus potencias son recogidas en tablillas. &lt;ref&gt; Hofmann. «Historia de la matemática»&lt;/ref&gt;.

== Matemática sumeria (3000 a 2300&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.) ==

Los antiguos [[Sumeria|sumerios]] de [[Mesopotamia]] desarrollaron un complejo sistema de [[metrología]] desde el año 3000&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C. A partir del año 2600&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C. en adelante, los sumerios escribieron [[tablas de multiplicar]] en tablillas de arcilla y realizaron ejercicios [[Matemáticas/Geometría|geométricos]] y problemas de [[división (matemática)|división]]. Las trazas más antiguas de los numerales babilónicos se remontan también a este período.&lt;ref&gt;Duncan J. Melville: [http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/chronology.html «Third millennium chronology»], en ''Third millennium mathematics''. [[St. Lawrence University]], 2003.&lt;/ref&gt;

== Matemática en la Antigua Babilonia (2000-1600&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.) ==

El período de la [[Imperio paleobabilónico|Antigua Babilonia]] es el período al cual pertenecen la mayoría de las tablillas de arcilla, que es por lo que la matemática de Mesopotamia es comúnmente conocida como matemática babilónica. Algunas tablillas de arcilla contienen listas y tablas, otras contienen problemas y soluciones desarrolladas.

== Diversas ramas y otros temas ==

===Aritmética===

Los babilonios hicieron uso extensivo de tablas precalculadas para asistirse en la [[aritmética]]. Por ejemplo, dos tablillas encontradas en Senkerah en el [[Éufrates]] en 1854, datadas del 200&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C., dan listas con los números [[Cuadrado perfecto|cuadrados perfectos]] hasta el 59 y con los [[Cubo (aritmética)|números cúbicos]] hasta el 32. Los babilonios usaban las listas de los cuadrados junto a las fórmulas

:&lt;math&gt;m \times n = \frac{(m + n)^2 - m^2 - n^2}{2}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;p \times q = \frac{(p + q)^2 - (p - q)^2}{4}&lt;/math&gt;

para efectuar la multiplicación.

Los babilonios no tenían un algoritmo para la [[división larga]], en su lugar basaban su método en el hecho de que

:&lt;math&gt;\frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}&lt;/math&gt;

junto con una tabla de [[Inverso multiplicativo|recíprocos]]. Números cuyos únicos [[factor primo|factores primos]] son 2, 3 o 5 (conocidos como números [[número liso|5-liso]] o [[número regular|regulares]]) tienen finitos [[Inverso multiplicativo|recíprocos]] en notación sexagesimal, y se han hallado tablas con extensas listas de estos recíprocos.

Recíprocos tales como 1/7, 1/11, 1/13, etc. no tienen representación finita en notación sexagesimal. Para calcular 1/13 o para dividir un número por 13 los babilonios utilizarían un aproximación tal como
:&lt;math&gt;\frac{1}{13} = \frac{7}{91} = 7 \times \frac {1}{91} \approx 7 \times \frac{1}{90}=7 \times \frac{40}{3600}.&lt;/math&gt;

* Raíces cuadradas no exactas fueron aproximadas por el empleo sencillo y reiterado de la media arimético-geométrica &lt;math&gt; \sqrt{\alpha^2 + \beta}&lt;/math&gt;,la que,  en la práctica, se obtenía por &lt;math&gt;\alpha +\frac{\beta}{2 \alpha} &lt;/math&gt;. &lt;ref&gt;Hofmann. «Historia de la matemática» Limusa Noriega Editores, México, D.F. (2003)&lt;/ref&gt;
* Para los quebrados propios &lt;math&gt;  \frac{1}{2},  \frac{1}{3},  \frac{2}{3},  \frac{5}{6} &lt;/math&gt; hubo nombres propios y signos específicos. &lt;ref&gt;Hofmann. Op. cit.&lt;/ref&gt;

* Posibles descubridores del enunciado del ''teorema de Pitágoras'', en sus aplicaciones, conociendo dos elementos de la terna pitagórica, hallaron el tercero mediante una raíz cuadrada, la cual inventaron y aproximaban usando  media aritmética ( versión análoga al método de Newton que usa derivadas)&lt;ref&gt;Boyer &quot;Historia de la matemática&quot;&lt;/ref&gt;

=== Álgebra ===

Así como en cálculo aritmético, los matemáticos babilonios también desarrollaron métodos [[Álgebra elemental|algebraicos]] para resolver [[Ecuación|ecuaciones]]. Una vez más, estos se basaban en tablas precalculadas.

Para resolver una [[Ecuación de segundo grado|ecuación cuadrática]], los babilonios usaban esencialmente la [[Ecuación de segundo grado#Solución general de la ecuación de segundo grado|fórmula cuadrática]]. Consideraban ecuaciones cuadráticas de la forma

:&lt;math&gt;\ x^2 + bx = c&lt;/math&gt;

donde aquí ''b'' y ''c'' no eran necesariamente enteros, pero ''c'' siempre era positivo. Sabían que una solución a esta forma de la ecuación es

:&lt;math&gt;x = - \frac{b}{2} + \sqrt{\left (\frac{b}{2} \right)^2 + c}&lt;/math&gt;

y utilizarían las tablas de cuadrados en reversa para encontrar raíces cuadradas. Siempre utilizaban la raíz positiva pues esto tenía sentido al resolver problemas «reales». Problemas de este tipo incluía encontrar las dimensiones de un rectángulo dada su área y la cantidad por la cual el largo excedía el ancho.

Tablas de valores de ''n''&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''n''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; eran usadas para resolver ciertas [[Ecuación de tercer grado|ecuaciones cúbicas]]. Por ejemplo, dada la ecuación

:&lt;math&gt;\ ax^3 + bx^2 = c&lt;/math&gt;

multiplicando la ecuación por ''a''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; y dividiendo por ''b''&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; se obtiene

:&lt;math&gt;\left (\frac{ax}{b} \right)^3 + \left (\frac {ax}{b} \right)^2 = \frac {ca^2}{b^3}&lt;/math&gt;;

substituyendo ''y'' = ''ax''/''b'' se obtiene

:&lt;math&gt;y^3 + y^2 = \frac {ca^2}{b^3}&lt;/math&gt;

lo cual se puede resolver buscando en la tabla ''n''&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''n''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; el valor más cercano al lado derecho. Los babilonios realizaban esto sin notación algebraica, demostrando una remarcable profundidad de entendimiento. No obstante, no poseían un método para resolver la ecuación general de tercer grado.

=== Modelos de crecimiento ===

Los babilonios modelaban el crecimiento exponencial, el crecimiento restringido (vía una forma de [[Función sigmoide|funciones sigmoides]]) y el [[tiempo doble]], esto último dentro del contexto de interés sobre préstamos.

Las tablillas de barro del 2000&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C. incluyen el ejercicio «dada una tasa de interés de 1/60 por mes (no compuesta), calcular el tiempo doble». Esto da un interés anual de 12/60=20%, y un tiempo doble de 100% crecimiento/20% crecimiento por año&amp;nbsp;= 5&amp;nbsp;años.&lt;ref name=&quot;hudson&quot;&gt;Michael Hudson: [http://web.archive.org/web/http://michael-hudson.com/2007/08/why-the-%E2%80%9Cmiracle-of-compound-interest%E2%80%9D-leads-to-financial-crises/ «Why the “miracle of compound interest” leads to financial crises»], 2007.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;John H. Webb: [http://plus.maths.org/issue11/features/compound/ «Have we caught your interest?»]&lt;/ref&gt;

=== Plimpton 322 ===

La tablilla ''[[Plimpton 322]]'' describe un método para resolver lo que hoy en día se describe como [[Ecuación de segundo grado|funciones cuadráticas]] de la forma

::&lt;math&gt;x-\tfrac1x=c&lt;/math&gt;,

por pasos (descritos en términos geométricos) con los que se calculan secuencias de valores intermedios ''v''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = ''c''/2, ''v''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = ''v''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, ''v''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; = 1 + ''v''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; y ''v''&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; = ''v''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;1/2&lt;/sup&gt;, de donde se puede calcular ''x'' = ''v''&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; + ''v''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; y 1/''x'' = ''v''&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; - ''v''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.
Las investigaciones de Robson (2001, 2002), publicadas por la ''Mathematical Association of America'',&lt;ref name=Math&gt;Véase el artículo [[:en:Mathematical Association of America|«Mathematical Association of America»]] (en inglés) en la Wikipedia en inglés.&lt;/ref&gt; nota que Plimpton&amp;nbsp;322 puede interpretarse como los valores siguientes, para valores numéricos regulares de ''x'' y ''1/x'' en orden numérico:

::''v''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; en la primera columna,
::''v''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = (''x'' - 1/''x'')/2 en la segunda columna y
::''v''&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; = (''x'' + 1/''x'')/2 en la tercera columna.

En esta interpretación, ''x'' y ''1/x'' habrían aparecido en la tablilla en la parte desprendida, a la izquierda de la primera columna. Por ejemplo, fila 11 de Plimpton&amp;nbsp;322 puede ser generada de esta forma para ''x'' = 2.

Robson señala que ''Plimpton 322'' revela «métodos [matemáticos] ―[[Números primos gemelos|pares]] [[Inverso multiplicativo|recíprocos]], geometría de copiar-y-pegar, [[completar el cuadrado]], [[división (matemática)|dividir]] por [[factorización|factores comunes]] [[número regular|regulares]]― [las cuales] eran todas técnicas simples enseñadas en las escuelas de [[escriba]]s» de ese tiempo.&lt;ref&gt;Robson, ''[[American Mathematical Monthly]],'' págs.&amp;nbsp;117-118, 2002.&lt;/ref&gt;

La tabla había sido interpretada por matemáticos expertos como una lista de [[Terna pitagórica|triples pitagóricos]] y funciones trigonométricas; en 2002 la ''Mathematical Association of America''&lt;ref name=Math/&gt; publicó la investigación de Robson y (en 2003) lo premió con el [[Lester R. Ford Award]] por la interpretación moderna rechazando los errores previos.

=== Geometría ===

Los babilonios conocían las reglas usuales para medir volúmenes y áreas. Medían la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro y el área como un doceavo del cuadrado de la circunferencia, lo cual es correcto para una estimación de ''[[Número π|π]]'' a 3. El volumen de un cilindro se calculaba como el producto de la base por la altura, sin embargo, el volumen de un cono truncado o una pirámide cuadrangular se calculaban incorrectamente como el producto de la altura y la mitad de la suma de las bases. El [[teorema de Pitágoras]] también les era conocido. Recientes descubrimientos indican que en una tablilla se usaba π como 3 y 1/8. De los babilonios deriva la ''milla babilónica'', una medida de distancia equivalente a siete millas actuales, aproximadamente. Esta medida de distancia se convirtió en la unidad milla-tiempo, utilizada para medir el recorrido del sol, como una representación del tiempo.&lt;ref&gt;Eves, capítulo 2.&lt;/ref&gt;

Los antiguos babilonios conocieron los teoremas sobre los lados y las razones de triángulos semejantes por muchos siglos, pero desconocían el concepto de medida angular y, consecuentemente, estudiaban los lados de los triángulos en su lugar.&lt;ref&gt;Boyer: «Greek trigonometry and mensuration» (págs.&amp;nbsp;158-159), 1991.&lt;/ref&gt;

Los [[astronomía babilónica|astrónomos babilonios]] mantuvieron un registro detallado de las salidas y las puestas de las [[estrellas]], el movimiento de los [[planetas]], los [[eclipses]] solares y lunares; todo lo cual requiere familiaridad con las distancias [[ángulo|angulares]] medidas sobre la [[esfera celeste]].&lt;ref&gt;Eli Maor: ''Trigonometric delights''. Princeton University Press, 1998. ISBN 0691095418.&lt;/ref&gt;

También utilizaron una forma de [[análisis de Fourier]] para calcular [[efemérides]] (tablas de posiciones astronómicas), que fue descubierta en los años cincuenta por [[Otto Neugebauer]].&lt;ref&gt;Elena Prestini: [http://books.google.com/books?id=fye--TBu4T0C&amp;pg=PA62 ''The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world''] (pág.&amp;nbsp;62). Birkhäuser, 2004. ISBN 978 0 81764125 2.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Gian-Carlo Rota; y Fabrizio Palombi: [http://books.google.com/books?id=H5smrEExNFUC&amp;pg=PA11 ''Indiscrete thoughts''] (pág.&amp;nbsp;11). Birkhäuser, 1997. ISBN 978 0 81763866 5.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Otto Neugebauer: [http://books.google.com/?id=JVhTtVA2zr8C ''The exact sciences in antiquity''.] [1957]. Dover Publications, 2.ª edición, 1969. ISBN 978-048622332-2.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Lis Brack-Bernsen y Matthias Brack: ''Analyzing shell structure from babylonian and modern times''. Physics/0310126.&lt;/ref&gt;

== Influencia ==

A partir del redescubrimiento de la civilización babilónica, se ha hecho evidente que los matemáticos y astrónomos de la [[Grecia antigua]] y del [[período helenístico]] tomaron mucho de los [[Babilonia (región)|babilonios]], particularmente [[Hiparco de Nicea]].

[[Franz Xaver Kugler]], en su libro ''Die Babylonische Mondrechnung'' (‘el cómputo lunar babilónico’, [[Friburgo de Brisgovia]], 1900) comenta lo siguiente: «Ptolomeo sostenía en su ''Almagesto'' IV.2 que Hiparco mejoró los valores de los períodos lunares por él conocidos sobre la base de «astrónomos incluso más antiguos», comparándolos con observaciones de eclipses hechas anteriormente por los caldeos, y por él mismo». Sin embargo, Kugler encuentra que los períodos que Ptolomeo le atribuye a Hiparco ya habían sido utilizados en las [[efemérides]] babilónicas, específicamente la colección de textos hoy llamada «Sistema B» (algunas veces atribuido a [[Kidinnu]]). Aparentemente Hiparco solo confirma la validez de los períodos que había aprendido de los caldeos, con sus propias observaciones.

Resulta claro que Hiparco (y después Ptolomeo) poseía una lista esencialmente completa de observaciones de eclipses efectuadas durante muchos siglos. Muy probablemente compiladas de las tablillas diarias: estas son tablillas de arcilla en las que se registran todos los eventos relevantes que los caldeos llevaron a cabo rutinariamente. Se preservan ejemplos datados del año [[siglo VII a. C.|652&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.]] al [[130|130&amp;nbsp;d.&amp;nbsp;C.]], pero posiblemente los registros lleguen hasta los días del rey babilonio [[Nabonasar]]: Ptolomeo inicia su cronología con el primer día del calendario egipcio del primer año de Nabonasar, o sea el [[26 de febrero]] del [[siglo VIII a. C.|747&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.]]

Esta materia prima por sí sola debe haber sido difícil de aprovechar, y sin duda los caldeos mismos complilaron extractos de los eclipses observados (algunas tablillas con una lista de todos los eclipses registrados durante un [[período saros]] han sido halladas). Esto les permitía reconocer la concurrencia periódica de los eventos. Utilizaban, entre otros, en Sistema B (cf. ''Almagesto'' IV.2):

* 223 [[mes sinódico|meses sinódicos]] = 239 vueltas en anomalía ([[Mes|mes anomalístico]]) = 242 vueltas en latitud ([[Mes#Mes Draconítico|mes draconítico]]). Conocido hoy como [[Saros|período saros]] es muy útil para predecir [[eclipse]]s.
* 251 meses (sinódicos) = 269 vueltas en anomalía
* 5458 meses (sinódicos) = 5923 vueltas en latitud
* 1 [[mes sinódico]] = 29;31:50:08:20 días (sexagesimal; 29.53059413… días en decimales = 29&amp;nbsp;días 12&amp;nbsp;hr. 44&amp;nbsp;min. 3⅓&amp;nbsp;s.).

Los babilonios expresaban todos los períodos en [[mes]]es sinódicos, debido posiblemente a que utilizaban un [[calendario lunisolar]]. Diversas relaciones con eventos anuales determinaban distintos valores para la duración del año.

Similarmente, diversas relaciones entre los períodos del [[planeta]] eran conocidos. Las relaciones que Ptolomeo atribuye a Hiparco en el ''Almagesto'' IX.3 ya habían sido utilizadas en predicciones halladas en tablillas babilónicas de barro.

Todo este conocimiento fue transferido a los [[griegos]] probablemente poco después de las conquistas de [[Alejandro Magno]] (331&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.). Según el filósofo clásico [[Simplicio de Cilicia|Simplicio]] (490-560), Alejandro ordenó la traducción de los archivos astronómicos históricos bajo supervisión de su historiador [[Calístenes de Olinto]] (sobrino y discípulo de [[Aristóteles]], a quien se los envió). Cabe la pena mencionar que aunque Simplicio es una fuente tardía, su relato es por demás fiable. Pasó un tiempo exilado en la corte persa [[sasánida]] y pudo haber tenido acceso a fuentes desconocidas o perdidas en el Occidente. Llama la atención que haya mencionado el título ''tèresis'' (gr. guardia) que es un nombre inusual para un trabajo histórico, pero que de hecho es una traducción adecuada del título babilónico ''massartu'', que significa ‘guardando’ pero también ‘observando’. Como quiera que haya sido, el pupilo de Aristóteles, [[Calipo de Cícico]] introdujo su ciclo de 76&amp;nbsp;años, que mejoró al [[ciclo metónico]] de 19&amp;nbsp;años existente en esa época. El primer año de su primer ciclo comienza en el solsticio de verano del [[28 de junio]] del [[años 330 a. C.|330&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.]] (según el [[calendario juliano proléptico]]), pero más tarde parece haber contado meses lunares desde el primer mes a partir de la batalla decisiva de Alejandro en [[Batalla de Gaugamela|Gaugamela]] en 331&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C. Calipo pudo haber obtenido sus datos de fuentes babilónicas y su calendario pudo haber sido anticipado por Kidinnu. También es sabido que el sacerdote babilonio [[Beroso el Caldeo|Beroso]] escribió alrededor del año [[años 280 a. C.|281&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.]] un libro en griego sobre la (más bien mitológica) historia de Babilonia, la ''Babyloníaca'', para el nuevo gobernante [[Antíoco I Sóter]]; se dice que después fundó una escuela de [[astrología]] en la isla griega de [[Cos]]. Otro candidato para haber enseñado a los griegos sobre [[astronomía]]/[[astrología]] babilónica es [[Sudinés]], quien era parte de la corte de [[Atalo I]] en el [[siglo&amp;nbsp;III&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.]]

En todo caso, la transcripción de los registros astronómicos requería de profundos conocimientos de la [[escritura cuneiforme]], el idioma y los procedimientos, por lo que parece haber sido obra de caldeos desconocidos. Ahora bien, los babilonios databan sus observaciones en su calendario lunisolar, en el cual los meses y los años tenían duraciones diversas (29 o 30 días; 12 o 13 meses respectivamente). En ese tiempo no utilizaban un calendario regular (por ejemplo basado en el [[ciclo metónico]], como hicieron más adelante), e iniciaban un nuevo mes basados en observaciones de la [[luna nueva]]. Esto hacía muy tedioso el cómputo de los intervalos de tiempo entre eventos.

Lo que pudo haber hecho Hiparco, es transformar estos registros al [[calendario egipcio]], que utiliza siempre un año fijo de 365 días (formado por 12 meses de 30 días y 5 días extra): esto facilita enormemente los cálculos de intervalos de tiempo. Ptolomeo dató todas las observaciones en este calendario; también escribe: «Todo lo que él (=Hiparco) hizo, fue compilar las observaciones planetarias y ordenarlas más adecuadamente»  (''Almagesto'' IX.2). Plinio dice (''Naturalis Historia'' II.IX(53)) sobre las predicciones de eclipses: «Después de su época (=[[Tales de Mileto]]) los cursos de ambas estrellas (=Sol y Luna) por 600 años fueron predichos por Hiparco...». Esto parece implicar que Hiparco predijo eclipses por un período de 600 años, pero teniendo en cuenta la enorma cantidad de cálculos requeridos, parece poco probable. Más bien, Hiparco habría hecho una lista de todos los eclipses desde la época de Nabonasar hasta la suya.

Otras trazas de las prácticas babilónicas en el trabajo de Hiparco son:
* primer griego conocido en dividir el círculo en 360 [[Grado sexagesimal|grados]] de 60 [[minutos de arco]];
* primer uso consistente del sistema de numeración [[Sistema sexagesimal|sexagesimal]];
* el uso de la unidad ''pechus'' (codo), de alrededor de 2° o 2½°;
* uso de un período corto de 248 días = 9 meses anomalísticos.


== Bibliografía ==
* Berriman, A. E.: ''The babylonian quadratic equation'', 1956.
* Boyer, C. B.: ''A history of mathematics''. Nueva York: Wiley, 2.ª edición revisada por Uta C. Merzbach, 1989. ISBN 0-471-09763-2. Edición en rústica, 1991. ISBN 0-471-54397-7.
* Joseph, G. G., ''The crest of the peacock''. Princeton University Press, 2000. ISBN 0-691-00659-8.
* [[David E. Joyce|Joyce, David E.]]: [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/plimpnote.html ''Plimpton 322''], 1995.
* O’Connor, J. J., y E. F. Robertson: [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.html «An overview of Babylonian mathematics»], en ''MacTutor History of Mathematics'', diciembre de 2000.
* [[Eleanor Robson|Robson, Eleanor]]: «Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of “Plimpton 322”», en ''Historia Math''. 28 (3): págs.&amp;nbsp;167-206, 2001. DOI 10.1006/hmat.2001.2317. MR 1849797.
* Robson, Eleanor: «Words and pictures: new light on “Plimpton 322”», en ''The American Mathematical Monthly''. Washington: vol. 109, n.º&amp;nbsp;2; pág.&amp;nbsp;105, febrero de 2002.
* Robson, Eleanor: ''Mathematics in Ancient Iraq: a social history''. Princeton University Press, 2008.
* [[G. J. Toomer|Toomer, G. J.]]: ''Hipparchus and babylonian astronomy'', 1981.


=Fuentes=

https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_babil%C3%B3nica

https://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/babilonia/babilon.htm

http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/MatematicaBabilonia.html</text>
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Las matemáticas de la antigua Grecia tuvieron dos corrientes: la escuela jónica y la escuela pitagórica

==Escuela Jónica==
Fue la escuela fundada por Tales de Mileto y estableció cuatro teoremas:
1. “El círculo se bisecta por su diámetro.”

2. “Los ángulos de la base de un triángulo con dos lados iguales son iguales.” (Euc.I, 5). Proclo parece dar a entender que esta afirmación fue demostrada considerando otro triángulo isósceles idéntico, dándole la vuelta y superponiéndolo al primero, una especie de demostración empírica.

3. “Los ángulos opuestos de líneas rectas que se intersectan, son iguales.” (Euc. I, 15). Tales podía haber considerado ésto como obvio, para Proclo fue Euclides el primero que dio una demostración correcta de esta afirmación.

4. “Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno son iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los triángulos son congruentes.” (Euc. VI,
==Escuela Pitagórica==

Pitagoras atribuyó los siguientes teoremas

=Fuentes=
Adaptación de

http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/revistapm/revista_impresa/numero_1/las_escuelas_jonica_y_pitagorica.pdf  

https://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/grecia/grec.htm 

https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_hel%C3%A9nica</text>
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*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Circunferencia/Definicion|Definicion]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Circunferencia/Terminología de la circunferencia|Terminología de la circunferencia]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Circunferencia/Longitud de la circunferencia|Longitud de la circunferencia]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Circunferencia/Área del círculo delimitado por una circunferencia|Área del círculo delimitado por una circunferencia]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Circunferencia/Ecuaciones de la circunferencia|Ecuaciones de la circunferencia]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Circunferencia/Propiedades geométricas|Propiedades geométricas]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Circunferencia/Ángulos en una circunferencia|Ángulos en una circunferencia]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Circunferencia/Otras propiedades|Otras propiedades]]</text>
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    <title>Matemáticas/Geometría Analítica/Hipérbola</title>
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        <username>Mazbel</username>
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**[[Matemáticas/Geometría Analítica/Hipérbola/Definicion|Definición]]
**[[Matemáticas/Geometría Analítica/Hipérbola/Ecuaciones de la hipérbola|Ecuaciones de la hipérbola]]
**[[Matemáticas/Geometría Analítica/Hipérbola/Elementos de la hipérbola|Elementos de la hipérbola]]</text>
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    <title>Matemáticas/Geometría Analítica/Elipse</title>
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[[Matemáticas/Geometría Analítica/Elipse/Definicion|Definicion]]

[[Matemáticas/Geometría Analítica/Elipse/Elementos de una elipse|Elementos de una elipse]]

[[Matemáticas/Geometría Analítica/Elipse/Dibujo de la elipse|Dibujo de la elipse]]

[[Matemáticas/Geometría Analítica/Elipse/Ecuaciones de la elipse|Ecuaciones de la elipse]]</text>
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    <title>Matemáticas/Geometría Analítica/Parábola</title>
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*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Parábola/Definición|Definición]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Parábola/Propiedades geométricas|Propiedades geométricas]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Parábola/Ecuaciones de la parábola|Ecuaciones de la parábola]]</text>
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    <title>Aritmética/Apendices/Valores Porcentuales Comunes</title>
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    <title>Trigonometría/Análisis de funciones trigonométricas</title>
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      <contributor>
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        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>Eliminación de [[Categoría:Trigonometría]] mediante [[c:Help:Cat-a-lot|Cat-a-lot]]</comment>
      <origin>429292</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7180" sha1="fwm9gvii74ch2tq4mv9srnksxaw263j" xml:space="preserve">== Función del seno ==
[[Archivo:Función Trigonométrica R100.svg|300px|derecha]]
: &lt;math&gt;
 \begin{array}{rccl}
 \sen : &amp; \R &amp; \longrightarrow &amp; \left[ -1, 1 \right] \\
 &amp; x &amp; \mapsto &amp; y = \sen(x)
 \end{array}
&lt;/math&gt;

* Función:

Dominio:
&lt;math&gt;
   x \in
   \mathbb{R}
&lt;/math&gt;

Recorrido:
&lt;math&gt;
   y \in
   [ -1 , 1 ]
&lt;/math&gt;

Período:
&lt;math&gt;
   2 \pi \; rad
&lt;/math&gt;

Continuidad:
&lt;math&gt;
   Continua \, en :
   x \in \R
&lt;/math&gt; 

Creciente en:
&lt;math&gt;
   \dots
   \cup
   \left(
      - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}
   \right)
   \cup
   \left(
      \frac{3\pi}{2} , \frac{5\pi}{2}
   \right)
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;

Decreciente en:
&lt;math&gt;
   \dots
   \cup
   \left(
      \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2}
   \right)
   \cup
   \left(
      \frac{5\pi}{2} , \frac{7\pi}{2}
   \right)
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;

Máximos:
&lt;math&gt;
   \left (
      \left (
         \frac{1}{2} + 2 \cdot k
      \right )
      \pi , 1
   \right )
   \; , \quad
   k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

Mínimos:
&lt;math&gt;
   \left (
      \left (
         \frac{3}{2} + 2 \cdot k
      \right )
   \pi , -1
   \right )
   \; , \quad
   k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

Impar:
&lt;math&gt;
   \sen(-x) = -\sen(x)
&lt;/math&gt;

Corte con el eje x:
&lt;math&gt;
   x =
   (\pi \cdot k)
   \; , \quad
   k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

Corte con el eje y:
&lt;math&gt;
   y = 0
&lt;/math&gt;

== Función del coseno ==
[[Archivo:Función Trigonométrica R010.svg|300px|derecha]]
: &lt;math&gt;
 \begin{array}{rccl}
 \cos : &amp; \R &amp; \longrightarrow &amp; \left[-1, 1 \right] \\
 &amp; x &amp; \mapsto &amp; y = \cos(x)
 \end{array}
&lt;/math&gt;

* Función:

Dominio:
&lt;math&gt;
   x \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;

Recorrido:
&lt;math&gt;
  y \in [-1, 1]
&lt;/math&gt;

Período:
&lt;math&gt;
   2 \pi \, rad
&lt;/math&gt;

Continuidad:
&lt;math&gt;
   Continua \; en:
   x \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; 

Creciente en:
&lt;math&gt;
   \dots
   \cup
   ( - \pi , 0 )
   \cup
   ( \pi , 2 \pi )
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt; 

Decreciente en:
&lt;math&gt;
   \dots
   \cup
   ( 0 , \pi )
   \cup
   ( 2 \pi , 3 \pi )
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt; 

Máximos:
&lt;math&gt;
   ( 2 k \, \pi , 1 )
   \; , \quad
   k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt; 

Mínimos:
&lt;math&gt;
   ( (2 k +1 ) \pi , -1 )
   \; , \quad
   k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt; 

Par:
&lt;math&gt;
  \cos (-x) = \cos x
&lt;/math&gt;

Corte con el eje x:
&lt;math&gt;
   x =
   \left(
      \frac{1}{2} + k
   \right)
   \pi
   \; , \quad
   k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

Corte con el eje y:
&lt;math&gt;
   y = 1
&lt;/math&gt;

== Función de la tangente ==
[[Archivo:Función Trigonométrica R001.svg|300px|derecha]]
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      \tan : &amp; \left( \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)\cdot k : \forall k \in \mathbb{N} &amp; \longrightarrow &amp; \R \\
             &amp; x  &amp; \mapsto         &amp; y = \tan(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

* Función

Dominio:
&lt;math&gt;
   x \in
   \dots
   \cup
   \left ( 
      \cfrac{-1}{2}, \cfrac{1}{2}
   \right )
   \pi
   \cup
   \left ( 
      \cfrac{1}{2}, \cfrac{3}{2}
   \right )
   \pi
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;   

Recorrido:
&lt;math&gt;
   y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;

Continuidad:
&lt;math&gt;
   x \in
   \dots
   \cup
   \left ( 
      \cfrac{-1}{2}, \cfrac{1}{2}
   \right )
   \pi
   \cup
   \left ( 
      \cfrac{1}{2}, \cfrac{3}{2}
   \right )
   \pi
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;

Período:
&lt;math&gt;
   \pi \, rad
&lt;/math&gt;

Creciente en:
&lt;math&gt;
   x \in
   \dots
   \cup
   \left ( 
      \cfrac{-1}{2}, \cfrac{1}{2}
   \right )
   \pi
   \cup
   \left ( 
      \cfrac{1}{2}, \cfrac{3}{2}
   \right )
   \pi
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;

Máximos: No tiene.

Mínimos: No tiene.

Impar:
&lt;math&gt;
   \tan (-x) = -\tan(x)
&lt;/math&gt;

Cortes con el eje x:
&lt;math&gt;
   x = k \, \pi
   \; , \quad
   k \in \Z
&lt;/math&gt;

Corte con el eje y:
&lt;math&gt;
   y = 0
&lt;/math&gt;

== Función de la cosecante ==
[[Archivo:Función Trigonométrica R200.svg|300px|derecha]]
La función de la cosecante es la inversa del seno:
: &lt;math&gt;
   \csc(x) = \cfrac{1}{sen(x)}
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      \csc : &amp; \R &amp; \longrightarrow &amp; \R \\
             &amp; x  &amp; \mapsto &amp; y = \csc(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

* Función

Dominio:
&lt;math&gt;
   x \in
   \dots
   \cup
   (0,1)
   \pi
   \cup
   (1,2)
   \pi
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;

Recorrido:
&lt;math&gt;
   (-\infty,-1] \cup [1,\infty)
&lt;/math&gt;

Período:
&lt;math&gt;
   2 \pi \; rad
&lt;/math&gt;

Continuidad:
&lt;math&gt;
   x \in
   \dots
   \cup
   (0,1) \pi
   \cup
   (1,2) \pi
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;

Creciente en:
&lt;math&gt;
   x \in
   \dots
   \cup
   \left ( 
      \cfrac{1}{2}, \cfrac{3}{2}
   \right )
   \pi
   \cup
   \left ( 
      \cfrac{5}{2}, \cfrac{7}{2}
   \right )
   \pi
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;

Decreciente en:
&lt;math&gt;
   x \in
   \dots
   \cup
   \left ( 
      \cfrac{-1}{2}, \cfrac{1}{2}
   \right )
   \pi
   \cup
   \left ( 
      \cfrac{3}{2}, \cfrac{5}{2}
   \right )
   \pi
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;

Máximos: Propiedades

Mínimos: Propiedades

Impar:
&lt;math&gt;
   \csc (-x) = -\csc (x)
&lt;/math&gt; 

Cortes con el eje x: No corta

Corte con el eje y: No corta

== Función de la secante ==
[[Archivo:Función Trigonométrica R020.svg|300px|derecha]]
La función de la secante es la inversa de coseno:
: &lt;math&gt;
   \sec(x) = \cfrac{1}{\cos(x)}
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      \sec : &amp; \R &amp; \longrightarrow &amp; \R \\
             &amp; x  &amp; \mapsto         &amp; y = \sec(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

* Función

Dominio: 
&lt;math&gt;
   x \in
   \dots
   \cup
   \left ( 
      \cfrac{-1}{2}, \cfrac{1}{2}
   \right )
   \pi
   \cup
   \left ( 
      \cfrac{1}{2}, \cfrac{3}{2}
   \right )
   \pi
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;

Recorrido:
&lt;math&gt;
   y \in
   (-\infty,-1] \cup [1,\infty)
&lt;/math&gt;

Período:
&lt;math&gt;
   2 \, \pi \; rad
&lt;/math&gt;

Continuidad:
&lt;math&gt;
   x \in
   \dots
   \cup
   \left ( 
      \cfrac{-1}{2}, \cfrac{1}{2}
   \right )
   \pi
   \cup
   \left ( 
      \cfrac{1}{2}, \cfrac{3}{2}
   \right )
   \pi
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;

Creciente en:
&lt;math&gt;
   x \in
   \dots
   \cup
   (0,1) \pi
   \cup
   (2,3) \pi
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;

Decreciente en:
&lt;math&gt;
   x \in
   \dots
   \cup
   (1,2) \pi
   \cup
   (3,4) \pi
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;

Máximos: Propiedades

Mínimos: Propiedades

Par:
&lt;math&gt;
   \sec(-x) = -\sec(x)
&lt;/math&gt;

Cortes con el eje x: No corta

Corte con el eje y:
&lt;math&gt;
   y = 1
&lt;/math&gt;

== Función de la cotangente ==
[[Archivo:Función Trigonométrica R002.svg|300px|derecha]]
La función de la cotangente es la inversa de la tangente:
: &lt;math&gt;
   \cot(x) = \cfrac{1}{\tan(x)}
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      \cot : &amp; \R &amp; \longrightarrow &amp; \R \\
             &amp; x  &amp; \mapsto         &amp; y = \cot(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

* función

Dominio:
&lt;math&gt;
   x \in
   \dots
   \cup
   (0,1) \, \pi
   \cup
   (1,2) \, \pi
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;   

Recorrido:
&lt;math&gt;
   y = \mathbb{R}
&lt;/math&gt;

Continuidad:
&lt;math&gt;
   Continua \; para: \;
   x \in
   \dots
   \cup
   (0,1) \, \pi
   \cup
   (1,2) \, \pi
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;  

Período:
&lt;math&gt;
   \pi \, rad
&lt;/math&gt;

Decreciente en:
&lt;math&gt;
   x \in
   \dots
   \cup
   (0,1) \, \pi
   \cup
   (1,2) \, \pi
   \cup
   \dots
&lt;/math&gt;

Máximos: No tiene.

Mínimos: No tiene.

Impar:
&lt;math&gt;
   \cot (-x) = - \cot(x)
&lt;/math&gt;

Cortes con el eje x:
&lt;math&gt;
   x=
   \left ( 
      \cfrac{1}{2} + k
   \right )
   \pi
   \; , \quad
   k \in \Z
&lt;/math&gt;

Corte con el eje y: no existe

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    <title>Matemáticas/Historia/Transmisión de sistema</title>
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        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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=== Transmisión del sistema indo-arábigo a Occidente ===

Varios autores del siglo XIII contribuyeron a esta difusión, destacamos a: [[Alexandre de Villedieu]] (1225), [[Johannes de Sacrobosco|Sacrobosco]] (circa 1195, o 1200-1256) y sobre todo Leonardo de Pisa (1180-1250). Este último, conocido como [[Fibonacci]], viajó por Oriente y aprendió de los árabes el sistema posicional hindú. Escribió un libro, ''El Liber abaci'', que trata en el capítulo I la numeración posicional, en los cuatro siguientes las operaciones elementales, en los capítulos VI y VII las fracciones: comunes, sexagesimales y unitarias (¡no usa los decimales, principal ventaja del sistema!), y en el capítulo XIV los radicales cuadrados y cúbicos. También contiene el problema de los conejos que da la serie: &lt;math&gt;1, 1, 2, 3, 5, 8, ... ,u_n&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;u_n=u_{n-1}+u_{n-2}&lt;/math&gt;.

No aparecen los números negativos, que tampoco consideraron los árabes, debido a la identificación de número con magnitud (¡obstáculo que duraría siglos!). A pesar de la ventaja de sus algoritmos de cálculo, se desataría por diversas causas una lucha encarnizada entre abacistas y algoristas, hasta el triunfo final de estos últimos.</text>
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    <title>Matemáticas/Geometría Analítica/Introducción</title>
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La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. 


[[Archivo:Conic Sections.svg|lang=es|thumb|Secciones cónicas.]]</text>
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    <title>Matemáticas/Geometría/Ángulos</title>
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* [[Matemáticas/Geometría/Ángulos/Definición|Definición]]
* [[Matemáticas/Geometría/Ángulos/Amplitud|Amplitud]]
* [[Matemáticas/Geometría/Ángulos/Clasificación|Clasificación]]
* [[Matemáticas/Geometría/Ángulos/Relaciones entre Ángulos|Relaciones entre Ángulos]]
* [[Matemáticas/Geometría/Ángulos/Operaciones con Ángulos|Operaciones con Ángulos]]
* [[Matemáticas/Geometría/Ángulos/Trisección del Ángulo|Trisección del Ángulo]]


&lt;noinclude&gt;{{Renglóndoble|[[Matemáticas/Geometría/Ángulos/Texto completo|'''Texto completo de este capítulo''']]|Esta página contiene todo el texto del capítulo de '''«Ángulos»'''}}</text>
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    <title>Cursos/E M T/1º Construcción - Geometría</title>
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* [[Cursos/E M T/1º Construcción - Geometría/Unidad 1|Unidad 1 - Conceptos básicos de geometría del espacio.]]
* [[Cursos/E M T/1º Construcción - Geometría/Unidad 2|Unidad 2 - Figuras en el plano.]]
* [[Cursos/E M T/1º Construcción - Geometría/Unidad 3|Unidad 3 - Trigonometría.]]
* [[Cursos/E M T/1º Construcción - Geometría/Unidad 4|Unidad 4 - Superficies y cuerpos en el espacio.]]

&lt;noinclude&gt;{{Renglóndoble|[[Cursos/E M T/1º Construcción - Geometría/Texto completo|'''Texto completo de este capítulo''']]|Esta página contiene todo el texto del capítulo de '''«1º año de Construcción - Geometría»'''}}</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Propiedades de la División</title>
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{{+Capítulo
|libro     =Aritmética
|capítulo  =Propiedades de la División
|tema1     = Introducción
|tema2     = Regla de Tres
|tema3     = Divisibilidad
|tema4     = Mínimo Común Multiplo
|tema5     = Máximo Común Divisor
|tema6     = Razón y Proporción
|tema7     = Números Primos
|tema8     = Números Compuestos
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Número</title>
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La palabra número procede del latín '''numerus''', lo cual refiere a como una cantidad puede ser expresada en función de su unidad. El número se emplea para designar una cantidad o un elemento, el cual se representa a través de un signo numérico.  En pocas palabras un número es un signo con el cual se puede expresar cierta cantidad acorde a su unidad. La matemática es la ciencia que estudia los números, así como también sus propiedades y respectivas operaciones aritméticas.

Un número, en ciencia, es una abstracción que representa una cantidad o una magnitud. En matemáticas un número puede representar una cantidad métrica o más generalmente un elemento de un sistema numérico o un número ordinal que representará una posición dentro de un orden de una serie determinada.</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Cifra</title>
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[[Archivo:Arabic Numerals.svg|thumb|300px|Los diez dígitos utilizados en la cultura occidental. Con ellos podemos representar gráficamente los números.]]
Una '''cifra''' es un [[w:Símbolo|símbolo]] o [[w:grafema|carácter gráfico]] que sirve para representar un [[w:número|número]]. Por ejemplo, los caracteres '0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8' y '9' son cifras del sistema de numeración arábigo, mientras que los caracteres 'I', 'V', 'X', 'L', 'C', 'D' y 'M' son cifras del sistema de numeración romano.

Las cifras se usan también como identificadores en: números de teléfono, numeración de carreteras; como indicadores de orden en: números de serie; como códigos ISBN, etc.

==Fuentes==
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Dígito</title>
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      <text bytes="390" sha1="9qghm3h261lpaaet334dxjnd6xv5w19" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Un dígito es un número que puede expresarse empleando un numeral o guarismo de una sola cifra.

En el sistema decimal son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Así, 157 se compone de los dígitos 1, 5 y 7. El nombre dígito proviene del latín dígitus dedo, porque los 10 dedos corresponden a los 10 dígitos en el sistema numérico común en base 10, esto es, un dígito decimal.</text>
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    <title>Matemática Discreta/Introducción</title>
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      <text bytes="851" sha1="0z6ban6sfkhdqd9ufg886nba9iy8e3n" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
La matemática discreta es un área de las matemáticas encargadas del estudio de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerables.

En oposición a las matemáticas continuas, que se encargan del estudio de conceptos como la continuidad y el cambio continuo, la matemáticas discretas estudian estructuras cuyos elementos pueden contarse uno por uno separadamente. Es decir, los procesos en matemáticas discretas son contables, como por ejemplo, los números enteros, grafos y sentencias de lógica.

Mientras que el cálculo infinitesimal está fundado en los números reales que no son numerables, la matemática discreta es la base de todo lo relacionado con los números naturales o conjuntos numerables.
Son fundamentales para la ciencia de la computación, porque sólo son computables las funciones de conjuntos numerables.</text>
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    <title>Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Unidades de longitud</title>
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      <text bytes="10687" sha1="dd4d5vmxephepawf26r3e8lc5yidv4d" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
[[Archivo:Measurement unit.jpg|thumb|right|250px|[[Regla graduada]] con dos tipos de unidades de longitud: [[centímetro]]s (arriba) y [[pulgada]]s (abajo).]] 
Una '''unidad de longitud''' es una cantidad estandarizada de [[longitud]] definida por convención. La longitud es una [[magnitud fundamental]] creada para medir la [[distancia]] entre dos [[punto (geometría)|puntos]].&lt;ref&gt;{{drae|longitud}}; {{drae|distancia}}&lt;/ref&gt; Existen diversos [[sistema de unidades|sistemas de unidades]] para esta [[magnitud física]]; los más comúnmente usados son el [[Sistema Internacional de Unidades]] y el [[sistema anglosajón de unidades]].

== Historia ==
[[Archivo:Kilometre definition.svg|thumb|left|200px|Definición antigua del [[metro]] como la diezmillonésima parte de la mitad de un meridiano terrestre.]]
Tradicionalmente, las sociedades antiguas usaban como [[sistema de referencia]] para medir la longitud las dimensiones del cuerpo humano.&lt;ref name=NASA&gt;{{cita web|url=https://standards.nasa.gov/history_metric.pdf|título=A Brief History of Measurement Systems|autor= NASA Technical Standards Program|idioma= inglés|fechaacceso= 6 de mayo de 2014|formato=pdf}}&lt;/ref&gt; Como ejemplos de esto se encontraban la [[pulgada]], definida como el ancho de un pulgar; el [[pie (unidad)|pie]], definido como la longitud de un [[pie]] humano; la [[yarda]], que equivalía a la distancia desde la punta de la nariz hasta la punta del dedo medio con el brazo extendido; la [[Braza (unidad)|braza]], que correspondía a la distancia de punta a punta entre los dedos medios con los brazos extendidos; el [[palmo]], que era la longitud de la palma de la mano; y el [[Codo (unidad de longitud)|codo]], aproximadamente el largo del antebrazo.&lt;ref name=RowletCustom&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/custom.html «The English Customary Systems».]&lt;/ref&gt;

En la [[Antigua Roma]] se definieron unidades de longitud para distancias mayores. Se definió la [[milla]] como la distancia recorrida por una [[legión romana]] al dar 2000 pasos.&lt;ref name=RowletCustom /&gt; Ocho millas equivalían a un [[Estadio (unidad de longitud)|estadio]] y una milla y media correspondía aproximadamente a una [[legua]].&lt;ref name=RowlettLeague&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictL.html «League».]&lt;/ref&gt;

Durante siglos, cada nación definió sus propias unidades de longitud; en la mayoría de los casos, dos unidades llamadas de la misma manera en diferentes países representaban longitudes diferentes. Esto indujo la necesidad de definir un patrón de longitud universal, es decir, basado en fenómenos físicos accesibles en cualquier lugar del mundo. En [[1670]], el astrónomo y religioso [[Gabriel Mouton]] propuso como patrón de medida la longitud de un [[minuto de arco]] de un [[meridiano]] de la Tierra. A partir de esta idea, en [[1790]], durante la [[Revolución Francesa]], la [[Asamblea Nacional (Revolución francesa)|Asamblea Nacional]] decidió definir una unidad de longitud como la diezmillonésima parte de la distancia del [[Polo Norte]] hasta el [[Ecuador terrestre|ecuador]], a lo largo del meridiano que pasa por [[Dunkerque]] y [[Barcelona]]. Esta unidad vino a conocerse como «[[metro]]» y estaría subdividida en partes de diez; de esta manera surgiría el [[Sistema Métrico Decimal]]. En 1960, las definiciones de las unidades del Sistema Métrico fueron revisadas y se adoptó el nombre de [[Sistema Internacional de Unidades]] para la versión moderna del mismo.&lt;ref name=NASA /&gt;

== Sistema Internacional de Unidades ==
[[Archivo:Platinum-Iridium_meter_bar.jpg|thumb|right|250px|Patrón de [[platino]] e [[iridio]] cuya longitud fue utilizada hasta 1960 como definición del [[metro]] en el [[Sistema Internacional de Unidades|SI]].]]
{{AP|metro}}
En el [[Sistema Internacional de Unidades]] la unidad fundamental de longitud es el [[metro]],&lt;ref&gt;{{cita web|título= Essentials of the SI: Base &amp; Derived Units |autor= National Institute of Standards and Tehcnology| enlaceautor=NIST| url= http://physics.nist.gov/cuu/Units/units.html |fechaacceso= 17 de agosto de 2014| idioma= inglés}}&lt;/ref&gt; definido como la [[distancia]] que recorre la luz en el vacío durante un intervalo de 1/[[Velocidad de la luz|299 792 458]] de  [[segundo]].&lt;ref name=DenigGuedj&gt;Denis Guedj, ''El metro del mundo'', Anagrama, Barcelona, 2000, ISBN 84-339-7018-6, págs. 330-331&lt;/ref&gt; El símbolo del metro es «m», sin admitir nunca plural, mayúscula o punto, al no ser una abreviatura.

=== Múltiplos y submúltiplos del metro ===
Utilizando los [[prefijos del Sistema Internacional.]] es posible definir unidades de longitud que son múltiplos o submúltiplos del metro. A continuación se enlistan los múltiplos y submúltiplos del metro, aceptados dentro del SI, junto con su símbolo y su equivalencia en metros, en [[notación científica]] y decimal.&lt;ref&gt;{{cita web| título= SI prefixes| autor= Bureau International des Poids et Mesures| url= http://www.bipm.org/en/si/prefixes.html | fechaacceso= 17 de agosto de 2014| idioma = inglés}}&lt;/ref&gt;

'''Múltiplos del metro:'''
{|
| [[yottametro]] || (Ym) || : 10&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; metros || = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 metros
|-
| [[zettametro]] || (Zm) || : 10&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt; metros || = 1 000 000 000 000 000 000 000 metros
|-
| [[exámetro]]   || (Em) || : 10&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt; metros || = 1 000 000 000 000 000 000 metros
|-
| [[petámetro]]  || (Pm) || : 10&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt; metros || = 1 000 000 000 000 000 metros
|-
| [[terámetro]]  || (Tm) || : 10&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt; metros || = 1 000 000 000 000 metros
|-
| [[gigámetro]]  || (Gm) || : 10&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt; metros  || = 1 000 000 000 metros
|-
| [[megámetro]]  || (Mm) || : 10&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; metros  || = 1 000 000 metros
|-
| [[kilómetro]]  || (km) || : 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; metros  || = 1 000 metros
|-
| [[hectómetro]] || (hm) || : 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; metros  || = 100 metros
|-
| [[decámetro]]  || (dam)|| : 10&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; metros  || = 10 metros
|}

'''Submúltiplos del metro:'''
{|
| [[decímetro]]  || (dm) || : 10&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; metros || = 0,1 metros
|-
| [[centímetro]] ||(cm)  || : 10&lt;sup&gt;-2&lt;/sup&gt; metros || = 0,01 metros
|-
| [[milímetro]]  || (mm) || : 10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt; metros || = 0,001 metros
|-
| [[micrómetro (unidad de longitud)|micrómetro]] || (µm) || : 10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 001 metros
|-
| [[nanómetro]] || (nm) || : 10&lt;sup&gt;-9&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 001 metros
|-
| [[picómetro]] || (pm) || : 10&lt;sup&gt;-12&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 000 001 metros
|-
| [[femtómetro]]|| (fm) || : 10&lt;sup&gt;-15&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 000 000 001 metros
|-
| [[attómetro]] || (am) || : 10&lt;sup&gt;-18&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 000 000 000 001 metros
|-
| [[zeptómetro]]|| (zm) || : 10&lt;sup&gt;-21&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 000 000 000 000 001 metros
|-
| [[yoctómetro]]|| (ym) || : 10&lt;sup&gt;-24&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 000 000 000 000 000 001 metros
|}

=== Múltiplos y submúltiplos no oficiales en el SI ===
Existen algunos múltiplos y submúltiplos del metro que no forman parte oficialmente del Sistema Internacional de Unidades. Estos son:

*[[ångström]] (Å), equivalente a  10&lt;sup&gt;-10&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;m o 100&amp;nbsp;pm es utilizado en [[espectroscopia]] para medir la [[longitud de onda]] de los [[rayos X]].&lt;ref&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictA.html «Ångström»]&lt;/ref&gt;
*[[miriámetro]] (mam), equivalente a 10&amp;nbsp;000&amp;nbsp;m o 10&amp;nbsp;km, considerada ahora obsoleta en el sistema métrico.&lt;ref&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictM.html «Myriameter»]&lt;/ref&gt;
*[[micra]], nombre común obsoleto para el micrómetro (µm).&lt;ref&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictM.html «micron (µ)»]&lt;/ref&gt;
*[[Femtómetro|fermi]], equivalente a 1&amp;nbsp;fm, utilizado antes de la definición de los prefijos del SI.&lt;ref&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictX.html «fermi (fm or f)»]&lt;/ref&gt;
*[[unidad X]], utilizada para la medición de la longitud de onda de rayos X y [[rayos gamma]]. Equivale aproximadamente a 100&amp;nbsp;fm.&lt;ref&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictX.html «X unit (Xu)»]&lt;/ref&gt;

== Sistema inglés de medidas ==
{| class=&quot;wikitable&quot; border=&quot;1&quot; cellpadding=&quot;2&quot; cellspacing=&quot;0&quot; 
|-
| '''1 [[legua]]''' || 3 millas || 24 furlong
| 240 cadenas || 960 rods
| 5280 yardas || 15 840 pies || 190 080 pulgadas
| 1,9008x10&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt; miles || 4,828032 [[kilómetro|km]] 
|-
|'''1 [[milla]]''' || 8 furlongs || 80 cadenas
| 320 rods || 1 760 yardas || 5 280 pies
| 63 360 pulgadas || 6,336x10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; miles || 1,609344 km 
|-
| '''1 [[furlong]]''' (estadio)|| 10 cadenas || 40 rods
| 220 yardas || 660 pies
| 7 920 pulgadas || 7,92x10&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; miles || 201,168 [[metro|m]] 
|-
| '''1 [[cadena (unidad de longitud)|cadena]]'''
| 4 rods || 22 yardas || 66 pies || 792 pulgadas || 792 000 miles || 20,1168 m 
|-
| '''1 [[rod (unidad de longitud)|rod]]''' (vara)|| 5.5 yardas || 16,5 pies
| 198 pulgadas || 198 000 miles || 5,0292 m 
|-
| '''1 [[yarda]]''' || 3 pies || 36 pulgadas
| 36 000 miles || 0,9144 m 
|-
| '''1 [[pie (unidad)|pie]]''' || 12 pulgadas
| 12 000 miles || 30,48 [[centímetro|cm]] 
|-
| '''1 [[pulgada]]'''
| 1 000 miles || 2,54 cm 
|-
| '''1 [[mil (unidad de longitud)|mil]]''' ||0,0254 [[milímetro|mm]]
|}

== Sistema náutico ==
{| class=&quot;wikitable&quot; border=&quot;1&quot; cellpadding=&quot;3&quot; cellspacing=&quot;0&quot;
|-
| '''1 [[grado de latitud]]''' || 20 leguas náuticas
| 60 millas náuticas || 607,5 cables || 60 750 fathoms
| 121 500 yardas || 364 500 pies || 111,0996 km
|-
| '''1 [[legua|legua náutica]]''' || 3 millas náuticas
| 30,375 cables || 3 037,5 fathoms || 6 075 yardas
| 18 225 pies || 5 558 metros
|-
| '''1 [[milla náutica]]''' || 10 cables
| 1 012,6859 fathoms || 2 025,372 yardas || 6 076,115 pies || 1 852 metros
|-
| '''1 [[cable (unidad de longitud)|cable]]'''
| 100 fathoms || 200 yardas || 600 pies || 182,88 metros
|-
| '''1 [[braza (unidad)|fathom]]''' (brazas inglesas)|| 2 yardas || 6 pies || 1,8288 metros
|-
| '''1 [[yarda]]''' || 3 pies
|}

== Unidades astronómicas ==
* [[unidad astronómica]] (UA) = 1,495979·10&lt;sup&gt;11&lt;/sup&gt; m
* [[año luz]] (ly) = 9,46052840488·10&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt; m
* [[pársec]] (pc) = 3,08568·10&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; m

== Referencias ==
{{listaref}}

=== Bibliografía ===
* Rowlet, Russ (febrero de 2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/ «How Many? A Dictionary of Units of Measurement»], University of North Carolina at Chapel Hill. Consultado el 17 de agosto de 2014 (en inglés).

== Véase también ==
* [[Unidades de longitud históricas]]
* [[Unidad de medida]]
* [[Metrología]]

== Enlaces externos ==
{{Wikcionario|longitud}}

[[Categoría:Unidades de longitud| ]]</text>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Mazbel trasladó la página [[Unidades de longitud]] a [[Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Unidades de longitud]] sin dejar una redirección: Título mal escrito</comment>
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[[Archivo:Measurement unit.jpg|thumb|right|250px|[[Regla graduada]] con dos tipos de unidades de longitud: [[centímetro]]s (arriba) y [[pulgada]]s (abajo).]] 
Una '''unidad de longitud''' es una cantidad estandarizada de [[longitud]] definida por convención. La longitud es una [[magnitud fundamental]] creada para medir la [[distancia]] entre dos [[punto (geometría)|puntos]].&lt;ref&gt;{{drae|longitud}}; {{drae|distancia}}&lt;/ref&gt; Existen diversos [[sistema de unidades|sistemas de unidades]] para esta [[magnitud física]]; los más comúnmente usados son el [[Sistema Internacional de Unidades]] y el [[sistema anglosajón de unidades]].

== Historia ==
[[Archivo:Kilometre definition.svg|thumb|left|200px|Definición antigua del [[metro]] como la diezmillonésima parte de la mitad de un meridiano terrestre.]]
Tradicionalmente, las sociedades antiguas usaban como [[sistema de referencia]] para medir la longitud las dimensiones del cuerpo humano.&lt;ref name=NASA&gt;{{cita web|url=https://standards.nasa.gov/history_metric.pdf|título=A Brief History of Measurement Systems|autor= NASA Technical Standards Program|idioma= inglés|fechaacceso= 6 de mayo de 2014|formato=pdf}}&lt;/ref&gt; Como ejemplos de esto se encontraban la [[pulgada]], definida como el ancho de un pulgar; el [[pie (unidad)|pie]], definido como la longitud de un [[pie]] humano; la [[yarda]], que equivalía a la distancia desde la punta de la nariz hasta la punta del dedo medio con el brazo extendido; la [[Braza (unidad)|braza]], que correspondía a la distancia de punta a punta entre los dedos medios con los brazos extendidos; el [[palmo]], que era la longitud de la palma de la mano; y el [[Codo (unidad de longitud)|codo]], aproximadamente el largo del antebrazo.&lt;ref name=RowletCustom&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/custom.html «The English Customary Systems».]&lt;/ref&gt;

En la [[Antigua Roma]] se definieron unidades de longitud para distancias mayores. Se definió la [[milla]] como la distancia recorrida por una [[legión romana]] al dar 2000 pasos.&lt;ref name=RowletCustom /&gt; Ocho millas equivalían a un [[Estadio (unidad de longitud)|estadio]] y una milla y media correspondía aproximadamente a una [[legua]].&lt;ref name=RowlettLeague&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictL.html «League».]&lt;/ref&gt;

Durante siglos, cada nación definió sus propias unidades de longitud; en la mayoría de los casos, dos unidades llamadas de la misma manera en diferentes países representaban longitudes diferentes. Esto indujo la necesidad de definir un patrón de longitud universal, es decir, basado en fenómenos físicos accesibles en cualquier lugar del mundo. En [[1670]], el astrónomo y religioso [[Gabriel Mouton]] propuso como patrón de medida la longitud de un [[minuto de arco]] de un [[meridiano]] de la Tierra. A partir de esta idea, en [[1790]], durante la [[Revolución Francesa]], la [[Asamblea Nacional (Revolución francesa)|Asamblea Nacional]] decidió definir una unidad de longitud como la diezmillonésima parte de la distancia del [[Polo Norte]] hasta el [[Ecuador terrestre|ecuador]], a lo largo del meridiano que pasa por [[Dunkerque]] y [[Barcelona]]. Esta unidad vino a conocerse como «[[metro]]» y estaría subdividida en partes de diez; de esta manera surgiría el [[Sistema Métrico Decimal]]. En 1960, las definiciones de las unidades del Sistema Métrico fueron revisadas y se adoptó el nombre de [[Sistema Internacional de Unidades]] para la versión moderna del mismo.&lt;ref name=NASA /&gt;

== Sistema Internacional de Unidades ==
[[Archivo:Platinum-Iridium_meter_bar.jpg|thumb|right|250px|Patrón de [[platino]] e [[iridio]] cuya longitud fue utilizada hasta 1960 como definición del [[metro]] en el [[Sistema Internacional de Unidades|SI]].]]
{{AP|metro}}
En el [[Sistema Internacional de Unidades]] la unidad fundamental de longitud es el [[metro]],&lt;ref&gt;{{cita web|título= Essentials of the SI: Base &amp; Derived Units |autor= National Institute of Standards and Tehcnology| enlaceautor=NIST| url= http://physics.nist.gov/cuu/Units/units.html |fechaacceso= 17 de agosto de 2014| idioma= inglés}}&lt;/ref&gt; definido como la [[distancia]] que recorre la luz en el vacío durante un intervalo de 1/[[Velocidad de la luz|299 792 458]] de  [[segundo]].&lt;ref name=DenigGuedj&gt;Denis Guedj, ''El metro del mundo'', Anagrama, Barcelona, 2000, ISBN 84-339-7018-6, págs. 330-331&lt;/ref&gt; El símbolo del metro es «m», sin admitir nunca plural, mayúscula o punto, al no ser una abreviatura.

=== Múltiplos y submúltiplos del metro ===
Utilizando los [[prefijos del Sistema Internacional.]] es posible definir unidades de longitud que son múltiplos o submúltiplos del metro. A continuación se enlistan los múltiplos y submúltiplos del metro, aceptados dentro del SI, junto con su símbolo y su equivalencia en metros, en [[notación científica]] y decimal.&lt;ref&gt;{{cita web| título= SI prefixes| autor= Bureau International des Poids et Mesures| url= http://www.bipm.org/en/si/prefixes.html | fechaacceso= 17 de agosto de 2014| idioma = inglés}}&lt;/ref&gt;

'''Múltiplos del metro:'''
{|
| [[yottametro]] || (Ym) || : 10&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; metros || = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 metros
|-
| [[zettametro]] || (Zm) || : 10&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt; metros || = 1 000 000 000 000 000 000 000 metros
|-
| [[exámetro]]   || (Em) || : 10&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt; metros || = 1 000 000 000 000 000 000 metros
|-
| [[petámetro]]  || (Pm) || : 10&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt; metros || = 1 000 000 000 000 000 metros
|-
| [[terámetro]]  || (Tm) || : 10&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt; metros || = 1 000 000 000 000 metros
|-
| [[gigámetro]]  || (Gm) || : 10&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt; metros  || = 1 000 000 000 metros
|-
| [[megámetro]]  || (Mm) || : 10&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; metros  || = 1 000 000 metros
|-
| [[kilómetro]]  || (km) || : 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; metros  || = 1 000 metros
|-
| [[hectómetro]] || (hm) || : 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; metros  || = 100 metros
|-
| [[decámetro]]  || (dam)|| : 10&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; metros  || = 10 metros
|}

'''Submúltiplos del metro:'''
{|
| [[decímetro]]  || (dm) || : 10&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; metros || = 0,1 metros
|-
| [[centímetro]] ||(cm)  || : 10&lt;sup&gt;-2&lt;/sup&gt; metros || = 0,01 metros
|-
| [[milímetro]]  || (mm) || : 10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt; metros || = 0,001 metros
|-
| [[micrómetro (unidad de longitud)|micrómetro]] || (µm) || : 10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 001 metros
|-
| [[nanómetro]] || (nm) || : 10&lt;sup&gt;-9&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 001 metros
|-
| [[picómetro]] || (pm) || : 10&lt;sup&gt;-12&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 000 001 metros
|-
| [[femtómetro]]|| (fm) || : 10&lt;sup&gt;-15&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 000 000 001 metros
|-
| [[attómetro]] || (am) || : 10&lt;sup&gt;-18&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 000 000 000 001 metros
|-
| [[zeptómetro]]|| (zm) || : 10&lt;sup&gt;-21&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 000 000 000 000 001 metros
|-
| [[yoctómetro]]|| (ym) || : 10&lt;sup&gt;-24&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 000 000 000 000 000 001 metros
|}

=== Múltiplos y submúltiplos no oficiales en el SI ===
Existen algunos múltiplos y submúltiplos del metro que no forman parte oficialmente del Sistema Internacional de Unidades. Estos son:

*[[ångström]] (Å), equivalente a  10&lt;sup&gt;-10&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;m o 100&amp;nbsp;pm es utilizado en [[espectroscopia]] para medir la [[longitud de onda]] de los [[rayos X]].&lt;ref&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictA.html «Ångström»]&lt;/ref&gt;
*[[miriámetro]] (mam), equivalente a 10&amp;nbsp;000&amp;nbsp;m o 10&amp;nbsp;km, considerada ahora obsoleta en el sistema métrico.&lt;ref&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictM.html «Myriameter»]&lt;/ref&gt;
*[[micra]], nombre común obsoleto para el micrómetro (µm).&lt;ref&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictM.html «micron (µ)»]&lt;/ref&gt;
*[[Femtómetro|fermi]], equivalente a 1&amp;nbsp;fm, utilizado antes de la definición de los prefijos del SI.&lt;ref&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictX.html «fermi (fm or f)»]&lt;/ref&gt;
*[[unidad X]], utilizada para la medición de la longitud de onda de rayos X y [[rayos gamma]]. Equivale aproximadamente a 100&amp;nbsp;fm.&lt;ref&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictX.html «X unit (Xu)»]&lt;/ref&gt;

== Sistema inglés de medidas ==
{| class=&quot;wikitable&quot; border=&quot;1&quot; cellpadding=&quot;2&quot; cellspacing=&quot;0&quot; 
|-
| '''1 [[legua]]''' || 3 millas || 24 furlong
| 240 cadenas || 960 rods
| 5280 yardas || 15 840 pies || 190 080 pulgadas
| 1,9008x10&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt; miles || 4,828032 [[kilómetro|km]] 
|-
|'''1 [[milla]]''' || 8 furlongs || 80 cadenas
| 320 rods || 1 760 yardas || 5 280 pies
| 63 360 pulgadas || 6,336x10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; miles || 1,609344 km 
|-
| '''1 [[furlong]]''' (estadio)|| 10 cadenas || 40 rods
| 220 yardas || 660 pies
| 7 920 pulgadas || 7,92x10&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; miles || 201,168 [[metro|m]] 
|-
| '''1 [[cadena (unidad de longitud)|cadena]]'''
| 4 rods || 22 yardas || 66 pies || 792 pulgadas || 792 000 miles || 20,1168 m 
|-
| '''1 [[rod (unidad de longitud)|rod]]''' (vara)|| 5.5 yardas || 16,5 pies
| 198 pulgadas || 198 000 miles || 5,0292 m 
|-
| '''1 [[yarda]]''' || 3 pies || 36 pulgadas
| 36 000 miles || 0,9144 m 
|-
| '''1 [[pie (unidad)|pie]]''' || 12 pulgadas
| 12 000 miles || 30,48 [[centímetro|cm]] 
|-
| '''1 [[pulgada]]'''
| 1 000 miles || 2,54 cm 
|-
| '''1 [[mil (unidad de longitud)|mil]]''' ||0,0254 [[milímetro|mm]]
|}

== Sistema náutico ==
{| class=&quot;wikitable&quot; border=&quot;1&quot; cellpadding=&quot;3&quot; cellspacing=&quot;0&quot;
|-
| '''1 [[grado de latitud]]''' || 20 leguas náuticas
| 60 millas náuticas || 607,5 cables || 60 750 fathoms
| 121 500 yardas || 364 500 pies || 111,0996 km
|-
| '''1 [[legua|legua náutica]]''' || 3 millas náuticas
| 30,375 cables || 3 037,5 fathoms || 6 075 yardas
| 18 225 pies || 5 558 metros
|-
| '''1 [[milla náutica]]''' || 10 cables
| 1 012,6859 fathoms || 2 025,372 yardas || 6 076,115 pies || 1 852 metros
|-
| '''1 [[cable (unidad de longitud)|cable]]'''
| 100 fathoms || 200 yardas || 600 pies || 182,88 metros
|-
| '''1 [[braza (unidad)|fathom]]''' (brazas inglesas)|| 2 yardas || 6 pies || 1,8288 metros
|-
| '''1 [[yarda]]''' || 3 pies
|}

== Unidades astronómicas ==
* [[unidad astronómica]] (UA) = 1,495979·10&lt;sup&gt;11&lt;/sup&gt; m
* [[año luz]] (ly) = 9,46052840488·10&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt; m
* [[pársec]] (pc) = 3,08568·10&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; m

== Referencias ==
{{listaref}}

=== Bibliografía ===
* Rowlet, Russ (febrero de 2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/ «How Many? A Dictionary of Units of Measurement»], University of North Carolina at Chapel Hill. Consultado el 17 de agosto de 2014 (en inglés).

== Véase también ==
* [[Unidades de longitud históricas]]
* [[Unidad de medida]]
* [[Metrología]]

== Enlaces externos ==
{{Wikcionario|longitud}}

[[Categoría:Unidades de longitud| ]]</text>
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[[Archivo:Measurement unit.jpg|thumb|right|250px|[[Regla graduada]] con dos tipos de unidades de longitud: [[centímetro]]s (arriba) y [[pulgada]]s (abajo).]] 
Una '''unidad de longitud''' es una cantidad estandarizada de [[longitud]] definida por convención. La longitud es una [[magnitud fundamental]] creada para medir la [[distancia]] entre dos [[punto (geometría)|puntos]].&lt;ref&gt;{{drae|longitud}}; {{drae|distancia}}&lt;/ref&gt; Existen diversos [[sistema de unidades|sistemas de unidades]] para esta [[magnitud física]]; los más comúnmente usados son el [[Sistema Internacional de Unidades]] y el [[sistema anglosajón de unidades]].

== Historia ==
[[Archivo:Kilometre definition.svg|thumb|left|200px|Definición antigua del [[metro]] como la diezmillonésima parte de la mitad de un meridiano terrestre.]]
Tradicionalmente, las sociedades antiguas usaban como [[sistema de referencia]] para medir la longitud las dimensiones del cuerpo humano.&lt;ref name=NASA&gt;{{cita web|url=https://standards.nasa.gov/history_metric.pdf|título=A Brief History of Measurement Systems|autor= NASA Technical Standards Program|idioma= inglés|fechaacceso= 6 de mayo de 2014|formato=pdf}}&lt;/ref&gt; Como ejemplos de esto se encontraban la [[pulgada]], definida como el ancho de un pulgar; el [[pie (unidad)|pie]], definido como la longitud de un [[pie]] humano; la [[yarda]], que equivalía a la distancia desde la punta de la nariz hasta la punta del dedo medio con el brazo extendido; la [[Braza (unidad)|braza]], que correspondía a la distancia de punta a punta entre los dedos medios con los brazos extendidos; el [[palmo]], que era la longitud de la palma de la mano; y el [[Codo (unidad de longitud)|codo]], aproximadamente el largo del antebrazo.&lt;ref name=RowletCustom&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/custom.html «The English Customary Systems».]&lt;/ref&gt;

En la [[Antigua Roma]] se definieron unidades de longitud para distancias mayores. Se definió la [[milla]] como la distancia recorrida por una [[legión romana]] al dar 2000 pasos.&lt;ref name=RowletCustom /&gt; Ocho millas equivalían a un [[Estadio (unidad de longitud)|estadio]] y una milla y media correspondía aproximadamente a una [[legua]].&lt;ref name=RowlettLeague&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictL.html «League».]&lt;/ref&gt;

Durante siglos, cada nación definió sus propias unidades de longitud; en la mayoría de los casos, dos unidades llamadas de la misma manera en diferentes países representaban longitudes diferentes. Esto indujo la necesidad de definir un patrón de longitud universal, es decir, basado en fenómenos físicos accesibles en cualquier lugar del mundo. En [[1670]], el astrónomo y religioso [[Gabriel Mouton]] propuso como patrón de medida la longitud de un [[minuto de arco]] de un [[meridiano]] de la Tierra. A partir de esta idea, en [[1790]], durante la [[Revolución Francesa]], la [[Asamblea Nacional (Revolución francesa)|Asamblea Nacional]] decidió definir una unidad de longitud como la diezmillonésima parte de la distancia del [[Polo Norte]] hasta el [[Ecuador terrestre|ecuador]], a lo largo del meridiano que pasa por [[Dunkerque]] y [[Barcelona]]. Esta unidad vino a conocerse como «[[metro]]» y estaría subdividida en partes de diez; de esta manera surgiría el [[Sistema Métrico Decimal]]. En 1960, las definiciones de las unidades del Sistema Métrico fueron revisadas y se adoptó el nombre de [[Sistema Internacional de Unidades]] para la versión moderna del mismo.&lt;ref name=NASA /&gt;

== Sistema Internacional de Unidades ==
[[Archivo:Platinum-Iridium_meter_bar.jpg|thumb|right|250px|Patrón de [[platino]] e [[iridio]] cuya longitud fue utilizada hasta 1960 como definición del [[metro]] en el [[Sistema Internacional de Unidades|SI]].]]
{{AP|metro}}
En el [[Sistema Internacional de Unidades]] la unidad fundamental de longitud es el [[metro]],&lt;ref&gt;{{cita web|título= Essentials of the SI: Base &amp; Derived Units |autor= National Institute of Standards and Tehcnology| enlaceautor=NIST| url= http://physics.nist.gov/cuu/Units/units.html |fechaacceso= 17 de agosto de 2014| idioma= inglés}}&lt;/ref&gt; definido como la [[distancia]] que recorre la luz en el vacío durante un intervalo de 1/[[Velocidad de la luz|299 792 458]] de  [[segundo]].&lt;ref name=DenigGuedj&gt;Denis Guedj, ''El metro del mundo'', Anagrama, Barcelona, 2000, ISBN 84-339-7018-6, págs. 330-331&lt;/ref&gt; El símbolo del metro es «m», sin admitir nunca plural, mayúscula o punto, al no ser una abreviatura.

=== Múltiplos y submúltiplos del metro ===
Utilizando los [[prefijos del Sistema Internacional.]] es posible definir unidades de longitud que son múltiplos o submúltiplos del metro. A continuación se enlistan los múltiplos y submúltiplos del metro, aceptados dentro del SI, junto con su símbolo y su equivalencia en metros, en [[notación científica]] y decimal.&lt;ref&gt;{{cita web| título= SI prefixes| autor= Bureau International des Poids et Mesures| url= http://www.bipm.org/en/si/prefixes.html | fechaacceso= 17 de agosto de 2014| idioma = inglés}}&lt;/ref&gt;

'''Múltiplos del metro:'''
{|
| [[yottametro]] || (Ym) || : 10&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; metros || = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 metros
|-
| [[zettametro]] || (Zm) || : 10&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt; metros || = 1 000 000 000 000 000 000 000 metros
|-
| [[exámetro]]   || (Em) || : 10&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt; metros || = 1 000 000 000 000 000 000 metros
|-
| [[petámetro]]  || (Pm) || : 10&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt; metros || = 1 000 000 000 000 000 metros
|-
| [[terámetro]]  || (Tm) || : 10&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt; metros || = 1 000 000 000 000 metros
|-
| [[gigámetro]]  || (Gm) || : 10&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt; metros  || = 1 000 000 000 metros
|-
| [[megámetro]]  || (Mm) || : 10&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; metros  || = 1 000 000 metros
|-
| [[kilómetro]]  || (km) || : 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; metros  || = 1 000 metros
|-
| [[hectómetro]] || (hm) || : 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; metros  || = 100 metros
|-
| [[decámetro]]  || (dam)|| : 10&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; metros  || = 10 metros
|}

'''Submúltiplos del metro:'''
{|
| [[decímetro]]  || (dm) || : 10&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; metros || = 0,1 metros
|-
| [[centímetro]] ||(cm)  || : 10&lt;sup&gt;-2&lt;/sup&gt; metros || = 0,01 metros
|-
| [[milímetro]]  || (mm) || : 10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt; metros || = 0,001 metros
|-
| [[micrómetro (unidad de longitud)|micrómetro]] || (µm) || : 10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 001 metros
|-
| [[nanómetro]] || (nm) || : 10&lt;sup&gt;-9&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 001 metros
|-
| [[picómetro]] || (pm) || : 10&lt;sup&gt;-12&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 000 001 metros
|-
| [[femtómetro]]|| (fm) || : 10&lt;sup&gt;-15&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 000 000 001 metros
|-
| [[attómetro]] || (am) || : 10&lt;sup&gt;-18&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 000 000 000 001 metros
|-
| [[zeptómetro]]|| (zm) || : 10&lt;sup&gt;-21&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 000 000 000 000 001 metros
|-
| [[yoctómetro]]|| (ym) || : 10&lt;sup&gt;-24&lt;/sup&gt; metros || = 0,000 000 000 000 000 000 000 001 metros
|}

=== Múltiplos y submúltiplos no oficiales en el SI ===
Existen algunos múltiplos y submúltiplos del metro que no forman parte oficialmente del Sistema Internacional de Unidades. Estos son:

*[[ångström]] (Å), equivalente a  10&lt;sup&gt;-10&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;m o 100&amp;nbsp;pm es utilizado en [[espectroscopia]] para medir la [[longitud de onda]] de los [[rayos X]].&lt;ref&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictA.html «Ångström»]&lt;/ref&gt;
*[[miriámetro]] (mam), equivalente a 10&amp;nbsp;000&amp;nbsp;m o 10&amp;nbsp;km, considerada ahora obsoleta en el sistema métrico.&lt;ref&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictM.html «Myriameter»]&lt;/ref&gt;
*[[micra]], nombre común obsoleto para el micrómetro (µm).&lt;ref&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictM.html «micron (µ)»]&lt;/ref&gt;
*[[Femtómetro|fermi]], equivalente a 1&amp;nbsp;fm, utilizado antes de la definición de los prefijos del SI.&lt;ref&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictX.html «fermi (fm or f)»]&lt;/ref&gt;
*[[unidad X]], utilizada para la medición de la longitud de onda de rayos X y [[rayos gamma]]. Equivale aproximadamente a 100&amp;nbsp;fm.&lt;ref&gt;Rowlett (2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictX.html «X unit (Xu)»]&lt;/ref&gt;

== Sistema inglés de medidas ==
{| class=&quot;wikitable&quot; border=&quot;1&quot; cellpadding=&quot;2&quot; cellspacing=&quot;0&quot; 
|-
| '''1 [[legua]]''' || 3 millas || 24 furlong
| 240 cadenas || 960 rods
| 5280 yardas || 15 840 pies || 190 080 pulgadas
| 1,9008x10&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt; miles || 4,828032 [[kilómetro|km]] 
|-
|'''1 [[milla]]''' || 8 furlongs || 80 cadenas
| 320 rods || 1 760 yardas || 5 280 pies
| 63 360 pulgadas || 6,336x10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; miles || 1,609344 km 
|-
| '''1 [[furlong]]''' (estadio)|| 10 cadenas || 40 rods
| 220 yardas || 660 pies
| 7 920 pulgadas || 7,92x10&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; miles || 201,168 [[metro|m]] 
|-
| '''1 [[cadena (unidad de longitud)|cadena]]'''
| 4 rods || 22 yardas || 66 pies || 792 pulgadas || 792 000 miles || 20,1168 m 
|-
| '''1 [[rod (unidad de longitud)|rod]]''' (vara)|| 5.5 yardas || 16,5 pies
| 198 pulgadas || 198 000 miles || 5,0292 m 
|-
| '''1 [[yarda]]''' || 3 pies || 36 pulgadas
| 36 000 miles || 0,9144 m 
|-
| '''1 [[pie (unidad)|pie]]''' || 12 pulgadas
| 12 000 miles || 30,48 [[centímetro|cm]] 
|-
| '''1 [[pulgada]]'''
| 1 000 miles || 2,54 cm 
|-
| '''1 [[mil (unidad de longitud)|mil]]''' ||0,0254 [[milímetro|mm]]
|}

== Sistema náutico ==
{| class=&quot;wikitable&quot; border=&quot;1&quot; cellpadding=&quot;3&quot; cellspacing=&quot;0&quot;
|-
| '''1 [[grado de latitud]]''' || 20 leguas náuticas
| 60 millas náuticas || 607,5 cables || 60 750 fathoms
| 121 500 yardas || 364 500 pies || 111,0996 km
|-
| '''1 [[legua|legua náutica]]''' || 3 millas náuticas
| 30,375 cables || 3 037,5 fathoms || 6 075 yardas
| 18 225 pies || 5 558 metros
|-
| '''1 [[milla náutica]]''' || 10 cables
| 1 012,6859 fathoms || 2 025,372 yardas || 6 076,115 pies || 1 852 metros
|-
| '''1 [[cable (unidad de longitud)|cable]]'''
| 100 fathoms || 200 yardas || 600 pies || 182,88 metros
|-
| '''1 [[braza (unidad)|fathom]]''' (brazas inglesas)|| 2 yardas || 6 pies || 1,8288 metros
|-
| '''1 [[yarda]]''' || 3 pies
|}

== Unidades astronómicas ==
* [[unidad astronómica]] (UA) = 1,495979·10&lt;sup&gt;11&lt;/sup&gt; m
* [[año luz]] (ly) = 9,46052840488·10&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt; m
* [[pársec]] (pc) = 3,08568·10&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; m

== Referencias ==
{{listaref}}

=== Bibliografía ===
* Rowlet, Russ (febrero de 2001), [http://www.unc.edu/~rowlett/units/ «How Many? A Dictionary of Units of Measurement»], University of North Carolina at Chapel Hill. Consultado el 17 de agosto de 2014 (en inglés).

== Véase también ==
* [[Unidades de longitud históricas]]
* [[Unidad de medida]]
* [[Metrología]]

== Enlaces externos ==
{{Wikcionario|longitud}}</text>
      <sha1>kggndilqf56b9gb92ayzg7uhnxm3x6z</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Unidades de masa</title>
    <ns>0</ns>
    <id>54880</id>
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      <id>429193</id>
      <parentid>324831</parentid>
      <timestamp>2026-07-26T16:42:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Mazbel trasladó la página [[Unidades de masa]] a [[Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Unidades de masa]]: Título mal escrito</comment>
      <origin>324831</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3484" sha1="ftrrkcnfmzx7pnunjss4pxqxcqazpdr" xml:space="preserve">La '''''masa''''' es una magnitud física que mide la cantidad de materia contenida en un cuerpo.

== Unidades del Sistema Internacional de Unidades ([[Sistema Internacional de Unidades|SI]]) ==
&lt;div style=&quot;-moz-column-count:2; column-count:2;&quot;&gt;
* [[Teragramo]] 10&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt; g (Tg)
* [[Gigagramo]] 10&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt; g (Gg)
* [[Tonelada|Megagramo o Tonelada métrica]] 10&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; g (Mg o t)
* [[Quintal|Quintal métrico]] 10&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; g (q)
* [[Miriamgramo|Miriagramo]] 10&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; g (mag)
* '''[[Kilogramo]]''' 10³ g (kg)
* [[Hectogramo]] 10² g (hg)
* [[Decagramo]] 10&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; g (dag)
* [[gramo]], 1 g (g)
* [[decigramo(ya dije gramo)|decigramo]], 10&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; g (dg)
* [[sentigramo|centigramo]], 10&lt;sup&gt;−2&lt;/sup&gt; g (cg)
* [[miligramo]], 10&lt;sup&gt;−3&lt;/sup&gt; g (mg)
* [[microgramo]], 10&lt;sup&gt;−6&lt;/sup&gt; g (µg)
* [[nanogramo]], 10&lt;sup&gt;−9&lt;/sup&gt; g (ng)
* [[picogramo]], 10&lt;sup&gt;−12&lt;/sup&gt; g (pg)
* [[femtogramo]], 10&lt;sup&gt;−15&lt;/sup&gt; g (fg)
* [[attogramo]], 10&lt;sup&gt;−18&lt;/sup&gt; g (ag)
* [[zeptogramo]], 10&lt;sup&gt;−21&lt;/sup&gt; g (zg)
* [[yoctogramo]], 10&lt;sup&gt;−24&lt;/sup&gt; g (yg)
&lt;/div&gt;

== Sistema inglés de medidas ==
&lt;div style=&quot;-moz-column-count:2; column-count:2;&quot;&gt;
'''En el Reino Unido'''

* [[tonelada|Tonelada larga o británica]]
* [[cuarto inglés (unidad de masa)|Cuarto largo o británico]]
* [[quintal|Quintal largo o británico]]
* [[stone (unidad de masa)|Stone]]
* [[libra (unidad de masa)|Libra avoirdupois]]
* [[onza (unidad de masa)|Onza avoirdupois]]
* [[dracma (unidad de masa)|Dracma avoirdupois]]
* [[grano (unidad de masa)|Grano]]

'''En los Estados Unidos'''

* [[tonelada|Tonelada corta o estadounidense]]
* [[cuarto inglés (unidad de masa)|Cuarto corto o estadounidense]]
* [[quintal|Quintal corto o estadounidense]]
* [[arroba (unidad de masa)|Arroba]]
* [[libra (unidad de masa)|Libra avoirdupois]]
* [[onza (unidad de masa)|Onza avoirdupois]]
* [[dracma (unidad de masa)|Dracma avoirdupois]]
* [[grano (unidad de masa)|Grano]]
&lt;/div&gt;

=== Equivalencias en los Estados Unidos ===
{| border=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;2&quot; cellspacing=&quot;2&quot;&gt;
|- style=&quot;background:#EFEFEF;&quot;
! &amp;nbsp; !! Cuartos !! Quintales !! Arrobas !! Libras !! Onzas !! Dracmas !! Granos
|-
| [[Tonelada|Tonelada estadounidense]] || 4 || 20 || 80 || 2.000 || 32.000 || 512.000 || 14.000.000
|-
| [[Cuarto inglés (unidad de masa)|Cuarto estadounidense]] || - || 5 || 20 || 500 || 8.000 || 128.000 || 3.500.000
|-
| [[Quintal|Quintal estadounidense]] || - || - || 4 || 100 || 1.600 || 25.600 || 700.000
|-
| [[Arroba (unidad de masa)|Arroba]] || - || - || - || 25 || 400 || 6.400 || 175.000
|-
| [[Libra (unidad de masa)|Libra avoirdupois]] || - || - || - || - || 16 || 256 || 7.000
|-
| [[Onza (unidad de masa)|Onza avoirdupois]] || - || - || - || - || - || 16 || 437,5
|-
| [[Dracma (unidad de masa)|Dracma avoirdupois]] || - || - || - || - || - || - || 27,34375
|}

== Unidades de joyería ==
* [[Quilate]] (troy): 4 gramos métricos
* [[Grano métrico]]: 50 [[miligramo|mg]]

=== Unidades de joyería (anglosajonas) ===
{| border=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;2&quot; cellspacing=&quot;2&quot;
|- style=&quot;background:#EFEFEF;&quot;
! &amp;nbsp; !! Onzas troy !! Dracmas troy !! Pennyweight !! Granos
|-
| [[Libra (unidad de masa)|Libra troy]] || 12 || 96 || 240 || 5.760
|-
| [[Onza (unidad de masa)|Onza troy]] || - || 8 || 20 || 480
|-
| [[Dracma (unidad de masa)|Dracma troy]] || - || - || 2,5 || 60
|-
| [[Pennyweight]] || - || - || - || 24
|}

* [[Quilate]] (de [[orfebrería]]) = 4,167&amp;nbsp;% de pureza de metal precioso.</text>
      <sha1>ftrrkcnfmzx7pnunjss4pxqxcqazpdr</sha1>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
      <origin>429195</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3496" sha1="dkydnblpxpeqxmof1nk77vu86o75jty" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
La '''''masa''''' es una magnitud física que mide la cantidad de materia contenida en un cuerpo.

== Unidades del Sistema Internacional de Unidades ([[Sistema Internacional de Unidades|SI]]) ==
&lt;div style=&quot;-moz-column-count:2; column-count:2;&quot;&gt;
* [[Teragramo]] 10&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt; g (Tg)
* [[Gigagramo]] 10&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt; g (Gg)
* [[Tonelada|Megagramo o Tonelada métrica]] 10&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; g (Mg o t)
* [[Quintal|Quintal métrico]] 10&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; g (q)
* [[Miriamgramo|Miriagramo]] 10&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; g (mag)
* '''[[Kilogramo]]''' 10³ g (kg)
* [[Hectogramo]] 10² g (hg)
* [[Decagramo]] 10&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; g (dag)
* [[gramo]], 1 g (g)
* [[decigramo(ya dije gramo)|decigramo]], 10&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; g (dg)
* [[sentigramo|centigramo]], 10&lt;sup&gt;−2&lt;/sup&gt; g (cg)
* [[miligramo]], 10&lt;sup&gt;−3&lt;/sup&gt; g (mg)
* [[microgramo]], 10&lt;sup&gt;−6&lt;/sup&gt; g (µg)
* [[nanogramo]], 10&lt;sup&gt;−9&lt;/sup&gt; g (ng)
* [[picogramo]], 10&lt;sup&gt;−12&lt;/sup&gt; g (pg)
* [[femtogramo]], 10&lt;sup&gt;−15&lt;/sup&gt; g (fg)
* [[attogramo]], 10&lt;sup&gt;−18&lt;/sup&gt; g (ag)
* [[zeptogramo]], 10&lt;sup&gt;−21&lt;/sup&gt; g (zg)
* [[yoctogramo]], 10&lt;sup&gt;−24&lt;/sup&gt; g (yg)
&lt;/div&gt;

== Sistema inglés de medidas ==
&lt;div style=&quot;-moz-column-count:2; column-count:2;&quot;&gt;
'''En el Reino Unido'''

* [[tonelada|Tonelada larga o británica]]
* [[cuarto inglés (unidad de masa)|Cuarto largo o británico]]
* [[quintal|Quintal largo o británico]]
* [[stone (unidad de masa)|Stone]]
* [[libra (unidad de masa)|Libra avoirdupois]]
* [[onza (unidad de masa)|Onza avoirdupois]]
* [[dracma (unidad de masa)|Dracma avoirdupois]]
* [[grano (unidad de masa)|Grano]]

'''En los Estados Unidos'''

* [[tonelada|Tonelada corta o estadounidense]]
* [[cuarto inglés (unidad de masa)|Cuarto corto o estadounidense]]
* [[quintal|Quintal corto o estadounidense]]
* [[arroba (unidad de masa)|Arroba]]
* [[libra (unidad de masa)|Libra avoirdupois]]
* [[onza (unidad de masa)|Onza avoirdupois]]
* [[dracma (unidad de masa)|Dracma avoirdupois]]
* [[grano (unidad de masa)|Grano]]
&lt;/div&gt;

=== Equivalencias en los Estados Unidos ===
{| border=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;2&quot; cellspacing=&quot;2&quot;&gt;
|- style=&quot;background:#EFEFEF;&quot;
! &amp;nbsp; !! Cuartos !! Quintales !! Arrobas !! Libras !! Onzas !! Dracmas !! Granos
|-
| [[Tonelada|Tonelada estadounidense]] || 4 || 20 || 80 || 2.000 || 32.000 || 512.000 || 14.000.000
|-
| [[Cuarto inglés (unidad de masa)|Cuarto estadounidense]] || - || 5 || 20 || 500 || 8.000 || 128.000 || 3.500.000
|-
| [[Quintal|Quintal estadounidense]] || - || - || 4 || 100 || 1.600 || 25.600 || 700.000
|-
| [[Arroba (unidad de masa)|Arroba]] || - || - || - || 25 || 400 || 6.400 || 175.000
|-
| [[Libra (unidad de masa)|Libra avoirdupois]] || - || - || - || - || 16 || 256 || 7.000
|-
| [[Onza (unidad de masa)|Onza avoirdupois]] || - || - || - || - || - || 16 || 437,5
|-
| [[Dracma (unidad de masa)|Dracma avoirdupois]] || - || - || - || - || - || - || 27,34375
|}

== Unidades de joyería ==
* [[Quilate]] (troy): 4 gramos métricos
* [[Grano métrico]]: 50 [[miligramo|mg]]

=== Unidades de joyería (anglosajonas) ===
{| border=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;2&quot; cellspacing=&quot;2&quot;
|- style=&quot;background:#EFEFEF;&quot;
! &amp;nbsp; !! Onzas troy !! Dracmas troy !! Pennyweight !! Granos
|-
| [[Libra (unidad de masa)|Libra troy]] || 12 || 96 || 240 || 5.760
|-
| [[Onza (unidad de masa)|Onza troy]] || - || 8 || 20 || 480
|-
| [[Dracma (unidad de masa)|Dracma troy]] || - || - || 2,5 || 60
|-
| [[Pennyweight]] || - || - || - || 24
|}

* [[Quilate]] (de [[orfebrería]]) = 4,167&amp;nbsp;% de pureza de metal precioso.</text>
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    <title>Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Unidades de superficie</title>
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      </contributor>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="685" sha1="lukv4oxze7n69lo5t7w9qqb2zleijhs" xml:space="preserve">La unidad fundamental para medir superficies es el metro cuadrado, que es la superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado.

kilómetro cuadrado	km2	1 000 000 m2
hectómetro cuadrado	hm2	10 000 m2
decámetro cuadrado	dam2	100 m2
metro cuadrado	m2	1 m2
decímetro cuadrado	dm2	0.01 m2
centímetro cuadrado	cm2	0.0001 m2
milímetro cuadrado	mm2	0.000001 m2
Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 100 más que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantas parejas de ceros como lugares haya entre ellas.</text>
      <sha1>lukv4oxze7n69lo5t7w9qqb2zleijhs</sha1>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="697" sha1="1phgptvmquhv840lc9ebqz25f2ovg72" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
La unidad fundamental para medir superficies es el metro cuadrado, que es la superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado.

kilómetro cuadrado	km2	1 000 000 m2
hectómetro cuadrado	hm2	10 000 m2
decámetro cuadrado	dam2	100 m2
metro cuadrado	m2	1 m2
decímetro cuadrado	dm2	0.01 m2
centímetro cuadrado	cm2	0.0001 m2
milímetro cuadrado	mm2	0.000001 m2
Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 100 más que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantas parejas de ceros como lugares haya entre ellas.</text>
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    <title>Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Unidades de capacidad</title>
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La unidad principal para medir capacidades es el litro.

kilolitro	kl	1 000 l
hectolitro	hl	100 l
decalitro	dal	10 l
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La unidad principal para medir capacidades es el litro.

kilolitro	kl	1 000 l
hectolitro	hl	100 l
decalitro	dal	10 l
litro	l	1 l
decilitro	dl	0.1 l
centilitro	cl	0.01 l
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    <title>Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Otras medidas de superficie</title>
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      <text bytes="196" sha1="9tnx3ypzphh23k2f9tvtr3rd1po7vnn" xml:space="preserve">La hectárea que equivale al hectómetro cuadrado.
1 Ha = 1 Hm2 = 10 000 m²
El área equivale al decámetro cuadrado.
1 a = 1 dam2 = 100 m²
La centiárea equivale al metro cuadrado.
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La hectárea que equivale al hectómetro cuadrado.
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El área equivale al decámetro cuadrado.
1 a = 1 dam2 = 100 m²
La centiárea equivale al metro cuadrado.
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    <title>Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Unidades de volumen</title>
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      <text bytes="753" sha1="7wct6ad5pmitq8u9lncg77zu8xjhyvz" xml:space="preserve">La medida fundamental para medir volúmenes es el metro cúbico.

kilómetro cúbico km3 1 000 000 000 m3 hectómetro cúbico hm3 1 000 000m3 decámetro cúbico dam3 1 000 m3 metro m3 1 m3 decímetro cúbico dm3 0.001 m3 centímetro cúbico cm3 0.000001 m3 milímetro cúbico mm3 0.000000001 m3 Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 1000 más que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos tríos de ceros como lugares haya entre ellas.
Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa

Capacidad Volumen Masa (de agua) 1 kl 1 m³ 1 t 1 l 1 dm3 1 kg 1 ml 1 cm³ 1 g</text>
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    <title>Aritmética/Pre-Algebra/Notación Científica</title>
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      <text bytes="25849" sha1="t628xo21svuxqrshvpvbeung1i8p46j" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
La '''notación científica''', también denominada '''patrón''' o '''notación en forma exponencial''', es una forma de  escribir los [[número]]s que acomoda valores demasiado grandes (100000000000) o pequeños (0.00000000001)&lt;ref&gt;{{cita web|url=http://www.chem.tamu.edu/class/fyp/mathrev/mr-scnot.html|título=Notación científica|autor=Chem|obra=Math Skills review|idioma=inglés|fechaacceso=31 de mayo de 2009}}&lt;/ref&gt; para ser convenientemente escrito de manera convencional.&lt;ref name=&quot;varios&quot;&gt;{{cita web|url=http://www.qfojo.net/potencia/notacao.htm|título=¿Cuál es la notación científica y cómo se puede usar?|autor=qfojo.net|obra=Potencias|idioma=portugués|fechaacceso=7 de noviembre de 2009}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;N-letra&quot;&gt;{{cita web|url=http://www.somatematica.com.br/dicionarioMatematico/n.php|título=Letra &quot;N&quot;|autor=Só matemática|obra=Dicionário de matemática|idioma=portugués|fechaacceso=29 de mayo de 2009}}&lt;/ref&gt; El uso de esta notación se basa en [[exponenciación|potencias]] de [[diez|10]]&lt;ref name=&quot;pote&quot;&gt;{{cita web|url=http://www.efeitojoule.com/2009/09/potencia-de-dez-notacao-cientifica-10.html|título=Potência de dez e Notação científica|autor=Efeito Joule|idioma=portugués|fechaacceso=7 de noviembre de 2009}}&lt;/ref&gt; (los casos ejemplificados anteriormente en notación científica, quedarían 1 × 10&lt;sup&gt;11&lt;/sup&gt; y 1 × 10&lt;sup&gt;−11&lt;/sup&gt;, respectivamente). El módulo del exponente es la cantidad de ceros que lleva el número delante, en caso de ser negativo (nótese que el cero delante de la coma también cuenta), o detrás, en caso de tratarse de un exponente positivo. Como ejemplo, en la [[química]], al referirse a la cantidad de entidades elementales ([[átomo]]s, [[molécula]]s, [[Ion|iones]], etc.), hay una cantidad llamada [[Cantidad de sustancia|cantidad de materia]] ([[mol]]).&lt;ref name=&quot;UOL&quot;&gt;{{cita web|url=http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u27.jhtm|título=Notação científica - Potência de 10 simplifica cálculos|fechaacceso=24 de febrero de 2009|autor=UOL Educação|idioma=portugués}}&lt;/ref&gt;

Un número escrito en notación científica sigue el siguiente patrón:
:&lt;math&gt;m\ \times\ 10^{e}&lt;/math&gt; 

El número ''m'' se denomina «mantisa» y ''e'' el «orden de magnitud».&lt;ref name=&quot;spiegel&quot;&gt;{{Cita libro|apellido=Spiegel|nombre=Murray R.|título=Teoría y problemas de álgebra|editor=Bookman|edición=2|publicación=2004|páginas=62|url=http://books.google.com.br/books?id=Tc8vFqSmq84C&amp;pg=PA62&amp;dq=Nota%C3%A7%C3%A3o+cient%C3%ADfica&amp;ei=w9wCS-KaOZvWNKH_wPcO#v=onepage&amp;q=Nota%C3%A7%C3%A3o%20cient%C3%ADfica&amp;f=false|fechaacceso=17 de noviembre de 2009|isbn=85-363-0340-9|idioma=portugués}}&lt;/ref&gt; La mantisa, en módulo, debe ser mayor que o igual a 1 y menor que 10, y el orden de magnitud, dada como exponente, es el número que más varía conforme al valor absoluto.&lt;ref name=&quot;infoescola&quot;&gt;{{cita web|url=http://www.infoescola.com/matematica/notacao-cientifica/|título=Notação científica|autor=Infoescola|idioma=portugués}}&lt;/ref&gt;

Observe los ejemplos de números grandes y pequeños:

* 600&amp;nbsp;000
* 30&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000
* 500&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000
* 7&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000
* 0.0004
* 0.00000001
* 0.0000000000000006
* 0.0000000000000000000000000000000000000000000000008

La representación de estos números, tal como se presenta, tiene poco significado práctico. Incluso se podría pensar que estos valores son poco relevantes y de uso casi inexistente en la vida cotidiana. Sin embargo, en áreas como la [[física]] y la [[química]], estos valores son comunes.&lt;ref name=&quot;UOL&quot; /&gt; Por ejemplo, la mayor distancia observable del [[universo]] mide cerca de  740 000 000 000 000 000 000 000 000 [[metro|m]],&lt;ref&gt;{{cita web|url=http://scienceblogs.com.br/100nexos/2008/01/nove-milhes-de-bicicletas-e-o-universo-observvel.php|título=Bicicletas e universo observável|autor=ScienceBlogs - 100nexos|fechaacceso=21 de abril de 2009|idioma=portugués}}&lt;/ref&gt; y la masa de un protón es de unos 0.00000000000000000000000000167 [[kilogramo|kg]].&lt;ref name=&quot;Uranometrianova&quot; &gt;{{cita web|url=http://www.uranometrianova.pro.br/tabelas/Gerais/fisica.htm|título=Constantes físicas|autor=Irineu Gomes Varella|fecha=2004|editorial=Uranometria Nova|obra=Tabelas e dados astronômicos|idioma=portugués|fechaacceso=21 de abril de 2009}}&lt;/ref&gt;

Para valores como estos, la notación científica es más adecuada porque presenta la ventaja de poder representar adecuadamente la cantidad de [[Cifras significativas|dígitos significativos]].&lt;ref name=&quot;infoescola&quot; /&gt;&lt;ref&gt;{{cita web|url=http://www.deltateta.com.br/2008/02/20/notacao-cientifica-e-algarismos-significativos|título=Notação científica e algarismos significativos|autor=Delta teta - física explícita|idioma=portugués|fechaacceso=22 de abril de 2009}}&lt;/ref&gt; Por ejemplo, la distancia observable del [[universo]], de modo que está escrito, sugiere una precisión de 27 dígitos significativos. Pero esto no puede ser verdad (es poco [[Probabilidad|probable]] 25 ceros seguidos en una medición).&lt;ref name=&quot;UOL&quot; /&gt;

== Tipos de notación científica ==
En la notación científica estándar, el [[exponente]] ''e'' es elegido de manera que el valor absoluto de ''m'' permanezca al menos uno pero menos de diez (1 ≤ | m | &lt;10). Por ejemplo, ''350'' se escribe como ''3.5 ⋅ 10²''. Esta forma permite una comparación simple de [[dos]] [[número]]s del mismo signo en ''m'', como el exponente e indica el número de la [[orden de magnitud|orden de grandeza]]. En notación estándar el exponente ''e'' es negativo para un número absoluto con valor entre 0 y 1 (por ejemplo, menos de la mitad es ''-5 ⋅ 10&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;''). El 10 y el exponente son generalmente omitidos cuando el exponente es 0.&lt;ref name=&quot;aula IV&quot;&gt;{{cita web|url=http://www.dimap.ufrn.br/~ivan/aulaIV.htm|título=Operações com Ponto Flutuante|autor=Universidade Federal do Rio Grande do Norte|idioma=portugués|fechaacceso=29 de mayo de 2009|idioma=portugués}}&lt;/ref&gt;

En muchas áreas, la notación científica se normaliza de esta manera, a excepción de los [[cálculo]]s intermedios, o cuando una forma no estándar, tales como la notación de ingeniería, se desea. La notación científica (normalizada) suele llamarse '''[[Exponenciación|notación exponencial]]''' - aunque este último término es más general y también se aplica cuando ''m'' no está restringido al intervalo de 1 a 10 (como en la notación  de ingeniería, por ejemplo) y para otras bases distintas de 10 (como en ''315 ⋅ 2&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;'').&lt;ref name=&quot;La notación científica presentación de PowerPoint&quot;&gt;{{cita web|url=http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/amartins/aulas/numerico/repflu.ppt|título=Notação científica|autor=Unesp|formato=ppt|idioma=portugués|fechaacceso=29 de mayo de 2009}}&lt;/ref&gt;

=== Notación E ===
Muchas [[calculadora]]s y [[programa informático|programas informáticos]] presentan en notación científica los resultados muy grandes o muy pequeños  Como los exponentes sobrescritos como 10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; no pueden ser convenientemente representados en las y por las computadoras, máquinas de escribir y en calculadoras, suele utilizarse un formato alternativo: la letra ''E'' o ''e'' representa «por diez elevado a la potencia», sustituyendo entonces el «{{nowrap| × 10&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;}}».&lt;ref name=&quot;basedez&quot;&gt;{{cita web|url=http://www.adrianodasilva.com/2009/07/notacao-cientifica.html|título=Notação científica:Potências de base 10|autor=Professor Adriano da Silva|fecha=14 de julio de 2009|formato=[[html]]|idioma=portugués|fechaacceso=20 de setiembre de 2009}}&lt;/ref&gt; El carácter ''e'' no tiene nada que ver con la [[Número e|constante matemática ''e'']] (una confusión no posible cuando se utiliza la letra mayúscula ''E''); y aunque represente un ''exponente'', la notación se refiere generalmente como ''(científica) notación E'' o ''(científica) notación E'', en vez de ''(científica) notación exponencial'' (aunque este última también puede ocurrir).&lt;ref&gt;{{cita web|url=http://www.childrens-mercy.org/stats/ask/enotation.asp|título=E notation|autor=childrens-mercy|formato=asp|idioma=inglés|fechaacceso=20 de setiembre de 2009}}&lt;/ref&gt;

==== Ejemplos ====
* En el lenguaje de programación [[Fortran|FORTRAN]] &lt;code lang=&quot;Fortran&quot;&gt;6.0221415E23&lt;/code&gt; es equivalente a [[constante de Avogadro|6.022&amp;nbsp;141&amp;nbsp;5{{e|23}}]].
* El lenguaje de programación [[ALGOL|ALGOL 60]] usa un subíndice diez en lugar de la letra E, por ejemplo {{nowrap begin}}&lt;code lang=&quot;ALGOL&quot;&gt;6.0221415&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;23&lt;/code&gt;{{nowrap end}}.&lt;ref&gt;Informe sobre la Algorithmic Language ALGOL 60, Ed. P. Naur, Copenhage 1960&lt;/ref&gt; [[ALGOL 68]] también permite E minúsculas, por ejemplo 6.0221415e23.
* El lenguaje de programación [[ALGOL 68]] tiene la opción de 4 caracteres en (eE\⏨). Ejemplos: {{nowrap begin}}&lt;code lang=&quot;ALGOL&quot;&gt;6.0221415e23&lt;/code&gt;{{nowrap end}}, {{nowrap begin}}&lt;code lang=&quot;ALGOL&quot;&gt;6.0221415E23&lt;/code&gt;{{nowrap end}},  {{nowrap begin}}&lt;code lang=&quot;ALGOL&quot;&gt;6.0221415\23&lt;/code&gt;{{nowrap end}} o {{nowrap begin}}&lt;code lang=&quot;ALGOL&quot;&gt;6.0221415⏨23&lt;/code&gt;{{nowrap end}}.&lt;ref&gt;{{cita web| título=Revised Report on the Algorithmic Language Algol 68 | url=http://www.springerlink.com/content/k902506t443683p5/ |fechaacceso=30 de abril de 2007 | año=1973 | mes=Setiembre |idioma=inglés}}&lt;/ref&gt;
* En el lenguaje de programación [[Simula]] se requiere el uso de &amp; (o &amp;&amp; para [[Doble precisión en formato de punto flotante|largos]]), por ejemplo: {{nowrap begin}}&lt;code lang=&quot;Simula&quot;&gt;6.0221415&amp;23&lt;/code&gt;{{nowrap end}} {{nowrap begin}}(o &lt;code lang=&quot;Simula&quot;&gt;6.0221415&amp;&amp;23&lt;/code&gt;){{nowrap end}}.&lt;ref&gt;{{cita web| título=SIMULA Standard As defined by the SIMULA Standards Group - 3.1 Numbers | url=http://prosjekt.ring.hibu.no/simula/Standard/chap_1.htm |fechaacceso=6 de octubre de 2009 | año=1986 | mes=Agosto |idioma=inglés}}&lt;/ref&gt;

=== Notación de ingeniería ===
La notación de ingeniería difiere de la notación científica normalizada en el cual el exponente ''e'' está restringido a [[múltiplo]]s de 3. Por consiguiente, el valor absoluto de m está en el intervalo 1 ≤ |''m''| &lt;1000, en lugar de 1 ≤ |''m''| &lt; 10.&lt;ref name=&quot;eskimo&quot;&gt;{{cita web|url=http://www.eskimo.com/~ddf/NeatTricks/Sci&amp;EngrNot.html|título=A really simple way to do Scientific and Engineering Notation, that always gives you the right answer|publicación=eskimo.com|formato=[[html]]|idioma=inglés|fechaacceso=11 de octubre de 2009|idioma=inglés}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;mecanica&quot;&gt;{{cita web|url=http://stoa.usp.br/ovenezuela/files/206/659/gea1.pdf|título=Algarismos Significativos|autor=Professor Osvaldo Venezuela|capítulo=Mecânica  MÓDULO 1 – Introdução|publicación=Mackenzie|formato=[[pdf]]|fechaacceso=11 de octubre de 2009|idioma=portugués}}&lt;/ref&gt;  Aunque sea conceptualmente similar, la notación de ingeniería rara vez se la llama notación científica.

Los números de  esta forma son fáciles de leer, utilizando los [[prefijos del SI|prefijos]] de magnitud como &lt;span style=&quot;white-space:nowrap;&quot;&gt;''[[Mega (prefijo)|mega]]'' (''m'' = 6)&lt;/span&gt;, &lt;span style=&quot;white-space:nowrap;&quot;&gt;''[[kilo]]'' (''m'' = 3)&lt;/span&gt;, &lt;span style=&quot;white-space:nowrap;&quot;&gt;''[[mili]]'' (''m'' = −3)&lt;/span&gt;, &lt;span style=&quot;white-space:nowrap;&quot;&gt;''[[micro]]'' (''m'' = −6)&lt;/span&gt; ou &lt;span style=&quot;white-space:nowrap;&quot;&gt;''[[nano]]'' (''m'' = −9)&lt;/span&gt;. Por ejemplo, 12.5×10&lt;sup&gt;−9&lt;/sup&gt; m se puede leer como «doce punto cinco nanómetros» o escrito como 12.5&amp;nbsp;nm.&lt;ref name=&quot;eskimo&quot; /&gt;&lt;ref name=&quot;engineering&quot;&gt;{{cita web|url=http://wiki.tcl.tk/17366|título=Engineering Notation|fecha=12 de diciembre de 2007|publicación=Tclers Wiki|idioma=inglés|fechaacceso=11 de octubre de 2009}}&lt;/ref&gt;

== Motivación ==
[[Archivo:Exemplo de notação científica (constante de Avogadro).svg|thumb|300px|Ejemplo de notación científica, la [[constante de Avogadro]].]]

La notación científica es una forma muy conveniente para escribir números pequeños o grandes y hacer cálculos con ellos. También transmite rápidamente dos propiedades de una medida que son útiles para los [[científico]]s, las [[cifra significativa|cifras significativas]] y [[orden de magnitud]]. Escribir en notación científica le permite a una persona eliminar ceros delante o detrás de las cifras significativas. Esto es muy útil para mediciones muy grandes o muy pequeñas en [[astronomía]] y en el estudio de [[molécula]]s.&lt;ref name=&quot;varios&quot; /&gt; Los siguientes ejemplos pueden demostrarlo.

=== Ejemplos ===
* La masa de un [[electrón]] es aproximadamente 0.000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;910&amp;nbsp;938&amp;nbsp;22&amp;nbsp;kg. En notación científica, esto se escribe 9.109&amp;nbsp;382&amp;nbsp;2{{e|-31}}&amp;nbsp;kg.&lt;ref name=&quot;Uranometrianova&quot; /&gt;
* La corteza terrestre es de alrededor de 5&amp;nbsp;973&amp;nbsp;600&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;kg. En notación científica, este valor está representado por 5.9736 x10&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; kg.&lt;ref name=&quot;massaterra&quot;&gt;{{cita web|url=http://www.if.ufrgs.br/ast/solar/portug/earth.htm#stats|título=Estatísticas da Terra|editorial=Universidade Federal do Rio Grande do Sul|fechaacceso=27 de octubre de 2009|idioma=portugués}}&lt;/ref&gt;
* La [[Tierra#Corteza|circunferencia de la Tierra]] es de aproximadamente 40&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;m. En notación científica queda 4{{e|7}} m. En notación de [[ingeniería]], es de 40 {{e|6}} m. En [[Sistema Internacional de Unidades|estilo de representación del SI]], puede ser escrita 40 {{e|6}} m. En el [[Sistema Internacional de Unidades|estilo de representación del SI]], puede ser escrita ''40 Mm'' (''40 megámetro'').&lt;ref name=&quot;achetudo&quot;&gt;{{cita web|url=http://www.achetudoeregiao.com.br/astronomia/planeta_terra_estudos.htm|título=Nosso Planeta Terra|editorial=Ache Tudo e Região|idioma=portugués|fechaacceso=27 de octubre de 2009}}&lt;/ref&gt;

=== Cifra significativa ===
Una ventaja de la notación científica es que reduce la ambigüedad del número de dígitos significativos. Todos los dígitos en notación científica estándar son significativos por convención. Pero, en notación decimal cualquier cero o una serie de ceros al lado del punto decimal  son ambiguos, y puede o no indicar números significativos (cuando ellos deben estar subrayados para hacer explícitos que ellos son ceros  significativos). En una notación decimal, los ceros al lado del punto decimal no son, necesariamente, un número significativo. Es decir, pueden estar allí solo para mostrar dónde está el punto decimal. Sin embargo, en notación científica se resuelve esta ambigüedad, porque los ceros que se muestran son considerados significativos por convención. Por ejemplo, usando la notación científica, la velocidad de la luz en unidades del SI es 2.99792458×10&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt; m/s y la eminencia es 2,54×10&lt;sup&gt;−2&lt;/sup&gt; m; ambos números son exactos, por definición, las unidades «pulgadas» por centímetro y ''m'' en términos de la velocidad de la luz.&lt;ref name=&quot;cuu-c&quot;&gt;{{Cita web |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?c |título=NIST value for the speed of light |idioma= inglés|autor= |obra= |fecha= |fechaacceso=}}&lt;/ref&gt; En estos casos, todas las cifras son significativas. Se puede adicionar un único cero o cualquier número de ceros al lado derecho para mostrar más dígitos significativos, o un único cero con una barra en la parte superior se puede agregar a mostrar infinitos dígitos significativos (así como en notación decimal).

==== Ambigüedad del último dígito en notación científica ====
Es habitual en mediciones científicas registrar todos los dígitos significativos de las mediciones, y asumir un dígito adicional, si hubiera cierta información a todos los disponibles para el observador a hacer una suposición. El número resultante es considerado más valioso del que sería sin ese dedo extra, y es considerado una cifra significativa, ya que contiene alguna información que conduce a una mayor precisión en las mediciones y  en la agregación de las mediciones (agregarlas o multiplicarlas).

A través de anotaciones adicionales, se puede transmitir información adicional sobre la exactitud. En algunos casos, puede ser útil saber que es el último algoritmo significativo. Por ejemplo, el valor aceptado de la unidad de carga elemental puede ser válidamente expresado como 1.602176487(40)×10&lt;sup&gt;−19&lt;/sup&gt; [[Coulomb|C]],&lt;ref name=&quot;cuu-e&quot;&gt;{{Cita web |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?e |título=NIST value for the elementary charge |idioma= portugués|autor= |obra= |data= |fechaacceso=28 de mayo de 2015}}&lt;/ref&gt; y cuyas cifras aparecen entre paréntesis al final del valor, indican su incertidumbre, específicamente se expresa como 0.000000040×10&lt;sup&gt;−19&lt;/sup&gt; C, y es un acceso directo a la abreviatura de (1.602176487 ± 0.000000040)×10&lt;sup&gt;−19&lt;/sup&gt; C.

=== Orden de magnitud ===
La notación científica también permite comparaciones simples entre órdenes de magnitud. La masa de un [[protón]] es 0.000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;000&amp;nbsp;001&amp;nbsp;672&amp;nbsp;6&amp;nbsp;kg. Si esto es escrito como 1.6726×10&lt;sup&gt;−27&lt;/sup&gt; kg, es más fácil comparar esta masa con del electrón, arriba.&lt;ref name=&quot;varios&quot; /&gt; El [[orden de magnitud]] de la relación entre las masas se puede obtener los exponentes, en lugar de tener que contar los ceros a la izquierda, tarea propensa a errores. En este caso, -27 es mayor que -31, y por lo tanto, el protón es de aproximadamente cuatro órdenes de magnitud (alrededor de 10&amp;nbsp;000 veces) más masivo que el electrón.&lt;ref name=&quot;atomo&quot;&gt;{{cita web|url=http://www.sindicato.com.br/contren/atomo000.htm|título=Átomo|obra=A energia nuclear - Conceitos e definições|autor=Site do Movimento Sindical|fechaacceso=7 de noviembre de 2009}}&lt;/ref&gt;

La notación científica también evita malentendidos, debido a las diferencias regionales en ciertos cuantificadores como «mil millones», lo que puede indicar tanto 10&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt; como 10&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;.

== Descripción ==
[[Archivo:COBE's View of the Milky Way - GPN-2002-000111.jpg|thumb|300px|La masa de la [[Vía Láctea]] es de 1 × 10&lt;sup&gt;41&lt;/sup&gt; [[kilogramo|kg]].&lt;ref&gt;{{cita web|url=http://astro.if.ufrgs.br/vialac/node5.htm|título=Massa da Via-Láctea|idioma=portugués|fechaacceso=22 de abril de 2009|autor=Departamento de Astronomia do Instituto de Física da [[UFRGS]]}}&lt;/ref&gt;]]

=== Notación científica estandarizada ===
La definición básica de la notación científica permite una infinidad de representaciones para cada valor. Sin embargo, la notación científica estandarizada incluye una restricción: la [[mantisa]] (coeficiente) debe ser mayor que o igual a [[uno|1]] y menor que [[Diez|10]]. De ese modo es representado de una manera única.&lt;ref&gt;https://www.docsity.com/pt/notacao-cientifica-exponenciacao-radiciacao/4702181/&lt;/ref&gt;

==== Como transformar ====
Para transformar cualquier número a la notación científica estandarizada debemos mover la coma obedeciendo al principio de equilibrio.&lt;ref name=&quot;infoescola&quot; /&gt;

Tomemos el ejemplo a continuación:
:&lt;math&gt;{253\cdot 756.42}&lt;/math&gt;

La notación científica normal requiere que la mantisa (coeficiente) es de entre 1 y 10 en valor absoluto. En esta situación, el valor apropiado sería 2,5375642 (observe que la secuencia de números es la misma, solamente cambia la posición de la coma). Para el exponente, pena el principio de equilibrio: «Cada [[número decimal|decimal]] que disminuye el valor de mantisa aumenta el exponente en una unidad, y viceversa».

En este caso, el [[exponente]] es 5.

Observe la transformación paso a paso:

&lt;math&gt;{253\cdot 756.42}&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;{25\cdot (375.642\cdot 10^{1})}&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;{2\cdot (537,5642\cdot 10^{2})}&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;{253.75642\cdot 10^{3}}&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;{25.375642\cdot 10^{4}}&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;'''&lt;math&gt;{2,5375642\cdot 10^{5}}&lt;/math&gt;'''

[[File:Boric-acid-layer-3D-balls.png|400px|thumb|direita|1 [[mol]] de [[molécula]]s tiene 6.02 × 10&lt;sup&gt;23&lt;/sup&gt; moléculas.&lt;ref&gt;{{cita web|url=http://www.fisica.net/quimica/resumo16.htm|título=Conceito de mol|autor=Física.net|fechaacceso=22 de abril de 2009}}&lt;/ref&gt;]]

Otro ejemplo, con valores por debajo de 1:

'''0.0000000475'''&lt;br /&gt;0.000000475 × 10&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;&lt;br /&gt;0.00000475 × 10&lt;sup&gt;−2&lt;/sup&gt;&lt;br /&gt;0.0000475 × 10&lt;sup&gt;−3&lt;/sup&gt;&lt;br /&gt;0.000475 × 10&lt;sup&gt;−4&lt;/sup&gt;&lt;br /&gt;0.00475 × 10&lt;sup&gt;−5&lt;/sup&gt;&lt;br /&gt;0.0475 × 10&lt;sup&gt;−6&lt;/sup&gt;&lt;br /&gt;0.475 × 10&lt;sup&gt;−7&lt;/sup&gt;&lt;br /&gt;'''4.75 × 10&lt;sup&gt;−8&lt;/sup&gt;'''

Por lo tanto, los ejemplos anteriores quedarían:
* &lt;math&gt;\mathbf{6}\ \times\ 10^{\mathbf{5}}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\mathbf{3}\ \times\ 10^{\mathbf{7}}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\mathbf{5}\ \times\ 10^{\mathbf{14}}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\mathbf{7}\ \times\ 10^{\mathbf{33}}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\mathbf{4}\ \times\ 10^{\mathbf{-4}}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\mathbf{1}\ \times\ 10^{\mathbf{-8}}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\mathbf{6}\ \times\ 10^{\mathbf{-16}}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\mathbf{8}\ \times\ 10^{\mathbf{-49}}&lt;/math&gt;

=== Uso de espacios ===
En notación científica estándar, en notación ''E'' y  la notación de [[ingeniería]], el espacio (el que, en [[tipopuesta|formato de texto]], puede ser representado por un espacio normal de ancho o por un espacio delgado), solo se permite antes y después de ''x'', en frente de ''E'' o ''e'' puede ser omitido, aunque sea menos común que lo haga antes del [[letra|carácter]] [[alfabeto|alfabético]].&lt;ref&gt;Muestras de uso de la terminología y variantes (En [[idioma inglés|inglés]]): [https://darchive.mblwhoilibrary.org/bitstream/1912/665/1/WHOI-76-59.pdf], [http://www.brookscole.com/physics_d/templates/student_resources/003026961X_serway/review/expnot.html], [http://www.brynmawr.edu/nsf/tutorial/ss/ssnot.html], [http://www.lasalle.edu/~smithsc/Astronomy/Units/sci_notation.html], [http://www.gnsphysics.com/mathreview.pdf], [http://www.ttinet.com/doc/language_v44_003.html#heading_3.2.4.2]&lt;/ref&gt;

== Operaciones matemáticas con notación científica ==
=== [[Suma|Adición]] y [[Resta|sustracción]] ===
[[Imagen:Human brain NIH.jpg|200px|direita|thumb|El cerebro humano tiene cerca de 1 × 10&lt;sup&gt;11&lt;/sup&gt; [[neurona]]s.&lt;ref name=&quot;esclerose&quot;&gt;{{cita web|url=http://esclerosemultipla.wordpress.com/2006/08/29/quantos-neuronios-tem-um-cerebro/|título=Quantos neurônios tem um cérebro?|autor=Esclerose Múltipla|fecha=29 de setiembre de 2006|idioma=portugués|fechaacceso=25 de abril de 2009}}&lt;/ref&gt;]]

Para [[suma]]r o [[resta]]r [[dos]] [[número]]s en notación científica, es necesario que los [[exponente]]s sean los mismos. Es decir, uno de los valores debe ser transformado para que su exponente sea igual al del otro. La transformación sigue el mismo principio de [[Equilibrio mecánico|equilibrio]]. El resultado probablemente no estará en forma estándar, siendo convertido posteriormente.&lt;ref name=&quot;Cálculos&quot;&gt;{{cita web|url=http://cedom.net/sgc/modules/smartsection/item.php?itemid=232|título=Notação científica|idioma=portugués|autor=CEDOM.net|fechaacceso=7 de noviembre de 2009}}&lt;/ref&gt;

Ejemplos:

&lt;math&gt;{4.2\cdot 10^{7}} + {3,5\cdot 10^{5}} = {420\cdot 10^{5}} + {3.5\cdot 10^{5}} = {423.5\cdot 10^{5}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{6.32\cdot 10^{9}} - {6.25\cdot 10^{9}} = {0.07\cdot 10^{9}}&lt;/math&gt; ''(no estándar)'' o &lt;math&gt;{7\cdot 10^{7}}&lt;/math&gt; ''(estandarizado)''

=== [[Multiplicación]] ===
Multiplicar las [[mantisa]]s y sumar los exponentes de cada valor. Probablemente, el resultado no será estándar, pero se puede convertir.&lt;ref name=&quot;Cálculos&quot; /&gt;

Ejemplo:
 
&lt;math&gt;{(6,5\cdot 10^{8})}\cdot {(3.2\cdot 10^{5})} = {(6,5\cdot 3.2)\cdot 10^{8+5}} = {20.8\cdot 10^{13}}&lt;/math&gt; ''(no estandarizado)'' &lt;math&gt;{2.08\cdot 10^{14}}&lt;/math&gt; ''(convertido a notación estándar)

&lt;math&gt;{(4\cdot 10^{6})}\cdot {(1.6\cdot 10^{-15})} = {(4\cdot 1.6\cdot 10^{6+(-15)})} = {6.4\cdot 10^{-9}}&lt;/math&gt;''(ya estandarizado sin necesidad de conversión)''

=== [[División (matemática)|División]] ===
Dividir las [[mantisa]]s y restar los exponentes de cada valor. Probablemente, el resultado no será estándar, pero se puede convertir:&lt;ref name=&quot;Cálculos&quot; /&gt;

Ejemplos:

&lt;math&gt;{(8\cdot 10^{17})} : {(2\cdot 10^{9})} = {(8/2)\cdot 10^{17-9}} = {4\cdot 10^{8}}&lt;/math&gt;''(estandarizado)''

&lt;math&gt;{(2.4\cdot 10^{-7})} : {(6.2\cdot 10^{-11})} = {(2.4 / 6.2)\cdot 10^{-7-(-11)}} = {0.3871}\cdot 10^{4}&lt;/math&gt;''(no estándar)'' &lt;math&gt;{3.871}\cdot 10^{3}&lt;/math&gt;

=== [[Exponenciación]] o Potenciación ===
La mantisa es elevada al exponente externo y el congruente de base diez se multiplica por el exponente externo.&lt;ref name=&quot;Cálculos&quot; /&gt;

&lt;math&gt;{(2\cdot 10^{6})^4} = {(2^4)\cdot 10^{6.4}} = {16}\cdot 10^{24} = 1.6\cdot 10^{25}&lt;/math&gt;''(estandarizado)''

=== [[Radicación]] ===
Antes de realizar la radicación  es necesario transformar un exponente a un múltiplo del índice. Después de que se hace esto, el resultado es la radicación de la mantisa multiplicada por diez elevado a la relación entre el exponente y el índice de radical.&lt;ref name=&quot;Cálculos&quot; /&gt;

&lt;math&gt;\sqrt{1.6\cdot 10^{27}} = \sqrt{16\cdot 10^{26}} = \sqrt{16}\cdot 10^{26/2} = 4\cdot 10^{13}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt[5]{6.7\cdot 10^{17}} = \sqrt[5]{670\cdot 10^{15}} = \sqrt[5]{670}\cdot 10^{15/5} \approx 3.674\cdot 10^{3}&lt;/math&gt;
&lt;ref name=&quot;Cálculos de notación&quot;&gt;{{cita web|url=http://www.educacao.te.pt/jovem/index.jsp?p=117&amp;idArtigo=307|título=Cálculos de notação científica|autor=O site da Educação|idioma=portugués}}&lt;/ref&gt;


== Enlaces externos ==
* [http://web.archive.org/web/http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/contadorareia/ordensvelhas.htm Descripción de la notación de Arquímedes] {{pt}}
{{traducido ref|pt|Notação científica|trad=total|oldid=42462273}}</text>
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    <title>Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Definicion</title>
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El Sistema Métrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de una unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10.

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    <title>Matemáticas/Transformada de Laplace/Propiedades</title>
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      <text bytes="2418" sha1="odpnkwml6q3masj2h09d4q6orhhxhd7" xml:space="preserve">== Propiedades ==

==== Linealidad ====
{{ecuación|&lt;math&gt;\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
  = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}&lt;/math&gt;}}

==== Derivación ====
{{ecuación|&lt;math&gt;\mathcal{L}\{f'(t)\}
  = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)&lt;/math&gt;.}}
{{ecuación|&lt;math&gt;\mathcal{L}\{f''(t)\}
  = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)&lt;/math&gt;}}
{{ecuación|&lt;math&gt; \mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - s^{n - 1} f(0) - \dots - f^{(n - 1)}(0) &lt;/math&gt; &lt;math&gt; = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - \sum_{i=1}^{n} s^{n - i} f^{(i - 1)}(0) &lt;/math&gt;}}

==== Integración ====
{{ecuación|&lt;math&gt;\mathcal{L}\left\{ \int_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau  \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}&lt;/math&gt;}}

==== Dualidad ====
:&lt;math&gt;\mathcal{L}\{ t f(t)\}
  = -F'(s)&lt;/math&gt;

==== Desplazamiento de la frecuencia ====
: &lt;math&gt;\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} =
  F(s-a)&lt;/math&gt;

==== Desplazamiento temporal ====
: &lt;math&gt;\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}
  = e^{-as} F(s)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}
  = f(t - a) u(t - a)&lt;/math&gt;
Nota: &lt;math&gt;u(t)&lt;/math&gt; es la [[función escalón unitario]].

==== Desplazamiento potencia ''n''-ésima ====
: &lt;math&gt;\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]&lt;/math&gt;

==== Convolución ====
: &lt;math&gt;\mathcal{L}\{f*g\}
  = F(s)G(s)&lt;/math&gt;

==== Transformada de Laplace de una función con periodo ''p'' ====
{{ecuación|&lt;math&gt;\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt&lt;/math&gt;}}

==== Condiciones de convergencia ====
: &lt;math&gt;\mathcal{L}\{(e^{t^2})\}&lt;/math&gt;  (que crece más rápido que &lt;math&gt;e^{-st}&lt;/math&gt;) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que &lt;math&gt;e^{t^2}&lt;/math&gt;, es una función de orden exponencial de ángulos.

==== Teorema del valor inicial ====
Sea una función &lt;math&gt; f\in\varepsilon&lt;/math&gt;  derivable a trozos y que &lt;math&gt;f^{\prime}\in\varepsilon.&lt;/math&gt; Entonces :

&lt;math&gt;f(0^{+})=\lim_{s\to\infty}{sF(s)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt; \varepsilon&lt;/math&gt; es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

==== Teorema del valor final ====
Sea&lt;math&gt;f\in\varepsilon&lt;/math&gt; una función derivable a trozos tal que &lt;math&gt;f^{\prime}\in\varepsilon&lt;/math&gt;.Entonces :

&lt;math&gt;f(\infty)=\lim_{s\to0}{sF(s)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt; \varepsilon&lt;/math&gt; es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

[[Categoría:Matemáticas]]

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    <title>Matemáticas/Transformada de Laplace/Definicion</title>
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      <text bytes="1553" sha1="qsibu8hmfm3raf9ocxvhtaf6080v31b" xml:space="preserve">La '''transformada de Laplace''' es un tipo de [[transformada integral]] frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una [[función matemática|función]] ''f''(''t'') definida (en [[Ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]], en análisis matemático o en [[análisis funcional]]) para todos los [[número positivo|números positivos]] ''t'' ≥ 0, es la función ''F''(''s''), definida por:

{{ecuación|&lt;math&gt;F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.&lt;/math&gt;||left}}

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando ''f''(''t'') no es una función, sino una [[Distribución de probabilidad|distribución]] con una singularidad en 0, la definición es
{{ecuación|
: &lt;math&gt;F(s)
  = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}
  =\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{-\varepsilon}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.&lt;/math&gt;
||left}}
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
{{ecuación|
: &lt;math&gt;F_B(s)
  = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}
  =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.&lt;/math&gt;
||left}}
La transformada de Laplace ''F''(''s'') típicamente existe para todos los números reales ''s'' &gt; ''a'', donde ''a'' es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de ''f''(''t'').&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\mathcal{L}&lt;/math&gt; es llamado el ''[[operador]] de la transformada de Laplace''.

[[Categoría:Matemáticas]]

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    <title>Matemáticas/Transformada de Laplace/Tabla de las transformadas de Laplace más comunes</title>
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      <text bytes="7328" sha1="fbwauzqzx60jn6igcybwg3fn250nyva" xml:space="preserve">== Tabla de las transformadas de Laplace más comunes ==

La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable. Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.
{{ecuación|&lt;math&gt;\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\}  = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}  &lt;/math&gt;}}
{{ecuación|&lt;math&gt;\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\}  = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}&lt;/math&gt;||left}}
Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella &lt;math&gt;u\,&lt;/math&gt; denota a la llamada función de [[Heaviside]] o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! ID || Función || Dominio en el tiempo &lt;br /&gt; &lt;math&gt;x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}&lt;/math&gt; || Dominio en la frecuencia &lt;br /&gt; &lt;math&gt;X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}&lt;/math&gt; || Región de la convergencia &lt;br /&gt; ''para [[sistema causal|sistemas causales]]''
|-  align=&quot;center&quot;
| 1 || retraso ideal || &lt;math&gt; \delta(t-\tau) \ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e^{-\tau s} \ &lt;/math&gt; ||
|-  align=&quot;center&quot;
| 1a || [[Función delta de Dirac|impulso unitario]] || &lt;math&gt; \delta(t) \ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 1 \ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mathrm{todo} \  s \,&lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 2 || enésima potencia retrasada y con &lt;br /&gt;desplazamiento en la frecuencia ||  &lt;math&gt;\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau) &lt;/math&gt;  ||  &lt;math&gt; \frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}} &lt;/math&gt; ||  &lt;math&gt; s &gt; - \alpha  \, &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 2a ||  n-ésima potencia  ||  &lt;math&gt;{  t^n \over n! } \cdot u(t) &lt;/math&gt;  ||  &lt;math&gt; { 1 \over s^{n+1} } &lt;/math&gt; ||  &lt;math&gt; s &gt; 0 \, &lt;/math&gt;
|- align=&quot;center&quot;
|-  align=&quot;center&quot;
| 2a.1 ||  q-ésima potencia  ||  &lt;math&gt;{  t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t) &lt;/math&gt;  ||  &lt;math&gt; { 1 \over s^{q+1} } &lt;/math&gt; ||  &lt;math&gt; s &gt; 0 \, &lt;/math&gt;
|- align=&quot;center&quot;
| 2a.2 || [[Función escalón unitario|escalón unitario]] || &lt;math&gt; u(t) \ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; { 1 \over s } &lt;/math&gt; ||  &lt;math&gt; s &gt; 0 \, &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 2b || escalón unitario con retraso || &lt;math&gt; u(t-\tau) \ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; { e^{-\tau s} \over s } &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; s &gt; 0 \, &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 2c || Rampa               || &lt;math&gt; t \cdot u(t)\ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{s^2}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt; s &gt; 0 \, &lt;/math&gt;
|- align=&quot;center&quot;
| 2d ||  potencia n-ésima con cambio de frecuencia  || &lt;math&gt;\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) &lt;/math&gt;  || &lt;math&gt;\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}&lt;/math&gt;  ||  &lt;math&gt; s &gt; - \alpha \, &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 2d.1  || [[amortiguación exponencial]]  || &lt;math&gt; e^{-\alpha t} \cdot u(t)  \ &lt;/math&gt;  || &lt;math&gt; { 1 \over s+\alpha } &lt;/math&gt;  || &lt;math&gt;  s &gt; - \alpha \ &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 3 || convergencia exponencial  || &lt;math&gt;( 1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{\alpha}{s(s+\alpha)} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  s &gt; 0\ &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 3b || exponencial doble || &lt;math&gt;\frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{1}{(s+a)(s+b)}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  s &gt; -a \ y \ s &gt; -b\ &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 4  || [[Seno (trigonometría)|seno]] || &lt;math&gt; \sin(\omega t) \cdot u(t) \ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; { \omega \over s^2 + \omega^2  } &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; s &gt; 0  \ &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 5 || [[coseno]] || &lt;math&gt; \cos(\omega t) \cdot u(t) \ &lt;/math&gt;  || &lt;math&gt; { s \over s^2 + \omega^2  } &lt;/math&gt;    || &lt;math&gt; s &gt; 0 \ &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 5b || seno con fase || &lt;math&gt;\sin(\omega t+\varphi)\cdot u(t)&lt;/math&gt;  || &lt;math&gt;\frac{ s \sin(\varphi) + \omega\cos\varphi}{s^2+\omega^2}&lt;/math&gt;    || &lt;math&gt; s &gt; 0 \ &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 6 || [[seno hiperbólico]]  ||  &lt;math&gt; \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ &lt;/math&gt;  || &lt;math&gt; { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } &lt;/math&gt;   ||  &lt;math&gt; s &gt; | \alpha | \ &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 7 ||  [[coseno hiperbólico]] ||   &lt;math&gt; \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ &lt;/math&gt;  ||  &lt;math&gt; { s \over s^2 - \alpha^2  } &lt;/math&gt;    ||  &lt;math&gt; s &gt; | \alpha | \ &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 8 ||  onda senoidal con &lt;br /&gt;amortiguamiento exponencial ||   &lt;math&gt;e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \ &lt;/math&gt;  ||   &lt;math&gt; { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } &lt;/math&gt;  ||  &lt;math&gt; s &gt; -\alpha \ &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 9 ||  onda cosenoidal con &lt;br /&gt;amortiguamiento exponencial  ||   &lt;math&gt;e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \ &lt;/math&gt;   ||   &lt;math&gt; { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } &lt;/math&gt;  ||  &lt;math&gt; s &gt; -\alpha \ &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 10 ||   raíz n-ésima  || &lt;math&gt; \sqrt[n]{t} \cdot u(t) &lt;/math&gt;  ||  &lt;math&gt; s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{t}\right)&lt;/math&gt;  || &lt;math&gt; s &gt; 0 \, &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 11 ||  [[logaritmo natural]] ||  &lt;math&gt; \ln \left (  { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t) &lt;/math&gt;  ||  &lt;math&gt; - { t_0 \over s} \  [ \  \ln(t_0 s)+\gamma \ ] &lt;/math&gt;   ||  &lt;math&gt; s &gt; 0 \, &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 12 ||  [[Función de Bessel]] &lt;br /&gt; de primer tipo, &lt;br /&gt; de orden ''n'' ||  &lt;math&gt; J_n( \omega t) \cdot u(t)&lt;/math&gt;  || &lt;math&gt;\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}&lt;/math&gt;  ||  &lt;math&gt; s &gt; 0 \, &lt;/math&gt;   &lt;br /&gt; &lt;math&gt; (n &gt; -1) \, &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 13 ||  [[Función de Bessel|Función de Bessel modificada]] &lt;br /&gt; de primer tipo, &lt;br /&gt; de orden ''n'' ||  &lt;math&gt;I_n(\omega t) \cdot u(t)&lt;/math&gt;  ||  &lt;math&gt; \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} &lt;/math&gt;   ||   &lt;math&gt; s &gt; | \omega | \, &lt;/math&gt;
|-  align=&quot;center&quot;
| 14 ||  [[Función de Bessel]] &lt;br /&gt; de segundo tipo, &lt;br /&gt; de orden 0 ||  &lt;math&gt; Y_0(\alpha t) \cdot u(t)&lt;/math&gt;  ||   &amp;nbsp; ||  &amp;nbsp;
|-  align=&quot;center&quot;
| 15 || [[Función de Bessel]] modificada&lt;br /&gt; de segundo tipo, &lt;br /&gt; de orden 0 ||  &lt;math&gt; K_0(\alpha t) \cdot u(t)&lt;/math&gt;  ||  &amp;nbsp;  || &amp;nbsp;
|-  align=&quot;center&quot;
| 16 ||  [[Función de error]]  ||   &lt;math&gt; \mathrm{erf}(t) \cdot u(t) &lt;/math&gt;  ||  &lt;math&gt;    {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}&lt;/math&gt;   ||  &lt;math&gt; s &gt; 0 \, &lt;/math&gt;
|- 
|colspan=5|'''Notas explicativas:'''
{{Columnas}}
* &lt;math&gt; u(t) \, &lt;/math&gt; representa la [[función escalón unitario]].
* &lt;math&gt; \delta(t) \, &lt;/math&gt; representa la [[Delta de Dirac]].
* &lt;math&gt; \Gamma (z) \, &lt;/math&gt; representa la [[función gamma]].
* &lt;math&gt; \gamma \, &lt;/math&gt; es la [[constante de Euler-Mascheroni]].
{{Nueva columna}}
* &lt;math&gt;t \, &lt;/math&gt;, un número real, típicamente representa ''tiempo'', aunque puede representar ''cualquier'' variable independiente.
* &lt;math&gt;s \, &lt;/math&gt; es la [[frecuencia angular]] [[número complejo|compleja]].
* &lt;math&gt; \alpha \,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \beta \,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \tau \, &lt;/math&gt;, y &lt;math&gt;\omega \,&lt;/math&gt; son [[número real|números reales]]. 
* &lt;math&gt; n \, &lt;/math&gt;es un [[número entero]].
{{Final columnas}}
[[sistema causal]] es un sistema donde la [[respuesta al impulso]] ''h''(''t'') es cero para todo tiempo ''t'' anterior a ''t'' = 0. En general, el ROC para sistemas causales no es el mismo que el ROC para [[sistemas anticausal]]es. Véase también [[causalidad (física)|causalidad]].
|}

[[Categoría:Matemáticas]]

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    <title>Matemáticas/Historia/Islam</title>
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Muhamad ibn Musa al-Kuarizmi.
El imperio islámico, establecido a lo largo del Oriente Medio, Asia Central, África del Norte, Iberia, y parte de la India, hizo aportes significativos en matemáticas en el siglo octavo. Aunque la mayor parte de los textos islámicos sobre matemáticas fueron escritos en árabe, no todos fueron escritos por árabes, dado que, así como el griego era usado en el mundo helenístico, el árabe era usado como el lenguaje escrito de los intelectuales no árabes a lo largo del mundo islámico en aquella época. Junto con los árabes, muchos otros importantes matemáticos islámicos fueron persas.

En el siglo IX, Al-Juarismi escribió varios libros importantes sobre los números arábigos y sobre los métodos de resolución de ecuaciones. Su libro Sobre los cálculos con números arábigos, escrito alrededor del año 825, junto con el trabajo de Al-Kindi, fueron instrumentos para dar a conocer las matemáticas árabes y los números arábigos en Occidente. La palabra algoritmo se deriva de la latinización de su nombre, Algoritmi, y la palabra álgebra del título de uno de sus trabajos, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (Compendio de cálculo por compleción y comparación). Al-Juarismi a menudo es apodado &quot;el padre del álgebra&quot;, por sus importantes contribuciones a este campo.Aportó una meticulosa explicación a la solución de ecuaciones de segundo grado con raíces positivas, y fue el primero en enseñar el álgebra en sus formas más elementales. También introdujo el método fundamental de &quot;reducción&quot; y &quot;balance&quot;, refiriéndose a la colocación de los términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos iguales que se encuentran en lados opuestos de una ecuación. Esta operación fue descrita originariamente por Al-Jarismi como al-jabr. Su álgebra no solo consistía &quot;en una serie de problemas sin resolver, sino en una exposición que comienza con las condiciones primitivas que se deben dar en todos los prototipos de ecuaciones posibles mediante una serie de combinaciones, a partir de este momento serán objeto de estudio.&quot;

El posterior desarrollo del álgebra vino de la mano de Al-Karaji. En su tratado al-Fakhri extiende la metodología para incorporar potencias y raíces de cantidades desconocidas. La primera demostración por inducción matemática de la que se tiene constancia aparece en un libro escrito por Al-Karaji en el 1000 d.C., en el que demuestra el teorema del binomio, el triángulo de Pascal, y la suma de cubos integrales.El historiador de las matemáticas, F. Woepcke,elogió a Al-Karaji por haber sido &quot;el primero en introducir la teoría del cálculo algebraico.&quot; También en el siglo X Abul Wafa tradujo las obras de Diofanto al árabe y desarrolló la función tangente. Ibn al-Haytham fue el primer matemático en deducir la fórmula de la suma de las ecuaciones cuárticas, usando un método que puede generalizarse para determinar la fórmula general de la suma de cualquier potencia entera. Desarrolló una integración para calcular el volumen de un paraboloide y fue capaz de generalizar sus resultados para las integrales de polinomios de más de cuarto grado. Incluso se acercó bastante a la fórmula general de la integral de polinomios, aunque no estaba interesado en polinomios de grado mayor que cuatro.

En las postrimerías del siglo XI, Omar Khayyam escribió Discusiones sobre las dificultades en Euclides, un libro sobre los defectos en los Elementos de Euclides, especialmente el postulado de las paralelas, y estableció los fundamentos de la geometría analítica y la geometría no euclídea. También fue el primero en encontrar la solución geométrica a la ecuación cúbica e influyó en la reforma del calendario.

Los números que llamamos árabes no son árabes sino hindúes; pero la mayoría de la gente cree, erróneamente, que los números que utiliza son árabes.

Tampoco las cifras que utilizamos son originales de los árabes: si se observa la grafía hindú del siglo VI se puede comprobar que es muy similar a la nuestra.

Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de &quot;ciencias extranjeras&quot;.

Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.

Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos.

El sistema hindú era, al contrario del griego o romano, de carácter &quot;posicional&quot;. Lo que significa que las cifras tiene diferente valor según el lugar que ocupan. Entre otros avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales.

Para los romanos V era siempre cinco estuviera colocado en una posición o en otra (V I I= 5+1+1=7; VI = 5+1=6), mientras que para nosotros, y mucho antes para los hindúes, en el número 511 el cinco vale quinientos mientras que en el 51 vale cincuenta. Esta idea que hoy nos puede parecer tan elemental los grandes matemáticos griegos no la tuvieron y sin embargo se tiene constancia de que en el siglo VI los hindúes no sólo la utilizaban en su sistema de numeración sino que además manejaban con soltura las cuatro reglas y el cero.

El gran  mérito atribuible, pues, a los árabes es el de haberse dado cuenta de las ventajas que el sistema hindú tenía sobre todos los demás.

Cuando se habla de matemática árabe no se suele tener en cuenta, además, que muchos de los científicos de los que se habla eran persas, judíos e incluso cristianos.

En el siglo XII, el matemático persa Omar Khayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior.

El más conocido de los matemáticos árabes es Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi (780-850), conodido como padre del álgebra.

Se sabe poco de su vida salvo que vivió en la primera mitad del siglo IX y que trabajó en la biblioteca del califa de Bagdad.

Escribió libros sobre geografía, astronomía y matemática. En su obra Aritmética (&quot;Algoritmi de numero indorum&quot;) explica con detalle el funcionamiento del sistema decimal y del cero que usaban en la India. Obra de gran importancia pues contribuyó a la difusión del sistema de numeración indio y al conocimiento del cero.

Debe destacarse la obra de contenido algebráico &quot;Hisab al-yabr wa'l muqqabala&quot;, considerada uno de los primeros libros de álgebra. Obra eminentemente didáctica con abundantes problemas para resolver y adiestrar al lector, principalmente, en la resolución de ecuaciones de segundo grado.

Es el autor de uno de los métodos más antiguos que se conocen para resolver ecuaciones de segundo grado. Dicho método, geométrico, se conoce como de completar cuadrado.

Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta la publicación del De triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemán Regiomontano.

Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones.

Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones.

Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en fuentes árabes para sus estudios.

    La matemática islámica desarrolló principalmente la aritmética decimal con fracciones decimales, que tomó de los hindúes, el álgebra, la 
trigonometría plana y esférica y la resolución numérica de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones. Mucho de este desarrollo vino estimulado 
por uno de los grandes problemas de la astronomía y geodesia árabe, el de la qibla (o kibla), de deteminar la dirección a la Meca hacia donde 
debían mirar los creyentes durante sus oraciones. Entre los matemáticos más destacados están al-Kwarizmi (780-850), ibn al-Haytham 
(conocido en europa como Alzacén) (965-1039), al-Khayyami (1048-1131), al-Biruni (973-1055) y al-Kashi (1380-1429). De al-Kwarizmi, 
miembro de la casa de la sabiduría, viene la palabra &quot;algoritmo&quot;. La palabra &quot;álgebra&quot; proviene de &quot;al-jabr&quot;, de la frase &quot;al-jabr wa al-muqabala&quot;, 
que Kwarizmi utilizaba en sus escritos, &quot;al-jabr&quot;  significa &quot;trasponer&quot; (de un lado al otrode la igualdad cambiando de signo), &quot;wa&quot; es &quot; y&quot;, mientras 
que  &quot;al-muqabala&quot; significa &quot;simplificar&quot;. Por ejemplo al pasar  de 3x+2=4-2x a 5x+2=4 es un ejemplo de  &quot;al-jabr&quot;, mientras que pasar de esta 
última a  5x=2 es &quot;al-muqabala&quot;.</text>
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La '''matemática india''' logró una importancia capital en la cultura occidental prerrenacentista con el legado de sus cifras, incluyendo el numeral 0, para escribir el cero: actualmente cardinal del conjunto vacío. Y en numerales polidígitos, el 0 indica que no hay valor alguno en la unidad correspondiente.
[[Archivo:Brahmaguptra's theorem.svg|thumb|right|200px|[[Teorema de Brahmagupta]].]]
Si bien algunos testimonios permiten opinar que durante la época védica (1500 a.C. a 1000 a.C.) y brahmánica (siglo V) existió en la India una ciencia matemáticas, no obstante fue durante la época clásica (siglos I al VIII) cuando los matemáticos hindúes llegaron a la madurez.

Con anterioridad a este período, los hindúes tuvieron algún contacto con el mundo griego. La marcha de Alejandro Magno sobre la India tuvo lugar durante el siglo IV a.C. Por otra parte, la expansión del budismo en China y la del mundo árabe multiplicaron los puntos de contacto de la India con el exterior. Sin embargo, las matemáticas hindúes se desenvolvieron en un plano original, apoyándose más en el cálculo numérico que en el rigor deductivo.

El mundo les debe el invento trascendental de la notación posicional empleando la cifra cero como valor nulo. Utilizaron, como en occidente, un sistema de numeración de base 10 (decimal, con diez dígitos). Los Antiguos mayas también utilizaron el cero (siglos IV al VII). Egipcios, griegos y romanos, aunque utilizaban un sistema de numeración decimal, no era posicional, ni poseía el cero, que fue transmitido a occidente mucho más tarde, por los pueblos árabes, a través de la España e Italia medievales. Las múltiples ventajas prácticas y teóricas del sistema de «notación posicional con cero» dieron el impulso definitivo a todo el desarrollo ulterior de las matemáticas. 

El sistema de numeración decimal aparece ya en el ''Süryasiddhanta'', pequeño tratado que data probablemente del siglo VI y parece que no es muy anterior a éste. Los trabajos matemáticos de los hindúes se incorporaron en general a las obras astronómicas. Este es el caso de Aryabhata, nacido hacia 476, y de Brahmagupta, nacido hacia 598. Mucho más tarde (hacia 1150), Bhaskara II escribió un tratado de aritmética en el que exponía el procedimiento de cálculo de las raíces cuadradas. Se trata de una teoría de las ecuaciones de primer y segundo grado, no en forma geométrica, como lo hacían los griegos, sino en una forma que se puede llamar &quot;algebraica&quot;.

El carácter operacional de la matemáticas hindúes iba a la par con una concepción general del número irracional, pero abierta de un modo natural al número negativo, con lo cual podían tomar en consideración los dos signos de la raíz cuadrada y las dos soluciones de la ecuación de segundo grado; así quedó abierto el camino del álgebra formal, seguido posteriormente por los árabes.

Los hindúes fueron los pioneros en utilizar cantidades negativas para representar deudas, ya que en aquellos tiempos notaban la necesidad de representar sus deudas, de tal forma que lo hicieron con el signo(-).
EJEMPLO: Para entender mejor la palabra deuda viene de lo que debemos, por decirlo así lo que nos falta y debemos sacar de nuestro bolsillo, pues los hindúes lo representaron con el signo (-). 

Los primeros documentos matemáticos hindúes datan del siglo V d.C., sin embargo se piensa que debió haber una actividad matemática mucho antes de esta época. Parte de sus conocimientos geométricos primitivos utilizados en la construcción de templos y altares se encuentran en los salvasutras o &quot;reglas de la cuerda&quot;, versiones de conocimientos que pueden remontarse a la época de Pitágoras.

ARITMETICA

NUMERACION DE LA INDIA 

La numeración india todavía es usada en india, Pakistán, Bangladesh, Nepal, y Birmania se basa en agrupar dos lugares decimales, en lugar de los tres habituales en casi todo el resto del mundo. Este sistema de numeración nos dio un gran avance ya que introdujo separadores entre los números en los lugares apropiados para el agrupamiento de a dos.
Por otra parte en este sistema de numeración aparece el símbolo del cero en el siglo lX, Con la introducción del símbolo para el 0 de la numeración hindú tenemos el sistema de numeración que actualmente usamos. Con una base decimal, una notación posicional, una forma cifrada para cada uno de los diez numerales básicos. 
La suma y la multiplicación se hacían en la India casi como las hacemos hoy, salvo porque la escritura de los números se hacía con los de orden menor a la izquierda. Para multiplicar 456 x 34 = 15.504 lo hacían de la siguiente manera.
La disposición en celdillas es un recurso para evitar las &quot;llevadas&quot;, sólo hay que tener en cuenta las llevadas de las sumas parciales diagonalmente

GEOMETRÍA 

Entre las obras relacionadas con la geometría esta los aryabhata, siddhantas, y los sulvasutras en la última nos encontramos con reglas para la construcción de ángulos rectos por medio de ternas, cuyas longitudes constituyen a ternas pitagóricas, para la construcción de altares. Pero sin embargo se cree que esta reglas fueron heredaron de los babilonios. También agregó a este libro algunos aportes de los elementos de Euclides. Pero se cree que estas obras fueron basadas en obras de los matemáticos griegos.
Los sulvasutras también contenía temas relacionados con la aritmética (fracciones, raíces cuadradas, interés simple, la regla de tres, la regula fácil) y álgebra (ecuaciones lineales y cuadráticas) y progresiones aritméticas। También contiene problemas geométricos.


TRIGONOMETRIA

Una de las contribuciones de la india a las matemáticas, consistió en la función equivalente al seno en trigonometría, para remplazar las tablas de cuerdas griegas las tablas más antiguas son las encontradas en los siddhantas y en el aryabhata donde se dan los senos de los ángulos menores de 90 grados 0, se tomaba como radio 3,438 unidades y la circunferencia correspondía como 360 *60=21600 unidades, pero para los hindúes en ecuaciones p era la raíz cuadrada de 10।

ALGEBRA

En la matematica de la india se destacaron cuatro nombres propios: Aryabhata (s।VI), Brahmagupta (s।VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII) quienes Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (siglo XII) la ecuación x²=1+ay², denominada ecuación de Pelt.</text>
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    <title>Matemáticas/Historia/China</title>
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ARITMÉTICA
SISTEMA DE NUMERACIÓN

En china existieron 2 sistemas de numeración en uno los números se representaban por pequeñas varillas de bambú o marfil, este sistema perduro muy poco, ya que se creaban problemas de confusión entre las descripciones de números grandes. El problema más grande con esta notación fue que podría llevar a una confusión. ¿Qué era ? Podría ser 3, o 21 o 12 o incluso 111.

El otro sistema es de la forma clásica que a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades con símbolo distinto para cada uno de ellos. En este sistema de numeración era fundamental el orden de la escritura ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75.

Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s। VIII en nada se diferencia de este।

EL ÁBACO

Con esta gran herramienta que se inventaron los chinos y que aun se utiliza, los chinos implementaron su forma de hacer las operaciones básicas en el ábaco nos lo han heredado los chinos conocían bien las operaciones con fracciones ordinarias hasta el puno de que hallaban el mínimo común denominador de varias fracciones, con las fracciones hacían analogías entre sexos, refiriéndose al denominador como “el hijo” y al denominador como “la madre “también utilizaban el yin y yang aparte de esto adoptaron un sistema decimal en pasos y medidas dio como resultado como resultado la implementación de decimales en el manejo de las fracciones.

Después de esto los chinos descubrieron la idea de los números negativos, no les causo muchas dificultades ya que estaban acostumbrados a calcular usando las varillas, uno de color rojo para los positivos y de color negro para los negativos. aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación.

LOS CUADRADOS MAGICOS

 
Los chinos han sido siempre muy aficionados al diseño armónico, aritmético o geométrico, estos cuadraditos ayudaron al autor de los nueve capítulos a resolver el sistema de ecuaciones lineales. Estos cuadros y diferentes figuras consistía en que en todos sus lados diera el mismo número

GEOMETRÍA
en la matemática primitiva de china se ve que quizá dependió un poco de Mesopotamia ya que tenían el mismo valor para p(3), en la búsqueda de valores más exactos, aparece liu hui de donde se obtiene el valor de 3,14usando un polígono regular de 96 lados y la aproximación mejor de 3,14159

TRIANGULO ARITMETICO
Las obras de yang hui incluían también otros resultados para la suma de series finitas y del llamado triangulo de pascal, pero también son conocidas en el espejo precioso publicado por chu shih-shih, quien maneja estas sumas por medio del método de diferencias finitas y por otra parte el teorema binomial para potencias enteras positivas

ALGEBRA
De la época de la primera dinastía Han (206 a. C. hasta 24 d.C.) procede el tratado Matemáticas en nueve Libros. Posteriormente otros matemáticos como Liu Hui (siglo III), Sun-zi (siglos II-IV), Liu Zhuo (siglo VI) y otros hicieron aportaciones a este tratado. El texto trata problemas económicos y administrativos como medición de campos, construcción de canales, cálculo de impuestos,..Trabajan las ecuaciones lineales indeterminadas y un procedimiento algorítmico para resolver sistemas lineales parecidos al que hoy conocemos como método de Gauss que les llevó al reconocimiento de los números negativos. Estos números constituyen uno de los principales descubrimientos de la matemática china.

La escuela algebraica china alcanza su apogeo en el siglo XIII con los trabajos de Quin Jiu-shao, Li Ye, Yang Hui y Zhu Shi-jie que idearon un procedimiento para la resolución de ecuaciones de grado superior llamado método del elemento celeste o tian-yuanshu. Este método actualmente se conoce como método de Horner matemático que vivió medio milenio más tarde.

El desarrollo del álgebra en esta época es grandioso: sistemas de ecuaciones no lineales, sumas de sucesiones finitas, utilización del cero, triángulo de Tartaglia (o Pascal) y coeficientes binomiales así como métodos de interpolación que desarrollaron en unión de una potente astronomía.

El siglo VII vió la enorme gesta de ingeniería que supuso la unión de los dos ríos más importantes de China mediante el Gran Canal de 1700 km. de largo.</text>
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    <title>Matemáticas/Combinatoria/Sumatoria</title>
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[[File:Greek uc sigma.svg|thumb|200px|Letra sigma mayúscula, notación del sumatorio.]]
El '''sumatorio'''&lt;ref&gt;{{Cita DRAE|sumatorio}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;''[http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Sumatoria.html Sumatoria o Notación Sigma]''.&lt;/ref&gt;o '''sumatoria''' (también conocido como '''operación de suma''', '''notación sigma''' o '''símbolo suma'''), es una notación matemática que permite representar [[suma]]s de muchos sumandos, ''n'' o incluso [[serie matemática|infinitos sumandos]], evitando el empleo de los [[puntos suspensivos]] o de una explícita notación de paso al límite&lt;ref&gt;''[http://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml Propiedades de las sumatorias (monografías)]''.&lt;/ref&gt;. Se expresa con la letra griega [[sigma]] mayúscula (&lt;math&gt;\Sigma&lt;/math&gt;  , Σ).

== Notación ==

La notación se expresa con la letra griega [[sigma]] mayúscula Σ de la siguiente manera:
{{definición|&lt;math&gt;
   \sum_{i=m}^n a_i =
   a_m + a_{m+1} + a_{m+2} +\cdots + a_n 
&lt;/math&gt;}}

Esto se lee: «sumatorio sobre ''i'', desde ''m'' hasta ''n'', de ''a sub-i''». La variable ''i'' es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, ''m''. La variable ''i'' recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, ''n''. Necesariamente debe cumplirse que:

: &lt;math&gt;m \leq n&lt;/math&gt; 

Pudiendo ver además que si ''m'' = ''n'' entonces:
: &lt;math&gt;
   m = n
   \; , \quad
   \sum_{i=m}^n a_i =
   \sum_{i=m}^m a_i =
   a_m
&lt;/math&gt;

Si ''m'' es mayor que ''n'', el resultado es el elemento neutro de la suma, es cero:
: &lt;math&gt;
   m &gt; n
   \; , \quad
   \sum_{i=m}^n a_i =
   0
&lt;/math&gt;

Como el conjunto de índices es un intervalo de enteros, es corriente indicar el primer ''índice'' debajo del símbolo de sumatoria, y el último por encima del mismo. Las siguientes notaciones son equivalentes
:&lt;math&gt;\sum_{i\in [[ m,n]]}{a_i} = \sum_{i=m}^{i=n}{a_i} = \sum_{i=m}^n{a_i}.&lt;/math&gt;

El número de términos a sumar es entonces &lt;math&gt;n-m+1&lt;/math&gt;, ya que el primer sumando es &lt;math&gt;a_m&lt;/math&gt; y el último sumando es &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt;.

La suma de los cuadrados de los seis primeros enteros estrictamente positivos se escribe por ejemplo 

:&lt;math&gt;\sum_{i=1}^{6}{i^2} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2=91.&lt;/math&gt;

La [[conmutatividad]] y la [[Asociatividad (álgebra)|asociatividad]] de la [[adición]], hacen que el resultado de una serie (finita) de adiciones, no dependa del orden en el cual los términos son considerados. La suma de una [[Familia de conjuntos|familia]] finita de elementos &lt;math&gt;(a_i)&lt;/math&gt; [[Familia de conjuntos|indexada]] por un conjunto &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; (no necesariamente [[Teoría del orden|ordenado]]) se indica entonces &lt;math&gt;\sum_{i\in I}{a_i}&lt;/math&gt;.

Cuando la familia considerada es un [[conjunto finito]] &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, la correspondiente suma también puede escribirse 

:&lt;math&gt;\sum_{x\in A}{x} = \sum A,&lt;/math&gt;

La [[suma vacía]] convencionalmente es considerada igual a [[cero]], entre otras cosas a fin de satisfacer la igualdad 

:&lt;math&gt;\sum{A \cup B} = \sum A + \sum B - \sum{A \cap B}.&lt;/math&gt;

La [[Convenio de sumación de Einstein|notación de Einstein]] simplemente omite la escritura del símbolo de suma, ya que si un índice aparece sin definición, se sobreentiende que lo que se representa es la suma de los elementos al variar el índice.

Se debe notar que aunque el término ''sumatorio'' se refiere a un operador matemático útil para expresar cierto tipo de suma, no sustituye este término a la palabra suma. Se dice: «la suma de dos y tres es cinco», y no «el sumatorio de dos y tres es cinco». Por la misma razón, decir que se realizará, por ejemplo, el ''sumatorio'' de unos votos, es notoriamente un disparate.

Los operadores de suma son útiles para expresar sumas de forma analítica; esto es, representar todos y cada uno de los sumandos en forma general mediante el «i-ésimo» sumando. Así, para representar la fórmula para hallar la [[media aritmética]] de ''n'' números, se tiene la siguiente expresión:
: &lt;math&gt;
   \overline{x} =
   \frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n x_i}{n}
&lt;/math&gt;

== Suma de una serie ==
Si &lt;math&gt;(a_n)&lt;/math&gt; es un elemento de una [[serie (matemática)|serie]], la suma total de los elementos de esta, es el [[límite de una sucesión|límite]] de las sumas parciales (si es que este límite existe) &lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}a_n = \lim_{N\rightarrow +\infty}\sum_{n=0}^{N}a_n&lt;/math&gt;.

== Identidades ==

Hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, y se puede usar una fórmula como esta:
: &lt;math&gt;
   \sum^{n}_{i = 1} i =
   \frac{n ( n + 1 )}{2}
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \sum^{1000}_{i = 1} i =
   \frac{1000 \; (1000 +1)}{2} =
   500\;500
&lt;/math&gt;

=== Algunas propiedades de la operación de suma ===

: &lt;math&gt;\sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n)&lt;/math&gt;, donde ''C'' es una constante

: &lt;math&gt;\sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right]&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right]&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+p}^{t+p} f(n-p)&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{n\in A} f(n) = \sum_{n\in \sigma(A)} f(n)&lt;/math&gt;, para un conjunto finito '''A''' (Donde σ es una [[permutación]] de A).

: &lt;math&gt;\sum_{i=k_0}^{k_1}\sum_{j=l_0}^{l_1} a_{i,j} = \sum_{j=l_0}^{l_1}\sum_{i=k_0}^{k_1} a_{i,j}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{n=0}^t f(2n) + \sum_{n=0}^t f(2n+1) = \sum_{n=0}^{2t+1} f(n)&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{n=0}^t \sum_{i=0}^{z-1} f(z\cdot n+i) = \sum_{n=0}^{z\cdot t+z-1} f(n)&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{n=s}^t \ln f(n) = \ln \prod_{n=s}^t f(n)&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;c^{\left[\sum_{n=s}^t f(n) \right]} = \prod_{n=s}^t c^{f(n)}&lt;/math&gt;

=== Algunas sumas de expresiones polinómicas ===

: &lt;math&gt;\sum_{i=m}^n C = C\cdot (n-m+1)&lt;/math&gt; donde &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; representa una constante

: &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = H_n&lt;/math&gt; (ver [[número armónico]])

: &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^k} = H^k_n&lt;/math&gt; (ver [[número armónico generalizado]])

: &lt;math&gt;\sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2}&lt;/math&gt; (ver [[progresión aritmética]])

: &lt;math&gt;\sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt; (caso especial de progresión aritmética)

: &lt;math&gt;\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}&lt;/math&gt; (ver [[número piramidal cuadrado]])

: &lt;math&gt;\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{i=0}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} + \frac{n^3}{3} - \frac{n}{30}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1},&lt;/math&gt; donde &lt;math&gt;B_k&lt;/math&gt; denota un [[número de Bernoulli]] (ver [[fórmula de Faulhaber]]).
Las siguientes fórmulas son manipulaciones de 

:&lt;math&gt;\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2&lt;/math&gt; 

generalizadas para que la serie comience en cualquier número natural (i.e., &lt;math&gt;m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt; ):

: &lt;math&gt;\left(\sum_{i=m}^n i\right)^2 = \sum_{i=m}^n ( i^3 - im(m-1) )&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{i=m}^n i^3 = \left(\sum_{i=m}^n i\right)^2 + m(m-1)\sum_{i=m}^n i&lt;/math&gt;

=== Algunas sumas que contienen términos exponenciales ===
En los sumatorios siguientes ''a'' es una constante no igual a 1

: &lt;math&gt;\sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a}&lt;/math&gt; ({{nowrap|''m'' &amp;lt; ''n''}}; ver [[serie geométrica]])

: &lt;math&gt;\sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{i=0}^{n-1} i a^i = \frac{a-na^n+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{i=0}^{n-1} i 2^i = 2+(n-2)2^{n}&lt;/math&gt; (caso especial cuando ''a'' = 2)

: &lt;math&gt;\sum_{i=0}^{n-1} \frac{i}{2^i} = 2-\frac{n+1}{2^{n-1}}&lt;/math&gt; (caso especial cuando ''a'' = 1/2)

=== Algunas sumas que contienen coeficientes binomiales y factoriales ===

: &lt;math&gt;\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{i=1}^{n} i{n \choose i} = n2^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{i=0}^{n} i!\cdot{n \choose i} = \sum_{i=0}^{n} {}_{n}P_{i} = \lfloor n!\cdot e \rfloor&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i=(a + b)^n&lt;/math&gt;, el [[Teorema del binomio]]

: &lt;math&gt;\sum_{i=0}^n i\cdot i! = (n+1)! - 1&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n {}_{i+k}P_{k+1} = \sum_{i=1}^n \prod_{j=0}^k (i+j) = \frac{(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\sum_{i=0}^n {m+i-1 \choose i} = {m+n \choose n}&lt;/math&gt;

== Errores comunes ==
En español suele llamarse erróneamente «sumatoria»; sin embargo según el diccionario de la [[Real Academia Española]] dicha palabra no existe en la lengua española. Por lo que lo más aconsejable es llamarle «sumatorio» u «operación de suma».

== Referencias ==
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== Enlaces externos ==
{{Commonscat|Summation}}
{{Wikcionario}}
* Susana Castro, [http://es.slideshare.net/AnselmiJuan/sumatoria-23809739 Funciones y Procesos Infinitos: Sumatorias]
* [http://profe-alexz.blogspot.com/2010/07/sumatorias-ejercicios-resueltos.html Sumatorias - Ejercicios Resueltos - Razonamiento Matemático]
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    <title>Matemáticas/Combinatoria/Factorial</title>
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&lt;/div&gt;

El [[factorial]] de un [[entero positivo]] ''n'', el '''factorial de ''n''''' o '''''n'' factorial''' se define en principio como el [[multiplicación|producto]] de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los [[números naturales]]) hasta ''n''. Por ejemplo,
:&lt;math&gt;5! = 1  \times  2  \times  3  \times  4 \times  5= 120.  \ &lt;/math&gt;

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en [[combinatoria]] y [[análisis matemático]].
De manera fundamental el factorial de ''n'' representa el número de formas distintas de ordenar ''n'' objetos distintos (elementos sin repetición). Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el siglo XII por los estudiosos [[India|hindúes]].

La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del [[análisis matemático]].

La [[notación matemática]] actual ''n''! fue usada por primera vez en 1808&lt;ref&gt;{{Citation |title=Number Story: From Counting to Cryptography |last=Higgins |first=Peter |year=2008 |publisher=Copernicus |location=New York |isbn=978-1-84800-000-1 |page=12 |pages= }}&lt;/ref&gt; por [[Christian Kramp]] (1760–1826), un matemático francés que trabajó en especial sobre los factoriales toda su vida.

==Definición==
La función factorial es formalmente definida mediante el [[Multiplicación|producto]]
:&lt;math&gt;
   n! =
   1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times (n-1) \times n
&lt;/math&gt;.

La multiplicación anterior se puede simbolizar también utilizando el operador [[productorio]]:
: &lt;math&gt;
   n! =
   \prod_{k=1}^n k
&lt;/math&gt;.

También es posible definirlo mediante la [[relación de recurrencia]]
: &lt;math&gt;
   n! =
   \begin{cases}
      1              &amp; \text{si, } n = 0 \\
      (n-1)!\times n &amp; \text{si, } n &gt; 0
   \end{cases}
&lt;/math&gt;
En esta segunda definición el dominio de la función es el conjunto de los enteros no negativos ℤ&lt;sub&gt;≥0&lt;/sub&gt; y el codominio es el conjunto de los enteros positivos ℤ&lt;sub&gt;+&lt;/sub&gt;.&lt;ref&gt;«Sucesiones recurrentes» de A. I. Markushévich, Editorial Progreso, 1998&lt;/ref&gt; En este caso hay una ''sucesión recurrente'', el cálculo sucesivo de sus elementos se llama ''proceso recurrente'' y la igualdad ''n''! = (''n'' - 1)!''n'' se nombra ''ecuación recurrente''.&lt;ref&gt;Fuente ut supra &lt;/ref&gt;

La segunda definición incorpora la premisa de que
: &lt;math&gt;
   0! = 1
&lt;/math&gt;

=== Cero factorial ===

La definición indicada de factorial es válida para números positivos. Es posible extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier número real excepto para los números enteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números enteros negativos.

Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero. De acuerdo con la convención matemática de [[producto vacío]], el valor de 0! debe definirse como:
: &lt;math&gt;
   0! = 1
&lt;/math&gt;

Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como sigue:
* Para cada número entero positivo ''n'' mayor o igual que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad:
: &lt;math&gt;
   (n-1)! =
   \frac{n!}{n}
&lt;/math&gt;

válida para todo número mayor o igual que 1.

Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque
: &lt;math&gt;
   \frac{5!}{5} =
   \frac{120}{5} =
   24
&lt;/math&gt;

y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que
: &lt;math&gt;
   \frac{4!}{4} =
   \frac{24}{4} =
   6
&lt;/math&gt;

El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1  ya que:
: &lt;math&gt;
   2! =
   \frac{3!}{3} =
   \frac{6}{3} = 2
   ,\qquad
   1! =
   \frac{2!}{2} =
   \frac{2}{2} =
   1
&lt;/math&gt;

Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en que ''n!=1 tendríamos que 0! corresponde a:
: &lt;math&gt;
   0! =
   \frac{1!}{1} =
   \frac{1}{1} =
   1
&lt;/math&gt;

Aunque el argumento puede resultar algo convincente, es importante tener en cuenta que no es más que un argumento informal y que la razón real por la cual se toma la convención de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de [[producto vacío]] usada en muchas otras ramas de las matemáticas.

== Aplicaciones ==
Los factoriales se usan mucho en la rama de la [[matemáticas]] llamada [[combinatoria]], a través del [[binomio de Newton]], que da los [[coeficiente (matemáticas)|coeficientes]] de la forma desarrollada de (''a'' + ''b'')&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;:
: &lt;math&gt;
   (a+b)^n =
   {n\choose 0}a^n +
   {n\choose 1} a^{n-1} b +
   {n \choose 2} a^{n-2}b^2 +
   \cdots +
   {n\choose n-1} ab^{n-1} +
   {n\choose n}b^n =
      \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^{k}
&lt;/math&gt;

donde &lt;math&gt;{n \choose k}&lt;/math&gt; representa un [[coeficiente binomial]]:
: &lt;math&gt;
   {n\choose k} =
   \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}
&lt;/math&gt;

De igual forma se puede encontrar en la derivación por la regla del producto para derivadas de orden superior de manera similar que el binomio de newton:
: &lt;math&gt;
   \frac{d^n x}{dx^n}(f(x) g(x)) =
   (f g)^{(n)} =
   {n\choose 0}f g^{(n)} +
   {n\choose 1} f^{'} g^{(n-1)} +
   {n \choose 2} f^{''} g^{(n-2)} +
   \cdots +
   {n\choose n-1} f^{(n-1)} g^{'} +
   {n\choose n} f^{(n)} g =
   \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}
&lt;/math&gt;
Donde ''f''&lt;sup&gt;(''n'')&lt;/sup&gt; es la derivada enésima de la función f.

Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las [[probabilidad]]es. Intervienen también en el ámbito del [[Análisis matemático|análisis]], en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones ([[Teorema de Taylor|fórmula de Taylor]]).
Se generalizan a los [[número real|reales]] con la ''[[función gamma]]'', de gran importancia en la [[teoría de números]].

Para valores grandes de ''n'', existe una expresión aproximada para el factorial de ''n'', dado por la [[fórmula de Stirling]]:
: &lt;math&gt;
   n!\approx
   \sqrt{2 \pi n}
   \left (
      \frac{n}{e} \right )^{n}
          \left (
              1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}+\cdots
          \right ) 
   
&lt;/math&gt;

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar ''n!'' más rápidamente cuando mayor sea ''n''. 

El factorial de ''n'' es generalizado para cualquier número real ''n'' por la [[función gamma]] de manera que
: &lt;math&gt;
\Gamma(n) =
   (n-1)! =
   \int^\infty_0 \; t^{n-1} e^{-t} \; dt  \,
&lt;/math&gt;

sólo para ''n'' &gt; 0. Se puede generalizar aún más, para todo número complejo ''z'' que no sea igual a un entero no positivo, mediante la siguiente definición: 

:&lt;math&gt;
\Gamma(z)=(z-1)!=\lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} \,
&lt;/math&gt;

== Productos similares ==
=== Primorial ===
El [[primorial]] {{OEIS|A002110}} se define de forma similar al factorial, pero sólo se toma el producto de los [[número primo|números primos]] menores o iguales que ''n''. 

=== Doble factorial ===
Se define el doble factorial de ''n'' mediante la [[relación de recurrencia]]:
: &lt;math&gt;
   n!! =
   \left \{
   \begin{array}{lcl}
      1               &amp; \mbox{si} &amp; n \leq 0  \\
      (n-2)!! \cdot n &amp; \mbox{si} &amp; n &gt; 0  \\
   \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;

Por ejemplo:
: &lt;math&gt;
   8!! =
   2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 =
   384
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   9!! =
   1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 =
   945
&lt;/math&gt;

La sucesión de dobles factoriales {{OEIS|id=A006882}} para:
: &lt;math&gt;
   n =
   0, 1, 2, \dots
&lt;/math&gt;

empieza así:
: &lt;math&gt;
   1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, \dots
&lt;/math&gt;

La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de números negativos:
: &lt;math&gt;
  (n-2)!! =
   \frac{n!!}{n}
&lt;/math&gt;

Y esta es la sucesión de dobles factoriales para:
: &lt;math&gt;
   n =
   -1, -3, -5, -7, \dots
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   1, -1, \frac{1}{3}, -\frac{1}{15}, \dots
&lt;/math&gt;

El doble factorial de un número negativo [[número par|par]] no está definido.

Algunas identidades de los dobles factoriales:
# &lt;math&gt;n!=n!!(n-1)!! \,&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(2n)!!=2^nn! \,&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(2n-1)!!={(2n-1)!\over(2n-2)!!}={(2n)!\over2^nn!}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt{\pi}\,\,{(2n-1)!!\over2^n}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\Gamma\left({n\over2}+1\right)=\sqrt{\pi}\,\,{n!!\over2^{(n+1)/2}}&lt;/math&gt;

== Véase también ==
* [[Productorio]]
* [[Subfactorial]]
* [[Función gamma]]

==Referencias y citas==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
{{wikilibros
| nombre = Implementación de algoritmos de teoría de números/Factorial
| etiqueta = Implementaciones del factorial de un número
| objeto = un libro o manual sobre
| preposición = 
| idioma = 
}}
* [http://www.luschny.de/math/factorial/FastFactorialFunctions.htm Algoritmos interesantes](en inglés)
* http://factorielle.free.fr
* [http://nitrxgen.net/factorialcalc.php Calculadora de factoriales] - Hasta 200.000</text>
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    <title>Matemáticas/Combinatoria/Triángulo de Pascal</title>
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        <username>Mazbel</username>
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      <text bytes="6080" sha1="fxtj1qjyoguv6kftdh1xw6znr7r6xdg" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
En [[Matemáticas]], el '''teorema del binomio''' es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia ''n''-ésima (siendo ''n'', entero positivo) de un [[binomio]]. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la [[potenciación|potencia]] (''x''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''y'')&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; en una [[suma]] que implica términos de la forma ''ax''&lt;sup&gt;''b''&lt;/sup&gt;''y''&lt;sup&gt;''c''&lt;/sup&gt;, donde los exponentes ''b'' y ''c'' son [[número natural|números naturales]] con {{nowrap|''b'' + ''c'' {{=}} ''n''}}, y el [[coeficiente (Matemáticas)|coeficiente]] ''a'' de cada término es un [[número entero]] positivo que depende de  ''n'' y ''b''. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,

:&lt;math&gt;(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.&lt;/math&gt;

El coeficiente ''a'' en los términos de ''x&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;y&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt; - x&lt;sup&gt;c&lt;/sup&gt;y&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;'' es conocido como el [[coeficiente binomial]] &lt;math&gt;\tbinom nb&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;\tbinom nc&lt;/math&gt; (los dos tienen el mismo valor).

== Formulación del teorema ==

Este teorema establece:

Usando la fórmula para calcular el valor de &lt;math&gt;\tbinom{n}{k}&lt;/math&gt; (que también es representado ocasionalmente como &lt;math&gt;C(n,k)\,&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;C^n_k &lt;/math&gt;) se obtiene la siguiente representación:

&lt;math&gt;(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k&lt;/math&gt;

El coeficiente de &lt;math&gt;x^{n-k}y^k\,&lt;/math&gt; en el desarrollo de &lt;math&gt;(x+y)^n\,&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;{n\choose k}&lt;/math&gt;

donde &lt;math&gt;\tbinom{n}{k}&lt;/math&gt; recibe el nombre de [[coeficiente binomial]] y representa el número de formas de escoger ''k'' elementos a partir de un conjunto con ''n'' elementos.
Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

&lt;math&gt;(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n&lt;/math&gt;

=== Ejemplo ===
Como ejemplo, para ''n''=2, ''n''=3, ''n''=4, utilizando los coeficientes del [[triángulo de Pascal]]:

&lt;math&gt;\begin{cases}
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}&lt;/math&gt;

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar ''-y'' en lugar de ''y'' en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

:&lt;math&gt;(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,&lt;/math&gt;

== Teorema generalizado del binomio (Newton) ==

[[Isaac Newton]] generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
{{ecuación|&lt;math&gt;{(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty{r \choose k} x^{r-k} y^{k}}&lt;/math&gt;|3|left}}
Donde ''r'' puede ser cualquier [[número real]] (en particular, ''r'' puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

:&lt;math&gt;{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}&lt;/math&gt;

(el ''k''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de ''k'' = 1 es igual a ''r'', ya que los otros factores (''r''&amp;nbsp;−&amp;nbsp;1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
:&lt;math&gt;\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty{r+k-1 \choose k} x^k&lt;/math&gt;

La suma en {{eqnref|3}} converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos ''x'' e ''y'' sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el [[valor absoluto]] |&amp;nbsp;''x/y''&amp;nbsp;| sea [[fracción unitaria|menor que uno]].

== Coeficiente binomial ==
Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como  &lt;math&gt;\tbinom{\alpha}{k}&lt;/math&gt;  de forma sencilla:

:&lt;math&gt; {\alpha \choose k} := \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}. &lt;/math&gt;


== Generalizaciones == 
[[Archivo:partición de un conjunto.png|thumb|350px|right|Ejemplo combinacional de coeficiente trinomial.]]
En vez de considerar las potencias de ''a'' + ''b'', se puede considerar las del [[trinomio]] ''a'' + ''b'' + ''c''. De esta manera, (''a'' + ''b'' + ''c'')&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; es una suma de [[monomio]]s de la forma ''λ''&lt;sub&gt;''p'', ''q'', ''r''&lt;/sub&gt;
·''a''&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;·''b''&lt;sup&gt;''q''&lt;/sup&gt;·''c''&lt;sup&gt;''r''&lt;/sup&gt;, con ''p'', ''q'' y ''r'' positivos, ''p'' + ''q'' + ''r'' = ''n'', y ''λ''&lt;sub&gt;''p'', ''q'', ''r''&lt;/sub&gt; un número natural que se llama ''coeficiente trinomial''.&lt;ref&gt;{{cita libro |apellido=Harris |nombre=John |apellido2=Hirst |nombre2=Jeffry L. |apellido3=Mossinghoff |nombre3=Michael  |enlaceautor= |título=Combinatorics and Graph Theory |url= |fechaacceso=1 de octubre de 2012 |idioma=inglés |otros= |edición=2ª |año=2008 |editor= |editorial=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |ubicación=New York (USA)|isbn=0387797106 |capítulo=2.3. Multinomial coefficients |páginas=145-147 |cita= }}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{MathWorld|TrinomialCoefficient|Trinomial Coefficient}}&lt;/ref&gt;
Los cálculos son similares a los del coeficiente binomial, y se dan mediante la siguiente expresión:

:&lt;math&gt; \lambda_{p,q,r} = {n \choose p,q,r} = \frac {n!} {p! q! r!} &lt;/math&gt;, 

en subconjuntos de ''p'', ''q'' y ''r'' elementos. 

[[Archivo:pirámide de Pascal.png|thumb|right|Pirámide de Pascal. Se han dibujado las primeras secciones a partir de la cumbre.]]
Estos coeficientes se pueden considerar como la analogía tridimensional del triángulo de Pascal. De hecho, a la distribución de estos coeficientes al estilo piramidal se le conoce como ''[[pirámide de Pascal]]''; es también [[infinito|infinita]], con secciones triangulares, y el valor en cada casilla es la suma de los valores de las tres casillas encima de ella.

En esta pirámide se observa una invariante por rotación de 120 grados alrededor de un eje vertical que pasa por el vértice. El triángulo de Pascal aparece en las tres caras de la pirámide.

De igual manera, todo esto se puede generalizar a [[dimensión|dimensiones]] finitas cualesquiera, pero sin la posibilidad de hacer dibujos explicativos sencillos.</text>
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    <title>Aritmética/Sistema Métrico Decimal/Medida compleja</title>
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Es aquella que expresa distintas clases de unidades.

Medida incompleja o simple

Se expresa únicamente con una clase de unidades.

Paso de medidas complejas a incomplejas

Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener como resultado final.

Paso de medidas incomplejas a complejas

Tenemos dos casos:

1º Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir.

2º Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar.

==Fuentes==

http://www.vitutor.com/di/m/a_10.html

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/sismetdec.htm

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=== Números negativos ===

[[Brahmagupta]], en el 628 de nuestra era, considera las dos raíces de las [[ecuación cuadrática|ecuaciones cuadráticas]], aunque una de ellas sea negativa o irracional. De hecho en su obra es la primera vez que aparece sistematizada la [[aritmética]] (+, -, *, / , potencias y raíces) de los números positivos, negativos y el cero, que él llamaba ''los bienes'', ''las deudas'' y ''la nada''. Así, por ejemplo, para el cociente, establece:

''Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es afirmativo. Cifra dividido por cifra es nada (0/0=0). Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por afirmativo es negativo. Positivo o negativo dividido por cifra es una fracción que la tiene por denominador (a/0=¿?)''

No solo utilizó los negativos en los cálculos, sino que los consideró como entidades aisladas, sin hacer referencia a la [[Matemáticas/Geometría]]. Todo esto se consiguió gracias a su despreocupación por el rigor y la fundamentación lógica, y su mezcla de lo práctico con lo formal.

Sin embargo el tratamiento que hicieron de los negativos cayó en el vacío, y fue necesario que transcurrieran varios siglos (hasta el [[Renacimiento]]) para que fuese recuperado.

Al parecer los chinos también poseían la idea de número negativo, y estaban acostumbrados a calcular con ellos utilizando varillas negras para los negativos y rojas para los positivos.</text>
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    <title>Trigonometría/Fórmula de Euler</title>
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      <text bytes="1278" sha1="77ds5cvpqkeeo51rwimvjazfas9oeia" xml:space="preserve">La '''fórmula de Euler''' o '''relación de Euler''', atribuida a [[Leonhard Euler]], establece el teorema, en el que:
&lt;center&gt; &lt;math&gt;e^{i x} = \cos x + i\,\sen x&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

para todo [[número real]] ''x'', que representa un ángulo en el [[plano complejo]]. Aquí, ''e'' es la [[número e|base del logaritmo natural]], ''i'' es la [[unidad imaginaria]], &lt;math&gt;\sen x&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt; son las [[trigonometría|funciones trigonométricas]] [[seno (trigonometría)|seno]] y [[coseno]].

O bien se suele expresar como:

&lt;center&gt;&lt;math&gt;e^{z} = e^{x + i y} =e^{x}(\cos y + i\,\sen\,y)&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

siendo &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; la variable compleja definida por &lt;math&gt;z=x+iy&lt;/math&gt;

== Seno y coseno, funciones complejas ==
El seno y coseno se definen en [[números complejos|matemática compleja]], gracias a la [[fórmula de Euler]] como:
{{ecuación|
&lt;math&gt;\sin \alpha= \dfrac {e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}, \qquad \cos \alpha= \frac {e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}&lt;/math&gt;
||left}}
Por lo tanto, la tangente quedará definida como:
{{ecuación|
&lt;math&gt;\tan \alpha =\dfrac{1}{i} \dfrac {e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}} =\ {-i} \dfrac {e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}&lt;/math&gt;
||left}}
Siendo &lt;math&gt;i=\sqrt{-1}&lt;/math&gt;.

{{AutoCat}}</text>
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    <title>Matemáticas/Geometría/Enlaces</title>
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      <text bytes="559" sha1="04ufd1svoy700kwr9ykjmzpqwxwbohd" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Recursos:

http://recursostic.es/descartes/web/materiales_didacticos/06geometria/

http://www.vitutor.com/geo/eso/geometria_plana.html

http://www.aplicaciones.info/decimales/geoplana.htm

Lectura opcional:

*{{cita libro |autor= Edwin Abbott Abbott |título=Planilandia, una novela de muchas dimensiones|url=https://www.fceia.unr.edu.ar/darquitectonico/data/pdf/Planilandia.pdf |idioma= español|edición=1999 |año=1884 |editor= José J. de Olañeta|editorial= |ubicación=Palma de Mallorca |isbn=84-7651-781-5 |capítulo= |páginas=69 |cita= }}</text>
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    <title>Matemáticas/Teoría de anillos/Ideales y Divisibilidad</title>
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      <text bytes="9392" sha1="qw18swm86urlchonok22dnz0oxt3fs2" xml:space="preserve">= Ideal =

Un '''ideal''' es una [[estructura algebraica|subestructura algebraica]] definida en la teoría de [[anillo (matemáticas)|anillos]]. Los ideales generalizan, de manera fecunda, el estudio de la [[divisibilidad]] entre los números enteros hacia otros objetos matemáticos. De este modo, es posible enunciar versiones muy generales de teoremas de la aritmética elemental, tales como el [[teorema chino del resto#resultado para los anillos generales|teorema chino del resto]] o el [[teorema fundamental de la aritmética]], válidos para los ideales. Se puede comparar también esta noción con la de [[subgrupo normal]] para la estructura algebraica de [[grupo (matemáticas)|grupo]] en el sentido de que facilita definir la noción de [[anillo cociente]] como una extensión natural de la noción de [[grupo cociente]] &lt;ref&gt;A.I. Kostrikin. «Introducción al álgebra» Editorial Mir, Moscú (1983)&lt;/ref&gt;.

== Definición ==

Un subconjunto &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; no vacío de un anillo &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es un '''ideal por la izquierda de ''A''''' si:

# ''I'' es un [[subgrupo]] aditivo de ''A''.
# &lt;math&gt;\forall (a,x) \in A \times I : a \times x \in I&lt;/math&gt; (El producto por la izquierda de un elemento de ''I'' por un elemento de ''A'' pertenece a ''I'').

y es un '''ideal por la derecha de ''A''''' si:

# ''I'' es un [[subgrupo]] aditivo de ''A''.
# &lt;math&gt;\forall (x,a) \in I \times A : x \times a \in I&lt;/math&gt; (El producto por la derecha de un elemento de ''I'' por un elemento de ''A'' pertenece a ''I'').

Un '''ideal bilátero''' es un ideal por la derecha y por la izquierda. En un anillo conmutativo, las nociones de ideal por la derecha, de ideal por la izquierda y de ideal bilátero coinciden y simplemente se habla de ideal. 

=== Ejemplos ===

* Para todo entero relativo &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;k \mathbb{Z}&lt;/math&gt; es un ideal de &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.
* Si ''A'' es un anillo, {0} y A son ideales triviales de ''A''. Estos dos ideales tienen un interés muy limitado. Por esta razón se llamará '''ideal propio''' a todo ideal no trivial.
* Si ''A'' es un anillo unitario y si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; es un ideal que contiene a 1 entonces &lt;math&gt;I = A&lt;/math&gt;. De modo más general, si, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; contiene un elemento inversible, entonces &lt;math&gt;I = A&lt;/math&gt;
* Los únicos ideales en un [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; son los ideales triviales.
== Operaciones con ideales ==

=== Suma ===

Si ''I'' y ''J'' son dos ideales de un anillo ''A'', entonces se puede comprobar que el conjunto &lt;math&gt;I+ J = \{x + y : x \in I \ e \ y \in J\}&lt;/math&gt; es un ideal. 

{{demostración|
Para comprobar que el aserto es correcto, debemos comprobar en primer lugar que ''I+J'' es subgrupo del grupo aditivo de ''A'', i.e., &lt;math&gt;(A,+)&lt;/math&gt;, y en segundo lugar tendremos que comprobar que &lt;math&gt;xa\in(I+J),~\forall x\in A,\forall a\in (I+J)&lt;/math&gt;.

::*En primer lugar, sea &lt;math&gt;z_1,z_2\in(I+J)\Rightarrow\exists (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in I\times J&lt;/math&gt; tales que &lt;math&gt;z_i=x_i+y_i~(i=1,2)&lt;/math&gt;. Como &lt;math&gt;I,J&lt;/math&gt; son ideales, entonces son subgrupos de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; y por ende, &lt;math&gt;(x_1-x_2,y_1-y_2)\in I\times J&lt;/math&gt;, de manera que &lt;math&gt;z_1+(-z_2)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)&lt;/math&gt; es un elemento del conjunto &lt;math&gt;I+J&lt;/math&gt;. Ergo, &lt;math&gt;\forall z_1,z_2\in I+J,~(z_1-z_2)\in I+J&lt;/math&gt;, por lo tanto &lt;math&gt;I+J&lt;/math&gt; es subgrupo de &lt;math&gt;(A,+)&lt;/math&gt;.
::* En segundo lugar, sea &lt;math&gt;z=(x+y)\in I+J&lt;/math&gt;. Por ser &lt;math&gt;I,J&lt;/math&gt; ideales de ''A'' se tiene que &lt;math&gt;(a\cdot x, b\cdot y)\in I\times J, ~\forall a,b\in A&lt;/math&gt;. De este modo, &lt;math&gt;a\cdot z=a\cdot(x+y)=a\cdot x+a\cdot y=(a\cdot x)+(a\cdot y)&lt;/math&gt;. Dado que &lt;math&gt;a\cdot x\in I,~\forall a\in A&lt;/math&gt; y lo análogo para &lt;math&gt;a\cdot y&lt;/math&gt;, se tiene que &lt;math&gt;a\cdot z\in I+J&lt;/math&gt;.

::Con esto queda demostrado que era correcta la afirmación enunciada.
}}

=== Intersección ===

Toda intersección de ideales es un ideal.

{{demostración|
Sea una familia de ideales &lt;math&gt;\{I_k\}&lt;/math&gt;, queremos comprobar que &lt;math&gt;I=\bigcap_k I_k&lt;/math&gt; es ideal:
::* Comprobemos que es subgrupo del grupo aditivo &lt;math&gt;(A,+)&lt;/math&gt;. Sean &lt;math&gt;x,y\in \bigcap_k I_k&lt;/math&gt;, entonces se tiene que &lt;math&gt;x,y\in I_k,\forall k&lt;/math&gt;. Como los &lt;math&gt;I_k&lt;/math&gt; son ideales, entonces &lt;math&gt;x-y\in I_k,\forall k&lt;/math&gt;, por lo que a su vez se tiene que &lt;math&gt;x-y\in\bigcap_k I_k=I&lt;/math&gt;. Por consiguiente ''I'' es subgrupo de &lt;math&gt;(A,+)&lt;/math&gt;.
::* Comprobemos ahora que &lt;math&gt;a\cdot x\in I, \forall a\in A,x\in I&lt;/math&gt;. Supongamos que &lt;math&gt;x\in I\Rightarrow x\in\bigcap_k I_k \Rightarrow x\in I_k, \forall k&lt;/math&gt;. Ahora bien, como los &lt;math&gt;I_k&lt;/math&gt; son ideales, sabemos que &lt;math&gt;a\cdot x\in I_k,\forall a\in A,\forall k \Rightarrow a\cdot x\in \bigcap_k I_k,\forall a\in A&lt;/math&gt;. Por consiguiente &lt;math&gt;a\cdot x\in I, \forall a\in A,x\in I&lt;/math&gt;.

::Queda con esto demostrado el aserto anterior, i.e., &lt;math&gt;\bigcap_k I_k&lt;/math&gt; es ideal, siendo &lt;math&gt;\{I_k\}&lt;/math&gt; una familia arbitraria de ideales de ''A''.
}}

El conjunto de los ideales de ''A'' con estas dos operaciones forma una [[orden total#Cadenas|cadena]]. De esta segunda ley se permite la noción de '''[[Generador de un ideal|ideal generado]]'''. Si ''P'' es un subconjunto de un anillo ''A'', se llama ''ideal generado por P'' a la intersección de todos los ideales de ''A'' que contienen a ''P'', notado usualmente como &lt;math&gt;\langle P \rangle&lt;/math&gt;. Se puede comprobar que:

#&lt;math&gt;\langle P \rangle = \{a_1x_1+\dots +a_nx_n:a_1,\dots,a_n\in P,~x_1,\dots,x_n\in A\}&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt; I+J= \langle I\cup J \rangle =\bigcap_k\{G_k:G_k \textrm{~es~ideal~en~}A\textrm{~y~} (I\cup J)\subseteq G_k\}&lt;/math&gt;

Ejemplos:
* Para un anillo &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, ''a'' ∈ ''A'' engendra el ideal &lt;math&gt;aA&lt;/math&gt; (por ejemplo ''n'' engendra &lt;math&gt;n\mathbb Z&lt;/math&gt;, ideal de &lt;math&gt;\mathbb Z&lt;/math&gt;)
* Si ''I'' y ''J'' son dos ideales de ''A'', el ideal &lt;math&gt;I+ J&lt;/math&gt; está engendrado por el subconjunto &lt;math&gt;I \cup J&lt;/math&gt; de ''A''.

=== Producto ===

Si ''I'' y ''J'' son dos ideales de un anillo, se llama producto de ''I'' y ''J'' al ideal &lt;math&gt; \textstyle IJ &lt;/math&gt; engendrado por todos los elementos de la forma ''xy'' donde ''x'' pertenece a ''I'' e ''y'' pertenece a ''J''. Se tiene que &lt;math&gt;IJ\subset I\cap J&lt;/math&gt;.

Como ejemplo, en el anillo &lt;math&gt;\mathbb Z&lt;/math&gt; , el producto de los ideales &lt;math&gt;n\mathbb Z&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;p\mathbb Z&lt;/math&gt; es el ideal &lt;math&gt;np\mathbb Z&lt;/math&gt; y este último está incluido en &lt;math&gt;n\mathbb Z \cap p\mathbb Z&lt;/math&gt;.
 
=== Anillo cociente === 

Si ''I'' es un ideal bilátero del anillo A, la relación &lt;math&gt;x \mathcal R y \Leftrightarrow x - y \in I&lt;/math&gt; es una [[relación de equivalencia]] compatible con las dos leyes del anillo. Se puede crear entonces, sobre el conjunto de las clases &lt;math&gt;\dot x = x + I &lt;/math&gt; una estructura de anillo denominada anillo cociente A/ I del anillo A por el ideal I. La construcción se realiza sobre la base del grupo aditivo del anillo. Cabe tomar como elementos de A/I las clases adjuntas a + I( llamadas «clases de restos respecto al módulo del ideal I»).

Como suma de clases  se define por (a +I) +&lt;sup&gt;º&lt;/sup&gt; (b+ I) =(a+b) + L; el opuesto  -&lt;sup&gt;º&lt;/sup&gt;(a+I) = -a + I.

Como producto de clases (a+I) ×&lt;sup&gt;º&lt;/sup&gt; (b+I)= ab + I. &lt;ref&gt;Kostrikin. Op. cit.&lt;/ref&gt;

== Casos particulares ==
'''[[Ideal principal]]''': es un ideal generado por ''un único'' elemento.

'''Ideal primario''': en un anillo conmutativo unitario, un ideal ''I'' es primario [[si y solo si]] para todo ''a'' y ''b'' tales que &lt;math&gt;ab\in I&lt;/math&gt; , si &lt;math&gt;a \notin I&lt;/math&gt; entonces existe un entero natural ''n'' tal que &lt;math&gt;b^n \in I&lt;/math&gt;.
 
'''[[Ideal primo]]''': en un anillo conmutativo unitario, ''I'' es un ideal primo si y solo si ''I'' es distinto de ''A'' y, para todo ''a'' y ''b'' pertenecientes a A tales que &lt;math&gt;ab\in I&lt;/math&gt;, si &lt;math&gt;a \notin I&lt;/math&gt; entonces &lt;math&gt;b \in I&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;P&lt;/math&gt; es un ideal primo de &lt;math&gt;A \Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A/P&lt;/math&gt; es [[dominio de integridad]].
 
'''Ideal irreducible''' : en un anillo conmutativo unitario, un ideal ''I'' es irreducible si no se puede escribir como intersección de dos ideales ''J'' y ''K'' diferentes de ''I''.

'''Ideal maximal''' : Un ideal &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; es maximal &lt;math&gt; \Leftrightarrow&lt;/math&gt; existen exactamente dos ideales que contienen a &lt;math&gt;M&lt;/math&gt;, a saber, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; y el mismo &lt;math&gt;M&lt;/math&gt;.
:En un anillo conmutativo unitario, un ideal maximal es necesariamente primo.
:el ideal &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; es un ideal maximal de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; si y solo si &lt;math&gt;A/M&lt;/math&gt; es un [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]].

'''[[Radical de un ideal]]''': Si ''I'' es un ideal de un anillo conmutativo ''A'', se llama [[Radical de un ideal|radical]] de ''I'', y se escribe &lt;math&gt;\sqrt{I}&lt;/math&gt; , al conjunto de los elementos ''x'' de ''A'' tales que existe un entero natural ''n'' para el cual &lt;math&gt; x^n \in I&lt;/math&gt;. Es un ideal de ''A''.

:Ejemplo: &lt;math&gt;30\mathbb Z&lt;/math&gt; es el radical de &lt;math&gt;360\mathbb Z&lt;/math&gt; 
:Si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es un anillo conmutativo, entonces tiene las propiedades siguientes:

:* &lt;math&gt; \sqrt{I} \supset I&lt;/math&gt;
:* &lt;math&gt;\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}&lt;/math&gt;
:* &lt;math&gt;\sqrt{IJ} = \sqrt{I \cap J} = \sqrt{I} \cap \sqrt{J}&lt;/math&gt;
:* Si, además, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es unitario, &lt;math&gt; \sqrt{I}=A \Leftrightarrow I = A&lt;/math&gt;

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    <title>Matemáticas/Teoría de anillos/Anillos de Polinomios</title>
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      <text bytes="13009" sha1="suc82a9k8th0uyblg75u18cdha6tpte" xml:space="preserve">Sea &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; un [[Anillo (matemática)|anillo]] y &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; cualquier [[conjunto]]. El conjunto &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; contiene los elementos de la forma:

{{Ecuación|&lt;math&gt;\sum_{i=1}^{m}a_ix_1^{k_{i1}}\cdots x_n^{k_{in}}&lt;/math&gt;,|1}}

en donde &lt;math&gt;m,\;n \in \mathbb{N}-\{0\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a_1,\ldots, a_m\in A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_1,\ldots, x_n\in S&lt;/math&gt; y cada &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-tupla &lt;math&gt;(k_{i1},\ldots, k_{in})&lt;/math&gt; de [[Número natural|números naturales]] es diferente para diferente valor de &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, se dice '''anillo de polinomios''' con ''indeterminadas'' en &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; sobre &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

== Introducción ==

Los [[Polinomio|polinomios]] más conocidos son los que tienen coeficientes [[Número entero|enteros]].

'''Ejemplo:'''

Sea &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; el [[Anillo (matemática)|anillo]] &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;S=\{x,y\}&lt;/math&gt;, un [[elemento algebraico|elemento]] de &lt;math&gt;\mathbb{Z}[S]&lt;/math&gt; es un polinomio de dos variables como:

::&lt;math&gt;4x^3y-5xy^2+3y^3&lt;/math&gt;

El [[conjunto]] de indeterminadas &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; puede ser un [[conjunto infinito]], pero cada polinomio contiene un número finito de términos.{{Cr}}

Si &lt;math&gt;S=\{x_1,\ldots, x_n\}&lt;/math&gt;, entonces se puede escribir &lt;math&gt;A[x_1,\ldots, x_n]&lt;/math&gt; en lugar de &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt;. Así, &lt;math&gt;A[x]&lt;/math&gt; es un anillo de polinomios en una sola indeterminada &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

A cada elemento &lt;math&gt;a\in A&lt;/math&gt; le corresponde un [[Polinomio|polinomio]] ([[monomio]], de hecho) en &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; como:

::&lt;math&gt;ax_1^0 \cdots x_n^0&lt;/math&gt;

ya que &lt;math&gt;x_i^0=1 \Rightarrow a=ax_1^0x_2^0x_3^0\cdots&lt;/math&gt;, por lo que &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es un subanillo de &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt;.

== Propiedades fundamentales ==
Hechos de interés sobre anillos de polinomios tienen que ver con las propiedades del mismo a partir del anillo en el que tienen sus coeficientes. Por ejemplo, cuando &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es un [[dominio de integridad|dominio íntegro]], &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; también lo es, y las unidades de &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; son las mismas que las de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. Por el contrario &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; nunca será un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]], no importando que &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; lo sea o no, pues aunque las unidades de &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; sean las mismas que las de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es tan sólo un subanillo de &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt;. Sin embargo, el anillo &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; es un dominio integro si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; lo es, luego, dado el caso, se puede construir el [[cuerpo de cocientes]] de &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; ([[Id est | i.e.]] el cuerpo de fracciones de polinomios), que se denota comúnmente por &lt;math&gt;A(S)&lt;/math&gt;. 

Los coeficientes de los polinomios de un anillo &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; pueden tomarse no solo como los elementos de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. En la práctica podemos hacer agrupaciones del tipo

{{Ecuación|&lt;math&gt;~4x^2y^3-5xy^2+2zy=(4x^2)y^3-(5x)y^2+2zy&lt;/math&gt;}}
y éstas también deben hacerse en un anillo de polinomios &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt;. Para ello se separan los elementos de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; en dos [[conjuntos disjuntos]], digamos &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;T&lt;/math&gt;, luego el anillo de polinomios &lt;math&gt;A[R][T]&lt;/math&gt; tiene coeficientes en el anillo de polinomios &lt;math&gt;A[R]&lt;/math&gt; e indeterminadas en &lt;math&gt;T\subset S&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es un anillo y &lt;math&gt;R\subseteq S&lt;/math&gt;, claramente &lt;math&gt;A[R]&lt;/math&gt; es un subanillo de &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt;.

Sea &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; un [[anillo unitario]]. Todo polinomio no nulo de &lt;math&gt;A[x]&lt;/math&gt; cuyo coeficiente director sea una unidad puede [[algoritmo de la división|dividir euclídeamente]] a cualquier otro polinomio de &lt;math&gt;A[x]&lt;/math&gt; y el grado del resto es estrictamente menor que el grado de del divisor. Es decir, si &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; son polinomios de &lt;math&gt;A[x]&lt;/math&gt; no nulos, con el coeficiente director de &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; una unidad de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, entonces existen polinomios &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A[x]&lt;/math&gt; tales que 
{{Ecuación2|
izq=&lt;math&gt;~D=dc+r&lt;/math&gt;|med=con|der=&lt;math&gt;\mathrm{grad}\, r&lt;\mathrm{grad}\, d&lt;/math&gt;
}}
Así, para que la división de polinomios sea siempre posible en un anillo de polinomios &lt;math&gt;A[x]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; debe de ser un cuerpo (i.e. todo elemento de A debe ser una unidad), y si así sucede &lt;math&gt;A[x]&lt;/math&gt; será un [[dominio euclídeo]]. Un hecho muy importante es que un anillo de polinomios &lt;math&gt;A[x]&lt;/math&gt; es un [[dominio de ideales principales]] (DIP) si y sólo si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es un cuerpo. Puesto que todos los dominios euclídeos son DIPs, tenemos que &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; no es un [[dominio euclídeo]] si &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; contiene más de un elemento, pues &lt;math&gt;A[S]=A[S\setminus\{x\}][x]&lt;/math&gt;, y &lt;math&gt;A[S\setminus\{x\}]&lt;/math&gt; nunca es un cuerpo y por tanto tampoco un DIP.

== Definición formal ==

=== Los monomios puros ===

La definición formal de los anillos de [[Polinomio|polinomios]] parte de la definición de los [[Monomio|monomios]] puros (sin coeficientes en un anillo; en muchos contextos, la palabra ''monomio'' corresponde a este significado, utilizándose entonces la palabra ''término'' para designar el producto de un coeficiente del anillo y un monomio). Notar que si &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; es un conjunto y, por ejemplo, &lt;math&gt;x,y,z\in S&lt;/math&gt;, un monomio a partir de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; puede ser

{{Ecuación|&lt;math&gt;~x^2yz^3&lt;/math&gt;.|3}}
En el monomio anterior, cada uno de los elementos &lt;math&gt;x,y,z\in S&lt;/math&gt; tiene un exponente [[Número natural|natural]].  Por tanto, podemos considerar a cada monomio con indeterminadas en &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; como una [[Función (matemática)|aplicación]] &lt;math&gt;u:S\longrightarrow\mathbb{N}&lt;/math&gt; (aquí y en el resto del artículo consideramos que &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; incluye al cero). El monomio {{Eqnref|3}} sería entendido entonces como la aplicación &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; dada por &lt;math&gt;u(x)=2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;u(y)=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;u(z)=3&lt;/math&gt; y donde &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; se anula para todos los demás elementos (si estos existen) de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;. Observar que un monomio puro es el [[Multiplicación|producto]] de un número finito de indeterminadas. Aunque &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; sea [[Conjunto infinito|infinito]], podemos obtener un monomio &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; haciendo que &lt;math&gt;u(s)&lt;/math&gt; sea nulo para todas aquellas indeterminadas que no queremos que aparezcan en el monomio. Por ejemplo, si &lt;math&gt;S=\{x,y,z\}&lt;/math&gt;, el monomio 

{{Ecuación|&lt;math&gt;~x^4y^2&lt;/math&gt;,|4}}
se corresponde con la [[Función (matemática)|aplicación]] &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; dada por &lt;math&gt;u(x)=4&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;u(y)=2&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;u(z)=0&lt;/math&gt;.


En vista de las consideraciones anteriores, la definición de un conjunto de monomios ha de ser la siguiente:

{{Definición
|Sea &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; un conjunto. El conjunto de los ''monomios'' con indeterminadas en &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, representado por &lt;math&gt;M&lt;/math&gt;, es el conjunto de todas las aplicaciones &lt;math&gt;u:S\longrightarrow\mathbb{N}&lt;/math&gt; tales que el conjunto &lt;math&gt;\{s\in S\mid u(s)\neq 0\}&lt;/math&gt; es finito.}}


Si &lt;math&gt;u,v\in M&lt;/math&gt;, se definen las aplicaciones &lt;math&gt;~u+v&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;~ku&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;, mediante

{{Ecuación2| izq=&lt;math&gt;~(u+v)(s)=u(s)+v(s)&lt;/math&gt; | med=y | der=&lt;math&gt;ku(s)=k\left(u(s)\right)&lt;/math&gt;}}

para todo &lt;math&gt;s\in S&lt;/math&gt;. 


Estas aplicaciones están bien definidas, y claramente &lt;math&gt;u+v\in M&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;ku\in M&lt;/math&gt;. Vemos pues que si &lt;math&gt;u,v&lt;/math&gt; son aplicaciones de &lt;math&gt;M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;u+v&lt;/math&gt; se interpreta como el [[Multiplicación|producto]] de los monomios representados por &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;, y si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; es un [[número natural]], &lt;math&gt;ku&lt;/math&gt; se interpreta como la [[Potenciación|potencia]] &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-sima del monomio representado por &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;. 


Nótese que el monomio &lt;math&gt;e&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; que toma constantemente el valor 0 es tal que

{{Ecuación2| izq=&lt;math&gt;u+e=e+u=u&lt;/math&gt;|med=y|der=&lt;math&gt;ke=ek=e&lt;/math&gt;}}

para todo &lt;math&gt;u\in M&lt;/math&gt;. Así, este monomio se representa por el mismo símbolo 0.


Obsérvese que el elemento &lt;math&gt;x\in S&lt;/math&gt; se interpreta en &lt;math&gt;M&lt;/math&gt;, claramente, como la [[Función (matemática)|aplicación]] &lt;math&gt;~ \epsilon_x&lt;/math&gt; que vale 1 en &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; y 0 en cualquier otro caso. En estos términos cualquier monomio &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; puede escribirse como 

{{Ecuación|&lt;math&gt;u=u(x_1)\epsilon_{x_1}+\cdots+u(x_n)\epsilon_{x_n}&lt;/math&gt;,|5}}
donde &lt;math&gt;x_1,\ldots, x_n\in S&lt;/math&gt; son los elementos de &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; para los cuales la [[Función (matemática)|aplicación]] &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; no se anula (por definición, estos elementos son siempre un número finito).  Claramente, cada término 

{{Ecuación|&lt;math&gt;u(x_i)\epsilon_{x_i}&lt;/math&gt;|6}}
de {{Eqnref|5}} representa el factor &lt;math&gt;x_{i}^{u(x_i)}&lt;/math&gt; en el monomio representado por &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;. Es decir, {{Eqnref|5}} se entiende como el monomio

{{Ecuación|&lt;math&gt;x_{1}^{u(x_1)}\cdots x_{n}^{u(x_n)}&lt;/math&gt;|7}}

=== Polinomios con coeficientes en un anillo ===
Para dar paso a la definición de un anillo de polinomios, observemos que un polinomio, como {{Eqnref|2}}, es una suma ''finita'' de monomios multiplicados por ''coeficientes'' en un [[Anillo (matemática)|anillo]] (en el caso de {{Eqnref|1}} los coeficientes son enteros). Así, por ejemplo, es suficiente asociar el polinomio {{Eqnref|1}} con una aplicación &lt;math&gt;p:M\longrightarrow\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;S=\{x,y\}&lt;/math&gt;, tal que &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; toma el valor del coeficiente correspondiente cuando se evalúa en un monomio &lt;math&gt;u\in M&lt;/math&gt;. En vista de esto tenemos:

{{Definición
|Sean &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; un conjunto, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; un anillo y &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; el conjunto de monomios de la definición 1.  El anillo de ''polinomios'' con indeterminadas en &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; sobre &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es el conjunto &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; de todas las aplicaciones &lt;math&gt;p:M\longrightarrow A&lt;/math&gt; tales que el conjunto &lt;math&gt;\{u\in M\mid p(u)\neq 0\}&lt;/math&gt; es finito.}}

Podemos considerar ahora los monomios con coeficientes en el anillo &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; como casos especiales de [[Polinomio|polinomios]]. Si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es [[Anillo unitario|unitario]], entonces podemos considerar al polinomio &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; que vale 1 en &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; y 0 en cualquier otro caso como el monomio &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; mismo. Para ver que, en realidad, tanto &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; como &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; son, desde el punto de vista algebraico, un subconjunto de &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; y que efectivamente &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; es un anillo que contiene a &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; como un subanillo, es necesario definir las operaciones de anillo sobre &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt;.

=== Operaciones sobre &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; ===

==== Definiciones ====

La adición sobre &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; claramente ha de definirse así:
{{Definición
|Sean &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; polinomios de &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt;. Se define &lt;math&gt;p+q&lt;/math&gt; como la aplicación dada por
{{Ecuación|&lt;math&gt;~(p+q)(u)=p(u)+q(u)&lt;/math&gt;|8}}
para todo monomio &lt;math&gt;u\in M&lt;/math&gt;. Es claro que &lt;math&gt;p+q\in A[S]&lt;/math&gt;.
}}


Esta definición se interpreta como la reducción de los términos semejantes ([[Id est | i.e.]] los coeficientes de un mismo monomio &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;) de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;q&lt;/math&gt;.


Cuando multiplicamos polinomios, acostumbramos sumar los términos semejantes que surjan en el producto para obtener un polinomio lo más reducido posible. En vista de esto, tenemos la definición de la multiplicación en &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt;:

{{Definición
|Sean &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; polinomios de &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt;. Se define &lt;math&gt;pq&lt;/math&gt; como la aplicación dada por
{{Ecuación|&lt;math&gt;~pq(u)=\sum_{s+t=u}p(s)q(t)&lt;/math&gt;|9}}
para todo monomio &lt;math&gt;u\in M&lt;/math&gt;. El miembro derecho de {{Eqnref|9}} es la suma de todos los productos &lt;math&gt;p(s)q(t)&lt;/math&gt; tales que &lt;math&gt;s+t=u&lt;/math&gt;. La aplicación &lt;math&gt;pq&lt;/math&gt; es claramente un polinomio de &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt;.
}}

==== Propiedades de anillo ====

Respecto de las operaciones de adición y multiplicación, según han sido definidas, el conjunto &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; cumple con que:

{{Definición|&lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; es un anillo ''Si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; es un anillo y &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; es un conjunto entonces &lt;math&gt;A[S]&lt;/math&gt; es un anillo.''
}}

== Referencias ==
{{listaref|2}}
=== Bibliografía ===
*{{cite book |last=Hall |first=F. M. |title=An Introduction to Abstract Algebra |volume=2 |publisher=Cambridge University Press |year=1969 |isbn=0521084849 |section=Section 3.6}}
*{{cite book |last=Herstein |first=I. N. |title=Topics in Algebra |publisher=Wiley |year=1975 |isbn=0471010901 |section=Section 3.9}}
*{{Citation |last=Lam |first=Tsit-Yuen |authorlink=Tsit Yuen Lam |title=A First Course in Noncommutative Rings |publisher=[[Springer-Verlag]] |location=Berlin, New York |isbn=978-0-387-95325-0 |year=2001}}
*{{Citation |last=Osborne |first=M. Scott |title=Basic homological algebra |publisher=[[Springer-Verlag]] |location=Berlin, New York |series=Graduate Texts in Mathematics |isbn=978-0-387-98934-1 |mr=1757274 |year=2000 |volume=196}}

[[Categoría:Álgebra]]

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    <title>Matemáticas/Teoría de anillos/Extensiones de Cuerpos</title>
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      <text bytes="8285" sha1="dsi3tfdi6bsxn9bnbo3bijro4uh55er" xml:space="preserve">== Definición. ==
Sea (''K'', +, ·) un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]]. Un cuerpo ''L'' es una '''extensión''' de ''K'' si ''K'' es un '''subcuerpo''' de ''L'', es decir si (''L'',+,·) es un cuerpo y (''K'',+,·) es un cuerpo con la restricción a ''K'' de las operaciones + y · en ''L''. Si ''L'' es extensión sobre ''K'' se denota ''L'':''K'' o ''L''/''K''.

=== Extensión sobre un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo ===
* Si ''L'' es una extensión de ''K'', entonces ''L'' es un [[espacio vectorial]] sobre ''K''.

En efecto, La adición de ''K'' sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de ''K'' por uno de ''L'' define el producto escalar del espacio vectorial:

Por definición de cuerpo, &lt;math&gt;(L,+)&lt;/math&gt; es [[grupo abeliano]], y podemos considerar el producto por escalares &lt;math&gt;\cdot: K \times L \longrightarrow L&lt;/math&gt; como una restricción a &lt;math&gt;K \times L&lt;/math&gt; del producto en &lt;math&gt;\cdot: L \times L \longrightarrow L&lt;/math&gt;. De esta forma es inmediato que se cumple que:

* &lt;math&gt;a \cdot (\alpha + \beta)= (a \cdot \alpha) + (a \cdot \beta)&lt;/math&gt;,

* &lt;math&gt;(a+b) \cdot \alpha = (a \cdot \alpha) + (b \cdot \alpha)&lt;/math&gt;,

* &lt;math&gt;(a \cdot (b \cdot \alpha))= (a \cdot b) \cdot \alpha&lt;/math&gt;,

* &lt;math&gt;1 \cdot \alpha = \alpha&lt;/math&gt;,

cualesquiera que sean &lt;math&gt;a,b \in K&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\alpha,\beta \in L&lt;/math&gt;. Las dos primeras propiedades son debidas a la [[distributividad]] del producto respecto de la suma en &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; y a que &lt;math&gt;K \subset L&lt;/math&gt;, la tercera se debe a que el producto es [[Asociatividad (álgebra)|asociativo]] en &lt;math&gt;L&lt;/math&gt;, y la cuarta se debe a que &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; es [[extensión de cuerpo|subcuerpo]] de &lt;math&gt;L&lt;/math&gt;, por lo que el [[elemento neutro|elemento unidad]] de &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; es el elemento unidad de &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;.

== Extensión simple ==
{{AP|Extensión simple}}

El conjunto &lt;math&gt;K(\alpha):= \left\{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}: f,g \in K[x], g(\alpha) \neq 0\right\}&lt;/math&gt;. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;, es subcuerpo de &lt;math&gt;L&lt;/math&gt;, y de hecho es la menor extensión de &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; que contiene a &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;. Se le denomina '''extensión generada por α''' sobre &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;.

== Extensiones algebraicas y trascendentes ==

=== Teorema de Kronecker. ===

Sea &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; un cuerpo y &lt;math&gt;p \in K[x]&lt;/math&gt; un [[polinomio irreducible]], entonces existe alguna extensión &lt;math&gt;L:K&lt;/math&gt; de manera que &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; tiene alguna [[raíz (matemática)|raíz]] en &lt;math&gt;L&lt;/math&gt;.

=== Homomorfismo evaluación ===

La [[Aplicación matemática|función]] &lt;math&gt;\beta: K[x] \longrightarrow K(\alpha)&lt;/math&gt; que a cada polinomio &lt;math&gt;p(x) \in K[x]&lt;/math&gt; le hace corresponder su evaluación en &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;, i.e., &lt;math&gt;\beta(p)=p(\alpha)&lt;/math&gt;. Esta aplicación es de hecho un [[homomorfismo de anillos|isomorfismo]] de [[anillo conmutativo unitario|anillos conmutativos y unitarios]], y se denomina [[homomorfismo evaluación]].

=== Extensión algebraica ===
{{AP|Extensión algebraica}}

Una extensión &lt;math&gt;L:K&lt;/math&gt; se dice que es [[extensión algebraica|algebraica]] si todo elemento &lt;math&gt;\alpha \in L&lt;/math&gt; es [[elemento algebraico|algebraico]] sobre &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;.

==== Elementos algebraicos ====
{{AP|Elemento algebraico}}

Supongamos que existe algún polinomio &lt;math&gt;p \in K[x]&lt;/math&gt; que tiene a &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; por [[raíz (matemática)|raíz]]. 

En esta situación (&lt;math&gt;\ker(\beta) \neq \{0\}&lt;/math&gt;, o equivalentemente, existe algún &lt;math&gt;p \in K[x]&lt;/math&gt; irreducible con &lt;math&gt;\frac{K[x]}{(p)} \cong K(\alpha)&lt;/math&gt;) se dice que &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; es algebraico sobre &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;.

Un elemento es entonces [[elemento algebraico|algebraico]] sobre un cuerpo si y sólo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

===== Polinomio mónico irreducible =====

Si &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; es un elemento algebraico sobre el cuerpo &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; de manera que &lt;math&gt;\alpha \notin K&lt;/math&gt;, el polinomio &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., &lt;math&gt;\ker \beta = (p)&lt;/math&gt;) es irreducible. Dividiendo &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; por su coeficiente principal (aquel [[Escalar (matemática)|escalar]] que multiplica a la mayor potencia de la variable &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por &lt;math&gt;m_{\alpha}^K&lt;/math&gt; y se denomina '''polinomio mónico irreducible''' de &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; respecto de &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;.

Claramente, &lt;math&gt;K(\alpha) \cong \frac{K[x]}{(m_{\alpha}^K)}&lt;/math&gt;.

=== Extensión trascendente ===
{{AP|Extensión transcendente}}
Una extensión &lt;math&gt;L:K&lt;/math&gt; se dice que es [[extensión trascendente|trascendente]] si existe algún elemento &lt;math&gt;\alpha \in L&lt;/math&gt; que sea [[Elemento trascendente|trascendente]] sobre &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;.

==== Elementos trascendentes ====
{{AP|Elemento trascendente}}

Si el [[Homomorfismo de anillos|ker]]&lt;math&gt;(\beta) = \{0\}&lt;/math&gt;, será &lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt; un [[Homomorfismo de anillos|monomorfismo]]. En ese caso, &lt;math&gt;K(x)&lt;/math&gt; es isomorfo a &lt;math&gt;K(\alpha)&lt;/math&gt;. 


Se dirá que el elemento &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; es [[elemento trascendente|trascendente]] sobre &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; y que &lt;math&gt;K(\alpha)&lt;/math&gt; es una [[extensión trascendente]] sobre &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;. Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; que tenga por raíz a &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; (es decir, si &lt;math&gt;p \in K[x]&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;p(\alpha) \neq 0&lt;/math&gt;).

== Grado de una extensión ==
{{AP|Grado de una extensión}}

Como todo espacio vectorial tiene [[base (álgebra)|base]], podemos calcular la [[dimensión]] de &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; como espacio vectorial sobre &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;, denotado por &lt;math&gt;\operatorname{dim}_K(L)&lt;/math&gt;. Se denomina '''grado de la extensión''' &lt;math&gt;L:K&lt;/math&gt; a la dimensión de &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; como &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-espacio vectorial: &lt;math&gt;[L:K] = \operatorname{dim}_K(L)&lt;/math&gt;.

Tomemos varios ejemplos:

''K'' = &lt;math&gt; \mathbb{Q} &lt;/math&gt; el [[Números racionales|cuerpo de los racionales]] y ''L'' = &lt;math&gt; \mathbb{R} &lt;/math&gt; el [[Números reales|cuerpo de los reales]]; &lt;math&gt; \mathbb{R} &lt;/math&gt; visto como espacio vectorial sobre &lt;math&gt; \mathbb{Q} &lt;/math&gt;, es de dimensión infinita, es decir, &lt;math&gt; [\mathbb{R} : \mathbb{Q}] = \infty &lt;/math&gt;.

El resultado no sorprende si se considera los [[números infinitos|cardinales]] de ambos conjuntos: Si la dimensión de &lt;math&gt; \mathbb{R} &lt;/math&gt; sobre &lt;math&gt; \mathbb{Q} &lt;/math&gt; fuese finita, &lt;math&gt; \mathbb{R} &lt;/math&gt; sería [[isomorfo]] a &lt;math&gt; \mathbb{Q}^{n} , n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, lo que no es posible porque &lt;math&gt; |\mathbb{Q}^{n}| = |\mathbb{Q}| = |\mathbb{N}| &lt; |\mathbb{R}|&lt;/math&gt;. 

Si ''K'' = &lt;math&gt; \mathbb{Q} &lt;/math&gt;, el cuerpo de los racionales y ''L'' = &lt;math&gt; \mathbb{Q}(\sqrt{2}) &lt;/math&gt;, el menor cuerpo que contiene a la vez &lt;math&gt; \mathbb{Q} &lt;/math&gt; y √2, claramente &lt;math&gt; \mathbb{Q}(\sqrt{2}) &lt;/math&gt; es una [[extensión algebraica]] de &lt;math&gt; \mathbb{Q} &lt;/math&gt;, ya que &lt;math&gt; \sqrt{2} &lt;/math&gt; es raíz del polinomio &lt;math&gt; x^2 -2 &lt;/math&gt;.

Al mismo tiempo: 

&lt;math&gt; \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \cong \mathbb{Q}[x]/(x^{2}-2)&lt;/math&gt; 

ya que el [[Ideal (teoría de anillos)|ideal]] &lt;math&gt; (x^{2}-2) &lt;/math&gt; es el núcleo del morfismo &lt;math&gt;\beta: \mathbb{Q}[x] \longrightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{2})&lt;/math&gt;, claramente este es un [[Epimorfismo|morfismo suprayectivo]], se sigue del [[Teorema de isomorfia de Noether|primer teorema de isomorfismo]] que son campos isomorfos. 

Además &lt;math&gt; [\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = 2 &lt;/math&gt;, es decir, la dimensión de &lt;math&gt; \mathbb{Q}(\sqrt{2}) &lt;/math&gt; como espacio vectorial sobre &lt;math&gt; \mathbb{Q} &lt;/math&gt; es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio mónico e irreducible que tiene a √2 como raíz: &lt;math&gt; x^2 - 2 &lt;/math&gt;.

En general:

&lt;math&gt; [\mathbb{K}(\alpha) : \mathbb{K}] = n &lt;/math&gt; si &lt;math&gt; n &lt;/math&gt; es el grado del polinomio mónico e irreducible en &lt;math&gt; \mathbb{K}[x] &lt;/math&gt; que tiene a &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt; como raíz, donde &lt;math&gt; \mathbb{K} &lt;/math&gt; es un cuerpo y &lt;math&gt; \mathbb{K}[x] &lt;/math&gt; son los polinomios con coeficientes en &lt;math&gt; \mathbb{K} &lt;/math&gt;.

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    <title>Matemáticas/Teoría de anillos/Tipos de Dominios</title>
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        <username>Mazbel</username>
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      <comment>Plantilla al final: {{AutoCat}}</comment>
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      <text bytes="10937" sha1="7f89kdqg8ebsw3zr6mq43248bqg2m84" xml:space="preserve">Un '''dominio de integridad''', '''dominio íntegro''', '''anillo íntegro''', '''dominio entero'''&lt;ref&gt; Este último término es un abuso de lenguaje y puede dar lugar a confusión, ya que la palabra ''dominio'' tiene varios usos en Matemática&lt;/ref&gt; es un [[anillo (matemáticas)|anillo]] &lt;math&gt;(R,+,\cdot)&lt;/math&gt; que carece de [[Divisor de cero|elementos divisores de cero]] por la izquierda y de elementos divisores de cero por la derecha (con lo cual carece de elementos divisores de cero).

Un subanillo de un dominio de integridad es también un dominio de integridad.

En la literatura &quot;antigua&quot; se exige (a veces se sobreentiende) que el anillo es [[anillo conmutativo|conmutativo]] y [[anillo unitario|unitario]], porque se ignoraba la existencia de anillos no conmutativos que no tuvieran divisores de cero (por la izquierda o por la derecha). Los '''dominios de Maltsev''' &lt;ref&gt;Entre otros, hay un manual de Álgebra lineal de Maltsev&lt;/ref&gt; son un tipo de anillos no conmutativos que carecen de elementos divisores de cero (ni por la izquierda ni por la derecha). Respecto a dominios íntegros no unitarios, el conjunto &lt;math&gt;2\mathbb{Z}&lt;/math&gt; es un subanillo no unitario del dominio de integridad &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;. En este artículo, un dominio íntegro será siempre un anillo conmutativo y unitario (ya que así se entiende en la mayor parte de la literatura, señalándose los casos en que no se adopta estos criterios).

Todo [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] es dominio de integridad conmutativo y unitario. Más en general, todo [[anillo de división]] es dominio de integridad unitario.
==Ejemplos==
# &lt;math&gt; (Z, +, \cdot) &lt;/math&gt;
#  &lt;math&gt; (Q, +, \cdot) &lt;/math&gt;  &lt;math&gt; (R, +, \cdot) &lt;/math&gt;  &lt;math&gt; (C, +, \cdot) &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Kostrikin «Introducción al álgebra» Editorial Mir, Moscú ( 1987)&lt;/ref&gt;
# &lt;math&gt; (Z[i], +, \cdot) &lt;/math&gt; siendo  '''Z'''[i] = {r+si/ r, s están en '''Z'''} es un dominio entero  llamado '''anillo de los enteros de Gauss'''.
#&lt;math&gt;( H, +,\cdot) &lt;/math&gt;    siendo sus elementos los números reales &lt;math&gt; x = m+n\sqrt{5} &lt;/math&gt; con &lt;math&gt;m, n&lt;/math&gt; números enteros
#&lt;math&gt;( J, +,\cdot) &lt;/math&gt;    siendo sus elementos los números complejos &lt;math&gt; x = m+ni\sqrt{5} &lt;/math&gt; con &lt;math&gt;m, n&lt;/math&gt; números enteros, ''i'', unidad imaginaria.
#&lt;math&gt;( K, +,\cdot) &lt;/math&gt;    siendo sus elementos los números reales &lt;math&gt; x = m+n\sqrt[3]{5} + p\sqrt[3]{25} &lt;/math&gt; con &lt;math&gt;m, n, p&lt;/math&gt; números enteros.&lt;ref&gt;Kostrikin. Op. cit.&lt;/ref&gt;

== Cuerpo de cocientes de un dominio íntegro ==

Una de las propiedades más interesantes de un dominio de integridad es la de que existe «el menor cuerpo que lo contiene». De forma más precisa:

Sea &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; un dominio íntegro (conmutativo y unitario). Denotamos por &lt;math&gt;R^*&lt;/math&gt; al conjunto &lt;math&gt;R \setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Establecemos en el conjunto &lt;math&gt;R \times R^*&lt;/math&gt; la [[Correspondencia matemática|relación]] &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; definida por &lt;math&gt;(a,b) \mathcal{R} (c,d)&lt;/math&gt; cuando y sólo cuando &lt;math&gt;a \cdot d = b \cdot c&lt;/math&gt;. Es sencillo comprobar que &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; es una [[relación de equivalencia]]. Denotaremos por &lt;math&gt;Q(R)&lt;/math&gt; al [[conjunto cociente]] &lt;math&gt;\textstyle \frac{R \times R^*}{\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, y por &lt;math&gt;\textstyle \frac{a}{b}&lt;/math&gt; a la [[clase de equivalencia]] del [[par ordenado]] &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;.

=== Operaciones suma y producto en el cuerpo de cocientes ===

==== Suma ====

Se define la [[suma]] &lt;math&gt; +: Q(R) \times Q(R) \longrightarrow Q(R)&lt;/math&gt; de la siguiente manera: 

:&lt;math&gt; + \left ( \frac{a}{b},\frac{c}{d} \right ) := \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{(a \cdot d) + (b \cdot c)}{b \cdot d}&lt;/math&gt;, 

cualesquiera que sean &lt;math&gt;\textstyle \frac{a}{b},\frac{c}{d} \in Q(R)&lt;/math&gt;. Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro &lt;math&gt;\textstyle \frac{0}{1}&lt;/math&gt; y que todo elemento &lt;math&gt;\textstyle \frac{a}{b} \in Q(R)&lt;/math&gt; tiene por [[elemento simétrico]] (elemento opuesto) a &lt;math&gt;\textstyle - \frac{a}{b}&lt;/math&gt;. Así, &lt;math&gt;(Q(R),+)&lt;/math&gt; es un [[grupo abeliano]].

==== Producto ====

Se define la [[multiplicación]] &lt;math&gt; \cdot: (Q(R) \setminus \{ 0 \}) \times (Q(R) \setminus \{ 0 \}) \longrightarrow Q(R)&lt;/math&gt; de la siguiente manera: 

:&lt;math&gt; \cdot \left ( \frac{a}{b},\frac{c}{d} \right ) := \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}&lt;/math&gt;, 

cualesquiera que sean &lt;math&gt;\textstyle \frac{a}{b},\frac{c}{d} \in Q(R) \setminus \{ 0 \}&lt;/math&gt;. Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro &lt;math&gt;\textstyle \frac{1}{1}&lt;/math&gt; y que todo elemento &lt;math&gt;\textstyle \frac{a}{b} \in Q(R)&lt;/math&gt; tiene por [[elemento simétrico]] (elemento inverso) a &lt;math&gt;\textstyle \frac{b}{a}&lt;/math&gt;. Así, &lt;math&gt;\textstyle (Q(R) \setminus \{ 0 \},\cdot)&lt;/math&gt; es un [[grupo abeliano]].

==== Distributividad ====

Se demuestra sin dificultad que &lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt; es distributiva respecto de +. Esto hace que &lt;math&gt;(Q(R),+,\cdot)&lt;/math&gt; quede dotado de estructura de cuerpo.

== Divisibilidad en un dominio íntegro (conmutativo y unitario) cualquiera ==

Quizás el aspecto más interesante que ofrecen los dominios íntegros es el de poder genralizar a ellos muchas de las propiedades sobre [[divisibilidad]] que conocemos en el anillo de los [[número entero|números enteros]] &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

En adelante, &lt;math&gt;a,b,c,d,r,x,y,m,u&lt;/math&gt; representarán elementos en el dominio íntegro &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; (i.e. &lt;math&gt;a,b,c,d,r,x,y,m,u \in R&lt;/math&gt;).

Se dice que &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; son '''asociados''' si existe un &lt;math&gt;u \in U(R)&lt;/math&gt; de manera que &lt;math&gt;a = b \cdot u&lt;/math&gt;. Se denota por &lt;math&gt;a \sim b&lt;/math&gt;.

Se denota por  &lt;math&gt;U(R)&lt;/math&gt; el conjunto formado por todos los divisores de la identidad, 1, llamados unidades del anillo. 

Se dice que &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; '''divide a''' &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; si existe un &lt;math&gt;r \in R&lt;/math&gt; de manera que &lt;math&gt;b = a \cdot r&lt;/math&gt;. Se denota por &lt;math&gt;a | b&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; son asociados, entonces &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; divide a &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; divide a &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;.

Se dice que un [[elemento algebraico|elemento]] &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de un dominio íntegro &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; es un '''átomo''' o '''elemento irreducible''' (a veces se dice simplemente que es un '''irreducible''') de &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;a \neq 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a \notin U(R)&lt;/math&gt;, y si &lt;math&gt;a = b \cdot c&lt;/math&gt; entonces o bien es &lt;math&gt;b \in U(R)&lt;/math&gt; o bien &lt;math&gt;c \in U(R)&lt;/math&gt; (o los dos).

Se dice que un elemento &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de un dominio es un '''elemento primo''' (o simplemente '''primo''') si el [[ideal de un anillo|ideal]] generado por &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; es [[ideal primo]] de &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;.

Lo cierto es que la notación es un poco confusa cuando nos referimos a los números enteros. En ese caso, el concepto de número primo corresponde con el de elemento irreducible (que además sea positivo), y tedríamos que el 0 y el 1 serían elementos primos de &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, aunque no serían números primos.

Si &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; es elemento primo del dominio íntegro &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a \neq 0&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;a \notin U(R)&lt;/math&gt; entonces &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; es irreducible.

=== Máximo común divisor y mínimo común múltiplo ===

Sean &lt;math&gt;a,b \in R&lt;/math&gt;.
* Un '''[[máximo común divisor]]''' de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;, (denotado por &lt;math&gt;\mathrm{mcd}(a,b)&lt;/math&gt;) es, si existe, un elemento &lt;math&gt;d \in R&lt;/math&gt; de tal manera que &lt;math&gt;d|a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d|b&lt;/math&gt; y si &lt;math&gt;d' \in R&lt;/math&gt; es tal que &lt;math&gt;d'|a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;d'|b&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;d'|d&lt;/math&gt;.
* Un '''[[mínimo común múltiplo]]''' de &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;, (denotado por &lt;math&gt;\mathrm{mcm}(a,b)&lt;/math&gt;) es, si existe, un elemento &lt;math&gt;m \in R&lt;/math&gt; de tal manera que &lt;math&gt;a|m&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b|m&lt;/math&gt; y si &lt;math&gt;m' \in R&lt;/math&gt; es tal que &lt;math&gt;a|m'&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b|m'&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;m|m'&lt;/math&gt;.
Es de destacar que no se dice ''el'' máximo común denominador ni ''el'' mínimo común múltiplo, sino '''un''' máximo común divisor o '''un''' mínimo común múltiplo. Esto es debido a que, tal y como están definidos, un mismo par de elementos &lt;math&gt;a,b \in R&lt;/math&gt; pueden tener más de un máximo común divisor y más de un mínimo común múltiplo. Por otra parte, en un dominio de integridad no siempre está asegurada la existencia del mínimo común múltiplo o del máximo común denominador de dos elementos cualesquiera.

Dos elementos &lt;math&gt;a,b \in R&lt;/math&gt; se dicen coprimos si existe &lt;math&gt;\mathrm{mcd}(a,b)&lt;/math&gt; y además &lt;math&gt;\mathrm{mcd}(a,b) \in U(R)&lt;/math&gt; (es decir, 1 es &lt;math&gt;\mathrm{mcd}(a,b)&lt;/math&gt;).

==== Propiedades ====

* Si &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;d'&lt;/math&gt; son &lt;math&gt;\mathrm{mcd}(a,b)&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;d \sim d'&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;m'&lt;/math&gt; son &lt;math&gt;\mathrm{mcm}(a,b)&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;m \sim m'&lt;/math&gt;. Escribiremos entonces siempre &lt;math&gt;d \sim \mathrm{mcd}(a,b)&lt;/math&gt; en lugar de &lt;math&gt;d=\mathrm{mcd}(a,b)&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;m \sim \mathrm{mcm}(a,b)&lt;/math&gt; en lugar de &lt;math&gt;m=\mathrm{mcm}(a,b)&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;\mathrm{mcd}(a \cdot c, b \cdot c) = \mathrm{mcd}(a,b) \cdot c&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;d \sim \mathrm{mcd}(a,b)&lt;/math&gt; entonces &lt;math&gt;\mathrm{mcd}(\frac{a}{d},\frac{b}{d}) \sim 1&lt;/math&gt; (es decir, &lt;math&gt;\frac{a}{d}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;\frac{b}{d}&lt;/math&gt; son coprimos).
* Si &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; son coprimos (i.e. &lt;math&gt;\mathrm{mcd}(a,b) \in U(R)&lt;/math&gt;), entonces, para cualquiera que sea &lt;math&gt;r \in R&lt;/math&gt; se cumple que &lt;math&gt;\mathrm{mcd}(r, a \cdot b) = \mathrm{mcd}(r,a) \cdot \mathrm{mcd}(r,b)&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;a|b&lt;/math&gt; entonces &lt;math&gt;\mathrm{mcd}(a,b)=a&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;d \sim \mathrm{mcd}(a,b)&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;m \sim \mathrm{mcm}(a,b)&lt;/math&gt; entonces &lt;math&gt;m \cdot d \sim a \cdot b&lt;/math&gt; (en particular esto significa que si existe máximo común divisor de dos elementos, entonces existe su mínimo común múltiplo, y viceversa).
* Si &lt;math&gt;a,b,c,r \in R \setminus \{0 \}&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;a=b \cdot c + r&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;\mathrm{mcd}(a,b) \sim \mathrm{mcd}(b,r)&lt;/math&gt;.

Estas son las principales afirmaciones que podemos decir sobre divisibilidad en dominios de integridad sin exigir más condiciones, como que el anillo R sea [[dominio de factorización única]], [[dominio de ideales principales]] o que sea [[dominio euclídeo]].

==Proposiciones==
;Teorema
Todo dominio entero finito es un campo&lt;ref&gt;Fraleigh. ''álgebra abstracta'' (1987)&lt;/ref&gt;

;Corolario
Si p es un primo, entonces el dominio entero Z(p)= {0, 1, 2,..., p-1} es un campo&lt;ref&gt;Fraleigh. ''álgebra abstracta'' (1987)&lt;/ref&gt;

==Bibliografía==
Birkhoff- Mc Lane. ''Algebra Moderna'' ( en un capítulo inicial)

== Véase también ==
*[[Dominio (álgebra)]]

== Notas y referencias==
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    <title>Matemáticas/Combinatoria/Binomio de Newton</title>
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== Formulación del teorema ==

Este teorema establece:
Usando la fórmula para calcular el valor de &lt;math&gt;\tbinom{n}{k}&lt;/math&gt; (que también es representado ocasionalmente como &lt;math&gt;C(n,k)\,&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;C^n_k &lt;/math&gt;) se obtiene la siguiente representación:
&lt;math&gt;(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k&lt;/math&gt;
El coeficiente de &lt;math&gt;x^{n-k}y^k\,&lt;/math&gt; en el desarrollo de &lt;math&gt;(x+y)^n\,&lt;/math&gt; es &lt;math&gt;{n\choose k}&lt;/math&gt;
donde &lt;math&gt;\tbinom{n}{k}&lt;/math&gt; recibe el nombre de [[coeficiente binomial]] y representa el número de formas de escoger ''k'' elementos a partir de un conjunto con ''n'' elementos.
Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
&lt;math&gt;(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n&lt;/math&gt;
=== Ejemplo ===
Como ejemplo, para ''n''=2, ''n''=3, ''n''=4, utilizando los coeficientes del [[triángulo de Pascal]]:
{{ecuación|&lt;math&gt;\begin{cases}
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}&lt;/math&gt;|2|left}}
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar ''-y'' en lugar de ''y'' en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
:&lt;math&gt;(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,&lt;/math&gt;

== Teorema generalizado del binomio (Newton) ==

[[Isaac Newton]] generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita (que converge cuando |x/y|&lt;1):
{{ecuación|&lt;math&gt;{(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty{r \choose k} x^{r-k} y^{k}}&lt;/math&gt;|3|left}}
Donde ''r'' puede ser cualquier [[número real]] (en particular, ''r'' puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

:&lt;math&gt;{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}&lt;/math&gt;

(el ''k''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de ''k'' = 1 es igual a ''r'', ya que los otros factores (''r''&amp;nbsp;−&amp;nbsp;1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
:&lt;math&gt;\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty{r+k-1 \choose k} x^k&lt;/math&gt;

La suma en {{eqnref|3}} converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos ''x'' e ''y'' sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el [[valor absoluto]] |&amp;nbsp;''x/y''&amp;nbsp;| sea [[fracción unitaria|menor que uno]].</text>
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    <title>Matemáticas/Combinatoria/Permutación</title>
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Una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto ordenado o una tupla sin elementos repetidos.

== Definición formal ==
La definición intuitiva de permutación, como ordenamientos o arreglos de los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje de [[funciones matemáticas]].
{{definición|1=Una permutación de un conjunto ''X'' es una [[función biyectiva]] de dicho conjunto en sí mismo.}}
[[File:Permutación de 1,2,3.svg|thumb|Ejemplo de permutación considerada como función biyectiva.]]
Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción. En el ejemplo, ''X''={1, 2, 3}.

Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí mismo equivale a una forma de ordenar los elementos.

Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por
* 1 → 1
* 2 → 2
* 3 → 3
puede hacerse corresponder al ordenamiento &quot;1, 2, 3&quot;.

Por otro lado, la asignación biyectiva dada por
* 1 → 3
* 2 → 2
* 3 → 1
puede hacerse corresponder al ordenamiento &quot;3, 2, 1&quot;.

En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre ''X'', el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el caso en que ''X'' es un conjunto finito al estudiar permutaciones.

La [[combinatoria]] trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado, respetando ciertas reglas, como el tamaño, el orden, la repetición,  la partición. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben ser las [[combinaciones|agrupaciones]] y determinar cuántas existen que cumplan dicha regla. Básicamente, tres asuntos: permutaciones, combinaciones y variaciones (aunque se puede considerar a las permutaciones como un tipo especial de variaciones), todas sin repetición o con ella.

Un tipo importante de esas agrupaciones son las llamadas '''permutaciones'''. Dada una ''n''-[[tupla]] ordenada de elementos de un conjunto, el número de permutaciones es el número de ''n''-tuplas ordenadas .

=== Fórmula del número de permutaciones ===
Dado un conjunto finito  &lt;math&gt;A \,\!&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;n\,\!&lt;/math&gt; elementos, el número de '''todas''' sus permutaciones es igual a  [[Factorial|factorial de n]]:&lt;br /&gt;
&lt;math&gt;n!=n(n-1)(n-2)\cdots 1\,\!&lt;/math&gt;.

Demostración:
Dado que hay &lt;math&gt;n \,\!&lt;/math&gt; formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos &lt;math&gt;(n-1) \,\!&lt;/math&gt; formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo sólo tenemos &lt;math&gt;[n-(k-1)] \,\!&lt;/math&gt; posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos &lt;math&gt;n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 \,\!&lt;/math&gt; formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente.

Ejemplo: sea el conjunto A={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en forma compacta: 123, 132, 213, 231, 312, 321. En álgebra, para estudiar los grupos simétricos se presentan entre paréntesis y en dos filas, en la primera siempre aparece 1 2 3. 

Una variante de lo mismo, si se va a formar un comité que involucra presidente, tesorero y secretario, habiendo tres candidatos a, b, c ; cuando se elige por sorteo los cargos sucesivamente,  hay seis posibilidades u ordenaciones: abc, acb, bca, bac, cab, cba.</text>
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    <title>Trigonometría/Circunferencia Unitaria</title>
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        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
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      <comment>Eliminación de [[Categoría:Trigonometría]] mediante [[c:Help:Cat-a-lot|Cat-a-lot]]</comment>
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      <text bytes="3905" sha1="g6bu3tqyfj31og43jkjhpcosajf41nh" xml:space="preserve">[[Archivo:Unit circle.svg|thumb|250px|[[Ecuación paramétrica|Parametrización]] de la circunferencia goniométrica. La variable ''t'' es el ángulo y sus puntos son: (x, y) = (cos''t'', sin''t'').]]

La '''circunferencia goniométrica''', '''trigonométrica''', '''unitaria''' o '''«círculo unidad»''' es una [[circunferencia]] de [[radio (geometría)|radio]] uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un [[sistema de coordenadas]], de un [[plano (geometría)|plano euclídeo]] o [[plano complejo|complejo]].  

Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las [[razón trigonométrica|razones trigonométricas]] y [[funciones trigonométricas]], mediante la representación de [[triángulo]]s rectángulos auxiliares. 

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el [[teorema de Pitágoras]], x e y satisfacen la [[ecuación]]:

::::: &lt;math&gt;x^2 + y^2 = 1 = \mathrm{radio} = \mathrm{hipotenusa} \,&lt;/math&gt;

== Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria ==
[[Archivo:Triángulo-en-círculo.svg|thumb|200px|La circunferencia unidad y el triángulo rectángulo asociado.]]
[[Archivo:Squaring the circle.svg|200px|thumb|El [[área]] del cuadrado y del círculo unitario es el [[número pi]].]]
Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo '''&lt;math&gt; \alpha \, &lt;/math&gt;''' con el eje ''X'', las principales funciones trigonométricas se pueden representar como [[razón (matemáticas)|razón]] de [[segmento]]s asociados a [[triángulo rectángulo|triángulos rectángulos]] auxiliares, de la siguiente manera:

El [[Seno (matemáticas)|seno]] es la razón entre el [[cateto]] opuesto (a) y la [[hipotenusa]] (c)

: &lt;math&gt; \sin(\alpha)= \frac{a}{c} &lt;/math&gt;

y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene [[intervalo  unitario|valor = 1]], se deduce:

: &lt;math&gt; \sin(\alpha)= a \, &lt;/math&gt;

El [[coseno]] es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)

:&lt;math&gt; \cos(\alpha)= \frac{b}{c} &lt;/math&gt;
::
:::::
:::::::
:::::::: 

y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:

:&lt;math&gt; \cos(\alpha)= b \, &lt;/math&gt;
::
:::::::: 

La [[tangente (trigonometría)|tangente]] es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente

:&lt;math&gt; \tan(\alpha)= \frac{a}{b} &lt;/math&gt;
:::::::: 

[[Archivo:Circle-trig6.svg|thumb|300px|Principales valores de las [[razón trigonométrica|razones trigonométricas]] representados como [[segmento]]s respecto de la [[circunferencia]] goniométrica.]]
[[Archivo:Unit circle angles.svg|thumb|300px|Valores de los [[ángulo]]s más comunes y las coordenadas correspondientes sobre la circunferencia goniométrica.]]

Por semejanza de triángulos: AE / AC = OA / OC 

como OA = 1, se deduce que: '''AE''' = AC / OC

: &lt;math&gt; \tan(\alpha)= \overline{AE} \,&lt;/math&gt;

=== Funciones trigonométricas recíprocas ===
La cosecante, la secante y la cotangente, son las razones trigonométricas recíprocas del seno, coseno y tangente:

: &lt;math&gt;
   \csc (\alpha) =
   \frac{1}{\sin (\alpha)} =
   \overline{OF}
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \sec (\alpha) =
   \frac{1}{\cos (\alpha)} =
   \overline{OE}
&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;
   \cot (\alpha) =
   \frac{1}{\tan (\alpha)} =
   \overline{AF}
&lt;/math&gt;

Los valores de la cotangente, la secante y la cosecante se obtienen, análogamente, mediante semejanza de triángulos.

== Topología ==
En [[topología]], a la circunferencia unitaria (también denominado [[disco unidad]]) se la clasifica como ''S&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;''; la generalización para una dimensión más es la esfera unidad ''S&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;''.

== Véase también ==
{{commonscat|Trigonometric circles}}
* [[Ángulo|Medida de ángulos]]
* [[Trigonometría#Razones trigonométricas|Razones trigonométricas]]

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    <title>Matemáticas/Geometría Analítica/Tridimensional</title>
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*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Tridimensional/Coordenadas Cartesianas|Sistema de Coordenadas Cartesianas]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Tridimensional/Coordenadas Esféricas|Sistema de Coordenadas Esféricas]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Tridimensional/Coordenadas Cilíndricas|Sistema de Coordenadas Cilíndricas]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Tridimensional/Conversiones|Conversiones]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Tridimensional/Plano|Plano]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Tridimensional/Esfera|Esfera]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Tridimensional/Cono|Cono]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Tridimensional/Cilindro|Cilindro]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Tridimensional/Paraboloide|Paraboloide]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Tridimensional/Hiperboloide|Hiperboloide]]
*[[Matemáticas/Geometría Analítica/Tridimensional/Ecuaciones Cuadricas|Ecuaciones Cuádricas]]


&lt;noinclude&gt;{{Renglóndoble|[[Geometría Analítica/Plano Tridimensional/Texto completo|'''Texto completo de este capítulo''']]|Esta página contiene todo el texto del capítulo de '''«Plano Tridimensional»'''}}
{{Geometría Analítica}}&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Matemática Discreta/Aritmética Modular</title>
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      <text bytes="8832" sha1="00qnnljrxha4zh32lqckwud1jv5my3c" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
= Definición =

Se define cómo el residuo de una división no exacta donde

&lt;math&gt; \frac{a}{b} = c + r &lt;/math&gt;

Donde ''''r''' es un número natural y se vuelve el módulo del número,mientras que es el divisor '''b''' y '''a''' el número modulado siempre y cuando sean números enteros:

&lt;math&gt; a,b \in \mathbb{Z}  &lt;/math&gt; y &lt;math&gt; r \in \mathbb{N} &lt;/math&gt;

Quedando expresado cómo:

&lt;math&gt; a \pmod b \equiv  r &lt;/math&gt;

= Historia =

En matemática, la '''aritmética modular''' es un sistema aritmético para clases de equivalencia de números enteros llamadas '''clases de congruencia'''. La aritmética modular fue introducida en 1801 por Carl Friedrich Gauss en su libro ''Disquisitiones Arithmeticae''.&lt;ref&gt;{{cita libro| autor = Gauss, Carl Friedrich| capítulo = Cap.1 Numbers congruences in general| título = Disquisitiones Arithmeticae| año = 1965| editorial = Yale University Press| id = ISBN 0-300-09473-6}}. [http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec1art1-12.pdf (Traducción al español)]&lt;/ref&gt;

Algunas veces se le llama, sugerentemente, ''aritmética del reloj'', ya que los números «dan la vuelta» tras alcanzar cierto valor llamado '''''módulo'''''.&lt;ref name=&quot;cripto&quot;&gt;{{cita web |url= http://www.matematicaparatodos.com/varios/criptografia.pdf |título=Criptografía |fechaacceso=28 de febrero de 2011 |apellido= López |nombre=Jorge M. |fecha= 28 de febrero de 2011 |formato=PDF |idioma=castellano |cita=p.3}}&lt;/ref&gt;

= Operaciones con Modulos =

==Suma y Resta==
(+),Podemos definir las propiedades aritméticas para las sumas de congruencias:

Propiedad asociativa: a + (b + c) (mod (m)) = (a + b) + c (mod (m))

Elemento neutro: Existe un elemento 0 ∈ Zm, tal que a + 0 (mod (m)) = a (mod (m))

Elemento opuesto: Existe un elemento b ∈ Zm, tal que a + b = 0 (recordemos que 0 es el elemento neutro de la suma)

Propiedad conmutativa: a + b (mod (m)) = b + a (mod (m))

==Multiplicación==

==División==


= Propiedades principales =


== Clases de equivalencia módulo ''n'' ==

La aritmética modular se basa en una [[relación de equivalencia]], y las [[clase de equivalencia|clases de equivalencia]] de un entero ''a'' se denota con [''a'']&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; (o simplemente [''a''] si sobreentendemos el módulo.) Otras notaciones son por ejemplo ''a'' + ''n'''''Z''' o ''a'' mod ''n''. El conjunto de todas las clases de equivalencia se denota con '''Z'''/''n'''''Z''' = { [0]&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;, [1]&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;, [2]&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;,..., [''n''-1]&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; }.&lt;ref name=&quot;upm&quot;&gt;{{cita web |url=http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/aritmeticamodular/congruencias.html |título=Congruencias |fechaacceso=19 de abril de 2011 |apellido=Carmona Collado  |nombre=Luis Miguel  |formato=HTML |obra=[http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/aritmeticamodular/ Introducción a la aritmética entera y modular] |ubicación=[[Universidad politécnica de Madrid]] |idioma=castellano}}&lt;/ref&gt;

Esta relación de equivalencia tiene importantes propiedades que se siguen inmediatamente de la definición:&lt;ref name=&quot;upm&quot; /&gt;

Si 
: &lt;math&gt;a_1 \equiv b_1 \pmod{n}&lt;/math&gt;
y 
: &lt;math&gt;a_2 \equiv b_2 \pmod{n}&lt;/math&gt;
entonces 
: &lt;math&gt;a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2 \pmod{n}&lt;/math&gt;
y 
: &lt;math&gt;a_1 a_2 \equiv b_1 b_2 \pmod{n}&lt;/math&gt;


Lo que muestra que la suma y la multiplicación son operaciones [[bien definido|bien definidas]] sobre el conjunto de las clases de equivalencia. En otras palabras, la suma y la multiplicación están definidas sobre '''Z'''/''n'''''Z''' mediante las fórmulas siguientes:&lt;ref name=&quot;upm&quot; /&gt;

: &lt;math&gt;[a]_n +[b]_n = [a+b]_n \,\!&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;[a]_n \cdot [b]_n = [a \cdot b]_n&lt;/math&gt;

De este modo, '''Z'''/''n'''''Z''' se convierte en un [[Anillo (matemática)|anillo]] con ''n'' elementos. 
Por ejemplo, en el anillo '''Z'''/12'''Z''', se tiene :[8]&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;[3]&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt; + [6]&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt; = [30]&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt; = [6]&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;.

El conjunto de enteros en '''Z'''/''p'''''Z''' forma un [[cuerpo finito]] si y sólo si ''p'' es primo.&lt;ref&gt;Kostrikin: Introducción al álgebra, Mir, Moscú (1974)&lt;/ref&gt;

== Resolución de congruencias ==

Si ''a'' y ''b'' son enteros, la [[congruencia]]: ''ax'' ≡ ''b'' ('''mod''' ''n'') tiene solución ''x'' si y sólo si el [[máximo común divisor]] (''a'', ''n'') divide a ''b''. Los detalles están recogidos en el
[[teorema de congruencia lineal]]. Sistemas de congruencias más complicados con módulos diferentes se pueden resolver usando el [[teorema chino del resto]] o el [[teorema de congruencia lineal#Sistemas de congruencias lineales|método de sustitución sucesiva]].&lt;ref&gt;{{cita libro |apellido=Santiago Zaragoza |nombre=Antonio Cipriano |título=Teoría de números |url= |fechaacceso=19 de abril de 2011 |idioma=castellano |edición=1ª |año=2009 |editorial= Visión libros|ubicación=Madrid |isbn=978-84-9886-360-4 |capítulo=2.4. Congruencias lineales |páginas=22-25}}&lt;/ref&gt;

En el anillo de enteros, si consideramos la ecuación ''ax'' ≡ 1
('''mod''' ''n''), vemos que ''a'' tiene un [[inverso multiplicativo (aritmética modular)|inverso multiplicativo]] si y sólo si ''a'' y ''n'' son [[coprimo]]s. Por tanto, '''Z'''/''n'''''Z''' es un [[Cuerpo (matemática)|cuerpo]] si y sólo si ''n'' es un [[Número primo|primo]].&lt;ref&gt;{{cita libro |apellido=Navarro |nombre=Gabriel |título= Un curso de álgebra|fechaacceso=19 de abril de 2011 |idioma=castellano |edición=1ª |año=2002 |editor=Universitat de València |ubicación=Valencia |isbn=84-370-5419-2 |páginas=77}}&lt;/ref&gt; Se puede probar que cada [[cuerpo finito]] es una extensión de '''Z'''/''p'''''Z''' para algún primo ''p''.

== Pequeño teorema de Fermat y teorema de Euler ==

Un hecho importante sobre aritmética modular, cuando los módulos son números primos es el [[pequeño teorema de Fermat]]: si ''p'' es un número primo, entonces:&lt;ref name=&quot;Gauss PTF&quot;&gt;{{cita libro |autor=Gauss, Carl Friedrich |capítulo=Sec III, art. 50 |título=Disquisitiones Arithmeticae |año=1965 |editorial=Yale University Press |id=ISBN 0-300-09473-6}}. [http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec3arts45-93.pdf (Traducción al español)]&lt;/ref&gt;

Si ''a'' es cualquier entero:
:&lt;math&gt;a^p \equiv a \pmod{p}&lt;/math&gt;

Si ''a'' es un entero no divisible entre p:
:&lt;math&gt;a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}&lt;/math&gt;

Esto fue generalizado por Euler: para todo entero positivo ''n'' y todo entero ''a'' relativamente primo a ''n'', :''a''&lt;sup&gt;φ(''n'')&lt;/sup&gt; ≡ 1 ('''mod''' ''n''), 
donde φ(''n'') denota [[función phi de Euler]] que cuenta el número de enteros entre 1 y ''n'' que sean [[coprimo]]s con respecto a ''n''.&lt;ref name=&quot;TE&quot;&gt;Euler, Leonhard « Theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta », en ''Novi Comment. acad. sc. Petrop.'', vol. 7, 1761, p. 49-82. Texto original del latín [http://math.dartmouth.edu/~euler/ Dartmouth College (Euler archive)] con número E262. Traducción al inglés : {{arxiv|math/0608467}}&lt;/ref&gt; El teorema de Euler es una consecuencia del [[teorema de Lagrange (teoría de grupos)|teorema de Lagrange]], aplicado al caso del grupo de las unidades del anillo '''Z'''/''n'''''Z'''.

== Generalizaciones ==

Dos enteros ''a'', ''b'' son '''congruentes módulo ''n''''', escrito como:''a'' ≡ ''b'' ('''mod''' ''n'') si su diferencia ''a''
− ''b'' es [[divisible]] entre ''n'', esto es, si ''a'' − ''b'' = ''kn'' para algún entero ''k''.

Usando esta definición, podemos generalizar a módulos no enteros. Por ejemplo, podemos definir ''a'' ≡ ''b'' ('''[[número π|mod 2π]]''') si ''a'' − ''b'' = ''k''2π para algún entero ''k''. Esta idea se desarrolla plenamente en el contexto de la [[Anillo (matemática)|teoría de los anillos]] y [[función trigonométrica|funciones trigonométricas]].

En [[Álgebra abstracta]] se ve que la aritmética modular es un caso especial del proceso de crear un [[anillo factorial]] de un anillo módulo un [[Ideal (matemática)|ideal]]. Si ''R'' es un anillo conmutativo, e ''I'' es un ideal de ''R'', entonces dos elementos ''a'' y ''b'' de ''R'' se dicen '''congruentes módulo ''I''''' si ''a'' − ''b'' es un elemento de ''I''. Como pasaba con el anillo de enteros, esto se convierte en una relación de equivalencia, y la suma y la multiplicación se convierten en operaciones bien definidas sobre el anillo factorial ''R''/''I''.

= Fuentes =
http://gaussianos.com/teoria-de-numeros-elemental-aritmetica-modular/

https://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica_modular

https://es.khanacademy.org/computing/computer-science/cryptography/modarithmetic/a/what-is-modular-arithmetic

http://www.dma.fi.upm.es/recursos/aplicaciones/matematica_discreta/web/aritmetica_modular/

http://www.fiwiki.org/images/d/d3/MD_Tema3_AritmeticaModular.pdf

http://www.dma.fi.upm.es/recursos/aplicaciones/matematica_discreta/web/aritmetica_modular/congruencias.html</text>
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    <title>Matemáticas/Geometría/Geometría Diferencial</title>
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La geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático y del álgebra multilineal. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables (al igual que en la topología diferencial) así como nociones de geometría de Riemann, por ejemplo las de conexión y curvatura (que no se estudian en la topología diferencial).</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Tablas</title>
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{{+Capítulo
|libro     =Aritmética
|capítulo  =Apendices
|tema1     = Tablas Aritméticas
|tema2     = Valores Porcentuales Comunes
|tema3     = Tabla de Potencias Cuadradas y Cúbicas
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    <title>Matemáticas/Historia/Fracciones</title>
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El origen de las fracciones, o quebrados, es muy remoto. Ya eran conocidas por los babilonios, egipcios y griegos. Los egipcios resolvían problemas de la vida diaria mediante operaciones con fracciones. Entre ellas la distribución del pan, el sistema de construcción de pirámides y las medidas utilizadas para estudiar la tierra. Esto lo comprobamos en numerosas inscripciones antiguas como el Papiro de Ahmes.


== Notación ==
Los antiguos egipcios calculaban utilizando '''fracciones unitarias''', como&lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; ;  &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt; ;  &lt;math&gt;\frac{1}{4}&lt;/math&gt; ;  &lt;math&gt;\frac{1}{10}&lt;/math&gt; ; ...

El jeroglífico para una boca abierta ('''R''') denotaba la barra de fracción (/), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la &quot;boca abierta&quot;, denotaba el denominador de la fracción.
{| align=&quot;center&quot; border=0 cellpading=0.5em
|&lt;hiero&gt;D21:Z1*Z1*Z1&lt;/hiero&gt;
| style=&quot;padding-right:1em;&quot; |&lt;math&gt;= \frac{1}{3}&lt;/math&gt;
| style=&quot;border-left:1px solid black; padding-left:1em;&quot; |&lt;hiero&gt;D21:V20&lt;/hiero&gt;
|&lt;math&gt;= \frac{1}{10}&lt;/math&gt;
|}

Cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas. De ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como &quot;fracciones egipcias&quot;.


Los babilonios utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60.

El sistema chino de numeración con varillas permitía la representación de fracciones. Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval. Diofanto de Alejandría (siglo IV) escribía y utilizaba fracciones. 

En el siglo VI después de Cristo fueron los hindúes quienes establecieron las reglas de las operaciones con fracciones en el siglo IV después de Cristo. En esa época, Aryabhata se preocupó de estas leyes, y después lo hizo Bramagupta, en el siglo VII.

Las reglas que utilizamos en la actualidad para trabajar con fracciones, fueron obra de Mahavira-en el siglo IX- y Bháskara-en el sigloXII.
 
El nombre de fracción se lo debemos a Juan de Luna, que tradujo al latín, en el siglo XII, el libro de aritmética de &quot;Al-Juarizmi&quot;. El empleó la palabra &quot;FRACTIO&quot; para traducir la palabra árabe &quot;al-Kasr&quot;, que significa QUEBRAR, ROMPER.

Las fracciones se conocen también con el nombre de &quot;QUEBRADOS&quot;.El origen de las fracciones apunta a la necesidad de contar de medir y de repartir, entre otras.

=== Las fracciones unitarias egipcias (Papiro Ahmes/Rhind) ===

En este papiro adquirido por Henry Rhind en 1858 cuyo contenido data del 2000 al 1800&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C. además del sistema de numeración antes descrito nos encontramos con su tratamiento de las fracciones. No consideran las fracciones en general, solo las fracciones unitarias (inversas de los naturales 1/20) que se representan con un signo oval encima del número, la fracción 2/3 que se representa con un signo especial y en algunos casos fracciones del tipo &lt;math&gt;n/n+1&lt;/math&gt;. Hay tablas de descomposición de &lt;math&gt;2/n&lt;/math&gt; desde n=1 hasta n=101, como por ejemplo &lt;math&gt;2/5=1/3+1/15&lt;/math&gt; ó &lt;math&gt;2/7=1/4+1/28&lt;/math&gt;, no sabemos por qué no utilizaban &lt;math&gt;2/n=1/n+1/n&lt;/math&gt; pero parece que trataban de utilizar fracciones unitarias menores que &lt;math&gt;1/n&lt;/math&gt;.

Al ser un sistema sumativo la notación es: 1+1/2+1/4 . La operación fundamental es la suma y nuestras multiplicaciones y divisiones se hacían por &quot;duplicaciones&quot; y &quot;mediaciones&quot;, por ejemplo 69x19=69x(16+2+1), donde 16 representa 4 duplicaciones y 2 una duplicación.


* [[Matemáticas/Historia/Fracciones/Sexagesimales Babilónicas|Fracciones Sexagesimales Babilónicas]]

* [[Matemáticas/Historia/Fracciones/Continuación|Más sobre Fracciones]]

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El hombre neolítico ya hacía matemática elemental, por lo tanto sabía sumar; pero previamente captó la idea de restar, puesto que sus medios de subsistencia disminuían durante el año, y no le era tan fácil de reponer.

Los egipcios llegaron a sumar lo que se llaman hoy, números naturales y los números fraccionarios. Los babilonios llegaron a sumar los cuadrados de los números naturales. Los chinos y los hindúes sumaron números negativos. En el Renacimiento, con el auge de la banca y del comercio, se impuso la suma de decimales, catapultada por el uso del sistema de numeración decimal. Además se popularizó la adición de logaritmos vulgares, que reemplazaba eficazmente a la multiplicación de números tanto en el comercio, finanzas, astronomía, navegación, etc.


Los signos + (suma) y – (resta). La primera vez que aparecen los signos + (más) y – (menos) en un libro impreso, que se sepa hoy en día, es en la obra Mercantile Arithmetic, o Behende und hubsche Rechenung au allen Kau manscha, del matemático alemán Johannes Widman (1462 – 1498), publicado en Leipzig en 1489. Sin embargo, Widman no utiliza los signos + y – como símbolos de las operaciones aritméticas suma y resta, sino, dentro de las prácticas comerciales analizadas en el texto, para expresar exceso y defecto de las mercancías, por ejemplo, en el peso de los barriles. En la siguiente imagen vemos “4 + 5” que quiere decir “4 centner + 5 pfund” o “5 – 17” expresando “5 centner – 17 pfund”, donde recordemos que el “centner” y el “pfund” son unidades de peso alemanes, que 1 “centner” son 100 “pfund”, y un “centner” equivale a 50 kilogramos.

Primer uso de los signos + y – impresos en el libro Mercantile Arithmetic (1489), de Johannes Widman
Primer uso de los signos + y – impresos en el libro “Mercantile Arithmetic” (1489), de Johannes Widman

Se suele citar el libro de aritmética del matemático holandés Van der Hoeke (siglo XVI) como la primera publicación impresa en la que aparecen los signos + y – como operaciones algebraicas, ya que se suele fechar su publicación en 1514, sin embargo, esta es de 1937 (la fecha de 1514 es un error relacionado con la edición de 1944). Como menciona Florian Cajori, la primera publicación impresa con el significado algebraico de estos signos es el libro de álgebra y aritmética Ayn new Kunstlich Beuch (1518), del matemático alemán Henricus Grammateus (aprox. 1492-1525).

Sin embargo, esta no es la primera aparición de los signos + y –, ya que se pueden encontrar en algunos manuscritos de Alemania, escritos en latín y en alemán, de los últimos veinte años del siglo XV. En la Biblioteca de Dresde existe un volumen de manuscritos (el MS C80) en los que aparecen, quizás por primera vez, los signos + y –. Manuscritos a los que tuvieron acceso tanto Widman, como Grammateus.

Signos más y menos, que aparecen en dos expresiones algebraicas, en dos hojas de los manuscritos latinos MS C80, páginas 350 y 352, de la Biblioteca de Dresde, del año 1486
Signos más y menos, que aparecen en dos expresiones algebraicas, en dos hojas de los manuscritos latinos MS C80, páginas 350 y 352, de la Biblioteca de Dresde, del año 1486

La forma del signo más como una cruz + se debe a que originalmente en los manuscritos latinos se utilizaba la conjunción latina “et”, es decir, la conjunción “y”, para expresar la adición, de la misma forma que nosotros seguimos diciendo hoy en día “2 y 2 son 4”. El signo + es una abreviatura de “et”, de hecho, algunos estudiosos han enumerado más de cien abreviaturas distintas de la palabra “et” en textos latinos, y una de ellas sería la cruz + (pensemos en la escritura de la t). En uno de esos primeros manuscritos, de 1417, aparece una cruz +, pero con el segmento vertical inclinado hacia atrás.

La primera vez que aparece el signo + en un manuscrito podría ser la obra Algorismus proportionum del matemático Nicolás de Oresme (1323-1382), escrito entre los años 1356 y 1361. Sin embargo, es posible también que este signo + haya sido escrito por un copista posterior y no estuviese en la obra original.

El origen del signo – es más incierto, y existen diferentes teorías que tratan de explicarlo. Una de ellas es que podría venir de la utilización de la barra horizontal que los mercaderes utilizaban para indicar la separación de la tara, llamada durante mucho tiempo “minus”, del peso total de una mercancía, es decir, el peso del recipiente del producto. También, podría ser una contracción de la abreviación \overline{m}  de la palabra “minus”. Según otra teoría, podría derivar del signo utilizado por el matemático griego Diofanto de Alejandría (siglo III) para el menos, que originalmente era una psi \Psi  invertida con la parte de arriba recortada, algo así como una cuña como esta \wedge , pero con una línea vertical en medio de las dos laterales, que habría derivado a una especie de t mayúscula \top , que al perder el pie se quedó en el signo –. También podría venir de un símbolo hierático egipcio.

Antes del siglo XV se utilizaron en Italia, como en otros sitios, las palabras más y menos en el idioma de escritura (en latín, “plus” para más y “minus” para menos), de ahí derivaron, por abreviatura las letras “p” y “m” (o estas con una tilde \widetilde{p}, \widetilde{m}  o un segmento encima \overline{p}, \overline{m} ) para designar la suma y la resta. Estas abreviaturas, \widetilde{p}, \widetilde{m} , aparecen por primera vez en la obra “Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita” (1494), del matemático italiano Luca Pacioli (1447-1517), y se siguieron utilizando en los siglo XV y XVI. Los signos alemanes + y – empezaron a utilizarse en Italia ya en el siglo XVII.

Página de la obra Summa de arithmetica (1494), de Luca Pacioli, en la que aparecen por primera vez los signos &lt;img src='http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cwidetilde%7Bp%7D%2C+%5Cwidetilde%7Bm%7D++&amp;bg=T&amp;fg=000000&amp;s=0' alt='\widetilde{p}, \widetilde{m} ' title='\widetilde{p}, \widetilde{m} ' class='latex' /&gt;, para representar suma y resta. En esta página vemos también la regla del signo en la multiplicación “más por más siempre es más, menos por menos siempre es más,…” (además, “più” es más y “meno” es menos en italiano)
Página de la obra Summa de arithmetica (1494), de Luca Pacioli, en la que aparecen por primera vez los signos [latex]\widetilde{p}, \widetilde{m} [/latex], para representar suma y resta. En esta página vemos también la regla del signo en la multiplicación “más por más siempre es más, menos por menos siempre es más,…” (además, “più” es más y “meno” es menos en italiano)

El primer uso de los signos + y – en Gran Bretaña fue en 1557 en el libro The Whetstone of Witte, en el que apareció por primera vez el símbolo = para la igualdad. En España y Francia se utilizaban tanto los símbolos alemanes + y –, como los símbolos italianos “p” y “m”.

La cruz + para el símbolo de la suma tuvo también diferentes formas. Por supuesto, la forma principal ha sido la cruz griega, que es la que seguimos utilizando hoy en día. También se utilizó la cruz latina, aunque más frecuentemente utilizada en horizontal (con la parte alargada a la derecha o a la izquierda). Aunque menos, también se utilizaron la cruz que en Escandinavia se llama de San Jorge o la variación de esta que es la cruz de Malta.

Diferentes tipos de cruces que se utilizaron para el signo de la adición. La cruz griega, la cruz latina, la cruz de San Jorge y la cruz de Malta
Diferentes tipos de cruces que se utilizaron para el signo de la adición. La cruz griega, la cruz latina, la cruz de San Jorge y la cruz de Malta

A pesar de la sencillez del signo – para la resta, cierto grupo de matemáticos lo sustituyó por el signo más complejo ÷, que fue utilizado durante unos cuatrocientos años, incluso con algunas variaciones, como tener solo el punto de arriba. También se utilizó como signo menos, dos barras seguidas “– –” o tres barras “– – –”.

Por supuesto, antes de estos signos se utilizaron otros para expresar la suma y la resta. Por ejemplo, los babilonios tenían un ideograma en la escritura cuneiforme para la adición (“tab”, que era una cuña-triángulo isósceles- con la punta hacia abajo) y otro para la sustracción (“lal”, una cuña con la punta hacia la derecha). O en el papiro egipcio de Ahmes se utilizan dos piernas caminando hacia delante para el más, y caminando hacia atrás para el menos.

Problema 28 del Papiro de Ahmes –o Papiro matemático Rhind- en el que aparece el signo de la suma como dos piernas caminando hacia delante, y el signo de la resta como dos piernas caminando hacia atrás

http://culturacientifica.com/2016/01/27/el-origen-de-los-signos-matematicos/ 

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/simbolos.htm</text>
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John Napier estudió acerca de ellos entre 1590 y 1617. La primera obra que publicó en ese sentido fue Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descripción de una admirable tabla de logaritmos) en 1614. Allí describe cómo utilizar los logaritmos para resolver problemas con triángulos y da una tabla de logaritmos. En 1619 su hijo Robert publica póstumamente Mirifici logarithmorum canonis constructio (Construcción de una admirable tabla de logaritmos), donde se explica cómo se construye la tabla de logaritmos.

Si bien en el comienzo denominó «números artificiales» a los logaritmos, él mismo crearía luego el nombre con el que se los conoce actualmente, al combinar las palabras griegas «logos» (proporción) y «arithmos» (número).</text>
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Los signos × y · (multiplicación). Algunos antecedentes de estos símbolos para la multiplicación, como comenta Florian Cajori en su libro, son los siguientes. Los babilonios utilizaban de nuevo un ideograma, llamado “a-du”, para expresar la multiplicación. Diofanto no utilizaba ningún signo. En el Bakhshiili manuscript, el manuscrito más antiguo de las matemáticas de la India, simplemente se pone un factor al lado del otro. El matemático indio Bhaskara Acharia (1114-1185) utilizaba la palabra “bhavita” (o su abreviación “bha”) después de los factores.

Algunos matemáticos, como el matemático alemán Michael Stiefel (1487-1567) en su Deutsche Arithmetica (1545), el matemático flamenco Simon Stevin (1548-1620) o el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) en su Géométrie (1637), utilizan la letra M para la multiplicación y la letra D para la división. Por ejemplo, Stevin o Stiefel escriben la expresión 3①Msec①Mter②, donde sec expresa que es la segunda variable, la incógnita o cantidad desconocida, que aparece y ter la tercera, el círculo con el número expresa la potencia de esa variable, y las letras M y D son la multiplicación y la división, para lo que nosotros denotamos como 3 x y z2. O escriben 5②Dsec①Mter② para nuestra 5 x2 z2 / y.

Por otra parte, el matemático francés Francois Vieta (1540-1603) para expresar el producto de a y b escribía la expresión “a en b”.

La cruz de San Andrés × se utiliza por primera vez como símbolo para la multiplicación en la obra Clavis Mathematicae (1631), del matemático inglés William Oughtred (1574-1660). Aunque se utiliza también en un apéndice anónimo de la traducción de Edward Wright, de 1618, de la obra Descriptio (1614) del matemático escocés John Napier (1550-1617), aunque en este caso en forma de letra x, pero además, este apéndice parece ser que lo escribió el propio Oughtred.

Dos trozos del libro Clavis Mathematicae (1631), en el que William Oughtred introduce el signo × para la multiplicación
Dos trozos del libro “Clavis Mathematicae” (1631), en el que William Oughtred introduce el signo × para la multiplicación

Mientras que Oughtred utilizaba una cruz pequeña, una cruz de San Andrés, el matemático francés Adrien-Marie Legendre (1752-1833), en su Elements de Gèomètrie (1794), utilizaba una cruz grande. El signo ×, para la multiplicación, ha llegado hasta nuestros días, en los que sigue utilizándose, aunque no ha acabado de cuajar del todo, existiendo otro signo que también es utilizado, el punto, fundamentalmente en las matemáticas.

Mientras que en Gran Bretaña tuvo una gran aceptación el signo ×, otros matemáticos, como el matemático alemán Gottfried W. Leibniz (1646-1716), creador junto con el matemático inglés Isaac Newton (1643-1727) del cálculo, no se sentían a gusto con este símbolo. En una de sus cartas al también matemático Johann Bernoulli (1667-1748), de Basilea (Suiza), escribe “No me gusta el símbolo × como un símbolo para la multiplicación, ya que se puede confundir con x;… a menudo yo simplemente relaciono dos cantidades con un punto e indico la multiplicación con RS·PQ”.

Aunque podemos decir que fue Leibniz quien introdujo el punto para la multiplicación, ya había aparecido antes. Por ejemplo, Thomas Harriot en su Artis analyticae praxis (1631) usa el punto en la expresión “aaa – 3 · bba = +2 · ccc”. El punto se adoptaría finalmente como símbolo de la multiplicación en matemáticas a lo largo del siglo XVIII.

Página manuscrita de Leibniz que contiene desarrollos en serie de la raíz de dos
Página manuscrita de Leibniz que contiene desarrollos en serie de la raíz de dos

Existieron otros símbolos para el producto, así por ejemplo el matemático suizo Johann Rahn (1622-1676) utilizó el asterisco * en su obra Teutsche Algebra (1659) o Leibniz utilizó inicialmente un C tumbada, con la parte abierta hacia abajo, en su Dissertatio de arte combinatoria (1666).

Página del libro Teutsche Algebra (1659), de John Rahn, que contiene la regla del signo en la multiplicación
Página del libro “Teutsche Algebra” (1659), de John Rahn, que contiene la regla del signo en la multiplicación


Muchos algoritmos para obtener productos y proporciones hacían uso, en los viejos tiempos de la aritmética, de la cruz de San Andrés (el aspa). Quizá por ello Oughtred, allá por 1631, la eligió como símbolo para sus multiplicaciones y pronto otros autores siguieron su ejemplo. Pero no todos: Leibniz, en 1698, le escribió a Johann Bernoulli: &quot;no me gusta como símbolo para la mutiplicación, pues se confunde demasiado fácilmente con la x; ... a menudo relaciono dos cantidades con un punto interpuesto, e indico la multiplicación mediante ZC·LM&quot;. Es decir, que Leibniz, para evitar confusiones, señalaba de la misma manera proporciones y productos, con un sencillo punto.

Otra posibilidad (*) para indicar el producto es no poner nada en absoluto entre los factores, como cuando escribimos xy para indicar 'x por y'. Descartes, cuando en la página 7 de su Geometria fija la notación que va a utilizar, dice: &quot;Et ab, pour les multiplier l'une par l'autre&quot;. Lo que no sé es si fue el primero en utilizar esta notación.</text>
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La barra horizontal de las fracciones (de origen árabe) ya era usada por Fibonacci en el siglo XIII, aunque no se generalizó hasta el siglo XVI. Es, desde luego, la forma más satisfactoria, pues no solo indica la operación sino que en el caso de que sean varias las operaciones a realizar establece el orden de prioridad entre ellas (digamos que además de signo es paréntesis). La barra oblicua /, variante de la anterior para escribir en una sola línea, fue introducida por De Morgan en 1845.

En 1659 el suizo Johann Heinrich Rahn inventó para la división el signo ¸, que resulta bastante gráfico una vez que la barra de fracción es norma general. No tuvo mucho éxito en su país, Suiza, ni en la Europa continental, pero sí en Gran Bretaña y los Estados Unidos.

Los dos puntos se deben a Leibniz (1684), que los aconsejaba para aquellos casos en los que se quisiese escribir la división en una sola línea y la notación con raya de fracción no fuese por tanto adecuada. Este signo mantiene el parentesco de la división con la multiplicación, para la que Leibniz usaba un punto.

En cuanto al gnomon o ángulo que utilizamos para separar dividendo, divisor y cociente en la división larga no se dispone de una información precisa. Boyer, en su Historia de la matemática, p.282, dice: &quot;Los árabes, y a través de ellos más tarde los europeos, adoptaron la mayor parte de sus artificios aritméticos de los hindúes, y por tanto es muy probable que también provenga de la India el método de &quot;división larga&quot; conocido como el &quot;método de la galera&quot;, por su semejanza con un barco con las velas desplegadas.&quot;  Pues bien: en dicho &quot;método de la galera&quot; se utilizaba un ángulo parecido al que se usa en la actualidad para separar el divisor de los otros números.</text>
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Arquímedes, el padre de la notación científica. El primer intento de representar números demasiado grandes fue emprendido por el matemático y filósofo griego Arquímedes, descrito en su obra El contador de Arena en el siglo III a. C. Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 1063 granos.

Nótese la coincidencia del exponente con el número de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores positivos, el exponente es n-1 donde n es el número de dígitos, siendo la última casilla la Nº 64 el exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero de ajedrez en que al último casillero le corresponde -2 elevado a la 63- granos). A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números reales mediante coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939). 

Aunque no es 100 por ciento seguro, parece que la idea de elevar al cuadrado o al cubo se remonta hasta el tiempo de los babilónicos. Babilonia era parte de Mesopotamia en la zona que ahora consideramos como Irak. La primera mención conocida de Babilonia se encuentra en una roca que data del siglo XXIII a.C. Y lo cierto es que aún así ellos estaban lidiando con el concepto de los exponentes, a pesar de que su sistema de numeración (el sumerio, que ahora es una lengua muerta) utilizaba símbolos para descomponer fórmulas matemáticas. Curiosamente, no sabían qué hacer con el número 0, de modo que lo delineaban como un espacio entre los símbolos.

La palabra en sí misma proviene del latín &quot;expo&quot;, que significa &quot;fuera de&quot;, y &quot;ponere&quot;, que significa &quot;celular&quot;. Si bien la palabra exponente pasó a significar cosas diferentes, el primer uso moderno registrado de exponente en matemáticas fue en un libro llamado &quot;Integra Arithemetica&quot;, escrito en 1544 por el autor inglés y matemático Michael Stifel. Pero él simplemente estaba trabajando con una base de dos, de modo que, por ejemplo, el exponente 3 significaba que la cantidad de números 2 que tendrías que multiplicar para obtener 8. Lo que se vería así: 2 ³ = 8. El método de Stifel se diría que es un poco retrógrado en comparación con la forma en que pensamos acerca del tema hoy. Él diría que &quot;el 3 es la configuración del 8&quot;. Pero hoy en día, nos referimos a eso simplemente como una ecuación de 2 al cubo. Hay que recordar que él estaba trabajando exclusivamente con una base o un factor de 2 y traduciendo del latín un poco más literalmente de lo que hacemos actualmente.</text>
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    <title>Matemática Discreta/Lógica</title>
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*[[Matemática Discreta/Lógica/Definicion|Definicion]]
*[[Matemática Discreta/Lógica/Proposicionalidad|Proposicionalidad]]
*[[Matemática Discreta/Lógica/Predicados|Predicados]]
*[[Matemática Discreta/Lógica/Teoría de Axiomas|Teoría de Axiomas]]</text>
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    <title>Matemática Discreta/Teoría de conjuntos</title>
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    <title>Trigonometría/Teorema de Thales de Mileto</title>
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      <text bytes="5730" sha1="rf70d2rx0e6z9ggme3y2u9lq46bmcsi" xml:space="preserve">Thales (o Tales) nació hacia el 625 a. C. en Mileto, una de las primeras ciudades fundadas por los griegos a orillas del mar Egeo, la cual en esa época era una de las más ricas y evolucionadas de esa zona lo que hoy es Turquia.

Establece el criterio de semejanza de lados entre tríangulos que compartían un mismo lado cómo si fuera una razón o proporción, y con el que logró medir las pirámides de Keops.

== Leyenda relatada por Plutarco ==

Según la leyenda relatada por Plutarco,&lt;ref&gt;''Convivio dei Sette Sapienti'' (2, 147 A)&lt;/ref&gt; Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (las de Keops, Kefrén y Micerino), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura.
De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (''y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos''), pudo establecer una relación de semejanza  ('''''teorema primero''' de'' Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos ('''''C''''' y '''''D''''') a la longitud de la sombra de la pirámide (''conocible'') y la longitud de su altura (''desconocida''), y por otro lado, valiéndose de una vara (''clavada en el suelo de modo perfectamente vertical'') cuyos catetos conocibles ('''''A''''' y '''''B''''') son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total '''''C''''' de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.

[[Archivo:Thales_theorem_6.png|500px|center]]&lt;br /&gt;

Como en triángulos semejantes, se cumple que &lt;math&gt; \frac{A}{B}=\frac{D}{C} &lt;/math&gt; , por lo tanto la altura de la pirámide es &lt;math&gt; D=\frac{A C}{B} &lt;/math&gt; , con lo cual resolvió el problema.

=Primer Teorema (Semejanza entre tríangulos por líneas paralelas)=

''Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.
''

==Demostraciones==

[[Archivo:ThalesD1.png|500px|center]]&lt;br /&gt;

Cuando dos rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, determinan en éstas segmentos proporcionales.

Al cortar los lados de un ángulo cualquiera por dos paralelas, los segmentos de los lados del ángulo determinados por las paralelas son proporcionales.

&lt;math&gt;BC \parallel DE&lt;/math&gt;

Entonces:

&lt;math&gt;\frac{AB}{BD}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\frac{AC}{CE}&lt;/math&gt; 

Al cortar los lados de un ángulo cualquiera por dos paralelas, los segmentos que se forman desde el vértice a los puntos de intersección de las paralelas son proporcionales entre sí. 

&lt;math&gt;BC \parallel DE&lt;/math&gt;

Entonces:

&lt;math&gt;\frac{AD}{AB}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\frac{AE}{AC}&lt;/math&gt; 

Al cortar los lados  de un ángulo cualquiera por dos paralelas, éstas son entre sí como los segmentos medios desde el vértice a las paralelas. 

&lt;math&gt;\frac{BC}{DE}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\frac{AB}{AD}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\frac{AC}{AE}&lt;/math&gt;

Este mismo teorema se aplica a paralelas que cortan líneas que están conectadas a un mísmo vértice, donde podemos aplicar la siguiente proporción;

[[Archivo:ThalesD2.png|500px|center]]&lt;br /&gt;

&lt;math&gt;\frac{BC}{DE}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\frac{AB}{AD}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\frac{AC}{AE}&lt;/math&gt;

===Con tres o más rectas===
[[Archivo:ThalesD3.png|500px|center]]&lt;br /&gt;

Al cortar dos o más rectas por tres o más paralelas, los segmentos determinados sobre las rectas son proporcionales entre sí.

&lt;math&gt;AB \parallel CD \parallel EF&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{AC}{BD}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\frac{AE}{BF}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\frac{CE}{DF}&lt;/math&gt;

==Reciproco==

Si dos o más rectas determinan segmentos proporcionales sobre dos transversales, entonces las rectas son paralelas entre sí.

=Segundo Teorema=

El ángulo inscrito en un semicircunferencia es recto (90°).

=== Demostración ===
[[Archivo: Animated illustration of thales theorem.gif |thumb| Siempre que '''AC''' sea un diámetro, el ángulo '''B''' será constante y recto. ]]

[[Archivo:  Thales' Theorem.svg |thumb|  Los  triángulos  '''AOB''' y  '''BOC''' son isósceles. ]]

En la circunferencia de centro '''O''' y radio '''r''' (''véase '''fig 2.3'''''), los segmentos&lt;br /&gt;

::'''OA''' , '''OB''' y '''OC'''&lt;br /&gt;

son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.&lt;br /&gt;

Por lo tanto los  triángulos  '''AOB''' y  '''BOC''' son isósceles.&lt;br /&gt;

La suma de los ángulos del triángulo '''ABC''' es:&lt;br /&gt;
 
::&lt;math&gt;2 \alpha + 2 \beta = \pi = 180^{\circ} &lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
 
Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:&lt;br /&gt;
::&lt;math&gt;A \widehat BC = \alpha + \beta = \frac {\pi} 2 \; = 90^{\circ}&lt;/math&gt;

Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.

=== Corolarios ===
''En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad de la misma.''

Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice '''B''' &lt;!-- (distinta de '''A''' y '''C''') --&gt;vale la igualdad, '''OA'''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;'''OB'''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;'''OC'''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;'''''r''''', donde '''OB''' es la mediana de la hipotenusa, (véase  '''''fig 2.3''''').

 “''La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.''

=Fuentes=

https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/39/teorema-de-thales

http://enebro.pntic.mec.es/~jhep0004/Paginas/ElenManu/thales_de_mileto.htm

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    <title>Trigonometría/Teorema de Pitagoras</title>
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      <text bytes="14546" sha1="rjgqsxv2yhaxdqn67lh60a4k9pso1qp" xml:space="preserve">[[Archivo:Pythagorean right angle.svg|right|180px]] 
El '''teorema de Pitágoras''' establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa y ademas es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio de la matemática.

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes &lt;math&gt; a \,&lt;/math&gt; y &lt;math&gt; b \,&lt;/math&gt;, y la medida de la hipotenusa es &lt;math&gt; c \,&lt;/math&gt;, se formula que:
: &lt;math&gt;
   a^2 + b^2 = c^2
&lt;/math&gt;

De la ecuación se deducen fácilmente tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica:
{|+ align=&quot;center&quot; style=&quot;background:DarkGray; color:white&quot;|&lt;big&gt;'''Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas'''&lt;/big&gt;
|- align=&quot;center&quot;
| style=&quot;height:50px; width:200px&quot; | &lt;math&gt; a = \sqrt {c^2 - b^2} &lt;/math&gt;
| style=&quot;height:50px; width:200px&quot; | &lt;math&gt; b= \sqrt{c^2-a^2} &lt;/math&gt;
| style=&quot;height:50px; width:200px&quot; | &lt;math&gt; c = \sqrt {a^2 + b^2} &lt;/math&gt;
|}

== Historia ==
El Teorema de Pitágoras puede haberse conocido mucho antes del nacimiento de Pitágoras, pero fue comprobado en el siglo VI antes de cristo (a.c) por el matemático [[Pitágoras]].

Respecto de los babilonios hay esta nota: {{cita|Desde el punto de vista matemático, las novedades más importantes que registran los textos babilónicos se refieren a la solución algebraica de ecuaciones lineales y cuadráticas, y el conocimiento del llamado &quot;teorema de Pitágoras&quot; y de sus consecuencias numéricas. |&lt;ref&gt;Julio Rey Pastor y José Babini. ''Historia de la matemática, pág. 22; ISBN 84-7432-807-1&lt;/ref&gt; }}
El ''teorema de Pitágoras'' tiene este nombre porque su demostración, sobre todo,  es esfuerzo de la mística  [[escuela pitagórica]]. Anteriormente, en [[Mesopotamia]] y el [[Antiguo Egipto]] se conocían [[Terna pitagórica|ternas de valores]] que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y [[papiro]]s. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación.&lt;ref&gt;Marc-Alain Ouaknin. ''El misterio de las cifras'', pp 221-224. ISBN 9788496222465&lt;/ref&gt; La [[pirámide de Kefrén]], datada en el [[siglo XXVI a. C.|siglo XXVI&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.]], fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado [[triángulo sagrado egipcio]], de proporciones 3-4-5.

== Designaciones convencionales ==
[[Archivo:Euklidova veta.svg|center|350px]]


{| border=&quot;0&quot; style=&quot;background:#ffffff&quot; align=&quot;top&quot; class=&quot;wikitable&quot;
|+ align=&quot;center&quot; style=&quot;background:DarkGray; color:white&quot;|&lt;big&gt;'''Triángulos —  Resumen de convenciones de designación'''&lt;/big&gt;
|- align=&quot;center&quot;
| style=&quot;height:40px; width:100px&quot; | '''&lt;big&gt;Vértices&lt;/big&gt;'''
| style=&quot;height:40px; width:200px&quot; |''&lt;math&gt;\text{A}&lt;/math&gt;''
| style=&quot;height:40px; width:200px&quot; | &lt;math&gt;\text{B}&lt;/math&gt;
| style=&quot;height:40px; width:200px&quot; | &lt;math&gt;\text{C}&lt;/math&gt;
|- align=&quot;center&quot;
| style=&quot;height:40px; width:200px&quot; | '''&lt;big&gt;Lados&lt;/big&gt; (''como segmento'')'''
| style=&quot;height:40px; width:200px&quot; | &lt;math&gt;\text{BC}&lt;/math&gt;
| style=&quot;height:40px; width:200px&quot; | &lt;math&gt;\text{AC}&lt;/math&gt;
| style=&quot;height:40px; width:200px&quot; | &lt;math&gt;\text{AB}&lt;/math&gt;
|- align=&quot;center&quot;
| style=&quot;height:40px; width:100px&quot; | '''&lt;big&gt;Lados&lt;/big&gt; (''como longitud'')'''
| style=&quot;height:40px; width:200px&quot; | &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;
| style=&quot;height:40px; width:200px&quot; | &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;
| style=&quot;height:40px; width:200px&quot; | &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;
|- align=&quot;center&quot;
| style=&quot;height:40px; width:100px&quot; | '''&lt;big&gt;Ángulos&lt;/big&gt;'''
| style=&quot;height:40px; width:200px&quot; | &lt;math&gt; \widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} &lt;/math&gt;
| style=&quot;height:40px; width:200px&quot; | &lt;math&gt; \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} &lt;/math&gt;
| style=&quot;height:40px; width:200px&quot; | &lt;math&gt; \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB} &lt;/math&gt;
|}

== Ejemplos de uso ==
* Para calcular la longitud ''e'' de una escalera; se conoce la altura ''h'' del muro a alcanzar; la distancia ''p'' desde  la línea suelo muro al pie de la escalera. Se cumple la ecuación &lt;math&gt; e^2 = h^2 + p^2 &lt;/math&gt;; se despeja el valor de e, mediante  &lt;math&gt;e= \sqrt{h^2+ p^2}.&lt;/math&gt;

* En la geometría analítica plana, para hallar la distancia entre los puntos &lt;math&gt; C(x_1, y_1) ,  D(x_2, y_2)&lt;/math&gt; con la igualdad &lt;math&gt; CD^2 = (x_2 -x_1)^2+ (y_2 -y_1)^2.&lt;/math&gt;

* En trigonometría para demostrar la identidad fundamental &lt;math&gt; \sen^2\alpha +\cos^2\alpha = 1 &lt;/math&gt;entre el seno y coseno.

==Demostraciones==


=== China: El ''Zhou Bi Suan Jing'', y el ''Jiu Zhang Suan Shu'' ===
[[Archivo:Chinese pythagoras.jpg|thumb|210px|Prueba visual para un triángulo de '''''a'''''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;3, '''''b'''''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;4 y '''''c'''''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200&amp;nbsp;a.&amp;nbsp;C.]]
[[Archivo:Pythagoras-2a.gif|right|220px]]

El ''Zhou Bi'' es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el {{AC|300}} Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al ''Jiu Zhang'' parece que es posterior, está fechado en torno al año {{AC|250}}

El ''Zhou Bi'' demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado '''''(a+b)''''' que se parte en cuatro [[triángulo]]s de base '''''a''''' y altura '''''b''''', y un cuadrado de lado '''''c'''''.

;Demostración

Sea el [[triángulo rectángulo]] de catetos '''''a''''' y '''''b''''' e hipotenusa '''''c'''''. Se trata de demostrar que el área del [[cuadrado]] de lado ''c'' es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado ''a'' y lado ''b''. Es decir: 
: &lt;math&gt; a^2 + b^2 = c^2\,&lt;/math&gt;
Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado '''''c''''' formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de '''''b - a'''''. 
Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:
:&lt;math&gt;(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \,&lt;/math&gt;
Ya que &lt;math&gt;(b-a)^2 = (a-b)^2 \,&lt;/math&gt; .

Es evidente que el área del cuadrado de lado '''''c''''' es la suma del área de los cuatro triángulos de altura '''''a''''' y base '''''b''''' que están dentro de él más el área del cuadrado menor:
:&lt;math&gt;c^2 = 4 \cdot \left( \frac{a \cdot b}{2} \right) + a^2 - 2ab + b^2= a^2 + b^2 &lt;/math&gt;
Con lo cual queda demostrado el teorema.

=== Demostraciones supuestas de Pitágoras ===
[[Archivo:Teorema de Pitágoras.Pitágoras.svg|framed|&lt;center&gt;Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.&lt;/center&gt;]]

Se estima que se demostró el teorema mediante [[triángulos semejantes|semejanza]] de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.&lt;ref&gt;Una vez descubiertos los [[número irracional|números irracionales]] esta demostración quedaba invalidada. Será [[Euclides]] el primero en prescindir de la proporcionalidad para demostrar el teorema.&lt;/ref&gt;

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos ''a’'' y ''b’'', proyecciones en ella de los catetos ''a'' y ''b'', respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

* De la semejanza entre ABC y AHC: 
y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

:&lt;math&gt;\frac {b}{b'}=\frac {c}{b}&lt;/math&gt; 

:&lt;math&gt;b^2\ =\ b'c&lt;/math&gt;

* De la semejanza entre ABC y BHC: 

:&lt;math&gt;\frac {a}{a'}=\frac {c}{a}&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;a^2\ =\ a'c&lt;/math&gt;

Los resultados obtenidos son el [[teorema del cateto]]. 
Sumando: 

:&lt;math&gt;a^2\ +\ b^2 =a'c\ +\ b'c\ =\ c\left (a'+b'\right )&lt;/math&gt;

Pero &lt;math&gt;\left (a'+b'\right )=\ c&lt;/math&gt;, por lo que finalmente resulta: 

:&lt;math&gt;a^2\ +\ b^2 =c^2&lt;/math&gt;

[[Archivo:Triángulos semejantes b.svg|framed|&lt;center&gt;La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema&lt;/center&gt;]]

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes. 

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que: 

:&lt;math&gt;\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r&lt;/math&gt;

siendo '''r''' la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

:&lt;math&gt;S_{PQR}\ =\ \frac {1}{2} \left ( rs \right )&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;S_{PST}\ =\ \frac {1}{2} \left ( uv \right )&lt;/math&gt;

obtenemos después de simplificar que: 

:&lt;math&gt;\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}=\frac {rs}{uv} = \frac {r}{u} \cdot \frac {s}{v}&lt;/math&gt;

pero siendo &lt;math&gt;\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r&lt;/math&gt; la razón de semejanza, está claro que: 

:&lt;math&gt;\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}= \left (\frac {r}{u} \right )^2 = \left ( \frac {s}{v} \right ) ^2 &lt;/math&gt;

Es decir, ''&quot;la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza&quot;''.

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que: 

:&lt;math&gt;\frac {S_{ACH}}{S_{BCH}}= \left (\frac {b}{a} \right )^2 &lt;/math&gt;

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones da: 

:&lt;math&gt;\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{BCH}} {a^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }&lt;/math&gt; '''(I)'''

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que: 

:&lt;math&gt;\frac {S_{ACH}}{S_{ABC}}= \left (\frac {b}{c} \right )^2 &lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\frac {S_{ACH}}{b^2} = \frac {S_{ABC}} {c^2}&lt;/math&gt;

pero según '''(I)''' &lt;math&gt;\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }&lt;/math&gt;, así que: 

:&lt;math&gt; \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } = \frac {S_{ABC}} {c^2} &lt;/math&gt; 

y por lo tanto: 

:&lt;math&gt; b^2 \ +\ a^2 \ = \ c^2&lt;/math&gt; 

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

[[Archivo:Teorema de Pitágoras.Pitágoras b.svg|framed|&lt;center&gt;Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.&lt;/center&gt;]]

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados '''''a''''', '''''b''''', '''''c''''', y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

* Uno de ellos –centro– está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
* El otro cuadrado –derecha– lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (&lt;math&gt;c^2&lt;/math&gt;) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (&lt;math&gt;b^2+a^2&lt;/math&gt;), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

&lt;!-- ESTO NO ES UNA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS, ES SOLO UN CASO ESPECIAL QUE NO TIENE VALIDEZ GENERAL. NADIE PUEDE TOMAR SERIAMENTE UN CASO PARTICULAR COMO UNA DEMOSTRACIÓN GENERAL DEL TEOREMA DE PITÁGORAS !!  usuario:Gusbelluwiki --&gt;
&lt;!-- === Demostración de Platón: el ''Menón'' ===
[[Archivo:PLATÓN.Duplicación del cuadrado y teorema de Pitágoras.svg|framed|&lt;center&gt;En uno de los [[meandro (geomorfología)|meandros]] del [[Menón]] se plantea el problema de la duplicación del cuadrado –izquierda y centro-. La solución que elabora Platón encierra inesperadamente una demostración del teorema de Pitágoras –derecha-, si bien referida exclusivamente a los triángulos rectángulos isósceles.&lt;/center&gt;]]

{{cita|Dinos, Sócrates, ¿cómo se adquiere la virtud? ¿Mediante la enseñanza o mediante el ejercicio?|}} 
Esta filosófica pregunta forma parte del ''[[Menón]]'' de [[Platón]], y a su tenor no parece que la [[Geometría]] vaya a hacer acto de presencia en el &quot;Diálogo&quot;, pero el filósofo es quien maneja los hilos y unas páginas más adelante nos encontramos con cuadrados y superficies. En ese fragmento, Platón habla de que conocer es recordar. Cuando creemos estar aprendiendo, lo que sucede en realidad es que recordamos las verdades que nuestra alma pudo percibir de forma inmediata antes de encarnarse en el cuerpo. 

En el texto, [[Sócrates]] se lo demuestra a Menón llamando a uno de sus esclavos, que nunca ha sido educado, pero que, sin embargo, es capaz de llegar a demostrar el teorema de Pitágoras. Sócrates le plantea el problema de la duplicación del cuadrado. Sucesivas preguntas van sacando de la mente del esclavo la solución del problema, con lo que pretendidamente aquél no hizo sino &quot;recordar&quot; lo que ya &quot;sabía&quot;. Ese método para sacar esos conocimientos es la mayéutica, en la cual, el individuo que conduce al otro hacia el conocimiento, como en este caso hace Sócrates, desempeña una función similar a la de una partera, donde lo que logra extraer de su interlocutor, es el conocimiento de lo verdadero.

Platón construye un [[cuadrado]] cuyo lado es de dos unidades (izquierda, gris). Su área vale lo de cuatro unidades cuadradas. Trazando un nuevo cuadrado sobre su [[diagonal]] AB, obtiene un cuadrado de ocho unidades cuadradas (centro, azul), doble superficie de la del primero.&lt;ref&gt;En primer lugar se ha cuadruplicado el área del cuadrado inicial, que aumentó de cuatro a dieciséis unidades cuadradas, para después obtener el resultado buscado&lt;/ref&gt; Hasta aquí la duplicación del cuadrado. Pero también se ha demostrado el teorema de Pitágoras (derecha): el área del cuadrado azul (&lt;math&gt;8 u^2&lt;/math&gt;) construido sobre la hipotenusa AB del triángulo rectángulo ABC, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados grises (&lt;math&gt;4 u^2&lt;/math&gt; cada uno) construidos sobre los catetos AC y BC. Generalizando: cada uno de los cuadrados construidos sobre la hipotenusa (la diagonal del cuadrado inicial) contiene cuatro de dichos triángulos.

Queda demostrado el teorema de Pitágoras, si bien restringido a los '''triángulos rectángulos isósceles'''.
--&gt;

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* [[Matemáticas/Geometría Analítica/Apendices/Distancia entre dos puntos|Distancia entre dos puntos]]
* [[Matemáticas/Geometría Analítica/Apendices/Formulario Circunferencia|Formulario Circunferencia]]
* [[Matemáticas/Geometría Analítica/Apendices/Formulario Elipse|Formulario Elipse]]
* [[Matemáticas/Geometría Analítica/Apendices/Formulario Parábola|Formulario Parábola]]
* [[Matemáticas/Geometría Analítica/Apendices/Formulario Hipérbola|Formulario Hipérbola]]


&lt;noinclude&gt;{{Renglóndoble|[[Geometría Analítica/Apendices/Texto completo|'''Texto completo de este capítulo''']]|Esta página contiene todo el texto del capítulo de '''«Apendices»'''}}
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Todos los números tienen un sistema de escritura y lectura basado en número decimal


==Lectura de Números Cardinales==

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                                         &lt;/tr&gt;
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                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
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                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
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                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
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                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;16&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;diecis&amp;eacute;is&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;17&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;diecisiete&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;18&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;dieciocho&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;19&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;diecinueve&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;20&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;veinte&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;21&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;veintiuno&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&lt;div align=&quot;justify&quot;&gt;
                                             &lt;p&gt;Delante
                                               de un sustantivo: &lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt;masculino:
                                               veinti&amp;uacute;n&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; femenino:
                                               veintiuna.&lt;/p&gt;
                                           &lt;/div&gt;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;22&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;veintid&amp;oacute;s&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;23&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;veintitr&amp;eacute;s&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;24&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;veinticuatro&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;25&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;veinticinco&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;26&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;veintis&amp;eacute;is&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;27&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;veintisiete&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;28&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;veintiocho&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;29&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;veintinueve&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;30&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;treinta&lt;/td&gt;
                                           &lt;td rowspan=&quot;7&quot; class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt; 
                                             &lt;p align=&quot;justify&quot;&gt;Para
                                               n&amp;uacute;meros que tienen la cifra de primer orden distinto de 0.
                                               La escritura se conjuga con la letra y.&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; &lt;em&gt;&lt;strong&gt;Ejemplos.&lt;/strong&gt;&lt;/em&gt;&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; 58 cincuenta y ocho. (50+8)&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; 75 setenta y cinco. (70+5)&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; 41
                                               cuarenta y uno. (40+1)&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; 99
                                               noventa y nueve. (90+9)&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
                                             &lt;p align=&quot;justify&quot;&gt; Si
                                               la cifra de primer orden es 1 y el n&amp;uacute;mero se escribe
                                               delante de un sustantivo, entonces se conjuga con &amp;ldquo;y un&amp;rdquo;
                                               para masculino &amp;ldquo;y una&amp;rdquo; femenino. &lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt;&lt;em&gt;&lt;strong&gt;Ejemplos.&lt;/strong&gt;&lt;/em&gt;&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; Son
                                               cuarenta y un cigarrillos.&lt;/p&gt;                                             &lt;p&gt; Son
                                             cincuenta y una se&amp;ntilde;oritas.&lt;/p&gt;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;40&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;cuarenta&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;50&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;cincuenta&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;60&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;sesenta&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;70&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;setenta&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;80&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;ochenta&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;90&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;noventa&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;100&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;cien
                                             (to)&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;101&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;ciento
                                             uno&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;Femenino:
                                             ciento una.&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;102&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;ciento
                                             dos&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;200&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;doscientos&lt;/td&gt;
                                           &lt;td rowspan=&quot;8&quot; class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;&lt;div align=&quot;justify&quot;&gt;
                                             &lt;p&gt;Para
                                               n&amp;uacute;meros como 545, 201, 458, 115, 999 etc. se escriben del
                                               siguiente modo:&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; 545
                                               quinientos cuarenta y cinco (500+40+5)&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; 201
                                               doscientos uno (200+1)&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; 458
                                               cuatrocientos cincuenta y ocho (400+50+8)&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; 115
                                               ciento quince.  (100+10+5)&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; 999
                                               novecientos noventa y nueve. (900+90+9)&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; Femenino:
                                               Se cambia la terminaci&amp;oacute;n &amp;ldquo;os&amp;rdquo; por &amp;ldquo;as&amp;rdquo;.&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt;&lt;em&gt;&lt;strong&gt; Ejemplo.&lt;/strong&gt;&lt;/em&gt;&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; cuatrocientas, quinientas, seiscientas, etc.&lt;/p&gt;
                                           &lt;/div&gt;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;300&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;trescientos&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;400&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;cuatrocientos&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;500&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;quinientos&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;600&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;seiscientos&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;700&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;setecientos&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;800&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;ochocientos&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;900&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;novecientos&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;1000&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;mil
                                             (millar)&lt;/td&gt;
                                           &lt;td rowspan=&quot;3&quot; class=&quot;BordeTablaIzq&quot;&gt;&lt;div align=&quot;justify&quot;&gt;
                                             &lt;p&gt;Se
                                               usa la palabra mil  y es invariable hasta llegar al mill&amp;oacute;n. &lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt;&lt;em&gt;&lt;strong&gt;Ejemplos.&lt;/strong&gt;&lt;/em&gt;&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; 1002
                                               mil dos.&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; 2050
                                               dos mil cincuenta.&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; 12
                                               548 doce mil quinientos cuarenta y ocho.&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; 101
                                               358 ciento un mil trescientos cincuenta y ocho.&lt;/p&gt;
                                             &lt;p&gt; 999
                                               999 novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve&lt;/p&gt;
                                           &lt;/div&gt;&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaInf&quot;&gt;10
                                             000&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaL&quot;&gt;diez
                                             mil&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                         &lt;tr valign=&quot;top&quot;&gt;
                                           &lt;td&gt;100
                                             000&lt;/td&gt;
                                           &lt;td class=&quot;BordeTablaIzq&quot;&gt;cien
                                             mil&lt;/td&gt;
                                         &lt;/tr&gt;
                                       &lt;/table&gt;
                                       &lt;blockquote&gt;
                                         &lt;p align=&quot;justify&quot;&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
                                       &lt;/blockquote&gt;

==Lectura de Números Cardinales Grandes==

Escala numérica larga.
 
Las cifras de un número en esta escala, se clasifican de 3 en 3, y a cada grupo se denomina clase. Dentro de cada clase la cifra de primer orden se conoce como unidad, la de segundo orden como decena y la de tercer orden como centena.
Un periodo esta formado por dos clases, es decir 6 cifras forman un periodo. Dentro de cada periodo, la clase de la izquierda es decir la clase de segundo orden se denomina millar o mil.
Los periodos a partir del segundo se denominan como millón, billón, trillón, cuatrillón, quintillón, sextillón, septillón, octillón, etc. pero en la práctica sólo se suele usar hasta el cuatrillón.

http://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap01-07-EscrituraCifrasEscrituraLecturaNumerosGrandes.php

==Lectura de Números Ordinales==

Los números ordinales son números que tienen un orden específico y sirven para dar un orden a elementos o conjuntos de elementos, pueden generalizarse para las sucesiones infinitas, introducidas por Georg Cantor en 1897. 


1º, primero o primer, 1ª, primera

2º, segundo, 2ª segunda

3º, tercero o tercer, 3ª tercera

4º, cuarto, 4ª cuarta

5º, quinto, 5ª ,quinta

6º, sexto, 6ª, sexta

7º, séptimo, 7ª, séptima

8º, octavo, 8ª,octava

9º, noveno, 9ª,novena (en raras ocasiones nono o nona)

10º, décimo, 10ª, décima

Para los dos siguientes números ordinales, tenemos una opción más que es más usada que las siguientes:

11º, undécimo o décimo primero, 11ª, undécima o décima primera

12º, duodécimo o décimo segundo, 12ª, duodécima o décima segunda

Y a continuación hasta la posición número diecinueve, los números ordinales siguen la misma sucesión como décimo tercero, décimo cuarto, y así sucesivamente. Pero al continuar la secuencia, encontramos que cada múltiplo de diez menor que cien se escribe de la siguiente manera:

20º, vigésimo, 20ª, vigésima

30º, trigésimo, 30ª, trigésima

40º, cuadragésimo, 40ª, cuadragésima

50º, quincuagésimo, 50ª, quincuagésima

60º, sexagésimo, 60ª, sexagésima

70º, septuagésimo, 70ª, septuagésima

80º, octogésimo, 80ª, octogésima

90º, nonagésimo, 90ª, nonagésima

Para los números ordinales que se encuentran entre los múltiplos de diez seguimos la misma lógica, añadiendo los números entre primero y noveno, por ejemplo:

66º, sexagésimo sexto, 66ª, sexagésimo sexta

67º, sexagésimo séptimo, 67ª, sexagésimo séptima

Para los números mayores que cien utilizamos lo siguiente:

100º, centésimo, 100ª, centésima

200º, ducentésimo, 200ª, ducentésima

300º, tricentésimo, 300ª, tricentésima

400º, cuadrigentésimo, 400ª, cuadrigentésima

500º, quingentésimo, 500ª, quingentésima

600º, sexcentésimo, 600ª, sexcentésima

700º, septingentésimo, 700ª, septingentésima

800º, octingentésimo, 800ª, octingentésima

900º, noningentésimo, 900ª, noningentésima

1000º, milésimo, 1000ª, milésima

Aunque estas sean las formas correctas, las formas literales no se utilizan comúnmente, excepto centésimo y milésimo. Por lo tanto si se quisiera hablar del 260º aniversario, podría hablarse del sexagésimo aniversario del segundo centenario, así como para los milésimos aniversarios se utiliza comúnmente la palabra milenio.

http://www.aaamatematicas.com/nam15_x2.htm

http://mathworld.wolfram.com/OrdinalNumber.html

http://numerosordinales.com/</text>
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    <title>Matemáticas/Historia/Números</title>
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Si estás buscando la respuesta a la pregunta ¿Quien inventó los números?, después de leer este artículo verás que no existe una respuesta única ni tampoco clara.

¿Es más antigua la escritura que la numeración? No hay evidencia documental de escritura hasta el 2200 a.C. De esa fecha son las tablillas de barro cocido halladas en las ciudades babilónicas de Susa y Uruk, hoy la ciudad iraquí de Warka.

El primer atisbo de número, lo encontramos  en la prehistoria. Una marca en un hueso, representaba al número 1 (un animal cazado). Surgió debido a la necesidad práctica de contar objetos.

Pero fueron los sumerios los que decidieron darle al número 1 su independencia. Lo lideraron, representándolo cómo una ficha (un pequeño cono). Podemos decir si miedo a equivocarnos, que esta pequeña ficha, cambió el curso de la historia.

En un hueso o un palo sólo se podía añadir (sumar), pero con el uso de estos conos, también se podía restar … Habían inventado la aritmética!!

En el cuarto milenio antes de Cristo, en Mesopotamia  donde abundaba la arcilla, unos pequeños guijarros representan cantidades numéricas. De esta forma podían contabilizar  sacos de trigo ó de cabezas de ganado.

Entonces en las ciudades, era necesario almacenar y repartir el grano. Tenían que averiguar cuánto le tocaba a cada uno y esto requería de la aritmética. Podemos atribuir el invento de las matemáticas a la vida urbana.


El conteo se debió iniciar mediante el uso de objetos físicos (tales como montones de piedras) y de marcas de cuenta, como las encontradas en huesos tallados: el de Lebombo, con 29 muescas grabadas en un hueso de babuino, tiene unos 37.000 años de antigüedad y otro hueso de lobo encontrado en la antigua Checoslovaquia, con 57 marcas dispuestas en cinco grupos de 11 y dos sueltas, se ha estimado en unos 30.000 años de antigüedad. Ambos casos constituyen una de las más antiguas marcas de cuenta conocidas habiéndose sugerido que pudieran estar relacionadas con registros de fases lunares.3 En cuanto al origen ordinal algunas teorías lo sitúan en rituales religiosos. Los sistemas numerales de la mayoría de familias lingüísticas reflejan que la operación de contar estuvo asociado al conteo de dedos (razón por la cual los sistemas de base decimal y vigesimal son los más abundantes), aunque están testimoniado el empleo de otras bases numéricas además de 10 y 20.</text>
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    <title>Matemáticas/Historia/Porcentajes</title>
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Este símbolo ha sido usado desde el final del siglo 15 en computar el interés, ganancia, perdida e impuestos. Sin embargo, la idea tiene su origen mucho antes. Cuando el emperador romano Augustus impuso un impuesto en todos los bienes que se vendían en una subasta, centesima rerum venalium, el impuesto era de \frac{1}{100}. Otros impuesto romanos eran \frac{1}{20} sobre cada esclavo liberado y \frac{1}{25} en cada esclavo vendido. Sin reconocer esto como porcentaje, usaban fracciones reducidas a las centenas para su calculo fácil.

En la edad media, a medida que se empezo a usar grandes denominaciones de dinero, el 100 se convierto en una base comúnmente utilizada. Manuscritos italianos del siglo 15 contenían expresiones como &quot;20 p 100&quot; y &quot;10 p cento&quot; para indicar 20 por ciento y 10 por ciento. Cuando la aritmética comercial apareció al final del sigo 15, el uso del porcentaje estaba ya bien establecido. Por ejemplo, Ergio Chirinola (1481) uso &quot;xx. per .c.&quot; par a el 20 por ciento y &quot;viii in x percento&quot; para 8 a 10 por ciento.


El símbolo de porcentaje, \%, seguramente evoluciono de un símbolo introducido en un manuscrito anónimo de 1425. En lugar de &quot;P cento&quot;, que era común en ese tiempo, el autor uso el símbolo que se muestra a la izquierda.

ara 1650, el simbolo se cambio a la forma que se enseña a la izquierda. Finalmente, el &quot;per&quot; se dejo de usar, dejando este símbolo sin la p y se transformo en \%.

&lt;gallery&gt;
Archivo:Percent 1425.png|Símbolo en el siglo XV
Archivo:Percent 1650.PNG|Símbolo en la primera mitad del siglo XVII
Archivo:Percent 18e.PNG|Símbolo desde la mitad del siglo XVII
&lt;/gallery&gt;


Lee mas en : Historia de los símbolos matemáticos, por WikiMatematica.org 
wikimatematica.org 
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F. Cajori, A history of mathematical notations, Dover, 1992</text>
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    <title>Matemáticas/Geometría Analítica/Secciones Cónicas</title>
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* [[Matemáticas/Geometría Analítica/Secciones Cónicas/Definición|Definición de sección cónica]]
* [[Matemáticas/Geometría Analítica/Secciones Cónicas/Tipos|Tipos de cónicas]]
* [[Matemáticas/Geometría Analítica/Secciones Cónicas/Ecuación general|Ecuación general]]

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    <title>Matemática Discreta/Teoría de grafos</title>
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La '''Teoría de grafos,''' también llamada '''Teoría de gráficas''', es una rama de las [[matemáticas]] y las [[ciencias de la computación]] que estudia las propiedades de los [[grafo]]s, y que no se debe confundir con las [[gráfica]]s que tienen una acepción muy amplia. Formalmente, ''un grafo'' &lt;math&gt;G=(V,E)&lt;/math&gt; es una pareja ordenada en la que &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; es un conjunto no vacío de vértices y &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; es un conjunto de aristas. Donde &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; consta de pares no ordenados de vértices, tales que si {&lt;math&gt;{x,y}&lt;/math&gt;}&lt;math&gt;\in E&lt;/math&gt; entonces decimos que &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; son adyacentes; y [en el grafo] se representa mediante una línea no orientada que una a dichos vértices. Si el grafo es dirigido se le llama ''digrafo'', se denota &lt;math&gt;D&lt;/math&gt;, y entonces el par &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; es un par ordenado, y se representa con una flecha que va de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; a &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, y decimos que &lt;math&gt;(x,y)\in A&lt;/math&gt;.&lt;ref&gt;{{Cita libro|apellidos=Godsil, Chris and Royle, Gordon|nombre=|enlaceautor=|título=Algebraic Graph Theory|url=|fechaacceso=|año=2001|editorial=Springer|isbn=|editor=|ubicación=New York|página=|idioma=|capítulo=}}&lt;/ref&gt; 

La teoría de grafos tiene sus fundamentos en las [[matemáticas discretas]] y de las [[matemáticas aplicadas]]. Es una teoría que requiere de diferentes conceptos de diversas áreas como [[combinatoria]], [[álgebra]], [[probabilidad]], [[Matemáticas/Geometría]] de polígonos, [[aritmética]] y [[topología]]. Actualmente ha tenido mayor preponderancia en el campo de la [[informática]], las [[ciencias de la computación]] y [[Telecomunicación|telecomunicaciones]]. Debido a la gran cantidad de aplicaciones en la optimización de recorridos, procesos, flujos, algoritmos de búsquedas, entre otros, se generó toda una nueva teoría que se  conoce como [[análisis de redes]].&lt;ref&gt;CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS): Analisis de Redes1: https://www.youtube.com/watch?v=oy8YxTshZhI&amp;list=UUQbp2yA-gyew7E_tzgOI36A &amp; Analisis de Redes2: https://www.youtube.com/watch?v=1abtP36Wx24&amp;list=UUQbp2yA-gyew7E_tzgOI36A; Curso completo en linea: http://www.martinhilbert.net/CCSSCS.html&lt;/ref&gt;

== Historia ==
[[Archivo:7 bridges.svg|thumb|Los 7 puentes del río Pregel en Königsberg.]]
El origen de la teoría de grafos se remonta al siglo XVIII con el [[problema de los puentes de Königsberg]], el cual consistía en encontrar un camino que recorriera los siete puentes del [[Río Pregolya|río Pregel]] ({{coord|54|42|12|N|20|30|56|E|region:RU_source:nlwiki}}) en la ciudad de [[Königsberg]], actualmente [[Kaliningrado]], de modo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos. El trabajo de [[Leonhard Euler]] sobre el problema titulado ''Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis''&lt;ref&gt;{{Cita publicación |autor = Euler, L. |título = Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis |año = 1736 |revista = Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae |volumen = 8 |número = |id = 128-140 |url = http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E053.pdf}}&lt;/ref&gt; (''La solución de un problema relativo a la geometría de la posición'')  en [[1736]], es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la [[topología]].

Luego, en [[1847]], [[Gustav Kirchhoff]] utilizó la teoría de grafos para el análisis de redes eléctricas publicando sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos, conocidas como [[leyes de Kirchhoff]], considerado la primera aplicación de la teoría de grafos a un problema de [[ingeniería]].

En [[1852]] [[Francis Guthrie]] planteó el [[Teorema de los cuatro colores|problema de los cuatro colores]] el cual afirma que es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por [[Kenneth Appel]] y [[Wolfgang Haken]] en [[1976]], puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.

En [[1857]], [[Arthur Cayley]] estudió y resolvió el problema de enumeración de los [[isómeros]], compuestos químicos con idéntica composición (fórmula) pero diferente [[estructura molecular]]. Para ello representó cada [[Compuesto químico|compuesto]], en este caso [[hidrocarburos saturados]] C&lt;SUB&gt;n&lt;/SUB&gt;H&lt;sub&gt;2n+2&lt;/sub&gt;, mediante un grafo [[Árbol (teoría de grafos)|árbol]] donde los vértices representan [[átomo]]s y las aristas la existencia de [[enlaces químicos]].

El término ''«grafo»'', proviene de la expresión ''H«graphic notation»'' usada por primera vez por [[Edward Frankland]]&lt;ref&gt;http://booklens.com/l-r-foulds/graph-theory-applications pag 7&lt;/ref&gt; y posteriormente adoptada por [[Alexander Crum Brown]] en [[1884]], y hacía referencia a la representación gráfica de los enlaces entre los átomos de una [[molécula]].

El primer libro sobre teoría de grafos fue escrito por [[Dénes Kőnig]] y publicado en [[1936]].&lt;ref&gt;{{citation|last1=Tutte|first1=W.T.|authorlink=W. T. Tutte|title=Graph Theory|publisher=Cambridge University Press|year=2001|isbn=978-0-521-79489-3|page=30|url=http://books.google.com/books?id=uTGhooU37h4C&amp;pg=PA30}}.&lt;/ref&gt;

== Aplicaciones ==
Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de [[circuito]]s secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas por ejemplo, Dibujo computacional, en toda las áreas de Ingeniería.

Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos [[algoritmo]]s como puede ser el algoritmo de [[Robert W. Floyd|Floyd]].

Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como [[técnica de revisión y evaluación de programas]] (PERT) en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos.

La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especial para desarrollar un concepto no metafórico de [[red social]] que sustituye los nodos por los actores sociales y verifica la posición, centralidad e importancia de cada actor dentro de la red. Esta medida permite cuantificar y abstraer relaciones complejas, de manera que la estructura social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puede representar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos (aristas), su dirección e intensidad y da idea de la manera en que el poder se transmite y a quiénes.

Se emplea en problemas de control de producción, para proyectar redes de ordenadores, para diseñar módulos electrónicos modernos y proyectar sistemas físicos con parámetros localizados (mecánicos, acústicos y eléctricos).

Se usa para la solución de problemas de genética y problemas de automatización de la proyección (SAPR). Apoyo matemático de los sistemas modernos para el procesamiento de la información. Acude en las investigaciones nucleares (técnica de diagramas de Feynman).&lt;ref&gt;Gorbátov:«Fundamentos de la matemática discreta»&lt;/ref&gt;

Los grafos son importantes en el estudio de la [[biología]] y hábitat. El vértice representa un hábitat y las aristas (o &quot;edges&quot; en inglés) representa los senderos de los animales o las migraciones. Con esta información, los científicos pueden entender cómo esto puede cambiar o afectar a las especies en su hábitat.
&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
Archivo:Diagrama Conceptual ejemplo.png|[[Mapa conceptual|Mapas conceptuales]]
Archivo:Madrid Metro Map.svg|Plano de estaciones del [[Metro (sistema de transporte)|metro]].
Archivo:West Midlands UK location map.svg|Plano de [[autopista]]s.
Archivo:CircuitoDosMallas.png|[[Circuito eléctrico]]
Archivo:Social-network.svg|[[Sociograma]] de una [[red social]]
Archivo:Fully topology.png|[[Topología de red]] de [[Computadora electrónica|computador]]es
Archivo:Ministry of Defence Guatemala organisation chart.svg|[[Organigrama]]s
Archivo:Monocrotophos isomers.png|[[Isomero]]s
Archivo:Gsm network architecture.png|[[Red de celdas|Arquitectura de redes]] de [[telefonía móvil]]
Archivo:Mitbat-2007-bracket-large.png|Draws de [[eliminación directa]] (ej: [[tenis]])
&lt;/gallery&gt;&lt;/center&gt;

Entre las aplicaciones de la Teoría de gráficas que se han vuelto importantes en la actualidad podemos encontrar el estudio de las redes sociales, cuya importancia radica en el adecuado almacenamiento de datos, puesto que el costo del tiempo de búsqueda de la información de cada miembro que pertenece a esta red puede tornarse demasiado alto debido al número de usuarios. Por ejemplo, el número de usuarios que hay actualmente en una importante red social tan solo en México es de 49 millones -cifra reportada por el periódico El economista en 2014-, si este número lo multiplicamos por 194 que es el número aproximado de países que hay en el mundo, se percibe la posibilidad de un grave problema de almacenamiento para los servidores que hay destinados para ello y para la búsqueda de información. Este mismo fenómeno pasa en otras redes de fotografías, mensajes, etc. El modelado de este tipo de problemas ha sido abordado principalmente por estudiantes de doctorado de universidades como Stanford, Massachusetts Institute of Technology (MIT), Berkeley, Oxford, Rice y también por la NASA; en México, tanto el Instituto Politécnico Nacional (IPN) como la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) son los principales promotores en estas áreas a través de los grupos académicos de combinatoria y de computación científica. Podemos considerar que este tipo de problemas son tratados por expertos en matemáticas y ciencias de la computación, debido a su alto grado de complejidad.

El cerebro humano es una red compleja que&amp;nbsp; interactúa en regiones conectadas por tractos de sustancia blanca. La caracterización de características estructurales y funcionales de una red tal en sujetos sanos y personas enfermas tiene la posibilidad de mejorar nuestra comprensión de la fisiopatología y las manifestaciones&amp;nbsp;neurológicas y condiciones psiquiátricas. Esto ha llevado al uso de nuevas herramientas para el análisis de sistemas complejos para hacer frente enfermedades cerebrales. Entre estos, la teoría de grafos es un marco matemático que permite describir una red en forma de una&amp;nbsp; gráfica, que consiste en una colección de los nodos (es decir, regiones del cerebro) y los bordes (es decir, estructurales y conexiones funcionales) .El uso de la teoría de grafos, distinto modificaciones de la topología de red cerebro han sido identificados durante el desarrollo y el envejecimiento normal, y se rompieron conectividades funcionales y estructurales han sido asociado con varios trastornos neurológicos y psiquiátricos, incluyendo demencia, esclerosis lateral amiotrófica, y la esquizofrenia. En este último enfoque se ha contribuido a probar la teoría de esta condición como un síndrome de desconexión. En la esclerosis múltiple (MS), la ocurrencia de la desconexión ha sido corroborada por estudios de resonancia magnética estructural de topología de la red cerebral que mostró una disminución de la conectividad estructural de las regiones de los lóbulos fronto-temporal.

Otra aplicación de las gráficas consiste en tomar datos de resonancia magnética del cerebro adquiridos en condición ausente ( '' estado de reposo '') requieren nuevos análisis de datos técnicas que no dependen de un modelo de activación, una alternativa son los métodos libre de parámetro en base a una forma particular de la centralidad del vector propio asociado a un nodo llamado de centralidad; la  centralidad del vector propio asigna atributos de un valor a cada voxel en el cerebro de manera que un voxel recibe un valor grande si está fuertemente correlacionada con muchos otros nodos que son centrales dentro de la red; el  algoritmo PageRank de Google es una variante del vector propio centralidad el cual es utilizado en las búsquedas que se efectúan en internet. Hasta el momento, otras medidas de centralidad - en particular '' centralidad de intermediación '' - se han aplicado a datos de la fMRI usando un conjunto pre-seleccionado de nodos que consisten en varios cientos de elementos. Centralidad del Vector Propio es computacionalmente mucho más eficiente que centralidad de intermediación y no requiere de umbrales de valores de similitud de modo que se puede aplicar a miles de voxels en una región de interés que cubren la totalidad del cerebro que habría sido inviable el uso de centralidad de intermediación. Centralidad del Vector Propio se puede utilizar en una variedad de diferentes medidas de similitud. (Lohmann et al., 2010).
“La teoría de redes complejas   juega un papel importante en una amplia variedad de disciplinas,
que van desde la informática, sociología, ingeniería y física, para molecular
y la biología de la población. Dentro de los campos de la biología y la medicina, el potencial de
aplicaciones de análisis de redes incluyen, por ejemplo, la identificación objetivo de drogas, determinando una función del gen de la proteína, o  diseñar estrategias eficaces para el tratamiento de diversas enfermedades o proporcionar el diagnóstico precoz de trastornos. “ (Pavlopoulos et al., 2011)
La teoría de gráficas, es adecuada para que  los informáticos modelen problemas, pero también es adecuado para los matemáticos que tienen  interés en la complejidad computacional. La mayoría de los conceptos clásicos de la teoría de grafos teórica y aplicada (árboles de expansión, conectividad, género, colorabilidad, fluye en las redes, los apareamientos y recorridos). Se usa en la solución de problemas.(Czumaj, Jansen, Meyer auf der Heide, &amp; Schiermeyer, 2006)

== Tipos de grafos ==
* '''Grafo simple.''' o simplemente ''grafo'' es aquel que acepta una sola arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo.
* '''[[Multigrafo]]'''. Es el que acepta más de una arista entre dos vértices. Estas aristas se llaman ''múltiples'' o ''lazos'' (''loops'' en [[idioma inglés|inglés]]). Los ''grafos simples'' son una subclase de esta categoría de grafos. También se les llama ''grafos general''.
* '''Pseudografo'''. Si incluye algún lazo.
* '''[[Grafo orientado, dirigido o digrafo]]'''. Son grafos en los cuales se ha añadido una ''orientación'' a las aristas, representada gráficamente por una flecha.
* '''[[Grafo etiquetado]]'''. Grafos en los cuales se ha añadido un ''peso'' a las aristas ([[número entero]] generalmente) o un ''etiquetado'' a los vértices.
* '''[[Grafo aleatorio]]'''. Grafo cuyas aristas están asociadas a una ''[[probabilidad]]''.
* '''[[Hipergrafo]]'''. Grafos en los cuales las aristas tienen más de dos extremos, es decir, las aristas son incidentes a 3 o más vértices.
* '''[[Grafo infinito]]'''. Grafos con conjunto de vértices y aristas de ''[[Infinito|cardinal infinito]]''.

== Representación de grafos ==
{{AP|Grafo (estructura de datos)}}
Existen diferentes formas de representar un grafo (simple), además de la geométrica y muchos métodos para almacenarlos en una computadora. La [[estructura de datos]] usada depende de las características del grafo y el [[algoritmo]] usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en [[grafo disperso|grafos dispersos]] porque tienen un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.

=== Estructura de lista ===
* '''[[Lista de incidencia]]''' - Las aristas son representadas con un [[vector]] de pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa una de las aristas.&lt;ref&gt;[//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Incidence_list_2.svg/500px-Incidence_list_2.svg.png Ejemplo de una lista de incidencia]&lt;/ref&gt;

* '''[[Lista de adyacencia]]''' - Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causa redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento extra.

* '''[[Secuencia de grados|Lista de grados]]''' - También llamada ''secuencia de grados'' o ''sucesión gráfica'' de un grafo no-dirigido es una secuencia de números, que corresponde a los grados de los vértices del grafo.
&lt;!-- En esta estructura de datos la idea es asociar a cada vértice i del grafo una lista que contenga todos aquellos vértices j que sean adyacentes a él. De esta forma sólo reservará memoria para los arcos adyacentes a i y no para todos los posibles arcos que pudieran tener como origen i. El grafo, por tanto, se representa por medio de un vector de n componentes (si |V|=n) donde cada componente va a ser una lista de adyacencia correspondiente a cada uno de los vértices del grafo. Cada elemento de la lista consta de un campo indicando el vértice adyacente. En caso de que el grafo sea etiquetado, habrá que añadir un segundo campo para mostrar el valor de la etiqueta. --&gt;

=== Estructuras matriciales ===
* '''[[Matriz de adyacencia]]''' - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño &lt;math&gt;n^2&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; es el número de vértices. Si hay una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento &lt;math&gt;m_{x, y}&lt;/math&gt; es 1, de lo contrario, es 0.

* '''[[Matriz de incidencia]]''' - El grafo está representado por una [[matriz (matemática)|matriz]] de A (aristas) por V (vértices), donde [vértice, arista] contiene la información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado)
&lt;center&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
! Grafo G(V,A)
! Conjuntos
! Matriz de adyacencia
! Matriz de incidencia
! Secuencia de grados
! Lista de Adyacencia
|-
|[[Archivo:6n-graph2.svg|150px]]
| V = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = { {1,1}, {1,2}, {1,5},&lt;br&gt; {2,3}, {2,5}, {3,4},&lt;br&gt; {4,5}, {4,6} }
|&lt;math&gt;\begin{pmatrix}
1 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0\\
1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0\\
0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1\\
1 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0\\
\end{pmatrix}&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;\begin{pmatrix}
1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1\\
0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1\\
\end{pmatrix}&lt;/math&gt;
|(4,3,3,3,2,1)
|{ {1,2,5}, {3,5}, {4}, {5,6} }
|}
&lt;/center&gt;

== Problemas de teoría de grafos ==

=== Ciclos y caminos hamiltonianos ===
{{AP|Ciclo hamiltoniano}}
[[Archivo:Hamiltonian path.svg|thumb|200px|Ejemplo de un ciclo Hamiltoniano.]]
Un '''ciclo''' es una sucesión de aristas adyacentes, donde no se recorre dos veces la misma arista, y donde se regresa al punto inicial. Un '''ciclo hamiltoniano''' tiene además que recorrer todos los vértices exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega).

Por ejemplo, en un museo grande (al estilo del [[Louvre]]), lo idóneo sería recorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar un ciclo hamiltoniano en el grafo que representa el museo (los vértices son las salas, y las aristas los corredores o puertas entre ellas).

Se habla también de [[Camino hamiltoniano]] si no se impone regresar al punto de partida, como en un museo con una única puerta de entrada. Por ejemplo, un caballo puede recorrer todas las casillas de un tablero de ajedrez sin pasar dos veces por la misma: es un camino hamiltoniano. Ejemplo de un ciclo hamiltoniano en el grafo del [[dodecaedro]].

Hoy en día, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo hamiltoniano en [[tiempo polinómico]], siendo la búsqueda por fuerza bruta de todos los posibles caminos u otros métodos excesivamente costosos. Existen, sin embargo, métodos para descartar la existencia de ciclos o caminos hamiltonianos en grafos pequeños.

El problema de determinar la existencia de ciclos hamiltonianos, entra en el conjunto de los [[NP-completo]]s.

[[Archivo:Grafo ejemplo 6.png|thumb|200px|Un grafo es '''plano''' si se puede dibujar sin cruces de aristas. El ''problema de las tres casas y los tres pozos'' tiene solución sobre el [[Toro (matemáticas)|toro]], pero no en el plano.]]

=== Grafos planos ===
{{AP|Grafo plano}}
Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin que dos segmentos se corten, se dice que es plano.

Un juego muy conocido es el siguiente: Se dibujan tres casas y tres pozos. Todos los vecinos de las casas tienen el derecho de utilizar los tres pozos. Como no se llevan bien en absoluto, no quieren cruzarse jamás. ¿Es posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces?

Cualquier disposición de las casas, los pozos y los caminos implica la presencia de al menos un cruce.

Sea K&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; el [[grafo completo]] con ''n'' vértices, K&lt;sub&gt;n, p&lt;/sub&gt; es el [[grafo bipartito]] de ''n'' y ''p'' vértices.

El juego anterior equivale a descubrir si el [[grafo bipartito completo]] K&lt;sub&gt;3,3&lt;/sub&gt; es '''plano''', es decir, si se puede dibujar en un plano sin que haya cruces, siendo la respuesta que no. En general, puede determinarse que un grafo ''no'' es plano, si en su diseño puede encontrase una estructura análoga (conocida como ''menor'') a K&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; o a K&lt;sub&gt;3,3&lt;/sub&gt;.

Establecer qué grafos son planos no es obvio, y es un problema que tiene que ver con [[topología]].

=== Coloración de grafos ===
{{AP|Coloración de grafos}}
Si G=(V, E) es un grafo no dirigido, una coloración propia de G, ocurre cuando coloreamos los vértices de G de modo que si {a, b} es una arista en G entonces a y b tienen diferentes colores. (Por lo tanto, los vértices adyacentes tienen colores diferentes). El número mínimo de colores necesarios para una coloración propia de G es el número cromático de G y se escribe como C (G).
Sea G un grafo no dirigido sea λ el número de colores disponibles para la coloración propia de los vértices de G. Nuestro objetivo es encontrar una función polinomial P (G,λ), en la variable λ, llamada &lt;u&gt;polinomio cromático de G&lt;/u&gt;, que nos indique el número de coloraciones propias diferentes de los vértices de G, usando un máximo de λ colores.

Descomposición de polinomios cromáticos. Si G=(V, E) es un grafo conexo y e pertenece a Ε, entonces: P (G,λ)=P (G+e,λ)+P (G/e,λ), donde G/e es el grafo se obtiene por [[contracción de aristas]].

Para cualquier grafo G, el término constante en P (G,λ) es 0

Sea G=(V, E) con |E|&gt;0 entonces, la suma de los coeficientes de P (G,λ) es 0.

Sea G=(V, E), con ''a'', ''b'' pertenecientes al conjunto de vértices ''V'' pero {a, b}=e, no perteneciente a al conjunto de aristas E. Escribimos G+e para el grafo que se obtiene de G al añadir la arista e={a, b}. Al identificar los vértices a y b en G, obtenemos el subgrafo G++e de G.0000

==== Teorema de los cuatro colores ====
{{AP|Teorema de los cuatro colores}}
{{Imagen múltiple
 | posición_tabla = right
 | dirección      = horizontal
 | ancho          = 200
 | foto2    =  Grafo ejemplo 5 conecsi.png
| texto1 =  Mapa coloreado con 4-colores.
 | foto1    =  Grafo ejemplo 5 países.png
| texto2 = [[Grafo dual]] asociado al mapa con una [[Coloración de grafos|4-vértice coloración]].
}}
Otro problema famoso relativo a los grafos: ¿Cuántos colores son necesarios para dibujar un mapa político, con la condición obvia que dos países adyacentes no puedan tener el mismo color? Se supone que los países son de un solo pedazo, y que el mundo es esférico o plano. En un mundo en forma de toroide; el teorema siguiente no es válido:

Cuatro colores son siempre suficientes para colorear un mapa.

El mapa siguiente muestra que tres colores no bastan: Si se empieza por el país central '''a''' y se esfuerza uno en utilizar el menor número de colores, entonces en la corona alrededor de '''a''' alternan dos colores. Llegando al país '''h''' se tiene que introducir un cuarto color. Lo mismo sucede en '''i''' si se emplea el mismo método.

La forma precisa de cada país no importa; lo único relevante es saber qué país toca a qué otro. Estos datos están incluidos en el grafo donde los vértices son los países y las aristas conectan los que justamente son adyacentes. Entonces la cuestión equivale a atribuir a cada vértice un color distinto del de sus vecinos.

Hemos visto que tres colores no son suficientes, y demostrar que con cinco siempre se llega, es bastante fácil. Pero el teorema de los cuatro colores no es nada obvio.
Prueba de ello es que se han tenido que emplear ordenadores para acabar la demostración (se ha hecho un programa que permitió verificar una multitud de casos, lo que ahorró muchísimo tiempo a los matemáticos). Fue la primera vez que la comunidad matemática aceptó una demostración asistida por ordenador, lo que creó en su día una cierta polémica dentro de dicha comunidad.

== Caracterización de grafos ==

==== Grafos simples ====

Un grafo es ''simple'' si a lo sumo existe una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos.

Un grafo que no es simple se denomina [[multigrafo]].

==== Grafos conexos ====

Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde ''a'' hacia ''b''.

Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.

Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo [[Búsqueda en anchura]] (BFS) o [[Búsqueda en profundidad]] (DFS).

En términos matemáticos la propiedad de un grafo (fuertemente) conexo permite establecer una [[relación de equivalencia]] para sus vértices, la cual lleva a una partición de estos en &quot;componentes (fuertemente) conexos&quot;, es decir, porciones del grafo, que son (fuertemente) conexas cuando se consideran como grafos aislados. Esta propiedad es importante para muchas demostraciones en teoría de grafos.
[[Archivo:Connexe et pas connexe.svg|400px|thumb|center|Grafo conexo y no conexo]]

==== Grafos completos ====
{{AP|Grafo completo}}
Un grafo es ''completo'' si existen aristas uniendo ''todos'' los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista ''e'' que los une.

El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente &lt;math&gt;\mathbb{K}&lt;/math&gt;, siendo &lt;math&gt;\mathbb{K}_n&lt;/math&gt; el grafo completo de ''n'' vértices.

Un &lt;math&gt;\mathbb{K}_n&lt;/math&gt;, es decir, grafo completo de &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; vértices tiene exactamente &lt;math&gt;\frac{n(n-1)}{2}&lt;/math&gt; aristas.

La representación gráfica de los &lt;math&gt;\mathbb{K}_n&lt;/math&gt; como los vértices de un polígono regular da cuenta de su peculiar estructura.

==== Grafos bipartitos ====
{{AP|Grafo bipartito}}
Un grafo G es bipartito si puede expresar como &lt;math&gt;G = \{V_1 \cup V_2, A\}&lt;/math&gt; (es decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices), bajo las siguientes condiciones:
* &lt;math&gt;V_1&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;V_2&lt;/math&gt; son disjuntos y no vacíos.
* Cada arista de A une un vértice de V&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; con uno de V&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.
* No existen aristas uniendo dos elementos de V&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;; análogamente para V&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.

Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse informalmente como el grafo que une o relaciona dos conjuntos de elementos diferentes, como aquellos resultantes de los ejercicios y puzzles en los que debe unirse un elemento de la columna A con un elemento de la columna B.

=== Homeomorfismo de grafos ===
{{AP|Homeomorfismo de grafos}}
Dos grafos &lt;math&gt;G_1&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;G_2&lt;/math&gt; son homeomorfos si ambos pueden obtenerse a partir del mismo grafo con una sucesión de [[subdivisiones elementales]] de aristas.

=== Árboles ===
{{AP|Árbol (teoría de grafos)}}
[[Archivo:Grafo ejemplo 3 árbol.png|thumb|263px|Ejemplo de árbol.]]
Un grafo que no tiene ciclos y que conecta a todos los puntos, se llama un '''árbol'''. En un grafo con '''n''' vértices, los árboles tienen exactamente '''n - 1''' aristas, y hay '''n&lt;sup&gt;n-2&lt;/sup&gt;''' árboles posibles. Su importancia radica en que los árboles son grafos que conectan todos los vértices utilizando el menor número posible de aristas. Un importante campo de aplicación de su estudio se encuentra en el [[análisis filogenético]], el de la filiación de entidades que derivan unas de otras en un proceso evolutivo, que se aplica sobre todo a la averiguación del parentesco entre especies; aunque se ha usado también, por ejemplo, en el estudio del parentesco entre lenguas.

=== Grafos ponderados o etiquetados ===

En muchos casos, es preciso atribuir a cada arista un número específico, llamado ''valuación'', ''ponderación'' o ''coste'' según el contexto, y se obtiene así un '''grafo valuado'''.&lt;br /&gt;
Formalmente, es un grafo con una función v: A → '''R&lt;sub&gt;+&lt;/sub&gt;'''.

Por ejemplo, un representante comercial tiene que visitar ''n'' ciudades conectadas entre sí por carreteras; su interés previsible será minimizar la distancia recorrida (o el tiempo, si se pueden prever atascos). El grafo correspondiente tendrá como vértices las ciudades, como aristas las carreteras y la valuación será la distancia entre ellas.&lt;br /&gt;
Y, de momento, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo de valuación mínima, pero sí para los caminos desde ''a'' hasta ''b'', sin más condición.

=== Diámetro ===
[[Archivo:Grafo ejemplo 7.png|thumb|263px|En la figura se nota que K&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; es plano (desviando la arista ''ab'' al exterior del cuadrado), que K&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; no lo es, y que K&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;,&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; lo es también (desvíos en gris).]]
En un grafo, la distancia entre dos vértices es el menor número de aristas de un recorrido entre ellos. El '''diámetro''', en una figura como en un grafo, es la mayor distancia de entre todos los pares de puntos de la misma.

El diámetro de los K&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; es 1, y el de los K&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;,&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; es 2. Un diámetro infinito puede significar que el grafo tiene una infinidad de vértices o simplemente que no es '''conexo'''. También se puede considerar el '''diámetro promedio''', como el promedio de las distancias entre dos vértices.

El mundo de Internet ha puesto de moda esa idea del diámetro: Si descartamos los sitios que no tienen enlaces, y escogemos dos páginas ''web'' al [[azar]]: ¿En cuántos ''clics'' se puede pasar de la primera a la segunda? El resultado es el diámetro de la Red, vista como un grafo cuyos vértices son los sitios, y cuyas aristas son lógicamente los enlaces.

En el mundo real hay una analogía: tomando al azar dos seres humanos del mundo, ¿En cuántos saltos se puede pasar de uno a otro, con la condición de sólo saltar de una persona a otra cuando ellas se conocen personalmente? Con esta definición, se estima que el diámetro de la humanidad es de... ¡ocho solamente!

Este concepto refleja mejor la complejidad de una red que el número de sus elementos.

{{VT|Glosario en teoría de grafos}}
== Algoritmos importantes ==
{{lista en columnas|3|
* [[Búsqueda en anchura|Algoritmo de búsqueda en anchura (BFS)]]
* [[Búsqueda en profundidad|Algoritmo de búsqueda en profundidad (DFS)]]
* [[Algoritmo de búsqueda A*]]
* [[Algoritmo del vecino más cercano]]
* [[Ordenación topológica|Ordenación topológica de un grafo]]
* [[Algoritmo de cálculo de los componentes fuertemente conexos de un grafo]]
* [[Algoritmo de Dijkstra]]
* [[Algoritmo de Bellman-Ford]]
* [[Algoritmo de Prim]]
* [[Algoritmo de Ford-Fulkerson]]
* [[Algoritmo de Kruskal]]
* [[Algoritmo de Floyd-Warshall]]
}}

== Investigadores relevantes en Teoría de grafos ==
{{lista en columnas|4|
* [[Noga Alon|Alon, Noga]]
* [[Claude Berge|Berge, Claude]]
* [[Béla Bollobás|Bollobás, Béla]]
* [[Graham Brightwell|Brightwell, Graham]]
* [[Fan Chung|Chung, Fan]]
* [[Gabriel Andrew Dirac|Dirac, Gabriel Andrew]]
* [[Edsger Dijkstra|Dijkstra, Edsger]]
* [[Jack Edmonds|Edmonds, Jack]]
* [[Paul Erdős|Erdős, Paul]]
* [[Leonhard Euler|Euler, Leonhard]]
* [[Ralph Faudree|Faudree, Ralph]]
* [[Martin Charles Golumbic|Golumbic, Martin]]
* [[Ronald Graham|Graham, Ronald]]
* [[Frank Harary|Harary, Frank]]
* [[Percy John Heawood|Heawood, Percy John]]
* [[htp://en.wikipedia.org/wiki/Walter_Kaufmann_(philosopher)|Kaufmann, Walter Arnold]]
* [[Dénes Kőnig|Kőnig, Dénes]]
* [[Kazimierz Kuratowski|Kuratowski, Kazimierz]]
* [[László Lovász|Lovász, László]]
* [[Jaroslav Nešetřil|Nešetřil, Jaroslav]]
* [[Alfréd Rényi|Rényi, Alfréd]]
* [[Gerhard Ringel|Ringel, Gerhard]]
* [[Neil Robertson (mathematician)|Robertson, Neil]]
* [[Paul Seymour (mathematician)|Seymour, Paul]]
* [[Endre Szemerédi|Szemerédi, Endre]]
* [[Robin Thomas (mathematician)|Thomas, Robin]]
* [[Carsten Thomassen|Thomassen, Carsten]]
* [[Pál Turán|Turán, Pál]]
* [[W. T. Tutte|Tutte, W. T.]]
* [[Hassler Whitney|Whitney, Hassler]]
}}

== Véase también ==
* [[Grafo]]
* [[Anexo:Galería de grafos]]
* [[Teorema de König (teoría de grafos)]]

== Referencias ==
{{listaref}}Czumaj, A., Jansen, K., Meyer auf der Heide, F., &amp; Schiermeyer, I. (2006). Algorithmic Graph Theory. ''Oberwolfach Reports'', 379–460.

Hinz, A. M. (2012). Graph theory of tower tasks. In ''Behavioural Neurology'' (Vol. 25, pp. 13–22).

Lohmann, G., Margulies, D. S., Horstmann, A., Pleger, B., Lepsien, J., Goldhahn, D., … Turner, R. (2010). Eigenvector centrality mapping for analyzing connectivity patterns in fMRI data of the human brain. ''PLoS ONE'', ''5''(4). &lt;nowiki&gt;http://doi.org/10.1371/journal.pone.0010232&lt;/nowiki&gt;

Pavlopoulos, G. a, Secrier, M., Moschopoulos, C. N., Soldatos, T. G., Kossida, S., Aerts, J., … Bagos, P. G. (2011). Using graph theory to analyze biological networks. ''BioData Mining'', ''4''(1), 10. Retrieved from &lt;nowiki&gt;http://www.biodatamining.org/content/4/1/10&lt;/nowiki&gt;

Rocca, M. A., Valsasina, P., Meani, A., Falini, A., Comi, G., &amp; Filippi, M. (2014). Impaired functional integration in multiple sclerosis: a graph theory study. ''Brain Structure and Function'', 115–131. &lt;nowiki&gt;http://doi.org/10.1007/s00429-014-0896-4&lt;/nowiki&gt;

== Enlaces externos ==
{{commonscat|Graph theory}}
* [http://sedici.unlp.edu.ar/handle/10915/36487 Sobre los grafos VPT y los grafos EPT]. Mazzoleni, María Pía. 30 de mayo de 2014.
&lt;noinclude&gt;{{AutoCategoría}}&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Matemática Discreta/Relaciones de Recurrencia</title>
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{{referencias|t=20120107}}
En [[Matemáticas]], una '''relación de recurrencia''' es una [[ecuación]] que define una [[recursividad|secuencia recursiva]]; cada término de la secuencia es definido como una función de términos anteriores.&lt;ref name=&quot;mit283&quot;&gt;{{cita libro|título=Mathematics for Computer Science|autor=Lehman, Leighton y Meyer|url=https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042j-mathematics-for-computer-science-fall-2010/readings/MIT6_042JF10_notes.pdf|página=283|año=2010}}&lt;/ref&gt; 

== Definición ==

Una [[ecuación]] recurrente es un tipo específico de relación de recurrencia. Una relación de recurrencia para la [[sucesión Matemáticas|sucesión]] &lt;math&gt; a_0, a_1, a_2, \ldots &lt;/math&gt; es una ecuación que relaciona &lt;math&gt; a_n \, &lt;/math&gt; con alguno de sus predecesores &lt;math&gt; a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} &lt;/math&gt;. Las condiciones iniciales para la sucesión &lt;math&gt; a_0, a_1, \ldots &lt;/math&gt; son valores dados en forma explícita para un número finito de términos de la sucesión.&lt;ref&gt;{{cita libro|apellidos=Johnsonbaugh|nombre=Richard|título=Matemáticas Discretas|año=2005|editorial=Pearson Education|isbn=970-26-0637-3|páginas=280}}&lt;/ref&gt; 


Resolver una relación de recurrencia consiste en determinar una fórmula explícita (cerrada) para el término general &lt;math&gt; a_n\, &lt;/math&gt;, es decir una función no recursiva de '''n'''.

Hay tres métodos para resolver relaciones recurrentes: [[iteración]], transformada Z y un método especial que se aplica a las relaciones de recurrencia lineales homogéneas con coeficientes constantes.

Un ejemplo de una relación de recurrencia es el siguiente:
: &lt;math&gt;
   x_{n+1} =
   rx_n(1-x_n) \,
&lt;/math&gt;

Algunas definiciones de recurrencia pueden tener relaciones muy complejas (caóticas), y sus comportamientos a veces son estudiados por los físicos y matemáticos en un campo conocido como [[análisis matemático|análisis]] no lineal.

== Resolución ==
===Por hipótesis comprobada===
La forma más sencilla para resolver una relación de recurrencia es formular una posible solución (hipótesis) y comprobar por inducción la validez de la misma.

En el caso de las &quot;[[Torres de Hanoi]]&quot;, siendo &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; el número de pasos para resolver el problema con &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; discos, &lt;math&gt;t_n&lt;/math&gt; está dado por la siguiente ecuación de recurrencia:
:&lt;math&gt; t_1:=1
;\,t_n:=2t_{n-1}+1
&lt;/math&gt;
Resolver la recurrencia sería encontrar la ecuación que nos da el valor de &lt;math&gt;t_n&lt;/math&gt; en términos de &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.

Al analizar la correspondencia para cada valor de &lt;math&gt;t_{n}&lt;/math&gt; con n desde &lt;math&gt;\{1,2,3,4,5\}\rightarrow \{1,3,7,15,31\}&lt;/math&gt; 
especulamos que quizás la solución sea &lt;math&gt;t_n:=2^n-1&lt;/math&gt;, por lo que para comprobarla se  procede a sustituir la hipótesis en la ecuación de recurrencia:
: &lt;math&gt;t_n=2t_{n-1}+1
    =2(2^{n-1}-1)+1
    =2(\frac{2^{n}}{2}-1)+1
    =(2^n-2)+1=2^n-1 
    &lt;/math&gt;

comprobándose la hipótesis como verdadera.&lt;ref name=&quot;mit287&quot;&gt;{{cita libro|título=Mathematics for Computer Science|autor=Lehman, Leighton y Meyer|url=https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042j-mathematics-for-computer-science-fall-2010/readings/MIT6_042JF10_notes.pdf|página=287|año=2010}}&lt;/ref&gt;

=== Iteración ===
Para resolver una relación de recurrencia asociada a la sucesión: &lt;math&gt; a_0, a_1, a_2 \, &lt;/math&gt; por [[iteración]], utilizamos la relación de recurrencia para escribir el n-ésimo término &lt;math&gt; a_n \, &lt;/math&gt; en términos de algunos de sus predecesores. Luego utilizamos de manera sucesiva la relación de recurrencia para reemplazar cada uno de los términos por algunos de sus predecesores. Continuamos hasta llegar a alguno de los casos base.

=== Recurrencias Lineales ===
Una relación de recurrencia es lineal de grado k si tiene la siguiente estructura:
: &lt;math&gt;
   c_0(n)a_n + c_1(n) a_{n-1} +
   ... +
   c_{k-1}(n) a_{n-k+1} +
   c_k(n) a_{n-k} \,= 0
&lt;/math&gt;

siendo &lt;math&gt; c_i(n) \, &lt;/math&gt; funciones reales de &lt;math&gt; n \, &lt;/math&gt;, y &lt;math&gt; F(n) \, &lt;/math&gt; una función de n.

El adjetivo ''lineal'' indica que cada término de la secuencia está definido como una función lineal de sus términos anteriores. El ''orden'' de una relación de recurrencia lineal es el número de términos anteriores exigidos por la definición.

En la relación &lt;math&gt; a_n = a_{n-2} \, &lt;/math&gt; el orden es dos, porque debe haber al menos dos términos anteriores (ya sean usados o no).

Ejemplos :
: &lt;math&gt;
   3 a_n - {n-1} a_{n-1} +
   2 a_{n-2} = 0 \,
&lt;/math&gt;
   
==== Ecuación de Recurrencia lineal homogénea con coeficientes constantes ====
Se llama ecuación de recurrencia lineal homogénea de grado k, con coeficientes constantes, a una expresión del tipo:
: &lt;math&gt;
   a_n +
   c_1 a_{n-1} +
   c_2 a_{n-2} +
   \cdots +
   c_k a_{n-k} = 0 ,
   c_i \in \mathbf{R} , c_k \ne 0
&lt;/math&gt;

Para poder encontrar una solución, hacen falta unas condiciones de contorno o ''iniciales'' &lt;math&gt; a_0 , a_1 , \cdots , a_{k-1} &lt;/math&gt;, siendo '''k''' el grado de la ecuación.

La recurrencia lineal, junto con las condiciones iniciales &lt;math&gt; a_0 , \cdots , a_{k-1} &lt;/math&gt;, determinan la secuencia única.

Sea la ecuación de recurrencia lineal [[homogénea]] de orden k anterior, se denomina ecuación característica a la ecuación de grado k:
: &lt;math&gt;
   x^k +
   c_{1} x^{k-1} +
   \cdots +
   c_{k}
&lt;/math&gt;

===== La generación de la función racional =====
Las secuencias lineales recursiva son precisamente las secuencias cuya función de generación es una [[función racional]]: el denominador es el [[polinomio auxiliar]] (a una transformación), y el numerador se obtiene con los valores iniciales.

El caso más sencillo son las secuencias periódicas,&lt;math&gt;a_n = a_{n-d}&lt;/math&gt;, n≥d que tienen secuencia &lt;math&gt; a_0, a_1, \cdots, a_{d-1}, a_0, \cdots &lt;/math&gt; y función de generación una suma de una [[serie geométrica]]:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{ll}
      \cfrac{a_0 + a_1 x^1 + \dots + a_{d-1} x^{d-1}}{1 - x^d} = 
      &amp; ( a_0 + a_1 x^1 + \dots + a_{d-1} x^{d-1}) + \\
      &amp; ( a_0 + a_1 x^1 + \dots + a_{d-1} x^{d-1}) x^d + \\
      &amp; ( a_0 + a_1 x^1 + \dots + a_{d-1} x^{d-1}) x^{2d} + \\
      &amp; \dots
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Más general, dada la relación de recurrencia:
: &lt;math&gt;
   a_n =
   c_1a_{n-1} +
   c_2a_{n-2} +
   ... +
   c_d a_{n-d} \,
&lt;/math&gt;

con función de generación
: &lt;math&gt;
   a_0 +
   a_1x^1 +
   a_2x^2 +
   \cdots
&lt;/math&gt;

la serie es aniquilada por &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; y anteriormente por el polinomio:
: &lt;math&gt;
   1 -
   c_1x^1 -
   c_2x^2 -
   \cdots -
   c_d x^d
&lt;/math&gt;

Eso es, multiplicando la función de generación por el polinomio
: &lt;math&gt;
   b_n =
   a_n -
   c_1 a_{n-1} -
   c_2 a_{n-2} -
   \cdots -
   c_d a_{n-d}
&lt;/math&gt;

como el coeficiente en &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt;, que desaparece (por la relación de recurrencia) para n ≥ d. Así:
: &lt;math&gt;
   ( a_0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + \dots ) 
   ( 1 - c_1 x^1 - c_2 x^2 - \dots - c_d x^d) =
   ( b_0 + b_1 x^1 + b_2 x^2 + \dots + b_{d-1} x^{d-1})
&lt;/math&gt;

como dividiendo:
: &lt;math&gt;
   a_0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + \dots =
   \cfrac
      {b_0 + b_1 x^1 + b_2 x^2 + \dots + b_{d-1} x^{d-1}}
      {1 - c_1 x^1 - c_2 x^2 - \dots - c_d x^d}
&lt;/math&gt;

expresando la función de generación como una función racional.
El denominador es &lt;math&gt; x^d p(1 / x) &lt;/math&gt;, una transformación del polinomio auxiliar (equivalente, invirtiendo el orden de los coeficientes); también se puede usar cualquier múltiplo de esta, pero esta normalización es elegida por ambas porque la relación simple del polinomio auxiliar, y de ese modo &lt;math&gt; b_0 = a_0 &lt;/math&gt;.

===== Relación con la diferencia de ecuaciones =====
Dada una '''secuencia''' &lt;math&gt; \{ a_n \} \, &lt;/math&gt; de '''números reales''': la primera diferencia &lt;math&gt; d ( a_n ) \, &lt;/math&gt; se define como &lt;math&gt; a_n - a_{n-1} \, &lt;/math&gt;

La segunda diferencia &lt;math&gt; d^2 ( a_n ) \, &lt;/math&gt; se define como &lt;math&gt; d (a_n) - d(a_{n-1}) \, &lt;/math&gt;,

que se puede simplificar a &lt;math&gt; a_n - 2a_{n-1} + a_{n-2} \, &lt;/math&gt;.

Más general: la diferencia &lt;math&gt; d^k \, &lt;/math&gt; se define como &lt;math&gt; d^{k-1}(a_n) - d^{k-1}(a_{n-1}) \, &lt;/math&gt;

A diferencia de la ecuación es una ecuación compuesta por &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; y sus diferencias.
Cada relación de recurrencia puede ser formulada como una ecuación de diferencia. Por el contrario, cada ecuación de diferencia puede ser formulada como una relación de recurrencia. Algunos autores así utilizan los dos términos intercambiables. Por ejemplo, la ecuación de la diferencia:
: &lt;math&gt;
   3 d^2 (a_n) +
   2d (a_n) +
   7a_n = 0 \,
&lt;/math&gt;

es equivalente a la relación de recurrencia:
: &lt;math&gt;
   12 a_n =
   8 a_{n-1} -
   3 a_{n-2} \,
&lt;/math&gt;

De este modo se puede resolver relaciones de recurrencia por la reiteración como ecuaciones diferencia, y luego la solución de la ecuación de diferencia, análogamente como una solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Ver escala de tiempo de cálculo para la unificación de la teoría de las ecuaciones de diferencia con la de las ecuaciones diferenciales.

===== Resolución =====
Sean
: &lt;math&gt;
   c_0 a_n +
   c_1 a_{n-1} +
   c_2 a_{n-2} +
   \cdots +
   c_ka_{n-k} =0
&lt;/math&gt;

una ecuación de recurrencia lineal homogénea, &lt;math&gt; x^k + c_{n-1}x^{k-1} + \cdots + c_{n-k} &lt;/math&gt; su ecuación característica y, &lt;math&gt; x_1, x_2, \cdots, x_s &lt;/math&gt; las raíces de la ecuación característica con multiplicidades &lt;math&gt;m_1,m_2,\cdots,m_s&lt;/math&gt; respectivamente.
La solución de esta ecuación sería:
{{definición|
&lt;math&gt;
   a_n =
   P_1(n)(x_1)^n+P_2(n)(x_2)^n +
   \cdots +
   P_s(n)(x_s)^n
&lt;/math&gt;
}}
                          
Con &lt;math&gt; P_i(n)\ &lt;/math&gt; el [[polinomio]] de grado menor o igual que &lt;math&gt; m_{i}-1\, &lt;/math&gt;.
Para poder calcular los coeficientes de los [[polinomios]] &lt;math&gt; P_i(n)\, &lt;/math&gt;, necesitamos saber las condiciones iniciales de la ecuación de recurrencia.

===== Ejemplo : Números de Fibonacci =====
Los números de [[Fibonacci]] están [[definición (Matemáticas)|definidos]] usando la siguiente relación de recurrencia lineal: 
: &lt;math&gt;F_{n} = F_{n-1}+F_{n-2} \,&lt;/math&gt;

con los valores iniciales:
: &lt;math&gt;F_0 = 0 \,&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;F_1 = 1 \,&lt;/math&gt;

La [[Sucesión de Fibonacci|secuencia de los números de Fibonacci]] comienza: 0, 1, 1, 2, 3 ,5, 8, 13, 21 ,34, 55, 89...
El objetivo de la resolución de la ecuación de recurrencia es encontrar una forma cerrada para calcular los números de Fibonacci.

La ecuación característica es la siguiente:
: &lt;math&gt; x^2 - x - 1 = 0 \, &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \, &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \, &lt;/math&gt;

por lo tanto, la solución general es:
: &lt;math&gt;
   F(n) =
   A_1
   \left(
      \frac
         {1+\sqrt{5}}
         {2}
      \right)^n +
   A_2
   \left(
      \frac
         {1-\sqrt{5}}
         {2}
   \right)^n
&lt;/math&gt;

Para hallar el valor de &lt;math&gt;A_1&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;A_2&lt;/math&gt; resolvemos las siguientes ecuaciones: 
: &lt;math&gt;
   F_0 =
   A_1
   \left (
      \frac
         {1+\sqrt{5}}
         {2}
      \right )^0 +
   A_2
   \left (
      \frac
         {1-\sqrt{5}}
         {2}
   \right )^0
&lt;/math&gt; 
: &lt;math&gt;
   F_1 =
   A_1
   \left (
      \frac
         {1+\sqrt{5}}
         {2}
   \right )^2 +
   A_2
   \left (
      \frac
         {1-\sqrt{5}}
         {2}
   \right )^2
&lt;/math&gt;

Entonces:
: &lt;math&gt;
   A_1 =
   \frac
      {1}
      {\sqrt{5}}
&lt;/math&gt;

y
: &lt;math&gt;
   A_2 =
   \frac{-1}{\sqrt{5}}
&lt;/math&gt;

La forma cerrada para los números de [[Fibonacci]] es: 
: &lt;math&gt;
   F(n) =
   \frac{1}{\sqrt{5}}
   \left(
      \left(
         \frac{1+\sqrt{5}}{2}
      \right)^n -
      \left(
         \frac{1-\sqrt{5}}{2}
      \right)^n
   \right)
&lt;/math&gt;

==== Ecuación de Recurrencia lineal no homogénea con coeficientes constantes ====
Recibe el nombre de ecuación de recurrencia lineal no homogénea de grado k, con coeficientes constantes, una expresión del tipo:
&lt;math&gt; c_0a_n + c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} +\cdots+ c_ka_{n-k} =F(n) , c_i\in \mathbf{R} , c_k \ne 0&lt;/math&gt;.

===== Resolución =====
La solución general sería: &lt;math&gt;a_n=a_n^{(h)} + a_n^{(p)} &lt;/math&gt; , donde &lt;math&gt;a_n^{(h)}&lt;/math&gt; es la solución de la ecuación de recurrencia lineal homogénea asociada es decir la ecuación :
&lt;math&gt; c_0a_n + c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} +\cdots+ c_ka_{n-k} =0 , c_i\in \mathbf{R} , c_k \ne 0&lt;/math&gt; y donde &lt;math&gt;a_n^{(p)}&lt;/math&gt; es la solución particular que depende de la función ''F''(''n'').
Por lo tanto los pasos a seguir serían, primero calcular la solución de la ecuación homogénea, calcular una solución particular para ''F''(''n'') y sumarla a la homogénea, y a continuación aplicar las condiciones iniciales para calcular las constantes. 
En la siguiente tabla, encontramos cuales son las posibles soluciones particulares:
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; height=200px; background:#ffdead;&quot; align=&quot;center&quot; | '''&lt;math&gt;F(n)&lt;/math&gt;''' 
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; height=200px; background:#ffdead;&quot; align=&quot;center&quot; | '''&lt;math&gt;{a_n}^{(p)}&lt;/math&gt;''' 
|- 
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;C,\rm constante&lt;/math&gt;
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;C_0, \rm constante&lt;/math&gt;
|-
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;C_0+C_1n&lt;/math&gt;
|-
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;n^2&lt;/math&gt;
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;C_0+C_1n+C_2n^2&lt;/math&gt;
|-
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;n^t,t\in \mathbf{Z}^+&lt;/math&gt;
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;C_0+C_1n+\cdots+C_tn^t&lt;/math&gt;
|-
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;r^n, r\in \mathbf{R}&lt;/math&gt;
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;C_0r^n&lt;/math&gt;
|-
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;n^tr^n&lt;/math&gt;
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;r^n(C_0+C_1n+C_2n^2)&lt;/math&gt;
|-
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;\sin(An),A\in \mathbf{R}&lt;/math&gt;
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;C_0\sin(An)+C_1\cos(An)&lt;/math&gt;
|-
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;\cos(An), A\in \mathbf{R}&lt;/math&gt;
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;C_0\sin(An)+C_1\cos(An)&lt;/math&gt;
|-
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;r^n\sin(An), A\in \mathbf{R}&lt;/math&gt;
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;C_0r^n\sin(An)+C_1r^n\cos(An)&lt;/math&gt;
|-
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;r^n\cos(An), A\in \mathbf{R}&lt;/math&gt;
| colspan=&quot;2&quot; style=&quot;width:300px; background:#ffffff;&quot; align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;C_0r^n\sin(An)+C_1r^n\cos(An)&lt;/math&gt;
|-
|}

:* Consideraciones:
1.- Si ''F''(''n'') es una combinación lineal de algunas de las funciones de la tabla anterior, su solución particular es la combinación lineal de las soluciones particulares de esas mismas funciones.

2.- Si uno de los sumandos de ''F''(''n'') es el producto de una constante por una solución de la ecuación característica homogénea asociada, entonces es necesario multiplicar la solución particular correspondiente a este sumando por la menor potencia de ''n'', ''n''´ tal que este nuevo producto no sea solución de la ecuación característica homogénea asociada.

===== Ejemplo: [[Torres de Hanói]] =====
La ecuación de recurrencia asociada con el problema de las [[Torres de Hanói]] es la siguiente:
: &lt;math&gt;T_{n} =2 T_{n-1}+1 \,&lt;/math&gt;

Con las condiciones iniciales:
: &lt;math&gt;T_1=1 \,&lt;/math&gt;

Se resuelve la siguiente homogénea:
: &lt;math&gt; T_n^{(h)}=2T_{n-1}&lt;/math&gt;

La ecuación característica es: &lt;math&gt;x-2=0&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

Entonces : &lt;math&gt;T_n^{(h)}= A2^n&lt;/math&gt;

A continuación, se resuelve la ecuación particular:&lt;math&gt; T_n^{(p)} =B=2B+1&lt;/math&gt;, entonces &lt;math&gt; B=-1 &lt;/math&gt;.

&lt;math&gt; T_n = A2^n-1 \, &lt;/math&gt;, entonces igualando con las condiciones iniciales la solución es : &lt;math&gt; T_n = 2^n-1 \, &lt;/math&gt;

=== Recurrencias No lineales ===
Para resolver recurrencias no lineales tenemos muchas opciones de las cuales:
* Buscar transformaciones o cambios de variables que hagan la recurrencia lineal.
* Para el caso &lt;math&gt; t(n) = a \cdot t \left ( \frac{n}{b} \right ) + f(n) &lt;/math&gt; , hay un teorema muy útil que es el [[Teorema Maestro]].

== La recurrencia en la computación ==
La conexión con el análisis de algoritmos estriba en que la forma que se ha adoptado para medir las complejidades, utiliza funciones cuyo dominio son los números naturales, o en otras palabras, sucesiones. Si el algoritmo es recurrente, es de esperarse que las complejidades, como funciones que estiman la demanda de recursos a lo largo de la ejecución, sean sucesiones que satisfacen ciertas ecuaciones de recurrencia.
En un algoritmo recursivo, la función t(n) que establece su complejidad viene dada por una ecuación de recurrencia.
Una ecuación de recurrencia nos permiten indicar el tiempo de ejecución para los distintos casos del algoritmo recursivo (casos base y recursivo).
=== Ejemplo : Cálculo del factorial ===
 '''int''' Fact('''int''' n){
         '''if'''(n&lt;=0)
             '''return''' 0;
         '''else if'''(n==1)
             '''return''' 1;
         '''return''' n*Fact(n-1);
 }
Considerando el producto como operación básica, podemos construir la ecuación recurrente para calcular la complejidad del algoritmo como sigue:

Como se ve en el código el caso base es para n&lt;=1, para estos valores de n el número de multiplicaciones que se realiza es 0.
Y en otro caso es 1 más las necesarias para calcular el factorial de n-1. Así construimos la función recurrente:
: &lt;math&gt;
   t(n) = 
   \begin{cases} 
      0          &amp; \mbox{si } n \le 1 \\
      t(n-1) + 1 &amp; \mbox{si } n &gt; 1
   \end{cases}
&lt;/math&gt;

Ahora si resolvemos la ecuación recurrente sabremos la complejidad de este algoritmo en función de n.
Procedemos a resolver esta ecuación recurrente no lineal:
: &lt;math&gt; t(n) = t(n-1) - 1 \, &lt;/math&gt;

resolvemos la homogénea:
: &lt;math&gt;
   t(n) = t(n-1)  \longrightarrow \quad
   r - 1 = 0  \longrightarrow \quad
   r = 1 a_n^h = c 1^n \longrightarrow \quad
   a_n^h = c
&lt;/math&gt;

resolvamos ahora la particular:

como la particular' coincide con la r, debemos aumentar el grado multiplicando por n
: &lt;math&gt;
   \longrightarrow
   a_n^p = n 1^n \longrightarrow \quad
   a_n^p = n
&lt;/math&gt;

por lo que la solución de la ecuación recurrente queda como sigue:
: &lt;math&gt; t(n) = c + n \, &lt;/math&gt;

Ahora calculamos c utilizando el caso base, t(1) = 0
: &lt;math&gt;
   t(1) = c + 1 = 0 \longrightarrow \quad
   c = -1
&lt;/math&gt;

ya tenemos la solución: t(n) = n - 1

La ecuación que nos ha quedado es de grado 1 por lo que la complejidad es del orden exacto de n -&gt; θ(n)

Por ejemplo para calcular el factorial de 3 necesitaremos t(3) productos lo que es igual a
: &lt;math&gt;
   3 - 1 = 2 \longrightarrow \quad
   3 \cdot (2 \cdot (1))
&lt;/math&gt;

Como vemos son 2 productos como nos ha devuelto la ecuación.

== Aplicaciones ==
Entre otras:
* En la óptica 
* En la teoría de la probabilidad
* En el estudio de los árboles binarios, pilas y algoritmos de ordenación

== Véase también ==

* [[Teorema Maestro]]
* [[Recursividad]]
== Referencias ==
{{listaref}}

[[Categoría:Matemáticas]]</text>
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    <title>Matemáticas/Historia/Raíz</title>
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      <text bytes="2044" sha1="8mrrvt2i89xdihr3cublvfco9lj13ds" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Las raíces cuadradas son expresiones matemáticas que surgieron al plantear diversos problemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado.

El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas.

En la antigua India, el uso del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados entre el 500 y el 300 a. C. Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhaiana-sulba-sutra.

Ariabhatta (476-550) en su tratado Ariabhatíia (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos.

Los babilonios también usaron las raíces cuadradas para hacer cálculos repitiendo las mismas divisiones una y otra vez.
Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional (no se podía medir) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época.
Posteriormente se fue ampliando la definición de raíz cuadrada.

Inicialmente mostraron su utilidad para la resolución de problemas trigonométricos y geométricos, como la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras. Posteriormente fueron ganando utilidad para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, siendo una de las herramientas matemáticas más elementales hoy en día.
El símbolo de la raíz cuadrada  fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff. 

El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. También se cree que puede haber surgido de la evolución del punto que a veces se usaba anteriormente para representarlo.</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales</title>
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|nombre      = Ecuaciones Líneales
|título      = Ecuaciones Líneales
|subtítulo   = Libro sobre Ecuaciones Líneales para Secundaria y Preparatoria o Bachillerato
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    <title>Ecuaciones Líneales/Ecuaciones básicas/Ecuaciones de la forma a+x=b</title>
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Si tengo una ecuación que representa la suma de un valor con la incognita se pasa restando

El resultado debe ser x=b-a

Si tengo una ecuación que representa la resta de un valor con la incognita se pasa sumando

El resultado debe ser x=b+a</text>
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      <text bytes="253" sha1="8saqr33lvzsl9bh6k9ti8ywqqtukitk" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Ecuación ax=b

Cuando tenemos una ecuación ax=b

El resultado debe ser x=b/a


Ecuación x/a=b

En este caso tenemos un coeficiente fraccionario con un númerador 1.

El resultado debe ser x=ab

Ecuación a/x=b

El resultado debe ser x=a/b</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Ecuaciones básicas/Ecuaciones de la forma ax+b=c</title>
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      <text bytes="1798" sha1="6djefj2lkkmeuu8hafkdg8ve4uyt3ra" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
== Ecuaciones de la forma ax+b=c ==
Cuando tenemos una ecuación de la forma ax+b=c se hace el siguiente procedimiento:

1.-Se pasa el término independiente con su signo opuesto

2.-Se efectua la reducción (suma o resta) de los términos independientes

3.-Se pasa el coeficiente del término líneal de multiplicación a división

El resultado debe ser x=(c-b)/a

== Ecuaciones de la forma ax+b=cx==
A partir de este caso se procede a aplicar reducción de términos semejantes

1.-Se pone el término simétrico líneal del binomio ax+b en ambas partes de la ecuación y se reduce.

2.-Se efectuá la división en ambas partes de la ecuación.

El resultado debe ser x=a/(c-b)

Si tenemos algo cómo ax+bx=c solamente se deben reducir los términos líneales y dividir en ambar partes de la ecuación

== Ecuaciones de la forma (ax/b)+c=d ==
Cuando tenemos una fracción cómo coeficiente se aplica el paso 3 de la siguiente manera

Se pasa el denominador cómo multiplicación al otro lado de la igualdad,despues de hacer la operación el numerador se pasa cómo división

El resultado debe ser x=((d-c)b)/a

Cuando tenemos una ecuación de la formas  (ax/b)+cx=d o (ax/b)+c=dx se sigue el mismo procedimiento inicial de multiplicar b en toda la igualdad y solamente cambia el procedimiento a tener que reducir los dos términos líneales semejantes.

== Ecuaciones de la forma (a/bx)+c=d ==
Cuando estamos en el paso 3 se hace de la siguiente manera

Se pasa el denominador bx cómo mutiplicación, solamente multiplicaremos los números y luego pasamos el producto cómo división.

El resultado debe ser x=a/((d-c)b)

Este tipo de casos de fracciones no tiene otra representación por que se convertiría en cuadrática al hacer el despeje de bx de división a multiplicación</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Ecuaciones básicas/Ecuaciones de la forma ax+b=cx+d</title>
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      <text bytes="913" sha1="52j3xxumx4q7rna0snl10c5bes3l009" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Esta es la forma más común de representar ecuaciones líneales, para ello se debe de recordar la reducción de términos semejantes, pero lo veremos de forma básica.

1.-Se pasa uno de los números al otro lado con su signo contrario (en este caso de la suma a la resta o viceversa), o mejor dicho, le ponemos el mismo numero simétrico en ambos lados y se efectua la reducción.

2.-Se asigna el término simétrico líneal ahora en ambos lados de la ecuación y se reduce.

3.-Por último,el coeficiente del término líneal se divide en ambos lados de la ecuación.

De manera resumida es,resto uno de los números,hago lo mismo con los términos y al final divido en las dos partes de la igualdad.

El resultado debe ser x=(d-b)/(a-c)

Comunmente si la solución es una fracción se puede dejarlo de esa manera o se procede a convertilo a decimal, para más detalles ir a Ecuaciones Racionales.</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Reducción de Términos Semejantes/Ecuaciones de la forma a+bx+cx=dx+ex+f</title>
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1.-Se juntan términos semejantes (los que tienen número y letra)

2.-Luego se resuelve la ecuación cómo si fuera de la forma ax+b=cx+d


Nuestra solución es x=(f-a)/((b+c)-(d+e))</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Reducción de Términos Semejantes/Ecuaciones con términos dispersos</title>
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Cuando tenemos términos y números dispersos en ambos lados de la igualdad se opta por los siguientes pasos

1.-Reducir términos semejantes (líneales con líneales e independientes con independientes) en ambas partes de la ecuación.

2.-Despues se procede a resolver la ecuación cómo si fuera una de ax+b=cx+d</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Reducción de Términos Semejantes/Ecuaciones de la forma a(x+b)=c</title>
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      <text bytes="307" sha1="h5e6r7njudzg89fs5cwhay5d7choy8b" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación con la suma o resta.

a(x+b)=c 

ax+ab=c

Ejemplo

()

== Ecuaciones en forma de a(bx+c)=d ==

Cuando tenemos un número en la incognita se multiplica solamente este en la distribución y no la letra

Ejemplo

3(2x-4)=8

3(2x-4)=3*2x-3*4</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Reducción de Términos Semejantes/Ecuaciones de la forma a(x+b)=c(x+d)</title>
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      <text bytes="161" sha1="3vxqxb4rm64h4y78wr66agcwd0l6bv7" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Se aplica la propiedad distributiva en ambos lados de la igualdad

Luego, se procede a resolver la igualdad cómo si fuera una ecuación de ax+b=cx+d</text>
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    </revision>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Sistema de Ecuaciones Líneales 3x3/Método de Reducción</title>
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1.-Se hacen dos ecuaciones extra, uno donde se reduzca uno de los 3 términos (el de menor coeficiente de preferencia)

2.-Se procede a resolver las ecuaciónes cómo si fuera de un sistema de 2x2

3.-Se sustituyen las dos soluciones en el sistema de 3x3</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Sistema de Ecuaciones Líneales 3x3/Método de Sustitución</title>
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1.- Se despeja una de las tres incognitas en una ecuación.

2.-Se sustituye el resultado (cambio de letra a operación) en las dos ecuaciones siguientes.

3.-Se sustituye otra incognita en una de las dos ecuaciones.

4.-Se repite el mismo paso 2, ahora en la tercera ecuación.

5.-Se procede a resolver la ecuación con las dos sustituciones.

6.-Se cambia la primera incognita por la solución del paso anterior,pero las ecuaciónes del paso 3.

7.-Se procede ahora a resolver la segunda incognita.

8.-Se sustituye las dos soluciones anteriores ahora en el paso 1.</text>
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    </revision>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Sistema de Ecuaciones Líneales 3x3/Método de Igualación</title>
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      <text bytes="387" sha1="a2s7dcujakmzgir5qt6b2p1js69m9is" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
1.-Se despeja la misma incognita en todas las ecuaciones

2.-Se hacen dos ecuaciones que sean la igualdad del primero con el segundo y el primero con el tercero o dos combinaciones que se acomoden mejor

3.-Se procede al mismo paso de las ecuaciones de 2x2 para encontrar dos incognitas

4.-Se sustituyen las soluciones en una de las ecuaciones de 3x3 y se procede a resolver</text>
      <sha1>a2s7dcujakmzgir5qt6b2p1js69m9is</sha1>
    </revision>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Sistema de Ecuaciones Líneales 2x2/Método Gráfico</title>
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      <text bytes="412" sha1="n3tbhc4acj6odbawcte9ffeqsdluoz4" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
1.- Se despeja una misma variable en las dos ecuaciones.

2.- Se procede a la tabulación (asignar números a la letra), de preferencia se comienzan con 3 números (uno negativo,el cero y el positivo), y despues se hacen estimaciones con otro rango de números que sean cercanos al choque de los dos puntos.

3.- Al encontrar dos puntos que coincidan esta es considerada la solución de la ecuación.</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Sistema de Ecuaciones Líneales 2x2/Método de Reducción</title>
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      <text bytes="988" sha1="qkiqnr1upslxlgo8z1u62risxz6zruf" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
1.-Se procede a checar los coeficientes de las incognitas de las dos ecuaciones

2a.-En caso de encontrar que una incognita se pueda eliminar con una simple suma o resta, se procede a una operación de polinomios.

2b.-De no suceder esto, se multiplican las ecuaciones con respecto al coeficiente de la incognita,que debe ser el de la ecuacion siguiente (la primera con el coeficiente de la segunda y vicerversa)

2c.-Se procura que sean los coeficientes más pequeños posibles, de haber uno con coeficiente uno y signo distinto, y el otro con coeficiente distinto y el signo opuesto (solamente se multiplica el distinto con el de uno)

2d.-De no haber una incognita con coeficiente uno, se procura que sean los productos más reducidos y que uno tenga diferente signo de haber todos con signos iguales.

3.-Se procede a la suma y resta de polinomios correspondientes.

4.-Se resuelve la incognita y se sustituye la solución.

5.-Se procede a resolver la incognita restante.</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Sistema de Ecuaciones Líneales 2x2/Método de Sustitución</title>
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      <text bytes="366" sha1="2vo852lmafefn7azhyejo1nhp6d1zw1" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Se despeja una de las incognitas en una de las ecuaciones

Se sustituye la incognita despejada en la ecuación siguiente.

Se procede a resolver la ecuación cómo si fuera de términos semejantes.

Se sustituye el resultado en la forma original de la primera ecuación del paso 1 y se procede con resolver la segunda incognita.

Se hace la comprobación</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Sistema de Ecuaciones Líneales 2x2/Método de Igualación</title>
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      <text bytes="252" sha1="0n8n3kfoe70gvwa8yrr5zvm3c3u913t" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Se despeja la misma incognita en ambas ecuaciones

Se resuelve cómo si fuera una ecuación de términos semejantes en la forma de ax+b=cx+d

Se sustituye la solución en una de las ecuaciones originales y se resuelve la siguiente incognita</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Leyes de La Igualdad/Propiedad Reflexiva</title>
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      <text bytes="71" sha1="8oh3ae2ygmiosvdgm7jl97ns06yd48b" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Menciona que cualquier término es igual a él mismo

a = a</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Leyes de La Igualdad/Propiedad Transitiva</title>
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Menciona que si tengo un término igual a otro y este es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero o al que sea igual al segundo

Si a = b y b = c entonces a = c</text>
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Si tengo un término igual a uno distinto, lo puedo expresa de manera revertida

Si a = b entonces b = a</text>
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Si en un lado de la ecuación tengo la misma operación con el mismo término, entonces deben ser iguales

Si a + c = b + c entonces a = c</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Leyes de La Igualdad/Propiedad de Uniformidad</title>
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Si hago una operación en un lado de la igualdad, entonces lo mismo pasará en el otro lado.

a + b = c

Si a + b - d = c - d

Si (a+b)d = cd

3 + 2 = 5</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Ecuaciones con Fracciones/Definición</title>
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Las ecuaciones líneales también pueden venir en formas de fracciones o números decimales cuando el coeficiente es representado de esta manera, o también veamos polinomios líneales cómo denominador.

==Coeficientes Fraccionarios==

a/b x donde los números a y b son enteros

Ejemplo


==Denominador de polinomio líneal==

Es donde tenemos cualquier término o polinomio cómo numerador, pero su denominador es un polinomio.</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Conocimientos Previos/Operaciones de Números Reales</title>
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=Definicion=

Los números reales son la unión de los conjuntos de los números naturales,el cero,los números negativos,los números racionales e irracionales

Su denominación es ℝ y su rango es &lt;math&gt;(-\infty,0,\infty)&lt;/math&gt;

=Operaciones=
Una operación es una interacción entre dos elementos y con un símbolo.
==Suma o Adición==
Es la unión o enlazamiento de dos o más elementos de los números reales.
==Resta o Sustracción==
Es la diferencia de distancias o eliminación elementos entre dos números reales.
==Multiplicación==
Es la suma de una cantidad repetida en un determinado número de ocasiones.
==División==
Es el reparto de una cantidad por otra en un determinado número de veces.</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Conocimientos Previos/Propiedades de las Operaciones</title>
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==Suma==

==Resta==

==Multiplicación==

==División==</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Conocimientos Previos/Términos Algebráicos</title>
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=Definición=

Un término algebraíco es la representación de una o varias cantidades desconocidas que puede venir siendo multiplicado por un número y/o un signo, así cómo puede ser elevado en su potencia (multiplicada por sí misma una o varias veces).

En el Álgebra además de usar los números tambien usamos las letras para hacer operaciónes matemáticas, pero estas últimas tienen sus reglas para cada operación que se les haga.

=Partes del Término=

Los términos en el álgebra se componen de cuatro partes
==Signo==
Es símbolo que representa la operación de la adición cuando es + o sin signo, y representa la resta cuando es -.
==Coeficiente Numérico==
Es el número real que acompaña a la letra y puede ser un número natural o fraccionario, su operación representa la multiplicación o división de la cantidad que es la incognita respectivamente.

Ejemplos

Cuando decimos &quot;el doble de un número&quot; su representación es 2x

&quot;el triple de un número negativo&quot; su representación es -3x

&quot;la mitad de un número&quot; su representación es 0.5x o 1/2x

==Variable o incognita==
Es el valor desconocido del término que es cualquier letra del alfabeto, las letras más fáciles para representar valores desconocidos son x,y y z respectivamente,pero para valores conocidos usamos a,b, y c.
==Exponente (Potencia)==
Es el número pequeño de arriba a la derecha que representa la operación de la potencia cuando es un número entero, y cuando es una fracción su denominador es la radicación.

Los exponentes más comunes son el término líneal que es cuando no tiene exponente o el número uno, los términos cuadráticos cuando su potencia es dos, y los términos cúbicos cuando su potencia es 3.</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Conocimientos Previos/Operaciones con Polinomios</title>
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=Definición=

=Suma y Resta=

==Reducción de Términos Semejantes==


=Multiplicación=

==Leyes de los Exponentes==

==Monomio por Monomio==

Se procede a multiplicar de uno por uno

==Polinomio por Monomio==

Se aplica la propiedad distributiva

==Polinomio por Polinomio==

Se aplicar la propiedad distributiva

=División=

==Monomio por Monomio==
Se procede a multiplicar de uno por uno

==Polinomio por Monomio==
Se aplica la propiedad distributiva

==Polinomio por Polinomio==
Se hacen los siguientes paso

1.-Se acomodan los

2.-

3.-

4.-</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Ecuaciones básicas/Definición</title>
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==Definicion==
Una ecuación es una igualdad que contiene términos conocidos y desconocidos

==Despeje==
El despeje es el procedimiento que se requiere para encontrar el valor desconocido.

==Solucion==
Una Solución es el conjunto de valores que hacen verdadera la igualdad</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Ecuaciones básicas/Regla del despeje</title>
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=Definición=

Para encontrar los valores desconocidos de una ecuación se debe de aplicar las operaciónes opuestas que estén en su lado de la igualdad o mejor dicho, pasarlas al otro lado con lo que le corresponde.

==Reglas Básicas==

Si un valor suma a la incognita se pasa al otro lado de la igualdad restando.

Si un valor resta a la incognita se pasa al otro lado de la igualdad sumando.

Si un valor multiplica a la incognita se pasa al otro lado de la igualdad dividiendo.

Si un valor divide a la incognita se pasa al otro lado de la igualdad multiplicando.</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Ecuaciones con Fracciones/Ecuaciones con Denominador Común</title>
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Existen varios casos de cómo una fracción puede ser eliminada, pero eso dependerá del denominador que en todos los casos debe ser númerico.

== Caso de ax=b con fracciones ==
Primero se pasa el denominador cómo multiplicación ,y después el numerador cómo division al otro lado de la iguadldad.

== Caso de ax+b=c con fracciones ==
El denominador para todas las ecuaciones debe ser un número que no sea desconocido ni cero por que tendríamos una ecuación cuadrática cuando se haga el siguiente paso.

Se debe de multiplicar toda la ecuación por el número del denominador y despues se hacen todos los pasos conocidos.

== Caso de ax+b=cx+d con fracciones==

Para ese caso lo primero que se debe hacer es despejar y reducir términos líneales con líneales e independientes con independientes.

Despues se procede a hacer las operaciones con fracciones correspondientes en cada lado de la igualdad.

== Caso de a/bx+c=d/ex+f ==
El despeje de este tipo de ecuaciones necesita aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación

a(ex+f)=d(bx+c)

Luego se procede a resolver la ecuación cómo si fuera ax+b=cx+d

== Caso de (a/bx+c)+(d/bx+c)=e ==
Donde a y d deben ser un término líneal,independiente o un binomio líneal

Los denominadores de las ecuaciones fraccionarias para que sigan siendo líneales deben compartir el mísmo denominador

Se juntan ambas fracciones (a+d)/(bx+c)

Despues se hace el despeje del denominador 

(a+d)=e(b+xc)

Luego se aplica la propiedad distributiva de la multilplicación con la suma 

a+d=be+cex

Y se termina resolviendo la ecuación cómo si fuera de los casos más básicos (cómo ax+b=cx+d o ax+b=c o ax=bx+c).</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Ecuaciones con Fracciones/Ecuaciones con Distinto Denominador</title>
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Cuando tenemos un distinto denominador númerico en todos los casos correspondientes y donde todos estos deban ser números enteros,se debe sacar el Mínimo Común Multiplo de todos los denominadores de la ecuación.


Despues se resuelve la ecuación cómo si fuera una de términos semejantes dispersos y/o con paréntesis.</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Ecuaciones con Fracciones/Ecuaciones con Decimales</title>
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La resolución de ecuaciones decimales se dan cuando tenemos porcentajes en la incognita, o al convertir soluciones que son fracciones en decimales.</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Reducción de Términos Semejantes/Ecuaciones con parentésis</title>
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Toda ecuación con parentésis debe seguir los siguientes pasos

1.-Reducir términos que están primero en llaves, despues en corchetes y al final en parentésis (aplicando las propiedades distributivas de la multiplicación).

2.-Comenzar a reducir términos semejantes en ambos lados de la igualdad hasta convertirlo en una ecuación de la forma ax+b=cx+d.

3.-Resolver lo que queda.</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Despeje de Variables/Despeje de x</title>
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En todas las ecuaciones que contienen literales distintas a x, comunmente se solicita que se haga el despeje de este.

Para dejar a x en forma solitaria se debe de hacer los procedimientos de despejes básicos.

Ejemplos

Despejar x de la siguiente ecuación 3x+b=6

Se pasa b al otro lado con su operación opuesta

Se pasa el coeficiente de x que es 3 dividiendo

nos debe queda

x=6-b/3

Ejemplo 2

Despejar x de la siguiente ecuación a(2-x)+4=-4

Se pasa el 4 positivoa al otro lado cómo negativo

Se divide todo entre a

Se resta el 2

Se divide entre -1 que en este caso es cambio de signos

x=-8/a-2</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Despeje de Variables/Despeje de literales solicitadas</title>
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Cuando se desconocen datos de algun problema, se puede despejar una incognita de una ecuaciòn para resolverla

Ejemplo 1

La fuerza de una caja tiene 50 N y va a una aceleraciòn de 5 cm/s^2

Despejar a de F=ma

a = F/m

Ejemplo 2

Un trìangulo tiene 27 m^2 y su base es de 6 m

Despejar la altura

A = bh/2

2A = bh

2A/b = h

Ejemplo 3

Un trapecio tiene un àrea de 18 m^2 y la longitud de su base menor es de 6 m y su altura es de 4 m

Despeja B de A=(B+b)h/2

2A=(B+b)h

2A/h=B+b

B=2A/h-b</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Despeje de Variables/Evaluación de Ecuaciones</title>
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Una evaluación de ecuaciones es la sustitución de una letra (variable) que es un valor conocido por un número (término independiente), solamente se hace dicha asignación y se procede a hacer la operación

Ejemplo 1

Evaluar a+3 cuando a=5

Ejemplo 2

Evaluar -4a cuando a=4

Ejemplo 3

Evaluar 3b+2 cuando b=-2</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Despeje de Variables/Evaluación de despejes</title>
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En los problemas de modelado matemático o problemas razonados de Matemáticas y Física a veces se nos dan ciertos datos y debemos encontrar la incognita restante despues de la sustitución.

Para ello se sigue este procedimiento

1.-Evaluar en la ecuación los datos obtenidos

2.-Hacer los despejes correspondientes a la incognita para obtener la solución.

Ejemplo 1

Si un rectángulo tiene un área de 18 cm2 pero su base es 6 cm,encuentre la áltura

Ejemplo 2

Un trapecio tiene de base mayor 7 cm y de áltura 5 cm,si su área es de 25 cm2 encuentre su base menor.

Ejemplo 3

La Densidad de un cuerpo es de</text>
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    <title>Aritmética/Apendices/Tabla de Potencias Cuadradas y Cúbicas</title>
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      <text bytes="5950" sha1="j570wqzxxyt788ij7kmmw5k1t2zxg03" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
== Tabla de Cuadrados del 1 al 100 ==
&lt;math&gt;1^2 = 1&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;2^2 = 4&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;3^2 = 9&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;4^2 = 16&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;5^2 = 25&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;6^2 = 36&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;7^2 = 49&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;8^2 = 64&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;9^2 = 81&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;10^2 = 100&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;11^2 = 121&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;12^2 = 144&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;13^2 = 169&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;14^2 = 196&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;15^2 = 225&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;16^2 = 256&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;17^2 = 289&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;18^2 = 324&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;19^2 = 361&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;20^2 = 400&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;21^2 = 441&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;22^2 = 484&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;23^2 = 529&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;24^2 = 576&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;25^2 = 625&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;26^2 = 676&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;27^2 = 729&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;28^2 = 784&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;29^2 = 841&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;30^2 = 900&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;31^2 = 961&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;32^2 = 1024&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;33^2 = 1089&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;34^2 = 1156&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;35^2 = 1225&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;36^2 = 1296&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;37^2 = 1369&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;38^2 = 1444&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;39^2 = 1521&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;40^2 = 1600&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;41^2 = 1681&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;42^2 = 1764&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;43^2 = 1849&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;44^2 = 1936&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;45^2 = 2025&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;46^2 = 2116&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;47^2 = 2209&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;48^2 = 2304&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;49^2 = 2401&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;50^2 = 2500&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;51^2 = 2601&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;52^2 = 2704&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;53^2 = 2809&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;54^2 = 2916&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;55^2 = 3025&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;56^2 = 3136&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;57^2 = 3249&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;58^2 = 3364&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;59^2 = 3481&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;60^2 = 3600&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;61^2 = 3721&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;62^2 = 3844&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;63^2 = 3969&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;64^2 = 4096&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;65^2 = 4225&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;66^2 = 4356&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;67^2 = 4489&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;68^2 = 4624&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;69^2 = 4761&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;70^2 = 4900&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;71^2 = 5041&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;72^2 = 5184&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;73^2 = 5329&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;74^2 = 5476&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;75^2 = 5625&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;76^2 = 5776&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;77^2 = 5929&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;78^2 = 6084&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;79^2 = 6241&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;80^2 = 6400&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;81^2 = 6561&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;82^2 = 6724&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;83^2 = 6889&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;84^2 = 7056&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;85^2 = 7225&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;86^2 = 7396&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;87^2 = 7569&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;88^2 = 7744&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;89^2 = 7921&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;90^2 = 8100&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;91^2 = 8281&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;92^2 = 8464&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;93^2 = 8649&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;94^2 = 8836&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;95^2 = 9025&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;96^2 = 9216&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;97^2 = 9409&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;98^2 = 9604&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;99^2 = 9801&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;100^2 = 10000&lt;/math&gt;

== Tabla de Cubos del 1 al 100 ==
&lt;math&gt;1^3 = 1&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;2^3 = 8&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;3^3 = 27&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;4^3 = 64&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;5^3 = 125&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;6^3 = 216&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;7^3 = 343&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;8^3 = 512&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;9^3 = 729&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;10^3 = 1000&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;11^3 = 1331&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;12^3 = 1728&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;13^3 = 2197&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;14^3 = 2744&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;15^3 = 3375&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;16^3 = 4096&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;17^3 = 4913&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;18^3 = 5832&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;19^3 = 6859&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;20^3 = 8000&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;21^3 = 9261&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;22^3 = 10648&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;23^3 = 12167&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;24^3 = 13824&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;25^3 = 15625&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;26^3 = 17576&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;27^3 = 19683&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;28^3 = 21952&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;29^3 = 24389&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;30^3 = 27000&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;31^3 = 29791&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;32^3 = 32768&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;33^3 = 35937&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;34^3 = 39304&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;35^3 = 42875&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;36^3 = 46656&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;37^3 = 50653&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;38^3 = 54872&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;39^3 = 59319&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;40^3 = 64000&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;41^3 = 68921&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;42^3 = 74088&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;43^3 = 79507&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;44^3 = 85184&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;45^3 = 91125&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;46^3 = 97336&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;47^3 = 103823&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;48^3 = 110592&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;49^3 = 117649&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;50^3 = 125000&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;51^3 = 132651&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;52^3 = 140608&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;53^3 = 148877&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;54^3 = 157464&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;55^3 = 166375&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;56^3 = 175616&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;57^3 = 185193&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;58^3 = 195112&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;59^3 = 205379&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;60^3 = 216000&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;61^3 = 226981&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;62^3 = 238328&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;63^3 = 250047&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;64^3 = 262144&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;65^3 = 274625&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;66^3 = 287496&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;67^3 = 300763&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;68^3 = 314432&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;69^3 = 328509&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;70^3 = 343000&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;71^3 = 357911&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;72^3 = 373248&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;73^3 = 389017&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;74^3 = 405224&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;75^3 = 421875&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;76^3 = 438976&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;77^3 = 456533&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;78^3 = 474552&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;79^3 = 493039&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;80^3 = 512000&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;81^3 = 531441&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;82^3 = 551368&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;83^3 = 571787&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;84^3 = 592704&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;85^3 = 614125&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;86^3 = 636056&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;87^3 = 658503&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;88^3 = 681472&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;89^3 = 704969&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;90^3 = 729000&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;91^3 = 753571&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;92^3 = 778688&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;93^3 = 804357&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;94^3 = 830584&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;95^3 = 857375&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;96^3 = 884736&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;97^3 = 912673&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;98^3 = 941192&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;99^3 = 970299&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;&lt;math&gt;100^3 = 1000000&lt;/math&gt;

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Uso de la Tabla de Logaritmos
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&lt;div class='post-body entry-content' id='post-body-3115985943109469301' itemprop='description articleBody'&gt;
&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;&lt;strong&gt;Uso de la Tabla de Logaritmos.&lt;/strong&gt;&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;Para poder calcular con la tabla de logaritmos debemos tener en cuenta lo siguiente.-&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;Un logaritmo cuenta con dos partes:&lt;/div&gt;&lt;ul style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;&lt;li&gt;a) &lt;span style=&quot;text-decoration: underline;&quot;&gt;Característica&lt;/span&gt; = que es la parte entera de una cifra.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;b) &lt;span style=&quot;text-decoration: underline;&quot;&gt;Mantiza&lt;/span&gt; = que es la parte decimal de una cifra.&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;&lt;strong&gt;Forma de calcular a través de la tabla de logaritmos&lt;/strong&gt;.&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;&lt;strong&gt;1.- Paso: &lt;/strong&gt;&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;Se debe contar los dígitos de la parte entera de la cifra y al total restarle 1.&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;Ejem:&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp; Log 85975 =&amp;nbsp; Tiene 5 dígitos por lo tanto seria = 4,&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp; Log 245,75 = Tiene 3 dígitos por lo tanto seria = 2,&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;&lt;strong&gt;2.- Paso:&lt;/strong&gt;&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;Se debe tomar los 2 primeros dígitos de la cifra los cuales indicarían la fila a la que pertenece.&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;Ejem:&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp; Log &lt;strong&gt;&lt;span style=&quot;text-decoration: underline;&quot;&gt;85&lt;/span&gt;&lt;/strong&gt;975 =&amp;nbsp; El par seria = Fila 85.&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp; Log &lt;strong&gt;&lt;span style=&quot;text-decoration: underline;&quot;&gt;24&lt;/span&gt;&lt;/strong&gt;5,75 = El par seria = Fila 24.&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;&lt;strong&gt;3.- Paso:&lt;/strong&gt;&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;Se debe tomar el 3er digito de la cifra el cual indicara la columna a la cual pertenece.&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;Ejem:&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp; Log 85&lt;strong&gt;&lt;span style=&quot;text-decoration: underline;&quot;&gt;9&lt;/span&gt;&lt;/strong&gt;75 =&amp;nbsp; Esto seria = Columna 9.&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp; Log 24&lt;strong&gt;&lt;span style=&quot;text-decoration: underline;&quot;&gt;5&lt;/span&gt;&lt;/strong&gt;,75 = Esto seria = Columna 5.&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;Resumen:&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif;&quot;&gt;Log 857 = tiene 3 dígitos entonces quedarían 2, pertenece a la fila 85, columna 7 y seria igual a: &quot;Log 2,9330&quot;.&lt;/div&gt;&lt;table border=&quot;1&quot; frame=&quot;all&quot; rules=&quot;all&quot; style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif; margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: left;&quot;&gt;&lt;caption&gt;&lt;b&gt;&amp;nbsp;&lt;/b&gt;&lt;/caption&gt;&lt;/table&gt;&lt;table border=&quot;1&quot; frame=&quot;all&quot; rules=&quot;all&quot; style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif; margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: left;&quot;&gt;&lt;caption&gt;&lt;b&gt;&amp;nbsp;&lt;/b&gt;&lt;/caption&gt;&lt;/table&gt;&lt;table border=&quot;1&quot; frame=&quot;all&quot; rules=&quot;all&quot; style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif; margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: left;&quot;&gt;&lt;caption&gt;&lt;b&gt;Tabla de logaritmos 1-100&lt;/b&gt;&lt;/caption&gt;&lt;/table&gt;&lt;table border=&quot;1&quot; frame=&quot;all&quot; rules=&quot;all&quot; style=&quot;font-family: Verdana,sans-serif; margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: left;&quot;&gt;&lt;caption&gt;&amp;nbsp;&lt;/caption&gt;    &lt;col align=&quot;center&quot;&gt;&lt;/col&gt;    &lt;col align=&quot;center&quot;&gt;&lt;/col&gt;    &lt;col align=&quot;center&quot;&gt;&lt;/col&gt;    &lt;tbody&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;Número&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;Logaritmo&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;Logaritmo neperiano&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;1&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;0,000000&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;0,000000&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;2&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;0,301030&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;0,693147&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;3&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;0,477121&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,098612&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;4&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;0,602060&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,386294&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;5&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;0,698970&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,609438&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;6&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;0,778151&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,791759&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;7&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;0,845098&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,945910&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;8&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;0,903090&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;2,079442&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;9&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;0,954243&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;2,197225&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;10&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,000000&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;2,302585&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;11&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,041393&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;2,397895&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;12&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,079181&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;2,484907&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;13&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,113943&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;2,564949&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;14&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,146128&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;2,639057&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;15&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,176091&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;2,708050&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;16&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,204120&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;2,772589&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;17&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,230449&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;2,833213&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;18&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,255273&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;2,890372&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;19&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,278754&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;2,944439&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;20&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,301030&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;2,995732&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;21&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,322219&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,044522&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;22&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,342423&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,091042&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;23&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,361728&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,135494&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;24&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,380211&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,178054&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;25&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,397940&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,218876&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;26&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,414973&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,258097&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;27&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,431364&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,295837&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;28&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,447158&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,332205&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;29&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,462398&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,367296&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;30&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,477121&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,401197&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;31&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,491362&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,433987&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;32&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,505150&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,465736&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;33&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,518514&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,496508&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;34&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,531479&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,526361&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;35&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,544068&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,555348&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;36&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,556303&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,583519&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;37&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,568202&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,610918&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;38&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,579784&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,637586&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;39&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,591065&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,663562&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;40&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,602060&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,688879&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;41&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,612784&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,713572&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;42&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,623249&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,737670&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;43&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,633468&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,761200&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;44&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,643453&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,784190&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;45&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,653213&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,806662&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;46&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,662758&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,828641&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;47&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,672098&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,850148&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;48&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,681241&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,871201&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;49&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,690196&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,891820&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;50&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,698970&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,912023&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;51&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,707570&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,931826&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;52&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,716003&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,951244&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;53&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,724276&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,970292&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;54&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,732394&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;3,988984&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;55&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,740363&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;4,007333&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;56&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,748188&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;4,025352&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;57&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,755875&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;4,043051&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;58&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,763428&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;4,060443&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;59&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,770852&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;4,077537&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;60&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,778151&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;4,094345&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
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&lt;tr&gt;       &lt;td&gt;62&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;1,792392&lt;/td&gt;       &lt;td&gt;4,127134&lt;/td&gt;    &lt;/tr&gt;
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Una igualdad es una relación de elementos que está separados con el símbolo = 

Las igualdades determinar la equivalencia de una operación binaria con una cantidad.</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Leyes de La Igualdad/Igualdad Condicional</title>
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Una igualdad condicional es aquella donde solamente puede haber una solución para la ecuación, es decir, la variable tendrá un valor único

Ejemplos

5+x=8

En este caso solamente el número 3 puede cumplir la igualdad

2x-1=13

Si se hacen los despejes específicos entonces el 7 será el valor único de la igualdad</text>
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    <title>Ecuaciones Líneales/Leyes de La Igualdad/Igualdad Identidad</title>
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Una identidad es toda igualdad que contiene una infinita cantidad de valores para su solución, y comunmente es una representación equivalente de la operación binaria en diferente orden de elementos, y que usan la propiedad conmuntativa para su comprobación.


Ejemplos

4 + 3 = 3 + 4

x + 2 = 2 + x

6 - x = - x + 6

Comprobación de identidades

Cuando tenemos parentésis en una igualdad se procede a aplicar la propiedad distributiva y a reducir sus términos semejantes

Ejemplos 

2(x+3) = 2x+6

2x+6 = 2x+6

Si es identidad

3x - 5(7-x) = 8x - 35

3x - 35 + 5x = 8x - 35

8x-35 = 8x-35

Si es identidad


7x+2+14x=2-7x+14x

No es identidad</text>
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    <title>Matemáticas/Aritmética/Bases Numéricas</title>
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|libro     =Aritmética
|capítulo  =Bases Numéricas
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    <title>Manual de maquillaje fácil</title>
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        <username>Antimundo</username>
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      <comment>Categorizar usando estantes</comment>
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      <text bytes="1881" sha1="m1udwom0dsze6f9g0jutbvyub2lekga" xml:space="preserve">{{Esbozo}}
El maquillaje es un arte que se aprende poco a poco con el paso de los años. Esto requiere paciencia y bastante práctica. Utilizamos el maquillaje como un instrumento para seducir y tener mejor aspecto ya que potenciamos nuestros puntos fuertes y escondemos las pequeñas imperfecciones.

'''Cómo maquillarse paso a paso''':
#	Empezaremos lavándonos la cara con un jabón y a continuación hidrataremos nuestros cutis y dejaremos secar la crema.
#	A continuación utilizaremos el corrector en las zonas donde queramos camuflar las imperfecciones. Dependiendo  de la zona que queramos ocultar usaremos una pigmentación verde, azul, blanca.
#	Necesitaremos una buena base de maquillaje para dar color a la piel que se libre de aceites y tenga un factor de protección, para evitar que nos quememos. Las bases de maquillaje deben ser parecidas al color de piel que tengamos. Dicha base se aplicara con una brocha para que el maquillaje quede homogéneo.
#	Polvos  correctores matificantes para eliminar los brillos y resaltar las zonas de la cara, como por ejemplo los pómulos.
#	Aplicar colorete para dar color a nuestros pómulos, se aplicara de un forma u otra dependiendo de nuestra cara.
#	Intensifica tu mirada ondulando las pestañas con un rizador, sin abusar, ya que el pelo de las pestañas se suele dañar fácilmente. A continuación aplicar una máscara de pestañas, evitando que se queden pegotes y una vez realizada esta acción dejarlas secar.
#	Peina las cejas y rellena los huecos con un lápiz del color de tus cejas.
#	Despertaremos nuestros labios exfoliándolos y a continuación añadiendo un pintalabios del color que más nos guste.
#	Para terminar y que el maquillaje se mantenga, aplicaremos un spray de agua unos 30 segundos. Esto permitirá que nuestro maquillaje perdure a lo largo del día o la noche.

[[Categoría:Estante:Aficiones]]</text>
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      <contributor>
        <username>Antimundo</username>
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      </contributor>
      <comment>Libro de fuente primaria e infraesbozo</comment>
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{{Infraesbozo}}
El maquillaje es un arte que se aprende poco a poco con el paso de los años. Esto requiere paciencia y bastante práctica. Utilizamos el maquillaje como un instrumento para seducir y tener mejor aspecto ya que potenciamos nuestros puntos fuertes y escondemos las pequeñas imperfecciones.

'''Cómo maquillarse paso a paso''':
#	Empezaremos lavándonos la cara con un jabón y a continuación hidrataremos nuestros cutis y dejaremos secar la crema.
#	A continuación utilizaremos el corrector en las zonas donde queramos camuflar las imperfecciones. Dependiendo  de la zona que queramos ocultar usaremos una pigmentación verde, azul, blanca.
#	Necesitaremos una buena base de maquillaje para dar color a la piel que se libre de aceites y tenga un factor de protección, para evitar que nos quememos. Las bases de maquillaje deben ser parecidas al color de piel que tengamos. Dicha base se aplicara con una brocha para que el maquillaje quede homogéneo.
#	Polvos  correctores matificantes para eliminar los brillos y resaltar las zonas de la cara, como por ejemplo los pómulos.
#	Aplicar colorete para dar color a nuestros pómulos, se aplicara de un forma u otra dependiendo de nuestra cara.
#	Intensifica tu mirada ondulando las pestañas con un rizador, sin abusar, ya que el pelo de las pestañas se suele dañar fácilmente. A continuación aplicar una máscara de pestañas, evitando que se queden pegotes y una vez realizada esta acción dejarlas secar.
#	Peina las cejas y rellena los huecos con un lápiz del color de tus cejas.
#	Despertaremos nuestros labios exfoliándolos y a continuación añadiendo un pintalabios del color que más nos guste.
#	Para terminar y que el maquillaje se mantenga, aplicaremos un spray de agua unos 30 segundos. Esto permitirá que nuestro maquillaje perdure a lo largo del día o la noche.

[[Categoría:Estante:Aficiones]]</text>
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    <title>Matemática Discreta/Combinatoria</title>
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      <contributor>
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      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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La combinatoria es una rama de la matemática perteneciente al área de matemáticas discretas que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas. Además, estudia las ordenaciones o agrupaciones de un determinado número de elementos.

== Combinaciones sin repetición ==
Dado un conjunto de n elementos distinguibles, se llama combinación sin repetición de p elementos, con p &lt; n, elegidos entre los n, a cualquier subconjunto de p elementos distintos del conjunto.

El número de combinaciones sin repetición de p elementos elegidos entre los n se nota habitualmente 

&lt;math&gt;C^{n}_p=\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}&lt;/math&gt; .

'''Ejemplo'''

Un estudiante debe responder a seis de las diez preguntas de las que consta un examen, ¿entre cuántos grupos de preguntas distintas puede elegir? 

Se trata de determinar el número de grupos distintos de seis preguntas escogidas del conjunto de las diez, sabiendo que dos grupos con las mismas preguntas, aún en distinto orden, coinciden. En este caso, el número de grupos de preguntas distintos entre los que se puede elegir es 

&lt;math&gt;C^{10}_{6}=\binom{10}{6} = \frac{10!}{6!4!} = 210 &lt;/math&gt;


== Combinaciones con repetición ==
Dado un conjunto de n elementos distinguibles, se llama combinación con repetición de p elementos escogidos entre los n a cualquier colección de p elementos del conjunto, con repeticiones eventuales de algunos de ellos.

El número de combinaciones con repetición de p elementos elegidos entre los n se nota habitualmente 

&lt;math&gt;CR^{p}_n= C^{p}_{n+p-1}=\binom{n+p-1}{p} = \frac{(n+p-1)!}{p!(n-1)!}&lt;/math&gt;

'''Ejemplo'''

¿De cuántas formas pueden elegirse simultáneamente tres bolas de una urna en la que hay al menos tres bolas blancas y tres negras indistinguibles? 

Cada grupo es una disposicion no ordenada de tres colores formada por los colores blanco y negro con repeticion de alguno de ellos. Por tanto, se trata de determinar el número de grupos de tres elementos no ordenados. En este caso, el número de formas distintas de elegir simultáneamente tres bolas del conjunto es 

&lt;math&gt;CR^{3}_{2}=\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!1!} = 4 &lt;/math&gt;
==Fuente==
Resumen adaptado de Wikipedia</text>
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  <page>
    <title>Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Funciones no elementales</title>
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      <timestamp>2026-07-26T16:13:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
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&lt;noinclude&gt;{{+ÍndiceSección}}&lt;/noinclude&gt;

Dada una función real de variable real. función no elemental:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      f: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
         &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = f(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

se dice que la función '''f''' es no elemental si no cumple las condiciones de función elemental. Existen un número inlimitado de funciones no elementales, presentaremos unos ejemplos de funciones de este tipo.

== Funciones de partes de x ==
[[Archivo:Función Cu id.svg|280px|derecha]]
Dada la función '''id(x)''' que asocia a '''y''' el mismo valor de '''x''', definida así:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      id: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
          &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = id(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

con la representadión grafica de la derecha.
: &lt;math&gt;
   id(x) = x
&lt;/math&gt;

La función '''id(x)''' esta definida para todo '''x''' real, es continua u derivable, y creciento en todo su entorno de definición.

Es función impar:
: &lt;math&gt;
   \forall x \in \R
   \; : \quad
   id(-x) = - id(x)
&lt;/math&gt;

Es función idempotente:
: &lt;math&gt;
   \forall x \in \R
   \; : \quad
   id({id(x)}) = id(x)
&lt;/math&gt;
{{clear}}

=== Función signo ===
[[Archivo:Función Cu sgn.svg|280px|derecha]]
La función signo es una función no elemental definida para todo '''x''' real:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      sgn: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
           &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = sgn(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Asigna a '''y''' el volor 1 si '''x''' es positivo, 0 si '''x''' es 0 y -1 si '''x''' es negativo:
: &lt;math&gt;
   sgn (x) = 
   \left \{
      \begin{array}{rcl}
         -1 &amp; si &amp; x &lt; 0 \\
          0 &amp; si &amp; x = 0 \\ 
          1 &amp; si &amp; x &gt; 0 
      \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;

La función '''sgn(x)''' esta derinida para todo '''x''' real, es discontinua para '''x= 0''', para los valores distintos de cero es continua y derivable, y estacionaria (no es creciente ni decreciente).

Es función impar:
: &lt;math&gt;
   sgn(-x) = - sgn(x)
&lt;/math&gt;

Ademas:
: &lt;math&gt;
   sgn(x) = \cfrac{1}{sgn(x)}
&lt;/math&gt;

Es función idempotente:
: &lt;math&gt;
   sgn({sgn(x)}) = sgn(x)
&lt;/math&gt;
{{clear}}

=== Función valor absoluto ===
[[Archivo:Función Cu abs.svg|280px|derecha]]
La función valor absoluto asocia a '''y''' el valor de '''x''' sin signo:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      abs: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
           &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = abs(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

La función esta definida paro todo '''x''' real, es continua y no deribable para '''x= 0'''.
: &lt;math&gt;
   abs (x) = 
   \left \{
      \begin{array}{rcl}
         -x &amp; si &amp; x &lt; 0 \\
          x &amp; si &amp; x \geq  0 
      \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;

La función '''abs''' nunca toma valores negativos, es decreciente para '''x''' negativo y es creciente para '''x''' positivo, para '''x= 0''' la función tambien vale cero ('''y= 0''').

Es función par:
: &lt;math&gt;
   abs(-x)= abs(x)
&lt;/math&gt;

Es función idempotente:
: &lt;math&gt;
   abs({abs(x)}) = abs(x)
&lt;/math&gt;

podemos ver que:
: &lt;math&gt;
   id(x) = sgn(x) \cdot abs(x)
&lt;/math&gt;
{{clear}}

=== Escalón de Heaviside ===
[[Archivo:Función Cu H.svg|280px|derecha]]
La '''función escalón de Heaviside''', también llamada '''función escalón unitario''', debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo, incluido el cero:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      H: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
         &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = H(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Esta función queda definida de esta forma:
: &lt;math&gt;
   H(x) = 
   \left \{
      \begin{array}{rcl}
          0 &amp; si &amp; x &lt; 0 \\ 
          1 &amp; si &amp; x \geq 0 
      \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;
{{clear}}

=== Función rampa ===
[[Archivo:Función Cu rampa.svg|280px|derecha]]
La función '''rampa''' definida para valores reales:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      rampa: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
             &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = rampa(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Que se puede especificar de esta forma:
: &lt;math&gt;
   rampa(x) = 
   \left \{
      \begin{array}{rcl}
          0 &amp; si &amp; x &lt; 0 \\ 
          x &amp; si &amp; x \geq 0 
      \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;

Esta función es continua, y no es derivable para '''x = 0'''.

Es función idempotente:
: &lt;math&gt;
   rampa({rampa(x)}) = rampa(x)
&lt;/math&gt;

Puede verse que:
: &lt;math&gt;
   rampa(x) = id(x) \cdot H(x)
&lt;/math&gt;
{{clear}}

=== Función entero de x ===
[[Archivo:Función Cu E.svg|280px|derecha]]
Esta función asocia a '''y''' el mismo valor de '''x''' cuando '''x''' en un número entero, si '''x''' es positivo '''y''' se obtiene eliminando la parte decimas, si '''x''' tiene valor negativo '''y''' es el valor de '''x''' sin parte decimal menos una unidad.
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      E: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
         &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = E(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

La función entero asocia a '''y''' el maximo número entero menor o igual a '''x''', esto es, de todos los números enteros menores o iguales que '''x''', el mayor de ellos:
: &lt;math&gt;
   E(x)= max(entero \leq x)
&lt;/math&gt;

Representada en la figura de la derecha. 

La función '''E(x)''' esta definida paro todo '''x''' real, es discontinua para '''x''' número entero, y para los valores en los que es continua es estacionaria.
{{clear}}

=== Función mantisa de x ===
[[Archivo:Función Cu M.svg|280px|derecha]]
La función mantisa o parte decimal de '''x''', es una función que asocia a '''y''' el valor que falta desde el número entero inferior a '''x'''
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      M: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
         &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = M(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Ver la figura de la derecha, si '''x''' es un número entero '''M(x)''' es cero, si '''x''' en un número positivo '''M(x)''' es la parte decimal de '''x''', cuando '''x''' tiene valor negativo entonces '''M(x)''' es lo que le falta hasta en número entero inferior a '''x'''. '''M(x)''' nunca toma valores negativos.

La función '''M(x)''' esta definida para todo '''x''' real, es discontinua para '''x''' número entero y para los valores en los que es continua es creciente.

Puede verse que:
: &lt;math&gt;
   id(x) = E(x) + M(x)
&lt;/math&gt;

Ver la figura de la derecha.
{{clear}}

=== Función parte entera de x ===
[[Archivo:Función Cu int.svg|280px|derecha]]
La función parte entera de x es el resultado de eliminar la parte decimal del número, de forma que se conserva el signo y la parte entera. Es una funcion definida para todo número real:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      int: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
           &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = int(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

La función parte entera se define como:
: &lt;math&gt;
   int(x) = 
   \left \{
      \begin{array}{rcl}
          min(entero \geq x) &amp; si &amp; x &lt; 0 \\ 
          max(entero \leq x) &amp; si &amp; x \geq 0 
      \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;

para '''x''' menor que cero: es el minimo entero mayor o igual que '''x''' y para '''x''' mayor o igual que cero: es el maximo entero menor o igual que '''x'''.

Esta función es impar:
: &lt;math&gt;
   int(-x) = -int(x)
&lt;/math&gt;
{{clear}}

=== Función parte decimal de x ===
[[Archivo:Función Cu frac int.svg|280px|derecha]]
La función parte decimal de x es el resultado de eliminar la parte entera del número, de forma que se conserva el signo y la parte decimal. Es una funcion definida para todo número real:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      frac \; int: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
                   &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = frac \; int(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Para '''x''' negativo '''frac int(x)''' es no positivo, para '''x''' positivo '''frac int(x)''' es no negativo.

Esta función es impar:
: &lt;math&gt;
   frac \; int(-x) = -frac \; int(x)
&lt;/math&gt;

Puede verse que:
: &lt;math&gt;
   id(x) = int(x) + frac \; int(x)
&lt;/math&gt;
{{clear}}

=== Función redondeo de x ===
[[Archivo:Función Cu redon.svg|280px|derecha]]
La funcion redondeo de x esta definida para todo número real:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      redon: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
                   &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = redon(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Esta función asocia a todo '''x''' número real el número entero más proximo, en caso de enteros igualmente proximos se tomara el de menor valor absoluto.
La función parte entera se define como:
: &lt;math&gt;
   redon(x) = 
   \left \{
      \begin{array}{rcl}
          min(entero \geq x - 0,5) &amp; si &amp; x &lt; 0 \\ 
          max(entero \leq x + 0,5) &amp; si &amp; x \geq 0 
      \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;

Esta función es impar:
: &lt;math&gt;
   redon(-x) = -redon(x)
&lt;/math&gt;
{{clear}}

=== Función fracción de redondeo de x ===
[[Archivo:Función Cu frac redon.svg|280px|derecha]]
La funcion fracción de redondeo de x esta definida para todo número real:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      frac \; redon: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
                     &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = frac \; redon(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Esta función asocia a todo '''x''' número real el número fraccionario más proximo a un número entero.

Esta función es impar:
: &lt;math&gt;
   frac \; redon(-x) = -frac \; redon(x)
&lt;/math&gt;

se puede ver que:
: &lt;math&gt;
   id(x) = redon(x) + frac \; redon(x)
&lt;/math&gt;
{{clear}}

=== Función suelo ===
[[Archivo:Función Cu suelo.svg|280px|derecha]]
Esta función es equivalente a la funcios parte entera: &lt;math&gt; y= E(x) &lt;/math&gt;:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      suelo: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
             &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = suelo(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

La función suelo asocia a '''y''' el maximo número entero menor o igual a '''x''':
: &lt;math&gt;
   E(x)= max(entero \leq x)
&lt;/math&gt;
{{clear}}

=== Función fracción de suelo ===
[[Archivo:Función Cu frac suelo.svg|280px|derecha]]
La función fracción de suelo es equivalente a mantisa o parte decimal, asocia a '''y''' el valor que falta desde el número entero inferior a '''x'''
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      frac \; suelo: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
                  &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = frac \; suelo(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Puede verse que:
: &lt;math&gt;
   id(x) = suelo(x) + frac \; suelo(x)
&lt;/math&gt;

Ver la figura de la derecha.
{{clear}}

=== Función techo ===
[[Archivo:Función Cu techo.svg|280px|derecha]]
La función techo asocia a '''y''' el valor entero de '''x''' por esceso, compararla con la función suelo:
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      techo: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
             &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = techo(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

El valor de la función techo es el minimo valor entero mayor o igual que '''x''':
: &lt;math&gt;
   techo(x)= min(entero \geq x)
&lt;/math&gt;
{{clear}}

=== Función fracción de techo ===
[[Archivo:Función Cu frac techo.svg|280px|derecha]]
La función fracción de techo asocia a '''y''' el valor que falta desde el número entero superios a '''x'''
: &lt;math&gt;
   \begin{array}{rccl}
      frac \; techo: &amp; \R &amp; \longrightarrow{} &amp; \R \\
                     &amp;  x &amp; \mapsto           &amp; y = frac \; techo(x)
   \end{array}
&lt;/math&gt;

Puede verse que:
: &lt;math&gt;
   id(x) = techo(x) + frac \; techo(x)
&lt;/math&gt;

Ver la figura de la derecha.
{{clear}}

== Funciones escalonadas ==

=== Función rectangular ===
[[Archivo:Función Cu rect.svg|280px|derecha]]
La '''función rectangular''' (también llamada '''función ventana unitaria''' o '''pulso unitario''') se define como:
: &lt;math&gt;
   \mathrm{rect}(x) =
   \Pi(x) =
   \left \{
      \begin{array}{rcl}
         0           &amp; si &amp; |x| &gt; \frac{1}{2} \\
         \frac{1}{2} &amp; si &amp; |x| = \frac{1}{2} \\
         1           &amp; si &amp; |x| &lt; \frac{1}{2} \\
      \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;
{{clear}}

=== Función escalonada ===
[[Archivo:Función Cu s.svg|280px|derecha]]
Una función es escalonada si toma valores constantes en distintos intervalos, por ejemplo podemos ver la función '''y= s(x)''' de la figura:
: &lt;math&gt;
   s(x) =
   \left \{
      \begin{array}{rcl}
          1 &amp; si &amp; -3 \leq x &lt; -1 \\
          2 &amp; si &amp; -1 \leq x &lt; 1  \\
         -1 &amp; si &amp;  1 \leq x \leq 3 \\
      \end{array}
   \right .
&lt;/math&gt;
{{clear}}

&lt;noinclude&gt;{{Matemáticas}}&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Matemáticas/Geometría/Figuras Planas</title>
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        <username>Mazbel</username>
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* [[Geometría Plana/Conceptos Básicos|Conceptos Básicos]]
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* [[Matemáticas/Geometría/Triángulos|Triángulos]]
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    <title>Matemáticas/Geometría/Triángulos</title>
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* [[Matemáticas/Geometría/Triángulos/Concepto|Concepto]]
* [[Matemáticas/Geometría/Triángulos/Clasificación|Clasificación]]
* [[Matemáticas/Geometría/Triángulos/Tipos de Triángulos|Tipos de Triángulos]]
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    <title>Trigonometría/Texto completo</title>
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* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Grupos/Homomorfismos|Homomorfismos de Grupos]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Grupos/Subgrupos|Subgrupos]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Grupos/Grupos Cíclicos|Grupos Cíclicos]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Grupos/Grupos Generados|Grupos Generados]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Grupos/Grupos Cocientes|Grupos Cocientes]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Grupos/Teoremas de Homomorfismos|Teoremas de Homomorfismos]].
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Grupos/Clasificación|Clasificación de Grupos]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Grupo/Teoremas de Cardinalidad|Teoremas de Cardinalidad]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Grupos/Acciones de Grupos|Las Acciones de Grupos]]

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* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Anillos/Divisibilidad y Dominios|Divisibilidad y Dominios]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Anillos/Anillo de Polinomios|Anillos de Polinomios]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Anillos/Divisibilidad y Polinomios|Divisibilidad y Polinomios]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Anillos/Factorización de Polinomios|Factorización de Polinomios]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Anillos/Extensiones de Cuerpos|Extensiones de Cuerpos]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Anillos/Tipos de Dominios|DFU, DIPS, Dominios Euclídeos.]]

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* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Apéndices/Relaciones|Relaciones]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Apéndices/Sistemas Numéricos|Sistemas Numéricos]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Apéndices/Estructuras Algebraicas|Teoría de las Estructuras Algebraicas]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Apéndices/Grupos Geométricos|Grupos Geométricos]]
* [[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Apéndices/Teoremas de Sylow|Teoremas de Sylow]]

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    <title>Matemáticas/Combinatoria/Combinación</title>
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La '''combinatoria''' estudia las diferentes formas en que se pueden agrupar u ordenar los elementos de un conjunto. El punto de partida será el '''principio de la multiplicación''' o estrategia del producto.


==Principio de la multiplicación o estrategia del producto==
:'''Ejemplo 1''':	Un equipo de baloncesto tiene que elegir un nuevo uniforme. Para ello debe escoger entre 4 camisetas y 5 pantalones con diferentes colores. ¿Cuántos uniformes distintos se pueden componer con las camisetas y pantalones disponibles?

::Para resolver este problema hemos de tener en cuenta que cada una de las camisetas se podrá combinar con cada uno de los pantalones disponibles. Si tuviéramos una única camiseta, podríamos componer 5 uniformes diferentes, resultado de combinar dicha camiseta con cada uno de los 5 pantalones. Si tuviéramos 2 camisetas, podríamos componer 5 uniformes distintos para cada camiseta, resultado de combinar cada camiseta con cada uno de los 5 pantalones. Tendríamos por tanto 2 · 5 = 10 combinaciones posibles. Siguiendo el mismo razonamiento, llegaríamos a la conclusión de que con 4 camisetas y 5 pantalones, podríamos componer 4 · 5 = 20 uniformes diferentes.


Lo que hemos utilizado es lo que se conoce con el nombre de principio de la multiplicación, que puede enunciarse de la siguiente forma:

{| width=&quot;95%&quot; cellpadding=&quot;20&quot; cellspacing=&quot;0&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;border-top:1px solid DarkGray; border-right:1px solid DarkGray; border-bottom:1px solid DarkGray; border-left:1px solid DarkGray;&quot;
| align=&quot;left&quot;|'''Principio de la multiplicación'''. 	Si tenemos ''a'' opciones para escoger un objeto, ''b'' opciones para elegir un segundo objeto, ''c'' opciones para escoger un tercero, etc., el número total de formas de combinar los distintos objetos es el producto ''a'' · ''b'' · ''c'' · .....
|}


:'''Ejemplo 2''':  ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4, sin que se repita ninguna cifra?

::Las opciones para escoger la primera cifra son cuatro, pues ésta no puede tomar el valor 0, ya que ningún número de tres cifras comienza por 0. Para la segunda cifra tendremos también cuatro opciones, pues aunque en este caso si puede tomar el valor 0, tendremos que descartar el valor que haya tomado la primera cifra, por no poderse repetir ninguna. Por último, para la tercera cifra tendremos tres opciones, resultado de descartar los valores empleados en las dos primeras cifras, para evitar repeticiones.

::Por tanto, aplicando el principio de la multiplicación, se obtiene que hay  4 · 4 · 3 = 48 números de tres cifras distintos con los dígitos indicados en el enunciado.</text>
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        <username>Alexis Jazz</username>
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Los siguientes datos provienen de la caché, y fueron actualizados por última vez a fecha de: 2026-07-25T11:03:35Z. La caché contiene {{PLURAL:5000|un resultado|5000 resultados}} como máximo.
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* [[m:Meta:GUS2Wiki/Script|GUS2Wiki]]
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    <title>Matemáticas/Historia/Occidente</title>
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      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
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      <text bytes="1622" sha1="rofr4ayrbeemw4195w7838pbbkmjvce" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
Fue en Europa a partir del siglo XVII cuando se establecieron las herramientas necesarias para el desarrollo de las matemáticas, principalmente el análisis. Algunos matemáticos importantes importantes son:

#François Viète (1540-1603): es el padre de la primera formalización algebraica.
#René Descartes (1596-1650): es el fundador de la geometría analítica y del plano cartesiano.
#Pierre de Fermat (1607-1665): planteó varios teoremas y creo la teoría de la probabilidad discreta junto con Pascal.
#Isaac Newton (1642-1727): Se le debe el nacimiento del cálculo infinitesimal.
#Leonhard Euler (1707-1783): Sienta las bases teóricas de muchas disciplinas matemáticas: topología, números complejos, series infinitas, entre otras.
#Carl Friedrich Gauss (1777-1855): Crea varias generalizaciones y nuevas herramientas en diversos campos siendo el primero en demostrar rigurosamente cualquier afirmación matemática.
#Augustin Louis Cauchy (1789-1857): Sus aportes teóricos en análisis permiten aclarar y hacer más rigurosa esta rama matemática. 
#Évariste Galois (1811-1832): Sentó las bases de la teoría de grupos.
#Arthur Cayley (1821-1895): Realizo trabajos sobre matrices y teoría de grupos.
#Bernhard Riemann (1826-1866): Aportó notablemente en la geometría diferencial.
#Georg Cantor (1845-1918): Creó la teoría de conjuntos y propuso los números infinitos.
#Henri Poincaré (1854-1912): Sus avances en el problema de los tres cuerpos lo llevan a la teoría del caos.
#David Hilbert (1862-1943): Influyó mucho en las matemáticas modernas, especialmente con sus 23 problemas.</text>
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    <title>Usuario:Mazbel/FastButtons.js</title>
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        <username>Mazbel</username>
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      <comment>actualización</comment>
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      <text bytes="10210" sha1="qoijfyvd5diyxebzu27jsjr8362eevt" xml:space="preserve">/**
 * FastButtons de Racso
 * &lt;nowiki&gt;
 */
// Protege contra doble inclusión
if ( window.fastButtons === undefined ) {

    importScript( 'Special:Mypage/FB.js' );

    //Checker
    var fastButtons = {
        FBList: '',
        ufb: ', usando [[:w:Wikipedia:FastButtons|Fastbuttons]]',
        wikiURL: mw.util.wikiScript( 'index' ) + '?title=',
        isSysop: false
    };

    //Enlaza con window
    window.fastButtons = fastButtons;

    //Scope local para no contaminar espacio global
    (function ( $, mw ) {
        'use strict';
        //*********************************************************************
        //Funciones generales
        //*********************************************************************
        //readInputButton: ejecuta el código de un botón de acción que lee datos. Lee un dato del usuario.
        fastButtons.readInputButton = function ( mensaje, buttonType, wikiAction ) {
            wikiAction = wikiAction || 'edit';
            var input = window.prompt( decodeURI( mensaje ) );
            if ( input != null ) {
                location.href = fastButtons.wikiURL + wikiAction + '&amp;' + buttonType + '=' + encodeURI( input );
            }
            return false;
        };

        //addTemplate: añade una plantilla al inicio de la página, y guarda.
        function addTemplate( plantilla, resumen ) {
            $( '#wpTextbox1' ).val( plantilla + '\n' + $( '#wpTextbox1' ).val() );
            $( '#wpSummary' ).val( resumen );
            $( '#editform' ).submit();
        }

        //addTemplateEnd: añade una plantilla al final de la página, y guarda.
        function addTemplateEnd( plantilla, resumen ) {
            $( '#wpTextbox1' ).val( $( '#wpTextbox1' ).val() + '\n' + plantilla );
            $( '#wpSummary' ).val( resumen );
            $( '#editform' ).submit();
        }

        //addFastButton: genera la cadena para añadir un botón, tomando ciertos parámetros.
        function addFastButton( buttonLabel, buttonType, typeParam, wikiAction ) {
            typeParam = typeParam || buttonLabel;
            wikiAction = wikiAction || 'edit';
            return '[&lt;a href=&quot;' + fastButtons.wikiURL + wikiAction + '&amp;' + buttonType + '=' +
                encodeURI( typeParam ) + '&quot;&gt;' + buttonLabel + '&lt;\/a&gt;] ';
        }

        //addActionFastButton: genera la cadena para añadir un botón de acción.
        function addActionFastButton( buttonLabel, accion ) {
            return '[&lt;a href=&quot;#&quot; onclick=&quot;return ' + accion + ';&quot;&gt;' + buttonLabel + '&lt;\/a&gt;] ';
        }

        //addBlockFastButton: genera la cadena para añadir un botón de bloqueo rápido. Es un botón con código más específico,
        //por lo que se hizo por aparte en vez de complicar las demás funciones generalizándolas tanto.
        function addBlockFastButton() {
            var targetName = '',
                urlHref = location.href;
            if ( urlHref.match( &quot;Especial:Bloquear/&quot; ) ) {
                targetName = decodeURI( urlHref.substring( urlHref.indexOf( &quot;Especial:Bloquear/&quot; ) + 18 ) );
            } else if ( urlHref.match( &quot;Especial:Contribuciones/&quot; ) ) {
                targetName = decodeURI( urlHref.substring( urlHref.indexOf( &quot;Especial:Contribuciones/&quot; ) + 24 ) );
            }

            if ( !targetName ) {
                return '';
            }

            return '[&lt;a href=&quot;' + mw.util.wikiScript( 'index' ) + '?title=Especial:Bloquear/' +
                targetName + '&amp;FBblock=31&quot;&gt;31h, vandalismo&lt;\/a&gt;] ';
        }
		
        //BOTONES PARA SYSOP
        function loadSysop() {
            var tmp = '';

            tmp += addFastButton( 'Borrado rápido', 'FBdelete', 'default', 'delete' );
            

            return tmp;
        }

        //PLANTILLAS (BOTONES GENERALES)
        function loadTemplates() {
            var tmp = '';

            if( $.inArray( mw.config.get( 'wgNamespaceNumber' ), [ 0, 104 ] ) &gt; -1 ) {
                tmp += addFastButton( 'Receta sin formato', 'FBplant', '{{Receta sin formato}}' );
                tmp += addFastButton( 'En subpáginas', 'FBplant', '{{En subpáginas}}' );
                tmp += addFastButton( 'Promocional', 'FBplant', '{{promocional|{{subst:CURRENTDAY}}|{{subst:CURRENTMONTHNAME}}}}' );
                tmp += addFastButton( 'Mejorar', 'FBplant', '{{Mejorar}}' );
                tmp += addFastButton( 'Esbozo', 'FBplant', '{{Esbozo}}' );
                tmp += addFastButton( 'Libro sin formato', 'FBplant', '{{Mejorar formato}}' );
                tmp += addFastButton( 'Hoja suelta', 'FBplant', '{{hoja suelta}}' );
				tmp += addFastButton( 'AutoCat', 'FBplant', '{{AutoCat}}' );
            }

            return tmp;
        }

        //BOTONES DE VARIAS FUNCIONALIDADES (BOTONES GENERALES)
        function loadMisc() {
            var tmp = '',
                warnMenu = encodeURI( 
                	 &quot;Aviso:\n&quot; +
            		 &quot;(nada): Prueba\n&quot; +
        			 &quot;2: Edición arbitraria\n&quot; +
        			 &quot;0a: Etiqueta\n&quot; +
        			 &quot;0c: Spam\n&quot; +  // Línea vacía para separar
            	     &quot;3: Detente\n&quot; +
        			 &quot;4: Última advertencia\n&quot; +  // Cambié &quot;3 +&quot; por &quot;4:&quot;
                     &quot;5: Bloqueo&quot;  // Cambié &quot;4:&quot; por &quot;5:&quot; 
                     );
		
            if( mw.config.get( 'wgNamespaceNumber' ) != 3 ) {
                return tmp;
            }

            tmp += addActionFastButton( &quot;Advertencia&quot;, &quot;fastButtons.readInputButton(\'&quot; + warnMenu + &quot;\', 'FBwarn' );&quot; );
            return tmp;
        }

        //*********************************************************************
        //Añadir los botones
        //*********************************************************************
        function cargar() {
            //Extraer datos de la página
            var tmp;
            if ( $.inArray( 'sysop', mw.config.get( 'wgUserGroups' ) ) &gt; -1 ) {
                fastButtons.isSysop = true;
            }

            fastButtons.wikiURL = fastButtons.wikiURL + mw.util.wikiUrlencode( mw.config.get( 'wgPageName' ) ) + &quot;&amp;action=&quot;;

            //Tiene que ser editable
            if ( mw.config.get( 'wgNamespaceNumber' ) &gt;= 0 ) {
                //Botones para bibliotecarios
                if ( fastButtons.isSysop ) {
                    if ( typeof botonesSysop == 'function' ) {
                        tmp = botonesSysop();
                    } else {
                        tmp = loadSysop();
                    }
                    if ( tmp ) {
                        fastButtons.FBList = fastButtons.FBList + 'Sysop: ' + tmp + '&lt;br&gt;';
                    }
                } else { //Botones de destruir. Sólo aparecen a no-bibliotecarios.
                    if ( typeof botonesNoSysop == 'function' ) {
                        tmp = botonesNoSysop();
                    } else {
                        tmp = loadNoSysop();
                    }
                    if ( tmp ) {
                        fastButtons.FBList = fastButtons.FBList + 'Destruir: ' + tmp + '&lt;br&gt;';
                    }
                }

                //Plantillas. Aparecen a todos los usuarios.
                if ( typeof botonesPlantillas == 'function' ) {
                    tmp = botonesPlantillas();
                } else {
                    tmp = loadTemplates();
                }
                if ( tmp != '' ) {
                    fastButtons.FBList = fastButtons.FBList + 'Plantillas: ' + tmp + '&lt;br&gt;';
                }

                //Otros. Aparecen a todos los usuarios.
                if ( typeof botonesOtros == 'function' ) {
                    tmp = botonesOtros();
                } else {
                    tmp = loadMisc();
                }
                if ( tmp ) {
                    fastButtons.FBList = fastButtons.FBList + 'Otros: ' + tmp;
                }
            } else {
                if ( fastButtons.isSysop ) {
                    if ( typeof botonesBloqueo == 'function' ) {
                        tmp = botonesBloqueo();
                    } else {
                        tmp = addBlockFastButton();
                    }
                    if ( tmp ) { //El &lt;br&gt; de más es porque el botón es peligroso y aparece muy pegado a las demás opciones
                        fastButtons.FBList = fastButtons.FBList + '&lt;br&gt;Bloqueo: ' + tmp;
                    }
                }
            }
        }
        
        /* Mostrar los botones en la página */
        function instalar() {
            var temp;
            cargar();

            if ( $( '#contentSub' ).html() ) {
                $( '#contentSub' ).html( $( '#contentSub' ).html() + '&lt;br&gt;' + fastButtons.FBList );
            } else {
                $( '#contentSub' ).html( fastButtons.FBList );
            }

            if ( mw.util.getParamValue( 'FBdest' ) != null ) {
                temp = mw.util.getParamValue( 'FBdest' );
                addTemplate( &quot;{{delete|1=&quot; + temp + &quot;}}&quot;, &quot;Eliminar: &quot; + temp );
            } else if ( mw.util.getParamValue( 'FBplant' ) != null ) {
                temp = mw.util.getParamValue( 'FBplant' );
                addTemplate( temp, &quot;Plantilla: &quot; + temp);
            } else if ( mw.util.getParamValue( 'FBdelete' ) != null ) {
                temp = mw.util.getParamValue( 'FBdelete' );
                if ( temp != 'default' ) {
                    $( '#wpReason' ).val( temp );
                }
                $( '#deleteconfirm' ).submit();
            } else if ( mw.util.getParamValue( 'FBwarn' ) != null ) {
                temp = mw.util.getParamValue( 'FBwarn' );
                addTemplateEnd( '{{subst:Aviso prueba' + decodeURI(temp) + '}} --~~~~', 'Aviso al usuario' );
            } else if ( mw.util.getParamValue( 'FBblock' ) != null ) {
                $( '#mw-input-wpExpiry' ).val( '31 hours' );
                $( '#mw-input-wpReason' ).val( '[[WL:VN|Vandalismo de páginas]]' );
                $( '#mw-input-wpDisableUTEdit' ).prop( 'checked', true );
                $( 'form.visualClear' ).submit();
            }
        }

        $( document ).ready( instalar );

    })( jQuery, mediaWiki ); // Fin de función anónima
} //fin de chequeo
//&lt;/nowiki&gt;</text>
      <sha1>qoijfyvd5diyxebzu27jsjr8362eevt</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>429234</id>
      <parentid>428902</parentid>
      <timestamp>2026-07-27T02:34:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>probando</comment>
      <origin>429234</origin>
      <model>javascript</model>
      <format>text/javascript</format>
      <text bytes="10361" sha1="ai2poiiu37zze3mut7485rgz0j8lm12" xml:space="preserve">/**
 * FastButtons de Racso
 * &lt;nowiki&gt;
 */
// Protege contra doble inclusión
if ( window.fastButtons === undefined ) {

    importScript( 'Special:Mypage/FB.js' );

    //Checker
    var fastButtons = {
        FBList: '',
        ufb: ', usando [[:w:Wikipedia:FastButtons|Fastbuttons]]',
        wikiURL: mw.util.wikiScript( 'index' ) + '?title=',
        isSysop: false
    };

    //Enlaza con window
    window.fastButtons = fastButtons;

    //Scope local para no contaminar espacio global
    (function ( $, mw ) {
        'use strict';
        //*********************************************************************
        //Funciones generales
        //*********************************************************************
        //readInputButton: ejecuta el código de un botón de acción que lee datos. Lee un dato del usuario.
        fastButtons.readInputButton = function ( mensaje, buttonType, wikiAction ) {
            wikiAction = wikiAction || 'edit';
            var input = window.prompt( decodeURI( mensaje ) );
            if ( input != null ) {
                location.href = fastButtons.wikiURL + wikiAction + '&amp;' + buttonType + '=' + encodeURI( input );
            }
            return false;
        };

        //addTemplate: añade una plantilla al inicio de la página, y guarda.
        function addTemplate( plantilla, resumen ) {
            $( '#wpTextbox1' ).val( plantilla + '\n' + $( '#wpTextbox1' ).val() );
            $( '#wpSummary' ).val( resumen );
            $( '#editform' ).submit();
        }

        //addTemplateEnd: añade una plantilla al final de la página, y guarda.
        function addTemplateEnd( plantilla, resumen ) {
            $( '#wpTextbox1' ).val( $( '#wpTextbox1' ).val() + '\n' + plantilla );
            $( '#wpSummary' ).val( resumen );
            $( '#editform' ).submit();
        }

        //addFastButton: genera la cadena para añadir un botón, tomando ciertos parámetros.
        function addFastButton( buttonLabel, buttonType, typeParam, wikiAction ) {
            typeParam = typeParam || buttonLabel;
            wikiAction = wikiAction || 'edit';
            return '[&lt;a href=&quot;' + fastButtons.wikiURL + wikiAction + '&amp;' + buttonType + '=' +
                encodeURI( typeParam ) + '&quot;&gt;' + buttonLabel + '&lt;\/a&gt;] ';
        }

        //addActionFastButton: genera la cadena para añadir un botón de acción.
        function addActionFastButton( buttonLabel, accion ) {
            return '[&lt;a href=&quot;#&quot; onclick=&quot;return ' + accion + ';&quot;&gt;' + buttonLabel + '&lt;\/a&gt;] ';
        }

        //addBlockFastButton: genera la cadena para añadir un botón de bloqueo rápido. Es un botón con código más específico,
        //por lo que se hizo por aparte en vez de complicar las demás funciones generalizándolas tanto.
        function addBlockFastButton() {
            var targetName = '',
                urlHref = location.href;
            if ( urlHref.match( &quot;Especial:Bloquear/&quot; ) ) {
                targetName = decodeURI( urlHref.substring( urlHref.indexOf( &quot;Especial:Bloquear/&quot; ) + 18 ) );
            } else if ( urlHref.match( &quot;Especial:Contribuciones/&quot; ) ) {
                targetName = decodeURI( urlHref.substring( urlHref.indexOf( &quot;Especial:Contribuciones/&quot; ) + 24 ) );
            }

            if ( !targetName ) {
                return '';
            }

            return '[&lt;a href=&quot;' + mw.util.wikiScript( 'index' ) + '?title=Especial:Bloquear/' +
                targetName + '&amp;FBblock=31&quot;&gt;31h, vandalismo&lt;\/a&gt;] ';
        }
		
        //BOTONES PARA SYSOP
        function loadSysop() {
            var tmp = '';

            tmp += addFastButton( 'Borrado rápido', 'FBdelete', 'default', 'delete' );
            

            return tmp;
        }

        //PLANTILLAS (BOTONES GENERALES)
        function loadTemplates() {
            var tmp = '';

            if( $.inArray( mw.config.get( 'wgNamespaceNumber' ), [ 0, 104 ] ) &gt; -1 ) {
                tmp += addFastButton( 'Receta sin formato', 'FBplant', '{{Receta sin formato}}' );
                tmp += addFastButton( 'En subpáginas', 'FBplant', '{{En subpáginas}}' );
                tmp += addFastButton( 'Promocional', 'FBplant', '{{promocional|{{subst:CURRENTDAY}}|{{subst:CURRENTMONTHNAME}}}}' );
                tmp += addFastButton( 'Mejorar', 'FBplant', '{{Mejorar}}' );
                tmp += addFastButton( 'Esbozo', 'FBplant', '{{Esbozo}}' );
                tmp += addFastButton( 'Libro sin formato', 'FBplant', '{{Mejorar formato}}' );
                tmp += addFastButton( 'Hoja suelta', 'FBplant', '{{hoja suelta}}' );
				tmp += addFastButton( 'AutoCat', 'FBplantEnd', '{{AutoCat}}' );
            }

            return tmp;
        }

        //BOTONES DE VARIAS FUNCIONALIDADES (BOTONES GENERALES)
        function loadMisc() {
            var tmp = '',
                warnMenu = encodeURI( 
                	 &quot;Aviso:\n&quot; +
            		 &quot;(nada): Prueba\n&quot; +
        			 &quot;2: Edición arbitraria\n&quot; +
        			 &quot;0a: Etiqueta\n&quot; +
        			 &quot;0c: Spam\n&quot; +  // Línea vacía para separar
            	     &quot;3: Detente\n&quot; +
        			 &quot;4: Última advertencia\n&quot; +  // Cambié &quot;3 +&quot; por &quot;4:&quot;
                     &quot;5: Bloqueo&quot;  // Cambié &quot;4:&quot; por &quot;5:&quot; 
                     );
		
            if( mw.config.get( 'wgNamespaceNumber' ) != 3 ) {
                return tmp;
            }

            tmp += addActionFastButton( &quot;Advertencia&quot;, &quot;fastButtons.readInputButton(\'&quot; + warnMenu + &quot;\', 'FBwarn' );&quot; );
            return tmp;
        }

        //*********************************************************************
        //Añadir los botones
        //*********************************************************************
        function cargar() {
            //Extraer datos de la página
            var tmp;
            if ( $.inArray( 'sysop', mw.config.get( 'wgUserGroups' ) ) &gt; -1 ) {
                fastButtons.isSysop = true;
            }

            fastButtons.wikiURL = fastButtons.wikiURL + mw.util.wikiUrlencode( mw.config.get( 'wgPageName' ) ) + &quot;&amp;action=&quot;;

            //Tiene que ser editable
            if ( mw.config.get( 'wgNamespaceNumber' ) &gt;= 0 ) {
                //Botones para bibliotecarios
                if ( fastButtons.isSysop ) {
                    if ( typeof botonesSysop == 'function' ) {
                        tmp = botonesSysop();
                    } else {
                        tmp = loadSysop();
                    }
                    if ( tmp ) {
                        fastButtons.FBList = fastButtons.FBList + 'Sysop: ' + tmp + '&lt;br&gt;';
                    }
                } else { //Botones de destruir. Sólo aparecen a no-bibliotecarios.
                    if ( typeof botonesNoSysop == 'function' ) {
                        tmp = botonesNoSysop();
                    } else {
                        tmp = loadNoSysop();
                    }
                    if ( tmp ) {
                        fastButtons.FBList = fastButtons.FBList + 'Destruir: ' + tmp + '&lt;br&gt;';
                    }
                }

                //Plantillas. Aparecen a todos los usuarios.
                if ( typeof botonesPlantillas == 'function' ) {
                    tmp = botonesPlantillas();
                } else {
                    tmp = loadTemplates();
                }
                if ( tmp != '' ) {
                    fastButtons.FBList = fastButtons.FBList + 'Plantillas: ' + tmp + '&lt;br&gt;';
                }

                //Otros. Aparecen a todos los usuarios.
                if ( typeof botonesOtros == 'function' ) {
                    tmp = botonesOtros();
                } else {
                    tmp = loadMisc();
                }
                if ( tmp ) {
                    fastButtons.FBList = fastButtons.FBList + 'Otros: ' + tmp;
                }
            } else {
                if ( fastButtons.isSysop ) {
                    if ( typeof botonesBloqueo == 'function' ) {
                        tmp = botonesBloqueo();
                    } else {
                        tmp = addBlockFastButton();
                    }
                    if ( tmp ) { //El &lt;br&gt; de más es porque el botón es peligroso y aparece muy pegado a las demás opciones
                        fastButtons.FBList = fastButtons.FBList + '&lt;br&gt;Bloqueo: ' + tmp;
                    }
                }
            }
        }
        
        /* Mostrar los botones en la página */
        function instalar() {
            var temp;
            cargar();

            if ( $( '#contentSub' ).html() ) {
                $( '#contentSub' ).html( $( '#contentSub' ).html() + '&lt;br&gt;' + fastButtons.FBList );
            } else {
                $( '#contentSub' ).html( fastButtons.FBList );
            }

            if ( mw.util.getParamValue( 'FBdest' ) != null ) {
                temp = mw.util.getParamValue( 'FBdest' );
                addTemplate( &quot;{{delete|1=&quot; + temp + &quot;}}&quot;, &quot;Eliminar: &quot; + temp );
            } else if ( mw.util.getParamValue( 'FBplantEnd' ) != null ) {
	temp = mw.util.getParamValue( 'FBplantEnd' );
    addTemplateEnd( temp, &quot;Plantilla al final: &quot; + temp );

		} else if ( mw.util.getParamValue( 'FBplant' ) != null ) {
    temp = mw.util.getParamValue( 'FBplant' );
    addTemplate( temp, &quot;Plantilla: &quot; + temp );
            } else if ( mw.util.getParamValue( 'FBdelete' ) != null ) {
                temp = mw.util.getParamValue( 'FBdelete' );
                if ( temp != 'default' ) {
                    $( '#wpReason' ).val( temp );
                }
                $( '#deleteconfirm' ).submit();
            } else if ( mw.util.getParamValue( 'FBwarn' ) != null ) {
                temp = mw.util.getParamValue( 'FBwarn' );
                addTemplateEnd( '{{subst:Aviso prueba' + decodeURI(temp) + '}} --~~~~', 'Aviso al usuario' );
            } else if ( mw.util.getParamValue( 'FBblock' ) != null ) {
                $( '#mw-input-wpExpiry' ).val( '31 hours' );
                $( '#mw-input-wpReason' ).val( '[[WL:VN|Vandalismo de páginas]]' );
                $( '#mw-input-wpDisableUTEdit' ).prop( 'checked', true );
                $( 'form.visualClear' ).submit();
            }
        }

        $( document ).ready( instalar );

    })( jQuery, mediaWiki ); // Fin de función anónima
} //fin de chequeo
//&lt;/nowiki&gt;</text>
      <sha1>ai2poiiu37zze3mut7485rgz0j8lm12</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>429251</id>
      <parentid>429234</parentid>
      <timestamp>2026-07-27T02:38:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>retoques</comment>
      <origin>429251</origin>
      <model>javascript</model>
      <format>text/javascript</format>
      <text bytes="10352" sha1="mv3o0o8epi5kg288z4eaejops0bi024" xml:space="preserve">/**
 * FastButtons de Racso
 * &lt;nowiki&gt;
 */
// Protege contra doble inclusión
if ( window.fastButtons === undefined ) {

    importScript( 'Special:Mypage/FB.js' );

    //Checker
    var fastButtons = {
        FBList: '',
        ufb: ', usando [[:w:Wikipedia:FastButtons|Fastbuttons]]',
        wikiURL: mw.util.wikiScript( 'index' ) + '?title=',
        isSysop: false
    };

    //Enlaza con window
    window.fastButtons = fastButtons;

    //Scope local para no contaminar espacio global
    (function ( $, mw ) {
        'use strict';
        //*********************************************************************
        //Funciones generales
        //*********************************************************************
        //readInputButton: ejecuta el código de un botón de acción que lee datos. Lee un dato del usuario.
        fastButtons.readInputButton = function ( mensaje, buttonType, wikiAction ) {
            wikiAction = wikiAction || 'edit';
            var input = window.prompt( decodeURI( mensaje ) );
            if ( input != null ) {
                location.href = fastButtons.wikiURL + wikiAction + '&amp;' + buttonType + '=' + encodeURI( input );
            }
            return false;
        };

        //addTemplate: añade una plantilla al inicio de la página, y guarda.
        function addTemplate( plantilla, resumen ) {
            $( '#wpTextbox1' ).val( plantilla + '\n' + $( '#wpTextbox1' ).val() );
            $( '#wpSummary' ).val( resumen );
            $( '#editform' ).submit();
        }

        //addTemplateEnd: añade una plantilla al final de la página, y guarda.
        function addTemplateEnd( plantilla, resumen ) {
            $( '#wpTextbox1' ).val( $( '#wpTextbox1' ).val() + '\n' + plantilla );
            $( '#wpSummary' ).val( resumen );
            $( '#editform' ).submit();
        }

        //addFastButton: genera la cadena para añadir un botón, tomando ciertos parámetros.
        function addFastButton( buttonLabel, buttonType, typeParam, wikiAction ) {
            typeParam = typeParam || buttonLabel;
            wikiAction = wikiAction || 'edit';
            return '[&lt;a href=&quot;' + fastButtons.wikiURL + wikiAction + '&amp;' + buttonType + '=' +
                encodeURI( typeParam ) + '&quot;&gt;' + buttonLabel + '&lt;\/a&gt;] ';
        }

        //addActionFastButton: genera la cadena para añadir un botón de acción.
        function addActionFastButton( buttonLabel, accion ) {
            return '[&lt;a href=&quot;#&quot; onclick=&quot;return ' + accion + ';&quot;&gt;' + buttonLabel + '&lt;\/a&gt;] ';
        }

        //addBlockFastButton: genera la cadena para añadir un botón de bloqueo rápido. Es un botón con código más específico,
        //por lo que se hizo por aparte en vez de complicar las demás funciones generalizándolas tanto.
        function addBlockFastButton() {
            var targetName = '',
                urlHref = location.href;
            if ( urlHref.match( &quot;Especial:Bloquear/&quot; ) ) {
                targetName = decodeURI( urlHref.substring( urlHref.indexOf( &quot;Especial:Bloquear/&quot; ) + 18 ) );
            } else if ( urlHref.match( &quot;Especial:Contribuciones/&quot; ) ) {
                targetName = decodeURI( urlHref.substring( urlHref.indexOf( &quot;Especial:Contribuciones/&quot; ) + 24 ) );
            }

            if ( !targetName ) {
                return '';
            }

            return '[&lt;a href=&quot;' + mw.util.wikiScript( 'index' ) + '?title=Especial:Bloquear/' +
                targetName + '&amp;FBblock=31&quot;&gt;31h, vandalismo&lt;\/a&gt;] ';
        }
		
        //BOTONES PARA SYSOP
        function loadSysop() {
            var tmp = '';

            tmp += addFastButton( 'Borrado rápido', 'FBdelete', 'default', 'delete' );
            

            return tmp;
        }

        //PLANTILLAS (BOTONES GENERALES)
        function loadTemplates() {
            var tmp = '';

            if( $.inArray( mw.config.get( 'wgNamespaceNumber' ), [ 0, 104 ] ) &gt; -1 ) {
                tmp += addFastButton( 'Receta sin formato', 'FBplant', '{{Receta sin formato}}' );
                tmp += addFastButton( 'En subpáginas', 'FBplant', '{{En subpáginas}}' );
                tmp += addFastButton( 'Promocional', 'FBplant', '{{promocional|{{subst:CURRENTDAY}}|{{subst:CURRENTMONTHNAME}}}}' );
                tmp += addFastButton( 'Mejorar', 'FBplant', '{{Mejorar}}' );
                tmp += addFastButton( 'Esbozo', 'FBplant', '{{Esbozo}}' );
                tmp += addFastButton( 'Libro sin formato', 'FBplant', '{{Mejorar formato}}' );
                tmp += addFastButton( 'Hoja suelta', 'FBplant', '{{hoja suelta}}' );
				tmp += addFastButton( 'AutoCat', 'FBplantEnd', '{{AutoCat}}' );
            }

            return tmp;
        }

        //BOTONES DE VARIAS FUNCIONALIDADES (BOTONES GENERALES)
        function loadMisc() {
            var tmp = '',
                warnMenu = encodeURI( 
                	 &quot;Aviso:\n&quot; +
            		 &quot;(nada): Prueba\n&quot; +
        			 &quot;2: Edición arbitraria\n&quot; +
        			 &quot;0a: Etiqueta\n&quot; +
        			 &quot;0c: Spam\n&quot; +  // Línea vacía para separar
            	     &quot;3: Detente\n&quot; +
        			 &quot;4: Última advertencia\n&quot; +  // Cambié &quot;3 +&quot; por &quot;4:&quot;
                     &quot;5: Bloqueo&quot;  // Cambié &quot;4:&quot; por &quot;5:&quot; 
                     );
		
            if( mw.config.get( 'wgNamespaceNumber' ) != 3 ) {
                return tmp;
            }

            tmp += addActionFastButton( &quot;Advertencia&quot;, &quot;fastButtons.readInputButton(\'&quot; + warnMenu + &quot;\', 'FBwarn' );&quot; );
            return tmp;
        }

        //*********************************************************************
        //Añadir los botones
        //*********************************************************************
        function cargar() {
            //Extraer datos de la página
            var tmp;
            if ( $.inArray( 'sysop', mw.config.get( 'wgUserGroups' ) ) &gt; -1 ) {
                fastButtons.isSysop = true;
            }

            fastButtons.wikiURL = fastButtons.wikiURL + mw.util.wikiUrlencode( mw.config.get( 'wgPageName' ) ) + &quot;&amp;action=&quot;;

            //Tiene que ser editable
            if ( mw.config.get( 'wgNamespaceNumber' ) &gt;= 0 ) {
                //Botones para bibliotecarios
                if ( fastButtons.isSysop ) {
                    if ( typeof botonesSysop == 'function' ) {
                        tmp = botonesSysop();
                    } else {
                        tmp = loadSysop();
                    }
                    if ( tmp ) {
                        fastButtons.FBList = fastButtons.FBList + 'Sysop: ' + tmp + '&lt;br&gt;';
                    }
                } else { //Botones de destruir. Sólo aparecen a no-bibliotecarios.
                    if ( typeof botonesNoSysop == 'function' ) {
                        tmp = botonesNoSysop();
                    } else {
                        tmp = loadNoSysop();
                    }
                    if ( tmp ) {
                        fastButtons.FBList = fastButtons.FBList + 'Destruir: ' + tmp + '&lt;br&gt;';
                    }
                }

                //Plantillas. Aparecen a todos los usuarios.
                if ( typeof botonesPlantillas == 'function' ) {
                    tmp = botonesPlantillas();
                } else {
                    tmp = loadTemplates();
                }
                if ( tmp != '' ) {
                    fastButtons.FBList = fastButtons.FBList + 'Plantillas: ' + tmp + '&lt;br&gt;';
                }

                //Otros. Aparecen a todos los usuarios.
                if ( typeof botonesOtros == 'function' ) {
                    tmp = botonesOtros();
                } else {
                    tmp = loadMisc();
                }
                if ( tmp ) {
                    fastButtons.FBList = fastButtons.FBList + 'Otros: ' + tmp;
                }
            } else {
                if ( fastButtons.isSysop ) {
                    if ( typeof botonesBloqueo == 'function' ) {
                        tmp = botonesBloqueo();
                    } else {
                        tmp = addBlockFastButton();
                    }
                    if ( tmp ) { //El &lt;br&gt; de más es porque el botón es peligroso y aparece muy pegado a las demás opciones
                        fastButtons.FBList = fastButtons.FBList + '&lt;br&gt;Bloqueo: ' + tmp;
                    }
                }
            }
        }
        
        /* Mostrar los botones en la página */
        function instalar() {
            var temp;
            cargar();

            if ( $( '#contentSub' ).html() ) {
                $( '#contentSub' ).html( $( '#contentSub' ).html() + '&lt;br&gt;' + fastButtons.FBList );
            } else {
                $( '#contentSub' ).html( fastButtons.FBList );
            }

            if ( mw.util.getParamValue( 'FBdest' ) != null ) {
                temp = mw.util.getParamValue( 'FBdest' );
                addTemplate( &quot;{{delete|1=&quot; + temp + &quot;}}&quot;, &quot;Eliminar: &quot; + temp );
            } else if ( mw.util.getParamValue( 'FBplantEnd' ) != null ) {
	temp = mw.util.getParamValue( 'FBplantEnd' );
    addTemplateEnd( temp, &quot;Plantilla: &quot; + temp );

		} else if ( mw.util.getParamValue( 'FBplant' ) != null ) {
    temp = mw.util.getParamValue( 'FBplant' );
    addTemplate( temp, &quot;Plantilla: &quot; + temp );
            } else if ( mw.util.getParamValue( 'FBdelete' ) != null ) {
                temp = mw.util.getParamValue( 'FBdelete' );
                if ( temp != 'default' ) {
                    $( '#wpReason' ).val( temp );
                }
                $( '#deleteconfirm' ).submit();
            } else if ( mw.util.getParamValue( 'FBwarn' ) != null ) {
                temp = mw.util.getParamValue( 'FBwarn' );
                addTemplateEnd( '{{subst:Aviso prueba' + decodeURI(temp) + '}} --~~~~', 'Aviso al usuario' );
            } else if ( mw.util.getParamValue( 'FBblock' ) != null ) {
                $( '#mw-input-wpExpiry' ).val( '31 hours' );
                $( '#mw-input-wpReason' ).val( '[[WL:VN|Vandalismo de páginas]]' );
                $( '#mw-input-wpDisableUTEdit' ).prop( 'checked', true );
                $( 'form.visualClear' ).submit();
            }
        }

        $( document ).ready( instalar );

    })( jQuery, mediaWiki ); // Fin de función anónima
} //fin de chequeo
//&lt;/nowiki&gt;</text>
      <sha1>mv3o0o8epi5kg288z4eaejops0bi024</sha1>
    </revision>
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    <title>Matemáticas /Espacios Métricos/Prefacio</title>
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      <timestamp>2026-07-26T15:58:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>Plantilla: {{AutoCat}}</comment>
      <origin>428913</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8167" sha1="geopvtp8ex7qjxnn7li1e7io8txwwuv" xml:space="preserve">{{AutoCat}}
&lt;!-- Prefacio --&gt;
&lt;noinclude&gt;
{{navegar|libro=Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos
|actual=Prefacio|anterior=
|siguiente=Introducción}}
&lt;/noinclude&gt;
__TOC__
=== Prefacio ===

Libro = Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos

== Presentación ==
Este texto es una introducción al estudio teórico de los espacios métricos y los
espacios topológicos. Tales espacios son abstracciones naturales de algunas propiedades
que aparecieron de los números reales y de las funciones en el desarrollo
del Cálculo (infinitesimal). Varios de los resultados interesantes tenían como
único fundamento una gráfica (ver el capítulo 1). Algunos matemáticos intuían
relaciones entre algunos de esos resultados, pero no había una teoría que pudiera
dar cuenta de los resultados y las conexiones. Cabe aquí mencionar que una
fundamentación de los Reales no fue lograda hasta 1856 (Dedekind). A partir de
allí, algunos trabajos previos de Bolzano y Cauchy empezaron a consolidarse en
una teoría, que fue fuertemente impulsada por Weierstrass. A todo lo anterior, la
invención de la teoría de conjuntos permitió una unificación del lenguaje de varias
teorías. De allí en adelante, una pleyade de matemáticos inventó/descubrió lo que
veremos en este texto. &lt;br&gt;

La topología (análisis de posiciones relativas) tiene viejos antecedentes, inclusive
en algunos resultados de la antigüedad. En tiempos modernos, se acredita a Euler con investigaciones en topología combinatoria (análisis de posiciones relativas en ciertas configuraciones independiente de la métrica). Las nociones actuales responden a los trabajos de muchos autores, pero se señalan a Hilbert, Riesz, Hausdorff y Poincaré como las figuras mas destacadas al comienzo del siglo XX.
&lt;br&gt;

La Topología (los Espacios Métricos son una parte de la Topología) puede estudiarse
de diferentes puntos de vista. Una posibilidad es, recordando sus orígenes,
orientar el estudio a algunos aspectos básicos del Análisis (Derivación e Integración).
Otra posibilidad es atender aspectos mas cercanos a la geometría (como
descripción de posibles concepciones de espacios y sus consecuencias). Esto ultimo
será el punto de vista de este texto, por lo que hablaremos algunas veces
de topogeometría; lo cual no quiere decir que no se atiendan temas relevantes
al Análisis. En la literatura matemática, a veces se usa el nombre de &lt;i&gt;topología
conjuntista para la mayor parte del contenido de este texto.&lt;/i&gt;

== Descripción de la Organización del Texto ==

Hemos procurado como estrategia de exposición, ir de lo particular a lo general
o más abstracto, y dar abundantes ejemplos para ilustrar los conceptos y sus
relaciones.

El primer capítulo  contiene algunos ejemplos de los teoremas clásicos que
fueron la motivación para los desarrollos teóricos posteriores. Como la historia
del tema comienza con los Reales, hemos dedicado el capítulo 2 a los aspectos
relevantes de los mismos para nuestros estudio, continuando en el capítulo 3, con los espacios clásicos multidimensionales.

Los espacios métricos son desarrollados en los capítulos 4 al 7. Por su parte, los espacios topológicos y sus propiedades
principales aparecen en los capítulos 8 al 12.

Finalmente, en los capítulos 13 al 15,
aplicaremos lo anterior al estudio de aspectos geométricos interesantes de los espacios
euclídeos.

Hay además apéndices para referencia sobre conjuntos, funciones
y grupos.

&lt;b&gt;Requisitos&lt;/b&gt; Los requisitos de este texto son variados. Ojalá, un buen curso de Cálculo con al menos un vistazo al Cálculo Vectorial (Cálculo de funciones de varias variables)y, un curso de Álgebra Lineal. Deseable es un curso adonde el estudiante haya usado razonamientos formales.

Finalmente, pero de mucha importancia, es haber trabajado con conjuntos y sus propiedades, ojalá formalmente. No en vano, muchos llaman topología conjuntista a la mayoría de los aspectos de la topología que veremos. Posiblemente, por esa razón muchos textos de Topología comienzan con un extenso capítulo acerca de conjuntos.

En este texto, adoptamos una posición optimista: esperamos que los lectores
tengan un conocimiento aceptable de la teoría de conjuntos. Lo que suponemos
conocido, lo hemos resumido en los apéndices A y B; por lo que exhortamos al
lector a revisarlos. Si puede más o menos leerlos cómodamente, está listo para
este texto. Como esos apéndices tienen carácter referencial son, necesariamente,
incompletos. Por lo que no se debe intentar recordar todos los detalles, más importante
es saber que están allí. Cuando un material de los apéndices sea necesario
para el texto, la lectora o lector puede buscarlo en el correspondiente apéndice.

Como cualquier texto de matemáticas, lo recomendable es una lectura inicial
rápida de una o varias secciones o del capítulo para enterarse de lo tratado. Una
segunda lectura debe ser lenta, reflexiva, con papel y lápiz a la mano, para revisar los detalles, intentar demostraciones y producir ejemplos. La producción y manejo de ejemplos es muy importante para el entendimiento de los conceptos y su alcance. La variedad de ejemplos para una noción es, de acuerdo a los psicólogos del aprendizaje, lo que consolida su comprensión. Las imágenes ayudan a entender
los conceptos y los guían en la internalización de la nociones especialmente en
este texto, que es un texto de una geometría especial, pero geometría al fin.

Finalmente mencionaremos que hay una bibliografía conteniendo libros que
hemos usado en la preparación de este texto. La mayoría de esos libros se pueden
hallar gratis en la WEB. Además hemos agregado unas referencias a
sitios en la WEB donde se puede hallar información histórica o recursos adicionales.
Siempre resultará iluminante, ver las biografías de los matemáticos que
contribuyeron al desarrollo del tema (ver en la Bibliografía sitios de la Web relevantes).

==  Convenios acerca de la notación y nomenclatura  ==


Hemos procurado usar la notación y nomenclatura lo más estandarizada posible.
Sin embargo, esto no siempre es posible, debido entre otros a diferentes usos
por autores (especialmente en los conceptos topológicos) o al uso en diferentes
países. Indicamos a continuación, algunos usos que pueden ser considerados
especiales.

&lt;ul&gt;
&lt;li&gt; &lt;b&gt;Función&lt;/b&gt; es cualquier asignación a cada elemento de un conjunto (dominio) de un elemento en otro conjunto (codominio). No usaremos nombres especiales como “aplicación”, “mapeo”, etc. cuyo uso es relativamente local,
geográficamente hablando. Las funciones con valores reales se llamarán, a
veces, &lt;i&gt;funciones numéricas&lt;/i&gt;. Excepción: usualmente, en el contexto geométrico, una &lt;/i&gt;transformació&lt;/i&gt;n de un espacio será una función del espacio en si mismo.

&lt;li&gt; Dados conjuntos A y B, llamamos &lt;b&gt;reunión&lt;/b&gt; al conjunto denotado por A∪B. (Los miembros de un club se reúnen, no se unen).

&lt;li&gt; Sea f una función de A en B (simbolizado como f : A → B) tal que
f(x) = y—lo que simbolizaremos por&lt;br&gt;
 x &amp;#8614; y, Algunas veces, escribiremos
f : A → B :: x &amp;#8614; f(x) para indicar lo anterior.

&lt;li&gt; Usamos &lt;b&gt;N&lt;/b&gt;, &lt;b&gt;Z&lt;/b&gt;, &lt;b&gt;Q&lt;/b&gt; y &lt;b&gt;R&lt;/b&gt; para indicar los conjuntos de los números naturales, enteros, racionales y reales, respectivamente. Usaremos el nombre de los elementos de uno de esos conjuntos en plural y con letra inicial mayúscula para referirnos al conjunto. Así, por ejemplo, los Reales, quiere decir el conjunto de números reales, etc.

&lt;li&gt; Decimos que un conjunto A es &lt;b&gt;infinito&lt;/b&gt;, cuando hay una función inyectiva de los Naturales en A. Es decir, cuando hay una sucesión infinita de elementos de A diferentes entre sí.
    
&lt;li&gt; Algunas veces, por razones tipográficas, usaremos &lt;b&gt;a_i&lt;/b&gt; para denotar a&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;.

&lt;li&gt; Algunos párrafos están precedidos por los símbolos (♣) o (♠) para indicar
el primero algo intuitivo y el segundo algo que requiere de un conocimiento
previo (no contenido explícitamente en el texto), por ejemplo, resultados del
Cálculo.
&lt;/ul&gt; 


[[Categoría:Espacios Métricos]]</text>
      <sha1>geopvtp8ex7qjxnn7li1e7io8txwwuv</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Wikilibros:Café/Archivo/2026</title>
    <ns>4</ns>
    <id>63880</id>
    <revision>
      <id>429222</id>
      <parentid>427892</parentid>
      <timestamp>2026-07-27T01:58:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>/* Petición para establecer una política sobre inteligencia artificial */ archive from [[Wikilibros:Café]]: Archivando ([[mw:c:Special:MyLanguage/User:JWBTH/CD|CD]])</comment>
      <origin>429222</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="27511" sha1="r5yrcu6lm5gmps8hkapg9vpuqgzzo63" xml:space="preserve">{{Archivo}}

== Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 ==

Dear Wikimedia communities,

We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year.

''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.''

In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects.

We invite you to explore the ''Wiki Loves Ramadan 2026'' [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026|Meta page]] to learn how you can participate and [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026/Participating communities|sign up]] your community.

📷 ''Photo campaign on '' [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan 2026|Wikimedia Commons]]

If you have questions about the project, please refer to the FAQs:  
* [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan/FAQ/|Meta-Wiki]]
* [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan/FAQ|Wikimedia Commons]]

''Early registration for updates is now open via the '''[[m:Special:RegisterForEvent/2710|Event page]]'''''

''Stay connected and receive updates:''  
* [https://t.me/WikiLovesRamadan Telegram channel]  
* [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/wikilovesramadan.lists.wikimedia.org/ Mailing list]

We look forward to collaborating with you and your community.


'''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 19:45 16 ene 2026 (UTC)
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:ZI Jony@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=29879549 --&gt;
== Revisión anual del Código Universal de Conducta y las Directrices de Aplicación ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
I am writing to you to let you know the annual review period for the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines is open now. You can make suggestions for changes through 9 February 2026. This is the first step of several to be taken for the annual review. [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|Read more information and find a conversation to join on the UCoC page on Meta]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
The [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review was planned and implemented by the U4C. For more information and the responsibilities of the U4C, [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|you may review the U4C Charter]].
&lt;/div&gt;

Por favor, comparte esta información con otros miembros de tu comunidad en cualquier otro lugar que sea apropiado.

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
-- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]])
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

21:01 19 ene 2026 (UTC)
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:Keegan (WMF)@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=29905753 --&gt;
== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Upcoming deployment of CampaignEvents extension to Wikibooks&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;message&quot;/&gt;
Hello everyone,

We are writing to inform you that the [[mw:Help:Extension:CampaignEvents|CampaignEvents extension]] will be deployed to all Wikibooks projects during the week of '''23 March 2026'''.
This follows last year’s broader rollout across Wikimedia projects. We realized that Wikibooks was not included at the time, and we’re now addressing that to ensure consistency across all communities.

The CampaignEvents extension provides tools to support event and campaign organization on-wiki, including features like on-wiki event registration and collaboration lists(global event list).

We welcome any questions, feedback, or concerns you may have. We are also happy to support anyone interested in trying out the tools. 
''Apologies if this message is not in your preferred language. If you’re able to help translate it for your community, please feel free to do so.''
&lt;section end=&quot;message&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:Udehb-WMF|Udehb-WMF]] ([[User talk:Udehb-WMF|discusión]]) 18:22 19 mar 2026 (UTC)&lt;/bdi&gt;
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:Udehb-WMF@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Udehb-WMF/sandbox/MM_target&amp;oldid=30284073 --&gt;
== Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) ==

Hello everyone,

This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as &lt;code&gt;Module:Itemgroup/list&lt;/code&gt;).

'''The Change:'''&lt;br /&gt;
Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. 

We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''.

'''What You Need To Do:'''&lt;br /&gt;
To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search.

'''Deadline:'''&lt;br /&gt;
We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles.

Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[Usuario:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Usuario discusión:MediaWiki message delivery|discusión]]) 17:11 3 abr 2026 (UTC)
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:ZI Jony@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=29941252 --&gt;
== Request for comment (global AI policy) ==

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}}
A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}}
[[Usuario:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Usuario discusión:MediaWiki message delivery|discusión]]) 00:57 26 abr 2026 (UTC)
&lt;/bdi&gt;
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:Codename Noreste@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30424282 --&gt;
== Vota ahora en las elecciones del U4C de 2026 ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
Se invita a las y los votantes con derecho a voto a participar en las elecciones de 2026 del [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Comité de Coordinación del Código de Conducta Universal]]. En Meta, en la [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|página de información sobre las elecciones de 2026]], hay disponible más información, incluyendo una comprobación de elegibilidad, información sobre el proceso de votación, información sobre las y los candidatos y un enlace a la votación. La votación finaliza el 2 de junio de 2026 a las [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 UTC].

Por favor, vota si tu cuenta es elegible. Los resultados estarán disponibles para el 14 de junio de 2026. -- En cooperación con la U4C,&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 17:14 27 may 2026 (UTC)
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:Keegan (WMF)@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30513860 --&gt;

== Actualizada una plantilla ==

Buenas. Quería comentar un cambio que he realizado en una plantilla de mantenimiento del sitio, con el objetivo de unificar criterios y facilitar la edición entre proyectos hermanos.

En la Wikipedia en español existen desde 2007 dos plantillas con funciones bien diferenciadas:

* [[w:Plantilla:Desactualizado]]: Para indicar que una página completa o sección ya contiene información obsoleta.
* [[w:Plantilla:Actualizar]]: Para marcar pasajes específicos que requerirán revisión a partir de una fecha futura programada (como elecciones o eventos deportivos).

Hasta ahora, en Wikilibros se venía utilizando la plantilla &lt;nowiki&gt;{{Actualizar}}&lt;/nowiki&gt; con el mismo propósito que la plantilla &lt;nowiki&gt;{{Desactualizado}}&lt;/nowiki&gt; en Wikipedia en español. Esto podía generar cierta confusión en los usuarios que editan en ambos proyectos (como fue mi caso al principio).

Para estandarizar el flujo de trabajo entre ambos proyectos, he importado la plantilla &lt;nowiki&gt;{{Desactualizado}}&lt;/nowiki&gt; a Wikilibros con su función original, he adaptado &lt;nowiki&gt;{{Actualizar}}&lt;/nowiki&gt; para que cumpla su rol específico de aviso futuro al igual que se hace en la Wikipedia en español, y he actualizado las páginas pertinentes para que usen la plantilla adecuada.

Así, esta plantilla se usa igual que con el resto de los proyectos hermanos, facilitando el trabajo a los editores actuales y futuros ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 12:18 9 jun 2026 (UTC)

== Petición para renombrar los «Proyectos» a «Wikiproyectos» ==

Propongo renombrar los actuales «Proyectos» a «Wikiproyectos». Y que usen su propio espacio de nombres. Por ejemplo, en vez de «Wikilibros:Proyecto mantenimiento», pasaría a llamarse «Wikiproyecto:Mantenimiento» al igual que en otros proyectos de Wikimedia.

Hasta donde he podido investigar, el nombre «Proyectos» se empezó a usar en 2008 porque así los llamó el usuario que los creó, sin una consulta o consenso previo documentado. Personalmente, considero que «Wikiproyecto» es un término mas claro y preciso. Cuando hablamos de un «Wikiproyecto» se entiende inmediatamente que nos referimos a un espacio concreto de coordinación dentro de la wiki, no a un proyecto en el sentido abstracto y general.

Además, considero que sería positivo por consistencia con otros proyectos de Wikimedia. Históricamente, muchos usuarios valiosos de Wikilibros eran colaboradores de Wikipedia en español, donde se llaman «Wikiproyectos». Mantener una terminología familiar facilita la adaptación de un proyecto a otro y evita confusiones innecesarias por diferencias arbitrarias de nomenclatura.

En varias ediciones de Wikilibros y Wikipedia en otros idiomas también se utiliza esta denominación:

* En Wikibooks y Wikipedia en inglés se llaman «WikiProjects».
* En Viquillibres y Wikipedia en catalán se llaman «Viquiprojectes».
* En Wikiliburuak y Wikipedia en euskera se llaman «wikiproiektuak».
* En Wikipedia en gallego se llaman «Wikiproxectos».

También es cierto que no todas las ediciones de Wikilibros usan este concepto, por ejemplo, algunas como la francesa o la italiana ni si quiera tienen ninguna estructura equivalente de «Wikiproyectos». Pero muchas sí la tienen y, especialmente en proyectos como Wikipedia en Español, de donde surgen muchos colaboradores de esta wiki sí se llaman así.

Hacer el traslado, además, sería muy sencillo, ya que actualmente solo existen 7 páginas en el actual «Wikilibros:Proyectos».

Por eso quería plantearlo aquí primero y conocer si alguien mas está de acuerdo antes de realizar el traslado. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 07:55 23 jun 2026 (UTC)
: No veo necesario realizar este cambio.
: En primer lugar, creo que es importante distinguir qué es un Wikiproyecto y cuál es la realidad actual de Wikilibros. Históricamente, los Wikiproyectos surgieron en Wikipedia como espacios de coordinación de grupos de editores que comparten un interés temático o una meta editorial común. Su objetivo principal es organizar esfuerzos colectivos para desarrollar contenidos específicos, establecer estándares y coordinar trabajo entre varios participantes.
: Si observamos la definición utilizada en Wikibooks en inglés, en la página &quot;[[b:Wikibooks:WikiProject|WikiProject]]&quot;, estos espacios se describen principalmente como lugares destinados a coordinar la creación y desarrollo de libros. Es decir, se trata de iniciativas colaborativas enfocadas en la construcción de contenido, más que en la existencia de grupos reducidos dedicados a tareas administrativas o de mantenimiento.
: La situación actual de Wikilibros en español es bastante distinta. Actualmente no existe una comunidad activa y numerosa que participe de manera sostenida en proyectos temáticos o grupos de trabajo especializados. Los espacios existentes funcionan más como páginas organizativas o de coordinación puntual que como verdaderos Wikiproyectos en el sentido en que se entiende el término dentro del movimiento Wikimedia.
: Por ello, considero que adoptar la denominación «Wikiproyecto» podría incluso resultar confuso, ya que transmite la idea de una estructura comunitaria activa y consolidada que actualmente no existe. El nombre «Proyecto» cumple adecuadamente la función de identificar estos espacios sin atribuirles una naturaleza que, en la práctica, no poseen.
: Tampoco veo una necesidad funcional que justifique crear un espacio de nombres específico. El sistema actual funciona correctamente, las páginas son pocas y su localización resulta sencilla. El cambio no resolvería ningún problema operativo ni facilitaría tareas que actualmente sean difíciles de realizar.
: Respecto a la consistencia con otros proyectos Wikimedia, si bien es cierto que muchas Wikipedias utilizan el término «Wikiproyecto», también es cierto que cada proyecto ha desarrollado históricamente sus propias convenciones organizativas. La mera existencia de una denominación distinta en otros proyectos no constituye, por sí sola, una razón suficiente para modificar una estructura local que lleva años funcionando sin inconvenientes.
: Finalmente, si el principal motivo es una cuestión estética o de preferencia terminológica, considero que no debería procederse al cambio. Los cambios de nomenclatura y espacios de nombres deberían responder a una necesidad práctica, organizativa o técnica claramente identificable. En este caso, no observo un beneficio concreto para los usuarios ni para el desarrollo de Wikilibros que justifique el traslado de páginas y la modificación de una convención establecida. [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 18:23 23 jun 2026 (UTC)
::Bien argumentado, me has convencido. Tienes razón en que estos «Proyectos» en Wikilibros sirven actualmente como espacio de coordinación puntual para tareas administrativas y de mantenimiento generales, y funcionan de manera distinta a cómo lo hacen los «Wikiproyectos» de otras wikis donde son espacios temáticos o grupos de trabajos especializados.
::Dicho esto, considero que si en un futuro surgiesen estos espacios y tuviesen el mismo propósito que tienen los Wikiproyectos en otras wikis como la Wikipedia en español, si me parecería que en tal caso deberían llamarse «Wikiproyectos» por lo que argumenté en mi primer mensaje.
::Pero estoy de acuerdo contigo en que, como esa no es la realidad ahora como bien has señalado, por mí queda consensuado que de momento los actuales proyectos se pueden quedar con ese nombre. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 18:55 23 jun 2026 (UTC)

== RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons ==

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|discusión]])&lt;/bdi&gt; 17:11 23 jun 2026 (UTC)
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:Codename Noreste@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30513860 --&gt;

== Incorporación del enlace «Contactos legales y de seguridad» en el pie de página de vuestra wiki ==

&lt;section begin=&quot;Message&quot;/&gt;
'''Contactos legales y de seguridad'''

Hola a toda la comunidad: la Fundación Wikimedia ha puesto a vuestra disposición una [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|página única de contacto sobre cuestiones legales y de seguridad]], que debéis incluir en el pie de página de vuestra wiki para garantizar el acceso a información jurídica precisa. Se trata de un requisito normativo. Ya hemos implementado enlaces a las wikis en inglés, alemán, italiano, español y otros idiomas de Wikipedia, y pronto los implementaremos en vuestra wiki. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|Por favor, leed más información en la página del proyecto]] y dejad vuestros comentarios en este hilo o en la [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|página de discusión]].

&lt;section end=&quot;Message&quot;/&gt;

-- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 13:30 25 jun 2026 (UTC)
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:Sannita (WMF)@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Sannita_(WMF)/Mass_sending_test&amp;oldid=30731267 --&gt;

== Petición para establecer una política sobre inteligencia artificial ==

Buenas.

En el tiempo que llevo en Wikilibros, he observado varias páginas editadas mediante copias directas de texto generado por chatbots de IA (como ChatGPT, Copilot, Claude, Gemini, o Grok). Esto me preocupa, ya que este tipo de ediciones pueden resultar muy perjudiciales, y mientras que en muchas otras wikis ya se han establecido políticas sobre el uso de IA, en Wikilibros aún no tenemos ninguna política específica al respecto.

Wikilibros en inglés cuenta con una política prohibiendo explícitamente esta clase de ediciones, que además explica el daño que pueden llegar a hacer, traduzco:

{{Cita|Solicitar a un chatbot que escriba un libro o un ensayo puede dar lugar a la producción de [[W:Alucinación (inteligencia artificial)|invenciones completas]], incluyendo referencias ficticias. El resultado puede ser sesgado, difamar a personas reales, infringir derechos de autor o simplemente ser de mala calidad.
&lt;br&gt;...&lt;br&gt;
Estos problemas pueden volverse rápidamente problemáticos en comunidades y entornos grandes donde la transferencia de conocimiento, la verificabilidad, la rendición de cuentas y el pensamiento crítico son importantes. En particular, el alto volumen y la velocidad a la que los LLM pueden generar contenido, todo el cual debe ser verificado, implica que su uso supone un riesgo considerable. Por lo tanto, los materiales de aprendizaje de idiomas no deben utilizarse para generar o resumir material e ideas en Wikibooks, y no se debe confiar ciegamente en sus fuentes.
|[https://en.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Artificial_intelligence Extraído y traducido de la política de Wikibooks (en inglés) sobre el uso de IA.]
}}

Wikipedia en Español también [[w:Wikipedia:Redacción de artículos con modelos de lenguaje grandes|cuenta con una política sobre este asunto]] que me parece correcta.

Como Wikilibros en Español es una wiki tan pequeña, quizás sea mas adecuado adaptar o traducir la política de Wikibooks en inglés, o simplemente redirigir o adaptar la política de Wikipedia en español. En mi opinión, las políticas de estas wikis son sólidas, y además, han sido redactadas y consensuadas por más usuarios de los que tenemos aquí, por lo que cuentan con un buen consenso, y están más desarrolladas y probadas en comunidades más grandes.

Quedo a la escucha de comentarios, y espero que podamos avanzar en este frente. Menciono a @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] que siempre es de gran ayuda. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 17:33 27 jun 2026 (UTC)

:Creo que sí sería conveniente que Wikilibros contara con una política específica sobre el uso de la IA, no tanto porque sea una tecnología distinta a otras herramientasd e edición, sino por la escala a la que permite generar contenido. A diferencia de Wikipedia, aquí no construimos artículos independientes, sino libros completos y materiales de aprendizaje, donde la estructura, la coherencia y la progresión de los contenidos son partwe esencial de la calidad de la obra. Un texto generado por IA puede ser correcto en términos generales y, aun así, presentar problemas de organización, inconsistencias entre capítulos, ejemplos poco adecuados o explicaciones que no responden a un criterio didáctico claro. Detectar ese tipo de problemas exige una revisión completa del libro, algo que en una comunidad pequeña como eswikibooks rara vez es posible cuando se incorporan grandes cantidades de contenido.

:Por ello, considero que una política debería ser relativamente estricta con la incorporación de texto generado por IA. No porque toda utilización de estas herramientas sea necesariamente perjudicial, sino porque el riesgo de publicar contenido insuficientemente revisado es mayor que la capacidad que tiene la comunidad para detectarlo y corregirlo. En mi opinión, la IA puede tener cabida como herramienta de apoyo durante el proceso de redacción, pero no debería emplearse para generar de forma directa partes sustanciales de un libro destinadas a su publicación. En un proyecto con pocos editores activos, resulta más prudente priorizar la calidad y el mantenimiento de los libros que facilitar un aumento rápido de contenido cuya revisión efectiva no puede garantizarse. [[Usuario:Divinations|Divinations]] ([[Usuario discusión:Divinations|discusión]]) 20:49 27 jun 2026 (UTC)
::Estoy de acuerdo con todo lo que has dicho, especialmente con tu segundo párrafo, del que suscribo cada palabra al 100%.
::Lo de adaptar una política de otra wiki, lo mencioné en gran medida, no por la dificultad en sí de redactarla, si no porque en estos lugares ya existe consenso, y así puede ser más fácil ponerse de acuerdo. Pero si en Wikilibros en español también estamos todos más o menos de acuerdo, no veo por qué no podríamos redactar la nuestra propia.
::Concuerdo totalmente en que habría que ser relativamente estricto, porque por los chatbots de IA pueden generar enormes cantidades de texto, y al ser una comunidad tan pequeña no tenemos capacidad para pararnos a revisar un libro que se generase con IA.
::En este sentido, la política de enWikibooks me parece suficientemente estricta, además, [https://en.wikibooks.org/wiki/Wikibooks_talk:Artificial_intelligence/Archive_1 se puede leer el debate que tuvieron para alcanzar tal consenso (en inglés)] que es muy interesante.
::Según la política enWikibooks:
::# Se advierte brevemente de que el contenido de IA puede ser inexacto, inventado o de baja calidad. (Personalmente creo que además podría advertirse de los posibles problemas de copyright que puede llegar a causar).
::# No se permite usar IA para generar, resumir o traducir contenido.
::# Está explícitamente prohibido hacer ediciones que consistan en copiar y pegar texto de IA en páginas.
::# Se avisa de que el contenido debe ser siempre verificado y escrito por humanos.
::# No se prohíbe que alguien consulte o haga uso de la IA como apoyo externo, lo que está prohibido es que la IA genere el contenido, pero uno puede usarla para consulta externa si lo desea.
::Considero que podríamos basarnos en la política de enWikibooks y traducirla y adaptarla a nuestra versión. Si estamos más o menos de acuerdo en que es adecuada, sería muy sencillo incorporar esta política. Si os parece bien esto, podría escribirla basándome en enWikibooks y luego mencionaros para que la reviséis. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 22:47 27 jun 2026 (UTC)
: De acuerdo a que en conjunto establezcamos una política en base al uso de IA. Es algo que se debe de tocar acá y me parece buen puerto, el guiarnos de la política establecida desde enWikibooks [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 02:29 28 jun 2026 (UTC)
::Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] y @[[Usuario:Divinations|Divinations]] he tomado la iniciativa y redactado la página «''[[Wikilibros:Política sobre el uso de inteligencia artificial generativa]]''» (que de momento está marcada como un borrador). Esta página está traducida y adaptada de la versión de enWikibooks, me he inspirado también en la conversación que hemos tenido por aquí, y en la misma política en la Wikipedia en español.
::Os agradecería si pudieseis revisar esta página, sentíos libres de editarla si lo consideráis, y os invito a continuar esta conversación en la discusión de esta página. Gracias por vuestra colaboración en este asunto. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 09:33 28 jun 2026 (UTC)
:::&lt;s&gt;Gracias, [[Usuario:Antimundo|Antimundo]]. Añadí un atajo para que pueda ser encontrada más fácilmente. [[Usuario:Divinations|Divinations]] ([[Usuario discusión:Divinations|discusión]]) 17:47 28 jun 2026 (UTC)&lt;/s&gt;
::::Parece que se borró. Creo que me adelanté antes de tiempo, mejor esperar a obtener un mejor consenso comunitario más allá de solo tres usuarios. [[Usuario:Divinations|Divinations]] ([[Usuario discusión:Divinations|discusión]]) 20:44 28 jun 2026 (UTC)
: Me temo que antes de formarse como una política dentro de Wikilibros, debe ser llevada a votación, un aviso tanto para @[[Usuario:Antimundo]] como para @[[Usuario:Divinations]]. Estoy adaptando el contenido para que se proceda a votación. Saludos [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 20:52 28 jun 2026 (UTC)
::Entendido, gracias por iniciar el procedimiento. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 22:01 28 jun 2026 (UTC)</text>
      <sha1>r5yrcu6lm5gmps8hkapg9vpuqgzzo63</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>429224</id>
      <parentid>429222</parentid>
      <timestamp>2026-07-27T01:59:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mazbel</username>
        <id>57931</id>
      </contributor>
      <comment>/* Votación sobre nueva política sobre el uso de la inteligencia artificial */ archive from [[Wikilibros:Café]] ([[mw:c:Special:MyLanguage/User:JWBTH/CD|CD]])</comment>
      <origin>429224</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28114" sha1="h1p565nk1efaw16kwf4s6193qcqgoen" xml:space="preserve">{{Archivo}}

== Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 ==

Dear Wikimedia communities,

We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year.

''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.''

In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects.

We invite you to explore the ''Wiki Loves Ramadan 2026'' [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026|Meta page]] to learn how you can participate and [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026/Participating communities|sign up]] your community.

📷 ''Photo campaign on '' [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan 2026|Wikimedia Commons]]

If you have questions about the project, please refer to the FAQs:  
* [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan/FAQ/|Meta-Wiki]]
* [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan/FAQ|Wikimedia Commons]]

''Early registration for updates is now open via the '''[[m:Special:RegisterForEvent/2710|Event page]]'''''

''Stay connected and receive updates:''  
* [https://t.me/WikiLovesRamadan Telegram channel]  
* [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/wikilovesramadan.lists.wikimedia.org/ Mailing list]

We look forward to collaborating with you and your community.


'''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 19:45 16 ene 2026 (UTC)
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:ZI Jony@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=29879549 --&gt;
== Revisión anual del Código Universal de Conducta y las Directrices de Aplicación ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
I am writing to you to let you know the annual review period for the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines is open now. You can make suggestions for changes through 9 February 2026. This is the first step of several to be taken for the annual review. [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|Read more information and find a conversation to join on the UCoC page on Meta]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
The [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review was planned and implemented by the U4C. For more information and the responsibilities of the U4C, [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|you may review the U4C Charter]].
&lt;/div&gt;

Por favor, comparte esta información con otros miembros de tu comunidad en cualquier otro lugar que sea apropiado.

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
-- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]])
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

21:01 19 ene 2026 (UTC)
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:Keegan (WMF)@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=29905753 --&gt;
== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Upcoming deployment of CampaignEvents extension to Wikibooks&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;message&quot;/&gt;
Hello everyone,

We are writing to inform you that the [[mw:Help:Extension:CampaignEvents|CampaignEvents extension]] will be deployed to all Wikibooks projects during the week of '''23 March 2026'''.
This follows last year’s broader rollout across Wikimedia projects. We realized that Wikibooks was not included at the time, and we’re now addressing that to ensure consistency across all communities.

The CampaignEvents extension provides tools to support event and campaign organization on-wiki, including features like on-wiki event registration and collaboration lists(global event list).

We welcome any questions, feedback, or concerns you may have. We are also happy to support anyone interested in trying out the tools. 
''Apologies if this message is not in your preferred language. If you’re able to help translate it for your community, please feel free to do so.''
&lt;section end=&quot;message&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:Udehb-WMF|Udehb-WMF]] ([[User talk:Udehb-WMF|discusión]]) 18:22 19 mar 2026 (UTC)&lt;/bdi&gt;
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:Udehb-WMF@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Udehb-WMF/sandbox/MM_target&amp;oldid=30284073 --&gt;
== Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) ==

Hello everyone,

This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as &lt;code&gt;Module:Itemgroup/list&lt;/code&gt;).

'''The Change:'''&lt;br /&gt;
Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. 

We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''.

'''What You Need To Do:'''&lt;br /&gt;
To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search.

'''Deadline:'''&lt;br /&gt;
We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles.

Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[Usuario:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Usuario discusión:MediaWiki message delivery|discusión]]) 17:11 3 abr 2026 (UTC)
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:ZI Jony@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=29941252 --&gt;
== Request for comment (global AI policy) ==

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}}
A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}}
[[Usuario:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Usuario discusión:MediaWiki message delivery|discusión]]) 00:57 26 abr 2026 (UTC)
&lt;/bdi&gt;
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:Codename Noreste@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30424282 --&gt;
== Vota ahora en las elecciones del U4C de 2026 ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
Se invita a las y los votantes con derecho a voto a participar en las elecciones de 2026 del [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Comité de Coordinación del Código de Conducta Universal]]. En Meta, en la [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|página de información sobre las elecciones de 2026]], hay disponible más información, incluyendo una comprobación de elegibilidad, información sobre el proceso de votación, información sobre las y los candidatos y un enlace a la votación. La votación finaliza el 2 de junio de 2026 a las [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 UTC].

Por favor, vota si tu cuenta es elegible. Los resultados estarán disponibles para el 14 de junio de 2026. -- En cooperación con la U4C,&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 17:14 27 may 2026 (UTC)
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:Keegan (WMF)@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30513860 --&gt;

== Actualizada una plantilla ==

Buenas. Quería comentar un cambio que he realizado en una plantilla de mantenimiento del sitio, con el objetivo de unificar criterios y facilitar la edición entre proyectos hermanos.

En la Wikipedia en español existen desde 2007 dos plantillas con funciones bien diferenciadas:

* [[w:Plantilla:Desactualizado]]: Para indicar que una página completa o sección ya contiene información obsoleta.
* [[w:Plantilla:Actualizar]]: Para marcar pasajes específicos que requerirán revisión a partir de una fecha futura programada (como elecciones o eventos deportivos).

Hasta ahora, en Wikilibros se venía utilizando la plantilla &lt;nowiki&gt;{{Actualizar}}&lt;/nowiki&gt; con el mismo propósito que la plantilla &lt;nowiki&gt;{{Desactualizado}}&lt;/nowiki&gt; en Wikipedia en español. Esto podía generar cierta confusión en los usuarios que editan en ambos proyectos (como fue mi caso al principio).

Para estandarizar el flujo de trabajo entre ambos proyectos, he importado la plantilla &lt;nowiki&gt;{{Desactualizado}}&lt;/nowiki&gt; a Wikilibros con su función original, he adaptado &lt;nowiki&gt;{{Actualizar}}&lt;/nowiki&gt; para que cumpla su rol específico de aviso futuro al igual que se hace en la Wikipedia en español, y he actualizado las páginas pertinentes para que usen la plantilla adecuada.

Así, esta plantilla se usa igual que con el resto de los proyectos hermanos, facilitando el trabajo a los editores actuales y futuros ¡Un saludo! [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 12:18 9 jun 2026 (UTC)

== Petición para renombrar los «Proyectos» a «Wikiproyectos» ==

Propongo renombrar los actuales «Proyectos» a «Wikiproyectos». Y que usen su propio espacio de nombres. Por ejemplo, en vez de «Wikilibros:Proyecto mantenimiento», pasaría a llamarse «Wikiproyecto:Mantenimiento» al igual que en otros proyectos de Wikimedia.

Hasta donde he podido investigar, el nombre «Proyectos» se empezó a usar en 2008 porque así los llamó el usuario que los creó, sin una consulta o consenso previo documentado. Personalmente, considero que «Wikiproyecto» es un término mas claro y preciso. Cuando hablamos de un «Wikiproyecto» se entiende inmediatamente que nos referimos a un espacio concreto de coordinación dentro de la wiki, no a un proyecto en el sentido abstracto y general.

Además, considero que sería positivo por consistencia con otros proyectos de Wikimedia. Históricamente, muchos usuarios valiosos de Wikilibros eran colaboradores de Wikipedia en español, donde se llaman «Wikiproyectos». Mantener una terminología familiar facilita la adaptación de un proyecto a otro y evita confusiones innecesarias por diferencias arbitrarias de nomenclatura.

En varias ediciones de Wikilibros y Wikipedia en otros idiomas también se utiliza esta denominación:

* En Wikibooks y Wikipedia en inglés se llaman «WikiProjects».
* En Viquillibres y Wikipedia en catalán se llaman «Viquiprojectes».
* En Wikiliburuak y Wikipedia en euskera se llaman «wikiproiektuak».
* En Wikipedia en gallego se llaman «Wikiproxectos».

También es cierto que no todas las ediciones de Wikilibros usan este concepto, por ejemplo, algunas como la francesa o la italiana ni si quiera tienen ninguna estructura equivalente de «Wikiproyectos». Pero muchas sí la tienen y, especialmente en proyectos como Wikipedia en Español, de donde surgen muchos colaboradores de esta wiki sí se llaman así.

Hacer el traslado, además, sería muy sencillo, ya que actualmente solo existen 7 páginas en el actual «Wikilibros:Proyectos».

Por eso quería plantearlo aquí primero y conocer si alguien mas está de acuerdo antes de realizar el traslado. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 07:55 23 jun 2026 (UTC)
: No veo necesario realizar este cambio.
: En primer lugar, creo que es importante distinguir qué es un Wikiproyecto y cuál es la realidad actual de Wikilibros. Históricamente, los Wikiproyectos surgieron en Wikipedia como espacios de coordinación de grupos de editores que comparten un interés temático o una meta editorial común. Su objetivo principal es organizar esfuerzos colectivos para desarrollar contenidos específicos, establecer estándares y coordinar trabajo entre varios participantes.
: Si observamos la definición utilizada en Wikibooks en inglés, en la página &quot;[[b:Wikibooks:WikiProject|WikiProject]]&quot;, estos espacios se describen principalmente como lugares destinados a coordinar la creación y desarrollo de libros. Es decir, se trata de iniciativas colaborativas enfocadas en la construcción de contenido, más que en la existencia de grupos reducidos dedicados a tareas administrativas o de mantenimiento.
: La situación actual de Wikilibros en español es bastante distinta. Actualmente no existe una comunidad activa y numerosa que participe de manera sostenida en proyectos temáticos o grupos de trabajo especializados. Los espacios existentes funcionan más como páginas organizativas o de coordinación puntual que como verdaderos Wikiproyectos en el sentido en que se entiende el término dentro del movimiento Wikimedia.
: Por ello, considero que adoptar la denominación «Wikiproyecto» podría incluso resultar confuso, ya que transmite la idea de una estructura comunitaria activa y consolidada que actualmente no existe. El nombre «Proyecto» cumple adecuadamente la función de identificar estos espacios sin atribuirles una naturaleza que, en la práctica, no poseen.
: Tampoco veo una necesidad funcional que justifique crear un espacio de nombres específico. El sistema actual funciona correctamente, las páginas son pocas y su localización resulta sencilla. El cambio no resolvería ningún problema operativo ni facilitaría tareas que actualmente sean difíciles de realizar.
: Respecto a la consistencia con otros proyectos Wikimedia, si bien es cierto que muchas Wikipedias utilizan el término «Wikiproyecto», también es cierto que cada proyecto ha desarrollado históricamente sus propias convenciones organizativas. La mera existencia de una denominación distinta en otros proyectos no constituye, por sí sola, una razón suficiente para modificar una estructura local que lleva años funcionando sin inconvenientes.
: Finalmente, si el principal motivo es una cuestión estética o de preferencia terminológica, considero que no debería procederse al cambio. Los cambios de nomenclatura y espacios de nombres deberían responder a una necesidad práctica, organizativa o técnica claramente identificable. En este caso, no observo un beneficio concreto para los usuarios ni para el desarrollo de Wikilibros que justifique el traslado de páginas y la modificación de una convención establecida. [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 18:23 23 jun 2026 (UTC)
::Bien argumentado, me has convencido. Tienes razón en que estos «Proyectos» en Wikilibros sirven actualmente como espacio de coordinación puntual para tareas administrativas y de mantenimiento generales, y funcionan de manera distinta a cómo lo hacen los «Wikiproyectos» de otras wikis donde son espacios temáticos o grupos de trabajos especializados.
::Dicho esto, considero que si en un futuro surgiesen estos espacios y tuviesen el mismo propósito que tienen los Wikiproyectos en otras wikis como la Wikipedia en español, si me parecería que en tal caso deberían llamarse «Wikiproyectos» por lo que argumenté en mi primer mensaje.
::Pero estoy de acuerdo contigo en que, como esa no es la realidad ahora como bien has señalado, por mí queda consensuado que de momento los actuales proyectos se pueden quedar con ese nombre. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 18:55 23 jun 2026 (UTC)

== RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons ==

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|discusión]])&lt;/bdi&gt; 17:11 23 jun 2026 (UTC)
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:Codename Noreste@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30513860 --&gt;

== Incorporación del enlace «Contactos legales y de seguridad» en el pie de página de vuestra wiki ==

&lt;section begin=&quot;Message&quot;/&gt;
'''Contactos legales y de seguridad'''

Hola a toda la comunidad: la Fundación Wikimedia ha puesto a vuestra disposición una [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|página única de contacto sobre cuestiones legales y de seguridad]], que debéis incluir en el pie de página de vuestra wiki para garantizar el acceso a información jurídica precisa. Se trata de un requisito normativo. Ya hemos implementado enlaces a las wikis en inglés, alemán, italiano, español y otros idiomas de Wikipedia, y pronto los implementaremos en vuestra wiki. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|Por favor, leed más información en la página del proyecto]] y dejad vuestros comentarios en este hilo o en la [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|página de discusión]].

&lt;section end=&quot;Message&quot;/&gt;

-- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 13:30 25 jun 2026 (UTC)
&lt;!-- Mensaje enviado por Usuario:Sannita (WMF)@metawiki mediante la lista en https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Sannita_(WMF)/Mass_sending_test&amp;oldid=30731267 --&gt;

== Petición para establecer una política sobre inteligencia artificial ==

Buenas.

En el tiempo que llevo en Wikilibros, he observado varias páginas editadas mediante copias directas de texto generado por chatbots de IA (como ChatGPT, Copilot, Claude, Gemini, o Grok). Esto me preocupa, ya que este tipo de ediciones pueden resultar muy perjudiciales, y mientras que en muchas otras wikis ya se han establecido políticas sobre el uso de IA, en Wikilibros aún no tenemos ninguna política específica al respecto.

Wikilibros en inglés cuenta con una política prohibiendo explícitamente esta clase de ediciones, que además explica el daño que pueden llegar a hacer, traduzco:

{{Cita|Solicitar a un chatbot que escriba un libro o un ensayo puede dar lugar a la producción de [[W:Alucinación (inteligencia artificial)|invenciones completas]], incluyendo referencias ficticias. El resultado puede ser sesgado, difamar a personas reales, infringir derechos de autor o simplemente ser de mala calidad.
&lt;br&gt;...&lt;br&gt;
Estos problemas pueden volverse rápidamente problemáticos en comunidades y entornos grandes donde la transferencia de conocimiento, la verificabilidad, la rendición de cuentas y el pensamiento crítico son importantes. En particular, el alto volumen y la velocidad a la que los LLM pueden generar contenido, todo el cual debe ser verificado, implica que su uso supone un riesgo considerable. Por lo tanto, los materiales de aprendizaje de idiomas no deben utilizarse para generar o resumir material e ideas en Wikibooks, y no se debe confiar ciegamente en sus fuentes.
|[https://en.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Artificial_intelligence Extraído y traducido de la política de Wikibooks (en inglés) sobre el uso de IA.]
}}

Wikipedia en Español también [[w:Wikipedia:Redacción de artículos con modelos de lenguaje grandes|cuenta con una política sobre este asunto]] que me parece correcta.

Como Wikilibros en Español es una wiki tan pequeña, quizás sea mas adecuado adaptar o traducir la política de Wikibooks en inglés, o simplemente redirigir o adaptar la política de Wikipedia en español. En mi opinión, las políticas de estas wikis son sólidas, y además, han sido redactadas y consensuadas por más usuarios de los que tenemos aquí, por lo que cuentan con un buen consenso, y están más desarrolladas y probadas en comunidades más grandes.

Quedo a la escucha de comentarios, y espero que podamos avanzar en este frente. Menciono a @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] que siempre es de gran ayuda. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 17:33 27 jun 2026 (UTC)

:Creo que sí sería conveniente que Wikilibros contara con una política específica sobre el uso de la IA, no tanto porque sea una tecnología distinta a otras herramientasd e edición, sino por la escala a la que permite generar contenido. A diferencia de Wikipedia, aquí no construimos artículos independientes, sino libros completos y materiales de aprendizaje, donde la estructura, la coherencia y la progresión de los contenidos son partwe esencial de la calidad de la obra. Un texto generado por IA puede ser correcto en términos generales y, aun así, presentar problemas de organización, inconsistencias entre capítulos, ejemplos poco adecuados o explicaciones que no responden a un criterio didáctico claro. Detectar ese tipo de problemas exige una revisión completa del libro, algo que en una comunidad pequeña como eswikibooks rara vez es posible cuando se incorporan grandes cantidades de contenido.

:Por ello, considero que una política debería ser relativamente estricta con la incorporación de texto generado por IA. No porque toda utilización de estas herramientas sea necesariamente perjudicial, sino porque el riesgo de publicar contenido insuficientemente revisado es mayor que la capacidad que tiene la comunidad para detectarlo y corregirlo. En mi opinión, la IA puede tener cabida como herramienta de apoyo durante el proceso de redacción, pero no debería emplearse para generar de forma directa partes sustanciales de un libro destinadas a su publicación. En un proyecto con pocos editores activos, resulta más prudente priorizar la calidad y el mantenimiento de los libros que facilitar un aumento rápido de contenido cuya revisión efectiva no puede garantizarse. [[Usuario:Divinations|Divinations]] ([[Usuario discusión:Divinations|discusión]]) 20:49 27 jun 2026 (UTC)
::Estoy de acuerdo con todo lo que has dicho, especialmente con tu segundo párrafo, del que suscribo cada palabra al 100%.
::Lo de adaptar una política de otra wiki, lo mencioné en gran medida, no por la dificultad en sí de redactarla, si no porque en estos lugares ya existe consenso, y así puede ser más fácil ponerse de acuerdo. Pero si en Wikilibros en español también estamos todos más o menos de acuerdo, no veo por qué no podríamos redactar la nuestra propia.
::Concuerdo totalmente en que habría que ser relativamente estricto, porque por los chatbots de IA pueden generar enormes cantidades de texto, y al ser una comunidad tan pequeña no tenemos capacidad para pararnos a revisar un libro que se generase con IA.
::En este sentido, la política de enWikibooks me parece suficientemente estricta, además, [https://en.wikibooks.org/wiki/Wikibooks_talk:Artificial_intelligence/Archive_1 se puede leer el debate que tuvieron para alcanzar tal consenso (en inglés)] que es muy interesante.
::Según la política enWikibooks:
::# Se advierte brevemente de que el contenido de IA puede ser inexacto, inventado o de baja calidad. (Personalmente creo que además podría advertirse de los posibles problemas de copyright que puede llegar a causar).
::# No se permite usar IA para generar, resumir o traducir contenido.
::# Está explícitamente prohibido hacer ediciones que consistan en copiar y pegar texto de IA en páginas.
::# Se avisa de que el contenido debe ser siempre verificado y escrito por humanos.
::# No se prohíbe que alguien consulte o haga uso de la IA como apoyo externo, lo que está prohibido es que la IA genere el contenido, pero uno puede usarla para consulta externa si lo desea.
::Considero que podríamos basarnos en la política de enWikibooks y traducirla y adaptarla a nuestra versión. Si estamos más o menos de acuerdo en que es adecuada, sería muy sencillo incorporar esta política. Si os parece bien esto, podría escribirla basándome en enWikibooks y luego mencionaros para que la reviséis. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 22:47 27 jun 2026 (UTC)
: De acuerdo a que en conjunto establezcamos una política en base al uso de IA. Es algo que se debe de tocar acá y me parece buen puerto, el guiarnos de la política establecida desde enWikibooks [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 02:29 28 jun 2026 (UTC)
::Buenas @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]] y @[[Usuario:Divinations|Divinations]] he tomado la iniciativa y redactado la página «''[[Wikilibros:Política sobre el uso de inteligencia artificial generativa]]''» (que de momento está marcada como un borrador). Esta página está traducida y adaptada de la versión de enWikibooks, me he inspirado también en la conversación que hemos tenido por aquí, y en la misma política en la Wikipedia en español.
::Os agradecería si pudieseis revisar esta página, sentíos libres de editarla si lo consideráis, y os invito a continuar esta conversación en la discusión de esta página. Gracias por vuestra colaboración en este asunto. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 09:33 28 jun 2026 (UTC)
:::&lt;s&gt;Gracias, [[Usuario:Antimundo|Antimundo]]. Añadí un atajo para que pueda ser encontrada más fácilmente. [[Usuario:Divinations|Divinations]] ([[Usuario discusión:Divinations|discusión]]) 17:47 28 jun 2026 (UTC)&lt;/s&gt;
::::Parece que se borró. Creo que me adelanté antes de tiempo, mejor esperar a obtener un mejor consenso comunitario más allá de solo tres usuarios. [[Usuario:Divinations|Divinations]] ([[Usuario discusión:Divinations|discusión]]) 20:44 28 jun 2026 (UTC)
: Me temo que antes de formarse como una política dentro de Wikilibros, debe ser llevada a votación, un aviso tanto para @[[Usuario:Antimundo]] como para @[[Usuario:Divinations]]. Estoy adaptando el contenido para que se proceda a votación. Saludos [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 20:52 28 jun 2026 (UTC)
::Entendido, gracias por iniciar el procedimiento. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 22:01 28 jun 2026 (UTC)

== Votación sobre nueva política sobre el uso de la inteligencia artificial ==

En relación con el hilo anterior, se abrió una página de votación para establecer como una nueva política dentro de Wikilibros en Español. El enlace de la votación se encuentra acá: [[Wikilibros:Votaciones/Política sobre el uso de inteligencia artificial generativa]]. Saludos [[User:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-weight:bold;font-family:cursive, serif&quot;&gt;Mazbel&lt;/span&gt;]]  [[User talk:Mazbel|&lt;span style=&quot;color:#000000;font-size:small;font-family:cursive, serif;&quot;&gt;(Talk)&lt;/span&gt;]] 21:24 28 jun 2026 (UTC)</text>
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Esta página debe ser borrada porque es una subpágina de un libro que ha sido recientemente borrado. No puedo marcarla para borrado porque está protegida para su edición, menciono a @[[Usuario:Mazbel|Mazbel]], gracias. [[Usuario:Antimundo|Antimundo]] ([[Usuario discusión:Antimundo|discusión]]) 16:55 26 jul 2026 (UTC)</text>
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