Wikilibros eswikibooks https://es.wikibooks.org/wiki/Portada MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter Medio Especial Discusión Usuario Usuario discusión Wikilibros Wikilibros discusión Archivo Archivo discusión MediaWiki MediaWiki discusión Plantilla Plantilla discusión Ayuda Ayuda discusión Categoría Categoría discusión TimedText TimedText talk Módulo Módulo discusión Evento Evento discusión 0 19399 436827 436806 2026-10-19T22:10:47Z Mazbel 57931 Revertido el cambio de [[Special:Contributions/~2026-55695-23|~2026-55695-23]] ([[User talk:~2026-55695-23|disc.]]) a la última edición de [[User:Mazbel|Mazbel]] 426945 wikitext text/x-wiki {{+Portada/c |nombre = Manual wiki |título = Manual wiki |sección2 = Los proyectos Wikimedia |sección3 = Edición |sección5 = |sección6 = Palabras mágicas |sección1 = Usando el entorno wiki |sección9 = |sección11 = Anexo |rutacarrusel = Manual wiki/Carrusel |titcarrusel = Consejo de la semana }} s5a4q0uk8jvzw36apox2nn4mzw4sxac 0 41584 436811 435973 2026-10-19T15:16:43Z AAbelardoo 123302 436811 wikitext text/x-wiki {{+Portada/f |nombre = Números y Operaciones |título = Números y Operaciones |subtítulo = |encabezado = Números y operaciones complejas |imagen = Commutative Addition.svg |sección1 = Números reales |sección2 = Orden |sección3 = Propiedades |sección4 = MCM y MCD |sección5 = |rutacarrusel = |titcarrusel = |textoedición = |ancho = |alineartit = |imagenlink = |imagenedit = |tono = |tonosección = |tonocarrusel = |tonoedición = |tonoenlaces = |redondeo = }} 1 Capítulo * [[Números y operaciones|Números y operaciones]] * [[Números y operaciones/Números reales|Números reales]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números pares e impares|Números pares e impares]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números racionales|Números racionales]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números primos|Números primos]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números compuestos|Números compuestos]] 2 Capítulo * [[Números y 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formato más simple 436812 wikitext text/x-wiki {{+Portada/f |nombre = Números y Operaciones |título = Números y Operaciones |subtítulo = |encabezado = Números y operaciones complejas |imagen = Commutative Addition.svg |sección1 = Números reales |sección2 = Orden |sección3 = Propiedades |sección4 = MCM y MCD |sección5 = |rutacarrusel = |titcarrusel = |textoedición = |ancho = |alineartit = |imagenlink = |imagenedit = |tono = |tonosección = |tonocarrusel = |tonoedición = |tonoenlaces = |redondeo = }} [[Archivo:Commutative Addition.svg|miniaturadeimagen|400px]] 1 Capítulo * [[Números y operaciones|Números y operaciones]] * [[Números y operaciones/Números reales|Números reales]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números pares e impares|Números pares e impares]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números racionales|Números racionales]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números primos|Números primos]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números compuestos|Números 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2026-10-19T15:20:45Z AAbelardoo 123302 436813 wikitext text/x-wiki {{+Portada/f |nombre = Números y Operaciones |título = Números y Operaciones |subtítulo = |encabezado = Números y operaciones complejas |imagen = Commutative Addition.svg |sección1 = Números reales |sección2 = Orden |sección3 = Propiedades |sección4 = MCM y MCD |sección5 = |rutacarrusel = |titcarrusel = |textoedición = |ancho = |alineartit = |imagenlink = |imagenedit = |tono = |tonosección = |tonocarrusel = |tonoedición = |tonoenlaces = |redondeo = }} [[Archivo:Commutative Addition.svg|miniaturadeimagen|400px]] 1 Capítulo * [[Números y operaciones|Números y operaciones]] * [[Números y operaciones/Números reales|Números reales]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números pares e impares|Números pares e impares]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números racionales|Números racionales]] **[[Números y operaciones/Números reales/Números racionales/Construcción y ordenación|Construcción y ordenación]] * [[Números 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MCD/Cómo encontrar|Cómo encontar en MCM y el MCD]] {{Estantes|Matemática}} 1elcijqyp8xdav01izouqsweekxnx93 436815 436813 2026-10-19T15:39:42Z AAbelardoo 123302 nueva estructura 436815 wikitext text/x-wiki {{+Portada/f |nombre = Números y Operaciones |título = Números y Operaciones |subtítulo = |encabezado = Números y operaciones complejas |imagen = Commutative Addition.svg |sección1 = Números reales |sección2 = Orden |sección3 = Propiedades |sección4 = MCM y MCD |sección5 = |rutacarrusel = |titcarrusel = |textoedición = |ancho = |alineartit = |imagenlink = |imagenedit = |tono = |tonosección = |tonocarrusel = |tonoedición = |tonoenlaces = |redondeo = }} ------ [[Archivo:Commutative Addition.svg|miniaturadeimagen|400px]] <center>'''[[Números y operaciones|Números y operaciones]]'''</center> 1 Capítulo * [[Números y operaciones/Números reales|Números reales]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números pares e impares|Números pares e impares]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números racionales|Números racionales]] **[[Números y operaciones/Números reales/Números racionales/Construcción y ordenación|Construcción y ordenación]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números primos|Números primos]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números compuestos|Números compuestos]] 2 Capítulo * [[Números y operaciones/Orden|Orden]] * [[Números y operaciones/Orden/Jerarquía|Jerarquía]] * [[Números y operaciones/Orden/Antecesor y sucesor|Antecesor y sucesor]] 3 Capítulo * [[Números y operaciones/Propiedades|Propiedades]] * [[Números y operaciones/Propiedades/Propiedades básicas de los números naturales|Propiedades básicas de los números naturales]] * [[Números y operaciones/Propiedades/Adición y Multiplicación|Adición y Multiplicación]] * [[Números y operaciones/Propiedades/Sustracción|Sustracción]] * [[Números y operaciones/Propiedades/División|División]] * [[Números y operaciones/Propiedades/Propiedades aritméticas|Propiedades aritméticas]] 4 Capítulo * [[Números y operaciones/MCM y MCD|MCM y MCD]] * [[Números y operaciones/MCM y MCD/MCM|MCM]] * [[Números y operaciones/MCM y MCD/MCD|MCD]] * [[Números y operaciones/MCM y MCD/Cómo encontrar|Cómo encontar en MCM y el MCD]] {{Estantes|Matemática}} f8o31uaw2kyofz2jcxw9frypgv1cx1m 436816 436815 2026-10-19T15:40:54Z AAbelardoo 123302 436816 wikitext text/x-wiki {{+Portada/f |nombre = Números y Operaciones |título = Números y Operaciones |subtítulo = |encabezado = Números y operaciones complejas |imagen = Commutative Addition.svg |sección1 = Números reales |sección2 = Orden |sección3 = Propiedades |sección4 = MCM y MCD |sección5 = |rutacarrusel = |titcarrusel = |textoedición = |ancho = |alineartit = |imagenlink = |imagenedit = |tono = |tonosección = |tonocarrusel = |tonoedición = |tonoenlaces = |redondeo = }} [[Archivo:Commutative Addition.svg|miniaturadeimagen|400px]] 1 Capítulo * [[Números y operaciones|Números y operaciones]] * [[Números y operaciones/Propiedades|Propiedades]] * [[Números 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[[Números y operaciones/Propiedades/Propiedades básicas de los números naturales|Propiedades básicas de los números naturales]] * [[Números y operaciones/Propiedades/Adición y Multiplicación|Adición y Multiplicación]] * [[Números y operaciones/Propiedades/Sustracción|Sustracción]] * [[Números y operaciones/Propiedades/División|División]] * [[Números y operaciones/Propiedades/Propiedades aritméticas|Propiedades aritméticas]] 2 Capítulo [[Números y operaciones/Orden|Orden]] * [[Números y operaciones/Orden/Jerarquía|Jerarquía]] * [[Números y operaciones/Orden/Antecesor y sucesor|Antecesor y sucesor]] 3 Capítulo: [[Números y operaciones/Números reales|Números reales]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números pares e impares|Números pares e impares]] * [[Números y operaciones/Números reales/Números racionales|Números racionales]] **[[Números y operaciones/Números reales/Números racionales/Construcción y ordenación|Construcción y ordenación]] **[[Números y operaciones/Números 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Addition.svg |sección1 = Números reales |sección2 = Orden |sección3 = Propiedades |sección4 = MCM y MCD |sección5 = |rutacarrusel = |titcarrusel = |textoedición = |ancho = |alineartit = |imagenlink = |imagenedit = |tono = |tonosección = |tonocarrusel = |tonoedición = |tonoenlaces = |redondeo = }} ----- <big><center>'''[[Números y operaciones]]'''</center></big> [[Archivo:Commutative Addition.svg|miniaturadeimagen|400px]] 1 Capítulo: [[Números y operaciones/Propiedades|Propiedades]] * [[Números y operaciones/Propiedades/Propiedades básicas de los números naturales|Propiedades básicas de los números naturales]] * [[Números y operaciones/Propiedades/Adición y Multiplicación|Adición y Multiplicación]] * [[Números y operaciones/Propiedades/Sustracción|Sustracción]] * [[Números y operaciones/Propiedades/División|División]] * [[Números y operaciones/Propiedades/Propiedades aritméticas|Propiedades aritméticas]] 2 Capítulo: [[Números y operaciones/Orden|Orden]] * [[Números y 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'''Ejemplos''' 1.[[Archivo:Suma.png|center|300 px]] '''<big><center><math> 2 + 2 = 4</math></center></big>''' 2. [[Archivo:Multiplication as scaling integers.gif|center]] * '''Asociatividad''' Sean a,b y c números naturales, entonces '''<center><math>(a + b) + c = a + (b + c)</math></center>''' '''Ejemplo 1: ''' '''<center><math>{\color{blue} (3 + 5) + 6 = 3 + (5 + 6)}</math></center>''' '''<center><math>{\color{blue} 8 + 6 = 3 + 11}</math></center>''' '''<center><math>{\color{blue} 14 = 14}</math></center>''' Sean a,b y c números naturales, entonces ''' <center>'''<math>(a \times b) \times c = a \times (b \times c)</math>'''</center>''' '''Ejemplo 2: ''' '''<center><math>{\color{blue} (3 \times 5) \times 6 = 3 \times (5 \times 6)}</math></center>''' '''<center><math>{\color{blue} 15 \times 6 = 3 \times 30}</math></center>''' '''<center><math>{\color{blue} 90 = 90}</math></center>''' * '''Conmutatividad''': el orden de los sumandos no altera la suma, así como el orden de los factores no altera el producto. Sean a y b números naturales, entonces '''<center><math> a + b = b + a </math></center>''' '''Ejemplo 3: ''' '''<center><math>{\color{blue} 4 + 5 = 5 + 4 }</math></center>''' '''<center><math>{\color{blue} 9 = 9 }</math></center>''' '''Ejemplo 4: ''' '''<center><math>{\color{blue} 2 + 1 + 5 = 5 + 1 + 2 }</math></center>''' '''<center><math>{\color{blue} 8 = 8 }</math></center>''' [[Archivo:Ambigram-8-eight-math-2-1-5-rotation-mirror-basile-morin.gif|center]] Sean a y b números naturales, entonces '''<center><math> a \times b = b \times a </math></center>''' '''Ejemplo 5: ''' '''<center><math>{\color{blue} 2 \times 3=3 \times2 }</math></center>''' [[Archivo:Kakezan usagi.jpg|center]] [[Categoría:Libro:Números y operaciones]] fe2n9dgvrwhiscdzpdsf4gfilp5x7nc 436833 436810 2026-10-20T11:35:10Z AAbelardoo 123302 436833 wikitext text/x-wiki La adición y multiplicación de números naturales tiene varias propiedades entre ellas se encuentran: === Clausura === La suma y el producto de números es, siempre, un número natural. ==== Ejemplos ==== 1.[[Archivo:Suma.png|center|300 px]] '''<big><center> 2 + 2 = 4</center></big>''' 2. [[Archivo:Multiplication as scaling integers.gif|center]] === Asociatividad === Sean a,b y c números naturales, entonces <big>'''(a + b) + c = a + (b + c)''' </big> ==== Ejemplo en la suma: ==== <big>''' (3 + 5) + 6 = 3 + (5 + 6)'''</big> <big>''' 8 + 6 = 3 + 11'''</big> <big>''' 14 = 14'''</big> <br/> <br/> Sean a,b y c números naturales, entonces <big>'''(a x b) x c = a x (b x c)</big> ==== Ejemplo en la multiplicación==== <big>''' (3 x 5) x 6 = 3 x (5 x 6)'''</big> <big>''' 15 x 6 = 3 x 30'''</big> <big>''' 90 = 90'''</big> === Conmutatividad === El orden de los sumandos no altera la suma, así como el orden de los factores no altera el producto. Sean a y b números naturales, entonces <big>''' a + b = b + a ''' </big> ==== Ejemplo 3: ==== <big>'''4 + 5 = 5 + 4 ''' ''' 9 = 9 '''</big> ==== Ejemplo 4: ==== <big>''' 2 + 1 + 5 = 5 + 1 + 2 ''' ''' 8 = 8 '''</big> * '''En la multiplicación''' Sean a y b números naturales, entonces <big>''' a x b = b x a '''</big> ==== Ejemplo 5:==== <big>''' 2 x 3 = 3 x 2 '''</big> [[Archivo:Kakezan usagi.jpg|Kakezan usagi.jpg]] [[Categoría:Libro:Números y operaciones]] cwxupnqudfptwrexwyzvd9hy48qk1qo 436834 436833 2026-10-20T11:43:03Z AAbelardoo 123302 /* Conmutatividad */ 436834 wikitext text/x-wiki La adición y multiplicación de números naturales tiene varias propiedades entre ellas se encuentran: === Clausura === La suma y el producto de números es, siempre, un número natural. ==== Ejemplos ==== 1.[[Archivo:Suma.png|center|300 px]] '''<big><center> 2 + 2 = 4</center></big>''' 2. [[Archivo:Multiplication as scaling integers.gif|center]] === Asociatividad === ==== Ejemplo en la suma: ==== Sean '''a''', '''b''' y '''c''' números naturales, entonces <big>'''(a + b) + c = a + (b + c)''' </big> <big>''' (3 + 5) + 6 = 3 + (5 + 6)'''</big> <big>''' 8 + 6 = 3 + 11'''</big> <big>''' 14 = 14'''</big> ==== Ejemplo en la multiplicación ==== Sean '''a''', '''b''' y '''c''' números naturales, entonces <big>'''(a x b) x c = a x (b x c)</big> <big>''' (3 x 5) x 6 = 3 x (5 x 6)'''</big> <big>''' 15 x 6 = 3 x 30'''</big> <big>''' 90 = 90'''</big> === Conmutatividad === El orden de los sumandos no altera la suma, así como el orden de los factores no altera el producto. Sean '''a''' y '''b''' números naturales, entonces <big>''' a + b = b + a ''' </big> ==== Ejemplo 3: ==== <big>'''4 + 5 = 5 + 4 '''</big> <big>''' 9 = 9 '''</big> ==== Ejemplo 4: ==== <big>''' 2 + 1 + 5 = 5 + 1 + 2 '''</big> <big>''' 8 = 8 '''</big> * '''En la multiplicación''' Sean '''a''' y '''b''' números naturales, entonces <big>''' a x b = b x a '''</big> ==== Ejemplo 5:==== <big>''' 2 x 3 = 3 x 2 '''</big> [[Archivo:Kakezan usagi.jpg|Kakezan usagi.jpg]] [[Categoría:Libro:Números y operaciones]] az9rxgg7zkuzlhgnwftrxc7rxn6q52f 436835 436834 2026-10-20T11:44:44Z AAbelardoo 123302 436835 wikitext text/x-wiki La adición y multiplicación de números naturales tiene varias propiedades entre ellas se encuentran: === Clausura === La suma y el producto de números es, siempre, un número natural. ==== Ejemplos ==== 1.[[Archivo:Suma.png|center|300 px]] '''<big><center> 2 + 2 = 4</center></big>''' 2. [[Archivo:Multiplication as scaling integers.gif|center]] === Asociatividad === ==== Ejemplo en la suma: ==== Sean '''a''', '''b''' y '''c''' números naturales, entonces <big>'''(a + b) + c = a + (b + c)''' </big> <big>''' (3 + 5) + 6 = 3 + (5 + 6)'''</big> <big>''' 8 + 6 = 3 + 11'''</big> <big>''' 14 = 14'''</big> ==== Ejemplo en la multiplicación ==== Sean '''a''', '''b''' y '''c''' números naturales, entonces <big>'''(a x b) x c = a x (b x c)</big> <big>''' (3 x 5) x 6 = 3 x (5 x 6)'''</big> <big>''' 15 x 6 = 3 x 30'''</big> <big>''' 90 = 90'''</big> === Conmutatividad === El orden de los sumandos no altera la suma, así como el orden de los factores no altera el producto. ==== En la suma ==== Sean '''a''' y '''b''' números naturales, entonces <big>''' a + b = b + a ''' </big> ===== Ejemplo 3: ===== <big>'''4 + 5 = 5 + 4 '''</big> <big>''' 9 = 9 '''</big> ===== Ejemplo 4: ===== <big>''' 2 + 1 + 5 = 5 + 1 + 2 '''</big> <big>''' 8 = 8 '''</big> ==== En la multiplicación ==== Sean '''a''' y '''b''' números naturales, entonces <big>''' a x b = b x a '''</big> ===== Ejemplo 5: ===== <big>''' 2 x 3 = 3 x 2 '''</big> [[Archivo:Kakezan usagi.jpg|Kakezan usagi.jpg]] [[Categoría:Libro:Números y operaciones]] 523sfpuqtwt9lrmgqz2i2i47mf6y2ng 436836 436835 2026-10-20T11:46:31Z AAbelardoo 123302 436836 wikitext text/x-wiki La adición y multiplicación de números naturales tiene varias propiedades entre ellas se encuentran: === Clausura === La suma y el producto de números naturales es siempre un número natural. ==== Ejemplos ==== 1.[[Archivo:Suma.png|center|300 px]] '''<big><center> 2 + 2 = 4</center></big>''' 2. [[Archivo:Multiplication as scaling integers.gif|center]] === Asociatividad === ==== Ejemplo en la suma: ==== Sean '''a''', '''b''' y '''c''' números naturales, entonces <big>'''(a + b) + c = a + (b + c)''' </big> <big>''' (3 + 5) + 6 = 3 + (5 + 6)'''</big> <big>''' 8 + 6 = 3 + 11'''</big> <big>''' 14 = 14'''</big> ==== Ejemplo en la multiplicación ==== Sean '''a''', '''b''' y '''c''' números naturales, entonces <big>'''(a x b) x c = a x (b x c)</big> <big>''' (3 x 5) x 6 = 3 x (5 x 6)'''</big> <big>''' 15 x 6 = 3 x 30'''</big> <big>''' 90 = 90'''</big> === Conmutatividad === El orden de los sumandos no altera la suma, así como el orden de los factores no altera el producto. ==== En la suma ==== Sean '''a''' y '''b''' números naturales, entonces <big>''' a + b = b + a ''' </big> ===== Ejemplo 3: ===== <big>'''4 + 5 = 5 + 4 '''</big> <big>''' 9 = 9 '''</big> ===== Ejemplo 4: ===== <big>''' 2 + 1 + 5 = 5 + 1 + 2 '''</big> <big>''' 8 = 8 '''</big> ==== En la multiplicación ==== Sean '''a''' y '''b''' números naturales, entonces <big>''' a x b = b x a '''</big> ===== Ejemplo 5: ===== <big>''' 2 x 3 = 3 x 2 '''</big> [[Archivo:Kakezan usagi.jpg|Kakezan usagi.jpg]] [[Categoría:Libro:Números y operaciones]] 197mr4rvnjjal4iumnoj9r7pey4d9hy 0 53297 436839 436075 2026-10-20T11:57:46Z AAbelardoo 123302 436839 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{+ÍndiceSección}}</noinclude> === Números Primos === Los Números Primos son aquellos números naturales mayores que 1 que son divisibles solamente por 1 y por sí mismo. Es decir, si p pertenece IN. Diremos que p es un número primo si cumple con * p>1 * p es divisible solamente por 1 y por sí mismo === Números Compuestos === Los números Compuestos son aquellos números mayores que 1 que no son primos. Es decir, números que pueden ser divididos por más números que el 1 y sí mismo. ''''' Ejemplo ''''' {| align="center" border="1" |- ! style="background:#ffdead;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Números&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; !! style="background:#ffdead;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Divisores&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;!! style="background:#ffdead;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Naturaleza&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |- | style="text-align:center" | 2 || style="text-align:center" | 1 y 2 || style="text-align:center" | Primo |- | style="text-align:center" | 3 || style="text-align:center" | 1 y 3 || style="text-align:center" | Primo |- | style="text-align:center" | 4 || style="text-align:center" | 1, 2 y 4 || style="text-align:center" | Compuesto |- | style="text-align:center" | 6 || style="text-align:center" | 1, 2, 3 y 6 || style="text-align:center" | Compuesto |- | style="text-align:center" | 13 || style="text-align:center" | 1 y 13 || style="text-align:center" | Primo |- | style="text-align:center" | 15 || style="text-align:center" | 1, 3, 5,15 || style="text-align:center" | Compuesto |} '''''Ejercicio''''' {| align="center" border="1" |- ! style="background:#ffdead;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Números&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; !! style="background:#ffdead;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Divisores&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;!! style="background:#ffdead;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Naturaleza&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |- | style="text-align:center" | 17 || style="text-align:center" | ........ || style="text-align:center" | ........ |- | style="text-align:center" | 19 || style="text-align:center" | ........ || style="text-align:center" | ........ |- | style="text-align:center" | 21 || style="text-align:center" | ........ || style="text-align:center" | ........ |} Una forma de saber si los números son primos o compuestos es ocupando una tablita llamada la criba de Eratóstenes. Funciona de la siguiente manera: 1. Escribamos una tabla de números, por ejemplo, entre 1 y 100. 2. Tarjamos el número 1. 3. Tarjamos los múltiplos de 2. 4. Tarjamos los múltiplo de 3. 5. Tarjamos los múltiplo de 5. 6. Tarjamos los múltiplo de 7. Listo! Los números no tarjados corresponden a los números primos entre 1 y 100. {{AutoCat}} tlqk0riyh0n2jm7a17s1nx9djk934ms 436840 436079 2026-10-20T11:57:51Z AAbelardoo 123302 436840 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{+ÍndiceSección}}</noinclude> === Números Primos === Los Números Primos son aquellos números naturales mayores que 1 que son divisibles solamente por 1 y por sí mismo. Es decir, si p pertenece IN. Diremos que p es un número primo si cumple con * p>1 * p es divisible solamente por 1 y por sí mismo === Números Compuestos === Los números Compuestos son aquellos números mayores que 1 que no son primos. Es decir, números que pueden ser divididos por más números que el 1 y sí mismo. ''''' Ejemplo ''''' {| align="center" border="1" |- ! style="background:#ffdead;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Números&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; !! style="background:#ffdead;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Divisores&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;!! style="background:#ffdead;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Naturaleza&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |- | style="text-align:center" | 2 || style="text-align:center" | 1 y 2 || style="text-align:center" | Primo |- | style="text-align:center" | 3 || style="text-align:center" | 1 y 3 || style="text-align:center" | Primo |- | style="text-align:center" | 4 || style="text-align:center" | 1, 2 y 4 || style="text-align:center" | Compuesto |- | style="text-align:center" | 6 || style="text-align:center" | 1, 2, 3 y 6 || style="text-align:center" | Compuesto |- | style="text-align:center" | 13 || style="text-align:center" | 1 y 13 || style="text-align:center" | Primo |- | style="text-align:center" | 15 || style="text-align:center" | 1, 3, 5,15 || style="text-align:center" | Compuesto |} '''''Ejercicio''''' {| align="center" border="1" |- ! style="background:#ffdead;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Números&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; !! style="background:#ffdead;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Divisores&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;!! style="background:#ffdead;" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Naturaleza&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |- | style="text-align:center" | 17 || style="text-align:center" | ........ || style="text-align:center" | ........ |- | style="text-align:center" | 19 || style="text-align:center" | ........ || style="text-align:center" | ........ |- | style="text-align:center" | 21 || style="text-align:center" | ........ || style="text-align:center" | ........ |} Una forma de saber si los números son primos o compuestos es ocupando una tablita llamada la criba de Eratóstenes. Funciona de la siguiente manera: 1. Escribamos una tabla de números, por ejemplo, entre 1 y 100. 2. Tarjamos el número 1. 3. Tarjamos los múltiplos de 2. 4. Tarjamos los múltiplo de 3. 5. Tarjamos los múltiplo de 5. 6. Tarjamos los múltiplo de 7. Listo! Los números no tarjados corresponden a los números primos entre 1 y 100. {{AutoCat}} d4z3eja0fniv774on0idyq8l513qzfm 0 53300 436809 436772 2026-10-19T14:57:05Z AAbelardoo 123302 Añadiendo la [[Categoría:Libro:Números y operaciones]] mediante [[Wikipedia:HotCat|HotCat]] 436809 wikitext text/x-wiki == Números racionales == [[Archivo:Ռացիոնալ թիվ.png|right]] En sentido amplio, se llama '''número racional''' a todo número que puede representarse como el [[w:cociente|cociente]] de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional. Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero). [[Archivo:Fracciones.gif]] El conjunto de los números racionales se denota por <math>\mathbb{Q}</math> por "Quotient" que significa «cociente» en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los [[w:número entero|números enteros]] y es un subconjunto de los números reales. Una pregunta interesante (y muy difícil de resolver) es saber si algunos números más o menos familiares para nosotros como <math>\pi</math>, <math>e</math> o <math>\sqrt{2}</math> son números racionales (la respuesta en los casos es NO). Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una [[w:clase de equivalencia|clase de equivalencia]], resultado de la aplicación de una [[w:relación de equivalencia|relación de equivalencia]] al conjunto denúmeros fraccionarios. === Historia === En el Antiguo Egipto ya se calculaba utilizando aquéllas cuyos denominadores son enteros positivos, como: cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas, de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como [[w:fracción egipcia|fracción egipcia]]. Además, se puede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia. El [[w:jeroglífico|jeroglífico]] de una boca abierta (<hiero>D21</hiero>) denotaba la barra de fracción (/), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción. Los [[w: Historia de Babilonia|babilónicos]] utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1. Los [[w:Grecia Antigua|griegos]] y [[w:Roma Antigua|romanos]] usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval. En el siglo XIII [[w:Leonardo de Pisa|Leonardo de Pisa]], mejor conocido como Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones. === Construcción de los números racionales === Consideremos las parejas de [[w:número entero|números enteros]] <math>\left( a,b\right)</math> donde <math>b\neq 0</math> denotado por <math>\frac{a}{b}</math>, donde <math> a \, </math> se le llama ''numerador'' y a <math> b \, </math> se le llama ''denominador''.<br /> Al conjunto de estos números se le denota por <math>\mathbb{Q}</math>. Es decir <math>\mathbb{Q}=\left\{ \frac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z},q\neq0\right\}</math> # Ejemplo de la linea recta con los numeros racionales [http://www.geogebratube.org/student/m130865] Si <math>p</math> es un [[w:número entero|número entero]] entonces existe el número <math>\frac{p}{1}</math> que equivale a <math>p</math> y mantiene todas sus propiedades de entero. Es decir, se define <math>\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}:\mathbb{Z\rightarrow\mathbb{Q}},\;\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}\left(p\right)=\frac{p}{1}</math> * [[Números y Operaciones/Adición de Racionales|Adición de los Números Racionales]] * [[Números y Operaciones/Multiplicación de Racionales|Multiplicación de los Números Racionales]] ==== División de dos números racionales ==== Para dividir dos fracciones, se invierten numerador y denominador de la segunda fracción y luego se procede a multiplicar <center><math> \frac{2}{3}:\frac{6}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{6}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 6}= \frac{10}{18}=\frac{5}{9} </math></center> * [[Números y Operaciones/Dividir entre cero|¿Por qué no podemos dividir por 0?]] === Relaciones de equivalencia === * Se define la equivalencia <math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math> cuando <math> ad = bc \, </math>. Este concepto es importante porque permite explicar por qué hay infinitas maneras de representar un mismo número racional. [[Archivo:Kbruch.png|center|thumb| Un número racional que es equivalente a dos. Recuerde, hay infinitos racionales que hacen lo mismo]] ====Orden de los números racionales==== * Los números racionales positivos todos los números de la forma <math>\frac{a}{b}</math> tales que <math> ab > 0 \, </math> * Los números racionales negativos son todos los números de la forma <math>\frac{a}{b}</math> tales que <math> ab < 0 \, </math> * Se define el orden <math>\frac{a}{b}>\frac{c}{d}</math> cuando <math> ad - bc > 0 \, </math> Para números racionales que tienen el mismo denominador hay que comparar los numeradores. La fracción con mayor numerador será mayor.<ref>{{cita web |url=http://books.google.es/books?id=JmMxarhu_roC&pg=PA16&dq=Comparaci%C3%B3n+de+fracciones&hl=es&ei=BG2zTNT7O4_Jswb7oJHTDQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10&ved=0CFcQ6AEwCQ#v=onepage&q=Comparaci%C3%B3n%20de%20fracciones&f=false |título=Diversificación I, E.S.O: ámbito científico-tecnológico |fechaacceso=2012-08-30 |apellido=González López de Guereñu |nombre=Filomena |página=16 }}</ref> * Ejemplo: [[Archivo:Fraction comp2.svg]] :<math>\frac{2}{7}</math> y <math>\frac{5}{7}</math>. La segunda fracción <math>\frac{5}{7}</math> es mayor, ya que <math>5>2</math>. De dos o más números racionales que tienen igual numerador es mayor la que tiene menor denominador.<ref>{{cita web |url=http://books.google.es/books?id=7pycPLEMZ1wC&pg=PA332&dq=Comparaci%C3%B3n+de+fracciones&hl=es&ei=LHCzTNi2CYqSswbh56DYDQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7&ved=0CEoQ6AEwBjgK#v=onepage&q=Comparaci%C3%B3n%20de%20fracciones&f=false |título=Enciclopedia Alvarez-iniciacion Profesi |fechaacceso=2012-08-30 |apellido=Álvarez |nombre=A |página=333 }}</ref> * Ejemplo: [[Archivo:Fraction comp1.svg]] :<math>\frac{2}{3}</math> y <math>\frac{2}{5}</math>. La mayor es <math>\frac{2}{3}</math>, ya que <math>3<5</math>. Para fracciones con diferente numerador y denominador, se deben buscar fracciones equivalentes hallando el mínimo común denominador (reducir fracciones a común denominador). Para ello, se toma como denominador común el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores y a partir de ahí estamos en el primer caso que ya hemos visto. * Ejemplo: <math>\frac{1}{4}</math> y <math>\frac{2}{5}</math>. El mínimo común denominador es 20, resultando <math>\frac{5}{20}</math> y <math>\frac{8}{20}</math>. Como <math>5<8</math>, <math>\frac{1}{4} < \frac{2}{5}</math>. ==== Notación ==== * Los números de tipo <math>\frac{-a}{b}</math> son denotados por <math>-\frac{a}{b}</math> * Las sumas de tipo <math>\frac{a}{b}+\frac{-c}{d}</math> son denotadas por <math>\frac{a}{b}-\frac{c}{d}</math> * <math>\frac{a}{b}\frac{c}{d}</math> denota a <math>\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}</math> * Todo número <math>\frac{p}{1}</math> se denota simplemente por <math> p \, </math>. === Propiedades de la suma y multiplicación === * La suma en <math>\mathbb{Q}</math> es asociativa, esto es:<br /> <center><math>\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{p}{q} = \left(\frac{a}{b}+\frac{p}{q}\right)+\frac{c}{d}</math></center> * La suma en <math>\mathbb{Q}</math> es conmutativa, esto es:<br /> <center><math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}</math></center> * La multiplicación en <math>\mathbb{Q}</math> es asociativa, esto es:<br /> <center><math>\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}\times\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)\times\frac{p}{q}</math></center> * La multiplicación se distribuye en la suma, esto es: <br /> <center><math>\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)+\left(\frac{a}{b}\times\frac{p}{q}\right)</math></center> ==== Existencia de neutros e inversos ==== * Para cualquier número racional: <center><math>\frac{a}{b}</math> se cumple que <math>\frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a}{b}</math> entonces <math>\frac{0}{1}</math> es el ''neutro aditivo'' de los racionales y se le denota por <math>0</math></center> * Para cualquier número racional: <center><math>\frac{a}{b}</math> se cumple que <math>\frac{a}{b}\times\frac{1}{1}=\frac{a}{b}</math> entonces <math>\frac{1}{1}</math> es el ''neutro multiplicativo'' de los racionales y se le denota por <math>1</math></center> * Cada número racional: <center><math>\frac{a}{b}</math> tiene un inverso aditivo <math>\frac{-a}{b}</math> tal que <math>\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=0</math></center> * Cada número racional: <center><math>\frac{a}{b}</math>, con excepción de 0, tiene un inverso multiplicativo <math>\frac{b}{a}</math> tal que <math>\frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=1</math></center> === Otras operaciones de los números racionales === Cuando tenemos una unidad cualquiera, nos puede interesar una parte más pequeña para tomar. Así, si tenemos una tarta para ochos comensales, y estamos cuatro personas, lo normal seria que cada persona tomase dos trozos, expresados así: <center><math>\frac{8}{8} : 4 = \frac {8}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac {8 \cdot 1}{8 \cdot 4} = \frac {8}{32} = \frac {8:4}{32:4} = \frac {2}{8}</math></center> Lo que aquí se expresa es que cada persona cogería dos octavos de tarta, es decir, dos partes de las ocho que hay. Así, la parte de arriba (''2'') seria el '''numerador''', y la parte de abajo (''8''), el '''denominador'''. Existen situaciones en las que una fracción puede simplificarse dividiendo ambos términos entre un mismo número y resultar ambos valores enteros, <center><math>\frac{12}{4} = \frac{12 : 2}{4 : 2} = \frac{6}{2}</math></center> La fracción original y la reducida son equivalentes, esto quiere decir tienen el mismo valor, aunque se escriban diferentes. Si una fracción tiene términos que ya no se pueden simplificar más se denomina fracción irreducible. Hallando el máximo común divisor (M.C.D.) de los dos términos y dividiendo ambos términos por él, se llega a una fracción irreducible. '''Ejemplo:''' Hallar la fracción irreducible de <math>\frac{12}{4}</math>: <center><math>M.C.D. (12,4) = 4</math>; dividiendo:</center> <center><math>\frac{12}{4} = \frac{12 : 4}{4 : 4} = \frac{3}{1}</math></center> ==== Potenciacion de fracciones ==== Hay que decir que una potencia es aquella multiplicación donde se multiplica la base por si misma tantas veces como lo indique el exponente. Por lo que es una multiplicación de fracciones. <center><math>\left ( \frac{1}{2} \right )^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}.</math></center> En caso de que la potencia sea negativa, debemos proceder mediante la siguiente fórmula <center><math>\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}.</math></center> Esto se grafica con el siguiente ejemplo <center><math>\left ( \frac{1}{2} \right )^{-3}=\left(\frac{2}{1}\right)^3=2^3=2\cdot2\cdot2=8.</math></center> Entre las otras propiedades importantes de potenciación tenemos las siguientes a) Producto de potencias con la misma base: <center><math>\left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot\left(\frac{a}{b}\right)^n= \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n}.</math></center> Por ejemplo <center><math>\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^4= \left(\frac{2}{3}\right)^{3+4}=\left(\frac{2}{3}\right)^7=\frac{2^7}{3^7}=\frac{128}{2187}.</math></center> b) División de potencias con la misma base <center><math>\left(\frac{a}{b}\right)^m : \left(\frac{a}{b}\right)^n= \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n}.</math></center> Por ejemplo <center><math>\left(\frac{2}{3}\right)^3 : \left(\frac{2}{3}\right)^4= \left(\frac{2}{3}\right)^{3-4}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}=\frac{3}{2}.</math></center> c) Potencia de una potencia <center><math>\left(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}\right)^{n}=\left(\frac{a}{b}\right)^{mn}.</math></center> Por ejemplo <center><math>\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\right)^{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{9}= \frac{1}{512}.</math></center> d) Producto de potencias con el mismo exponente <center><math>\left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot\left(\frac{c}{d}\right)^m= \left(\frac{ac}{bd}\right)^{m}.</math></center> Por ejemplo <center><math>\left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot\left(\frac{3}{5}\right)^4= \left(\frac{2}{5}\right)^{4}=\frac{2^4}{5^4}=\frac{16}{625}.</math></center> ==== Radicalización de fracciones ==== La radicalización es el proceso inverso a la potenciación. Para radicalizar una fracción, se extrae la raiz enesíma al numerador y denominador. <center><math>\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}</math><br><br><math>\sqrt{\frac{16}{20}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{20}} = \frac{4}{\sqrt{20}}</math></center> ==== Racionalización ==== En el caso anterior, comprobamos que el denominador tenía una raíz cuadrada en su denominador. Para evitar tal situación, se debe multiplicar la raíz en el denominador consigo misma y por el numerador para así eliminar la raíz. <center><math>\frac{4 \cdot \sqrt{20}}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20}}= \frac{4\sqrt{20}}{20} = \frac{\sqrt{20}}{5}</math></center> Existe otro caso en el que el denominador tiene una suma de un número entero con un radical. Para racionalizar, debemos multiplicar por su conjugado (esto es, los mismos elementos pero con el signo cambiado), para así eliminar la raíz del denominador. <center><math>\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} = \frac{(3-\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})} = \frac{(3-\sqrt{2})^2}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})} = \frac{9+2-6\sqrt{2}}{9-2} = \frac{11-6\sqrt{2}}{7}</math></center> === Expresión decimal === [[Archivo:Recta real entero o decimal exacto.png]]<br /> Es posible expresar una fracción como número decimal dividiendo el numerador entre el denominador: '''Ejemplos:''' ::<math>\frac{1}{2} = 1 : 2 = 0,5</math> ::<math>\frac{2}{3} = 2 : 3 = 0,666...</math> En las fracciones con denominador 10, 100, 1000, 10000... se recorrerá el punto hacia la izquierda tantos lugares como cifras cero haya. * Un número decimal es un número racional de la forma <math>\frac{a}{10^n}</math> * <math>\mathbb{D}</math> denota al conjunto de los números de este tipo. Es decir <math>\mathbb{D}=\left\{\frac{a}{10^n}\mid \frac{a}{10^n}\in\mathbb{Q}\right\}</math> * ''Expresión Racional'' de un número decimal: el número <math>a</math> en base <math>10</math> con un punto a <math>n</math> lugares del extremo derecho, por ejemplo <math>\frac{178}{10^2}</math> se denota como <math>1.78</math> '''Ejemplo''' ::<math>\frac{53}{1000} = 0.053</math> ::<math>\frac{4}{10} = 0.4</math> ::<math>\frac{4567}{100} = 45.67</math> === Representación decimal de los números racionales === Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos: * '''Exacta o decimal finito:''' la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo: ::<math>\frac 8 5 = 1,6</math> * '''Periódica pura o decimal finito periódico:''' toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo: ::<math>\begin{array}{rcl}\cfrac 1 7&=&0,142857142857\dots\\&=&0,\overline{142857}\end{array}</math> * '''Periódica mixta o decimal finito semiperiódico:''' no toda la parte decimal se repite. Ejemplo: ::<math>\begin{array}{rcl}\cfrac 1 {60}&=&0,01666\dots\\&=&0,01\overline{6}\end{array}</math> En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo: :<math>\begin{array}{r} 0,1428571\ldots\\ 7\overline{)10\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,}\\ 30\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\ 20\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\ 60\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\ 40\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\ 50\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\ 10\;\,\;\,\;\,\;\,\\ \vdots\;\,\;\,\;\,\;\, \end{array} </math> Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera: * '''Léase el artículo entero en Wikipedia: [[w:Número Periódico|Número Periódico]]''' * '''Decimales exactos o finitos''': Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. Ejemplo: <math>34,65 = \frac{3465}{100}</math> * '''Decimales periódicos puros''': La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo: <math>15,3434\dots=\frac{1534-15}{99}</math> * '''Decimales periódicos mixtos''': Tendrá como numerador la diferencia entre <math>a</math> y <math>b</math>, donde <math>a</math> es el número escrito sin la coma, y <math>b</math> es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número <math>12,345676767\dots</math> entonces <math>a=1234567 \,</math> y <math>b=12345 \,</math>, por lo que el número buscado será <math>{1234567-12345}\over{99000}</math>. === Valor absoluto para números racionales e irracionales === Ya hemos estudiado la función valor absoluto pero trabajar con números racionales e irracionales, aumenta el tipo de problemas y da complejidad al estudio que debemos hacer. Ejemplos <math> (a)\left|\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}.</math> <math> (b)\left|\frac{-3}{5}\right|=\frac{3}{5}.</math> <math> (c)\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}.</math> <math> (d)\left|\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}.</math> Esto ocurre pues <math>\sqrt{3}-1>0.</math> <math> (e)\left|-\frac{2}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right|= \left|1+\sqrt{3}\right|=1+\sqrt{3}.</math> === Potencias === Es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales <big>base <math> 2^{3} </math>^exponente </big> * La base corresponde al factor que se repite. * El exponente indica cuantas veces debe repetirse dicho factor * Se lee 2 elevado a 3. Ejemplo <math> 2^{3} = 2 x 2 x 2 = 8 </math> '''Potencia en base 10''' Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros indica el exponente. Ejemplo <math> 10^{3}= 10 x 10 x 10 = 1000 </math> '''Multiplicación de potencias de igual base''' El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de sus exponentes. Ejemplo <math> 2^{3} x 2^{2} x 2^{4} = 2^{3 + 2 + 4} = 2^{9} </math> '''División de potencias de igual base''' El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes. Ejemplo <math> 2^{6} : 2^{3} = 2^{6 - 3}= 2^{3} </math> '''Potencia de una potencia''' La potencia de una potencia es otra potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. Ejemplo <math> (3^{3})^{2} = 3^{3 x 2}= 3^{6} </math> '''Potencia de base fraccionaria y exponente natural''' Para elevar una fracción a una potenciase eleva tanto el numerador como el denominador al exponente. Ejemplo <math> (\frac{2}{4})^{2}= \frac{2}{4} x \frac{2}{4} = \frac{4}{16} </math> == Referencias == {{Listaref}} [[Categoría:Libro:Números y operaciones]] aukwmse7ps3z1eptips6nzztjcaxg7l 436823 436809 2026-10-19T15:57:18Z AAbelardoo 123302 436823 wikitext text/x-wiki == Números racionales == [[Archivo:Ռացիոնալ թիվ.png|right]] En sentido amplio, se llama '''número racional''' a todo número que puede representarse como el [[w:cociente|cociente]] de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional. Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero). [[Archivo:Fracciones.gif]] El conjunto de los números racionales se denota por <math>\mathbb{Q}</math> por "Quotient" que significa «cociente» en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los [[w:número entero|números enteros]] y es un subconjunto de los números reales. Una pregunta interesante (y muy difícil de resolver) es saber si algunos números más o menos familiares para nosotros como <math>\pi</math>, <math>e</math> o <math>\sqrt{2}</math> son números racionales (la respuesta en los casos es NO). Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una [[w:clase de equivalencia|clase de equivalencia]], resultado de la aplicación de una [[w:relación de equivalencia|relación de equivalencia]] al conjunto denúmeros fraccionarios. === Historia === En el Antiguo Egipto ya se calculaba utilizando aquéllas cuyos denominadores son enteros positivos, como: cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas, de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como [[w:fracción egipcia|fracción egipcia]]. Además, se puede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia. El [[w:jeroglífico|jeroglífico]] de una boca abierta (<hiero>D21</hiero>) denotaba la barra de fracción (/), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción. Los [[w: Historia de Babilonia|babilónicos]] utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1. Los [[w:Grecia Antigua|griegos]] y [[w:Roma Antigua|romanos]] usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval. En el siglo XIII [[w:Leonardo de Pisa|Leonardo de Pisa]], mejor conocido como Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones. [[Categoría:Libro:Números y operaciones]] jntpnko4uz98fufz87a60kxeg5ujqx8 436824 436823 2026-10-19T16:17:55Z AAbelardoo 123302 436824 wikitext text/x-wiki == Números racionales == [[Archivo:Ռացիոնալ թիվ.png|thumb|150px]] En sentido amplio, se llama '''número racional''' a todo número que puede representarse como el [[w:cociente|cociente]] de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional. Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero). [[Archivo:Fracciones.gif|thumb|250px]] El conjunto de los números racionales se denota por <math>\mathbb{Q}</math> por "Quotient" que significa «cociente» en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los [[w:número entero|números enteros]] y es un subconjunto de los números reales. Una pregunta interesante (y muy difícil de resolver) es saber si algunos números más o menos familiares para nosotros como <math>\pi</math>, <math>e</math> o <math>\sqrt{2}</math> son números racionales (la respuesta en los casos es NO). Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una [[w:clase de equivalencia|clase de equivalencia]], resultado de la aplicación de una [[w:relación de equivalencia|relación de equivalencia]] al conjunto denúmeros fraccionarios. === Historia === En el Antiguo Egipto se utilizaban principalmente las '''fracciones unitarias''', aquellas cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es un número entero positivo. Por ejemplo, en lugar de escribir una fracción como <math>\frac{3}{4}</math>, los egipcios la expresaban como una suma de fracciones unitarias distintas:<math>\frac{1}{2} +\frac {1}{4}</math>. Estas sumas se conocen como ''fracciones egipcias''. Cualquier número racional positivo puede expresarse de esta manera. Los egipcios representaban las fracciones mediante el jeroglífico de una boca abierta, que indicaba la división, y escribían debajo el número correspondiente al denominador. Como el numerador siempre era 1, no era necesario escribirlo. Los babilonios, en cambio, utilizaban fracciones cuyos denominadores eran potencias de 60. Los griegos y los romanos también emplearon fracciones unitarias, cuyo uso continuó durante la Edad Media. En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, conocido como '''Fibonacci''', contribuyó a difundir en Europa el uso de la barra horizontal para separar el numerador del denominador de una fracción. [[Categoría:Libro:Números y operaciones]] t1o9fe03zgtxptgb3na2kjm720dh410 436825 436824 2026-10-19T16:36:54Z AAbelardoo 123302 436825 wikitext text/x-wiki == Números racionales == [[Archivo:Ռացիոնալ թիվ.png|thumb|150px]] Un número racional es todo número que puede expresarse como el cociente de dos números enteros, siempre que el denominador sea distinto de cero. Por eso, puede escribirse en forma de fracción. El término racional procede de una palabra relacionada con la idea de ración o *parte, y no se refiere a la capacidad de razonar. Los números racionales pueden representarse mediante '''números decimales finitos o infinitos periódicos'''. Por ejemplo, <math>0,75</math> es la expresión decimal de la fracción <math>\frac{3}{4}</math>, mientras que <math>0,333...</math> representa la fracción <math>\frac{1}{3}</math>. Los números racionales permiten resolver ecuaciones de la forma <math>(ax=b)</math>, cuando <math>(a)</math> y <math>(b)</math> son números enteros y <math>(a\neq 0)</math>. El conjunto de los números racionales se representa con la letra <math>{Q}</math>, procedente de la palabra latina ''quotient ''(cociente). Incluye todos los números enteros y forma parte del conjunto de los números reales. Sin embargo, no todos los números reales son racionales. Por ejemplo, <math>(pi)</math>, <math>(e)</math> y <math>}\sqrt{2</math> son números '''irracionales''', porque no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros. Por último, distintas fracciones pueden representar el mismo número racional. Por ejemplo, <math>\frac{1}{2}</math>, <math>\frac{2}{4}</math> y <math>\frac{3}{6}</math> son fracciones equivalentes, ya que todas representan el mismo valor. === Historia === En el Antiguo Egipto se utilizaban principalmente las '''fracciones unitarias''', aquellas cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es un número entero positivo. Por ejemplo, en lugar de escribir una fracción como <math>\frac{3}{4}</math>, los egipcios la expresaban como una suma de fracciones unitarias distintas:<math>\frac{1}{2} +\frac {1}{4}</math>. Estas sumas se conocen como ''fracciones egipcias''. Cualquier número racional positivo puede expresarse de esta manera. Los egipcios representaban las fracciones mediante el jeroglífico de una boca abierta, que indicaba la división, y escribían debajo el número correspondiente al denominador. Como el numerador siempre era 1, no era necesario escribirlo. Los babilonios, en cambio, utilizaban fracciones cuyos denominadores eran potencias de 60. Los griegos y los romanos también emplearon fracciones unitarias, cuyo uso continuó durante la Edad Media. En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, conocido como '''Fibonacci''', contribuyó a difundir en Europa el uso de la barra horizontal para separar el numerador del denominador de una fracción. [[Categoría:Libro:Números y operaciones]] 6kepofy5ae92stleedqd74l1n846x4f 0 53323 436838 436097 2026-10-20T11:54:10Z AAbelardoo 123302 436838 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{+ÍndiceSección}}</noinclude> === Propiedades Aritméticas === Las Propiedades Aritméticas son '''expresiones combinadas''' de todas las operaciones que hemos visto hasta ahora y hay dos cosas importantes para los desarrollos de ejercicios combinados. * '''Si el ejercicio no tiene paréntesis''', el orden en que se operan los números es siempre: multiplicación y división, suma, resta. Es importante considerar que se opera en orden de izquierda a derecha. * '''Si el ejercicio tiene paréntesis''', primero deben ser resueltos éstos, considerando que si el paréntesis está precedido por un signo menos, los signos interiores deben ser cambiados. '''Ejemplos''' '''1. Resolver la expresión''' <center><math>24\times 3+15-40\div 20+7</math></center> ''Solución'': Como el ejercicio no presenta paréntesis, primero resolvemos la multiplicación, luego la división, para finalmente resolver las sumas y restas. Entonces tenemos que: <center><math>\begin{alignat}{2} 24\times 3+15-40\div 20+7 & = 72+15-2+7 \\ & = 92 \\ \end{alignat}</math></center> '''2. Resolver la expresión''' <center><math>(20+7)\div3+2\times(10-7)+1</math></center> ''Solución'': la expresión tiene paréntesis, luego empezamos resolviendo por allí, para después respetar el orden: multiplicación, división, suma, resta. Entonces tenemos que: <center><math>\begin{alignat}{2} (20+7)\div 3+2\times(10-7)+1 & = 27\div 3+2\times 3+1 \\ & = 9+6+1 \\ & = 16 \end{alignat}</math></center> '''3. Resolver la expresión''' <center><math>6\div 3 \times 2</math></center> ''Solución'': en este caso, al no haber paréntesis que separen las operaciones división y multiplicación, se resuelve de izquierda a derecha, primero resolviendo la división <math>6\div 3</math>, y luego se multiplica por <math>2</math>, teniéndose que el resultado es <math>4 </math>.<br /> '''Ejercicios''' # <math> (3+5)\div (4-1)\times 7 </math> # <math> 4\times 20\div 4 +5-1 </math> # <math> 5\div 5 \times 4 + 20 </math> # <math> 3+ [4\times (5-1)] + (4-2)</math> # <math> 2-1+[(4-1)\times 4\div 2] + 3</math> # <math> 3\times 5 \div 3 + 4 -2</math> {{AutoCat}} qwq7is3dzjfw1kpwsf5haus5y3469ko 0 53325 436837 436101 2026-10-20T11:51:29Z AAbelardoo 123302 436837 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{+ÍndiceSección}}</noinclude>[[Archivo:Subtraction01.svg|thumb| '''5 menos 2 igual al 3''']]La '''resta o sustracción''' es una operación matemática que permite calcular cuánto queda cuando quitamos una cantidad de otra. Se representa con el signo '''menos (−)'''. Por ejemplo: '''5 − 2 = 3''' Si tenemos 5 ovejas y quitamos 2, nos quedan 3 ovejas. === Ejemplo === Imaginemos que tenemos 6 ovejas en un prado y 2 se alejan. ¿Cuántas ovejas quedan? Para saberlo, restamos 2 a 6: '''6 − 2 = 4''' Por tanto, quedan 4 ovejas. === Términos de la resta === En una resta intervienen tres elementos: * '''Minuendo:''' es el número al que le quitamos una cantidad. En el ejemplo, es el 6. * '''Sustraendo:''' es el número que restamos. En el ejemplo, es el 2. * '''Diferencia o resultado:''' es el número que obtenemos al restar. En el ejemplo, es el 4. '''En resumen:''' restar consiste en quitar una cantidad de otra para averiguar cuánto queda o cuál es la diferencia entre ambos {{AutoCat}} 0gipithz0csqvem7nmmml959gkyo37d 3 61484 436826 432659 2026-10-19T21:37:30Z ~2026-56023-70 128039 [[:m:Special:GlobalBlock/SoyUnEditorRandom|Click this link]] 436826 wikitext text/x-wiki {{User talk:MdsShakil/header}} == MdsShakil, we have removed your channel from YouTube == Hi MdsShakil, We have reviewed your channel and found a violation of <b><span class="plainlinks">[https://support.google.com/youtube/answer/2802168 Circumvention policy]</span></b>. Because of this, we have removed your channel from YouTube. We know this is probably very upsetting news, but it's our job to make sure that YouTube is a safe place for all. If we think a channel severely violates our policies, we take it down to protect other users on the platform - but if you believe we've made the wrong call, you can appeal this decision. 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Sincerely,<br/>The YouTube team [[Especial:Contribuciones/~2026-56023-70|~2026-56023-70]] ([[Usuario discusión:~2026-56023-70|discusión]]) 21:37 19 oct 2026 (UTC) == MdsShakil, we've reached a decision on your appeal == Hi MdsShakil, We have reviewed your appeal for the following: Channel: <b><span class="plainlinks">[https://www.youtube.com/channel/https://www.youtube.com/channel/UChcbqsZOGuuwu_9H8evAbyQ Wikimedia Commons]</span></b> We reviewed your channel carefully, and have confirmed that it violates our Community Guidelines. We know this is probably disappointing news, but it's our job to make sure that YouTube is a safe for all. === Consequences for your channel === We won't be putting your channel back up on YouTube. 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Los conjuntos de dedos resultan prácticos; los libros de texto prefieren los conjuntos de manzanas».</ref>|272x272px]]</noinclude> === Propiedades básicas de los números naturales === ==== Suma ==== La '''suma''' es la operación matemética que resulta al reunir en una sola varias cantidades. También se conoce la suma como adición. <big><center><math> a + b = c </math></center></big> Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma. El símbolo que representa a la suma es +. '''Ejemplo''': si a la cantidad 3 le añadimos la cantidad 2, obtenemos como resultado la cantidad 5 '''<center><span style="color:blue;"><math> 3 + 2 = 5 </math></span></center>''' O bien, si tenemos 3 manzanas para comer y añadimos 2 manzanas mas obtenemos 5 manzanas para comer. ==== Multiplicación ==== La '''multiplicación''' es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número. <center>'''<big><math> a \times b = c </math></big>'''</center> Los términos de la multiplicación, a y b se denomina factores y el resultado c se denomina producto. El símbolo que representa a la multiplicación es <math>\cdot </math> ó <math> \times </math>. También suele no anotarse el símbolo de multiplicación cuando lo que quiere multiplicarse son letras<br /> <center>'''<big><math> a \cdot b = a \times b = ab </math></big>'''</center> '''Ejemplo:''' Si multiplicando es 4 y el multiplicador es 3. Luego, el cuatro debe ser sumado 3 veces y nos queda 12.<br /> <center>'''<big><big><span style="color:blue;"> <math> 4 \times 3 = 4 + 4 + 4 = 12 </math></span></big></Big>'''</center> [[Archivo:Three by Four.svg|thumb| <math> 4 \times 3=12</math>|center]] {{AutoCat}} 7evm5i4enkhdjmq1mkj6bggyc6dc732 436832 436831 2026-10-20T10:57:49Z AAbelardoo 123302 436832 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{+ÍndiceSección}}[[Archivo:Addition01.svg|thumb|3 + 2 = 5 manzanas.<ref>Según Enderton (p. 138): «...elige dos conjuntos K y L, siendo K = 2 y L = 3. Los conjuntos de dedos resultan prácticos; los libros de texto prefieren los conjuntos de manzanas».</ref>|272x272px]]</noinclude> === Propiedades básicas de los números naturales === ==== Suma ==== La '''suma''' es la operación matemética que resulta al reunir en una sola varias cantidades. También se conoce la suma como adición. <big><center><math> a + b = c </math></center></big> Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma. El símbolo que representa a la suma es +. '''Ejemplo''': si a la cantidad 3 le añadimos la cantidad 2, obtenemos como resultado la cantidad 5 '''<center><span style="color:blue;"><math> 3 + 2 = 5 </math></span></center>''' O bien, si tenemos 3 manzanas para comer y añadimos 2 manzanas mas obtenemos 5 manzanas para comer. ==== Multiplicación ==== La '''multiplicación''' es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número. <center>'''<big><math> a \times b = c </math></big>'''</center> Los términos de la multiplicación, a y b se denomina factores y el resultado c se denomina producto. El símbolo que representa a la multiplicación es <math>\cdot </math> ó <math> \times </math>. También suele no anotarse el símbolo de multiplicación cuando lo que quiere multiplicarse son letras<br /> <center>'''<big><math> a \cdot b = a \times b = ab </math></big>'''</center> '''Ejemplo:''' Si multiplicando es 4 y el multiplicador es 3. Luego, el cuatro debe ser sumado 3 veces y nos queda 12.<br /> <center>'''<big><big><span style="color:blue;"> <math> 4 \times 3 = 4 + 4 + 4 = 12 </math></span></big></Big>'''</center> [[Archivo:Three by Four.svg|thumb| <math> 4 \times 3=12</math>|center]] == Referencias == {{Listaref}} {{AutoCat}} asjwuni36rdf0syut1290o9lulghujj 0 65111 436807 2026-10-19T14:52:05Z AAbelardoo 123302 Página creada con «== Números racionales == [[Archivo:Ռացիոնալ թիվ.png|right]] En sentido amplio, se llama '''número racional''' a todo número que puede representarse como el [[w:cociente|cociente]] de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional. Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decima…» 436807 wikitext text/x-wiki == Números racionales == [[Archivo:Ռացիոնալ թիվ.png|right]] En sentido amplio, se llama '''número racional''' a todo número que puede representarse como el [[w:cociente|cociente]] de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional. Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero). [[Archivo:Fracciones.gif]] El conjunto de los números racionales se denota por <math>\mathbb{Q}</math> por "Quotient" que significa «cociente» en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los [[w:número entero|números enteros]] y es un subconjunto de los números reales. Una pregunta interesante (y muy difícil de resolver) es saber si algunos números más o menos familiares para nosotros como <math>\pi</math>, <math>e</math> o <math>\sqrt{2}</math> son números racionales (la respuesta en los casos es NO). Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una [[w:clase de equivalencia|clase de equivalencia]], resultado de la aplicación de una [[w:relación de equivalencia|relación de equivalencia]] al conjunto denúmeros fraccionarios. === Historia === En el Antiguo Egipto ya se calculaba utilizando aquéllas cuyos denominadores son enteros positivos, como: cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas, de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como [[w:fracción egipcia|fracción egipcia]]. Además, se puede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia. El [[w:jeroglífico|jeroglífico]] de una boca abierta (<hiero>D21</hiero>) denotaba la barra de fracción (/), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción. Los [[w: Historia de Babilonia|babilónicos]] utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1. Los [[w:Grecia Antigua|griegos]] y [[w:Roma Antigua|romanos]] usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval. En el siglo XIII [[w:Leonardo de Pisa|Leonardo de Pisa]], mejor conocido como Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones. === Construcción de los números racionales === Consideremos las parejas de [[w:número entero|números enteros]] <math>\left( a,b\right)</math> donde <math>b\neq 0</math> denotado por <math>\frac{a}{b}</math>, donde <math> a \, </math> se le llama ''numerador'' y a <math> b \, </math> se le llama ''denominador''.<br /> Al conjunto de estos números se le denota por <math>\mathbb{Q}</math>. Es decir <math>\mathbb{Q}=\left\{ \frac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z},q\neq0\right\}</math> # Ejemplo de la linea recta con los numeros racionales [http://www.geogebratube.org/student/m130865] Si <math>p</math> es un [[w:número entero|número entero]] entonces existe el número <math>\frac{p}{1}</math> que equivale a <math>p</math> y mantiene todas sus propiedades de entero. Es decir, se define <math>\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}:\mathbb{Z\rightarrow\mathbb{Q}},\;\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}\left(p\right)=\frac{p}{1}</math> * [[Números y Operaciones/Adición de Racionales|Adición de los Números Racionales]] * [[Números y Operaciones/Multiplicación de Racionales|Multiplicación de los Números Racionales]] ==== División de dos números racionales ==== Para dividir dos fracciones, se invierten numerador y denominador de la segunda fracción y luego se procede a multiplicar <center><math> \frac{2}{3}:\frac{6}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{6}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 6}= \frac{10}{18}=\frac{5}{9} </math></center> * [[Números y Operaciones/Dividir entre cero|¿Por qué no podemos dividir por 0?]] === Relaciones de equivalencia === * Se define la equivalencia <math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math> cuando <math> ad = bc \, </math>. Este concepto es importante porque permite explicar por qué hay infinitas maneras de representar un mismo número racional. [[Archivo:Kbruch.png|center|thumb| Un número racional que es equivalente a dos. Recuerde, hay infinitos racionales que hacen lo mismo]] ====Orden de los números racionales==== * Los números racionales positivos todos los números de la forma <math>\frac{a}{b}</math> tales que <math> ab > 0 \, </math> * Los números racionales negativos son todos los números de la forma <math>\frac{a}{b}</math> tales que <math> ab < 0 \, </math> * Se define el orden <math>\frac{a}{b}>\frac{c}{d}</math> cuando <math> ad - bc > 0 \, </math> Para números racionales que tienen el mismo denominador hay que comparar los numeradores. La fracción con mayor numerador será mayor.<ref>{{cita web |url=http://books.google.es/books?id=JmMxarhu_roC&pg=PA16&dq=Comparaci%C3%B3n+de+fracciones&hl=es&ei=BG2zTNT7O4_Jswb7oJHTDQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10&ved=0CFcQ6AEwCQ#v=onepage&q=Comparaci%C3%B3n%20de%20fracciones&f=false |título=Diversificación I, E.S.O: ámbito científico-tecnológico |fechaacceso=2012-08-30 |apellido=González López de Guereñu |nombre=Filomena |página=16 }}</ref> * Ejemplo: [[Archivo:Fraction comp2.svg]] :<math>\frac{2}{7}</math> y <math>\frac{5}{7}</math>. La segunda fracción <math>\frac{5}{7}</math> es mayor, ya que <math>5>2</math>. De dos o más números racionales que tienen igual numerador es mayor la que tiene menor denominador.<ref>{{cita web |url=http://books.google.es/books?id=7pycPLEMZ1wC&pg=PA332&dq=Comparaci%C3%B3n+de+fracciones&hl=es&ei=LHCzTNi2CYqSswbh56DYDQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7&ved=0CEoQ6AEwBjgK#v=onepage&q=Comparaci%C3%B3n%20de%20fracciones&f=false |título=Enciclopedia Alvarez-iniciacion Profesi |fechaacceso=2012-08-30 |apellido=Álvarez |nombre=A |página=333 }}</ref> * Ejemplo: [[Archivo:Fraction comp1.svg]] :<math>\frac{2}{3}</math> y <math>\frac{2}{5}</math>. La mayor es <math>\frac{2}{3}</math>, ya que <math>3<5</math>. Para fracciones con diferente numerador y denominador, se deben buscar fracciones equivalentes hallando el mínimo común denominador (reducir fracciones a común denominador). Para ello, se toma como denominador común el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores y a partir de ahí estamos en el primer caso que ya hemos visto. * Ejemplo: <math>\frac{1}{4}</math> y <math>\frac{2}{5}</math>. El mínimo común denominador es 20, resultando <math>\frac{5}{20}</math> y <math>\frac{8}{20}</math>. Como <math>5<8</math>, <math>\frac{1}{4} < \frac{2}{5}</math>. ==== Notación ==== * Los números de tipo <math>\frac{-a}{b}</math> son denotados por <math>-\frac{a}{b}</math> * Las sumas de tipo <math>\frac{a}{b}+\frac{-c}{d}</math> son denotadas por <math>\frac{a}{b}-\frac{c}{d}</math> * <math>\frac{a}{b}\frac{c}{d}</math> denota a <math>\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}</math> * Todo número <math>\frac{p}{1}</math> se denota simplemente por <math> p \, </math>. === Referencias === {{Listaref}} 8abe4y8c6lkrd00vtwj7qcm6s799vmo 436808 436807 2026-10-19T14:53:00Z AAbelardoo 123302 Añadiendo la [[Categoría:Libro:Números y operaciones]] mediante [[Wikipedia:HotCat|HotCat]] 436808 wikitext text/x-wiki == Números racionales == [[Archivo:Ռացիոնալ թիվ.png|right]] En sentido amplio, se llama '''número racional''' a todo número que puede representarse como el [[w:cociente|cociente]] de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional. Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero). [[Archivo:Fracciones.gif]] El conjunto de los números racionales se denota por <math>\mathbb{Q}</math> por "Quotient" que significa «cociente» en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los [[w:número entero|números enteros]] y es un subconjunto de los números reales. Una pregunta interesante (y muy difícil de resolver) es saber si algunos números más o menos familiares para nosotros como <math>\pi</math>, <math>e</math> o <math>\sqrt{2}</math> son números racionales (la respuesta en los casos es NO). Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una [[w:clase de equivalencia|clase de equivalencia]], resultado de la aplicación de una [[w:relación de equivalencia|relación de equivalencia]] al conjunto denúmeros fraccionarios. === Historia === En el Antiguo Egipto ya se calculaba utilizando aquéllas cuyos denominadores son enteros positivos, como: cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas, de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como [[w:fracción egipcia|fracción egipcia]]. Además, se puede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia. El [[w:jeroglífico|jeroglífico]] de una boca abierta (<hiero>D21</hiero>) denotaba la barra de fracción (/), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción. Los [[w: Historia de Babilonia|babilónicos]] utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1. Los [[w:Grecia Antigua|griegos]] y [[w:Roma Antigua|romanos]] usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval. En el siglo XIII [[w:Leonardo de Pisa|Leonardo de Pisa]], mejor conocido como Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones. === Construcción de los números racionales === Consideremos las parejas de [[w:número entero|números enteros]] <math>\left( a,b\right)</math> donde <math>b\neq 0</math> denotado por <math>\frac{a}{b}</math>, donde <math> a \, </math> se le llama ''numerador'' y a <math> b \, </math> se le llama ''denominador''.<br /> Al conjunto de estos números se le denota por <math>\mathbb{Q}</math>. Es decir <math>\mathbb{Q}=\left\{ \frac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z},q\neq0\right\}</math> # Ejemplo de la linea recta con los numeros racionales [http://www.geogebratube.org/student/m130865] Si <math>p</math> es un [[w:número entero|número entero]] entonces existe el número <math>\frac{p}{1}</math> que equivale a <math>p</math> y mantiene todas sus propiedades de entero. Es decir, se define <math>\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}:\mathbb{Z\rightarrow\mathbb{Q}},\;\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}\left(p\right)=\frac{p}{1}</math> * [[Números y Operaciones/Adición de Racionales|Adición de los Números Racionales]] * [[Números y Operaciones/Multiplicación de Racionales|Multiplicación de los Números Racionales]] ==== División de dos números racionales ==== Para dividir dos fracciones, se invierten numerador y denominador de la segunda fracción y luego se procede a multiplicar <center><math> \frac{2}{3}:\frac{6}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{6}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 6}= \frac{10}{18}=\frac{5}{9} </math></center> * [[Números y Operaciones/Dividir entre cero|¿Por qué no podemos dividir por 0?]] === Relaciones de equivalencia === * Se define la equivalencia <math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math> cuando <math> ad = bc \, </math>. Este concepto es importante porque permite explicar por qué hay infinitas maneras de representar un mismo número racional. [[Archivo:Kbruch.png|center|thumb| Un número racional que es equivalente a dos. Recuerde, hay infinitos racionales que hacen lo mismo]] ====Orden de los números racionales==== * Los números racionales positivos todos los números de la forma <math>\frac{a}{b}</math> tales que <math> ab > 0 \, </math> * Los números racionales negativos son todos los números de la forma <math>\frac{a}{b}</math> tales que <math> ab < 0 \, </math> * Se define el orden <math>\frac{a}{b}>\frac{c}{d}</math> cuando <math> ad - bc > 0 \, </math> Para números racionales que tienen el mismo denominador hay que comparar los numeradores. La fracción con mayor numerador será mayor.<ref>{{cita web |url=http://books.google.es/books?id=JmMxarhu_roC&pg=PA16&dq=Comparaci%C3%B3n+de+fracciones&hl=es&ei=BG2zTNT7O4_Jswb7oJHTDQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10&ved=0CFcQ6AEwCQ#v=onepage&q=Comparaci%C3%B3n%20de%20fracciones&f=false |título=Diversificación I, E.S.O: ámbito científico-tecnológico |fechaacceso=2012-08-30 |apellido=González López de Guereñu |nombre=Filomena |página=16 }}</ref> * Ejemplo: [[Archivo:Fraction comp2.svg]] :<math>\frac{2}{7}</math> y <math>\frac{5}{7}</math>. La segunda fracción <math>\frac{5}{7}</math> es mayor, ya que <math>5>2</math>. De dos o más números racionales que tienen igual numerador es mayor la que tiene menor denominador.<ref>{{cita web |url=http://books.google.es/books?id=7pycPLEMZ1wC&pg=PA332&dq=Comparaci%C3%B3n+de+fracciones&hl=es&ei=LHCzTNi2CYqSswbh56DYDQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7&ved=0CEoQ6AEwBjgK#v=onepage&q=Comparaci%C3%B3n%20de%20fracciones&f=false |título=Enciclopedia Alvarez-iniciacion Profesi |fechaacceso=2012-08-30 |apellido=Álvarez |nombre=A |página=333 }}</ref> * Ejemplo: [[Archivo:Fraction comp1.svg]] :<math>\frac{2}{3}</math> y <math>\frac{2}{5}</math>. La mayor es <math>\frac{2}{3}</math>, ya que <math>3<5</math>. Para fracciones con diferente numerador y denominador, se deben buscar fracciones equivalentes hallando el mínimo común denominador (reducir fracciones a común denominador). Para ello, se toma como denominador común el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores y a partir de ahí estamos en el primer caso que ya hemos visto. * Ejemplo: <math>\frac{1}{4}</math> y <math>\frac{2}{5}</math>. El mínimo común denominador es 20, resultando <math>\frac{5}{20}</math> y <math>\frac{8}{20}</math>. Como <math>5<8</math>, <math>\frac{1}{4} < \frac{2}{5}</math>. ==== Notación ==== * Los números de tipo <math>\frac{-a}{b}</math> son denotados por <math>-\frac{a}{b}</math> * Las sumas de tipo <math>\frac{a}{b}+\frac{-c}{d}</math> son denotadas por <math>\frac{a}{b}-\frac{c}{d}</math> * <math>\frac{a}{b}\frac{c}{d}</math> denota a <math>\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}</math> * Todo número <math>\frac{p}{1}</math> se denota simplemente por <math> p \, </math>. === Referencias === {{Listaref}} [[Categoría:Libro:Números y operaciones]] c1u150ko1qcxbub49jurwwdynjqv58v 436814 436808 2026-10-19T15:21:51Z AAbelardoo 123302 436814 wikitext text/x-wiki === Construcción de los números racionales === Consideremos las parejas de [[w:número entero|números enteros]] <math>\left( a,b\right)</math> donde <math>b\neq 0</math> denotado por <math>\frac{a}{b}</math>, donde <math> a \, </math> se le llama ''numerador'' y a <math> b \, </math> se le llama ''denominador''.<br /> Al conjunto de estos números se le denota por <math>\mathbb{Q}</math>. Es decir <math>\mathbb{Q}=\left\{ \frac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z},q\neq0\right\}</math> # Ejemplo de la linea recta con los numeros racionales [http://www.geogebratube.org/student/m130865] Si <math>p</math> es un [[w:número entero|número entero]] entonces existe el número <math>\frac{p}{1}</math> que equivale a <math>p</math> y mantiene todas sus propiedades de entero. Es decir, se define <math>\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}:\mathbb{Z\rightarrow\mathbb{Q}},\;\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}\left(p\right)=\frac{p}{1}</math> * [[Números y Operaciones/Adición de Racionales|Adición de los Números Racionales]] * [[Números y Operaciones/Multiplicación de Racionales|Multiplicación de los Números Racionales]] ==== División de dos números racionales ==== Para dividir dos fracciones, se invierten numerador y denominador de la segunda fracción y luego se procede a multiplicar <center><math> \frac{2}{3}:\frac{6}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{6}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 6}= \frac{10}{18}=\frac{5}{9} </math></center> * [[Números y Operaciones/Dividir entre cero|¿Por qué no podemos dividir por 0?]] === Relaciones de equivalencia === * Se define la equivalencia <math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math> cuando <math> ad = bc \, </math>. Este concepto es importante porque permite explicar por qué hay infinitas maneras de representar un mismo número racional. [[Archivo:Kbruch.png|center|thumb| Un número racional que es equivalente a dos. Recuerde, hay infinitos racionales que hacen lo mismo]] ====Orden de los números racionales==== * Los números racionales positivos todos los números de la forma <math>\frac{a}{b}</math> tales que <math> ab > 0 \, </math> * Los números racionales negativos son todos los números de la forma <math>\frac{a}{b}</math> tales que <math> ab < 0 \, </math> * Se define el orden <math>\frac{a}{b}>\frac{c}{d}</math> cuando <math> ad - bc > 0 \, </math> Para números racionales que tienen el mismo denominador hay que comparar los numeradores. La fracción con mayor numerador será mayor.<ref>{{cita web |url=http://books.google.es/books?id=JmMxarhu_roC&pg=PA16&dq=Comparaci%C3%B3n+de+fracciones&hl=es&ei=BG2zTNT7O4_Jswb7oJHTDQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10&ved=0CFcQ6AEwCQ#v=onepage&q=Comparaci%C3%B3n%20de%20fracciones&f=false |título=Diversificación I, E.S.O: ámbito científico-tecnológico |fechaacceso=2012-08-30 |apellido=González López de Guereñu |nombre=Filomena |página=16 }}</ref> * Ejemplo: [[Archivo:Fraction comp2.svg]] :<math>\frac{2}{7}</math> y <math>\frac{5}{7}</math>. La segunda fracción <math>\frac{5}{7}</math> es mayor, ya que <math>5>2</math>. De dos o más números racionales que tienen igual numerador es mayor la que tiene menor denominador.<ref>{{cita web |url=http://books.google.es/books?id=7pycPLEMZ1wC&pg=PA332&dq=Comparaci%C3%B3n+de+fracciones&hl=es&ei=LHCzTNi2CYqSswbh56DYDQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7&ved=0CEoQ6AEwBjgK#v=onepage&q=Comparaci%C3%B3n%20de%20fracciones&f=false |título=Enciclopedia Alvarez-iniciacion Profesi |fechaacceso=2012-08-30 |apellido=Álvarez |nombre=A |página=333 }}</ref> * Ejemplo: [[Archivo:Fraction comp1.svg]] :<math>\frac{2}{3}</math> y <math>\frac{2}{5}</math>. La mayor es <math>\frac{2}{3}</math>, ya que <math>3<5</math>. Para fracciones con diferente numerador y denominador, se deben buscar fracciones equivalentes hallando el mínimo común denominador (reducir fracciones a común denominador). Para ello, se toma como denominador común el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores y a partir de ahí estamos en el primer caso que ya hemos visto. * Ejemplo: <math>\frac{1}{4}</math> y <math>\frac{2}{5}</math>. El mínimo común denominador es 20, resultando <math>\frac{5}{20}</math> y <math>\frac{8}{20}</math>. Como <math>5<8</math>, <math>\frac{1}{4} < \frac{2}{5}</math>. ==== Notación ==== * Los números de tipo <math>\frac{-a}{b}</math> son denotados por <math>-\frac{a}{b}</math> * Las sumas de tipo <math>\frac{a}{b}+\frac{-c}{d}</math> son denotadas por <math>\frac{a}{b}-\frac{c}{d}</math> * <math>\frac{a}{b}\frac{c}{d}</math> denota a <math>\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}</math> * Todo número <math>\frac{p}{1}</math> se denota simplemente por <math> p \, </math>. === Referencias === {{Listaref}} [[Categoría:Libro:Números y operaciones]] 5ld7y829i96jygogvwd7tzfn51a3keo 0 65112 436820 2026-10-19T15:51:27Z AAbelardoo 123302 Página creada con «=== Propiedades de la suma y multiplicación === * La suma en <math>\mathbb{Q}</math> es asociativa, esto es:<br /> <center><math>\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{p}{q} = \left(\frac{a}{b}+\frac{p}{q}\right)+\frac{c}{d}</math></center> * La suma en <math>\mathbb{Q}</math> es conmutativa, esto es:<br /> <center><math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}</math></center> * La multiplicación en <…» 436820 wikitext text/x-wiki === Propiedades de la suma y multiplicación === * La suma en <math>\mathbb{Q}</math> es asociativa, esto es:<br /> <center><math>\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{p}{q} = \left(\frac{a}{b}+\frac{p}{q}\right)+\frac{c}{d}</math></center> * La suma en <math>\mathbb{Q}</math> es conmutativa, esto es:<br /> <center><math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}</math></center> * La multiplicación en <math>\mathbb{Q}</math> es asociativa, esto es:<br /> <center><math>\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}\times\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)\times\frac{p}{q}</math></center> * La multiplicación se distribuye en la suma, esto es: <br /> <center><math>\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)+\left(\frac{a}{b}\times\frac{p}{q}\right)</math></center> ==== Existencia de neutros e inversos ==== * Para cualquier número racional: <center><math>\frac{a}{b}</math> se cumple que <math>\frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a}{b}</math> entonces <math>\frac{0}{1}</math> es el ''neutro aditivo'' de los racionales y se le denota por <math>0</math></center> * Para cualquier número racional: <center><math>\frac{a}{b}</math> se cumple que <math>\frac{a}{b}\times\frac{1}{1}=\frac{a}{b}</math> entonces <math>\frac{1}{1}</math> es el ''neutro multiplicativo'' de los racionales y se le denota por <math>1</math></center> * Cada número racional: <center><math>\frac{a}{b}</math> tiene un inverso aditivo <math>\frac{-a}{b}</math> tal que <math>\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=0</math></center> * Cada número racional: <center><math>\frac{a}{b}</math>, con excepción de 0, tiene un inverso multiplicativo <math>\frac{b}{a}</math> tal que <math>\frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=1</math></center> 04tlnt6z50xr7n0kbne1hl68qln47aw 0 65113 436821 2026-10-19T15:53:48Z AAbelardoo 123302 Página creada con «=== Otras operaciones de los números racionales === Cuando tenemos una unidad cualquiera, nos puede interesar una parte más pequeña para tomar. Así, si tenemos una tarta para ochos comensales, y estamos cuatro personas, lo normal seria que cada persona tomase dos trozos, expresados así: <center><math>\frac{8}{8} : 4 = \frac {8}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac {8 \cdot 1}{8 \cdot 4} = \frac {8}{32} = \frac {8:4}{32:4} = \frac {2}{8}</math></center> Lo que aquí…» 436821 wikitext text/x-wiki === Otras operaciones de los números racionales === Cuando tenemos una unidad cualquiera, nos puede interesar una parte más pequeña para tomar. Así, si tenemos una tarta para ochos comensales, y estamos cuatro personas, lo normal seria que cada persona tomase dos trozos, expresados así: <center><math>\frac{8}{8} : 4 = \frac {8}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac {8 \cdot 1}{8 \cdot 4} = \frac {8}{32} = \frac {8:4}{32:4} = \frac {2}{8}</math></center> Lo que aquí se expresa es que cada persona cogería dos octavos de tarta, es decir, dos partes de las ocho que hay. Así, la parte de arriba (''2'') seria el '''numerador''', y la parte de abajo (''8''), el '''denominador'''. Existen situaciones en las que una fracción puede simplificarse dividiendo ambos términos entre un mismo número y resultar ambos valores enteros, <center><math>\frac{12}{4} = \frac{12 : 2}{4 : 2} = \frac{6}{2}</math></center> La fracción original y la reducida son equivalentes, esto quiere decir tienen el mismo valor, aunque se escriban diferentes. Si una fracción tiene términos que ya no se pueden simplificar más se denomina fracción irreducible. Hallando el máximo común divisor (M.C.D.) de los dos términos y dividiendo ambos términos por él, se llega a una fracción irreducible. '''Ejemplo:''' Hallar la fracción irreducible de <math>\frac{12}{4}</math>: <center><math>M.C.D. (12,4) = 4</math>; dividiendo:</center> <center><math>\frac{12}{4} = \frac{12 : 4}{4 : 4} = \frac{3}{1}</math></center> ==== Potenciacion de fracciones ==== Hay que decir que una potencia es aquella multiplicación donde se multiplica la base por si misma tantas veces como lo indique el exponente. Por lo que es una multiplicación de fracciones. <center><math>\left ( \frac{1}{2} \right )^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}.</math></center> En caso de que la potencia sea negativa, debemos proceder mediante la siguiente fórmula <center><math>\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}.</math></center> Esto se grafica con el siguiente ejemplo <center><math>\left ( \frac{1}{2} \right )^{-3}=\left(\frac{2}{1}\right)^3=2^3=2\cdot2\cdot2=8.</math></center> Entre las otras propiedades importantes de potenciación tenemos las siguientes a) Producto de potencias con la misma base: <center><math>\left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot\left(\frac{a}{b}\right)^n= \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n}.</math></center> Por ejemplo <center><math>\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^4= \left(\frac{2}{3}\right)^{3+4}=\left(\frac{2}{3}\right)^7=\frac{2^7}{3^7}=\frac{128}{2187}.</math></center> b) División de potencias con la misma base <center><math>\left(\frac{a}{b}\right)^m : \left(\frac{a}{b}\right)^n= \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n}.</math></center> Por ejemplo <center><math>\left(\frac{2}{3}\right)^3 : \left(\frac{2}{3}\right)^4= \left(\frac{2}{3}\right)^{3-4}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}=\frac{3}{2}.</math></center> c) Potencia de una potencia <center><math>\left(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}\right)^{n}=\left(\frac{a}{b}\right)^{mn}.</math></center> Por ejemplo <center><math>\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\right)^{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{9}= \frac{1}{512}.</math></center> d) Producto de potencias con el mismo exponente <center><math>\left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot\left(\frac{c}{d}\right)^m= \left(\frac{ac}{bd}\right)^{m}.</math></center> Por ejemplo <center><math>\left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot\left(\frac{3}{5}\right)^4= \left(\frac{2}{5}\right)^{4}=\frac{2^4}{5^4}=\frac{16}{625}.</math></center> ==== Radicalización de fracciones ==== La radicalización es el proceso inverso a la potenciación. Para radicalizar una fracción, se extrae la raiz enesíma al numerador y denominador. <center><math>\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}</math><br><br><math>\sqrt{\frac{16}{20}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{20}} = \frac{4}{\sqrt{20}}</math></center> ==== Racionalización ==== En el caso anterior, comprobamos que el denominador tenía una raíz cuadrada en su denominador. Para evitar tal situación, se debe multiplicar la raíz en el denominador consigo misma y por el numerador para así eliminar la raíz. <center><math>\frac{4 \cdot \sqrt{20}}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20}}= \frac{4\sqrt{20}}{20} = \frac{\sqrt{20}}{5}</math></center> Existe otro caso en el que el denominador tiene una suma de un número entero con un radical. Para racionalizar, debemos multiplicar por su conjugado (esto es, los mismos elementos pero con el signo cambiado), para así eliminar la raíz del denominador. <center><math>\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} = \frac{(3-\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})} = \frac{(3-\sqrt{2})^2}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})} = \frac{9+2-6\sqrt{2}}{9-2} = \frac{11-6\sqrt{2}}{7}</math></center> mwn32goahhgbq8ulurfcideaimos8f4 0 65114 436822 2026-10-19T15:54:49Z AAbelardoo 123302 Página creada con «=== Expresión decimal === [[Archivo:Recta real entero o decimal exacto.png]]<br /> Es posible expresar una fracción como número decimal dividiendo el numerador entre el denominador: '''Ejemplos:''' ::<math>\frac{1}{2} = 1 : 2 = 0,5</math> ::<math>\frac{2}{3} = 2 : 3 = 0,666...</math> En las fracciones con denominador 10, 100, 1000, 10000... se recorrerá el punto hacia la izquierda tantos lugares como cifras cero haya. * Un número decimal es un número racio…» 436822 wikitext text/x-wiki === Expresión decimal === [[Archivo:Recta real entero o decimal exacto.png]]<br /> Es posible expresar una fracción como número decimal dividiendo el numerador entre el denominador: '''Ejemplos:''' ::<math>\frac{1}{2} = 1 : 2 = 0,5</math> ::<math>\frac{2}{3} = 2 : 3 = 0,666...</math> En las fracciones con denominador 10, 100, 1000, 10000... se recorrerá el punto hacia la izquierda tantos lugares como cifras cero haya. * Un número decimal es un número racional de la forma <math>\frac{a}{10^n}</math> * <math>\mathbb{D}</math> denota al conjunto de los números de este tipo. Es decir <math>\mathbb{D}=\left\{\frac{a}{10^n}\mid \frac{a}{10^n}\in\mathbb{Q}\right\}</math> * ''Expresión Racional'' de un número decimal: el número <math>a</math> en base <math>10</math> con un punto a <math>n</math> lugares del extremo derecho, por ejemplo <math>\frac{178}{10^2}</math> se denota como <math>1.78</math> '''Ejemplo''' ::<math>\frac{53}{1000} = 0.053</math> ::<math>\frac{4}{10} = 0.4</math> ::<math>\frac{4567}{100} = 45.67</math> === Representación decimal de los números racionales === Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos: * '''Exacta o decimal finito:''' la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo: ::<math>\frac 8 5 = 1,6</math> * '''Periódica pura o decimal finito periódico:''' toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo: ::<math>\begin{array}{rcl}\cfrac 1 7&=&0,142857142857\dots\\&=&0,\overline{142857}\end{array}</math> * '''Periódica mixta o decimal finito semiperiódico:''' no toda la parte decimal se repite. Ejemplo: ::<math>\begin{array}{rcl}\cfrac 1 {60}&=&0,01666\dots\\&=&0,01\overline{6}\end{array}</math> En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo: :<math>\begin{array}{r} 0,1428571\ldots\\ 7\overline{)10\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,}\\ 30\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\ 20\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\ 60\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\ 40\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\ 50\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\ 10\;\,\;\,\;\,\;\,\\ \vdots\;\,\;\,\;\,\;\, \end{array} </math> Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera: * '''Léase el artículo entero en Wikipedia: [[w:Número Periódico|Número Periódico]]''' * '''Decimales exactos o finitos''': Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. Ejemplo: <math>34,65 = \frac{3465}{100}</math> * '''Decimales periódicos puros''': La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo: <math>15,3434\dots=\frac{1534-15}{99}</math> * '''Decimales periódicos mixtos''': Tendrá como numerador la diferencia entre <math>a</math> y <math>b</math>, donde <math>a</math> es el número escrito sin la coma, y <math>b</math> es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número <math>12,345676767\dots</math> entonces <math>a=1234567 \,</math> y <math>b=12345 \,</math>, por lo que el número buscado será <math>{1234567-12345}\over{99000}</math>. === Valor absoluto para números racionales e irracionales === Ya hemos estudiado la función valor absoluto pero trabajar con números racionales e irracionales, aumenta el tipo de problemas y da complejidad al estudio que debemos hacer. Ejemplos <math> (a)\left|\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}.</math> <math> (b)\left|\frac{-3}{5}\right|=\frac{3}{5}.</math> <math> (c)\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}.</math> <math> (d)\left|\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}.</math> Esto ocurre pues <math>\sqrt{3}-1>0.</math> <math> (e)\left|-\frac{2}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right|= \left|1+\sqrt{3}\right|=1+\sqrt{3}.</math> === Potencias === Es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales <big>base <math> 2^{3} </math>^exponente </big> * La base corresponde al factor que se repite. * El exponente indica cuantas veces debe repetirse dicho factor * Se lee 2 elevado a 3. Ejemplo <math> 2^{3} = 2 x 2 x 2 = 8 </math> '''Potencia en base 10''' Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros indica el exponente. Ejemplo <math> 10^{3}= 10 x 10 x 10 = 1000 </math> '''Multiplicación de potencias de igual base''' El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de sus exponentes. Ejemplo <math> 2^{3} x 2^{2} x 2^{4} = 2^{3 + 2 + 4} = 2^{9} </math> '''División de potencias de igual base''' El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes. Ejemplo <math> 2^{6} : 2^{3} = 2^{6 - 3}= 2^{3} </math> '''Potencia de una potencia''' La potencia de una potencia es otra potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. Ejemplo <math> (3^{3})^{2} = 3^{3 x 2}= 3^{6} </math> '''Potencia de base fraccionaria y exponente natural''' Para elevar una fracción a una potenciase eleva tanto el numerador como el denominador al exponente. Ejemplo <math> (\frac{2}{4})^{2}= \frac{2}{4} x \frac{2}{4} = \frac{4}{16} </math> == Referencias == {{Listaref}} [[Categoría:Libro:Números y operaciones]] st7wx7jyfj24kzxjniz5rpu1qsy1hh0 1 65115 436830 2026-10-20T10:51:52Z AAbelardoo 123302 Sección nueva: /* Cambio a formato más sencillo */ 436830 wikitext text/x-wiki == Cambio a formato más sencillo == Hola: Voy a sustituir el formato antiguo por el nuevo, si nadie se opone, El nuevo está debajo en la misma página. Saludos [[Usuario:AAbelardoo|AAbelardoo]] ([[Usuario discusión:AAbelardoo|discusión]]) 10:51 20 oct 2026 (UTC) 8ail1gttkrf3edzghfzdj1srqy34u22