LAHEMATE

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="et">
  <siteinfo>
    <sitename>Vikiõpikud</sitename>
    <dbname>etwikibooks</dbname>
    <base>https://et.wikibooks.org/wiki/Esileht</base>
    <generator>MediaWiki 1.47.0-wmf.21</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Meedia</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Eri</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Arutelu</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Kasutaja</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Kasutaja arutelu</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Vikiõpikud</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Vikiõpikute arutelu</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Fail</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Faili arutelu</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">MediaWiki arutelu</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Mall</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Malli arutelu</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Juhend</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Juhendi arutelu</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Kategooria</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Kategooria arutelu</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Moodul</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Mooduli arutelu</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Üritus</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Ürituse arutelu</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>LAHEMATE</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4250</id>
    <revision>
      <id>20310</id>
      <timestamp>2026-09-27T12:26:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>Uus lehekülg: '&lt;div style=&quot;font-family:Helvetica,Arial,sans-serif;margin-bottom:{{{margin-bottom|50px}}};&quot;&gt;  &lt;div style=&quot;padding:10px 40px;background:gray;color:#6cc8f3;font-size:300%;&quot;&gt; '''LAHEMATE: matemaatilise probleemilahenduse õpetamise käsiraamat'''&lt;br/&gt;&lt;span style=&quot;font-size:40%;color:white;&quot; &gt;Käesoleva vikiõpiku esimene prototüüp sündis LAHEMATE projekti raames 2026.a. &lt;/span&gt;  &lt;/div&gt;&lt;br/&gt;   &lt;div style=&quot;font-size:120%;text-align:center;&quot;&gt;{{#if:{{{Sisukord}}} |Sisukord }}&lt;/...'</comment>
      <origin>20310</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1600" sha1="q5g9j7scpiinffvpsb54pd9grreiuoc" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;font-family:Helvetica,Arial,sans-serif;margin-bottom:{{{margin-bottom|50px}}};&quot;&gt;
 &lt;div style=&quot;padding:10px 40px;background:gray;color:#6cc8f3;font-size:300%;&quot;&gt;
'''LAHEMATE: matemaatilise probleemilahenduse õpetamise käsiraamat'''&lt;br/&gt;&lt;span style=&quot;font-size:40%;color:white;&quot; &gt;Käesoleva vikiõpiku esimene prototüüp sündis LAHEMATE projekti raames 2026.a. &lt;/span&gt;
 &lt;/div&gt;&lt;br/&gt;

 &lt;div style=&quot;font-size:120%;text-align:center;&quot;&gt;{{#if:{{{Sisukord}}} |Sisukord }}&lt;/div&gt;
&lt;p&gt;
[[Sissejuhatus]]
[[1.Mis on matemaatiline probleemilahendus ja probleemülesanne?]]&lt;br&gt;
[[2.Matemaatilise probleemilahenduse õppemeetodite uurimine, arendamine ja juurutamine koolides]]&lt;br&gt;
[[3.Singapuri koolkond: Toh jt MProSE lähenemine]]&lt;br&gt;
[[4.Kalifornia koolkond: Jo Boaler'i matemaatiline mõtteviis]]&lt;br&gt;
[[5.Kanada koolkond: Peter Liljedahl'i mõtlev klassiruum]]&lt;br&gt;
[[6.Soovitused õpetajatele]]&lt;br&gt;
[[Kasutatud ja soovituslik kirjandus]]&lt;br&gt;

&lt;br&gt;


&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Selle käsiraamatu koostajateks on LAHEMATE projektimeeskond Mart Laanpere juhtimisel. Käsiraamatu koostamisel on kasutatud tehisintellekti abi ideekorjeks, prototüüpimiseks, teadustekstidest eestikeelsete lühikokkuvõtete koostamiseks ja õigekeelsuse kontrolliks.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Igas peatüki tekstis sisalduvad veebiviiteid välistele allikatele süvendatud lugemiseks ja peatüki lõpul teemaga seonduvat täiendavat lugemist teadusartiklite ja muude relevantsete näidete kujul. &lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Parandus- ja täiendusettepanekud lugejate poolt on teretulnud, saatke need Mart Laanperele või lisage käsiraamatu sobiva lehe &quot;Arutelu&quot; rubriiki. &lt;/p&gt;</text>
      <sha1>q5g9j7scpiinffvpsb54pd9grreiuoc</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20311</id>
      <parentid>20310</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T12:28:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20311</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1629" sha1="i4cmzraq3rqlt8lmzxly8s1gfsxgzb4" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;font-family:Helvetica,Arial,sans-serif;margin-bottom:{{{margin-bottom|50px}}};&quot;&gt;
 &lt;div style=&quot;padding:10px 40px;background:gray;color:#6cc8f3;font-size:300%;&quot;&gt;
'''LAHEMATE: matemaatilise probleemilahenduse õpetamise käsiraamat'''&lt;br/&gt;&lt;span style=&quot;font-size:40%;color:white;&quot; &gt;Käsiraamatu prototüüp sündis LAHEMATE projekti raames 2026.a. &lt;/span&gt;
 &lt;/div&gt;&lt;br/&gt;

 &lt;div style=&quot;font-size:120%;text-align:center;&quot;&gt;{{#if:{{{Sisukord}}} |Sisukord }}&lt;/div&gt;
&lt;p&gt;
[[Sissejuhatus]]&lt;br&gt;
[[1.Mis on matemaatiline probleemilahendus ja probleemülesanne?]]&lt;br&gt;
[[2.Matemaatilise probleemilahenduse õppemeetodite uurimine, arendamine ja juurutamine koolides]]&lt;br&gt;
[[3.Singapuri koolkond: Toh jt MProSE lähenemine]]&lt;br&gt;
[[4.Kalifornia koolkond: Jo Boaler'i matemaatiline mõtteviis]]&lt;br&gt;
[[5.Kanada koolkond: Peter Liljedahl'i mõtlev klassiruum]]&lt;br&gt;
[[6.Juhtumiuuringud Eesti koolidest]]&lt;br&gt;
[[7.Soovitused õpetajatele]]&lt;br&gt;
[[Kasutatud ja soovituslik kirjandus]]&lt;br&gt;

&lt;br&gt;


&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Selle käsiraamatu koostajateks on LAHEMATE projektimeeskond Mart Laanpere juhtimisel. Käsiraamatu koostamisel on kasutatud tehisintellekti abi ideekorjeks, prototüüpimiseks, teadustekstidest eestikeelsete lühikokkuvõtete koostamiseks ja õigekeelsuse kontrolliks.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Igas peatüki tekstis sisalduvad veebiviiteid välistele allikatele süvendatud lugemiseks ja peatüki lõpul teemaga seonduvat täiendavat lugemist teadusartiklite ja muude relevantsete näidete kujul. &lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Parandus- ja täiendusettepanekud lugejate poolt on teretulnud, saatke need Mart Laanperele või lisage käsiraamatu sobiva lehe &quot;Arutelu&quot; rubriiki. &lt;/p&gt;</text>
      <sha1>i4cmzraq3rqlt8lmzxly8s1gfsxgzb4</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20332</id>
      <parentid>20311</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T14:36:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20332</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1646" sha1="6idq69fijjblop1aajj5k05a8z9bh1z" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;font-family:Helvetica,Arial,sans-serif;margin-bottom:{{{margin-bottom|50px}}};&quot;&gt;
 &lt;div style=&quot;padding:10px 40px;background:gray;color:#6cc8f3;font-size:300%;&quot;&gt;
'''LAHEMATE: matemaatilise probleemilahenduse õpetamise käsiraamat'''&lt;br/&gt;&lt;span style=&quot;font-size:40%;color:white;&quot; &gt;Käsiraamatu prototüüp sündis LAHEMATE projekti raames 2026.a. &lt;/span&gt;
 &lt;/div&gt;&lt;br/&gt;

 &lt;div style=&quot;font-size:120%;text-align:center;&quot;&gt;{{#if:{{{Sisukord}}} |Sisukord }}&lt;/div&gt;
&lt;p&gt;
[[Sissejuhatus]]&lt;br&gt;
[[1.Mis on matemaatiline probleemilahendus ja probleemülesanne?]]&lt;br&gt;
[[2.Teadlaste pilguga: matemaatilise probleemilahenduse uurimine, arendamine ja juurutamine koolides tänapäeval]]&lt;br&gt;
[[3.Singapuri koolkond: Toh jt MProSE lähenemine]]&lt;br&gt;
[[4.Kalifornia koolkond: Jo Boaler'i matemaatiline mõtteviis]]&lt;br&gt;
[[5.Kanada koolkond: Peter Liljedahl'i mõtlev klassiruum]]&lt;br&gt;
[[6.Juhtumiuuringud Eesti koolidest]]&lt;br&gt;
[[7.Soovitused õpetajatele]]&lt;br&gt;
[[Kasutatud ja soovituslik kirjandus]]&lt;br&gt;

&lt;br&gt;


&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Selle käsiraamatu koostajateks on LAHEMATE projektimeeskond Mart Laanpere juhtimisel. Käsiraamatu koostamisel on kasutatud tehisintellekti abi ideekorjeks, prototüüpimiseks, teadustekstidest eestikeelsete lühikokkuvõtete koostamiseks ja õigekeelsuse kontrolliks.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Igas peatüki tekstis sisalduvad veebiviiteid välistele allikatele süvendatud lugemiseks ja peatüki lõpul teemaga seonduvat täiendavat lugemist teadusartiklite ja muude relevantsete näidete kujul. &lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Parandus- ja täiendusettepanekud lugejate poolt on teretulnud, saatke need Mart Laanperele või lisage käsiraamatu sobiva lehe &quot;Arutelu&quot; rubriiki. &lt;/p&gt;</text>
      <sha1>6idq69fijjblop1aajj5k05a8z9bh1z</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Sissejuhatus</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4251</id>
    <revision>
      <id>20312</id>
      <timestamp>2026-09-27T12:32:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>Uus lehekülg: 'Matemaatiline probleemilahendus on tänapäevase koolimatemaatika olulisim ja ilmselt ka suuremaid väljakutseid pakkuv osa nii õpetajate kui õpilaste jaoks. Uuendatud 2024. aasta riiklik õppekava seab probleemilahendusoskuse arendamise kesksele kohale – see on põhikooli matemaatika ainekavas lisandunud tavapäraste koolimatemaatika peateemade (arvutamine, andmed, algebra, geomeetria) kõrvale eraldiseisva teemana (Haridus- ja teadusministeerium, 2024). Probleemilahen...'</comment>
      <origin>20312</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1291" sha1="gewm1od9pe69rv18p1a9zvtn00qrjtv" xml:space="preserve">Matemaatiline probleemilahendus on tänapäevase koolimatemaatika olulisim ja ilmselt ka
suuremaid väljakutseid pakkuv osa nii õpetajate kui õpilaste jaoks. Uuendatud 2024. aasta riiklik
õppekava seab probleemilahendusoskuse arendamise kesksele kohale – see on põhikooli
matemaatika ainekavas lisandunud tavapäraste koolimatemaatika peateemade (arvutamine,
andmed, algebra, geomeetria) kõrvale eraldiseisva teemana (Haridus- ja teadusministeerium,
2024). Probleemilahenduse õpetamise eesmärgiks ei ole ainult õigete vastuste leidmine ühe
ainuõige lahendusalgoritmi mehaanilise rakendamise teel, vaid õpilaste mõtlemisoskuste,
loovuse, püsivuse ja metakognitiivse teadlikkuse kujundamine. Tegelikult pole see ju uudis, sest
juba oma matemaatikaõpikus „[https://www.etera.ee/s/qDHvJ9vz3z Mõistlik rehkendaja. Kõigile rehkendamise sõpradele, iseäraniskoolmeistritele ning koolidele tuluks ning toeks]“ (1874) rõhutas R.G. Kallas didaktilist printsiipi:
„''Hoia vana surnud masina viisi rehkendamise eest''“. Probleemilahendus on matemaatilise
mõtlemise kõige olulisem väljendusviis: see ühendab teadmised, oskused ja hoiakud,
võimaldades õpilastel rakendada matemaatikas õpitut eluliste ja avatud olukordade
analüüsimisel, tõlgendamisel ja lahendamisel.</text>
      <sha1>gewm1od9pe69rv18p1a9zvtn00qrjtv</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20313</id>
      <parentid>20312</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T12:34:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20313</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1338" sha1="0fca4ogfxax59j2nmknwipa5d7hfoyo" xml:space="preserve">Matemaatiline probleemilahendus on tänapäevase koolimatemaatika olulisim ja ilmselt ka
suuremaid väljakutseid pakkuv osa nii õpetajate kui õpilaste jaoks. Uuendatud 2024. aasta [https://oppekava.ee/pohikool-2023/ põhikooli riiklikõppekava] seab probleemilahendusoskuse arendamise kesksele kohale – see on põhikooli
matemaatika ainekavas lisandunud tavapäraste koolimatemaatika peateemade (arvutamine,
andmed, algebra, geomeetria) kõrvale eraldiseisva teemana (Haridus- ja teadusministeerium,
2024). Probleemilahenduse õpetamise eesmärgiks ei ole ainult õigete vastuste leidmine ühe
ainuõige lahendusalgoritmi mehaanilise rakendamise teel, vaid õpilaste mõtlemisoskuste,
loovuse, püsivuse ja metakognitiivse teadlikkuse kujundamine. Tegelikult pole see ju uudis, sest
juba oma matemaatikaõpikus „[https://www.etera.ee/s/qDHvJ9vz3z Mõistlik rehkendaja. Kõigile rehkendamise sõpradele, iseäraniskoolmeistritele ning koolidele tuluks ning toeks]“ (1874) rõhutas R.G. Kallas didaktilist printsiipi:
„''Hoia vana surnud masina viisi rehkendamise eest''“. Probleemilahendus on matemaatilise
mõtlemise kõige olulisem väljendusviis: see ühendab teadmised, oskused ja hoiakud,
võimaldades õpilastel rakendada matemaatikas õpitut eluliste ja avatud olukordade
analüüsimisel, tõlgendamisel ja lahendamisel.</text>
      <sha1>0fca4ogfxax59j2nmknwipa5d7hfoyo</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20314</id>
      <parentid>20313</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T12:34:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20314</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1339" sha1="157s8pk4ukj3l187pd80vzqvlnow4ww" xml:space="preserve">Matemaatiline probleemilahendus on tänapäevase koolimatemaatika olulisim ja ilmselt ka
suuremaid väljakutseid pakkuv osa nii õpetajate kui õpilaste jaoks. Uuendatud 2024. aasta [https://oppekava.ee/pohikool-2023/ põhikooli riiklik õppekava] seab probleemilahendusoskuse arendamise kesksele kohale – see on põhikooli
matemaatika ainekavas lisandunud tavapäraste koolimatemaatika peateemade (arvutamine,
andmed, algebra, geomeetria) kõrvale eraldiseisva teemana (Haridus- ja teadusministeerium,
2024). Probleemilahenduse õpetamise eesmärgiks ei ole ainult õigete vastuste leidmine ühe
ainuõige lahendusalgoritmi mehaanilise rakendamise teel, vaid õpilaste mõtlemisoskuste,
loovuse, püsivuse ja metakognitiivse teadlikkuse kujundamine. Tegelikult pole see ju uudis, sest
juba oma matemaatikaõpikus „[https://www.etera.ee/s/qDHvJ9vz3z Mõistlik rehkendaja. Kõigile rehkendamise sõpradele, iseäraniskoolmeistritele ning koolidele tuluks ning toeks]“ (1874) rõhutas R.G. Kallas didaktilist printsiipi:
„''Hoia vana surnud masina viisi rehkendamise eest''“. Probleemilahendus on matemaatilise
mõtlemise kõige olulisem väljendusviis: see ühendab teadmised, oskused ja hoiakud,
võimaldades õpilastel rakendada matemaatikas õpitut eluliste ja avatud olukordade
analüüsimisel, tõlgendamisel ja lahendamisel.</text>
      <sha1>157s8pk4ukj3l187pd80vzqvlnow4ww</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>1.Mis on matemaatiline probleemilahendus ja probleemülesanne?</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4252</id>
    <revision>
      <id>20315</id>
      <timestamp>2026-09-27T12:41:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>Uus lehekülg: 'Matemaatiline probleemilahendus tähendab üldjuhul teatud tüüpi ülesannete lahendamist. Probleemülesanne on selline matemaatikaülesanne, mille lahendamiseks ei piisa harjunud algoritmide ega etteantud lahenduskäikude rakendamisest. Õpilane peab analüüsima olukorda, leidma sobiva strateegia ning põhjendama oma valikuid. Seega erineb probleemülesanne rutiinsest harjutusest või faktiteadmise kontrollist: harjutus keskendub oskuse automatiseerimisele, küsimus tead...'</comment>
      <origin>20315</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1705" sha1="oh0rptaoydk56qksc6whyzwm7ia2x9r" xml:space="preserve">Matemaatiline probleemilahendus tähendab üldjuhul teatud tüüpi ülesannete lahendamist. Probleemülesanne on selline matemaatikaülesanne, mille lahendamiseks ei piisa harjunud
algoritmide ega etteantud lahenduskäikude rakendamisest. Õpilane peab analüüsima olukorda,
leidma sobiva strateegia ning põhjendama oma valikuid. Seega erineb probleemülesanne
rutiinsest harjutusest või faktiteadmise kontrollist: harjutus keskendub oskuse
automatiseerimisele, küsimus teadmise meenutamisele, kuid probleemülesanne – nagu rõhutab
Pólya (1945) ja hiljem Schoenfeld (1992) – eeldab mõtlemisoperatsioonide jada, mis viib (antud
õpilase jaoks) uue, mitterutiinse lahendusviisi või teadmise konstueerimise ja rakendamiseni.
Liljedahl (2021) pakub lihtsa definitsiooni probleemilahendusele: see on ekslev, mittelineaarne
tegevus, mida me teeme siis, kui me ei tea, mida teha. Ta nimetab probleemülesandeid
mitterutiinseteks ülesanneteks, sest need nõuavad õpilastelt oma teadmiste kasutamist varem
harjutatust erineval viisil. Head probleemülesanded nõuavad õpilastelt mitmekesiseid
matemaatilisi teadmisi ja nende kombineerimist looval viisil (Liljedahl, 2021). Ka Lea ja Tiit
Lepmann (1995) peavad probleemülesande eripäraks seda, et lahendajal puudub valmisretsept
lahenduse leidmiseks, samas kui harjutuse puhul on õige lahendusalgoritm ette teada. Allpool vaatleme erinevate võtmeautorite käsitlusi matemaatilisest probleemilahendusest ajalises järjestuses, tuues esile nende käsitluste omavahelised seosed, sarnasused ja erinevused. 

[[1.1.Pólya: kuidas seda lahendada?]]&lt;br&gt;
[[1.2.Schoenfeld: ]]&lt;br&gt;
[[1.3.Jonassen: probleemülesannete tüübid, koostamine, hindamine]]&lt;br&gt;</text>
      <sha1>oh0rptaoydk56qksc6whyzwm7ia2x9r</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20318</id>
      <parentid>20315</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T12:55:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20318</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1751" sha1="466l4etu20dg5oei1i04zs8j7iokpzg" xml:space="preserve">Matemaatiline probleemilahendus tähendab üldjuhul teatud tüüpi ülesannete lahendamist. Probleemülesanne on selline matemaatikaülesanne, mille lahendamiseks ei piisa harjunud
algoritmide ega etteantud lahenduskäikude rakendamisest. Õpilane peab analüüsima olukorda,
leidma sobiva strateegia ning põhjendama oma valikuid. Seega erineb probleemülesanne
rutiinsest harjutusest või faktiteadmise kontrollist: harjutus keskendub oskuse
automatiseerimisele, küsimus teadmise meenutamisele, kuid probleemülesanne – nagu rõhutab
Pólya (1945) ja hiljem Schoenfeld (1992) – eeldab mõtlemisoperatsioonide jada, mis viib (antud
õpilase jaoks) uue, mitterutiinse lahendusviisi või teadmise konstueerimise ja rakendamiseni.
Liljedahl (2021) pakub lihtsa definitsiooni probleemilahendusele: see on ekslev, mittelineaarne
tegevus, mida me teeme siis, kui me ei tea, mida teha. Ta nimetab probleemülesandeid
mitterutiinseteks ülesanneteks, sest need nõuavad õpilastelt oma teadmiste kasutamist varem
harjutatust erineval viisil. Head probleemülesanded nõuavad õpilastelt mitmekesiseid
matemaatilisi teadmisi ja nende kombineerimist looval viisil (Liljedahl, 2021). Ka Lea ja Tiit
Lepmann (1995) peavad probleemülesande eripäraks seda, et lahendajal puudub valmisretsept
lahenduse leidmiseks, samas kui harjutuse puhul on õige lahendusalgoritm ette teada. Allpool vaatleme erinevate võtmeautorite käsitlusi matemaatilisest probleemilahendusest ajalises järjestuses, tuues esile nende käsitluste omavahelised seosed, sarnasused ja erinevused. 

[[1.1.Pólya: kuidas seda lahendada?]]&lt;br&gt;
[[1.2.Schoenfeld: metakognitsioon ja hoiakud probleemilahenduses]]&lt;br&gt;
[[1.3.Jonassen: probleemülesannete tüübid, koostamine, hindamine]]&lt;br&gt;</text>
      <sha1>466l4etu20dg5oei1i04zs8j7iokpzg</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20325</id>
      <parentid>20318</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T13:43:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20325</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1821" sha1="phfhc6tj0ruex11szeo6wxclp6ofse4" xml:space="preserve">Matemaatiline probleemilahendus tähendab üldjuhul teatud tüüpi ülesannete lahendamist. Probleemülesanne on selline matemaatikaülesanne, mille lahendamiseks ei piisa harjunud
algoritmide ega etteantud lahenduskäikude rakendamisest. Õpilane peab analüüsima olukorda,
leidma sobiva strateegia ning põhjendama oma valikuid. Seega erineb probleemülesanne
rutiinsest harjutusest või faktiteadmise kontrollist: harjutus keskendub oskuse
automatiseerimisele, küsimus teadmise meenutamisele, kuid probleemülesanne – nagu rõhutab
Pólya (1945) ja hiljem Schoenfeld (1992) – eeldab mõtlemisoperatsioonide jada, mis viib (antud
õpilase jaoks) uue, mitterutiinse lahendusviisi või teadmise konstueerimise ja rakendamiseni.
Liljedahl (2021) pakub lihtsa definitsiooni probleemilahendusele: see on ekslev, mittelineaarne
tegevus, mida me teeme siis, kui me ei tea, mida teha. Ta nimetab probleemülesandeid
mitterutiinseteks ülesanneteks, sest need nõuavad õpilastelt oma teadmiste kasutamist varem
harjutatust erineval viisil. Head probleemülesanded nõuavad õpilastelt mitmekesiseid
matemaatilisi teadmisi ja nende kombineerimist looval viisil (Liljedahl, 2021). Ka Lea ja Tiit
Lepmann (1995) peavad probleemülesande eripäraks seda, et lahendajal puudub valmisretsept
lahenduse leidmiseks, samas kui harjutuse puhul on õige lahendusalgoritm ette teada. Allpool vaatleme erinevate võtmeautorite käsitlusi matemaatilisest probleemilahendusest ajalises järjestuses, tuues esile nende käsitluste omavahelised seosed, sarnasused ja erinevused. 

[[1.1.Pólya: kuidas seda lahendada?]]&lt;br&gt;
[[1.2.Schoenfeld: metakognitsioon ja hoiakud probleemilahenduses]]&lt;br&gt;
[[1.3.Jonassen: probleemülesannete tüübid, koostamine, hindamine]]&lt;br&gt;
[[1.4.TIMSS ja PISA uuringute käsitlused probleemülesannetest]]&lt;br&gt;</text>
      <sha1>phfhc6tj0ruex11szeo6wxclp6ofse4</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20327</id>
      <parentid>20325</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T13:52:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20327</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1909" sha1="2cj4xbdqov30nb0r505i0ymkmdnq5j0" xml:space="preserve">Matemaatiline probleemilahendus tähendab üldjuhul teatud tüüpi ülesannete lahendamist. Probleemülesanne on selline matemaatikaülesanne, mille lahendamiseks ei piisa harjunud
algoritmide ega etteantud lahenduskäikude rakendamisest. Õpilane peab analüüsima olukorda,
leidma sobiva strateegia ning põhjendama oma valikuid. Seega erineb probleemülesanne
rutiinsest harjutusest või faktiteadmise kontrollist: harjutus keskendub oskuse
automatiseerimisele, küsimus teadmise meenutamisele, kuid probleemülesanne – nagu rõhutab
Pólya (1945) ja hiljem Schoenfeld (1992) – eeldab mõtlemisoperatsioonide jada, mis viib (antud
õpilase jaoks) uue, mitterutiinse lahendusviisi või teadmise konstueerimise ja rakendamiseni.
Liljedahl (2021) pakub lihtsa definitsiooni probleemilahendusele: see on ekslev, mittelineaarne
tegevus, mida me teeme siis, kui me ei tea, mida teha. Ta nimetab probleemülesandeid
mitterutiinseteks ülesanneteks, sest need nõuavad õpilastelt oma teadmiste kasutamist varem
harjutatust erineval viisil. Head probleemülesanded nõuavad õpilastelt mitmekesiseid
matemaatilisi teadmisi ja nende kombineerimist looval viisil (Liljedahl, 2021). Ka Lea ja Tiit
Lepmann (1995) peavad probleemülesande eripäraks seda, et lahendajal puudub valmisretsept
lahenduse leidmiseks, samas kui harjutuse puhul on õige lahendusalgoritm ette teada. Allpool vaatleme erinevate võtmeautorite käsitlusi matemaatilisest probleemilahendusest ajalises järjestuses, tuues esile nende käsitluste omavahelised seosed, sarnasused ja erinevused. 

[[1.1.Pólya: kuidas seda lahendada?]]&lt;br&gt;
[[1.2.Schoenfeld: metakognitsioon ja hoiakud probleemilahenduses]]&lt;br&gt;
[[1.3.Jonassen: probleemülesannete tüübid, koostamine, hindamine]]&lt;br&gt;
[[1.4.TIMSS ja PISA uuringute käsitlused probleemülesannetest]]&lt;br&gt;
[[1.5.Probleemilahendus Eesti põhikooli riikliku õppekava matemaatika ainekavas]]&lt;br&gt;</text>
      <sha1>2cj4xbdqov30nb0r505i0ymkmdnq5j0</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>1.1.Pólya: kuidas seda lahendada?</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4253</id>
    <revision>
      <id>20316</id>
      <timestamp>2026-09-27T12:49:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>Uus lehekülg: 'George Pólya raamatu „[[https://en.wikipedia.org/wiki/How_to_Solve_It|How to Solve It]]“ (1945; eesti keeles „[https://www.ester.ee/record=b1538228*est Kuidas seda lahendada]“, 2001) keskne küsimus on, kuidas õppida ja õpetada probleemide lahendamist. Pólya eristab nelja etappi: probleemi mõistmine, lahendusplaani koostamine, plaani teostamine ning lahendusele tagasivaatamine. Etappe toetavad küsimused, mis aitavad lahendajal oma mõtlemist suunata. Neid ei t...'</comment>
      <origin>20316</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9165" sha1="co4gstiw5umjpcnm115yl3tjy1pzf2k" xml:space="preserve">George Pólya raamatu „[[https://en.wikipedia.org/wiki/How_to_Solve_It|How to Solve It]]“ (1945; eesti keeles „[https://www.ester.ee/record=b1538228*est Kuidas seda lahendada]“, 2001) keskne küsimus on, kuidas õppida ja õpetada probleemide lahendamist. Pólya eristab nelja etappi: probleemi mõistmine, lahendusplaani koostamine, plaani teostamine ning lahendusele tagasivaatamine. Etappe toetavad küsimused, mis aitavad lahendajal oma mõtlemist suunata. Neid ei tule käsitada jäiga järjestusena: lahenduskatse võib näidata, et ülesannet tuleb uuesti tõlgendada või esialgset plaani muuta.

Pólya käsitluses on olulisel kohal heuristikud: lahenduse otsimist toetavad mõtlemisvõtted, näiteks joonise tegemine, lihtsama seotud probleemi lahendamine, analoogia kasutamine ja tagantpoolt alustamine. Erinevalt kindla ülesandetüübi lahendusalgoritmist ei taga heuristik vastuseni jõudmist. See aitab leida paljutõotavat suunda. Õpetaja ülesanne on toetada õpilase iseseisvat otsingut sobivate küsimustega, jättes talle võimaluse teha lahendust edasi viiv avastus ise. Pólya, 1957, „How to Solve It“

Järgnevalt avame nelja etapi tähenduse ühe läbiva ülesande abil. Näide sobib kasutamiseks enne, kui õpilased on vastava loendamisreegli selgeks õppinud.

===== Näidisülesanne: klassi maleturniir =====

Klassi maleturniiril osaleb kaheksa õpilast. Iga osaleja mängib iga teise osalejaga täpselt ühe partii. Mitu partiid tuleb kokku korraldada? Selgita, kuidas tead, et oled arvestanud kõiki partiisid ja igaüht ainult ühe korra.

1. Probleemi mõistmine: mida tuleb tegelikult leida?

Õpilane võib alustada kohe arvutusega 8 × 8 või 8 × 7. Enne arvutamist tasub aga selgitada, mida üks partii tähendab ja millised tingimused ülesandes kehtivad. Siin on otsitavaks suuruseks erinevate mängijapaaride arv. Keegi ei mängi iseendaga ning Anna mäng Bertiga ja Berti mäng Annaga tähistavad sama partiid.

Õpetaja võib küsida:

„Näita kahe osaleja abil, mis on selles ülesandes üks partii.“

„Kas mängijate nimetamise järjekord muudab partii teiseks?“

„Kuidas saaksid turniiri korraldajale näidata, millised mängud peavad toimuma?“

Õpilased võivad kujutada osalejaid punktidena ja partiisid punkte ühendavate joontena. Teine võimalus on kirjutada osalejate nimed tabeli ridadesse ja veergudesse. Mõlemal juhul aitab esitusviis ülesande tingimusi nähtavaks teha: punktist iseendasse joont ei tõmmata ning tabeli sümmeetrilistes lahtrites kordub sama mäng.

Probleemi mõistmine ei piirdu seega arvandmete allajoonimisega. Õpilane peab looma olukorrast sellise ettekujutuse, mille põhjal saab otsustada, mida loendada. Kui ta oskab ülesande oma sõnadega ümber jutustada ja selgitada, mis läheb arvesse ühe mänguna, on tekkinud alus lahendusplaani koostamiseks.

2. Lahendusplaani koostamine: milline lähenemine võiks töötada?

Kaheksa osaleja kõigi mängude korraga kirjapanek võib tunduda keeruline. Siin saab rakendada lihtsama juhu uurimist: mitu partiid oleks kahe, kolme või nelja osalejaga turniiril?

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Osalejate ja partiide arv
! Osalejate arv
! Partiide arv
! Kuidas tulemus saadi?
|-
| 2
| 1
| Kaks osalejat mängivad omavahel.
|-
| 3
| 3
| Kolmas osaleja lisab kaks uut mängu.
|-
| 4
| 6
| Neljas osaleja lisab kolm uut mängu.
|-
| 5
| 10
| Viies osaleja lisab neli uut mängu.
|}

Nii võib õpilane märgata, et iga uus osaleja peab mängima kõigi seniste osalejatega. Sellest tekib plaan: kasvatada turniiri ühe osaleja kaupa kuni kaheksani.

Teine õpilane võib kavandada loendamise mängijate järgi: esimese mängija seitse partiid, seejärel teise mängija veel arvestamata partiid ja nii edasi. Kolmas võib lähtuda sellest, et igal mängijal on seitse vastast, ning uurida, miks korrutis 8 × 7 ei pruugi anda erinevate partiide arvu.

Õpetaja saab paluda rühmadel enne arvutamist oma plaani lühidalt sõnastada: „Mida te loendate ja kuidas väldite kordusi?“ Nii muutub lahendusviisi valik arutelu objektiks. Õpetaja ei pea kohe ütlema, milline plaan on kõige lühem; erinevad lähenemised annavad hiljem võimaluse tulemusi võrrelda.

3. Plaani teostamine: kas iga samm on põhjendatud?

Loendame partiisid mängijate kaupa. Esimesel osalejal on seitse vastast. Teisel on samuti seitse vastast, kuid tema mäng esimesega on juba arvestatud, seega lisandub kuus uut partiid. Kolmanda puhul lisandub viis uut partiid. Jätkates saame:

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28.

Teise lahendusviisi korral alustame kõigi osalejate mängude loendamisest:

8 × 7 = 56.

Selles arvus on iga partii arvestatud kaks korda: üks kord kummagi mängija juures. Erinevate partiide leidmiseks jagame tulemuse kahega:

56 ÷ 2 = 28.

Mõlema lahenduse juures on arvutusest olulisem selgitada, mida tehted tähendavad. Näiteks küsimusele „Miks jagasid kahega?“ ei piisa vastusest „Sest nii tuleb õige vastus“. Õpilane peaks suutma osutada konkreetsele mängijapaarile ja näidata, kus seda kaks korda loendati.

Kui rühm saab vastuseks 56, võib õpetaja paluda neil oma loendamisviisi kolme osalejaga läbi proovida. Väikeses näites on korduvloendamist lihtsam märgata. See annab õpilastele võimaluse ise oma lahendust parandada.

4. Tagasivaatamine: mida lahendusest õppida?

Vastus „28 partiid“ lõpetab turniiri korraldaja arvutusülesande, kuid klassis tasub arutelu jätkata. Õpilased saavad võrrelda kahte lahendust: miks annavad järjest vähenevate liidetavate summa ja korrutise poolitamine sama tulemuse?

Seejärel võib uurida ülesande variante:

„Kui turniirile lisandub üheksas osaleja, mitu uut partiid tekib?“

„Mis muutub, kui iga paar mängib kaks partiid?“

„Kuidas leiaksid partiide arvu 20 osaleja korral?“

„Millistes teistes olukordades tuleb samuti loendada erinevaid paare?“

Üheksanda osaleja lisandumisel tekib kaheksa uut partiid, kokku 36. Kahekümne osaleja korral saab kasutada sama põhjendust: igal osalejal on 19 vastast ning iga partii satub loendusse kaks korda. Tulemuseks on 20 × 19 ÷ 2 = 190.

Üldistades n osalejale jõuame seoseni:

partiide arv = n(n − 1) ÷ 2.

Valem võtab siin kokku õpilaste põhjenduse. Sama mõttekäiku saab kasutada näiteks inimestevaheliste käepigistuste või punktipaare ühendavate lõikude loendamisel. Ülekandmine eeldab siiski tingimuste kontrollimist: kas iga paar esineb täpselt ühe korra ning kas järjestus on oluline?

Heuristikute õppimine erinevate ülesannete kaudu

Maleturniiri ülesandes olid kasulikud joonistamine, lihtsamate juhtude uurimine ja süstemaatiline loendamine. Et õpilane õpiks võtteid iseseisvalt valima, vajab ta võimalust katsetada neid eri olukordades. Järgmised näited illustreerivad veel kolme võimalikku otsingusuunda.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Heuristikute kasutamise näited
! Heuristik
! Näidisülesanne
! Võimalik mõttekäik
|-
| '''Tööta tagantpoolt.'''
| Mõeldud arv korrutati kolmega ja tulemusele liideti seitse. Saadi 40. Mis arv mõeldi?
| Alusta tulemusest: 40 − 7 = 33 ja 33 ÷ 3 = 11. Kontrolli algsete tehetega.
|-
| '''Jaota probleem osadeks.'''
| Ristkülikust mõõtmetega 8 × 6 cm on ühest nurgast eemaldatud ristkülik mõõtmetega 3 × 2 cm. Leia allesjäänud kujundi pindala kahel viisil.
| Võrdle suurest ristkülikust väikese lahutamist kujundi jagamisega kaheks ristkülikuks. Mõlemal juhul saad 42 cm².
|-
| '''Muuda esitust.'''
| Talunikul on kanad ja küülikud: kokku kümme looma ning 28 jalga. Mitu on kumbagi?
| Kujuta esmalt kõiki loomi kahejalgsena. Saad 20 jalga. Iga kana asendamine küülikuga lisab kaks jalga; kaheksa lisajala jaoks on vaja nelja küülikut.
|}

Need ülesanded on probleemid ainult nende õpilaste jaoks, kellel pole lahendusviis veel valmis kujul käepärast. Kui õpilane tunneb vastavat tüüpvõtet, saab õpetaja paluda leida teise lahenduse, põhjendada võtte toimimist või muuta ülesande tingimusi.

Pólya käsitluse kasutamine õpetaja igapäevatöös

LAHEMATE tundides võiks nelja etappi kasutada ühise arutelukeele ja õpetaja vaatlusraamina. Kui rühm takerdub, tasub enne vihje andmist uurida, kas raskus seisneb tingimuste mõistmises, sobiva plaani leidmises või valitud plaani teostamises. Sellest sõltub ka abi: mõnikord on vaja olukord läbi mängida, teinekord uurida väiksemat juhtu või kontrollida üht arvutussammu.

Õpilastelt ei pea nõudma iga ülesande puhul nelja pealkirjaga aruannet. Kasulikum võib olla paluda lahendamise järel kirjeldada üht otsustavat hetke: „Mis aitas sul edasi liikuda?“, „Miks sa oma plaani muutsid?“ või „Millal võiks sama võte uuesti kasulik olla?“ Nii seostuvad etappide nimetused õpilase enda kogemusega.

See käsitlus loob ka lähtekoha Schoenfeldi raamistiku juurde liikumiseks. Õpetaja saab hakata jälgima, kuidas õpilane otsustab, millal valitud suunda jätkata, millal seda muuta ning mille põhjal ta oma lahendust usaldab.

Allikas

Pólya, G. (1957). How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method (2. trükk). Princeton University Press. Esmatrükk 1945. Teose digikoopia.</text>
      <sha1>co4gstiw5umjpcnm115yl3tjy1pzf2k</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20317</id>
      <parentid>20316</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T12:51:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20317</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9226" sha1="k65jg91rmh7kmyh1te4s20s522goa6f" xml:space="preserve">George Pólya raamatu „[https://en.wikipedia.org/wiki/How_to_Solve_It How to Solve It]“ (1945; eesti keeles „[https://www.ester.ee/record=b1538228*est Kuidas seda lahendada]“, 2001) keskne küsimus on, kuidas õppida ja õpetada probleemide lahendamist. Pólya eristab nelja etappi: probleemi mõistmine, lahendusplaani koostamine, plaani teostamine ning lahendusele tagasivaatamine. Etappe toetavad küsimused, mis aitavad lahendajal oma mõtlemist suunata. Neid ei tule käsitada jäiga järjestusena: lahenduskatse võib näidata, et ülesannet tuleb uuesti tõlgendada või esialgset plaani muuta.

Pólya käsitluses on olulisel kohal heuristikud: lahenduse otsimist toetavad mõtlemisvõtted, näiteks joonise tegemine, lihtsama seotud probleemi lahendamine, analoogia kasutamine ja tagantpoolt alustamine. Erinevalt kindla ülesandetüübi lahendusalgoritmist ei taga heuristik vastuseni jõudmist. See aitab leida paljutõotavat suunda. Õpetaja ülesanne on toetada õpilase iseseisvat otsingut sobivate küsimustega, jättes talle võimaluse teha lahendust edasi viiv avastus ise. Pólya, 1957, „How to Solve It“

Järgnevalt avame nelja etapi tähenduse ühe läbiva ülesande abil. Näide sobib kasutamiseks enne, kui õpilased on vastava loendamisreegli selgeks õppinud.

=== Näidisülesanne: klassi maleturniir ===

Klassi maleturniiril osaleb kaheksa õpilast. Iga osaleja mängib iga teise osalejaga täpselt ühe partii. Mitu partiid tuleb kokku korraldada? Selgita, kuidas tead, et oled arvestanud kõiki partiisid ja igaüht ainult ühe korra.

==== 1. Probleemi mõistmine: mida tuleb tegelikult leida? ====

Õpilane võib alustada kohe arvutusega 8 × 8 või 8 × 7. Enne arvutamist tasub aga selgitada, mida üks partii tähendab ja millised tingimused ülesandes kehtivad. Siin on otsitavaks suuruseks erinevate mängijapaaride arv. Keegi ei mängi iseendaga ning Anna mäng Bertiga ja Berti mäng Annaga tähistavad sama partiid.

Õpetaja võib küsida:

„Näita kahe osaleja abil, mis on selles ülesandes üks partii.“

„Kas mängijate nimetamise järjekord muudab partii teiseks?“

„Kuidas saaksid turniiri korraldajale näidata, millised mängud peavad toimuma?“

Õpilased võivad kujutada osalejaid punktidena ja partiisid punkte ühendavate joontena. Teine võimalus on kirjutada osalejate nimed tabeli ridadesse ja veergudesse. Mõlemal juhul aitab esitusviis ülesande tingimusi nähtavaks teha: punktist iseendasse joont ei tõmmata ning tabeli sümmeetrilistes lahtrites kordub sama mäng.

Probleemi mõistmine ei piirdu seega arvandmete allajoonimisega. Õpilane peab looma olukorrast sellise ettekujutuse, mille põhjal saab otsustada, mida loendada. Kui ta oskab ülesande oma sõnadega ümber jutustada ja selgitada, mis läheb arvesse ühe mänguna, on tekkinud alus lahendusplaani koostamiseks.

==== 2. Lahendusplaani koostamine: milline lähenemine võiks töötada? ====

Kaheksa osaleja kõigi mängude korraga kirjapanek võib tunduda keeruline. Siin saab rakendada lihtsama juhu uurimist: mitu partiid oleks kahe, kolme või nelja osalejaga turniiril?

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Osalejate ja partiide arv
! Osalejate arv
! Partiide arv
! Kuidas tulemus saadi?
|-
| 2
| 1
| Kaks osalejat mängivad omavahel.
|-
| 3
| 3
| Kolmas osaleja lisab kaks uut mängu.
|-
| 4
| 6
| Neljas osaleja lisab kolm uut mängu.
|-
| 5
| 10
| Viies osaleja lisab neli uut mängu.
|}

Nii võib õpilane märgata, et iga uus osaleja peab mängima kõigi seniste osalejatega. Sellest tekib plaan: kasvatada turniiri ühe osaleja kaupa kuni kaheksani.

Teine õpilane võib kavandada loendamise mängijate järgi: esimese mängija seitse partiid, seejärel teise mängija veel arvestamata partiid ja nii edasi. Kolmas võib lähtuda sellest, et igal mängijal on seitse vastast, ning uurida, miks korrutis 8 × 7 ei pruugi anda erinevate partiide arvu.

Õpetaja saab paluda rühmadel enne arvutamist oma plaani lühidalt sõnastada: „Mida te loendate ja kuidas väldite kordusi?“ Nii muutub lahendusviisi valik arutelu objektiks. Õpetaja ei pea kohe ütlema, milline plaan on kõige lühem; erinevad lähenemised annavad hiljem võimaluse tulemusi võrrelda.

==== 3. Plaani teostamine: kas iga samm on põhjendatud? ====

Loendame partiisid mängijate kaupa. Esimesel osalejal on seitse vastast. Teisel on samuti seitse vastast, kuid tema mäng esimesega on juba arvestatud, seega lisandub kuus uut partiid. Kolmanda puhul lisandub viis uut partiid. Jätkates saame:

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28.

Teise lahendusviisi korral alustame kõigi osalejate mängude loendamisest:

8 × 7 = 56.

Selles arvus on iga partii arvestatud kaks korda: üks kord kummagi mängija juures. Erinevate partiide leidmiseks jagame tulemuse kahega:

56 ÷ 2 = 28.

Mõlema lahenduse juures on arvutusest olulisem selgitada, mida tehted tähendavad. Näiteks küsimusele „Miks jagasid kahega?“ ei piisa vastusest „Sest nii tuleb õige vastus“. Õpilane peaks suutma osutada konkreetsele mängijapaarile ja näidata, kus seda kaks korda loendati.

Kui rühm saab vastuseks 56, võib õpetaja paluda neil oma loendamisviisi kolme osalejaga läbi proovida. Väikeses näites on korduvloendamist lihtsam märgata. See annab õpilastele võimaluse ise oma lahendust parandada.

==== 4. Tagasivaatamine: mida lahendusest õppida? ====

Vastus „28 partiid“ lõpetab turniiri korraldaja arvutusülesande, kuid klassis tasub arutelu jätkata. Õpilased saavad võrrelda kahte lahendust: miks annavad järjest vähenevate liidetavate summa ja korrutise poolitamine sama tulemuse?

Seejärel võib uurida ülesande variante:
* „Kui turniirile lisandub üheksas osaleja, mitu uut partiid tekib?“
* „Mis muutub, kui iga paar mängib kaks partiid?“
* „Kuidas leiaksid partiide arvu 20 osaleja korral?“
* „Millistes teistes olukordades tuleb samuti loendada erinevaid paare?“

Üheksanda osaleja lisandumisel tekib kaheksa uut partiid, kokku 36. Kahekümne osaleja korral saab kasutada sama põhjendust: igal osalejal on 19 vastast ning iga partii satub loendusse kaks korda. Tulemuseks on 20 × 19 ÷ 2 = 190.

Üldistades n osalejale jõuame seoseni: partiide arv = n(n − 1) ÷ 2.

Valem võtab siin kokku õpilaste põhjenduse. Sama mõttekäiku saab kasutada näiteks inimestevaheliste käepigistuste või punktipaare ühendavate lõikude loendamisel. Ülekandmine eeldab siiski tingimuste kontrollimist: kas iga paar esineb täpselt ühe korra ning kas järjestus on oluline?

=== Heuristikute õppimine erinevate ülesannete kaudu ===

Maleturniiri ülesandes olid kasulikud joonistamine, lihtsamate juhtude uurimine ja süstemaatiline loendamine. Et õpilane õpiks võtteid iseseisvalt valima, vajab ta võimalust katsetada neid eri olukordades. Järgmised näited illustreerivad veel kolme võimalikku otsingusuunda.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Heuristikute kasutamise näited
! Heuristik
! Näidisülesanne
! Võimalik mõttekäik
|-
| '''Tööta tagantpoolt.'''
| Mõeldud arv korrutati kolmega ja tulemusele liideti seitse. Saadi 40. Mis arv mõeldi?
| Alusta tulemusest: 40 − 7 = 33 ja 33 ÷ 3 = 11. Kontrolli algsete tehetega.
|-
| '''Jaota probleem osadeks.'''
| Ristkülikust mõõtmetega 8 × 6 cm on ühest nurgast eemaldatud ristkülik mõõtmetega 3 × 2 cm. Leia allesjäänud kujundi pindala kahel viisil.
| Võrdle suurest ristkülikust väikese lahutamist kujundi jagamisega kaheks ristkülikuks. Mõlemal juhul saad 42 cm².
|-
| '''Muuda esitust.'''
| Talunikul on kanad ja küülikud: kokku kümme looma ning 28 jalga. Mitu on kumbagi?
| Kujuta esmalt kõiki loomi kahejalgsena. Saad 20 jalga. Iga kana asendamine küülikuga lisab kaks jalga; kaheksa lisajala jaoks on vaja nelja küülikut.
|}

Need ülesanded on probleemid ainult nende õpilaste jaoks, kellel pole lahendusviis veel valmis kujul käepärast. Kui õpilane tunneb vastavat tüüpvõtet, saab õpetaja paluda leida teise lahenduse, põhjendada võtte toimimist või muuta ülesande tingimusi.

=== Pólya käsitluse kasutamine õpetaja igapäevatöös ===

LAHEMATE tundides võiks nelja etappi kasutada ühise arutelukeele ja õpetaja vaatlusraamina. Kui rühm takerdub, tasub enne vihje andmist uurida, kas raskus seisneb tingimuste mõistmises, sobiva plaani leidmises või valitud plaani teostamises. Sellest sõltub ka abi: mõnikord on vaja olukord läbi mängida, teinekord uurida väiksemat juhtu või kontrollida üht arvutussammu.

Õpilastelt ei pea nõudma iga ülesande puhul nelja pealkirjaga aruannet. Kasulikum võib olla paluda lahendamise järel kirjeldada üht otsustavat hetke: „Mis aitas sul edasi liikuda?“, „Miks sa oma plaani muutsid?“ või „Millal võiks sama võte uuesti kasulik olla?“ Nii seostuvad etappide nimetused õpilase enda kogemusega.

See käsitlus loob ka lähtekoha Schoenfeldi raamistiku juurde liikumiseks. Õpetaja saab hakata jälgima, kuidas õpilane otsustab, millal valitud suunda jätkata, millal seda muuta ning mille põhjal ta oma lahendust usaldab.

=== Allikas ===

Pólya, G. (1957). How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method (2. trükk). Princeton University Press. Esmatrükk 1945. Teose digikoopia.</text>
      <sha1>k65jg91rmh7kmyh1te4s20s522goa6f</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>1.2.Schoenfeld: metakognitsioon ja hoiakud probleemilahenduses</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4254</id>
    <revision>
      <id>20319</id>
      <timestamp>2026-09-27T13:03:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>Uus lehekülg: 'Kopeeri allolev tekst Wikibooksi lähteteksti redaktorisse.  ```text == 1.2. Schoenfeld: metakognitsioon ja hoiakud probleemilahenduses ==  Õpilane võib teada vajalikke valemeid ja osata arvutada, kuid jääda probleemülesandega siiski hätta. Näiteks alustab ta sobimatu võrrandi koostamist, jätkab pikalt tulemusteta arvutamist või loobub, sest lahendus ei tule kohe pähe. Õpetaja jaoks tekib küsimus: kas õpilasel puuduvad teadmised või ei oska ta olemasolevaid t...'</comment>
      <origin>20319</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11202" sha1="jqvfc6hnj4pk5n3iam74vedcw218u6a" xml:space="preserve">Kopeeri allolev tekst Wikibooksi lähteteksti redaktorisse.

```text
== 1.2. Schoenfeld: metakognitsioon ja hoiakud probleemilahenduses ==

Õpilane võib teada vajalikke valemeid ja osata arvutada, kuid jääda probleemülesandega siiski hätta. Näiteks alustab ta sobimatu võrrandi koostamist, jätkab pikalt tulemusteta arvutamist või loobub, sest lahendus ei tule kohe pähe. Õpetaja jaoks tekib küsimus: kas õpilasel puuduvad teadmised või ei oska ta olemasolevaid teadmisi selles olukorras kasutada?

Alan H. Schoenfeldi käsitlus aitab neid põhjuseid eristada. Tema raamistikus mõjutavad probleemilahendust neli omavahel seotud komponenti: '''matemaatilised teadmised ja oskused, heuristikud, lahendusprotsessi juhtimine ning uskumused matemaatika kohta'''. Tähtis on nii teadmiste olemasolu kui ka oskus valida, millal ja kuidas neid rakendada. Lahendaja peab jälgima oma edenemist, hindama valitud suuna sobivust ning vajaduse korral tegevust muutma.&lt;ref name=&quot;Berkeley2011&quot;&gt;University of California, Berkeley, GSI Teaching &amp; Resource Center. (2011). [https://gsi.berkeley.edu/programs-services/hsl-project/hsl-speakers/schoenfeld/ ''Alan Schoenfeld: Learning to Think Mathematically (or like a scientist, or like a writer, or…)''.] Ettekande ülevaade.&lt;/ref&gt;

Pólya etappides on oma tegevuse kontrollimine ja lahendusele tagasivaatamine juba olemas. Schoenfeldi panus seisneb nende protsesside üksikasjalikumas uurimises ning seostamises lahendaja teadmiste, uskumuste ja õpikeskkonnaga. Metakognitiivne juhtimine toimub kogu lahendamise vältel: õpilane otsustab, millist ideed proovida, kas katsetus viib edasi ning millal tasub suunda muuta. See aitab selgitada, miks sarnaste ainealaste teadmistega õpilased võivad probleemide lahendamisel väga erinevalt toime tulla.&lt;ref name=&quot;Schoenfeld1992&quot;&gt;Schoenfeld, A. H. (1992). [https://jwilson.coe.uga.edu/EMAT7050/Schoenfeld_MathThinking.pdf Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense-making in mathematics.] D. A. Grouws (toim.), ''Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning'' (lk 334–370). Macmillan.&lt;/ref&gt;

''Järgnevad näited ja õpetamisvõtted on koostatud käsiraamatu jaoks Schoenfeldi raamistiku rakendamiseks; need ei ole tema uurimustes kirjeldatud klassijuhtumid.''

=== Neli vaatenurka õpilase lahendustegevusele ===

Raamistiku rakendamist saab näitlikustada järgmise ülesandega, mis sobib põhikooli III kooliastmesse.

&lt;blockquote&gt;
'''Kooli õppeaed'''

Kool soovib rajada hoone seina äärde ristkülikukujulise õppeaia. Seina äärde piirdeaeda ei paigaldata; ülejäänud kolme külje jaoks on kasutada 24 meetrit aiavõrku. Millised peaksid olema aia mõõtmed, et selle pindala oleks võimalikult suur? Eelda, et sein on piisavalt pikk ning värava jaoks eraldi ava ei jäeta. Põhjenda oma vastust.
&lt;/blockquote&gt;

Õpilaste tööd jälgides saab õpetaja eristada nelja küsimust.

'''1. Teadmised ja oskused: mida õpilane oskab?'''

Ülesanne eeldab ristküliku pindala mõistmist ning oskust seostada joonist ja pikkusi. Kui õpilane ei tea pindala arvutamise viisi või liidab pindala leidmiseks külgede pikkused, vajab ta ainealast tuge. Üldine julgustus „mõtle veel“ seda lünka ei täida.

'''2. Heuristikud: milliseid lahendusvõtteid õpilane tunneb?'''

Õpilane võib teha joonise, proovida sobivaid mõõtmeid, koostada tabeli või väljendada pindala ühe muutuja kaudu. Kui ta ootab valemit ega oska alustada, võib õpetaja küsida: „Kas leiad ühe võimaliku aia, mis vastab tingimustele?“

'''3. Protsessi juhtimine: kuidas õpilane oma valikuid hindab?'''

Õpilane võib proovida järjest juhuslikke mõõtmeid, saamata selgemat pilti parimast lahendusest. Siis pole takistuseks tingimata arvutamisoskus. Vajalik on otsus, kuidas katsetusi süstematiseerida ning mille põhjal hinnata, kas suurim võimalik pindala on leitud.

'''4. Uskumused: mida õpilane peab matemaatikas lubatuks ja väärtuslikuks?'''

Õpilane võib arvata, et tabeli koostamine on nõrk lahendus, sest „päris matemaatikas peab kohe võrrandi tegema“. Teine võib pidada esimest sobivat vastust piisavaks. Sellised arusaamad mõjutavad seda, milliseid võimalusi õpilane üldse kaalub.

Need neli vaatenurka aitavad õpetajal valida täpsemat tuge. Sama nähtava tulemuse — näiteks tühja lehe — taga võivad olla erinevad raskused.

=== Metakognitsioon: oma mõtlemise märkamine ja suunamine ===

Selles peatükis kasutame metakognitsiooni tähenduses '''teadlikkust oma mõtlemisest ning oskust seda kavandada, jälgida ja reguleerida'''. Arvutamine on matemaatiline tegevus; otsustamine, kas arvutus aitab ülesande küsimusele vastata, on selle tegevuse juhtimine.

Õppeaia ülesandes võib rühm lähtuda tuttavast teadmisest, et kindla ümbermõõduga ristkülikutest on suurima pindalaga ruut. Õpilased pakuvad mõõtmeteks 8 × 8 meetrit: kolme külje jaoks kulub 24 meetrit võrku ja pindala on 64 m². Mõõtmed vastavad tingimustele, kuid maksimum pole veel põhjendatud.

Õpetaja saab anda vastuse asemel võimaluse oma oletust kontrollida:

&lt;blockquote&gt;
'''Õpetaja:''' „Te leidsite tingimustele vastava aia. Kuidas kontrolliksite, kas suuremat saab teha?“

'''Õpilane:''' „Võiksime üht külge pikemaks muuta.“

'''Õpetaja:''' „Millised teised küljed peavad siis muutuma, et võrku kuluks endiselt 24 meetrit?“

'''Õpilane:''' „Kui seina vastas olev külg pikeneb kahe meetri võrra, peavad mõlemad otsaküljed lühenema ühe meetri võrra.“
&lt;/blockquote&gt;

Nii jõuab rühm mõõtmeteni 7 × 10 meetrit ja pindalani 70 m². See üks näide lükkab ümber esialgse oletuse, et parim lahendus on ruut. Edasi saab koostada süstemaatilise tabeli: otsakülgede pikkustele 4, 5, 6, 7 ja 8 meetrit vastavad pindalad 64, 70, 72, 70 ja 64 m².

Siin tekib järgmine oluline otsustuskoht: '''tabel viitab maksimumile, kuid üksnes täisarvuliste juhtude proovimine ei tõesta seda kõigi võimalike mõõtmete korral'''.

Kui otsakülje pikkus on &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; meetrit, on seina vastas oleva külje pikkus &lt;math&gt;24-2x&lt;/math&gt; meetrit. Pindala avaldub kujul:

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;S=x(24-2x)=72-2(x-6)^2.&lt;/math&gt;

Kuna ruut on mittenegatiivne, ei saa pindala olla suurem kui 72 m². See pindala saavutatakse mõõtmetega '''6 × 12 meetrit'''.

Õpetaja valib põhjendamise viisi klassi eelteadmiste järgi. Kui ruutavaldiste teisendamine pole veel õpitud, võib uurida jooniste abil, kuidas mõõtmete muutmine pindala mõjutab, ning eristada esialgset põhjendatud oletust täielikust tõestusest. Õppimise seisukohalt on oluline märgata, kuidas õpilased kontrollisid oma esimest ideed ja muutsid seda vastunäite põhjal.

=== Uskumused ja hoiakud kujundavad lahendaja valikuid ===

Schoenfeldi raamistikus on keskne mõiste '''uskumused''': arusaamad matemaatika olemusest, õppimisest ja iseendast õppijana. Näiteks võib õpilane uskuda, et matemaatikas on igal ülesandel üks õpetaja oodatud lahendusviis või et ülesanne peab lahenema mõne minutiga. Sellised uskumused mõjutavad lahendustegevust ka siis, kui õpilane neid otsesõnu ei väljenda.&lt;ref name=&quot;Berkeley2011&quot; /&gt;

Hoiakute all mõistame siin laiemalt õpilase suhtumist matemaatikasse ja probleemidega tegelemisse: huvi, vastumeelsust, valmisolekut pingutada või vältida. Uskumust „ma ei leia lahendust kiiresti, järelikult ma ei oska matemaatikat“ võib saata ärevus ja soov ülesandest loobuda. Need nähtused on seotud, kuid õpetajal tasub neid eristada: vajaliku teadmise puudumine, eksimise kartus ja veendumus üheainsa õige lahendusviisi olemasolust vajavad erinevat tuge.

Käsitleme teist näidet.

&lt;blockquote&gt;
'''Soodushinnaga spordijalatsid'''

Spordijalatsite hinda vähendati 20%. Hiljem tõsteti soodushinda 20%. Kas lõpphind on algse hinnaga sama, sellest väiksem või suurem? Põhjenda.
&lt;/blockquote&gt;

Õpilane võib vastata, et muutused tühistavad teineteist. Õpetaja saab paluda valida ühe algse hinna ja oletust kontrollida. Kui algne hind on 100 eurot, on soodushind 80 eurot ning hilisem hind 96 eurot. Protsendid arvutatakse erinevatest alustest.

Selles arutelus võiks õpetaja esile tõsta parandamise väärtust: „Esialgne oletus ei pidanud kontrollile vastu. Milline tähelepanek aitas meil seda muuta?“ Nii saab klass kogemuse, et matemaatiline pädevus avaldub ka oma mõttekäigu parandamises. Kui tunnustatakse üksnes esimesena õige vastuse ütlemist, jääb see osa õppimisest kergesti varju.

=== Mõtlemise juhtimist saab tunnis harjutada ===

Järgmised võtted on ettepanekud Schoenfeldi raamistiku rakendamiseks LAHEMATE tundides.

'''Tee otsused kuuldavaks.''' Õpetaja võib näidisülesannet lahendades selgitada: „Ma ei tea veel, kas see plaan töötab. Proovin ühte lihtsat juhtu ja vaatan, mida sellest teada saan.“ Õpilane kuuleb siis lisaks tehetele ka nende valimise põhjuseid.

'''Küsi tegevuse eesmärgi kohta.''' Sobival hetkel võib rühmalt küsida: „Mida te praegu välja selgitate?“, „Miks valisite selle võtte?“ ja „Mis näitaks, et plaani tuleks muuta?“ Küsimused peavad aitama mõtlemist edasi viia; pidev aruandmine võib lahendamist hoopis katkestada.

'''Säilita üks oluline muudatus.''' Õpilastel võiks paluda jätta lahendusse alles üks parandatud oletus või lisada märkus: „Algul arvasime…, kuid märkasime…, seetõttu…“. See annab õpetajale infot, mida puhtalt ümber kirjutatud lõppvastus ei näita.

'''Anna tagasisidet konkreetsele otsusele.''' Üldise „Tubli!“ asemel saab öelda: „Teie vastunäide näitas, miks esimene oletus ei sobinud“ või „Tabel aitas teil katsetused süstemaatiliseks muuta“. Nii saab õpilane teada, milline tegevus tema edenemist toetas.

Hindamisel tasub matemaatilise tulemuse kõrval märgata, kas õpilane põhjendab strateegiavalikut, kontrollib vastuse sobivust ja muudab plaani saadud info põhjal. Samas ei saa ühest ebaõnnestunud ülesandest järeldada, et õpilasel on halb hoiak või puudulik metakognitsioon. Õpetaja vajab korduvaid tähelepanekuid ning võimalust õpilasega tema valikutest rääkida.

Schoenfeldi raamistik suunab õpetajat uurima, '''kuidas õpilane oma teadmised tööle paneb'''. Õppeaia ülesandes muutub see nähtavaks hetkel, mil õpilane kontrollib ruudu sobivust, leiab vastunäite ning otsib tugevamat põhjendust. Selliste otsustuskohtade märkamine ja arutamine aitab kujundada õpilase iseseisvust järgmiste probleemide lahendamisel.

=== Allikad ===

&lt;references /&gt;
* Schoenfeld, A. H. (1992). [http://howtosolveit.pbworks.com/w/file/fetch/90467999/Schoenfeld_1992%20Learning%20to%20Think%20Mathematically.pdf Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense-making in mathematics]. D. A. Grouws (toim.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (lk 334–370). Macmillan. 
* University of California, Berkeley, GSI Teaching &amp; Resource Center. (2011). [https://gsi.berkeley.edu/programs-services/hsl-project/hsl-speakers/schoenfeld/ Alan Schoenfeld: Learning to Think Mathematically (or like a scientist, or like a writer, or…)]. Ettekande ülevaade veebis.</text>
      <sha1>jqvfc6hnj4pk5n3iam74vedcw218u6a</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20320</id>
      <parentid>20319</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T13:04:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20320</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11056" sha1="jh4lkt942h6a1itwvxraknaf9xprifz" xml:space="preserve">Õpilane võib teada vajalikke valemeid ja osata arvutada, kuid jääda probleemülesandega siiski hätta. Näiteks alustab ta sobimatu võrrandi koostamist, jätkab pikalt tulemusteta arvutamist või loobub, sest lahendus ei tule kohe pähe. Õpetaja jaoks tekib küsimus: kas õpilasel puuduvad teadmised või ei oska ta olemasolevaid teadmisi selles olukorras kasutada?

Alan H. Schoenfeldi käsitlus aitab neid põhjuseid eristada. Tema raamistikus mõjutavad probleemilahendust neli omavahel seotud komponenti: '''matemaatilised teadmised ja oskused, heuristikud, lahendusprotsessi juhtimine ning uskumused matemaatika kohta'''. Tähtis on nii teadmiste olemasolu kui ka oskus valida, millal ja kuidas neid rakendada. Lahendaja peab jälgima oma edenemist, hindama valitud suuna sobivust ning vajaduse korral tegevust muutma.&lt;ref name=&quot;Berkeley2011&quot;&gt;University of California, Berkeley, GSI Teaching &amp; Resource Center. (2011). [https://gsi.berkeley.edu/programs-services/hsl-project/hsl-speakers/schoenfeld/ ''Alan Schoenfeld: Learning to Think Mathematically (or like a scientist, or like a writer, or…)''.] Ettekande ülevaade.&lt;/ref&gt;

Pólya etappides on oma tegevuse kontrollimine ja lahendusele tagasivaatamine juba olemas. Schoenfeldi panus seisneb nende protsesside üksikasjalikumas uurimises ning seostamises lahendaja teadmiste, uskumuste ja õpikeskkonnaga. Metakognitiivne juhtimine toimub kogu lahendamise vältel: õpilane otsustab, millist ideed proovida, kas katsetus viib edasi ning millal tasub suunda muuta. See aitab selgitada, miks sarnaste ainealaste teadmistega õpilased võivad probleemide lahendamisel väga erinevalt toime tulla.&lt;ref name=&quot;Schoenfeld1992&quot;&gt;Schoenfeld, A. H. (1992). [https://jwilson.coe.uga.edu/EMAT7050/Schoenfeld_MathThinking.pdf Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense-making in mathematics.] D. A. Grouws (toim.), ''Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning'' (lk 334–370). Macmillan.&lt;/ref&gt;

''Järgnevad näited ja õpetamisvõtted on koostatud käsiraamatu jaoks Schoenfeldi raamistiku rakendamiseks; need ei ole tema uurimustes kirjeldatud juhtumid.''

=== Neli vaatenurka õpilase lahendustegevusele ===

Raamistiku rakendamist saab näitlikustada järgmise ülesandega, mis sobib põhikooli III kooliastmesse.

&lt;blockquote&gt;
'''Kooli õppeaed'''

Kool soovib rajada hoone seina äärde ristkülikukujulise õppeaia. Seina äärde piirdeaeda ei paigaldata; ülejäänud kolme külje jaoks on kasutada 24 meetrit aiavõrku. Millised peaksid olema aia mõõtmed, et selle pindala oleks võimalikult suur? Eelda, et sein on piisavalt pikk ning värava jaoks eraldi ava ei jäeta. Põhjenda oma vastust.
&lt;/blockquote&gt;

Õpilaste tööd jälgides saab õpetaja eristada nelja küsimust.

'''1. Teadmised ja oskused: mida õpilane oskab?'''

Ülesanne eeldab ristküliku pindala mõistmist ning oskust seostada joonist ja pikkusi. Kui õpilane ei tea pindala arvutamise viisi või liidab pindala leidmiseks külgede pikkused, vajab ta ainealast tuge. Üldine julgustus „mõtle veel“ seda lünka ei täida.

'''2. Heuristikud: milliseid lahendusvõtteid õpilane tunneb?'''

Õpilane võib teha joonise, proovida sobivaid mõõtmeid, koostada tabeli või väljendada pindala ühe muutuja kaudu. Kui ta ootab valemit ega oska alustada, võib õpetaja küsida: „Kas leiad ühe võimaliku aia, mis vastab tingimustele?“

'''3. Protsessi juhtimine: kuidas õpilane oma valikuid hindab?'''

Õpilane võib proovida järjest juhuslikke mõõtmeid, saamata selgemat pilti parimast lahendusest. Siis pole takistuseks tingimata arvutamisoskus. Vajalik on otsus, kuidas katsetusi süstematiseerida ning mille põhjal hinnata, kas suurim võimalik pindala on leitud.

'''4. Uskumused: mida õpilane peab matemaatikas lubatuks ja väärtuslikuks?'''

Õpilane võib arvata, et tabeli koostamine on nõrk lahendus, sest „päris matemaatikas peab kohe võrrandi tegema“. Teine võib pidada esimest sobivat vastust piisavaks. Sellised arusaamad mõjutavad seda, milliseid võimalusi õpilane üldse kaalub.

Need neli vaatenurka aitavad õpetajal valida täpsemat tuge. Sama nähtava tulemuse — näiteks tühja lehe — taga võivad olla erinevad raskused.

=== Metakognitsioon: oma mõtlemise märkamine ja suunamine ===

Selles peatükis kasutame metakognitsiooni tähenduses '''teadlikkust oma mõtlemisest ning oskust seda kavandada, jälgida ja reguleerida'''. Arvutamine on matemaatiline tegevus; otsustamine, kas arvutus aitab ülesande küsimusele vastata, on selle tegevuse juhtimine.

Õppeaia ülesandes võib rühm lähtuda tuttavast teadmisest, et kindla ümbermõõduga ristkülikutest on suurima pindalaga ruut. Õpilased pakuvad mõõtmeteks 8 × 8 meetrit: kolme külje jaoks kulub 24 meetrit võrku ja pindala on 64 m². Mõõtmed vastavad tingimustele, kuid maksimum pole veel põhjendatud.

Õpetaja saab anda vastuse asemel võimaluse oma oletust kontrollida:

&lt;blockquote&gt;
'''Õpetaja:''' „Te leidsite tingimustele vastava aia. Kuidas kontrolliksite, kas suuremat saab teha?“

'''Õpilane:''' „Võiksime üht külge pikemaks muuta.“

'''Õpetaja:''' „Millised teised küljed peavad siis muutuma, et võrku kuluks endiselt 24 meetrit?“

'''Õpilane:''' „Kui seina vastas olev külg pikeneb kahe meetri võrra, peavad mõlemad otsaküljed lühenema ühe meetri võrra.“
&lt;/blockquote&gt;

Nii jõuab rühm mõõtmeteni 7 × 10 meetrit ja pindalani 70 m². See üks näide lükkab ümber esialgse oletuse, et parim lahendus on ruut. Edasi saab koostada süstemaatilise tabeli: otsakülgede pikkustele 4, 5, 6, 7 ja 8 meetrit vastavad pindalad 64, 70, 72, 70 ja 64 m².

Siin tekib järgmine oluline otsustuskoht: '''tabel viitab maksimumile, kuid üksnes täisarvuliste juhtude proovimine ei tõesta seda kõigi võimalike mõõtmete korral'''.

Kui otsakülje pikkus on &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; meetrit, on seina vastas oleva külje pikkus &lt;math&gt;24-2x&lt;/math&gt; meetrit. Pindala avaldub kujul:

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;S=x(24-2x)=72-2(x-6)^2.&lt;/math&gt;

Kuna ruut on mittenegatiivne, ei saa pindala olla suurem kui 72 m². See pindala saavutatakse mõõtmetega '''6 × 12 meetrit'''.

Õpetaja valib põhjendamise viisi klassi eelteadmiste järgi. Kui ruutavaldiste teisendamine pole veel õpitud, võib uurida jooniste abil, kuidas mõõtmete muutmine pindala mõjutab, ning eristada esialgset põhjendatud oletust täielikust tõestusest. Õppimise seisukohalt on oluline märgata, kuidas õpilased kontrollisid oma esimest ideed ja muutsid seda vastunäite põhjal.

=== Uskumused ja hoiakud kujundavad lahendaja valikuid ===

Schoenfeldi raamistikus on keskne mõiste '''uskumused''': arusaamad matemaatika olemusest, õppimisest ja iseendast õppijana. Näiteks võib õpilane uskuda, et matemaatikas on igal ülesandel üks õpetaja oodatud lahendusviis või et ülesanne peab lahenema mõne minutiga. Sellised uskumused mõjutavad lahendustegevust ka siis, kui õpilane neid otsesõnu ei väljenda.&lt;ref name=&quot;Berkeley2011&quot; /&gt;

Hoiakute all mõistame siin laiemalt õpilase suhtumist matemaatikasse ja probleemidega tegelemisse: huvi, vastumeelsust, valmisolekut pingutada või vältida. Uskumust „ma ei leia lahendust kiiresti, järelikult ma ei oska matemaatikat“ võib saata ärevus ja soov ülesandest loobuda. Need nähtused on seotud, kuid õpetajal tasub neid eristada: vajaliku teadmise puudumine, eksimise kartus ja veendumus üheainsa õige lahendusviisi olemasolust vajavad erinevat tuge.

Käsitleme teist näidet.

&lt;blockquote&gt;
'''Soodushinnaga spordijalatsid'''

Spordijalatsite hinda vähendati 20%. Hiljem tõsteti soodushinda 20%. Kas lõpphind on algse hinnaga sama, sellest väiksem või suurem? Põhjenda.
&lt;/blockquote&gt;

Õpilane võib vastata, et muutused tühistavad teineteist. Õpetaja saab paluda valida ühe algse hinna ja oletust kontrollida. Kui algne hind on 100 eurot, on soodushind 80 eurot ning hilisem hind 96 eurot. Protsendid arvutatakse erinevatest alustest.

Selles arutelus võiks õpetaja esile tõsta parandamise väärtust: „Esialgne oletus ei pidanud kontrollile vastu. Milline tähelepanek aitas meil seda muuta?“ Nii saab klass kogemuse, et matemaatiline pädevus avaldub ka oma mõttekäigu parandamises. Kui tunnustatakse üksnes esimesena õige vastuse ütlemist, jääb see osa õppimisest kergesti varju.

=== Mõtlemise juhtimist saab tunnis harjutada ===

Järgmised võtted on ettepanekud Schoenfeldi raamistiku rakendamiseks LAHEMATE tundides.

'''Tee otsused kuuldavaks.''' Õpetaja võib näidisülesannet lahendades selgitada: „Ma ei tea veel, kas see plaan töötab. Proovin ühte lihtsat juhtu ja vaatan, mida sellest teada saan.“ Õpilane kuuleb siis lisaks tehetele ka nende valimise põhjuseid.

'''Küsi tegevuse eesmärgi kohta.''' Sobival hetkel võib rühmalt küsida: „Mida te praegu välja selgitate?“, „Miks valisite selle võtte?“ ja „Mis näitaks, et plaani tuleks muuta?“ Küsimused peavad aitama mõtlemist edasi viia; pidev aruandmine võib lahendamist hoopis katkestada.

'''Säilita üks oluline muudatus.''' Õpilastel võiks paluda jätta lahendusse alles üks parandatud oletus või lisada märkus: „Algul arvasime…, kuid märkasime…, seetõttu…“. See annab õpetajale infot, mida puhtalt ümber kirjutatud lõppvastus ei näita.

'''Anna tagasisidet konkreetsele otsusele.''' Üldise „Tubli!“ asemel saab öelda: „Teie vastunäide näitas, miks esimene oletus ei sobinud“ või „Tabel aitas teil katsetused süstemaatiliseks muuta“. Nii saab õpilane teada, milline tegevus tema edenemist toetas.

Hindamisel tasub matemaatilise tulemuse kõrval märgata, kas õpilane põhjendab strateegiavalikut, kontrollib vastuse sobivust ja muudab plaani saadud info põhjal. Samas ei saa ühest ebaõnnestunud ülesandest järeldada, et õpilasel on halb hoiak või puudulik metakognitsioon. Õpetaja vajab korduvaid tähelepanekuid ning võimalust õpilasega tema valikutest rääkida.

Schoenfeldi raamistik suunab õpetajat uurima, '''kuidas õpilane oma teadmised tööle paneb'''. Õppeaia ülesandes muutub see nähtavaks hetkel, mil õpilane kontrollib ruudu sobivust, leiab vastunäite ning otsib tugevamat põhjendust. Selliste otsustuskohtade märkamine ja arutamine aitab kujundada õpilase iseseisvust järgmiste probleemide lahendamisel.

=== Allikad ===

&lt;references /&gt;
* Schoenfeld, A. H. (1992). [http://howtosolveit.pbworks.com/w/file/fetch/90467999/Schoenfeld_1992%20Learning%20to%20Think%20Mathematically.pdf Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense-making in mathematics]. D. A. Grouws (toim.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (lk 334–370). Macmillan. 
* University of California, Berkeley, GSI Teaching &amp; Resource Center. (2011). [https://gsi.berkeley.edu/programs-services/hsl-project/hsl-speakers/schoenfeld/ Alan Schoenfeld: Learning to Think Mathematically (or like a scientist, or like a writer, or…)]. Ettekande ülevaade veebis.</text>
      <sha1>jh4lkt942h6a1itwvxraknaf9xprifz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20321</id>
      <parentid>20320</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T13:05:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20321</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10418" sha1="rm494p2jugj9ds6uug04z0satqc23s5" xml:space="preserve">Õpilane võib teada vajalikke valemeid ja osata arvutada, kuid jääda probleemülesandega siiski hätta. Näiteks alustab ta sobimatu võrrandi koostamist, jätkab pikalt tulemusteta arvutamist või loobub, sest lahendus ei tule kohe pähe. Õpetaja jaoks tekib küsimus: kas õpilasel puuduvad teadmised või ei oska ta olemasolevaid teadmisi selles olukorras kasutada?

Alan H. Schoenfeldi käsitlus aitab neid põhjuseid eristada. Tema raamistikus mõjutavad probleemilahendust neli omavahel seotud komponenti: '''matemaatilised teadmised ja oskused, heuristikud, lahendusprotsessi juhtimine ning uskumused matemaatika kohta'''. Tähtis on nii teadmiste olemasolu kui ka oskus valida, millal ja kuidas neid rakendada. Lahendaja peab jälgima oma edenemist, hindama valitud suuna sobivust ning vajaduse korral tegevust muutma.&lt;ref name=&quot;Berkeley2011&quot;&gt;University of California, Berkeley, GSI Teaching &amp; Resource Center. (2011). [https://gsi.berkeley.edu/programs-services/hsl-project/hsl-speakers/schoenfeld/ ''Alan Schoenfeld: Learning to Think Mathematically (or like a scientist, or like a writer, or…)''.] Ettekande ülevaade.&lt;/ref&gt;

Pólya etappides on oma tegevuse kontrollimine ja lahendusele tagasivaatamine juba olemas. Schoenfeldi panus seisneb nende protsesside üksikasjalikumas uurimises ning seostamises lahendaja teadmiste, uskumuste ja õpikeskkonnaga. Metakognitiivne juhtimine toimub kogu lahendamise vältel: õpilane otsustab, millist ideed proovida, kas katsetus viib edasi ning millal tasub suunda muuta. See aitab selgitada, miks sarnaste ainealaste teadmistega õpilased võivad probleemide lahendamisel väga erinevalt toime tulla.&lt;ref name=&quot;Schoenfeld1992&quot;&gt;Schoenfeld, A. H. (1992). [https://jwilson.coe.uga.edu/EMAT7050/Schoenfeld_MathThinking.pdf Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense-making in mathematics.] D. A. Grouws (toim.), ''Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning'' (lk 334–370). Macmillan.&lt;/ref&gt;

''Järgnevad näited ja õpetamisvõtted on koostatud käsiraamatu jaoks Schoenfeldi raamistiku rakendamiseks; need ei ole tema uurimustes kirjeldatud juhtumid.''

=== Neli vaatenurka õpilase lahendustegevusele ===

Raamistiku rakendamist saab näitlikustada järgmise ülesandega, mis sobib põhikooli III kooliastmesse.

&lt;blockquote&gt;
'''Kooli õppeaed'''

Kool soovib rajada hoone seina äärde ristkülikukujulise õppeaia. Seina äärde piirdeaeda ei paigaldata; ülejäänud kolme külje jaoks on kasutada 24 meetrit aiavõrku. Millised peaksid olema aia mõõtmed, et selle pindala oleks võimalikult suur? Eelda, et sein on piisavalt pikk ning värava jaoks eraldi ava ei jäeta. Põhjenda oma vastust.
&lt;/blockquote&gt;

Õpilaste tööd jälgides saab õpetaja eristada nelja küsimust.

'''1. Teadmised ja oskused: mida õpilane oskab?'''

Ülesanne eeldab ristküliku pindala mõistmist ning oskust seostada joonist ja pikkusi. Kui õpilane ei tea pindala arvutamise viisi või liidab pindala leidmiseks külgede pikkused, vajab ta ainealast tuge. Üldine julgustus „mõtle veel“ seda lünka ei täida.

'''2. Heuristikud: milliseid lahendusvõtteid õpilane tunneb?'''

Õpilane võib teha joonise, proovida sobivaid mõõtmeid, koostada tabeli või väljendada pindala ühe muutuja kaudu. Kui ta ootab valemit ega oska alustada, võib õpetaja küsida: „Kas leiad ühe võimaliku aia, mis vastab tingimustele?“

'''3. Protsessi juhtimine: kuidas õpilane oma valikuid hindab?'''

Õpilane võib proovida järjest juhuslikke mõõtmeid, saamata selgemat pilti parimast lahendusest. Siis pole takistuseks tingimata arvutamisoskus. Vajalik on otsus, kuidas katsetusi süstematiseerida ning mille põhjal hinnata, kas suurim võimalik pindala on leitud.

'''4. Uskumused: mida õpilane peab matemaatikas lubatuks ja väärtuslikuks?'''

Õpilane võib arvata, et tabeli koostamine on nõrk lahendus, sest „päris matemaatikas peab kohe võrrandi tegema“. Teine võib pidada esimest sobivat vastust piisavaks. Sellised arusaamad mõjutavad seda, milliseid võimalusi õpilane üldse kaalub.

Need neli vaatenurka aitavad õpetajal valida täpsemat tuge. Sama nähtava tulemuse — näiteks tühja lehe — taga võivad olla erinevad raskused.

=== Metakognitsioon: oma mõtlemise märkamine ja suunamine ===

Selles peatükis kasutame metakognitsiooni tähenduses '''teadlikkust oma mõtlemisest ning oskust seda kavandada, jälgida ja reguleerida'''. Arvutamine on matemaatiline tegevus; otsustamine, kas arvutus aitab ülesande küsimusele vastata, on selle tegevuse juhtimine.

Õppeaia ülesandes võib rühm lähtuda tuttavast teadmisest, et kindla ümbermõõduga ristkülikutest on suurima pindalaga ruut. Õpilased pakuvad mõõtmeteks 8 × 8 meetrit: kolme külje jaoks kulub 24 meetrit võrku ja pindala on 64 m². Mõõtmed vastavad tingimustele, kuid maksimum pole veel põhjendatud.

Õpetaja saab anda vastuse asemel võimaluse oma oletust kontrollida:

&lt;blockquote&gt;
'''Õpetaja:''' „Te leidsite tingimustele vastava aia. Kuidas kontrolliksite, kas suuremat saab teha?“

'''Õpilane:''' „Võiksime üht külge pikemaks muuta.“

'''Õpetaja:''' „Millised teised küljed peavad siis muutuma, et võrku kuluks endiselt 24 meetrit?“

'''Õpilane:''' „Kui seina vastas olev külg pikeneb kahe meetri võrra, peavad mõlemad otsaküljed lühenema ühe meetri võrra.“
&lt;/blockquote&gt;

Nii jõuab rühm mõõtmeteni 7 × 10 meetrit ja pindalani 70 m². See üks näide lükkab ümber esialgse oletuse, et parim lahendus on ruut. Edasi saab koostada süstemaatilise tabeli: otsakülgede pikkustele 4, 5, 6, 7 ja 8 meetrit vastavad pindalad 64, 70, 72, 70 ja 64 m².

Siin tekib järgmine oluline otsustuskoht: '''tabel viitab maksimumile, kuid üksnes täisarvuliste juhtude proovimine ei tõesta seda kõigi võimalike mõõtmete korral'''.

Kui otsakülje pikkus on &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; meetrit, on seina vastas oleva külje pikkus &lt;math&gt;24-2x&lt;/math&gt; meetrit. Pindala avaldub kujul:

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;S=x(24-2x)=72-2(x-6)^2.&lt;/math&gt;

Kuna ruut on mittenegatiivne, ei saa pindala olla suurem kui 72 m². See pindala saavutatakse mõõtmetega '''6 × 12 meetrit'''.

Õpetaja valib põhjendamise viisi klassi eelteadmiste järgi. Kui ruutavaldiste teisendamine pole veel õpitud, võib uurida jooniste abil, kuidas mõõtmete muutmine pindala mõjutab, ning eristada esialgset põhjendatud oletust täielikust tõestusest. Õppimise seisukohalt on oluline märgata, kuidas õpilased kontrollisid oma esimest ideed ja muutsid seda vastunäite põhjal.

=== Uskumused ja hoiakud kujundavad lahendaja valikuid ===

Schoenfeldi raamistikus on keskne mõiste '''uskumused''': arusaamad matemaatika olemusest, õppimisest ja iseendast õppijana. Näiteks võib õpilane uskuda, et matemaatikas on igal ülesandel üks õpetaja oodatud lahendusviis või et ülesanne peab lahenema mõne minutiga. Sellised uskumused mõjutavad lahendustegevust ka siis, kui õpilane neid otsesõnu ei väljenda.&lt;ref name=&quot;Berkeley2011&quot; /&gt;

Hoiakute all mõistame siin laiemalt õpilase suhtumist matemaatikasse ja probleemidega tegelemisse: huvi, vastumeelsust, valmisolekut pingutada või vältida. Uskumust „ma ei leia lahendust kiiresti, järelikult ma ei oska matemaatikat“ võib saata ärevus ja soov ülesandest loobuda. Need nähtused on seotud, kuid õpetajal tasub neid eristada: vajaliku teadmise puudumine, eksimise kartus ja veendumus üheainsa õige lahendusviisi olemasolust vajavad erinevat tuge.

Käsitleme teist näidet.

&lt;blockquote&gt;
'''Soodushinnaga spordijalatsid'''

Spordijalatsite hinda vähendati 20%. Hiljem tõsteti soodushinda 20%. Kas lõpphind on algse hinnaga sama, sellest väiksem või suurem? Põhjenda.
&lt;/blockquote&gt;

Õpilane võib vastata, et muutused tühistavad teineteist. Õpetaja saab paluda valida ühe algse hinna ja oletust kontrollida. Kui algne hind on 100 eurot, on soodushind 80 eurot ning hilisem hind 96 eurot. Protsendid arvutatakse erinevatest alustest.

Selles arutelus võiks õpetaja esile tõsta parandamise väärtust: „Esialgne oletus ei pidanud kontrollile vastu. Milline tähelepanek aitas meil seda muuta?“ Nii saab klass kogemuse, et matemaatiline pädevus avaldub ka oma mõttekäigu parandamises. Kui tunnustatakse üksnes esimesena õige vastuse ütlemist, jääb see osa õppimisest kergesti varju.

=== Mõtlemise juhtimist saab tunnis harjutada ===

Järgmised võtted on ettepanekud Schoenfeldi raamistiku rakendamiseks LAHEMATE tundides.

'''Tee otsused kuuldavaks.''' Õpetaja võib näidisülesannet lahendades selgitada: „Ma ei tea veel, kas see plaan töötab. Proovin ühte lihtsat juhtu ja vaatan, mida sellest teada saan.“ Õpilane kuuleb siis lisaks tehetele ka nende valimise põhjuseid.

'''Küsi tegevuse eesmärgi kohta.''' Sobival hetkel võib rühmalt küsida: „Mida te praegu välja selgitate?“, „Miks valisite selle võtte?“ ja „Mis näitaks, et plaani tuleks muuta?“ Küsimused peavad aitama mõtlemist edasi viia; pidev aruandmine võib lahendamist hoopis katkestada.

'''Säilita üks oluline muudatus.''' Õpilastel võiks paluda jätta lahendusse alles üks parandatud oletus või lisada märkus: „Algul arvasime…, kuid märkasime…, seetõttu…“. See annab õpetajale infot, mida puhtalt ümber kirjutatud lõppvastus ei näita.

'''Anna tagasisidet konkreetsele otsusele.''' Üldise „Tubli!“ asemel saab öelda: „Teie vastunäide näitas, miks esimene oletus ei sobinud“ või „Tabel aitas teil katsetused süstemaatiliseks muuta“. Nii saab õpilane teada, milline tegevus tema edenemist toetas.

Hindamisel tasub matemaatilise tulemuse kõrval märgata, kas õpilane põhjendab strateegiavalikut, kontrollib vastuse sobivust ja muudab plaani saadud info põhjal. Samas ei saa ühest ebaõnnestunud ülesandest järeldada, et õpilasel on halb hoiak või puudulik metakognitsioon. Õpetaja vajab korduvaid tähelepanekuid ning võimalust õpilasega tema valikutest rääkida.

Schoenfeldi raamistik suunab õpetajat uurima, '''kuidas õpilane oma teadmised tööle paneb'''. Õppeaia ülesandes muutub see nähtavaks hetkel, mil õpilane kontrollib ruudu sobivust, leiab vastunäite ning otsib tugevamat põhjendust. Selliste otsustuskohtade märkamine ja arutamine aitab kujundada õpilase iseseisvust järgmiste probleemide lahendamisel.

=== Allikad ===

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>rm494p2jugj9ds6uug04z0satqc23s5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20322</id>
      <parentid>20321</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T13:06:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>/* Mõtlemise juhtimist saab tunnis harjutada */</comment>
      <origin>20322</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10423" sha1="nxva7oi63rc61uu0pauzk5x6jwaw32c" xml:space="preserve">Õpilane võib teada vajalikke valemeid ja osata arvutada, kuid jääda probleemülesandega siiski hätta. Näiteks alustab ta sobimatu võrrandi koostamist, jätkab pikalt tulemusteta arvutamist või loobub, sest lahendus ei tule kohe pähe. Õpetaja jaoks tekib küsimus: kas õpilasel puuduvad teadmised või ei oska ta olemasolevaid teadmisi selles olukorras kasutada?

Alan H. Schoenfeldi käsitlus aitab neid põhjuseid eristada. Tema raamistikus mõjutavad probleemilahendust neli omavahel seotud komponenti: '''matemaatilised teadmised ja oskused, heuristikud, lahendusprotsessi juhtimine ning uskumused matemaatika kohta'''. Tähtis on nii teadmiste olemasolu kui ka oskus valida, millal ja kuidas neid rakendada. Lahendaja peab jälgima oma edenemist, hindama valitud suuna sobivust ning vajaduse korral tegevust muutma.&lt;ref name=&quot;Berkeley2011&quot;&gt;University of California, Berkeley, GSI Teaching &amp; Resource Center. (2011). [https://gsi.berkeley.edu/programs-services/hsl-project/hsl-speakers/schoenfeld/ ''Alan Schoenfeld: Learning to Think Mathematically (or like a scientist, or like a writer, or…)''.] Ettekande ülevaade.&lt;/ref&gt;

Pólya etappides on oma tegevuse kontrollimine ja lahendusele tagasivaatamine juba olemas. Schoenfeldi panus seisneb nende protsesside üksikasjalikumas uurimises ning seostamises lahendaja teadmiste, uskumuste ja õpikeskkonnaga. Metakognitiivne juhtimine toimub kogu lahendamise vältel: õpilane otsustab, millist ideed proovida, kas katsetus viib edasi ning millal tasub suunda muuta. See aitab selgitada, miks sarnaste ainealaste teadmistega õpilased võivad probleemide lahendamisel väga erinevalt toime tulla.&lt;ref name=&quot;Schoenfeld1992&quot;&gt;Schoenfeld, A. H. (1992). [https://jwilson.coe.uga.edu/EMAT7050/Schoenfeld_MathThinking.pdf Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense-making in mathematics.] D. A. Grouws (toim.), ''Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning'' (lk 334–370). Macmillan.&lt;/ref&gt;

''Järgnevad näited ja õpetamisvõtted on koostatud käsiraamatu jaoks Schoenfeldi raamistiku rakendamiseks; need ei ole tema uurimustes kirjeldatud juhtumid.''

=== Neli vaatenurka õpilase lahendustegevusele ===

Raamistiku rakendamist saab näitlikustada järgmise ülesandega, mis sobib põhikooli III kooliastmesse.

&lt;blockquote&gt;
'''Kooli õppeaed'''

Kool soovib rajada hoone seina äärde ristkülikukujulise õppeaia. Seina äärde piirdeaeda ei paigaldata; ülejäänud kolme külje jaoks on kasutada 24 meetrit aiavõrku. Millised peaksid olema aia mõõtmed, et selle pindala oleks võimalikult suur? Eelda, et sein on piisavalt pikk ning värava jaoks eraldi ava ei jäeta. Põhjenda oma vastust.
&lt;/blockquote&gt;

Õpilaste tööd jälgides saab õpetaja eristada nelja küsimust.

'''1. Teadmised ja oskused: mida õpilane oskab?'''

Ülesanne eeldab ristküliku pindala mõistmist ning oskust seostada joonist ja pikkusi. Kui õpilane ei tea pindala arvutamise viisi või liidab pindala leidmiseks külgede pikkused, vajab ta ainealast tuge. Üldine julgustus „mõtle veel“ seda lünka ei täida.

'''2. Heuristikud: milliseid lahendusvõtteid õpilane tunneb?'''

Õpilane võib teha joonise, proovida sobivaid mõõtmeid, koostada tabeli või väljendada pindala ühe muutuja kaudu. Kui ta ootab valemit ega oska alustada, võib õpetaja küsida: „Kas leiad ühe võimaliku aia, mis vastab tingimustele?“

'''3. Protsessi juhtimine: kuidas õpilane oma valikuid hindab?'''

Õpilane võib proovida järjest juhuslikke mõõtmeid, saamata selgemat pilti parimast lahendusest. Siis pole takistuseks tingimata arvutamisoskus. Vajalik on otsus, kuidas katsetusi süstematiseerida ning mille põhjal hinnata, kas suurim võimalik pindala on leitud.

'''4. Uskumused: mida õpilane peab matemaatikas lubatuks ja väärtuslikuks?'''

Õpilane võib arvata, et tabeli koostamine on nõrk lahendus, sest „päris matemaatikas peab kohe võrrandi tegema“. Teine võib pidada esimest sobivat vastust piisavaks. Sellised arusaamad mõjutavad seda, milliseid võimalusi õpilane üldse kaalub.

Need neli vaatenurka aitavad õpetajal valida täpsemat tuge. Sama nähtava tulemuse — näiteks tühja lehe — taga võivad olla erinevad raskused.

=== Metakognitsioon: oma mõtlemise märkamine ja suunamine ===

Selles peatükis kasutame metakognitsiooni tähenduses '''teadlikkust oma mõtlemisest ning oskust seda kavandada, jälgida ja reguleerida'''. Arvutamine on matemaatiline tegevus; otsustamine, kas arvutus aitab ülesande küsimusele vastata, on selle tegevuse juhtimine.

Õppeaia ülesandes võib rühm lähtuda tuttavast teadmisest, et kindla ümbermõõduga ristkülikutest on suurima pindalaga ruut. Õpilased pakuvad mõõtmeteks 8 × 8 meetrit: kolme külje jaoks kulub 24 meetrit võrku ja pindala on 64 m². Mõõtmed vastavad tingimustele, kuid maksimum pole veel põhjendatud.

Õpetaja saab anda vastuse asemel võimaluse oma oletust kontrollida:

&lt;blockquote&gt;
'''Õpetaja:''' „Te leidsite tingimustele vastava aia. Kuidas kontrolliksite, kas suuremat saab teha?“

'''Õpilane:''' „Võiksime üht külge pikemaks muuta.“

'''Õpetaja:''' „Millised teised küljed peavad siis muutuma, et võrku kuluks endiselt 24 meetrit?“

'''Õpilane:''' „Kui seina vastas olev külg pikeneb kahe meetri võrra, peavad mõlemad otsaküljed lühenema ühe meetri võrra.“
&lt;/blockquote&gt;

Nii jõuab rühm mõõtmeteni 7 × 10 meetrit ja pindalani 70 m². See üks näide lükkab ümber esialgse oletuse, et parim lahendus on ruut. Edasi saab koostada süstemaatilise tabeli: otsakülgede pikkustele 4, 5, 6, 7 ja 8 meetrit vastavad pindalad 64, 70, 72, 70 ja 64 m².

Siin tekib järgmine oluline otsustuskoht: '''tabel viitab maksimumile, kuid üksnes täisarvuliste juhtude proovimine ei tõesta seda kõigi võimalike mõõtmete korral'''.

Kui otsakülje pikkus on &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; meetrit, on seina vastas oleva külje pikkus &lt;math&gt;24-2x&lt;/math&gt; meetrit. Pindala avaldub kujul:

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;S=x(24-2x)=72-2(x-6)^2.&lt;/math&gt;

Kuna ruut on mittenegatiivne, ei saa pindala olla suurem kui 72 m². See pindala saavutatakse mõõtmetega '''6 × 12 meetrit'''.

Õpetaja valib põhjendamise viisi klassi eelteadmiste järgi. Kui ruutavaldiste teisendamine pole veel õpitud, võib uurida jooniste abil, kuidas mõõtmete muutmine pindala mõjutab, ning eristada esialgset põhjendatud oletust täielikust tõestusest. Õppimise seisukohalt on oluline märgata, kuidas õpilased kontrollisid oma esimest ideed ja muutsid seda vastunäite põhjal.

=== Uskumused ja hoiakud kujundavad lahendaja valikuid ===

Schoenfeldi raamistikus on keskne mõiste '''uskumused''': arusaamad matemaatika olemusest, õppimisest ja iseendast õppijana. Näiteks võib õpilane uskuda, et matemaatikas on igal ülesandel üks õpetaja oodatud lahendusviis või et ülesanne peab lahenema mõne minutiga. Sellised uskumused mõjutavad lahendustegevust ka siis, kui õpilane neid otsesõnu ei väljenda.&lt;ref name=&quot;Berkeley2011&quot; /&gt;

Hoiakute all mõistame siin laiemalt õpilase suhtumist matemaatikasse ja probleemidega tegelemisse: huvi, vastumeelsust, valmisolekut pingutada või vältida. Uskumust „ma ei leia lahendust kiiresti, järelikult ma ei oska matemaatikat“ võib saata ärevus ja soov ülesandest loobuda. Need nähtused on seotud, kuid õpetajal tasub neid eristada: vajaliku teadmise puudumine, eksimise kartus ja veendumus üheainsa õige lahendusviisi olemasolust vajavad erinevat tuge.

Käsitleme teist näidet.

&lt;blockquote&gt;
'''Soodushinnaga spordijalatsid'''

Spordijalatsite hinda vähendati 20%. Hiljem tõsteti soodushinda 20%. Kas lõpphind on algse hinnaga sama, sellest väiksem või suurem? Põhjenda.
&lt;/blockquote&gt;

Õpilane võib vastata, et muutused tühistavad teineteist. Õpetaja saab paluda valida ühe algse hinna ja oletust kontrollida. Kui algne hind on 100 eurot, on soodushind 80 eurot ning hilisem hind 96 eurot. Protsendid arvutatakse erinevatest alustest.

Selles arutelus võiks õpetaja esile tõsta parandamise väärtust: „Esialgne oletus ei pidanud kontrollile vastu. Milline tähelepanek aitas meil seda muuta?“ Nii saab klass kogemuse, et matemaatiline pädevus avaldub ka oma mõttekäigu parandamises. Kui tunnustatakse üksnes esimesena õige vastuse ütlemist, jääb see osa õppimisest kergesti varju.

=== Mõtlemise juhtimist saab tunnis harjutada ===

Järgmised võtted on ettepanekud Schoenfeldi raamistiku rakendamiseks LAHEMATE tundides.

* '''Tee otsused kuuldavaks.''' Õpetaja võib näidisülesannet lahendades selgitada: „Ma ei tea veel, kas see plaan töötab. Proovin ühte lihtsat juhtu ja vaatan, mida sellest teada saan.“ Õpilane kuuleb siis lisaks tehetele ka nende valimise põhjuseid.
* '''Küsi tegevuse eesmärgi kohta.''' Sobival hetkel võib rühmalt küsida: „Mida te praegu välja selgitate?“, „Miks valisite selle võtte?“ ja „Mis näitaks, et plaani tuleks muuta?“ Küsimused peavad aitama mõtlemist edasi viia; pidev aruandmine võib lahendamist hoopis katkestada.
* '''Säilita üks oluline muudatus.''' Õpilastel võiks paluda jätta lahendusse alles üks parandatud oletus või lisada märkus: „Algul arvasime…, kuid märkasime…, seetõttu…“. See annab õpetajale infot, mida puhtalt ümber kirjutatud lõppvastus ei näita.
* '''Anna tagasisidet konkreetsele otsusele.''' Üldise „Tubli!“ asemel saab öelda: „Teie vastunäide näitas, miks esimene oletus ei sobinud“ või „Tabel aitas teil katsetused süstemaatiliseks muuta“. Nii saab õpilane teada, milline tegevus tema edenemist toetas.

Hindamisel tasub matemaatilise tulemuse kõrval märgata, kas õpilane põhjendab strateegiavalikut, kontrollib vastuse sobivust ja muudab plaani saadud info põhjal. Samas ei saa ühest ebaõnnestunud ülesandest järeldada, et õpilasel on halb hoiak või puudulik metakognitsioon. Õpetaja vajab korduvaid tähelepanekuid ning võimalust õpilasega tema valikutest rääkida.

Schoenfeldi raamistik suunab õpetajat uurima, '''kuidas õpilane oma teadmised tööle paneb'''. Õppeaia ülesandes muutub see nähtavaks hetkel, mil õpilane kontrollib ruudu sobivust, leiab vastunäite ning otsib tugevamat põhjendust. Selliste otsustuskohtade märkamine ja arutamine aitab kujundada õpilase iseseisvust järgmiste probleemide lahendamisel.

=== Allikad ===

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>nxva7oi63rc61uu0pauzk5x6jwaw32c</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>1.3.Jonassen: probleemülesannete tüübid, koostamine, hindamine</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4255</id>
    <revision>
      <id>20323</id>
      <timestamp>2026-09-27T13:33:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>Uus lehekülg: 'Peatükk tugineb manuses olevale Jonasseni raamatule; matemaatikaõpetuse näited on koostatud käsiraamatu jaoks. :codex-file-citation{path=&quot;/Users/martlaanpere/Documents/Peda/MatÕpetajaÕppekava/HANO koolitused/Probleemülesanded koolimatemaatikas/learning_to_solve_problems.pdf&quot; purpose=&quot;source&quot;}  ```text == 1.3. Jonassen: probleemülesannete tüübid, koostamine ja hindamine ==  Pólya aitab kirjeldada probleemilahenduse etappe ning Schoenfeld selgitab lahendaja teadmis...'</comment>
      <origin>20323</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10485" sha1="necnjq8ypuqiu91wvbux9e82n2exnv1" xml:space="preserve">Peatükk tugineb manuses olevale Jonasseni raamatule; matemaatikaõpetuse näited on koostatud käsiraamatu jaoks. :codex-file-citation{path=&quot;/Users/martlaanpere/Documents/Peda/MatÕpetajaÕppekava/HANO koolitused/Probleemülesanded koolimatemaatikas/learning_to_solve_problems.pdf&quot; purpose=&quot;source&quot;}

```text
== 1.3. Jonassen: probleemülesannete tüübid, koostamine ja hindamine ==

Pólya aitab kirjeldada probleemilahenduse etappe ning Schoenfeld selgitab lahendaja teadmiste, metakognitsiooni ja uskumuste rolli. David H. Jonassen lisab õppedisaini vaatenurga: '''erinevat tüüpi probleemülesanded nõuavad erinevat lahendustegevust ning seetõttu ka erinevat õpetamist ja hindamist'''. Tema raamatus „Learning to Solve Problems“ tähendab probleemülesanne lahendamist väärivat teadmatust mingis kontekstis. Lisaks teadmata vastusele peab olema põhjus seda otsida: lahendusel on kellegi jaoks intellektuaalne, praktiline või sotsiaalne väärtus.&lt;ref name=&quot;Jonassen2004&quot;&gt;Jonassen, D. H. (2004). ''Learning to Solve Problems: An Instructional Design Guide''. San Francisco: Pfeiffer. Probleemide omadused ja tüpoloogia: 1. peatükk; õpikeskkondade kavandamine: 2. peatükk; hindamine: 8. peatükk.&lt;/ref&gt;

Matemaatikaõpetaja jaoks tähendab see, et ülesannete valimisel tasub arvutamise keerukuse kõrval küsida: mida peab õpilane selles ülesandes ise otsustama? Kas ta valib sobiva tehte, otsib vea põhjust, võrdleb võimalusi või kavandab piirangutele vastava lahenduse? Kuivõrd ta mõistab empaatiliselt, et see lahendus on tegelikult kellegi jaoks oluline, väärtuslik?

=== Mille poolest probleemülesanded erinevad? ===

Jonassen eristab probleemide nelja omadust: '''struktureeritus, keerukus, kohanduvus ja kontekstiseotus'''.&lt;ref name=&quot;Jonassen2004&quot; /&gt;, mis on tal esitatud nelja teljena, otspunktides vastandväärtused. 

'''Hästi struktureeritud probleemülesandes''' on lähteolukord, eesmärk ja lahenduse hindamise alused selged. Näiteks võib ülesanne nõuda ristkülikukujulise põranda katmiseks vajalike plaatide arvu leidmist, kui kõik mõõtmed ja paigaldustingimused on antud. '''Nõrgalt struktureeritud probleemülesandes''' tuleb lahendajal ka eesmärki täpsustada, puuduvaid andmeid hankida (või liigseid lähteandmeid ignoreerida) ning võimalikke lahendusi mitme kriteeriumi järgi võrrelda. Näiteks kooli puhkeala kavandamisel tuleb otsustada, kuidas arvestada ruumi, eelarve ja erinevate kasutajate (sh väga noorte ja erivajadustega õppijate) vajadustega. Struktureeritus ei võrdu raskusastmega, sest raskusaste on subjektiivne (mis ühe õpilase jaoks on raske, pole seda teise jaoks). Selgete reeglitega loogikaülesanne võib olla väga keeruline, samal ajal kui mitme vastuvõetava lahendusega valik võib olla üsna lihtne. Ka mitu lahendusviisi ei muuda ülesannet iseenesest nõrgalt struktureerituks.

'''Keerukus''' sõltub muu hulgas tegurite arvust, nendevahelistest seostest ja lahendusalgoritmi sammude arvust, aga ka mitme valdkonna teadmiste kombineerimise vajadusest. '''Kohanduvus''' tähendab, et tingimused võivad lahendamise ajal muutuda: näiteks eelarve koostamise järel selgub uus osalejate arv või alternatiivsed kokkuhoiukohad. '''Kontekstiseotus''' väljendub selles, milliseid valdkonnateadmisi on vaja arvude tõlgendamiseks. Sama jagamistehe võib anda eri olukordades erineva praktilise vastuse: busside arvu leidmisel tuleb arvestada tervete bussidega, keskmise arvutamisel võib murdarv olla täiesti sobiv.

=== Probleemülesannete tüübid matemaatikaõpetuses ===

Jonasseni tüpoloogia hõlmab ühtteist tüüpi: loogikaülesanded, algoritmi rakendamise ülesanded, tekstülesanded, reeglite kasutamise ülesanded, otsustusprobleemid, veaotsing, diagnoosimise ja lahenduse valiku probleemid, strateegiline tegutsemine, juhtumi- ja süsteemianalüüs, disainiprobleemid ning dilemmad. See on probleemide mõtestamise tüpoloogia, mitte jäik raskusastmete järjestus.&lt;ref name=&quot;Jonassen2004&quot; /&gt;

Jonassen kasutab probleemi mõistet laiemalt:  see pole lihtsalt mitterutiinne ülesanne, milles lahendajal puudub valmis lahendusviis. Seetõttu kuulub tema tüpoloogiasse ka algoritmi rakendamine. Õpilasele tuttava algoritmi harjutamine või tavaline tekstülesanne ei pruugi aga olla tema jaoks tingimata mitterutiinne ülesanne (st ka need võivad olla probleemülesanded teatud tingimustel).

Järgmine tabel esitab valiku tüüpe koos selle käsiraamatu jaoks koostatud näidetega.

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Probleemülesande tüüp
! Näide matemaatikatundi
! Lahendamise keskne tegevus
|-
| Loogikaülesanne
| Leia kõik kolmekohalised arvud, mille numbrite summa on 6 ja numbrid on rangelt kasvavas järjekorras.
| Võimaluste süstemaatiline uurimine ning täielikkuse põhjendamine.
|-
| Tekstülesanne
| Bussirent maksab 360 eurot. Kui kulud jagatakse 24 õpilase vahel võrdselt, kui palju maksab igaüks?
| Olukorra seostamine matemaatilise mudeli ja tehtega.
|-
| Otsustusprobleem
| Kumb kahest bussipakkumisest sobib klassi õppekäiguks paremini, arvestades hinda, istekohtade arvu ja väljasõiduaega?
| Valikukriteeriumide sõnastamine, võrdlemine ja otsuse põhjendamine.
|-
| Veaotsing
| Õppekäigu eelarvetabelis ei muutu kogukulu osalejate arvu muutmisel. Leia põhjus ja kontrolli parandust.
| Võimalike veapõhjuste püstitamine ja katsetamine.
|-
| Disainiprobleem
| Koosta kuni 25-eurose osalustasuga õppekäigu kava, mis täidab kokkulepitud õpieesmärgid.
| Teostatava lahenduse loomine piirangute ja eesmärkide alusel.
|-
| Dilemma
| Kuidas jagada piiratud toetussummat, kui soovitakse korraga võrdset kohtlemist ja väiksema maksevõimega perede toetamist?
| Väärtuskonflikti ja alternatiivide tagajärgede analüüsimine.
|}

Viimases näites saab matemaatika abil võrrelda jaotusviise, kuid arvutus üksi ei otsusta, milline jaotus on õiglane. Õpetaja peab eristama matemaatilise põhjenduse kvaliteeti õpilase väärtusvalikust.

=== Probleemülesande koostamine õppedisainis ===

Jonasseni järgi tuleb kavandada ülesande ümber ka õppimist toetav keskkond: probleemiesitus, vajalikud teadmised, modelleerimisvahendid, näited, katsetamisvõimalused ja tagasiside. Ühes olukorras aitab läbitöötatud näidislahendus, teises erinevate juhtumite võrdlemine või võimalus oma oletusi katsetada. Kõigile probleemidele ei sobi sama toestus.&lt;ref name=&quot;Jonassen2004&quot; /&gt;

Õpetaja saab neid põhimõtteid rakendada järgmiste sammudena. Need on käsiraamatu koostamissoovitused, mitte Jonasseni poolt fikseeritud sammud.

# '''Määra õppimise eesmärk.''' Kas õpilane õpib protsente arvutama, kulumudelit koostama või alternatiive põhjendatult võrdlema?
# '''Vali eesmärgile vastav probleemülesande tüüp.''' Otsustamisoskuse harjutamiseks peab ülesandes olema sisuline valik; üksnes arvandmete paigutamisest jutukesse ei piisa.
# '''Otsusta, mis antakse ette ja mida õpilane selgitab ise.''' Puuduvad andmed peavad looma mõtestatud uurimisvajaduse. Õpilasel peab olema võimalus neid hankida või põhjendatud eeldustega asendada.
# '''Kavanda sobiv toestamine.''' Võimalda näiteks joonist, tabelit, arvutustabelit, vihjeid või sarnast näidislahendust. Toestamine (''scaffolding'') peaks aitama käivitada õpilase mõtlemisprotsessi, säilitades õpilasele kavandatud otsustusruumi ja agentsuse.
# '''Määra sobiva lahenduse tunnused.''' Õpitulemus, nõutav sooritus ja hindamine peavad omavahel sobima.

'''Näide: arvutusülesandest otsustusprobleemiks'''

Rutiinse tavaülesande võib Jonasseni järgi muuta probleemülesandeks. Näide: õppekäiguks pakub ettevõte A 32-kohalist bussi hinnaga 320 eurot ning ettevõte B 48-kohalist bussi hinnaga 380 eurot. Mõlemad hinnad hõlmavad kogu sõitu. Osaleb 30 õpilast ja kaks õpetajat; bussikulu jagatakse õpilaste vahel võrdselt. Kui ülesande sõnastuses küsida ainult odavama bussi osalustasu, piisab arvutusest &lt;math&gt;320:30\approx10{,}67&lt;/math&gt; eurot. Probleemülesandeks muutub see siis, kui lisada: „Liituda võib veel kaks õpilast. Valige pakkumine ning põhjendage, millistel tingimustel tuleks valikut muuta.“

Esialgne rühm mahub ettevõtte A bussi täpselt ära. Kahe õpilase lisandumisel ei piisa enam istekohtadest. Ettevõtte B bussi puhul oleks 32 maksva õpilase osalustasu &lt;math&gt;380:32=11{,}875&lt;/math&gt; eurot ehk sendini ümardatult 11,88 eurot. Õpilased peavad nüüd siduma arvutuse mahutavuse ja ebakindla osalejate arvuga. Põhjendatud lahendus võib olla ka tingimuslik otsus: kinnitada esmalt osalejate arv ja valida seejärel buss.

=== Probleemilahenduse hindamine ===

Jonassen soovitab ühendada kolm hindamisvaadet: '''probleemi lahendamise sooritus, lahendamiseks vajalikud kognitiivsed osaoskused ning lahenduse argumenteerimine'''. Ainult lõppvastusest või mõistete meenutamisest ei piisa. Hindamine peab vastama sellele probleemilahendusele, mida õpilased õppisid.&lt;ref name=&quot;Jonassen2004&quot; /&gt;

Bussivaliku ülesandes võiks õpetaja koguda järgmisi tõendeid:

* '''Sooritus:''' õpilase valitud buss mahutab kogu rühma ning esitatud kulumudel vastab tingimustele.
* '''Osaoskused:''' õpilane eristab sõitjate ja maksjate arvu, arvutab osalustasu ning tõlgendab ümardamist.
* '''Argumentatsioon:''' õpilane seob soovituse kriteeriumidega, võrdleb alternatiivi ja selgitab, kuidas osalejate arvu muutus mõjutab otsust.

Hindamiskriteeriumid tuleb avada jälgitavate tunnustena. Näiteks kriteeriumi „otsuse põhjendatus“ puhul saab eristada kolme taset:

# '''Vajab täiendamist:''' esitatud on valik, kuid puudub andmetega seotud põhjendus.
# '''Põhjendatud:''' valik toetub asjakohastele arvutustele ja istekohtade piisavuse kontrollile.
# '''Põhjendatud koos tingimuste analüüsiga:''' lisaks võrreldakse alternatiivi ning selgitatakse, millal soovitus muutuks.

See on ühe kriteeriumi näide; matemaatilist korrektsust tuleb hinnata eraldi. Rühmatöö kõrval võib iga õpilane vastata lühikesele individuaalsele küsimusele, näiteks selgitada oma sõnadega, miks maksjate arv erineb sõitjate arvust. Nii ei jää arusaamise hindamine üksnes rühma ühise lõpptulemuse varju.

Jonasseni käsitlus aitab õpetajal kujundada mitmekesist ülesandevalikut ning siduda iga ülesande eesmärgi sobiva toe ja hindamisega. Arvutus, vea leidmine, põhjendatud otsus ja uue lahenduse kavandamine annavad õpilase probleemilahendusoskusest erinevat teavet.

=== Allikad ===

&lt;references /&gt;
```</text>
      <sha1>necnjq8ypuqiu91wvbux9e82n2exnv1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20324</id>
      <parentid>20323</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T13:33:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20324</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10099" sha1="s1xnl1pyod3nts7a6prfhw3s0vhp6ke" xml:space="preserve">Pólya aitab kirjeldada probleemilahenduse etappe ning Schoenfeld selgitab lahendaja teadmiste, metakognitsiooni ja uskumuste rolli. David H. Jonassen lisab õppedisaini vaatenurga: '''erinevat tüüpi probleemülesanded nõuavad erinevat lahendustegevust ning seetõttu ka erinevat õpetamist ja hindamist'''. Tema raamatus „Learning to Solve Problems“ tähendab probleemülesanne lahendamist väärivat teadmatust mingis kontekstis. Lisaks teadmata vastusele peab olema põhjus seda otsida: lahendusel on kellegi jaoks intellektuaalne, praktiline või sotsiaalne väärtus.&lt;ref name=&quot;Jonassen2004&quot;&gt;Jonassen, D. H. (2004). ''Learning to Solve Problems: An Instructional Design Guide''. San Francisco: Pfeiffer. Probleemide omadused ja tüpoloogia: 1. peatükk; õpikeskkondade kavandamine: 2. peatükk; hindamine: 8. peatükk.&lt;/ref&gt;

Matemaatikaõpetaja jaoks tähendab see, et ülesannete valimisel tasub arvutamise keerukuse kõrval küsida: mida peab õpilane selles ülesandes ise otsustama? Kas ta valib sobiva tehte, otsib vea põhjust, võrdleb võimalusi või kavandab piirangutele vastava lahenduse? Kuivõrd ta mõistab empaatiliselt, et see lahendus on tegelikult kellegi jaoks oluline, väärtuslik?

=== Mille poolest probleemülesanded erinevad? ===

Jonassen eristab probleemide nelja omadust: '''struktureeritus, keerukus, kohanduvus ja kontekstiseotus'''.&lt;ref name=&quot;Jonassen2004&quot; /&gt;, mis on tal esitatud nelja teljena, otspunktides vastandväärtused. 

'''Hästi struktureeritud probleemülesandes''' on lähteolukord, eesmärk ja lahenduse hindamise alused selged. Näiteks võib ülesanne nõuda ristkülikukujulise põranda katmiseks vajalike plaatide arvu leidmist, kui kõik mõõtmed ja paigaldustingimused on antud. '''Nõrgalt struktureeritud probleemülesandes''' tuleb lahendajal ka eesmärki täpsustada, puuduvaid andmeid hankida (või liigseid lähteandmeid ignoreerida) ning võimalikke lahendusi mitme kriteeriumi järgi võrrelda. Näiteks kooli puhkeala kavandamisel tuleb otsustada, kuidas arvestada ruumi, eelarve ja erinevate kasutajate (sh väga noorte ja erivajadustega õppijate) vajadustega. Struktureeritus ei võrdu raskusastmega, sest raskusaste on subjektiivne (mis ühe õpilase jaoks on raske, pole seda teise jaoks). Selgete reeglitega loogikaülesanne võib olla väga keeruline, samal ajal kui mitme vastuvõetava lahendusega valik võib olla üsna lihtne. Ka mitu lahendusviisi ei muuda ülesannet iseenesest nõrgalt struktureerituks.

'''Keerukus''' sõltub muu hulgas tegurite arvust, nendevahelistest seostest ja lahendusalgoritmi sammude arvust, aga ka mitme valdkonna teadmiste kombineerimise vajadusest. '''Kohanduvus''' tähendab, et tingimused võivad lahendamise ajal muutuda: näiteks eelarve koostamise järel selgub uus osalejate arv või alternatiivsed kokkuhoiukohad. '''Kontekstiseotus''' väljendub selles, milliseid valdkonnateadmisi on vaja arvude tõlgendamiseks. Sama jagamistehe võib anda eri olukordades erineva praktilise vastuse: busside arvu leidmisel tuleb arvestada tervete bussidega, keskmise arvutamisel võib murdarv olla täiesti sobiv.

=== Probleemülesannete tüübid matemaatikaõpetuses ===

Jonasseni tüpoloogia hõlmab ühtteist tüüpi: loogikaülesanded, algoritmi rakendamise ülesanded, tekstülesanded, reeglite kasutamise ülesanded, otsustusprobleemid, veaotsing, diagnoosimise ja lahenduse valiku probleemid, strateegiline tegutsemine, juhtumi- ja süsteemianalüüs, disainiprobleemid ning dilemmad. See on probleemide mõtestamise tüpoloogia, mitte jäik raskusastmete järjestus.&lt;ref name=&quot;Jonassen2004&quot; /&gt;

Jonassen kasutab probleemi mõistet laiemalt:  see pole lihtsalt mitterutiinne ülesanne, milles lahendajal puudub valmis lahendusviis. Seetõttu kuulub tema tüpoloogiasse ka algoritmi rakendamine. Õpilasele tuttava algoritmi harjutamine või tavaline tekstülesanne ei pruugi aga olla tema jaoks tingimata mitterutiinne ülesanne (st ka need võivad olla probleemülesanded teatud tingimustel).

Järgmine tabel esitab valiku tüüpe koos selle käsiraamatu jaoks koostatud näidetega.

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Probleemülesande tüüp
! Näide matemaatikatundi
! Lahendamise keskne tegevus
|-
| Loogikaülesanne
| Leia kõik kolmekohalised arvud, mille numbrite summa on 6 ja numbrid on rangelt kasvavas järjekorras.
| Võimaluste süstemaatiline uurimine ning täielikkuse põhjendamine.
|-
| Tekstülesanne
| Bussirent maksab 360 eurot. Kui kulud jagatakse 24 õpilase vahel võrdselt, kui palju maksab igaüks?
| Olukorra seostamine matemaatilise mudeli ja tehtega.
|-
| Otsustusprobleem
| Kumb kahest bussipakkumisest sobib klassi õppekäiguks paremini, arvestades hinda, istekohtade arvu ja väljasõiduaega?
| Valikukriteeriumide sõnastamine, võrdlemine ja otsuse põhjendamine.
|-
| Veaotsing
| Õppekäigu eelarvetabelis ei muutu kogukulu osalejate arvu muutmisel. Leia põhjus ja kontrolli parandust.
| Võimalike veapõhjuste püstitamine ja katsetamine.
|-
| Disainiprobleem
| Koosta kuni 25-eurose osalustasuga õppekäigu kava, mis täidab kokkulepitud õpieesmärgid.
| Teostatava lahenduse loomine piirangute ja eesmärkide alusel.
|-
| Dilemma
| Kuidas jagada piiratud toetussummat, kui soovitakse korraga võrdset kohtlemist ja väiksema maksevõimega perede toetamist?
| Väärtuskonflikti ja alternatiivide tagajärgede analüüsimine.
|}

Viimases näites saab matemaatika abil võrrelda jaotusviise, kuid arvutus üksi ei otsusta, milline jaotus on õiglane. Õpetaja peab eristama matemaatilise põhjenduse kvaliteeti õpilase väärtusvalikust.

=== Probleemülesande koostamine õppedisainis ===

Jonasseni järgi tuleb kavandada ülesande ümber ka õppimist toetav keskkond: probleemiesitus, vajalikud teadmised, modelleerimisvahendid, näited, katsetamisvõimalused ja tagasiside. Ühes olukorras aitab läbitöötatud näidislahendus, teises erinevate juhtumite võrdlemine või võimalus oma oletusi katsetada. Kõigile probleemidele ei sobi sama toestus.&lt;ref name=&quot;Jonassen2004&quot; /&gt;

Õpetaja saab neid põhimõtteid rakendada järgmiste sammudena. Need on käsiraamatu koostamissoovitused, mitte Jonasseni poolt fikseeritud sammud.

# '''Määra õppimise eesmärk.''' Kas õpilane õpib protsente arvutama, kulumudelit koostama või alternatiive põhjendatult võrdlema?
# '''Vali eesmärgile vastav probleemülesande tüüp.''' Otsustamisoskuse harjutamiseks peab ülesandes olema sisuline valik; üksnes arvandmete paigutamisest jutukesse ei piisa.
# '''Otsusta, mis antakse ette ja mida õpilane selgitab ise.''' Puuduvad andmed peavad looma mõtestatud uurimisvajaduse. Õpilasel peab olema võimalus neid hankida või põhjendatud eeldustega asendada.
# '''Kavanda sobiv toestamine.''' Võimalda näiteks joonist, tabelit, arvutustabelit, vihjeid või sarnast näidislahendust. Toestamine (''scaffolding'') peaks aitama käivitada õpilase mõtlemisprotsessi, säilitades õpilasele kavandatud otsustusruumi ja agentsuse.
# '''Määra sobiva lahenduse tunnused.''' Õpitulemus, nõutav sooritus ja hindamine peavad omavahel sobima.

'''Näide: arvutusülesandest otsustusprobleemiks'''

Rutiinse tavaülesande võib Jonasseni järgi muuta probleemülesandeks. Näide: õppekäiguks pakub ettevõte A 32-kohalist bussi hinnaga 320 eurot ning ettevõte B 48-kohalist bussi hinnaga 380 eurot. Mõlemad hinnad hõlmavad kogu sõitu. Osaleb 30 õpilast ja kaks õpetajat; bussikulu jagatakse õpilaste vahel võrdselt. Kui ülesande sõnastuses küsida ainult odavama bussi osalustasu, piisab arvutusest &lt;math&gt;320:30\approx10{,}67&lt;/math&gt; eurot. Probleemülesandeks muutub see siis, kui lisada: „Liituda võib veel kaks õpilast. Valige pakkumine ning põhjendage, millistel tingimustel tuleks valikut muuta.“

Esialgne rühm mahub ettevõtte A bussi täpselt ära. Kahe õpilase lisandumisel ei piisa enam istekohtadest. Ettevõtte B bussi puhul oleks 32 maksva õpilase osalustasu &lt;math&gt;380:32=11{,}875&lt;/math&gt; eurot ehk sendini ümardatult 11,88 eurot. Õpilased peavad nüüd siduma arvutuse mahutavuse ja ebakindla osalejate arvuga. Põhjendatud lahendus võib olla ka tingimuslik otsus: kinnitada esmalt osalejate arv ja valida seejärel buss.

=== Probleemilahenduse hindamine ===

Jonassen soovitab ühendada kolm hindamisvaadet: '''probleemi lahendamise sooritus, lahendamiseks vajalikud kognitiivsed osaoskused ning lahenduse argumenteerimine'''. Ainult lõppvastusest või mõistete meenutamisest ei piisa. Hindamine peab vastama sellele probleemilahendusele, mida õpilased õppisid.&lt;ref name=&quot;Jonassen2004&quot; /&gt;

Bussivaliku ülesandes võiks õpetaja koguda järgmisi tõendeid:

* '''Sooritus:''' õpilase valitud buss mahutab kogu rühma ning esitatud kulumudel vastab tingimustele.
* '''Osaoskused:''' õpilane eristab sõitjate ja maksjate arvu, arvutab osalustasu ning tõlgendab ümardamist.
* '''Argumentatsioon:''' õpilane seob soovituse kriteeriumidega, võrdleb alternatiivi ja selgitab, kuidas osalejate arvu muutus mõjutab otsust.

Hindamiskriteeriumid tuleb avada jälgitavate tunnustena. Näiteks kriteeriumi „otsuse põhjendatus“ puhul saab eristada kolme taset:

# '''Vajab täiendamist:''' esitatud on valik, kuid puudub andmetega seotud põhjendus.
# '''Põhjendatud:''' valik toetub asjakohastele arvutustele ja istekohtade piisavuse kontrollile.
# '''Põhjendatud koos tingimuste analüüsiga:''' lisaks võrreldakse alternatiivi ning selgitatakse, millal soovitus muutuks.

See on ühe kriteeriumi näide; matemaatilist korrektsust tuleb hinnata eraldi. Rühmatöö kõrval võib iga õpilane vastata lühikesele individuaalsele küsimusele, näiteks selgitada oma sõnadega, miks maksjate arv erineb sõitjate arvust. Nii ei jää arusaamise hindamine üksnes rühma ühise lõpptulemuse varju.

Jonasseni käsitlus aitab õpetajal kujundada mitmekesist ülesandevalikut ning siduda iga ülesande eesmärgi sobiva toe ja hindamisega. Arvutus, vea leidmine, põhjendatud otsus ja uue lahenduse kavandamine annavad õpilase probleemilahendusoskusest erinevat teavet.

=== Allikad ===

&lt;references /&gt;
```</text>
      <sha1>s1xnl1pyod3nts7a6prfhw3s0vhp6ke</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>1.4.TIMSS ja PISA uuringute käsitlused probleemülesannetest</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4256</id>
    <revision>
      <id>20326</id>
      <timestamp>2026-09-27T13:50:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>Uus lehekülg: 'Pólya, Schoenfeldi ja Jonasseni käsitlused aitavad mõista, kuidas probleemülesandeid koostada ja nende lahendamist õpetada. Rahvusvahelised uuringud TIMSS ja PISA annavad sellele lisaks hindamise vaatenurga: milliste ülesannete ja vastuste põhjal saab otsustada, kui hästi õpilane matemaatilist probleemilahendust valdab? Kuna nii TIMSS kui PISA uuringuid viiakse läbi paljudes eri riikides, siis ei saa neis testides kasutatavad probleemülesanded olla otseselt seotu...'</comment>
      <origin>20326</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10530" sha1="mgchffu8lu1xpfsx2jsir4fbuzlrt8q" xml:space="preserve">Pólya, Schoenfeldi ja Jonasseni käsitlused aitavad mõista, kuidas probleemülesandeid koostada ja nende lahendamist õpetada. Rahvusvahelised uuringud TIMSS ja PISA annavad sellele lisaks hindamise vaatenurga: milliste ülesannete ja vastuste põhjal saab otsustada, kui hästi õpilane matemaatilist probleemilahendust valdab? Kuna nii TIMSS kui PISA uuringuid viiakse läbi paljudes eri riikides, siis ei saa neis testides kasutatavad probleemülesanded olla otseselt seotud õppekavaga - see on ju igas riigis erinev. 

Selles peatükis lähtume TIMSS 2023 ja PISA 2022 matemaatikaraamistikest. Need on hindamisraamistikud, mitte kindlat õpetamismeetodit ette kirjutavad juhendid. Õpetaja saab neid kasutada oma ülesandevaliku ja hindamise analüüsimiseks. Allpool esitatud klassiruuminäited on koostatud käsiraamatu jaoks; need ei ole uuringute ametlikud testiülesanded.

=== Kaks erinevat lähtekohta ===

TIMSS ehk ''Trends in International Mathematics and Science Study'' hindab 4. ja 8. klassi õpilaste matemaatika- ja loodusteaduslikke teadmisi ning oskusi. Matemaatikas ühendatakse '''sisuvaldkonnad''' ja '''kognitiivsed valdkonnad''': sama matemaatikateema kohta võib küsida teadmist, selle rakendamist või arutlemist nõudvaid ülesandeid.&lt;ref name=&quot;TIMSS2023&quot;&gt;Mullis, I. V. S., Martin, M. O. ja von Davier, M. (toim.). (2021). [https://timss.bc.edu/timss2023/frameworks/pdf/T23_Frameworks.pdf ''TIMSS 2023 Assessment Frameworks''.] Boston College, TIMSS &amp; PIRLS International Study Center. Vt matemaatikaraamistiku peatükki.&lt;/ref&gt;

PISA ehk ''Programme for International Student Assessment'' hindab 15-aastaste õpilaste valmisolekut oma teadmisi kasutada. Matemaatika keskne mõiste on '''matemaatiline kirjaoskus ehk matemaatikapädevus''': suutlikkus matemaatiliselt arutleda ning elulisi probleeme matemaatiliselt sõnastada, lahendada ja tulemusi tõlgendada. PISA eristab isiklikku, tööalast, ühiskondlikku ja teaduslikku konteksti.&lt;ref name=&quot;PISAylevaade&quot;&gt;OECD. (2023). [https://www.oecd.org/en/publications/pisa-2022-assessment-and-analytical-framework_dfe0bf9c-en/full-report/component-2.html What is PISA?] Teoses ''PISA 2022 Assessment and Analytical Framework''. OECD Publishing.&lt;/ref&gt;

Seega ei ole põhjendatud vastandus „TIMSS kontrollib valemeid, PISA probleemilahendust“. Mõlemad hindavad teadmiste kasutamist ja arutlemist. Nende rõhuasetused ja sihtrühmad on aga erinevad: TIMSS lähtub rohkem kooliastme matemaatikasisust, PISA teadmiste kasutamisest erinevates olukordades.

=== TIMSS: teadmine, rakendamine ja arutlemine ===

TIMSSi matemaatikaraamistikus eristatakse kolme kognitiivset valdkonda:

* '''Teadmine''' (''knowing''): mõistete, omaduste ja protseduuride tundmine, arvutamine ning info lugemine.
* '''Rakendamine''' (''applying''): sobiva meetodi ja esitusviisi valimine ning kasutamine ülesande lahendamiseks.
* '''Arutlemine''' (''reasoning''): seoste analüüsimine, teadmiste seostamine, üldistamine ja põhjendamine.

TIMSS 2023 kavandatud punktijaotus on 4. klassis vastavalt 40%, 40% ja 20% ning 8. klassis 35%, 40% ja 25%. Need on testi koostamise sihtproportsioonid, mitte soovituslik tunniaja jaotus. Probleemilahendus läbib matemaatika sisuvaldkondi.&lt;ref name=&quot;TIMSS2023&quot; /&gt;

'''Näide: kooli õppepeenra piiramine'''

Õpetaja võib ühe matemaatilise teema avada kolme küsimusega.

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Rõhuasetus
! Õpetaja koostatud küsimus
! Mida vastusest jälgida?
|-
| Teadmine
| Ristküliku küljed on 6 m ja 4 m. Leia ümbermõõt.
| Kas õpilane mõistab ümbermõõtu ja arvutab õigesti?
|-
| Rakendamine
| Sama peenar piiratakse võrguga, jättes 1 m laiuse sissepääsu. Võrku müüakse 5 m rullides. Mitu rulli on vaja osta?
| Kas õpilane arvestab sissepääsu ja tõlgendab jagamist tervete rullide ostmisena?
|-
| Arutlemine
| Võrdle ristkülikuid mõõtmetega 6 × 4 m ja 7 × 3 m. Mari väidab, et sama ümbermõõduga ristkülikutel on alati sama pindala. Kas tal on õigus? Põhjenda.
| Kas õpilane kasutab vastunäidet üldise väite kontrollimiseks?
|}

Esimese küsimuse vastus on 20 m. Teises on vaja 19 m võrku ehk nelja rulli. Kolmandas on mõlema ristküliku ümbermõõt 20 m, kuid pindalad on 24 m² ja 21 m². Sellest piisab Mari üldise väite ümberlükkamiseks.

Tabel on õpetaja analüüsivahend, mitte ülesannete ametlik TIMSSi klassifikatsioon. Tegelik mõtlemisvajadus sõltub ka küsimuse täpsest sõnastusest ja sellest, mida õpilane on varem harjutanud. Suuremate arvude kasutamine muudaks arvutamise töömahukamaks, kuid ei tekitaks iseenesest vajadust üldistada või põhjendada.

=== PISA: olukorrast matemaatilise mudelini ja tagasi ===

PISA 2022 raamistikus on kesksel kohal matemaatiline arutlemine ning kolm probleemilahenduse protsessi:

# '''Olukorra matemaatiline sõnastamine''' (''formulate''): oluliste suuruste, seoste ja eelduste leidmine ning mudeli koostamine.
# '''Matemaatika rakendamine''' (''employ''): mõistete, tehete, protseduuride ja töövahendite kasutamine.
# '''Tulemuse tõlgendamine ja hindamine''' (''interpret/evaluate''): matemaatilise tulemuse seostamine algse olukorraga ning selle sobivuse kontrollimine.

Arutlemine toetab kogu protsessi, mitte ainult viimast etappi. Kõik küsimused ei nõua kogu modelleerimistsükli läbimist: hinnata saab ka selle üksikut osa. Matemaatiline sisu jaguneb nelja valdkonda: kogus; muutumine ja seosed; ruum ja kuju; määramatus ja andmed.&lt;ref name=&quot;PISA2022&quot;&gt;OECD. (2023). [https://www.oecd.org/en/publications/pisa-2022-assessment-and-analytical-framework_dfe0bf9c-en/full-report/component-3.html PISA 2022 Mathematics Framework.] Teoses ''PISA 2022 Assessment and Analytical Framework''. OECD Publishing.&lt;/ref&gt;

'''Näide: joogivee korraldamine kooli spordipäeval'''

&lt;blockquote&gt;
Spordipäeval osaleb 180 õpilast. Korraldajad arvestavad igale õpilasele 0,75 liitrit joogivett. Vett müüakse 5-liitristes kanistrites hinnaga 1,60 eurot kanister. Õpilasesindus pakub joogivee eelarveks 40 eurot. Kas sellest piisab? Põhjenda ning nimeta vähemalt üks asjaolu, mida tuleks enne ostmist täpsustada.
&lt;/blockquote&gt;

'''Matemaatiline sõnastamine.''' Õpilane peab seostama osalejate arvu, veekoguse, pakendi suuruse ja hinna. Üks võimalik mudel on: kogu veevajadus → kanistrite arv → kogukulu. Arvutuse eelduseks on, et ostetav vesi peab katma kogu ülesandes kirjeldatud vajaduse.

'''Matemaatika rakendamine.'''

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;180\cdot0{,}75=135&lt;/math&gt;

Vaja on 135 liitrit vett ehk &lt;math&gt;135:5=27&lt;/math&gt; kanistrit. Nende hind on:

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;27\cdot1{,}60=43{,}20.&lt;/math&gt;

'''Tõlgendamine ja hindamine.''' Eelarvest jääb puudu 3,20 eurot. Korraldajad peaksid näiteks täpsustama, kas joogivett vajavad ka õpetajad, kas kohapeal saab pudeleid kraaniveega täita ning kas arvestatud kogus vastab ürituse kestusele. Ülesande 0,75 liitrit on arvutuse lähteandmed, mitte üldine soovitus inimese veevajaduse kohta.

Õpetaja saab järgmises variandis muuta osalejate arvuks 182. Siis on vaja 136,5 liitrit ja osta tuleb 28 kanistrit. Vastus „27,3 kanistrit“ näitaks, et arvutus on tehtud, kuid tulemus vajab veel olukorrale vastavat tõlgendamist.

=== Seosed Pólya, Schoenfeldi ja Jonasseniga ===

'''Pólya etapid aitavad lahendusprotsessi korraldada.''' Spordipäeva ülesandes tuleb mõista tingimusi, koostada lahendusplaan, teha arvutused ja kontrollida tulemust. PISA vaatenurk tõstab esile üleminekud elulise olukorra ja matemaatilise mudeli vahel. Need käsitlused täiendavad teineteist, kuid nende kategooriaid ei saa üksüheselt siduda.

'''Schoenfeld suunab märkama lahendaja otsuseid.''' Õpilane võib osata kõiki vajalikke tehteid, kuid jätta kontrollimata, kas eelarve on piisav või kas murdarvuline pakendite arv on mõistlik. Õpetaja küsimus „''Mida sinu vastus korraldaja jaoks tähendab?''“ aitab uurida, kas õpilane juhib lahendamist teadlikult. Üks õige testivastus ei pruugi anda aimu probleemilahendusega kaasneva metakognitiivset protsessi tervikust ja selle sügavusest.

'''Jonassen aitab valida probleemülesande tüüpi, sellele sobivat õpetamis- ja hindamisviisi.''' Antud andmetega veekulu leidmine on üsna hästi struktureeritud ülesanne. Küsimus „Kuidas korraldada spordipäeva joogivesi võimalikult väikese kulu ja jäätmehulgaga?“ eeldab juba alternatiivide, andmete ja hindamiskriteeriumide valimist. Õpetaja võib standardiseeritud testi jaoks piiritletud ülesannet niiviisi avardada otsustus- või disainiprobleemiks.

Eluline kontekst üksi ei taga avatud probleemilahendust. Nii võib bussidest või ostmisest rääkiv ülesanne nõuda ainult etteaimatavat tehet; seevastu lühike arvude või kujundite ülesanne võib nõuda sisulist arutlemist.

=== Mida neist raamistikest hindamisse üle võtta? ===

Rahvusvahelise testi hindamisjuhend määrab, millist vastust loetakse tõendiks hinnatava oskuse kohta. PISA avaldatud ülesannetes leidub nii täispunktide kui ka osaliste punktide kriteeriume. Näiteks ülesandekogumiku „Solar System“ esimeses küsimuses eristatakse kõigi kolme planeedi ja kahe planeedi õiget paigutamist. See näitab, et hindamine võib eristada osaliselt ja täielikult õnnestunud sooritust.&lt;ref name=&quot;PISAulesanded&quot;&gt;OECD. [https://www.oecd.org/en/about/programmes/pisa/pisa-test.html ''PISA Test''.] Vt PISA 2022 avaldatud matemaatikaülesannete kogumikku ja ülesannet „Solar System“, CMA123Q01.&lt;/ref&gt;

Klassiruumis saab spordipäeva ülesande lahendust analüüsida kolme eraldi tunnuse järgi:

* '''Mudeli sobivus:''' õpilane seostab õigesti inimeste arvu, veekoguse, kanistrid ja hinna.
* '''Matemaatiline korrektsus:''' tehted, ühikud ja arvutused on õiged.
* '''Tõlgenduse põhjendatus:''' õpilane vastab eelarveküsimusele ning eristab antud tingimusi täpsustamist vajavatest eeldustest.

See on õpetaja koostatud hindamisalus, mitte PISA ametlik punktijuhend. Selle eelis on diagnostiline: õpetaja näeb, kas raskus tekkis mudeli loomisel, arvutamisel või tõlgendamisel. Tagasiside saab siis olla täpsem kui üks koondhinne.

TIMSSi ja PISA raamistikud aitavad õpetajal oma ülesandekomplekti kontrollida: kas selles on lisaks teadmiste meenutamisele ka meetodi valimist, põhjendamist ja tulemuste hindamist? Nende kasutamine ei eelda tundide muutmist testitreeninguks. Pikem uurimine, arutelu ja lahenduse parandamine võivad anda õppimise kohta teavet, mida üks lühike testivastus ei ava.

=== Allikad ===

&lt;references /&gt;
```</text>
      <sha1>mgchffu8lu1xpfsx2jsir4fbuzlrt8q</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>1.5.Probleemilahendus Eesti põhikooli riikliku õppekava matemaatika ainekavas</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4257</id>
    <revision>
      <id>20328</id>
      <timestamp>2026-09-27T14:06:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>Uus lehekülg: 'Probleemilahendus ühendab matemaatiliste teadmiste omandamise oskusega otsustada, millal ja kuidas neid kasutada. Õpilane võib osata arvutada ristküliku pindala, kuid vajada tuge olukorras, kus tuleb ise leida sobivad mõõtmed, võrrelda võimalusi ja põhjendada valikut. Just selliste otsustuskohtadega ülesanded aitavad kujundada probleemilahendusoskust.  2023. aasta matemaatika ainekavas on '''probleemide lahendamine üks kuuest teemavaldkonnast''' arvutamise, mõõ...'</comment>
      <origin>20328</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9447" sha1="2hphoiabh71yxf9upl04qesxgosfyea" xml:space="preserve">Probleemilahendus ühendab matemaatiliste teadmiste omandamise oskusega otsustada, millal ja kuidas neid kasutada. Õpilane võib osata arvutada ristküliku pindala, kuid vajada tuge olukorras, kus tuleb ise leida sobivad mõõtmed, võrrelda võimalusi ja põhjendada valikut. Just selliste otsustuskohtadega ülesanded aitavad kujundada probleemilahendusoskust.

2023. aasta matemaatika ainekavas on '''probleemide lahendamine üks kuuest teemavaldkonnast''' arvutamise, mõõtmise, geomeetria, andmete ja nende analüüsimise ning algebra kõrval.&lt;ref name=&quot;ainekava&quot;&gt;[https://www.riigiteataja.ee/aktilisa/1080/3202/3005/18m_pohi_lisa5.pdf Põhikooli riikliku õppekava lisa 5. Ainevaldkond „Matemaatika” (2023)], punktid 1.3, 1.6 ja 2.1.&lt;/ref&gt; See annab probleemilahendusele õppe kavandamisel selgelt nähtava koha.

=== Mis muutus 2023. aasta ainekavas? ===

Probleemülesanded kuulusid ka varasemasse ainekavasse. 2011. aasta ja uuendatud ainekava võrdlus näitab aga rõhuasetuse muutumist: enam tuuakse esile probleemide märkamist ja sõnastamist, lahendusstrateegiate valimist ning tulemuste kontrollimist. Näiteks I kooliastmes olid tekstülesanded varem ühendatud mõõtmisega, uuendatud ainekavas esitatakse probleemide lahendamine eraldi. Võrdlusmaterjal on 2023. aasta märtsi töödokument, mille uuendatud ainekava veerg kannab pealkirja „Õppekava 2022”; seda tuleb kasutada muudatuste selgitusena, mitte iseseisva õigusaktina.&lt;ref name=&quot;vordlus&quot;&gt;[https://projektid.edu.ee/spaces/OKMV/pages/211453823/5.+PK+Ainevaldkond+Matemaatika Matemaatika valdkonna rakendusmaterjalid], manus „matemaatika_PK_vordlus.pdf”, töödokument märts 2023.&lt;/ref&gt;

Oluline on eristada '''riikliku ainekava kohustuslikke kooliastme õpitulemusi''' ja '''soovituslikke klassipõhiseid õppeprotsesside kirjeldusi'''. Viimased aitavad valida õppesisu, ülesandeid ja õpetamisvõtteid. Näiteks 4. klassi kirjeldus rõhutab, et probleemilahendust arendatakse läbivalt teiste matemaatikateemade kaudu, mitte üksnes eraldi peatükina.&lt;ref name=&quot;klass4&quot;&gt;[https://projektid.edu.ee/spaces/OKMV/pages/246285757/4.+klass+matemaatika 4. klassi matemaatika õppeprotsessi kirjeldus], probleemilahenduse, geomeetria ja hindamise soovitused.&lt;/ref&gt;

Seega võiks õpetaja iga teema kavandamisel küsida: „Milliseid otsuseid saavad õpilased selles teemas ise teha?” Kui kõik ülesanded nõuavad vahetult ette näidatud võtte kordamist, jääb lahendusstrateegia valimise harjutamiseks vähe võimalusi.

=== Seos üldpädevuste ja varasemate käsitlustega ===

Riikliku õppekava üldosas seostub probleemilahendus eriti õpipädevusega: õppija kavandab tegevust, kasutab õpitut uutes olukordades ning analüüsib oma oskusi ja õppimisvajadusi. Matemaatika-, loodusteaduste ja tehnoloogiaalane pädevus hõlmab matemaatiliste meetodite kasutamist igapäevaelus ning põhjendatud otsustamist.&lt;ref name=&quot;yldosa&quot;&gt;[https://oppekava.ee/pohikool-2023/ Põhikool 2023. Õppekava infoportaal]; põhikooli riikliku õppekava üldosa § 4.&lt;/ref&gt;

Õpetamisel saab need taotlused siduda eelnevate peatükkidega. '''Pólya''' aitab lahendusprotsessi korraldada; '''Schoenfeld''' suunab märkama oma mõtlemist ja strateegia toimivust. '''Jonasseni''' käsitlus aitab valida erineva ülesehituse ja avatusega probleeme. '''TIMSSi ja PISA''' kaudu saab mõtestada, kui palju nõuab ülesanne teadmiste rakendamist, arutlemist või elulise olukorra matemaatilist modelleerimist. Need on õpetaja jaoks üksteist täiendavad vaatenurgad, mitte õppekavas ette kirjutatud ühtne metoodika.

=== Probleemilahendusoskuse areng kooliastmeti ===

Järgmine tabel toob välja valiku ainekava rõhuasetusi; see ei asenda täielikku õpitulemuste loetelu.&lt;ref name=&quot;ainekava&quot; /&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Kooliaste
! Rõhuasetus
! Võimalik õpetaja küsimus
|-
| I kooliaste
| Ülesande kujutamine õpetaja toel, ühe- ja kaheastmeliste probleemide lahendamine ning vastuse elulisuse kontrollimine.
| „Näita joonisega, mida sa teada tahad.”
|-
| II kooliaste
| Lahendusskeemi, näiteks Pólya etappide kasutamine; strateegia valimine, lahenduskäigu hindamine ja mitmetehteliste probleemide koostamine.
| „Miks valisid selle võtte? Kuidas kontrollid tulemust?”
|-
| III kooliaste
| Elulise olukorra modelleerimine, probleemide sõnastamine, uurimine ning otsuste ja järelduste põhjendamine.
| „Millistel eeldustel sinu mudel kehtib?”
|}

Edasiliikumine tähendab üha suuremat iseseisvust probleemi tõlgendamisel ja lahenduse juhtimisel. Arvutuste keerukus on vaid üks osa sellest arengust.

=== Kolm näidet õppetööks ===

Järgnevad näited on selle käsiraamatu jaoks koostatud; need ei ole ainekavas ega õppeprotsessi kirjeldustes esitatud  ülesanded. Probleemülesande olemus sõltub siin õpilase varasemast kogemusest: tuttava lahendusviisiga ülesanne võib ühele olla harjutus, teisele õpilasele aga probleemülesanne.

==== I kooliaste: mitu karpi on vaja? ====

:'''Klassi meisterdustunnis valmistati 18 savilooma. Ühte karpi mahub neli looma. Mitu karpi on vaja kõigi loomade pakkimiseks? Põhjenda pildi või esemete abil.'''

Õpilased võivad rühmitada loenduspulki, joonistada karpe või liita nelja kaupa. Oluline otsustuskoht tekib siis, kui nelja karpi on paigutatud 16 looma: kaks looma vajavad veel üht karpi. Vastus on viis karpi, kuigi viimane ei ole täis.

Õpetaja saab küsida: „Kuidas näitab sinu joonis, et neljast karbist ei piisa?” Jätkuülesandena võivad õpilased leida kõik loomade arvud, mille pakkimiseks kulub täpselt viis sellist karpi. Nii kasvab üksikust vastusest üldistus: 17–20 looma.

==== II kooliaste: sama ümbermõõt, erinev pindala ====

:'''Kooli peenra piiramiseks on 24 meetrit äärist. Peenar peab olema ristkülikukujuline ja külgede pikkused täismeetrites. Millise kujuga peenar annab kõige suurema kasvupinna? Näita, et oled arvestanud kõiki võimalusi.'''

Õpilased saavad kasutada ruudulist paberit, jooniseid või tabelit. Võimalikud küljepaarid on 1 ja 11, 2 ja 10, 3 ja 9, 4 ja 8, 5 ja 7 ning 6 ja 6 meetrit. Suurim pindala on 36 m².

Probleemilahenduse keskmes on võimaluste süstemaatiline leidmine ja täielikkuse põhjendamine. „Proovisin mõnda ristkülikut” ja „leidsin kõik lubatud ristkülikud” on erineva tugevusega põhjendused. Täismeetrite tingimus võimaldab selles ülesandes kõik juhud läbi vaadata.

Näide arendab edasi õppeprotsessi kirjelduses soovitatud ülesandetüüpi, kus antakse ristküliku ümbermõõt ning õpilased uurivad võimalikke külgi.&lt;ref name=&quot;klass4&quot; /&gt;

==== III kooliaste: milline pakkumine valida? ====

:'''Klass soovib lasta trükkida plakateid. Väljamõeldud pakkumises A on ettevalmistustasu 5 eurot ja ühe plakati hind 0,08 eurot. Pakkumises B on vastavad hinnad 2 eurot ja 0,12 eurot. Millal on kumbki pakkumine soodsam?'''

Õpilased võivad alustada hinnatabelist või koostada avaldised 5 + 0,08n ja 2 + 0,12n, kus n tähistab plakatite arvu. Võrdse hinna korral kehtib võrrand:

:&lt;math&gt;5 + 0{,}08n = 2 + 0{,}12n.&lt;/math&gt;

Pakkumiste hind on võrdne 75 plakati korral: mõlemal 11 eurot. Väiksema positiivse arvu korral on soodsam B, suurema korral A.

Modelleerimist süvendab küsimus: „Millist teavet oleks päriselt tellimiseks veel vaja?” Näiteks võivad otsust mõjutada tarnekulu, trükikvaliteet ja miinimumkogus. Nii eristatakse matemaatilise mudeli järeldust tegeliku otsuse tingimustest.

=== Õpetamine ja hindamine: nähtavaks tuleb teha ka mõtlemine ===

Õppeprotsessi kirjeldus soovitab harjutada probleemilahenduse etappe teadlikult ning kasutada joonistamist, andmete korrastamist, lihtsustamist, analoogiat ja teisi strateegiaid. Samuti eristatakse lõppvastust selleni viinud lahenduskäigust.&lt;ref name=&quot;klass4&quot; /&gt;

Tunni kavandamisel tasub sõnastada nii sisuline kui ka probleemilahenduslik eesmärk. Peenraülesandes võivad need olla näiteks „seostab ristküliku külgi, ümbermõõtu ja pindala” ning „korrastab võimalused nii, et ükski ei jääks vahele”. Õpetaja saab pakkuda ruudulist paberit või tühja tabelit, jättes külgede leidmise õpilaste otsustada.

Ainekava hindamiskäsitlus hõlmab teadmist, rakendamist ja arutlemist ning näeb ette kujundava hindamise, enesehindamise ja mitmesuguste hindamisviiside kasutamist. Hoiakutele antakse toetavat sõnalist tagasisidet.&lt;ref name=&quot;ainekava&quot; /&gt;

Probleemilahendusülesande tagasiside võib õpetaja koostatud hindamisaluse järgi käsitleda nelja küsimust:

* '''Mõistmine:''' kas õpilane määratles otsitava ja arvestas tingimustega?
* '''Strateegia:''' kas valitud esitus või tegevuskava aitas lahendust leida?
* '''Põhjendamine:''' kas teised saavad lahenduskäiku jälgida ja selle õigsust hinnata?
* '''Kontrollimine:''' kas õpilane kontrollis tulemust ning vajaduse korral muutis lahendust?

Näiteks tagasiside „Leidsid suurima pindala; selgita nüüd, kuidas tead, et ükski võimalik küljepaar ei jäänud vahele” annab õpilasele konkreetse järgmise sammu. Arvutusvea korral saab omakorda tunnustada toimivat strateegiat ja suunata vea asukohta otsima.

Tunni lõpus võib paluda lõpetada laused „Alguses proovisin…”, „Muutsin oma plaani, sest…” ja „Järgmisel korral kontrollin…”. Nõnda saab õpetaja teavet õpilase lahendusprotsessi kohta ning õpilane harjutab selle teadlikku juhtimist.

=== Viited ===

&lt;references /&gt;
```</text>
      <sha1>2hphoiabh71yxf9upl04qesxgosfyea</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20329</id>
      <parentid>20328</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T14:07:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>/* Õpetamine ja hindamine: nähtavaks tuleb teha ka mõtlemine */</comment>
      <origin>20329</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9460" sha1="k41xfe1vsc74mk0p9o22hecs9mlnevc" xml:space="preserve">Probleemilahendus ühendab matemaatiliste teadmiste omandamise oskusega otsustada, millal ja kuidas neid kasutada. Õpilane võib osata arvutada ristküliku pindala, kuid vajada tuge olukorras, kus tuleb ise leida sobivad mõõtmed, võrrelda võimalusi ja põhjendada valikut. Just selliste otsustuskohtadega ülesanded aitavad kujundada probleemilahendusoskust.

2023. aasta matemaatika ainekavas on '''probleemide lahendamine üks kuuest teemavaldkonnast''' arvutamise, mõõtmise, geomeetria, andmete ja nende analüüsimise ning algebra kõrval.&lt;ref name=&quot;ainekava&quot;&gt;[https://www.riigiteataja.ee/aktilisa/1080/3202/3005/18m_pohi_lisa5.pdf Põhikooli riikliku õppekava lisa 5. Ainevaldkond „Matemaatika” (2023)], punktid 1.3, 1.6 ja 2.1.&lt;/ref&gt; See annab probleemilahendusele õppe kavandamisel selgelt nähtava koha.

=== Mis muutus 2023. aasta ainekavas? ===

Probleemülesanded kuulusid ka varasemasse ainekavasse. 2011. aasta ja uuendatud ainekava võrdlus näitab aga rõhuasetuse muutumist: enam tuuakse esile probleemide märkamist ja sõnastamist, lahendusstrateegiate valimist ning tulemuste kontrollimist. Näiteks I kooliastmes olid tekstülesanded varem ühendatud mõõtmisega, uuendatud ainekavas esitatakse probleemide lahendamine eraldi. Võrdlusmaterjal on 2023. aasta märtsi töödokument, mille uuendatud ainekava veerg kannab pealkirja „Õppekava 2022”; seda tuleb kasutada muudatuste selgitusena, mitte iseseisva õigusaktina.&lt;ref name=&quot;vordlus&quot;&gt;[https://projektid.edu.ee/spaces/OKMV/pages/211453823/5.+PK+Ainevaldkond+Matemaatika Matemaatika valdkonna rakendusmaterjalid], manus „matemaatika_PK_vordlus.pdf”, töödokument märts 2023.&lt;/ref&gt;

Oluline on eristada '''riikliku ainekava kohustuslikke kooliastme õpitulemusi''' ja '''soovituslikke klassipõhiseid õppeprotsesside kirjeldusi'''. Viimased aitavad valida õppesisu, ülesandeid ja õpetamisvõtteid. Näiteks 4. klassi kirjeldus rõhutab, et probleemilahendust arendatakse läbivalt teiste matemaatikateemade kaudu, mitte üksnes eraldi peatükina.&lt;ref name=&quot;klass4&quot;&gt;[https://projektid.edu.ee/spaces/OKMV/pages/246285757/4.+klass+matemaatika 4. klassi matemaatika õppeprotsessi kirjeldus], probleemilahenduse, geomeetria ja hindamise soovitused.&lt;/ref&gt;

Seega võiks õpetaja iga teema kavandamisel küsida: „Milliseid otsuseid saavad õpilased selles teemas ise teha?” Kui kõik ülesanded nõuavad vahetult ette näidatud võtte kordamist, jääb lahendusstrateegia valimise harjutamiseks vähe võimalusi.

=== Seos üldpädevuste ja varasemate käsitlustega ===

Riikliku õppekava üldosas seostub probleemilahendus eriti õpipädevusega: õppija kavandab tegevust, kasutab õpitut uutes olukordades ning analüüsib oma oskusi ja õppimisvajadusi. Matemaatika-, loodusteaduste ja tehnoloogiaalane pädevus hõlmab matemaatiliste meetodite kasutamist igapäevaelus ning põhjendatud otsustamist.&lt;ref name=&quot;yldosa&quot;&gt;[https://oppekava.ee/pohikool-2023/ Põhikool 2023. Õppekava infoportaal]; põhikooli riikliku õppekava üldosa § 4.&lt;/ref&gt;

Õpetamisel saab need taotlused siduda eelnevate peatükkidega. '''Pólya''' aitab lahendusprotsessi korraldada; '''Schoenfeld''' suunab märkama oma mõtlemist ja strateegia toimivust. '''Jonasseni''' käsitlus aitab valida erineva ülesehituse ja avatusega probleeme. '''TIMSSi ja PISA''' kaudu saab mõtestada, kui palju nõuab ülesanne teadmiste rakendamist, arutlemist või elulise olukorra matemaatilist modelleerimist. Need on õpetaja jaoks üksteist täiendavad vaatenurgad, mitte õppekavas ette kirjutatud ühtne metoodika.

=== Probleemilahendusoskuse areng kooliastmeti ===

Järgmine tabel toob välja valiku ainekava rõhuasetusi; see ei asenda täielikku õpitulemuste loetelu.&lt;ref name=&quot;ainekava&quot; /&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Kooliaste
! Rõhuasetus
! Võimalik õpetaja küsimus
|-
| I kooliaste
| Ülesande kujutamine õpetaja toel, ühe- ja kaheastmeliste probleemide lahendamine ning vastuse elulisuse kontrollimine.
| „Näita joonisega, mida sa teada tahad.”
|-
| II kooliaste
| Lahendusskeemi, näiteks Pólya etappide kasutamine; strateegia valimine, lahenduskäigu hindamine ja mitmetehteliste probleemide koostamine.
| „Miks valisid selle võtte? Kuidas kontrollid tulemust?”
|-
| III kooliaste
| Elulise olukorra modelleerimine, probleemide sõnastamine, uurimine ning otsuste ja järelduste põhjendamine.
| „Millistel eeldustel sinu mudel kehtib?”
|}

Edasiliikumine tähendab üha suuremat iseseisvust probleemi tõlgendamisel ja lahenduse juhtimisel. Arvutuste keerukus on vaid üks osa sellest arengust.

=== Kolm näidet õppetööks ===

Järgnevad näited on selle käsiraamatu jaoks koostatud; need ei ole ainekavas ega õppeprotsessi kirjeldustes esitatud  ülesanded. Probleemülesande olemus sõltub siin õpilase varasemast kogemusest: tuttava lahendusviisiga ülesanne võib ühele olla harjutus, teisele õpilasele aga probleemülesanne.

==== I kooliaste: mitu karpi on vaja? ====

:'''Klassi meisterdustunnis valmistati 18 savilooma. Ühte karpi mahub neli looma. Mitu karpi on vaja kõigi loomade pakkimiseks? Põhjenda pildi või esemete abil.'''

Õpilased võivad rühmitada loenduspulki, joonistada karpe või liita nelja kaupa. Oluline otsustuskoht tekib siis, kui nelja karpi on paigutatud 16 looma: kaks looma vajavad veel üht karpi. Vastus on viis karpi, kuigi viimane ei ole täis.

Õpetaja saab küsida: „Kuidas näitab sinu joonis, et neljast karbist ei piisa?” Jätkuülesandena võivad õpilased leida kõik loomade arvud, mille pakkimiseks kulub täpselt viis sellist karpi. Nii kasvab üksikust vastusest üldistus: 17–20 looma.

==== II kooliaste: sama ümbermõõt, erinev pindala ====

:'''Kooli peenra piiramiseks on 24 meetrit äärist. Peenar peab olema ristkülikukujuline ja külgede pikkused täismeetrites. Millise kujuga peenar annab kõige suurema kasvupinna? Näita, et oled arvestanud kõiki võimalusi.'''

Õpilased saavad kasutada ruudulist paberit, jooniseid või tabelit. Võimalikud küljepaarid on 1 ja 11, 2 ja 10, 3 ja 9, 4 ja 8, 5 ja 7 ning 6 ja 6 meetrit. Suurim pindala on 36 m².

Probleemilahenduse keskmes on võimaluste süstemaatiline leidmine ja täielikkuse põhjendamine. „Proovisin mõnda ristkülikut” ja „leidsin kõik lubatud ristkülikud” on erineva tugevusega põhjendused. Täismeetrite tingimus võimaldab selles ülesandes kõik juhud läbi vaadata.

Näide arendab edasi õppeprotsessi kirjelduses soovitatud ülesandetüüpi, kus antakse ristküliku ümbermõõt ning õpilased uurivad võimalikke külgi.&lt;ref name=&quot;klass4&quot; /&gt;

==== III kooliaste: milline pakkumine valida? ====

:'''Klass soovib lasta trükkida plakateid. Väljamõeldud pakkumises A on ettevalmistustasu 5 eurot ja ühe plakati hind 0,08 eurot. Pakkumises B on vastavad hinnad 2 eurot ja 0,12 eurot. Millal on kumbki pakkumine soodsam?'''

Õpilased võivad alustada hinnatabelist või koostada avaldised 5 + 0,08n ja 2 + 0,12n, kus n tähistab plakatite arvu. Võrdse hinna korral kehtib võrrand:

:&lt;math&gt;5 + 0{,}08n = 2 + 0{,}12n.&lt;/math&gt;

Pakkumiste hind on võrdne 75 plakati korral: mõlemal 11 eurot. Väiksema positiivse arvu korral on soodsam B, suurema korral A.

Modelleerimist süvendab küsimus: „Millist teavet oleks päriselt tellimiseks veel vaja?” Näiteks võivad otsust mõjutada tarnekulu, trükikvaliteet ja miinimumkogus. Nii eristatakse matemaatilise mudeli järeldust tegeliku otsuse tingimustest.

=== Õpetamine ja hindamine: kuidas muuta matemaatiline mõtlemine nähtavaks ===

Õppeprotsessi kirjeldus soovitab harjutada probleemilahenduse etappe teadlikult ning kasutada joonistamist, andmete korrastamist, lihtsustamist, analoogiat ja teisi strateegiaid. Samuti eristatakse lõppvastust selleni viinud lahenduskäigust.&lt;ref name=&quot;klass4&quot; /&gt;

Tunni kavandamisel tasub sõnastada nii sisuline kui ka probleemilahenduslik eesmärk. Peenraülesandes võivad need olla näiteks „seostab ristküliku külgi, ümbermõõtu ja pindala” ning „korrastab võimalused nii, et ükski ei jääks vahele”. Õpetaja saab pakkuda ruudulist paberit või tühja tabelit, jättes külgede leidmise õpilaste otsustada.

Ainekava hindamiskäsitlus hõlmab teadmist, rakendamist ja arutlemist ning näeb ette kujundava hindamise, enesehindamise ja mitmesuguste hindamisviiside kasutamist. Hoiakutele antakse toetavat sõnalist tagasisidet.&lt;ref name=&quot;ainekava&quot; /&gt;

Probleemilahendusülesande tagasiside võib õpetaja koostatud hindamisaluse järgi käsitleda nelja küsimust:

* '''Mõistmine:''' kas õpilane määratles otsitava ja arvestas tingimustega?
* '''Strateegia:''' kas valitud esitus või tegevuskava aitas lahendust leida?
* '''Põhjendamine:''' kas teised saavad lahenduskäiku jälgida ja selle õigsust hinnata?
* '''Kontrollimine:''' kas õpilane kontrollis tulemust ning vajaduse korral muutis lahendust?

Näiteks tagasiside „Leidsid suurima pindala; selgita nüüd, kuidas tead, et ükski võimalik küljepaar ei jäänud vahele” annab õpilasele konkreetse järgmise sammu. Arvutusvea korral saab omakorda tunnustada toimivat strateegiat ja suunata vea asukohta otsima.

Tunni lõpus võib paluda lõpetada laused „Alguses proovisin…”, „Muutsin oma plaani, sest…” ja „Järgmisel korral kontrollin…”. Nõnda saab õpetaja teavet õpilase lahendusprotsessi kohta ning õpilane harjutab selle teadlikku juhtimist.

=== Viited ===

&lt;references /&gt;
```</text>
      <sha1>k41xfe1vsc74mk0p9o22hecs9mlnevc</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20330</id>
      <parentid>20329</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T14:09:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>/* Õpetamine ja hindamine: kuidas muuta matemaatiline mõtlemine nähtavaks */</comment>
      <origin>20330</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9478" sha1="2hf38w5bzygv958pl3m82gryxm8qsm0" xml:space="preserve">Probleemilahendus ühendab matemaatiliste teadmiste omandamise oskusega otsustada, millal ja kuidas neid kasutada. Õpilane võib osata arvutada ristküliku pindala, kuid vajada tuge olukorras, kus tuleb ise leida sobivad mõõtmed, võrrelda võimalusi ja põhjendada valikut. Just selliste otsustuskohtadega ülesanded aitavad kujundada probleemilahendusoskust.

2023. aasta matemaatika ainekavas on '''probleemide lahendamine üks kuuest teemavaldkonnast''' arvutamise, mõõtmise, geomeetria, andmete ja nende analüüsimise ning algebra kõrval.&lt;ref name=&quot;ainekava&quot;&gt;[https://www.riigiteataja.ee/aktilisa/1080/3202/3005/18m_pohi_lisa5.pdf Põhikooli riikliku õppekava lisa 5. Ainevaldkond „Matemaatika” (2023)], punktid 1.3, 1.6 ja 2.1.&lt;/ref&gt; See annab probleemilahendusele õppe kavandamisel selgelt nähtava koha.

=== Mis muutus 2023. aasta ainekavas? ===

Probleemülesanded kuulusid ka varasemasse ainekavasse. 2011. aasta ja uuendatud ainekava võrdlus näitab aga rõhuasetuse muutumist: enam tuuakse esile probleemide märkamist ja sõnastamist, lahendusstrateegiate valimist ning tulemuste kontrollimist. Näiteks I kooliastmes olid tekstülesanded varem ühendatud mõõtmisega, uuendatud ainekavas esitatakse probleemide lahendamine eraldi. Võrdlusmaterjal on 2023. aasta märtsi töödokument, mille uuendatud ainekava veerg kannab pealkirja „Õppekava 2022”; seda tuleb kasutada muudatuste selgitusena, mitte iseseisva õigusaktina.&lt;ref name=&quot;vordlus&quot;&gt;[https://projektid.edu.ee/spaces/OKMV/pages/211453823/5.+PK+Ainevaldkond+Matemaatika Matemaatika valdkonna rakendusmaterjalid], manus „matemaatika_PK_vordlus.pdf”, töödokument märts 2023.&lt;/ref&gt;

Oluline on eristada '''riikliku ainekava kohustuslikke kooliastme õpitulemusi''' ja '''soovituslikke klassipõhiseid õppeprotsesside kirjeldusi'''. Viimased aitavad valida õppesisu, ülesandeid ja õpetamisvõtteid. Näiteks 4. klassi kirjeldus rõhutab, et probleemilahendust arendatakse läbivalt teiste matemaatikateemade kaudu, mitte üksnes eraldi peatükina.&lt;ref name=&quot;klass4&quot;&gt;[https://projektid.edu.ee/spaces/OKMV/pages/246285757/4.+klass+matemaatika 4. klassi matemaatika õppeprotsessi kirjeldus], probleemilahenduse, geomeetria ja hindamise soovitused.&lt;/ref&gt;

Seega võiks õpetaja iga teema kavandamisel küsida: „Milliseid otsuseid saavad õpilased selles teemas ise teha?” Kui kõik ülesanded nõuavad vahetult ette näidatud võtte kordamist, jääb lahendusstrateegia valimise harjutamiseks vähe võimalusi.

=== Seos üldpädevuste ja varasemate käsitlustega ===

Riikliku õppekava üldosas seostub probleemilahendus eriti õpipädevusega: õppija kavandab tegevust, kasutab õpitut uutes olukordades ning analüüsib oma oskusi ja õppimisvajadusi. Matemaatika-, loodusteaduste ja tehnoloogiaalane pädevus hõlmab matemaatiliste meetodite kasutamist igapäevaelus ning põhjendatud otsustamist.&lt;ref name=&quot;yldosa&quot;&gt;[https://oppekava.ee/pohikool-2023/ Põhikool 2023. Õppekava infoportaal]; põhikooli riikliku õppekava üldosa § 4.&lt;/ref&gt;

Õpetamisel saab need taotlused siduda eelnevate peatükkidega. '''Pólya''' aitab lahendusprotsessi korraldada; '''Schoenfeld''' suunab märkama oma mõtlemist ja strateegia toimivust. '''Jonasseni''' käsitlus aitab valida erineva ülesehituse ja avatusega probleeme. '''TIMSSi ja PISA''' kaudu saab mõtestada, kui palju nõuab ülesanne teadmiste rakendamist, arutlemist või elulise olukorra matemaatilist modelleerimist. Need on õpetaja jaoks üksteist täiendavad vaatenurgad, mitte õppekavas ette kirjutatud ühtne metoodika.

=== Probleemilahendusoskuse areng kooliastmeti ===

Järgmine tabel toob välja valiku ainekava rõhuasetusi; see ei asenda täielikku õpitulemuste loetelu.&lt;ref name=&quot;ainekava&quot; /&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Kooliaste
! Rõhuasetus
! Võimalik õpetaja küsimus
|-
| I kooliaste
| Ülesande kujutamine õpetaja toel, ühe- ja kaheastmeliste probleemide lahendamine ning vastuse elulisuse kontrollimine.
| „Näita joonisega, mida sa teada tahad.”
|-
| II kooliaste
| Lahendusskeemi, näiteks Pólya etappide kasutamine; strateegia valimine, lahenduskäigu hindamine ja mitmetehteliste probleemide koostamine.
| „Miks valisid selle võtte? Kuidas kontrollid tulemust?”
|-
| III kooliaste
| Elulise olukorra modelleerimine, probleemide sõnastamine, uurimine ning otsuste ja järelduste põhjendamine.
| „Millistel eeldustel sinu mudel kehtib?”
|}

Edasiliikumine tähendab üha suuremat iseseisvust probleemi tõlgendamisel ja lahenduse juhtimisel. Arvutuste keerukus on vaid üks osa sellest arengust.

=== Kolm näidet õppetööks ===

Järgnevad näited on selle käsiraamatu jaoks koostatud; need ei ole ainekavas ega õppeprotsessi kirjeldustes esitatud  ülesanded. Probleemülesande olemus sõltub siin õpilase varasemast kogemusest: tuttava lahendusviisiga ülesanne võib ühele olla harjutus, teisele õpilasele aga probleemülesanne.

==== I kooliaste: mitu karpi on vaja? ====

:'''Klassi meisterdustunnis valmistati 18 savilooma. Ühte karpi mahub neli looma. Mitu karpi on vaja kõigi loomade pakkimiseks? Põhjenda pildi või esemete abil.'''

Õpilased võivad rühmitada loenduspulki, joonistada karpe või liita nelja kaupa. Oluline otsustuskoht tekib siis, kui nelja karpi on paigutatud 16 looma: kaks looma vajavad veel üht karpi. Vastus on viis karpi, kuigi viimane ei ole täis.

Õpetaja saab küsida: „Kuidas näitab sinu joonis, et neljast karbist ei piisa?” Jätkuülesandena võivad õpilased leida kõik loomade arvud, mille pakkimiseks kulub täpselt viis sellist karpi. Nii kasvab üksikust vastusest üldistus: 17–20 looma.

==== II kooliaste: sama ümbermõõt, erinev pindala ====

:'''Kooli peenra piiramiseks on 24 meetrit äärist. Peenar peab olema ristkülikukujuline ja külgede pikkused täismeetrites. Millise kujuga peenar annab kõige suurema kasvupinna? Näita, et oled arvestanud kõiki võimalusi.'''

Õpilased saavad kasutada ruudulist paberit, jooniseid või tabelit. Võimalikud küljepaarid on 1 ja 11, 2 ja 10, 3 ja 9, 4 ja 8, 5 ja 7 ning 6 ja 6 meetrit. Suurim pindala on 36 m².

Probleemilahenduse keskmes on võimaluste süstemaatiline leidmine ja täielikkuse põhjendamine. „Proovisin mõnda ristkülikut” ja „leidsin kõik lubatud ristkülikud” on erineva tugevusega põhjendused. Täismeetrite tingimus võimaldab selles ülesandes kõik juhud läbi vaadata.

Näide arendab edasi õppeprotsessi kirjelduses soovitatud ülesandetüüpi, kus antakse ristküliku ümbermõõt ning õpilased uurivad võimalikke külgi.&lt;ref name=&quot;klass4&quot; /&gt;

==== III kooliaste: milline pakkumine valida? ====

:'''Klass soovib lasta trükkida plakateid. Väljamõeldud pakkumises A on ettevalmistustasu 5 eurot ja ühe plakati hind 0,08 eurot. Pakkumises B on vastavad hinnad 2 eurot ja 0,12 eurot. Millal on kumbki pakkumine soodsam?'''

Õpilased võivad alustada hinnatabelist või koostada avaldised 5 + 0,08n ja 2 + 0,12n, kus n tähistab plakatite arvu. Võrdse hinna korral kehtib võrrand:

:&lt;math&gt;5 + 0{,}08n = 2 + 0{,}12n.&lt;/math&gt;

Pakkumiste hind on võrdne 75 plakati korral: mõlemal 11 eurot. Väiksema positiivse arvu korral on soodsam B, suurema korral A.

Modelleerimist süvendab küsimus: „Millist teavet oleks päriselt tellimiseks veel vaja?” Näiteks võivad otsust mõjutada tarnekulu, trükikvaliteet ja miinimumkogus. Nii eristatakse matemaatilise mudeli järeldust tegeliku otsuse tingimustest.

=== Õpetamine ja hindamine: kuidas muuta matemaatiline mõtlemine nähtavaks ===

Õppeprotsessi kirjeldus soovitab harjutada probleemilahenduse etappe teadlikult ning kasutada joonistamist, andmete korrastamist, lihtsustamist, analoogiat ja teisi strateegiaid. Samuti eristatakse lõppvastust selleni viinud lahenduskäigust.&lt;ref name=&quot;klass4&quot; /&gt;

Tunni kavandamisel tasub sõnastada nii sisuline kui ka probleemilahenduslik eesmärk. Peenraülesandes võivad need olla näiteks „seostab ristküliku külgi, ümbermõõtu ja pindala” ning „korrastab võimalused nii, et ükski ei jääks vahele”. Õpetaja saab pakkuda ruudulist paberit või tühja tabelit, jättes külgede leidmise õpilaste otsustada.

Ainekava hindamiskäsitlus hõlmab teadmist, rakendamist ja arutlemist ning näeb ette kujundava hindamise, enesehindamise ja mitmesuguste hindamisviiside kasutamist. Hoiakutele antakse toetavat sõnalist tagasisidet.&lt;ref name=&quot;ainekava&quot; /&gt;

Probleemülesande lahenduse tagasiside võib õpetaja koostatud hindamismudeli järgi käsitleda nelja küsimust:

* '''Mõistmine:''' kas õpilane määratles otsitava ja arvestas tingimustega?
* '''Strateegia:''' kas valitud esitus või tegevuskava aitas lahendust leida?
* '''Põhjendamine:''' kas teised saavad lahenduskäiku jälgida ja selle õigsust hinnata?
* '''Kontrollimine:''' kas õpilane kontrollis tulemust ning vajaduse korral muutis lahendust?

Näiteks tagasiside „''Leidsid suurima pindala; selgita nüüd, kuidas tead, et ükski võimalik küljepaar ei jäänud vahele''” annab õpilasele konkreetse järgmise sammu. Arvutusvea korral saab omakorda tunnustada toimivat strateegiat ja suunata vea asukohta otsima.

Tunni lõpus võib paluda lõpetada laused „''Alguses proovisin…''”, „''Muutsin oma plaani, sest…''” ja „''Järgmisel korral kontrollin…''”. Nõnda saab õpetaja teavet õpilase lahendusprotsessi kohta ning õpilane harjutab selle teadlikku juhtimist.

=== Viited ===

&lt;references /&gt;
```</text>
      <sha1>2hf38w5bzygv958pl3m82gryxm8qsm0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20331</id>
      <parentid>20330</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T14:13:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>/* Mis muutus 2023. aasta ainekavas? */</comment>
      <origin>20331</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9516" sha1="na8chr7mvhuiipq644l2lfjuwkl0nci" xml:space="preserve">Probleemilahendus ühendab matemaatiliste teadmiste omandamise oskusega otsustada, millal ja kuidas neid kasutada. Õpilane võib osata arvutada ristküliku pindala, kuid vajada tuge olukorras, kus tuleb ise leida sobivad mõõtmed, võrrelda võimalusi ja põhjendada valikut. Just selliste otsustuskohtadega ülesanded aitavad kujundada probleemilahendusoskust.

2023. aasta matemaatika ainekavas on '''probleemide lahendamine üks kuuest teemavaldkonnast''' arvutamise, mõõtmise, geomeetria, andmete ja nende analüüsimise ning algebra kõrval.&lt;ref name=&quot;ainekava&quot;&gt;[https://www.riigiteataja.ee/aktilisa/1080/3202/3005/18m_pohi_lisa5.pdf Põhikooli riikliku õppekava lisa 5. Ainevaldkond „Matemaatika” (2023)], punktid 1.3, 1.6 ja 2.1.&lt;/ref&gt; See annab probleemilahendusele õppe kavandamisel selgelt nähtava koha.

=== Mis muutus 2023. aasta ainekavas? ===

Probleemülesanded kuulusid ka varasemasse ainekavasse. 2011. aasta ja uuendatud ainekava võrdlus näitab aga rõhuasetuse muutumist: enam tuuakse esile probleemide märkamist ja sõnastamist, lahendusstrateegiate valimist ning tulemuste kontrollimist. Näiteks I kooliastmes olid tekstülesanded varem ühendatud mõõtmisega, uuendatud ainekavas esitatakse probleemide lahendamine eraldi valdkonnana geomeetria, algebra jt kõrval. Matemaatika õppeprotsesside krijeldamise töörühm analüüsis põhjalikult 2011.a. ja 2023.a. matemaatika ainekavade erinevusi, mida huvilistel soovitame lugeda.&lt;ref name=&quot;vordlus&quot;&gt;[https://projektid.edu.ee/spaces/OKMV/pages/211453823/5.+PK+Ainevaldkond+Matemaatika Matemaatika valdkonna rakendusmaterjalid], manus „matemaatika_PK_vordlus.pdf”, töödokument märts 2023.&lt;/ref&gt;

Oluline on eristada '''riikliku ainekava kohustuslikke kooliastme õpitulemusi''' ja '''soovituslikke klassipõhiseid õppeprotsesside kirjeldusi'''. Viimased aitavad valida õppesisu, ülesandeid ja õpetamisvõtteid. Näiteks 4. klassi kirjeldus rõhutab, et probleemilahendust arendatakse läbivalt teiste matemaatikateemade kaudu, mitte üksnes eraldi peatükina või teemana kooli ainekavas.&lt;ref name=&quot;klass4&quot;&gt;[https://projektid.edu.ee/spaces/OKMV/pages/246285757/4.+klass+matemaatika 4. klassi matemaatika õppeprotsessi kirjeldus], probleemilahenduse, geomeetria ja hindamise soovitused.&lt;/ref&gt;

Seega võiks õpetaja iga teema kavandamisel küsida: „Milliseid otsuseid saavad õpilased selles teemas ise teha?” Kui kõik ülesanded nõuavad vahetult ette näidatud võtte kordamist, jääb lahendusstrateegia valimise harjutamiseks vähe võimalusi.

=== Seos üldpädevuste ja varasemate käsitlustega ===

Riikliku õppekava üldosas seostub probleemilahendus eriti õpipädevusega: õppija kavandab tegevust, kasutab õpitut uutes olukordades ning analüüsib oma oskusi ja õppimisvajadusi. Matemaatika-, loodusteaduste ja tehnoloogiaalane pädevus hõlmab matemaatiliste meetodite kasutamist igapäevaelus ning põhjendatud otsustamist.&lt;ref name=&quot;yldosa&quot;&gt;[https://oppekava.ee/pohikool-2023/ Põhikool 2023. Õppekava infoportaal]; põhikooli riikliku õppekava üldosa § 4.&lt;/ref&gt;

Õpetamisel saab need taotlused siduda eelnevate peatükkidega. '''Pólya''' aitab lahendusprotsessi korraldada; '''Schoenfeld''' suunab märkama oma mõtlemist ja strateegia toimivust. '''Jonasseni''' käsitlus aitab valida erineva ülesehituse ja avatusega probleeme. '''TIMSSi ja PISA''' kaudu saab mõtestada, kui palju nõuab ülesanne teadmiste rakendamist, arutlemist või elulise olukorra matemaatilist modelleerimist. Need on õpetaja jaoks üksteist täiendavad vaatenurgad, mitte õppekavas ette kirjutatud ühtne metoodika.

=== Probleemilahendusoskuse areng kooliastmeti ===

Järgmine tabel toob välja valiku ainekava rõhuasetusi; see ei asenda täielikku õpitulemuste loetelu.&lt;ref name=&quot;ainekava&quot; /&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Kooliaste
! Rõhuasetus
! Võimalik õpetaja küsimus
|-
| I kooliaste
| Ülesande kujutamine õpetaja toel, ühe- ja kaheastmeliste probleemide lahendamine ning vastuse elulisuse kontrollimine.
| „Näita joonisega, mida sa teada tahad.”
|-
| II kooliaste
| Lahendusskeemi, näiteks Pólya etappide kasutamine; strateegia valimine, lahenduskäigu hindamine ja mitmetehteliste probleemide koostamine.
| „Miks valisid selle võtte? Kuidas kontrollid tulemust?”
|-
| III kooliaste
| Elulise olukorra modelleerimine, probleemide sõnastamine, uurimine ning otsuste ja järelduste põhjendamine.
| „Millistel eeldustel sinu mudel kehtib?”
|}

Edasiliikumine tähendab üha suuremat iseseisvust probleemi tõlgendamisel ja lahenduse juhtimisel. Arvutuste keerukus on vaid üks osa sellest arengust.

=== Kolm näidet õppetööks ===

Järgnevad näited on selle käsiraamatu jaoks koostatud; need ei ole ainekavas ega õppeprotsessi kirjeldustes esitatud  ülesanded. Probleemülesande olemus sõltub siin õpilase varasemast kogemusest: tuttava lahendusviisiga ülesanne võib ühele olla harjutus, teisele õpilasele aga probleemülesanne.

==== I kooliaste: mitu karpi on vaja? ====

:'''Klassi meisterdustunnis valmistati 18 savilooma. Ühte karpi mahub neli looma. Mitu karpi on vaja kõigi loomade pakkimiseks? Põhjenda pildi või esemete abil.'''

Õpilased võivad rühmitada loenduspulki, joonistada karpe või liita nelja kaupa. Oluline otsustuskoht tekib siis, kui nelja karpi on paigutatud 16 looma: kaks looma vajavad veel üht karpi. Vastus on viis karpi, kuigi viimane ei ole täis.

Õpetaja saab küsida: „Kuidas näitab sinu joonis, et neljast karbist ei piisa?” Jätkuülesandena võivad õpilased leida kõik loomade arvud, mille pakkimiseks kulub täpselt viis sellist karpi. Nii kasvab üksikust vastusest üldistus: 17–20 looma.

==== II kooliaste: sama ümbermõõt, erinev pindala ====

:'''Kooli peenra piiramiseks on 24 meetrit äärist. Peenar peab olema ristkülikukujuline ja külgede pikkused täismeetrites. Millise kujuga peenar annab kõige suurema kasvupinna? Näita, et oled arvestanud kõiki võimalusi.'''

Õpilased saavad kasutada ruudulist paberit, jooniseid või tabelit. Võimalikud küljepaarid on 1 ja 11, 2 ja 10, 3 ja 9, 4 ja 8, 5 ja 7 ning 6 ja 6 meetrit. Suurim pindala on 36 m².

Probleemilahenduse keskmes on võimaluste süstemaatiline leidmine ja täielikkuse põhjendamine. „Proovisin mõnda ristkülikut” ja „leidsin kõik lubatud ristkülikud” on erineva tugevusega põhjendused. Täismeetrite tingimus võimaldab selles ülesandes kõik juhud läbi vaadata.

Näide arendab edasi õppeprotsessi kirjelduses soovitatud ülesandetüüpi, kus antakse ristküliku ümbermõõt ning õpilased uurivad võimalikke külgi.&lt;ref name=&quot;klass4&quot; /&gt;

==== III kooliaste: milline pakkumine valida? ====

:'''Klass soovib lasta trükkida plakateid. Väljamõeldud pakkumises A on ettevalmistustasu 5 eurot ja ühe plakati hind 0,08 eurot. Pakkumises B on vastavad hinnad 2 eurot ja 0,12 eurot. Millal on kumbki pakkumine soodsam?'''

Õpilased võivad alustada hinnatabelist või koostada avaldised 5 + 0,08n ja 2 + 0,12n, kus n tähistab plakatite arvu. Võrdse hinna korral kehtib võrrand:

:&lt;math&gt;5 + 0{,}08n = 2 + 0{,}12n.&lt;/math&gt;

Pakkumiste hind on võrdne 75 plakati korral: mõlemal 11 eurot. Väiksema positiivse arvu korral on soodsam B, suurema korral A.

Modelleerimist süvendab küsimus: „Millist teavet oleks päriselt tellimiseks veel vaja?” Näiteks võivad otsust mõjutada tarnekulu, trükikvaliteet ja miinimumkogus. Nii eristatakse matemaatilise mudeli järeldust tegeliku otsuse tingimustest.

=== Õpetamine ja hindamine: kuidas muuta matemaatiline mõtlemine nähtavaks ===

Õppeprotsessi kirjeldus soovitab harjutada probleemilahenduse etappe teadlikult ning kasutada joonistamist, andmete korrastamist, lihtsustamist, analoogiat ja teisi strateegiaid. Samuti eristatakse lõppvastust selleni viinud lahenduskäigust.&lt;ref name=&quot;klass4&quot; /&gt;

Tunni kavandamisel tasub sõnastada nii sisuline kui ka probleemilahenduslik eesmärk. Peenraülesandes võivad need olla näiteks „seostab ristküliku külgi, ümbermõõtu ja pindala” ning „korrastab võimalused nii, et ükski ei jääks vahele”. Õpetaja saab pakkuda ruudulist paberit või tühja tabelit, jättes külgede leidmise õpilaste otsustada.

Ainekava hindamiskäsitlus hõlmab teadmist, rakendamist ja arutlemist ning näeb ette kujundava hindamise, enesehindamise ja mitmesuguste hindamisviiside kasutamist. Hoiakutele antakse toetavat sõnalist tagasisidet.&lt;ref name=&quot;ainekava&quot; /&gt;

Probleemülesande lahenduse tagasiside võib õpetaja koostatud hindamismudeli järgi käsitleda nelja küsimust:

* '''Mõistmine:''' kas õpilane määratles otsitava ja arvestas tingimustega?
* '''Strateegia:''' kas valitud esitus või tegevuskava aitas lahendust leida?
* '''Põhjendamine:''' kas teised saavad lahenduskäiku jälgida ja selle õigsust hinnata?
* '''Kontrollimine:''' kas õpilane kontrollis tulemust ning vajaduse korral muutis lahendust?

Näiteks tagasiside „''Leidsid suurima pindala; selgita nüüd, kuidas tead, et ükski võimalik küljepaar ei jäänud vahele''” annab õpilasele konkreetse järgmise sammu. Arvutusvea korral saab omakorda tunnustada toimivat strateegiat ja suunata vea asukohta otsima.

Tunni lõpus võib paluda lõpetada laused „''Alguses proovisin…''”, „''Muutsin oma plaani, sest…''” ja „''Järgmisel korral kontrollin…''”. Nõnda saab õpetaja teavet õpilase lahendusprotsessi kohta ning õpilane harjutab selle teadlikku juhtimist.

=== Viited ===

&lt;references /&gt;
```</text>
      <sha1>na8chr7mvhuiipq644l2lfjuwkl0nci</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>2.Teadlaste pilguga: matemaatilise probleemilahenduse uurimine, arendamine ja juurutamine koolides tänapäeval</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4258</id>
    <revision>
      <id>20333</id>
      <timestamp>2026-09-27T14:37:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>Uus lehekülg: 'Sissejuhatus  [[2.1.Matemaatilise probleemilahenduse uuringud tänapäeval]] &lt;br&gt; [[2.2.Õpetajate ettevalmistus probleemilahenduse õpetamiseks]]&lt;br&gt; [[2.3.Tõenduspõhine probleemilahenduse didaktika]]&lt;br&gt;'</comment>
      <origin>20333</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="207" sha1="o6vgvtxha8sa1ac14iy42cshuu5ht8h" xml:space="preserve">Sissejuhatus

[[2.1.Matemaatilise probleemilahenduse uuringud tänapäeval]] &lt;br&gt;
[[2.2.Õpetajate ettevalmistus probleemilahenduse õpetamiseks]]&lt;br&gt;
[[2.3.Tõenduspõhine probleemilahenduse didaktika]]&lt;br&gt;</text>
      <sha1>o6vgvtxha8sa1ac14iy42cshuu5ht8h</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>2.1.Matemaatilise probleemilahenduse uuringud tänapäeval</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4259</id>
    <revision>
      <id>20334</id>
      <timestamp>2026-09-27T15:16:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>Uus lehekülg: 'Matemaatilise probleemilahenduse uurimine lähtub endiselt Pólya küsimusest, kuidas inimene leiab lahendustee olukorras, kus sobiv meetod pole kohe teada. Tänapäeva uuringutes vaadeldakse selle kõrval, kuidas lahendamist kujundavad õppija eneseregulatsioon, emotsioonid, suhtlus kaaslastega ning õpetaja ja digivahendite pakutav tugi. Uurimisobjektiks on seega nii õppija mõtlemine kui ka tingimused, milles see kujuneb. LAHEMATE kirjandusülevaade ühendab need vaaten...'</comment>
      <origin>20334</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15085" sha1="3oc7mx99tzomdm1t99gqm2twqi5jtad" xml:space="preserve">Matemaatilise probleemilahenduse uurimine lähtub endiselt Pólya küsimusest, kuidas inimene leiab lahendustee olukorras, kus sobiv meetod pole kohe teada. Tänapäeva uuringutes vaadeldakse selle kõrval, kuidas lahendamist kujundavad õppija eneseregulatsioon, emotsioonid, suhtlus kaaslastega ning õpetaja ja digivahendite pakutav tugi. Uurimisobjektiks on seega nii õppija mõtlemine kui ka tingimused, milles see kujuneb. LAHEMATE kirjandusülevaade ühendab need vaatenurgad kolme telje kaudu: õpetamine ja juhendamine, õpetajate professionaalne õppimine ning probleemülesannete omadused. Tegemist on '''kaardistava kirjandusülevaatega''', mille eesmärk on kirjeldada uurimissuundi ja nende seoseid. See ei ole metaanalüüs, mis võimaldaks järjestada õpetamisviise nende keskmise mõju suuruse järgi.&lt;ref name=&quot;LAHEMATE&quot;&gt;Laanpere, M., Mädamürk, K. ja Kraav, T. [https://drive.google.com/file/d/1BZsyAa7pbLRFaS0MHasIkRW2jPqGSHTA/view LAHEMATE kirjanduse ülevaade], eriti jaotised 1.1–1.2, 2.4 ja 2.5.1.&lt;/ref&gt;

LAHEMATE kirjandusülevaate esimene uurimisküsimus keskendus sellele, milliseid matemaatilise probleemilahenduse õpetamise ja juhendamise viise on põhikoolis ning gümnaasiumis uuritud ja kuidas need seostuvad õppijate kognitiivsete, afektiivsete ning strateegiliste õpitulemustega. Analüüs seob probleemilahendusoskuse arengu õppija mõtlemise, emotsioonide ja klassiruumi töökorraldusega. Kuna tegemist on kaardistava ülevaatega, aitavad selle järeldused mõista uurimissuundi ja kavandada koolikatsetusi, kuid ei võimalda järjestada õpetamisviise nende tõhususe järgi.&lt;ref name=&quot;LAHEMATE&quot;&gt;Laanpere, M., Mädamürk, K. ja Kraav, T. [https://drive.google.com/file/d/1BZsyAa7pbLRFaS0MHasIkRW2jPqGSHTA/view LAHEMATE kirjanduse ülevaade], alapeatükk 2.5.1 „Esimene uurimisküsimus”.&lt;/ref&gt;

* '''Esimene põhiteema kirjandusülevaate esimeses osas on probleemilahenduse etapid ja metakognitiivne juhendamine.''' Pólya ja Schoenfeldi käsitlustele toetuvad allikad suunavad tähelepanu lahendamise kavandamisele, jälgimisele ja kontrollimisele. Ülevaates käsitletud Bozkurti uuring näitlikustab, et õpetaja teadlikkus probleemilahenduse etappidest ei taga veel nende tasakaalustatud rakendamist: probleemi mõistmine ja arvutamine võivad saada rohkem tähelepanu kui strateegia valik ning tulemuse mõtestamine. Õpetamise seisukohalt on seetõttu olulised küsimused „''Miks valisid selle tee?''” ja „''Kuidas saad otsustada, kas tulemus sobib?''”. Eesmärk on kujundada õppija võimet oma tegevust juhtida, mitte üksnes etappide nimetusi meenutada.
* '''Teine põhiteema on probleemilahendus kui mõtlemist ja arutelu esile kutsuv praktika.''' Ülevaates käsitletud Ho ja Hedbergi klassiruumiuuringud ning Liljedahli tööd pööravad tähelepanu sellele, kuidas õpetaja tegevus ja klassiruumi normid kujundavad õpilaste osalemist. Kui lahendusviisi määrab alati õpetaja, jääb õppijale vähem võimalusi strateegiliste otsuste tegemiseks. Erinevate lahenduste esitamine ja võrdlemine võimaldab seevastu uurida, miks üks võte toimib ning millal võiks eelistada teist. Näiteks saavad õpilased võrrelda sama ülesande joonisel ja tabelil põhinevat lahendust ning selgitada, milliseid seoseid kumbki esitus nähtavaks teeb.
* '''Kolmas põhiteema on probleemilahenduse seos matemaatilise mõtteviisi ja emotsioonidega.''' Boaleri käsitlused ning ülevaates analüüsitud Voica ja Singeri uuring rõhutavad õppija enesetõhususe, motivatsiooni ja lahendusprotsessi üle kogetava kontrolli tähtsust. Mitterutiinne ülesanne võib tekitada nii uudishimu kui ka frustratsiooni. Õpetaja ülesanne on aidata õppijal takistusega toime tulla, säilitades võimaluse ise mõelda. Pelgale julgustusele „Proovi veel!” võiks lisanduda küsimus „Mida oled juba teada saanud ja millist lihtsamat juhtu võiksid uurida?”. Nii seostub pingutuse väärtustamine konkreetse edasiliikumisvõimalusega.
* '''Neljas põhiteema on strateegiliste oskuste kujundamine.''' Tohi ja kolleegide tööd ning Chengi tegevusuuring toovad esile strateegiate valimise, kombineerimise ja hindamise. Heuristikute tundmisest üksi ei piisa: õppija peab märkama, millal tasub joonistada, otsida mustrit, liikuda tagurpidi või muuta probleemi lihtsamaks. Oma ja kaaslaste lahenduste reflekteerimine aitab kujundada ka probleemilahendusvalmidust – soovi alustada uurimist olukorras, kus lahendustee pole kohe selge.

Nende nelja teema sünteesi põhjal sõnastati LAHEMATE koolikatsetustele järgmised soovitused:&lt;ref name=&quot;LAHEMATE&quot; /&gt;
# '''Muuta probleemilahendus õppetöö igapäevaseks korralduspõhimõtteks.''' Kavandada õppetegevused nii, et probleemide kaudu uuritakse ja kinnistatakse matemaatilisi mõisteid, mitte ei lahendata neid üksnes lisategevusena.
# '''Toetada teadlikult õpilaste matemaatilist mõtlemist ja metakognitsiooni.''' Paluda õpilastel põhjendada strateegia valikut, selgitada lahenduskäiku ning võrrelda ja kontrollida tulemusi.
# '''Kujundada õppijate afektiivset valmisolekut ja matemaatikahoiakuid.''' Luua klassiruumikultuur, kus katsetamine, eksimuste analüüs ja erinevad lahendusteed kuuluvad tavapärase õppimise juurde.
# '''Viia ülesanded ja õpetajapoolne juhendamine omavahel kooskõlla.''' Siduda mitterutiinsed ja avatud ülesanded sellise toe ning järgneva aruteluga, mis aitavad edasi liikuda ja jätavad sisulised otsused õppijatele.

Need soovitused annavad LAHEMATE katsetustele uuritava lähtekoha: jälgida tuleb nii õppijate arengut kui ka seda, kuidas kavandatud ülesanded, juhendamine ja arutelukultuur tegelikus tunnis omavahel seostuvad.

Euroopa matemaatikahariduse uurijate CERME konverentside 2019–2025 materjalides avavad seda valdkonda muu hulgas kolm töörühma: '''TWG22''' uurib õppematerjale ja ülesannete disaini, '''TWG6''' matemaatika rakendusi ja modelleerimist ning '''TWG8''' matemaatika õppimise ja õpetamise afektiivseid aspekte ehk emotsioone, hoiakuid, uskumusi ja motivatsiooni.

=== Lahendusprotsess ja selle juhtimine ===

LAHEMATE ülevaates on kesksel kohal strateegiate kasutamine, metakognitiivne juhendamine ja matemaatiline arutelu. Boaleri, Liljedahli ja Tohi käsitlusi ühendab tähelepanu sellele, kuidas õpilased hakkavad ise uurima, oma mõtlemist selgitama ning lahendusviise hindama. Nende lähenemiste rõhuasetused on erinevad: matemaatiline mõtteviis, klassiruumi töökorraldus ning probleemilahendusstrateegiate ja refleksiooni süstemaatiline arendamine.&lt;ref name=&quot;LAHEMATE&quot; /&gt;

Uurija jaoks ei piisa seetõttu teadmisest, kas vastus oli õige. Vaja on mõista, kuidas õpilane ülesannet tõlgendas, millise strateegia valis ja mida tegi takistuse tekkimisel. Sama lõppvastus võib sündida põhjendatud arutlusest, tuttava eeskuju jäljendamisest või juhuslikust katsetamisest.

Schoenfeldi käsitlusega seostub siin '''lahendusprotsessi juhtimine''': kas õppija märkab, et valitud tee ei vii edasi, ning suudab oma tegevust muuta? Sellist muutust saab uurida õpilastööde, valjusti mõtlemise, intervjuude ja tunnisalvestiste kaudu. Testitulemus ja protsessi kirjeldus annavad erinevat, üksteist täiendavat teavet.

LAHEMATE ülevaates nimetatud Mobergi ja kolleegide 2025. aasta uuring näitlikustab protsessile keskendumist õpetaja tasandil. Kuue õpetaja kirjalike refleksioonide analüüsiga uuriti õpetamist suunavate mõtteliste tegevusmudelite muutumist paindliku matemaatilise mõtlemise toetamisel. Uuring aitab mõista õpetaja otsuseid ja nende arengut; selle põhjal ei saa veel järeldada konkreetse õpetamisviisi üldist mõju õpilaste saavutustele.&lt;ref name=&quot;Moberg2025&quot;&gt;Moberg, J., Hannula-Sormunen, M., Hähkiöniemi, M. ja Lehtinen, E. (2025). [https://doi.org/10.14786/flr.v13i1.1589 Analyzing teachers’ scripts from teachers’ reflections after they tried to encourage students’ flexible mathematical thinking]. ''Frontline Learning Research'', 13(1), 45–75.&lt;/ref&gt;

=== Ülesande koostamine ja selle kasutamine ===

ERME TWG22 ühendab õppematerjalide ja õppekavade laiema analüüsi, aga ka üksikute probleemülesannete disaini uurimisega. CERME13 ülevaates eristatakse muu hulgas ülesannete ja digikeskkondade disainiuuringuid ning empiirilisi uuringuid õpetajate ja õpilaste tegevusest õppematerjalidega. Uurimisfookuses on seega nii kavandatud materjal kui ka selle kasutamine.&lt;ref name=&quot;TWG22_2023&quot;&gt;Olsher, S., Cusi, A., Glasnović Gracin, D. ja Van Steenbrugge, H. (2023). [https://iris.uniroma1.it/handle/11573/1705925 An introduction to TWG22: Curricular resources and task design in mathematics education]. ''Proceedings of CERME13'', 4069–4076.&lt;/ref&gt;

Sellest tuleneb õpetaja jaoks oluline eristus: '''ülesande pakutav mõtlemisvõimalus ja tunnis tegelikult toimuv mõtlemine ei pruugi kattuda'''. Näiteks küsimus „Leia kõik võimalused” võib kutsuda esile süstemaatilise uurimise. Kui õpetaja annab kohe ette täieliku tabeli ja täitmisjärjekorra, muutub osa õpilase otsustest õpetaja otsusteks.

Uurimiseks sobivad küsimused on näiteks: milliseid lahendusviise ülesanne võimaldab; millised neist õpilased kasutusele võtavad; kuidas õpetaja vihjed seda mõjutavad? Nii saab eristada ülesande omadusi ja selle rakendamise mõju. Ülesannete kohandamist ning metoodika põhimõtete säilimist käsitleme põhjalikumalt alapeatükis 2.3.

=== Modelleerimine ja tegelikkuse kriitiline tõlgendamine ===

Matemaatiline modelleerimine kui üks võimalik probleemilahenduse viis tähendab liikumist tegeliku olukorra ja matemaatilise esituse vahel. Kõiki andmeid ega eeldusi ei pruugi ülesandes olla: õppija peab otsustama, mida arvestada, mida lihtsustada ja kuidas tulemust tegelikkusega võrrelda.

CERME12 TWG6 ülevaade rõhutab vajadust uurida modelleerimist koos metakognitsiooni, vahendite kasutamise, rühmatöö ja sotsiaalsete normidega. Arutatakse ka seda, kuidas säilitada kooliülesannetes eluliste probleemide sisukus ning toetada mudelite kriitilist hindamist.&lt;ref name=&quot;TWG6_2022&quot;&gt;Barquero, B., Ärlebäck, J. B., Carreira, S., Greefrath, G., Jessen, B. E. ja Vorhölter, K. (2022). [https://hal.science/hal-03808434 Introduction to the papers of TWG6: Applications and modelling]. ''Proceedings of CERME12''.&lt;/ref&gt;

CERME14 materjalides jätkub see suund näiteks Fermi ülesannete kaudu. Need on puudulike lähteandmetega elulised probleemid, mille lahendamiseks tuleb suurusi hinnata või andmeid hankida. Uuritakse nii õppijate toestamist, tulemuste hindamist kui ka seoseid kestlikkuse ja ühiskondlike otsustega.&lt;ref name=&quot;TWG6_2025&quot;&gt;Ärlebäck, J. B., Jessen, B. E., Greefrath, G., Sevinc, S., Lacek, Y. ja Vorhölter, K. (2025). [https://hal.science/hal-05330908v1 Introducing the CERME14 papers and posters in, and work of, TWG6: Application and Modelling]. ''Proceedings of CERME14''.&lt;/ref&gt;

'''Näide Eesti koolist.''' „Kui palju joogivett vajab meie kool üheks spordipäevaks?” Õpilased peavad määratlema osalejate arvu, päeva kestuse, veevajaduse ja võimaliku varu. Uurija saab jälgida, kuidas rühmad põhjendavad eeldusi ning reageerivad uuele tingimusele: „Ilmateade lubab tavapärasest kuumemat päeva.” Matemaatiline tulemus võib olla põhjendatud vahemik, mitte üks täpne arv. See on käsiraamatu näide, mitte viidatud uuringust pärinev ülesanne.

=== Emotsioonid, uskumused ja osalemine ===

Juba CERME11 TWG8 ülevaade käsitleb afekti laialt: uuritakse õppimise ja õpetamisega seotud emotsioone, uskumusi ning teisi afektiivseid nähtusi.&lt;ref name=&quot;TWG8_2019&quot;&gt;Schukajlow, S., Gómez-Chacón, I. M., Haser, Ç., Liljedahl, P., Skilling, K. ja Viitala, H. (2019). [https://researchportal.scu.edu.au/esploro/outputs/conferenceProceeding/Introduction-to-the-work-of-TWG/991013351557202368 Introduction to the work of TWG 8: Affect and the teaching and learning of mathematics]. ''Proceedings of CERME11'', 1389–1392.&lt;/ref&gt; Probleemilahenduses on oluline eristada püsivamat hoiakut, näiteks „matemaatika pole minu jaoks”, ja konkreetse ülesande ajal tekkinud tunnet, näiteks ajutist frustratsiooni.

Begué ja Arnal-Palaciáni CERME13 uuringus analüüsiti 17 Hispaania 5.–6. klassi õpilase emotsioone pärast probleemülesande lahendamist. Õpilased nimetasid tundeid, hindasid oma enesetunnet ning põhjendasid seda. Huvitav tulemus oli, et meeldivaid emotsioone kirjeldasid ka mõned vale vastuseni jõudnud õpilased. '''Positiivne kogemus ja matemaatiliselt õige lahendus ei ole seega sama näitaja.''' Väike valim võimaldab nähtust lähemalt uurida, kuid ei anna alust üldistada tulemusi kõigile õpilastele.&lt;ref name=&quot;Begue2023&quot;&gt;Begué, N. ja Arnal-Palacián, M. (2023). [https://hal.science/hal-04416881 Exploring emotions in primary school students through mathematical problem solving]. ''Proceedings of CERME13'', 1408–1415.&lt;/ref&gt;

Õpetaja jaoks on sellest võimalik tuletada lihtne uurimisvõte: küsida lahenduse kõrval „Millal tundsid ebakindlust ja mis aitas edasi?”. Spordipäeva ülesandes võib esialgne nõutus tuleneda puuduvatest andmetest; kaaslase pakutud hinnang võib muuta olukorra uuritavaks. Selle seose mõistmiseks tuleb vaadelda üheskoos õpilase sõnu, tegevust ja lahendust.

=== Digivahendid ja tehisintellekt kui uurimissuund ===

CERME14 TWG22 artiklis uurisid Contel ja Cusi, kuidas gümnaasiumiealised õpilased tajuvad GPT-4 tuge probleemilahenduses. Intervjuudel põhinevas uurivas töös analüüsiti üksikasjalikult ühe 15-aastase õpilase juhtumit. Esile tõusis õppija ja keelemudeli vastastikuse kohanemise keerukus, millega tuleb tehisintellekti kasutavate ülesannete kavandamisel arvestada.&lt;ref name=&quot;Contel2025&quot;&gt;Contel, F. ja Cusi, A. (2025). [https://iris.uniroma1.it/handle/11573/1751311 Students’ perspectives on GPT-4’s supported problem solving]. ''Proceedings of CERME14'', TWG22.&lt;/ref&gt;

See avab uurimisküsimuse: millistel tingimustel toetab digivahend õppija enda otsustamist? Näiteks saab võrrelda olukordi, kus õpilane palub valmis lahendust, vihjet või kriitikat oma lahendusele. Hinnata tuleks ka seda, mida õpilane suudab hiljem iseseisvalt teha. Uuriv juhtumiuuring aitab küsimusi täpsustada, kuid ei tõesta veel tehisintellekti kasutamise üldist õpiefekti.

=== Mida neist uuringutest LAHEMATE jaoks õppida? ===

LAHEMATE kirjandusülevaate ja CERME materjalide põhjal on põhjendatud uurida koos kolme asja: '''mida õpilane oskab, kuidas ta lahendab ja kuidas ta lahendamist kogeb'''. Neile lisandub õpetamise kirjeldus: milline ülesanne anti, millist tuge pakuti ja kuidas arutelu toimus.

Eri andmeallikad vastavad eri küsimustele. Test näitab sooritust, küsimustik õppija hinnangut ning vaatlus tegevust konkreetses olukorras. Nende ühendamine aitab selgitada ka näilist vastuolu: õpilane võib muutuda julgemaks katsetajaks enne, kui paraneb tema testitulemus. Sellise võimaliku arengutee kinnitamiseks on vaja korduvaid mõõtmisi ja protsessiandmeid; üksikust õnnestunud tunnist ei piisa.

=== Viited ===

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>3oc7mx99tzomdm1t99gqm2twqi5jtad</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>2.2.Õpetajate ettevalmistus probleemilahenduse õpetamiseks</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4260</id>
    <revision>
      <id>20335</id>
      <timestamp>2026-09-27T15:27:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>Uus lehekülg: 'XX'</comment>
      <origin>20335</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2" sha1="3qlttotd8n0iwxvwgntpetkjpvj0y4h" xml:space="preserve">XX</text>
      <sha1>3qlttotd8n0iwxvwgntpetkjpvj0y4h</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20337</id>
      <parentid>20335</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T15:31:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20337</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13299" sha1="sbzf548d6h5lnpqd4ucgyuaczucgiqj" xml:space="preserve">Probleemilahenduse õpetamine eeldab õpetajalt oskust valida ülesandeid, tõlgendada õpilaste mõtlemist ning otsustada, millal ja kuidas õppimist toetada. Õpetaja peab suutma töötada ka olukorras, kus õpilased kasutavad ootamatuid lahendusviise või jõuavad eri tulemusteni. Selliseks õpetamiseks valmistumine hõlmab matemaatilisi ja didaktilisi teadmisi, praktilist harjutamist ning oma uskumuste ja tegevuse analüüsi.

=== LAHEMATE kirjandusülevaate tulemused ja soovitused ===

LAHEMATE kirjandusülevaate teine uurimisküsimus käsitles õpetajate ettevalmistamist probleemilahenduse juhendamiseks ning uuenduslike praktikate levikut ja juurdumist. Alapeatükis 2.5.2 koonduvad tulemused nelja põhiteema ümber. Ülevaade pakub lähtekohti õpetajakoolituse kavandamiseks; kaardistava ülevaatena ei võimalda see võrrelda kõigi käsitletud koolitusmudelite mõju suurust.&lt;ref name=&quot;LAHEMATE_RQ2&quot;&gt;Laanpere, M., Mädamürk, K. ja Kraav, T. [https://drive.google.com/file/d/1BZsyAa7pbLRFaS0MHasIkRW2jPqGSHTA/view LAHEMATE kirjanduse ülevaade], alapeatükk 2.5.2.&lt;/ref&gt;

* '''Õpetajate uskumused ja professionaalne õppimine.''' Ülevaates käsitletud Korthageni ning Handali ja Herringtoni tööd aitavad mõista, kuidas varasemad kogemused, emotsioonid ja arusaamad õpetaja rollist mõjutavad uute ideede tõlgendamist. Õpetaja, kes peab oma peamiseks ülesandeks arusaadavat ettenäitamist, võib kogeda ebakindlust, kui õpilased peavad lahendusviisi ise leidma.
* '''Praktikaga seotud professionaalse arengu mudelid.''' Ülevaade tõstab esile pikemaajalise toe, mentorluse, tagasiside ning koolituse ja klassiruumikatsetuste ühendamise. Õpetajale on oluline võimalus uut tegevust proovida, selle tulemusi analüüsida ja järgmises tunnis midagi teadlikult muuta.
* '''Probleemilahendus ja matemaatiline mõtteviis õpetaja arengus.''' Boaleri ja kolleegide ning Leshini ja kolleegide uuringute käsitlus osutab, et avatud ülesannete kasutamine ja õpilaste koostöö korraldamine võivad rakenduda teisiti kui eksimuste ning pingutuse järjekindel väärtustamine. Meetodi eri osad vajavad koolituses eraldi tähelepanu.
* '''Praktikakogukonnad ja uuenduste levik.''' Ühised ülesanded, õpilastööd ja tunnisalvestised võimaldavad õpetajatel arutada konkreetseid õpetamisotsuseid. Kolleegide ja kooli tugi aitab siduda katsetused igapäevase tööga ning vähendada sõltuvust üksikust koolituspäevast või eestvedajast.

Nende teemade põhjal sõnastati LAHEMATE projektile viis soovitust:&lt;ref name=&quot;LAHEMATE_RQ2&quot; /&gt;

# '''Kavandada täienduskoolitus pikemaajalise arenguteena.''' Käsitleda õpetajate ootusi, kahtlusi ja arusaamu probleemilahendusest koos praktiliste õpetamisvõtetega.
# '''Luua püsivad õpetajate-uurijate praktikakogukonnad.''' Korraldada regulaarselt kogemuste arutamist ja õppematerjalide kaasloomet.
# '''Siduda koolitus disaini ja uurimisega.''' Kavandada ülesandeid ja tunde, katsetada neid, koguda õppimise kohta teavet ning teha selle põhjal muudatusi.
# '''Pakkuda järjestikuseid katsetamisfookusi.''' Anda õpetajatele võimalus keskenduda korraga jõukohasele muutusele, säilitades arusaama meetodi tervikust.
# '''Kavandada levik ja kestlikkus.''' Toetada mentorite kujunemist, kogemuste dokumenteerimist ning loodud materjalide edasist kasutamist koolides.

Euroopa matemaatikahariduse uuringutes käsitlevad neid küsimusi üksteist täiendavalt '''TWG18''' ehk õpetajahariduse ja professionaalse arengu, '''TWG19''' ehk õpetamise ja õpetamispraktikate ning '''TWG20''' ehk õpetaja teadmiste, uskumuste ja identiteedi töörühmad. Järgnevad näited keskenduvad CERME14 ehk 2025. aasta konverentsi uuringutele ning neid täiendavale Boaleri lähenemise rakendusuuringule.

=== Õpetajate õppimine algab tegelikest õpetamisprobleemidest ===

TWG18-s ilmunud Bjulandi, Fauskangeri, Mosvoldi ja Liljedahli uuring käsitleb Norra õpetajate ja õpetajakoolitajate koostööd projektis ''Partners in Practice''. Artiklis analüüsiti kolme 8. klassi õpetaja ja ühe õpetajakoolitaja rühmaarutelu. Esile tulid pinged tavapäraste harjutuste ja probleemülesannete kasutamise ning koolitajate ettepanekute ja õpetajate igapäevaste vajaduste vahel.&lt;ref name=&quot;Bjuland2025&quot;&gt;Bjuland, R., Fauskanger, J., Mosvold, R. ja Liljedahl, P. (2025). [https://hal.science/hal-05284361 Tensions emerging when discussing tasks for problem-solving lessons]. ''Proceedings of CERME14'', 2907–2914, TWG18.&lt;/ref&gt;

Õpetajad soovisid ülesandeid, mis seostuksid parasjagu õpetatava teemaga. Koolitajate pakutud probleemid ei vastanud alati sellele ootusele. Samuti arutati, kas õpilased peavad vajalikud reeglid enne uurimist omandama või võivad õppida neid probleemi lahendades. Uuringu praktiline väärtus seisneb nende pingete nähtavaks tegemises: õpetajate kõhklused annavad teavet selle kohta, millist tuge nad vajavad.

'''Näide koolituselt.''' Õpetaja ütleb: „Mul on praegu protsendid ja kontrolltöö läheneb.” Koolitusrühm võib koostada ülesande „Kauplus tõstab hinda 20% ja alandab seejärel 20%. Kas hind taastub?”. Õpetajad lahendavad selle arvuliselt, joonisega ja avaldise abil ning kavandavad küsimused erinevate õpilaslahenduste arutamiseks. Nii saab uurimuslikku õpetamist harjutada käsil oleva õppesisu kaudu.

Koolitaja ülesanne on aidata õpetajal oma muret täpsustada: kas takistuseks on ajapuudus, ülesande matemaatika, õpilaste eelteadmised või ebakindlus arutelu juhtimisel? Need probleemid vajavad erinevat tuge.

=== Õpilaste mõtlemise märkamine ja õpetamisotsuste harjutamine ===

TWG19-s analüüsisid Mosvold, Fauskanger, Bjuland ja Liljedahl, mida hõlmab õpilaste mõtlemise jälgimine probleemilahenduse ajal. Nad uurisid õpilasrühma arutelu, millesse õpetaja ei sekkunud, ning kaardistasid võimalikud õpetamisülesanded. Tegemist oli kontseptuaalse analüüsiga: uuring ei võrrelnud erinevate sekkumiste õpiefekti.&lt;ref name=&quot;Mosvold2025&quot;&gt;Mosvold, R., Fauskanger, J., Bjuland, R. ja Liljedahl, P. (2025). [https://hal.science/hal-05287334 Explicating the work of monitoring students’ mathematical thinking]. ''Proceedings of CERME14'', 3272–3279, TWG19.&lt;/ref&gt;

Analüüs hõlmas matemaatiliste ideede kõrval õpilaste ebakindlust, enesekohaseid hinnanguid ja rühmasuhteid. Õpetajal tuleb otsustada, kas küsida täpsustust, tunnustada mõnd panust, lasta uurimisel jätkuda või pöörduda hiljem kogu klassiga olulise küsimuse juurde. Vaikiv vaatlemine võib seega sisaldada ulatuslikku professionaalset otsustamist.

'''Näide videopõhisest koolitusest.''' Salvestis peatatakse hetkel, mil õpilane ütleb: „Ma pole matemaatikas tark, ma ei oska.” Õpetajad kirjeldavad esmalt nähtut ja kuuldut, seejärel pakuvad võimalikke tõlgendusi ning sõnastavad järgmise sekkumise. Üks võimalus on küsida: „Millise seose sa juba leidsid? Näita seda teistele.” Arutatakse, kuidas vastus võiks toetada nii matemaatilist mõtlemist kui ka õpilase osalemist.

Selline harjutus sobib nii õpetajate esmaõppesse kui ka täienduskoolitusse. Esmaõppes saab õpetamisotsuseid proovida kaaslastega läbimängitud olukordades; tegevõpetajad saavad analüüsida oma tundide episoode.

=== Uskumused ja õpetamiseks vajalikud teadmised ===

TWG20 vaatenurk aitab selgitada, miks sama koolitus võib eri õpetajate puhul viia erinevate muutusteni. Õpetaja teadmised, uskumused ja professionaalne identiteet on omavahel seotud: oluline on nii see, mida õpetaja teab, kui ka see, millist õpetamist ta peab võimalikuks ja enda ülesandeks. Töörühma 2025. aasta ülevaade tõstab esile just nende seoste ja konteksti uurimise.&lt;ref name=&quot;TWG20_2025&quot;&gt;Martignone, F., Montes, M., Ribeiro, M., Ferretti, F., Hubeňáková, V., Kennedy, N. S. ja Karlsson, J. (2025). [https://doi.org/10.4171/MAG/249 Thematic Working Group on Mathematics Teacher Knowledge, Beliefs and Identity, TWG20]. ''EMS Magazine'', 135, 56–58.&lt;/ref&gt;

Schreiberi CERME14 uuringus küsiti 57 õpetajalt, milliseid teadmisi nad peavad tekstülesannete õpetamisel oluliseks. Õpetajad omistasid sama teadmiste valdkonna eri osadele erinevat tähtsust.&lt;ref name=&quot;SchreiberCERME&quot;&gt;Schreiber, I. (2025). [https://erme.site/wp-content/uploads/2026/04/ProceedingCerme14.pdf#page=3527 Teachers’ beliefs regarding the knowledge they need to teach word problems in middle school]. ''Proceedings of CERME14'', 3489–3496, TWG20.&lt;/ref&gt; Sama uurimissuuna ajakirjaartiklis selgus, et õpetajad lahendasid ülesandeid õigesti, kuid nende teadmised muudest õpetamiseks vajalikest komponentidest olid osalised, eriti õpilaste raskuste ja eksimuste mõistmisel.&lt;ref name=&quot;Schreiber2025&quot;&gt;Schreiber, I. (2025). [https://doi.org/10.1007/s44217-025-00479-6 Teaching mathematical word problem-solving in middle school: teachers’ knowledge and their associated self-efficacy and beliefs]. ''Discover Education'', 4, 85.&lt;/ref&gt;

'''Näide õpetaja ettevalmistusest.''' Õpilane väidab, et järjestikused 20% hinnatõus ja hinnalangus tühistavad teineteise. Õpetaja ettevalmistus hõlmab siin mitut ülesannet: leida õige tulemus, mõista õpilase mõttekäiku, valida sobiv esitus ja esitada küsimus, mis aitab märgata protsendi arvutamise aluse muutumist. Näiteks: „Millisest hinnast arvutatakse esimene ja millisest teine 20%?”

Koolituse vajaduste väljaselgitamisel tasub seetõttu ühendada õpetaja enesehinnang konkreetsete ülesannete ja õpilaslahenduste analüüsiga.

=== Boaleri lähenemise omaksvõtt: eri praktikad muutuvad erinevalt ===

LAHEMATE ülevaates käsitletud Leshini, LaMari ja Boaleri uuring täiendab CERME materjale otsese näitega matemaatilise mõtteviisi lähenemise rakendamisest. Seitsme USA koolipiirkonna õpetajad õpetasid suvelaagrites uurimispõhise õppematerjali abil. Uurijad analüüsisid videoid, õpetajate materjale ja intervjuusid ning käsitlesid praktikate kasutamist ka järgneval õppeaastal.&lt;ref name=&quot;Leshin2024&quot;&gt;Leshin, M., LaMar, T. ja Boaler, J. (2024). [https://doi.org/10.3390/educsci14111229 Teachers’ Mixed Implementation of Mindset Mathematics Practices During and After a Novel Approach to Teacher Learning]. ''Education Sciences'', 14(11), 1229.&lt;/ref&gt;

Õpetajad rakendasid avatud ülesandeid, võimaldasid koostööd ja esitasid põhjendamist nõudvaid küsimusi. Vähem järjekindlalt käsitleti eksimusi ühise uurimise võimalusena ning toetati õpilaste toimetulekut raskustega. Intervjuude põhjal näis õpetajaid motiveerivat õpilaste arutlemise ja kaasatuse vahetu nägemine. Tavaklassi naastes kirjeldati takistusena muu hulgas õppekava läbimise survet. Õppeaegset rakendamist puudutavaid enesekohaseid andmeid tuleb siiski eristada vaadeldud praktikast.

Sellest saab LAHEMATE jaoks tuletada konkreetse koolitusfookuse: järgmises katsetunnis jälgib õpetaja, mida ta teeb õpilase eksimuse korral. Kas ta parandab vea kohe või aitab rühmal uurida, milline eeldus lahenduseni viis? Muutuse hindamiseks on vaja kirjeldada tegelikku tegevust.

=== Teiste uuenduste kogemus: positiivne hinnang ja rakendamine ===

Morina ja Vondrová CERME14 TWG19 uuring käsitles SIMPLE-lähenemist, mis ühendab tekstülesannete visuaalsed ribamudelid, metakognitiivsed lahendussammud ja õppijakeskse õpetamise. Kolmes disainiuuringu tsüklis osales kolm Kosovo õpetajat; andmeid koguti vaatluste, intervjuude ja tunnisalvestistega.&lt;ref name=&quot;Morina2025&quot;&gt;Morina, Q. ja Vondrová, N. (2025). [https://erme.site/wp-content/uploads/2026/04/ProceedingCerme14.pdf#page=3302 Implementing the SIMPLE approach: A study on teacher fidelity and perceptions in Kosovo classrooms]. ''Proceedings of CERME14'', 3264–3271, TWG19.&lt;/ref&gt;

Kõik õpetajad hindasid lähenemist positiivselt, kuid rakendasid selle osi erinevalt. Ühel õpetajal oli vaja põhjalikumalt omandada ribamudel ning muuta ka harjumuspärast õpetamisviisi; teiste senine praktika sobis uue lähenemisega paremini. Koolitust täiendati tsüklite vahel. Uuring näitab, miks meetodi heakskiitu ei saa samastada selle sisulise omaksvõtuga. Kolme juhtumi põhjal ei saa aga järeldada, kui sageli sellised erinevused õpetajaskonnas esinevad.

=== Koolitusest kestva praktikani ===

Nende uuringute põhjal võib LAHEMATE õpetajate õppimise korraldada korduvate tsüklitena. Järgnev on käsiraamatu rakendusettepanek:

# '''Lahenda ja kavanda.''' Õpetajad lahendavad ülesande mitmel viisil, ennustavad õpilaste ideid ning valivad ühe õpetamisoskuse, mida harjutada.
# '''Katseta ja dokumenteeri.''' Tunnis kogutakse valitud fookuse kohta mõni õpilastöö, vaatlusmärge või lubatud salvestis.
# '''Analüüsi koos.''' Kolleegid seostavad õpetaja otsused õpilaste tegevusega ning kaaluvad alternatiive.
# '''Kohanda ja korda.''' Järgmises tunnis katsetatakse põhjendatud muudatust ning võrreldakse kogemusi.

Meetodi leviku hindamisel tasub jälgida eraldi esmast proovimist, korduvat kasutamist ja püsimist pärast projekti toe vähenemist. Jagatav tunnikava muutub teistele õpetajatele väärtuslikumaks, kui sellele lisanduvad õpilaslahendused, keeruliseks osutunud õpetamisotsused ja katsetuse põhjal tehtud muudatused. Nii saavad kolleegid õppida nii tulemusest kui ka selle kujunemisest.

=== Viited ===

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>sbzf548d6h5lnpqd4ucgyuaczucgiqj</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>3.Singapuri koolkond: Toh jt MProSE lähenemine</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4261</id>
    <revision>
      <id>20336</id>
      <timestamp>2026-09-27T15:30:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>Uus lehekülg: 'xx'</comment>
      <origin>20336</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2" sha1="pvdlt3bj3ynzfpa9ss7azcyj2lghcko" xml:space="preserve">xx</text>
      <sha1>pvdlt3bj3ynzfpa9ss7azcyj2lghcko</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20339</id>
      <parentid>20336</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T15:46:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20339</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14438" sha1="pi10er579te0qdwkxkyg1hygwek5x09" xml:space="preserve">xx

```mediawiki
== 2.3. Tõenduspõhine probleemilahenduse õpetamise metoodika ==

Eelmistes alapeatükkides käsitlesime probleemilahenduse uurimissuundi ja õpetajate ettevalmistust. Siin keskendume küsimusele, kuidas jõuavad teadusuuringutes kirjeldatud põhimõtted igapäevasesse matemaatikatundi. Hea probleemülesanne ja põhjalik tunnikava loovad õppimiseks võimaluse, kuid tegelik õppimine sõltub sellest, kuidas õpetaja ülesande esitab, õpilaste mõtlemist toetab ja lahenduste arutelu korraldab.

'''Tõenduspõhine õpetamine''' eeldab uurimistulemuste sidumist õpetaja professionaalse otsustamise ning konkreetsete õpilaste õppimise kohta kogutud teabega. Seejuures tuleb eristada kolme küsimust: kas meetodit rakendati kavandatud viisil, kas õpilased osalesid soovitud matemaatilistes tegevustes ning kas nende oskused arenesid. Ühele küsimusele vastamine ei anna automaatselt vastust ülejäänutele.

=== LAHEMATE kirjandusanalüüs: ülesande kavandamisest õppimise hindamiseni ===

LAHEMATE kirjandusanalüüsi alapeatükk 2.5.3 käsitleb probleemülesannete kavandamist, püstitamist, kohandamist ja hindamist. Analüüsi keskne järeldus on, et ülesande didaktiline väärtus kujuneb selle omaduste ja kasutamisviisi koosmõjus. Ülevaatest eristub neli omavahel seotud põhiteemat.&lt;ref name=&quot;LAHEMATE&quot;&gt;Laanpere, M., Mädamürk, K. ja Kraav, T. [https://drive.google.com/file/d/1BZsyAa7pbLRFaS0MHasIkRW2jPqGSHTA/view LAHEMATE kirjandusanalüüs], alapeatükk 2.5.3 „Matemaatiliste probleemilahendusülesannete kavandamine, püstitamine ja hindamine ning nende seos õppijate probleemilahendusoskuse arenguga“.&lt;/ref&gt;

'''1. Probleemülesanne kui teadlikult kavandatud õppimisvõimalus.''' Ülevaates käsitletud ülesandedisaini uuringud rõhutavad tähenduslikkust, erinevate lahendusstrateegiate võimalikkust ja mõtlemist nõudvat väljakutset. Õpetaja peab arvestama ka sellega, kas ülesande nõudlikkus säilib lahendamise ajal. Kui ta annab esimese raskuse korral ette kõik vajalikud sammud, võib probleem muutuda tavaliseks harjutuseks. See ei tähenda, et igal heal probleemil peaks olema mitu õiget vastust: ka ühe vastusega ülesanne võib nõuda strateegia valimist, uurimist ja põhjendamist.

'''2. Probleemipüstitus kui lahendamise jätk.''' Singeri ja Voica käsitlustele toetudes toob ülevaade esile ülesande tingimuste muutmise, uute küsimuste esitamise ja seoste uurimise. Õpilane võib pärast lahendamist küsida: „Millal minu lahendus enam ei kehti?“ või „Mis muutub, kui üks tingimus ära jätta?“ Selline tegevus vajab eesmärki ja tuge, et uute ülesannete koostamine ei piirduks arvude juhusliku asendamisega.

'''3. Kohandamine ja diferentseerimine.''' Baumannsi ja Rotti uuringute käsitlus juhib tähelepanu õppijale antavate vabaduste ja piirangute mõjule. Diferentseerimine võib seisneda sobiva esituse, abivahendi või suunava küsimuse pakkumises. See ei pea tähendama matemaatilise väljakutse eemaldamist. Seos Schoenfeldi raamistikuga ilmneb küsimustes, mis aitavad õpilasel oma tegevust jälgida: „Mida sa praegu proovid?“ ja „Kuidas saad kontrollida, kas see viib eesmärgini?“

'''4. Lahenduste arutelu ja kujundav hindamine.''' Smithi ja Steini viie praktika raamistik aitab õpetajal võimalikke lahendusi ette näha, lahendamist jälgida, aruteluks lahendusi valida, neid järjestada ja omavahel seostada. Nii muutub õpilaste töö materjaliks, mille abil uurida strateegiaid ja põhjendusi. Õige vastuse kõrval muutub nähtavaks see, kuidas õpilane selleni jõudis.

Nendest tulemustest sõnastab LAHEMATE ülevaade viis soovitust:&lt;ref name=&quot;LAHEMATE&quot; /&gt;

# '''Seada probleemülesanded õpetajate õppimise keskmesse:''' analüüsida, katsetada ja täiendada konkreetseid ülesandeid.
# '''Toetada ülesannete ühist kavandamist:''' põhjendada kohandusi ning dokumenteerida, mida need õpilaste mõtlemises esile kutsusid.
# '''Käsitleda koos ülesandega selle kasutamist:''' kavandada juhendamine ning lahenduste kogumine, valimine, järjestamine ja võrdlemine.
# '''Siduda probleemilahendus kujundava hindamisega:''' anda tagasisidet strateegiatele, põhjendustele ja lahendamise juhtimisele.
# '''Muuta ülesanded ja katsetamiskogemused jagatavaks teadmiseks:''' koguda materjale koos kasutuskogemuste ja refleksioonidega.

Tegemist on kirjandust kaardistava sünteesiga. Soovitused annavad põhjendatud suuna õpetamise arendamiseks, kuid ei tõenda, et iga avatud ülesanne või iga kirjeldatud töövõte parandab kõigis klassides õpitulemusi.

'''Näide: ristkülikukujuline kooliaed.''' Õpilaste ülesanne on uurida, millise ristküliku pindala on suurim, kui aia ümbermõõt on 24 meetrit. Algul võib piirduda täisarvuliste küljepikkustega. Mõni õpilane joonistab, teine koostab tabeli, kolmas kasutab avaldist. Õpetaja saab küsida: „Kuidas tead, et oled kõik lubatud võimalused läbi vaadanud?“ Edasi võivad õpilased uurida, mis muutub murdarvuliste pikkuste lubamisel või juhul, kui aia üks külg paikneb vastu hoone seina. Ühises arutelus võrreldakse nii tulemusi kui ka nende põhjendamise viise.

=== Meetoditruudus: mida peab kohandamisel säilitama? ===

CERME töörühm TWG23 uurib matemaatikahariduse teadustulemuste rakendamist praktikasse. Üks keskseid mõisteid on '''rakendamise truudus ehk meetoditruudus''' (''fidelity of implementation''): kuivõrd säilivad rakendamisel uuenduse olulised koostisosad.

Mark Boylan eristab CERME14 artiklis kaht vaatenurka: '''truudus kavandatud ülesehitusele''' (''fidelity to design'') ning '''truudus aluseks olevale teooriale''' (''fidelity to theory''). Esimene puudutab kavandatud tegevuste, struktuuri ja protsesside järgimist. Teine küsib, kas säilivad põhimõtted ja eeldatavad toimemehhanismid, mille kaudu tegevused peaksid õppimist toetama. Boylan näitlikustab eristust nelja Inglismaa matemaatikaharidusprogrammi abil.&lt;ref name=&quot;Boylan&quot;&gt;Boylan, M. (2025). The implementation of mathematics education programmes: fidelity to design and fidelity to theory. ''Proceedings of CERME14'', lk 3805–3812. [https://erme.site/wp-content/uploads/2026/04/ProceedingCerme14.pdf#page=3843 Täistekst kogumikus].&lt;/ref&gt;

Sellest vaatenurgast ei ole kohandamine tingimata meetoditruuduse vastand. Kui meetodi toimimise eelduseks on õpilaste strateegiavalik ja lahenduste võrdlemine, võib ülesande konteksti muutmine neid põhimõtteid säilitada. Lahenduskäigu täielik etteandmine võib need aga kõrvaldada isegi siis, kui kasutatakse algset töölehte.

Järgmised näited illustreerivad üldist probleemilahendusõpetust; need ei asenda konkreetse meetodi truudusmaatriksit.

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Õpetaja muudatus
! Mida tuleks uurida?
|-
| Kooliaia ülesanne seotakse õpilastele tuttava mänguväljaku kavandamisega.
| Kas matemaatiline probleem ja õpilaste võimalus strateegiat valida säilisid?
|-
| Raskustesse sattunud rühmale antakse ruudupaber või palutakse joonistada üks võimalik ristkülik.
| Kas abi võimaldas õpilastel ise edasi mõelda?
|-
| Õpilastele antakse ette kõik ristkülikud, arvutused ja järeldus.
| Kas uurimisülesanne muutus etteantud tegevuste täitmiseks?
|}

Boylani käsitlus aitab täpsustada hindamise alust, kuid ei tõenda iseenesest ühe rakendamisviisi suuremat tulemuslikkust. Iga meetodi puhul tuleb põhjendada, millised koostisosad on selle toimimiseks kesksed.

=== Mida näitavad õpetajate tehtud kohanduste uuringud? ===

'''Meetodi sisuline omaksvõtt võib avalduda uute tegevuste loomises.''' Hanna Palmér, Jessica Elofsson ja Camilla Björklund uurisid Rootsi alushariduses matemaatikaõpetuse uuenduse rakendamist. Intervjuude ja videomaterjali analüüs näitas, et etteantud tegevuste jäik kordamine võis sattuda vastuollu uuenduse põhimõtetega, kui õpetaja ei reageerinud laste mõtlemisele. Kohanduste hindamisel oli oluline vaadata, kas säilisid matemaatilised põhikomponendid, näiteks esituste kasutamine ja osa-terviku seoste käsitlemine.&lt;ref name=&quot;Palmer&quot;&gt;Palmér, H., Elofsson, J. ja Björklund, C. (2025). Success in implementation in early mathematics education – Fidelity and/or adaptation? ''Proceedings of CERME14'', lk 3861–3868. [https://erme.site/wp-content/uploads/2026/04/ProceedingCerme14.pdf#page=3899 Täistekst kogumikus].&lt;/ref&gt;

Eesti põhikooli jaoks on ülekantav eeskätt uurimispõhimõte: õpetaja suutlikkus koostada uus, sama õppimiseesmärki teeniv tegevus võib anda meetodi mõistmise kohta rohkem teavet kui näidisülesande kordamine. Rootsi alushariduse tulemusi ei saa siiski otse käsitada põhikooli probleemilahendusõpetuse mõjuhinnanguna.

'''Kohandusi kujundavad õpilaste vajadused, ajapiirangud ja hindamine.''' Julia Tsygan uuris nelja kogenud õpetaja tööd matemaatilist kommunikatsiooni toetava MUSK-mudeliga. Selle keskmes olid probleemilahendamise ja lahenduse esitamise eristamine, lahenduse kirjutamine puudunud kaasõpilasele ning õpilaste arutelu hea matemaatilise selgituse tunnuste üle. Õpetajad kohandasid ülesandeid ja töökorraldust ning lisasid kaaslase tagasisidet ja lahenduste ümberkirjutamist, säilitades mudeli põhikomponendid.&lt;ref name=&quot;Tsygan&quot;&gt;Tsygan, J. (2025). Research-designed, teacher-refined: making sense of teachers’ adaptations of an instructional innovation. ''Proceedings of CERME14'', lk 3877–3884. [https://erme.site/wp-content/uploads/2026/04/ProceedingCerme14.pdf#page=3915 Täistekst kogumikus].&lt;/ref&gt;

Uuring selgitas kohanduste põhjusi ja nende seost mudeli kasutatavusega. Õpilaste kommunikatsioonioskuse arengut selles uuringus ei mõõdetud, mistõttu ei saa järeldada, et tehtud muudatused suurendasid õppimise tulemuslikkust.

'''Näide: lahendus puudunud klassikaaslasele.''' Pärast kooliaia ülesande lahendamist kirjutavad õpilased selgituse kaaslasele, kes tunnis ei osalenud. Teine paar märgib koha, kus põhjendus jääb ebaselgeks: „Miks piisas just nende ristkülikute võrdlemisest?“ Autorid täiendavad lahendust. Õpetaja võib muuta ülesande konteksti või lubada kasutada joonist, kuid säilitada selgitamise, tagasiside ja parandamise. Nii toetab kohandus mudeli keskset eesmärki.

=== Kuidas jõuab õnnestunud katsetus tavapärasesse õpetamisse? ===

Uuenduse levikut ei saa hinnata ainult koolitatud õpetajate või jagatud töölehtede arvu järgi. Linda Marie Ahl ja kaasautorid analüüsivad CERME14 artiklis matemaatikahariduse uuenduste rakendamist eri ulatuses, toetudes varasemale süstemaatilisele kirjandusülevaatele. Väikeses arendusprojektis saavad õpetajad sageli tihedat tuge meetodi loojatelt. Laiema leviku korral tuleb see tugi korraldada teisiti: vaja on kasutatavaid materjale, juhendajaid, aega ja järjepidevat koostööd.&lt;ref name=&quot;Ahl&quot;&gt;Ahl, L. M., Jankvist, U. T., Prytz, J. ja Ratnayake, I. (2025). What Works? Implementing Innovations on Small, Medium, and Large Scale. ''Proceedings of CERME14'', lk 3845–3852. [https://erme.site/wp-content/uploads/2026/04/ProceedingCerme14.pdf#page=3883 Täistekst kogumikus].&lt;/ref&gt;

LAHEMATE jaoks tähendab see vajadust küsida, milline osa katsetundide õnnestumisest sõltub projekti pakutavast toest. Kui õpetaja vajab iga tunni eel uurijaga pikka nõupidamist, ei pruugi üksnes tunnikava avaldamine võimaldada sama praktikat laiemalt kasutada.

Jason Cooperi ja Boris Koichu uurimus käsitleb õpetajate vabatahtlikku matemaatikaklubi pärast projekti rahastuse lõppu. Ühe kohtumise analüüsis ilmnesid õpetajate valmisolekut toetavad protsessid: ülesannete kohandamine, võimalike õpilasreaktsioonide arutamine ja õpetaja tegutsemisvõimaluste avardumine. Samal ajal jäi tegelik klassiruumis rakendamine analüüsitud materjalis piiratuks.&lt;ref name=&quot;Cooper&quot;&gt;Cooper, J. ja Koichu, B. (2025). Post-funding implementation—Attending to teachers’ readiness. ''Proceedings of CERME14'', lk 3813–3820. [https://erme.site/wp-content/uploads/2026/04/ProceedingCerme14.pdf#page=3851 Täistekst kogumikus].&lt;/ref&gt;

See eristus on oluline ka praktikakogukondade hindamisel: sisukas arutelu võib valmistada muutust ette, kuid õpetamise muutumise tõendamiseks tuleb vaadata ka tunde ja õpilaste töid.

=== Soovitused LAHEMATE tundide kavandamiseks ja analüüsimiseks ===

Eelnevate uuringute põhjal võiks LAHEMATE truudusmaatrikseid kasutada õpetaja ja uurija ühise arutelu alusena. Boaleri, Liljedahli ja MProSE lähenemiste puhul tuleb iga kriteerium siduda vastava meetodi põhjendusega: '''mida see tegevus peaks õpilase õppimises esile kutsuma?''' Väliselt sarnane tegevus, näiteks rühmatöö, võib eri tundides täita väga erinevat ülesannet.

Tunni analüüsis on kasulik eristada kolme tasandit.

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Tasand
! Põhiküsimus
! Võimalik tõendusmaterjal
|-
| Kavandatud õpetamine
| Millised meetodi põhimõtted on tunnikavas ja ülesandes esindatud?
| Tunnikava, tööleht, õpetaja põhjendused.
|-
| Tegelik rakendamine
| Mida õpetaja ja õpilased tunnis tegid ning mida kohandati?
| Vaatlus, salvestis, õpilaste lahendused, õpetaja refleksioon.
|-
| Õppimise tulemused
| Millised muutused ilmnevad õpilaste oskustes ja mõtlemises?
| Võrreldavad hindamisülesanded ja põhjenduste analüüs mitmel ajahetkel.
|}

Vestlusrobot võib aidata leida tunnikavast puuduvaid komponente või pakkuda alternatiivseid küsimusi. Tunnikava analüüsi põhjal ei saa see aga kinnitada, et meetod tunnis tegelikult rakendus või õpilased õppisid.

Praktiliseks tööviisiks sobib tsükkel '''kavanda – katseta – kogu tõendeid – aruta – kohanda'''. Enne tundi valitakse üks-kaks vaatlusküsimust, näiteks: „Kas õpilased said oma strateegia valida?“ ja „Kas lõpuarutelus seostati erinevaid lahendusviise?“ Pärast tundi vaadatakse konkreetseid näiteid ning pannakse kirja tehtud muudatus ja selle põhjus. Kui mõne tunnuse kohta andmeid pole, tuleb eristada „ei olnud vaadeldav“ ja „ei toimunud“.

Niisugune analüüs aitab uurida nii õnnestumisi kui ka raskusi. Tagasihoidlik õpitulemus võib olla seotud ülesande, juhendamise, rakendamise kestuse või hindamisviisiga. Ka kõrge meetoditruudus ei taga automaatselt edu. Tõenduspõhine probleemilahendusõpetus areneb siis, kui õpetamise põhimõtted, tegelikud klassiruumi tegevused ja õpilaste õppimise kohta kogutud tõendid on omavahel selgelt seotud.

=== Viited ===

&lt;references /&gt;
```</text>
      <sha1>pi10er579te0qdwkxkyg1hygwek5x09</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20340</id>
      <parentid>20339</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T15:48:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20340</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3749" sha1="18egldw0bxr5ulogltubek9eomjzl6x" xml:space="preserve">Singapuri teadlaste '''Toh jt (2011)''' MProSE-raamistik tugineb Pólya (1945) ja Schoenfeldi (1992) heuristikutele. See pakub süsteemset ja igale õpilasele mõistetavat metoodikat.

'''Neli etappi:'''
# ülesande mõistmine;
# lahenduse kavandamine;
# lahendamine;
# lahenduse analüüs.

Lisaks rõhutatakse metakognitsiooni, matemaatikaoskuste ja hoiakute arendamist ning üldpädevusi. MProSE tugevus on '''struktureeritus''': metoodika sobib nii õpetajakoolitusse kui ka koolipraktikasse ja seob teaduspõhisuse konkreetsete juhiste ja tööriistadega.

'''Näide MProSE veebilehelt:''' tõenäosusülesanne kuuekambrilisest revolvrist, mille kahes järjestikuses pesas on paukpadrunid. Kas pärast esimest tühja lasku on parem kohe päästikule vajutada või silindrit uuesti keerutada? Soovitatavad heuristikud: mängi olukord läbi, joonista skeem, sõnasta probleem teisiti, sea vahe-eesmärgid.

== 1.5 Kolme metoodika sarnasused ja eripära ==
Kõiki kolme käsitlust ühendab '''õppijakeskne ja tõenduspõhine lähenemine'''. Probleemilahendus ei ole nendes üks õpitulemus teiste seas, vaid laiem viis arendada matemaatilist mõtlemist elulistes kontekstides.

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Metoodika !! Peamine fookus !! Märksõnad
|-
| Boaler: ''Mathematical Mindset'' || õpilaste '''uskumused''' ja kasvumõtteviis || madal lävi ja kõrge lagi, vead kui õppimisvõimalus, YouCubed
|-
| Liljedahl: ''Thinking Classroom'' || õppimise '''sotsiaalne ja ruumiline korraldus''' || 14 praktikat, juhuslikud rühmad, vertikaalsed pinnad, kinnijäämine
|-
| Toh jt: MProSE || '''süstemaatiline ja struktureeritud''' lahendusprotsess || Pólya etapid, Schoenfeldi metakognitsioon, õpetaja juhendmaterjalid
|}

Koos moodustavad metoodikad tervikliku raamistiku matemaatikaõpetuseks, mis on '''loov, sügavuti mõtestatud ja kõigile jõukohane'''. LAHEMATE ühendab nende ideed Eesti õppekava ja koolikultuuriga, et luua põhikooli ja gümnaasiumi jaoks kaasaegne, tõenduspõhine ja rakendatav probleemilahenduse metoodika.

=== LAHEMATE üldkontseptsioon (joonis 5) ===
Mudel koosneb kolmest kihist.
* '''Tuum – õpilase probleemilahendusoskused:''' Pólya heuristikute tsükkel (mõistmine → kavandamine → lahendamine → analüüs), mida ümbritsevad matemaatikateadmised, matemaatikaoskused, hoiakud, metakognitsioon ning üldoskused ja -pädevused.
* '''Keskmine kiht – õpetaja tegevused ja teadmised:'''
** ''Õpetaja tegevused:'' probleemülesannete koostamine, tundide kavandamine, õpikeskkonna kujundamine, ülesannete esitamine, toestamine ja juhendamine, orkestreerimine, hindamine ja refleksioon, analüüs, uurimine ja kogukonnas jagamine.
** ''Õpetaja teadmised:'' probleemülesanded ja ülesannete keerukus, matemaatikauskumus (Boaler), matemaatiline mõtlemine ja paindlik õpitee (Liljedahl), isemääramisteooria.
* '''Välimine kiht – levitamine:'''
** ''Struktureeritud koolitused:'' õpetajakoolituse esmaõpe ja täienduskoolitus;
** ''Metoodilised juhised:'' käsiraamat, näidistunnikavad ja ülesanded, juhtumiuuringud ja analüüsid;
** ''Õpetajate looming:'' õpetajate loodud tunnikavad, ülesannete pank, ettekanded;
** ''Iseeneslik levik (difusioon):'' õpetajate-uurijate võrgustik, saadikud ja paarismentorid, konverentsid.

== Viited ==
* Pólya, G. (1945). ''How to Solve It''. Princeton University Press. (e.k. „Kuidas seda lahendada“, Valgus, 2001)
* Schoenfeld, A. H. (1992). On paradigms and methods. ''The Journal of the Learning Sciences'', 2(2), 179–214.
* Toh, T. L., Quek, K. S., Leong, Y. H., Dindyal, J., &amp; Tay, E. G. (2011). ''Making Mathematics Practical: An Approach to Problem Solving''. World Scientific.

[[Kategooria:LAHEMATE]]
[[Kategooria:Probleemilahendus]]</text>
      <sha1>18egldw0bxr5ulogltubek9eomjzl6x</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20341</id>
      <parentid>20340</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T16:50:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20341</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14011" sha1="po80w7diqx1ae6agny1d3cxwlfs1q9s" xml:space="preserve">= 3. Singapuri koolkond: Toh jt MProSE lähenemine =

== 3.1. Taust ja teoreetiline raamistik ==

Probleemilahendus on olnud Singapuri riiklikus matemaatika ainekava keskmes juba 1990ndatest aastatest alates, kuid klassiruumides taandus see sageli üksikute heuristikute automaatseks rakendamiseks või võistlusülesannete treeninguks, mille käigus kadus matemaatilise mõtlemise protsess (eriti metakognitsioon) vaateväljast. MProSE (ja selle jätkuprojekt MInD) kavandati selle lõhe ületamiseks: vaja oli mitte luua veel ühte uut teooriat, vaid töötada välja ja viia ellu praktilised võtted olemasoleva Polya ja Schoenfeldi raamistiku ellurakendamiseks koolipraktikas. Schoenfeldile kuulub nimelt üks kuulus tõdemus ja üleskutse: probleemilahenduse teooria on lõpuni välja arendatud, nüüd oleks vaja teha rasket ja kuulsusetut tööd selle laiapõhjaliseks rakendamiseks igas klassiruumis („''the theory had been worked out… now do the hard and unglamorous work''”) .

MProSE sai tegelikult alguse samal moel kui meie LAHEMATE - haridusministeeriumi tellitud rakendusuuringuna, mille metoodiliseks lähenemiseks valiti pedagoogiline disainieksperiment. See koosnes mitmest iteratiivsest etapist, milles alustati idee genereerimisest, selle põhjal  prototüübi loomisest ja katsetamisest koolides, millega kaasnes põhjalik uuring ja selle tulemuste põhjal sisendi loomine järgmisele iteratsioonile. Oluline on disaini-teooria-praktika ühtsuse saavutamine, millesse panustavad võrdselt ja koostöös nii õppedisainerid, uurijad kui ka kogenud õpetajad ja kus tasakaalustatakse teaduspõhine süsteemsus koolitegelikkuse piirangutest lähtuva paindliku kohandamisega. Esmane MProSE katsetus toimus „parima juhtumi“ koolis (IP-kool), seejärel infusioon samas koolis ja difusioon eri profiiliga koolides .

Nagu plaanitud, ei üritanud MProSE metoodika leiutada midagi uut ja erilist probleemilahenduse teoorias. Selle asemel toetuti kahele olemasolevale mudelile:

# Pólya neljaastmeline probleemilahenduse mudel (mõista → kavanda → lahenda → kontrolli/üldista) on MProSE puhul metoodika selgrooks.
# Schoenfeld laiendas Pólya mudelit õpetajapoolse juhendamise elementidega: õpetaja suunab teadlikult peatusi, kontrollküsimusi ja lahendusstrateegiate valikut. Lisaks pöörab Schoenfeld tähelepanu õpilaste metakognitiivsete oskuste arendamisele probleemilahenduse käigus.

Mõlemad raamistikud on MProSE’s õpetajate ja õpilaste poolt järgitavad juhised, mitte lihtsalt lõdvalt seotud taustateave.

== 3.2. Ülesanded ja materjalid: „üks probleemülesanne kui praktikum“ ==

MProSE tõi koolimatemaatikasse analoogi loodusteadlastele omasest laboripraktikumist: ühes tunnis töötatakse tavaliselt ühe mitterutiinse probleemiga, mille ümber ehitatakse kogu Pólya neljaetapiline probleemilahenduse protsess:

# probleemi mõistmine ja “matematiseerimine”
# lahenduse kavandamine
# eri lahendusstrateegiate katsetamine ja analüüs
# järelduste, laienduste ja üldistuste sõnastamine

Tüüpiliseks tööriistaks sellises praktikumis on tööleht (''Practical Worksheet''), mis toimib samaaegselt õppimise, teostamise ja hindamise vahendina ning hoiab Pólya etapid fookuses. Ülesande valik või koostamine/disain lähtub „päriselullisest“ ehk õpilasele tähenduslikust ja tuttavast kontekstist. Vajadusel kohandatakse algseid ülesandeid kooli õppekava ja õpitulemustega paremini ühilduvaks. MProSE arendas ka videopõhiseid kontekste probleemülesannetele: näiteks kahe veenõu ülesanne filmist Die Hard 3. MProSE kõige olulisemaks eripäraks on õpetaja juhendmaterjalid, milles on antud Schoenfeldi metoodikast lähtuvad juhised iga Pólya etapi kohta eraldi iga probleemülesande jaoks.

Näited koos metoodiliste juhendmaterjalidega õpetajale (suunavad küsimused, hindamine):

* [https://math.nie.edu.sg/mprose/elearning/qns/P01.aspx Kahe veenõu] ülesanne
* [https://math.nie.edu.sg/mprose/elearning/qns/P04.aspx Vene ruleti]ülesanne
* [https://math.nie.edu.sg/mprose/elearning/qnsb/P06.aspx Sõpradega koos kinnomineku] ülesanne

== 3.3. Õpetaja tegevus: juhendamine ja orkestreerimine ==

Õpetaja roll muutub juhendajaks (''facilitator''): ta „häälestab“ klassi Pólya etappidele, modelleerib kontrollküsimusi, diferentseerib toestamise (''scaffolding'') taset/viise ja hoiab fookust lahendusstrateegiate põhjendamisel. MProSE õpetab õpetajatele selgesõnaliselt, kuidas tõsta nähtavale metakognitsioon (nt peatused „mida sa praegu teed ja miks?“), kuidas hoida kogu klass aktiivselt arutellu kaasatuna ning kuidas kasutada töölehte nii juhendamise kui hindamise alusena.

MProSE metoodika võtab „orkestreerimise“ mõiste all kokku teadlikku õppeprotsessi disaini ja juhtimist õpetaja poolt, mille abil probleemilahenduse tund kulgeb läbi Pólya etappide, õppijate mõtlemine tehakse nähtavaks ja hinnatavaks ning tuge antakse õpilastele üksnes “sobival hetkel ja parajas koguses“. Orkestreerimine on matemaatika „praktikumi“ läbiviimise tervikdisain: õpetaja esitab probleemülesande, kujundab vajalikud õppematerjalid (tööleht, esitlus ekraanil/tahvlil), ajastab sihipärased peatused ja küsimused (Schoenfeldi „control“), diferentseerib toestamist (scaffolding) ning juhib klassis toimuva tegevuse läbi Pólya etappide esimesest viimaseni (lahenduse kontroll, üldistamine, laiendamine). MProSE metoodika eripäraks on teooria (Pólya, Schoenfeld) “tõlkimine” õpetaja poolt orkestreeritud/juhitud episoodideks, peatusteks, tegevusteks ja vahenditeks.

'''Ülesande käivituse ja mõistmise faasis''' orkestreerib õpetaja köitva konteksti loomist (nt lühivideo või animatsiooni kujul) ja väldib sihilikult lahenduse näitamist, et õpilased mõistaksid olukorda ja seseisvalt lahendamist katsetaksid (“act it out”).

'''Pólya lahendusprotsessi fookuses hoidmiseks''' kasutab õpetaja orkestreerimisel praktilist töölehte (''Practical Worksheet'') nii juhendamiseks  kui hindamisvahendina. Tööleht ja ka tahvli kujundus järgivad Pólya nelja etappi, nt iga veerandik tahvlist vastab ühele Pólya etapile, kuhu õpetaja ja rühmad märgivad vahe­tulemused, et klassi koosmõtlemine muutuks nähtavaks.

'''Planeeritud peatuste''' ajal küsib õpetaja Schoenfeldi stiilis küsimusi (''„Mida sa praegu teed ja miks?“, „Kas see plaan töötab? Mis on teine variant?“''), suunates vajadusel õpilasi tagasi eelmise etapi märkmete juurde. Sellega muudetakse metakognitsioon ja strateegiavalik nähtavaks.

'''Toestamist''' orkestreerib õpetaja diferentseerituna ja samm-sammuliselt: alates kaudsematest vihjetest (nt tekstülesande põhjal koostatud võrrandi korrektsuse osas) kuni sarnase näite toomiseni. Toestamise ulatus sõltub etapist, õpilaste vajadustest ja ummiku sügavusest. MProSE materjalid soovitavad õpetajal kaaluda eri toestamistasemeid ja viise probleemilahenduse eri etappides.

'''Rühmatöö''' orkestreerimisel valib ja järjestab õpetaja esitlused (nt erinevad strateegiad), seob need ning integreerib eri õpilaste poolt esitatud lahendusideed kokku. Lõpetuseks sõnastatakse ühiselt üldistused ja „mis siis kui…“ laiendused.

'''Hindamise''' orkestreerimisel lähtub õpetaja töölehest ja selle juurde kuuluvast hindamismaatriksist (''assessment rubric''), mis võimaldavad hinnata nii Pólya’st lähtuvat lahendusprotsessi kui ka selle tulemust. Tunni lõpul toimuv refleksioon (''Look Back'') on Singapuri koolides hinnatav ja ka tavapärase eksamipraktikaga ühilduv.

MProSE orkestreerimine on õpetaja tegevus õppeprotsessi disainimisel ja juhtimisel, kus õpetaja hoiab nähtavana Pólya probleemilahenduse etappe, ajastab metakognitiivsed peatused, doseerib toetust ja juhendab klassi ühiselt „tagasi vaatama“. Tänu õpetajapoolsele orkestreerimisele muutub probleemilahendus koolide tavapraktikas regulaarseks, hinnatavaks ja kõigile jõukohaseks.

== 3.4. Toestamine ja hindamine ==

MProSE metoodikas on toestamine ja hindamine lahutamatult seotud ning moodustavad ühtse terviku, mis toetab õppijate probleemilahendusprotsessi kõigis Pólya etappides. Keskseks vahendiks on praktiline tööleht koos sellele vastava hindamisrubriigiga, mis täidavad korraga nii õppimist toetavat (kujundavat) kui ka kokkuvõtvat hindamisfunktsiooni.

Kujundava hindamise vaates teeb tööleht õppijate mõtlemise nähtavaks: selles kajastuvad probleemi mõistmine, matemaatilise mudeli loomine, lahendusplaani põhjendamine, strateegiate vahetamine ning lahenduste tõendamine. Õpetaja kasutab töölehte pideva diagnostilise vahendina, mille abil ta jälgib, millises Pólya etapis õppijad parasjagu on ja millist tuge nad vajavad. Toestamine ei ole juhuslik ega ühtlane kõigile, vaid sihipäraselt ajastatud ja diferentseeritud– õpetaja võib lisada vihjeid, esitada metakognitiivseid küsimusi või vajadusel aeglustada või kiirendada töö tempot, et hoida mõtlemine aktiivsena.

Samas on praktiline tööleht ka kokkuvõttev hindamisvahend, mis võimaldab hinnata mitte üksnes lõpptulemust, vaid kogu probleemilahendusprotsessi. Selline lähenemine on eriti oluline Singapuri kontekstis, kus kõrge panusega eksamid mängivad olulist rolli. MProSE hindamisstrateegia on teadlikult kujundatud nii, et see sobitub eksamikesksesse kultuuri, kuid ei taanda probleemilahendust pelgalt vastuste kontrolliks. Hindamismudelid/maatriksid (''assessment rubric'') lähtuvad Pólya ja Schoenfeldi raamistikest ning on lokaliseeritud nii, et need arvestavad riikliku hindamissüsteemi nõudeid, säilitades samas probleemilahenduse protsessi väärtustamise.

== 3.5. Uuenduse levitamine ja omaksvõtt: infusioon &amp; difusioon ==

MProSE metoodika arendajad rõhutavad, et probleemilahenduse kui klassiruumi praktika juurutamine ei ole võimalik ilma süsteemse ja pikaajalise õpetajate professionaalse arenduseta. Seetõttu on õpetajakoolitus MProSE raamistikus lahutamatu osa metoodikast, mitte selle lisand.

Õpetajate arendustegevus keskendub mitmele omavahel seotud aspektile: uurijate ja praktikute partnerlusele, ainekava ja tunnikavade kohandamisele, õppematerjalide – eeskätt praktiliste töölehtede – loomisele ning uute õpetajate sisseelamise toetamisele kogenud praktikute võrgustiku kaudu. Selline lähenemine aitab vältida olukorda, kus metoodika jääb üksikute entusiastide praktikaks, ning loob aluse kollektiivseks omaksvõtuks.

MProSE levitamisel eristatakse teadlikult infusiooni ja difusiooni etappe. Esmalt rakendati metoodikat süvitsi ühes nn „parima juhtumi“ koolis, kus see integreeriti kogu kooli matemaatikaõppesse. Seejärel tutvustati tulemusi laiemale õpetajaskonnale seminaridel ning kutsuti koole metoodikaga liituma. Difusiooni juhtimisel tugineti Rogers’i uuenduste leviku teooria viiele tegurile: suhteline eelis, ühilduvus, proovitatavus, keerukus ning nähtavus.

Oluline põhimõte MProSE levitamisel oli „lubatud taasleiutamine'''“''' (''reinvention''): koolidel lubati metoodikat kohandada oma konteksti järgi, muuta ülesandeid ja mahtu, kuid säilitada tuumikparameetrid (nt. Pólya probleemilahendusraamistik, praktikumipõhine töökorraldus, praktiline tööleht ja õpetajate süsteemne koolitus). See paindlikkus toetas metoodika omaksvõttu eri profiiliga koolides, ilma et selle didaktiline südamik oleks lahjenenud.

== 3.6. Uurimistulemused: kas see toimib? ==

MProSE ja selle jätkuprojekti MInD rakendamist on saatnud mitmetahuline uurimistöö, mis on andnud tõendusmaterjali metoodika toimivuse kohta nii õppijate, õpetajate kui ka koolikultuuri tasandil. Õpilaste puhul näitasid uuringud, et nad suutsid rakendada terviklikku Pólya probleemilahendusprotsessi, sealhulgas sageli alahinnatud neljandat etappi – lahenduse kontrolli, üldistamist ja laiendamist. MInD-hindamisvahendite tulemused korreleerusid positiivselt kooli tavapäraste matemaatikatestide tulemustega, mis viitab sellele, et probleemilahenduslik õppimine ei toimu akadeemiliste saavutuste arvelt. Lisaks osutusid õpilaste hoiakud MProSE suhtes oluliseks teguriks: õppijad kandsid õpitud heuristikaid ja „kontrolli“ praktikaid üle ka tavatundidesse.

Õpetajakoolituse üliõpilaste kontekstis näitas MProSE-põhise praktikumimeetodi rakendamine, et probleemilahenduse süsteemne käsitlemine parandas nii jooksva kui ka lõpphindamise tulemusi ning suurendas õppijate võimet oma lahendusi kontrollida ja laiendada. See viitab metoodika potentsiaalile ka õpetajakoolituses ja kõrgkooli matemaatikas.

Koolikultuuri tasandil ilmnes, et kõik uurimiskoolid säilitasid probleemilahenduse mooduli õppekavas ka pärast projekti lõppu. MProSE „keel“ (mõista, kavanda, lahenda, kontrolli) kandus üle tavatundidesse ning uutele õpetajatele loodi teadlikult tuge ja materjale, sealhulgas videopõhiseid juhendeid. See viitab metoodika kestlikkusele ja institutsionaalsele juurdumisele.

== 3.7. Kokkuvõte ==

MProSE on terviklik didaktiline disain, mis muudab matemaatilise probleemilahenduse abstraktsest eesmärgist praktiliseks ja igapäevaseks klassiruumi tegevuseks. Selle keskmes on üks läbimõeldud probleem, nähtav ja struktureeritud probleemilahendusprotsess, õpetaja sihipärane orkestreerimine, praktilise töölehe-põhine toestamine ja hindamine ning süsteemne õpetajate professionaalne arendus.

MProSE tugevus ei seisne uue probleemilahenduse teooria loomises, vaid olemasolevate, hästi tõestatud raamistike (Pólya ja Schoenfeld) täpses ja skaleeritavas ellurakendamises koolipraktikas. Uurimistulemused näitavad, et selline lähenemine parandab nii õpilaste probleemilahendusoskusi kui ka koolide võimekust hoida probleemilahenduslikku õpetamist kestliku ja hinnatava praktikani. LAHEMATE projekti jaoks pakub MProSE väärtusliku ja hästi dokumenteeritud eeskuju, kuidas probleemilahendusest saab „igaühe matemaatika“, mitte vaid valikute või võistluste pärusmaa.</text>
      <sha1>po80w7diqx1ae6agny1d3cxwlfs1q9s</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20342</id>
      <parentid>20341</parentid>
      <timestamp>2026-09-27T16:51:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <origin>20342</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13957" sha1="sne0w5ncdj4itbu3kf2rpos4djv3hrq" xml:space="preserve">== 3.1. Taust ja teoreetiline raamistik ==

Probleemilahendus on olnud Singapuri riiklikus matemaatika ainekava keskmes juba 1990ndatest aastatest alates, kuid klassiruumides taandus see sageli üksikute heuristikute automaatseks rakendamiseks või võistlusülesannete treeninguks, mille käigus kadus matemaatilise mõtlemise protsess (eriti metakognitsioon) vaateväljast. MProSE (ja selle jätkuprojekt MInD) kavandati selle lõhe ületamiseks: vaja oli mitte luua veel ühte uut teooriat, vaid töötada välja ja viia ellu praktilised võtted olemasoleva Polya ja Schoenfeldi raamistiku ellurakendamiseks koolipraktikas. Schoenfeldile kuulub nimelt üks kuulus tõdemus ja üleskutse: probleemilahenduse teooria on lõpuni välja arendatud, nüüd oleks vaja teha rasket ja kuulsusetut tööd selle laiapõhjaliseks rakendamiseks igas klassiruumis („''the theory had been worked out… now do the hard and unglamorous work''”) .

MProSE sai tegelikult alguse samal moel kui meie LAHEMATE - haridusministeeriumi tellitud rakendusuuringuna, mille metoodiliseks lähenemiseks valiti pedagoogiline disainieksperiment. See koosnes mitmest iteratiivsest etapist, milles alustati idee genereerimisest, selle põhjal  prototüübi loomisest ja katsetamisest koolides, millega kaasnes põhjalik uuring ja selle tulemuste põhjal sisendi loomine järgmisele iteratsioonile. Oluline on disaini-teooria-praktika ühtsuse saavutamine, millesse panustavad võrdselt ja koostöös nii õppedisainerid, uurijad kui ka kogenud õpetajad ja kus tasakaalustatakse teaduspõhine süsteemsus koolitegelikkuse piirangutest lähtuva paindliku kohandamisega. Esmane MProSE katsetus toimus „parima juhtumi“ koolis (IP-kool), seejärel infusioon samas koolis ja difusioon eri profiiliga koolides .

Nagu plaanitud, ei üritanud MProSE metoodika leiutada midagi uut ja erilist probleemilahenduse teoorias. Selle asemel toetuti kahele olemasolevale mudelile:

# Pólya neljaastmeline probleemilahenduse mudel (mõista → kavanda → lahenda → kontrolli/üldista) on MProSE puhul metoodika selgrooks.
# Schoenfeld laiendas Pólya mudelit õpetajapoolse juhendamise elementidega: õpetaja suunab teadlikult peatusi, kontrollküsimusi ja lahendusstrateegiate valikut. Lisaks pöörab Schoenfeld tähelepanu õpilaste metakognitiivsete oskuste arendamisele probleemilahenduse käigus.

Mõlemad raamistikud on MProSE’s õpetajate ja õpilaste poolt järgitavad juhised, mitte lihtsalt lõdvalt seotud taustateave.

== 3.2. Ülesanded ja materjalid: „üks probleemülesanne kui praktikum“ ==

MProSE tõi koolimatemaatikasse analoogi loodusteadlastele omasest laboripraktikumist: ühes tunnis töötatakse tavaliselt ühe mitterutiinse probleemiga, mille ümber ehitatakse kogu Pólya neljaetapiline probleemilahenduse protsess:

# probleemi mõistmine ja “matematiseerimine”
# lahenduse kavandamine
# eri lahendusstrateegiate katsetamine ja analüüs
# järelduste, laienduste ja üldistuste sõnastamine

Tüüpiliseks tööriistaks sellises praktikumis on tööleht (''Practical Worksheet''), mis toimib samaaegselt õppimise, teostamise ja hindamise vahendina ning hoiab Pólya etapid fookuses. Ülesande valik või koostamine/disain lähtub „päriselullisest“ ehk õpilasele tähenduslikust ja tuttavast kontekstist. Vajadusel kohandatakse algseid ülesandeid kooli õppekava ja õpitulemustega paremini ühilduvaks. MProSE arendas ka videopõhiseid kontekste probleemülesannetele: näiteks kahe veenõu ülesanne filmist Die Hard 3. MProSE kõige olulisemaks eripäraks on õpetaja juhendmaterjalid, milles on antud Schoenfeldi metoodikast lähtuvad juhised iga Pólya etapi kohta eraldi iga probleemülesande jaoks.

Näited koos metoodiliste juhendmaterjalidega õpetajale (suunavad küsimused, hindamine):

* [https://math.nie.edu.sg/mprose/elearning/qns/P01.aspx Kahe veenõu] ülesanne
* [https://math.nie.edu.sg/mprose/elearning/qns/P04.aspx Vene ruleti]ülesanne
* [https://math.nie.edu.sg/mprose/elearning/qnsb/P06.aspx Sõpradega koos kinnomineku] ülesanne

== 3.3. Õpetaja tegevus: juhendamine ja orkestreerimine ==

Õpetaja roll muutub juhendajaks (''facilitator''): ta „häälestab“ klassi Pólya etappidele, modelleerib kontrollküsimusi, diferentseerib toestamise (''scaffolding'') taset/viise ja hoiab fookust lahendusstrateegiate põhjendamisel. MProSE õpetab õpetajatele selgesõnaliselt, kuidas tõsta nähtavale metakognitsioon (nt peatused „mida sa praegu teed ja miks?“), kuidas hoida kogu klass aktiivselt arutellu kaasatuna ning kuidas kasutada töölehte nii juhendamise kui hindamise alusena.

MProSE metoodika võtab „orkestreerimise“ mõiste all kokku teadlikku õppeprotsessi disaini ja juhtimist õpetaja poolt, mille abil probleemilahenduse tund kulgeb läbi Pólya etappide, õppijate mõtlemine tehakse nähtavaks ja hinnatavaks ning tuge antakse õpilastele üksnes “sobival hetkel ja parajas koguses“. Orkestreerimine on matemaatika „praktikumi“ läbiviimise tervikdisain: õpetaja esitab probleemülesande, kujundab vajalikud õppematerjalid (tööleht, esitlus ekraanil/tahvlil), ajastab sihipärased peatused ja küsimused (Schoenfeldi „control“), diferentseerib toestamist (scaffolding) ning juhib klassis toimuva tegevuse läbi Pólya etappide esimesest viimaseni (lahenduse kontroll, üldistamine, laiendamine). MProSE metoodika eripäraks on teooria (Pólya, Schoenfeld) “tõlkimine” õpetaja poolt orkestreeritud/juhitud episoodideks, peatusteks, tegevusteks ja vahenditeks.

'''Ülesande käivituse ja mõistmise faasis''' orkestreerib õpetaja köitva konteksti loomist (nt lühivideo või animatsiooni kujul) ja väldib sihilikult lahenduse näitamist, et õpilased mõistaksid olukorda ja seseisvalt lahendamist katsetaksid (“act it out”).

'''Pólya lahendusprotsessi fookuses hoidmiseks''' kasutab õpetaja orkestreerimisel praktilist töölehte (''Practical Worksheet'') nii juhendamiseks  kui hindamisvahendina. Tööleht ja ka tahvli kujundus järgivad Pólya nelja etappi, nt iga veerandik tahvlist vastab ühele Pólya etapile, kuhu õpetaja ja rühmad märgivad vahe­tulemused, et klassi koosmõtlemine muutuks nähtavaks.

'''Planeeritud peatuste''' ajal küsib õpetaja Schoenfeldi stiilis küsimusi (''„Mida sa praegu teed ja miks?“, „Kas see plaan töötab? Mis on teine variant?“''), suunates vajadusel õpilasi tagasi eelmise etapi märkmete juurde. Sellega muudetakse metakognitsioon ja strateegiavalik nähtavaks.

'''Toestamist''' orkestreerib õpetaja diferentseerituna ja samm-sammuliselt: alates kaudsematest vihjetest (nt tekstülesande põhjal koostatud võrrandi korrektsuse osas) kuni sarnase näite toomiseni. Toestamise ulatus sõltub etapist, õpilaste vajadustest ja ummiku sügavusest. MProSE materjalid soovitavad õpetajal kaaluda eri toestamistasemeid ja viise probleemilahenduse eri etappides.

'''Rühmatöö''' orkestreerimisel valib ja järjestab õpetaja esitlused (nt erinevad strateegiad), seob need ning integreerib eri õpilaste poolt esitatud lahendusideed kokku. Lõpetuseks sõnastatakse ühiselt üldistused ja „mis siis kui…“ laiendused.

'''Hindamise''' orkestreerimisel lähtub õpetaja töölehest ja selle juurde kuuluvast hindamismaatriksist (''assessment rubric''), mis võimaldavad hinnata nii Pólya’st lähtuvat lahendusprotsessi kui ka selle tulemust. Tunni lõpul toimuv refleksioon (''Look Back'') on Singapuri koolides hinnatav ja ka tavapärase eksamipraktikaga ühilduv.

MProSE orkestreerimine on õpetaja tegevus õppeprotsessi disainimisel ja juhtimisel, kus õpetaja hoiab nähtavana Pólya probleemilahenduse etappe, ajastab metakognitiivsed peatused, doseerib toetust ja juhendab klassi ühiselt „tagasi vaatama“. Tänu õpetajapoolsele orkestreerimisele muutub probleemilahendus koolide tavapraktikas regulaarseks, hinnatavaks ja kõigile jõukohaseks.

== 3.4. Toestamine ja hindamine ==

MProSE metoodikas on toestamine ja hindamine lahutamatult seotud ning moodustavad ühtse terviku, mis toetab õppijate probleemilahendusprotsessi kõigis Pólya etappides. Keskseks vahendiks on praktiline tööleht koos sellele vastava hindamisrubriigiga, mis täidavad korraga nii õppimist toetavat (kujundavat) kui ka kokkuvõtvat hindamisfunktsiooni.

Kujundava hindamise vaates teeb tööleht õppijate mõtlemise nähtavaks: selles kajastuvad probleemi mõistmine, matemaatilise mudeli loomine, lahendusplaani põhjendamine, strateegiate vahetamine ning lahenduste tõendamine. Õpetaja kasutab töölehte pideva diagnostilise vahendina, mille abil ta jälgib, millises Pólya etapis õppijad parasjagu on ja millist tuge nad vajavad. Toestamine ei ole juhuslik ega ühtlane kõigile, vaid sihipäraselt ajastatud ja diferentseeritud– õpetaja võib lisada vihjeid, esitada metakognitiivseid küsimusi või vajadusel aeglustada või kiirendada töö tempot, et hoida mõtlemine aktiivsena.

Samas on praktiline tööleht ka kokkuvõttev hindamisvahend, mis võimaldab hinnata mitte üksnes lõpptulemust, vaid kogu probleemilahendusprotsessi. Selline lähenemine on eriti oluline Singapuri kontekstis, kus kõrge panusega eksamid mängivad olulist rolli. MProSE hindamisstrateegia on teadlikult kujundatud nii, et see sobitub eksamikesksesse kultuuri, kuid ei taanda probleemilahendust pelgalt vastuste kontrolliks. Hindamismudelid/maatriksid (''assessment rubric'') lähtuvad Pólya ja Schoenfeldi raamistikest ning on lokaliseeritud nii, et need arvestavad riikliku hindamissüsteemi nõudeid, säilitades samas probleemilahenduse protsessi väärtustamise.

== 3.5. Uuenduse levitamine ja omaksvõtt: infusioon &amp; difusioon ==

MProSE metoodika arendajad rõhutavad, et probleemilahenduse kui klassiruumi praktika juurutamine ei ole võimalik ilma süsteemse ja pikaajalise õpetajate professionaalse arenduseta. Seetõttu on õpetajakoolitus MProSE raamistikus lahutamatu osa metoodikast, mitte selle lisand.

Õpetajate arendustegevus keskendub mitmele omavahel seotud aspektile: uurijate ja praktikute partnerlusele, ainekava ja tunnikavade kohandamisele, õppematerjalide – eeskätt praktiliste töölehtede – loomisele ning uute õpetajate sisseelamise toetamisele kogenud praktikute võrgustiku kaudu. Selline lähenemine aitab vältida olukorda, kus metoodika jääb üksikute entusiastide praktikaks, ning loob aluse kollektiivseks omaksvõtuks.

MProSE levitamisel eristatakse teadlikult infusiooni ja difusiooni etappe. Esmalt rakendati metoodikat süvitsi ühes nn „parima juhtumi“ koolis, kus see integreeriti kogu kooli matemaatikaõppesse. Seejärel tutvustati tulemusi laiemale õpetajaskonnale seminaridel ning kutsuti koole metoodikaga liituma. Difusiooni juhtimisel tugineti Rogers’i uuenduste leviku teooria viiele tegurile: suhteline eelis, ühilduvus, proovitatavus, keerukus ning nähtavus.

Oluline põhimõte MProSE levitamisel oli „lubatud taasleiutamine'''“''' (''reinvention''): koolidel lubati metoodikat kohandada oma konteksti järgi, muuta ülesandeid ja mahtu, kuid säilitada tuumikparameetrid (nt. Pólya probleemilahendusraamistik, praktikumipõhine töökorraldus, praktiline tööleht ja õpetajate süsteemne koolitus). See paindlikkus toetas metoodika omaksvõttu eri profiiliga koolides, ilma et selle didaktiline südamik oleks lahjenenud.

== 3.6. Uurimistulemused: kas see toimib? ==

MProSE ja selle jätkuprojekti MInD rakendamist on saatnud mitmetahuline uurimistöö, mis on andnud tõendusmaterjali metoodika toimivuse kohta nii õppijate, õpetajate kui ka koolikultuuri tasandil. Õpilaste puhul näitasid uuringud, et nad suutsid rakendada terviklikku Pólya probleemilahendusprotsessi, sealhulgas sageli alahinnatud neljandat etappi – lahenduse kontrolli, üldistamist ja laiendamist. MInD-hindamisvahendite tulemused korreleerusid positiivselt kooli tavapäraste matemaatikatestide tulemustega, mis viitab sellele, et probleemilahenduslik õppimine ei toimu akadeemiliste saavutuste arvelt. Lisaks osutusid õpilaste hoiakud MProSE suhtes oluliseks teguriks: õppijad kandsid õpitud heuristikaid ja „kontrolli“ praktikaid üle ka tavatundidesse.

Õpetajakoolituse üliõpilaste kontekstis näitas MProSE-põhise praktikumimeetodi rakendamine, et probleemilahenduse süsteemne käsitlemine parandas nii jooksva kui ka lõpphindamise tulemusi ning suurendas õppijate võimet oma lahendusi kontrollida ja laiendada. See viitab metoodika potentsiaalile ka õpetajakoolituses ja kõrgkooli matemaatikas.

Koolikultuuri tasandil ilmnes, et kõik uurimiskoolid säilitasid probleemilahenduse mooduli õppekavas ka pärast projekti lõppu. MProSE „keel“ (mõista, kavanda, lahenda, kontrolli) kandus üle tavatundidesse ning uutele õpetajatele loodi teadlikult tuge ja materjale, sealhulgas videopõhiseid juhendeid. See viitab metoodika kestlikkusele ja institutsionaalsele juurdumisele.

== 3.7. Kokkuvõte ==

MProSE on terviklik didaktiline disain, mis muudab matemaatilise probleemilahenduse abstraktsest eesmärgist praktiliseks ja igapäevaseks klassiruumi tegevuseks. Selle keskmes on üks läbimõeldud probleem, nähtav ja struktureeritud probleemilahendusprotsess, õpetaja sihipärane orkestreerimine, praktilise töölehe-põhine toestamine ja hindamine ning süsteemne õpetajate professionaalne arendus.

MProSE tugevus ei seisne uue probleemilahenduse teooria loomises, vaid olemasolevate, hästi tõestatud raamistike (Pólya ja Schoenfeld) täpses ja skaleeritavas ellurakendamises koolipraktikas. Uurimistulemused näitavad, et selline lähenemine parandab nii õpilaste probleemilahendusoskusi kui ka koolide võimekust hoida probleemilahenduslikku õpetamist kestliku ja hinnatava praktikani. LAHEMATE projekti jaoks pakub MProSE väärtusliku ja hästi dokumenteeritud eeskuju, kuidas probleemilahendusest saab „igaühe matemaatika“, mitte vaid valikute või võistluste pärusmaa.</text>
      <sha1>sne0w5ncdj4itbu3kf2rpos4djv3hrq</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>2.3.Tõenduspõhine probleemilahenduse didaktika</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4262</id>
    <revision>
      <id>20338</id>
      <timestamp>2026-09-27T15:42:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>Uus lehekülg: 'Eelmistes alapeatükkides käsitlesime probleemilahenduse uurimissuundi ja õpetajate ettevalmistust. Siin keskendume küsimusele, kuidas jõuavad teadusuuringutes kirjeldatud põhimõtted igapäevasesse matemaatikatundi. Hea probleemülesanne ja põhjalik tunnikava loovad õppimiseks võimaluse, kuid tegelik õppimine sõltub sellest, kuidas õpetaja ülesande esitab, õpilaste mõtlemist toetab ja lahenduste arutelu korraldab.  '''Tõenduspõhine õpetamine''' eeldab uuri...'</comment>
      <origin>20338</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14349" sha1="c6q4yz3y7msou0opr83iwi7qcnh455l" xml:space="preserve">Eelmistes alapeatükkides käsitlesime probleemilahenduse uurimissuundi ja õpetajate ettevalmistust. Siin keskendume küsimusele, kuidas jõuavad teadusuuringutes kirjeldatud põhimõtted igapäevasesse matemaatikatundi. Hea probleemülesanne ja põhjalik tunnikava loovad õppimiseks võimaluse, kuid tegelik õppimine sõltub sellest, kuidas õpetaja ülesande esitab, õpilaste mõtlemist toetab ja lahenduste arutelu korraldab.

'''Tõenduspõhine õpetamine''' eeldab uurimistulemuste sidumist õpetaja professionaalse otsustamise ning konkreetsete õpilaste õppimise kohta kogutud teabega. Seejuures tuleb eristada kolme küsimust: kas meetodit rakendati kavandatud viisil, kas õpilased osalesid soovitud matemaatilistes tegevustes ning kas nende oskused arenesid. Ühele küsimusele vastamine ei anna automaatselt vastust ülejäänutele.

=== LAHEMATE kirjandusanalüüs: ülesande kavandamisest õppimise hindamiseni ===

LAHEMATE kirjandusanalüüsi alapeatükk 2.5.3 käsitleb probleemülesannete kavandamist, püstitamist, kohandamist ja hindamist. Analüüsi keskne järeldus on, et ülesande didaktiline väärtus kujuneb selle omaduste ja kasutamisviisi koosmõjus. Ülevaatest eristub neli omavahel seotud põhiteemat.&lt;ref name=&quot;LAHEMATE&quot;&gt;Laanpere, M., Mädamürk, K. ja Kraav, T. [https://drive.google.com/file/d/1BZsyAa7pbLRFaS0MHasIkRW2jPqGSHTA/view LAHEMATE kirjandusanalüüs], alapeatükk 2.5.3 „Matemaatiliste probleemilahendusülesannete kavandamine, püstitamine ja hindamine ning nende seos õppijate probleemilahendusoskuse arenguga“.&lt;/ref&gt;

'''1. Probleemülesanne kui teadlikult kavandatud õppimisvõimalus.''' Ülevaates käsitletud ülesandedisaini uuringud rõhutavad tähenduslikkust, erinevate lahendusstrateegiate võimalikkust ja mõtlemist nõudvat väljakutset. Õpetaja peab arvestama ka sellega, kas ülesande nõudlikkus säilib lahendamise ajal. Kui ta annab esimese raskuse korral ette kõik vajalikud sammud, võib probleem muutuda tavaliseks harjutuseks. See ei tähenda, et igal heal probleemil peaks olema mitu õiget vastust: ka ühe vastusega ülesanne võib nõuda strateegia valimist, uurimist ja põhjendamist.

'''2. Probleemipüstitus kui lahendamise jätk.''' Singeri ja Voica käsitlustele toetudes toob ülevaade esile ülesande tingimuste muutmise, uute küsimuste esitamise ja seoste uurimise. Õpilane võib pärast lahendamist küsida: „Millal minu lahendus enam ei kehti?“ või „Mis muutub, kui üks tingimus ära jätta?“ Selline tegevus vajab eesmärki ja tuge, et uute ülesannete koostamine ei piirduks arvude juhusliku asendamisega.

'''3. Kohandamine ja diferentseerimine.''' Baumannsi ja Rotti uuringute käsitlus juhib tähelepanu õppijale antavate vabaduste ja piirangute mõjule. Diferentseerimine võib seisneda sobiva esituse, abivahendi või suunava küsimuse pakkumises. See ei pea tähendama matemaatilise väljakutse eemaldamist. Seos Schoenfeldi raamistikuga ilmneb küsimustes, mis aitavad õpilasel oma tegevust jälgida: „Mida sa praegu proovid?“ ja „Kuidas saad kontrollida, kas see viib eesmärgini?“

'''4. Lahenduste arutelu ja kujundav hindamine.''' Smithi ja Steini viie praktika raamistik aitab õpetajal võimalikke lahendusi ette näha, lahendamist jälgida, aruteluks lahendusi valida, neid järjestada ja omavahel seostada. Nii muutub õpilaste töö materjaliks, mille abil uurida strateegiaid ja põhjendusi. Õige vastuse kõrval muutub nähtavaks see, kuidas õpilane selleni jõudis.

Nendest tulemustest sõnastab LAHEMATE ülevaade viis soovitust:&lt;ref name=&quot;LAHEMATE&quot; /&gt;

# '''Seada probleemülesanded õpetajate õppimise keskmesse:''' analüüsida, katsetada ja täiendada konkreetseid ülesandeid.
# '''Toetada ülesannete ühist kavandamist:''' põhjendada kohandusi ning dokumenteerida, mida need õpilaste mõtlemises esile kutsusid.
# '''Käsitleda koos ülesandega selle kasutamist:''' kavandada juhendamine ning lahenduste kogumine, valimine, järjestamine ja võrdlemine.
# '''Siduda probleemilahendus kujundava hindamisega:''' anda tagasisidet strateegiatele, põhjendustele ja lahendamise juhtimisele.
# '''Muuta ülesanded ja katsetamiskogemused jagatavaks teadmiseks:''' koguda materjale koos kasutuskogemuste ja refleksioonidega.

Tegemist on kirjandust kaardistava sünteesiga. Soovitused annavad põhjendatud suuna õpetamise arendamiseks, kuid ei tõenda, et iga avatud ülesanne või iga kirjeldatud töövõte parandab kõigis klassides õpitulemusi.

'''Näide: ristkülikukujuline kooliaed.''' Õpilaste ülesanne on uurida, millise ristküliku pindala on suurim, kui aia ümbermõõt on 24 meetrit. Algul võib piirduda täisarvuliste küljepikkustega. Mõni õpilane joonistab, teine koostab tabeli, kolmas kasutab avaldist. Õpetaja saab küsida: „Kuidas tead, et oled kõik lubatud võimalused läbi vaadanud?“ Edasi võivad õpilased uurida, mis muutub murdarvuliste pikkuste lubamisel või juhul, kui aia üks külg paikneb vastu hoone seina. Ühises arutelus võrreldakse nii tulemusi kui ka nende põhjendamise viise.

=== Meetoditruudus: mida peab kohandamisel säilitama? ===

CERME töörühm TWG23 uurib matemaatikahariduse teadustulemuste rakendamist praktikasse. Üks keskseid mõisteid on '''rakendamise truudus ehk meetoditruudus''' (''fidelity of implementation''): kuivõrd säilivad rakendamisel uuenduse olulised koostisosad.

Mark Boylan eristab CERME14 artiklis kaht vaatenurka: '''truudus kavandatud ülesehitusele''' (''fidelity to design'') ning '''truudus aluseks olevale teooriale''' (''fidelity to theory''). Esimene puudutab kavandatud tegevuste, struktuuri ja protsesside järgimist. Teine küsib, kas säilivad põhimõtted ja eeldatavad toimemehhanismid, mille kaudu tegevused peaksid õppimist toetama. Boylan näitlikustab eristust nelja Inglismaa matemaatikaharidusprogrammi abil.&lt;ref name=&quot;Boylan&quot;&gt;Boylan, M. (2025). The implementation of mathematics education programmes: fidelity to design and fidelity to theory. ''Proceedings of CERME14'', lk 3805–3812. [https://erme.site/wp-content/uploads/2026/04/ProceedingCerme14.pdf#page=3843 Täistekst kogumikus].&lt;/ref&gt;

Sellest vaatenurgast ei ole kohandamine tingimata meetoditruuduse vastand. Kui meetodi toimimise eelduseks on õpilaste strateegiavalik ja lahenduste võrdlemine, võib ülesande konteksti muutmine neid põhimõtteid säilitada. Lahenduskäigu täielik etteandmine võib need aga kõrvaldada isegi siis, kui kasutatakse algset töölehte.

Järgmised näited illustreerivad üldist probleemilahendusõpetust; need ei asenda konkreetse meetodi truudusmaatriksit.

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Õpetaja muudatus
! Mida tuleks uurida?
|-
| Kooliaia ülesanne seotakse õpilastele tuttava mänguväljaku kavandamisega.
| Kas matemaatiline probleem ja õpilaste võimalus strateegiat valida säilisid?
|-
| Raskustesse sattunud rühmale antakse ruudupaber või palutakse joonistada üks võimalik ristkülik.
| Kas abi võimaldas õpilastel ise edasi mõelda?
|-
| Õpilastele antakse ette kõik ristkülikud, arvutused ja järeldus.
| Kas uurimisülesanne muutus etteantud tegevuste täitmiseks?
|}

Boylani käsitlus aitab täpsustada hindamise alust, kuid ei tõenda iseenesest ühe rakendamisviisi suuremat tulemuslikkust. Iga meetodi puhul tuleb põhjendada, millised koostisosad on selle toimimiseks kesksed.

=== Mida näitavad õpetajate tehtud kohanduste uuringud? ===

'''Meetodi sisuline omaksvõtt võib avalduda uute tegevuste loomises.''' Hanna Palmér, Jessica Elofsson ja Camilla Björklund uurisid Rootsi alushariduses matemaatikaõpetuse uuenduse rakendamist. Intervjuude ja videomaterjali analüüs näitas, et etteantud tegevuste jäik kordamine võis sattuda vastuollu uuenduse põhimõtetega, kui õpetaja ei reageerinud laste mõtlemisele. Kohanduste hindamisel oli oluline vaadata, kas säilisid matemaatilised põhikomponendid, näiteks esituste kasutamine ja osa-terviku seoste käsitlemine.&lt;ref name=&quot;Palmer&quot;&gt;Palmér, H., Elofsson, J. ja Björklund, C. (2025). Success in implementation in early mathematics education – Fidelity and/or adaptation? ''Proceedings of CERME14'', lk 3861–3868. [https://erme.site/wp-content/uploads/2026/04/ProceedingCerme14.pdf#page=3899 Täistekst kogumikus].&lt;/ref&gt;

Eesti põhikooli jaoks on ülekantav eeskätt uurimispõhimõte: õpetaja suutlikkus koostada uus, sama õppimiseesmärki teeniv tegevus võib anda meetodi mõistmise kohta rohkem teavet kui näidisülesande kordamine. Rootsi alushariduse tulemusi ei saa siiski otse käsitada põhikooli probleemilahendusõpetuse mõjuhinnanguna.

'''Kohandusi kujundavad õpilaste vajadused, ajapiirangud ja hindamine.''' Julia Tsygan uuris nelja kogenud õpetaja tööd matemaatilist kommunikatsiooni toetava MUSK-mudeliga. Selle keskmes olid probleemilahendamise ja lahenduse esitamise eristamine, lahenduse kirjutamine puudunud kaasõpilasele ning õpilaste arutelu hea matemaatilise selgituse tunnuste üle. Õpetajad kohandasid ülesandeid ja töökorraldust ning lisasid kaaslase tagasisidet ja lahenduste ümberkirjutamist, säilitades mudeli põhikomponendid.&lt;ref name=&quot;Tsygan&quot;&gt;Tsygan, J. (2025). Research-designed, teacher-refined: making sense of teachers’ adaptations of an instructional innovation. ''Proceedings of CERME14'', lk 3877–3884. [https://erme.site/wp-content/uploads/2026/04/ProceedingCerme14.pdf#page=3915 Täistekst kogumikus].&lt;/ref&gt;

Uuring selgitas kohanduste põhjusi ja nende seost mudeli kasutatavusega. Õpilaste kommunikatsioonioskuse arengut selles uuringus ei mõõdetud, mistõttu ei saa järeldada, et tehtud muudatused suurendasid õppimise tulemuslikkust.

'''Näide: lahendus puudunud klassikaaslasele.''' Pärast kooliaia ülesande lahendamist kirjutavad õpilased selgituse kaaslasele, kes tunnis ei osalenud. Teine paar märgib koha, kus põhjendus jääb ebaselgeks: „Miks piisas just nende ristkülikute võrdlemisest?“ Autorid täiendavad lahendust. Õpetaja võib muuta ülesande konteksti või lubada kasutada joonist, kuid säilitada selgitamise, tagasiside ja parandamise. Nii toetab kohandus mudeli keskset eesmärki.

=== Kuidas jõuab õnnestunud katsetus tavapärasesse õpetamisse? ===

Uuenduse levikut ei saa hinnata ainult koolitatud õpetajate või jagatud töölehtede arvu järgi. Linda Marie Ahl ja kaasautorid analüüsivad CERME14 artiklis matemaatikahariduse uuenduste rakendamist eri ulatuses, toetudes varasemale süstemaatilisele kirjandusülevaatele. Väikeses arendusprojektis saavad õpetajad sageli tihedat tuge meetodi loojatelt. Laiema leviku korral tuleb see tugi korraldada teisiti: vaja on kasutatavaid materjale, juhendajaid, aega ja järjepidevat koostööd.&lt;ref name=&quot;Ahl&quot;&gt;Ahl, L. M., Jankvist, U. T., Prytz, J. ja Ratnayake, I. (2025). What Works? Implementing Innovations on Small, Medium, and Large Scale. ''Proceedings of CERME14'', lk 3845–3852. [https://erme.site/wp-content/uploads/2026/04/ProceedingCerme14.pdf#page=3883 Täistekst kogumikus].&lt;/ref&gt;

LAHEMATE jaoks tähendab see vajadust küsida, milline osa katsetundide õnnestumisest sõltub projekti pakutavast toest. Kui õpetaja vajab iga tunni eel uurijaga pikka nõupidamist, ei pruugi üksnes tunnikava avaldamine võimaldada sama praktikat laiemalt kasutada.

Jason Cooperi ja Boris Koichu uurimus käsitleb õpetajate vabatahtlikku matemaatikaklubi pärast projekti rahastuse lõppu. Ühe kohtumise analüüsis ilmnesid õpetajate valmisolekut toetavad protsessid: ülesannete kohandamine, võimalike õpilasreaktsioonide arutamine ja õpetaja tegutsemisvõimaluste avardumine. Samal ajal jäi tegelik klassiruumis rakendamine analüüsitud materjalis piiratuks.&lt;ref name=&quot;Cooper&quot;&gt;Cooper, J. ja Koichu, B. (2025). Post-funding implementation—Attending to teachers’ readiness. ''Proceedings of CERME14'', lk 3813–3820. [https://erme.site/wp-content/uploads/2026/04/ProceedingCerme14.pdf#page=3851 Täistekst kogumikus].&lt;/ref&gt;

See eristus on oluline ka praktikakogukondade hindamisel: sisukas arutelu võib valmistada muutust ette, kuid õpetamise muutumise tõendamiseks tuleb vaadata ka tunde ja õpilaste töid.

=== Soovitused LAHEMATE tundide kavandamiseks ja analüüsimiseks ===

Eelnevate uuringute põhjal võiks LAHEMATE truudusmaatrikseid kasutada õpetaja ja uurija ühise arutelu alusena. Boaleri, Liljedahli ja MProSE lähenemiste puhul tuleb iga kriteerium siduda vastava meetodi põhjendusega: '''mida see tegevus peaks õpilase õppimises esile kutsuma?''' Väliselt sarnane tegevus, näiteks rühmatöö, võib eri tundides täita väga erinevat ülesannet.

Tunni analüüsis on kasulik eristada kolme tasandit.

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Tasand
! Põhiküsimus
! Võimalik tõendusmaterjal
|-
| Kavandatud õpetamine
| Millised meetodi põhimõtted on tunnikavas ja ülesandes esindatud?
| Tunnikava, tööleht, õpetaja põhjendused.
|-
| Tegelik rakendamine
| Mida õpetaja ja õpilased tunnis tegid ning mida kohandati?
| Vaatlus, salvestis, õpilaste lahendused, õpetaja refleksioon.
|-
| Õppimise tulemused
| Millised muutused ilmnevad õpilaste oskustes ja mõtlemises?
| Võrreldavad hindamisülesanded ja põhjenduste analüüs mitmel ajahetkel.
|}

Vestlusrobot võib aidata leida tunnikavast puuduvaid komponente või pakkuda alternatiivseid küsimusi. Tunnikava analüüsi põhjal ei saa see aga kinnitada, et meetod tunnis tegelikult rakendus või õpilased õppisid.

Praktiliseks tööviisiks sobib tsükkel '''kavanda – katseta – kogu tõendeid – aruta – kohanda'''. Enne tundi valitakse üks-kaks vaatlusküsimust, näiteks: „Kas õpilased said oma strateegia valida?“ ja „Kas lõpuarutelus seostati erinevaid lahendusviise?“ Pärast tundi vaadatakse konkreetseid näiteid ning pannakse kirja tehtud muudatus ja selle põhjus. Kui mõne tunnuse kohta andmeid pole, tuleb eristada „ei olnud vaadeldav“ ja „ei toimunud“.

Niisugune analüüs aitab uurida nii õnnestumisi kui ka raskusi. Tagasihoidlik õpitulemus võib olla seotud ülesande, juhendamise, rakendamise kestuse või hindamisviisiga. Ka kõrge meetoditruudus ei taga automaatselt edu. Tõenduspõhine probleemilahendusõpetus areneb siis, kui õpetamise põhimõtted, tegelikud klassiruumi tegevused ja õpilaste õppimise kohta kogutud tõendid on omavahel selgelt seotud.

=== Viited ===

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>c6q4yz3y7msou0opr83iwi7qcnh455l</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>4.Kalifornia koolkond: Jo Boaler'i matemaatiline mõtteviis</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4263</id>
    <revision>
      <id>20343</id>
      <timestamp>2026-09-27T17:04:20Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>Uus lehekülg: 'Jo Boaleri matemaatilise mõtteviisi (''Mathematical Mindset'') metoodika on üks mõjukamaid kaasaegseid käsitlusi matemaatika õpetamise ja õppimise kohta. Selle tuumikidee on lihtne, kuid radikaalne: iga õpilane on võimeline mõtlema matemaatiliselt, kui teda ümbritsev õpikeskkond väärtustab (1) mõtlemist, mitte lahendamiskiirust, (2) vigu kui õppimise võimalusi, mitte ebaõnnestumist ja (3) koostööd, mitte õpilastevahelist võrdlemist ja võistlust. Matema...'</comment>
      <origin>20343</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20826" sha1="ldm1p8l6yswllaak4mzuogmf57cq2w4" xml:space="preserve">Jo Boaleri matemaatilise mõtteviisi (''Mathematical Mindset'') metoodika on üks mõjukamaid kaasaegseid käsitlusi matemaatika õpetamise ja õppimise kohta. Selle tuumikidee on lihtne, kuid radikaalne: iga õpilane on võimeline mõtlema matemaatiliselt, kui teda ümbritsev õpikeskkond väärtustab (1) mõtlemist, mitte lahendamiskiirust, (2) vigu kui õppimise võimalusi, mitte ebaõnnestumist ja (3) koostööd, mitte õpilastevahelist võrdlemist ja võistlust. Matemaatiline võimekus ei ole kaasasündinud anne, vaid kujuneb samamoodi nagu lihased treeningu käigus – läbi pingutuse, uurimise ja refleksiooni. Boaleri väitel mõjutab õpilaste eneseusk matemaatika õpitulemusi rohkem kui lahendusvõtete päheõppimine. 

Boaler tugineb oma uuringutes ja soovitustes nii psühholoogilistele kui ka pedagoogilistele teooriatele: isemääramisteooriale (Deci &amp; Ryan, 2017), enesetõhususe ja agentsuse käsitlustele (Bandura, 1977; Boaler &amp; Greeno, 2000) ning kasvumõtteviisi teooriale (Dweck, 2007). Need ideed moodustavad raamistiku, mille kaudu ta pakub välja tervikliku metoodika, mis muudab matemaatikaõpetuse loovaks, inimlikuks ja jõukohaseks kõigile õppijatele. Järgnevalt teeme väikese ülevaate Boaleri metoodika kolmest teoreetilisest nurgakivist.

== 4.1 Pedagoogilised ja psühholoogilised lähtekohad ==
Boaleri matemaatilise mõtteviisi metoodika teoreetiline alus on rajatud kolmele aspektile, mis mõjutavad mõtteviisi muutust: (1) õppija motivatsioon ja autonoomia, (2) enesetõhusus ja agentsus ning (3) kasvumõtteviis.

=== Motivatsioon ja autonoomia ===
Boaleri käsitlus õppija autonoomiast ja sisemisest motivatsioonist põhineb '''isemääramisteoorial''' (''Self-Determination Theory''; Deci &amp; Ryan, 2017). Selle kohaselt toetab õppimist sisemine motivatsioon üksnes juhul, kui õppija kogeb kolme põhivajaduse täitumist: need on '''autonoomiavajadus''', '''kompetentsusvajadus''' ja '''seotusvajadus'''. Boaleri klassiruumis väljendub see järgmiselt:
* õpilased saavad ise langetada valikuid õppimise viisi osas (nt kuidas probleemi lahendada või kuidas tulemust esitleda);
* õpilased tunnevad end kompetentsetena, sest neile antakse võimalus ise mõelda ja jõuda järeldusteni;
* õpilased kogevad kuuluvust, sest tegutsevad sageli koostöös teistega ning nende ideid kuulatakse ja väärtustatakse.

=== Enesetõhusus ja agentsus ===
Boaleri väitel (Boaler &amp; Greeno, 2000) on enesetõhusus õppimisel ja matemaatilise mõtteviisi kujundamisel keskne jõud. Kui õpilane usub, et tema tegevus võib mõjutada tulemusi, kasvab tema valmisolek süveneda ka keerukatesse probleemidesse.

Enesetõhususe teooria looja Bandura (1977) lähtus tähelepanekust, et inimeste võimekus käituda teatud moel (nt sooritada keerukaid töid või lahendada matemaatikaülesannet) ei sõltu üksnes sellest, mida nad teavad või oskavad, vaid ka sellest, mida nad usuvad end suutvat. Kaks inimest võivad omada sama palju teadmisi ja oskusi, kuid see, kes usub oma võimesse raskustega toime tulla, ei jäta jonni ja proovib uusi strateegiaid, saavutades lõpuks ka edu. Bandura nimetas seda uskumust '''enesetõhususeks''' (''self-efficacy''). See ei tähenda üldist enesehinnangut, vaid konkreetset veendumust, et „ma saan selle asjaga hakkama“.

Enesetõhusus on seega defineeritud kui uskumus oma võimekusse konkreetset eesmärki saavutada. See ei ole sama mis optimism või enesehinnang: inimene võib üldiselt tunda end enesekindlalt, kuid tunda madalat enesetõhusust näiteks matemaatikaülesannete lahendamisel. Bandura uuringutes selgusid neli peamist enesetõhususe allikat:
* '''Isiklikud eduelamused''' (''mastery experiences''): varasemad õnnestumised suurendavad usku enda võimekusse, korduvad ebaõnnestumised vähendavad seda.
* '''Asenduskogemused''' (''vicarious experiences''): teiste edu jälgimine („kui tema sai hakkama, saan ka mina“) tõstab enesetõhusust.
* '''Sotsiaalne veenmine''' (''social persuasion''): teiste toetav tagasiside või julgustus („Ma tean, et sa tegelikult suudad“) võib tugevdada usku iseendasse.
* '''Füsioloogiline ja emotsionaalne seisund''': stress, ärevus või väsimus võivad enesetõhusust vähendada, rahu ja keskendumine seda suurendada.

Õpetaja saab toetada õpilaste enesetõhusust, luues olukordi, kus õpilased kogevad väikseid eduelamusi („edu redel“), tuues esile erinevaid lahendusviise (''vicarious experience''), pakkudes konkreetset ja julgustavat tagasisidet („sinu lähenemine oli huvitav – proovi seda laiendada“) ning aidates vähendada ärevust toetava klassikultuuri kaudu.

Matemaatikatundides on õpilaste enesetõhusus sageli madal, sest nad tõlgendavad vigu oma ettemääratud ja lootusetu suutmatusena. Bandura teooria järgi on see just vastupidi: kui õpilane kogeb, et pingutus ja strateegia toovad edu, kasvab tema uskumus, et ta suudab.

Boaler on võtnud kasutusele enesetõhususega lähedalt seotud mõiste '''matemaatiline agentsus'''. See tähendab, et õppija ei täida lihtsalt õpetaja antud juhiseid, vaid tegutseb nagu teadlane: püstitab ise hüpoteese või uurimisküsimusi, uurib ja katsetab ning teeb neist katsetustest üldistavaid järeldusi. Õpetaja roll on kujundada toetav õpikeskkond, kus iga õpilane saab end tunda mõtlejana ja uurijana, mitte mehaanilise käsutäitjana.

=== Kasvumõtteviis ===
Kõige tugevamini on Boaleri metoodikat mõjutanud ilmselt Carol Dwecki '''kasvumõtteviisi teooria''' (''Growth Mindset'', mõnikord tõlgitud eesti keelde ka kui juurdekasvu-uskumus) ja aju-uurijate viimaste aastate avastused aju neuroplastilisuse kohta. Dwecki kasvumõtteviisi teooria on üks tänapäeva hariduspsühholoogia keskseid käsitlusi õppimise ja motivatsiooni kohta. Selle põhisisu seisneb inimeste uskumustes oma võimete ja intelligentsuse olemuse kohta.

Dweck vastandab kasvu- ja jäävusmõtteviisi:
* '''Jäävusmõtteviisiga''' inimesed usuvad, et intelligentsus ja võimed on kaasasündinud ja muutumatud („ma lihtsalt ei ole matemaatika-inimene“). Nad püüavad võimaluse korral vältida raskusi ja tõlgendavad vigu kui kinnitust oma paratamatu või lootusetu võimetuse kohta.
* '''Kasvumõtteviisiga''' inimesed usuvad, et võimed (sh matemaatiline võimekus) arenevad pingutuse, õppimise ja strateegiate kaudu („ma ei oska seda veel, aga ma suudan selle selgeks õppida, kui pingutan“). Nad ei pelga väljakutseid, ei anna alla raskuste ees ja näevad pingutust edu eeldusena.

Soovitame vaadata [https://www.tlu.ee/uudised/1-minuti-loeng-kuidas-uskumus-meie-voimeid-mojutab-katrin-poom-valickis Katrin Poom-Valickise minutiloengut] juurdekasvu-uskumuse teemal.

Kasvumõtteviisi toetab õpetaja '''protsessikeskne tagasiside''': tunnustatakse hästi toimivaid õpistrateegiaid, pingutust ja kohalolekut õppimisprotsessis, mitte ainult tulemust (nt „Sa proovisid mitut viisi ja ei loobunud“). Näiteks õpetaja kiitus „Küll sa oled nutikas!“ võib hoopis kinnistada jäävusmõtteviisi. Dweck rõhutab tagasilöökide ja vigade olulisust õppimisvõimalusena: aju aktiveerub rohkem, kui inimene eksib ja püüab aru saada, miks. Ka Boaler kinnitab Dweckist inspireerituna: „Eksimine kasvatab aju“. Kasvumõtteviis ei teki lihtsalt positiivsete loosungite abil, vaid vajab süsteemset õpetamiskultuuri, mis soosib uurimist, eksimust ja refleksiooni. Õpetaja peab kujundama õpikeskkonna, kus vigade tegemine on turvaline ja pingutus on väärtus.

Dwecki ja tema kolleegide uuringud (nt Blackwell, Trzesniewski &amp; Dweck, 2007) näitavad, et kasvumõtteviisi arendamine parandab õpilaste õpitulemusi, eriti matemaatikas. Nad soovitavad mitte peljata selgitada ka õpilastele aju neuroplastilisuse ja kasvumõtteviisi teooriat, sest nende uuringute põhjal võib sellise metakognitiivse „tööriistakasti“ omamine tõsta märgatavalt õpilaste motivatsiooni ja sooritust.

Boaler toob arvukalt neuroteaduslikke tõendeid selle kohta, et aju plastilisus võimaldab õppijatel arendada uusi ühendusi kogu elu jooksul. Matemaatiline ajutegevus ei piirdu loogilise „vasaku ajupoolkeraga“: parim õppimine toimub siis, kui aktiveeruvad mõlemad ajupooled ning loogiline, visuaalne ja ruumiline mõtlemine. Vigade tegemine aktiveerib aju õppimiskeskused isegi siis, kui õppija ei tea, et ta eksis. Sellepärast ütleb Boaler: „Su aju areneb, kui vigu teed“ (''Mistakes grow your brain''). Vigadest rääkimine ei ole nõrkuse tunnus, vaid õppimise loomulik osa.

== 4.2 Probleemülesannete disain: madal lävi, kõrge lagi ==
Boaleri klassiruumides ei anta õpilastele fikseeritud keerukusastmel probleemülesandeid (nt. keerukamad kiiretele ja lihtsamad aeglastele õpilastele). Selle asemel soovitab ta kasutada ülesannete koostamisel '''„madala läve ja kõrge lae“''' disainiprintsiipi (''low floor – high ceiling''). See võimaldab igal õpilasel alustada talle jõukohaselt tasemelt, saavutada esialgne eduelamus ja liikuda edasi sügavama mõtlemise suunas.

'''Madala lävega''' ülesanded on ligipääsetavad kõigile. Neid saab alustada mänguliselt, visuaalselt või konkreetsete näidetega. Näiteks võib õpetaja paluda: „Ehitage 3D-kuup Lego klotsidest ja värvige see väljastpoolt. Kui lõikate selle väikesteks kuubikuteks, mitu neist on värvitud kolmest küljest, kahest, ühest või mitte ühestki?“ Selline värvikuubi ülesanne kutsub kõiki kaasa mõtlema: mõned õpilased töötavad praktiliselt ja loendavad väikesi kuubikuid, teised modelleerivad arvutiga, kolmandad proovivad koostada võrrandi (nt 6 × (n−2)² + …).

'''Kõrge laega''' ülesanded kutsuvad edasi mõtlema, mustreid nägema, üldistama ja tõestama. Sama ülesannet saab kasutada nii 5. klassis kui ka gümnaasiumis, muutes vaid lähenemise sügavust. Boaler rõhutab, et õpetaja ei tohiks „tõsta raskusastet“ täiendavate ülesannetega, vaid luua kohe alguses selline ülesanne, mille sisse on juba peidetud täiendav uurimis- ja edasiarendusruum.

Näiteks värvikuubi ülesande puhul võiks õpetaja toetada õpilaste mõtlemist küsimustega:
* „Mis juhtuks, kui see kuup oleks kaks korda suurem?“
* „Kas sa saad oma lahendust visualiseerida?“
* „Kas keegi leidis teise mustri? Mille poolest need mustrid erinevad?“

Boaleri teine ülesannete disainiprintsiip on '''rühmatööks sobivad ülesanded''' (''groupworthy tasks''). Need on probleemülesanded, mille lahendamiseks on vaja mitut vaatenurka või erinevat laadi panust mitmelt rühmaliikmelt. Rühmas töötamine peab olema sisuline ja lisaväärtust loov, mitte võimalus osadel õpilastel viilida, kuni kõige kiirem rühmaliige teiste eest töö ära teeb. Näiteks toob ta sellise ülesande: „Kavandage 500 m² suurune park, kasutades vähemalt kolme erinevat kujundit. Arvutage pindalad ja ümbermõõdud, tehke plaan. Üks õpilane koostab joonise, teine arvutab pindala, kolmas kontrollib proportsioone ja põhjendab valikuid.“ Sellise ülesande puhul sõltub rühma töö tulemus kõigi rühmaliikmete panusest.

Boaleri ja tema kolleegide koostatud madala läve ja kõrge laega ning rühmatööks sobivaid matemaatikaülesandeid leiab veebilehelt [http://youcubed.org YouCubed.org], rubriigist „Activities and tasks“.

== 4.3 Õpilaste rühmitamine ja õppekorraldus ==
Boaler peab '''segatasemelisi rühmi''' (''mixed-ability groups'') oluliseks sotsiaalseks ja kognitiivseks ressursiks, samas tasemerühmad mõjuvat õpilaste õpimotivatsioonile ja eneseusule halvasti. Tema uurimused (nt [https://www.youcubed.org/wp-content/uploads/2017/09/Creating-Mathematical-Futures.pdf Railside School Study]) näitavad, et kui õpilasi ei jagata võimekuse järgi, vaid nad töötavad ühiselt, paranevad tulemused kõigil, eriti nõrgematel.

Matemaatilise mõtteviisi metoodikat järgiv klassiruum ei ole vaikne töölaudade rida, vaid elav uurimislabor. Lauad on paigutatud rühmatööks sobivalt saarekestena, seintel on paber- või valgetahvlid, kuhu rühmad saavad kirja panna oma lahendusideid, jooniseid, mõistekaarte jm. Klassis kehtivad selged põhimõtted:
* igaühe mõtted on väärtuslikud ja teretulnud, kõiki tuleb ära kuulata;
* „vead on head“: need on oluline ja väärtuslik osa õppimisest, mitte märk läbikukkumisest;
* kiirus ei võrdu tarkusega;
* koostöö viib edasi.

Selline keskkond kasvatab õppija kuuluvustunnet, toetab kasvumõtteviisi ja enesetõhususe kujunemist, vähendab hirmu matemaatika ees ja innustab uuesti proovima.

== 4.4 Toestamine ja kujundav hindamine ==
Boaleri järgi peab õpetaja roll muutuma hindajast juhendajaks ja juhendajast kuulajaks. '''Toestamine''' (''scaffolding'') tähendab, et õpetaja ei anna vastuseid, vaid juhendab õppija mõtlemist suunavate küsimuste, näidete, vihjete, visualiseerimise ja refleksiooni esilekutsumise kaudu. Toestav õpetaja ei anna lahenduskäiku, vaid küsib: „Kuidas sa teadsid, et see töötab?“, „Mis juhtuks, kui sa muudaksid ühte arvu?“, „Kas saad oma mõtet joonisega näidata?“. Toestamine on ajutine ja taanduv: kui õpilane hakkab juba iseseisvalt toime tulema, taandub õpetaja kuulaja või vaatleja rolli ega anna enam tuge. Selline lähenemine julgustab iseseisvat mõtlemist ja uurimist ning õpilase vastutuse võtmist oma õppimise eest.

Toestamisele sarnane, kuid siiski sellest pisut erinev on '''kujundav hindamine''' õppeprotsessi käigus. Eestis on hakatud seda viimasel ajal nimetama pigem '''õppimist toetavaks hindamiseks''' (ingliskeelse eeskuju järgi ''assessment for learning''). Õppimist toetav hindamine toimub üldjuhul õppeprotsessi kestel, samas kui õpitulemuste '''arvestuslik hindamine''' (''assessment of learning'') toimub pärast õppimise lõppu, sageli eristava (hindelise) hindamise kujul, nt eksami, kontrolltöö või testina.

Kujundav hindamine on sageli seotud enese- ja rühmarefleksiooniga, kui tunni lõpus palub õpetaja õpilastel oma õpikogemust kokku võtta: „Mis oli tänase tunni kõige olulisem mõte?“, „Mis sind üllatas?“, „Mida tahaksid järgmisel korral uurida?“. Sellised '''väljumispiletid''' (''exit tickets'') võimaldavad õpetajal mõista, kuidas õpilased mõtlevad, mitte kui palju nad mäletavad.

Oluline on käsitleda nii kujundavas hindamises kui ka refleksioonis vigu positiivses võtmes: suunata klass arutama, miks viga tekkis ja kuidas see aitab mõista teemat või lahendusprotsessi sügavamalt. Nii kujuneb '''produktiivse pingutuse''' efekt (''productive struggle''), mis kasvatab enesetõhusust, püsivust ja matemaatilist kasvumõtteviisi.

== 4.5 Kümme matemaatilise mõtteviisi tehnikat õpetaja tööriistakastist ==
# '''Räägime arvudest''' (''Number Talk''): arutle, mitte ära arvuta mehaaniliselt. Need on lühikesed peastarvutused ja arutlused, mille eesmärk on lahendusstrateegiate mõistmine ja sõnastamine. Näiteks „Kuidas sa arvutasid 18 × 5?“, mille puhul üks õpilane kasutab poole võrra vähendamist, teine hoopis ümardamist. ''Kasu:'' õpitakse, et matemaatikas on mitu õiget teed.
# '''Märka ja imesta''' (''Notice &amp; Wonder''). Tund algab visuaalse äratusega: graafik, mustriline kujund, diagramm. Õpilased kirjeldavad, mida nad pildil märkasid ja mis tekitab neis küsimusi. ''Kasu:'' kujundab uurimuslikku hoiakut.
# '''Madala läve ja kõrge laega ülesanded.''' Need on jõukohased kõigile, kuid võimaldavad süvitsi uurimist. Näiteks [https://www.youcubed.org/tasks/painted-cube/ Värvikuup] (''Painted Cube'') või [https://www.youcubed.org/tasks/squares-to-stairs/ Ruudutrepp] (''Squares to Stairs''), milles õpilased kasutavad mustreid, ruumilist mõtlemist ja võrrandeid. ''Kasu:'' igaüks saab sobiva tasemega väljakutse ja kõigil tekib eduelamus.
# '''Veena iseennast, sõpra, kahtlejat''' (''Convince Yourself, a Friend, a Skeptic''). Õpilased peavad oma väiteid põhjendama kolmel tasandil: esmalt iseendale, seejärel rühmale ja lõpuks skeptikule, kes kuidagi ei taha neid väiteid uskuda. Näide: [https://www.youcubed.org/tasks/paper-folding/ voltimismäng]. ''Kasu:'' arendab argumenteerimist ja tõestamise mõtlemist.
# '''Kui lähedal on sada?''' (''How Close to 100?''). [https://www.youcubed.org/tasks/how-close-to-100/ Mänguline korrutamise ja pindalaülesanne] 10 × 10 ruudustikul täringutega. ''Kasu:'' uued teadmised saadakse visuaalselt ja mänguliselt, kiirustamata.
# '''Vead on vägevad''' (''Mistakes are Powerful''). Õpetaja toob klassi arutelusse ühe vea ja seda uuritakse koos. Näiteks: miks arvutati 21 − 6 valesti? ''Kasu:'' õpilased õpivad vigu analüüsima, mitte ebaõnnestumist kartma.
# '''Matemaatikarännakute kaardistus''' (''Mathematical Journeys''). Õpilased visualiseerivad oma mõtteprotsessi skeemide, kaartide, mõiste- ja ideekaartide või plakatite kujul. ''Kasu:'' visuaalne mõtlemine tugevdab mõistmist ja seoseid.
# '''Rühmatööülesanded''' (''Groupworthy Tasks''). Koostööülesanded, kus iga õpilane täidab erinevat rolli ja igaühel on oluline panus lõpptulemusse. Näiteks pargi kavandamine pindala ja ümbermõõdu arvutustega. ''Kasu:'' koostöö loob vastastikuse vastutuse ja kaaslastelt saab tuge.
# '''Galeriituur ja matemaatikakonverents''' (''Gallery Walk'' ja ''Math Congress''). Rühmad esitlevad oma lahendusi postritena seintel, teised jätavad postri juurde küsimusi ja kommentaare. ''Kasu:'' kujundab kriitilist ja sotsiaalset mõtlemist.
# '''Refleksioon ja väljumispiletid''' (''Reflection &amp; Exit Tickets''). Tunni lõpus reflekteeritakse oma õppimist. ''Kasu:'' toetab metakognitsiooni ja õpetaja kohandavat õpet.

== 4.6 Uurimistulemused ja mõju ==
Stanfordi YouCubedi uurimused (Boaler jt, 2019–2024; Boaler, LaMar &amp; Leshin, 2024) näitavad, et õpilased, kes osalesid ''Mathematical Mindset'' kursustel või suvelaagrites, tegid märgatava hüppe algebralises mõtlemises ja probleemilahendusoskuses: keskmiselt ligi 0,9 standardhälvet, mis vastab umbes 2,8 õppeaasta arengule. Veelgi olulisem on, et nad hakkasid end nägema matemaatikutena, mitte lihtsalt arvutajatena. Muutusid ka õpetajate hoiakud: nad loobusid „kiirusekultusest“ ja õppisid väärtustama avatud mõtlemist.

Kokkuvõtteks võib tõdeda, et Jo Boaleri matemaatilise mõtteviisi metoodika ei ole pelgalt õpetamisviis, vaid õppimise filosoofia, mis toob matemaatika tagasi selle olemuseni: maailma mõtestamiseni mustrite ja seoste kaudu. See lähenemine tuletab meelde, et matemaatika on sotsiaalne looming ja matemaatiline mõtlemine võib pakkuda rahuldust kõigile. Kui õpetaja loob keskkonna, kus õppijad saavad mõelda, arutada, eksida ja avastada, sünnib tõeline matemaatiline mõtteviis.

== Viited ==
* Bandura, A. (1977). Self-efficacy: Toward a unifying theory of behavioral change. ''Psychological Review'', 84(2), 191–215.
* Blackwell, L. S., Trzesniewski, K. H., &amp; Dweck, C. S. (2007). Implicit theories of intelligence predict achievement across an adolescent transition: A longitudinal study and an intervention. ''Child Development'', 78(1), 246–263.
* Boaler, J. (2016). ''Mathematical Mindsets: Unleashing Students' Potential through Creative Math, Inspiring Messages and Innovative Teaching''. San Francisco: Jossey-Bass/Wiley.
* Boaler, J. (2018). Developing Mathematical Mindsets: The Need to Interact with Numbers Flexibly and Conceptually. ''American Educator'', 42(4).
* Boaler, J., &amp; Greeno, J. G. (2000). Identity, agency, and knowing in mathematics worlds. In J. Boaler (Ed.), ''Multiple Perspectives on Mathematics Teaching and Learning'' (pp. 171–200). Westport, CT: Ablex.
* Boaler, J., LaMar, T., &amp; Leshin, M. (2024). Mathematical Mindset Experience Taught at Scale. ''Frontiers in Education'', 9.
* Deci, E. L., &amp; Ryan, R. M. (2017). ''Self-Determination Theory: Basic Psychological Needs in Motivation, Development, and Wellness''. New York: Guilford Press.
* Dweck, C. S. (2006). ''Mindset: The New Psychology of Success''. New York: Random House.

== Veebiallikad ==
* YouCubed: [http://youcubed.org youcubed.org]
* Boaler, J. (2017). Creating Mathematical Futures through an Equitable Teaching Approach: The Case of Railside School. [https://www.youcubed.org/wp-content/uploads/2017/09/Creating-Mathematical-Futures.pdf PDF]
* YouCubedi ülesanded: [https://www.youcubed.org/tasks/painted-cube/ Painted Cube], [https://www.youcubed.org/tasks/squares-to-stairs/ Squares to Stairs], [https://www.youcubed.org/tasks/paper-folding/ Paper Folding], [https://www.youcubed.org/tasks/how-close-to-100/ How Close to 100?]
* Poom-Valickis, K. 1-minuti loeng: kuidas uskumus meie võimeid mõjutab. Tallinna Ülikool. [https://www.tlu.ee/uudised/1-minuti-loeng-kuidas-uskumus-meie-voimeid-mojutab-katrin-poom-valickis tlu.ee]

[[Kategooria:LAHEMATE]]
[[Kategooria:Probleemilahendus]]</text>
      <sha1>ldm1p8l6yswllaak4mzuogmf57cq2w4</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>5.Kanada koolkond: Peter Liljedahl'i mõtlev klassiruum</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4264</id>
    <revision>
      <id>20344</id>
      <timestamp>2026-09-28T06:38:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>Uus lehekülg: '= 5. Peter Liljedahli mõtleva klassiruumi metoodika =  Liljedahli metoodika põhineb tema aastatepikkusel teadustööl ja tunnivaatluste süstemaatilisel analüüsil. Need veensid teda, et enamikus vaadeldud matemaatikatundides ei toetata õpilaste mõtlemist piisavalt. Ta väidab, et enamik õpilasi ei tegele tunnis ei mõtlemise ega õppimisega (neist esimene on viimase vältimatu eeldus), vaid hoopis „õpilasena käitumise“ ehk '''„õpilasetsemise“''' (''student...'</comment>
      <origin>20344</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="36590" sha1="nr5jer5nm5u59vo788p2bhzpowd7auh" xml:space="preserve">= 5. Peter Liljedahli mõtleva klassiruumi metoodika =

Liljedahli metoodika põhineb tema aastatepikkusel teadustööl ja tunnivaatluste süstemaatilisel analüüsil. Need veensid teda, et enamikus vaadeldud matemaatikatundides ei toetata õpilaste mõtlemist piisavalt. Ta väidab, et enamik õpilasi ei tegele tunnis ei mõtlemise ega õppimisega (neist esimene on viimase vältimatu eeldus), vaid hoopis „õpilasena käitumise“ ehk '''„õpilasetsemise“''' (''studenting'') muude vormidega. „Studenting“ on Alleni (2017) välja pakutud termin, mis tähistab kõiki antud õpikeskkonnas õpilaseks olemisega seotud tegevusi, mille hulka kuulub muu hulgas ka õppimine. Allen pakub oma empiiriliste uuringute põhjal välja viis peamist õpilasetsemise vormi:
* '''viilimine''' (''slacking''): õpilased ignoreerivad täielikult õpetaja antud ülesandeid ja tegelevad millegi muuga, nt nutitelefonis ühismeedia vaatamise, teemavälise omavahelise suhtlemise või lihtsalt mittemidagitegemisega;
* '''venitamine''' (''stalling''): õpiülesandega tegelemise edasilükkamine, kasutades ettekäändena legitiimseid asendustegevusi, nagu pliiatsi teritamine, kotist asjade otsimine või WC-s käik;
* '''teesklemine''' (''faking''): näiliselt õpiülesandega tegelemine (tahvli või õpiku „uurimine“, mõtliku näo tegemine), kuid tegelikult ülesande lahendamise vältimine;
* '''matkimine''' (''mimicking''): ülesandega mehaaniliselt tegelemine, kopeerides õpetaja eelnevat näidislahendust rida-realt, kuid ilma aktiivse mõttetegevuse ja mõistmiseta;
* '''katsetamine''' (''trying it on their own''): iseseisev pingutamine ülesande lahendamiseks.

Liljedahl väidab, et neist üksnes viimasega kaasneb mõtlemine ja et sadades tema vaadeldud matemaatikatundides tegeles „mõtlemisvabade“ õpilasetsemise vormidega 75% õpilastest peaaegu kogu tunni jooksul. Lahendusena on Liljedahl oma uuringute tulemusena sõnastanud 14 tegurit, mis aitavad luua mõtlemist toetava õpikeskkonna:
# '''Milliseid ülesandeid me õpilastele anname?''' Alustada tuleks aine(kava)ga vaid kaudselt seotud elulistest ja mõtlema innustavatest küsimustest ning seejärel liikuda pisitasa matemaatilisemate mõtlemisülesannete juurde.
# '''Kuidas me õpilasi rühmitame?''' Juhuslikult kokku loositud, iga kord uued rühmad toimivad paremini ja innustavad õpilasi rühma ühistegevusse panustama.
# '''Kus õpilased õpivad?''' Õpilaste mõtlemist ja koostööd on lihtsam käivitada, kui nad seisavad vertikaalsete kirjutamispindade ees, millelt kirjapandut saab kustutada (nt pabertahvlid, valged markertahvlid, interaktiivsed ekraanid).
# '''Milline on füüsiline õpikeskkond klassis?''' Ridadesse joondatud, õpetaja suunas vaatavad pingiread toovad kaasa passiivse õppimise. Klassi mööbel peab võimaldama ümberpaigutamist ja rühmatööks vaba ruumi loomist, eelkõige seinte ääres.
# '''Kuidas vastatakse õpilaste küsimustele?''' Tavatundides on 90% õpilaste küsimustest kas pelgalt õpetajaga muul teemal suhtlemiseks, kuna ta satub lähedusse (nn ''proximity questions''), või kiire tagasiside saamiseks („Kas see on õige?“). Need peatavad õpiülesande üle mõtlemise. Õpilasi peaks suunama esitama hoopis mõtlemist soodustavaid küsimusi (nn ''keep-thinking'' küsimused).
# '''Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid?''' Õpilaste mõtlemist aktiveerivad ülesanded, mis antakse pigem tunni alguses kui lõpus, pigem suurel ekraanil kui õpikus, pigem suuliselt kui kirjalikult.
# '''Millist kodutööd antakse?''' Et õpilased ei tajuks kodutööd kui õpetaja jaoks kontrolli eesmärgil tehtavat tüütut kohustust, tuleks anda selliseid kodutöid, mis inspireerivad kodus edasi mõtlema ja oma lahenduste tulemuslikkust hindama.
# '''Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat?''' Õppijate enesejuhitavust saab suurendada nii eespool kirjeldatud rühmatööde, arutelude ja teistmoodi kodutöödega kui ka kaaslaste vaatlemise, neilt ideede korjamise ja neile tagasiside andmisega.
# '''Kuidas toestada õppimist?''' Vihjed, näited ja soovitused aitavad hoida õppijad personaliseeritud „kulgemisvööndis“ (''flow zone'', vt Csikszentmihalyi, 1990) ja vältida õppimise muutumist liiga lihtsaks või liiga raskeks.
# '''Kuidas konsolideerida õpitut?''' Eri ülesannete kaudu õpitu koondamine iga õpilase peas ühtseks tervikuks on konstruktivistliku õpikäsituse üks nurgakive ja suur väljakutse õpetajale.
# '''Kuidas õpilased teevad märkmeid?''' Õpetaja jutu mehaanilise konspekteerimise asemel tuleb õpilasi õpetada ise oma mõttetööst kokkuvõtteid visandama ja visandeid täiustama.
# '''Mida hinnatakse?''' Lisaks ainekavas kirjas olevatele õpitulemustele tuleks hindamise objektiks võtta ka oskused, mida mõtlemist soodustavas tunnis väärtustatakse, nt püsivus, koostöö ja loovus.
# '''Kuidas teostada kujundavat hindamist?''' Õpilastele antakse mitmekülgset tagasisidet mitte üksnes nende püüdlikkuse ja aktiivsuse kohta, vaid ka selle kohta, kuidas nad seni on toime tulnud ja mida tuleks edasi teha.
# '''Kuidas hinnatakse õpitulemusi?''' Pigem sarnaselt kujundava hindamisega (pakkudes õpilastele tagasisidet edasimõtlemiseks), mitte lõpliku kohtuotsusena, kuid siiski riikliku õppekava õpitulemustest lähtudes.

Vaatleme nüüd lähemalt neid neljateistkümmet &quot;optimaalset/toimivat praktikat&quot; (sisuliselt on need taas heuristikud, aga õpetajale) koos praktiliste näidetega.

== 5.1 Neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamiseks ==

=== 5.1.1 Milliseid probleemülesandeid me õpilastele anname? ===
Oma raamatus „Building Thinking Classrooms“ (2020) toob Liljedahl hakatuseks näite probleemülesandest, mille autor on Lewis Carroll: ''kui kuus kassi püüab kuue minuti jooksul kuus rotti, siis mitu kassi oleks vaja, et püüda 50 minuti jooksul 100 rotti?'' Selle ülesande lahendamine eeldaks küll teadmisi murdude ja võrdelise seose kohta, kuid neist ei piisa. Õpilased jäävad tavaliselt „kinni“ juba alguses, sest ülesandest võib aru saada kaheti: kas kuuest kassist üks püüab igas minutis ühe roti või püüab iga kass ühe roti kuue minuti jooksul. See „kinnijäämine“ toob kaasa mõtlemise ja probleemilahenduse käivitumise.

Eksamiks õppides lahendavad paljud „tublid“ õpilased suurel hulgal ülesandeid, nii et õppekavale vastavad tüüplahendused muutuvad nende jaoks rutiinseks ja nende lahendamiseks pole enam mõtlemist tarvis – piisab mehaanilisest matkimisest. Eksamil (ja elus või hilisemates õpingutes) võib aga suure tõenäosusega ette tulla probleeme, mille lahendamine eeldab mitterutiinseid lahendusi, näiteks matemaatika eri valdkondadest või teistest õppeainetest pärinevate teadmiste kombineerimist. Just selliseid probleemülesandeid soovitab Liljedahl matemaatilise mõtlemise harjutamiseks kasutada juba õppeprotsessi käigus. Ta jaotab head probleemülesanded kolme kategooriasse.

'''1) Köitvad nuputamisülesanded''', mis lausa meelitavad inimesi lustiga kaasa mõtlema. Õpikutes esineb sedalaadi ülesandeid pigem harva, kuid mujal (nt ajalehtede nupunurkades, sotsiaalmeedias, Känguru võistlusel, e-rehkenduses) on neid küllaldaselt. Liljedahl toob neli näidet kooliastmete kaupa:
* ''I kooliaste:'' mitu ruutu on pildil?
* ''II kooliaste:'' kui ostad videomängu 10 dollariga, müüd selle 20 dollariga, ostad taas tagasi 30 dollariga ja müüd uuesti 40 dollariga, siis kui palju raha sa lõpuks teenisid (või kaotasid)?
* ''III kooliaste:'' kui sul on ainult kaks liivakella (üks 4-minutiline ja teine 7-minutiline), kas saaksid nende abil aega mõõtes keeta oma vanaemale täpselt 9 minutit keedetud muna? Kui saab, siis kui kaua peab vanaema ootama muna valmissaamist?
* ''Gümnaasiumiaste:'' ekstsentriline daam broneeris kolm kõrvutiasuvat hotellituba ja lubas ööbida igal ööl toas, mis asub eelmisel ööl kasutatud toa kõrval. Vastuvõtus töötav John avastas, et tubade eest maksmiseks kasutatud krediitkaart ei toimi. Kiire töötempo tõttu on Johnil päeva jooksul aega vaid korraks minna ülakorrusele ja koputada ühele kolmest uksest, lootes daami leida ja maksetõrke ära klaarida. Mitu päeva tal kulub, et kindlasti daamiga kohtuda? Aga kui daam oleks broneerinud hoopis 4 või 5 tuba? Või kui ta broneeris 17 tuba 30 päevaks – kas Johnil oleks lootust daam tabada enne, kui too kuu möödudes hotellist lahkub?

'''2) Kaarditrikid''', mis põhinevad matemaatikal, mitte silmapettel ega käteosavusel. Selliste trikkide videosalvestusi on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]

'''3) Rehkendamisülesanded''', mis on võetud elust enesest ja kõnetavad seetõttu õpilasi. Sellise ülesande näitena toob Liljedahl loo sõpruskonna suusareisist, milleks on pikalt raha kogutud. Allpool olevas tabelis on näha iga rühmaliikme kogutud raha ja kavandatud kulud. Sõbrad on otsustanud, et kogutud raha kulutatakse viimase sendini üksnes kavandatud otstarbeks ja keegi ei tohi reisilt maha jääda (isegi kui mõni maksab rohkem, kui tal endal kulub). Kas raha on kogutud piisavalt? Kui ei, siis kes peaks juurde maksma ja kui palju? Selliseid rehkendamisülesandeid on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses koos juhendiga, kuidas neid ise koostada: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Tabel 1. Sõpruskonna suusareisi jaoks kogutud raha ja kavandatud kulutuste koond
! Nimi !! Kogutud raha !! Suusavarustuse rent !! Suusalifti pilet !! Algaja suusakoolitus
|-
| Aleks || 75 || 20 || 40 || 40
|-
| Piret || 125 || 10 || 40 || 40
|-
| Terje || 50 || 30 || 40 || 0
|-
| Kevin || 10 || 40 || 40 || 40
|-
| Jaana || 25 || 0 || 40 || 0
|-
| Reta || 10 || 0 || 40 || 40
|-
| Taavi || 38 || 30 || 40 || 0
|-
| Sten || 22 || 40 || 40 || 40
|-
| Sonja || 200 || 20 || 40 || 0
|-
| Kaidi || 60 || 25 || 40 || 0
|}

Probleemülesannete koostamisel lähtub Liljedahl (nagu ka Boaler) '''„madala läve ja kõrge lae“''' disainipõhimõttest, lisades sellele veel kolmanda: '''„avatud keskpaiga“''' printsiibi. Viimane eeldab probleemülesandelt ühte õiget vastust, jättes avatuks ja paindlikuks selle vastuseni jõudmise viisi. Selliseid „avatud keskpaigaga“ ülesandeid esineb sagedamini nuputamisülesannete ja kaarditrikkide seas, samas kui Liljedahli stiilis rehkendamisülesannetel on üldjuhul ka õigeid vastuseid palju.

Õpetaja võib neid ülesandeid vaadates ohata, et need on küll haaravad, kuid ei aita saavutada õppekavas olevaid õpiväljundeid. Loogiline lahendus näib olevat mõtlemist toetavate tekstülesannete kohandamine selliseks, et nende lahendamisel tuleb paratamatult kasutada õpikuteadmisi käsiloleva peatüki ja õppekava osa kohta. Nii talitades ohverdaksime aga õpilaste mõtlemise arendamise ja kaasahaaratuse ning riskiksime muuta ülesannete lahendamise igavaks ja rutiinseks matkimiseks. Selle asemel soovitab Liljedahl muretseda vähem õppekava pärast ja keskenduda esmalt õpilaste mõtlemisele. See suurendab nende eneseusku oma matemaatikavõimetesse, positiivset suhtumist ja huvi õppeaine vastu, misjärel õppekavaga selgemalt seotud ülesannete lahendamine muutub oluliselt lihtsamaks ja võtab vähem aega.

Lisaks saab ka õpikuülesandeid kohandada nii, et need panevad õpilased mõtlema. Näitena esitab Liljedahl õpetaja dialoogi klassiga ruutkolmliikme tegurdamise teemal, alustades varem õpitud teadmisest:
* '''Õpetaja:''' Meenutame kaksliikmete korrutamist. Mis te saate, kui korrutate (x + 2)(x + 3)?
* '''Õpilased:''' (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
* '''Õpetaja:''' Aga kui ma alustaksin tagantpoolt ja mu vastus oleks x² + 7x + 6, mis arvud peaksid sel juhul olema mu algses küsimuses (x + □)(x + □)?

Kokkuvõtteks soovitab Liljedahl alustada iga tundi mõtlemisülesannetega ja õpilaste kaasamise järel liikuda edasi ülesannete juurde, mille lahendamine eeldab õppekavale vastavate teadmiste rakendamist. Samas ei soovita ta õppekavale või õpikule vastavaid lahendusi õpilastele ette näidata, sest see lülitaks õpilased „mõtlemisrežiimist“ „matkimisrežiimi“.

'''Mikrosammud probleemülesannete koostamiseks mõtlemisruumi metoodikast lähtuvalt:'''
* Alusta 1–2 esimesel nädalal õppekavaväliste nuputamis- ja mõtlemisülesannetega (madal lävi, kõrge lagi). Alles õpilaste mõtlemisharjumuste tekkides liigu õppekavaga otsesemalt seotud ülesannete juurde.
* Vali ülesanded, millel on mitu lahendusviisi (joonista, koosta tabel, võrrand, arvuta).
* Väldi alguses töölehti: anna ülesanne suuliselt ja lase rühmadel ideid proovida.

'''Näidisülesanne:'''
* Koosta koolile [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf uus tunniplaan], kus iga teine reede on iseseisva õppe päev, kuid koolitundidele kuluvate minutite summa igas kahenädalases tsüklis (ja õppeaastas tervikuna) jääb samaks kui praegu.

Sama raamülesanne hoiab mõtlemist esiplaanil ka siis, kui selle sisu muutub hiljem õppekavaga seotuks.

=== 5.1.2 Kuidas me õpilasi rühmitame? ===
Loo silmanähtavalt juhuslikud kolmesed rühmad ja vaheta neid sageli. See murrab sotsiaalseid barjääre, suurendab teadmiste liikumist klassis ja tõstab iga õpilase valmisolekut panustada ühisesse mõtlemistegevusse.

'''Mikrosammud:'''
* Moodusta rühmad silmanähtavalt juhuslikult, kasutades nt kaardipakki, loosipulki või QR-koode.
* Vaheta rühmade koosseise sageli (igas tunnis või üle päeva), et vältida „püsirollide“ tekkimise ohtu.
* Hoia rühma suurus kolmeliikmelisena: see on piisav erinevate ideede tekkeks, kuid ei võimalda rühmaliikmetel mugavalt „pealtvaataja“ vaikivasse rolli taanduda.

'''Näide:''' õpetaja segab kaardipaki, jagab igale õpilasele ühe kaardi ja kutsub õpilased tahvlite juurde kolmeliikmelistesse rühmadesse kaardimastide või -väärtuste järgi. Algne kohmetus taandub kiiresti ja koostöö paraneb.

=== 5.1.3 Kus õpilased töötavad? ===
Õpilased seisavad püsti ja kirjutavad '''vertikaalsetele kustutatavatele pindadele''' (tahvlid, A1 paberlehed, aknaklaasid). Vertikaalsus tagab nähtavuse teistele õpilastele ja õpetajale, aga ka vastutuse. Kustutatavus julgustab uute ideedega katsetama ja uuesti proovima.

'''Mikrosammud tööpindade loomiseks:'''
* Varusta klass vertikaalsete kustutatavate pindadega (tahvlilehed, aknad).
* Anna üks marker rühma kohta: see sunnib rääkima ja tegija rolli vahetama.
* Iga rühm seisab. Istumiskohti kasutatakse alles tunni lõpu ühisarutelu faasis.

'''Näide:''' [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU Fawn Nguyeni kirjeldus] vertikaalsete pindade kasutamise kohta oma tundides.

&lt;!-- Joonis: Erinevate vertikaalsete kustutatavate pindade kasutamine mõtlemisruumis. --&gt;

=== 5.4 Milline on füüsiline õpikeskkond klassis? ===
Paiguta klassis mööbel nii, et õpilased ei vaataks kõik ühes suunas ettepoole, ning taga õpilaste vaba liikumine tahvlite ja rühmade vahel. Rühmadevaheline liikumisvõimalus toetab mõtlemist rohkem kui pingiridade „loengukeskkond“. Liljedahl nimetab traditsioonilise, tahvli suunas vaatavate pingiridadega õpikeskkonna lõhkumist &quot;''defronting''&quot;, mis eesti keeles võiks ehk olla &quot;esiküljetustamine&quot; või &quot;poodiumi kaotamine&quot;.  

'''Mikrosammud mööbli ümberpaigutamiseks:'''
* Nihuta lauad seinte äärde. Õpetaja domineeritav „klassiesine“ kaob ja fookus on rühmatöötahvlitel.
* Jäta rühmade ja pindade vahele vaba liikumisruumi, et õpilased saaksid käia üksteise ideid vaatamas.
* Hoia töövahendid (markerid, magnetid, mõõdulindid) seintel kättesaadavana.

'''Näide:''' vaata eelmist näidet Fawn Nguyeni klassiruumist.

=== 5.1.5 Kuidas vastata õpilaste küsimustele? ===
Erista kolme tüüpi küsimusi, mida õpilased küsivad:
* '''Lähedusküsimused''' (''proximity questions''), mida õpilane küsib lihtsalt õpetajaga suhtlemiseks, kuna õpetaja sattus füüsiliselt lähedale. Sedalaadi küsimustele antud vastuseid õpilane üldjuhul oma mõtlemisprotsessis ei kasuta. Liljedahl toob näite tüdrukust, kes õpetaja lähenedes peitis nutitelefoni taskusse ja küsis tähelepanu kõrvalejuhtimiseks: „Kas peame mitu vastust välja pakkuma või piisab ühest?“
* '''Mõtlemispausi küsimused''' (''stop-thinking questions''), mis peatavad mõtlemisprotsessi, nt „Miks me peame seda õppima?“ või „Kas see ülesanne võib tulla ka kontrolltöös/eksamil?“
* '''Mõtlemist toetavad küsimused''' (''keep-thinking questions''), millega õpilane soovib tagasisidet oma ideele või lahendusele, nt „Meil tekkis mõte proovida leida ka negatiivne lahendus, kas see oleks OK?“

Vasta ainult kolmandat liiki küsimustele, mis aitavad õpilasel edasi mõelda. Lihtsad mõtlemispausi tüüpi valideerimisküsimused stiilis „Kas see on õige?“ peaks õpetaja aitama ümber sõnastada mõtlemist toetavaks küsimuseks, nt „Kuidas sa kontrolliksid, et ise teada saada, kas lahendus on õige?“

'''Mikrosammud küsimustele vastamisel:'''
* Sõnasta reegel: vastan ainult „mõtle edasi“ küsimustele.
* „Kas see on õige?“ → „Kuidas saaksid seda kontrollida?“
* „Mida teha edasi?“ → „Mida te juba proovisite? Mis on järgmine väike samm?“

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ April Soo katsetused] mõtlemisruumi metoodika rakendamisel õpilaste küsimuste osas.

=== 5.1.6 Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid? ===
Internet on täis potentsiaalselt häid ülesandeid (e-Koolikott, Facebooki grupp „Õpetajalt õpetajale õppematerjalid“, [http://nrich.maths.org NRICH.maths.org] Inglismaal, [http://youcubed.org YouCubed.org] ja [http://illuminations.nctm.org ILLUMINATIONS.nctm.org] USA-s), kuid õpetajate kõige sagedasem mure on, kust leida sobivaid ülesandeid. Liljedahl usub, et õpetajad ei pea selle küsimusega silmas mitte niivõrd õppekavale vastavate ülesannete leidmist (mida käsitlesime eespool peatükis 5.1), vaid küsivad tegelikult hoopis: „Kust leiaksin ülesandeid, mis innustaksid mu õpilasi mõtlema ja probleeme lahendama?“

Lisaks ülesande sisule on oluline ka see, millal ja kuidas ülesanne õpilastele esitada (matemaatikahariduse uurijate konverentsil CERME on ''problem posing'' traditsiooniliselt üks populaarseid uurimisteemasid). Liljedahl soovitab anda ülesande kohe tunni alguses esimese 5 minuti jooksul ja kindlasti suuliselt, kui rühmad seisavad püsti õpetaja ümber. Liljedahli enda uuringute kohaselt käivitab suuliselt ja kohe tunni alguses esitatud ülesanne õpilaste mõtlemist oluliselt paremini kui ekraanilt või töövihikust antud ülesanne, sest see vähendab masinlikku kopeerimist ja loob eeldused mõtlemisprotsesside käivitumiseks.

'''Mikrosammud ülesande andmiseks:'''
* Anna ülesanne 3–5 minuti jooksul pärast tunni algust.
* Esita ülesanne suuliselt, kui klass seisab õpetaja ümber ja kõigi tähelepanu on õpetajal. Alles seejärel suuna rühmad oma tahvlite juurde.
* Ära jaga õpilastele kohe töölehte ega näita ette lahendusi. Lase neil teha esimesed katsetused täiesti iseseisvalt.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.7 Milline on mõtlemisruumi sobiv kodutöö? ===
Liljedahli uuringud kinnitasid igale õpetajale tuttavat tõdemust: õpetaja ja õpilased saavad kodutöö eesmärgist ja vajalikkusest täiesti erinevalt aru. Õpetaja jaoks on tegu tunnis õpitud teadmiste rakendamisega kinnistamise eesmärgil, õpilaste jaoks aga puuriga, milles nad peavad mingil arusaamatul põhjusel istuma, selle asemel et midagi huvitavat teha. Õpetajate kinnitusel teevad kodutöid kohusetundlikult peamiselt tublid õpilased, kes seda tegelikult ei vajakski. Ülejäänud asendavad kodutööd tehes mõtlemise õpilasetsemise halbade praktikatega (jätavad tegemata, kirjutavad pinginaabrilt maha, lasevad emal või õel enda eest ära teha).

Liljedahl soovitab mõtlemisruumi metoodika järgijatel kodused ülesanded ümber mõtestada, et need poleks õpilaste jaoks arusaamatu ja tüütu kohustus, mida tehakse üksnes halva hinde hirmus. Nimeta kodutöö ümber '''enesehindamiseks''' ja esita kodutöö küsimused stiilis „Kas ma olen õigesti aru saanud?“. Õpilastes tuleks kujundada arusaam, et kodutöö on vabatahtlik võimalus iseennast testida, mitte õpetajale punktide kogumine.

'''Mikrosammud mõtlemist toetava kodutöö andmiseks:'''
* Nimeta kodutöö ümber enesehindamiseks ja esita 3–5 lühikest kontrollülesannet.
* Ära hinda kodutöid. Kasuta neid järjekindlalt õpilaste enesehindamiseks.
* Alusta järgmist tundi 3-minutise aruteluga teemal „Mille peale ma tulin, kui ennast kodutööga hindasin?“

=== 5.1.8 Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat? ===
Kontrolli kaotamine klassis toimuva üle on üks esimesi hirme, mis õpetajal mõtlemisruumi metoodikat esmakordselt katsetades tekib. Lahendus on ilmne: õpetaja peab suutma muuta õppijad ise oma õppimise eest vastutavaks, mis tähendab õpilaste autonoomia samm-sammulist kasvatamist. Liljedahl soovitab selleks suunata õpilasi panustama kogu klassi ühise teadmuspanga loomisse, julgustades neid vaatama teiste rühmade tahvleid (lahendusi kopeerimata, kuid eri lahendusi võrreldes) ja küsima teistelt rühmadelt vihjeid, jätkates seejärel siiski iseseisvalt oma lahendusega. '''Autonoomia''' on õpilase oskus hoida oma mõtlemist aktiivsena ka siis, kui õpetaja pole kõrval.

'''Mikrosammud õpilase autonoomia kujundamiseks:'''
* Kehtesta tava: enne õpetaja poole pöördumist küsi nõu kahelt teiselt rühmalt.
* Julgusta õpilasi vaatama teisi tahvleid. Ideede liikumine ja jagamine olgu soositud.
* Harjuta „väikeste sammude“ mõtteviisi: õpilased võiksid tegeleda korraga vaid ühe uue ideega.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.9 Kuidas toestada õppimist? ===
Matemaatika õpetamisel on õpetaja jaoks suurim väljakutse õpilaste ebaühtlane algtase ja matemaatiline võimekus. Seetõttu muutub sünkroonses tempos toimuv õppetöö osa õpilaste jaoks liiga aeglaseks ja igavaks, samas kui teiste jaoks kihutab õpetaja edasi liiga kiiresti. Mõtlemisruumi metoodika puhul ei pea kõik rühmad tegema samu asju ühtlases tempos. Liljedahl soovitab liikuda '''asünkroonselt''' (eri rühmad eri kiirusega), andes vajaduse korral väikseid '''vihjeid''' (kui mõni aeglasem rühm juhtub „kinni jääma“) ja ülesande '''laiendusi''' (kui mõni kiirem rühm sai töö varakult valmis), et hoida kõiki „voos“.

„Voo“ ehk „kulgemise“ mõiste tõi pedagoogikasse Ungari juurtega Ameerika teadlane Mihaly Csikszentmihalyi, kelle optimaalse kogemuse teooria võtab kõige paremini kokku allolev joonis. Kui ülesanne pakub õpilase võimekusega võrreldes liiga suurt väljakutset, langeb õpilane '''ärevuse''' tsooni. Kui aga väljakutse on võimeka õppija jaoks liiga kerge, langeb ta '''igavuse''' tsooni. Optimaalse (õppimis)kogemuse tagab pidev viibimine '''voo tsoonis''' (''flow zone''), kus järjest kasvav ülesannete keerukus vastab õpilase pisitasa kasvavale võimekusele.

&lt;!-- Joonis: Voo tsoon (flow) Csikszentmihalyi optimaalse kogemuse teoorias. Teljed: väljakutse (challenge) ja oskus (skill); tsoonid: ärevus (anxiety), voog (flow), igavus (boredom). --&gt;

'''Mikrosammud vihjete ja laienduste pakkumiseks:'''
* Anna väikseid vihjeid (kas uuritava probleemi keerukuse vähendamiseks või õpilase võimekuse kasvatamiseks), aga kindlasti mitte valmis lahendust.
* Varakult lõpetajad saavad laiendusi („Mis siis, kui…?“, „Üldista!“).
* Ära peata kogu klassi ühe rühma pärast, lase rütmidel erineda.

'''Näide:''' õpetaja [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ Frank McGowani] ajaveebist: kuidas mõtlemisruumiga matemaatikatunnis tekib õpilastel keskväärtust ja mediaani õppides „teadmuse voog“ ning õpetaja ei ole enam pudelikael.

=== 5.1.10 Kuidas tundi kokku võtta? ===
Kuna mõtlemisruumi metoodikat järgivas tunnis liiguvad õpilased ja rühmad oma probleemilahenduses sageli erinevas tempos (asünkroonselt), on seda olulisem jõuda tunni lõpus ühiste lõpptulemusteni. Õpetajal on sageli kiusatus teha selline kokkuvõte perfektsel viisil pigem oma teadmistest (või õpiku käsitlusest) lähtudes. Seda nimetatakse „tippu koondumiseks“ (''leveling to the top''). Nii toimides ignoreeriks õpetaja aga õpilaste rühmatöö tulemusi, ja Liljedahl hoiatab, et see oleks viga. Seetõttu soovitab Liljedahl hoopis vastupidist strateegiat: '''konsolideerida lõpptulemused alt üles''', alustades rühmatöödest nii heade lahenduste ja ideede kui ka lünkade väljanoppimisega.

'''Mikrosammud tunni kokkuvõtmiseks:'''
* Tee koos kõigi õpilastega „galeriituur“ (keegi ei istu), et vaadata üle kõigi rühmade tahvlid ja valida neist 3–5, mis jutustavad antud probleemi lahendusest kõige huvitavama „matemaatilise loo“.
* Ära lase õpilastel endil oma ideid tutvustama hakata – nüüd on õpetaja kord tõlgendada.
* Kokkuvõtva arutelu alguses pööra rohkem tähelepanu ideede päritolule ja kujunemisele, lõpupoole keskendu lõpptulemusele.
* Sõnasta koos õpilastega korrektse matemaatilise sõnastusega ühine lahendus alles arutelu lõpus (terminid, näited, vastunäited).
* Lase rühmadel oma sõnadega kirja panna, „mida igaüks peaks sellest arutelust meeles pidama“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.11 Kuidas õpilased teevad märkmeid? ===
Märkmete tegemine tunni ajal on ilmselt üks vanimaid praktikaid, kuid paraku kuulub enamik õpilaste märkmetest kategooriasse „õpetaja kirjutas tahvlile, mina kopeerisin selle vihikusse“. See tegelikult takistab õpilastel õpetaja jutule keskendumast ja kaasa mõtlemast. Liljedahli uuringutes selgus, et õpilaste märkmete kvaliteet ja tähendusrikkus kasvas hüppeliselt, kui nad ei pidanud õpetaja juttu reaalajas konspekteerima, vaid said rahulikult kirjutada '''„hajameelsele iseendale tulevikus“''', püüdes aidata endal olulisi asju meeles pidada. Selliseid märkmeid on sageli mõistlikum teha mitte lineaarse narratiivi, vaid mõistekaardi, diagrammi (Venni diagramm, kalaluu), skeemi või spikri kujul.

'''Mikrosammud kasulike märkmete tegemiseks:'''
* Märkmed kirjutatakse alles pärast tunni kokkuvõtet, mitte probleemi lahendamise ajal.
* Tehakse valik kõige olulisemast: foto oma tööst või tahvli osast ja kolmelauseline kokkuvõte.
* Lisatakse „üks toimiv näide“ ja „üks küsimus endale edasimõtlemiseks“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.12 Mida hinnatakse? ===
Mõtlevas klassiruumis ei ole hindamine pelgalt õppimise „mõõtmise“ vahend, vaid kasulik tagasiside õppijatele selle kohta, mida me tegelikult väärtustame. Liljedahli uurimistöö näitab, et õpetajad oskavad sageli sõnastada omadusi, mida nad soovivad oma õpilastes näha (nt visadus, riskijulgus, koostööoskus, kannatlikkus, autonoomia, enesetõhusus), kuid klassiruumi hindamispraktikad ei toeta nende omaduste kujunemist. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid ja lõpptulemusi, hakkavad õpilased väärtustama just neid ning loobuvad pingutusest ja mõtlemisest, kui lahendus pole kohe käes.

Liljedahl rõhutab põhimõtet: '''hinda seda, mida väärtustad''' (''evaluate what you value''). Kui me väärtustame mõtlemist, peame ka mõtlemist hindama. See ei tähenda, et akadeemilised õpitulemused kaotaksid tähtsuse, vaid et nende kõrvale tuleb teadlikult tuua ka need protsessilised ja dispositsioonilised aspektid, mis mõtlemist tegelikult võimaldavad. Näiteks visadust ei saa kujundada, kui seda ei märgata ega väärtustata, ja koostöö ei arene, kui seda ei peeta oluliseks.

Oluline on ka see, kuidas me neid väärtusi hindame. Liljedahli uuringud näitavad, et kõige tõhusamaks osutusid lihtsad ja läbipaistvad hindamisrubriigid, mis keskendusid järgmistele aspektidele:
* pingutus ja järjepidevus;
* panus rühmatöösse;
* valmidus proovida uusi ideid;
* oma mõtlemise selgitamine.

Selline hindamine ei ole karistav ega sorteeriv, vaid kujundav ja suunav: see aitab õpilastel mõista, milline käitumine ja õppimisviis toetab nende arengut mõtleva matemaatikuna.

'''Mikrosammud:'''
* Kujunda lihtne rubriik: osalus, visadus, riskijulgus, selgitamine (+ sisuline täpsus).
* Tagasiside on olulisem kui hinne: too välja käitumised, mis viisid edasijõudmiseni.
* Hoia käitumuslikud tõendid ja sisuline saavutus lahus (kaks sammu).

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.13 Kuidas teostada kujundavat hindamist? ===
Traditsioonilises klassiruumis kasutatakse hindamist valdavalt õpetaja tööriistana: infot kogutakse selleks, et teha otsuseid hinnete kohta. Liljedahli uurimistöö näitab, et isegi kujundav hindamine jääb sageli õpetajakeskseks: see aitab õpetajal õpetamist kohandada, kuid õppija jääb passiivseks objektiks, kes ei mõista, kus ta parasjagu on ja kuhu ta liigub.

Mõtlevas klassiruumis nihkub kujundava hindamise fookus selgelt õppijale. Kujundavat hindamist kasutatakse selleks, et aidata õpilastel:
* mõista, kus nad oma õppimises parasjagu on;
* näha, mida nad juba oskavad;
* teadvustada, mida nad veel ei oska ja kuhu edasi liikuda.

Liljedahli uurimistulemused näitavad, et kui õpilased saavad selge pildi oma õppimisest, suurenevad nende autonoomia ja kaasatus ning see võib viia ka mõõdetava akadeemilise edenemiseni (nt parema soorituseni testides).

Oluline on, et kujundav hindamine ei avaldu mõtlevas klassiruumis pideva testimise või punktide kogumisena. Selle asemel kasutatakse:
* vaatlusi rühmatöös;
* vestlusi õpilastega nende lahendusstrateegiate üle;
* visuaalset ja suulist tagasisidet;
* õppijate enda refleksioone.

Kujundav hindamine on seega õppimisprotsessi lahutamatu osa, mitte eraldi etapp tunni lõpus. See toetab mõtlemise püsimist ja aitab vältida olukorda, kus õpilased töötavad vaid „hinde nimel“.

'''Mikrosammud:'''
* Tee kogu klassiga 60–90-sekundilisi „vahepeatusi“: „Mis töötab, mis takistab?“
* Kasuta tahvlivaatlusi: näed kiiresti, kus klass on, ja saad vihjeid kohandada.
* Kasuta lõpus väljumisküsimust (''exit prompt''): „Üks strateegia, mida kasutasin / mida proovin järgmisel korral“.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.14 Kuidas hinnatakse õpitulemusi? ===
Liljedahl seob mõtleva klassiruumi hindamispraktika laiemate suundumustega hariduses, eeskätt '''tõenduspõhise hindamisega'''. Selle lähenemise keskmes ei ole punktide kogumine, vaid tõendid selle kohta, mida õppija tegelikult oskab ja mõistab. Mõtlevas klassiruumis põhinevad hinded kogutud tõenditel:
* õpilaste töödel ja lahendustel;
* aruteludes ilmnenud mõtlemisel;
* kujundava hindamise käigus kogutud tähelepanekutel.

Oluline erinevus tavapärasest hindamisest seisneb selles, et hinnangud ei sünni üksikutest „hindamissündmustest“, vaid ajapikku kogunenud pildist õppija arengust. See vähendab juhuslikkust ja stressi ning toetab õppija enesetõhusust.

Liljedahl rõhutab, et hindamine peab olema tihedalt seotud kujundava hindamisega: hindamiseks kasutatav info peab olema õppijale nähtav ja arusaadav. Hinne ei ole siis üllatus ega karistus, vaid loogiline kokkuvõte sellest, mida õppija on juba näidanud.

Selline lähenemine toetab mõtleva klassiruumi keskseid väärtusi: see suunab õpilasi keskenduma õppimisele ja mõtlemisele, mitte punktide jahtimisele, ning aitab kujundada vastutustunnet oma õppimise eest.

'''Mikrosammud:'''
* Hinda standardipõhiselt: kirjelda selgelt, millist mõtlemist või oskust tõendatakse.
* Viimane (küpsem) tõend loeb kõige rohkem ja „uuesti tõendamine“ on lubatud.
* Hoia hinnang (saavutus) ja tagasiside (järgmine samm) lahus.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.15 Kokkuvõte: Liljedahli neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamisel ===
Peter Liljedahli ''Building Thinking Classrooms'' raamistik koondab neliteist omavahel seotud praktikat, mis põhinevad 15 aasta pikkusel empiirilisel uurimistööl ja mille ühine eesmärk on maksimeerida õppijate mõtlemist matemaatikatunnis. Praktikad ei ole eraldiseisvad võtted, vaid moodustavad tervikliku süsteemi, kus muutused klassiruumi füüsilises keskkonnas, sotsiaalsetes normides, õpetaja rollis ja hindamises toetavad üksteist.

Raamistiku alguspraktikad keskenduvad mõtlemist käivitavate tingimuste loomisele: sobiva ülesandetüübi valik, juhuslikud rühmad ning vertikaalsete ja mittepüsivate kirjutuspindade kasutamine muudavad õppijate käitumist ja ootusi. Järgmised praktikad kujundavad klassiruumi normid, kus pingutus, eksimine ja koostöö on väärtustatud ning õpetaja roll nihkub seletajalt mõtlemise orkestreerijaks. Õpetaja sekkub teadlikult ajastuse, küsimuste ja ootuste kaudu, et hoida õppijad aktiivselt mõtlemas.

Raamistiku viimased praktikad (12–14) seovad mõtlemise hindamise ja tagasisidega. Liljedahl rõhutab, et mõtleva klassiruumi kestlikkus sõltub sellest, mida hinnatakse, kuidas kujundavat hindamist kasutatakse ja mille eest hindeid pannakse. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid, taastoodab see pealiskaudset õppimist. Kui hinnatakse pingutust, strateegilist mõtlemist ja arusaamise arengut, toetab hindamine otseselt mõtlemise kultuuri.

Kokkuvõtvalt pakuvad Liljedahli neliteist praktikat teaduspõhist ja praktilist raamistikku, mis aitab õpetajatel liikuda protseduurikeskselt õpetamiselt mõtlemist väärtustava ja õppijat aktiveeriva klassiruumi suunas. LAHEMATE kontekstis loovad need praktikad selge orientiiri koolikatsetuste kavandamiseks, õpetajate professionaalseks refleksiooniks ning mõtleva matemaatikakultuuri järkjärguliseks juurutamiseks.

== Viited ==
* Csikszentmihalyi, M. (1990). ''Flow: The Psychology of Optimal Experience''. New York: Harper &amp; Row.
* Liljedahl, P. (2020). ''Building Thinking Classrooms in Mathematics, Grades K–12: 14 Teaching Practices for Enhancing Learning''. Thousand Oaks, CA: Corwin.
* Liljedahl, P., &amp; Allen, D. (2013). Mathematical discovery: Studenting. [TÄPSUSTADA]

== Veebiallikad ==
* Liljedahl, P. Kaarditrikid: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanded: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanne „New School Schedule“: [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf PDF]
* Nguyen, F. Promoting thinking tasks with VNPS tools. Wipebook: [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU wipebook.com]
* Soo, A. (2023). Building Thinking Classrooms: peatükkide 5, 6 ja 8 refleksioonid. Ajaveeb: [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ ptk 5], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ ptk 6], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ ptk 8]
* McGowan, F. (2021). Thinking Classrooms Challenge: In Flow. Ajaveeb: [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ findingtheprocess.wordpress.com]
* Apple Education. Õpetaja MK lugu: [https://education.apple.com/story/250014232 education.apple.com]
* Ülesannete kogud: [http://nrich.maths.org NRICH], [http://youcubed.org YouCubed], [http://illuminations.nctm.org Illuminations (NCTM)]

[[Kategooria:LAHEMATE]]
[[Kategooria:Probleemilahendus]]</text>
      <sha1>nr5jer5nm5u59vo788p2bhzpowd7auh</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20345</id>
      <parentid>20344</parentid>
      <timestamp>2026-09-28T07:16:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5.1.1 Milliseid probleemülesandeid me õpilastele anname? */</comment>
      <origin>20345</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="48604" sha1="gu77f1j5vvuo4m1ims5xh8f3fjmgk7p" xml:space="preserve">= 5. Peter Liljedahli mõtleva klassiruumi metoodika =

Liljedahli metoodika põhineb tema aastatepikkusel teadustööl ja tunnivaatluste süstemaatilisel analüüsil. Need veensid teda, et enamikus vaadeldud matemaatikatundides ei toetata õpilaste mõtlemist piisavalt. Ta väidab, et enamik õpilasi ei tegele tunnis ei mõtlemise ega õppimisega (neist esimene on viimase vältimatu eeldus), vaid hoopis „õpilasena käitumise“ ehk '''„õpilasetsemise“''' (''studenting'') muude vormidega. „Studenting“ on Alleni (2017) välja pakutud termin, mis tähistab kõiki antud õpikeskkonnas õpilaseks olemisega seotud tegevusi, mille hulka kuulub muu hulgas ka õppimine. Allen pakub oma empiiriliste uuringute põhjal välja viis peamist õpilasetsemise vormi:
* '''viilimine''' (''slacking''): õpilased ignoreerivad täielikult õpetaja antud ülesandeid ja tegelevad millegi muuga, nt nutitelefonis ühismeedia vaatamise, teemavälise omavahelise suhtlemise või lihtsalt mittemidagitegemisega;
* '''venitamine''' (''stalling''): õpiülesandega tegelemise edasilükkamine, kasutades ettekäändena legitiimseid asendustegevusi, nagu pliiatsi teritamine, kotist asjade otsimine või WC-s käik;
* '''teesklemine''' (''faking''): näiliselt õpiülesandega tegelemine (tahvli või õpiku „uurimine“, mõtliku näo tegemine), kuid tegelikult ülesande lahendamise vältimine;
* '''matkimine''' (''mimicking''): ülesandega mehaaniliselt tegelemine, kopeerides õpetaja eelnevat näidislahendust rida-realt, kuid ilma aktiivse mõttetegevuse ja mõistmiseta;
* '''katsetamine''' (''trying it on their own''): iseseisev pingutamine ülesande lahendamiseks.

Liljedahl väidab, et neist üksnes viimasega kaasneb mõtlemine ja et sadades tema vaadeldud matemaatikatundides tegeles „mõtlemisvabade“ õpilasetsemise vormidega 75% õpilastest peaaegu kogu tunni jooksul. Lahendusena on Liljedahl oma uuringute tulemusena sõnastanud 14 tegurit, mis aitavad luua mõtlemist toetava õpikeskkonna:
# '''Milliseid ülesandeid me õpilastele anname?''' Alustada tuleks aine(kava)ga vaid kaudselt seotud elulistest ja mõtlema innustavatest küsimustest ning seejärel liikuda pisitasa matemaatilisemate mõtlemisülesannete juurde.
# '''Kuidas me õpilasi rühmitame?''' Juhuslikult kokku loositud, iga kord uued rühmad toimivad paremini ja innustavad õpilasi rühma ühistegevusse panustama.
# '''Kus õpilased õpivad?''' Õpilaste mõtlemist ja koostööd on lihtsam käivitada, kui nad seisavad vertikaalsete kirjutamispindade ees, millelt kirjapandut saab kustutada (nt pabertahvlid, valged markertahvlid, interaktiivsed ekraanid).
# '''Milline on füüsiline õpikeskkond klassis?''' Ridadesse joondatud, õpetaja suunas vaatavad pingiread toovad kaasa passiivse õppimise. Klassi mööbel peab võimaldama ümberpaigutamist ja rühmatööks vaba ruumi loomist, eelkõige seinte ääres.
# '''Kuidas vastatakse õpilaste küsimustele?''' Tavatundides on 90% õpilaste küsimustest kas pelgalt õpetajaga muul teemal suhtlemiseks, kuna ta satub lähedusse (nn ''proximity questions''), või kiire tagasiside saamiseks („Kas see on õige?“). Need peatavad õpiülesande üle mõtlemise. Õpilasi peaks suunama esitama hoopis mõtlemist soodustavaid küsimusi (nn ''keep-thinking'' küsimused).
# '''Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid?''' Õpilaste mõtlemist aktiveerivad ülesanded, mis antakse pigem tunni alguses kui lõpus, pigem suurel ekraanil kui õpikus, pigem suuliselt kui kirjalikult.
# '''Millist kodutööd antakse?''' Et õpilased ei tajuks kodutööd kui õpetaja jaoks kontrolli eesmärgil tehtavat tüütut kohustust, tuleks anda selliseid kodutöid, mis inspireerivad kodus edasi mõtlema ja oma lahenduste tulemuslikkust hindama.
# '''Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat?''' Õppijate enesejuhitavust saab suurendada nii eespool kirjeldatud rühmatööde, arutelude ja teistmoodi kodutöödega kui ka kaaslaste vaatlemise, neilt ideede korjamise ja neile tagasiside andmisega.
# '''Kuidas toestada õppimist?''' Vihjed, näited ja soovitused aitavad hoida õppijad personaliseeritud „kulgemisvööndis“ (''flow zone'', vt Csikszentmihalyi, 1990) ja vältida õppimise muutumist liiga lihtsaks või liiga raskeks.
# '''Kuidas konsolideerida õpitut?''' Eri ülesannete kaudu õpitu koondamine iga õpilase peas ühtseks tervikuks on konstruktivistliku õpikäsituse üks nurgakive ja suur väljakutse õpetajale.
# '''Kuidas õpilased teevad märkmeid?''' Õpetaja jutu mehaanilise konspekteerimise asemel tuleb õpilasi õpetada ise oma mõttetööst kokkuvõtteid visandama ja visandeid täiustama.
# '''Mida hinnatakse?''' Lisaks ainekavas kirjas olevatele õpitulemustele tuleks hindamise objektiks võtta ka oskused, mida mõtlemist soodustavas tunnis väärtustatakse, nt püsivus, koostöö ja loovus.
# '''Kuidas teostada kujundavat hindamist?''' Õpilastele antakse mitmekülgset tagasisidet mitte üksnes nende püüdlikkuse ja aktiivsuse kohta, vaid ka selle kohta, kuidas nad seni on toime tulnud ja mida tuleks edasi teha.
# '''Kuidas hinnatakse õpitulemusi?''' Pigem sarnaselt kujundava hindamisega (pakkudes õpilastele tagasisidet edasimõtlemiseks), mitte lõpliku kohtuotsusena, kuid siiski riikliku õppekava õpitulemustest lähtudes.

Vaatleme nüüd lähemalt neid neljateistkümmet &quot;optimaalset/toimivat praktikat&quot; (sisuliselt on need taas heuristikud, aga õpetajale) koos praktiliste näidetega.

== 5.1 Neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamiseks ==

=== 5.1.1 Milliseid ülesandeid me õpilastele anname? ===
Oma raamatus „Building Thinking Classrooms“ (2020) toob Liljedahl hakatuseks näite probleemülesandest, mille autor on Lewis Carroll: ''kui kuus kassi püüab kuue minuti jooksul kuus rotti, siis mitu kassi oleks vaja, et püüda 50 minuti jooksul 100 rotti?'' Selle ülesande lahendamine eeldaks küll teadmisi murdude ja võrdelise seose kohta, kuid neist ei piisa. Õpilased jäävad tavaliselt „kinni“ juba alguses, sest ülesandest võib aru saada kaheti: kas kuuest kassist üks püüab igas minutis ühe roti või püüab iga kass ühe roti kuue minuti jooksul. See „kinnijäämine“ toob kaasa mõtlemise ja probleemilahenduse käivitumise.

Eksamiks õppides lahendavad paljud „tublid“ õpilased suurel hulgal ülesandeid, nii et õppekavale vastavad tüüplahendused muutuvad nende jaoks rutiinseks ja nende lahendamiseks pole enam mõtlemist tarvis – piisab mehaanilisest matkimisest. Eksamil (ja elus või hilisemates õpingutes) võib aga suure tõenäosusega ette tulla probleeme, mille lahendamine eeldab mitterutiinseid lahendusi, näiteks matemaatika eri valdkondadest või teistest õppeainetest pärinevate teadmiste kombineerimist. Just selliseid probleemülesandeid soovitab Liljedahl matemaatilise mõtlemise harjutamiseks kasutada juba õppeprotsessi käigus. Ta jaotab head probleemülesanded kolme kategooriasse.

'''1) Köitvad nuputamisülesanded''', mis lausa meelitavad inimesi lustiga kaasa mõtlema. Õpikutes esineb sedalaadi ülesandeid pigem harva, kuid mujal (nt ajalehtede nupunurkades, sotsiaalmeedias, Känguru võistlusel, e-rehkenduses) on neid küllaldaselt. Liljedahl toob neli näidet kooliastmete kaupa:
* ''I kooliaste:'' mitu ruutu on pildil?
* ''II kooliaste:'' kui ostad videomängu 10 dollariga, müüd selle 20 dollariga, ostad taas tagasi 30 dollariga ja müüd uuesti 40 dollariga, siis kui palju raha sa lõpuks teenisid (või kaotasid)?
* ''III kooliaste:'' kui sul on ainult kaks liivakella (üks 4-minutiline ja teine 7-minutiline), kas saaksid nende abil aega mõõtes keeta oma vanaemale täpselt 9 minutit keedetud muna? Kui saab, siis kui kaua peab vanaema ootama muna valmissaamist?
* ''Gümnaasiumiaste:'' ekstsentriline daam broneeris kolm kõrvutiasuvat hotellituba ja lubas ööbida igal ööl toas, mis asub eelmisel ööl kasutatud toa kõrval. Vastuvõtus töötav John avastas, et tubade eest maksmiseks kasutatud krediitkaart ei toimi. Kiire töötempo tõttu on Johnil päeva jooksul aega vaid korraks minna ülakorrusele ja koputada ühele kolmest uksest, lootes daami leida ja maksetõrke ära klaarida. Mitu päeva tal kulub, et kindlasti daamiga kohtuda? Aga kui daam oleks broneerinud hoopis 4 või 5 tuba? Või kui ta broneeris 17 tuba 30 päevaks – kas Johnil oleks lootust daam tabada enne, kui too kuu möödudes hotellist lahkub?

'''2) Kaarditrikid''', mis põhinevad matemaatikal, mitte silmapettel ega käteosavusel. Selliste trikkide videosalvestusi on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]

'''3) Rehkendamisülesanded''', mis on võetud elust enesest ja kõnetavad seetõttu õpilasi. Sellise ülesande näitena toob Liljedahl loo sõpruskonna suusareisist, milleks on pikalt raha kogutud. Allpool olevas tabelis on näha iga rühmaliikme kogutud raha ja kavandatud kulud. Sõbrad on otsustanud, et kogutud raha kulutatakse viimase sendini üksnes kavandatud otstarbeks ja keegi ei tohi reisilt maha jääda (isegi kui mõni maksab rohkem, kui tal endal kulub). Kas raha on kogutud piisavalt? Kui ei, siis kes peaks juurde maksma ja kui palju? Selliseid rehkendamisülesandeid on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses koos juhendiga, kuidas neid ise koostada: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Tabel 1. Sõpruskonna suusareisi jaoks kogutud raha ja kavandatud kulutuste koond
! Nimi !! Kogutud raha !! Suusavarustuse rent !! Suusalifti pilet !! Algaja suusakoolitus
|-
| Aleks || 75 || 20 || 40 || 40
|-
| Piret || 125 || 10 || 40 || 40
|-
| Terje || 50 || 30 || 40 || 0
|-
| Kevin || 10 || 40 || 40 || 40
|-
| Jaana || 25 || 0 || 40 || 0
|-
| Reta || 10 || 0 || 40 || 40
|-
| Taavi || 38 || 30 || 40 || 0
|-
| Sten || 22 || 40 || 40 || 40
|-
| Sonja || 200 || 20 || 40 || 0
|-
| Kaidi || 60 || 25 || 40 || 0
|}

Probleemülesannete koostamisel lähtub Liljedahl (nagu ka Boaler) '''„madala läve ja kõrge lae“''' disainipõhimõttest, lisades sellele veel kolmanda: '''„avatud keskpaiga“''' printsiibi. Viimane eeldab probleemülesandelt ühte õiget vastust, jättes avatuks ja paindlikuks selle vastuseni jõudmise viisi. Selliseid „avatud keskpaigaga“ ülesandeid esineb sagedamini nuputamisülesannete ja kaarditrikkide seas, samas kui Liljedahli stiilis rehkendamisülesannetel on üldjuhul ka õigeid vastuseid palju.

Õpetaja võib neid ülesandeid vaadates ohata, et need on küll haaravad, kuid ei aita saavutada õppekavas olevaid õpiväljundeid. Loogiline lahendus näib olevat mõtlemist toetavate tekstülesannete kohandamine selliseks, et nende lahendamisel tuleb paratamatult kasutada õpikuteadmisi käsiloleva peatüki ja õppekava osa kohta. Nii talitades ohverdaksime aga õpilaste mõtlemise arendamise ja kaasahaaratuse ning riskiksime muuta ülesannete lahendamise igavaks ja rutiinseks matkimiseks. Selle asemel soovitab Liljedahl muretseda vähem õppekava pärast ja keskenduda esmalt õpilaste mõtlemisele. See suurendab nende eneseusku oma matemaatikavõimetesse, positiivset suhtumist ja huvi õppeaine vastu, misjärel õppekavaga selgemalt seotud ülesannete lahendamine muutub oluliselt lihtsamaks ja võtab vähem aega.

Lisaks saab ka õpikuülesandeid kohandada nii, et need panevad õpilased mõtlema. Näitena esitab Liljedahl õpetaja dialoogi klassiga ruutkolmliikme tegurdamise teemal, alustades varem õpitud teadmisest:
* '''Õpetaja:''' Meenutame kaksliikmete korrutamist. Mis te saate, kui korrutate (x + 2)(x + 3)?
* '''Õpilased:''' (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
* '''Õpetaja:''' Aga kui ma alustaksin tagantpoolt ja mu vastus oleks x² + 7x + 6, mis arvud peaksid sel juhul olema mu algses küsimuses (x + □)(x + □)?

Liljedahli mõtleva klassiruumi lähenemises on matemaatika õppimise keskmes õpilase mõtlemine. Kui soovime, et õpilased mõtleksid, tuleb neile anda midagi, mille üle mõelda – selleks on eelkõige hästi valitud matemaatiline ülesanne. Samas rõhutab Liljedahl, et heast ülesandest üksi ei piisa. Ka väga hea probleemülesanne ei pruugi õpilasi mõtlema panna, kui klassiruumi töökorraldus, õpetaja tegevus ja õpilaste harjumused seda ei toeta. Seega on hea ülesanne mõtleva klassiruumi vajalik, kuid mitte piisav tingimus.

Kordame üle - Liljedahli kohaselt peab hea mõtlemisülesanne vastama kolmele kriteeriumile: 
* sellel on madal lävi (''low floor''), 
* kõrge lagi (''high ceiling'') ning 
* see sisaldab õpilase jaoks mingit uudsuse aspekti (''novelty'').

'''Madal lävi''' tähendab, et igal õpilasel peab olema võimalik ülesandega iseseisvalt pihta hakata. See ei tähenda, et ülesanne ise peab olema lihtne (madala keerukusastmega). Pigem peab ülesande alguses olema midagi sellist, millest ka nõrgemate eelteadmistega õpilane saab kinni haarata ja mille põhjal esimesi katsetusi teha, nuputama hakata. Liljedahl seostab madalat läve ka võrdsuse ja kaasatuse taotlusega matemaatikaõppes. Kui hariduse üldisem eesmärk on võrdsed võimalused (equity), siis õpetaja praktiline ülesanne klassiruumis on luua õpilastele juurdepääs (access) matemaatilisele tegevusele. Madal lävi on üks konkreetne viis selle saavutamiseks.
'''Kõrge lagi''' tähendab seevastu, et ülesanne peab pakkuma väljakutset ka tugevamatele õpilastele. Kõik õppijad peaksid mingil hetkel jõudma olukorda, kus lahendus ei ole enam ilmne ja tuleb päriselt mõelda. Oluline on siin ülesande raskusastme ja õpilase seniste teadmiste vahekord: eri õpilased jõuavad väljakutse lahenduseni eri ajal ja eri tasemel.
Sellega seostub produktiivse pingutuse (productive struggle) idee, mis on seotud ka Võgotski lähima arengu tsooni mõistega - õppimine on tulemuslikum siis kui õpetaja suudab õpilase tema mugavustsoonist arengu tsooni juhtida. Mõtlemine muutub eriti oluliseks siis, kui õpilane ei tea kohe, mida edasi teha. Sellises olukorras peab ta katsetama, püstitama oletusi, ebaõnnestuma, oma lähenemist muutma ja uuesti proovima. Eesmärk ei ole vältida olukorda, kus õpilane „jääb kinni“, vaid õpetada teda sellisest olukorrast edasi liikuma. Liljedahl rõhutab siiski, et produktiivse pingutuse tekkimiseks on oluline ka varasem eduelamus. Kui keeruline väljakutse järgneb õnnestumisele, jätkab õpilane suurema tõenäosusega pingutamist; kui mitu järjestikust ülesannet takerduvad ebaõnnestumisse, suureneb õpilase loobumise tõenäosus.
Kolmas hea ülesande tunnus on '''uudsus'''. Kui õpilane juba teab, millist algoritmi või varem õpitud lahendusviisi rakendada, võib ta selle lihtsalt ja ilma pingutava mõtlemiseta reprodutseerida. Autorite käsitluses algab mõtlemine eeskätt olukorras, kus lahendustee ei ole ette teada. Seetõttu peaks mõtlemisülesanne sisaldama õpilase jaoks midagi mitterutiinset: uut probleemi, uut konteksti, ebaharilikku kombinatsiooni või vajadust teadaolevaid teadmisi uuel viisil kasutada.

Need kolm omadust ei pea tingimata sisalduma ühes suures ja keerulises ülesandes. Sageli on otstarbekam koostada ülesannete jada, milles esimesed ülesanded võimaldavad kiiremini alustada ja kogeda edu ning järgnevad ülesanded suurendavad järk-järgult väljakutset. Samuti vajavad ka head ülesanded jätkuülesandeid ehk laiendusi (''extensions''). Mõtleva klassiruumi üks põhimõtteid on, et õpilane ei peaks jõudma seisundisse „olen valmis“: kui esialgne probleem on lahendatud, järgneb sellele uus küsimus või tingimus, mis nõuab mõtlemise jätkamist.

==== Õppekavalised ja õppekavavälised probleemülesanded ====

Liljedahl eristab “rikastatud ülesandeid” (''rich tasks'') ning nende kasutamist nii õppekavast lähtudes kui ka õppekavaväliselt. Rikastatud ülesanne nõuab mitmesuguste matemaatiliste teadmiste kasutamist ja nende kombineerimist probleemi lahendamiseks. Sama ülesanne võib olla ühe õpilasrühma jaoks õppekavaline (''curricular'') ja teise jaoks õppekavaväline (''non-curricular''), sõltuvalt sellest, kas selle lahendamiseks kasutatav matemaatika kuulub parajasti õpitava sisu hulka. Õppekavavälised on näiteks matemaatika olümpiaadi, Känguru võistluse ja ajakirjade nuputamisnurkades avaldatud ülesanded, aga ka mingis teises valdkonnas (nt programmeerimises, majandusstatistikas ja teadusuuringutes) esitatud põnevad nuputamisväljakutsed. 

Näiteks võiks siinkohal tuua nuputamisülesande, kus numbrid 1–9 tuleb paigutada astmete ja korrutistega avaldisse nii, et saadava murru väärtus oleks võimalikult suur. Õpilane võib alustada katse-eksituse meetodiga, kuid edasi tekivad küsimused selle kohta, kuidas muuta lugeja võimalikult suureks ja nimetaja võimalikult väikeseks, kuidas mõjutavad tulemust astmed ning milliseid arvukombinatsioone üldse tasub uurida. Sama ülesannet saab jätkata uue eesmärgiga, näiteks moodustada avaldis, mille väärtus oleks võimalikult lähedal ühele. Selline ülesannete jada illustreerib korraga madalat läve, kõrget lage, uudsust ja jätkuülesannete kasutamist. Mõtleva klassiruumi ülesanded võivad kasutada käelisi õppevahendeid (manipulatives) – näiteks täringuid, algebraklotse, murrukettaid, tasakaalumudeleid või ruumilisi kujundeid. Oluline pole aga taolise käekatasutava vahendi/objekti olemasolu iseenesest, vaid milleks seda kasutatakse.

[[Fail:Algebraklotsid.png|pisi|alt=Algebraklotsid|Algebraklotsid]]

Joonis xx. Algebraklotsid (''Algebra Tiles'').

==== Näidisülesanne algebraklotside abil lahendamiseks ==== 

Lahenda algebraklotside abil ja selgita oma lahendust teisele õpilasele: 
* (x+2)(x+3)=
* (x+4)(x-3)=
* (x-2)(x-4)=

==== Näidisülesanne kuue täringuga ====

[[Fail:Täringud.png|pisi|alt=Kuus täringut|Kuus täringut]]

# Milliseid mustreid märkad kui uurid täringu vastastahkudel olevaid väärtusi?
# Raputa peos 6 täringut ja aseta need siis üksteise otsa tornina. Kuidas saaks kiiresti arvutada kõigi nähaolevate tahkude silmade summa? Ja siis peidetud tahkude summa?
# Kas joonisel olevad täringud on kõik identsed? Mitu erinevat täringut on võimalik luua, kui lähtuda vastastahkude silmade reeglist? 


Liljedahl eristab kolme käelise õppevahendi kasutusviisi. 
* Õpilane võib mõelda antud õppevahendi üle, kui see ise on uurimisobjekt – näiteks saab uurida ja võrrelda eri liiki täringute vastastahkude arvude paiknemise seaduspärasusi. 
* Teiseks võib õpilane mõelda käelise õppevahendi abil, kasutades seda matemaatilise probleemi lahendamiseks. Näiteks saab väikestest kuupidest ehitada 3 × 3 × 3 kuubi ja uurida värvitud kuubi probleemi. 
* Kolmandaks saab õpilane esitada ja kommunikeerida oma mõtlemist käelise vahendi abil, näiteks kasutada algebraklotse oma lahenduskäigu selgitamiseks kaasõpilastele.

Käelised õppevahendid on seejuures matemaatiliste representatsioonide üks liik. Õppimise seisukohalt on oluline liikuda esemelise mudeli, pildi, kirjalike sümbolite, verbaalse esituse ja reaalse olukorra vahel. Seetõttu ei tohiks vahend asendada matemaatilist mõtlemist, vaid aidata luua seoseid eri representatsioonide vahel.

Ka siin on oluline õpetaja otsus, millal vahendit pakkuda. Mõnikord on käeline vahend ülesande lahutamatu osa ja õpetaja annab selle kõigile; teinekord võiksid erinevad vahendid olla lihtsalt õpilastele kättesaadavad ning õpilased ise otsustavad, kas ja millist neist kasutada.

Eriti huvitav on Liljedahl’i hoiatus visualiseerimise kohta. Kui soovitud õpitulemus on võime kujundit vaimusilmas ette kujutada, võib füüsilise mudeli pidev olemasolu hoopis visualiseerimise vajaduse kõrvaldada. Seetõttu võib õpetaja näiteks näidata kuupi ülesande selgitamisel, seejärel selle eemaldada ning anda selle uuesti ajutiselt rühmale, kellel on visualiseerimisega raskusi. Nii toetab mudel visualiseerimise kujunemist, mitte ei asenda seda.

Sarnane põhimõte kehtib digitehnoloogia kasutamise kohta mõtlemisülesannetes: tehnoloogia iseenesest ei muuda kehva ülesannet heaks. Animatsioonid, kalkulaatorid, GeoGebra, Desmos või programmeerimine võivad mõtlemist toetada, kuid ülesanne peab ikkagi käivitama mõtlemise, pakkuma piisavat väljakutset ja sisaldama uudsust.
Liljedahl eristab mõtleva klassiruumi kontekstis kolme tehnoloogia kasutusviisi: tehnoloogia kui arvutusvahend, uurimisvahend ja programmeerimisvahend:
* '''Arvutusvahendina''' võib tehnoloogia teha mahukaid arvutusi, joonestada või mõõta. Autorid soovitavad rühmatöös pigem ühte seadet rühma kohta, sest iga õpilase isiklik seade võib rühma koostööd killustada. Samal põhjusel soovitatakse olulised sisendid ja tehnoloogia abil saadud tulemused kanda ka rühma vertikaalsele kirjutuspinnale (VKP). Nii muutub tehnoloogia individuaalse seadme asemel rühma ühiseks töövahendiks.
* '''Uurimisvahendina''' võimaldab tehnoloogia kiiresti muuta parameetreid, jälgida tulemusi, püstitada oletusi ja neid kontrollida. Näiteks saab uurida parabooli muutumist ruutfunktsiooni kordajate muutmisel või statistiliste näitajate muutumist andmestiku muutmisel. Selline tegevus moodustab tsükli vaatlemine → oletuse püstitamine → kontrollimine, milles tehnoloogia võimaldab kiiresti koguda uusi näiteid ja kontrollida hüpoteese.
* '''Programmeerimisel''' muutub tehnoloogia ülesandest peaaegu lahutamatuks: õpilane kavandab algoritmi, katsetab seda, jälgib sisendite ja väljundite seoseid ning parandab vigu. Autorite järgi on programmeerimine juba olemuselt uurimuslik tegevus. Mõtleva klassiruumi puhul soovitatakse programmeerimiseks töötada paarides, kasutada ühte arvutit paari kohta ning ühendada arvutitöö VKP-iga, kus saab kavandada algoritmi, talletada oletusi ja nähtavaks teha lahenduskäiku.

LAHEMATE uuringuprojekti kontekstis on selle peatüki kõige olulisem sõnum, et Liljedahli lähenemist ei tohiks taandada üksnes mõnele silmatorkavale klassiruumi töövõttele, näiteks juhuslikele rühmadele või vertikaalsetele kirjutuspindadele. Mõtleva klassiruumi lähtekoht on sellise matemaatilise tegevuse kavandamine, mis tekitab vajaduse mõelda. Selleks peab ülesanne võimaldama kõigil alustada, kuid mitte võimaldama kõigil kohe lõpetada; õpilane peab mingil hetkel jõudma olukorda, kus tuttava algoritmi mehaanilisest rakendamisest ei piisa.

LAHEMATE õpetaja võiks seetõttu probleemülesande kavandamisel küsida vähemalt järgmisi küsimusi:
# Kas ülesandel on madal lävi? Kas kõik õpilased leiavad mõistliku viisi alustamiseks?
# Kas ülesandel on kõrge lagi? Kas ka tugevamad õpilased jõuavad punkti, kus nad peavad päriselt nuputama?
# Kas ülesanne on õpilaste jaoks piisavalt uudne? Või tunnevad nad kohe ära harjutatud algoritmi?
# Milline on järgmine samm? Millise jätkuülesande saab anda õpilasele, kes esimese probleemi lahendab?
# Kas käeline õppevahend või digitehnoloogia käivitab matemaatilist mõtlemist või asendab seda?
# Kas kasutatav vahend toetab rühma ühist mõtlemist ja matemaatilist suhtlemist (matemaatika keelendamist)?
# Millal tuleks käeline õppevahend eemaldada? Eesmärk ei ole muuta õpilast vahendist sõltuvaks, vaid aidata tal liikuda abstraktsema matemaatilise mõtlemise poole.

Seega pole Liljedahli mõtleva klassiruumi puhul keskne küsimus lihtsalt „'''Kas see on hea probleemülesanne?'''“, vaid pigem „'''Millist mõtlemist see ülesanne minu klassiruumis esile kutsub ning kuidas ülesande, käeliste vahendite ja töökorralduse kombinatsioon seda mõtlemist toetab?'''“ Just selles mõttes moodustavad ülesande omadused, õpetaja pedagoogilised valikud, rühmatöö korraldus, füüsilised ja digitaalsed vahendid ning produktiivse pingutuse toetamine ühe tervikliku süsteemi.


==== Kokkuvõte ====
Kokkuvõtteks soovitab Liljedahl alustada iga tundi mõtlemisülesannetega ja õpilaste kaasamise järel liikuda edasi ülesannete juurde, mille lahendamine eeldab õppekavale vastavate teadmiste rakendamist. Samas ei soovita ta õppekavale või õpikule vastavaid lahendusi õpilastele ette näidata, sest see lülitaks õpilased „mõtlemisrežiimist“ „matkimisrežiimi“.

'''Mikrosammud probleemülesannete koostamiseks mõtlemisruumi metoodikast lähtuvalt:'''
* Alusta 1–2 esimesel nädalal õppekavaväliste nuputamis- ja mõtlemisülesannetega (madal lävi, kõrge lagi). Alles õpilaste mõtlemisharjumuste tekkides liigu õppekavaga otsesemalt seotud ülesannete juurde.
* Vali ülesanded, millel on mitu lahendusviisi (joonista, koosta tabel, võrrand, arvuta).
* Väldi alguses töölehti: anna ülesanne suuliselt ja lase rühmadel ideid proovida.

'''Näidisülesanne:'''
* Koosta koolile [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf uus tunniplaan], kus iga teine reede on iseseisva õppe päev, kuid koolitundidele kuluvate minutite summa igas kahenädalases tsüklis (ja õppeaastas tervikuna) jääb samaks kui praegu.

Sama raamülesanne hoiab mõtlemist esiplaanil ka siis, kui selle sisu muutub hiljem õppekavaga seotuks.

=== 5.1.2 Kuidas me õpilasi rühmitame? ===
Loo silmanähtavalt juhuslikud kolmesed rühmad ja vaheta neid sageli. See murrab sotsiaalseid barjääre, suurendab teadmiste liikumist klassis ja tõstab iga õpilase valmisolekut panustada ühisesse mõtlemistegevusse.

'''Mikrosammud:'''
* Moodusta rühmad silmanähtavalt juhuslikult, kasutades nt kaardipakki, loosipulki või QR-koode.
* Vaheta rühmade koosseise sageli (igas tunnis või üle päeva), et vältida „püsirollide“ tekkimise ohtu.
* Hoia rühma suurus kolmeliikmelisena: see on piisav erinevate ideede tekkeks, kuid ei võimalda rühmaliikmetel mugavalt „pealtvaataja“ vaikivasse rolli taanduda.

'''Näide:''' õpetaja segab kaardipaki, jagab igale õpilasele ühe kaardi ja kutsub õpilased tahvlite juurde kolmeliikmelistesse rühmadesse kaardimastide või -väärtuste järgi. Algne kohmetus taandub kiiresti ja koostöö paraneb.

=== 5.1.3 Kus õpilased töötavad? ===
Õpilased seisavad püsti ja kirjutavad '''vertikaalsetele kustutatavatele pindadele''' (tahvlid, A1 paberlehed, aknaklaasid). Vertikaalsus tagab nähtavuse teistele õpilastele ja õpetajale, aga ka vastutuse. Kustutatavus julgustab uute ideedega katsetama ja uuesti proovima.

'''Mikrosammud tööpindade loomiseks:'''
* Varusta klass vertikaalsete kustutatavate pindadega (tahvlilehed, aknad).
* Anna üks marker rühma kohta: see sunnib rääkima ja tegija rolli vahetama.
* Iga rühm seisab. Istumiskohti kasutatakse alles tunni lõpu ühisarutelu faasis.

'''Näide:''' [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU Fawn Nguyeni kirjeldus] vertikaalsete pindade kasutamise kohta oma tundides.

&lt;!-- Joonis: Erinevate vertikaalsete kustutatavate pindade kasutamine mõtlemisruumis. --&gt;

=== 5.4 Milline on füüsiline õpikeskkond klassis? ===
Paiguta klassis mööbel nii, et õpilased ei vaataks kõik ühes suunas ettepoole, ning taga õpilaste vaba liikumine tahvlite ja rühmade vahel. Rühmadevaheline liikumisvõimalus toetab mõtlemist rohkem kui pingiridade „loengukeskkond“. Liljedahl nimetab traditsioonilise, tahvli suunas vaatavate pingiridadega õpikeskkonna lõhkumist &quot;''defronting''&quot;, mis eesti keeles võiks ehk olla &quot;esiküljetustamine&quot; või &quot;poodiumi kaotamine&quot;.  

'''Mikrosammud mööbli ümberpaigutamiseks:'''
* Nihuta lauad seinte äärde. Õpetaja domineeritav „klassiesine“ kaob ja fookus on rühmatöötahvlitel.
* Jäta rühmade ja pindade vahele vaba liikumisruumi, et õpilased saaksid käia üksteise ideid vaatamas.
* Hoia töövahendid (markerid, magnetid, mõõdulindid) seintel kättesaadavana.

'''Näide:''' vaata eelmist näidet Fawn Nguyeni klassiruumist.

=== 5.1.5 Kuidas vastata õpilaste küsimustele? ===
Erista kolme tüüpi küsimusi, mida õpilased küsivad:
* '''Lähedusküsimused''' (''proximity questions''), mida õpilane küsib lihtsalt õpetajaga suhtlemiseks, kuna õpetaja sattus füüsiliselt lähedale. Sedalaadi küsimustele antud vastuseid õpilane üldjuhul oma mõtlemisprotsessis ei kasuta. Liljedahl toob näite tüdrukust, kes õpetaja lähenedes peitis nutitelefoni taskusse ja küsis tähelepanu kõrvalejuhtimiseks: „Kas peame mitu vastust välja pakkuma või piisab ühest?“
* '''Mõtlemispausi küsimused''' (''stop-thinking questions''), mis peatavad mõtlemisprotsessi, nt „Miks me peame seda õppima?“ või „Kas see ülesanne võib tulla ka kontrolltöös/eksamil?“
* '''Mõtlemist toetavad küsimused''' (''keep-thinking questions''), millega õpilane soovib tagasisidet oma ideele või lahendusele, nt „Meil tekkis mõte proovida leida ka negatiivne lahendus, kas see oleks OK?“

Vasta ainult kolmandat liiki küsimustele, mis aitavad õpilasel edasi mõelda. Lihtsad mõtlemispausi tüüpi valideerimisküsimused stiilis „Kas see on õige?“ peaks õpetaja aitama ümber sõnastada mõtlemist toetavaks küsimuseks, nt „Kuidas sa kontrolliksid, et ise teada saada, kas lahendus on õige?“

'''Mikrosammud küsimustele vastamisel:'''
* Sõnasta reegel: vastan ainult „mõtle edasi“ küsimustele.
* „Kas see on õige?“ → „Kuidas saaksid seda kontrollida?“
* „Mida teha edasi?“ → „Mida te juba proovisite? Mis on järgmine väike samm?“

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ April Soo katsetused] mõtlemisruumi metoodika rakendamisel õpilaste küsimuste osas.

=== 5.1.6 Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid? ===
Internet on täis potentsiaalselt häid ülesandeid (e-Koolikott, Facebooki grupp „Õpetajalt õpetajale õppematerjalid“, [http://nrich.maths.org NRICH.maths.org] Inglismaal, [http://youcubed.org YouCubed.org] ja [http://illuminations.nctm.org ILLUMINATIONS.nctm.org] USA-s), kuid õpetajate kõige sagedasem mure on, kust leida sobivaid ülesandeid. Liljedahl usub, et õpetajad ei pea selle küsimusega silmas mitte niivõrd õppekavale vastavate ülesannete leidmist (mida käsitlesime eespool peatükis 5.1), vaid küsivad tegelikult hoopis: „Kust leiaksin ülesandeid, mis innustaksid mu õpilasi mõtlema ja probleeme lahendama?“

Lisaks ülesande sisule on oluline ka see, millal ja kuidas ülesanne õpilastele esitada (matemaatikahariduse uurijate konverentsil CERME on ''problem posing'' traditsiooniliselt üks populaarseid uurimisteemasid). Liljedahl soovitab anda ülesande kohe tunni alguses esimese 5 minuti jooksul ja kindlasti suuliselt, kui rühmad seisavad püsti õpetaja ümber. Liljedahli enda uuringute kohaselt käivitab suuliselt ja kohe tunni alguses esitatud ülesanne õpilaste mõtlemist oluliselt paremini kui ekraanilt või töövihikust antud ülesanne, sest see vähendab masinlikku kopeerimist ja loob eeldused mõtlemisprotsesside käivitumiseks.

'''Mikrosammud ülesande andmiseks:'''
* Anna ülesanne 3–5 minuti jooksul pärast tunni algust.
* Esita ülesanne suuliselt, kui klass seisab õpetaja ümber ja kõigi tähelepanu on õpetajal. Alles seejärel suuna rühmad oma tahvlite juurde.
* Ära jaga õpilastele kohe töölehte ega näita ette lahendusi. Lase neil teha esimesed katsetused täiesti iseseisvalt.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.7 Milline on mõtlemisruumi sobiv kodutöö? ===
Liljedahli uuringud kinnitasid igale õpetajale tuttavat tõdemust: õpetaja ja õpilased saavad kodutöö eesmärgist ja vajalikkusest täiesti erinevalt aru. Õpetaja jaoks on tegu tunnis õpitud teadmiste rakendamisega kinnistamise eesmärgil, õpilaste jaoks aga puuriga, milles nad peavad mingil arusaamatul põhjusel istuma, selle asemel et midagi huvitavat teha. Õpetajate kinnitusel teevad kodutöid kohusetundlikult peamiselt tublid õpilased, kes seda tegelikult ei vajakski. Ülejäänud asendavad kodutööd tehes mõtlemise õpilasetsemise halbade praktikatega (jätavad tegemata, kirjutavad pinginaabrilt maha, lasevad emal või õel enda eest ära teha).

Liljedahl soovitab mõtlemisruumi metoodika järgijatel kodused ülesanded ümber mõtestada, et need poleks õpilaste jaoks arusaamatu ja tüütu kohustus, mida tehakse üksnes halva hinde hirmus. Nimeta kodutöö ümber '''enesehindamiseks''' ja esita kodutöö küsimused stiilis „Kas ma olen õigesti aru saanud?“. Õpilastes tuleks kujundada arusaam, et kodutöö on vabatahtlik võimalus iseennast testida, mitte õpetajale punktide kogumine.

'''Mikrosammud mõtlemist toetava kodutöö andmiseks:'''
* Nimeta kodutöö ümber enesehindamiseks ja esita 3–5 lühikest kontrollülesannet.
* Ära hinda kodutöid. Kasuta neid järjekindlalt õpilaste enesehindamiseks.
* Alusta järgmist tundi 3-minutise aruteluga teemal „Mille peale ma tulin, kui ennast kodutööga hindasin?“

=== 5.1.8 Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat? ===
Kontrolli kaotamine klassis toimuva üle on üks esimesi hirme, mis õpetajal mõtlemisruumi metoodikat esmakordselt katsetades tekib. Lahendus on ilmne: õpetaja peab suutma muuta õppijad ise oma õppimise eest vastutavaks, mis tähendab õpilaste autonoomia samm-sammulist kasvatamist. Liljedahl soovitab selleks suunata õpilasi panustama kogu klassi ühise teadmuspanga loomisse, julgustades neid vaatama teiste rühmade tahvleid (lahendusi kopeerimata, kuid eri lahendusi võrreldes) ja küsima teistelt rühmadelt vihjeid, jätkates seejärel siiski iseseisvalt oma lahendusega. '''Autonoomia''' on õpilase oskus hoida oma mõtlemist aktiivsena ka siis, kui õpetaja pole kõrval.

'''Mikrosammud õpilase autonoomia kujundamiseks:'''
* Kehtesta tava: enne õpetaja poole pöördumist küsi nõu kahelt teiselt rühmalt.
* Julgusta õpilasi vaatama teisi tahvleid. Ideede liikumine ja jagamine olgu soositud.
* Harjuta „väikeste sammude“ mõtteviisi: õpilased võiksid tegeleda korraga vaid ühe uue ideega.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.9 Kuidas toestada õppimist? ===
Matemaatika õpetamisel on õpetaja jaoks suurim väljakutse õpilaste ebaühtlane algtase ja matemaatiline võimekus. Seetõttu muutub sünkroonses tempos toimuv õppetöö osa õpilaste jaoks liiga aeglaseks ja igavaks, samas kui teiste jaoks kihutab õpetaja edasi liiga kiiresti. Mõtlemisruumi metoodika puhul ei pea kõik rühmad tegema samu asju ühtlases tempos. Liljedahl soovitab liikuda '''asünkroonselt''' (eri rühmad eri kiirusega), andes vajaduse korral väikseid '''vihjeid''' (kui mõni aeglasem rühm juhtub „kinni jääma“) ja ülesande '''laiendusi''' (kui mõni kiirem rühm sai töö varakult valmis), et hoida kõiki „voos“.

„Voo“ ehk „kulgemise“ mõiste tõi pedagoogikasse Ungari juurtega Ameerika teadlane Mihaly Csikszentmihalyi, kelle optimaalse kogemuse teooria võtab kõige paremini kokku allolev joonis. Kui ülesanne pakub õpilase võimekusega võrreldes liiga suurt väljakutset, langeb õpilane '''ärevuse''' tsooni. Kui aga väljakutse on võimeka õppija jaoks liiga kerge, langeb ta '''igavuse''' tsooni. Optimaalse (õppimis)kogemuse tagab pidev viibimine '''voo tsoonis''' (''flow zone''), kus järjest kasvav ülesannete keerukus vastab õpilase pisitasa kasvavale võimekusele.

&lt;!-- Joonis: Voo tsoon (flow) Csikszentmihalyi optimaalse kogemuse teoorias. Teljed: väljakutse (challenge) ja oskus (skill); tsoonid: ärevus (anxiety), voog (flow), igavus (boredom). --&gt;

'''Mikrosammud vihjete ja laienduste pakkumiseks:'''
* Anna väikseid vihjeid (kas uuritava probleemi keerukuse vähendamiseks või õpilase võimekuse kasvatamiseks), aga kindlasti mitte valmis lahendust.
* Varakult lõpetajad saavad laiendusi („Mis siis, kui…?“, „Üldista!“).
* Ära peata kogu klassi ühe rühma pärast, lase rütmidel erineda.

'''Näide:''' õpetaja [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ Frank McGowani] ajaveebist: kuidas mõtlemisruumiga matemaatikatunnis tekib õpilastel keskväärtust ja mediaani õppides „teadmuse voog“ ning õpetaja ei ole enam pudelikael.

=== 5.1.10 Kuidas tundi kokku võtta? ===
Kuna mõtlemisruumi metoodikat järgivas tunnis liiguvad õpilased ja rühmad oma probleemilahenduses sageli erinevas tempos (asünkroonselt), on seda olulisem jõuda tunni lõpus ühiste lõpptulemusteni. Õpetajal on sageli kiusatus teha selline kokkuvõte perfektsel viisil pigem oma teadmistest (või õpiku käsitlusest) lähtudes. Seda nimetatakse „tippu koondumiseks“ (''leveling to the top''). Nii toimides ignoreeriks õpetaja aga õpilaste rühmatöö tulemusi, ja Liljedahl hoiatab, et see oleks viga. Seetõttu soovitab Liljedahl hoopis vastupidist strateegiat: '''konsolideerida lõpptulemused alt üles''', alustades rühmatöödest nii heade lahenduste ja ideede kui ka lünkade väljanoppimisega.

'''Mikrosammud tunni kokkuvõtmiseks:'''
* Tee koos kõigi õpilastega „galeriituur“ (keegi ei istu), et vaadata üle kõigi rühmade tahvlid ja valida neist 3–5, mis jutustavad antud probleemi lahendusest kõige huvitavama „matemaatilise loo“.
* Ära lase õpilastel endil oma ideid tutvustama hakata – nüüd on õpetaja kord tõlgendada.
* Kokkuvõtva arutelu alguses pööra rohkem tähelepanu ideede päritolule ja kujunemisele, lõpupoole keskendu lõpptulemusele.
* Sõnasta koos õpilastega korrektse matemaatilise sõnastusega ühine lahendus alles arutelu lõpus (terminid, näited, vastunäited).
* Lase rühmadel oma sõnadega kirja panna, „mida igaüks peaks sellest arutelust meeles pidama“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.11 Kuidas õpilased teevad märkmeid? ===
Märkmete tegemine tunni ajal on ilmselt üks vanimaid praktikaid, kuid paraku kuulub enamik õpilaste märkmetest kategooriasse „õpetaja kirjutas tahvlile, mina kopeerisin selle vihikusse“. See tegelikult takistab õpilastel õpetaja jutule keskendumast ja kaasa mõtlemast. Liljedahli uuringutes selgus, et õpilaste märkmete kvaliteet ja tähendusrikkus kasvas hüppeliselt, kui nad ei pidanud õpetaja juttu reaalajas konspekteerima, vaid said rahulikult kirjutada '''„hajameelsele iseendale tulevikus“''', püüdes aidata endal olulisi asju meeles pidada. Selliseid märkmeid on sageli mõistlikum teha mitte lineaarse narratiivi, vaid mõistekaardi, diagrammi (Venni diagramm, kalaluu), skeemi või spikri kujul.

'''Mikrosammud kasulike märkmete tegemiseks:'''
* Märkmed kirjutatakse alles pärast tunni kokkuvõtet, mitte probleemi lahendamise ajal.
* Tehakse valik kõige olulisemast: foto oma tööst või tahvli osast ja kolmelauseline kokkuvõte.
* Lisatakse „üks toimiv näide“ ja „üks küsimus endale edasimõtlemiseks“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.12 Mida hinnatakse? ===
Mõtlevas klassiruumis ei ole hindamine pelgalt õppimise „mõõtmise“ vahend, vaid kasulik tagasiside õppijatele selle kohta, mida me tegelikult väärtustame. Liljedahli uurimistöö näitab, et õpetajad oskavad sageli sõnastada omadusi, mida nad soovivad oma õpilastes näha (nt visadus, riskijulgus, koostööoskus, kannatlikkus, autonoomia, enesetõhusus), kuid klassiruumi hindamispraktikad ei toeta nende omaduste kujunemist. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid ja lõpptulemusi, hakkavad õpilased väärtustama just neid ning loobuvad pingutusest ja mõtlemisest, kui lahendus pole kohe käes.

Liljedahl rõhutab põhimõtet: '''hinda seda, mida väärtustad''' (''evaluate what you value''). Kui me väärtustame mõtlemist, peame ka mõtlemist hindama. See ei tähenda, et akadeemilised õpitulemused kaotaksid tähtsuse, vaid et nende kõrvale tuleb teadlikult tuua ka need protsessilised ja dispositsioonilised aspektid, mis mõtlemist tegelikult võimaldavad. Näiteks visadust ei saa kujundada, kui seda ei märgata ega väärtustata, ja koostöö ei arene, kui seda ei peeta oluliseks.

Oluline on ka see, kuidas me neid väärtusi hindame. Liljedahli uuringud näitavad, et kõige tõhusamaks osutusid lihtsad ja läbipaistvad hindamisrubriigid, mis keskendusid järgmistele aspektidele:
* pingutus ja järjepidevus;
* panus rühmatöösse;
* valmidus proovida uusi ideid;
* oma mõtlemise selgitamine.

Selline hindamine ei ole karistav ega sorteeriv, vaid kujundav ja suunav: see aitab õpilastel mõista, milline käitumine ja õppimisviis toetab nende arengut mõtleva matemaatikuna.

'''Mikrosammud:'''
* Kujunda lihtne rubriik: osalus, visadus, riskijulgus, selgitamine (+ sisuline täpsus).
* Tagasiside on olulisem kui hinne: too välja käitumised, mis viisid edasijõudmiseni.
* Hoia käitumuslikud tõendid ja sisuline saavutus lahus (kaks sammu).

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.13 Kuidas teostada kujundavat hindamist? ===
Traditsioonilises klassiruumis kasutatakse hindamist valdavalt õpetaja tööriistana: infot kogutakse selleks, et teha otsuseid hinnete kohta. Liljedahli uurimistöö näitab, et isegi kujundav hindamine jääb sageli õpetajakeskseks: see aitab õpetajal õpetamist kohandada, kuid õppija jääb passiivseks objektiks, kes ei mõista, kus ta parasjagu on ja kuhu ta liigub.

Mõtlevas klassiruumis nihkub kujundava hindamise fookus selgelt õppijale. Kujundavat hindamist kasutatakse selleks, et aidata õpilastel:
* mõista, kus nad oma õppimises parasjagu on;
* näha, mida nad juba oskavad;
* teadvustada, mida nad veel ei oska ja kuhu edasi liikuda.

Liljedahli uurimistulemused näitavad, et kui õpilased saavad selge pildi oma õppimisest, suurenevad nende autonoomia ja kaasatus ning see võib viia ka mõõdetava akadeemilise edenemiseni (nt parema soorituseni testides).

Oluline on, et kujundav hindamine ei avaldu mõtlevas klassiruumis pideva testimise või punktide kogumisena. Selle asemel kasutatakse:
* vaatlusi rühmatöös;
* vestlusi õpilastega nende lahendusstrateegiate üle;
* visuaalset ja suulist tagasisidet;
* õppijate enda refleksioone.

Kujundav hindamine on seega õppimisprotsessi lahutamatu osa, mitte eraldi etapp tunni lõpus. See toetab mõtlemise püsimist ja aitab vältida olukorda, kus õpilased töötavad vaid „hinde nimel“.

'''Mikrosammud:'''
* Tee kogu klassiga 60–90-sekundilisi „vahepeatusi“: „Mis töötab, mis takistab?“
* Kasuta tahvlivaatlusi: näed kiiresti, kus klass on, ja saad vihjeid kohandada.
* Kasuta lõpus väljumisküsimust (''exit prompt''): „Üks strateegia, mida kasutasin / mida proovin järgmisel korral“.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.14 Kuidas hinnatakse õpitulemusi? ===
Liljedahl seob mõtleva klassiruumi hindamispraktika laiemate suundumustega hariduses, eeskätt '''tõenduspõhise hindamisega'''. Selle lähenemise keskmes ei ole punktide kogumine, vaid tõendid selle kohta, mida õppija tegelikult oskab ja mõistab. Mõtlevas klassiruumis põhinevad hinded kogutud tõenditel:
* õpilaste töödel ja lahendustel;
* aruteludes ilmnenud mõtlemisel;
* kujundava hindamise käigus kogutud tähelepanekutel.

Oluline erinevus tavapärasest hindamisest seisneb selles, et hinnangud ei sünni üksikutest „hindamissündmustest“, vaid ajapikku kogunenud pildist õppija arengust. See vähendab juhuslikkust ja stressi ning toetab õppija enesetõhusust.

Liljedahl rõhutab, et hindamine peab olema tihedalt seotud kujundava hindamisega: hindamiseks kasutatav info peab olema õppijale nähtav ja arusaadav. Hinne ei ole siis üllatus ega karistus, vaid loogiline kokkuvõte sellest, mida õppija on juba näidanud.

Selline lähenemine toetab mõtleva klassiruumi keskseid väärtusi: see suunab õpilasi keskenduma õppimisele ja mõtlemisele, mitte punktide jahtimisele, ning aitab kujundada vastutustunnet oma õppimise eest.

'''Mikrosammud:'''
* Hinda standardipõhiselt: kirjelda selgelt, millist mõtlemist või oskust tõendatakse.
* Viimane (küpsem) tõend loeb kõige rohkem ja „uuesti tõendamine“ on lubatud.
* Hoia hinnang (saavutus) ja tagasiside (järgmine samm) lahus.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.15 Kokkuvõte: Liljedahli neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamisel ===
Peter Liljedahli ''Building Thinking Classrooms'' raamistik koondab neliteist omavahel seotud praktikat, mis põhinevad 15 aasta pikkusel empiirilisel uurimistööl ja mille ühine eesmärk on maksimeerida õppijate mõtlemist matemaatikatunnis. Praktikad ei ole eraldiseisvad võtted, vaid moodustavad tervikliku süsteemi, kus muutused klassiruumi füüsilises keskkonnas, sotsiaalsetes normides, õpetaja rollis ja hindamises toetavad üksteist.

Raamistiku alguspraktikad keskenduvad mõtlemist käivitavate tingimuste loomisele: sobiva ülesandetüübi valik, juhuslikud rühmad ning vertikaalsete ja mittepüsivate kirjutuspindade kasutamine muudavad õppijate käitumist ja ootusi. Järgmised praktikad kujundavad klassiruumi normid, kus pingutus, eksimine ja koostöö on väärtustatud ning õpetaja roll nihkub seletajalt mõtlemise orkestreerijaks. Õpetaja sekkub teadlikult ajastuse, küsimuste ja ootuste kaudu, et hoida õppijad aktiivselt mõtlemas.

Raamistiku viimased praktikad (12–14) seovad mõtlemise hindamise ja tagasisidega. Liljedahl rõhutab, et mõtleva klassiruumi kestlikkus sõltub sellest, mida hinnatakse, kuidas kujundavat hindamist kasutatakse ja mille eest hindeid pannakse. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid, taastoodab see pealiskaudset õppimist. Kui hinnatakse pingutust, strateegilist mõtlemist ja arusaamise arengut, toetab hindamine otseselt mõtlemise kultuuri.

Kokkuvõtvalt pakuvad Liljedahli neliteist praktikat teaduspõhist ja praktilist raamistikku, mis aitab õpetajatel liikuda protseduurikeskselt õpetamiselt mõtlemist väärtustava ja õppijat aktiveeriva klassiruumi suunas. LAHEMATE kontekstis loovad need praktikad selge orientiiri koolikatsetuste kavandamiseks, õpetajate professionaalseks refleksiooniks ning mõtleva matemaatikakultuuri järkjärguliseks juurutamiseks.

== Viited ==
* Csikszentmihalyi, M. (1990). ''Flow: The Psychology of Optimal Experience''. New York: Harper &amp; Row.
* Liljedahl, P. (2020). ''Building Thinking Classrooms in Mathematics, Grades K–12: 14 Teaching Practices for Enhancing Learning''. Thousand Oaks, CA: Corwin.
* Liljedahl, P., &amp; Allen, D. (2013). Mathematical discovery: Studenting. [TÄPSUSTADA]

== Veebiallikad ==
* Liljedahl, P. Kaarditrikid: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanded: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanne „New School Schedule“: [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf PDF]
* Nguyen, F. Promoting thinking tasks with VNPS tools. Wipebook: [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU wipebook.com]
* Soo, A. (2023). Building Thinking Classrooms: peatükkide 5, 6 ja 8 refleksioonid. Ajaveeb: [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ ptk 5], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ ptk 6], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ ptk 8]
* McGowan, F. (2021). Thinking Classrooms Challenge: In Flow. Ajaveeb: [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ findingtheprocess.wordpress.com]
* Apple Education. Õpetaja MK lugu: [https://education.apple.com/story/250014232 education.apple.com]
* Ülesannete kogud: [http://nrich.maths.org NRICH], [http://youcubed.org YouCubed], [http://illuminations.nctm.org Illuminations (NCTM)]

[[Kategooria:LAHEMATE]]
[[Kategooria:Probleemilahendus]]</text>
      <sha1>gu77f1j5vvuo4m1ims5xh8f3fjmgk7p</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20346</id>
      <parentid>20345</parentid>
      <timestamp>2026-09-28T07:16:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>/* Õppekavalised ja õppekavavälised probleemülesanded */</comment>
      <origin>20346</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="48556" sha1="8vz6olz4njagyghrmyax7ijnp0yp25g" xml:space="preserve">= 5. Peter Liljedahli mõtleva klassiruumi metoodika =

Liljedahli metoodika põhineb tema aastatepikkusel teadustööl ja tunnivaatluste süstemaatilisel analüüsil. Need veensid teda, et enamikus vaadeldud matemaatikatundides ei toetata õpilaste mõtlemist piisavalt. Ta väidab, et enamik õpilasi ei tegele tunnis ei mõtlemise ega õppimisega (neist esimene on viimase vältimatu eeldus), vaid hoopis „õpilasena käitumise“ ehk '''„õpilasetsemise“''' (''studenting'') muude vormidega. „Studenting“ on Alleni (2017) välja pakutud termin, mis tähistab kõiki antud õpikeskkonnas õpilaseks olemisega seotud tegevusi, mille hulka kuulub muu hulgas ka õppimine. Allen pakub oma empiiriliste uuringute põhjal välja viis peamist õpilasetsemise vormi:
* '''viilimine''' (''slacking''): õpilased ignoreerivad täielikult õpetaja antud ülesandeid ja tegelevad millegi muuga, nt nutitelefonis ühismeedia vaatamise, teemavälise omavahelise suhtlemise või lihtsalt mittemidagitegemisega;
* '''venitamine''' (''stalling''): õpiülesandega tegelemise edasilükkamine, kasutades ettekäändena legitiimseid asendustegevusi, nagu pliiatsi teritamine, kotist asjade otsimine või WC-s käik;
* '''teesklemine''' (''faking''): näiliselt õpiülesandega tegelemine (tahvli või õpiku „uurimine“, mõtliku näo tegemine), kuid tegelikult ülesande lahendamise vältimine;
* '''matkimine''' (''mimicking''): ülesandega mehaaniliselt tegelemine, kopeerides õpetaja eelnevat näidislahendust rida-realt, kuid ilma aktiivse mõttetegevuse ja mõistmiseta;
* '''katsetamine''' (''trying it on their own''): iseseisev pingutamine ülesande lahendamiseks.

Liljedahl väidab, et neist üksnes viimasega kaasneb mõtlemine ja et sadades tema vaadeldud matemaatikatundides tegeles „mõtlemisvabade“ õpilasetsemise vormidega 75% õpilastest peaaegu kogu tunni jooksul. Lahendusena on Liljedahl oma uuringute tulemusena sõnastanud 14 tegurit, mis aitavad luua mõtlemist toetava õpikeskkonna:
# '''Milliseid ülesandeid me õpilastele anname?''' Alustada tuleks aine(kava)ga vaid kaudselt seotud elulistest ja mõtlema innustavatest küsimustest ning seejärel liikuda pisitasa matemaatilisemate mõtlemisülesannete juurde.
# '''Kuidas me õpilasi rühmitame?''' Juhuslikult kokku loositud, iga kord uued rühmad toimivad paremini ja innustavad õpilasi rühma ühistegevusse panustama.
# '''Kus õpilased õpivad?''' Õpilaste mõtlemist ja koostööd on lihtsam käivitada, kui nad seisavad vertikaalsete kirjutamispindade ees, millelt kirjapandut saab kustutada (nt pabertahvlid, valged markertahvlid, interaktiivsed ekraanid).
# '''Milline on füüsiline õpikeskkond klassis?''' Ridadesse joondatud, õpetaja suunas vaatavad pingiread toovad kaasa passiivse õppimise. Klassi mööbel peab võimaldama ümberpaigutamist ja rühmatööks vaba ruumi loomist, eelkõige seinte ääres.
# '''Kuidas vastatakse õpilaste küsimustele?''' Tavatundides on 90% õpilaste küsimustest kas pelgalt õpetajaga muul teemal suhtlemiseks, kuna ta satub lähedusse (nn ''proximity questions''), või kiire tagasiside saamiseks („Kas see on õige?“). Need peatavad õpiülesande üle mõtlemise. Õpilasi peaks suunama esitama hoopis mõtlemist soodustavaid küsimusi (nn ''keep-thinking'' küsimused).
# '''Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid?''' Õpilaste mõtlemist aktiveerivad ülesanded, mis antakse pigem tunni alguses kui lõpus, pigem suurel ekraanil kui õpikus, pigem suuliselt kui kirjalikult.
# '''Millist kodutööd antakse?''' Et õpilased ei tajuks kodutööd kui õpetaja jaoks kontrolli eesmärgil tehtavat tüütut kohustust, tuleks anda selliseid kodutöid, mis inspireerivad kodus edasi mõtlema ja oma lahenduste tulemuslikkust hindama.
# '''Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat?''' Õppijate enesejuhitavust saab suurendada nii eespool kirjeldatud rühmatööde, arutelude ja teistmoodi kodutöödega kui ka kaaslaste vaatlemise, neilt ideede korjamise ja neile tagasiside andmisega.
# '''Kuidas toestada õppimist?''' Vihjed, näited ja soovitused aitavad hoida õppijad personaliseeritud „kulgemisvööndis“ (''flow zone'', vt Csikszentmihalyi, 1990) ja vältida õppimise muutumist liiga lihtsaks või liiga raskeks.
# '''Kuidas konsolideerida õpitut?''' Eri ülesannete kaudu õpitu koondamine iga õpilase peas ühtseks tervikuks on konstruktivistliku õpikäsituse üks nurgakive ja suur väljakutse õpetajale.
# '''Kuidas õpilased teevad märkmeid?''' Õpetaja jutu mehaanilise konspekteerimise asemel tuleb õpilasi õpetada ise oma mõttetööst kokkuvõtteid visandama ja visandeid täiustama.
# '''Mida hinnatakse?''' Lisaks ainekavas kirjas olevatele õpitulemustele tuleks hindamise objektiks võtta ka oskused, mida mõtlemist soodustavas tunnis väärtustatakse, nt püsivus, koostöö ja loovus.
# '''Kuidas teostada kujundavat hindamist?''' Õpilastele antakse mitmekülgset tagasisidet mitte üksnes nende püüdlikkuse ja aktiivsuse kohta, vaid ka selle kohta, kuidas nad seni on toime tulnud ja mida tuleks edasi teha.
# '''Kuidas hinnatakse õpitulemusi?''' Pigem sarnaselt kujundava hindamisega (pakkudes õpilastele tagasisidet edasimõtlemiseks), mitte lõpliku kohtuotsusena, kuid siiski riikliku õppekava õpitulemustest lähtudes.

Vaatleme nüüd lähemalt neid neljateistkümmet &quot;optimaalset/toimivat praktikat&quot; (sisuliselt on need taas heuristikud, aga õpetajale) koos praktiliste näidetega.

== 5.1 Neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamiseks ==

=== 5.1.1 Milliseid ülesandeid me õpilastele anname? ===
Oma raamatus „Building Thinking Classrooms“ (2020) toob Liljedahl hakatuseks näite probleemülesandest, mille autor on Lewis Carroll: ''kui kuus kassi püüab kuue minuti jooksul kuus rotti, siis mitu kassi oleks vaja, et püüda 50 minuti jooksul 100 rotti?'' Selle ülesande lahendamine eeldaks küll teadmisi murdude ja võrdelise seose kohta, kuid neist ei piisa. Õpilased jäävad tavaliselt „kinni“ juba alguses, sest ülesandest võib aru saada kaheti: kas kuuest kassist üks püüab igas minutis ühe roti või püüab iga kass ühe roti kuue minuti jooksul. See „kinnijäämine“ toob kaasa mõtlemise ja probleemilahenduse käivitumise.

Eksamiks õppides lahendavad paljud „tublid“ õpilased suurel hulgal ülesandeid, nii et õppekavale vastavad tüüplahendused muutuvad nende jaoks rutiinseks ja nende lahendamiseks pole enam mõtlemist tarvis – piisab mehaanilisest matkimisest. Eksamil (ja elus või hilisemates õpingutes) võib aga suure tõenäosusega ette tulla probleeme, mille lahendamine eeldab mitterutiinseid lahendusi, näiteks matemaatika eri valdkondadest või teistest õppeainetest pärinevate teadmiste kombineerimist. Just selliseid probleemülesandeid soovitab Liljedahl matemaatilise mõtlemise harjutamiseks kasutada juba õppeprotsessi käigus. Ta jaotab head probleemülesanded kolme kategooriasse.

'''1) Köitvad nuputamisülesanded''', mis lausa meelitavad inimesi lustiga kaasa mõtlema. Õpikutes esineb sedalaadi ülesandeid pigem harva, kuid mujal (nt ajalehtede nupunurkades, sotsiaalmeedias, Känguru võistlusel, e-rehkenduses) on neid küllaldaselt. Liljedahl toob neli näidet kooliastmete kaupa:
* ''I kooliaste:'' mitu ruutu on pildil?
* ''II kooliaste:'' kui ostad videomängu 10 dollariga, müüd selle 20 dollariga, ostad taas tagasi 30 dollariga ja müüd uuesti 40 dollariga, siis kui palju raha sa lõpuks teenisid (või kaotasid)?
* ''III kooliaste:'' kui sul on ainult kaks liivakella (üks 4-minutiline ja teine 7-minutiline), kas saaksid nende abil aega mõõtes keeta oma vanaemale täpselt 9 minutit keedetud muna? Kui saab, siis kui kaua peab vanaema ootama muna valmissaamist?
* ''Gümnaasiumiaste:'' ekstsentriline daam broneeris kolm kõrvutiasuvat hotellituba ja lubas ööbida igal ööl toas, mis asub eelmisel ööl kasutatud toa kõrval. Vastuvõtus töötav John avastas, et tubade eest maksmiseks kasutatud krediitkaart ei toimi. Kiire töötempo tõttu on Johnil päeva jooksul aega vaid korraks minna ülakorrusele ja koputada ühele kolmest uksest, lootes daami leida ja maksetõrke ära klaarida. Mitu päeva tal kulub, et kindlasti daamiga kohtuda? Aga kui daam oleks broneerinud hoopis 4 või 5 tuba? Või kui ta broneeris 17 tuba 30 päevaks – kas Johnil oleks lootust daam tabada enne, kui too kuu möödudes hotellist lahkub?

'''2) Kaarditrikid''', mis põhinevad matemaatikal, mitte silmapettel ega käteosavusel. Selliste trikkide videosalvestusi on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]

'''3) Rehkendamisülesanded''', mis on võetud elust enesest ja kõnetavad seetõttu õpilasi. Sellise ülesande näitena toob Liljedahl loo sõpruskonna suusareisist, milleks on pikalt raha kogutud. Allpool olevas tabelis on näha iga rühmaliikme kogutud raha ja kavandatud kulud. Sõbrad on otsustanud, et kogutud raha kulutatakse viimase sendini üksnes kavandatud otstarbeks ja keegi ei tohi reisilt maha jääda (isegi kui mõni maksab rohkem, kui tal endal kulub). Kas raha on kogutud piisavalt? Kui ei, siis kes peaks juurde maksma ja kui palju? Selliseid rehkendamisülesandeid on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses koos juhendiga, kuidas neid ise koostada: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Tabel 1. Sõpruskonna suusareisi jaoks kogutud raha ja kavandatud kulutuste koond
! Nimi !! Kogutud raha !! Suusavarustuse rent !! Suusalifti pilet !! Algaja suusakoolitus
|-
| Aleks || 75 || 20 || 40 || 40
|-
| Piret || 125 || 10 || 40 || 40
|-
| Terje || 50 || 30 || 40 || 0
|-
| Kevin || 10 || 40 || 40 || 40
|-
| Jaana || 25 || 0 || 40 || 0
|-
| Reta || 10 || 0 || 40 || 40
|-
| Taavi || 38 || 30 || 40 || 0
|-
| Sten || 22 || 40 || 40 || 40
|-
| Sonja || 200 || 20 || 40 || 0
|-
| Kaidi || 60 || 25 || 40 || 0
|}

Probleemülesannete koostamisel lähtub Liljedahl (nagu ka Boaler) '''„madala läve ja kõrge lae“''' disainipõhimõttest, lisades sellele veel kolmanda: '''„avatud keskpaiga“''' printsiibi. Viimane eeldab probleemülesandelt ühte õiget vastust, jättes avatuks ja paindlikuks selle vastuseni jõudmise viisi. Selliseid „avatud keskpaigaga“ ülesandeid esineb sagedamini nuputamisülesannete ja kaarditrikkide seas, samas kui Liljedahli stiilis rehkendamisülesannetel on üldjuhul ka õigeid vastuseid palju.

Õpetaja võib neid ülesandeid vaadates ohata, et need on küll haaravad, kuid ei aita saavutada õppekavas olevaid õpiväljundeid. Loogiline lahendus näib olevat mõtlemist toetavate tekstülesannete kohandamine selliseks, et nende lahendamisel tuleb paratamatult kasutada õpikuteadmisi käsiloleva peatüki ja õppekava osa kohta. Nii talitades ohverdaksime aga õpilaste mõtlemise arendamise ja kaasahaaratuse ning riskiksime muuta ülesannete lahendamise igavaks ja rutiinseks matkimiseks. Selle asemel soovitab Liljedahl muretseda vähem õppekava pärast ja keskenduda esmalt õpilaste mõtlemisele. See suurendab nende eneseusku oma matemaatikavõimetesse, positiivset suhtumist ja huvi õppeaine vastu, misjärel õppekavaga selgemalt seotud ülesannete lahendamine muutub oluliselt lihtsamaks ja võtab vähem aega.

Lisaks saab ka õpikuülesandeid kohandada nii, et need panevad õpilased mõtlema. Näitena esitab Liljedahl õpetaja dialoogi klassiga ruutkolmliikme tegurdamise teemal, alustades varem õpitud teadmisest:
* '''Õpetaja:''' Meenutame kaksliikmete korrutamist. Mis te saate, kui korrutate (x + 2)(x + 3)?
* '''Õpilased:''' (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
* '''Õpetaja:''' Aga kui ma alustaksin tagantpoolt ja mu vastus oleks x² + 7x + 6, mis arvud peaksid sel juhul olema mu algses küsimuses (x + □)(x + □)?

Liljedahli mõtleva klassiruumi lähenemises on matemaatika õppimise keskmes õpilase mõtlemine. Kui soovime, et õpilased mõtleksid, tuleb neile anda midagi, mille üle mõelda – selleks on eelkõige hästi valitud matemaatiline ülesanne. Samas rõhutab Liljedahl, et heast ülesandest üksi ei piisa. Ka väga hea probleemülesanne ei pruugi õpilasi mõtlema panna, kui klassiruumi töökorraldus, õpetaja tegevus ja õpilaste harjumused seda ei toeta. Seega on hea ülesanne mõtleva klassiruumi vajalik, kuid mitte piisav tingimus.

Kordame üle - Liljedahli kohaselt peab hea mõtlemisülesanne vastama kolmele kriteeriumile: 
* sellel on madal lävi (''low floor''), 
* kõrge lagi (''high ceiling'') ning 
* see sisaldab õpilase jaoks mingit uudsuse aspekti (''novelty'').

'''Madal lävi''' tähendab, et igal õpilasel peab olema võimalik ülesandega iseseisvalt pihta hakata. See ei tähenda, et ülesanne ise peab olema lihtne (madala keerukusastmega). Pigem peab ülesande alguses olema midagi sellist, millest ka nõrgemate eelteadmistega õpilane saab kinni haarata ja mille põhjal esimesi katsetusi teha, nuputama hakata. Liljedahl seostab madalat läve ka võrdsuse ja kaasatuse taotlusega matemaatikaõppes. Kui hariduse üldisem eesmärk on võrdsed võimalused (equity), siis õpetaja praktiline ülesanne klassiruumis on luua õpilastele juurdepääs (access) matemaatilisele tegevusele. Madal lävi on üks konkreetne viis selle saavutamiseks.
'''Kõrge lagi''' tähendab seevastu, et ülesanne peab pakkuma väljakutset ka tugevamatele õpilastele. Kõik õppijad peaksid mingil hetkel jõudma olukorda, kus lahendus ei ole enam ilmne ja tuleb päriselt mõelda. Oluline on siin ülesande raskusastme ja õpilase seniste teadmiste vahekord: eri õpilased jõuavad väljakutse lahenduseni eri ajal ja eri tasemel.
Sellega seostub produktiivse pingutuse (productive struggle) idee, mis on seotud ka Võgotski lähima arengu tsooni mõistega - õppimine on tulemuslikum siis kui õpetaja suudab õpilase tema mugavustsoonist arengu tsooni juhtida. Mõtlemine muutub eriti oluliseks siis, kui õpilane ei tea kohe, mida edasi teha. Sellises olukorras peab ta katsetama, püstitama oletusi, ebaõnnestuma, oma lähenemist muutma ja uuesti proovima. Eesmärk ei ole vältida olukorda, kus õpilane „jääb kinni“, vaid õpetada teda sellisest olukorrast edasi liikuma. Liljedahl rõhutab siiski, et produktiivse pingutuse tekkimiseks on oluline ka varasem eduelamus. Kui keeruline väljakutse järgneb õnnestumisele, jätkab õpilane suurema tõenäosusega pingutamist; kui mitu järjestikust ülesannet takerduvad ebaõnnestumisse, suureneb õpilase loobumise tõenäosus.
Kolmas hea ülesande tunnus on '''uudsus'''. Kui õpilane juba teab, millist algoritmi või varem õpitud lahendusviisi rakendada, võib ta selle lihtsalt ja ilma pingutava mõtlemiseta reprodutseerida. Autorite käsitluses algab mõtlemine eeskätt olukorras, kus lahendustee ei ole ette teada. Seetõttu peaks mõtlemisülesanne sisaldama õpilase jaoks midagi mitterutiinset: uut probleemi, uut konteksti, ebaharilikku kombinatsiooni või vajadust teadaolevaid teadmisi uuel viisil kasutada.

Need kolm omadust ei pea tingimata sisalduma ühes suures ja keerulises ülesandes. Sageli on otstarbekam koostada ülesannete jada, milles esimesed ülesanded võimaldavad kiiremini alustada ja kogeda edu ning järgnevad ülesanded suurendavad järk-järgult väljakutset. Samuti vajavad ka head ülesanded jätkuülesandeid ehk laiendusi (''extensions''). Mõtleva klassiruumi üks põhimõtteid on, et õpilane ei peaks jõudma seisundisse „olen valmis“: kui esialgne probleem on lahendatud, järgneb sellele uus küsimus või tingimus, mis nõuab mõtlemise jätkamist.

==== Õppekavalised ja õppekavavälised probleemülesanded ====

Liljedahl eristab “rikastatud ülesandeid” (''rich tasks'') ning nende kasutamist nii õppekavast lähtudes kui ka õppekavaväliselt. Rikastatud ülesanne nõuab mitmesuguste matemaatiliste teadmiste kasutamist ja nende kombineerimist probleemi lahendamiseks. Sama ülesanne võib olla ühe õpilasrühma jaoks õppekavaline (''curricular'') ja teise jaoks õppekavaväline (''non-curricular''), sõltuvalt sellest, kas selle lahendamiseks kasutatav matemaatika kuulub parajasti õpitava sisu hulka. Õppekavavälised on näiteks matemaatika olümpiaadi, Känguru võistluse ja ajakirjade nuputamisnurkades avaldatud ülesanded, aga ka mingis teises valdkonnas (nt programmeerimises, majandusstatistikas ja teadusuuringutes) esitatud põnevad nuputamisväljakutsed. 

Näiteks võiks siinkohal tuua nuputamisülesande, kus numbrid 1–9 tuleb paigutada astmete ja korrutistega avaldisse nii, et saadava murru väärtus oleks võimalikult suur. Õpilane võib alustada katse-eksituse meetodiga, kuid edasi tekivad küsimused selle kohta, kuidas muuta lugeja võimalikult suureks ja nimetaja võimalikult väikeseks, kuidas mõjutavad tulemust astmed ning milliseid arvukombinatsioone üldse tasub uurida. Sama ülesannet saab jätkata uue eesmärgiga, näiteks moodustada avaldis, mille väärtus oleks võimalikult lähedal ühele. Selline ülesannete jada illustreerib korraga madalat läve, kõrget lage, uudsust ja jätkuülesannete kasutamist. Mõtleva klassiruumi ülesanded võivad kasutada käelisi õppevahendeid (manipulatives) – näiteks täringuid, algebraklotse, murrukettaid, tasakaalumudeleid või ruumilisi kujundeid. Oluline pole aga taolise käekatasutava vahendi/objekti olemasolu iseenesest, vaid milleks seda kasutatakse.

[[Fail:Algebraklotsid.png|pisi|alt=Algebraklotsid|Algebraklotsid]]

==== Näidisülesanne algebraklotside abil lahendamiseks ==== 

Lahenda algebraklotside abil ja selgita oma lahendust teisele õpilasele: 
* (x+2)(x+3)=
* (x+4)(x-3)=
* (x-2)(x-4)=

==== Näidisülesanne kuue täringuga ====

[[Fail:Täringud.png|pisi|alt=Kuus täringut|Kuus täringut]]

# Milliseid mustreid märkad kui uurid täringu vastastahkudel olevaid väärtusi?
# Raputa peos 6 täringut ja aseta need siis üksteise otsa tornina. Kuidas saaks kiiresti arvutada kõigi nähaolevate tahkude silmade summa? Ja siis peidetud tahkude summa?
# Kas joonisel olevad täringud on kõik identsed? Mitu erinevat täringut on võimalik luua, kui lähtuda vastastahkude silmade reeglist? 


Liljedahl eristab kolme käelise õppevahendi kasutusviisi. 
* Õpilane võib mõelda antud õppevahendi üle, kui see ise on uurimisobjekt – näiteks saab uurida ja võrrelda eri liiki täringute vastastahkude arvude paiknemise seaduspärasusi. 
* Teiseks võib õpilane mõelda käelise õppevahendi abil, kasutades seda matemaatilise probleemi lahendamiseks. Näiteks saab väikestest kuupidest ehitada 3 × 3 × 3 kuubi ja uurida värvitud kuubi probleemi. 
* Kolmandaks saab õpilane esitada ja kommunikeerida oma mõtlemist käelise vahendi abil, näiteks kasutada algebraklotse oma lahenduskäigu selgitamiseks kaasõpilastele.

Käelised õppevahendid on seejuures matemaatiliste representatsioonide üks liik. Õppimise seisukohalt on oluline liikuda esemelise mudeli, pildi, kirjalike sümbolite, verbaalse esituse ja reaalse olukorra vahel. Seetõttu ei tohiks vahend asendada matemaatilist mõtlemist, vaid aidata luua seoseid eri representatsioonide vahel.

Ka siin on oluline õpetaja otsus, millal vahendit pakkuda. Mõnikord on käeline vahend ülesande lahutamatu osa ja õpetaja annab selle kõigile; teinekord võiksid erinevad vahendid olla lihtsalt õpilastele kättesaadavad ning õpilased ise otsustavad, kas ja millist neist kasutada.

Eriti huvitav on Liljedahl’i hoiatus visualiseerimise kohta. Kui soovitud õpitulemus on võime kujundit vaimusilmas ette kujutada, võib füüsilise mudeli pidev olemasolu hoopis visualiseerimise vajaduse kõrvaldada. Seetõttu võib õpetaja näiteks näidata kuupi ülesande selgitamisel, seejärel selle eemaldada ning anda selle uuesti ajutiselt rühmale, kellel on visualiseerimisega raskusi. Nii toetab mudel visualiseerimise kujunemist, mitte ei asenda seda.

Sarnane põhimõte kehtib digitehnoloogia kasutamise kohta mõtlemisülesannetes: tehnoloogia iseenesest ei muuda kehva ülesannet heaks. Animatsioonid, kalkulaatorid, GeoGebra, Desmos või programmeerimine võivad mõtlemist toetada, kuid ülesanne peab ikkagi käivitama mõtlemise, pakkuma piisavat väljakutset ja sisaldama uudsust.
Liljedahl eristab mõtleva klassiruumi kontekstis kolme tehnoloogia kasutusviisi: tehnoloogia kui arvutusvahend, uurimisvahend ja programmeerimisvahend:
* '''Arvutusvahendina''' võib tehnoloogia teha mahukaid arvutusi, joonestada või mõõta. Autorid soovitavad rühmatöös pigem ühte seadet rühma kohta, sest iga õpilase isiklik seade võib rühma koostööd killustada. Samal põhjusel soovitatakse olulised sisendid ja tehnoloogia abil saadud tulemused kanda ka rühma vertikaalsele kirjutuspinnale (VKP). Nii muutub tehnoloogia individuaalse seadme asemel rühma ühiseks töövahendiks.
* '''Uurimisvahendina''' võimaldab tehnoloogia kiiresti muuta parameetreid, jälgida tulemusi, püstitada oletusi ja neid kontrollida. Näiteks saab uurida parabooli muutumist ruutfunktsiooni kordajate muutmisel või statistiliste näitajate muutumist andmestiku muutmisel. Selline tegevus moodustab tsükli vaatlemine → oletuse püstitamine → kontrollimine, milles tehnoloogia võimaldab kiiresti koguda uusi näiteid ja kontrollida hüpoteese.
* '''Programmeerimisel''' muutub tehnoloogia ülesandest peaaegu lahutamatuks: õpilane kavandab algoritmi, katsetab seda, jälgib sisendite ja väljundite seoseid ning parandab vigu. Autorite järgi on programmeerimine juba olemuselt uurimuslik tegevus. Mõtleva klassiruumi puhul soovitatakse programmeerimiseks töötada paarides, kasutada ühte arvutit paari kohta ning ühendada arvutitöö VKP-iga, kus saab kavandada algoritmi, talletada oletusi ja nähtavaks teha lahenduskäiku.

LAHEMATE uuringuprojekti kontekstis on selle peatüki kõige olulisem sõnum, et Liljedahli lähenemist ei tohiks taandada üksnes mõnele silmatorkavale klassiruumi töövõttele, näiteks juhuslikele rühmadele või vertikaalsetele kirjutuspindadele. Mõtleva klassiruumi lähtekoht on sellise matemaatilise tegevuse kavandamine, mis tekitab vajaduse mõelda. Selleks peab ülesanne võimaldama kõigil alustada, kuid mitte võimaldama kõigil kohe lõpetada; õpilane peab mingil hetkel jõudma olukorda, kus tuttava algoritmi mehaanilisest rakendamisest ei piisa.

LAHEMATE õpetaja võiks seetõttu probleemülesande kavandamisel küsida vähemalt järgmisi küsimusi:
# Kas ülesandel on madal lävi? Kas kõik õpilased leiavad mõistliku viisi alustamiseks?
# Kas ülesandel on kõrge lagi? Kas ka tugevamad õpilased jõuavad punkti, kus nad peavad päriselt nuputama?
# Kas ülesanne on õpilaste jaoks piisavalt uudne? Või tunnevad nad kohe ära harjutatud algoritmi?
# Milline on järgmine samm? Millise jätkuülesande saab anda õpilasele, kes esimese probleemi lahendab?
# Kas käeline õppevahend või digitehnoloogia käivitab matemaatilist mõtlemist või asendab seda?
# Kas kasutatav vahend toetab rühma ühist mõtlemist ja matemaatilist suhtlemist (matemaatika keelendamist)?
# Millal tuleks käeline õppevahend eemaldada? Eesmärk ei ole muuta õpilast vahendist sõltuvaks, vaid aidata tal liikuda abstraktsema matemaatilise mõtlemise poole.

Seega pole Liljedahli mõtleva klassiruumi puhul keskne küsimus lihtsalt „'''Kas see on hea probleemülesanne?'''“, vaid pigem „'''Millist mõtlemist see ülesanne minu klassiruumis esile kutsub ning kuidas ülesande, käeliste vahendite ja töökorralduse kombinatsioon seda mõtlemist toetab?'''“ Just selles mõttes moodustavad ülesande omadused, õpetaja pedagoogilised valikud, rühmatöö korraldus, füüsilised ja digitaalsed vahendid ning produktiivse pingutuse toetamine ühe tervikliku süsteemi.


==== Kokkuvõte ====
Kokkuvõtteks soovitab Liljedahl alustada iga tundi mõtlemisülesannetega ja õpilaste kaasamise järel liikuda edasi ülesannete juurde, mille lahendamine eeldab õppekavale vastavate teadmiste rakendamist. Samas ei soovita ta õppekavale või õpikule vastavaid lahendusi õpilastele ette näidata, sest see lülitaks õpilased „mõtlemisrežiimist“ „matkimisrežiimi“.

'''Mikrosammud probleemülesannete koostamiseks mõtlemisruumi metoodikast lähtuvalt:'''
* Alusta 1–2 esimesel nädalal õppekavaväliste nuputamis- ja mõtlemisülesannetega (madal lävi, kõrge lagi). Alles õpilaste mõtlemisharjumuste tekkides liigu õppekavaga otsesemalt seotud ülesannete juurde.
* Vali ülesanded, millel on mitu lahendusviisi (joonista, koosta tabel, võrrand, arvuta).
* Väldi alguses töölehti: anna ülesanne suuliselt ja lase rühmadel ideid proovida.

'''Näidisülesanne:'''
* Koosta koolile [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf uus tunniplaan], kus iga teine reede on iseseisva õppe päev, kuid koolitundidele kuluvate minutite summa igas kahenädalases tsüklis (ja õppeaastas tervikuna) jääb samaks kui praegu.

Sama raamülesanne hoiab mõtlemist esiplaanil ka siis, kui selle sisu muutub hiljem õppekavaga seotuks.

=== 5.1.2 Kuidas me õpilasi rühmitame? ===
Loo silmanähtavalt juhuslikud kolmesed rühmad ja vaheta neid sageli. See murrab sotsiaalseid barjääre, suurendab teadmiste liikumist klassis ja tõstab iga õpilase valmisolekut panustada ühisesse mõtlemistegevusse.

'''Mikrosammud:'''
* Moodusta rühmad silmanähtavalt juhuslikult, kasutades nt kaardipakki, loosipulki või QR-koode.
* Vaheta rühmade koosseise sageli (igas tunnis või üle päeva), et vältida „püsirollide“ tekkimise ohtu.
* Hoia rühma suurus kolmeliikmelisena: see on piisav erinevate ideede tekkeks, kuid ei võimalda rühmaliikmetel mugavalt „pealtvaataja“ vaikivasse rolli taanduda.

'''Näide:''' õpetaja segab kaardipaki, jagab igale õpilasele ühe kaardi ja kutsub õpilased tahvlite juurde kolmeliikmelistesse rühmadesse kaardimastide või -väärtuste järgi. Algne kohmetus taandub kiiresti ja koostöö paraneb.

=== 5.1.3 Kus õpilased töötavad? ===
Õpilased seisavad püsti ja kirjutavad '''vertikaalsetele kustutatavatele pindadele''' (tahvlid, A1 paberlehed, aknaklaasid). Vertikaalsus tagab nähtavuse teistele õpilastele ja õpetajale, aga ka vastutuse. Kustutatavus julgustab uute ideedega katsetama ja uuesti proovima.

'''Mikrosammud tööpindade loomiseks:'''
* Varusta klass vertikaalsete kustutatavate pindadega (tahvlilehed, aknad).
* Anna üks marker rühma kohta: see sunnib rääkima ja tegija rolli vahetama.
* Iga rühm seisab. Istumiskohti kasutatakse alles tunni lõpu ühisarutelu faasis.

'''Näide:''' [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU Fawn Nguyeni kirjeldus] vertikaalsete pindade kasutamise kohta oma tundides.

&lt;!-- Joonis: Erinevate vertikaalsete kustutatavate pindade kasutamine mõtlemisruumis. --&gt;

=== 5.4 Milline on füüsiline õpikeskkond klassis? ===
Paiguta klassis mööbel nii, et õpilased ei vaataks kõik ühes suunas ettepoole, ning taga õpilaste vaba liikumine tahvlite ja rühmade vahel. Rühmadevaheline liikumisvõimalus toetab mõtlemist rohkem kui pingiridade „loengukeskkond“. Liljedahl nimetab traditsioonilise, tahvli suunas vaatavate pingiridadega õpikeskkonna lõhkumist &quot;''defronting''&quot;, mis eesti keeles võiks ehk olla &quot;esiküljetustamine&quot; või &quot;poodiumi kaotamine&quot;.  

'''Mikrosammud mööbli ümberpaigutamiseks:'''
* Nihuta lauad seinte äärde. Õpetaja domineeritav „klassiesine“ kaob ja fookus on rühmatöötahvlitel.
* Jäta rühmade ja pindade vahele vaba liikumisruumi, et õpilased saaksid käia üksteise ideid vaatamas.
* Hoia töövahendid (markerid, magnetid, mõõdulindid) seintel kättesaadavana.

'''Näide:''' vaata eelmist näidet Fawn Nguyeni klassiruumist.

=== 5.1.5 Kuidas vastata õpilaste küsimustele? ===
Erista kolme tüüpi küsimusi, mida õpilased küsivad:
* '''Lähedusküsimused''' (''proximity questions''), mida õpilane küsib lihtsalt õpetajaga suhtlemiseks, kuna õpetaja sattus füüsiliselt lähedale. Sedalaadi küsimustele antud vastuseid õpilane üldjuhul oma mõtlemisprotsessis ei kasuta. Liljedahl toob näite tüdrukust, kes õpetaja lähenedes peitis nutitelefoni taskusse ja küsis tähelepanu kõrvalejuhtimiseks: „Kas peame mitu vastust välja pakkuma või piisab ühest?“
* '''Mõtlemispausi küsimused''' (''stop-thinking questions''), mis peatavad mõtlemisprotsessi, nt „Miks me peame seda õppima?“ või „Kas see ülesanne võib tulla ka kontrolltöös/eksamil?“
* '''Mõtlemist toetavad küsimused''' (''keep-thinking questions''), millega õpilane soovib tagasisidet oma ideele või lahendusele, nt „Meil tekkis mõte proovida leida ka negatiivne lahendus, kas see oleks OK?“

Vasta ainult kolmandat liiki küsimustele, mis aitavad õpilasel edasi mõelda. Lihtsad mõtlemispausi tüüpi valideerimisküsimused stiilis „Kas see on õige?“ peaks õpetaja aitama ümber sõnastada mõtlemist toetavaks küsimuseks, nt „Kuidas sa kontrolliksid, et ise teada saada, kas lahendus on õige?“

'''Mikrosammud küsimustele vastamisel:'''
* Sõnasta reegel: vastan ainult „mõtle edasi“ küsimustele.
* „Kas see on õige?“ → „Kuidas saaksid seda kontrollida?“
* „Mida teha edasi?“ → „Mida te juba proovisite? Mis on järgmine väike samm?“

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ April Soo katsetused] mõtlemisruumi metoodika rakendamisel õpilaste küsimuste osas.

=== 5.1.6 Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid? ===
Internet on täis potentsiaalselt häid ülesandeid (e-Koolikott, Facebooki grupp „Õpetajalt õpetajale õppematerjalid“, [http://nrich.maths.org NRICH.maths.org] Inglismaal, [http://youcubed.org YouCubed.org] ja [http://illuminations.nctm.org ILLUMINATIONS.nctm.org] USA-s), kuid õpetajate kõige sagedasem mure on, kust leida sobivaid ülesandeid. Liljedahl usub, et õpetajad ei pea selle küsimusega silmas mitte niivõrd õppekavale vastavate ülesannete leidmist (mida käsitlesime eespool peatükis 5.1), vaid küsivad tegelikult hoopis: „Kust leiaksin ülesandeid, mis innustaksid mu õpilasi mõtlema ja probleeme lahendama?“

Lisaks ülesande sisule on oluline ka see, millal ja kuidas ülesanne õpilastele esitada (matemaatikahariduse uurijate konverentsil CERME on ''problem posing'' traditsiooniliselt üks populaarseid uurimisteemasid). Liljedahl soovitab anda ülesande kohe tunni alguses esimese 5 minuti jooksul ja kindlasti suuliselt, kui rühmad seisavad püsti õpetaja ümber. Liljedahli enda uuringute kohaselt käivitab suuliselt ja kohe tunni alguses esitatud ülesanne õpilaste mõtlemist oluliselt paremini kui ekraanilt või töövihikust antud ülesanne, sest see vähendab masinlikku kopeerimist ja loob eeldused mõtlemisprotsesside käivitumiseks.

'''Mikrosammud ülesande andmiseks:'''
* Anna ülesanne 3–5 minuti jooksul pärast tunni algust.
* Esita ülesanne suuliselt, kui klass seisab õpetaja ümber ja kõigi tähelepanu on õpetajal. Alles seejärel suuna rühmad oma tahvlite juurde.
* Ära jaga õpilastele kohe töölehte ega näita ette lahendusi. Lase neil teha esimesed katsetused täiesti iseseisvalt.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.7 Milline on mõtlemisruumi sobiv kodutöö? ===
Liljedahli uuringud kinnitasid igale õpetajale tuttavat tõdemust: õpetaja ja õpilased saavad kodutöö eesmärgist ja vajalikkusest täiesti erinevalt aru. Õpetaja jaoks on tegu tunnis õpitud teadmiste rakendamisega kinnistamise eesmärgil, õpilaste jaoks aga puuriga, milles nad peavad mingil arusaamatul põhjusel istuma, selle asemel et midagi huvitavat teha. Õpetajate kinnitusel teevad kodutöid kohusetundlikult peamiselt tublid õpilased, kes seda tegelikult ei vajakski. Ülejäänud asendavad kodutööd tehes mõtlemise õpilasetsemise halbade praktikatega (jätavad tegemata, kirjutavad pinginaabrilt maha, lasevad emal või õel enda eest ära teha).

Liljedahl soovitab mõtlemisruumi metoodika järgijatel kodused ülesanded ümber mõtestada, et need poleks õpilaste jaoks arusaamatu ja tüütu kohustus, mida tehakse üksnes halva hinde hirmus. Nimeta kodutöö ümber '''enesehindamiseks''' ja esita kodutöö küsimused stiilis „Kas ma olen õigesti aru saanud?“. Õpilastes tuleks kujundada arusaam, et kodutöö on vabatahtlik võimalus iseennast testida, mitte õpetajale punktide kogumine.

'''Mikrosammud mõtlemist toetava kodutöö andmiseks:'''
* Nimeta kodutöö ümber enesehindamiseks ja esita 3–5 lühikest kontrollülesannet.
* Ära hinda kodutöid. Kasuta neid järjekindlalt õpilaste enesehindamiseks.
* Alusta järgmist tundi 3-minutise aruteluga teemal „Mille peale ma tulin, kui ennast kodutööga hindasin?“

=== 5.1.8 Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat? ===
Kontrolli kaotamine klassis toimuva üle on üks esimesi hirme, mis õpetajal mõtlemisruumi metoodikat esmakordselt katsetades tekib. Lahendus on ilmne: õpetaja peab suutma muuta õppijad ise oma õppimise eest vastutavaks, mis tähendab õpilaste autonoomia samm-sammulist kasvatamist. Liljedahl soovitab selleks suunata õpilasi panustama kogu klassi ühise teadmuspanga loomisse, julgustades neid vaatama teiste rühmade tahvleid (lahendusi kopeerimata, kuid eri lahendusi võrreldes) ja küsima teistelt rühmadelt vihjeid, jätkates seejärel siiski iseseisvalt oma lahendusega. '''Autonoomia''' on õpilase oskus hoida oma mõtlemist aktiivsena ka siis, kui õpetaja pole kõrval.

'''Mikrosammud õpilase autonoomia kujundamiseks:'''
* Kehtesta tava: enne õpetaja poole pöördumist küsi nõu kahelt teiselt rühmalt.
* Julgusta õpilasi vaatama teisi tahvleid. Ideede liikumine ja jagamine olgu soositud.
* Harjuta „väikeste sammude“ mõtteviisi: õpilased võiksid tegeleda korraga vaid ühe uue ideega.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.9 Kuidas toestada õppimist? ===
Matemaatika õpetamisel on õpetaja jaoks suurim väljakutse õpilaste ebaühtlane algtase ja matemaatiline võimekus. Seetõttu muutub sünkroonses tempos toimuv õppetöö osa õpilaste jaoks liiga aeglaseks ja igavaks, samas kui teiste jaoks kihutab õpetaja edasi liiga kiiresti. Mõtlemisruumi metoodika puhul ei pea kõik rühmad tegema samu asju ühtlases tempos. Liljedahl soovitab liikuda '''asünkroonselt''' (eri rühmad eri kiirusega), andes vajaduse korral väikseid '''vihjeid''' (kui mõni aeglasem rühm juhtub „kinni jääma“) ja ülesande '''laiendusi''' (kui mõni kiirem rühm sai töö varakult valmis), et hoida kõiki „voos“.

„Voo“ ehk „kulgemise“ mõiste tõi pedagoogikasse Ungari juurtega Ameerika teadlane Mihaly Csikszentmihalyi, kelle optimaalse kogemuse teooria võtab kõige paremini kokku allolev joonis. Kui ülesanne pakub õpilase võimekusega võrreldes liiga suurt väljakutset, langeb õpilane '''ärevuse''' tsooni. Kui aga väljakutse on võimeka õppija jaoks liiga kerge, langeb ta '''igavuse''' tsooni. Optimaalse (õppimis)kogemuse tagab pidev viibimine '''voo tsoonis''' (''flow zone''), kus järjest kasvav ülesannete keerukus vastab õpilase pisitasa kasvavale võimekusele.

&lt;!-- Joonis: Voo tsoon (flow) Csikszentmihalyi optimaalse kogemuse teoorias. Teljed: väljakutse (challenge) ja oskus (skill); tsoonid: ärevus (anxiety), voog (flow), igavus (boredom). --&gt;

'''Mikrosammud vihjete ja laienduste pakkumiseks:'''
* Anna väikseid vihjeid (kas uuritava probleemi keerukuse vähendamiseks või õpilase võimekuse kasvatamiseks), aga kindlasti mitte valmis lahendust.
* Varakult lõpetajad saavad laiendusi („Mis siis, kui…?“, „Üldista!“).
* Ära peata kogu klassi ühe rühma pärast, lase rütmidel erineda.

'''Näide:''' õpetaja [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ Frank McGowani] ajaveebist: kuidas mõtlemisruumiga matemaatikatunnis tekib õpilastel keskväärtust ja mediaani õppides „teadmuse voog“ ning õpetaja ei ole enam pudelikael.

=== 5.1.10 Kuidas tundi kokku võtta? ===
Kuna mõtlemisruumi metoodikat järgivas tunnis liiguvad õpilased ja rühmad oma probleemilahenduses sageli erinevas tempos (asünkroonselt), on seda olulisem jõuda tunni lõpus ühiste lõpptulemusteni. Õpetajal on sageli kiusatus teha selline kokkuvõte perfektsel viisil pigem oma teadmistest (või õpiku käsitlusest) lähtudes. Seda nimetatakse „tippu koondumiseks“ (''leveling to the top''). Nii toimides ignoreeriks õpetaja aga õpilaste rühmatöö tulemusi, ja Liljedahl hoiatab, et see oleks viga. Seetõttu soovitab Liljedahl hoopis vastupidist strateegiat: '''konsolideerida lõpptulemused alt üles''', alustades rühmatöödest nii heade lahenduste ja ideede kui ka lünkade väljanoppimisega.

'''Mikrosammud tunni kokkuvõtmiseks:'''
* Tee koos kõigi õpilastega „galeriituur“ (keegi ei istu), et vaadata üle kõigi rühmade tahvlid ja valida neist 3–5, mis jutustavad antud probleemi lahendusest kõige huvitavama „matemaatilise loo“.
* Ära lase õpilastel endil oma ideid tutvustama hakata – nüüd on õpetaja kord tõlgendada.
* Kokkuvõtva arutelu alguses pööra rohkem tähelepanu ideede päritolule ja kujunemisele, lõpupoole keskendu lõpptulemusele.
* Sõnasta koos õpilastega korrektse matemaatilise sõnastusega ühine lahendus alles arutelu lõpus (terminid, näited, vastunäited).
* Lase rühmadel oma sõnadega kirja panna, „mida igaüks peaks sellest arutelust meeles pidama“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.11 Kuidas õpilased teevad märkmeid? ===
Märkmete tegemine tunni ajal on ilmselt üks vanimaid praktikaid, kuid paraku kuulub enamik õpilaste märkmetest kategooriasse „õpetaja kirjutas tahvlile, mina kopeerisin selle vihikusse“. See tegelikult takistab õpilastel õpetaja jutule keskendumast ja kaasa mõtlemast. Liljedahli uuringutes selgus, et õpilaste märkmete kvaliteet ja tähendusrikkus kasvas hüppeliselt, kui nad ei pidanud õpetaja juttu reaalajas konspekteerima, vaid said rahulikult kirjutada '''„hajameelsele iseendale tulevikus“''', püüdes aidata endal olulisi asju meeles pidada. Selliseid märkmeid on sageli mõistlikum teha mitte lineaarse narratiivi, vaid mõistekaardi, diagrammi (Venni diagramm, kalaluu), skeemi või spikri kujul.

'''Mikrosammud kasulike märkmete tegemiseks:'''
* Märkmed kirjutatakse alles pärast tunni kokkuvõtet, mitte probleemi lahendamise ajal.
* Tehakse valik kõige olulisemast: foto oma tööst või tahvli osast ja kolmelauseline kokkuvõte.
* Lisatakse „üks toimiv näide“ ja „üks küsimus endale edasimõtlemiseks“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.12 Mida hinnatakse? ===
Mõtlevas klassiruumis ei ole hindamine pelgalt õppimise „mõõtmise“ vahend, vaid kasulik tagasiside õppijatele selle kohta, mida me tegelikult väärtustame. Liljedahli uurimistöö näitab, et õpetajad oskavad sageli sõnastada omadusi, mida nad soovivad oma õpilastes näha (nt visadus, riskijulgus, koostööoskus, kannatlikkus, autonoomia, enesetõhusus), kuid klassiruumi hindamispraktikad ei toeta nende omaduste kujunemist. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid ja lõpptulemusi, hakkavad õpilased väärtustama just neid ning loobuvad pingutusest ja mõtlemisest, kui lahendus pole kohe käes.

Liljedahl rõhutab põhimõtet: '''hinda seda, mida väärtustad''' (''evaluate what you value''). Kui me väärtustame mõtlemist, peame ka mõtlemist hindama. See ei tähenda, et akadeemilised õpitulemused kaotaksid tähtsuse, vaid et nende kõrvale tuleb teadlikult tuua ka need protsessilised ja dispositsioonilised aspektid, mis mõtlemist tegelikult võimaldavad. Näiteks visadust ei saa kujundada, kui seda ei märgata ega väärtustata, ja koostöö ei arene, kui seda ei peeta oluliseks.

Oluline on ka see, kuidas me neid väärtusi hindame. Liljedahli uuringud näitavad, et kõige tõhusamaks osutusid lihtsad ja läbipaistvad hindamisrubriigid, mis keskendusid järgmistele aspektidele:
* pingutus ja järjepidevus;
* panus rühmatöösse;
* valmidus proovida uusi ideid;
* oma mõtlemise selgitamine.

Selline hindamine ei ole karistav ega sorteeriv, vaid kujundav ja suunav: see aitab õpilastel mõista, milline käitumine ja õppimisviis toetab nende arengut mõtleva matemaatikuna.

'''Mikrosammud:'''
* Kujunda lihtne rubriik: osalus, visadus, riskijulgus, selgitamine (+ sisuline täpsus).
* Tagasiside on olulisem kui hinne: too välja käitumised, mis viisid edasijõudmiseni.
* Hoia käitumuslikud tõendid ja sisuline saavutus lahus (kaks sammu).

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.13 Kuidas teostada kujundavat hindamist? ===
Traditsioonilises klassiruumis kasutatakse hindamist valdavalt õpetaja tööriistana: infot kogutakse selleks, et teha otsuseid hinnete kohta. Liljedahli uurimistöö näitab, et isegi kujundav hindamine jääb sageli õpetajakeskseks: see aitab õpetajal õpetamist kohandada, kuid õppija jääb passiivseks objektiks, kes ei mõista, kus ta parasjagu on ja kuhu ta liigub.

Mõtlevas klassiruumis nihkub kujundava hindamise fookus selgelt õppijale. Kujundavat hindamist kasutatakse selleks, et aidata õpilastel:
* mõista, kus nad oma õppimises parasjagu on;
* näha, mida nad juba oskavad;
* teadvustada, mida nad veel ei oska ja kuhu edasi liikuda.

Liljedahli uurimistulemused näitavad, et kui õpilased saavad selge pildi oma õppimisest, suurenevad nende autonoomia ja kaasatus ning see võib viia ka mõõdetava akadeemilise edenemiseni (nt parema soorituseni testides).

Oluline on, et kujundav hindamine ei avaldu mõtlevas klassiruumis pideva testimise või punktide kogumisena. Selle asemel kasutatakse:
* vaatlusi rühmatöös;
* vestlusi õpilastega nende lahendusstrateegiate üle;
* visuaalset ja suulist tagasisidet;
* õppijate enda refleksioone.

Kujundav hindamine on seega õppimisprotsessi lahutamatu osa, mitte eraldi etapp tunni lõpus. See toetab mõtlemise püsimist ja aitab vältida olukorda, kus õpilased töötavad vaid „hinde nimel“.

'''Mikrosammud:'''
* Tee kogu klassiga 60–90-sekundilisi „vahepeatusi“: „Mis töötab, mis takistab?“
* Kasuta tahvlivaatlusi: näed kiiresti, kus klass on, ja saad vihjeid kohandada.
* Kasuta lõpus väljumisküsimust (''exit prompt''): „Üks strateegia, mida kasutasin / mida proovin järgmisel korral“.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.14 Kuidas hinnatakse õpitulemusi? ===
Liljedahl seob mõtleva klassiruumi hindamispraktika laiemate suundumustega hariduses, eeskätt '''tõenduspõhise hindamisega'''. Selle lähenemise keskmes ei ole punktide kogumine, vaid tõendid selle kohta, mida õppija tegelikult oskab ja mõistab. Mõtlevas klassiruumis põhinevad hinded kogutud tõenditel:
* õpilaste töödel ja lahendustel;
* aruteludes ilmnenud mõtlemisel;
* kujundava hindamise käigus kogutud tähelepanekutel.

Oluline erinevus tavapärasest hindamisest seisneb selles, et hinnangud ei sünni üksikutest „hindamissündmustest“, vaid ajapikku kogunenud pildist õppija arengust. See vähendab juhuslikkust ja stressi ning toetab õppija enesetõhusust.

Liljedahl rõhutab, et hindamine peab olema tihedalt seotud kujundava hindamisega: hindamiseks kasutatav info peab olema õppijale nähtav ja arusaadav. Hinne ei ole siis üllatus ega karistus, vaid loogiline kokkuvõte sellest, mida õppija on juba näidanud.

Selline lähenemine toetab mõtleva klassiruumi keskseid väärtusi: see suunab õpilasi keskenduma õppimisele ja mõtlemisele, mitte punktide jahtimisele, ning aitab kujundada vastutustunnet oma õppimise eest.

'''Mikrosammud:'''
* Hinda standardipõhiselt: kirjelda selgelt, millist mõtlemist või oskust tõendatakse.
* Viimane (küpsem) tõend loeb kõige rohkem ja „uuesti tõendamine“ on lubatud.
* Hoia hinnang (saavutus) ja tagasiside (järgmine samm) lahus.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.15 Kokkuvõte: Liljedahli neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamisel ===
Peter Liljedahli ''Building Thinking Classrooms'' raamistik koondab neliteist omavahel seotud praktikat, mis põhinevad 15 aasta pikkusel empiirilisel uurimistööl ja mille ühine eesmärk on maksimeerida õppijate mõtlemist matemaatikatunnis. Praktikad ei ole eraldiseisvad võtted, vaid moodustavad tervikliku süsteemi, kus muutused klassiruumi füüsilises keskkonnas, sotsiaalsetes normides, õpetaja rollis ja hindamises toetavad üksteist.

Raamistiku alguspraktikad keskenduvad mõtlemist käivitavate tingimuste loomisele: sobiva ülesandetüübi valik, juhuslikud rühmad ning vertikaalsete ja mittepüsivate kirjutuspindade kasutamine muudavad õppijate käitumist ja ootusi. Järgmised praktikad kujundavad klassiruumi normid, kus pingutus, eksimine ja koostöö on väärtustatud ning õpetaja roll nihkub seletajalt mõtlemise orkestreerijaks. Õpetaja sekkub teadlikult ajastuse, küsimuste ja ootuste kaudu, et hoida õppijad aktiivselt mõtlemas.

Raamistiku viimased praktikad (12–14) seovad mõtlemise hindamise ja tagasisidega. Liljedahl rõhutab, et mõtleva klassiruumi kestlikkus sõltub sellest, mida hinnatakse, kuidas kujundavat hindamist kasutatakse ja mille eest hindeid pannakse. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid, taastoodab see pealiskaudset õppimist. Kui hinnatakse pingutust, strateegilist mõtlemist ja arusaamise arengut, toetab hindamine otseselt mõtlemise kultuuri.

Kokkuvõtvalt pakuvad Liljedahli neliteist praktikat teaduspõhist ja praktilist raamistikku, mis aitab õpetajatel liikuda protseduurikeskselt õpetamiselt mõtlemist väärtustava ja õppijat aktiveeriva klassiruumi suunas. LAHEMATE kontekstis loovad need praktikad selge orientiiri koolikatsetuste kavandamiseks, õpetajate professionaalseks refleksiooniks ning mõtleva matemaatikakultuuri järkjärguliseks juurutamiseks.

== Viited ==
* Csikszentmihalyi, M. (1990). ''Flow: The Psychology of Optimal Experience''. New York: Harper &amp; Row.
* Liljedahl, P. (2020). ''Building Thinking Classrooms in Mathematics, Grades K–12: 14 Teaching Practices for Enhancing Learning''. Thousand Oaks, CA: Corwin.
* Liljedahl, P., &amp; Allen, D. (2013). Mathematical discovery: Studenting. [TÄPSUSTADA]

== Veebiallikad ==
* Liljedahl, P. Kaarditrikid: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanded: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanne „New School Schedule“: [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf PDF]
* Nguyen, F. Promoting thinking tasks with VNPS tools. Wipebook: [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU wipebook.com]
* Soo, A. (2023). Building Thinking Classrooms: peatükkide 5, 6 ja 8 refleksioonid. Ajaveeb: [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ ptk 5], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ ptk 6], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ ptk 8]
* McGowan, F. (2021). Thinking Classrooms Challenge: In Flow. Ajaveeb: [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ findingtheprocess.wordpress.com]
* Apple Education. Õpetaja MK lugu: [https://education.apple.com/story/250014232 education.apple.com]
* Ülesannete kogud: [http://nrich.maths.org NRICH], [http://youcubed.org YouCubed], [http://illuminations.nctm.org Illuminations (NCTM)]

[[Kategooria:LAHEMATE]]
[[Kategooria:Probleemilahendus]]</text>
      <sha1>8vz6olz4njagyghrmyax7ijnp0yp25g</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20347</id>
      <parentid>20346</parentid>
      <timestamp>2026-09-28T07:23:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5.1.6 Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid? */</comment>
      <origin>20347</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="58263" sha1="omwn6ywg544b8oyopf6yu1svt21yppq" xml:space="preserve">= 5. Peter Liljedahli mõtleva klassiruumi metoodika =

Liljedahli metoodika põhineb tema aastatepikkusel teadustööl ja tunnivaatluste süstemaatilisel analüüsil. Need veensid teda, et enamikus vaadeldud matemaatikatundides ei toetata õpilaste mõtlemist piisavalt. Ta väidab, et enamik õpilasi ei tegele tunnis ei mõtlemise ega õppimisega (neist esimene on viimase vältimatu eeldus), vaid hoopis „õpilasena käitumise“ ehk '''„õpilasetsemise“''' (''studenting'') muude vormidega. „Studenting“ on Alleni (2017) välja pakutud termin, mis tähistab kõiki antud õpikeskkonnas õpilaseks olemisega seotud tegevusi, mille hulka kuulub muu hulgas ka õppimine. Allen pakub oma empiiriliste uuringute põhjal välja viis peamist õpilasetsemise vormi:
* '''viilimine''' (''slacking''): õpilased ignoreerivad täielikult õpetaja antud ülesandeid ja tegelevad millegi muuga, nt nutitelefonis ühismeedia vaatamise, teemavälise omavahelise suhtlemise või lihtsalt mittemidagitegemisega;
* '''venitamine''' (''stalling''): õpiülesandega tegelemise edasilükkamine, kasutades ettekäändena legitiimseid asendustegevusi, nagu pliiatsi teritamine, kotist asjade otsimine või WC-s käik;
* '''teesklemine''' (''faking''): näiliselt õpiülesandega tegelemine (tahvli või õpiku „uurimine“, mõtliku näo tegemine), kuid tegelikult ülesande lahendamise vältimine;
* '''matkimine''' (''mimicking''): ülesandega mehaaniliselt tegelemine, kopeerides õpetaja eelnevat näidislahendust rida-realt, kuid ilma aktiivse mõttetegevuse ja mõistmiseta;
* '''katsetamine''' (''trying it on their own''): iseseisev pingutamine ülesande lahendamiseks.

Liljedahl väidab, et neist üksnes viimasega kaasneb mõtlemine ja et sadades tema vaadeldud matemaatikatundides tegeles „mõtlemisvabade“ õpilasetsemise vormidega 75% õpilastest peaaegu kogu tunni jooksul. Lahendusena on Liljedahl oma uuringute tulemusena sõnastanud 14 tegurit, mis aitavad luua mõtlemist toetava õpikeskkonna:
# '''Milliseid ülesandeid me õpilastele anname?''' Alustada tuleks aine(kava)ga vaid kaudselt seotud elulistest ja mõtlema innustavatest küsimustest ning seejärel liikuda pisitasa matemaatilisemate mõtlemisülesannete juurde.
# '''Kuidas me õpilasi rühmitame?''' Juhuslikult kokku loositud, iga kord uued rühmad toimivad paremini ja innustavad õpilasi rühma ühistegevusse panustama.
# '''Kus õpilased õpivad?''' Õpilaste mõtlemist ja koostööd on lihtsam käivitada, kui nad seisavad vertikaalsete kirjutamispindade ees, millelt kirjapandut saab kustutada (nt pabertahvlid, valged markertahvlid, interaktiivsed ekraanid).
# '''Milline on füüsiline õpikeskkond klassis?''' Ridadesse joondatud, õpetaja suunas vaatavad pingiread toovad kaasa passiivse õppimise. Klassi mööbel peab võimaldama ümberpaigutamist ja rühmatööks vaba ruumi loomist, eelkõige seinte ääres.
# '''Kuidas vastatakse õpilaste küsimustele?''' Tavatundides on 90% õpilaste küsimustest kas pelgalt õpetajaga muul teemal suhtlemiseks, kuna ta satub lähedusse (nn ''proximity questions''), või kiire tagasiside saamiseks („Kas see on õige?“). Need peatavad õpiülesande üle mõtlemise. Õpilasi peaks suunama esitama hoopis mõtlemist soodustavaid küsimusi (nn ''keep-thinking'' küsimused).
# '''Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid?''' Õpilaste mõtlemist aktiveerivad ülesanded, mis antakse pigem tunni alguses kui lõpus, pigem suurel ekraanil kui õpikus, pigem suuliselt kui kirjalikult.
# '''Millist kodutööd antakse?''' Et õpilased ei tajuks kodutööd kui õpetaja jaoks kontrolli eesmärgil tehtavat tüütut kohustust, tuleks anda selliseid kodutöid, mis inspireerivad kodus edasi mõtlema ja oma lahenduste tulemuslikkust hindama.
# '''Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat?''' Õppijate enesejuhitavust saab suurendada nii eespool kirjeldatud rühmatööde, arutelude ja teistmoodi kodutöödega kui ka kaaslaste vaatlemise, neilt ideede korjamise ja neile tagasiside andmisega.
# '''Kuidas toestada õppimist?''' Vihjed, näited ja soovitused aitavad hoida õppijad personaliseeritud „kulgemisvööndis“ (''flow zone'', vt Csikszentmihalyi, 1990) ja vältida õppimise muutumist liiga lihtsaks või liiga raskeks.
# '''Kuidas konsolideerida õpitut?''' Eri ülesannete kaudu õpitu koondamine iga õpilase peas ühtseks tervikuks on konstruktivistliku õpikäsituse üks nurgakive ja suur väljakutse õpetajale.
# '''Kuidas õpilased teevad märkmeid?''' Õpetaja jutu mehaanilise konspekteerimise asemel tuleb õpilasi õpetada ise oma mõttetööst kokkuvõtteid visandama ja visandeid täiustama.
# '''Mida hinnatakse?''' Lisaks ainekavas kirjas olevatele õpitulemustele tuleks hindamise objektiks võtta ka oskused, mida mõtlemist soodustavas tunnis väärtustatakse, nt püsivus, koostöö ja loovus.
# '''Kuidas teostada kujundavat hindamist?''' Õpilastele antakse mitmekülgset tagasisidet mitte üksnes nende püüdlikkuse ja aktiivsuse kohta, vaid ka selle kohta, kuidas nad seni on toime tulnud ja mida tuleks edasi teha.
# '''Kuidas hinnatakse õpitulemusi?''' Pigem sarnaselt kujundava hindamisega (pakkudes õpilastele tagasisidet edasimõtlemiseks), mitte lõpliku kohtuotsusena, kuid siiski riikliku õppekava õpitulemustest lähtudes.

Vaatleme nüüd lähemalt neid neljateistkümmet &quot;optimaalset/toimivat praktikat&quot; (sisuliselt on need taas heuristikud, aga õpetajale) koos praktiliste näidetega.

== 5.1 Neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamiseks ==

=== 5.1.1 Milliseid ülesandeid me õpilastele anname? ===
Oma raamatus „Building Thinking Classrooms“ (2020) toob Liljedahl hakatuseks näite probleemülesandest, mille autor on Lewis Carroll: ''kui kuus kassi püüab kuue minuti jooksul kuus rotti, siis mitu kassi oleks vaja, et püüda 50 minuti jooksul 100 rotti?'' Selle ülesande lahendamine eeldaks küll teadmisi murdude ja võrdelise seose kohta, kuid neist ei piisa. Õpilased jäävad tavaliselt „kinni“ juba alguses, sest ülesandest võib aru saada kaheti: kas kuuest kassist üks püüab igas minutis ühe roti või püüab iga kass ühe roti kuue minuti jooksul. See „kinnijäämine“ toob kaasa mõtlemise ja probleemilahenduse käivitumise.

Eksamiks õppides lahendavad paljud „tublid“ õpilased suurel hulgal ülesandeid, nii et õppekavale vastavad tüüplahendused muutuvad nende jaoks rutiinseks ja nende lahendamiseks pole enam mõtlemist tarvis – piisab mehaanilisest matkimisest. Eksamil (ja elus või hilisemates õpingutes) võib aga suure tõenäosusega ette tulla probleeme, mille lahendamine eeldab mitterutiinseid lahendusi, näiteks matemaatika eri valdkondadest või teistest õppeainetest pärinevate teadmiste kombineerimist. Just selliseid probleemülesandeid soovitab Liljedahl matemaatilise mõtlemise harjutamiseks kasutada juba õppeprotsessi käigus. Ta jaotab head probleemülesanded kolme kategooriasse.

'''1) Köitvad nuputamisülesanded''', mis lausa meelitavad inimesi lustiga kaasa mõtlema. Õpikutes esineb sedalaadi ülesandeid pigem harva, kuid mujal (nt ajalehtede nupunurkades, sotsiaalmeedias, Känguru võistlusel, e-rehkenduses) on neid küllaldaselt. Liljedahl toob neli näidet kooliastmete kaupa:
* ''I kooliaste:'' mitu ruutu on pildil?
* ''II kooliaste:'' kui ostad videomängu 10 dollariga, müüd selle 20 dollariga, ostad taas tagasi 30 dollariga ja müüd uuesti 40 dollariga, siis kui palju raha sa lõpuks teenisid (või kaotasid)?
* ''III kooliaste:'' kui sul on ainult kaks liivakella (üks 4-minutiline ja teine 7-minutiline), kas saaksid nende abil aega mõõtes keeta oma vanaemale täpselt 9 minutit keedetud muna? Kui saab, siis kui kaua peab vanaema ootama muna valmissaamist?
* ''Gümnaasiumiaste:'' ekstsentriline daam broneeris kolm kõrvutiasuvat hotellituba ja lubas ööbida igal ööl toas, mis asub eelmisel ööl kasutatud toa kõrval. Vastuvõtus töötav John avastas, et tubade eest maksmiseks kasutatud krediitkaart ei toimi. Kiire töötempo tõttu on Johnil päeva jooksul aega vaid korraks minna ülakorrusele ja koputada ühele kolmest uksest, lootes daami leida ja maksetõrke ära klaarida. Mitu päeva tal kulub, et kindlasti daamiga kohtuda? Aga kui daam oleks broneerinud hoopis 4 või 5 tuba? Või kui ta broneeris 17 tuba 30 päevaks – kas Johnil oleks lootust daam tabada enne, kui too kuu möödudes hotellist lahkub?

'''2) Kaarditrikid''', mis põhinevad matemaatikal, mitte silmapettel ega käteosavusel. Selliste trikkide videosalvestusi on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]

'''3) Rehkendamisülesanded''', mis on võetud elust enesest ja kõnetavad seetõttu õpilasi. Sellise ülesande näitena toob Liljedahl loo sõpruskonna suusareisist, milleks on pikalt raha kogutud. Allpool olevas tabelis on näha iga rühmaliikme kogutud raha ja kavandatud kulud. Sõbrad on otsustanud, et kogutud raha kulutatakse viimase sendini üksnes kavandatud otstarbeks ja keegi ei tohi reisilt maha jääda (isegi kui mõni maksab rohkem, kui tal endal kulub). Kas raha on kogutud piisavalt? Kui ei, siis kes peaks juurde maksma ja kui palju? Selliseid rehkendamisülesandeid on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses koos juhendiga, kuidas neid ise koostada: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Tabel 1. Sõpruskonna suusareisi jaoks kogutud raha ja kavandatud kulutuste koond
! Nimi !! Kogutud raha !! Suusavarustuse rent !! Suusalifti pilet !! Algaja suusakoolitus
|-
| Aleks || 75 || 20 || 40 || 40
|-
| Piret || 125 || 10 || 40 || 40
|-
| Terje || 50 || 30 || 40 || 0
|-
| Kevin || 10 || 40 || 40 || 40
|-
| Jaana || 25 || 0 || 40 || 0
|-
| Reta || 10 || 0 || 40 || 40
|-
| Taavi || 38 || 30 || 40 || 0
|-
| Sten || 22 || 40 || 40 || 40
|-
| Sonja || 200 || 20 || 40 || 0
|-
| Kaidi || 60 || 25 || 40 || 0
|}

Probleemülesannete koostamisel lähtub Liljedahl (nagu ka Boaler) '''„madala läve ja kõrge lae“''' disainipõhimõttest, lisades sellele veel kolmanda: '''„avatud keskpaiga“''' printsiibi. Viimane eeldab probleemülesandelt ühte õiget vastust, jättes avatuks ja paindlikuks selle vastuseni jõudmise viisi. Selliseid „avatud keskpaigaga“ ülesandeid esineb sagedamini nuputamisülesannete ja kaarditrikkide seas, samas kui Liljedahli stiilis rehkendamisülesannetel on üldjuhul ka õigeid vastuseid palju.

Õpetaja võib neid ülesandeid vaadates ohata, et need on küll haaravad, kuid ei aita saavutada õppekavas olevaid õpiväljundeid. Loogiline lahendus näib olevat mõtlemist toetavate tekstülesannete kohandamine selliseks, et nende lahendamisel tuleb paratamatult kasutada õpikuteadmisi käsiloleva peatüki ja õppekava osa kohta. Nii talitades ohverdaksime aga õpilaste mõtlemise arendamise ja kaasahaaratuse ning riskiksime muuta ülesannete lahendamise igavaks ja rutiinseks matkimiseks. Selle asemel soovitab Liljedahl muretseda vähem õppekava pärast ja keskenduda esmalt õpilaste mõtlemisele. See suurendab nende eneseusku oma matemaatikavõimetesse, positiivset suhtumist ja huvi õppeaine vastu, misjärel õppekavaga selgemalt seotud ülesannete lahendamine muutub oluliselt lihtsamaks ja võtab vähem aega.

Lisaks saab ka õpikuülesandeid kohandada nii, et need panevad õpilased mõtlema. Näitena esitab Liljedahl õpetaja dialoogi klassiga ruutkolmliikme tegurdamise teemal, alustades varem õpitud teadmisest:
* '''Õpetaja:''' Meenutame kaksliikmete korrutamist. Mis te saate, kui korrutate (x + 2)(x + 3)?
* '''Õpilased:''' (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
* '''Õpetaja:''' Aga kui ma alustaksin tagantpoolt ja mu vastus oleks x² + 7x + 6, mis arvud peaksid sel juhul olema mu algses küsimuses (x + □)(x + □)?

Liljedahli mõtleva klassiruumi lähenemises on matemaatika õppimise keskmes õpilase mõtlemine. Kui soovime, et õpilased mõtleksid, tuleb neile anda midagi, mille üle mõelda – selleks on eelkõige hästi valitud matemaatiline ülesanne. Samas rõhutab Liljedahl, et heast ülesandest üksi ei piisa. Ka väga hea probleemülesanne ei pruugi õpilasi mõtlema panna, kui klassiruumi töökorraldus, õpetaja tegevus ja õpilaste harjumused seda ei toeta. Seega on hea ülesanne mõtleva klassiruumi vajalik, kuid mitte piisav tingimus.

Kordame üle - Liljedahli kohaselt peab hea mõtlemisülesanne vastama kolmele kriteeriumile: 
* sellel on madal lävi (''low floor''), 
* kõrge lagi (''high ceiling'') ning 
* see sisaldab õpilase jaoks mingit uudsuse aspekti (''novelty'').

'''Madal lävi''' tähendab, et igal õpilasel peab olema võimalik ülesandega iseseisvalt pihta hakata. See ei tähenda, et ülesanne ise peab olema lihtne (madala keerukusastmega). Pigem peab ülesande alguses olema midagi sellist, millest ka nõrgemate eelteadmistega õpilane saab kinni haarata ja mille põhjal esimesi katsetusi teha, nuputama hakata. Liljedahl seostab madalat läve ka võrdsuse ja kaasatuse taotlusega matemaatikaõppes. Kui hariduse üldisem eesmärk on võrdsed võimalused (equity), siis õpetaja praktiline ülesanne klassiruumis on luua õpilastele juurdepääs (access) matemaatilisele tegevusele. Madal lävi on üks konkreetne viis selle saavutamiseks.
'''Kõrge lagi''' tähendab seevastu, et ülesanne peab pakkuma väljakutset ka tugevamatele õpilastele. Kõik õppijad peaksid mingil hetkel jõudma olukorda, kus lahendus ei ole enam ilmne ja tuleb päriselt mõelda. Oluline on siin ülesande raskusastme ja õpilase seniste teadmiste vahekord: eri õpilased jõuavad väljakutse lahenduseni eri ajal ja eri tasemel.
Sellega seostub produktiivse pingutuse (productive struggle) idee, mis on seotud ka Võgotski lähima arengu tsooni mõistega - õppimine on tulemuslikum siis kui õpetaja suudab õpilase tema mugavustsoonist arengu tsooni juhtida. Mõtlemine muutub eriti oluliseks siis, kui õpilane ei tea kohe, mida edasi teha. Sellises olukorras peab ta katsetama, püstitama oletusi, ebaõnnestuma, oma lähenemist muutma ja uuesti proovima. Eesmärk ei ole vältida olukorda, kus õpilane „jääb kinni“, vaid õpetada teda sellisest olukorrast edasi liikuma. Liljedahl rõhutab siiski, et produktiivse pingutuse tekkimiseks on oluline ka varasem eduelamus. Kui keeruline väljakutse järgneb õnnestumisele, jätkab õpilane suurema tõenäosusega pingutamist; kui mitu järjestikust ülesannet takerduvad ebaõnnestumisse, suureneb õpilase loobumise tõenäosus.
Kolmas hea ülesande tunnus on '''uudsus'''. Kui õpilane juba teab, millist algoritmi või varem õpitud lahendusviisi rakendada, võib ta selle lihtsalt ja ilma pingutava mõtlemiseta reprodutseerida. Autorite käsitluses algab mõtlemine eeskätt olukorras, kus lahendustee ei ole ette teada. Seetõttu peaks mõtlemisülesanne sisaldama õpilase jaoks midagi mitterutiinset: uut probleemi, uut konteksti, ebaharilikku kombinatsiooni või vajadust teadaolevaid teadmisi uuel viisil kasutada.

Need kolm omadust ei pea tingimata sisalduma ühes suures ja keerulises ülesandes. Sageli on otstarbekam koostada ülesannete jada, milles esimesed ülesanded võimaldavad kiiremini alustada ja kogeda edu ning järgnevad ülesanded suurendavad järk-järgult väljakutset. Samuti vajavad ka head ülesanded jätkuülesandeid ehk laiendusi (''extensions''). Mõtleva klassiruumi üks põhimõtteid on, et õpilane ei peaks jõudma seisundisse „olen valmis“: kui esialgne probleem on lahendatud, järgneb sellele uus küsimus või tingimus, mis nõuab mõtlemise jätkamist.

==== Õppekavalised ja õppekavavälised probleemülesanded ====

Liljedahl eristab “rikastatud ülesandeid” (''rich tasks'') ning nende kasutamist nii õppekavast lähtudes kui ka õppekavaväliselt. Rikastatud ülesanne nõuab mitmesuguste matemaatiliste teadmiste kasutamist ja nende kombineerimist probleemi lahendamiseks. Sama ülesanne võib olla ühe õpilasrühma jaoks õppekavaline (''curricular'') ja teise jaoks õppekavaväline (''non-curricular''), sõltuvalt sellest, kas selle lahendamiseks kasutatav matemaatika kuulub parajasti õpitava sisu hulka. Õppekavavälised on näiteks matemaatika olümpiaadi, Känguru võistluse ja ajakirjade nuputamisnurkades avaldatud ülesanded, aga ka mingis teises valdkonnas (nt programmeerimises, majandusstatistikas ja teadusuuringutes) esitatud põnevad nuputamisväljakutsed. 

Näiteks võiks siinkohal tuua nuputamisülesande, kus numbrid 1–9 tuleb paigutada astmete ja korrutistega avaldisse nii, et saadava murru väärtus oleks võimalikult suur. Õpilane võib alustada katse-eksituse meetodiga, kuid edasi tekivad küsimused selle kohta, kuidas muuta lugeja võimalikult suureks ja nimetaja võimalikult väikeseks, kuidas mõjutavad tulemust astmed ning milliseid arvukombinatsioone üldse tasub uurida. Sama ülesannet saab jätkata uue eesmärgiga, näiteks moodustada avaldis, mille väärtus oleks võimalikult lähedal ühele. Selline ülesannete jada illustreerib korraga madalat läve, kõrget lage, uudsust ja jätkuülesannete kasutamist. Mõtleva klassiruumi ülesanded võivad kasutada käelisi õppevahendeid (manipulatives) – näiteks täringuid, algebraklotse, murrukettaid, tasakaalumudeleid või ruumilisi kujundeid. Oluline pole aga taolise käekatasutava vahendi/objekti olemasolu iseenesest, vaid milleks seda kasutatakse.

[[Fail:Algebraklotsid.png|pisi|alt=Algebraklotsid|Algebraklotsid]]

==== Näidisülesanne algebraklotside abil lahendamiseks ==== 

Lahenda algebraklotside abil ja selgita oma lahendust teisele õpilasele: 
* (x+2)(x+3)=
* (x+4)(x-3)=
* (x-2)(x-4)=

==== Näidisülesanne kuue täringuga ====

[[Fail:Täringud.png|pisi|alt=Kuus täringut|Kuus täringut]]

# Milliseid mustreid märkad kui uurid täringu vastastahkudel olevaid väärtusi?
# Raputa peos 6 täringut ja aseta need siis üksteise otsa tornina. Kuidas saaks kiiresti arvutada kõigi nähaolevate tahkude silmade summa? Ja siis peidetud tahkude summa?
# Kas joonisel olevad täringud on kõik identsed? Mitu erinevat täringut on võimalik luua, kui lähtuda vastastahkude silmade reeglist? 


Liljedahl eristab kolme käelise õppevahendi kasutusviisi. 
* Õpilane võib mõelda antud õppevahendi üle, kui see ise on uurimisobjekt – näiteks saab uurida ja võrrelda eri liiki täringute vastastahkude arvude paiknemise seaduspärasusi. 
* Teiseks võib õpilane mõelda käelise õppevahendi abil, kasutades seda matemaatilise probleemi lahendamiseks. Näiteks saab väikestest kuupidest ehitada 3 × 3 × 3 kuubi ja uurida värvitud kuubi probleemi. 
* Kolmandaks saab õpilane esitada ja kommunikeerida oma mõtlemist käelise vahendi abil, näiteks kasutada algebraklotse oma lahenduskäigu selgitamiseks kaasõpilastele.

Käelised õppevahendid on seejuures matemaatiliste representatsioonide üks liik. Õppimise seisukohalt on oluline liikuda esemelise mudeli, pildi, kirjalike sümbolite, verbaalse esituse ja reaalse olukorra vahel. Seetõttu ei tohiks vahend asendada matemaatilist mõtlemist, vaid aidata luua seoseid eri representatsioonide vahel.

Ka siin on oluline õpetaja otsus, millal vahendit pakkuda. Mõnikord on käeline vahend ülesande lahutamatu osa ja õpetaja annab selle kõigile; teinekord võiksid erinevad vahendid olla lihtsalt õpilastele kättesaadavad ning õpilased ise otsustavad, kas ja millist neist kasutada.

Eriti huvitav on Liljedahl’i hoiatus visualiseerimise kohta. Kui soovitud õpitulemus on võime kujundit vaimusilmas ette kujutada, võib füüsilise mudeli pidev olemasolu hoopis visualiseerimise vajaduse kõrvaldada. Seetõttu võib õpetaja näiteks näidata kuupi ülesande selgitamisel, seejärel selle eemaldada ning anda selle uuesti ajutiselt rühmale, kellel on visualiseerimisega raskusi. Nii toetab mudel visualiseerimise kujunemist, mitte ei asenda seda.

Sarnane põhimõte kehtib digitehnoloogia kasutamise kohta mõtlemisülesannetes: tehnoloogia iseenesest ei muuda kehva ülesannet heaks. Animatsioonid, kalkulaatorid, GeoGebra, Desmos või programmeerimine võivad mõtlemist toetada, kuid ülesanne peab ikkagi käivitama mõtlemise, pakkuma piisavat väljakutset ja sisaldama uudsust.
Liljedahl eristab mõtleva klassiruumi kontekstis kolme tehnoloogia kasutusviisi: tehnoloogia kui arvutusvahend, uurimisvahend ja programmeerimisvahend:
* '''Arvutusvahendina''' võib tehnoloogia teha mahukaid arvutusi, joonestada või mõõta. Autorid soovitavad rühmatöös pigem ühte seadet rühma kohta, sest iga õpilase isiklik seade võib rühma koostööd killustada. Samal põhjusel soovitatakse olulised sisendid ja tehnoloogia abil saadud tulemused kanda ka rühma vertikaalsele kirjutuspinnale (VKP). Nii muutub tehnoloogia individuaalse seadme asemel rühma ühiseks töövahendiks.
* '''Uurimisvahendina''' võimaldab tehnoloogia kiiresti muuta parameetreid, jälgida tulemusi, püstitada oletusi ja neid kontrollida. Näiteks saab uurida parabooli muutumist ruutfunktsiooni kordajate muutmisel või statistiliste näitajate muutumist andmestiku muutmisel. Selline tegevus moodustab tsükli vaatlemine → oletuse püstitamine → kontrollimine, milles tehnoloogia võimaldab kiiresti koguda uusi näiteid ja kontrollida hüpoteese.
* '''Programmeerimisel''' muutub tehnoloogia ülesandest peaaegu lahutamatuks: õpilane kavandab algoritmi, katsetab seda, jälgib sisendite ja väljundite seoseid ning parandab vigu. Autorite järgi on programmeerimine juba olemuselt uurimuslik tegevus. Mõtleva klassiruumi puhul soovitatakse programmeerimiseks töötada paarides, kasutada ühte arvutit paari kohta ning ühendada arvutitöö VKP-iga, kus saab kavandada algoritmi, talletada oletusi ja nähtavaks teha lahenduskäiku.

LAHEMATE uuringuprojekti kontekstis on selle peatüki kõige olulisem sõnum, et Liljedahli lähenemist ei tohiks taandada üksnes mõnele silmatorkavale klassiruumi töövõttele, näiteks juhuslikele rühmadele või vertikaalsetele kirjutuspindadele. Mõtleva klassiruumi lähtekoht on sellise matemaatilise tegevuse kavandamine, mis tekitab vajaduse mõelda. Selleks peab ülesanne võimaldama kõigil alustada, kuid mitte võimaldama kõigil kohe lõpetada; õpilane peab mingil hetkel jõudma olukorda, kus tuttava algoritmi mehaanilisest rakendamisest ei piisa.

LAHEMATE õpetaja võiks seetõttu probleemülesande kavandamisel küsida vähemalt järgmisi küsimusi:
# Kas ülesandel on madal lävi? Kas kõik õpilased leiavad mõistliku viisi alustamiseks?
# Kas ülesandel on kõrge lagi? Kas ka tugevamad õpilased jõuavad punkti, kus nad peavad päriselt nuputama?
# Kas ülesanne on õpilaste jaoks piisavalt uudne? Või tunnevad nad kohe ära harjutatud algoritmi?
# Milline on järgmine samm? Millise jätkuülesande saab anda õpilasele, kes esimese probleemi lahendab?
# Kas käeline õppevahend või digitehnoloogia käivitab matemaatilist mõtlemist või asendab seda?
# Kas kasutatav vahend toetab rühma ühist mõtlemist ja matemaatilist suhtlemist (matemaatika keelendamist)?
# Millal tuleks käeline õppevahend eemaldada? Eesmärk ei ole muuta õpilast vahendist sõltuvaks, vaid aidata tal liikuda abstraktsema matemaatilise mõtlemise poole.

Seega pole Liljedahli mõtleva klassiruumi puhul keskne küsimus lihtsalt „'''Kas see on hea probleemülesanne?'''“, vaid pigem „'''Millist mõtlemist see ülesanne minu klassiruumis esile kutsub ning kuidas ülesande, käeliste vahendite ja töökorralduse kombinatsioon seda mõtlemist toetab?'''“ Just selles mõttes moodustavad ülesande omadused, õpetaja pedagoogilised valikud, rühmatöö korraldus, füüsilised ja digitaalsed vahendid ning produktiivse pingutuse toetamine ühe tervikliku süsteemi.


==== Kokkuvõte ====
Kokkuvõtteks soovitab Liljedahl alustada iga tundi mõtlemisülesannetega ja õpilaste kaasamise järel liikuda edasi ülesannete juurde, mille lahendamine eeldab õppekavale vastavate teadmiste rakendamist. Samas ei soovita ta õppekavale või õpikule vastavaid lahendusi õpilastele ette näidata, sest see lülitaks õpilased „mõtlemisrežiimist“ „matkimisrežiimi“.

'''Mikrosammud probleemülesannete koostamiseks mõtlemisruumi metoodikast lähtuvalt:'''
* Alusta 1–2 esimesel nädalal õppekavaväliste nuputamis- ja mõtlemisülesannetega (madal lävi, kõrge lagi). Alles õpilaste mõtlemisharjumuste tekkides liigu õppekavaga otsesemalt seotud ülesannete juurde.
* Vali ülesanded, millel on mitu lahendusviisi (joonista, koosta tabel, võrrand, arvuta).
* Väldi alguses töölehti: anna ülesanne suuliselt ja lase rühmadel ideid proovida.

'''Näidisülesanne:'''
* Koosta koolile [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf uus tunniplaan], kus iga teine reede on iseseisva õppe päev, kuid koolitundidele kuluvate minutite summa igas kahenädalases tsüklis (ja õppeaastas tervikuna) jääb samaks kui praegu.

Sama raamülesanne hoiab mõtlemist esiplaanil ka siis, kui selle sisu muutub hiljem õppekavaga seotuks.

=== 5.1.2 Kuidas me õpilasi rühmitame? ===
Loo silmanähtavalt juhuslikud kolmesed rühmad ja vaheta neid sageli. See murrab sotsiaalseid barjääre, suurendab teadmiste liikumist klassis ja tõstab iga õpilase valmisolekut panustada ühisesse mõtlemistegevusse.

'''Mikrosammud:'''
* Moodusta rühmad silmanähtavalt juhuslikult, kasutades nt kaardipakki, loosipulki või QR-koode.
* Vaheta rühmade koosseise sageli (igas tunnis või üle päeva), et vältida „püsirollide“ tekkimise ohtu.
* Hoia rühma suurus kolmeliikmelisena: see on piisav erinevate ideede tekkeks, kuid ei võimalda rühmaliikmetel mugavalt „pealtvaataja“ vaikivasse rolli taanduda.

'''Näide:''' õpetaja segab kaardipaki, jagab igale õpilasele ühe kaardi ja kutsub õpilased tahvlite juurde kolmeliikmelistesse rühmadesse kaardimastide või -väärtuste järgi. Algne kohmetus taandub kiiresti ja koostöö paraneb.

=== 5.1.3 Kus õpilased töötavad? ===
Õpilased seisavad püsti ja kirjutavad '''vertikaalsetele kustutatavatele pindadele''' (tahvlid, A1 paberlehed, aknaklaasid). Vertikaalsus tagab nähtavuse teistele õpilastele ja õpetajale, aga ka vastutuse. Kustutatavus julgustab uute ideedega katsetama ja uuesti proovima.

'''Mikrosammud tööpindade loomiseks:'''
* Varusta klass vertikaalsete kustutatavate pindadega (tahvlilehed, aknad).
* Anna üks marker rühma kohta: see sunnib rääkima ja tegija rolli vahetama.
* Iga rühm seisab. Istumiskohti kasutatakse alles tunni lõpu ühisarutelu faasis.

'''Näide:''' [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU Fawn Nguyeni kirjeldus] vertikaalsete pindade kasutamise kohta oma tundides.

&lt;!-- Joonis: Erinevate vertikaalsete kustutatavate pindade kasutamine mõtlemisruumis. --&gt;

=== 5.4 Milline on füüsiline õpikeskkond klassis? ===
Paiguta klassis mööbel nii, et õpilased ei vaataks kõik ühes suunas ettepoole, ning taga õpilaste vaba liikumine tahvlite ja rühmade vahel. Rühmadevaheline liikumisvõimalus toetab mõtlemist rohkem kui pingiridade „loengukeskkond“. Liljedahl nimetab traditsioonilise, tahvli suunas vaatavate pingiridadega õpikeskkonna lõhkumist &quot;''defronting''&quot;, mis eesti keeles võiks ehk olla &quot;esiküljetustamine&quot; või &quot;poodiumi kaotamine&quot;.  

'''Mikrosammud mööbli ümberpaigutamiseks:'''
* Nihuta lauad seinte äärde. Õpetaja domineeritav „klassiesine“ kaob ja fookus on rühmatöötahvlitel.
* Jäta rühmade ja pindade vahele vaba liikumisruumi, et õpilased saaksid käia üksteise ideid vaatamas.
* Hoia töövahendid (markerid, magnetid, mõõdulindid) seintel kättesaadavana.

'''Näide:''' vaata eelmist näidet Fawn Nguyeni klassiruumist.

=== 5.1.5 Kuidas vastata õpilaste küsimustele? ===
Erista kolme tüüpi küsimusi, mida õpilased küsivad:
* '''Lähedusküsimused''' (''proximity questions''), mida õpilane küsib lihtsalt õpetajaga suhtlemiseks, kuna õpetaja sattus füüsiliselt lähedale. Sedalaadi küsimustele antud vastuseid õpilane üldjuhul oma mõtlemisprotsessis ei kasuta. Liljedahl toob näite tüdrukust, kes õpetaja lähenedes peitis nutitelefoni taskusse ja küsis tähelepanu kõrvalejuhtimiseks: „Kas peame mitu vastust välja pakkuma või piisab ühest?“
* '''Mõtlemispausi küsimused''' (''stop-thinking questions''), mis peatavad mõtlemisprotsessi, nt „Miks me peame seda õppima?“ või „Kas see ülesanne võib tulla ka kontrolltöös/eksamil?“
* '''Mõtlemist toetavad küsimused''' (''keep-thinking questions''), millega õpilane soovib tagasisidet oma ideele või lahendusele, nt „Meil tekkis mõte proovida leida ka negatiivne lahendus, kas see oleks OK?“

Vasta ainult kolmandat liiki küsimustele, mis aitavad õpilasel edasi mõelda. Lihtsad mõtlemispausi tüüpi valideerimisküsimused stiilis „Kas see on õige?“ peaks õpetaja aitama ümber sõnastada mõtlemist toetavaks küsimuseks, nt „Kuidas sa kontrolliksid, et ise teada saada, kas lahendus on õige?“

'''Mikrosammud küsimustele vastamisel:'''
* Sõnasta reegel: vastan ainult „mõtle edasi“ küsimustele.
* „Kas see on õige?“ → „Kuidas saaksid seda kontrollida?“
* „Mida teha edasi?“ → „Mida te juba proovisite? Mis on järgmine väike samm?“

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ April Soo katsetused] mõtlemisruumi metoodika rakendamisel õpilaste küsimuste osas.

=== 5.1.6 Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid? ===
Internet on täis potentsiaalselt häid ülesandeid (e-Koolikott, Facebooki grupp „Õpetajalt õpetajale õppematerjalid“, [http://nrich.maths.org NRICH.maths.org] Inglismaal, [http://youcubed.org YouCubed.org] ja [http://illuminations.nctm.org ILLUMINATIONS.nctm.org] USA-s), kuid õpetajate kõige sagedasem mure on, kust leida sobivaid ülesandeid. Liljedahl usub, et õpetajad ei pea selle küsimusega silmas mitte niivõrd õppekavale vastavate ülesannete leidmist (mida käsitlesime eespool peatükis 5.1), vaid küsivad tegelikult hoopis: „Kust leiaksin ülesandeid, mis innustaksid mu õpilasi mõtlema ja probleeme lahendama?“

Lisaks ülesande sisule on oluline ka see, millal ja kuidas ülesanne õpilastele esitada (matemaatikahariduse uurijate konverentsil CERME on ''problem posing'' traditsiooniliselt üks populaarseid uurimisteemasid). Liljedahl soovitab anda ülesande kohe tunni alguses esimese 5 minuti jooksul ja kindlasti suuliselt, kui rühmad seisavad püsti õpetaja ümber. Liljedahli enda uuringute kohaselt käivitab suuliselt ja kohe tunni alguses esitatud ülesanne õpilaste mõtlemist oluliselt paremini kui ekraanilt või töövihikust antud ülesanne, sest see vähendab masinlikku kopeerimist ja loob eeldused mõtlemisprotsesside käivitumiseks.

Tavapärases matemaatikatunnis saab õpilane ülesande enamasti õpikust, töölehelt, ekraanilt või tahvlilt. ''Building Thinking Classrooms'' (BTC) uuringutes tekitas kõige vähem mõtlemist õpikust antud ülesanne. Liljedahli seletuse järgi on õpilastel õpikuülesannetega kujunenud tugev koolikultuuriline seos: neid tajutakse sageli kui ülesandeid, mida tuleb lahendada pärast seda, kui õpetaja on näidanud, kuidas seda tüüpi ülesannet lahendatakse. Nii võivad need muutuda pigem eeskuju jäljendamise kui iseseisva mõtlemise ülesanneteks.

Õpetajate kõige suuremaks väljakutseks BTC uuringutes osutus ülesande suuline esitamine. Õpetaja jutustab või kirjeldab probleemi, vajaduse korral kasutab žeste või lihtsat demonstratsiooni ning kirjutab tahvlile ainult need andmed, arvud, joonised või muud detailid, mida on raske meeles hoida. Oluline erinevus on siin selles, et andmed võib kirjutada, kuid tegevusjuhise võiks öelda suuliselt.

Liljedahl põhjendab suulise esitamise eelist mitmeti. Suuline kommunikatsioon on inimese jaoks loomulik ja õpilased kasutavad seda niikuinii rühmas omavahel suheldes. Veel olulisem on aga mõtleva klassiruumi sotsiaalne korraldus: ei ole vaja, et kõik õpilased saaksid kohe alguses ülesandest täpselt ühtemoodi aru. Piisab sellest, kui rühmas on piisavalt õpilasi, kes saavad tööga alustada; ülejäänud arusaamine kujuneb koostöös ja õpetaja jooksva toetuse kaudu.

See erineb tavapärasest õpetamisest, kus õpetaja püüab enne töö alustamist kõik võimalikud arusaamatused ennetada: ülesanne kirjutatakse välja, seletatakse suuliselt, näidatakse näide, kontrollitakse arusaamist ja vajaduse korral seletatakse uuesti. Liljedahl nimetab alternatiivi kujundlikult „tuletõrjuja lähenemiseks“ (firefighter approach): anna lühikesed suulised juhised, lase õpilastel tööle hakata ja lahenda arusaamatused siis, kui need tegelikult ilmnevad.

==== &quot;Suuline esitus&quot; ei tähenda üksnes suulist ====

Liljedahl ei väida, et õpilastele ei tohiks ülesande esitamisel mingeid juhiseid kirjalikult näidata. Eesmärk on pigem vähendada ülesande käivitamisel üleliigset informatsiooni ja kognitiivset koormust. Näiteks:
* andmetabel võib olla paberil;
* arvjada või muster võib olla tahvlil;
* geomeetriline joonis võib olla nähtav;
* olulised arvulised andmed võib üles kirjutada;
* kuid küsimus, probleem või tegevusjuhis antakse eelistatavalt suuliselt.

Kui mõtleva klassiruumi normid on juba kujunenud, võib hakata aeg-ajalt kasutama ka kirjalikke ülesandeid. Liljedahl soovitab seda eriti juhul, kui õpilasi on vaja harjutada tekstülesannete ja standardiseeritud testide jaoks. Ta eristab seega mõtleva klassiruumi ülesehitamist ja juba väljakujunenud mõtleva klassiruumi kasutamist. Esimese 3–4 nädala jooksul soovitab ta olla ülesannete esitamisel valdavalt suuline ning hiljem lisada järk-järgult ka tekstiliselt esitatud ülesandeid.

Kirjaliku ülesande puhul soovitab ta anda rühmale pigem väikese paberitüki vähese tühja ruumiga kui suure töölehe. Mõte on vältida olukorda, kus õpilased kinnitavad paberi vertikaalsele kustutatavale pinnale (VKP) ja hakkavad töötama paberil. Mõtleva klassiruumi jaoks on oluline säilitada kirjutamine ühisel kustutataval kirjutamispinnal, kus ideede muutmine ja vigade parandamine on lihtne ning nähtav.

==== Millal ülesannet anda? ====

BTC põhimõte on väga konkreetne: õpilased peaksid hakkama mõtlema tunni esimese viie minuti jooksul. Viis minutit ei tähenda tingimata aega koolikella helisemisest, vaid hetkest, mil õpetaja tegelikult tunni alustab. Selle taga on oluline pedagoogiline põhjendus. Mida kauem on õpilane tunni alguses passiivse teadmiste vastuvõtja rollis, seda raskem on tal hiljem üle minna aktiivse mõtleja ja teadmiste looja rolli. Seetõttu soovitab Liljedahl traditsioonilise skeemi (õpetaja seletab → näitab näiteid → õpilased harjutavad) asemel käivitada võimalikult kiiresti õpilaste eneste mõtlemine. See ei tähenda otsese õpetamise täielikku välistamist. Kui õpilasel on ülesande alustamiseks tõesti vaja uut teadmist, võib õpetaja seda õpetada. Kuid Liljedahl seab sellele provokatiivselt range piirangu: umbes viis minutit. Õpetada tuleks ainult nii palju, kui on vaja esimese ülesande alustamiseks. Siin muutub oluliseks ülesannete jada. Esimese ülesande lahendamisel avastatu võimaldab lahendada teist, teine valmistab ette kolmandat jne. Õpetaja ei pea seega enne töö alustamist õpetama kõike, mida läheb vaja jada kõige keerukama ülesande lahendamiseks.

==== Ära „ime mõtlemist ülesandest välja“ ====

Õpetajal on loomulik soov õpilaste edu kindlustada. Seetõttu kipume enne ülesande andmist vihjama, millist meetodit kasutada: „tee tabel“, „vii ühisele nimetajale“, „proovi tagurpidi töötada“ jne. Kõik need soovitused võivad olla matemaatiliselt õiged ja muuta lahendamise kiiremaks. Just selles seisnebki probleem: õpetaja on eemaldanud ülesandest selle koha, kus õpilane ise oleks pidanud mõtlema, takerduma, katsetama, vea tegema ja lõpuks strateegia leidma. Liljedahl kasutab selle kohta kujundit kurlingutreener (curling teacher): nagu kurlingumängus pühitakse kivi eest jää siledaks, eemaldab õpetaja õpilase teelt kõik võimalikud takistused. Mõtleva klassiruumi seisukohalt on aga just „konarlikud kohad“ sageli need, kus õppimine toimub.

Seetõttu soovitab Liljedahl õpetajal järgida põhimõtet: räägi alguses pigem vähem ja anna vajaduse korral hiljem vihjeid. Muide, Eesti esimeses matemaatika didaktika tekstis (R.Kallase “Mõistlik rehkendaja) sisaldub didaktiline printsiip: “Lapsed ei õpi kõnelema kui koolmeister vait olla ei mõista”. 

==== Uued mõisted ja terminoloogia tulevad pärast kogemust ====

Sama loogika kehtib matemaatilise terminoloogia kohta. Kui mõiste või nähtus on õpilastele varasemast tegevusest juba tuttav, võib õpetaja anda sellele tunni alguses nime: näiteks „seda nimetatakse välisnurgaks“. Kui aga õpilasel pole veel vastavat matemaatilist sõnavara, soovitab Liljedahl toimida vastupidises järjekorras: “kogemus → idee kujunemine → mõiste nimetamine”, mitte “termin → definitsioon → hilisem kogemus”. Ka see soovitus järgib juba Comeniuse poolt sõnastatud didaktilist printsiipi Claritas: õpetaja peaks selgitama abstraktset mõistet tuttava (kogetud) kujundi abil, nt “korrutamine on nagu ridade kaupa kivide müüri ladumine”. Õpilased vajavad võimalusi ise tähendust luua, mitte ainult õpetaja loodud tähendusi “importida”.

==== Kus ülesannet anda? ====

Liljedahli soovitus on, et ülesande käivitamise ajal ei istuks õpilased oma tavapärastel kohtadel. Nad peaksid seisma õpetaja lähedal vabas, suhteliselt tihedas grupis. BTC uuringutes oli erinevus suur: raamatus kirjeldatud tulemuste järgi oli istuvate õpilaste puhul õpetaja juttu nähtavalt jälgimas ligikaudu 50% õpilastest ning töö alustamisel esitati 10–15 täpsustavat küsimust. Õpetaja ümber seisvate õpilaste puhul oli nähtavalt haaratud umbes 90% ning täpsustavaid küsimusi tuli vaid umbes kolm. Liljedahl pakub mitu võimalikku seletust. Oma kohal istudes võib õpilane tunda end anonüümse ja „nähtamatuna“, eriti õpetajast kaugemal. Õpetaja lähedal seistes suureneb tähelepanu ning suhtlus muutub vähem „õpilastele rääkimiseks“ ja rohkem õpilastega suhtlemiseks. Lisaks lahendab see ühe praktilise probleemi: õpilased on juba püsti. Pärast lühikest ülesande käivitamist saab õpetaja moodustada juhuslikud rühmad ja suunata nad vertikaalsete tööpindade juurde.

Oluline on aga tegevuste järjekord: 1. õpilased kogunevad õpetaja juurde → 2. õpetaja annab ülesande → 3. moodustatakse juhuslikud rühmad → 4. rühmad lähevad tööpindade juurde.

Liljedahl tõdeb oma uuringute põhjal, et vastupidine järjekord ei toiminud hästi. Kui õpilased moodustasid kõigepealt rühmad ja läksid tahvlite juurde, haaras neid kohe uue rühma sotsiaalne dünaamika ning nad ei kuulanud enam ülesande juhiseid piisavalt tähelepanelikult.

==== Aga õpilane, kellel on raske suulist infot töödelda? ====

Liljedahl käsitleb pikemalt ka võimalikku vastuväidet: kas suulise ülesande eelistamine ei kahjusta õpilasi, kellel on raske suulisi juhiseid töödelda? Ta ei välista individuaalset tuge, aga soovitab esmalt jälgida, kuidas mõtleva klassiruumi keskkond õpilast toetab. Suuline informatsioon tuleb rühmas uuesti esile, kaasõpilased aitavad seda tõlgendada ning õpetaja saab vajaduse tekkimisel anda õpilasele lühema ja vahetuma individuaalse juhise. Vajaduse korral võib loomulikult kasutada ka kirjalikku tuge. Liljedahl kritiseerib siin ka lihtsustatud käsitlust õpistiilidest (visuaalne vs verbaalne stiil), mille osas on olnud kriitilised ka paljud teised teadlased (nt P.Kirschner: “Stop propagating the learning styles myth”). Eesmärk ei peaks olema anda igale õpilasele informatsiooni ainult tema eelistatud modaalsuses, vaid arendada suutlikkust toime tulla verbaalse, tekstilise, visuaalse ja muul kujul esitatud informatsiooniga.

Õpetaja ei pea enne ülesande alustamist tagama, et “kõik õpilased teavad täpselt, mida ja kuidas teha”. Vastupidi – mõtlemisülesande mõte ongi selles, et osa teadmisest, strateegiast ja arusaamisest sünniks alles tegevuse käigus. Seega on peatüki üks läbivaid ideid: õpetaja ülesanne ei ole muuta õpilase teed võimalikult siledaks, vaid kujundada keskkond, kus õpilane saab turvaliselt takerduda, katsetada, teistega arutada ja ise tähendust luua.


'''Mikrosammud ülesande andmiseks:'''
* Anna ülesanne 3–5 minuti jooksul pärast tunni algust.
* Esita ülesanne suuliselt, kui klass seisab õpetaja ümber ja kõigi tähelepanu on õpetajal. Alles seejärel suuna rühmad oma tahvlite juurde.
* Ära jaga õpilastele kohe töölehte ega näita ette lahendusi. Lase neil teha esimesed katsetused täiesti iseseisvalt.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.7 Milline on mõtlemisruumi sobiv kodutöö? ===
Liljedahli uuringud kinnitasid igale õpetajale tuttavat tõdemust: õpetaja ja õpilased saavad kodutöö eesmärgist ja vajalikkusest täiesti erinevalt aru. Õpetaja jaoks on tegu tunnis õpitud teadmiste rakendamisega kinnistamise eesmärgil, õpilaste jaoks aga puuriga, milles nad peavad mingil arusaamatul põhjusel istuma, selle asemel et midagi huvitavat teha. Õpetajate kinnitusel teevad kodutöid kohusetundlikult peamiselt tublid õpilased, kes seda tegelikult ei vajakski. Ülejäänud asendavad kodutööd tehes mõtlemise õpilasetsemise halbade praktikatega (jätavad tegemata, kirjutavad pinginaabrilt maha, lasevad emal või õel enda eest ära teha).

Liljedahl soovitab mõtlemisruumi metoodika järgijatel kodused ülesanded ümber mõtestada, et need poleks õpilaste jaoks arusaamatu ja tüütu kohustus, mida tehakse üksnes halva hinde hirmus. Nimeta kodutöö ümber '''enesehindamiseks''' ja esita kodutöö küsimused stiilis „Kas ma olen õigesti aru saanud?“. Õpilastes tuleks kujundada arusaam, et kodutöö on vabatahtlik võimalus iseennast testida, mitte õpetajale punktide kogumine.

'''Mikrosammud mõtlemist toetava kodutöö andmiseks:'''
* Nimeta kodutöö ümber enesehindamiseks ja esita 3–5 lühikest kontrollülesannet.
* Ära hinda kodutöid. Kasuta neid järjekindlalt õpilaste enesehindamiseks.
* Alusta järgmist tundi 3-minutise aruteluga teemal „Mille peale ma tulin, kui ennast kodutööga hindasin?“

=== 5.1.8 Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat? ===
Kontrolli kaotamine klassis toimuva üle on üks esimesi hirme, mis õpetajal mõtlemisruumi metoodikat esmakordselt katsetades tekib. Lahendus on ilmne: õpetaja peab suutma muuta õppijad ise oma õppimise eest vastutavaks, mis tähendab õpilaste autonoomia samm-sammulist kasvatamist. Liljedahl soovitab selleks suunata õpilasi panustama kogu klassi ühise teadmuspanga loomisse, julgustades neid vaatama teiste rühmade tahvleid (lahendusi kopeerimata, kuid eri lahendusi võrreldes) ja küsima teistelt rühmadelt vihjeid, jätkates seejärel siiski iseseisvalt oma lahendusega. '''Autonoomia''' on õpilase oskus hoida oma mõtlemist aktiivsena ka siis, kui õpetaja pole kõrval.

'''Mikrosammud õpilase autonoomia kujundamiseks:'''
* Kehtesta tava: enne õpetaja poole pöördumist küsi nõu kahelt teiselt rühmalt.
* Julgusta õpilasi vaatama teisi tahvleid. Ideede liikumine ja jagamine olgu soositud.
* Harjuta „väikeste sammude“ mõtteviisi: õpilased võiksid tegeleda korraga vaid ühe uue ideega.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.9 Kuidas toestada õppimist? ===
Matemaatika õpetamisel on õpetaja jaoks suurim väljakutse õpilaste ebaühtlane algtase ja matemaatiline võimekus. Seetõttu muutub sünkroonses tempos toimuv õppetöö osa õpilaste jaoks liiga aeglaseks ja igavaks, samas kui teiste jaoks kihutab õpetaja edasi liiga kiiresti. Mõtlemisruumi metoodika puhul ei pea kõik rühmad tegema samu asju ühtlases tempos. Liljedahl soovitab liikuda '''asünkroonselt''' (eri rühmad eri kiirusega), andes vajaduse korral väikseid '''vihjeid''' (kui mõni aeglasem rühm juhtub „kinni jääma“) ja ülesande '''laiendusi''' (kui mõni kiirem rühm sai töö varakult valmis), et hoida kõiki „voos“.

„Voo“ ehk „kulgemise“ mõiste tõi pedagoogikasse Ungari juurtega Ameerika teadlane Mihaly Csikszentmihalyi, kelle optimaalse kogemuse teooria võtab kõige paremini kokku allolev joonis. Kui ülesanne pakub õpilase võimekusega võrreldes liiga suurt väljakutset, langeb õpilane '''ärevuse''' tsooni. Kui aga väljakutse on võimeka õppija jaoks liiga kerge, langeb ta '''igavuse''' tsooni. Optimaalse (õppimis)kogemuse tagab pidev viibimine '''voo tsoonis''' (''flow zone''), kus järjest kasvav ülesannete keerukus vastab õpilase pisitasa kasvavale võimekusele.

&lt;!-- Joonis: Voo tsoon (flow) Csikszentmihalyi optimaalse kogemuse teoorias. Teljed: väljakutse (challenge) ja oskus (skill); tsoonid: ärevus (anxiety), voog (flow), igavus (boredom). --&gt;

'''Mikrosammud vihjete ja laienduste pakkumiseks:'''
* Anna väikseid vihjeid (kas uuritava probleemi keerukuse vähendamiseks või õpilase võimekuse kasvatamiseks), aga kindlasti mitte valmis lahendust.
* Varakult lõpetajad saavad laiendusi („Mis siis, kui…?“, „Üldista!“).
* Ära peata kogu klassi ühe rühma pärast, lase rütmidel erineda.

'''Näide:''' õpetaja [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ Frank McGowani] ajaveebist: kuidas mõtlemisruumiga matemaatikatunnis tekib õpilastel keskväärtust ja mediaani õppides „teadmuse voog“ ning õpetaja ei ole enam pudelikael.

=== 5.1.10 Kuidas tundi kokku võtta? ===
Kuna mõtlemisruumi metoodikat järgivas tunnis liiguvad õpilased ja rühmad oma probleemilahenduses sageli erinevas tempos (asünkroonselt), on seda olulisem jõuda tunni lõpus ühiste lõpptulemusteni. Õpetajal on sageli kiusatus teha selline kokkuvõte perfektsel viisil pigem oma teadmistest (või õpiku käsitlusest) lähtudes. Seda nimetatakse „tippu koondumiseks“ (''leveling to the top''). Nii toimides ignoreeriks õpetaja aga õpilaste rühmatöö tulemusi, ja Liljedahl hoiatab, et see oleks viga. Seetõttu soovitab Liljedahl hoopis vastupidist strateegiat: '''konsolideerida lõpptulemused alt üles''', alustades rühmatöödest nii heade lahenduste ja ideede kui ka lünkade väljanoppimisega.

'''Mikrosammud tunni kokkuvõtmiseks:'''
* Tee koos kõigi õpilastega „galeriituur“ (keegi ei istu), et vaadata üle kõigi rühmade tahvlid ja valida neist 3–5, mis jutustavad antud probleemi lahendusest kõige huvitavama „matemaatilise loo“.
* Ära lase õpilastel endil oma ideid tutvustama hakata – nüüd on õpetaja kord tõlgendada.
* Kokkuvõtva arutelu alguses pööra rohkem tähelepanu ideede päritolule ja kujunemisele, lõpupoole keskendu lõpptulemusele.
* Sõnasta koos õpilastega korrektse matemaatilise sõnastusega ühine lahendus alles arutelu lõpus (terminid, näited, vastunäited).
* Lase rühmadel oma sõnadega kirja panna, „mida igaüks peaks sellest arutelust meeles pidama“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.11 Kuidas õpilased teevad märkmeid? ===
Märkmete tegemine tunni ajal on ilmselt üks vanimaid praktikaid, kuid paraku kuulub enamik õpilaste märkmetest kategooriasse „õpetaja kirjutas tahvlile, mina kopeerisin selle vihikusse“. See tegelikult takistab õpilastel õpetaja jutule keskendumast ja kaasa mõtlemast. Liljedahli uuringutes selgus, et õpilaste märkmete kvaliteet ja tähendusrikkus kasvas hüppeliselt, kui nad ei pidanud õpetaja juttu reaalajas konspekteerima, vaid said rahulikult kirjutada '''„hajameelsele iseendale tulevikus“''', püüdes aidata endal olulisi asju meeles pidada. Selliseid märkmeid on sageli mõistlikum teha mitte lineaarse narratiivi, vaid mõistekaardi, diagrammi (Venni diagramm, kalaluu), skeemi või spikri kujul.

'''Mikrosammud kasulike märkmete tegemiseks:'''
* Märkmed kirjutatakse alles pärast tunni kokkuvõtet, mitte probleemi lahendamise ajal.
* Tehakse valik kõige olulisemast: foto oma tööst või tahvli osast ja kolmelauseline kokkuvõte.
* Lisatakse „üks toimiv näide“ ja „üks küsimus endale edasimõtlemiseks“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.12 Mida hinnatakse? ===
Mõtlevas klassiruumis ei ole hindamine pelgalt õppimise „mõõtmise“ vahend, vaid kasulik tagasiside õppijatele selle kohta, mida me tegelikult väärtustame. Liljedahli uurimistöö näitab, et õpetajad oskavad sageli sõnastada omadusi, mida nad soovivad oma õpilastes näha (nt visadus, riskijulgus, koostööoskus, kannatlikkus, autonoomia, enesetõhusus), kuid klassiruumi hindamispraktikad ei toeta nende omaduste kujunemist. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid ja lõpptulemusi, hakkavad õpilased väärtustama just neid ning loobuvad pingutusest ja mõtlemisest, kui lahendus pole kohe käes.

Liljedahl rõhutab põhimõtet: '''hinda seda, mida väärtustad''' (''evaluate what you value''). Kui me väärtustame mõtlemist, peame ka mõtlemist hindama. See ei tähenda, et akadeemilised õpitulemused kaotaksid tähtsuse, vaid et nende kõrvale tuleb teadlikult tuua ka need protsessilised ja dispositsioonilised aspektid, mis mõtlemist tegelikult võimaldavad. Näiteks visadust ei saa kujundada, kui seda ei märgata ega väärtustata, ja koostöö ei arene, kui seda ei peeta oluliseks.

Oluline on ka see, kuidas me neid väärtusi hindame. Liljedahli uuringud näitavad, et kõige tõhusamaks osutusid lihtsad ja läbipaistvad hindamisrubriigid, mis keskendusid järgmistele aspektidele:
* pingutus ja järjepidevus;
* panus rühmatöösse;
* valmidus proovida uusi ideid;
* oma mõtlemise selgitamine.

Selline hindamine ei ole karistav ega sorteeriv, vaid kujundav ja suunav: see aitab õpilastel mõista, milline käitumine ja õppimisviis toetab nende arengut mõtleva matemaatikuna.

'''Mikrosammud:'''
* Kujunda lihtne rubriik: osalus, visadus, riskijulgus, selgitamine (+ sisuline täpsus).
* Tagasiside on olulisem kui hinne: too välja käitumised, mis viisid edasijõudmiseni.
* Hoia käitumuslikud tõendid ja sisuline saavutus lahus (kaks sammu).

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.13 Kuidas teostada kujundavat hindamist? ===
Traditsioonilises klassiruumis kasutatakse hindamist valdavalt õpetaja tööriistana: infot kogutakse selleks, et teha otsuseid hinnete kohta. Liljedahli uurimistöö näitab, et isegi kujundav hindamine jääb sageli õpetajakeskseks: see aitab õpetajal õpetamist kohandada, kuid õppija jääb passiivseks objektiks, kes ei mõista, kus ta parasjagu on ja kuhu ta liigub.

Mõtlevas klassiruumis nihkub kujundava hindamise fookus selgelt õppijale. Kujundavat hindamist kasutatakse selleks, et aidata õpilastel:
* mõista, kus nad oma õppimises parasjagu on;
* näha, mida nad juba oskavad;
* teadvustada, mida nad veel ei oska ja kuhu edasi liikuda.

Liljedahli uurimistulemused näitavad, et kui õpilased saavad selge pildi oma õppimisest, suurenevad nende autonoomia ja kaasatus ning see võib viia ka mõõdetava akadeemilise edenemiseni (nt parema soorituseni testides).

Oluline on, et kujundav hindamine ei avaldu mõtlevas klassiruumis pideva testimise või punktide kogumisena. Selle asemel kasutatakse:
* vaatlusi rühmatöös;
* vestlusi õpilastega nende lahendusstrateegiate üle;
* visuaalset ja suulist tagasisidet;
* õppijate enda refleksioone.

Kujundav hindamine on seega õppimisprotsessi lahutamatu osa, mitte eraldi etapp tunni lõpus. See toetab mõtlemise püsimist ja aitab vältida olukorda, kus õpilased töötavad vaid „hinde nimel“.

'''Mikrosammud:'''
* Tee kogu klassiga 60–90-sekundilisi „vahepeatusi“: „Mis töötab, mis takistab?“
* Kasuta tahvlivaatlusi: näed kiiresti, kus klass on, ja saad vihjeid kohandada.
* Kasuta lõpus väljumisküsimust (''exit prompt''): „Üks strateegia, mida kasutasin / mida proovin järgmisel korral“.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.14 Kuidas hinnatakse õpitulemusi? ===
Liljedahl seob mõtleva klassiruumi hindamispraktika laiemate suundumustega hariduses, eeskätt '''tõenduspõhise hindamisega'''. Selle lähenemise keskmes ei ole punktide kogumine, vaid tõendid selle kohta, mida õppija tegelikult oskab ja mõistab. Mõtlevas klassiruumis põhinevad hinded kogutud tõenditel:
* õpilaste töödel ja lahendustel;
* aruteludes ilmnenud mõtlemisel;
* kujundava hindamise käigus kogutud tähelepanekutel.

Oluline erinevus tavapärasest hindamisest seisneb selles, et hinnangud ei sünni üksikutest „hindamissündmustest“, vaid ajapikku kogunenud pildist õppija arengust. See vähendab juhuslikkust ja stressi ning toetab õppija enesetõhusust.

Liljedahl rõhutab, et hindamine peab olema tihedalt seotud kujundava hindamisega: hindamiseks kasutatav info peab olema õppijale nähtav ja arusaadav. Hinne ei ole siis üllatus ega karistus, vaid loogiline kokkuvõte sellest, mida õppija on juba näidanud.

Selline lähenemine toetab mõtleva klassiruumi keskseid väärtusi: see suunab õpilasi keskenduma õppimisele ja mõtlemisele, mitte punktide jahtimisele, ning aitab kujundada vastutustunnet oma õppimise eest.

'''Mikrosammud:'''
* Hinda standardipõhiselt: kirjelda selgelt, millist mõtlemist või oskust tõendatakse.
* Viimane (küpsem) tõend loeb kõige rohkem ja „uuesti tõendamine“ on lubatud.
* Hoia hinnang (saavutus) ja tagasiside (järgmine samm) lahus.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.15 Kokkuvõte: Liljedahli neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamisel ===
Peter Liljedahli ''Building Thinking Classrooms'' raamistik koondab neliteist omavahel seotud praktikat, mis põhinevad 15 aasta pikkusel empiirilisel uurimistööl ja mille ühine eesmärk on maksimeerida õppijate mõtlemist matemaatikatunnis. Praktikad ei ole eraldiseisvad võtted, vaid moodustavad tervikliku süsteemi, kus muutused klassiruumi füüsilises keskkonnas, sotsiaalsetes normides, õpetaja rollis ja hindamises toetavad üksteist.

Raamistiku alguspraktikad keskenduvad mõtlemist käivitavate tingimuste loomisele: sobiva ülesandetüübi valik, juhuslikud rühmad ning vertikaalsete ja mittepüsivate kirjutuspindade kasutamine muudavad õppijate käitumist ja ootusi. Järgmised praktikad kujundavad klassiruumi normid, kus pingutus, eksimine ja koostöö on väärtustatud ning õpetaja roll nihkub seletajalt mõtlemise orkestreerijaks. Õpetaja sekkub teadlikult ajastuse, küsimuste ja ootuste kaudu, et hoida õppijad aktiivselt mõtlemas.

Raamistiku viimased praktikad (12–14) seovad mõtlemise hindamise ja tagasisidega. Liljedahl rõhutab, et mõtleva klassiruumi kestlikkus sõltub sellest, mida hinnatakse, kuidas kujundavat hindamist kasutatakse ja mille eest hindeid pannakse. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid, taastoodab see pealiskaudset õppimist. Kui hinnatakse pingutust, strateegilist mõtlemist ja arusaamise arengut, toetab hindamine otseselt mõtlemise kultuuri.

Kokkuvõtvalt pakuvad Liljedahli neliteist praktikat teaduspõhist ja praktilist raamistikku, mis aitab õpetajatel liikuda protseduurikeskselt õpetamiselt mõtlemist väärtustava ja õppijat aktiveeriva klassiruumi suunas. LAHEMATE kontekstis loovad need praktikad selge orientiiri koolikatsetuste kavandamiseks, õpetajate professionaalseks refleksiooniks ning mõtleva matemaatikakultuuri järkjärguliseks juurutamiseks.

== Viited ==
* Csikszentmihalyi, M. (1990). ''Flow: The Psychology of Optimal Experience''. New York: Harper &amp; Row.
* Liljedahl, P. (2020). ''Building Thinking Classrooms in Mathematics, Grades K–12: 14 Teaching Practices for Enhancing Learning''. Thousand Oaks, CA: Corwin.
* Liljedahl, P., &amp; Allen, D. (2013). Mathematical discovery: Studenting. [TÄPSUSTADA]

== Veebiallikad ==
* Liljedahl, P. Kaarditrikid: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanded: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanne „New School Schedule“: [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf PDF]
* Nguyen, F. Promoting thinking tasks with VNPS tools. Wipebook: [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU wipebook.com]
* Soo, A. (2023). Building Thinking Classrooms: peatükkide 5, 6 ja 8 refleksioonid. Ajaveeb: [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ ptk 5], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ ptk 6], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ ptk 8]
* McGowan, F. (2021). Thinking Classrooms Challenge: In Flow. Ajaveeb: [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ findingtheprocess.wordpress.com]
* Apple Education. Õpetaja MK lugu: [https://education.apple.com/story/250014232 education.apple.com]
* Ülesannete kogud: [http://nrich.maths.org NRICH], [http://youcubed.org YouCubed], [http://illuminations.nctm.org Illuminations (NCTM)]

[[Kategooria:LAHEMATE]]
[[Kategooria:Probleemilahendus]]</text>
      <sha1>omwn6ywg544b8oyopf6yu1svt21yppq</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20348</id>
      <parentid>20347</parentid>
      <timestamp>2026-09-28T07:28:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5.1.1 Milliseid ülesandeid me õpilastele anname? */</comment>
      <origin>20348</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="58265" sha1="t79pmf6yttf92c8cxt7fmda2k77n6x5" xml:space="preserve">= 5. Peter Liljedahli mõtleva klassiruumi metoodika =

Liljedahli metoodika põhineb tema aastatepikkusel teadustööl ja tunnivaatluste süstemaatilisel analüüsil. Need veensid teda, et enamikus vaadeldud matemaatikatundides ei toetata õpilaste mõtlemist piisavalt. Ta väidab, et enamik õpilasi ei tegele tunnis ei mõtlemise ega õppimisega (neist esimene on viimase vältimatu eeldus), vaid hoopis „õpilasena käitumise“ ehk '''„õpilasetsemise“''' (''studenting'') muude vormidega. „Studenting“ on Alleni (2017) välja pakutud termin, mis tähistab kõiki antud õpikeskkonnas õpilaseks olemisega seotud tegevusi, mille hulka kuulub muu hulgas ka õppimine. Allen pakub oma empiiriliste uuringute põhjal välja viis peamist õpilasetsemise vormi:
* '''viilimine''' (''slacking''): õpilased ignoreerivad täielikult õpetaja antud ülesandeid ja tegelevad millegi muuga, nt nutitelefonis ühismeedia vaatamise, teemavälise omavahelise suhtlemise või lihtsalt mittemidagitegemisega;
* '''venitamine''' (''stalling''): õpiülesandega tegelemise edasilükkamine, kasutades ettekäändena legitiimseid asendustegevusi, nagu pliiatsi teritamine, kotist asjade otsimine või WC-s käik;
* '''teesklemine''' (''faking''): näiliselt õpiülesandega tegelemine (tahvli või õpiku „uurimine“, mõtliku näo tegemine), kuid tegelikult ülesande lahendamise vältimine;
* '''matkimine''' (''mimicking''): ülesandega mehaaniliselt tegelemine, kopeerides õpetaja eelnevat näidislahendust rida-realt, kuid ilma aktiivse mõttetegevuse ja mõistmiseta;
* '''katsetamine''' (''trying it on their own''): iseseisev pingutamine ülesande lahendamiseks.

Liljedahl väidab, et neist üksnes viimasega kaasneb mõtlemine ja et sadades tema vaadeldud matemaatikatundides tegeles „mõtlemisvabade“ õpilasetsemise vormidega 75% õpilastest peaaegu kogu tunni jooksul. Lahendusena on Liljedahl oma uuringute tulemusena sõnastanud 14 tegurit, mis aitavad luua mõtlemist toetava õpikeskkonna:
# '''Milliseid ülesandeid me õpilastele anname?''' Alustada tuleks aine(kava)ga vaid kaudselt seotud elulistest ja mõtlema innustavatest küsimustest ning seejärel liikuda pisitasa matemaatilisemate mõtlemisülesannete juurde.
# '''Kuidas me õpilasi rühmitame?''' Juhuslikult kokku loositud, iga kord uued rühmad toimivad paremini ja innustavad õpilasi rühma ühistegevusse panustama.
# '''Kus õpilased õpivad?''' Õpilaste mõtlemist ja koostööd on lihtsam käivitada, kui nad seisavad vertikaalsete kirjutamispindade ees, millelt kirjapandut saab kustutada (nt pabertahvlid, valged markertahvlid, interaktiivsed ekraanid).
# '''Milline on füüsiline õpikeskkond klassis?''' Ridadesse joondatud, õpetaja suunas vaatavad pingiread toovad kaasa passiivse õppimise. Klassi mööbel peab võimaldama ümberpaigutamist ja rühmatööks vaba ruumi loomist, eelkõige seinte ääres.
# '''Kuidas vastatakse õpilaste küsimustele?''' Tavatundides on 90% õpilaste küsimustest kas pelgalt õpetajaga muul teemal suhtlemiseks, kuna ta satub lähedusse (nn ''proximity questions''), või kiire tagasiside saamiseks („Kas see on õige?“). Need peatavad õpiülesande üle mõtlemise. Õpilasi peaks suunama esitama hoopis mõtlemist soodustavaid küsimusi (nn ''keep-thinking'' küsimused).
# '''Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid?''' Õpilaste mõtlemist aktiveerivad ülesanded, mis antakse pigem tunni alguses kui lõpus, pigem suurel ekraanil kui õpikus, pigem suuliselt kui kirjalikult.
# '''Millist kodutööd antakse?''' Et õpilased ei tajuks kodutööd kui õpetaja jaoks kontrolli eesmärgil tehtavat tüütut kohustust, tuleks anda selliseid kodutöid, mis inspireerivad kodus edasi mõtlema ja oma lahenduste tulemuslikkust hindama.
# '''Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat?''' Õppijate enesejuhitavust saab suurendada nii eespool kirjeldatud rühmatööde, arutelude ja teistmoodi kodutöödega kui ka kaaslaste vaatlemise, neilt ideede korjamise ja neile tagasiside andmisega.
# '''Kuidas toestada õppimist?''' Vihjed, näited ja soovitused aitavad hoida õppijad personaliseeritud „kulgemisvööndis“ (''flow zone'', vt Csikszentmihalyi, 1990) ja vältida õppimise muutumist liiga lihtsaks või liiga raskeks.
# '''Kuidas konsolideerida õpitut?''' Eri ülesannete kaudu õpitu koondamine iga õpilase peas ühtseks tervikuks on konstruktivistliku õpikäsituse üks nurgakive ja suur väljakutse õpetajale.
# '''Kuidas õpilased teevad märkmeid?''' Õpetaja jutu mehaanilise konspekteerimise asemel tuleb õpilasi õpetada ise oma mõttetööst kokkuvõtteid visandama ja visandeid täiustama.
# '''Mida hinnatakse?''' Lisaks ainekavas kirjas olevatele õpitulemustele tuleks hindamise objektiks võtta ka oskused, mida mõtlemist soodustavas tunnis väärtustatakse, nt püsivus, koostöö ja loovus.
# '''Kuidas teostada kujundavat hindamist?''' Õpilastele antakse mitmekülgset tagasisidet mitte üksnes nende püüdlikkuse ja aktiivsuse kohta, vaid ka selle kohta, kuidas nad seni on toime tulnud ja mida tuleks edasi teha.
# '''Kuidas hinnatakse õpitulemusi?''' Pigem sarnaselt kujundava hindamisega (pakkudes õpilastele tagasisidet edasimõtlemiseks), mitte lõpliku kohtuotsusena, kuid siiski riikliku õppekava õpitulemustest lähtudes.

Vaatleme nüüd lähemalt neid neljateistkümmet &quot;optimaalset/toimivat praktikat&quot; (sisuliselt on need taas heuristikud, aga õpetajale) koos praktiliste näidetega.

== 5.1 Neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamiseks ==

=== 5.1.1 Milliseid ülesandeid me õpilastele anname? ===
Oma raamatus „Building Thinking Classrooms“ (2020) toob Liljedahl hakatuseks näite probleemülesandest, mille autor on Lewis Carroll: ''kui kuus kassi püüab kuue minuti jooksul kuus rotti, siis mitu kassi oleks vaja, et püüda 50 minuti jooksul 100 rotti?'' Selle ülesande lahendamine eeldaks küll teadmisi murdude ja võrdelise seose kohta, kuid neist ei piisa. Õpilased jäävad tavaliselt „kinni“ juba alguses, sest ülesandest võib aru saada kaheti: kas kuuest kassist üks püüab igas minutis ühe roti või püüab iga kass ühe roti kuue minuti jooksul. See „kinnijäämine“ toob kaasa mõtlemise ja probleemilahenduse käivitumise.

Eksamiks õppides lahendavad paljud „tublid“ õpilased suurel hulgal ülesandeid, nii et õppekavale vastavad tüüplahendused muutuvad nende jaoks rutiinseks ja nende lahendamiseks pole enam mõtlemist tarvis – piisab mehaanilisest matkimisest. Eksamil (ja elus või hilisemates õpingutes) võib aga suure tõenäosusega ette tulla probleeme, mille lahendamine eeldab mitterutiinseid lahendusi, näiteks matemaatika eri valdkondadest või teistest õppeainetest pärinevate teadmiste kombineerimist. Just selliseid probleemülesandeid soovitab Liljedahl matemaatilise mõtlemise harjutamiseks kasutada juba õppeprotsessi käigus. Ta jaotab head probleemülesanded kolme kategooriasse.

'''1) Köitvad nuputamisülesanded''', mis lausa meelitavad inimesi lustiga kaasa mõtlema. Õpikutes esineb sedalaadi ülesandeid pigem harva, kuid mujal (nt ajalehtede nupunurkades, sotsiaalmeedias, Känguru võistlusel, e-rehkenduses) on neid küllaldaselt. Liljedahl toob neli näidet kooliastmete kaupa:
* ''I kooliaste:'' mitu ruutu on pildil?
* ''II kooliaste:'' kui ostad videomängu 10 dollariga, müüd selle 20 dollariga, ostad taas tagasi 30 dollariga ja müüd uuesti 40 dollariga, siis kui palju raha sa lõpuks teenisid (või kaotasid)?
* ''III kooliaste:'' kui sul on ainult kaks liivakella (üks 4-minutiline ja teine 7-minutiline), kas saaksid nende abil aega mõõtes keeta oma vanaemale täpselt 9 minutit keedetud muna? Kui saab, siis kui kaua peab vanaema ootama muna valmissaamist?
* ''Gümnaasiumiaste:'' ekstsentriline daam broneeris kolm kõrvutiasuvat hotellituba ja lubas ööbida igal ööl toas, mis asub eelmisel ööl kasutatud toa kõrval. Vastuvõtus töötav John avastas, et tubade eest maksmiseks kasutatud krediitkaart ei toimi. Kiire töötempo tõttu on Johnil päeva jooksul aega vaid korraks minna ülakorrusele ja koputada ühele kolmest uksest, lootes daami leida ja maksetõrke ära klaarida. Mitu päeva tal kulub, et kindlasti daamiga kohtuda? Aga kui daam oleks broneerinud hoopis 4 või 5 tuba? Või kui ta broneeris 17 tuba 30 päevaks – kas Johnil oleks lootust daam tabada enne, kui too kuu möödudes hotellist lahkub?

'''2) Kaarditrikid''', mis põhinevad matemaatikal, mitte silmapettel ega käteosavusel. Selliste trikkide videosalvestusi on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]

'''3) Rehkendamisülesanded''', mis on võetud elust enesest ja kõnetavad seetõttu õpilasi. Sellise ülesande näitena toob Liljedahl loo sõpruskonna suusareisist, milleks on pikalt raha kogutud. Allpool olevas tabelis on näha iga rühmaliikme kogutud raha ja kavandatud kulud. Sõbrad on otsustanud, et kogutud raha kulutatakse viimase sendini üksnes kavandatud otstarbeks ja keegi ei tohi reisilt maha jääda (isegi kui mõni maksab rohkem, kui tal endal kulub). Kas raha on kogutud piisavalt? Kui ei, siis kes peaks juurde maksma ja kui palju? Selliseid rehkendamisülesandeid on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses koos juhendiga, kuidas neid ise koostada: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Tabel 1. Sõpruskonna suusareisi jaoks kogutud raha ja kavandatud kulutuste koond
! Nimi !! Kogutud raha !! Suusavarustuse rent !! Suusalifti pilet !! Algaja suusakoolitus
|-
| Aleks || 75 || 20 || 40 || 40
|-
| Piret || 125 || 10 || 40 || 40
|-
| Terje || 50 || 30 || 40 || 0
|-
| Kevin || 10 || 40 || 40 || 40
|-
| Jaana || 25 || 0 || 40 || 0
|-
| Reta || 10 || 0 || 40 || 40
|-
| Taavi || 38 || 30 || 40 || 0
|-
| Sten || 22 || 40 || 40 || 40
|-
| Sonja || 200 || 20 || 40 || 0
|-
| Kaidi || 60 || 25 || 40 || 0
|}

Probleemülesannete koostamisel lähtub Liljedahl (nagu ka Boaler) '''„madala läve ja kõrge lae“''' disainipõhimõttest, lisades sellele veel kolmanda: '''„avatud keskpaiga“''' printsiibi. Viimane eeldab probleemülesandelt ühte õiget vastust, jättes avatuks ja paindlikuks selle vastuseni jõudmise viisi. Selliseid „avatud keskpaigaga“ ülesandeid esineb sagedamini nuputamisülesannete ja kaarditrikkide seas, samas kui Liljedahli stiilis rehkendamisülesannetel on üldjuhul ka õigeid vastuseid palju.

Õpetaja võib neid ülesandeid vaadates ohata, et need on küll haaravad, kuid ei aita saavutada õppekavas olevaid õpiväljundeid. Loogiline lahendus näib olevat mõtlemist toetavate tekstülesannete kohandamine selliseks, et nende lahendamisel tuleb paratamatult kasutada õpikuteadmisi käsiloleva peatüki ja õppekava osa kohta. Nii talitades ohverdaksime aga õpilaste mõtlemise arendamise ja kaasahaaratuse ning riskiksime muuta ülesannete lahendamise igavaks ja rutiinseks matkimiseks. Selle asemel soovitab Liljedahl muretseda vähem õppekava pärast ja keskenduda esmalt õpilaste mõtlemisele. See suurendab nende eneseusku oma matemaatikavõimetesse, positiivset suhtumist ja huvi õppeaine vastu, misjärel õppekavaga selgemalt seotud ülesannete lahendamine muutub oluliselt lihtsamaks ja võtab vähem aega.

Lisaks saab ka õpikuülesandeid kohandada nii, et need panevad õpilased mõtlema. Näitena esitab Liljedahl õpetaja dialoogi klassiga ruutkolmliikme tegurdamise teemal, alustades varem õpitud teadmisest:
* '''Õpetaja:''' Meenutame kaksliikmete korrutamist. Mis te saate, kui korrutate (x + 2)(x + 3)?
* '''Õpilased:''' (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
* '''Õpetaja:''' Aga kui ma alustaksin tagantpoolt ja mu vastus oleks x² + 7x + 6, mis arvud peaksid sel juhul olema mu algses küsimuses (x + □)(x + □)?

Liljedahli mõtleva klassiruumi lähenemises on matemaatika õppimise keskmes õpilase mõtlemine. Kui soovime, et õpilased mõtleksid, tuleb neile anda midagi, mille üle mõelda – selleks on eelkõige hästi valitud matemaatiline ülesanne. Samas rõhutab Liljedahl, et heast ülesandest üksi ei piisa. Ka väga hea probleemülesanne ei pruugi õpilasi mõtlema panna, kui klassiruumi töökorraldus, õpetaja tegevus ja õpilaste harjumused seda ei toeta. Seega on hea ülesanne mõtleva klassiruumi vajalik, kuid mitte piisav tingimus.

Kordame üle - Liljedahli kohaselt peab hea mõtlemisülesanne vastama kolmele kriteeriumile: 
* sellel on madal lävi (''low floor''), 
* kõrge lagi (''high ceiling'') ning 
* see sisaldab õpilase jaoks mingit uudsuse aspekti (''novelty'').

'''Madal lävi''' tähendab, et igal õpilasel peab olema võimalik ülesandega iseseisvalt pihta hakata. See ei tähenda, et ülesanne ise peab olema lihtne (madala keerukusastmega). Pigem peab ülesande alguses olema midagi sellist, millest ka nõrgemate eelteadmistega õpilane saab kinni haarata ja mille põhjal esimesi katsetusi teha, nuputama hakata. Liljedahl seostab madalat läve ka võrdsuse ja kaasatuse taotlusega matemaatikaõppes. Kui hariduse üldisem eesmärk on võrdsed võimalused (equity), siis õpetaja praktiline ülesanne klassiruumis on luua õpilastele juurdepääs (access) matemaatilisele tegevusele. Madal lävi on üks konkreetne viis selle saavutamiseks.

'''Kõrge lagi''' tähendab seevastu, et ülesanne peab pakkuma väljakutset ka tugevamatele õpilastele. Kõik õppijad peaksid mingil hetkel jõudma olukorda, kus lahendus ei ole enam ilmne ja tuleb päriselt mõelda. Oluline on siin ülesande raskusastme ja õpilase seniste teadmiste vahekord: eri õpilased jõuavad väljakutse lahenduseni eri ajal ja eri tasemel.
Sellega seostub produktiivse pingutuse (productive struggle) idee, mis on seotud ka Võgotski lähima arengu tsooni mõistega - õppimine on tulemuslikum siis kui õpetaja suudab õpilase tema mugavustsoonist arengu tsooni juhtida. Mõtlemine muutub eriti oluliseks siis, kui õpilane ei tea kohe, mida edasi teha. Sellises olukorras peab ta katsetama, püstitama oletusi, ebaõnnestuma, oma lähenemist muutma ja uuesti proovima. Eesmärk ei ole vältida olukorda, kus õpilane „jääb kinni“, vaid õpetada teda sellisest olukorrast edasi liikuma. Liljedahl rõhutab siiski, et produktiivse pingutuse tekkimiseks on oluline ka varasem eduelamus. Kui keeruline väljakutse järgneb õnnestumisele, jätkab õpilane suurema tõenäosusega pingutamist; kui mitu järjestikust ülesannet takerduvad ebaõnnestumisse, suureneb õpilase loobumise tõenäosus.

Kolmas hea ülesande tunnus on '''uudsus'''. Kui õpilane juba teab, millist algoritmi või varem õpitud lahendusviisi rakendada, võib ta selle lihtsalt ja ilma pingutava mõtlemiseta reprodutseerida. Autorite käsitluses algab mõtlemine eeskätt olukorras, kus lahendustee ei ole ette teada. Seetõttu peaks mõtlemisülesanne sisaldama õpilase jaoks midagi mitterutiinset: uut probleemi, uut konteksti, ebaharilikku kombinatsiooni või vajadust teadaolevaid teadmisi uuel viisil kasutada.

Need kolm omadust ei pea tingimata sisalduma ühes suures ja keerulises ülesandes. Sageli on otstarbekam koostada ülesannete jada, milles esimesed ülesanded võimaldavad kiiremini alustada ja kogeda edu ning järgnevad ülesanded suurendavad järk-järgult väljakutset. Samuti vajavad ka head ülesanded jätkuülesandeid ehk laiendusi (''extensions''). Mõtleva klassiruumi üks põhimõtteid on, et õpilane ei peaks jõudma seisundisse „olen valmis“: kui esialgne probleem on lahendatud, järgneb sellele uus küsimus või tingimus, mis nõuab mõtlemise jätkamist.

==== Õppekavalised ja õppekavavälised probleemülesanded ====

Liljedahl eristab “rikastatud ülesandeid” (''rich tasks'') ning nende kasutamist nii õppekavast lähtudes kui ka õppekavaväliselt. Rikastatud ülesanne nõuab mitmesuguste matemaatiliste teadmiste kasutamist ja nende kombineerimist probleemi lahendamiseks. Sama ülesanne võib olla ühe õpilasrühma jaoks õppekavaline (''curricular'') ja teise jaoks õppekavaväline (''non-curricular''), sõltuvalt sellest, kas selle lahendamiseks kasutatav matemaatika kuulub parajasti õpitava sisu hulka. Õppekavavälised on näiteks matemaatika olümpiaadi, Känguru võistluse ja ajakirjade nuputamisnurkades avaldatud ülesanded, aga ka mingis teises valdkonnas (nt programmeerimises, majandusstatistikas ja teadusuuringutes) esitatud põnevad nuputamisväljakutsed. 

Näiteks võiks siinkohal tuua nuputamisülesande, kus numbrid 1–9 tuleb paigutada astmete ja korrutistega avaldisse nii, et saadava murru väärtus oleks võimalikult suur. Õpilane võib alustada katse-eksituse meetodiga, kuid edasi tekivad küsimused selle kohta, kuidas muuta lugeja võimalikult suureks ja nimetaja võimalikult väikeseks, kuidas mõjutavad tulemust astmed ning milliseid arvukombinatsioone üldse tasub uurida. Sama ülesannet saab jätkata uue eesmärgiga, näiteks moodustada avaldis, mille väärtus oleks võimalikult lähedal ühele. Selline ülesannete jada illustreerib korraga madalat läve, kõrget lage, uudsust ja jätkuülesannete kasutamist. Mõtleva klassiruumi ülesanded võivad kasutada käelisi õppevahendeid (manipulatives) – näiteks täringuid, algebraklotse, murrukettaid, tasakaalumudeleid või ruumilisi kujundeid. Oluline pole aga taolise käekatasutava vahendi/objekti olemasolu iseenesest, vaid milleks seda kasutatakse.

[[Fail:Algebraklotsid.png|pisi|alt=Algebraklotsid|Algebraklotsid]]

==== Näidisülesanne algebraklotside abil lahendamiseks ==== 

Lahenda algebraklotside abil ja selgita oma lahendust teisele õpilasele: 
* (x+2)(x+3)=
* (x+4)(x-3)=
* (x-2)(x-4)=

==== Näidisülesanne kuue täringuga ====

[[Fail:Täringud.png|pisi|alt=Kuus täringut|Kuus täringut]]

# Milliseid mustreid märkad kui uurid täringu vastastahkudel olevaid väärtusi?
# Raputa peos 6 täringut ja aseta need siis üksteise otsa tornina. Kuidas saaks kiiresti arvutada kõigi nähaolevate tahkude silmade summa? Ja siis peidetud tahkude summa?
# Kas joonisel olevad täringud on kõik identsed? Mitu erinevat täringut on võimalik luua, kui lähtuda vastastahkude silmade reeglist? 


Liljedahl eristab kolme käelise õppevahendi kasutusviisi. 
* Õpilane võib mõelda antud õppevahendi üle, kui see ise on uurimisobjekt – näiteks saab uurida ja võrrelda eri liiki täringute vastastahkude arvude paiknemise seaduspärasusi. 
* Teiseks võib õpilane mõelda käelise õppevahendi abil, kasutades seda matemaatilise probleemi lahendamiseks. Näiteks saab väikestest kuupidest ehitada 3 × 3 × 3 kuubi ja uurida värvitud kuubi probleemi. 
* Kolmandaks saab õpilane esitada ja kommunikeerida oma mõtlemist käelise vahendi abil, näiteks kasutada algebraklotse oma lahenduskäigu selgitamiseks kaasõpilastele.

Käelised õppevahendid on seejuures matemaatiliste representatsioonide üks liik. Õppimise seisukohalt on oluline liikuda esemelise mudeli, pildi, kirjalike sümbolite, verbaalse esituse ja reaalse olukorra vahel. Seetõttu ei tohiks vahend asendada matemaatilist mõtlemist, vaid aidata luua seoseid eri representatsioonide vahel.

Ka siin on oluline õpetaja otsus, millal vahendit pakkuda. Mõnikord on käeline vahend ülesande lahutamatu osa ja õpetaja annab selle kõigile; teinekord võiksid erinevad vahendid olla lihtsalt õpilastele kättesaadavad ning õpilased ise otsustavad, kas ja millist neist kasutada.

Eriti huvitav on Liljedahl’i hoiatus visualiseerimise kohta. Kui soovitud õpitulemus on võime kujundit vaimusilmas ette kujutada, võib füüsilise mudeli pidev olemasolu hoopis visualiseerimise vajaduse kõrvaldada. Seetõttu võib õpetaja näiteks näidata kuupi ülesande selgitamisel, seejärel selle eemaldada ning anda selle uuesti ajutiselt rühmale, kellel on visualiseerimisega raskusi. Nii toetab mudel visualiseerimise kujunemist, mitte ei asenda seda.

Sarnane põhimõte kehtib digitehnoloogia kasutamise kohta mõtlemisülesannetes: tehnoloogia iseenesest ei muuda kehva ülesannet heaks. Animatsioonid, kalkulaatorid, GeoGebra, Desmos või programmeerimine võivad mõtlemist toetada, kuid ülesanne peab ikkagi käivitama mõtlemise, pakkuma piisavat väljakutset ja sisaldama uudsust.
Liljedahl eristab mõtleva klassiruumi kontekstis kolme tehnoloogia kasutusviisi: tehnoloogia kui arvutusvahend, uurimisvahend ja programmeerimisvahend:
* '''Arvutusvahendina''' võib tehnoloogia teha mahukaid arvutusi, joonestada või mõõta. Autorid soovitavad rühmatöös pigem ühte seadet rühma kohta, sest iga õpilase isiklik seade võib rühma koostööd killustada. Samal põhjusel soovitatakse olulised sisendid ja tehnoloogia abil saadud tulemused kanda ka rühma vertikaalsele kirjutuspinnale (VKP). Nii muutub tehnoloogia individuaalse seadme asemel rühma ühiseks töövahendiks.
* '''Uurimisvahendina''' võimaldab tehnoloogia kiiresti muuta parameetreid, jälgida tulemusi, püstitada oletusi ja neid kontrollida. Näiteks saab uurida parabooli muutumist ruutfunktsiooni kordajate muutmisel või statistiliste näitajate muutumist andmestiku muutmisel. Selline tegevus moodustab tsükli vaatlemine → oletuse püstitamine → kontrollimine, milles tehnoloogia võimaldab kiiresti koguda uusi näiteid ja kontrollida hüpoteese.
* '''Programmeerimisel''' muutub tehnoloogia ülesandest peaaegu lahutamatuks: õpilane kavandab algoritmi, katsetab seda, jälgib sisendite ja väljundite seoseid ning parandab vigu. Autorite järgi on programmeerimine juba olemuselt uurimuslik tegevus. Mõtleva klassiruumi puhul soovitatakse programmeerimiseks töötada paarides, kasutada ühte arvutit paari kohta ning ühendada arvutitöö VKP-iga, kus saab kavandada algoritmi, talletada oletusi ja nähtavaks teha lahenduskäiku.

LAHEMATE uuringuprojekti kontekstis on selle peatüki kõige olulisem sõnum, et Liljedahli lähenemist ei tohiks taandada üksnes mõnele silmatorkavale klassiruumi töövõttele, näiteks juhuslikele rühmadele või vertikaalsetele kirjutuspindadele. Mõtleva klassiruumi lähtekoht on sellise matemaatilise tegevuse kavandamine, mis tekitab vajaduse mõelda. Selleks peab ülesanne võimaldama kõigil alustada, kuid mitte võimaldama kõigil kohe lõpetada; õpilane peab mingil hetkel jõudma olukorda, kus tuttava algoritmi mehaanilisest rakendamisest ei piisa.

LAHEMATE õpetaja võiks seetõttu probleemülesande kavandamisel küsida vähemalt järgmisi küsimusi:
# Kas ülesandel on madal lävi? Kas kõik õpilased leiavad mõistliku viisi alustamiseks?
# Kas ülesandel on kõrge lagi? Kas ka tugevamad õpilased jõuavad punkti, kus nad peavad päriselt nuputama?
# Kas ülesanne on õpilaste jaoks piisavalt uudne? Või tunnevad nad kohe ära harjutatud algoritmi?
# Milline on järgmine samm? Millise jätkuülesande saab anda õpilasele, kes esimese probleemi lahendab?
# Kas käeline õppevahend või digitehnoloogia käivitab matemaatilist mõtlemist või asendab seda?
# Kas kasutatav vahend toetab rühma ühist mõtlemist ja matemaatilist suhtlemist (matemaatika keelendamist)?
# Millal tuleks käeline õppevahend eemaldada? Eesmärk ei ole muuta õpilast vahendist sõltuvaks, vaid aidata tal liikuda abstraktsema matemaatilise mõtlemise poole.

Seega pole Liljedahli mõtleva klassiruumi puhul keskne küsimus lihtsalt „'''Kas see on hea probleemülesanne?'''“, vaid pigem „'''Millist mõtlemist see ülesanne minu klassiruumis esile kutsub ning kuidas ülesande, käeliste vahendite ja töökorralduse kombinatsioon seda mõtlemist toetab?'''“ Just selles mõttes moodustavad ülesande omadused, õpetaja pedagoogilised valikud, rühmatöö korraldus, füüsilised ja digitaalsed vahendid ning produktiivse pingutuse toetamine ühe tervikliku süsteemi.


==== Kokkuvõte ====
Kokkuvõtteks soovitab Liljedahl alustada iga tundi mõtlemisülesannetega ja õpilaste kaasamise järel liikuda edasi ülesannete juurde, mille lahendamine eeldab õppekavale vastavate teadmiste rakendamist. Samas ei soovita ta õppekavale või õpikule vastavaid lahendusi õpilastele ette näidata, sest see lülitaks õpilased „mõtlemisrežiimist“ „matkimisrežiimi“.

'''Mikrosammud probleemülesannete koostamiseks mõtlemisruumi metoodikast lähtuvalt:'''
* Alusta 1–2 esimesel nädalal õppekavaväliste nuputamis- ja mõtlemisülesannetega (madal lävi, kõrge lagi). Alles õpilaste mõtlemisharjumuste tekkides liigu õppekavaga otsesemalt seotud ülesannete juurde.
* Vali ülesanded, millel on mitu lahendusviisi (joonista, koosta tabel, võrrand, arvuta).
* Väldi alguses töölehti: anna ülesanne suuliselt ja lase rühmadel ideid proovida.

'''Näidisülesanne:'''
* Koosta koolile [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf uus tunniplaan], kus iga teine reede on iseseisva õppe päev, kuid koolitundidele kuluvate minutite summa igas kahenädalases tsüklis (ja õppeaastas tervikuna) jääb samaks kui praegu.

Sama raamülesanne hoiab mõtlemist esiplaanil ka siis, kui selle sisu muutub hiljem õppekavaga seotuks.

=== 5.1.2 Kuidas me õpilasi rühmitame? ===
Loo silmanähtavalt juhuslikud kolmesed rühmad ja vaheta neid sageli. See murrab sotsiaalseid barjääre, suurendab teadmiste liikumist klassis ja tõstab iga õpilase valmisolekut panustada ühisesse mõtlemistegevusse.

'''Mikrosammud:'''
* Moodusta rühmad silmanähtavalt juhuslikult, kasutades nt kaardipakki, loosipulki või QR-koode.
* Vaheta rühmade koosseise sageli (igas tunnis või üle päeva), et vältida „püsirollide“ tekkimise ohtu.
* Hoia rühma suurus kolmeliikmelisena: see on piisav erinevate ideede tekkeks, kuid ei võimalda rühmaliikmetel mugavalt „pealtvaataja“ vaikivasse rolli taanduda.

'''Näide:''' õpetaja segab kaardipaki, jagab igale õpilasele ühe kaardi ja kutsub õpilased tahvlite juurde kolmeliikmelistesse rühmadesse kaardimastide või -väärtuste järgi. Algne kohmetus taandub kiiresti ja koostöö paraneb.

=== 5.1.3 Kus õpilased töötavad? ===
Õpilased seisavad püsti ja kirjutavad '''vertikaalsetele kustutatavatele pindadele''' (tahvlid, A1 paberlehed, aknaklaasid). Vertikaalsus tagab nähtavuse teistele õpilastele ja õpetajale, aga ka vastutuse. Kustutatavus julgustab uute ideedega katsetama ja uuesti proovima.

'''Mikrosammud tööpindade loomiseks:'''
* Varusta klass vertikaalsete kustutatavate pindadega (tahvlilehed, aknad).
* Anna üks marker rühma kohta: see sunnib rääkima ja tegija rolli vahetama.
* Iga rühm seisab. Istumiskohti kasutatakse alles tunni lõpu ühisarutelu faasis.

'''Näide:''' [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU Fawn Nguyeni kirjeldus] vertikaalsete pindade kasutamise kohta oma tundides.

&lt;!-- Joonis: Erinevate vertikaalsete kustutatavate pindade kasutamine mõtlemisruumis. --&gt;

=== 5.4 Milline on füüsiline õpikeskkond klassis? ===
Paiguta klassis mööbel nii, et õpilased ei vaataks kõik ühes suunas ettepoole, ning taga õpilaste vaba liikumine tahvlite ja rühmade vahel. Rühmadevaheline liikumisvõimalus toetab mõtlemist rohkem kui pingiridade „loengukeskkond“. Liljedahl nimetab traditsioonilise, tahvli suunas vaatavate pingiridadega õpikeskkonna lõhkumist &quot;''defronting''&quot;, mis eesti keeles võiks ehk olla &quot;esiküljetustamine&quot; või &quot;poodiumi kaotamine&quot;.  

'''Mikrosammud mööbli ümberpaigutamiseks:'''
* Nihuta lauad seinte äärde. Õpetaja domineeritav „klassiesine“ kaob ja fookus on rühmatöötahvlitel.
* Jäta rühmade ja pindade vahele vaba liikumisruumi, et õpilased saaksid käia üksteise ideid vaatamas.
* Hoia töövahendid (markerid, magnetid, mõõdulindid) seintel kättesaadavana.

'''Näide:''' vaata eelmist näidet Fawn Nguyeni klassiruumist.

=== 5.1.5 Kuidas vastata õpilaste küsimustele? ===
Erista kolme tüüpi küsimusi, mida õpilased küsivad:
* '''Lähedusküsimused''' (''proximity questions''), mida õpilane küsib lihtsalt õpetajaga suhtlemiseks, kuna õpetaja sattus füüsiliselt lähedale. Sedalaadi küsimustele antud vastuseid õpilane üldjuhul oma mõtlemisprotsessis ei kasuta. Liljedahl toob näite tüdrukust, kes õpetaja lähenedes peitis nutitelefoni taskusse ja küsis tähelepanu kõrvalejuhtimiseks: „Kas peame mitu vastust välja pakkuma või piisab ühest?“
* '''Mõtlemispausi küsimused''' (''stop-thinking questions''), mis peatavad mõtlemisprotsessi, nt „Miks me peame seda õppima?“ või „Kas see ülesanne võib tulla ka kontrolltöös/eksamil?“
* '''Mõtlemist toetavad küsimused''' (''keep-thinking questions''), millega õpilane soovib tagasisidet oma ideele või lahendusele, nt „Meil tekkis mõte proovida leida ka negatiivne lahendus, kas see oleks OK?“

Vasta ainult kolmandat liiki küsimustele, mis aitavad õpilasel edasi mõelda. Lihtsad mõtlemispausi tüüpi valideerimisküsimused stiilis „Kas see on õige?“ peaks õpetaja aitama ümber sõnastada mõtlemist toetavaks küsimuseks, nt „Kuidas sa kontrolliksid, et ise teada saada, kas lahendus on õige?“

'''Mikrosammud küsimustele vastamisel:'''
* Sõnasta reegel: vastan ainult „mõtle edasi“ küsimustele.
* „Kas see on õige?“ → „Kuidas saaksid seda kontrollida?“
* „Mida teha edasi?“ → „Mida te juba proovisite? Mis on järgmine väike samm?“

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ April Soo katsetused] mõtlemisruumi metoodika rakendamisel õpilaste küsimuste osas.

=== 5.1.6 Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid? ===
Internet on täis potentsiaalselt häid ülesandeid (e-Koolikott, Facebooki grupp „Õpetajalt õpetajale õppematerjalid“, [http://nrich.maths.org NRICH.maths.org] Inglismaal, [http://youcubed.org YouCubed.org] ja [http://illuminations.nctm.org ILLUMINATIONS.nctm.org] USA-s), kuid õpetajate kõige sagedasem mure on, kust leida sobivaid ülesandeid. Liljedahl usub, et õpetajad ei pea selle küsimusega silmas mitte niivõrd õppekavale vastavate ülesannete leidmist (mida käsitlesime eespool peatükis 5.1), vaid küsivad tegelikult hoopis: „Kust leiaksin ülesandeid, mis innustaksid mu õpilasi mõtlema ja probleeme lahendama?“

Lisaks ülesande sisule on oluline ka see, millal ja kuidas ülesanne õpilastele esitada (matemaatikahariduse uurijate konverentsil CERME on ''problem posing'' traditsiooniliselt üks populaarseid uurimisteemasid). Liljedahl soovitab anda ülesande kohe tunni alguses esimese 5 minuti jooksul ja kindlasti suuliselt, kui rühmad seisavad püsti õpetaja ümber. Liljedahli enda uuringute kohaselt käivitab suuliselt ja kohe tunni alguses esitatud ülesanne õpilaste mõtlemist oluliselt paremini kui ekraanilt või töövihikust antud ülesanne, sest see vähendab masinlikku kopeerimist ja loob eeldused mõtlemisprotsesside käivitumiseks.

Tavapärases matemaatikatunnis saab õpilane ülesande enamasti õpikust, töölehelt, ekraanilt või tahvlilt. ''Building Thinking Classrooms'' (BTC) uuringutes tekitas kõige vähem mõtlemist õpikust antud ülesanne. Liljedahli seletuse järgi on õpilastel õpikuülesannetega kujunenud tugev koolikultuuriline seos: neid tajutakse sageli kui ülesandeid, mida tuleb lahendada pärast seda, kui õpetaja on näidanud, kuidas seda tüüpi ülesannet lahendatakse. Nii võivad need muutuda pigem eeskuju jäljendamise kui iseseisva mõtlemise ülesanneteks.

Õpetajate kõige suuremaks väljakutseks BTC uuringutes osutus ülesande suuline esitamine. Õpetaja jutustab või kirjeldab probleemi, vajaduse korral kasutab žeste või lihtsat demonstratsiooni ning kirjutab tahvlile ainult need andmed, arvud, joonised või muud detailid, mida on raske meeles hoida. Oluline erinevus on siin selles, et andmed võib kirjutada, kuid tegevusjuhise võiks öelda suuliselt.

Liljedahl põhjendab suulise esitamise eelist mitmeti. Suuline kommunikatsioon on inimese jaoks loomulik ja õpilased kasutavad seda niikuinii rühmas omavahel suheldes. Veel olulisem on aga mõtleva klassiruumi sotsiaalne korraldus: ei ole vaja, et kõik õpilased saaksid kohe alguses ülesandest täpselt ühtemoodi aru. Piisab sellest, kui rühmas on piisavalt õpilasi, kes saavad tööga alustada; ülejäänud arusaamine kujuneb koostöös ja õpetaja jooksva toetuse kaudu.

See erineb tavapärasest õpetamisest, kus õpetaja püüab enne töö alustamist kõik võimalikud arusaamatused ennetada: ülesanne kirjutatakse välja, seletatakse suuliselt, näidatakse näide, kontrollitakse arusaamist ja vajaduse korral seletatakse uuesti. Liljedahl nimetab alternatiivi kujundlikult „tuletõrjuja lähenemiseks“ (firefighter approach): anna lühikesed suulised juhised, lase õpilastel tööle hakata ja lahenda arusaamatused siis, kui need tegelikult ilmnevad.

==== &quot;Suuline esitus&quot; ei tähenda üksnes suulist ====

Liljedahl ei väida, et õpilastele ei tohiks ülesande esitamisel mingeid juhiseid kirjalikult näidata. Eesmärk on pigem vähendada ülesande käivitamisel üleliigset informatsiooni ja kognitiivset koormust. Näiteks:
* andmetabel võib olla paberil;
* arvjada või muster võib olla tahvlil;
* geomeetriline joonis võib olla nähtav;
* olulised arvulised andmed võib üles kirjutada;
* kuid küsimus, probleem või tegevusjuhis antakse eelistatavalt suuliselt.

Kui mõtleva klassiruumi normid on juba kujunenud, võib hakata aeg-ajalt kasutama ka kirjalikke ülesandeid. Liljedahl soovitab seda eriti juhul, kui õpilasi on vaja harjutada tekstülesannete ja standardiseeritud testide jaoks. Ta eristab seega mõtleva klassiruumi ülesehitamist ja juba väljakujunenud mõtleva klassiruumi kasutamist. Esimese 3–4 nädala jooksul soovitab ta olla ülesannete esitamisel valdavalt suuline ning hiljem lisada järk-järgult ka tekstiliselt esitatud ülesandeid.

Kirjaliku ülesande puhul soovitab ta anda rühmale pigem väikese paberitüki vähese tühja ruumiga kui suure töölehe. Mõte on vältida olukorda, kus õpilased kinnitavad paberi vertikaalsele kustutatavale pinnale (VKP) ja hakkavad töötama paberil. Mõtleva klassiruumi jaoks on oluline säilitada kirjutamine ühisel kustutataval kirjutamispinnal, kus ideede muutmine ja vigade parandamine on lihtne ning nähtav.

==== Millal ülesannet anda? ====

BTC põhimõte on väga konkreetne: õpilased peaksid hakkama mõtlema tunni esimese viie minuti jooksul. Viis minutit ei tähenda tingimata aega koolikella helisemisest, vaid hetkest, mil õpetaja tegelikult tunni alustab. Selle taga on oluline pedagoogiline põhjendus. Mida kauem on õpilane tunni alguses passiivse teadmiste vastuvõtja rollis, seda raskem on tal hiljem üle minna aktiivse mõtleja ja teadmiste looja rolli. Seetõttu soovitab Liljedahl traditsioonilise skeemi (õpetaja seletab → näitab näiteid → õpilased harjutavad) asemel käivitada võimalikult kiiresti õpilaste eneste mõtlemine. See ei tähenda otsese õpetamise täielikku välistamist. Kui õpilasel on ülesande alustamiseks tõesti vaja uut teadmist, võib õpetaja seda õpetada. Kuid Liljedahl seab sellele provokatiivselt range piirangu: umbes viis minutit. Õpetada tuleks ainult nii palju, kui on vaja esimese ülesande alustamiseks. Siin muutub oluliseks ülesannete jada. Esimese ülesande lahendamisel avastatu võimaldab lahendada teist, teine valmistab ette kolmandat jne. Õpetaja ei pea seega enne töö alustamist õpetama kõike, mida läheb vaja jada kõige keerukama ülesande lahendamiseks.

==== Ära „ime mõtlemist ülesandest välja“ ====

Õpetajal on loomulik soov õpilaste edu kindlustada. Seetõttu kipume enne ülesande andmist vihjama, millist meetodit kasutada: „tee tabel“, „vii ühisele nimetajale“, „proovi tagurpidi töötada“ jne. Kõik need soovitused võivad olla matemaatiliselt õiged ja muuta lahendamise kiiremaks. Just selles seisnebki probleem: õpetaja on eemaldanud ülesandest selle koha, kus õpilane ise oleks pidanud mõtlema, takerduma, katsetama, vea tegema ja lõpuks strateegia leidma. Liljedahl kasutab selle kohta kujundit kurlingutreener (curling teacher): nagu kurlingumängus pühitakse kivi eest jää siledaks, eemaldab õpetaja õpilase teelt kõik võimalikud takistused. Mõtleva klassiruumi seisukohalt on aga just „konarlikud kohad“ sageli need, kus õppimine toimub.

Seetõttu soovitab Liljedahl õpetajal järgida põhimõtet: räägi alguses pigem vähem ja anna vajaduse korral hiljem vihjeid. Muide, Eesti esimeses matemaatika didaktika tekstis (R.Kallase “Mõistlik rehkendaja) sisaldub didaktiline printsiip: “Lapsed ei õpi kõnelema kui koolmeister vait olla ei mõista”. 

==== Uued mõisted ja terminoloogia tulevad pärast kogemust ====

Sama loogika kehtib matemaatilise terminoloogia kohta. Kui mõiste või nähtus on õpilastele varasemast tegevusest juba tuttav, võib õpetaja anda sellele tunni alguses nime: näiteks „seda nimetatakse välisnurgaks“. Kui aga õpilasel pole veel vastavat matemaatilist sõnavara, soovitab Liljedahl toimida vastupidises järjekorras: “kogemus → idee kujunemine → mõiste nimetamine”, mitte “termin → definitsioon → hilisem kogemus”. Ka see soovitus järgib juba Comeniuse poolt sõnastatud didaktilist printsiipi Claritas: õpetaja peaks selgitama abstraktset mõistet tuttava (kogetud) kujundi abil, nt “korrutamine on nagu ridade kaupa kivide müüri ladumine”. Õpilased vajavad võimalusi ise tähendust luua, mitte ainult õpetaja loodud tähendusi “importida”.

==== Kus ülesannet anda? ====

Liljedahli soovitus on, et ülesande käivitamise ajal ei istuks õpilased oma tavapärastel kohtadel. Nad peaksid seisma õpetaja lähedal vabas, suhteliselt tihedas grupis. BTC uuringutes oli erinevus suur: raamatus kirjeldatud tulemuste järgi oli istuvate õpilaste puhul õpetaja juttu nähtavalt jälgimas ligikaudu 50% õpilastest ning töö alustamisel esitati 10–15 täpsustavat küsimust. Õpetaja ümber seisvate õpilaste puhul oli nähtavalt haaratud umbes 90% ning täpsustavaid küsimusi tuli vaid umbes kolm. Liljedahl pakub mitu võimalikku seletust. Oma kohal istudes võib õpilane tunda end anonüümse ja „nähtamatuna“, eriti õpetajast kaugemal. Õpetaja lähedal seistes suureneb tähelepanu ning suhtlus muutub vähem „õpilastele rääkimiseks“ ja rohkem õpilastega suhtlemiseks. Lisaks lahendab see ühe praktilise probleemi: õpilased on juba püsti. Pärast lühikest ülesande käivitamist saab õpetaja moodustada juhuslikud rühmad ja suunata nad vertikaalsete tööpindade juurde.

Oluline on aga tegevuste järjekord: 1. õpilased kogunevad õpetaja juurde → 2. õpetaja annab ülesande → 3. moodustatakse juhuslikud rühmad → 4. rühmad lähevad tööpindade juurde.

Liljedahl tõdeb oma uuringute põhjal, et vastupidine järjekord ei toiminud hästi. Kui õpilased moodustasid kõigepealt rühmad ja läksid tahvlite juurde, haaras neid kohe uue rühma sotsiaalne dünaamika ning nad ei kuulanud enam ülesande juhiseid piisavalt tähelepanelikult.

==== Aga õpilane, kellel on raske suulist infot töödelda? ====

Liljedahl käsitleb pikemalt ka võimalikku vastuväidet: kas suulise ülesande eelistamine ei kahjusta õpilasi, kellel on raske suulisi juhiseid töödelda? Ta ei välista individuaalset tuge, aga soovitab esmalt jälgida, kuidas mõtleva klassiruumi keskkond õpilast toetab. Suuline informatsioon tuleb rühmas uuesti esile, kaasõpilased aitavad seda tõlgendada ning õpetaja saab vajaduse tekkimisel anda õpilasele lühema ja vahetuma individuaalse juhise. Vajaduse korral võib loomulikult kasutada ka kirjalikku tuge. Liljedahl kritiseerib siin ka lihtsustatud käsitlust õpistiilidest (visuaalne vs verbaalne stiil), mille osas on olnud kriitilised ka paljud teised teadlased (nt P.Kirschner: “Stop propagating the learning styles myth”). Eesmärk ei peaks olema anda igale õpilasele informatsiooni ainult tema eelistatud modaalsuses, vaid arendada suutlikkust toime tulla verbaalse, tekstilise, visuaalse ja muul kujul esitatud informatsiooniga.

Õpetaja ei pea enne ülesande alustamist tagama, et “kõik õpilased teavad täpselt, mida ja kuidas teha”. Vastupidi – mõtlemisülesande mõte ongi selles, et osa teadmisest, strateegiast ja arusaamisest sünniks alles tegevuse käigus. Seega on peatüki üks läbivaid ideid: õpetaja ülesanne ei ole muuta õpilase teed võimalikult siledaks, vaid kujundada keskkond, kus õpilane saab turvaliselt takerduda, katsetada, teistega arutada ja ise tähendust luua.


'''Mikrosammud ülesande andmiseks:'''
* Anna ülesanne 3–5 minuti jooksul pärast tunni algust.
* Esita ülesanne suuliselt, kui klass seisab õpetaja ümber ja kõigi tähelepanu on õpetajal. Alles seejärel suuna rühmad oma tahvlite juurde.
* Ära jaga õpilastele kohe töölehte ega näita ette lahendusi. Lase neil teha esimesed katsetused täiesti iseseisvalt.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.7 Milline on mõtlemisruumi sobiv kodutöö? ===
Liljedahli uuringud kinnitasid igale õpetajale tuttavat tõdemust: õpetaja ja õpilased saavad kodutöö eesmärgist ja vajalikkusest täiesti erinevalt aru. Õpetaja jaoks on tegu tunnis õpitud teadmiste rakendamisega kinnistamise eesmärgil, õpilaste jaoks aga puuriga, milles nad peavad mingil arusaamatul põhjusel istuma, selle asemel et midagi huvitavat teha. Õpetajate kinnitusel teevad kodutöid kohusetundlikult peamiselt tublid õpilased, kes seda tegelikult ei vajakski. Ülejäänud asendavad kodutööd tehes mõtlemise õpilasetsemise halbade praktikatega (jätavad tegemata, kirjutavad pinginaabrilt maha, lasevad emal või õel enda eest ära teha).

Liljedahl soovitab mõtlemisruumi metoodika järgijatel kodused ülesanded ümber mõtestada, et need poleks õpilaste jaoks arusaamatu ja tüütu kohustus, mida tehakse üksnes halva hinde hirmus. Nimeta kodutöö ümber '''enesehindamiseks''' ja esita kodutöö küsimused stiilis „Kas ma olen õigesti aru saanud?“. Õpilastes tuleks kujundada arusaam, et kodutöö on vabatahtlik võimalus iseennast testida, mitte õpetajale punktide kogumine.

'''Mikrosammud mõtlemist toetava kodutöö andmiseks:'''
* Nimeta kodutöö ümber enesehindamiseks ja esita 3–5 lühikest kontrollülesannet.
* Ära hinda kodutöid. Kasuta neid järjekindlalt õpilaste enesehindamiseks.
* Alusta järgmist tundi 3-minutise aruteluga teemal „Mille peale ma tulin, kui ennast kodutööga hindasin?“

=== 5.1.8 Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat? ===
Kontrolli kaotamine klassis toimuva üle on üks esimesi hirme, mis õpetajal mõtlemisruumi metoodikat esmakordselt katsetades tekib. Lahendus on ilmne: õpetaja peab suutma muuta õppijad ise oma õppimise eest vastutavaks, mis tähendab õpilaste autonoomia samm-sammulist kasvatamist. Liljedahl soovitab selleks suunata õpilasi panustama kogu klassi ühise teadmuspanga loomisse, julgustades neid vaatama teiste rühmade tahvleid (lahendusi kopeerimata, kuid eri lahendusi võrreldes) ja küsima teistelt rühmadelt vihjeid, jätkates seejärel siiski iseseisvalt oma lahendusega. '''Autonoomia''' on õpilase oskus hoida oma mõtlemist aktiivsena ka siis, kui õpetaja pole kõrval.

'''Mikrosammud õpilase autonoomia kujundamiseks:'''
* Kehtesta tava: enne õpetaja poole pöördumist küsi nõu kahelt teiselt rühmalt.
* Julgusta õpilasi vaatama teisi tahvleid. Ideede liikumine ja jagamine olgu soositud.
* Harjuta „väikeste sammude“ mõtteviisi: õpilased võiksid tegeleda korraga vaid ühe uue ideega.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.9 Kuidas toestada õppimist? ===
Matemaatika õpetamisel on õpetaja jaoks suurim väljakutse õpilaste ebaühtlane algtase ja matemaatiline võimekus. Seetõttu muutub sünkroonses tempos toimuv õppetöö osa õpilaste jaoks liiga aeglaseks ja igavaks, samas kui teiste jaoks kihutab õpetaja edasi liiga kiiresti. Mõtlemisruumi metoodika puhul ei pea kõik rühmad tegema samu asju ühtlases tempos. Liljedahl soovitab liikuda '''asünkroonselt''' (eri rühmad eri kiirusega), andes vajaduse korral väikseid '''vihjeid''' (kui mõni aeglasem rühm juhtub „kinni jääma“) ja ülesande '''laiendusi''' (kui mõni kiirem rühm sai töö varakult valmis), et hoida kõiki „voos“.

„Voo“ ehk „kulgemise“ mõiste tõi pedagoogikasse Ungari juurtega Ameerika teadlane Mihaly Csikszentmihalyi, kelle optimaalse kogemuse teooria võtab kõige paremini kokku allolev joonis. Kui ülesanne pakub õpilase võimekusega võrreldes liiga suurt väljakutset, langeb õpilane '''ärevuse''' tsooni. Kui aga väljakutse on võimeka õppija jaoks liiga kerge, langeb ta '''igavuse''' tsooni. Optimaalse (õppimis)kogemuse tagab pidev viibimine '''voo tsoonis''' (''flow zone''), kus järjest kasvav ülesannete keerukus vastab õpilase pisitasa kasvavale võimekusele.

&lt;!-- Joonis: Voo tsoon (flow) Csikszentmihalyi optimaalse kogemuse teoorias. Teljed: väljakutse (challenge) ja oskus (skill); tsoonid: ärevus (anxiety), voog (flow), igavus (boredom). --&gt;

'''Mikrosammud vihjete ja laienduste pakkumiseks:'''
* Anna väikseid vihjeid (kas uuritava probleemi keerukuse vähendamiseks või õpilase võimekuse kasvatamiseks), aga kindlasti mitte valmis lahendust.
* Varakult lõpetajad saavad laiendusi („Mis siis, kui…?“, „Üldista!“).
* Ära peata kogu klassi ühe rühma pärast, lase rütmidel erineda.

'''Näide:''' õpetaja [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ Frank McGowani] ajaveebist: kuidas mõtlemisruumiga matemaatikatunnis tekib õpilastel keskväärtust ja mediaani õppides „teadmuse voog“ ning õpetaja ei ole enam pudelikael.

=== 5.1.10 Kuidas tundi kokku võtta? ===
Kuna mõtlemisruumi metoodikat järgivas tunnis liiguvad õpilased ja rühmad oma probleemilahenduses sageli erinevas tempos (asünkroonselt), on seda olulisem jõuda tunni lõpus ühiste lõpptulemusteni. Õpetajal on sageli kiusatus teha selline kokkuvõte perfektsel viisil pigem oma teadmistest (või õpiku käsitlusest) lähtudes. Seda nimetatakse „tippu koondumiseks“ (''leveling to the top''). Nii toimides ignoreeriks õpetaja aga õpilaste rühmatöö tulemusi, ja Liljedahl hoiatab, et see oleks viga. Seetõttu soovitab Liljedahl hoopis vastupidist strateegiat: '''konsolideerida lõpptulemused alt üles''', alustades rühmatöödest nii heade lahenduste ja ideede kui ka lünkade väljanoppimisega.

'''Mikrosammud tunni kokkuvõtmiseks:'''
* Tee koos kõigi õpilastega „galeriituur“ (keegi ei istu), et vaadata üle kõigi rühmade tahvlid ja valida neist 3–5, mis jutustavad antud probleemi lahendusest kõige huvitavama „matemaatilise loo“.
* Ära lase õpilastel endil oma ideid tutvustama hakata – nüüd on õpetaja kord tõlgendada.
* Kokkuvõtva arutelu alguses pööra rohkem tähelepanu ideede päritolule ja kujunemisele, lõpupoole keskendu lõpptulemusele.
* Sõnasta koos õpilastega korrektse matemaatilise sõnastusega ühine lahendus alles arutelu lõpus (terminid, näited, vastunäited).
* Lase rühmadel oma sõnadega kirja panna, „mida igaüks peaks sellest arutelust meeles pidama“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.11 Kuidas õpilased teevad märkmeid? ===
Märkmete tegemine tunni ajal on ilmselt üks vanimaid praktikaid, kuid paraku kuulub enamik õpilaste märkmetest kategooriasse „õpetaja kirjutas tahvlile, mina kopeerisin selle vihikusse“. See tegelikult takistab õpilastel õpetaja jutule keskendumast ja kaasa mõtlemast. Liljedahli uuringutes selgus, et õpilaste märkmete kvaliteet ja tähendusrikkus kasvas hüppeliselt, kui nad ei pidanud õpetaja juttu reaalajas konspekteerima, vaid said rahulikult kirjutada '''„hajameelsele iseendale tulevikus“''', püüdes aidata endal olulisi asju meeles pidada. Selliseid märkmeid on sageli mõistlikum teha mitte lineaarse narratiivi, vaid mõistekaardi, diagrammi (Venni diagramm, kalaluu), skeemi või spikri kujul.

'''Mikrosammud kasulike märkmete tegemiseks:'''
* Märkmed kirjutatakse alles pärast tunni kokkuvõtet, mitte probleemi lahendamise ajal.
* Tehakse valik kõige olulisemast: foto oma tööst või tahvli osast ja kolmelauseline kokkuvõte.
* Lisatakse „üks toimiv näide“ ja „üks küsimus endale edasimõtlemiseks“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.12 Mida hinnatakse? ===
Mõtlevas klassiruumis ei ole hindamine pelgalt õppimise „mõõtmise“ vahend, vaid kasulik tagasiside õppijatele selle kohta, mida me tegelikult väärtustame. Liljedahli uurimistöö näitab, et õpetajad oskavad sageli sõnastada omadusi, mida nad soovivad oma õpilastes näha (nt visadus, riskijulgus, koostööoskus, kannatlikkus, autonoomia, enesetõhusus), kuid klassiruumi hindamispraktikad ei toeta nende omaduste kujunemist. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid ja lõpptulemusi, hakkavad õpilased väärtustama just neid ning loobuvad pingutusest ja mõtlemisest, kui lahendus pole kohe käes.

Liljedahl rõhutab põhimõtet: '''hinda seda, mida väärtustad''' (''evaluate what you value''). Kui me väärtustame mõtlemist, peame ka mõtlemist hindama. See ei tähenda, et akadeemilised õpitulemused kaotaksid tähtsuse, vaid et nende kõrvale tuleb teadlikult tuua ka need protsessilised ja dispositsioonilised aspektid, mis mõtlemist tegelikult võimaldavad. Näiteks visadust ei saa kujundada, kui seda ei märgata ega väärtustata, ja koostöö ei arene, kui seda ei peeta oluliseks.

Oluline on ka see, kuidas me neid väärtusi hindame. Liljedahli uuringud näitavad, et kõige tõhusamaks osutusid lihtsad ja läbipaistvad hindamisrubriigid, mis keskendusid järgmistele aspektidele:
* pingutus ja järjepidevus;
* panus rühmatöösse;
* valmidus proovida uusi ideid;
* oma mõtlemise selgitamine.

Selline hindamine ei ole karistav ega sorteeriv, vaid kujundav ja suunav: see aitab õpilastel mõista, milline käitumine ja õppimisviis toetab nende arengut mõtleva matemaatikuna.

'''Mikrosammud:'''
* Kujunda lihtne rubriik: osalus, visadus, riskijulgus, selgitamine (+ sisuline täpsus).
* Tagasiside on olulisem kui hinne: too välja käitumised, mis viisid edasijõudmiseni.
* Hoia käitumuslikud tõendid ja sisuline saavutus lahus (kaks sammu).

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.13 Kuidas teostada kujundavat hindamist? ===
Traditsioonilises klassiruumis kasutatakse hindamist valdavalt õpetaja tööriistana: infot kogutakse selleks, et teha otsuseid hinnete kohta. Liljedahli uurimistöö näitab, et isegi kujundav hindamine jääb sageli õpetajakeskseks: see aitab õpetajal õpetamist kohandada, kuid õppija jääb passiivseks objektiks, kes ei mõista, kus ta parasjagu on ja kuhu ta liigub.

Mõtlevas klassiruumis nihkub kujundava hindamise fookus selgelt õppijale. Kujundavat hindamist kasutatakse selleks, et aidata õpilastel:
* mõista, kus nad oma õppimises parasjagu on;
* näha, mida nad juba oskavad;
* teadvustada, mida nad veel ei oska ja kuhu edasi liikuda.

Liljedahli uurimistulemused näitavad, et kui õpilased saavad selge pildi oma õppimisest, suurenevad nende autonoomia ja kaasatus ning see võib viia ka mõõdetava akadeemilise edenemiseni (nt parema soorituseni testides).

Oluline on, et kujundav hindamine ei avaldu mõtlevas klassiruumis pideva testimise või punktide kogumisena. Selle asemel kasutatakse:
* vaatlusi rühmatöös;
* vestlusi õpilastega nende lahendusstrateegiate üle;
* visuaalset ja suulist tagasisidet;
* õppijate enda refleksioone.

Kujundav hindamine on seega õppimisprotsessi lahutamatu osa, mitte eraldi etapp tunni lõpus. See toetab mõtlemise püsimist ja aitab vältida olukorda, kus õpilased töötavad vaid „hinde nimel“.

'''Mikrosammud:'''
* Tee kogu klassiga 60–90-sekundilisi „vahepeatusi“: „Mis töötab, mis takistab?“
* Kasuta tahvlivaatlusi: näed kiiresti, kus klass on, ja saad vihjeid kohandada.
* Kasuta lõpus väljumisküsimust (''exit prompt''): „Üks strateegia, mida kasutasin / mida proovin järgmisel korral“.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.14 Kuidas hinnatakse õpitulemusi? ===
Liljedahl seob mõtleva klassiruumi hindamispraktika laiemate suundumustega hariduses, eeskätt '''tõenduspõhise hindamisega'''. Selle lähenemise keskmes ei ole punktide kogumine, vaid tõendid selle kohta, mida õppija tegelikult oskab ja mõistab. Mõtlevas klassiruumis põhinevad hinded kogutud tõenditel:
* õpilaste töödel ja lahendustel;
* aruteludes ilmnenud mõtlemisel;
* kujundava hindamise käigus kogutud tähelepanekutel.

Oluline erinevus tavapärasest hindamisest seisneb selles, et hinnangud ei sünni üksikutest „hindamissündmustest“, vaid ajapikku kogunenud pildist õppija arengust. See vähendab juhuslikkust ja stressi ning toetab õppija enesetõhusust.

Liljedahl rõhutab, et hindamine peab olema tihedalt seotud kujundava hindamisega: hindamiseks kasutatav info peab olema õppijale nähtav ja arusaadav. Hinne ei ole siis üllatus ega karistus, vaid loogiline kokkuvõte sellest, mida õppija on juba näidanud.

Selline lähenemine toetab mõtleva klassiruumi keskseid väärtusi: see suunab õpilasi keskenduma õppimisele ja mõtlemisele, mitte punktide jahtimisele, ning aitab kujundada vastutustunnet oma õppimise eest.

'''Mikrosammud:'''
* Hinda standardipõhiselt: kirjelda selgelt, millist mõtlemist või oskust tõendatakse.
* Viimane (küpsem) tõend loeb kõige rohkem ja „uuesti tõendamine“ on lubatud.
* Hoia hinnang (saavutus) ja tagasiside (järgmine samm) lahus.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.15 Kokkuvõte: Liljedahli neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamisel ===
Peter Liljedahli ''Building Thinking Classrooms'' raamistik koondab neliteist omavahel seotud praktikat, mis põhinevad 15 aasta pikkusel empiirilisel uurimistööl ja mille ühine eesmärk on maksimeerida õppijate mõtlemist matemaatikatunnis. Praktikad ei ole eraldiseisvad võtted, vaid moodustavad tervikliku süsteemi, kus muutused klassiruumi füüsilises keskkonnas, sotsiaalsetes normides, õpetaja rollis ja hindamises toetavad üksteist.

Raamistiku alguspraktikad keskenduvad mõtlemist käivitavate tingimuste loomisele: sobiva ülesandetüübi valik, juhuslikud rühmad ning vertikaalsete ja mittepüsivate kirjutuspindade kasutamine muudavad õppijate käitumist ja ootusi. Järgmised praktikad kujundavad klassiruumi normid, kus pingutus, eksimine ja koostöö on väärtustatud ning õpetaja roll nihkub seletajalt mõtlemise orkestreerijaks. Õpetaja sekkub teadlikult ajastuse, küsimuste ja ootuste kaudu, et hoida õppijad aktiivselt mõtlemas.

Raamistiku viimased praktikad (12–14) seovad mõtlemise hindamise ja tagasisidega. Liljedahl rõhutab, et mõtleva klassiruumi kestlikkus sõltub sellest, mida hinnatakse, kuidas kujundavat hindamist kasutatakse ja mille eest hindeid pannakse. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid, taastoodab see pealiskaudset õppimist. Kui hinnatakse pingutust, strateegilist mõtlemist ja arusaamise arengut, toetab hindamine otseselt mõtlemise kultuuri.

Kokkuvõtvalt pakuvad Liljedahli neliteist praktikat teaduspõhist ja praktilist raamistikku, mis aitab õpetajatel liikuda protseduurikeskselt õpetamiselt mõtlemist väärtustava ja õppijat aktiveeriva klassiruumi suunas. LAHEMATE kontekstis loovad need praktikad selge orientiiri koolikatsetuste kavandamiseks, õpetajate professionaalseks refleksiooniks ning mõtleva matemaatikakultuuri järkjärguliseks juurutamiseks.

== Viited ==
* Csikszentmihalyi, M. (1990). ''Flow: The Psychology of Optimal Experience''. New York: Harper &amp; Row.
* Liljedahl, P. (2020). ''Building Thinking Classrooms in Mathematics, Grades K–12: 14 Teaching Practices for Enhancing Learning''. Thousand Oaks, CA: Corwin.
* Liljedahl, P., &amp; Allen, D. (2013). Mathematical discovery: Studenting. [TÄPSUSTADA]

== Veebiallikad ==
* Liljedahl, P. Kaarditrikid: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanded: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanne „New School Schedule“: [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf PDF]
* Nguyen, F. Promoting thinking tasks with VNPS tools. Wipebook: [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU wipebook.com]
* Soo, A. (2023). Building Thinking Classrooms: peatükkide 5, 6 ja 8 refleksioonid. Ajaveeb: [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ ptk 5], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ ptk 6], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ ptk 8]
* McGowan, F. (2021). Thinking Classrooms Challenge: In Flow. Ajaveeb: [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ findingtheprocess.wordpress.com]
* Apple Education. Õpetaja MK lugu: [https://education.apple.com/story/250014232 education.apple.com]
* Ülesannete kogud: [http://nrich.maths.org NRICH], [http://youcubed.org YouCubed], [http://illuminations.nctm.org Illuminations (NCTM)]

[[Kategooria:LAHEMATE]]
[[Kategooria:Probleemilahendus]]</text>
      <sha1>t79pmf6yttf92c8cxt7fmda2k77n6x5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20349</id>
      <parentid>20348</parentid>
      <timestamp>2026-09-28T07:31:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Peter Liljedahli mõtleva klassiruumi metoodika */</comment>
      <origin>20349</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="58319" sha1="d6lh18ngth1qu4oru97i892r6qjxj3c" xml:space="preserve">= 5. Peter Liljedahli mõtleva klassiruumi metoodika =

Liljedahli metoodika põhineb tema aastatepikkusel teadustööl ja tunnivaatluste süstemaatilisel analüüsil. Need veensid teda, et enamikus vaadeldud matemaatikatundides ei toetata õpilaste mõtlemist piisavalt. Ta väidab, et enamik õpilasi ei tegele tunnis ei mõtlemise ega õppimisega (neist esimene on viimase vältimatu eeldus), vaid hoopis „õpilasena käitumise“ ehk '''„õpilasetsemise“''' (''studenting'') muude vormidega. „Studenting“ on Alleni (2017) välja pakutud termin, mis tähistab kõiki antud õpikeskkonnas õpilaseks olemisega seotud tegevusi, mille hulka kuulub muu hulgas ka õppimine. Allen pakub oma empiiriliste uuringute põhjal välja viis peamist õpilasetsemise vormi:
* '''viilimine''' (''slacking''): õpilased ignoreerivad täielikult õpetaja antud ülesandeid ja tegelevad millegi muuga, nt nutitelefonis ühismeedia vaatamise, teemavälise omavahelise suhtlemise või lihtsalt mittemidagitegemisega;
* '''venitamine''' (''stalling''): õpiülesandega tegelemise edasilükkamine, kasutades ettekäändena legitiimseid asendustegevusi, nagu pliiatsi teritamine, kotist asjade otsimine või WC-s käik;
* '''teesklemine''' (''faking''): näiliselt õpiülesandega tegelemine (tahvli või õpiku „uurimine“, mõtliku näo tegemine), kuid tegelikult ülesande lahendamise vältimine;
* '''matkimine''' (''mimicking''): ülesandega mehaaniliselt tegelemine, kopeerides õpetaja eelnevat näidislahendust rida-realt, kuid ilma aktiivse mõttetegevuse ja mõistmiseta;
* '''katsetamine''' (''trying it on their own''): iseseisev pingutamine ülesande lahendamiseks.

Liljedahl väidab, et neist üksnes viimasega kaasneb mõtlemine ja et sadades tema vaadeldud matemaatikatundides tegeles „mõtlemisvabade“ õpilasetsemise vormidega 75% õpilastest peaaegu kogu tunni jooksul. Lahendusena on Liljedahl oma uuringute tulemusena sõnastanud 14 toimivat didaktilist praktikat (sisuliselt on need heuristikud õpetajale), mis aitavad luua mõtlemist toetava õpikeskkonna:
# '''Milliseid ülesandeid me õpilastele anname?''' Alustada tuleks aine(kava)ga vaid kaudselt seotud elulistest ja mõtlema innustavatest küsimustest ning seejärel liikuda pisitasa matemaatilisemate mõtlemisülesannete juurde.
# '''Kuidas me õpilasi rühmitame?''' Juhuslikult kokku loositud, iga kord uued rühmad toimivad paremini ja innustavad õpilasi rühma ühistegevusse panustama.
# '''Kus õpilased õpivad?''' Õpilaste mõtlemist ja koostööd on lihtsam käivitada, kui nad seisavad vertikaalsete kirjutamispindade ees, millelt kirjapandut saab kustutada (nt pabertahvlid, valged markertahvlid, interaktiivsed ekraanid).
# '''Milline on füüsiline õpikeskkond klassis?''' Ridadesse joondatud, õpetaja suunas vaatavad pingiread toovad kaasa passiivse õppimise. Klassi mööbel peab võimaldama ümberpaigutamist ja rühmatööks vaba ruumi loomist, eelkõige seinte ääres.
# '''Kuidas vastatakse õpilaste küsimustele?''' Tavatundides on 90% õpilaste küsimustest kas pelgalt õpetajaga muul teemal suhtlemiseks, kuna ta satub lähedusse (nn ''proximity questions''), või kiire tagasiside saamiseks („Kas see on õige?“). Need peatavad õpiülesande üle mõtlemise. Õpilasi peaks suunama esitama hoopis mõtlemist soodustavaid küsimusi (nn ''keep-thinking'' küsimused).
# '''Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid?''' Õpilaste mõtlemist aktiveerivad ülesanded, mis antakse pigem tunni alguses kui lõpus, pigem suurel ekraanil kui õpikus, pigem suuliselt kui kirjalikult.
# '''Millist kodutööd antakse?''' Et õpilased ei tajuks kodutööd kui õpetaja jaoks kontrolli eesmärgil tehtavat tüütut kohustust, tuleks anda selliseid kodutöid, mis inspireerivad kodus edasi mõtlema ja oma lahenduste tulemuslikkust hindama.
# '''Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat?''' Õppijate enesejuhitavust saab suurendada nii eespool kirjeldatud rühmatööde, arutelude ja teistmoodi kodutöödega kui ka kaaslaste vaatlemise, neilt ideede korjamise ja neile tagasiside andmisega.
# '''Kuidas toestada õppimist?''' Vihjed, näited ja soovitused aitavad hoida õppijad personaliseeritud „kulgemisvööndis“ (''flow zone'', vt Csikszentmihalyi, 1990) ja vältida õppimise muutumist liiga lihtsaks või liiga raskeks.
# '''Kuidas konsolideerida õpitut?''' Eri ülesannete kaudu õpitu koondamine iga õpilase peas ühtseks tervikuks on konstruktivistliku õpikäsituse üks nurgakive ja suur väljakutse õpetajale.
# '''Kuidas õpilased teevad märkmeid?''' Õpetaja jutu mehaanilise konspekteerimise asemel tuleb õpilasi õpetada ise oma mõttetööst kokkuvõtteid visandama ja visandeid täiustama.
# '''Mida hinnatakse?''' Lisaks ainekavas kirjas olevatele õpitulemustele tuleks hindamise objektiks võtta ka oskused, mida mõtlemist soodustavas tunnis väärtustatakse, nt püsivus, koostöö ja loovus.
# '''Kuidas teostada kujundavat hindamist?''' Õpilastele antakse mitmekülgset tagasisidet mitte üksnes nende püüdlikkuse ja aktiivsuse kohta, vaid ka selle kohta, kuidas nad seni on toime tulnud ja mida tuleks edasi teha.
# '''Kuidas hinnatakse õpitulemusi?''' Pigem sarnaselt kujundava hindamisega (pakkudes õpilastele tagasisidet edasimõtlemiseks), mitte lõpliku kohtuotsusena, kuid siiski riikliku õppekava õpitulemustest lähtudes.

Vaatleme nüüd lähemalt neid neljateistkümmet &quot;optimaalset/toimivat&quot; praktikat (ehk didaktilist heuristikut õpetajale) koos praktiliste näidetega.

== 5.1 Neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamiseks ==

=== 5.1.1 Milliseid ülesandeid me õpilastele anname? ===
Oma raamatus „Building Thinking Classrooms“ (2020) toob Liljedahl hakatuseks näite probleemülesandest, mille autor on Lewis Carroll: ''kui kuus kassi püüab kuue minuti jooksul kuus rotti, siis mitu kassi oleks vaja, et püüda 50 minuti jooksul 100 rotti?'' Selle ülesande lahendamine eeldaks küll teadmisi murdude ja võrdelise seose kohta, kuid neist ei piisa. Õpilased jäävad tavaliselt „kinni“ juba alguses, sest ülesandest võib aru saada kaheti: kas kuuest kassist üks püüab igas minutis ühe roti või püüab iga kass ühe roti kuue minuti jooksul. See „kinnijäämine“ toob kaasa mõtlemise ja probleemilahenduse käivitumise.

Eksamiks õppides lahendavad paljud „tublid“ õpilased suurel hulgal ülesandeid, nii et õppekavale vastavad tüüplahendused muutuvad nende jaoks rutiinseks ja nende lahendamiseks pole enam mõtlemist tarvis – piisab mehaanilisest matkimisest. Eksamil (ja elus või hilisemates õpingutes) võib aga suure tõenäosusega ette tulla probleeme, mille lahendamine eeldab mitterutiinseid lahendusi, näiteks matemaatika eri valdkondadest või teistest õppeainetest pärinevate teadmiste kombineerimist. Just selliseid probleemülesandeid soovitab Liljedahl matemaatilise mõtlemise harjutamiseks kasutada juba õppeprotsessi käigus. Ta jaotab head probleemülesanded kolme kategooriasse.

'''1) Köitvad nuputamisülesanded''', mis lausa meelitavad inimesi lustiga kaasa mõtlema. Õpikutes esineb sedalaadi ülesandeid pigem harva, kuid mujal (nt ajalehtede nupunurkades, sotsiaalmeedias, Känguru võistlusel, e-rehkenduses) on neid küllaldaselt. Liljedahl toob neli näidet kooliastmete kaupa:
* ''I kooliaste:'' mitu ruutu on pildil?
* ''II kooliaste:'' kui ostad videomängu 10 dollariga, müüd selle 20 dollariga, ostad taas tagasi 30 dollariga ja müüd uuesti 40 dollariga, siis kui palju raha sa lõpuks teenisid (või kaotasid)?
* ''III kooliaste:'' kui sul on ainult kaks liivakella (üks 4-minutiline ja teine 7-minutiline), kas saaksid nende abil aega mõõtes keeta oma vanaemale täpselt 9 minutit keedetud muna? Kui saab, siis kui kaua peab vanaema ootama muna valmissaamist?
* ''Gümnaasiumiaste:'' ekstsentriline daam broneeris kolm kõrvutiasuvat hotellituba ja lubas ööbida igal ööl toas, mis asub eelmisel ööl kasutatud toa kõrval. Vastuvõtus töötav John avastas, et tubade eest maksmiseks kasutatud krediitkaart ei toimi. Kiire töötempo tõttu on Johnil päeva jooksul aega vaid korraks minna ülakorrusele ja koputada ühele kolmest uksest, lootes daami leida ja maksetõrke ära klaarida. Mitu päeva tal kulub, et kindlasti daamiga kohtuda? Aga kui daam oleks broneerinud hoopis 4 või 5 tuba? Või kui ta broneeris 17 tuba 30 päevaks – kas Johnil oleks lootust daam tabada enne, kui too kuu möödudes hotellist lahkub?

'''2) Kaarditrikid''', mis põhinevad matemaatikal, mitte silmapettel ega käteosavusel. Selliste trikkide videosalvestusi on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]

'''3) Rehkendamisülesanded''', mis on võetud elust enesest ja kõnetavad seetõttu õpilasi. Sellise ülesande näitena toob Liljedahl loo sõpruskonna suusareisist, milleks on pikalt raha kogutud. Allpool olevas tabelis on näha iga rühmaliikme kogutud raha ja kavandatud kulud. Sõbrad on otsustanud, et kogutud raha kulutatakse viimase sendini üksnes kavandatud otstarbeks ja keegi ei tohi reisilt maha jääda (isegi kui mõni maksab rohkem, kui tal endal kulub). Kas raha on kogutud piisavalt? Kui ei, siis kes peaks juurde maksma ja kui palju? Selliseid rehkendamisülesandeid on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses koos juhendiga, kuidas neid ise koostada: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Tabel 1. Sõpruskonna suusareisi jaoks kogutud raha ja kavandatud kulutuste koond
! Nimi !! Kogutud raha !! Suusavarustuse rent !! Suusalifti pilet !! Algaja suusakoolitus
|-
| Aleks || 75 || 20 || 40 || 40
|-
| Piret || 125 || 10 || 40 || 40
|-
| Terje || 50 || 30 || 40 || 0
|-
| Kevin || 10 || 40 || 40 || 40
|-
| Jaana || 25 || 0 || 40 || 0
|-
| Reta || 10 || 0 || 40 || 40
|-
| Taavi || 38 || 30 || 40 || 0
|-
| Sten || 22 || 40 || 40 || 40
|-
| Sonja || 200 || 20 || 40 || 0
|-
| Kaidi || 60 || 25 || 40 || 0
|}

Probleemülesannete koostamisel lähtub Liljedahl (nagu ka Boaler) '''„madala läve ja kõrge lae“''' disainipõhimõttest, lisades sellele veel kolmanda: '''„avatud keskpaiga“''' printsiibi. Viimane eeldab probleemülesandelt ühte õiget vastust, jättes avatuks ja paindlikuks selle vastuseni jõudmise viisi. Selliseid „avatud keskpaigaga“ ülesandeid esineb sagedamini nuputamisülesannete ja kaarditrikkide seas, samas kui Liljedahli stiilis rehkendamisülesannetel on üldjuhul ka õigeid vastuseid palju.

Õpetaja võib neid ülesandeid vaadates ohata, et need on küll haaravad, kuid ei aita saavutada õppekavas olevaid õpiväljundeid. Loogiline lahendus näib olevat mõtlemist toetavate tekstülesannete kohandamine selliseks, et nende lahendamisel tuleb paratamatult kasutada õpikuteadmisi käsiloleva peatüki ja õppekava osa kohta. Nii talitades ohverdaksime aga õpilaste mõtlemise arendamise ja kaasahaaratuse ning riskiksime muuta ülesannete lahendamise igavaks ja rutiinseks matkimiseks. Selle asemel soovitab Liljedahl muretseda vähem õppekava pärast ja keskenduda esmalt õpilaste mõtlemisele. See suurendab nende eneseusku oma matemaatikavõimetesse, positiivset suhtumist ja huvi õppeaine vastu, misjärel õppekavaga selgemalt seotud ülesannete lahendamine muutub oluliselt lihtsamaks ja võtab vähem aega.

Lisaks saab ka õpikuülesandeid kohandada nii, et need panevad õpilased mõtlema. Näitena esitab Liljedahl õpetaja dialoogi klassiga ruutkolmliikme tegurdamise teemal, alustades varem õpitud teadmisest:
* '''Õpetaja:''' Meenutame kaksliikmete korrutamist. Mis te saate, kui korrutate (x + 2)(x + 3)?
* '''Õpilased:''' (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
* '''Õpetaja:''' Aga kui ma alustaksin tagantpoolt ja mu vastus oleks x² + 7x + 6, mis arvud peaksid sel juhul olema mu algses küsimuses (x + □)(x + □)?

Liljedahli mõtleva klassiruumi lähenemises on matemaatika õppimise keskmes õpilase mõtlemine. Kui soovime, et õpilased mõtleksid, tuleb neile anda midagi, mille üle mõelda – selleks on eelkõige hästi valitud matemaatiline ülesanne. Samas rõhutab Liljedahl, et heast ülesandest üksi ei piisa. Ka väga hea probleemülesanne ei pruugi õpilasi mõtlema panna, kui klassiruumi töökorraldus, õpetaja tegevus ja õpilaste harjumused seda ei toeta. Seega on hea ülesanne mõtleva klassiruumi vajalik, kuid mitte piisav tingimus.

Kordame üle - Liljedahli kohaselt peab hea mõtlemisülesanne vastama kolmele kriteeriumile: 
* sellel on madal lävi (''low floor''), 
* kõrge lagi (''high ceiling'') ning 
* see sisaldab õpilase jaoks mingit uudsuse aspekti (''novelty'').

'''Madal lävi''' tähendab, et igal õpilasel peab olema võimalik ülesandega iseseisvalt pihta hakata. See ei tähenda, et ülesanne ise peab olema lihtne (madala keerukusastmega). Pigem peab ülesande alguses olema midagi sellist, millest ka nõrgemate eelteadmistega õpilane saab kinni haarata ja mille põhjal esimesi katsetusi teha, nuputama hakata. Liljedahl seostab madalat läve ka võrdsuse ja kaasatuse taotlusega matemaatikaõppes. Kui hariduse üldisem eesmärk on võrdsed võimalused (equity), siis õpetaja praktiline ülesanne klassiruumis on luua õpilastele juurdepääs (access) matemaatilisele tegevusele. Madal lävi on üks konkreetne viis selle saavutamiseks.

'''Kõrge lagi''' tähendab seevastu, et ülesanne peab pakkuma väljakutset ka tugevamatele õpilastele. Kõik õppijad peaksid mingil hetkel jõudma olukorda, kus lahendus ei ole enam ilmne ja tuleb päriselt mõelda. Oluline on siin ülesande raskusastme ja õpilase seniste teadmiste vahekord: eri õpilased jõuavad väljakutse lahenduseni eri ajal ja eri tasemel.
Sellega seostub produktiivse pingutuse (productive struggle) idee, mis on seotud ka Võgotski lähima arengu tsooni mõistega - õppimine on tulemuslikum siis kui õpetaja suudab õpilase tema mugavustsoonist arengu tsooni juhtida. Mõtlemine muutub eriti oluliseks siis, kui õpilane ei tea kohe, mida edasi teha. Sellises olukorras peab ta katsetama, püstitama oletusi, ebaõnnestuma, oma lähenemist muutma ja uuesti proovima. Eesmärk ei ole vältida olukorda, kus õpilane „jääb kinni“, vaid õpetada teda sellisest olukorrast edasi liikuma. Liljedahl rõhutab siiski, et produktiivse pingutuse tekkimiseks on oluline ka varasem eduelamus. Kui keeruline väljakutse järgneb õnnestumisele, jätkab õpilane suurema tõenäosusega pingutamist; kui mitu järjestikust ülesannet takerduvad ebaõnnestumisse, suureneb õpilase loobumise tõenäosus.

Kolmas hea ülesande tunnus on '''uudsus'''. Kui õpilane juba teab, millist algoritmi või varem õpitud lahendusviisi rakendada, võib ta selle lihtsalt ja ilma pingutava mõtlemiseta reprodutseerida. Autorite käsitluses algab mõtlemine eeskätt olukorras, kus lahendustee ei ole ette teada. Seetõttu peaks mõtlemisülesanne sisaldama õpilase jaoks midagi mitterutiinset: uut probleemi, uut konteksti, ebaharilikku kombinatsiooni või vajadust teadaolevaid teadmisi uuel viisil kasutada.

Need kolm omadust ei pea tingimata sisalduma ühes suures ja keerulises ülesandes. Sageli on otstarbekam koostada ülesannete jada, milles esimesed ülesanded võimaldavad kiiremini alustada ja kogeda edu ning järgnevad ülesanded suurendavad järk-järgult väljakutset. Samuti vajavad ka head ülesanded jätkuülesandeid ehk laiendusi (''extensions''). Mõtleva klassiruumi üks põhimõtteid on, et õpilane ei peaks jõudma seisundisse „olen valmis“: kui esialgne probleem on lahendatud, järgneb sellele uus küsimus või tingimus, mis nõuab mõtlemise jätkamist.

==== Õppekavalised ja õppekavavälised probleemülesanded ====

Liljedahl eristab “rikastatud ülesandeid” (''rich tasks'') ning nende kasutamist nii õppekavast lähtudes kui ka õppekavaväliselt. Rikastatud ülesanne nõuab mitmesuguste matemaatiliste teadmiste kasutamist ja nende kombineerimist probleemi lahendamiseks. Sama ülesanne võib olla ühe õpilasrühma jaoks õppekavaline (''curricular'') ja teise jaoks õppekavaväline (''non-curricular''), sõltuvalt sellest, kas selle lahendamiseks kasutatav matemaatika kuulub parajasti õpitava sisu hulka. Õppekavavälised on näiteks matemaatika olümpiaadi, Känguru võistluse ja ajakirjade nuputamisnurkades avaldatud ülesanded, aga ka mingis teises valdkonnas (nt programmeerimises, majandusstatistikas ja teadusuuringutes) esitatud põnevad nuputamisväljakutsed. 

Näiteks võiks siinkohal tuua nuputamisülesande, kus numbrid 1–9 tuleb paigutada astmete ja korrutistega avaldisse nii, et saadava murru väärtus oleks võimalikult suur. Õpilane võib alustada katse-eksituse meetodiga, kuid edasi tekivad küsimused selle kohta, kuidas muuta lugeja võimalikult suureks ja nimetaja võimalikult väikeseks, kuidas mõjutavad tulemust astmed ning milliseid arvukombinatsioone üldse tasub uurida. Sama ülesannet saab jätkata uue eesmärgiga, näiteks moodustada avaldis, mille väärtus oleks võimalikult lähedal ühele. Selline ülesannete jada illustreerib korraga madalat läve, kõrget lage, uudsust ja jätkuülesannete kasutamist. Mõtleva klassiruumi ülesanded võivad kasutada käelisi õppevahendeid (manipulatives) – näiteks täringuid, algebraklotse, murrukettaid, tasakaalumudeleid või ruumilisi kujundeid. Oluline pole aga taolise käekatasutava vahendi/objekti olemasolu iseenesest, vaid milleks seda kasutatakse.

[[Fail:Algebraklotsid.png|pisi|alt=Algebraklotsid|Algebraklotsid]]

==== Näidisülesanne algebraklotside abil lahendamiseks ==== 

Lahenda algebraklotside abil ja selgita oma lahendust teisele õpilasele: 
* (x+2)(x+3)=
* (x+4)(x-3)=
* (x-2)(x-4)=

==== Näidisülesanne kuue täringuga ====

[[Fail:Täringud.png|pisi|alt=Kuus täringut|Kuus täringut]]

# Milliseid mustreid märkad kui uurid täringu vastastahkudel olevaid väärtusi?
# Raputa peos 6 täringut ja aseta need siis üksteise otsa tornina. Kuidas saaks kiiresti arvutada kõigi nähaolevate tahkude silmade summa? Ja siis peidetud tahkude summa?
# Kas joonisel olevad täringud on kõik identsed? Mitu erinevat täringut on võimalik luua, kui lähtuda vastastahkude silmade reeglist? 


Liljedahl eristab kolme käelise õppevahendi kasutusviisi. 
* Õpilane võib mõelda antud õppevahendi üle, kui see ise on uurimisobjekt – näiteks saab uurida ja võrrelda eri liiki täringute vastastahkude arvude paiknemise seaduspärasusi. 
* Teiseks võib õpilane mõelda käelise õppevahendi abil, kasutades seda matemaatilise probleemi lahendamiseks. Näiteks saab väikestest kuupidest ehitada 3 × 3 × 3 kuubi ja uurida värvitud kuubi probleemi. 
* Kolmandaks saab õpilane esitada ja kommunikeerida oma mõtlemist käelise vahendi abil, näiteks kasutada algebraklotse oma lahenduskäigu selgitamiseks kaasõpilastele.

Käelised õppevahendid on seejuures matemaatiliste representatsioonide üks liik. Õppimise seisukohalt on oluline liikuda esemelise mudeli, pildi, kirjalike sümbolite, verbaalse esituse ja reaalse olukorra vahel. Seetõttu ei tohiks vahend asendada matemaatilist mõtlemist, vaid aidata luua seoseid eri representatsioonide vahel.

Ka siin on oluline õpetaja otsus, millal vahendit pakkuda. Mõnikord on käeline vahend ülesande lahutamatu osa ja õpetaja annab selle kõigile; teinekord võiksid erinevad vahendid olla lihtsalt õpilastele kättesaadavad ning õpilased ise otsustavad, kas ja millist neist kasutada.

Eriti huvitav on Liljedahl’i hoiatus visualiseerimise kohta. Kui soovitud õpitulemus on võime kujundit vaimusilmas ette kujutada, võib füüsilise mudeli pidev olemasolu hoopis visualiseerimise vajaduse kõrvaldada. Seetõttu võib õpetaja näiteks näidata kuupi ülesande selgitamisel, seejärel selle eemaldada ning anda selle uuesti ajutiselt rühmale, kellel on visualiseerimisega raskusi. Nii toetab mudel visualiseerimise kujunemist, mitte ei asenda seda.

Sarnane põhimõte kehtib digitehnoloogia kasutamise kohta mõtlemisülesannetes: tehnoloogia iseenesest ei muuda kehva ülesannet heaks. Animatsioonid, kalkulaatorid, GeoGebra, Desmos või programmeerimine võivad mõtlemist toetada, kuid ülesanne peab ikkagi käivitama mõtlemise, pakkuma piisavat väljakutset ja sisaldama uudsust.
Liljedahl eristab mõtleva klassiruumi kontekstis kolme tehnoloogia kasutusviisi: tehnoloogia kui arvutusvahend, uurimisvahend ja programmeerimisvahend:
* '''Arvutusvahendina''' võib tehnoloogia teha mahukaid arvutusi, joonestada või mõõta. Autorid soovitavad rühmatöös pigem ühte seadet rühma kohta, sest iga õpilase isiklik seade võib rühma koostööd killustada. Samal põhjusel soovitatakse olulised sisendid ja tehnoloogia abil saadud tulemused kanda ka rühma vertikaalsele kirjutuspinnale (VKP). Nii muutub tehnoloogia individuaalse seadme asemel rühma ühiseks töövahendiks.
* '''Uurimisvahendina''' võimaldab tehnoloogia kiiresti muuta parameetreid, jälgida tulemusi, püstitada oletusi ja neid kontrollida. Näiteks saab uurida parabooli muutumist ruutfunktsiooni kordajate muutmisel või statistiliste näitajate muutumist andmestiku muutmisel. Selline tegevus moodustab tsükli vaatlemine → oletuse püstitamine → kontrollimine, milles tehnoloogia võimaldab kiiresti koguda uusi näiteid ja kontrollida hüpoteese.
* '''Programmeerimisel''' muutub tehnoloogia ülesandest peaaegu lahutamatuks: õpilane kavandab algoritmi, katsetab seda, jälgib sisendite ja väljundite seoseid ning parandab vigu. Autorite järgi on programmeerimine juba olemuselt uurimuslik tegevus. Mõtleva klassiruumi puhul soovitatakse programmeerimiseks töötada paarides, kasutada ühte arvutit paari kohta ning ühendada arvutitöö VKP-iga, kus saab kavandada algoritmi, talletada oletusi ja nähtavaks teha lahenduskäiku.

LAHEMATE uuringuprojekti kontekstis on selle peatüki kõige olulisem sõnum, et Liljedahli lähenemist ei tohiks taandada üksnes mõnele silmatorkavale klassiruumi töövõttele, näiteks juhuslikele rühmadele või vertikaalsetele kirjutuspindadele. Mõtleva klassiruumi lähtekoht on sellise matemaatilise tegevuse kavandamine, mis tekitab vajaduse mõelda. Selleks peab ülesanne võimaldama kõigil alustada, kuid mitte võimaldama kõigil kohe lõpetada; õpilane peab mingil hetkel jõudma olukorda, kus tuttava algoritmi mehaanilisest rakendamisest ei piisa.

LAHEMATE õpetaja võiks seetõttu probleemülesande kavandamisel küsida vähemalt järgmisi küsimusi:
# Kas ülesandel on madal lävi? Kas kõik õpilased leiavad mõistliku viisi alustamiseks?
# Kas ülesandel on kõrge lagi? Kas ka tugevamad õpilased jõuavad punkti, kus nad peavad päriselt nuputama?
# Kas ülesanne on õpilaste jaoks piisavalt uudne? Või tunnevad nad kohe ära harjutatud algoritmi?
# Milline on järgmine samm? Millise jätkuülesande saab anda õpilasele, kes esimese probleemi lahendab?
# Kas käeline õppevahend või digitehnoloogia käivitab matemaatilist mõtlemist või asendab seda?
# Kas kasutatav vahend toetab rühma ühist mõtlemist ja matemaatilist suhtlemist (matemaatika keelendamist)?
# Millal tuleks käeline õppevahend eemaldada? Eesmärk ei ole muuta õpilast vahendist sõltuvaks, vaid aidata tal liikuda abstraktsema matemaatilise mõtlemise poole.

Seega pole Liljedahli mõtleva klassiruumi puhul keskne küsimus lihtsalt „'''Kas see on hea probleemülesanne?'''“, vaid pigem „'''Millist mõtlemist see ülesanne minu klassiruumis esile kutsub ning kuidas ülesande, käeliste vahendite ja töökorralduse kombinatsioon seda mõtlemist toetab?'''“ Just selles mõttes moodustavad ülesande omadused, õpetaja pedagoogilised valikud, rühmatöö korraldus, füüsilised ja digitaalsed vahendid ning produktiivse pingutuse toetamine ühe tervikliku süsteemi.


==== Kokkuvõte ====
Kokkuvõtteks soovitab Liljedahl alustada iga tundi mõtlemisülesannetega ja õpilaste kaasamise järel liikuda edasi ülesannete juurde, mille lahendamine eeldab õppekavale vastavate teadmiste rakendamist. Samas ei soovita ta õppekavale või õpikule vastavaid lahendusi õpilastele ette näidata, sest see lülitaks õpilased „mõtlemisrežiimist“ „matkimisrežiimi“.

'''Mikrosammud probleemülesannete koostamiseks mõtlemisruumi metoodikast lähtuvalt:'''
* Alusta 1–2 esimesel nädalal õppekavaväliste nuputamis- ja mõtlemisülesannetega (madal lävi, kõrge lagi). Alles õpilaste mõtlemisharjumuste tekkides liigu õppekavaga otsesemalt seotud ülesannete juurde.
* Vali ülesanded, millel on mitu lahendusviisi (joonista, koosta tabel, võrrand, arvuta).
* Väldi alguses töölehti: anna ülesanne suuliselt ja lase rühmadel ideid proovida.

'''Näidisülesanne:'''
* Koosta koolile [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf uus tunniplaan], kus iga teine reede on iseseisva õppe päev, kuid koolitundidele kuluvate minutite summa igas kahenädalases tsüklis (ja õppeaastas tervikuna) jääb samaks kui praegu.

Sama raamülesanne hoiab mõtlemist esiplaanil ka siis, kui selle sisu muutub hiljem õppekavaga seotuks.

=== 5.1.2 Kuidas me õpilasi rühmitame? ===
Loo silmanähtavalt juhuslikud kolmesed rühmad ja vaheta neid sageli. See murrab sotsiaalseid barjääre, suurendab teadmiste liikumist klassis ja tõstab iga õpilase valmisolekut panustada ühisesse mõtlemistegevusse.

'''Mikrosammud:'''
* Moodusta rühmad silmanähtavalt juhuslikult, kasutades nt kaardipakki, loosipulki või QR-koode.
* Vaheta rühmade koosseise sageli (igas tunnis või üle päeva), et vältida „püsirollide“ tekkimise ohtu.
* Hoia rühma suurus kolmeliikmelisena: see on piisav erinevate ideede tekkeks, kuid ei võimalda rühmaliikmetel mugavalt „pealtvaataja“ vaikivasse rolli taanduda.

'''Näide:''' õpetaja segab kaardipaki, jagab igale õpilasele ühe kaardi ja kutsub õpilased tahvlite juurde kolmeliikmelistesse rühmadesse kaardimastide või -väärtuste järgi. Algne kohmetus taandub kiiresti ja koostöö paraneb.

=== 5.1.3 Kus õpilased töötavad? ===
Õpilased seisavad püsti ja kirjutavad '''vertikaalsetele kustutatavatele pindadele''' (tahvlid, A1 paberlehed, aknaklaasid). Vertikaalsus tagab nähtavuse teistele õpilastele ja õpetajale, aga ka vastutuse. Kustutatavus julgustab uute ideedega katsetama ja uuesti proovima.

'''Mikrosammud tööpindade loomiseks:'''
* Varusta klass vertikaalsete kustutatavate pindadega (tahvlilehed, aknad).
* Anna üks marker rühma kohta: see sunnib rääkima ja tegija rolli vahetama.
* Iga rühm seisab. Istumiskohti kasutatakse alles tunni lõpu ühisarutelu faasis.

'''Näide:''' [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU Fawn Nguyeni kirjeldus] vertikaalsete pindade kasutamise kohta oma tundides.

&lt;!-- Joonis: Erinevate vertikaalsete kustutatavate pindade kasutamine mõtlemisruumis. --&gt;

=== 5.4 Milline on füüsiline õpikeskkond klassis? ===
Paiguta klassis mööbel nii, et õpilased ei vaataks kõik ühes suunas ettepoole, ning taga õpilaste vaba liikumine tahvlite ja rühmade vahel. Rühmadevaheline liikumisvõimalus toetab mõtlemist rohkem kui pingiridade „loengukeskkond“. Liljedahl nimetab traditsioonilise, tahvli suunas vaatavate pingiridadega õpikeskkonna lõhkumist &quot;''defronting''&quot;, mis eesti keeles võiks ehk olla &quot;esiküljetustamine&quot; või &quot;poodiumi kaotamine&quot;.  

'''Mikrosammud mööbli ümberpaigutamiseks:'''
* Nihuta lauad seinte äärde. Õpetaja domineeritav „klassiesine“ kaob ja fookus on rühmatöötahvlitel.
* Jäta rühmade ja pindade vahele vaba liikumisruumi, et õpilased saaksid käia üksteise ideid vaatamas.
* Hoia töövahendid (markerid, magnetid, mõõdulindid) seintel kättesaadavana.

'''Näide:''' vaata eelmist näidet Fawn Nguyeni klassiruumist.

=== 5.1.5 Kuidas vastata õpilaste küsimustele? ===
Erista kolme tüüpi küsimusi, mida õpilased küsivad:
* '''Lähedusküsimused''' (''proximity questions''), mida õpilane küsib lihtsalt õpetajaga suhtlemiseks, kuna õpetaja sattus füüsiliselt lähedale. Sedalaadi küsimustele antud vastuseid õpilane üldjuhul oma mõtlemisprotsessis ei kasuta. Liljedahl toob näite tüdrukust, kes õpetaja lähenedes peitis nutitelefoni taskusse ja küsis tähelepanu kõrvalejuhtimiseks: „Kas peame mitu vastust välja pakkuma või piisab ühest?“
* '''Mõtlemispausi küsimused''' (''stop-thinking questions''), mis peatavad mõtlemisprotsessi, nt „Miks me peame seda õppima?“ või „Kas see ülesanne võib tulla ka kontrolltöös/eksamil?“
* '''Mõtlemist toetavad küsimused''' (''keep-thinking questions''), millega õpilane soovib tagasisidet oma ideele või lahendusele, nt „Meil tekkis mõte proovida leida ka negatiivne lahendus, kas see oleks OK?“

Vasta ainult kolmandat liiki küsimustele, mis aitavad õpilasel edasi mõelda. Lihtsad mõtlemispausi tüüpi valideerimisküsimused stiilis „Kas see on õige?“ peaks õpetaja aitama ümber sõnastada mõtlemist toetavaks küsimuseks, nt „Kuidas sa kontrolliksid, et ise teada saada, kas lahendus on õige?“

'''Mikrosammud küsimustele vastamisel:'''
* Sõnasta reegel: vastan ainult „mõtle edasi“ küsimustele.
* „Kas see on õige?“ → „Kuidas saaksid seda kontrollida?“
* „Mida teha edasi?“ → „Mida te juba proovisite? Mis on järgmine väike samm?“

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ April Soo katsetused] mõtlemisruumi metoodika rakendamisel õpilaste küsimuste osas.

=== 5.1.6 Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid? ===
Internet on täis potentsiaalselt häid ülesandeid (e-Koolikott, Facebooki grupp „Õpetajalt õpetajale õppematerjalid“, [http://nrich.maths.org NRICH.maths.org] Inglismaal, [http://youcubed.org YouCubed.org] ja [http://illuminations.nctm.org ILLUMINATIONS.nctm.org] USA-s), kuid õpetajate kõige sagedasem mure on, kust leida sobivaid ülesandeid. Liljedahl usub, et õpetajad ei pea selle küsimusega silmas mitte niivõrd õppekavale vastavate ülesannete leidmist (mida käsitlesime eespool peatükis 5.1), vaid küsivad tegelikult hoopis: „Kust leiaksin ülesandeid, mis innustaksid mu õpilasi mõtlema ja probleeme lahendama?“

Lisaks ülesande sisule on oluline ka see, millal ja kuidas ülesanne õpilastele esitada (matemaatikahariduse uurijate konverentsil CERME on ''problem posing'' traditsiooniliselt üks populaarseid uurimisteemasid). Liljedahl soovitab anda ülesande kohe tunni alguses esimese 5 minuti jooksul ja kindlasti suuliselt, kui rühmad seisavad püsti õpetaja ümber. Liljedahli enda uuringute kohaselt käivitab suuliselt ja kohe tunni alguses esitatud ülesanne õpilaste mõtlemist oluliselt paremini kui ekraanilt või töövihikust antud ülesanne, sest see vähendab masinlikku kopeerimist ja loob eeldused mõtlemisprotsesside käivitumiseks.

Tavapärases matemaatikatunnis saab õpilane ülesande enamasti õpikust, töölehelt, ekraanilt või tahvlilt. ''Building Thinking Classrooms'' (BTC) uuringutes tekitas kõige vähem mõtlemist õpikust antud ülesanne. Liljedahli seletuse järgi on õpilastel õpikuülesannetega kujunenud tugev koolikultuuriline seos: neid tajutakse sageli kui ülesandeid, mida tuleb lahendada pärast seda, kui õpetaja on näidanud, kuidas seda tüüpi ülesannet lahendatakse. Nii võivad need muutuda pigem eeskuju jäljendamise kui iseseisva mõtlemise ülesanneteks.

Õpetajate kõige suuremaks väljakutseks BTC uuringutes osutus ülesande suuline esitamine. Õpetaja jutustab või kirjeldab probleemi, vajaduse korral kasutab žeste või lihtsat demonstratsiooni ning kirjutab tahvlile ainult need andmed, arvud, joonised või muud detailid, mida on raske meeles hoida. Oluline erinevus on siin selles, et andmed võib kirjutada, kuid tegevusjuhise võiks öelda suuliselt.

Liljedahl põhjendab suulise esitamise eelist mitmeti. Suuline kommunikatsioon on inimese jaoks loomulik ja õpilased kasutavad seda niikuinii rühmas omavahel suheldes. Veel olulisem on aga mõtleva klassiruumi sotsiaalne korraldus: ei ole vaja, et kõik õpilased saaksid kohe alguses ülesandest täpselt ühtemoodi aru. Piisab sellest, kui rühmas on piisavalt õpilasi, kes saavad tööga alustada; ülejäänud arusaamine kujuneb koostöös ja õpetaja jooksva toetuse kaudu.

See erineb tavapärasest õpetamisest, kus õpetaja püüab enne töö alustamist kõik võimalikud arusaamatused ennetada: ülesanne kirjutatakse välja, seletatakse suuliselt, näidatakse näide, kontrollitakse arusaamist ja vajaduse korral seletatakse uuesti. Liljedahl nimetab alternatiivi kujundlikult „tuletõrjuja lähenemiseks“ (firefighter approach): anna lühikesed suulised juhised, lase õpilastel tööle hakata ja lahenda arusaamatused siis, kui need tegelikult ilmnevad.

==== &quot;Suuline esitus&quot; ei tähenda üksnes suulist ====

Liljedahl ei väida, et õpilastele ei tohiks ülesande esitamisel mingeid juhiseid kirjalikult näidata. Eesmärk on pigem vähendada ülesande käivitamisel üleliigset informatsiooni ja kognitiivset koormust. Näiteks:
* andmetabel võib olla paberil;
* arvjada või muster võib olla tahvlil;
* geomeetriline joonis võib olla nähtav;
* olulised arvulised andmed võib üles kirjutada;
* kuid küsimus, probleem või tegevusjuhis antakse eelistatavalt suuliselt.

Kui mõtleva klassiruumi normid on juba kujunenud, võib hakata aeg-ajalt kasutama ka kirjalikke ülesandeid. Liljedahl soovitab seda eriti juhul, kui õpilasi on vaja harjutada tekstülesannete ja standardiseeritud testide jaoks. Ta eristab seega mõtleva klassiruumi ülesehitamist ja juba väljakujunenud mõtleva klassiruumi kasutamist. Esimese 3–4 nädala jooksul soovitab ta olla ülesannete esitamisel valdavalt suuline ning hiljem lisada järk-järgult ka tekstiliselt esitatud ülesandeid.

Kirjaliku ülesande puhul soovitab ta anda rühmale pigem väikese paberitüki vähese tühja ruumiga kui suure töölehe. Mõte on vältida olukorda, kus õpilased kinnitavad paberi vertikaalsele kustutatavale pinnale (VKP) ja hakkavad töötama paberil. Mõtleva klassiruumi jaoks on oluline säilitada kirjutamine ühisel kustutataval kirjutamispinnal, kus ideede muutmine ja vigade parandamine on lihtne ning nähtav.

==== Millal ülesannet anda? ====

BTC põhimõte on väga konkreetne: õpilased peaksid hakkama mõtlema tunni esimese viie minuti jooksul. Viis minutit ei tähenda tingimata aega koolikella helisemisest, vaid hetkest, mil õpetaja tegelikult tunni alustab. Selle taga on oluline pedagoogiline põhjendus. Mida kauem on õpilane tunni alguses passiivse teadmiste vastuvõtja rollis, seda raskem on tal hiljem üle minna aktiivse mõtleja ja teadmiste looja rolli. Seetõttu soovitab Liljedahl traditsioonilise skeemi (õpetaja seletab → näitab näiteid → õpilased harjutavad) asemel käivitada võimalikult kiiresti õpilaste eneste mõtlemine. See ei tähenda otsese õpetamise täielikku välistamist. Kui õpilasel on ülesande alustamiseks tõesti vaja uut teadmist, võib õpetaja seda õpetada. Kuid Liljedahl seab sellele provokatiivselt range piirangu: umbes viis minutit. Õpetada tuleks ainult nii palju, kui on vaja esimese ülesande alustamiseks. Siin muutub oluliseks ülesannete jada. Esimese ülesande lahendamisel avastatu võimaldab lahendada teist, teine valmistab ette kolmandat jne. Õpetaja ei pea seega enne töö alustamist õpetama kõike, mida läheb vaja jada kõige keerukama ülesande lahendamiseks.

==== Ära „ime mõtlemist ülesandest välja“ ====

Õpetajal on loomulik soov õpilaste edu kindlustada. Seetõttu kipume enne ülesande andmist vihjama, millist meetodit kasutada: „tee tabel“, „vii ühisele nimetajale“, „proovi tagurpidi töötada“ jne. Kõik need soovitused võivad olla matemaatiliselt õiged ja muuta lahendamise kiiremaks. Just selles seisnebki probleem: õpetaja on eemaldanud ülesandest selle koha, kus õpilane ise oleks pidanud mõtlema, takerduma, katsetama, vea tegema ja lõpuks strateegia leidma. Liljedahl kasutab selle kohta kujundit kurlingutreener (curling teacher): nagu kurlingumängus pühitakse kivi eest jää siledaks, eemaldab õpetaja õpilase teelt kõik võimalikud takistused. Mõtleva klassiruumi seisukohalt on aga just „konarlikud kohad“ sageli need, kus õppimine toimub.

Seetõttu soovitab Liljedahl õpetajal järgida põhimõtet: räägi alguses pigem vähem ja anna vajaduse korral hiljem vihjeid. Muide, Eesti esimeses matemaatika didaktika tekstis (R.Kallase “Mõistlik rehkendaja) sisaldub didaktiline printsiip: “Lapsed ei õpi kõnelema kui koolmeister vait olla ei mõista”. 

==== Uued mõisted ja terminoloogia tulevad pärast kogemust ====

Sama loogika kehtib matemaatilise terminoloogia kohta. Kui mõiste või nähtus on õpilastele varasemast tegevusest juba tuttav, võib õpetaja anda sellele tunni alguses nime: näiteks „seda nimetatakse välisnurgaks“. Kui aga õpilasel pole veel vastavat matemaatilist sõnavara, soovitab Liljedahl toimida vastupidises järjekorras: “kogemus → idee kujunemine → mõiste nimetamine”, mitte “termin → definitsioon → hilisem kogemus”. Ka see soovitus järgib juba Comeniuse poolt sõnastatud didaktilist printsiipi Claritas: õpetaja peaks selgitama abstraktset mõistet tuttava (kogetud) kujundi abil, nt “korrutamine on nagu ridade kaupa kivide müüri ladumine”. Õpilased vajavad võimalusi ise tähendust luua, mitte ainult õpetaja loodud tähendusi “importida”.

==== Kus ülesannet anda? ====

Liljedahli soovitus on, et ülesande käivitamise ajal ei istuks õpilased oma tavapärastel kohtadel. Nad peaksid seisma õpetaja lähedal vabas, suhteliselt tihedas grupis. BTC uuringutes oli erinevus suur: raamatus kirjeldatud tulemuste järgi oli istuvate õpilaste puhul õpetaja juttu nähtavalt jälgimas ligikaudu 50% õpilastest ning töö alustamisel esitati 10–15 täpsustavat küsimust. Õpetaja ümber seisvate õpilaste puhul oli nähtavalt haaratud umbes 90% ning täpsustavaid küsimusi tuli vaid umbes kolm. Liljedahl pakub mitu võimalikku seletust. Oma kohal istudes võib õpilane tunda end anonüümse ja „nähtamatuna“, eriti õpetajast kaugemal. Õpetaja lähedal seistes suureneb tähelepanu ning suhtlus muutub vähem „õpilastele rääkimiseks“ ja rohkem õpilastega suhtlemiseks. Lisaks lahendab see ühe praktilise probleemi: õpilased on juba püsti. Pärast lühikest ülesande käivitamist saab õpetaja moodustada juhuslikud rühmad ja suunata nad vertikaalsete tööpindade juurde.

Oluline on aga tegevuste järjekord: 1. õpilased kogunevad õpetaja juurde → 2. õpetaja annab ülesande → 3. moodustatakse juhuslikud rühmad → 4. rühmad lähevad tööpindade juurde.

Liljedahl tõdeb oma uuringute põhjal, et vastupidine järjekord ei toiminud hästi. Kui õpilased moodustasid kõigepealt rühmad ja läksid tahvlite juurde, haaras neid kohe uue rühma sotsiaalne dünaamika ning nad ei kuulanud enam ülesande juhiseid piisavalt tähelepanelikult.

==== Aga õpilane, kellel on raske suulist infot töödelda? ====

Liljedahl käsitleb pikemalt ka võimalikku vastuväidet: kas suulise ülesande eelistamine ei kahjusta õpilasi, kellel on raske suulisi juhiseid töödelda? Ta ei välista individuaalset tuge, aga soovitab esmalt jälgida, kuidas mõtleva klassiruumi keskkond õpilast toetab. Suuline informatsioon tuleb rühmas uuesti esile, kaasõpilased aitavad seda tõlgendada ning õpetaja saab vajaduse tekkimisel anda õpilasele lühema ja vahetuma individuaalse juhise. Vajaduse korral võib loomulikult kasutada ka kirjalikku tuge. Liljedahl kritiseerib siin ka lihtsustatud käsitlust õpistiilidest (visuaalne vs verbaalne stiil), mille osas on olnud kriitilised ka paljud teised teadlased (nt P.Kirschner: “Stop propagating the learning styles myth”). Eesmärk ei peaks olema anda igale õpilasele informatsiooni ainult tema eelistatud modaalsuses, vaid arendada suutlikkust toime tulla verbaalse, tekstilise, visuaalse ja muul kujul esitatud informatsiooniga.

Õpetaja ei pea enne ülesande alustamist tagama, et “kõik õpilased teavad täpselt, mida ja kuidas teha”. Vastupidi – mõtlemisülesande mõte ongi selles, et osa teadmisest, strateegiast ja arusaamisest sünniks alles tegevuse käigus. Seega on peatüki üks läbivaid ideid: õpetaja ülesanne ei ole muuta õpilase teed võimalikult siledaks, vaid kujundada keskkond, kus õpilane saab turvaliselt takerduda, katsetada, teistega arutada ja ise tähendust luua.


'''Mikrosammud ülesande andmiseks:'''
* Anna ülesanne 3–5 minuti jooksul pärast tunni algust.
* Esita ülesanne suuliselt, kui klass seisab õpetaja ümber ja kõigi tähelepanu on õpetajal. Alles seejärel suuna rühmad oma tahvlite juurde.
* Ära jaga õpilastele kohe töölehte ega näita ette lahendusi. Lase neil teha esimesed katsetused täiesti iseseisvalt.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.7 Milline on mõtlemisruumi sobiv kodutöö? ===
Liljedahli uuringud kinnitasid igale õpetajale tuttavat tõdemust: õpetaja ja õpilased saavad kodutöö eesmärgist ja vajalikkusest täiesti erinevalt aru. Õpetaja jaoks on tegu tunnis õpitud teadmiste rakendamisega kinnistamise eesmärgil, õpilaste jaoks aga puuriga, milles nad peavad mingil arusaamatul põhjusel istuma, selle asemel et midagi huvitavat teha. Õpetajate kinnitusel teevad kodutöid kohusetundlikult peamiselt tublid õpilased, kes seda tegelikult ei vajakski. Ülejäänud asendavad kodutööd tehes mõtlemise õpilasetsemise halbade praktikatega (jätavad tegemata, kirjutavad pinginaabrilt maha, lasevad emal või õel enda eest ära teha).

Liljedahl soovitab mõtlemisruumi metoodika järgijatel kodused ülesanded ümber mõtestada, et need poleks õpilaste jaoks arusaamatu ja tüütu kohustus, mida tehakse üksnes halva hinde hirmus. Nimeta kodutöö ümber '''enesehindamiseks''' ja esita kodutöö küsimused stiilis „Kas ma olen õigesti aru saanud?“. Õpilastes tuleks kujundada arusaam, et kodutöö on vabatahtlik võimalus iseennast testida, mitte õpetajale punktide kogumine.

'''Mikrosammud mõtlemist toetava kodutöö andmiseks:'''
* Nimeta kodutöö ümber enesehindamiseks ja esita 3–5 lühikest kontrollülesannet.
* Ära hinda kodutöid. Kasuta neid järjekindlalt õpilaste enesehindamiseks.
* Alusta järgmist tundi 3-minutise aruteluga teemal „Mille peale ma tulin, kui ennast kodutööga hindasin?“

=== 5.1.8 Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat? ===
Kontrolli kaotamine klassis toimuva üle on üks esimesi hirme, mis õpetajal mõtlemisruumi metoodikat esmakordselt katsetades tekib. Lahendus on ilmne: õpetaja peab suutma muuta õppijad ise oma õppimise eest vastutavaks, mis tähendab õpilaste autonoomia samm-sammulist kasvatamist. Liljedahl soovitab selleks suunata õpilasi panustama kogu klassi ühise teadmuspanga loomisse, julgustades neid vaatama teiste rühmade tahvleid (lahendusi kopeerimata, kuid eri lahendusi võrreldes) ja küsima teistelt rühmadelt vihjeid, jätkates seejärel siiski iseseisvalt oma lahendusega. '''Autonoomia''' on õpilase oskus hoida oma mõtlemist aktiivsena ka siis, kui õpetaja pole kõrval.

'''Mikrosammud õpilase autonoomia kujundamiseks:'''
* Kehtesta tava: enne õpetaja poole pöördumist küsi nõu kahelt teiselt rühmalt.
* Julgusta õpilasi vaatama teisi tahvleid. Ideede liikumine ja jagamine olgu soositud.
* Harjuta „väikeste sammude“ mõtteviisi: õpilased võiksid tegeleda korraga vaid ühe uue ideega.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.9 Kuidas toestada õppimist? ===
Matemaatika õpetamisel on õpetaja jaoks suurim väljakutse õpilaste ebaühtlane algtase ja matemaatiline võimekus. Seetõttu muutub sünkroonses tempos toimuv õppetöö osa õpilaste jaoks liiga aeglaseks ja igavaks, samas kui teiste jaoks kihutab õpetaja edasi liiga kiiresti. Mõtlemisruumi metoodika puhul ei pea kõik rühmad tegema samu asju ühtlases tempos. Liljedahl soovitab liikuda '''asünkroonselt''' (eri rühmad eri kiirusega), andes vajaduse korral väikseid '''vihjeid''' (kui mõni aeglasem rühm juhtub „kinni jääma“) ja ülesande '''laiendusi''' (kui mõni kiirem rühm sai töö varakult valmis), et hoida kõiki „voos“.

„Voo“ ehk „kulgemise“ mõiste tõi pedagoogikasse Ungari juurtega Ameerika teadlane Mihaly Csikszentmihalyi, kelle optimaalse kogemuse teooria võtab kõige paremini kokku allolev joonis. Kui ülesanne pakub õpilase võimekusega võrreldes liiga suurt väljakutset, langeb õpilane '''ärevuse''' tsooni. Kui aga väljakutse on võimeka õppija jaoks liiga kerge, langeb ta '''igavuse''' tsooni. Optimaalse (õppimis)kogemuse tagab pidev viibimine '''voo tsoonis''' (''flow zone''), kus järjest kasvav ülesannete keerukus vastab õpilase pisitasa kasvavale võimekusele.

&lt;!-- Joonis: Voo tsoon (flow) Csikszentmihalyi optimaalse kogemuse teoorias. Teljed: väljakutse (challenge) ja oskus (skill); tsoonid: ärevus (anxiety), voog (flow), igavus (boredom). --&gt;

'''Mikrosammud vihjete ja laienduste pakkumiseks:'''
* Anna väikseid vihjeid (kas uuritava probleemi keerukuse vähendamiseks või õpilase võimekuse kasvatamiseks), aga kindlasti mitte valmis lahendust.
* Varakult lõpetajad saavad laiendusi („Mis siis, kui…?“, „Üldista!“).
* Ära peata kogu klassi ühe rühma pärast, lase rütmidel erineda.

'''Näide:''' õpetaja [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ Frank McGowani] ajaveebist: kuidas mõtlemisruumiga matemaatikatunnis tekib õpilastel keskväärtust ja mediaani õppides „teadmuse voog“ ning õpetaja ei ole enam pudelikael.

=== 5.1.10 Kuidas tundi kokku võtta? ===
Kuna mõtlemisruumi metoodikat järgivas tunnis liiguvad õpilased ja rühmad oma probleemilahenduses sageli erinevas tempos (asünkroonselt), on seda olulisem jõuda tunni lõpus ühiste lõpptulemusteni. Õpetajal on sageli kiusatus teha selline kokkuvõte perfektsel viisil pigem oma teadmistest (või õpiku käsitlusest) lähtudes. Seda nimetatakse „tippu koondumiseks“ (''leveling to the top''). Nii toimides ignoreeriks õpetaja aga õpilaste rühmatöö tulemusi, ja Liljedahl hoiatab, et see oleks viga. Seetõttu soovitab Liljedahl hoopis vastupidist strateegiat: '''konsolideerida lõpptulemused alt üles''', alustades rühmatöödest nii heade lahenduste ja ideede kui ka lünkade väljanoppimisega.

'''Mikrosammud tunni kokkuvõtmiseks:'''
* Tee koos kõigi õpilastega „galeriituur“ (keegi ei istu), et vaadata üle kõigi rühmade tahvlid ja valida neist 3–5, mis jutustavad antud probleemi lahendusest kõige huvitavama „matemaatilise loo“.
* Ära lase õpilastel endil oma ideid tutvustama hakata – nüüd on õpetaja kord tõlgendada.
* Kokkuvõtva arutelu alguses pööra rohkem tähelepanu ideede päritolule ja kujunemisele, lõpupoole keskendu lõpptulemusele.
* Sõnasta koos õpilastega korrektse matemaatilise sõnastusega ühine lahendus alles arutelu lõpus (terminid, näited, vastunäited).
* Lase rühmadel oma sõnadega kirja panna, „mida igaüks peaks sellest arutelust meeles pidama“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.11 Kuidas õpilased teevad märkmeid? ===
Märkmete tegemine tunni ajal on ilmselt üks vanimaid praktikaid, kuid paraku kuulub enamik õpilaste märkmetest kategooriasse „õpetaja kirjutas tahvlile, mina kopeerisin selle vihikusse“. See tegelikult takistab õpilastel õpetaja jutule keskendumast ja kaasa mõtlemast. Liljedahli uuringutes selgus, et õpilaste märkmete kvaliteet ja tähendusrikkus kasvas hüppeliselt, kui nad ei pidanud õpetaja juttu reaalajas konspekteerima, vaid said rahulikult kirjutada '''„hajameelsele iseendale tulevikus“''', püüdes aidata endal olulisi asju meeles pidada. Selliseid märkmeid on sageli mõistlikum teha mitte lineaarse narratiivi, vaid mõistekaardi, diagrammi (Venni diagramm, kalaluu), skeemi või spikri kujul.

'''Mikrosammud kasulike märkmete tegemiseks:'''
* Märkmed kirjutatakse alles pärast tunni kokkuvõtet, mitte probleemi lahendamise ajal.
* Tehakse valik kõige olulisemast: foto oma tööst või tahvli osast ja kolmelauseline kokkuvõte.
* Lisatakse „üks toimiv näide“ ja „üks küsimus endale edasimõtlemiseks“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.12 Mida hinnatakse? ===
Mõtlevas klassiruumis ei ole hindamine pelgalt õppimise „mõõtmise“ vahend, vaid kasulik tagasiside õppijatele selle kohta, mida me tegelikult väärtustame. Liljedahli uurimistöö näitab, et õpetajad oskavad sageli sõnastada omadusi, mida nad soovivad oma õpilastes näha (nt visadus, riskijulgus, koostööoskus, kannatlikkus, autonoomia, enesetõhusus), kuid klassiruumi hindamispraktikad ei toeta nende omaduste kujunemist. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid ja lõpptulemusi, hakkavad õpilased väärtustama just neid ning loobuvad pingutusest ja mõtlemisest, kui lahendus pole kohe käes.

Liljedahl rõhutab põhimõtet: '''hinda seda, mida väärtustad''' (''evaluate what you value''). Kui me väärtustame mõtlemist, peame ka mõtlemist hindama. See ei tähenda, et akadeemilised õpitulemused kaotaksid tähtsuse, vaid et nende kõrvale tuleb teadlikult tuua ka need protsessilised ja dispositsioonilised aspektid, mis mõtlemist tegelikult võimaldavad. Näiteks visadust ei saa kujundada, kui seda ei märgata ega väärtustata, ja koostöö ei arene, kui seda ei peeta oluliseks.

Oluline on ka see, kuidas me neid väärtusi hindame. Liljedahli uuringud näitavad, et kõige tõhusamaks osutusid lihtsad ja läbipaistvad hindamisrubriigid, mis keskendusid järgmistele aspektidele:
* pingutus ja järjepidevus;
* panus rühmatöösse;
* valmidus proovida uusi ideid;
* oma mõtlemise selgitamine.

Selline hindamine ei ole karistav ega sorteeriv, vaid kujundav ja suunav: see aitab õpilastel mõista, milline käitumine ja õppimisviis toetab nende arengut mõtleva matemaatikuna.

'''Mikrosammud:'''
* Kujunda lihtne rubriik: osalus, visadus, riskijulgus, selgitamine (+ sisuline täpsus).
* Tagasiside on olulisem kui hinne: too välja käitumised, mis viisid edasijõudmiseni.
* Hoia käitumuslikud tõendid ja sisuline saavutus lahus (kaks sammu).

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.13 Kuidas teostada kujundavat hindamist? ===
Traditsioonilises klassiruumis kasutatakse hindamist valdavalt õpetaja tööriistana: infot kogutakse selleks, et teha otsuseid hinnete kohta. Liljedahli uurimistöö näitab, et isegi kujundav hindamine jääb sageli õpetajakeskseks: see aitab õpetajal õpetamist kohandada, kuid õppija jääb passiivseks objektiks, kes ei mõista, kus ta parasjagu on ja kuhu ta liigub.

Mõtlevas klassiruumis nihkub kujundava hindamise fookus selgelt õppijale. Kujundavat hindamist kasutatakse selleks, et aidata õpilastel:
* mõista, kus nad oma õppimises parasjagu on;
* näha, mida nad juba oskavad;
* teadvustada, mida nad veel ei oska ja kuhu edasi liikuda.

Liljedahli uurimistulemused näitavad, et kui õpilased saavad selge pildi oma õppimisest, suurenevad nende autonoomia ja kaasatus ning see võib viia ka mõõdetava akadeemilise edenemiseni (nt parema soorituseni testides).

Oluline on, et kujundav hindamine ei avaldu mõtlevas klassiruumis pideva testimise või punktide kogumisena. Selle asemel kasutatakse:
* vaatlusi rühmatöös;
* vestlusi õpilastega nende lahendusstrateegiate üle;
* visuaalset ja suulist tagasisidet;
* õppijate enda refleksioone.

Kujundav hindamine on seega õppimisprotsessi lahutamatu osa, mitte eraldi etapp tunni lõpus. See toetab mõtlemise püsimist ja aitab vältida olukorda, kus õpilased töötavad vaid „hinde nimel“.

'''Mikrosammud:'''
* Tee kogu klassiga 60–90-sekundilisi „vahepeatusi“: „Mis töötab, mis takistab?“
* Kasuta tahvlivaatlusi: näed kiiresti, kus klass on, ja saad vihjeid kohandada.
* Kasuta lõpus väljumisküsimust (''exit prompt''): „Üks strateegia, mida kasutasin / mida proovin järgmisel korral“.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.14 Kuidas hinnatakse õpitulemusi? ===
Liljedahl seob mõtleva klassiruumi hindamispraktika laiemate suundumustega hariduses, eeskätt '''tõenduspõhise hindamisega'''. Selle lähenemise keskmes ei ole punktide kogumine, vaid tõendid selle kohta, mida õppija tegelikult oskab ja mõistab. Mõtlevas klassiruumis põhinevad hinded kogutud tõenditel:
* õpilaste töödel ja lahendustel;
* aruteludes ilmnenud mõtlemisel;
* kujundava hindamise käigus kogutud tähelepanekutel.

Oluline erinevus tavapärasest hindamisest seisneb selles, et hinnangud ei sünni üksikutest „hindamissündmustest“, vaid ajapikku kogunenud pildist õppija arengust. See vähendab juhuslikkust ja stressi ning toetab õppija enesetõhusust.

Liljedahl rõhutab, et hindamine peab olema tihedalt seotud kujundava hindamisega: hindamiseks kasutatav info peab olema õppijale nähtav ja arusaadav. Hinne ei ole siis üllatus ega karistus, vaid loogiline kokkuvõte sellest, mida õppija on juba näidanud.

Selline lähenemine toetab mõtleva klassiruumi keskseid väärtusi: see suunab õpilasi keskenduma õppimisele ja mõtlemisele, mitte punktide jahtimisele, ning aitab kujundada vastutustunnet oma õppimise eest.

'''Mikrosammud:'''
* Hinda standardipõhiselt: kirjelda selgelt, millist mõtlemist või oskust tõendatakse.
* Viimane (küpsem) tõend loeb kõige rohkem ja „uuesti tõendamine“ on lubatud.
* Hoia hinnang (saavutus) ja tagasiside (järgmine samm) lahus.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.15 Kokkuvõte: Liljedahli neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamisel ===
Peter Liljedahli ''Building Thinking Classrooms'' raamistik koondab neliteist omavahel seotud praktikat, mis põhinevad 15 aasta pikkusel empiirilisel uurimistööl ja mille ühine eesmärk on maksimeerida õppijate mõtlemist matemaatikatunnis. Praktikad ei ole eraldiseisvad võtted, vaid moodustavad tervikliku süsteemi, kus muutused klassiruumi füüsilises keskkonnas, sotsiaalsetes normides, õpetaja rollis ja hindamises toetavad üksteist.

Raamistiku alguspraktikad keskenduvad mõtlemist käivitavate tingimuste loomisele: sobiva ülesandetüübi valik, juhuslikud rühmad ning vertikaalsete ja mittepüsivate kirjutuspindade kasutamine muudavad õppijate käitumist ja ootusi. Järgmised praktikad kujundavad klassiruumi normid, kus pingutus, eksimine ja koostöö on väärtustatud ning õpetaja roll nihkub seletajalt mõtlemise orkestreerijaks. Õpetaja sekkub teadlikult ajastuse, küsimuste ja ootuste kaudu, et hoida õppijad aktiivselt mõtlemas.

Raamistiku viimased praktikad (12–14) seovad mõtlemise hindamise ja tagasisidega. Liljedahl rõhutab, et mõtleva klassiruumi kestlikkus sõltub sellest, mida hinnatakse, kuidas kujundavat hindamist kasutatakse ja mille eest hindeid pannakse. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid, taastoodab see pealiskaudset õppimist. Kui hinnatakse pingutust, strateegilist mõtlemist ja arusaamise arengut, toetab hindamine otseselt mõtlemise kultuuri.

Kokkuvõtvalt pakuvad Liljedahli neliteist praktikat teaduspõhist ja praktilist raamistikku, mis aitab õpetajatel liikuda protseduurikeskselt õpetamiselt mõtlemist väärtustava ja õppijat aktiveeriva klassiruumi suunas. LAHEMATE kontekstis loovad need praktikad selge orientiiri koolikatsetuste kavandamiseks, õpetajate professionaalseks refleksiooniks ning mõtleva matemaatikakultuuri järkjärguliseks juurutamiseks.

== Viited ==
* Csikszentmihalyi, M. (1990). ''Flow: The Psychology of Optimal Experience''. New York: Harper &amp; Row.
* Liljedahl, P. (2020). ''Building Thinking Classrooms in Mathematics, Grades K–12: 14 Teaching Practices for Enhancing Learning''. Thousand Oaks, CA: Corwin.
* Liljedahl, P., &amp; Allen, D. (2013). Mathematical discovery: Studenting. [TÄPSUSTADA]

== Veebiallikad ==
* Liljedahl, P. Kaarditrikid: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanded: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanne „New School Schedule“: [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf PDF]
* Nguyen, F. Promoting thinking tasks with VNPS tools. Wipebook: [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU wipebook.com]
* Soo, A. (2023). Building Thinking Classrooms: peatükkide 5, 6 ja 8 refleksioonid. Ajaveeb: [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ ptk 5], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ ptk 6], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ ptk 8]
* McGowan, F. (2021). Thinking Classrooms Challenge: In Flow. Ajaveeb: [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ findingtheprocess.wordpress.com]
* Apple Education. Õpetaja MK lugu: [https://education.apple.com/story/250014232 education.apple.com]
* Ülesannete kogud: [http://nrich.maths.org NRICH], [http://youcubed.org YouCubed], [http://illuminations.nctm.org Illuminations (NCTM)]

[[Kategooria:LAHEMATE]]
[[Kategooria:Probleemilahendus]]</text>
      <sha1>d6lh18ngth1qu4oru97i892r6qjxj3c</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20350</id>
      <parentid>20349</parentid>
      <timestamp>2026-09-28T07:43:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Martlaanpere</username>
        <id>1131</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Peter Liljedahli mõtleva klassiruumi metoodika */</comment>
      <origin>20350</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="58263" sha1="dynsd8myccpi0iifkx5wchk9def1d7q" xml:space="preserve">Liljedahli metoodika põhineb tema aastatepikkusel teadustööl ja tunnivaatluste süstemaatilisel analüüsil. Need veensid teda, et enamikus vaadeldud matemaatikatundides ei toetata õpilaste mõtlemist piisavalt. Ta väidab, et enamik õpilasi ei tegele tunnis ei mõtlemise ega õppimisega (neist esimene on viimase vältimatu eeldus), vaid hoopis „õpilasena käitumise“ ehk '''„õpilasetsemise“''' (''studenting'') muude vormidega. „Studenting“ on Alleni (2017) välja pakutud termin, mis tähistab kõiki antud õpikeskkonnas õpilaseks olemisega seotud tegevusi, mille hulka kuulub muu hulgas ka õppimine. Allen pakub oma empiiriliste uuringute põhjal välja viis peamist õpilasetsemise vormi:
* '''viilimine''' (''slacking''): õpilased ignoreerivad täielikult õpetaja antud ülesandeid ja tegelevad millegi muuga, nt nutitelefonis ühismeedia vaatamise, teemavälise omavahelise suhtlemise või lihtsalt mittemidagitegemisega;
* '''venitamine''' (''stalling''): õpiülesandega tegelemise edasilükkamine, kasutades ettekäändena legitiimseid asendustegevusi, nagu pliiatsi teritamine, kotist asjade otsimine või WC-s käik;
* '''teesklemine''' (''faking''): näiliselt õpiülesandega tegelemine (tahvli või õpiku „uurimine“, mõtliku näo tegemine), kuid tegelikult ülesande lahendamise vältimine;
* '''matkimine''' (''mimicking''): ülesandega mehaaniliselt tegelemine, kopeerides õpetaja eelnevat näidislahendust rida-realt, kuid ilma aktiivse mõttetegevuse ja mõistmiseta;
* '''katsetamine''' (''trying it on their own''): iseseisev pingutamine ülesande lahendamiseks.

Liljedahl väidab, et neist üksnes viimasega kaasneb mõtlemine ja et sadades tema vaadeldud matemaatikatundides tegeles „mõtlemisvabade“ õpilasetsemise vormidega 75% õpilastest peaaegu kogu tunni jooksul. Lahendusena on Liljedahl oma uuringute tulemusena sõnastanud 14 toimivat didaktilist praktikat (sisuliselt on need heuristikud õpetajale), mis aitavad luua mõtlemist toetava õpikeskkonna:
# '''Milliseid ülesandeid me õpilastele anname?''' Alustada tuleks aine(kava)ga vaid kaudselt seotud elulistest ja mõtlema innustavatest küsimustest ning seejärel liikuda pisitasa matemaatilisemate mõtlemisülesannete juurde.
# '''Kuidas me õpilasi rühmitame?''' Juhuslikult kokku loositud, iga kord uued rühmad toimivad paremini ja innustavad õpilasi rühma ühistegevusse panustama.
# '''Kus õpilased õpivad?''' Õpilaste mõtlemist ja koostööd on lihtsam käivitada, kui nad seisavad vertikaalsete kirjutamispindade ees, millelt kirjapandut saab kustutada (nt pabertahvlid, valged markertahvlid, interaktiivsed ekraanid).
# '''Milline on füüsiline õpikeskkond klassis?''' Ridadesse joondatud, õpetaja suunas vaatavad pingiread toovad kaasa passiivse õppimise. Klassi mööbel peab võimaldama ümberpaigutamist ja rühmatööks vaba ruumi loomist, eelkõige seinte ääres.
# '''Kuidas vastatakse õpilaste küsimustele?''' Tavatundides on 90% õpilaste küsimustest kas pelgalt õpetajaga muul teemal suhtlemiseks, kuna ta satub lähedusse (nn ''proximity questions''), või kiire tagasiside saamiseks („Kas see on õige?“). Need peatavad õpiülesande üle mõtlemise. Õpilasi peaks suunama esitama hoopis mõtlemist soodustavaid küsimusi (nn ''keep-thinking'' küsimused).
# '''Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid?''' Õpilaste mõtlemist aktiveerivad ülesanded, mis antakse pigem tunni alguses kui lõpus, pigem suurel ekraanil kui õpikus, pigem suuliselt kui kirjalikult.
# '''Millist kodutööd antakse?''' Et õpilased ei tajuks kodutööd kui õpetaja jaoks kontrolli eesmärgil tehtavat tüütut kohustust, tuleks anda selliseid kodutöid, mis inspireerivad kodus edasi mõtlema ja oma lahenduste tulemuslikkust hindama.
# '''Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat?''' Õppijate enesejuhitavust saab suurendada nii eespool kirjeldatud rühmatööde, arutelude ja teistmoodi kodutöödega kui ka kaaslaste vaatlemise, neilt ideede korjamise ja neile tagasiside andmisega.
# '''Kuidas toestada õppimist?''' Vihjed, näited ja soovitused aitavad hoida õppijad personaliseeritud „kulgemisvööndis“ (''flow zone'', vt Csikszentmihalyi, 1990) ja vältida õppimise muutumist liiga lihtsaks või liiga raskeks.
# '''Kuidas konsolideerida õpitut?''' Eri ülesannete kaudu õpitu koondamine iga õpilase peas ühtseks tervikuks on konstruktivistliku õpikäsituse üks nurgakive ja suur väljakutse õpetajale.
# '''Kuidas õpilased teevad märkmeid?''' Õpetaja jutu mehaanilise konspekteerimise asemel tuleb õpilasi õpetada ise oma mõttetööst kokkuvõtteid visandama ja visandeid täiustama.
# '''Mida hinnatakse?''' Lisaks ainekavas kirjas olevatele õpitulemustele tuleks hindamise objektiks võtta ka oskused, mida mõtlemist soodustavas tunnis väärtustatakse, nt püsivus, koostöö ja loovus.
# '''Kuidas teostada kujundavat hindamist?''' Õpilastele antakse mitmekülgset tagasisidet mitte üksnes nende püüdlikkuse ja aktiivsuse kohta, vaid ka selle kohta, kuidas nad seni on toime tulnud ja mida tuleks edasi teha.
# '''Kuidas hinnatakse õpitulemusi?''' Pigem sarnaselt kujundava hindamisega (pakkudes õpilastele tagasisidet edasimõtlemiseks), mitte lõpliku kohtuotsusena, kuid siiski riikliku õppekava õpitulemustest lähtudes.

Vaatleme nüüd lähemalt neid neljateistkümmet &quot;optimaalset/toimivat&quot; praktikat (ehk didaktilist heuristikut õpetajale) koos praktiliste näidetega.

== 5.1 Neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamiseks ==

=== 5.1.1 Milliseid ülesandeid me õpilastele anname? ===
Oma raamatus „Building Thinking Classrooms“ (2020) toob Liljedahl hakatuseks näite probleemülesandest, mille autor on Lewis Carroll: ''kui kuus kassi püüab kuue minuti jooksul kuus rotti, siis mitu kassi oleks vaja, et püüda 50 minuti jooksul 100 rotti?'' Selle ülesande lahendamine eeldaks küll teadmisi murdude ja võrdelise seose kohta, kuid neist ei piisa. Õpilased jäävad tavaliselt „kinni“ juba alguses, sest ülesandest võib aru saada kaheti: kas kuuest kassist üks püüab igas minutis ühe roti või püüab iga kass ühe roti kuue minuti jooksul. See „kinnijäämine“ toob kaasa mõtlemise ja probleemilahenduse käivitumise.

Eksamiks õppides lahendavad paljud „tublid“ õpilased suurel hulgal ülesandeid, nii et õppekavale vastavad tüüplahendused muutuvad nende jaoks rutiinseks ja nende lahendamiseks pole enam mõtlemist tarvis – piisab mehaanilisest matkimisest. Eksamil (ja elus või hilisemates õpingutes) võib aga suure tõenäosusega ette tulla probleeme, mille lahendamine eeldab mitterutiinseid lahendusi, näiteks matemaatika eri valdkondadest või teistest õppeainetest pärinevate teadmiste kombineerimist. Just selliseid probleemülesandeid soovitab Liljedahl matemaatilise mõtlemise harjutamiseks kasutada juba õppeprotsessi käigus. Ta jaotab head probleemülesanded kolme kategooriasse.

'''1) Köitvad nuputamisülesanded''', mis lausa meelitavad inimesi lustiga kaasa mõtlema. Õpikutes esineb sedalaadi ülesandeid pigem harva, kuid mujal (nt ajalehtede nupunurkades, sotsiaalmeedias, Känguru võistlusel, e-rehkenduses) on neid küllaldaselt. Liljedahl toob neli näidet kooliastmete kaupa:
* ''I kooliaste:'' mitu ruutu on pildil?
* ''II kooliaste:'' kui ostad videomängu 10 dollariga, müüd selle 20 dollariga, ostad taas tagasi 30 dollariga ja müüd uuesti 40 dollariga, siis kui palju raha sa lõpuks teenisid (või kaotasid)?
* ''III kooliaste:'' kui sul on ainult kaks liivakella (üks 4-minutiline ja teine 7-minutiline), kas saaksid nende abil aega mõõtes keeta oma vanaemale täpselt 9 minutit keedetud muna? Kui saab, siis kui kaua peab vanaema ootama muna valmissaamist?
* ''Gümnaasiumiaste:'' ekstsentriline daam broneeris kolm kõrvutiasuvat hotellituba ja lubas ööbida igal ööl toas, mis asub eelmisel ööl kasutatud toa kõrval. Vastuvõtus töötav John avastas, et tubade eest maksmiseks kasutatud krediitkaart ei toimi. Kiire töötempo tõttu on Johnil päeva jooksul aega vaid korraks minna ülakorrusele ja koputada ühele kolmest uksest, lootes daami leida ja maksetõrke ära klaarida. Mitu päeva tal kulub, et kindlasti daamiga kohtuda? Aga kui daam oleks broneerinud hoopis 4 või 5 tuba? Või kui ta broneeris 17 tuba 30 päevaks – kas Johnil oleks lootust daam tabada enne, kui too kuu möödudes hotellist lahkub?

'''2) Kaarditrikid''', mis põhinevad matemaatikal, mitte silmapettel ega käteosavusel. Selliste trikkide videosalvestusi on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]

'''3) Rehkendamisülesanded''', mis on võetud elust enesest ja kõnetavad seetõttu õpilasi. Sellise ülesande näitena toob Liljedahl loo sõpruskonna suusareisist, milleks on pikalt raha kogutud. Allpool olevas tabelis on näha iga rühmaliikme kogutud raha ja kavandatud kulud. Sõbrad on otsustanud, et kogutud raha kulutatakse viimase sendini üksnes kavandatud otstarbeks ja keegi ei tohi reisilt maha jääda (isegi kui mõni maksab rohkem, kui tal endal kulub). Kas raha on kogutud piisavalt? Kui ei, siis kes peaks juurde maksma ja kui palju? Selliseid rehkendamisülesandeid on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses koos juhendiga, kuidas neid ise koostada: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Tabel 1. Sõpruskonna suusareisi jaoks kogutud raha ja kavandatud kulutuste koond
! Nimi !! Kogutud raha !! Suusavarustuse rent !! Suusalifti pilet !! Algaja suusakoolitus
|-
| Aleks || 75 || 20 || 40 || 40
|-
| Piret || 125 || 10 || 40 || 40
|-
| Terje || 50 || 30 || 40 || 0
|-
| Kevin || 10 || 40 || 40 || 40
|-
| Jaana || 25 || 0 || 40 || 0
|-
| Reta || 10 || 0 || 40 || 40
|-
| Taavi || 38 || 30 || 40 || 0
|-
| Sten || 22 || 40 || 40 || 40
|-
| Sonja || 200 || 20 || 40 || 0
|-
| Kaidi || 60 || 25 || 40 || 0
|}

Probleemülesannete koostamisel lähtub Liljedahl (nagu ka Boaler) '''„madala läve ja kõrge lae“''' disainipõhimõttest, lisades sellele veel kolmanda: '''„avatud keskpaiga“''' printsiibi. Viimane eeldab probleemülesandelt ühte õiget vastust, jättes avatuks ja paindlikuks selle vastuseni jõudmise viisi. Selliseid „avatud keskpaigaga“ ülesandeid esineb sagedamini nuputamisülesannete ja kaarditrikkide seas, samas kui Liljedahli stiilis rehkendamisülesannetel on üldjuhul ka õigeid vastuseid palju.

Õpetaja võib neid ülesandeid vaadates ohata, et need on küll haaravad, kuid ei aita saavutada õppekavas olevaid õpiväljundeid. Loogiline lahendus näib olevat mõtlemist toetavate tekstülesannete kohandamine selliseks, et nende lahendamisel tuleb paratamatult kasutada õpikuteadmisi käsiloleva peatüki ja õppekava osa kohta. Nii talitades ohverdaksime aga õpilaste mõtlemise arendamise ja kaasahaaratuse ning riskiksime muuta ülesannete lahendamise igavaks ja rutiinseks matkimiseks. Selle asemel soovitab Liljedahl muretseda vähem õppekava pärast ja keskenduda esmalt õpilaste mõtlemisele. See suurendab nende eneseusku oma matemaatikavõimetesse, positiivset suhtumist ja huvi õppeaine vastu, misjärel õppekavaga selgemalt seotud ülesannete lahendamine muutub oluliselt lihtsamaks ja võtab vähem aega.

Lisaks saab ka õpikuülesandeid kohandada nii, et need panevad õpilased mõtlema. Näitena esitab Liljedahl õpetaja dialoogi klassiga ruutkolmliikme tegurdamise teemal, alustades varem õpitud teadmisest:
* '''Õpetaja:''' Meenutame kaksliikmete korrutamist. Mis te saate, kui korrutate (x + 2)(x + 3)?
* '''Õpilased:''' (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
* '''Õpetaja:''' Aga kui ma alustaksin tagantpoolt ja mu vastus oleks x² + 7x + 6, mis arvud peaksid sel juhul olema mu algses küsimuses (x + □)(x + □)?

Liljedahli mõtleva klassiruumi lähenemises on matemaatika õppimise keskmes õpilase mõtlemine. Kui soovime, et õpilased mõtleksid, tuleb neile anda midagi, mille üle mõelda – selleks on eelkõige hästi valitud matemaatiline ülesanne. Samas rõhutab Liljedahl, et heast ülesandest üksi ei piisa. Ka väga hea probleemülesanne ei pruugi õpilasi mõtlema panna, kui klassiruumi töökorraldus, õpetaja tegevus ja õpilaste harjumused seda ei toeta. Seega on hea ülesanne mõtleva klassiruumi vajalik, kuid mitte piisav tingimus.

Kordame üle - Liljedahli kohaselt peab hea mõtlemisülesanne vastama kolmele kriteeriumile: 
* sellel on madal lävi (''low floor''), 
* kõrge lagi (''high ceiling'') ning 
* see sisaldab õpilase jaoks mingit uudsuse aspekti (''novelty'').

'''Madal lävi''' tähendab, et igal õpilasel peab olema võimalik ülesandega iseseisvalt pihta hakata. See ei tähenda, et ülesanne ise peab olema lihtne (madala keerukusastmega). Pigem peab ülesande alguses olema midagi sellist, millest ka nõrgemate eelteadmistega õpilane saab kinni haarata ja mille põhjal esimesi katsetusi teha, nuputama hakata. Liljedahl seostab madalat läve ka võrdsuse ja kaasatuse taotlusega matemaatikaõppes. Kui hariduse üldisem eesmärk on võrdsed võimalused (equity), siis õpetaja praktiline ülesanne klassiruumis on luua õpilastele juurdepääs (access) matemaatilisele tegevusele. Madal lävi on üks konkreetne viis selle saavutamiseks.

'''Kõrge lagi''' tähendab seevastu, et ülesanne peab pakkuma väljakutset ka tugevamatele õpilastele. Kõik õppijad peaksid mingil hetkel jõudma olukorda, kus lahendus ei ole enam ilmne ja tuleb päriselt mõelda. Oluline on siin ülesande raskusastme ja õpilase seniste teadmiste vahekord: eri õpilased jõuavad väljakutse lahenduseni eri ajal ja eri tasemel.
Sellega seostub produktiivse pingutuse (productive struggle) idee, mis on seotud ka Võgotski lähima arengu tsooni mõistega - õppimine on tulemuslikum siis kui õpetaja suudab õpilase tema mugavustsoonist arengu tsooni juhtida. Mõtlemine muutub eriti oluliseks siis, kui õpilane ei tea kohe, mida edasi teha. Sellises olukorras peab ta katsetama, püstitama oletusi, ebaõnnestuma, oma lähenemist muutma ja uuesti proovima. Eesmärk ei ole vältida olukorda, kus õpilane „jääb kinni“, vaid õpetada teda sellisest olukorrast edasi liikuma. Liljedahl rõhutab siiski, et produktiivse pingutuse tekkimiseks on oluline ka varasem eduelamus. Kui keeruline väljakutse järgneb õnnestumisele, jätkab õpilane suurema tõenäosusega pingutamist; kui mitu järjestikust ülesannet takerduvad ebaõnnestumisse, suureneb õpilase loobumise tõenäosus.

Kolmas hea ülesande tunnus on '''uudsus'''. Kui õpilane juba teab, millist algoritmi või varem õpitud lahendusviisi rakendada, võib ta selle lihtsalt ja ilma pingutava mõtlemiseta reprodutseerida. Autorite käsitluses algab mõtlemine eeskätt olukorras, kus lahendustee ei ole ette teada. Seetõttu peaks mõtlemisülesanne sisaldama õpilase jaoks midagi mitterutiinset: uut probleemi, uut konteksti, ebaharilikku kombinatsiooni või vajadust teadaolevaid teadmisi uuel viisil kasutada.

Need kolm omadust ei pea tingimata sisalduma ühes suures ja keerulises ülesandes. Sageli on otstarbekam koostada ülesannete jada, milles esimesed ülesanded võimaldavad kiiremini alustada ja kogeda edu ning järgnevad ülesanded suurendavad järk-järgult väljakutset. Samuti vajavad ka head ülesanded jätkuülesandeid ehk laiendusi (''extensions''). Mõtleva klassiruumi üks põhimõtteid on, et õpilane ei peaks jõudma seisundisse „olen valmis“: kui esialgne probleem on lahendatud, järgneb sellele uus küsimus või tingimus, mis nõuab mõtlemise jätkamist.

==== Õppekavalised ja õppekavavälised probleemülesanded ====

Liljedahl eristab “rikastatud ülesandeid” (''rich tasks'') ning nende kasutamist nii õppekavast lähtudes kui ka õppekavaväliselt. Rikastatud ülesanne nõuab mitmesuguste matemaatiliste teadmiste kasutamist ja nende kombineerimist probleemi lahendamiseks. Sama ülesanne võib olla ühe õpilasrühma jaoks õppekavaline (''curricular'') ja teise jaoks õppekavaväline (''non-curricular''), sõltuvalt sellest, kas selle lahendamiseks kasutatav matemaatika kuulub parajasti õpitava sisu hulka. Õppekavavälised on näiteks matemaatika olümpiaadi, Känguru võistluse ja ajakirjade nuputamisnurkades avaldatud ülesanded, aga ka mingis teises valdkonnas (nt programmeerimises, majandusstatistikas ja teadusuuringutes) esitatud põnevad nuputamisväljakutsed. 

Näiteks võiks siinkohal tuua nuputamisülesande, kus numbrid 1–9 tuleb paigutada astmete ja korrutistega avaldisse nii, et saadava murru väärtus oleks võimalikult suur. Õpilane võib alustada katse-eksituse meetodiga, kuid edasi tekivad küsimused selle kohta, kuidas muuta lugeja võimalikult suureks ja nimetaja võimalikult väikeseks, kuidas mõjutavad tulemust astmed ning milliseid arvukombinatsioone üldse tasub uurida. Sama ülesannet saab jätkata uue eesmärgiga, näiteks moodustada avaldis, mille väärtus oleks võimalikult lähedal ühele. Selline ülesannete jada illustreerib korraga madalat läve, kõrget lage, uudsust ja jätkuülesannete kasutamist. Mõtleva klassiruumi ülesanded võivad kasutada käelisi õppevahendeid (manipulatives) – näiteks täringuid, algebraklotse, murrukettaid, tasakaalumudeleid või ruumilisi kujundeid. Oluline pole aga taolise käekatasutava vahendi/objekti olemasolu iseenesest, vaid milleks seda kasutatakse.

[[Fail:Algebraklotsid.png|pisi|alt=Algebraklotsid|Algebraklotsid]]

==== Näidisülesanne algebraklotside abil lahendamiseks ==== 

Lahenda algebraklotside abil ja selgita oma lahendust teisele õpilasele: 
* (x+2)(x+3)=
* (x+4)(x-3)=
* (x-2)(x-4)=

==== Näidisülesanne kuue täringuga ====

[[Fail:Täringud.png|pisi|alt=Kuus täringut|Kuus täringut]]

# Milliseid mustreid märkad kui uurid täringu vastastahkudel olevaid väärtusi?
# Raputa peos 6 täringut ja aseta need siis üksteise otsa tornina. Kuidas saaks kiiresti arvutada kõigi nähaolevate tahkude silmade summa? Ja siis peidetud tahkude summa?
# Kas joonisel olevad täringud on kõik identsed? Mitu erinevat täringut on võimalik luua, kui lähtuda vastastahkude silmade reeglist? 


Liljedahl eristab kolme käelise õppevahendi kasutusviisi. 
* Õpilane võib mõelda antud õppevahendi üle, kui see ise on uurimisobjekt – näiteks saab uurida ja võrrelda eri liiki täringute vastastahkude arvude paiknemise seaduspärasusi. 
* Teiseks võib õpilane mõelda käelise õppevahendi abil, kasutades seda matemaatilise probleemi lahendamiseks. Näiteks saab väikestest kuupidest ehitada 3 × 3 × 3 kuubi ja uurida värvitud kuubi probleemi. 
* Kolmandaks saab õpilane esitada ja kommunikeerida oma mõtlemist käelise vahendi abil, näiteks kasutada algebraklotse oma lahenduskäigu selgitamiseks kaasõpilastele.

Käelised õppevahendid on seejuures matemaatiliste representatsioonide üks liik. Õppimise seisukohalt on oluline liikuda esemelise mudeli, pildi, kirjalike sümbolite, verbaalse esituse ja reaalse olukorra vahel. Seetõttu ei tohiks vahend asendada matemaatilist mõtlemist, vaid aidata luua seoseid eri representatsioonide vahel.

Ka siin on oluline õpetaja otsus, millal vahendit pakkuda. Mõnikord on käeline vahend ülesande lahutamatu osa ja õpetaja annab selle kõigile; teinekord võiksid erinevad vahendid olla lihtsalt õpilastele kättesaadavad ning õpilased ise otsustavad, kas ja millist neist kasutada.

Eriti huvitav on Liljedahl’i hoiatus visualiseerimise kohta. Kui soovitud õpitulemus on võime kujundit vaimusilmas ette kujutada, võib füüsilise mudeli pidev olemasolu hoopis visualiseerimise vajaduse kõrvaldada. Seetõttu võib õpetaja näiteks näidata kuupi ülesande selgitamisel, seejärel selle eemaldada ning anda selle uuesti ajutiselt rühmale, kellel on visualiseerimisega raskusi. Nii toetab mudel visualiseerimise kujunemist, mitte ei asenda seda.

Sarnane põhimõte kehtib digitehnoloogia kasutamise kohta mõtlemisülesannetes: tehnoloogia iseenesest ei muuda kehva ülesannet heaks. Animatsioonid, kalkulaatorid, GeoGebra, Desmos või programmeerimine võivad mõtlemist toetada, kuid ülesanne peab ikkagi käivitama mõtlemise, pakkuma piisavat väljakutset ja sisaldama uudsust.
Liljedahl eristab mõtleva klassiruumi kontekstis kolme tehnoloogia kasutusviisi: tehnoloogia kui arvutusvahend, uurimisvahend ja programmeerimisvahend:
* '''Arvutusvahendina''' võib tehnoloogia teha mahukaid arvutusi, joonestada või mõõta. Autorid soovitavad rühmatöös pigem ühte seadet rühma kohta, sest iga õpilase isiklik seade võib rühma koostööd killustada. Samal põhjusel soovitatakse olulised sisendid ja tehnoloogia abil saadud tulemused kanda ka rühma vertikaalsele kirjutuspinnale (VKP). Nii muutub tehnoloogia individuaalse seadme asemel rühma ühiseks töövahendiks.
* '''Uurimisvahendina''' võimaldab tehnoloogia kiiresti muuta parameetreid, jälgida tulemusi, püstitada oletusi ja neid kontrollida. Näiteks saab uurida parabooli muutumist ruutfunktsiooni kordajate muutmisel või statistiliste näitajate muutumist andmestiku muutmisel. Selline tegevus moodustab tsükli vaatlemine → oletuse püstitamine → kontrollimine, milles tehnoloogia võimaldab kiiresti koguda uusi näiteid ja kontrollida hüpoteese.
* '''Programmeerimisel''' muutub tehnoloogia ülesandest peaaegu lahutamatuks: õpilane kavandab algoritmi, katsetab seda, jälgib sisendite ja väljundite seoseid ning parandab vigu. Autorite järgi on programmeerimine juba olemuselt uurimuslik tegevus. Mõtleva klassiruumi puhul soovitatakse programmeerimiseks töötada paarides, kasutada ühte arvutit paari kohta ning ühendada arvutitöö VKP-iga, kus saab kavandada algoritmi, talletada oletusi ja nähtavaks teha lahenduskäiku.

LAHEMATE uuringuprojekti kontekstis on selle peatüki kõige olulisem sõnum, et Liljedahli lähenemist ei tohiks taandada üksnes mõnele silmatorkavale klassiruumi töövõttele, näiteks juhuslikele rühmadele või vertikaalsetele kirjutuspindadele. Mõtleva klassiruumi lähtekoht on sellise matemaatilise tegevuse kavandamine, mis tekitab vajaduse mõelda. Selleks peab ülesanne võimaldama kõigil alustada, kuid mitte võimaldama kõigil kohe lõpetada; õpilane peab mingil hetkel jõudma olukorda, kus tuttava algoritmi mehaanilisest rakendamisest ei piisa.

LAHEMATE õpetaja võiks seetõttu probleemülesande kavandamisel küsida vähemalt järgmisi küsimusi:
# Kas ülesandel on madal lävi? Kas kõik õpilased leiavad mõistliku viisi alustamiseks?
# Kas ülesandel on kõrge lagi? Kas ka tugevamad õpilased jõuavad punkti, kus nad peavad päriselt nuputama?
# Kas ülesanne on õpilaste jaoks piisavalt uudne? Või tunnevad nad kohe ära harjutatud algoritmi?
# Milline on järgmine samm? Millise jätkuülesande saab anda õpilasele, kes esimese probleemi lahendab?
# Kas käeline õppevahend või digitehnoloogia käivitab matemaatilist mõtlemist või asendab seda?
# Kas kasutatav vahend toetab rühma ühist mõtlemist ja matemaatilist suhtlemist (matemaatika keelendamist)?
# Millal tuleks käeline õppevahend eemaldada? Eesmärk ei ole muuta õpilast vahendist sõltuvaks, vaid aidata tal liikuda abstraktsema matemaatilise mõtlemise poole.

Seega pole Liljedahli mõtleva klassiruumi puhul keskne küsimus lihtsalt „'''Kas see on hea probleemülesanne?'''“, vaid pigem „'''Millist mõtlemist see ülesanne minu klassiruumis esile kutsub ning kuidas ülesande, käeliste vahendite ja töökorralduse kombinatsioon seda mõtlemist toetab?'''“ Just selles mõttes moodustavad ülesande omadused, õpetaja pedagoogilised valikud, rühmatöö korraldus, füüsilised ja digitaalsed vahendid ning produktiivse pingutuse toetamine ühe tervikliku süsteemi.


==== Kokkuvõte ====
Kokkuvõtteks soovitab Liljedahl alustada iga tundi mõtlemisülesannetega ja õpilaste kaasamise järel liikuda edasi ülesannete juurde, mille lahendamine eeldab õppekavale vastavate teadmiste rakendamist. Samas ei soovita ta õppekavale või õpikule vastavaid lahendusi õpilastele ette näidata, sest see lülitaks õpilased „mõtlemisrežiimist“ „matkimisrežiimi“.

'''Mikrosammud probleemülesannete koostamiseks mõtlemisruumi metoodikast lähtuvalt:'''
* Alusta 1–2 esimesel nädalal õppekavaväliste nuputamis- ja mõtlemisülesannetega (madal lävi, kõrge lagi). Alles õpilaste mõtlemisharjumuste tekkides liigu õppekavaga otsesemalt seotud ülesannete juurde.
* Vali ülesanded, millel on mitu lahendusviisi (joonista, koosta tabel, võrrand, arvuta).
* Väldi alguses töölehti: anna ülesanne suuliselt ja lase rühmadel ideid proovida.

'''Näidisülesanne:'''
* Koosta koolile [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf uus tunniplaan], kus iga teine reede on iseseisva õppe päev, kuid koolitundidele kuluvate minutite summa igas kahenädalases tsüklis (ja õppeaastas tervikuna) jääb samaks kui praegu.

Sama raamülesanne hoiab mõtlemist esiplaanil ka siis, kui selle sisu muutub hiljem õppekavaga seotuks.

=== 5.1.2 Kuidas me õpilasi rühmitame? ===
Loo silmanähtavalt juhuslikud kolmesed rühmad ja vaheta neid sageli. See murrab sotsiaalseid barjääre, suurendab teadmiste liikumist klassis ja tõstab iga õpilase valmisolekut panustada ühisesse mõtlemistegevusse.

'''Mikrosammud:'''
* Moodusta rühmad silmanähtavalt juhuslikult, kasutades nt kaardipakki, loosipulki või QR-koode.
* Vaheta rühmade koosseise sageli (igas tunnis või üle päeva), et vältida „püsirollide“ tekkimise ohtu.
* Hoia rühma suurus kolmeliikmelisena: see on piisav erinevate ideede tekkeks, kuid ei võimalda rühmaliikmetel mugavalt „pealtvaataja“ vaikivasse rolli taanduda.

'''Näide:''' õpetaja segab kaardipaki, jagab igale õpilasele ühe kaardi ja kutsub õpilased tahvlite juurde kolmeliikmelistesse rühmadesse kaardimastide või -väärtuste järgi. Algne kohmetus taandub kiiresti ja koostöö paraneb.

=== 5.1.3 Kus õpilased töötavad? ===
Õpilased seisavad püsti ja kirjutavad '''vertikaalsetele kustutatavatele pindadele''' (tahvlid, A1 paberlehed, aknaklaasid). Vertikaalsus tagab nähtavuse teistele õpilastele ja õpetajale, aga ka vastutuse. Kustutatavus julgustab uute ideedega katsetama ja uuesti proovima.

'''Mikrosammud tööpindade loomiseks:'''
* Varusta klass vertikaalsete kustutatavate pindadega (tahvlilehed, aknad).
* Anna üks marker rühma kohta: see sunnib rääkima ja tegija rolli vahetama.
* Iga rühm seisab. Istumiskohti kasutatakse alles tunni lõpu ühisarutelu faasis.

'''Näide:''' [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU Fawn Nguyeni kirjeldus] vertikaalsete pindade kasutamise kohta oma tundides.

&lt;!-- Joonis: Erinevate vertikaalsete kustutatavate pindade kasutamine mõtlemisruumis. --&gt;

=== 5.4 Milline on füüsiline õpikeskkond klassis? ===
Paiguta klassis mööbel nii, et õpilased ei vaataks kõik ühes suunas ettepoole, ning taga õpilaste vaba liikumine tahvlite ja rühmade vahel. Rühmadevaheline liikumisvõimalus toetab mõtlemist rohkem kui pingiridade „loengukeskkond“. Liljedahl nimetab traditsioonilise, tahvli suunas vaatavate pingiridadega õpikeskkonna lõhkumist &quot;''defronting''&quot;, mis eesti keeles võiks ehk olla &quot;esiküljetustamine&quot; või &quot;poodiumi kaotamine&quot;.  

'''Mikrosammud mööbli ümberpaigutamiseks:'''
* Nihuta lauad seinte äärde. Õpetaja domineeritav „klassiesine“ kaob ja fookus on rühmatöötahvlitel.
* Jäta rühmade ja pindade vahele vaba liikumisruumi, et õpilased saaksid käia üksteise ideid vaatamas.
* Hoia töövahendid (markerid, magnetid, mõõdulindid) seintel kättesaadavana.

'''Näide:''' vaata eelmist näidet Fawn Nguyeni klassiruumist.

=== 5.1.5 Kuidas vastata õpilaste küsimustele? ===
Erista kolme tüüpi küsimusi, mida õpilased küsivad:
* '''Lähedusküsimused''' (''proximity questions''), mida õpilane küsib lihtsalt õpetajaga suhtlemiseks, kuna õpetaja sattus füüsiliselt lähedale. Sedalaadi küsimustele antud vastuseid õpilane üldjuhul oma mõtlemisprotsessis ei kasuta. Liljedahl toob näite tüdrukust, kes õpetaja lähenedes peitis nutitelefoni taskusse ja küsis tähelepanu kõrvalejuhtimiseks: „Kas peame mitu vastust välja pakkuma või piisab ühest?“
* '''Mõtlemispausi küsimused''' (''stop-thinking questions''), mis peatavad mõtlemisprotsessi, nt „Miks me peame seda õppima?“ või „Kas see ülesanne võib tulla ka kontrolltöös/eksamil?“
* '''Mõtlemist toetavad küsimused''' (''keep-thinking questions''), millega õpilane soovib tagasisidet oma ideele või lahendusele, nt „Meil tekkis mõte proovida leida ka negatiivne lahendus, kas see oleks OK?“

Vasta ainult kolmandat liiki küsimustele, mis aitavad õpilasel edasi mõelda. Lihtsad mõtlemispausi tüüpi valideerimisküsimused stiilis „Kas see on õige?“ peaks õpetaja aitama ümber sõnastada mõtlemist toetavaks küsimuseks, nt „Kuidas sa kontrolliksid, et ise teada saada, kas lahendus on õige?“

'''Mikrosammud küsimustele vastamisel:'''
* Sõnasta reegel: vastan ainult „mõtle edasi“ küsimustele.
* „Kas see on õige?“ → „Kuidas saaksid seda kontrollida?“
* „Mida teha edasi?“ → „Mida te juba proovisite? Mis on järgmine väike samm?“

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ April Soo katsetused] mõtlemisruumi metoodika rakendamisel õpilaste küsimuste osas.

=== 5.1.6 Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid? ===
Internet on täis potentsiaalselt häid ülesandeid (e-Koolikott, Facebooki grupp „Õpetajalt õpetajale õppematerjalid“, [http://nrich.maths.org NRICH.maths.org] Inglismaal, [http://youcubed.org YouCubed.org] ja [http://illuminations.nctm.org ILLUMINATIONS.nctm.org] USA-s), kuid õpetajate kõige sagedasem mure on, kust leida sobivaid ülesandeid. Liljedahl usub, et õpetajad ei pea selle küsimusega silmas mitte niivõrd õppekavale vastavate ülesannete leidmist (mida käsitlesime eespool peatükis 5.1), vaid küsivad tegelikult hoopis: „Kust leiaksin ülesandeid, mis innustaksid mu õpilasi mõtlema ja probleeme lahendama?“

Lisaks ülesande sisule on oluline ka see, millal ja kuidas ülesanne õpilastele esitada (matemaatikahariduse uurijate konverentsil CERME on ''problem posing'' traditsiooniliselt üks populaarseid uurimisteemasid). Liljedahl soovitab anda ülesande kohe tunni alguses esimese 5 minuti jooksul ja kindlasti suuliselt, kui rühmad seisavad püsti õpetaja ümber. Liljedahli enda uuringute kohaselt käivitab suuliselt ja kohe tunni alguses esitatud ülesanne õpilaste mõtlemist oluliselt paremini kui ekraanilt või töövihikust antud ülesanne, sest see vähendab masinlikku kopeerimist ja loob eeldused mõtlemisprotsesside käivitumiseks.

Tavapärases matemaatikatunnis saab õpilane ülesande enamasti õpikust, töölehelt, ekraanilt või tahvlilt. ''Building Thinking Classrooms'' (BTC) uuringutes tekitas kõige vähem mõtlemist õpikust antud ülesanne. Liljedahli seletuse järgi on õpilastel õpikuülesannetega kujunenud tugev koolikultuuriline seos: neid tajutakse sageli kui ülesandeid, mida tuleb lahendada pärast seda, kui õpetaja on näidanud, kuidas seda tüüpi ülesannet lahendatakse. Nii võivad need muutuda pigem eeskuju jäljendamise kui iseseisva mõtlemise ülesanneteks.

Õpetajate kõige suuremaks väljakutseks BTC uuringutes osutus ülesande suuline esitamine. Õpetaja jutustab või kirjeldab probleemi, vajaduse korral kasutab žeste või lihtsat demonstratsiooni ning kirjutab tahvlile ainult need andmed, arvud, joonised või muud detailid, mida on raske meeles hoida. Oluline erinevus on siin selles, et andmed võib kirjutada, kuid tegevusjuhise võiks öelda suuliselt.

Liljedahl põhjendab suulise esitamise eelist mitmeti. Suuline kommunikatsioon on inimese jaoks loomulik ja õpilased kasutavad seda niikuinii rühmas omavahel suheldes. Veel olulisem on aga mõtleva klassiruumi sotsiaalne korraldus: ei ole vaja, et kõik õpilased saaksid kohe alguses ülesandest täpselt ühtemoodi aru. Piisab sellest, kui rühmas on piisavalt õpilasi, kes saavad tööga alustada; ülejäänud arusaamine kujuneb koostöös ja õpetaja jooksva toetuse kaudu.

See erineb tavapärasest õpetamisest, kus õpetaja püüab enne töö alustamist kõik võimalikud arusaamatused ennetada: ülesanne kirjutatakse välja, seletatakse suuliselt, näidatakse näide, kontrollitakse arusaamist ja vajaduse korral seletatakse uuesti. Liljedahl nimetab alternatiivi kujundlikult „tuletõrjuja lähenemiseks“ (firefighter approach): anna lühikesed suulised juhised, lase õpilastel tööle hakata ja lahenda arusaamatused siis, kui need tegelikult ilmnevad.

==== &quot;Suuline esitus&quot; ei tähenda üksnes suulist ====

Liljedahl ei väida, et õpilastele ei tohiks ülesande esitamisel mingeid juhiseid kirjalikult näidata. Eesmärk on pigem vähendada ülesande käivitamisel üleliigset informatsiooni ja kognitiivset koormust. Näiteks:
* andmetabel võib olla paberil;
* arvjada või muster võib olla tahvlil;
* geomeetriline joonis võib olla nähtav;
* olulised arvulised andmed võib üles kirjutada;
* kuid küsimus, probleem või tegevusjuhis antakse eelistatavalt suuliselt.

Kui mõtleva klassiruumi normid on juba kujunenud, võib hakata aeg-ajalt kasutama ka kirjalikke ülesandeid. Liljedahl soovitab seda eriti juhul, kui õpilasi on vaja harjutada tekstülesannete ja standardiseeritud testide jaoks. Ta eristab seega mõtleva klassiruumi ülesehitamist ja juba väljakujunenud mõtleva klassiruumi kasutamist. Esimese 3–4 nädala jooksul soovitab ta olla ülesannete esitamisel valdavalt suuline ning hiljem lisada järk-järgult ka tekstiliselt esitatud ülesandeid.

Kirjaliku ülesande puhul soovitab ta anda rühmale pigem väikese paberitüki vähese tühja ruumiga kui suure töölehe. Mõte on vältida olukorda, kus õpilased kinnitavad paberi vertikaalsele kustutatavale pinnale (VKP) ja hakkavad töötama paberil. Mõtleva klassiruumi jaoks on oluline säilitada kirjutamine ühisel kustutataval kirjutamispinnal, kus ideede muutmine ja vigade parandamine on lihtne ning nähtav.

==== Millal ülesannet anda? ====

BTC põhimõte on väga konkreetne: õpilased peaksid hakkama mõtlema tunni esimese viie minuti jooksul. Viis minutit ei tähenda tingimata aega koolikella helisemisest, vaid hetkest, mil õpetaja tegelikult tunni alustab. Selle taga on oluline pedagoogiline põhjendus. Mida kauem on õpilane tunni alguses passiivse teadmiste vastuvõtja rollis, seda raskem on tal hiljem üle minna aktiivse mõtleja ja teadmiste looja rolli. Seetõttu soovitab Liljedahl traditsioonilise skeemi (õpetaja seletab → näitab näiteid → õpilased harjutavad) asemel käivitada võimalikult kiiresti õpilaste eneste mõtlemine. See ei tähenda otsese õpetamise täielikku välistamist. Kui õpilasel on ülesande alustamiseks tõesti vaja uut teadmist, võib õpetaja seda õpetada. Kuid Liljedahl seab sellele provokatiivselt range piirangu: umbes viis minutit. Õpetada tuleks ainult nii palju, kui on vaja esimese ülesande alustamiseks. Siin muutub oluliseks ülesannete jada. Esimese ülesande lahendamisel avastatu võimaldab lahendada teist, teine valmistab ette kolmandat jne. Õpetaja ei pea seega enne töö alustamist õpetama kõike, mida läheb vaja jada kõige keerukama ülesande lahendamiseks.

==== Ära „ime mõtlemist ülesandest välja“ ====

Õpetajal on loomulik soov õpilaste edu kindlustada. Seetõttu kipume enne ülesande andmist vihjama, millist meetodit kasutada: „tee tabel“, „vii ühisele nimetajale“, „proovi tagurpidi töötada“ jne. Kõik need soovitused võivad olla matemaatiliselt õiged ja muuta lahendamise kiiremaks. Just selles seisnebki probleem: õpetaja on eemaldanud ülesandest selle koha, kus õpilane ise oleks pidanud mõtlema, takerduma, katsetama, vea tegema ja lõpuks strateegia leidma. Liljedahl kasutab selle kohta kujundit kurlingutreener (curling teacher): nagu kurlingumängus pühitakse kivi eest jää siledaks, eemaldab õpetaja õpilase teelt kõik võimalikud takistused. Mõtleva klassiruumi seisukohalt on aga just „konarlikud kohad“ sageli need, kus õppimine toimub.

Seetõttu soovitab Liljedahl õpetajal järgida põhimõtet: räägi alguses pigem vähem ja anna vajaduse korral hiljem vihjeid. Muide, Eesti esimeses matemaatika didaktika tekstis (R.Kallase “Mõistlik rehkendaja) sisaldub didaktiline printsiip: “Lapsed ei õpi kõnelema kui koolmeister vait olla ei mõista”. 

==== Uued mõisted ja terminoloogia tulevad pärast kogemust ====

Sama loogika kehtib matemaatilise terminoloogia kohta. Kui mõiste või nähtus on õpilastele varasemast tegevusest juba tuttav, võib õpetaja anda sellele tunni alguses nime: näiteks „seda nimetatakse välisnurgaks“. Kui aga õpilasel pole veel vastavat matemaatilist sõnavara, soovitab Liljedahl toimida vastupidises järjekorras: “kogemus → idee kujunemine → mõiste nimetamine”, mitte “termin → definitsioon → hilisem kogemus”. Ka see soovitus järgib juba Comeniuse poolt sõnastatud didaktilist printsiipi Claritas: õpetaja peaks selgitama abstraktset mõistet tuttava (kogetud) kujundi abil, nt “korrutamine on nagu ridade kaupa kivide müüri ladumine”. Õpilased vajavad võimalusi ise tähendust luua, mitte ainult õpetaja loodud tähendusi “importida”.

==== Kus ülesannet anda? ====

Liljedahli soovitus on, et ülesande käivitamise ajal ei istuks õpilased oma tavapärastel kohtadel. Nad peaksid seisma õpetaja lähedal vabas, suhteliselt tihedas grupis. BTC uuringutes oli erinevus suur: raamatus kirjeldatud tulemuste järgi oli istuvate õpilaste puhul õpetaja juttu nähtavalt jälgimas ligikaudu 50% õpilastest ning töö alustamisel esitati 10–15 täpsustavat küsimust. Õpetaja ümber seisvate õpilaste puhul oli nähtavalt haaratud umbes 90% ning täpsustavaid küsimusi tuli vaid umbes kolm. Liljedahl pakub mitu võimalikku seletust. Oma kohal istudes võib õpilane tunda end anonüümse ja „nähtamatuna“, eriti õpetajast kaugemal. Õpetaja lähedal seistes suureneb tähelepanu ning suhtlus muutub vähem „õpilastele rääkimiseks“ ja rohkem õpilastega suhtlemiseks. Lisaks lahendab see ühe praktilise probleemi: õpilased on juba püsti. Pärast lühikest ülesande käivitamist saab õpetaja moodustada juhuslikud rühmad ja suunata nad vertikaalsete tööpindade juurde.

Oluline on aga tegevuste järjekord: 1. õpilased kogunevad õpetaja juurde → 2. õpetaja annab ülesande → 3. moodustatakse juhuslikud rühmad → 4. rühmad lähevad tööpindade juurde.

Liljedahl tõdeb oma uuringute põhjal, et vastupidine järjekord ei toiminud hästi. Kui õpilased moodustasid kõigepealt rühmad ja läksid tahvlite juurde, haaras neid kohe uue rühma sotsiaalne dünaamika ning nad ei kuulanud enam ülesande juhiseid piisavalt tähelepanelikult.

==== Aga õpilane, kellel on raske suulist infot töödelda? ====

Liljedahl käsitleb pikemalt ka võimalikku vastuväidet: kas suulise ülesande eelistamine ei kahjusta õpilasi, kellel on raske suulisi juhiseid töödelda? Ta ei välista individuaalset tuge, aga soovitab esmalt jälgida, kuidas mõtleva klassiruumi keskkond õpilast toetab. Suuline informatsioon tuleb rühmas uuesti esile, kaasõpilased aitavad seda tõlgendada ning õpetaja saab vajaduse tekkimisel anda õpilasele lühema ja vahetuma individuaalse juhise. Vajaduse korral võib loomulikult kasutada ka kirjalikku tuge. Liljedahl kritiseerib siin ka lihtsustatud käsitlust õpistiilidest (visuaalne vs verbaalne stiil), mille osas on olnud kriitilised ka paljud teised teadlased (nt P.Kirschner: “Stop propagating the learning styles myth”). Eesmärk ei peaks olema anda igale õpilasele informatsiooni ainult tema eelistatud modaalsuses, vaid arendada suutlikkust toime tulla verbaalse, tekstilise, visuaalse ja muul kujul esitatud informatsiooniga.

Õpetaja ei pea enne ülesande alustamist tagama, et “kõik õpilased teavad täpselt, mida ja kuidas teha”. Vastupidi – mõtlemisülesande mõte ongi selles, et osa teadmisest, strateegiast ja arusaamisest sünniks alles tegevuse käigus. Seega on peatüki üks läbivaid ideid: õpetaja ülesanne ei ole muuta õpilase teed võimalikult siledaks, vaid kujundada keskkond, kus õpilane saab turvaliselt takerduda, katsetada, teistega arutada ja ise tähendust luua.


'''Mikrosammud ülesande andmiseks:'''
* Anna ülesanne 3–5 minuti jooksul pärast tunni algust.
* Esita ülesanne suuliselt, kui klass seisab õpetaja ümber ja kõigi tähelepanu on õpetajal. Alles seejärel suuna rühmad oma tahvlite juurde.
* Ära jaga õpilastele kohe töölehte ega näita ette lahendusi. Lase neil teha esimesed katsetused täiesti iseseisvalt.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.7 Milline on mõtlemisruumi sobiv kodutöö? ===
Liljedahli uuringud kinnitasid igale õpetajale tuttavat tõdemust: õpetaja ja õpilased saavad kodutöö eesmärgist ja vajalikkusest täiesti erinevalt aru. Õpetaja jaoks on tegu tunnis õpitud teadmiste rakendamisega kinnistamise eesmärgil, õpilaste jaoks aga puuriga, milles nad peavad mingil arusaamatul põhjusel istuma, selle asemel et midagi huvitavat teha. Õpetajate kinnitusel teevad kodutöid kohusetundlikult peamiselt tublid õpilased, kes seda tegelikult ei vajakski. Ülejäänud asendavad kodutööd tehes mõtlemise õpilasetsemise halbade praktikatega (jätavad tegemata, kirjutavad pinginaabrilt maha, lasevad emal või õel enda eest ära teha).

Liljedahl soovitab mõtlemisruumi metoodika järgijatel kodused ülesanded ümber mõtestada, et need poleks õpilaste jaoks arusaamatu ja tüütu kohustus, mida tehakse üksnes halva hinde hirmus. Nimeta kodutöö ümber '''enesehindamiseks''' ja esita kodutöö küsimused stiilis „Kas ma olen õigesti aru saanud?“. Õpilastes tuleks kujundada arusaam, et kodutöö on vabatahtlik võimalus iseennast testida, mitte õpetajale punktide kogumine.

'''Mikrosammud mõtlemist toetava kodutöö andmiseks:'''
* Nimeta kodutöö ümber enesehindamiseks ja esita 3–5 lühikest kontrollülesannet.
* Ära hinda kodutöid. Kasuta neid järjekindlalt õpilaste enesehindamiseks.
* Alusta järgmist tundi 3-minutise aruteluga teemal „Mille peale ma tulin, kui ennast kodutööga hindasin?“

=== 5.1.8 Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat? ===
Kontrolli kaotamine klassis toimuva üle on üks esimesi hirme, mis õpetajal mõtlemisruumi metoodikat esmakordselt katsetades tekib. Lahendus on ilmne: õpetaja peab suutma muuta õppijad ise oma õppimise eest vastutavaks, mis tähendab õpilaste autonoomia samm-sammulist kasvatamist. Liljedahl soovitab selleks suunata õpilasi panustama kogu klassi ühise teadmuspanga loomisse, julgustades neid vaatama teiste rühmade tahvleid (lahendusi kopeerimata, kuid eri lahendusi võrreldes) ja küsima teistelt rühmadelt vihjeid, jätkates seejärel siiski iseseisvalt oma lahendusega. '''Autonoomia''' on õpilase oskus hoida oma mõtlemist aktiivsena ka siis, kui õpetaja pole kõrval.

'''Mikrosammud õpilase autonoomia kujundamiseks:'''
* Kehtesta tava: enne õpetaja poole pöördumist küsi nõu kahelt teiselt rühmalt.
* Julgusta õpilasi vaatama teisi tahvleid. Ideede liikumine ja jagamine olgu soositud.
* Harjuta „väikeste sammude“ mõtteviisi: õpilased võiksid tegeleda korraga vaid ühe uue ideega.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.9 Kuidas toestada õppimist? ===
Matemaatika õpetamisel on õpetaja jaoks suurim väljakutse õpilaste ebaühtlane algtase ja matemaatiline võimekus. Seetõttu muutub sünkroonses tempos toimuv õppetöö osa õpilaste jaoks liiga aeglaseks ja igavaks, samas kui teiste jaoks kihutab õpetaja edasi liiga kiiresti. Mõtlemisruumi metoodika puhul ei pea kõik rühmad tegema samu asju ühtlases tempos. Liljedahl soovitab liikuda '''asünkroonselt''' (eri rühmad eri kiirusega), andes vajaduse korral väikseid '''vihjeid''' (kui mõni aeglasem rühm juhtub „kinni jääma“) ja ülesande '''laiendusi''' (kui mõni kiirem rühm sai töö varakult valmis), et hoida kõiki „voos“.

„Voo“ ehk „kulgemise“ mõiste tõi pedagoogikasse Ungari juurtega Ameerika teadlane Mihaly Csikszentmihalyi, kelle optimaalse kogemuse teooria võtab kõige paremini kokku allolev joonis. Kui ülesanne pakub õpilase võimekusega võrreldes liiga suurt väljakutset, langeb õpilane '''ärevuse''' tsooni. Kui aga väljakutse on võimeka õppija jaoks liiga kerge, langeb ta '''igavuse''' tsooni. Optimaalse (õppimis)kogemuse tagab pidev viibimine '''voo tsoonis''' (''flow zone''), kus järjest kasvav ülesannete keerukus vastab õpilase pisitasa kasvavale võimekusele.

&lt;!-- Joonis: Voo tsoon (flow) Csikszentmihalyi optimaalse kogemuse teoorias. Teljed: väljakutse (challenge) ja oskus (skill); tsoonid: ärevus (anxiety), voog (flow), igavus (boredom). --&gt;

'''Mikrosammud vihjete ja laienduste pakkumiseks:'''
* Anna väikseid vihjeid (kas uuritava probleemi keerukuse vähendamiseks või õpilase võimekuse kasvatamiseks), aga kindlasti mitte valmis lahendust.
* Varakult lõpetajad saavad laiendusi („Mis siis, kui…?“, „Üldista!“).
* Ära peata kogu klassi ühe rühma pärast, lase rütmidel erineda.

'''Näide:''' õpetaja [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ Frank McGowani] ajaveebist: kuidas mõtlemisruumiga matemaatikatunnis tekib õpilastel keskväärtust ja mediaani õppides „teadmuse voog“ ning õpetaja ei ole enam pudelikael.

=== 5.1.10 Kuidas tundi kokku võtta? ===
Kuna mõtlemisruumi metoodikat järgivas tunnis liiguvad õpilased ja rühmad oma probleemilahenduses sageli erinevas tempos (asünkroonselt), on seda olulisem jõuda tunni lõpus ühiste lõpptulemusteni. Õpetajal on sageli kiusatus teha selline kokkuvõte perfektsel viisil pigem oma teadmistest (või õpiku käsitlusest) lähtudes. Seda nimetatakse „tippu koondumiseks“ (''leveling to the top''). Nii toimides ignoreeriks õpetaja aga õpilaste rühmatöö tulemusi, ja Liljedahl hoiatab, et see oleks viga. Seetõttu soovitab Liljedahl hoopis vastupidist strateegiat: '''konsolideerida lõpptulemused alt üles''', alustades rühmatöödest nii heade lahenduste ja ideede kui ka lünkade väljanoppimisega.

'''Mikrosammud tunni kokkuvõtmiseks:'''
* Tee koos kõigi õpilastega „galeriituur“ (keegi ei istu), et vaadata üle kõigi rühmade tahvlid ja valida neist 3–5, mis jutustavad antud probleemi lahendusest kõige huvitavama „matemaatilise loo“.
* Ära lase õpilastel endil oma ideid tutvustama hakata – nüüd on õpetaja kord tõlgendada.
* Kokkuvõtva arutelu alguses pööra rohkem tähelepanu ideede päritolule ja kujunemisele, lõpupoole keskendu lõpptulemusele.
* Sõnasta koos õpilastega korrektse matemaatilise sõnastusega ühine lahendus alles arutelu lõpus (terminid, näited, vastunäited).
* Lase rühmadel oma sõnadega kirja panna, „mida igaüks peaks sellest arutelust meeles pidama“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.11 Kuidas õpilased teevad märkmeid? ===
Märkmete tegemine tunni ajal on ilmselt üks vanimaid praktikaid, kuid paraku kuulub enamik õpilaste märkmetest kategooriasse „õpetaja kirjutas tahvlile, mina kopeerisin selle vihikusse“. See tegelikult takistab õpilastel õpetaja jutule keskendumast ja kaasa mõtlemast. Liljedahli uuringutes selgus, et õpilaste märkmete kvaliteet ja tähendusrikkus kasvas hüppeliselt, kui nad ei pidanud õpetaja juttu reaalajas konspekteerima, vaid said rahulikult kirjutada '''„hajameelsele iseendale tulevikus“''', püüdes aidata endal olulisi asju meeles pidada. Selliseid märkmeid on sageli mõistlikum teha mitte lineaarse narratiivi, vaid mõistekaardi, diagrammi (Venni diagramm, kalaluu), skeemi või spikri kujul.

'''Mikrosammud kasulike märkmete tegemiseks:'''
* Märkmed kirjutatakse alles pärast tunni kokkuvõtet, mitte probleemi lahendamise ajal.
* Tehakse valik kõige olulisemast: foto oma tööst või tahvli osast ja kolmelauseline kokkuvõte.
* Lisatakse „üks toimiv näide“ ja „üks küsimus endale edasimõtlemiseks“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.12 Mida hinnatakse? ===
Mõtlevas klassiruumis ei ole hindamine pelgalt õppimise „mõõtmise“ vahend, vaid kasulik tagasiside õppijatele selle kohta, mida me tegelikult väärtustame. Liljedahli uurimistöö näitab, et õpetajad oskavad sageli sõnastada omadusi, mida nad soovivad oma õpilastes näha (nt visadus, riskijulgus, koostööoskus, kannatlikkus, autonoomia, enesetõhusus), kuid klassiruumi hindamispraktikad ei toeta nende omaduste kujunemist. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid ja lõpptulemusi, hakkavad õpilased väärtustama just neid ning loobuvad pingutusest ja mõtlemisest, kui lahendus pole kohe käes.

Liljedahl rõhutab põhimõtet: '''hinda seda, mida väärtustad''' (''evaluate what you value''). Kui me väärtustame mõtlemist, peame ka mõtlemist hindama. See ei tähenda, et akadeemilised õpitulemused kaotaksid tähtsuse, vaid et nende kõrvale tuleb teadlikult tuua ka need protsessilised ja dispositsioonilised aspektid, mis mõtlemist tegelikult võimaldavad. Näiteks visadust ei saa kujundada, kui seda ei märgata ega väärtustata, ja koostöö ei arene, kui seda ei peeta oluliseks.

Oluline on ka see, kuidas me neid väärtusi hindame. Liljedahli uuringud näitavad, et kõige tõhusamaks osutusid lihtsad ja läbipaistvad hindamisrubriigid, mis keskendusid järgmistele aspektidele:
* pingutus ja järjepidevus;
* panus rühmatöösse;
* valmidus proovida uusi ideid;
* oma mõtlemise selgitamine.

Selline hindamine ei ole karistav ega sorteeriv, vaid kujundav ja suunav: see aitab õpilastel mõista, milline käitumine ja õppimisviis toetab nende arengut mõtleva matemaatikuna.

'''Mikrosammud:'''
* Kujunda lihtne rubriik: osalus, visadus, riskijulgus, selgitamine (+ sisuline täpsus).
* Tagasiside on olulisem kui hinne: too välja käitumised, mis viisid edasijõudmiseni.
* Hoia käitumuslikud tõendid ja sisuline saavutus lahus (kaks sammu).

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.13 Kuidas teostada kujundavat hindamist? ===
Traditsioonilises klassiruumis kasutatakse hindamist valdavalt õpetaja tööriistana: infot kogutakse selleks, et teha otsuseid hinnete kohta. Liljedahli uurimistöö näitab, et isegi kujundav hindamine jääb sageli õpetajakeskseks: see aitab õpetajal õpetamist kohandada, kuid õppija jääb passiivseks objektiks, kes ei mõista, kus ta parasjagu on ja kuhu ta liigub.

Mõtlevas klassiruumis nihkub kujundava hindamise fookus selgelt õppijale. Kujundavat hindamist kasutatakse selleks, et aidata õpilastel:
* mõista, kus nad oma õppimises parasjagu on;
* näha, mida nad juba oskavad;
* teadvustada, mida nad veel ei oska ja kuhu edasi liikuda.

Liljedahli uurimistulemused näitavad, et kui õpilased saavad selge pildi oma õppimisest, suurenevad nende autonoomia ja kaasatus ning see võib viia ka mõõdetava akadeemilise edenemiseni (nt parema soorituseni testides).

Oluline on, et kujundav hindamine ei avaldu mõtlevas klassiruumis pideva testimise või punktide kogumisena. Selle asemel kasutatakse:
* vaatlusi rühmatöös;
* vestlusi õpilastega nende lahendusstrateegiate üle;
* visuaalset ja suulist tagasisidet;
* õppijate enda refleksioone.

Kujundav hindamine on seega õppimisprotsessi lahutamatu osa, mitte eraldi etapp tunni lõpus. See toetab mõtlemise püsimist ja aitab vältida olukorda, kus õpilased töötavad vaid „hinde nimel“.

'''Mikrosammud:'''
* Tee kogu klassiga 60–90-sekundilisi „vahepeatusi“: „Mis töötab, mis takistab?“
* Kasuta tahvlivaatlusi: näed kiiresti, kus klass on, ja saad vihjeid kohandada.
* Kasuta lõpus väljumisküsimust (''exit prompt''): „Üks strateegia, mida kasutasin / mida proovin järgmisel korral“.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.14 Kuidas hinnatakse õpitulemusi? ===
Liljedahl seob mõtleva klassiruumi hindamispraktika laiemate suundumustega hariduses, eeskätt '''tõenduspõhise hindamisega'''. Selle lähenemise keskmes ei ole punktide kogumine, vaid tõendid selle kohta, mida õppija tegelikult oskab ja mõistab. Mõtlevas klassiruumis põhinevad hinded kogutud tõenditel:
* õpilaste töödel ja lahendustel;
* aruteludes ilmnenud mõtlemisel;
* kujundava hindamise käigus kogutud tähelepanekutel.

Oluline erinevus tavapärasest hindamisest seisneb selles, et hinnangud ei sünni üksikutest „hindamissündmustest“, vaid ajapikku kogunenud pildist õppija arengust. See vähendab juhuslikkust ja stressi ning toetab õppija enesetõhusust.

Liljedahl rõhutab, et hindamine peab olema tihedalt seotud kujundava hindamisega: hindamiseks kasutatav info peab olema õppijale nähtav ja arusaadav. Hinne ei ole siis üllatus ega karistus, vaid loogiline kokkuvõte sellest, mida õppija on juba näidanud.

Selline lähenemine toetab mõtleva klassiruumi keskseid väärtusi: see suunab õpilasi keskenduma õppimisele ja mõtlemisele, mitte punktide jahtimisele, ning aitab kujundada vastutustunnet oma õppimise eest.

'''Mikrosammud:'''
* Hinda standardipõhiselt: kirjelda selgelt, millist mõtlemist või oskust tõendatakse.
* Viimane (küpsem) tõend loeb kõige rohkem ja „uuesti tõendamine“ on lubatud.
* Hoia hinnang (saavutus) ja tagasiside (järgmine samm) lahus.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.15 Kokkuvõte: Liljedahli neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamisel ===
Peter Liljedahli ''Building Thinking Classrooms'' raamistik koondab neliteist omavahel seotud praktikat, mis põhinevad 15 aasta pikkusel empiirilisel uurimistööl ja mille ühine eesmärk on maksimeerida õppijate mõtlemist matemaatikatunnis. Praktikad ei ole eraldiseisvad võtted, vaid moodustavad tervikliku süsteemi, kus muutused klassiruumi füüsilises keskkonnas, sotsiaalsetes normides, õpetaja rollis ja hindamises toetavad üksteist.

Raamistiku alguspraktikad keskenduvad mõtlemist käivitavate tingimuste loomisele: sobiva ülesandetüübi valik, juhuslikud rühmad ning vertikaalsete ja mittepüsivate kirjutuspindade kasutamine muudavad õppijate käitumist ja ootusi. Järgmised praktikad kujundavad klassiruumi normid, kus pingutus, eksimine ja koostöö on väärtustatud ning õpetaja roll nihkub seletajalt mõtlemise orkestreerijaks. Õpetaja sekkub teadlikult ajastuse, küsimuste ja ootuste kaudu, et hoida õppijad aktiivselt mõtlemas.

Raamistiku viimased praktikad (12–14) seovad mõtlemise hindamise ja tagasisidega. Liljedahl rõhutab, et mõtleva klassiruumi kestlikkus sõltub sellest, mida hinnatakse, kuidas kujundavat hindamist kasutatakse ja mille eest hindeid pannakse. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid, taastoodab see pealiskaudset õppimist. Kui hinnatakse pingutust, strateegilist mõtlemist ja arusaamise arengut, toetab hindamine otseselt mõtlemise kultuuri.

Kokkuvõtvalt pakuvad Liljedahli neliteist praktikat teaduspõhist ja praktilist raamistikku, mis aitab õpetajatel liikuda protseduurikeskselt õpetamiselt mõtlemist väärtustava ja õppijat aktiveeriva klassiruumi suunas. LAHEMATE kontekstis loovad need praktikad selge orientiiri koolikatsetuste kavandamiseks, õpetajate professionaalseks refleksiooniks ning mõtleva matemaatikakultuuri järkjärguliseks juurutamiseks.

== Viited ==
* Csikszentmihalyi, M. (1990). ''Flow: The Psychology of Optimal Experience''. New York: Harper &amp; Row.
* Liljedahl, P. (2020). ''Building Thinking Classrooms in Mathematics, Grades K–12: 14 Teaching Practices for Enhancing Learning''. Thousand Oaks, CA: Corwin.
* Liljedahl, P., &amp; Allen, D. (2013). Mathematical discovery: Studenting. [TÄPSUSTADA]

== Veebiallikad ==
* Liljedahl, P. Kaarditrikid: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanded: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanne „New School Schedule“: [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf PDF]
* Nguyen, F. Promoting thinking tasks with VNPS tools. Wipebook: [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU wipebook.com]
* Soo, A. (2023). Building Thinking Classrooms: peatükkide 5, 6 ja 8 refleksioonid. Ajaveeb: [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ ptk 5], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ ptk 6], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ ptk 8]
* McGowan, F. (2021). Thinking Classrooms Challenge: In Flow. Ajaveeb: [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ findingtheprocess.wordpress.com]
* Apple Education. Õpetaja MK lugu: [https://education.apple.com/story/250014232 education.apple.com]
* Ülesannete kogud: [http://nrich.maths.org NRICH], [http://youcubed.org YouCubed], [http://illuminations.nctm.org Illuminations (NCTM)]

[[Kategooria:LAHEMATE]]
[[Kategooria:Probleemilahendus]]</text>
      <sha1>dynsd8myccpi0iifkx5wchk9def1d7q</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>