4.Kalifornia koolkond: Jo Boaler'i matemaatiline mõtteviis

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="et">
  <siteinfo>
    <sitename>Vikiõpikud</sitename>
    <dbname>etwikibooks</dbname>
    <base>https://et.wikibooks.org/wiki/Esileht</base>
    <generator>MediaWiki 1.47.0-wmf.23</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Meedia</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Eri</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Arutelu</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Kasutaja</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Kasutaja arutelu</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Vikiõpikud</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Vikiõpikute arutelu</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Fail</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Faili arutelu</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">MediaWiki arutelu</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Mall</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Malli arutelu</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Juhend</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Juhendi arutelu</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Kategooria</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Kategooria arutelu</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Moodul</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Mooduli arutelu</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Üritus</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Ürituse arutelu</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>4.Kalifornia koolkond: Jo Boaler'i matemaatiline mõtteviis</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4263</id>
    <revision>
      <id>20371</id>
      <parentid>20367</parentid>
      <timestamp>2026-10-09T11:16:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Kriskivi</username>
        <id>3065</id>
      </contributor>
      <comment>/* Enesetõhusus ja agentsus */</comment>
      <origin>20371</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21369" sha1="r9bqh682ahprul9r4leo48kblx7dsvs" xml:space="preserve">Jo Boaleri matemaatilise mõtteviisi (''Mathematical Mindset'') metoodika on üks mõjukamaid kaasaegseid käsitlusi matemaatika õpetamise ja õppimise kohta. Selle tuumikidee on lihtne, kuid radikaalne: iga õpilane on võimeline mõtlema matemaatiliselt, kui teda ümbritsev õpikeskkond väärtustab (1) mõtlemist, mitte lahendamiskiirust, (2) vigu kui õppimise võimalusi, mitte ebaõnnestumist ja (3) koostööd, mitte õpilastevahelist võrdlemist ja võistlust. Matemaatiline võimekus ei ole kaasasündinud anne, vaid kujuneb samamoodi nagu lihased treeningu käigus – läbi pingutuse, uurimise ja refleksiooni. Boaleri väitel mõjutab õpilaste eneseusk matemaatika õpitulemusi rohkem kui lahendusvõtete päheõppimine. 

Boaler tugineb oma uuringutes ja soovitustes nii psühholoogilistele kui ka pedagoogilistele teooriatele: isemääramisteooriale (Deci &amp; Ryan, 2017), enesetõhususe ja agentsuse käsitlustele (Bandura, 1977; Boaler &amp; Greeno, 2000) ning kasvumõtteviisi teooriale (Dweck, 2007). Need ideed moodustavad raamistiku, mille kaudu ta pakub välja tervikliku metoodika, mis muudab matemaatikaõpetuse loovaks, inimlikuks ja jõukohaseks kõigile õppijatele. Järgnevalt teeme väikese ülevaate Boaleri metoodika kolmest teoreetilisest nurgakivist.

== 4.1 Pedagoogilised ja psühholoogilised lähtekohad ==
Boaleri matemaatilise mõtteviisi metoodika aluseks olevaid teoreetilisi ideid vaadeldakse käesolevas käsiraamatus kolme omavahel seotud aspekti kaudu, mis kujundavad õppija suhtumist matemaatikasse ja enda arenguvõimesse: (1) õppija motivatsioon ja autonoomia, (2) enesetõhusus ja agentsus ning (3) kasvumõtteviis.

=== Motivatsioon ja autonoomia ===
Boaler rõhutab õppija valikuvõimaluste ja sisemise motivatsiooni tähtsust matemaatika õppimisel. Neid rõhuasetusi saab mõtestada isemääramisteooria kaudu (''Self-Determination Theory''; Ryan &amp; Deci, 2017), mille kohaselt toetab autonoomia-, kompetentsus- ja seotusvajaduse rahuldamine õppija motivatsiooni ja kaasatust.
Boaleri klassiruumis väljendub see järgmiselt:
* õpilaste autonoomiat toetatakse tähenduslike valikutega (nt probleemi lahendusviisi valik või tulemuse esitamise viis);
* õpilaste kompetentsustunnet toetatakse sobiva raskusastmega ülesannete, mõtlemisaja, vajaliku juhendamise ja õppija edasiminekut esile toova tagasisidega;
* õpilaste seotustunnet toetatakse koostöö ja hooliva suhtlusega, kus iga õpilase ideid kuulatakse ning kõigil on võimalus panustada.

=== Enesetõhusus ja agentsus ===
Õppija aktiivse osalemise mõtestamisel on olulised nii enesetõhusus kui ka agentsus. Bandura (1977) käsitleb enesetõhusust usuna oma suutlikkusse vajalikke tegevusi sooritada. Boaler ja Greeno (2000) avavad agentsust matemaatika õppimisel, uurides, kuidas klassiruumi praktikad võimaldavad õppijal osaleda matemaatiliste tähenduste loomises.

Enesetõhususe teooria looja Bandura (1977) lähtus tähelepanekust, et inimeste võimekus käituda teatud moel (nt sooritada keerukaid töid või lahendada matemaatikaülesannet) ei sõltu üksnes sellest, mida nad teavad või oskavad, vaid ka sellest, mida nad usuvad end suutvat. Kaks inimest võivad omada sama palju teadmisi ja oskusi, kuid see, kes usub oma võimesse raskustega toime tulla, on tõenäolisemalt valmis pingutama ja raskuste korral jätkama. Bandura nimetas seda uskumust '''enesetõhususeks''' (''self-efficacy''). See ei tähenda üldist enesehinnangut, vaid konkreetset veendumust, et „ma saan selle asjaga hakkama“.

Enesetõhusus on seega defineeritud kui uskumus oma suutlikkusse sooritada konkreetse ülesande lahendamiseks vajalikud tegevused. See ei ole sama mis optimism või enesehinnang: inimene võib üldiselt tunda end enesekindlalt, kuid tunda madalat enesetõhusust näiteks matemaatikaülesannete lahendamisel. Bandura (1977, 1994) eristas nelja peamist enesetõhususe allikat.
* '''Isiklikud eduelamused''' (''mastery experiences''): Tähtis on kogeda raskuse ületamist. Üksnes lihtsate ülesannete õnnestunud lahendamine ei pruugi kujundada püsivat enesetõhusust. 
* '''Asenduskogemused''' (''vicarious experiences''): Eriti mõjus on näha endaga sarnast kaaslast pingutuse ja sobivate strateegiate abil edasi jõudmas („kui tema sai hakkama, saan ka mina“). 
* '''Sotsiaalne veenmine''' (''social persuasion''): Julgustus (nt „Joonise abil leidsid juba olulise seose. Proovi nüüd selle põhjal järgmine samm teha.&quot;) peaks olema usutav ja seotud õppija tegeliku tegevusega. 
* '''Füsioloogiline ja emotsionaalne seisund''': Mõju sõltub ka sellest, kuidas õppija oma ärevust, pinget või väsimust tõlgendab.

Õpetaja saab toetada õpilaste enesetõhusust, luues olukordi, kus õpilased kogevad väikseid eduelamusi („edu redel“), tuues esile erinevaid lahendusviise (''vicarious experience''), võimaldades õpilastel jälgida, kuidas kaaslased raskustega toime tulevad ja oma lahendusteni jõuavad, pakkudes konkreetset ja julgustavat tagasisidet („sinu lähenemine oli huvitav – proovi seda laiendada“) ning aidates vähendada ärevust toetava klassikultuuri kaudu.

Kui õpilane tõlgendab vigu tõendina oma püsivast suutmatusest, võib tema enesetõhusus nõrgeneda. Õpetaja saab aidata tal märgata, kuidas sobivad strateegiad, harjutamine ja vajalik tugi võimaldavad edasi liikuda.

Boaler ja Greeno (2000) käsitlevad '''matemaatilist agentsust''' õppija võimalusena teha sisulisi otsuseid ja osaleda matemaatiliste tähenduste loomises. See väljendub näiteks lahendusviiside valimises, küsimuste ja oletuste esitamises, põhjendamises ning kaaslaste ideede analüüsimises. Enesetõhusus puudutab õppija usku oma suutlikkusse, agentsus aga tema võimalusi ja tegevust õppimise mõjutamisel. Õpetaja toetab agentsust, andes õpilastele otsustusruumi ning kujundades arutelud, kus nende ideed mõjutavad edasist tööd.

=== Kasvumõtteviis ===
Kõige tugevamini on Boaleri metoodikat mõjutanud ilmselt Carol Dwecki '''kasvumõtteviisi teooria''' (''Growth Mindset'', mõnikord tõlgitud eesti keelde ka kui juurdekasvu-uskumus) ja aju-uurijate viimaste aastate avastused aju neuroplastilisuse kohta. Dwecki kasvumõtteviisi teooria on üks tänapäeva hariduspsühholoogia keskseid käsitlusi õppimise ja motivatsiooni kohta. Selle põhisisu seisneb inimeste uskumustes oma võimete ja intelligentsuse olemuse kohta.

Dweck vastandab kasvu- ja jäävusmõtteviisi:
* '''Jäävusmõtteviisiga''' inimesed usuvad, et intelligentsus ja võimed on kaasasündinud ja muutumatud („ma lihtsalt ei ole matemaatika-inimene“). Nad püüavad võimaluse korral vältida raskusi ja tõlgendavad vigu kui kinnitust oma paratamatu või lootusetu võimetuse kohta.
* '''Kasvumõtteviisiga''' inimesed usuvad, et võimed (sh matemaatiline võimekus) arenevad pingutuse, õppimise ja strateegiate kaudu („ma ei oska seda veel, aga ma suudan selle selgeks õppida, kui pingutan“). Nad ei pelga väljakutseid, ei anna alla raskuste ees ja näevad pingutust edu eeldusena.

Soovitame vaadata [https://www.tlu.ee/uudised/1-minuti-loeng-kuidas-uskumus-meie-voimeid-mojutab-katrin-poom-valickis Katrin Poom-Valickise minutiloengut] juurdekasvu-uskumuse teemal.

Kasvumõtteviisi toetab õpetaja '''protsessikeskne tagasiside''': tunnustatakse hästi toimivaid õpistrateegiaid, pingutust ja kohalolekut õppimisprotsessis, mitte ainult tulemust (nt „Sa proovisid mitut viisi ja ei loobunud“). Näiteks õpetaja kiitus „Küll sa oled nutikas!“ võib hoopis kinnistada jäävusmõtteviisi. Dweck rõhutab tagasilöökide ja vigade olulisust õppimisvõimalusena: aju aktiveerub rohkem, kui inimene eksib ja püüab aru saada, miks. Ka Boaler kinnitab Dweckist inspireerituna: „Eksimine kasvatab aju“. Kasvumõtteviis ei teki lihtsalt positiivsete loosungite abil, vaid vajab süsteemset õpetamiskultuuri, mis soosib uurimist, eksimust ja refleksiooni. Õpetaja peab kujundama õpikeskkonna, kus vigade tegemine on turvaline ja pingutus on väärtus.

Dwecki ja tema kolleegide uuringud (nt Blackwell, Trzesniewski &amp; Dweck, 2007) näitavad, et kasvumõtteviisi arendamine parandab õpilaste õpitulemusi, eriti matemaatikas. Nad soovitavad mitte peljata selgitada ka õpilastele aju neuroplastilisuse ja kasvumõtteviisi teooriat, sest nende uuringute põhjal võib sellise metakognitiivse „tööriistakasti“ omamine tõsta märgatavalt õpilaste motivatsiooni ja sooritust.

Boaler toob arvukalt neuroteaduslikke tõendeid selle kohta, et aju plastilisus võimaldab õppijatel arendada uusi ühendusi kogu elu jooksul. Matemaatiline ajutegevus ei piirdu loogilise „vasaku ajupoolkeraga“: parim õppimine toimub siis, kui aktiveeruvad mõlemad ajupooled ning loogiline, visuaalne ja ruumiline mõtlemine. Vigade tegemine aktiveerib aju õppimiskeskused isegi siis, kui õppija ei tea, et ta eksis. Sellepärast ütleb Boaler: „Su aju areneb, kui vigu teed“ (''Mistakes grow your brain''). Vigadest rääkimine ei ole nõrkuse tunnus, vaid õppimise loomulik osa.

== 4.2 Probleemülesannete disain: madal lävi, kõrge lagi ==
Boaleri klassiruumides ei anta õpilastele fikseeritud keerukusastmel probleemülesandeid (nt. keerukamad kiiretele ja lihtsamad aeglastele õpilastele). Selle asemel soovitab ta kasutada ülesannete koostamisel '''„madala läve ja kõrge lae“''' disainiprintsiipi (''low floor – high ceiling''). See võimaldab igal õpilasel alustada talle jõukohaselt tasemelt, saavutada esialgne eduelamus ja liikuda edasi sügavama mõtlemise suunas.

'''Madala lävega''' ülesanded on ligipääsetavad kõigile. Neid saab alustada mänguliselt, visuaalselt või konkreetsete näidetega. Näiteks võib õpetaja paluda: „Ehitage 3D-kuup Lego klotsidest ja värvige see väljastpoolt. Kui lõikate selle väikesteks kuubikuteks, mitu neist on värvitud kolmest küljest, kahest, ühest või mitte ühestki?“ Selline värvikuubi ülesanne kutsub kõiki kaasa mõtlema: mõned õpilased töötavad praktiliselt ja loendavad väikesi kuubikuid, teised modelleerivad arvutiga, kolmandad proovivad koostada võrrandi (nt 6 × (n−2)² + …).

'''Kõrge laega''' ülesanded kutsuvad edasi mõtlema, mustreid nägema, üldistama ja tõestama. Sama ülesannet saab kasutada nii 5. klassis kui ka gümnaasiumis, muutes vaid lähenemise sügavust. Boaler rõhutab, et õpetaja ei tohiks „tõsta raskusastet“ täiendavate ülesannetega, vaid luua kohe alguses selline ülesanne, mille sisse on juba peidetud täiendav uurimis- ja edasiarendusruum.

Näiteks värvikuubi ülesande puhul võiks õpetaja toetada õpilaste mõtlemist küsimustega:
* „Mis juhtuks, kui see kuup oleks kaks korda suurem?“
* „Kas sa saad oma lahendust visualiseerida?“
* „Kas keegi leidis teise mustri? Mille poolest need mustrid erinevad?“

Boaleri teine ülesannete disainiprintsiip on '''rühmatööks sobivad ülesanded''' (''groupworthy tasks''). Need on probleemülesanded, mille lahendamiseks on vaja mitut vaatenurka või erinevat laadi panust mitmelt rühmaliikmelt. Rühmas töötamine peab olema sisuline ja lisaväärtust loov, mitte võimalus osadel õpilastel viilida, kuni kõige kiirem rühmaliige teiste eest töö ära teeb. Näiteks toob ta sellise ülesande: „Kavandage 500 m² suurune park, kasutades vähemalt kolme erinevat kujundit. Arvutage pindalad ja ümbermõõdud, tehke plaan. Üks õpilane koostab joonise, teine arvutab pindala, kolmas kontrollib proportsioone ja põhjendab valikuid.“ Sellise ülesande puhul sõltub rühma töö tulemus kõigi rühmaliikmete panusest.

Boaleri ja tema kolleegide koostatud madala läve ja kõrge laega ning rühmatööks sobivaid matemaatikaülesandeid leiab veebilehelt [http://youcubed.org YouCubed.org], rubriigist „Activities and tasks“.

== 4.3 Õpilaste rühmitamine ja õppekorraldus ==
Boaler peab '''segatasemelisi rühmi''' (''mixed-ability groups'') oluliseks sotsiaalseks ja kognitiivseks ressursiks, samas tasemerühmad mõjuvat õpilaste õpimotivatsioonile ja eneseusule halvasti. Tema uurimused (nt [https://www.youcubed.org/wp-content/uploads/2017/09/Creating-Mathematical-Futures.pdf Railside School Study]) näitavad, et kui õpilasi ei jagata võimekuse järgi, vaid nad töötavad ühiselt, paranevad tulemused kõigil, eriti nõrgematel.

Matemaatilise mõtteviisi metoodikat järgiv klassiruum ei ole vaikne töölaudade rida, vaid elav uurimislabor. Lauad on paigutatud rühmatööks sobivalt saarekestena, seintel on paber- või valgetahvlid, kuhu rühmad saavad kirja panna oma lahendusideid, jooniseid, mõistekaarte jm. Klassis kehtivad selged põhimõtted:
* igaühe mõtted on väärtuslikud ja teretulnud, kõiki tuleb ära kuulata;
* „vead on head“: need on oluline ja väärtuslik osa õppimisest, mitte märk läbikukkumisest;
* kiirus ei võrdu tarkusega;
* koostöö viib edasi.

Selline keskkond kasvatab õppija kuuluvustunnet, toetab kasvumõtteviisi ja enesetõhususe kujunemist, vähendab hirmu matemaatika ees ja innustab uuesti proovima.

== 4.4 Toestamine ja kujundav hindamine ==
Boaleri järgi peab õpetaja roll muutuma hindajast juhendajaks ja juhendajast kuulajaks. '''Toestamine''' (''scaffolding'') tähendab, et õpetaja ei anna vastuseid, vaid juhendab õppija mõtlemist suunavate küsimuste, näidete, vihjete, visualiseerimise ja refleksiooni esilekutsumise kaudu. Toestav õpetaja ei anna lahenduskäiku, vaid küsib: „Kuidas sa teadsid, et see töötab?“, „Mis juhtuks, kui sa muudaksid ühte arvu?“, „Kas saad oma mõtet joonisega näidata?“. Toestamine on ajutine ja taanduv: kui õpilane hakkab juba iseseisvalt toime tulema, taandub õpetaja kuulaja või vaatleja rolli ega anna enam tuge. Selline lähenemine julgustab iseseisvat mõtlemist ja uurimist ning õpilase vastutuse võtmist oma õppimise eest.

Toestamisele sarnane, kuid siiski sellest pisut erinev on '''kujundav hindamine''' õppeprotsessi käigus. Eestis on hakatud seda viimasel ajal nimetama pigem '''õppimist toetavaks hindamiseks''' (ingliskeelse eeskuju järgi ''assessment for learning''). Õppimist toetav hindamine toimub üldjuhul õppeprotsessi kestel, samas kui õpitulemuste '''arvestuslik hindamine''' (''assessment of learning'') toimub pärast õppimise lõppu, sageli eristava (hindelise) hindamise kujul, nt eksami, kontrolltöö või testina.

Kujundav hindamine on sageli seotud enese- ja rühmarefleksiooniga, kui tunni lõpus palub õpetaja õpilastel oma õpikogemust kokku võtta: „Mis oli tänase tunni kõige olulisem mõte?“, „Mis sind üllatas?“, „Mida tahaksid järgmisel korral uurida?“. Sellised '''väljumispiletid''' (''exit tickets'') võimaldavad õpetajal mõista, kuidas õpilased mõtlevad, mitte kui palju nad mäletavad.

Oluline on käsitleda nii kujundavas hindamises kui ka refleksioonis vigu positiivses võtmes: suunata klass arutama, miks viga tekkis ja kuidas see aitab mõista teemat või lahendusprotsessi sügavamalt. Nii kujuneb '''produktiivse pingutuse''' efekt (''productive struggle''), mis kasvatab enesetõhusust, püsivust ja matemaatilist kasvumõtteviisi.

== 4.5 Kümme matemaatilise mõtteviisi tehnikat õpetaja tööriistakastist ==
# '''Räägime arvudest''' (''Number Talk''): arutle, mitte ära arvuta mehaaniliselt. Need on lühikesed peastarvutused ja arutlused, mille eesmärk on lahendusstrateegiate mõistmine ja sõnastamine. Näiteks „Kuidas sa arvutasid 18 × 5?“, mille puhul üks õpilane kasutab poole võrra vähendamist, teine hoopis ümardamist. ''Kasu:'' õpitakse, et matemaatikas on mitu õiget teed.
# '''Märka ja imesta''' (''Notice &amp; Wonder''). Tund algab visuaalse äratusega: graafik, mustriline kujund, diagramm. Õpilased kirjeldavad, mida nad pildil märkasid ja mis tekitab neis küsimusi. ''Kasu:'' kujundab uurimuslikku hoiakut.
# '''Madala läve ja kõrge laega ülesanded.''' Need on jõukohased kõigile, kuid võimaldavad süvitsi uurimist. Näiteks [https://www.youcubed.org/tasks/painted-cube/ Värvikuup] (''Painted Cube'') või [https://www.youcubed.org/tasks/squares-to-stairs/ Ruudutrepp] (''Squares to Stairs''), milles õpilased kasutavad mustreid, ruumilist mõtlemist ja võrrandeid. ''Kasu:'' igaüks saab sobiva tasemega väljakutse ja kõigil tekib eduelamus.
# '''Veena iseennast, sõpra, kahtlejat''' (''Convince Yourself, a Friend, a Skeptic''). Õpilased peavad oma väiteid põhjendama kolmel tasandil: esmalt iseendale, seejärel rühmale ja lõpuks skeptikule, kes kuidagi ei taha neid väiteid uskuda. Näide: [https://www.youcubed.org/tasks/paper-folding/ voltimismäng]. ''Kasu:'' arendab argumenteerimist ja tõestamise mõtlemist.
# '''Kui lähedal on sada?''' (''How Close to 100?''). [https://www.youcubed.org/tasks/how-close-to-100/ Mänguline korrutamise ja pindalaülesanne] 10 × 10 ruudustikul täringutega. ''Kasu:'' uued teadmised saadakse visuaalselt ja mänguliselt, kiirustamata.
# '''Vead on vägevad''' (''Mistakes are Powerful''). Õpetaja toob klassi arutelusse ühe vea ja seda uuritakse koos. Näiteks: miks arvutati 21 − 6 valesti? ''Kasu:'' õpilased õpivad vigu analüüsima, mitte ebaõnnestumist kartma.
# '''Matemaatikarännakute kaardistus''' (''Mathematical Journeys''). Õpilased visualiseerivad oma mõtteprotsessi skeemide, kaartide, mõiste- ja ideekaartide või plakatite kujul. ''Kasu:'' visuaalne mõtlemine tugevdab mõistmist ja seoseid.
# '''Rühmatööülesanded''' (''Groupworthy Tasks''). Koostööülesanded, kus iga õpilane täidab erinevat rolli ja igaühel on oluline panus lõpptulemusse. Näiteks pargi kavandamine pindala ja ümbermõõdu arvutustega. ''Kasu:'' koostöö loob vastastikuse vastutuse ja kaaslastelt saab tuge.
# '''Galeriituur ja matemaatikakonverents''' (''Gallery Walk'' ja ''Math Congress''). Rühmad esitlevad oma lahendusi postritena seintel, teised jätavad postri juurde küsimusi ja kommentaare. ''Kasu:'' kujundab kriitilist ja sotsiaalset mõtlemist.
# '''Refleksioon ja väljumispiletid''' (''Reflection &amp; Exit Tickets''). Tunni lõpus reflekteeritakse oma õppimist. ''Kasu:'' toetab metakognitsiooni ja õpetaja kohandavat õpet.

== 4.6 Uurimistulemused ja mõju ==
Stanfordi YouCubedi uurimused (Boaler jt, 2019–2024; Boaler, LaMar &amp; Leshin, 2024) näitavad, et õpilased, kes osalesid ''Mathematical Mindset'' kursustel või suvelaagrites, tegid märgatava hüppe algebralises mõtlemises ja probleemilahendusoskuses: keskmiselt ligi 0,9 standardhälvet, mis vastab umbes 2,8 õppeaasta arengule. Veelgi olulisem on, et nad hakkasid end nägema matemaatikutena, mitte lihtsalt arvutajatena. Muutusid ka õpetajate hoiakud: nad loobusid „kiirusekultusest“ ja õppisid väärtustama avatud mõtlemist.

Kokkuvõtteks võib tõdeda, et Jo Boaleri matemaatilise mõtteviisi metoodika ei ole pelgalt õpetamisviis, vaid õppimise filosoofia, mis toob matemaatika tagasi selle olemuseni: maailma mõtestamiseni mustrite ja seoste kaudu. See lähenemine tuletab meelde, et matemaatika on sotsiaalne looming ja matemaatiline mõtlemine võib pakkuda rahuldust kõigile. Kui õpetaja loob keskkonna, kus õppijad saavad mõelda, arutada, eksida ja avastada, sünnib tõeline matemaatiline mõtteviis.

== Viited ==
* Bandura, A. (1977). Self-efficacy: Toward a unifying theory of behavioral change. ''Psychological Review'', 84(2), 191–215.
* Blackwell, L. S., Trzesniewski, K. H., &amp; Dweck, C. S. (2007). Implicit theories of intelligence predict achievement across an adolescent transition: A longitudinal study and an intervention. ''Child Development'', 78(1), 246–263.
* Boaler, J. (2016). ''Mathematical Mindsets: Unleashing Students' Potential through Creative Math, Inspiring Messages and Innovative Teaching''. San Francisco: Jossey-Bass/Wiley.
* Boaler, J. (2018). Developing Mathematical Mindsets: The Need to Interact with Numbers Flexibly and Conceptually. ''American Educator'', 42(4).
* Boaler, J., &amp; Greeno, J. G. (2000). Identity, agency, and knowing in mathematics worlds. In J. Boaler (Ed.), ''Multiple Perspectives on Mathematics Teaching and Learning'' (pp. 171–200). Westport, CT: Ablex.
* Boaler, J., LaMar, T., &amp; Leshin, M. (2024). Mathematical Mindset Experience Taught at Scale. ''Frontiers in Education'', 9.
* Deci, E. L., &amp; Ryan, R. M. (2017). ''Self-Determination Theory: Basic Psychological Needs in Motivation, Development, and Wellness''. New York: Guilford Press.
* Dweck, C. S. (2006). ''Mindset: The New Psychology of Success''. New York: Random House.

== Veebiallikad ==
* YouCubed: [http://youcubed.org youcubed.org]
* Boaler, J. (2017). Creating Mathematical Futures through an Equitable Teaching Approach: The Case of Railside School. [https://www.youcubed.org/wp-content/uploads/2017/09/Creating-Mathematical-Futures.pdf PDF]
* YouCubedi ülesanded: [https://www.youcubed.org/tasks/painted-cube/ Painted Cube], [https://www.youcubed.org/tasks/squares-to-stairs/ Squares to Stairs], [https://www.youcubed.org/tasks/paper-folding/ Paper Folding], [https://www.youcubed.org/tasks/how-close-to-100/ How Close to 100?]
* Poom-Valickis, K. 1-minuti loeng: kuidas uskumus meie võimeid mõjutab. Tallinna Ülikool. [https://www.tlu.ee/uudised/1-minuti-loeng-kuidas-uskumus-meie-voimeid-mojutab-katrin-poom-valickis tlu.ee]

[[Kategooria:LAHEMATE]]
[[Kategooria:Probleemilahendus]]</text>
      <sha1>r9bqh682ahprul9r4leo48kblx7dsvs</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20372</id>
      <parentid>20371</parentid>
      <timestamp>2026-10-09T11:18:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Kriskivi</username>
        <id>3065</id>
      </contributor>
      <comment>/* Viited */</comment>
      <origin>20372</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21619" sha1="4qijt8ft3uvnk43xy8jcmrwu12m3pjv" xml:space="preserve">Jo Boaleri matemaatilise mõtteviisi (''Mathematical Mindset'') metoodika on üks mõjukamaid kaasaegseid käsitlusi matemaatika õpetamise ja õppimise kohta. Selle tuumikidee on lihtne, kuid radikaalne: iga õpilane on võimeline mõtlema matemaatiliselt, kui teda ümbritsev õpikeskkond väärtustab (1) mõtlemist, mitte lahendamiskiirust, (2) vigu kui õppimise võimalusi, mitte ebaõnnestumist ja (3) koostööd, mitte õpilastevahelist võrdlemist ja võistlust. Matemaatiline võimekus ei ole kaasasündinud anne, vaid kujuneb samamoodi nagu lihased treeningu käigus – läbi pingutuse, uurimise ja refleksiooni. Boaleri väitel mõjutab õpilaste eneseusk matemaatika õpitulemusi rohkem kui lahendusvõtete päheõppimine. 

Boaler tugineb oma uuringutes ja soovitustes nii psühholoogilistele kui ka pedagoogilistele teooriatele: isemääramisteooriale (Deci &amp; Ryan, 2017), enesetõhususe ja agentsuse käsitlustele (Bandura, 1977; Boaler &amp; Greeno, 2000) ning kasvumõtteviisi teooriale (Dweck, 2007). Need ideed moodustavad raamistiku, mille kaudu ta pakub välja tervikliku metoodika, mis muudab matemaatikaõpetuse loovaks, inimlikuks ja jõukohaseks kõigile õppijatele. Järgnevalt teeme väikese ülevaate Boaleri metoodika kolmest teoreetilisest nurgakivist.

== 4.1 Pedagoogilised ja psühholoogilised lähtekohad ==
Boaleri matemaatilise mõtteviisi metoodika aluseks olevaid teoreetilisi ideid vaadeldakse käesolevas käsiraamatus kolme omavahel seotud aspekti kaudu, mis kujundavad õppija suhtumist matemaatikasse ja enda arenguvõimesse: (1) õppija motivatsioon ja autonoomia, (2) enesetõhusus ja agentsus ning (3) kasvumõtteviis.

=== Motivatsioon ja autonoomia ===
Boaler rõhutab õppija valikuvõimaluste ja sisemise motivatsiooni tähtsust matemaatika õppimisel. Neid rõhuasetusi saab mõtestada isemääramisteooria kaudu (''Self-Determination Theory''; Ryan &amp; Deci, 2017), mille kohaselt toetab autonoomia-, kompetentsus- ja seotusvajaduse rahuldamine õppija motivatsiooni ja kaasatust.
Boaleri klassiruumis väljendub see järgmiselt:
* õpilaste autonoomiat toetatakse tähenduslike valikutega (nt probleemi lahendusviisi valik või tulemuse esitamise viis);
* õpilaste kompetentsustunnet toetatakse sobiva raskusastmega ülesannete, mõtlemisaja, vajaliku juhendamise ja õppija edasiminekut esile toova tagasisidega;
* õpilaste seotustunnet toetatakse koostöö ja hooliva suhtlusega, kus iga õpilase ideid kuulatakse ning kõigil on võimalus panustada.

=== Enesetõhusus ja agentsus ===
Õppija aktiivse osalemise mõtestamisel on olulised nii enesetõhusus kui ka agentsus. Bandura (1977) käsitleb enesetõhusust usuna oma suutlikkusse vajalikke tegevusi sooritada. Boaler ja Greeno (2000) avavad agentsust matemaatika õppimisel, uurides, kuidas klassiruumi praktikad võimaldavad õppijal osaleda matemaatiliste tähenduste loomises.

Enesetõhususe teooria looja Bandura (1977) lähtus tähelepanekust, et inimeste võimekus käituda teatud moel (nt sooritada keerukaid töid või lahendada matemaatikaülesannet) ei sõltu üksnes sellest, mida nad teavad või oskavad, vaid ka sellest, mida nad usuvad end suutvat. Kaks inimest võivad omada sama palju teadmisi ja oskusi, kuid see, kes usub oma võimesse raskustega toime tulla, on tõenäolisemalt valmis pingutama ja raskuste korral jätkama. Bandura nimetas seda uskumust '''enesetõhususeks''' (''self-efficacy''). See ei tähenda üldist enesehinnangut, vaid konkreetset veendumust, et „ma saan selle asjaga hakkama“.

Enesetõhusus on seega defineeritud kui uskumus oma suutlikkusse sooritada konkreetse ülesande lahendamiseks vajalikud tegevused. See ei ole sama mis optimism või enesehinnang: inimene võib üldiselt tunda end enesekindlalt, kuid tunda madalat enesetõhusust näiteks matemaatikaülesannete lahendamisel. Bandura (1977, 1994) eristas nelja peamist enesetõhususe allikat.
* '''Isiklikud eduelamused''' (''mastery experiences''): Tähtis on kogeda raskuse ületamist. Üksnes lihtsate ülesannete õnnestunud lahendamine ei pruugi kujundada püsivat enesetõhusust. 
* '''Asenduskogemused''' (''vicarious experiences''): Eriti mõjus on näha endaga sarnast kaaslast pingutuse ja sobivate strateegiate abil edasi jõudmas („kui tema sai hakkama, saan ka mina“). 
* '''Sotsiaalne veenmine''' (''social persuasion''): Julgustus (nt „Joonise abil leidsid juba olulise seose. Proovi nüüd selle põhjal järgmine samm teha.&quot;) peaks olema usutav ja seotud õppija tegeliku tegevusega. 
* '''Füsioloogiline ja emotsionaalne seisund''': Mõju sõltub ka sellest, kuidas õppija oma ärevust, pinget või väsimust tõlgendab.

Õpetaja saab toetada õpilaste enesetõhusust, luues olukordi, kus õpilased kogevad väikseid eduelamusi („edu redel“), tuues esile erinevaid lahendusviise (''vicarious experience''), võimaldades õpilastel jälgida, kuidas kaaslased raskustega toime tulevad ja oma lahendusteni jõuavad, pakkudes konkreetset ja julgustavat tagasisidet („sinu lähenemine oli huvitav – proovi seda laiendada“) ning aidates vähendada ärevust toetava klassikultuuri kaudu.

Kui õpilane tõlgendab vigu tõendina oma püsivast suutmatusest, võib tema enesetõhusus nõrgeneda. Õpetaja saab aidata tal märgata, kuidas sobivad strateegiad, harjutamine ja vajalik tugi võimaldavad edasi liikuda.

Boaler ja Greeno (2000) käsitlevad '''matemaatilist agentsust''' õppija võimalusena teha sisulisi otsuseid ja osaleda matemaatiliste tähenduste loomises. See väljendub näiteks lahendusviiside valimises, küsimuste ja oletuste esitamises, põhjendamises ning kaaslaste ideede analüüsimises. Enesetõhusus puudutab õppija usku oma suutlikkusse, agentsus aga tema võimalusi ja tegevust õppimise mõjutamisel. Õpetaja toetab agentsust, andes õpilastele otsustusruumi ning kujundades arutelud, kus nende ideed mõjutavad edasist tööd.

=== Kasvumõtteviis ===
Kõige tugevamini on Boaleri metoodikat mõjutanud ilmselt Carol Dwecki '''kasvumõtteviisi teooria''' (''Growth Mindset'', mõnikord tõlgitud eesti keelde ka kui juurdekasvu-uskumus) ja aju-uurijate viimaste aastate avastused aju neuroplastilisuse kohta. Dwecki kasvumõtteviisi teooria on üks tänapäeva hariduspsühholoogia keskseid käsitlusi õppimise ja motivatsiooni kohta. Selle põhisisu seisneb inimeste uskumustes oma võimete ja intelligentsuse olemuse kohta.

Dweck vastandab kasvu- ja jäävusmõtteviisi:
* '''Jäävusmõtteviisiga''' inimesed usuvad, et intelligentsus ja võimed on kaasasündinud ja muutumatud („ma lihtsalt ei ole matemaatika-inimene“). Nad püüavad võimaluse korral vältida raskusi ja tõlgendavad vigu kui kinnitust oma paratamatu või lootusetu võimetuse kohta.
* '''Kasvumõtteviisiga''' inimesed usuvad, et võimed (sh matemaatiline võimekus) arenevad pingutuse, õppimise ja strateegiate kaudu („ma ei oska seda veel, aga ma suudan selle selgeks õppida, kui pingutan“). Nad ei pelga väljakutseid, ei anna alla raskuste ees ja näevad pingutust edu eeldusena.

Soovitame vaadata [https://www.tlu.ee/uudised/1-minuti-loeng-kuidas-uskumus-meie-voimeid-mojutab-katrin-poom-valickis Katrin Poom-Valickise minutiloengut] juurdekasvu-uskumuse teemal.

Kasvumõtteviisi toetab õpetaja '''protsessikeskne tagasiside''': tunnustatakse hästi toimivaid õpistrateegiaid, pingutust ja kohalolekut õppimisprotsessis, mitte ainult tulemust (nt „Sa proovisid mitut viisi ja ei loobunud“). Näiteks õpetaja kiitus „Küll sa oled nutikas!“ võib hoopis kinnistada jäävusmõtteviisi. Dweck rõhutab tagasilöökide ja vigade olulisust õppimisvõimalusena: aju aktiveerub rohkem, kui inimene eksib ja püüab aru saada, miks. Ka Boaler kinnitab Dweckist inspireerituna: „Eksimine kasvatab aju“. Kasvumõtteviis ei teki lihtsalt positiivsete loosungite abil, vaid vajab süsteemset õpetamiskultuuri, mis soosib uurimist, eksimust ja refleksiooni. Õpetaja peab kujundama õpikeskkonna, kus vigade tegemine on turvaline ja pingutus on väärtus.

Dwecki ja tema kolleegide uuringud (nt Blackwell, Trzesniewski &amp; Dweck, 2007) näitavad, et kasvumõtteviisi arendamine parandab õpilaste õpitulemusi, eriti matemaatikas. Nad soovitavad mitte peljata selgitada ka õpilastele aju neuroplastilisuse ja kasvumõtteviisi teooriat, sest nende uuringute põhjal võib sellise metakognitiivse „tööriistakasti“ omamine tõsta märgatavalt õpilaste motivatsiooni ja sooritust.

Boaler toob arvukalt neuroteaduslikke tõendeid selle kohta, et aju plastilisus võimaldab õppijatel arendada uusi ühendusi kogu elu jooksul. Matemaatiline ajutegevus ei piirdu loogilise „vasaku ajupoolkeraga“: parim õppimine toimub siis, kui aktiveeruvad mõlemad ajupooled ning loogiline, visuaalne ja ruumiline mõtlemine. Vigade tegemine aktiveerib aju õppimiskeskused isegi siis, kui õppija ei tea, et ta eksis. Sellepärast ütleb Boaler: „Su aju areneb, kui vigu teed“ (''Mistakes grow your brain''). Vigadest rääkimine ei ole nõrkuse tunnus, vaid õppimise loomulik osa.

== 4.2 Probleemülesannete disain: madal lävi, kõrge lagi ==
Boaleri klassiruumides ei anta õpilastele fikseeritud keerukusastmel probleemülesandeid (nt. keerukamad kiiretele ja lihtsamad aeglastele õpilastele). Selle asemel soovitab ta kasutada ülesannete koostamisel '''„madala läve ja kõrge lae“''' disainiprintsiipi (''low floor – high ceiling''). See võimaldab igal õpilasel alustada talle jõukohaselt tasemelt, saavutada esialgne eduelamus ja liikuda edasi sügavama mõtlemise suunas.

'''Madala lävega''' ülesanded on ligipääsetavad kõigile. Neid saab alustada mänguliselt, visuaalselt või konkreetsete näidetega. Näiteks võib õpetaja paluda: „Ehitage 3D-kuup Lego klotsidest ja värvige see väljastpoolt. Kui lõikate selle väikesteks kuubikuteks, mitu neist on värvitud kolmest küljest, kahest, ühest või mitte ühestki?“ Selline värvikuubi ülesanne kutsub kõiki kaasa mõtlema: mõned õpilased töötavad praktiliselt ja loendavad väikesi kuubikuid, teised modelleerivad arvutiga, kolmandad proovivad koostada võrrandi (nt 6 × (n−2)² + …).

'''Kõrge laega''' ülesanded kutsuvad edasi mõtlema, mustreid nägema, üldistama ja tõestama. Sama ülesannet saab kasutada nii 5. klassis kui ka gümnaasiumis, muutes vaid lähenemise sügavust. Boaler rõhutab, et õpetaja ei tohiks „tõsta raskusastet“ täiendavate ülesannetega, vaid luua kohe alguses selline ülesanne, mille sisse on juba peidetud täiendav uurimis- ja edasiarendusruum.

Näiteks värvikuubi ülesande puhul võiks õpetaja toetada õpilaste mõtlemist küsimustega:
* „Mis juhtuks, kui see kuup oleks kaks korda suurem?“
* „Kas sa saad oma lahendust visualiseerida?“
* „Kas keegi leidis teise mustri? Mille poolest need mustrid erinevad?“

Boaleri teine ülesannete disainiprintsiip on '''rühmatööks sobivad ülesanded''' (''groupworthy tasks''). Need on probleemülesanded, mille lahendamiseks on vaja mitut vaatenurka või erinevat laadi panust mitmelt rühmaliikmelt. Rühmas töötamine peab olema sisuline ja lisaväärtust loov, mitte võimalus osadel õpilastel viilida, kuni kõige kiirem rühmaliige teiste eest töö ära teeb. Näiteks toob ta sellise ülesande: „Kavandage 500 m² suurune park, kasutades vähemalt kolme erinevat kujundit. Arvutage pindalad ja ümbermõõdud, tehke plaan. Üks õpilane koostab joonise, teine arvutab pindala, kolmas kontrollib proportsioone ja põhjendab valikuid.“ Sellise ülesande puhul sõltub rühma töö tulemus kõigi rühmaliikmete panusest.

Boaleri ja tema kolleegide koostatud madala läve ja kõrge laega ning rühmatööks sobivaid matemaatikaülesandeid leiab veebilehelt [http://youcubed.org YouCubed.org], rubriigist „Activities and tasks“.

== 4.3 Õpilaste rühmitamine ja õppekorraldus ==
Boaler peab '''segatasemelisi rühmi''' (''mixed-ability groups'') oluliseks sotsiaalseks ja kognitiivseks ressursiks, samas tasemerühmad mõjuvat õpilaste õpimotivatsioonile ja eneseusule halvasti. Tema uurimused (nt [https://www.youcubed.org/wp-content/uploads/2017/09/Creating-Mathematical-Futures.pdf Railside School Study]) näitavad, et kui õpilasi ei jagata võimekuse järgi, vaid nad töötavad ühiselt, paranevad tulemused kõigil, eriti nõrgematel.

Matemaatilise mõtteviisi metoodikat järgiv klassiruum ei ole vaikne töölaudade rida, vaid elav uurimislabor. Lauad on paigutatud rühmatööks sobivalt saarekestena, seintel on paber- või valgetahvlid, kuhu rühmad saavad kirja panna oma lahendusideid, jooniseid, mõistekaarte jm. Klassis kehtivad selged põhimõtted:
* igaühe mõtted on väärtuslikud ja teretulnud, kõiki tuleb ära kuulata;
* „vead on head“: need on oluline ja väärtuslik osa õppimisest, mitte märk läbikukkumisest;
* kiirus ei võrdu tarkusega;
* koostöö viib edasi.

Selline keskkond kasvatab õppija kuuluvustunnet, toetab kasvumõtteviisi ja enesetõhususe kujunemist, vähendab hirmu matemaatika ees ja innustab uuesti proovima.

== 4.4 Toestamine ja kujundav hindamine ==
Boaleri järgi peab õpetaja roll muutuma hindajast juhendajaks ja juhendajast kuulajaks. '''Toestamine''' (''scaffolding'') tähendab, et õpetaja ei anna vastuseid, vaid juhendab õppija mõtlemist suunavate küsimuste, näidete, vihjete, visualiseerimise ja refleksiooni esilekutsumise kaudu. Toestav õpetaja ei anna lahenduskäiku, vaid küsib: „Kuidas sa teadsid, et see töötab?“, „Mis juhtuks, kui sa muudaksid ühte arvu?“, „Kas saad oma mõtet joonisega näidata?“. Toestamine on ajutine ja taanduv: kui õpilane hakkab juba iseseisvalt toime tulema, taandub õpetaja kuulaja või vaatleja rolli ega anna enam tuge. Selline lähenemine julgustab iseseisvat mõtlemist ja uurimist ning õpilase vastutuse võtmist oma õppimise eest.

Toestamisele sarnane, kuid siiski sellest pisut erinev on '''kujundav hindamine''' õppeprotsessi käigus. Eestis on hakatud seda viimasel ajal nimetama pigem '''õppimist toetavaks hindamiseks''' (ingliskeelse eeskuju järgi ''assessment for learning''). Õppimist toetav hindamine toimub üldjuhul õppeprotsessi kestel, samas kui õpitulemuste '''arvestuslik hindamine''' (''assessment of learning'') toimub pärast õppimise lõppu, sageli eristava (hindelise) hindamise kujul, nt eksami, kontrolltöö või testina.

Kujundav hindamine on sageli seotud enese- ja rühmarefleksiooniga, kui tunni lõpus palub õpetaja õpilastel oma õpikogemust kokku võtta: „Mis oli tänase tunni kõige olulisem mõte?“, „Mis sind üllatas?“, „Mida tahaksid järgmisel korral uurida?“. Sellised '''väljumispiletid''' (''exit tickets'') võimaldavad õpetajal mõista, kuidas õpilased mõtlevad, mitte kui palju nad mäletavad.

Oluline on käsitleda nii kujundavas hindamises kui ka refleksioonis vigu positiivses võtmes: suunata klass arutama, miks viga tekkis ja kuidas see aitab mõista teemat või lahendusprotsessi sügavamalt. Nii kujuneb '''produktiivse pingutuse''' efekt (''productive struggle''), mis kasvatab enesetõhusust, püsivust ja matemaatilist kasvumõtteviisi.

== 4.5 Kümme matemaatilise mõtteviisi tehnikat õpetaja tööriistakastist ==
# '''Räägime arvudest''' (''Number Talk''): arutle, mitte ära arvuta mehaaniliselt. Need on lühikesed peastarvutused ja arutlused, mille eesmärk on lahendusstrateegiate mõistmine ja sõnastamine. Näiteks „Kuidas sa arvutasid 18 × 5?“, mille puhul üks õpilane kasutab poole võrra vähendamist, teine hoopis ümardamist. ''Kasu:'' õpitakse, et matemaatikas on mitu õiget teed.
# '''Märka ja imesta''' (''Notice &amp; Wonder''). Tund algab visuaalse äratusega: graafik, mustriline kujund, diagramm. Õpilased kirjeldavad, mida nad pildil märkasid ja mis tekitab neis küsimusi. ''Kasu:'' kujundab uurimuslikku hoiakut.
# '''Madala läve ja kõrge laega ülesanded.''' Need on jõukohased kõigile, kuid võimaldavad süvitsi uurimist. Näiteks [https://www.youcubed.org/tasks/painted-cube/ Värvikuup] (''Painted Cube'') või [https://www.youcubed.org/tasks/squares-to-stairs/ Ruudutrepp] (''Squares to Stairs''), milles õpilased kasutavad mustreid, ruumilist mõtlemist ja võrrandeid. ''Kasu:'' igaüks saab sobiva tasemega väljakutse ja kõigil tekib eduelamus.
# '''Veena iseennast, sõpra, kahtlejat''' (''Convince Yourself, a Friend, a Skeptic''). Õpilased peavad oma väiteid põhjendama kolmel tasandil: esmalt iseendale, seejärel rühmale ja lõpuks skeptikule, kes kuidagi ei taha neid väiteid uskuda. Näide: [https://www.youcubed.org/tasks/paper-folding/ voltimismäng]. ''Kasu:'' arendab argumenteerimist ja tõestamise mõtlemist.
# '''Kui lähedal on sada?''' (''How Close to 100?''). [https://www.youcubed.org/tasks/how-close-to-100/ Mänguline korrutamise ja pindalaülesanne] 10 × 10 ruudustikul täringutega. ''Kasu:'' uued teadmised saadakse visuaalselt ja mänguliselt, kiirustamata.
# '''Vead on vägevad''' (''Mistakes are Powerful''). Õpetaja toob klassi arutelusse ühe vea ja seda uuritakse koos. Näiteks: miks arvutati 21 − 6 valesti? ''Kasu:'' õpilased õpivad vigu analüüsima, mitte ebaõnnestumist kartma.
# '''Matemaatikarännakute kaardistus''' (''Mathematical Journeys''). Õpilased visualiseerivad oma mõtteprotsessi skeemide, kaartide, mõiste- ja ideekaartide või plakatite kujul. ''Kasu:'' visuaalne mõtlemine tugevdab mõistmist ja seoseid.
# '''Rühmatööülesanded''' (''Groupworthy Tasks''). Koostööülesanded, kus iga õpilane täidab erinevat rolli ja igaühel on oluline panus lõpptulemusse. Näiteks pargi kavandamine pindala ja ümbermõõdu arvutustega. ''Kasu:'' koostöö loob vastastikuse vastutuse ja kaaslastelt saab tuge.
# '''Galeriituur ja matemaatikakonverents''' (''Gallery Walk'' ja ''Math Congress''). Rühmad esitlevad oma lahendusi postritena seintel, teised jätavad postri juurde küsimusi ja kommentaare. ''Kasu:'' kujundab kriitilist ja sotsiaalset mõtlemist.
# '''Refleksioon ja väljumispiletid''' (''Reflection &amp; Exit Tickets''). Tunni lõpus reflekteeritakse oma õppimist. ''Kasu:'' toetab metakognitsiooni ja õpetaja kohandavat õpet.

== 4.6 Uurimistulemused ja mõju ==
Stanfordi YouCubedi uurimused (Boaler jt, 2019–2024; Boaler, LaMar &amp; Leshin, 2024) näitavad, et õpilased, kes osalesid ''Mathematical Mindset'' kursustel või suvelaagrites, tegid märgatava hüppe algebralises mõtlemises ja probleemilahendusoskuses: keskmiselt ligi 0,9 standardhälvet, mis vastab umbes 2,8 õppeaasta arengule. Veelgi olulisem on, et nad hakkasid end nägema matemaatikutena, mitte lihtsalt arvutajatena. Muutusid ka õpetajate hoiakud: nad loobusid „kiirusekultusest“ ja õppisid väärtustama avatud mõtlemist.

Kokkuvõtteks võib tõdeda, et Jo Boaleri matemaatilise mõtteviisi metoodika ei ole pelgalt õpetamisviis, vaid õppimise filosoofia, mis toob matemaatika tagasi selle olemuseni: maailma mõtestamiseni mustrite ja seoste kaudu. See lähenemine tuletab meelde, et matemaatika on sotsiaalne looming ja matemaatiline mõtlemine võib pakkuda rahuldust kõigile. Kui õpetaja loob keskkonna, kus õppijad saavad mõelda, arutada, eksida ja avastada, sünnib tõeline matemaatiline mõtteviis.

== Viited ==
* Bandura, A. (1977). Self-efficacy: Toward a unifying theory of behavioral change. ''Psychological Review'', 84(2), 191–215.
* Bandura, A. (1994). Self-efficacy. In V. S. Ramachaudran (Ed.), ''Encyclopedia of human behavior'' (Vol. 4, pp. 71-81). New York: Academic Press. (Reprinted in H. Friedman [Ed.], ''Encyclopedia of mental health''. San Diego: Academic Press, 1998).
* Blackwell, L. S., Trzesniewski, K. H., &amp; Dweck, C. S. (2007). Implicit theories of intelligence predict achievement across an adolescent transition: A longitudinal study and an intervention. ''Child Development'', 78(1), 246–263.
* Boaler, J. (2016). ''Mathematical Mindsets: Unleashing Students' Potential through Creative Math, Inspiring Messages and Innovative Teaching''. San Francisco: Jossey-Bass/Wiley.
* Boaler, J. (2018). Developing Mathematical Mindsets: The Need to Interact with Numbers Flexibly and Conceptually. ''American Educator'', 42(4).
* Boaler, J., &amp; Greeno, J. G. (2000). Identity, agency, and knowing in mathematics worlds. In J. Boaler (Ed.), ''Multiple Perspectives on Mathematics Teaching and Learning'' (pp. 171–200). Westport, CT: Ablex.
* Boaler, J., LaMar, T., &amp; Leshin, M. (2024). Mathematical Mindset Experience Taught at Scale. ''Frontiers in Education'', 9.
* Deci, E. L., &amp; Ryan, R. M. (2017). ''Self-Determination Theory: Basic Psychological Needs in Motivation, Development, and Wellness''. New York: Guilford Press.
* Dweck, C. S. (2006). ''Mindset: The New Psychology of Success''. New York: Random House.

== Veebiallikad ==
* YouCubed: [http://youcubed.org youcubed.org]
* Boaler, J. (2017). Creating Mathematical Futures through an Equitable Teaching Approach: The Case of Railside School. [https://www.youcubed.org/wp-content/uploads/2017/09/Creating-Mathematical-Futures.pdf PDF]
* YouCubedi ülesanded: [https://www.youcubed.org/tasks/painted-cube/ Painted Cube], [https://www.youcubed.org/tasks/squares-to-stairs/ Squares to Stairs], [https://www.youcubed.org/tasks/paper-folding/ Paper Folding], [https://www.youcubed.org/tasks/how-close-to-100/ How Close to 100?]
* Poom-Valickis, K. 1-minuti loeng: kuidas uskumus meie võimeid mõjutab. Tallinna Ülikool. [https://www.tlu.ee/uudised/1-minuti-loeng-kuidas-uskumus-meie-voimeid-mojutab-katrin-poom-valickis tlu.ee]

[[Kategooria:LAHEMATE]]
[[Kategooria:Probleemilahendus]]</text>
      <sha1>4qijt8ft3uvnk43xy8jcmrwu12m3pjv</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20373</id>
      <parentid>20372</parentid>
      <timestamp>2026-10-09T11:43:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Kriskivi</username>
        <id>3065</id>
      </contributor>
      <comment>/* Kasvumõtteviis */</comment>
      <origin>20373</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21562" sha1="t7tggxs4s7vvwhja1dlpld4h6asvh98" xml:space="preserve">Jo Boaleri matemaatilise mõtteviisi (''Mathematical Mindset'') metoodika on üks mõjukamaid kaasaegseid käsitlusi matemaatika õpetamise ja õppimise kohta. Selle tuumikidee on lihtne, kuid radikaalne: iga õpilane on võimeline mõtlema matemaatiliselt, kui teda ümbritsev õpikeskkond väärtustab (1) mõtlemist, mitte lahendamiskiirust, (2) vigu kui õppimise võimalusi, mitte ebaõnnestumist ja (3) koostööd, mitte õpilastevahelist võrdlemist ja võistlust. Matemaatiline võimekus ei ole kaasasündinud anne, vaid kujuneb samamoodi nagu lihased treeningu käigus – läbi pingutuse, uurimise ja refleksiooni. Boaleri väitel mõjutab õpilaste eneseusk matemaatika õpitulemusi rohkem kui lahendusvõtete päheõppimine. 

Boaler tugineb oma uuringutes ja soovitustes nii psühholoogilistele kui ka pedagoogilistele teooriatele: isemääramisteooriale (Deci &amp; Ryan, 2017), enesetõhususe ja agentsuse käsitlustele (Bandura, 1977; Boaler &amp; Greeno, 2000) ning kasvumõtteviisi teooriale (Dweck, 2007). Need ideed moodustavad raamistiku, mille kaudu ta pakub välja tervikliku metoodika, mis muudab matemaatikaõpetuse loovaks, inimlikuks ja jõukohaseks kõigile õppijatele. Järgnevalt teeme väikese ülevaate Boaleri metoodika kolmest teoreetilisest nurgakivist.

== 4.1 Pedagoogilised ja psühholoogilised lähtekohad ==
Boaleri matemaatilise mõtteviisi metoodika aluseks olevaid teoreetilisi ideid vaadeldakse käesolevas käsiraamatus kolme omavahel seotud aspekti kaudu, mis kujundavad õppija suhtumist matemaatikasse ja enda arenguvõimesse: (1) õppija motivatsioon ja autonoomia, (2) enesetõhusus ja agentsus ning (3) kasvumõtteviis.

=== Motivatsioon ja autonoomia ===
Boaler rõhutab õppija valikuvõimaluste ja sisemise motivatsiooni tähtsust matemaatika õppimisel. Neid rõhuasetusi saab mõtestada isemääramisteooria kaudu (''Self-Determination Theory''; Ryan &amp; Deci, 2017), mille kohaselt toetab autonoomia-, kompetentsus- ja seotusvajaduse rahuldamine õppija motivatsiooni ja kaasatust.
Boaleri klassiruumis väljendub see järgmiselt:
* õpilaste autonoomiat toetatakse tähenduslike valikutega (nt probleemi lahendusviisi valik või tulemuse esitamise viis);
* õpilaste kompetentsustunnet toetatakse sobiva raskusastmega ülesannete, mõtlemisaja, vajaliku juhendamise ja õppija edasiminekut esile toova tagasisidega;
* õpilaste seotustunnet toetatakse koostöö ja hooliva suhtlusega, kus iga õpilase ideid kuulatakse ning kõigil on võimalus panustada.

=== Enesetõhusus ja agentsus ===
Õppija aktiivse osalemise mõtestamisel on olulised nii enesetõhusus kui ka agentsus. Bandura (1977) käsitleb enesetõhusust usuna oma suutlikkusse vajalikke tegevusi sooritada. Boaler ja Greeno (2000) avavad agentsust matemaatika õppimisel, uurides, kuidas klassiruumi praktikad võimaldavad õppijal osaleda matemaatiliste tähenduste loomises.

Enesetõhususe teooria looja Bandura (1977) lähtus tähelepanekust, et inimeste võimekus käituda teatud moel (nt sooritada keerukaid töid või lahendada matemaatikaülesannet) ei sõltu üksnes sellest, mida nad teavad või oskavad, vaid ka sellest, mida nad usuvad end suutvat. Kaks inimest võivad omada sama palju teadmisi ja oskusi, kuid see, kes usub oma võimesse raskustega toime tulla, on tõenäolisemalt valmis pingutama ja raskuste korral jätkama. Bandura nimetas seda uskumust '''enesetõhususeks''' (''self-efficacy''). See ei tähenda üldist enesehinnangut, vaid konkreetset veendumust, et „ma saan selle asjaga hakkama“.

Enesetõhusus on seega defineeritud kui uskumus oma suutlikkusse sooritada konkreetse ülesande lahendamiseks vajalikud tegevused. See ei ole sama mis optimism või enesehinnang: inimene võib üldiselt tunda end enesekindlalt, kuid tunda madalat enesetõhusust näiteks matemaatikaülesannete lahendamisel. Bandura (1977, 1994) eristas nelja peamist enesetõhususe allikat.
* '''Isiklikud eduelamused''' (''mastery experiences''): Tähtis on kogeda raskuse ületamist. Üksnes lihtsate ülesannete õnnestunud lahendamine ei pruugi kujundada püsivat enesetõhusust. 
* '''Asenduskogemused''' (''vicarious experiences''): Eriti mõjus on näha endaga sarnast kaaslast pingutuse ja sobivate strateegiate abil edasi jõudmas („kui tema sai hakkama, saan ka mina“). 
* '''Sotsiaalne veenmine''' (''social persuasion''): Julgustus (nt „Joonise abil leidsid juba olulise seose. Proovi nüüd selle põhjal järgmine samm teha.&quot;) peaks olema usutav ja seotud õppija tegeliku tegevusega. 
* '''Füsioloogiline ja emotsionaalne seisund''': Mõju sõltub ka sellest, kuidas õppija oma ärevust, pinget või väsimust tõlgendab.

Õpetaja saab toetada õpilaste enesetõhusust, luues olukordi, kus õpilased kogevad väikseid eduelamusi („edu redel“), tuues esile erinevaid lahendusviise (''vicarious experience''), võimaldades õpilastel jälgida, kuidas kaaslased raskustega toime tulevad ja oma lahendusteni jõuavad, pakkudes konkreetset ja julgustavat tagasisidet („sinu lähenemine oli huvitav – proovi seda laiendada“) ning aidates vähendada ärevust toetava klassikultuuri kaudu.

Kui õpilane tõlgendab vigu tõendina oma püsivast suutmatusest, võib tema enesetõhusus nõrgeneda. Õpetaja saab aidata tal märgata, kuidas sobivad strateegiad, harjutamine ja vajalik tugi võimaldavad edasi liikuda.

Boaler ja Greeno (2000) käsitlevad '''matemaatilist agentsust''' õppija võimalusena teha sisulisi otsuseid ja osaleda matemaatiliste tähenduste loomises. See väljendub näiteks lahendusviiside valimises, küsimuste ja oletuste esitamises, põhjendamises ning kaaslaste ideede analüüsimises. Enesetõhusus puudutab õppija usku oma suutlikkusse, agentsus aga tema võimalusi ja tegevust õppimise mõjutamisel. Õpetaja toetab agentsust, andes õpilastele otsustusruumi ning kujundades arutelud, kus nende ideed mõjutavad edasist tööd.

=== Kasvumõtteviis ===
Boaleri matemaatilise mõtteviisi metoodika üks keskseid lähtekohti on Carol Dwecki '''kasvumõtteviisi''' (''Growth Mindset'', mõnikord tõlgitud eesti keelde ka kui juurdekasvu-uskumus) käsitlus. Boaler seostab seda neuroplastilisuse ehk aju õppimiskogemuste mõjul muutumisega (Boaler, 2016). Dwecki kasvumõtteviisi teooria on üks tänapäeva hariduspsühholoogia keskseid käsitlusi õppimise ja motivatsiooni kohta. Selle põhisisu seisneb inimeste uskumustes oma võimete ja intelligentsuse olemuse kohta.

Dweck vastandab kasvu- ja jäävusmõtteviisi:
* '''Jäävusmõtteviisiga''' inimesed usuvad, et intelligentsus ja võimed on kaasasündinud ja suuresti muutumatud („ma lihtsalt ei ole matemaatika-inimene“). Seetõttu võib ta vältida väljakutseid ja tõlgendada vigu tõendina oma võimete puudulikkusest.
* '''Kasvumõtteviisiga''' inimene usub, et võimeid (sh matemaatilist võimekust) saab õppimise, harjutamise, sobivate strateegiate ja teiste toe abil arendada („ma ei oska seda veel, aga ma suudan selle selgeks õppida, kui pingutan, proovides sobivaid strateegiaid ja vajaduse korral abi küsides“). See võib toetada valmisolekut raskuste korral jätkata, muuta lähenemist või küsida abi.

Soovitame vaadata [https://www.tlu.ee/uudised/1-minuti-loeng-kuidas-uskumus-meie-voimeid-mojutab-katrin-poom-valickis Katrin Poom-Valickise minutiloengut] juurdekasvu-uskumuse teemal.

Boaler seostab kasvumõtteviisi neuroplastilisusega ehk aju võimega õppimiskogemuste mõjul muutuda (Boaler, 2016). Blackwelli, Trzesniewski ja Dwecki (2007) uuringus toetas kasvumõtteviisi arendamisele suunatud sekkumine õpilaste motivatsiooni ning aitas pöörata matemaatikahinnete langustrendi. Sekkumiste mõju õpitulemustele siiski varieerub. Seetõttu peaks võimete arendatavuse selgitamine olema seotud sobivate ülesannete, õpetamise, tagasiside ja õppimisvõimalustega.

Kasvumõtteviisi toetamine vajab järjepidevat õpetamiskultuuri, mis väärtustab uurimist, sobivate strateegiate kasutamist ja oma mõtlemise analüüsimist. Õpetaja kujundab õpikeskkonna, kus õpilased julgevad esitada ideid, teha vigu ja neist rääkida. Seda toetab '''protsessikeskne tagasiside''', mis juhib tähelepanu õppimist edendavatele strateegiatele, pingutusele, lahenduse kontrollimisele ja parandamisele. Näiteks võib õpetaja öelda: „Proovisid kahte lahendusviisi ja märkasid, miks esimene ei töötanud. Kuidas teine viis sind edasi aitas?“ Seevastu kiitus „Küll sa oled nutikas!“ võib kinnistada arusaama võimekusest kui püsivast omadusest. Dweck rõhutab tagasilöökide ja vigade käsitlemist õppimisvõimalustena. Boaleri sõnum „Eksimine kasvatab aju“ ''(Mistakes grow your brain)'' väljendab samuti vigade väärtust õppimisel. Vead pakuvad õppimisvõimalusi, kui õpilane saab tagasisidet, analüüsib oma arutlust ja parandab lahendust. Seega tähendab kasvumõtteviisi toetamine lisaks julgustavatele sõnumitele ka konkreetset abi, et õppija saaks raskuste korral oma lähenemist muuta ja edasi liikuda.

== 4.2 Probleemülesannete disain: madal lävi, kõrge lagi ==
Boaleri klassiruumides ei anta õpilastele fikseeritud keerukusastmel probleemülesandeid (nt. keerukamad kiiretele ja lihtsamad aeglastele õpilastele). Selle asemel soovitab ta kasutada ülesannete koostamisel '''„madala läve ja kõrge lae“''' disainiprintsiipi (''low floor – high ceiling''). See võimaldab igal õpilasel alustada talle jõukohaselt tasemelt, saavutada esialgne eduelamus ja liikuda edasi sügavama mõtlemise suunas.

'''Madala lävega''' ülesanded on ligipääsetavad kõigile. Neid saab alustada mänguliselt, visuaalselt või konkreetsete näidetega. Näiteks võib õpetaja paluda: „Ehitage 3D-kuup Lego klotsidest ja värvige see väljastpoolt. Kui lõikate selle väikesteks kuubikuteks, mitu neist on värvitud kolmest küljest, kahest, ühest või mitte ühestki?“ Selline värvikuubi ülesanne kutsub kõiki kaasa mõtlema: mõned õpilased töötavad praktiliselt ja loendavad väikesi kuubikuid, teised modelleerivad arvutiga, kolmandad proovivad koostada võrrandi (nt 6 × (n−2)² + …).

'''Kõrge laega''' ülesanded kutsuvad edasi mõtlema, mustreid nägema, üldistama ja tõestama. Sama ülesannet saab kasutada nii 5. klassis kui ka gümnaasiumis, muutes vaid lähenemise sügavust. Boaler rõhutab, et õpetaja ei tohiks „tõsta raskusastet“ täiendavate ülesannetega, vaid luua kohe alguses selline ülesanne, mille sisse on juba peidetud täiendav uurimis- ja edasiarendusruum.

Näiteks värvikuubi ülesande puhul võiks õpetaja toetada õpilaste mõtlemist küsimustega:
* „Mis juhtuks, kui see kuup oleks kaks korda suurem?“
* „Kas sa saad oma lahendust visualiseerida?“
* „Kas keegi leidis teise mustri? Mille poolest need mustrid erinevad?“

Boaleri teine ülesannete disainiprintsiip on '''rühmatööks sobivad ülesanded''' (''groupworthy tasks''). Need on probleemülesanded, mille lahendamiseks on vaja mitut vaatenurka või erinevat laadi panust mitmelt rühmaliikmelt. Rühmas töötamine peab olema sisuline ja lisaväärtust loov, mitte võimalus osadel õpilastel viilida, kuni kõige kiirem rühmaliige teiste eest töö ära teeb. Näiteks toob ta sellise ülesande: „Kavandage 500 m² suurune park, kasutades vähemalt kolme erinevat kujundit. Arvutage pindalad ja ümbermõõdud, tehke plaan. Üks õpilane koostab joonise, teine arvutab pindala, kolmas kontrollib proportsioone ja põhjendab valikuid.“ Sellise ülesande puhul sõltub rühma töö tulemus kõigi rühmaliikmete panusest.

Boaleri ja tema kolleegide koostatud madala läve ja kõrge laega ning rühmatööks sobivaid matemaatikaülesandeid leiab veebilehelt [http://youcubed.org YouCubed.org], rubriigist „Activities and tasks“.

== 4.3 Õpilaste rühmitamine ja õppekorraldus ==
Boaler peab '''segatasemelisi rühmi''' (''mixed-ability groups'') oluliseks sotsiaalseks ja kognitiivseks ressursiks, samas tasemerühmad mõjuvat õpilaste õpimotivatsioonile ja eneseusule halvasti. Tema uurimused (nt [https://www.youcubed.org/wp-content/uploads/2017/09/Creating-Mathematical-Futures.pdf Railside School Study]) näitavad, et kui õpilasi ei jagata võimekuse järgi, vaid nad töötavad ühiselt, paranevad tulemused kõigil, eriti nõrgematel.

Matemaatilise mõtteviisi metoodikat järgiv klassiruum ei ole vaikne töölaudade rida, vaid elav uurimislabor. Lauad on paigutatud rühmatööks sobivalt saarekestena, seintel on paber- või valgetahvlid, kuhu rühmad saavad kirja panna oma lahendusideid, jooniseid, mõistekaarte jm. Klassis kehtivad selged põhimõtted:
* igaühe mõtted on väärtuslikud ja teretulnud, kõiki tuleb ära kuulata;
* „vead on head“: need on oluline ja väärtuslik osa õppimisest, mitte märk läbikukkumisest;
* kiirus ei võrdu tarkusega;
* koostöö viib edasi.

Selline keskkond kasvatab õppija kuuluvustunnet, toetab kasvumõtteviisi ja enesetõhususe kujunemist, vähendab hirmu matemaatika ees ja innustab uuesti proovima.

== 4.4 Toestamine ja kujundav hindamine ==
Boaleri järgi peab õpetaja roll muutuma hindajast juhendajaks ja juhendajast kuulajaks. '''Toestamine''' (''scaffolding'') tähendab, et õpetaja ei anna vastuseid, vaid juhendab õppija mõtlemist suunavate küsimuste, näidete, vihjete, visualiseerimise ja refleksiooni esilekutsumise kaudu. Toestav õpetaja ei anna lahenduskäiku, vaid küsib: „Kuidas sa teadsid, et see töötab?“, „Mis juhtuks, kui sa muudaksid ühte arvu?“, „Kas saad oma mõtet joonisega näidata?“. Toestamine on ajutine ja taanduv: kui õpilane hakkab juba iseseisvalt toime tulema, taandub õpetaja kuulaja või vaatleja rolli ega anna enam tuge. Selline lähenemine julgustab iseseisvat mõtlemist ja uurimist ning õpilase vastutuse võtmist oma õppimise eest.

Toestamisele sarnane, kuid siiski sellest pisut erinev on '''kujundav hindamine''' õppeprotsessi käigus. Eestis on hakatud seda viimasel ajal nimetama pigem '''õppimist toetavaks hindamiseks''' (ingliskeelse eeskuju järgi ''assessment for learning''). Õppimist toetav hindamine toimub üldjuhul õppeprotsessi kestel, samas kui õpitulemuste '''arvestuslik hindamine''' (''assessment of learning'') toimub pärast õppimise lõppu, sageli eristava (hindelise) hindamise kujul, nt eksami, kontrolltöö või testina.

Kujundav hindamine on sageli seotud enese- ja rühmarefleksiooniga, kui tunni lõpus palub õpetaja õpilastel oma õpikogemust kokku võtta: „Mis oli tänase tunni kõige olulisem mõte?“, „Mis sind üllatas?“, „Mida tahaksid järgmisel korral uurida?“. Sellised '''väljumispiletid''' (''exit tickets'') võimaldavad õpetajal mõista, kuidas õpilased mõtlevad, mitte kui palju nad mäletavad.

Oluline on käsitleda nii kujundavas hindamises kui ka refleksioonis vigu positiivses võtmes: suunata klass arutama, miks viga tekkis ja kuidas see aitab mõista teemat või lahendusprotsessi sügavamalt. Nii kujuneb '''produktiivse pingutuse''' efekt (''productive struggle''), mis kasvatab enesetõhusust, püsivust ja matemaatilist kasvumõtteviisi.

== 4.5 Kümme matemaatilise mõtteviisi tehnikat õpetaja tööriistakastist ==
# '''Räägime arvudest''' (''Number Talk''): arutle, mitte ära arvuta mehaaniliselt. Need on lühikesed peastarvutused ja arutlused, mille eesmärk on lahendusstrateegiate mõistmine ja sõnastamine. Näiteks „Kuidas sa arvutasid 18 × 5?“, mille puhul üks õpilane kasutab poole võrra vähendamist, teine hoopis ümardamist. ''Kasu:'' õpitakse, et matemaatikas on mitu õiget teed.
# '''Märka ja imesta''' (''Notice &amp; Wonder''). Tund algab visuaalse äratusega: graafik, mustriline kujund, diagramm. Õpilased kirjeldavad, mida nad pildil märkasid ja mis tekitab neis küsimusi. ''Kasu:'' kujundab uurimuslikku hoiakut.
# '''Madala läve ja kõrge laega ülesanded.''' Need on jõukohased kõigile, kuid võimaldavad süvitsi uurimist. Näiteks [https://www.youcubed.org/tasks/painted-cube/ Värvikuup] (''Painted Cube'') või [https://www.youcubed.org/tasks/squares-to-stairs/ Ruudutrepp] (''Squares to Stairs''), milles õpilased kasutavad mustreid, ruumilist mõtlemist ja võrrandeid. ''Kasu:'' igaüks saab sobiva tasemega väljakutse ja kõigil tekib eduelamus.
# '''Veena iseennast, sõpra, kahtlejat''' (''Convince Yourself, a Friend, a Skeptic''). Õpilased peavad oma väiteid põhjendama kolmel tasandil: esmalt iseendale, seejärel rühmale ja lõpuks skeptikule, kes kuidagi ei taha neid väiteid uskuda. Näide: [https://www.youcubed.org/tasks/paper-folding/ voltimismäng]. ''Kasu:'' arendab argumenteerimist ja tõestamise mõtlemist.
# '''Kui lähedal on sada?''' (''How Close to 100?''). [https://www.youcubed.org/tasks/how-close-to-100/ Mänguline korrutamise ja pindalaülesanne] 10 × 10 ruudustikul täringutega. ''Kasu:'' uued teadmised saadakse visuaalselt ja mänguliselt, kiirustamata.
# '''Vead on vägevad''' (''Mistakes are Powerful''). Õpetaja toob klassi arutelusse ühe vea ja seda uuritakse koos. Näiteks: miks arvutati 21 − 6 valesti? ''Kasu:'' õpilased õpivad vigu analüüsima, mitte ebaõnnestumist kartma.
# '''Matemaatikarännakute kaardistus''' (''Mathematical Journeys''). Õpilased visualiseerivad oma mõtteprotsessi skeemide, kaartide, mõiste- ja ideekaartide või plakatite kujul. ''Kasu:'' visuaalne mõtlemine tugevdab mõistmist ja seoseid.
# '''Rühmatööülesanded''' (''Groupworthy Tasks''). Koostööülesanded, kus iga õpilane täidab erinevat rolli ja igaühel on oluline panus lõpptulemusse. Näiteks pargi kavandamine pindala ja ümbermõõdu arvutustega. ''Kasu:'' koostöö loob vastastikuse vastutuse ja kaaslastelt saab tuge.
# '''Galeriituur ja matemaatikakonverents''' (''Gallery Walk'' ja ''Math Congress''). Rühmad esitlevad oma lahendusi postritena seintel, teised jätavad postri juurde küsimusi ja kommentaare. ''Kasu:'' kujundab kriitilist ja sotsiaalset mõtlemist.
# '''Refleksioon ja väljumispiletid''' (''Reflection &amp; Exit Tickets''). Tunni lõpus reflekteeritakse oma õppimist. ''Kasu:'' toetab metakognitsiooni ja õpetaja kohandavat õpet.

== 4.6 Uurimistulemused ja mõju ==
Stanfordi YouCubedi uurimused (Boaler jt, 2019–2024; Boaler, LaMar &amp; Leshin, 2024) näitavad, et õpilased, kes osalesid ''Mathematical Mindset'' kursustel või suvelaagrites, tegid märgatava hüppe algebralises mõtlemises ja probleemilahendusoskuses: keskmiselt ligi 0,9 standardhälvet, mis vastab umbes 2,8 õppeaasta arengule. Veelgi olulisem on, et nad hakkasid end nägema matemaatikutena, mitte lihtsalt arvutajatena. Muutusid ka õpetajate hoiakud: nad loobusid „kiirusekultusest“ ja õppisid väärtustama avatud mõtlemist.

Kokkuvõtteks võib tõdeda, et Jo Boaleri matemaatilise mõtteviisi metoodika ei ole pelgalt õpetamisviis, vaid õppimise filosoofia, mis toob matemaatika tagasi selle olemuseni: maailma mõtestamiseni mustrite ja seoste kaudu. See lähenemine tuletab meelde, et matemaatika on sotsiaalne looming ja matemaatiline mõtlemine võib pakkuda rahuldust kõigile. Kui õpetaja loob keskkonna, kus õppijad saavad mõelda, arutada, eksida ja avastada, sünnib tõeline matemaatiline mõtteviis.

== Viited ==
* Bandura, A. (1977). Self-efficacy: Toward a unifying theory of behavioral change. ''Psychological Review'', 84(2), 191–215.
* Bandura, A. (1994). Self-efficacy. In V. S. Ramachaudran (Ed.), ''Encyclopedia of human behavior'' (Vol. 4, pp. 71-81). New York: Academic Press. (Reprinted in H. Friedman [Ed.], ''Encyclopedia of mental health''. San Diego: Academic Press, 1998).
* Blackwell, L. S., Trzesniewski, K. H., &amp; Dweck, C. S. (2007). Implicit theories of intelligence predict achievement across an adolescent transition: A longitudinal study and an intervention. ''Child Development'', 78(1), 246–263.
* Boaler, J. (2016). ''Mathematical Mindsets: Unleashing Students' Potential through Creative Math, Inspiring Messages and Innovative Teaching''. San Francisco: Jossey-Bass/Wiley.
* Boaler, J. (2018). Developing Mathematical Mindsets: The Need to Interact with Numbers Flexibly and Conceptually. ''American Educator'', 42(4).
* Boaler, J., &amp; Greeno, J. G. (2000). Identity, agency, and knowing in mathematics worlds. In J. Boaler (Ed.), ''Multiple Perspectives on Mathematics Teaching and Learning'' (pp. 171–200). Westport, CT: Ablex.
* Boaler, J., LaMar, T., &amp; Leshin, M. (2024). Mathematical Mindset Experience Taught at Scale. ''Frontiers in Education'', 9.
* Deci, E. L., &amp; Ryan, R. M. (2017). ''Self-Determination Theory: Basic Psychological Needs in Motivation, Development, and Wellness''. New York: Guilford Press.
* Dweck, C. S. (2006). ''Mindset: The New Psychology of Success''. New York: Random House.

== Veebiallikad ==
* YouCubed: [http://youcubed.org youcubed.org]
* Boaler, J. (2017). Creating Mathematical Futures through an Equitable Teaching Approach: The Case of Railside School. [https://www.youcubed.org/wp-content/uploads/2017/09/Creating-Mathematical-Futures.pdf PDF]
* YouCubedi ülesanded: [https://www.youcubed.org/tasks/painted-cube/ Painted Cube], [https://www.youcubed.org/tasks/squares-to-stairs/ Squares to Stairs], [https://www.youcubed.org/tasks/paper-folding/ Paper Folding], [https://www.youcubed.org/tasks/how-close-to-100/ How Close to 100?]
* Poom-Valickis, K. 1-minuti loeng: kuidas uskumus meie võimeid mõjutab. Tallinna Ülikool. [https://www.tlu.ee/uudised/1-minuti-loeng-kuidas-uskumus-meie-voimeid-mojutab-katrin-poom-valickis tlu.ee]

[[Kategooria:LAHEMATE]]
[[Kategooria:Probleemilahendus]]</text>
      <sha1>t7tggxs4s7vvwhja1dlpld4h6asvh98</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20374</id>
      <parentid>20373</parentid>
      <timestamp>2026-10-09T11:55:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Kriskivi</username>
        <id>3065</id>
      </contributor>
      <comment>/* 4.2 Probleemülesannete disain: madal lävi, kõrge lagi */</comment>
      <origin>20374</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21991" sha1="cm10k718jeozbp40anazwczg3kyu9mk" xml:space="preserve">Jo Boaleri matemaatilise mõtteviisi (''Mathematical Mindset'') metoodika on üks mõjukamaid kaasaegseid käsitlusi matemaatika õpetamise ja õppimise kohta. Selle tuumikidee on lihtne, kuid radikaalne: iga õpilane on võimeline mõtlema matemaatiliselt, kui teda ümbritsev õpikeskkond väärtustab (1) mõtlemist, mitte lahendamiskiirust, (2) vigu kui õppimise võimalusi, mitte ebaõnnestumist ja (3) koostööd, mitte õpilastevahelist võrdlemist ja võistlust. Matemaatiline võimekus ei ole kaasasündinud anne, vaid kujuneb samamoodi nagu lihased treeningu käigus – läbi pingutuse, uurimise ja refleksiooni. Boaleri väitel mõjutab õpilaste eneseusk matemaatika õpitulemusi rohkem kui lahendusvõtete päheõppimine. 

Boaler tugineb oma uuringutes ja soovitustes nii psühholoogilistele kui ka pedagoogilistele teooriatele: isemääramisteooriale (Deci &amp; Ryan, 2017), enesetõhususe ja agentsuse käsitlustele (Bandura, 1977; Boaler &amp; Greeno, 2000) ning kasvumõtteviisi teooriale (Dweck, 2007). Need ideed moodustavad raamistiku, mille kaudu ta pakub välja tervikliku metoodika, mis muudab matemaatikaõpetuse loovaks, inimlikuks ja jõukohaseks kõigile õppijatele. Järgnevalt teeme väikese ülevaate Boaleri metoodika kolmest teoreetilisest nurgakivist.

== 4.1 Pedagoogilised ja psühholoogilised lähtekohad ==
Boaleri matemaatilise mõtteviisi metoodika aluseks olevaid teoreetilisi ideid vaadeldakse käesolevas käsiraamatus kolme omavahel seotud aspekti kaudu, mis kujundavad õppija suhtumist matemaatikasse ja enda arenguvõimesse: (1) õppija motivatsioon ja autonoomia, (2) enesetõhusus ja agentsus ning (3) kasvumõtteviis.

=== Motivatsioon ja autonoomia ===
Boaler rõhutab õppija valikuvõimaluste ja sisemise motivatsiooni tähtsust matemaatika õppimisel. Neid rõhuasetusi saab mõtestada isemääramisteooria kaudu (''Self-Determination Theory''; Ryan &amp; Deci, 2017), mille kohaselt toetab autonoomia-, kompetentsus- ja seotusvajaduse rahuldamine õppija motivatsiooni ja kaasatust.
Boaleri klassiruumis väljendub see järgmiselt:
* õpilaste autonoomiat toetatakse tähenduslike valikutega (nt probleemi lahendusviisi valik või tulemuse esitamise viis);
* õpilaste kompetentsustunnet toetatakse sobiva raskusastmega ülesannete, mõtlemisaja, vajaliku juhendamise ja õppija edasiminekut esile toova tagasisidega;
* õpilaste seotustunnet toetatakse koostöö ja hooliva suhtlusega, kus iga õpilase ideid kuulatakse ning kõigil on võimalus panustada.

=== Enesetõhusus ja agentsus ===
Õppija aktiivse osalemise mõtestamisel on olulised nii enesetõhusus kui ka agentsus. Bandura (1977) käsitleb enesetõhusust usuna oma suutlikkusse vajalikke tegevusi sooritada. Boaler ja Greeno (2000) avavad agentsust matemaatika õppimisel, uurides, kuidas klassiruumi praktikad võimaldavad õppijal osaleda matemaatiliste tähenduste loomises.

Enesetõhususe teooria looja Bandura (1977) lähtus tähelepanekust, et inimeste võimekus käituda teatud moel (nt sooritada keerukaid töid või lahendada matemaatikaülesannet) ei sõltu üksnes sellest, mida nad teavad või oskavad, vaid ka sellest, mida nad usuvad end suutvat. Kaks inimest võivad omada sama palju teadmisi ja oskusi, kuid see, kes usub oma võimesse raskustega toime tulla, on tõenäolisemalt valmis pingutama ja raskuste korral jätkama. Bandura nimetas seda uskumust '''enesetõhususeks''' (''self-efficacy''). See ei tähenda üldist enesehinnangut, vaid konkreetset veendumust, et „ma saan selle asjaga hakkama“.

Enesetõhusus on seega defineeritud kui uskumus oma suutlikkusse sooritada konkreetse ülesande lahendamiseks vajalikud tegevused. See ei ole sama mis optimism või enesehinnang: inimene võib üldiselt tunda end enesekindlalt, kuid tunda madalat enesetõhusust näiteks matemaatikaülesannete lahendamisel. Bandura (1977, 1994) eristas nelja peamist enesetõhususe allikat.
* '''Isiklikud eduelamused''' (''mastery experiences''): Tähtis on kogeda raskuse ületamist. Üksnes lihtsate ülesannete õnnestunud lahendamine ei pruugi kujundada püsivat enesetõhusust. 
* '''Asenduskogemused''' (''vicarious experiences''): Eriti mõjus on näha endaga sarnast kaaslast pingutuse ja sobivate strateegiate abil edasi jõudmas („kui tema sai hakkama, saan ka mina“). 
* '''Sotsiaalne veenmine''' (''social persuasion''): Julgustus (nt „Joonise abil leidsid juba olulise seose. Proovi nüüd selle põhjal järgmine samm teha.&quot;) peaks olema usutav ja seotud õppija tegeliku tegevusega. 
* '''Füsioloogiline ja emotsionaalne seisund''': Mõju sõltub ka sellest, kuidas õppija oma ärevust, pinget või väsimust tõlgendab.

Õpetaja saab toetada õpilaste enesetõhusust, luues olukordi, kus õpilased kogevad väikseid eduelamusi („edu redel“), tuues esile erinevaid lahendusviise (''vicarious experience''), võimaldades õpilastel jälgida, kuidas kaaslased raskustega toime tulevad ja oma lahendusteni jõuavad, pakkudes konkreetset ja julgustavat tagasisidet („sinu lähenemine oli huvitav – proovi seda laiendada“) ning aidates vähendada ärevust toetava klassikultuuri kaudu.

Kui õpilane tõlgendab vigu tõendina oma püsivast suutmatusest, võib tema enesetõhusus nõrgeneda. Õpetaja saab aidata tal märgata, kuidas sobivad strateegiad, harjutamine ja vajalik tugi võimaldavad edasi liikuda.

Boaler ja Greeno (2000) käsitlevad '''matemaatilist agentsust''' õppija võimalusena teha sisulisi otsuseid ja osaleda matemaatiliste tähenduste loomises. See väljendub näiteks lahendusviiside valimises, küsimuste ja oletuste esitamises, põhjendamises ning kaaslaste ideede analüüsimises. Enesetõhusus puudutab õppija usku oma suutlikkusse, agentsus aga tema võimalusi ja tegevust õppimise mõjutamisel. Õpetaja toetab agentsust, andes õpilastele otsustusruumi ning kujundades arutelud, kus nende ideed mõjutavad edasist tööd.

=== Kasvumõtteviis ===
Boaleri matemaatilise mõtteviisi metoodika üks keskseid lähtekohti on Carol Dwecki '''kasvumõtteviisi''' (''Growth Mindset'', mõnikord tõlgitud eesti keelde ka kui juurdekasvu-uskumus) käsitlus. Boaler seostab seda neuroplastilisuse ehk aju õppimiskogemuste mõjul muutumisega (Boaler, 2016). Dwecki kasvumõtteviisi teooria on üks tänapäeva hariduspsühholoogia keskseid käsitlusi õppimise ja motivatsiooni kohta. Selle põhisisu seisneb inimeste uskumustes oma võimete ja intelligentsuse olemuse kohta.

Dweck vastandab kasvu- ja jäävusmõtteviisi:
* '''Jäävusmõtteviisiga''' inimesed usuvad, et intelligentsus ja võimed on kaasasündinud ja suuresti muutumatud („ma lihtsalt ei ole matemaatika-inimene“). Seetõttu võib ta vältida väljakutseid ja tõlgendada vigu tõendina oma võimete puudulikkusest.
* '''Kasvumõtteviisiga''' inimene usub, et võimeid (sh matemaatilist võimekust) saab õppimise, harjutamise, sobivate strateegiate ja teiste toe abil arendada („ma ei oska seda veel, aga ma suudan selle selgeks õppida, kui pingutan, proovides sobivaid strateegiaid ja vajaduse korral abi küsides“). See võib toetada valmisolekut raskuste korral jätkata, muuta lähenemist või küsida abi.

Soovitame vaadata [https://www.tlu.ee/uudised/1-minuti-loeng-kuidas-uskumus-meie-voimeid-mojutab-katrin-poom-valickis Katrin Poom-Valickise minutiloengut] juurdekasvu-uskumuse teemal.

Boaler seostab kasvumõtteviisi neuroplastilisusega ehk aju võimega õppimiskogemuste mõjul muutuda (Boaler, 2016). Blackwelli, Trzesniewski ja Dwecki (2007) uuringus toetas kasvumõtteviisi arendamisele suunatud sekkumine õpilaste motivatsiooni ning aitas pöörata matemaatikahinnete langustrendi. Sekkumiste mõju õpitulemustele siiski varieerub. Seetõttu peaks võimete arendatavuse selgitamine olema seotud sobivate ülesannete, õpetamise, tagasiside ja õppimisvõimalustega.

Kasvumõtteviisi toetamine vajab järjepidevat õpetamiskultuuri, mis väärtustab uurimist, sobivate strateegiate kasutamist ja oma mõtlemise analüüsimist. Õpetaja kujundab õpikeskkonna, kus õpilased julgevad esitada ideid, teha vigu ja neist rääkida. Seda toetab '''protsessikeskne tagasiside''', mis juhib tähelepanu õppimist edendavatele strateegiatele, pingutusele, lahenduse kontrollimisele ja parandamisele. Näiteks võib õpetaja öelda: „Proovisid kahte lahendusviisi ja märkasid, miks esimene ei töötanud. Kuidas teine viis sind edasi aitas?“ Seevastu kiitus „Küll sa oled nutikas!“ võib kinnistada arusaama võimekusest kui püsivast omadusest. Dweck rõhutab tagasilöökide ja vigade käsitlemist õppimisvõimalustena. Boaleri sõnum „Eksimine kasvatab aju“ ''(Mistakes grow your brain)'' väljendab samuti vigade väärtust õppimisel. Vead pakuvad õppimisvõimalusi, kui õpilane saab tagasisidet, analüüsib oma arutlust ja parandab lahendust. Seega tähendab kasvumõtteviisi toetamine lisaks julgustavatele sõnumitele ka konkreetset abi, et õppija saaks raskuste korral oma lähenemist muuta ja edasi liikuda.

== 4.2 Probleemülesannete disain: madal lävi, kõrge lagi ==
Boaler soovitab valida ja kujundada ülesandeid, mis pakuvad erinevate eelteadmistega õpilastele jõukohast alustamisvõimalust ning ruumi sügavamaks uurimiseks. Seda väljendab „madala läve ja kõrge lae“ põhimõte (''low floor – high ceiling''). See võimaldab igal õpilasel alustada talle jõukohaselt tasemelt, saavutada esialgne eduelamus ja liikuda edasi sügavama mõtlemise suunas.

'''Madala lävega''' kaasneb võimalus igaühel matemaatilise mõtlemisega alustada. Neid saab alustada mänguliselt, visuaalselt või konkreetsete näidetega. Näiteks võib õpetaja paluda: „Ehitage 27 ühesugusest väikekuubist \(3\times3\times3\) kuup. Kujutlege, et värvite suure kuubi kogu välispinna. Mitu väikekuupi on värvitud kolmelt, kahelt, ühelt või mitte üheltki tahult? Põhjendage oma vastust.“ Selline värvikuubi ülesanne kutsub kõiki kaasa mõtlema: mõned õpilased töötavad praktiliselt ja loendavad väikesi kuubikuid, teised modelleerivad arvutiga, kolmandad proovivad leida üldavaldisi (nt 6 × (n−2)² + …).

'''Kõrge lagi''' tähendab võimalust süvendada sama matemaatilise idee uurimist: märgata seoseid, üldistada, põhjendada ja püstitada uusi küsimusi. Õpetaja saab seda toetada nii ülesande algse kujunduse kui ka töö käigus esitatud jätkuküsimustega. Kõrge laega ülesanded kutsuvad edasi mõtlema, mustreid nägema, üldistama ja tõestama. Sama ülesannet saab kasutada nii 5. klassis kui ka gümnaasiumis, muutes vaid lähenemise sügavust. Boaler rõhutab, et tuleks luua kohe alguses selline ülesanne, mille sisse on juba peidetud täiendav uurimis- ja edasiarendusruum.

Näiteks värvikuubi ülesande puhul võiks õpetaja toetada õpilaste mõtlemist küsimustega:
* „Mis muutub, kui kuubi igal serval on ühe väikekuubi võrra rohkem?“
* „Milliste väikekuupide arv jääb kuubi suurenedes samaks? Miks?“
* „Kuidas saaksite leida iga rühma kuubikute arvu ilma kõiki ükshaaval loendamata?“
* „Kuidas põhjendate, et teie reegel kehtib ka suurema kuubi korral?“

== Sisulist koostööd toetavad ülesanded ==
Lisaks rõhutab Boaler sisulist '''koostööd toetavate ülesannete''' tähtsust (''groupworthy tasks''). Need on probleemülesanded, mille lahendamiseks on vaja mitut vaatenurka või erinevat laadi panust mitmelt rühmaliikmelt. Rühmas töötamine peab olema sisuline ja lisaväärtust loov. Õpetaja toetab kõigi osalemist ja jälgib, et matemaatiline mõtlemine ei koonduks ühe rühmaliikme kätte. Sellise ülesande näiteks võib olla: „Kavandage kaks erinevat 500 m² pargi kavandit, kasutades kummaski vähemalt kolme erinevat kujundit. Võrrelge kavandeid kokkulepitud kriteeriumide alusel ja põhjendage ühiselt oma valikut. Iga rühmaliige peab suutma selgitada pindalaarvutusi ja kavandi valiku põhjendusi.“ Sellise ülesande puhul sõltub rühma töö tulemus kõigi rühmaliikmete panusest.

Boaleri ja tema kolleegide koostatud madala läve ja kõrge laega ning rühmatööks sobivaid matemaatikaülesandeid leiab veebilehelt [http://youcubed.org YouCubed.org], rubriigist „Activities and tasks“.

== 4.3 Õpilaste rühmitamine ja õppekorraldus ==
Boaler peab '''segatasemelisi rühmi''' (''mixed-ability groups'') oluliseks sotsiaalseks ja kognitiivseks ressursiks, samas tasemerühmad mõjuvat õpilaste õpimotivatsioonile ja eneseusule halvasti. Tema uurimused (nt [https://www.youcubed.org/wp-content/uploads/2017/09/Creating-Mathematical-Futures.pdf Railside School Study]) näitavad, et kui õpilasi ei jagata võimekuse järgi, vaid nad töötavad ühiselt, paranevad tulemused kõigil, eriti nõrgematel.

Matemaatilise mõtteviisi metoodikat järgiv klassiruum ei ole vaikne töölaudade rida, vaid elav uurimislabor. Lauad on paigutatud rühmatööks sobivalt saarekestena, seintel on paber- või valgetahvlid, kuhu rühmad saavad kirja panna oma lahendusideid, jooniseid, mõistekaarte jm. Klassis kehtivad selged põhimõtted:
* igaühe mõtted on väärtuslikud ja teretulnud, kõiki tuleb ära kuulata;
* „vead on head“: need on oluline ja väärtuslik osa õppimisest, mitte märk läbikukkumisest;
* kiirus ei võrdu tarkusega;
* koostöö viib edasi.

Selline keskkond kasvatab õppija kuuluvustunnet, toetab kasvumõtteviisi ja enesetõhususe kujunemist, vähendab hirmu matemaatika ees ja innustab uuesti proovima.

== 4.4 Toestamine ja kujundav hindamine ==
Boaleri järgi peab õpetaja roll muutuma hindajast juhendajaks ja juhendajast kuulajaks. '''Toestamine''' (''scaffolding'') tähendab, et õpetaja ei anna vastuseid, vaid juhendab õppija mõtlemist suunavate küsimuste, näidete, vihjete, visualiseerimise ja refleksiooni esilekutsumise kaudu. Toestav õpetaja ei anna lahenduskäiku, vaid küsib: „Kuidas sa teadsid, et see töötab?“, „Mis juhtuks, kui sa muudaksid ühte arvu?“, „Kas saad oma mõtet joonisega näidata?“. Toestamine on ajutine ja taanduv: kui õpilane hakkab juba iseseisvalt toime tulema, taandub õpetaja kuulaja või vaatleja rolli ega anna enam tuge. Selline lähenemine julgustab iseseisvat mõtlemist ja uurimist ning õpilase vastutuse võtmist oma õppimise eest.

Toestamisele sarnane, kuid siiski sellest pisut erinev on '''kujundav hindamine''' õppeprotsessi käigus. Eestis on hakatud seda viimasel ajal nimetama pigem '''õppimist toetavaks hindamiseks''' (ingliskeelse eeskuju järgi ''assessment for learning''). Õppimist toetav hindamine toimub üldjuhul õppeprotsessi kestel, samas kui õpitulemuste '''arvestuslik hindamine''' (''assessment of learning'') toimub pärast õppimise lõppu, sageli eristava (hindelise) hindamise kujul, nt eksami, kontrolltöö või testina.

Kujundav hindamine on sageli seotud enese- ja rühmarefleksiooniga, kui tunni lõpus palub õpetaja õpilastel oma õpikogemust kokku võtta: „Mis oli tänase tunni kõige olulisem mõte?“, „Mis sind üllatas?“, „Mida tahaksid järgmisel korral uurida?“. Sellised '''väljumispiletid''' (''exit tickets'') võimaldavad õpetajal mõista, kuidas õpilased mõtlevad, mitte kui palju nad mäletavad.

Oluline on käsitleda nii kujundavas hindamises kui ka refleksioonis vigu positiivses võtmes: suunata klass arutama, miks viga tekkis ja kuidas see aitab mõista teemat või lahendusprotsessi sügavamalt. Nii kujuneb '''produktiivse pingutuse''' efekt (''productive struggle''), mis kasvatab enesetõhusust, püsivust ja matemaatilist kasvumõtteviisi.

== 4.5 Kümme matemaatilise mõtteviisi tehnikat õpetaja tööriistakastist ==
# '''Räägime arvudest''' (''Number Talk''): arutle, mitte ära arvuta mehaaniliselt. Need on lühikesed peastarvutused ja arutlused, mille eesmärk on lahendusstrateegiate mõistmine ja sõnastamine. Näiteks „Kuidas sa arvutasid 18 × 5?“, mille puhul üks õpilane kasutab poole võrra vähendamist, teine hoopis ümardamist. ''Kasu:'' õpitakse, et matemaatikas on mitu õiget teed.
# '''Märka ja imesta''' (''Notice &amp; Wonder''). Tund algab visuaalse äratusega: graafik, mustriline kujund, diagramm. Õpilased kirjeldavad, mida nad pildil märkasid ja mis tekitab neis küsimusi. ''Kasu:'' kujundab uurimuslikku hoiakut.
# '''Madala läve ja kõrge laega ülesanded.''' Need on jõukohased kõigile, kuid võimaldavad süvitsi uurimist. Näiteks [https://www.youcubed.org/tasks/painted-cube/ Värvikuup] (''Painted Cube'') või [https://www.youcubed.org/tasks/squares-to-stairs/ Ruudutrepp] (''Squares to Stairs''), milles õpilased kasutavad mustreid, ruumilist mõtlemist ja võrrandeid. ''Kasu:'' igaüks saab sobiva tasemega väljakutse ja kõigil tekib eduelamus.
# '''Veena iseennast, sõpra, kahtlejat''' (''Convince Yourself, a Friend, a Skeptic''). Õpilased peavad oma väiteid põhjendama kolmel tasandil: esmalt iseendale, seejärel rühmale ja lõpuks skeptikule, kes kuidagi ei taha neid väiteid uskuda. Näide: [https://www.youcubed.org/tasks/paper-folding/ voltimismäng]. ''Kasu:'' arendab argumenteerimist ja tõestamise mõtlemist.
# '''Kui lähedal on sada?''' (''How Close to 100?''). [https://www.youcubed.org/tasks/how-close-to-100/ Mänguline korrutamise ja pindalaülesanne] 10 × 10 ruudustikul täringutega. ''Kasu:'' uued teadmised saadakse visuaalselt ja mänguliselt, kiirustamata.
# '''Vead on vägevad''' (''Mistakes are Powerful''). Õpetaja toob klassi arutelusse ühe vea ja seda uuritakse koos. Näiteks: miks arvutati 21 − 6 valesti? ''Kasu:'' õpilased õpivad vigu analüüsima, mitte ebaõnnestumist kartma.
# '''Matemaatikarännakute kaardistus''' (''Mathematical Journeys''). Õpilased visualiseerivad oma mõtteprotsessi skeemide, kaartide, mõiste- ja ideekaartide või plakatite kujul. ''Kasu:'' visuaalne mõtlemine tugevdab mõistmist ja seoseid.
# '''Rühmatööülesanded''' (''Groupworthy Tasks''). Koostööülesanded, kus iga õpilane täidab erinevat rolli ja igaühel on oluline panus lõpptulemusse. Näiteks pargi kavandamine pindala ja ümbermõõdu arvutustega. ''Kasu:'' koostöö loob vastastikuse vastutuse ja kaaslastelt saab tuge.
# '''Galeriituur ja matemaatikakonverents''' (''Gallery Walk'' ja ''Math Congress''). Rühmad esitlevad oma lahendusi postritena seintel, teised jätavad postri juurde küsimusi ja kommentaare. ''Kasu:'' kujundab kriitilist ja sotsiaalset mõtlemist.
# '''Refleksioon ja väljumispiletid''' (''Reflection &amp; Exit Tickets''). Tunni lõpus reflekteeritakse oma õppimist. ''Kasu:'' toetab metakognitsiooni ja õpetaja kohandavat õpet.

== 4.6 Uurimistulemused ja mõju ==
Stanfordi YouCubedi uurimused (Boaler jt, 2019–2024; Boaler, LaMar &amp; Leshin, 2024) näitavad, et õpilased, kes osalesid ''Mathematical Mindset'' kursustel või suvelaagrites, tegid märgatava hüppe algebralises mõtlemises ja probleemilahendusoskuses: keskmiselt ligi 0,9 standardhälvet, mis vastab umbes 2,8 õppeaasta arengule. Veelgi olulisem on, et nad hakkasid end nägema matemaatikutena, mitte lihtsalt arvutajatena. Muutusid ka õpetajate hoiakud: nad loobusid „kiirusekultusest“ ja õppisid väärtustama avatud mõtlemist.

Kokkuvõtteks võib tõdeda, et Jo Boaleri matemaatilise mõtteviisi metoodika ei ole pelgalt õpetamisviis, vaid õppimise filosoofia, mis toob matemaatika tagasi selle olemuseni: maailma mõtestamiseni mustrite ja seoste kaudu. See lähenemine tuletab meelde, et matemaatika on sotsiaalne looming ja matemaatiline mõtlemine võib pakkuda rahuldust kõigile. Kui õpetaja loob keskkonna, kus õppijad saavad mõelda, arutada, eksida ja avastada, sünnib tõeline matemaatiline mõtteviis.

== Viited ==
* Bandura, A. (1977). Self-efficacy: Toward a unifying theory of behavioral change. ''Psychological Review'', 84(2), 191–215.
* Bandura, A. (1994). Self-efficacy. In V. S. Ramachaudran (Ed.), ''Encyclopedia of human behavior'' (Vol. 4, pp. 71-81). New York: Academic Press. (Reprinted in H. Friedman [Ed.], ''Encyclopedia of mental health''. San Diego: Academic Press, 1998).
* Blackwell, L. S., Trzesniewski, K. H., &amp; Dweck, C. S. (2007). Implicit theories of intelligence predict achievement across an adolescent transition: A longitudinal study and an intervention. ''Child Development'', 78(1), 246–263.
* Boaler, J. (2016). ''Mathematical Mindsets: Unleashing Students' Potential through Creative Math, Inspiring Messages and Innovative Teaching''. San Francisco: Jossey-Bass/Wiley.
* Boaler, J. (2018). Developing Mathematical Mindsets: The Need to Interact with Numbers Flexibly and Conceptually. ''American Educator'', 42(4).
* Boaler, J., &amp; Greeno, J. G. (2000). Identity, agency, and knowing in mathematics worlds. In J. Boaler (Ed.), ''Multiple Perspectives on Mathematics Teaching and Learning'' (pp. 171–200). Westport, CT: Ablex.
* Boaler, J., LaMar, T., &amp; Leshin, M. (2024). Mathematical Mindset Experience Taught at Scale. ''Frontiers in Education'', 9.
* Deci, E. L., &amp; Ryan, R. M. (2017). ''Self-Determination Theory: Basic Psychological Needs in Motivation, Development, and Wellness''. New York: Guilford Press.
* Dweck, C. S. (2006). ''Mindset: The New Psychology of Success''. New York: Random House.

== Veebiallikad ==
* YouCubed: [http://youcubed.org youcubed.org]
* Boaler, J. (2017). Creating Mathematical Futures through an Equitable Teaching Approach: The Case of Railside School. [https://www.youcubed.org/wp-content/uploads/2017/09/Creating-Mathematical-Futures.pdf PDF]
* YouCubedi ülesanded: [https://www.youcubed.org/tasks/painted-cube/ Painted Cube], [https://www.youcubed.org/tasks/squares-to-stairs/ Squares to Stairs], [https://www.youcubed.org/tasks/paper-folding/ Paper Folding], [https://www.youcubed.org/tasks/how-close-to-100/ How Close to 100?]
* Poom-Valickis, K. 1-minuti loeng: kuidas uskumus meie võimeid mõjutab. Tallinna Ülikool. [https://www.tlu.ee/uudised/1-minuti-loeng-kuidas-uskumus-meie-voimeid-mojutab-katrin-poom-valickis tlu.ee]

[[Kategooria:LAHEMATE]]
[[Kategooria:Probleemilahendus]]</text>
      <sha1>cm10k718jeozbp40anazwczg3kyu9mk</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>5.Kanada koolkond: Peter Liljedahl'i mõtlev klassiruum</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4264</id>
    <revision>
      <id>20369</id>
      <parentid>20350</parentid>
      <timestamp>2026-10-08T14:25:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-54154-57</username>
        <id>3191</id>
      </contributor>
      <origin>20369</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="58230" sha1="26vleaiz0jhppchgf655ip5l1texmn3" xml:space="preserve">Peter Liljedahli metoodika põhineb tema aastatepikkusel teadustööl ja tunnivaatluste süstemaatilisel analüüsil. Need veensid teda, et enamikus vaadeldud matemaatikatundides ei toetata õpilaste mõtlemist piisavalt. Ta väidab, et enamik õpilasi ei tegele tunnis ei mõtlemise ega õppimisega (neist esimene on viimase vältimatu eeldus), vaid hoopis '''õpilasena käitumise''' (''studenting'') muude vormidega. ''Studenting'' on Darien Allani (2017) välja pakutud termin, mis tähistab kõiki antud õpikeskkonnas õpilaseks olemisega seotud tegevusi, mille hulka kuulub muu hulgas ka õppimine. Allan pakub oma empiiriliste uuringute põhjal välja viis peamist õpilasetsemise vormi:
* '''viilimine''' (''slacking''): õpilased ignoreerivad täielikult õpetaja antud ülesandeid ja tegelevad millegi muuga, nt nutitelefonis toimetamisega, teiste &quot;viilijatega&quot; suhtlemisega või lihtsalt mittemidagitegemisega;
* '''venitamine''' (''stalling''): õpiülesandega tegelemise edasilükkamine, kasutades ettekäändena legitiimseid asendustegevusi, nagu pliiatsi teritamine, kotist asjade otsimine või WC-s käimine;
* '''teesklemine''' (''faking''): näiliselt õpiülesandega tegelemine (tahvli või õpiku „uurimine“, mõtliku näo tegemine), kuid tegelikult ülesande lahendamise vältimine;
* '''matkimine''' (''mimicking''): ülesandega mehaaniliselt tegelemine, kopeerides õpetaja eelnevat näidislahendust rida-realt, kuid ilma aktiivse mõttetegevuse ja mõistmiseta;
* '''katsetamine''' (''trying it on their own''): iseseisev pingutamine ülesande lahendamiseks.

Liljedahl väidab, et üksnes neist viimasega kaasneb mõtlemine ja et sadades tema vaadeldud matemaatikatundides tegeles „mõtlemisvabade“ ''studenting'' vormidega 75% õpilastest peaaegu kogu tunni jooksul. Lahendusena on Liljedahl oma uuringute tulemusena sõnastanud 14 toimivat didaktilist praktikat (sisuliselt on need heuristikud õpetajale), mis aitavad luua mõtlemist toetava õpikeskkonna:
# '''Milliseid ülesandeid me õpilastele anname?''' Alustada tuleks aine(kava)ga vaid kaudselt seotud elulistest ja mõtlema innustavatest küsimustest ning seejärel liikuda pisitasa matemaatilisemate mõtlemisülesannete juurde.
# '''Kuidas me õpilasi rühmitame?''' Juhuslikult kokku loositud, iga kord uued rühmad toimivad paremini ja innustavad õpilasi rühma ühistegevusse panustama.
# '''Kus õpilased õpivad?''' Õpilaste mõtlemist ja koostööd on lihtsam käivitada, kui nad seisavad vertikaalsete kirjutamispindade ees, millelt kirjapandut saab kustutada (nt pabertahvlid, valged markertahvlid, interaktiivsed ekraanid).
# '''Milline on füüsiline õpikeskkond klassis?''' Ridadesse joondatud, õpetaja suunas vaatavad pingiread toovad kaasa passiivse õppimise. Klassi mööbel peab võimaldama ümberpaigutamist ja rühmatööks vaba ruumi loomist, eelkõige seinte ääres.
# '''Kuidas vastatakse õpilaste küsimustele?''' Tavatundides on 90% õpilaste küsimustest kas pelgalt õpetajaga muul teemal suhtlemiseks, kuna ta satub lähedusse (nn ''proximity questions''), või kiire tagasiside saamiseks („Kas see on õige?“). Need peatavad õpiülesande üle mõtlemise. Õpilasi peaks suunama esitama hoopis mõtlemist soodustavaid küsimusi (nn ''keep-thinking'' küsimused).
# '''Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid?''' Õpilaste mõtlemist aktiveerivad ülesanded, mis antakse pigem tunni alguses kui lõpus, pigem suurel ekraanil kui õpikus, pigem suuliselt kui kirjalikult.
# '''Millist kodutööd antakse?''' Et õpilased ei tajuks kodutööd kui õpetaja jaoks kontrolli eesmärgil tehtavat tüütut kohustust, tuleks anda selliseid kodutöid, mis inspireerivad kodus edasi mõtlema ja oma lahenduste tulemuslikkust hindama.
# '''Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat?''' Õppijate ennastjuhtivust saab suurendada nii eespool kirjeldatud rühmatööde, arutelude ja teistmoodi kodutöödega kui ka kaaslaste vaatlemise, neilt ideede korjamise ja neile tagasiside andmisega.
# '''Kuidas toestada õppimist?''' Vihjed, näited ja soovitused aitavad hoida õppijaid personaliseeritud „kulgemisvööndis“ (''flow zone'', vt Csikszentmihalyi, 1990) ja vältida õppimise muutumist liiga lihtsaks või liiga raskeks.
# '''Kuidas ühendada õpitut?''' Eri ülesannete kaudu õpitu koondamine iga õpilase peas ühtseks tervikuks on konstruktivistliku õpikäsituse üks nurgakive ja suur väljakutse õpetajale.
# '''Kuidas õpilased teevad märkmeid?''' Õpetaja jutu mehaanilise konspekteerimise asemel tuleb õpilasi õpetada ise oma mõttetööst kokkuvõtteid visandama ja visandeid täiustama.
# '''Mida hinnatakse?''' Lisaks ainekavas kirjas olevatele õpitulemustele tuleks hindamise objektiks võtta ka oskused, mida mõtlemist soodustavas tunnis väärtustatakse, nt püsivus, koostöö ja loovus.
# '''Kuidas teostada kujundavat hindamist?''' Õpilastele antakse mitmekülgset tagasisidet mitte üksnes nende püüdlikkuse ja aktiivsuse kohta, vaid ka selle kohta, kuidas nad seni on toime tulnud ja mida tuleks edasi teha.
# '''Kuidas hinnatakse õpitulemusi?''' Pigem sarnaselt kujundava hindamisega (pakkudes õpilastele tagasisidet edasimõtlemiseks), mitte lõpliku kohtuotsusena, kuid siiski riikliku õppekava õpitulemustest lähtudes.

Vaatleme nüüd lähemalt neid neljateistkümmet &quot;optimaalset/toimivat&quot; praktikat (ehk didaktilist heuristikut õpetajale) koos praktiliste näidetega.

== 5.1 Neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamiseks ==

=== 5.1.1 Milliseid ülesandeid me õpilastele anname? ===
Oma raamatus „Building Thinking Classrooms“ (2020) toob Liljedahl hakatuseks näite probleemülesandest, mille autor on Lewis Carroll: ''kui kuus kassi püüab kuue minuti jooksul kuus rotti, siis mitu kassi oleks vaja, et püüda 50 minuti jooksul 100 rotti?'' Selle ülesande lahendamine eeldaks küll teadmisi murdude ja võrdelise seose kohta, kuid neist ei piisa. Õpilased jäävad tavaliselt „kinni“ juba alguses, sest ülesandest võib aru saada kaheti: kas kuuest kassist üks püüab igas minutis ühe roti või püüab iga kass ühe roti kuue minuti jooksul. See „kinnijäämine“ toob kaasa mõtlemise ja probleemilahenduse käivitumise.

Eksamiks õppides lahendavad paljud „tublid“ õpilased suurel hulgal ülesandeid, nii et õppekavale vastavad tüüplahendused muutuvad nende jaoks rutiinseks ja nende lahendamiseks pole enam mõtlemist tarvis – piisab mehaanilisest matkimisest. Eksamil (ja elus või hilisemates õpingutes) võib aga suure tõenäosusega ette tulla probleeme, mille lahendamine eeldab mitterutiinseid lahendusi, näiteks matemaatika eri valdkondadest või teistest õppeainetest pärinevate teadmiste kombineerimist. Just selliseid probleemülesandeid soovitab Liljedahl matemaatilise mõtlemise harjutamiseks kasutada juba õppeprotsessi käigus. Ta jaotab head probleemülesanded kolme kategooriasse.

'''1) Köitvad nuputamisülesanded''', mis lausa meelitavad inimesi lustiga kaasa mõtlema. Õpikutes esineb sedalaadi ülesandeid pigem harva, kuid mujal (nt ajalehtede nupunurkades, sotsiaalmeedias, Känguru võistlusel, e-rehkenduses) on neid küllaldaselt. Liljedahl toob neli näidet kooliastmete kaupa:
* ''I kooliaste:'' mitu ruutu on pildil?
* ''II kooliaste:'' kui ostad videomängu 10 dollariga, müüd selle 20 dollariga, ostad taas tagasi 30 dollariga ja müüd uuesti 40 dollariga, siis kui palju raha sa lõpuks teenisid (või kaotasid)?
* ''III kooliaste:'' kui sul on ainult kaks liivakella (üks 4-minutiline ja teine 7-minutiline), kas saaksid nende abil aega mõõtes keeta oma vanaemale täpselt 9 minutit keedetud muna? Kui saab, siis kui kaua peab vanaema ootama muna valmissaamist?
* ''Gümnaasiumiaste:'' ekstsentriline daam broneeris kolm kõrvutiasuvat hotellituba ja lubas ööbida igal ööl toas, mis asub eelmisel ööl kasutatud toa kõrval. Vastuvõtus töötav John avastas, et tubade eest maksmiseks kasutatud krediitkaart ei toimi. Kiire töötempo tõttu on Johnil päeva jooksul aega vaid korraks minna ülakorrusele ja koputada ühele kolmest uksest, lootes daami leida ja maksetõrke ära klaarida. Mitu päeva tal kulub, et kindlasti daamiga kohtuda? Aga kui daam oleks broneerinud hoopis 4 või 5 tuba? Või kui ta broneeris 17 tuba 30 päevaks – kas Johnil oleks lootust daam tabada enne, kui too kuu möödudes hotellist lahkub?

'''2) Kaarditrikid''', mis põhinevad matemaatikal, mitte silmapettel ega käteosavusel. Selliste trikkide videosalvestusi on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]

'''3) Rehkendamisülesanded''', mis on võetud elust enesest ja kõnetavad seetõttu õpilasi. Sellise ülesande näitena toob Liljedahl loo sõpruskonna suusareisist, milleks on pikalt raha kogutud. Allpool olevas tabelis on näha iga rühmaliikme kogutud raha ja kavandatud kulud. Sõbrad on otsustanud, et kogutud raha kulutatakse viimase sendini üksnes kavandatud otstarbeks ja keegi ei tohi reisilt maha jääda (isegi kui mõni maksab rohkem, kui tal endal kulub). Kas raha on kogutud piisavalt? Kui ei, siis kes peaks juurde maksma ja kui palju? Selliseid rehkendamisülesandeid on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses koos juhendiga, kuidas neid ise koostada: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Tabel 1. Sõpruskonna suusareisi jaoks kogutud raha ja kavandatud kulutuste koond
! Nimi !! Kogutud raha !! Suusavarustuse rent !! Suusalifti pilet !! Algaja suusakoolitus
|-
| Aleks || 75 || 20 || 40 || 40
|-
| Piret || 125 || 10 || 40 || 40
|-
| Terje || 50 || 30 || 40 || 0
|-
| Kevin || 10 || 40 || 40 || 40
|-
| Jaana || 25 || 0 || 40 || 0
|-
| Reta || 10 || 0 || 40 || 40
|-
| Taavi || 38 || 30 || 40 || 0
|-
| Sten || 22 || 40 || 40 || 40
|-
| Sonja || 200 || 20 || 40 || 0
|-
| Kaidi || 60 || 25 || 40 || 0
|}

Probleemülesannete koostamisel lähtub Liljedahl (nagu ka Boaler) '''„madala läve ja kõrge lae“''' disainipõhimõttest, lisades sellele veel kolmanda: '''„avatud keskpaiga“''' printsiibi. Viimane eeldab probleemülesandelt ühte õiget vastust, jättes avatuks ja paindlikuks selle vastuseni jõudmise viisi. Selliseid „avatud keskpaigaga“ ülesandeid esineb sagedamini nuputamisülesannete ja kaarditrikkide seas, samas kui Liljedahli stiilis rehkendamisülesannetel on üldjuhul ka õigeid vastuseid palju.

Õpetaja võib neid ülesandeid vaadates ohata, et need on küll haaravad, kuid ei aita saavutada õppekavas olevaid õpiväljundeid. Loogiline lahendus näib olevat mõtlemist toetavate tekstülesannete kohandamine selliseks, et nende lahendamisel tuleb paratamatult kasutada õpikuteadmisi käsiloleva peatüki ja õppekava osa kohta. Nii talitades ohverdaksime aga õpilaste mõtlemise arendamise ja kaasahaaratuse ning riskiksime muuta ülesannete lahendamise igavaks ja rutiinseks matkimiseks. Selle asemel soovitab Liljedahl muretseda vähem õppekava pärast ja keskenduda esmalt õpilaste mõtlemisele. See suurendab nende eneseusku oma matemaatikavõimetesse, positiivset suhtumist ja huvi õppeaine vastu, misjärel õppekavaga selgemalt seotud ülesannete lahendamine muutub oluliselt lihtsamaks ja võtab vähem aega.

Lisaks saab ka õpikuülesandeid kohandada nii, et need panevad õpilased mõtlema. Näitena esitab Liljedahl õpetaja dialoogi klassiga ruutkolmliikme tegurdamise teemal, alustades varem õpitud teadmisest:
* '''Õpetaja:''' Meenutame kaksliikmete korrutamist. Mis te saate, kui korrutate (x + 2)(x + 3)?
* '''Õpilased:''' (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
* '''Õpetaja:''' Aga kui ma alustaksin tagantpoolt ja mu vastus oleks x² + 7x + 6, mis arvud peaksid sel juhul olema mu algses küsimuses (x + □)(x + □)?

Liljedahli mõtleva klassiruumi lähenemises on matemaatika õppimise keskmes õpilase mõtlemine. Kui soovime, et õpilased mõtleksid, tuleb neile anda midagi, mille üle mõelda – selleks on eelkõige hästi valitud matemaatiline ülesanne. Samas rõhutab Liljedahl, et heast ülesandest üksi ei piisa. Ka väga hea probleemülesanne ei pruugi õpilasi mõtlema panna, kui klassiruumi töökorraldus, õpetaja tegevus ja õpilaste harjumused seda ei toeta. Seega on hea ülesanne mõtleva klassiruumi vajalik, kuid mitte piisav tingimus.

Kordame üle - Liljedahli kohaselt peab hea mõtlemisülesanne vastama kolmele kriteeriumile: 
* sellel on madal lävi (''low floor''), 
* kõrge lagi (''high ceiling'') ning 
* see sisaldab õpilase jaoks mingit uudsuse aspekti (''novelty'').

'''Madal lävi''' tähendab, et igal õpilasel peab olema võimalik ülesandega iseseisvalt pihta hakata. See ei tähenda, et ülesanne ise peab olema lihtne (madala keerukusastmega). Pigem peab ülesande alguses olema midagi sellist, millest ka nõrgemate eelteadmistega õpilane saab kinni haarata ja mille põhjal esimesi katsetusi teha, nuputama hakata. Liljedahl seostab madalat läve ka võrdsuse ja kaasatuse taotlusega matemaatikaõppes. Kui hariduse üldisem eesmärk on võrdsed võimalused (equity), siis õpetaja praktiline ülesanne klassiruumis on luua õpilastele juurdepääs (access) matemaatilisele tegevusele. Madal lävi on üks konkreetne viis selle saavutamiseks.

'''Kõrge lagi''' tähendab seevastu, et ülesanne peab pakkuma väljakutset ka tugevamatele õpilastele. Kõik õppijad peaksid mingil hetkel jõudma olukorda, kus lahendus ei ole enam ilmne ja tuleb päriselt mõelda. Oluline on siin ülesande raskusastme ja õpilase seniste teadmiste vahekord: eri õpilased jõuavad väljakutse lahenduseni eri ajal ja eri tasemel.
Sellega seostub produktiivse pingutuse (productive struggle) idee, mis on seotud ka Võgotski lähima arengu tsooni mõistega - õppimine on tulemuslikum siis kui õpetaja suudab õpilase tema mugavustsoonist arengu tsooni juhtida. Mõtlemine muutub eriti oluliseks siis, kui õpilane ei tea kohe, mida edasi teha. Sellises olukorras peab ta katsetama, püstitama oletusi, ebaõnnestuma, oma lähenemist muutma ja uuesti proovima. Eesmärk ei ole vältida olukorda, kus õpilane „jääb kinni“, vaid õpetada teda sellisest olukorrast edasi liikuma. Liljedahl rõhutab siiski, et produktiivse pingutuse tekkimiseks on oluline ka varasem eduelamus. Kui keeruline väljakutse järgneb õnnestumisele, jätkab õpilane suurema tõenäosusega pingutamist; kui mitu järjestikust ülesannet takerduvad ebaõnnestumisse, suureneb õpilase loobumise tõenäosus.

Kolmas hea ülesande tunnus on '''uudsus'''. Kui õpilane juba teab, millist algoritmi või varem õpitud lahendusviisi rakendada, võib ta selle lihtsalt ja ilma pingutava mõtlemiseta reprodutseerida. Autorite käsitluses algab mõtlemine eeskätt olukorras, kus lahendustee ei ole ette teada. Seetõttu peaks mõtlemisülesanne sisaldama õpilase jaoks midagi mitterutiinset: uut probleemi, uut konteksti, ebaharilikku kombinatsiooni või vajadust teadaolevaid teadmisi uuel viisil kasutada.

Need kolm omadust ei pea tingimata sisalduma ühes suures ja keerulises ülesandes. Sageli on otstarbekam koostada ülesannete jada, milles esimesed ülesanded võimaldavad kiiremini alustada ja kogeda edu ning järgnevad ülesanded suurendavad järk-järgult väljakutset. Samuti vajavad ka head ülesanded jätkuülesandeid ehk laiendusi (''extensions''). Mõtleva klassiruumi üks põhimõtteid on, et õpilane ei peaks jõudma seisundisse „olen valmis“: kui esialgne probleem on lahendatud, järgneb sellele uus küsimus või tingimus, mis nõuab mõtlemise jätkamist.

==== Õppekavalised ja õppekavavälised probleemülesanded ====

Liljedahl eristab “rikastatud ülesandeid” (''rich tasks'') ning nende kasutamist nii õppekavast lähtudes kui ka õppekavaväliselt. Rikastatud ülesanne nõuab mitmesuguste matemaatiliste teadmiste kasutamist ja nende kombineerimist probleemi lahendamiseks. Sama ülesanne võib olla ühe õpilasrühma jaoks õppekavaline (''curricular'') ja teise jaoks õppekavaväline (''non-curricular''), sõltuvalt sellest, kas selle lahendamiseks kasutatav matemaatika kuulub parajasti õpitava sisu hulka. Õppekavavälised on näiteks matemaatika olümpiaadi, Känguru võistluse ja ajakirjade nuputamisnurkades avaldatud ülesanded, aga ka mingis teises valdkonnas (nt programmeerimises, majandusstatistikas ja teadusuuringutes) esitatud põnevad nuputamisväljakutsed. 

Näiteks võiks siinkohal tuua nuputamisülesande, kus numbrid 1–9 tuleb paigutada astmete ja korrutistega avaldisse nii, et saadava murru väärtus oleks võimalikult suur. Õpilane võib alustada katse-eksituse meetodiga, kuid edasi tekivad küsimused selle kohta, kuidas muuta lugeja võimalikult suureks ja nimetaja võimalikult väikeseks, kuidas mõjutavad tulemust astmed ning milliseid arvukombinatsioone üldse tasub uurida. Sama ülesannet saab jätkata uue eesmärgiga, näiteks moodustada avaldis, mille väärtus oleks võimalikult lähedal ühele. Selline ülesannete jada illustreerib korraga madalat läve, kõrget lage, uudsust ja jätkuülesannete kasutamist. Mõtleva klassiruumi ülesanded võivad kasutada käelisi õppevahendeid (manipulatives) – näiteks täringuid, algebraklotse, murrukettaid, tasakaalumudeleid või ruumilisi kujundeid. Oluline pole aga taolise käekatasutava vahendi/objekti olemasolu iseenesest, vaid milleks seda kasutatakse.

[[Fail:Algebraklotsid.png|pisi|alt=Algebraklotsid|Algebraklotsid]]

==== Näidisülesanne algebraklotside abil lahendamiseks ==== 

Lahenda algebraklotside abil ja selgita oma lahendust teisele õpilasele: 
* (x+2)(x+3)=
* (x+4)(x-3)=
* (x-2)(x-4)=

==== Näidisülesanne kuue täringuga ====

[[Fail:Täringud.png|pisi|alt=Kuus täringut|Kuus täringut]]

# Milliseid mustreid märkad kui uurid täringu vastastahkudel olevaid väärtusi?
# Raputa peos 6 täringut ja aseta need siis üksteise otsa tornina. Kuidas saaks kiiresti arvutada kõigi nähaolevate tahkude silmade summa? Ja siis peidetud tahkude summa?
# Kas joonisel olevad täringud on kõik identsed? Mitu erinevat täringut on võimalik luua, kui lähtuda vastastahkude silmade reeglist? 


Liljedahl eristab kolme käelise õppevahendi kasutusviisi. 
* Õpilane võib mõelda antud õppevahendi üle, kui see ise on uurimisobjekt – näiteks saab uurida ja võrrelda eri liiki täringute vastastahkude arvude paiknemise seaduspärasusi. 
* Teiseks võib õpilane mõelda käelise õppevahendi abil, kasutades seda matemaatilise probleemi lahendamiseks. Näiteks saab väikestest kuupidest ehitada 3 × 3 × 3 kuubi ja uurida värvitud kuubi probleemi. 
* Kolmandaks saab õpilane esitada ja kommunikeerida oma mõtlemist käelise vahendi abil, näiteks kasutada algebraklotse oma lahenduskäigu selgitamiseks kaasõpilastele.

Käelised õppevahendid on seejuures matemaatiliste representatsioonide üks liik. Õppimise seisukohalt on oluline liikuda esemelise mudeli, pildi, kirjalike sümbolite, verbaalse esituse ja reaalse olukorra vahel. Seetõttu ei tohiks vahend asendada matemaatilist mõtlemist, vaid aidata luua seoseid eri representatsioonide vahel.

Ka siin on oluline õpetaja otsus, millal vahendit pakkuda. Mõnikord on käeline vahend ülesande lahutamatu osa ja õpetaja annab selle kõigile; teinekord võiksid erinevad vahendid olla lihtsalt õpilastele kättesaadavad ning õpilased ise otsustavad, kas ja millist neist kasutada.

Eriti huvitav on Liljedahl’i hoiatus visualiseerimise kohta. Kui soovitud õpitulemus on võime kujundit vaimusilmas ette kujutada, võib füüsilise mudeli pidev olemasolu hoopis visualiseerimise vajaduse kõrvaldada. Seetõttu võib õpetaja näiteks näidata kuupi ülesande selgitamisel, seejärel selle eemaldada ning anda selle uuesti ajutiselt rühmale, kellel on visualiseerimisega raskusi. Nii toetab mudel visualiseerimise kujunemist, mitte ei asenda seda.

Sarnane põhimõte kehtib digitehnoloogia kasutamise kohta mõtlemisülesannetes: tehnoloogia iseenesest ei muuda kehva ülesannet heaks. Animatsioonid, kalkulaatorid, GeoGebra, Desmos või programmeerimine võivad mõtlemist toetada, kuid ülesanne peab ikkagi käivitama mõtlemise, pakkuma piisavat väljakutset ja sisaldama uudsust.
Liljedahl eristab mõtleva klassiruumi kontekstis kolme tehnoloogia kasutusviisi: tehnoloogia kui arvutusvahend, uurimisvahend ja programmeerimisvahend:
* '''Arvutusvahendina''' võib tehnoloogia teha mahukaid arvutusi, joonestada või mõõta. Autorid soovitavad rühmatöös pigem ühte seadet rühma kohta, sest iga õpilase isiklik seade võib rühma koostööd killustada. Samal põhjusel soovitatakse olulised sisendid ja tehnoloogia abil saadud tulemused kanda ka rühma vertikaalsele kirjutuspinnale (VKP). Nii muutub tehnoloogia individuaalse seadme asemel rühma ühiseks töövahendiks.
* '''Uurimisvahendina''' võimaldab tehnoloogia kiiresti muuta parameetreid, jälgida tulemusi, püstitada oletusi ja neid kontrollida. Näiteks saab uurida parabooli muutumist ruutfunktsiooni kordajate muutmisel või statistiliste näitajate muutumist andmestiku muutmisel. Selline tegevus moodustab tsükli vaatlemine → oletuse püstitamine → kontrollimine, milles tehnoloogia võimaldab kiiresti koguda uusi näiteid ja kontrollida hüpoteese.
* '''Programmeerimisel''' muutub tehnoloogia ülesandest peaaegu lahutamatuks: õpilane kavandab algoritmi, katsetab seda, jälgib sisendite ja väljundite seoseid ning parandab vigu. Autorite järgi on programmeerimine juba olemuselt uurimuslik tegevus. Mõtleva klassiruumi puhul soovitatakse programmeerimiseks töötada paarides, kasutada ühte arvutit paari kohta ning ühendada arvutitöö VKP-iga, kus saab kavandada algoritmi, talletada oletusi ja nähtavaks teha lahenduskäiku.

LAHEMATE uuringuprojekti kontekstis on selle peatüki kõige olulisem sõnum, et Liljedahli lähenemist ei tohiks taandada üksnes mõnele silmatorkavale klassiruumi töövõttele, näiteks juhuslikele rühmadele või vertikaalsetele kirjutuspindadele. Mõtleva klassiruumi lähtekoht on sellise matemaatilise tegevuse kavandamine, mis tekitab vajaduse mõelda. Selleks peab ülesanne võimaldama kõigil alustada, kuid mitte võimaldama kõigil kohe lõpetada; õpilane peab mingil hetkel jõudma olukorda, kus tuttava algoritmi mehaanilisest rakendamisest ei piisa.

LAHEMATE õpetaja võiks seetõttu probleemülesande kavandamisel küsida vähemalt järgmisi küsimusi:
# Kas ülesandel on madal lävi? Kas kõik õpilased leiavad mõistliku viisi alustamiseks?
# Kas ülesandel on kõrge lagi? Kas ka tugevamad õpilased jõuavad punkti, kus nad peavad päriselt nuputama?
# Kas ülesanne on õpilaste jaoks piisavalt uudne? Või tunnevad nad kohe ära harjutatud algoritmi?
# Milline on järgmine samm? Millise jätkuülesande saab anda õpilasele, kes esimese probleemi lahendab?
# Kas käeline õppevahend või digitehnoloogia käivitab matemaatilist mõtlemist või asendab seda?
# Kas kasutatav vahend toetab rühma ühist mõtlemist ja matemaatilist suhtlemist (matemaatika keelendamist)?
# Millal tuleks käeline õppevahend eemaldada? Eesmärk ei ole muuta õpilast vahendist sõltuvaks, vaid aidata tal liikuda abstraktsema matemaatilise mõtlemise poole.

Seega pole Liljedahli mõtleva klassiruumi puhul keskne küsimus lihtsalt „'''Kas see on hea probleemülesanne?'''“, vaid pigem „'''Millist mõtlemist see ülesanne minu klassiruumis esile kutsub ning kuidas ülesande, käeliste vahendite ja töökorralduse kombinatsioon seda mõtlemist toetab?'''“ Just selles mõttes moodustavad ülesande omadused, õpetaja pedagoogilised valikud, rühmatöö korraldus, füüsilised ja digitaalsed vahendid ning produktiivse pingutuse toetamine ühe tervikliku süsteemi.


==== Kokkuvõte ====
Kokkuvõtteks soovitab Liljedahl alustada iga tundi mõtlemisülesannetega ja õpilaste kaasamise järel liikuda edasi ülesannete juurde, mille lahendamine eeldab õppekavale vastavate teadmiste rakendamist. Samas ei soovita ta õppekavale või õpikule vastavaid lahendusi õpilastele ette näidata, sest see lülitaks õpilased „mõtlemisrežiimist“ „matkimisrežiimi“.

'''Mikrosammud probleemülesannete koostamiseks mõtlemisruumi metoodikast lähtuvalt:'''
* Alusta 1–2 esimesel nädalal õppekavaväliste nuputamis- ja mõtlemisülesannetega (madal lävi, kõrge lagi). Alles õpilaste mõtlemisharjumuste tekkides liigu õppekavaga otsesemalt seotud ülesannete juurde.
* Vali ülesanded, millel on mitu lahendusviisi (joonista, koosta tabel, võrrand, arvuta).
* Väldi alguses töölehti: anna ülesanne suuliselt ja lase rühmadel ideid proovida.

'''Näidisülesanne:'''
* Koosta koolile [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf uus tunniplaan], kus iga teine reede on iseseisva õppe päev, kuid koolitundidele kuluvate minutite summa igas kahenädalases tsüklis (ja õppeaastas tervikuna) jääb samaks kui praegu.

Sama raamülesanne hoiab mõtlemist esiplaanil ka siis, kui selle sisu muutub hiljem õppekavaga seotuks.

=== 5.1.2 Kuidas me õpilasi rühmitame? ===
Loo silmanähtavalt juhuslikud kolmesed rühmad ja vaheta neid sageli. See murrab sotsiaalseid barjääre, suurendab teadmiste liikumist klassis ja tõstab iga õpilase valmisolekut panustada ühisesse mõtlemistegevusse.

'''Mikrosammud:'''
* Moodusta rühmad silmanähtavalt juhuslikult, kasutades nt kaardipakki, loosipulki või QR-koode.
* Vaheta rühmade koosseise sageli (igas tunnis või üle päeva), et vältida „püsirollide“ tekkimise ohtu.
* Hoia rühma suurus kolmeliikmelisena: see on piisav erinevate ideede tekkeks, kuid ei võimalda rühmaliikmetel mugavalt „pealtvaataja“ vaikivasse rolli taanduda.

'''Näide:''' õpetaja segab kaardipaki, jagab igale õpilasele ühe kaardi ja kutsub õpilased tahvlite juurde kolmeliikmelistesse rühmadesse kaardimastide või -väärtuste järgi. Algne kohmetus taandub kiiresti ja koostöö paraneb.

=== 5.1.3 Kus õpilased töötavad? ===
Õpilased seisavad püsti ja kirjutavad '''vertikaalsetele kustutatavatele pindadele''' (tahvlid, A1 paberlehed, aknaklaasid). Vertikaalsus tagab nähtavuse teistele õpilastele ja õpetajale, aga ka vastutuse. Kustutatavus julgustab uute ideedega katsetama ja uuesti proovima.

'''Mikrosammud tööpindade loomiseks:'''
* Varusta klass vertikaalsete kustutatavate pindadega (tahvlilehed, aknad).
* Anna üks marker rühma kohta: see sunnib rääkima ja tegija rolli vahetama.
* Iga rühm seisab. Istumiskohti kasutatakse alles tunni lõpu ühisarutelu faasis.

'''Näide:''' [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU Fawn Nguyeni kirjeldus] vertikaalsete pindade kasutamise kohta oma tundides.

&lt;!-- Joonis: Erinevate vertikaalsete kustutatavate pindade kasutamine mõtlemisruumis. --&gt;

=== 5.4 Milline on füüsiline õpikeskkond klassis? ===
Paiguta klassis mööbel nii, et õpilased ei vaataks kõik ühes suunas ettepoole, ning taga õpilaste vaba liikumine tahvlite ja rühmade vahel. Rühmadevaheline liikumisvõimalus toetab mõtlemist rohkem kui pingiridade „loengukeskkond“. Liljedahl nimetab traditsioonilise, tahvli suunas vaatavate pingiridadega õpikeskkonna lõhkumist &quot;''defronting''&quot;, mis eesti keeles võiks ehk olla &quot;esiküljetustamine&quot; või &quot;poodiumi kaotamine&quot;.  

'''Mikrosammud mööbli ümberpaigutamiseks:'''
* Nihuta lauad seinte äärde. Õpetaja domineeritav „klassiesine“ kaob ja fookus on rühmatöötahvlitel.
* Jäta rühmade ja pindade vahele vaba liikumisruumi, et õpilased saaksid käia üksteise ideid vaatamas.
* Hoia töövahendid (markerid, magnetid, mõõdulindid) seintel kättesaadavana.

'''Näide:''' vaata eelmist näidet Fawn Nguyeni klassiruumist.

=== 5.1.5 Kuidas vastata õpilaste küsimustele? ===
Erista kolme tüüpi küsimusi, mida õpilased küsivad:
* '''Lähedusküsimused''' (''proximity questions''), mida õpilane küsib lihtsalt õpetajaga suhtlemiseks, kuna õpetaja sattus füüsiliselt lähedale. Sedalaadi küsimustele antud vastuseid õpilane üldjuhul oma mõtlemisprotsessis ei kasuta. Liljedahl toob näite tüdrukust, kes õpetaja lähenedes peitis nutitelefoni taskusse ja küsis tähelepanu kõrvalejuhtimiseks: „Kas peame mitu vastust välja pakkuma või piisab ühest?“
* '''Mõtlemispausi küsimused''' (''stop-thinking questions''), mis peatavad mõtlemisprotsessi, nt „Miks me peame seda õppima?“ või „Kas see ülesanne võib tulla ka kontrolltöös/eksamil?“
* '''Mõtlemist toetavad küsimused''' (''keep-thinking questions''), millega õpilane soovib tagasisidet oma ideele või lahendusele, nt „Meil tekkis mõte proovida leida ka negatiivne lahendus, kas see oleks OK?“

Vasta ainult kolmandat liiki küsimustele, mis aitavad õpilasel edasi mõelda. Lihtsad mõtlemispausi tüüpi valideerimisküsimused stiilis „Kas see on õige?“ peaks õpetaja aitama ümber sõnastada mõtlemist toetavaks küsimuseks, nt „Kuidas sa kontrolliksid, et ise teada saada, kas lahendus on õige?“

'''Mikrosammud küsimustele vastamisel:'''
* Sõnasta reegel: vastan ainult „mõtle edasi“ küsimustele.
* „Kas see on õige?“ → „Kuidas saaksid seda kontrollida?“
* „Mida teha edasi?“ → „Mida te juba proovisite? Mis on järgmine väike samm?“

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ April Soo katsetused] mõtlemisruumi metoodika rakendamisel õpilaste küsimuste osas.

=== 5.1.6 Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid? ===
Internet on täis potentsiaalselt häid ülesandeid (e-Koolikott, Facebooki grupp „Õpetajalt õpetajale õppematerjalid“, [http://nrich.maths.org NRICH.maths.org] Inglismaal, [http://youcubed.org YouCubed.org] ja [http://illuminations.nctm.org ILLUMINATIONS.nctm.org] USA-s), kuid õpetajate kõige sagedasem mure on, kust leida sobivaid ülesandeid. Liljedahl usub, et õpetajad ei pea selle küsimusega silmas mitte niivõrd õppekavale vastavate ülesannete leidmist (mida käsitlesime eespool peatükis 5.1), vaid küsivad tegelikult hoopis: „Kust leiaksin ülesandeid, mis innustaksid mu õpilasi mõtlema ja probleeme lahendama?“

Lisaks ülesande sisule on oluline ka see, millal ja kuidas ülesanne õpilastele esitada (matemaatikahariduse uurijate konverentsil CERME on ''problem posing'' traditsiooniliselt üks populaarseid uurimisteemasid). Liljedahl soovitab anda ülesande kohe tunni alguses esimese 5 minuti jooksul ja kindlasti suuliselt, kui rühmad seisavad püsti õpetaja ümber. Liljedahli enda uuringute kohaselt käivitab suuliselt ja kohe tunni alguses esitatud ülesanne õpilaste mõtlemist oluliselt paremini kui ekraanilt või töövihikust antud ülesanne, sest see vähendab masinlikku kopeerimist ja loob eeldused mõtlemisprotsesside käivitumiseks.

Tavapärases matemaatikatunnis saab õpilane ülesande enamasti õpikust, töölehelt, ekraanilt või tahvlilt. ''Building Thinking Classrooms'' (BTC) uuringutes tekitas kõige vähem mõtlemist õpikust antud ülesanne. Liljedahli seletuse järgi on õpilastel õpikuülesannetega kujunenud tugev koolikultuuriline seos: neid tajutakse sageli kui ülesandeid, mida tuleb lahendada pärast seda, kui õpetaja on näidanud, kuidas seda tüüpi ülesannet lahendatakse. Nii võivad need muutuda pigem eeskuju jäljendamise kui iseseisva mõtlemise ülesanneteks.

Õpetajate kõige suuremaks väljakutseks BTC uuringutes osutus ülesande suuline esitamine. Õpetaja jutustab või kirjeldab probleemi, vajaduse korral kasutab žeste või lihtsat demonstratsiooni ning kirjutab tahvlile ainult need andmed, arvud, joonised või muud detailid, mida on raske meeles hoida. Oluline erinevus on siin selles, et andmed võib kirjutada, kuid tegevusjuhise võiks öelda suuliselt.

Liljedahl põhjendab suulise esitamise eelist mitmeti. Suuline kommunikatsioon on inimese jaoks loomulik ja õpilased kasutavad seda niikuinii rühmas omavahel suheldes. Veel olulisem on aga mõtleva klassiruumi sotsiaalne korraldus: ei ole vaja, et kõik õpilased saaksid kohe alguses ülesandest täpselt ühtemoodi aru. Piisab sellest, kui rühmas on piisavalt õpilasi, kes saavad tööga alustada; ülejäänud arusaamine kujuneb koostöös ja õpetaja jooksva toetuse kaudu.

See erineb tavapärasest õpetamisest, kus õpetaja püüab enne töö alustamist kõik võimalikud arusaamatused ennetada: ülesanne kirjutatakse välja, seletatakse suuliselt, näidatakse näide, kontrollitakse arusaamist ja vajaduse korral seletatakse uuesti. Liljedahl nimetab alternatiivi kujundlikult „tuletõrjuja lähenemiseks“ (firefighter approach): anna lühikesed suulised juhised, lase õpilastel tööle hakata ja lahenda arusaamatused siis, kui need tegelikult ilmnevad.

==== &quot;Suuline esitus&quot; ei tähenda üksnes suulist ====

Liljedahl ei väida, et õpilastele ei tohiks ülesande esitamisel mingeid juhiseid kirjalikult näidata. Eesmärk on pigem vähendada ülesande käivitamisel üleliigset informatsiooni ja kognitiivset koormust. Näiteks:
* andmetabel võib olla paberil;
* arvjada või muster võib olla tahvlil;
* geomeetriline joonis võib olla nähtav;
* olulised arvulised andmed võib üles kirjutada;
* kuid küsimus, probleem või tegevusjuhis antakse eelistatavalt suuliselt.

Kui mõtleva klassiruumi normid on juba kujunenud, võib hakata aeg-ajalt kasutama ka kirjalikke ülesandeid. Liljedahl soovitab seda eriti juhul, kui õpilasi on vaja harjutada tekstülesannete ja standardiseeritud testide jaoks. Ta eristab seega mõtleva klassiruumi ülesehitamist ja juba väljakujunenud mõtleva klassiruumi kasutamist. Esimese 3–4 nädala jooksul soovitab ta olla ülesannete esitamisel valdavalt suuline ning hiljem lisada järk-järgult ka tekstiliselt esitatud ülesandeid.

Kirjaliku ülesande puhul soovitab ta anda rühmale pigem väikese paberitüki vähese tühja ruumiga kui suure töölehe. Mõte on vältida olukorda, kus õpilased kinnitavad paberi vertikaalsele kustutatavale pinnale (VKP) ja hakkavad töötama paberil. Mõtleva klassiruumi jaoks on oluline säilitada kirjutamine ühisel kustutataval kirjutamispinnal, kus ideede muutmine ja vigade parandamine on lihtne ning nähtav.

==== Millal ülesannet anda? ====

BTC põhimõte on väga konkreetne: õpilased peaksid hakkama mõtlema tunni esimese viie minuti jooksul. Viis minutit ei tähenda tingimata aega koolikella helisemisest, vaid hetkest, mil õpetaja tegelikult tunni alustab. Selle taga on oluline pedagoogiline põhjendus. Mida kauem on õpilane tunni alguses passiivse teadmiste vastuvõtja rollis, seda raskem on tal hiljem üle minna aktiivse mõtleja ja teadmiste looja rolli. Seetõttu soovitab Liljedahl traditsioonilise skeemi (õpetaja seletab → näitab näiteid → õpilased harjutavad) asemel käivitada võimalikult kiiresti õpilaste eneste mõtlemine. See ei tähenda otsese õpetamise täielikku välistamist. Kui õpilasel on ülesande alustamiseks tõesti vaja uut teadmist, võib õpetaja seda õpetada. Kuid Liljedahl seab sellele provokatiivselt range piirangu: umbes viis minutit. Õpetada tuleks ainult nii palju, kui on vaja esimese ülesande alustamiseks. Siin muutub oluliseks ülesannete jada. Esimese ülesande lahendamisel avastatu võimaldab lahendada teist, teine valmistab ette kolmandat jne. Õpetaja ei pea seega enne töö alustamist õpetama kõike, mida läheb vaja jada kõige keerukama ülesande lahendamiseks.

==== Ära „ime mõtlemist ülesandest välja“ ====

Õpetajal on loomulik soov õpilaste edu kindlustada. Seetõttu kipume enne ülesande andmist vihjama, millist meetodit kasutada: „tee tabel“, „vii ühisele nimetajale“, „proovi tagurpidi töötada“ jne. Kõik need soovitused võivad olla matemaatiliselt õiged ja muuta lahendamise kiiremaks. Just selles seisnebki probleem: õpetaja on eemaldanud ülesandest selle koha, kus õpilane ise oleks pidanud mõtlema, takerduma, katsetama, vea tegema ja lõpuks strateegia leidma. Liljedahl kasutab selle kohta kujundit kurlingutreener (curling teacher): nagu kurlingumängus pühitakse kivi eest jää siledaks, eemaldab õpetaja õpilase teelt kõik võimalikud takistused. Mõtleva klassiruumi seisukohalt on aga just „konarlikud kohad“ sageli need, kus õppimine toimub.

Seetõttu soovitab Liljedahl õpetajal järgida põhimõtet: räägi alguses pigem vähem ja anna vajaduse korral hiljem vihjeid. Muide, Eesti esimeses matemaatika didaktika tekstis (R.Kallase “Mõistlik rehkendaja) sisaldub didaktiline printsiip: “Lapsed ei õpi kõnelema kui koolmeister vait olla ei mõista”. 

==== Uued mõisted ja terminoloogia tulevad pärast kogemust ====

Sama loogika kehtib matemaatilise terminoloogia kohta. Kui mõiste või nähtus on õpilastele varasemast tegevusest juba tuttav, võib õpetaja anda sellele tunni alguses nime: näiteks „seda nimetatakse välisnurgaks“. Kui aga õpilasel pole veel vastavat matemaatilist sõnavara, soovitab Liljedahl toimida vastupidises järjekorras: “kogemus → idee kujunemine → mõiste nimetamine”, mitte “termin → definitsioon → hilisem kogemus”. Ka see soovitus järgib juba Comeniuse poolt sõnastatud didaktilist printsiipi Claritas: õpetaja peaks selgitama abstraktset mõistet tuttava (kogetud) kujundi abil, nt “korrutamine on nagu ridade kaupa kivide müüri ladumine”. Õpilased vajavad võimalusi ise tähendust luua, mitte ainult õpetaja loodud tähendusi “importida”.

==== Kus ülesannet anda? ====

Liljedahli soovitus on, et ülesande käivitamise ajal ei istuks õpilased oma tavapärastel kohtadel. Nad peaksid seisma õpetaja lähedal vabas, suhteliselt tihedas grupis. BTC uuringutes oli erinevus suur: raamatus kirjeldatud tulemuste järgi oli istuvate õpilaste puhul õpetaja juttu nähtavalt jälgimas ligikaudu 50% õpilastest ning töö alustamisel esitati 10–15 täpsustavat küsimust. Õpetaja ümber seisvate õpilaste puhul oli nähtavalt haaratud umbes 90% ning täpsustavaid küsimusi tuli vaid umbes kolm. Liljedahl pakub mitu võimalikku seletust. Oma kohal istudes võib õpilane tunda end anonüümse ja „nähtamatuna“, eriti õpetajast kaugemal. Õpetaja lähedal seistes suureneb tähelepanu ning suhtlus muutub vähem „õpilastele rääkimiseks“ ja rohkem õpilastega suhtlemiseks. Lisaks lahendab see ühe praktilise probleemi: õpilased on juba püsti. Pärast lühikest ülesande käivitamist saab õpetaja moodustada juhuslikud rühmad ja suunata nad vertikaalsete tööpindade juurde.

Oluline on aga tegevuste järjekord: 1. õpilased kogunevad õpetaja juurde → 2. õpetaja annab ülesande → 3. moodustatakse juhuslikud rühmad → 4. rühmad lähevad tööpindade juurde.

Liljedahl tõdeb oma uuringute põhjal, et vastupidine järjekord ei toiminud hästi. Kui õpilased moodustasid kõigepealt rühmad ja läksid tahvlite juurde, haaras neid kohe uue rühma sotsiaalne dünaamika ning nad ei kuulanud enam ülesande juhiseid piisavalt tähelepanelikult.

==== Aga õpilane, kellel on raske suulist infot töödelda? ====

Liljedahl käsitleb pikemalt ka võimalikku vastuväidet: kas suulise ülesande eelistamine ei kahjusta õpilasi, kellel on raske suulisi juhiseid töödelda? Ta ei välista individuaalset tuge, aga soovitab esmalt jälgida, kuidas mõtleva klassiruumi keskkond õpilast toetab. Suuline informatsioon tuleb rühmas uuesti esile, kaasõpilased aitavad seda tõlgendada ning õpetaja saab vajaduse tekkimisel anda õpilasele lühema ja vahetuma individuaalse juhise. Vajaduse korral võib loomulikult kasutada ka kirjalikku tuge. Liljedahl kritiseerib siin ka lihtsustatud käsitlust õpistiilidest (visuaalne vs verbaalne stiil), mille osas on olnud kriitilised ka paljud teised teadlased (nt P.Kirschner: “Stop propagating the learning styles myth”). Eesmärk ei peaks olema anda igale õpilasele informatsiooni ainult tema eelistatud modaalsuses, vaid arendada suutlikkust toime tulla verbaalse, tekstilise, visuaalse ja muul kujul esitatud informatsiooniga.

Õpetaja ei pea enne ülesande alustamist tagama, et “kõik õpilased teavad täpselt, mida ja kuidas teha”. Vastupidi – mõtlemisülesande mõte ongi selles, et osa teadmisest, strateegiast ja arusaamisest sünniks alles tegevuse käigus. Seega on peatüki üks läbivaid ideid: õpetaja ülesanne ei ole muuta õpilase teed võimalikult siledaks, vaid kujundada keskkond, kus õpilane saab turvaliselt takerduda, katsetada, teistega arutada ja ise tähendust luua.


'''Mikrosammud ülesande andmiseks:'''
* Anna ülesanne 3–5 minuti jooksul pärast tunni algust.
* Esita ülesanne suuliselt, kui klass seisab õpetaja ümber ja kõigi tähelepanu on õpetajal. Alles seejärel suuna rühmad oma tahvlite juurde.
* Ära jaga õpilastele kohe töölehte ega näita ette lahendusi. Lase neil teha esimesed katsetused täiesti iseseisvalt.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.7 Milline on mõtlemisruumi sobiv kodutöö? ===
Liljedahli uuringud kinnitasid igale õpetajale tuttavat tõdemust: õpetaja ja õpilased saavad kodutöö eesmärgist ja vajalikkusest täiesti erinevalt aru. Õpetaja jaoks on tegu tunnis õpitud teadmiste rakendamisega kinnistamise eesmärgil, õpilaste jaoks aga puuriga, milles nad peavad mingil arusaamatul põhjusel istuma, selle asemel et midagi huvitavat teha. Õpetajate kinnitusel teevad kodutöid kohusetundlikult peamiselt tublid õpilased, kes seda tegelikult ei vajakski. Ülejäänud asendavad kodutööd tehes mõtlemise õpilasetsemise halbade praktikatega (jätavad tegemata, kirjutavad pinginaabrilt maha, lasevad emal või õel enda eest ära teha).

Liljedahl soovitab mõtlemisruumi metoodika järgijatel kodused ülesanded ümber mõtestada, et need poleks õpilaste jaoks arusaamatu ja tüütu kohustus, mida tehakse üksnes halva hinde hirmus. Nimeta kodutöö ümber '''enesehindamiseks''' ja esita kodutöö küsimused stiilis „Kas ma olen õigesti aru saanud?“. Õpilastes tuleks kujundada arusaam, et kodutöö on vabatahtlik võimalus iseennast testida, mitte õpetajale punktide kogumine.

'''Mikrosammud mõtlemist toetava kodutöö andmiseks:'''
* Nimeta kodutöö ümber enesehindamiseks ja esita 3–5 lühikest kontrollülesannet.
* Ära hinda kodutöid. Kasuta neid järjekindlalt õpilaste enesehindamiseks.
* Alusta järgmist tundi 3-minutise aruteluga teemal „Mille peale ma tulin, kui ennast kodutööga hindasin?“

=== 5.1.8 Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat? ===
Kontrolli kaotamine klassis toimuva üle on üks esimesi hirme, mis õpetajal mõtlemisruumi metoodikat esmakordselt katsetades tekib. Lahendus on ilmne: õpetaja peab suutma muuta õppijad ise oma õppimise eest vastutavaks, mis tähendab õpilaste autonoomia samm-sammulist kasvatamist. Liljedahl soovitab selleks suunata õpilasi panustama kogu klassi ühise teadmuspanga loomisse, julgustades neid vaatama teiste rühmade tahvleid (lahendusi kopeerimata, kuid eri lahendusi võrreldes) ja küsima teistelt rühmadelt vihjeid, jätkates seejärel siiski iseseisvalt oma lahendusega. '''Autonoomia''' on õpilase oskus hoida oma mõtlemist aktiivsena ka siis, kui õpetaja pole kõrval.

'''Mikrosammud õpilase autonoomia kujundamiseks:'''
* Kehtesta tava: enne õpetaja poole pöördumist küsi nõu kahelt teiselt rühmalt.
* Julgusta õpilasi vaatama teisi tahvleid. Ideede liikumine ja jagamine olgu soositud.
* Harjuta „väikeste sammude“ mõtteviisi: õpilased võiksid tegeleda korraga vaid ühe uue ideega.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.9 Kuidas toestada õppimist? ===
Matemaatika õpetamisel on õpetaja jaoks suurim väljakutse õpilaste ebaühtlane algtase ja matemaatiline võimekus. Seetõttu muutub sünkroonses tempos toimuv õppetöö osa õpilaste jaoks liiga aeglaseks ja igavaks, samas kui teiste jaoks kihutab õpetaja edasi liiga kiiresti. Mõtlemisruumi metoodika puhul ei pea kõik rühmad tegema samu asju ühtlases tempos. Liljedahl soovitab liikuda '''asünkroonselt''' (eri rühmad eri kiirusega), andes vajaduse korral väikseid '''vihjeid''' (kui mõni aeglasem rühm juhtub „kinni jääma“) ja ülesande '''laiendusi''' (kui mõni kiirem rühm sai töö varakult valmis), et hoida kõiki „voos“.

„Voo“ ehk „kulgemise“ mõiste tõi pedagoogikasse Ungari juurtega Ameerika teadlane Mihaly Csikszentmihalyi, kelle optimaalse kogemuse teooria võtab kõige paremini kokku allolev joonis. Kui ülesanne pakub õpilase võimekusega võrreldes liiga suurt väljakutset, langeb õpilane '''ärevuse''' tsooni. Kui aga väljakutse on võimeka õppija jaoks liiga kerge, langeb ta '''igavuse''' tsooni. Optimaalse (õppimis)kogemuse tagab pidev viibimine '''voo tsoonis''' (''flow zone''), kus järjest kasvav ülesannete keerukus vastab õpilase pisitasa kasvavale võimekusele.

&lt;!-- Joonis: Voo tsoon (flow) Csikszentmihalyi optimaalse kogemuse teoorias. Teljed: väljakutse (challenge) ja oskus (skill); tsoonid: ärevus (anxiety), voog (flow), igavus (boredom). --&gt;

'''Mikrosammud vihjete ja laienduste pakkumiseks:'''
* Anna väikseid vihjeid (kas uuritava probleemi keerukuse vähendamiseks või õpilase võimekuse kasvatamiseks), aga kindlasti mitte valmis lahendust.
* Varakult lõpetajad saavad laiendusi („Mis siis, kui…?“, „Üldista!“).
* Ära peata kogu klassi ühe rühma pärast, lase rütmidel erineda.

'''Näide:''' õpetaja [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ Frank McGowani] ajaveebist: kuidas mõtlemisruumiga matemaatikatunnis tekib õpilastel keskväärtust ja mediaani õppides „teadmuse voog“ ning õpetaja ei ole enam pudelikael.

=== 5.1.10 Kuidas tundi kokku võtta? ===
Kuna mõtlemisruumi metoodikat järgivas tunnis liiguvad õpilased ja rühmad oma probleemilahenduses sageli erinevas tempos (asünkroonselt), on seda olulisem jõuda tunni lõpus ühiste lõpptulemusteni. Õpetajal on sageli kiusatus teha selline kokkuvõte perfektsel viisil pigem oma teadmistest (või õpiku käsitlusest) lähtudes. Seda nimetatakse „tippu koondumiseks“ (''leveling to the top''). Nii toimides ignoreeriks õpetaja aga õpilaste rühmatöö tulemusi, ja Liljedahl hoiatab, et see oleks viga. Seetõttu soovitab Liljedahl hoopis vastupidist strateegiat: '''konsolideerida lõpptulemused alt üles''', alustades rühmatöödest nii heade lahenduste ja ideede kui ka lünkade väljanoppimisega.

'''Mikrosammud tunni kokkuvõtmiseks:'''
* Tee koos kõigi õpilastega „galeriituur“ (keegi ei istu), et vaadata üle kõigi rühmade tahvlid ja valida neist 3–5, mis jutustavad antud probleemi lahendusest kõige huvitavama „matemaatilise loo“.
* Ära lase õpilastel endil oma ideid tutvustama hakata – nüüd on õpetaja kord tõlgendada.
* Kokkuvõtva arutelu alguses pööra rohkem tähelepanu ideede päritolule ja kujunemisele, lõpupoole keskendu lõpptulemusele.
* Sõnasta koos õpilastega korrektse matemaatilise sõnastusega ühine lahendus alles arutelu lõpus (terminid, näited, vastunäited).
* Lase rühmadel oma sõnadega kirja panna, „mida igaüks peaks sellest arutelust meeles pidama“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.11 Kuidas õpilased teevad märkmeid? ===
Märkmete tegemine tunni ajal on ilmselt üks vanimaid praktikaid, kuid paraku kuulub enamik õpilaste märkmetest kategooriasse „õpetaja kirjutas tahvlile, mina kopeerisin selle vihikusse“. See tegelikult takistab õpilastel õpetaja jutule keskendumast ja kaasa mõtlemast. Liljedahli uuringutes selgus, et õpilaste märkmete kvaliteet ja tähendusrikkus kasvas hüppeliselt, kui nad ei pidanud õpetaja juttu reaalajas konspekteerima, vaid said rahulikult kirjutada '''„hajameelsele iseendale tulevikus“''', püüdes aidata endal olulisi asju meeles pidada. Selliseid märkmeid on sageli mõistlikum teha mitte lineaarse narratiivi, vaid mõistekaardi, diagrammi (Venni diagramm, kalaluu), skeemi või spikri kujul.

'''Mikrosammud kasulike märkmete tegemiseks:'''
* Märkmed kirjutatakse alles pärast tunni kokkuvõtet, mitte probleemi lahendamise ajal.
* Tehakse valik kõige olulisemast: foto oma tööst või tahvli osast ja kolmelauseline kokkuvõte.
* Lisatakse „üks toimiv näide“ ja „üks küsimus endale edasimõtlemiseks“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.12 Mida hinnatakse? ===
Mõtlevas klassiruumis ei ole hindamine pelgalt õppimise „mõõtmise“ vahend, vaid kasulik tagasiside õppijatele selle kohta, mida me tegelikult väärtustame. Liljedahli uurimistöö näitab, et õpetajad oskavad sageli sõnastada omadusi, mida nad soovivad oma õpilastes näha (nt visadus, riskijulgus, koostööoskus, kannatlikkus, autonoomia, enesetõhusus), kuid klassiruumi hindamispraktikad ei toeta nende omaduste kujunemist. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid ja lõpptulemusi, hakkavad õpilased väärtustama just neid ning loobuvad pingutusest ja mõtlemisest, kui lahendus pole kohe käes.

Liljedahl rõhutab põhimõtet: '''hinda seda, mida väärtustad''' (''evaluate what you value''). Kui me väärtustame mõtlemist, peame ka mõtlemist hindama. See ei tähenda, et akadeemilised õpitulemused kaotaksid tähtsuse, vaid et nende kõrvale tuleb teadlikult tuua ka need protsessilised ja dispositsioonilised aspektid, mis mõtlemist tegelikult võimaldavad. Näiteks visadust ei saa kujundada, kui seda ei märgata ega väärtustata, ja koostöö ei arene, kui seda ei peeta oluliseks.

Oluline on ka see, kuidas me neid väärtusi hindame. Liljedahli uuringud näitavad, et kõige tõhusamaks osutusid lihtsad ja läbipaistvad hindamisrubriigid, mis keskendusid järgmistele aspektidele:
* pingutus ja järjepidevus;
* panus rühmatöösse;
* valmidus proovida uusi ideid;
* oma mõtlemise selgitamine.

Selline hindamine ei ole karistav ega sorteeriv, vaid kujundav ja suunav: see aitab õpilastel mõista, milline käitumine ja õppimisviis toetab nende arengut mõtleva matemaatikuna.

'''Mikrosammud:'''
* Kujunda lihtne rubriik: osalus, visadus, riskijulgus, selgitamine (+ sisuline täpsus).
* Tagasiside on olulisem kui hinne: too välja käitumised, mis viisid edasijõudmiseni.
* Hoia käitumuslikud tõendid ja sisuline saavutus lahus (kaks sammu).

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.13 Kuidas teostada kujundavat hindamist? ===
Traditsioonilises klassiruumis kasutatakse hindamist valdavalt õpetaja tööriistana: infot kogutakse selleks, et teha otsuseid hinnete kohta. Liljedahli uurimistöö näitab, et isegi kujundav hindamine jääb sageli õpetajakeskseks: see aitab õpetajal õpetamist kohandada, kuid õppija jääb passiivseks objektiks, kes ei mõista, kus ta parasjagu on ja kuhu ta liigub.

Mõtlevas klassiruumis nihkub kujundava hindamise fookus selgelt õppijale. Kujundavat hindamist kasutatakse selleks, et aidata õpilastel:
* mõista, kus nad oma õppimises parasjagu on;
* näha, mida nad juba oskavad;
* teadvustada, mida nad veel ei oska ja kuhu edasi liikuda.

Liljedahli uurimistulemused näitavad, et kui õpilased saavad selge pildi oma õppimisest, suurenevad nende autonoomia ja kaasatus ning see võib viia ka mõõdetava akadeemilise edenemiseni (nt parema soorituseni testides).

Oluline on, et kujundav hindamine ei avaldu mõtlevas klassiruumis pideva testimise või punktide kogumisena. Selle asemel kasutatakse:
* vaatlusi rühmatöös;
* vestlusi õpilastega nende lahendusstrateegiate üle;
* visuaalset ja suulist tagasisidet;
* õppijate enda refleksioone.

Kujundav hindamine on seega õppimisprotsessi lahutamatu osa, mitte eraldi etapp tunni lõpus. See toetab mõtlemise püsimist ja aitab vältida olukorda, kus õpilased töötavad vaid „hinde nimel“.

'''Mikrosammud:'''
* Tee kogu klassiga 60–90-sekundilisi „vahepeatusi“: „Mis töötab, mis takistab?“
* Kasuta tahvlivaatlusi: näed kiiresti, kus klass on, ja saad vihjeid kohandada.
* Kasuta lõpus väljumisküsimust (''exit prompt''): „Üks strateegia, mida kasutasin / mida proovin järgmisel korral“.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.14 Kuidas hinnatakse õpitulemusi? ===
Liljedahl seob mõtleva klassiruumi hindamispraktika laiemate suundumustega hariduses, eeskätt '''tõenduspõhise hindamisega'''. Selle lähenemise keskmes ei ole punktide kogumine, vaid tõendid selle kohta, mida õppija tegelikult oskab ja mõistab. Mõtlevas klassiruumis põhinevad hinded kogutud tõenditel:
* õpilaste töödel ja lahendustel;
* aruteludes ilmnenud mõtlemisel;
* kujundava hindamise käigus kogutud tähelepanekutel.

Oluline erinevus tavapärasest hindamisest seisneb selles, et hinnangud ei sünni üksikutest „hindamissündmustest“, vaid ajapikku kogunenud pildist õppija arengust. See vähendab juhuslikkust ja stressi ning toetab õppija enesetõhusust.

Liljedahl rõhutab, et hindamine peab olema tihedalt seotud kujundava hindamisega: hindamiseks kasutatav info peab olema õppijale nähtav ja arusaadav. Hinne ei ole siis üllatus ega karistus, vaid loogiline kokkuvõte sellest, mida õppija on juba näidanud.

Selline lähenemine toetab mõtleva klassiruumi keskseid väärtusi: see suunab õpilasi keskenduma õppimisele ja mõtlemisele, mitte punktide jahtimisele, ning aitab kujundada vastutustunnet oma õppimise eest.

'''Mikrosammud:'''
* Hinda standardipõhiselt: kirjelda selgelt, millist mõtlemist või oskust tõendatakse.
* Viimane (küpsem) tõend loeb kõige rohkem ja „uuesti tõendamine“ on lubatud.
* Hoia hinnang (saavutus) ja tagasiside (järgmine samm) lahus.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.15 Kokkuvõte: Liljedahli neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamisel ===
Peter Liljedahli ''Building Thinking Classrooms'' raamistik koondab neliteist omavahel seotud praktikat, mis põhinevad 15 aasta pikkusel empiirilisel uurimistööl ja mille ühine eesmärk on maksimeerida õppijate mõtlemist matemaatikatunnis. Praktikad ei ole eraldiseisvad võtted, vaid moodustavad tervikliku süsteemi, kus muutused klassiruumi füüsilises keskkonnas, sotsiaalsetes normides, õpetaja rollis ja hindamises toetavad üksteist.

Raamistiku alguspraktikad keskenduvad mõtlemist käivitavate tingimuste loomisele: sobiva ülesandetüübi valik, juhuslikud rühmad ning vertikaalsete ja mittepüsivate kirjutuspindade kasutamine muudavad õppijate käitumist ja ootusi. Järgmised praktikad kujundavad klassiruumi normid, kus pingutus, eksimine ja koostöö on väärtustatud ning õpetaja roll nihkub seletajalt mõtlemise orkestreerijaks. Õpetaja sekkub teadlikult ajastuse, küsimuste ja ootuste kaudu, et hoida õppijad aktiivselt mõtlemas.

Raamistiku viimased praktikad (12–14) seovad mõtlemise hindamise ja tagasisidega. Liljedahl rõhutab, et mõtleva klassiruumi kestlikkus sõltub sellest, mida hinnatakse, kuidas kujundavat hindamist kasutatakse ja mille eest hindeid pannakse. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid, taastoodab see pealiskaudset õppimist. Kui hinnatakse pingutust, strateegilist mõtlemist ja arusaamise arengut, toetab hindamine otseselt mõtlemise kultuuri.

Kokkuvõtvalt pakuvad Liljedahli neliteist praktikat teaduspõhist ja praktilist raamistikku, mis aitab õpetajatel liikuda protseduurikeskselt õpetamiselt mõtlemist väärtustava ja õppijat aktiveeriva klassiruumi suunas. LAHEMATE kontekstis loovad need praktikad selge orientiiri koolikatsetuste kavandamiseks, õpetajate professionaalseks refleksiooniks ning mõtleva matemaatikakultuuri järkjärguliseks juurutamiseks.

== Viited ==
* Csikszentmihalyi, M. (1990). ''Flow: The Psychology of Optimal Experience''. New York: Harper &amp; Row.
* Liljedahl, P. (2020). ''Building Thinking Classrooms in Mathematics, Grades K–12: 14 Teaching Practices for Enhancing Learning''. Thousand Oaks, CA: Corwin.
* Liljedahl, P., &amp; Allen, D. (2013). Mathematical discovery: Studenting. [TÄPSUSTADA]

== Veebiallikad ==
* Liljedahl, P. Kaarditrikid: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanded: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanne „New School Schedule“: [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf PDF]
* Nguyen, F. Promoting thinking tasks with VNPS tools. Wipebook: [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU wipebook.com]
* Soo, A. (2023). Building Thinking Classrooms: peatükkide 5, 6 ja 8 refleksioonid. Ajaveeb: [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ ptk 5], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ ptk 6], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ ptk 8]
* McGowan, F. (2021). Thinking Classrooms Challenge: In Flow. Ajaveeb: [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ findingtheprocess.wordpress.com]
* Apple Education. Õpetaja MK lugu: [https://education.apple.com/story/250014232 education.apple.com]
* Ülesannete kogud: [http://nrich.maths.org NRICH], [http://youcubed.org YouCubed], [http://illuminations.nctm.org Illuminations (NCTM)]

[[Kategooria:LAHEMATE]]
[[Kategooria:Probleemilahendus]]</text>
      <sha1>26vleaiz0jhppchgf655ip5l1texmn3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20370</id>
      <parentid>20369</parentid>
      <timestamp>2026-10-08T14:42:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-54154-57</username>
        <id>3191</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5.1 Neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamiseks */</comment>
      <origin>20370</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="58030" sha1="0sda7pmr8untxn6z1vkdogm0zk9g6at" xml:space="preserve">Peter Liljedahli metoodika põhineb tema aastatepikkusel teadustööl ja tunnivaatluste süstemaatilisel analüüsil. Need veensid teda, et enamikus vaadeldud matemaatikatundides ei toetata õpilaste mõtlemist piisavalt. Ta väidab, et enamik õpilasi ei tegele tunnis ei mõtlemise ega õppimisega (neist esimene on viimase vältimatu eeldus), vaid hoopis '''õpilasena käitumise''' (''studenting'') muude vormidega. ''Studenting'' on Darien Allani (2017) välja pakutud termin, mis tähistab kõiki antud õpikeskkonnas õpilaseks olemisega seotud tegevusi, mille hulka kuulub muu hulgas ka õppimine. Allan pakub oma empiiriliste uuringute põhjal välja viis peamist õpilasetsemise vormi:
* '''viilimine''' (''slacking''): õpilased ignoreerivad täielikult õpetaja antud ülesandeid ja tegelevad millegi muuga, nt nutitelefonis toimetamisega, teiste &quot;viilijatega&quot; suhtlemisega või lihtsalt mittemidagitegemisega;
* '''venitamine''' (''stalling''): õpiülesandega tegelemise edasilükkamine, kasutades ettekäändena legitiimseid asendustegevusi, nagu pliiatsi teritamine, kotist asjade otsimine või WC-s käimine;
* '''teesklemine''' (''faking''): näiliselt õpiülesandega tegelemine (tahvli või õpiku „uurimine“, mõtliku näo tegemine), kuid tegelikult ülesande lahendamise vältimine;
* '''matkimine''' (''mimicking''): ülesandega mehaaniliselt tegelemine, kopeerides õpetaja eelnevat näidislahendust rida-realt, kuid ilma aktiivse mõttetegevuse ja mõistmiseta;
* '''katsetamine''' (''trying it on their own''): iseseisev pingutamine ülesande lahendamiseks.

Liljedahl väidab, et üksnes neist viimasega kaasneb mõtlemine ja et sadades tema vaadeldud matemaatikatundides tegeles „mõtlemisvabade“ ''studenting'' vormidega 75% õpilastest peaaegu kogu tunni jooksul. Lahendusena on Liljedahl oma uuringute tulemusena sõnastanud 14 toimivat didaktilist praktikat (sisuliselt on need heuristikud õpetajale), mis aitavad luua mõtlemist toetava õpikeskkonna:
# '''Milliseid ülesandeid me õpilastele anname?''' Alustada tuleks aine(kava)ga vaid kaudselt seotud elulistest ja mõtlema innustavatest küsimustest ning seejärel liikuda pisitasa matemaatilisemate mõtlemisülesannete juurde.
# '''Kuidas me õpilasi rühmitame?''' Juhuslikult kokku loositud, iga kord uued rühmad toimivad paremini ja innustavad õpilasi rühma ühistegevusse panustama.
# '''Kus õpilased õpivad?''' Õpilaste mõtlemist ja koostööd on lihtsam käivitada, kui nad seisavad vertikaalsete kirjutamispindade ees, millelt kirjapandut saab kustutada (nt pabertahvlid, valged markertahvlid, interaktiivsed ekraanid).
# '''Milline on füüsiline õpikeskkond klassis?''' Ridadesse joondatud, õpetaja suunas vaatavad pingiread toovad kaasa passiivse õppimise. Klassi mööbel peab võimaldama ümberpaigutamist ja rühmatööks vaba ruumi loomist, eelkõige seinte ääres.
# '''Kuidas vastatakse õpilaste küsimustele?''' Tavatundides on 90% õpilaste küsimustest kas pelgalt õpetajaga muul teemal suhtlemiseks, kuna ta satub lähedusse (nn ''proximity questions''), või kiire tagasiside saamiseks („Kas see on õige?“). Need peatavad õpiülesande üle mõtlemise. Õpilasi peaks suunama esitama hoopis mõtlemist soodustavaid küsimusi (nn ''keep-thinking'' küsimused).
# '''Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid?''' Õpilaste mõtlemist aktiveerivad ülesanded, mis antakse pigem tunni alguses kui lõpus, pigem suurel ekraanil kui õpikus, pigem suuliselt kui kirjalikult.
# '''Millist kodutööd antakse?''' Et õpilased ei tajuks kodutööd kui õpetaja jaoks kontrolli eesmärgil tehtavat tüütut kohustust, tuleks anda selliseid kodutöid, mis inspireerivad kodus edasi mõtlema ja oma lahenduste tulemuslikkust hindama.
# '''Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat?''' Õppijate ennastjuhtivust saab suurendada nii eespool kirjeldatud rühmatööde, arutelude ja teistmoodi kodutöödega kui ka kaaslaste vaatlemise, neilt ideede korjamise ja neile tagasiside andmisega.
# '''Kuidas toestada õppimist?''' Vihjed, näited ja soovitused aitavad hoida õppijaid personaliseeritud „kulgemisvööndis“ (''flow zone'', vt Csikszentmihalyi, 1990) ja vältida õppimise muutumist liiga lihtsaks või liiga raskeks.
# '''Kuidas ühendada õpitut?''' Eri ülesannete kaudu õpitu koondamine iga õpilase peas ühtseks tervikuks on konstruktivistliku õpikäsituse üks nurgakive ja suur väljakutse õpetajale.
# '''Kuidas õpilased teevad märkmeid?''' Õpetaja jutu mehaanilise konspekteerimise asemel tuleb õpilasi õpetada ise oma mõttetööst kokkuvõtteid visandama ja visandeid täiustama.
# '''Mida hinnatakse?''' Lisaks ainekavas kirjas olevatele õpitulemustele tuleks hindamise objektiks võtta ka oskused, mida mõtlemist soodustavas tunnis väärtustatakse, nt püsivus, koostöö ja loovus.
# '''Kuidas teostada kujundavat hindamist?''' Õpilastele antakse mitmekülgset tagasisidet mitte üksnes nende püüdlikkuse ja aktiivsuse kohta, vaid ka selle kohta, kuidas nad seni on toime tulnud ja mida tuleks edasi teha.
# '''Kuidas hinnatakse õpitulemusi?''' Pigem sarnaselt kujundava hindamisega (pakkudes õpilastele tagasisidet edasimõtlemiseks), mitte lõpliku kohtuotsusena, kuid siiski riikliku õppekava õpitulemustest lähtudes.

Vaatleme nüüd lähemalt neid neljateistkümmet &quot;optimaalset/toimivat&quot; praktikat (ehk didaktilist heuristikut õpetajale) koos praktiliste näidetega.

== 5.1 Neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamiseks ==

=== 5.1.1 Milliseid ülesandeid me õpilastele anname? ===
Oma raamatus „Building Thinking Classrooms“ (2020) toob Liljedahl alustuseks näite probleemülesandest, mille autor on Lewis Carroll: ''kui kuus kassi püüavad kuue minuti jooksul kuus rotti, siis mitut kassi oleks vaja, et püüda 50 minuti jooksul 100 rotti?'' Selle kontekst köidab õpilasi, vastus ei ole ilmselge ning lahendamiseks pole vaja keerulist matemaatikat. Õpilastele võiks meeldida vaielda erinevate vastuste üle, milleni nad jõuavad.

Eksamiks õppides lahendavad paljud „tublid“ õpilased suurel hulgal ülesandeid, nii et õppekavale vastavad tüüplahendused muutuvad nende jaoks rutiinseks ja nende lahendamiseks pole enam mõtlemist tarvis – piisab mehaanilisest matkimisest. Eksamil (ja elus või hilisemates õpingutes) võib aga suure tõenäosusega ette tulla probleeme, mille lahendamine eeldab mitterutiinseid lahendusi, näiteks matemaatika eri valdkondadest või teistest õppeainetest pärinevate teadmiste kombineerimist. Just selliseid probleemülesandeid soovitab Liljedahl matemaatilise mõtlemise harjutamiseks kasutada juba õppeprotsessi käigus. Ta jaotab head probleemülesanded kolme kategooriasse.

'''1) Köitvad nuputamisülesanded''', mis lausa meelitavad inimesi lustiga kaasa mõtlema. Õpikutes esineb sedalaadi ülesandeid pigem harva, kuid mujal (nt ajalehtede nupunurkades, sotsiaalmeedias, Känguru võistlusel, e-rehkenduses) on neid küllaldaselt. Liljedahl toob neli näidet kooliastmete kaupa:
* ''I kooliaste:'' mitu ruutu on pildil?
* ''II kooliaste:'' kui ostad videomängu 10 dollariga, müüd selle 20 dollariga, ostad taas tagasi 30 dollariga ja müüd uuesti 40 dollariga, siis kui palju raha sa lõpuks teenisid (või kaotasid)?
* ''III kooliaste:'' kui sul on ainult kaks liivakella (üks 4-minutiline ja teine 7-minutiline), kas saaksid nende abil aega mõõtes keeta oma vanaemale täpselt 9 minutit keedetud muna? Kui saab, siis kui kaua peab vanaema ootama muna valmissaamist?
* ''Gümnaasiumiaste:'' ekstsentriline daam broneeris kolm kõrvutiasuvat hotellituba ja lubas ööbida igal ööl toas, mis asub eelmisel ööl kasutatud toa kõrval. Vastuvõtus töötav John avastas, et tubade eest maksmiseks kasutatud krediitkaart ei toimi. Kiire töötempo tõttu on Johnil päeva jooksul aega vaid korraks minna ülakorrusele ja koputada ühele kolmest uksest, lootes daami leida ja maksetõrke ära klaarida. Mitu päeva tal kulub, et kindlasti daamiga kohtuda? Aga kui daam oleks broneerinud hoopis 4 või 5 tuba? Või kui ta broneeris 17 tuba 30 päevaks – kas Johnil oleks lootust daam tabada enne, kui too kuu möödudes hotellist lahkub?

'''2) Kaarditrikid''', mis põhinevad matemaatikal, mitte silmapettel ega käteosavusel. Selliste trikkide videosalvestusi on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]

'''3) Rehkendamisülesanded''', mis on võetud elust enesest ja kõnetavad seetõttu õpilasi. Sellise ülesande näitena toob Liljedahl loo sõpruskonna suusareisist, milleks on pikalt raha kogutud. Allpool olevas tabelis on näha iga rühmaliikme kogutud raha ja kavandatud kulud. Sõbrad on otsustanud, et kogutud raha kulutatakse viimase sendini üksnes kavandatud otstarbeks ja keegi ei tohi reisilt maha jääda (isegi kui mõni maksab rohkem, kui tal endal kulub). Kas raha on kogutud piisavalt? Kui ei, siis kes peaks juurde maksma ja kui palju? Selliseid rehkendamisülesandeid on Liljedahl avaldanud oma veebilehel suuremas koguses koos juhendiga, kuidas neid ise koostada: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Tabel 1. Sõpruskonna suusareisi jaoks kogutud raha ja kavandatud kulutuste koond
! Nimi !! Kogutud raha !! Suusavarustuse rent !! Suusalifti pilet !! Algaja suusakoolitus
|-
| Aleks || 75 || 20 || 40 || 40
|-
| Piret || 125 || 10 || 40 || 40
|-
| Terje || 50 || 30 || 40 || 0
|-
| Kevin || 10 || 40 || 40 || 40
|-
| Jaana || 25 || 0 || 40 || 0
|-
| Reta || 10 || 0 || 40 || 40
|-
| Taavi || 38 || 30 || 40 || 0
|-
| Sten || 22 || 40 || 40 || 40
|-
| Sonja || 200 || 20 || 40 || 0
|-
| Kaidi || 60 || 25 || 40 || 0
|}

Probleemülesannete koostamisel lähtub Liljedahl (nagu ka Boaler) '''„madala läve ja kõrge lae“''' disainipõhimõttest, lisades sellele veel kolmanda: '''„avatud keskpaiga“''' printsiibi. Viimane eeldab probleemülesandelt ühte õiget vastust, jättes avatuks ja paindlikuks selle vastuseni jõudmise viisi. Selliseid „avatud keskpaigaga“ ülesandeid esineb sagedamini nuputamisülesannete ja kaarditrikkide seas, samas kui Liljedahli stiilis rehkendamisülesannetel on üldjuhul ka õigeid vastuseid palju.

Õpetaja võib neid ülesandeid vaadates ohata, et need on küll haaravad, kuid ei aita saavutada õppekavas olevaid õpiväljundeid. Loogiline lahendus näib olevat mõtlemist toetavate tekstülesannete kohandamine selliseks, et nende lahendamisel tuleb paratamatult kasutada õpikuteadmisi käsiloleva peatüki ja õppekava osa kohta. Nii talitades ohverdaksime aga õpilaste mõtlemise arendamise ja kaasahaaratuse ning riskiksime muuta ülesannete lahendamise igavaks ja rutiinseks matkimiseks. Selle asemel soovitab Liljedahl muretseda vähem õppekava pärast ja keskenduda esmalt õpilaste mõtlemisele. See suurendab nende eneseusku oma matemaatikavõimetesse, positiivset suhtumist ja huvi õppeaine vastu, misjärel õppekavaga selgemalt seotud ülesannete lahendamine muutub oluliselt lihtsamaks ja võtab vähem aega.

Lisaks saab ka õpikuülesandeid kohandada nii, et need panevad õpilased mõtlema. Näitena esitab Liljedahl õpetaja dialoogi klassiga ruutkolmliikme tegurdamise teemal, alustades varem õpitud teadmisest:
* '''Õpetaja:''' Meenutame kaksliikmete korrutamist. Mis te saate, kui korrutate (x + 2)(x + 3)?
* '''Õpilased:''' (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
* '''Õpetaja:''' Aga kui ma alustaksin tagantpoolt ja mu vastus oleks x² + 7x + 6, mis arvud peaksid sel juhul olema mu algses küsimuses (x + □)(x + □)?

Liljedahli mõtleva klassiruumi lähenemises on matemaatika õppimise keskmes õpilase mõtlemine. Kui soovime, et õpilased mõtleksid, tuleb neile anda midagi, mille üle mõelda – selleks on eelkõige hästi valitud matemaatiline ülesanne. Samas rõhutab Liljedahl, et heast ülesandest üksi ei piisa. Ka väga hea probleemülesanne ei pruugi õpilasi mõtlema panna, kui klassiruumi töökorraldus, õpetaja tegevus ja õpilaste harjumused seda ei toeta. Seega on hea ülesanne mõtleva klassiruumi vajalik, kuid mitte piisav tingimus.

Kordame üle - Liljedahli kohaselt peab hea mõtlemisülesanne vastama kolmele kriteeriumile: 
* sellel on madal lävi (''low floor''), 
* kõrge lagi (''high ceiling'') ning 
* see sisaldab õpilase jaoks mingit uudsuse aspekti (''novelty'').

'''Madal lävi''' tähendab, et igal õpilasel peab olema võimalik ülesandega iseseisvalt pihta hakata. See ei tähenda, et ülesanne ise peab olema lihtne (madala keerukusastmega). Pigem peab ülesande alguses olema midagi sellist, millest ka nõrgemate eelteadmistega õpilane saab kinni haarata ja mille põhjal esimesi katsetusi teha, nuputama hakata. Liljedahl seostab madalat läve ka võrdsuse ja kaasatuse taotlusega matemaatikaõppes. Kui hariduse üldisem eesmärk on võrdsed võimalused (equity), siis õpetaja praktiline ülesanne klassiruumis on luua õpilastele juurdepääs (access) matemaatilisele tegevusele. Madal lävi on üks konkreetne viis selle saavutamiseks.

'''Kõrge lagi''' tähendab seevastu, et ülesanne peab pakkuma väljakutset ka tugevamatele õpilastele. Kõik õppijad peaksid mingil hetkel jõudma olukorda, kus lahendus ei ole enam ilmne ja tuleb päriselt mõelda. Oluline on siin ülesande raskusastme ja õpilase seniste teadmiste vahekord: eri õpilased jõuavad väljakutse lahenduseni eri ajal ja eri tasemel.
Sellega seostub produktiivse pingutuse (productive struggle) idee, mis on seotud ka Võgotski lähima arengu tsooni mõistega - õppimine on tulemuslikum siis kui õpetaja suudab õpilase tema mugavustsoonist arengu tsooni juhtida. Mõtlemine muutub eriti oluliseks siis, kui õpilane ei tea kohe, mida edasi teha. Sellises olukorras peab ta katsetama, püstitama oletusi, ebaõnnestuma, oma lähenemist muutma ja uuesti proovima. Eesmärk ei ole vältida olukorda, kus õpilane „jääb kinni“, vaid õpetada teda sellisest olukorrast edasi liikuma. Liljedahl rõhutab siiski, et produktiivse pingutuse tekkimiseks on oluline ka varasem eduelamus. Kui keeruline väljakutse järgneb õnnestumisele, jätkab õpilane suurema tõenäosusega pingutamist; kui mitu järjestikust ülesannet takerduvad ebaõnnestumisse, suureneb õpilase loobumise tõenäosus.

Kolmas hea ülesande tunnus on '''uudsus'''. Kui õpilane juba teab, millist algoritmi või varem õpitud lahendusviisi rakendada, võib ta selle lihtsalt ja ilma pingutava mõtlemiseta reprodutseerida. Autorite käsitluses algab mõtlemine eeskätt olukorras, kus lahendustee ei ole ette teada. Seetõttu peaks mõtlemisülesanne sisaldama õpilase jaoks midagi mitterutiinset: uut probleemi, uut konteksti, ebaharilikku kombinatsiooni või vajadust teadaolevaid teadmisi uuel viisil kasutada.

Need kolm omadust ei pea tingimata sisalduma ühes suures ja keerulises ülesandes. Sageli on otstarbekam koostada ülesannete jada, milles esimesed ülesanded võimaldavad kiiremini alustada ja kogeda edu ning järgnevad ülesanded suurendavad järk-järgult väljakutset. Samuti vajavad ka head ülesanded jätkuülesandeid ehk laiendusi (''extensions''). Mõtleva klassiruumi üks põhimõtteid on, et õpilane ei peaks jõudma seisundisse „olen valmis“: kui esialgne probleem on lahendatud, järgneb sellele uus küsimus või tingimus, mis nõuab mõtlemise jätkamist.

==== Õppekavalised ja õppekavavälised probleemülesanded ====

Liljedahl eristab “rikastatud ülesandeid” (''rich tasks'') ning nende kasutamist nii õppekavast lähtudes kui ka õppekavaväliselt. Rikastatud ülesanne nõuab mitmesuguste matemaatiliste teadmiste kasutamist ja nende kombineerimist probleemi lahendamiseks. Sama ülesanne võib olla ühe õpilasrühma jaoks õppekavaline (''curricular'') ja teise jaoks õppekavaväline (''non-curricular''), sõltuvalt sellest, kas selle lahendamiseks kasutatav matemaatika kuulub parajasti õpitava sisu hulka. Õppekavavälised on näiteks matemaatika olümpiaadi, Känguru võistluse ja ajakirjade nuputamisnurkades avaldatud ülesanded, aga ka mingis teises valdkonnas (nt programmeerimises, majandusstatistikas ja teadusuuringutes) esitatud põnevad nuputamisväljakutsed. 

Näiteks võiks siinkohal tuua nuputamisülesande, kus numbrid 1–9 tuleb paigutada astmete ja korrutistega avaldisse nii, et saadava murru väärtus oleks võimalikult suur. Õpilane võib alustada katse-eksituse meetodiga, kuid edasi tekivad küsimused selle kohta, kuidas muuta lugeja võimalikult suureks ja nimetaja võimalikult väikeseks, kuidas mõjutavad tulemust astmed ning milliseid arvukombinatsioone üldse tasub uurida. Sama ülesannet saab jätkata uue eesmärgiga, näiteks moodustada avaldis, mille väärtus oleks võimalikult lähedal ühele. Selline ülesannete jada illustreerib korraga madalat läve, kõrget lage, uudsust ja jätkuülesannete kasutamist. Mõtleva klassiruumi ülesanded võivad kasutada käelisi õppevahendeid (manipulatives) – näiteks täringuid, algebraklotse, murrukettaid, tasakaalumudeleid või ruumilisi kujundeid. Oluline pole aga taolise käekatasutava vahendi/objekti olemasolu iseenesest, vaid milleks seda kasutatakse.

[[Fail:Algebraklotsid.png|pisi|alt=Algebraklotsid|Algebraklotsid]]

==== Näidisülesanne algebraklotside abil lahendamiseks ==== 

Lahenda algebraklotside abil ja selgita oma lahendust teisele õpilasele: 
* (x+2)(x+3)=
* (x+4)(x-3)=
* (x-2)(x-4)=

==== Näidisülesanne kuue täringuga ====

[[Fail:Täringud.png|pisi|alt=Kuus täringut|Kuus täringut]]

# Milliseid mustreid märkad kui uurid täringu vastastahkudel olevaid väärtusi?
# Raputa peos 6 täringut ja aseta need siis üksteise otsa tornina. Kuidas saaks kiiresti arvutada kõigi nähaolevate tahkude silmade summa? Ja siis peidetud tahkude summa?
# Kas joonisel olevad täringud on kõik identsed? Mitu erinevat täringut on võimalik luua, kui lähtuda vastastahkude silmade reeglist? 


Liljedahl eristab kolme käelise õppevahendi kasutusviisi. 
* Õpilane võib mõelda antud õppevahendi üle, kui see ise on uurimisobjekt – näiteks saab uurida ja võrrelda eri liiki täringute vastastahkude arvude paiknemise seaduspärasusi. 
* Teiseks võib õpilane mõelda käelise õppevahendi abil, kasutades seda matemaatilise probleemi lahendamiseks. Näiteks saab väikestest kuupidest ehitada 3 × 3 × 3 kuubi ja uurida värvitud kuubi probleemi. 
* Kolmandaks saab õpilane esitada ja kommunikeerida oma mõtlemist käelise vahendi abil, näiteks kasutada algebraklotse oma lahenduskäigu selgitamiseks kaasõpilastele.

Käelised õppevahendid on seejuures matemaatiliste representatsioonide üks liik. Õppimise seisukohalt on oluline liikuda esemelise mudeli, pildi, kirjalike sümbolite, verbaalse esituse ja reaalse olukorra vahel. Seetõttu ei tohiks vahend asendada matemaatilist mõtlemist, vaid aidata luua seoseid eri representatsioonide vahel.

Ka siin on oluline õpetaja otsus, millal vahendit pakkuda. Mõnikord on käeline vahend ülesande lahutamatu osa ja õpetaja annab selle kõigile; teinekord võiksid erinevad vahendid olla lihtsalt õpilastele kättesaadavad ning õpilased ise otsustavad, kas ja millist neist kasutada.

Eriti huvitav on Liljedahl’i hoiatus visualiseerimise kohta. Kui soovitud õpitulemus on võime kujundit vaimusilmas ette kujutada, võib füüsilise mudeli pidev olemasolu hoopis visualiseerimise vajaduse kõrvaldada. Seetõttu võib õpetaja näiteks näidata kuupi ülesande selgitamisel, seejärel selle eemaldada ning anda selle uuesti ajutiselt rühmale, kellel on visualiseerimisega raskusi. Nii toetab mudel visualiseerimise kujunemist, mitte ei asenda seda.

Sarnane põhimõte kehtib digitehnoloogia kasutamise kohta mõtlemisülesannetes: tehnoloogia iseenesest ei muuda kehva ülesannet heaks. Animatsioonid, kalkulaatorid, GeoGebra, Desmos või programmeerimine võivad mõtlemist toetada, kuid ülesanne peab ikkagi käivitama mõtlemise, pakkuma piisavat väljakutset ja sisaldama uudsust.
Liljedahl eristab mõtleva klassiruumi kontekstis kolme tehnoloogia kasutusviisi: tehnoloogia kui arvutusvahend, uurimisvahend ja programmeerimisvahend:
* '''Arvutusvahendina''' võib tehnoloogia teha mahukaid arvutusi, joonestada või mõõta. Autorid soovitavad rühmatöös pigem ühte seadet rühma kohta, sest iga õpilase isiklik seade võib rühma koostööd killustada. Samal põhjusel soovitatakse olulised sisendid ja tehnoloogia abil saadud tulemused kanda ka rühma vertikaalsele kirjutuspinnale (VKP). Nii muutub tehnoloogia individuaalse seadme asemel rühma ühiseks töövahendiks.
* '''Uurimisvahendina''' võimaldab tehnoloogia kiiresti muuta parameetreid, jälgida tulemusi, püstitada oletusi ja neid kontrollida. Näiteks saab uurida parabooli muutumist ruutfunktsiooni kordajate muutmisel või statistiliste näitajate muutumist andmestiku muutmisel. Selline tegevus moodustab tsükli vaatlemine → oletuse püstitamine → kontrollimine, milles tehnoloogia võimaldab kiiresti koguda uusi näiteid ja kontrollida hüpoteese.
* '''Programmeerimisel''' muutub tehnoloogia ülesandest peaaegu lahutamatuks: õpilane kavandab algoritmi, katsetab seda, jälgib sisendite ja väljundite seoseid ning parandab vigu. Autorite järgi on programmeerimine juba olemuselt uurimuslik tegevus. Mõtleva klassiruumi puhul soovitatakse programmeerimiseks töötada paarides, kasutada ühte arvutit paari kohta ning ühendada arvutitöö VKP-iga, kus saab kavandada algoritmi, talletada oletusi ja nähtavaks teha lahenduskäiku.

LAHEMATE uuringuprojekti kontekstis on selle peatüki kõige olulisem sõnum, et Liljedahli lähenemist ei tohiks taandada üksnes mõnele silmatorkavale klassiruumi töövõttele, näiteks juhuslikele rühmadele või vertikaalsetele kirjutuspindadele. Mõtleva klassiruumi lähtekoht on sellise matemaatilise tegevuse kavandamine, mis tekitab vajaduse mõelda. Selleks peab ülesanne võimaldama kõigil alustada, kuid mitte võimaldama kõigil kohe lõpetada; õpilane peab mingil hetkel jõudma olukorda, kus tuttava algoritmi mehaanilisest rakendamisest ei piisa.

LAHEMATE õpetaja võiks seetõttu probleemülesande kavandamisel küsida vähemalt järgmisi küsimusi:
# Kas ülesandel on madal lävi? Kas kõik õpilased leiavad mõistliku viisi alustamiseks?
# Kas ülesandel on kõrge lagi? Kas ka tugevamad õpilased jõuavad punkti, kus nad peavad päriselt nuputama?
# Kas ülesanne on õpilaste jaoks piisavalt uudne? Või tunnevad nad kohe ära harjutatud algoritmi?
# Milline on järgmine samm? Millise jätkuülesande saab anda õpilasele, kes esimese probleemi lahendab?
# Kas käeline õppevahend või digitehnoloogia käivitab matemaatilist mõtlemist või asendab seda?
# Kas kasutatav vahend toetab rühma ühist mõtlemist ja matemaatilist suhtlemist (matemaatika keelendamist)?
# Millal tuleks käeline õppevahend eemaldada? Eesmärk ei ole muuta õpilast vahendist sõltuvaks, vaid aidata tal liikuda abstraktsema matemaatilise mõtlemise poole.

Seega pole Liljedahli mõtleva klassiruumi puhul keskne küsimus lihtsalt „'''Kas see on hea probleemülesanne?'''“, vaid pigem „'''Millist mõtlemist see ülesanne minu klassiruumis esile kutsub ning kuidas ülesande, käeliste vahendite ja töökorralduse kombinatsioon seda mõtlemist toetab?'''“ Just selles mõttes moodustavad ülesande omadused, õpetaja pedagoogilised valikud, rühmatöö korraldus, füüsilised ja digitaalsed vahendid ning produktiivse pingutuse toetamine ühe tervikliku süsteemi.


==== Kokkuvõte ====
Kokkuvõtteks soovitab Liljedahl alustada iga tundi mõtlemisülesannetega ja õpilaste kaasamise järel liikuda edasi ülesannete juurde, mille lahendamine eeldab õppekavale vastavate teadmiste rakendamist. Samas ei soovita ta õppekavale või õpikule vastavaid lahendusi õpilastele ette näidata, sest see lülitaks õpilased „mõtlemisrežiimist“ „matkimisrežiimi“.

'''Mikrosammud probleemülesannete koostamiseks mõtlemisruumi metoodikast lähtuvalt:'''
* Alusta 1–2 esimesel nädalal õppekavaväliste nuputamis- ja mõtlemisülesannetega (madal lävi, kõrge lagi). Alles õpilaste mõtlemisharjumuste tekkides liigu õppekavaga otsesemalt seotud ülesannete juurde.
* Vali ülesanded, millel on mitu lahendusviisi (joonista, koosta tabel, võrrand, arvuta).
* Väldi alguses töölehti: anna ülesanne suuliselt ja lase rühmadel ideid proovida.

'''Näidisülesanne:'''
* Koosta koolile [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf uus tunniplaan], kus iga teine reede on iseseisva õppe päev, kuid koolitundidele kuluvate minutite summa igas kahenädalases tsüklis (ja õppeaastas tervikuna) jääb samaks kui praegu.

Sama raamülesanne hoiab mõtlemist esiplaanil ka siis, kui selle sisu muutub hiljem õppekavaga seotuks.

=== 5.1.2 Kuidas me õpilasi rühmitame? ===
Loo silmanähtavalt juhuslikud kolmesed rühmad ja vaheta neid sageli. See murrab sotsiaalseid barjääre, suurendab teadmiste liikumist klassis ja tõstab iga õpilase valmisolekut panustada ühisesse mõtlemistegevusse.

'''Mikrosammud:'''
* Moodusta rühmad silmanähtavalt juhuslikult, kasutades nt kaardipakki, loosipulki või QR-koode.
* Vaheta rühmade koosseise sageli (igas tunnis või üle päeva), et vältida „püsirollide“ tekkimise ohtu.
* Hoia rühma suurus kolmeliikmelisena: see on piisav erinevate ideede tekkeks, kuid ei võimalda rühmaliikmetel mugavalt „pealtvaataja“ vaikivasse rolli taanduda.

'''Näide:''' õpetaja segab kaardipaki, jagab igale õpilasele ühe kaardi ja kutsub õpilased tahvlite juurde kolmeliikmelistesse rühmadesse kaardimastide või -väärtuste järgi. Algne kohmetus taandub kiiresti ja koostöö paraneb.

=== 5.1.3 Kus õpilased töötavad? ===
Õpilased seisavad püsti ja kirjutavad '''vertikaalsetele kustutatavatele pindadele''' (tahvlid, A1 paberlehed, aknaklaasid). Vertikaalsus tagab nähtavuse teistele õpilastele ja õpetajale, aga ka vastutuse. Kustutatavus julgustab uute ideedega katsetama ja uuesti proovima.

'''Mikrosammud tööpindade loomiseks:'''
* Varusta klass vertikaalsete kustutatavate pindadega (tahvlilehed, aknad).
* Anna üks marker rühma kohta: see sunnib rääkima ja tegija rolli vahetama.
* Iga rühm seisab. Istumiskohti kasutatakse alles tunni lõpu ühisarutelu faasis.

'''Näide:''' [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU Fawn Nguyeni kirjeldus] vertikaalsete pindade kasutamise kohta oma tundides.

&lt;!-- Joonis: Erinevate vertikaalsete kustutatavate pindade kasutamine mõtlemisruumis. --&gt;

=== 5.4 Milline on füüsiline õpikeskkond klassis? ===
Paiguta klassis mööbel nii, et õpilased ei vaataks kõik ühes suunas ettepoole, ning taga õpilaste vaba liikumine tahvlite ja rühmade vahel. Rühmadevaheline liikumisvõimalus toetab mõtlemist rohkem kui pingiridade „loengukeskkond“. Liljedahl nimetab traditsioonilise, tahvli suunas vaatavate pingiridadega õpikeskkonna lõhkumist &quot;''defronting''&quot;, mis eesti keeles võiks ehk olla &quot;esiküljetustamine&quot; või &quot;poodiumi kaotamine&quot;.  

'''Mikrosammud mööbli ümberpaigutamiseks:'''
* Nihuta lauad seinte äärde. Õpetaja domineeritav „klassiesine“ kaob ja fookus on rühmatöötahvlitel.
* Jäta rühmade ja pindade vahele vaba liikumisruumi, et õpilased saaksid käia üksteise ideid vaatamas.
* Hoia töövahendid (markerid, magnetid, mõõdulindid) seintel kättesaadavana.

'''Näide:''' vaata eelmist näidet Fawn Nguyeni klassiruumist.

=== 5.1.5 Kuidas vastata õpilaste küsimustele? ===
Erista kolme tüüpi küsimusi, mida õpilased küsivad:
* '''Lähedusküsimused''' (''proximity questions''), mida õpilane küsib lihtsalt õpetajaga suhtlemiseks, kuna õpetaja sattus füüsiliselt lähedale. Sedalaadi küsimustele antud vastuseid õpilane üldjuhul oma mõtlemisprotsessis ei kasuta. Liljedahl toob näite tüdrukust, kes õpetaja lähenedes peitis nutitelefoni taskusse ja küsis tähelepanu kõrvalejuhtimiseks: „Kas peame mitu vastust välja pakkuma või piisab ühest?“
* '''Mõtlemispausi küsimused''' (''stop-thinking questions''), mis peatavad mõtlemisprotsessi, nt „Miks me peame seda õppima?“ või „Kas see ülesanne võib tulla ka kontrolltöös/eksamil?“
* '''Mõtlemist toetavad küsimused''' (''keep-thinking questions''), millega õpilane soovib tagasisidet oma ideele või lahendusele, nt „Meil tekkis mõte proovida leida ka negatiivne lahendus, kas see oleks OK?“

Vasta ainult kolmandat liiki küsimustele, mis aitavad õpilasel edasi mõelda. Lihtsad mõtlemispausi tüüpi valideerimisküsimused stiilis „Kas see on õige?“ peaks õpetaja aitama ümber sõnastada mõtlemist toetavaks küsimuseks, nt „Kuidas sa kontrolliksid, et ise teada saada, kas lahendus on õige?“

'''Mikrosammud küsimustele vastamisel:'''
* Sõnasta reegel: vastan ainult „mõtle edasi“ küsimustele.
* „Kas see on õige?“ → „Kuidas saaksid seda kontrollida?“
* „Mida teha edasi?“ → „Mida te juba proovisite? Mis on järgmine väike samm?“

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ April Soo katsetused] mõtlemisruumi metoodika rakendamisel õpilaste küsimuste osas.

=== 5.1.6 Millal, kus ja kuidas esitatakse õpiülesandeid? ===
Internet on täis potentsiaalselt häid ülesandeid (e-Koolikott, Facebooki grupp „Õpetajalt õpetajale õppematerjalid“, [http://nrich.maths.org NRICH.maths.org] Inglismaal, [http://youcubed.org YouCubed.org] ja [http://illuminations.nctm.org ILLUMINATIONS.nctm.org] USA-s), kuid õpetajate kõige sagedasem mure on, kust leida sobivaid ülesandeid. Liljedahl usub, et õpetajad ei pea selle küsimusega silmas mitte niivõrd õppekavale vastavate ülesannete leidmist (mida käsitlesime eespool peatükis 5.1), vaid küsivad tegelikult hoopis: „Kust leiaksin ülesandeid, mis innustaksid mu õpilasi mõtlema ja probleeme lahendama?“

Lisaks ülesande sisule on oluline ka see, millal ja kuidas ülesanne õpilastele esitada (matemaatikahariduse uurijate konverentsil CERME on ''problem posing'' traditsiooniliselt üks populaarseid uurimisteemasid). Liljedahl soovitab anda ülesande kohe tunni alguses esimese 5 minuti jooksul ja kindlasti suuliselt, kui rühmad seisavad püsti õpetaja ümber. Liljedahli enda uuringute kohaselt käivitab suuliselt ja kohe tunni alguses esitatud ülesanne õpilaste mõtlemist oluliselt paremini kui ekraanilt või töövihikust antud ülesanne, sest see vähendab masinlikku kopeerimist ja loob eeldused mõtlemisprotsesside käivitumiseks.

Tavapärases matemaatikatunnis saab õpilane ülesande enamasti õpikust, töölehelt, ekraanilt või tahvlilt. ''Building Thinking Classrooms'' (BTC) uuringutes tekitas kõige vähem mõtlemist õpikust antud ülesanne. Liljedahli seletuse järgi on õpilastel õpikuülesannetega kujunenud tugev koolikultuuriline seos: neid tajutakse sageli kui ülesandeid, mida tuleb lahendada pärast seda, kui õpetaja on näidanud, kuidas seda tüüpi ülesannet lahendatakse. Nii võivad need muutuda pigem eeskuju jäljendamise kui iseseisva mõtlemise ülesanneteks.

Õpetajate kõige suuremaks väljakutseks BTC uuringutes osutus ülesande suuline esitamine. Õpetaja jutustab või kirjeldab probleemi, vajaduse korral kasutab žeste või lihtsat demonstratsiooni ning kirjutab tahvlile ainult need andmed, arvud, joonised või muud detailid, mida on raske meeles hoida. Oluline erinevus on siin selles, et andmed võib kirjutada, kuid tegevusjuhise võiks öelda suuliselt.

Liljedahl põhjendab suulise esitamise eelist mitmeti. Suuline kommunikatsioon on inimese jaoks loomulik ja õpilased kasutavad seda niikuinii rühmas omavahel suheldes. Veel olulisem on aga mõtleva klassiruumi sotsiaalne korraldus: ei ole vaja, et kõik õpilased saaksid kohe alguses ülesandest täpselt ühtemoodi aru. Piisab sellest, kui rühmas on piisavalt õpilasi, kes saavad tööga alustada; ülejäänud arusaamine kujuneb koostöös ja õpetaja jooksva toetuse kaudu.

See erineb tavapärasest õpetamisest, kus õpetaja püüab enne töö alustamist kõik võimalikud arusaamatused ennetada: ülesanne kirjutatakse välja, seletatakse suuliselt, näidatakse näide, kontrollitakse arusaamist ja vajaduse korral seletatakse uuesti. Liljedahl nimetab alternatiivi kujundlikult „tuletõrjuja lähenemiseks“ (firefighter approach): anna lühikesed suulised juhised, lase õpilastel tööle hakata ja lahenda arusaamatused siis, kui need tegelikult ilmnevad.

==== &quot;Suuline esitus&quot; ei tähenda üksnes suulist ====

Liljedahl ei väida, et õpilastele ei tohiks ülesande esitamisel mingeid juhiseid kirjalikult näidata. Eesmärk on pigem vähendada ülesande käivitamisel üleliigset informatsiooni ja kognitiivset koormust. Näiteks:
* andmetabel võib olla paberil;
* arvjada või muster võib olla tahvlil;
* geomeetriline joonis võib olla nähtav;
* olulised arvulised andmed võib üles kirjutada;
* kuid küsimus, probleem või tegevusjuhis antakse eelistatavalt suuliselt.

Kui mõtleva klassiruumi normid on juba kujunenud, võib hakata aeg-ajalt kasutama ka kirjalikke ülesandeid. Liljedahl soovitab seda eriti juhul, kui õpilasi on vaja harjutada tekstülesannete ja standardiseeritud testide jaoks. Ta eristab seega mõtleva klassiruumi ülesehitamist ja juba väljakujunenud mõtleva klassiruumi kasutamist. Esimese 3–4 nädala jooksul soovitab ta olla ülesannete esitamisel valdavalt suuline ning hiljem lisada järk-järgult ka tekstiliselt esitatud ülesandeid.

Kirjaliku ülesande puhul soovitab ta anda rühmale pigem väikese paberitüki vähese tühja ruumiga kui suure töölehe. Mõte on vältida olukorda, kus õpilased kinnitavad paberi vertikaalsele kustutatavale pinnale (VKP) ja hakkavad töötama paberil. Mõtleva klassiruumi jaoks on oluline säilitada kirjutamine ühisel kustutataval kirjutamispinnal, kus ideede muutmine ja vigade parandamine on lihtne ning nähtav.

==== Millal ülesannet anda? ====

BTC põhimõte on väga konkreetne: õpilased peaksid hakkama mõtlema tunni esimese viie minuti jooksul. Viis minutit ei tähenda tingimata aega koolikella helisemisest, vaid hetkest, mil õpetaja tegelikult tunni alustab. Selle taga on oluline pedagoogiline põhjendus. Mida kauem on õpilane tunni alguses passiivse teadmiste vastuvõtja rollis, seda raskem on tal hiljem üle minna aktiivse mõtleja ja teadmiste looja rolli. Seetõttu soovitab Liljedahl traditsioonilise skeemi (õpetaja seletab → näitab näiteid → õpilased harjutavad) asemel käivitada võimalikult kiiresti õpilaste eneste mõtlemine. See ei tähenda otsese õpetamise täielikku välistamist. Kui õpilasel on ülesande alustamiseks tõesti vaja uut teadmist, võib õpetaja seda õpetada. Kuid Liljedahl seab sellele provokatiivselt range piirangu: umbes viis minutit. Õpetada tuleks ainult nii palju, kui on vaja esimese ülesande alustamiseks. Siin muutub oluliseks ülesannete jada. Esimese ülesande lahendamisel avastatu võimaldab lahendada teist, teine valmistab ette kolmandat jne. Õpetaja ei pea seega enne töö alustamist õpetama kõike, mida läheb vaja jada kõige keerukama ülesande lahendamiseks.

==== Ära „ime mõtlemist ülesandest välja“ ====

Õpetajal on loomulik soov õpilaste edu kindlustada. Seetõttu kipume enne ülesande andmist vihjama, millist meetodit kasutada: „tee tabel“, „vii ühisele nimetajale“, „proovi tagurpidi töötada“ jne. Kõik need soovitused võivad olla matemaatiliselt õiged ja muuta lahendamise kiiremaks. Just selles seisnebki probleem: õpetaja on eemaldanud ülesandest selle koha, kus õpilane ise oleks pidanud mõtlema, takerduma, katsetama, vea tegema ja lõpuks strateegia leidma. Liljedahl kasutab selle kohta kujundit kurlingutreener (curling teacher): nagu kurlingumängus pühitakse kivi eest jää siledaks, eemaldab õpetaja õpilase teelt kõik võimalikud takistused. Mõtleva klassiruumi seisukohalt on aga just „konarlikud kohad“ sageli need, kus õppimine toimub.

Seetõttu soovitab Liljedahl õpetajal järgida põhimõtet: räägi alguses pigem vähem ja anna vajaduse korral hiljem vihjeid. Muide, Eesti esimeses matemaatika didaktika tekstis (R.Kallase “Mõistlik rehkendaja) sisaldub didaktiline printsiip: “Lapsed ei õpi kõnelema kui koolmeister vait olla ei mõista”. 

==== Uued mõisted ja terminoloogia tulevad pärast kogemust ====

Sama loogika kehtib matemaatilise terminoloogia kohta. Kui mõiste või nähtus on õpilastele varasemast tegevusest juba tuttav, võib õpetaja anda sellele tunni alguses nime: näiteks „seda nimetatakse välisnurgaks“. Kui aga õpilasel pole veel vastavat matemaatilist sõnavara, soovitab Liljedahl toimida vastupidises järjekorras: “kogemus → idee kujunemine → mõiste nimetamine”, mitte “termin → definitsioon → hilisem kogemus”. Ka see soovitus järgib juba Comeniuse poolt sõnastatud didaktilist printsiipi Claritas: õpetaja peaks selgitama abstraktset mõistet tuttava (kogetud) kujundi abil, nt “korrutamine on nagu ridade kaupa kivide müüri ladumine”. Õpilased vajavad võimalusi ise tähendust luua, mitte ainult õpetaja loodud tähendusi “importida”.

==== Kus ülesannet anda? ====

Liljedahli soovitus on, et ülesande käivitamise ajal ei istuks õpilased oma tavapärastel kohtadel. Nad peaksid seisma õpetaja lähedal vabas, suhteliselt tihedas grupis. BTC uuringutes oli erinevus suur: raamatus kirjeldatud tulemuste järgi oli istuvate õpilaste puhul õpetaja juttu nähtavalt jälgimas ligikaudu 50% õpilastest ning töö alustamisel esitati 10–15 täpsustavat küsimust. Õpetaja ümber seisvate õpilaste puhul oli nähtavalt haaratud umbes 90% ning täpsustavaid küsimusi tuli vaid umbes kolm. Liljedahl pakub mitu võimalikku seletust. Oma kohal istudes võib õpilane tunda end anonüümse ja „nähtamatuna“, eriti õpetajast kaugemal. Õpetaja lähedal seistes suureneb tähelepanu ning suhtlus muutub vähem „õpilastele rääkimiseks“ ja rohkem õpilastega suhtlemiseks. Lisaks lahendab see ühe praktilise probleemi: õpilased on juba püsti. Pärast lühikest ülesande käivitamist saab õpetaja moodustada juhuslikud rühmad ja suunata nad vertikaalsete tööpindade juurde.

Oluline on aga tegevuste järjekord: 1. õpilased kogunevad õpetaja juurde → 2. õpetaja annab ülesande → 3. moodustatakse juhuslikud rühmad → 4. rühmad lähevad tööpindade juurde.

Liljedahl tõdeb oma uuringute põhjal, et vastupidine järjekord ei toiminud hästi. Kui õpilased moodustasid kõigepealt rühmad ja läksid tahvlite juurde, haaras neid kohe uue rühma sotsiaalne dünaamika ning nad ei kuulanud enam ülesande juhiseid piisavalt tähelepanelikult.

==== Aga õpilane, kellel on raske suulist infot töödelda? ====

Liljedahl käsitleb pikemalt ka võimalikku vastuväidet: kas suulise ülesande eelistamine ei kahjusta õpilasi, kellel on raske suulisi juhiseid töödelda? Ta ei välista individuaalset tuge, aga soovitab esmalt jälgida, kuidas mõtleva klassiruumi keskkond õpilast toetab. Suuline informatsioon tuleb rühmas uuesti esile, kaasõpilased aitavad seda tõlgendada ning õpetaja saab vajaduse tekkimisel anda õpilasele lühema ja vahetuma individuaalse juhise. Vajaduse korral võib loomulikult kasutada ka kirjalikku tuge. Liljedahl kritiseerib siin ka lihtsustatud käsitlust õpistiilidest (visuaalne vs verbaalne stiil), mille osas on olnud kriitilised ka paljud teised teadlased (nt P.Kirschner: “Stop propagating the learning styles myth”). Eesmärk ei peaks olema anda igale õpilasele informatsiooni ainult tema eelistatud modaalsuses, vaid arendada suutlikkust toime tulla verbaalse, tekstilise, visuaalse ja muul kujul esitatud informatsiooniga.

Õpetaja ei pea enne ülesande alustamist tagama, et “kõik õpilased teavad täpselt, mida ja kuidas teha”. Vastupidi – mõtlemisülesande mõte ongi selles, et osa teadmisest, strateegiast ja arusaamisest sünniks alles tegevuse käigus. Seega on peatüki üks läbivaid ideid: õpetaja ülesanne ei ole muuta õpilase teed võimalikult siledaks, vaid kujundada keskkond, kus õpilane saab turvaliselt takerduda, katsetada, teistega arutada ja ise tähendust luua.


'''Mikrosammud ülesande andmiseks:'''
* Anna ülesanne 3–5 minuti jooksul pärast tunni algust.
* Esita ülesanne suuliselt, kui klass seisab õpetaja ümber ja kõigi tähelepanu on õpetajal. Alles seejärel suuna rühmad oma tahvlite juurde.
* Ära jaga õpilastele kohe töölehte ega näita ette lahendusi. Lase neil teha esimesed katsetused täiesti iseseisvalt.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.7 Milline on mõtlemisruumi sobiv kodutöö? ===
Liljedahli uuringud kinnitasid igale õpetajale tuttavat tõdemust: õpetaja ja õpilased saavad kodutöö eesmärgist ja vajalikkusest täiesti erinevalt aru. Õpetaja jaoks on tegu tunnis õpitud teadmiste rakendamisega kinnistamise eesmärgil, õpilaste jaoks aga puuriga, milles nad peavad mingil arusaamatul põhjusel istuma, selle asemel et midagi huvitavat teha. Õpetajate kinnitusel teevad kodutöid kohusetundlikult peamiselt tublid õpilased, kes seda tegelikult ei vajakski. Ülejäänud asendavad kodutööd tehes mõtlemise õpilasetsemise halbade praktikatega (jätavad tegemata, kirjutavad pinginaabrilt maha, lasevad emal või õel enda eest ära teha).

Liljedahl soovitab mõtlemisruumi metoodika järgijatel kodused ülesanded ümber mõtestada, et need poleks õpilaste jaoks arusaamatu ja tüütu kohustus, mida tehakse üksnes halva hinde hirmus. Nimeta kodutöö ümber '''enesehindamiseks''' ja esita kodutöö küsimused stiilis „Kas ma olen õigesti aru saanud?“. Õpilastes tuleks kujundada arusaam, et kodutöö on vabatahtlik võimalus iseennast testida, mitte õpetajale punktide kogumine.

'''Mikrosammud mõtlemist toetava kodutöö andmiseks:'''
* Nimeta kodutöö ümber enesehindamiseks ja esita 3–5 lühikest kontrollülesannet.
* Ära hinda kodutöid. Kasuta neid järjekindlalt õpilaste enesehindamiseks.
* Alusta järgmist tundi 3-minutise aruteluga teemal „Mille peale ma tulin, kui ennast kodutööga hindasin?“

=== 5.1.8 Kuidas toetatakse õpilaste autonoomiat? ===
Kontrolli kaotamine klassis toimuva üle on üks esimesi hirme, mis õpetajal mõtlemisruumi metoodikat esmakordselt katsetades tekib. Lahendus on ilmne: õpetaja peab suutma muuta õppijad ise oma õppimise eest vastutavaks, mis tähendab õpilaste autonoomia samm-sammulist kasvatamist. Liljedahl soovitab selleks suunata õpilasi panustama kogu klassi ühise teadmuspanga loomisse, julgustades neid vaatama teiste rühmade tahvleid (lahendusi kopeerimata, kuid eri lahendusi võrreldes) ja küsima teistelt rühmadelt vihjeid, jätkates seejärel siiski iseseisvalt oma lahendusega. '''Autonoomia''' on õpilase oskus hoida oma mõtlemist aktiivsena ka siis, kui õpetaja pole kõrval.

'''Mikrosammud õpilase autonoomia kujundamiseks:'''
* Kehtesta tava: enne õpetaja poole pöördumist küsi nõu kahelt teiselt rühmalt.
* Julgusta õpilasi vaatama teisi tahvleid. Ideede liikumine ja jagamine olgu soositud.
* Harjuta „väikeste sammude“ mõtteviisi: õpilased võiksid tegeleda korraga vaid ühe uue ideega.

'''Näide:''' õpetaja [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ April Soo] ajaveebist.

=== 5.1.9 Kuidas toestada õppimist? ===
Matemaatika õpetamisel on õpetaja jaoks suurim väljakutse õpilaste ebaühtlane algtase ja matemaatiline võimekus. Seetõttu muutub sünkroonses tempos toimuv õppetöö osa õpilaste jaoks liiga aeglaseks ja igavaks, samas kui teiste jaoks kihutab õpetaja edasi liiga kiiresti. Mõtlemisruumi metoodika puhul ei pea kõik rühmad tegema samu asju ühtlases tempos. Liljedahl soovitab liikuda '''asünkroonselt''' (eri rühmad eri kiirusega), andes vajaduse korral väikseid '''vihjeid''' (kui mõni aeglasem rühm juhtub „kinni jääma“) ja ülesande '''laiendusi''' (kui mõni kiirem rühm sai töö varakult valmis), et hoida kõiki „voos“.

„Voo“ ehk „kulgemise“ mõiste tõi pedagoogikasse Ungari juurtega Ameerika teadlane Mihaly Csikszentmihalyi, kelle optimaalse kogemuse teooria võtab kõige paremini kokku allolev joonis. Kui ülesanne pakub õpilase võimekusega võrreldes liiga suurt väljakutset, langeb õpilane '''ärevuse''' tsooni. Kui aga väljakutse on võimeka õppija jaoks liiga kerge, langeb ta '''igavuse''' tsooni. Optimaalse (õppimis)kogemuse tagab pidev viibimine '''voo tsoonis''' (''flow zone''), kus järjest kasvav ülesannete keerukus vastab õpilase pisitasa kasvavale võimekusele.

&lt;!-- Joonis: Voo tsoon (flow) Csikszentmihalyi optimaalse kogemuse teoorias. Teljed: väljakutse (challenge) ja oskus (skill); tsoonid: ärevus (anxiety), voog (flow), igavus (boredom). --&gt;

'''Mikrosammud vihjete ja laienduste pakkumiseks:'''
* Anna väikseid vihjeid (kas uuritava probleemi keerukuse vähendamiseks või õpilase võimekuse kasvatamiseks), aga kindlasti mitte valmis lahendust.
* Varakult lõpetajad saavad laiendusi („Mis siis, kui…?“, „Üldista!“).
* Ära peata kogu klassi ühe rühma pärast, lase rütmidel erineda.

'''Näide:''' õpetaja [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ Frank McGowani] ajaveebist: kuidas mõtlemisruumiga matemaatikatunnis tekib õpilastel keskväärtust ja mediaani õppides „teadmuse voog“ ning õpetaja ei ole enam pudelikael.

=== 5.1.10 Kuidas tundi kokku võtta? ===
Kuna mõtlemisruumi metoodikat järgivas tunnis liiguvad õpilased ja rühmad oma probleemilahenduses sageli erinevas tempos (asünkroonselt), on seda olulisem jõuda tunni lõpus ühiste lõpptulemusteni. Õpetajal on sageli kiusatus teha selline kokkuvõte perfektsel viisil pigem oma teadmistest (või õpiku käsitlusest) lähtudes. Seda nimetatakse „tippu koondumiseks“ (''leveling to the top''). Nii toimides ignoreeriks õpetaja aga õpilaste rühmatöö tulemusi, ja Liljedahl hoiatab, et see oleks viga. Seetõttu soovitab Liljedahl hoopis vastupidist strateegiat: '''konsolideerida lõpptulemused alt üles''', alustades rühmatöödest nii heade lahenduste ja ideede kui ka lünkade väljanoppimisega.

'''Mikrosammud tunni kokkuvõtmiseks:'''
* Tee koos kõigi õpilastega „galeriituur“ (keegi ei istu), et vaadata üle kõigi rühmade tahvlid ja valida neist 3–5, mis jutustavad antud probleemi lahendusest kõige huvitavama „matemaatilise loo“.
* Ära lase õpilastel endil oma ideid tutvustama hakata – nüüd on õpetaja kord tõlgendada.
* Kokkuvõtva arutelu alguses pööra rohkem tähelepanu ideede päritolule ja kujunemisele, lõpupoole keskendu lõpptulemusele.
* Sõnasta koos õpilastega korrektse matemaatilise sõnastusega ühine lahendus alles arutelu lõpus (terminid, näited, vastunäited).
* Lase rühmadel oma sõnadega kirja panna, „mida igaüks peaks sellest arutelust meeles pidama“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.11 Kuidas õpilased teevad märkmeid? ===
Märkmete tegemine tunni ajal on ilmselt üks vanimaid praktikaid, kuid paraku kuulub enamik õpilaste märkmetest kategooriasse „õpetaja kirjutas tahvlile, mina kopeerisin selle vihikusse“. See tegelikult takistab õpilastel õpetaja jutule keskendumast ja kaasa mõtlemast. Liljedahli uuringutes selgus, et õpilaste märkmete kvaliteet ja tähendusrikkus kasvas hüppeliselt, kui nad ei pidanud õpetaja juttu reaalajas konspekteerima, vaid said rahulikult kirjutada '''„hajameelsele iseendale tulevikus“''', püüdes aidata endal olulisi asju meeles pidada. Selliseid märkmeid on sageli mõistlikum teha mitte lineaarse narratiivi, vaid mõistekaardi, diagrammi (Venni diagramm, kalaluu), skeemi või spikri kujul.

'''Mikrosammud kasulike märkmete tegemiseks:'''
* Märkmed kirjutatakse alles pärast tunni kokkuvõtet, mitte probleemi lahendamise ajal.
* Tehakse valik kõige olulisemast: foto oma tööst või tahvli osast ja kolmelauseline kokkuvõte.
* Lisatakse „üks toimiv näide“ ja „üks küsimus endale edasimõtlemiseks“.

'''Näide:''' [https://education.apple.com/story/250014232 Õpetaja MK] ajaveebist.

=== 5.1.12 Mida hinnatakse? ===
Mõtlevas klassiruumis ei ole hindamine pelgalt õppimise „mõõtmise“ vahend, vaid kasulik tagasiside õppijatele selle kohta, mida me tegelikult väärtustame. Liljedahli uurimistöö näitab, et õpetajad oskavad sageli sõnastada omadusi, mida nad soovivad oma õpilastes näha (nt visadus, riskijulgus, koostööoskus, kannatlikkus, autonoomia, enesetõhusus), kuid klassiruumi hindamispraktikad ei toeta nende omaduste kujunemist. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid ja lõpptulemusi, hakkavad õpilased väärtustama just neid ning loobuvad pingutusest ja mõtlemisest, kui lahendus pole kohe käes.

Liljedahl rõhutab põhimõtet: '''hinda seda, mida väärtustad''' (''evaluate what you value''). Kui me väärtustame mõtlemist, peame ka mõtlemist hindama. See ei tähenda, et akadeemilised õpitulemused kaotaksid tähtsuse, vaid et nende kõrvale tuleb teadlikult tuua ka need protsessilised ja dispositsioonilised aspektid, mis mõtlemist tegelikult võimaldavad. Näiteks visadust ei saa kujundada, kui seda ei märgata ega väärtustata, ja koostöö ei arene, kui seda ei peeta oluliseks.

Oluline on ka see, kuidas me neid väärtusi hindame. Liljedahli uuringud näitavad, et kõige tõhusamaks osutusid lihtsad ja läbipaistvad hindamisrubriigid, mis keskendusid järgmistele aspektidele:
* pingutus ja järjepidevus;
* panus rühmatöösse;
* valmidus proovida uusi ideid;
* oma mõtlemise selgitamine.

Selline hindamine ei ole karistav ega sorteeriv, vaid kujundav ja suunav: see aitab õpilastel mõista, milline käitumine ja õppimisviis toetab nende arengut mõtleva matemaatikuna.

'''Mikrosammud:'''
* Kujunda lihtne rubriik: osalus, visadus, riskijulgus, selgitamine (+ sisuline täpsus).
* Tagasiside on olulisem kui hinne: too välja käitumised, mis viisid edasijõudmiseni.
* Hoia käitumuslikud tõendid ja sisuline saavutus lahus (kaks sammu).

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.13 Kuidas teostada kujundavat hindamist? ===
Traditsioonilises klassiruumis kasutatakse hindamist valdavalt õpetaja tööriistana: infot kogutakse selleks, et teha otsuseid hinnete kohta. Liljedahli uurimistöö näitab, et isegi kujundav hindamine jääb sageli õpetajakeskseks: see aitab õpetajal õpetamist kohandada, kuid õppija jääb passiivseks objektiks, kes ei mõista, kus ta parasjagu on ja kuhu ta liigub.

Mõtlevas klassiruumis nihkub kujundava hindamise fookus selgelt õppijale. Kujundavat hindamist kasutatakse selleks, et aidata õpilastel:
* mõista, kus nad oma õppimises parasjagu on;
* näha, mida nad juba oskavad;
* teadvustada, mida nad veel ei oska ja kuhu edasi liikuda.

Liljedahli uurimistulemused näitavad, et kui õpilased saavad selge pildi oma õppimisest, suurenevad nende autonoomia ja kaasatus ning see võib viia ka mõõdetava akadeemilise edenemiseni (nt parema soorituseni testides).

Oluline on, et kujundav hindamine ei avaldu mõtlevas klassiruumis pideva testimise või punktide kogumisena. Selle asemel kasutatakse:
* vaatlusi rühmatöös;
* vestlusi õpilastega nende lahendusstrateegiate üle;
* visuaalset ja suulist tagasisidet;
* õppijate enda refleksioone.

Kujundav hindamine on seega õppimisprotsessi lahutamatu osa, mitte eraldi etapp tunni lõpus. See toetab mõtlemise püsimist ja aitab vältida olukorda, kus õpilased töötavad vaid „hinde nimel“.

'''Mikrosammud:'''
* Tee kogu klassiga 60–90-sekundilisi „vahepeatusi“: „Mis töötab, mis takistab?“
* Kasuta tahvlivaatlusi: näed kiiresti, kus klass on, ja saad vihjeid kohandada.
* Kasuta lõpus väljumisküsimust (''exit prompt''): „Üks strateegia, mida kasutasin / mida proovin järgmisel korral“.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.14 Kuidas hinnatakse õpitulemusi? ===
Liljedahl seob mõtleva klassiruumi hindamispraktika laiemate suundumustega hariduses, eeskätt '''tõenduspõhise hindamisega'''. Selle lähenemise keskmes ei ole punktide kogumine, vaid tõendid selle kohta, mida õppija tegelikult oskab ja mõistab. Mõtlevas klassiruumis põhinevad hinded kogutud tõenditel:
* õpilaste töödel ja lahendustel;
* aruteludes ilmnenud mõtlemisel;
* kujundava hindamise käigus kogutud tähelepanekutel.

Oluline erinevus tavapärasest hindamisest seisneb selles, et hinnangud ei sünni üksikutest „hindamissündmustest“, vaid ajapikku kogunenud pildist õppija arengust. See vähendab juhuslikkust ja stressi ning toetab õppija enesetõhusust.

Liljedahl rõhutab, et hindamine peab olema tihedalt seotud kujundava hindamisega: hindamiseks kasutatav info peab olema õppijale nähtav ja arusaadav. Hinne ei ole siis üllatus ega karistus, vaid loogiline kokkuvõte sellest, mida õppija on juba näidanud.

Selline lähenemine toetab mõtleva klassiruumi keskseid väärtusi: see suunab õpilasi keskenduma õppimisele ja mõtlemisele, mitte punktide jahtimisele, ning aitab kujundada vastutustunnet oma õppimise eest.

'''Mikrosammud:'''
* Hinda standardipõhiselt: kirjelda selgelt, millist mõtlemist või oskust tõendatakse.
* Viimane (küpsem) tõend loeb kõige rohkem ja „uuesti tõendamine“ on lubatud.
* Hoia hinnang (saavutus) ja tagasiside (järgmine samm) lahus.

&lt;!-- Näide: lisamisel --&gt;

=== 5.1.15 Kokkuvõte: Liljedahli neliteist praktikat mõtleva klassiruumi kujundamisel ===
Peter Liljedahli ''Building Thinking Classrooms'' raamistik koondab neliteist omavahel seotud praktikat, mis põhinevad 15 aasta pikkusel empiirilisel uurimistööl ja mille ühine eesmärk on maksimeerida õppijate mõtlemist matemaatikatunnis. Praktikad ei ole eraldiseisvad võtted, vaid moodustavad tervikliku süsteemi, kus muutused klassiruumi füüsilises keskkonnas, sotsiaalsetes normides, õpetaja rollis ja hindamises toetavad üksteist.

Raamistiku alguspraktikad keskenduvad mõtlemist käivitavate tingimuste loomisele: sobiva ülesandetüübi valik, juhuslikud rühmad ning vertikaalsete ja mittepüsivate kirjutuspindade kasutamine muudavad õppijate käitumist ja ootusi. Järgmised praktikad kujundavad klassiruumi normid, kus pingutus, eksimine ja koostöö on väärtustatud ning õpetaja roll nihkub seletajalt mõtlemise orkestreerijaks. Õpetaja sekkub teadlikult ajastuse, küsimuste ja ootuste kaudu, et hoida õppijad aktiivselt mõtlemas.

Raamistiku viimased praktikad (12–14) seovad mõtlemise hindamise ja tagasisidega. Liljedahl rõhutab, et mõtleva klassiruumi kestlikkus sõltub sellest, mida hinnatakse, kuidas kujundavat hindamist kasutatakse ja mille eest hindeid pannakse. Kui hinnatakse vaid õigeid vastuseid, taastoodab see pealiskaudset õppimist. Kui hinnatakse pingutust, strateegilist mõtlemist ja arusaamise arengut, toetab hindamine otseselt mõtlemise kultuuri.

Kokkuvõtvalt pakuvad Liljedahli neliteist praktikat teaduspõhist ja praktilist raamistikku, mis aitab õpetajatel liikuda protseduurikeskselt õpetamiselt mõtlemist väärtustava ja õppijat aktiveeriva klassiruumi suunas. LAHEMATE kontekstis loovad need praktikad selge orientiiri koolikatsetuste kavandamiseks, õpetajate professionaalseks refleksiooniks ning mõtleva matemaatikakultuuri järkjärguliseks juurutamiseks.

== Viited ==
* Csikszentmihalyi, M. (1990). ''Flow: The Psychology of Optimal Experience''. New York: Harper &amp; Row.
* Liljedahl, P. (2020). ''Building Thinking Classrooms in Mathematics, Grades K–12: 14 Teaching Practices for Enhancing Learning''. Thousand Oaks, CA: Corwin.
* Liljedahl, P., &amp; Allen, D. (2013). Mathematical discovery: Studenting. [TÄPSUSTADA]

== Veebiallikad ==
* Liljedahl, P. Kaarditrikid: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/card-tricks peterliljedahl.com/teachers/card-tricks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanded: [https://www.peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks peterliljedahl.com/teachers/numeracy-tasks]
* Liljedahl, P. Rehkendamisülesanne „New School Schedule“: [https://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/NT-New-School-Schedule-I.pdf PDF]
* Nguyen, F. Promoting thinking tasks with VNPS tools. Wipebook: [https://wipebook.com/blogs/news/promoting-thinking-tasks-with-vnps-tools?srsltid=AfmBOoqd_nv0aBnJDTVHIpAKA2mKx3bQ6-A_C7J6zX9B1LXNTm0DWcmU wipebook.com]
* Soo, A. (2023). Building Thinking Classrooms: peatükkide 5, 6 ja 8 refleksioonid. Ajaveeb: [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/11/building-thinking-classrooms-chapter-5-reflection-how-we-answer-questions/ ptk 5], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/13/thinking-classrooms-chapter-6-reflection-when-where-and-how-tasks-are-given-in-a-thinking-classroom/ ptk 6], [https://aprilsooadventures.wordpress.com/2023/06/16/building-thinking-classrooms-chapter-8-reflection-how-we-foster-student-autonomy/ ptk 8]
* McGowan, F. (2021). Thinking Classrooms Challenge: In Flow. Ajaveeb: [https://findingtheprocess.wordpress.com/2021/11/03/thinking-classrooms-challenge-in-flow/ findingtheprocess.wordpress.com]
* Apple Education. Õpetaja MK lugu: [https://education.apple.com/story/250014232 education.apple.com]
* Ülesannete kogud: [http://nrich.maths.org NRICH], [http://youcubed.org YouCubed], [http://illuminations.nctm.org Illuminations (NCTM)]

[[Kategooria:LAHEMATE]]
[[Kategooria:Probleemilahendus]]</text>
      <sha1>0sda7pmr8untxn6z1vkdogm0zk9g6at</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>