Wikibooks euwikibooks https://eu.wikibooks.org/wiki/Azala MediaWiki 1.47.0-wmf.18 first-letter Media Berezi Eztabaida Lankide Lankide eztabaida Wikibooks Wikibooks eztabaida Fitxategi Fitxategi eztabaida MediaWiki MediaWiki eztabaida Txantiloi Txantiloi eztabaida Laguntza Laguntza eztabaida Kategoria Kategoria eztabaida TimedText TimedText talk Modulu Modulu eztabaida Event Event talk 0 7331 44225 44098 2026-09-07T19:27:08Z Ksarasola 1603 /* 1. Zientziaren historiako garapeneko urratsak */ 44225 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} : [[/SARRERA/]] (?) # [[Eredua|Nola idatzi? - Eredu bat]] (Lanean - egokitu behar da) == 1. Zientziaren historiako garapeneko urratsak == # [[/1.1. Gizateriaren lau asmakizunik handienak/]] # [[/1.2. Zifra eta zenbakien inperioa. Matematikariek asmaturiko zenbakien historia/]] # [[/1.3. Gnomona, lehen neurgailu zientifikoa/]] # [[/1.4. Arkimedes, zientzialarien kanona/]] # [[/1.5. Hipatia, matematikari, zientzialari, filosofo eta irakaslea/]] # [[/1.6. Leonardo da Vinci, ingeniaria/]] # [[/1.7. Dmitri Mendeleiev eta Taula Periodikoa. Elementu kimikoen apalategia/]] # [[/1.8. Teoria berriak arriskugarriak dira. Zientzialariek jasandako zenbait jazarpen eta errepresioa/]] == 2. Fisikaren garapeneko historia puntualak == # [[/2.1.Katedralaren eraikuntza. UEUren historia laburra/]] # [[/2.2.Borroka antinuklearra Euskal Herrian/]] # [[/2.3.Elektrizitatearen eta Magnetismoaren histohistoriako lehenengo pausoak/]] # [[/2.5.Albert Einstein eta Mileva Maric. Nori berea da zuzenbidea/]] # [[/2.6.Fisio nuklearriako lehenengo pausoak/]] # [[/2.4.Erradioaktibitatearen aurkikuntza, historia eta erabilera/]]raren aurkikuntza/]] # [[/2.7.Transistoreak. Elektronikaren garapena/]] # [[/2.8.XXI. mendeko megalopolien hiru zutabe nagusiak/]] == 3. Solido eta likidoen istorio eta historia harrigarriak == # [[/3.1.Karbonoa, ikatza bezain beltz, diamantea bezain distiratsu/]] # [[/3.2.Beira, Optikaren eta Kimikaren funtsezko ekaia/]] # [[/3.3.Hainbat motatako paperak/]] # [[/3.4.Zeramika, fintasun txinatarraren adierazlea/]] # [[/3.5.Izarren hautsa biltzeko sarea/]] # [[/3.6.Ura, biziaren eta heriotzaren iturria/]] # [[/3.7.Aladinoren lanpara eta likidoen bitxikeriak/]] # [[/3.8.Soldadurak baino itsaskorragoak/]] (lanean) == 4. Espazioa eta denbora Fisikan. Absolutuak? Erlatiboak? == # [[/4.1.Espazioari eta denborari buruzko oinarrizko kontzeptuak/]] # [[/4.2.Galileoren Erlatibitateko espazioa eta denbora/]] # [[/4.3.Einsteinen Erlatibitate Bereziko espazio-denbora/]] # [[/4.4.Mekanika Kuantikoaren mundua/]] # [[/4.5.Einsteinen Erlatibitate Orokorra eta Kosmologia/]] == Egileak, lotutako artikuluak eta irudiak == * [[/Egileak/]] * [[/Erabilitako irudiak/]] [[Kategoria:Fisika]] r33h1a9hlyygjx4zbpzvp1p9dwx23ao 0 7366 44226 2026-09-07T19:37:36Z Ksarasola 1603 zirriborro0 44226 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). Kopurua versus kantitatea eta zenbatu versus neurtu Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. Zenbakiak eta zifrak Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, sinbolo bereziak asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. • Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien izenak adostu eta ahozkatu. • Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “idatzi” sinbolo adostu iraunkorren bidez. Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. Naneghat-eko inskripzioak. Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. Bakhshali-ko eskuzkribuko zifrak. Zenbaki arruntak edo “naturalak” Fermaten aierutik Fermaten teoremara Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: Galdera horren erantzunaren bila ibili zen Pierre de Fermat matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek Fermaten aierua deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua eta kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. Zenbaki osoak, zenbaki naturalen zabalkundea Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, Arte matematikoaren bederatzi kapitulu izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (positiboak) eta zorrak (negatiboak) bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek zenbaki negatiboak asmatu zituzten. Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, eta bi zenbaki oso izanik, arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko fractio hitzetik dator, eta hori arabierazko kars hitzaren itzulpena da; et «hautsia, zatitua» esan nahi du; euskaraz, frakzioari zatikia ere esaten zaio Duela hogeita zazpi mende, Pitagorasek frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: = Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestalako zenbakiak asmatu arte. Zenbaki irrazionalak: , , e,  … Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. p 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... 1999 Kanada eta Takahashi Hitachi SR8000 68.719.470.000 1999 Kanada eta Takahashi Hitachi SR8000 206.158.430.000 2002 Kanada eta beste Hitachi SR8000/MP 1.241.100.000.000 2004 Kanada eta beste Hitachi 1.351.100.000.000 2009 Daisuke Takahashi T2K Tsukuba System (640 ord.) 2.576.980.370.000 (73 h 36min) 2009 Fabrice Bellard Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB 2.699.999.990.000 2010 Shigeru Kondo 2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz 5.000.000.000.000 2011 Shigeru Kondo 2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz 10.000.000.000.000 Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. Zenbaki errealak Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki. Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute. Zenbaki imajinarioak/irudikariak XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: Zenbaki konplexuak Infinituaren iraultza Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 0 sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0 sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0. • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka. Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2… Zenbakien sailkapena Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan= Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: Eguneko data: 2023-11-29 Unean uneko ordua: 20:10 Adina: 78 urte Pisua: 54 kg Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) Zenbat diru dugun: 54 € Zein diren gure zorrak: 105 € Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z Telefono-zenbakia: 688628587 Autoaren matrikula: 0643-CYF … Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara. 8iozaw13kkktixx0uuj278dfmalpf5w 44227 44226 2026-09-07T23:22:08Z Ksarasola 1603 wikifikatzen, irrazionaletara, bukatu gabe. 44227 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. {| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. :Irudia Naneghat-eko inskripzioak. Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. :Irudia Bakhshali-ko eskuzkribuko zifrak. :irudia Al-Juwarizmi Errusiak ateratako posta-zigilu batean. Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. Algoritmi de Numero Indorum izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|Left|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|150px]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. <gallery mode="packed"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Andrew Wiles Fermaten estatuaren aurrean. </gallery> Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. [[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|Left|Zenbaki osoen <math>\mathbb{Z}</math> multzoa|150px]] Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, eta bi zenbaki oso izanik, arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko fractio hitzetik dator, eta hori arabierazko kars hitzaren itzulpena da; et «hautsia, zatitua» esan nahi du; euskaraz, frakzioari zatikia ere esaten zaio [[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|Left|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|150px]] Mota horretako zenbakiei zenbaki arrazionalak deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras etriangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. p 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... 1999 Kanada eta Takahashi Hitachi SR8000 68.719.470.000 1999 Kanada eta Takahashi Hitachi SR8000 206.158.430.000 2002 Kanada eta beste Hitachi SR8000/MP 1.241.100.000.000 2004 Kanada eta beste Hitachi 1.351.100.000.000 2009 Daisuke Takahashi T2K Tsukuba System (640 ord.) 2.576.980.370.000 (73 h 36min) 2009 Fabrice Bellard Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB 2.699.999.990.000 2010 Shigeru Kondo 2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz 5.000.000.000.000 2011 Shigeru Kondo 2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz 10.000.000.000.000 Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. Zenbaki errealak Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki. Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute. Zenbaki imajinarioak/irudikariak XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: Zenbaki konplexuak Infinituaren iraultza Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 0 sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0 sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0. • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka. Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2… Zenbakien sailkapena Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan= Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: Eguneko data: 2023-11-29 Unean uneko ordua: 20:10 Adina: 78 urte Pisua: 54 kg Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) Zenbat diru dugun: 54 € Zein diren gure zorrak: 105 € Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z Telefono-zenbakia: 688628587 Autoaren matrikula: 0643-CYF … Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara. l8a8x09eui7e0q2u9evq1yf9kpt9cj7 44228 44227 2026-09-07T23:27:10Z Ksarasola 1603 /* Fermaten aierutik Fermaten teoremara */ 44228 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. {| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. :Irudia Naneghat-eko inskripzioak. Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. :Irudia Bakhshali-ko eskuzkribuko zifrak. :irudia Al-Juwarizmi Errusiak ateratako posta-zigilu batean. Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. Algoritmi de Numero Indorum izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|Left|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|150px]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. [[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|Left|Zenbaki osoen <math>\mathbb{Z}</math> multzoa|150px]] Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, eta bi zenbaki oso izanik, arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko fractio hitzetik dator, eta hori arabierazko kars hitzaren itzulpena da; et «hautsia, zatitua» esan nahi du; euskaraz, frakzioari zatikia ere esaten zaio [[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|Left|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|150px]] Mota horretako zenbakiei zenbaki arrazionalak deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras etriangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. p 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... 1999 Kanada eta Takahashi Hitachi SR8000 68.719.470.000 1999 Kanada eta Takahashi Hitachi SR8000 206.158.430.000 2002 Kanada eta beste Hitachi SR8000/MP 1.241.100.000.000 2004 Kanada eta beste Hitachi 1.351.100.000.000 2009 Daisuke Takahashi T2K Tsukuba System (640 ord.) 2.576.980.370.000 (73 h 36min) 2009 Fabrice Bellard Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB 2.699.999.990.000 2010 Shigeru Kondo 2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz 5.000.000.000.000 2011 Shigeru Kondo 2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz 10.000.000.000.000 Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. Zenbaki errealak Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki. Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute. Zenbaki imajinarioak/irudikariak XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: Zenbaki konplexuak Infinituaren iraultza Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 0 sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0 sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0. • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka. Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2… Zenbakien sailkapena Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan= Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: Eguneko data: 2023-11-29 Unean uneko ordua: 20:10 Adina: 78 urte Pisua: 54 kg Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) Zenbat diru dugun: 54 € Zein diren gure zorrak: 105 € Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z Telefono-zenbakia: 688628587 Autoaren matrikula: 0643-CYF … Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara. q6t5h96tsq694quiwqy8fq8re2ho6lc 44229 44228 2026-09-07T23:33:44Z Ksarasola 1603 /* 1.2. Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan */ 44229 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. {| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. :Irudia Naneghat-eko inskripzioak. Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. :Irudia Bakhshali-ko eskuzkribuko zifrak. :irudia Al-Juwarizmi Errusiak ateratako posta-zigilu batean. Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. Algoritmi de Numero Indorum izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|Left|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|150px]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. [[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|Left|Zenbaki osoen <math>\mathbb{Z}</math> multzoa|150px]] Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, eta bi zenbaki oso izanik, arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko fractio hitzetik dator, eta hori arabierazko kars hitzaren itzulpena da; et «hautsia, zatitua» esan nahi du; euskaraz, frakzioari zatikia ere esaten zaio [[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|Left|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|150px]] Mota horretako zenbakiei zenbaki arrazionalak deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras etriangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. p 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... 1999 Kanada eta Takahashi Hitachi SR8000 68.719.470.000 1999 Kanada eta Takahashi Hitachi SR8000 206.158.430.000 2002 Kanada eta beste Hitachi SR8000/MP 1.241.100.000.000 2004 Kanada eta beste Hitachi 1.351.100.000.000 2009 Daisuke Takahashi T2K Tsukuba System (640 ord.) 2.576.980.370.000 (73 h 36min) 2009 Fabrice Bellard Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB 2.699.999.990.000 2010 Shigeru Kondo 2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz 5.000.000.000.000 2011 Shigeru Kondo 2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz 10.000.000.000.000 Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. Zenbaki errealak Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki. Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute. Zenbaki imajinarioak/irudikariak XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: Zenbaki konplexuak Infinituaren iraultza Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 0 sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0 sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0. • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka. Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2… Zenbakien sailkapena Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira {{Lanean|jr.etxebarria}} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' 0qdyo39jek5efzh7jtb3wbcqowf50j2 0 7367 44230 2026-09-08T11:37:06Z Ksarasola 1603 Orria sortu da. Edukia: = 3D modelatze-teknikak = Hiru dimentsioko modelatzea ordenagailu bidezko grafikoen funtsezko zutabeetako bat da, eta irudikapen geometrikoen eraikuntza gisa definitzen da, egitura matematiko, topologiko eta konputazionalen bidez (Mortenson, 2006), manipulatu, renderizatu eta animatu daitezkeenak. Bere bilakaera geometria konputazionalean, hardware grafikoan, optimizazio-algoritmoetan eta, duela gutxi, adimen artifizial sortzailean egindako aurrerapenek markatu dute... 44230 wikitext text/x-wiki = 3D modelatze-teknikak = Hiru dimentsioko modelatzea ordenagailu bidezko grafikoen funtsezko zutabeetako bat da, eta irudikapen geometrikoen eraikuntza gisa definitzen da, egitura matematiko, topologiko eta konputazionalen bidez (Mortenson, 2006), manipulatu, renderizatu eta animatu daitezkeenak. Bere bilakaera geometria konputazionalean, hardware grafikoan, optimizazio-algoritmoetan eta, duela gutxi, adimen artifizial sortzailean egindako aurrerapenek markatu dute. Azken hamarkadetan, arlo hau hainbat teknika desberdinetara eboluzionatu du, behar desberdinei erantzuten dietenak: doitasun geometrikoa, eraginkortasun konputazionala, errealismo bisuala, eskalagarritasuna edo automatizazioa. Gaur egun, 3D modelatzeko teknikak zazpi familia nagusitan sailkatzen dira: modelatze poligonala, NURBS gainazalak, CAD eta solido-modelatzea, modelatze parametrikoa, eskultura digitala, prozedurazko modelatzea eta AA sortzailearekin modelatzea (Adimen Artifizial sortzailea edo Generative AI bidezko modelatzea). Ikuspegi bakoitzak behar desberdinei erantzuten die: zehaztasuna, malgutasuna, automatizazioa, errealismoa edo eraginkortasun konputazionala; eta horien konbinazioak ekoizpen-pipeline modernoak definitzen ditu. == Modelatze poligonala == Modelatze poligonala da animazioan, bideo-jokoetan eta ikusizko efektuetan nagusi den teknika. Sare diskretuetan oinarritzen da, erpin, ertz eta poligonoez osatuak (Watt & Policarpo, 1998). Bere abantaila nagusia malgutasun topologikoa eta denbora errealeko renderizazio-motorrekin bateragarritasuna da. Poligonoen irudikapenak motor grafiko modernoen eraginkortasunaz baliatzen da, triangeluak prozesatzeko pipelineen bidez optimizatuta baitaude (Akenine-Möller et al., 2018). Irudikapen diskretuak konplexutasun geometrikoa optimizatzea eta poligonoen dentsitatea esplizituki kontrolatzea ahalbidetzen du. Azpizatze-teknikek, Catmull eta Clarkek (1978) eta Doo eta Sabinek (1978) sartutakoek, gainazal leunak lortzeko aukera ematen dute bereizmen txikiko sareetatik abiatuta, eta hori funtsezkoa izan da konputagailuz sortutako irudigintzan (CGI, Computer-Generated Imagery) eta animazioan. Teknika horiek azpizatiketaren gainazalekin (subdivision surfaces), erretopologia lagunduarekin eta sare deformagarrietan oinarritutako rigging prozesuekin osatzen dira (Kavan et al., 2007). == NURBS gainazalak == NURBS gainazalek (Non-Uniform Rational B-Splines) geometria funtzio parametriko jarraituen bidez adierazten dute, eta horri esker, kurbak eta gainazalak doitasun arbitrarioz deskriba daitezke (Piegl & Tiller, 1997). Kurba mota hauek funtsezkoak dira automobilgintzan, aeronautikan, diseinu industrialean eta arkitekturan, non jarraitutasun geometrikoa eta leuntasuna kritikoak diren (Farin, 2002), beren zehaztasunagatik, leuntasun perfektuagatik (Piegl & Tiller, 1997) eta diskretizazio-artefakturik gabe gainazal konplexuak deskribatzeko duten gaitasunagatik. Sare poligonaletan ez bezala, NURBSek lofting, sweeping, blending eta patch modeling bezalako eragiketak ahalbidetzen dituzte, C1 eta C2 jarraitutasun geometrikoa bermatuz. Sare poligonalek baino zehaztasun handiagoa izan arren, egitura parametrikoak zaildu egiten du topologia organiko konplexuak edo egituratu gabeko topologiak irudikatzea (Rogers, 2001). == CAD eta solido-modelatzea == CAD modelizazioak (ordenagailuz lagundutako diseinua) irudikapen bolumetrikoak erabiltzen ditu, hala nola Boundary Representation (B-Rep) eta Constructive Solid Geometry (CSG) eta eragiketa boolearrak: bategitea, kendura, ebakidura (Stroud, 2006). Teknika hauek funtsezkoak dira ingeniaritzan, manufakturan eta prototipatzean, non geometriak tolerantzia zorrotzak bete behar dituen eta fabrikazio-prozesuetara esportagarria izan behar duen, hala nola CNC edo 3D inprimaketa (Groover, 2020). CAD sistema berriek murrizketa geometrikoak, parametrizazio geometrikoa, eragiketen historia eta egiturazko analisia integratzen dituzte (Shah & Mäntylä, 1995). Bere ikuspegi bolumetrikoak desegokiago bihurtzen du pertsonaientzat edo gainazal organikoentzat. CAD modelatzea simulazio fisikoekin, tentsioen analisiarekin eta optimizazio topologikoarekin (Bendsoe & Sigmund, 2003) osatzen da. == Modelatze parametrikoa == Modelatze parametrikoak geometria parametro editagarrien funtzio gisa definitzen du, eta horri esker, eredua eskuz berreraiki gabe alda daiteke. Arkitekturan, diseinu generatiboan eta fabrikazio digitalean erabiltzen da (Woodbury, 2010). Eskuz berreraiki gabe egokitu, erreproduzitu eta alda daitezkeen ereduak sortzeko aukera ematen du, nahiz eta ikaskuntza-kurba teknikoagoa eskatzen duen. Grasshopper edo Dynamo bezalako tresnek nodo-sistemak ezagun egin dituzte, non geometria eragiketa-grafoen bidez sortzen den (Rutten, 2013). Modelatze parametrikoa optimizazio-teknikekin, ingurumen-simulazioarekin eta egiturazko analisiarekin integratzen da, eta horrek diseinu konputazional garaikidearen funtsezko ikuspegia bihurtzen du (Oxman, 2006). == Eskultura digitala == Eskultura digitalak buztina modelatzeko prozesu artistikoa simulatzen du, milioika poligono manipulatzeko aukera ematen duten tresnen bidez. Pertsonaiak, izakiak eta xehetasun-maila handiko gainazal organikoak sortzeko teknika nagusia da (Driskill, 2000). Eskultura digitaleko sistemak milioika poligono kudeatzeko gai dira teknika aurreratu batzuk integratuz (dinamesh, voxel remeshing eta multiresolution sculpting) eta desplazamendu-mapetan oinarritutako xehetasunak (Blinn, 1978). Ekoizpenerako, retopologia, UV unwrapping eta map baking (normalen eta desplazamenduen mapa-labatzea) prozesuak behar dituzte animazio- edo bideo-joko-pipelineetan integratzeko (Pharr et al., 2023). == Prozedurazko modelatzea == Prozedurazko modelatzeak geometria sortzen du arau, algoritmo edo nodo-grafoen bidez. Funtsezkoa da ingurune konplexuetarako, hala nola landaredia, hiriak, fraktalak edo fenomeno naturalak (Ebert et al., 2002). Bere abantaila nagusia eskalagarritasuna da: arau multzo batek milaka aldaera sor ditzake eskuzko esku-hartzerik gabe. Tekniken artean daude L-sistemak landaredirako (Prusinkiewicz & Lindenmayer, 1990), zarata fraktala ehunduretarako (Perlin, 1985), agenteetan oinarritutako sistemak hirietarako (Parish & Müller, 2001) eta simulazio fisikoak fluido eta suntsiketarako (Bridson, 2015). Houdini eta Geometry Nodes tresnak erreferenteak dira arlo honetan, nodoetan oinarritutako arkitekturei eta simulazio fisikoekiko integrazioari esker. == AA sortzailearekin modelatzea == Gaur egun, AA sortzaileak 3D modelatzea eraldatu du. Tripo, Luma, Shap-E (Jun and Nichol, 2023) edo Point-E (Nichol et al., 2022) bezalako ereduek testutik, irudietatik edo bideotik geometria sortzeko aukera ematen dute. Azken ereduaren kalitateak eskuzko fintzea eskatu dezakeen arren, adimen artifizialeko teknika sortzaileak prototipatzeko, blockout-erako eta oinarrizko asset-ak sortzeko tresna gisa finkatu dira. Egungo joerak honako hauek dira: • Bideoetatik 3D berreraikitzea Neural Radiance Fields-en bidez (Mildenhall et al., 2020) • Testurizazio automatikoa modalitate anitzeko ereduen bidez (Rombach et al., 2022) • Sare neuronaletan oinarritutako erretopologia (Wang et al., 2023) • Fisikan oinarritutako (PBR, Physically Based Rendering) materialen sorkuntza eredu difusiboen bidez (Zhang et al., 2023) 1 irudia: 3D modelatzearen zazpi familia nagusiak. Taula 1. 3D modelatzean teknika garrantzitsuenak: irudikapena, konplexutasuna, aplikazioak eta erreferentzia bibliografiko garrantzitsuenak. Egungo 3D modelatzea hainbat teknikaren integrazio estrategikoak ezaugarritzen du. Pipeline modernoek sare poligonalak, eskultura digitala, modelatze prozedurala eta AA tresnak konbinatzen dituzte ekoizpena bizkortzeko eta kalitate bisuala areagotzeko. NURBS eta CAD oinarriko teknikak funtsezkoak izaten jarraitzen dute zehaztasun geometrikoa kritikoa den sektoreetan. Gaur egun nagusi den joera hibridazioa da: adimen artifizialak sortutako ereduak, eskulturaren bidez findu eta animaziorako berriro topologizatzen direnak, eta sistema prozeduralekin aberasten direnak. == Erreferentziak == {{erreferentzia zerrenda}} == Bibliografia == • Akenine-Möller, T., Haines, E., Hoffman, N., Pesce, A., Iwanicki, M., & Hillaire, S. (2018). Real-Time Rendering (4th ed.). A K Peters/CRC Press. • Bendsøe, M. P., & Sigmund, O. (2003). Topology Optimization: Theory, Methods, and Applications. Springer Verlag. • Blinn, J. F. (1978). Simulation of wrinkled surfaces. In Proceedings of the 5th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 286–292). ACM. doi • Bridson, R. (2015). Fluid Simulation for Computer Graphics (2nd ed.). CRC Press. • Catmull, E., & Clark, J. (1978). Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes. Computer-Aided Design, 10(6), 350–355. doi • Doo, D., & Sabin, M. (1978). Behaviour of recursive division surfaces near extraordinary points. Computer-Aided Design, 10(6), 356–360. doi • Driskill, H. (2000). Digital Sculpting Techniques. In ACM SIGGRAPH 2000 Course Notes. ACM. • Ebert, D., Musgrave, F. K., Peachey, D., Perlin, K., Worley, S., Mark, W. R., & Hart, J. (2002). Texturing and Modeling: A Procedural Approach (3rd ed.). Morgan Kaufmann. • Farin, G. E. (2002). Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide (5th ed.). Morgan Kaufmann. • Groover, M. P. (2020). Fundamentals of Modern Manufacturing (7th ed.). Wiley. • Jun, H., & Nichol, A. (2023). Shap-E: Generating 3D Assets from Text. arXiv:2305.02463. • Kavan, L., Collins, S., Zára, J., & O’Sullivan, C. (2007). Skinning with dual quaternions. In SI3D 2007 Symposium on Interactive 3D Graphics and Games (pp. 39–46). ACM. doi • Mildenhall, B., Srinivasan, P. P., Tancik, M., Barron, J. T., Ramamoorthi, R., & Ng, R. (2020). NeRF: Representing Scenes as Neural Radiance Fields for View Synthesis. In ECCV 2020 (pp. 405–421). Springer. doi • Mortenson, M. E. (2006). Geometric Modeling (2nd ed.). Industrial Press. • Nichol, A., Jun, H., Dhariwal, P., Mishkin, P., & Chen, M. (2022). Point-E: A System for Generating 3D Point Clouds from Complex Prompts. arXiv:2212.08751. • Oxman, R. (2006). Theory and design in the first digital age. Design Studies, 27(3), 229–265. • Parish, Y. I. H., & Müller, P. (2001). Procedural modeling of cities. In SIGGRAPH ’01: Proceedings of the 28th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 301–308). ACM. doi • Perlin, K. (1985). An Image Synthesizer. In SIGGRAPH ’85: Proceedings of the 12th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 287–296). ACM. doi • Piegl, L., & Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer. • Pharr, M., Jakob, W., & Humphreys, G. (2023). Physically Based Rendering: From Theory to Implementation (4th ed.). MIT Press. • Prusinkiewicz, P., & Lindenmayer, A. (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag. • Requicha, A. A. G. (1980). Representations for Rigid Solids: Theory, Methods, and Systems. ACM Computing Surveys, 12(4), 437–464. doi • Rogers, D. F. (2001). An Introduction to NURBS: A Practical Guide. Morgan Kaufmann. • Rombach, R., Blattmann, A., Lorenz, D., Esser, P., & Ommer, B. (2022). High-Resolution Image Synthesis with Latent Diffusion Models. In CVPR 2022 (pp. 10684–10695). • Rutten, D. (2013). Grasshopper: Generative Modeling with Rhino. Robert McNeel & Associates. • Shah, J. J., & Mäntylä, M. (1995). Parametric and Feature-Based CAD/CAM. Wiley. • Stroud, I. (2006). Boundary Representation Modelling Techniques. Springer. • Wang, Y., et al. (2023). Neural Implicit Retopology. ACM Transactions on Graphics, 42(6). doi • Watt, A. H., & Policarpo, F. (1998). The Computer Image. Addison-Wesley. • Woodbury, R. (2010). Elements of Parametric Design. Routledge. • Zhang, Y., et al. (2023). Diffusion Models for Material Generation. SIGGRAPH 2023 Talks. ===================== 1 irudia: 3D modelatzearen zazpi familia nagusiak. • CC BY‑SA 4.0 • Iturria: Adimen Artifizialak sortutako irudia (Microsoft Copilot) • Deskribapena: “Ordenagailu bidezko grafikoetan 3D modelatzearen zazpi familien objektu adierazgarriak.” Hartu ditzakegu irudi batzuk orri honetatik: https://eu.wikipedia.org/wiki/3D_modelaketa i9ut80swmnf7kduphfgvbkugc068uli 44231 44230 2026-09-08T11:43:57Z Ksarasola 1603 44231 wikitext text/x-wiki = 3D modelatze-teknikak = Hiru dimentsioko modelatzea ordenagailu bidezko grafikoen funtsezko zutabeetako bat da, eta irudikapen geometrikoen eraikuntza gisa definitzen da, egitura matematiko, topologiko eta konputazionalen bidez (Mortenson, 2006), manipulatu, renderizatu eta animatu daitezkeenak. Bere bilakaera geometria konputazionalean, hardware grafikoan, optimizazio-algoritmoetan eta, duela gutxi, adimen artifizial sortzailean egindako aurrerapenek markatu dute. Azken hamarkadetan, arlo hau hainbat teknika desberdinetara eboluzionatu du, behar desberdinei erantzuten dietenak: doitasun geometrikoa, eraginkortasun konputazionala, errealismo bisuala, eskalagarritasuna edo automatizazioa. Gaur egun, 3D modelatzeko teknikak zazpi familia nagusitan sailkatzen dira: modelatze poligonala, NURBS gainazalak, CAD eta solido-modelatzea, modelatze parametrikoa, eskultura digitala, prozedurazko modelatzea eta AA sortzailearekin modelatzea (Adimen Artifizial sortzailea edo Generative AI bidezko modelatzea). Ikuspegi bakoitzak behar desberdinei erantzuten die: zehaztasuna, malgutasuna, automatizazioa, errealismoa edo eraginkortasun konputazionala; eta horien konbinazioak ekoizpen-pipeline modernoak definitzen ditu. == Modelatze poligonala == Modelatze poligonala da animazioan, bideo-jokoetan eta ikusizko efektuetan nagusi den teknika. Sare diskretuetan oinarritzen da, erpin, ertz eta poligonoez osatuak (Watt & Policarpo, 1998). Bere abantaila nagusia malgutasun topologikoa eta denbora errealeko renderizazio-motorrekin bateragarritasuna da. Poligonoen irudikapenak motor grafiko modernoen eraginkortasunaz baliatzen da, triangeluak prozesatzeko pipelineen bidez optimizatuta baitaude (Akenine-Möller et al., 2018). Irudikapen diskretuak konplexutasun geometrikoa optimizatzea eta poligonoen dentsitatea esplizituki kontrolatzea ahalbidetzen du. Azpizatze-teknikek, Catmull eta Clarkek (1978) eta Doo eta Sabinek (1978) sartutakoek, gainazal leunak lortzeko aukera ematen dute bereizmen txikiko sareetatik abiatuta, eta hori funtsezkoa izan da konputagailuz sortutako irudigintzan (CGI, Computer-Generated Imagery) eta animazioan. Teknika horiek azpizatiketaren gainazalekin (subdivision surfaces), erretopologia lagunduarekin eta sare deformagarrietan oinarritutako rigging prozesuekin osatzen dira (Kavan et al., 2007). == NURBS gainazalak == NURBS gainazalek (Non-Uniform Rational B-Splines) geometria funtzio parametriko jarraituen bidez adierazten dute, eta horri esker, kurbak eta gainazalak doitasun arbitrarioz deskriba daitezke (Piegl & Tiller, 1997). Kurba mota hauek funtsezkoak dira automobilgintzan, aeronautikan, diseinu industrialean eta arkitekturan, non jarraitutasun geometrikoa eta leuntasuna kritikoak diren (Farin, 2002), beren zehaztasunagatik, leuntasun perfektuagatik (Piegl & Tiller, 1997) eta diskretizazio-artefakturik gabe gainazal konplexuak deskribatzeko duten gaitasunagatik. Sare poligonaletan ez bezala, NURBSek lofting, sweeping, blending eta patch modeling bezalako eragiketak ahalbidetzen dituzte, C1 eta C2 jarraitutasun geometrikoa bermatuz. Sare poligonalek baino zehaztasun handiagoa izan arren, egitura parametrikoak zaildu egiten du topologia organiko konplexuak edo egituratu gabeko topologiak irudikatzea (Rogers, 2001). == CAD eta solido-modelatzea == CAD modelizazioak (ordenagailuz lagundutako diseinua) irudikapen bolumetrikoak erabiltzen ditu, hala nola Boundary Representation (B-Rep) eta Constructive Solid Geometry (CSG) eta eragiketa boolearrak: bategitea, kendura, ebakidura (Stroud, 2006). Teknika hauek funtsezkoak dira ingeniaritzan, manufakturan eta prototipatzean, non geometriak tolerantzia zorrotzak bete behar dituen eta fabrikazio-prozesuetara esportagarria izan behar duen, hala nola CNC edo 3D inprimaketa (Groover, 2020). CAD sistema berriek murrizketa geometrikoak, parametrizazio geometrikoa, eragiketen historia eta egiturazko analisia integratzen dituzte (Shah & Mäntylä, 1995). Bere ikuspegi bolumetrikoak desegokiago bihurtzen du pertsonaientzat edo gainazal organikoentzat. CAD modelatzea simulazio fisikoekin, tentsioen analisiarekin eta optimizazio topologikoarekin (Bendsoe & Sigmund, 2003) osatzen da. == Modelatze parametrikoa == Modelatze parametrikoak geometria parametro editagarrien funtzio gisa definitzen du, eta horri esker, eredua eskuz berreraiki gabe alda daiteke. Arkitekturan, diseinu generatiboan eta fabrikazio digitalean erabiltzen da (Woodbury, 2010). Eskuz berreraiki gabe egokitu, erreproduzitu eta alda daitezkeen ereduak sortzeko aukera ematen du, nahiz eta ikaskuntza-kurba teknikoagoa eskatzen duen. Grasshopper edo Dynamo bezalako tresnek nodo-sistemak ezagun egin dituzte, non geometria eragiketa-grafoen bidez sortzen den (Rutten, 2013). Modelatze parametrikoa optimizazio-teknikekin, ingurumen-simulazioarekin eta egiturazko analisiarekin integratzen da, eta horrek diseinu konputazional garaikidearen funtsezko ikuspegia bihurtzen du (Oxman, 2006). == Eskultura digitala == Eskultura digitalak buztina modelatzeko prozesu artistikoa simulatzen du, milioika poligono manipulatzeko aukera ematen duten tresnen bidez. Pertsonaiak, izakiak eta xehetasun-maila handiko gainazal organikoak sortzeko teknika nagusia da (Driskill, 2000). Eskultura digitaleko sistemak milioika poligono kudeatzeko gai dira teknika aurreratu batzuk integratuz (dinamesh, voxel remeshing eta multiresolution sculpting) eta desplazamendu-mapetan oinarritutako xehetasunak (Blinn, 1978). Ekoizpenerako, retopologia, UV unwrapping eta map baking (normalen eta desplazamenduen mapa-labatzea) prozesuak behar dituzte animazio- edo bideo-joko-pipelineetan integratzeko (Pharr et al., 2023). == Prozedurazko modelatzea == Prozedurazko modelatzeak geometria sortzen du arau, algoritmo edo nodo-grafoen bidez. Funtsezkoa da ingurune konplexuetarako, hala nola landaredia, hiriak, fraktalak edo fenomeno naturalak (Ebert et al., 2002). Bere abantaila nagusia eskalagarritasuna da: arau multzo batek milaka aldaera sor ditzake eskuzko esku-hartzerik gabe. Tekniken artean daude L-sistemak landaredirako (Prusinkiewicz & Lindenmayer, 1990), zarata fraktala ehunduretarako (Perlin, 1985), agenteetan oinarritutako sistemak hirietarako (Parish & Müller, 2001) eta simulazio fisikoak fluido eta suntsiketarako (Bridson, 2015). Houdini eta Geometry Nodes tresnak erreferenteak dira arlo honetan, nodoetan oinarritutako arkitekturei eta simulazio fisikoekiko integrazioari esker. == AA sortzailearekin modelatzea == Gaur egun, AA sortzaileak 3D modelatzea eraldatu du. Tripo, Luma, Shap-E (Jun and Nichol, 2023) edo Point-E (Nichol et al., 2022) bezalako ereduek testutik, irudietatik edo bideotik geometria sortzeko aukera ematen dute. Azken ereduaren kalitateak eskuzko fintzea eskatu dezakeen arren, adimen artifizialeko teknika sortzaileak prototipatzeko, blockout-erako eta oinarrizko asset-ak sortzeko tresna gisa finkatu dira. Egungo joerak honako hauek dira: * Bideoetatik 3D berreraikitzea Neural Radiance Fields-en bidez (Mildenhall et al., 2020) * Testurizazio automatikoa modalitate anitzeko ereduen bidez (Rombach et al., 2022) * Sare neuronaletan oinarritutako erretopologia (Wang et al., 2023) * Fisikan oinarritutako (PBR, Physically Based Rendering) materialen sorkuntza eredu difusiboen bidez (Zhang et al., 2023) 1 irudia: 3D modelatzearen zazpi familia nagusiak. Taula 1. 3D modelatzean teknika garrantzitsuenak: irudikapena, konplexutasuna, aplikazioak eta erreferentzia bibliografiko garrantzitsuenak. Egungo 3D modelatzea hainbat teknikaren integrazio estrategikoak ezaugarritzen du. Pipeline modernoek sare poligonalak, eskultura digitala, modelatze prozedurala eta AA tresnak konbinatzen dituzte ekoizpena bizkortzeko eta kalitate bisuala areagotzeko. NURBS eta CAD oinarriko teknikak funtsezkoak izaten jarraitzen dute zehaztasun geometrikoa kritikoa den sektoreetan. Gaur egun nagusi den joera hibridazioa da: adimen artifizialak sortutako ereduak, eskulturaren bidez findu eta animaziorako berriro topologizatzen direnak, eta sistema prozeduralekin aberasten direnak. == Erreferentziak == {{erreferentzia zerrenda}} == Bibliografia == * Akenine-Möller, T., Haines, E., Hoffman, N., Pesce, A., Iwanicki, M., & Hillaire, S. (2018). Real-Time Rendering (4th ed.). A K Peters/CRC Press. * Bendsøe, M. P., & Sigmund, O. (2003). Topology Optimization: Theory, Methods, and Applications. Springer Verlag. * Blinn, J. F. (1978). Simulation of wrinkled surfaces. In Proceedings of the 5th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 286–292). ACM. doi * Bridson, R. (2015). Fluid Simulation for Computer Graphics (2nd ed.). CRC Press. * Catmull, E., & Clark, J. (1978). Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes. Computer-Aided Design, 10(6), 350–355. doi * Doo, D., & Sabin, M. (1978). Behaviour of recursive division surfaces near extraordinary points. Computer-Aided Design, 10(6), 356–360. doi * Driskill, H. (2000). Digital Sculpting Techniques. In ACM SIGGRAPH 2000 Course Notes. ACM. * Ebert, D., Musgrave, F. K., Peachey, D., Perlin, K., Worley, S., Mark, W. R., & Hart, J. (2002). Texturing and Modeling: A Procedural Approach (3rd ed.). Morgan Kaufmann. * Farin, G. E. (2002). Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide (5th ed.). Morgan Kaufmann. * Groover, M. P. (2020). Fundamentals of Modern Manufacturing (7th ed.). Wiley. * Jun, H., & Nichol, A. (2023). Shap-E: Generating 3D Assets from Text. arXiv:2305.02463. * Kavan, L., Collins, S., Zára, J., & O’Sullivan, C. (2007). Skinning with dual quaternions. In SI3D 2007 Symposium on Interactive 3D Graphics and Games (pp. 39–46). ACM. doi * Mildenhall, B., Srinivasan, P. P., Tancik, M., Barron, J. T., Ramamoorthi, R., & Ng, R. (2020). NeRF: Representing Scenes as Neural Radiance Fields for View Synthesis. In ECCV 2020 (pp. 405–421). Springer. doi * Mortenson, M. E. (2006). Geometric Modeling (2nd ed.). Industrial Press. * Nichol, A., Jun, H., Dhariwal, P., Mishkin, P., & Chen, M. (2022). Point-E: A System for Generating 3D Point Clouds from Complex Prompts. arXiv:2212.08751. * Oxman, R. (2006). Theory and design in the first digital age. Design Studies, 27(3), 229–265. * Parish, Y. I. H., & Müller, P. (2001). Procedural modeling of cities. In SIGGRAPH ’01: Proceedings of the 28th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 301–308). ACM. doi * Perlin, K. (1985). An Image Synthesizer. In SIGGRAPH ’85: Proceedings of the 12th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 287–296). ACM. doi * Piegl, L., & Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer. * Pharr, M., Jakob, W., & Humphreys, G. (2023). Physically Based Rendering: From Theory to Implementation (4th ed.). MIT Press. * Prusinkiewicz, P., & Lindenmayer, A. (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag. * Requicha, A. A. G. (1980). Representations for Rigid Solids: Theory, Methods, and Systems. ACM Computing Surveys, 12(4), 437–464. doi * Rogers, D. F. (2001). An Introduction to NURBS: A Practical Guide. Morgan Kaufmann. * Rombach, R., Blattmann, A., Lorenz, D., Esser, P., & Ommer, B. (2022). High-Resolution Image Synthesis with Latent Diffusion Models. In CVPR 2022 (pp. 10684–10695). * Rutten, D. (2013). Grasshopper: Generative Modeling with Rhino. Robert McNeel & Associates. * Shah, J. J., & Mäntylä, M. (1995). Parametric and Feature-Based CAD/CAM. Wiley. * Stroud, I. (2006). Boundary Representation Modelling Techniques. Springer. * Wang, Y., et al. (2023). Neural Implicit Retopology. ACM Transactions on Graphics, 42(6). doi * Watt, A. H., & Policarpo, F. (1998). The Computer Image. Addison-Wesley. * Woodbury, R. (2010). Elements of Parametric Design. Routledge. * Zhang, Y., et al. (2023). Diffusion Models for Material Generation. SIGGRAPH 2023 Talks. ===================== 1 irudia: 3D modelatzearen zazpi familia nagusiak. * CC BY‑SA 4.0 * Iturria: Adimen Artifizialak sortutako irudia (Microsoft Copilot) * Deskribapena: “Ordenagailu bidezko grafikoetan 3D modelatzearen zazpi familien objektu adierazgarriak.” Hartu ditzakegu irudi batzuk orri honetatik: https://eu.wikipedia.org/wiki/3D_modelaketa 9bfp9ftaunahkb8wlph04dp9n8y39e0