Informatikaren 50 urte 50 teknologiatan/GPU

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="eu">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikibooks</sitename>
    <dbname>euwikibooks</dbname>
    <base>https://eu.wikibooks.org/wiki/Azala</base>
    <generator>MediaWiki 1.47.0-wmf.19</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Media</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Berezi</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Eztabaida</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Lankide</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Lankide eztabaida</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikibooks</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Wikibooks eztabaida</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Fitxategi</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Fitxategi eztabaida</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">MediaWiki eztabaida</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Txantiloi</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Txantiloi eztabaida</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Laguntza</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Laguntza eztabaida</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Kategoria</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Kategoria eztabaida</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Modulu</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Modulu eztabaida</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Event</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Event talk</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Informatikaren 50 urte 50 teknologiatan/GPU</title>
    <ns>0</ns>
    <id>7316</id>
    <revision>
      <id>44253</id>
      <parentid>44145</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T17:39:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* GPU */</comment>
      <origin>44253</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5600" sha1="qd6q0wj4do8mexqmbu0b4uzjgma6byb" xml:space="preserve">== GPU ==
[[Fitxategi:6600GT GPU.jpg|thumb|GeForce 6600GT '''GPU'''a]]'''[[w:Grafikoak prozesatzeko unitate|GPU]]'''a (''Graphics Processing Unit'', '''Grafikoak prozesatzeko unitatea''') jatorrian irudiak eta grafikoak prozesatzeko sortutako prozesadorea da, baina gaur egun funtsezko osagaia bihurtu da konputazio intentsiboa behar duten arlo askotan.&lt;ref&gt;Nickolls, J.; Dally, W. J., “The Origins of GPU Computing”, ''Communications of the ACM''.&lt;/ref&gt; Hasieran, pantailako irudiak sortzeko erabiltzen zen batez ere, bereziki hiru dimentsioko grafikoetan, bideo-jokoetan eta lan-estazio grafikoetan. Hala ere, laster ikusi zen GPUek abantaila handia zutela datu kopuru handien gaineko hainbat eragiketa berdin aldi berean egiteko. Ezaugarri horrek grafikoetatik haragoko erabilerak ekarri zituen, hala nola simulazio zientifikoak eta, batez ere, adimen artifizialeko hainbat atazatan. Bilakaera horren ondorioz, GPUa ez da gaur egun periferiko grafiko hutsa, baizik eta konputazio modernoaren osagai estrategikoa.

== Historia eta bilakaera ==
GPUen jatorria txartel grafikoen garapenari lotuta dago. 1990eko hamarkadan, ordenagailu pertsonaletako eta bideo-kontsoletako irudiak gero eta konplexuagoak bihurtu ziren heinean, beharrezkoa izan zen irudiak sortzeko lanaren zati bat prozesadore nagusitik aparteko gailu batera eramatea. Hasierako txartel grafikoek funtzio espezifikoak azkartzen zituzten, baina ez ziren oso malguak, aurrez zehaztutako urrats eta eragiketa batzuen barruan baino ezin zutelako lan egin.
1990eko hamarkadaren amaieran eta 2000koaren hasieran, GPU programagarrien hedapenak aldaketa handia ekarri zuen. Pixel- eta vertex-shaderrak programatzeko aukerak garatzaileei aukera eman zien kalkulu grafikoetatik haragoko eragiketak hardware horretan exekutatzeko. Testuinguru horretan sortu zen ''GPGPU'' deiturikoa (''General-Purpose computing on GPU''), hau da, GPUak erabilera orokorreko kalkuluetarako baliatzea.&lt;ref&gt;Luebke, D. et al., “GPGPU: General-Purpose Computation on Graphics Hardware”.&lt;/ref&gt;
Joera hori are gehiago indartu zen GPUak programatzeko tresnak zabaldu zirenean. Bereziki garrantzitsua izan da '''CUDA''', [[w:Nvidia|NVIDIAk]] garatutako plataforma eta programazio-eredua, bere GPUak C++ edo Python bidez programatzeko aukera ematen duena.&lt;ref&gt;NVIDIA, ''CUDA C++ Programming Guide''.&lt;/ref&gt;  Aldi berean, '''OpenCL''' bezalako estandarrek antzeko bidea ireki zuten gailu eta plataforma heterogeneoetan.&lt;ref&gt;Khronos Group, ''The OpenCL Specification''.&lt;/ref&gt; 2010eko hamarkadatik aurrera, sare neuronal sakonen hedapenarekin, GPUak are garrantzitsuago bihurtu ziren, datu kopuru handien gaineko kalkulu paraleloak oso azkar egiteko gaitasunagatik. Gaur egun, datu-zentro, laborategi eta [[w:superkonputagailu|superkonputagailu]] askotan CPUak eta GPUak batera erabiltzen dira, arkitektura heterogeneoetan.

== Ezaugarriak eta funtzionamendua ==
[[Fitxategi:Generic block diagram of a GPU.svg|thumb|400x400px|'''GPU''' baten osagaiak.]]
GPUen indargune nagusia paralelismo masiboa da. CPU batek, oro har, hobeto kudeatzen ditu ataza konplexuak eta kontrol-fluxu irregularrak; GPUa, berriz, datu-paralelismo handiko kalkuluetarako egokiagoa da. Horregatik, bereziki aproposa da bektore, matrize eta pixel multzo handiekin lan egiteko. Ikuspegi orokorrago batetik, GPUen funtzionamendua datu askoren gainean eragiketa bera aldi berean aplikatzeko egokitutako paralelismo-ereduekin lotzen da; horregatik, askotan SIMD edo SIMT motako antolaketez hitz egiten da.
Horrek ez du esan nahi GPUa CPUaren ordezko zuzena denik. Ohikoena da biak batera erabiltzea: CPUak programaren kontrol orokorra eta ataza sekuentzialenak kudeatzen ditu, eta GPUak kalkulu paralelo intentsiboak azkartzen ditu. Eredu hori bereziki erabilgarria da datu kopuru handien gaineko kalkulu berdintsuak egin behar direnean. Hala ere, adarkatze handia duten algoritmoetan edo memoria-atzipen irregularrean, GPUen eraginkortasuna txikiagoa izan daiteke.

== Aplikazioak ==
GPUak gaur egun arlo askotan erabiltzen dira. Alde batetik, grafikoen sorreran eta bideo-jokoetan funtsezkoak izaten jarraitzen dute: irudi errealistak, hiru dimentsioko eszenak eta denbora errealeko animazioak sortzeko. Horrekin batera, erabilera nabarmena dute simulazio fisikoetan, [[w:Fluidoen dinamika|fluidoen dinamikan]], [[w:Kimika konputazional|kimika konputazionalean]], [[w:Bioinformatika|bioinformatikan]], [[w:Finantza-eredu|finantza-ereduetan]], irudien analisian eta adimen artifizialean. Gailu txikiagoetan ere ageri dira, hala nola telefono mugikorretan, non irudiak eta bideoak prozesatzeaz gain ikusmen-konputaziorako eta adimen artifizialeko atazetarako ere erabiltzen diren. Zenbait kasutan, GPUen erabilerak aurretik orduak edo egunak eskatzen zituen kalkuluak minutu edo segundo gutxitan egitea ahalbidetu du.

== Testu-ebakia: errendimendua eta kontsumoa ==
GPU modernoek errendimendu handia eskaintzen dute, baina energia-kontsumo handia ere izan dezakete, batez ere [[w:Datu zentro|datu-zentroetan]] eta [[w:Superkonputagailu|superkonputazioan]]. Horregatik, gaur egun ez da nahikoa ahalmen gordina neurtzea: energia-eraginkortasuna ere funtsezko irizpidea da. '''TOP500''' zerrendak munduko superkonputagailu ahaltsuenak sailkatzen ditu, normalean LINPACK edo HPL proban lortutako errendimenduaren arabera.&lt;ref&gt;TOP500, webgune ofiziala.&lt;/ref&gt; '''Green500''' zerrendak, berriz, sistema horien energia-eraginkortasuna neurtzen du, [[w:Watt|watt]] bakoitzeko lortutako errendimendua kontuan hartuta.&lt;ref&gt;Green500, sailkapen ofiziala.&lt;/ref&gt;
== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>qd6q0wj4do8mexqmbu0b4uzjgma6byb</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44254</id>
      <parentid>44253</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T17:40:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* Historia eta bilakaera */</comment>
      <origin>44254</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5600" sha1="frs0ya2jxtd9hv0pfru02t38i8kscfb" xml:space="preserve">== GPU ==
[[Fitxategi:6600GT GPU.jpg|thumb|GeForce 6600GT '''GPU'''a]]'''[[w:Grafikoak prozesatzeko unitate|GPU]]'''a (''Graphics Processing Unit'', '''Grafikoak prozesatzeko unitatea''') jatorrian irudiak eta grafikoak prozesatzeko sortutako prozesadorea da, baina gaur egun funtsezko osagaia bihurtu da konputazio intentsiboa behar duten arlo askotan.&lt;ref&gt;Nickolls, J.; Dally, W. J., “The Origins of GPU Computing”, ''Communications of the ACM''.&lt;/ref&gt; Hasieran, pantailako irudiak sortzeko erabiltzen zen batez ere, bereziki hiru dimentsioko grafikoetan, bideo-jokoetan eta lan-estazio grafikoetan. Hala ere, laster ikusi zen GPUek abantaila handia zutela datu kopuru handien gaineko hainbat eragiketa berdin aldi berean egiteko. Ezaugarri horrek grafikoetatik haragoko erabilerak ekarri zituen, hala nola simulazio zientifikoak eta, batez ere, adimen artifizialeko hainbat atazatan. Bilakaera horren ondorioz, GPUa ez da gaur egun periferiko grafiko hutsa, baizik eta konputazio modernoaren osagai estrategikoa.

== Historia eta bilakaera ==
GPUen jatorria txartel grafikoen garapenari lotuta dago. 1990eko hamarkadan, ordenagailu pertsonaletako eta bideo-kontsoletako irudiak gero eta konplexuagoak bihurtu ziren heinean, beharrezkoa izan zen irudiak sortzeko lanaren zati bat prozesadore nagusitik aparteko gailu batera eramatea. Hasierako txartel grafikoek funtzio espezifikoak azkartzen zituzten, baina ez ziren oso malguak, aurrez zehaztutako urrats eta eragiketa batzuen barruan baino ezin zutelako lan egin.
1990eko hamarkadaren amaieran eta 2000koaren hasieran, GPU programagarrien hedapenak aldaketa handia ekarri zuen. Pixel- eta vertex-shaderrak programatzeko aukerak garatzaileei aukera eman zien kalkulu grafikoetatik haragoko eragiketak hardware horretan exekutatzeko. Testuinguru horretan sortu zen ''GPGPU'' deiturikoa (''General-Purpose computing on GPU''), hau da, GPUak erabilera orokorreko kalkuluetarako baliatzea.&lt;ref&gt;Luebke, D. et al., “GPGPU: General-Purpose Computation on Graphics Hardware”.&lt;/ref&gt;
Joera hori are gehiago indartu zen GPUak programatzeko tresnak zabaldu zirenean. Bereziki garrantzitsua '''CUDA''' izan da, [[w:Nvidia|NVIDIAk]] garatutako plataforma eta programazio-eredua, bere GPUak C++ edo Python bidez programatzeko aukera ematen duena.&lt;ref&gt;NVIDIA, ''CUDA C++ Programming Guide''.&lt;/ref&gt;  Aldi berean, '''OpenCL''' bezalako estandarrek antzeko bidea ireki zuten gailu eta plataforma heterogeneoetan.&lt;ref&gt;Khronos Group, ''The OpenCL Specification''.&lt;/ref&gt; 2010eko hamarkadatik aurrera, sare neuronal sakonen hedapenarekin, GPUak are garrantzitsuago bihurtu ziren, datu kopuru handien gaineko kalkulu paraleloak oso azkar egiteko gaitasunagatik. Gaur egun, datu-zentro, laborategi eta [[w:superkonputagailu|superkonputagailu]] askotan CPUak eta GPUak batera erabiltzen dira, arkitektura heterogeneoetan.

== Ezaugarriak eta funtzionamendua ==
[[Fitxategi:Generic block diagram of a GPU.svg|thumb|400x400px|'''GPU''' baten osagaiak.]]
GPUen indargune nagusia paralelismo masiboa da. CPU batek, oro har, hobeto kudeatzen ditu ataza konplexuak eta kontrol-fluxu irregularrak; GPUa, berriz, datu-paralelismo handiko kalkuluetarako egokiagoa da. Horregatik, bereziki aproposa da bektore, matrize eta pixel multzo handiekin lan egiteko. Ikuspegi orokorrago batetik, GPUen funtzionamendua datu askoren gainean eragiketa bera aldi berean aplikatzeko egokitutako paralelismo-ereduekin lotzen da; horregatik, askotan SIMD edo SIMT motako antolaketez hitz egiten da.
Horrek ez du esan nahi GPUa CPUaren ordezko zuzena denik. Ohikoena da biak batera erabiltzea: CPUak programaren kontrol orokorra eta ataza sekuentzialenak kudeatzen ditu, eta GPUak kalkulu paralelo intentsiboak azkartzen ditu. Eredu hori bereziki erabilgarria da datu kopuru handien gaineko kalkulu berdintsuak egin behar direnean. Hala ere, adarkatze handia duten algoritmoetan edo memoria-atzipen irregularrean, GPUen eraginkortasuna txikiagoa izan daiteke.

== Aplikazioak ==
GPUak gaur egun arlo askotan erabiltzen dira. Alde batetik, grafikoen sorreran eta bideo-jokoetan funtsezkoak izaten jarraitzen dute: irudi errealistak, hiru dimentsioko eszenak eta denbora errealeko animazioak sortzeko. Horrekin batera, erabilera nabarmena dute simulazio fisikoetan, [[w:Fluidoen dinamika|fluidoen dinamikan]], [[w:Kimika konputazional|kimika konputazionalean]], [[w:Bioinformatika|bioinformatikan]], [[w:Finantza-eredu|finantza-ereduetan]], irudien analisian eta adimen artifizialean. Gailu txikiagoetan ere ageri dira, hala nola telefono mugikorretan, non irudiak eta bideoak prozesatzeaz gain ikusmen-konputaziorako eta adimen artifizialeko atazetarako ere erabiltzen diren. Zenbait kasutan, GPUen erabilerak aurretik orduak edo egunak eskatzen zituen kalkuluak minutu edo segundo gutxitan egitea ahalbidetu du.

== Testu-ebakia: errendimendua eta kontsumoa ==
GPU modernoek errendimendu handia eskaintzen dute, baina energia-kontsumo handia ere izan dezakete, batez ere [[w:Datu zentro|datu-zentroetan]] eta [[w:Superkonputagailu|superkonputazioan]]. Horregatik, gaur egun ez da nahikoa ahalmen gordina neurtzea: energia-eraginkortasuna ere funtsezko irizpidea da. '''TOP500''' zerrendak munduko superkonputagailu ahaltsuenak sailkatzen ditu, normalean LINPACK edo HPL proban lortutako errendimenduaren arabera.&lt;ref&gt;TOP500, webgune ofiziala.&lt;/ref&gt; '''Green500''' zerrendak, berriz, sistema horien energia-eraginkortasuna neurtzen du, [[w:Watt|watt]] bakoitzeko lortutako errendimendua kontuan hartuta.&lt;ref&gt;Green500, sailkapen ofiziala.&lt;/ref&gt;
== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>frs0ya2jxtd9hv0pfru02t38i8kscfb</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44255</id>
      <parentid>44254</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T17:45:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* Ezaugarriak eta funtzionamendua */</comment>
      <origin>44255</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5658" sha1="n6iul4o207ep04p09d4w1dflwhsxas9" xml:space="preserve">== GPU ==
[[Fitxategi:6600GT GPU.jpg|thumb|GeForce 6600GT '''GPU'''a]]'''[[w:Grafikoak prozesatzeko unitate|GPU]]'''a (''Graphics Processing Unit'', '''Grafikoak prozesatzeko unitatea''') jatorrian irudiak eta grafikoak prozesatzeko sortutako prozesadorea da, baina gaur egun funtsezko osagaia bihurtu da konputazio intentsiboa behar duten arlo askotan.&lt;ref&gt;Nickolls, J.; Dally, W. J., “The Origins of GPU Computing”, ''Communications of the ACM''.&lt;/ref&gt; Hasieran, pantailako irudiak sortzeko erabiltzen zen batez ere, bereziki hiru dimentsioko grafikoetan, bideo-jokoetan eta lan-estazio grafikoetan. Hala ere, laster ikusi zen GPUek abantaila handia zutela datu kopuru handien gaineko hainbat eragiketa berdin aldi berean egiteko. Ezaugarri horrek grafikoetatik haragoko erabilerak ekarri zituen, hala nola simulazio zientifikoak eta, batez ere, adimen artifizialeko hainbat atazatan. Bilakaera horren ondorioz, GPUa ez da gaur egun periferiko grafiko hutsa, baizik eta konputazio modernoaren osagai estrategikoa.

== Historia eta bilakaera ==
GPUen jatorria txartel grafikoen garapenari lotuta dago. 1990eko hamarkadan, ordenagailu pertsonaletako eta bideo-kontsoletako irudiak gero eta konplexuagoak bihurtu ziren heinean, beharrezkoa izan zen irudiak sortzeko lanaren zati bat prozesadore nagusitik aparteko gailu batera eramatea. Hasierako txartel grafikoek funtzio espezifikoak azkartzen zituzten, baina ez ziren oso malguak, aurrez zehaztutako urrats eta eragiketa batzuen barruan baino ezin zutelako lan egin.
1990eko hamarkadaren amaieran eta 2000koaren hasieran, GPU programagarrien hedapenak aldaketa handia ekarri zuen. Pixel- eta vertex-shaderrak programatzeko aukerak garatzaileei aukera eman zien kalkulu grafikoetatik haragoko eragiketak hardware horretan exekutatzeko. Testuinguru horretan sortu zen ''GPGPU'' deiturikoa (''General-Purpose computing on GPU''), hau da, GPUak erabilera orokorreko kalkuluetarako baliatzea.&lt;ref&gt;Luebke, D. et al., “GPGPU: General-Purpose Computation on Graphics Hardware”.&lt;/ref&gt;
Joera hori are gehiago indartu zen GPUak programatzeko tresnak zabaldu zirenean. Bereziki garrantzitsua '''CUDA''' izan da, [[w:Nvidia|NVIDIAk]] garatutako plataforma eta programazio-eredua, bere GPUak C++ edo Python bidez programatzeko aukera ematen duena.&lt;ref&gt;NVIDIA, ''CUDA C++ Programming Guide''.&lt;/ref&gt;  Aldi berean, '''OpenCL''' bezalako estandarrek antzeko bidea ireki zuten gailu eta plataforma heterogeneoetan.&lt;ref&gt;Khronos Group, ''The OpenCL Specification''.&lt;/ref&gt; 2010eko hamarkadatik aurrera, sare neuronal sakonen hedapenarekin, GPUak are garrantzitsuago bihurtu ziren, datu kopuru handien gaineko kalkulu paraleloak oso azkar egiteko gaitasunagatik. Gaur egun, datu-zentro, laborategi eta [[w:superkonputagailu|superkonputagailu]] askotan CPUak eta GPUak batera erabiltzen dira, arkitektura heterogeneoetan.

== Ezaugarriak eta funtzionamendua ==
[[Fitxategi:Generic block diagram of a GPU.svg|thumb|400x400px|'''GPU''' baten osagaiak.]]
GPUen indargune nagusia paralelismo masiboa da. CPU batek, oro har, hobeto kudeatzen ditu ataza konplexuak eta kontrol-fluxu irregularrak; GPUa, berriz, datu-paralelismo handiko kalkuluetarako egokiagoa da. Horregatik, bereziki aproposa da bektore, matrize eta pixel multzo handiekin lan egiteko. Ikuspegi orokorrago batetik, GPUen funtzionamendua datu askoren gainean eragiketa bera aldi berean aplikatzeko egokitutako paralelismo-ereduekin lotzen da; horregatik, askotan SIMD (agindu bakarra, datu anitz) edo SIMT (agindu bakarra, hari anitz) motako antolaketez hitz egiten da.
Horrek ez du esan nahi GPUa CPUaren ordezko zuzena denik. Ohikoena da biak batera erabiltzea: CPUak programaren kontrol orokorra eta ataza sekuentzialenak kudeatzen ditu, eta GPUak kalkulu paralelo intentsiboak azkartzen ditu. Eredu hori bereziki erabilgarria da datu kopuru handien gaineko kalkulu berdintsuak egin behar direnean. Hala ere, adarkatze handia duten algoritmoetan edo memoria-atzipen irregularrean, GPUen eraginkortasuna txikiagoa izan daiteke.

== Aplikazioak ==
GPUak gaur egun arlo askotan erabiltzen dira. Alde batetik, grafikoen sorreran eta bideo-jokoetan funtsezkoak izaten jarraitzen dute: irudi errealistak, hiru dimentsioko eszenak eta denbora errealeko animazioak sortzeko. Horrekin batera, erabilera nabarmena dute simulazio fisikoetan, [[w:Fluidoen dinamika|fluidoen dinamikan]], [[w:Kimika konputazional|kimika konputazionalean]], [[w:Bioinformatika|bioinformatikan]], [[w:Finantza-eredu|finantza-ereduetan]], irudien analisian eta adimen artifizialean. Gailu txikiagoetan ere ageri dira, hala nola telefono mugikorretan, non irudiak eta bideoak prozesatzeaz gain ikusmen-konputaziorako eta adimen artifizialeko atazetarako ere erabiltzen diren. Zenbait kasutan, GPUen erabilerak aurretik orduak edo egunak eskatzen zituen kalkuluak minutu edo segundo gutxitan egitea ahalbidetu du.

== Testu-ebakia: errendimendua eta kontsumoa ==
GPU modernoek errendimendu handia eskaintzen dute, baina energia-kontsumo handia ere izan dezakete, batez ere [[w:Datu zentro|datu-zentroetan]] eta [[w:Superkonputagailu|superkonputazioan]]. Horregatik, gaur egun ez da nahikoa ahalmen gordina neurtzea: energia-eraginkortasuna ere funtsezko irizpidea da. '''TOP500''' zerrendak munduko superkonputagailu ahaltsuenak sailkatzen ditu, normalean LINPACK edo HPL proban lortutako errendimenduaren arabera.&lt;ref&gt;TOP500, webgune ofiziala.&lt;/ref&gt; '''Green500''' zerrendak, berriz, sistema horien energia-eraginkortasuna neurtzen du, [[w:Watt|watt]] bakoitzeko lortutako errendimendua kontuan hartuta.&lt;ref&gt;Green500, sailkapen ofiziala.&lt;/ref&gt;
== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>n6iul4o207ep04p09d4w1dflwhsxas9</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44256</id>
      <parentid>44255</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T17:48:41Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* Aplikazioak */</comment>
      <origin>44256</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5778" sha1="6d7itfeno6nqnpw2q3sgbfqmcpb8vx2" xml:space="preserve">== GPU ==
[[Fitxategi:6600GT GPU.jpg|thumb|GeForce 6600GT '''GPU'''a]]'''[[w:Grafikoak prozesatzeko unitate|GPU]]'''a (''Graphics Processing Unit'', '''Grafikoak prozesatzeko unitatea''') jatorrian irudiak eta grafikoak prozesatzeko sortutako prozesadorea da, baina gaur egun funtsezko osagaia bihurtu da konputazio intentsiboa behar duten arlo askotan.&lt;ref&gt;Nickolls, J.; Dally, W. J., “The Origins of GPU Computing”, ''Communications of the ACM''.&lt;/ref&gt; Hasieran, pantailako irudiak sortzeko erabiltzen zen batez ere, bereziki hiru dimentsioko grafikoetan, bideo-jokoetan eta lan-estazio grafikoetan. Hala ere, laster ikusi zen GPUek abantaila handia zutela datu kopuru handien gaineko hainbat eragiketa berdin aldi berean egiteko. Ezaugarri horrek grafikoetatik haragoko erabilerak ekarri zituen, hala nola simulazio zientifikoak eta, batez ere, adimen artifizialeko hainbat atazatan. Bilakaera horren ondorioz, GPUa ez da gaur egun periferiko grafiko hutsa, baizik eta konputazio modernoaren osagai estrategikoa.

== Historia eta bilakaera ==
GPUen jatorria txartel grafikoen garapenari lotuta dago. 1990eko hamarkadan, ordenagailu pertsonaletako eta bideo-kontsoletako irudiak gero eta konplexuagoak bihurtu ziren heinean, beharrezkoa izan zen irudiak sortzeko lanaren zati bat prozesadore nagusitik aparteko gailu batera eramatea. Hasierako txartel grafikoek funtzio espezifikoak azkartzen zituzten, baina ez ziren oso malguak, aurrez zehaztutako urrats eta eragiketa batzuen barruan baino ezin zutelako lan egin.
1990eko hamarkadaren amaieran eta 2000koaren hasieran, GPU programagarrien hedapenak aldaketa handia ekarri zuen. Pixel- eta vertex-shaderrak programatzeko aukerak garatzaileei aukera eman zien kalkulu grafikoetatik haragoko eragiketak hardware horretan exekutatzeko. Testuinguru horretan sortu zen ''GPGPU'' deiturikoa (''General-Purpose computing on GPU''), hau da, GPUak erabilera orokorreko kalkuluetarako baliatzea.&lt;ref&gt;Luebke, D. et al., “GPGPU: General-Purpose Computation on Graphics Hardware”.&lt;/ref&gt;
Joera hori are gehiago indartu zen GPUak programatzeko tresnak zabaldu zirenean. Bereziki garrantzitsua '''CUDA''' izan da, [[w:Nvidia|NVIDIAk]] garatutako plataforma eta programazio-eredua, bere GPUak C++ edo Python bidez programatzeko aukera ematen duena.&lt;ref&gt;NVIDIA, ''CUDA C++ Programming Guide''.&lt;/ref&gt;  Aldi berean, '''OpenCL''' bezalako estandarrek antzeko bidea ireki zuten gailu eta plataforma heterogeneoetan.&lt;ref&gt;Khronos Group, ''The OpenCL Specification''.&lt;/ref&gt; 2010eko hamarkadatik aurrera, sare neuronal sakonen hedapenarekin, GPUak are garrantzitsuago bihurtu ziren, datu kopuru handien gaineko kalkulu paraleloak oso azkar egiteko gaitasunagatik. Gaur egun, datu-zentro, laborategi eta [[w:superkonputagailu|superkonputagailu]] askotan CPUak eta GPUak batera erabiltzen dira, arkitektura heterogeneoetan.

== Ezaugarriak eta funtzionamendua ==
[[Fitxategi:Generic block diagram of a GPU.svg|thumb|400x400px|'''GPU''' baten osagaiak.]]
GPUen indargune nagusia paralelismo masiboa da. CPU batek, oro har, hobeto kudeatzen ditu ataza konplexuak eta kontrol-fluxu irregularrak; GPUa, berriz, datu-paralelismo handiko kalkuluetarako egokiagoa da. Horregatik, bereziki aproposa da bektore, matrize eta pixel multzo handiekin lan egiteko. Ikuspegi orokorrago batetik, GPUen funtzionamendua datu askoren gainean eragiketa bera aldi berean aplikatzeko egokitutako paralelismo-ereduekin lotzen da; horregatik, askotan SIMD (agindu bakarra, datu anitz) edo SIMT (agindu bakarra, hari anitz) motako antolaketez hitz egiten da.
Horrek ez du esan nahi GPUa CPUaren ordezko zuzena denik. Ohikoena da biak batera erabiltzea: CPUak programaren kontrol orokorra eta ataza sekuentzialenak kudeatzen ditu, eta GPUak kalkulu paralelo intentsiboak azkartzen ditu. Eredu hori bereziki erabilgarria da datu kopuru handien gaineko kalkulu berdintsuak egin behar direnean. Hala ere, adarkatze handia duten algoritmoetan edo memoria-atzipen irregularrean, GPUen eraginkortasuna txikiagoa izan daiteke.

== Aplikazioak ==
GPUak gaur egun arlo askotan erabiltzen dira. Alde batetik, grafikoen sorreran eta bideo-jokoetan funtsezkoak izaten jarraitzen dute: irudi errealistak, hiru dimentsioko eszenak eta denbora errealeko animazioak sortzeko. Horrekin batera, erabilera nabarmena dute simulazio fisikoetan, [[w:Fluidoen dinamika|fluidoen dinamikan]], [[w:Kimika konputazional|kimika konputazionalean]], [[w:Bioinformatika|bioinformatikan]], [[w:Finantza-eredu|finantza-ereduetan]], irudien analisian eta adimen artifizialean, bereziki gaur egun ugaltzen ari diren AA sortzailean eta [[w:Hizkuntza-eredu_handi|LLMetan (hizkuntza-eredu handiak)]]. Gailu txikiagoetan ere ageri dira, hala nola telefono mugikorretan, non irudiak eta bideoak prozesatzeaz gain ikusmen-konputaziorako eta adimen artifizialeko atazetarako ere erabiltzen diren. Zenbait kasutan, GPUen erabilerak aurretik orduak edo egunak eskatzen zituen kalkuluak minutu edo segundo gutxitan egitea ahalbidetu du.

== Testu-ebakia: errendimendua eta kontsumoa ==
GPU modernoek errendimendu handia eskaintzen dute, baina energia-kontsumo handia ere izan dezakete, batez ere [[w:Datu zentro|datu-zentroetan]] eta [[w:Superkonputagailu|superkonputazioan]]. Horregatik, gaur egun ez da nahikoa ahalmen gordina neurtzea: energia-eraginkortasuna ere funtsezko irizpidea da. '''TOP500''' zerrendak munduko superkonputagailu ahaltsuenak sailkatzen ditu, normalean LINPACK edo HPL proban lortutako errendimenduaren arabera.&lt;ref&gt;TOP500, webgune ofiziala.&lt;/ref&gt; '''Green500''' zerrendak, berriz, sistema horien energia-eraginkortasuna neurtzen du, [[w:Watt|watt]] bakoitzeko lortutako errendimendua kontuan hartuta.&lt;ref&gt;Green500, sailkapen ofiziala.&lt;/ref&gt;
== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>6d7itfeno6nqnpw2q3sgbfqmcpb8vx2</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44257</id>
      <parentid>44256</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T19:03:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* Testu-ebakia: errendimendua eta kontsumoa */</comment>
      <origin>44257</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7053" sha1="8e0lq0718uf2di8lk6bq5vl0txqs0fu" xml:space="preserve">== GPU ==
[[Fitxategi:6600GT GPU.jpg|thumb|GeForce 6600GT '''GPU'''a]]'''[[w:Grafikoak prozesatzeko unitate|GPU]]'''a (''Graphics Processing Unit'', '''Grafikoak prozesatzeko unitatea''') jatorrian irudiak eta grafikoak prozesatzeko sortutako prozesadorea da, baina gaur egun funtsezko osagaia bihurtu da konputazio intentsiboa behar duten arlo askotan.&lt;ref&gt;Nickolls, J.; Dally, W. J., “The Origins of GPU Computing”, ''Communications of the ACM''.&lt;/ref&gt; Hasieran, pantailako irudiak sortzeko erabiltzen zen batez ere, bereziki hiru dimentsioko grafikoetan, bideo-jokoetan eta lan-estazio grafikoetan. Hala ere, laster ikusi zen GPUek abantaila handia zutela datu kopuru handien gaineko hainbat eragiketa berdin aldi berean egiteko. Ezaugarri horrek grafikoetatik haragoko erabilerak ekarri zituen, hala nola simulazio zientifikoak eta, batez ere, adimen artifizialeko hainbat atazatan. Bilakaera horren ondorioz, GPUa ez da gaur egun periferiko grafiko hutsa, baizik eta konputazio modernoaren osagai estrategikoa.

== Historia eta bilakaera ==
GPUen jatorria txartel grafikoen garapenari lotuta dago. 1990eko hamarkadan, ordenagailu pertsonaletako eta bideo-kontsoletako irudiak gero eta konplexuagoak bihurtu ziren heinean, beharrezkoa izan zen irudiak sortzeko lanaren zati bat prozesadore nagusitik aparteko gailu batera eramatea. Hasierako txartel grafikoek funtzio espezifikoak azkartzen zituzten, baina ez ziren oso malguak, aurrez zehaztutako urrats eta eragiketa batzuen barruan baino ezin zutelako lan egin.
1990eko hamarkadaren amaieran eta 2000koaren hasieran, GPU programagarrien hedapenak aldaketa handia ekarri zuen. Pixel- eta vertex-shaderrak programatzeko aukerak garatzaileei aukera eman zien kalkulu grafikoetatik haragoko eragiketak hardware horretan exekutatzeko. Testuinguru horretan sortu zen ''GPGPU'' deiturikoa (''General-Purpose computing on GPU''), hau da, GPUak erabilera orokorreko kalkuluetarako baliatzea.&lt;ref&gt;Luebke, D. et al., “GPGPU: General-Purpose Computation on Graphics Hardware”.&lt;/ref&gt;
Joera hori are gehiago indartu zen GPUak programatzeko tresnak zabaldu zirenean. Bereziki garrantzitsua '''CUDA''' izan da, [[w:Nvidia|NVIDIAk]] garatutako plataforma eta programazio-eredua, bere GPUak C++ edo Python bidez programatzeko aukera ematen duena.&lt;ref&gt;NVIDIA, ''CUDA C++ Programming Guide''.&lt;/ref&gt;  Aldi berean, '''OpenCL''' bezalako estandarrek antzeko bidea ireki zuten gailu eta plataforma heterogeneoetan.&lt;ref&gt;Khronos Group, ''The OpenCL Specification''.&lt;/ref&gt; 2010eko hamarkadatik aurrera, sare neuronal sakonen hedapenarekin, GPUak are garrantzitsuago bihurtu ziren, datu kopuru handien gaineko kalkulu paraleloak oso azkar egiteko gaitasunagatik. Gaur egun, datu-zentro, laborategi eta [[w:superkonputagailu|superkonputagailu]] askotan CPUak eta GPUak batera erabiltzen dira, arkitektura heterogeneoetan.

== Ezaugarriak eta funtzionamendua ==
[[Fitxategi:Generic block diagram of a GPU.svg|thumb|400x400px|'''GPU''' baten osagaiak.]]
GPUen indargune nagusia paralelismo masiboa da. CPU batek, oro har, hobeto kudeatzen ditu ataza konplexuak eta kontrol-fluxu irregularrak; GPUa, berriz, datu-paralelismo handiko kalkuluetarako egokiagoa da. Horregatik, bereziki aproposa da bektore, matrize eta pixel multzo handiekin lan egiteko. Ikuspegi orokorrago batetik, GPUen funtzionamendua datu askoren gainean eragiketa bera aldi berean aplikatzeko egokitutako paralelismo-ereduekin lotzen da; horregatik, askotan SIMD (agindu bakarra, datu anitz) edo SIMT (agindu bakarra, hari anitz) motako antolaketez hitz egiten da.
Horrek ez du esan nahi GPUa CPUaren ordezko zuzena denik. Ohikoena da biak batera erabiltzea: CPUak programaren kontrol orokorra eta ataza sekuentzialenak kudeatzen ditu, eta GPUak kalkulu paralelo intentsiboak azkartzen ditu. Eredu hori bereziki erabilgarria da datu kopuru handien gaineko kalkulu berdintsuak egin behar direnean. Hala ere, adarkatze handia duten algoritmoetan edo memoria-atzipen irregularrean, GPUen eraginkortasuna txikiagoa izan daiteke.

== Aplikazioak ==
GPUak gaur egun arlo askotan erabiltzen dira. Alde batetik, grafikoen sorreran eta bideo-jokoetan funtsezkoak izaten jarraitzen dute: irudi errealistak, hiru dimentsioko eszenak eta denbora errealeko animazioak sortzeko. Horrekin batera, erabilera nabarmena dute simulazio fisikoetan, [[w:Fluidoen dinamika|fluidoen dinamikan]], [[w:Kimika konputazional|kimika konputazionalean]], [[w:Bioinformatika|bioinformatikan]], [[w:Finantza-eredu|finantza-ereduetan]], irudien analisian eta adimen artifizialean, bereziki gaur egun ugaltzen ari diren AA sortzailean eta [[w:Hizkuntza-eredu_handi|LLMetan (hizkuntza-eredu handiak)]]. Gailu txikiagoetan ere ageri dira, hala nola telefono mugikorretan, non irudiak eta bideoak prozesatzeaz gain ikusmen-konputaziorako eta adimen artifizialeko atazetarako ere erabiltzen diren. Zenbait kasutan, GPUen erabilerak aurretik orduak edo egunak eskatzen zituen kalkuluak minutu edo segundo gutxitan egitea ahalbidetu du.

== Testu-ebakia: Adimen artifiziala, datu-zentroak eta ingurumena==
GPU modernoek errendimendu handia eskaintzen dute, baina energia-kontsumo handia ere izan dezakete, batez ere [[w:Datu zentro|datu-zentroetan]] eta [[w:Superkonputagailu|superkonputazioan]]. Horregatik, gaur egun ez da nahikoa ahalmen gordina neurtzea: energia-eraginkortasuna ere funtsezko irizpidea da. '''TOP500''' zerrendak munduko superkonputagailu ahaltsuenak sailkatzen ditu, normalean LINPACK edo HPL proban lortutako errendimenduaren arabera.&lt;ref&gt;TOP500, webgune ofiziala.&lt;/ref&gt; '''Green500''' zerrendak, berriz, sistema horien energia-eraginkortasuna neurtzen du, [[w:Watt|watt]] bakoitzeko lortutako errendimendua kontuan hartuta.&lt;ref&gt;Green500, sailkapen ofiziala.&lt;/ref&gt;

[[Fitxategi:Data-centers-share-electricity-demand.svg|thumb|Datu-zentroen energia-kontsumoa (2025)]]
Edozein kasutan hizkuntza-eredu handien zabalkundearekin adimen artifizialerako datu-zentroak ugaltzen ari dira, eta are gehiago planifikatzen. Zentro hauek CPU eta GPU asko dituzte, eta ur eta argindarra erruz kontsumitzen dute. 

Argindarrari dagokionez, 2025eko datuek diote (ikus irudia) munduan kontsumitutako energiaren % 1,5a datu-zentroetan erabiltzen dela, baina AEBn ia % 5era iristen da eta Irlandan % 20raino.
https://www.berria.eus/ekonomia/datu-zentroak-gero-eta-gehiago_2134706_102.html
Joera gorakorra da, eta Google, Amazon, eta Meta moduko enpresek, hasiera batean, energia berriztagarrien aldeko jarrera izan bazuten ere energia nuklearra ere erabiltzeko asmoa dute.[126]

Uraren erabilera intentsiboa ere egiten dute, hainbeste prozesadore batera egotean hozteko sistema ahaltsuak behar dira-eta. Horrek ur-eskasia eragin dezake zentroak kokatuta dauden tokietan.

Elektrizitate eta uraren beharra dela-eta zenbait tokitan hasi dira instalazio hauen kontrako mobilizazioak.  
Adibidez, AEBn,  Data Center Watch erakundearen arabera64 mila milioko proiektuak eten edo atzeratu dira 2024ko maiatza eta 2025eko martxoaren artean.[257]

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>8e0lq0718uf2di8lk6bq5vl0txqs0fu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44258</id>
      <parentid>44257</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T19:09:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* Testu-ebakia: Adimen artifiziala, datu-zentroak eta ingurumena */</comment>
      <origin>44258</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7818" sha1="3fhztbc9j58j8i2h9lv2zr2j9c1atxq" xml:space="preserve">== GPU ==
[[Fitxategi:6600GT GPU.jpg|thumb|GeForce 6600GT '''GPU'''a]]'''[[w:Grafikoak prozesatzeko unitate|GPU]]'''a (''Graphics Processing Unit'', '''Grafikoak prozesatzeko unitatea''') jatorrian irudiak eta grafikoak prozesatzeko sortutako prozesadorea da, baina gaur egun funtsezko osagaia bihurtu da konputazio intentsiboa behar duten arlo askotan.&lt;ref&gt;Nickolls, J.; Dally, W. J., “The Origins of GPU Computing”, ''Communications of the ACM''.&lt;/ref&gt; Hasieran, pantailako irudiak sortzeko erabiltzen zen batez ere, bereziki hiru dimentsioko grafikoetan, bideo-jokoetan eta lan-estazio grafikoetan. Hala ere, laster ikusi zen GPUek abantaila handia zutela datu kopuru handien gaineko hainbat eragiketa berdin aldi berean egiteko. Ezaugarri horrek grafikoetatik haragoko erabilerak ekarri zituen, hala nola simulazio zientifikoak eta, batez ere, adimen artifizialeko hainbat atazatan. Bilakaera horren ondorioz, GPUa ez da gaur egun periferiko grafiko hutsa, baizik eta konputazio modernoaren osagai estrategikoa.

== Historia eta bilakaera ==
GPUen jatorria txartel grafikoen garapenari lotuta dago. 1990eko hamarkadan, ordenagailu pertsonaletako eta bideo-kontsoletako irudiak gero eta konplexuagoak bihurtu ziren heinean, beharrezkoa izan zen irudiak sortzeko lanaren zati bat prozesadore nagusitik aparteko gailu batera eramatea. Hasierako txartel grafikoek funtzio espezifikoak azkartzen zituzten, baina ez ziren oso malguak, aurrez zehaztutako urrats eta eragiketa batzuen barruan baino ezin zutelako lan egin.
1990eko hamarkadaren amaieran eta 2000koaren hasieran, GPU programagarrien hedapenak aldaketa handia ekarri zuen. Pixel- eta vertex-shaderrak programatzeko aukerak garatzaileei aukera eman zien kalkulu grafikoetatik haragoko eragiketak hardware horretan exekutatzeko. Testuinguru horretan sortu zen ''GPGPU'' deiturikoa (''General-Purpose computing on GPU''), hau da, GPUak erabilera orokorreko kalkuluetarako baliatzea.&lt;ref&gt;Luebke, D. et al., “GPGPU: General-Purpose Computation on Graphics Hardware”.&lt;/ref&gt;
Joera hori are gehiago indartu zen GPUak programatzeko tresnak zabaldu zirenean. Bereziki garrantzitsua '''CUDA''' izan da, [[w:Nvidia|NVIDIAk]] garatutako plataforma eta programazio-eredua, bere GPUak C++ edo Python bidez programatzeko aukera ematen duena.&lt;ref&gt;NVIDIA, ''CUDA C++ Programming Guide''.&lt;/ref&gt;  Aldi berean, '''OpenCL''' bezalako estandarrek antzeko bidea ireki zuten gailu eta plataforma heterogeneoetan.&lt;ref&gt;Khronos Group, ''The OpenCL Specification''.&lt;/ref&gt; 2010eko hamarkadatik aurrera, sare neuronal sakonen hedapenarekin, GPUak are garrantzitsuago bihurtu ziren, datu kopuru handien gaineko kalkulu paraleloak oso azkar egiteko gaitasunagatik. Gaur egun, datu-zentro, laborategi eta [[w:superkonputagailu|superkonputagailu]] askotan CPUak eta GPUak batera erabiltzen dira, arkitektura heterogeneoetan.

== Ezaugarriak eta funtzionamendua ==
[[Fitxategi:Generic block diagram of a GPU.svg|thumb|400x400px|'''GPU''' baten osagaiak.]]
GPUen indargune nagusia paralelismo masiboa da. CPU batek, oro har, hobeto kudeatzen ditu ataza konplexuak eta kontrol-fluxu irregularrak; GPUa, berriz, datu-paralelismo handiko kalkuluetarako egokiagoa da. Horregatik, bereziki aproposa da bektore, matrize eta pixel multzo handiekin lan egiteko. Ikuspegi orokorrago batetik, GPUen funtzionamendua datu askoren gainean eragiketa bera aldi berean aplikatzeko egokitutako paralelismo-ereduekin lotzen da; horregatik, askotan SIMD (agindu bakarra, datu anitz) edo SIMT (agindu bakarra, hari anitz) motako antolaketez hitz egiten da.
Horrek ez du esan nahi GPUa CPUaren ordezko zuzena denik. Ohikoena da biak batera erabiltzea: CPUak programaren kontrol orokorra eta ataza sekuentzialenak kudeatzen ditu, eta GPUak kalkulu paralelo intentsiboak azkartzen ditu. Eredu hori bereziki erabilgarria da datu kopuru handien gaineko kalkulu berdintsuak egin behar direnean. Hala ere, adarkatze handia duten algoritmoetan edo memoria-atzipen irregularrean, GPUen eraginkortasuna txikiagoa izan daiteke.

== Aplikazioak ==
GPUak gaur egun arlo askotan erabiltzen dira. Alde batetik, grafikoen sorreran eta bideo-jokoetan funtsezkoak izaten jarraitzen dute: irudi errealistak, hiru dimentsioko eszenak eta denbora errealeko animazioak sortzeko. Horrekin batera, erabilera nabarmena dute simulazio fisikoetan, [[w:Fluidoen dinamika|fluidoen dinamikan]], [[w:Kimika konputazional|kimika konputazionalean]], [[w:Bioinformatika|bioinformatikan]], [[w:Finantza-eredu|finantza-ereduetan]], irudien analisian eta adimen artifizialean, bereziki gaur egun ugaltzen ari diren AA sortzailean eta [[w:Hizkuntza-eredu_handi|LLMetan (hizkuntza-eredu handiak)]]. Gailu txikiagoetan ere ageri dira, hala nola telefono mugikorretan, non irudiak eta bideoak prozesatzeaz gain ikusmen-konputaziorako eta adimen artifizialeko atazetarako ere erabiltzen diren. Zenbait kasutan, GPUen erabilerak aurretik orduak edo egunak eskatzen zituen kalkuluak minutu edo segundo gutxitan egitea ahalbidetu du.

== Testu-ebakia: Adimen artifiziala, datu-zentroak eta ingurumena==
GPU modernoek errendimendu handia eskaintzen dute, baina energia-kontsumo handia ere izan dezakete, batez ere [[w:Datu zentro|datu-zentroetan]] eta [[w:Superkonputagailu|superkonputazioan]]. Horregatik, gaur egun ez da nahikoa ahalmen gordina neurtzea: energia-eraginkortasuna ere funtsezko irizpidea da. '''TOP500''' zerrendak munduko superkonputagailu ahaltsuenak sailkatzen ditu, normalean LINPACK edo HPL proban lortutako errendimenduaren arabera.&lt;ref&gt;TOP500, webgune ofiziala.&lt;/ref&gt; Green500 zerrendak, berriz, sistema horien energia-eraginkortasuna neurtzen du, [[w:Watt|watt]] bakoitzeko lortutako errendimendua kontuan hartuta.&lt;ref&gt;Green500, sailkapen ofiziala.&lt;/ref&gt;

[[Fitxategi:Data-centers-share-electricity-demand.svg|thumb|Datu-zentroen energia-kontsumoa (2025)]]
Edozein kasutan hizkuntza-eredu handien zabalkundearekin adimen artifizialerako datu-zentroak ugaltzen ari dira, eta are gehiago planifikatzen. Zentro hauek CPU eta GPU asko dituzte, eta ur eta argindarra erruz kontsumitzen dute. 

Argindarrari dagokionez, 2025eko datuek diote (ikus irudia) munduan kontsumitutako energiaren % 1,5a datu-zentroetan erabiltzen dela, baina AEBn ia % 5era iristen da eta Irlandan % 20raino.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Irune|abizena=Lasa|izenburua=Datu zentroak, gero eta gehiago|hizkuntza=eu|data=2024-12-22|url=https://www.berria.eus/ekonomia/datu-zentroak-gero-eta-gehiago_2134706_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-09-08}}&lt;/ref&gt; Joera gorakorra da, eta Google, Amazon, eta Meta moduko enpresek, hasiera batean, energia berriztagarrien aldeko jarrera izan bazuten ere energia nuklearra ere erabiltzeko asmoa dute.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izenburua=Trump's AI plan calls for massive data centers. Here's how it may affect energy in the US|hizkuntza=en|data=2025-07-24|url=https://apnews.com/article/trump-artificial-intelligence-energy-data-centers-f216660b80f992ae303b348dac0b2f87|aldizkaria=AP News|sartze-data=2026-09-08}}&lt;/ref&gt;

Uraren erabilera intentsiboa ere egiten dute, hainbeste prozesadore batera egotean hozteko sistema ahaltsuak behar dira-eta. Horrek ur-eskasia eragin dezake zentroak kokatuta dauden tokietan.

Elektrizitate eta uraren beharra dela-eta zenbait tokitan hasi dira instalazio hauen kontrako mobilizazioak.  Adibidez, AEBn,  Data Center Watch erakundearen arabera 64 mila milioko proiektuak eten edo atzeratu dira 2024ko maiatza eta 2025eko martxoaren artean.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izenburua=Trump’s push for more AI data centers faces backlash from his own voters|hizkuntza=en-US|url=https://www.reuters.com/business/retail-consumer/trumps-push-more-ai-data-centers-faces-backlash-his-own-voters-2025-12-01/|aldizkaria=Reuters|sartze-data=2026-09-08}}&lt;/ref&gt;

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>3fhztbc9j58j8i2h9lv2zr2j9c1atxq</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44259</id>
      <parentid>44258</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T19:09:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* Testu-ebakia: Adimen artifiziala, datu-zentroak eta ingurumena */</comment>
      <origin>44259</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7811" sha1="aacysq3u521up03dsxzxbw6crthpeyd" xml:space="preserve">== GPU ==
[[Fitxategi:6600GT GPU.jpg|thumb|GeForce 6600GT '''GPU'''a]]'''[[w:Grafikoak prozesatzeko unitate|GPU]]'''a (''Graphics Processing Unit'', '''Grafikoak prozesatzeko unitatea''') jatorrian irudiak eta grafikoak prozesatzeko sortutako prozesadorea da, baina gaur egun funtsezko osagaia bihurtu da konputazio intentsiboa behar duten arlo askotan.&lt;ref&gt;Nickolls, J.; Dally, W. J., “The Origins of GPU Computing”, ''Communications of the ACM''.&lt;/ref&gt; Hasieran, pantailako irudiak sortzeko erabiltzen zen batez ere, bereziki hiru dimentsioko grafikoetan, bideo-jokoetan eta lan-estazio grafikoetan. Hala ere, laster ikusi zen GPUek abantaila handia zutela datu kopuru handien gaineko hainbat eragiketa berdin aldi berean egiteko. Ezaugarri horrek grafikoetatik haragoko erabilerak ekarri zituen, hala nola simulazio zientifikoak eta, batez ere, adimen artifizialeko hainbat atazatan. Bilakaera horren ondorioz, GPUa ez da gaur egun periferiko grafiko hutsa, baizik eta konputazio modernoaren osagai estrategikoa.

== Historia eta bilakaera ==
GPUen jatorria txartel grafikoen garapenari lotuta dago. 1990eko hamarkadan, ordenagailu pertsonaletako eta bideo-kontsoletako irudiak gero eta konplexuagoak bihurtu ziren heinean, beharrezkoa izan zen irudiak sortzeko lanaren zati bat prozesadore nagusitik aparteko gailu batera eramatea. Hasierako txartel grafikoek funtzio espezifikoak azkartzen zituzten, baina ez ziren oso malguak, aurrez zehaztutako urrats eta eragiketa batzuen barruan baino ezin zutelako lan egin.
1990eko hamarkadaren amaieran eta 2000koaren hasieran, GPU programagarrien hedapenak aldaketa handia ekarri zuen. Pixel- eta vertex-shaderrak programatzeko aukerak garatzaileei aukera eman zien kalkulu grafikoetatik haragoko eragiketak hardware horretan exekutatzeko. Testuinguru horretan sortu zen ''GPGPU'' deiturikoa (''General-Purpose computing on GPU''), hau da, GPUak erabilera orokorreko kalkuluetarako baliatzea.&lt;ref&gt;Luebke, D. et al., “GPGPU: General-Purpose Computation on Graphics Hardware”.&lt;/ref&gt;
Joera hori are gehiago indartu zen GPUak programatzeko tresnak zabaldu zirenean. Bereziki garrantzitsua '''CUDA''' izan da, [[w:Nvidia|NVIDIAk]] garatutako plataforma eta programazio-eredua, bere GPUak C++ edo Python bidez programatzeko aukera ematen duena.&lt;ref&gt;NVIDIA, ''CUDA C++ Programming Guide''.&lt;/ref&gt;  Aldi berean, '''OpenCL''' bezalako estandarrek antzeko bidea ireki zuten gailu eta plataforma heterogeneoetan.&lt;ref&gt;Khronos Group, ''The OpenCL Specification''.&lt;/ref&gt; 2010eko hamarkadatik aurrera, sare neuronal sakonen hedapenarekin, GPUak are garrantzitsuago bihurtu ziren, datu kopuru handien gaineko kalkulu paraleloak oso azkar egiteko gaitasunagatik. Gaur egun, datu-zentro, laborategi eta [[w:superkonputagailu|superkonputagailu]] askotan CPUak eta GPUak batera erabiltzen dira, arkitektura heterogeneoetan.

== Ezaugarriak eta funtzionamendua ==
[[Fitxategi:Generic block diagram of a GPU.svg|thumb|400x400px|'''GPU''' baten osagaiak.]]
GPUen indargune nagusia paralelismo masiboa da. CPU batek, oro har, hobeto kudeatzen ditu ataza konplexuak eta kontrol-fluxu irregularrak; GPUa, berriz, datu-paralelismo handiko kalkuluetarako egokiagoa da. Horregatik, bereziki aproposa da bektore, matrize eta pixel multzo handiekin lan egiteko. Ikuspegi orokorrago batetik, GPUen funtzionamendua datu askoren gainean eragiketa bera aldi berean aplikatzeko egokitutako paralelismo-ereduekin lotzen da; horregatik, askotan SIMD (agindu bakarra, datu anitz) edo SIMT (agindu bakarra, hari anitz) motako antolaketez hitz egiten da.
Horrek ez du esan nahi GPUa CPUaren ordezko zuzena denik. Ohikoena da biak batera erabiltzea: CPUak programaren kontrol orokorra eta ataza sekuentzialenak kudeatzen ditu, eta GPUak kalkulu paralelo intentsiboak azkartzen ditu. Eredu hori bereziki erabilgarria da datu kopuru handien gaineko kalkulu berdintsuak egin behar direnean. Hala ere, adarkatze handia duten algoritmoetan edo memoria-atzipen irregularrean, GPUen eraginkortasuna txikiagoa izan daiteke.

== Aplikazioak ==
GPUak gaur egun arlo askotan erabiltzen dira. Alde batetik, grafikoen sorreran eta bideo-jokoetan funtsezkoak izaten jarraitzen dute: irudi errealistak, hiru dimentsioko eszenak eta denbora errealeko animazioak sortzeko. Horrekin batera, erabilera nabarmena dute simulazio fisikoetan, [[w:Fluidoen dinamika|fluidoen dinamikan]], [[w:Kimika konputazional|kimika konputazionalean]], [[w:Bioinformatika|bioinformatikan]], [[w:Finantza-eredu|finantza-ereduetan]], irudien analisian eta adimen artifizialean, bereziki gaur egun ugaltzen ari diren AA sortzailean eta [[w:Hizkuntza-eredu_handi|LLMetan (hizkuntza-eredu handiak)]]. Gailu txikiagoetan ere ageri dira, hala nola telefono mugikorretan, non irudiak eta bideoak prozesatzeaz gain ikusmen-konputaziorako eta adimen artifizialeko atazetarako ere erabiltzen diren. Zenbait kasutan, GPUen erabilerak aurretik orduak edo egunak eskatzen zituen kalkuluak minutu edo segundo gutxitan egitea ahalbidetu du.

== Testu-ebakia: Adimen artifiziala, datu-zentroak eta ingurumena==
GPU modernoek errendimendu handia eskaintzen dute, baina energia-kontsumo handia ere izan dezakete, batez ere [[w:Datu zentro|datu-zentroetan]] eta [[w:Superkonputagailu|superkonputazioan]]. Horregatik, gaur egun ez da nahikoa ahalmen gordina neurtzea: energia-eraginkortasuna ere funtsezko irizpidea da. TOP500 zerrendak munduko superkonputagailu ahaltsuenak sailkatzen ditu, normalean LINPACK edo HPL proban lortutako errendimenduaren arabera.&lt;ref&gt;TOP500, webgune ofiziala.&lt;/ref&gt; Green500 zerrendak, berriz, sistema horien energia-eraginkortasuna neurtzen du, [[w:Watt|watt]] bakoitzeko lortutako errendimendua kontuan hartuta.&lt;ref&gt;Green500, sailkapen ofiziala.&lt;/ref&gt;

[[Fitxategi:Data-centers-share-electricity-demand.svg|thumb|Datu-zentroen energia-kontsumoa (2025)]]
Edozein kasutan hizkuntza-eredu handien zabalkundearekin adimen artifizialerako datu-zentroak ugaltzen ari dira, eta are gehiago planifikatzen. Zentro hauek CPU eta GPU asko dituzte, eta ur eta argindarra erruz kontsumitzen dute. 

Argindarrari dagokionez, 2025eko datuek diote (ikus irudia) munduan kontsumitutako energiaren % 1,5a datu-zentroetan erabiltzen dela, baina AEBn ia % 5era iristen da eta Irlandan % 20raino.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Irune|abizena=Lasa|izenburua=Datu zentroak, gero eta gehiago|hizkuntza=eu|data=2024-12-22|url=https://www.berria.eus/ekonomia/datu-zentroak-gero-eta-gehiago_2134706_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-09-08}}&lt;/ref&gt; Joera gorakorra da, eta Google, Amazon, eta Meta moduko enpresek, hasiera batean, energia berriztagarrien aldeko jarrera izan bazuten ere energia nuklearra ere erabiltzeko asmoa dute.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izenburua=Trump's AI plan calls for massive data centers. Here's how it may affect energy in the US|hizkuntza=en|data=2025-07-24|url=https://apnews.com/article/trump-artificial-intelligence-energy-data-centers-f216660b80f992ae303b348dac0b2f87|aldizkaria=AP News|sartze-data=2026-09-08}}&lt;/ref&gt;
Uraren erabilera intentsiboa ere egiten dute, hainbeste prozesadore batera egotean hozteko sistema ahaltsuak behar dira-eta. Horrek ur-eskasia eragin dezake zentroak kokatuta dauden tokietan.

Elektrizitate eta uraren beharra dela-eta zenbait tokitan hasi dira instalazio hauen kontrako mobilizazioak.  Adibidez, AEBn,  Data Center Watch erakundearen arabera 64 mila milioko proiektuak eten edo atzeratu dira 2024ko maiatza eta 2025eko martxoaren artean.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izenburua=Trump’s push for more AI data centers faces backlash from his own voters|hizkuntza=en-US|url=https://www.reuters.com/business/retail-consumer/trumps-push-more-ai-data-centers-faces-backlash-his-own-voters-2025-12-01/|aldizkaria=Reuters|sartze-data=2026-09-08}}&lt;/ref&gt;

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>aacysq3u521up03dsxzxbw6crthpeyd</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Informatikaren 50 urte 50 teknologiatan/Telefono adimenduna eta Tableta</title>
    <ns>0</ns>
    <id>7329</id>
    <revision>
      <id>44251</id>
      <parentid>43977</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T17:21:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <origin>44251</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8925" sha1="24mkv2r9ee68a7vn36hbjbl1fq3y681" xml:space="preserve">=Telefono adimenduna eta Tableta=
[[Fitxategi:Commercial Mobile Technology (140214-F-CE345-001).jpg|thumb| Tableta eta telefono adimenduna]]
'''Telefono adimenduna''' (''smartphone'' ingelesez'')''  [[w:telefono mugikor|telefono mugikor]]raren eta [[w:Ordenagailu pertsonal|PC]]&lt;nowiki/&gt;aren elementuak konbinatzen dituen gailua da. Oinarrizko telefonoek baino gaitasun handiagoa daukate, [[w:ordenagailu|ordenagailu]] baten antzeko jarduerak egiten dituzte eta konektagarritasun handia dute.  Azken ezaugarriari esker [[w:Internet|Internet]] konexioa eskain dezakete (ia) edonon. [[w:Ukipen-pantaila|Ukipen-pantaila]] bat dute erabiltzaileak aplikazioak hautatu eta erabiltzeko.

'''Tableta''' [[w:ordenagailu eramangarri|ordenagailu eramangarri]] txikia da, eta telefono adimendunak bezala ukipen-pantaila eta konektagarritasun handia ditu. 

Biak ala biak funtsezko dispositiboak izan dira mugikortasunari begira, baita ikus-entzunezko alorrean aritzeko ere, zeren dituzten [[w:kamera|kamera]], [[w:GPS|GPS]], [[w:mikrofono|mikrofono]] eta [[w:Bozgorailu|bozgorailuak]] sare-konektibitatearekin ([[w:wifi|wifi]], sare telefonikoa, [[w:bluetooth|bluetooth]]...) konbinatuta iraultza ekarri baitute. Haien bitartez testuak, irudiak, soinuak eta bideoak edonondik atzitu daitezke, baita edonon sortu eta bidali ere. 

Telefono adimendun eta tableta gehienetan, bezeroak programa gehigarriak ([[w:Aplikazio informatiko|aplikazio]] izenekoak) deskarga eta instala ditzake. Horretarako, [[w:sistema eragile|sistema eragile]] nagusiek aplikazio-dendak sortu dituzte, hala nola [[w:Android|Androiden]] [[w:Google Play|Google Play]], [[w:IOS|iOSen]] [[w:App Store|App Store]] edo [[w:Windows Phone|Windows Phoneren]] [[w:Windows Phone Store|Windows Phone Store]].

Gailu horien ezaugarri nagusiak hauek dira: multiataza funtzioa, [[w:Wifi|WiFi]] edota [[w:2G|2G]], [[w:3G|3G]], [[w:4G|4G]] nahiz [[w:5G|5G]] sareen bidezko [[w:internet|Internet]] konexioa, multimedia funtzioak, argazki-kamera, eta musika zein bideoak erreproduzitzeko programak, agenda eta kontaktuen kudeaketa, [[w:GPS|GPSa]] eta mapen gaineko nabigaziorako programak, baita hainbat motatako dokumentu irakurri ahal izatekoak ere (hala nola, [[w:PDF|PDF]] eta [[w:Microsoft Office|Microsoft Office]]).

== Historia eta bilakaera ==
1990eko hamarkadaren erdialdean, telefono mugikorrak zituzten pertsona askok PDA gailu bat ere erabiltzen zuten, Palm OS,  [[w:Symbian|Symbian]] edo [[w:Windows CE|Windows CE]]/Pocket PC  sistema eragileen aurreneko bertsioak exekutatzen zituztenak. 

Garai hartako &quot;telefono adimendun&quot; primitibo gehienak gailu hibridoak ziren, eta familiako PDA sistema eragile horiek telefonoaren oinarrizko hardwarearekin konbinatzen zituzten. 1996 eta 2000 artean, [[w:Nokia|Nokia]], [[w:Ericsson|Ericsson]] eta Japoniako enpresa batzuk PDA eta telefono mugikorra fusionatu zituzten, baina ez zuten arrakasta handirik izan hainbat faktorerengatik, prezioa, datuetako tarifak eta interfaze traketsak besteak beste. 2000tik aurrera, Synbian sistema zuten Nokia telefonoek eta [[w:BlackBerry|Blackberryek]] arrakasta handia izan zuten.  Baina egun ezagutzen ditugun telefono adimendunak ez ziren 2007ra arte nagusitu. 

2007an, Applek historiako lehen [[w:IPhone|IPhone]] telefonoa kaleratu zuen, eta, horrela, telefonia mugikorraren erabileraren estandarrak betiko aldatu zituen. «Urteko asmakizuna» izendatu zuen [[w:Time|Time]] aldizkariak 2007an. Lehen IPhonearekin [[w:IOS|IOS sistema eragile]] mugikorra zetorren, urtebete geroago, 2008an, sortuko zen [[w:Android|Androiderekin]] lehian aritu dena gaur arte&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Igor Leturia|abizena=Azkarate|izenburua=Sistema eragileen guda berria|hizkuntza=eu|data=2010-10-01|url=https://zientzia.eus/artikuluak/sistema-eragileen-guda-berria/|aldizkaria=Elhuyar Zientzia|sartze-data=2026-06-29}}&lt;/ref&gt;. 2010 arte Synbian izan zen sistema erabiliena, baina hortik aurrera Nokiak porrot egin zuen.

Tableten historiari dagokionez, hainbat film eta diseinutan agertu arren, lehen dispositiboa 2001ean agertu zen, Microsoften eskutik eta Tablet PC zuen izena. Hainbat fabrikatzaileri lizentzia eman zion eta hainbat produktu sortu ziren (Nokia 510 webtablet esaterako) baina ez zuten arrakasta handirik izan. Aldaketa 2010ean gertatu zen, Apple iPad tableta aurkeztu zuenean iPhone telefonoan oinarrituta. Horren aurrean, telefonoen eta PCen ekoizle askok erreakzionatu zuten Android-en oinarritutako tabletak merkaturatzen.

=== Telefono adimenduen merkatua ===
&lt;div class=&quot;floatright&quot;&gt;
&lt;timeline&gt;
ImageSize=width:270 height:400
PlotArea=left:60 bottom:45 top:10 right:16
AlignBars=justify
Period=from:0 till:1700
TimeAxis=orientation:horizontal

Colors=
 id:gray value:gray(0.5)
 id:line1 value:gray(0.9)
 id:line2 value:gray(0.7)

BarData=
 bar:2007 text:2007
 bar:2008 text:2008
 bar:2009 text:2009
 bar:2010 text:2010
 bar:2011 text:2011
 bar:2012 text:2012
 bar:2013 text:2013
 bar:2014 text:2014
 bar:2015 text:2015
 bar:2016 text:2016
 bar:2017 text:2017
 bar:2018 text:2018
 bar:2019 text:2019
 bar:2020 text:2020
 bar:2021 text:2021
 bar:2022 text:2022

PlotData=
 color:tan1 width:10

 bar:2007 from:start till:122 text:122
 bar:2008 from:start till:139 text:139
 bar:2009 from:start till:172 text:172
 bar:2010 from:start till:296 text:296
 bar:2011 from:start till:472 text:472
 bar:2012 from:start till:680 text:680
 bar:2013 from:start till:969 text:969
 bar:2014 from:start till:1244 text:1,244
 bar:2015 from:start till:1423 text:1,423
 bar:2016 from:start till:1495 text:1,495
 bar:2017 from:start till:1536 text:1,536
 bar:2018 from:start till:1556 text:1,556
 bar:2019 from:start till:1540 text:1,540
 bar:2020 from:start till:1351 text:1,351
 bar:2021 from:start till:1433 text:1,433
 bar:2022 from:start till:1395 text:1,395

TextData=
 pos:(40,20) textcolor:gray fontsize:M text: Telefono adimendunen salmentak munduan (milioitan)
TextData=
 pos:(40,5) textcolor:gray fontsize:M text:Iturburua: gartner.com
&lt;/timeline&gt;&lt;/div&gt;

Smartphonen salmentek beste telefonoen salmentak gainditu zituzten 2013 hasieran. Irudian ikus daitekeenez, 2014an 1.000 milioi unitatetik gora saldu ziren ziren. 2018an salmentek goia jo zuten, 1.500 milioi ale baino gehiago salduta, baina hortik aurrera, maila apalean bada ere, jaisten joan dira, erabiltzaileek ez dituztelako modeloak hain maiz berritzen. [[w:Apple Inc.|Apple]] eta [[w:Samsung Electronics|Samsung]] dira gehien saltzen dituztenak, paretsu dabiltza urteko 250 milioi ale inguruan salduta, eta [[w:Xiaomi|Xiaomi]] da hirugarrena.

== Testu ebakia: Telefonoaren eragina osasunean eta eskolan ==
Azken urteetan egindako ikerkuntzen arabera telefono adimendunak gehiegi erabiltzeak buruko mina, loaren nahasmendua eta behar adina lo ez egitea ekar ditzake. [[w:Adikzio|Mendekotasun]] oso larria denean osasun fisikoan ere eragin dezakete.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=S. Barani|abizena=Shankar|izenburua=Comparison study of factors associated with smartphone addiction among college students.|orrialdeak=1165|hizkuntza=en|abizena2=Rani|abizena3=Brundha|izena2=S. Leslie|izena3=M. P.|data=2020-07-15|url=https://openurl.ebsco.com/contentitem/gcd:144741328?sid=ebsco:plink:crawler-gcd&amp;id=ebsco:gcd:144741328&amp;crl=c&amp;jrnl=09757619|aldizkaria=Drug Invention Today|alea=7|zenbakia=14|issn=0975-7619|sartze-data=2026-07-25}}&lt;/ref&gt; 

Eskolaren eremuan ikaskuntza-prozesuetan zailtasunak eta [[w:Arreta|arreta-galtzea]] detektatu dira. Gauzak horrela, mundu osoan gora doa ikasleen arteko erabilerari muga jarri nahi dizkioten ekimenak:

* Hego Korean 2026ko martxotik aurrera erabateko debekua ezarri da eskoletan. Salbuespenak behar berezietako ikasleen erabilera eta larrialdiak dira.
* Italian, Herbehereetan, Frantzian eta Finlandian gero eta debeku zabalagoak ezartzen ari dira. 
* Australiako zenbait estatuetan ere erabateko debekua ere onartu dute

Gure artean ere azken urteotan bizi-bizi dago eztabaida: eskoletan eskuko telefonoak bai ala ez; eta baiezkoan, noiz, nola eta zertarako. Eusko Jaurlaritzak ikastetxe bakoitzaren esku utzi zuen erabakia, urtea amaitzerako arautzeko eskatu zuen, eta berriki ezagutarazi dituzte prozesuaren emaitzak: Lehen Hezkuntzan, %83k eskolako eremu osoan debekatu dituzte sakelakoak, erabat; %14k, berriz, erabilera pedagogikorako onartu dituzte, horretarako baino ez. DBH Derrigorrezko Bigarren Hezkuntzako lehenengo eta bigarren mailetan, eskola publikoen %36k jarduera guztietarako erabateko debekua ezarri dute, baita itunpekoen %47k ere.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Irati Urdalleta|abizena=Lete|izenburua=Sakelakorik gabeko arnasguneak xede|hizkuntza=eu|data=2025-03-30|url=https://www.berria.eus/euskal-herria/sakelakorik-gabeko-arnasguneak-xede_2138882_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-07-25}}&lt;/ref&gt; Beste ondorioen artean asko hedatu den [[w:Ziberjazarpen|ziberjazarpena]] ere murriztu nahi da debeku eta muga horiekin.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>24mkv2r9ee68a7vn36hbjbl1fq3y681</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44252</id>
      <parentid>44251</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T17:30:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* Telefono adimenduen merkatua */</comment>
      <origin>44252</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8924" sha1="g081sk66t0j78epfawew2famd3jswdw" xml:space="preserve">=Telefono adimenduna eta Tableta=
[[Fitxategi:Commercial Mobile Technology (140214-F-CE345-001).jpg|thumb| Tableta eta telefono adimenduna]]
'''Telefono adimenduna''' (''smartphone'' ingelesez'')''  [[w:telefono mugikor|telefono mugikor]]raren eta [[w:Ordenagailu pertsonal|PC]]&lt;nowiki/&gt;aren elementuak konbinatzen dituen gailua da. Oinarrizko telefonoek baino gaitasun handiagoa daukate, [[w:ordenagailu|ordenagailu]] baten antzeko jarduerak egiten dituzte eta konektagarritasun handia dute.  Azken ezaugarriari esker [[w:Internet|Internet]] konexioa eskain dezakete (ia) edonon. [[w:Ukipen-pantaila|Ukipen-pantaila]] bat dute erabiltzaileak aplikazioak hautatu eta erabiltzeko.

'''Tableta''' [[w:ordenagailu eramangarri|ordenagailu eramangarri]] txikia da, eta telefono adimendunak bezala ukipen-pantaila eta konektagarritasun handia ditu. 

Biak ala biak funtsezko dispositiboak izan dira mugikortasunari begira, baita ikus-entzunezko alorrean aritzeko ere, zeren dituzten [[w:kamera|kamera]], [[w:GPS|GPS]], [[w:mikrofono|mikrofono]] eta [[w:Bozgorailu|bozgorailuak]] sare-konektibitatearekin ([[w:wifi|wifi]], sare telefonikoa, [[w:bluetooth|bluetooth]]...) konbinatuta iraultza ekarri baitute. Haien bitartez testuak, irudiak, soinuak eta bideoak edonondik atzitu daitezke, baita edonon sortu eta bidali ere. 

Telefono adimendun eta tableta gehienetan, bezeroak programa gehigarriak ([[w:Aplikazio informatiko|aplikazio]] izenekoak) deskarga eta instala ditzake. Horretarako, [[w:sistema eragile|sistema eragile]] nagusiek aplikazio-dendak sortu dituzte, hala nola [[w:Android|Androiden]] [[w:Google Play|Google Play]], [[w:IOS|iOSen]] [[w:App Store|App Store]] edo [[w:Windows Phone|Windows Phoneren]] [[w:Windows Phone Store|Windows Phone Store]].

Gailu horien ezaugarri nagusiak hauek dira: multiataza funtzioa, [[w:Wifi|WiFi]] edota [[w:2G|2G]], [[w:3G|3G]], [[w:4G|4G]] nahiz [[w:5G|5G]] sareen bidezko [[w:internet|Internet]] konexioa, multimedia funtzioak, argazki-kamera, eta musika zein bideoak erreproduzitzeko programak, agenda eta kontaktuen kudeaketa, [[w:GPS|GPSa]] eta mapen gaineko nabigaziorako programak, baita hainbat motatako dokumentu irakurri ahal izatekoak ere (hala nola, [[w:PDF|PDF]] eta [[w:Microsoft Office|Microsoft Office]]).

== Historia eta bilakaera ==
1990eko hamarkadaren erdialdean, telefono mugikorrak zituzten pertsona askok PDA gailu bat ere erabiltzen zuten, Palm OS,  [[w:Symbian|Symbian]] edo [[w:Windows CE|Windows CE]]/Pocket PC  sistema eragileen aurreneko bertsioak exekutatzen zituztenak. 

Garai hartako &quot;telefono adimendun&quot; primitibo gehienak gailu hibridoak ziren, eta familiako PDA sistema eragile horiek telefonoaren oinarrizko hardwarearekin konbinatzen zituzten. 1996 eta 2000 artean, [[w:Nokia|Nokia]], [[w:Ericsson|Ericsson]] eta Japoniako enpresa batzuk PDA eta telefono mugikorra fusionatu zituzten, baina ez zuten arrakasta handirik izan hainbat faktorerengatik, prezioa, datuetako tarifak eta interfaze traketsak besteak beste. 2000tik aurrera, Synbian sistema zuten Nokia telefonoek eta [[w:BlackBerry|Blackberryek]] arrakasta handia izan zuten.  Baina egun ezagutzen ditugun telefono adimendunak ez ziren 2007ra arte nagusitu. 

2007an, Applek historiako lehen [[w:IPhone|IPhone]] telefonoa kaleratu zuen, eta, horrela, telefonia mugikorraren erabileraren estandarrak betiko aldatu zituen. «Urteko asmakizuna» izendatu zuen [[w:Time|Time]] aldizkariak 2007an. Lehen IPhonearekin [[w:IOS|IOS sistema eragile]] mugikorra zetorren, urtebete geroago, 2008an, sortuko zen [[w:Android|Androiderekin]] lehian aritu dena gaur arte&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Igor Leturia|abizena=Azkarate|izenburua=Sistema eragileen guda berria|hizkuntza=eu|data=2010-10-01|url=https://zientzia.eus/artikuluak/sistema-eragileen-guda-berria/|aldizkaria=Elhuyar Zientzia|sartze-data=2026-06-29}}&lt;/ref&gt;. 2010 arte Synbian izan zen sistema erabiliena, baina hortik aurrera Nokiak porrot egin zuen.

Tableten historiari dagokionez, hainbat film eta diseinutan agertu arren, lehen dispositiboa 2001ean agertu zen, Microsoften eskutik eta Tablet PC zuen izena. Hainbat fabrikatzaileri lizentzia eman zion eta hainbat produktu sortu ziren (Nokia 510 webtablet esaterako) baina ez zuten arrakasta handirik izan. Aldaketa 2010ean gertatu zen, Apple iPad tableta aurkeztu zuenean iPhone telefonoan oinarrituta. Horren aurrean, telefonoen eta PCen ekoizle askok erreakzionatu zuten Android-en oinarritutako tabletak merkaturatzen.

=== Telefono adimenduen merkatua ===
&lt;div class=&quot;floatright&quot;&gt;
&lt;timeline&gt;
ImageSize=width:270 height:400
PlotArea=left:60 bottom:45 top:10 right:16
AlignBars=justify
Period=from:0 till:1700
TimeAxis=orientation:horizontal

Colors=
 id:gray value:gray(0.5)
 id:line1 value:gray(0.9)
 id:line2 value:gray(0.7)

BarData=
 bar:2007 text:2007
 bar:2008 text:2008
 bar:2009 text:2009
 bar:2010 text:2010
 bar:2011 text:2011
 bar:2012 text:2012
 bar:2013 text:2013
 bar:2014 text:2014
 bar:2015 text:2015
 bar:2016 text:2016
 bar:2017 text:2017
 bar:2018 text:2018
 bar:2019 text:2019
 bar:2020 text:2020
 bar:2021 text:2021
 bar:2022 text:2022

PlotData=
 color:tan1 width:10

 bar:2007 from:start till:122 text:122
 bar:2008 from:start till:139 text:139
 bar:2009 from:start till:172 text:172
 bar:2010 from:start till:296 text:296
 bar:2011 from:start till:472 text:472
 bar:2012 from:start till:680 text:680
 bar:2013 from:start till:969 text:969
 bar:2014 from:start till:1244 text:1,244
 bar:2015 from:start till:1423 text:1,423
 bar:2016 from:start till:1495 text:1,495
 bar:2017 from:start till:1536 text:1,536
 bar:2018 from:start till:1556 text:1,556
 bar:2019 from:start till:1540 text:1,540
 bar:2020 from:start till:1351 text:1,351
 bar:2021 from:start till:1433 text:1,433
 bar:2022 from:start till:1395 text:1,395

TextData=
 pos:(40,20) textcolor:gray fontsize:M text: Telefono adimendunen salmentak munduan (milioitan)
TextData=
 pos:(40,5) textcolor:gray fontsize:M text:Iturburua: gartner.com
&lt;/timeline&gt;&lt;/div&gt;

Smartphonen salmentek beste telefonoen salmentak gainditu zituzten 2013 hasieran. Irudian ikus daitekeenez, 2014an 1.000 milioi unitatetik gora saldu ziren ziren. 2018an salmentek goia jo zuten, 1.500 milioi ale baino gehiago salduta, baina hortik aurrera, maila apalean bada ere, jaisten joan dira, erabiltzaileek ez dituztelako gailuak hain maiz berritzen. [[w:Apple Inc.|Apple]] eta [[w:Samsung Electronics|Samsung]] dira gehien saltzen dituztenak, paretsu dabiltza urteko 250 milioi ale inguruan salduta, eta [[w:Xiaomi|Xiaomi]] da hirugarrena.

== Testu ebakia: Telefonoaren eragina osasunean eta eskolan ==
Azken urteetan egindako ikerkuntzen arabera telefono adimendunak gehiegi erabiltzeak buruko mina, loaren nahasmendua eta behar adina lo ez egitea ekar ditzake. [[w:Adikzio|Mendekotasun]] oso larria denean osasun fisikoan ere eragin dezakete.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=S. Barani|abizena=Shankar|izenburua=Comparison study of factors associated with smartphone addiction among college students.|orrialdeak=1165|hizkuntza=en|abizena2=Rani|abizena3=Brundha|izena2=S. Leslie|izena3=M. P.|data=2020-07-15|url=https://openurl.ebsco.com/contentitem/gcd:144741328?sid=ebsco:plink:crawler-gcd&amp;id=ebsco:gcd:144741328&amp;crl=c&amp;jrnl=09757619|aldizkaria=Drug Invention Today|alea=7|zenbakia=14|issn=0975-7619|sartze-data=2026-07-25}}&lt;/ref&gt; 

Eskolaren eremuan ikaskuntza-prozesuetan zailtasunak eta [[w:Arreta|arreta-galtzea]] detektatu dira. Gauzak horrela, mundu osoan gora doa ikasleen arteko erabilerari muga jarri nahi dizkioten ekimenak:

* Hego Korean 2026ko martxotik aurrera erabateko debekua ezarri da eskoletan. Salbuespenak behar berezietako ikasleen erabilera eta larrialdiak dira.
* Italian, Herbehereetan, Frantzian eta Finlandian gero eta debeku zabalagoak ezartzen ari dira. 
* Australiako zenbait estatuetan ere erabateko debekua ere onartu dute

Gure artean ere azken urteotan bizi-bizi dago eztabaida: eskoletan eskuko telefonoak bai ala ez; eta baiezkoan, noiz, nola eta zertarako. Eusko Jaurlaritzak ikastetxe bakoitzaren esku utzi zuen erabakia, urtea amaitzerako arautzeko eskatu zuen, eta berriki ezagutarazi dituzte prozesuaren emaitzak: Lehen Hezkuntzan, %83k eskolako eremu osoan debekatu dituzte sakelakoak, erabat; %14k, berriz, erabilera pedagogikorako onartu dituzte, horretarako baino ez. DBH Derrigorrezko Bigarren Hezkuntzako lehenengo eta bigarren mailetan, eskola publikoen %36k jarduera guztietarako erabateko debekua ezarri dute, baita itunpekoen %47k ere.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Irati Urdalleta|abizena=Lete|izenburua=Sakelakorik gabeko arnasguneak xede|hizkuntza=eu|data=2025-03-30|url=https://www.berria.eus/euskal-herria/sakelakorik-gabeko-arnasguneak-xede_2138882_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-07-25}}&lt;/ref&gt; Beste ondorioen artean asko hedatu den [[w:Ziberjazarpen|ziberjazarpena]] ere murriztu nahi da debeku eta muga horiekin.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>g081sk66t0j78epfawew2famd3jswdw</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Informatikaren 50 urte 50 teknologiatan/VAX makina, LISP makina</title>
    <ns>0</ns>
    <id>7330</id>
    <revision>
      <id>44240</id>
      <parentid>44211</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T16:52:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <origin>44240</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9825" sha1="pcbbf07tkmivqvbveq89d1wbi8q7ig8" xml:space="preserve">1970eko eta 1980ko hamarkadetan, informatikak bilakaera azkarra izan zuen hardwarearen eta softwarearen arkitektura berrien garapenari esker. Testuinguru horretan, helburu oso desberdinak zituzten bi konputagailu-familia sortu ziren: [[w:VAX|VAX]] makinak, erabilera orokorrerako eta errendimendu handiko sistemak izateko diseinatuak, eta [[w:Lisp makina|LISP makinak]], [[w:Lisp|LISP]] lengoaian idatzitako programak exekutatzeko bereziki diseinatuak eta [[w:Adimen artifizial|adimen artifizialaren]] ikerketara bideratuak.&lt;ref name=&quot;Brookshear2019&quot;&gt;J. G. Brookshear eta D. Brylow, ''Computer Science: An Overview'', 13. ed., Pearson, 2019.&lt;/ref&gt; Fakultatean ezarri ziren VAX11eta Symbolics LISP makinekin ikasleek praktika asko egin ahal izan zituzten, eta irakasleek zein ikerlariek hainbat proiektu eta tesi aurrera eraman. Geroago [[Sun_Microsystems|Sun]] zerbitzariak etorriko ziren, VMS sistematik Unix moduko SunOS eta Solaris sistemekin.

== VAX makinak ==

[[Fitxategi:VAX 11-780 intero.jpg|thumb|250px|eskuinera|VAX-11/780 sistema, Digital Equipment Corporation (DEC) enpresak 1977an aurkeztutako lehen VAX eredua.]]

VAX (Virtual Address eXtension) sistemak Digital Equipment Corporation (DEC) enpresak garatu zituen, eta 1977an merkaturatu ziren PDP-11 familiaren ondorengo gisa.&lt;ref name=&quot;VAXManual&quot;&gt;Digital Equipment Corporation, ''VAX Architecture Reference Manual'', Digital Press, 1987.&lt;/ref&gt; Haien berrikuntza nagusia [[w:Alegiazko memoria|memoria birtualaren]] erabilera izan zen; horri esker, aplikazio konplexuagoak exekutatu eta sistemaren baliabideak hobeto aprobetxa zitezkeen.&lt;ref name=&quot;VAXManual&quot; /&gt; Gainera, [[w:Complex instruction set computing|CISC]] (Complex Instruction Set Computer) arkitektura erabiltzen zuten, hardwarean zuzenean eragiketa konplexuak exekutatzeko gai den agindu-multzo zabal batean oinarrituta.&lt;ref name=&quot;Levy1989&quot;&gt;H. M. Levy eta R. H. Eckhouse, ''Computer Programming and Architecture: The VAX'', Digital Press, 1989.&lt;/ref&gt;

VAX sistemak erabiltzaile eta prozesu anitz aldi berean kudeatzeko gaitasunagatik nabarmendu ziren, VMS sistema eragileari esker. Sistema horrek gero [[w:OpenVMS|OpenVMS]] izena hartu zuen, eta haren egonkortasunagatik eta segurtasunagatik ezaguna izan zen.&lt;ref name=&quot;VAXManual&quot; /&gt; Ezaugarri horiek zirela eta, unibertsitateetan, ikerketa-zentroetan, ospitaleetan eta enpresa handietan oso erabiliak izan ziren. Beste abantaila garrantzitsu bat belaunaldi desberdinetako ekipoen arteko bateragarritasuna izan zen; horri esker, aurreko modeloetarako garatutako aplikazioak berrerabili zitezkeen.&lt;ref name=&quot;Levy1989&quot; /&gt;

1980ko hamarkadaren amaieran, prozesadore indartsuagoek eta merkeagoek minikonputagailu espezializatuen beharra murriztu zuten. VAX sistemek pixkanaka protagonismoa galdu bazuten ere, erakunde askok urte luzez erabiltzen jarraitu zuten OpenVMS sistemaren fidagarritasunari esker.&lt;ref name=&quot;Brookshear2019&quot; /&gt;

== LISP makinak ==

[[Fitxategi:Symbolics3640 Modified.JPG|thumb|250px|eskuinera|Symbolics 3640 LISP makina, LISP lengoaian idatzitako programak exekutatzeko diseinatutako lan-estazioa.]]

VAX makinen garaikideak dira LISP makinak. LISP programazio-lengoaiaren exekuzioa optimizatzeko sortu ziren. Lengoaia hori [[w:John McCarthy|John McCarthyk]] garatu zuen 1960an, adimen artifizialeko aplikazioetarako.&lt;ref name=&quot;McCarthy1960&quot;&gt;J. McCarthy, &quot;Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine, Part I&quot;, ''Communications of the ACM'', 3(4), 184–195 or., 1960.&lt;/ref&gt; [[w:Massachusetts Institute of Technology|MITeko]] ikertzaileak ohartu ziren arkitektura konbentzionalek LISP ez zutela modu eraginkorrean exekutatzen; horregatik, lengoaiaren oinarrizko eragiketetarako hardware-laguntza zuten konputagailuak diseinatu zituzten.&lt;ref name=&quot;Moon1987&quot;&gt;D. A. Moon, ''Architecture of the Symbolics 3600'', Symbolics Inc., 1987.&lt;/ref&gt;

Makina horiek listen manipulazioa zuzenean hardwarean inplementatzen zituzten, hala nola, datu-moten egiaztapen dinamikoa eta memoriako zabor-bilketa automatikoa. Horri esker, ohiko konputagailuek baino errendimendu handiagoa lortzen zuten aplikazio mota horietan.&lt;ref name=&quot;Moon1987&quot; /&gt; Besteak beste, Symbolics, Lisp Machines Incorporated eta [[w:Texas Instruments|Texas Instruments]] enpresek merkaturatu zituzten sistema horiek 1980ko hamarkadan, eta [[w:Sistema aditu|sistema adituetan]], [[w:Hizkuntzaren prozesamendu|hizkuntzaren prozesamenduan]] eta adimen artifizialeko beste hainbat arlotan erabili ziren.&lt;ref name=&quot;Steele1990&quot;&gt;G. L. Steele Jr., ''Common Lisp: The Language'', 2. ed., Digital Press, 1990.&lt;/ref&gt;

Beste berrikuntza garrantzitsu bat garapen-ingurune interaktiboa izan zen. Horri esker, programak editatu, exekutatu eta araztu zitezkeen exekuzioa eten gabe. Gainera, sistema eragilearen beraren zati handi bat LISP lengoaian idatzita zegoen, eta hardwarearen eta softwarearen arteko integrazio estua lortu zen.&lt;ref name=&quot;Steele1990&quot; /&gt;

Hala ere, makina horien kostu handiak eta ohiko lan-estazioen errendimenduaren hobekuntza azkarrak lehiakortasuna galtzea ekarri zieten LISP makinei. LISP lengoaiarekin lan egiteko konpiladore modernoek hardware estandarrean nahikoa errendimendu eskaintzen zutenez, LISP makinen gainbehera komertziala iritsi zen 1990eko hamarkadan.&lt;ref name=&quot;Tanenbaum2013&quot;&gt;A. S. Tanenbaum eta T. Austin, ''Structured Computer Organization'', 6. ed., Pearson, 2013.&lt;/ref&gt;

== Ondorioak ==

Oro har, VAX eta LISP makinak konputagailuen arkitekturaren bi ikuspegi desberdinen adibide dira. Lehenengoen helburua erabilera orokorrerako plataforma sendo eta moldakorra eskaintzea zen; bigarrenek, berriz, zeregin jakinetarako hardware espezializatua diseinatzearen abantailak erakutsi zituzten. Merkatuan jarraipenik izan ez bazuten ere, bi teknologiek eragin handia izan zuten sistema eragileen, prozesadoreen arkitekturen eta adimen artifizialaren garapenean, eta haien ekarpena gaur egungo informatikan ere nabaria da.&lt;ref name=&quot;Brookshear2019&quot; /&gt;

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption=&quot;VAX 11/750. [[w:Donostiako Informatika Fakultatea|Donostiako Informatika Fakultatea]]n (1988)&quot;&gt;
Fitxategi:VAX 11-750 Donostiako Informatika Fakultatea 1988 03.png|alt=
Fitxategi:VAX 11-750 Donostiako Informatika Fakultatea 1988 01.png|alt=
Fitxategi:VAX 11-750 Donostiako Informatika Fakultatea 1988 04.png|alt=
&lt;/gallery&gt;

== Testu ebakia: Lisp makina eta fakultateko tesiak (1985-1995)==
Donostiako Informatika Fakultatean lortu zen Symbolics [[w:Lisp makina|LISP makina]] tresna ezin hobea izan zen gutxienez sei doktore-tesi garatzeko. Sekulako inbertsioa izan zen, inoiz Fakultatean egin den inbertsioren handienetako bat, baina emaitza garrantzitsuak ere eman zituen. 

Mundu mailako [[w:Adimen artifizial|adimen artifizialaren]] hasiera hartan, Fakultateko ikerkuntzaren hasiera hartan, funtsezko tresna izan zen LISP makina hura.
Isabel Fernandez de Castrok, Arantza Díaz de Ilarrazak eta Maite Urretavizcayak egindako tesiak irakaskuntzarako sistema adituez aritu ziren,&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=María Isabel|abizena=Fernández de Castro|izenburua=Estrategias de enseñanza en un sistema inteligente de enseñanza asistida por ordenador|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1989|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ebf1f042999524bdf7a123e?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Arantza|abizena=Díaz de Ilarraza Sánchez|izenburua=Gestión de diálogos en lenguaje natural para un sistema de enseñanza inteligente|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1990|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f602999521315202222?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Maite|abizena=Urretavizcaya Loinaz|izenburua=Sistema para la detección, diagnóstico y corrección de errores en un sistema tutor inteligente|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1992|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f602999521315202207?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt; Xabier Artolak, Xabier Arregik eta Aitor Soroak egindakoak hizkuntzaren prozesamenduaz, bereziki hiztegi adimenduez,&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Xabier|abizena=Artola Zubillaga|izenburua=Hiztsua: hiztegi-sistema urgazle adimendunaren sorkuntza eta eraikuntza conception et construction d'un systeme intelligent d'aide dictionnariale (siad)|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1993|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f792999521315203b51?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Xabier|abizena=Arregi Iparragirre|izenburua=Anhitz: sistema diccionarial multilingüe|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1995|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f65299952131520260f?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Aitor|abizena=Soroa Etxabe|izenburua=Izaera heterogeneoko baliabide lexikalen integraziorako arkitektura baten proposamena. Datu integrazioaren arlotik egindako ekarpena|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=2004|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f62299952131520243f?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt; eta Javier Doladok egindakoa simulazioaz sistemetako dinamikan.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=José Javier|abizena=Dolado Cosín|izenburua=Diseño de interface para la simulación cualitativa de modelos de dinámica de sistemas. Simulación cualitativa del modelo IS-LM|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1989|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f64299952131520257e?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt;

== Erreferentziak ==

{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>pcbbf07tkmivqvbveq89d1wbi8q7ig8</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44241</id>
      <parentid>44240</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T16:53:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <origin>44241</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9827" sha1="osrvar64pgwxzhgaoit08akt81xq3oc" xml:space="preserve">1970eko eta 1980ko hamarkadetan, informatikak bilakaera azkarra izan zuen hardwarearen eta softwarearen arkitektura berrien garapenari esker. Testuinguru horretan, helburu oso desberdinak zituzten bi konputagailu-familia sortu ziren: [[w:VAX|VAX]] makinak, erabilera orokorrerako eta errendimendu handiko sistemak izateko diseinatuak, eta [[w:Lisp makina|LISP makinak]], [[w:Lisp|LISP]] lengoaian idatzitako programak exekutatzeko bereziki diseinatuak eta [[w:Adimen artifizial|adimen artifizialaren]] ikerketara bideratuak.&lt;ref name=&quot;Brookshear2019&quot;&gt;J. G. Brookshear eta D. Brylow, ''Computer Science: An Overview'', 13. ed., Pearson, 2019.&lt;/ref&gt; Fakultatean ezarri ziren VAX11eta Symbolics LISP makinekin ikasleek praktika asko egin ahal izan zituzten, eta irakasleek zein ikerlariek hainbat proiektu eta tesi aurrera eraman. Geroago [[w:Sun_Microsystems|Sun]] zerbitzariak etorriko ziren, VMS sistematik Unix moduko SunOS eta Solaris sistemekin.

== VAX makinak ==

[[Fitxategi:VAX 11-780 intero.jpg|thumb|250px|eskuinera|VAX-11/780 sistema, Digital Equipment Corporation (DEC) enpresak 1977an aurkeztutako lehen VAX eredua.]]

VAX (Virtual Address eXtension) sistemak Digital Equipment Corporation (DEC) enpresak garatu zituen, eta 1977an merkaturatu ziren PDP-11 familiaren ondorengo gisa.&lt;ref name=&quot;VAXManual&quot;&gt;Digital Equipment Corporation, ''VAX Architecture Reference Manual'', Digital Press, 1987.&lt;/ref&gt; Haien berrikuntza nagusia [[w:Alegiazko memoria|memoria birtualaren]] erabilera izan zen; horri esker, aplikazio konplexuagoak exekutatu eta sistemaren baliabideak hobeto aprobetxa zitezkeen.&lt;ref name=&quot;VAXManual&quot; /&gt; Gainera, [[w:Complex instruction set computing|CISC]] (Complex Instruction Set Computer) arkitektura erabiltzen zuten, hardwarean zuzenean eragiketa konplexuak exekutatzeko gai den agindu-multzo zabal batean oinarrituta.&lt;ref name=&quot;Levy1989&quot;&gt;H. M. Levy eta R. H. Eckhouse, ''Computer Programming and Architecture: The VAX'', Digital Press, 1989.&lt;/ref&gt;

VAX sistemak erabiltzaile eta prozesu anitz aldi berean kudeatzeko gaitasunagatik nabarmendu ziren, VMS sistema eragileari esker. Sistema horrek gero [[w:OpenVMS|OpenVMS]] izena hartu zuen, eta haren egonkortasunagatik eta segurtasunagatik ezaguna izan zen.&lt;ref name=&quot;VAXManual&quot; /&gt; Ezaugarri horiek zirela eta, unibertsitateetan, ikerketa-zentroetan, ospitaleetan eta enpresa handietan oso erabiliak izan ziren. Beste abantaila garrantzitsu bat belaunaldi desberdinetako ekipoen arteko bateragarritasuna izan zen; horri esker, aurreko modeloetarako garatutako aplikazioak berrerabili zitezkeen.&lt;ref name=&quot;Levy1989&quot; /&gt;

1980ko hamarkadaren amaieran, prozesadore indartsuagoek eta merkeagoek minikonputagailu espezializatuen beharra murriztu zuten. VAX sistemek pixkanaka protagonismoa galdu bazuten ere, erakunde askok urte luzez erabiltzen jarraitu zuten OpenVMS sistemaren fidagarritasunari esker.&lt;ref name=&quot;Brookshear2019&quot; /&gt;

== LISP makinak ==

[[Fitxategi:Symbolics3640 Modified.JPG|thumb|250px|eskuinera|Symbolics 3640 LISP makina, LISP lengoaian idatzitako programak exekutatzeko diseinatutako lan-estazioa.]]

VAX makinen garaikideak dira LISP makinak. LISP programazio-lengoaiaren exekuzioa optimizatzeko sortu ziren. Lengoaia hori [[w:John McCarthy|John McCarthyk]] garatu zuen 1960an, adimen artifizialeko aplikazioetarako.&lt;ref name=&quot;McCarthy1960&quot;&gt;J. McCarthy, &quot;Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine, Part I&quot;, ''Communications of the ACM'', 3(4), 184–195 or., 1960.&lt;/ref&gt; [[w:Massachusetts Institute of Technology|MITeko]] ikertzaileak ohartu ziren arkitektura konbentzionalek LISP ez zutela modu eraginkorrean exekutatzen; horregatik, lengoaiaren oinarrizko eragiketetarako hardware-laguntza zuten konputagailuak diseinatu zituzten.&lt;ref name=&quot;Moon1987&quot;&gt;D. A. Moon, ''Architecture of the Symbolics 3600'', Symbolics Inc., 1987.&lt;/ref&gt;

Makina horiek listen manipulazioa zuzenean hardwarean inplementatzen zituzten, hala nola, datu-moten egiaztapen dinamikoa eta memoriako zabor-bilketa automatikoa. Horri esker, ohiko konputagailuek baino errendimendu handiagoa lortzen zuten aplikazio mota horietan.&lt;ref name=&quot;Moon1987&quot; /&gt; Besteak beste, Symbolics, Lisp Machines Incorporated eta [[w:Texas Instruments|Texas Instruments]] enpresek merkaturatu zituzten sistema horiek 1980ko hamarkadan, eta [[w:Sistema aditu|sistema adituetan]], [[w:Hizkuntzaren prozesamendu|hizkuntzaren prozesamenduan]] eta adimen artifizialeko beste hainbat arlotan erabili ziren.&lt;ref name=&quot;Steele1990&quot;&gt;G. L. Steele Jr., ''Common Lisp: The Language'', 2. ed., Digital Press, 1990.&lt;/ref&gt;

Beste berrikuntza garrantzitsu bat garapen-ingurune interaktiboa izan zen. Horri esker, programak editatu, exekutatu eta araztu zitezkeen exekuzioa eten gabe. Gainera, sistema eragilearen beraren zati handi bat LISP lengoaian idatzita zegoen, eta hardwarearen eta softwarearen arteko integrazio estua lortu zen.&lt;ref name=&quot;Steele1990&quot; /&gt;

Hala ere, makina horien kostu handiak eta ohiko lan-estazioen errendimenduaren hobekuntza azkarrak lehiakortasuna galtzea ekarri zieten LISP makinei. LISP lengoaiarekin lan egiteko konpiladore modernoek hardware estandarrean nahikoa errendimendu eskaintzen zutenez, LISP makinen gainbehera komertziala iritsi zen 1990eko hamarkadan.&lt;ref name=&quot;Tanenbaum2013&quot;&gt;A. S. Tanenbaum eta T. Austin, ''Structured Computer Organization'', 6. ed., Pearson, 2013.&lt;/ref&gt;

== Ondorioak ==

Oro har, VAX eta LISP makinak konputagailuen arkitekturaren bi ikuspegi desberdinen adibide dira. Lehenengoen helburua erabilera orokorrerako plataforma sendo eta moldakorra eskaintzea zen; bigarrenek, berriz, zeregin jakinetarako hardware espezializatua diseinatzearen abantailak erakutsi zituzten. Merkatuan jarraipenik izan ez bazuten ere, bi teknologiek eragin handia izan zuten sistema eragileen, prozesadoreen arkitekturen eta adimen artifizialaren garapenean, eta haien ekarpena gaur egungo informatikan ere nabaria da.&lt;ref name=&quot;Brookshear2019&quot; /&gt;

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption=&quot;VAX 11/750. [[w:Donostiako Informatika Fakultatea|Donostiako Informatika Fakultatea]]n (1988)&quot;&gt;
Fitxategi:VAX 11-750 Donostiako Informatika Fakultatea 1988 03.png|alt=
Fitxategi:VAX 11-750 Donostiako Informatika Fakultatea 1988 01.png|alt=
Fitxategi:VAX 11-750 Donostiako Informatika Fakultatea 1988 04.png|alt=
&lt;/gallery&gt;

== Testu ebakia: Lisp makina eta fakultateko tesiak (1985-1995)==
Donostiako Informatika Fakultatean lortu zen Symbolics [[w:Lisp makina|LISP makina]] tresna ezin hobea izan zen gutxienez sei doktore-tesi garatzeko. Sekulako inbertsioa izan zen, inoiz Fakultatean egin den inbertsioren handienetako bat, baina emaitza garrantzitsuak ere eman zituen. 

Mundu mailako [[w:Adimen artifizial|adimen artifizialaren]] hasiera hartan, Fakultateko ikerkuntzaren hasiera hartan, funtsezko tresna izan zen LISP makina hura.
Isabel Fernandez de Castrok, Arantza Díaz de Ilarrazak eta Maite Urretavizcayak egindako tesiak irakaskuntzarako sistema adituez aritu ziren,&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=María Isabel|abizena=Fernández de Castro|izenburua=Estrategias de enseñanza en un sistema inteligente de enseñanza asistida por ordenador|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1989|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ebf1f042999524bdf7a123e?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Arantza|abizena=Díaz de Ilarraza Sánchez|izenburua=Gestión de diálogos en lenguaje natural para un sistema de enseñanza inteligente|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1990|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f602999521315202222?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Maite|abizena=Urretavizcaya Loinaz|izenburua=Sistema para la detección, diagnóstico y corrección de errores en un sistema tutor inteligente|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1992|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f602999521315202207?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt; Xabier Artolak, Xabier Arregik eta Aitor Soroak egindakoak hizkuntzaren prozesamenduaz, bereziki hiztegi adimenduez,&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Xabier|abizena=Artola Zubillaga|izenburua=Hiztsua: hiztegi-sistema urgazle adimendunaren sorkuntza eta eraikuntza conception et construction d'un systeme intelligent d'aide dictionnariale (siad)|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1993|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f792999521315203b51?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Xabier|abizena=Arregi Iparragirre|izenburua=Anhitz: sistema diccionarial multilingüe|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1995|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f65299952131520260f?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Aitor|abizena=Soroa Etxabe|izenburua=Izaera heterogeneoko baliabide lexikalen integraziorako arkitektura baten proposamena. Datu integrazioaren arlotik egindako ekarpena|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=2004|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f62299952131520243f?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt; eta Javier Doladok egindakoa simulazioaz sistemetako dinamikan.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=José Javier|abizena=Dolado Cosín|izenburua=Diseño de interface para la simulación cualitativa de modelos de dinámica de sistemas. Simulación cualitativa del modelo IS-LM|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1989|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f64299952131520257e?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt;

== Erreferentziak ==

{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>osrvar64pgwxzhgaoit08akt81xq3oc</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44242</id>
      <parentid>44241</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T16:54:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <origin>44242</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9850" sha1="gy0lz63jfy4vp818fbuhor2awjh2lsf" xml:space="preserve">1970eko eta 1980ko hamarkadetan, informatikak bilakaera azkarra izan zuen hardwarearen eta softwarearen arkitektura berrien garapenari esker. Testuinguru horretan, helburu oso desberdinak zituzten bi konputagailu-familia sortu ziren: [[w:VAX|VAX]] makinak, erabilera orokorrerako eta errendimendu handiko sistemak izateko diseinatuak, eta [[w:Lisp makina|LISP makinak]], [[w:Lisp|LISP]] lengoaian idatzitako programak exekutatzeko bereziki diseinatuak eta [[w:Adimen artifizial|adimen artifizialaren]] ikerketara bideratuak.&lt;ref name=&quot;Brookshear2019&quot;&gt;J. G. Brookshear eta D. Brylow, ''Computer Science: An Overview'', 13. ed., Pearson, 2019.&lt;/ref&gt; Fakultatean ezarri ziren VAX11eta Symbolics LISP makinekin ikasleek praktika asko egin ahal izan zituzten, eta irakasleek zein ikerlariek hainbat proiektu eta tesi aurrera eraman. Geroago [[w:Sun_Microsystems|Sun]] zerbitzariak etorriko ziren, VMS sistematik Unix moduko SunOS eta [[w:Solaris|Solaris]] sistema eragileekin.

== VAX makinak ==

[[Fitxategi:VAX 11-780 intero.jpg|thumb|250px|eskuinera|VAX-11/780 sistema, Digital Equipment Corporation (DEC) enpresak 1977an aurkeztutako lehen VAX eredua.]]

VAX (Virtual Address eXtension) sistemak Digital Equipment Corporation (DEC) enpresak garatu zituen, eta 1977an merkaturatu ziren PDP-11 familiaren ondorengo gisa.&lt;ref name=&quot;VAXManual&quot;&gt;Digital Equipment Corporation, ''VAX Architecture Reference Manual'', Digital Press, 1987.&lt;/ref&gt; Haien berrikuntza nagusia [[w:Alegiazko memoria|memoria birtualaren]] erabilera izan zen; horri esker, aplikazio konplexuagoak exekutatu eta sistemaren baliabideak hobeto aprobetxa zitezkeen.&lt;ref name=&quot;VAXManual&quot; /&gt; Gainera, [[w:Complex instruction set computing|CISC]] (Complex Instruction Set Computer) arkitektura erabiltzen zuten, hardwarean zuzenean eragiketa konplexuak exekutatzeko gai den agindu-multzo zabal batean oinarrituta.&lt;ref name=&quot;Levy1989&quot;&gt;H. M. Levy eta R. H. Eckhouse, ''Computer Programming and Architecture: The VAX'', Digital Press, 1989.&lt;/ref&gt;

VAX sistemak erabiltzaile eta prozesu anitz aldi berean kudeatzeko gaitasunagatik nabarmendu ziren, VMS sistema eragileari esker. Sistema horrek gero [[w:OpenVMS|OpenVMS]] izena hartu zuen, eta haren egonkortasunagatik eta segurtasunagatik ezaguna izan zen.&lt;ref name=&quot;VAXManual&quot; /&gt; Ezaugarri horiek zirela eta, unibertsitateetan, ikerketa-zentroetan, ospitaleetan eta enpresa handietan oso erabiliak izan ziren. Beste abantaila garrantzitsu bat belaunaldi desberdinetako ekipoen arteko bateragarritasuna izan zen; horri esker, aurreko modeloetarako garatutako aplikazioak berrerabili zitezkeen.&lt;ref name=&quot;Levy1989&quot; /&gt;

1980ko hamarkadaren amaieran, prozesadore indartsuagoek eta merkeagoek minikonputagailu espezializatuen beharra murriztu zuten. VAX sistemek pixkanaka protagonismoa galdu bazuten ere, erakunde askok urte luzez erabiltzen jarraitu zuten OpenVMS sistemaren fidagarritasunari esker.&lt;ref name=&quot;Brookshear2019&quot; /&gt;

== LISP makinak ==

[[Fitxategi:Symbolics3640 Modified.JPG|thumb|250px|eskuinera|Symbolics 3640 LISP makina, LISP lengoaian idatzitako programak exekutatzeko diseinatutako lan-estazioa.]]

VAX makinen garaikideak dira LISP makinak. LISP programazio-lengoaiaren exekuzioa optimizatzeko sortu ziren. Lengoaia hori [[w:John McCarthy|John McCarthyk]] garatu zuen 1960an, adimen artifizialeko aplikazioetarako.&lt;ref name=&quot;McCarthy1960&quot;&gt;J. McCarthy, &quot;Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine, Part I&quot;, ''Communications of the ACM'', 3(4), 184–195 or., 1960.&lt;/ref&gt; [[w:Massachusetts Institute of Technology|MITeko]] ikertzaileak ohartu ziren arkitektura konbentzionalek LISP ez zutela modu eraginkorrean exekutatzen; horregatik, lengoaiaren oinarrizko eragiketetarako hardware-laguntza zuten konputagailuak diseinatu zituzten.&lt;ref name=&quot;Moon1987&quot;&gt;D. A. Moon, ''Architecture of the Symbolics 3600'', Symbolics Inc., 1987.&lt;/ref&gt;

Makina horiek listen manipulazioa zuzenean hardwarean inplementatzen zituzten, hala nola, datu-moten egiaztapen dinamikoa eta memoriako zabor-bilketa automatikoa. Horri esker, ohiko konputagailuek baino errendimendu handiagoa lortzen zuten aplikazio mota horietan.&lt;ref name=&quot;Moon1987&quot; /&gt; Besteak beste, Symbolics, Lisp Machines Incorporated eta [[w:Texas Instruments|Texas Instruments]] enpresek merkaturatu zituzten sistema horiek 1980ko hamarkadan, eta [[w:Sistema aditu|sistema adituetan]], [[w:Hizkuntzaren prozesamendu|hizkuntzaren prozesamenduan]] eta adimen artifizialeko beste hainbat arlotan erabili ziren.&lt;ref name=&quot;Steele1990&quot;&gt;G. L. Steele Jr., ''Common Lisp: The Language'', 2. ed., Digital Press, 1990.&lt;/ref&gt;

Beste berrikuntza garrantzitsu bat garapen-ingurune interaktiboa izan zen. Horri esker, programak editatu, exekutatu eta araztu zitezkeen exekuzioa eten gabe. Gainera, sistema eragilearen beraren zati handi bat LISP lengoaian idatzita zegoen, eta hardwarearen eta softwarearen arteko integrazio estua lortu zen.&lt;ref name=&quot;Steele1990&quot; /&gt;

Hala ere, makina horien kostu handiak eta ohiko lan-estazioen errendimenduaren hobekuntza azkarrak lehiakortasuna galtzea ekarri zieten LISP makinei. LISP lengoaiarekin lan egiteko konpiladore modernoek hardware estandarrean nahikoa errendimendu eskaintzen zutenez, LISP makinen gainbehera komertziala iritsi zen 1990eko hamarkadan.&lt;ref name=&quot;Tanenbaum2013&quot;&gt;A. S. Tanenbaum eta T. Austin, ''Structured Computer Organization'', 6. ed., Pearson, 2013.&lt;/ref&gt;

== Ondorioak ==

Oro har, VAX eta LISP makinak konputagailuen arkitekturaren bi ikuspegi desberdinen adibide dira. Lehenengoen helburua erabilera orokorrerako plataforma sendo eta moldakorra eskaintzea zen; bigarrenek, berriz, zeregin jakinetarako hardware espezializatua diseinatzearen abantailak erakutsi zituzten. Merkatuan jarraipenik izan ez bazuten ere, bi teknologiek eragin handia izan zuten sistema eragileen, prozesadoreen arkitekturen eta adimen artifizialaren garapenean, eta haien ekarpena gaur egungo informatikan ere nabaria da.&lt;ref name=&quot;Brookshear2019&quot; /&gt;

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption=&quot;VAX 11/750. [[w:Donostiako Informatika Fakultatea|Donostiako Informatika Fakultatea]]n (1988)&quot;&gt;
Fitxategi:VAX 11-750 Donostiako Informatika Fakultatea 1988 03.png|alt=
Fitxategi:VAX 11-750 Donostiako Informatika Fakultatea 1988 01.png|alt=
Fitxategi:VAX 11-750 Donostiako Informatika Fakultatea 1988 04.png|alt=
&lt;/gallery&gt;

== Testu ebakia: Lisp makina eta fakultateko tesiak (1985-1995)==
Donostiako Informatika Fakultatean lortu zen Symbolics [[w:Lisp makina|LISP makina]] tresna ezin hobea izan zen gutxienez sei doktore-tesi garatzeko. Sekulako inbertsioa izan zen, inoiz Fakultatean egin den inbertsioren handienetako bat, baina emaitza garrantzitsuak ere eman zituen. 

Mundu mailako [[w:Adimen artifizial|adimen artifizialaren]] hasiera hartan, Fakultateko ikerkuntzaren hasiera hartan, funtsezko tresna izan zen LISP makina hura.
Isabel Fernandez de Castrok, Arantza Díaz de Ilarrazak eta Maite Urretavizcayak egindako tesiak irakaskuntzarako sistema adituez aritu ziren,&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=María Isabel|abizena=Fernández de Castro|izenburua=Estrategias de enseñanza en un sistema inteligente de enseñanza asistida por ordenador|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1989|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ebf1f042999524bdf7a123e?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Arantza|abizena=Díaz de Ilarraza Sánchez|izenburua=Gestión de diálogos en lenguaje natural para un sistema de enseñanza inteligente|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1990|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f602999521315202222?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Maite|abizena=Urretavizcaya Loinaz|izenburua=Sistema para la detección, diagnóstico y corrección de errores en un sistema tutor inteligente|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1992|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f602999521315202207?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt; Xabier Artolak, Xabier Arregik eta Aitor Soroak egindakoak hizkuntzaren prozesamenduaz, bereziki hiztegi adimenduez,&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Xabier|abizena=Artola Zubillaga|izenburua=Hiztsua: hiztegi-sistema urgazle adimendunaren sorkuntza eta eraikuntza conception et construction d'un systeme intelligent d'aide dictionnariale (siad)|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1993|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f792999521315203b51?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Xabier|abizena=Arregi Iparragirre|izenburua=Anhitz: sistema diccionarial multilingüe|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1995|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f65299952131520260f?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Aitor|abizena=Soroa Etxabe|izenburua=Izaera heterogeneoko baliabide lexikalen integraziorako arkitektura baten proposamena. Datu integrazioaren arlotik egindako ekarpena|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=2004|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f62299952131520243f?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt; eta Javier Doladok egindakoa simulazioaz sistemetako dinamikan.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=José Javier|abizena=Dolado Cosín|izenburua=Diseño de interface para la simulación cualitativa de modelos de dinámica de sistemas. Simulación cualitativa del modelo IS-LM|argitaletxea=Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea|data=1989|url=https://ekoizpen-zientifikoa.ehu.eus/documentos/5ecb7f64299952131520257e?lang=eu|sartze-data=2026-08-06}}&lt;/ref&gt;

== Erreferentziak ==

{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>gy0lz63jfy4vp818fbuhor2awjh2lsf</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Darabilbo Zientzia</title>
    <ns>0</ns>
    <id>7331</id>
    <revision>
      <id>44272</id>
      <parentid>44225</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T22:08:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* 1. Zientziaren historiako garapeneko urratsak */</comment>
      <origin>44272</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2263" sha1="7xakj719qhme8s5rrcpsruk8hfm9aw4" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}

: [[/SARRERA/]] (?)

# [[Eredua|Nola idatzi? - Eredu bat]] (Lanean - egokitu behar da)
== 1. Zientziaren historiako garapeneko urratsak ==
# [[/Gizateriaren lau asmakizunik handienak|1.1. Gizateriaren lau asmakizunik handienak/]]
# [[/1.2. Zifra eta zenbakien inperioa. Matematikariek asmaturiko zenbakien historia/]]
# [[/1.3. Gnomona, lehen neurgailu zientifikoa/]]
# [[/1.4. Arkimedes, zientzialarien kanona/]]
# [[/1.5. Hipatia, matematikari, zientzialari, filosofo eta irakaslea/]]
# [[/1.6. Leonardo da Vinci, ingeniaria/]]
# [[/1.7. Dmitri Mendeleiev eta Taula Periodikoa.  Elementu kimikoen apalategia/]]
# [[/1.8. Teoria berriak arriskugarriak dira. Zientzialariek jasandako zenbait jazarpen eta errepresioa/]]

== 2. Fisikaren garapeneko historia puntualak ==
# [[/2.1.Katedralaren eraikuntza. UEUren historia laburra/]]
# [[/2.2.Borroka antinuklearra Euskal Herrian/]]
# [[/2.3.Elektrizitatearen eta Magnetismoaren histohistoriako lehenengo pausoak/]]
# [[/2.5.Albert Einstein eta Mileva Maric. Nori berea da zuzenbidea/]]
# [[/2.6.Fisio nuklearriako lehenengo pausoak/]]
# [[/2.4.Erradioaktibitatearen aurkikuntza, historia eta erabilera/]]raren aurkikuntza/]]
# [[/2.7.Transistoreak. Elektronikaren garapena/]]
# [[/2.8.XXI. mendeko megalopolien hiru zutabe nagusiak/]]

== 3. Solido eta likidoen istorio eta historia harrigarriak ==
# [[/3.1.Karbonoa, ikatza bezain beltz, diamantea bezain distiratsu/]]
# [[/3.2.Beira, Optikaren eta Kimikaren funtsezko ekaia/]]
# [[/3.3.Hainbat motatako paperak/]]
# [[/3.4.Zeramika, fintasun txinatarraren adierazlea/]]
# [[/3.5.Izarren hautsa biltzeko sarea/]]
# [[/3.6.Ura, biziaren eta heriotzaren iturria/]]
# [[/3.7.Aladinoren lanpara eta likidoen bitxikeriak/]]
# [[/3.8.Soldadurak baino itsaskorragoak/]] (lanean)

== 4. Espazioa eta denbora Fisikan. Absolutuak? Erlatiboak? ==
# [[/4.1.Espazioari eta denborari buruzko oinarrizko kontzeptuak/]]
# [[/4.2.Galileoren Erlatibitateko espazioa eta denbora/]]
# [[/4.3.Einsteinen Erlatibitate Bereziko espazio-denbora/]]
# [[/4.4.Mekanika Kuantikoaren mundua/]]
# [[/4.5.Einsteinen Erlatibitate Orokorra eta Kosmologia/]]

== Egileak, lotutako artikuluak eta irudiak ==
* [[/Egileak/]]
* [[/Erabilitako irudiak/]]

[[Kategoria:Fisika]]</text>
      <sha1>7xakj719qhme8s5rrcpsruk8hfm9aw4</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44273</id>
      <parentid>44272</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T22:09:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* 1. Zientziaren historiako garapeneko urratsak */</comment>
      <origin>44273</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2262" sha1="bxlrajas2iqwjk7zx0p5o2mt8qwiv6d" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}

: [[/SARRERA/]] (?)

# [[Eredua|Nola idatzi? - Eredu bat]] (Lanean - egokitu behar da)
== 1. Zientziaren historiako garapeneko urratsak ==
# [[/Gizateriaren lau asmakizunik handienak|1.1. Gizateriaren lau asmakizunik handienak]]
# [[/1.2. Zifra eta zenbakien inperioa. Matematikariek asmaturiko zenbakien historia/]]
# [[/1.3. Gnomona, lehen neurgailu zientifikoa/]]
# [[/1.4. Arkimedes, zientzialarien kanona/]]
# [[/1.5. Hipatia, matematikari, zientzialari, filosofo eta irakaslea/]]
# [[/1.6. Leonardo da Vinci, ingeniaria/]]
# [[/1.7. Dmitri Mendeleiev eta Taula Periodikoa.  Elementu kimikoen apalategia/]]
# [[/1.8. Teoria berriak arriskugarriak dira. Zientzialariek jasandako zenbait jazarpen eta errepresioa/]]

== 2. Fisikaren garapeneko historia puntualak ==
# [[/2.1.Katedralaren eraikuntza. UEUren historia laburra/]]
# [[/2.2.Borroka antinuklearra Euskal Herrian/]]
# [[/2.3.Elektrizitatearen eta Magnetismoaren histohistoriako lehenengo pausoak/]]
# [[/2.5.Albert Einstein eta Mileva Maric. Nori berea da zuzenbidea/]]
# [[/2.6.Fisio nuklearriako lehenengo pausoak/]]
# [[/2.4.Erradioaktibitatearen aurkikuntza, historia eta erabilera/]]raren aurkikuntza/]]
# [[/2.7.Transistoreak. Elektronikaren garapena/]]
# [[/2.8.XXI. mendeko megalopolien hiru zutabe nagusiak/]]

== 3. Solido eta likidoen istorio eta historia harrigarriak ==
# [[/3.1.Karbonoa, ikatza bezain beltz, diamantea bezain distiratsu/]]
# [[/3.2.Beira, Optikaren eta Kimikaren funtsezko ekaia/]]
# [[/3.3.Hainbat motatako paperak/]]
# [[/3.4.Zeramika, fintasun txinatarraren adierazlea/]]
# [[/3.5.Izarren hautsa biltzeko sarea/]]
# [[/3.6.Ura, biziaren eta heriotzaren iturria/]]
# [[/3.7.Aladinoren lanpara eta likidoen bitxikeriak/]]
# [[/3.8.Soldadurak baino itsaskorragoak/]] (lanean)

== 4. Espazioa eta denbora Fisikan. Absolutuak? Erlatiboak? ==
# [[/4.1.Espazioari eta denborari buruzko oinarrizko kontzeptuak/]]
# [[/4.2.Galileoren Erlatibitateko espazioa eta denbora/]]
# [[/4.3.Einsteinen Erlatibitate Bereziko espazio-denbora/]]
# [[/4.4.Mekanika Kuantikoaren mundua/]]
# [[/4.5.Einsteinen Erlatibitate Orokorra eta Kosmologia/]]

== Egileak, lotutako artikuluak eta irudiak ==
* [[/Egileak/]]
* [[/Erabilitako irudiak/]]

[[Kategoria:Fisika]]</text>
      <sha1>bxlrajas2iqwjk7zx0p5o2mt8qwiv6d</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Informatikaren 50 urte 50 teknologiatan/Bideokonferentzia sistemak</title>
    <ns>0</ns>
    <id>7332</id>
    <revision>
      <id>44243</id>
      <parentid>44074</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T16:58:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bideokonferentzia sistemak */</comment>
      <origin>44243</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7872" sha1="nwdasdv8z8zhgs8mr2voct7bd3b38ry" xml:space="preserve">= Bideokonferentzia-sistemak=
[[Fitxategi:Tandberg Image Gallery - telepresence-t3-side-view-hires.jpg|thumb|400x400px|Bideokonferentzia-saio bat.]]

'''Bideokonferentzia''' [[w:audio|audio]] eta [[w:bideo|bideoa]] batera transmititzen dituen aldibereko komunikazio-sistema da.

== Historia eta bilakaera ==
1970eko hamarkadaren hasieran merkaturatu zen lehen aldiz, [[w:telefono|telefono]]-teknologia baliatuta. Hasieran, oso sistema konplexu eta garestiak ziren eta dispositibo zein sare-protokolo bereziak erabiltzen ziren; gaur egun, berriz, ohiko dispositiboak ([[w:Telefono adimendun|telefono adimendunak]], [[w:Tableta (ordenagailua)|tabletak]], [[w:Ordenagailu|ordenagailuak]], [[w:Bideo-kamera|bideo-kamerak]]...) erabiltzen dira ohiko sare lokal eta Internet gainean. 

[[w:Internet|Interneteko]]  eta [[w:Sare lokal|sare lokaletako]] ahalmenak handitu ahala, azken urtetan asko ugaldu dira bideo-deiak eta bideokonferentziak eta alor askotarako funtsezko tresna bihurtu dira: lan-bilerak, irakaskuntza, [[w:telemedikuntza|telemedikuntza]]... [[w:Telelan|Telelanaren]] funtsezko osagaia ere bihurtu da.
[[Fitxategi:Jitsi Meet gallery view.jpg|thumb|500x500px|Jitsi Meet saio baten galeria ikuspegia]]
[[w:Skype|Skype]] izan zen urte askotan, alde handiz, gehien erabili zen programa, baina COVID garaian eztanda bat gertatu zen, eta sistema asko zabaldu ziren, [[w:Zoom (sofwarea)|Zoom]], Google Meet eta [[w:Jitsi|Jitsi Meet]] besteak beste.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Iñaki|abizena=Alegria|izenburua=Bideokonferentziak nonahi: Skypetik BigBlueButtonera|hizkuntza=eu|data=2020-12-01|url=https://www.sarean.eus/bideokonferentziak-nonahi-skypetik-bigbluebuttonera/|aldizkaria=Sarean .eus|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt; Jitsiren kasua aipagarria da, Europan ([[w:Estrasburgoko Unibertsitatea|Estrasburgoko Unibertsitatean]]) sortua delako eta software librea duelako oinarri.

== Alderdi teknikoak ==
[[w:ITU H.264|ITU H.264]] estandarra da gakoetako bat teknologia honetan.  [[w:MPEG-4|MPEG-4n]] oinarritutako SVC kodeketari ([[w:Scalable Video Coding|Scalable Video Coding]]) esker bideo-seinalea modu egokian kodetzen da [[w:Internet Protokolo|IP ohiko protokoloan]] zerbitzuaren kalitatea bermatuta.

Segurtasunaren aldetik funtsezkoa da muturretik muturrera [[w:Zifratze|zifratzea]], eta, hala ere, ohikoak dira saio hasierako erasoak. Hori dela eta, komeni da [[w:Faktore anitzeko kautotze|bi urratseko kautotzea]] erabiltzea komunikazio seguruak ziurtatzeko.

== Telelanaren ondorioak ==
Bideokonferentziak eta telelana sozializatu egin  dira, eta horrek eragin handia izan du eguneroko bizitzan. &lt;blockquote&gt;Telelanaren gako nagusia mugak jartzean dago: ordutegi zehatz bat finkatzean; posta elektronikoa etengabe ez irekitzean; distrakzioak, sakelako notifikazioak ondo antolatzean ezinbestekoak edota lanari lotutakoak baino ez jasotzeko; ahal dela, lan espazio berezitu bat definitzean; asteburuak eta jai egunak errespetatzean; errutina berriak diseinatzean... Horiekin batera, zenbait pertsonak nekea, zailtasunak, ezin egona... sentitzen dute. Bideokonferentzia bat ez da aurrez aurreko komunikazio arrunt bat. Askorentzat, publikoan hitz egitearen parekoa da. Arreta asko eskatzen du ikusle bezala, eta hizlari bezala zer esan, jendearen erreakzioak interpretatzen saiatu behar baita pantaila lau baten aurrean.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Gorka|abizena=Julio|izenburua=Tele-errealitate berria|hizkuntza=eu|data=2020-05-09|url=https://www.berria.eus/komunikazioa/analisia-komunikazioa/tele-errealitate-berria_1271999_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Testu ebakia: On-line ikaskuntza ==
[[w:E-learning|Online ikaskuntza]] edo e-learning, [[w:1990|1990.eko]] hamarkadan sortu eta ordutik hona garapen handia izan duen ikas-moldea da. Termino ezberdinen bitartez izendatu ohi da, hala nola on-line irakaskuntza, irakaskuntza birtuala, irakaskuntza telematikoa edo prestakuntza birtuala. Irakasleek eta ikasleek ingurune digital batean parte hartzen dute [[w:Konputagailu-sare|ordenagailuek]], [[w:Internet|Internetek]] eta teknologia digitalek eskaintzen dituzten erraztasunak modu intentsiboan erabiliz. [[w:Urrutiko hezkuntza|Urruneko irakaskuntza]] zena ordezkatu du, teknologiari esker komunikazioa, irakasle-ikasle zein ikasleen artean, hobetu eta eredu pedagogiko aktiboagoak aplikatu daitezkeelako.

== Abantailak eta mugak ==
Azken urteotan, hezkuntza-erakunde askok txertatu dituzte informazioaren eta komunikazioaren teknologiak beren jardueran, batez ere irakaskuntza-ikaskuntza prozesuak hobetzeko eta online ikastaroak eskaintzeko. Aurrez-aurreko ikaskuntzarekin konparatuta gabeziak dituen arren, batez ere ikasle gazteei begira, abantailak ere baditu:

* '''Irekiera''': prestakuntzarako sarbidea errazten da, batez ere oztopo geografikoak gaindituz.
* '''Malgutasuna''': komunikazio asinkrono eta nonahikoak dedikazio denboraren autogestioa errazten dute.
* '''Eraginkortasuna''': ikaslearen autonomia garatzea sustatzen dute
* '''Laguntza pertsonalizatua''': ikaslearen jardueran zentratua da.
* '''Ekonomia''': espazio eta material fisikoen erabilerarekin eta garraioarekin lotutako gastuak murriztu egiten dira.
* '''Ikaskuntza-komunitate''' bat eraikitzea.
* '''Aholkularitza''': aholkulari baten laguntza izatea, gidatu eta ikastaroaz aholkuak emango dizkiona.


Bestalde, mugak ere badira: &lt;blockquote&gt;
Aurrez aurrekoan ñabardura pila bat daude: begiradak, keinuak... Hitzezkoa ez den komunikazioak garrantzi handia hartzen du. Zer gertatzen da ''online'' ingurunean? Hori dena galdu edo lausotu egiten da. Hortaz, eskatzen diguna ez da bakarrik arreta berezia jartzea: joko eremuaren arauak ulertzea eta benetan ''online'' inguruneetan gertatzen den komunikazioa zer den ulertzea ere bai.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Irati|abizena=Urdalleta Lete|izenburua=«'Online' ingurunean, nolabait itsutu egiten gara gailuekin»|hizkuntza=eu|data=2021-06-26|url=https://www.berria.eus/euskal-herria/online-ingurunean-nolabait-itsutu-egiten-gara-gailuekin_1296390_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Aukerak ==
Online ikaskuntzak aurrez aurrekoa ordezkatu dezake, baina askotan modu osagarrian erabiltzen da. '''''Blended''''' terminoa erabiltzen da bi modalitateen konbinazioari.

Online irakasteko bi bide nagusi daude, '''sinkronoa''' eta '''asinkronoa'''. Modu sinkronoan irakaslea eta ikaslea denbora berean aritzen dira elkarrekin. Asinkronoan, berriz, norberak bere ordutegia antolatzen du beste parte-hartzaileengandik modu independentean. [[w:Informazioaren eta komunikazioaren teknologiak|IKT]] tresnak bi bideetan erabiltzen dira, baina bideokonferentzia-sistema dira lehen bidearen ezinbesteko lanabesa. Biak konbinatu ohi dira, baina asinkronoa nagusia da autoikaskuntzan eta etengabeko ikaskuntzan.

== Tresnak ==
Online ikaskuntza bideratzeko aplikazioei LMS ([[w:Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema|''Learning Management System'']], Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema) izena ematen zaie, eta helburu nagusia ikasgela birtualak kudeatzea da. Eduki mota guztiak kudeatzen dituzte, komunikazioa, bideoak, ikastaroak eta dokumentuak barne. 
[[Fitxategi:MoodleMobile 3.3.1 Released-1.png|thumb|500x500px|Moodle bezeroa ]]
[[w:Moodle|Moodle]] Europan gehien erabiltzen den LMSa da, software librea da, eta hizkuntza askotara dago lokalizatuta (euskarara ere bai). Moodle-k planteatzen duena hezkuntza konstruktibo sozial bat da, eta bertan ikasleak ere hezkuntzako esperientzian ekarpen garrantzitsuak egin dezakeela azpimarratzen da: ikasleak forotan galdetu eta erantzun dezake, glosarioan terminoak gehitu ditzake, tailerretan ikaskideekin elkarlanean aritu, autoebaluatu eta koebaluatu dezakete edo wiki batean elkarrekin lan egin dezakete.

Beste LMS ezagun batzuk Canvas, Blackboard eta D2L Brightspace dira.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>nwdasdv8z8zhgs8mr2voct7bd3b38ry</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44244</id>
      <parentid>44243</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T16:59:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* Historia eta bilakaera */</comment>
      <origin>44244</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7873" sha1="4izegfe1ydqonrukjjx90g0chm91tgd" xml:space="preserve">= Bideokonferentzia-sistemak=
[[Fitxategi:Tandberg Image Gallery - telepresence-t3-side-view-hires.jpg|thumb|400x400px|Bideokonferentzia-saio bat.]]

'''Bideokonferentzia''' [[w:audio|audio]] eta [[w:bideo|bideoa]] batera transmititzen dituen aldibereko komunikazio-sistema da.

== Historia eta bilakaera ==
1970eko hamarkadaren hasieran merkaturatu zen lehen aldiz, [[w:telefono|telefono]]-teknologia baliatuta. Hasieran, oso sistema konplexu eta garestiak ziren eta dispositibo zein sare-protokolo bereziak erabiltzen ziren; gaur egun, berriz, ohiko dispositiboak ([[w:Telefono adimendun|telefono adimendunak]], [[w:Tableta (ordenagailua)|tabletak]], [[w:Ordenagailu|ordenagailuak]], [[w:Bideo-kamera|bideo-kamerak]]...) erabiltzen dira ohiko sare lokal eta Internet gainean. 

[[w:Internet|Interneteko]]  eta [[w:Sare lokal|sare lokaletako]] ahalmenak handitu ahala, azken urtetan asko ugaldu dira bideo-deiak eta bideokonferentziak, eta alor askotarako funtsezko tresna bihurtu dira: lan-bilerak, irakaskuntza, [[w:telemedikuntza|telemedikuntza]]... [[w:Telelan|Telelanaren]] funtsezko osagaia ere bihurtu da.
[[Fitxategi:Jitsi Meet gallery view.jpg|thumb|500x500px|Jitsi Meet saio baten galeria ikuspegia]]
[[w:Skype|Skype]] izan zen urte askotan, alde handiz, gehien erabili zen programa, baina COVID garaian eztanda bat gertatu zen, eta sistema asko zabaldu ziren, [[w:Zoom (sofwarea)|Zoom]], Google Meet eta [[w:Jitsi|Jitsi Meet]] besteak beste.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Iñaki|abizena=Alegria|izenburua=Bideokonferentziak nonahi: Skypetik BigBlueButtonera|hizkuntza=eu|data=2020-12-01|url=https://www.sarean.eus/bideokonferentziak-nonahi-skypetik-bigbluebuttonera/|aldizkaria=Sarean .eus|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt; Jitsiren kasua aipagarria da, Europan ([[w:Estrasburgoko Unibertsitatea|Estrasburgoko Unibertsitatean]]) sortua delako eta software librea duelako oinarri.

== Alderdi teknikoak ==
[[w:ITU H.264|ITU H.264]] estandarra da gakoetako bat teknologia honetan.  [[w:MPEG-4|MPEG-4n]] oinarritutako SVC kodeketari ([[w:Scalable Video Coding|Scalable Video Coding]]) esker bideo-seinalea modu egokian kodetzen da [[w:Internet Protokolo|IP ohiko protokoloan]] zerbitzuaren kalitatea bermatuta.

Segurtasunaren aldetik funtsezkoa da muturretik muturrera [[w:Zifratze|zifratzea]], eta, hala ere, ohikoak dira saio hasierako erasoak. Hori dela eta, komeni da [[w:Faktore anitzeko kautotze|bi urratseko kautotzea]] erabiltzea komunikazio seguruak ziurtatzeko.

== Telelanaren ondorioak ==
Bideokonferentziak eta telelana sozializatu egin  dira, eta horrek eragin handia izan du eguneroko bizitzan. &lt;blockquote&gt;Telelanaren gako nagusia mugak jartzean dago: ordutegi zehatz bat finkatzean; posta elektronikoa etengabe ez irekitzean; distrakzioak, sakelako notifikazioak ondo antolatzean ezinbestekoak edota lanari lotutakoak baino ez jasotzeko; ahal dela, lan espazio berezitu bat definitzean; asteburuak eta jai egunak errespetatzean; errutina berriak diseinatzean... Horiekin batera, zenbait pertsonak nekea, zailtasunak, ezin egona... sentitzen dute. Bideokonferentzia bat ez da aurrez aurreko komunikazio arrunt bat. Askorentzat, publikoan hitz egitearen parekoa da. Arreta asko eskatzen du ikusle bezala, eta hizlari bezala zer esan, jendearen erreakzioak interpretatzen saiatu behar baita pantaila lau baten aurrean.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Gorka|abizena=Julio|izenburua=Tele-errealitate berria|hizkuntza=eu|data=2020-05-09|url=https://www.berria.eus/komunikazioa/analisia-komunikazioa/tele-errealitate-berria_1271999_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Testu ebakia: On-line ikaskuntza ==
[[w:E-learning|Online ikaskuntza]] edo e-learning, [[w:1990|1990.eko]] hamarkadan sortu eta ordutik hona garapen handia izan duen ikas-moldea da. Termino ezberdinen bitartez izendatu ohi da, hala nola on-line irakaskuntza, irakaskuntza birtuala, irakaskuntza telematikoa edo prestakuntza birtuala. Irakasleek eta ikasleek ingurune digital batean parte hartzen dute [[w:Konputagailu-sare|ordenagailuek]], [[w:Internet|Internetek]] eta teknologia digitalek eskaintzen dituzten erraztasunak modu intentsiboan erabiliz. [[w:Urrutiko hezkuntza|Urruneko irakaskuntza]] zena ordezkatu du, teknologiari esker komunikazioa, irakasle-ikasle zein ikasleen artean, hobetu eta eredu pedagogiko aktiboagoak aplikatu daitezkeelako.

== Abantailak eta mugak ==
Azken urteotan, hezkuntza-erakunde askok txertatu dituzte informazioaren eta komunikazioaren teknologiak beren jardueran, batez ere irakaskuntza-ikaskuntza prozesuak hobetzeko eta online ikastaroak eskaintzeko. Aurrez-aurreko ikaskuntzarekin konparatuta gabeziak dituen arren, batez ere ikasle gazteei begira, abantailak ere baditu:

* '''Irekiera''': prestakuntzarako sarbidea errazten da, batez ere oztopo geografikoak gaindituz.
* '''Malgutasuna''': komunikazio asinkrono eta nonahikoak dedikazio denboraren autogestioa errazten dute.
* '''Eraginkortasuna''': ikaslearen autonomia garatzea sustatzen dute
* '''Laguntza pertsonalizatua''': ikaslearen jardueran zentratua da.
* '''Ekonomia''': espazio eta material fisikoen erabilerarekin eta garraioarekin lotutako gastuak murriztu egiten dira.
* '''Ikaskuntza-komunitate''' bat eraikitzea.
* '''Aholkularitza''': aholkulari baten laguntza izatea, gidatu eta ikastaroaz aholkuak emango dizkiona.


Bestalde, mugak ere badira: &lt;blockquote&gt;
Aurrez aurrekoan ñabardura pila bat daude: begiradak, keinuak... Hitzezkoa ez den komunikazioak garrantzi handia hartzen du. Zer gertatzen da ''online'' ingurunean? Hori dena galdu edo lausotu egiten da. Hortaz, eskatzen diguna ez da bakarrik arreta berezia jartzea: joko eremuaren arauak ulertzea eta benetan ''online'' inguruneetan gertatzen den komunikazioa zer den ulertzea ere bai.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Irati|abizena=Urdalleta Lete|izenburua=«'Online' ingurunean, nolabait itsutu egiten gara gailuekin»|hizkuntza=eu|data=2021-06-26|url=https://www.berria.eus/euskal-herria/online-ingurunean-nolabait-itsutu-egiten-gara-gailuekin_1296390_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Aukerak ==
Online ikaskuntzak aurrez aurrekoa ordezkatu dezake, baina askotan modu osagarrian erabiltzen da. '''''Blended''''' terminoa erabiltzen da bi modalitateen konbinazioari.

Online irakasteko bi bide nagusi daude, '''sinkronoa''' eta '''asinkronoa'''. Modu sinkronoan irakaslea eta ikaslea denbora berean aritzen dira elkarrekin. Asinkronoan, berriz, norberak bere ordutegia antolatzen du beste parte-hartzaileengandik modu independentean. [[w:Informazioaren eta komunikazioaren teknologiak|IKT]] tresnak bi bideetan erabiltzen dira, baina bideokonferentzia-sistema dira lehen bidearen ezinbesteko lanabesa. Biak konbinatu ohi dira, baina asinkronoa nagusia da autoikaskuntzan eta etengabeko ikaskuntzan.

== Tresnak ==
Online ikaskuntza bideratzeko aplikazioei LMS ([[w:Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema|''Learning Management System'']], Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema) izena ematen zaie, eta helburu nagusia ikasgela birtualak kudeatzea da. Eduki mota guztiak kudeatzen dituzte, komunikazioa, bideoak, ikastaroak eta dokumentuak barne. 
[[Fitxategi:MoodleMobile 3.3.1 Released-1.png|thumb|500x500px|Moodle bezeroa ]]
[[w:Moodle|Moodle]] Europan gehien erabiltzen den LMSa da, software librea da, eta hizkuntza askotara dago lokalizatuta (euskarara ere bai). Moodle-k planteatzen duena hezkuntza konstruktibo sozial bat da, eta bertan ikasleak ere hezkuntzako esperientzian ekarpen garrantzitsuak egin dezakeela azpimarratzen da: ikasleak forotan galdetu eta erantzun dezake, glosarioan terminoak gehitu ditzake, tailerretan ikaskideekin elkarlanean aritu, autoebaluatu eta koebaluatu dezakete edo wiki batean elkarrekin lan egin dezakete.

Beste LMS ezagun batzuk Canvas, Blackboard eta D2L Brightspace dira.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>4izegfe1ydqonrukjjx90g0chm91tgd</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44245</id>
      <parentid>44244</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T16:59:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* Alderdi teknikoak */</comment>
      <origin>44245</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7873" sha1="su78vs3zsahm99sjdw7zyvutpx372g0" xml:space="preserve">= Bideokonferentzia-sistemak=
[[Fitxategi:Tandberg Image Gallery - telepresence-t3-side-view-hires.jpg|thumb|400x400px|Bideokonferentzia-saio bat.]]

'''Bideokonferentzia''' [[w:audio|audio]] eta [[w:bideo|bideoa]] batera transmititzen dituen aldibereko komunikazio-sistema da.

== Historia eta bilakaera ==
1970eko hamarkadaren hasieran merkaturatu zen lehen aldiz, [[w:telefono|telefono]]-teknologia baliatuta. Hasieran, oso sistema konplexu eta garestiak ziren eta dispositibo zein sare-protokolo bereziak erabiltzen ziren; gaur egun, berriz, ohiko dispositiboak ([[w:Telefono adimendun|telefono adimendunak]], [[w:Tableta (ordenagailua)|tabletak]], [[w:Ordenagailu|ordenagailuak]], [[w:Bideo-kamera|bideo-kamerak]]...) erabiltzen dira ohiko sare lokal eta Internet gainean. 

[[w:Internet|Interneteko]]  eta [[w:Sare lokal|sare lokaletako]] ahalmenak handitu ahala, azken urtetan asko ugaldu dira bideo-deiak eta bideokonferentziak, eta alor askotarako funtsezko tresna bihurtu dira: lan-bilerak, irakaskuntza, [[w:telemedikuntza|telemedikuntza]]... [[w:Telelan|Telelanaren]] funtsezko osagaia ere bihurtu da.
[[Fitxategi:Jitsi Meet gallery view.jpg|thumb|500x500px|Jitsi Meet saio baten galeria ikuspegia]]
[[w:Skype|Skype]] izan zen urte askotan, alde handiz, gehien erabili zen programa, baina COVID garaian eztanda bat gertatu zen, eta sistema asko zabaldu ziren, [[w:Zoom (sofwarea)|Zoom]], Google Meet eta [[w:Jitsi|Jitsi Meet]] besteak beste.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Iñaki|abizena=Alegria|izenburua=Bideokonferentziak nonahi: Skypetik BigBlueButtonera|hizkuntza=eu|data=2020-12-01|url=https://www.sarean.eus/bideokonferentziak-nonahi-skypetik-bigbluebuttonera/|aldizkaria=Sarean .eus|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt; Jitsiren kasua aipagarria da, Europan ([[w:Estrasburgoko Unibertsitatea|Estrasburgoko Unibertsitatean]]) sortua delako eta software librea duelako oinarri.

== Alderdi teknikoak ==
[[w:ITU H.264|ITU H.264]] estandarra da gakoetako bat teknologia honetan.  [[w:MPEG-4|MPEG-4n]] oinarritutako SVC kodeketari ([[w:Scalable Video Coding|Scalable Video Coding]]) esker bideo-seinalea modu egokian kodetzen da [[w:Internet Protokolo|IP ohiko protokoloan]] zerbitzuaren kalitatea bermatuta.

Segurtasunaren aldetik funtsezkoa da muturretik muturrera [[w:Zifratze|zifratzea]], eta, hala ere, ohikoak dira saio-hasierako erasoak. Hori dela eta, komeni da [[w:Faktore anitzeko kautotze|bi urratseko kautotzea]] erabiltzea komunikazio seguruak ziurtatzeko.

== Telelanaren ondorioak ==
Bideokonferentziak eta telelana sozializatu egin  dira, eta horrek eragin handia izan du eguneroko bizitzan. &lt;blockquote&gt;Telelanaren gako nagusia mugak jartzean dago: ordutegi zehatz bat finkatzean; posta elektronikoa etengabe ez irekitzean; distrakzioak, sakelako notifikazioak ondo antolatzean ezinbestekoak edota lanari lotutakoak baino ez jasotzeko; ahal dela, lan espazio berezitu bat definitzean; asteburuak eta jai egunak errespetatzean; errutina berriak diseinatzean... Horiekin batera, zenbait pertsonak nekea, zailtasunak, ezin egona... sentitzen dute. Bideokonferentzia bat ez da aurrez aurreko komunikazio arrunt bat. Askorentzat, publikoan hitz egitearen parekoa da. Arreta asko eskatzen du ikusle bezala, eta hizlari bezala zer esan, jendearen erreakzioak interpretatzen saiatu behar baita pantaila lau baten aurrean.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Gorka|abizena=Julio|izenburua=Tele-errealitate berria|hizkuntza=eu|data=2020-05-09|url=https://www.berria.eus/komunikazioa/analisia-komunikazioa/tele-errealitate-berria_1271999_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Testu ebakia: On-line ikaskuntza ==
[[w:E-learning|Online ikaskuntza]] edo e-learning, [[w:1990|1990.eko]] hamarkadan sortu eta ordutik hona garapen handia izan duen ikas-moldea da. Termino ezberdinen bitartez izendatu ohi da, hala nola on-line irakaskuntza, irakaskuntza birtuala, irakaskuntza telematikoa edo prestakuntza birtuala. Irakasleek eta ikasleek ingurune digital batean parte hartzen dute [[w:Konputagailu-sare|ordenagailuek]], [[w:Internet|Internetek]] eta teknologia digitalek eskaintzen dituzten erraztasunak modu intentsiboan erabiliz. [[w:Urrutiko hezkuntza|Urruneko irakaskuntza]] zena ordezkatu du, teknologiari esker komunikazioa, irakasle-ikasle zein ikasleen artean, hobetu eta eredu pedagogiko aktiboagoak aplikatu daitezkeelako.

== Abantailak eta mugak ==
Azken urteotan, hezkuntza-erakunde askok txertatu dituzte informazioaren eta komunikazioaren teknologiak beren jardueran, batez ere irakaskuntza-ikaskuntza prozesuak hobetzeko eta online ikastaroak eskaintzeko. Aurrez-aurreko ikaskuntzarekin konparatuta gabeziak dituen arren, batez ere ikasle gazteei begira, abantailak ere baditu:

* '''Irekiera''': prestakuntzarako sarbidea errazten da, batez ere oztopo geografikoak gaindituz.
* '''Malgutasuna''': komunikazio asinkrono eta nonahikoak dedikazio denboraren autogestioa errazten dute.
* '''Eraginkortasuna''': ikaslearen autonomia garatzea sustatzen dute
* '''Laguntza pertsonalizatua''': ikaslearen jardueran zentratua da.
* '''Ekonomia''': espazio eta material fisikoen erabilerarekin eta garraioarekin lotutako gastuak murriztu egiten dira.
* '''Ikaskuntza-komunitate''' bat eraikitzea.
* '''Aholkularitza''': aholkulari baten laguntza izatea, gidatu eta ikastaroaz aholkuak emango dizkiona.


Bestalde, mugak ere badira: &lt;blockquote&gt;
Aurrez aurrekoan ñabardura pila bat daude: begiradak, keinuak... Hitzezkoa ez den komunikazioak garrantzi handia hartzen du. Zer gertatzen da ''online'' ingurunean? Hori dena galdu edo lausotu egiten da. Hortaz, eskatzen diguna ez da bakarrik arreta berezia jartzea: joko eremuaren arauak ulertzea eta benetan ''online'' inguruneetan gertatzen den komunikazioa zer den ulertzea ere bai.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Irati|abizena=Urdalleta Lete|izenburua=«'Online' ingurunean, nolabait itsutu egiten gara gailuekin»|hizkuntza=eu|data=2021-06-26|url=https://www.berria.eus/euskal-herria/online-ingurunean-nolabait-itsutu-egiten-gara-gailuekin_1296390_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Aukerak ==
Online ikaskuntzak aurrez aurrekoa ordezkatu dezake, baina askotan modu osagarrian erabiltzen da. '''''Blended''''' terminoa erabiltzen da bi modalitateen konbinazioari.

Online irakasteko bi bide nagusi daude, '''sinkronoa''' eta '''asinkronoa'''. Modu sinkronoan irakaslea eta ikaslea denbora berean aritzen dira elkarrekin. Asinkronoan, berriz, norberak bere ordutegia antolatzen du beste parte-hartzaileengandik modu independentean. [[w:Informazioaren eta komunikazioaren teknologiak|IKT]] tresnak bi bideetan erabiltzen dira, baina bideokonferentzia-sistema dira lehen bidearen ezinbesteko lanabesa. Biak konbinatu ohi dira, baina asinkronoa nagusia da autoikaskuntzan eta etengabeko ikaskuntzan.

== Tresnak ==
Online ikaskuntza bideratzeko aplikazioei LMS ([[w:Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema|''Learning Management System'']], Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema) izena ematen zaie, eta helburu nagusia ikasgela birtualak kudeatzea da. Eduki mota guztiak kudeatzen dituzte, komunikazioa, bideoak, ikastaroak eta dokumentuak barne. 
[[Fitxategi:MoodleMobile 3.3.1 Released-1.png|thumb|500x500px|Moodle bezeroa ]]
[[w:Moodle|Moodle]] Europan gehien erabiltzen den LMSa da, software librea da, eta hizkuntza askotara dago lokalizatuta (euskarara ere bai). Moodle-k planteatzen duena hezkuntza konstruktibo sozial bat da, eta bertan ikasleak ere hezkuntzako esperientzian ekarpen garrantzitsuak egin dezakeela azpimarratzen da: ikasleak forotan galdetu eta erantzun dezake, glosarioan terminoak gehitu ditzake, tailerretan ikaskideekin elkarlanean aritu, autoebaluatu eta koebaluatu dezakete edo wiki batean elkarrekin lan egin dezakete.

Beste LMS ezagun batzuk Canvas, Blackboard eta D2L Brightspace dira.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>su78vs3zsahm99sjdw7zyvutpx372g0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44246</id>
      <parentid>44245</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T17:02:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* Telelanaren ondorioak */</comment>
      <origin>44246</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8047" sha1="msfsa588qk2dkbxk2kun3ywf3vsjmc6" xml:space="preserve">= Bideokonferentzia-sistemak=
[[Fitxategi:Tandberg Image Gallery - telepresence-t3-side-view-hires.jpg|thumb|400x400px|Bideokonferentzia-saio bat.]]

'''Bideokonferentzia''' [[w:audio|audio]] eta [[w:bideo|bideoa]] batera transmititzen dituen aldibereko komunikazio-sistema da.

== Historia eta bilakaera ==
1970eko hamarkadaren hasieran merkaturatu zen lehen aldiz, [[w:telefono|telefono]]-teknologia baliatuta. Hasieran, oso sistema konplexu eta garestiak ziren eta dispositibo zein sare-protokolo bereziak erabiltzen ziren; gaur egun, berriz, ohiko dispositiboak ([[w:Telefono adimendun|telefono adimendunak]], [[w:Tableta (ordenagailua)|tabletak]], [[w:Ordenagailu|ordenagailuak]], [[w:Bideo-kamera|bideo-kamerak]]...) erabiltzen dira ohiko sare lokal eta Internet gainean. 

[[w:Internet|Interneteko]]  eta [[w:Sare lokal|sare lokaletako]] ahalmenak handitu ahala, azken urtetan asko ugaldu dira bideo-deiak eta bideokonferentziak, eta alor askotarako funtsezko tresna bihurtu dira: lan-bilerak, irakaskuntza, [[w:telemedikuntza|telemedikuntza]]... [[w:Telelan|Telelanaren]] funtsezko osagaia ere bihurtu da.
[[Fitxategi:Jitsi Meet gallery view.jpg|thumb|500x500px|Jitsi Meet saio baten galeria ikuspegia]]
[[w:Skype|Skype]] izan zen urte askotan, alde handiz, gehien erabili zen programa, baina COVID garaian eztanda bat gertatu zen, eta sistema asko zabaldu ziren, [[w:Zoom (sofwarea)|Zoom]], Google Meet eta [[w:Jitsi|Jitsi Meet]] besteak beste.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Iñaki|abizena=Alegria|izenburua=Bideokonferentziak nonahi: Skypetik BigBlueButtonera|hizkuntza=eu|data=2020-12-01|url=https://www.sarean.eus/bideokonferentziak-nonahi-skypetik-bigbluebuttonera/|aldizkaria=Sarean .eus|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt; Jitsiren kasua aipagarria da, Europan ([[w:Estrasburgoko Unibertsitatea|Estrasburgoko Unibertsitatean]]) sortua delako eta software librea duelako oinarri.

== Alderdi teknikoak ==
[[w:ITU H.264|ITU H.264]] estandarra da gakoetako bat teknologia honetan.  [[w:MPEG-4|MPEG-4n]] oinarritutako SVC kodeketari ([[w:Scalable Video Coding|Scalable Video Coding]]) esker bideo-seinalea modu egokian kodetzen da [[w:Internet Protokolo|IP ohiko protokoloan]] zerbitzuaren kalitatea bermatuta.

Segurtasunaren aldetik funtsezkoa da muturretik muturrera [[w:Zifratze|zifratzea]], eta, hala ere, ohikoak dira saio-hasierako erasoak. Hori dela eta, komeni da [[w:Faktore anitzeko kautotze|bi urratseko kautotzea]] erabiltzea komunikazio seguruak ziurtatzeko.

== Telelanaren ondorioak ==
Bideokonferentzia-sistemei esker telelana asko zabaldu da, eta horrek eragin handia izan du eguneroko bizitzan. Aurrerapen handia izan da magultasunari begira, baina eragin kaltegarriak ere detektatu dira. Hori dela-eta ondo erabiltzeko hainbat jarraibide jarraitzea proposatu dute.
&lt;blockquote&gt;Telelanaren gako nagusia mugak jartzean dago: ordutegi zehatz bat finkatzean; posta elektronikoa etengabe ez irekitzean; distrakzioak, sakelako notifikazioak ondo antolatzean ezinbestekoak edota lanari lotutakoak baino ez jasotzeko; ahal dela, lan espazio berezitu bat definitzean; asteburuak eta jai egunak errespetatzean; errutina berriak diseinatzean... Horiekin batera, zenbait pertsonak nekea, zailtasunak, ezin egona... sentitzen dute. Bideokonferentzia bat ez da aurrez aurreko komunikazio arrunt bat. Askorentzat, publikoan hitz egitearen parekoa da. Arreta asko eskatzen du ikusle bezala, eta hizlari bezala zer esan, jendearen erreakzioak interpretatzen saiatu behar baita pantaila lau baten aurrean.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Gorka|abizena=Julio|izenburua=Tele-errealitate berria|hizkuntza=eu|data=2020-05-09|url=https://www.berria.eus/komunikazioa/analisia-komunikazioa/tele-errealitate-berria_1271999_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Testu ebakia: On-line ikaskuntza ==
[[w:E-learning|Online ikaskuntza]] edo e-learning, [[w:1990|1990.eko]] hamarkadan sortu eta ordutik hona garapen handia izan duen ikas-moldea da. Termino ezberdinen bitartez izendatu ohi da, hala nola on-line irakaskuntza, irakaskuntza birtuala, irakaskuntza telematikoa edo prestakuntza birtuala. Irakasleek eta ikasleek ingurune digital batean parte hartzen dute [[w:Konputagailu-sare|ordenagailuek]], [[w:Internet|Internetek]] eta teknologia digitalek eskaintzen dituzten erraztasunak modu intentsiboan erabiliz. [[w:Urrutiko hezkuntza|Urruneko irakaskuntza]] zena ordezkatu du, teknologiari esker komunikazioa, irakasle-ikasle zein ikasleen artean, hobetu eta eredu pedagogiko aktiboagoak aplikatu daitezkeelako.

== Abantailak eta mugak ==
Azken urteotan, hezkuntza-erakunde askok txertatu dituzte informazioaren eta komunikazioaren teknologiak beren jardueran, batez ere irakaskuntza-ikaskuntza prozesuak hobetzeko eta online ikastaroak eskaintzeko. Aurrez-aurreko ikaskuntzarekin konparatuta gabeziak dituen arren, batez ere ikasle gazteei begira, abantailak ere baditu:

* '''Irekiera''': prestakuntzarako sarbidea errazten da, batez ere oztopo geografikoak gaindituz.
* '''Malgutasuna''': komunikazio asinkrono eta nonahikoak dedikazio denboraren autogestioa errazten dute.
* '''Eraginkortasuna''': ikaslearen autonomia garatzea sustatzen dute
* '''Laguntza pertsonalizatua''': ikaslearen jardueran zentratua da.
* '''Ekonomia''': espazio eta material fisikoen erabilerarekin eta garraioarekin lotutako gastuak murriztu egiten dira.
* '''Ikaskuntza-komunitate''' bat eraikitzea.
* '''Aholkularitza''': aholkulari baten laguntza izatea, gidatu eta ikastaroaz aholkuak emango dizkiona.


Bestalde, mugak ere badira: &lt;blockquote&gt;
Aurrez aurrekoan ñabardura pila bat daude: begiradak, keinuak... Hitzezkoa ez den komunikazioak garrantzi handia hartzen du. Zer gertatzen da ''online'' ingurunean? Hori dena galdu edo lausotu egiten da. Hortaz, eskatzen diguna ez da bakarrik arreta berezia jartzea: joko eremuaren arauak ulertzea eta benetan ''online'' inguruneetan gertatzen den komunikazioa zer den ulertzea ere bai.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Irati|abizena=Urdalleta Lete|izenburua=«'Online' ingurunean, nolabait itsutu egiten gara gailuekin»|hizkuntza=eu|data=2021-06-26|url=https://www.berria.eus/euskal-herria/online-ingurunean-nolabait-itsutu-egiten-gara-gailuekin_1296390_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Aukerak ==
Online ikaskuntzak aurrez aurrekoa ordezkatu dezake, baina askotan modu osagarrian erabiltzen da. '''''Blended''''' terminoa erabiltzen da bi modalitateen konbinazioari.

Online irakasteko bi bide nagusi daude, '''sinkronoa''' eta '''asinkronoa'''. Modu sinkronoan irakaslea eta ikaslea denbora berean aritzen dira elkarrekin. Asinkronoan, berriz, norberak bere ordutegia antolatzen du beste parte-hartzaileengandik modu independentean. [[w:Informazioaren eta komunikazioaren teknologiak|IKT]] tresnak bi bideetan erabiltzen dira, baina bideokonferentzia-sistema dira lehen bidearen ezinbesteko lanabesa. Biak konbinatu ohi dira, baina asinkronoa nagusia da autoikaskuntzan eta etengabeko ikaskuntzan.

== Tresnak ==
Online ikaskuntza bideratzeko aplikazioei LMS ([[w:Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema|''Learning Management System'']], Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema) izena ematen zaie, eta helburu nagusia ikasgela birtualak kudeatzea da. Eduki mota guztiak kudeatzen dituzte, komunikazioa, bideoak, ikastaroak eta dokumentuak barne. 
[[Fitxategi:MoodleMobile 3.3.1 Released-1.png|thumb|500x500px|Moodle bezeroa ]]
[[w:Moodle|Moodle]] Europan gehien erabiltzen den LMSa da, software librea da, eta hizkuntza askotara dago lokalizatuta (euskarara ere bai). Moodle-k planteatzen duena hezkuntza konstruktibo sozial bat da, eta bertan ikasleak ere hezkuntzako esperientzian ekarpen garrantzitsuak egin dezakeela azpimarratzen da: ikasleak forotan galdetu eta erantzun dezake, glosarioan terminoak gehitu ditzake, tailerretan ikaskideekin elkarlanean aritu, autoebaluatu eta koebaluatu dezakete edo wiki batean elkarrekin lan egin dezakete.

Beste LMS ezagun batzuk Canvas, Blackboard eta D2L Brightspace dira.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>msfsa588qk2dkbxk2kun3ywf3vsjmc6</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44247</id>
      <parentid>44246</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T17:03:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* Testu ebakia: On-line ikaskuntza */</comment>
      <origin>44247</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8046" sha1="led7ijw0v6n118p5kdwhkp7yf312why" xml:space="preserve">= Bideokonferentzia-sistemak=
[[Fitxategi:Tandberg Image Gallery - telepresence-t3-side-view-hires.jpg|thumb|400x400px|Bideokonferentzia-saio bat.]]

'''Bideokonferentzia''' [[w:audio|audio]] eta [[w:bideo|bideoa]] batera transmititzen dituen aldibereko komunikazio-sistema da.

== Historia eta bilakaera ==
1970eko hamarkadaren hasieran merkaturatu zen lehen aldiz, [[w:telefono|telefono]]-teknologia baliatuta. Hasieran, oso sistema konplexu eta garestiak ziren eta dispositibo zein sare-protokolo bereziak erabiltzen ziren; gaur egun, berriz, ohiko dispositiboak ([[w:Telefono adimendun|telefono adimendunak]], [[w:Tableta (ordenagailua)|tabletak]], [[w:Ordenagailu|ordenagailuak]], [[w:Bideo-kamera|bideo-kamerak]]...) erabiltzen dira ohiko sare lokal eta Internet gainean. 

[[w:Internet|Interneteko]]  eta [[w:Sare lokal|sare lokaletako]] ahalmenak handitu ahala, azken urtetan asko ugaldu dira bideo-deiak eta bideokonferentziak, eta alor askotarako funtsezko tresna bihurtu dira: lan-bilerak, irakaskuntza, [[w:telemedikuntza|telemedikuntza]]... [[w:Telelan|Telelanaren]] funtsezko osagaia ere bihurtu da.
[[Fitxategi:Jitsi Meet gallery view.jpg|thumb|500x500px|Jitsi Meet saio baten galeria ikuspegia]]
[[w:Skype|Skype]] izan zen urte askotan, alde handiz, gehien erabili zen programa, baina COVID garaian eztanda bat gertatu zen, eta sistema asko zabaldu ziren, [[w:Zoom (sofwarea)|Zoom]], Google Meet eta [[w:Jitsi|Jitsi Meet]] besteak beste.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Iñaki|abizena=Alegria|izenburua=Bideokonferentziak nonahi: Skypetik BigBlueButtonera|hizkuntza=eu|data=2020-12-01|url=https://www.sarean.eus/bideokonferentziak-nonahi-skypetik-bigbluebuttonera/|aldizkaria=Sarean .eus|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt; Jitsiren kasua aipagarria da, Europan ([[w:Estrasburgoko Unibertsitatea|Estrasburgoko Unibertsitatean]]) sortua delako eta software librea duelako oinarri.

== Alderdi teknikoak ==
[[w:ITU H.264|ITU H.264]] estandarra da gakoetako bat teknologia honetan.  [[w:MPEG-4|MPEG-4n]] oinarritutako SVC kodeketari ([[w:Scalable Video Coding|Scalable Video Coding]]) esker bideo-seinalea modu egokian kodetzen da [[w:Internet Protokolo|IP ohiko protokoloan]] zerbitzuaren kalitatea bermatuta.

Segurtasunaren aldetik funtsezkoa da muturretik muturrera [[w:Zifratze|zifratzea]], eta, hala ere, ohikoak dira saio-hasierako erasoak. Hori dela eta, komeni da [[w:Faktore anitzeko kautotze|bi urratseko kautotzea]] erabiltzea komunikazio seguruak ziurtatzeko.

== Telelanaren ondorioak ==
Bideokonferentzia-sistemei esker telelana asko zabaldu da, eta horrek eragin handia izan du eguneroko bizitzan. Aurrerapen handia izan da magultasunari begira, baina eragin kaltegarriak ere detektatu dira. Hori dela-eta ondo erabiltzeko hainbat jarraibide jarraitzea proposatu dute.
&lt;blockquote&gt;Telelanaren gako nagusia mugak jartzean dago: ordutegi zehatz bat finkatzean; posta elektronikoa etengabe ez irekitzean; distrakzioak, sakelako notifikazioak ondo antolatzean ezinbestekoak edota lanari lotutakoak baino ez jasotzeko; ahal dela, lan espazio berezitu bat definitzean; asteburuak eta jai egunak errespetatzean; errutina berriak diseinatzean... Horiekin batera, zenbait pertsonak nekea, zailtasunak, ezin egona... sentitzen dute. Bideokonferentzia bat ez da aurrez aurreko komunikazio arrunt bat. Askorentzat, publikoan hitz egitearen parekoa da. Arreta asko eskatzen du ikusle bezala, eta hizlari bezala zer esan, jendearen erreakzioak interpretatzen saiatu behar baita pantaila lau baten aurrean.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Gorka|abizena=Julio|izenburua=Tele-errealitate berria|hizkuntza=eu|data=2020-05-09|url=https://www.berria.eus/komunikazioa/analisia-komunikazioa/tele-errealitate-berria_1271999_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Testu ebakia: On-line ikaskuntza ==
[[w:E-learning|Online ikaskuntza]] edo e-learning, [[w:1990|1990.eko]] hamarkadan sortu eta ordutik hona garapen handia izan duen ikas-moldea da. Termino ezberdinen bitartez izendatu ohi da, hala nola on-line irakaskuntza, irakaskuntza birtuala, irakaskuntza telematikoa edo prestakuntza birtuala. Irakasleek eta ikasleek ingurune digital batean parte hartzen dute [[w:Konputagailu-sare|ordenagailuek]], [[w:Internet|Internetek]] eta teknologia digitalek eskaintzen dituzten erraztasunak modu intentsiboan erabiliz. [[w:Urrutiko hezkuntza|Urruneko irakaskuntza]] zena ordezkatu du, teknologiari esker, irakasle-ikasle zein ikasleen arteko komunikazioa hobetu eta eredu pedagogiko aktiboagoak aplikatu daitezkeelako.

== Abantailak eta mugak ==
Azken urteotan, hezkuntza-erakunde askok txertatu dituzte informazioaren eta komunikazioaren teknologiak beren jardueran, batez ere irakaskuntza-ikaskuntza prozesuak hobetzeko eta online ikastaroak eskaintzeko. Aurrez-aurreko ikaskuntzarekin konparatuta gabeziak dituen arren, batez ere ikasle gazteei begira, abantailak ere baditu:

* '''Irekiera''': prestakuntzarako sarbidea errazten da, batez ere oztopo geografikoak gaindituz.
* '''Malgutasuna''': komunikazio asinkrono eta nonahikoak dedikazio denboraren autogestioa errazten dute.
* '''Eraginkortasuna''': ikaslearen autonomia garatzea sustatzen dute
* '''Laguntza pertsonalizatua''': ikaslearen jardueran zentratua da.
* '''Ekonomia''': espazio eta material fisikoen erabilerarekin eta garraioarekin lotutako gastuak murriztu egiten dira.
* '''Ikaskuntza-komunitate''' bat eraikitzea.
* '''Aholkularitza''': aholkulari baten laguntza izatea, gidatu eta ikastaroaz aholkuak emango dizkiona.


Bestalde, mugak ere badira: &lt;blockquote&gt;
Aurrez aurrekoan ñabardura pila bat daude: begiradak, keinuak... Hitzezkoa ez den komunikazioak garrantzi handia hartzen du. Zer gertatzen da ''online'' ingurunean? Hori dena galdu edo lausotu egiten da. Hortaz, eskatzen diguna ez da bakarrik arreta berezia jartzea: joko eremuaren arauak ulertzea eta benetan ''online'' inguruneetan gertatzen den komunikazioa zer den ulertzea ere bai.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Irati|abizena=Urdalleta Lete|izenburua=«'Online' ingurunean, nolabait itsutu egiten gara gailuekin»|hizkuntza=eu|data=2021-06-26|url=https://www.berria.eus/euskal-herria/online-ingurunean-nolabait-itsutu-egiten-gara-gailuekin_1296390_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Aukerak ==
Online ikaskuntzak aurrez aurrekoa ordezkatu dezake, baina askotan modu osagarrian erabiltzen da. '''''Blended''''' terminoa erabiltzen da bi modalitateen konbinazioari.

Online irakasteko bi bide nagusi daude, '''sinkronoa''' eta '''asinkronoa'''. Modu sinkronoan irakaslea eta ikaslea denbora berean aritzen dira elkarrekin. Asinkronoan, berriz, norberak bere ordutegia antolatzen du beste parte-hartzaileengandik modu independentean. [[w:Informazioaren eta komunikazioaren teknologiak|IKT]] tresnak bi bideetan erabiltzen dira, baina bideokonferentzia-sistema dira lehen bidearen ezinbesteko lanabesa. Biak konbinatu ohi dira, baina asinkronoa nagusia da autoikaskuntzan eta etengabeko ikaskuntzan.

== Tresnak ==
Online ikaskuntza bideratzeko aplikazioei LMS ([[w:Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema|''Learning Management System'']], Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema) izena ematen zaie, eta helburu nagusia ikasgela birtualak kudeatzea da. Eduki mota guztiak kudeatzen dituzte, komunikazioa, bideoak, ikastaroak eta dokumentuak barne. 
[[Fitxategi:MoodleMobile 3.3.1 Released-1.png|thumb|500x500px|Moodle bezeroa ]]
[[w:Moodle|Moodle]] Europan gehien erabiltzen den LMSa da, software librea da, eta hizkuntza askotara dago lokalizatuta (euskarara ere bai). Moodle-k planteatzen duena hezkuntza konstruktibo sozial bat da, eta bertan ikasleak ere hezkuntzako esperientzian ekarpen garrantzitsuak egin dezakeela azpimarratzen da: ikasleak forotan galdetu eta erantzun dezake, glosarioan terminoak gehitu ditzake, tailerretan ikaskideekin elkarlanean aritu, autoebaluatu eta koebaluatu dezakete edo wiki batean elkarrekin lan egin dezakete.

Beste LMS ezagun batzuk Canvas, Blackboard eta D2L Brightspace dira.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>led7ijw0v6n118p5kdwhkp7yf312why</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44248</id>
      <parentid>44247</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T17:04:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* Abantailak eta mugak */</comment>
      <origin>44248</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8004" sha1="ikmgdf5c53z396myrlg8h5zq5uhxz9d" xml:space="preserve">= Bideokonferentzia-sistemak=
[[Fitxategi:Tandberg Image Gallery - telepresence-t3-side-view-hires.jpg|thumb|400x400px|Bideokonferentzia-saio bat.]]

'''Bideokonferentzia''' [[w:audio|audio]] eta [[w:bideo|bideoa]] batera transmititzen dituen aldibereko komunikazio-sistema da.

== Historia eta bilakaera ==
1970eko hamarkadaren hasieran merkaturatu zen lehen aldiz, [[w:telefono|telefono]]-teknologia baliatuta. Hasieran, oso sistema konplexu eta garestiak ziren eta dispositibo zein sare-protokolo bereziak erabiltzen ziren; gaur egun, berriz, ohiko dispositiboak ([[w:Telefono adimendun|telefono adimendunak]], [[w:Tableta (ordenagailua)|tabletak]], [[w:Ordenagailu|ordenagailuak]], [[w:Bideo-kamera|bideo-kamerak]]...) erabiltzen dira ohiko sare lokal eta Internet gainean. 

[[w:Internet|Interneteko]]  eta [[w:Sare lokal|sare lokaletako]] ahalmenak handitu ahala, azken urtetan asko ugaldu dira bideo-deiak eta bideokonferentziak, eta alor askotarako funtsezko tresna bihurtu dira: lan-bilerak, irakaskuntza, [[w:telemedikuntza|telemedikuntza]]... [[w:Telelan|Telelanaren]] funtsezko osagaia ere bihurtu da.
[[Fitxategi:Jitsi Meet gallery view.jpg|thumb|500x500px|Jitsi Meet saio baten galeria ikuspegia]]
[[w:Skype|Skype]] izan zen urte askotan, alde handiz, gehien erabili zen programa, baina COVID garaian eztanda bat gertatu zen, eta sistema asko zabaldu ziren, [[w:Zoom (sofwarea)|Zoom]], Google Meet eta [[w:Jitsi|Jitsi Meet]] besteak beste.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Iñaki|abizena=Alegria|izenburua=Bideokonferentziak nonahi: Skypetik BigBlueButtonera|hizkuntza=eu|data=2020-12-01|url=https://www.sarean.eus/bideokonferentziak-nonahi-skypetik-bigbluebuttonera/|aldizkaria=Sarean .eus|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt; Jitsiren kasua aipagarria da, Europan ([[w:Estrasburgoko Unibertsitatea|Estrasburgoko Unibertsitatean]]) sortua delako eta software librea duelako oinarri.

== Alderdi teknikoak ==
[[w:ITU H.264|ITU H.264]] estandarra da gakoetako bat teknologia honetan.  [[w:MPEG-4|MPEG-4n]] oinarritutako SVC kodeketari ([[w:Scalable Video Coding|Scalable Video Coding]]) esker bideo-seinalea modu egokian kodetzen da [[w:Internet Protokolo|IP ohiko protokoloan]] zerbitzuaren kalitatea bermatuta.

Segurtasunaren aldetik funtsezkoa da muturretik muturrera [[w:Zifratze|zifratzea]], eta, hala ere, ohikoak dira saio-hasierako erasoak. Hori dela eta, komeni da [[w:Faktore anitzeko kautotze|bi urratseko kautotzea]] erabiltzea komunikazio seguruak ziurtatzeko.

== Telelanaren ondorioak ==
Bideokonferentzia-sistemei esker telelana asko zabaldu da, eta horrek eragin handia izan du eguneroko bizitzan. Aurrerapen handia izan da magultasunari begira, baina eragin kaltegarriak ere detektatu dira. Hori dela-eta ondo erabiltzeko hainbat jarraibide jarraitzea proposatu dute.
&lt;blockquote&gt;Telelanaren gako nagusia mugak jartzean dago: ordutegi zehatz bat finkatzean; posta elektronikoa etengabe ez irekitzean; distrakzioak, sakelako notifikazioak ondo antolatzean ezinbestekoak edota lanari lotutakoak baino ez jasotzeko; ahal dela, lan espazio berezitu bat definitzean; asteburuak eta jai egunak errespetatzean; errutina berriak diseinatzean... Horiekin batera, zenbait pertsonak nekea, zailtasunak, ezin egona... sentitzen dute. Bideokonferentzia bat ez da aurrez aurreko komunikazio arrunt bat. Askorentzat, publikoan hitz egitearen parekoa da. Arreta asko eskatzen du ikusle bezala, eta hizlari bezala zer esan, jendearen erreakzioak interpretatzen saiatu behar baita pantaila lau baten aurrean.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Gorka|abizena=Julio|izenburua=Tele-errealitate berria|hizkuntza=eu|data=2020-05-09|url=https://www.berria.eus/komunikazioa/analisia-komunikazioa/tele-errealitate-berria_1271999_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Testu ebakia: On-line ikaskuntza ==
[[w:E-learning|Online ikaskuntza]] edo e-learning, [[w:1990|1990.eko]] hamarkadan sortu eta ordutik hona garapen handia izan duen ikas-moldea da. Termino ezberdinen bitartez izendatu ohi da, hala nola on-line irakaskuntza, irakaskuntza birtuala, irakaskuntza telematikoa edo prestakuntza birtuala. Irakasleek eta ikasleek ingurune digital batean parte hartzen dute [[w:Konputagailu-sare|ordenagailuek]], [[w:Internet|Internetek]] eta teknologia digitalek eskaintzen dituzten erraztasunak modu intentsiboan erabiliz. [[w:Urrutiko hezkuntza|Urruneko irakaskuntza]] zena ordezkatu du, teknologiari esker, irakasle-ikasle zein ikasleen arteko komunikazioa hobetu eta eredu pedagogiko aktiboagoak aplikatu daitezkeelako.

== Abantailak eta mugak ==
Azken urteotan, hezkuntza-erakunde askok txertatu dituzte informazioaren eta komunikazioaren teknologiak beren jardueran, batez ere irakaskuntza-ikaskuntza prozesuak hobetzeko eta online ikastaroak eskaintzeko. Aurrez-aurreko ikaskuntzarekin konparatuta gabeziak dituen arren, batez ere ikasle gazteei begira, abantailak ere baditu:

* Irekiera: prestakuntzarako sarbidea errazten da, batez ere oztopo geografikoak gaindituz.
* Malgutasuna: komunikazio asinkrono eta nonahikoak dedikazio denboraren autogestioa errazten dute.
* Eraginkortasuna: ikaslearen autonomia garatzea sustatzen dute
* Laguntza pertsonalizatua: ikaslearen jardueran zentratua da.
* Ekonomia: espazio eta material fisikoen erabilerarekin eta garraioarekin lotutako gastuak murriztu egiten dira.
* Ikaskuntza-komunitate bat eraikitzea.
* Aholkularitza: aholkulari baten laguntza izatea, gidatu eta ikastaroaz aholkuak emango dizkiona.


Bestalde, mugak ere badira: &lt;blockquote&gt;
Aurrez aurrekoan ñabardura pila bat daude: begiradak, keinuak... Hitzezkoa ez den komunikazioak garrantzi handia hartzen du. Zer gertatzen da ''online'' ingurunean? Hori dena galdu edo lausotu egiten da. Hortaz, eskatzen diguna ez da bakarrik arreta berezia jartzea: joko eremuaren arauak ulertzea eta benetan ''online'' inguruneetan gertatzen den komunikazioa zer den ulertzea ere bai.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Irati|abizena=Urdalleta Lete|izenburua=«'Online' ingurunean, nolabait itsutu egiten gara gailuekin»|hizkuntza=eu|data=2021-06-26|url=https://www.berria.eus/euskal-herria/online-ingurunean-nolabait-itsutu-egiten-gara-gailuekin_1296390_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Aukerak ==
Online ikaskuntzak aurrez aurrekoa ordezkatu dezake, baina askotan modu osagarrian erabiltzen da. '''''Blended''''' terminoa erabiltzen da bi modalitateen konbinazioari.

Online irakasteko bi bide nagusi daude, '''sinkronoa''' eta '''asinkronoa'''. Modu sinkronoan irakaslea eta ikaslea denbora berean aritzen dira elkarrekin. Asinkronoan, berriz, norberak bere ordutegia antolatzen du beste parte-hartzaileengandik modu independentean. [[w:Informazioaren eta komunikazioaren teknologiak|IKT]] tresnak bi bideetan erabiltzen dira, baina bideokonferentzia-sistema dira lehen bidearen ezinbesteko lanabesa. Biak konbinatu ohi dira, baina asinkronoa nagusia da autoikaskuntzan eta etengabeko ikaskuntzan.

== Tresnak ==
Online ikaskuntza bideratzeko aplikazioei LMS ([[w:Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema|''Learning Management System'']], Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema) izena ematen zaie, eta helburu nagusia ikasgela birtualak kudeatzea da. Eduki mota guztiak kudeatzen dituzte, komunikazioa, bideoak, ikastaroak eta dokumentuak barne. 
[[Fitxategi:MoodleMobile 3.3.1 Released-1.png|thumb|500x500px|Moodle bezeroa ]]
[[w:Moodle|Moodle]] Europan gehien erabiltzen den LMSa da, software librea da, eta hizkuntza askotara dago lokalizatuta (euskarara ere bai). Moodle-k planteatzen duena hezkuntza konstruktibo sozial bat da, eta bertan ikasleak ere hezkuntzako esperientzian ekarpen garrantzitsuak egin dezakeela azpimarratzen da: ikasleak forotan galdetu eta erantzun dezake, glosarioan terminoak gehitu ditzake, tailerretan ikaskideekin elkarlanean aritu, autoebaluatu eta koebaluatu dezakete edo wiki batean elkarrekin lan egin dezakete.

Beste LMS ezagun batzuk Canvas, Blackboard eta D2L Brightspace dira.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>ikmgdf5c53z396myrlg8h5zq5uhxz9d</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44249</id>
      <parentid>44248</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T17:05:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* Aukerak */</comment>
      <origin>44249</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7998" sha1="qpfnffjm55gvzivpsfzpppwvcraccca" xml:space="preserve">= Bideokonferentzia-sistemak=
[[Fitxategi:Tandberg Image Gallery - telepresence-t3-side-view-hires.jpg|thumb|400x400px|Bideokonferentzia-saio bat.]]

'''Bideokonferentzia''' [[w:audio|audio]] eta [[w:bideo|bideoa]] batera transmititzen dituen aldibereko komunikazio-sistema da.

== Historia eta bilakaera ==
1970eko hamarkadaren hasieran merkaturatu zen lehen aldiz, [[w:telefono|telefono]]-teknologia baliatuta. Hasieran, oso sistema konplexu eta garestiak ziren eta dispositibo zein sare-protokolo bereziak erabiltzen ziren; gaur egun, berriz, ohiko dispositiboak ([[w:Telefono adimendun|telefono adimendunak]], [[w:Tableta (ordenagailua)|tabletak]], [[w:Ordenagailu|ordenagailuak]], [[w:Bideo-kamera|bideo-kamerak]]...) erabiltzen dira ohiko sare lokal eta Internet gainean. 

[[w:Internet|Interneteko]]  eta [[w:Sare lokal|sare lokaletako]] ahalmenak handitu ahala, azken urtetan asko ugaldu dira bideo-deiak eta bideokonferentziak, eta alor askotarako funtsezko tresna bihurtu dira: lan-bilerak, irakaskuntza, [[w:telemedikuntza|telemedikuntza]]... [[w:Telelan|Telelanaren]] funtsezko osagaia ere bihurtu da.
[[Fitxategi:Jitsi Meet gallery view.jpg|thumb|500x500px|Jitsi Meet saio baten galeria ikuspegia]]
[[w:Skype|Skype]] izan zen urte askotan, alde handiz, gehien erabili zen programa, baina COVID garaian eztanda bat gertatu zen, eta sistema asko zabaldu ziren, [[w:Zoom (sofwarea)|Zoom]], Google Meet eta [[w:Jitsi|Jitsi Meet]] besteak beste.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Iñaki|abizena=Alegria|izenburua=Bideokonferentziak nonahi: Skypetik BigBlueButtonera|hizkuntza=eu|data=2020-12-01|url=https://www.sarean.eus/bideokonferentziak-nonahi-skypetik-bigbluebuttonera/|aldizkaria=Sarean .eus|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt; Jitsiren kasua aipagarria da, Europan ([[w:Estrasburgoko Unibertsitatea|Estrasburgoko Unibertsitatean]]) sortua delako eta software librea duelako oinarri.

== Alderdi teknikoak ==
[[w:ITU H.264|ITU H.264]] estandarra da gakoetako bat teknologia honetan.  [[w:MPEG-4|MPEG-4n]] oinarritutako SVC kodeketari ([[w:Scalable Video Coding|Scalable Video Coding]]) esker bideo-seinalea modu egokian kodetzen da [[w:Internet Protokolo|IP ohiko protokoloan]] zerbitzuaren kalitatea bermatuta.

Segurtasunaren aldetik funtsezkoa da muturretik muturrera [[w:Zifratze|zifratzea]], eta, hala ere, ohikoak dira saio-hasierako erasoak. Hori dela eta, komeni da [[w:Faktore anitzeko kautotze|bi urratseko kautotzea]] erabiltzea komunikazio seguruak ziurtatzeko.

== Telelanaren ondorioak ==
Bideokonferentzia-sistemei esker telelana asko zabaldu da, eta horrek eragin handia izan du eguneroko bizitzan. Aurrerapen handia izan da magultasunari begira, baina eragin kaltegarriak ere detektatu dira. Hori dela-eta ondo erabiltzeko hainbat jarraibide jarraitzea proposatu dute.
&lt;blockquote&gt;Telelanaren gako nagusia mugak jartzean dago: ordutegi zehatz bat finkatzean; posta elektronikoa etengabe ez irekitzean; distrakzioak, sakelako notifikazioak ondo antolatzean ezinbestekoak edota lanari lotutakoak baino ez jasotzeko; ahal dela, lan espazio berezitu bat definitzean; asteburuak eta jai egunak errespetatzean; errutina berriak diseinatzean... Horiekin batera, zenbait pertsonak nekea, zailtasunak, ezin egona... sentitzen dute. Bideokonferentzia bat ez da aurrez aurreko komunikazio arrunt bat. Askorentzat, publikoan hitz egitearen parekoa da. Arreta asko eskatzen du ikusle bezala, eta hizlari bezala zer esan, jendearen erreakzioak interpretatzen saiatu behar baita pantaila lau baten aurrean.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Gorka|abizena=Julio|izenburua=Tele-errealitate berria|hizkuntza=eu|data=2020-05-09|url=https://www.berria.eus/komunikazioa/analisia-komunikazioa/tele-errealitate-berria_1271999_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Testu ebakia: On-line ikaskuntza ==
[[w:E-learning|Online ikaskuntza]] edo e-learning, [[w:1990|1990.eko]] hamarkadan sortu eta ordutik hona garapen handia izan duen ikas-moldea da. Termino ezberdinen bitartez izendatu ohi da, hala nola on-line irakaskuntza, irakaskuntza birtuala, irakaskuntza telematikoa edo prestakuntza birtuala. Irakasleek eta ikasleek ingurune digital batean parte hartzen dute [[w:Konputagailu-sare|ordenagailuek]], [[w:Internet|Internetek]] eta teknologia digitalek eskaintzen dituzten erraztasunak modu intentsiboan erabiliz. [[w:Urrutiko hezkuntza|Urruneko irakaskuntza]] zena ordezkatu du, teknologiari esker, irakasle-ikasle zein ikasleen arteko komunikazioa hobetu eta eredu pedagogiko aktiboagoak aplikatu daitezkeelako.

== Abantailak eta mugak ==
Azken urteotan, hezkuntza-erakunde askok txertatu dituzte informazioaren eta komunikazioaren teknologiak beren jardueran, batez ere irakaskuntza-ikaskuntza prozesuak hobetzeko eta online ikastaroak eskaintzeko. Aurrez-aurreko ikaskuntzarekin konparatuta gabeziak dituen arren, batez ere ikasle gazteei begira, abantailak ere baditu:

* Irekiera: prestakuntzarako sarbidea errazten da, batez ere oztopo geografikoak gaindituz.
* Malgutasuna: komunikazio asinkrono eta nonahikoak dedikazio denboraren autogestioa errazten dute.
* Eraginkortasuna: ikaslearen autonomia garatzea sustatzen dute
* Laguntza pertsonalizatua: ikaslearen jardueran zentratua da.
* Ekonomia: espazio eta material fisikoen erabilerarekin eta garraioarekin lotutako gastuak murriztu egiten dira.
* Ikaskuntza-komunitate bat eraikitzea.
* Aholkularitza: aholkulari baten laguntza izatea, gidatu eta ikastaroaz aholkuak emango dizkiona.


Bestalde, mugak ere badira: &lt;blockquote&gt;
Aurrez aurrekoan ñabardura pila bat daude: begiradak, keinuak... Hitzezkoa ez den komunikazioak garrantzi handia hartzen du. Zer gertatzen da ''online'' ingurunean? Hori dena galdu edo lausotu egiten da. Hortaz, eskatzen diguna ez da bakarrik arreta berezia jartzea: joko eremuaren arauak ulertzea eta benetan ''online'' inguruneetan gertatzen den komunikazioa zer den ulertzea ere bai.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Irati|abizena=Urdalleta Lete|izenburua=«'Online' ingurunean, nolabait itsutu egiten gara gailuekin»|hizkuntza=eu|data=2021-06-26|url=https://www.berria.eus/euskal-herria/online-ingurunean-nolabait-itsutu-egiten-gara-gailuekin_1296390_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Aukerak ==
Online ikaskuntzak aurrez aurrekoa ordezkatu dezake, baina askotan modu osagarrian erabiltzen da. ''Blended'' terminoa erabiltzen da bi modalitateen konbinazioari.

Online irakasteko bi bide nagusi daude, '''sinkronoa''' eta '''asinkronoa'''. Modu sinkronoan irakaslea eta ikaslea denbora berean aritzen dira elkarrekin. Asinkronoan, berriz, norberak bere ordutegia antolatzen du beste parte-hartzaileengandik modu independentean. [[w:Informazioaren eta komunikazioaren teknologiak|IKT]] tresnak bi bideetan erabiltzen dira, baina bideokonferentzia-sistema dira lehen bidearen ezinbesteko lanabesa. Biak konbinatu ohi dira, baina asinkronoa nagusia da autoikaskuntzan eta etengabeko ikaskuntzan.

== Tresnak ==
Online ikaskuntza bideratzeko aplikazioei LMS ([[w:Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema|''Learning Management System'']], Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema) izena ematen zaie, eta helburu nagusia ikasgela birtualak kudeatzea da. Eduki mota guztiak kudeatzen dituzte, komunikazioa, bideoak, ikastaroak eta dokumentuak barne. 
[[Fitxategi:MoodleMobile 3.3.1 Released-1.png|thumb|500x500px|Moodle bezeroa ]]
[[w:Moodle|Moodle]] Europan gehien erabiltzen den LMSa da, software librea da, eta hizkuntza askotara dago lokalizatuta (euskarara ere bai). Moodle-k planteatzen duena hezkuntza konstruktibo sozial bat da, eta bertan ikasleak ere hezkuntzako esperientzian ekarpen garrantzitsuak egin dezakeela azpimarratzen da: ikasleak forotan galdetu eta erantzun dezake, glosarioan terminoak gehitu ditzake, tailerretan ikaskideekin elkarlanean aritu, autoebaluatu eta koebaluatu dezakete edo wiki batean elkarrekin lan egin dezakete.

Beste LMS ezagun batzuk Canvas, Blackboard eta D2L Brightspace dira.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>qpfnffjm55gvzivpsfzpppwvcraccca</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44250</id>
      <parentid>44249</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T17:09:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inaki.alegria</username>
        <id>1649</id>
      </contributor>
      <comment>/* Tresnak */</comment>
      <origin>44250</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7982" sha1="nxuf8jqt9m7urb8htjaokm93v2z95o0" xml:space="preserve">= Bideokonferentzia-sistemak=
[[Fitxategi:Tandberg Image Gallery - telepresence-t3-side-view-hires.jpg|thumb|400x400px|Bideokonferentzia-saio bat.]]

'''Bideokonferentzia''' [[w:audio|audio]] eta [[w:bideo|bideoa]] batera transmititzen dituen aldibereko komunikazio-sistema da.

== Historia eta bilakaera ==
1970eko hamarkadaren hasieran merkaturatu zen lehen aldiz, [[w:telefono|telefono]]-teknologia baliatuta. Hasieran, oso sistema konplexu eta garestiak ziren eta dispositibo zein sare-protokolo bereziak erabiltzen ziren; gaur egun, berriz, ohiko dispositiboak ([[w:Telefono adimendun|telefono adimendunak]], [[w:Tableta (ordenagailua)|tabletak]], [[w:Ordenagailu|ordenagailuak]], [[w:Bideo-kamera|bideo-kamerak]]...) erabiltzen dira ohiko sare lokal eta Internet gainean. 

[[w:Internet|Interneteko]]  eta [[w:Sare lokal|sare lokaletako]] ahalmenak handitu ahala, azken urtetan asko ugaldu dira bideo-deiak eta bideokonferentziak, eta alor askotarako funtsezko tresna bihurtu dira: lan-bilerak, irakaskuntza, [[w:telemedikuntza|telemedikuntza]]... [[w:Telelan|Telelanaren]] funtsezko osagaia ere bihurtu da.
[[Fitxategi:Jitsi Meet gallery view.jpg|thumb|500x500px|Jitsi Meet saio baten galeria ikuspegia]]
[[w:Skype|Skype]] izan zen urte askotan, alde handiz, gehien erabili zen programa, baina COVID garaian eztanda bat gertatu zen, eta sistema asko zabaldu ziren, [[w:Zoom (sofwarea)|Zoom]], Google Meet eta [[w:Jitsi|Jitsi Meet]] besteak beste.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Iñaki|abizena=Alegria|izenburua=Bideokonferentziak nonahi: Skypetik BigBlueButtonera|hizkuntza=eu|data=2020-12-01|url=https://www.sarean.eus/bideokonferentziak-nonahi-skypetik-bigbluebuttonera/|aldizkaria=Sarean .eus|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt; Jitsiren kasua aipagarria da, Europan ([[w:Estrasburgoko Unibertsitatea|Estrasburgoko Unibertsitatean]]) sortua delako eta software librea duelako oinarri.

== Alderdi teknikoak ==
[[w:ITU H.264|ITU H.264]] estandarra da gakoetako bat teknologia honetan.  [[w:MPEG-4|MPEG-4n]] oinarritutako SVC kodeketari ([[w:Scalable Video Coding|Scalable Video Coding]]) esker bideo-seinalea modu egokian kodetzen da [[w:Internet Protokolo|IP ohiko protokoloan]] zerbitzuaren kalitatea bermatuta.

Segurtasunaren aldetik funtsezkoa da muturretik muturrera [[w:Zifratze|zifratzea]], eta, hala ere, ohikoak dira saio-hasierako erasoak. Hori dela eta, komeni da [[w:Faktore anitzeko kautotze|bi urratseko kautotzea]] erabiltzea komunikazio seguruak ziurtatzeko.

== Telelanaren ondorioak ==
Bideokonferentzia-sistemei esker telelana asko zabaldu da, eta horrek eragin handia izan du eguneroko bizitzan. Aurrerapen handia izan da magultasunari begira, baina eragin kaltegarriak ere detektatu dira. Hori dela-eta ondo erabiltzeko hainbat jarraibide jarraitzea proposatu dute.
&lt;blockquote&gt;Telelanaren gako nagusia mugak jartzean dago: ordutegi zehatz bat finkatzean; posta elektronikoa etengabe ez irekitzean; distrakzioak, sakelako notifikazioak ondo antolatzean ezinbestekoak edota lanari lotutakoak baino ez jasotzeko; ahal dela, lan espazio berezitu bat definitzean; asteburuak eta jai egunak errespetatzean; errutina berriak diseinatzean... Horiekin batera, zenbait pertsonak nekea, zailtasunak, ezin egona... sentitzen dute. Bideokonferentzia bat ez da aurrez aurreko komunikazio arrunt bat. Askorentzat, publikoan hitz egitearen parekoa da. Arreta asko eskatzen du ikusle bezala, eta hizlari bezala zer esan, jendearen erreakzioak interpretatzen saiatu behar baita pantaila lau baten aurrean.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Gorka|abizena=Julio|izenburua=Tele-errealitate berria|hizkuntza=eu|data=2020-05-09|url=https://www.berria.eus/komunikazioa/analisia-komunikazioa/tele-errealitate-berria_1271999_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Testu ebakia: On-line ikaskuntza ==
[[w:E-learning|Online ikaskuntza]] edo e-learning, [[w:1990|1990.eko]] hamarkadan sortu eta ordutik hona garapen handia izan duen ikas-moldea da. Termino ezberdinen bitartez izendatu ohi da, hala nola on-line irakaskuntza, irakaskuntza birtuala, irakaskuntza telematikoa edo prestakuntza birtuala. Irakasleek eta ikasleek ingurune digital batean parte hartzen dute [[w:Konputagailu-sare|ordenagailuek]], [[w:Internet|Internetek]] eta teknologia digitalek eskaintzen dituzten erraztasunak modu intentsiboan erabiliz. [[w:Urrutiko hezkuntza|Urruneko irakaskuntza]] zena ordezkatu du, teknologiari esker, irakasle-ikasle zein ikasleen arteko komunikazioa hobetu eta eredu pedagogiko aktiboagoak aplikatu daitezkeelako.

== Abantailak eta mugak ==
Azken urteotan, hezkuntza-erakunde askok txertatu dituzte informazioaren eta komunikazioaren teknologiak beren jardueran, batez ere irakaskuntza-ikaskuntza prozesuak hobetzeko eta online ikastaroak eskaintzeko. Aurrez-aurreko ikaskuntzarekin konparatuta gabeziak dituen arren, batez ere ikasle gazteei begira, abantailak ere baditu:

* Irekiera: prestakuntzarako sarbidea errazten da, batez ere oztopo geografikoak gaindituz.
* Malgutasuna: komunikazio asinkrono eta nonahikoak dedikazio denboraren autogestioa errazten dute.
* Eraginkortasuna: ikaslearen autonomia garatzea sustatzen dute
* Laguntza pertsonalizatua: ikaslearen jardueran zentratua da.
* Ekonomia: espazio eta material fisikoen erabilerarekin eta garraioarekin lotutako gastuak murriztu egiten dira.
* Ikaskuntza-komunitate bat eraikitzea.
* Aholkularitza: aholkulari baten laguntza izatea, gidatu eta ikastaroaz aholkuak emango dizkiona.


Bestalde, mugak ere badira: &lt;blockquote&gt;
Aurrez aurrekoan ñabardura pila bat daude: begiradak, keinuak... Hitzezkoa ez den komunikazioak garrantzi handia hartzen du. Zer gertatzen da ''online'' ingurunean? Hori dena galdu edo lausotu egiten da. Hortaz, eskatzen diguna ez da bakarrik arreta berezia jartzea: joko eremuaren arauak ulertzea eta benetan ''online'' inguruneetan gertatzen den komunikazioa zer den ulertzea ere bai.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|izena=Irati|abizena=Urdalleta Lete|izenburua=«'Online' ingurunean, nolabait itsutu egiten gara gailuekin»|hizkuntza=eu|data=2021-06-26|url=https://www.berria.eus/euskal-herria/online-ingurunean-nolabait-itsutu-egiten-gara-gailuekin_1296390_102.html|aldizkaria=Berria|sartze-data=2026-08-02}}&lt;/ref&gt;&lt;/blockquote&gt;

== Aukerak ==
Online ikaskuntzak aurrez aurrekoa ordezkatu dezake, baina askotan modu osagarrian erabiltzen da. ''Blended'' terminoa erabiltzen da bi modalitateen konbinazioari.

Online irakasteko bi bide nagusi daude, '''sinkronoa''' eta '''asinkronoa'''. Modu sinkronoan irakaslea eta ikaslea denbora berean aritzen dira elkarrekin. Asinkronoan, berriz, norberak bere ordutegia antolatzen du beste parte-hartzaileengandik modu independentean. [[w:Informazioaren eta komunikazioaren teknologiak|IKT]] tresnak bi bideetan erabiltzen dira, baina bideokonferentzia-sistema dira lehen bidearen ezinbesteko lanabesa. Biak konbinatu ohi dira, baina asinkronoa nagusia da autoikaskuntzan eta etengabeko ikaskuntzan.

== Tresnak ==
Online ikaskuntza bideratzeko aplikazioei LMS ([[w:Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema|''Learning Management System'']], Ikaskuntza Kudeatzeko Sistema) izena ematen zaie, eta helburu nagusia ikasgela birtualak kudeatzea da. Eduki mota guztiak kudeatzen dituzte, komunikazioa, bideoak, ikastaroak eta dokumentuak barne. 
[[Fitxategi:MoodleMobile 3.3.1 Released-1.png|thumb|500x500px|Moodle bezeroa ]]
[[w:Moodle|Moodle]] Europan gehien erabiltzen den LMSa da, software librea da, eta hizkuntza askotara dago lokalizatuta (euskarara ere bai). Moodlek pedagogia konstruktibista-soziala sustatzen du, eta, hori bideratzeko, ikasleak ere hezkuntzako esperientzian ekarpen garrantzitsuak egin dezake: ikasleak forotan galdetu eta erantzun dezake, glosarioan terminoak gehitu ditzake, tailerretan ikaskideekin elkarlanean aritu, autoebaluatu eta koebaluatu dezakete, edo wiki batean elkarrekin lan egin dezakete.

Beste LMS ezagun batzuk Canvas, Blackboard eta D2L Brightspace dira.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}</text>
      <sha1>nxuf8jqt9m7urb8htjaokm93v2z95o0</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Darabilbo Zientzia/1.2. Zifra eta zenbakien inperioa. Matematikariek asmaturiko zenbakien historia</title>
    <ns>0</ns>
    <id>7366</id>
    <revision>
      <id>44238</id>
      <parentid>44229</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T13:18:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Kopurua versus kantitatea eta zenbatu versus neurtu */</comment>
      <origin>44238</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15191" sha1="mg38wrf18jz89drngi9to81ydt7mn77" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.
                     
:Irudia Naneghat-eko inskripzioak. 

Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

:Irudia Bakhshali-ko eskuzkribuko zifrak.


:irudia Al-Juwarizmi Errusiak ateratako posta-zigilu batean.

Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 
Algoritmi de Numero Indorum izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.


== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|Left|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]
Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|Left|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]


Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har,  eta   bi zenbaki oso izanik,    arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean,   eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko fractio hitzetik dator, eta hori arabierazko kars hitzaren itzulpena da; et «hautsia, zatitua» esan nahi du; euskaraz, frakzioari zatikia ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|Left|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei zenbaki arrazionalak deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras etriangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;


Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan
                                       

Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.
Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
p  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
68.719.470.000
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
   206.158.430.000
2002
Kanada eta beste
Hitachi SR8000/MP
1.241.100.000.000
2004
Kanada eta beste
Hitachi
1.351.100.000.000
2009
Daisuke Takahashi

T2K Tsukuba System (640 ord.)
2.576.980.370.000 
(73 h 36min)
2009
Fabrice Bellard
Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
2.699.999.990.000

2010
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
5.000.000.000.000
2011
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
10.000.000.000.000
Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         

Zenbaki errealak
         
Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki.
     
Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute.
Zenbaki imajinarioak/irudikariak
                                    

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo.
Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:


Zenbaki konplexuak
    
                                                              
Infinituaren iraultza
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.
Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

Zenbakien sailkapena
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

{{Lanean|jr.etxebarria}}
== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>mg38wrf18jz89drngi9to81ydt7mn77</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44239</id>
      <parentid>44238</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T13:20:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki osoak, zenbaki naturalen zabalkundea */</comment>
      <origin>44239</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15194" sha1="4zwcdx1ynsr69htqvie63tk3fvg5me3" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.
                     
:Irudia Naneghat-eko inskripzioak. 

Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

:Irudia Bakhshali-ko eskuzkribuko zifrak.


:irudia Al-Juwarizmi Errusiak ateratako posta-zigilu batean.

Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 
Algoritmi de Numero Indorum izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.


== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|Left|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]
Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|Left|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]


Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har,  eta   bi zenbaki oso izanik,    arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean,   eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko fractio hitzetik dator, eta hori arabierazko kars hitzaren itzulpena da; et «hautsia, zatitua» esan nahi du; euskaraz, frakzioari zatikia ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|Left|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei zenbaki arrazionalak deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras etriangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;


Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan
                                       

Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.
Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
p  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
68.719.470.000
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
   206.158.430.000
2002
Kanada eta beste
Hitachi SR8000/MP
1.241.100.000.000
2004
Kanada eta beste
Hitachi
1.351.100.000.000
2009
Daisuke Takahashi

T2K Tsukuba System (640 ord.)
2.576.980.370.000 
(73 h 36min)
2009
Fabrice Bellard
Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
2.699.999.990.000

2010
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
5.000.000.000.000
2011
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
10.000.000.000.000
Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         

Zenbaki errealak
         
Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki.
     
Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute.
Zenbaki imajinarioak/irudikariak
                                    

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo.
Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:


Zenbaki konplexuak
    
                                                              
Infinituaren iraultza
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.
Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

Zenbakien sailkapena
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

{{Lanean|jr.etxebarria}}
== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>4zwcdx1ynsr69htqvie63tk3fvg5me3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44260</id>
      <parentid>44239</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T19:15:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbakiak eta zifrak */</comment>
      <origin>44260</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15833" sha1="0efjdcw6olobbbwb7w00up0zvdwwau9" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.
                     
:Irudia Naneghat-eko inskripzioak. 

Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

:Irudia Bakhshali-ko eskuzkribuko zifrak.


:irudia Al-Juwarizmi Errusiak ateratako posta-zigilu batean.

Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 
Algoritmi de Numero Indorum izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.


== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|Left|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]
Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|Left|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]


Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har,  eta   bi zenbaki oso izanik,    arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean,   eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko fractio hitzetik dator, eta hori arabierazko kars hitzaren itzulpena da; et «hautsia, zatitua» esan nahi du; euskaraz, frakzioari zatikia ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|Left|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei zenbaki arrazionalak deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras etriangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;


Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan
                                       

Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.
Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
p  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
68.719.470.000
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
   206.158.430.000
2002
Kanada eta beste
Hitachi SR8000/MP
1.241.100.000.000
2004
Kanada eta beste
Hitachi
1.351.100.000.000
2009
Daisuke Takahashi

T2K Tsukuba System (640 ord.)
2.576.980.370.000 
(73 h 36min)
2009
Fabrice Bellard
Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
2.699.999.990.000

2010
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
5.000.000.000.000
2011
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
10.000.000.000.000
Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         

Zenbaki errealak
         
Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki.
     
Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute.
Zenbaki imajinarioak/irudikariak
                                    

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo.
Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:


Zenbaki konplexuak
    
                                                              
Infinituaren iraultza
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.
Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

Zenbakien sailkapena
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

{{Lanean|jr.etxebarria}}
== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>0efjdcw6olobbbwb7w00up0zvdwwau9</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44261</id>
      <parentid>44260</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T19:41:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra */</comment>
      <origin>44261</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16193" sha1="9dm0cjhspc083jea0ad3wcfphhpgife" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|thumb|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|Left|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]

Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|Left|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]
Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|Left|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]


Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har,  eta   bi zenbaki oso izanik,    arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean,   eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko fractio hitzetik dator, eta hori arabierazko kars hitzaren itzulpena da; et «hautsia, zatitua» esan nahi du; euskaraz, frakzioari zatikia ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|Left|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei zenbaki arrazionalak deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras etriangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;


Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan
                                       

Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.
Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
p  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
68.719.470.000
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
   206.158.430.000
2002
Kanada eta beste
Hitachi SR8000/MP
1.241.100.000.000
2004
Kanada eta beste
Hitachi
1.351.100.000.000
2009
Daisuke Takahashi

T2K Tsukuba System (640 ord.)
2.576.980.370.000 
(73 h 36min)
2009
Fabrice Bellard
Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
2.699.999.990.000

2010
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
5.000.000.000.000
2011
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
10.000.000.000.000
Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         

Zenbaki errealak
         
Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki.
     
Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute.
Zenbaki imajinarioak/irudikariak
                                    

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo.
Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:


Zenbaki konplexuak
    
                                                              
Infinituaren iraultza
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.
Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

Zenbakien sailkapena
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

{{Lanean|jr.etxebarria}}
== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>9dm0cjhspc083jea0ad3wcfphhpgife</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44262</id>
      <parentid>44261</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T19:43:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra */</comment>
      <origin>44262</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16206" sha1="6fn8henfngvxy0x4sryd8i5wy7xsphd" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|thumb|Centre|200px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|Left|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]

Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|Left|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]
Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|Left|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]


Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har,  eta   bi zenbaki oso izanik,    arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean,   eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko fractio hitzetik dator, eta hori arabierazko kars hitzaren itzulpena da; et «hautsia, zatitua» esan nahi du; euskaraz, frakzioari zatikia ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|Left|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei zenbaki arrazionalak deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras etriangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;


Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan
                                       

Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.
Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
p  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
68.719.470.000
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
   206.158.430.000
2002
Kanada eta beste
Hitachi SR8000/MP
1.241.100.000.000
2004
Kanada eta beste
Hitachi
1.351.100.000.000
2009
Daisuke Takahashi

T2K Tsukuba System (640 ord.)
2.576.980.370.000 
(73 h 36min)
2009
Fabrice Bellard
Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
2.699.999.990.000

2010
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
5.000.000.000.000
2011
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
10.000.000.000.000
Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         

Zenbaki errealak
         
Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki.
     
Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute.
Zenbaki imajinarioak/irudikariak
                                    

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo.
Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:


Zenbaki konplexuak
    
                                                              
Infinituaren iraultza
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.
Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

Zenbakien sailkapena
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

{{Lanean|jr.etxebarria}}
== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>6fn8henfngvxy0x4sryd8i5wy7xsphd</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44263</id>
      <parentid>44262</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T19:45:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra */</comment>
      <origin>44263</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16219" sha1="0dv9np9ade8qut5lt701fkl8nk4s830" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb||ezkerrera|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]

Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|Left|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]
Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|Left|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]


Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har,  eta   bi zenbaki oso izanik,    arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean,   eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko fractio hitzetik dator, eta hori arabierazko kars hitzaren itzulpena da; et «hautsia, zatitua» esan nahi du; euskaraz, frakzioari zatikia ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|Left|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei zenbaki arrazionalak deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras etriangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;


Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan
                                       

Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.
Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
p  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
68.719.470.000
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
   206.158.430.000
2002
Kanada eta beste
Hitachi SR8000/MP
1.241.100.000.000
2004
Kanada eta beste
Hitachi
1.351.100.000.000
2009
Daisuke Takahashi

T2K Tsukuba System (640 ord.)
2.576.980.370.000 
(73 h 36min)
2009
Fabrice Bellard
Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
2.699.999.990.000

2010
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
5.000.000.000.000
2011
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
10.000.000.000.000
Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         

Zenbaki errealak
         
Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki.
     
Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute.
Zenbaki imajinarioak/irudikariak
                                    

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo.
Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:


Zenbaki konplexuak
    
                                                              
Infinituaren iraultza
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.
Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

Zenbakien sailkapena
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

{{Lanean|jr.etxebarria}}
== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>0dv9np9ade8qut5lt701fkl8nk4s830</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44264</id>
      <parentid>44263</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T19:46:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki arruntak edo “naturalak” */</comment>
      <origin>44264</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16224" sha1="j80efi3m0x39166l3dvbchwdwshb5rx" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb||ezkerrera|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]

Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]
Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|Left|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]


Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har,  eta   bi zenbaki oso izanik,    arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean,   eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko fractio hitzetik dator, eta hori arabierazko kars hitzaren itzulpena da; et «hautsia, zatitua» esan nahi du; euskaraz, frakzioari zatikia ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|Left|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei zenbaki arrazionalak deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras etriangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;


Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan
                                       

Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.
Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
p  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
68.719.470.000
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
   206.158.430.000
2002
Kanada eta beste
Hitachi SR8000/MP
1.241.100.000.000
2004
Kanada eta beste
Hitachi
1.351.100.000.000
2009
Daisuke Takahashi

T2K Tsukuba System (640 ord.)
2.576.980.370.000 
(73 h 36min)
2009
Fabrice Bellard
Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
2.699.999.990.000

2010
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
5.000.000.000.000
2011
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
10.000.000.000.000
Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         

Zenbaki errealak
         
Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki.
     
Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute.
Zenbaki imajinarioak/irudikariak
                                    

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo.
Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:


Zenbaki konplexuak
    
                                                              
Infinituaren iraultza
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.
Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

Zenbakien sailkapena
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

{{Lanean|jr.etxebarria}}
== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>j80efi3m0x39166l3dvbchwdwshb5rx</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44265</id>
      <parentid>44264</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T19:49:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki osoak, zenbaki naturalen zabalkundea */</comment>
      <origin>44265</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16228" sha1="6xwqn10dzi1k1wrszbzns9hk02a59ws" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb||ezkerrera|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]

Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]
Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har,  eta   bi zenbaki oso izanik,    arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean,   eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko fractio hitzetik dator, eta hori arabierazko kars hitzaren itzulpena da; et «hautsia, zatitua» esan nahi du; euskaraz, frakzioari zatikia ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|Left|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei zenbaki arrazionalak deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras etriangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;


Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan
                                       

Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.
Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
p  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
68.719.470.000
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
   206.158.430.000
2002
Kanada eta beste
Hitachi SR8000/MP
1.241.100.000.000
2004
Kanada eta beste
Hitachi
1.351.100.000.000
2009
Daisuke Takahashi

T2K Tsukuba System (640 ord.)
2.576.980.370.000 
(73 h 36min)
2009
Fabrice Bellard
Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
2.699.999.990.000

2010
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
5.000.000.000.000
2011
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
10.000.000.000.000
Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         

Zenbaki errealak
         
Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki.
     
Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute.
Zenbaki imajinarioak/irudikariak
                                    

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo.
Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:


Zenbaki konplexuak
    
                                                              
Infinituaren iraultza
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.
Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

Zenbakien sailkapena
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

{{Lanean|jr.etxebarria}}
== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>6xwqn10dzi1k1wrszbzns9hk02a59ws</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44266</id>
      <parentid>44265</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T20:19:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak */</comment>
      <origin>44266</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16335" sha1="9t6z5yfaf9vgobbmf2xahnq2d3j3ir5" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb||ezkerrera|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]

Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]
Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko '''fractio''' hitzetik dator, eta hori arabierazko '''kars''' hitzaren itzulpena da; et «'''hautsia, zatitua'''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari '''zatikia''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei '''zenbaki arrazionalak''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;


Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan
                                       

Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.
Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
p  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
68.719.470.000
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
   206.158.430.000
2002
Kanada eta beste
Hitachi SR8000/MP
1.241.100.000.000
2004
Kanada eta beste
Hitachi
1.351.100.000.000
2009
Daisuke Takahashi

T2K Tsukuba System (640 ord.)
2.576.980.370.000 
(73 h 36min)
2009
Fabrice Bellard
Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
2.699.999.990.000

2010
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
5.000.000.000.000
2011
Shigeru Kondo
2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
10.000.000.000.000
Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         

Zenbaki errealak
         
Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki.
     
Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute.
Zenbaki imajinarioak/irudikariak
                                    

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo.
Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:


Zenbaki konplexuak
    
                                                              
Infinituaren iraultza
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.
Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

Zenbakien sailkapena
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

{{Lanean|jr.etxebarria}}
== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>9t6z5yfaf9vgobbmf2xahnq2d3j3ir5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44267</id>
      <parentid>44266</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T21:02:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki irrazionalak: }\sqrt{2, \pi, e, \varphi … */</comment>
      <origin>44267</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17890" sha1="mkyndg9ipt7g6i0thsmhrtxfhc5aexn" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb||ezkerrera|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]

Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]
Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko '''fractio''' hitzetik dator, eta hori arabierazko '''kars''' hitzaren itzulpena da; et «'''hautsia, zatitua'''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari '''zatikia''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei '''zenbaki arrazionalak''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

1748an Leonhard Euler-ek bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an Liouville-k (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         
e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 x = loga n  n = ax 
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

              
Zenbaki errealak
         
Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki.
     
Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute.
Zenbaki imajinarioak/irudikariak
                                    

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo.
Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:


Zenbaki konplexuak
    
                                                              
Infinituaren iraultza
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.
Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

Zenbakien sailkapena
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

{{Lanean|jr.etxebarria}}

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>mkyndg9ipt7g6i0thsmhrtxfhc5aexn</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44268</id>
      <parentid>44267</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T21:08:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan */</comment>
      <origin>44268</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17872" sha1="jzn4npuhezyjaanpgnwej1ppbesqgd2" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb||ezkerrera|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]

Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]
Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko '''fractio''' hitzetik dator, eta hori arabierazko '''kars''' hitzaren itzulpena da; et «'''hautsia, zatitua'''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari '''zatikia''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei '''zenbaki arrazionalak''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

1748an Leonhard Euler-ek bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an Liouville-k (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         
e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 x = loga n  n = ax 
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

         
Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki.
     
Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute.
Zenbaki imajinarioak/irudikariak
                                   
XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo.
Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:


Zenbaki konplexuak
    
                                                              
Infinituaren iraultza
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.
Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

Zenbakien sailkapena
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

{{Lanean|jr.etxebarria}}

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>jzn4npuhezyjaanpgnwej1ppbesqgd2</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44269</id>
      <parentid>44268</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T21:09:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki errealak */</comment>
      <origin>44269</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17878" sha1="ml5963dnvhy7vhbx5q4m3y194ej5n9x" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb||ezkerrera|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]

Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]
Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko '''fractio''' hitzetik dator, eta hori arabierazko '''kars''' hitzaren itzulpena da; et «'''hautsia, zatitua'''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari '''zatikia''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei '''zenbaki arrazionalak''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

1748an Leonhard Euler-ek bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an Liouville-k (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         
e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 x = loga n  n = ax 
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

         
Zenbaki errealak lerro zuzen baten bidez adierazten dira grafikoki.
     
Zenbaki arruntek kopuru diskretuak adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta edozein kantitateren neurria adierazteko balio dute.
Zenbaki imajinarioak/irudikariak
                                   
XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz zenbaki irudikaria ere baderitzo.
Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:


== Zenbaki konplexuak ==
    
                                                              
Infinituaren iraultza
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.
Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

Zenbakien sailkapena
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

{{Lanean|jr.etxebarria}}

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>ml5963dnvhy7vhbx5q4m3y194ej5n9x</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44270</id>
      <parentid>44269</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T21:23:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki errealak */</comment>
      <origin>44270</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18249" sha1="dpxo4xl0cgprxqnt2a7w0dmdre0mqrn" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb||ezkerrera|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]

Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]
Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko '''fractio''' hitzetik dator, eta hori arabierazko '''kars''' hitzaren itzulpena da; et «'''hautsia, zatitua'''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari '''zatikia''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei '''zenbaki arrazionalak''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

1748an Leonhard Euler-ek bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an Liouville-k (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         
e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 x = loga n  n = ax 
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==
    
                                                              
Infinituaren iraultza
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.
Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

Zenbakien sailkapena
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

{{Lanean|jr.etxebarria}}

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>dpxo4xl0cgprxqnt2a7w0dmdre0mqrn</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44271</id>
      <parentid>44270</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T21:28:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki konplexuak */</comment>
      <origin>44271</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18284" sha1="0gsulf6366aukoe6nv5vbag08ktxk4f" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb||ezkerrera|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]

Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]
Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko '''fractio''' hitzetik dator, eta hori arabierazko '''kars''' hitzaren itzulpena da; et «'''hautsia, zatitua'''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari '''zatikia''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei '''zenbaki arrazionalak''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

1748an Leonhard Euler-ek bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an Liouville-k (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         
e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 x = loga n  n = ax 
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>0gsulf6366aukoe6nv5vbag08ktxk4f</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44274</id>
      <parentid>44271</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T23:56:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra */</comment>
      <origin>44274</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18274" sha1="edlggf0onrma0mb13wd7qgih4zyebbs" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]
Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko '''fractio''' hitzetik dator, eta hori arabierazko '''kars''' hitzaren itzulpena da; et «'''hautsia, zatitua'''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari '''zatikia''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei '''zenbaki arrazionalak''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

1748an Leonhard Euler-ek bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an Liouville-k (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         
e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 x = loga n  n = ax 
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>edlggf0onrma0mb13wd7qgih4zyebbs</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44275</id>
      <parentid>44274</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T23:57:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki arruntak edo “naturalak” */</comment>
      <origin>44275</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18275" sha1="dschu8b1m2m8hodwjvsiq3x9gpmjv3p" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko '''fractio''' hitzetik dator, eta hori arabierazko '''kars''' hitzaren itzulpena da; et «'''hautsia, zatitua'''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari '''zatikia''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei '''zenbaki arrazionalak''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

1748an Leonhard Euler-ek bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an Liouville-k (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         
e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 x = loga n  n = ax 
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>dschu8b1m2m8hodwjvsiq3x9gpmjv3p</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44276</id>
      <parentid>44275</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T00:00:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki osoak, zenbaki naturalen zabalkundea */</comment>
      <origin>44276</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18274" sha1="56cd6rff6gd9cei4m7dwl6rkzyun46j" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko '''fractio''' hitzetik dator, eta hori arabierazko '''kars''' hitzaren itzulpena da; et «'''hautsia, zatitua'''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari '''zatikia''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei '''zenbaki arrazionalak''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

1748an Leonhard Euler-ek bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an Liouville-k (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         
e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 x = loga n  n = ax 
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>56cd6rff6gd9cei4m7dwl6rkzyun46j</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44277</id>
      <parentid>44276</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T00:01:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki arruntak edo “naturalak” */</comment>
      <origin>44277</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18273" sha1="462lo5dzjaco7d2xqiqogw5pphr2t1e" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko '''fractio''' hitzetik dator, eta hori arabierazko '''kars''' hitzaren itzulpena da; et «'''hautsia, zatitua'''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari '''zatikia''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei '''zenbaki arrazionalak''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

1748an Leonhard Euler-ek bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an Liouville-k (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         
e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 x = loga n  n = ax 
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>462lo5dzjaco7d2xqiqogw5pphr2t1e</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44278</id>
      <parentid>44277</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T00:02:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki osoak, zenbaki naturalen zabalkundea */</comment>
      <origin>44278</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18273" sha1="b9jemad7d7l0f3ygxi0dkujcdae1gve" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|70px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko '''fractio''' hitzetik dator, eta hori arabierazko '''kars''' hitzaren itzulpena da; et «'''hautsia, zatitua'''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari '''zatikia''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|150px]]
Mota horretako zenbakiei '''zenbaki arrazionalak''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

1748an Leonhard Euler-ek bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an Liouville-k (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         
e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 x = loga n  n = ax 
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>b9jemad7d7l0f3ygxi0dkujcdae1gve</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44279</id>
      <parentid>44278</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T00:02:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak */</comment>
      <origin>44279</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18272" sha1="rso3smm76q460dvb67ncyb8x24v30hi" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|70px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“ratio”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko '''fractio''' hitzetik dator, eta hori arabierazko '''kars''' hitzaren itzulpena da; et «'''hautsia, zatitua'''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari '''zatikia''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]
Mota horretako zenbakiei '''zenbaki arrazionalak''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

1748an Leonhard Euler-ek bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an Liouville-k (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         
e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 x = loga n  n = ax 
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>rso3smm76q460dvb67ncyb8x24v30hi</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44280</id>
      <parentid>44279</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T00:05:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak */</comment>
      <origin>44280</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18304" sha1="8dgjmeb442o671xickj76lyo7ewga44" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|70px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]
Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

1748an Leonhard Euler-ek bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an Liouville-k (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         
e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 x = loga n  n = ax 
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>8dgjmeb442o671xickj76lyo7ewga44</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44281</id>
      <parentid>44280</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T00:17:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki irrazionalak: }\sqrt{2, \pi, e, \varphi … */</comment>
      <origin>44281</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18453" sha1="jyc7d2xdfk3ms2zcbcoptqs31mk0n4d" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|70px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]
Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;
[[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|Leonhard Euler (1707-1783)]]::&lt;math&gt;\sqrt{2} = \frac{m}{n}&lt;/math&gt;

1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]  bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

:&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;: irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         
e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 x = loga n  n = ax 
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>jyc7d2xdfk3ms2zcbcoptqs31mk0n4d</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44282</id>
      <parentid>44281</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T00:19:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki irrazionalak: }\sqrt{2, \pi, e, \varphi … */</comment>
      <origin>44282</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18459" sha1="g56ujjyjbgsp7sltwbdvvgc7xeswncy" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|70px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]
Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;
[[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|Leonhard Euler (1707-1783)]]::&lt;math&gt;\sqrt{2} = \frac{m}{n}&lt;/math&gt;

1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]  bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

:&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;: irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                         
e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t},&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 x = loga n  n = ax 
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>g56ujjyjbgsp7sltwbdvvgc7xeswncy</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44283</id>
      <parentid>44282</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T00:44:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan */</comment>
      <origin>44283</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18290" sha1="l2b0nduox2s7c6c6p2qh0pknecc3hre" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|70px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]
Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;
[[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|Leonhard Euler (1707-1783)]]::&lt;math&gt;\sqrt{2} = \frac{m}{n}&lt;/math&gt;

1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]  bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

:&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;: irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                        

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 &lt;math&gt; x = \log_{a}{n}  \leftrightarrow   n = a^x&lt;/math&gt;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>l2b0nduox2s7c6c6p2qh0pknecc3hre</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44284</id>
      <parentid>44283</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T00:45:55Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki irrazionalak: }\sqrt{2, \pi, e, \varphi … */</comment>
      <origin>44284</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18295" sha1="9ozmc54r593yg9ag7nvt41jv0npajkr" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|70px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]
Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;
[[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|Leonhard Euler (1707-1783)]]

::&lt;math&gt;\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}&lt;/math&gt;

1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]  bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

:&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;: irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                        

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 &lt;math&gt; x = \log_{a}{n}  \leftrightarrow   n = a^x&lt;/math&gt;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>9ozmc54r593yg9ag7nvt41jv0npajkr</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44285</id>
      <parentid>44284</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T00:46:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki irrazionalak: }\sqrt{2, \pi, e, \varphi … */</comment>
      <origin>44285</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18297" sha1="2lfdxqw77c8sqrns2mbrvq1popwttlc" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|70px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]
Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
[[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|Leonhard Euler (1707-1783)]]

Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;


::&lt;math&gt;\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}&lt;/math&gt;

1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]  bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

:&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;: irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                        

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 &lt;math&gt; x = \log_{a}{n}  \leftrightarrow   n = a^x&lt;/math&gt;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>2lfdxqw77c8sqrns2mbrvq1popwttlc</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44286</id>
      <parentid>44285</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T00:47:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki irrazionalak: }\sqrt{2, \pi, e, \varphi … */</comment>
      <origin>44286</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18317" sha1="n0udjsxodmqxles0zhaqdwf5qcwe63n" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|70px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]
Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
[[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]]

Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

::&lt;math&gt;\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}&lt;/math&gt;

1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]  bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

:&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;: irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                        

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 &lt;math&gt; x = \log_{a}{n}  \leftrightarrow   n = a^x&lt;/math&gt;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>n0udjsxodmqxles0zhaqdwf5qcwe63n</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44287</id>
      <parentid>44286</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T00:48:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan */</comment>
      <origin>44287</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18318" sha1="2rgd4w4pmn9bcy6juhq173wagnriam0" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|70px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]
Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
[[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]]

Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

::&lt;math&gt;\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}&lt;/math&gt;

1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]  bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

:&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;: irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
:{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                        

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 &lt;math&gt; x = \log_{a}{n}  \leftrightarrow   n = a^x&lt;/math&gt;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>2rgd4w4pmn9bcy6juhq173wagnriam0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44288</id>
      <parentid>44287</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T00:49:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* 1.2. Zenbakien eta zifren inperioaMatematikariek asmaturiko zenbakien historia */</comment>
      <origin>44288</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18319" sha1="mghe82esr1qut1ah460delit55p1zgo" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

:{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|70px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]
Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
[[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]]

Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

::&lt;math&gt;\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}&lt;/math&gt;

1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]  bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

:&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;: irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
:{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                        

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 &lt;math&gt; x = \log_{a}{n}  \leftrightarrow   n = a^x&lt;/math&gt;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>mghe82esr1qut1ah460delit55p1zgo</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44289</id>
      <parentid>44288</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T00:55:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan */</comment>
      <origin>44289</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18399" sha1="m4sfz7sdb1bi7f0w603175nt4csct72" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

:{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|70px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]
Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
[[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]]

Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

::&lt;math&gt;\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}&lt;/math&gt;

1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]  bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

:&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;: irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
:{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
!Noiz
!Nork
!Prozesadorea
!&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; zenbakiaren zenbat zifra dezimal
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                        

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 &lt;math&gt; x = \log_{a}{n}  \leftrightarrow   n = a^x&lt;/math&gt;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>m4sfz7sdb1bi7f0w603175nt4csct72</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44290</id>
      <parentid>44289</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T00:56:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan */</comment>
      <origin>44290</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18405" sha1="te80dnyoys7ybz2jb53awyu5t44xe96" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

:{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|70px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]
Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
[[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]]

Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

::&lt;math&gt;\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}&lt;/math&gt;

1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]  bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

:&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;: irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
:{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
!Noiz
!Nork
!Prozesadorea
!&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; zenbakiaren zenbat zifra dezimal
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                        

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Beste zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 &lt;math&gt; x = \log_{a}{n}  \leftrightarrow   n = a^x&lt;/math&gt;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==
                           
:irudia i
&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;
       
Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.

XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek  sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an:  Zenbaki berri horri unitate irudikaria deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinutu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==


XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.
Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 
Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 
0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       
Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
    • Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
    • Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
    • Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.

Infinituari dagokion “zenbakia”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>te80dnyoys7ybz2jb53awyu5t44xe96</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44291</id>
      <parentid>44290</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T01:19:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <origin>44291</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19398" sha1="pziklu2p9qqpt580d21au22l85c7wwv" xml:space="preserve">{{Lanean|jr.etxebarria}}
= 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa&lt;/br&gt;Matematikariek asmaturiko zenbakien historia =

Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996).

Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. 

Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak.
 
Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. 

:{| class=&quot;wikitable&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
!'''euskara'''
!'''gaztelania'''
!'''frantsesa'''
!'''ingelesa'''
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbaki
|número
|nombre
|number
|- valign=&quot;top&quot;
|zifra/digitu
|cifra/dígito
|chiffre/digit
|digit/figure
|- valign=&quot;top&quot;
|zenbakikuntza
|numeración
|numération
|numeration
|- valign=&quot;top&quot;
|izen-zenbakia
|número nominal
|numéro
|nominal nomber
|}
Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural)

Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez).

== Kopurua versus kantitatea eta &lt;/br&gt;zenbatu versus neurtu ==
Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari.

{{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru…

Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa.

::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.''

Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}}

{{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena.

'''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. 

::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.''

Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}}

== Zenbakiak eta zifrak ==
Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko.
* Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu.
* Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.&lt;/br&gt;
Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. 
| Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.&lt;/br&gt;
Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''&lt;/br&gt;
Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.&lt;/br&gt;
Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.&lt;/br&gt;
Baina hau bai dela harrigarria!:&lt;/br&gt; Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. 
|}

== Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra ==
Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; caption= &quot;Naneghat-eko inskripzioak&quot; heights=&quot;100&quot;&gt;
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg|
2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg|
&lt;/gallery&gt;
                   
Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan.

[[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]]
[[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]]


Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. 

''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera.

== Zenbaki arruntak edo “naturalak” ==

[[Fitxategi:U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]

[[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]]

Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren:
(0), 1, 2, 3, …
Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da.                                 

Oinarrizkoenak izan arren,  harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere.
Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”.

== Fermaten aierutik Fermaten teoremara ==
Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau:

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]]  (1601-1665)]]                  
Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti &lt;math&gt;a^2 = b^2 + c^2&lt;/math&gt; ekuazioa betetzea?

Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi  batzuk aurkitu zituen. 

Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen   bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe &lt;math&gt;a^n = b^n + c^n&lt;/math&gt; kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. 

Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt; kasuetan soilik.

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180&quot;&gt;
Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|Andrew Wiles (1953)
Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean.
&lt;/gallery&gt;

Azkenean, 1995an, Andrew Wiles-ek (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo.

== Zenbaki osoak, &lt;/br&gt;zenbaki naturalen zabalkundea ==

Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). 

Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak''  asmatu zituzten. 

[[Fitxategi:Latex integers.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki osoen &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; multzoa|70px]]

Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; sinboloaz adierazten da:
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

== Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak ==
Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean:

Oro har, &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; eta &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; bi zenbaki oso izanik, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt;  arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio

[[Fitxategi:%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE.png|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrazionalen &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; multzoa|80px]]
Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. 
Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; da.

Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz:

:Irudia Pitagoras triangelu errektangelua

Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte.

== Zenbaki irrazionalak: &lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; … ==
[[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]]

Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena:

:&lt;math&gt;\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... &lt;/math&gt;

::&lt;math&gt;\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}&lt;/math&gt;

1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]  bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: 

:aljebraikoak eta transzendenteak.

1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren.

:&lt;math&gt;}\sqrt{2&lt;/math&gt;: irrazional aljebraikoa da; &lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;: irrazional transzendentea.

== Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Grezierazko   perimetron  (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; letra eta «pi» izena
|}
                                       
Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz.

Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu.
&lt;math&gt;\pi &lt;/math&gt;  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502...
:{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
!Noiz
!Nork
!Prozesadorea
!&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; zenbakiaren zenbat zifra dezimal
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|68.719.470.000
|- valign=&quot;top&quot;
|1999
|Kanada				eta Takahashi
|Hitachi				SR8000
|206.158.430.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2002
|Kanada				eta beste
|Hitachi				SR8000/MP
|1.241.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2004
|Kanada				eta beste
|Hitachi
|1.351.100.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Daisuke				Takahashi
|T2K				Tsukuba System (640 ord.)
|2.576.980.370.000				

(73				h 36min)
|- valign=&quot;top&quot;
|2009
|Fabrice				Bellard
|Core				i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB
|2.699.999.990.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2010
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|5.000.000.000.000
|- valign=&quot;top&quot;
|2011
|Shigeru				Kondo
|2				x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz
|10.000.000.000.000
|}

Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen.
                        

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Beste zenbaki irrazional batzuk
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;e&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35...
Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da:

::&lt;math&gt;N(t)=N_0e^{-\lambda t}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;big&gt;&lt;math&gt;log&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Logaritmoak ere irrazionalak dira.
 &lt;math&gt; x = \log_{a}{n}  \leftrightarrow   n = a^x&lt;/math&gt;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:&lt;/br&gt;
:&lt;math&gt;\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,&lt;/math&gt;
|}

== Zenbaki errealak ==

:irudia R
Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da.

Multzo horren sinboloa R da.
         
Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki.
:irudia lerroa
     
Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute.

== Zenbaki imajinarioak/irudikariak ==

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Zein ote da  ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke.
|}
                          
XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo.

Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: &lt;math&gt;i \equiv \sqrt{-1}&lt;/math&gt;. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak:

:&lt;math&gt;2i, 3i, -6i...&lt;/math&gt;

== Zenbaki konplexuak ==
Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: 
Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i.

Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa C da.

Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi znbaki konplexu konjokatu adierazi dira konplexuan kolore urdinez:
𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 eta 𝑧𝑧̅ = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦

                                                              
== Infinituaren iraultza ==
 {| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;big&gt;&lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; || Ezaguna dugu dugu infinituaren sinboloa.
Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da?
|}
  

Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi.

Eta XIX. mendearen amaierara arte,  kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta  gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua”  zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen  hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen.
Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza

== Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza ==

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;120&quot;&gt;
Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918)
Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916)
&lt;/gallery&gt;

XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez.

Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. 

Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten  bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu.

:irudia multzoak


A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. 

Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak”  konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 

0  sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak?       

:irudia multzoak2

Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0  sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena.
Bi motatako multzo transfinituak daude;
* Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0.
* Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa.
* Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2…

Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera:

:''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.''

Infinituari dagokion “'''zenbakia'''”  sinboloaz adierazten da.  Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2…

== Zenbakien sailkapena ==
Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira

:irudiak

== Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan ==

Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez:
:Eguneko data: 2023-11-29
:Unean uneko ordua: 20:10
:Adina: 78 urte
:Pisua: 54 kg
:Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %)
:Zenbat diru dugun: 54 €
:Zein diren gure zorrak: 105 €
:Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km
:Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C
:Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z
:Telefono-zenbakia: 688628587
:Autoaren matrikula:	0643-CYF	
:…

''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.''</text>
      <sha1>pziklu2p9qqpt580d21au22l85c7wwv</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Informatikaren 50 urte 50 teknologiatan/3D (Errealitate birtual)</title>
    <ns>0</ns>
    <id>7367</id>
    <revision>
      <id>44232</id>
      <parentid>44231</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T12:09:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* 3D modelatze-teknikak */</comment>
      <origin>44232</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14384" sha1="gfjfsbznj64hxe59nuxmb5gwj3ou7nx" xml:space="preserve">= 3D modelatze-teknikak =
Hiru dimentsioko modelatzea ordenagailu bidezko grafikoen funtsezko zutabeetako bat da, eta irudikapen geometrikoen eraikuntza gisa definitzen da, egitura matematiko, topologiko eta konputazionalen bidez (Mortenson, 2006), manipulatu, renderizatu eta animatu daitezkeenak.&lt;ref&gt;Mortenson, M. E. (2006). Geometric Modeling (2nd ed.). Industrial Press.&lt;/ref&gt;

Bere bilakaera geometria konputazionalean, hardware grafikoan, optimizazio-algoritmoetan eta, duela gutxi, adimen artifizial sortzailean egindako aurrerapenek markatu dute. Azken hamarkadetan, arlo hau hainbat teknika desberdinetara eboluzionatu du, behar desberdinei erantzuten dietenak: doitasun geometrikoa, eraginkortasun konputazionala, errealismo bisuala, eskalagarritasuna edo automatizazioa.

Gaur egun, 3D modelatzeko teknikak zazpi familia nagusitan sailkatzen dira: modelatze poligonala, NURBS gainazalak, CAD eta solido-modelatzea, modelatze parametrikoa, eskultura digitala, prozedurazko modelatzea eta AA sortzailearekin modelatzea (Adimen Artifizial sortzailea edo Generative AI bidezko modelatzea). Ikuspegi bakoitzak behar desberdinei erantzuten die: zehaztasuna, malgutasuna, automatizazioa, errealismoa edo eraginkortasun konputazionala; eta horien konbinazioak ekoizpen-pipeline modernoak definitzen ditu.

== Modelatze poligonala ==
Modelatze poligonala da animazioan, bideo-jokoetan eta ikusizko efektuetan nagusi den teknika. Sare diskretuetan oinarritzen da, erpin, ertz eta poligonoez osatuak (Watt &amp; Policarpo, 1998). Bere abantaila nagusia malgutasun topologikoa eta denbora errealeko renderizazio-motorrekin bateragarritasuna da. Poligonoen irudikapenak motor grafiko modernoen eraginkortasunaz baliatzen da, triangeluak prozesatzeko pipelineen bidez optimizatuta baitaude.&lt;ref&gt;Akenine-Möller, T., Haines, E., Hoffman, N., Pesce, A., Iwanicki, M., &amp; Hillaire, S. (2018). Real-Time Rendering (4th ed.). A K Peters/CRC Press.&lt;/ref&gt; Irudikapen diskretuak konplexutasun geometrikoa optimizatzea eta poligonoen dentsitatea esplizituki kontrolatzea ahalbidetzen du.

Azpizatze-teknikek, Catmull eta Clarkek &lt;ref&gt;Catmull, E., &amp; Clark, J. (1978). Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes. Computer-Aided Design, 10(6), 350–355. doi&lt;/ref&gt; eta Doo eta Sabinek (1978) sartutakoek, gainazal leunak lortzeko aukera ematen dute bereizmen txikiko sareetatik abiatuta, eta hori funtsezkoa izan da konputagailuz sortutako irudigintzan (CGI, Computer-Generated Imagery) eta animazioan. Teknika horiek azpizatiketaren gainazalekin (subdivision surfaces), erretopologia lagunduarekin eta sare deformagarrietan oinarritutako rigging prozesuekin osatzen dira.&lt;ref&gt;Kavan, L., Collins, S., Zára, J., &amp; O’Sullivan, C. (2007). Skinning with dual quaternions. In SI3D 2007 Symposium on Interactive 3D Graphics and Games (pp. 39–46). ACM. doi&lt;/ref&gt;

== NURBS gainazalak ==
NURBS gainazalek (Non-Uniform Rational B-Splines) geometria funtzio parametriko jarraituen bidez adierazten dute, eta horri esker, kurbak eta gainazalak doitasun arbitrarioz deskriba daitezke .&lt;ref&gt;Piegl, L., &amp; Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer.&lt;/ref&gt;

Kurba mota hauek funtsezkoak dira automobilgintzan, aeronautikan, diseinu industrialean eta arkitekturan, non jarraitutasun geometrikoa eta leuntasuna kritikoak diren,&lt;ref&gt;Farin, G. E. (2002). Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide (5th ed.). Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt; beren zehaztasunagatik, leuntasun perfektuagatik &lt;ref&gt;Piegl, L., &amp; Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer.&lt;/ref&gt; eta diskretizazio-artefakturik gabe gainazal konplexuak deskribatzeko duten gaitasunagatik. Sare poligonaletan ez bezala, NURBSek lofting, sweeping, blending eta patch modeling bezalako eragiketak ahalbidetzen dituzte, C1 eta C2 jarraitutasun geometrikoa bermatuz.

Sare poligonalek baino zehaztasun handiagoa izan arren, egitura parametrikoak zaildu egiten du topologia organiko konplexuak edo egituratu gabeko topologiak irudikatzea.&lt;ref&gt;Rogers, D. F. (2001). An Introduction to NURBS: A Practical Guide. Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt;

== CAD eta solido-modelatzea ==
CAD modelizazioak (ordenagailuz lagundutako diseinua) irudikapen bolumetrikoak erabiltzen ditu, hala nola Boundary Representation (B-Rep) eta Constructive Solid Geometry (CSG) eta eragiketa boolearrak: bategitea, kendura, ebakidura.&lt;ref&gt;Stroud, I. (2006). Boundary Representation Modelling Techniques. Springer.&lt;/ref&gt;

Teknika hauek funtsezkoak dira ingeniaritzan, manufakturan eta prototipatzean, non geometriak tolerantzia zorrotzak bete behar dituen eta fabrikazio-prozesuetara esportagarria izan behar duen, hala nola CNC edo 3D inprimaketa.&lt;ref&gt;Groover, M. P. (2020). Fundamentals of Modern Manufacturing (7th ed.). Wiley.&lt;/ref&gt;

CAD sistema berriek murrizketa geometrikoak, parametrizazio geometrikoa, eragiketen historia eta egiturazko analisia integratzen dituzte.&lt;ref&gt;Shah, J. J., &amp; Mäntylä, M. (1995). Parametric and Feature-Based CAD/CAM. Wiley.&lt;/ref&gt; Bere ikuspegi bolumetrikoak desegokiago bihurtzen du pertsonaientzat edo gainazal organikoentzat. CAD modelatzea simulazio fisikoekin, tentsioen analisiarekin eta optimizazio topologikoarekin osatzen da.&lt;ref&gt;Bendsøe, M. P., &amp; Sigmund, O. (2003). Topology Optimization: Theory, Methods, and Applications. Springer Verlag.&lt;/ref&gt;

== Modelatze parametrikoa ==
Modelatze parametrikoak geometria parametro editagarrien funtzio gisa definitzen du, eta horri esker, eredua eskuz berreraiki gabe alda daiteke.

Arkitekturan, diseinu generatiboan eta fabrikazio digitalean erabiltzen da.&lt;ref&gt;Woodbury, R. (2010). Elements of Parametric Design. Routledge.&lt;/ref&gt; Eskuz berreraiki gabe egokitu, erreproduzitu eta alda daitezkeen ereduak sortzeko aukera ematen du, nahiz eta ikaskuntza-kurba teknikoagoa eskatzen duen. Grasshopper edo Dynamo bezalako tresnek nodo-sistemak ezagun egin dituzte, non geometria eragiketa-grafoen bidez sortzen den.&lt;ref&gt;Rutten, D. (2013). Grasshopper: Generative Modeling with Rhino. Robert McNeel &amp; Associates.&lt;/ref&gt;
Modelatze parametrikoa optimizazio-teknikekin, ingurumen-simulazioarekin eta egiturazko analisiarekin integratzen da, eta horrek diseinu konputazional garaikidearen funtsezko ikuspegia bihurtzen du.&lt;ref&gt;Oxman, R. (2006). Theory and design in the first digital age. Design Studies, 27(3), 229–265.&lt;/ref&gt;

== Eskultura digitala ==
Eskultura digitalak buztina modelatzeko prozesu artistikoa simulatzen du, milioika poligono manipulatzeko aukera ematen duten tresnen bidez. Pertsonaiak, izakiak eta xehetasun-maila handiko gainazal organikoak sortzeko teknika nagusia da.&lt;ref&gt;Driskill, H. (2000). Digital Sculpting Techniques. In ACM SIGGRAPH 2000 Course Notes. ACM.&lt;/ref&gt;
Eskultura digitaleko sistemak milioika poligono kudeatzeko gai dira teknika aurreratu batzuk integratuz (dinamesh, voxel remeshing eta multiresolution sculpting) eta desplazamendu-mapetan oinarritutako xehetasunak.&lt;ref&gt;Blinn, J. F. (1978). Simulation of wrinkled surfaces. In Proceedings of the 5th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 286–292). ACM. doi&lt;/ref&gt;

Ekoizpenerako, retopologia, UV unwrapping eta map baking (normalen eta desplazamenduen mapa-labatzea) prozesuak behar dituzte animazio- edo bideo-joko-pipelineetan integratzeko.&lt;ref&gt;Pharr, M., Jakob, W., &amp; Humphreys, G. (2023). Physically Based Rendering: From Theory to Implementation (4th ed.). MIT Press.&lt;/ref&gt;

== Prozedurazko modelatzea ==
Prozedurazko modelatzeak geometria sortzen du arau, algoritmo edo nodo-grafoen bidez. Funtsezkoa da ingurune konplexuetarako, hala nola landaredia, hiriak, fraktalak edo fenomeno naturalak.&lt;ref&gt;Ebert, D., Musgrave, F. K., Peachey, D., Perlin, K., Worley, S., Mark, W. R., &amp; Hart, J. (2002). Texturing and Modeling: A Procedural Approach (3rd ed.). Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt; Bere abantaila nagusia eskalagarritasuna da: arau multzo batek milaka aldaera sor ditzake eskuzko esku-hartzerik gabe.
Tekniken artean daude L-sistemak landaredirak,&lt;ref&gt;Prusinkiewicz, P., &amp; Lindenmayer, A. (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag.&lt;/ref&gt; zarata fraktala ehunduretarako,&lt;ref&gt;Perlin, K. (1985). An Image Synthesizer. In SIGGRAPH ’85: Proceedings of the 12th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 287–296). ACM. doi&lt;/ref&gt; agenteetan oinarritutako sistemak hirietarako (Parish &amp; Müller, 2001) eta simulazio fisikoak fluido eta suntsiketarako (Bridson, 2015).
Houdini eta Geometry Nodes tresnak erreferenteak dira arlo honetan, nodoetan oinarritutako arkitekturei eta simulazio fisikoekiko integrazioari esker.

== AA sortzailearekin modelatzea ==
Gaur egun, AA sortzaileak 3D modelatzea eraldatu du. Tripo, Luma, Shap-E (Jun and Nichol, 2023) edo Point-E (Nichol et al., 2022) bezalako ereduek testutik, irudietatik edo bideotik geometria sortzeko aukera ematen dute. Azken ereduaren kalitateak eskuzko fintzea eskatu dezakeen arren, adimen artifizialeko teknika sortzaileak prototipatzeko, blockout-erako eta oinarrizko asset-ak sortzeko tresna gisa finkatu dira. Egungo joerak honako hauek dira:
* Bideoetatik 3D berreraikitzea Neural Radiance Fields-en bidez (Mildenhall et al., 2020)
* Testurizazio automatikoa modalitate anitzeko ereduen bidez (Rombach et al., 2022)
* Sare neuronaletan oinarritutako erretopologia (Wang et al., 2023)
* Fisikan oinarritutako (PBR, Physically Based Rendering) materialen sorkuntza eredu difusiboen bidez (Zhang et al., 2023)

1 irudia: 3D modelatzearen zazpi familia nagusiak.
Taula 1. 3D modelatzean teknika garrantzitsuenak: irudikapena, konplexutasuna, aplikazioak eta erreferentzia bibliografiko garrantzitsuenak.


Egungo 3D modelatzea hainbat teknikaren integrazio estrategikoak ezaugarritzen du. Pipeline modernoek sare poligonalak, eskultura digitala, modelatze prozedurala eta AA tresnak konbinatzen dituzte ekoizpena bizkortzeko eta kalitate bisuala areagotzeko. NURBS eta CAD oinarriko teknikak funtsezkoak izaten jarraitzen dute zehaztasun geometrikoa kritikoa den sektoreetan. Gaur egun nagusi den joera hibridazioa da: adimen artifizialak sortutako ereduak, eskulturaren bidez findu eta animaziorako berriro topologizatzen direnak, eta sistema prozeduralekin aberasten direnak.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}

== Bibliografia ==
* Akenine-Möller, T., Haines, E., Hoffman, N., Pesce, A., Iwanicki, M., &amp; Hillaire, S. (2018). Real-Time Rendering (4th ed.). A K Peters/CRC Press.
* Bendsøe, M. P., &amp; Sigmund, O. (2003). Topology Optimization: Theory, Methods, and Applications. Springer Verlag.
* Blinn, J. F. (1978). Simulation of wrinkled surfaces. In Proceedings of the 5th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 286–292). ACM. doi
* Bridson, R. (2015). Fluid Simulation for Computer Graphics (2nd ed.). CRC Press.
* Catmull, E., &amp; Clark, J. (1978). Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes. Computer-Aided Design, 10(6), 350–355. doi
* Doo, D., &amp; Sabin, M. (1978). Behaviour of recursive division surfaces near extraordinary points. Computer-Aided Design, 10(6), 356–360. doi
* Driskill, H. (2000). Digital Sculpting Techniques. In ACM SIGGRAPH 2000 Course Notes. ACM.
* Ebert, D., Musgrave, F. K., Peachey, D., Perlin, K., Worley, S., Mark, W. R., &amp; Hart, J. (2002). Texturing and Modeling: A Procedural Approach (3rd ed.). Morgan Kaufmann.
* Farin, G. E. (2002). Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide (5th ed.). Morgan Kaufmann.
* Groover, M. P. (2020). Fundamentals of Modern Manufacturing (7th ed.). Wiley.
* Jun, H., &amp; Nichol, A. (2023). Shap-E: Generating 3D Assets from Text. arXiv:2305.02463.
* Kavan, L., Collins, S., Zára, J., &amp; O’Sullivan, C. (2007). Skinning with dual quaternions. In SI3D 2007 Symposium on Interactive 3D Graphics and Games (pp. 39–46). ACM. doi
* Mildenhall, B., Srinivasan, P. P., Tancik, M., Barron, J. T., Ramamoorthi, R., &amp; Ng, R. (2020). NeRF: Representing Scenes as Neural Radiance Fields for View Synthesis. In ECCV 2020 (pp. 405–421). Springer. doi
* Mortenson, M. E. (2006). Geometric Modeling (2nd ed.). Industrial Press.
* Nichol, A., Jun, H., Dhariwal, P., Mishkin, P., &amp; Chen, M. (2022). Point-E: A System for Generating 3D Point Clouds from Complex Prompts. arXiv:2212.08751.
* Oxman, R. (2006). Theory and design in the first digital age. Design Studies, 27(3), 229–265.
* Parish, Y. I. H., &amp; Müller, P. (2001). Procedural modeling of cities. In SIGGRAPH ’01: Proceedings of the 28th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 301–308). ACM. doi
* Perlin, K. (1985). An Image Synthesizer. In SIGGRAPH ’85: Proceedings of the 12th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 287–296). ACM. doi
* Piegl, L., &amp; Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer.
* Pharr, M., Jakob, W., &amp; Humphreys, G. (2023). Physically Based Rendering: From Theory to Implementation (4th ed.). MIT Press.
* Prusinkiewicz, P., &amp; Lindenmayer, A. (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag.
* Requicha, A. A. G. (1980). Representations for Rigid Solids: Theory, Methods, and Systems. ACM Computing Surveys, 12(4), 437–464. doi
* Rogers, D. F. (2001). An Introduction to NURBS: A Practical Guide. Morgan Kaufmann.
* Rombach, R., Blattmann, A., Lorenz, D., Esser, P., &amp; Ommer, B. (2022). High-Resolution Image Synthesis with Latent Diffusion Models. In CVPR 2022 (pp. 10684–10695).
* Rutten, D. (2013). Grasshopper: Generative Modeling with Rhino. Robert McNeel &amp; Associates.
* Shah, J. J., &amp; Mäntylä, M. (1995). Parametric and Feature-Based CAD/CAM. Wiley.
* Stroud, I. (2006). Boundary Representation Modelling Techniques. Springer.
* Wang, Y., et al. (2023). Neural Implicit Retopology. ACM Transactions on Graphics, 42(6). doi
* Watt, A. H., &amp; Policarpo, F. (1998). The Computer Image. Addison-Wesley.
* Woodbury, R. (2010). Elements of Parametric Design. Routledge.
* Zhang, Y., et al. (2023). Diffusion Models for Material Generation. SIGGRAPH 2023 Talks.


=====================

1 irudia: 3D modelatzearen zazpi familia nagusiak.
* CC BY‑SA 4.0
* Iturria: Adimen Artifizialak sortutako irudia (Microsoft Copilot)
* Deskribapena: “Ordenagailu bidezko grafikoetan 3D modelatzearen zazpi familien objektu adierazgarriak.”


Hartu ditzakegu irudi batzuk orri honetatik: https://eu.wikipedia.org/wiki/3D_modelaketa</text>
      <sha1>gfjfsbznj64hxe59nuxmb5gwj3ou7nx</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44233</id>
      <parentid>44232</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T12:16:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* 3D modelatze-teknikak */ erreferentziak</comment>
      <origin>44233</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15381" sha1="9py5se58sdg49cgu4fdz2pmwdww9ykf" xml:space="preserve">= 3D modelatze-teknikak =
Hiru dimentsioko modelatzea ordenagailu bidezko grafikoen funtsezko zutabeetako bat da, eta irudikapen geometrikoen eraikuntza gisa definitzen da, egitura matematiko, topologiko eta konputazionalen bidez (Mortenson, 2006), manipulatu, renderizatu eta animatu daitezkeenak.&lt;ref&gt;Mortenson, M. E. (2006). Geometric Modeling (2nd ed.). Industrial Press.&lt;/ref&gt;

Bere bilakaera geometria konputazionalean, hardware grafikoan, optimizazio-algoritmoetan eta, duela gutxi, adimen artifizial sortzailean egindako aurrerapenek markatu dute. Azken hamarkadetan, arlo hau hainbat teknika desberdinetara eboluzionatu du, behar desberdinei erantzuten dietenak: doitasun geometrikoa, eraginkortasun konputazionala, errealismo bisuala, eskalagarritasuna edo automatizazioa.

Gaur egun, 3D modelatzeko teknikak zazpi familia nagusitan sailkatzen dira: modelatze poligonala, NURBS gainazalak, CAD eta solido-modelatzea, modelatze parametrikoa, eskultura digitala, prozedurazko modelatzea eta AA sortzailearekin modelatzea (Adimen Artifizial sortzailea edo Generative AI bidezko modelatzea). Ikuspegi bakoitzak behar desberdinei erantzuten die: zehaztasuna, malgutasuna, automatizazioa, errealismoa edo eraginkortasun konputazionala; eta horien konbinazioak ekoizpen-pipeline modernoak definitzen ditu.

== Modelatze poligonala ==
Modelatze poligonala da animazioan, bideo-jokoetan eta ikusizko efektuetan nagusi den teknika. Sare diskretuetan oinarritzen da, erpin, ertz eta poligonoez osatuak (Watt &amp; Policarpo, 1998). Bere abantaila nagusia malgutasun topologikoa eta denbora errealeko renderizazio-motorrekin bateragarritasuna da. Poligonoen irudikapenak motor grafiko modernoen eraginkortasunaz baliatzen da, triangeluak prozesatzeko pipelineen bidez optimizatuta baitaude.&lt;ref&gt;Akenine-Möller, T., Haines, E., Hoffman, N., Pesce, A., Iwanicki, M., &amp; Hillaire, S. (2018). Real-Time Rendering (4th ed.). A K Peters/CRC Press.&lt;/ref&gt; Irudikapen diskretuak konplexutasun geometrikoa optimizatzea eta poligonoen dentsitatea esplizituki kontrolatzea ahalbidetzen du.

Azpizatze-teknikek, Catmull eta Clarkek &lt;ref&gt;Catmull, E., &amp; Clark, J. (1978). Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes. Computer-Aided Design, 10(6), 350–355. doi&lt;/ref&gt; eta Doo eta Sabinek (1978) sartutakoek, gainazal leunak lortzeko aukera ematen dute bereizmen txikiko sareetatik abiatuta, eta hori funtsezkoa izan da konputagailuz sortutako irudigintzan (CGI, Computer-Generated Imagery) eta animazioan. Teknika horiek azpizatiketaren gainazalekin (subdivision surfaces), erretopologia lagunduarekin eta sare deformagarrietan oinarritutako rigging prozesuekin osatzen dira.&lt;ref&gt;Kavan, L., Collins, S., Zára, J., &amp; O’Sullivan, C. (2007). Skinning with dual quaternions. In SI3D 2007 Symposium on Interactive 3D Graphics and Games (pp. 39–46). ACM. doi&lt;/ref&gt;

== NURBS gainazalak ==
NURBS gainazalek (Non-Uniform Rational B-Splines) geometria funtzio parametriko jarraituen bidez adierazten dute, eta horri esker, kurbak eta gainazalak doitasun arbitrarioz deskriba daitezke .&lt;ref&gt;Piegl, L., &amp; Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer.&lt;/ref&gt;

Kurba mota hauek funtsezkoak dira automobilgintzan, aeronautikan, diseinu industrialean eta arkitekturan, non jarraitutasun geometrikoa eta leuntasuna kritikoak diren,&lt;ref&gt;Farin, G. E. (2002). Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide (5th ed.). Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt; beren zehaztasunagatik, leuntasun perfektuagatik &lt;ref&gt;Piegl, L., &amp; Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer.&lt;/ref&gt; eta diskretizazio-artefakturik gabe gainazal konplexuak deskribatzeko duten gaitasunagatik. Sare poligonaletan ez bezala, NURBSek lofting, sweeping, blending eta patch modeling bezalako eragiketak ahalbidetzen dituzte, C1 eta C2 jarraitutasun geometrikoa bermatuz.

Sare poligonalek baino zehaztasun handiagoa izan arren, egitura parametrikoak zaildu egiten du topologia organiko konplexuak edo egituratu gabeko topologiak irudikatzea.&lt;ref&gt;Rogers, D. F. (2001). An Introduction to NURBS: A Practical Guide. Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt;

== CAD eta solido-modelatzea ==
CAD modelizazioak (ordenagailuz lagundutako diseinua) irudikapen bolumetrikoak erabiltzen ditu, hala nola Boundary Representation (B-Rep) eta Constructive Solid Geometry (CSG) eta eragiketa boolearrak: bategitea, kendura, ebakidura.&lt;ref&gt;Stroud, I. (2006). Boundary Representation Modelling Techniques. Springer.&lt;/ref&gt;

Teknika hauek funtsezkoak dira ingeniaritzan, manufakturan eta prototipatzean, non geometriak tolerantzia zorrotzak bete behar dituen eta fabrikazio-prozesuetara esportagarria izan behar duen, hala nola CNC edo 3D inprimaketa.&lt;ref&gt;Groover, M. P. (2020). Fundamentals of Modern Manufacturing (7th ed.). Wiley.&lt;/ref&gt;

CAD sistema berriek murrizketa geometrikoak, parametrizazio geometrikoa, eragiketen historia eta egiturazko analisia integratzen dituzte.&lt;ref&gt;Shah, J. J., &amp; Mäntylä, M. (1995). Parametric and Feature-Based CAD/CAM. Wiley.&lt;/ref&gt; Bere ikuspegi bolumetrikoak desegokiago bihurtzen du pertsonaientzat edo gainazal organikoentzat. CAD modelatzea simulazio fisikoekin, tentsioen analisiarekin eta optimizazio topologikoarekin osatzen da.&lt;ref&gt;Bendsøe, M. P., &amp; Sigmund, O. (2003). Topology Optimization: Theory, Methods, and Applications. Springer Verlag.&lt;/ref&gt;

== Modelatze parametrikoa ==
Modelatze parametrikoak geometria parametro editagarrien funtzio gisa definitzen du, eta horri esker, eredua eskuz berreraiki gabe alda daiteke.

Arkitekturan, diseinu generatiboan eta fabrikazio digitalean erabiltzen da.&lt;ref&gt;Woodbury, R. (2010). Elements of Parametric Design. Routledge.&lt;/ref&gt; Eskuz berreraiki gabe egokitu, erreproduzitu eta alda daitezkeen ereduak sortzeko aukera ematen du, nahiz eta ikaskuntza-kurba teknikoagoa eskatzen duen. Grasshopper edo Dynamo bezalako tresnek nodo-sistemak ezagun egin dituzte, non geometria eragiketa-grafoen bidez sortzen den.&lt;ref&gt;Rutten, D. (2013). Grasshopper: Generative Modeling with Rhino. Robert McNeel &amp; Associates.&lt;/ref&gt;
Modelatze parametrikoa optimizazio-teknikekin, ingurumen-simulazioarekin eta egiturazko analisiarekin integratzen da, eta horrek diseinu konputazional garaikidearen funtsezko ikuspegia bihurtzen du.&lt;ref&gt;Oxman, R. (2006). Theory and design in the first digital age. Design Studies, 27(3), 229–265.&lt;/ref&gt;

== Eskultura digitala ==
Eskultura digitalak buztina modelatzeko prozesu artistikoa simulatzen du, milioika poligono manipulatzeko aukera ematen duten tresnen bidez. Pertsonaiak, izakiak eta xehetasun-maila handiko gainazal organikoak sortzeko teknika nagusia da.&lt;ref&gt;Driskill, H. (2000). Digital Sculpting Techniques. In ACM SIGGRAPH 2000 Course Notes. ACM.&lt;/ref&gt;
Eskultura digitaleko sistemak milioika poligono kudeatzeko gai dira teknika aurreratu batzuk integratuz (dinamesh, voxel remeshing eta multiresolution sculpting) eta desplazamendu-mapetan oinarritutako xehetasunak.&lt;ref&gt;Blinn, J. F. (1978). Simulation of wrinkled surfaces. In Proceedings of the 5th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 286–292). ACM. doi&lt;/ref&gt;

Ekoizpenerako, retopologia, UV unwrapping eta map baking (normalen eta desplazamenduen mapa-labatzea) prozesuak behar dituzte animazio- edo bideo-joko-pipelineetan integratzeko.&lt;ref&gt;Pharr, M., Jakob, W., &amp; Humphreys, G. (2023). Physically Based Rendering: From Theory to Implementation (4th ed.). MIT Press.&lt;/ref&gt;

== Prozedurazko modelatzea ==
Prozedurazko modelatzeak geometria sortzen du arau, algoritmo edo nodo-grafoen bidez. Funtsezkoa da ingurune konplexuetarako, hala nola landaredia, hiriak, fraktalak edo fenomeno naturalak.&lt;ref&gt;Ebert, D., Musgrave, F. K., Peachey, D., Perlin, K., Worley, S., Mark, W. R., &amp; Hart, J. (2002). Texturing and Modeling: A Procedural Approach (3rd ed.). Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt; Bere abantaila nagusia eskalagarritasuna da: arau multzo batek milaka aldaera sor ditzake eskuzko esku-hartzerik gabe.
Tekniken artean daude L-sistemak landaredirak,&lt;ref&gt;Prusinkiewicz, P., &amp; Lindenmayer, A. (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag.&lt;/ref&gt; zarata fraktala ehunduretarako,&lt;ref&gt;Perlin, K. (1985). An Image Synthesizer. In SIGGRAPH ’85: Proceedings of the 12th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 287–296). ACM. doi&lt;/ref&gt; agenteetan oinarritutako sistemak hirietarako&lt;ref&gt;Parish, Y. I. H., &amp; Müller, P. (2001). Procedural modeling of cities. In SIGGRAPH ’01: Proceedings of the 28th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 301–308). ACM. doi&lt;/ref&gt; eta simulazio fisikoak fluido eta suntsiketarako&lt;ref&gt;Bridson, R. (2015). Fluid Simulation for Computer Graphics (2nd ed.). CRC Press.&lt;/ref&gt;.
Houdini eta Geometry Nodes tresnak erreferenteak dira arlo honetan, nodoetan oinarritutako arkitekturei eta simulazio fisikoekiko integrazioari esker.

== AA sortzailearekin modelatzea ==
Gaur egun, AA sortzaileak 3D modelatzea eraldatu du. Tripo, Luma, Shap-E &lt;ref&gt;Jun, H., &amp; Nichol, A. (2023). Shap-E: Generating 3D Assets from Text. arXiv:2305.02463.&lt;/ref&gt; edo Point-E&lt;ref&gt;Nichol, A., Jun, H., Dhariwal, P., Mishkin, P., &amp; Chen, M. (2022). Point-E: A System for Generating 3D Point Clouds from Complex Prompts. arXiv:2212.08751.&lt;/ref&gt;  bezalako ereduek testutik, irudietatik edo bideotik geometria sortzeko aukera ematen dute. Azken ereduaren kalitateak eskuzko fintzea eskatu dezakeen arren, adimen artifizialeko teknika sortzaileak prototipatzeko, blockout-erako eta oinarrizko asset-ak sortzeko tresna gisa finkatu dira. Egungo joerak honako hauek dira:
* Bideoetatik 3D berreraikitzea Neural Radiance Fields-en bidez&lt;ref&gt;Mildenhall, B., Srinivasan, P. P., Tancik, M., Barron, J. T., Ramamoorthi, R., &amp; Ng, R. (2020). NeRF: Representing Scenes as Neural Radiance Fields for View Synthesis. In ECCV 2020 (pp. 405–421). Springer. doi&lt;/ref&gt;
* Testurizazio automatikoa modalitate anitzeko ereduen bidez&lt;ref&gt;Rombach, R., Blattmann, A., Lorenz, D., Esser, P., &amp; Ommer, B. (2022). High-Resolution Image Synthesis with Latent Diffusion Models. In CVPR 2022 (pp. 10684–10695).&lt;/ref&gt;
* Sare neuronaletan oinarritutako erretopologia&lt;ref&gt;Wang, Y., et al. (2023). Neural Implicit Retopology. ACM Transactions on Graphics, 42(6). doi&lt;/ref&gt;
* Fisikan oinarritutako (PBR, Physically Based Rendering) materialen sorkuntza eredu difusiboen bidez&lt;ref&gt;Zhang, Y., et al. (2023). Diffusion Models for Material Generation. SIGGRAPH 2023 Talks.&lt;/ref&gt;


1 irudia: 3D modelatzearen zazpi familia nagusiak.
Taula 1. 3D modelatzean teknika garrantzitsuenak: irudikapena, konplexutasuna, aplikazioak eta erreferentzia bibliografiko garrantzitsuenak.

Egungo 3D modelatzea hainbat teknikaren integrazio estrategikoan oinarritzen da. Pipeline modernoek sare poligonalak, eskultura digitala, modelatze prozedurala eta AA tresnak konbinatzen dituzte ekoizpena bizkortzeko eta kalitate bisuala areagotzeko. NURBS eta CAD oinarriko teknikak funtsezkoak izaten jarraitzen dute zehaztasun geometrikoa kritikoa den sektoreetan. Gaur egun nagusi den joera hibridazioa da: adimen artifizialak sortutako ereduak, eskulturaren bidez findu eta animaziorako berriro topologizatzen direnak, eta sistema prozeduralekin aberasten direnak.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}

== Bibliografia ==
* Akenine-Möller, T., Haines, E., Hoffman, N., Pesce, A., Iwanicki, M., &amp; Hillaire, S. (2018). Real-Time Rendering (4th ed.). A K Peters/CRC Press.
* Bendsøe, M. P., &amp; Sigmund, O. (2003). Topology Optimization: Theory, Methods, and Applications. Springer Verlag.
* Blinn, J. F. (1978). Simulation of wrinkled surfaces. In Proceedings of the 5th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 286–292). ACM. doi
* Bridson, R. (2015). Fluid Simulation for Computer Graphics (2nd ed.). CRC Press.
* Catmull, E., &amp; Clark, J. (1978). Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes. Computer-Aided Design, 10(6), 350–355. doi
* Doo, D., &amp; Sabin, M. (1978). Behaviour of recursive division surfaces near extraordinary points. Computer-Aided Design, 10(6), 356–360. doi
* Driskill, H. (2000). Digital Sculpting Techniques. In ACM SIGGRAPH 2000 Course Notes. ACM.
* Ebert, D., Musgrave, F. K., Peachey, D., Perlin, K., Worley, S., Mark, W. R., &amp; Hart, J. (2002). Texturing and Modeling: A Procedural Approach (3rd ed.). Morgan Kaufmann.
* Farin, G. E. (2002). Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide (5th ed.). Morgan Kaufmann.
* Groover, M. P. (2020). Fundamentals of Modern Manufacturing (7th ed.). Wiley.
* Jun, H., &amp; Nichol, A. (2023). Shap-E: Generating 3D Assets from Text. arXiv:2305.02463.
* Kavan, L., Collins, S., Zára, J., &amp; O’Sullivan, C. (2007). Skinning with dual quaternions. In SI3D 2007 Symposium on Interactive 3D Graphics and Games (pp. 39–46). ACM. doi
* Mildenhall, B., Srinivasan, P. P., Tancik, M., Barron, J. T., Ramamoorthi, R., &amp; Ng, R. (2020). NeRF: Representing Scenes as Neural Radiance Fields for View Synthesis. In ECCV 2020 (pp. 405–421). Springer. doi
* Mortenson, M. E. (2006). Geometric Modeling (2nd ed.). Industrial Press.
* Nichol, A., Jun, H., Dhariwal, P., Mishkin, P., &amp; Chen, M. (2022). Point-E: A System for Generating 3D Point Clouds from Complex Prompts. arXiv:2212.08751.
* Oxman, R. (2006). Theory and design in the first digital age. Design Studies, 27(3), 229–265.
* Parish, Y. I. H., &amp; Müller, P. (2001). Procedural modeling of cities. In SIGGRAPH ’01: Proceedings of the 28th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 301–308). ACM. doi
* Perlin, K. (1985). An Image Synthesizer. In SIGGRAPH ’85: Proceedings of the 12th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 287–296). ACM. doi
* Piegl, L., &amp; Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer.
* Pharr, M., Jakob, W., &amp; Humphreys, G. (2023). Physically Based Rendering: From Theory to Implementation (4th ed.). MIT Press.
* Prusinkiewicz, P., &amp; Lindenmayer, A. (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag.
* Requicha, A. A. G. (1980). Representations for Rigid Solids: Theory, Methods, and Systems. ACM Computing Surveys, 12(4), 437–464. doi
* Rogers, D. F. (2001). An Introduction to NURBS: A Practical Guide. Morgan Kaufmann.
* Rombach, R., Blattmann, A., Lorenz, D., Esser, P., &amp; Ommer, B. (2022). High-Resolution Image Synthesis with Latent Diffusion Models. In CVPR 2022 (pp. 10684–10695).
* Rutten, D. (2013). Grasshopper: Generative Modeling with Rhino. Robert McNeel &amp; Associates.
* Shah, J. J., &amp; Mäntylä, M. (1995). Parametric and Feature-Based CAD/CAM. Wiley.
* Stroud, I. (2006). Boundary Representation Modelling Techniques. Springer.
* Wang, Y., et al. (2023). Neural Implicit Retopology. ACM Transactions on Graphics, 42(6). doi
* Watt, A. H., &amp; Policarpo, F. (1998). The Computer Image. Addison-Wesley.
* Woodbury, R. (2010). Elements of Parametric Design. Routledge.
* Zhang, Y., et al. (2023). Diffusion Models for Material Generation. SIGGRAPH 2023 Talks.


=====================

1 irudia: 3D modelatzearen zazpi familia nagusiak.
* CC BY‑SA 4.0
* Iturria: Adimen Artifizialak sortutako irudia (Microsoft Copilot)
* Deskribapena: “Ordenagailu bidezko grafikoetan 3D modelatzearen zazpi familien objektu adierazgarriak.”


Hartu ditzakegu irudi batzuk orri honetatik: https://eu.wikipedia.org/wiki/3D_modelaketa</text>
      <sha1>9py5se58sdg49cgu4fdz2pmwdww9ykf</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44234</id>
      <parentid>44233</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T13:00:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <origin>44234</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12555" sha1="lzqq6rf3xr5z3vqrg4i6s5ptq39qora" xml:space="preserve">= 3D modelatze-teknikak =
[[Fitxategi:Activemarker2.PNG|thumb|207x207px|]]
'''Hiru dimentsioko modelatzea''' [[w:Ordenagailu bidezko grafiko|ordenagailu bidezko grafikoen]] funtsezko zutabeetako bat da, eta irudikapen geometrikoen eraikuntza gisa definitzen da, egitura matematiko, topologiko eta konputazionalen bidez, manipulatu, renderizatu eta animatu daitezkeenak.&lt;ref&gt;Mortenson, M. E. (2006). Geometric Modeling (2nd ed.). Industrial Press.&lt;/ref&gt;

Bere bilakaera [[w:Geometria konputazional|geometria konputazionalean]], hardware grafikoan, [[w:Optimizazio (matematika)|optimizazio-algoritmoetan]] eta, duela gutxi, [[w:Adimen artifizial sortzaile|adimen artifizial sortzailean]] egindako aurrerapenek markatu dute. Azken hamarkadetan, arlo hau hainbat teknika desberdinetara eboluzionatu du, behar desberdinei erantzuten dietenak: doitasun geometrikoa, eraginkortasun konputazionala, errealismo bisuala, eskalagarritasuna edo automatizazioa.

Gaur egun, 3D modelatzeko teknikak zazpi familia nagusitan sailkatzen dira: modelatze poligonala, NURBS gainazalak, CAD eta solido-modelatzea, modelatze parametrikoa, eskultura digitala, prozedurazko modelatzea eta AA sortzailearekin modelatzea (Adimen Artifizial sortzailea edo Generative AI bidezko modelatzea). Ikuspegi bakoitzak behar desberdinei erantzuten die: zehaztasuna, malgutasuna, automatizazioa, errealismoa edo eraginkortasun konputazionala; eta horien konbinazioak ekoizpen-pipeline modernoak definitzen ditu.

== Modelatze poligonala ==
Modelatze poligonala da animazioan, bideo-jokoetan eta ikusizko efektuetan nagusi den teknika. Sare diskretuetan oinarritzen da, erpin, ertz eta poligonoez osatua.&lt;ref&gt;Watt, A. H., &amp; Policarpo, F. (1998). The Computer Image. Addison-Wesley.&lt;/ref&gt; Bere abantaila nagusia malgutasun topologikoa eta denbora errealeko renderizazio-motorrekin bateragarritasuna da. Poligonoen irudikapenak motor grafiko modernoen eraginkortasunaz baliatzen da, triangeluak prozesatzeko pipelineen bidez optimizatuta baitaude.&lt;ref&gt;Akenine-Möller, T., Haines, E., Hoffman, N., Pesce, A., Iwanicki, M., &amp; Hillaire, S. (2018). Real-Time Rendering (4th ed.). A K Peters/CRC Press.&lt;/ref&gt; Irudikapen diskretuak konplexutasun geometrikoa optimizatzea eta poligonoen dentsitatea esplizituki kontrolatzea ahalbidetzen du.

Azpizatze-teknikek, Catmull eta Clarkek&lt;ref&gt;Catmull, E., &amp; Clark, J. (1978). Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes. Computer-Aided Design, 10(6), 350–355. doi&lt;/ref&gt; eta Doo eta Sabinek&lt;ref&gt;Doo, D., &amp; Sabin, M. (1978). Behaviour of recursive division surfaces near extraordinary points. Computer-Aided Design, 10(6), 356–360. doi&lt;/ref&gt; sartutakoek, gainazal leunak lortzeko aukera ematen dute bereizmen txikiko sareetatik abiatuta, eta hori funtsezkoa izan da konputagailuz sortutako irudigintzan (CGI, Computer-Generated Imagery) eta animazioan. Teknika horiek azpizatiketaren gainazalekin (subdivision surfaces), erretopologia lagunduarekin eta sare deformagarrietan oinarritutako rigging prozesuekin osatzen dira.&lt;ref&gt;Kavan, L., Collins, S., Zára, J., &amp; O’Sullivan, C. (2007). Skinning with dual quaternions. In SI3D 2007 Symposium on Interactive 3D Graphics and Games (pp. 39–46). ACM. doi&lt;/ref&gt;

== NURBS gainazalak ==

NURBS gainazalek (Non-Uniform Rational B-Splines) geometria funtzio parametriko jarraituen bidez adierazten dute, eta horri esker, kurbak eta gainazalak doitasun arbitrarioz deskriba daitezke .&lt;ref&gt;Piegl, L., &amp; Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer.&lt;/ref&gt;

Kurba mota hauek funtsezkoak dira automobilgintzan, aeronautikan, diseinu industrialean eta arkitekturan, non jarraitutasun geometrikoa eta leuntasuna kritikoak diren,&lt;ref&gt;Farin, G. E. (2002). Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide (5th ed.). Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt; beren zehaztasunagatik, leuntasun perfektuagatik&lt;ref&gt;Piegl, L., &amp; Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer.&lt;/ref&gt; eta diskretizazio-artefakturik gabe gainazal konplexuak deskribatzeko duten gaitasunagatik. Sare poligonaletan ez bezala, NURBSek lofting, sweeping, blending eta patch modeling bezalako eragiketak ahalbidetzen dituzte, C1 eta C2 jarraitutasun geometrikoa bermatuz.

Sare poligonalek baino zehaztasun handiagoa izan arren, egitura parametrikoak zaildu egiten du topologia organiko konplexuak edo egituratu gabeko topologiak irudikatzea.&lt;ref&gt;Rogers, D. F. (2001). An Introduction to NURBS: A Practical Guide. Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt;

== CAD eta solido-modelatzea ==
[[Fitxategi:An early concept design of the ERIS instrument.jpg|thumb|Espektografo baten 3D modeloa&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|abizena=information@eso.org|izenburua=ERIS Project Starts - New high-resolution camera and spectrograph for ESO’s Very Large Telescope|hizkuntza=en|url=https://www.eso.org/public/announcements/ann13054/|aldizkaria=www.eso.org|sartze-data=2019-11-28}}&lt;/ref&gt;]]CAD modelizazioak (ordenagailuz lagundutako diseinua) irudikapen bolumetrikoak erabiltzen ditu, hala nola Boundary Representation (B-Rep) eta Constructive Solid Geometry (CSG) eta eragiketa boolearrak: bategitea, kendura, ebakidura.&lt;ref&gt;Stroud, I. (2006). Boundary Representation Modelling Techniques. Springer.&lt;/ref&gt;

Teknika hauek funtsezkoak dira ingeniaritzan, manufakturan eta prototipatzean, non geometriak tolerantzia zorrotzak bete behar dituen eta fabrikazio-prozesuetara esportagarria izan behar duen, hala nola CNC edo 3D inprimaketa.&lt;ref&gt;Groover, M. P. (2020). Fundamentals of Modern Manufacturing (7th ed.). Wiley.&lt;/ref&gt;

CAD sistema berriek murrizketa geometrikoak, parametrizazio geometrikoa, eragiketen historia eta egiturazko analisia integratzen dituzte.&lt;ref&gt;Shah, J. J., &amp; Mäntylä, M. (1995). Parametric and Feature-Based CAD/CAM. Wiley.&lt;/ref&gt; Bere ikuspegi bolumetrikoak desegokiago bihurtzen du pertsonaientzat edo gainazal organikoentzat. CAD modelatzea simulazio fisikoekin, tentsioen analisiarekin eta optimizazio topologikoarekin osatzen da.&lt;ref&gt;Bendsøe, M. P., &amp; Sigmund, O. (2003). Topology Optimization: Theory, Methods, and Applications. Springer Verlag.&lt;/ref&gt;

== Modelatze parametrikoa ==
Modelatze parametrikoak geometria parametro editagarrien funtzio gisa definitzen du, eta horri esker, eredua eskuz berreraiki gabe alda daiteke.

Arkitekturan, diseinu generatiboan eta fabrikazio digitalean erabiltzen da.&lt;ref&gt;Woodbury, R. (2010). Elements of Parametric Design. Routledge.&lt;/ref&gt; Eskuz berreraiki gabe egokitu, erreproduzitu eta alda daitezkeen ereduak sortzeko aukera ematen du, nahiz eta ikaskuntza-kurba teknikoagoa eskatzen duen. Grasshopper edo Dynamo bezalako tresnek nodo-sistemak ezagun egin dituzte, non geometria eragiketa-grafoen bidez sortzen den.&lt;ref&gt;Rutten, D. (2013). Grasshopper: Generative Modeling with Rhino. Robert McNeel &amp; Associates.&lt;/ref&gt;
Modelatze parametrikoa optimizazio-teknikekin, ingurumen-simulazioarekin eta egiturazko analisiarekin integratzen da, eta horrek diseinu konputazional garaikidearen funtsezko ikuspegia bihurtzen du.&lt;ref&gt;Oxman, R. (2006). Theory and design in the first digital age. Design Studies, 27(3), 229–265.&lt;/ref&gt;

== Eskultura digitala ==
[[Fitxategi:Steps of forensic facial reconstruction - Virtual Mummy - cogitas3d.gif|thumb|307x307px|[[Blender (software)|Blender]] softwareari esker egindako [[momia]] baten moldaketa.]]Eskultura digitalak buztina modelatzeko prozesu artistikoa simulatzen du, milioika poligono manipulatzeko aukera ematen duten tresnen bidez. Pertsonaiak, izakiak eta xehetasun-maila handiko gainazal organikoak sortzeko teknika nagusia da.&lt;ref&gt;Driskill, H. (2000). Digital Sculpting Techniques. In ACM SIGGRAPH 2000 Course Notes. ACM.&lt;/ref&gt;
Eskultura digitaleko sistemak milioika poligono kudeatzeko gai dira teknika aurreratu batzuk integratuz (dinamesh, voxel remeshing eta multiresolution sculpting) eta desplazamendu-mapetan oinarritutako xehetasunak.&lt;ref&gt;Blinn, J. F. (1978). Simulation of wrinkled surfaces. In Proceedings of the 5th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 286–292). ACM. doi&lt;/ref&gt;

Ekoizpenerako, retopologia, UV unwrapping eta map baking (normalen eta desplazamenduen mapa-labatzea) prozesuak behar dituzte animazio- edo bideo-joko-pipelineetan integratzeko.&lt;ref&gt;Pharr, M., Jakob, W., &amp; Humphreys, G. (2023). Physically Based Rendering: From Theory to Implementation (4th ed.). MIT Press.&lt;/ref&gt;

== Prozedurazko modelatzea ==
Prozedurazko modelatzeak geometria sortzen du arau, algoritmo edo nodo-grafoen bidez. Funtsezkoa da ingurune konplexuetarako, hala nola landaredia, hiriak, fraktalak edo fenomeno naturalak.&lt;ref&gt;Ebert, D., Musgrave, F. K., Peachey, D., Perlin, K., Worley, S., Mark, W. R., &amp; Hart, J. (2002). Texturing and Modeling: A Procedural Approach (3rd ed.). Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt; Bere abantaila nagusia eskalagarritasuna da: arau multzo batek milaka aldaera sor ditzake eskuzko esku-hartzerik gabe.
Tekniken artean daude L-sistemak landaredirak,&lt;ref&gt;Prusinkiewicz, P., &amp; Lindenmayer, A. (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag.&lt;/ref&gt; zarata fraktala ehunduretarako,&lt;ref&gt;Perlin, K. (1985). An Image Synthesizer. In SIGGRAPH ’85: Proceedings of the 12th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 287–296). ACM. doi&lt;/ref&gt; agenteetan oinarritutako sistemak hirietarako&lt;ref&gt;Parish, Y. I. H., &amp; Müller, P. (2001). Procedural modeling of cities. In SIGGRAPH ’01: Proceedings of the 28th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 301–308). ACM. doi&lt;/ref&gt; eta simulazio fisikoak fluido eta suntsiketarako&lt;ref&gt;Bridson, R. (2015). Fluid Simulation for Computer Graphics (2nd ed.). CRC Press.&lt;/ref&gt;.
Houdini eta Geometry Nodes tresnak erreferenteak dira arlo honetan, nodoetan oinarritutako arkitekturei eta simulazio fisikoekiko integrazioari esker.

== AA sortzailearekin modelatzea ==
Gaur egun, AA sortzaileak 3D modelatzea eraldatu du. Tripo, Luma, Shap-E&lt;ref&gt;Jun, H., &amp; Nichol, A. (2023). Shap-E: Generating 3D Assets from Text. arXiv:2305.02463.&lt;/ref&gt; edo Point-E&lt;ref&gt;Nichol, A., Jun, H., Dhariwal, P., Mishkin, P., &amp; Chen, M. (2022). Point-E: A System for Generating 3D Point Clouds from Complex Prompts. arXiv:2212.08751.&lt;/ref&gt;  bezalako ereduek testutik, irudietatik edo bideotik geometria sortzeko aukera ematen dute. Azken ereduaren kalitateak eskuzko fintzea eskatu dezakeen arren, adimen artifizialeko teknika sortzaileak prototipatzeko, blockout-erako eta oinarrizko asset-ak sortzeko tresna gisa finkatu dira. Egungo joerak honako hauek dira:
* Bideoetatik 3D berreraikitzea Neural Radiance Fields-en bidez&lt;ref&gt;Mildenhall, B., Srinivasan, P. P., Tancik, M., Barron, J. T., Ramamoorthi, R., &amp; Ng, R. (2020). NeRF: Representing Scenes as Neural Radiance Fields for View Synthesis. In ECCV 2020 (pp. 405–421). Springer. doi&lt;/ref&gt;
* Testurizazio automatikoa modalitate anitzeko ereduen bidez&lt;ref&gt;Rombach, R., Blattmann, A., Lorenz, D., Esser, P., &amp; Ommer, B. (2022). High-Resolution Image Synthesis with Latent Diffusion Models. In CVPR 2022 (pp. 10684–10695).&lt;/ref&gt;
* Sare neuronaletan oinarritutako erretopologia&lt;ref&gt;Wang, Y., et al. (2023). Neural Implicit Retopology. ACM Transactions on Graphics, 42(6). doi&lt;/ref&gt;
* Fisikan oinarritutako (PBR, Physically Based Rendering) materialen sorkuntza eredu difusiboen bidez&lt;ref&gt;Zhang, Y., et al. (2023). Diffusion Models for Material Generation. SIGGRAPH 2023 Talks.&lt;/ref&gt;


1 irudia: 3D modelatzearen zazpi familia nagusiak.
Taula 1. 3D modelatzean teknika garrantzitsuenak: irudikapena, konplexutasuna, aplikazioak eta erreferentzia bibliografiko garrantzitsuenak.

Egungo 3D modelatzea hainbat teknikaren integrazio estrategikoan oinarritzen da. Pipeline modernoek sare poligonalak, eskultura digitala, modelatze prozedurala eta AA tresnak konbinatzen dituzte ekoizpena bizkortzeko eta kalitate bisuala areagotzeko. NURBS eta CAD oinarriko teknikak funtsezkoak izaten jarraitzen dute zehaztasun geometrikoa kritikoa den sektoreetan. Gaur egun nagusi den joera hibridazioa da: adimen artifizialak sortutako ereduak, eskulturaren bidez findu eta animaziorako berriro topologizatzen direnak, eta sistema prozeduralekin aberasten direnak.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}


=====================

1 irudia: 3D modelatzearen zazpi familia nagusiak.
* CC BY‑SA 4.0
* Iturria: Adimen Artifizialak sortutako irudia (Microsoft Copilot)
* Deskribapena: “Ordenagailu bidezko grafikoetan 3D modelatzearen zazpi familien objektu adierazgarriak.”


Hartu ditzakegu irudi batzuk orri honetatik: https://eu.wikipedia.org/wiki/3D_modelaketa</text>
      <sha1>lzqq6rf3xr5z3vqrg4i6s5ptq39qora</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44235</id>
      <parentid>44234</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T13:01:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Erreferentziak */</comment>
      <origin>44235</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12198" sha1="0w3hkgt1iexv8wt3vtuazirmzaek5jc" xml:space="preserve">= 3D modelatze-teknikak =
[[Fitxategi:Activemarker2.PNG|thumb|207x207px|]]
'''Hiru dimentsioko modelatzea''' [[w:Ordenagailu bidezko grafiko|ordenagailu bidezko grafikoen]] funtsezko zutabeetako bat da, eta irudikapen geometrikoen eraikuntza gisa definitzen da, egitura matematiko, topologiko eta konputazionalen bidez, manipulatu, renderizatu eta animatu daitezkeenak.&lt;ref&gt;Mortenson, M. E. (2006). Geometric Modeling (2nd ed.). Industrial Press.&lt;/ref&gt;

Bere bilakaera [[w:Geometria konputazional|geometria konputazionalean]], hardware grafikoan, [[w:Optimizazio (matematika)|optimizazio-algoritmoetan]] eta, duela gutxi, [[w:Adimen artifizial sortzaile|adimen artifizial sortzailean]] egindako aurrerapenek markatu dute. Azken hamarkadetan, arlo hau hainbat teknika desberdinetara eboluzionatu du, behar desberdinei erantzuten dietenak: doitasun geometrikoa, eraginkortasun konputazionala, errealismo bisuala, eskalagarritasuna edo automatizazioa.

Gaur egun, 3D modelatzeko teknikak zazpi familia nagusitan sailkatzen dira: modelatze poligonala, NURBS gainazalak, CAD eta solido-modelatzea, modelatze parametrikoa, eskultura digitala, prozedurazko modelatzea eta AA sortzailearekin modelatzea (Adimen Artifizial sortzailea edo Generative AI bidezko modelatzea). Ikuspegi bakoitzak behar desberdinei erantzuten die: zehaztasuna, malgutasuna, automatizazioa, errealismoa edo eraginkortasun konputazionala; eta horien konbinazioak ekoizpen-pipeline modernoak definitzen ditu.

== Modelatze poligonala ==
Modelatze poligonala da animazioan, bideo-jokoetan eta ikusizko efektuetan nagusi den teknika. Sare diskretuetan oinarritzen da, erpin, ertz eta poligonoez osatua.&lt;ref&gt;Watt, A. H., &amp; Policarpo, F. (1998). The Computer Image. Addison-Wesley.&lt;/ref&gt; Bere abantaila nagusia malgutasun topologikoa eta denbora errealeko renderizazio-motorrekin bateragarritasuna da. Poligonoen irudikapenak motor grafiko modernoen eraginkortasunaz baliatzen da, triangeluak prozesatzeko pipelineen bidez optimizatuta baitaude.&lt;ref&gt;Akenine-Möller, T., Haines, E., Hoffman, N., Pesce, A., Iwanicki, M., &amp; Hillaire, S. (2018). Real-Time Rendering (4th ed.). A K Peters/CRC Press.&lt;/ref&gt; Irudikapen diskretuak konplexutasun geometrikoa optimizatzea eta poligonoen dentsitatea esplizituki kontrolatzea ahalbidetzen du.

Azpizatze-teknikek, Catmull eta Clarkek&lt;ref&gt;Catmull, E., &amp; Clark, J. (1978). Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes. Computer-Aided Design, 10(6), 350–355. doi&lt;/ref&gt; eta Doo eta Sabinek&lt;ref&gt;Doo, D., &amp; Sabin, M. (1978). Behaviour of recursive division surfaces near extraordinary points. Computer-Aided Design, 10(6), 356–360. doi&lt;/ref&gt; sartutakoek, gainazal leunak lortzeko aukera ematen dute bereizmen txikiko sareetatik abiatuta, eta hori funtsezkoa izan da konputagailuz sortutako irudigintzan (CGI, Computer-Generated Imagery) eta animazioan. Teknika horiek azpizatiketaren gainazalekin (subdivision surfaces), erretopologia lagunduarekin eta sare deformagarrietan oinarritutako rigging prozesuekin osatzen dira.&lt;ref&gt;Kavan, L., Collins, S., Zára, J., &amp; O’Sullivan, C. (2007). Skinning with dual quaternions. In SI3D 2007 Symposium on Interactive 3D Graphics and Games (pp. 39–46). ACM. doi&lt;/ref&gt;

== NURBS gainazalak ==

NURBS gainazalek (Non-Uniform Rational B-Splines) geometria funtzio parametriko jarraituen bidez adierazten dute, eta horri esker, kurbak eta gainazalak doitasun arbitrarioz deskriba daitezke .&lt;ref&gt;Piegl, L., &amp; Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer.&lt;/ref&gt;

Kurba mota hauek funtsezkoak dira automobilgintzan, aeronautikan, diseinu industrialean eta arkitekturan, non jarraitutasun geometrikoa eta leuntasuna kritikoak diren,&lt;ref&gt;Farin, G. E. (2002). Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide (5th ed.). Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt; beren zehaztasunagatik, leuntasun perfektuagatik&lt;ref&gt;Piegl, L., &amp; Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer.&lt;/ref&gt; eta diskretizazio-artefakturik gabe gainazal konplexuak deskribatzeko duten gaitasunagatik. Sare poligonaletan ez bezala, NURBSek lofting, sweeping, blending eta patch modeling bezalako eragiketak ahalbidetzen dituzte, C1 eta C2 jarraitutasun geometrikoa bermatuz.

Sare poligonalek baino zehaztasun handiagoa izan arren, egitura parametrikoak zaildu egiten du topologia organiko konplexuak edo egituratu gabeko topologiak irudikatzea.&lt;ref&gt;Rogers, D. F. (2001). An Introduction to NURBS: A Practical Guide. Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt;

== CAD eta solido-modelatzea ==
[[Fitxategi:An early concept design of the ERIS instrument.jpg|thumb|Espektografo baten 3D modeloa&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|abizena=information@eso.org|izenburua=ERIS Project Starts - New high-resolution camera and spectrograph for ESO’s Very Large Telescope|hizkuntza=en|url=https://www.eso.org/public/announcements/ann13054/|aldizkaria=www.eso.org|sartze-data=2019-11-28}}&lt;/ref&gt;]]CAD modelizazioak (ordenagailuz lagundutako diseinua) irudikapen bolumetrikoak erabiltzen ditu, hala nola Boundary Representation (B-Rep) eta Constructive Solid Geometry (CSG) eta eragiketa boolearrak: bategitea, kendura, ebakidura.&lt;ref&gt;Stroud, I. (2006). Boundary Representation Modelling Techniques. Springer.&lt;/ref&gt;

Teknika hauek funtsezkoak dira ingeniaritzan, manufakturan eta prototipatzean, non geometriak tolerantzia zorrotzak bete behar dituen eta fabrikazio-prozesuetara esportagarria izan behar duen, hala nola CNC edo 3D inprimaketa.&lt;ref&gt;Groover, M. P. (2020). Fundamentals of Modern Manufacturing (7th ed.). Wiley.&lt;/ref&gt;

CAD sistema berriek murrizketa geometrikoak, parametrizazio geometrikoa, eragiketen historia eta egiturazko analisia integratzen dituzte.&lt;ref&gt;Shah, J. J., &amp; Mäntylä, M. (1995). Parametric and Feature-Based CAD/CAM. Wiley.&lt;/ref&gt; Bere ikuspegi bolumetrikoak desegokiago bihurtzen du pertsonaientzat edo gainazal organikoentzat. CAD modelatzea simulazio fisikoekin, tentsioen analisiarekin eta optimizazio topologikoarekin osatzen da.&lt;ref&gt;Bendsøe, M. P., &amp; Sigmund, O. (2003). Topology Optimization: Theory, Methods, and Applications. Springer Verlag.&lt;/ref&gt;

== Modelatze parametrikoa ==
Modelatze parametrikoak geometria parametro editagarrien funtzio gisa definitzen du, eta horri esker, eredua eskuz berreraiki gabe alda daiteke.

Arkitekturan, diseinu generatiboan eta fabrikazio digitalean erabiltzen da.&lt;ref&gt;Woodbury, R. (2010). Elements of Parametric Design. Routledge.&lt;/ref&gt; Eskuz berreraiki gabe egokitu, erreproduzitu eta alda daitezkeen ereduak sortzeko aukera ematen du, nahiz eta ikaskuntza-kurba teknikoagoa eskatzen duen. Grasshopper edo Dynamo bezalako tresnek nodo-sistemak ezagun egin dituzte, non geometria eragiketa-grafoen bidez sortzen den.&lt;ref&gt;Rutten, D. (2013). Grasshopper: Generative Modeling with Rhino. Robert McNeel &amp; Associates.&lt;/ref&gt;
Modelatze parametrikoa optimizazio-teknikekin, ingurumen-simulazioarekin eta egiturazko analisiarekin integratzen da, eta horrek diseinu konputazional garaikidearen funtsezko ikuspegia bihurtzen du.&lt;ref&gt;Oxman, R. (2006). Theory and design in the first digital age. Design Studies, 27(3), 229–265.&lt;/ref&gt;

== Eskultura digitala ==
[[Fitxategi:Steps of forensic facial reconstruction - Virtual Mummy - cogitas3d.gif|thumb|307x307px|[[Blender (software)|Blender]] softwareari esker egindako [[momia]] baten moldaketa.]]Eskultura digitalak buztina modelatzeko prozesu artistikoa simulatzen du, milioika poligono manipulatzeko aukera ematen duten tresnen bidez. Pertsonaiak, izakiak eta xehetasun-maila handiko gainazal organikoak sortzeko teknika nagusia da.&lt;ref&gt;Driskill, H. (2000). Digital Sculpting Techniques. In ACM SIGGRAPH 2000 Course Notes. ACM.&lt;/ref&gt;
Eskultura digitaleko sistemak milioika poligono kudeatzeko gai dira teknika aurreratu batzuk integratuz (dinamesh, voxel remeshing eta multiresolution sculpting) eta desplazamendu-mapetan oinarritutako xehetasunak.&lt;ref&gt;Blinn, J. F. (1978). Simulation of wrinkled surfaces. In Proceedings of the 5th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 286–292). ACM. doi&lt;/ref&gt;

Ekoizpenerako, retopologia, UV unwrapping eta map baking (normalen eta desplazamenduen mapa-labatzea) prozesuak behar dituzte animazio- edo bideo-joko-pipelineetan integratzeko.&lt;ref&gt;Pharr, M., Jakob, W., &amp; Humphreys, G. (2023). Physically Based Rendering: From Theory to Implementation (4th ed.). MIT Press.&lt;/ref&gt;

== Prozedurazko modelatzea ==
Prozedurazko modelatzeak geometria sortzen du arau, algoritmo edo nodo-grafoen bidez. Funtsezkoa da ingurune konplexuetarako, hala nola landaredia, hiriak, fraktalak edo fenomeno naturalak.&lt;ref&gt;Ebert, D., Musgrave, F. K., Peachey, D., Perlin, K., Worley, S., Mark, W. R., &amp; Hart, J. (2002). Texturing and Modeling: A Procedural Approach (3rd ed.). Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt; Bere abantaila nagusia eskalagarritasuna da: arau multzo batek milaka aldaera sor ditzake eskuzko esku-hartzerik gabe.
Tekniken artean daude L-sistemak landaredirak,&lt;ref&gt;Prusinkiewicz, P., &amp; Lindenmayer, A. (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag.&lt;/ref&gt; zarata fraktala ehunduretarako,&lt;ref&gt;Perlin, K. (1985). An Image Synthesizer. In SIGGRAPH ’85: Proceedings of the 12th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 287–296). ACM. doi&lt;/ref&gt; agenteetan oinarritutako sistemak hirietarako&lt;ref&gt;Parish, Y. I. H., &amp; Müller, P. (2001). Procedural modeling of cities. In SIGGRAPH ’01: Proceedings of the 28th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 301–308). ACM. doi&lt;/ref&gt; eta simulazio fisikoak fluido eta suntsiketarako&lt;ref&gt;Bridson, R. (2015). Fluid Simulation for Computer Graphics (2nd ed.). CRC Press.&lt;/ref&gt;.
Houdini eta Geometry Nodes tresnak erreferenteak dira arlo honetan, nodoetan oinarritutako arkitekturei eta simulazio fisikoekiko integrazioari esker.

== AA sortzailearekin modelatzea ==
Gaur egun, AA sortzaileak 3D modelatzea eraldatu du. Tripo, Luma, Shap-E&lt;ref&gt;Jun, H., &amp; Nichol, A. (2023). Shap-E: Generating 3D Assets from Text. arXiv:2305.02463.&lt;/ref&gt; edo Point-E&lt;ref&gt;Nichol, A., Jun, H., Dhariwal, P., Mishkin, P., &amp; Chen, M. (2022). Point-E: A System for Generating 3D Point Clouds from Complex Prompts. arXiv:2212.08751.&lt;/ref&gt;  bezalako ereduek testutik, irudietatik edo bideotik geometria sortzeko aukera ematen dute. Azken ereduaren kalitateak eskuzko fintzea eskatu dezakeen arren, adimen artifizialeko teknika sortzaileak prototipatzeko, blockout-erako eta oinarrizko asset-ak sortzeko tresna gisa finkatu dira. Egungo joerak honako hauek dira:
* Bideoetatik 3D berreraikitzea Neural Radiance Fields-en bidez&lt;ref&gt;Mildenhall, B., Srinivasan, P. P., Tancik, M., Barron, J. T., Ramamoorthi, R., &amp; Ng, R. (2020). NeRF: Representing Scenes as Neural Radiance Fields for View Synthesis. In ECCV 2020 (pp. 405–421). Springer. doi&lt;/ref&gt;
* Testurizazio automatikoa modalitate anitzeko ereduen bidez&lt;ref&gt;Rombach, R., Blattmann, A., Lorenz, D., Esser, P., &amp; Ommer, B. (2022). High-Resolution Image Synthesis with Latent Diffusion Models. In CVPR 2022 (pp. 10684–10695).&lt;/ref&gt;
* Sare neuronaletan oinarritutako erretopologia&lt;ref&gt;Wang, Y., et al. (2023). Neural Implicit Retopology. ACM Transactions on Graphics, 42(6). doi&lt;/ref&gt;
* Fisikan oinarritutako (PBR, Physically Based Rendering) materialen sorkuntza eredu difusiboen bidez&lt;ref&gt;Zhang, Y., et al. (2023). Diffusion Models for Material Generation. SIGGRAPH 2023 Talks.&lt;/ref&gt;


1 irudia: 3D modelatzearen zazpi familia nagusiak.
Taula 1. 3D modelatzean teknika garrantzitsuenak: irudikapena, konplexutasuna, aplikazioak eta erreferentzia bibliografiko garrantzitsuenak.

Egungo 3D modelatzea hainbat teknikaren integrazio estrategikoan oinarritzen da. Pipeline modernoek sare poligonalak, eskultura digitala, modelatze prozedurala eta AA tresnak konbinatzen dituzte ekoizpena bizkortzeko eta kalitate bisuala areagotzeko. NURBS eta CAD oinarriko teknikak funtsezkoak izaten jarraitzen dute zehaztasun geometrikoa kritikoa den sektoreetan. Gaur egun nagusi den joera hibridazioa da: adimen artifizialak sortutako ereduak, eskulturaren bidez findu eta animaziorako berriro topologizatzen direnak, eta sistema prozeduralekin aberasten direnak.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda|30em}}</text>
      <sha1>0w3hkgt1iexv8wt3vtuazirmzaek5jc</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44236</id>
      <parentid>44235</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T13:02:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <comment>/* Erreferentziak */</comment>
      <origin>44236</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12195" sha1="lrrfs8k0lm5eif2s1xmsec6lq3c618p" xml:space="preserve">= 3D modelatze-teknikak =
[[Fitxategi:Activemarker2.PNG|thumb|207x207px|]]
'''Hiru dimentsioko modelatzea''' [[w:Ordenagailu bidezko grafiko|ordenagailu bidezko grafikoen]] funtsezko zutabeetako bat da, eta irudikapen geometrikoen eraikuntza gisa definitzen da, egitura matematiko, topologiko eta konputazionalen bidez, manipulatu, renderizatu eta animatu daitezkeenak.&lt;ref&gt;Mortenson, M. E. (2006). Geometric Modeling (2nd ed.). Industrial Press.&lt;/ref&gt;

Bere bilakaera [[w:Geometria konputazional|geometria konputazionalean]], hardware grafikoan, [[w:Optimizazio (matematika)|optimizazio-algoritmoetan]] eta, duela gutxi, [[w:Adimen artifizial sortzaile|adimen artifizial sortzailean]] egindako aurrerapenek markatu dute. Azken hamarkadetan, arlo hau hainbat teknika desberdinetara eboluzionatu du, behar desberdinei erantzuten dietenak: doitasun geometrikoa, eraginkortasun konputazionala, errealismo bisuala, eskalagarritasuna edo automatizazioa.

Gaur egun, 3D modelatzeko teknikak zazpi familia nagusitan sailkatzen dira: modelatze poligonala, NURBS gainazalak, CAD eta solido-modelatzea, modelatze parametrikoa, eskultura digitala, prozedurazko modelatzea eta AA sortzailearekin modelatzea (Adimen Artifizial sortzailea edo Generative AI bidezko modelatzea). Ikuspegi bakoitzak behar desberdinei erantzuten die: zehaztasuna, malgutasuna, automatizazioa, errealismoa edo eraginkortasun konputazionala; eta horien konbinazioak ekoizpen-pipeline modernoak definitzen ditu.

== Modelatze poligonala ==
Modelatze poligonala da animazioan, bideo-jokoetan eta ikusizko efektuetan nagusi den teknika. Sare diskretuetan oinarritzen da, erpin, ertz eta poligonoez osatua.&lt;ref&gt;Watt, A. H., &amp; Policarpo, F. (1998). The Computer Image. Addison-Wesley.&lt;/ref&gt; Bere abantaila nagusia malgutasun topologikoa eta denbora errealeko renderizazio-motorrekin bateragarritasuna da. Poligonoen irudikapenak motor grafiko modernoen eraginkortasunaz baliatzen da, triangeluak prozesatzeko pipelineen bidez optimizatuta baitaude.&lt;ref&gt;Akenine-Möller, T., Haines, E., Hoffman, N., Pesce, A., Iwanicki, M., &amp; Hillaire, S. (2018). Real-Time Rendering (4th ed.). A K Peters/CRC Press.&lt;/ref&gt; Irudikapen diskretuak konplexutasun geometrikoa optimizatzea eta poligonoen dentsitatea esplizituki kontrolatzea ahalbidetzen du.

Azpizatze-teknikek, Catmull eta Clarkek&lt;ref&gt;Catmull, E., &amp; Clark, J. (1978). Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes. Computer-Aided Design, 10(6), 350–355. doi&lt;/ref&gt; eta Doo eta Sabinek&lt;ref&gt;Doo, D., &amp; Sabin, M. (1978). Behaviour of recursive division surfaces near extraordinary points. Computer-Aided Design, 10(6), 356–360. doi&lt;/ref&gt; sartutakoek, gainazal leunak lortzeko aukera ematen dute bereizmen txikiko sareetatik abiatuta, eta hori funtsezkoa izan da konputagailuz sortutako irudigintzan (CGI, Computer-Generated Imagery) eta animazioan. Teknika horiek azpizatiketaren gainazalekin (subdivision surfaces), erretopologia lagunduarekin eta sare deformagarrietan oinarritutako rigging prozesuekin osatzen dira.&lt;ref&gt;Kavan, L., Collins, S., Zára, J., &amp; O’Sullivan, C. (2007). Skinning with dual quaternions. In SI3D 2007 Symposium on Interactive 3D Graphics and Games (pp. 39–46). ACM. doi&lt;/ref&gt;

== NURBS gainazalak ==

NURBS gainazalek (Non-Uniform Rational B-Splines) geometria funtzio parametriko jarraituen bidez adierazten dute, eta horri esker, kurbak eta gainazalak doitasun arbitrarioz deskriba daitezke .&lt;ref&gt;Piegl, L., &amp; Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer.&lt;/ref&gt;

Kurba mota hauek funtsezkoak dira automobilgintzan, aeronautikan, diseinu industrialean eta arkitekturan, non jarraitutasun geometrikoa eta leuntasuna kritikoak diren,&lt;ref&gt;Farin, G. E. (2002). Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide (5th ed.). Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt; beren zehaztasunagatik, leuntasun perfektuagatik&lt;ref&gt;Piegl, L., &amp; Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer.&lt;/ref&gt; eta diskretizazio-artefakturik gabe gainazal konplexuak deskribatzeko duten gaitasunagatik. Sare poligonaletan ez bezala, NURBSek lofting, sweeping, blending eta patch modeling bezalako eragiketak ahalbidetzen dituzte, C1 eta C2 jarraitutasun geometrikoa bermatuz.

Sare poligonalek baino zehaztasun handiagoa izan arren, egitura parametrikoak zaildu egiten du topologia organiko konplexuak edo egituratu gabeko topologiak irudikatzea.&lt;ref&gt;Rogers, D. F. (2001). An Introduction to NURBS: A Practical Guide. Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt;

== CAD eta solido-modelatzea ==
[[Fitxategi:An early concept design of the ERIS instrument.jpg|thumb|Espektografo baten 3D modeloa&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|abizena=information@eso.org|izenburua=ERIS Project Starts - New high-resolution camera and spectrograph for ESO’s Very Large Telescope|hizkuntza=en|url=https://www.eso.org/public/announcements/ann13054/|aldizkaria=www.eso.org|sartze-data=2019-11-28}}&lt;/ref&gt;]]CAD modelizazioak (ordenagailuz lagundutako diseinua) irudikapen bolumetrikoak erabiltzen ditu, hala nola Boundary Representation (B-Rep) eta Constructive Solid Geometry (CSG) eta eragiketa boolearrak: bategitea, kendura, ebakidura.&lt;ref&gt;Stroud, I. (2006). Boundary Representation Modelling Techniques. Springer.&lt;/ref&gt;

Teknika hauek funtsezkoak dira ingeniaritzan, manufakturan eta prototipatzean, non geometriak tolerantzia zorrotzak bete behar dituen eta fabrikazio-prozesuetara esportagarria izan behar duen, hala nola CNC edo 3D inprimaketa.&lt;ref&gt;Groover, M. P. (2020). Fundamentals of Modern Manufacturing (7th ed.). Wiley.&lt;/ref&gt;

CAD sistema berriek murrizketa geometrikoak, parametrizazio geometrikoa, eragiketen historia eta egiturazko analisia integratzen dituzte.&lt;ref&gt;Shah, J. J., &amp; Mäntylä, M. (1995). Parametric and Feature-Based CAD/CAM. Wiley.&lt;/ref&gt; Bere ikuspegi bolumetrikoak desegokiago bihurtzen du pertsonaientzat edo gainazal organikoentzat. CAD modelatzea simulazio fisikoekin, tentsioen analisiarekin eta optimizazio topologikoarekin osatzen da.&lt;ref&gt;Bendsøe, M. P., &amp; Sigmund, O. (2003). Topology Optimization: Theory, Methods, and Applications. Springer Verlag.&lt;/ref&gt;

== Modelatze parametrikoa ==
Modelatze parametrikoak geometria parametro editagarrien funtzio gisa definitzen du, eta horri esker, eredua eskuz berreraiki gabe alda daiteke.

Arkitekturan, diseinu generatiboan eta fabrikazio digitalean erabiltzen da.&lt;ref&gt;Woodbury, R. (2010). Elements of Parametric Design. Routledge.&lt;/ref&gt; Eskuz berreraiki gabe egokitu, erreproduzitu eta alda daitezkeen ereduak sortzeko aukera ematen du, nahiz eta ikaskuntza-kurba teknikoagoa eskatzen duen. Grasshopper edo Dynamo bezalako tresnek nodo-sistemak ezagun egin dituzte, non geometria eragiketa-grafoen bidez sortzen den.&lt;ref&gt;Rutten, D. (2013). Grasshopper: Generative Modeling with Rhino. Robert McNeel &amp; Associates.&lt;/ref&gt;
Modelatze parametrikoa optimizazio-teknikekin, ingurumen-simulazioarekin eta egiturazko analisiarekin integratzen da, eta horrek diseinu konputazional garaikidearen funtsezko ikuspegia bihurtzen du.&lt;ref&gt;Oxman, R. (2006). Theory and design in the first digital age. Design Studies, 27(3), 229–265.&lt;/ref&gt;

== Eskultura digitala ==
[[Fitxategi:Steps of forensic facial reconstruction - Virtual Mummy - cogitas3d.gif|thumb|307x307px|[[Blender (software)|Blender]] softwareari esker egindako [[momia]] baten moldaketa.]]Eskultura digitalak buztina modelatzeko prozesu artistikoa simulatzen du, milioika poligono manipulatzeko aukera ematen duten tresnen bidez. Pertsonaiak, izakiak eta xehetasun-maila handiko gainazal organikoak sortzeko teknika nagusia da.&lt;ref&gt;Driskill, H. (2000). Digital Sculpting Techniques. In ACM SIGGRAPH 2000 Course Notes. ACM.&lt;/ref&gt;
Eskultura digitaleko sistemak milioika poligono kudeatzeko gai dira teknika aurreratu batzuk integratuz (dinamesh, voxel remeshing eta multiresolution sculpting) eta desplazamendu-mapetan oinarritutako xehetasunak.&lt;ref&gt;Blinn, J. F. (1978). Simulation of wrinkled surfaces. In Proceedings of the 5th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 286–292). ACM. doi&lt;/ref&gt;

Ekoizpenerako, retopologia, UV unwrapping eta map baking (normalen eta desplazamenduen mapa-labatzea) prozesuak behar dituzte animazio- edo bideo-joko-pipelineetan integratzeko.&lt;ref&gt;Pharr, M., Jakob, W., &amp; Humphreys, G. (2023). Physically Based Rendering: From Theory to Implementation (4th ed.). MIT Press.&lt;/ref&gt;

== Prozedurazko modelatzea ==
Prozedurazko modelatzeak geometria sortzen du arau, algoritmo edo nodo-grafoen bidez. Funtsezkoa da ingurune konplexuetarako, hala nola landaredia, hiriak, fraktalak edo fenomeno naturalak.&lt;ref&gt;Ebert, D., Musgrave, F. K., Peachey, D., Perlin, K., Worley, S., Mark, W. R., &amp; Hart, J. (2002). Texturing and Modeling: A Procedural Approach (3rd ed.). Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt; Bere abantaila nagusia eskalagarritasuna da: arau multzo batek milaka aldaera sor ditzake eskuzko esku-hartzerik gabe.
Tekniken artean daude L-sistemak landaredirak,&lt;ref&gt;Prusinkiewicz, P., &amp; Lindenmayer, A. (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag.&lt;/ref&gt; zarata fraktala ehunduretarako,&lt;ref&gt;Perlin, K. (1985). An Image Synthesizer. In SIGGRAPH ’85: Proceedings of the 12th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 287–296). ACM. doi&lt;/ref&gt; agenteetan oinarritutako sistemak hirietarako&lt;ref&gt;Parish, Y. I. H., &amp; Müller, P. (2001). Procedural modeling of cities. In SIGGRAPH ’01: Proceedings of the 28th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 301–308). ACM. doi&lt;/ref&gt; eta simulazio fisikoak fluido eta suntsiketarako&lt;ref&gt;Bridson, R. (2015). Fluid Simulation for Computer Graphics (2nd ed.). CRC Press.&lt;/ref&gt;.
Houdini eta Geometry Nodes tresnak erreferenteak dira arlo honetan, nodoetan oinarritutako arkitekturei eta simulazio fisikoekiko integrazioari esker.

== AA sortzailearekin modelatzea ==
Gaur egun, AA sortzaileak 3D modelatzea eraldatu du. Tripo, Luma, Shap-E&lt;ref&gt;Jun, H., &amp; Nichol, A. (2023). Shap-E: Generating 3D Assets from Text. arXiv:2305.02463.&lt;/ref&gt; edo Point-E&lt;ref&gt;Nichol, A., Jun, H., Dhariwal, P., Mishkin, P., &amp; Chen, M. (2022). Point-E: A System for Generating 3D Point Clouds from Complex Prompts. arXiv:2212.08751.&lt;/ref&gt;  bezalako ereduek testutik, irudietatik edo bideotik geometria sortzeko aukera ematen dute. Azken ereduaren kalitateak eskuzko fintzea eskatu dezakeen arren, adimen artifizialeko teknika sortzaileak prototipatzeko, blockout-erako eta oinarrizko asset-ak sortzeko tresna gisa finkatu dira. Egungo joerak honako hauek dira:
* Bideoetatik 3D berreraikitzea Neural Radiance Fields-en bidez&lt;ref&gt;Mildenhall, B., Srinivasan, P. P., Tancik, M., Barron, J. T., Ramamoorthi, R., &amp; Ng, R. (2020). NeRF: Representing Scenes as Neural Radiance Fields for View Synthesis. In ECCV 2020 (pp. 405–421). Springer. doi&lt;/ref&gt;
* Testurizazio automatikoa modalitate anitzeko ereduen bidez&lt;ref&gt;Rombach, R., Blattmann, A., Lorenz, D., Esser, P., &amp; Ommer, B. (2022). High-Resolution Image Synthesis with Latent Diffusion Models. In CVPR 2022 (pp. 10684–10695).&lt;/ref&gt;
* Sare neuronaletan oinarritutako erretopologia&lt;ref&gt;Wang, Y., et al. (2023). Neural Implicit Retopology. ACM Transactions on Graphics, 42(6). doi&lt;/ref&gt;
* Fisikan oinarritutako (PBR, Physically Based Rendering) materialen sorkuntza eredu difusiboen bidez&lt;ref&gt;Zhang, Y., et al. (2023). Diffusion Models for Material Generation. SIGGRAPH 2023 Talks.&lt;/ref&gt;


1 irudia: 3D modelatzearen zazpi familia nagusiak.
Taula 1. 3D modelatzean teknika garrantzitsuenak: irudikapena, konplexutasuna, aplikazioak eta erreferentzia bibliografiko garrantzitsuenak.

Egungo 3D modelatzea hainbat teknikaren integrazio estrategikoan oinarritzen da. Pipeline modernoek sare poligonalak, eskultura digitala, modelatze prozedurala eta AA tresnak konbinatzen dituzte ekoizpena bizkortzeko eta kalitate bisuala areagotzeko. NURBS eta CAD oinarriko teknikak funtsezkoak izaten jarraitzen dute zehaztasun geometrikoa kritikoa den sektoreetan. Gaur egun nagusi den joera hibridazioa da: adimen artifizialak sortutako ereduak, eskulturaren bidez findu eta animaziorako berriro topologizatzen direnak, eta sistema prozeduralekin aberasten direnak.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda|2}}</text>
      <sha1>lrrfs8k0lm5eif2s1xmsec6lq3c618p</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44237</id>
      <parentid>44236</parentid>
      <timestamp>2026-09-08T13:16:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ksarasola</username>
        <id>1603</id>
      </contributor>
      <origin>44237</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12215" sha1="2zufc2bsxtynx7096bgsc2b26qth0zv" xml:space="preserve">= 3D modelatze-teknikak =
[[Fitxategi:Activemarker2.PNG|thumb|207x207px|]]
'''[[w:3D modelaketa|Hiru dimentsioko modelatzea]]''' [[w:Ordenagailu bidezko grafiko|ordenagailu bidezko grafikoen]] funtsezko zutabeetako bat da, eta irudikapen geometrikoen eraikuntza gisa definitzen da, egitura matematiko, topologiko eta konputazionalen bidez, manipulatu, renderizatu eta animatu daitezkeenak.&lt;ref&gt;Mortenson, M. E. (2006). Geometric Modeling (2nd ed.). Industrial Press.&lt;/ref&gt;

Bere bilakaera [[w:Geometria konputazional|geometria konputazionalean]], hardware grafikoan, [[w:Optimizazio (matematika)|optimizazio-algoritmoetan]] eta, duela gutxi, [[w:Adimen artifizial sortzaile|adimen artifizial sortzailean]] egindako aurrerapenek markatu dute. Azken hamarkadetan, arlo hau hainbat teknika desberdinetara eboluzionatu du, behar desberdinei erantzuten dietenak: doitasun geometrikoa, eraginkortasun konputazionala, errealismo bisuala, eskalagarritasuna edo automatizazioa.

Gaur egun, 3D modelatzeko teknikak zazpi familia nagusitan sailkatzen dira: modelatze poligonala, NURBS gainazalak, CAD eta solido-modelatzea, modelatze parametrikoa, eskultura digitala, prozedurazko modelatzea eta AA sortzailearekin modelatzea (Adimen Artifizial sortzailea edo Generative AI bidezko modelatzea). Ikuspegi bakoitzak behar desberdinei erantzuten die: zehaztasuna, malgutasuna, automatizazioa, errealismoa edo eraginkortasun konputazionala; eta horien konbinazioak ekoizpen-pipeline modernoak definitzen ditu.

== Modelatze poligonala ==
Modelatze poligonala da animazioan, bideo-jokoetan eta ikusizko efektuetan nagusi den teknika. Sare diskretuetan oinarritzen da, erpin, ertz eta poligonoez osatua.&lt;ref&gt;Watt, A. H., &amp; Policarpo, F. (1998). The Computer Image. Addison-Wesley.&lt;/ref&gt; Bere abantaila nagusia malgutasun topologikoa eta denbora errealeko renderizazio-motorrekin bateragarritasuna da. Poligonoen irudikapenak motor grafiko modernoen eraginkortasunaz baliatzen da, triangeluak prozesatzeko pipelineen bidez optimizatuta baitaude.&lt;ref&gt;Akenine-Möller, T., Haines, E., Hoffman, N., Pesce, A., Iwanicki, M., &amp; Hillaire, S. (2018). Real-Time Rendering (4th ed.). A K Peters/CRC Press.&lt;/ref&gt; Irudikapen diskretuak konplexutasun geometrikoa optimizatzea eta poligonoen dentsitatea esplizituki kontrolatzea ahalbidetzen du.

Azpizatze-teknikek, Catmull eta Clarkek&lt;ref&gt;Catmull, E., &amp; Clark, J. (1978). Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes. Computer-Aided Design, 10(6), 350–355. doi&lt;/ref&gt; eta Doo eta Sabinek&lt;ref&gt;Doo, D., &amp; Sabin, M. (1978). Behaviour of recursive division surfaces near extraordinary points. Computer-Aided Design, 10(6), 356–360. doi&lt;/ref&gt; sartutakoek, gainazal leunak lortzeko aukera ematen dute bereizmen txikiko sareetatik abiatuta, eta hori funtsezkoa izan da konputagailuz sortutako irudigintzan (CGI, Computer-Generated Imagery) eta animazioan. Teknika horiek azpizatiketaren gainazalekin (subdivision surfaces), erretopologia lagunduarekin eta sare deformagarrietan oinarritutako rigging prozesuekin osatzen dira.&lt;ref&gt;Kavan, L., Collins, S., Zára, J., &amp; O’Sullivan, C. (2007). Skinning with dual quaternions. In SI3D 2007 Symposium on Interactive 3D Graphics and Games (pp. 39–46). ACM. doi&lt;/ref&gt;

== NURBS gainazalak ==

NURBS gainazalek (Non-Uniform Rational B-Splines) geometria funtzio parametriko jarraituen bidez adierazten dute, eta horri esker, kurbak eta gainazalak doitasun arbitrarioz deskriba daitezke .&lt;ref&gt;Piegl, L., &amp; Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer.&lt;/ref&gt;

Kurba mota hauek funtsezkoak dira automobilgintzan, aeronautikan, diseinu industrialean eta arkitekturan, non jarraitutasun geometrikoa eta leuntasuna kritikoak diren,&lt;ref&gt;Farin, G. E. (2002). Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide (5th ed.). Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt; beren zehaztasunagatik, leuntasun perfektuagatik&lt;ref&gt;Piegl, L., &amp; Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer.&lt;/ref&gt; eta diskretizazio-artefakturik gabe gainazal konplexuak deskribatzeko duten gaitasunagatik. Sare poligonaletan ez bezala, NURBSek lofting, sweeping, blending eta patch modeling bezalako eragiketak ahalbidetzen dituzte, C1 eta C2 jarraitutasun geometrikoa bermatuz.

Sare poligonalek baino zehaztasun handiagoa izan arren, egitura parametrikoak zaildu egiten du topologia organiko konplexuak edo egituratu gabeko topologiak irudikatzea.&lt;ref&gt;Rogers, D. F. (2001). An Introduction to NURBS: A Practical Guide. Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt;

== CAD eta solido-modelatzea ==
[[Fitxategi:An early concept design of the ERIS instrument.jpg|thumb|Espektografo baten 3D modeloa&lt;ref&gt;{{Erreferentzia|abizena=information@eso.org|izenburua=ERIS Project Starts - New high-resolution camera and spectrograph for ESO’s Very Large Telescope|hizkuntza=en|url=https://www.eso.org/public/announcements/ann13054/|aldizkaria=www.eso.org|sartze-data=2019-11-28}}&lt;/ref&gt;]]CAD modelizazioak (ordenagailuz lagundutako diseinua) irudikapen bolumetrikoak erabiltzen ditu, hala nola Boundary Representation (B-Rep) eta Constructive Solid Geometry (CSG) eta eragiketa boolearrak: bategitea, kendura, ebakidura.&lt;ref&gt;Stroud, I. (2006). Boundary Representation Modelling Techniques. Springer.&lt;/ref&gt;

Teknika hauek funtsezkoak dira ingeniaritzan, manufakturan eta prototipatzean, non geometriak tolerantzia zorrotzak bete behar dituen eta fabrikazio-prozesuetara esportagarria izan behar duen, hala nola CNC edo 3D inprimaketa.&lt;ref&gt;Groover, M. P. (2020). Fundamentals of Modern Manufacturing (7th ed.). Wiley.&lt;/ref&gt;

CAD sistema berriek murrizketa geometrikoak, parametrizazio geometrikoa, eragiketen historia eta egiturazko analisia integratzen dituzte.&lt;ref&gt;Shah, J. J., &amp; Mäntylä, M. (1995). Parametric and Feature-Based CAD/CAM. Wiley.&lt;/ref&gt; Bere ikuspegi bolumetrikoak desegokiago bihurtzen du pertsonaientzat edo gainazal organikoentzat. CAD modelatzea simulazio fisikoekin, tentsioen analisiarekin eta optimizazio topologikoarekin osatzen da.&lt;ref&gt;Bendsøe, M. P., &amp; Sigmund, O. (2003). Topology Optimization: Theory, Methods, and Applications. Springer Verlag.&lt;/ref&gt;

== Modelatze parametrikoa ==
Modelatze parametrikoak geometria parametro editagarrien funtzio gisa definitzen du, eta horri esker, eredua eskuz berreraiki gabe alda daiteke.

Arkitekturan, diseinu generatiboan eta fabrikazio digitalean erabiltzen da.&lt;ref&gt;Woodbury, R. (2010). Elements of Parametric Design. Routledge.&lt;/ref&gt; Eskuz berreraiki gabe egokitu, erreproduzitu eta alda daitezkeen ereduak sortzeko aukera ematen du, nahiz eta ikaskuntza-kurba teknikoagoa eskatzen duen. Grasshopper edo Dynamo bezalako tresnek nodo-sistemak ezagun egin dituzte, non geometria eragiketa-grafoen bidez sortzen den.&lt;ref&gt;Rutten, D. (2013). Grasshopper: Generative Modeling with Rhino. Robert McNeel &amp; Associates.&lt;/ref&gt;
Modelatze parametrikoa optimizazio-teknikekin, ingurumen-simulazioarekin eta egiturazko analisiarekin integratzen da, eta horrek diseinu konputazional garaikidearen funtsezko ikuspegia bihurtzen du.&lt;ref&gt;Oxman, R. (2006). Theory and design in the first digital age. Design Studies, 27(3), 229–265.&lt;/ref&gt;

== Eskultura digitala ==
[[Fitxategi:Steps of forensic facial reconstruction - Virtual Mummy - cogitas3d.gif|thumb|307x307px|[[Blender (software)|Blender]] softwareari esker egindako [[momia]] baten moldaketa.]]Eskultura digitalak buztina modelatzeko prozesu artistikoa simulatzen du, milioika poligono manipulatzeko aukera ematen duten tresnen bidez. Pertsonaiak, izakiak eta xehetasun-maila handiko gainazal organikoak sortzeko teknika nagusia da.&lt;ref&gt;Driskill, H. (2000). Digital Sculpting Techniques. In ACM SIGGRAPH 2000 Course Notes. ACM.&lt;/ref&gt;
Eskultura digitaleko sistemak milioika poligono kudeatzeko gai dira teknika aurreratu batzuk integratuz (dinamesh, voxel remeshing eta multiresolution sculpting) eta desplazamendu-mapetan oinarritutako xehetasunak.&lt;ref&gt;Blinn, J. F. (1978). Simulation of wrinkled surfaces. In Proceedings of the 5th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 286–292). ACM. doi&lt;/ref&gt;

Ekoizpenerako, retopologia, UV unwrapping eta map baking (normalen eta desplazamenduen mapa-labatzea) prozesuak behar dituzte animazio- edo bideo-joko-pipelineetan integratzeko.&lt;ref&gt;Pharr, M., Jakob, W., &amp; Humphreys, G. (2023). Physically Based Rendering: From Theory to Implementation (4th ed.). MIT Press.&lt;/ref&gt;

== Prozedurazko modelatzea ==
Prozedurazko modelatzeak geometria sortzen du arau, algoritmo edo nodo-grafoen bidez. Funtsezkoa da ingurune konplexuetarako, hala nola landaredia, hiriak, fraktalak edo fenomeno naturalak.&lt;ref&gt;Ebert, D., Musgrave, F. K., Peachey, D., Perlin, K., Worley, S., Mark, W. R., &amp; Hart, J. (2002). Texturing and Modeling: A Procedural Approach (3rd ed.). Morgan Kaufmann.&lt;/ref&gt; Bere abantaila nagusia eskalagarritasuna da: arau multzo batek milaka aldaera sor ditzake eskuzko esku-hartzerik gabe.
Tekniken artean daude L-sistemak landaredirak,&lt;ref&gt;Prusinkiewicz, P., &amp; Lindenmayer, A. (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag.&lt;/ref&gt; zarata fraktala ehunduretarako,&lt;ref&gt;Perlin, K. (1985). An Image Synthesizer. In SIGGRAPH ’85: Proceedings of the 12th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 287–296). ACM. doi&lt;/ref&gt; agenteetan oinarritutako sistemak hirietarako&lt;ref&gt;Parish, Y. I. H., &amp; Müller, P. (2001). Procedural modeling of cities. In SIGGRAPH ’01: Proceedings of the 28th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (pp. 301–308). ACM. doi&lt;/ref&gt; eta simulazio fisikoak fluido eta suntsiketarako&lt;ref&gt;Bridson, R. (2015). Fluid Simulation for Computer Graphics (2nd ed.). CRC Press.&lt;/ref&gt;.
Houdini eta Geometry Nodes tresnak erreferenteak dira arlo honetan, nodoetan oinarritutako arkitekturei eta simulazio fisikoekiko integrazioari esker.

== AA sortzailearekin modelatzea ==
Gaur egun, AA sortzaileak 3D modelatzea eraldatu du. Tripo, Luma, Shap-E&lt;ref&gt;Jun, H., &amp; Nichol, A. (2023). Shap-E: Generating 3D Assets from Text. arXiv:2305.02463.&lt;/ref&gt; edo Point-E&lt;ref&gt;Nichol, A., Jun, H., Dhariwal, P., Mishkin, P., &amp; Chen, M. (2022). Point-E: A System for Generating 3D Point Clouds from Complex Prompts. arXiv:2212.08751.&lt;/ref&gt;  bezalako ereduek testutik, irudietatik edo bideotik geometria sortzeko aukera ematen dute. Azken ereduaren kalitateak eskuzko fintzea eskatu dezakeen arren, adimen artifizialeko teknika sortzaileak prototipatzeko, blockout-erako eta oinarrizko asset-ak sortzeko tresna gisa finkatu dira. Egungo joerak honako hauek dira:
* Bideoetatik 3D berreraikitzea Neural Radiance Fields-en bidez&lt;ref&gt;Mildenhall, B., Srinivasan, P. P., Tancik, M., Barron, J. T., Ramamoorthi, R., &amp; Ng, R. (2020). NeRF: Representing Scenes as Neural Radiance Fields for View Synthesis. In ECCV 2020 (pp. 405–421). Springer. doi&lt;/ref&gt;
* Testurizazio automatikoa modalitate anitzeko ereduen bidez&lt;ref&gt;Rombach, R., Blattmann, A., Lorenz, D., Esser, P., &amp; Ommer, B. (2022). High-Resolution Image Synthesis with Latent Diffusion Models. In CVPR 2022 (pp. 10684–10695).&lt;/ref&gt;
* Sare neuronaletan oinarritutako erretopologia&lt;ref&gt;Wang, Y., et al. (2023). Neural Implicit Retopology. ACM Transactions on Graphics, 42(6). doi&lt;/ref&gt;
* Fisikan oinarritutako (PBR, Physically Based Rendering) materialen sorkuntza eredu difusiboen bidez&lt;ref&gt;Zhang, Y., et al. (2023). Diffusion Models for Material Generation. SIGGRAPH 2023 Talks.&lt;/ref&gt;


1 irudia: 3D modelatzearen zazpi familia nagusiak.
Taula 1. 3D modelatzean teknika garrantzitsuenak: irudikapena, konplexutasuna, aplikazioak eta erreferentzia bibliografiko garrantzitsuenak.

Egungo 3D modelatzea hainbat teknikaren integrazio estrategikoan oinarritzen da. Pipeline modernoek sare poligonalak, eskultura digitala, modelatze prozedurala eta AA tresnak konbinatzen dituzte ekoizpena bizkortzeko eta kalitate bisuala areagotzeko. NURBS eta CAD oinarriko teknikak funtsezkoak izaten jarraitzen dute zehaztasun geometrikoa kritikoa den sektoreetan. Gaur egun nagusi den joera hibridazioa da: adimen artifizialak sortutako ereduak, eskulturaren bidez findu eta animaziorako berriro topologizatzen direnak, eta sistema prozeduralekin aberasten direnak.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda|2}}</text>
      <sha1>2zufc2bsxtynx7096bgsc2b26qth0zv</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Informatikaren 50 urte 50 teknologiatan/AlphaGo (Deep Reinforcement Learning)</title>
    <ns>0</ns>
    <id>7368</id>
    <revision>
      <id>44292</id>
      <timestamp>2026-09-09T10:41:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41166-65</username>
        <id>2741</id>
      </contributor>
      <comment>Orria sortu da. Edukia:  '''AlphaGo''' [https://eu.wikipedia.org/wiki/Google%20DeepMind DeepMind] enpresak garatutako [https://eu.wikipedia.org/wiki/Adimen_artifizial adimen artifizial] programa bat da, [https://eu.wikipedia.org/wiki/Go Go] jokoan jokatzeko eta maila goreneko jokalariak garaitzeko sortua. [https://eu.wikipedia.org/wiki/Ikasketa_automatiko Ikasketa sakona] eta [https://eu.wikipedia.org/wiki/Montecarlo_metodo Monte Carlo] zuhaitz-bilaketaz baliatzen da. 2016an nazioarteko osp...</comment>
      <origin>44292</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5873" sha1="21nmx1dioji9zvkgakfrtsfkbpo7ukp" xml:space="preserve">
'''AlphaGo''' [https://eu.wikipedia.org/wiki/Google%20DeepMind DeepMind] enpresak garatutako [https://eu.wikipedia.org/wiki/Adimen_artifizial adimen artifizial] programa bat da, [https://eu.wikipedia.org/wiki/Go Go] jokoan jokatzeko eta maila goreneko jokalariak garaitzeko sortua. [https://eu.wikipedia.org/wiki/Ikasketa_automatiko Ikasketa sakona] eta [https://eu.wikipedia.org/wiki/Montecarlo_metodo Monte Carlo] zuhaitz-bilaketaz baliatzen da. 2016an nazioarteko ospea lortu zuen [https://eu.wikipedia.org/wiki/Lee_Sedol Lee Sedol] munduko Go jokalaririk onenetako bat 4-1eko emaitzaz garaitu ondoren.

AlphaGo-ren arrakastak erakutsi zuen [https://eu.wikipedia.org/wiki/Neurona-sare_artifizial neurona sare] sakonetan oinarritutako sistemek arazo oso konplexuei aurre egiteko ahalmena dutela. Honen ondorioz, adimen artifizialaren garapena bizkortu egin zen hainbat arlotan.

== Historia ==

AlphaGo proiektua [https://eu.wikipedia.org/wiki/Google%20DeepMind DeepMind] ikerketa-enpresak garatu zuen, 2014 inguruan, Go jokoan lehiatzeko gai izango zen sistema bat sortzeko helburuarekin. 2015eko urrian, lehen aldiz garaitu zuen maila profesionaleko Go jokalari bat, Fan Hui europar txapelduna, bost partidetatik bost irabazita.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia aldizkaria
|abizena=Silver
|izena=David
|izenburua=Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search
|aldizkaria=Nature
|urtea=2016
|libk=10.1038/nature16961
}}&lt;/ref&gt;

2016ko martxoan, AlphaGo-k Lee Sedol hego korearraren aurka jokatu zuen bost partidako neurketa historikoa. Garai hartan, Lee Sedol munduko jokalaririk onenetakoa zen, eta aditu askok uste zuten makinek oraindik ez zutela Go jokoaren konplexutasuna gainditzeko gaitasunik. Hala ere, AlphaGo-k lau partida irabazi eta bakarra galdu zuen. Neurketa hark oihartzun handia izan zuen nazioarteko hedabideetan, eta adimen artifizialaren garapenaren ikur bihurtu zen.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia albistea
|izenburua=Google's AI beats Go master Lee Sedol
|argitaletxea=BBC News
|data=2016-03-15
}}&lt;/ref&gt;

Ondoren, DeepMind-ek sistema hobetu zuen eta AlphaGo Master izeneko bertsioa aurkeztu zuen. 2017an, berriz, '''AlphaZero''' argitaratu zuen. Bertsio horrek ez zuen giza jokalarien partidarik erabili entrenamendurako; jokoaren arauak baino ez zituen ezagutzen, eta bere buruaren aurka milioika partida jokatuz ikasi zuen (''self-play'' deritzon teknikaz baliatuta). Denbora gutxian aurreko bertsio guztiak gainditu zituen.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia aldizkaria
|abizena=Silver
|izena=David
|izenburua=Mastering the game of Go without human knowledge
|aldizkaria=Nature
|urtea=2017
|libk=10.1038/nature24270
}}&lt;/ref&gt;

== Funtzionamendua ==

Go jokoa oso konplexua da. Adibidez, Xakearekin alderatuta, Go jokoan dauden jokaldi posibleak askoz gehiago dira. Horregatik, ez da nahikoa aukera guztiak aztertzea; estrategia onak identifikatzeko gaitasuna ere behar da.

AlphaGo-k bi osagai nagusi uztartzen ditu:

* '''Politika-sare neuronala''' (''policy network''), une bakoitzean jokatzeko mugimendurik egokienak aurreikusteko.
* '''Balio-sare neuronala''' (''value network''), taulako egoera jakin batek garaipena lortzeko duen probabilitatea kalkulatzeko.

Bi sare horiek [[Monte Carlo zuhaitz-bilaketa]] (MCTS ingelesez) algoritmoarekin konbinatzen dira. Bilaketa horrek etorkizuneko jokaldi posibleak modu adimentsuan aztertzen ditu, aukera guztiak aztertu beharrik gabe. Horri esker, AlphaGo-k erabaki estrategiko sendoak har ditzake denbora mugatuan.

Lehenengo bertsioetan, sistemak milaka giza partida aztertuz ikasi zuen. Ondoren, bere buruaren aurka etengabe jokatuz hobetu zuen bere maila. AlphaGo Zero bertsioak urrats bat harago jo zuen: ez zuen giza adibiderik behar izan, eta autoikaskuntzaren bidez aurkitu zituen estrategiarik eraginkorrenak.

== Garrantzia ==

AlphaGo-ren garaipenak inflexio-puntua markatu zuen adimen artifizialaren historian. Aurretik, ordenagailuek arrakasta handia izan zuten joko arautuagoetan, hala nola xakean edo dametan, baina Go jokoaren konplexutasunak erronka askoz handiagoa planteatzen zuen.

AlphaGo-k erakutsi zuen ikasketa sakonaren eta sare neuronalen bidez posible zela esperientziatik ikastea eta intuizioaren antzeko erabakiak hartzea. Lorpen horrek ikerketa ugari bultzatu zituen adimen artifizialaren arloan, eta antzeko teknikak erabiltzen hasi ziren beste hainbat diziplinatan.

== Inplikazioak ==

AlphaGo garatzeko erabilitako metodoek aplikazio ugari izan dituzte Go jokotik harago. Antzeko teknikak erabiltzen dira gaur egun, besteak beste:

* proteinen egitura aurresateko;
* roboten kontrol-sistemetan;
* baliabideen optimizazioan;
* energia-kontsumoa murrizteko sistemetan;
* eta medikuntzako diagnostiko-laguntzaileetan.

Hala ere, AlphaGo-ren arrakastak adimen artifizialaren garapenari buruzko eztabaida ere sustatu zuen. Adituek nabarmendu dute teknologia horiek aukera handiak eskaintzen dituztela, baina gardentasuna, kontrola eta erabilera arduratsua bermatzeko neurriak ere behar direla.

== Ondorengo garapenak ==

AlphaGo-ren ondoren, DeepMind-ek '''AlphaZero''' sistema garatu zuen. Honek ez zuen Go bakarrik ikasi; algoritmo bera erabiliz [https://eu.wikipedia.org/wiki/Xake xake]an eta [https://eu.wikipedia.org/wiki/Shogi shogi]n ere maila gorena lortu zuen. Horrek erakutsi zuen ikasketa-sistema bera hainbat joko eta arazo konplexutara molda zitekeela.

Ondoren garatutako '''MuZero''' sistemak beste urrats bat eman zuen: jokoaren arauak aurrez ezagutu gabe ere ikasteko gaitasuna erakutsi zuen.

== Kanpo estekak ==

* [https://deepmind.google/discover/blog/alphago-the-story-so-far/ AlphaGo: The Story So Far] (DeepMind)
* [https://www.nature.com/articles/nature16961 Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search] (*Nature*, 2016)
* [https://www.nature.com/articles/nature24270 Mastering the game of Go without human knowledge] (*Nature*, 2017)
```</text>
      <sha1>21nmx1dioji9zvkgakfrtsfkbpo7ukp</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>44293</id>
      <parentid>44292</parentid>
      <timestamp>2026-09-09T10:42:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41166-65</username>
        <id>2741</id>
      </contributor>
      <origin>44293</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5869" sha1="9ndmkypu6468cag6o9kjo91alypm9ay" xml:space="preserve">
'''AlphaGo''' [https://eu.wikipedia.org/wiki/Google%20DeepMind DeepMind] enpresak garatutako [https://eu.wikipedia.org/wiki/Adimen_artifizial adimen artifizial] programa bat da, [https://eu.wikipedia.org/wiki/Go Go] jokoan jokatzeko eta maila goreneko jokalariak garaitzeko sortua. [https://eu.wikipedia.org/wiki/Ikasketa_automatiko Ikasketa sakona] eta [https://eu.wikipedia.org/wiki/Montecarlo_metodo Monte Carlo] zuhaitz-bilaketaz baliatzen da. 2016an nazioarteko ospea lortu zuen [https://eu.wikipedia.org/wiki/Lee_Sedol Lee Sedol] munduko Go jokalaririk onenetako bat 4-1eko emaitzaz garaitu ondoren.

AlphaGo-ren arrakastak erakutsi zuen [https://eu.wikipedia.org/wiki/Neurona-sare_artifizial neurona sare] sakonetan oinarritutako sistemek arazo oso konplexuei aurre egiteko ahalmena dutela. Honen ondorioz, adimen artifizialaren garapena bizkortu egin zen hainbat arlotan.

== Historia ==

AlphaGo proiektua [https://eu.wikipedia.org/wiki/Google%20DeepMind DeepMind] ikerketa-enpresak garatu zuen, 2014 inguruan, Go jokoan lehiatzeko gai izango zen sistema bat sortzeko helburuarekin. 2015eko urrian, lehen aldiz garaitu zuen maila profesionaleko Go jokalari bat, Fan Hui europar txapelduna, bost partidetatik bost irabazita.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia aldizkaria
|abizena=Silver
|izena=David
|izenburua=Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search
|aldizkaria=Nature
|urtea=2016
|libk=10.1038/nature16961
}}&lt;/ref&gt;

2016ko martxoan, AlphaGo-k Lee Sedol hego korearraren aurka jokatu zuen bost partidako neurketa historikoa. Garai hartan, Lee Sedol munduko jokalaririk onenetakoa zen, eta aditu askok uste zuten makinek oraindik ez zutela Go jokoaren konplexutasuna gainditzeko gaitasunik. Hala ere, AlphaGo-k lau partida irabazi eta bakarra galdu zuen. Neurketa hark oihartzun handia izan zuen nazioarteko hedabideetan, eta adimen artifizialaren garapenaren ikur bihurtu zen.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia albistea
|izenburua=Google's AI beats Go master Lee Sedol
|argitaletxea=BBC News
|data=2016-03-15
}}&lt;/ref&gt;

Ondoren, DeepMind-ek sistema hobetu zuen eta AlphaGo Master izeneko bertsioa aurkeztu zuen. 2017an, berriz, '''AlphaZero''' argitaratu zuen. Bertsio horrek ez zuen giza jokalarien partidarik erabili entrenamendurako; jokoaren arauak baino ez zituen ezagutzen, eta bere buruaren aurka milioika partida jokatuz ikasi zuen (''self-play'' deritzon teknikaz baliatuta). Denbora gutxian aurreko bertsio guztiak gainditu zituen.&lt;ref&gt;{{Erreferentzia aldizkaria
|abizena=Silver
|izena=David
|izenburua=Mastering the game of Go without human knowledge
|aldizkaria=Nature
|urtea=2017
|libk=10.1038/nature24270
}}&lt;/ref&gt;

== Funtzionamendua ==

Go jokoa oso konplexua da. Adibidez, Xakearekin alderatuta, Go jokoan dauden jokaldi posibleak askoz gehiago dira. Horregatik, ez da nahikoa aukera guztiak aztertzea; estrategia onak identifikatzeko gaitasuna ere behar da.

AlphaGo-k bi osagai nagusi uztartzen ditu:

* '''Politika-sare neuronala''' (''policy network''), une bakoitzean jokatzeko mugimendurik egokienak aurreikusteko.
* '''Balio-sare neuronala''' (''value network''), taulako egoera jakin batek garaipena lortzeko duen probabilitatea kalkulatzeko.

Bi sare horiek [[Monte Carlo zuhaitz-bilaketa]] (MCTS ingelesez) algoritmoarekin konbinatzen dira. Bilaketa horrek etorkizuneko jokaldi posibleak modu adimentsuan aztertzen ditu, aukera guztiak aztertu beharrik gabe. Horri esker, AlphaGo-k erabaki estrategiko sendoak har ditzake denbora mugatuan.

Lehenengo bertsioetan, sistemak milaka giza partida aztertuz ikasi zuen. Ondoren, bere buruaren aurka etengabe jokatuz hobetu zuen bere maila. AlphaGo Zero bertsioak urrats bat harago jo zuen: ez zuen giza adibiderik behar izan, eta autoikaskuntzaren bidez aurkitu zituen estrategiarik eraginkorrenak.

== Garrantzia ==

AlphaGo-ren garaipenak inflexio-puntua markatu zuen adimen artifizialaren historian. Aurretik, ordenagailuek arrakasta handia izan zuten joko arautuagoetan, hala nola xakean edo dametan, baina Go jokoaren konplexutasunak erronka askoz handiagoa planteatzen zuen.

AlphaGo-k erakutsi zuen ikasketa sakonaren eta sare neuronalen bidez posible zela esperientziatik ikastea eta intuizioaren antzeko erabakiak hartzea. Lorpen horrek ikerketa ugari bultzatu zituen adimen artifizialaren arloan, eta antzeko teknikak erabiltzen hasi ziren beste hainbat diziplinatan.

== Inplikazioak ==

AlphaGo garatzeko erabilitako metodoek aplikazio ugari izan dituzte Go jokotik harago. Antzeko teknikak erabiltzen dira gaur egun, besteak beste:

* proteinen egitura aurresateko;
* roboten kontrol-sistemetan;
* baliabideen optimizazioan;
* energia-kontsumoa murrizteko sistemetan;
* eta medikuntzako diagnostiko-laguntzaileetan.

Hala ere, AlphaGo-ren arrakastak adimen artifizialaren garapenari buruzko eztabaida ere sustatu zuen. Adituek nabarmendu dute teknologia horiek aukera handiak eskaintzen dituztela, baina gardentasuna, kontrola eta erabilera arduratsua bermatzeko neurriak ere behar direla.

== Ondorengo garapenak ==

AlphaGo-ren ondoren, DeepMind-ek '''AlphaZero''' sistema garatu zuen. Honek ez zuen Go bakarrik ikasi; algoritmo bera erabiliz [https://eu.wikipedia.org/wiki/Xake xake]an eta [https://eu.wikipedia.org/wiki/Shogi shogi]n ere maila gorena lortu zuen. Horrek erakutsi zuen ikasketa-sistema bera hainbat joko eta arazo konplexutara molda zitekeela.

Ondoren garatutako '''MuZero''' sistemak beste urrats bat eman zuen: jokoaren arauak aurrez ezagutu gabe ere ikasteko gaitasuna erakutsi zuen.

== Kanpo estekak ==

* [https://deepmind.google/discover/blog/alphago-the-story-so-far/ AlphaGo: The Story So Far] (DeepMind)
* [https://www.nature.com/articles/nature16961 Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search] (*Nature*, 2016)
* [https://www.nature.com/articles/nature24270 Mastering the game of Go without human knowledge] (*Nature*, 2017)</text>
      <sha1>9ndmkypu6468cag6o9kjo91alypm9ay</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>